PENYELESAIAN MASALAH OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR. Skripsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PENYELESAIAN MASALAH OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Disusun Oleh : Daniel Teguh Kurniawan NIM : 013114027

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2008


THE SOLUTION OF NONLINEAR CONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS WITH INTERIOR PENALTY FUNCTION METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By : Daniel Teguh Kurniawan Student Number : 013114027

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2008

ii




HALAMAN PERSEMBAHAN

” PERIHAL WAKTU ”

Selama-lamanya bukan berarti kekal, namun kekal adalah selama-lamanya. Jangan biarkan waktu terbuang dengan sia-sia, karena waktu terus berlalu. Waktu sangatlah mahal dan singkat, sekali berlalu tidak akan kembali.

MOTTO ” Tetapi carilah dahulu Kerajaan Allah dan kebenarannya, maka

semuanya itu akan ditambahkan kepadamu.” ( Matius 6:33 )

Skripsi punika kawula aturaken : Konjuk dhumateng Gusti Yesus ingkang tansah paring sih rahmat lan tentrem rahayu. Mekaten ugi Bapak lan Ibu ingkang tansah paring panggulowenthah dhumateng kula saha Mas Danang lan Mas Aris ingkang tansah paring daya panyengkuyung kagem mungkasi skripsi kula punika. Kula tansah tresna dhumateng sadaya ingkang sampun mbiyantu murih cekaping skripsi kula. Maturnuwun, Gusti berkahi.

v


ABSTRAK

Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan mengubah masalah tersebut menjadi masalah optimisasi nonlinear tak berkendala. Dalam metode ini, pencarian penyelesaian optimalnya dimulai dari daerah layak Bentuk umum dari fungsi penalti interior adalah m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x) j =1

dengan B(x) = −

1 , g j (x) merupakan kendala dan parameter penalti μ k > 0 . g j (x)

Dalam penulisan ini metode yang digunakan untuk meminimalkan φ (x, μ k ) adalah Metode Newton. Penyelesaian optimal didapatkan jika nilai φ (x, μ k ) konvergen ke f(x) dengan μ k ≥ μ k +1 dan μ k → 0 , k → ∞ .

vi


ABSTRACT Interior penalty function methods is a method which is used to solve the constrained nonlinear optimization problem by changing the problem become the unconstrained nonlinear optimization. In this method, the optimal solution searching is begun from the feasible region. The general expression of the interior penalty function is m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x) j =1

where B(x) = −

1 , g j (x) is the constraints and penalty parameters μ k > 0 . g j (x)

In this thesis, the method that is used for minimizing φ (x, μ k ) is a Newton methods. The optimal solution is obtained if φ (x, μ k ) converge to f(x) as μ k ≥ μ k +1 and μ k → 0 , k → ∞ .

vii


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 12 Juni 2008 Penulis,

Daniel Teguh Kurniawan

viii


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Daniel Teguh Kurniawan

Nomor

: 013114027

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yamg berjudul: “ Penyelesaian Masalah Optimasi Nonlinear Berkendala Dengan Metode Fungsi Penalti Interior ” Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal 12 Juni 2008 Yang menyatakan,

( Daniel Teguh Kurniawan )

ix


KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, sang Juru Selamat. Karena kasih dan karunia-Nya maka skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Dalam penyusunan skripsi ini penulis meminta bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu luang dan penuh kesabaran telah membimbing selama penyusunan skripsi ini walaupun penulis sering terlambat bahkan kabur dari jadwal bimbingan dengan waktu yang cukup lama. 2. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD. 3. Kakak-kakakku, Danang dan Aris, yang selalu mendorong untuk dapat menyelesaikan skripsi tepat waktu tapi tidak bisa sesuai dengan yang diharapkan. . 4. Teman-teman “ Penghuni Terakhir “ : Tedy “ Bear “, Rita “ poco-poco “, Zefanya, Yuli, yang bersama-sama berjuang keluar dari “selingan hidup” ini dan yang saling memberikan semangat, motivasi supaya lulus sama-sama. 5. Keluarga Besar Rakiman di Klaten atas dukungan doanya.. 6. Teman-teman pemuda remaja GKJ Gondangwinangun Klaten dan Temanteman pemuda remaja GKJ Ketandan, terima kasih atas dukungan doanya.

x


7. Sahabat-sahabatku di Matematika Angkatan’01, Ariel, Ray, Andre, Indah, Deta, Maria, Erika, Ajeng, Very, Yuli, Wiwit, Vrysca, April, Alam, Dani, Tabitha, Upik. Tidak akan pernah ku lupakan semua waktu yang pernah kita lewati. 8. Mas Nadi “ sebagai pembimbing skripsi di kos”, Ridwan ” Sahabat dan saudaraku ” terima kasih atas tumpangan kostnya. 9. Teman-teman PMK “ OIKUMENE “ yang selalu berbagi suka duka dalam hidup. Maxi dan Tata “ Maranatha Family “ atas dukungan doanya. 10. Teman-teman pemuda Karang Taruna “ Mekar Sari “ di desa tempat saya tinggal, terima kasih atas dukungan doanya. 11. Teman-teman SMU 2 Klaten, Seka dan Okie terima kasih atas petuah bijaknya. 12. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran dan kritik sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini.Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Yogyakarta, 12 Juni 2008 Penulis,

Daniel Teguh Kurniawan

xi


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL INDONESIA ...............................................................

i

HALAMAN JUDUL INGGRIS..... ...............................................................

ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...........................................

iii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ....................................................................

v

ABSTRAK ....................................................................................................

vi

ABSTRACT ..................................................................................................

vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................

viii

LEMBAR PERNYATAAN..........................................................................

ix

KATA PENGANTAR ...................................................................................

x

DAFTAR ISI ..................................................................................................

xii

DAFTAR GAMBAR .....................................................................................

xiv

DAFTAR TABEL ..........................................................................................

xv

BAB I PENDAHULUAN ..............................................................................

1

A. Latar Belakang Masalah ....................................................................

1

B. Perumusan Masalah ...........................................................................

3

C. Batasan Masalah ................................................................................

3

D. Tujuan Penulisan ...............................................................................

3

E. Manfaat Penulisan ...............................................................................

4

F. Metode Penelitian ................................................................................

4

G. Sistematika Penulisan ...........................................................................

4

xii


BAB II DASAR TEORI .............................................................................

6

A. Ruang Vektor dan Ruang Euclid .....................................................

6

B. Barisan Konvergen dan Barisan Monoton .......................................

7

C. Fungsi Kontinu ................................................................................

9

D. Turunan parsial ................................................................................

10

E. Metode newton ................................................................................

10

F. Optimisasi .......................................................................................

12

1. Masalah Optimasi........................................................................

12

2. Penyelesaian Masalah Optimasi..................................................

14

BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR.................................

15

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti ...........................................................

15

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior .............................................

19

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior .......................................

20

D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior ...................................

54

BAB IV PENUTUP .....................................................................................

57

A. Kesimpulan ......................................................................................

57

B. Saran ................................................................................................

58

DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................

59

LAMPIRAN ................................................................................................

60

xiii


DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1

Flowchart Algoritma Metode Newton...................................

11

Gambar 2.2

Peminimum f(x) sama dengan Pemaksimum -f(x)...............

12

Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungi Penalti Eksterior................................

18

Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior.................................

18

Gambar 3.2

21

Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior.............

xiv


DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.1...................................................

40

Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.2...................................................

48

Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.3...................................................

53

xv

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah Optimisasi adalah tindakan yang dilakukan untuk mendapatkan hasil terbaik dari kondisi-kondisi yang diberikan ( sebagai suatu masalah ). Optimisasi sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari seperti pada bidang ekonomi maupun manajemen. Sebagai contoh perusahaan pakaian yang ingin memberikan harga yang terbaik supaya perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang terbanyak. Dalam berbagai macam situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa ke dalam perumusan matematika sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel keputusan tertentu, dengan demikian optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Bidang ilmu matematika yang secara umum mempelajari tentang optimisasi adalah Riset Operasi. Riset Operasi sendiri terbagi menjadi 3 jenis metode, yang secara khusus mempelajari tentang masalah optimisasi tersebut yaitu : Pemrograman Matematika, Proses Stokhastik dan Metode Statistika. Pemrograman Matematika digunakan untuk menemukan nilai fungsi dengan beberapa variabel dari suatu himpunan yang sudah ditentukan dengan kendalakendalanya. Pemrograman Matematika terbagi lagi dalam beberapa bagian, diantaranya adalah Program Linear dan Program Nonlinear. Dalam Program Nonlinear masalah optimisasi dibedakan menjadi dua, yaitu masalah optimisasi tanpa kendala dan masalah optimisasi dengan kendala.


Masalah optimisasi dengan kendala merupakan masalah mengoptimalkan fungsi sasaran dengan kendala-kendalanya, dimana fungsi sasaran dan kendalakendalanya tersebut adalah fungsi nonlinear. Ada beberapa metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi program nonlinear dengan kendala yaitu ; Metode Primal, Metode Penalti, Metode Dual dan Metode Pemotongan Kurva serta Metode Lagrange. Pada skripsi ini akan dibahas pendekatan numeris untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan. Pendekatan yang digunakan adalah Metode Fungsi Penalti. Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu Metode Numerik yang digunakan untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah tanpa kendala dengan menambahkan fungsi penalti pada fungsi sasaran. Istilah penalti dipilih sedemikian hingga nilainya akan kecil untuk titik yang jauh dari batas kendala, dimulai dari titik layak x , yaitu sembarang titik yang memenuhi semua kendala, titik subbarisan yang dibangun akan selalu terletak di daerah layak karena batas kendala bertindak sebagai penghalang sepanjang proses minimasasi. Inilah alasan mengapa Metode Fungsi Penalti juga dikenal sebagai metode penghalang. Pada dasarnya Metode Penalti terbagi menjadi 2 yaitu Metode Fungsi Penalti Eksterior dan Metode Fungsi Penalti Interior. Akan tetapi, skripsi ini hanya membahas Metode Fungsi Penalti Interior, dimana penalti ditambahkan pada fungsi sasaran. Metode ini menghasilkan barisan titik-titik layak yang limitnya merupakan penyelesaian optimal dari masalah asli.


B. Perumusan Masalah Pokok masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini sebagai berikut : 1. Apa itu Metode Fungsi Penalti Interior ? 2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala berupa pertidaksamaan dengan Metode Fungsi Penalti Interior ?

C. Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini hanya akan dibahas tentang Metode Fungsi Penalti Interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan dan teknik yang digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi tak berkendala menggunakan metode newton.

D. Tujuan Penulisan Penulisan ini bertujuan untuk memberi wawasan dan pengetahuan kepada pembaca dengan pengertian dasar tentang bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti Interior.


E. Manfaat Penulisan Manfaat dari penulisan skripsi ini yang sangat diharapkan adalah penulis dapat mengetahui dan memahami bagaimana bentuk Metode Fungsi Penalti Interior dan bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti Interior dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan.

F. Metode Penulisan Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi literatur atau studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku acuan yang berkaitan dengan masalah ini. Jadi, dalam skripsi ini tidak ada penemuan-penemuan yang baru.

G. Sistematika Penulisan BAB I

:

PENDAHULUAN Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan dan sistematika penulisan.


BAB II

:

DASAR TEORI Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang vektor dan ruang Euclid, fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, Barisan Konvergen dan Barisan Monoton, turunan parsial, syarat optimalitas untuk masalah berkendala, Metode Newton serta teori optimisasi yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Interior.

BAB III

:

METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti, interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi Penalti Interior, bentuk umum Fungsi Penalti Interior dan algoritma metode Fungsi Penalti Interior disertai beberapa contoh masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti Interior, implementasi dengan program matlab serta konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior.

BAB IV

:

PENUTUP Bab IV berisi kesimpulan dan saran.











BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Pada bab ini akan dipaparkan tentang metode fungsi penalti interior sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program nonlinear, yakni masalah optimisasi berkendala. Proses pencarian dalam menemukan penyelesaian optimal dengan menggunakan metode fungsi penalti interior akan dimulai dari daerah layak. Tetapi sebelum membahas lebih jauh tentang metode tersebut, akan dibahas terlebih dahulu tentang konsep dasar metode tersebut.

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi masalah optimisasi tak berkendala adalah dengan metode fungsi penalti. Dalam kehidupan sehari-hari penalti yang berarti hukuman terjadi karena adanya pelanggaran. Dengan demikian, dalam masalah optimisasi berkendala fungsi penalti terjadi karena adanya pelanggaran, yaitu dengan menghilangkan kendala pada masalah optimisasi tersebut. Masalah optimisasi dasar dapat dinyatakan dalam bentuk meminimalkan f (x) dengan kendala g j (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m x∈X

( 3.1 )


dengan fungsi f, g j merupakan fungsi kontinu pada ℜ n dan X himpunan tidak kosong di ℜ n . Perhatikan bahwa jika ada sembarang kendala yang diberikan maka persamaan tersebut dipenuhi oleh x ∈ X . Masalah optimisasi berkendala tersebut diubah ke dalam sebuah masalah minimisasi tak berkendala dengan membangun sebuah fungsi yang berbentuk m

φ k = φ (x, μ k ) = f(x) + μ k Σ B(x) j =1

( 3.2 )

dimana B(x) adalah suatu fungsi dari kendala g j dan μ k adalah konstanta positif yang dinamakan parameter penalti. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan ( 3.2 ) disebut syarat penalti. Jika minimisasi tak berkendala dari fungsi φ diulang untuk suatu barisan dari nilai-nilai parameter penalti μ k untuk k = 1, 2, Κ maka penyelesaiannya akan konvergen ke masalah optimisasi dasar yang dinyatakan dalam persamaan ( 3.1 ). Jadi, penalti dapat diartikan sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti. Metode penambahan fungsi penalti ini disebut sebagai Metode Fungsi Penalti. Rumus Metode Fungsi Penalti untuk masalah berkendala dengan kendala berbentuk pertidaksamaan dapat dibagi menjadi dua kategori yaitu metode fungsi penalti interior dan metode fungsi penalti eksterior. Rumus metode fungsi penalti interior yang sering digunakan berbentuk

B(x) =

m

Σj =1

atau

m

1 g j ( x)

B(x) = Σ ln [- g j (x) ] j =1


Rumus metode fungsi penalti eksterior yang sering digunakan berbentuk B(x) = max[0, g j (x)] atau

[

]

B(x) = {max 0, g j (x) }

2

Di dalam metode fungsi penalti interior minimal tak berkendala dari φ

k

berada dalam daerah layak dan konvergen ke penyelesaian persamaan ( 3.1 ) dengan μ k berbeda dalam aturan tertentu. Dalam metode fungsi penalti eksterior titik yang membuat nilai minimum dari masalah tak berkendala φ

k

berada dalam

daerah tak layak dan konvergen ke penyelesaian yang diinginkan dari luar dengan

μ k berbeda dalam aturan khusus. Untuk masalah penalti interior dan eksterior, konvergensi dari masalah optimisasi tak berkendala φ

k

diilustrasikan pada

Gambar 2a dan Gambar 2b untuk masalah mencari nilai x yang meminimalkan f(x) = α x 1 dengan kendala g 1 (x) = β − x1 ≤ 0


Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Eksterior

Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior


Untuk menggambarkan secara geometris metode fungsi penalti interior, dibuat terlebih dahulu grafik fungsi f(x) = α x 1 dan kendala g 1 (x) = β − x1 ≤ 0. selanjutnya masalah optimasi berkendala tersebut dibawa ke dalam masalah optimisasi φ = αx1

μk

tak

berkendala

1 β

x1

dengan

dengan B(x) = -

membentuk

sebuah

fungsi

1 dan μ k sebagai parameter penalti. β − x1

Pencarian optimum dimulai dari daerah layak x1 yang berada di daerah layak dan titik berikutnya yang dihasilkan selalu berada dalam daerah layak karena ada batas-batasnya. Karena pemilihan μ k yang besar maka mengakibatkan φk masih jauh dari optimum. Dengan cara yang sama, jika minimasi tak berkendala dari fungsi φk diulang untuk suatu barisan nilai-nilai parameter penalti k = 1, 2, .... dimana μ k > μ k +1 maka penyelesaian akan konvergen ke masalah optimisasi dasar dan akan mendekati optimum.

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior

Dari Sub bab sebelumnya, dalam metode fungsi penalti interior sebuah fungsi baru φ yang dibentuk dengan menambahkan syarat penalti ke fungsi obyektif. Syarat penalti dipilih sedemikian hingga nilainya mengecil sehingga nilai fungsi φ

akan menuju optimum. Kejadian ini bisa dilihat pada Gambar

3.1.2. Minimisasi tak berkendala dari fungsi φ (x, μ k ) dimulai dari sembarang titik layak x 1 dan titik berikutnya yang dihasilkan selalu pada daerah layak. Hal ini disebabkan karena batas-batas kendala menjadi palang atau rintangan (barrier)


selama proses minimisasi. Inilah alasan mengapa metode fungsi penalti interior juga disebut sebagai metode barrier. Fungsi φ (x, μ k ) didefinisikan sebagai

φ (x, μ k ) = f(x) - μ k

m

Σg j =1

1 j ( x)

( 3.3 )

Terlihat bahwa nilai fungsi φ (x, μ k ) akan selalu lebih besar dari f(x) ketika g j (x) negatif untuk semua titik layak x.

Jika semua kendala g j (x)

dipenuhi dengan tanda persamaan maka nilai φ menuju tak hingga dan syarat penalti di ( 3.3 ) tidak terdefinisi jika x tak layak. Karena persamaan ini tidak diperbolehkannya adanya kendala yang dilanggar maka titik awal layak harus dicari dalam proses pencarian menuju ke titik optimum. Sebagian besar masalah optimisasi nonlinear berkendala tidaklah sulit untuk menemukan sebuah titik yang memenuhi semua kendala g j (x) ≤ 0 karena pemilihan titik x yang bebas.

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior

Berikut akan diberikan algoritma dari metode fungsi penalti interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi dasar : meminimalkan f (x) kendala

g j (x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m x∈X


Algoritma metode fungsi penalti interior dapat diperlihatkan sebagai berikut :

Mulai

Masukkan titik awal x 1 , ε > 0, μ1 > 0 , dan skalar β >1

Tentukan k = 1 Bentuklah fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)

dengan m

B(x) = Σ

j =1

−1 g j ( x)

Menentukan penyelesaian optimum dari masalah tidak berkendala x *k dari φ (x, μ )

μ k B(x *k ) < ε

YA

x *k penyelesaian layak, langkah dihentikan

TIDAK

μ k +1 = βμ k dengan k = k +1

Selesai

Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior


Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan metode fungsi penalti interior adalah : Langkah 1

Menentukan nilai awal x 1 , parameter penalti μ1 > 0 dan skalar β ∈ (0,1) dan diberikan ε > 0 dan k = 1. Langkah 2

Membentuk fungsi φ (x, μ k ) = f(x) + μ k B(x) m

dengan B(x) = Σ j =1

1 g j ( x)

Langkah 3

Mencari penyelesaian optimum

x *k

dari masalah optimisasi tidak

berkendala φ (x, μ k ) = f(x) + μ k B(x). Langkah 4

Jika

μ k B(x k ) < ε

langkah dihentikan, maka x k +1

merupakan

penyelesaian layak. Sebaliknya jika μ k B(x k ) > ε , maka tetapkan μ k +1 = β μ k , ganti k dengan k + 1 dan ulangi Langkah 2. Ada hal-hal yang perlu dipertimbangkan dalam menerapkan metode ini : 1

Proses iterasi dimulai dengan titik awal x 1 tetapi mungkin dalam beberapa kasus titik awal x 1 ini tidak perlu dipersiapkan

Tidaklah sulit untuk menentukan titik awal x 1 dalam masalah optimisasi nonlinear berkendala yang memenuhi semua kendala g j (x1 ) < 0 . Dalam


kasus khusus

titik awal tidak diperlukan dalam menyelesaikan masalah

optimisasi berkendala yang dapat dilihat dari fungsi kendalanya yang hanya terdapat satu variabel. Jika fungsi kendalanya terdapat beberapa variabel maka titik awal perlu dipersiapkan. Tetapi, ada beberapa keadaan sedemikian hingga titik layak tidak bisa ditemukan dengan mudah. Dalam kasus seperti ini, titik layak awal yang diminta dapat ditemukan dengan menggunakan metode fungsi penalti interior itu sendiri. Dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut : Langkah i Pilih sembarang titik x 1 dan evaluasi g j (x) di titik x 1 . Karena titik x 1 sembarang maka tidak semua titik memenuhi semua kendala pertidaksamaan. Jika ada r dari m kendala yang dilanggar, maka kendala-kendala tersebut dikelompokkan kembali sedemikian hingga r kendala yang dilanggar akan menjadi satu kelompok yang terakhir yaitu g j (x1 ) < 0 , j =1,2, Κ , m-r dan

g j (x1 ) ≥ 0 , j = m-r+1, m-r +2, Κ , m

( 3.4 )

Langkah ii Identifikasi kendala yang memiliki kesalahan terbesar di titik x 1 yaitu dengan mencari bilangan bulat k sedemikian hingga

[

]

g k (x1 ) = maks g j (x1 ) untuk j = m-r+1, m-r +2, Κ , m

( 3.5 )


Langkah iii Selesaikan masalah optimasi yang dibuat dalam langkah 3 dengan mengambil titik x 1 sebagai titik awal. Rumuskan masalah optimisasi yang baru seperti mencari x yang meminimalkan g k (x) dengan kendala g j (x1 ) ≤ 0 j =1,2, Κ , m-r dan

( 3.6 )

g j (x1 ) − g k (x1 ) ≤ 0 , j = m-r+1, m-r +2, Κ , k-1, k+1, Κ , m

Langkah iv Selesaikan masalah optimisasi pada langkah (iii) dengan mengambil titik x 1 sebagai titik awal menggunakan metode fungsi penalti interior. Metode ini dapat diakhiri ketika nilai fungsi g k (x) ≤ 0 . Jadi penyelesaian akan menghasilkan x k yang memenuhi sedikitnya satu kendala dari himpunan kendala yang dilanggar oleh x 1 . Langkah v Jika semua kendala tidak dipenuhi oleh titik x k , ambil titik baru x 1 = x k dan kendala dikelompokkan kembali sedemikian hingga r pada kendala yang terakhir tidak akan dipenuhi dan ulangi langkah ii. Langkah ini dapat diulangi sampai semua kendala terpenuhi dan didapat g j (x1 ) < 0 , j =1,2, ... , m-r


2

Dengan mencari parameter penalti awal ( μ1 ) yang sesuai Jika minimisasi tak berkendala φ (x, μ k ) dikerjakan untuk suatu barisan turun μ k , dengan memilih sebuah nilai μ1 yang sangat kecil maka nilai optimum dari fungsi φ akan konvergen ke penyelesaian masalah optimisasi dasar. Namun dari segi penghitungan, untuk minimisasi fungsi φ akan lebih mudah jika μ k besar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.2. Terlihat bahwa jika nilai μ k menjadi semakin kecil, nilai fungsi φ berubah dengan lebih cepat di sekitar minimum φ k∗ . Pencarian minimum dari suatu fungsi lebih mudah bila grafiknya lebih mulus karena fungsinya kontinu dan dapat diturunkan. Jika μ k besar maka minimisasi tak berkendala φ akan menjadi lebih mudah dan minimum dari φ k , x *k , akan menjadi lebih jauh dari minimum x ∗ .

3

Nilai perkalian faktor β yang dipilih haruslah tepat Jika nilai awal μ k sudah dipilih maka nilai-nilai μ k berikutnya harus dipilih sedemikian hingga μ k +1 < μ k . Nilai μ k dipilih dengan μ k +1 = β μ k dimana β < 1. Nilai β dapat diambil sebagai 0,1 atau 0,2 atau 0,5 dan seterusnya.


4

Kriteria kekonvergenan yang sesuai harus dipilih untuk menentukan nilai optimum Karena minimisasi tak berkendala dari φ (x, μ k )

harus dikerjakan

menurut suatu barisan turun nilai μ k maka perlu menggunakan kriteria konvergensi yang sesuai untuk mengidentifikasikan titik optimum. Proses dapat dihentikan pada saat syarat berikut dipenuhi. a. Selisih relatif antara nilai fungsi obyektif yang dihasilkan pada akhir dari sembarang dua minimisasi tak berkendala yang berurutan berada dibawah sebuah bilangan yang kecil ε1 , yaitu f (x *k ) − f (x *k -1 ) ≤ ε1 . f (x *k )

b. Selisih antara titik optimum x *k - x *k −1 menjadi sangat kecil. Ini dapat dinyatakan dalam beberapa cara. Yang biasa digunakan adalah ( Δx ) i ≤ ε 2 .

Dengan Δx = x *k - x *k −1 ( Δx ) i adalah anggota ke - i dari vektor Δx

Max |( Δx ) i | ≤ ε 3

[

| Δx | = (Δx)12 + (Δx) 22 + Κ + (Δx) 2n

]

1

2

≤ ε4


Nilai dari ε1 sampai ε 4 harus dipilih bergantung pada karakteristik dari masalah yang ditangani.

Berikut ini akan diberikan contoh masalah minimisasi yang tidak menggunakan titik awal. Contoh 3.1.1

Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut : (x 1 + 3 ) 3 + x 2

Minimalkan

f ( x1 , x 2 ) =

Kendala

g1 ( x1 , x 2 ) = - x1 + 1 ≤ 0

1

3

g 2 ( x1 , x 2 ) = - x 2 ≤ 0 Penyelesaiannya :

Dalam kasus di atas titik awal tidak diperlukan karena fungsi kendalanya hanya terdapat satu variabel. Untuk mencari penyelesaian optimumnya maka dibutuhkan parameter penalti awal ( μ1 ) yang sesuai. Langkah 1

Misalkan

ε = 0,00001

β = 0,1 Ditentukan k = 1

μ1 = 1000


Langkah 2

Membentuk fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x) B(x) dipilih dengan

B(x) =

−1 g j ( x)

2

Σ

j =1

⎡ 1 1⎤ = ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦

Sehingga diperoleh

φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x) =

1

3

⎡ 1 1⎤ (x 1 + 3 ) 3 + x 2 - μ k ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦

Langkah 3

Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala, dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x1 dan x 2 : Turunan parsial φ terhadap x 1 diperoleh : ∂φ ∂x1

= (x 1 + 1 ) 2 -

atau

μk (1 − x1 ) 2

=0

(x 1 + 1 ) 2 =

μk (1 − x1 ) 2

(x 1 + 1 ) 2 (1 - x 1 ) 2 = μ k ( x 1 2 + 2x 1 +1 ) ( 1 - 2x 1 + x 1 2 ) = μ k x1 4 - 2 x1 2 + 1 = μk

atau

(x 12 - 1 ) 2 = μ k


x 12 - 1 = μ k

1

2

1

x 1 = ( μk

2

+1 )

1

2

(3.1.1)

Turunan parsial φ terhadap x 2 diperoleh :

μ ∂φ = 1 - 2k = 0 ∂x 2 x2 x 22 = μ k

atau

1

x 2 = μk

(3.1.2)

2

Dari persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh penyelesaian optimum tak berkendala dan 1

x 1* ( μ k ) = ( μ k x *2 ( μ k ) = μ k

1

2

+1 )

1

2

2

Dalam masalah ini tidak diperlukan titik awal karena setelah melakukan penghitungan secara kalkulus, titik x *k bergantung pada parameter penalti ( μ1 ). Apabila penyelesaian optimum tersebut disubstitusikan ke fungsi φ maka didapatkan :

φ min ( μ k ) =

=

1

1

3

3

⎡ 1 1⎤ (x 1 + 3 ) 3 + x 2 - μ k ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦

[( μ k

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + μ k 1

1

2

- μk { [

1 − ( μ k 2 + 1) 2 + 1 1

1

]–[

1

μk

1

2

]}


=

1

[( μ k

3

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + μ k 1

1

+ [

2

− μk − (μ k

1

+ 1)

2

μk ( =

1

=

1

3

3

[( μ k

[( μ k

1

1

2

2

+1 ) + 1] + μ k 1

3

2

1

+

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k 1

(1 − ( μ k

1

1

μk =

1

3

[( μ k

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k 1

1

1

μk φ min ( μ k ) =

1

3

[( μ k

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k 1

1

2

μk

1

2

)

+ μk

1

1

+ 1) 2 )(

2

μk

μk

1

2

)

−

1

μk

(μ k

1

2

+ 1)

1

2

1

-

2

1

+1

2

μk

]+

1

-

2

1

1

-

−(

1

μk

2

(μ k

1

2

+ 1))

1

2

1 ⎛ 1 1 −⎜ 3 + 2 μ k ⎜⎝ μ k 2 μ k 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

Untuk mendapatkan penyelesaian dari masalah optimasi dasar dicari melalui : f

min

= lim φ min ( μ k ) μ k →0

= lim { 1 3 [( μ k μ k →0

=

8 = 2,66667 3

Iterasi 1

Untuk k = 1 x 1* ( μ1 ) = ( μ1

1

2

+1 )

1

2

1

2

+1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ k 1

1

2

-

1 1 ⎛⎜ 1 1 − + 2 3 ⎜ 2 μk ⎝ μk μk

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}


1

= ( 1000

2

+1)

1

2

= 5,71164 dan x *2 ( μ1 ) = μ k

1

2

= 1000

1

2

= 31,62278 Sehingga diperoleh :

φ min ( μ1 ) =

=

1

1

[( μ1 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2 μ1 1

3

1

1

3

1

2

1

-

1 ⎛ 1 1 ⎞ −⎜ 3 + 2 ⎟ μ1 ⎜⎝ μ1 2 μ1 ⎟⎠

[( 1000 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 1000 )

1

1

2

-

1 1 ⎤ ⎡ 1 −⎢ + 3 2 1000 ⎣1000 1000 2 ⎥⎦

= 374,77147

f( μ 1 ) =

1

=

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

3

( 5,71164 + 1 )

3

+ 31,62278

= 100,777761 + 31,62278 = 132,400541 ⎡

1

1⎤

μ1 B(x 1* ) = μ k ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦

2

1

= 100,777761 + 63,245554 + 210,748156

dan

1

1

2


= μ1

1

-

2

1 ⎛ 1 1 ⎞ −⎜ 3 + 2 ⎟ μ1 ⎜⎝ μ1 2 μ1 ⎟⎠ 1

1

2

= 31,62278 + 210,74816 = 242,37094 > ε Penyelesaian belum optimal karena μ1 B(x 1* ) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4 Tetapkan μ 2 = β μ1 = (0,1)1000 = 100

Iterasi 2 Untuk k = 2

Langkah 3 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika

x 1* ( μ 2 ) = ( μ 2 2 + 1 ) 1

= ( 100

1

2

1

2

1

+1)

2

= 3,31662 dan

x *2 ( μ 2 ) = μ 2 = 100

1

2

1

2

= 10

Sehingga diperoleh :

φ min ( μ 2 ) = { 13 [( μ 2 +1 ) + 1] 3 + 2 1

2

1

2


μ2

1

2

-

1 ⎛ 1 1 −⎜ 3 + 2 μ 2 ⎜⎝ μ 2 2 μ 2 1

=

1

1

3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}

1

[( 100 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 100 )

1

2

-

1 1 ⎡ 1 1 ⎤ −⎢ + 3 100 ⎣100 2 100 2 ⎥⎦

1

2

= 89,9776 dan

f( μ 2 ) =

1

=

1

(x 1+ 1)3 + x 2

3

1

3

1

[( 100 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 100

1

2

= 36, 8109

μ 2 B(x *2 )

= 10 + 43,16671 = 53,16671 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 2 B(x *2 ) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4 Tetapkan μ 3 = β .μ 2 = (0,1).100 = 10 Iterasi 3 Untuk k = 3 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika


x 1* ( μ 3 ) = ( μ 3 2 + 1 ) 1

1

1

= ( 10 2 +1 )

1

2

2

= 2,04017 dan

x *2 ( μ 3 ) = μ 3 = 10

1

1

2

2


φ min ( μ 3 ) = { 13 [( μ 3 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 3 1

=

1

3

2

1

2

1

2

-

1 ⎛ 1 1 −⎜ 3 + 2 μ 3 ⎜⎝ μ 3 2 μ 3

1

[ 2,04017 + 1 ] 3 + 2 ( 3,16228 ) -

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}

1 1 ⎡ 1 1 ⎤ −⎢ 3 + 2⎥ 2 10 ⎣10 10 ⎦

1

2

= 25,3048 dan

f( μ 3 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 9, 36636 + 3,16228 = 12,5286

μ 3 B(x *3 )

= 3,16228 + 9, 61381 = 12,77609 > ε



Langkah 4 Tetapkan μ 4 = β .μ 3 = (0,1).10 = 1 Iterasi 4 Untuk k = 4 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika x 1* ( μ 4 ) = ( μ 4 2 + 1 ) 1

=(2)

1

1

2

2

= 1,41421 dan

x *2 ( μ 4 ) = μ 4

1

2

=1


φ min ( μ 4 ) = { 1 3 [( μ 4 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 4 1

1

1

2

2

1

= { 1 3 [( 1 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 1 )

=

1

3

1

2

-

1

2

-

1 ⎛ 1 1⎞ −⎜ 3 + 2 ⎟ 2 1 ⎝1 1 ⎠

(1,41421 + 1) 3 + 2 + 2,41421

f( μ 4 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 4,69036+ 1 = 5,69036

1 ⎛⎜ 1 1 − + 2 3 ⎜ 2 μ4 ⎝ μ4 μ4 1

= 4,69036+ 2 + 2,41421 = 9,10457 dan

1

1

2

}

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}


μ 4 B(x *4 )

= 1 + 2,41421 = 3,41421 > ε


Langkah 4 Tetapkan μ 5 = β .μ 4 = (0,1).1 = 0,1 Iterasi 5 Untuk k = 5 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika x 1* ( μ 5 ) = ( μ 5 2 + 1 ) 1

1

= (0,1 2 + 1 )

1

1

2

2

= 1,14727 dan

x *2 ( μ 5 ) = μ = 0,1

1

1

2

2


φ min ( μ 5 ) = { 13 [( μ 5 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 5 1

2

1

2

1

2

-

1 ⎛ 1 1 −⎜ 3 + 2 μ 5 ⎜⎝ μ 5 2 μ 5 1

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}


1

1

= { 1 3 [( 0,1 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 0,1 )

1

2

-

1 1 ⎛ 1 1 − ⎜⎜ 3 + 2 2 0,1 ⎝ 0,1 0,1

⎞ ⎟⎟ ⎠

1

2

}

= 3,300188 + 0,632456 + 0,06899 = 4,00163 dan

f( μ 5 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 3,300188 + 0,31623 = 3,61642

μ 5 B(x *5 )

= 0,31623 + 0,06899 = 0,38522 > ε


Langkah 4 Tetapkan μ 6 = β .μ 5 = (0,1).(0,1) = 0,01 Iterasi 6 Untuk k = 6 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika x 1* ( μ 6 ) = ( μ 6 2 + 1 ) 1

= 1,04881

1

2


dan

1

x *2 ( μ 6 ) = μ 6

2

= 0,1


φ min ( μ 6 ) = { 1 3 [( μ 6 +1 ) + 1] 3 + 2 μ 6 1

2

1

1

2

1

1

2

1

-

= { 1 3 [( 0,01 2 +1 ) 2 + 1] 3 + 2( 0,01 )

1 ⎛⎜ 1 1 − + 2 3 ⎜ 2 μ6 ⎝ μ6 μ6 1

2

-

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}

1 ⎛ 1 1 1 − ⎜⎜ + 3 2 0,01 ⎝ 0,01 0,012

⎞ ⎟⎟ ⎠

1

2

}

= 2,86671 + 0,2 + 0,20488 = 3,27159 dan

f( μ 6 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 2,86671 + 0,1 = 2,96671

μ 6 B(x *6 )

= 0,1 + 0,20488 = 0,30488 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ 6 B(x *6 ) > ε maka langkah diteruskan. Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni Langkah 4

μ15 = β .μ14 = (0,1).(10 −10 ) = 10 −11


Iterasi 15 Untuk k = 15 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika x 1* ( μ15 ) = ( μ15 2 + 1 ) 1

1

2

= 1,00000 dan

x *2 ( μ15 ) = μ15

1

2


φ min ( μ15 ) = { 13 [( μ15 +1 ) + 1] 3 + 2 μ15 1

2

1

2

1

2

1

1

μ15

⎛ 1 1 −⎜ 3 + ⎜μ 2 μ 2 15 ⎝ 15

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1

2

}

= 2,66669 dan f( μ15 ) =

1

3

(x 1+ 1)3 + x 2

= 2,66668 * μ15 B(x 15 ) = 0,000009

* Karena μ15 B(x 15 ) = 0,000009 < ε maka langkah dihentikan.

Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x 1* = 1, x *2 = 0. Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi * ) = 0,000009 < ε . syarat μ15 B(x 15


Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program MATLAB. ( lampiran 1 )

Tabel 3.1.1 Output penyelesaian Contoh 3.1.1 dengan Matlab

Taksiran awal miu : 1000.00000 ============================================================== Iterasi

miu

x1

x2

min(miu)

f(miu)

miu_Bx

============================================================== 1

1000.00000

5.71164

31.62278

376.26364

132.40032

243.86332

2

100.00000

3.31662

10.00000

89.97716

36.81092

53.16625

3

10.00000

2.04017

3.16228

25.30476

12.52863

12.77613

4

1.00000

1.41421

1.00000

9.10457

5.69036

3.41421

5

0.10000

1.14727

0.31623

4.61167

3.61641

0.99525

6

0.01000

1.04881

0.10000

3.27159

2.96671

0.30488

7

0.00100

1.01569

0.03162

2.85690

2.76154

0.09536

8

0.00010

1.00499

0.01000

2.72672

2.69667

0.03005

9

0.00001

1.00158

0.00316

2.68565

2.67615

0.00949

10

0.00000

1.00050

0.00100

2.67267

2.66967

0.00300

11

0.00000

1.00016

0.00032

2.66856

2.66762

0.00095

12

0.00000

1.00005

0.00010

2.66727

2.66697

0.00030

13

0.00000

1.00002

0.00003

2.66686

2.66676

0.00009

14

0.00000

1.00000

0.00001

2.66673

2.66670

0.00003

15

0.00000

1.00000

0.00000

2.66669

2.66668

0.00001

============================================================== Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx<0.00001. Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 = 1.00000 dan x2 = 0.00000


Berikut akan diberikan contoh masalah optimisasi nonlinear berkendala yang menggunakan titik awal. Contoh 3.1.2 Selesaikan masalah kendala berikut : Minimalkan

f ( x 1 , x 2 ) = (x1 − 5) + ( x 2 − 3)

Kendala

g1 ( x1 , x 2 ) = - x1 + x 2 - 3 ≤ 0

2

2

g 2 ( x 1 , x 2 ) = - x 1 + 2x 2 - 4 ≤ 0

Penyelesaiannya : Langkah 1 Misalkan

⎧0⎫ ⎩0⎭

ε = 0,00001 x 0 = ⎨ ⎬

β = 0,1

μ1 = 1

Ditentukan k = 1 Langkah 2 Membentuk fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x) B(x) dipilih dengan

B(x) =

2

Σ i =1

−1 g i ( x)

⎡ ⎤ 1 1 + = -⎢ ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

Sehingga diperoleh

φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x)


⎡ ⎤ 1 1 2 2 + = (x1 − 5) + (x 2 − 3) - μ k ⎢ ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

Langkah 3 Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah tak berkendala dibutuhkan suatu titik awal sehingga diperlukan metode yang sesuai. Untuk memudahkan penghitungan dalam mencari penyelesaian optimum akan digunakan program Matlab. Iterasi 1 Untuk k = 1 x 1(1) = 0 dan x (21) = 0 Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh

φ min ( μ1 ) = f(x) + μ1 B(x) ⎡ ⎤ 1 1 2 2 + = (x1 − 5) + (x 2 − 3) - ( 1 ) ⎢ ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 34,583333 f( μ1 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3) 2

2

= 34 ⎡

1

1

⎤

μ1 B(x 1* ) = - 1 ⎢ + ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦ = 0,583333 > ε Penyelesaian belum optimal karena μ1 B(x 1* ) > ε maka langkah diteruskan.


Langkah 4 Tetapkan μ 2 = β μ1 = (0,1).1 = 0,1 Iterasi 2 Untuk k = 2 Langkah 3 Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh x1(2 ) = 5,180705 x (22 ) = 2,942802

φ min ( μ 2 ) = f(x) + μ 2 B(x) ⎡ ⎤ 1 1 2 2 = (x1 − 5) + (x 2 − 3) - (0,1) ⎢ + ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,085366 f( μ 2 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3) 2

2

= 0,035926 ⎡

1

1

⎤

+ μ 2 B(x *2 ) = - (0,1) ⎢ ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,049440 > ε Penyelesaian belum optimal karena μ 2 B(x *2 ) > ε maka langkah diteruskan.


Langkah 4 Tetapkan μ 3 = β μ 2 = (0,1) (0,1) = 0,01 Iterasi 3 Untuk k = 3 Langkah 3 Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh x1(3) = 5,007010 x (23 ) = 2,987347


= 0,005499 f( μ 3 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3) 2

2

= 0,000209 ⎡

1

1

⎤

μ 3 B(x *3 ) = - (0,01) ⎢ + ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦ = 0,005290 > ε Penyelesaian belum optimal karena μ 3 B(x *3 ) > ε maka langkah diteruskan.


Langkah 4 Tetapkan μ 4 = β μ 3 = 0,1 (0,01) = 0,001 Iterasi 4 Untuk k = 4 Langkah 3 Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh x 1(4 ) = 5,000751 x (24 ) = 2,998692


= 0,000535 f( μ 4 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3) 2

2

= 0,000002 ⎡

1

1

⎤

μ 4 B(x *4 ) = - (0,001) ⎢ + ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦ = 0,000533 Penyelesaian belum optimal karena μ 4 B(x *4 ) > ε maka langkah diteruskan.


Langkah 4 Tetapkan μ 5 = β μ 4 = 0,1 (0,001) = 0,0001 Iterasi 5 Untuk k = 5

Langkah 3 Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh x 1(5 ) = 5,000076 x (25 ) = 2,999869


= 0,000053 f( μ 5 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3) 2

2

= 0,000000 ⎡

1

1

⎤

μ 5 B(x *5 ) = - (0,0001) ⎢ + ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦ = - (0,0001) (-0,53333) = 0,000053 Penyelesaian belum optimal karena μ 5 B(x *5 ) > ε maka langkah diteruskan.


Langkah 4 Tetapkan μ 6 = β μ 5 = 0,1 (0,0001) = 0,00001 Iterasi 6 Untuk k = 6 Langkah 3 Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh x 1(6 ) = 5,000008 x (26 ) = 2,999987


= 0,000005 f( μ 6 ) = (x1 − 5) + (x 2 − 3) 2

2

= 0,000000 ⎡

1

1

⎤

+ μ 6 B(x *6 ) = - (0,00001) ⎢ ⎥ ⎣ − x1 + x 2 − 3 − x1 + 2 x 2 − 4 ⎦

= 0,000005 < ε Penyelesaian sudah optimal karena μ 6 B(x *6 ) < ε maka langkah dihentikan.


Dari permasalahan di atas maka diperoleh penyelesaian dengan x1* = 5,00000 dan x *2 = 2,99999. Pada iterasi ke-6 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi syarat bahwa μ k B(x *k ) < ε .

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program Matlab pada contoh 3.1.2 di atas.

Tabel 3.1.2 Output penyelesaian contoh 3.1.2 dengan Matlab

Masukkan data yang dibutuhkan x1 = [0 0] Taksiran awal mu : 1 Toleransi error = 0.00001 Max.iterasi newton = 10 =============================================================== Iterasi Nilai mu

x1

x2

f

z

mu_Bx

=============================================================== 0

1.000000

0.000000

0.000000

34.000000

34.583333

0.583333

1

0.100000

5.180705

2.942802

0.035926

0.085366

0.049440

2

0.010000

5.007010

2.987347

0.000209

0.005499

0.005290

3

0.001000

5.000751

2.998692

0.000002

0.000535

0.000533

4

0.000100

5.000076

2.999869

0.000000

0.000053

0.000053

5

0.000010

5.000008

2.999987

0.000000

0.000005

0.000005


Metode fungsi penalti interior dapat juga diterapkan ke dalam masalah optimasi berkendala linear. Berikut contohnya : Contoh 3.1.3 Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut : Minimalkan

f ( x 1 , x 2 ) = x 1 + 2x 2 +1

Kendala

g1 ( x1 , x 2 ) = - x1 + 1 ≤ 0 g 2 ( x1 , x 2 ) = - x 2 ≤ 0

Penyelesaiannya : Langkah 1 Misalkan

ε = 0,00001

β = 0,1

μ1 = 1000

Ditentukan k = 1 Langkah 2 Membentuk fungsi φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x) B(x) dipilih dengan

B(x) =

2

Σ

j =1

−1 g j ( x)

⎡ 1 1⎤ = ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦


Sehingga diperoleh

φ (x, μ ) = f(x) + μ k B(x) ⎡ 1 1⎤ = x 1 +2 x 2 +1 - μ k ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦

Langkah 3 Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala, dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x1 dan x 2 : Turunan parsial φ terhadap x 1 diperoleh : ∂φ ∂x1

= 1-

μk (1 − x1 ) 2

=0

(x 1 + 1 ) 2 = μ k

atau

x 1 = μk

1

2

-1

(3.3.1)

Turunan parsial φ terhadap x 2 diperoleh :

μ ∂φ = 2 - 2k = 0 ∂x 2 x2 x 22 =

atau

μk 2

x2= (

μ k 12 ) 2

(3.3.2)

Dari persamaan (3.3.1) dan (3.3.2) diperoleh penyelesaian optimum tak berkendala dan x 1* ( μ k ) = μ k

1

2

-1

dan

x *2 ( μ k ) = (

μ k 12 ) 2


Iterasi 1 Untuk k = 1 x 1* ( μ k ) = μ k

1

2

-1

= 30,62278 x *2 ( μ k ) = (

μ k 12 ) 2

= 22,36068 Sehingga diperoleh : ⎡

1

1⎤

φ min ( μ k ) = x 1 + 2x 2 +1 - μ k ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦ = ( μk

1

2

1

2

+1 ) +2 (

1 μ k 12 ) +1 - μ k [ 1 2 - (μ k ) 2 + 2

-

1 μ 2

( )

1

2

]

= 1,88103 dan

f( μ1 ) = (x 1+ 2 x2 ) + 1

= { μk

1

2

-1}+2 (

μ k 12 ) +1 2

= 10563,28621 ⎡

1

1⎤

μ1 B(x 1* ) = - μ k ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦ = 74,46310 Penyelesaian belum optimal karena μ1 B(x 1* ) > ε maka langkah diteruskan.


Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni Langkah 4

μ15 = β .μ14 = (0,1).(10 −10 ) = 10 −11 Iterasi 15 Untuk k = 15 Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika x 1* ( μ15 ) = μ 15

1

2

-1

= -1,00000 dan

x *2 ( μ15 ) = (

μ 15 1 2 ) 2

= 0,00000 Sehingga diperoleh : ⎡

1

1⎤

φ min ( μ15 ) = x 1 + 2x 2 +1 - μ 15 ⎢ − ⎥ ⎣ − x + 1 x2 ⎦ = 0,00000 dan

f( μ15 ) = (x 1+ 2 x2 ) + 1

= 0,00000 * μ15 B(x 15 ) = 0,00000

* Karena μ15 B(x 15 ) = 0,00000 < ε maka langkah dihentikan.


Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x 1* = -1, x *2 = 0. Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi * ) <ε. syarat μ15 B(x 15

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program MATLAB.

Tabel 3.1.3 Output penyelesaian contoh 3.1.3 dengan Matlab Taksiran awal miu : 1000.00000 ============================================================== Iterasi

miu

x1

x2

min(miu)

f(miu)

miu_Bx

============================================================== 1

1000.00000

30.62278

22.36068

1.88103

10563.28621

74.46310

2

100.00000

9.00000

7.07107

1.66667

340.40440

22.47547

3

10.00000

2.16228

2.23607

1.22515

12.77699

6.40927

4

1.00000

0.00000

0.70711

0.66667

1.04044

1.74755

5

0.10000

-0.68377

0.22361

0.27305

0.23415

0.49039

6

0.01000

-0.90000

0.07071

0.09524

0.07104

0.14618

7

0.00100

-0.96838

0.02236

0.03113

0.02237

0.04521

8

0.00010

-0.99000

0.00707

0.00995

0.00707

0.01419

9

0.00001

-0.99684

0.00224

0.00316

0.00224

0.00448

10

0.00000

-0.99900

0.00071

0.00100

0.00071

0.00141

11

0.00000

-0.99968

0.00022

0.00032

0.00022

0.00045

12

0.00000

-0.99990

0.00007

0.00010

0.00007

0.00014

13

0.00000

-0.99997

0.00002

0.00003

0.00002

0.00004

14

0.00000

-0.99999

0.00001

0.00001

0.00001

0.00001

15

0.00000

-1.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

============================================================= Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx<0.00001. Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 = -1.00000 dan x2 = 0.000002


D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior Teorema 3.2 Teorema Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior m

Σg

Jika fungsi φ ( x, μ k ) = f(x) - μ k

j =1

1 j ( x)

(3.2.1)

suatu barisan turun terhadap μ k , maka penyelesaian dari masalah minimisasi tak berkendala akan konvergen ke penyelesaian optimal dari masalah berkendala Minimumkan f(x) g j ( x) ≤ 0

Kendala

dengan g j ( x) ≤ 0 ,

j =1,2, Κ , m

untuk μ k → 0

Bukti : Jika x * adalah penyelesaian optimum dari masalah berkendala maka akan dibuktikan bahwa lim [min φ ( x, μ k ) ] = φ ( x *k , μ k ) = f (x * ) μ k →0

karena f(x) kontinu dan f (x * ) ≤ f(x) untuk setiap titik layak x maka dapat dipilih

ε titik layak ~ x sedemikian hingga f ( ~ x ) < f (x * ) + , ∀ ε >0 2 Perhatikan untuk titik layak ~ x didapatkan

φ ( ~x , μ k )

x ) - μk = f( ~

x ) + μk = f( ~

x ) + μk f( ~

m

Σg j =1

m

Σg j =1

m

1 ~ j (x)

Σg j =1

−1 ~ j (x)

ε −1 ≤ f (x * ) + ~ 2 j (x)

(3.2.2)


Pilih k yang sesuai, misalnya K sedemikian hingga

μK

m

Σg j =1

ε −1 ≤ ~ 2 j (x) ε

Jadi μ K ≤

2 −1 ∑ ~ j =1 g j ( x )

(3.2.3)

m

Dari (3.2.1) didapat f (x * ) ≤ min φ ( x, μ k ) = φ ( x *k , μ k )

(3.2.4)

dimana x *k adalah penyelesaian minimum masalah tak berkendala φ ( x, μ k ) Selanjutnya φ ( x *k , μ k ) ≤ φ ( x *K , μ k )

(3.2.5)

Karena x *k minimum dari φ ( x, μ k ) dan ada x lain dari x *k sebagai petunjuk suatu nilai dari φ ≥ φ ( x *k , μ k ). Pilih μ k < μ K dan didapatkan

φ ( x *K , μ K )

= f (x *K ) - μ K

> f (x *K ) - μ k

m

Σg j =1

m

Σg j =1

1 j (x K )

1 j (x K )

> φ ( x *k , μ k )

(3.2.6)

dimana x *k adalah minimum tak berkendala dari φ ( x, μ k ) Jadi f (x * ) ≤ φ ( x *k , μ k ) ≤ φ ( x *K , μ k ) <

φ ( x *K , μ K )

xK , μ K ) = f ( ~ x ) - μK Tetapi φ ( x *K , μ K ) ≤ φ ( ~

m

Σg j =1

1 ~ j (x)

(3.2.7) (3.2.8)


Dari pertidaksamaan (3.2.7) dan (3.2.8) didapatkan

f (x * ) ≤ φ ( x *k , μ k ) ≤ f ( ~ x ) - μK

m

Σg j =1

1 ~ j (x)

Pertidaksamaan (3.2.2) memberikan - μ K

(3.2.9)

m

Σg j =1

ε 1 < ~ 2 j (x)

(3.2.10)

Dengan menggunakan pertidaksamaan (3.2.2) dan (3.2.9) pertidaksamaan (3.2.8) menjadi f (x * ) ≤ φ ( x *k , μ k ) < f (x * ) +

ε 2

+

ε 2

=

f (x * ) + ε

atau

φ ( x *k , μ k ) - f (x * ) < ε

(3.2.11)

Diberikan suatu ε > 0 , ini memungkinkan untuk memilih suatu nilai k supaya memenuhi pertidaksamaan (3.2.10) Untuk k → ∞ dan μ k → 0 didapatkan

lim φ ( x *k , μ k ) = f (x ∗ )

μ k →0

∴ Terbukti bahwa lim [min φ ( x, μ k ) ] = φ ( x *k , μ k ) = f (x * ) μ k →0


BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah optimisasi berkendala nonlinear menjadi masalah optimisasi tak berkendala, yakni membentuk fungsi φ(x, μ k ) dari masalah optimisasi dasar ditambah dengan fungsi kendala-kendalanya dikalikan dengan parameter penalti. Karena masalah optimisasi berkendala menjadi tak berkendala maka masalah tersebut dapat diselesaikan menggunakan metode optimisasi tak berkendala nonlinear. Salah satunya adalah metode newton. Pencarian penyelesaian optimal yaitu dengan menemukan titik optimal x ∗ yang dimulai dari daerah layak dan konvergen ke masalah optimisasi dasar berkendala nonlinear, artinya bahwa nilai dari φ(x, μ k ) mendekati nilai f (x) saat μ k → 0 dengan k → ∞ . Syarat-syarat dalam menggunakan metode fungsi penalti interior : 1. Titik awal x 1 harus berada di dalam daerah layak 2. μ k harus turun dengan aturan μ k ≥ μ k +1 dan μ k +1 = βμ k 3. Fungsi f (x) diferensiabel

Kelebihan dari metode fungsi penalti interior ini adalah titik awalnya berada dalam daerah layak sehingga pencarian nilai optimum x ∗ akan lebih mudah karena berada dalam daerah layak


Kekurangan

dari

metode

fungsi

penalti

interior

ini

adalah

penghitungannya akan sulit jika nilai μ k mengecil. Dalam kasus tertentu titik awal tidak diperlukan sehingga tidak sesuai dengan algoritma metode fungsi penalti interior.

B. Saran 1. Metode tidak langsung yang lain untuk menyelesaikan masalah program optimasi nonlinear berkendala yang dapat digunakan, contohnya Transformasi Variabel 2. Selain metode Newton, masih banyak metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah program optimasi nonlinear tak berkendala. Salah satunya dengan metode Steepest Descent. 3. Masih banyak terdapat metode optimisasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinear baik dengan metode langsung maupun metode tak langsung.


DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. (1988). Aljabar Linear Elementer (Terjemahan). Edisi kelima. Jakarta : Erlangga. Bazaraa M, Sherali H, Shetty C. (1993). Nonlinear Programming, Theory and Algorithms. Second Edition. Singapore : John Wiley & Sons, Inc. Purcell, Edwin J. (1988). Kalkulus dan Geometri Analitis (Terjemahan). Edisi ketiga : Jilid II. Jakarta : Erlangga. Rao S S. (1984). Optimization Theory and Application. Second Edition. India : Wiley Eastern Limited. Soemantri, R., dkk. (2006). Diktat Pengantar Analisis Real. Yogyakarta : FMIPA USD.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Lampiran 1

60

Listing Program : miu = input('Taksiran awal miu : '); n = input('Iterasi maksimum : '); beta = 0.1; k=1; e = 0.00001; miu = 1000; clc; fprintf('Taksiran awal miu : %10.5f\n',miu); fprintf('\n CONTOH METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR \n\n'); fprintf('===================================================================== \n'); fprintf(' Iterasi

miu

x1

x2

min(miu)

f(miu)

miu_Bx

\n');

fprintf('===================================================================== \n'); while k <= n x1 = power( (power(miu,0.5)+1), 0.5 ); x2 = power(miu,0.5); miu_Bx = power(miu,0.5) - ( 1 / ( (1/miu) - power ( ( (1 / power(miu, 3/2)) + ( 1 / power(miu, 2) ) ), 0.5 ))); min_miu_depan = ( (1/3) * power((x1 + 1), 3) ) + 2*x2; min_miu_blkng = 1 / ( (1/miu) - power ( ( (1 / power(miu, 3/2)) + ( 1 / power(miu, 2) ) ), 0.5 ) ); min_miu = min_miu_depan - min_miu_blkng; f_miu = ( (1/3) * power((x1 + 1), 3) ) + x2; fprintf('%3d

%10.5f

%8.5f

%8.5f

%9.5f

%9.5f %9.5f\n', k,miu,x1,x2,min_miu,f_miu,miu_Bx);

if miu_Bx < e break end k=k+1; miu = beta * miu; end fprintf('============================================================= \n'); fprintf('Pada saat iterasi ke -%d,miu_Bx<%5.5f.\n',k,e); fprintf('Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 x2 =%8.5 f\n',x1,x2); end

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI lampiran 2

61

function in1 clc %memasukkan beberapa data seperti x1,tol dan iterasi maksimum. fprintf('Metode Newton\n\n'); fprintf('Masukkan data yang dibutuhkan\n\n'); x=input('x1 = '); mu=input('Taksiran awal mu : '); beta=0.1; e=0.00001; tol=input('Toleransi error = '); N=input('Max.iterasi newton = '); k=1;

x1=x(1);x2=x(2); f=(x1-5).^2+(x2-3).^2; z=((x1-5).^2+(x2-3).^2)-(mu/(-x1+x2-3))-(mu/(-x1+2*x2-4)); fprintf('=============================================================\n'); fprintf(' Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mu_Bx\n'); fprintf('=============================================================\n'); tic while k <= N x1=x(1); x2=x(2); f1=2*(x1-5)-((mu)/((-x1+x2-3).^2))-(mu/(-x1+2*x2-4).^2); f2=(2*(x2-3))+((mu)/((-x1+x2-3).^2))+(2*mu/(-x1+2*x2-4).^2); fx=[f1;f2]; j11=2+((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))-(2*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); j12=-((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))+(4*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); j21=((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))+(4*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); j22=2-((2*mu*(-x1+x2-3))/((-x1+x2-3).^4))-(8*mu*(-x1+2*x2-4)/(-x1+2*x2-4).^4); jx=[j11 j12;j21 j22]; %j(ik)=turunan fungsi ke-i terhadap variabel ke-k y=-inv(jx)*fx; f=(x1-5).^2+(x2-3).^2; z=((x1-5).^2+(x2-3).^2)-(mu/(-x1+x2-3))-(mu/(-x1+2*x2-4)); mu_Bx=-mu*((1/(-x1+x2-3))+(1/(-x1+2*x2-4))); fprintf('\n%4.0f %12f %12f %12f %12f %12f %12f',k-1,mu,x,f,z,mu_Bx); if norm(y)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI lampiran 2

x=x+y'; %fprintf('\n%4.0f %12f %12f %12f %12f %12f',k-1,mu,x,f,z) k=k+1; mu=beta*mu end toc if k>=N fprintf('\nIterasi Maksimum Terlewati'); %pemberitahuan bahwa iterasi maksimum sudah terlampaui. end

62

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Lampiran 3

function contoh3 clc %memasukkan beberapa data seperti x1,tol dan iterasi maksimum. miu = input('Taksiran awal miu : '); n = input('Iterasi maksimum : '); beta = 0.1; k=1; e = 0.00001; clc; fprintf('Taksiran awal miu : %10.5f\n',miu); fprintf('\n CONTOH METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR \n\n'); fprintf('======================================================= \n'); fprintf(' Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx \n'); fprintf('=======================================================\n'); while k <= n x1 = sqrt(miu)-1; x2 = sqrt(miu/2); miu_Bx=-miu*((1/(-(sqrt(miu)+2)))-(1/(sqrt(miu/2)))); min_miu_depan = (sqrt(miu)-1)+2*(sqrt(miu/2))+1; min_miu_blkng =miu_Bx; min_miu = min_miu_depan - min_miu_blkng; f_miu = ( (1/3) * power((x1 + 1), 3) ) + x2; fprintf('%3d %10.5f %8.5f %8.5f %9.5f %9.5f %9.5f\n', k,miu,x1,x2,min_miu,f_miu,miu_Bx); if miu_Bx < e break end k=k+1; miu = beta * miu; end fprintf('====================================================== \n'); fprintf('Pada saat iterasi ke -%d,miu_Bx<%5.5f.\n',k,e); fprintf(' Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah : x1 = %8.5f dan x2 = %12f\n',x1,x2); end

63

PENYELESAIAN MASALAH OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR. Skripsi

Recommend Documents