Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Agustus 2015

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

1 / 62

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

2 / 62

Bahasan 1

Motivasi dan Pengenalan OBE

2

Representasi Matriks untuk SPL

3

Operasi Baris Elementer (OBE)

4

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6

Latihan OBE dan EGJ (1)

7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

3 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

4 / 62


Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar gra…k), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu:

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62


Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar gra…k), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1

Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62




2

Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62




2

Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli.

Pada kuliah ini, kita akan mempelajari operasi baris elementer (OBE) dan eliminiasi Gauss-Jordan (EGJ) sebagai salah satu metode untuk mencari solusi dari SPL dengan persamaan dan peubah yang cukup banyak.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62


Operasi Baris Elementer

Operasi baris elementer merupakan suatu operasi yang dilakukan pada suatu matriks. Operasi ini terdiri atas: 1

OBE 1: Perkalian dengan skalar tak nol.

2

OBE 2: Penukaran baris.

3

OBE 3: Penjumlahan kelipatan skalar suatu baris dengan baris yang lain.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

6 / 62


OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x=

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62



(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62



(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62



(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62



(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y=2

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

(2)

Agustus 2015

7 / 62



(1)


(2)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62



(1)


(2)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2). Secara umum, jika kita mengalikan sembarang persamaan pada SPL (1) dengan sembarang konstanta tak nol, maka solusi SPL baru yang diperoleh juga akan tetap sama.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62


OBE 2: Menukar Persamaan

Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y=2 x+y =4

(3)

Jelas bahwa solusi dari SPL (3)

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

8 / 62


OBE 2: Menukar Persamaan

Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y=2 x+y =4

(3)

Jelas bahwa solusi dari SPL (3) juga x = 3 dan y = 1.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

8 / 62


OBE 3

Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

9 / 62


OBE 3

Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x+y =4 2y = 2

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

(4)

Agustus 2015

9 / 62


OBE 3


(4)

Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

9 / 62


OBE 3


(4)

Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1). Secara umum, jika kita mengalikan suatu persamaan dengan konstanta dan menambahkan hasilnya ke persamaan lain, maka solusi SPL yang baru juga akan tetap sama.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

9 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

10 / 62



Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

11 / 62



Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk 1 1

1 1

x y

=

4 2

Sekarang kita de…nisikan representasi matriks dalam bentuk yang “lain” untuk SPL (1) sebagai berikut

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

11 / 62



Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk 1 1

1 1

x y

=

4 2

Sekarang kita de…nisikan representasi matriks dalam bentuk yang “lain” untuk SPL (1) sebagai berikut 1 1

1 j 4 1 j 2

atau

1 1

1 1

4 2

(5)

Representasi SPL dalam bentuk (5) kita katakan sebagai matriks diperbesar (augmented matrix) untuk SPL yang bersesuaian.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

11 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

12 / 62


Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62


Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62


Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62



matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62



matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62



matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A0 adalah matriks baru yang

diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri $ Rj untuk baris Ri dan Rj yang ditukar pada A.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62




diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri $ Rj untuk baris Ri dan Rj yang ditukar pada A. Ini berarti baris Ri pada A0 menjadi baris Rj pada A, dan sebaliknya.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62




diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri $ Rj untuk baris Ri dan Rj yang ditukar pada A. Ini berarti baris Ri pada A0 menjadi baris Rj pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan

hasilnya ke suatu baris yang lain.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62





hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Rj Rj + Ri .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62





hasilnya ke suatu baris yang lain. Jika A0 adalah matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Rj Rj + Ri . Ini berarti baris Rj yang baru pada A0 sama dengan baris Rj yang lama pada A ditambah dengan kali baris Ri yang lama pada A. MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62


Contoh OBE Kita akan menyelesaikan SPL

x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2

berkaitan adalah

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Contoh OBE Kita akan menyelesaikan SPL 1 1

berkaitan adalah 0).

1 1

1 1

MZI (FIF Tel-U)

4 2

1 1

x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2 4 . Langkah-langkahnya adalah 2

;

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Contoh OBE x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2 1 1 4 berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 1 1 4 1 1 4 ; 1). 0). (R2 R2 R1 ); 1 1 2 0 2 2 Kita akan menyelesaikan SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Contoh OBE x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2 1 1 4 adalah . Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 1 4 1 1 4 ; 1). (R2 R2 R1 ); 1 2 0 2 2 1 4 1 R2 2 R2 ; 1 1

Kita akan menyelesaikan SPL berkaitan 0). 2).

1 1 1 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Contoh OBE x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2 1 1 4 adalah . Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 1 4 1 1 4 ; 1). (R2 R2 R1 ); 1 2 0 2 2 1 4 1 0 3 1 R2 (R1 R1 R2 ). 2 R2 ; 3). 1 1 0 1 1

Kita akan menyelesaikan SPL berkaitan 0). 2).

1 1 1 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Contoh OBE x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2 1 1 4 berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 1 1 4 1 1 4 ; 1). 0). (R2 R2 R1 ); 1 1 2 0 2 2 1 1 4 1 0 3 1 2). R2 (R1 R1 R2 ). Pada 2 R2 ; 3). 0 1 1 0 1 1 langkah terakhir kita memiliki matriks Kita akan menyelesaikan SPL

1 0

0 1

3 1

.

(6)

Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Contoh OBE x+y =4 via OBE, matriks diperbesar yang x y=2 1 1 4 berkaitan adalah . Langkah-langkahnya adalah 1 1 2 1 1 4 1 1 4 ; 1). 0). (R2 R2 R1 ); 1 1 2 0 2 2 1 1 4 1 0 3 1 2). R2 (R1 R1 R2 ). Pada 2 R2 ; 3). 0 1 1 0 1 1 langkah terakhir kita memiliki matriks Kita akan menyelesaikan SPL

1 0

0 1

3 1

.

(6)

Dari bentuk (6) kita dengan mudah mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 merupakan solusi dari SPL (1). Bentuk ketika nilai-nilai dari variabel-variabel suatu SPL dapat diketahui dengan mudah seperti pada (6) kita katakan sebagai bentuk eselon baris tereduksi. MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

14 / 62


Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut 0 1 1 1 1 10 B 1 0 1 5 C B C @ 2 1 3 5 A 3 1 4 10

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

15 / 62


Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut 0 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 10 B 1 0 1 B 5 C 1 0 5 C B C ) B 0 C (R R2 R1 ) @ 2 1 3 A @ 5 2 1 3 5 A 2 OBE 3 1 4 10 3 1 4 10

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

15 / 62


Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut 0 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 10 B 1 0 1 B 5 C 1 0 5 C B C ) B 0 C (R R2 R1 ) @ 2 1 3 A @ 5 2 1 3 5 A 2 OBE 3 1 4 10 3 1 4 10 0 1 1 1 1 10 B 0 1 0 5 C C (R ) B R3 2R1 ) @ 0 1 1 15 A 3 OBE 3 1 4 10

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

15 / 62


Melakukan OBE Simultan (1) Untuk menghemat waktu dan kertas, kita bisa melakukan OBE secara simultan dengan syarat tidak menimbulkan ambiguitas. Contoh: rangkaian OBE berikut 0 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 10 B 1 0 1 B 5 C 1 0 5 C B C ) B 0 C (R R2 R1 ) @ 2 1 3 A @ 5 2 1 3 5 A 2 OBE 3 1 4 10 3 1 4 10 0 1 1 1 1 10 B 0 1 0 5 C C (R ) B R3 2R1 ) @ 0 1 1 15 A 3 OBE 3 1 4 10 0 1 1 1 1 10 B 0 1 0 5 C C (R ) B R4 3R1 ). @ 0 1 1 15 A 4 OBE 0 2 1 20 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

15 / 62


dapat 0 1 B 1 B @ 2 3

dilakukan lebih 1 ringkas 0 1 1 10 B 0 1 5 C C ) B 1 3 5 A OBE @ 1 4 10

MZI (FIF Tel-U)

sebagai 1 1 0 1 0 1 0 2

1 0 1 1

OBE dan EGJ

1 0 10 R2 5 C C @ R3 15 A R4 20

R2 R3 R4

1 R1 2R1 A 3R1

Agustus 2015

16 / 62


Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian 0 1 OBE berikut 1 0 0 2 B 0 1 0 2 C B C @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

17 / 62


Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian 0 1 OBE berikut 1 0 0 2 B 0 1 0 2 C B C @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6 0 1 2 0 0 4 B 0 1 0 2 C C (R1 ) B 2R1 ) OBE @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

17 / 62


Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian 0 1 OBE berikut 1 0 0 2 B 0 1 0 2 C B C @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6 0 0 1 2 0 0 4 2 B 0 1 0 2 C B 0 C (R1 ) B 2R1 ) ) B OBE @ 1 1 0 4 A OBE @ 1 1 0 1 6 1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

0 3 1 0

0 0 0 1

1 4 6 C C (R 4 A 2 6

3R2 )

Agustus 2015

17 / 62


Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian 0 1 OBE berikut 1 0 0 2 B 0 1 0 2 C B C @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6 0 1 2 0 0 4 B 0 1 0 2 C C (R1 ) B 2R1 ) ) OBE @ 1 1 0 4 A OBE 1 0 1 6 0 1 2 0 0 4 B 0 3 0 6 C C (R3 ) B 4R3 ) @ A 4 4 0 16 OBE 1 0 1 6

MZI (FIF Tel-U)

0

2 B 0 B @ 1 1

OBE dan EGJ

0 3 1 0

0 0 0 1

1 4 6 C C (R 4 A 2 6

3R2 )

Agustus 2015

17 / 62


Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian 0 1 OBE berikut 1 0 0 2 B 0 1 0 2 C B C @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6 0 0 1 2 0 0 4 2 B 0 1 0 2 C B 0 C (R1 ) B 2R1 ) ) B OBE @ 1 1 0 4 A OBE @ 1 1 0 1 6 1 0 0 1 2 2 0 0 4 B 0 B 0 3 0 6 C B B C ) (R3 4R3 ) ) @ 4 OBE OBE @ 4 4 0 16 A 2 1 0 1 6 dapat dilakukan lebih ringkas sebagai

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

0 3 1 0 0 3 4 0

0 0 0 1 0 0 0 2

1 4 6 C C (R 3R2 ) 4 A 2 6 1 4 6 C C (R 2R4 ) 16 A 4 12

Agustus 2015

17 / 62


Melakukan OBE Simultan 2 Kemudian rangkaian 0 1 OBE berikut 1 0 0 2 B 0 1 0 2 C B C @ 1 1 0 4 A 1 0 1 6 0 0 1 2 0 0 4 2 0 B 0 1 0 2 C B 0 3 C (R1 ) B 2R1 ) ) B OBE @ 1 1 0 4 A OBE @ 1 1 1 0 1 6 1 0 0 0 1 2 0 2 0 0 4 B 0 3 B 0 3 0 6 C B B C ) (R3 4R3 ) ) @ 4 4 OBE OBE @ 4 4 0 16 A 2 0 1 0 1 6 dapat dilakukan lebih ringkas sebagai 0 1 0 10 1 0 0 2 2 0 0 4 R1 B 0 1 0 2 C B 0 3 0 C B R2 6 B C ) B CB @ 1 1 0 4 A OBE @ 4 4 0 16 A @ R3 1 0 1 6 2 0 2 12 R4 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

1 4 6 C C (R 3R2 ) 4 A 2 6 1 4 6 C C (R 2R4 ) 16 A 4 12 1 2R1 3R2 C C 4R3 A 2R4

0 0 0 1 0 0 0 2

Agustus 2015

17 / 62


OBE yang Baik: Hindari Operasi Bertingkat

Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

18 / 62



Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 0 1 0 1 1 1 1 10 2 2 2 20 R1 2R1 @ 1 0 1 5 A ) @ 3 2 3 25 A R2 R2 + R1 OBE 2 1 3 5 2 1 3 5

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

18 / 62



Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 0 1 0 1 1 1 1 10 2 2 2 20 R1 2R1 @ 1 0 1 5 A ) @ 3 2 3 25 A R2 R2 + R1 OBE 2 1 3 5 2 1 3 5 Pada OBE tersebut, nilai dari R1 yang baru adalah 2R1 yang lama.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

18 / 62



Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 0 1 0 1 1 1 1 10 2 2 2 20 R1 2R1 @ 1 0 1 5 A ) @ 3 2 3 25 A R2 R2 + R1 OBE 2 1 3 5 2 1 3 5 Pada OBE tersebut, nilai dari R1 yang baru adalah 2R1 yang lama. Kemudian nilai R1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R2 yang lama untuk memperoleh R2 yang baru.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

18 / 62



Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 0 1 0 1 1 1 1 10 2 2 2 20 R1 2R1 @ 1 0 1 5 A ) @ 3 2 3 25 A R2 R2 + R1 OBE 2 1 3 5 2 1 3 5 Pada OBE tersebut, nilai dari R1 yang baru adalah 2R1 yang lama. Kemudian nilai R1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R2 yang lama untuk memperoleh R2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis R2 R2 + R1 .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

18 / 62



Meskipun OBE dapat dilakukan secara simultan, kita harus berhati-hati agar tidak melakukan “operasi bertingkat (nested operation)”, karena hal ini dapat menimbulkan ambiguitas. Contoh operasi bertingkat yang menimbulkan ambiguitas 0 1 0 1 1 1 1 10 2 2 2 20 R1 2R1 @ 1 0 1 5 A ) @ 3 2 3 25 A R2 R2 + R1 OBE 2 1 3 5 2 1 3 5 Pada OBE tersebut, nilai dari R1 yang baru adalah 2R1 yang lama. Kemudian nilai R1 yang baru tersebut dijumlahkan dengan R2 yang lama untuk memperoleh R2 yang baru. Padahal pada keterangan yang kita berikan kita hanya menulis R2 R2 + R1 . Jadi R1 di sini tidak jelas mengacu ke mana.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

18 / 62


Tips OBE Simultan

Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi bertingkat pada OBE yang kita lakukan: 1

Pada OBE 1, jika kita melakukan Ri lain yang mengubah nilai Ri .

2

Pada OBE 3, jika kita melakukan Rj Rj + Ri , maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai Rj dan Ri .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Ri , maka tidak boleh ada operasi

Agustus 2015

19 / 62


Tips OBE Simultan

Tips OBE Simultan OBE dapat dilakukan secara simultan, namun kita harus menghindari operasi bertingkat pada OBE yang kita lakukan: 1

Pada OBE 1, jika kita melakukan Ri lain yang mengubah nilai Ri .

2

Pada OBE 3, jika kita melakukan Rj Rj + Ri , maka tidak boleh ada operasi lain yang mengubah nilai Rj dan Ri .

Singkatnya pada operasi (kiri) mengubah nilai (kanan).

MZI (FIF Tel-U)

Ri , maka tidak boleh ada operasi

(kanan), tidak boleh ada operasi lain yang

OBE dan EGJ

Agustus 2015

19 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

20 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C @ 0 0 0 A 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi @ 0 0 0 A 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A 0 0 1 6

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi 0 0 1 6

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 1 6

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . x2 + x3 = 2 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 = 1 t dan x2 =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 = 1 t dan x2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 = 1 t dan x2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 t; 2 t; t).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 = 1 t dan x2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 0 t; 2 t; t). 1 1 0 0 5 @ 0 1 0 4 A 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 = 1 t dan x2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 0 t; 2 t; t). 1 1 0 0 5 @ 0 1 0 4 A tidak memiliki solusi (tidak konsisten), 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Matriks Diperbesar dengan Solusi “Mudah Dilihat” Beberapa matriks diperbesar memiliki bentuk sehingga solusinya mudah ditentukan. 0 1 1 0 1996 B 0 1 2015 C B C memiliki solusi x1 = 1996 dan x2 = 2015. @ 0 0 0 A 0 0 0 0 1 1 0 0 4 @ 0 1 0 5 A memiliki solusi x1 = 4, x2 = 5, dan x3 = 6. 0 0 0 1 6 1 1 0 1 1 @ 0 1 1 2 A memberikan dua PL, yaitu x1 + x3 = 1 . Misalkan x3 = t, x2 + x3 = 2 0 0 0 0 maka diperoleh x1 = 1 t dan x2 = 2 t. Jadi solusi SPL-nya adalah tupel (1 0 t; 2 t; t). 1 1 0 0 5 @ 0 1 0 4 A tidak memiliki solusi (tidak konsisten), baris terakhir ekivalen 0 0 0 1 dengan ekspresi 0 = 1 yang merupakan kontradiksi. MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

21 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris (EB) 1

Jika entri adalah 1. 0 1 0 @ 0 1 0 0

sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri Selanjutnya 1 ini akan kita sebut 1 utama (leading 1). 1 2 4 3 6 A 1 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62




sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 1 1 1 utama (leading 1). 2 4 1 1 0 3 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A 1 0 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62




sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62



2

Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 0 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 1 0 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 @ 0 1 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A EB . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 0 1 1 0 2 4 @ 0 0 1 6 A 0 0 0 1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62



2

Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 0 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 1 0 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 @ 0 1 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A EB . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada tempat yang lebih kanan. 0 1 0 1 1 0 2 4 1 0 2 4 @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 0 1 6 A 0 0 1 3 0 0 0 1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62



2

Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 0 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 1 0 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 @ 0 1 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A EB . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada lebih kanan. 0 1 0 tempat yang 1 0 1 1 0 2 4 1 0 2 4 1 0 2 4 @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 1 1 6 A 0 0 1 3 1 0 0 3 0 0 0 1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62



2

3

Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 0 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 1 0 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 @ 0 1 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A EB . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada lebih kanan. 0 1 0 tempat yang 1 0 1 1 0 2 4 1 0 2 4 1 0 2 4 @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 1 1 6 A EB. 0 0 1 3 1 0 0 3 0 0 0 1 Semua baris yang1seluruh entrinya 0 ditempatkan bersama di baris bawah. 0 1 2 3 4 B 0 0 1 3 C B C @ 0 0 0 1 A 0 0 0 0 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62



2

3

Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 0 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 1 0 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 @ 0 1 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A EB . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada lebih kanan. 0 1 0 tempat yang 1 0 1 1 0 2 4 1 0 2 4 1 0 2 4 @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 1 1 6 A EB. 0 0 1 3 1 0 0 3 0 0 0 1 Semua baris yang1seluruh bersama di baris bawah. 0 0 entrinya 0 ditempatkan 1 1 2 3 4 1 2 3 4 B 0 0 1 3 C B 0 0 0 0 C B C B C @ 0 0 0 1 A EB. @ 0 0 1 0 A 0 0 0 0 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62



2

3

Jika entri sebuah baris tidak seluruhnya nol, maka entri pertama dari kiri adalah 1. Selanjutnya 10 ini akan kita sebut 0 1 0 (leading 1).1 1 1 utama 1 0 2 4 1 1 0 3 1 0 2 4 @ 0 1 3 6 A EB. @ 0 1 3 0 A EB. @ 0 1 0 1 A EB . 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 utama pada baris yang lebih bawah berada pada lebih kanan. 0 1 0 tempat yang 1 0 1 1 0 2 4 1 0 2 4 1 0 2 4 @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 0 1 6 A EB. @ 0 1 1 6 A EB. 0 0 1 3 1 0 0 3 0 0 0 1 Semua baris yang1seluruh bersama di baris bawah. 0 0 entrinya 0 ditempatkan 1 1 2 3 4 1 2 3 4 B 0 0 1 3 C B 0 0 0 0 C B C B C @ 0 0 0 1 A EB. @ 0 0 1 0 A EB. 0 0 0 0 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

22 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 @ 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? 0 0 0 0 0 0 1 3 4

0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 @ 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 4

0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 @ 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 2 4 @ 0 1 3 7 A EBT? 0 0 1 0 4

0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 @ 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 2 4 @ 0 1 3 7 A EBT? Tidak, EB? 0 0 1 0 4

0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 @ 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 0 2 4 @ 0 1 3 7 A EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 4

0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62


Bentuk Eselon Baris Bentuk Eselon Baris Tereduksi (EBT) Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk EBT apabila matriks tersebut berada dalam bentuk EB dan memenuhi sifat tambahan berikut. 4

0 @

0 @

0 @

Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 0 2 4 0 1 3 7 A EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 A 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62



0 @

0 @

0 @

Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 0 2 4 0 1 3 7 A EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 A EBT? Tidak, 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62



0 @

0 @

0 @

Semua entri matriks yang berada di atas 1 utama bernilai 0. 1 0 0 1 7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 4 A EBT? Ya. 0 0 0 0 0 0 1 3 1 1 0 2 4 0 1 3 7 A EBT? Tidak, EB? Ya. 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 A EBT? Tidak, EB? Tidak. 0 0 0 1 MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

23 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

24 / 62


Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

25 / 62


Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut 0 1 a11 a12 a1n c1 B a21 a22 a2n c2 C B C =) Bentuk EBT B .. .. . .. C . . . @ . . . A serangkaian OBE . . am1 am2 amn cm matriks diperbesar dari SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

25 / 62


Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ): Pendahuluan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) merupakan suatu cara untuk mencari solusi SPL. EGJ memberikan suatu metode sistematis dalam mengubah matriks diperbesar dari suatu SPL dengan OBE sehingga diperoleh suatu matriks dalam bentuk EBT. Singkatnya, EGJ melakukan hal berikut 0 1 a11 a12 a1n c1 B a21 a22 a2n c2 C B C =) Bentuk EBT B .. .. . .. C . . . @ . . . A serangkaian OBE . . am1 am2 amn cm matriks diperbesar dari SPL

Catatan: eliminasi Gauss: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EB, eliminasi Gauss-Jordan: mengubah matriks diperbesar menjadi bentuk EBT.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

25 / 62


Contoh Penerapan EGJ

Kita akan menentukan solusi dari SPL 2x 2x

2y 2y y

+z +z

= = =

7 2 . 3

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

26 / 62


Contoh Penerapan EGJ

Kita akan menentukan solusi dari SPL 2x 2x

2y 2y y

+z +z

= = =

7 2 . 3

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL ini adalah 2 3 0 2 1 7 4 2 2 0 2 5 2 1 1 3

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

26 / 62


1) Cari kolom paling kiri yang tak seluruhnya nol.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut pivot.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut3pivot. 2 2 2 0 2 4 0 2 1 7 5(R1 $ R2 ) 2 1 1 3 3).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut3pivot. 2 2 2 0 2 4 0 2 1 7 5(R1 $ R2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut3pivot. 2 2 2 0 2 4 0 2 1 7 5(R1 $ R2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 2 1 4

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut3pivot. 2 2 2 0 2 4 0 2 1 7 5(R1 $ R2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 2 1 1 4

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut3pivot. 2 2 2 0 2 4 0 2 1 7 5(R1 $ R2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan pivot bernilai 1. 2 1 1 0 4

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


1) Cari kolom paling kiri 3 yang tak seluruhnya nol. 2 0 2 1 7 4 2 2 5 2 0 2 1 1 3 2). Jadikan entri terkiri dan teratas sebagai entri tak nol, jika perlu lakukan tukar baris. Entri ini disebut3pivot. 2 2 2 0 2 4 0 2 1 7 5(R1 $ R2 ) 2 1 1 3 3). Jadikan 2 1 1 4 0 2 2 1

pivot bernilai 3 1. 0 1 1 7 5 R1 1 3

MZI (FIF Tel-U)

1 2 R1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

27 / 62


4). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 2 Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 1 0 4 0 2 1 7 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 2 Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 1 0 4 0 2 1 7 0 1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 2 Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 1 0 4 0 2 1 7 1 0 1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 2 1 7 5(R3 R3 2R1 ) 1 5 0 1 5).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 2 1 7 5(R3 R3 2R1 ) 1 5 0 1 5). 1 utama pertama sudah diperoleh. Untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti langkah 1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 2 1 7 5(R3 R3 2R1 ) 1 5 0 1 5). 1 utama pertama sudah diperoleh. Untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan cara yang serupa 3 seperti langkah 1). 2 1 1 0 1 4 0 2 1 7 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1. 0 1 1 5

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


4). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 2 1 7 5(R3 R3 2R1 ) 1 5 0 1 5). 1 utama pertama sudah diperoleh. Untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan cara yang serupa 3 seperti langkah 1). 2 1 1 0 1 4 0 2 1 7 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1. 0 1 1 5

2

1 4 0 0

1 1 2

0 1 1

MZI (FIF Tel-U)

1 5 7

3

5(R2 $ R3 )

OBE dan EGJ

Agustus 2015

28 / 62


6). Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 2 Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 1 0 4 0 1 1 5 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 2 Gunakan OBE untuk membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 1 1 1 0 4 0 1 1 5 1 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 1 1 5 5(R3 R3 2R1 ) 1 3 0 0 7).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 1 1 5 5(R3 R3 2R1 ) 1 3 0 0 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 1 1 5 5(R3 R3 2R1 ) 1 3 0 0 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2 1 1 0 1 4 0 1 1 5 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 1 1 5 5(R3 R3 2R1 ) 1 3 0 0 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2 1 1 0 1 4 0 1 1 5 1 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


6). 3 membuat semua entri di bawah pivot bernilai 0. 2 Gunakan OBE untuk 1 1 1 0 4 0 1 1 5 5(R3 R3 2R1 ) 1 3 0 0 7). 1 utama untuk baris pertama dan kedua sudah diperoleh, untuk memperoleh 1 utama berikutnya, lakukan 3 cara yang serupa seperti pada langkah 1). 2 1 1 0 1 4 0 1 1 5 5. Lakukan OBE agar pivot bernilai 1. 1 3 0 0 2

1 4 0 0

1 1 0

0 1

MZI (FIF Tel-U)

1 5

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62



1 4 0 0

1 1 0

0 1 1

MZI (FIF Tel-U)

1 5

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62



1 4 0 0

1 1 0

0 1 1

MZI (FIF Tel-U)

1 5 3

3

5(R3

R3 )

OBE dan EGJ

Agustus 2015

29 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh,

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

30 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh, sekarang saatnya membentuk EBT.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

30 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh, sekarang saatnya membentuk EBT. Jadikan semua entri di atas 1 utama paling kanan bernilai 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

30 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh, sekarang saatnya membentuk EBT. Jadikan semua entri di atas 1 3 utama paling kanan bernilai 0. 2 1 1 0 1 4 0 1 0 2 5(R2 R2 R3 ) 0 0 1 3 9).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

30 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh, sekarang saatnya membentuk EBT. Jadikan semua entri di atas 1 3 utama paling kanan bernilai 0. 2 1 1 0 1 4 0 1 0 2 5(R2 R2 R3 ) 0 0 1 3 9). Jadikan semua3entri di atas semua 1 utama berikutnya (dari kanan) bernilai 0. 2 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5(R1 R1 + R2 ) 0 0 1 3

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

30 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh, sekarang saatnya membentuk EBT. Jadikan semua entri di atas 1 3 utama paling kanan bernilai 0. 2 1 1 0 1 4 0 1 0 2 5(R2 R2 R3 ) 0 0 1 3 9). Jadikan semua3entri di atas semua 1 utama berikutnya (dari kanan) bernilai 0. 2 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5(R1 R1 + R2 ) 0 0 1 3 Bentuk EBT telah diperoleh, yaitu 2

1 4 0 0

MZI (FIF Tel-U)

0 1 0

0 0 1

OBE dan EGJ

3 1 2 5 3

Agustus 2015

30 / 62


8). Semua 1 utama sudah diperoleh, sekarang saatnya membentuk EBT. Jadikan semua entri di atas 1 3 utama paling kanan bernilai 0. 2 1 1 0 1 4 0 1 0 2 5(R2 R2 R3 ) 0 0 1 3 9). Jadikan semua3entri di atas semua 1 utama berikutnya (dari kanan) bernilai 0. 2 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5(R1 R1 + R2 ) 0 0 1 3 Bentuk EBT telah diperoleh, yaitu 2

1 4 0 0

0 1 0

0 0 1

3 1 2 5 3

Ini berarti solusi dari SPL adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

30 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

31 / 62


Latihan OBE dan EGJ Latihan Tentukan semua solusi (jika ada) dari SPL-SPL berikut menggunakan OBE 1

x 2x

2y 4y

2

x1 x1 2x1 2x1

+2x2 +x2 +3x2 +x2

2x1 x1 x1

3

4

x x

+y +2y

=4 =5 = 66 = 39 = 105 = 51

+x2 2x2 +x2 +z +3z

MZI (FIF Tel-U)

+x3 +x3 2x3

=0 =0 =0

=0 =1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

32 / 62


Solusi Soal 1 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

x 2x

2y 4y

=4 adalah =5

Agustus 2015

33 / 62


Solusi Soal 1 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan 1 2

2 4

4 5

x 2x

2y 4y

=4 adalah =5

. Langkah-langkah OBE:

1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

33 / 62


Solusi Soal 1 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan 1 2 1).

2 4 1 0

4 5 2 0

x 2x

2y 4y

=4 adalah =5


MZI (FIF Tel-U)

4 3

(R2

R2

2R1 ). 2).

OBE dan EGJ

Agustus 2015

33 / 62


Solusi Soal 1 Matriks diperbesar yang bersesuian dengan 1 2 1).

2 4 1 0

4 5 2 0

x 2x

2y 4y

=4 adalah =5


MZI (FIF Tel-U)

4 3

(R2

R2

2R1 ). 2).

OBE dan EGJ

1 0

2 0

4 1

R2

1 3 R2

Agustus 2015

.

33 / 62



x 2x

2y 4y

=4 adalah =5

2 4

4 . Langkah-langkah OBE: 5 1 2 4 1 2 4 1 1). (R2 R2 2R1 ). 2). R2 3 R2 . 3 0 0 0 0 1 Akibatnya diperoleh persamaan 0x + 0y = 1, ini berarti SPL tidak konsisten. Lebih jauh, kita memiliki teorema berikut.

Teorema

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

33 / 62



x 2x

2y 4y

=4 adalah =5

2 4

4 . Langkah-langkah OBE: 5 1 2 4 1 2 4 1 1). (R2 R2 2R1 ). 2). R2 3 R2 . 3 0 0 0 0 1 Akibatnya diperoleh persamaan 0x + 0y = 1, ini berarti SPL tidak konsisten. Lebih jauh, kita memiliki teorema berikut.

Teorema Diberikan suatu SPL (m persamaan dan n peubah) yang memiliki matriks diperbesar A. Apabila E adalah bentuk EBT dari A, maka SPL tersebut konsisten jika dan hanya jika E tidak mengandung baris berbentuk 0

MZI (FIF Tel-U)

0

0

OBE dan EGJ

1

.

Agustus 2015

33 / 62


Solusi Soal 2 x1 x1 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan 2x1 2x1

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

+2x2 +x2 +3x2 +x2

= 66 = 39 adalah = 105 = 51

Agustus 2015

34 / 62


Solusi Soal 2 x1 x1 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan 2x1 2x 1 2 3 1 2 66 6 1 1 39 7 6 7 4 2 3 105 5. Langkah-langkah OBE: 2 1 51

+2x2 +x2 +3x2 +x2

= 66 = 39 adalah = 105 = 51

1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

34 / 62


Solusi Soal 2 x1 x1 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan 2x1 2x 1 2 3 1 2 66 6 1 1 39 7 6 7 4 2 3 105 5. Langkah-langkah OBE: 22 1 51 3 0 1 27 6 1 1 39 7 R1 R1 R2 7 1). 6 . 4 0 2 54 5 R3 R3 R4 2 1 51

+2x2 +x2 +3x2 +x2

= 66 = 39 adalah = 105 = 51

2).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

34 / 62


Solusi Soal 2 x1 x1 Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan 2x1 2x 1 2 3 1 2 66 6 1 1 39 7 6 7 4 2 3 105 5. Langkah-langkah OBE: 22 1 51 3 0 1 27 6 1 1 39 7 R1 R1 R2 7 1). 6 . 4 0 2 54 5 R3 R3 R4 2 1 51 2

1 6 0 2). 6 4 2 0

1 1 1 2

3 39 27 7 7 51 5 54

MZI (FIF Tel-U)

R1 $ R2 R3 $ R4

+2x2 +x2 +3x2 +x2

= 66 = 39 adalah = 105 = 51

.

OBE dan EGJ

Agustus 2015

34 / 62


2

1 6 0 3). 6 4 2 0

0 1 0 0

3 0 12 R 7 27 7 @ 1 R 3 24 5 R4 0

R1 R3 R4

1 R2 R2 A. 2R2

4).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

35 / 62


2

1 6 0 3). 6 4 2 0

0 1 0 0

1 6 0 4). 6 4 0 0

0 1 0 0

2

3 0 12 R 7 27 7 @ 1 R 3 24 5 R4 0 3 12 27 7 7 (R 0 5 3 0

R1 R3 R4

R3

1 R2 R2 A. 2R2

2R2 ).

Jadi SPL memiliki solusi x1 = 12 dan x2 = 27.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

35 / 62


Solusi Soal 3

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

2x1 x1 x1

+x2 2x2 +x2

+x3 +x3 2x3

=0 = 0 adalah =0

Agustus 2015

36 / 62


Solusi Soal 3

Matriks diperbesar yang bersesuian dengan 2

4 1 1

2

1 2

1 1

1

2

2x1 x1 x1

3 0 0 5. Langkah-langkah OBE: 0

+x2 2x2 +x2

+x3 +x3 2x3

=0 = 0 adalah =0

1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

36 / 62


Solusi Soal 3


2x1 x1 x1

3 0 4 1 2 0 5. Langkah-langkah OBE: 12 1 2 0 3 1 2 1 0 1 0 5 (R1 $ R2 ). 1). 4 2 1 1 1 2 0 2

1

+x2 2x2 +x2

+x3 +x3 2x3

=0 = 0 adalah =0

1 1

2).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

36 / 62


Solusi Soal 3


2x1 x1 x1

3 0 4 1 2 0 5. Langkah-langkah OBE: 12 1 2 0 3 1 2 1 0 1 0 5 (R1 $ R2 ). 1). 4 2 1 1 1 2 0 2

2

1

1 2). 4 0 0

+x2 2x2 +x2

+x3 +x3 2x3

=0 = 0 adalah =0

1 1

2 3 3

MZI (FIF Tel-U)

1 3 3

3 0 0 5 0

R2 R3

R2 + 2R1 R3 R1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

36 / 62


2

1 3). 4 0 0

2 3 0

1 3 0

3 0 0 5 (R3 0

R3 + R2 )

4).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


2

1 3). 4 0 0 2

1 4). 4 0 0

2 3

1 3 0

2

1

0

1 0

3 0 0 5 (R3 0 1

0

3 0 0 5 (R2 0

R3 + R2 )

R2 )

5).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


2

1 3). 4 0 0

1 0

2

0 1 0

1 5). 4 0 0

1 3 0

2

1

0

2

1 4). 4 0 0

2 3

3 0 0 5 (R3 0 1

0 1 1 0

3 0 0 5 (R2 0

3 0 0 5 (R1 0

R3 + R2 )

R2 )

R1 + 2R2 )

Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


2

1 3). 4 0 0

1 0

2

0 1 0

1 5). 4 0 0

1 3 0

2

1

0

2

1 4). 4 0 0

2 3

Diperoleh SPL

3 0 0 5 (R3 0 1

0 1 1 0 x1 x2

MZI (FIF Tel-U)

3 0 0 5 (R2 0

3 0 0 5 (R1 0

R3 + R2 )

R2 )

R1 + 2R2 )

x3 = 0 . Misalkan x3 = t, maka x1 = x3 = 0

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


2

1 3). 4 0 0

1 0

2

0 1 0

1 5). 4 0 0

1 3 0

2

1

0

2

1 4). 4 0 0

2 3

Diperoleh SPL

3 0 0 5 (R3 0 1

0 1 1 0 x1 x2

3 0 0 5 (R2 0

3 0 0 5 (R1 0

R3 + R2 )

R2 )

R1 + 2R2 )

x3 = 0 . Misalkan x3 = t, maka x1 = x3 = t dan x3 = 0

x2 =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


2

1 3). 4 0 0

1 0

2

0 1 0

1 5). 4 0 0

1 3 0

2

1

0

2

1 4). 4 0 0

2 3

3 0 0 5 (R3 0 1

0 1 1 0

3 0 0 5 (R2 0

3 0 0 5 (R1 0

R3 + R2 )

R2 )

R1 + 2R2 )

x1 x3 = 0 . Misalkan x3 = t, maka x1 = x3 = t dan x2 x3 = 0 x2 = x3 = t. Jadi solusi SPL adalah

Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


2

1 3). 4 0 0

1 0

2

0 1 0

1 5). 4 0 0

1 3 0

2

1

0

2

1 4). 4 0 0

2 3

3 0 0 5 (R3 0 1

0 1 1 0

3 0 0 5 (R2 0

3 0 0 5 (R1 0

R3 + R2 )

R2 )

R1 + 2R2 )

x1 x3 = 0 . Misalkan x3 = t, maka x1 = x3 = t dan x2 x3 = 0 x2 = x3 = t. Jadi solusi SPL adalah x1 = x2 = x3 = t, dengan t 2 R. Dengan perkataan lain, solusi SPL adalah tupel (t; t; t), dengan t 2 R.

Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

37 / 62


Solusi Soal 4

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

x x

+y +2y

+z +3z

=0 adalah =1

Agustus 2015

38 / 62


Solusi Soal 4

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan 1 1 1).

2).

1 2 1 0

1 3 1 1

0 1 1 2

1 0

0 1

2

x x

+y +2y

+z +3z

=0 adalah =1

. Langkah-langkah OBE: 0 1

(R2

1

1 1

R2

(R1

R1 )

R1

R2 )

x z= 1 . Misalkan z = t, maka y = 1 2t, dan x = t 1. y + 2z = 1 Jadi diperoleh solusi x = t 1, y = 1 2t, dan z = t, dengan t 2 R. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel (t 1; 1 2t; t), dengan t 2 R. Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

38 / 62

SPL Homogen

Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

39 / 62

SPL Homogen

SPL Homogen Suatu SPL dikatakan homogen apabila semua konstanta yang terdapat pada SPL tersebut bernilai 0.

SPL Homogen SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah x1 ; : : : ; xn berbentuk

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

40 / 62

SPL Homogen


SPL Homogen SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah x1 ; : : : ; xn berbentuk a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ +

a1n xn a2n xn .. .

=0 =0 .. .

am1 x1

+

am2 x2

+

amn xn

=0

dengan aij 2 R untuk setiap 1

i

m dan 1

j

(7)

n.

Pertanyaan

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

40 / 62

SPL Homogen


SPL Homogen SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah x1 ; : : : ; xn berbentuk a11 x1 a21 x1 .. .

+ +

a12 x2 a22 x2 .. .

+ +

a1n xn a2n xn .. .

=0 =0 .. .

am1 x1

+

am2 x2

+

amn xn

=0

dengan aij 2 R untuk setiap 1

i

m dan 1

j

(7)

n.

Pertanyaan Apakah SPL homogen selalu memiliki solusi (apakah SPL homogen selalu konsisten)? MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

40 / 62

SPL Homogen

Solusi SPL Homogen

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut

MZI (FIF Tel-U)

ax + by

=

0 (a dan b tak keduanya 0)

cx + dy

=

0 (c dan d tak keduanya 0).

OBE dan EGJ

Agustus 2015

41 / 62

SPL Homogen

Solusi SPL Homogen

SPL homogen selalu memiliki solusi. Kita akan segera melihat buktinya. Namun sebelumnya tinjau SPL homogen berikut ax + by

=


cx + dy

=


Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

41 / 62

SPL Homogen

Solusi SPL Homogen


=


cx + dy

=


Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu `1 : ax + by = 0 dan `2 : cx + dy = 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

41 / 62

SPL Homogen

Solusi SPL Homogen


=


cx + dy

=


Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu `1 : ax + by = 0 dan `2 : cx + dy = 0. Jelas bahwa (0; 0) merupakan solusi SPL karena `1 dan `2 pasti melalui titik (0; 0).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

41 / 62

SPL Homogen

Solusi SPL Homogen


=


cx + dy

=


Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu `1 : ax + by = 0 dan `2 : cx + dy = 0. Jelas bahwa (0; 0) merupakan solusi SPL karena `1 dan `2 pasti melalui titik (0; 0). Pertanyaan yang sekarang muncul adalah: apakah (0; 0) merupakan satu-satunya solusi?

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

41 / 62

SPL Homogen

Solusi SPL Homogen


=


cx + dy

=


Secara geometris, kita dapat membuat dua buah garis, yaitu `1 : ax + by = 0 dan `2 : cx + dy = 0. Jelas bahwa (0; 0) merupakan solusi SPL karena `1 dan `2 pasti melalui titik (0; 0). Pertanyaan yang sekarang muncul adalah: apakah (0; 0) merupakan satu-satunya solusi? Hal ini belum tentu terjadi ketika `1 dan `2 berimpit. Ketika hal ini terjadi, maka SPL memiliki tak hingga banyak solusi.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

41 / 62

SPL Homogen

Solusi Trivial SPL Homogen

Teorema

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

42 / 62

SPL Homogen


Teorema SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah (seperti SPL (7)) selalu konsisten.

Bukti

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

42 / 62

SPL Homogen


Teorema SPL homogen dengan m persamaan dan n peubah (seperti SPL (7)) selalu konsisten.

Bukti n tupel (0; 0; : : : ; 0) merupakan salah satu solusi SPL homogen. Solusi (0; 0; : : : ; 0) disebut sebagai solusi trivial dari suatu SPL homogen.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

42 / 62

SPL Homogen

Latihan SPL Homogen Latihan Tentukan semua solusi dari SPL homogen berikut

1

3a a a a

b 3b +b +b

2

3a a a

+2b +2b +b

3

2a a 2a a

2b 2b +b

MZI (FIF Tel-U)

c +c 3c +c

d +d +d 3d

=0 =0 =0 =0

c =0 3c = 0 c =0 +c 2c 2c +3c

=0 =0 =0 =0

OBE dan EGJ

Agustus 2015

43 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 1 3a a Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a a

b 3b +b +b

c +c 3c +c

d +d +d 3d

=0 =0 =0 =0

adalah

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

44 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 1 3a b c a 3b +c Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +b 3c a +b +c 2 3 3 1 1 1 0 6 1 3 1 1 0 7 7. Langkah-langkah OBE: adalah 6 4 1 1 3 1 0 5 1 1 1 3 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

d +d +d 3d

=0 =0 =0 =0

Agustus 2015

44 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 1 3a b c a 3b +c Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +b 3c a +b +c 2 3 3 1 1 1 0 6 1 3 1 1 0 7 7. Langkah-langkah OBE: adalah 6 4 1 1 3 1 0 5 1 1 1 3 30 2 1 3 1 1 0 6 3 1 1 1 0 7 7 (R $ R2 ) 1). 6 4 1 1 3 1 0 5 1 1 1 1 3 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

d +d +d 3d

=0 =0 =0 =0

Agustus 2015

44 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 1 3a b c a 3b +c Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL a +b 3c a +b +c 2 3 3 1 1 1 0 6 1 3 1 1 0 7 7. Langkah-langkah OBE: adalah 6 4 1 1 3 1 0 5 1 1 1 3 30 2 1 3 1 1 0 6 3 1 1 1 0 7 7 (R $ R2 ) 1). 6 4 1 1 3 1 0 5 1 1 1 1 3 0 2

1 6 0 2). 6 4 0 0

3 8 4 4

MZI (FIF Tel-U)

1

1 4 4

0

4 0 4

3 0 0 R2 0 7 7 @ R3 0 5 R4 0

R2 R3 R4

OBE dan EGJ

d +d +d 3d

=0 =0 =0 =0

1 3R1 R1 A R1

Agustus 2015

44 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 3). 6 4 0 0

3 2 1 1

MZI (FIF Tel-U)

1

1 1 1

0

1 0 1

3 0 0 R 7 0 7@ 2 R3 0 5 R4 0

1 2 R2 1 4 R3 1 4 R4

OBE dan EGJ

1 A

Agustus 2015

45 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 3). 6 4 0 0 2

1 6 0 4). 6 4 0 0

3 2 1 1

1

1 1 1

1 0

0 3

1 2 1

MZI (FIF Tel-U)

1

1 1 1 0

1 0 1 1

3 0 0 R 7 0 7@ 2 R3 0 5 R4 0

1 2 R2 1 4 R3 1 4 R4

3 0 0 7 7 (R $ R3 ) 0 5 2 0

OBE dan EGJ

1 A

Agustus 2015

45 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 3). 6 4 0 0 2

1 6 0 4). 6 4 0 0 2

1 6 0 5). 6 4 0 0

3 2 1 1

1

1 1 1

1 0

0 3

1 2 1

1

1 1 1

1 0 1 1

0 3

1 0 0

MZI (FIF Tel-U)

1 1 1 1

1 0 1 1

3 0 0 R 7 0 7@ 2 R3 0 5 R4 0

1 2 R2 1 4 R3 1 4 R4

3 0 0 7 7 (R $ R3 ) 0 5 2 0 3 0 0 7 7 0 5 0

R3 R4

R3 R4

OBE dan EGJ

1 A

2R2 R2

Agustus 2015

45 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0

3 1 0 0

MZI (FIF Tel-U)

0 0 1 0

2 1 1 0

3 0 0 7 7 0 5 0

R1 R2

R1 R3 R2 + R3

OBE dan EGJ

Agustus 2015

46 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

1 6 0 7). 6 4 0 0

3

0 0 1 0

1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0

2 1 1 0 1 1 1 0

3 0 0 7 7 0 5 0

3 0 0 7 7 (R 0 5 1 0

R1 R2

R1 R3 R2 + R3

R1 + 3R2 )

Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

46 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

3

0 0 1 0

1 0 0

2 1 1 0

0 0 0 0 0 a d=0 Diperoleh SPL b d = 0 c d=0

1 6 0 7). 6 4 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

MZI (FIF Tel-U)

1 1 1

3 0 0 7 7 0 5 0 3

7 7 (R1 5

R1 R2

R1 R3 R2 + R3

R1 + 3R2 )

. Misalkan d = t, maka diperoleh

OBE dan EGJ

Agustus 2015

46 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

3

0 0 1 0

1 0 0

2 1 1 0

0 0 0 0 0 a d=0 Diperoleh SPL b d = 0 c d=0

1 6 0 7). 6 4 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

MZI (FIF Tel-U)

1 1 1

3 0 0 7 7 0 5 0 3

7 7 (R1 5

R1 R2

R1 R3 R2 + R3

R1 + 3R2 )

. Misalkan d = t, maka diperoleh a = b = c = d = t.

OBE dan EGJ

Agustus 2015

46 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

3

0 0 1 0

1 0 0

2 1 1 0

3 0 0 7 7 0 5 0

R1 R2

R1 R3 R2 + R3

3 0 0 7 7 (R R1 + 3R2 ) 0 5 1 0 0 a d=0 Diperoleh SPL b d = 0 . Misalkan d = t, maka diperoleh a = b = c = d = t. c d=0 Jadi solusinya adalah a = b = c = d = t 2 R. 1 6 0 7). 6 4 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

MZI (FIF Tel-U)

1 1 1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

46 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

3

0 0 1 0

1 0 0

2 1 1 0

3 0 0 7 7 0 5 0

R1 R2

R1 R3 R2 + R3

3 0 0 7 7 (R R1 + 3R2 ) 0 5 1 0 0 a d=0 Diperoleh SPL b d = 0 . Misalkan d = t, maka diperoleh a = b = c = d = t. c d=0 Jadi solusinya adalah a = b = c = d = t 2 R. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel (t; t; t; t) dengan t 2 R. 1 6 0 7). 6 4 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

MZI (FIF Tel-U)

1 1 1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

46 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 2

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

3a a a

+2b +2b +b

c =0 3c = 0 adalah c =0

Agustus 2015

47 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 2

Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL 2

3 4 1 1

2 2 1

1 3 1

MZI (FIF Tel-U)

3 0 0 5. Langkah-langkah OBE: 0

OBE dan EGJ

3a a a

+2b +2b +b

c =0 3c = 0 adalah c =0

Agustus 2015

47 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 2


3 2 4 1 2 12 1 1 1). 4 3 1

1 3 1 2 2 1

MZI (FIF Tel-U)

3 0 0 5. Langkah-langkah OBE: 0 3 3 0 1 0 5 (R1 $ R2 ) 1 0

OBE dan EGJ

3a a a

+2b +2b +b

c =0 3c = 0 adalah c =0

Agustus 2015

47 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 2


3 2 4 1 2 12 1 1 1). 4 3 1 2

1 2). 4 0 0

1 3 1 2 2 1

3 0 0 5. Langkah-langkah OBE: 0 3 3 0 1 0 5 (R1 $ R2 ) 1 0

2

3 4 1

MZI (FIF Tel-U)

8 2

3 0 0 5 0

R2 R3

R2 R3

3a a a

+2b +2b +b

c =0 3c = 0 adalah c =0

3R1 R1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

47 / 62

SPL Homogen

2

1 3). 4 0 0

2 1 1

MZI (FIF Tel-U)

3 2 2

3 0 0 5 0

R2 R3

1 4 R2 R3

OBE dan EGJ

Agustus 2015

48 / 62

SPL Homogen

2

1 3). 4 0 0

2 1 1

2

1 4). 4 0 0

0 1 0

3 2 2 1 2 0

3 0 0 5 0

3 0 0 5 0

R2 R3

R1 R3

1 4 R2 R3

R1 R3

2R2 R2

Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

48 / 62

SPL Homogen

2

1 3). 4 0 0

2 1 1

2

1 4). 4 0 0

0 1 0

Diperoleh SPL

3 2 2 1 2 0

3 0 0 5 0

3 0 0 5 0

R2 R3

R1 R3

1 4 R2 R3

R1 R3

2R2 R2

a+c=0 . Misalkan c = t, maka b 2c = 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

48 / 62

SPL Homogen

2

1 3). 4 0 0

2 1 1

2

1 4). 4 0 0

0 1 0

Diperoleh SPL

3 2 2 1 2 0

3 0 0 5 0

3 0 0 5 0

R2 R3

R1 R3

1 4 R2 R3

R1 R3

2R2 R2

a+c=0 . Misalkan c = t, maka a = b 2c = 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

t dan b = 2t.

Agustus 2015

48 / 62

SPL Homogen

2

1 3). 4 0 0

2 1 1

2

1 4). 4 0 0

0 1 0

3 2 2 1 2 0

3 0 0 5 0

3 0 0 5 0

R2 R3

R1 R3

1 4 R2 R3

R1 R3

2R2 R2

a+c=0 . Misalkan c = t, maka a = t dan b = 2t. Jadi b 2c = 0 solusinya adalah a = t, b = 2t, dan c = t dengan t 2 R. Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

48 / 62

SPL Homogen

2

1 3). 4 0 0

2 1 1

2

1 4). 4 0 0

0 1 0

3 2 2 1 2 0

3 0 0 5 0

3 0 0 5 0

R2 R3

R1 R3

1 4 R2 R3

R1 R3

2R2 R2

a+c=0 . Misalkan c = t, maka a = t dan b = 2t. Jadi b 2c = 0 solusinya adalah a = t, b = 2t, dan c = t dengan t 2 R. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel ( t; 2t; t) dengan t 2 R. Diperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

48 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 3 2a a Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL 2a a

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

2b 2b +b

+c 2c 2c +3c

=0 =0 adalah =0 =0

Agustus 2015

49 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 3 2a a Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL 2a a 2 3 2 2 1 0 6 1 2 2 0 7 6 7. Langkah-langkah OBE: 4 2 1 2 0 5 1 0 3 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

2b 2b +b

+c 2c 2c +3c

=0 =0 adalah =0 =0

Agustus 2015

49 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 3 2a a Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL 2a a 2 3 2 2 1 0 6 1 2 2 0 7 6 7. Langkah-langkah OBE: 4 2 1 2 0 5 12 0 3 0 3 1 2 2 0 6 2 2 1 0 7 7 (R $ R2 ) 1). 6 4 2 1 2 0 5 1 0 1 0 3

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

2b 2b +b

+c 2c 2c +3c

=0 =0 adalah =0 =0

Agustus 2015

49 / 62

SPL Homogen

Solusi Soal 3 2a a Matriks diperbesar yang bersesuaian dengan SPL 2a a 2 3 2 2 1 0 6 1 2 2 0 7 6 7. Langkah-langkah OBE: 4 2 1 2 0 5 12 0 3 0 3 1 2 2 0 6 2 2 1 0 7 7 (R $ R2 ) 1). 6 4 2 1 2 0 5 1 0 1 0 3 2

1 6 0 2). 6 4 0 0

2 2 5 2

MZI (FIF Tel-U)

2 5 2 5

3 0 0 R2 0 7 7 @ R3 0 5 R4 0

R2 R3 R4

2b 2b +b

+c 2c 2c +3c

=0 =0 adalah =0 =0

1 2R1 2R1 A R1

OBE dan EGJ

Agustus 2015

49 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 3). 6 4 0 0

2 2 5 0

MZI (FIF Tel-U)

2 5 2 0

3 0 0 7 7 (R 0 5 4 0

R4

R2 )

OBE dan EGJ

Agustus 2015

50 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 3). 6 4 0 0 2

1 6 0 4). 6 4 0 0

2 2 5 0

2 5 2 0

2 2 0 0

MZI (FIF Tel-U)

2 5 0

21 2

3 0 0 7 7 (R 0 5 4 0

3 0 0 7 7 R3 0 5 0

R4

R3

R2 )

5 2 R2

OBE dan EGJ

Agustus 2015

50 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 3). 6 4 0 0 2

1 6 0 4). 6 4 0 0 2

1 6 0 5). 6 4 0 0

2 2 5 0

2 5 2 0

2 2 0 0

2 5 0

2 2 0 0

MZI (FIF Tel-U)

21 2

2 5 1 0

3 0 0 7 7 (R 0 5 4 0

3 0 0 7 7 R3 0 5 0

3 0 0 7 7 R3 0 5 0

R4

R2 )

R3

5 2 R2

2 21 R3

OBE dan EGJ

Agustus 2015

50 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0

2 2 0 0

MZI (FIF Tel-U)

0 0 1 0

3 0 0 7 7 0 5 0

R1 R2

R1 + 2R3 R2 5R3

OBE dan EGJ

Agustus 2015

51 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

1 6 0 7). 6 4 0 0

2

0 0 1 0

2 0 0 0 2 0 0

0 0 1 0

MZI (FIF Tel-U)

3 0 0 7 7 0 5 0

3 0 0 7 7 (R 0 5 1 0

R1 R2

R1 + 2R3 R2 5R3

R1 + R2 )

OBE dan EGJ

Agustus 2015

51 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

2

0 0 1 0

2 0 0

1 6 0 7). 6 4 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

1 6 0 8). 6 4 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

2

MZI (FIF Tel-U)

3 0 0 7 7 0 5 0

3 0 0 7 7 (R 0 5 1 0

3 0 0 7 7 R2 0 5 0

R1 R2

R1 + 2R3 R2 5R3

R1 + R2 )

1 2 R2

.

OBE dan EGJ

Agustus 2015

51 / 62

SPL Homogen

2

1 6 0 6). 6 4 0 0 2

1 6 0 7). 6 4 0 0

2

0 0 1 0

2 0 0 0 2 0 0

0 0 1 0

3 0 0 7 7 0 5 0

3 0 0 7 7 (R 0 5 1 0

R1 R2

R1 + 2R3 R2 5R3

R1 + R2 )

3 1 0 0 0 6 0 1 0 0 7 1 7 8). 6 2 R2 . 4 0 0 1 0 5 R2 0 0 0 0 Diperoleh solusi a = b = c = 0. Dengan perkataan lain solusi SPL adalah tupel (0; 0; 0), atau dapat dikatakan SPL memiliki solusi trivial. 2

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

51 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

52 / 62


Latihan SPL Non Homogen

Latihan Diberikan SPL x 3x 4x

+2y y +y

3z +5z + a2 14 z

=4 =2 =a+2

Tentukan nilai a agar SPL tersebut: 1

Tidak mempunyai solusi.

2

Memiliki solusi tunggal.

3

Memiliki tak hingga banyak solusi.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

53 / 62


Solusi Latihan SPL Non Homogen

Matriks 2 1 4 3 4 2

diperbesar yang bersesuaian dengan SPL adalah 3 2 3 4 1 5 2 5. Dengan OBE, tinjau bahwa: 2 1 a 14 a + 2

1 1). 4 0 0

2 7 7

1 2). 4 0 0

2 7 0

2

MZI (FIF Tel-U)

a

2

a2

3 14 2 3 14 16

a

3 4 10 5 14

R2 R3

3 4 10 5 (R3 a 4

R2 R3

R3

OBE dan EGJ

3R1 4R1

R2 )

Agustus 2015

54 / 62


Matriks terakhir sudah berada dalam bentuk EB.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62


Matriks terakhir sudah berada dalam bentuk EB. 1

Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62



Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 n , dengan n 6= 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62



Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62



Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 = 0 tetapi a

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

4 6= 0.

Agustus 2015

55 / 62



Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 = 0 tetapi a 4 6= 0. Dari a2 16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a 4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62



Jika SPL tidak memiliki solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 n , dengan n 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 = 0 tetapi a 4 6= 0. Dari a2 16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a 4 6= 0, maka SPL tidak memiliki solusi saat a = 4 .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2

Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2

Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 m n , dengan m 6= 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2

Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2

Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2

Jika SPL memiliki solusi tunggal, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 m n , dengan m 6= 0. Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 6= 0. Akibatnya SPL memiliki solusi tunggal saat a 6= 4 .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2


3

Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2


3

Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2


3

Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2


3

Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 = 0 dan a 4 = 0.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2


3

Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 = 0 dan a 4 = 0. Dari a2 16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a 4 = 0, maka SPL memiliki tak hingga banyak solusi saat

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62




2


3

Jika SPL memiliki tak hingga banyak solusi, maka baris ketiga harus berbentuk 0 0 0 0 . Karena baris ketiga adalah 0 0 a2 16 a 4 , maka haruslah a2 16 = 0 dan a 4 = 0. Dari a2 16 = 0, diperoleh a = 4 atau a = 4. Karena a 4 = 0, maka SPL memiliki tak hingga banyak solusi saat a = 4 .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

55 / 62


Latihan SPL Homogen

Latihan Diberikan SPL bx (1

b) y +y

+z + (1 b) z

=0 =0 =0

Tentukan nilai b agar SPL homogen di atas memiliki tak hingga banyaknya solusi. Tuliskan semua kemungkinan solusi dari SPL tersebut.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

56 / 62


Solusi Latihan SPL Homogen Matriks diperbesar yang 2 b 0 0 4 0 1 b 1 0 1 1 b 2

b 1). 4 0 0

1

0 b b

0 1 b

bersesuaian dengan SPL adalah 3 0 0 5. Dengan OBE, tinjau bahwa: 0

3 0 0 5 0

R1 R1 R3 R3 R2

SPL 2 memiliki tak hingga3 banyaknya solusi apabila matriks b 0 0 0 4 0 1 b 1 0 5 memiliki baris nol. Hal ini dapat terjadi dalam kasus 0 b b 0 berikut:

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

57 / 62


Nilai b =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

0 4 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 0

0 1 0

0 1 0

3 0 0 5, dengan OBE 0

diperoleh

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

3 0 0 0 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R1 $ R2 ). Akibatnya diperoleh 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

3 0 0 0 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R1 $ R2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0. 0 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

3 0 0 0 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R1 $ R2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0. 0 0 0 0 Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

3 0 0 0 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R1 $ R2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0. 0 0 0 0 Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z, maka misalkan x = s dengan s 2 R.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

3 0 0 0 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R1 $ R2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0. 0 0 0 0 Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z, maka misalkan x = s dengan s 2 R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = t, dan z = t, dengan s; t 2 R.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


2

3 0 0 0 0 Nilai b = 0, akibatnya diperoleh matriks 4 0 1 1 0 5, dengan OBE 0 0 0 0 3 2 0 1 1 0 diperoleh 4 0 0 0 0 5 (R1 $ R2 ). Akibatnya diperoleh y + z = 0. 0 0 0 0 Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Karena nilai x tidak bergantung pada y dan z, maka misalkan x = s dengan s 2 R. Akibatnya solusi SPL adalah x = s, y = t, dan z = t, dengan s; t 2 R. Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (s; t; t), dengan t 2 R .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

58 / 62


Nilai b =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62


Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62


2

2 Nilai b = 2, akibatnya diperoleh matriks 4 0 0 diperoleh

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

0 1 2

0 1 2


Agustus 2015

59 / 62


Nilai b = 2, diperoleh 2 1 0 4 0 1 0 0

2

1 4 0 0

0 1 0

2

2 akibatnya diperoleh matriks 4 0 0 3 0 0 1 R1 2 R1 1 0 5 R3 R3 + 2R2 0 0 0 1 0

MZI (FIF Tel-U)

3 0 0 5 (R2 0

0 1 2

0 1 2


R2 ).

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62



2

1 4 0 0

0 1 0

2


3 0 0 5 (R2 0

0 1 2


R2 ).

Akibatnya diperoleh x = 0 dan y

MZI (FIF Tel-U)

0 1 2

z = 0.

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62



2

1 4 0 0

0 1 0

2


3 0 0 5 (R2 0

0 1 2


R2 ).

Akibatnya diperoleh x = 0 dan y nilai y = t.

MZI (FIF Tel-U)

0 1 2

z = 0. Misalkan z = t dengan t 2 R, maka

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62



2

1 4 0 0

0 1 0

2


3 0 0 5 (R2 0

0 1 2

0 1 2


R2 ).

Akibatnya diperoleh x = 0 dan y z = 0. Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t 2 R.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62



2

1 4 0 0

0 1 0

2


3 0 0 5 (R2 0

0 1 2

0 1 2


R2 ).

Akibatnya diperoleh x = 0 dan y z = 0. Misalkan z = t dengan t 2 R, maka nilai y = t. Akibatnya solusi SPL adalah x = 0, y = t, dan z = t, dengan t 2 R. Dalam bentuk tupel, solusi SPL adalah (0; t; t), dengan t 2 R .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

59 / 62


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7

SPL Homogen

8


9


MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

60 / 62


Latihan Jawablah soal-soal berikut dengan menyertakan langkah-langkahnya. 1

2a 8b 6b Tentukan solusi SPL 3a a +2b

2

Tentukan solusi SPL

3

Tentukan solusi SPL

2w w 2w

2x x +2x

x1 2x1

5x2 +10x2

2x1

MZI (FIF Tel-U)

= 12 =9 . = 4

10x2

y

+3z +2z 4z

4x3 7x3 x3 +8x3

OBE dan EGJ

=4 =1 = 2 +x4 +x4 +x4

7x5 7x5 +7x5 +18x5

=0 =0 =0 =0

Agustus 2015

61 / 62


4

5

Berikan matriks X yang memenuhi 3 1 1 4 2 X X = 1 2 2 0 5 Diberikan SPL homogen x1 k 2 x1

2 4

+2x2 x2 + (k + 1) x2

.

+x3 +2x3 +x3

=0 =0 . =0

Tentukan nilai k agar SPL homogen ini memiliki solusi tunggal.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

62 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

Recommend Documents