Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan Edwin Julius Solaiman Fakultas Teknologi Informasi, Universitas Advent Indonesia Abstrak Gauss menguraikan tiga teori untuk menyelesaikan persamaan linier. Dimana teori tersebut diturunkan dari metode eleminasi penjumlahan, pengurangan dan subsitusi. Kendala yang ditemukan dikelas adalah mahasiswa lambat memahaminya, sehingga diperlukan modifikasi metode Gauss yang dapat menerangkan dan menjembatani peralihan dari metode eliminasi ke metode Gauss. Peralihan yang dapat dilakukan adalah dengan menggabungkan dua teori Gauss/Operasi Baris Elementer yaitu dengan menggabungkan mengalikan sebuah baris dengan bilangan k ≠ 0 dari matrik A yang disebut Operasi Tipe II dan dengan menambahkan sebuah baris i dengan mengalikan k ≠ 0 pada baris yang lain dimana i ≠ j dari matrik A disebut Operasi tipe III menjadi satu yaitu dengan menambahkan k1 ≠ 0 kali baris ke i dengan k2 ≠ 0 kali baris ke j dimana i ≠ j dari matrik A yang disebut sebagai Modifikasi Operasi Tipe III.
Modification of Gauss Method or the Elementary Row Operations System Solutions of Linear Equations of 3 Variables and 3 Equations Abstract Gauss outlines three theories to solve linear equations. The theory derived from the Elimination Method such that addition, reduction and aubstitution. Problems were found in class is a slow student to understand it, so that the necessary modifications Gauss method that can explain and bridge the transition from Elimination Method to Gaussian Method. Transition to do is to combine the two rule of Gaussian Method / Elemantary Row Operations by the incorporation multiplying a row with number k ≠ 0 of matix A socalled Operation Type II and by adding a row i by multiplying k ≠ 0 on the other row where i ≠ j of matrix A is called Operation Type III into one by adding k1 ≠ 0 times row i with k2 ≠ 0 times row j where i ≠ j of matrix A is referred to as Modification Operation Type III. 43
Jurnal TeIKa, Volume 6 Nomor 1, Desember 2016
Pendahuluan Solusi persamaan linier dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Pada umumnya mahasiswa dalam mencari solusi persamaan linier menyukai metode eliminasi karena telah dipelajari di sekolah lanjutan. Namun, metode ini mengunakan jalan yang panjang, sehingga kurang praktis karena harus menggunakan waktu yang lebih lama dalam menguraikan penyelesaian persamaan linier. Cara lain yang sering digunakan untuk mencari solusi persamaan linier adalah dengan menggunakan Metode Invers dan Cramer’s. Tetapi kedua metode ini hanya dapat menjawab bila |A| = det(A) ≠ 0 dan tidak dapat menjawab bila |A| = det(A) = 0. Metode Gauss merupakan turunan dari metode eliminasi yang dapat mengatasi kelemahan ketiga metode di atas, dimana metode ini memberikan solusi persamaan linier yang lebih efisien, yaitu dengan mengunakan eleminasi dalam bentuk matrix. Tetapi dalam proses belajar mengajar, didapati banyak mahasiswa yang sukar untuk memahami metode Gauss, sehingga diperlukan modifikasi untuk membuat pengunaan solusi persamaan linier menjadi mudah. Dalam penulisan ini Metode Gauss dimodifikasi agar menjadi jembatan dari metode eliminasi ke Metode Gauss.
Landasan Teori Salah satu solusi yang paling banyak digunakan dalam masalah setiap hari yaitu matematika, fisika, biologi, kimia, ekonomi, teknik, sains sosial, riset operasi, dll, adalah dengan menggunakan proyek Jaringan Sistem Persamaan Linier. Bentuk Umum Persamaan Linier yaitu: a1x1 + a2x2 + … + anxn = b variabel.
dimana a1, a2, … , an adalah koefisien variabel, x1, x2, …, xn adalah
Pada umumnya sebuah sistem dari Persamaan Linier dengan variabel yang biasanya ditulis:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 . . .
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
44
Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan
Untuk mencari solusi dari Sistem Persamaan Linear dapat menggunaan teknik Metode Eliminasi yaitu dengan mengeliminasi variabel dengan menambahkan atau mengurangkan sebuah persamaan dengan mengalikan k pada sebuah persamaan yang lain. Eliminasi sebenarnya pengembangan kepada sistem Persamaan Linier awal. Pada pembahasan ini diambil untuk n x n Sistim Persamaan Linier dimanan n = 3 yaitu:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Bentuk sistim persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk matrix yaiu AX = B dimana Matrix A adalah koefisien Matrix baris Sistem Persamaan Linier.
a11
a12
a13
x1
b1
A = a21
a22
a23
X = x2
B = b2
a31
a32
a33
X3
b3
Matrik A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk Augmened Matrik ditulis [A : B] yaitu:
a11
a12
a13 : b1
a21
a22
a23 : b2
a31
a32
a33 : b3
Matrik koefisen dan Matrik Augmented berperan dalam penyelesaian Sistim Linier untuk mendapat solusi. Definisi 1: Matrix A m X n dalam bentuk esolon baris bila memenuhi aturan: a. Bila ada suatu baris yag anggotanya bernilai nol akan diletakan pada baris paling bawah dari matriks. b. Elemen pertama bukan nol dan elemen lainnya tidak semuanya nol adalah satu disebut elemen leading dari baris tersebut. 45
Jurnal TeIKa, Volume 6 Nomor 1, Desember 2016
Bila dua baris berurutan yaitu baris ke i dank e i + 1, maka elemen leading baris ke i + 1 harus masuk minimal satu kolom ke kanan dari elemen leading baris ke i.
c.
Matriks A, B dapat dinyatakan dalam bentuk: 1
a
b
1
a
b
A= 0
1
c
B= 0
0
1
0
0
1
0
0
0
Definisi 2: Metode Gaussian atau disebut juga operasi baris elementer pada sebuah matrik dapat menggunakan sifat-sifat berikut: a. Dapat menukar baris i dan j matrik A yang disebut Operasi Type I. b. Mengalikan sebuah baris dengan bilangan k ≠ 0 dengan Matrik A yang disebut Opersi Type II. c. Menambahkan sebuah baris i degan mengalihkan k ≠ 0 pada baris yang lain dimana i ≠ j dari Matrik A disebut Operasi Type III. Modifikasi yang dibuat pada penelitian ini adalah penggabungan operasi Type II dan Type III sehingga sifat c menjadi: •
Menambahkan k 1 ≠ 0 kali baris ke i dengan k 2 ≠ 0 kali baris ke j dimana i ≠ j dari Matrik A disebut Modifikasi Type III.
Untuk mempermudah proses penyelesaian solusi penyelesaian Sistem Linier ini dibatasi untuk sistim Persamaan Linier yang mempunyai solusi yang unik dan tiga baris, tiga variabel.
Langkah-langkah: 1. Robah bentuk persamaan linier ke bentuk Augmented Matriks [ A : B ]. 2. Tentukan elemen kunci c = aii ≠ 0, i = 1, 2, 3 Bila aii = 0, tukar baris ke i dengan baris ke i + 1. Jika a33 = 0, maka tidak ada solusi unik, Stop. 3. Periksa kolom kunci apakah ai+1,i = 0. Bila ya, periksa ai+2,i = 0. Bila tidak, lakukan Operasi Gauss pada baris selain baris kunci, dengan cara sbb: a. Tentukan c = aii dan k1 = ai+1,i b. Baris ke (i + 1) = c kali baris ke ( i +1) – k 1 kali baris kunci. Kembali ke langkah 2, bila sudah tidak ada, menuju ke langkah 4.
46
Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan
4. Normalisasi elemen kunci / diagonal baris ke i =
1 baris ke i untuk i = 1, aii
2, 3. 5. Subsitusi solusi x3 = b’3 X2 = a’23x3 + b’2 X1 = a12x2 - a13x3 + b’1 Untuk dapat lebih jelas di sini akan diberikan contoh dengan penyelesaian eliminasi, modifikasi metode Gauss dan metode Gaussian. Persamaan Linier 3x1 – 2x2 + x3 = 24
1
-4x1 + 3x2 + 5x3 = -14
2
2x1 + x2 – 3x3 = -2
3
Solusi dengan Eliminasi Eliminasi variabel x1 antara persamaan 1 dan persamaan 2 menghasilkan persamaan 4, persamaan 1 dan persamaan 3 menghasilkan persamaan 5. 3x1 – 2x2 + x3 = 24
-4x1 + 3x2 + 5x3 = -14
x -4
x3
-12x1 + 8x2 - 4x3 = -96
-12x1 + 9x2 + 15x3 = -42 _ ______________________ 4 -x2 - 19x3 = -54
3x1 – 2x2 + x3 = 24
2 x 1 + x 2 – 3x 3 = 2
x2
6x1 - 4x2 + 2x3 = 48
x3
6x1 + 3x2 - 9x3 = -16
_____________________ -7x2 + 11x3 = 54
-x2 – 19x3 = -54
_
X–7
5
7x2 + 133x3 = 378 47
Jurnal TeIKa, Volume 6 Nomor 1, Desember 2016
-7x2 + 11x3 = 54
X-1
7x2 - 11x3 = -54
__
144x3 = 432
x3 =
432 3 = 144
Subtitusi x3 = 3 kepersamaan 4 -x2 – 19x3 = -54 -x2 – 19 x 3 = -54
x2 = -57 + 54 = -3 x2 = -3 Subtitusi x2 = -3 dan x3 = 3 ke persamaan 1 3x1 – 2x2 + x3 = 24 3x1 – 2 x - 3 + 3 = 24 3x1 = 24 – 9 = 15
x1 =
=5
Solusi persamaan Linier
x1 = 5,
x2 = -3
x3 = 3
Solusi dengan Metoda Modifikasi Gauss Untuk memberikan solusi Persamaan Linier dengan Metode Modifikasi Gauss, maka dilakukan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah ke 1: Robah Persamaan Linier menjadi Augmented Matrik. 3 -4 2
-2 3 1
1 24 -5 -14 -3 -2
Langkah ke 2: Menentukan elemen kunci i = 1, maka c = a11 = 3 ≠ 0, baris kunci = baris satu. 48
Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan
Langkah ke 3: Periksa elemen pada kolom kunci i = 1 yaitu a21 = - 4 ≠ 0 ≠0
a31 = 2
Operasi Modifikasi Gauss Pada baris kedua dengan rumus: b2 = c x b2 – k 1 x b1 Tentukan k 1 = a12 = - 4, c = a11 = 3
b2 = 3b2 – (- 4) b1 = (3) [-4 3 5 : -14] – (-4)[3 – 2 1 : 24] Baris ketiga
k 1 = a13 = 2 b3 = c. b3 – k 1 b1 = (3)[2 1 – 3 : -2] – (2)[3 – 2 1 : 24] Iterasi Pertama 3 0 0
-2 -1 -7
1 -19 11
24 -54 54
Langkah ke 2 tentukan elemen kunci berikutnya
i = 2 maka c = a22 = -1 baris kunci = baris kedua k 1 = a32 = -7 Langkah ke 3: OBE
b3 = c b3 – k1 b2 b3 = (-1) b3 - (-7) b2 Iterasi kedua 3 0 0
-2 -1 0
1 -19 144
24 -54 432
Langkah ke 4: Normalisasi elemen diagonal yaitu aii untuk i= 1, 2, 3. Baris ke i dibagi aii . bi =
1 .bi aii
49
Jurnal TeIKa, Volume 6 Nomor 1, Desember 2016
b1 =
1 .b1 a11
b1 =
1 .b1 3
b2 =
1 .b1 −1
b3 =
1 .b3 144
Iterasi ketiga
x1 - x2 + x3 = 8
8
1
-
0
1
19
54
0
0
1
3
x2 + 19x3 = 54 x3 = 3
x2 = 54 - 19x3 x2 = 54 – 19.3 = -3 x1 = 8 + x2 - x3 x1 = 8 + .- 3 - .3 = 5 Solusi x1 = 5,
x2 = -3,
x3 = 3
Solusi Persamaan Linier dengan Metode Gaussian / OBE 3
-2
1
24
-4
3
5
-14
2
1
-3
-2
baris satu dibagi tiga b1 = b1 : 3
Elemen kunci = a11 (elemen baris 1 kolom 1) baris kunci = b1 dan kolom kunci = k1 Normalisasi 1
-
-4
3
50
8 5
-14
Modifikasi Metode Gauss atau Operasi Baris Elementer pada Solusi Sistim Persamaan Linier 3 Variabel dan 3 Persamaan
2
1
-3
-2
Iterasi 1 1
-
-4
3
5
-14
Baris dua ditambah 4 kali baris satu b2 = b2 + 4b1
2
1
-3
-2
Baris tiga dikurang 2 kali baris satu b3 = b3 - 2b1
1
-
8
8 18
0 0
-
Elemen kunci a22 (baris 2 kolom 2) b2 = b2 X 3
-18
Normalisasi 1 0
-
8
1
19 -
0
54
Baris tiga dikurang
kali baris dua b3 = b3 - b2
-18
Iterasi 2 1
-
8
0
1
19
18
0
0
- 48
-144
Elemen kunci a33 (baris 3 kolom 3) b3 = b3 : - 48
Normalisasi 1
-
8
0
1
19
54
0
0
1
3
x1 – x2 + x3 = 8 x2 + 19x3 = 54 x3 = 3
x1 = 8 + x2 + x3
51
Jurnal TeIKa, Volume 6 Nomor 1, Desember 2016
x2 = 54 - 19x3 x3 = 3 subsitusi x3 = 3
x2 = 54 – 19(3) = -3 subsitusi x3 = 3 dan x2 = - 3
x1 = 8 +
(-3) - (3) = 5
Penutup Mengetahui dan memahami modifikasi Gauss akan lebih mudah dalam mengerjakan soal-soal persamaan linier. Hal ini disebabkan iterasi modifikasi Gauss lebih singkat sehigga lebih mudah dan lebih cepat untuk memberikan solusi. Daftar Pustaka 1. Conte, s. D., & Boor, C. 1980. Elementary Numerical analysis. 3rd Edition. New York: McGraw-Hill Book. 2. Kolman, B. 1993. Elementary Linear Algebra. 3rd Edition. New York: Mamillan Publishing. 3. Munakata, T. 1979. Matrices and Linear Programming. CA: Holden-Day. 4. Munir, R. 2013. Metode Numerik. Bandung: Informatika. 5. Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik.a: Bandung: Tarsito.
52
