ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER

SKRIPSI

VARIAN LUTHFAN

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

Skripsi

Analisa Solusi Persamaan Beda Linier

Varian Luthfan


ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui oleh Pembimbing I

Pembimbing II

Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001

Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003

ii Skripsi


Varian Luthfan


LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul Penyusun Nomor Induk Tanggal Ujian

: : : :

Analisa Solusi Persamaan Beda Linier Varian Luthfan 080810567 22 September 2012

Disetujui oleh: Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. NIP. 19640103 198810 1 001

Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. NIP. 19860412 200812 2 003

Mengetahui: Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si. NIP. 19680204 199303 1 002

iii Skripsi


Varian Luthfan


PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan milik Universitas Airlangga.

iv Skripsi


Varian Luthfan


KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirabbil’aalamiin. Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah mengaruniakan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini yang berjudul “Analisa Solusi Persamaan Beda Linier”. Materi di dalam skripsi ini bukanlah sesuatu yang baru, tetapi penulis hanya mengkaji (bedah buku) tentang solusi persamaan beda linier pada buku Difference Equations (Kelley dan Peterson, 2001), yang belum diperoleh mahasiswa S-1 Matematika. Penulis kemudian memaparkan kembali bukti dari teorema-teorema yang dikaji secara lebih detail dengan bahasa sendiri dan melengkapinya dengan contoh yang memenuhi agar lebih mudah dipahami oleh pembaca. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari. Penulis bukanlah orang yang cukup hebat sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini seorang diri. Penulis mendapatkan banyak bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Allah SWT, Tuhan yang telah mengaruniakan ilmu yang bermanfaat dan selalu membimbing penulis dalam setiap langkah penulis. 2. Almarhum ayah, Fatchoer Rozy, ibu tercinta, Setianing, dan adik-adikku tersayang, Edwin dan Noval, yang telah memberikan kasih sayang, semangat yang begitu besar, dukungan dan doa yang terus-menerus agar penulis dapat menyelesaikan studi S-1 dengan baik. 3. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. selaku pembimbing I dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II, yang telah memberikan pengetahuan, bimbingan, dan perhatian dengan baik dan penuh kesabaran, serta senantiasa memberikan nasehat dan arahan kepada penulis yang telah banyak melakukan kesalahan dalam penulisan skripsi ini.

v Skripsi


Varian Luthfan


4. Dr. Eridani, M.Si. dan Nenik Estuningsih, M.Si. selaku dosen dan penguji skripsi ini yang telah memberikan banyak koreksi penting dan masukan yang sangat berarti. 5. Dr. Miswanto, M.Si. selaku Kepala Departemen Matematika yang telah memberikan banyak masukan, pikiran, dan semangat. 6. Untuk Jatu Herlina yang telah setia menjadi seorang teman, sahabat, pemberi motivasi serta semangat yang tak pernah henti. Terima kasih atas segala do’a dan perhatiannya selama ini. 7. Teman-teman Matematika UNAIR angkatan 2008, Putu, Abi, Harun, Safik, Rizal, Lefko, Zuda, Adis, Annas, Yani, Andri, Bambang, Athok, Kiky, Hadi, dan teman-teman lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas setiap kritik, saran, masukan, dan motivasi yang kalian berikan kepada penulis. Semoga melalui tulisan ini, pembaca dapat memperoleh manfaat serta perlindungan dari Allah SWT, Amiin Yaa Rabbal’aalamiin. Surabaya, Juli 2012 Penulis

Varian Luthfan

vi Skripsi


Varian Luthfan


Varian Luthfan. 2012. Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. Skripsi ini di bawah bimbingan Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si dan Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Departemen Matematika. Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. ABSTRAK Menyelesaikan sebuah persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi. Persamaan beda linier orde mempunyai solusi tunggal jika terdapat nilai awal yang ditentukan. Pada skripsi ini persamaan beda linier dibatasi hanya untuk persamaan beda linier dengan koefisien konstan. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda linier dengan koefisien konstan, diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik untuk persamaan beda linier homogen, metode annihilator untuk persamaan beda linier tak homogen, dan metode variasi parameter untuk persamaan beda linier homogen dan tak homogen. Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Menentukan kestabilan solusi persamaan beda linier orde satu diperoleh dengan mencari titik kesetimbangan dari persamaan beda linier orde satu, kemudian menentukan solusinya dan limit dari solusi tersebut terhadap titik kesetimbangannya. Untuk persamaan beda linier orde lebih dari satu, kestabilan solusinya dilakukan dengan mencari nilai eigen, kemudian mencari jari-jari spektral, dan jika jari-jari spektralnya kurang dari satu, maka solusi persamaan beda linier orde lebih dari satu dikatakan stabil asimtotik. Adanya contoh kasus sistem penggajian pegawai adalah bukti penerapan persamaan beda linier dalam kehidupan sehari-hari. Kata Kunci: Persamaan Beda Linier, Metode Akar Persamaan Karakteristik, Metode Annihilator, Metode Variasi Parameter, Kestabilan Solusi.

vii Skripsi


Varian Luthfan


Varian Luthfan. . Analisa Solusi Persamaan Beda Linier. This skripsi in under the guidance by Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si. and Cicik Alfiniyah, S.Si., M.Si. Mathematics Department of Science and Technology Faculty. Airlangga University. ABSTRACT Solving a linear difference equation means finding all the functions which, if substituted into that difference equation has true value. The function is called a solution of difference equation. But, not all difference equation has solution. The -order linear difference equation has unique solution if there are prescribed initial values. In this skripsi linear difference equation is limited for linear difference equation with constant coefficients. Several methods can be used to determine the general solution of linear difference equations with constant coefficients, including the roots of the characteristic equation method for homogeneous linear difference equations, annihilator method for nonhomogeneous linear difference equations, and variation of parameters method for homogeneous and nonhomogeneous linear difference equations. In application of difference equation, not only the solution that becomes central parts of difference equation, but also behavior of the solution around the equilibrium point. Determine the stability of solutions of first-order linear difference equation is obtained by finding the equilibrium point of first-order linear difference equation, and then define the solution and the limit of such solutions to the equilibrium point. For the higher-order linear difference equation, the stability of the solutions is done by finding the eigenvalues, then find the spectral radius and if the spectral radius less than one, then the solutions of higher-order linear difference equation is said to be asymptotically stable. Existence of employee payroll system is evidence of linear difference equations application in daily life. Keywords: Linear Difference Equation, Roots of Characteristic Equation Method, Annihilator Method, Variation of Parameters Method, Stability of Solutions.

viii Skripsi


Varian Luthfan


DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL ....................................................................................

i

LEMBAR PERNYATAAN ......................................................................

ii

LEMBAR PENGESAHAN ......................................................................

iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI .................................

iv

KATA PENGANTAR ..............................................................................

v

ABSTRAK ................................................................................................

vii

ABSTRACT ..............................................................................................

viii

DAFTAR ISI .............................................................................................

ix

BAB I PENDAHULUAN .........................................................................

1

1.1. Latar Belakang Masalah ............................................................

1

1.2. Rumusan Masalah .....................................................................

3

1.3. Tujuan .......................................................................................

4

1.4. Manfaat .....................................................................................

4

1.5. Batasan Masalah ........................................................................

5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...............................................................

6

2.1. Kalkulus Beda ...........................................................................

6

2.2. Persamaan Beda Linier .............................................................

12

2.3. Kestabilan Solusi .......................................................................

13

BAB III METODE PENULISAN .............................................................

17

BAB IV PEMBAHASAN .........................................................................

18

4.1. Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi ......

18

4.2. Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier .................................

24

4.2.1. Metode Akar Persamaan Karakteristik ...........................

31

4.2.2. Metode Annihilator .........................................................

35

4.2.3. Metode Variasi Parameter ...............................................

38

4.3. Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier ................................

42

4.3.1. Kestabilan Solusi Orde Satu ............................................

43

4.3.2. Kestabilan Solusi Orde Lebih Dari Satu .........................

44

ix Skripsi


Varian Luthfan


4.4. Contoh Kasus Persamaan Beda Linier ......................................

54

BAB V KESIMPULAN ............................................................................

58

5.1. Kesimpulan ...............................................................................

58

5.2. Saran ..........................................................................................

59

DAFTAR PUSTAKA ...............................................................................

60

x Skripsi


Varian Luthfan


BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah Persamaan beda muncul sebagai gambaran alami dari fenomena perubahan

yang teramati dengan variabel waktu diskrit. Penerapan teori persamaan beda berkembang pesat dalam berbagai bidang, seperti analisis numerik, teori kontrol, matematika hingga, dan ilmu komputer (Lakshmikantham dan Trigiante, 2002). Persamaan beda seringkali digunakan sebagai alternatif penyelesaian persamaan diferensial, karena tidak semua persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitik (Penna, 2005). Secara umum, persamaan beda dengan orde [ dengan (

( ) dan )

( ) dan

( )

( )

( )

( ) berturut-turut ( )

[

didefinisikan sebagai

( ) ( )]

(

didefinisikan

sebagai

)

( )

( )] , serta ( ) dan ( ) adalah fungsi

yang belum diketahui sedangkan adalah variabel bebasnya. Dalam kasus tertentu seperti penerapannya pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi, pada skripsi ini, nilai interval beda maka persamaan (

yang digunakan adalah

. Jika fungsi

) disebut persamaan beda linier. Jika fungsi

linier,

tak linier,

yang berarti dalam fungsi tersebut terdapat variabel yang berderajat lebih/kurang dari satu,

maka persamaan (

) disebut

persamaan beda tak

linier

(Lakshmikantham dan Trigiante, 2002).

1 Skripsi


Varian Luthfan


2

Konsep persamaan beda linier dinilai penting untuk sejumlah alasan. Penerapan matematika dalam kehidupan seringkali menggunakan konsep persamaan beda linier, seperti pada bilangan Fibonacci dan masalah menara Hanoi (Kelley dan Peterson, 2001). Selain itu, linierisasi digunakan pada persamaan beda tak linier untuk menganalisis kestabilan dari solusinya. Oleh karena itu, persamaan beda linier merupakan salah satu bahasan yang penting. Persamaan beda linear adalah persamaan beda yang memiliki bentuk ( )

( )

( )

dengan definisi awal bahwa

( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( ) , maka persamaan (

)

dapat dibentuk menjadi ( ) ( Persamaan ( ( )

)

( ) (

)

( ) ( )

( )

(

)

) disebut juga persamaan beda linear tak homogen orde . Jika

, maka persamaan (

) adalah persamaan beda linier homogen orde

(Kelley dan Peterson, 2001). Selain homogen dan tak homogen, adanya solusi persamaan beda menunjukkan persamaan tersebut adalah pernyataan yang benar. Menyelesaikan persamaan beda berarti menemukan semua fungsi yang apabila disubstitusikan ke persamaan beda akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun, tidak semua persamaan beda mempunyai solusi, sebagai contoh, persamaan beda yang didefinisikan sebagai [ (

)

( )]

[ ( )]

tidak punya solusi, sebab tidak ada fungsi bernilai real

yang memenuhi

persamaan tersebut. Oleh karena itu, perlu dilakukan pengkajian terhadap syarat suatu persamaan beda mempunyai solusi.

Skripsi


Varian Luthfan


3

Solusi persamaan beda dapat dicari dengan berbagai cara. Persamaan beda dapat diselesaikan dengan proses yang sederhana, tetapi seringkali diperlukan substitusi-substitusi tertentu pada persamaan tersebut sedemikian hingga persamaan dapat berubah menjadi suatu bentuk yang lebih sederhana. Disamping itu, dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Berdasarkan uraian di atas dalam penulisan ini penulis tertarik untuk membahas bagaimana syarat agar persamaan beda mempunyai solusi. Apabila persamaan tersebut mempunyai solusi, bagaimana menentukan solusi dari persamaan beda tersebut. Selain itu, penentuan perilaku dari solusi yang dihasilkan dengan/tanpa mencari solusinya juga menjadi bagian penting dari penulisan ini. 1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan

latar

belakang

di

atas

maka

penulis

merumuskan

permasalahan sebagai berikut: 1. Apakah syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi? 2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan tak homogen? 3. Apakah syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda?

Skripsi


Varian Luthfan


4

4. Bagaimana cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa mencari solusinya terlebih dahulu? 5. Bagaimana mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier dalam permasalahan sehari-hari? 1.3

Tujuan Tujuan dari skripsi ini adalah: 1. Mengetahui syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi. 2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan beda pada kasus homogen dan tak homogen. 3. Mengetahui syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda. 4. Mengetahui cara menentukan kestabilan solusi persamaan beda tanpa mencari solusinya terlebih dahulu. 5. Mengetahui cara mengkonstruksi dan menyelesaikan persamaan beda linier dalam permasalahan sehari-hari.

1.4

Manfaat Manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah sebagai berikut: 1. Sebagai salah satu referensi yang terkait dengan solusi dari persamaan beda linier. 2. Menerapkan dan mengembangkan konsep persamaan beda dalam kehidupan sehari-hari.

Skripsi


Varian Luthfan


1.5

5

Batasan Masalah Mengacu pada rumusan masalah yang telah disebutkan, maka yang

dimaksud dengan persamaan beda dalam penulisan skripsi ini adalah persamaan beda linier orde

Skripsi

dan mempunyai solusi tunggal.


Varian Luthfan


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Dalam bab ini, akan diberikan definisi maupun teorema yang akan digunakan dalam pembahasan, diantaranya adalah kalkulus beda, yang berguna untuk mempermudah dan mengkaji syarat-syarat yang diperlukan dalam penyelesaian persamaan beda, dan persamaan beda linier, konsep yang mendukung penulisan ini, serta kestabilan solusi, yang menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan solusi. 2.1

Kalkulus Beda Bagian dari kalkulus beda yang digunakan dalam penulisan ini antara lain

operator beda beserta sifat-sifatnya yang merupakan komponen dasar dari perhitungan yang melibatkan beda hingga, operator geser yang merupakan bentuk sederhana dari operator beda, jumlah tak tentu yang merupakan operator kebalikan dari operator beda, serta fungsi faktorial yang merupakan konsep yang mendukung dalam penyelesaian persamaan beda. Definisi

(Operator Beda) Misalkan

sebuah fungsi dengan variabel

bilangan real atau bilangan kompleks. Sebuah operator beda

, didefinisikan

sebagai

Sebagian besar, domain dari

adalah himpunan bilangan bulat berurutan,

seperti bilangan asli (Kelley dan Peterson, hal 13-14, 2001)

6 Skripsi


Varian Luthfan


7

Operator beda orde kedua ditulis sebagai [

]

[

]

[

]

[

]

Secara umum, operator beda orde ke- didefinisikan sebagai

∑

( )

Operator dasar yang sering digunakan bersama dengan operator beda adalah operator geser. Definisi

(Operator Geser) Diberikan sebuah fungsi

. Operator geser


(Kelley dan Peterson, hal 14, 2001) Dengan menerapkan operator geser dua kali akan didapatkan [

]

[

Jika diartikan sebagai operator identitas, yaitu

] maka

hal ini berarti bahwa atau

Skripsi


Varian Luthfan


Jika

sebarang bilangan asli

8

, maka operator geser memiliki bentuk

umum yang didefinisikan sebagai

[

]

∑( )

Pada operator beda berlaku sifat-sifat dasar operator beda. Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari operator beda. Teorema

(Sifat Operator Beda) Misalkan

konstanta, sehingga

1. 2.

( )

3.

(

( )

4.

(

) (

)

)

5. 6.

[

7.

[

8.

[

9.

[

10.

*

untuk semua bilangan bulat positif

]

.

] , dengan

]

dan .

konstanta.

]

+

. (Kelley dan Peterson, hal 15, 2001)

Skripsi


Varian Luthfan


9

Bukti: 1. 2. ( )

(

)

3. ( )

(

)

4.

(

)

5. 6. 7.

[

]

[

[ ]

[ [

8.

[

9.

[

]

]

]

]

[

]

[

]

]

, . 10.

*

+ [

Skripsi

]

[


]

Varian Luthfan


Definisi

Jumlah tak tentu (atau anti beda) dari

10

, dinotasikan ∑

,

adalah sebarang fungsi sedemikian hingga *∑

+

untuk setiap dalam domain dari . (Kelley dan Peterson, hal 20, 2001) Pada jumlah tak tentu berlaku pula sifat-sifat dasar jumlah tak tentu. Teorema berikut ini adalah sifat-sifat dasar dari jumlah tak tentu. Teorema

Diberikan

1. Untuk

sebuah konstanta.

,

2. ∑ (

3. ∑ (

4. ∑

)

)

5. ∑ 6. ∑[

]

7. ∑

∑

8. ∑[ 9. ∑[

]

∑

∑ ,

dengan

konstanta.

∑ ]

∑ (Kelley dan Peterson, hal 22, 2001)

Bukti:

Skripsi


Varian Luthfan


11

1. 2. ∑

∑*

+

3. ∑

∑[

4. ∑

∑[

5. ∑

(

∑[ ]

7. ∑

∑

8. ∑[

]

9. ∑[

)

)

(

] (

]

)

)

]

6. ∑[

Definisi

(

∑

∑ .

∑[ ]

∑[

]

∑

]

∑

(Fungsi Faktorial) Fungsi faktorial adalah fungsi yang didefinisikan

sebagai

yang berisi

faktor. (Spiegel, hal 5-6, 1971)

Nama faktorial muncul karena dalam sebuah kasus khusus saat menyebabkan

, yaitu

faktorial. Jika

maka

Untuk bilangan bulat negatif, persamaan

Skripsi


menjadi

Varian Luthfan


kemudian untuk selain bilangan bulat,

dengan

12


. Selain itu, dengan menggunakan operator beda

∫

untuk semua bilangan bulat

, berlaku

[

]

sehingga dapat dituliskan sebagai 2.2

Persamaan Beda Linier Persamaan beda linier terbentuk dari beberapa fungsi yang membentuk

sebuah persamaan linier yang memiliki bentuk khusus dan dapat memiliki penyelesaian yang memenuhi persamaan tersebut. Definisi

(Persamaan Beda Linier Orde Pertama) Diberikan

adalah fungsi dengan

dan

untuk setiap . Persamaan beda linier orde pertama


(Kelley dan Peterson, hal 43, 2001) Persamaan bernilai saat

dan

dikatakan orde pertama karena terdapat , seperti pada

operator beda orde pertama. Jika dapat ditulis sebagai

Skripsi

yang hanya

yang merupakan untuk setiap , maka persamaan

.


Varian Luthfan


Definisi

13

(Persamaan Beda Linier) Persamaan beda linier orde

adalah

persamaan beda yang memiliki bentuk

dengan

, dan

fungsi dari

dan

untuk

setiap . (Kelley dan Peterson, hal 50, 2001) Persamaan orde

. Jika

disebut juga persamaan beda linier tak homogen dengan , maka persamaan

homogen. Dan jika

merupakan persamaan yang

konstanta, maka persamaan

dikatakan sebagai persamaan beda linier tak homogen berorde

dapat

dengan koefisien

konstanta. Persamaan ini dapat juga dituliskan sebagai [ dengan 2.3

] .

Kestabilan Solusi Pengujian kestabilan solusi yang dihasilkan dari sebuah persamaan akan

menentukan perilaku dari sebuah solusi. Titik kesetimbangan, matriks sekawan serta definisi nilai eigen menjadi bagian penting dalam penentuan kestabilan. Definisi

(Titik Kesetimbangan) Diberikan persamaan beda orde satu [

dengan

adalah fungsi dalam

]

. Sebuah titik

di dalam domain dari

dikatakan titik kesetimbangan dari persamaan titik tetap dari , yaitu titik yang memenuhi [

jika titik tersebut adalah ]

. (Elaydi, hal 9, 2005)

Skripsi


Varian Luthfan


Sebagai contoh, diberikan persamaan beda [

]

[

]

14

, dengan

Untuk mencari titik kesetimbangannya, dimisalkan atau

. Sehingga dihasilkan titik kesetimbangan

. Definisi

(Matriks Sekawan) Pandang persamaan

. Persamaan

tersebut akan dibentuk menjadi sebuah sistem persamaan orde satu. Misalkan

Dengan

[

], maka

Dalam notasi vektor, sistem ini dapat dituliskan sebagai

dengan

Skripsi


Varian Luthfan


( dengan

15

(

) adalah matriks sekawan dari persamaan

)

.

(Kelley dan Peterson, hal 125-126, 2001) Teorema

(Syarat Awal) Untuk setiap

, persamaan

dan setiap

mempunyai solusi tunggal

untuk

, sedemikian hingga

-vektor

yang didefinisikan .

(Kelley dan Peterson, hal 126, 2001) Bukti: Pandang persamaan dari

Misalkan

, akan dilakukan iterasi

.

Secara induksi, dapat ditentukan bahwa ∏ dengan ∏ Dari persamaan

Skripsi

{ terbukti bahwa

.


Varian Luthfan


Andaikan

bebas terhadap

konstanta) dan

. Solusi

yang memenuhi syarat awal Definisi

(yaitu semua koefisien dari sistem adalah dari

, adalah

mempunyai solusi tak trivial dan

.

(Nilai Eigen dan Vektor Eigen) Misalkan

sekawan yang dibentuk dari koefisien

dari

16

adalah matriks

pada persamaan

untuk beberapa , maka

. Jika dinamakan nilai eigen

dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan . Nilai eigen dari

memenuhi persamaan karakteristik

dengan adalah matriks identitas


Definisi

(Spectrum) Spectrum dari

, dinotasikan

, adalah himpunan

nilai eigen dari . (Kelley dan Peterson, hal 127, 2001) Definisi

(Jari-jari Spektral) Jari-jari spektral dari

, yaitu

,

didefinisikan sebagai | | (Kelley dan Peterson, hal 127, 2001)

Skripsi


Varian Luthfan


BAB III METODE PENULISAN

Langkah-langkah yang digunakan dalam menyelesaikan permasalahan dalam penulisan ini adalah: 1. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan agar persamaan beda memiliki solusi beserta contoh. 2. Mendefinisikan persamaan beda linier dan merumuskan penyelesaian pada kasus homogen dan tak homogen. i.

Mendefinisikan konsep bebas linier dan matriks casorati.

ii. Mengkaji metode akar persamaan karakteristik beserta contoh. iii. Mengkaji metode annihilator beserta contoh. iv. Mengkaji metode variasi parameter beserta contoh. 3. Mengkaji dan menunjukkan syarat-syarat yang diperlukan untuk menentukan kestabilan solusi persamaan beda orde satu beserta contoh. 4. Mengkaji kestabilan solusi dari persamaan beda tanpa mencari solusi dari persamaan beda linier orde lebih dari satu beserta contoh. 5. Mengkaji contoh kasus persamaan beda linier.

17 Skripsi


Varian Luthfan


BAB IV PEMBAHASAN

Pada bab ini memuat pembahasan tentang analisa solusi persamaan beda linier, yaitu bagaimana syarat agar persamaan beda memiliki solusi, bagaimana menentukan solusinya, serta bagaimana menentukan kestabilan solusinya. Subbab pertama membahas syarat yang diperlukan agar suatu persamaan beda memiliki solusi. Kemudian subbab kedua membahas tentang penentuan solusi persamaan beda linier. Pada subbab ketiga membahas tentang kestabilan solusi persamaan beda. 4.1

Penentuan Syarat Suatu Persamaan Beda Memiliki Solusi Berdasarkan bentuk solusi yang dihasilkan dari suatu persamaan beda,

solusi persamaan beda terdiri atas dua macam, yaitu solusi umum dan solusi khusus. Solusi khusus adalah solusi yang diperoleh dengan mensubstitusikan nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya, sedangkan solusi umum adalah solusi yang didalamnya terdapat sebarang konstanta, misalkan . Pada skripsi ini, terlebih dahulu dibahas tentang syarat adanya solusi, terutama solusi khusus. Tidak semua persamaan beda memiliki solusi umum maupun khusus, sehingga pemeriksaan syarat perlu ditinjau sebelumnya untuk mengetahui adanya solusi dari persamaan beda. Menyelesaikan persamaan beda linier berarti menemukan semua fungsi yang jika disubstitusikan ke persamaan beda tersebut akan bernilai benar. Fungsi tersebut disebut sebagai solusi dari persamaan beda. Namun karena beberapa 18 Skripsi


Varian Luthfan


19

persamaan beda mempunyai banyak solusi dan terkadang tidak mempunyai solusi, sangat penting untuk mengetahui bahwa untuk persamaan beda linier, selalu dapat ditemukan paling sedikit satu solusi dan dalam kondisi tertentu, hanya satu solusi. Kondisi tertentu yang dimaksud adalah kondisi saat persamaan beda memiliki nilai awal yang telah ditentukan sebelumnya (Goldberg, 1958). Sebelum membuktikan teorema ketunggalan dan eksistensi solusi khusus untuk persamaan beda linier dengan orde

, pertama akan dibahas untuk kasus

khusus orde dua. Persamaan beda linier orde dua mempunyai bentuk ( ) ( dengan

)

( ) (

( )

)

( ) ( )

( )

untuk setiap . Untuk

( )

(

)

, persamaan (

)

menjadi ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

Dengan hanya mengetahui satu nilai dari (

( ) ), atau ( ), tidak

), (

dapat digunakan untuk menemukan dua solusi lainnya. Namun jika diketahui dua nilai berurutan dari tiga solusi di atas, misalkan ( ) dan ( ). Sehingga

ditemukan nilai yang lainnya, yaitu ( ( ) ( dan karena

)

( )

( ), sehingga diperoleh ( dan (

( ) (

)

, maka kedua ruas pada persamaan (

( )

), maka dapat

( ) ( )

(

) dapat dibagi oleh

) Selanjutnya digunakan pasangan (

) untuk menemukan (

). Dengan

)

)

, persamaan (

)

menjadi (

) (

) (

Skripsi

)

(

) (

)


(

) (

)

(

)

Varian Luthfan


Seperti sebelumnya, dengan pembagian oleh ) yang tunggal. Dengan nilai ( (

) maka didapatkan (

(

) yang telah didapatkan sebelumnya, maka

) juga akan memuat (

orde dua (

20

) dan ( ). Sehingga solusi dari persamaan

) memuat dua nilai (

) dan ( ).

Setiap pasangan lain dari nilai-nilai ( ) yang berurutan penggunaannya serupa dengan yang dijelaskan sebelumnya untuk menentukan sebuah solusi yang tunggal. Sehingga, jika (

) dan (

) ditentukan, sebagai contoh, maka

dapat digunakan persamaan beda secara berturut-turut untuk mendapatkan (

), (

(

),

), (

), dan

), (

( ) begitu juga dengan

),

.

Eksistensi dan ketunggalan solusi khusus orde ke Teorema

diberikan dalam

berikut ini.

Teorema

Diberikan persamaan beda linier orde ( ) (

Jika

(

)

( ) ( ( ) dan

( )

)

( ) ( )

( )

( )

dan

( )

)

, maka untuk terdapat

+ dan sebarang bilangan

*

(

( ) merupakan fungsi yang terdefinisi untuk

dan untuk setiap , sebarang

sebagai berikut

hanya satu ( ) yang memenuhi persamaan (

) untuk

dan (

)

untuk (Kelley dan Peterson, hal 50, 2001) Bukti: Diketahui nilai awal *

Skripsi

+. Diketahui pula

( ) ( ( )

)

(

), dengan

( ) dan ( ) merupakan fungsi yang


Varian Luthfan


terdefinisi untuk

21

dan untuk setiap ,

. Berdasarkan

( )

) diperoleh

persamaan (

(

( )

)

( )

( ) ( )

ada dengan tunggal. Kemudian akan dibuktikan bahwa terdapat dengan tunggal nilai ( ) untuk

dan

.

Pembuktian untuk untuk setiap

dilakukan dengan induksi matematik, yaitu

, terdapat dengan tunggal (

). Untuk

, misalkan

, maka (

( )

)

( )

( ) ( )

Karena terdapat nilai awal

(

, dan

)

( )

,

) ada dengan tunggal.

maka (

Misalkan untuk

, nilai

dibuktikan bahwa untuk

) ada dengan tunggal. Akan

(

nilainya ada. Misalkan

,

maka (

)

Karena terdapat nilai awal maka (

( )

( )

( ) ( )

(

, dan

)

,


Kemudian, untuk

, dengan

dengan

bilangan bulat non

negatif. Pembuktian dilakukan dengan menentukan nilai dari ( ( ). Untuk

) (

Skripsi

( )

)

) (

, maka ( )

( )

( ) ( )


( )

Varian Luthfan



(

22

, dan

)

) ada dengan tunggal. Untuk

( (

( )

)

, maka

, maka

( )


( )

( ) ( )

(

( )

, dan

)

( )

, maka


(

Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan dengan tunggal untuk

( ),

yaitu ( )

( )

( )


( ) ( ) (

( )

, dan

)

( )

, maka

( ) ada dengan tunggal. Dengan demikian, penyelesaian ( ) saat

dapat

ditentukan. Contoh

Diberikan persamaan beda (

)

(

) (

)

( )

(

)

dengan Misalkan

, dengan

(

Berdasarkan persamaan ( (

)

(

) (

Penyelesaian untuk nilai dari ( yaitu dan (

Skripsi

) ( (

)

dan

)

(

untuk

)

) diperoleh (

)

dilakukan dengan iterasi, yaitu untuk mendapatkan ) dan seterusnya, serta akan dibuktikan nilai untuk ) (

) ( ). Untuk

, dengan

(

)

) ada dengan tunggal, diperoleh nilai


Varian Luthfan


(

)

(

) (

)

(

)

23

(

ada dengan tunggal. Kemudian untuk

)(

, dengan (

) ) dan (

)

ada dengan tunggal, diperoleh nilai (

)

(

) (

)

(

),(

)(

(

) )

ada dengan tunggal. Untuk nilai (

-

(

) (

) diperoleh dengan tunggal

)

menggunakan cara yang sama seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Selanjutnya nilai untuk

, yaitu

ada dengan tunggal. Saat

dan , akan dibuktikan

, dengan (

) dan (

) ada dengan

tunggal, diperoleh nilai (

(

)

)


(

) (

, dengan (

) ) dan (

) ada dengan


)

(

)

(


) ( , dengan

)

(

)(

) dan

(

(

) ) ada dengan


( ) (

) )

( (

) ( ),(

) )(

)

-

ada dengan tunggal. Dengan demikian, nilai ( ) untuk setiap ada dan tunggal.

Skripsi


Varian Luthfan


4.2

24

Penentuan Solusi Persamaan Beda Linier Sebelumnya, pada subbab pertama telah dibahas syarat suatu persamaan

beda memiliki solusi yang tunggal. Kemudian dari hasil yang didapatkan akan digunakan untuk menentukan solusinya. Namun, pola/formula solusi khususnya tidak dapat ditentukan melalui Teorema

. Oleh karena itu, diperlukan metode

khusus untuk menentukan solusi umum dari persamaan beda tersebut. Beberapa metode dapat digunakan untuk menentukan solusi umum dari persamaan (

),

diantaranya adalah metode akar dari persamaan karakteristik, metode annihilator, serta metode variasi parameter. Sebelum membahas masing-masing metode dalam menentukan solusi, terlebih dahulu dikaji beberapa definisi dan teorema yang digunakan untuk menunjang metode-metode tersebut. Misalkan persamaan beda linier homogen orde

didefinisikan sebagai berikut. ( ) (

Teorema a. Jika

)

( ) (

)

( c. Jika

(

)

(Sifat Dasar Solusi) ( ) dan

( ) solusi dari persamaan (

juga solusi dengan sebarang konstanta b. Jika

( ) ( )

( ) solusi dari persamaan ( ), maka ( ) ( ) dan

), maka

( )

dan . ) dan

( ) solusi dari persamaan

( ) solusi dari persamaan ( ( ) solusi dari persamaan (

solusi dari persamaan (

( )

). ), maka

( )

( )

). (Kelley dan Peterson, hal 51, 2001)

Bukti:

Skripsi


Varian Luthfan


a.

Misalkan

( ) dan

25


), yaitu memenuhi

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

dan

Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh ( ),

(

)

(

)-

( ), ( )

(

( ),

( ) )

( )

(

( )

( )

Hal ini berarti bahwa sebarang konstanta b. (

Misalkan

(

)-

)

( )

)

( )

(

) ( )

( )

) ,

( (

( ) ( )

)

( )-

( )

,

(

( )

(

)

(

)

( )

( ) (

)

( )-

( ) juga solusi dari persamaan (

( )

( )-

) dengan

dan

( ) dan

( ) berturut-turut solusi dari persamaan (

) dan

), yaitu memenuhi ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

dan ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

( )

Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh

Skripsi


Varian Luthfan


( ), (

)

(

)-

( ), (

( ), ( ) ( ) (

26

)

(

)-

( ))

( ) (

)

( ) (

( ) (

)

)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( ( ) (

) )

( ) ( )

( ) (

)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) solusi dari persamaan (

Hal ini berarti bahwa ( ) c.

Misalkan

( ) dan


). ), yaitu memenuhi

( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

( )

( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

( )

dan

Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh ( ), (

)

(

)-

( ), (

( ), ( ) ( ) (

)

(

)-

( ))

( ) (

)

( ) (

( ) ( )

)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

) ,

( ) ( ( ) (

) )

( ) (

( ) ( ) )

( ) ( )-

Skripsi


Varian Luthfan


( ) Hal ini berarti bahwa Akibat

27

( ) ( )


Jika ( ) adalah solusi dari persamaan (

( ) dari persamaan (

). ), maka setiap solusi

) membentuk ( )

( )

( )

dengan ( ) merupakan beberapa solusi dari persamaan (

).

(Kelley dan Peterson, hal 51, 2001) Bukti: Misalkan ( ) dan ( ) berturut-turut adalah solusi dari persamaan ( dan (

)

), yaitu memenuhi ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

( )

dan ( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

Berdasarkan dua persamaan tersebut, diperoleh ( ) (

)

( ) (

)

( ), (

)

( ) ( )

(

)-

( ( ) (

)

( ), (

)-

)

( ), ( )

( ) (

)

( ) (

( )-

( ) ( )

) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

)

( ) ( ( ) (

) )

( ) (

( ) ( ) )

( ) ( )

Skripsi


Varian Luthfan


( )

28

( )

Hal ini berarti bahwa ( )


( )

Berdasarkan Akibat

).

permasalahan untuk menemukan semua solusi

) dapat disederhanakan menjadi dua masalah.

dari persamaan (

a. Menemukan semua solusi dari persamaan ( b. Menemukan sebuah solusi dari persamaan (

). ).

Definisi-definisi berikut ini dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah pertama. Definisi

(Bergantung Linier) Himpunan fungsi {

bergantung linier pada himpunan

( )} disebut

( )

jika terdapat konstanta

tidak semuanya nol, sedemikian hingga ( ) untuk

( )

( )

(

)

Jika tidak, maka himpunan tersebut bebas linier. (Kelley dan Peterson, hal 51, 2001) Kemudian didefinisikan sebuah matriks yang sangat berguna dalam

persamaan linier. Definisi

(Matriks Casorati) Matriks casorati didefinisikan sebagai ( ) ( )

(

( (

dengan

( ) )

(

( ) )

)

( (

)

)

)

)

adalah fungsi yang telah diberikan. Determinan dari ( )

(

( )

( )

dinamakan casoratian.

Skripsi


Varian Luthfan


29

(Kelley dan Peterson, hal 52, 2001) Teorema

Diketahui


( )

Himpunan {

( )} bergantung linier untuk

( )

jika dan hanya jika

) untuk

untuk beberapa .

( )

(Kelley dan Peterson, hal 52, 2001) Bukti: Misalkan

( ) bergantung linier. Maka terdapat konstanta

( )

, tidak semua nol, sedemikian hingga ( ) (

(

)

)

(

(

untuk

( )

( )

)

(

)

)

(

)

Karena sistem persamaan beda linier homogen ini

mempunyai suatu solusi nontrivial

, determinan dari matriks koefisien

( ) adalah nol untuk Sebaliknya, misalkan diambil sebarang ,

( ) Teorema

dan

( )

, maka

( (

Karena

( ) )

(

(

( ) )

(

)(

)

)

(

( (

)

) )

maka ( )

Skripsi

), sehingga berlaku

( ) )

)

( )

Berdasarkan

( ).

( )

adalah solusi dari persamaan (

( ) (

( )

+, dengan

*

(

)

(


)

Varian Luthfan


Berdasarkan Teorema terdapat konstanta

, maka

30

untuk setiap

( )

. Akibatnya

, tidak semua nol, sedemikian hingga himpunan

+ bergantung linier.

*

Pentingnya himpunan solusi yang bebas linier dari persamaan (

) adalah

konsekuensi dari teorema berikutnya. Teorema

Misalkan

( ) adalah solusi dari persamaan (

( )

+ bebas linier, maka setiap solusi

*

). Jika

( ) dari persamaan (

)

dapat dituliskan dalam bentuk ( )

( )

( )

dengan beberapa konstanta

( )

(

)


Bukti: Misalkan


bebas linier. Berdasarkan Teorema Akibatnya,

, diperoleh

untuk

( ) ( ) (

)

( ) ( )

untuk semua .

( )

tunggal. Berdasarkan Teorema

( ) (

)

mempunyai solusi tunggal

(

)

)

( )

(

(

. Karena

)

) tunggal, maka ( )

, solusi dari persamaan (

ditentukan oleh nilai-nilai pada

Skripsi

+

Sehingga sistem dari persamaan ( )

(

) dan *

) secara tunggal

, sehingga didapatkan ( )


( )

Varian Luthfan


31

untuk setiap . Metode Akar Persamaan Karakteristik

4.2.1

Metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linier homogen dengan koefisien konstan. Karena dapat digunakan untuk membagi kedua ruas dari persamaan ( menuliskan kembali persamaan ( ( dengan

)

) dengan

dan

) menjadi (

)

konstanta dan

Definisi

, maka

( )

(

)

.

(Akar Persamaan Karakteristik)

a. Polinomial

dinamakan polinomial karakteristik

dari persamaan (

).

b. Persamaan

adalah persamaan karakteristik

dari persamaan ( c. Solusi

). dari persamaan karakteristik adalah akar-akar

karakteristik. d. Solusi (

mempunyai kelipatan

, dengan

, jika terdapat faktor

pada persamaan karakteristik dari persamaan (

)

).

(Kelley dan Peterson, hal 54, 2001) Contoh (

Diberikan persamaan beda orde tiga )

(

)

(

)

( )

Pertama akan dibentuk menjadi persamaan (

(

)

) dan diubah menjadi bentuk

operator geser, sehingga

Skripsi


Varian Luthfan


32

* ( )

( *(

(

) ( )

Persamaan karakteristiknya adalah *(

( dengan

dan

( )

√ . Fungsi

ke persamaan ( (

), yaitu untuk )

(

)

( dan untuk

/,

.

(

)

)

( ) *

(

* (

*

(

*

*

(

)

(

)

(√ ) (√ )( memenuhi persamaan ( )

) sebab jika disubstitusikan

/ , maka

.

(

( √ ) , dan

( )

( √ ) , maka

( ) (

( )

*

(

(

)

(

( )

(√ )

(√ )

√

( √ )

√ )( √

) (

(√ )

)

√

). Kemudian untuk

(

Skripsi

( )

√ ) adalah solusi dari persamaan (

(

(

)

( )

(

√ ) , maka

( ) √ )

( √


√ )

(

√ )

)

Varian Luthfan


juga memenuhi persamaan (

). Karena

(

*

(√ )

(

*

(√ )

(

√ )

((

*

(√ )

(

√ )

( )

(

33

* (√ )(

(

√ )

)

(√ )

√ )

(

√ )

( (

* (√ )(

√ ) ( √

(

* (√ )(

√ ) (

berdasarkan Teorema

, *

( )

( )

Diketahui bahwa | |

dengan Teorema

(

*

)

)

) adalah ( )

)

(

*

(√ )

(

√ )

), dengan

| |(

dan

√ .

dan

/

√ .

/

sebarang konstanta.

Jika persamaan (

dengan kelipatan

Skripsi

√

√

. Maka ( ) dapat dituliskan sebagai

√ ( )

(

√

√

+ bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema

solusi umum dari persamaan ( ( )

)

) mempunyai akar karakteristik yang berurutan, maka persamaan (


)

Varian Luthfan


mempunyai himpunan

34

solusi yang bebas linier * +. (Kelley dan Peterson, hal 55, 2001)

Bukti: Persamaan (

) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser (

) ( )

atau ( dengan

)

(

)

( )

(

dan orde dari faktornya diabaikan. Karena

) ,

maka setiap akar karakteristiknya tidak nol. Misalkan didefinisikan (

)

Setiap solusi dari persamaan ( (

(

)

) juga merupakan solusi dari persamaan

). Jika

, maka persamaan (

mempunyai solusi

( )

solusi dari persamaan ( (

)

( )

) menjadi

. Jika

(

, misalkan

( )

)

( ), yang ( ) merupakan

), maka ∑.

/(

)

∑.

/(

)

∑.

/(

(

Skripsi

( )

)

( )

( )

)

( )

( )


Varian Luthfan


35

( ) Misalkan ( )

, akan dibuktikan bahwa tidak ada fungsi

yang memenuhi

( ) . Jika

, kecuali dan

( ). Misalkan

,(

Akibatnya persamaan ( berdasarkan definisi

)

) (

-

(

) mempunyai

dan

solusi

+ bebas

linier. Dengan menerapkan pada setiap faktor dari persamaan (

4.2.2

)

)-

, diperoleh himpunan solusi *


dengan

, maka diperoleh

( ) , (

( )

), didapatkan

) yang bebas linier.

Metode Annihilator Pada subbab 4.2.1, metode akar persamaan karakteristik digunakan untuk

memperoleh solusi dari persamaan (

) yang homogen dengan koefisien

konstan. Pada subbab ini, akan dibahas metode untuk memperoleh solusi dari persamaan (

) yang tak homogen dengan koefisien konstan. Didefinisikan

persamaan beda orde (

dengan koefisien konstan )

(

)

( )

( )

(

)

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan metode annihilator jika ( ) adalah sebuah solusi persamaan beda homogen dengan koefisien konstan. Teorema

(Metode Annihilator) Jika ( ) solusi dari persamaan (

),

yaitu, (

Skripsi

) ( )


( )

Varian Luthfan


36

dan ( ) yang memenuhi (

) ( )

maka ( ) memenuhi (

)(

) ( )

(

)

(Kelley dan Peterson, hal 57, 2001) Bukti: Misalkan


). Persamaan (

) dapat

dituliskan dalam bentuk operator geser (

) ( )

( )

Pembuktian dilakukan dengan menerapkan operator geser pada kedua ruas kepada persamaan (

) yang telah diubah menjadi

operator geser. Sehingga, (

)(

) ( )

(

) ( )

Karena ( (

).

Contoh (

Diberikan persamaan beda orde tiga )

(

Persamaan (

)

(

)

( )

)

* ( ) (

Karena

(

) dapat dituliskan dalam bentuk operator geser, (

Skripsi

, maka memenuhi persamaan

) ( )

* (

) ( )

memenuhi persamaan homogen


Varian Luthfan


(

)(

)

(

)

(

maka berdasarkan Teorema

( (

dan Teorema

( (Disini (

)

) (

37

* (

)

(

)

)

, ( ) memenuhi ) ( )

) adalah annihilator, yang mengeliminasi fungsi tak nol pada ruas

kanan dari persamaan.) Berdasarkan definisi

, diperoleh

( )

( *

( *

(

Langkah selanjutnya adalah mensubstitusikan persamaan persamaan ( . /

) ( ) di atas ke

) untuk menentukan koefisiennya. Diketahui bahwa ) memenuhi bagian homogen dari persamaan (

(

cukup dengan mensubstitusikan ( ) (

) (

), sehingga

ke persamaan ( (

. /

), yaitu

)

)

(

) (

)

Kemudian diperoleh

sehingga

Skripsi

dan

. Oleh karena itu,


Varian Luthfan


( )

( *

adalah solusi dari persamaan ( 4.2.3

38

( *

(

)

).

Metode Variasi Parameter Metode variasi parameter adalah metode umum yang digunakan untuk

menentukan solusi dari persamaan ( persamaan ( Teorema

) dengan mengetahui semua solusi dari

) terlebih dahulu. (Metode Variasi Parameter) Jika *

solusi yang bebas linier dari persamaan ( ( )

( )

( )+ himpunan

), maka

( )

adalah solusi dari persamaan (

( )

( )

( )

), dengan

yang memenuhi sistem

persamaan dari matriks ( ) (

)[

( )

]

( ) [ ( )]

(Kelley dan Peterson, hal 61, 2001) Bukti: Misalkan * persamaan (

( )+ himpunan solusi yang bebas linier dari

( )

). Pada subbab 4.2 telah dijelaskan bahwa setelah menemukan

semua solusi dari persamaan ( (

). Misalkan ( ) memiliki bentuk, ( )

dengan untuk

Skripsi

), akan dicari solusi yang memenuhi persamaan

( )

( )

( )

( )

yang akan ditentukan. Pembuktian dilakukan dengan iterasi .


Varian Luthfan


(

)

(

)

( )

(

)

(

(

) ( )

( ) (

) (

)

(

39

)

)

( )

( )

(

(

)

(

)

)

Kemudian dieliminasi kondisi yang memiliki

(

)

(

)

( )

( ) dari ekspresi

( )

sedemikian hingga

terakhir dengan memilih ( )

(

)

( )

(

)

(

)

Kemudian dilakukan iterasi menggunakan persamaan yang telah diketahui sebelumnya. Untuk iterasi kedua, akan digunakan ( )

( (

) )

( ) ( ( )

)

(

(

(

)

( )

(

)

). )

(

) ( )

(

( )

(

) (

( )

) ( )

(

)

)

Sama seperti sebelumnya, akan dieliminasi beberapa ekspresi terakhir, yaitu ( )

(

)

( )

(

)

(

)

Untuk iterasi ketiga diperoleh (

)

( ( )

)

(

(

)

(

) ( )

( )

(

) (

( )

) ( )

(

)

)

Sama seperti sebelumnya, akan dieliminasi beberapa ekspresi terakhir, yaitu ( )

(

)

( )

Kemudian akan dibuktikan untuk (

Skripsi

)

(

)

(

)

(

)

(

)

, yaitu (


)

(

)

Varian Luthfan


( )

(

)

( ) ( )

40

(

(

)

( ), kondisi ( ) (

( ) (

)

( ), ( ) ( )

(

(

)

( ), ( )

( ),

( )

(

Karena

( )

(

(

(

)-

)

( )

( )

( )

(

)

)

( )

( )

(

)

( )

( )-

( ),

( )

(

)

( )

( )-

( ),

( )

(

)

( )

( )-

( )

(

)

( )

memenuhi persamaan (

(

)-

( )-

( ),

( ),

) yang

( ) untuk mendapatkan

( )

( )

)

(

( ) ( )

)

( ), ( )

)

)

) dan mengumpulkan kondisi yang meliputi

( ), hingga kondisi yang meliputi )

(

)

Sekarang akan disubstitusikan ekspresi-ekspresi ( ) ( telah ditentukan ke persamaan (

( )

( )-

(

)-

), selain ekspresi terakhir akan

bernilai nol. Sehingga diperoleh ( ) (

)

( ) ( ( ),

Karena

( ) (

) ( )

Skripsi

(

( )

) (

( ) ( ) )

( ) (

)

)

( )

( )

(

( ) ( ) (


)

( ) ( )

)( ), maka (

)

Varian Luthfan


Singkatnya, ( ) ) jika

(

( )

( )

hingga (

( )

( )

41

( ) adalah solusi dari Persamaan

( ) memenuhi persamaan linier (

( )

). Untuk mendapatkan

maka persamaan linier (

( )

)

( ) yang tunggal,

( )

) hingga (

)(

)(

) dibentuk menjadi sistem

persamaan linier ( ) (

Sehingga (

( )

)[

( )

]

( ) [ ( )]

( ) memiliki solusi yang tunggal karena matriks

( )

) memiliki determinan tak nol berdasarkan Teorema

Contoh

.

Diberikan persamaan beda orde dua tak homogen (

)

(

)

( )

(

Dua solusi yang diperoleh dari bentuk homogen dari persamaan ( dan

) . Persamaan (

(

)

) adalah

) harus memenuhi sistem persamaan

dari matriks ( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

dengan solusi ( )

( *

( )

(

*

Kemudian ( )

Skripsi

∑

( *

∑ ( *


Varian Luthfan


* (

( )

)( *

*( *

*(

(

*( *

( *

∑

(

*

* (

*(

)( *

∑(

(

*

*(

*

*(

(

*(

*

(

( )(

)

+

)( *(

)( * +

∑ (

*

∑(

(

42

*(

*(

*(

*

+

*(

*+

*

Secara keseluruhan, ( )

( ) * (

*( *

( *

* (

(

4.3

*

*(

+

*

(

(

*

(

)

*

+(

)

(

)

Kestabilan Solusi Persamaan Beda Linier Setelah mengetahui bagaimana menentukan solusi dari persamaan beda,

pada subbab ini akan dibahas kestabilan solusi persamaan beda linier. Dalam

Skripsi


Varian Luthfan


43

pembahasannya akan memanfaatkan definisi titik kesetimbangan, matriks sekawan serta definisi nilai eigen yang telah dibahas pada subbab

.

Dalam penerapan persamaan beda, tidak hanya solusi yang menjadi kebutuhan utama dari persamaan beda, tetapi juga perilaku dari solusi tersebut di sekitar titik kesetimbangan. Solusi yang berada di sekitar titik kesetimbangan menunjukkan bahwa solusi tersebut tidak berubah-ubah seiring dengan waktu yang lama. Dalam aplikasinya, baik ilmu ekonomi maupun yang lain, perilaku dari solusi sangat diperlukan untuk mendapatkan informasi pada waktu yang akan datang. 4.3.1

Kestabilan Solusi Orde Satu Untuk menentukan kestabilan solusi orde satu, digunakan definisi titik

kesetimbangan pada subbab Definisi

dan definisi kestabilan berikut ini.

(Kestabilan Solusi Orde Satu)

a. Titik kesetimbangan

( ) stabil jika diberikan

sedemikian hingga | ( ) ( )| b. Titik | ( )

( )|

terdapat

yang mengakibatkan | ( )

. Jika tidak, maka dikatakan tidak stabil. ( ) dikatakan stabil asimtotik jika terdapat ( )|

yang mengakibatkan

sedemikian hingga ( )

( ).

(Elaydi, hal 11, 2005) Menentukan kestabilan orde satu dilakukan dengan mencari titik kesetimbangan dari persamaan beda orde satu dan memeriksa kestabilannya, apakah stabil atau tidak, dengan definisi yang telah diberikan. Contoh

Skripsi

Diberikan persamaan beda orde satu


Varian Luthfan


( ) dengan ( ) terdefinisi untuk

44

( )

(

)

Dengan menggunakan definisi jumlah

tak tentu, solusi dari persamaan (

) adalah ( )

∑ ()

Untuk menentukan kestabilannya, maka akan ditunjukkan bahwa

( )

ada. Oleh karena, ( ) dan agar

[∑ ( )]

( ) ada maka deret ∑

∑ () ( ) harus konvergen. Dengan

demikian harus diberikan syarat awal bahwa deret ∑ solusi dari persamaan ( 4.3.2

( ) harus konvergen agar

) stabil.

Kestabilan Solusi Orde Lebih Satu Untuk kestabilan solusi dengan orde lebih dari satu, digunakan definisi

matriks sekawan, nilai eigen dan vektor eigen, serta jari-jari spektral yang terdapat pada subbab

. Selain itu juga digunakan teorema kestabilan orde lebih dari satu

berikut ini. Teorema (

(Kestabilan Solusi Orde Lebih Dari Satu) Pandang persamaan ). Jika ( )

sebuah matriks

dengan

( )

maka memenuhi

. Hal ini menyebabkan solusi dari persamaan tersebut stabil

asimtotik. (Kelley dan Peterson, hal 134, 2001)

Skripsi


Varian Luthfan


45

Bukti: Pertama, akan dilakukan substitusi nilai (

pada persamaan

). (

)

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) Misalkan

/, maka

. |

|

|

|

( ) ( )

Misalkan

dan

( )

√, ( )-

( )

adalah eigen dari A dan

adalah vektor eigen dari A. Maka

(

)

(

(

* dan

(

*

*. Kemudian akan

dicari invers dari .

(

* (

Skripsi


)

Varian Luthfan


Dengan

/ adalah baris ke-1 dari

.

/ adalah baris ke-2 dari

. Diketahui ( )

.

.

∑

(

*(

*

( Misalkan

*(

*

dan (

[ ( [(

[(

[(

Skripsi

dan

. Karena banyaknya nilai eigen dari

∑

adalah 2, maka nilai ( )

46

*( *( *(

( ), maka ( )

( ) ( )

*

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) )

*(

( *

*

( (

(

( )

*( *(

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) )]

( )

( )

( )

( )


*

*]

*]

)]

Varian Luthfan


(

* (

[

(

*(

( )

( )

( )

( ))]

* (

[

(

( )

( )

( )

( ))]

*

*(

(

[ (

*

(

*

( )

( )

( )

( ))]

47

( ) Kemudian akan ditentukan apakah ( )

Karena | |

| ( )|

|

|∑

|

∑| |

|∑

maka

( )

.

|

|∑

( )

|

|∑

|

|

.

Adapun langkah yang harus dilakukan yaitu membentuk persamaan beda linier menjadi sistem persamaan beda linier terlebih dahulu dan mencari nilai eigen dari sistem persamaan beda tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai

Skripsi


Varian Luthfan


48

eigennya memenuhi definisi jari-jari spektral. Setelah itu, berdasarkan Teorema yang menjelaskan bahwa jika jari-jari spektral kurang dari satu, maka solusi dari persamaan beda tersebut stabil asimtotik. Contoh

Diberikan persamaan beda orde tiga (

)

(

)

(

)

( )

(

)

Dari persamaan tersebut dapat dibentuk menjadi sistem persamaan beda sebagai berikut, misalkan (

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

dan

Akibatnya, (

)

(

)

( )

( )

( )

sehingga,

Dari persamaan ( ( ( ( (

dengan

) )) )

( )

( )

) dan (

),(

( )

) diperoleh

( ) ( )

( ( ) ( ) ( ( ) ) dan ( )

( )

)

( )

(

( )

( ) ) ( ( )) ( )

). Sehingga dapat dituliskan

(

menjadi (

Skripsi

)

( )


(

)

Varian Luthfan


49

Nilai eigen λ adalah nilai yang bersesuaian dengan matriks . Dengan kata lain, nilai eigen dari

diperoleh jika terdapat vektor tak nol ( ) ( ) ( ( )) ( )

( )

( ) ( ( )) ( )

( )

Jika

( ) ( ( ) ) dengan ( )

( )

( )

), maka

(

( ) ) ( ( )) ( )

(

( ) ( ( )) ( )

Matriks di atas dapat ditulis dalam bentuk sistem persamaan beda sebagai berikut: ( ) ( )

( ) ( )

{ ( )

( )

( )

( )

atau ( ) ( )

{ ( )

( ) ( )

( )

* ( )

(

Dengan substitusi didapat

[

Skripsi

( )]

( )

( )

( )

( )

[

( )]

(


* ( )

Varian Luthfan


50

* ( )

(

Berdasarkan definisi nilai eigen yang menyatakan bahwa vektor maka nilai ( )

, sehingga .

/

( ) tak nol,

. Sehingga didapat (

Misalkan ( )

dan *| |

adalah akar dari persamaaan ( *

)

). Diketahui bahwa jika

, maka solusi dari persamaan beda (

++

)

stabil asimtotik. Dalam hal ini, penentuan nilai ( ) terbagi dalam dua kasus,yaitu a. Nilai eigen

, yang di dalamnya terdapat nilai yang sama atau

semua berbeda. Jika memenuhi

( )

| | maka syarat yang diperlukan agar

adalah | |

( )

atau

. Jika

| |, maka syarat yang diperlukan adalah | | Dengan cara yang sama, jika ( ) adalah | |

atau

b. Nilai eigen

| |, maka syarat yang diperlukan

. Jika

( )

dengan | |

√

. Diketahui | |

maka syarat yang diperlukan

adalah √

atau

| | maka syarat yang diperlukan adalah √ . Dengan cara yang sama, jika ( )

diperlukan adalah √

Skripsi

.

, yang didalamnya juga terdapat nilai yang sama

agar memenuhi ( ) ( )

atau

.

atau berbeda. Misalkan √

( )

atau


. Jika atau

| |, maka syarat yang .

Varian Luthfan


Dengan demikian, agar solusi persamaan (

51

) stabil asimtotik, maka

syarat yang diperlukan adalah dan Contoh

.

Diberikan sistem persamaan beda linier tak homogen ( (

) )

( ) ( )

( ) ( )

(

Sebelum menentukan kestabilan solusi dari sistem persamaan ( dahulu akan diselesaikan secara homogen. Misalkan

)

), terlebih , maka sistem

tersebut menjadi (

)

( )

( )

(

)

( )

( )

Kemudian akan dibentuk sebuah matriks yang didefinisikan sebagai ( dengan (

)

.

( (

) / )

)

( )

dicari nilai eigen dari . Jika

.

/(

(

dan

.

/. Selanjutnya akan

/, maka ( ) ) ( )

( ) ( )

{ {

( ) / ( )

.

.

( )

(

( ) ) ( ) () ()

( ) ( )

) ( ) ( ) (

( ) ) ( )

Dengan substitusi, didapat ( )

Skripsi

(

)

( )


Varian Luthfan


[

(

[ Karena ( )

Jika

( )

, maka 0

(

(

)

) ( ) )] ( )

(

)1

. Sehingga diperoleh

√(

)

(

)

)

√(

|

( (

( )]

)

52

(

)

)

|, maka syarat yang dipenuhi agar

solusi yang dihasilkan stabil asimtotik adalah √(

|

Sedangkan untuk ( )

)

)

(

)

√(

)

(

)

)

√(

|

) |

√(

√(

|

(

(

)

)

|, syaratnya adalah

(

) |

√(

)

(

)

√(

)

(

)

Dengan demikian, agar solusi sistem persamaan ( maka

syarat √(

√(

Skripsi

)

(

yang )

( )

diperlukan )

) stabil asimtotik, adalah

dan

.


Varian Luthfan


53

Selanjutnya, untuk sistem persamaan beda linier tak homogen, tahap pengerjaannya adalah menghomogenkan terlebih dahulu kemudian menentukan kestabilan menggunakan cara yang telah dijelaskan sebelumnya. (

)

( )

( )

(

)

( )

( )

Sehingga menjadi ( )

( )

( )

( )

Kemudian dicari solusinya menggunakan metode cramer.

( )

( )

|

| |

| |

| |

|

Misalkan ( )

( )

(

*

( )

( )

(

*

( )

( )

(

*

( )

( )

(

*

dan

maka,

Skripsi


Varian Luthfan


54

[ ( )

(

*]

[ ( )

(

*]

[ ( )

(

*]

[ ( )

(

*]

dan

Kemudian disederhanakan menjadi ( )

( )

(

*

(

*

( )

( )

(

*

(

*

dan

Setelah itu menggunakan cara yang telah dijelaskan sebelumnya. Dengan demikian, solusi sistem persamaan (

) dapat ditentukan kestabilan

asimtotiknya. Solusi dikatakan stabil atau tidak stabil menunjukkan bagaimana solusi di sekitar titik kesetimbangan. Sehingga setelah solusi dikatakan stabil atau tidak stabil, secara tidak langsung, solusi yang dihasilkan dapat diprediksi apakah berada di sekitar atau menjauhi titik kesetimbangan pada waktu yang akan datang. 4.4

Contoh Kasus Persamaan Beda Linier Saat ini, banyak perusahaan yang kurang transparan terhadap pegawainya

dalam hal pemberian gaji bulanan. Walaupun ada yang acuh tak acuh terhadap jumlah gaji yang mereka terima, namun tidak sedikit yang ingin mengetahui rincian dari gaji yang mereka peroleh. Beberapa hal yang menjadi poin penting dalam menentukan jumlah gaji yang diterima yaitu gaji pokok yang sesuai dengan

Skripsi


Varian Luthfan


55

jabatan mereka, tunjangan untuk keluarga, serta upah tambahan yang berasal dari kerja lembur. Berdasarkan ketentuan tentang waktu kerja lembur dan upah kerja lembur diatur dalam Undang –Undang no.13 tahun 2003 tentang ketenagakerjaan pasal 78 ayat (2), (4), pasal 85 dan lebih lengkapnya diatur dalam kepmenakertrans no.102/MEN/VI/2004 mengenai waktu dan upah kerja lembur, diasumsikan seorang pegawai mempunyai sistem penggajian bulanan

( ) berdasarkan gaji

pokok, upah kerja lembur, serta tunjangan keluarga, yang dapat ditulis sebagai ( ) dengan

( )

diukur dalam bulan dan

( )

( )

dalam rupiah. Sedangkan

dan

didefinisikan sebagai ( )

Gaji pokok,

( )

Upah kerja lembur,

( )

Tunjangan keluarga.

Asumsi yang sesuai dengan model di atas adalah sebagai berikut a. Gaji pokok ( ) sebanding dengan gaji yang diterima bulan lalu ( saat

bulan sebelumnya, sehingga ( )

dengan

)

(

)

adalah prosentase gaji pokok yang diterima.

b. Upah lembur ( ) sebanding dengan lama waktu lembur yang dikerjakan dan gaji yang diterima bulan lalu, sehingga ( ) dengan

Skripsi

(

)

adalah lama waktu lembur dalam jam.


Varian Luthfan


56

c. Tunjangan keluarga ( ) sebanding dengan gaji yang diterima bulan lalu, sehingga ( ) dengan

(

)

adalah prosentase tunjangan yang diterima.

Dari asumsi yang telah dijelaskan, dihasilkan persamaan beda linier orde satu (

)

(

)

( )

( )

( )

* ( )

(

Untuk mendapatkan solusi dari persamaan (

(

)

), metode yang digunakan adalah

metode akar persamaan karakteristik yang telah dijelaskan pada subbab Persamaan (

.

) diubah dalam bentuk operator geser menjadi [

(

*] ( )

Persamaan karakteristik dari persamaan di atas adalah (

*

sehingga (

*

adalah akar persamaan karakteristik dari persamaan ( . persamaan (

Skripsi

/ adalah solusi dari persamaan (

). Fungsi

( )

), sebab jika disubstitusikan ke

), yaitu


Varian Luthfan


(

)

(

*

(

( ) berdasarkan Teorema

( )

Skripsi

(

*(

*

). Karena (

*

, * + bebas linier, sehingga berdasarkan Teorema

solusi umum dari persamaan (

dengan

( )

*

maka memenuhi persamaan (

57

) adalah ( )

(

*

sebarang konstanta.


Varian Luthfan


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1

Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada Bab IV diperoleh kesimpulan sebagai

berikut: 1.

Persamaan beda linier mempunyai solusi khusus jika memenuhi persamaan beda linier dengan nilai awal yang telah ditentukan.

2.

Penyelesaian persamaan beda linier dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan tiga metode. Metode pertama adalah metode akar persamaan karakteristik yang digunakan untuk persamaan beda linier homogen. Metode kedua adalah metode annihilator untuk persamaan beda linier tak homogen. Metode ketiga adalah metode variasi parameter sebagai metode untuk menyelesaikan bentuk umum persamaan beda linier.

3.

Solusi persamaan beda linier dikatakan stabil jika limit tak hingga dari solusinya ada. Sedangkan solusi dikatakan stabil asimtotik jika limit tak hingga dari solusinya menuju ke titik kesetimbangannya.

4.

Menentukan kestabilan solusi persamaan beda linier orde lebih dari satu dapat dilakukan tanpa mencari solusinya terlebih dahulu, yaitu dengan mengubah persamaan beda linier tersebut menjadi sebuah sistem persamaan beda linier. Kemudian mencari nilai eigen dari sistem persamaan beda tersebut dan memeriksa jari-jari spektralnya. Jika jari-jari spektralnya kurang dari satu, maka solusi dari persamaan beda tersebut stabil asimtotik.

58 Skripsi


Varian Luthfan


5.

59

Berdasarkan asumsi gaji pokok, upah kerja lembur, serta tunjangan keluarga, model sistem penggajian pegawai adalah (

)

) ( )

(

Solusi persamaan beda linier tersebut adalah ( ) dengan

(

)

adalah prosentase gaji pokok yang diterima,

lama waktu lembur dalam jam, dan

adalah

adalah prosentase tunjangan yang

diterima. 5.2

Saran Mengingat bahwa pada skripsi ini, persamaan beda linier yang dibahas

adalah persamaan beda linier dengan koefisien konstan, penulis menyarankan mengembangkan pembahasan untuk metode penyelesaian persamaan beda linier homogen dan tak homogen dengan koefisien variabel. Selain itu, tidak menutup kemungkinan untuk menindak-lanjuti analisa kestabilan untuk persamaan beda tak linier beserta penerapan dalam kehidupan sehari-hari.

Skripsi


Varian Luthfan


DAFTAR PUSTAKA 1. Elaydi, Saber., 2005, An Introduction to Difference Equations, Springer Science+Business Media, Inc., USA hal 9-11 2. Goldberg, Samuel., 1958, Introduction to Difference Equations, John Wiley & Sons, Inc., USA hal 60 3. Kelley, Walter G. dan Peterson, Allan C., 2001, Difference Equations, Academic Press, San Diego hal 13-15, 20-22, 43, 50-61, 125-127, 134 4. Kwakernaak, Huibert. dan Sivan, Raphael., 1972, Linear Optimal Control Systems, John Wiley & Sons, Inc., USA 5. Lakshmikantham, V. dan Trigiante, Donato., 2002, Theory of Difference Equations:Numerical Methods and Applications, Marcel Dekker,Inc., USA hal iii, 36 6. Penna, Michael., 2005, Differential vs. Difference Equations, Brooks/Cole:A division of Thomson Learning, Inc., Indianapolis hal 1 7. Spiegel, Murray R. Ph.D., 1971, Calculus of Finite Differences and Difference Equations, McGraw-Hill, Inc., USA hal 5-6 8. http://www.gajimu.com/main/pekerjaan-yanglayak/upah-kerja. tanggal: 23 Juli 2012

Diakses

9. http://www.gajimu.com/main/pekerjaan-yanglayak/upah-lembur. Diakses tanggal: 23 Juli 2012

60 Skripsi


Varian Luthfan

ANALISA SOLUSI PERSAMAAN BEDA LINIER SKRIPSI

Recommend Documents