Modern algebrai mo´dszerek fizikai alkalmaza´sai Makai Mih´aly Budapesti M˝ uszaki Egyetem Nukle´aris Technikai Int´ezet KFKI Atomenergiakutat´o Int´ezet 2007
Tartalomjegyz´ ek 1. Csoportelm´ elet a fizik´ aban 1.1. Jel¨ol´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 17
2. Csoportelm´ eleti ´ es geometriai alapok 2.1. Jel¨ol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Diszkr´et csoportok . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Szorzat´abr´azol´as . . . . . . . . . . . ´ azol´asok direkt szorzata, tenzorok 2.2.2. Abr´ egy¨ utthat´ok . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Folytonos csoportok . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Lie-csoportok . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Lie-B¨acklund csoport . . . . . . . . . 2.4. Cayley-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Forg´ascsoport, Lorentz-csoport . . . . . . . . 2.5.1. Forg´ascsoport . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Lorentz-csoport . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . .
19 20 21 34
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . felbont´asa, Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Seg´ edeszk¨ oz¨ ok a csoportelm´ eleti sz´ am´ıt´ asokhoz 3.1. MAGMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. GAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. MAPLE 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Seg´edeszk¨oz¨ok az interneten . . . . . . . . . . . . 4. A v´ altoz´ ok sz´ etv´ alaszt´ as´ anak m´ odszere 4.1. Jel¨ol´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. A m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. A v´altoz´ok szepar´al´as´anak felhaszn´al´asa . 4.3.1. Az S = M2 -hez tartoz´o p´alya . . . 4.3.2. Az S = P22 -hez tartoz´o p´alya . . . . 4.3.3. Az S = {M, P2 }-hez tartoz´o p´alya 1
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
35 36 37 45 47 53 53 58 66
. . . .
67 69 74 79 80
. . . . . .
81 82 82 92 94 95 95
4.3.4. Az S = M2 + d2 P21 -hez tartoz´o p´alya . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Egyenletek szimmetri´ ainak meghat´ aroz´ asa 5.1. Egyenletek szimmetri´aja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Differenci´alegyenletek szimmetri´aja . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Kvadrat´ ur´aval megoldhat´o differenci´alegyenletek . . . . . . . . 5.4. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. A Lie-szimmetri´akat meghat´aroz´o egyenlet kisz´am´ıt´asa 5.4.2. Az egyenlet kanonikus alakra hoz´asa . . . . . . . . . . 5.4.3. A Lie-csoport meghat´aroz´asa . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Szimbolikus algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Szimmetri´ak ´es megmarad´asi t´etelek . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Vari´aci´os feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Krist´ alyr´ acsok oszt´ alyoz´ asa 6.1. A krist´alyok szerkezete . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. A s´ık ´es a t´er szimmetri´ai . . . . . . . 6.2. V´eges csoportok oszt´alyoz´asa . . . . . . . . . 6.2.1. Pontcsoportok oszt´alyoz´asa . . . . . . ´ 6.2.2. Altal´ anos v´eges csoportok oszt´alyoz´asa 6.3. Bloch-f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
98
. . . . . . . . . .
100 101 105 115 118 119 120 120 120 123 123
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
128 129 130 139 139 147 150
7. Algebra ´ es geometria 7.1. Jel¨ol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Sk´al´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. K´aosz ´es szimmetri´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 7.5. Osszetett tartom´any . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Green-f¨ uggv´eny el˝oa´ll´ıt´asa . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Lorentz-transzform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Geometriai viszonyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2. A geometriai viszonyok kiv´alaszt´asa . . . . . . . . . . 7.7. A fizikai probl´ema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. T´erid˝o transzform´aci´o, komponensek transzform´aci´oja 7.7.2. Sorozattranszform´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
159 160 164 167 171 186 192 195 195 205 206 206 215
. . . .
222 230 235 240 242
8. A perem´ ert´ ek-feladat 8.1. A perem´ert´ek-feladat szimmetri´aja . . . 8.2. A fed˝ocsoport haszn´alata . . . . . . . . . 8.3. Irreducibilis komponensek el˝o´all´ıt´asa . . 8.4. A reszponz m´atrix n´eh´any tulajdons´aga .
2
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
8.5. Nem egyenletes anyageloszl´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9. Numerikus m´ odszerek 9.1. Gyenge megold´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Az iter´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. A pr´obaf¨ uggv´enyek ´es a s´ ulyf¨ uggv´enyek kiv´alaszt´asa . . . . . . 9.3.1. V´egesdifferencia-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. V´egeselem-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Nod´alis m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Az egyenletrendszer megold´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1. V´eges differencia m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2. V´egeselem-m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. Nod´alis m´odszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Diszkretiz´aci´o, invari´ans megold´as, a szimmetri´ak kihaszn´al´asa 9.5.1. Mimetikus diszkretiz´aci´o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5.2. A div, grad ´es rot oper´atorok diszkretiz´alt alakja . . . 9.5.3. Diszkretiz´alt, invari´ans megold´as . . . . . . . . . . . . 9.5.4. Iter´aci´o ´es szimmetri´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
247 249 252 254 254 256 262 263 263 265 267 271 271 275 279 290
10.Speci´ alis fu enyek ¨ ggv´ 10.1. A v´altoz´ok sz´atv´alaszt´as´ahoz kapcsol´od´o f¨ uggv´enyek . 10.1.1. Legendre-polinomok . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Bessel-f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3. Mathieu-f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Parabolikus hengerf¨ uggv´enyek . . . . . . . . . 10.2. G¨ombf¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Elliptikus f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Hermite-polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
293 294 295 297 301 303 303 307 308
11.A Galois elm´ elet 11.1. Gy¨ok¨ok ´es egy¨ utthat´ok . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. A Galois-elm´elet . . . . . . . . . . . . 11.2. Differenci´al-egyenletek invarianci´aja . . . . . . 11.3. Differenci´alegyenletek Galois elm´elete . . . . . 11.3.1. Elj´ar´asok a megold´as meghat´aroz´as´ara 11.3.2. Algoritmusok . . . . . . . . . . . . . . 11.4. G´epi elj´ar´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
309 313 314 317 321 325 329 333 334
3
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
12.Algebra ´ es val´ osz´ın˝ us´ eg 335 12.1. El´agaz´o folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12.2. Neutrondetektorok hat´ekonys´aga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 13.Appendix 347 13.1. Defin´ıci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 13.2. P´eld´ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Irodalom
355
4
El˝ osz´ o
5
Fizika el˝oad´asokon rendszeresen elhangzanak algebrai konstrukci´ok megnevez´esei: vektort´er, csoport, algebra. Ezek megismer´es´ere a di´akok els˝osorban matematikai kurzusokat hallgatnak, ahol a fenti fogalmak elm´elete ker¨ ul el˝ot´erbe. Jelen el˝oad´as c´elja fizikai alkalmaz´asok keret´eben bemutatni a modern algebrai fogalmak haszn´alat´at. Egy fizikus h´etk¨oznapjaiban l´epten-nyomon alkalmazni k´enyszer¨ ul algebrai eszk¨oz¨oket. Leggyakrabban tal´an a nem-line´aris egyenlet megold´asa, line´aris egyenletrendszerek megold´asa bukkan fel. Ezek trivi´alis p´eld´ak. De amikor egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet integr´al´as´ar´ol van sz´o, vagy egy bonyolult fizikai rendszerben megmarad´o mennyis´egeket kell megkeresni, kevesen gondolnak algebrai eszk¨oz¨ok alkalmaz´as´ara. Ennek egyik oka, hogy ezek az eszk¨oz¨ok kev´ess´e ismertek. A fizika egyes ter¨ uletein (ld. al´abb) elker¨ ulhetetlen modern algebrai eszk¨oz¨ok (els˝osorban csoportelm´elet) alkalmaz´asa. A legt¨obb fizikai probl´ema megold´as´at nem tudjuk megadni z´art alakban, gyakran k´enyszer¨ ul¨ unk k¨ozel´ıt˝o-, vagy numerikus megold´as haszn´alat´ara. Egy f´elvezet˝oben az elektronok Fermifel¨ ulet´enek meghat´aroz´asa, amire egy nanotechnol´ogiai eszk¨oz fejleszt´es´ehez sz¨ uks´eg van; egy kis¨ ul´esi cs˝oben az elektrons˝ ur˝ us´eg meghat´aroz´as´ahoz, egy plazma t¨olt´es- ´es s˝ ur˝ us´egeloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz, egy atomer˝om˝ u z´on´aj´aban a neutrong´az eloszl´as´anak meghat´aroz´as´ahoz, egy gyorsan a´raml´o folyad´ek vagy g´az le´ır´as´ahoz ilyen k¨ozel´ıt˝o megold´asok ´allnak rendelkez´esre. A p´eld´akat lehet folytatni csillag´aszati, u ´rhaj´oz´asi, geofizikai, optikai probl´em´ak sor´aval. A modern algebra absztrakt fogalmait nem k¨onny˝ u megszokni ´es alkalmazni. Ez´ert a jegyzetben gyakran tal´al az olvas´o p´eld´akat (ezek a´ltal´aban nagyon egyszer˝ uek) azzal a c´ellal, hogy a jel¨ol´eseket, az u ´j fogalmakat legyen mihez kapcsolni. A numerikus m´odszerek egy analitikusan (differenci´al-, vagy integr´alegyenlet form´aj´aban) megfogalmazott feladatot leegyszer˝ us´ıtenek ´es a´talak´ıtanak v´egs˝o soron egy algebrai feladatt´a, t¨obbnyire line´aris egyenletrendszerr´e. Ezt az egyszer˝ ubb, algebrai feladatot kell megoldani. Ilyen eszk¨oz¨ok fejleszt´ese ´es haszn´alata sor´an az al´abbi szempontok j´atszanak d¨ont˝o szerepet: • Mi az a´ra a numerikus m´odszer haszn´alat´anak? Ne legyen az Olvas´onak ill´ uzi´oja, a 1 tetszet˝os, sz´ınes a´br´akat produk´al´o CFD k´od is jelent˝os egyszer˝ us´ıt´es´eket tartalmaz. Az a felhaszn´al´o, aki ennek nincs tudat´aban, alaposan p´orul j´arhat, esetleg olyan jelens´eg vizsg´alat´ara akarja a programot felhaszn´alni, amit az nem is tud modellezni. • Milyen kompromisszukat kellett k¨otni az egyszer˝ us´ıt´esek ´erdek´eben? K¨ ul¨on meg kell vizsg´alni, nem ´aldoztuk-e fel a v´egrehajthat´os´ag olt´ar´an a fizikai folyamat l´enyeges elemeit? A jelen jegyzetben le´ırt m´odszerek ismerete a szerz˝onek sokat seg´ıtett abban, hogy a 1
A CFD a computational fluid dynamics szavak r¨ovid´ıt´ese, a Navier-Stokes egyenletek megold´as´ara kidolgozott numerikus m´ odszer ´es program.
6
gyakorlatban is haszn´alhat´o, szil´ard elm´eleti alapokon a´ll´o algoritmusokat dolgozzon ki a geofizik´aban ´es a reaktorfizik´aban. Ismeretes, hogy a csoportelm´elet a fizika t¨obb ter¨ ulet´en is fontos szerepet j´atszik, mint pl. r´eszecskefizika, relativit´aselm´elet, atom- ´es magfizika, szil´ardtestfizika. A fizikus ´es tan´arszakos hallgat´ok k´epz´es´eben szerepel csoportelm´eleti el˝oad´as is, ez azonban sz¨ uks´egszer˝ uen elm´eleti jelleg˝ u. Jelen munka az ELTE TTK-n ´es a BME-n megtartott speci´alis koll´egium anyag´at tartalmazza ´es els˝osorban az alkalmaz´asokra koncentr´al. R¨ovid csoportelm´eleti bevezet´es ut´an a perem´ert´ek-feladatok szimmetri´ait t´argyalja, majd a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszer´et, egy adott egyenlet szimmetri´ainak rendszerezett megkeres´es´et vizsg´alja. A csoportelm´elet gyakran ¨osszefon´odik m´as algebrai strukt´ ur´ak (testek, vektorterek, algebr´ak) haszn´alat´aval. K¨ ul¨on kit´er¨ unk a geometria ´es a csoportelm´elet kapcsolat´anak n´eh´any k´erd´es´ere (gr´afok, fed˝ocsoportok), ezek ugyanis el˝ony¨osen haszn´alhat´oak p´eld´aul egy egyenlet Green-f¨ uggv´eny´enek megkonstru´al´as´ara. De, a geometria ´es a csoport kapcsolata el˝oker¨ ul a speci´alis relativit´aselm´eletben is. Wagner Istv´an azon felismer´ese, hogy a sebess´eg¨osszead´as relativit´aselm´eletben alkalmazand´o m´odja azt is jelenti, hogy a sebess´egeket m´as geometri´aban c´elszer˝ u t´argyalni, mint a t´avols´agokat lehet˝ov´e tette a Lorentz-transzform´aci´o egyes hi´anyoss´againak kik¨ usz¨ob¨ol´es´et. A bemutatand´o m´odszer k´et pill´ere az algebra ´es az anal´ızis. A szerz˝o megd¨obbenve tapasztalta, hogy egy sikeres, fiatal amerikai koll´ega, aki eredm´enyeket ´ert el a perem´ert´ekfeladatok ter´en, a kilencvenes ´evek k¨ozep´en elk´epzelhetetlennek tartotta algebrai m´odszerek alkalmaz´as´at. Szerinte az algebra ´es az anal´ızis k´et k¨ ul¨on vil´ag. Id˝ok¨ozben kider¨ ult, hogy a t´ema m˝ uvel˝oi–els˝osorban orosz ´es ukr´an kutat´ok–nem ´ıgy gondolkoztak. Ma m´ar elfogadott az algebra ´es az anal´ızis egy¨ uttes alkalmaz´asa az eg´esz vil´agon. Ugyanakkor a magyar kutat´ok figyelm´et ez a k´erd´esk¨or elker¨ ulte. Egy algebrai vagy differenci´alegyenlet szimmetriacsoportj´anak ismerete megk¨onny´ıti a megold´as megkeres´es´et. A v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszere, alkalmas sk´al´ak v´alaszt´asa, a geometria algebrai m´odszerekkel t¨ort´en˝o le´ır´asa– ezek a kiv´alasztott t´em´ak kaptak helyt jelen munk´aban. Mindezen eredm´enyek gyakorlati alkalmaz´asa nem lenne lehets´eges az algebra numerikus m´odszereinek l´atv´anyos fejl˝od´ese n´elk¨ ul. Az ut´obbi ´evtizedben ezek az eredm´enyek az interneten is el´erhet˝o programokban, ´es a benn¨ uk megtestes¨ ul˝o modern numerikus m´odszerekben is megtal´alhat´oak. R¨oviden kit´er¨ unk a (nem csoportelm´eleti) numerikus m´odszerekre is. A vizsg´alat c´elja, hogy a kezelhet˝onek ´ıt´elt esetek egy r´esz´enek t´argyal´as´ara is legyen m´od. A gyakorlatban el˝ofordul´o perem´ert´ek-feladatok (ilyenek a szil´ardtest fizik´aban ¨osszetett elemi cell´ak elektronn´ıv´oinak sz´am´ıt´asa, vagy a DNS szerkezet´ehez kapcsol´od´o vizsg´alatok) t¨obbnyire csak numerikus m´odszerekkel t´argyalhat´oak. Ha a probl´ema m´erete k´ets´egess´e teszi a szok´asos numerikus m´odszerek siker´et, akkor is lehet alkalom a megold´as egyes tulajdons´againak meghat´aroz´as´ara, vagy ´eppen a numerikus m´odszer olyan megfogalmaz´as´ara, ami m´ar sikerrel kecsegtet. V´eg¨ ul a csoportelm´elet k´et, a perem´ert´ekekhez nem kapcsol´od´o feladatban el´ert siker´et mutatom be. Az els˝o a polinomok gy¨okk´eplet´evel 7
kapcsolatos, a m´asodik pedig egy val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´asi feladat megold´asa. Terjedelmi okokb´ol a bizony´ıt´asokat mell˝oztem, azok megtal´alhat´oak egy csoportelm´eleti tank¨onyvben vagy el˝oad´asban, esetleg k´ezik¨onyvekben. Az alkalmazott ´ervel´es n´eha matematikai jelleg˝ u, de ha az bizonyul egyszer˝ ubbnek, a fizikai ´ervel´est k¨ovetem. Rem´elem, siker¨ ul eloszlatni azt az els˝osorban matematikus k¨or¨okben elterjedt n´ezetet, miszerint a csoportelm´elet egy absztrakt, de meglehet˝osen haszontalan tudom´any. A t´argyal´asm´od nem a csoportelm´eleti k¨onyvek t¨obbs´eg´eben megszokott szigor´ u rendet k¨oveti. Ennek egyik oka a terjedelem korl´atja. A 1.-11. fejezetek mindegyike megt¨oltene egy teljes k¨otetet, ha a prec´ız kifejt´est k¨ovetn´em. Rem´elhet˝oen az olvas´o k¨ovetni tudja a gondolatmenetet ´es megismeri az alkalmazott eszk¨oz¨oket. Ha pedig ´erdekl˝odik egy t´ema ir´ant, az irodalomjegyz´ekben tal´al monogr´afi´akat, amelyek r´eszletesen t´argyalj´ak az adott k´erd´esk¨ort. A vizsg´alatok sor´an gyakran esik sz´o matematikai objektumokr´ol (halmaz, sokas´ag, euklideszi t´er, Hilbert-t´er, csoport, Lie-algebra, stb.). Ezek le´ır´as´ara k´et m´od is k´ın´alkozott. Az els˝o le´ır´asi m´odot lok´alisnak lehet nevezni, mert benne a le´ırt objektumot koordin´at´akkal adjuk meg, a koordin´at´akhoz pedig ismert m´odon kapcsolhat´o t´avols´ag ´es topol´ogia. Erre a le´ır´asm´odra k¨ozismert p´elda egy ortonorm´alt b´azissal ell´atott Hilbertt´er. Seg´ıts´eg´evel a Hilbert-t´eren hat´o oper´atorokat v´egtelen m´atrixokkal lehet le´ırni. A m´asik le´ır´asi m´od arra helyezi a hangs´ ulyt, hogy sz´amos objektum kezelhet˝o azonos m´odon, ez´ert az objektumot glob´alis m´odon jellemezz¨ uk, p´eld´aul eltekint¨ unk a koordin´at´ak haszn´alat´at´ol. Ezt a t´argyal´asm´odot az teszi lehet˝ov´e, hogy egyes objektumok k¨oz¨ott k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u, invert´alhat´o, ”sima” lek´epez´es teremt kapcsolatot, ´es a le´ır´as egyar´ant vonatkozhat b´armelyik objektumra. Erre p´eld´anak felhozhat´o az n dimenzi´os Rn t´er k´et ny´ılt r´eszhalmaza, amelyeknek pontjai k¨olcs¨on¨osen megfeleltethet˝oek. Megeml´ıtem, hogy ennek a n´ez˝opontnak egyik ”term´eke” a topol´ogi´aban alkalmazott sokas´ag fogalma, ld. Alexandrov[1] munk´aj´at. Term´eszetesen c´elszer˝ u ´altal´anos megfogalmaz´ast haszn´alni, de alkalomadt´an el˝ony¨os a koordin´at´ak adta lehet˝os´egeket kihaszn´alni. Ez´ert a k´et n´ezet sz¨ uks´egszer˝ uen keveredik. Amikor lok´alis koordin´at´akr´ol besz´el¨ unk, arra k´ıv´anjuk felh´ıvni a figyelmet, hogy az adott objektum adott koordin´ata-rendszer´er˝ol van sz´o. A 11 fejezet a fizik´aban gyakran sz¨ uks´eges differenci´alegyenletek megold´as´aval foglalkozik. Meg´ert´ese komoly algebrai ismereteket t´etelez fel, ez´ert az Olvas´o ezt a r´eszt a´tugorhatja, a t¨obbi fejezet meg´ert´es´ehez nem sz¨ uks´egesek az itteni ismeretek.
8
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Az anyag gy˝ ujt´es´eben nagy szeret kapott az internet. Gyakran felhaszn´altam a GAP [10], a MATHEMATICA ´es a Maple programokban tal´alhat´o inform´aci´ot. Ezen fel¨ ul, az egyes r´eszek anyagai k¨ozismert k¨onyvekre ´ep¨ ulnek, ezek list´aj´at a jegyzet v´eg´en tal´alja az olvas´o. M´egis k¨ ul¨on k¨osz¨onet illeti az al´abbi m˝ uvek szerz˝oit: A 4. fejezet Willard Miller k¨onyv´enek[28] anyag´ara (azon bel¨ ul is els˝osorban annak 1. fejezetre) ´ep¨ ul. Az 5. fejezet nagyr´eszt Peter J. Olver [31] ´es N. H. Ibragimov [15] k¨onyv´enek anyag´ara ´ep¨ ul, de felhaszn´altam W. Hereman anyag´at is a CRC Handbook-b´ol [13]. A 6. fejezetben t¨obbek k¨oz¨ott Charles Kittel [21], a Landau-Lifsic V. k¨otete [25], S. L. Altman [2] k¨onyve szolg´alt kiindul´asul. A 5. fejezetben David Sattinger [37], A 7.5.1. fejezet teljes eg´esz´eben Wagner Istv´an munk´aj´ara ´ep¨ ul. K¨ ul¨on k¨osz¨onet az´ert, hogy a t¨obbnyire publik´alatlan eredm´enyeit Wagner Istv´an rendelkez´esemre bocs´atotta. A 9. fejezetben Richard S. Varga[48] k¨onyve volt seg´ıts´egemre, a 10. fejezetben Farkas Mikl´os [8] ´es [48], a 11. fejezetben Artin jegyzete[3], ´es egy sor internetr˝ol hozz´af´erhet˝o k´ezirat seg´ıtett. A 12. fejezet P´al L´en´ard [34],[33] k´ezirataira ´es Nifenecker [30] cikk´ere ´ep¨ ul.
9
Bevezet´ es
10
Aki fizikai feladatok megold´as´ara adja a fej´et, annak gyakran lesz sz¨ uks´ege matematikai eszk¨oz¨okre. Ha egy kifejez´esb˝ol ki kell fejezni egy abban szerepl˝o param´etert, egy (gyakran nemline´aris) egyenletet kell megoldani. Ha a fizikai folyamat le´ır´as´ara differenci´alegyenlet (vagy integr´alegyenlet) szolg´al, a megold´as ism´et matematikai eszk¨oz¨okkel t¨ort´enik. Egy fizikai feladat megold´as´aban gyakran nem elegend˝o kiv´alasztani egy matematikai m´odszert, figyelembe kell venni a fizikai feladat tulajdons´agait is. Ez´ert a fizika egyes a´gaiban haszn´alt matematikai m´odszerek egyediek is, ´altal´anosak is. Vegy¨ uk p´eldaul a differenci´alegyenletek megold´as´at. A k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek a´ltal´anos megold´as´aban az egyenlet ´altal´anos megold´as´aban a hat´arozatlan a´lland´ok sz´ama megegyezik a differenci´alegyenlet rendj´evel. Az egyenlet megold´asa ´ıgy k´et l´ep´esb˝ol ´all, az els˝oben meghat´arozzuk az a´ltal´anos megold´ast, a m´asodikban pedig r¨ogz´ıtj¨ uk az ´altal´anos megold´as szabad egy¨ utthat´oit. A parci´alis differenci´alegyenletekn´el m´ar m´as a helyzet. Az egyenletek megold´asa sokkal gazdagabb, minthogy n´eh´any konstanssal le lehetne ´ırni. A megold´asok halmaza sz˝ uk´ıthet˝o, egyes esetekben egy´ertelm˝ uv´e is tehet˝o, ha a megold´ast csak egy tartom´anyon vizsg´aljuk ´es a tartom´any hat´ar´an alkalmas felt´eteleket szabunk meg. Ismeretes, hogy a komplex s´ıkon ´ertelmezett s´ıma f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik a Laplace-egyenletet. Ha azonban a f¨ uggv´eny ´ert´ek´et r¨ogz´ıtj¨ uk egy z´art g¨orbe ment´en, a g¨orbe bels˝o pontjaiban a f¨ uggv´eny ´ert´eke egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. A parci´alis differenci´al-egyenletek elm´elete nem ad u ´tmutat´ast arra n´ezve, milyen peremf´elteleket lehet egy adott egyenlethez megszabni u ´gy, hogy a megold´as egy´ertelm˝ u legyen. A tank¨onyvek nagyr´eszt az elm´eleti fizika ´altal felvetett probl´em´akat t´argyalj´ak, teh´at az egyenletek is, a peremfelt´etelek is adottak. Azonban k¨onnyen bel´athat´o, hogy a fizika egyenleteihez nem felt´etlen¨ ul egy peremfelt´etel adhat´o meg. P´eld´anak felhozhat´o a rugalmas rezg´es, ami megoldhat´o ak´ar r¨ogz´ıtett peremmel (ez fizikailag u ´gy val´os´ıthat´o meg, hogy a peremet szil´ardan r¨ogz´ıtj¨ uk), ekkor a rezg´es amplitud´oja nulla a peremen. De megoldhat´o szabad v´egek mellett is, vagy ak´ar r´eszben r¨ogz´ıtett peremmel is, amikor a perem bizonyos megk¨ot´esekkel rezeghet. A fizikai probl´em´ak kapcs´an felvet˝odik a k´erd´es: Honnan tudjuk, hogy egy adott fizikai feladatnak egy vagy t¨obb megold´asa l´etezik? A fizikai feladatot kev´es kiv´etelt˝ol eltekintve akkor tekintj¨ uk korrekt kit˝ uz´es˝ unek, ha a megold´as l´etezik ´es egy´ertelm˝ u. M´eg ha igazolhat´o is, hogy egy adott fizikai jelens´egnek egyetlen megold´asa l´etezik, nem biztos, hogy a jelens´eg le´ır´as´ara alkalmazott matematikai modellnek is csak egy megold´asa l´etezik. Jelent˝os er˝ok dolgoznak azon, hogy sz´amos fizikai modellre igazolj´ak: a fizikai modellhez tartoz´o matematikai modellnek is csak egy megold´asa van. Ha t¨obb megold´as is l´etezik, akkor a lehets´eges megold´asok k¨oz¨ ul azt v´alasztjuk ki, amelyik ”fizikailag ´esszer˝ u”, azaz, kell˝oen sima, esetleg pozit´ıv stb. Ez m´ar biztos´ıtja a megold´as egy´ertelm˝ us´eg´et. Mindenesetre ´ebernek kell lenn¨ unk, nem szabad mag´at´ol ´ertet˝od˝onek venni, hogy egy adott feladathoz csak egy megold´as tartozik. Az el˝oad´as c´elja bemutatni a modern algebrai m´odszerek egyes fizikai alkalmaz´asait. Az algebra annyira h´etk¨oznapi eszk¨oz a fizik´aban, hogy gyakran nem is gondolunk r´a. Egy nemline´aris egyenlet, egy line´aris egyenletrendszer megold´asa a h´etk¨oznapi munka 11
r´esze. A fizika egyes ter¨ uletein (relativit´aselm´elet, kvantumelm´elet, szil´ardtestfizika) a csoportok alkalmaz´asa term´eszetesnek sz´am´ıt. A v´eletlen folyamatok tanulm´anyoz´as´aban egy speci´alis gr´af, a fa, mint algebrai strukt´ ura bizonyult hasznosnak. Az ut´obbi ´evtizedben jelent˝os lend¨ uletet kapott a Lie-csoportok (ill. Lie-B¨acklundcsoportok) alkalmaz´asa a differenci´alegyenletek vizsg´alat´aban. Ma m´ar programokat tal´alunk az interneten, amelyekkel differenci´al- ´es integro-differenci´alegyenletek szimmetria´it lehet vizsg´alni. Ezek haszn´alata els˝osorban a numerikus m´odszerek kidolgoz´as´aban ´es ellen˝orz´es´eben lehet el˝ony¨os, de egyes ter¨ uleteken, mint a turbulens a´raml´asok vizsg´alata, szerep¨ uk meghat´aroz´ov´a v´alt. A ”computational group theory” (csoportelm´eleti sz´am´ıt´og´epes programok) mellett ez is egy olyan gyakorlati alkalmaz´asa a csoportelm´eletnek, amely a nem csoportelm´eleti szakemberek sz´am´ara k¨ ul¨on¨osen hasznosnak bizonyulhat. Fizikai feladatok sz´eles k¨ore kapcsol´odik perem´ert´ek-feladatokhoz. Ezen a ter¨ uleten azonban a modern algebrai eszk¨oz¨os alkalmaz´asa m´eg t´avolr´ol sem a´ltal´anos. Be k´ıv´anjuk mutatni, hogy a modern algebrai m´odszerek (csoportok, fed˝ocsoport, gr´af) el˝ony¨osen alkalmazhat´ok a feladat megold´as´aban. R´eszletesen foglalkozunk azzal, hogyan lehet egy differenci´alegyenlet megold´as´at megadni csoportelm´eleti m´odszerekkel. Els˝ok´ent a Fourier-m´odszert, azaz, a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at vizsg´aljuk, de sz´o lesz a differenci´alegyenlet rendj´enek cs¨okkent´es´er˝ol ´es az integr´al´o t´enyez˝o meghat´aroz´as´ar´ol is. Ezek a technik´ak sz´eles k¨orben haszn´alhat´oak a fizik´aban. A krist´alyok szerkezet´enek t´argyal´asa kapcs´an o¨sszefoglaljuk a v´eges csoportok tulajdons´agait, megadjuk a leggyakoribb pontcsoportok karaktert´abl´ait is. A speci´alis relativit´aselm´elet kapcs´an pedig ´erintj¨ uk az algebra ´es a geometria kapcsolat´at. Nem t´er ki az el˝oad´as p´eld´aul a sz´ınk´epvonalak finomszerkezet´enek k´erd´eseire, noha az is algebrai eszk¨oz¨okkel t´argyalhat´o. Ennek egyik oka, hogy a k´erd´esk¨or t´argyal´asa magyar nyelven hozz´af´erhet˝o (ld. Wigner k¨onyv´et az irodalomjegyz´ekben). A t´argyal´as egyhang´ us´ag´at p´eld´ak teszik v´altozatosabb´a. Ezzel az volt a c´elom, hogy bemutassan a bevezetett fogalmak, eszk¨oz¨ok alkalmaz´as´at. A jegyzet v´eg´en p´eld´ak tal´alhat´oak ¨on´all´o megold´asra, ezek seg´ıts´eg´evel az olvas´o ellen˝orizheti tud´as´at. Tekintettel arra, hogy azok a transzform´aci´ok, amelyekkel szemben egy egyenlet invari´ans egy algebrai strukt´ ur´at (csoportot) alkotnak, az algebrai m´odszerek alkalmaz´asa indokolt. Hasonl´ok´eppen, ha a vizsg´alt t´err´esz egyforma elemekb˝ol ´ep¨ ul fel (pl. elemi cell´akb´ol), akkor a geometria le´ır´as´ara egy m´asik algebrai strukt´ ur´at, gr´afot lehet alkalmazni. Meg kell jegyezni, hogy napjainkban a csoport elvesz´ıtette titokzatoss´ag´at, m´ıtosz´at, egyszer˝ u h´etk¨oznapi eszk¨oz lett bel˝ole, mint mondjuk a sz¨ogf¨ uggv´enyekb˝ol. Ha valaki a Rubik kocka le´ır´as´ara k´ıv´ancsi, tal´al olyan k¨onyvt´arakat, ahonnan let¨olthet˝o egy programcsomag, ami percek alatt el˝o´all´ıtja a Rubik-kocka szimmetriacsoportj´at, elk´esz´ıti a kocka k´et a´llapot´at ¨osszek¨ot˝o forgat´as-sorozatot. Mindez a ”computational group theory”, azaz a csoportelm´eleti sz´am´ıt´asok gyors fejl˝od´es´enek k¨ovetkezm´enye. Ugyanakkor ezen eszk¨oz¨ok felhaszn´al´asa m´eg v´arat mag´ara. Felt´eteleztem, hogy az olvas´o m´ar hallgatott csoportelm´eletet. A felhaszn´alt fogal12
makat a 13. fejezet foglalja ¨ossze, itt felfriss´ıtheti az olvas´o defin´ıci´okat. Az 1. fejezet egy r¨ovid ´attekint´est ad az algebrai m´odszerek k¨oz¨ ul a csoportelm´elet fizikai alkalmaz´asair´ol, ´es megadja a felhaszn´alt jel¨ol´eseket. A 2. fejezetben ¨osszefoglaljuk a felhaszn´alni k´ıv´ant algebrai ´es geometriai fogalmakat. A 3. fejezetben olyan eszk¨oz¨okr˝ol (sz´am´ıt´og´epi programokr´ol) van sz´o, amelyek j´ol haszn´alhat´oak csoport- vagy gr´afelm´eleti k´erd´esek vizsg´alat´aban. A 4. fejezetben megvizsg´aljuk, milyen koordin´at´ak haszn´alata el˝ony¨os adott szimmetri´ak eset´eben, amely v´alaszt´as mellett a megold´as a v´altoz´okban szepar´alhat´o. Az 5. fejezetben megvizsg´aljuk, hogyan lehet meghat´arozni egy adott egyenlet szimmetri´ait. A 6. fejezetben r¨oviden a´ttekintj¨ uk a krist´alyr´acsok oszt´alyoz´as´at, a 7. fejezetben az algebra ´es geometria kapcsolat´at vizsg´aljuk n´eh´any speci´alis t´ema (sk´al´ak kiv´alaszt´asa, turbulencia vizsg´alta, a k´aoszhoz kapcsol´od´o n´eh´any jelens´eg, a diszkretiz´alt t´erfogatok ´es a Lorentz-transzform´aci´o) megvizsg´aljuk a perem´ert´ek-feladat szimmetri´ait, bemutatjuk a fed˝ocsoport kihaszn´al´as´anak egyik m´odj´at. A 8. fejezetben bemutatjuk algebrai m´odszerek alkalmaz´as´at perem´ert´ek-feladatokban. A 9. fejezetben a perem´ert´ek-feladatokban alkalmazott numerikus m´odszerekben haszn´alhat´o algebrai m´odszereket t´argyaljuk. A 10. fejezetben a fizik´aban legfontosabb speci´alis f¨ uggv´enyeket ismertetj¨ uk. A 11. fejezetben egy egyv´altoz´os egyenlet szimmetri´ait vizsg´aljuk, az eredm´enyek alkalmaz´asak´ent bemutatjuk egy klasszikus probl´ema (a polinomok gy¨okk´eplet´enek) csoportelm´eleti megold´as´at. A gy¨ok¨ok keres´es´ere kidolgozott m´odszer a´tvihet˝o a differenci´alegyenletek t´argyal´as´ara is. Ezt a k´erd´esk¨ort is t´argyaljuk. A 12. fejezetben bemutatunk egy p´eld´at, ahol a csoportelm´elet j´ol alkalmazhat´o egy r´eszecskefizikai feladatban. A F¨ uggel´ekben a felhaszn´alt matematikai fogalmak defin´ıci´oit ´es ¨on´all´o megold´asra sz´ant p´eld´akat tal´al az olvas´o. Jelen jegyzetet haszonnal forgathatj´ak m´ern¨ok, fizikus ´es tan´arszakos hallgat´ok is. A jegyzetben ismertetett a´ltal´anos technik´ak (polinomok gy¨okk´eplete, egyenlet szimmetria´inak meghat´aroz´asa, differenci´alegyenletek integr´al´asa, v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa, azaz a Fourier-m´odszer, k¨ozel´ıt˝o m´odszerek, numerikus megold´as) j´ol haszn´alhat´o a gyakorlati munka sz´amos ter¨ ulet´en. Ez´ert lehet hasznos fizikusoknak, m´ern¨ok¨oknek, kutat´oknak ´es tan´aroknak. Egy jegyzet c´elja persze els˝osorban ¨otleteket adni, milyen eszk¨oz¨okkel ´erdemes alkalmazni egy feladat megold´asa sor´an. K¨ ul¨on kiemelem a numerikus m´odszerekbeli alkalmaz´asokat, amelyek a jegyzet ´ır´asa idej´en m´eg kev´ess´e voltak ismertek, noha m´ar akkor is l´eteztek k´odok, amelyekkel egy-egy adott feladat megold´as´at meg lehetett hat´arozni. Budapest, 2006 m´ajus.
13
1. fejezet Csoportelm´ elet a fizik´ aban
14
A fizika t´erben ´es id˝oben v´egbemen˝o folyamatokat vizsg´al, amely folyamatokban fizikai k¨olcs¨onhat´asok is szerepet j´atszanak. A t´erben ´es id˝oben egy koordin´ata-rendszer seg´ıts´eg´evel t´aj´ekoz´odunk, minden ponthoz koordin´at´akat rendel¨ unk, ezek seg´ıts´eg´evel ´ertelmezhet˝o a k¨ozel ´es a t´avol (metrika). A k¨olcs¨onhat´asokat matematikai egyenletek seg´ıts´eg´evel fogalmazzuk meg, pl. a kvantummechanika a k¨ovetkez˝o megfeleltet´est haszn´alja a fizikai mennyis´egek le´ır´as´ara, ld. 1.1. t´abl´azat. 1.1. t´abl´azat. Fizikai ´es matematikai v´altoz´ok megfeleltet´ese a kvantummechanik´aban Fizikai v´altoz´o Matematikai v´altoz´o a´llapotf¨ uggv´eny Pont az L2 f¨ uggv´enyt´erben ¨ Skal´ar fizikai mennyis´eg Onadjung´alt oper´ator Fizikai mennyis´eg Oper´ator V´altoz´o ´ert´eke Oper´ator saj´at´ert´eke ´ Atmeneti val´osz´ın˝ us´eg Skal´arszorzat abszol´ ut ´ert´eke Egyszerre m´erhet˝o mennyis´egek Kommut´al´o oper´atorok Az egyenleteknek meg kell felelni¨ uk a megfigyel´eseknek. A megfigyel´esek k¨ozvetlenek (amilyen pl. egy k¨olcs¨onhat´ast le´ır´o potenci´al alakja) vagy elviek lehetnek. Elvi megfigyel´es pl. az, hogy azonos fizikai rendszereket azonos matematikai strukt´ ur´akkal (pl. egyenlettel) kell le´ırni. Az elvi megfigyel´esek egy r´esze azt a k¨ovetelm´enyt t´amasztja a matematikai strukt´ ur´aval szemben, hogy annak v´altozatlannak (invari´ansnak) kell lennie olyan v´altoz´asokkal szemben, amelyek a fizikai jelens´eget nem ´erintik. Ilyen invariancia elvek: • Hasonl´os´agi elv: a fizikai k´ıs´erlet ar´anyosan zsugor´ıthat´o. Ez a k´ezenfekv˝o feltev´es Fourier-t˝ol sz´armazik, az atomok felfedez´ese o´ta a feltev´est elvetett´ek, noha a m´ern¨oki gyakorlatban egy meghat´arozott tartom´anyon bel¨ ul az elv alkalmazhat´o. • Egy jelens´eg le´ır´asa f¨ uggetlen a koordin´ata-rendszer kezd˝opontj´anak megv´alaszt´as´at´ol, valamint a t=0 pont megv´alaszt´as´at´ol. M´as sz´oval, minden k´ıs´erlet megism´etelhet˝o m´ashol ´es m´askor. • Ha egy fizikai rendszerben az azonos r´eszecsk´eket felcser´elj¨ uk, ugyanazt az a´llapotot kell kapnunk. Az invarianci´ahoz kapcsol´od´o matematikai konstrukci´o a (v´altoz´ok) transzform´aci´oja. Azok a transzform´aci´ok, amelyek egy egyenletet v´altozatlanul hagynak egy algebrai strukt´ ur´at (csoportot) alkotnak. A csoport strukt´ ur´aj´ab´ol hasznos k¨ovetkeztet´est lehet levonni az egyenlet megold´as´anak tulajdons´agait illet˝oen. Ezzel a megold´asokat csoportos´ıtani lehet, aminek sok praktikus k¨ovetkezm´enye van. A k¨ozel´ıt˝o m´odszerek meg´ıt´el´es´eben is fontos szempont, hogy a k¨ozel´ıt˝o m´odszer meg˝orzi-e az eredeti egyenlet 15
szimmetri´ait, vagy hoz-e be u ´jabbakat. Nehezen megoldhat´o feladatok est´en (ilyen p´eld´aul a t¨obbf´azis´ u a´raml´as) ennek alapj´an meg´ıt´elhet˝o egy k¨ozel´ıt˝o m´odszer pontoss´aga. A fizika ´es matematika n´eh´any ter¨ ulete, ahol a csoportelm´elet hasznosnak bizonyult: • Elemi r´eszek oszt´alyoz´asa. A Lie-csoportok reprezent´aci´oi alkalmas keretet biztos´ıtanak az elemi r´eszecsk´ek oszt´alyoz´as´ara. Egyes esetekben egyszer˝ u de l´atv´anyos szimmetriamegfontol´ason alapul´o ¨osszef¨ ugg´eseket (ilyen pl. a fermionokra kimondott bet¨olt´esi korl´at) lehet megfogalmazni. • Atomi sz´ınk´epek ´ertelmez´ese. Az atomi sz´ınk´epek az elektronh´ejban tal´alhat´o elektronok ´allapotai k¨oz¨otti energiak¨ ul¨onbs´eggel kapcsolatosak. Az energiaszinteket pedig saj´at´ert´ekfeladatok megold´as´aval lehet meghat´arozni. • Szil´ard testek szerkezet´enek oszt´alyoz´asa. Az eg´esz teret nem lehet tetsz˝oleges alak´ u egys´egek ism´etl´es´evel kit¨olteni. A lehets´eges egys´egek ´es a krist´aly megfigyelt tulajdons´agai k¨oz¨ott szoros kapcsolat van. Ezek a tulajdons´agok a szimmetri´akkal is kapcsolatba hozhat´oak. ´ • Altal´ anos- ´es speci´alis relativit´aselm´elet. A relativit´aselm´elet alapgondolata: a fizikai egyenletek szerkezet´enek azonosnak kell lennie minden inerciarendszerben. Ebb˝ol a megfogalmaz´asb´ol is kit˝ unik a szimmetri´ak fontoss´aga. • Gy¨okk´epletek magasabb fok´ u egyenletek megold´as´ara. Ha van gy¨okk´eplet, akkor az egyenlet foksz´ama minden gy¨ok meghat´aroz´asa ut´an cs¨okkenthet˝o eggyel. A k¨ ul¨onb¨oz˝o foksz´am´ u egyenletek szimmetri´aja k¨oz¨otti kapcsolat lehet˝os´eget ad a megoldhat´os´ag felt´eteleinek kimond´as´ara. • K¨orz˝ovel vonalz´oval elv´egezhet˝o szerkeszt´esek. A szerkeszthet˝o pontok halmaza megfeleltethet˝o egy algebrai egyenlet gy¨okeinek. Az el˝oz˝o pont eredm´enyeinek felhaszn´al´as´aval megadhat´o az elv´egezhet˝o szerkeszt´esek k¨ore. • Geometriai szerkezetek tanulm´anyoz´asa. Ahogyan egy v´eges krist´alyt fel´ep´ıthet¨ unk egy elemi cella ism´etl´es´evel, egy szab´alytalannak t˝ un˝o alakzatot gyakran felbonthatunk elemi cell´akra. A felbont´as k´ın´alja az algebrai m´odszerek el˝onyeit. • Perem´ert´ekfeladatok. Amennyiben vannak olyan transzform´aci´ok, amelyek a feladatot v´altozatlan form´aban hagyj´ak, az invarianci´at ki lehet haszn´alni. • Numerikus m´odszerek (speci´alis f¨ uggv´enyek, numerikus m´odszerek). A legt¨obb speci´alis f¨ uggv´eny egy egyenlethez ´es egy megfelel˝o geometri´ahoz tartozik. Ez´ert vizsg´alatukban a szimmetri´ak fontos szerepet kaphatnak. Egy egyenlet megold´as´at csak adott felt´etelek mellett lehet egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek szorzatak´ent fel´ırni. E felt´etelek megfogalmaz´as´aban is seg´ıt az algebra.
16
A csoportelm´elet haszn´at r¨oviden a k¨ovetkez˝oekben lehet ¨osszefoglalni. Ha a csoportot alkot´o transzform´aci´ok felcser´elhet˝oek egy oper´atorral, akkor l´etezik k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny rendszer. K¨ovetkez´esk´eppen, az oper´ator saj´atf¨ uggv´enyeit csoportos´ıtani lehet a transzform´aci´ok saj´atf¨ uggv´enyei seg´ıts´eg´evel. Ahhoz, hogy a saj´atf¨ uggv´enyeket csoportos´ıtani lehessen, meg kell ismerni a csoport szerkezet´et. Egy szimmetriacsoporthoz rendelhet˝o egy invari´ans mennyis´eg, ennek ismeret´eben hat´ekony m´odszereket lehet kidolgozni pl. az egyenlet megold´as´ara.
1.1.
Jel¨ ol´ esek
A jel¨ol´esekben igyekeztem a hagyom´anyokat k¨ovetni, ez azonban gyakran vezetett konfliktushoz. Ez´ert a jel¨ol´eseknek csak egy r´esze egys´eges, egy-egy adott probl´ema vizsg´alata sor´an igyekeztem az ott szok´asos jel¨ol´est k¨ovetni, ez´ert minden fejezet elej´en van jel¨ol´esjegyz´ek. ´ Altal´ aban az oper´atorokat ´es m´atrixokat k¨ ov´ er latin nagybet˝ ukkel jel¨olj¨ uk (A, B, C). Egy vektort´er, ponthalmaz, vagy f¨ uggv´enyt´er jel¨ol´es´ere a mathbb bet˝ ut´ıpust haszn´aljuk: X, Z, P, Q. A helyv´altoz´ora az x jel¨ol´est haszn´aljuk, ha a v´altoz´onak az a tulajdons´aga l´enyeges, hogy egy halmaz r´esze, m´ıg az x jel¨ol´es a helyv´altoz´o komponenseinek szerep´et k´ıv´anja hangs´ ulyozni (pl. a transzform´aci´os szab´alyok eset´eben). Halmazok S A T B–az A ´es B halmazok egyes´ıt´ese A B–az A ´es B halmazok k¨oz¨os r´esze A\B–az A ´es B halmazok k¨ ul¨onbs´ege B ⊂ A–a B halmaz az A halmaz r´esze A ∈ a–az a elem r´esze az A halmaznak a ∗ b–a halmaz k´et elem´enek szorzata (amennyiben a szorz´as m˝ uvelete defini´alt) a + b–a halmaz k´et elem´enek ¨osszege (amennyiben az ¨osszaad´as m˝ uvelete defini´alt) S = {x : F (x) = 0}–egy adott felt´etelnek (itt F (x) = 0 gy¨okei) eleget tev˝o halmaz M´atrixok, oper´atorok A–m´atrix vagy oper´ator A−1 –inverz m´atrix A+ –adjung´alt m´atrix ||A||- m´atrix(oper´ator) norma Em –m × m egys´egm´atrix (oper´ator) P–projektor oper´ator
17
F¨ uggv´enyek f (x)–az x v´altoz´o skal´ar f¨ uggv´enye f : A → B–f¨ uggv´eny, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi ´at 1 x = (x , . . . , xn )–n elem˝ u vektor f (x) = (f 1 (x), . . . , f n (x))–az x v´altoz´o vektorf¨ uggv´enye, n komponenssel ∂/∂x–x szerinti parci´alis deriv´alt ∂x1 –∂/∂x1 Fx –∂F/∂x Fxx –∂ 2 F/∂x2 Dx Φ–a Φ f¨ uggv´eny x szerinti teljes differenci´alja n pr -n-ik prolong´aci´o g ∗ F –a g csoportelem hat´asa az F f¨ uggv´enyre [A, B]–az A ´es B mennyis´egek kommut´atora (= AB − BA) {A, B}–az A ´es B mennyis´egek antikommut´atora (= AB + BA) GV (x, x0 )–a V alakzat Green-f¨ uggv´enye L –az L oper´ator k´epe a g csopoertelem alatt g
Csoportok ha1 , . . . , an ; −i n gener´ator a´ltal el˝oa´ll´ıtott szabad csoport ha1 , . . . , an ; r1 , . . . , rm i n gener´ator ´es m rel´aci´o ´altal el˝o´all´ıtott csoport |G|-a G csoport rendje e–a csoport egys´egeleme g1 g2 –csoportelemek szorzata g −1 –a g csoportelem inverze Gx–a G csoport hat´asa az x elemre gx–a g csoportelem hat´asa az x pontra (vektorra) gf (x)–a g csoportelem hat´asa az f (x) f¨ uggv´enyre G\N –az N r´eszcsoport G faktorcsoportja G\X–a G csoport orbitja az X halmazon [G : H]–a H r´eszcsoport indexe a G csoportban [s]–az s elemmel ekvivalens elemek oszt´alya Perem´ert´ek-feladat V –ponthalmaz, sokas´ag, t´erfogat, amelyen a megold´ast keress¨ uk ∂V – V hat´ara x–´altal´anos pont a V t´erfogatban x0 –r¨ogz´ıtett pont (pl. forr´as helye) a V t´erfogatban
18
2. fejezet Csoportelm´ eleti ´ es geometriai alapok
19
2.1.
Jel¨ ol´ es
Jelen fejezetben az al´abbi jel¨ol´est haszn´aljuk. A csoportot t¨obbf´ele matematikai strukt´ urak´ent is vizsg´aljuk. Egy vektort´er, ponthalmaz, vagy f¨ uggv´enyt´er jel¨ol´es´ere a mathbb bet˝ ut´ıpust haszn´aljuk: X, Z, P, Q. A csoportelemeket kisbet˝ ukkel (g, h, x) jel¨olj¨ uk, a csoportokat pedig nagybet˝ ukkel (G, H, X). A csoportok alkalmaz´asa sor´an halmazok (t¨obbnyire geometriai objektumok) elemein vizsg´aljuk a csoportelemek hat´as´at. Halmazok S A T B–az A ´es B halmazok egyes´ıt´ese A B–az A ´es B halmazok k¨oz¨os r´esze A\B–az A ´es B halmazok k¨ ul¨onbs´ege B ⊂ A–a B halmaz az A halmaz r´esze A ∈ a–az a elem r´esze az A halmaznak a ∗ b–a halmaz k´et elem´enek szorzata (amennyiben a szorz´as m˝ uvelete defini´alt) a + b–a halmaz k´et elem´enek ¨osszege (amennyiben az ¨osszead´as m˝ uvelete defini´alt) S = {x : F (x) = 0}–egy adott felt´etelnek (itt F (x) = 0 gy¨okei) eleget tev˝o halmaz M´atrixok, oper´atorok A–m´atrix vagy oper´ator A−1 –inverz m´atrix A+ –adjung´alt m´atrix ||A||- m´atrix(oper´ator) norma Em –m × m egys´egm´atrix (oper´ator) P–projektor oper´ator F¨ uggv´enyek f (x)–az x v´altoz´o skal´ar f¨ uggv´enye f : A → B–f¨ uggv´eny, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi ´at x = (x1 , . . . , xn )–n elem˝ u vektor 1 n f (x) = (f (x), . . . , f (x))–az x v´altoz´o vektorf¨ uggv´enye, n komponenssel ∂/∂x–x szerinti parci´alis deriv´alt ∂x1 –∂/∂x1 Fx –∂F/∂x Fxx –∂ 2 F/∂x2 Dx Φ–a Φ f¨ uggv´eny x szerinti teljes differenci´alja n pr -n-ik prolong´aci´o g ∗ F –a g csoportelem hat´asa az F f¨ uggv´enyre 20
[A, B]–az A ´es B mennyis´egek kommut´atora (= AB − BA) {A, B}–az A ´es B mennyis´egek antikommut´atora (= AB + BA) GV (x, x0 )–a V alakzat Green-f¨ uggv´enye g L –az L oper´ator k´epe a g csopoertelem alatt Csoportok ha1 , . . . , an ; −i n gener´ator a´ltal el˝oa´ll´ıtott szabad csoport ha1 , . . . , an ; r1 , . . . , rm i n gener´ator ´es m rel´aci´o ´altal el˝o´all´ıtott csoport |G|-a G csoport rendje e–a csoport egys´egeleme g1 g2 –csoportelemek szorzata C1 , C2 , . . . –konjug´alt oszt´alyok nc –a konjug´alt oszt´alyok sz´ama g −1 –a g csoportelem inverze Gx–a G csoport hat´asa az x elemre gx–a g csoportelem hat´asa az x pontra (vektorra) gf (x)–a g csoportelem hat´asa az f (x) f¨ uggv´enyre G\N –az N r´eszcsoport G faktorcsoportja G\X–a G csoport orbitja az X halmazon [G : H]–a H r´eszcsoport indexe a G csoportban [s]–az s elemmel ekvivalens elemek oszt´alya
2.2.
Diszkr´ et csoportok
Legyen adott az a1 , . . . , an elemek (m´asn´even bet˝ uk) v´eges halmaza, amelyek k¨oz¨ott elv´egezhet˝o a szorz´as m˝ uvelete, az i-ik ´es j-ik elemek szorzat´at ai aj -vel jel¨olj¨ uk. Legyen minden elemnek defini´alt az inverze, az ai elem inverz´et jel¨olje a−1 . Egy sz´ o bet˝ uk egy i v´eges sorozat´at jelenti: aτi11 aτi22 . . . aτikk (2.1) ahol a kitev˝ok csak a +1 vagy −1 ´ert´eket vehetik fel, az els˝o hatv´anyon pedig mag´at a bet˝ ut ´ertj¨ uk. K´et sz´o, s1 ´es s2 szorzat´an , amit s1 s2 -k´ent ´ırunk, a szavak egym´asut´an ´ır´as´aval kapott sz´ot ´ertj¨ uk, el˝osz¨or le´ırjuk s1 -et, azut´an pedig s2 -t. Ez nyilv´anval´oan asszociat´ıv m˝ uvelet. A hossz´ u szavakban el˝ofordulhat, hogy ugyanaz a bet˝ u t¨obbsz¨or szerepel egym´as ut´an. A szavak r¨ovid´ıt´ese c´elj´ab´ol bevezetj¨ uk az ani jel¨ol´est az ai ai . . . ai (n t´enyez˝ot tartalmaz´o) szorzatra. Az u ¨res sz´ora az 1 jel¨ol´est haszn´aljuk, ezzel nyilv´an s1=1s b´armely s sz´ora. Rel´aci´o alatt egy r = 1 alak´ u egyenletet ´ert¨ unk, ahol r egy sz´o (ebben a kontextusban rel´atornak szok´as nevezni). Az s1 ´es s2 szavakat ekvivalensnek nevezz¨ uk az rj = 1 rel´aci´o 21
szerint, ha s1 a´talak´ıthat´o s2 -v´e az al´abbi m˝ uveletek v´eges sz´am´ u alkalmaz´as´aval: 1. Az rj bet˝ usorozat besz´ ur´asa vagy t¨orl´ese. 2. Az ai−1 ai ill. ai a−1 bet˝ usorozatok besz´ ur´asa vagy t¨orl´ese. i Az s-sel (adott rel´aci´ok szerint) ekvivalens szavak oszt´aly´at (r¨oviden ekvivalenciaoszt´alyokat vagy oszt´alyokat) [s] -sel jel¨olj¨ uk. Az ekvivalenciaoszt´alyok k¨oz¨otti szorz´as az al´abbi defin´ıci´o szerint t¨ort´enik: [s1 ][s2 ] = [s1 s2 ]. Ez a kifejez´es j´ol defini´alt, hiszen ha 0s ekvivalens s-sel, akkor 0ss2 ekvivalens ss2 -vel, minthogy az a m˝ uvelet, ami s-t 0s-v´e alak´ıtja f¨ uggetlen s2 jelenl´et´et˝ol. s-et az [s] ekvivalenciaoszt´aly gener´al´o elem´enek nevezz¨ uk. ´Igy bel´athat´o, hogy a szorzat f¨ uggetlen az oszt´alyokat reprezent´al´o oszt´alyelemt˝ol. Az a strukt´ ura, ami az ai bet˝ ukb˝ol k´epzett v´eges szavak rj rel´aci´ok szerinti ekvivalenciaoszt´alyait jel¨oli, egy G csoport . A G csoportban l´ev˝o elemek sz´am´at G rendj´enek nevezz¨ uk ´es |G|-vel jel¨olj¨ uk. Ha |G| v´eges, G-t v´eges csoportnak nevezz¨ uk. Az elnevez´es jogoss´ag´ahoz azt kell megmutatni, hogy a n´egy csoportaxi´oma (ld. 13. fejezet) teljes¨ ul. Az elemek k¨oz¨ott l´etezik m˝ uvelet, ez a szavak egym´as ut´an ´ır´asa. Ez a m˝ uvelet asszociat´ıv , ami a szorz´ot´enyez˝ok egym´as ut´an ´ır´as´ab´ol, ´es a t´enyez˝ok asszociativit´as´ab´ol k¨ovetkezik. Van egys´egelem, az [1], tov´abb´a l´etezik inverz, hiszen [s][s−1 ] = [ss−1 ] = [1], amib˝ol [s]−1 = [s−1 ]. Rendszerint az ekvivalencia oszt´alyokb´ol a z´ar´ojelet elhagyjuk, ahogyan a t¨ortekn´el is 1/2-t ´ırunk, noha az val´oj´aban az 1/2, 2/4, 3/6 stb. halmaz minden elem´et jelenti. A csoportot megadhatjuk az elemek ´es rel´aci´ok felsorol´as´aval. Ezt a megad´asi m´odot u ´gy haszn´aljuk, hogy <> k¨oz¨ott felsoroljuk az elemeket, ezeket egy pontosvessz˝o z´arja, majd felsoroljuk a rel´aci´okat pl. ha1 , a2 , . . . ; r1 , r2 , . . . i. Mind az elemek, mind a rel´aci´ok lehetnek v´eges vagy v´egtelen sz´am´ uak. Az ha1 , a2 , . . . ; r1 , r2 , . . . i strukt´ ur´at a G csoport prezent´aci´oj´anak nevezz¨ uk. Egy csoportnak t¨obb prezent´aci´oja l´etezhet. A G csoport v´egesen prezent´alt, ha a prezent´aci´oban szerepl˝o bet˝ uk ´es a rel´aci´ok halmaza v´eges sok elemb˝ol a´ll. ´ Altal´aban a csoportelemek szorzata f¨ ugg a t´enyez˝ok sorrendj´et˝ol, vagyis, a1 a2 6= a2 a1 . Azokat a csoportokat, amelyek minden a1 , a2 elem´ere fenn´all a1 a2 = a2 a1 , Abelcsoportoknak nevezik1 . Legyen H egy (nem u ¨res) csoport, amelynek elemei megtal´alhat´oak a G csoportban. Ekkor H-t G r´eszcsoportj´anak nevezz¨ uk, jel¨ol´esben: H ⊂ G. Az al´abbi halmazokat G-nek H szerinti jobboldali mell´ekoszt´alyainak nevezz¨ uk: Hg = {hg : h ∈ H}
(2.2)
minden g ∈ G-re. Ezek a halmazok vagy diszjunktak, vagy azonosak. A mell´ekoszt´alyok G egy felbont´as´at alkotj´ak. A H ⊂ G r´eszcsoport mell´ekoszt´alyainak sz´ama (v´eges vagy v´egtelen) H indexe ´es ezt |G : H|-val jel¨olj¨ uk. Ha G v´eges csoport, akkor az elemek 1
Niels Henrik Abel (1802-1829) norv´eg matematikus tisztelet´ere.
22
sz´ama mindegyik H szerinti mell´ekoszt´alyban v´eges ´es egyenl˝o H rendj´evel. A baloldali mell´ekoszt´alyokat az al´abbi halmazok adj´ak meg: gH = {gh : h ∈ H} .
(2.3)
Amennyiben a baloldali ´es jobboldali mell´ekoszt´alyok megegyeznek, a H r´eszcsoportot a G csoport norm´aloszt´oj´anak vagy norm´alis r´eszcsoportj´anak nevezz¨ uk. A norm´aloszt´ora nyilv´anval´oan fenn´all H = gHg −1 . (2.4) Egy adott h elemhez tartoz´o, valamely g csoportelem seg´ıts´eg´evel (mik¨ozben g v´egigfut a csoport ¨osszes elem´en) a ghg −1 m˝ uvelettel, a konjug´al´assal el˝o´all´ıthat´o elemek h konjug´alt oszt´aly´at (vagy egyszer˝ uen oszt´aly´at) alkotj´ak. Az oszt´alyok a csoport szerkezet´ere jellemz˝oek. Az Abel-csoport minden eleme egy konjug´alt oszt´alyt alkot. Legyen N a G csoport egy norm´aloszt´oja. G-nek az N szerinti mell´ekoszt´alyai a szorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ezt a csoportot nevezik a G csoport N szerinti faktorcsoportj´anak, jel¨ol´ese G\N . Az egys´egelem ´es G trivi´alisan faktorcsoportok. Ha a G csoportnak csak az egys´egelem ´es maga G faktorcsoportja, akkor G-t egyszer˝ u csoportnak nevezz¨ uk. Azt a g → G\N homomorfizmust, amely minden g ∈ G elemet a gN mell´ekoszt´alyba visz, term´eszetes vagy kanonikus homomorfizmusnak nevezz¨ uk. A norm´aloszt´ok meghat´aroz´as´ahoz j´ol haszn´alhat´o az al´abbi megfigyel´es. Az N ⊂ G csoport akkor ´es csak akkor norm´alis r´eszcsoport, ha N -ben G elemei oszt´alyonk´ent fordulnak el˝o, azaz, amennyiben adott g ∈ G eleme N -nek, akkor minden hg 0 h−1 ∈ N , ahol a g ´es g 0 elemek G azonos konjug´alt oszt´aly´ahoz tartoz´o elemek. A G csoportot feloldhat´onak nevezz¨ uk, ha egym´asba ´agyazott norm´alis r´eszcsoportok sorozatak´ent (ezt szok´as norm´all´ancnak nevezni) adhatjuk meg, a k¨ovetkez˝o m´odon: G = G0 ⊂ G1 ⊂ · · · ⊂ Gs = e ´es a Gi−1 \Gi csoport minden tagja kommut´al. A G = ha1 , a2 , . . . ; r1 , r2 , . . . i csoport az F = ha1 , a2 , . . . ; −i 2 csoport ´es az N = hr1 , r2 , . . . i r´eszcsoport h´anyadosa. Egy G csoport G0 csoportba men˝o homomorfizmus´an egy olyan f : G → G0 lek´epez´est ´ert¨ unk, amelyre f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ). Egy X halmaz transzform´aci´oj´an egy olyan f : X → X lek´epez´est ´ert¨ unk, amely X-et k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ uek k´epezi le o¨nmag´ara. Egy G csoport f homomorfizmusa egy X halmaz transzform´aci´ocsoportj´aba G-nek egy hat´as´at adja meg X-en. A csoporthat´as megad´as´an´al meg kell mondani, hogy adott g ∈ G-hez milyen X-nek milyen f (g) transzform´aci´oja tartozik3 , azaz, meg kell adnunk f (g)(x)-et minden x ∈ X-re. Egy x ∈ X elem orbitja a G transzform´aci´ocsoportra n´ezve az a Gx halmaz, amely a g(x) alak´ u elemekb˝ol ´all, itt g v´egigfut G elemein. Az x elem stabiliz´atora, Gx = {g : g(x) = x}, G-nek azon elemeib˝ol ´all, amelyek helyben hagyj´ak 2
A rel´ aci´ ot nem tartalmaz´ o, n gener´ ator ´altal gener´alt csoportot n elemmel genar´alt szabad csoportnak nevezik ´es Fn -nel jel¨ olik. 3 ez a jel¨ ol´es arra utal, hogy az f lek´epez´es minden csoportelem eset´en m´as ´es m´as lehet, f (g) a g csoportelemhet tartoz´ o lek´epez´es
23
x-et. Tekints¨ uk azt a rel´aci´ot az x, y ∈ X elemek k¨oz¨ott, amikor x-hez van olyan g ∈ G, amelyre g(x) = y. Ez egy ekvivalenciarel´aci´ot ad meg, azaz, reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az X halmaz orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o; az orbitok halmaza az orbitt´er, amit G\X-szel jel¨ol¨ unk. Ha csak egy orbit van, akkor azt mondjuk, hogy G tranzit´ıv. Legyen X topologikus t´er. X automorfizmusai k´epezhetnek folytonos vagy diszkr´et csoportot. X automorfizmusainak egy G csoportj´at diszkr´etnek (itt a diszkr´et a folytonos ellent´etek´ent ´ertend˝o) nevezz¨ uk, ha minden T K ⊂ X kompakt r´eszhalmazra csup´an v´eges sok olyan g ∈ G elem l´etezik, amelyre K gK nem u ¨res. Ha minden x ∈ X pont stabiliz´atora csak g egys´egelem´eb˝ol a´ll, akkor azt mondjuk a G csoport szabadon hat az X halmazon. G orbitjainak G\X halmaz´an a k¨ovetkez˝o m´odon defini´alhatunk topologi´at. Amennyiben G szabadon hat X-en, akkor minden x0 ∈ G\X pontnak van olyan k¨ornyezete, amelynek az f : X → G\X lek´epez´esn´el a teljes inverze az f a´ltal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese. Ez defin´ıci´o szerint azt jelenti, hogy X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek. Term´eszetesen a G csoport hat´asa G elemein is defini´alhat´o. A h´arom leggyakrabban alkalmazott defin´ıci´o: g · x = gx (itt x ∈ G, az egyenl˝os´eg baloldala a csoporthat´as defin´ıci´oja, jobboldala pedig G-beli szorz´as); g · x = xg −1 ; g · x = gxg −1 . A fenti m˝ uveleteket balregul´aris, jobbregul´aris, ill. adjung´alt csoporthat´asnak nevezz¨ uk. Adott G csoport hat´as´at egy X halmazon t¨obbf´elek´eppen is megadhatjuk. P´eld´aul legyen G egy csoport, amelynek minden g ∈ G elem´enek hat´asa, defini´alt, azaz gx ´ertelmezve van, az x ∈ X pontokra. Ekkor a g csoportelem hat´asak´ent tekinthetj¨ uk pl. a −1 gx vagy a gxg transzform´aci´ot is. Gyakran nem adhat´o meg trivi´alis csoporthat´as. Az el˝oz˝o p´eld´aban term´eszetesnek t˝ unhet a gx defin´ıci´o v´alaszt´asa, azonban ez nincs mindig ´ıgy. P´eld´aul legyen G az egys´egnyi determin´ans´ u 2 × 2-es m´atrixok csoportja, amit a z > 0 komplex f´els´ıkra alkalmazhatunk az al´abbi k´eplettel gz =
az + d . cz + d
Hozz´arendelhetj¨ uk a g csoportelemhez az al´abbi invert´alhat´o m´atrixot: a b g= . c d
(2.5)
(2.6)
Itt teh´at k´et def´ın´ıci´o is k´ın´alkozik, egyiknek sincs kiemelt szerepe. 2.1. Feladat A (2.5) vagy (2.6) csoporthat´as az X = C komplex sz´amtest ill. az R2 (s´ık pontjai) halmazokon van ´ertelmezve. A tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz a polinomokb´ ol ´all´o testre, amit C(x)-szel jel¨ol¨ unk, ha a polinom v´altoz´oja x, egy¨ utthat´oi pedig komplex sz´amok. C(x)-en ´ertelmezett az o¨sszead´as (a polinomokban az azonos hatv´anyok egy¨ utthat´oit kell ¨osszeadni), ´es a szorz´as. Ha a legfeljebb n-edfok´ u polinomok k¨or´eben k´ıv´anunk maradni, akkor a szorz´ast modul´o (n + 1) ´ertj¨ uk, azaz, a szorzatnak csak a legfeljebb 24
n-ed fok´ u tagjait tekintj¨ uk. Ha az oszt´ast is megengedj¨ uk, akkor a K(x) testr˝ol besz´el¨ unk, amelynek elemei a0 + a1 x + · · · + an x n . (2.7) b0 + b1 x + · · · + bn x n Itt nem minden bi nulla, az egy¨ utthat´ok pedig a ai , bi ∈ K testb˝ol val´ok. Egy G csoport hat´as´at az X halmazon primit´ıvnek nevezz¨ uk, ha a csoporthat´as tranzit´ıv, ´es nem engedi meg az X halmaz nemtrivi´alis blokkokra bont´as´at. Egy blokkrendszer ( imprimitivit´as rendszer) a G csoport egy X-en ´ertelmezett hat´asa, amely nem m´as, mint X egy part´ıci´oja, amely v´altozatlan marad G hat´asa alatt. R¨oviden megeml´ıtj¨ uk m´eg az X halmazban v´alasztand´o b´azis k´erd´es´ere. Amennyiben a csoporthat´ast szeretn´enk hangs´ ulyozni, megfelel˝o b´azis v´alaszt´as´ara van sz¨ uks´eg. Gondoljunk pl. arra, hogy a polinomok le´ır´as´ara a v´altoz´ok hatv´anyait szoktuk alkalmazni, ezek bizony a csoportelemek hat´asa alatt ¨osszekeverednek. Lehet˝os´eg van szimmetriz´alt b´azisok v´alaszt´as´ara, azaz, olyan polinomokat v´alaszthatunk, amelyek a csoportelemek hat´asa alatt egyszer˝ u m´odon transzform´al´odnak. Csoportelm´eleti munk´akban sz´o esik a Gr¨obner-b´azisr´ol is, ennek defin´ıci´oj´ara itt nem t´er¨ unk ki, mivel ´altalunk nem t´argyalt strukt´ ur´akat (ide´al, polinomgy˝ ur˝ u, monomi´alis rendez´es) haszn´al. Ez´ert az ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP le´ır´ast aj´anlom. A GAP-ben haszn´alhat´o a GroebnerBasis f¨ uggv´eny, amely el˝oa´ll´ıtja a k´ıv´ant b´azist. Gyakran sz¨ uks´eg¨ unk van a csoporthat´asra egy f¨ uggv´enyt´er elemein. Erre az al´abbi defin´ıci´ot szok´as haszn´alni. Legyen adott az f (r) f¨ uggv´eny, ´es a vizsg´alt csoport egy g → Mg a´br´azol´as u ´gy, hogy Mg (r) ´ertelmezve van. Ekkor a csoporthat´as defin´ıci´oja g · f (x) = f M−1 (2.8) g x . Minden v´eges csoport reprezent´alhat´o permut´aci´okkal. Az 1, ..., n elemek permut´aci´oj´an az elemek al´abbi a´trendez´es´et ´ertj¨ uk: 1 2 3 ... n (2.9) i1 i2 i3 . . . in Nyilv´anval´o, hogy a permut´aci´ok egym´asut´ani alkalnaz´asa is permut´aci´o, azaz a permut´aci´ok z´artak az egym´asut´ani alkalmaz´as m˝ uvelet´ere n´ezve. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a csoportaxi´om´ak teljes¨ ulnek, a permut´aci´ok csoportot alkotnak. Minden v´eges csoport izomorf egy permut´aci´ocsoporttal vagy annak r´eszcsoportj´aval. A permut´aci´ok a´br´azol´asakor csak az als´o sort szok´as fel´ırni, azokat az elemeket, amelyek egym´as k¨oz¨ott permut´alunk egy z´ar´ojelbe. ´Igy pl. 1 2 3 4 5 6 = (124)(35)(6) (2.10) 2 4 5 1 3 6
25
mert az (124) elemek egy h´aromelem˝ u, (35) egy k´etelem˝ u, (6) pedig egy egyelem˝ u ciklust 4 alkot. Az egys´egelem n egyelem˝ u ciklusb´ol ´all, de ennek jel¨ol´es´ere az u ¨res z´ar´ojelet () szok´as haszn´alni. A ciklus invari´ans a ciklus elemeinek ciklikus permut´aci´oj´ara, pl. (124) = (241) = (412), de (124) 6= (142). A k¨oz¨os elemet nem tartalmaz´o ciklusok sorrendje felcser´elhet˝o, pl. (124)(35) = (35)(124). A ciklusban szerepl˝o elemek sz´ama a ciklus hossza ´es (i1 i2 i3 . . . ik )k = (). (2.11) B´armely ciklus fel´ırhat´o transzpoz´ıci´ok szorzatak´ent: (ijk . . . l) = (ij)(jk)...(kl).
(2.12)
Ez a felbont´as nem egy´ertelm˝ u. V´eg¨ ul k´et hasznos azonoss´ag: (ik . . . lmi) = (k . . . lm) (ik . . . lm)(mn . . . p) = (ik . . . lmn . . . p).
(2.13) (2.14)
A fenti ¨osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel bel´athat´o, hogy tetsz˝oleges permut´aci´o el˝oa´ll´ıthat´o k´etelem˝ u ciklusokb´ol, amelyeket transzpoz´ıci´onak neveznek. Azokat a permut´aci´okat, amelyeket p´aros transzpoz´ıci´oval ´all´ıthatunk el˝o, p´aros permut´aci´onak nevezik. A p´aros permut´aci´ok alcsoportot alkotnak, az altern´al´o csoportot. Az altern´al´o csoport indexe 2, mivel a p´aros ´es p´aratlan permut´aci´ok k¨oz¨ott egy-egy´ertelm˝ u megfeleltet´es l´etes´ıthet˝o. 2.2. Feladat (A szab´ alyos hatsz¨ og szimmetriacsoportja C6v ) A csoport permut´ aci´okkal az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o. Sz´amozzuk meg a hatsz¨og cs´ ucsait az ´oramutat´ o j´ar´as´aval megegyez˝o ir´anyban. A csoport gener´atorak´ent egy forgat´ast ´es egy t¨ ukr¨oz´est lehet v´alasztani. Legyen α = (123456), ami egy π/3 sz¨og˝ u forgat´as, ´es β = (26)(35), ami az 1, 4 cs´ ucsokon ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´est jelenti. Az olvas´o k¨onnyen ellen˝orizheti, hogy β 2 = (), α6 = (), ´es a k´et gener´ator seg´ıts´eg´evel a C6v csoport minden eleme el˝o´all´ıthat´o. A csoport elemei hat konjug´alt oszt´alyt alkotnak. Az els˝oben az egys´egelem van: (); a m´asodikban h´arom elem van, h´arom t¨ ukr¨oz´es a hatsz¨og cs´ ucsain ´atmen˝o s´ıkokra, ezek egyike (26)(35); a harmadikban h´arom elem tal´alhat´o, a h´arom lapk¨oz´epen ´atmen˝ o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es, az egyik elem (12)(36)(45); a negyedikben k´et, 2π/3 sz¨og˝ u forgat´as tal´alhat´o, az egyik (135)(246); az ¨ot¨odikben k´et darab π/3 sz¨og˝ u forgat´as van, egyik k¨oz¨ ul¨ uk (123456); a hatodikban csak az inverzi´o (14)(25)(36) van. A C6v csoport karaktert´abl´aja a 6.9. t´abl´azatban, a 6. fejezetben tal´alhat´o. Egy G csoport felbonthat´o a csoportelemek konjug´altoszt´alyainak halmaz´ara. Vegy¨ unk egy h1 ∈ G elemet ´es k´epezz¨ uk az ¨osszes h1 -gyel konjug´alt elem halmaz´at, amit gh1 g −1 elemek ¨osszess´ege ad meg, itt g v´egigfut G minden elem´en. Jel¨olje ezt a halmazt C1 . Ezut´an vegy¨ unk egy h2 elemet G − C1 -b˝ol, ´es k´epezz¨ uk a h2 -h¨oz konjug´alt elemek halmaz´at: 4
Az egyelem˝ u ciklust csak akkor ´erdemes ki´ırni, ha jelezni k´ıv´anjuk a permut´aci´o hossz´at.
26
C2 = {gh2 g −1 , g ∈ G}. Az elj´ar´ast folytatva, a kapott C1 , C2 , . . . elemoszt´alyok lefedik a G csoportot. Egy v´eges G csoportot alkot´o konjug´alt elemoszt´alyok sz´ama v´eges. A C1 , C2 , . . . elemoszt´alyokat konjug´alt elemoszt´alyoknak is nevezik. A konjug´alt elemoszt´alyok sz´am´at nc -vel fogjuk jel¨olni. Egy G csoport ´abr´azol´asa (´abr´azol´asa) alatt G egy homomorfizmus´at ´ertj¨ uk, egy L vektort´er automorfizmus csoportj´aba. A leggyakoribb m´atrix´abr´azol´as eset´en L automorfizmusai m´atrixok, G homomorfizmusa alatt pedig a g csoportelemhez egy olyan g → Dg m´atrix hozz´arendel´est ´ert¨ unk, amire teljes¨ ul, hogy De az egys´egm´atrix, amennyiben e az egys´egelem G-ben, tov´abb´a g1 g2 → Dg1 g2 = Dg1 Dg2 . Ha g → Dg egy ´abr´azol´as, akkor g → CDg C−1 is az (itt C nemszingul´aris m´atrix). A hasonl´os´agi transzform´aci´oban elt´er˝o a´br´azol´asokat ekvivalensnek nevezz¨ uk. A nem ekvivalens ´abr´azol´asok jellemz´es´ere a m´atrix spurj´at haszn´aljuk, amit az ´abr´azol´as karakter´enek nevez¨ unk. Ismeretes az algebr´ab´ol, hogy ekvivalens m´atrixok spurja azonos. Amennyiben egy ´abr´azol´as minden m´atrixa egyidej˝ uleg az al´abbi alakra hozhat´o: M1 M2 (2.15) 0 M3 az a´br´azol´ast reducibilisnek, egy´ebk´ent irreducibilisnek nevezz¨ uk. A nem ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik a konjug´alt elemoszt´alyok nc sz´am´aval. Az a´br´azol´ast h˝ unek nevezz¨ uk, amennyiben elt´er˝o csoportelemekhez elt´er˝o m´atrixok tartoznak. Legyen s egy homomorf lek´epez´ese a G csoportnak az F sz´amtestbe. A homorfizmus azt jelenti, hogy s(g1 ∗ g2 ) = s(g1 ) ∗ s(g2 ), b´armely k´et g1 , g2 ∈ G-re. s-t a G csoport karakter´enek nevezz¨ uk. Amennyiben G-t m´atrixokkal reprezent´aljuk, a m´atrix spurja egy alkalmas karakter. Egy v´eges G csoport χ karakter´et monomi´alisnak nevezz¨ uk, ha χ el˝oa´ll´ıthat´o G egy r´eszcsoportj´anak line´aris karakter´eb˝ol. A v´eges G csoportot monomi´alisnak, vagy M csoportnak nevezz¨ uk, ha minden k¨oz¨ons´eges irreducibilis karaktere monomi´alis. Az irredicibilis ´abr´azol´asok karaktereit egy karaktert´abla tartalmazza. A karakterek egy elemoszt´alyon bel¨ ul egyenl˝oek, az elt´er˝o karakterek sz´ama teh´at nem haladhatja meg az elemoszt´alyok sz´am´at. A karaktert´abl´aban a nem ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok karakterei vannak felsorolva. Az irreducibilis ´abr´azol´as m´atrix´anak rendj´et az a´br´azol´as dimenzi´oj´anak nevezz¨ uk. A v´eges csoportok irreducibilis ´abr´azol´asai 1, 2 vagy 3 dimenzi´osak. A karaktert´abl´aban azt is megadj´ak, hogyan transzform´al´odik az adott irreducibilis komponens (irrep). Erre utal az irrep jel¨ol´ese is, de fel szokt´ak t¨ untetni az adott irrep szerint transzform´al´od´o egyszer˝ u komponenseket is. Ez lehet egy vektor valamely komponense (pl. x, y vagy z), vagy egy R axi´alvektor x, y vagy z komponense. Az egydimenzi´os, szimmetrikus irreducibilis alt´er jel¨ol´ese A, amennyiben t¨obb ilyen is van, akkor azokat egy indexszel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. Az egydimenzi´os, aszimmetrikus a´br´azol´asok szok´asos jele B, a k´etdimenzi´os a´br´azol´as jele E, a h´aromdiemnzi´os´e pedig F . Az irrepek alkotj´ak a karaktert´abla sorait. Az els˝o irrep maxim´alis szimmetri´aval 27
rendelkezik, azaz a karaktert´abla els˝o sor´aban csupa egyes ´all. A karaktert´abla oszlopait a csoportot alkot´o elemek alkotj´ak. Mivel az egy konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek karaktere azonos, az oszlopok konjug´alt elemoszt´alyokat tartalmaznak. Szok´as szerint az els˝o oszlop tartozik az egys´egelemhez, ebb˝ol teh´at leolvashat´o az adott irrep dimenzi´oja. A karaktert´abla seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges reducibilis ´abr´azol´ast felbonthatunk irreducibilis ´abr´azol´asok ¨osszeg´ere. Az ekvivalens irreducibilis ´abr´azol´asok sz´ama megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. A karaktert´abla rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: 1. A t´abl´azat n´egyzet alak´ u, minden sora megfelel egy nemekvivalens irreducibilis a´br´azol´asnak. 2. A t´abl´azat els˝o oszlopa az ´abr´azol´as dimenzi´oj´at adja meg. Ez oszt´oja a csoport rendj´enek. Az els˝o oszlop az egys´egelem konjug´alt elemoszt´aly´ahoz tartozik. 3. Az els˝o oszlopban ´all´o sz´amok n´egyzeteinek ¨osszege megegyezik a csoport rendj´evel. 4. Az els˝o sorban minden oszlopban 1 a´ll. 5. A sorok ortogon´alisak, ha az adott oszlopban a´ll´o sz´amot megszorozzuk az adott konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o csoportelemek sz´am´aval. 6. Az oszlopok ortogon´alisak. 7. Amennyiben az a´br´azol´as |G| rend˝ u m´atrixokkal t¨ort´enik, az i-ik irreducibilis ´abr´azol´ashoz annyi ekvivalens a´br´azol´as tartozik, amennyi az ´abr´azol´as dimenzi´oja. 8. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges f¨ uggv´eny felbonthat´o irreducibilis komponensekre. 9. A t´abl´azat seg´ıts´eg´evel egy tetsz˝oleges ´abr´azol´as felbonthat´o irreducibilis ´abr´azol´asok ¨osszeg´ere. Az irreducibilis a´br´azol´asok a k¨ovetkez˝ot jelentik. Amennyiben a csoportot N -rend˝ u m´atrixok egy halmaz´aval a´br´azoljuk, akkor elk´epzelhet˝o, hogy van olyan hasonl´os´agi transzform´aci´o, ami a csoportelemekhez rendelt m´atrixok mindegyik´et diagonaliz´alja. Ennek felt´etele, hogy G Abel-csoport legyen. A diagon´alishoz legk¨ozelebb ´all´o alakot a karaktert´abla megadja, u.i. a m´atrixok egyidej˝ uleg blokkdiagon´alis alakra hozhat´oak, a blokkok m´erete az irreducibilis ´abr´azol´asok dimenzi´oival egyeznek meg, a blokkok sz´ama pedig egyenl˝o az irreducibilis ´abr´azol´asok sz´am´aval. A diagon´alisban a´ll´o m´atrixokat spurjuk (karakter¨ uk) szerint lehet oszt´alyozni, a diagon´alisban legfeljebb nc elt´er˝o blokk fog ´allni, mindegyik blokk megfelel egy irreducibilis ´abr´azol´asnak. A diagon´alisban a´ll´o m´atrix rendje megegyezik az ´abr´azol´as dimenzi´oj´aval. Azonos a´br´azol´ashoz tartoz´onak
28
2.1. t´abl´azat. A GL(2, 2) ´es C3v csoport karaktert´abl´aja C3v E 2t 3s A 1 1 1 B 1 1 -1 E 2 -1 0 tekintj¨ uk azokat a m´atrixokat, amelyeknek rendje (sorainak sz´ama) ´es spurja megegyezik. Az irreducibilis ´abr´azol´asnak van egy m´asik jelent´ese is. A csoport ´abr´azol´as´ahoz tartozik egy L vektort´er, a vektort´er b´azisa meghat´arozza a csoport egy m´atrix´abr´azol´as´at. Az irreducibilis ´abr´azol´as azt jelenti, hogy van olyan b´azis L-ben, amelyen a csoportot reprezent´al´o m´atrixok egyidej˝ uleg diagon´alishoz k¨ozel´all´o alakra hozhat´oak (v.¨o. (2.15)) Ez annyit jelent, van olyan alt´er L-ben, amelyet a csoportot ´abr´azol´o m´atrixok v´altozatlanul hagynak. Az ´abr´azol´as dimenzi´oja megadja ezen irreducibilis alt´er dimenzi´oj´at. Enn´el sz˝ ukebb alt´er viszont nincs L-ben, amelyet a csoportot a´br´azol´o m´atrixok v´altozatlanul hagyn´anak. 2.1. T´ etel (Schur-lemma.) Alkoss´ak a Dg m´atrixok a G csoport egy v´egesdimenzi´os ´ ´abr´azol´as´at. Alljon fenn valamely M m´atrixra Dg M = MDg . Ha a Dg , g ∈ G ´abr´azol´as irreducibilis, akkor M az egys´egm´atrix skal´arszorosa. Ha viszont minden M m´atrix, amely minden Dg m´atrixszal kommut´al, az egys´egm´atrix konstans szorosa, akkor a Dg , g ∈ G ´abr´azol´as a G csoport irreducibilis ´abr´azol´asa. 2.2. T´ etel Legyen Dg , g ∈ G egy v´egesdimenzi´os ´abr´azol´asa a G csoportnak. Legyen α D , α = 1, nc a G csoport irreducibilis ´abr´azol´asa. Ekkor egy tetsz˝oleges D ´abr´azol´as el˝o´all´ıthat´o az irreducibilis ´abr´azol´as m´atrixainak direkt ¨osszegek´ent: D=
nc X
aα Dα ,
(2.16)
α=1
ahol aα =
1 X χ(g)χα∗ (g), |G| g∈G
(2.17)
ahol χ a D ´abr´azol´ashoz tartoz´o, χα (g) pedig a Dα irreducibilis alt´erhez tartoz´o karakter.5 2.3. T´ etel (Irreducibilis ´ abr´ azol´ asok teljess´ ege) Legyen Dn ´es Do a v´eges G csoport unit´er, irreducibilis m´atrix´abr´azol´asa. Ekkor fenn´all az al´abbi ortogonalit´as: p 1 Xp `n Dn (g)ij `o Do (g)km = δik δjm δno . (2.18) |G| g∈G 5
Ez a t´etel a 2.3 fejezetben bevezetett kompakt csoportokra is ´erv´enyes.
29
Itt `n , `o a Dn ´es Do ´abr´azol´asok dimenzi´osz´ama. A t´etelb˝ol k¨ovetkezik, hogy a csoport ´abr´azol´as´at ad´o Do (g) m´atrixokb´ol fel´ep´ıthet˝o |G| darab ortogon´alis v vektor a D(g)ij m´atrixelemekb˝ol, ezek a vektorok b´azisk´ent alkalmazhat´oak a |G| dimenzi´os R|G| t´eren. Amennyiben G kompakt csoport, a Dij (g) elemek teljess´eg´et kimond´o t´etelt Peter-Weyl–t´etelnek nevezik. V´egezet¨ ul h´arom t´etel 6 a tenzor´abr´azol´asokkal kapcsolatban. Legyen V egy vektort´er, V∗ pedig annak du´alisa. Legyen mindk´et t´er v´eges (n) dimenzi´oj´ u, b´azisk´ent ∗ ∗ haszn´aljuk a ϕ1 , . . . , ϕn ´es ϕ1 , . . . , ϕn f¨ uggv´enyeket. Legyenek a b´azisban szerepl˝o f¨ uggv´enyek ortogon´alisak az al´abbi ´ertelemben (ϕi , ϕ∗j ) = δij . Egy (m, n) indexp´arral jellemzett tenzor, amely V felett van defini´alva, egy m + n v´altoz´os line´aris funkcion´al u tenzor F (u1 , . . . , um , v1∗ , . . . , vn∗ ), ahol ui ∈ V, vj ∈ V∗ . P´eld´anak ok´a´ert egy (2, 0) t´ıpus´ nem m´as, mint egy biline´aris funkcion´al B(u1 , u2 ). Tenzorok szorzat´at a 2.2.2 fejezetben haszn´alt tenzorszorzatra alapozva, az al´abbi m´odon defini´alhatjuk. Legyen a V t´eren defini´alt line´aris funkcion´alok vektorter´eben egy b´azis (v1 , . . . , vn ), a V∗ t´eren defini´ P alt line´aris funkcion´alok vektorter´eben egy b´azis (w1 , . . .∗, wn ). ∗Ekkor a szorzatt´er ırhat´o, ahol v ⊗ w = F (u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn ). Az ´ıgy defini´alt i,j αij vi ⊗ wj alakba ´ u ´j m˝ uvelet rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: a(v ⊗ w) = (av) ⊗ w = v ⊗ (aw) (u + v) ⊗ w = u ⊗ w + v ⊗ w v ⊗ (u + w) = v ⊗ u + v ⊗ w.
(2.19) (2.20) (2.21)
2.3. Feladat Legyen adott φ∗ , ϕ∗ ∈ V∗ , k´et (0, 1) t´ıpus´ u funkcion´al, ezek tenzorszorzata ∗ ∗ ∗ ∗ (φ ⊗ϕ ) = φ (u)ϕ (v), ez nyilv´an (0, 2) t´ıpus´ u tenzor. Egy A : V → V line´aris lek´epez´est term´eszetes m´odon kapcsolhatjuk ¨ossze a B(u, v) = (Au, v) biline´aris funkcion´al r´ev´en. Ez a kapcsolat meg is ford´ıthat´o, a v∗ → B(u, v∗ ) lek´epez´essel, amelyet r¨ogz´ıtett u mellett tekint¨ unk. Ezzel defini´alhat´o az A oper´ator hat´asa, mint skal´arszorzat. (Riesz Frigyes t´etele) Amennyiben a line´aris funkcion´alban k darab vektor szerepel, tekints¨ uk az al´abbi k + 1line´aris f¨ uggv´enyt: F (u1 , . . . , uk , v∗ ) = (B(u1 , . . . , uk ), v∗ ) (2.22) Tegy¨ uk fel, hogy a V t´eren defini´alt hat´assal rendelkez˝o GV csoportnak egy v´eges dimenzi´os ´abr´azol´asa Dg , g ∈ GV . A k-line´aris B lek´epez´es invari´ans7 , ha fenn´all Tg B(u1 , . . . , uk ) = B(Tg u1 , . . . , Tg uk ). Amint a 7.3 fejezetben l´atni fogjuk, a tenzor´abr´azol´ast j´ol felhaszn´alhatjuk a k´aosz le´ır´asa sor´an. 6 7
A k¨ ozismert Riesz-t´etelt a 2.3.. p´eld´ aban tal´alja az olvas´o Egyes szerz˝ ok, pl. Sattinger, haszn´ alj´ ak a kovari´ans elnevez´est is.
30
2.4. T´ etel (Csoport´ abr´ azol´ as tenzorszorzatokkal) Legyen D a G csoport egy ´abr´azol´asa a V vektort´er felett. Ekkor a D ´abr´azol´as invari´ansainak sz´ama (azon v ∈ V vektorok sz´ama, amelyek v´altozatlanul maradnak minden Dg , minden g ∈ G alatt) egyenl˝o a1 =
1 X χ(g), |G| g∈G
(2.23)
ahol χg a D ´abr´azol´ashoz tartoz´o karakter. A 7.3 fejezetben bemutatunk olyan alkalmaz´ast, amelyben egy B() k-line´aris oper´ator argumentumai azonosak. Az ilyen k-line´aris kifejez´eseket szimmetrikusnak nevezik. 2.5. T´ etel (Szimmetrikus k-line´ aris lek´ epez´ esek sz´ ama) Legyen D a G csoport egy ´abr´azol´asa a V vektort´er felett ´es jel¨olje ck (D, G) azon szimmetrikus k-line´aris lek´epez´esek sz´am´at, amelyek kovari´ansak a D ´abr´azol´as alatt. A ck -t megkapjuk z = 1 helyettes´ıt´es mellett az al´abbi gener´atorf¨ uggv´enyb˝ol: ∞ X
ck (D, G)z k =
k=0
1 X det (I − zDg )−1 χ∗ (g), |G| g∈G
(2.24)
vagy ck (D, G) =
1 X χ(k) (g)χ∗ (g), |G| g∈G
ahol X
χ(k) (g) = Pk
`=1
`i` =k
χχi1 (g) . . . χik (gk ) . 1i1 i1 !2i2 i2 ! . . . k ik ik !
(2.25)
(2.26)
2.4. Feladat [A C3v csoport egy m´atrix ´abr´azol´asa] A GL(2, 2) csoportban8 6 elem tal´alhat´o, a csoport izomorf a C3v csoporttal, karaktert´abl´aj´at a 2.1. t´abl´azat adja meg, ezt a csoportot k´es˝obb r´eszletesebben is megvizsg´aljuk9 . Az egydimenzi´os, szimmetrikus irreducibilis alt´er jel¨ol´ese A, amennyiben t¨obb ilyen is van, akkor azokat egy indexszel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. Az egydimenzi´os, aszimmetrikus ´abr´azol´asok szok´asos jele B, a k´etdimenzi´os ´abr´azol´as´e E, a h´aromdiemnzi´os´e pedig F . A karaktert´abla oszlopiban konjug´alt ´ elemoszt´alyok ´allnak. Az els˝o konjug´alt elemoszt´aly szok´as szerint az egys´egelem. Altal´aban a t´abl´azat fejl´ec´eben felt¨ untetik a konjug´alt elemoszt´alyba tartoz´o elemek sz´am´at ´es legal´abb t´ıpus´at. A m´asodik konjug´alt elemoszt´alyban k´et elem tal´alhat´o (t ´es t2 ), a harmadik konjug´alt elemoszt´alyban pedig h´arom (s, st ´es st2 ). A jel¨ol´es magyar´azat´at ld. 8
A GL(2,2) csoport invert´ alhat´ o 2 × 2-es m´atrixokb´ol ´all, amelyeknek elemeit modulo2 kell venni, a m˝ uveleteket (pl. matrix ¨ osszead´ as, m´ atrixszorz´as) is ´ıgy kell ´erteni. 9 A v´eges csoportok karaktert´ abl´ ait a 6. fejezetben tal´alja az olvas´o.
31
az (2.102) egyenlet ut´an. Az 2.2. t´abl´azatban k´et egydimenzi´os ´es egy k´etdimenzi´os irreducibilis ´abr´azol´as tal´alhat´o. (Amint kor´abban l´attuk, az elemoszt´alyok sz´ama nc = 3.) ´ azoljuk a csoport elemeit 6 × 6-os m´atrixokkal. Ekkor a csoport mind a hat m´atrixa Abr´ transzform´alhat´o az al´abbi alakra: a 0 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 (2.27) 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 y y 0 0 0 0 y y A csoportot alkot´o m´atrixokban csak a bet˝ ukkel jel¨olt poz´ıci´okban fordulhat el˝o nemnulla elem. A k´et egydimenzi´os ´abr´azol´asnak megfelel˝oen k´et darab 1 × 1-es, a k´et dimenzi´os ´abr´azol´asnak megfelel˝oen k´et, 2 × 2-es m´atrix tal´alhat´o, ezek ekvivalensek, ez´ert spurjuk megegyezik. A C3v csoport (2.27) m´atrixokkal t¨ort´en˝o ´abr´azol´asa irreducibilis. A 4. t´etel ´es a 2.1. karaktert´abla alapj´an a1 = 1, vagyis egyetlen olyan vektor van az R6 vektort´erben, amelyet a C3v csoport minden (2.27) alak´ u m´atrixa v´altozatlanul hagy. Az irreducibilis a´br´azol´asok meghat´aroz´asa az al´abbi projektorral t¨ort´enik: ψα =
`α X α ∗ χ (g) g ∗ ψ |G| g∈G
(2.28)
Itt ψ egy tetsz˝oleges n elem˝ u vektor, amin a G csoport m´atrix´abr´azol´as´anak hat´asa defini´alt. Az irreducibilis komponenst az α index jellemzi, χα (g) pedig a karaktert´abla α-ik sor´aban a g elemet tartalmaz´o oszt´alyn´al a´ll´o elem, `α pedig az α alt´er dimenzio´ja. Amennyiben t¨obbdimenzi´os alt´err˝ol van sz´o, t¨obb line´arisan f¨ uggetlen vektort is ki lehet vet´ıteni, nyilv´an line´arisan f¨ uggetlen ψ vektorokb´ol kiindulva, g · ψ pedig a ψ f¨ uggv´eny transzform´altja a g csoportelem hat´as´ara10 . Amennyiben minden α-hoz ismert `α sz´am´ u f¨ uggetlen ψ α , akkor a csoport g elem´et alkalmazva ψα -ra megkapjuk a g-hez tartoz´o irreducibilis m´atrixot. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a karaktert´abla ilyenform´an t¨ort´en˝o meghat´aroz´asa a csoport rendj´enek n¨ovekedt´evel egyre nehezebb. Ugyanakkor a karaktert´abla ´altal´anos megfontol´asok alapj´an is meghat´arozhat´o, ahogyan azt a 10. fejezetben bemutatjuk. A ψ α , α = 1, . . . , nc b´azison a csoportot alkot´o m´atrixok diagon´alis blokkokb´ol ´allnak: D(1) . . . 0 0 D(2) 0 (2.29) .. . 0 0 Az `α rend˝ u m´atrixokb´ol `α szerepel. Ezen alak speci´alis eset´et l´attuk a ( 2.27) k´epletben. 10
Az olvas´ o r´eszletes p´eld´ at tal´ al a perem´ert´ekfeladatokkal foglalkoz´o r´eszben.
32
V´eges csoportok karaktert´abl´ait megtal´aljuk a GAP -programban (ld. a 3. fejezetet) vagy egy´eb k´ezik¨onyvekben (pl. Landau-Lifsic V. k¨otet, Kaplan k¨onyve, Biedenharn kiadv´anya, a h´ıres, de nehezen hozz´af´erhet˝o ATLAS (Conway ´es munkat´arsai)). A fenti projekci´o alkalmazhat´o b´armilyen halmazon, ahol a csoporthat´ast defini´altuk, a leggyakrabban egy f¨ uggv´enyt´eren szoktuk alkalmazni a csoporthat´as (2.8) szerinti defin´ıci´oj´aval. Az irreducibilis ´abr´azol´asokat u ´gy is meg lehet adni, hogy megadjuk a csoportelemek a´br´azol´asait. Ekkor az egydimenzi´os ´abr´azol´asok minden csoportelemhez egy sz´amot, a k´etdimenzi´os ´abr´azol´asok egy 2 × 2-es m´atrixot rendelnek. E m´atrixok azonos elemeit v´eve (pl. az 1,1 index˝ u elemeket v´eve) megkapjuk az a´br´azol´asnak megfelel˝o alt´er b´azisvektorait. Egy regul´aris csoport´abr´azol´asban a vet´ıt´es (vagyis a ψ f¨ uggv´eny irreducibilis komponenseinek meghat´aroz´asa) az al´abbi m´odon t¨ort´enik: α ψik =
`α X α D (g)g ∗ ψ. |G| g∈G ik
(2.30)
Az a´br´azol´asok sz´ama megegyezik a csoportelemek sz´am´aval, azaz,a csoport rendj´evel. Az (2.30) vet´ıt´es j´ol t¨ ukr¨ozi, hogy az irreducibilis a´br´azol´as egy p´alya elemeinek linea´rkombin´aci´oja. A p´alya minden olyan halmazon, t´eren, stb. megadhat´o, amelyen a csoportelemek hat´asa defini´alt. 2.5. Feladat (A C4v csoport egy ´ abr´ azol´ asa) Tekints¨ uk a C4v csoport elemeinek al´ abbi ´abr´azol´as´at: α = 1: De = 1, Dax = 1, Day = 1, Dd1 = 1, Dd2 = 1, Db = 1, Dc1 = 1, Dc2 = 1, α = 2: De = 1, Dax = 1, Day = 1, Dd1 = −1, Dd2 = −1, Db = 1, Dc1 = −1, Dc2 = −1, α = 3: α = 3: De = 1, Dax = 1, Day = 1, Dd1 = −1, Dd2 = −1, Db = 1, Dc1 = −1, Dc2 = −1, = −1, α = 4: De = 1, D ax = −1, Day = −1, Dd1 = 1,Dd2 = 1, Db = 1, Dc1= −1, Dc2 1 0 0 1 1 0 −1 0 α = 5: De = , Dax = , Day = , Dd1 = , 0 1 0 1 0 −1 1 0 0 −1 −1 0 0 −1 0 1 Dd2 = , Db = , Dc1 = , Dc2 = , −1 0 0 −1 1 0 −1 0 Itt a csoportelemeket az els˝o k´et ´abr´azol´asban egyetlen sz´am ´abr´azolja, ez´ert k´et egydimenzi´os alt´err˝ol van sz´o, a harmadik ´abr´azol´asban 2 × 2-es m´atrixokkal ´abr´azoljuk a csoportelemeket, ez az ´abr´azol´as teh´at k´etdimenzi´os. A csoport megadott ´abr´azol´as´ahoz
33
tartoz´o b´azisvektorok: ψ1 ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 ψ6 ψ7 ψ8
= = = = = = = =
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (1, −1, −1, −1, −1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, −1, −1, 1, −1, −1) (1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1) (1, −1, 1, 0, 0, −1, 0, 0) (0, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1) (0, 0, 0, 1, −1, 0, 1, −1) (1, 1, −1, 0, 0, −1, 0, 0)
(2.31) (2.32) (2.33) (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38)
A csoport karaktert´abl´aj´at11 a 2.2. t´abl´azat tartalmazza, amelyb˝ol spurok alapj´an meg´allap´ıthat´o, hogy az ´abr´azol´asok irreducibilisek.
2.2.1.
Szorzat´ abr´ azol´ as
A fentiekb˝ol kit˝ unik, hogy tetsz˝oleges f¨ uggv´enyt fel lehet bontani egy csoport irreducibilis a´br´azol´asai szerint transzform´al´od´o f¨ uggv´enyek ¨osszeg´ere, felt´eve, hogy a csoportelemek hat´asa a sz´oban forg´o f¨ uggv´enyre defini´alt. Nyilv´an k´et ilyen f¨ uggv´eny szorzata is f¨ uggv´eny, ezek felbont´asa azt a k´erd´est veti fel, hogyan lehet az irreducibilis a´br´azol´asok szerint transzform´al´od´o f¨ uggv´enyek szorzat´anak felbont´as´at elv´egezni. Ennek vizsg´alat´ahoz transzform´aljuk k´et irreducibilis f¨ uggv´eny szorzat´at: X β β gψiα ψjβ = Dliα (g)Dmj (g)ψlα ψm , (2.39) l,m
k¨ozvetlen¨ ul l´atjuk, hogy a karakterek szorz´odnak: X β χα×β (g) = Diiα (g)Dkk (g) = χα (g)χβ (g)
(2.40)
i,k
Az (2.39)-ben szerepl˝o m´atrixot Dα×β -val jel¨olj¨ uk ´es az α, β a´br´azol´asok direkt szorzat´anak nevezz¨ uk. 11
A v´eges csoportok karaktert´ abl´ ait s 6. fejezetben tal´alja az olvas´o.
34
2.2.2.
´ azol´ Abr´ asok direkt szorzata, tenzorok felbont´ asa, ClebschGordan egyu ok ¨ tthat´
K´et m´atrix direkt szorzat´an az al´abbiakat ´ertj¨ uk. Legyen A ´es B m´asodrend˝ u, n´egyzetes m´atrixok. Direktszorzatuk: a11 b11 a11 b12 a12 b11 a12 b12 a11 b21 a11 b22 a12 b21 a12 b22 A×B = (2.41) a21 b11 a21 b12 a22 b11 a22 b12 . a21 b21 a21 b22 a22 b21 a22 b22 ´ Altal´ aban a direktszorzat oszlopainak (sorainak) sz´ama a komponensek oszlopainak (sorainak) sz´am´anak ¨osszege. A direktszorzat m´atrix a m´asodik m´atrixnak megfelel˝o blokkokb´ol ´all, a blokkok az els˝o m´atrix elemeinek felelnek meg. Minden blokkot u ´gy kapunk meg, hogy az els˝o m´atrix megfelel˝o elem´et szorozzuk a m´asodik m´atrixszal. Legyen adott az n kompunens˝ u u vektor. Az u komponenseib˝ol k´epzett ui uj mennyi´ s´egek m´asodrend˝ u tenzort alkotnak. Altal´ aban az nN komponensb˝ol a´ll´o tenzort N edrend˝ unek nevezz¨ uk. Az N -edrend˝ u tenzor egy N dimenzi´os line´aris teret k´epez le egy N dimenzi´os line´aris t´erre. Egy line´aris t´er irreducibilis alter´et m´ar defini´altuk a 2.2 fejezetben. A skal´aroper´ator f¨ uggetlen a koordin´at´ak v´alaszt´as´at´ol, az els˝orend˝ u oper´ator u ´gy transzform´al´odik u ´j kooordin´at´ak bevezet´esekor, mint egy vektor s.i.t. A tenzor irreducibilis komponenseit a forgat´asokkal szembeni viselked´es alapj´an defini´alj´ak. Az ω fok´ u irreducibilis tenzornak 2ω +1 komponense van (ezeket Ti jel¨oli), ´es azok az al´abbi m´odon transzform´al´odnak: ω X O−1 Ti O = Dij Tj , (2.42) j=−ω
ahol a Dij m´atrix a tengelyek forgat´as´at ´ırja le. Legyen a T tenzor irreducibilis felbont´asa X T= Tαt . (2.43) t,α
Ekkor a T tenzor irreducibilis komponensei is az `α dimenzi´os α alt´er koordin´at´aihoz hasonl´oan transzform´al´odnak, azaz, g·
Tαk
=
`α X
Dkt (g)Tαt .
(2.44)
t=1
2.6. T´ etel (Wigner-Eckart t´ etel.) Az hαi |Tτt |βki m´atrix elem nulla minden olyan esetben, amikor a Γτ × Γβ direktszorzat m´atrixelemeinek irrepekre val´o felbont´asa nem tartalmazza a Γα irrepet. 35
A Wigner-Eckart-t´etel seg´ıts´eg´evel integr´alok kisz´am´ıt´asa v´alik k¨onnyebb´e (eml´ekezz¨ unk, a legt¨obb esetben a skal´arszorzat ¨osszegz´est vagy integr´al´ast jelent, a vizsg´alt oper´ator term´eszet´et˝ol f¨ ugg˝oen). 2.7. T´ etel Amennyiben a T0 oper´ator a G csoporttal szemben invari´ans, a T0 oper´ator k¨ ul¨onb¨oz˝o irreducibilis ´abr´azol´asokhoz tartoz´o f¨ uggv´enyekkel k´epzett m´atrixelemeib˝ol k´epzett m´atrix diagon´alis az irrepkre vonatkoz´oan, ´es az irrep b´azisaira vonatkoz´oan, tov´abb´ a m´atrixelem nem f¨ ugg a b´azisf¨ uggv´eny sorsz´am´at´ol, vagyis α
(2.45) aαi|T0 |a0 α0 i0 = δαα0 δii0 a|T0 |a0 . A fenti kifejez´esben az α irreducibilis alt´er ekvivalens b´azisait az a index k¨ ul¨onb¨ozteti meg.
2.3.
Folytonos csoportok
Legyen X topologikus t´er. Az ¨osszef¨ ugg˝os´eg tanulm´anyoz´as´ahoz n´eh´any topol´ogiai alapfogalomra van sz¨ uks´eg¨ unk. Azt mondjuk, hogy X tartalmaz egy F p´aly´at, ha l´etezik olyan f (t) folytonos f¨ uggv´eny, amely a t val´os param´eter minden egyes 0 ≤ t ≤ 1 ´ert´ek´enek megfelelteti X egy j´ol meghat´arozott pontj´at. Ekkor az F p´alya ¨osszek¨oti az X t´er f (0)-hoz ´es f (1)-hez rendelt pontjait. F -et nullap´aly´anak nevezz¨ uk, ha az f f¨ uggv´eny a´lland´o. Az f (0) ´es f (1) pontokat ¨osszek¨ot˝o p´aly´akat homotopnak nevezz¨ uk, ha l´etezik olyan folytonos transzform´aci´o, amely az egyik p´aly´at a m´asikba folytonosan transzform´alja. Az X fundament´alis csoportj´anak elemei az egym´asba folytonos deform´aci´oval a´tvihet˝o z´art g¨orb´ek oszt´alyai. Egy x ∈ X ´es y ∈ X v´egpont´ u g¨orbe alatt az I = [0, t] intervallum olyan f : I → X folytonos lek´epez´es´et ´ertj¨ uk, amelyre f (0) = x ´es f (1) = y. A g¨orbe z´art, ha x = y. Az f : I → X lek´epez´es kezd˝opontja legyen x, v´egpontja y, a g : I → X g¨orbe kezd˝opontja legyen y, v´egpontja pedig z. Az f, g g¨orb´ek kompoz´ıci´oja az az f g : I → X lek´epez´es, amelyre f (2t) ha 0 ≤ t ≤ 1/2 f g(t) = (2.46) g(2t − 1) ha 1/2 ≤ t ≤ 1. K´et I → X g¨orbe, f ´es g, amelyek mindegyik´enek kezd˝opontja x ´es v´egpontja y, homot´op, ha l´etezik a J = [0 ≤ t, u ≤ 1] n´egyzetnek olyan ϕ : J → X folytonos lek´epez´ese, amelyre ϕ(t, 0) = f (t); ϕ(t, 1) = g(t); ϕ(0, u) = x; ϕ(1, u) = y
(2.47)
Azoknak a z´art g¨orb´eknek a homot´opia oszt´alyai, amelyeknek kezd˝o- ´es v´egpontjai egyar´ant x0 , csoportot alkotnak a g¨orb´ek kompoz´ıci´oj´ara, mint m˝ uveletre n´ezve. Ez a csoport X fundament´alis csoportja, jele π(X). Az X t´er egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o, ha π(X) = e (egys´egelem). 36
A fundament´alis csoport fogalma szorosan kapcsol´odik a diszkr´et transzform´aci´ocsoportokhoz. Ha X olyan t´er, amelyben b´armely k´et pont g¨orb´evel ¨osszek¨othet˝o, akkor ˆ t´er ´es egy azon hat´o, π(X)-szel l´etezik olyan ¨osszef¨ ugg˝o ´es egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o X ˆ ˆ teret X izomorf G csoport u ´gy, hogy X = G\X (a jel¨ol´est ld. az orbitokn´al). Az X ˆ t´er olyan D ⊂ X univerz´alis fed´es´enek nevezz¨ uk. 12 Fundament´alis tartom´anyon az X r´eszhalmaz´at ´ertj¨ uk, amely minden orbitot metsz, ´es amelynek minden x ∈ D bels˝o pontj´ara teljes¨ ul, hogy x orbitj´anak ´es D-nek metszete pontosan x. Ekkor D lez´artj´anak D-nak k´et pontja csak akkor tartozhat azonos orbithoz, ha a pontok D hat´ar´an vannak. ˆ teret u ´Igy a G\X ´gy k´epzelhetj¨ uk el, hogy D-t ¨osszeragasztjuk, azonos´ıtva egym´assal hat´ar´anak azonos orbithoz tartoz´o pontjait. P´eld´aul az egyenes eltol´asainak csoportj´anak a [0, 1] intervallum fundament´alis tartom´anya. Ennek k´et v´egpontj´at azonos´ıtva egy k˝ort kapunk.
2.3.1.
Lie-csoportok
Egy tartom´any vizsg´alata sor´an gyakran folyamodunk lek´epez´esek haszn´alat´ahoz. Legyen M, N ⊂ Rn k´et ny´ılt halmaz, legyen tov´abb´a adott az f : M → N f¨ uggv´eny, amely az M halmazt az N halmazba k´epezi le. Az f lek´epez´est diffeomorfizmusnak nevezz¨ uk, −1 ha f tetsz˝olegesen sokszor differenci´alhat´o, inverzf¨ uggv´enye f l´etezik ´es tetsz˝olegesen sokszor diferenci´alhat´o. Az f : M → N f¨ uggv´eny • sz¨ urjekt´ıv, amennyiben a teljes M halmaz k´epe a teljes N halmaz; • injekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨ uk, ha ha M k¨ ul¨onb¨oz˝o elemeit N k¨ ul¨onb¨oz˝o elemeibe k´epezi le; • bijekt´ıv lek´epez´esnek nevezz¨ uk, ha a lek´epez´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u. Tov´abbi oszt´alyoz´as lehets´eges, ha az M, N halmazok pontjai k¨oz¨ott rel´aci´ok is fel´all´ıthat´oak. A lek´epez´esek vizsg´alat´anak fontos eleme annak eld¨ont´ese, hogy az N halmaz tartalmazzae ugyanazt az inform´aci´ot, mint az M halmaz. Figyelembe kell azt is venni, hogy a k´et halmaz dimenzi´oja elt´er˝o is lehet. Erre a c´elra haszn´aljuk egy adott f : M → N lek´epez´es rangj´at. Legyen f : M → N egy sima lek´epez´es az m dimenzi´os M t´erb˝ol az n dimenzi´os N t´erbe. f rangj´an egy adott x ∈ M pontban az n × m-es ∂f i /∂xj Jacobi-m´atrix rangj´at ´ertj¨ uk. (A koordin´at´akat ki´ırva x = (x1 , . . . , xm ) ∈ M → y = (y 1 , . . . , y n ), azaz, i i 1 y = f (x , . . . , xm ), i = 1, . . . , n). Az f lek´epez´est maxim´alis rang´ unak nevezz¨ uk, ha a Jacobi-m´atrix rangja maxim´alis, azaz egyenl˝o min(m, n)-nel. A csoportok k¨oz¨ott fontos helyet foglalnak el azok a csoportok, amelyeknek elemei folytonos f¨ uggv´enyei egy vagy t¨obb param´eternek. Ilyen csoportot alkotnak pl. a s´ıkbeli 12
Tov´ abbi r´eszleteket ld. Safarevics k¨ onyv´enek 131.-ik oldal´an.
37
forgat´asok m´atrixai, aminek a´ltal´anos elem´et cosθ −sinϑ Aϑ = sinϑ cosθ
(2.48)
alakba ´ırhatjuk. Az Aϑ m´atrixok a m´atrixszorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, ugyanakkor a csoport minden eleme differenci´alhat´o f¨ uggv´enye ϑ-nak. A csoportm˝ uvelet ”´ath´ar´ıthat´o” a ϑ v´altoz´ora, hiszen cos(ϑ1 + ϑ2 ) −sin(ϑ1 + ϑ2 ) Aϑ 1 Aϑ 2 = (2.49) sin(ϑ1 + ϑ2 ) cos(ϑ1 + ϑ2 ) Ezzel az ¨osszef¨ ugg´essel lek´epezt¨ uk a forg´ast le´ır´o m´atrixokat a val´os sz´amokra (azaz, a m´atrixelemekben szerepl˝o θ argumentumra), a lek´epez´es izomorfia, a csoportm˝ uvelet a m´atrixok k¨ozt a m´atrixszorz´as, a val´os sz´amok (azaz, a m´atrix argumentumok) k¨oz¨ott pedig az ¨osszead´as. A param´eterekt˝ol folytonosan f¨ ugg˝o csoportokkal foglalkozunk a tov´abbiakban. A csoportelemek ´altal´aban t¨obb param´etert˝ol is f¨ uggenek, ez´ert a param´etert R helyett Rn ben (n ≥ 1) vizsg´aljuk. Mivel a fizik´aban alkalmazott Lie-csoportok t¨obbnyire m´atrix csoportok, az al´abbiakban csak a lok´alisan line´aris Lie-csoportokkal foglalkozunk. Legyen W egy egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o ny´ılt halmaz, amely tartalmazza az Rn t´er o = (0, . . . , 0) pontj´at, tov´abb´a, amely a val´os elem˝ u p = (p1 , . . . , pn ) sz´am n-esekb˝ol a´ll. Tekints¨ uk az invert´alhat´o A(p) = A(p1 , . . . , pm ) m-edrend˝ u m´atrixokat, amelyek defini´alva vannak minden p ∈ W-re, ´es fenn´all tov´abb´a: • A(0, . . . , 0) = Em egys´egm´atrix; • A(p) analitikus f¨ uggv´enye p minden komponens´enek; • A ∂A/∂pj , j = 1, . . . , m m´atrixok line´arisan f¨ uggetlenek minden p-re. • L´etezik az o = (0, . . . , 0) elemnek olyan W0 ∈ W k¨ornyezete , hogy b´armely p, q ∈ W-p´arhoz tal´alhat´o olyan r ∈ W, amelyre teljes¨ ul A(p)A(q) = A(r). Itt a baloldalon ´all´o szorz´as egyszer˝ u m´atrixszorz´ast jelent. A fent defini´alt A(p) m´atrixok a m´atrixszorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve egy GL csoportot alkotnak. Ezt a csoportot n-dimenzi´os, val´os, lok´alis Lie-csoportnak nevezik13 . A p param´etert a GL csoport lok´alis koordin´at´aj´anak nevezz¨ uk. Mivel tetsz˝oleges A(p), A(q) ∈ GL -re fenn´all A(r) = A(p)A(q) ∈ GL , ez´ert r = f (p, q). 13
Sophus Lie (1842-1899) sv´ed matematikus tisztelet´ere.
38
(2.50)
Itt az f f¨ uggv´enynek n komponense van. Bel´athat´o, hogy a p koordin´at´ak helyett b´armely 0 m´asik p = F(p) koordin´ata egy u ´j csoportot eredm´enyez, az A(p) → A(p0 ) lek´epez´essel. A m´atrixok szorz´asa teh´at le´ırhat´o a m´atrixok param´eterei k¨oz¨otti f f¨ uggv´ennyel is. Az asszociativit´as miatt teljes¨ ulnie kell tetsz˝oleges p, q ´es r argumentumok eset´en az f (r, f (p, q)) = f (f (r, p), q)
(2.51)
ugg´esnek. Az egys´egelem nyilv´anval´oan l´etezik a m´atrixok k¨oz¨ott, ez´ert l´eteznie ¨osszef¨ kell egy o vektornak, amelyre fenn´all: f (p, o) = f (o, p) = p.
(2.52)
Mivel feltett¨ uk, hogy a sz´obanforg´o m´atrixok invert´alhat´oak, adott m´atrixnak l´etezik az inverze is, ez´ert minden p param´eterhez l´etezik olyan p param´eter, amelyre f (p, p) = f (p, p) = o.
(2.53)
Legyen p(t) egy vektor-skal´ar f¨ uggv´eny, amely R → Rn ´es analitikus t < 1-re. A GL csoport G Lie-algebr´aj´at a d A = A(p(t)) (2.54) dt t=0 m-edrend˝ u m´atrixok halmaza alkotja, ahol p(t) v´egigfut minden olyan g¨orb´en Rn -ben, amely ´atmegy az o ∈ Rn ponton. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden A ∈ G fel´ırhat´o az al´abbi n, line´arisan f¨ uggetlen B1 , . . . , Bn m´atrix line´aris kombin´aci´ojak´ent: ∂A(p) , i = 1, . . . , n. (2.55) Bj = ∂pj Val´oban, ha A = d/dtA(p(t)) ∈ G, akkor n n X X ∂pj (t) ∂A(p) A= = αj Bj . ∂t ∂p j t=0 p=o i=1 j=1
(2.56)
Eszerint G rendelkezik egy n-dimenzi´os vektort´er strukt´ ur´aj´aval, e vektort´eren defini´alva van az ¨osszead´as ´es a skal´arral val´o szorz´as. Ebben a vektort´erben a Bj , j = 1, . . . , n m´atrixok b´azist alkotnak. A m˝ uveletek sz´am´at b˝ov´ıteni lehet. Vizsg´aljuk meg az A, B ∈ G m´atrixok kommut´ator´at! Minthogy [A, B] = AB − BA, tov´abb´a a m´atrixszorz´as a´tvihet˝o a param´eterek transzform´aci´oj´ara (2.50) szerint, tov´abb´a, minden G-beli m´atrix kifejthet˝o a Bj m´atrixok szerint, az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: [Bm Bn ] =
n X
(mn)
ci
Bi , 1 ≤ m, n ≤ n.
i=1
39
(2.57)
Tov´abb´a, (mn)
ci
= ci,mn − ci,nm
(2.58)
ahol ci,mn = ∂p2i pj fi (p, q)|p,q=o . Ezzel a G vektort´eren ´ertelmezt¨ uk a kommut´atort is, G-hez teh´at egy Lie-algebra is rendelhet˝o az al´abbiak szerint. Egy L halmazt, amelyen k´et m˝ uvelet van ´ertelmezve, egy a+b ¨osszead´as ´es egy [a, b] = ab−ba kommut´al´as Lie-gy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk, ha kiel´eg´ıti az ¨osszes gy˝ ur˝ uaxi´om´at, kiv´eve a szorz´as asszociativit´as´at, aminek hely´ebe az [a, a] = 0 ´es [[a, b], c]+[[b, c], a]+[[c, a], b] = 0 azonoss´agok l´epnek minden a, b, c ∈ L-re. Ha L m´eg vektort´er is valamilyen K test felett, akkor L-et egy K-feletti Lie-algebr´anak nevezz¨ uk. 2.1. Feladat . Legyen D ∈ L az els˝orend˝ u differenci´al´as oper´atora: X ∂f . D(f ) = pi ∂x i i
(2.59)
Ekkor D(f1 + f2 ) = D(f1 ) + D(f2 ) ´es D(f1 f2 ) = fP abb´a ha D(f ) = 1 D(f2 ) + f2 D(f1 ) tov´ P ∂f ∂f 0 ha f a konstans f¨ uggv´eny. Legyen D1 (f ) = i qi ∂xi . Ekkor i pi ∂xi , D2 (f ) = P P ∂qi ∂pi [D1 , D2 ] = i Ri ∂x∂ i ahol Ri = k pk ∂x − qk ∂x . Teh´at [D1 , D2 ] is els˝orend˝ u differenk k ci´aloper´ator. Tov´abb´a [D, D] = 0 ´es [[D1 , D2 ], D3 ] + [[D2 , D3 ], D1 ] + [[D3 , D1 ], D2 ] = 0, teh´at az els˝orend˝ u deriv´altak Lie-algebr´at alkotnak. Most megmutatjuk, hogy a GL Lie-csoport elemeit param´eterezhetj¨ uk a Lie-algebra b´azisaival. V´alasszuk Pn az A ∈ GL csoportelem k¨ovetkez˝o a´br´azol´as´at: amennyiben A = exp A, ahol A = i=1 αi Bi , akkor A = exp
n X
αi Bj .
(2.60)
i=1
Az (α1 , . . . , αn ) egy¨ utthat´okat az A ∈ GL m´atrix kanonikus koordin´at´ainak nevezik. Az A = exp A lek´epez´es megval´os´ıthat´o, hiszen amennyiben kAk < ε, akkor exp(A) ∈ GL . Tov´abb´a, ha kA − Em k < δ, akkor fel´ırhat´o A = exp A, A ∈ G alakban, egyetlen A ∈ G, kAk < ε seg´ıts´eg´evel. A Lie-csoportok m´asik fontos ´abr´azol´as´at alkotj´ak a lek´epez´esek. Tekints¨ unk egy L sokas´agot, amelyen ´ertelmezve vannak L → L transzform´aci´ok. Ilyen p´eld´aul az s´ıkot ¨onmag´ara lek´epez˝o, forgat´asokat le´ır´o SO(2) csoport, vagy az Rn teret ¨onmag´ara lek´e´ pez˝o, invert´alhat´o, line´aris transzform´aci´ok GL(n) csoportja. Altal´ aban egy Lie-csoport megval´os´ıthat´o egy M sokas´ag automorfizmusainak seg´ıts´eg´evel. A transzform´aci´ok abban az ´ertelemben lok´alisak, hogy egyes transzform´aci´ok esetleg nem defini´altak M egyes pontjaiban, vagy hat´asuk nem defini´alt egyes transzform´aci´okra. A vizsg´alt lek´epez´esek a´ltal´aban nemline´arisak, ez´ert m´atrixokkal nem le´ırhat´oak. Egy adott transzform´aci´o le´ır´as´at u ´gy adjuk meg, hogy megadjuk az x ∈ M pont x0 ∈ M k´ep´et, ´es megadjuk, melyik transzform´aci´or´ol van sz´o, ez ut´obbit a lek´epez´esben egy 40
param´eterrel, g-vel fogjuk jel¨olni. Legyen egy lek´epez´es adott a Ψ(g, x) g v´altoz´oj´aban mindenhol differenci´alhat´o f¨ uggv´ennyel, ahol x ∈ M ´es g ∈ GL . K´et lek´epez´es szorzat´at egym´as ut´ani alkalmaz´asuk jelenti. Legyen az els˝o lek´epez´es param´etere h, a m´asodik´e g, akkor Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g · h, x), (2.61) ami azt fejezi ki, hogy k´et lek´epez´es szorzata is lek´epez´es, gh param´eterrel. Azt a lek´epez´est, amely minden x ∈ M pontot v´altozatlanul hagy, az e param´eterrel azonos´ıtjuk. Nyilv´an Ψ(g −1 , Ψ(g, x)) = Ψ(e, x) = x. Megmutathat´o, hogy a Ψ(g, x) lek´epez´esek csoportot alkotnak. A komponenseket is ki´ırva: x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ´es a lek´epez´es eredm´enye legyen x0 = Ψ(g, x). Kiz´ar´olag g szerint deriv´alhat´o lek´epez´esekkel foglalkozunk, ez´ert az x0 vektor i-ik komponens´enek g szerinti deriv´altj´at ´ırhatjuk dx0i = ξi (x) dg
(2.62)
alakba. Adott Ψ lek´epez´es egy´ertelm˝ uen meghat´arozza a ξi (x) f¨ uggv´enyeket. Mivel 0 0 g = e eset´en x = x, ez´ert teljes¨ ulnie kell az x (e) = x felt´etelnek is. Alkalmazzuk a fenti gondolatmenetet a x0 = Ψ(h, x) pontra. Ekkor legyen a k´eppont x” = Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g, x0 ). Nyilv´an fenn´all dx”i /dg = ξi (x0 ) minden 1 ≤ i ≤ n indexre, ´es x”(e) = x0 . Vizsg´aljuk most az y = Ψ(g · h, x) lek´epez´est. Nyilv´an dyi /dg = ξi (x) ´es y(e · h) = x0 . Kaptunk k´et, els˝o deriv´altakat tartalmaz´o kezdeti´ert´ek feladatot, amelynek csak egy megold´asa l´etezik, ez´ert Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g · h, x), teh´at a lek´epez´esek t´enyleg csoportot alkotnak. Minthogy a transzform´aci´o g = e eset´en helyben hagyja az x pontot, feltehetj¨ uk, hogy a g-hez tartoz´o transzform´aci´o folytonosan v´altozik g-vel ´es elegend˝o a g-hez tartoz´o transzform´aci´ot els˝o rendben tekinteni, ´es minden g csoportelemhez t´ars´ıthat´o egy ε << 1 param´eter. Ebben az esetben Ψ(ε, x) = x + εξ(x) + O(ε2 ),
(2.63)
ahol a ξ(x) vektor elemeit (2.62) adja meg. Bevezetj¨ uk a v|x =
d |ε=0 Ψ(ε, x) dε
(2.64)
kifejez´est, amit a transzform´aci´ocsoport infinitezim´alis gener´ator´anak nevez¨ unk. Ezzel a jel¨ol´essel maga a transzform´aci´o ´ıgy ´ırhat´o fel: Ψ(ε, x) = exp(εv)x. Az exponenci´alisban szerepl˝o oper´atoron Taylor sor´at ´ertj¨ uk: exp(A) =
∞ X Ai i=1
41
i!
.
(2.65)
2.2. Feladat Legyen M -ben egyetlen v´altoz´o, x, ´es v = d/dx. Ekkor exp(εv)x = x+ε. 2.3. Feladat Az x0 = xp transzform´aci´o a [0, 1] intervallumot ¨onmag´ara k´epezi le. A transzform´aci´o param´eterek´ent haszn´alhat´o a lek´epez´esben szerepl˝o p kitev˝o, p1 ´es p2 egym´asut´ani alkalmaz´asa megfelel az x0 = xp1 +p2 lek´epez´esnek. Itt a lek´epez´esek csoportja izomorf a val´os sz´amok (addit´ıv) csoportj´aval. Jel¨olje G a vizsg´alt L sokas´agon hat´o Ψ(g, x) transzform´aci´ok csoportj´at. Egy adott x pont O orbitj´at a Ψ(g, x), g ∈ G pontok alkotj´ak. A G transzform´aci´ocsoport regul´arisan hat L-en, ha minden orbit azonos dimenzi´oj´ u ´es minden x ∈ L pontnak l´etezik egy tetsz˝olegesen kicsi U k¨ornyezete, amelyet a G csoport orbitjai p´aly´ank´ent folytonos r´eszhalmazokban metsz. A csoporthat´ast tranzit´ıvnak nevezz¨ uk, ha G-nek csak egy orbitja van, L. A transzform´aci´ocsoportot u ´jra megvizsg´aljuk a 7. ´es 8. fejezetben. Vizsg´aljuk meg egy transzform´aci´oval szemben invarianci´at mutat´o halmazokat! El˝osz¨or azt kell megvizsg´alni, mely invari´ansak tekinthet˝oek f¨ uggetlennek. Legyenek ζ1 (r), . . . , ζk (r) megfelel˝oen sima val´os f¨ uggv´enyek, amelyek ´ertelmezettek azon az M sokas´agon, amelyet a vizsg´alt G transzform´aci´oscoport ¨onmeg´ara k´epez le. Ekkor a ζ1 (r), . . . , ζk (r) f¨ uggv´enyeket funkcion´alisan ¨osszef¨ ugg˝onek nevezz¨ uk, ha minden r ∈ M pontnak l´etezik egy U k¨ornyezete, ´es egy olyan sima, val´os F (ζ1 , . . . , ζk ) f¨ uggv´eny, amely nem azonosan nulla a k-dimenzi´os t´er egyetlen ny´ılt halmaz´an sem, ´es teljes¨ ul F (ζ1 , . . . , ζk ) = 0 minden x ∈ U eset´en. Amennyiben a fenti F f¨ uggv´eny azonosan nulla, a ζ1 (r), . . . , ζk (r) f¨ uggv´enyeket funkcion´alisan f¨ uggetleneknek nevezz¨ uk. 2.4. Feladat A ζ1 = x/y ´es a ζ2 = xy/(x2 + y 2 ) funkcion´alisan ¨osszef¨ ugg˝ok az x, y s´ık y 6= 0 pontjaiban, mert x/y xy = = f (x/y). 2 2 x +y 1 + (x/y)2 A ζ1 (r), . . . , ζk (r) f¨ uggv´enyek funkcion´alis f¨ uggetlens´eg´enek klasszikus felt´etele,hogy a Jacobim´atrix rangja minden pontban kisebb legyen k-n´al. Amennyiben egy transzform´aci´ocsoport, amelyet (2.62) ´ır le, akkor hagy egy ζ f¨ uggv´enyt v´altozatlanul, ha fenn´all ξ1 (x)
∂ζ ∂ζ + · · · + ξm (x) = 0. ∂x1 ∂xm
(2.66)
(2.66) a´ltal´anos megold´asa egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenelet-rendszer integr´al´as´aval kaphat´o meg. Ezt a differenci´alegyenelet-rendszert karakterisztik´anak nevezik ´es a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert jelenti: dx1 dx2 dxm = = ··· = . ξ1 (x) ξ2 (x) ξm (x) 42
(2.67)
Ezen egyenletek megold´asa m − 1 f¨ uggv´eny, amelyek az m-dimenzi´os M-sokas´ag koordin´at´ait´ol f¨ uggvenek. 2.5. Feladat Az SO2 (forgat´ascsoport) csoport a s´ıkon hat. Legyen ez´ert M = R2 = (x, y). A csoport elemei az (x, y) pontok transzform´aci´oit adj´ak meg. A transzform´aci´o jellemz´es´ere (2.62) szerint a k´eppont koordin´at´ainak deriv´altjait haszn´alhatjuk. Az SO2 csoport infinitezim´alis gener´atora v = −y∂x + x∂y . A transzform´aci´oban szerepl˝ o f¨ uggv´enyek ξ1 (x, y) = −y, ξ2 (x, y) = x. A karakterisztik´ak egyenlete: dy dx = . −y x
(2.68)
Az egyenletrendszer megold´asa x2 +y 2 = a ´ll. Ez, vagy ezen kifejez´es tetsz˝oleges f¨ uggv´enye a forgat´asok egyetlen, f¨ uggetlen invari´ansa. Azokat a Lie-csoportokat, amelyekben a param´eter csak v´eges korl´atok k¨oz¨ott mozoghat, kompakt csoportoknak nevezz¨ uk. Amennyiben a csoport elemei sima f¨ uggv´enyei egy vagy t¨obb param´eternek, lehet defini´alni k´et csoportelem t´avols´ag´at, azaz, be lehet vezetni topol´ogi´at a csoporton. Ennek alkalmaz´asaira p´eld´ak tal´alhat´oak Saferivics ´es Olver k¨onyv´eben is. 2.6. Feladat Tekints¨ uk az al´abbi vektormez˝ot: v = −y
∂ ∂ ∂ +x + (1 + z 2 ) , ∂x ∂y ∂z
(2.69)
amely ´ertelmez´esi tartom´anya R3 . Minthogy v nem t˝ unik el egyetlen (x, y, z) ∈ R3 pontban sem, k´et invari´anst is gener´alhatunk. A karakterisztika most dx dy dz = = . −y x 1 + z2
(2.70)
Az els˝o k´ et egyenletet az el˝oz˝o p´eld´aban oldottuk meg, ennek megfelel˝oen az els˝ o invarip p ´ans r = x2 + y 2 . A m´asodik invari´ans megkeres´es´ehez haszn´aljuk az x → r2 − y 2 helyettes´ıt´est az integr´al´as el˝ott: dz dy p = . 1 + z2 r2 − y 2
(2.71)
Ennek megold´asa arcsin(y/r) = (arctanz) + k, itt k tetsz˝oleges ´alland´o. A m´asodik invari´ans teh´at arctan z − arcsin(y/r) = arctan z − arctan(y/x). (2.72) 43
2.7. Feladat ( N´ eh´ any Lie-csoport) 1. GL(n, X)- az invert´alhat´o n-edrend˝ u m´at14 2 rixok csoportja, aminek elemei az X halmazb´ol val´oak. A m´atrixnak n f¨ uggetlen eleme van. Ennek a csoportnak a centruma az egys´egm´atrix skal´arszorosa. A centrum szerinti faktorcsoportot P GL(n, X)-szel jel¨olj¨ uk. Ilyen csoport az Sp(2n, X), szimplektikus csoport, amely egy ferd´en szimmetrikus kvadratikus alak automorfizmuscsoportja. A kvadratikus alak egy¨ utthat´oi az X t´erb˝ol val´ok. Ezen csoport egyik r´ecscsoportj´at alkotj´ak azon fels˝oh´aromsz¨og m´atrixok, amelyeknek diagon´alis elemei mind eggyel egyenl˝oek. Ilyen a 1 a Ga = (2.73) 0 1. Ez a csoport izomorf X addit´ıv csoportj´aval. A GL(1, X) csoport viszont X multiplikat´ıv csoportj´aval 15 izomorf, ezt a csoportot Gm -mel szok´as jel¨olni. Ezt a k´et csoportot a 7. fejezetben felhaszn´aljuk. 2. SL(n, X)- az egys´egnyi determin´ans´ u (unimodul´aris) n-edrend˝ u m´atrixok csoportja. ´ aban, ha G egy m´atrixcsoport, akkor SG-vel jel¨olj¨ Altal´ uk az egys´egnyi determin´ans´ u m´atrixok alcsoportj´at. A G ´es SG csoportok centruma szerinti faktorcsoportot rendre P G-vel ill. P SG-vel jel¨olj¨ uk. Az SL(n, X) csoport a GL(n, X) csoport azon elemeib˝ol ´all, amelyek determin´ansa 1, ez a csoport teh´at a GL(n, X) csoport r´eszcsoportja, param´etereinek sz´ama n2 − 1. 3. O(n, X)- az n-edrend˝ u ortogon´alis m´atrixok csoportja, azaz, azon A m´atrixok tare = 1. A szabad param´eterek sz´ama n(n − 1)/2. A paratoznak ide, amelyekre AA m´eterek −1 ´es +1 k¨oz¨ott v´altozhatnak. Mivel det(A) = ±1, a sokas´ag k´et halmazra esik sz´et, a val´odi forgat´asokra, amelyek csoportot alkotnak (det(A) = 1)´es nem val´odi forgat´asok halmaz´ara det(A) = −1. Az ut´obbiak nem alkotnak csoportot, mert nem ´erhet˝oek el az egys´egelemb˝ol kiz´ar´olag csoportelemek alkalmaz´as´aval. 4. U(n)- az n-dimenzi´os komplex euklideszi t´er unit´er transzform´aci´oi.Elemei olyan e = 1. A f¨ n × n-es komplex sz´amokb´ol ´all´o m´atrixok, amelyekre AA uggetlen val´os 2 param´eterek sz´ama n − n 5. SU(n): Az U(n) csoport egys´egnyi determin´ans´ u m´atrixokb´ol ´all´o r´eszcsoportja , ennek centruma azokb´ol az εE (itt E-egys´egm´atrix) m´atrixokb´ol ´all, amelyekre εn = 1. 6. SpU (2n)- unit´er szimplektikus csoport . Azokb´ol a 2n × 2n-es A m´atrixokb´ol ´all, e = G, ahol G adott antiszimmetrikus m´atrix. (Itt a hull´am a amelyekre AGA transzpon´alt m´atrixot jelenti.) 14 15
Megjegyezz¨ uk, hogy a modulo q eg´eszek halmaz´at Fq -val szok´as jel¨olni. amennyiben az X halmaz elemei a szorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak
44
e = 7. O(3, 1)- a Lorentz-csoport, az ¨osszes olyan 4x4-es A m´atrixb´ol ´all, amelyre AGA G. A param´eterek sz´ama 6. Itt G = diag(1, 1, 1, −1). SO(3, 1) pedig a val´odi Lorentz-csoport. Ezek a csoportok a relativit´aselm´eletben fordulnak el˝o. 8. Line´aris algebrai csoportok: a GL(n, K), bizonyos K test feletti algebrai egyenletekkel meghat´arozott r´eszcsoportja, pl. O(f, K), a K feletti f kvadratikus alakot megtart´o m´atrixok csoportja.
2.3.2.
Lie-B¨ acklund csoport
Differenci´alegyenletek automorfizmusainak keres´es´eben a Lie-csoportok elm´elete haszn´alhat´o. Azonban ha az egyenlet integr´alt is tartalmaz, a Lie-csoportok m´ar nem elegend˝oek, vagy ha a differenci´alegyenlet helyett annak v´eges differencia k¨ozel´ıt´es´et vizsg´aljuk, a Liecsoportok helyett azok egy a´ltal´anos´ıt´as´ara van sz¨ uks´eg. Ezt az ´altal´anos´ıt´ast t´argyaljuk r¨oviden. A 2.2 fejezetben ismertetett transzform´aci´ok k¨oz¨ ul azok, amelyek v´altozatlanul hagy´ nak egy adott egyenletet, csoportot alkotnak. Irjuk az egyenletet u(x) = 0
(2.74)
alakba, ahol u jelenthet egy vagy t¨obb egyenletet, x pedig egy vagy t¨obb f¨ uggetlen v´altoz´ot. A transzform´aci´ot pedig ´ırjuk x0 = f (x, u, a) u0 = φ(x, u, a)
(2.75) (2.76)
alakba, ahol vessz˝o jel¨oli az u ´j v´altoz´okat, a pedig egy szabad param´eter. Ezekr˝ol a transzform´aci´okr´ol a 2.2 fejezetben volt sz´o, igaz, ott a lek´epez´esek kapcs´an. A 2.2 fejezetben ismertetett folytonos transzform´aci´ok egy a´ltal´anos´ıt´asa az al´abbi m´odon adhat´o meg. Az f : M → N abban a speci´alis esetben t´argyaljuk, amikor M ´es N dimenzi´oja azonos: x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M, y = (y1 , . . . , yn ) ∈ N. Amennyiben egy (differenci´al´asokat ´es integr´al´asokat tartalmaz´o) egyenletr˝ol van sz´o, azt egy ¨osszef¨ ugg´esnek tekintj¨ uk a f¨ uggetlen v´altoz´ok (x = (x1 , . . . , xn )) ´es az egyenletben szerepl˝o u = (u1 , . . . , um ) f¨ uggv´enyek, valamint annak deriv´altjai u1 = (u11 , u12 , . . . , u21 , u22 , . . . , um n) k¨oz¨ott. Ha az egyenletre alkalmazunk egy transzform´aci´ot, a f¨ uggetlen v´altoz´ok is, a f¨ ugg˝o v´altoz´ok is, ´es annak deriv´altjai is transzform´aland´oak. Ez´ert a transzform´aci´o a´ltal´anos alakja: 0
x i = f i (x, u, u1 , a) 0 u α = φα (x, u, u1 , a) 0 uiα = ψiα (x, u, u1 , a), 45
(2.77) (2.78) (2.79)
ahol a a transzform´aci´oban szerepl˝o szabad param´eter. A 2.2 fejezetben l´attuk, hogy ezek a transzform´aci´ok csoportot alkotnak, a csoport elemeit a transzform´aci´oban szerepl˝o a param´eterrel jellemezhetj¨ uk. A (2.77) transzform´aci´o hat´asa a dx, du, du1 infinitezim´alis elemekre ´ıgy adhat´o meg: 0
∂f i j ∂f i β ∂f i β dx + β du + β duj ∂xj ∂u ∂uj α α ∂φ ∂φ ∂φα β j β = duj dx + du + ∂xj ∂uβ ∂uβj
dx i = 0
du α 0
duiα =
∂ψ α j ∂ψ α β ∂ψ α β duj . dx + du + ∂xj ∂uβ ∂uβj
(2.80) (2.81) (2.82)
Ezzel egy olyan transzform´aci´ot kapunk, amely ´ertelmezve van a (y, u, u1 , dx, du, du1 ) vektorok halmaz´an. A (2.77) transzform´aci´ot kontaktnak nevezik, amennyiben v´altozatlanul hagyja az uαi deriv´altakat. Ezek a transzform´aci´ok csoportot alkotnak. A Liecsoport gener´atorai ∂ ∂ ∂ X = ξ i i + η α α + ζiα α , (2.83) ∂x ∂u ∂ui ahol
∂f i ∂φα ∂ψiα α α ξ = ,η = ,ζ = , ∂a a=0 ∂a a=0 i ∂a a=0 i
(2.84)
a kontakt transzform´aci´ok K csoportj´anak Y gener´ator´at pedig az al´abbi oper´ator adja meg: ∂ ∂ α + η e , (2.85) Y = X + ξei ∂(dxi ) ∂(duα ) ahol
0 0 ∂(dx i ) ∂(du α ) i α e ξ = , ηe = . ∂a a=0 ∂a a=0
(2.86)
Felhaszn´alva (2.80)-t, ∂ξ i β ∂ξ i β ∂ξ i j dx + du + duj ∂xj ∂uβ ∂uβj ∂η α j ∂η α β ∂η α β = dx + β du + β duj . ∂xj ∂u ∂uj
ξei = ηα
(2.87) (2.88)
´Irjuk a meg˝orizni k´ıv´ant ´erint˝o egyenlet´et duα − uαi dxi = 0
46
(2.89)
alakba, az Y gener´ator akkor ˝orzi meg a (2.89) tulajdons´agot, ha fenn´all ! α i i i α ∂ξ ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η ∂η α β − uαi β duβj = 0. + β uj − uαi j − uαi uβj β − ζjα dxj + ∂xj ∂u ∂x ∂u ∂uβj ∂uj
(2.90)
ugg´es. Minthogy (2.90)-ben mind dxj , mind duβj f¨ uggetlen v´altoz´o, ez´ert egy¨ uttha¨osszef¨ i α α t´oiknak el kell t˝ unni¨ uk. Ez´ert a ξ (x, u, u1 ), η (x, u, u1 ), ζi (x, u, u1 ) f¨ uggv´enyek kiel´eg´ıtik az al´abbi differenci´alegyenlet-rendszert: α i ∂η α ∂η β α α ∂ξ α β ζ j = (2.91) + u − ui j − ui uj ∂xj ∂uβ j ∂x i ∂η α α ∂ξ 0 = − ui β . (2.92) ∂uβj ∂uj A Lie-B˝acklund-csoport integro-differenci´alegyenletek automorfizmusak´ent is megjelenik.
2.4.
Cayley-diagram
Az tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz egy m´asik algebrai (ha tetszik geometriai) strukt´ ur´ara, a gr´afra. A gr´af pontok (cs´ ucsok) tetsz˝oleges halmaza, a halmaz elemeit ´elek k¨othetik ucsok ´es az ´elek halmaz´aval adjuk meg: Γ = (C, E). A csopor¨ossze. Mag´at a gr´afot a cs´ tok tanulm´anyoz´as´ara alkalmas eszk¨oz a Cayley-diagramm. Ha a G csoport gener´atorai a1 , a2 , . . . ; akkor a G csoport Γ Cayley diagrammja egy gr´af, aminek cs´ ucsait Pg (minden egyes g ∈ G-re) alkotja, ir´any´ıtott ´elei pedig ai t´ıpus´ uak ´es Pg -b˝ol Pga -ba mutatnak minden a gener´atorra. 2.1. Feladat (A szab´ alyos h´ aromsz¨ og szimmetri´ ainak Cayley-gr´ afja (1)) Legyen 2 3 G = ha, b; a = 1, b = 1, ab = bai a vizsg´alt csoport. G-nek k´et gener´atora (a ´es b) tov´abb´a 6 eleme van: 1, b, b2 , a, ab, ab2 . Cayley-diagrammja pedig az 2.1. ´abr´an l´athat´o. K´es˝obb bel´atjuk, hogy ez a csoport izomorf a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetriacsoportj´aval. 2.2. Feladat ( A n´ egyzet szimmetri´ ai) Tekints¨ uk az al´abbi n´egyzetet. Legyen X = {x, y : −1 ≤ x ≤ +1; −1 ≤ y ≤ +1}. A n´egyzet automorfizmusainak csoportja Aut(X) 8 elemet tartalmaz: ax -t¨ ukr¨oz´es az x tengelyre, ay -t¨ ukr¨oz´es az y tengelyre, d1 -t¨ ukr¨oz´es az y = x ´atl´ora, d2 -t¨ ukr¨oz´es az y = −x ´atl´ora, b-t¨ ukr¨oz´es az orig´ora, c1 -90 fokos forgat´as az ´oramutat´o ir´any´aba, c2 -270 fokos forgat´as. El˝osz¨or el˝o´all´ıtjuk Aut(X) egy v´eges prezent´aci´oj´at. Legyen s1 = ay ´es s2 = c2 , amivel a k¨ovetkez˝o v´eges prezent´aci´ot kapjuk a n´egyzet szimmetriacsoportj´ara:
Aut(X) = s1 , s2 ; s21 = 1, s42 = 1 47
2.1. a´bra. Az {1, b, b2 , a, ab, ab2 } csoport Cayley-digrammja
2.2. t´abl´azat. A C4v csoport Reprezent´aci´o / Oszt´aly C1 A1 1 B1 1 A2 1 B2 1 E 2
karaktert´abl´aja C2 C3 C 4 C 5 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 0 0 -2 0
. A csoportelemeket o¨t konjug´alt elemoszt´alyba sorolhatjuk: C1 = {E}, C2 = {ax , ay }, C3 = {d1 , d2 }, C4 = {b}, C5 = {c1 , c2 }. Ez a csoport izomorf a C4v pontcsoporttal, aminek karaktert´abl´aj´at k´ezik¨onyvekb˝ol, vagy a GAP programb´ol kiolvashatjuk: Az orbitok a n´egyzeten 4 vagy 8 pontot tartalmaznak, az Aut(X)\X halmaz a n´egyzet 1/8 r´esz´et kitev˝ o h´aromsz¨og. Az Aut(X) csoport ´abr´azol´asa lehets´eges p´eld´aul 4x4-es m´atrixokkal. Ekkor a csoport egy ´abr´azol´as´at adj´ak a k¨ovetkez˝o m´atrixok: 1 0 0 0 0 1 0 0 De = (2.93) 0 0 1 0 0 0 0 1
Dax
0 1 = 0 0
48
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
(2.94)
0 0 Day = 0 1 0 1 Dc2 = 0 0 0 0 Dd1 = 1 0 0 0 Dc1 = 0 1 1 0 Dd2 = 0 0 0 0 Db = 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
(2.95)
(2.96)
(2.97)
(2.98)
(2.99)
(2.100)
Mivel spur(De ) = 4, ez az ´abr´azol´as reducibilis, azaz, l´etezik olyan b´azis a 4 dimenzi´os t´erben (amelyen a 4x4-es m´atrixok hatnak), amelyben a fenti m´atrixok blokkokra esnek sz´et. Meggy˝oz˝odhet¨ unk k¨ozvetlen sz´am´ıt´assal arr´ol, hogy az al´abbi O m´atrix mind a 8 fenti m´atrixot blokkdiagon´alis alakra reduk´alja: a a a a a −a a −a O= (2.101) b 0 −b 0 0 b 0 −b ahol a = 1/2, b2 = 1/2. Mivel az els˝o k´et sorban az OMO−1 transzform´aci´o ut´an az Aut(X) csoport ´abr´azol´as´ahoz tartoz´o minden m´atrixnak csak diagon´alis eleme van, ez´ert az O m´atrix els˝o ´es m´asodik sora is egy-egy Aut(X) invari´ans, egydimenzi´os alteret jelent. A transzform´aci´o ut´an egyes m´atrixokban a harmadik ´es negyedik sorban k´et nemnulla elem tal´alhat´o, ez´ert az O m´atrix utols´o k´et sora ad meg egy u ´jabb Aut(X) invari´ans, de m´ar k´etdimenzi´os alteret. 49
2.3. t´abl´azat. A C4v csoport gr´afj´ahoz Csoportelem (g) s1 g s2 g E ay c2 ax b d1 ay E d2 c1 d2 E c2 d1 b d1 c2 ay d2 c1 ax b ax c1 2.4. t´abl´azat. A C4v csoport Cayley-diagrammj´ahoz i ui ∗ s ui ∗ t 1 4 4 2 3 3 3 1 2 4 2 1 A n´egyzet szimmetri´ainak Cayley-gr´afja bonyolult szerkezetet mutat, ez´ert helyette egy t´abl´azatban azt adjuk meg, hogyan kapcsolj´ak ¨ossze a csoportelemeket a gener´atorok. Ha egy csoport Cayley-gr´afja bonyolult szerkezet˝ u, egy G csoport strukt´ ur´aj´at bemutathatjuk az al´abbi egyszer˝ us´ıtett m´odon is. Jel¨olj¨ unk ki egy H ⊂ G r´eszcsoportot ´es bontsuk fel G-t H szerinti Ci mell´ekoszt´alyokra. Ezek sz´ama |G|/|H| lesz. Az egyes mell´ekoszt´alyokat jellemezhetj¨ uk a mell´ekoszt´aly reprezenz´aci´os elem´evel, ui -vel, amelyre teljes¨ ul ci = h ∗ ui , minden ci ∈ Ci -re. A csoport jellemz´es´ere elegend˝o megadni, hogy G gener´atorai melyik mell´ekoszt´alyba transzform´alj´ak az ui reprezent´ansokat. 2.3. Feladat (A C4v csoport Cayley-gr´ afja) V´alasszuk gener´atornak az s 90-fokos forgat´ast ´es a t y-tengelyre vett t¨ ukr¨oz´est. V´alasszunk egy k´etelem˝ u r´eszcsoportot, pl. H = {e, st}. Ekkor a C4v csoport n´egy H-szerinti mell´ekoszt´alyra bomlik, legyenek ezek ´abr´azol´as´anak elemei ui , i = 1, 4. Az ui elemek transzform´aci´oit a 2.4. t´abl´azat adja meg. (A mell´ekoszt´alynak csak az index´et adtuk meg.) Az ´ıgy kapott Cayley-gr´af t´abl´azat, vagy rajz form´aj´aban is haszn´alhat´o. Az eg´esz sz´amok egy v´egtelen elem˝ u csoportot alkotnak, a csoportm˝ uvelet az ¨osszead´as. A val´os sz´amok is csoportot alkotnak, itt a csoportm˝ uvelet szint´en az ¨osszead´as. Tekints¨ uk a nemszingul´aris 2 × 2-es nemszingul´aris m´atrixok halmaz´at. Ez a halmaz is csoportot alkot a m´atrixszorz´as m˝ uvelet´ere n´ezve. Amennyiben a m´atrixelemeket modulo(q) vessz¨ uk, a csoport elemeinek sz´ama v´eges lesz.
50
2.5. t´abl´azat. bal/jobb E m1 m2 m3 m4 m5
Szorz´asok E m1 E m1 m1 E m2 m5 m3 m4 m4 m3 m5 m2
a GL(2, F2 ) csoportban m2 m3 m4 m5 m2 m3 m4 m5 m3 m2 m5 m4 m4 m1 E m3 m5 E m1 m2 E m5 m2 m1 m1 m4 m3 E
2.6. t´abl´azat. Az (2.104) csoport szorz´asi bal/jobb e t t2 s st 2 e e t t s st 2 2 t t t e st s t2 t2 e t st st2 s s st st2 e t 2 2 st st st s t e 2 2 st st s st t t2
t´abl´azata st2 st2 st s t2 t e
2.4. Feladat (A szab´ alyos h´ aromsz¨ og szimmetriacsoportja (2)) K¨onnyen bel´athat´o, hogy az al´abbi 6 m´atrix, melyeknek elemeit modulo(2) vessz¨ uk 16 , a m´atrixszorz´as m˝ uvelet´ere csoportot k´epez, ez a GL(2, 2) csoport: 1 0 0 1 1 1 E = ; m1 = ; m2 = (2.102) 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 m3 = ; m4 = ; m5 = (2.103) 1 1 1 1 0 1 A szorz´asi t´abl´azatot a 2.6. t´abl´azat mutatja. A konjug´alt oszt´alyokat k¨onnyen el˝o´all´ıthatjuk a defin´ıci´o alapj´an: {E}, {m1 , m1 ∗ m2 , m1 ∗ m2 2 }{m2 , m2 2 }. A csoport gener´atora m1 ´es m2 , el˝obbi rendje 2, mert m1 ∗ m1 = E, ut´obbi´e 3, mert m2 ∗ m2 ∗ m2 = E. Teh´at a csoport el˝o´all´ıthat´o
G = m1 , m2 ; m21 = 1, m32 = E (2.104) form´aban, azaz, v´egesen prezent´alhat´o. Ez a csoport izomorf a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´ainak csoportj´aval. Azt u.i. egy magass´agvonalra val´o t¨ ukr¨oz´es (jel¨olj¨ uk s-sel) ´es a h´aromsz¨og k¨oz´eppontja k¨or¨ uli 120 fokos elforgat´as (jel¨olj¨ uk t-vel) gener´alja, ´es s2 = E, t3 = E. A k´et csoport elemeinek megfeleltet´es´et k¨onnyen megtal´alja az Olvas´o. A szorz´asi t´abl´ahoz fel kell haszn´alni az al´abbi azonoss´agokat: ts = st2 ; (st)2 = E. A C4v 16
Ekkor a m´ atrix elemei az F2 -halmazb´ ol val´oak
51
2.2. a´bra. Az C4v csoport Cayley-digrammja
2.7. t´abl´azat. Konjug´alt elemoszt´alyok az (2.104) csoportban x g gxg −1 Konjug´alt elemoszt´aly tetsz˝oleges e e Ce = {e} t {e, t, t2 }, {s, st, st2 } {t}, {t2 } Ct = {t, t2 } s e, {t, t2 } s, {st}, st2 , st Cs = {s, st, st2 } csoport Cayley-diagrammj´at a 2.4. ´abra tartalmazza. A konjug´alt elemoszt´alyokra bont´ashoz a (2.15) egyenlet el˝otti bekezd´esben elmondottakat haszn´aljuk, az eredm´enyt az 2.7 t´abl´azat tartalmazza. Tekints¨ uk az A = {e, t, t2 } csoportot, ami G-nek r´eszcsoportja. A szorz´asi t´abl´azat seg´ıts´eg´evel ellen˝orizhet˝o, hogy A baloldali ´es jobboldali mell´ekoszt´alyai azonosak, ez´ert A norm´aloszt´oja G-nek. G rendje 6, A rendje 3, A indexe pedig 2. Tekints¨ uk a G csoportban az al´abbi k´et halmazt: S1 = A = {e, t, t2 }; S2 = {s, st, st2 }. S1 ´es S2 csoportot alkot, amit G/A faktorcsoportnak nevez¨ unk. A csoportm˝ uvelet a k¨ovetkez˝o: Sg ∗ Sh = Sg∗h minden g, h ∈ G-re. Itt Sg alatt azt az Si , i = 1, 2 halmazt ´ertj¨ uk, amelyik megegyezik g ∗ A-val. Ez´ert a faktorcsoport szorz´asi t´abl´azata: S1 ∗ S1 = S1 ; S1 ∗ S2 = S2 ∗ S1 = S2 ; S2 ∗ S2 = S1 . A G csoport feloldhat´o. 2.5. Feladat Hat´arozzuk meg egy forgat´as hat´as´at a helykoordin´at´akra! A vizsg´alt M sokas´ag ´alljon a s´ık r = (x, y) pontjaib´ol, ´es ´ırjuk le a forgat´ast az infinitezim´alis gener´atorral. Ehhez el˝osz¨or a transzform´aci´ot kell fel´ırni, ezt megtal´aljuk (2.48)-ben, amit most a s´ık pontjainak transzform´aci´oja alapj´an ´ırunk fel: Ψ(ϑ, (x, y)) = (x cos ϑ − y sin ϑ, x sin ϑ + y cos ϑ). A transzform´aci´ohoz tartoz´o deriv´altat (2.64)-nek megfelel˝oen v = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y adja meg. Mivel a transzform´aci´o egys´egeleme a ϑ = 0 elemhez tartozik, ez´ert d (x cos ϑ − y sin ϑ) = −y (2.105) ξ(x, y) = dϑ ϑ=0 52
´es
d (x sin ϑ − y cos ϑ) = x. η(x, y) = dϑ ϑ=0
(2.106)
Ez´ert az infinitezim´alis gener´ator v = −y∂x + x∂y . 2.6. Feladat (Faktorcsoport) Tekints¨ uk a n´egy elem˝ u ciklikus csoportot: C4 = a, a2 , a3 , a4 = e. Ebben E = e, a2 egy r´eszcsoport, ´es a G\A faktorcsoportnak k´et eleme van (mert A indexe G-ben 2), ennek elemei halmazok: E = e, a2 ´es A = a, a3 , teljes¨ ul tov´abb´a A2 = E 2 ´es E = E; azaz a k´et halmaz z´art a szorz´asra n´ezve teh´at csoportot alkotnak, ez a C4 csoport faktorcsoportja. 2.7. Feladat . [Permut´aci´ocsoportok] Az Sn permut´aci´ocsoport egy konjug´alt elemoszt´aly´aba tartoz´o elemek ciklusszerkezete azonos. A ciklusok sz´am´at megszorozva a ciklusban l´ev˝o elemekkel, a kapott szorzatokat minden ciklushosszra ¨osszegezve Sn rendj´et kapjuk meg. A ciklusok hossz´at z´ar´ojelben szokt´ak megadni, pl. (313 ) jelent´ese: egy darab h´armas ciklus, h´arom darab (ez a sz´am szerepel a kitev˝oben) egyes ciklus az S6 csoportban; vagy (22 1) jelent´ese: k´et darab kettes ciklus, egy darab egyes ciklus az S5 csoportban. Az S4 csoportban 5 konjug´alt oszt´aly tal´alhat´o, ezek: C1 = (); C2 = (12), (13), (23), (24), (34); C3 = (12)(34), (13)(24), (14)(23); C4 = (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); C5 = (1234), (1243), (1324), (1324), (1342), (1423), (1432) . S S S Ezek az elemek az al´ a bbi m´ o don rendezhet˝ o ek csoportokba: C ⊂ (C C ) ⊂ (C C3 C4 ) 1 1 3 1 S S S S ⊂ (C1 C2 C3 C4 C5 ) = S4 . Ez´ert az S4 csoport feloldhat´o. Megjegyezz¨ uk, hogy Sn nem feloldhat´o ha n ≥ 5.
2.5.
Forg´ ascsoport, Lorentz-csoport
2.5.1.
Forg´ ascsoport
A s´ıkbeli forgat´asokat az SO2 csoport ´ırja le, a csoportelemeket a forgat´as sz¨og´evel lehet param´eterezni. Az al´abbiakban alkalmazni fogjuk a 2.3.1. fejezetben elmondottakat. A param´etervektor most egyetlen skal´ar, a m´atrixban szerepl˝o ϑ argumentum, a forg´ascsoport m´atrixainak szorz´as´anak pedig az argumentumok o¨sszead´asa felel meg. Az
53
egys´egelemnek a param´eter θ = 0 ´ert´eke felel meg. K´epezz¨ uk a (2.55) deriv´altat (mivel egyetlen argumentum van, a deriv´altm´atrix index´et elhagyjuk) a θ = 0-pontban: dA −sinθ −cosθ 0 −1 B= = = . (2.107) cosθ −sinθ −1 0 dθ Mint l´atjuk, dA(θ) = BA(θ). (2.108) dθ Vagyis, a param´eter szerinti deriv´alt tetsz˝oleges param´eter´ert´ekn´el el˝oa´ll´ıthat´o a B m´atrix seg´ıts´eg´evel. (Megjegyezz¨ uk, hogy ez egy ´altal´anos t´etel alkalmaz´asa a forg´ascsoportra.) ´ A forg´ascsoport Abel-csoport, minden m´atrix egy konjug´alt elemoszt´alyt alkot. A forgat´ast le´ır´o m´atrixok egy unit´er m´atrixszal diagonaliz´alhat´oak. Saj´at´ert´ekei eiθ = cos θ + i sin θ. A forgat´ast le´ır´o m´atrixok egydimenzi´os a´br´azol´ast fesz´ıtenek ki,azaz, a csoport egy ´es csak egy eleme feleltethet˝o meg egy adott θ ´ert´eknek. A t´erbeli forgat´ast is egy m´atrixszal lehet le´ırni, a t´erbeli forgat´asok csoportja az SO3 csoport. A t´erbeli forgat´asok eset´eben meg kell adni a forg´astengely ir´any´at, erre a Θ, Φ sz¨ogeket haszn´aljuk. A forgat´as harmadik param´etere pedig a forgat´as nagys´aga, ezt φ-vel jel¨olj¨ uk. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a (Θ, Φ, φ) param´eterek tartom´anya 0 ≤ Θ ≤ π, 0 ≤ Φ ≤ 2π ´es 0 ≤ φ ≤ π. Meg´allapod´as szerint a φ = 0 ´ert´ekhez nem tartozik forgat´as, ez a csoport egys´egeleme. Emiatt a param´eterek (Θ, Φ, 0) halmaz´ahoz ugyanaz a csoportelem tartozik. Ezt elker¨ ulend˝o, a param´eterek, amelyek egy g¨ombben helyezkednek el, a (Θ, Φ, φ) elemekhez tartoz´o pont x, y, z Descartes-koordin´at´ait fogjuk haszn´alni: φ sin Θ cos Φ (2.109) π φ sin Θ sin Φ (2.110) y = π φ cos Φ. (2.111) z = π Amennyiben Φ-t π egys´egekben m´erj¨ uk, az (x, y, z) pontok az egys´egg¨omb egy pontj´at adj´ak meg, a φ = 0-hoz az egys´egelem tartozik, aminek az egys´egg¨omb orig´oja felel meg. Gyakran c´elszer˝ u a forgat´as param´etereit m´ask´ent megv´alasztani. A mechanik´aban is haszn´alatos Euler-sz¨ogeket fogjuk haszn´alni. Jel¨olje a koordin´ata-rendszer tengelyeit (X, Y, Z). A forgat´as ut´an el˝oa´llt tengelyeket pedig (X 0 , Y 0 , Z 0 ). A ϑ, ϕ, ψ Euler-sz¨ogek seg´ıts´eg´evel a koordin´atatengelyek k¨oz¨otti sz¨ogeket az al´abbi t´abl´azat seg´ıts´eg´evel lehet fel´ırni. X’ Y’ Z’ X cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ cos ϑ sin ϕ cos ψ − cos ϕ sin ψ cos ϑ sin ψ sin ϑ Y cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ cos ϑ − sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ψ cos ϑ − cos ψ sin ϑ Z sin ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ cos ϑ x =
54
A Θ, Φ ir´any´ u tengely k¨or¨ uli φ sz¨og˝ u forgat´ast megad´o m´atrixot h´arom m´atrix szorzatak´ent lehet fel´ırni: el˝osz¨or Θ sz¨oggel forgatunk az OZ tengely k¨or¨ ul, azut´an Φ sz¨oggel az OY tengely k¨or¨ ul, majd φ sz¨oggel az OZ tengely k¨or¨ ul. 0 x cos φ − sin φ 0 cos Φ 0 sin Φ cos Θ − sin Θ 0 x y 0 = sin φ cos φ 0 0 1 0 sin Θ cos Θ 0 y 0 z 0 0 1 − sin Φ 0 cos Φ 0 0 1 z (2.112) A forgat´asok egy- ´es k´etdimenzi´os ´abr´azol´asokkal rendelkeznek. Ezek az a´br´azol´asok k¨ozismert eszk¨oz¨okkel el˝o´all´ıthat´oak (ld. Wigner k¨onyv´et). A forgat´asokhoz 2 × 2-es m´atrixot is rendelhet¨ unk az al´abbi m´odon. Az a´ltal´anos k´etdimenzi´os egys´egnyi determin´ans´ u, unit´er m´atrix a´ltal´anos alakja a b U= , |a|2 + |b|2 = 1. (2.113) −b∗ a∗ Legyen a H 2 × 2-es m´atrix diagon´alis elemeinek ¨osszege (spurja) nulla, akkor H-ban h´arom szabadon v´alaszthat´o elem van. Ezt u ´gy haszn´aljuk ki, hogy H param´eterez´es´ere a Pauli-m´atrixokat v´alasztjuk: 0 1 sx = (2.114) 1 0 1 0 sz = (2.115) 0 −1 0 i sy = , (2.116) −i 0 azaz,17 H = xsx + ysy + zsz . A H m´atrix ´es az (x, y, z) elemek kapcsolata: −z x + iy H= . x − iy z Azonnal bel´athat´o, hogy a H0 = UHU+ m´atrix spurja is nulla, ez´ert a H0 m´atrix is felbonthat´o a fenti m´odon: H0 = x0 sx + y 0 sy + z 0 sz . UHU ´es (2.114)-(2.116) alapj´an a komponensek k¨oz¨otti megfeleltet´es: ∗ a b −z x + iy a −b∗ −z 0 x0 + iy 0 = . −b∗ a∗ x − iy z b∗ a x0 − iy 0 z0 17
A Pauli-m´ atrixok algebr´ at alkotnak a kommut´al´as m˝ uvelet´ere n´ezve.
55
(2.117)
Ez az egyenlet megadja (x0 , y 0 , z 0 )-t mint (x, y, z) f¨ uggv´eny´et: x0 = 1/2(a2 + a∗2 − b2 − b∗2 )x + i/2(a2 − a∗2 + b2 − b∗2 )y + (a∗ b∗ + ab)z(2.118) y 0 = i/2(a∗2 − a2 + b2 − b∗2 )x + (a2 + a∗2 + b2 + b∗2 )y + (a∗ b∗ − ab)z (2.119) z 0 = −(a∗ b + ab∗ )x + i(a∗ b − ab∗ )y + (aa∗ − bb∗ )z. (2.120) V´alasszuk az U init´er m´atrixot az al´abbi m´odon: a = exp(−iα/2), b = 0. Behelyettes´ıt´essel igazolhat´o, hogy ezzel a v´alaszt´assal (2.113) egy z-tengely k¨or¨ uli α-sz¨og˝ u forgat´asnak felel meg. Hasonl´ok´eppen az a = cos β/2, b = − sin β/2 v´alaszt´assal U y-tengely k¨or¨ uli β-sz¨og˝ u forgat´asnak felel meg. Tov´abb´a, a kor´abban elmondottaknak megfelel˝oen, az α, β, γ sz¨og˝ u forgat´ast h´arom m´atrix szorzat´aval a´ll´ıthatjuk el˝o. A harmadik m´atrixot a = exp γ/2, b = 0 v´alaszt´assal megkapjuk meg (2.113)-b´ol. A (2.5.1) transzform´aci´o egy megfeleltet´est l´etes´ıt a forgat´asok ´es a 2 × 2-es unit´er m´atrixok k¨oz¨ott. Ez ut´obbiak az (2.113)-ban szerepl˝o a, b param´eterekkel jellemezhet˝oek. Az (α, β, γ) Euler-sz¨ogekkel le´ırt forgat´asokhoz az a = exp iα/2 cos(β/2) exp −iγ/2, b = exp iα/2 sin(β/2) exp −iγ/2
(2.121) (2.122)
param´eterek tartoznak. Az a´br´azol´asok meghat´aroz´asa az al´abbi m´odon t¨ort´enik. A forg´ascsoport a´br´azol´as´ahoz az invari´ans alteret kifesz´ıt˝o b´azisokat ´es a b´azisok transzform´aci´oit le´ır´o m´atrixokat kell megadni. Kor´abban m´ar megmutattuk, hogy a forgat´ast le´ır´o m´atrixok ekvivalensek a k´etdimenzi´os unit´er m´atrixokkal. Az eml´ıtett unit´er m´atrixot gener´al´o a ´es b elem kapcsolat´at is megadtuk a forgat´as {α, β, γ} sz¨og´evel. A forgat´ast le´ır´o m´atrixok alakja teh´at ismert. A b´azis v´alaszt´as´an´al kihaszn´aljuk, hogy a 2j fok´ u homog´en polinomokat a k´etdimenzi´os, unit´er m´atrix 2j fok´ u homog´en polinomokba transzform´alja18 . C´elszer˝ u teh´at a b´azist nem a h´aromdimenzi´os vektorok k¨oz¨ ul, hanem egy absztrakt t´erb˝ol v´alasztani. 2j 2j−1 A 2j-ed fok´ u homog´en polinomok: x , x y, . . . , xy 2j−1 , y 2j , ezek sz´ama 2j + 1. Ezen polinomok seg´ıts´eg´evel hasznos speci´alis f¨ uggv´enyeket vezethet¨ unk be, ezek t´argyal´asa a 10. fejezetben tal´alhat´o. Ebben a fejezetben a b´azis indexel´es´ere az i indexet haszn´aljuk a kor´abban haszn´alt α indexet fenntartjuk az x tengely k¨or¨ uli forgat´asok sz¨og´enek. V´alasszuk teh´at az al´abbi b´azist: xj+i y j−i , −j ≤ i ≤ +j. (2.123) fi (x, y) = p (j + i)!(j − i)! Az irreducibilis a´br´azol´asok elk´esz´ıt´es´ehez (2.28) szerint az fi f¨ uggv´enyek unit´er m´atrixok alatti transzform´aci´oit kell meghat´arozni. Mivel az unit´er transzform´aci´o: ∗ x a x − by → , (2.124) y b∗ x + ay 18
A hagyom´ anyon k´ıv¨ ul c´elszer˝ u is a polinom sz´am´at 2j alakba ´ırni, noha ´ıgy j eg´esz, vagy f´el ´ert´ek˝ u lehet, att´ ol f¨ ugg˝ oen, hogy a vizsg´ alt foksz´ am p´aros vagy p´aratlan.
56
a f¨ uggv´eny transzform´aci´oja pedig (2.1) szerint PU fi (x, y) = fi (a ∗ x − by, b ∗ x + ay) (a ∗ x − by)j+i (b ∗ x + ay)j−i p = , (j + i)!(j − i)!
(2.125)
a binomi´alis t´etel alkalmaz´as´aval a transzform´alt fi kifejezhet˝o a b´azisf¨ uggv´enyek line´aris kombin´aci´ojak´ent. N´emi sz´amol´as ut´an az al´abbi eredm´enyt kapjuk: PU fi (x, y) = j+i XX i0
k=0
p
(−1)
k
(j + i)!(j − i)!(j + i0 )!(j − i0 )! j−i0 −k ∗ j+i−k k ∗ k+i0 −i a (a ) b (b ) fi0 (x, y). k!(j − i0 − k)!(j + i − k)!(k + i0 − i)! (2.126)
Ide behelyettes´ıtve a ´es b forgat´asokkal kifejezett ´ert´ek´et (2.117)-b˝ol, megkapjuk a j indexszel jellemzett, 2j + 1 dimenzi´os alt´er transzform´aci´oj´at le´ır´o m´atrixot, azaz, egy {α, β, γ} sz¨ogekkel jellemzett forgat´ashoz hozz´arendelt¨ unk egy 2j + 1 rend˝ u m´atrixot, vagyis elk´esz´ıtett¨ uk a forg´ascsoport egy a´br´azol´as´at. A j = m + 1/2 (m eg´esz) index˝ u a´br´azol´as k´et´ert´ek˝ u, mert az {α, β, γ} forgat´ashoz j j ±D (α, β, γ) tartozik (itt D a (2.126) egyenletben szerepl˝o m´atrix, amely az fi (x, y), i = 1, . . . , 2j + 1 f¨ uggv´enyeket kifejezi az fi0 (x, y), i0 = 1, . . . , 2j + 1 f¨ uggv´enyekkel). Az a´br´azol´as karakter´et a m´atrix spurj´ab´ol lehet kiolvasni, A z tengely k¨or¨ uli ϕ sz¨og˝ u forgat´as az m-ik b´azisf¨ uggv´enyt eimϕ -vel szorozza (−j ≤ m ≤ +j), ez´ert a spur csak ϕ-t˝ol f¨ ugg: +j X j χ (ϕ) = exp(imϕ) (2.127) m=−j
Az eg´esz j-hez tartoz´o ´abr´azol´as egy´ert´ek˝ u, adott forgat´ashoz egy ´es csak egy m´atrix tartozik. Az egy´ert´ek˝ u a´br´azol´asok megadj´ak a vektorok, tenzorok stb. transzform´aci´os ´ szab´alyait. Uj koordin´ata-rendszerben a vektor (tenzor) komponenseinek transzform´aci´oi a forg´ascsoport egy ´abr´azol´as´at alkotj´ak. A j = 0-val jellemzett ´abr´azol´asnak (ez az egys´eg´abr´azol´as) a skal´ar, a j = 1-nek a vektorok, a j = 2-nek a tenzorok felelnek meg. Az els˝o h´arom a´br´azol´as m´atrixait explicit alakban megadjuk. Az els˝o a´br´azol´as j = 0-hoz tartozik, egy skal´ar: D0 (α, β, γ) = 1, ez felel meg az egys´eg´abr´azol´asnak. A m´asodik ´abr´azol´as j = 1/2-hez tartozik, a megfelel˝o alt´er dimenzi´osz´ama kett˝o, ez´ert az a´br´azol´as k´et´ert´ek˝ u: −iα/2 e cos(β/2)e−iγ/2 −eiα/2 sin(β/2)eiγ/2 1/2 D (α, β, γ) = ± . (2.128) eiα/2 sin(β/2)e−iγ/2 eiα/2 cos(β/2)eiγ/2
57
A harmadik a´br´azol´as j = 1-hez tartozik, a megfelel˝o alt´er dimenzi´osz´ama h´arom, ez´ert: −iα 1+cos β −iγ −iα sin √ β e−iα 1−cos β eiγ e e −e 2 2 2 sin sin √ β e−iγ √ β eiγ cos β − D1 (α, β, γ) = (2.129) 2 2 1+cos β β iα 1−cos β −iγ iα iα sin iγ e e e e √2 e 2 2 2.1. Feladat (A tenzor´ abr´ azol´ as reducibilis) Legyen u.i. Txx Txy Txz T = Tyx Tyy Tyz . Tzx Tzy Tzz
(2.130)
T fel´ırhat´o egy szimmetrikus ´es egy asszimmetrikus tenzor ¨osszegek´ent. (Hogyan ´ırhat´ o fel a szimmetrikus ´es az asszimmetrikus tenzor?) Az antiszimmetrikus tenzor ekvivalens a D1 ´abr´azol´assal ´es irreducibilis. A szimmetrikus r´esz viszont k´et r´eszre bonthat´o: Txx − T /3 Txy + Tyx Tzx + Txz T 0 0 Txy + Tyx Tyy − T /3 Tyz + Tzy + 0 T 0 b. (2.131) Tzx + Txz Tyz + Tzy Tzz − T /3 0 0 T Az els˝o tenzor egy nulla spur´ u szimmetrikus tenzor, ez ekvivalens a D2 irreducubilis ´abr´azol´assal.
2.5.2.
Lorentz-csoport
Az elektrom´agness´eget le´ır´o Maxwell-egyenletek vizsg´alata sor´an el˝obukkant egy nem v´art k¨ovetkezm´eny. Az egyenletek csak akkor o˝rzik meg alakjukat k¨ ul¨onb¨oz˝o inerciarendszerekben, ha feltessz¨ uk, hogy a f´enysebess´eg minden inerciarendszerben azonos. Vizsg´alni kell teh´at, hogy milyen transzform´aci´o k¨oti ¨ossze k´et inerciarendszer koordin´at´ait ´es idej´et, ha a f´enysebess´eg mindkett˝oben azonos. A f´enysebess´eget v´altozatlanul hagy´o transzform´aci´oj´at Lorentz-transzform´aci´onak 19 nevezz¨ uk. Tekints¨ unk egy K koordin´ata-rendszert ´es egy hozz´a k´epest v1 sebess´eggel mozg´o K1 koordin´ata-rendszert. Vizsg´aljuk meg a f´eny mozg´as´at K-ban! Jel¨olje c a f´enysebess´eget (mint vektort), x pedig a f´eny helyzet´et K-ban, a t id˝opillanatban. Nyilv´an fenn´all az (ct)2 − x2 = 0 ugg´es. Jel¨olje a f´eny helyzet´et K0 -ben x0 a K0 -ben m´ert t0 id˝opillanatban. A f´eny¨osszef¨ sebess´eg a´lland´os´aga miatt fenn´all az 2
(ct0 )2 − x0 = 0 19
H. A. Lorentz (1853-1928)holland fizikus ut´an.
58
ugg´es. A helyzet nagyon hasonl´ıt a t´erbeli forgat´asokn´al megfigyeltre, csak itt ¨osszef¨ most egy n´egydimenzi´os vektor hossza marad v´altozatlan a K → K0 a´tt´er´eskor. A transzform´aci´ot a cosh2 a − sinh2 a = 1 ¨osszef¨ ugg´es ismeret´eben azonnal fel lehet ´ırni: x0 = x cosh u + ct sinh u ct0 = x sinh u + ct cosh u.
(2.132) (2.133)
Vizsg´aljuk meg a K ´es K0 rendszerek relat´ıv sebess´eg´et. Az orig´ok a t = 0 pillanatban essenek egybe, ezzel x0 = ct sinh u; ct0 = ct cosh u, (2.134) a k´et egyenletet elosztva ´es az orig´ok sebess´eg´et V = x0 /t0 -t behelyettes´ıtve tanh u = V /c ad´odik. Ebb˝ol kapjuk a Lorentz-transzform´aci´o j´ol ismert k´eplet´et: x+Vt x0 = q 2 1 − Vc 0
t
= q
t+
Vx c2
1−
V c
2 .
(2.135)
(2.136)
Term´eszetesen az id´ezett k´epletek csak az x tengellyel p´arhuzamos sebess´eg eset´en ´erv´e´ nyesek, a m´asik k´et koordin´ata v´altozatlan marad (y 0 = y, z 0 = z). Altal´ anos esetben azonban m´as a helyzet. A t´erid˝o ´altal´anos szimmetri´ait szeretn´enk teh´at megtal´alni. Itt algebra ´es geometria ¨osszefon´odik. Az algebrai geometria a geometriai alakzatokat az alakzatok automorfizmusaival ´ırja le. K´ıs´erletet tesz¨ unk teh´at arra, hogy a t´erid˝o tulajdons´agait a t´erid˝o automorfizmusaib´ol vezess¨ uk le, ez l´enyeg´eben Felix Klein ”Erlangeni program”-j´anak c´elkit˝ uz´ese. Az al´abbiakban Domenico Guilini munk´aja alapj´an bemutatjuk, hogyan m˝ uk¨odik a modern algebra appar´atusa a t´erid˝o vizsg´alat´aban. A fizika megfigyel´esekb˝ol von le k¨ovetkeztet´eseket. A t´erid˝ore vonatkoz´o megfigyel´esekhez m´eterr´ udra, mint a t´avols´agm´er´es hagyom´anyos eszk¨oz´ere, ´es zseb´or´ara, mint az id˝om´er´es hagyom´anyos eszk¨oz´ere van sz¨ uks´eg. Ezeket az eszk¨oz¨oket elvissz¨ uk a t´er egyes pontjaiba hogy ott m´er´eseket v´egezz¨ unk vel¨ uk. Feltessz¨ uk, hogy m´er˝oeszk¨ozeink stabilak, mik¨ozben egyik helyr˝ol a m´asikra vissz¨ uk a´t, szerkezet¨ uk nem v´altozik ´es szerkezet¨ uk f¨ uggetlen a k¨ornyezett˝ol. A m´er´eseket mindig adott pontokban v´egezz¨ uk, ´es bel˝ol¨ uk u ´jabb mennyis´egeket sz´armaztatunk, mint pl. k´et pont t´avols´aga, vagy k´et id˝opont k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´eg. Ezeket a m˝ uveleteket teh´at adott munkahipot´ezisek alapj´an v´egezz¨ uk. A megfigyel´esek szerint egy er˝ohat´asok alatt nem ´all´o test egy kit¨ untetett p´aly´an mozog, ezt a p´aly´at egyenesnek fogjuk nevezni. A t´erid˝o transzform´aci´oit mathrm t´ıpussal R, B stb. jel¨olj¨ uk, a h´aromdimenzi´os t´er transzform´aci´oit (m´atrixait) D, A bold − bet˝ ut´ıpussal ´ırjuk. A t´erbeli vektorokat → v , ugyanezen vektor abszol´ ut´ert´ek´et v jel¨oli. A t´erid˝o automorfizmusainak vizsg´alata sor´an a k¨ovetkez˝o elveket fogjuk k¨ovetni: 59
1. A t´erid˝o homog´en: ha egy kis´erletet megim´etl¨ unk m´asutt, m´askor, ugyanazt az erdm´enyt kell kapnunk. 2. A t´er izotr´op: nincsenek kit¨ untetett ir´anyok. ´ enyes a Galilei-f´ele relativit´as. 3. Erv´ A fentiekb˝ol a t´erid˝o automorfizmusaira n´ezve az al´abbi k¨ovetelm´enyek ad´odnak. Az els˝o k¨ovetelm´eny szerint az automorfizmusban helyet kell kapnia minden transzl´aci´onak, vagyis az automorfizmusok k¨oz¨ott szerepelnie kell GL(4, R) alcsoportjainak. A m´asodik szerint az automorfizmusok k¨oz¨ott helyet kell kapnia minden t´erbeli forgat´asnak. A t´erid˝oben az id˝ot ´es a h´arom t´erkoordin´at´at azonos m´odon kezelj¨ uk, a t´erid˝o egy pontj´at a (t, x)T n´egyessel (azaz oszlopvektorral) jel¨olj¨ uk20 . A m´asodik felt´etel szerint amennyiben a t´erid˝o egy pontj´at (t, x)T ´ırja le, az automorfizmus csoport r´esze minden → − ! 1 0T (2.137) R(D) = → − 0 D alak´ u m´atrix is, ahol D ∈ SO(3), egy forgat´ast le´ır´o m´atrix. A jel¨ol´es hangs´ ulyozni k´ıv´anja, hogy az R automorfizmust param´eterezi a D m´atrix. A harmadik szerint a sebbess´egtranszform´aci´onak az a form´aja, amikor egyik inerciarendszerr˝ol a´tt´er¨ unk egy m´asikra, szint´en lehet a t´erid˝o automorfizmusa. Egyenl˝ore m´eg nem tudjuk, hogyan kell az inerciarendszerek k¨oz¨otti a´tt´er´est le´ırni matematikailag. Feltessz¨ uk, hogy a sebess´egtranszform´aci´ot le´ır´o B m´atrixot egyetlen (h´aromdimen− − zi´os) vektorral lehet param´eterezni, teh´at ´ırhatunk B(→ v )-t, ez a → v vektor a k´et inercia→ − → − rendszer orig´oj´anak relat´ıv sebess´ege v . B( 0 ) = E4 , egys´egtranszform´aci´o. Feltessz¨ uk, hogy a sz´obaj¨ohet˝o sebess´egek abszol´ ut´ert´eke nem haladja meg c-t, ami adott (v´eges vagy v´egtelen) ´alland´o. A 3. feltev´es szerint b´armely D forgat´as eset´en feltessz¨ uk, hogy − − R(D)B(→ v )R(D−1 ) = B(D→ v ).
(2.138)
Megmutatjuk, hogy ez ut´obbi tulajdons´ag lehet˝ov´e teszi, hogy csak adott ir´any´ u, eset¨ unkben a pozit´ıv x tengely ir´any´ u sebess´egtranszform´aci´okat vizsg´aljunk. A bizony´ıt´as h´et l´ep´esben t¨ort´enik. 1. Az x tengely k¨or¨ uli tetsz˝oleges D forgat´ast alkalmazva a (2.138)-b˝ol k¨ovetkezik, − − hogy D→ v =→ v eset´en A(v) 0 B(vex ) = . (2.139) 0 α(v)E2 20
A 2.5.2 r´eszben a T fels˝ o index transzpon´al´asra utal.
60
Itt a t´erid˝o n´egy elem´et k´et, k´etelem˝ u vektorra bontottuk fel. Az els˝o k´et elem (t, x) v´altozhat, a m´asodik k´et elem (y, z) pedig nem. Alkalmazva (2.138)-t, egy y tengely k¨or¨ uli π-sz¨og˝ u forgat´assal, azt tal´aljuk, hogy α(v) = α(−v), itt a negat´ıv el˝ojel ellent´etes ir´any´ u sebess´eget jelent. Meg lehet azonban mutatni, hogy α(v) ≡ 1. 2. A Galilei-transzform´aci´o sor´an megv´altoz´o k´et koordin´ata v´altoz´as´at A(v) szabja meg. ´Irjuk ki r´eszletesen elemeit: 0 t a(v) b(v) t t = A(v) = . (2.140) 0 x x c(v) d(v) x A (t, x) koordin´at´akra mint K koordin´ata-rendszerre hivatkozunk, a (t0 , x0 ) koordin´at´akra mint K0 -re. A K0 rendszer sebess´ege K-ban m´erve pontosan v. A K rendszer K0 -ben m´ert sebess´ege legyen v 0 . K0 orig´oj´anak sebess´eg´et c(v) , d(v)
(2.141)
a(v) vd(v) =− , c(v) a(v)
(2.142)
v=− m´ıg K orig´oj´anak sebess´eg´et v0 = −
adja meg. Bevezetj¨ uk a v 0 = ϕ(v) jel¨ol´est. Nyilv´anval´oan, a K0 → K ´es a K → K0 transzform´aci´ok egym´as inverzei, ez´ert A(ϕ(v)) = (A(v))−1 .
(2.143)
3. Most hat´arozzuk meg a ϕ f¨ uggv´enyt. Ism´et alkalmazzuk (2.138)-et u ´gy, hogy D legyen π sz¨og˝ u forgat´as az y tengely k¨or¨ ul, amib˝ol k¨ozvetlen¨ ul l´athat´o, hogy a ´es d p´aros, b ´es c p´aratlan f¨ uggv´eny. ϕ defin´ıci´oj´ab´ol k¨ovetkez˝oen p´aratlan f¨ uggv´eny. → − 0 Kor´abban feltett¨ uk, hogy K ´es K relat´ıv sebess´ege, v egy topologikus csoport folytonos koordin´at´aja, ez´ert ϕ folytonos f¨ uggv´eny. Bel´athat´o, hogy ϕ o¨nmag´ara k´epezi le a (−c, +c) intervallumot. Egy t´etel szerint egy folytonos bijekci´o, amely egy val´os intervallumot ¨onmag´ara k´epez le, az monoton. Ez´ert ϕ csak ±1-gyel szorz´asnak felelhet meg. Mivel A(0) = E3 ez´ert csak ϕ(v) = −v lehet. Ez azt jelenti, hogy a K rendszer K0 -ben m´ert sebess´ege ´eppen a negat´ıvja a K0 rendszer K-ban m´ert sebess´eg´enek. Ez nem trivi´alis, hiszen a k´et koordin´ata rendszerben m´as-m´as m´er˝oeszk¨oz¨oket (´or´at ´es m´er˝orudat) haszn´altunk. − − 4. N´ezz¨ uk most az α(v) f¨ uggv´enyt. L´attuk, hogy B(−v → e x ) = (B(v → e x ))−1 . Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen α(v) = 1.
61
5. Vegy¨ uk most szem¨ ugyre az A(v) m´atrixot! (2.141) ´es (2.142) alapj´an a(v) b(v) A(v) = . −va(v) a(v)
(2.144)
Legyen ∆(v) = det (A(v)) = a(v) [a(v) + vb(v)], ´es mivel A(−v) = [A(v)]−1 , ez´ert a(−v) = a(v)/∆(v); b(−v) = −b(v)/∆(v).
(2.145)
Kor´abban m´ar l´attuk, hogy a(v) p´aros, b(v) pedig p´aratlan, ez´ert ∆(v) ≡ 1 ´es a(v) 1 b(v) = −1 . (2.146) v a2 (v) 6. Ezzel A(v) meghat´aroz´as´at a(v) meghat´aroz´as´ara reduk´altuk. Most haszn´aljuk ki azt, hogy k´et sebess´egtranszform´aci´o egym´asut´anja is sebess´egtranszform´aci´o, egyenl˝ore csak azonos ir´any´ u sebess´egekr˝ol van sz´o. Ez´ert A(v)A(v 0 ) = A(v”).
(2.147)
(2.144) szerint az A(v) m´atrix diagon´alis elemei egyenl˝ok. Ezt alkalmazva a (2.147) baloldal´an a´ll´o m´atrixszorzatra azt kapjuk, hogy v −2 (a−2 (v) − 1) f¨ uggetlen v-t˝ol, azaz, egyenl˝o egy k a´lland´oval, amelynek dimenzi´oja sebess´egn´egyzet reciproka. Ezzel 1 , (2.148) a(v) = √ 1 + kv 2 ahol az´ert v´alasztottuk a pozit´ıv gy¨ok¨ot, mert k¨ ul¨onben nem a´ll fenn a(0) = 1. A (2.147) t¨obbi elem´et meghat´arozva az al´abbi ¨osszef¨ ugg´eseket kapjuk: a(v)a(v 0 )(1 − kv 0 v) = a(v”) a(v)a(v 0 )(v + v 0 ) = v”a(v”).
(2.149) (2.150)
Ebb˝ol a sebess´eg¨osszead´asra az al´abbi kifejez´est kapjuk: v + v0 . v” = 1 − kvv 0
(2.151)
V´eg¨ ulis a (2.147) felt´etelb˝ol kiad´odik (2.148) ´es (2.151). 7. Miel˝ott meghat´arozn´ank k ´ert´ek´et, foglaljuk ¨ossze az eddigi eredm´enyeket. Egym´ashoz k´epest x ir´anyban v relat´ıv sebess´eggel mozg´o koordin´ata rendszerek k¨ozt csak a t, x v´altoz´okat kell transzform´alni. Ez a transzform´aci´o: ! √ 1 √ 1 kv 1+kv 2 1+kv 2 A(v) = . (2.152) 1 √ 1 −v √1+kv 2 1+kv 2 Most az al´abbi lehet˝os´egek ´allnak fenn. 62
√ • Amennyiben k > 0, √ a´tsk´al´azzuk az id˝ot az al´abbi m´odon: t → τ = t/ k ´es bevezetj¨ uk tanα = kv-t, amivel a (2.152) m´atrix egy α sz¨og˝ u forgat´ast ´ır le a t, x s´ıkban. A (2.151)-nek megfelel˝o sebess´eg¨osszead´as k¨oz¨ons´eges ¨osszead´ass´a v´alik. Amennyiben k-t sebess´egk´ent ´ertelmezz¨ uk, ebb˝ol konfliktusok sz´armaznak. A t´erid˝o automorfizmusainak ´ıgy kapott csoportja SO(4) lesz. • Amennyiben k = 0, az A m´atrixnak a Galilei-transzform´aci´ok csoportja felel meg. A sebess´eg¨osszead´as vektor¨osszead´ass´a egyszer˝ us¨odik. √ • Amennyiben c = k < 0, 1/ −k a sebbes´egek fels˝o hat´ar´anak ad´odik. p Bevezetj¨ uk az al´abbi jel¨ol´eseket: τ = ct, v/c = β, β = tanh ρ ´es γ = 1/ 1 − β 2 . Ekkor (2.152) az al´abbi alakot ¨olti: 0 τ γ −βγ τ cosh ρ − sinh ρ τ = = . x0 −βγ γ x − sinh ρ cosh ρ x (2.153) A ρ = tanh−1 (v/c) = tanh−1 (β) kifejez´es a koordin´ata-rendszerek relat´ıv sebess´ege. (Vess¨ uk ¨ossze a fenti k´epletet a (2.135)-(2.136) k´epletekkel). Ezzel megmutattuk, hogy a t´erid˝o automorfizmuscsoportj´at Galilei-transzform´aci´ok ´es Lorentz-transzform´aci´ok alkothatj´ak. A transzform´aci´ot reprezent´al´o m´atrixok szerkezet´et pedig megszabja a tett h´arom plauzibilis feltev´es. A tov´abbiakban a Lorentz-csoporttal foglalkozunk. A t´erid˝ot n´egydimenzi´os val´os vektort´erk´ent ´abr´azoljuk, a k¨ovetkez˝o metrik´aval : gij = diag(1, −1, −1, −1).
(2.154)
Jel¨olje Lai a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at. A Lorentz-csoporthoz tartoz´o m´atrixok defin´ıci´o szerint kiel´eg´ıtik az 4 X gij Lik Ljl = gkl . (2.155) i,j=1
ugg´est. ´Irjuk a Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at ¨osszef¨ − γ → aT L= → − b M
(2.156)
alakba. A (2.155) defin´ıci´o szerint fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: → − → − → − → − − a 2 = γ 2 − 1, γ b = M · → a , M · MT = E3 + b ⊗ b T → −2 → − − − − b = γ 2 − 1, γ → a = MT b , MT M = E3 + → a ⊗→ a T . (2.157)
63
Minden L m´atrix felbonthat´o egy forgat´ast le´ır´o m´atrix ´es egy sebess´egtranszform´aci´o szorzatak´ent: L = B · R, (2.158) ahol B=
! → −T γ b − → − → → − ⊗bT b E3 + b 1+γ
(2.159)
R=
! → −T 1 0 − → − . → − ⊗→ aT 0 M − b 1+γ
(2.160)
´es
− → − →T
⊗a A bizony´ıt´asb´ol csak azt a r´eszt id´ezz¨ uk, amelyb˝ol bel´athat´o, hogy D = M − b 1+γ t´enyleg egy t´erbeli forgat´ast ´ır le. El˝osz¨or is (2.157) alapj´an DDT = E3 . Tov´abb´a, det(D) = 1, mert det(L) = 1 ´es det(B) = 1. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a D m´atrix forgat´ast ´ır le. Vizsg´aljuk meg, milyen param´eterekkel ´ırhat´o le a B sebess´egtranszform´aci´o! Legyen → − → − − v = b /γ ´es v = k→ v k. Ezzel
√ → − − − − v ,→ a = γDT → γ = 1/ 1 − v 2 , b = γ → v,
(2.161)
− vagyis, a B m´atrixot egy´ertelm˝ uen param´eterezi → v. − Az utols´o l´ep´es a sebess´eg¨osszetev´es vizsg´alata. Hajtsuk v´egre el˝osz¨or a → v 1 vektorral, → − majd a v 2 vektorral jellemzett sebess´egtranszform´aci´ot! A k´et m´atrix szorzat´at (2.158) − szerint felbonthatjuk egy M forgat´as ´es egy → v 3 sebess´eggel jellemzett sebess´egtranszform´aci´o szorzatak´ent. Megmutathat´o, hogy − − − − − L(→ v 1 , D1 )L(→ v 2 , D2 ) = L(→ v 1 ? D1 · v2 , T[→ v 1 , D1 · → v 2 ] · D1 D2 ).
(2.162)
Itt D1 ´es D2 jelenti a v1 ´es v2 sebess´egekhez tartoz´o m´atrix (2.158)-szerinti felbont´as´aban szerepl˝o forgat´asok m´atrix´at. A sebess´egek kompoz´ıci´oj´at megad´o szab´aly: → − − − v1+→ v 2k + γ1−1 → v 2⊥ → − − . v1?→ v2= → − → − 1+ v1v2
(2.163)
− − A sebess´egkompoz´ıci´ok nem alkotnak csoportot, mert a → v 1 ?→ v 2 m˝ uvelet nem asszociat´ıv. → − → − → − → − − − − − L´etezik viszont egys´egelem: v ? 0 = 0 ? v , l´etezik inverz, hiszen → v (−→ v ) = (−→ v )→ v = → − 0 . Igaz tov´abb´a az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es is: → − − − − − − − − v 1 ? (→ v2?→ v 3 ) = (→ v1?→ v 2 ) ? (T[→ v 1, → v 2] · → v 3 ).
(2.164)
− − − Megmutathat´o, hogy a → v1?→ v2 = → v 3 egyenlet egy´ertelm˝ uen megoldhat´o a harmadik → − sebess´egre, ha v 3 ´es egy m´asik sebess´eg adott. 64
A sebess´egek ¨osszead´asa kapcsolatban a´ll a hiperbolikus geometri´aval (Borel, 1913). Bevezetve a sebess´egt´erben a radi´alis koordin´at´at, a metrika ´ıgy ´ırhat´o fel: dv 2 v2 + (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) (1 − v 2 )2 1 − v 2 dR2 = + R2 (dθ2 + sin2 θdϕ2 ) 1 + R2 4r2 2 2 2 2 2 dr + r (dθ + sin θdϕ ) = 1 − r2 = d%2 + sinh2 %(dθ2 + sin2 θdϕ2 ),
s2 =
(2.165)
s2
(2.166)
s2 s2
(2.167) (2.168)
ahol v 1 − v2 v √ r = 1 + 1 − v2 % = tanh−1 v,
R = √
(2.169) (2.170) (2.171)
´es R ∈ [0, ∞], r ∈ [0, 1], % ∈ [0, ∞]. ¨ 2.2. Feladat (A Lorentz-transzform´ aci´ o m´ atrixa) Osszehasonl´ ıt´ask´eppen k¨oz¨olj¨ uk Novob´atzky K´aroly k¨onyv´eb˝ol a p Lorentz-transzform´aci´o m´atrix´at. Az alkalmazott jel¨ol´es: uk teh´at a K ´es v 2 = v1 2 + v2 2 + v3 2 , κ = 1/ 1 − v 2 /c2 , c a f´enysebess´eg. Tekints¨ 0 K inerciarendszereket, amelyek tengelyei nem esnek ¨ossze ´es nem esnek a (v1 , v2 , v3 ) komponensekkel jellemzett k¨olcs¨on¨os mozg´as ir´any´aba. A K ´es K0 rendszerekben m´ert id˝ot t ill. t0 adja meg. Feltessz¨ uk, hogy a t = t0 = 0 id˝oben a K ´es K0 rendszerek orig´oja egybeesik. Ekkor az 0 x x y y0 0 = L (2.172) z z t0 t transzform´aci´ot le´ır´o Lorentz-m´atrix: 2 (κ−1)v1 v2 (κ−1)v1 v3 1 iκ vc1 1 + (κ−1)v v2 v2 v2 2 (κ−1)v2 v1 (κ−1)v2 v3 2 1 + (κ−1)v iκ vc2 v2 v2 v2 L = (κ−1)v 2 (κ−1)v3 v2 3 v1 3 1 + (κ−1)v iκ vc3 v2 v2 v2 −iκ vc1 −iκ vc2 −iκ vc3 κ
.
(2.173)
Az L m´atrix egy line´aris transzform´aci´ot ´ır le, ez´ert a koordin´atadifferenci´alokra ugyanez a m´atrix alkalmazhat´o. 65
2.5.3.
Irodalom
Magyar nyelv˝ u csoportelm´elet Safarevics, Kuros ´es Wigner k¨onyve. Ezek k¨oz¨ ul csak Kuros k¨onyve nevezhet˝o bevezet˝o jelleg˝ unek. A gazdag angol nyelv˝ u irodalomb´ol Falicov, Hammermesh ´es Sternberg k¨onyve aj´anlhat´o. Wigner, Olver ´es Landau-Lifsic ink´abb a halad´o olvas´oknak aj´anlhat´o. Safarevics k¨onyve j´o ¨osszefoglal´o, de nem bevezet˝o jelleg˝ u munka. Az algebra ´es geometria k¨oz¨otti kapcsolat bevezet˝o le´ır´as´at adja (piros ´es s´arga).
66
3. fejezet Seg´ edeszk¨ oz¨ ok a csoportelm´ eleti sz´ am´ıt´ asokhoz
67
Egy sz´am´ıt´og´epen nem csak sz´amokkal lehet m˝ uveleteket v´egezni. A nagy sz´am´ıt´asig´eny˝ u munk´ak (pl. r´eszecskefizikai k´ıs´erletek ki´ert´ekel´ese) ig´enyelt´ek sz´am´ıt´og´epek alkalmaz´as´at. Ez is ¨oszt¨on¨ozte a szimbolikus vagy formulamanipul´aci´os nyelvek kidolgoz´as´at, amelyek seg´ıt´es´eg´evel be lehet helyettes´ıteni formul´akban szerepl˝o r´eszek hely´ere bonyolult kifejez´eseket, el lehetett v´egezni egy kifejez´es egyszer˝ us´ıt´es´et vagy deriv´al´as´at. A formulamanipul´aci´os nyelvekben tetsz˝olegesen pontos aritmetik´at is megval´os´ıtottak, az eg´esz sz´amokat tetsz˝olegesen sok sz´amjeggyel lehet jellemezni, a racion´alis sz´amokat k´e√ t eg´esz h´anyadosak´ent, az irracion´alis sz´amokat pedig egy formul´aval lehet le´ırni. ´Igy a 2 a´br´azol´as´ahoz ”egy sz´am, amelynek saj´atmag´aval vett szorzata kett˝ot ad” defin´ıci´ot lehet felhaszn´alni. Az els˝o formulamanipul´aci´os nyelveket (Schoonship, T. Veltman programja) ´es a REDUCE (Hearst programja) r´eszecskefizik´aban gyakran sz¨ uks´eges sz´am´ıt´asok elv´egz´esre k´esz´ıtett´ek. Ez a munka a nyolcvanas ´evekben jelent˝os lend¨ uletet kapott, egym´as ut´an jelent meg a MAXIMA, SMP, MAPLE, SCRATCHPAD, AXIOM, majd nyolcvanas ´evek v´ege fel´e a MATHEMATICA. Ezek ´altal´anos c´el´ u programok, amelyekhez egy-egy speci´alis feladat megold´as´ara csomagokat lehetett ´ırni, ilyen csomagok a CALI (konstrukt´ıv algebrai feladatok megold´as´ara szolg´al´o csomag), IDEALS (nem-konstrukt´ıv geometriai feladatok), PDEtools, StandardForm (parci´alis differenci´alegyenletek), a REDUCEhoz, a CASA csomag (konstrukt´ıv algebrai feladatok megold´as´ara) a MAPLE-hoz. A szimbolikus nyelvek is szaporodtak, megjelent a MAXIMA nyelv, amelyen elk´esz¨ ult a SYMMGRP,MAX, SYMDE. A REDUCE tov´abb b˝ov¨ ult a CRACK ´es a ODESOLVE csomagokkal. A MACSIMA szimbolummmanipul´aci´os programot (amely k´es˝obb eg´esz csal´add´a alakult, amelynek tagjai a LISP nyelven meg´ırt ALJBR, MACSYMA, PARAMAX, PUNIMAX, VAXIMA programok) kieg´esz´ıtett´ek a PDELIE csomaggal. Az extra nagy matematikai objektumok kezel´es´ere l´etrej¨ott a FORM nyelv, majd megjelentek a MAGMA, GAP, SENAC numerikus ´es algebrai manipul´aci´ok v´egz´es´ere ´ır´odott programok. Ahogyan n˝ott a szimbolummanipul´aci´os programok sz´ama, nagyobb lett az ig´eny a csomagok k¨oz¨otti kapcsolat kialak´ıt´as´ara, l´etrej¨ott a MathLink a Mathematica-hoz, a MathEdge a Maple-hoz. Id˝ok¨ozben megjelent az OpenMath mozgalom, amely protokollt biztos´ıtott a csomagok k¨oz¨otti kommunik´aci´ohoz. A speci´alis szimbolikus nyelvek a matematika egy-egy ´ag´ara ¨osszpontos´ıtottak, ezen a ter¨ uleten jobb lehet˝os´egeket biztos´ıtva, mint az a´ltal´anos programok. Ezzel szemben kev´esb´e kellemes k¨ornyezetet (input, output, megjelen´ıt´es) biztos´ıtanak a felhaszn´al´onak. Az algebrai c´el´ u speci´alis szimbolikus programok k¨oz¨ott megeml´ıtj¨ uk a GAP (ld, fennt), ELIAS, GRAPE, ANU, CHEVIE, Schur ´es GUAVA k´odokat. A sz´amelm´eletben pedig a PARI, KANT, Galois, MALM, SIMATH k´odokat. Algebrai ´es geometriai feladatokra k´esz¨ ultek az Albert, Bergman, CoCoA, FELIX, GANITH, GB, GRB, KAN, Maculay, SACLIB, GROEBNER, Singular k´odok. Differenci´alegyenletekkel kapcsolatos k´odok: DESIR, DIMSYM, SPDE. Tenzorkalkulusban haszn´alatos k´odok: SHEEP, STENSOR.
68
A fenti k´odokb´ol, csomagokb´ol benn¨ unket az elgebrai feladatokban haszn´alatos k´odok ´erdekelnek. Az interneten t¨obb program is tal´alhat´o, amelyekkel algebrai feladatokat lehet megoldani. Ilyenek p´eld´aul a GAP ´es a MAGMA. Algebrai csomagok tartoznak a MATHEMATICA, vagy a MATLAB szimbolikus nyelvekhez is. A jelen fejezetben ismertetett nyelveket az t¨ unteti ki, hogy az algebra leggyakoribb fizikai alkalmaz´asaihoz (v´eges csoportok, Lie-csoportok, vektorterek, testek, lek´epez´esek stb.) sz¨ uks´eges ismeretek k¨onnyen megtal´alhat´o benn¨ uk. A MAGMA-t ld. www.maths.usyd.edu.au/magma, ahol a felhaszn´al´as felt´eteleit is meg lehet ismerni. A MAGMA el˝ofizet´es mellett haszn´alhat´o, a felt´eteleket a www.maths.usyd.edu.au/magma weboldalon tal´alja az Olvas´o.
3.1.
MAGMA
A V2.9 MAGMA verzi´o tartalomjegyz´eke az al´abbi elemekb˝ol ´all: • Bevezet´es – A Magma filoz´ofi´aja – A jelen dokumentum o¨sszefoglal´asa • A Magma nyelv ´es rendszer – A Magma felhaszn´al´oi nyelve – A Magma k¨ornyezet • Csoportok – Permutaci´ocsoportok – M´atrixcsoportok – V´egesen present´alt csoportok – Abel-csoportok – V´egesen present´alt Abel-csoportok – Policiklikus csoportok – V´eges feloldhat´o csoportok – V´eges p-csoportok – Csoportok, amelyeket u ´jra´ır´assal defini´alunk – Automatikus csoportok – Csoportok, amelyek elemeit programok gener´alj´ak – Braid csoportok 69
– A PSL(2, R) csoport r´eszcsoportjai • F´elcsoportok ´es monoidok – v´egesen prezent´alt f´elcsoportok – Monoidok, amelyeket u ´jra´ır´assal defini´alunk • Lie elm´elet – A Lie elm´elet gy¨okerei – Coxeter csoportok – Lie-t´ıpus´ u v´eges csoportok – Komplex t¨ ukr¨oz´esek csoportjai • Gy˝ ur˝ uk ´es testek – A racion´alis test, az eg´eszek gy˝ ur˝ uje – Egyv´altoz´os polinomok gy˝ ur˝ uje – Egyv´altoz´os polinomgy˝ ur˝ uk marad´ekoszt´alyai – V´eges testek – Galois gy˝ ur˝ uk – Sz´amtestek ´es rendj¨ uk ´ – Altal´ anos algebrai f¨ uggv´enyek teste – Diszkr´et ´ert´ek˝ u gy˝ ur˝ uk – Val´os ´es komplex testek – Newton soksz¨ogek – Lok´alis gy˝ ur˝ uk ´es testek – Hatv´any, Laurent and Puiseux sorok gy˝ ur˝ ui – Lazy hatv´anysorok gy˝ ur˝ ui – Algebrailag z´art testek • Kommutativ algebra – T¨obbv´altoz´os polinomok gy˝ ur˝ ui – Affin algebr´ak – Affin algebr´ak feletti modulusok
70
• Linearis algebra ´es modullus elm´elet – Matrixok – Vektorterek – Szabad modulusok – Dedekind dom´enek feletti Modulusok • R´acsok ´es kvadratikus form´ak – R´acsok – Binaris kvadratikus form´ak • Algebr´ak – V´egesen present´alt asszociat´ıv algebr´ak ´ – Altal´ anos v´eges-dimenzi´os algebr´ak – V´eges dimenzi´os asszociat´ıv algebr´ak – Quaternion algebr´ak – Csoport algebr´ak – M´atrix algebr´ak – V´eges simenzi´os Lie algebr´ak • Representaci´o elm´elet – Algebra feletti modulusok – Karakterek elm´elete – V´eges csoportok invari´ansai • Homologikus algebra – Alapvet˝o algebr´ak – L´anc komplexek • Algebrai geometria – S´em´ak ´ – Altal´ anos algebrai g¨orb´ek – Racion´alis g¨orb´ek ´es k´ upok – Elliptikus g¨orb´ek 71
– Hiperelliptikus g¨orb´ek – Modularis form´ak – K3 fel¨ ulet adatb´azisa – Gr´afok ´es Splice diagrammok • V´eges incidencia szerkezetek – Enumerative Combinatorics – Gr´afok – Incidence Structures and Designs – V´eges s´ıkok – Incidence Geometry • Hibajav´ıt´o k´odok – Line´aris k´odok v´eges testek felett – Line´aris k´odok Z4 felett • Titkos´ıt´as, pseudo v´eletlen sz´amsorozatok • Matematikai adatb´azisok • Dokument´aci´o • Irodalom A fenti tartalomjegyz´ekb˝ol kivonatosan id´ezz¨ uk a MAGMA filoz´ofi´aj´anak ismertet´es´et. A MAGMA egy sz´am´ıt´og´epeken m˝ uk¨od˝o algebrai rendszer, amelyet arra terveztek, hogy algebrai, sz´amelm´eleti, geometriai ´es kombinatorikai feladatokat oldjon meg. Ezek a feladatok gyakran k¨orm¨onfont matematikai h´att´erre ´ep¨ ulnek ´es megold´asuk m´eg sz´am´ıt´og´eppel is k¨or¨ ulm´enyes. A megold´ashoz MAGMA biztos´ıt egy matematikai szigor´ us´ag´ u k¨ornyezetet, amely hangs´ ulyozza a strukt´ ur´alt sz´am´ıt´ast. Kulcsszeret kapott a program azon k´epess´ege, hogy fel tudja ´ep´ıteni a matematikai strukt´ ur´ak kanonikus reprezent´acio´j´anak szerkezet´et. Ez´altal tesz lehet˝ov´e olyan m˝ uveleteket, mint egy elem (halmazhoz) tartoz´as´anak vizsg´alata, egy strukt´ ura tulajdons´againak le´ır´asa, izomorfi´ak vizsg´alata strukt´ ur´ak k¨oz¨ott. A MAGMA program sok oszt´aly strukt´ ur´aj´anak reprezent´aci´oj´at tartalmazza az algebra ¨ot alapvet˝o ´ag´ab´ol: • csoportelm´elet • gy˝ ur˝ uelm´elet 72
• testelm´elet • modulelm´elet • algebr´ak elm´elete. Ezen fel¨ ul, az elgebrai geometria ´es a gr´afelm´elet t¨obb strukt´ uracsal´adja megtal´alhat´o a MAGMA programban. A MAGMA rendszer f˝obb jellemz˝oi k¨oz¨ ul kiemelj¨ uk: • A tervez´es filoz´ofi´aj´at: a tervez´esi elvek, amelyek a felhaszn´al´oi nyelv ´es a rendszer architekt´ ur´aj´anak alapjait k´epezik, az ´altal´anos algebra ´es kateg´oriaelm´elet fogalmaira ´ep¨ ulnek. • Univerzalit´as: az algebra eml´ıtett ¨ot a´g´at m´elys´eg´eben lefedi a MAGMA nyelv. • Integr´aci´o: Az egyes ter¨ uletek seg´edeszk¨ozeit ´altal´anos elemekb˝ol ´ep´ıtett´ek fel, ez´ert a k¨ ul¨onb¨oz˝o ter¨ uleteket is a´tfog´o sz´am´ıt´asok programoz´asa egyszer˝ us¨od¨ott. A szerz˝ok szerint a MAGMA felhaszn´al´oi nyelv f˝obb tulajdons´agai: • utas´ıt´asokb´ol ´es proced´ ur´akb´ol ´all´o szabv´anyos nyelv; • funkcion´alis, hierarchikus fel´ep´ıt´es, amely lehet˝ov´e teszi kifejez´esek, f¨ uggv´enyek r´eszbeni ki´ert´ekel´es´et; • aggreg´alt, algebrai fogalmakra (halmaz, sorozat, lek´epez´es) ´ep¨ ul˝o adatt´ıpusok haszn´alata; • univerz´alis konstruktorok, amelyek ´altal´anos´ıthat´ov´a teszik a lek´epez´esek konstrukci´oj´at; • egyszer˝ u ´es hat´ekony jel¨ol´esrendszer, amely k¨ozel a´ll a matematikai jel¨ol´eshez; • egyszer˝ u m˝ uveletek halmazok vagy sorozatok k¨oz¨ott; • hat´ekony m˝ uveletek; • csomagok haszn´alata, amely megk¨onny´ıti a modul´aris alkalmaz´asokat.
73
3.2.
GAP
Az al´abbiakban r´eszletesen a GAP programcsomagr´ol sz´olunk. A programcsomag neve egy r¨ovid´ıt´es, ami a Groups, Algorithms and Programming szavak kezd˝obet˝ uib˝ol ´all ul¨on¨os tekintet¨ossze. A programcsomag diszkr´et algebrai feladatok megold´as´at seg´ıti, k¨ tel a csoportokra. A GAP csomagot az Aacheni Egyetemen (Lehrstuhl D f¨ ur Mathematik) fejlesztett´ek ki. A fejleszt´esben r´esztvev˝ok n´evsora: Alice Niemeyer, Werner Nickel, Martin Sch¨onert, Johannes Meier, Alex Wegner, Thomas Bischops, Frank Celler, J¨ urgen Mnich, Udo Polis, Thomas Breuer, G¨otz Pfeiffer, Hans U. Besche, Volkmar Felsch, Heiko Theissen, ´ Alexander Hulpke, Ansgar Kaup, Seress Akos, Horv´ath Erzs´ebet, Bettina Eick. A fejleszt´esbe bekapcsol´odott a sk´ociai St. Andrew Egyetem is. Ma m´ar a GAP egy szerte´agaz´o programcsomagg´a v´alt, aminek f˝obb r´eszei 1. Kernel, ami a mem´oria szervez´es´et v´egzi, de egy PASCAL szer˝ u programoz´asi nyelvet (amit szint´en GAP-nak h´ıvnak) is mag´aban foglal. A programoz´asi nyelv t´amogat egy sor adatt´ıpust, amelyek a testek, csoportok stb. le´ır´as´ahoz j´ol haszn´alhat´oak. A kernel harmadik r´esze egy interakt´ıv futtat´o k¨ornyezet, amiben a felhaszn´al´o beavatkozhat a sz´am´ıt´asba, s˝ot, bel¨ov´est is v´egezhet. 2. F¨ uggv´enyk¨onyvt´ar. Hat´ekony csoportelm´eleti f¨ uggv´enyek (pl. Elements, Centralizer, Normalizer, Size), lek´epez´esek ´es homomorfizmusok, karaktert´abla kezel˝o szubrutinok a´llnak a felhaszn´al´o rendelkez´es´ere. 3. Dokument´aci´o. Az on-line help funkci´o mellett minden fogalom ´es eszk¨oz r´eszletes le´ır´asa megtal´alhat´o, sz¨ovegk´ent ´es TEX f´ajl form´aban is. A le´ır´asok angol nyelven k´esz¨ ultek.
A GAP program az internetr˝ol ingyen let¨olthet˝o, a felhaszn´al´ok egy levelez´esi list´an cser´elhetik ki n´ezeteiket, tapasztalataikat, a lista egy´ uttal tan´acsad´asra-k´er´esre is j´ol haszn´alhat´o. Nem haszn´alhat´o viszont szabadon a GAP p´enz´ert ´arult term´ekek k´esz´ıt´es´ehez. Mire alkalmas GAP? A GAP egy szimbolikus nyelv, legink´abb a MATHEMATICA programcsomagra hasonl´ıt. Tal´alhat´o benne tetsz˝olegesen pontos aritmetika, m˝ uveletek v´egezhet˝oek egy csoport elemeivel, de halmazokkal, list´akkal ´es m´as a GAP-ban defini´alt strukt´ ur´akkal is. Az eredm´enyeket f´ajlba lehet ´ırni, van lehet˝os´eg az utas´ıt´asok f´ajlba ´ır´as´ara is, amivel bonyolult programokat lehet ´ırni. Az alapcsomagot sz´amos, speci´alis feladatokra kidolgozott programcsomag eg´esz´ıti ki. Hogyan t¨olthetj¨ uk le GAP-ot? A GAP-ot el´erhetj¨ uk a http://www.math.rwth-aachen.de/LDFM/GA direktorib´ol. T¨obb mirror-site is l´etezik, ezekben minden ´ejszaka a´tt¨oltik a leg´ ujabb v´altoztat´asokat. Mi tal´alhat´o a le´ır´asban? A 3.3.4 -es verzi´o le´ır´as´aban 85 fejezet tal´alhat´o, ezek k¨oz¨ ul n´eh´any: 74
• domains: itt adott szerkezet˝ u adathalmazt jelent. • fields testek (mint algebrai strukt´ ur´ak) • groups: csoportok • rings: gy˝ ur˝ uk (mint algebrai strukt´ ur´ak) • vector spaces: vektorterek, ahogyan megszoktuk • integers: az eg´esz sz´amokat itt is eg´esz sz´amok jel¨olik, de pl. ciklusban van lehet˝os´eg szimbolikus v´altoz´o haszn´alat´ara • number theory: sz´amelm´eleti f¨ uggv´enyek ´es mennyis´egek • rationals: a racion´alis sz´amok halmaza • lists: itt adott szerkezet˝ u adathalmazt jelent, pl. a m´atrix is egy lista • sets: halmazok ´es halmazf¨ uggv´enyek • permutations: permut´aci´ok • matrices: m´atrixok ´es m´atrix f¨ uggv´enyek • vectors: vektorok • algebras: algebr´ak (mint algebrai strukt´ ur´ak) • modules: modulusok (mint algebrai strukt´ ur´ak) • mappings: lek´epez´esek · homorphisms: homorfizmusok • combinatorics: kombinatorikai f¨ uggv´enyek • charater tables • Az ismertebb csoportok karaktert´abl´ait tartalmazza • Share csomagok: – · CARAT: krist´alycsoportok, Bravais csoportok – CrystCat: 2-,3-, ´es 4-dimenzi´os krist´alycsoportok katal´ogusa – CrystGap: affin krist´alycsoportok – EDIM: eg´eszelem˝ u m´atrixok oszt´oinak meghat´aroz´asa – FPLSA: v´egesen prezent´alt Lie-algebr´ak 75
– GRAPE: gr´afok vizsg´alata – GUAVA: k´odelm´elet – LAG: Lie-algebr´ak f¨ uggv´enyei – MeatAxe: v´eges testek feletti m´atrixok – MPQS: eg´esz sz´am t´enyez˝okre bont´asa (40 jegy˝ u sz´amot kb. 90 s alatt bont fel) – egy sor egy´eb, els˝osorban csoportelm´eleti k´erd´est vizsg´al´o csomag. A GAP seg´ıts´eg´evel gener´alhatunk olyan gy˝ ur˝ ut, testet, csoportot, vektorteret vagy m´as algebrai konstrukci´ot, amiben megadott elemek megtal´alhat´oak. Ehhez adott tipus´ u v´altoz´okkal v´egzett m˝ uveletekkel jutunk el. Az elemek egy¨ uttart´as´anak, egy¨ uttes kezel´es´enek legfontosabb eszk¨oze a lista, ami elemek gy¨ ujtem´enye. List´at alkotnak pl. egy vektor vagy m´atrix elemei. A rekord form´aban t´arolt elemeket domain-nek nevezik. A domainek kateg´ori´akba vannak rendezve (pl. csoport, gy˝ ur˝ u, test, vektort´er). Egy lista pl. a´talak´ıthat´o domain-n´e. A fentieken k´ıv¨ ul term´eszetesen a GAP programoz´as alapjait, a program haszn´alat´at ismertet˝o fejezetek is l´eteznek. Az al´abbi lev´el n´emi ´ızel´ıt˝ot ad a f´orum m˝ uk¨od´es´er˝ol, egy´ uttal a GAP programoz´as term´eszet´er˝ol is. A levelet Joachim Neubueser k¨ uldte a GAP f´orumnak, teh´at a k´erd´esre adott v´alaszt (´es persze a k´erd´est mag´at is) a GAP lista minden tagja megkapja. > Dear GAP Forum, > > Nicola Sottocornola asked: > > > this is my question. I’ve defined a group G by generators and relations. > > 1) How can I obtain all the elements g in G s.t. g\^2=u? >\\ > First of all it should be understood that in general the word problem > for a finitely presented group is algorithmically unsolvable, that is, > it is not possible to answer a question like this for an arbitrary > finitely presented group. If however the finitely presented group is > in fact finite there are trial and error methods, in particular the > so-called Todd-Coxeter method, to find a faithful permutation > representation of the finitely presented group and using this (behind > the back of the user) GAP can deal with a question like this (of course > only if the group is not only finite but small enough). >\\ > Here is an example how this can be done (the presentation used is a > presentation for the generalised quaternion group of order 16) and as 76
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
you see GAP does in fact show you only words in the generators of the finitely presented group and not what is happening behind the scene. gap> F := FreeGroup( "a", "b" );
gap> a := F.1;; b := F.2;; gap> G := F / [ a\^8, b\^4, a\^4*b\^-2, b\^-1*a*b*a ]; gap> a := G.1;; b := G.2;; gap> Size( G ); 16 gap> elts := AsSortedList( G ); [ , a, b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^4, a\^3, a\^2*b, a\^5, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b, a\^7 ] gap> u := b\^2; b\^2 gap> result := Filtered( elts, g -> g\^2 = u ); [ b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^2*b, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b ] Hope this answers the question, Joachim Neubueser
Tisztelt GAP F´ orum! Nikola Sottocornola k´ erd´ ese: ´ Ime a k´ erd´ esem: Defini´ altam egy G csoportot gener´ atorok e ´s rel´ aci´ ok segyts´ eg´ evel. Hogyan ´ all´ ıthatom elo G azon g elemeit, amelyekre teljes¨ ul g^2=u? Elosz¨ or is, meg kell ´ erteni, hogy az u ´n. sz´ o-feladat ´ altal´ aban nem oldhat´ o meg algoritmikusan v´ egesen prezent´ alt csoportokra, azaz, a feltett k´ erd´ est nem lehet a ´ltal´ aban megv´ alaszolni. Ha azonban a v´ egesen prezent´ alt csoport v´ eges csoport, akkor l´ eteznek pr´ ob´ alkoz´ ason alapul´ o m´ odszerek, p´ eld´ aul itt a Todd-Coxeter-m´ odszer, amelynek seg´ ıts´ eg´ evel a v´ egesen prezent´ alt csoporthoz hu permut´ aci´ oreprezent´ aci´ ot lehet tal´ alni. A felhaszn´ al´ o megker¨ ul´ es´ evel a GAP megbirk´ ozik ilyen feladatokkal, amennyiben a csoport nem csak 77
v´ eges, de kev´ es eleme is van. Itt egy p´ elda, hogyan lehets´ eges a megold´ as. (A csoport altal´ anos´ ıtott kvaterni´ o csoport egy prezent´ aci´ oja a 16 rendu ´ prezent´ aci´ oja). Ahogyan l´ athat´ o, GAP csak a k´ ert szavak gener´ atorokkal fel´ ırt alakj´ at adja meg, a megold´ as m´ odj´ ar´ ol nem k¨ oz¨ ol semmit. > > > > > > > > > > > > > > > > >
gap> F := FreeGroup( "a", "b" ); gap> a := F.1;; b := F.2;; gap> G := F / [ a\^8, b\^4, a\^4*b\^-2, b\^-1*a*b*a ]; gap> a := G.1;; b := G.2;; gap> Size( G ); 16 gap> elts := AsSortedList( G ); [ , a, b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^4, a\^3, a\^2*b, a\^5, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b, a\^7 ] gap> u := b\^2; b\^2 gap> result := Filtered( elts, g -> g\^2 = u ); [ b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^2*b, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b ]
Rem´ elem, a v´ alasz kiel´ eg´ ıto. Joachim Neubueser V´eg¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy a GAP jelent˝os r´esze megtal´alhat´o a SAGE programcsomagban, amelyet sz´amelm´eleti, algebrai ´es geometriai szimbolikus sz´am´ıt´asok elv´egz´esre hoztak l´etre. A SAGE-ban megtal´alhat´o a MAXIMA jelent˝os r´esze is. A SAGE alkot´oi: William Stein ´es David Joyner ( [email protected] honlapja: http://www.safemath.org, de el´erhet˝o a http://sage.scipy.org/ oldalr´ol ´es a http://sage.math.washington.edu/sage oldalakr´ol is.
78
3.3.
MAPLE 7
A MAPLE 7 egy ´atfog´o szimbolikus manipul´aci´ot v´egz˝o program, amelyet kimondottan bonyolult matematikai m˝ uveletek elv´egz´es´ere dolgoztak ki. A felhaszn´al´o seg´ıts´eget kap az algebra, anal´ızis, diszkr´et matematika, grafika, numerikus sz´am´ıt´asok ´es a matematika t¨obb egy´eb ter¨ ulet´en is. A MAPLE 7 kiterjedt programk¨onyvt´arral (csomaggal) rendelkezik, amelyben be´ep´ıtett f¨ uggv´enyek, ´es m˝ uveletek tal´alhat´oak. A k¨onyvt´arak kellemes k¨ornyezetet biztos´ıtanak bonyolult matematikai c´el´ u programok fejleszt´es´ehez. A MAPLE 7 programot a Waterloo Maple Inc. k´esz´ıtette, a BME rendelkezik a MAPLE 7 telephelyi licenc´evel. N´eh´any fejezet a MAPLE 7 ny´ ujtotta szolg´altat´asokb´ol (az el˝oz˝o k´et csomagban tal´alhat´o a´ltal´anos eszk¨oz¨oket, mint helyettes´ıt´es, egyszer˝ us´ıt´es, egyenlet megold´asa, rajzol´as nem eml´ıtem): • algebra: m´atrixokkal, vektorokkal, t¨omb¨okkel ´es tenzorokkal v´egezhet¨ unk algebrai m˝ uveleteket (¨osszead´as, kivon´as, hatv´anyoz´as, skal´arral val´o szorz´as). A line´aris algebra csomag kiterjedt a´br´azol´asi lehet˝os´eget k´ın´al a fenti objektumokkal v´egzett munk´ahoz. Tenzorm˝ uveletekre k´et csomag van(Christoffell-n´even), a koordin´atatranszform´aci´okhoz Jacobi-tenzort lehet k¨ozvetlen¨ ul sz´am´ıtani. Tov´abbi lehet˝os´egek: Killing-egyenletek, Levi-Civita tenzor, Lie-deriv´alt, Newmann-Penrose spin egy¨ utthat´ok, Petrov-oszt´alyoz´as Weil-tenzorokhoz, kovari´ans Ricci-tenzor sz´am´ıt´asa, Riemann-f´ele g¨orb¨ uleti tenzor sz´am´ıt´asa, g¨orb¨ uleti tenzor sz´am´ıt´asa az ´altal´anos relativit´aselm´elethez. • sz´amelm´elet: nevezetes sz´amok ´es polinomok, l´anct¨ortekre bont´as, sz´amalm´eteti f¨ uggv´enyek. • numerikus sz´am´ıt´asok: k¨ozel´ıt´esek, interpol´aci´o, g¨orbeilleszt´es. Lehet˝os´eg van a MATLAB egyes algoritmusainak (pl. Cholesky-faktoriz´aci´o) haszn´alat´ara is. • statisztika: 13 eloszl´asf¨ uggv´eny, illeszt´esi elj´ar´asok, sz´or´aselemz´es, adatsorok elemz´ese, line´aris regresszi´o, v´eletlensz´am gener´atorok, adatmegjelen´ıt´es ´es manipul´aci´o. • egys´egkonverzi´o: a forgalomban l´ev˝o m´ert´ekegys´egek k¨oz¨otti a´tv´alt´ast adja meg, bele´ertve a n´alunk kev´ess´e haszn´alatos angolsz´asz egys´egeket is. • programoz´as: sz´amos csomag seg´ıti a matematika egyes ter¨ ulet´en v´egzend˝o munk´at. • anal´ızis: differenci´al´as, integr´al´as, integr´al-transzform´aci´ok, hat´ar´ert´ekek. • differenci´alegyenletek:k¨ ul¨on csomagot tartalmaz a k¨oz¨ons´eges- ´es a parci´alis differenci´alegyenletek vizsg´alat´ahoz. Itt kiemelj¨ uk a 11. fejezetben haszn´alhat´o DEtools csomagot, amelyben tal´alhat´o: 79
– Differential Operators: oper´atorokkal v´egezhet˝o m˝ uveletek, bele´ertve a faktoriz´aci´ot is. – Lie Symmetry Method: k¨oz¨ons´eges DE megold´asi m´odszerei a Lie-csoportok seg´ıts´eg´evel. – Solving Methods: exponenci´alis alak´ u megold´as, speci´alis DE-k megold´asa (Bernoulli-, Abel-differenci´alegyenletek, Kovacic-megold´as, Lie-m´odszer, racion´alis polinom alak´ u megold´as). – Rajzol´as: az egyenlet megold´as´anak grafikus ´abr´azol´asa. – odeadvisor: a k¨oz¨ons´eges DE jellemz˝oit megadja ´es tan´acsot ad az alkalmazhat´o m´odszerekkel kapcsolatban is. • diszkr´et matematika: kombinatorika, gr´afelm´elet. • geometria: 2D, 3D geometria, euklideszi geometria ¨osszef¨ ugg´esei. • csoportelm´elet: konjug´al´as, mell´ekoszt´alyok, centrum, permut´aci´ok, norm´alis ´es Sylow-r´eszcsoportok, orbit. • line´aris algebra: a Linear Algebra szubrutincsomag elj´ar´asait is tartalmazza. • speci´alis f¨ uggv´enyek: polinomok (Hermit-, Laguerre-, Csebisev- stb.) Hankel-, Bessel-, Kelvin- stb. speci´alis f¨ uggv´enyek.
3.4.
Seg´ edeszko ¨zo ¨k az interneten
Ma m´ar b´armilyen eszk¨ozre is van sz¨ uks´eg, a keres´et ´erdemes az interneten kezdeni. A Google, Google Scholar weboldalak szem´elyek, int´ezm´enyek honlapj´at gyorsan megadja. Ha k¨onyvre van sz¨ uks´eg, az Amazon kiad´ot, magyar kiadv´anyok eset´eben a Prospero-t ´erdemes felkeresni. Egyes kiadv´anyok, amilyen pl. a CRC Handbook 3. k¨otete, jelent˝os forr´asokat ad meg. Ez´ert ha ismer¨ unk egy nevet, egy programot, gyorsan eljutunk a forr´ashoz. Az internet kincsesb´any´ai a levelez˝o list´ak. Ezeken t´arolj´ak a teljes lev´elforgalmat, ezeket a´tn´ezve is fontos inform´aci´ohoz juthatunk. Sajnos az internet tulajdons´aga a gyors v´altoz´as. Az emberek j¨onnek-mennek, e-mail c´ım¨ uk megv´altozik, ha egy weboldalt nem gondoznak, az gyorsan haszn´alhatatlann´a v´alik. Az internet z´aszl´oshaj´oi az egyetemek. Az ritk´an fordul el˝o, hogy egy eg´esz tansz´ek elt˝ unik (ha m´egis, akkor ahhoz hossz´ u id˝o kell), ez´ert ´erdemes a keres´est az egyetemi weboldalakkal kezdeni.
80
4. fejezet A v´ altoz´ ok sz´ etv´ alaszt´ as´ anak m´ odszere
81
4.1.
Jel¨ ol´ esek
Q -A Helmholtz-egyenlet oper´atora r = (x, y) -f¨ uggetlen helyv´altoz´o ´es mer˝oleges koordin´at´ai r -a pol´arkoordin´at´ak radi´alis r´esze L -line´aris differenci´aloperator Lg -az L oper´ator k´epe a g csoportelem alatt [L, Q] -az L ´es Q oper´atorok kommut´atora ∂x , ∂y -differenci´al´as x ill. y szerint R2 -k´etdimenzi´os, val´os elem˝ u vektort´er D -tartom´any L2 -n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere 2 L (S1 )- az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere Xxx , Xxy , Xyy - az X f¨ uggv´eny m´asodik deriv´altjai E(2) -az euklideszi s´ık szimmetri´ainak Lie-algebr´aja E(2) -az euklideszi s´ık szimmetri´ainak Lie-csoportja E -algebra E -vektort´er f -az f f¨ uggv´eny Fourier-transzform´altja f -az f komplex sz´am konjug´altja S1 -az egys´egnyi sugar´ u k¨or pontjainak halmaza.
4.2.
A m´ odszer
Az elm´eleti fizika egyenleteinek gyakran megadhat´o analitikus megold´asa, amennyiben a megold´ast egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek szorzatak´ent kereshetj¨ uk. Ilyen megold´as ad´odik p´eld´aul, ha az egyenlet forgat´asokkal szemben invari´ans. Ebben az esetben c´elszer˝ u olyan koordin´ata-rendszert v´alasztani, ami megfelel az egyenlet szimmetri´aj´anak. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a pol´arkoordin´at´akban keresett egyenlet j´oval egyszer˝ ubb, mint m´as, kev´esb´e alkalmas koordin´at´akban fel´ırt t´arsa. Ennek kapcs´an felmer¨ ul a k´erd´es: Egy adott egyenlethez h´any olyan speci´alis koordin´ata-rendszer tal´alhat´o, amelyben a megold´as a v´altoz´ok szepar´al´as´aval megoldhat´o? Hogyan lehet ezeket a koordin´ata-rendszereket megtal´alni? A v´alaszt ism´et az egyenlet szimmetri´ainak seg´ıts´eg´evel adhatjuk meg. A vizsg´alt egyenlet szimmetri´ait a helyv´altoz´ok szerinti differenci´al´asb´ol ´es f¨ uggv´enyegy¨ utthat´okb´ol fel´ırt L line´aris oper´atorok form´aj´aban keress¨ uk. Ezek a kifejez´esek algebrai strukt´ ur´akat alkotnak (vektorteret ´es Lie-csoportot, Lie-algebr´at). A vektort´ernek van dimenzi´oja ´es b´armely elem kifejthet˝o a b´azis szerint. Megmutatjuk, hogy a szepar´alhat´o megold´as a Lie-csoport g eleme alatt kialakul´o p´aly´akhoz, teh´at az algebrai strukt´ ura szerekezet´ehez kapcsolhat´o. A megold´as Fourier-transzform´altja lehet˝ov´e teszi, 82
hogy az egyenlet megold´asait megfeleltess¨ uk az S1 egys´egk¨or¨on ´ertelmezett f¨ uggv´enyek halmaz´anak. Ez lehet˝ov´e teszi a szepar´alt megold´as explicit megad´as´at is. A m´odszer az algebra ´es az anal´ızis eszk¨ozeit haszn´alja, gyakran kell differenci´alegyenletek megold´asait meghat´arozni. Ezek a megold´asok ´altal´aban speci´alis f¨ uggv´enyek, amelyekkel r´eszletesen a 10. fejezet foglalkozik. Ebben a fejezetben a k´etdimenzi´os Helmholtz-egyenletet vizsg´aljuk, a k¨ovetkez˝o form´aj´aban: QΦ ≡ ∆Φ + ω 2 Φ = 0 (4.1) ahol ω val´os a´lland´o. A f¨ uggetlen v´altoz´okat r = (x, y) jel¨oli, az x v´altoz´o szerinti differenci´al´asra pedig a ∂x jel¨ol´est alkalmazzuk. A Q oper´ator hat´as´at olyan Φ(r) f¨ ugg2 v´enyeken vizsg´aljuk, amelyek adottak egy D ⊂ R ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyon, ´es analitikus f¨ uggv´enyei az x, y v´altoz´oknak. K¨onnyen bel´athat´o, hogy ezen f¨ uggv´enyek vektorteret alkotnak, minthogy az ¨osszead´as ´es a sz´ammal val´o szorz´as m˝ uvelete defini´alt ezen f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott. Az L = X(r)∂x + Y (r)∂y + Z(r) line´aris differenci´aloperatort a (4.1) egyenlet szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk, ha [L, Q] = R(x)Q (4.2) ahol [L, Q] = LQ − QL ´es az R analitikus f¨ uggv´eny f¨ ugghet L-t˝ol. Jel¨olje G a Helmholtz-egyenlet szimmetri´ainak oper´atorait. A G halmaz komplex Lie-algebr´at alkot. Legyen ugyanis adott L1 , L2 ∈ G, ekkor a1 L1 + a2 L2 ∈ G, minthogy ez a kifejez´es is kiel´eg´ıti (4.2)-t. Az (2.59) kapcs´an elmondottak szerint [L1 , L2 ] els˝orend˝ u differenci´al´assal fejezhet˝o ki, teh´at a Lie-algebra axi´om´ai teljes¨ ulnek. Megmutatjuk, hogy a G-hez tartoz´o Lie-algebra dimenzi´oja 4. Helyettes´ıts¨ uk L-et ´es Q-t (4.2)-be, sz´am´ıtsuk ki a kommut´atort. ´Igy a k¨ovetkez˝o egyenletre jutunk: 2Xx ∂xx + 2(Xy + Yx )∂xy + 2Yx ∂yy + (Xxx + Yyy + 2Zx )∂x + (Yxx + Yyy ) + 2Zy )∂y + (Zxx + Zyy ) = −R(∂xx + ∂ ∗ yy + ω 2 ). (4.3) A deriv´altak egy¨ utthat´oinak a k´et oldalon meg kell egyezni¨ uk, amib˝ol az al´abbi egyenleteket kapjuk: 2Xx Xxx + Yyy + 2Zx Zxx + Zyy Xy + Yx Yxx + Yyy + 2Zy
= = = = =
−R = 2Yy 0 −Rω 2 0 0.
(4.4) (4.5) (4.6) (4.7) (4.8)
(4.4)-b´ol k¨ovetkezik, hogy Xx = Yy , (4.7)-b˝ol, hogy Xy = −Yx . Ez´ert Xxx + Xyy = Yxy − Yxy = 0. Ezt ¨osszevetve (4.8)-vel bel´atjuk, hogy Z a´lland´o, (4.6)-b˝ol pedig R = 0 83
htb 4.1. t´abl´azat. B´azisok a (4.1) egyenlet szimmetri´ainak halmaz´aban b´azis konstansok megv´alaszt´asa P1 = ∂x α = 1, β = γ = δ = 0 P2 = ∂y β = 1, α = γ = δ = 0 M = y∂x − x∂y γ = 1, α = β = δ = 0 E=1 δ = 1, α = β = γ = 0 ad´odik. (4.4) szerint X = X(y) ´es Y = Y (x). (4.7) miatt X 0 (y) = −Y 0 (x) = γ, ´alland´o. Ezzel a (4.4-4.8) egyenletek ´altal´anos megold´asa: X = α + γy; Y = β − γx; Z = δ; R = 0
(4.9)
A (4.1) egyenlet szimmetri´ai teh´at, ahogyan ´all´ıtottuk, Lie-algebr´at alkotnak, amit Gvel jel¨ol¨ unk1 , a b´azist a 4.1. t´abl´azatban adott m´odon v´alasztjuk. A b´aziselemek nemtrivi´alis kommut´atorai: [P1 , P2 ] = 0; [M, P1 ] = P2 ; [M, P2 ] = −P1 .
(4.10)
Az egys´egelem, mint szimmetriaoper´aci´o sz´amunkra ´erdektelen, ez´ert a tov´abbiakban a {P1 , P2 , M} b´azis a´ltal kifesz´ıtett algebr´at vizsg´aljuk. Ez viszont izomorf a k´etdimenzi´os t´er Euklideszi csoportj´ahoz tartoz´o E(2) Lie-algebr´aval. A k´etdimenzi´os t´er Euklideszi csoportj´at forgat´asok ´es eltol´asok alkotj´ak, e csoportot E(2)-vel jel¨olj¨ uk. Az E(2) csoport a´ltal´anos eleme cosθ −sinθ 0 g(θ, a, b) = sinθ cosθ 0 (4.11) a b 1 ahol a ´es b val´os sz´amok. A csoportszorz´as az al´abbi szab´alyok szerint t¨ort´enik: g(θ, a, b)g(θ0 , a0 , b0 ) = g(θ + θ0 , acosθ0 + bsinθ0 + a0 , −asinθ0 + bcosθ0 + b0 )
(4.12)
Az egys´egelem g(0, 0, 0). Az E(2) csoport elemei folytonos f¨ uggv´enyei a θ, a, b param´etereknek, a Lie-algebra b´azis´at (2.55) szerint a m´atrixok param´eterek szerinti deriv´altjai szolg´altatj´ak. A csoportelemek exponenci´alis ´abr´azol´as´aval (v.¨o. (2.60)) azonnal meg´allap´ıthat´o, hogy P1 az x tengely menti eltol´as, P2 az y-tengely menti eltol´as, M pedig az orig´o k¨or¨ uli forgat´as oper´atora, ez´ert a megfelel˝o b´azis el˝oa´ll´ıthat´o (4.11)-b´ol, rendre θ, a, b szerinti differenci´al´assal: 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 M = 1 0 0 , P1 = 0 0 0 , P2 = 0 0 0 . (4.13) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
Ugyanezek a m˝ uveletek egy csoportot is alkotnak, amit G-vel jel¨ol¨ unk.
84
A Lie-algebr´aban a (2.65) exponenci´alis ´abr´azol´as seg´ıts´eg´evel az E(2) csoport a´ltal´anos elem´ere g(θ, a, b) = exp(θM)exp(aP1 + bP2 ) (4.14) ad´odik. A 2.3.1 fejezetben a Lie-algebra kapcs´an elmondottak szerint az E(2) csoport T(g) (lok´alis) ´abr´azol´as´at az al´abbi form´aban ´ırhatjuk: T(g(0, a, 0))Φ(x) = exp(aP1 )Φ(x) = Φ(x + a, y)
(4.15)
T(g(0, 0, b))Φ(x) = exp(P2 )Φ(x) = Φ(x, y + b)
(4.16)
T(g(θ, 0, 0))Φ(x) = exp(θM)Φ(x) = Φ(xcosθ + ysinθ, −xsinθ + ycosθ) T(g(θ, a, b))Φ(x) = exp(θM)exp(aP1 )exp(bP2 )Φ(x) = Φ(xg).
(4.17) (4.18)
Tekintettel arra, hogy az E(2) csoport elemeinek fenti ´abr´azol´asai a Helmholtz-egyenlet egyik megold´as´at egy m´asik megold´asba transzform´alj´ak, az E(2) csoportot a Helmholtzegyenlet szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk. K¨ozbevet˝oleg megjegyezz¨ uk, hogy az E(2) csoport a s´ık automorfizmusainak csoportj´aval izomorf. Ezt a tulajdons´agot ki fogjuk haszn´alni a 6. fejezetben, a szil´ardtestek szimmetri´ainak le´ır´as´an´al. Ott ugyan a t´er (h´aromdimenzi´os) szimmetri´air´ol van sz´o, de a kiterjeszt´es mag´at´ol ´ertet˝odik. Az els˝orend˝ u szimmetri´ak meghat´aroz´as´aval anal´og m´odon hat´arozhatjuk meg a m´asodrend˝ u szimmetri´akat. A m´asodrend˝ u oper´ator alakja: S = A11 ∂xx + A12 ∂xy + A22 ∂yy + B1 ∂x + B2 ∂y + c.
(4.19)
S-t akkor nevezz¨ uk a Helmholtz-egyenlet szimmetri´aj´anak, ha [S, Q] =U(r)Q, U =H1 (r)∂x + H2 (r)∂y + J(r)
(4.20) (4.21)
Itt U(r) f¨ ugghet S-t˝ol. Jel¨olje S az S oper´atorok vektorter´et, hiszen az oper´atorok k¨oz¨ott defini´alt az ¨oszead´as ´es a sz´ammal val´o szorz´as. A legfeljebb m´asodrend˝ u szimmetri´ak is vektorteret alkotnak, de nem alkotnak Lie-algebr´at, mert k´et m´asodrend˝ u oper´ator szorzata vagy kommut´atora lehet harmadrend˝ u oper´ator is, ami m´ar nem eleme a vektort´ernek. S-ben 0 megtal´alhat´oak az S = SQ t´ıpus´ u oper´atorok is, hiszen (4.20)-b´ol ebben az esetben [RQ, Q] = [R, Q]Q
(4.22)
ad´odik. Legyen F a Q oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´aban defini´alt val´os, analitikus f¨ uggv´enyek vektortere. Legyen a (4.22) kifejez´esben R ∈ F 2 , hiszen egy´ebk´ent a kommut´ator ´ertelmetlen. Amennyiben QΨ = 0, akkor RQΨ = 0 ´es mivel (RQ)Ψ = R(QΨ) = 2
Pontosabban, az R oper´ ator egy F beli f¨ uggv´enyt F beli f¨ uggv´enyre k´epez le.
85
4.2. t´abl´azat. Az E(2) csoportelemek hat´asa az E(2) Lie algebr´an Pg12 = P1 Pg22 = P2 Mg1 = M − aP2 Pg12 = P1 Pg22 = P2 Mg2 = M + bP1 Pg13 = cosαP1 + sinαP2 Pg23 = −sinαP1 + cosαP2 Mg3 n = M + bP1 0, ez´ert az RQ oper´ator megold´ast megold´asba transzform´al, ´ıgy joggal tekinthetj¨ uk RQt a (4.1) egyenlet trivi´alis szimmetri´aj´anak. Az RQ alak´ u trivi´alia azimmetri´ak alteret alkotnak S-ben, az alt´er ¨osszes oper´atora nulla oper´atork´ent3 hat F elemein. Ezen megfigyel´es alapj´an ekvivalenciaoszt´alyokat hozhatunk l´etre, S ´es S0 azonos oszt´alybe tartozik, ha S0 = S + RQ Amennyiben S-et (4.19) adja meg, akkor S ´es S − A22 Q ekvivalensek, k¨ovetkez´esk´eppen S0 -ben az A22 f¨ uggv´enyegy¨ utthat´o nulla. A (4.1) egyenlet nemtrivi´alis szimmetri´ait az al´abbi m´odon lehet meghat´arozni. Helyettes´ıts¨ uk az (4.19) kifejez´est A22 = 0 mellett valamint (4.21)-t (4.20)-ba, tegy¨ uk egyenl˝ov´e az egyenlet bal- ´es jobboldal´an a parci´alis deriv´altak egy¨ utthat´oit. Most egy (4.3)-hoz ´es (4.4)-(4.8)-hez hasonl´o, de bonyolultabb egyenleteket kapunk. V´egeredm´enyk´ent azt tal´aljuk, hogy a nemtrivi´alis, legfeljebb m´asodrend˝ u szimmetri´ak egy kilencdimenzi´os vektorteret alkotnak, amiben b´azisk´ent v´alaszthat´oak az al´abbi elemek: P1 , P2 , M, E: a n´egy line´aris oper´ator ´es P21 , P1 P2 , M2 , {M, P1 }, {M, P2 }: az ¨ot m´asodrend˝ u oper´ator. Megjegyezz¨ uk, hogy minden g ∈ E(2)-re a T(g)Ψk f¨ uggv´eny, ahol T(g)-t a (4.15)-(4.17)-¨osszef¨ ugg´esek adj´ak meg, a (4.1) egyenlet megold´asa, ´es amennyiben Ψk kiel´eg´ıtette az LΨk = ikΨk
(4.23)
Lg (T(g)Ψk ) = ikT(g)Ψk ,
(4.24)
egyenletet, akkor ahol Lg = T(g)LT(g −1 ). Az E(2) csoport elemeinek hat´as´at a P1 , P2 , M b´azison az al´abbiakkal adhatjuk meg. El˝osz¨or is, ha L = A(x)∂x + B(x)∂y
(4.25)
Lg = A(x0 )∂x0 + B(x0 )∂y0 .
(4.26)
akkor Tov´abb´a, legyen g1 = exp(aP1 ), g2 = exp(bP2 ) ´es g3 = exp(aM). Ekkor fenn´allnak az 4.2 t´abl´azatban adott ¨osszef¨ ugg´esek a transzform´alt oper´atorokra. g Vegy¨ uk ´eszre, hogy L a g csoportelem egy hat´as´at (azaz, a csoportelem alkalmaz´as´anak egy defin´ıci´oj´at) adja meg. Amennyiben g v´egigfut a csoportelemeken, Lg befut egy p´aly´at. A p´aly´at alkot´o elemeket megkapjuk, ha g v´egigfut a csoport gener´atorain, hiszen b´armely csoportelem el˝oa´ll´ıthat´o a gener´atorokkal. A gener´atorok most a Lie-algebra b´azisai, hiszen vel¨ uk b´armely elem kifejezhet˝o. A b´azis most g1 , g2 ´es g3 . A p´aly´akat k´et 3
A nulla oper´ ator minden f¨ uggv´enyt az azonosan nulla f¨ uggv´enybe transzform´al.
86
oszt´alyba lehet sorolni: az els˝oben szerepel M is (ld. utols´o oszlop), a m´asodikban nem szerepel M de szerepel P2 vagy P1 (ld. els˝o k´et oszlop). A fenti adjung´alt csoporthat´ashoz teh´at k´etf´ele p´alya tartozik, ha L = c1 P1 + c2 P2 + c3 M, akkor a k´et p´aly´at c3 = 0 ill. c3 6= 0 k¨ ul¨onb¨ozteti meg. Ennek megfelel˝oen k´et koordin´ata-rendszer l´etezik, amiben a Helmholtz-egyenlet megold´asa a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval adhat´o meg: a der´eksz¨og˝ u ´es a pol´arkoordin´ata-rendszer. Az els˝o az eltol´asok alcsoportj´anak, ´es a c3 = 0 esetnek; a m´asodik a c3 6= 0 esetnek felel meg, ´es a forgat´asok alcsoportj´anak diagon´alis ´abr´azol´asait adja meg. Al´abb a m´asodfok´ u differenci´al´ast tartalmaz´o szimmetri´akat vizsg´aljuk meg. Legyen adott egy tetsz˝oleges L ∈ E(2) oper´ator. Lehets´eges-e tal´alni olyan {u, v} koordin´ata-rendszert, amelyben a Helmholtz-egyenlet megold´asa el˝o´all´ıthat´o a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval ´es a kapott f¨ uggv´enyek saj´atf¨ uggv´enyei L-nek? Az al´abbiakban meghat´arozzuk azokat a koordin´at´akat, az u ´gynevezett r´eszcsoport koordin´at´akat, amelyek lehet˝ov´e teszik a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at. Amint l´atni fogjuk, t¨obb ilyen koordin´ata is l´etezik. Legyen {u, v} egy olyan koordin´ata-rendszer, amelyben a v´altoz´ok lehet˝ov´e teszik a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at. Ekkor x = x(u, v), y = y(u, v), valamint u = u(x, y), v = v(x, y). A Jacobi determin´ans J = vx uy −ux vy null´at´ol k¨ ul¨onb¨ozik. A Helmholtz-egyenlet az u ´j koordin´at´akban az al´abbi alakot ¨olti:
u2x + u2y ∂uu + (uxx + u ∗ yy) ∂u Ψ + 2 (ux vx + uy vy ) ∂uv + vx2 + vy2 ∂vv + (vxx + vyy ) ∂v + ω 2 Ψ = 0 (4.27)
Ebben az egyenletben kell a v´altoz´okat sz´etv´alasztani. K´et esetet k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg att´ol f¨ ugg˝oen, hogy szerepel-e ∂uv vagy sem. 1. I. eset: ux vx +uy vy = 0. Ekkor, mivel a transzform´aci´o Jacobi-determin´ansa J 6= 0, l´etezik olyan R nem azonosan nulla f¨ uggv´eny, amellyel teljes¨ ul vy = Rux ´es vx = 2 −Ruy . Minthogy (4.27)-ben szerepel ω , a v´altoz´okat akkor lehet sz´etv´alasztani, ha teljes¨ ulnek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: u2x + u2y =
V (v) U (u) ; vx2 + vy2 = U1 (u) + V1 (v) U1 (u) + V1 (v)
(4.28)
Itt U, V, U1 , V1 nem azonosan nulla f¨ uggv´enyek. Mivel a (4.28) egyenletek jobbolda2 2 2 2 lai k¨oz¨ott fenn´all a vx + vy = R (ux + u2y ) ¨osszef¨ ugg´es, ez´ert R2 = V /U . Vezess¨ unk −1/2 be u ´j {˜ u, v˜} koordin´at´akat a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´esekkel: d˜ u/du = U , d˜ v /dv = V −1/2 . Ekkor a (4.28) felt´etelek teljes¨ ulnek az u ´j f¨ uggv´enyekre, ´es a sz´aml´al´okban 1 fog ´allni. Ez´ert az ´altal´anoss´ag megtart´asa mellett a tilde elhagyhat´o, ´es feltehetj¨ uk, hogy u ´es v kiel´eg´ıti a (4.24) felt´eteleket. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen feltehetj¨ uk, hogy R ≡ 1, amikor is ux = vy , uy = −vx . Ekkor u ´es v kiel´eg´ıti a Cauchy-Riemann egyenleteket, azaz, fenn´all ux = vy ´es uy = −vx , ez´ert u ´es v analitikus komplex 87
f¨ uggv´eny. Ha bevezetj¨ uk az z = x + iy ´es w = u + iv komplex v´altoz´okat, akkor w analitikus f¨ uggv´enye z-nek. A (4.28) felt´etel pedig a (dz/dw)2 = U1 (u) + V1 (v) alakot ¨olti. Tov´abb´a, ∂uv (| dz/dw |2 ) = 0 . Az ut´obbi egyenletben az u, v v´altoz´ok helyett ´att´er¨ unk a w ´es w¯ v´altoz´okra. Haszn´aljuk a ∂uv = i∂ww − i∂ww es ¯ ´ 2 | dz/dw | = (dz/dw)(dz/dw) ¯ a´talak´ıt´asokat, ´es vegy¨ uk ´eszre hogy az ut´obbi k´epletben az els˝o t´enyez˝o csak w-t˝ol, a m´asodik pedig csak w-t´ ¯ ol f¨ ugg, ez´ert l´etezik egy λ a´lland´o, amellyel: dz dz d2 d¯ z d¯ z d2 = λ ´es 2 =λ . (4.29) 2 dw dw dw dw¯ dw¯ dw¯ K´et ¨osszef¨ ugg´est kaptunk, egyet a val´os, egyet a k´epzetes r´eszre. A kapott harmadrend˝ u differenci´alegyenletekb˝ol meghat´arozhat´o w ´es konjug´altja, azaz, u ´es v, vagyis azok a koordin´ata-rendszerek, amelyekben a Helmholtz-egyenlet megoldhat´o a v´altoz´ok szepar´al´as´aval. Az egyenlet vizsg´alat´ara k´es˝obb t´er¨ unk vissza. 2. II. eset: ux vx + uy vy 6= 0. Ebben az esetben meg kell k¨oveteln¨ unk, hogy a parci´alis differenci´alh´anyadosok egy¨ utthat´oi (4.27)-ben csak v-t˝ol f¨ uggjenek. Ekkor a k¨ovetkez˝o helyettes´ıt´essel ´erhet˝o el a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa: Ψ(u, v) = exp(iku)Φ(v). Az u-t´ol f¨ ugg˝o tagokat kiemelhetj¨ uk (4.27)-ben a z´ar´ojelek el´e, a z´ar´ojelekben egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet marad F (v)-re, az egyenlet egy¨ utthat´oiban el˝ofordul k is. A ∂u oper´ator szimmetri´aja (4.23)-nek, hiszen Ψ(u, v)-t ikΨ(u, v)-be transzform´alja, ami szint´en megold´as. Ezzel megkaptuk a v´altoz´okat szepar´alva tartalmaz´o megold´ast. Amint kor´abban l´attuk, v´alaszthatjuk ∂u = P2 vagy ∂u = M-t, ahol M-et ´es P2 -t (4.13) adja meg. Az els˝o esetben ∂y = uy ∂u + vy ∂v = ∂u . Ebb˝ol uy = 1, vy = 0 azonnal ad´odik, v(x, y) = v(x), ez´ert feltehetj¨ uk, hogy v = x. Az u ´es v parci´alis deriv´altjainak integr´al´asa ut´an megkapjuk a transzform´aci´o explicit alakj´at: u = y + h(x); v = x. Ezekben a koordin´at´akban a (4.28)) egyenlet megold´asa k´et, egyv´altoz´os f¨ uggv´eny szorzat´ara esik sz´et. A II. eset felt´etel´et akkor teljes´ıtj¨ uk, ha kik¨otj¨ uk a h0 (x) = 0 felt´etelt. Az u = a ´ll ´es v = a ´ll g¨orb´ek nem ortogon´alisak az euklideszi ´ertelemben. A m´asodik esetben ∂u = M, szepar´alhat´o koordin´at´akat kapunk az al´abbi v´altoz´okkal: u = θ + h(r); v = r, ahol θ, r pol´arkoordin´at´ak. Ezek a koordin´at´ak nem ortogon´alisak ´es kev´ess´e t´ernek el a pol´arkoordin´at´akban fel´ırt szepar´alhat´o megold´ast´ol.
88
Megjegyezz¨ uk, hogy a II. esetben v´egtelen sok koordin´ata-rendszer l´etezik, amely lehet˝ov´e teszi a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´at, a´m Miller szerint ezek l´enyeg´eben azonosak. T´erj¨ unk most vissza a (4.29) egyenlet vizsg´alat´ahoz a λ = 0 speci´alis esetben. Els˝o l´ep´esben megkapjuk a dz = β + γw (4.30) dw megold´ast. Amennyiben γ = 0, β = c + id, ebb˝ol z = βw + α, avagy, x = a + cu − dv; y = b + du + cv, α = a + ib.
(4.31)
Itt a, b, c ´es d val´os sz´amok. Amennyiben viszont γ 6= 0 (4.30)-ben, z m´ask´eppen adhat´o meg: z = (γ/2)w2 + βw + α. Itt α, β, γ complex sz´amok. Alkalmas transzform´aci´ok ut´an el´erhet˝o γ = 1 ´es α = β = 0, a megfelel˝o euklideszi koordin´at´ak pedig: 1 x = (u2 − v 2 ); y = uv. 2 Az (u, v) koordin´at´akat parabolikus koordin´at´aknak nevezik, mivel az q q u = (x2 + y 2 )1/2 + x = const.; v = (x2 + y 2 )1/2 − x = const.
(4.32)
(4.33)
g¨orb´ek k´et ortogon´alis parabolasokas´agot hat´aroznak meg. Amennyiben behelyettes´ıtj¨ uk a (4.32) koordin´at´akat a (4.27)-be, az egyenlet u ´j alakja ∂uu Ψ + ∂vv Ψ + (u2 + v 2 )ω 2 Ψ = 0
(4.34)
lesz, a Ψ megold´ast pedig ´ırhatjuk Ψ = U (u)V (v) alakban ´es a k´et u ´j bevezetett f¨ uggv´enyre szepar´alt egyenleteket kapunk: U ” + (ω 2 u2 − k 2 )U = = 0 V ” + (ω 2 v 2 + k 2 )V = 0.
(4.35) (4.36)
Itt k 2 a szeparal´asn´al haszn´alt a´lland´o. A szepar´alt megold´ashoz tartoz´o oper´ator meghat´aroz´as´ara szorozzuk meg (4.35)-at v 2 V -vel, (4.36)-et pedig u2 U -val, ´es vonjuk ki egym´asb´ol a kapott egyenleteket: (u2 + v 2 )−1 v 2 ∂uu − u2 ∂vv Ψk = k 2 Ψk , (4.37) vagyis, az egyenlet baloldal´an a´ll´o oper´atornak a most megtal´alt, v´altoz´oiban szepar´alt megold´as saj´atf¨ uggv´enye. K¨ozvetlen sz´am´ıt´assal bel´athat´o, hogy ez az oper´ator {M, P2 }. 89
T´erj¨ unk most vissza a (4.29) egyenlet vizsg´alat´ahoz a λ 6= 0 speci´alis esetben. Ebben az esetben λ val´os, vehetj¨ uk a λ = 1 esetet. A (4.29) egyenlet megold´asa: dz = αew − βe−w dw
(4.38)
amib˝ol z = αew + βe−w + γ. A koordin´at´ak forgat´as´aval ´es eltol´as´aval vehetj¨ uk γ = 0 ´es α ≥ 0-t. Amennyiben β = 0, α > 0, feltehetj¨ uk, hogy r = αeu ´es θ = v, v´eg¨ ul pedig a k¨ozismert pol´arkoordin´at´akat kapjuk: x = r cos θ; y = r sin θ. Mivel a megold´as m´ar az (u, v) koordin´at´akban is szepar´alhat´o volt, az (r, θ) v´altoz´okban is szepar´alhat´o marad. Ha αβ 6= 0, az x, y s´ık forgat´as´aval el´erhet˝o αβ > 0. Ez´ert a´t´ırjuk az α, β v´altoz´okat: 2α = exp(a − b + iϕ); 2β = exp(a + b − iϕ). Legyen d = ea , ξ = u − b, ´es η = v + ϕ, amivel a (ξ, η) elliptikus koordin´at´akat kapjuk: x = d cosh ξ cos η, y = d sinh ξ sin η. Aξ=a ´lland´ o ´es η = a ´lland´ o vonalak egyenlete: y2 x2 + = 1 d2 sinh2 ξ d2 sinh2 ξ x2 y2 + = 1. d2 cos2 η d2 sin2 ξ
(4.39) (4.40)
Az els˝o g¨orbesereg ellipszisekb˝ol, a m´asodik hiperbol´akb´ol a´ll. A (ξ, η) v´altoz´okban fel´ırt Helmhotz-egyenlet alakja: ∂ξξ Ψ + ∂ηη Ψ + d2 ω 2 (cosh2 ξ − cos2 η)Ψ = 0.
(4.41)
Ez az egyenlet a Ψ = U (ξ)V (η) helyettes´ıt´es ut´an az al´abbi k´et egyenletre esik sz´et: U ” + (d2 w2 cosh2 ξ + k 2 )U = 0; V ” − (d2 w2 cos2 η + k 2 )V = 0.
(4.42)
Itt k 2 a szepar´aci´os ´alland´o. A fenti egyenletek a Mathieu-egyenletek vari´ansai, ld. 10. fejezet. Legyen S (2) a Helmholtz-egyenlet nemtrivi´alis, tiszt´an m´asodrend˝ u szimmetri´ainak 2 2 tere, azaz, a P1 , P1 P2 , M , MP1 + P1 M, MP2 + P2 M b´azis ´altal kifesz´ıtett ¨otdimenzi´os t´er. Ezt a teret az E(2) csoport felbontja egydimenzi´os alterekre. Megmutathat´o, hogy 90
4.3. t´abl´azat. Szimmetria oper´ator ´es koordin´ata-rendszer a Helmholtz-egyenlethez S oper´ator koordin´ataA megold´as rendszer P22 Der´eksz¨og˝ u Exponenci´alis f¨ uggv´enyek szorzata 2 M Pol´arkoordin´at´ak Bessel-f¨ uggv´enyek ´es x = rcosθ; y = exponenci´alisok szorrsinθ zata {M, P2 } Parabolikus x = Parabolikus f¨ uggv´e(ξ 2 − η 2 )/2; y = nyek szorzata, ld. ξη 10.1.4 fejezet 2 2 M + d P1 Elliptikus x = Mathieu-f¨ uggv´enyek chαcosβ; y = szorzata, ld. 10.1.3. shαsinβ fejezet b´armely S ∈ S (2) , azaz, a Helmholtz-egyenlet b´armely m´asodrend˝ u szimmetri´aja fel´ırhat´o a k¨ovetkez˝o alakban: S = (a − c)P21 + bP1 P2 + dM2 + e{M, P1 } + f {M, P2 }.
(4.43)
Tegy¨ uk fel, hogy d 6= 0. Ekkor a 4.2. t´abl´azat felhaszn´al´as´aval S a´ttranszform´alhat´o olyan alakra, ahol az {M, P1 } ´es {M, P2 } egy¨ utthat´oja elt˝ unik. Az u ´j alak: a0 P21 + b0 P1 P2 + c0 P22 + dM2 .
(4.44)
Megfelel˝o forgat´assal (ld. 4.2. t´abl´azat 2 oszlop´anak 3. elem´et) ez a kifejez´es a k¨ovetkez˝o alakra hozhat´o: (a” − c”)P21 + dM2 . Itt k´et eset lehets´eges. Amennyiben a” = c”, akkor S ugyanazon az orbiton tal´alhat´o, mint M2 . Ellenkez˝o esetben pedig S ugyanazon az orbiton tal´alhat´o, mint M2 + r2 P21 , r2 > 0. Tegy¨ uk fel, hogy d 6= 0 ´es e2 + f 2 > 0. Ekkor forgat´assal el´erhet˝o, hogy e = 0 ´es f 6= 0 legyen. Ezut´an a 4.2. t´abl´azat els˝o k´et sor´anak alkalmaz´as´aval el´erhet˝o, hogy csak {M, P2 } egy¨ utthat´oja nem t˝ unik el. Ekkor S azonos orbiton van {M, P2 } -vel. V´eg¨ ul, tegy¨ uk fel, hogy d = e = f = 0, a2 + b2 > 0. Ekkor egy megfelel˝o forgat´assal az aP21 + bP1 P2 kvadratikus alak diagonaliz´alhat´o, amib˝ol k¨ovetkezik, hogy S a P21 -tel azonos orbiton tal´alhat´o. Az orbitok n´egy csoportba sorolhat´ok, az al´abbi jellemz˝o elemekkel: M2 , M2 + r2 P21 , {M, P2 }, P22 . K¨ovetkez´esk´eppen, az ortogon´alis koordin´ata-rendszerek k¨oz¨ott, amelyek megengedik a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval t¨ort´en˝o megold´ast ´es az S 2 -beli orbitok k¨oz¨ott k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es ´all fenn, ld. 4.3 t´abl´azat.
91
4.3.
A v´ altoz´ ok szepar´ al´ as´ anak felhaszn´ al´ asa
Ebben a r´eszben bemutatjuk, hogyan lehet az el˝oz˝o r´eszben megismert szepar´aci´ot felhaszn´alni a Helmhotz-egyenlet megold´asa sor´an. Vizsg´alataink sor´an a megold´as Fouriertranszform´altj´at tekintj¨ uk, megvizsg´aljuk a megold´ast tartalmaz´o Hilbert-t´er strukt´ ur´a´ j´at. Legyen teh´at Ψ(x, y) a (4.1) egyenlet megold´asa. All´ıtsuk el˝o a keresett megold´ast az al´abbi integr´allal: Z +∞ Z +∞ exp [ω1 x + ω2 y)] e h(ω1 , ω2 )dω1 dω2 , (4.45) Ψ(x, y) = −∞
−∞
ahol e h jel¨oli a Ψ f¨ uggv´eny Fourier-transzform´altj´at. Alkalmazzuk (4.45) mindk´et oldal´ara a ∆ − ω 2 oper´atort: Z +∞ Z +∞ 2 (ω 2 − ω12 − ω22 ) exp [i(ω1 x + ω2 y)] e h(ω1 , ω2 )dω1 dω2 = 0. (∆ − ω )Ψ(x, y) = −∞
−∞
(4.46) Legyen δ(ω − s)h(ϕ) e h(ω1 , ω2 ) = , (4.47) ω ahol δ() a Dirac-delta f¨ uggv´eny. Vezess¨ uk be az (s, ϕ) a pol´arkoordin´at´akat az (ω1 , ω2 ) s´ıkban: ω1 = s cos ϕ, ω2 = s sin ϕ, dω1 dω2 = sdsdϕ. Az s szerinti integr´al´as ut´an el˝oa´ll´ıtottuk a keresett megold´ast a h f¨ uggv´eny transzform´altjak´ent. Vizsg´aljuk meg, hogyan hat a kapott kifejez´esen az E(2) csoport g(θ, a, b) eleme! s-szerinti integr´al´as ut´an: Z +π exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]h(ϕ)dϕ (4.48) Ψ(x, y) = −π
A csoportelem hat´as´at egy f¨ uggv´enyre (4.18) seg´ıts´eg´evel az argumentum transzform´acio´jak´ent ´ırtuk le, az argumentum transzform´aci´oj´ahoz pedig a csoportelem T(g) m´atrixa´br´azol´as´at haszn´altuk: Z +π exp[iω(x cos(ϕ + θ) + y sin(ϕ + θ))]h(ϕ)dϕ. (4.49) T(g)Ψ(x, y) = −π
A fenti integr´al´asban a pol´arsz¨og transzform´aci´oja ´atvihet˝o a h f¨ uggv´eny argumentum´ara: Z +π T(g)Ψ(x, y) = exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]T(g)h(ϕ)dϕ, (4.50) −π
ahol a g csoportelem hat´as´at a 2π szerint periodikus h() f¨ uggv´enyre az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es adja meg: T(g)h(ϕ) = exp[iω(a cos(ϕ − θ) + b sin(ϕ − θ))]h(ϕ − θ). (4.51) 92
K¨ozvetlen¨ ul igazolhat´o, hogy a (4.51) a´ltal defini´alt oper´atorra fenn´all T(g1 g2 ) = T(g1 )T(g2 ). Tekints¨ uk most a h f¨ uggv´enyt az L2 (S) = L2 (ω12 + ω22 = 1) Hilbert-t´er elem´enek. E t´er elemeit k´epez˝o f¨ uggv´enyek n´egyzet´enek integr´alja v´eges. A Hilbert-t´eren bevezethet˝o az al´abbi skal´arszorzat: Z +π (h1 , h2 ) = h1 (ϕ)h2 (ϕ)dϕ. (4.52) −π
K¨onnyen bel´athat´o, hogy ezen a t´eren a T(g) oper´ator unit´er: (T(g)h1 , T(g)h2 ) = (h1 , h2 ).
(4.53)
Ezzel l´etrehoztuk az E(2) csoport egy unit´er a´br´azol´as´at. Megmutathat´o (ld. Mackay k¨onyv´et), hogy az ´ıgy bevezetett ´abr´azol´as irreducibilis. Az el˝oz˝o r´eszben le´ırtakkal anal´og m´odon parci´alis integr´al´assal meg lehet hat´arozni a P1 , P2 ´es M oper´atorok a´ltal induk´alt Lie-algebra oper´atorait. Eredm´eny¨ ul az al´abbiakat kapjuk: P1 = iω cos ϕ; P2 = iω sin ϕ; M = −d/dϕ. (4.54) A fenti oper´atorok ugyanazokat a kommut´atorokat adj´ak, mint az el˝oz˝o fejezetben defini´alt P1 , P2 ´es M oper´atorok, ez´ert b´azisk´ent v´alaszthat´oak az E(2) algebr´aban. Szint´en az el˝oz˝o r´esszel anal´og m´odon a fenti oper´atorokkal k´epzett Lie-algebra seg´ıts´eg´evel kifejezhet˝o T(g): T(g) = exp(θM) exp(aP1 + bP2 ). (4.55) Mivel a T(g) oper´atorok ferd´en hermetikusak, azaz, hLh1 , h2 i = − hh1 , Lh2 i , hj ∈ L2 (S1 )
(4.56)
minden L = c1 P1 + c2 P2 + c3 M oper´atorra (itt az egy¨ utthat´ok val´os sz´amok). Nem t´er¨ unk ki a r´eszletekre, de L ´ertelmez´esi tartom´any´at gondosan kell defini´alni. Mi arra az esetre szor´ıtkozunk, amikor azon f¨ uggv´enyek, amelyekre L-et alkalmazzuk, kell˝oen sim´ak. Ahogyan az el˝oz˝o r´eszben is, a Helmholtz-egyenlet szepar´alt megold´as´at most is egy ortogon´alis, szepar´alhat´o koordin´ata-rendszer (u, v) v´altoz´oiban ´ırjuk fel, a megold´ast ilyen f¨ uggv´enyek szerint fejtj¨ uk ki. Ezeket a f¨ uggv´enyeket egy S szimmetrikus oper´ator saj´atf¨ uggv´enyeik´ent ´all´ıtjuk el˝o, az S oper´ator pedig szimmetrikus, m´asodfok´ u polinomja az E(2)- beli oper´atoroknak. R¨oviden: az S oper´ator szimmetrikus, amennyiben (SΨ1 , Ψ2 ) = (Ψ1 , SΨ2 )
(4.57)
valamely D ⊂ DS halmazban l´ev˝o Ψ1 , Ψ2 f¨ uggv´enyekkel. (Itt a DS f¨ uggv´enyt´eren defini´alt az S oper´ator hat´asa.) Egy szimmetrikus oper´ator elt´er˝o saj´at´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyei ortogon´alisak, saj´at´ert´ekei pedig val´osak. Feltessz¨ uk, hogy a saj´atf¨ uggv´enyek rendszere teljes, a sz´oban forg´o f¨ uggv´enyek kifejthet˝oek a saj´atf¨ uggv´enyek szerint. A v´altoz´ok szepar´al´as´aval el˝oa´ll´ıthat´o megold´ashoz teh´at az 1. t´abl´azatban szerepl˝o oper´atorok saj´atff¨ uggv´enyeit (az oper´atorok spektr´alis felbont´as´at) kell megadni. El˝ore vessz¨ uk az S = M2 oper´atort. 93
4.3.1.
Az S = M2 -hez tartoz´ o p´ alya
√ Ebben a r´eszben i = −1 a komplex egys´eget jel¨oli. Nyilv´an elegend˝o M2 helyett iM saj´atf¨ uggv´enyeit vizsg´alni, hiszen ha MΨ = λΨ, akkor f (M)Ψ = f (λ)Ψ. A saj´atf¨ uggv´enyt megad´o egyenletet ´ıgy ´ırjuk: dfλ (ϕ) −i = λfλ (ϕ). (4.58) dφ A megold´ast az egys´egk¨or¨on ´ertelemezett, folytonos els˝o deriv´alttal rendelkez˝o f¨ uggv´enyek k¨or´eben keress¨ uk. K¨onnyen bel´athat´o, hogy az einϕ fn (ϕ) = √ 2π
(4.59)
f¨ uggv´enyhez az iM oper´ator n saj´at´ert´eke tartozik. A saj´atf¨ uggv´enyek ortonorm´altak az egys´egk¨or¨on ´es teljes rendszert k´epeznek, szerint¨ uk tetsz˝oleges periodikus f¨ uggv´eny 4 kifejthet˝o. A forgat´as oper´ator´at kor´abban m´ar fel´ırtuk els˝orend˝ u deriv´altakkal: iM0 = i(y∂x − x∂y ). Ez az oper´ator egy m´asik t´eren van ´ertelmezve, mint a φ szerinti deriv´al´as, de fenn´all az al´abbi kapcsolat: M0 = IMI−1 , ahol I az inverz Fouriertranszform´aci´o (4.45) oper´atora. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen iM0 unit´er, ekvivalens M-mel, ez´ert spektrumuk is azonos. Vagyis, a (4.59) saj´atf¨ uggv´enyekre alkalmazva a (4.45) inverz 0 Fourier-transzform´aci´ot, megkapjuk az M oper´ator x, y v´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o saj´atf¨ uggv´enyeit. C´elszer˝ u ´att´erni az (x, y) v´altoz´okr´ol (r, θ) pol´arkoordin´at´akra. Jel¨olje a saj´atf¨ uggv´enyeket Ψn (r, θ), amit a fentiek szerint a Z +π √ 1 inϕ exp[iωr cos(ϕ − θ)]exp[inϕ]dϕ (4.60) Ψn (r, θ) = I(e / 2π) = √ 2π −π kifejez´es ad meg. A fenti kifejez´est egy´ uttal az I integr´aloper´ator defin´ıci´ojak´ent is hasz´ erve az α = ϕ − θ v´altoz´ora: n´aljuk. Att´ Ψn (r, θ) = exp[inθ]Rn (r), ahol 1 Rn (r) = √ 2π
Z
(4.61)
+π
exp[iωr cos α] exp[inα]dα.
(4.62)
−π
Megmutatjuk, hogy Ψ(r, θ) az al´abbi alakba ´ırhat´o: in Ψn (r, θ) = √ Jn (ωr) exp[inθ], 2π 4
(4.63)
Megjegyezz¨ uk, hogy az iM oper´ ator nem ¨onadjung´alt az egys´egk¨or¨on, de kiterjeszthet˝o egy nagyobb t´erre, ahol m´ ar ¨ onadjung´ alt. A kiterjeszt´es nem vezet sem u ´j saj´at´ert´ekek, sem u ´j saj´atvektorok megjelen´es´ehez.
94
ahol Jn (x) az n-ik Bessel-f¨ uggv´eny, ld. 10.1.2 fejezet. Vizsg´aljuk meg (4.60) r-t˝ol f¨ ugg˝o r´esz´et. Mivel a vizsg´alt f¨ uggv´eny saj´atf¨ uggv´enye az iM0 oper´atornak n saj´at´ert´ekkel, egy r-t˝ol ´es egy θ-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny szorzatak´ent ´ırhat´o. Jel¨olje az r-t˝ol f¨ ugg˝o r´eszt Rn (r). Ez a f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti a (10.24) Bessel-f´ele differenci´alegyenletet, teh´at a megold´as egy Bessel-f¨ uggv´ennyel ar´anyos. Az ar´anyoss´agi t´enyez˝o meghat´aroz´as´ahoz a Bessel-f¨ uggv´eny (10.28) sorfejt´es´et haszn´aljuk fel. A Ψ(r, θ)ban szerepl˝o exp[iωr cos α]-t Taylor-sorba fejtve azt tal´aljuk, hogy rn egy¨ utthat´oja √ Z n +π 2π iω (iω)n n √ cos α exp(inα)dα = . (4.64) n! 2 n! 2π −π Ezzel a megold´ast egy r-t˝ol ´es egy θ-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny szorzat´ara bontottuk.
4.3.2.
Az S = P22 -hez tartoz´ o p´ alya
Az el˝oz˝o r´eszhez hasonl´oan elegend˝o a szimmetrikus iP2 oper´ator spektr´alis felbont´as´at meghat´arozni. Mivel iP2 = −ωsinϕ ´es az iP2 oper´ator defini´alt az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek Hilbert-ter´en, nincs sz¨ uks´eg az oper´ator kiterjeszt´es´ere, azonban saj´atf¨ uggv´enyei nem f¨ uggv´enyek, hanem funkcion´alok: fα (ϕ) = δ(ϕ − α), −π ≤ α ≤ +π. Az el˝oz˝o r´eszhez hasonl´oan az inverz Fourier-transzform´aci´ot h´ıvjuk seg´ıts´eg¨ ul. Az iP2 oper´atort az x, y v´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´enyekre iP2 = i∂y adja meg, ´es a megfelel˝o saj´atf¨ uggv´enyek Z +π Ψα (x, y) = I(δ(ϕ−α) = exp[iω(x cos ϕ+y sin ϕ)]δ(ϕ−α)dϕ = exp[iω(x cos ϕ+y sin ϕ)]. −π
(4.65) Tetsz˝oleges Ψ(x, y) f¨ uggv´eny pedig kifejthet˝o a Ψα (x, y) saj´atf¨ uggv´enyek szerint: Z +π Ψ(x, y) = cα exp[iω(x cos α + y sin α)]dα. (4.66) −π
Itt −π ≤ α ≤ π ´es Z
+π
Z Z h(ϕ)δ(α − ϕ)dϕ =
cα =
Ψ(x, y)Ψα (x, y)dxdy.
(4.67)
−π
A (4.66) egyenlet egy b´azis (nevezetesen az exp[iω(x cos α + y sin α)] f¨ uggv´enyek b´azisa) szerinti kifejt´est tartalmaz. A b´azis minden eleme egy x-t˝ol ´es egy y-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´eny szorzata. Ezzel egy x-t˝ol ´es egy y-t´ol f¨ ugg˝o f¨ uggv´enyre szepar´altuk a megold´ast.
4.3.3.
Az S = {M, P2 }-hez tartoz´ o p´ alya
A sz´obanforg´o operator azonnal fel´ırhat´o: {M, P2 } = −iω(sin ϕd/dϕ + cos ϕ), 95
(4.68)
ez az oper´ator szimmetrikus (de nem ¨onadjung´alt)az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek L2 (S) ter´eben. (Az L2 (S)-beli f¨ uggv´enyeket sin2 ϕ+cos2 ϕ = 1 jellemzi.) Lehet tal´alni olyan kiterjeszt´est, amelyen az oper´ator m´ar ¨onadjung´alt. A 2.5.1 fejezetben l´attuk, hogy a forgat´asok le´ır´as´ahoz j´ol haszn´alhat´oak a k´etelem˝ u vektorok ´es a rajtuk hat´o m´atrixok. Az L2 (S) kiterjeszt´es´et ilyen vektorokkal fogjuk megadni. Legyen f ∈ L2 (S). Bevezetj¨ uk az U : L2 (S) → L2 (R2 ) oper´atort, U teh´at egy k´etdimenzi´os, val´os ´ert´ek˝ u vektort rendel L2 (S) minden elem´ehez, a vektor elemei a val´os tengely felett n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek, a komponenseket a + ´es − als´o indexekkel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. Az U oper´ator teh´at az egys´egk¨or (cos ϕ, ∈ ϕ) pontj´ahoz hozz´arendel egy val´os ν sz´amot, a k´etelem˝ u vektor komponensei pedig ν val´os f¨ uggv´enyei. Legyen F+ (ν) . F (ν) = F− (ν) Az U oper´atort az al´abbi m´odon defini´aljuk: f+ (cos ϕ) f+ (cos ϕ) 1/2 Uf (ν) = F (ν) = = [sin ϕ] , f− (cos ϕ) f− (cos ϕ)
(4.69)
ahol cos ϕ = tanh ν. A most bevezetett + ´es − indexekkel jel¨olt komponensek egyazon f¨ uggv´eny k´et intervallumon felvett ´ert´ekeib˝ol a´llnak: f− (cos ϕ) = f (ϕ), −π ≤ ϕ < 0 f+ (cos ϕ) = f (ϕ), 0 < ϕ ≤ π.
(4.70) (4.71)
Ezen k´etelem˝ u vektorokat al´ah´ uz´assal fogjuk jel¨olni pl. F (ν). Nyilv´an Fourier-transzform´altjuk is k´etelem˝ u vektor lesz. A Fourier transzform´altra skal´ar f v´altoz´o eset´en az f, vektor F v´altoz´o est´en a F jel¨ol´est fogjuk haszn´alni.: Z +∞ 1 F(λ) = √ F (ν)eiνλ dν, (4.72) 2π −∞ a megfelel˝o inverz Fourier-transzform´aci´o pedig Z +∞ 1 F(λ)e−iνλ dλ. F (ν) = √ 2π −∞
(4.73)
Arra kell m´eg u unk, hogy a skal´arszorzatn´al a komponensek integr´al´as´an5 k´ıv¨ ul a ¨gyeln¨ komponensek szorz´as´at is el kell v´egezni, ´es mivel a Fourier-transzform´aci´oban komplex mennyis´egek szerepelnek, de alakj´aban el˝ofordul komplex konjug´alt is, ezt fel¨ ulh´ uz´assal jel¨olj¨ uk: Z +∞ F+ (ν)G+ (ν) + F− (ν)G− (ν) dν (4.74) (F(ν), G(ν)) = −∞ 5
A val´ os f¨ uggv´enyt´eren ez az ´ altal´ anosan haszn´alt skal´arszorzat.
96
Ebben a r´eszben az S = {M, P2 }; SF (ν) = 2iωd/dνF (ν) oper´atorral foglalkozunk. Az oper´ator hat´as´at az L2 (S) f¨ uggv´enyt´eren (4.68) adja meg, az L2 (R2 ) t´eren viszont −1 USU . Fourier-transzform´aci´o ut´an az S = {M, P2 } = F (ν) = 2iωd/dνF (ν) oper´ator saj´at´ert´ekeit meghat´aroz´o egyenlet: SF (λ) = 2λωF (λ).
(4.75)
Arra a k¨ovetkeztet´esre jutottunk, hogy az S = {M, P2 } oper´atort ki lehet terjeszteni egy egy´ertelm˝ u unit´er oper´atorra, amelynek spektruma folytonos (v.¨o. (4.75)), minden saj´at´ert´ek k´etszeres, a saj´atf¨ uggv´enyek pedig ism´et funkcion´alok: δ(λ − µ) + Fµ (λ) = (4.76) 0 0 − (4.77) Fµ (λ) = δ(λ − µ). Ezeket a f¨ uggv´enyeket visszatranszform´alva a ϕ v´altoz´ora, megkapjuk a kifejt´esben haszn´aland´o a´ltal´anos´ıtott saj´atf¨ uggv´enyeket: 1 √ (1 + cos ϕ)−iµ/2−1/4 (1 − cos ϕ)iµ/2−1/4 0 < ϕ ≤ π 2π (4.78) fµ+ (ϕ) = 0, −π ≤ ϕ < 0 Fenn´all tov´abb´a a fµ− (ϕ) = fµ+ (−ϕ) ¨osszef¨ ugg´es, ´es {M, P2 }fµ± = 2µωfµ± . A Helmholtzegyenlet fµ+ f¨ uggv´enynek megfelel˝o megold´asa: Z ∞ Ψµ+ (x, y) = I(fµ+ ) = exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]fµ+ (ϕ)dϕ (4.79) 0
Bevezetve a cos ϕ = (t−1 − t)/(t−1 + t) helyettes´ıt´est, az integr´al az al´abbi alakot veszi fel: Z ∞ iµ−1/2 t 1 − t2 2yt 1 √ Ψµ+ (x, y) = √ exp iω x + dt. (4.80) 1 + t2 1 + t2 π 0 1 + t2 A 2.1 r´eszben elmondottakb´ol k¨ovetkezik, hogy az {M, P2 } oper´ator saj´atf¨ uggv´enyei szepar´alhat´oak parabolikus koordin´at´ak haszn´alata eset´en. Vezess¨ uk be a 1 x = (ξ 2 − η 2 ), y = ξη 2
(4.81)
v´altoz´okat. Mivel Ψµ+ (ξ, η) saj´atf¨ uggv´enye a (4.1) egyenletnek, tov´abb´a a (4.27) helyettes´ıt´essel a (4.27) egyenlet al´abbi speci´alis esetet´et kapjuk meg: ∂ξξ Ψ + ∂ηη Ψ + (ξ 2 + η 2 )ω 2 Ψ = 0, amelynek megold´as´at kereshetj¨ uk Ψ(ξ, η) = U (ξ)V (η) alakban. Ekkor U ´es V a (4.35) ´es (4.36) egyenletek megold´asa, ahol k 2 = 2µω. Minthogy ezen egyenleteknek k´et line´arisan 97
f¨ uggetlen megold´asa l´etezik (ld. 10.1.4 fejezet), a szepar´alt f¨ uggv´enyben ¨osszesen n´egy szabad ´alland´o tal´alhat´o. Az u ´j v´altoz´okkal fel´ırt egyenlet legfeljebb n´egy, szorzat alakban szepar´alt tagra esik sz´et. Itt nem r´eszletezett sz´am´ıt´asok eredm´enyek´ent azt kapjuk, hogy a saj´atf¨ uggv´eny i−1 h√ 2 cos(iµπ) Diµ−1/2 (σξ)D−iµ−1/2 (ση) + Diµ−1/2 (−σξ)D−iµ−1/2 (−ση) . Ψµ+ (ξ, η) = (4.82) √ Itt σ = 2ω exp(iπ/4) ´es Dν (x) a parabolikus hengerf¨ uggv´enyt jel¨oli, ld. 10.1.4. fejezet. A megold´as m´asik komponens´et a fenti kifejez´esb˝ol kapjuk: Ψµ− (ξ, η) = Ψµ+ (ξ, −η).
4.3.4.
(4.83)
o p´ alya Az S = M2 + d2 P21 -hez tartoz´
Most teh´at (4.54) felhaszn´al´as´aval az 2
2
S = M + d P1
2
d2 = − d2 ω 2 cos2 ϕ, 2 dϕ
(4.84)
oper´atort vizsg´aljuk. A most bevezetett S oper´ator D ´ertelmez´esi tartom´anya az egys´egk¨or¨on n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek tere. Az S oper´ator saj´at´ert´ek-feladata az al´abbi egyenlet megold´as´at ig´enyli: d2 f d2 ω 2 + (a − 2q cos 2ϕ)f = 0, a = −λ − dϕ2 2
(4.85)
´es q = d2 ω 2 /4. A saj´atf¨ uggv´enyek teh´at Mathieu-f¨ uggv´enyek, ld. 10-1-3. fejezet. Az S oper´atornak nincs saj´atf¨ uggv´enye a D tartom´anyban, de S egy´ertelm˝ uen kiterjeszthet˝o egy olyan szimmetrikus oper´atorr´a, amely a k¨or¨on k´etszer folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´enyeken hat. Ebben az esetben a (4.85) egyenletnek megsz´aml´alhat´oan v´egtelen sok megold´asa l´etezik, mindegyik saj´at´ert´eke egyszeres. A norm´alt saj´atf¨ uggv´enyek (v.¨o. 10.1.3. fejezet) pedig: cen (ϕ, q) √ π sen (ϕ, q) √ fns (ϕ) = , n = 1, 2, . . . . π fnc (ϕ) =
(4.86) (4.87)
A Helmholtz-egyenlet (x, y) v´altoz´okt´ol f¨ ugg˝o megold´as´at fnc (ϕ)-b˝ol Fourier-transzform´aci´oval kapjuk: Z +π 1 Ψ(x, y) = √ exp [iω(x cos ϕ + y sin ϕ)] cen (ϕ, q)dϕ. (4.88) π −π 98
Bevezetj¨ uk az elliptikus koordin´at´akat: x = d cosh α cos β, y = d sinh α sin β.
(4.89)
Az u ´j koordin´at´akban fel´ırva a Helmhotz-egyenlet megold´as´at az al´abbi, szepar´alt alakot kapjuk: Ψnc (α, β) = U (α)cen (β, q), (4.90) ahol U (α) kiel´eg´ıti a m´odos´ıtott Mathieu-egyenletet: d2 U + (−a + 2q cosh(2α))U = 0. dα2
(4.91)
Tekintettel arra, hogy a (4.88) egyenlet p´aros α-ban, ´ıgy Ψ(α, β)-ra az al´abbi k´et alakot kapjuk: Cn Cen (α, q)cen (β, q), Sn Sen (β, q). Ezzel a szepar´alhat´o megold´asok vizsg´alat´at befejezt¨ uk. V´egezet¨ ul megeml´ıt¨ unk egy gyakorlati k´erd´est. A Helmholtz-egyenlet megold´as´at gyakran arra haszn´aljuk, hogy egy f¨ uggv´enyt kifejts¨ unk a megold´asok szerint, vagyis, a szepar´alt form´aban fel´ırt f¨ uggv´enyeket b´azisk´ent haszn´aljuk. Ilyen sz´am´ıt´asok sor´an gyakran van sz¨ uks´eg¨ unk (T(g)Ψn , Ψm ) (4.92) t´ıpus´ u m´atrixelemek kisz´am´ıt´as´ara. Ebben a Wigner-Eckart-t´etelen k´ıv¨ ul seg´ıts´eg¨ unkre lehet annak felismer´ese, hogy a Fourier-transzform´aci´o felhaszn´al´as´aval a skal´arszorzatokat ki lehet ´ert´ekelni az egys´egk¨or¨on, ami j´oval kevesebb sz´am´ıt´ast ig´enyel.
99
5. fejezet Egyenletek szimmetri´ ainak meghat´ aroz´ asa
100
A Lie-csoportok alkalmaz´as´anak fontos ter¨ ulete az egyenletek vizsg´alata. A szimmetria a f¨ uggetlen ´es f¨ ugg˝o v´altoz´ok egy¨ uttes transzform´aci´oja olym´odon, hogy a transzform´aci´o egy megold´ast m´asik megold´asba vigyen. A szimmetri´ak ismeret´eben invari´ansokat lehet meghat´arozni, amivel az egyenlet megold´asa egyszer˝ us´ıthet˝o. Els˝o l´ep´esk´ent a deriv´altakat nem tartalmaz´o egyenleteket vizsg´aljuk. Az egyenlet teh´at az ismeretlenek deriv´altjait nem tartalmazz´ak, feltessz¨ uk tov´abb´a, hogy a vizsg´aland´o egyenletek kell˝oen sim´ak, azaz, legal´abb k´etszer deriv´alhat´oak. Az egyenlet szimmetri´ai Lie-csoport alakj´aban keress¨ uk, a csoportot gener´atorai r´ev´en hat´arozzuk meg. A t´argyal´as v´egs˝o c´elja egy praktikus, alkalmazhat´o m´odszert adni a differenci´alegyenletek vizsg´alat´ahoz. Itt sz¨ uks´eg¨ unk lesz a 2.3.1 fejezetben t´argyalt funkcion´alisan f¨ uggetlen f¨ uggv´enyekre. Az M halmazon ´ertelmezett val´os fi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . , m f¨ uggv´enyek rendszer´et f¨ uggetlennek nevezz¨ uk, amennyiben nem l´etezik olyan m v´altoz´os F (y1 , . . . , ym ) f¨ uggv´eny, amely M b´armely ny´ılt r´eszhalmaz´an teljes´ıten´e az F (f 1 (x), . . . , f n (x)) = 0 felt´etelt. Itt x = (x1 , . . . , xn ). 5.1. Feladat Legyen y1 = f1 (x1 , x2 ) = x1 ´es x1 ha x2 > 0 1 2 y2 = f2 (x , x ) = 2 1 x + e−x ; ha x2 > 0 Az ´ıgy defini´alt f 1 ´es f 2 f¨ uggv´enyek f¨ uggetlenek az x2 > 0 f´els´ıkon, de funkcion´alisan f¨ ugg˝oek az als´o f´els´ıkon. Sophus Lie eredetileg a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek szimmetri´aj´at vizsg´alta, ´es megmutatta, hogy egy egyparam´eteres szimmetriacsoport birtok´aban az egyenlet rendje eggyel cs¨okkenthet˝o. Parci´alis differenci´alegyenletek eset´eben a technika bonyolultabb. A m´asodik r´eszben a differenci´alegyenletek invarianci´aj´at vizsg´aljuk. Itt az alkalmazott technika a prolong´aci´okra, azaz, a szimmetriacsoport hat´as´anak az egyenletekre t¨ort´en˝o alkalmas ´atvitel´ere ´ep¨ ul.
5.1.
Egyenletek szimmetri´ aja
Tekints¨ uk az al´abbi algebrai egyenletrendszert: Fi (x) = 0, i = 1, . . . , `.
(5.1)
Feltessz¨ uk, hogy az Fi val´os f¨ uggv´enyek minden x ∈ M ´ert´ekre sima f¨ uggv´enyek. A fenti egyenletek megold´asa egy (vagy t¨obb) x ∈ M pont, amelyben minden Fi (x) f¨ uggv´eny nulla ´ert´eket vesz fel. Az (5.1) rendszer szimmetria csoportja M-en hat´o lok´alis transzform´aci´ok olyan G csoportja, amely az (5.1) egyenlet megold´as´at m´asik megold´asba transzform´alja. Vagyis, 101
amennyiben y(x) megold´as, ´es g ∈ G, akkor amennyiben gy defini´alva van, akkor megk¨ovetelj¨ uk, hogy gy is megold´as legyen. Az al´abbiakban annak felt´eteleit keress¨ uk, hogy egy adott transzform´aci´ocsoport a vizsg´alt egyenletek szimmetri´aja legyen. Els˝o l´ep´esk´ent eml´ekeztet¨ unk az invari´ans alt´er defin´ıci´oj´ara (2. fejezet). Ennek anal´ogi´aj´ara defini´aljuk az invari´ans r´eszhalmaz fogalm´at: az S ⊂ M halmazt G invari´ansnak nevezz¨ uk, ha minden x ∈ S-re, ´es g ∈ G-re gx ∈ S, felt´eve, hogy gx defini´alva van. Defini´alhatjuk egy adott F (x) f¨ uggv´eny invarianci´aj´at is. Legyen G egy lok´alis transzform´aci´ocsoport, amely az M halmazon hat. Egy F : M → N (itt N egy m´asik sokas´ag) f¨ uggv´enyt G invari´ansnak nevez¨ unk, ha minden x ∈ M-re, ´es minden g ∈ G-re, amelyre gx defini´alva van, F (gx) = F (x). F : M → R` akkor ´es csak akkor G invari´ans, ha F = (F1 , . . . , F` ) minden komponense G invari´ans. Most m´ar meg tudjuk fogalmazni a bevezet´esben megfogalmazott ´all´ıt´asokat. ´ ıt´ 5.1. All´ as Legyen G egy ¨osszef¨ ugg˝o lok´alis Lie-transzform´aci´ocsoport az m dimenzi´os M sokas´agon. Egy val´os ´ert´ek˝ u ζ : M → R f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor G invari´ans, ha v(ζ) = 0
(5.2)
minden x ∈ M-re, ´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara. Legyen G az infinitezim´alis gener´atorok Lie-algebr´aja, ´es legyen ebben az algebr´aban v1 , . . . , vr egy b´azis. Ekkor a 5.1. a´ll´ıt´asnak megfelel˝oen, a ζ(x) f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor Lie-algebra invari´ans, ha vk (ζ) = 0, k = 1, . . . , r. A vk gener´atort Lok´alis koordin´at´akkal kifejezve ∞ X ∂ (5.3) vk = ξki (x) i . ∂x i=1 Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a fenti tulajdons´ag´ u ζ f¨ uggv´eny az al´abbi differenci´alegyenlet megold´asa: ∞ X ∂ζ vk (ζ) = ξki (x) i = 0, k = 1, . . . , r. (5.4) ∂x i=1 5.2. T´ etel Legyen g egy ¨oszef¨ ugg˝o Lie-transzform´aci´ocsoport, amely az m dimenzi´os M sokas´agon hat. Hat´arozz´ak meg az F : M → R` , ` ≤ m, f¨ uggv´enyek az (5.1) egyenletrendszert ´es tegy¨ uk fel, hogy az egyenlet rangja maxim´alis, azaz, a ∂Fi /∂xk m´atrix rangja `, az egyenlet minden x megold´as´ara. Ekkor a G csoport akkor ´es csak akkor szimmetriacsoportja az (5.1) egyenletrendszernek, ha v (Fi (x)) = 0, i = 1, . . . , `,
(5.5)
valah´anyszor F (x) = 0, ´es a fenti o ugg´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara ¨sszef¨ fenn´all. 102
´ ıt´ 5.3. All´ as Legyen az F : M → R` f¨ uggv´eny maxim´alis rang´ u az SF = {x : F (x) = 0} r´esz-sokas´agon. Az f : M → R val´os f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor t˝ unik el SF -en, ha l´eteznek olyan sima Q1 (x), . . . , Q` (x) f¨ uggv´enyek, hogy f (x) =
` X
Qj Fj (x),
(5.6)
j=1
minden x ∈ M -re. A 5.3. a´ll´ıt´asban a maxim´alis rang l´enyeges felt´etel. P´eld´aul tekints¨ uk az F (x, y) = y − 2y + 1 f¨ uggv´enyt ´es legyen f (x) = y − 1, amely elt˝ unik minden olyan pontban, ahol F (x, y) = 0, ez a halmaz az SF = {y = 1} pontb´ol a´ll. Ugyanakkor nem l´etezik olyan sima Q(x, y) f¨ uggv´eny, amelyre fenn´allna f (x, y) = Q(x, y)F (x, y). 2
´ ıt´ u az SF = {x : F (x) = 0} halmazon. Te5.4. All´ as Legyen M → R` maxim´alis rang´ gy¨ uk fel, hogy az R1 (x), . . . , R` (x) f¨ uggv´enyekre fenn´all ` X
Rj (x)Fj (x) = 0
(5.7)
j=1
minden x ∈ M-re. Ekkor Rj (x) = 0 minden x ∈ SF -re. Ezzel ekvivalens, hogy l´eteznek olyan Sjm (x) f¨ uggv´enyek, amelyre fenn´all Rj (x) =
` X
Sjm (x)Fm (x).
(5.8)
m=1 j uggv´enyeket lehet u ´gy v´alasztani, hogy Sjm (x) = −Sm (x), ebben az Tov´abb´a, az Sjm (x) f¨ esetben (5.8) fenn´all´asa sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges ahhoz, hogy (5.7) minden x-re teljes¨ ulj¨on. Gyakran sz¨ uks´eg van annak megv´alaszol´as´ara, hogy egy adott transzform´aci´ocsoportnak h´any invari´ansa van. Nyilv´anval´o, hogy amennyiben ζ 1 (x), . . . , ζ k (x) invari´ans egy transzform´aci´ocsoporttal szemben, ´es F (z 1 , . . . , z k ) tetsz˝oleges, sima f¨ uggv´eny, akkor F (ζ 1 (x), . . . , ζ k (x)) szint´en invari´ans, ´am ez semmif´ele u ´j inform´aci´ot nem hordoz, az el˝obbi invari´anst´ol ”funkcion´alisan f¨ ugg˝o”-nek nevezz¨ uk (ld. jelen fejezet bevezet˝o r´esz´et).
5.5. T´ etel Legyen ζ = (ζ 1 , . . . , ζ k ) egy sima lek´epez´es M-b˝ol Rk -ba. Ekkor ζ 1 (x), . . . , ζ k (x) akkor ´es csak akkor funkcion´alisan ¨osszef¨ ugg˝oek, ha dζ|x (azaz, a ζ f¨ uggv´eny differenci´alja az x pontban) rangja szigor´ uan kisebb, mint k minden x ∈ M-re. A k¨ovetkez˝o t´etel egy transzform´aci´ocsoport invari´ansainak sz´am´at adja meg.
103
5.6. T´ etel Hasson a G csoport szemiregul´arisan az m-dimenzi´os M sokas´agon, ´es legyenek orbitjai s dimenzi´osak. Ha x0 ∈ M, akkor pontosan m − s funkcion´alisan f¨ uggetlen lok´alis invari´ans ζ 1 , . . . , ζ m−s l´etezik x0 egy k¨ornyezet´eben. Tov´abb´a, a csoporthat´as b´armely egy´eb, x0 k¨ornyezet´eben defini´alt invari´ansa az al´abbi form´aba ´ırhat´o: ζ(x) = F (ζ 1 (x), . . . , ζ m−s (x)), valamely alkalmas, sima F f¨ uggv´enyre. Amennyiben a G csoport hat´asa regul´aris, a csoport invari´ansai glob´alis invari´ansokk´a tehet˝oek x0 egy k¨ornyezet´eben. Most m´ar csak az invari´ansok megkonstru´al´asa van h´atra. Legyen G egyparam´eteres csoport, amelynek infinitezim´alis gener´atora v = ξ 1 (x)
∂ ∂ + · · · + ξ m (x) m 1 ∂x ∂x
(5.9)
valamely alkalmas lok´alis koordin´at´aban kifejezve. Egy lok´alis, G-vel szemben invari´ans mennyis´eg, ζ(x) az al´abbi egyenlet megold´asa lesz: v(ζ) = ξ 1 (x)
∂ζ ∂ζ + · · · + ξ m (x) m = 0. 1 ∂x ∂x
(5.10)
5.1. Feladat (Karakterisztikus egyenlet) A (5.10) egyenlet megold´asa a megfelel˝ o karakterisztik´akb´ol ad´od´o egyenletek megold´as´ara ´ep¨ ul. Ez r¨oviden a k¨ovetkez˝ot jelenti k´et v´altoz´o eset´en. Legyen ζ = ζ(x1 , x2 ), (5.11) p = ∂x1 ζ ´es q = ∂x2 ζ, a megoldand´o egyenlet pedig legyen F (x1 , x2 , ζ, p, q) = 0
(5.12)
alak´ u. Legyen a t´er egy pontja legyen P (x1 = x, x2 = y, ζ = z). A (5.12) egyenlet ´erint˝oje a P pontban ζ − z = p(x1 − x) + q(x2 − y). (5.13) (5.12)-ben ´es (5.13)-ben p ´es q param´eterek, r´aad´asul nem f¨ uggetlenek. (5.12)-b˝ol ´es (5.13)-b˝ol ∂p F dp + ∂q F dq = 0 (x − x)dp + (y − x2 )dq = 0. 1
(5.14) (5.15)
Itt dp = dq = 0 nem ´allhat fenn, ez´ert a determin´ans elt˝ unik, ez´ert ∂p F (x2 −y)+∂q F (x1 − x) = 0. Ebb˝ol az egyenletb˝ol, (5.13)-b˝ol ´es (5.12)-b˝ol a p, q koordin´at´akat elimin´alhatjuk: dz = pdx + qdy ´es Fp dy = Fq dx. Ezt ´atalak´ıtva dy dx = . Fp Fq 104
(5.16)
Ezt ´altal´anos´ıtva:
dx1 dx2 dxm = = · · · = . ξ 1 (x) ξ 2 (x) ξ m (x)
(5.17)
Ezen egyenletrendszer megold´asai: ζ 1 (x1 , . . . , xm ) = c1 , . . . , ζ m−1 (x1 , . . . , xm ) = cm−1 .
(5.18)
Az ´ıgy kapott ζ 1 , . . . , ζ m−1 pontosan a (5.10) egyenlet keresett line´arisan f¨ uggetlen megold´asai.
5.2.
Differenci´ alegyenletek szimmetri´ aja
Tekints¨ uk az X halmazt, amelynek pontjait x = (x1 , . . . , xp ) koordin´at´akkal jellemezz¨ uk. Tekints¨ uk az X → U lek´epez´est, ahol az U halmaz pontjait u = (u1 , . . . , up ) ´ırja le. A lek´epez´es miatt ui = ui (x). El´eg´ıts´ek ki az ui (x) f¨ uggv´enyek az al´abbi egyenletrendszert: ∆ν (x, u( n)) = 0,
ν = 1, . . . , `.
(5.19)
Itt u( n) az u(x) f¨ uggv´eny legfeljebb n-ik deriv´altj´at jel¨oli. A ∆ = (∆1 (x, u(n) ), . . . , ∆` (x, u(n) )) f¨ uggv´enyekr˝ol, amelyek a (5.19) egyenletben szerepl˝o m˝ uveleteket jel¨olik, feltessz¨ uk, hogy (n) argumentumaiknak sima f¨ uggv´enyei, ´ıgy a ∆ lek´epez´es sima, az X × U t´er pontjait ` az R t´er pontjaiba k´epezi le. Itt U(n) az U t´er elemeinek legfeljebb n-ik deriv´altj´at tartalmaz´o t´er. 5.1. Feladat Legyen p = 2, a k´et koordin´ata legyen x1 = x, x2 = y. Legyen q = 1, a f¨ ugg˝o v´altoz´o legyen az u skal´ar f¨ uggv´eny. Az U1 t´er az (u, ux , uy ) f¨ uggv´enyh´armasokb´ ol 2 ´all. Az U t´er pedig az (u, ux , uy , ux x, uxy , uyy ) hatelem˝ u vektorokb´ol ´all. A (5.19) differenci´alegyenlet-rendszert az X × U(n) → R` lek´epez´esnek tekintj¨ uk. Az egyenlet megold´as´at r¨oviden az u = f (x) alakba ´ırhatjuk. Az egyenlet szimmetri´aja egy Lie-csoport lesz, amelynek elemei az X × U (n) t´er pontjait k´epezik le ugyanezen t´er esetleg m´as pontjaira. A megold´ast a´br´azol´o pontokat a´ltal´aban egy m´asik megold´as pontjaiba viszik ´at. 5.2. Feladat Legyen p = 1, q = 1, az egyenlet megold´asa pedig legyen u = f (x). Vizsg´aljuk meg a G = SO2 csoport (ld. 2.5.1 fejezet) egy elem´enek hat´as´at! Mint l´attuk (x0 , u0 ) ≡ g(x, u) = (x cos ϑ − u sin ϑ, x sin ϑ + u cos ϑ).
105
Legyen u = f (x) = ax + b, egy egyenes. Legyen ϑ kis ´ert´ek, ekkor a transzform´aci´ o eredm´enye: x0 = x(cos ϑ − a sin ϑ) − b sin ϑ ´es
sin ϑ + a cos ϑ 0 b x + . cos ϑ − a sin ϑ cos ϑ − a sin ϑ Azt katuk, hogy az egyenes elforgatottja egy m´asik egyenes, ahogyan lennie kell. u0 =
Legyen az x pont az M sokas´ag egy ´altal´anos pontja, koordin´at´ai pedig legyenek x = (x1 , . . . , xp ), ahol a vizsg´alt egyenletben p sz´am´ u f¨ uggetlen v´altoz´o szerepel. Legyen ´ adva egy C ⊂ M g¨orbe. Irjuk le a g¨orb´et a φ : I → M param´eterez´essel, ahol I egy val´os intervallum. A C g¨orb´et megadhatjuk az m sz´am´ u koordin´at´aval, amelyeket egyetlen vektorban foglalunk ¨ossze: φ(ε) = φ1 (ε), . . . , φp (ε) (5.20) ˙ A C g¨orbe egy ´altal´anos pontja φ(ε). A g¨orbe rendelkezik ´erint˝ovel, amelyet φ(ε) ad meg: ˙ (5.21) φ(ε) = φ˙ 1 (ε), . . . , φ˙ p (ε) . C´elszer˝ u k¨ ul¨onbs´eget tenni az ´erint˝ovektor ´es a lok´alis koordin´ata szerinti deriv´alt k¨oz¨ott. Ez´ert az x = φ(ε) pontban az ´erint˝ovektorra az al´abbi jel¨ol´est szok´as haszn´alni: ∂ ∂ ˙ v|x = φ(ε) = φ˙ 1 1 + · · · + φ˙ p p ∂x ∂x
(5.22)
Els˝o l´at´asra ez a jel¨ol´es meglep˝o lehet, de gondoljunk arra, hogy az x pont megv´altoz´as´anak i-ik koordin´at´aja x + εei alakba ´ırhat´o a lok´alis koordint´at´aban (itt ei az i-edik egys´egvektor Rp -ben). 5.3. Feladat Adott az al´abbi, h´aromdimenzi´os csavarvonal: φ(ε) = (cosε, sinε, ε). A csavarvonal pontjait az x = sin ε, y = cos ε ´es z = ε koordin´at´akkal jel¨olj¨ uk. A csavarvonal ´erint˝oje ˙ φ(ε) = (−sinε, cosε, 1) . (5.23) ˙ Ugyenezt a kifejez´est koordin´at´akkal megadva: φ(ε) = (−y, x, 1). Az ´erint˝ovektor pedig: ∂ ∂ ∂ ˙ v = φ(ε) = φ˙1 (ε) + φ˙2 (ε) + φ˙3 (ε) = −y∂x + x∂y + ∂z . ∂x ∂y ∂z
(5.24)
Az M sokas´agon defini´alt (5.22) vektormez˝o a sokas´ag minden pontj´ahoz egy vektort rendel. Ez a vektor lehet a ponton a´thalad´o C g¨orbe ´erint˝oje. Lok´alis koordin´at´akkal kifejezve az ´erint˝o az al´abbi alakot ¨olti: v|x = ξ 1 (x)∂x1 + ξ 2 (x)∂x2 + · · · + ξ p (x)∂xp 106
(5.25)
Egy v vektormez˝oh¨oz rendelhet¨ unk egy sima g¨orb´et, x = φ(ε)-t, azzal a kik¨ot´essel, hogy a g¨orbe ´erint˝oje minden x pontban egyezzen meg v-vel. Ezt a g¨orb´et a v vektormez˝o integr´alg¨orb´ej´enek nevezz¨ uk. Az integr´alg¨orbe az al´abbi autonom differenci´alegyenletrendszer megold´asa: dxi = ξ i (x). (5.26) dε A vektormez˝oh¨oz rendelt integr´alg¨orbe ´atmegy az x ponton, ezt, mint kezd˝ofelt´etelt kik¨othetj¨ uk az auton´om differenci´alegyenletekhez. Jel¨olje az integr´alg¨orbe egy pontj´at Ψ(ε, x). Ekkor a most bevezetett Ψ lek´epez´es rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: Ψ(δ, Ψ(ε, x)) =Ψ(δ + ε, x) Ψ(0, x) = x
(5.27) (5.28)
d Ψ(ε, x) = v|Ψ(ε,x) , (5.29) dε minden ´ertelmes ε-ra. A fenti tulajdons´agok ´eppen megegyeznek a Lie-csoport lok´alis hat´as´aval (v.¨o. 2.3.1. fejezet). Az integr´alg¨orb´ek teh´at egy egyparam´eteres transzform´aci´ocsoportot gener´alnak az M sokas´agon. Tekintettel arra, hogy kis ε eset´en Ψ(ε, x) = x + εξ(x) + O(ε2 ),
(5.30)
a v vektormez˝ot tekinthetj¨ uk a transzform´aci´o gener´ator´anak. Az ´all´ıt´ast meg lehet ford´ıtani: amennyiben Ψ(ε, x) egy egyparam´eteres transzform´aci´ocsoport, amelynek hat´asa ismert az M sokas´agon, akkor a csoport infinitezim´alis gener´ator´at megadja d Ψ(ε, x). (5.31) v|x = dε ε=0
Az autonom egyenlet megold´as´anak (megfelel˝o kezd˝o´ert´ek mellett) egy´ertelm˝ us´eg´eb˝ol k¨ovetkezik a Lie-csoport lok´alis hat´as´anak egy´ertelm˝ us´ege az M sokas´agon. A v vektor a´ltal fentebb gener´alt transzform´aci´ora az al´abbi jel¨ol´est szok´as haszn´alni: exp (εv) = Ψ(ε, x).
(5.32)
5.4. Feladat Az al´abbiakban k´et speci´alis esetet t´argyalunk a jel¨ol´es jobb meg´ert´ese c´elj´ab´ol. Legyen M a val´os sz´amok halmaza, ´es legyen v = ∂x . Az exponenci´alis sorfejt´es´et felhaszn´alva kapjuk: [exp(ε∂x )]x = x + ε. A m´asodik p´eld´aban a s´ıkbeli forgat´asokat tekintj¨ uk: Ψ(ε, (x, y)) = (xcosε − ysinε, xsinε + ycosε). Ezen transzform´aci´ok infinitezim´alis gener´atora v = ξ(x, y)∂x + η(x, y)∂y , az egy¨ utthat´okra pedig (5.31) alapj´an ezt kapjuk: d ξ(x, y) = (xcosε − ysinε) = −y (5.33) dε ε=0 d η(x, y) = (xsinε + ycosε) = x. (5.34) dε ε=0 Teh´at v = −y∂x + x∂y a transzform´aci´o gener´atora, ami j´ol ismert eredm´eny. 107
A fentiek alapj´an megvizsg´aljuk, hogyan v´altozik a Ψ(ε, x) transzform´aci´o hat´as´ara egy M-en ´ertelmezett F (x1 , . . . , xm ) f¨ uggv´eny. A transzform´aci´o az x pontot az x0 = Ψ(ε, x) pontba viszi, vagyis a transzform´alt koordin´at´ak f¨ uggeni fognak a transzform´aci´ot ´ jellemz˝o ε mennyis´egt˝ol. Irjuk a vizsg´aland´o f¨ uggv´enyt F (x1 (ε), . . . , xm (ε)) alakban. El˝osz¨or vizsg´aljuk meg a dF/dε deriv´altat. Nyilv´an m
X dxi dF = ∂xi F ≡ (BF ). dε dε i=1
(5.35)
P i = ξ(x) oper´ator seg´ıts´eg´evel egyszer˝ us´ıtetAz ´ıgy bevezetett B = i ∂xi ξi (x), ahol a dx dε t¨ uk a jel¨ol´est. A (5.35) egyenlet form´alis megold´asa mostm´ar azonnal fel´ırhat´o: F (ε, x1 , . . . , xm ) = exp(εB)F (x1 , . . . , xm ).
(5.36)
A B deriv´altm´atrixot a ξi (x) egy¨ utthat´of¨ uggv´enyek egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak. Auto1 m 1 m matikusan ad´odik az F (ε = 0, x , . . . , x ) = F (x , . . . , x ) ¨osszef¨ ugg´es is. A B oper´atort nevezik a Ψ(ε, x) transzform´aci´ocsoport infinitezim´alis gener´ator´anak is. A 2.3.1. fejezetben bevezetett infinitezim´alis gener´atorok a csoportelemek param´eter szerinti deriv´altjai voltak, ´ıgy a csoportelemekre jellemz˝oek, az itt bevezetett infinitezim´alis gener´atorok f¨ uggv´enyekre hatnak, azt ´ırj´ak le, mennyire v´altozik a transzform´alt f¨ uggv´eny a transzform´aci´o param´eter´enek v´altoz´as´aval. A fenti bevezet´es ut´an megfogalmazzuk a megvizsg´aland´o feladatot. Vizsg´aljuk meg azt az esetet, amikor az x1 , . . . , xp f¨ uggetlen v´altoz´ok sz´ama p. Ezen v´altoz´ok kifesz´ıtenek egy X teret. A differenci´alegyenlet megold´asa sor´an keress¨ uk az u1 , . . . , uq f¨ uggv´enyeket, amelyek kiel´eg´ıtenek ` differenci´alegyenletet, amelyek legfeljebb n-ik deriv´al´ast tartalmaznak. Ezek a f¨ uggv´enyek kifesz´ıtenek egy U teret. El˝o k´ıv´anunk ´all´ıtani egy G csoportot, amely ezeket az egyenleteket v´altozatlanul hagyja. A vizsg´alt egyenleteket egy kib˝ov´ıtett t´eren fogjuk vizsg´alni, amit a f¨ uggetlen v´altoz´ok, az u1 , . . . , uq f¨ ugg˝o v´altoz´ok fognak alkotni, ´es azok deriv´altjai az egyenletben szerepl˝o rendig bez´ar´olag. Keress¨ uk azt a Lie-csoportot, ami a megold´ast jelent˝o halmazt (azaz, a megoldand´o egyenleteket) invari´ansan hagyja. A Lie-csoportot gener´atorai seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o. El˝osz¨or bevezet¨ unk n´eh´any, els˝osorban a parci´alis deriv´altak ´ır´as´at egyszer˝ us´ıt˝o je1 p l¨ol´est ´es defin´ıci´ot. Tekints¨ uk az uggv´enyt, aminek k-adrend˝ u f (x) = f (x , . . . , x ) f¨ p+k−1 deriv´altjainak sz´ama pk = . A J-edrend˝ u parci´alis deriv´altakra bevezetj¨ uk a k ∂J f (x) =
∂ k f (x) ∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjk
(5.37)
jel¨ol´est, ahol J = (j1 , . . . , jp ) egy rendezetlen sz´am p-s, elemei eg´eszek ´es 1 ≤ ji ≤ p. A J index rendje k, ami a deriv´al´as foksz´am´at jelenti ´es megegyezik a J sz´am p-s 1 elemeinek sz´am´aval. A differenci´alegyenlet-rendszerekben, ami vizsg´alatunk t´argya, t¨obb f¨ uggv´enyt kell vizsg´alni egyszerre. Legyen u = f 1 (x), . . . , f q (x) (5.38) 108
teh´at az u megold´as mostant´ol q elem˝ u vektor, ´es bevezetj¨ uk az u(x) = f (x) f¨ uggv´eny (n) n-edrend˝ u prolong´aci´oj´at, pr f (x)-et. Az u vektor α komponens´enek magasabb rend˝ u parci´alis deriv´altjaira az al´abbi jel¨ol´est fogjuk haszn´alni: uαJ = ∂J f α (x),
(5.39)
ezek seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´ot az al´abbi egyenlettel defini´aljuk: u(n) ≡ pr(n) f (x),
(5.40)
ahol pr(n) f (x) egy f¨ uggv´eny amely az X t´er pontjait az U(n) t´ er pontjaiba k´epezi le. (n) pr f (x) egy vektor, amelynek qp(n) eleme van. Itt p(n) = p+n , az u f¨ uggv´enyek legn felejebb n-ik deriv´altjainak sz´ama, a deriv´altakat(5.39) szerint kell meghat´arozni. A prolong´aci´oban teh´at legfeljebb n-ik deriv´altak szerepelnek, minden lehets´eges kombin´aci´oban. ´ pl. n = 2 eset´en, ha u = f (x, y) akkor 5.5. Feladat Igy u(2) = pr(2) f (x, y) = (u; ux , uy ; uxx , uxy , uyy ) = (f ; ∂x f, ∂y f ; ∂xx f, ∂xy f, ∂yy f ).
(5.41) (5.42)
U(2) teh´at egy hatdimenzi´os t´er, ami annyit jelent, hogy az ux , uy stb. deriv´altakat is f¨ uggetlennek tekintj¨ uk. T´erj¨ unk vissza a (5.25) ´altal megadott ´erint˝ovektorhoz, amely egy´ uttal egy differenci´aloper´ator is. Ez az oper´ator az x vektorra u ´gy hat, hogy x i-ik koordin´at´aj´at kicser´eli ξi (x)-re, ez´ert vx = (ξ1 (x), . . . , ξm (x)). Ez nem m´as, mint egy koordin´atatranszform´aci´o. Kor´abban m´ar l´attuk, hogy a v oper´ator ´altal gener´alt transzform´aci´okat ´ıgy lehet le´ırni: x0 = Ψ(ε, x) = exp(εv)x. Legyen y = Ψ(x), ekkor a v oper´atort ki lehet fejezni az u ´j koordin´at´akkal: m X m X ∂ ∂Ψj −1 (5.43) (Ψ (y)) . v= ξi (Ψ−1 (y)) ∂x ∂ i y j j=1 i=1 A v oper´atort alkalmazni lehet egy kell˝oen sima f (x) f¨ uggv´enyre is az al´abbi szab´aly alapj´an: m X ∂f v(f )(x) = ξi (x) (x), (5.44) ∂xi i=1 vagyis, v(f )(x) az f f¨ uggv´eny infinitezim´alis v´altoz´as´at adja meg. Minthogy v line´aris oper´ator, ez´ert v(f + g) = v(f ) + v(g) (5.45) ´es v(f · g) = v(f ) · g + f · v(g). 109
(5.46)
Egy f (x) f¨ uggv´eny hat´as´at a transzform´alt argumentumra a k¨ovetkez˝o kifejez´es adja meg: ∞ X εk k v (f )(x). (5.47) f (exp(εvx)x = k! k=0 Hasonl´oan j´arunk el az F : R → Rn t¨obbv´altoz´os f¨ uggv´eny eset´en is., csak ott v(F ) = 1 n (v(F ), . . . , v(F )). Ennyi el˝ok´esz´ıt´es ut´an r´at´erhet¨ unk a tulajdonk´eppeni egyenletek fel´ır´as´ara. A vizsg´alt probl´ema t¨obb egyenletb˝ol a´llhat, mindegyik egyenlet meg´allap´ıt egy ¨osszef¨ ugg´est a f¨ uggetlen v´altoz´ok, a f¨ ugg˝o v´altoz´ok ´es a f¨ ugg˝o v´altoz´ok deriv´altjai k¨oz¨ott. A megoldand´o egyenletek az X × U halmazon vannak ´ertelmezve. A megoldand´o egyenleteket v´altozatlanul hagy´o Lie-csoportot a csoport gener´atorai r´ev´en fogjuk meghat´arozni. 5.7. T´ etel Legyen ∆ν (x, u(n) ) = 0, ν = 1, . . . , `
(5.48)
egy maxim´alis rang´ u differenci´alegyenlet-rendszer 1 az M ⊂ X × U halmazon. Ha G egy lok´alis transzform´aci´ocsoport, amely M-en hat ´es G minden v infinitezim´alis gener´ator´ara teljes¨ ul pr(n) v ∆ν (x, u(n) = 0, ν = 1, . . . , ` (5.49) valah´anyszor a (5.49) egyenlet teljes¨ ul, akkor a G csoport a (5.49) differenci´alegyenletrendszer szimmetri´aja. A t´etel bizony´ıt´asa Olver k¨onyv´eben tal´alhat´o. A t´etel alkalmaz´as´ahoz a prolong´aci´o kisz´am´ıt´as´ara van sz¨ uks´eg, az ezzel kapcsolatos tudnival´okat foglalja ¨ossze az al´abbi t´etel. 5.8. T´ etel Legyen v=
p X
i
ξ (x, u)∂xi +
q X
φα (x, u)∂uα
(5.50)
α=1
i=1
egy vektormez˝o az M ⊂ X × U ny´ılt halmazon. Ezen vektormez˝o n-edik prolong´aci´oj´at (n)
pr
v=v+
q X X α=1
φJα (x, u(n) ∂uαJ
(5.51)
J
adja meg. 1
Maxim´ alis rang´ u a (5.48) differenci´ alegyenlet-rendszer, ha Jacobi-m´atrix´anak rangja megegyezik az egyenletek sz´ am´ aval. A Jacobi-m´ atrix: ∂∆ν ∂∆ν J∆ (x, u(n) ) = , ∂xj , ∂uα i
110
A fenti kifejez´esben a m´asodik ¨osszegz´es azokra a multiindexekre t¨ort´enik, amelyekben minden index valamelyik f¨ uggetlen v´altoz´ora utal (azaz, ´ert´eke legfeljebb p lehet), egy index t¨obbsz¨or is el˝ofordulhat, de a J-ben szerepl˝o egyesek sz´ama legfeljebb n lehet. Az ¨osszegz´esben szerepl˝o f¨ uggv´enyek kisz´am´ıt´asa az al´abbi formul´aval t¨ort´enik: ! p p X X i α J (n) ξ i uαJ,i (5.52) ξ ui + φα (x, u ) = DJ φα − i=1
i=1
Az ut´obbi k´epletben pedig az al´abbi jel¨ol´est alkalmaztuk: uαi = ∂xi uα ;
uαJ,i = ∂xi uαJ .
(5.53)
A DJ teljes deriv´alt ´ertelmez´ese pedig az al´abbi: DJ = Dj1 Dj2 . . . Djk ,
(5.54)
amennyiben a J multiindex hossza k ´es v´eg¨ ul az egyes teljes deriv´altak jelent´ese: Di P = ∂xi P +
q X X α=1
uαJ,i ∂uαJ P.
(5.55)
J
A t´etel bizony´ıt´asa a k¨ovetkez˝o megfontol´asokra ´ep¨ ul. Az M halmazon egy csoportelem hat´as´ara a f¨ uggetlen v´altoz´ok is, a f¨ ugg˝o v´altoz´ok is transzform´al´odnak. A csoportelem hat´as´at mindk´et esetben egy lok´alis transzform´aci´o ´ırja le. A f¨ uggetlen v´altoz´ok eset´eben ez trivi´alis, a keresett f¨ uggv´enyek eset´eben pedig gondoljunk arra, hogy a line´aris transzform´aci´o hat´as´at egy f¨ uggv´enyre u ´gy ´ırjuk le, hogy argumentum´at transzform´aljuk. 5.6. Feladat Legyen adott az al´abbi vektormez˝o: v = −u∂x + x∂u . Hat´arozzuk meg (5.51) alapj´an az els˝o prolong´aci´ot! Mivel q = 1,p = 1, (5.52)-ben J=1. φα = φ = x, mert (5.50)-ben a p´elda szerint ∂u egy¨ utthat´oja u. ξ i = ξ = −u, mert (5.50)-ben a p´elda szerint ∂u egy¨ utthat´oja −u. Tov´abb´a u1 = ux ´es u1,x = uxx , mert (5.53)-ben csak x szerint kell deriv´alni. (5.51)-ban n = 1 ´es J = 1 eset´en pr(1) v = ξ(x, u)∂x + φ1 (x, u)∂u. Itt φ1 (x, u) = D(φ − ξux ) + ξuxx . Ide behelyettes´ıtve φ = x-et ´es ξ = −u-t, a v prolong´aci´oj´aban szerepl˝o kifejez´esben φ1 = Dx (x + uux ) = 1 + ux 2 . Ezzel az els˝o prolong´aci´o: pr(1) v = −u∂x + x∂u + (1 + u2x )∂ux . Jegyezz¨ uk meg, hogy az els˝o k´et tag megegyezik v-vel.
111
(5.56)
5.7. Feladat Tekints¨ unk egyetlen k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyt, a f¨ uggetlen v´altoz´ok legyenek ´ x, t, a f¨ uggv´eny pedig u = f (x, t). Irjuk f¨ol a f¨ uggv´eny els˝o k´et prolong´aci´oj´at! A megadott f¨ uggv´eny eset´eben az ´erint˝ovektort gener´al´o vektormez˝o: v = ξ(x, t, u)∂x + τ (x, t, u)∂t + φ(x, t, u)∂u .
(5.57)
Az els˝o prolong´aci´o (5.51) szerint: pr(1) v = v + φx ∂ux + φt ∂ut ,
(5.58)
ahol felhaszn´alva (5.52)-et, az egy¨ utthat´okat az al´abbi m´odon lehet megkapni: φx = Dx (φ − ξux − τ ut ) + ξuxx + τ uxt = Dx φ − ux Dx ξ − ut Dx τ = φx + (φu − ξx )ux − τx ut − ξu u2x − τu ux ut .
(5.59)
φt = Dt (φ − ξux − τ ut ) + ξuxt + τ utt = Dt φ − ux Dt ξ − ut Dt τ = φt − ξt ux + (φu − τt )ut − ξu ux ut − τu u2t .
(5.60)
Hasonl´o m´odon nyerj¨ uk a m´asodik prolong´aci´ot,amelynek alakja2 pr(2) v = pr(1) v + φxx ∂uxx + φ(xt) ∂uxt + φ(tt) ∂utt .
(5.61)
Itt m´ar csak egy egy¨ utthat´of¨ uggv´enyt ´ırunk ki, mert a tov´abbiakban sz¨ uks´eg lesz r´a. φxx =φxx + (2φxu − ξxx )ux − τxx ut + (φuu − 2ξxu )u2x − 2τxu ux ut − ξuu u3x − τuu u2x ut + (φu − 2ξx )uxx − 2τx uxt − 3ξu ux uxx − 2τu ux uxt .
(5.62)
5.8. Feladat Tekints¨ uk a h˝ovezet´es egyenlet´et egydimenzi´os r´ udban ´es keress¨ uk meg a h˝ovezet´es egyenlet´enek szimmetriacsoportj´at! A megoldand´o egyenlet: ut = uxx ,
(5.63)
ennek megfelel˝oen a f¨ uggetlen v´altoz´ok sz´ama p = 2, a keresett f¨ uggv´enyek sz´ama q = 1, az egyenletben el˝ofordul´o deriv´al´as legmagasabb foksz´ama n = 2. A csoport infinitezim´alis gener´ator´at az al´abbi alakban keress¨ uk: v = ξ(x, t, u)∂x + τ (x, t, u)∂t + φ(x, t, u)∂u . 2
Itt felhaszn´ altuk, hogy pr(2) − pr(1) kiz´ar´olag a m´asodik deriv´altakat tartalmazza.
112
(5.64)
5.1. t´abl´azat. A h˝ovezet´es egyenlet´enek szimmetri´aihoz ¨ Deriv´alt Egy¨ utthat´o Osszef¨ ugg´es ux , uxt 0 = −2τu (1) uxt 0 = −2τx (2) u2xx −τu = −τu (3) 2 ux uxx 0 = −τuu (4) ux uxx −ξu = −2τxu − 3ξu (5) uxx φu − τt = −τxx + φu − 2ξx (6) u3x 0 = −ξuu (7) 2 ux 0 = φuu − 2ξxu (8) ux −ξt = 2φxu − ξxx (9) 1 φt = φxx (10) A c´el teh´at a gener´atorban tal´alhat´o egy¨ utthat´o f¨ uggv´enyek meghat´aroz´asa. A 5.7.. t´etel szerint ehhez a m´asodrend˝ u prolong´aci´ot kell meghat´arozni, amit az al´abbi alakban ´ırunk: pr(2) v = v + φx ∂ux + φt ∂ut + φxx ∂uxx + φxt ∂uxt + φtt ∂utt .
(5.65)
Ezt kell a megoldand´o egyenletre alkalmazni ´es u ¨gyelni kell arra, hogy a (5.49) felt´etel teljes¨ ulj¨on. Ebb˝ol egyenleteket kapunk a gener´atorban szerepl˝o f¨ uggv´enyekre. Eset¨ unkben: φt = φxx .
(5.66)
A k¨ovetkez˝o l´ep´esben a (5.62)-ban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket ki kell fejezni a gener´atorokban szerepl˝o f¨ uggv´enyekkel, ´es azok deriv´altjaival. Ebben a 5.8.. t´etel van seg´ıts´eg¨ unkre: seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´oban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket el˝o tudjuk ´all´ıtani a gener´atorban szerepl˝o f¨ uggv´enyekb˝ol. A 5.7.. p´elda ´es a 5.8.. p´elda sor´an kapott eredm´enyek alapj´an φt -t (5.60), φxx -et pedig (5.62) adja meg, ezeket behelyettes´ıtve (5.66)-be, az egy¨ utthat´okat a k´et oldalon egyenl˝ov´e t´eve, az 5.1. t´abl´azatban szerepl˝o egyenleteket kapjuk. A 5.1. t´abl´azat(1) ´es (2) k´eplete szerint τ = τ (t), (5) szerint ξ f¨ uggetlen u-t´ol, (6)-b´ol pedig τt = 2ξx , vagyis ξ(x, t) = 1/2τt x + σ(t), ahol σ csak az id˝ot˝ol f¨ ugg. (8) alapj´an φ line´aris u-ban, ez´ert φ(x, t, u) = β(x, t)u + α(x, t), ahol α ´es β szabadon v´alaszthat´o f¨ uggv´enyek. Ugyanakkor (9) szerint ξt = −2βx , vagyis, β legfeljebb m´asodfok´ u x-ben. Ennek megfelel˝oen vegy¨ uk 2 fel β-t az al´abbi alakban: β = −1/(8τu )x − 1/2σt x + ρ(t). V´egezet¨ ul (10) megk¨oveteli, hogy α ´es β kiel´eg´ıtse a megoldand´o egyenletet. Mindezt ¨osszefoglalva, a (5.63) egyenlet leg´altal´anosabb szimmetri´aj´at az al´abbi alakba ´ırhatjuk: ξ = c1 + c4 x + 2c5 t + 4c6 xt τ = c2 + 2c4 t + 4c6 t2 φc = c3 − c5 x − 2c6 t − c6 x 113
(5.67) 2
u + α(x, t).
5.2. t´abl´azat. A (5.31) egyenlet szimmetriacsoportj´anak infinitezim´alis gener´atorainak kommut´at´arai v1 v2 v3 v4 v5 v6 v v1 0 0 0 v1 −v3 2v5 vαx v2 0 0 0 2v2 2v1 4v4 − 2v3 vαt v3 0 0 0 0 0 0 −vα v4 −v1 −2v2 0 0 v5 2v6 vα1 v5 v3 −2v1 0 −v5 0 0 vα2 v6 −2v5 2v3 − 4v4 0 −2v6 0 0 vα3 vα −vα −vα vα −vα1 −vα2 −vα3 0 Itt c1 , . . . , c6 tetsz˝oleges ´alland´o ´es α(x, t) az (5.63) egyenlet tetsz˝oleges megold´asa. Az 5.1. t´abl´azat egyenleteiben meghat´arozott egy¨ utthat´of¨ uggv´enyeket behelyettes´ıtve az infinitezim´alis gener´atorok (5.50) kifejez´es´ebe, azt tal´aljuk, hogy a gener´atorok Lie-algebr´aj´at a k¨ovetkez˝o vektorok fesz´ıtik ki: v1 v2 v3 v4 v5
= ∂x = ∂t = u∂u = x∂x + 2t∂u = 2t∂x − xu∂u
(5.68)
v6 = 4tx∂x + 4t2 ∂t − x2 + 2t u∂u . A fentieken k´ıv¨ ul tal´alhat´o m´eg a gener´atorok k¨oz¨ott egy v´egtelen dimenzi´os szubalgebra, amelynek elemeit a vα = α(x, t)∂u (5.69) hat´arozza meg. Itt α(x, t) a (5.63) egyenlet tetsz˝oleges megold´asa. A gener´atorok kommut´atorait a 5.2. t´abl´azat mutatja. A t´abl´azatban az al´abbi jel¨ol´est haszn´altuk: α1 = xαx + 2tαt ; α2 = 2tαx + xα; α3 = 4txαx + 4t2 αt + (x2 + 2t)α. Minthogy az infinitezim´alis gener´atorok Lie-algebr´at alkotnak, az α(x, t) megold´asb´ol k´epzett αi (x, t), i = 1, 2, 3 valamint az αx , αt f¨ uggv´enyek is megold´asok. Minden infinitezim´alis vektor gener´al egy egyparam´eteres csoportot. A csoport hat´as´at a 2.3.1. fejezet szerint le´ırj´ak az exp(εvi )(x, t, u) k´eppontok. Ezzel a v´altoz´ok transzform´aci´oja r´ev´en u ´j megold´asokhoz jutunk. A 5.3 t´abl´azat ezeket a transzform´aci´okat ¨osszes´ıti. Amennyiben teh´at f (x, t) kiel´eg´ıti (5.31)-et, akkor a t´abl´azat els˝o sora szerint f (x + ε, t) is megold´as. Hasonl´o m´odon ´ertelmezhet˝o a t¨obbi csoport hat´asa is. V´eg¨ ul megjegyezz¨ uk, hogy a bemutatott technika nemline´aris egyenletekre is alkalmazhat´o, ´ıgy p´eld´aul a ut = uxx + u2x (5.70) 114
5.3. t´abl´azat. A (5.31) egyenlet infinitezim´alis szimmetri´ai a´ltal gener´alt csoportok csoport transzform´aci´o G1 (x + ε, t, u) G2 (x, t + ε, u) G3 (x, t, eε u) G4 (eε x, e2ε t, u) G5 (x + 2εt, t, uexp(−εx − ε2 t)) √ x t −εx2 G6 ( 1−4εt , 1−4εt , u 1 − 4εtexp 1−4εt ) Gα
(x, t, u + εα(x, t))
egyenlet is vizsg´alhat´o.
5.3.
Kvadrat´ ur´ aval megoldhat´ o differenci´ alegyenletek
A Lie-csoport alkalmaz´as´anak egyik legl´atv´anyosabb ter¨ ulete a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek integr´alhat´os´ag´anak vizsg´alata. Mivel a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletekben csak egy f¨ uggetlen v´altoz´o van, a tov´abbiakban az xi jel¨ol´est az x v´altoz´o szerinti i-ik deriv´al´as sz´am´ara tartjuk fenn. Sophus Lie megfigyelte, hogy amennyiben ismerj¨ uk egy differenci´alegyenlet szimmetriacsoportj´at, az lehet˝ov´e teszi a differenci´alegyenlet integr´al´as´at. Tekints¨ uk az al´abbi egyv´altoz´os, els˝orend˝ u differenci´alegyenletet: du = F (x, u). dx
(5.71)
Megmutatjuk, hogy amennyiben az egyenlet invari´ans egy egyparam´eteres transzform´aci´ocsoporttal szemben, akkor az egyenlet integr´alhat´o. Legyen a csoport gener´atora v = ξ(x, u)∂x + φ(x, u)∂u . v els˝o prolong´aci´oja: pr(1) v = ξ∂x + φ∂u + φx ∂ux .
(5.72)
φx = Dx φ − ux Dx ξ = φx + (φu − ξx )ux − ξu u2x .
(5.73)
Amint (5.52)-b˝ol tudjuk,
A 5.7.. t´etel szerint a (5.63) a´ltal gener´alt csoport akkor lehet a (5.71) egyenlet szimmetri´aja, ha fenn´all ∂x φ + (∂u φ − ∂x ξ) F − ∂u ξF 2 = ξ∂x F + φ∂u F, 115
(5.74)
´es a (5.71) egyenletnek b´armely ξ(x, u), φ(x, u) megold´asa gener´alja a (5.71) egyenlet egy egyparam´eteres csoportj´at. Sajnos semmi sem garant´alja, hogy a (5.74) egyenletet k¨onnyebb lenne megoldani, mint az eredeti (5.51) egyenletet. Ha azonban sikerrel j´artunk, az eredeti egyenletet integr´alni tudjuk az al´abbiak szerint. Vezess¨ uk be az y = η(x, u), w = ξ(x, u)
(5.75)
v´altoz´okat. K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy az u ´j koordin´at´akkal v = ∂w tov´abb´a pr(1) v = v. Az u ´j v´altoz´okkal fel´ırt egyenlet akkor lesz invari´ans a v a´ltal gener´alt csoporttal szemben, ha a transzform´alt egyenlet nem f¨ ugg w-t˝ol. Ezt kihaszn´alva, az egyenlet alakja az u ´j v´altoz´okban dw = H(y), (5.76) dy amit lehet (szerencs´es esetben z´art alakban) integr´alni. Ide behelyettes´ıtve az eredeti v´altoz´okat, kapunk egy implicit egyenletet a megold´asra. A (5.75)-ben bevezetett transzform´aci´o megkonstru´al´as´aban felhaszn´alhat´oak az invari´ansok megkeres´es´ere szolg´al´o m´odszerek, ezek r´eszleteit az 5.5 fejezetben t´argyaljuk. Ehhez vizsg´aljuk meg, a koordin´atatranszform´aci´o hat´as´at a (5.25) prolong´aci´ora. Legyen y = ψ(x), ekkor a k¨ozvetett f¨ uggv´eny differenci´al´asi szab´alyai szerint (itt x, y ism´et p komponens˝ u vektor): v=
p p X X
ξ i (ψ −1 (y))∂xi ψ j (ψ −1 (y))∂yj .
j=1 i=1
Mivel most az (x, u) v´altoz´ok helyett t´er¨ unk a´t a (ξ, η) v´altoz´okra, bel´athat´o, hogy a transzform´alt v´altoz´ok akkor veszik fel a k´ıv´ant alakot, ha v(η) = ξ∂x η + φ∂u η = 0 v(ζ) = ξ∂x ζ + φ∂u ζ = 1.
(5.77) (5.78)
Az els˝o egyenlet pontosan azt a felt´etelt fejezi ki, hogy η(x, u) legyen invari´ansa a v a´ltal gener´alt csoportnak. Ebb˝ol az al´abbi egyenletet kapjuk du dx = . ξ(x, u) φ(x, u)
(5.79)
Nehezebb viszont a (5.78) egyenletet megoldani. Nem bonyol´odunk tov´abbi r´eszletekbe, legyen annyi elegend˝o, hogy szerencs´es k´ezzel kell a transzform´aci´ot megv´alasztani (ebben legink´abb a tapasztalatot lehet seg´ıts´eg¨ ul h´ıvni) ahhoz, hogy a transzform´alt feladat megold´asa t´enylegesen k¨onnyebb legyen. A megold´as m´asik m´odja egy integr´al´o oszt´o keres´ese. Ebben seg´ıt az al´abbi t´etel. 116
5.9. T´ etel 8.3. T´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy a P dx + Qdu = 0 egyenletnek van egy egyparam´eteres szimmetriacsoportja, amelynek gener´atora v = ξ∂x + φ∂u . Ekkor az R(x, u) =
1 ξ(x, u)P (x, u) + φ(x, u)Q(x, u)
(5.80)
kifejez´es integr´al´o t´enyez˝o. Ugyanakkor jegyezz¨ uk meg, hogy amennyiben ξP + φu ≡ 0, minden (x, u)-ra, akkor nem l´etezik integr´al´o t´enyez˝o. Sajnos, integr´al´o t´enyez˝o csak els˝orend˝ u feladatokhoz l´etezik. 5.1. Feladat Megmutathat´o, hogy integr´al´o oszt´o minden els˝orend˝ u egyenlethez l´etezik. Legyen R(x, u) integr´al´o t´enyez˝o. Ekkor P dx + Qdu = 0 ´es a baloldal teljes differenci´all´ a alak´ıthat´o u ´gy, hogy R-rel szorzunk: RP dx + RQdu = 0
(5.81)
´es ∂(RP )/∂y = ∂(RQ)/∂x, amib˝ol ∂R ∂P ∂Q ∂R P +R =R +Q ∂y ∂u ∂x ∂x
(5.82)
´es
∂ ln R ∂Q ∂P ∂ ln R −Q = − . (5.83) ∂u ∂x ∂x ∂u Ez egy parci´alis differenci´alegyenlet az R integr´al´o t´enyez˝ore. Ezen egyenletnek v´egtelen sok megold´asa van, integr´al´o t´enyez˝o teh´at mindig l´etezik. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy minden P
Q(x, u)
du = −P (x, u) dx
(5.84)
egyenlethez tal´alhat´o egyparam´eteres szimmetriacsoport. Ezt a csoportot a (5.49) egyenlet seg´ıts´eg´evel hat´arozhatjuk meg. Vegy¨ uk azonban ´eszre, hogy nem l´ept¨ unk el˝ore, hiszen egy els˝orend˝ u differenci´alegyenlet megold´as´at visszavezett¨ uk egy m´asik els˝orend˝ u differenci´alegyenlet megold´as´ara. 5.2. Feladat Vizsg´aljuk meg u ´jra a P dx + Qdu = 0 egyenletet. K´epezz¨ uk az M (x, u) = P (x, u)x + Q(x, u)u ´es N (x, u) = P (x, u)x − Q(x, u)u f¨ uggv´enyeket. Ha M (x, u) ≡ 0, akkor 1/N (x, u) integr´al´o oszt´o, ha viszont N (x, u) ≡ 0, akkor 1/M (x, u) integr´al´o oszt´o. Amennyiben az egyenlet homog´en, 1/M (x, u) integr´al´o oszt´o, ha m´eg M = 0 is fenn´all, akkor az egyenlet szepar´alhat´o is ´es y = Cx. Ha viszont N = 0, akkor xy = C. Magasabb rend˝ u egyenletek eset´eben viszont ha ismerj¨ uk az egyenlet egyparam´eteres szimmetriacsoportj´at, cs¨okenteni lehet az egyenlet foksz´am´at eggyel. Vizsg´aljuk az ∆(x, u, u1 , . . . , un ) = 0 117
(5.85)
i
uk fel tov´abb´a, hogy n-edfok´ u k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletet, ahol ui ≡ ddxui . Tegy¨ (5.85) invari´ans egy adott G csoporttal szemben. Vezess¨ uk be az al´abbi u ´j, transzform´alt koordin´at´akat y = η(x, u), w = ζ(x, u), oly m´odon, hogy G transzform´al´odjon egy olyan transzl´aci´ocsoportba, amelynek infinitezim´alis gener´atora v = ∂/∂w. A l´ancszab´aly alkalmaz´as´aval u-nak x-szerinti deriv´altjait helyettes´ıthetj¨ uk u-nak w-szerinti deriv´altjaival, ´es w y-szerinti deriv´altj´aval: dk dk dw ,..., k (5.86) = dk y, w, dxk dy dy valamilyen dk f¨ uggv´enyre. Ezen kifejez´essel pedig az eredeti (5.85) egyenlet az al´abbi alakot o¨lti: e ∆(x, u, u1 , . . . , un ) = 0. (5.87) Az u ´j egyenlet szint´en invari´ans lesz a G csoporttal szemben, ´es az (y, w) v´altoz´ok szerinti ∂ lesz. Az egyenlet G-vel szembeni invarianci´aj´ab´ol k¨ovetkezik, prolong´aci´o pr(n) v = ∂w hogy a transzform´alt egyenlet w szerinti parci´alis deriv´altja elt˝ unik (v.¨o. (5.76) egyenlet). Ez viszont azt jelenti, hogy l´etezik olyan egyenlet, amely f¨ uggetlen w-t˝ol (de nem f¨ uggetlen w deriv´altjait´ol). Ezzel az egyenlet foksz´am´at cs¨okkentett¨ uk eggyel.
5.4.
Algoritmusok
A Lie-csoportok alkalmaz´asa jelent˝os lend¨ uletet kapott a kilencvenes ´evekben, miut´an Ovscsinnikov ´es Ibragimov munk´ait kiadt´ak angol nyelven is. Az angol nyelv˝ u irodalomban els˝osorban Olver munk´ai ir´any´ıtott´ak r´a a figyelmet erre a ter¨ uletre. A meg´ ujult figyelem egyik k¨ovetkezm´enye egy sor algoritmus, amellyel a vizsg´alat automatikusan elv´egezhet˝o. Arr´ol van ugyanis sz´o, hogy a szimmetriaanal´ızis ugyan fogalmilag neh´ez, a´m az elv´egzend˝o sz´am´ıt´asok meglehet˝osen egyszer˝ uek. R¨oviden ismertej¨ uk az alkalmazott m´odszereket (W. Hereman munk´aja alapj´an). Ahogyan kor´abban megfogalmaztuk, itt egy egyenlet (algebrai vagy differenci´alegyenlet) szimmetri´aj´an egy egyszer˝ u ponttranszform´aci´ot ´ert¨ unk, amely az X × U t´er diffeomorfizmus´at jelenti. Ezt az´ert fontos hangs´ ulyozni, mert m´as ´ertelemben is szok´as egy (differenci´al) egyenlet szimmetri´aj´at eml´ıteni. ´Igy nemlok´alis szimmetr´ar´ol, dinamikus szimmetri´ar´ol, a´ltal´anos´ıtott (Lie-B¨acklund) szimmetri´ar´ol is szok´as besz´elni. Ezekr˝ol a CRC Handbbok of Lie Group Analysis-ben tal´al inform´aci´ot az olvas´o. A Lieszimmetri´ak meghat´aroz´asa differenci´alalgebrai m´odszerekkel t¨ort´enik. Az els˝o l´ep´es a Lie-szimmetri´akat meghat´aroz´o egyenlet kisz´am´ıt´asa. Ebben k´et f˝o m´odszert alkalmaznak, vektorterek prolong´aci´oj´at vagy differenci´alis form´akat. A harmadik m´odszer, a form´alis szimmetri´ak, k´et f¨ uggetlen v´altoz´ora korl´atoz´odik, itt nem foglalkozunk vele r´eszletesebben (Ld. Mihailov, Sabat ´es Szokolov k¨onyv´et).
118
5.4.1.
A Lie-szimmetri´ akat meghat´ aroz´ o egyenlet kisz´ am´ıt´ asa
A megoldand´o egyenletekb˝ol kell el˝oa´ll´ıtani azt az egyenletet, amelynek a vizsg´alt egyenlet szimmetri´ai eleget tesznek. Ahogyan az 5. fejezetben l´attuk, a Lie-csoport gener´ator´at egy r´eszhalmazon elt˝ un˝o f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel lehet megadni. Az egyenletnek polinom foksz´am´ unak kell lennie minden v´altoz´oban. Vektorterek prolong´ aci´ oja Ezt az elj´ar´ast r´eszleteiben ismertett¨ uk az 5. fejezetben. Az algoritmus ¨ot l´ep´esb˝ol a´ll. 1. K´epezz¨ uk a (5.48) megoldand´o egyenletrendszer v oper´atorait (5.50) szerint. Itt az x vektor komponenseinek sz´ama p, a keresett u f¨ uggv´enyek sz´ama pedig q. A prolong´aci´ot (5.49) szerint kell meghat´arozni. 2. Alkalmazzuk a prolong´aci´ot a megoldand´o egyenletekre, ´ıgy jutunk a (5.54) egyenletekhez. Ez az egyenletrendszer biztos´ıtja, hogy minden v gener´atora lesz a megoldand´o egyenlet szimmetriacsoportj´anak, mivel v megold´ast megold´asba fog transzform´alni. 3. V´alasszuk ki az u(n) vektor ` komponens´et, legyenek a kiv´alasztott komponensek v (1) , . . . , v (`) . A kiv´alaszt´as az al´abbiak szerint t¨ort´enik: • Minden v i legyen egyenl˝o valamely uα deriv´altj´aval. A deriv´alt legyen legal´abb els˝orend˝ u valamely xk v´altoz´oban. • Egyik v (i) se legyen egyenl˝o valamely v (j) (j 6= i) deriv´altj´aval. • A fenti v´alaszt´as mellett a (5.48) egyenlet megoldhat´o a v (i) -kre a marad´ek uβ -k (ezeket w-vel jel¨olj¨ uk) seg´ıts´eg´evel. ´Igy v (i) = S (i) (x, w). • Ekkor a v (i) f¨ uggv´enyek DJ deriv´altjait (v.¨o. (5.54)) ki lehet fejezni w-vel ´es deriv´altjaival. Megjegyezz¨ uk, hogy ez megszor´ıt´asokat r´o a megoldand´o egyenletekre. Ugyanakkor a 3. pontban eml´ıtett v i v´altoz´ok kiv´alaszt´asa gyakran trivi´alis. Vegy¨ uk p´eldak´ent az al´abbi egyenletet: ∂uα (x1 , . . . , xp−1 , t) = F α (x1 , . . . , xp−1 , t, u(n) ). ∂t
(5.88)
ahol α = 1, . . . , ` ´es uα -b´ol hi´anyzik a t v´altoz´o szerinti deriv´alt. Ekkor trivi´alis α v´alaszt´as a v α = ∂u . ∂t 4. A v α = S α (x, w) egyenlet seg´ıts´eg´evel elimin´aljuk v α -t ´es deriv´altjait (5.54)-b˝ol. A kapott kifejez´es polinomja lesz au ukJ -knek. 5. A (5.48)-ban szerepl˝o egy¨ utthat´of¨ uggv´enyek meghat´aroz´asa u ´gy t¨ort´enik, hogy a deriv´altak egy¨ utthat´oit null´aval tessz¨ uk egyenl˝ov´e (5.54)-ben. 119
Az algoritmusban az xi , uα ´es uαJ v´altoz´okat f¨ uggetlennek tekintj¨ uk. V´egeredm´enyk´ent (5.54)-b˝ol egy line´aris, homog´en PDE-rendszert kapunk a v oper´atorban szerepl˝o ξi ´es φi f¨ uggv´enyekre. Ezt az egyenletet defin´ıci´os egyenletnek nevezz¨ uk, minthogy meghat´arozza a (5.48) egyenletrendszer szimmetri´ait, ez´altal nyer konkr´et ´ertelmet a prolong´aci´o. Differenci´ al form´ ak Infinitezim´alis szimmetri´ak el˝o´all´ıthat´oak a Cartan a´ltal kidolgozott differenci´alkalkulus seg´ıts´eg´evel. A k´erd´es r´eszletei ir´ant ´erdekl˝od˝o olvas´onak Harrison ´es Estabrook cikk´et aj´anlom.
5.4.2.
Az egyenlet kanonikus alakra hoz´ asa
A Lie-csoport meghat´aroz´as´ahoz a csoportot meghat´aroz´o differenci´alegyenletet meg kell oldani, azaz, integr´alni kell. Ehhez el˝osz¨or az egyenleteket egyszer˝ u alakra (a kanonikus alakra) kell hozni. Itt norm´al, orton´om, invol´ ut´ıv ´es passz´ıv form´akr´ol valamint Gr¨obnerb´azisr´ol lehet besz´elni.
5.4.3.
A Lie-csoport meghat´ aroz´ asa
A Lie-csoportot meghat´aroz´o egyenlet megold´as´ara egy line´aris, homog´en parci´alis differenci´alegyenletrendszert kell megoldani.
5.4.4.
Szimbolikus algoritmusok
Sz´amos algoritmus el´erhet˝o az interneten. Ezek t¨obbs´ege ismert szimbolikus nyelvekhez (MATHEMATICA, MAPLE, REDUCE) kapcsol´odik. AZ al´abbi t´abl´azatban k¨oz¨olj¨ uk n´eh´any program el´erhet˝os´eg´et. Kb. 16-20 algoritmus le´ır´asa tal´alhat´o W. Hereman munk´aj´aban. 5.1. Feladat A SYMMGRP.MAX csomag seg´ıts´eg´evel Nucci meghat´arozta a magnetohidrodinamikai egyenletek szimmetricsoportj´at. Az al´abbiakban a sz´am´ıt´as eredm´eny´et k¨oz¨olj¨ uk. A vizsg´alt egyenletek: ∂v + (v∇)ρ + ρ∇v = 0 (5.89) ∂t 1 ∂v + (v∇)v + ∇(p + H2 ) − (H∇)H = 0 (5.90) ρ ∂t 2 ∂H + (v∇)H − (H∇)v = 0 (5.91) ∂t ∇H = 0 (5.92) ∂ p p + (v∇) = 0 (5.93) κ ∂t ρ ρκ 120
5.4. t´abl´azat. Programok egyenletek szimmetri´aj´anak meghat´aroz´as´ara Program Nyelv Szerz˝ o e-mail DIFFGROB2 MAPLE E. Mansfield [email protected] LIE REDUCE V. Eliseev CPC Program Library n´ev: AABS Lie MATHEMATICA G. Baumann WOLFRAM MATHSOURCE MathSym MATHEMATICA S. Herod sherod@newton. colorado.edu NUSY REDUCE M. C. Nucci [email protected]. unipg.it symmgroup.c MATHEMATICA D. B´erub´e & Mon- berube@genesis. ulatigny val.ca SYMMGRP.MAX MACSYMA W. Hereman [email protected]. colorado.edu SPDE REDUCE F. Schwartz [email protected] Liesymm MAPLE J. Carminati et al. wmsi@daisy. uwaterloo.ca ahol p a nyom´as, ρ a s˝ ur˝ us´eg, κ a viszkozit´as, v a k¨ozeg sebess´ege, H a m´agneses t´erer˝o. Az els˝o egyenlet seg´ıts´eg´evel az utols´o egyenletb˝ol kik¨ usz¨ob¨olhet˝o a s˝ ur˝ us´eg: ∂p + κp(∇v) + (v∇)p = 0. ∂t
(5.94)
Amennyiben a vektorok komponenseit is figyelembe vessz¨ uk, kilenc egyenletr˝ol van sz´o. A f¨ uggetlen v´altoz´ok az id˝o ´es a h´arom helykoordin´ata: x, y ´es z. A f¨ ugg˝o v´altoz´ok a sebess´eg h´arom komponense vx , vy ´es vz , a t´erer˝o h´arom komponense Hx , Hy ´es Hz , a s˝ ur˝ us´eg ρ ´es a nyom´as p. Tekints¨ uk a κ 6= 0 esetet. A gener´atorokban 222 egyenlet hat´arozza meg a gener´atorokban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket. A gener´ator alakja: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ηy + ηz + η t + ϕρ + ϕp ∂x ∂y ∂z ∂t ∂ρ ∂p ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +ϕvx + ϕvy ϕvz + ϕHx + ϕHy + ϕHz ∂vx ∂vy ∂vz ∂Hx ∂Hy ∂Hz α = ηx
(5.95) (5.96)
A meghat´aroz´o egyenletek integr´al´asa ut´an az egy¨ utthat´o f¨ uggv´enyekre az al´abbiakat kap-
121
juk: ηx ηy ηz ηt ϕρ ϕp ϕvx ϕvy ϕvz ϕHx ϕHy ϕHz
= = = = = = = = = = = =
k2 + k3 t − k8 y − k9 z + k1 1x k3 + k6 t + k8 x − k10z + k11 y k4 + k7 t + k9 x − k10 z + k11 z k1 + k12 t − 2(k11 − k12 − k13 )ρ 2k13 p k5 − k8 vy − k9 vz + (k11 − k12 )vx k6 + k8 vx − k10 vz + (k11 − k12 )vy k7 + k9 vx + k10 vy + (k11 − k12 vz k13 Hx − k8 Hy − k9 Hz k13 Hy + k8 Hx − k10 Hz k13 Hz + k9 Hx + k10 Hy .
(5.97) (5.98) (5.99) (5.100) (5.101) (5.102) (5.103) (5.104) (5.105) (5.106) (5.107) (5.108)
Mivel a fenti f¨ uggv´enyekben 13 ´alland´o szerepel, a gener´atorok egy 1 dimenzi´os Liealgebr´at fesz´ıtenek ki. Minden egyes dimenzi´ohoz rendelhet˝o egy csoport, az al´abbiak szerint: G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11 G12 G13
= = = = = = = = = = = = =
∂t ∂x ∂y ∂z t∂x + ∂vx t∂y + ∂vy t∂z + ∂vz x∂y − y∂x + vx ∂vy − vy ∂vx + Hx ∂Hy − Hy ∂Hx y∂z − z∂y + vy ∂vx − vz ∂vy + Hy ∂Hz − Hx ∂Hy z∂x − x∂z + vz ∂vz − vx ∂vz + Hz ∂Hz − Hx ∂Hz x∂x + y∂y + z∂z − 2ρ∂ρ + vx ∂vx + vy ∂vy + vz ∂vz t∂t + 2ρ∂ρ − (vx ∂vx + vy ∂vy + vz ∂vz ) 2ρ∂ρ + 2ρ∂p + Hx ∂Hx + Hy ∂Hy + Hz ∂Hz
(5.109) (5.110) (5.111) (5.112) (5.113) (5.114) (5.115) (5.116) (5.117) (5.118) (5.119) (5.120) (5.121)
G2 -G4 transzl´aci´ot ´ırnak le, G5 -G7 a Gallilei-transzform´aci´ot ´ırja le, G8 -G10 forgat´asokat jelent, G11 -G13 dilat´aci´okat ´ır le.
122
5.5.
Szimmetri´ ak ´ es megmarad´ asi t´ etelek
A fizik´aban a´ltal´anos ´erv´eny˝ u megmarad´asi elvek ´erv´enyesek, ilyen pl. az energiamegmarad´as elve. A mozg´asegyenletek megold´asa sor´an ezeket a megmarad´o mennyis´egeket fel lehet haszn´alni, pl. a vizsg´alt test p´aly´aj´at a test megmarad´o mennyis´egei alapj´an adott oszt´alyba lehet sorolni. Emmy Noether a XX. sz´azad elej´en megmutatta, hogy a megmarad´asi t¨orv´enyek kapcsolatban a´llnak a mozg´asegyenletekkel. A mozg´asegyenleteknek az id˝obeli eltol´asok csoportj´aval szembeni invarianci´aja vezet az energiamegmarad´ashoz. Ezzel siker¨ ult kapcsolatot teremteni a vizsg´alt egyenlet szimmetriacsoportja ´es a megmarad´o mennyis´egek k¨oz¨ott. A Noether-t´etel alkalmazhat´os´ag´ahoz egy vari´aci´os form´at kell a vizsg´alt probl´em´ahoz tal´alni u ´gy, hogy a vari´aci´os probl´ema Euler–Lagrange-egyenlete pontosan a vizsg´alt egyenlet legyen. Sajnos a vizsg´alt egyenlet nem minden szimmetriacsoportja vezet egy megmarad´asi t´etelhez. Csak azok a csoportokhoz tartozik megmarad´o mennyis´eg, amelyek kiel´eg´ıtenek egy tov´abbi ”vari´aci´os” felt´etelt. Az al´abbiakban el˝osz¨or megfogalmazzuk a vari´aci´os feladatot, azut´an megadjuk, mit nevez¨ unk megmarad´asi t´etelnek.
5.5.1.
Vari´ aci´ os feladat
Keress¨ uk az u = f (x) f¨ uggv´enyt (u ∈ Rq , v ∈ Rp ), amely mellett az Z L[u] = L(x, u(n) )dx
(5.122)
Ω
funkcion´al sz´els˝o´ert´eket (minimumot vagy maximumot) vesz fel. Itt Ω ∈ Rp tartom´any, amelynek hat´ara megfelel˝oen sima. Az integr´al alatt ´all´o kifejez´est az L funkcion´al Lagrange-f¨ uggv´eny´enek nevezik. L sima f¨ uggv´enye x-nek ´es u deriv´altjainak. Az L funkcion´al vari´aci´os deriv´altj´anak nevezz¨ uk az al´abbi, egy´ertelm˝ uen meghat´arozott q elem˝ u vektort: δL[u] = (δ1 L[u], . . . , δq L[u]) (5.123) amely rendelkezik az Z d L[f + εη] = δL[f (x)]η(x)dx dε ε=0 Ω
(5.124)
tulajdons´aggal minden u = f (x) sima, Ω-n ´ertelmezett f¨ uggv´eny eset´en. η(x) = (η 1 (x), . . . , η q (x)) egy Ω-n ´ertelmezett sima f¨ uggv´eny, tov´abb´a f + εη kiel´eg´ıti a peremfelt´etelt, amely a sz´oba j¨ov˝o f¨ uggv´enyt´er elemeire ki van r´ova. ´Igy ε f¨ uggv´enyek´ent L[f + εη]-nak sz´els˝o´ert´eke kell hogy legyen ε = 0-n´al.
123
Az Eα Euler-oper´atorok 1 ≤ α ≤ q-ra: X ∂ Eα = (−D)J α . ∂uJ J
(5.125)
Az u = f (x) f¨ uggv´eny, amelyre teljes¨ ul δL[u] = 0
(5.126)
Eν (L) = 0, ν = 1, . . . , q
(5.127)
∆(x, u(n) ) = 0
(5.128)
kiel´eg´ıti az Euler-Lagrange egyenleteket. Tekints¨ uk egy alak´ u differenci´alegyenlet-rendszert. Megmarad´asi t¨orv´enynek nevezz¨ uk a DivP = 0
(5.129)
kifejez´est, amely a differenci´alegyenlet-rendszer minden u = f (x) megold´as´ara elt˝ unik. (n) (n) Itt P = (P1 (x, u ), . . . , Pp (x, u )) egy p elem˝ u vektor, amelynek elemei sima f¨ uggv´enyei x-nek,u-nak ´es u deriv´altjainak. Tov´abb´a, DivP = D1 P1 + · · · + Dp Pp .
(5.130)
Ez a megmarad´asi t¨orv´eny a k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek egy tulajdons´ag´anak k´ezenfekv˝o ´altal´anos´ıt´asa a parci´alis differenci´alegyenlet-rendszerekre. A fizik´aban gyakori dinamikai feladatokban az egyik v´altoz´o az id˝o, a t¨obbi v´altoz´o a helyv´altoz´ok ¨osszess´ege x = (x1 , . . . , xp ). A megmarad´asi t¨orv´eny alakja ebben az esetben Dt T + DivX = 0.
(5.131)
Itt T megmarad´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, X = (X1 , . . . , Xp ) pedig ´aram, melynek komponensei f¨ uggv´enyei x, t ´es u-nak, valamint u deriv´altjainak. Legyen Ω ⊂ Rp egy t´erbeli tartom´any, u = f (x, t) egy megold´asa a (5.128) egyenletnek, amely defini´alt minden x ∈ Ω ´es t ∈ [a, b]-re. Tekints¨ uk az Z FΩ [f ](t) = T (x, t, pr(n) f (x, t))dx (5.132) Ω
funkcion´alt, amely adott f ´es Ω eset´en csak t-t˝ol f¨ ugg. Tegy¨ uk fel, hogy T megmarad´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, X a megfelel˝o a´ram, amely a (5.128) rendszer megold´as´ab´ol sz´armaztathat´o. Ekkor b´armely korl´atos Ω ⊂ Rp tartom´anyra, amelynek ∂Ω hat´ara sima, ´es b´armely u = f (x) megold´asra teljes¨ ul Z tZ FΩ [f ](t) − FΩ [f ](a) = − X(x, τ, pr(n) f (x, τ ))dsdτ (5.133) a
∂Ω
124
Ford´ıtva, amennyiben (5.133) teljes¨ ul minden fenti tartom´anyra ´es u = f (x) megold´asra, akkor T ´es X meghat´aroz egy megmarad´asi t¨orv´enyt. 5.1. Feladat Legyen a Lagrange-f¨ uggv´eny L(x, u), vagyis p = q = 1, a f¨ uggetlen v´altoz´ o x, a f¨ ugg˝o v´altoz´o u. Mivel (5.125)-ben csak α = 1 fordul el˝o, az indexet nem ´ırjuk ki: E=
∞ X
∂ ∂ ∂2 ∂ = − Dx + Dx2 − .... ∂uj ∂u ∂ux ∂uxx
(−Dx )j
j=0
(5.134)
Itt Dx = d/dx, uj = dj /dxj . Az Euler-Lagrange egyenlet: ∂L ∂L ∂L − Dx + Dx2 − ... ∂u ∂ux ∂uxx
E(L) =
(5.135)
A Qα (x, u) = φα −
p X
ξ i uαi ,
(5.136)
i=1
kifejez´esb˝ol fel´ep´ıtett Q = (Q1 , . . . , Qq ) vektort a v vektormez˝o (oper´ator) karakterisztik´aj´anak nevezz¨ uk. A karakterisztika seg´ıts´eg´evel a prolong´aci´oban (v.¨o. (5.51)) szerepl˝o uggv´eny, ´es vele a prolong´aci´o ´ıgy ´ırhat´o: φJα f¨ φJα
= DJ Qα +
p X
ξ i uαJ,i
(5.137)
i=1
pr(n) v =
q X X α=1
J
# " q q X X X ∂ ∂ ∂ DJ Qα α + uαJ,i α . ξi ∂uj ∂x ∂uJ i α=1 J i=1
5.10. T´ etel (Noether t´ etele) Legyen adott az Z L[u] = L(x, u(n) dx
(5.138)
(5.139)
vari´aci´os feladat. Legyen a G egyparam´eteres csoport infinitezim´alis gener´atora v=
p X i=1
q
X ∂ ∂ φα (x, u) α , ξ (x, u) i + ∂x ∂u α=1 i
(5.140)
´es legyen G a (5.139) feladat szimmetriacsoportja. Legyen tov´abb´a a v-nek megfelel˝ o α α i karakterisztika (5.136), ahol ui = ∂u /∂x . Ekkor Q = (Q1 , . . . , Qq ) az Euler–Lagrangeegyenlet karakterisztik´aja is, vagyis, l´etezik olyan P (x, um ) = (P1 , . . . , Pp ) vektor, amelyre X DivP = QE(L) = Qν Eν (L) (5.141) ν=1
egy megmarad´asi egyenlet karakterisztika form´aban, ´espedig az E(L) = 0 Euler–Lagrangeegyenlete. 125
A fentiek alapj´an megfogalmazhat´o, mit nevez¨ unk egy vari´aci´os feladat szimmetriacsoportj´anak. Legyen ´ertelmezve a G lok´alis transzform´aci´ocsoport hat´asa az M ⊂ Ω0 ×U sokas´agon. G-t az Z L[u] = L(x, u(n) )dx (5.142) Ω0
funkcion´al vari´aci´os szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk, amelyben az Ω tartom´any lez´ar´asa, Ω ⊂ Ω0 , tov´abb´a u = f (x) sima f¨ uggv´eny, amely ´ertelmezve van Ω-ban, g¨orb´eje pedig M-ben helyezkedik el. Tov´abb´a, g ∈ G olyan, hogy u e = fe(e x) = gf (e x) egy´ert´ek˝ u e f¨ uggv´eny, amely defini´alva van Ω-ban, akkor Z Z (n) e L(x, pr(n) f (x))dx. (5.143) x))de x= L(e x, pr f (e Ω
e Ω
Egy megmarad´asi egyenlet karakterisztik´aj´at a k¨ovetkez˝o m´odon vezetj¨ uk be. Tekints¨ uk a ∆(x, u(n) ) = 0 (5.144) nem degener´alt differenci´alegyenlet-rendszert. Ezen egyenletrendszer minden u = (u1 , . . . , uq ) megold´as´ab´ol k´epzett P = (P1 , . . . , Pp ) f¨ uggv´eny, amely f¨ uggv´enye x = (x1 , . . . , xp )-nek, 1 q u = (u , . . . , u )-nak ´es u deriv´altjainak, akkor ´es csak akkor t˝ unik el, ha l´eteznek olyan (m) J uggv´enyek, amelyekkel fenn´all Qν (x, u ) f¨ X DivP = QJν DJ ∆ν (5.145) ν,J
minden (x, u)-ra. Parci´alis integr´al´as ut´an a fenti kifejez´es a´talak´ıthat´o egy u ´j R(x, u) f¨ uggv´enyre ´es egy marad´ekra, azaz, DivP = DivR +
` X
Qν ∆ν ≡ DivR + Q∆.
(5.146)
ν=1
A marad´ekban szerepl˝o ` elem˝ u vektor komponensei: X Qν = (−D)J QJν
(5.147)
J
´es R = (R1 , . . . , Rp ). Mivel DivP = 0 minden megold´asra, azt l´atjuk, hogy R line´aris f¨ uggv´enye a (5.144) differenci´alegyenlet-rendszert alkot´o egyenleteknek. L´atjuk teh´at, hogy DivP = 0 ´es Div(P − R) = Q∆. (5.148) A (5.148) egyenletet nevezz¨ uk a (5.145) megmarad´asi t¨orv´eny karakterisztik´aj´anak.
126
Amennyiben ` = 1, a Q karakterisztika egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. 1 < ` ≤ q eset´en a Q karakterisztika m´ar nem egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. Legyen p´eld´aul Div(P − R) = Q∆
(5.149)
e Div(P − R) = Q∆.
(5.150)
´es e Ekkor Q∆ = Q∆, de mivel a ∆ differenci´alegyenlet-rendszer nem degener´alt, ez´ert e Q − Q = 0 minden u megold´asra. (Eml´ekezz¨ unk, P f¨ ugg x-t˝ol ´es u-t´ol, tov´abb´a u deriv´altjait´ol is.) ´Igy val´oj´aban nem egyetlen megmarad´asi egyenletr˝ol, hanem egy ekvivalenciaoszt´alyr´ol van sz´o.
127
6. fejezet Krist´ alyr´ acsok oszt´ alyoz´ asa
128
A f´emes krist´alyok le´ır´as´ara sikerrel alkalmazz´ak az u ´.n. szabadelektron modellt. Ennek l´enyege, hogy az elektromosan semleges krist´aly periodikus szerkezet´eben az atommaghoz tartoz´o elektronok k´et csoportra oszthat´oak. Egy r´esz¨ uk a maghoz k¨ot˝odik, ezen elektronok k¨ot¨ott a´llapotban tal´alhat´oak a krist´aly valamely poz´ıci´oj´aban tal´alhat´o atommag k¨or¨ ul. A k¨ot¨ott energi´aj´ u a´llapotokat a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekeinek seg´ıts´eg´evel lehet azonos´ıtani. A k¨ot¨ott elektron a´llapot´at nagyr´eszt1 a lok´alis viszonyok (mag-elektron k¨olcs¨onhat´as) hat´arozz´ak meg. Az elektronok egy r´esze viszont nincs k¨ot¨ott a´llapotban, ezek az elektronok a r´acs eg´esz´eben tal´alhat´oak elosztva. Tekintettel arra, hogy a r´acshelyeken visszamarad´o pozit´ıv t¨olt´esek ¨osszege megegyezik a szabad elektronok negat´ıv t¨olt´es´enek ¨osszeg´evel, j´o k¨ozel´ıt´es a krist´aly viselked´es´et u ´gy le´ırni, mintha egyetlen elektron mozogna szabadon. Az elektron energiaszintjeinek meghat´aroz´as´ahoz a Hamilton-oper´ator saj´at´ert´ekeit kell meghat´arozni: ~ p2 (6.1) + V (r) Ψ(r) = EΨ(r). HΨ(r) = − i 2me Amennyiben a r´acs peri´odikus, c´elszer˝ u peremfelt´etelk´ent a r´acs periodikusan ism´etl˝od˝o egys´eg´enek (az elemi cell´anak) fel¨ ulet´en a periodicit´ast megk¨ovetelni. Ezzel a f´emek t´argyal´as´at egy perem´ert´ek-probl´ema megold´as´ara vezett¨ uk vissza. Az egyes r´acsok elektonszerkezete elt´er˝o, ennek meg´ert´es´ehez az adott r´acshoz tartoz´o szabad elektron energi´aj´at (Fermi-energi´at) kell meghat´arozni. Az egyes r´acsok tulajdons´agait a r´acsot alkot´o atomok vagy molekul´ak t´erbeli szerkezete illetve a r´acs geometri´aja szabja meg. Nem meglep˝o h´at, hogy a le´ır´asban nagy szerepet kap a r´acsok geometriai szimmetri´aja.
6.1.
A krist´ alyok szerkezete
A szil´ardtest fizika kit¨ untetett t´argya egy v´egtelen, szab´alyos szerkezet. Ezt a szerkezetet krist´alynak nevezik. Nem minden szil´ard anyag periodikus, a nem periodikus szil´ard anyagokat amorf anyagnak nevezik ´es k´ıv¨ ul esnek a szil´ardtest fizika t´argyk¨or´en. A szil´ardtest fizika teh´at szab´alyos szerkezet˝ u krist´alyokat vizsg´al. A 2 fejezetben megmutattuk, hogy egy V t´erfogat szimmetri´ai v´altozatlanul hagyj´ak a V t´erfogat egy pontj´at. Ezek a szimmetri´ak egy csoportot alkotnak, a csoportot pontcsoportnak nevezik. Mag´anak a V t´erfogatnak a jellemz´es´ere j´ol felhaszn´alhat´o V szimmetriacsoportja. A krist´alyok oszt´alyoz´as´anak alapja szint´en a v´egtelen r´acsot ¨onmag´aba transzform´al´o csoport. Tekints¨ uk azt a csoportot, amely v´altozatlanul hagyja a r´acs egy adott P pontj´at. Ez a csoport az al´abbi transzform´aci´okat tartalmazhatja: • diszkr´et sz¨og˝ u forgat´asok P -n a´tmen˝o tengely k¨or¨ ul; 1
Az elektron´ allapotok pontos energi´ aj´ at term´eszetesen egy sokr´eszecske feladat megold´asa adja.
129
• egy P -n a´tmen˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´esek. A krist´aly a fentieken k´ıv¨ ul tartalmazza ez eltol´ast, mint szimmetri´at. Ez azt jelenti, hogy a krist´alyt azonos elemek ism´etl˝od´es´eb˝ol fel´ep¨ ul˝o strukt´ ur´anak tekintj¨ uk, nincsenek benne egyedi helyek. Emiatt a hib´akat is tartalmaz´o krist´aly vizsg´alat´aval nem foglalkozunk.
6.1.1.
A s´ık ´ es a t´ er szimmetri´ ai
Az ir´any´ıt´astart´o transzform´aci´okat forgat´asoknak nevezz¨ uk. Az al´abbiakban a s´ık k´et, v´eges automorfizmus csoportj´aval foglalkozunk. 6.1. T´ etel A s´ık v´eges forg´ascsoportjai ciklikusak. Egy n-edrend˝ u csoport egy adott pont k¨or¨ uli diszkr´et, k2π/n sz¨og˝ u forgat´asokb´ol ´all, ahol k = 0, . . . , n − 1. A s´ık forg´ascsoportjait Cn -nel jel¨olj¨ uk, ez a szab´alyos n-sz¨og szimmetriacsoportja. Amennyiben a Cn csoportot kieg´esz´ıtj¨ uk a szab´alyos n-sz¨og szimmetriatengelyeire vett t¨ ukr¨oz´esekkel, a 2n elem˝ u Dn diadikus csoportot kapjuk. A k´et elem˝ u D1 csoportot egyetlen t¨ ukr¨oz´es gener´alja, a n´egy elem˝ u D2 csoportot pedig az x ´es y tengelyre val´o t¨ ukr¨oz´esek gener´alj´ak. A h´aromdimenzi´os t´erben a v´eges forg´ascsoportok a szab´alyos poli´ederekhez k¨ot˝odnek. Legyen P egy korl´atos, konvex poli´eder a h´aromdimenzi´os t´erben. P z´aszl´oj´anak h´ıvjuk az F = {P0 , , P1 , P2 } halmazt, ha Pi P -nek i dimenzi´os lapja. (P0 –a poli´eder cs´ ucsainak halmaza, P1 –az ´elek halmaza, P2 –a lapok halmaza.) A P poli´eder szab´alyos, ha a P -t v´altozatlanul hagy´o forgat´asok GP csoportja tranzit´ıv P ¨osszes z´aszl´oinak halmaz´an. Ekkor GP rendje P cs´ ucsainak sz´ama szorozva az egy cs´ ucsban ¨osszefut´o ´elek sz´am´aval. A szab´alyos poli´edereket plat´oni testeknek nevezik, ezek: tetra´eder (forg´ascsoportja T ), kocka, okta´eder (forg´ascsoportja N ), dodeka´eder ´es ikoza´eder (forg´ascsoportja Y ). Minden szab´alyos poli´ederhez hozz´atartozik a du´alisa, a du´alis cs´ ucsai a poli´eder lapk¨oz´eppontjai. A poli´eder ´es du´alis´anak azonos a forg´ascsoportja. Az okta´eder du´alisa a kocka, a tetra´eder du´alisa saj´at maga, az ikoza´eder du´alisa a dodeka´eder. A fentiek alapj´an meghat´arozhat´o az eml´ıtett csoportok rendje: |T | = 12, |O| = 24, |Y | = 60. 6.2. T´ etel A h´arom-dimenzi´os t´er forg´ascsoportj´anak v´eges r´eszcsoportjai a k¨ovetkez˝ok: a ciklikus ´es a di´edercsoportok, valamint a tetra´eder, az okta´eder ´es az ikoza´eder forg´ascsoportja. Ha teh´at G a h´arom-dimenzi´os t´er forg´ascsoportj´anak egy r´eszcsoportja, akkor G vagy ciklikus, vagy l´etezik olyan P poli´eder, amelyre G = GP . Mivel azokat a poli´edereket tekintj¨ uk azonos t´ıpus´ uaknak, amelyek nagy´ıt´asokkal, forgat´asokkal egym´asba vihet˝oek, ez´ert az ilyen poli´edereknek megfelel˝o r´eszcsoportok konjug´alt r´eszcsoportjai a t´er forg´ascsoportj´anak. 130
A t´er szimmetri´ainak vizsg´alat´aban haszn´alni fogjuk a Z k´etelem˝ u inverzi´os csoportot, amelynek elemei az egys´egtranszform´aci´o ´es egy adott k¨oz´eppontra (ez a´ltal´aban egy tetsz˝olegesen kiv´alasztott r´acspont) vett t¨ ukr¨oz´es. 6.3. T´ etel A h´arom-dimenzi´os t´er ortogon´alis transzform´aci´oinak nem csak forgat´asokb´ol ´all´o v´eges r´eszcsoportjai a k¨ovetkez˝ok: Cn × Z, Dn × Z, T × Z, O × Z, Y × Z, C2n , Cn , D2n , Dn , Cn , OT . 6.4. T´ etel Rn minden diszkr´et r´eszcsoportja izomorf Zn -nel. Minden ilyen r´eszcsoport n darab line´arisan f¨ uggetlen vektor, a1 , . . . , an ¨osszes eg´eszPegy¨ utthat´os line´aris kombin´aci´oib´ol ´all. Az ilyen csoportokat r´acsoknak nevezz¨ uk. A i pi ai tartom´any 0 ≤ pi ≤ 1 eset´en a r´acsnak fundament´alis tartom´anya. Ez a tartom´any az ai vektorok ´altal kifesz´ıtett paralellepipedon. Az n = 2 esetben az R2 s´ık egy C komplex s´ıknak tekinthet˝o, amelynek z pontj´at az (x, y) koordin´at´akb´ol z = x+iy rel´aci´oval kapjuk. Ha G egy C-beli r´acs, akkor a G\C faktort´er rendelkezik C strukt´ ur´aj´aval. A faktort´eren ´ertelmezett meromorf komplex f¨ uggv´enyek invari´ansak a z 7→ z + g, g ∈ G eltol´asokkal szemben. Ezek elliptikus f¨ uggv´enyek, ld. 10.3. fejezet. 6.5. T´ etel Legyen G egy krist´alycsoport, azaz, a krist´alyr´acs automorfizmusainak egy csoportja. G-ben az eltol´asok T -vel jel¨olt r´eszcsoportja v´eges index˝ u norm´aloszt´o,melyre T \Rn (itt n = 2, 3) kompakt. Ezzel a krist´alyokat oszt´alyoztuk tiszt´an matematikai szempontok alapj´an. A fenti t´etel szerint minden krist´alyban l´etezik egy elemi cella, amelynek pontjai ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyt alkotnak. Az elemei cella p´aly´aja a r´acs szimmetri´ai alatt lefedi az eg´esz kist´alyt. Az ai r´acsvektorok seg´ıts´eg´evel defini´aljuk a reciprokr´acsot, a k¨ovetkez˝o m´odon. Fesz´ıts´ek ki a recirpokr´acsot a bi vektorok, amelyekre teljes¨ ulj¨on: 2π ha i = j ai bj = (6.2) 0 egy´ebk´ent P A b = i pi bi (pi eg´esz) vektorok egy r´acsot fesz´ıtenek ki, a reciprokr´acsot. A br = a´lland´o egyenlet (itt b a´lland´o P vektor) a b vektorra mer˝oleges s´ıkot ´ır le, a s´ık t´avols´aga az orig´ot´ol ´alland´o|b|.P Azon r = i ni ai pontok halmaza, amelyek rajta vannak az eml´ıtett s´ıkon, kiel´eg´ıtik a i ni pi = ´alland´o egyenletet. A fentiek szerint minden recipror´acsvektornak megfelel a krist´aly p´arhuzamos s´ıkjainak egy halmaza. A fenti egyenletben pi -k v´alaszthat´oak relat´ıv pr´ımeknek. A pi -ket az adott s´ık Miller-index´enek nevezz¨ uk. 131
Az eltol´asokkal szembeni invariancia miatt a v´egtelen r´acs el˝oa´ll´ıthat´o egyetlen egys´egb˝ol eltol´asokkal. A r´acs invari´ans minden X t= ni ai (6.3) i
transzl´aci´oval szemben, ahol ai a legr¨ovidebb, nem z´erus transzl´aci´o, amellyel szemben a r´acs invari´ans. A r´acs invari´ans tov´abb´a bizonyos forgat´asokkal ´es t¨ ukr¨oz´esekkel szemben. A forgat´asok ´es t¨ ukr¨oz´esek le´ır´as´ara a 2.2. fejezetben l´attunk p´eld´at, az eltol´asok ´es forgat´asok egy¨ uttes alkalmaz´as´ara pedig a 4.1. fejezetben. Az al´abbiakban a krist´alyr´acsokat fizikai szempontok alapj´an oszt´alyozzuk. V´alasszunk ki egy r´acspontot, ebb˝ol kiindulva m´erj¨ uk fel az ai vektorokat. Az ´ıgy kapott paralellepipedont elemi cell´anak nevezz¨ uk. Az egym´asba p´arhuzamos eltol´assal ´atvihet˝o r´acspontok ¨osszess´ege alkotja a Bravais-r´acsot. T´erben 14 Bravais-r´acs lehets´eges, ezeket ´ a 6.1.1 a´bra mutatja. Altal´ aban a Bravais-r´acs nem tartalmazza a r´acs minden pontj´at. ´ Altal´aban egy krist´alyr´acs t¨obb, egym´asba tolt Bravais-r´acsb´ol ´ep¨ ul fel. Megfigyel´esek szerint a krist´aly egy sor jelens´egben homog´en, folytonos testk´ent viselkedik. A krist´aly makroszkopikus tulajdons´agai (szil´ards´ag, t¨or´esmutat´o) csak az ir´anyt´ol f¨ uggenek. A szimmetria miatt a krist´alyban l´etezhetnek ekvivalens ir´anyok. Az ekvivalens ir´anyok ment´en a krist´aly makroszkopikus tulajdons´agai azonosak. Mivel az eltol´as nem hoz l´etre ekvivalens ir´anyokat, az ir´anyok szimmetri´aj´at a krist´alyban a szimmetriatengelyek ´es s´ıkok hat´arozz´ak meg u ´gy, hogy a csavartengelyeket ´es cs´ usz´os´ıkokat egyszer˝ u tengelyeknek ´es s´ıkoknak tekintj¨ uk. Ezen szimmetriaelemek o¨sszess´eg´et krist´alyoszt´alynak nevezz¨ uk. Megmutatjuk, hogy az eltol´assal szembeni invariancia csak meghat´arozott forgat´asokat enged meg, mint szimmetri´at. Tekints¨ uk a krist´aly egym´ast´ol a r´acst´avols´agnyira l´ev˝o A ´es B pontjait. Ha A-n ´atmegy egy n-fog´as´ u tengely, akkor az a eltol´assal szembeni invariancia miatt, a B ponton is ´atmegy egy n-fog´as´ u tengely. Legyen B elforgatott k´epe 0 0 B , A elforgatott k´epe pedig A . Szint´en az eltol´assal szembeni invariancia miatt, az A0 B 0 t´avols´ag a eg´eszsz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose lesz, legyen A0 B 0 = pa, ahol p eg´esz. Ezzel a + 2asin(φ − π/2) = a − 2acosφ = ap,
(6.4)
. Ebb˝ol ad´odik: p = 1, 2, 3. Mivel a krist´aly h´ezagmentesen kit¨olti a amib˝ol cosφ = 1−p 2 teret, φ = 2π/n, ahol n eg´esz sz´am. Ebb˝ol k¨ozvetlen¨ ul kapjuk a lehets´eges forgat´asok ´ert´ek´et: n = 2, 3, 4, 6 (ld. 6.1.1 ´abra). Pontcsoportnak nevezz¨ uk a r´acs szimmetri´ainak olyan csoportj´at, amelyek a r´acs egy adott P pontj´at v´altozatlanul hagyj´ak. Itt megjegyezz¨ uk, hogy a krist´alyszerkezet szimmetri´aja k´et l´ep´esben a´llap´ıthat´o meg. El˝osz¨or is a periodikus r´acs (ezt nevezik t´err´acsnak) szimmetri´aj´at kell meghat´arozni, azut´an pedig a r´acs egy adott pontj´aban tal´alhat´o atomcsoport szimmetri´aj´at. A fentiek alapj´an felsorolhatjuk a k´etdimenzi´os krist´alyok pontcsoportjait: 132
• 1: csak az egys´egelemb˝ol ´all a szimmetriacsoport, a r´acs szab´alytalan; • 2: a r´acs minden pontja egy k´etfog´as´ u tengely; • 1m: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy szimmetrias´ık; • 2mm: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy k´etfog´as´ u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık; • 4: a r´acs minden pontja egy n´egyfog´as´ u tengely; • 4mm: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy n´egyfog´as´ u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık; • 3: a r´acs minden pontja egy h´aromfog´as´ u tengely; • 3m: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy h´aromfog´as´ u tengely ´es egy szimmetrias´ık; • 6: a r´acs minden pontja egy hatfog´as´ u tengely; • 6mm: a r´acs minden pontj´an a´tmegy egy hatfog´as´ u tengely ´es k´et, egym´asra mer˝oleges szimmetrias´ık. A pontcsoportokat k´et oszt´alyba sorolj´ak: • szimmorf csoportok, ezek szimmetri´ai t|p alak´ uak, ahol t r´acsvektor, p pedig a Bravais-r´acs pontcsoportj´anak eleme. Szimmorf szimmetriacsoporttal rendelkez˝o krist´alyban nincs csavartengely vagy cs´ usz´os´ık. • nemszimmorf csoportok, amelyek v|p alak´ uak, itt v = t/p, p eg´esz sz´am. Nem szimmorf szimmetriacsoporttal csak olyan krist´aly rendelkezhet, amelyet legal´abb k´et, egym´asba tolt Bravais-r´acs alkot. Vizsg´aljuk meg, hogyan el´eg´ıthet˝o ki a t¨ ukr¨oz´esi szimmetria egy adott s´ıkban. Legyen a k´et koordin´ata tengely ir´any´ u egys´egvektor i ´es j. B´armely k´et r´acspontot ¨osszek¨ot˝o vektort r´acsvektornak nevez¨ unk. Legyen a = ax i + ay j, ´es b = bx i + by j. A t¨ ukr¨oz¨ott 0 0 0 0 vektorok a = ax i − ay j, ´es b = bx i + −by j. a ´es b akkor lesz r´acsvektor, ha a = |a|i ´es b = |b|j, vagyis, a k´et vektor a koordin´ata tengelyek ir´any´aba mutat. Van azonban egy m´asik lehet˝os´eg is: b0 = a − b, azaz, b0x = ax − bx = bx ´es b0y = ay − by = −by . Ez ut´obbi k´et egyenletb˝ol ay = 0, ax = 2bx , azaz, a primit´ıv transzl´aci´os vektorok m´asik lehets´eges v´alaszt´asa: a = |a|i, b = 12 |a|i + by j. Ez a v´alaszt´as centr´alt r´acsot szolg´altat, az els˝o v´alaszt´as eset´en a r´acs olyan cella ism´et´el´esvel ´ep´ıthet˝o fel, amelyben csak a cs´ ucspontokban tal´alhat´o a r´acsot alkot´o atomcsoport. Ez ut´obbit primit´ıv cell´anak nevezz¨ uk.
133
Az al´abbiakban sorravessz¨ uk azokat a szimmetriatranszform´aci´okat, amelyekb˝ol egy krist´alyr´acs szimmetriacsoportja fel´ep´ıthet˝o. M´ar l´attuk, hogy a szimmetricsoport faktorcsoportja az eltol´asok csoportja, ennek indexe minden esetben v´eges. A faktorcsoport lev´alaszt´asa ut´an kapott szimmetri´ak pontcsoportot alkotnak. A pontcsoportok oszt´alyoz´as´aban fontos szerepet kapnak ezek a szimmetri´ak. Figyelemre m´elt´o, hogy hasonl´o m´odon vizsg´alhat´o egy sok atomos molekula szimmetri´aja is, amely fontos szerepet j´atszik a gerjeszt´esi energi´ak ´es a sz´ınk´ep le´ır´as´aban. Egy krist´alyr´acs pontcsoportja az al´abbi alkot´oelemekb˝ol ´allhat: • forg´astengely: Ha a r´acs ¨onmag´ara lek´epezhet˝o valamilyen tengely k¨or¨ uli 360o /n sz¨og˝ u forgat´assal, akkor ezt a tengelyt n-edrend˝ u szimmetriatengelynek nevezz¨ uk. ´ Altal´aban n tetsz˝oleges eg´esz ´ert´eket felvehet, ´am egy r´acs eset´eben csak n = 1, 2, 3, 4 ´es 6 megengedett. Ezeket a tengelyeket digir, trigir, tetragir ´es hexagirnek szokt´ak nevezni. A tengely szok´asos jel¨ol´ese Cn . A forgat´asok egy ciklikus csoportot alkotnak. Ha adott k´et tengely, amelyek egy pontban metszik egym´ast, a k´et tengely k¨or¨ uli forgat´as szorzata egy harmadik, ugyanazon a ponton a´tmen˝o tengely k¨or¨ uli forgat´as. • t¨ uk¨ors´ık: Amennyiben a krist´alyt ¨onmag´ara k´epezi le egy r´acsponton ´atmen˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es, akkor azt mondjuk, a krist´aly rendelkezik t¨ uk¨ors´ıkkal vagy szimmetrias´ıkkal. A s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´est σ-val szok´as jel¨olni. Amennyiben t¨obb szimmetrias´ık is van, azokat egy alkalmas indexszel k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg. A v index egy adott tengelyen a´tmen˝o (f¨ ugg˝oleges) s´ıkra, a h index pedig egy, a tengelyre mer˝oleges (v´ızszintes) s´ıkra utal. A t¨ ukr¨oz´es ism´etelt alkalmaz´asa az egys´egtranszform´aci´ot adja, ez´ert minden t¨ ukr¨oz´es gener´al egy k´etelem˝ u csoportot. K´et, egym´ast metsz˝o s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es szorzata egy forgat´assal egyenl˝o. A forgat´as tengelye a k´et s´ık k¨oz¨os metsz´esvonala, a forgat´as sz¨oge pedig a s´ıkok a´ltal bez´art sz¨og k´etszerese. • szimmetria-k¨oz´eppont: Egy 180o -os elforgat´as ´es a forg´astengelyre mer˝oleges s´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´est (inverzi´ot) alkot. A k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es m˝ uvelet´et I-vel jel¨olj¨ uk. Jel¨olje σh az inverzi´oban szerepl˝o t¨ ukr¨oz´est, ekkor I = C2 σh , ´es mivel C2 I = σh ´es Iσh = C2 , a m´asodrend˝ u tengely, a r´a mer˝oleges tengely ´es ezek metsz´espontj´aban a´ll´o szimmetriak¨oz´eppont nem f¨ uggetlenek, ha k¨oz¨ ul¨ uk kett˝o l´etezik, a harmadik l´ete m´ar k¨ovetkezik. • inverzi´os forg´astengely: Ha a krist´aly lek´epezhet˝o ¨onmag´ara egyidej˝ u 3600 /n sz¨og˝ u forgat´assal ´es inverzi´oval, akkor l´etezik inverzi´os forg´astengely. Egy-, k´et-, h´arom-, n´egy- ´es hatfog´as´ u inverzi´os forg´astengely l´etezik. • forg´astengely, r´a mer˝oleges t¨ uk¨ors´ıkkal: Ekkor a krist´aly lek´epezhet˝o o¨nmag´ara 0 egyidej˝ u 360 /n sz¨og˝ u forgat´assal ´es a forg´astengelyre mer˝oleges σh t¨ ukr¨oz´esel. E szimmetria jele Sn , n ´ert´eke csak 2, 3, 4 ´es 6 lehet. Nyilv´an Sn = σh Cn = Cn σh . 134
2 2 2m 2m Megjegyezz¨ uk, hogy S2m+1 = C2m+1 , azaz tiszta forgat´as, ´altal´aban S2m+1 = C2m+1 2m+1 ´es S2m+1 = σh . Amennyiben Sn -ben szerepl˝o n p´aros, egyidej˝ uleg l´etezik Cn/2 szimmetria (forg´astengely) is. Tov´abb´a, S2 = I.
A felsorolt egyszer˝ u szimmetri´akb´ol o¨sszetett szimmetri´akat hozhatunk l´etre. Az o¨sszetett szimmetri´ak eltol´asok, forgat´asok ´es t¨ ukr¨oz´esek kombin´aci´oi. • forg´astengely, r´a mer˝oleges (egy vagy t¨obb) k´etfog´as´ u tengellyel: ha egy n-edrend˝ u tengelyhez hozz´avesz¨ unk egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengelyt, ez tov´abbi n − 1 m´asodrend˝ u tengely megjelen´es´et eredm´enyezi, o¨sszesen teh´at az n-edrend˝ u tengelyre mer˝olegesen n m´asodrend˝ u tengely jelenik meg. Az ´ıgy megjelen˝o m´asodrend˝ u tengelyeket jel¨ol´esben is megk¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk az U2 jel¨ol´essel. • csavartengely: egy forgat´as ´es a forg´astengely ment´en t¨ort´en˝o eltol´as. A r´acsnak akkor van n-edrend˝ u csavartengelye, ha egy adott tengely k¨or¨ uli 360o /n sz¨og˝ u forgat´assal ´es ugyanazon tengely ment´en valamely d eltol´assal ¨onmag´aba vihet˝o a´t. Ha van n-edrend˝ u csavartengely, a forgat´as ´es az eltol´as n-szeri ism´etl´es´evel a r´acs ¨onmag´ara lek´epezhet˝o, ez´ert d = p/na, ahol p eg´esz, a pedig a r´acs legkisebb peri´odusa a csavartengely ment´en. • cs´ usz´os´ık vagy t¨ uk¨ors´ık: ha a t¨ ukr¨oz´est kombin´aljuk egy, a t¨ ukr¨oz´es s´ıkj´aba es˝o d eltol´assal, u ´j szimmetriaelemet, cs´ usz´os´ıkot vagy t¨ uk¨ors´ıkot kapunk. Nyilv´an d = a/2. Egy r´acs szimmetriacsoportja a Bravais-r´acsok szimmetri´aj´anak r´eszcsoportja, ugyanis a r´acs szimmetri´ai a Bravais-r´acsot is ´es a r´acsot alkot´o atomcsoportot is ¨onmag´ara k´epezi le. Amennyiben a r´acs szimmetri´aja megegyezik a Bravais-r´acs szimmetri´aj´aval, akkor a r´acsot holo´ederesnek nevezik. A Bravais-r´acsokat forgat´asokra ´es t¨ ukr¨oz´esekre vonatkoz´o szimmetri´ai alapj´an krist´alyrendszerekbe sorolj´ak. H´arom dimenzi´oban h´et krist´alyrendszer van. Ha a p´arhuzamos eltol´asokon k´ıv¨ ul a szimmetriak¨oz´eppont a Bravais-r´acs egyetlen szimmetri´aja, akkor a krist´alyrendszerek: 1. triklin. A legalacsonyabb szimmetri´aval rendelkezik, szimmetriacsoportjai C1 , Ci . A triklin rendszernek megfelel˝o Bravais-r´acs elemi cll´aja olyan paralellepipedon, amelyben az ´elek hossz´ us´aga elt´er˝o, a k¨oz¨ott¨ uk l´ev˝o sz¨ogek is k¨ ul¨onb¨oz˝oek. A krist´alyrendszer neve abb´ol sz´armazik, hogy a h´arom krist´alytengely m´as-m´as sz¨oget z´ar be (h´aromhajl´as´ u). 2. monoklin. Szimmetriacsoportjai a Cs , C2 , C2h . A Bravai-r´acs elemi cell´aja egy tetsz˝oleges alap´ u egyenes has´ab. A Bravai-r´acsnak k´et v´altozata is l´etezik, az egyszer˝ u Bravai-r´acsban a r´acspontok a has´ab cs´ ucsaiban helyezkednek el. A m´asodik v´altozat az alaplap-centr´alt r´acs, amelyben a cs´ ucsokon k´ıv¨ ul az oldallapok k¨oz´eppontjaiban is vannak r´acspontok. 135
3. rombos vagy ortogon´alis. A C2v , D2 , D2h pontcsoportoknak felel meg. A Bravaisr´acs elemi cell´aja egy tetsz˝oleges ´elhossz´ us´ag´ u der´eksz¨og˝ u has´ab. A rombos krist´alyrendszerhez n´egy Bravais-r´acs tartozik. Az egyszer˝ u r´acsban a r´acspontok a has´ab cs´ ucsaiban helyezkednek el, az alaplap-centr´alt r´acsban a has´ab k´et szemk¨ozti oldal´anak k¨oz´eppontj´aban, a t´ercentr´alt r´acsban a cs´ ucsokban ´es a has´ab k¨oz´eppontj´aban is vannak r´acspontok; a lapcentr´alt r´acsban pedig minden lap k¨oz´eppontja is r´acspont. 4. tetragon´alis vagy n´egyzetes. A S4 , D2d , C4 , C4h , C4v , D4 , D4h pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy der´eksz¨og˝ u n´egyzetes has´ab. K´et v´altozata l´etezik, az egyszer˝ u ´es a t´ercentr´alt cella. 5. rombo´ederes vagy trigon´alis. A C3 , S6 , C3v , D3 , D3d pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy egyenl˝o oldal´ u rombo´eder. Csak egy v´altozata l´etezik, az egyszer˝ u cella. 6. hexagon´alis. A C3h , D3h , C6 , C6h , C6v , D6 , D6h pontcsoportoknak felel meg. A Bravaisr´acs elemi cell´aja egy hatsz¨og alap´ u egyenes has´ab. Csak egy v´altozata l´etezik, a r´acspontok a has´ab cs´ ucsaiban ´es a hatsz¨og˝ u alaplapok k¨oz´eppontjaiban helyezkednek el. 7. k¨ob¨os. A T, Th , Td , O, Oh pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-r´acs elemi cell´aja egy kocka. H´arom Bravai-r´acs tartozik hozz´a, az egyszer˝ u, a lapcentr´alt ´es a t´ercentr´alt r´acs. A 6.1.1 a´br´an bemutatunk egy t´ercsoportot k´et dimenzi´oban. A r´acspontokat fekete k¨or¨ok, a k´etfog´as´ u tengelyeket fekete ellipszisek jel¨olik. A r´acs elemi cell´aj´at az a, b ´ vektorok fesz´ıtik ki. A cella belsej´eben k´et r´acspont tal´alhat´o. Altal´ aban egy r´acsban 0 0 t¨obb elemi cell´at is kijel¨olhet¨ unk. A rajzon felt¨ untett¨ uk az a , b vektorok ´altal kifesz´ıtett elemi cell´at is. Ebben a cell´aban egy r´acspont tal´alhat´o a cella belsej´eben, k´et r´acspont a cella hat´ar´an. Az v = a/2 vektor a bels˝o poz´ıci´ora mutat´o vektor. Az u ¨res ellipszisek az al´abbi szimmetri´at jel¨olik: k´etfog´as´ u tengely + eltol´as v-vel. A C2 jel¨ol´es k´etfog´as´ u tengelyt jelent, a σy , σ1 , σ2 , σ3 ´es σ4 szimmetrias´ıkokat jel¨olnek. A sz´ammal jel¨olt poz´ıci´okon k¨ovethet˝o a szimmetria hat´asa, pl. σ2 v´altozatlanul hagyja a 4-es pontot, ´es egym´asba transzform´alja a 2 ´es 6 pontokat. A rajzon csavartengelyek is tal´alhat´oak, ezeket g1 , g2 , g3 , g4 ´es g5 jel¨oli, pl. g5 kicser´eli a 4 ´es 7 pontokat. Bel´athat´o, hogy g2 = vC2 . Az olvas´ora b´ızzuk annak bel´at´as´at, hogy a r´acs minden szimmetri´aja el˝o´all´ıthat´o az E, C20 , vσx0 , σy0 szimmetri´ak alkalmas szorzatak´ent. A 2. fejezetben l´attuk, hogy egy csoport jellemz´es´eben fontos eszk¨oz a karaktert´abla. Azonban olyan csoportok vizsg´alat´an´al, amelyeknek rendje nagy, az irreducibilis ´abr´azol´asok, a csoportkarakterek meghat´aroz´asa k¨or¨ ulm´enyes. A krist´alyok vizsg´alat´an´al tal´alkozunk a transzl´aci´ocsoporttal, amelynek v´egtelen sok eleme van. C´elszer˝ u olyan m´odszert keresni, amely ak´ar v´egtelen rend˝ u csoportokban is alkalmazhat´o. Els˝o l´ep´esk´ent 136
vizsg´aljuk meg egyetlen a elem a´ltal gener´alt G csoport karaktert´abl´aj´at! Amennyiben a csoport rendje v´eges, van olyan n, amelyre an = e. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy amennyiben λ az a csoportelem karaktere, akkor λn = 1, vagyis, a csoportelemek karakterei egys´eg´ gy¨ok¨ok. A sz´oban forg´o csoport Abel-csoport, ez´ert minden elem egy oszt´alyt k´epvisel. 2πi/n Legyen ε = e , akkor a karaktert´abla j-ik sor´aban εr , r = 1, 2, . . . , a´ll. Ha n p´aros, az m = n/2 ´es az m = −n/2 sorok azonosak, a karaktert´abl´anak m + 1 k¨ ul¨onb¨oz˝o sora van. Ha pedig n = 2m + 1, akkor G karaktert´abl´aj´anak n k¨ ul¨onb¨oz˝o sora van. Ezzel a gondolatmenettel meghat´aroztuk a ciklikus csoportok karaktert´abl´aj´anak szerkezet´et. Tegy¨ uk fel, hogy az n-edrend˝ u a elemen k´ıv¨ ul G-nek van egy p-edrend˝ u b eleme is, ´es ab = ba. Ekkor l´etezik k¨oz¨os b´azis, b hatv´anyainak p k¨ ul¨onb¨oz˝o saj´at´ert´eke van. Az irreducibilis a´br´azol´asokat a ´es b saj´at´ert´ekei szerint csoportos´ıthatjuk, ´ıgy np irreducibilis ´abr´azol´as lehets´eges, m´as sz´oval, G karaktert´abl´aj´anak np sora van. Ezzel ism´et megkaptuk G karaktert´abl´aj´at. Tegy¨ uk fel, hogy az n-edrend˝ u a elemen k´ıv¨ ul G-nek van egy p-edrend˝ u b eleme is, ´es ab 6= ba. Ekkor n´emi sz´amol´as ut´an, bel´athat´o a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as. 6.6. T´ etel Tegy¨ uk fel, hogy a G csoportnak csak n-edrend˝ u ciklikus r´eszcsoportja van, amelyet az a elem gener´al. Tegy¨ uk fel, hogy l´etezik G-ben egy b elem, amely nem kommut´al a-val. Ekkor ha v az a elemet ´abr´azol´o A m´atrix saj´atvektora λ saj´at´ert´ekkel, akkor A-nak a Bv vektor is saj´atvektora λ−1 saj´at´ert´ekkel. λ 6= ±1 eset´en a v ´es Bv vektorok a csoport egy k´etdimenzi´os ´abr´azol´as´at fesz´ıtik ki. Amint a . fejezetben l´attuk, a s´ık automorfizmusainak csoportja egy eltol´asokat ´es forgat´asokat tartalmaz´o Lie-csoport. A krist´alyr´acsok egy-egy elemi t´erfogat (az elemi cella) ism´etl´es´evel t¨oltik ki a v´egtelen s´ıkot (k´et dimenzi´oban), illetve a teret. A krist´alyr´acs teh´at v´egtelen, automorfizmusai att´ol f¨ uggenek, milyen alak´ u az elemi cella. A krist´alyr´acsok oszt´alyoz´asa az automorfizmus csoportok alapj´an lehets´eges. Az automorfizmus csoport elemeit a 7. fejezetben m´ar t´argyaltuk, a h´aromdimenzi´os r´acsok t´argyal´asa ennek analogonja. Az r vektor transzform´aci´oj´at egy p forgat´as ´es egy t r´acsvektorral val´o eltol´as ´ırja le, ezt (p|t)-vel fogjuk jel¨olni. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a transzform´aci´ok szorz´asi szab´alya: (p0 |t0 )(p|t) = (p0 p|p0 t + t0 ). Az inverz elem: (p|t)−1 = (p−1 | − p−1 t). A tiszta eltol´asnak az (E|t) elem felel meg, itt E a pontcsoport egys´egeleme, t pedig r´acsvektor. Szimmorf csoportokban a tiszta forgat´asoknak (p|0) elemek felelnek meg, nemszimmorf csoportokban viszont (p|τ ), ahol τ a r´acsvektornak az a r´esze, amely a csavartengely, vagy a cs´ usz´os´ık eltol´as´anak felel meg. Az egy ponthoz tartoz´o forgat´asok ´es t¨ ukr¨oz´esek r´eszcsoportot alkotnak, ez a r´eszcsoport hat´arozza meg a krist´aly szimmetri´aj´at. Soroljuk a t´ercsoport elemeit mell´ekoszt´alyokba, u ´gy, hogy egy mell´ekoszt´alyba egy forgat´as ´es az ¨osszes lehets´eges eltol´as szorzatai ker¨ ulnek. Ezen elemek a´ltal´anos alakja (p|τ + t), ahol p ´es τ adottak. Ezek az elemek csoportot alkotnak az ism´etelt alkalmaz´as m˝ uvelet´ere (teh´at a t´ercsoport m˝ uvelet´ere) n´ezve, az ´ıgy kapott halmaz teh´at a t´ercsoport faktorcsoportja. 137
1. A s´ık v´eges forgat´ascsoportjai ciklikusak; minden ilyen n-edrend˝ u csoport egy adott pont k¨or¨ ul 2kπ/n sz¨og˝ u forgat´asokb´ol ´all, ahol k = 0, 1, . . . , n − 1. A fenti csoportokat Cn -nel jel¨olj¨ uk, ami ´eppen az ir´any´ıtott oldal´ u szab´alyos n-sz¨og szimmetriacsoportja. 2. A s´ık ortogon´alis transzform´aci´oinak t¨ ukr¨oz´eseket is tartalmaz´o v´eges csoportjai a szab´alyos n-sz¨ogek szimmetriacsoportja; egy ilyen csoportot Dn -nel jel¨ol¨ unk, elemsz´ama 2n, az elemek a Cn elemei ´es a szab´alyos n-sz¨og n darab szimmetriatengely´ere vett t¨ ukr¨oz´esek. N´emik´epp kiv´etelt jelentenek az n=1 ´es n=2 esetek, a k´etelem˝ u D1 csoportot egyetlen t¨ ukr¨oz´es gener´alja, a n´egyelem˝ u D2 csoportot pedig az x- ´es y-tengelyekre val´o t¨ ukr¨oz´es. 3. A val´os sz´amok R test´enek diszkr´et megfelel˝oje az eg´esz sz´amok Z gy˝ ur˝ uje, az n n 2 R vektort´ernek a Z modulus , a GL(n, R)-nek pedig GL(n,Z)felel meg. A krit´alyok szimmetri´ai teh´at ezen csoportok v´eges r´eszcsoportjai. Tekints¨ uk Zn -et az n-dimenzi´os Rn t´er bizonyos vektoraib´ol a´ll´o csoportnak. Az ilyen csoportot r´acsnak nevezz¨ uk. GL(n, Z) sz´amunkra ´erdekes r´eszcsoportjai a r´acsot megtart´o line´aris transzform´aci´ok G csoportja. Minden G-hez l´etezik egy metrika, azaz egy olyan pozit´ıv definit kvadratikus alak Rn -en, hogy f (gx) = f (x) minden g ∈ G-re. A kvadratikus alak Rn -et euklideszi t´err´e teszi, a feladat teh´at, az euklideszi t´er r´acsait ¨onmag´aba lek´epez˝o v´eges ortogon´alis transzform´aci´ok meghat´aroz´asa. A nemtrivi´alis szimmetri´aval b´ır´o r´acsokat Bravais-r´acsoknak nevezz¨ uk, szimmetriatranszform´aci´ob´ol a´ll´oakat pedig Bravais-csoportoknak. 4. Vizsg´aljuk meg el˝osz¨or a s´ıkbeli r´acsokat, els˝o l´ep´esk´ent hat´arozzuk meg azokat az ortogon´alis transzform´aci´okb´ol a´ll´o v´eges csoportokat, amelyek megtartanak egy r´acsot. Ezeket a csoportokat krist´alyoszt´alyoknak nevezz¨ uk. Ehhez csak a 2.-ben felsorolt csoportokb´ol kell kiv´alasztani azokat, amelyek kompatibilisek az eltol´asokkal is. Elemi sz´am´ıt´assal megmutathat´o, hogy egy s´ıkbeli r´acsot csak akkor vihet uli elforgat´as, ha az elforgat´as sz¨oge 0, π, 2π/3, π/2 vagy ¨onmag´aba egyik pontja k¨or¨ π/3. Ennek megfelel˝oen, k´etdimenzi´os krist´alyoszt´alyb´ol 10 van: C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D1 , D2 , D3 , D4 ´es D6 . A megfelel˝o elemi cell´ak: az a´ltal´anos parallelogramma (jel¨ol´ese: a´lt, a´ltal´anos t´eglalap, jel¨ol´ese: t´egl, ´altal´anos rombusz, jel¨ol´ese: romb, n´egyzet jel¨ol´ese: n´egy, ´es (k´et szab´alyos h´aromsz¨ogre) osztott parallelogramma, jel¨ol´ese: hat. 5. A 4. pontbeli oszt´alyoz´as m´eg nem teljes. Azt is meg kell mutatni, hogy egym´assal nem ekvivalens szimmetriacsoportok tartoznak-e azonos krist´alyoszt´alyhoz. M´as 2
A modulus egy algebrai strukt´ ura, ami annyiban t´er el a vektort´ert˝ol, hogy elemeit egy gy˝ ur˝ ub˝ ol vett elemekkel lehet szorozni (szemben a vektort´errel, amelynek elemeit egy testb˝ol vett elemmel lehet szorozni).
138
6.1. t´abl´azat. H´aromdimenzi´ok krist´alyoszt´alyok A krist´aly rendszer Krist´alyoszt´aly Triklin C1 × Z Monoklin C2 × Z, C2 , C2 C1 Ortorombikus D2 × Z, D2 , D2 C2 Trigon´alis D3 × Z, D3 , D3 C3 , C3 × Z, C3 Tetragon´alis D4 × Z, D4 C4 , D4 D2 , C4 × Z, C4 C2 , C4 Hexagon´alis D6 × Z, D6 , D6 , C6 , D6 C3 , C6 Z, C6 , C6 C3 Kocka O × Z, O, T, OT, T × Z sz´oval, l´etezhetnek olyan r´eszcsoportok GL(2, Z)-ben, amelyek konjug´altak az ortogon´alis transzform´aci´ok csoportj´aban, de nem konjug´altak GL(2, Z)-ben. Ilyen pl. az al´abbi k´et, egy-egy m´atrix a´ltal gener´alt csoport: 1 0 0 1 G1 = , G2 = . (6.5) 0 −1 1 0 A s´ıkbeli r´acsok 13 ekvivalenciaoszt´alyba tartoznak: C1 (Γalt ), C2 (Γalt ), C4 (Γnegy ), ´ hat , C3 (Γhat ), C6 (Γhat ), D1 (Γromb ), D1 (Γtegl ), D2 (Γtegl ), D2 (Γromb ), D4 (Γnegy ), D3 Γ ¨ D3 (Γhat ), D6 (Γhat ). A z´ar´ojelben annak a r´acsnak a t´ıpus´at t¨ untett¨ uk fel, amelynek az illet˝o csoport szimmetriacsoportja. 6. H´aromdimenzi´os krist´alyoszt´alyb´ol 32 van, ld. a 6.1 t´abl´azatot. A 6.1 t´abl´azatban × direkt szorzatot jel¨ol3 , Z = {e, e0 } k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es, T -tetra´edercsoport (pl. ilyen szimmetri´aval rendelkezik a met´an: CH4 ), O-okta´edercsoport (pl. ilyen szimmetri´aval rendelkezik az ur´anium-hexafluorid: U F6 ).
6.2.
V´ eges csoportok oszt´ alyoz´ asa
6.2.1.
Pontcsoportok oszt´ alyoz´ asa
A lehets´eges pontcsoportok sz´ama 14, ezeket r¨oviden ismertetj¨ uk az al´abbiakban. Pontosabban csoportok csal´adjair´ol van sz´o, hiszen a csoport jel¨ol´es´eben gyakran szerepel egy n index, amely t¨obb ´ert´eket is felvehet. 1. A Cn csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely, minden elem egy oszt´alyt alkot, a C1 csoport a szimmetria teljes hi´any´anak felel meg. 2. Az S2n csoport. Egy p´aros rend˝ u t¨ ukr¨oz´eses forg´astengely k¨or¨ uli forgat´asok ciklikus csoportja. A csoport indexe n mindig p´aros. 3
A G1 ´es G2 csoportok direkt szorzat´ anak elemei (g1 , g2 ) alak´ uak, ahol g1 ∈ G1 ´es g2 ∈ G2 .
139
3. Cnh csoport. A csoportot egy n-edrend˝ u szimmetriatengely ´es egy r´a mer˝oleges szimmetrias´ık gener´alja. Elemeinek sz´ama 2n, a csoport elemei felcser´elhet˝oek. A C1h csoportra haszn´alj´ak a Cs jel¨ol´est is. 4. Cnv csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely ´es egy rajta a´thalad´o szimmetrias´ıkra vett t¨ ukr¨oz´es. Automatikusan megjelenik tov´abbi n − 1, o a tengelyben egym´ast 180 /n sz¨ogben metsz˝o szimmetrias´ık. Elemeinek sz´ama 2n. 5. A Dn csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely ´es egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengely. Elemeinek sz´ama 2n. A D2 csoportra a V jel¨ol´est is szokt´ak haszn´alni. 6. A Dnh csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely, egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengely ´es a m´asodrend˝ u tengelyeken ´atfektetett szimmetrias´ık. Elemeinek sz´ama 4n. 7. A Dnd csoport. A csoport gener´atora egy n-edrend˝ u szimmetriatengely, egy r´a mer˝oleges m´asodrend˝ u tengely, kieg´esz´ıtve az n-edrend˝ u tengelyen a´t fektetett f¨ ugg˝oleges szimmetrias´ıkok, amelyek a m´asodrend˝ u tengelyek sz¨ogfelez˝oin haladnak a´t. A csoport elemeinek sz´ama 4n. 8. A tetra´edercsoport (T ). A tetra´edercsoportot a V csoportb´ol, n´egy harmadrend˝ u tengely hozz´aad´as´aval kapjuk. (ld. 6.4. a´bra). A csoport elemeinek sz´ama 12, ezek n´egy oszt´alyba sorolhat´ok. 9. A Td csoport. A T csoportb´ol sz´armaztathat´o, azon szimmetrias´ıkok hozz´aad´as´aval, amelyek ´atmennek a tetra´eder k´et harmadrend˝ u ´es egy m´asodrend˝ u szimmetriatengely´en. A csoportnak 24 eleme van, ezek 5 oszt´alyba sorolhat´ok. 10. A Th csoport. Ez a csoport a T -b˝ol sz´armaztathat´o, szimmetriak¨oz´eppont hozz´aad´asval. A csoportnak 24 eleme van, ezek 8 oszt´alyba sorolhat´ok. 11. Okta´edercsoport (O). A csoport gener´atorai egy kocka szimmetriatengelyei: a szemk¨ozti lapok k¨oz´eppontj´an a´tmen˝o negyedrend˝ u tengelyek, amelyekb˝ol h´arom van, az ellent´etes cs´ ucsokon a´tmen˝o harmadrend˝ u tengelyek, ezek sz´ama n´egy; ´es a szemben fekv˝o ´elek felez˝opontj´an a´tmen˝o hat darab m´asodrend˝ u tengely. A csoport elemeinek sz´ama 24, ezek 5 oszt´alyba sorolhat´oak. 12. Az Oh csoport. O-b´ol szimmetriak¨oz´eppont hozz´aad´as´aval nyerj¨ uk. A csoportnak 48 eleme van, ezek 10 oszt´alyba sorolhat´ok. 13. Az ikoza´edercsoport (Y ). Az ikoza´eder szimmetriatengelyei k¨or¨ uli 60 forgat´asb´ol a´ll, ezek k¨oz¨ ul 6 ¨ot¨odrend˝ u, 10 harmadrend˝ u, 15 m´asodrend˝ u tengely.
140
6.2. t´abl´azat. A Ci , C2 ´es Cs csoportok karakterei Ci E I C2 E C2 Cs E σ Ag A;z A’;x,y 1 1 Au B; x;y A”, z 1 -1 6.3. t´abl´azat. A C3 csoport karaktert´abl´aja C3 E C3 C32 A; z 1 1 1 E; x ± iy { 1 ε ε2 1 ε2 ε 14. Az Yh csoport. A csoport az ikoza´edercsoportb´ol, szimmetriak¨oz´eppont hozz´aad´as´aval ´all el˝o. A 6.4-6.17 t´abl´azatokban k¨oz¨olj¨ uk n´eh´any pontcsoport karaktert´abl´ait. Egy t´abl´azatban t¨ untett¨ uk f¨ol az izomorf csoportokat. Az izomorf csoportokban a konjug´alt elemoszt´alyok sz´ama megegyezik, noha maguk az oszt´alyok az egyes csoportok eset´eben elt´er˝o elemekb˝ol a´llnak. Ezeket az oszt´alyokat a t´abl´azatok els˝o sor´aban felt¨ untett¨ uk. A t´abl´azatban szerepl˝o karakterek k¨oz¨ott szerepel a harmadik komplex egys´eggy¨ok ε = exp 2πi/3, ill. ennek hatv´anyai, valamint a hatodik egys´eggy¨ok ω = exp 2πi/6. K¨onnyen ellen˝orizhet˝oek az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: ε + ε2 = −1 ´es ω 2 − ω = −1. A t´abl´azatban az egyes irrepek transzform´aci´os tulajdons´ag´at is felt¨ untett¨ uk. A t¨ ukr¨oz´essel szemben p´aros irre0 00 pet aposztr´of ( ), a p´aratlant k´et aposztr´of ( ) jel¨oli. A pontt¨ ukr¨oz´essel szemben p´aros irrepet g a p´aratlant u index jel¨oli. Az irrepekn´el alkalmazott egy´eb jel¨ol´es a 2. fejezetben, a karaktert´abl´an´al elmondottaknak felel meg. Amint a 2. fejezetben l´attuk, gyakran el˝ony¨os a csoportelemek irreducibilis ´abr´azol´as´anak ismerete. Mivel az egydimenzi´os a´br´azol´asok a karaktert´abl´ab´ol kiolvashat´oak, csak a t¨obbdimenzi´os a´br´azol´asokra van sz¨ uks´eg, azt is elegend˝o megadni az izomorf csoportok egyik´ere. 6.4. t´abl´azat. A C2h , C2v ´es D2 csoportok karaktert´abl´aja C2h E C2 σ h I C2v E C2 σv σv0 D2 E C2z C2y C2x Ag A1 ;z A 1 1 1 1 Bg B2 ;y B3 ;x 1 -1 -1 1 Au ; z A2 B1 ;z 1 1 -1 -1 Bu ;x;y B1 ;x B2 ;y 1 -1 1 -1 141
6.5. t´abl´azat. A C3v ´es D3 csoport karaktert´abl´aja C3v E 2C3 3σv D3 E 2C3 3U2 A1 ; z A1 1 1 1 A2 A2 ; z 1 1 -1 E;x,y E;x,y 2 -1 0
6.6. t´abl´azat. A C4 ´es S4 csoportok karaktert´abl´aja C4 E C4 C2 C43 S4 E S4 C2 S43 A;z A 1 1 1 1 B B;z 1 -1 1 -1 E;x ± iy E;x ± iy { 1 i -1 -i 1 -i -1 i
6.7. t´abl´azat. A C6 E A;z 1 B 1 E1 { 1 1 E2 ; x ± iy { 1 1
C6 csoport C6 C3 1 1 -1 1 2 ω −ω −ω ω 2 ω ω2 -ω 2 -ω
6.8. t´abl´azat. A C4v , D4 ´es C4v D4 D2d A1 ;z A1 A1 A2 A2 ;z A2 B1 B1 B1 B2 B2 B2 ;z E;x,y E;x,y E;x,y
D2d E E E 1 1 1 1 2
142
karaktert´abl´aja C2 C32 C65 1 1 1 -1 1 -1 2 1 ω −ω 1 −ω ω 2 -1 −ω −ω 2 -1 ω 2 ω
csoportok C2 2C4 C2 2C4 C2 2C4 1 1 1 1 1 -1 1 -1 -2 0
karaktert´abl´aja 2σv 2σv0 2U2 2U20 2U2 2U20 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 0 0
6.9. t´abl´azat. A D6 , C6v ´es D3h csoportok karaktert´abl´aja D6 E C2 2C3 2C6 3U2 3U20 C6v E C2 2C3 2C6 3σv 3σv0 D3h E σh 2C3 2S3 2U2 3σv A1 A1 ;z A01 1 1 1 1 1 1 0 A2 ;z A2 A2 1 1 1 1 -1 -1 B1 B2 A”1 1 -1 1 -1 1 -1 B2 B1 A”2 ;z 1 -1 1 -1 -1 1 E2 E2 E’;x,y 2 2 -1 -1 0 0 E1 ;x,y E1 ;x,y E” 2 -2 -1 1 0 0
6.10. t´abl´azat. A tetra´edercsoport karaktert´abl´aja T E 3C2 4C3 4C32 A 1 1 1 1 E 1 1 ε ε2 E 1 1 ε2 ε F;x,y,z 3 -1 0 0
6.11. t´abl´azat. Az O ´es Td O E Td E A1 A1 1 A2 A2 1 E E 2 F2 F2 ;x,y,z 3 F1 ;x,y,z F1 3
csoportok karaktert´abl´aja 8C3 3C2 6C2 6C4 8C3 3C2 6σd 6S4 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 2 0 0 0 -1 1 -1 0 -1 -1 1
143
6.12. t´abl´azat. A D3 csoport elemeinek irreducibilis a´br´azol´asai az E irrep eset´en csoportelem m´atrix 1 0 E 0 1√ −1/2 − 3/2 √ C3 3/2 −1/2 √ −1/2 3/2 2 √ C3 − 3/2 −1/2 1 0 (1) U2 0 −1√ −1/2 − 3/2 (2) √ U2 − 3/2 √1/2 −1/2 − 3/2 (3) √ U2 3/2 1/2
6.13. t´abl´azat. A D4 csoport elemeinek irreducibilis a´br´azol´asai az E irrep eset´en csoportelem m´atrix 1 0 E 0 1 0 1 C4 −1 0 −1 0 C2 0 −1 0 −1 C43 1 0 0 −1 (1) U2 −1 0 0 1 (2) U2 1 0 (1) 1 0 U2 0 −1 (2) −1 0 U2 0 1
144
6.14. t´abl´azat. A D6 csoport elemeinek irreducibilis a´br´azol´asai az E1 ´es E2 irrepek eset´en csoportelem E1 E2 1 0 1 0 E 0 1√ 0 1√ −1/2 −1/2 − 3/2 3/2 √ √ C3 −1/2 3/2 −1/2 − 3/2 √ √ −1/2 − 3/2 −1/2 3/2 2 √ √ C3 − 3/2 −1/2 3/2 −1/2 −1 0 1 0 C2 0 −1 0 1√ √ 1/2 −1/2 3/2 3/2 √ √ C6 − 3/2 √1/2 − 3/2 √ −1/2 1/2 − 3/2 −1/2 − 3/2 5 √ √ C6 3/2 1/2 3/2 −1/2 −1 0 1 0 (1) U2 0 1√ 0 −1√ 1/2 − 3/2 −1/2 − 3/2 (2) √ √ U2 − 3/2 √−1/2 − 3/2 √1/2 1/2 3/2 −1/2 3/2 (3) √ √ U2 3/2 −1/2 3/2 √1/2 √ (1) −1/2 − 3/2 −1/2 3/2 √ √ U2 − 3/2 1/2 3/2 1/2 (2) 1 0 1 0 U2 0 −1 0 −1√ √ (3) −1/2 3/2 −1/2 − 3/2 √ √ U2 3/2 1/2 − 3/2 1/2
145
6.15. t´abl´azat. A T csoport elemeinek ´abr´azol´asa az F irrep eset´en csoportelem a´br´azol´as 1 0 0 0 1 0 E 0 0 1 −1 0 0 z 0 −1 0 C2 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 C2y 0 0 −1 1 0 0 x 0 −1 0 C2 0 0 −1 0 1 0 a 0 0 −1 C3 −1 0 0 0 0 −1 a 2 1 0 0 (C3 ) 0 −1 0 0 −1 0 b 0 0 1 C3 −1 0 0 0 0 −1 b 2 −1 0 0 C3 0 1 0 0 1 0 c 0 0 1 (C3 ) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 (C3c )2 0 1 0 0 −1 0 0 0 −1 C3d 0 1 0 0 0 1 2 −1 0 0 C3d 0 −1 0
146
6.2.2.
´ Altal´ anos v´ eges csoportok oszt´ alyoz´ asa
Csoportelm´elettel foglalkoz´o matematikusok ´evtizedekkel ezel˝ott azt a c´elt t˝ uzt´ek maguk el´e, hogy bebizony´ıtanak egy a´rtatlannak t˝ un˝o t´etelt, amely a v´eges, egyszer˝ u csoportok oszt´alyoz´as´ar´ol sz´ol. N´ezz¨ uk el˝osz¨or a t´etelt. 6.7. T´ etel (Oszt´ alyoz´ as t´ etel) Minden egyszer˝ u v´eges csoport vagy pr´ım rend˝ u ciklikus csoport, altern´al´o csoport, Lie-t´ıpus´ u v´eges csoport, vagy egyike a 26 szporadikus egyszer˝ u csoportnak. A t´etellel kapcsolatos cikkek sz´am´at kb. ¨otsz´azra teszik, az ¨osszes ´ır´as terjedelme 10 000 ´es 15 000 oldal k¨oz¨ott lehet. A munka az ¨otvenes ´evekben kezd˝od¨ott ´es napjainkban is tart. A GAP f´orumain sz´o esik egy kezdem´enyez´esr˝ol, amelyben egy jelenleg tizenk´et k¨otetesre tervezett munk´aban adn´ak k¨ozre a t´etel bizony´ıt´as´at. Jelenleg ¨ot monogr´afi´an dolgoznak, a k¨otetek tervezett c´ıme: • I. El˝ozm´enyek • II. T´etelek az egy´ertelm˝ us´egr˝ol • III. Generikus egyszer˝ u csoportok • IV. Speci´alis p´aratlan egyszer˝ u csoportok • V. Speci´alis p´aros egyszer˝ u csoportok. A tervek szerint a k¨otetek tov´abbi fejezetekre oszlanak, a munka terjedelme jelenleg nem becs¨ ulhet˝o meg. Nemr´egiben John Davies angol matematikus k´ets´egeit fogalmazta meg, hogy a munka valaha befejez˝odik-e, ´es megk´erd˝ojelezte az ilyen, gener´aci´okon a´t´ıvel˝o, t¨obbezer oldalas bizony´ıt´asok l´etjogosults´ag´at. Figyelemre m´elt´o, hogy az egyszer˝ u, v´eges csoportok milyen v´altozatosak lehetnek. A ciklikus csoportr´ol ´es az altern´al´o csoportot m´ar ismeri az Olvas´o. A folytonos Liecsoportr´ol is besz´elt¨ unk, ezeknek l´etezik v´eges anal´ogja is. Az ´altal´anos line´aris csoport GLn (q) n×n-es, nemszingul´aris m´atrixokb´ol a´ll, a m´atrix elemei egy q elem˝ u v´eges testb˝ol val´oak. E csoportban egy alcsoportot k´epeznek az egys´egnyi determin´ans´ u m´atrixok, az alcsoport neve SLn (q). Ebben egy alcsoport a P SLn (q) csoport. Az ut´obbi csoport csak bizonyos n ´es q eset´en (pl. n = q = 2) egyszer˝ u. Ezek a csoportok p´eld´ak a v´eges ¨ Lie-csoportokra. Osszesen 16 csal´adja ismert a v´eges Lie-csoportoknak. A szporadikus csoportok k¨ ul¨onf´ele csoportelm´eleti kontextusban bukkantak fel, erre utal a nev¨ uk is. Az els˝o ¨ot¨ot Mathieu fedezte fel az 1860-as ´evekben a tranzit´ıv permut´aci´o csoportok egy saj´ats´agos v´alfajak´ent. H´arom a 24 dimenzi´os u ´.n. Leech-r´acs automorfizmusaihoz kapcsol´odik, nev¨ uk felfedez˝oj¨ uk ut´an Conway-csoportok. 147
6.16. t´abl´azat. Az O csoport elemeinek reprezent´aci´oja az E, F1 ´es F2 irrepekben csoportelem E F1 F2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 E 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 C2x 0 1 0 0 −1 0 0 −1 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 C2y 0 1 0 0 −1 0 0 −1 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 C2z 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 1 C4x 0 1 0 1 0 0 −1 0 √ 0 0 1 0 0 −1 1/2 3/2 y √ 0 1 0 0 −1 0 C4 3/2 −1/2 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 C4z 0 0 0 0 1 0 0 −1 1 0 0 −1 0 0 −1 0 x 3 0 0 1 0 0 −1 (C4 ) 0 1 0 −1 0 0 1 0 √ 0 0 −1 0 0 1 1/2 3/2 y 3 √ 0 1 0 0 −1 0 (C4 ) 3/2 −1/2 1 0 0 −1 0 0 √ 0 1 0 0 −1 0 1/2 − 3/2 z 3 √ −1 0 0 1 0 0 (C4 ) − 3/2 −1/2 0 0 1 0 0 −1 √ 0 −1 0 0 1 0 1/2 − 3/2 (1) √ −1 0 0 1 0 0 C2 − 3/2 −1/2 0 −1 0 0 0 1 √ 0 1 0 0 −1 0 1/2 − 3/2 (2) √ 1 0 0 −1 0 0 C2 − 3/2 −1/2 0 1 0 0 −1 0 √ 0 0 −1 0 0 1 1/2 3/2 (3) √ 0 −1 0 0 1 0 C2 3/2 −1/2 0 −1 0 1 0 0 √ 0 0 −1 1480 0 1 1/2 3/2 (4) √ 0 −1 0 0 1 0 C2 3/2 −1/2 1 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 (5) 0 0 0 1 0 −1 C2 0 1 0 −1 0 0 1 0
csoportelem (6)
C2
(a)
C3
(b)
C3
(c)
C3
(d)
C3
(a)
C3
2
2 (b) C3
(c)
2
(d)
2
C3
C3
6.17. t´abl´azat. — Folytat´as F1 −1 0 0 −1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 √ 0 0 −1 3/2 −1/2 1 0 √ 0 − 3/2 −1/2 0 −1 0 √ 0 −1 0 −162 − 3/2 0 0 −1 √ 3/2 0 − 1/2 0 1 0 √ 0 0 1 −1/2 − 3/2 1 0 0 √ − 3/2 −1/2 0 1 0 √ 0 −1 0 −1/2 − 3/2 0 √ 0 1 3/2 −1/2 −1 0 0 √ 0 1 0 −1/2 − 3/2 0 0 −1 √ 3/2 −1/2 −1 0 0 √ 0 1 0 −1/2 3/2 0 0 1 √ − 3/2 −1/2 1 0 0 √ 0 1 0 −1/2 − 3/2 0 0 1 √ 3/2 −1/2 1 0 0 √ 0 0 −1 −1/2 3/2 −1 0 0 √ − 3/2 −1/2 0 1 0 E
149
F2 1 0 0 0 0 −1 0 −1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −1 −1 0 0 0 1 0
Az oszt´alyoz´as egyik c´elja olyan ism´erveket megadni, amelyek alapj´an a csoportok azonos´ıthat´oak. (Ne feledj¨ uk, a csoportok k¨ozti izomorfizmus miatt el´eg neh´ez felismerni, u ´j csoportr´ol van-e sz´o.) Az egyszer˝ u csoportok azonos´ıt´as´anak h´arom m´odja van: • prezent´aci´o alapj´an (gener´atorok ´es rel´aci´ok seg´ıts´eg´evel); • a csoport hat´asa r´ev´en egy adott geometri´aban; • Permut´aci´os reprezent´aci´o alapj´an. A r´eszletek ir´ant ´erdekl˝od˝o Olvas´onak a GAP levelez´esi list´ait aj´anlom.
6.3.
Bloch-fu enyek ¨ ggv´
Amennyiben a krist´alyok jellemz´ese megoldott, k´erd´es, hogyan kapcsolhat´o ¨ossze az elektronszerkezet le´ır´asa a krist´aly szerkezet´evel. A csoportelm´elet egyik alkalmaz´asa azt sugallja, meg kell vizsg´alni a lehets´eges megold´asokat ´es fel kell bontani azokat az egyenlet szimmetriacsoportja ´altal megadott irreducibilis komponensekre. Ezzel a k´erd´essel foglalkozik a jelenlegi alfejezet. Miel˝ott a Schr¨odinger-egyenlet megold´asainak vizsg´alat´ara t´ern´enk, vegy¨ uk szemu ¨gyre a s´ıkhull´amok le´ır´as´at egy periodikus r´acson. Legyen teh´at Φk (r) = eikr
(6.6)
a vizsg´alt s´ıkhull´am, ahol k = 2π/λu a hull´amvektor, itt u a hull´am terjed´esi ir´any´aba mutat´o egys´egvektor. A s´ıkhull´am ´altal´anos (id˝ot˝ol- ´es helyt˝ol f¨ ugg˝o) alakja pedig Φk (r, t) = ei(kr+ωt) ,
(6.7)
ahol ω a k¨orfrekvencia: ω = 2π/T , ahol T a s´ıkhull´am peri´odusideje. Legyen a terjed´esi ir´anyra mer˝oleges k´et s´ıknak a terjed´esi ir´anyra vett vet¨ ulete r1 ´es r2 , tov´abb´a legyen |r1 − r2 | = λ. A k´et s´ıkon a s´ıkhull´am f´azisa megegyezik, hiszen eikr1 = ei(kr2 +λ) = eikr2 +i2π = eikr2 .
(6.8)
A s´ıkhull´am terjed´esi sebess´eg´et k´et mennyis´eggel szokt´ak jellemezni. Az els˝o a f´azissebess´eg, vf = ω/|k|. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a s´ıkhull´am az impuzusoper´ator saj´atf¨ uggv´enye, ennek megfelel˝oen pl. adott impulzus´ u szabadelektron ´allapotot ´ır le. A fizikai r´eszecsk´ek ´allapot´at hull´amcsomag ´ırja le, azaz, a fenti monokromatikus s´ıkhull´amot ki kell eg´esz´ıteni egym´ast´ol kiss´e elt´er˝o k hull´amvektor´ u s´ıkhull´amokkal. Legyen a hull´amcsomagban l´ev˝o hull´amvektorok hull´amsz´ama a −∆k ≤ δk ≤ +∆k intervallumban,
150
ahol δk infinitezim´alis mennyis´eg, ∆k viszont egy v´eges sz´eless´eg˝ u intervallum. Ekkor a hull´amcsomagot egy ¨osszeggel ´ırhatjuk le: X Ψ(r, t) = ei(k0 +δk)r+(ω0 +δω)t (6.9) δk∈∆k
= ei(kr0 −ω0 t)
X
ei(δkr−δωt)
(6.10)
δk∈∆k
Ebb˝ol a kifejez´esb˝ol l´athat´o, hogy a hull´amcsomag amplit´ ud´oja (ez a m´asodik egyenl˝oikr s´egjel ut´ani ¨osszeg) modul´alt, az e s´ıkhull´amra ”r´au ¨l” egy j´oval lassabb modul´aci´o. A hull´am ´altal le´ırt elektron sebess´eg´et nem a hull´amsz´amhoz, hanem a modul´alt amplitud´ohoz kapcsoljuk, mivel ez ut´obbi ´ırja le a lokaliz´alt perturb´aci´o terjed´esi sebess´eg´et. Ezt a sebess´eget csoportsebess´egnek nevezik, ´es vcs -vel fogjuk jel¨olni: vcs =
∂ω ∂E δω = = ~−1 . δk ∂k ∂k
(6.11)
Itt E a Schr¨odinger-oper´ator saj´at´ert´eke, az elektron energi´aja. V´egezet¨ ul megadunk k´et, a s´ıkhull´amra vonatkoz´o, hasznos ¨osszef¨ ugg´est: X X X X eipt = v 0 δ(p − k), (6.12) δ(r − t); eikr = v k
t
t
k
ahol k reciprokr´acsvektor, t r´acsvektor, v a cellat´erfogat. Egy N cell´ab´ol a´ll´o v´eges r´acson X eikr = N v, (6.13) k
amennyiben r r´acsvektor, nulla egy´ebk´ent. Azok a k vektorok, amelyek egy reciprok r´acsvektorban t´ernek el, ekvivalensek abban az ´ertelemben, hogy a (6.12) s´ıkhull´amok azonosak. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a nem ekvivalens s´ıkhull´amok a reciprok r´acs egy elemi cell´aj´an bel¨ ul helyezkednek el. Ezt a cell´at nevezik Brillouin-z´on´anak. Az eml´ıtett k vektorok k´epezik a r´acsvektorokhoz tartoz´o eltol´asok irreducibilis ´abr´azol´asait. Egy Brillouin-z´on´aban a lehets´eges hull´amvektorok egy v´eges r´acsot alkotnak–amennyiben a krist´aly v´eges sok cell´ab´ol a´ll. Legyen az a r´acsvektor x ir´any´ u, ´es legyen az x tengely ment´en a v´eges r´acsban Nx cella. A v´eges r´acs p´eld´anyait egym´ashoz ragasztva fel´ep´ıthet¨ unk egy v´egtelen r´acsot, ebben pedig a v´eges r´acs egyes p´eld´anyainak azonosnak kell lenni¨ uk, ez´ert az Nx a-val eltol´asnak az egys´egoper´atort kell visszaadnia. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy a Brillouin-z´on´aban a lehets´eges a´llapotok sz´ama (az x tengely ment´en) Nx , ami annak felel meg, hogy a lehets´eges a´llapotok diszkr´etek, egy a´llapothoz tartoz´o cella m´erete 2π/a/Nx .
151
6.1. Feladat Tekints¨ unk egy egydimenzi´os r´acsot, az elemi cella hossza legyen a, a r´acs ´alljon N atomb´ol. Vizsg´aljuk meg a Brillouin-z´ona szerkezet´et! Legyen N p´aros, a reciprok r´acs a∗ = 2π/a, a nem-ekvivalens hull´amvektorok a −a∗ /2 < k ≤ a∗ /2 intervallumba esnek. A lehets´eges hull´amvektorok ia/N alak´ uak, ahol −N/2 ≤ i ≤ +N/2. P´aratlan N eset´en pedig −(N − 1)/2 ≤ i ≤ +(N − 1)/2. Ez ut´obbi esetben a Brillouin-z´ona sz´ele (a ±N/2 pont) nem megengedett–mivel nem eg´esz sz´am. Feltev´es¨ unk szerint a Schr¨odinger-oper´ator felcser´elhet˝o a r´acs szimmetri´aival. Ezt u ´gy fogjuk kihaszn´alni, hogy megkeress¨ uk a szimmetriacsoport irreducibilis ´abr´azol´asait kifesz´ıt˝o f¨ uggv´enyeket, ´es azok szerint a f¨ uggv´enyek szerint fogjuk kifejteni a Schr¨ondigeregyenlet megold´as´at. El˝osz¨or teh´at a szimmetriacsoport ´abr´azol´asait kell megkeresni. Kezdj¨ uk a transzl´aci´ok r´eszcsoportj´aval. Keress¨ uk teh´at a T(t)Φ(r) = λΦ(r)
(6.14)
saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at. Bel´athat´o, hogy a (6.6) saj´atf¨ uggv´eny, a saj´at´ert´ek pedig ikt e . A transzl´aci´ok saj´atf¨ uggv´eny´et a´ltal´anosan az al´abbi form´aban ´ırhatjuk: Φ(r) = eikr uk (r),
(6.15)
ahol uk (r + t) = uk (r), b´armely t r´acsvektorra. A (6.15) alak´ u f¨ uggv´enyeket Blochf¨ uggv´enyeknek nevezik. A krist´aly t´ercsoportj´anak irreducibilis ´abr´azol´asait (ezt a tov´abbiakban irrepnek fogjuk r¨ovid´ıteni, ak´arcsak a 2. fejezetben tett¨ uk) Bloch-f¨ uggv´enyekkel ´all´ıtjuk el˝o. Kor´abban m´ar bel´attuk, hogy k´et Bloch-f¨ uggv´eny, amelyek hull´amvektor´anak k¨ ul¨onbs´ege reciprok r´acs-vektor, ekvivalens egym´assal. Viszont ezeket a Bloch-f¨ uggv´enyeket is meg kell k¨ ul¨onb¨oztetni az irrepek kidolgoz´asa sor´an, ez´ert az al´abbi jel¨ol´est fogjuk ´atvenni: a Bloch-f¨ uggv´enyt Ψkj (r) = eikr ukj (r) (6.16) alakba ´ırjuk ´es a bevezetett j index az ekvivalens hull´amvektor´ u Bloch-f¨ uggv´enyekhez tartoz´o f¨ uggv´enyeket indexeli. Ha a Bloch-f¨ uggv´enyekben szerepl˝o k hull´amvektorokat a reciprok r´acsban helyezz¨ uk el, akkor a periodikus reciprok r´acs egy elemi cell´aj´aban az ¨osszes, nem-ekvivalens hull´amvektor megtal´alhat´o. A k¨ovetkez˝o k´erd´es: hogyan transzform´al´odik a (6.16) f¨ uggv´eny egy t´ercsoporthoz tartoz´o transzform´aci´o alatt? A (p|v) csoportelem hat´as´ara Ψkj (r) transzform´altja X (p|v)Ψkj = Ψk0 j 0 , (6.17) j0
lesz, ahol k0 = pk. Azoknak a nem-ekvivalens k vektoroknak a halmaz´at, amelyeket a csoport ¨osszes forgat´asi elem´enek alkalmaz´as´aval nyer¨ unk k-b´ol, a k hull´amvekor csillag´anak nevezz¨ uk. Egy pontcsoport irreducibilis a´br´azol´as´anak meghat´aroz´as´ara haszn´alhatjuk 152
az (2.28) k´epletet. Eredm´eny¨ ul s´ıkhull´amok line´aris kombin´aci´oj´at kapjuk, amelyben a k vektor csillag´anak minden eleme (ezeket sug´arnak nevezz¨ uk) szerepel. Ezen line´aris kombin´aci´oban szerepl˝o elemek sz´am´at eltol´asok alkalmaz´as´aval sem lehet cs¨okkenteni, mert az egyes tagok az eltol´as sor´an m´as-m´as egy¨ utthat´oval szorz´odnak. 6.2. Feladat Tekints¨ unk egy k´etdimenzi´os, a oldal´ u, n´egyzet alak´ u elemi cell´ab´ol ´all´ o r´acsot. Induljunk ki egy k vektorb´ol ´es k´esz´ıts¨ uk el a k vektor csillag´at! (ld. 6.2.. ´abra.) A krist´alyr´acsot egym´asra mer˝oleges tengelyek ment´en k´et eltol´as, (a ´es b, ´ırja le, de az eltol´asok nagys´aga azonos. Az elemi cella szimmetrias´ıkjait mutatja az a ´abra, a Brillouin-z´on´at a b ´abra. A cella pontcsoportja a C4v csoporttal izomorf. A szok´asos jel¨ol´est k¨ovetve, a k vektort az ´abr´an G1 jel¨oli. A pontcsoport elemei ¨osszesen 8 vektorb´ ol ´all´o csillagot hoznak l´etre G1 -b˝ol. Amennyiben a k vektort megny´ ujtjuk annyira, hogy pontosan a Brillouin-z´ona hat´ar´aig ´erjen (c ´abra), a helyzet megv´altozik, mert bizonyos vektorok egym´assal ekvivalensek lesznek, minthogy egy reciprokr´acs-vektorban k¨ ul¨onb¨oznek (pl. Z2 ´es Z5 , Z4 ´es Z7 ), ezt mutatja a d ´abra sz¨ urke vonala. Ennek megfelel˝oen az irreducibilis ´abr´azol´ashoz elegend˝o a c ´abr´an vastaggal jel¨olt Z1 , Z2 , Z3 , Z4 vektorok haszn´alata. Adott k eset´en azonban az irrepekben szerepl˝o tagok sz´ama kisebb is lehet, mint a pontcsoport rendje (legyen ez n). Azokat a csoporthoz tartoz´o transzform´aci´okat, amelyek egy adott k vektort v´altozatlanul hagynak, az adott k vektor szimmetriacsoportj´anak nevezz¨ uk. Ha a k vektor szimmetriacsoportja egyn´el t¨obb elemb˝ol a´ll, az irrepben szerepl˝o tagok sz´ama kisebb lesz, mint n. 6.3. Feladat Az el˝oz˝o, 6.5 ´abr´an azonos´ıthatjuk az egyes k vektorok csoportj´at is. Z1 eset´en csak az egys´egoper´ator ´es σv2 transzform´alja Z1 -et ¨onmag´aba ill. vele ekvivalens vektorba. A 2b ´abr´ar´ol leolvashat´o, hogy kit¨ untetett szerepet kapnak azok a vektorok, amelyek valamely szimmetrias´ıkban helyezkednek el, a megfelel˝o csoport legfeljebb 4, de legal´abb 2 elemb˝ol ´all. Szimmorf csoportok Amennyiben a r´acsban nincsenek csavartengelyek ´es cs´ usz´os´ıkok, az irrepek az al´abbi alak´ u f¨ uggv´enyekb˝ol ´allnak: ψkj = Ψk uj , (6.18) ahol Ψk ekvivalens hull´amvektor´ u ei kr s´ıkhull´amok line´aris kombin´aci´oi, az uj cellaf¨ uggv´eny pedig invari´ans b´armely r´acsvektorral val´o eltol´assal szemben (azaz, periodikus f¨ uggv´eny). A (6.18) f¨ uggv´eny k csillag´anak minden elem´et tartalmazza. Ha (6.18)-re alkalmazzuk a k hull´amvektor csoportj´ahoz tartoz´o forgat´asokat ´es t¨ ukr¨oz´eseket, azt l´atjuk, hogy Ψk nem v´altozik, a benne szerepl˝o s´ıkhull´amok ugyanis egym´asba transzform´al´odnak, az uj cellaf¨ uggv´enyek szint´en egym´asba transzform´al´odnak, el˝oa´ll´ıtj´ak a k 153
hull´amvektor csoportj´anak irrepj´et. (Az uj cellaf¨ uggv´enyekb˝ol kapott irrepeket kis ´abr´azol´asoknak nevezik.) Azok a forgat´asok viszont, amelyeket a k hull´amvektor csoportja nem tartalmaz, a nem ekvivalens k-j´ u (6.18) f¨ uggv´enyeket transzform´alj´ak egym´asba. Az ´ıgy el˝oa´ll´ıthat´o t´ercsoport´abr´azol´as dimenzi´oja a k vektor csillag´aban l´ev˝o sugarak sz´am´anak ´es a kis ´abr´azol´asok dimenzi´oj´anak szorzat´aval lesz egyenl˝o. A szimmorf t´ercsoportok irrepjeinek meghat´aroz´asa teh´at visszavezethet˝o a k hull´amvektorok szimmetria szerinti oszt´alyoz´as´ara, ´es v´eges pontcsoportok irrepjeinek meghat´aroz´as´ara. Nemszimmorf csoportok Ebben az esetben a csavartengelyek ´es a cs´ usz´os´ıkok jelentenek neh´ezs´eget. Ha azonban a k vektor nem v´altozik csoportj´anak egyik transzform´aci´oja sor´an sem, akkor a csavartengely ´es a cs´ usz´os´ık megjelen´ese l´enyegtelen marad. M´arpedig ez a helyzet, ha k = 0 vagy k a´ltal´anos helyzet˝ u, hiszen ebben az esetben csoportja csak az egys´egelemb˝ol a´ll. Ekkor az irrepek (6.18) seg´ıts´eg´evel a´ll´ıthat´ok el˝o, az egyetlen k¨ ul¨onbs´eg az, hogy az eikr f¨ uggv´enyek a forgat´asok sor´an eikv -vel szorz´odnak. Ha viszont (6.18)-ban Ψk t¨obb ekvivalens k vektort is tartalmaz, ezek a vektorok a transzform´aci´o sor´an eibv -vel szorz´odnak, ´es mivel bv (itt b reciprokr´acs-vektor) 2π-nek nem eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose, a line´aris kombin´aci´ok nem transzform´al´odnak egym´asba. Ez azzal j´ar, hogy az eltol´asokat ´es a forgat´asokat nem lehet elk¨ ul¨on´ıteni. Tekintettel arra, hogy v racion´alis r´esze (ez 1/2, 1/3, vagy 2/3) a r´acsvektornak, elegend˝o v´eges sok eltol´ast vizsg´alni. Amennyiben a r´acs v´eges, vagy a szennyez´esek hat´as´ara vagyunk k´ıv´ancsiak, nem elegend˝o a v´egtelen r´acsot vizsg´alni. Ebben az esetben a Schr¨odinger-egyenlet megold´asait nem lehet periodikus Bloch-f¨ uggv´enyekb˝ol fel´ep´ıteni. An´elk¨ ul, hogy a r´eszletekbe bocs´atkozn´ank, az al´abbi egyszer˝ u megfontol´asok k´ın´alkoznak. Lemondunk arr´ol, hogy a v´eges krist´aly invari´ans az eltol´asokkal szemben. T¨oltse ki az egyik ir´anyban v´eges r´acs az x > 0 f´elteret. Ebben az esetben a +x tengely ir´any´aba mutat´o eltol´asokkal szemben megk¨ovetelhetj¨ uk az invarianci´at, de a −x ir´any´ u eltol´asokkal szemben m´ar nem. Ennek megfelel˝oen a Bloch-f¨ uggv´enyt u ´gy a´ltal´anos´ıthatjuk, ikr Re(kr) −Im(k)r hogy a k vektor k´epzetes, k´epzetes r´esze pozit´ıv, ´ıgy az e → e e l´ep a Blochf¨ uggv´eny hely´ere. Tov´abbi r´eszletek szil´ardtestfizika k¨onyvekben (pl. Altman, [2], 14. fejezet) tal´alhat´oak.
154
6.1. a´bra. A 14 Bravais-r´acs 155
6.2. a´bra. Lehets´eges r´acspontok
6.3. a´bra. Szimmetri´ak a r´acspontokban
156
157
6.5. a´bra. A k vektor csillaga n´egyzetr´acsban
158
7. fejezet Algebra ´ es geometria
159
7.1.
Jel¨ ol´ es
E {x} -az x mennyis´eg v´arhat´o ´ert´eke E -egys´egm´atrix δi k -Dirac-f´ele deltaf¨ uggv´eny v = (v1 , v2 , v3 ) -sebess´egvektor ´es komponensei r = (x, y, z) -a helyvektor ´es komponensei r = |r| n -ir´any norm´alisvektora G(x, u) -evol´ uci´os egyenletben szerepl˝o oper´ator vagy f¨ uggv´eny T -oper´ator v, ψ az u megold´as komponensei F(λ, v) -a bifurk´aci´os egyenletben szerepl˝o oper´ator A, B2 , B3 -F line´aris, kvadratikus ´es k¨ob¨os komponenei, mint oper´atorok E, F, N -f¨ uggv´enyt´er T -´abr´azol´as, amelynek a´ltal´anos eleme Tg χ(g) -a g csoportelem karaktere ∆ -a Laplace-oper´ator d -eltol´asvektor k -hull´amvektor G\X -orbithalmaz (G csoport, X f¨ uggv´enyt´er) G -Green-f¨ uggv´eny fx , fy -parci´alis deriv´altak π1 (t) -a t sokas´ag fundament´alis csoportja K -inerciarendszer A, B, C -sebess´egabszol´ ut´ert´ekek (matematikai szeml´elet) Egy fizikai elm´elet kidolgoz´asa az al´abbi l´ep´esekb˝ol a´ll. El˝osz¨or tiszt´azni kell, milyen fizikai mennyis´egek j´atszanak szerepet az adott elm´eletben, azaz, a vizsg´alt fizikai rendszer le´ır´as´aban. Ezut´an a sz´oban forg´o fizikai rendszert le´ır´o mennyis´egek mindegyik´enek m´er´es´ere egy sk´al´at kell megadni, ezen a sk´al´an helyezz¨ uk el a fizikai mennyis´eget, ´ertelmezz¨ uk a kisebb, nagyobb ´es egyenl˝o rel´aci´okat. A sk´al´an ´ertelmezni kell az ¨osszead´as ´es a szorz´as m˝ uvelet´et, a vizsg´alt fizikai mennyis´eg minden sz´oba j¨ov˝o ´ert´ek´ere. Egy fizikai mennyis´eg m´ert´ek´eu ¨l szolg´al´o ´ert´ekek teh´at egy algebrai konstrukci´ot, testet k´epeznek. Felmer¨ ul a k´erd´es, van-e l´enyeges k¨ ul¨onbs´eg a lehets´eges sk´al´ak k¨oz¨ott. Egy sk´ala meghat´aroz´as´aban els˝o l´ep´es a nullpont ´es az egys´eg kijel¨ol´ese. Azon sk´al´akat, amelyek csak a nullpontban ´es az egys´eg megv´alaszt´as´aban t´ernek el, egy line´aris transzform´aci´o k¨oti ¨ossze. Amennyiben a transzform´aci´o invert´alhat´o, a line´aris transzform´aci´ok a´ltal ugg´eseket egy hasonl´os´agi transzform´aci´o ¨osszek¨ot¨ott sk´al´ak haszn´alata a fizikai ¨osszef¨ erej´eig v´altoztatja meg.
160
7.1. Feladat (H˝ om´ ers´ ekleti sk´ al´ ak.) A legismertebb fizikai mennyis´eg, amelynek m´er´es´ere t¨obbf´ele sk´ala is haszn´alatos, a h˝om´ers´eklet. Az Eur´op´aban haszn´alatos Celsiussk´al´at 1742-ben vezett´ek be, a sk´ala a v´ız fagy´aspontja ´es forr´aspontja k¨oz¨otti h˝om´ers´eklettartom´anyt 100 egyenl˝o r´eszre osztja. Els˝osorban az angolsz´asz orsz´agokban haszn´alatos a Fehrenheit-sk´ala (1714), amelynek ´ert´ekeit a Celsius-sk´al´ab´ol a F = 5/9(C − 32) k´eplettel kapjuk meg. A R´eaumur-f´ele sk´al´at (1730) pedig R = 1/0.8 ∗ C ill.
1 (9F/5 + 32) 0.8 transzform´aci´oval kapjuk meg. A fizikusok arra t¨orekedtek, hogy egy, a h˝om´er˝oben felhaszn´alt anyag min˝os´eg´et˝ol f¨ uggetlen, egyszer˝ u alak´ u t¨orv´enyeket eredm´enyez˝o sk´al´at tal´aljanak. Erre az egyes´ıtett g´azt¨orv´eny megismer´es´eig kellett v´arni. Ekkor kider¨ ult, hogy l´etezik egy legalacsonyabb h˝om´ers´eklet, az abszol´ ut nulla pont, ez kb. −273, 16C o . Lord Kelvin (sz¨ uletett W. Thomson, 1824-1907) javaslat´ara bevezett´ek az abszol´ ut h˝om´ers´ekleti sk´al´at (T), amely a Celsius-sk´al´aval (C) az al´abbi kapcsolatban ´all: R = R(F ) =
T = 273.16 + C . Az abszol´ ut sk´al´at kieg´esz´ıtett´ek bizonyos m´er´estechnikai el˝o´ır´asokkal, ezt 1927-ben vezett´ek be a nemzetk¨ozi h˝om´ers´ekleti sk´ala n´even. 7.2. Feladat (Elektromos t¨ olt´ es) Az elektromos t¨olt´es dimenzi´oj´at az elektromos t¨ olt´esek k¨oz¨ott hat´o er˝ob˝ol sz´armaztathatjuk. Az er˝ohat´ast F = cq1 q2 /r2
(7.1)
´ırja le, az F er˝o dimenzi´oja ´es a t´avols´ag dimenzi´oja a m´ert´ekrendszer meghat´aroz´asa ut´an adott, ebb˝ol m´ar ad´odik a t¨olt´es dimenzi´oja. Mivel a q1 ´es q2 t¨olt´esek dimenzi´oja azonos, az egyenl˝os´egb˝ol k¨ovetkez˝oen a t¨olt´es dimenzi´oja t¨ortkitev˝oket tartalmaz. A t¨olt´es egys´ege 1cm3/2 g 1/2 s−1 , amennyiben a t´avols´agot centim´eterben, a t¨omeget grammban, az id˝ot m´asodpercekben m´erj¨ uk. Ezt Benjamin Franklin (1706-1790) ut´an franklinnak (Fr) nevezik. K´es˝obb bevezett´ek ennek egy gyakorlati egys´eg´et, Charles Augustine de Coulomb ´ (1736-1806) tisztelet´ere a coulombot (C): 1C = 3109 F r. Erdekess´ eg, hogy a F r ´es C k¨oz¨otti ´atv´alt´as pontos ´ert´eke egy m´asik ´alland´ot´ol, a f´enysebess´egt˝ol f¨ ugg. Nem ker¨ ulhetj¨ uk meg a (7.1) er˝ot¨orv´enyt a t¨olt´es m´er´esi utas´ıt´as´anak megfogalmaz´asakor. Meghat´arozhatjuk a q1 , q2 , . . . , t¨olt´esek k¨oz¨ott hat´o er˝oket, p´eld´aul h´arom-h´arom t¨olt´es, qk , ql , qm ,, qk0 , ql0 , qm0 eset´en, adott r t´avols´ag mellett ´ıgy hat´arozhatjuk meg qk -t: r r Fkl Fkm Fk0 l0 Fk0 m0 =r . (7.2) qk = r Flm Fl0 m0 161
Nyilv´an megk¨ovetelj¨ uk, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o k, l, m index h´armashoz tartoz´o qk ´ert´ekek azonosak legyenek. A (7.2) k´eplet teh´at nem kiz´ar´olag a t¨olt´es meghat´aroz´as´ara, de a (7.1) formula ellen˝orz´es´ere is szolg´al. 7.3. Feladat (M´ ert´ ekrendszerek) Gauss ´es Weber 1836 ´evi kezdem´enyez´es´ere fizikai m´ert´ekrendszereket alak´ıtottak ki. A mechanika mennyis´egeinek egys´egeit h´arom mennyis´eg egys´eg´enek megv´alaszt´asa meghat´arozza, ez a h´arom mennyis´eg a t´avols´ag, a t¨omeg ´es az id˝o. Ezen sk´al´ak eset´eben a nullapont kiv´alaszt´asa automatikusan ad´odik, csak az egys´eg megv´alaszt´asa tetsz˝oleges. Ezen mennyis´egekre egys´eges sk´al´akat dolgoztak ki. Ezek a sk´al´ak alkotj´ak a CGS m´ert´ekrendszert, amelyben a hossz´ us´ag egys´ege a centim´eter, a t¨omeg egys´ege a gramm, az id˝o egys´ege a m´asodperc. Egy m´asik m´ert´ekrendszer az MKS rendszer, ebben az egys´egek m´eter, kilogramm ´es szekundum. Az elektrom´agneses jelens´egek felfedez´ese ut´an c´elszer˝ unek bizonyult egy negyedik egys´eg hozz´aad´asa a m´ert´ekrendszerekhez, ´ıgy alakult ki az MKSA rendszer, amely negyedik mennyis´egk´ent az ´aramer˝oss´eg egys´eg´et az ampert (Andr´e Marie Amp´ere (1775-1836) ut´an) v´alasztotta. A CGS rendszerben az ´aramer˝oss´eg egys´ege a franklin/m´asodperc, jel¨ol´ese F r/s, amelynek alapmennyis´egekkel kifejezett dimenzi´oja cm−1/2 g 1/2 s−2 . Ezut´an m´er´esek vagy elm´eleti megfontol´asok alapj´an ¨osszef¨ ugg´eseket a´ll´ıtunk fel a fizikai rendszer le´ır´as´ara. Az ¨osszef¨ ugg´esekben a rendszer le´ır´as´ara haszn´alt fizikai mennyis´egek k¨oz¨ott f¨ uggv´enykapcsolatokat a´llap´ıtunk meg. Egy adott f¨ uggv´enykapcsolatban legal´abb k´et fizikai mennyis´eg szerepel. A fizikai rendszer a´llapot´at egy t¨obbdimenzi´os f´azist´erben is a´br´azolhatjuk. A fizikai rendszer egy adott ´allapot´at a f´azist´er egy pontja adja meg. A rendszer a´llapot´at le´ır´o f¨ uggv´eny az f´azist´er egy pontj´ahoz rendel egy (´altal´aban val´os) sz´amot. 7.4. Feladat (Egyes´ıtett g´ azt¨ orv´ eny) Az ide´alis g´az p nyom´asa, T h˝om´ers´eklete ´es V t´erfogata k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat pV = RT , ahol R ´alland´o. A (p, V, T ) f´azist´erben az ide´alis g´az ´allapot´at egy pont adja meg, ez a pont rajta van a pV − RT = 0 g¨orb´en. A fizikai mennyis´egeknek a sz´am´ert´eken k´ıv¨ ul dimenzi´ojuk is van, ez´ert a fizikai a´llapotot le´ır´o f¨ uggv´eny l´enyegesen k¨ ul¨onb¨ozik a matematikai f¨ uggv´enyt˝ol. A fizikai rendszer ´allapot´at le´ır´o egyenletben minden tagnak azonos dimenzi´oj´ unak kell lennie, hiszen u mennyis´egeket lehet. Ezt az elvet a dimenzi´o ¨osszeadni, kivonni csak azonos dimenzi´oj´ homogenit´as´anak nevezik. Az a´llapotegyenletben szerepl˝o tagokban szerepelhet szorz´as ´es oszt´as, a szorz´as eredm´enyek´eppen ad´od´o mennyis´eg dimenzi´oja a k´et szorz´ot´enyez˝o dimenzi´oj´anak szorzata. Amennyiben az a´llapotegyenletben egy´eb matematikai f¨ uggv´enyek szerepelnek, (ilyenek 162
pl. a sz¨ogf¨ uggv´enyek, az exponenci´alis, a logaritmus), e f¨ uggv´enyek argumentum´aban el˝ofordul´o fizikai mennyis´egeknek csak olyan kombin´aci´oja fordulhat el˝o, amelyek dimenzi´otlanok. 7.5. Feladat (H˝ om´ ers´ ekleti sug´ arz´ as) A h˝om´ers´ekleti sug´arz´as vizsg´alata sor´an Planck arra a k¨ovetkeztet´esre jutott, hogy egy T h˝om´ers´eklet˝ u fekete test elektrom´agneses sug´arz´as´anak spektruma hν 8πV 2 ν dν. (7.3) dE(ν, T ) = hν/kT e − 1 c3 Itt V a fekete test t´erfogata, c a f´enysebess´eg, h a Planck-´alland´o, ν a frekvencia. A k´epletben szerepl˝o exponenci´alis sz¨ uks´egszer˝ uen dimenzi´otlan, ez´ert a k Boltzmann-´alland´ o ´es a h Planck-´alland´o dimenzi´oja olyan, hogy kT dimenzi´oja energia, tov´abb´a hν dimenzi´oja is energia. A k´epletben egyetlen tag szerepel, de az t¨obb t´enyez˝o szorzata, mindk´et oldal dimenzi´oja energia. 7.6. Feladat (H˝ oterjed´ es ¨ osszenyomhatatlan folyad´ ekban) A nem egyenletesen meleg´ıtett folyad´ekban a s˝ ur˝ us´eg a h˝om´ers´eklettel v´altozik. A s˝ ur˝ us´eget ´alland´onak tekinthetj¨ uk, ha a folyad´ek sebess´ege kicsi a hangsebess´eghez k´epest. Kis h˝om´ers´eklet-k¨ ul¨onbs´egek eset´en a h˝oterjed´est le´ır´o egyenlet: 2 ∂vk ν ∂vi ∂T + , (7.4) + v∇T = χ∆T + ∂t 2cp ∂xk ∂xi ahol χ = %cκp a h˝ovezet˝ok´epess´eg, ν = η/% a kinematikai viszkozit´as, T a folyad´ek h˝om´ers´eklete, v a folyad´ek sebess´ege, cp az ´alland´o nyom´ason vett fajh˝o. Az egyenletben szerepl˝o tagok dimenzi´oja [f oks−1 ]. Az els˝o tag eset´eben ez nyilv´anval´o, a m´asodik tagban a sebess´eg szorozva a h˝om´ers´eklet gradiens´evel r´esz dimenzi´oja [s−1 ]. A jobboldal els˝ o 2 −1 tagj´aban a h˝ovezet˝ok´epess´eg dimenzi´oja [χ] = cm s , ez´ert az els˝o tag dimenzi´oja szint´en [f oks−1 ]. A jobboldal m´asodik tagj´anak els˝o t´enyez˝oje [f oks] dimenzi´oj´ u, a m´asodik −2 tag pedig s dimenzi´oj´ u, ´ıgy szorzatuk dimenzi´oja fok/s. Amennyiben adott egy x fizikai mennyis´eg valamilyen sk´al´an, akkor f (x) szint´en alkalmas sk´ala, ha f monoton, egy´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny. Ezt a t´enyt ki lehet haszn´alni a fizikai a´llapot le´ır´asa sor´an. Erre mutatunk be p´eld´at a k¨ovetkez˝o r´eszben a turbulens a´raml´as vizsg´alata kapcs´an. A 7.3 r´eszben pedig azt vizsg´aljuk meg, milyen kapcsolatban a´ll a kaotikus ´allapot a szimmetri´akkal. A 7.4 r´eszben egy geometriai konstrukci´o, az ¨osszetett tartom´any, algebrai le´ır´as´at adjuk meg. A 7.5 r´eszben azt vizsg´aljuk a relativit´aselm´elet kapcs´an, milyen k¨ovetkezm´enyekkel j´ar, hogy a t´avols´ag m´er´es´en´el (ha u ´gy tetszik a metrika ´es a geometria kiv´alaszt´as´aban) is t¨obbf´ele sk´ala k¨oz¨ott v´alaszthatunk.
163
7.2.
Sk´ al´ ak
A 4. fejezetben l´attunk p´eld´at arra, hogy a t´erbeli v´altoz´ok koordin´ata-rendszer´et alkalmasan megv´alasztva olyan egyenletet kapunk, amelynek megold´asa leegyszer˝ us¨odik. Az 5. fejezetben pedig arra l´attunk p´eld´at, hogy adott egyenlet invari´ans lehet a v´altoz´ok adott sk´al´aj´ara n´ezve. Most azt fogjuk megvizsg´alni, milyen megszor´ıt´asokat eredm´enyez, ha a fizikai a´llapot le´ır´as´ara szolg´al´o egyenletben a sk´ala egys´eg´et adott m´odon vessz¨ uk fel. Legyen a fizikai ´allapotot le´ır´o egyenlet alakja f (x1 , . . . , xn ) = 0
(7.5)
ahol a fizikai a´llapot le´ır´as´aban az xi , i = 1, . . . , n mennyis´egek j´atszanak szerepet. Vizsg´aljuk meg, hogy az xi mennyis´egekb˝ol h´any f¨ uggetlen dimenzi´otlan mennyis´eget tudunk el˝oa´ll´ıtani. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert jel¨olje az xi mennyis´eg dimenzi´oj´at [xi ]. Amint kor´abban l´attuk, ezen dimenzi´o kifejezhet˝o a m´ert´ekrendszer alapmennyis´egeihez tartoz´o dimenzi´ok szorzat´aval, teh´at [xi ] = mαi kg βi sγi Aδi . (7.6) Egy dimenzi´o teh´at egy´ertelm˝ uen jellemezhet˝o az mi = (αi , βi , γi , δi ) n´egyesvektorral. Az (7.5) egyenletben szerepl˝o fizikai mennyis´egek dimenzi´oi k¨oz¨ott legfeljebb n´egy lehet f¨ uggetlen, hiszen az mi vektorok dimenzi´oja legyen p, ez nem haladhatja meg a n´egyet. Ebben az esetben az (7.5) egyenletben szerepl˝o fizikai mennyis´egek k¨oz¨ ul n − p olyan kombin´aci´o k´epezhet˝o, amelynek dimenzi´oja egys´egnyi. Itt kombin´aci´o alatt az xi mennyis´egek pozit´ıv ´es negat´ıv kitev˝oj˝ u hatv´anyainak szorzatait ´ertj¨ uk. Legyenek ezen mennyis´egek Q1 , . . . , Qn−p . Ekkor (7.5)-et ´ıgy ´ırhatjuk: φ (Q1 , . . . , Qn−p ) = 0.
(7.7)
Azon esetekben, amelyekben a Qk mennyis´egek dimenzi´oi azonosak, az ´allapotegyenletek egy hasonl´os´agi, m´asn´even sk´alatranszform´aci´oval, ´all´ıthat´ok el˝o egym´asb´ol. 7.1. Feladat (Folyad´ ekba meru o test ellen´ all´ asa) Vizsg´aljuk meg egy ´araml´o fo¨ l˝ lyad´ekba mer¨ ul˝o testre hat´o er˝ot. Az er˝o f¨ uggeni fog a folyad´ek tulajdons´agait´ol (ρ s˝ ur˝ us´eg ´es µ viszkozit´as), az ´araml´as v sebess´eg´et˝ol, a test line´aris m´eret´et˝ol, d-t˝ol, teh´at a testre hat´o F er˝ot kifejezhetj¨ uk F (ρ, µ, d, v) alakban, vagy f (F, ρ, µ, d, v) = 0 implicit f¨ uggv´enyk´ent. A felsorolt mennyis´egek mechanikai mennyis´egek, ez´ert csak h´arom f¨ uggetlen k¨oz¨ ul¨ uk, legyen az ρ, d, v. Dimenzi´otlan mennyis´egk´ent v´alaszthatjuk Q1 = F/(ρv 2 d2 )-et, ´es Q2 = µ/(ρvd)-t. A keresett ¨osszef¨ ugg´es alakja: µ F , = 0, φ1 ρv 2 d2 ρvd
164
vagyis, az eredeti ¨ot mennyis´eg helyett k´et mennyis´eg maradt. Term´eszetesen m´as v´alaszt´assal is ´elhet¨ unk. Legyen pl. Q1 = F ρ/µ2 , Q2 = ρvd/µ, ekkor Fρ ρvd . = φ2 µ2 µ 7.2. Feladat (Bolyg´ omozg´ as) A fizikai folyamatokban mindig tal´alkozunk energiacser´ev´el. Amennyiben az energia mozg´assal kapcsolatos, a jelens´eg le´ır´as´ara j´ol haszn´alhat´ o a Lagrange f¨ uggv´eny. Amennyiben a vizsg´alt testek k¨oz¨ott nincs k¨olcs¨onhat´as, az egyes testek Lagrange-f¨ uggv´enyei ¨osszead´odnak. Egy szabad t¨omegpont Lagrange-f¨ uggv´enye L=
mv 2 , 2
(7.8)
ahol m a t¨ omegpont t¨omege, v pedig sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´eke. Amennyiben a vizsg´alt rendszer t¨ obb t¨omegpontb´ol ´all, amelyek kiz´ar´olag egym´assal ´allnak k¨olcs¨onhat´asban, a Lagrange-f¨ uggv´enyt1 u ´gy kapjuk meg, hogy els˝o l´ep´esben a t¨omegpontokat k¨olcs¨onhat´asban nem ´all´oknak tekintj¨ uk, majd az ´ıgy kapott Lagrange-f¨ uggv´enyhez hozz´aadjuk a vizsg´alt testek koordin´at´ainak egy f¨ uggv´eny´et: L=
X mi v 2 i
i
2
− V (r1 , r2 , . . . ).
(7.9)
A V f¨ uggv´eny megadja a t¨omegpontok potenci´alis energi´aj´at. Amennyiben a potenci´alis energia a koordin´at´ak homog´en f¨ uggv´enye, azaz fenn´all a V (α1 r1 , α2 r2 , . . . ) = αk V (r1 , r2 , . . . ), ahol α tetsz˝oleges ´alland´o, k 6= 0-t a homogenit´as fok´anak nevezz¨ uk, a pontrendszer mozg´as´ar´ol az al´abbiakat lehet kijelenteni. Hajtsuk v´egre egyidej˝ uleg a t → βt ´es az ri → αri helyettes´ıt´eseket minden i-re! Ekkor a sebess´egek α/β-szorosra v´altoznak, a mozg´asi energi´ak pedig (α/β)2 -szorosra. A mozg´as t¨obbi mennyis´ege (impulzus, impulzusmomentum) is egy szorz´oval v´altozik. Amennyiben u ´gy v´alasztjuk β ´ert´ek´et, hogy fenn´alljon β = α1−k/2 , akkor a mozg´asegyenletek nem v´altoznak. Ez teh´at azt jelenti, hogy geometriailag hasonl´o p´aly´akhoz tartoz´o mozg´asid˝ok (tov´abb´a energi´ak, impulzusmomentumok stb.) ´ert´eke meghat´arozhat´o. Jel¨olje aposztr´of az u ´j p´alya adatait. Homog´en er˝ot´erben k = 1, ekkor r l0 t0 = , (7.10) t l ebb˝ol ad´odik, hogy neh´ezs´egi er˝ot´erben es˝o testek eset´en az es´esi id˝ok n´egyzetei u ´gy ar´anylanak egym´ashoz, mint a kezdeti magass´agok. 1
Az itt k¨oz¨ olt t´ argyal´ as csak nemrelativisztikus esetre vonatkozik.
165
Gravit´aci´os er˝ot´erben k = −1, ekkor t0 = t
0 3/2 l , l
(7.11)
azaz, a p´aly´akon val´o kering´es idej´enek n´egyzete a p´aly´ak m´eret´enek (pl. ellipszis p´alya eset´en a nagytengely) k¨ob´evel ar´anyos. Ez a harmadik Kepler-t¨orv´eny. 7.3. Feladat (Folyad´ ekok ´ araml´ asa.) A sk´alat¨orv´eny j´ol haszn´alhat´o stacion´arius folyad´ekmozg´asok le´ır´asa sor´an. Tekints¨ unk egy adott geometri´aban (cs˝o, adott excentricit´as´ u ellipszis stb.) kialakul´o stacion´arius ´araml´ast. A geometri´at jellemezz¨ uk valamely hossz´ us´aggal (pl. cs˝o´atm´er˝o), ezt l-el jel¨olj¨ uk. A hidrodinamikai egyenletekben, amilyen a (7.17) Navier–Stokes-egyenlet, csak a kinematikai viszkozit´as (ν = η/ρ) szerepel, az egyenletekb˝ol meghat´arozand´o a nyom´as ´es a s˝ ur˝ us´eg h´anyadosa (p/ρ). Ezen fel¨ ul a peremfelt´eteleken kereszt¨ ul a bej¨ov˝o ´araml´as sebess´eg´enek abszol´ ut ´ert´eke (u) is befoly´asolja a fenti mennyis´egeket, ´ıgy a folyad´ek mozg´as´at h´arom param´eter hat´arozza meg: ν, l, u. Ezek dimenzi´oja: [ν] = cm2 s−1 , [l] = cm, [u] = cms−1 . E mennyis´egekb˝ol egyetlen dimenzi´o n´elk¨ uli mennyis´eg ´all´ıthat´o el˝o, az R=
%ul , η
(7.12)
Reynolds-sz´am, minden m´as, dimenzi´otlan kifejez´es megadhat´o R f¨ uggv´enyek´ent. A fentiekb˝ol k¨ovetkezik, hogy a folyad´ek sebess´egeloszl´as´at v = uf (r/l, R)
(7.13)
f¨ uggv´ennyel lehet le´ırni. Tov´abbi dimenzi´otlan mennyis´egek a Froude-sz´am Fr =
u2 , gl
(7.14)
´es a
uτ (7.15) l Strouhal-sz´am. (Itt τ a mozg´asra jellemz˝o id˝o´alland´o.) A nyom´aseloszl´as le´ır´as´ahoz k´esz´ıts¨ unk ν, l, u-b´ol nyom´as/s˝ ur˝ us´eg dimenzi´oj´ u mennyis´eget: p = %u2 f (r/l, R) . (7.16) S=
Az eml´ıtettek szerint azonos t´ıpus´ u ´es Reynolds-sz´am´ u ´araml´asok teh´at hasonl´oak.
166
7.3.
Turbulencia
A sk´al´aval kapcsolatos megfontol´asok az ¨orv´enyes a´raml´asok tanulm´anyoz´as´aban megk¨ ul¨onb¨oztetett szerepet j´atszanak, ez´ert indokolt r´eszletesen foglalkozni a k´erd´essel. A k´erd´esk¨or kiemelten fontos, hiszen a folyami g´atak m´eretez´es´et˝ol az u ˝rsikl´o tervez´es´eig, a mer¨ ul˝oforral´ot´ol az er˝om˝ uvek kaz´anj´aig egy sor berendez´es le´ır´as´aban j´atszik meghat´aroz´o szerepet. A t´argyal´ast a s´ url´od´o folyad´ekok a´raml´as´aval kezdj¨ uk. A folyad´ekok ´araml´as´at a Navier-Stokes egyenletek ´ırj´ak le, ezeket az elm´eleti fizika kurzusokon a hallgat´ok megismerik. Tegy¨ uk fel, hogy a folyad´ek o¨sszenyomhatatlan, ekkor a folyad´ek mozg´asegyenlete, a Navier-Stokes egyenlet, az al´abbi alakot ¨olti: ∂v + (v∇)v = −∇p + η∆v. (7.17) % ∂t Itt %- a folyad´ek s˝ ur˝ us´ege, η-bels˝o surl´od´asi egy¨ utthat´o, p a nyom´as, v a folyad´ek sebess´ege. Az anyagi jellemz˝ok (ρ, η) ismeret´eben v-t kell a (7.17) egyenletb˝ol meghat´arozni. A (7.17) egyenletek megold´asa sok konkr´et esetben ismert. Azonban a megold´asnak stabilnak is kell lennie, azaz, a kis perturb´aci´oknak id˝oben le kell csengeni. A perturb´aci´o id˝of¨ ugg´ese egy e−iωt taggal ´ırhat´o le, a stabilit´as felt´etele, hogy ω k´epzetes r´esze negat´ıv legyen. A stabilit´asvizsg´alat els˝osorban k´ıs´erleti eredm´enyekre ´ep¨ ul. Kis Reynolds-sz´amok eset´en a megold´as bizonyosan stabil, azonban van egy kritikus Reynolds-sz´am, ahol a megold´as instabill´a v´alik az infinitezim´alis perturb´aci´okkal szemben. A stabilit´asvizsg´alat eredm´enye szerint a Reynolds-sz´am n¨ovekedt´evel u ´jabb ´es u ´jabb frekvenci´ak jelennek meg, a v(x, y, z, t) f¨ uggv´enyben. A megjelen˝o u ´jabb mozg´asok amplit´ ud´oja egyre kisebb, a frekvenci´ak k¨oz¨otti k¨ ul¨onbs´egek is egyre cs¨okkennek. A sebess´eg alakja az al´abbi lesz: X Pn Ap1 ,...,pn e−i j=1 pj φj , (7.18) v(x, y, z, t) = p1 ,p2 ,...,pn
√
ahol i = −1, p1 , . . . , pn eg´esz sz´amok, φj a pj -vel jellemzett Fourier-komponens f´azisa, A pedig (vektor)amplit´ ud´oja. Egy adott t pillanatban a f´azis φj = ωj t+βj alak´ u, nyilv´an t = 0-kor φj = βj . Ismert, hogy kezdeti ´ert´ekekt˝ol f¨ uggetlen¨ ul, elegend˝oen nagy id˝ointervallum eltelt´evel a folyad´ek a´llapota egy el˝ore megadott ´allapothoz tetsz˝olegesen k¨ozel ker¨ ul. Ez´ert ha a turbulens mozg´ast hossz´ u ideig k¨ovetj¨ uk, a kezdeti ´ert´ekek elvesztik jelent˝os´eg¨ uket. Ezt mutatja, hogy a turbulens mozg´as elm´elete statisztikus elm´elet. A (7.18)-ben fel´ırt mozg´asnak n szabads´agi foka van, a szabads´agi fokok sz´ama a Reynolds-sz´ammal n˝o. A kifejl˝od¨ott turbulenci´aban a szabads´agi fokok sz´ama v´egtelen, a φj f´azisokt´ol f¨ ugg, milyen eredm´enyt kapunk, ha (7.18)-t ´atlagoljuk egy adott id˝ointervallumban a t´er egy adott pontj´aban. Ez´ert a sebess´eget tekinthetj¨ uk egy ”´atlag” ´es egy fluktu´al´o r´esz ¨osszeg´enek. Nagy Reynolds-sz´amokn´al azt tal´aljuk, hogy a fluktua´ci´ok k¨ ul¨onb¨oz˝o l´ept´ek˝ uek, a legnagyobb szerepet a nagyl´ept´ek˝ u ingadoz´asok j´atssz´ak, ezen ingadoz´asok karakterisztikus hossz´anak nagys´agrendj´et az ´araml´as eg´esz kiterjed´ese hat´arozza meg (azaz, a vizsg´alt t´err´esz eg´esze). Jel¨olje l a turbulens a´raml´as fenti 167
nagys´agrendj´et. Az ´araml´as e komponens´et jellemz˝o sebess´eg´enek nagys´agrendje ¨osszem´erhet˝o az a´tlagsebess´eg l t´avols´agon val´o v´altoz´as´aval, legyen ez ∆u. A komponenshez tartoz´o frekvenci´at az u a´tlagsebess´eg ´es az l t´avols´ag h´anyados´aval becs¨ ulhetj¨ uk. A nagy frekvenci´aknak megfelel˝o kis l´ept´ek˝ u ingadoz´asok amplit´ ud´oja a turbulens a´raml´asban j´oval kisebb. Ezek adj´ak a nagy l´ept´ek˝ u alapmozg´asra szuperpon´al´od´o finomszerkezetet. Ha a t´er egy adott pontj´aban a sebess´eg id˝oben val´o v´altoz´as´at vizsg´aljuk, a T ∼ 1/u karakterisztikus id˝okh¨oz k´epest kis id˝otartamok alatt a sebess´eg v´altoz´asa jelent´ektelen, ha viszont az id˝otartam nagy, a sebess´eg ∆u nagys´agrend˝ u v´altoz´asokat szenved. Amint l´attuk, a folyad´ek eg´esz´enek a´raml´as´at meghat´aroz´o R Reynolds-sz´amban az l t´avols´ag szerepel. A k¨ ul¨onb¨oz˝o fluktu´aci´okhoz tartoz´o Rλ Reynolds-sz´amot R anal´ogi´aj´ara defini´alhatjuk Rλ ∼ vλ λ/ν-k´ent, ahol λ az adott fluktu´aci´o l´ept´eke (t´avols´ag), vλ pedig a jellemz˝o sebess´eg. A folyad´ek viszkozit´asa csak a legkisebb l´ept´ek˝ u ingadoz´asok eset´en v´alik l´enyegess´e, amikor a megfelel˝o Reynolds-sz´am egys´egnyi nagys´agrend˝ u. Jel¨olje ezen mozg´asok l´ept´ek´et λ0 . Turbulens mozg´asban a legnagyobb l´ept´ek˝ u fluktu´aci´okb´ol a kisebbek fel´e foly´o energia´aramot figyelhet¨ unk meg, azaz, az energia a kis frekvenci´akb´ol a´ramlik a nagyokba, a legkisebb l´ept´ek˝ u, azaz legnagyobb frekvenci´aj´ u fluktu´aci´okban pedig h˝ov´e alakul. A fentiek szerint λ >> λ0 eset´en a fluktu´aci´ot le´ır´o mennyis´egek nem f¨ ugghetnek a viszkozit´ast´ol. Ez emeli ki a hasonl´os´agi megfontol´asok jelent˝os´eg´et a turbulencia tanulm´anyoz´as´aban. A fentiek alapj´an becs¨ ulj¨ uk meg a turbulens a´raml´asban bek¨ovetkez˝o mechanikai energiavesztes´eg nagys´agrendj´et. Legyen ε az id˝oegys´eg alatt a folyad´ek t¨omegegys´eg´eben disszip´alt energia ´atlaga. Az el˝oz˝o bekezd´esben eml´ıtett energia´araml´as sor´an az energiadisszip´aci´o v´eg¨ ul a λ0 l´ept´ek˝ u fluktu´aci´okban disszip´al´odik. ε nagys´agrendj´et a nagy l´ept´ek˝ u mozg´asok jellemz˝o mennyis´egei, nevezetesen a % s˝ ur˝ us´eg, az l m´eret ´es a ∆u sebess´eg meghat´arozz´ak. Minthogy ε dimenzi´oja erg/g/s, ilyen dimenzi´oj´ u mennyis´eget kell k´epezni a fenti h´arom mennyis´egb˝ol. Egyetlen ilyen mennyis´eg van: ε∼
(∆u)3 . l
(7.19)
A fenti h´arom mennyis´eg megszabja tov´abb´a a νturb ”turbulens viszkozit´ast” is. Egyetlen kinematikai viszkozit´as jelleg˝ u mennyis´eg k´epezhet˝o: νturb ∼ l∆u.
(7.20)
Hat´arozzuk meg, a turbulens a´raml´as sebess´eg´enek v´altoz´as´at λ t´avols´agon, azaz, vλ -t. Mivel ez csak %, ε, λ-t´ol f¨ ugghet, ezekb˝ol egyetlen sebess´eg dimenzi´oj´ u kifejez´es alkothat´o, ez´ert vλ ∼ (ελ)1/3 . (7.21) Vagyis, a kis t´avols´agokon bek¨ovetkez˝o sebess´egv´altoz´as ar´anyos a t´avols´ag k¨obgy¨ok´evel (Kolmogorov–Obuhow-t¨orv´eny). 168
A. N. Kolmogorov (1903-1987) vezette be a korrel´aci´os f¨ uggv´enyek haszn´alat´at ´es fedezett fel egyszer˝ u felt´etelek mellett, egy univerz´alis sk´alat¨orv´enyt. Ezt r¨oviden ¨osszefoglaljuk. Vizsg´aljuk a folyad´ek v(r, t) sebess´eg´enek i-ik komponens´et, vi (r, t)-t, i = 1, 2, . . . 3. A helykoordin´at´akat jel¨olje r = (x1 , x2 , x3 ). Legyen a f´azist´er egy P pontja P = (x1 , x2 , x3 , t). Korl´atozzuk vizsg´alatainkat a V tartom´any r ∈ V pontjaira. Mivel a turbulens mozg´as le´ır´as´aban szerepl˝o φi f´azisokat nem ismerj¨ uk, ezeket v´eletlen mennyi´ s´egeknek tekintj¨ uk. Igy v´eg¨ ul is vi (r, t) is v´eletlen n mennyis´ oeg. Jel¨olje az A mennyis´eg dvi 2 2 v´arhat´o ´ert´ek´et E {A}. Feltessz¨ uk, hogy E {vi } ´es E ( dxj ) v´eges mennyis´eg V minden pontj´aban. Bevezetj¨ uk az y koordin´at´akat a f´azist´erben az al´abbi defin´ıci´oval. Legyen (0)
yi = xi − xi − vi (P0 )(t − t0 ); s = t − t0 , (0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(7.22)
(0)
ahol P0 = (x1 , x2 , x3 , t) ´es r0 = (x1 , x2 , x3 ) ∈ V . Nyilv´an yi is v´eletlen mennyis´eg, hiszen vi (P0 )-t´ol f¨ ugg. Az u ´j koordin´at´akban kifejezett sebess´eg komponensei wi (P ) = vi (P ) − vi (P0 ). A f´azist´er a´ltalunk vizsg´alt r´esz´et G-vel jel¨olj¨ uk: G = (y, s), y ∈ (k) V ; s ∈ T , ahol T egy id˝ointervallum. Ezzel defini´altuk a wi = wi (Pk ), i = 1, 2, 3; k = (0) 1, . . . , n eloszl´asf¨ uggv´enyeket. Legyen wi = wi (P0 ). Az eml´ıtett eloszl´asf¨ uggv´enyek (0) (0) (0) (k) (k) uggv´enyei lesznek. Legyen egy ilyen eloszl´asf¨ uggv´eny Fn = xi , t , vi , yi ´es s f¨ (0) (k) Fn (x1 , . . . , s ). Ezen f¨ uggv´enyek vizsg´alat´ara Kolmogorov bevezette az al´abbi defin´ıci´okat. 7.1. Defin´ıci´ o (Lok´ alisan homog´ en turbulencia) Legyen a turbulencia lok´alisan ho(0) (0) mog´en a G tartom´anyban, ha minden n-re az Fn eloszl´asf¨ uggv´eny f¨ uggetlen az xi , t(0) , vi koordin´at´akt´ol. 7.2. Defin´ıci´ o (Lok´ alisan izotr´ op turbulencia) Nevezz¨ uk a turbulenci´at lok´alisan izotropnak a G tartom´anyban, ha az homog´en ´es emellett Fn minden n-re invari´ans a forgat´asokkal ´es t¨ ukr¨oz´esekkel szemben (az eredeti x1 , x2 , x3 koordin´atatengelyekre n´ezve). A fenti defin´ıci´ok alapj´an vizsg´aljuk meg lok´alisan izotrop turbulencia eset´en az al´abbi sebess´egekt˝ol f¨ ugg˝o korrel´aci´os f¨ uggv´enyeket: Eik = E {(v2i − v1i )(v2k − v1k )} , i, k = 1, 2, 3,
(7.23)
ahol v1 ´es v2 az a´raml´as k´et k¨ozeli pontj´aban m´ert sebess´eg, az ´atlagol´as pedig id˝obeli a´tlagol´ast jelent. Tartozzon a v1 sebess´eg az r1 , a v2 pedig az r2 ponthoz. Legyen r = r2 − r1 , ´es legyen r = |r| < l. Feltessz¨ uk, hogy a turbulencia lok´alisan izotrop, ez´ert az Eik tenzor nem f¨ ugghet a t´er egyetlen kit¨ untetett ir´any´at´ol sem, Eik -ban csak r ill. az r ir´any´ u egys´egvektor, n szerepelhet. Egy ilyen tenzor leg´altal´anosabb alakja Eik = A(r)δik + B(r)ni nk . 169
(7.24)
A koordin´atatengelyeket u ´gy v´alasztjuk, hogy az n ir´any´ u komponens indexe r (radi´alis), a r´a mer˝oleges t (tangenci´alis) legyen. Nyilv´an n = (nr , nt ) = (1, 0). (7.24)-b´ol k¨ovetkez˝oen Err = A + B; Ett = A; Ert = 0. A v´azolt k¨ozel´ıt´esben ¨osszef¨ ugg´est a´llap´ıthatunk meg Err ´es Ett k¨oz¨ott. Mivel a v´arhat´o ´ert´ek line´aris: Eik = E {v1i v1k } + E {v2i v2k } − E {v1i v2k } − E {v1k v2i } .
(7.25)
Az izotropia miatt E {v1i v1k } = E {v2i v2k } ´es E {v1i v2k } = E {v1k v2i }, ez´ert Eik = 2E {v1i v1k } − E {v1i v2k } . Ezt differenci´aljuk az r2 koordin´at´ai szerint: ∂v2k ∂Eik = −2E v1i . (7.26) ∂x2k ∂x2k Minthogy a turbulencia vizsg´alata sor´an csak a sebess´egnek az a´tlagsebess´egre rak´od´o, ingadoz´o r´esz´et vizsg´aljuk, a kontinuit´asi egyenlet miatt ∂Eik = 0. ∂x2k
(7.27)
Tov´abb´a, Eik = Eik (x1 , x2 , x3 ), ahol xi = x2i − x1i , ez´ert az x2k szerinti deriv´al´as megegyezik az xk szerinti deriv´al´assal. Bevezetve a geometri´ahoz illeszked˝o hengeres koordin´at´akat, (7.27) ´ıgy ´ırhat´o: 2B = 0. (7.28) A0 + B 0 + r Itt az r szerinti deriv´al´ast vessz˝ovel jel¨olt¨ uk. Az A ´es B f¨ uggv´enyek kifejezhet˝ok a nem elt˝ un˝o komponensekkel: 2 0 Err + (Err − Ett ) = 0, (7.29) r ezt a´talak´ıtva: 1 d 2 Ett = r Err . (7.30) 2r dr r >> l0 t´avols´agokon a sebess´egk¨ ul¨onbs´egek (7.21) szerint ar´anyosak r1/3 -nal. Mivel Eik ban k´et ilyen sebess´eg szorzata szerepel, ez´ert Eik ∼ r2/3 . Ezt behelyettes´ıtve (7.30)-be: 4 Ett = Err 3
(7.31)
ad´odik. Ha viszont r << l0 , a sebess´egk¨ ul¨onbs´egek r-rel ar´anyosak, ez´ert Err = cr2 , Ett = cr2 , ez´ert ebben a k¨ozel´ıt´esben Ett = 2Err .
(7.32)
A fenti eredm´enyeket els˝ok´ent A. N. Kolmogorov mutatta meg 1941-ben. Eredm´eny´et szok´as sk´alaf¨ uggetlennek tekinteni, vagyis ´erv´enyesnek a turbulenci´at alkot´o kaszk´ad 170
b´armely tagj´ara, m´assz´oval a turbulenci´aban megtal´alhat´o minden sk´al´an ´erv´enyesek az ugg´esek. Vannak azonban elt´er˝o v´elem´enyek is. L. D. Landau ´erveket hozott fel ¨osszef¨ a (7.31) ¨osszef¨ ugg´es sk´alaf¨ uggetlens´eg´enek c´afolat´ara. A vit´at feloldja U. Frisch gondolatmenete. Egy turbulens a´raml´asban a Navier-Stokes egyenlet szimmetri´ainak csak egy kis r´esze figyelhet˝o meg. J´ol ismert t´eny, hogy egy k´ıs´erletben egy vez´erl˝oparam´eter (pl. a Reynolds-sz´am) n¨ovel´ese bifurk´aci´ok megjelen´es´ehez vezet, a bifurk´aci´ok cs¨okkentik a szimmetri´at, kialakul a kaotikus a´llapot. Ekkor m´eg fenn´all az id˝oeltol´assal szembeni invariancia, igaz, csak statisztikus ´ertelemben. U. Frisch feltette, hogy a statisztikus ´ertelemben fenn´all´o szimmetri´ak nem korl´atoz´odnak az id˝oeltol´asra, ´es a k¨ovetkez˝o hipot´eziseket javasolta. 7.3. Feltev´ es. Az R → ∞ hat´aresetben a Navier-Stokes egyenlet minden lehets´eges szimmetri´aja, amelyet rendszerint meghi´ us´ıt a turbulens ´araml´as, statisztikus ´ertelemben u ´jra helyre´all kis sk´al´akon, a hat´arfel¨ uletekt˝ol t´avol. 7.4. Feltev´ es. Az 7.3.. Hipot´ezisben megfogalmazott felt´etelek mellett a turbulens ´araml´as kis sk´al´akon o¨nmag´ahoz hasonl´o, azaz, egyetlen sk´alakitev˝ot tartalmaz. 7.5. Feltev´ es. Az 7.3.. Hipot´ezisben megfogalmazott felt´etelek mellett a turbulens ´araml´as t¨omegegys´egre es˝o disszip´aci´oj´anak ´atlag´ert´eke v´eges. A fenti hipot´ezisekb˝ol megkaphat´o a Kolmogorov ´altal is megadott hasonl´os´agi transz´ form´aci´o, 1/3 kitev˝ovel. Altal´ aban turbulens a´raml´asban n mennyis´eg korrel´aci´oj´ara az l hosszal jellemzett sk´al´an Fn (l) = cn ε1/3n l1/3n (7.33) ad´odik, itt cn dimenzi´otlan a´lland´o, n = 3 eset´en c3 = −4/5, egy univerz´alis a´lland´o. A t¨obbi cn egy¨ utthat´o viszont f¨ ugg a geometri´at´ol, ´ıgy a turbulencia sk´al´aj´at´ol is, ez´ert nem univerz´alis ´alland´o.
7.4.
K´ aosz ´ es szimmetri´ ak
Egy fizikai rendszer fejl˝od´es´et egy egyenlett´ıpus, az u ´.n. evol´ uci´os egyenlet ´ırja le, amelyet itt az al´abbi alakban ´ırunk: ∂u = G(x, u), (7.34) ∂t ahol u(x, t) a fizikai rendszert le´ır´o a´llapotf¨ uggv´eny, x a f´azist´er egy pontja, t az id˝o. A fizikai rendszert jellemz˝o folyamatok hat´arozz´ak meg a G(x, u) oper´atort, amely ´altal´aban nemline´aris oper´ator is lehet. A G oper´ator lehet egy nemline´aris f¨ uggv´eny is, ez´ert a tov´abbiakban G egyszer oper´atornak, m´askor f¨ uggv´enynek tekintj¨ uk, ahogyan a t´argyal´as megk´ıv´anja. 171
7.1. Feladat (Oper´ ator ´ es fu eny) Amennyiben G-ben deriv´al´as vagy integr´al´as ¨ ggv´ szerepel, oper´atorr´ol besz´el¨ unk. Ha viszont G-ben csak a matematikai anal´ızisben megszokott m˝ uveletek (hatv´anyoz´as, nemline´aris f¨ uggv´enyek) szerepelnek, akkor G-t f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, noha ekkor is egy f¨ uggv´enyb˝ol egy m´asik f¨ uggv´enyt ´all´ıt el˝o. P´elda nemline´aris oper´atorra: a Navier-Stokes egyenletben szerepl˝o (v∇)v oper´ator, amely egy h´arom komponensb˝ol ´all´o v f¨ uggv´enyre (ez j´atsza most az u f¨ uggv´eny szerep´et) hat, a k¨ovetkez˝ok´eppen: ! X X v∇v = vi ∂i vj . (7.35) j
i
Ez teh´at oper´ator. Ugyanakkor az eBv nemline´aris f¨ uggv´enyt ink´abb ´erdemes f¨ uggv´enynek tekinteni. A k¨ ul¨onbs´eg els˝osorban a deriv´al´as m´odj´aban mutatkozik meg. F¨ uggv´enyek eset´en a szok´asos f¨ uggv´enyderiv´altat kell meghat´arozni, oper´atorok eset´en pedig a Frechetderiv´altat (ld. al´abb). A (7.34) egyenlet vizsg´alata r´ev´en bepillanthatunk az evol´ uci´o folyamat´aba, azaz, egy ¨osszetett rendszer id˝obeni fejl˝od´es´ebe. Az 5.1 pontban l´attuk, hogy a kaotikus turbulens a´raml´as meg´ert´es´ehez sz¨ uks´eges az evol´ uci´ot le´ır´o oper´ator (azaz, a (7.17) Navier-Stokes egyenletben szerepl˝o oper´ator) spektrum´anak ismerete. Ugyanis, legyen G f¨ uggetlen u-t´ol, azaz, tekints¨ uk a line´aris esetet. Ekkor G le´ır´as´ara el˝ony¨osen alkalmazhat´o saj´at´ert´ekeinek ´es saj´atf¨ uggv´enyeinek ¨osszess´ege. ´Irjuk a saj´at´ert´ek-feladatot GΦi = γi Φi
(7.36)
alakba ´es tegy¨ uk fel, hogy a Φi saj´atf¨ uggv´enyek teljes rendszert alkotnak, ´es fejts¨ uk ki a keresett u f¨ uggv´enyt a saj´atf¨ uggv´enyek b´azis´an: X u= Ai (t)Φi (x), (7.37) i
ezt behelyettes´ıtve (7.34)-be, azt l´atjuk, hogy az amplitud´ok exponenci´alis f¨ uggv´enyek, 0 mert kiel´eg´ıtik az Ai = γi Ai egyenletet. Ha a fizikai rendszert perturb´aci´o ´eri, alkalmazhatjuk a (7.37) sorfejt´est. K¨ovetkez´esk´eppen,a perturb´aci´o kifejthet˝o a saj´atf¨ uggv´enyek szerint, az egyes komponensek amplit´ ud´oja pedig a saj´at´a´ert´ekekt˝ol f¨ ugg˝oen id˝oben n˝o, cs¨okken vagy oszcill´al, ez ut´obbi tiszta k´epzetes saj´at´ert´ekek eset´en a´ll el˝o. Kezdj¨ uk a vizsg´alatot P azzal a speci´alis esettel, amikor a G oper´ator line´aris. Legyen a t = 0-ban u(0) = ´llapotot a´br´azolhatjuk a ci (t) amplitud´okkal. i ci0 Φi . Az u(t) a Amennyiben minden saj´at´ert´ek negat´ıv, n¨ovekv˝o t-vel az amplitud´ok cs¨okkenek, ´es t → ∞ hat´aresetben tartanak null´ahoz, az u(t) g¨orbe b´arhonnan induljon is, az orig´oba jut, ld. 11.11. a´bra.
172
7.1. a´bra. Negat´ıv saj´at´ert´ekek esete
7.2. a´bra. Komplex saj´at´ert´ekek esete Komplex saj´at´ert´ekek eset´en pozit´ıv val´osr´esz eset´en n¨ovekv˝o, negat´ıv val´osr´esz eset´en cs¨okken˝o spir´alison mozog az u(t) g¨orbe, ld. 7.2. a´bra.
B´armilyen bonyolult legyen is az id˝of¨ ugg´est megad´o egyenlet, az u(t) ´allapot p´aly´aja a f´azist´erben n´eh´any tipikus p´aly´aba sorolhat´o. Ezek t¨obbs´ege tanulm´anyozhat´o az auton´om rendszerek p´eld´aj´an. Megjegyezz¨ uk, hogy mechanikai alkalmaz´asokban k´etf´ele rendszert k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg, konzervat´ıv ´es disszipat´ıv rendszert. Ez a k´et kateg´oria ´altal´anos´ıthat´o az id˝of¨ ugg˝o folyamatokra. A konzervat´ıv rendszerben megmarad az energia, ´erv´enyes a Liouville-t´etel, amely szerint a f´aziscell´ak t´erfogata nem v´altozik az id˝ovel. A disszipat´ıv rendszer energi´aja egyre cs¨okken, p´aly´aja ennek megfelel˝oen egyre kisebb t´err´eszre korl´atoz´odik. A p´aly´ak elemz´es´et az auton´om rendszerek p´eld´aj´an mutatjuk be. El˝orebocs´atva az auton´om rendszerek n´eh´any tulajdons´ag´at. El˝osz¨or is, ha egy auton´om rendszer p´aly´aj´anak van olyan u(t1 ) pontja, amely megegyezik egy m´asik u(t2 ), t2 > t1 ponttal, akkor a p´alya u(t), t1 ≤ t ≤ t2 pontjai egy z´art ciklust alkotnak. Minden egy´eb esetben az auton´om rendszer p´aly´aja nem haladhat ´at k´etszer ugyanazon a ponton. 173
1. Stacion´arius pont. Ha a f´azist´ernek l´etezik olyan pontja, amelyben ∂u/∂t = 0, ´es a rendszer fejl˝od´ese eljut e pontba, akkor azt nem is hagyja el. (Ezt a pontot nyel˝onek is nevezik.) 2. Hat´arciklus. Az u(t) p´alya t → ∞ eset´en tart egy z´art ciklushoz. 3. Ciklus. Az u(t) p´alya egy z´art g¨orb´eben folytat´odik, itt t v´eges. 4. K¨ ul¨on¨os attraktor. Egy disszipat´ıv rendszer p´aly´aja egyre kisebb t´err´eszben helyezkedik el. Egyes esetekben ez a p´alya nem egy z´art ciklus, a p´alya nem t¨olti ki a sz´oban forg´o t´err´eszt, de a p´alya dimenzi´oja a p´alyag¨orbe dimenzi´oja (ez term´eszetesen 1) ´es a t´err´esz dimenzi´oja (ez u komponenseinek sz´ama) k¨oz´e es˝o, a´ltal´aban t¨ort sz´am. 5. Bifurk´aci´o, k´aosz. Bizonyos felt´etelek mellett (ezeket al´abb r´eszleteiben t´argyalj´ak) a rendszer p´aly´aja k´et (esetleg t¨obb) ´agra bomlik. Ezt nevezik bifurk´aci´onak. Egyes rendszerek bifurk´aci´ok sorozat´an mennek a´t, am´ıg v´eg¨ ul a lehets´eges p´aly´ak sokas´aga jelenik meg. Ezt nevezik kifejlett k´aosznak. Tekintettel arra, hogy az auton´om rendszer p´aly´aja a f´azist´er ¨onmag´ara t¨ort´en˝o lek´epez´esnek tekinthet˝o, a kialakul´o p´aly´ak tanulm´anyoz´asa a lek´epez´esek tanulm´anyoz´as´at jelenti. A 11.11. ´abr´an egy nyel˝o l´athat´o az orig´oban, a 7.2 a´bra orig´oj´aban csak negat´ıv val´osr´esz˝ u saj´at´ert´ekek eset´en van nyel˝o. A k¨ovetkez˝o l´ep´esben vizsg´aljuk az elliptikus oper´atorok saj´at´ert´ekeit. Noha a´ltl´anoss´agban nem sokat tudunk az elliptikus opert´atorok saj´at´ert´ekeir˝ol, az oper´atorok egy sz´eles oszt´aly´ara fenn´all a m´atrixokra vonatkoz´o Perron-Frobenius-t´etel a´ltal´anos´ıt´asa. 7.6. T´ etel (Perron-Frobenius-t´ etel) Legyen az A n´egyzetes, irreducibilis m´atrix minden eleme nemnegat´ıv. Ekkor van A-nak egy λ(A) nemnegat´ıv saj´at´ert´eke, ehhez a saj´at´ert´ekhez pozit´ıv elem˝ u saj´atvektor tartozik. A (kE − A)−1 m´atrix akkor pozit´ıv elem˝ u, ha k > λ(A). A Perron-Frobenius-t´etel ´altal´anos´ıt´asa pedig a Krein-Rutman t´etel. Legyen X egy Banach-t´er. Egy KTk´ up egy komplex halmaz X-ben, amelyre minden λ > 0-ra teljes¨ ul λK ⊂ K ´es K (−K) = ∅. Egy X-ben tal´alhat´o K-k´ up egy r´eszleges rendez´est induk´al. Jel¨olje ezt ”≤”. X-ben u ≤ v, akkor ´es csak akkor, ha u − v ∈ K. Feltessz¨ uk, hogy {u − v, u, v ∈ K} s˝ ur˝ u X-ben. A t´etelnek t¨obb a´ltal´anos´ıt´asa is l´etezik nemline´aris oper´atorokra, itt a line´aris esetre k¨oz¨olj¨ uk a t´etelt. 7.7. T´ etel (Krein-Rutman-t´ etel) Legyen X egy Banach-t´er, K ⊂ X egy k´ up ´es T : X → X egy T kompakt line´aris oper´ator, amely pozit´ıv, azaz, T(K) ⊂ K. A T oper´ator spektr´alis sugara legyen ρ(T) > 0. Ekkor ρ(T) > 0 egy saj´at´ert´eke T-nek, ´es a hozz´ a ∗ tartoz´o u saj´atf¨ uggv´enyre teljes¨ ul Tu = ρ(T)u, u ∈ K, tov´abb´a T spektr´alis sugara megegyezik T spektr´alis sugar´aval: ρ(T∗ ) = ρ(T). 174
A domin´ans saj´at´ert´ek aszimptotikusan nagy id˝ok eset´en meghat´arozza a megold´as viselked´es´et, hiszen a t¨obbi saj´at´ert´ekhez tartoz´o tag amplit´ ud´oja j´oval kisebb, mint a domin´ans saj´at´ert´ekhez tartoz´o tag´e. Sajnos enn´el t¨obb a´ltal´anoss´agban nem mondhat´o. Az id˝of¨ ugg˝o egyenletek megold´as´at csak a spektrum ismeret´eben lehet vizsg´alni. A fizik´aban el˝ofordul´o oper´atorok egy r´esz´enek (ide tartozik a Botzmann-f´ele transzportegyenlet oper´atora ´es sz´amos bel˝ole sz´armaztatott oper´ator is) ma sem ismert a spektruma, ez els˝osorban a stabilit´asvizsg´alatot nehez´ıti meg. A saj´at´ert´ekek ismeret´eben vizsg´alhat´o ugyanis a megold´as stabilit´asa. A megold´as, vagy a vizsg´alt egyenletek stabilit´as´an a k¨ovetkez˝ot ´ertik. Amennyiben a (7.34) egyenlet u(λ, t) megold´asa egy t = 0 id˝opontban megadott kezd˝ofelt´etel eset´en ismert, megvizsg´aljuk, az egyenletben szerepl˝o λ param´eter kis megv´altoz´asa (azaz, λ + δ, δ << 1 eset´en az u(λ + δ, t) megold´as elegend˝oen nagy t eset´en mennyire v´altozik meg. Ha azt l´atjuk, hogy minden t > T eset´en u(λ, t) − u(λ + δ, t) << 1, akkor az (7.34) egyenlet megold´asa stabil, ellenkez˝o esetben instabil. A G(λ, u0 ) = 0 stacion´arius egyenlet megold´as´at stabilnak nevezz¨ uk, ha a ∂G/∂u(λ, u0 ) oper´ator spektruma a komplex s´ık baloldal´ara (azaz, a negat´ıv k´epzetes r´esz˝ u saj´at´ert´ekekre) van korl´atozva. Amennyiben(7.34) linea´ris, a deriv´alt egy a´lland´o m´atrix, ellenkez˝o esetben az u szerinti deriv´altat az al´abbi m´odon kell kisz´am´ıtani (Frechet-deriv´alt): G(λ, u + εv) − G(λ, u) ∂G(λ, u) v = lim . ε→0 ∂u ε
(7.38)
Vagyis, a G f¨ uggv´eny vagy oper´ator deriv´altja az az oper´ator, amely a (7.38) hat´ar´atmenet v´egrehajt´asa ut´an a v ∈ U f¨ uggv´enyre hat. Amennyiben G f¨ uggv´eny, a Frechetderiv´alt megegyezik az anal´ızisben haszn´alatos deriv´alttal. Ha viszont G egy oper´ator (pl. deriv´al´ast tartalmaz), akkor kisz´am´ıt´as´ahoz az al´abbi tulajdons´agokat lehet felhaszn´alni. 7.2. Feladat (A Frechet-deriv´ alt tulajdons´ agai) Amennyiben a λ param´eter ´ert´ek´et r¨ogz´ıtj¨ uk, a Frechet-deriv´alt csak u-t´ol f¨ ugg, a G f¨ uggv´eny vagy oper´ator, ez n´ez˝opont k´erd´ese, u szerinti deriv´altj´at G0 -vel jel¨olj¨ uk. K¨onnyen bel´athat´o, hogy a (7.38) Frechetderiv´alt rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: 1. Ha G = u = const, azaz a G oper´ator minden u f¨ uggv´enyt egy ´alland´oba k´epez le, akkor G0 (u) ≡ 0, vagyis, akkor G deriv´altja a nulla line´aris oper´ator. 2. Legyen G line´aris, azaz ´alljon fenn G(u1 +u2 ) = G(u1 )+G(u2 ). Ekkor G0 (u) = G. ¨ 3. Osszetett f¨ uggv´eny deriv´altja. Legyen U, V ´es W h´arom norm´alt t´er. Legyen U (u), ahol u ∈ U, az U t´er u pontj´anak egy k¨ornyezete. Az G1 oper´ator k´epezze le ezt a k¨ornyezetet a V t´erbe. Legyen V (v) a v = G1 (u) pont egy k¨ornyezete. A G2 oper´ator k´epezze le ezt a k¨ornyezetet a W t´erbe. Ha G1 differenci´alhat´o az u, G2 pedig a v pontban, akkor az U → W lek´epez´est megval´os´ıt´o G3 = G2 ◦ G1 ¨osszetett oper´ator is differenci´alhat´o az u pontban ´es G03 (u) = G02 (v)G01 (u). 175
4. Legyen G1 ´es G2 U → V folytonos lek´epez´es. Ha G1 ´es G2 differenci´alhat´o az u ∈ U pontban, akkor (G1 + G2 )0 u = G01 (u) + G02 (u), tov´abb´a adott a sz´am eset´en (aG1 )0 (u) = aG01 (u). 7.3. Feladat (A Frechet-f´ ele deriv´ alt haszn´ alata) Hat´arozzuk meg az F (u) = un , folytonos f¨ uggv´enyt folytonos f¨ uggv´enybe lek´epez˝o oper´ator Frechet-deriv´altj´at! (7.38) alapj´an (u + th)n − un 0 , (7.39) F (u)h = lim t→0 t a binomi´alis t´etelt felhaszn´alva, elv´egezve a hat´ar´atmenetet, az al´abbi eredm´enyt kapjuk: F 0 (u)h = nun−1 h.
(7.40)
Ezut´an megfogalmazhatjuk, mikor tal´alkozunk bifurk´aci´oval a (7.34) egyenlet megold´asakor. Legyen (7.34) egy ismert megold´asa u(λ). Legyen a Gu = ∂G/∂u(λ, u0 ) oper´ator egyik saj´at´ert´eke σ(λ), amely el˝ojelet v´alt λ = λ0 -n´al. Legyen a saj´at´ert´ek deriv´altja dσ/dλ0 > 0. 7.8. T´ etel (Bifurk´ aci´ o t´ etel) A fenti felt´etelek mellett l´etezik (7.34)-nek egy sima, nemtrivi´alis λ(ε), u(ε) megold´asa, amely a (λ0 , u0 ) pontban bifurk´al az u(λ) megold´ast´ol. Legyen u ∈ E ´es legyen a G oper´ator egy lek´epez´es az L × E t´erb˝ol az F t´erbe, ´es λ ∈ L. Jel¨olje L0 = Gu (λ0 , u0 )-t. Legyen N az L0 oper´ator nulltere, azaz, ϕ0 ∈ N ha L0 ϕ = 0. Az L0 oper´ator R ´ert´ekk´eszlete azon f f¨ uggv´enyekb˝ol a´ll, amelyekre L0 u = f . A Fredholm-alternat´ıva t´etel alapj´an ennek felt´etele (f, ϕ0 ∗ ) = 0, a jobboldal ´es ϕ∗ 0 ortogonalit´asa. Az invariancia vizsg´alat´ahoz egy nemline´aris f¨ uggv´eny transzform´aci´o alatti viselked´es´et kell le´ırni a 2. fejezetben ismertett m´odon. Ennek haszna abban jelentkezik, hogy a (7.36) saj´atf¨ uggv´enyek legal´abb line´arisan f¨ uggetlenek vagy ortogon´alisak. A saj´atf¨ uggv´enyeket invarianci´ajuk alapj´an is lehet oszt´alyozni, a k´et feloszt´as ¨osszevet´es´eb˝ol kit˝ unik, hogy a magasabb saj´at´ert´ekhez ”kev´esb´e szimmetrikus” megold´as tartozik. ´Irja le a transzform´aci´ot a T oper´ator. A T oper´atort a (7.34) egyenlet szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk, ha fenn´all TG(λ, u) = G(λ, Tu). (7.41) Az (7.34) egyenlet szimmetri´ait jel¨olje G, a csoport egy reprezent´aci´oja, amely az E t´eren hat, e reprezent´aci´o a´lljon a Tg , g ∈ G oper´atorokb´ol. Bontsuk fel a stacion´arius G(λ, u) = 0 176
(7.42)
egyenletet egy N-be es˝o v = Pu komponensre, ´es egy N-re mer˝oleges ψ komponensre (ezt vet´ıtse ki a Q = 1 − P projektor). Ezzel (7.42) k´et egyenletre esik sz´et: QG(λ, v + ψ) = 0 PG(λ, v + ψ) = 0.
(7.43) (7.44)
Az els˝o egyenletb˝ol meghat´arozhatjuk ψ = ψ(λ, v)-t. Ezt behelyettes´ıtj¨ uk a m´asodik egyenletbe: F (λ, v) ≡ PG(λ, v + ψ(λ, v)) = 0. (7.45) A kapott egyenletet bifurk´aci´oegyenletnek nevezik, mert megadja (7.42)-nek egy (λ0 , u0 ) pontban bifurk´al´o megold´as´at. Legyen N az L0 = Gu (λ0 , u0 ) oper´ator nulltere, amelynek dimenzi´oja legyen N . Legyen az N-re vet´ıt˝o P oper´ator egy´ uttal E lek´epez´ese E-re ´es F lek´epez´ese F-re. Mivel (7.45)-ben m´ar csak v-t kell meghat´arozni, az pedig az N dimenzi´os N-t´er eleme, az eredetileg v´egtelen dimenzi´os egyenletet v´eges dimenzi´oss´a reduk´altuk. Ezt az elj´ar´ast Ljapunov-Schmidt elj´ar´asnak nevezik. Az al´abbi t´etel azt mutatja be, hogyan haszn´alhatjuk ki azt a t´enyt, hogy az N nullt´er szimmetri´aja az E(2) euklideszi csoport. 7.9. T´ etel Legyen adott egy G csoport, annak egy T ´abr´azol´asa, az ´abr´azol´as ´altal´anos ´ eleme legyen Tg , amelynek hat´asa defini´alt E-n. Alljon fenn a (7.41) ¨oszef¨ ugg´es a T ´abr´azol´as minden elem´ere. Ekkor az L0 = Gu (λ0 , u0 ) oper´ator kommut´al Tg -vel ´es a (7.45) bifurk´aci´oegyenlet kovari´ans a Tg ´abr´azol´as N -re korl´atozott v´egesdimenzi´os ´abr´azol´as´aval, vagyis, a T ´abr´azol´as minden Tg elem´ere fenn´all Tg F (λ, v) = F (λ, Tg v). A bifurk´aci´oegyenlet szimmetri´aja felhaszn´alhat´o mag´anak a bifurk´aci´oegyenletnek a megkonstru´al´as´ara, amennyiben az N nullt´er GN szimmetriacsoportj´anak T reprezent´aci´oja ismert. GN szimmetriacsoportj´at tekinthetj¨ uk az E(2) euklideszi-csoportnak (ld. 4.1. fejezet), amennyiben feltessz¨ uk, hogy a (7.34) egyenlet valamilyen v´eges eltol´assal szemben invarianci´at mutat. E felismer´es el˝onye, hogy a 4.1. fejezetben ismertetett vizsg´alatokat, ´ıgy az E(2) csoport (4.12) ´abr´azol´as´at is, alkalmazhatjuk. Ez a k¨or¨ ulm´eny a bifurk´aci´oegyenlet jelent˝os egyszer˝ us´ıt´es´ere vezet, els˝osorban a t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ekek eset´eben. Lehet˝ov´e teszi a bifurk´aci´o probl´em´aj´anak geometria szerinti oszt´alyoz´as´at valamint egy olyan elm´elet kidolgoz´as´at, amely f¨ uggetlen a vizsg´alt probl´ema fizikai vo´ n´asait´ol. Erdemes felfigyelni arra, hogy a reprezent´aci´oelm´elet line´aris, m´ıg a bifurk´aci´o alapvet˝oen nemline´aris jelens´eg. A reprezent´aci´oelm´elet alapjait a 2. ´es 4. fejezetekben t´argyaltuk, itt most a bifurk´aci´oegyenlet tenzor jelleg´et vizsg´aljuk meg. Most a (7.45) bifurk´aci´oegyenletben szerepl˝o F nemline´aris f¨ uggv´enyt itt oper´atornak tekintj¨ uk ´es felbontjuk foksz´am szerinti tagokra, a kapott tagokat k¨ ul¨on-k¨ ul¨on vizsg´aljuk. Fejts¨ uk ki a (7.45) bifurk´aci´oegyenletletben szerepl˝o m˝ uveleteket az al´abbi m´odon: F(λ, v) = A(λ)v + B2 (λ, v, v) + B3 (λ, v, v, v) + . . . 177
(7.46)
Itt A(λ) egy line´aris lek´epez´es: A(λ) : N → QF, ahol N az F(λ, v) oper´ator nulltere, F pedig a G oper´ator ´ert´ekk´eszlete. A (7.46)-ban szerepl˝o Bk (λ, v, . . . , v) oper´ator egy k-line´aris oper´ator: Bk : N × N × . . . N → QF. A jelen paragrafus k´epleteiben a ”. . . ” jelent´ese: a sz´oban forg´o mennyis´egek k-szor ism´etl˝odnek. Legyen a (7.57) egyenlet λ0 param´eterhez tartoz´o megold´asa u0 . Ha u0 6= 0, akkor helyettes´ıthetj¨ uk az eredeti G(λ, u) egyenletet a G(λ, u + u0 ) − G(λ, u)-val. Az u ´j egyenletnek nyilv´an megold´asa lesz az azonosan nulla f¨ uggv´eny. Ez´ert tekinthetj¨ uk a fenti ´ertelemben m´odos´ıtott egyenlet egy megold´as´anak az u ≡ 0 f¨ uggv´enyt ´es a bifurk´aci´ot ett˝ol val´o elt´er´esk´ent vizsg´alhatjuk. El˝osz¨or is, vegy¨ uk ´eszre, hogy v ≡ 0 mindig megold´as, ¨osszhangban azzal a feltev´es¨ unkkel, hogy az azonosan nulla f¨ uggv´eny megold´asa a (7.34) egyenletnek. Vizsg´aljuk meg a B2 (λ, v, v) biline´aris oper´atort. Nyilv´an fenn´all B2 (τ v, τ v) = τ 2 B2 (v, v). Nyilv´an B2 (λ, v, v) kvadratikus v-ben, ez m´odot ad a kavadratikus K(u, v) oper´atorok ´es biline´aris oper´atorok k¨oz¨otti kapcsolat meg´allap´ıt´as´ara: B2 (λ, u, v) = ∂2 K(su, tv)|s=0,t=0 . Ezt a meg´allap´ıt´ast felhaszn´aljuk a bifurk´aci´oegyenlet vizsg´ala∂s∂t t´an´al. 7.10. Defin´ıci´ o (Kovariancia) Legyen F (λ, u) tetsz˝oleges f¨ uggv´eny vagy oper´ator. Legyen u ∈ N, legyen D : g → Dg az N t´eren ´ertelmezett G csoport v´egesdimenzi´os ´abr´azol´asa. Az F (λ, u) f¨ uggv´enyt kovari´ansnak nevezz¨ uk a D ´abr´azol´as alatt, amennyiben minden g ∈ G eset´en fenn´all Dg F (λ, u) = F (λ, Dg u). Legyen a (7.34) egyenlet kovari´ans egy G csoport D reprezent´aci´oja alatt. Deriv´aljuk a (7.34) egyenletet u szerint: Dg Gu (λ, u) = Gu (λ, Dg u)Dg .
(7.47)
Azt kaptuk, hogy a Gu oper´ator a fenti ´ertelemben kommut´al a G csoport D a´br´azol´as´aval. Mivel a bifurk´aci´os pont v = 0, ez´ert a (7.45) ´es (7.46) egyenletek azt ´ırj´ak le, hogy a saj´at´ert´eket ´es a sebess´egt´er perturb´aci´oit hogyan hat´arozz´ak meg a fizikai folyamatok. Term´eszetesen nem ismerj¨ uk az infinitezim´alis perturb´aci´ok tulajdons´agait, de az N-t´erben ´ertelmezett GN automorfizmuscsoport alkalmat ad arra, hogy a perturb´aci´okat, ´es ´ıgy a perturb´aci´ot le´ır´o egyenletben szerepl˝o tagokat felbontsuk irreducibilis komponensekre. A tov´abbi er˝ofesz´ıt´esek c´elja egyszer˝ us´ıtett le´ır´ast tal´alni a (7.46) egyenlet irreducibilis komponenseire. Tegy¨ uk fel, hogy egy G csoport hat´as´at egy N dimenzi´os vektort´er elemeire egy v´egesdimenzi´os Dg , g ∈ G m´atrix reprezent´aci´oval adjuk meg. Egy Bk lek´epez´es, amely k-line´aris, akkor kovari´ans, ha Dg B(u1 , . . . , uk ) = B(Dg u1 , . . . , Dg uk ).
(7.48)
Mivel a 7.9.. t´etel szerint (7.45) kovari´ans, a (7.46)-ban szerepl˝o minden tag kovari´ans lesz, tov´abb´a, minden tag szimmetrikus v´altoz´oiban, ez´ert csak az al´abbi kifjez´eseket 178
vizsg´aljuk: Bk (λ, v, . . . , v), vagyis, ahol az argumentumban szerepl˝o v f¨ uggv´enyek azonosak. Ez a k¨or¨ ulm´eny jelent˝osen leegyszer˝ us´ıti a tenzorok vizsg´alat´at, mert egy V vektort´er felett ´ertelmezett szimmetrikus tenzorok algebr´at alkotnak, ez az algebra izomorf a z1 , . . . , zn n = dim(V) v´altoz´ok polinomjainak algebr´aj´aval. P´eld´anak ok´a´ert vizsg´aljuk a k-line´aris tenzorszorzatot: ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik -t. Ennek a tenzornak a szimmetrikus r´esz´ere van sz¨ uks´eg¨ unk, ezt k elem π permut´aci´oinak Sk halmaza seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o. A π permut´aci´onak teh´at k eleme van, az i-ik elem legyen π(i). 1 X ϕi (1) ⊗ · · · ⊗ ϕπ(k) k! π∈S π
(7.49)
k
A (7.49) szimmetriz´alt tenzorszorzatot egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak az nj sz´amok, ahol nj megadja ϕj el˝ofordul´as´anak sz´am´at a ϕi1 ⊗ · · · ⊗ ϕik szorzatban. ´Igy v´eg¨ ulis a (7.49) n1 nk vektort cimk´ezhetj¨ uk a z1 . . . zk k v´altoz´os polinommal. Egy tetsz˝oleges k-adrend˝ u szimmetrikus tenzort pedig cimk´ezhet¨ unk az al´abbi k-adfok´ u homog´en polinommal: X Aα z1 α1 . . . zn αn , |α| = α1 + · · · + αn . (7.50) |α|=k
A V vektorteret azonos´ıtjuk a z1 , . . . , zn -ben line´aris polinomokkal. A V elemeib˝ol k´epzett k-t´enyez˝os szimmetrikus szorzatot (7.50)-tal azonos´ıtjuk. Mivel a sz´obanforg´o V vektort´er f¨ uggv´enyt´er, ez´ert feltessz¨ uk, hogy a polinomban szerepl˝o zi v´altoz´ok komplex sz´amok. Ekkor a B(v, . . . , v) homog´en, k-adfok´ u tenzor egy n dimenzi´os t´erben b1 (z1 , . . . , zn ) .. (7.51) , . bn (z1 , . . . , zn ) alak´ u. Itt minden bj homog´en, k-adfok´ u polinom. A bifurk´aci´oegyenlet megkonstru´al´as´ahoz a szimmetriacsoport hat´as´at kell megvizsg´alni a z1 , . . . , zn v´altoz´ok polinomjain. A csoport hat´as´at a zi -kre (teh´at a teret alkot´o f¨ uggv´enyekre) ismerj¨ uk. Ilyen m´odon a (7.46)-ben szerepl˝o tagokat Fj (z1 , . . . , zn ) alakba ´ırhatjuk, mindegyik egy k¨ ul¨on egyenletnek tekinthet˝o. 7.11. T´ etel Legyenek a bifurk´aci´ot le´ır´o Fj (z1 , . . . , zn ) egyenletek kovari´ansak egy adott D reprezent´aci´oval szemben. Amennyiben D irreducibilis, a line´aris tagok Fj = λzj alak´ uak, m´ıg ha D reducibilis, akkor a line´aris tag minden irreducibilis blokkon egy skal´arszorosa az egys´egm´atrixnak, a szorz´ot´enyez˝o minden irreducibilis alt´erben m´as. Tegy¨ uk fel, hogy a perturb´aci´ok szab´alyos h´aromsz¨ogr´acsot mutatnak. A k¨ovetkez˝o p´eld´aban meghat´arozzuk a kvadratikus irreducibilis kifejez´esek sz´am´at, a r´ak¨ovetkez˝o p´eld´aban pedig meg is hat´arozzuk a megfelel˝o f¨ uggv´enyeket. 179
7.4. Feladat (A szimmetrikus lek´ epez´ esek sz´ ama C3v szimmetria eset´ en) Amennyiben a bifurk´aci´ot le´ır´o (7.45) egyenlet invari´ans a szab´alyos h´aromsz¨og szimmetri´aival szemben, a m´asodfok´ u szimmetrikus lek´epez´esek sz´am´at az al´abbiak szerint hat´arozhatjuk meg. A csoport karaktert´abl´aj´at a 2.1. t´abl´azat tartalmazza. A (2.25) k´eplet adja meg k = 2 eset´en az invari´ans m´asodfok´ u lek´epez´esek sz´am´at, abban szerepel a (2.26) kifejez´es. Ezt ´ert´ekelj¨ uk ki el˝osz¨or: χ(2) (g) =
χ2 (g) χ(g 2 ) χi1 (g)χi2 (g 2 ) = + . i1 i !2i2 i ! 1 2! 2 1 2 =2
X i1 +2i2
(7.52)
Mivel egy konjug´alt elemoszt´alyon bel¨ ul a karakterek azonosak, (7.52)-et csak a h´arom elemoszt´aly egy-egy elem´ere kell kisz´amolni. A konjug´alt elemoszt´alyokat a 2.6. t´abl´azat tartalmazza. A sz´am´ıt´ashoz le kell r¨ogz´ıteni a csoport reprezent´aci´oj´at is, v´alasszuk a k´et egydimenzi´os ´es egy k´etdimenzi´os irreducibilis alt´erb˝ol ´all´o reprezent´aci´ot, ´ıgy a csoportelemeket 4 × 4-es m´atrixok ´ırj´ak le, a karakterek a m´atrixok sp´ urjai. Ez´ert χ(e) = 4, 2 2 χ(t) = χ(t ) = 1, ´es χ(s) = χ(st) = χ(st ) = 0. Ebb˝ol azonnal kapjuk: χ(2) (e) = 10, χ(2) (t) = χ(2) (t2 ) = 1, ´es χ(2) (s) = χ(2) (st) = χ(2) (st2 ) = 2. Az invari´ans m´asodfok´ u lek´epez´esek sz´am´at (2.25)-b˝ol kapjuk: 1/6(40 + 2 + 0) = 7. Most el˝oa´ll´ıtjuk az el˝oz˝o p´eld´aban meghat´arozott sz´am´ u invari´ans f¨ uggv´enyt. 7.5. Feladat (Az 7.4. p´ elda irreducibilis fu enyeinek el˝ o´ all´ıt´ asa) Bevezetj¨ uk az ¨ ggv´ x, y, z, z v´altoz´okat, a V vektorteret pedig ezen n´egy v´altoz´o line´aris polinomjaib´ol ´all´onak tekintj¨ uk. Defini´alni kell a csoport k´et gener´ator´anak hat´as´at a fenti v´altoz´okra, ezt az al´abbiakban megadjuk: (az al´abbiakban teh´at t ´es s a C3v csoport gener´atorait jel¨oli, v.¨o. 2.4.. p´elda a 2. fejezetben): tx = sx = x, ty = y,sy = −y, tz = e2π/3 z, tz = e2π/3 z, sz = z, sz = z. x teh´at a h´aromsz¨ogre mer˝oleges tengely,az y tengely mer˝oleges a h´aromsz¨og magass´agvonal´ara (amely az s t¨ ukr¨oz´es s´ıkja), a forgat´as le´ır´as´ara pedig a z, z v´altoz´okat fogjuk haszn´alni. Ezekb˝ol az al´abbi invari´ans kifejez´esek k´epezhet˝oek: x, |z|2 , y 2 , z 3 ´es z 3 . Tekints¨ unk egy ´altal´anos F lek´epez´est, azaz, F (x, y, z, z) f¨ uggv´enyt. Amennyiben megmaradunk az 7.4.. p´eld´aban t´argyalt reprezent´aci´o mellett, F -et felbonthatjuk k´et egydimenzi´os, ´es egy k´etdimenzi´os irreducibilis komponensre. Jel¨olj¨ uk F komponenseit Fi (x, y, z, z)-vel, ahol i = 1, . . . , 4. A tov´abbiakban ezeket a komponenseket hat´arozzuk meg. Az els˝o komponens, F1 , az egys´egreprezent´aci´ohoz tartozik, vagyis invari´ans minden csoportelemmel szemben, ez´ert csak az invari´ans kifejez´esek f¨ uggv´enye lehet, ez´ert 2 2 3 3 F1 = F1 (x, |z| , y , z , z ). Az F2 komponens u ´gy transzform´al´odik a csoportelemek alatt mint y, ez´ert F2 = yF1 (x, |z|2 , y 2 , z 3 , z 3 ). F3 ´es F4 , a k´etdimenzi´os ´abr´azol´as k´et b´azisa, amelyet az ´abr´azol´as elemei (forgat´asok, eltol´asok) egym´asba transzform´alnak. A
180
legfeljebb kvadratikus tagokig bez´ar´olag: F1 F2 F3 F4
= = = =
λ1 x + ax2 + by 2 + c|z|2 + . . . y(λ2 + dx) + . . . λ3 z + exz + f yz + gz 2 + . . . λ4 z + exz − f yz + gz 2 + . . . .
(7.53) (7.54) (7.55) (7.56)
A fenti kifejez´esekben h´et lehets´eges, f¨ uggetlen m´asodfok´ u tag van, ezek egy¨ utthat´oit a, . . . , g jel¨oli. Ezek a tagok adj´ak ki a 7.4.. feladatban meghat´arozott h´et kvadratikus szimmetrikus komponenst. Megjegyezz¨ uk, hogy egy adott probl´ema vizsg´alata sor´an az egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa hosszadalmas numerikus sz´am´ıt´asokat ig´enyel. A bifurk´aci´os egyenletek megkonstru´al´asa term´eszetesen f¨ ugg az E(2) csoportban jelenl´ev˝o transzl´aci´ot´ol, vagyis a r´acst´ol. Ez ut´obbi viszont az infinitezim´alis perturb´aci´okt´ol f¨ ugg. V´eg¨ ul, az a´ltal´anos esetben a k¨ovetkez˝o meg´allap´ıt´ast tehetj¨ uk. A saj´atf¨ uggv´enyek ortogonalit´asa miatt a magasabb saj´ar´ert´ekekhez tartoz´o saj´atf¨ uggv´enyek t¨obbsz¨or is el˝ojelet v´altanak, ennek megfelel˝oen szimmetri´ajuk is ´altal´aban alacsonyabb rend˝ u, mint ´ az els˝o n´eh´any m´odus´e. Altal´ aban azok a m´odusok gerjeszt˝odnek k¨onnyen amelyeket a legkisebb energi´aval lehet gerjeszteni. A gerjeszt´es energi´aj´at pedig a saj´at´ert´ekkel lehet kapcsolatba hozni. 7.6. Feladat (Az eltol´ asi invariancia s´ eru ese) Az al´abbiakban megmutatjuk, hogy ¨ l´ a konvekci´o modellez´es´ere haszn´alatos Boussinesq-egyenletek eltol´asi invarianci´aja hogyan s´er¨ ul, azaz, szimmetri´aja hogyan cs¨okken bifurk´aci´o sor´an. A Boussinesq-egyenletben uggv´eny van, a sebess´egvektor h´arom komponense v1 , v2 , v3 , a p nyom´as ¨ot ismeretlen f¨ ´es a θ h˝om´ers´eklet. A f¨ uggetlen v´altoz´ok a hely (x1 , x2 , x3 ) ´es az id˝o (t). A vizsg´alt egyenletben teh´at u ≡ (v1 , v2 , v3 , θ, p) a keresett f¨ uggv´eny. Ennek megfelel˝oen G(λ, u) is ¨ot egyenletb˝ol ´all: 3
∆vk + δk3 θ −
1 X ∂vk ∂vk ∂p = vj + ∂xk ν/κ j=1 ∂xj ∂t
∆θ + Rv3 =
3 X j=1
3 X ∂vj ∂xj j=1
= 0.
vj
∂θ ∂θ + ∂xj ∂t
(7.57)
(7.58)
(7.59)
Az els˝o egyenletben k = 1, 2, 3. Az egyenletben szerepl˝o param´eterek a ν/κ Prandtlsz´am, R a Rayleigh-´alland´o, δ nem param´eter, a Kronecker-f´ele deltaf¨ uggv´enyt jel¨oli, ∆ a Laplace-oper´ator. A fizikai folyamat a k¨ovetkez˝o. Adott k´et v´ızszintes s´ık (ezeket 181
x3 = ´alland´oval adjuk meg), amelyek h˝om´ers´eklete k¨ ul¨on-k¨ ul¨on ´alland´o. A k´et s´ık k¨oz¨ ott homog´en k¨ozeg helyezkedik el. A k¨ ozeg ¨osszenyomhatatlan folyad´ek. A h˝om´ers´ekletk¨ ul¨onbs´eg hat´as´ara kialakul´o konvekci´o el fogja rontani a k¨ ul¨onben fenn´all´o (x, y) s´ıkbeli eltol´asokkal szembeni invarianci´at. A jelens´eget a h˝om´ers´eklet perturb´aci´oj´aval (θ) ´es a sebess´egt´er (v1 , v2 , v3 ) seg´ıts´eg´evel ´ırjuk le. Teh´at a vizsg´alt feladatban u szerep´et egy u vektor veszi ´at, amelynek komponensei (v1 , v2 , v3 , θ, p). A λ param´etervektor a ¨otelem˝ (7.57) egyenletekben szerepl˝o ´alland´ok ν/κ, R, teh´at a param´eterek sz´ama kett˝o. Els˝o l´ep´esben az eltol´asokkal szembeni invarianci´at fogalmazzuk meg. Ehhez a 4. fejezetben bemutatott (4.14) reprezent´aci´ot haszn´aljuk fel. A (7.57) egyenletek invari´ansak az euklideszi s´ık forgat´asaib´ol ´es eltol´asaib´ol ´all´o E(2) csoporttal szemben. Az E(2) csoport egy reprezent´aci´oj´at megadja (4.14), amennyiben a csoport elemeit skal´ar f¨ uggv´enyre ´ aban alkalmazzuk. Itt az E(2) csoportot ¨otelem˝ u vektorf¨ uggv´enyre kell alkalmazni. Altal´ a g csoportelem Tg reprezent´aci´oja egy n > 1 komponensb˝ol ´all´o f¨ uggv´eny eset´en ´ıgy adhat´o meg: (Tg u) (x) = (Sg (u)) (g −1 x), (7.60) ahol Sg egy n × n-es m´atrix, az E(2) csoport g elem´enek reprezent´aci´oja a vizsg´alt egyenletet jel¨ol˝o G oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´an. Megmutathat´o, hogy a (7.57) egyenletek invarinci´at mutatnak a (7.60) transzform´aci´oval szemben, ahol Sg elemei skal´arok. Ez annyit jelent, hogy fenn´all a 3. defin´ıci´oban megadott kovariancia: Tg G(λ, u) = G(λ, Tg u). (7.61) ´ Irjuk a lineariz´alt egyenletet L(λ) = Gu (λ, 0) alakba. Az L oper´ator nyilv´an rendelkezik a (7.61) tulajdons´aggal, amennyiben g ∈ E(2). Amiatt kommut´al az eltol´asokkal is. Deriv´aljuk ugyanis (7.61)-at u szerint, helyettes´ıtj¨ uk G-t L-el: Tg L(λ, u) = L(λ, Tg u)Tg . Ez´ert azon f¨ uggv´enyek altere, amelyet L invari´ansan hagy, (4.24) szerint ψk = veikx alak´ uak. A megold´as stabilit´asa Ljapunov-szerint az L(λ) oper´ator saj´at´ert´ekeit˝ol f¨ ugg. Legyen a saj´at´ert´ek σ(λ, k). Egy tipikus bifurk´aci´os pontot mutat a 4.1. ´abra. A kritikus pont (kc , λc ), itt t¨ort´enik a bifurk´aci´o. Ebben a pontban kc infinitezim´alis megv´altoz´as´ara a λ ´ert´eke instabill´a v´alik.
Mivel L(λc ) invari´ans a forgat´asokkal szemben, nulltere is invari´ans a forgat´asokkal szemben, ez´ert a nullt´eren b´azisk´ent haszn´alhatjuk az Sr vei(kx)
(7.62)
alak´ u f¨ uggv´enyeket, ahol az E(2) csoport azon r index˝ u elemei szerepelnek, amelyek forgat´asokat ´ırnak le. Ez az alt´er v´egtelen dimenzi´os (mivel v´egtelen sok k vektorral jellemezhet˝o), de v´eges dimenzi´oss´a tehet˝o, ha bevezetj¨ uk a 6. fejezetben ismertetett (6.2)-vel defini´alt reciprokr´acsot. Ekkor a nullt´er olyan hull´amvektorokkal jellemezhet˝o, amelyben 182
7.3. a´bra. Bifurk´aci´os pont szerepl˝o k vektorok recirokr´acs-vektorban t´ernek el. K´erd´es, milyen eltol´asok szerepeljenek a reciprokr´acsban, hiszen a vizsg´alt probl´ema tetsz˝oleges eltol´assal szemben invari´ans lehet. Ezt nem tudjuk, ez´ert c´elszer˝ u ez elemi eltol´asok ´ert´ek´et v´altoz´ok´ent meghagyni ´es minden sz´obaj¨ov˝o r´acsot megvizsg´alni. Ez viszont el´eg terjedelmes lenne, ez´ert egyetlen r´acsot fogunk vizsg´alni, ez a hatsz¨oges r´acs, amelyr˝ol feltessz¨ uk, hogy invari´ans a d eltol´assal szemben. Al´abb megmutatjuk, hogy egy hatsz¨oges r´acson az L(λ) oper´ator nullter´ebe tartoz´o f¨ uggv´enyek kifejthet˝oek a (7.62) f¨ uggv´enyek szerint hat ki ir´any seg´ıts´eg´evel. Nyilv´an az N alt´er f¨ ugg a d veltort´ol, ez´ert indokolt a nullteret N(d)-vel jel¨olni. Ezeket a f¨ uggv´enyeket az E(2) csoport elemei egym´asba transzform´alj´ak, ez´ert az L0 oper´ator N(d) nullter´enek ´altal´anos elem´et w(x) =
6 X
zj ψj (x)
(7.63)
j=1
alakba ´ırhatjuk, ahol ψj a kj hull´amvektorhoz tartoz´o f¨ uggv´eny (7.62)-ban. Amennyiben val´os f¨ uggv´enyeket vizsg´alunk, a z egy¨ utthat´ok k¨oz¨ott ¨osszef¨ ugg´esek ´allnak fel, hiszen alkalmas j, k indexek eset´en (itt a fel¨ ulvon´as komplex konjug´al´ast jelent): ψj (x) = ψk (x). Legyen a ki hull´amvektorok sz´amoz´asa olyan, hogy z1 = z 4 , z2 = z 5 ´es z3 = z 6 . Mivel (7.62)-ban hat f¨ uggv´eny szerepel, ez´ert az N(d) nullteret hatdimenzi´osnak tekintj¨ uk. A ... t´etel (?) szerint az N(d) vektort´eren vizsg´aljuk annak automorfizmuscsoportj´anak hat´as´at. El˝osz¨or azonos´ıtjuk N(d)-t a hatv´altoz´os (legyenek a v´altoz´ok z1 , . . . , z6 komplex mennyis´egek), lin´aris polinomok ter´evel. Ezut´an megvizsg´aljuk a hatsz¨oges r´acs automorfizmusainak hat´as´at ezen a t´eren. A hatsz¨oges r´acs diszkr´et csoportja izomorf a D6 csoporttal, ennek k´et gener´atora van s ´es t(v.¨o. 15. p´elda a 2.4. fejezetben). Ezeket permut´aci´okkal reprezent´aljuk a z1 , . . . , z6 v´altoz´okon: s(z1 , . . . , z6 ) = (z2 , . . . , z1 ) ´es t(z1 , . . . , z6 ) = (z1 , z6 ,z5 , z4 , z3 , z2 ). A d-vel val´o eltol´assal szembeni invariancia: Td = eik1 d z1 , . . . , eik6 d z6 . Sz¨ uks´eg lesz m´eg a komplex konjug´al´as oper´ator´anak hat´as´ara, amely a k¨ovetkez˝o: J(z1 , . . . , z6 ) = (z 1 , . . . , z 6 ). A bifurk´aci´oegyenletben szerepl˝ o 183
F lek´epez´est most f¨ uggv´enynek tekintj¨ uk, amelynek hat irreducibilis komponense van, legyenek ezek F = (F1 , . . . , F6 ). Mivel a lek´epez´es kovari´ans, fenn´all tF = F t, ez´ert Fj (z1 , . . . , z6 ) = Fi (z1 , . . . , z6 ),
(7.64)
ahol j = 1 + mod(i, 6). (7.64)-szerint ha F1 ismert, a t¨obbi komponens meghat´arozhat´ o az argumentumok ciklikus permut´aci´oj´aval. Hasonl´oan, sF = F s-b˝ol: Fj (z1 , . . . , z6 ) = Fi (z1 , z6 , z5 , z4 , z3 , z2 ),
(7.65)
ahol az j index az s permut´aci´o i-ik poz´ıci´oj´aban ´all´o index. A perturb´aci´oegyenlet invari´ans a konjug´al´asra is: JF = F J, ebb˝ol ad´odik az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: F i (z1 , . . . , z6 ) = Fi (z 1 , . . . , z 6 ).
(7.66)
Az egyenlet eltol´assal szembeni invarianci´aj´ab´ol ad´od´oan: eik1 d Fi (z1 , . . . , z6 ) = Fi (eik1 d z1 , . . . , eik6 d z6 ), i = 1, . . . , 6.
(7.67)
A (7.64)-(7.67) o¨sszef¨ ugg´esekb˝ol meghat´arozhatjuk az ´altal´anos kovari´ans F lek´epez´es alakj´at. Felbontjuk az Fi komponenseket lin´aris, kvadratikus, k¨ob¨os s.´ı.t. tagokra. Itt csak a line´aris taggal foglalkozunk. (7.67)-b´ol k¨ovetkezik, hogy Fi = azi ,
, i = 1, . . . , 6.
(7.68)
A 17. t´etelb˝ol j´ol l´athat´o, hogy a bifurk´aci´o stabilit´asa f¨ ugg a r´acst´ol. Ennek itt nem r´eszletezhet˝o vizsg´alata sor´an hasznos az al´abbi egyszer˝ us´ıt´es. Mivel a zi egy¨ utthat´ok k¨oz¨ott ¨osszef¨ ugg´est teremt a ki hull´amvektorral jellemzett s´ıkhull´amok k¨oz¨otti kapcsolat, c´elszer˝ u bevezetni a zj = xj eiθj ,
zj+3 = xj e−iθj ,
j = 1, 2, 3;
(7.69)
v´altoz´okat. Ezekre a v´altoz´okra az s, t gener´atorok ´es a d eltol´as hat´asa: s(x1 , x2 , x3 , θ1 , θ2 , θ3 ) = (x1 , x2 , x3 , θ2 , θ3 , −θ1 ) (7.70) t(x1 , x2 , x3 , θ1 , θ2 , θ3 ) = (x1 , x3 , x2 , θ1 , −θ3 , −θ2 ) (7.71) Td (x1 , x2 , x3 , θ1 , θ2 , θ3 ) = (x1 , x2 , x3 , θ1 + (k1 d), θ2 + (k2 d), θ3 + (k3 d)). (7.72) A fenti v´altoz´ok bevezet´es´evel a v´altoz´ok sz´ama fel´ere cs¨okken. A reduk´alt bifurk´aci´os egyenletek r´acsperiodikus perturb´aci´ok eset´ere vonatkoz´o, az E(2) csoporttal szemben invari´ans (kovari´ans) bifurk´al´o megold´asok: • N´egyzetr´acs vagy t´eglalapr´acs eset´en: x1 (τ + cx21 + dx2 2 ) = 0 x2 (τ + cx2 2 + dx1 2 ) = 0. 184
(7.73) (7.74)
• Hatsz¨oges r´acs (k=2) eset´en: τ x1 − x2 x3 = 0 τ x2 − x3 x1 = 0 τ x3 − x1 x2 = 0
(7.75) (7.76) (7.77)
x1 (τ + cx1 2 d(x2 2 + x3 2 )) = 0 x2 (τ + cx2 2 + d(x3 2 + x1 2 )) = 0 x3 (τ + cx3 2 + d(x1 2 + x2 2 )) = 0.
(7.78) (7.79) (7.80)
• Hatsz¨oges r´acs (k=3) eset´en:
Itt az xi -kt˝ol f¨ uggetlen tagokat egyetlen τ -val jel¨olt tagba vontuk o¨ssze. A (7.73) megold´as az al´abbi esetekben stabil: d < c < 0 ´es c + d < 0, c − d < 0. A (7.75) egyenlet minden esetben instabil. A (7.78) megold´as az al´abbi esetekben stabil: d < c < 0 ´es c < d, c + 2d < 0. Az al´abbi t´etel ¨osszekapcsolja a reduk´alt (7.45) bifurk´aci´oegyenlet (7.73)-(7.78) megold´asaiban szerepl˝o c ´es d ´alland´okat a vizsg´alt egyenletben szerepl˝o λ param´eterekkel. Term´eszetesen a probl´ema term´eszete miatt a kapcsolat implicit jelleg˝ u. 7.12. T´ etel L´etezik egy q(θ) f¨ uggv´eny az al´abbi tulajdons´agokkal: q(θ) =
∞ X
A2i cos(2iθ)
(7.81)
i=0
amelyb˝ol megkaphat´o a (7.73) k´epletekben szerepl˝o c ´es d ´alland´o ´ert´eke: c = 3q(0);
d = 6q(α),
(7.82)
ahol α a r´acs k´et b´azisvektora k¨ozti hegyessz¨og. Az A2i egy¨ utthat´ok f¨ uggenek a megoldand´ o probl´em´aban szerepl˝o fizikai ´alland´okt´ol. Ezut´an m´ar alkalmazhat´o a stabilit´asra kor´abban kapott eredm´eny: a kialakul´o a´raml´as stabilit´asa a nullt´er elemeiben szerepl˝o c, d a´lland´ok f¨ uggv´enye, v¨o. (7.73)-(7.78). E k´et a´lland´ot viszont az infinitezim´alis perturb´aci´ok hat´arozz´ak meg. V´egeredm´enyben a fenti, kvalitat´ıv vizsg´alat azt mutatja, hogy a kezdetben eltol´as invari´ans megold´as helyett egy v´eges eltol´asokkal szemben invarianci´at mutat´o ´araml´asi szerkezet fog kialakulni. Az eltol´as nagys´aga a feladat fizikai param´etereit˝ol f¨ ugg, a kialakul´o r´acs t´ıpusa pedig a q(θ) f¨ uggv´enyt˝ol.
185
7.5.
¨ Osszetett tartom´ any
A jelen fejezet az algebra ´es a geometria kapcsolat´anak egyes k´erd´eseivel foglalkozik. A 2. fejezetben m´ar l´attunk p´eld´at a geometria ´es az algebra egyfajta kapcsolat´ara, amikor bemutattuk, hogy minden v´eges csoport a´br´azolhat´o egy Cayley-diagrammal, ami nem m´as mint egy geometriai strukt´ ura, egy gr´af. A Lorentz-transzform´aci´o vizsg´alata sor´an l´attuk, hogy a t´erid˝o strukt´ ur´aj´at vizsg´alhatjuk algebrai m´odszerekkel is. L´etezik a geometri´anak egy a´ga, az algebrai geometria, amelynek t´argya alakzatok viselked´es´enek tanulm´anyoz´asa folytonos ´es diszkr´et transzform´aci´ok alatt. Kor´abban is vizsg´altuk, milyen transzform´aci´ok viszik ´at pl. a n´egyzetet ¨onmag´aban, ezek a transzform´aci´ok azonban merev ´es diszkr´et mozg´asok voltak. Amennyiben egy geometriai a´br´at, amilyen a n´egyzet, vagy a k¨or, pontok tetsz˝oleges halmaz´anak tekint¨ unk, a k´erd´es t´ ul a´ltal´anos. Ez´ert csak a v´egesen le´ırhat´o geometriai a´br´akkal foglalkozunk. Azokat az ´abr´akat, amelyeket egy folytonos transzform´aci´o egym´asba visz a´t, homeomorfnak nevezz¨ uk. P´eld´aul a t´eglalap ´es a t´orusz homeomorf ´abr´ak, mert ha a t´eglalapot ”¨osszesodorjuk” u ´gy, hogy k´et szemben l´ev˝o oldal´at o¨sszeragasztjuk, megkapjuk a t´oruszt. Az elj´ar´as sor´an eml´ıtett transzform´aci´ok folytonosak. A t´orusz ´es a t´eglalap lek´epez´ese k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u. L´eteznek azonban egy-t¨obb´ert´ek˝ u lek´epez´esek is. Tekints¨ uk az egys´egsugar´ u k¨or´ıvet (S 1 ) 1 1 1 ´es a val´os sz´amegyenest (R ). Az f : R → S lek´epez´est megval´os´ıtja az f (x) = x mod 2π f¨ uggv´eny, hiszen 0 ≤ y = f (x) < 2π, ´es x = y + 2nπ valamely n eg´eszre. Ezt a fajta lek´epez´est fed´esnek nevezz¨ uk. K´et geometriai ´abra (eset¨ unkben a k¨orvonal ´es a sz´amegyenes) k¨oz¨ott hoztunk l´etre lek´epez´est. Mivel az eg´esz sz´amok csoportot alkotnak az ¨osszead´as m˝ uvelet´ere n´ezve, ez´ert azt is mondhatjuk, a sz´amegyenest el˝o´all´ıtottuk az egys´egk¨orb˝ol arra alkalmazva egy csoport (eset¨ unkben az eg´esz sz´amok csopotj´anak) elemeit. Legyen ´ertelmezve a G csoport hat´asa az X halmazon. Ekkor minden x ∈ X ponthoz ´es g ∈ G csoportelemhez hozz´arendelhet˝o egy g(x) pont, ami az x pont k´epe a g csoportelem hat´asa alatt. Ha a G csoport X automorfizmusaib´ol a´ll, akkor x, g(x) ∈ X, minden g ∈ G-re. Tekints¨ uk az y = g(x) rel´aci´ot, ami szimmetrikus, tranzit´ıv ´es reflex´ıv, teh´at ekvivalenciarel´aci´ok´ent haszn´alhat´o. Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen X orbitok diszjunkt uni´oj´ara bonthat´o, egy orbithoz a g(x) pontok tartoznak, r¨ogz´ıtett x-szel. Ekkor l´etezik olyan X0 ⊂ X tartom´any, amely minden orbitot metsz. X0 -t az X halmaz fundament´alis tartom´any´anak nevezz¨ uk.
7.1. Feladat (Szab´ alyos sokszo alis tartom´ anya) A n´egyzet fundamen¨g fundament´ t´alis tartom´anya egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og, amelynek k¨oz´epponti sz¨oge π/4. Szab´alyos n-sz¨og fundement´alis tartom´anya egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og, amelynek k¨oz´epponti sz¨oge 186
7.4. a´bra. N´egyzet fundament´alis tartom´anya π/n, ld. 7.4. ´abra t tartom´anya. Az ´abra α ´es γ oldalaira t¨ort´en˝o t¨ ukr¨oz´esekkel el˝o´all az eg´esz n´egyzet, ugyanakkor a γ oldal v´egig ”k¨ uls˝o” oldal marad. A soksz¨og szimmetri´ai a fundament´alis tartom´anyt m´as h´aromsz¨ogekbe viszik ´at, ezek ¨osszess´ege ´eppen kiadja a sz´obanforg´o soksz¨oget. Az X0 fundament´alis tartom´any p´aly´aja a G automorfizmuscsoport alatt ´eppen X. Az x0 ∈ X0 pontok p´aly´aja a G csoport alatt lefedi X-et, amennyiben x v´egig fut X0 pontjain. Amennyiben X-en t´avols´ag van defini´alva, X-et topologikus t´ernek nevezz¨ uk. 7.2. Feladat (A g¨ ombfelu er) A g¨ombfel¨ ulet param´eterezhet˝o k´et pa¨ let topologikus t´ ram´eterrel: 0 ≤ ϑ ≤ π ´es 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Az egys´egsugar´ u g¨ombfele¨ ulet egy pontj´anak koordin´at´ait megadja x = sin ϑ cos ϕ, y = sin ϑ sin ϕ, z = cos ϑ. A ds t´avols´agot defini´alhatjuk ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 alapj´an: ds2 = sin2 ϕdϕ2 + dϑ2 . Vizsg´aljuk meg egy V tartom´anyt az ¨osszef¨ ugg˝os´eg szepontj´ab´ol. Azt mondjuk, hogy V tartalmazza az F p´aly´at, ha l´etezik olyan f : t ∈ [0, 1] → P ∈ V f¨ uggv´eny, amelynek minden pontja V -be esik. Ekkor az F p´alya ¨osszek¨oti az f (0) ´es az f (1) pontokat. Amennyiben f (t) a´lland´o f¨ uggv´eny, akkor a hozz´a tartoz´o F p´aly´at nullap´aly´anak nevezz¨ uk. K´et V -ben halad´o p´aly´at homotopnak nevez¨ unk, ha l´etezik olyan folytonos transzform´aci´o, amely az egyik p´aly´at, f1 (t)-t, folytonosan a´ttranszform´alja a m´asik p´aly´aba, f2 (t)-be. Ez a transzform´aci´o le´ırhat´o egy k´etv´altoz´os φ(t, s) f¨ uggv´ennyel, ahol 0 ≤ s ≤ 1 tov´abb´a φ(t, 0) = f1 (t) ´es φ(t, 1) = f2 (t). Az F p´aly´aval homotop p´aly´ak halmaz´at [F ]-el jel¨olj¨ uk. A p´aly´ak k¨oz¨ott defini´alunk egy m˝ uveletet, a kompoz´ıci´ot, az al´abbi m´odon. Ha egy F p´alya v´egpontja egybe esik egy m´asik G p´alya kezd˝opontj´aval, akkor a k´et p´alya kompoz´ıci´oj´an a h(t) f¨ uggv´enyt ´ertj¨ uk, amelynek argumentuma 0 ≤ t ≤ 2 ´es h(t) = f1 (2t), ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es h(t) = f2 (2t), ha 1/2 ≤ t ≤ 1. Defini´alhatjuk az inverz p´aly´at is: tartozzon az F −1 p´aly´ahoz az f (1 − t) f¨ uggv´eny, amennyiben F -hez az f (t) tartozik. Egy p´aly´anak ´es inverz´enek szorzata ugyanazzal a ponttal kezd˝odik ´es 187
v´egz˝odik, a hozz´a tartoz´o f¨ uggv´eny n(t) = f (2t), ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es n(t) = f (2 − 2t), ha 1/2 ≤ t ≤ 1. Mivel a φ(t, s) = f (2st) ha 0 ≤ t ≤ 1/2 ´es φ(t, s) = f (2s − 2st) ha 1/2 ≤ t ≤ 1 s = 0 eset´en a´tmegy a nullap´aly´aba, s = 1 eset´en pedig n(t)-be, ez´ert n(t) homotop a nullap´aly´aval. Defini´aljuk az [F ] ´es [G] halmazok szorzat´at az al´abbi m´odon: [F ][G] = [F G]. Ekkor nyilv´an [F ][F −1 ] = [1], ahol a nullap´aly´at [1] jel¨oli. Az ´ıgy bevezetett szorzatr´ol bel´athat´o, hogy asszociat´ıv, teh´at az egy adott P ∈ V pontban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´aly´ak a fenti szorz´asra n´ezve csoportot alkotnak. Ezt a csoportot V fundament´alis csoportj´anak nevezz¨ uk ´es π(V )-vel jel¨olj¨ uk. Egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝onek nevezz¨ uk az olyan halmazt, amelynek fundament´alis csoportja egyetlen elemb˝ol [1]-b˝ol a´ll. 7.3. Feladat (A fundament´ alis csoport nem fu ol.) Legyen ugyanis ¨ gg a P ∈ V pontt´ Q ∈ V , ´es k¨osse ¨ossze a Q ´es P pontokat egy H p´alya. A P -ben kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o F p´aly´anak egy´ertelm˝ uen megfeletethet˝o egy Q-ban kezd˝od˝o, ´es ott v´egz˝od˝o p´alya: (H −1 F )H. A P -ben kezd˝od˝o ´es ott v´egz˝od˝o F G p´aly´anak megfeleltethet˝o a (H −1 F G)H p´alya, ´es mivel (H −1 F G)H = (H −1 F HH −1 G)H, ez k´et, Q-ban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´alya szorzata. 7.4. Feladat (A g¨ ombfelsz´ın egyszeresen ¨ osszefu o) A g¨ombfelsz´ın egy r¨ogz´ıtett ¨ gg˝ pontj´aban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´alya folytonosan ´attraszform´alhat´o egy m´asik, ugyanabban a pontban kezd˝od˝o ´es v´egz˝od˝o p´aly´aba. Ez´ert fundament´alis csoportj´anak egyetlen eleme [1]. Ez´ert a g¨omb egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o.
7.5. a´bra. A t´orusz mint ”¨osszesodort” henger
188
7.5. Feladat (A t´ orusz nem egyszeresen ¨ osszefu o) Illessz¨ uk ¨ossze egy 2r sugar´ u, ¨ gg˝ ´ 2πR magass´ag´ u hengert k´et v´eg´en. Igy kapunk egy t´oruszt, amelynek egy k¨or alak´ u metszete van, ennek sugara r. Kaphatunk egy k¨orgy˝ ur˝ u alak´ u metszetet is, amelynek k¨ uls˝ o sugara R, bels˝o sugara R − 2r. A t´orusz fel¨ ulet´ere rajzolhat´o legal´abb k´et olyan k¨or (pl. r sug´arral ´es R sug´arral, ld. ´abra), amelyek folytonosan nem deform´alhat´oak egym´asba. Hasonl´o a helyzet, ha a s´ıkb´ol kiv´agunk egyetlen pontot, mert a pont k¨or´e rajzolt k¨or nem zsugor´ıthat´o a megmarad´o ponthalmaz egyik pontj´ara sem. Ez´ert sem a t´orusz, sem a kiv´agott s´ık nem egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝oek. Jel¨olje G orbitjainak halmaz´at G\X. Ha minden x ∈ G\X pontnak van olyan k¨ornyezete, amelynek az f : X → G\X lek´epez´esn´el a teljes inverze az f f¨ uggv´eny a´ltal homeomorfan lek´epezett, p´aronk´ent diszjunkt, ny´ılt halmazoknak az egyes´ıt´ese, akkor X nem el´agaz´o fed´ese G\X-nek. Kor´abban l´attuk, hogy amennyiben egy f¨ uggv´eny viselked´es´et vizsg´aljuk egy tartom´anyon, el˝ony¨os ismerni a tartom´any automorfizmusait. Gyakran azt tal´aljuk, hogy az automorfizmusok csoportja csak az egys´egelemb˝ol a´ll. Amennyiben egy teljesen asszimetrikus t´erfogatot vizsg´alunk, azt hihetn´enk, rem´enytelen az automorfizmus csoportb´ol ad´od´o egyszer˝ us´ıt´esekre sz´am´ıtani, ez azonban nincs mindig ´ıgy, a fenti gondolatmenet gyakran alkalmazhat´o. Tekints¨ unk egy olyan V t´erfogatot, amely egybev´ag´o t t´egl´ak egym´ashoz illeszt´es´evel j¨on l´etre. Amennyiben t-nek a V -t alkot´o p´eld´anyai eltol´assal fed´esbe hozhat´oak, m´aris el˝oa´ll´ıthajuk V -t mint t k´ep´et transzform´aci´ok egy sorozata alatt. Ebben az esetben V -t lefedt¨ uk t p´eld´anyaival. A legegyszer˝ ubb p´elda s´ık lefed´ese t´eglalapokkal. Legyen t = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} a lefed´eshez haszn´alt t´egla. Az eltol´ast jel¨olje T(i, j) = i ∗ x + j ∗ y, ahol 0 ≤ x ≤ a ´es 0 ≤ y ≤ b, tov´abb´a i, j eg´esz sz´amok. Mivel az eltol´asok csoportot alkotnak, ez a transzl´aci´ocsoport, a s´ıkot lefedt¨ uk a t t´eglalap orbitj´aval a transzl´aci´ocsoport alatt. A s´ıkon ´ertelmezett f¨ uggv´enyeket fel lehet bontani a csoport irreducibilis a´br´azol´asai szerint. K´erd´es, lehets´eges-e a fenti m´odszert a´ltal´anos´ıtani v´eges t´erfogatokra. A v´alasz pozit´ıv. El˝osz¨or vegy¨ uk ´eszre, hogy a T(i, j) oper´atorok egy r´eszcsoportj´at alkotj´ak az (i(modN ), j(modM )) transzl´aci´ok, ez a r´eszcsoport biztos´ıtja a 0 ≤ x ≤ N ∗ a, 0 ≤ y ≤ M ∗ b lefed´es´et. A fed˝ocsoport egy r´eszcsoportja teh´at biztos´ıtja a s´ık egy r´esz´enek lefed´es´et. Amennyiben a vizsg´alt V t´erfogat szab´alytalan, m´as technik´at kell alkalmaznunk. Tegy¨ uk fel, hogy V el˝oa´ll´ıthat´o egybev´ag´o t t´egl´akb´ol u ´gy, hogy a t t´egl´ak p´eld´anyai mindig ´erintkeznek, mindig van t p´eld´anyainak legal´abb egy olyan ´ele, amely k´et p´eld´any k¨oz¨os ´ele. Legyenek a t t´egla ´elei a, b, c, . . . . Sz´amozzuk meg a V -t alkot´o t´egl´akat 1t˝ol N -ig. Ezt a geometriai konstrukci´ot szeretn´enk le´ırni algebrai eszk¨oz¨okkel. Buser ´ ıts´ak el˝o a GV csoportot az α, β, γ, . . . javaslata nyom´an az al´abbi m´odon j´arhatunk el. All´ gener´atorok. Amennyiben V -ben t ia , ja , ka , la , . . . sorsz´am´ u p´eld´anyait a t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen α = (ia , ja )(ka , la ) . . . . (7.83) 189
Amennyiben V -ben t ib , jb , kb , lb , . . . sorsz´am´ u p´eld´anyait b t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen β = (ib , jb )(kb , lb ) . . . . (7.84) Amennyiben V -ben t ic , jc , kc , lc , . . . sorsz´am´ u p´eld´anyait c t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, akkor legyen γ = (ic , jc )(kc , lc ) . . . . (7.85) Ezek a gener´atorok el˝oa´ll´ıtanak egy v´egesen prezent´alt GV csoportot, amely benne foglaltatik (vagy egyenl˝o vele) az SN csoportban. Ez a csoport rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal. 1. Induljunk ki t-nek az 1-gyel jel¨olt p´eld´any´ab´ol. Annak legal´abb egy bels˝o ´ele van, legyen az a t´ıpus´ u, az ´el melletti t p´eld´any sorsz´ama pedig legyen i1 . Ha N > 2, akkor vagy i1 -nek, vagy 1-nek van bels˝o ´ele. Legyen ez b t´ıpus´ u, az ´el melletti ´ t p´eld´any sorsz´ama legyen i2 . Igy V -t alkot´o b´armely t p´eld´anyb´ol a, b vagy c ¨osszek¨ot˝o oldalakon a´t eljuthatunk b´armely m´as p´eld´anyhoz. Amennyiben i-b˝ol az a, b, a, c hat´arokon a´t jutunk el a j p´eld´anyig, akkor GV hat´as´at az al´abbi m´od´on αβαγ adjuk meg: i −→ j. α
2. Defin´ıci´o szerint ha i-nek k¨ uls˝o oldala a, akkor i → i. Ezzel a GV csoport elemei a V alakzatot ¨onmag´ara k´epezik le, mivel minden elem el˝oa´ll´ıthat´o a csoport gener´atoraib´ol. N´emi sz´eps´eghiba ugyan, hogy ´altal´aban t¨obb csoportelem van, mint ah´any t´egla V -ben, emiatt t¨obbsz¨or¨os fed´es is el˝oa´llhat. Ezt c´elszer˝ u kik¨ usz¨ob¨olni. Egy lehets´eges megold´as a fed˝ocsoport felbont´asa egy alcsoport szerint mell´ekoszt´alyokra. Ez az al´abbi m´odon t¨ort´enhet. GV -nek teh´at annyi si gener´atora van, ah´any oldala van t-nek. Legyen G1 ⊂ GV egy r´eszcsoport GV -ben, GV felbont´asa G1 szerinti mell´ekoszt´alyokra pedig legyen H1 , . . . , Hm , ahol m G1 rendje GV -ben. Minden Hi mell´ekoszt´alyhoz rendelhet¨ unk egy ai ∈ G elemet, amellyel minden hi ∈ Hi elem fel´ırhat´o hi = ai g1 alakban, ahol g1 ∈ G1 . V´alasszuk G1 -et u ´gy, hogy m legyen egyenl˝o a V -t 2 alkot´o t´egl´ak sz´am´aval. Ekkor elk´esz´ıthet˝o az al´abbi t´abl´azat. Az si aj ∈ Hk eset´en t j-ik k´ep´et ´es t k-ik k´ep´et az si ´el k¨oti ¨ossze. Meg´allapodunk abban, hogy amennyiben j = k, akkor az si ´es t j-ik k´ep´eben k¨ uls˝o ´el. Tekintettel arra, hogy a v´eges csoportok t¨obbs´eg´et k´et gener´ator elemmel el˝o lehet a´ll´ıtani, ez a m´odszer mindig m˝ uk¨odik. Az ´ıgy kapott alakzat a G csoport Cayley-gr´afja (v.¨o. 2.4. fejezet).
7.6. Feladat Amennyiben t-nek p´aros sz´am´ u, p´aronk´ent p´arhuzamos ´ele van, elegend˝ o a p´arhuzamos ´elp´arokhoz egy elemet rendelni (Robert Brooks, 1988). Legyen t egy h´aromsz¨og, V pedig a 7.6 ´abr´an l´athat´o alakzat. Sz´amozzuk meg a h´aromsz¨ogeket 1-t˝ ol 2
Ilyen r´eszcsoport GV -ben valamely kiv´alasztott p´eld´any stabiliz´atora.
190
7.6. a´bra. Szab´alytalan alakzat h´aromsz¨ogekre bont´asa 7-ig, a h´aromsz¨og ´elei legyenek a, b ´es c, ´es vizsg´aljuk meg az ´elekre vett t¨ ukr¨oz´es hat´as´at! Amennyiben egy ´el, mondjuk a,k¨ uls˝o ´el, azaz, nincs mellette szomsz´edos h´aromsz¨og, u ´gy ´ tekintj¨ uk, hogy a h´aromsz¨oget az a ´el ment´en ¨onmag´ara k´epezz¨ uk le. Igy a bels˝o ´elek k´et-k´et h´aromsz¨oget egym´asba visznek, a t¨obbi h´aromsz¨oget pedig ¨onmag´aba. Az ´el menti t¨ ukr¨oz´est a h´aromsz¨ogek sorsz´amainak transzform´aci´oj´aval, azaz, egy permut´aci´oval lehet jellemezni: a = (73)(62) b = (53)(42) c = (65)(21).
(7.86) (7.87) (7.88)
Mivel a fenti elemek ism´etelt alkalmaz´asa az eredeti ´allapotot ´all´ıtja vissza, amely a (), azaz egys´egpermut´aci´onak felel meg, ez´ert a ∗ a = (), b ∗ b = () ´es c ∗ c = (). Ha a permut´aci´ot u ´gy ´ertelmezz¨ uk, hogy az o¨sszek¨ot¨ott t´erfogatokon hat, akkor az ´ıgy gener´alt G csoportban tudunk N -edrend˝ u alcsoportot tal´alni: b´armely elem stabiliz´ator´anak (Si = Stabilizer(i)) rendje pontosan N . Ezek az alcsoportok j´ol haszn´alhat´oak a V t´erfogat automorfizmusainak mell´ekoszt´alyokkal t¨ort´en˝o el˝o´all´ıt´asa sor´an. Csoportelm´eleti terminol´ogi´aval a k¨ovetkez˝o a´ll´ıt´as fogalmazhat´o meg. Legyen G egy adott csoport, amelyben adott a G1 ⊂ G r´eszcsoport. A G1 r´eszcsoport jobboldali mell´ekoszt´alyait a G1 g, g ∈ G elemek alkotj´ak. K´esz´ıts¨ unk egy gr´afot u ´gy, hogy a gr´af 0 n´odusai a jobboldali mell´ekoszt´alyok legyenek, a G1 g ´es G1 g mell´ekoszt´alyokat egy si t´ıpus´ u ´el k¨oti ¨ossze, amennyiben g 0 = g1 gsi , ahol g1 ∈ G1 ´es si a G csoport gener´atora. Ezt a gr´aft´ıpust P. Berard vezette be 1991-ben diszkretiz´alt tartom´anyok csoportelm´eleti t´argyal´asa c´elj´ab´ol. 7.7. Feladat Az el˝oz˝o p´eld´aban gener´alt G csoportot a k¨ovetkez´o m´odon haszn´aljuk fel. Nyilv´an Si ⊂ G. Legyen H = G/Si , G el˝o´all´ıthat´o az xH t´ıpus´ u diszjunkt halmazok (a 191
H szerinti mell´ekoszt´alyok) uni´ojak´ent. Itt x legfeljebb |G|/|H| k¨ ul¨onb¨oz˝o ´ert´eket vehet fel, legyenek ezek r1 , . . . , rm , m = |G|/|H|. A g ∈ G csoportelem hat´asa legyen a balr´ ol t¨ort´en˝o szorz´as. A g ∗ x ∗ H szorzatot pedig cimk´ezhetj¨ uk azzal az rj -vel, amelyre teljes¨ ul g ∗ x ∗ H ∈ rj ∗ H. Ilym´odon a G csoport mell´ekoszt´alyokkal t¨ort´en˝o reprezent´aci´oj´at kapjuk, amelyben a G csoport minden gener´ator´ahoz a 1 ≤ j ≤ m = |G|/|H| indexszet rendelt¨ unk.
¨ 7.7. a´bra. Osszef¨ ugg´esek a tartom´anyok megfelel˝o pontjaiban
´ 7.8. Feladat Alljon a vizsg´alt V r´egi´o n´egy egybev´ag´o tartom´anyb´ol a 7.7. ´abr´anak megfelel˝oen. Ekkor V el˝o´all´ıthat´o az al´abbi csoport seg´ıts´eg´evel. Vizsg´aljuk meg V -n a Laplace egyenlet saj´atf¨ uggv´eny´et: ∆Φ(x, y) = λΦ(x, y), (x, y) ∈ V.
(7.89)
Jel¨olje a megold´as ´ert´ek´et a n´egy tartom´anyon φi , i = 1, . . . , 4. Ekkor vagy fenn´all 4 X
Φ(xi , yi ) = 0
i=1
, itt az (xi , yi ) pontokat a V -t el˝o´all´ıt´o csoport elemei egym´asba viszik ´at, vagy b´armely tartom´anyra fenn´all ∆Φ(x, y) = λΦ(x, y), (x, y) ∈ Vi , vagyis, a Laplace-oper´ator saj´at´ert´eke azonos V -n ´es mind a n´egy Vi -n. (Hersch, 1965).
7.5.1.
Green-fu eny el˝ o´ all´ıt´ asa ¨ ggv´
Amennyiben is mert egy V t´erfogat Green-f¨ uggv´enye, ´es a V t´erfogat el˝oa´ll´ıthat´o egy t t´egla p´aly´ajak´ent, u ´gy hogy V = G\t, ´es a G csoport elemei felcser´elhet˝oek a vizsg´alt egyenletben szerepl˝o m˝ uveletekkel, akkor o¨sszef¨ ugg´es a´ll fenn V ´es t tartom´anyok Green-f¨ uggv´enyei k¨oz¨ott. Ennek alapj´an V (a ”nagyobbik” tartom´any) Green-f¨ uggv´enye ismeret´eben meghat´arozhat´o t (a kisebbik tartom´any) Green-f¨ uggv´enye. Tekintettel arra, 192
hogy a legt¨obb egyenlet Green-f¨ uggv´enye ismert a s´ık, vagy a v´egtelen h´aromdimenzi´os t´er eset´eben, a fenti ¨osszef¨ ugg´essel meghat´arozhatjuk v´eges alakzatok Green-f¨ uggv´enyeit. Egy tartom´any lek´epez´ese egy m´asik tartom´anyra folytonos f¨ uggv´enyekkel t¨ort´enik, hiszen a szomsz´edos pontokat szomsz´edos pontokba k´ıv´anjuk lek´epezni. Ezek a lek´epez´esek Lie-csoportot alkotnak, v¨o. 2.3. fejezet. Ha az x0 = φ(x, y), y 0 = ψ(x, y) transzform´aci´ot alkalmazzuk az (x, y) koordin´at´aj´ u pontra, akkor dx0 = φ(x, y)x dx + φ(x, y)y dy dy 0 = ψ(x, y)x dx + ψ(x, y)y dy.
(7.90) (7.91)
A fenti lek´epez´est izometrikusnak nevezz¨ uk, ha dx02 + dy 02 = dx2 + dy 2 . A csoportelemek akkor hatnak izometrikusan egy X halmazon, ha a halmaz minden pontj´an a csoportelemhez tartoz´o lek´epez´es izometrikus, azaz, fenn´all a (7.90)-(7.91) ¨osszef¨ ugg´es. K´et halmaz Green-f¨ uggv´enye k¨oz¨ott a´llap´ıt meg ¨osszef¨ ugg´est a k¨ovetkez˝o t´etel. 7.13. T´ etel (Sunada-t´ etele) Tegy¨ uk fel, hogy az A oper´ator kommut´al a G csoporttal ´es a G csoport szabadon hat a V tartom´anyon. Ekkor az AG(x − x0 ) = δ(x − x0 ) egyenlet V -re ´es t-re vonatkoz´ o Gt (x, y) ´es GV (x, y) Green-f¨ uggv´enyei k¨oz¨ott fenn´all az P al´abbi kapcsolat: Gt (x, y) = g∈G GV (x, gy), ahol G = π1 (t)/π1 (V ), amennyiben a G csoport izometrikusan hat V -n. C´elszer˝ u bevezetni k´et koordin´at´at, egy lok´alisat t-ben ´es egy glob´alisat V -ben. El˝obbit jel¨olje ξ, ut´obbit x. Egy pont egy´ertelm˝ u megad´as´ahoz elegend˝o megadni x-t, vagy, ξ-t ´es g-t, amennyiben x ∈ Vg = gt. A fed˝ocsoport seg´ıts´eg´evel t a fed˝ocsoport elemei alatt transzform´alt p´eld´anyai seg´ıts´eg´evel a´ll´ıtjuk el˝o V -t. A tov´abbiakban csak ¨osszef¨ ugg˝o V t´erfogatokat vizsg´alunk. Ezekben t-nek minden g ∈ G-vel kapott gt k´ep´ehez tartozik legal´abb egy olyan szomsz´ed, amelyik szint´en el˝o´all´ıthat´o t-b˝ol egy h ∈ G csoportelemmel. V teh´at hasonl´ıt egy t´erk´ephez, annyi elt´er´essel, hogy itt a t´erk´epen szerepl˝o orsz´agok egybev´ag´oak, de ugyan˝ ugy kisz´ınezhet˝ok u ´gy, hogy k´et szomsz´edos orsz´ag mindig elt´er˝o sz´ın˝ u legyen. A sz´ınez´eshez sz¨ uks´eges minim´alis sz´ınek sz´am´at V sz´ınsz´am´anak nevezik. Minden t´erk´ep kisz´ınezhet˝o legfeljebb n´egy sz´ınnel. A sz´ınsz´am seg´ıts´eg´evel az al´abbi hasznos a´ll´ıt´ast kapjuk. Amennyiben egy alakzat sz´ınsz´ama kett˝o, az alakzat alkot´or´eszeit k´et diszjunkt halmazra lehet bontani, legyen a k´et halmaz sz´ıne a feh´er ´es a fekete. 7.14. T´ etel (R´ eszhalmaz Green-fu enye) Legyen V = G\t, legyen minden g ∈ ¨ ggv´ G-re Vg = gt. Legyen V sz´ınsz´ama kett˝o. Amennyiben a V t´erfogat GV (x) Greenf¨ uggv´enye ismert, ´es a G fed˝ocsoport felcser´elhet˝o a vizsg´alt egyenletben l´ev˝o m˝ uveletekkel, akkor a t t´egla Green-f¨ uggv´enye az al´abbi m´odon hat´arozhat´o meg: X Gt (ξ) = GV (gξ)(−1)f (g) , (7.92) g∈G
ahol gξ ∈ Vg a ξ ∈ t pont k´epe g ∈ G alatt, f (g) pedig +1 vagy −1 att´ol f¨ ugg˝oen, hogy Vg a feh´er vagy a fekete halmazba esik. 193
Tekintettel arra, hogy az elm´eleti fizika legfontosabb egyenleteihez k´ezik¨onyvekben megadott csoportok tartoznak, amelyek kommut´alnak az egyenlet m˝ uveleteivel, a fenti t´etel sz´elesk¨or˝ uen alkalmazhat´o. A 6. fejezetben ismertetett m´odszerekkel pedig minden egyenlethez megtal´alhat´o az alkalmas G csoport. Fed˝ocsoportot pedig a s´ıkhoz, a k¨orh¨oz lehet tal´alni, amelyek Green-f¨ uggv´enyei k´ezik¨onyvekben (pl. Korn ´es Korn) megtal´alhat´oak. 7.9. Feladat (60o -os k¨ orcikk Green-fu enye) Tekints¨ uk egy K k¨orlap 60o -os szek¨ ggv´ torait. Egy kiv´alasztott t szektorra alkalmazva 60o -os forgat´asokat, amelyek a C6 csoport elemei. Nyilv´an K = C6 /t. Legyen G(x, x0 ) a k¨orlap Green-f¨ uggv´enye, legyen a Green f¨ uggv´eny t hat p´eld´any´an ϕi (x), x ∈ (R60 )i ∗ t, i = 1, . . . , 6. A t szektor Green-f¨ uggv´eny´et megadja 6 X Ψ(x) = (−1)i ϕi (x). (7.93) i=1
El˝osz¨or, (7.93) szingularit´ast mutat az x0 pontban, kiel´eg´ıti a vizsg´alt egyenletet minden x 6= x0 pontban. Tov´abb´a, elt˝ unik a szektor perem´en, teh´at a Green-f¨ uggv´eny minden tulajdons´ag´aval rendelkezik. ´ 7.10. Feladat (A Helmholtz-egyenlet Green-fu enye n´ egyzeten) Irjuk a vizs¨ ggv´ g´aland´o egyenletet 4u + k 2 u = 0 (7.94) alakba. Az egyenlet Green-f¨ uggv´enye a s´ıkon ismert: G(r, r0 ) = K0 (r − r0 ). Ebb˝ ol meghat´arozzuk a [(0, 1), (0, 1)] n´egyzet Green-f¨ uggv´eny´et. Jel¨olje a n´egyzeten bel¨ uli koordin´at´akat (ξ, η), 0 ≤ ξ ≤ 1 ´es 0 ≤ η ≤ 1. Az (i, j) koordin´at´akkal jellemzett n´egyzetben nyilv´an fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es az (x, y) glob´alis ´es a (ξ, η) lok´alis koordin´at´ak k¨ oz¨ott: x = i + ξ, y = j + η. Alkalmazzuk (7.92)-et: X p (7.95) G4 (ξ, η) = K0 ( (i + ξ − x0 )2 + (j + η − y0 )2 ). i,j
Mivel a K0 Bessel-f¨ uggv´eny (v.¨o. 10.1.2. fejezet) argumentum´anak gyorsan cs¨okken˝ o f¨ uggv´enye, a (7.95) sor gyorsan konverg´al.
194
7.6.
Lorentz-transzform´ aci´ o
Ebben a r´eszben fizikai mennyis´egek (t´avols´agok ´es sebess´egek) seg´ıts´eg´evel hozunk l´etre matematikai, els˝osorban geometriai konstrukci´okat. Ennek megfelel˝oen k´et jel¨ol´es lesz jelen p´arhuzamosan az elm´eletben. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert elker¨ ulj¨ uk a geometria a´ltal´anos t´argyal´as´at, de nem tudjuk elker¨ ulni a geometria leegyszer˝ us´ıtett t´argyal´as´at. A felhaszn´alt geometria egy h´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek k¨oz¨otti kapcsolat le´ır´as´at jelenti. A matematikai viszonyokat h´arom oldal (ezekre az A, B ´es C jel¨ol´est alkalmazzuk), valamint h´arom sz¨og (α az A oldallal szemben, β a B oldallal szemben, γ a C oldallal szemben) kimer´ıt˝oen megadja. Amennyiben a h´aromsz¨og egy konkr´et geometri´aban jelenik meg, az oldalak jel¨ol´ese marad (hiszen a geometria megv´altoztat´asa csak annyit jelent, hogy m´as szerkezet˝ u t´erben helyezz¨ uk el az oldalakat jelent˝o szakaszokat), a sz¨ogek viszont felvesznek egy indexet, amely utal a t´erszerkezetre, azaz, a geometri´ara. ´ n munk´aja. Noha a Wagner IstAz al´abb ismertetend˝o t´argyal´as Wagner Istva ´ n a´ltal kidolgozott elm´elet j´oval a´ltal´anosabb, mint ahogyan itt bemutatjuk, itt csak az va algebrai ´es geometriai vonatkoz´asokat hangs´ ulyozzuk. Arra az esetre szor´ıtkozunk, amikor A, B, C < 1 pl. u ´gy, hogy a h´aromsz¨oget elhelyezt¨ uk egy egys´egnyi sugar´ u g¨ombben. Amennyiben A, B, C fizikai jelent´ese sebess´eg, akkor ezeket f´enysebess´eg egys´egekben m´erj¨ uk. Sz¨ uks´eg lesz tetsz˝oleges hossz´ us´ag´ u szakaszokra is, ekkor a 0 ≤ a, b, c < ∞ jel¨ol´est haszn´aljuk. A t´argyal´as c´elja tetsz˝oleges ir´anyban mozg´o koordin´atarendszerekre t¨ort´en˝o ´att´er´esek sorozat´ar´ol, az azt le´ır´o transzform´aci´or´ol megmutatni, hogy azok csoportot alkotnak. Az itt k¨oz¨olt anyag azt hivatott al´at´amasztani, hogy a csoportelm´elet alkalmazhat´o az egyik inerciarendszerr˝ol a m´asik inerciarendszerre val´o a´tt´er´es formalizmus´aban. Megjegyezz¨ uk, hogy Wagner Istv´an alkalmazza az itt k¨oz¨olt technik´at a fentieken t´ ul is. Az itt k¨oz¨olt gondolatmenet a Lorentz-transzform´aci´o 7.7.1. r´esz m´asodik alr´esz´eben ismertetett t´argyal´as´anak egy alternat´ıv´aj´at k´ın´alja. Amint a 7.7.1. r´eszben l´attuk, Lorentz-transzform´aci´ok egym´asut´anja is Lorentz-transzform´aci´o, v.¨o. (2.162), azaz, a Lorentz-transzform´aci´ok az egym´as ut´ani alkalmaz´as m˝ uvelet´ere z´artak. Az ered˝o se´ n t´argyal´asa viszont r´amutat egy ´erdekes bess´eget (2.163) adja meg. Wagner Istva k´erd´esre: a sebess´egtranszform´aci´o nem csak t¨obb alternat´ıv geometri´aban t´argyalhat´o, de az egyik k¨oz¨ ul¨ uk, a g¨ombi geometria, k´etdimenzi´os! A Wagner-elm´elet r´eszleteibe nem tudunk belemenni. A nem k¨oz¨olt sz´am´ıt´asok gyakran hosszadalmasak, de egyszer˝ uek. M´askor kimondottan nehezek. Ezt a sz¨ovegben jel¨olj¨ uk. Az olvas´ot p´eld´ak seg´ıts´eg´evel pr´ob´aljuk eligaz´ıtani. Az utols´o fejezetbeli feladatok k¨oz¨ott is tal´alhat´o p´ar hasznos ´all´ıt´as.
7.6.1.
Geometriai viszonyok
Lehetne ugyan a geometri´at a´ltal´anosan (pl. Riemann-geometri´at vizsg´alva) t´argyalni, ez azonban nehezen lenne k¨ovethet˝o. Az itt ismertetett gondolatmenet a j´oval egyszer˝ ubb 195
trigonometri´ara ´ep´ıt. Amennyiben a geometria k´erd´ese egy h´aromsz¨og le´ır´as´ara szor´ıtkozik, elegend˝o az oldalak ´es sz¨ogek k¨oz¨otti viszonyokat vizsg´alni. Ezt az adott geometri´aban megfogalmazott koszinuszt´etel ´es szinuszt´etel biztos´ıtja. El˝osz¨or teh´at megpr´ob´aljuk tiszt´azni, hogyan lehet diszkr´et helyeken elv´egzett m´er´esekb˝ol (pl. egyszer˝ u t´avols´agm´er´esekb˝ol) meg´allap´ıtani, milyen egy h´aromsz¨ogben az oldalak ´es sz¨ogek viszonya. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert csak az al´abbi geometri´akat vizsg´alunk meg: az euklideszit (jele E), a Bolyai-Lobacsevszkij (jele B)3 ´es a g¨ombi (jele G) geometri´at. Ez ut´obbi az´ert ´erdekes, mert egy k´etdimenzi´os felsz´ınen l´ev˝o pontokat ´ır le, ´ıgy alapvet˝oen k¨ ul¨onb¨ozik az els˝o kett˝ot˝ol, amely k´et-, ill. a bel˝ole l´etrehozott tetra´eder eset´eben h´aromdimenzi´os t´er geometri´aja. Az al´abbi, 7.6.1. t´abl´azatban ¨osszefoglaljuk a h´aromsz¨ogre vonatkoz´o koszinusz ´es szinusz t´etelt a h´arom vizsg´alt geometri´aban. A fentieken k´ıv¨ ul t´argyaljuk 7.1. t´abl´azat. Koszinusz- ´es szinuszt´etel h´arom geometri´aban geometria szinusz-t´etel koszinusz-t´etel euklied´eszi (E) A/ sin α = B/ sin β = C 2 = A2 + B 2 − 2AB cos γ C/ sin γ sin A B C g¨ombi (G) cos A = cos B cos C + = sin = sin sin α sin β sin γ sin B sin C cos α ill. cos α = − cos β cos γ + sin √ β sin γ cos A Bolyai-Lobacsevszkij (B)
sin α/ sin β = sinh a/ sinh b
(1−tanh2 (C))(1−tanh2 (B))
√
1−tanh2 (A)
=
1 − tanh(B) tanh(C) m´eg az u ´.n. sebess´eggeometri´at is, ezt al´abb r´eszletesen vizsg´aljuk. Ha egy inerciarendszeren bel¨ uli t´avols´agokat kell ¨osszeadni, azokb´ol h´aromsz¨oget alkotni, az euklideszi geometria van o¨sszhangban a tapasztalattal. Ha azonos inerciarendszerbeli sebess´egeket kell ¨osszeadni, mint vektorokat, ism´et az euklideszi geometria ´ırja le a megfigyel´eseket. Ha azonban k´et elt´er˝o inerciarendszerben m´ert sebess´eget kell ¨osszeadni, a (2.151) k´epletet kell alkalmazni, ami ellent mond az euklideszi geometri´anak. Wagner javaslat´ara bevezet¨ unk egy u ´j geometri´at, amelyet sebess´eggeometri´anak (S-geometri´anak) h´ıvunk. Az u ´j geometri´aval szemben azzal az ig´ennyel l´ep¨ unk fel, hogy helyesen ´ırja le az elt´er˝o inerciarendszerekben m´ert sebess´egek ¨osszead´as´at. Ezt a geometri´at v´egtelen sokf´ele m´odon lehet r¨ogz´ıteni, egy lehets´eges v´alaszt´ast ad meg Wagner els˝o t´etele. 7.15. T´ etel (Wagner 1. t´ etele) Legyen adott 0 < B < 1 ´es 0 < C < 1, valamint 3
Az itt el˝ ofordul´ o geometri´ aban a h´ aromsz¨og sz¨og¨osszege mindig kisebb, mint 180 fok, ennek ellen´ere megtartjuk a nemzetk¨ ozileg elfogadott Bolyai-Lobacsevszkij-geometria elnevez´est.
196
legyen adott |ρ| ≤ 1. Ekkor C 2 + B 2 − 2BCρ A = < 1, 1 + B 2 C 2 − 2BCρ 2
(7.96)
tov´abb´a l´eteznek olyan |ω| ≤ 1 ´es |τ | ≤ 1 sz´amok, amelyekkel fenn´all A2 + C 2 − 2ACω 1 + A2 C 2 − 2ACω A2 + B 2 − 2ABτ = . 1 + A2 B 2 − 2ABτ
B2 = C2
(7.97) (7.98)
Mivel |ρ| ≤ 1, van olyan α sz¨og, amelyre cos α = ρ, tov´abb´a olyan β ´es γ sz¨og, amelyre cos β = ω, cos γ = τ . Vagyis, k´et oldal ´es a k¨ozbez´art sz¨og seg´ıts´eg´evel konstru´alhat´o egy h´aromsz¨og. Azt fogjuk mondani, hogy az ´ıgy konstru´alt a h´aromsz¨og S-geometri´at k¨ovet. An´elk¨ ul, hogy r´eszletekbe bocs´atkozn´ank, megjegyezz¨ uk, hogy oldalak hossza ´es sz¨ogf¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel l´etrehozhat´o h´aromsz¨og a B-geometri´aban ´es a G-geometri´aban is. 7.16. T´ etel (Wagner 2. t´ etele) Az a, b, c oldalak k¨oz¨ ul b´armelyik kett˝o ¨osszege naa gyobb a harmadikn´al, azaz, alkosson a, b, c euklideszi h´aromsz¨oget. Legyen A = √1+a 2, b c √ √ B = 1+b2 ´es C = 1+c2 . Ekkor A, B, C h´aromsz¨oget alkot S-geometri´aban tetsz˝oleges A C √ B a, b, c eset´en. Az √1−A , √1−C aromsz¨og euklideszi h´aromsz¨ og 2, 2 oldalakkal rajzolt h´ 1−B 2 (E-geometria). Az A = tanh A, B = tanh B, C = tanh C defin´ıci´oval bevezetett A, B, C t´avols´agok Bolyai-Lobacsevszkij h´aromsz¨oget alkotnak (B-geometria). Az A = sin A∗ , B = sin B ∗ , C = sin C ∗ defin´ıci´oval bevezetett A∗ , B ∗ , C ∗ t´avols´agok olyan g¨ombi h´aromsz¨oget alkotnak, amelynek minden sz¨ oge hegyessz¨og (G-geometria), ez´ert az {A, B, C} h´aromsz¨og egyar´ant ´ertelmezhet˝o sebess´egt´erbeli, euklideszi, Bolyai-Lobacsevszkij ´es g¨ombi h´aromsz¨ogk´ent is, amennyiben a t´avols´ag m´ert´ek´et megfelel˝oen v´alasztjuk. 7.1. Feladat (A geometri´ ak kapcsolata) A k¨ovetkez˝okben gyakran esik sz´o a fent eml´ıtett n´egy geometri´ar´ol, ez´ert ´erdemes r´eszletesebben szem¨ ugyre venni kapcsolatukat. A 7.16. t´etelben a kisbet˝ us ´es nagybet˝ us oldalak kapcsolata invert´alhat´o, ez´ert ha a √ A , akkor a = . Ez teh´ a t az S-geometria ´es az E-geometria k¨oz¨otti kapA = √1+a 2 1−A2 4 5 csolat alapja . Bel´athat´o , hogy B−C B+C 1 − BC ≤ A ≤ 1 + BC , x A tov´ abbiakban gyakran szerepl˝ o Θ(x) ≡ √1+x f¨ uggv´enyt fogjuk haszn´alni. 2 5 Az S-geometria koszinuszt´etel´eben cos αS = −1 ill. cos αS = +1 helyettes´ıt´essel. V.¨o. 26. t´etel al´ abb. 4
197
ami felt´etele annak, hogy A, B, C h´aromsz¨oget alkosson S-geometri´aban. Az A = tanh A, B = tanh B, C = tanh C defin´ıci´oval bevezetett A, B, C szakaszokhoz l´etezik olyan αB sz¨og, amellyel fenn´all p p p 1 − tanh B 1 − tanh C 1 − tanh2 A = . (7.99) 1 − tanh B tanh C cos αB Ebb˝ol azonos ´atalak´ıt´assal cosh A = cosh B cosh C − sinh B sinh C cos αB , ami a Bolyai-Lobacsevszkij-geometria koszinuszt´etele. Amennyiben a geometri´at m´eg nem v´alasztottuk ki, nem lehet vektorokr´ol, azok kom´ kell a geometri´at ki´ep´ıteni, hogy csak ´altal´anos fogalmakat, az ponenseir˝ol besz´elni. Ugy anal´ızis ´es az algebra fogalmait haszn´aljuk a geometria kidolgoz´asa sor´an. Az anal´ızisb˝ol a´tvessz¨ uk az al´abbi, v´egtelen sorok a´ltal defini´alt f¨ uggv´enyeket: exp(x) =
∞ X xi i=0
∞ X
cos(x) = sin(x) =
(−1)i
i=0
x2i 2i!
(7.101)
x2i+1 . (2i + 1)!
(7.102)
(−1)i
i=0 ∞ X
(7.100)
i!
Ezen f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel lehet dolgozni az S, G ´es B geometri´akban is. E f¨ uggv´enyek inverzei seg´ıts´eg´evel defini´alhatjuk a sz¨oget is, pl. az α sz¨oget egyszer˝ uen a tg −1 x ´ert´ekkel defini´aljuk, ahol x val´os sz´am. Amennyiben azonban vektorokr´ol, komponensekr˝ol, ortogonalit´asr´ol k´ıv´anunk besz´elni, sz¨ uks´eg van az euklideszi geometri´ara. Megeml´ıtj¨ uk, hogy egyes geometriai t´etelek puszt´an algebrai eszk¨oz¨okkel is megfogalmazhat´oak. Ennek illusztr´al´as´ara k¨oz¨olj¨ uk az al´abbi t´etelt, amelyb˝ol kit˝ unik, hogy az euklideszi geometria koszinuszt´etel´enek elfogad´asa maga ut´an vonja az euklideszi geometria eg´esz´et (noha itt csak azt mutatjuk meg, hogy a szinuszt´etel is k¨ovetkezik a koszinuszt´etelb˝ol). 7.17. T´ etel (Algebrai szinuszt´ etel) Legyen a, b, c > 0, h´arom val´os sz´am. L´etezzenek p, q, r val´os sz´amok u ´gy, hogy a2 = b2 + c2 − 2bcp; b2 = c2 + a2 − 2acq; c2 = a2 + b2 − 2bar.
(7.103)
´ ez esetben algebrai t´eny, hogy Am b2 c2 a2 = = , 1 − p2 1 − q2 1 − r2 igaz. 198
(7.104)
Tegy¨ uk most fel, hogy |p| ≤ 1, u ´gy |q| ≤ 1 ´es |r| ≤ 1 is kiad´odik, vagyis p = cosα; ´ akkor a/(sinα) = b/(sinβ) = c/(sinγ) ad´odik, q = cosβ; r = cos γ v´alaszthat´o. Am vagyis az euklideszi koszinuszt´etel tiszt´an algebrai u ´ton maga ut´an vonja a szinuszt´etelt is, vagyis az euklideszi koszinuszt´etel haszn´al´oja automatikusan euklideszi geometri´at t´etelez fel. Sebess´ eggeometria A feladat olyan konstrukci´o fel´ep´ıt´ese, amelyben a (2.151) sebess´eg¨osszead´as rekonstrua´lhat´o. A feladatot Wagner egy megfelel˝o sk´ala kiv´alaszt´as´aval oldotta meg. El˝osz¨or, Szegedi Gyula t´etel´et id´ezz¨ uk. 7.18. T´ etel (Az ¨ osszead´ as ´ es a szorz´ as ´ altal´ anos´ıt´ asa) Az aritmetika fel´ep´ıt´ese nem egy´ertelm˝ u. A val´os sz´amok ¨osszead´asa ´es szorz´asa helyett bevezethet˝o v´egtelen sok ekvivalens m˝ uvelet az al´abbi defin´ıci´okkal. Legyen az ´altal´anos o¨sszead´as ⊕ m˝ uvelete A ⊕ B = ϕ(ϕ−1 (A) + ϕ−1 (B)),
(7.105)
az ´altal´anos szorz´as ⊗ m˝ uvelete pedig A ⊗ B = ϕ(ϕ−1 (A)ϕ−1 (B)).
(7.106)
Itt ϕ tetsz˝oleges invert´alhat´o f¨ uggv´eny. Az ´ıgy bevezetett m˝ uveletek tetsz˝oleges val´os A, B eset´en elv´egezhet˝oek, ´es rendelkeznek az al´abbi tulajdons´agokkal: 1. az ¨osszead´as szimmetrikus: A ⊕ B = B ⊕ A; 2. az ¨osszead´as kommutat´ıv ´es asszociat´ıv: (A⊕B)⊕C = A⊕(B⊕C) = (A⊕C)⊕B = (B ⊕ C) ⊕ A = A ⊕ B ⊕ C; 3. a szorz´as szimmetrikus: A ⊗ B = B ⊗ A; 4. a szorz´as kommutat´ıv ´es asszociat´ıv: (A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ C) ⊗ B = (B ⊗ C) ⊗ A = A ⊗ B ⊗ C; 5. disztributivit´as: (A ⊕ B) ⊗ C = A ⊗ C ⊕ B ⊗ C; 6. Bevezethet˝o mindk´et m˝ uvelet inverze, amelyek korl´atlanul elv´egezhet˝ok, csak a null´aval val´o oszt´as tiltott; 7. Bevezethet˝o a sz´ammal t¨ort´en˝o szorz´as m˝ uvelete is, u ´gy, hogy kA = A⊕A⊕A · · ·⊕ A, (a kifejez´esben k darab ⊕ jel szerepel).
199
Szegedi t´etel´et alkalmazzuk a ϕ(A) = tanh(A) f¨ uggv´enyre, ´es haszn´aljuk fel az al´abbi −1 −1 −1 ugg´est: Legyen at A, B, C < ¨osszef¨ teh´ L tanh A+tanh B = tanh ((A + B)/(1 + AB)).A+B A+B = 1+AB 1, ekkor A B = tanh(tanh−1 A + tanh−1 B) = tanh tanh−1 1+AB , teh´at ez a v´alaszt´as pontosan ´ırja le a sebess´eggeometri´at. Az is bel´athat´o, hogy A, B < 1 eset´en A ⊕ B < 1 teljes¨ ul, vagyis, a f´enysebess´eget a most bevezetett m˝ uvelettel nem lehet a´tl´epni. Szegedi t´etele teh´at alkalmas keret sebess´egek abszol´ ut´ert´ek´enek ¨osszead´as´ara. 7.19. T´ etel (Az S-geometria koszinuszt´ etele) B´armely 0 < B, C < 1 sz´amp´arhoz ´es αS sz¨ogh¨oz l´etezik olyan A > 0 szakasz ´es βS , γS sz¨ogek, amelyekkel fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: B 2 − 2BC cos αS + C 2 , (7.107) A2 = 1 − 2BC cos αS + BC B2 =
A2 − 2AC cos βS + C 2 , 1 − 2AC cos βS + AC
(7.108)
C2 =
B 2 − 2AB cos γS + A2 . 1 − 2BA cos αS + BA
(7.109)
7.20. T´ etel (Az S-geometria szinuszt´ etele) Az (A, B, C) oldalakkal felrajzolt h´aromsz¨og sz¨ogeit S-geometri´aban jel¨olje αS , βS ´es γS . Ekkor fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: B C A = = . (7.110) 2 2 (1 − A ) sin αS (1 − B ) sin βS (1 − C 2 ) sin γS Azt mondjuk, hogy az (A, B, C) hossz´ us´ag´ u szakaszokkal, mint oldalakkal meghat´arozott h´aromsz¨og az S geometri´aban term´eszetes h´aromsz¨og, ha fenn´all cos αS − BC √ (7.111) 1 − B 2 √1 − C 2 < 1. Megmutathat´o, hogy ekkor a (7.111) ¨osszef¨ ugg´es m´asik k´et sz¨oggel fel´ırt v´altozata is fenn´all, azaz, cos βS − AC √ (7.112) 1 − A2 √1 − C 2 < 1. cos γS − AB √ (7.113) 1 − B 2 √1 − A2 < 1. Legyen (A, B, C) term´eszetes h´aromsz¨og. Legyen tov´abb´a cos αS − BC √ 1 − B2 1 − C 2
(7.114)
cos βS − AC √ 1 − A2 1 − C 2
(7.115)
cos αE = √ cos βE = √
200
cos γS − AB √ . (7.116) cos γE = √ 1 − A2 1 − B 2 7.21. T´ etel (S-geometria term´ eszetes h´ aromsz¨ ogeinek euklideszi o ˝se) Legyen (A, B, C) term´eszetes h´aromsz¨og S-geometri´aban. Ekkor fenn´all A2 B2 BC cos αE C2 √ √ = − 2 + (7.117) 1 − A2 1 − B2 1 − B2 1 − C 2 1 − C 2 C A C A √ B √ B , √1−C aromsz¨oget alkotnak. Az √1−A , √1−C azaz, az √1−A 2, 2 oldalak euklideszi h´ 2, 2 1−B 2 1−B 2 oldalakkal ´es αE sz¨oggel megszerkesztett h´aromsz¨oget nevezz¨ uk az (A, B, C) S-geometriabeli h´aromsz¨og euklideszi ˝os´enek. Szegedi t´etele seg´ıts´eg´evel a (2.151) ¨osszef¨ ugg´esnek megfelel˝o (azaz, a megfigyel´eseknek megfelel˝oen ¨osszeadott sebess´egekb˝ol) sebess´egekb˝ol is alkothatunk h´aromsz¨oget. Ne feledj¨ uk azonban, hogy (2.151)-ben egyir´any´ u sebess´egekr˝ol, azaz, elfajul´o h´aromsz¨ogekr˝ol van sz´o. ´ 7.22. Lemma (H´ aromszo as S-geometri´ aban) Alljon fenn a 0 < A, B, C < ¨galkot´ 1 sz´amok k¨oz¨ott a A+B (7.118) C= 1 + AB ugg´es. Ekkor az A, B ´es C oldalakkal elfajul´o h´aromsz¨og alkothat´o S geometri´aban. ¨osszef¨ Bolyai-Lobacsevszkij-geometria A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria szinusz- ´es koszinuszt´etel´et a 7.1. t´abl´azat tartalmazza. Rendelj¨ uk a C hossz´ us´aghoz az sinh C C=q = tanh(C) (7.119) 1 + sinh2 (C) norm´alt m´ert´eket. ´Igy az (A, B, C) h´aromsz¨og (A, B, C) oldalai h´aromsz¨oget alkotnak a Bolyai-Lobacsevszkij-geometri´aban. 7.23. T´ etel (Bolyai-Lobacsevszkij geometria koszinuszt´ etele) Legyen cos αB = cos αS − sin αS tg(π − (α + β + γ )/4) sin α . Jelent˝ o s er˝ o fesz´ ı t´ e sek ´ar´an bel´athat´o, ez ut´obbi S S S S √ 1− 1−2BC cos αS 2 alakba ´ırhat´o. Ezzel [1 − BC cos αB ] = 1 − 2BC cos αS + B 2 C 2 . kifejez´es BC Tov´abb alak´ıtva: [1 − BC cos αS ]2 = 1 − 2BC cos αS + C 2 B 2 , amit behelyettes´ıtve (7.96)be, ´atrendez´es ´es gy¨okvon´as ut´an √ √ √ 1 − B2 1 − C 2 2 1−A = . (7.120) 1 − BC cos αB Itt alkalmazva az A = tanh x, B = tanh y, C = tanhz helyettes´ıt´est, cosh(x) = cosh(y) cosh(z) − sinh(y) sinh(z) cos αB
(7.121)
ad´odik, ami a Bolyai-Lobacsevszkij geometria oldalakra vonatkoz´o koszinuszt´etele. 201
G¨ ombi geometria A g¨ombi geometria szinusz- ´es koszinuszt´etel´et a 7.1. t´abl´azat tartalmazza. 7.24. T´ etel (A g¨ ombi-geometria koszinuszt´ etele) Legyen √ cos αG = 1 − A2 cos αB . Ezzel
(7.122)
√
√ √ 1 − a2 = 1 − b2 1 − c2 + bc cos αG (7.123) √ √ √ ad´odik. Itt bevezetve a cos x = 1 − a2 , cos y = 1 − b2 , cos z = 1 − c2 jel¨ol´est, cos x = cos y cos z + sin y sin z cos αg
(7.124)
-t kapjuk, ami az x, y, z oldalak ´altal meghat´arozott g¨ombh´aromsz¨og oldalakra vonatkoz´ o koszinuszt´etele. Euklideszi geometria Az al´abbi t´etel megmutatja, hogyan kaphatunk az S-geometria VP , VP0 , V0P szakaszaib´ol E-geometri´aban h´aromsz¨oget. A most m´eg tal´anyos V0P jel¨ol´es magyar´azat´at k´es˝obb, a 7.28.. t´etelben adjuk meg. ´ 7.25. T´ etel (Euklideszi h´ aromsz¨ og sebess´ egh´ aromsz¨ ogb˝ ol) Alljon fenn a VP V0 V0P q P =p −p , 1 − VP 2 1 − V0P 2 1 − VP0 2
(7.125)
q p 2 0 ∆t 1 − VP = ∆t 1 − VP0 2 .
(7.126)
vektoregyenlet, ´es Ekkor a fenti ¨osszef¨ ugg´esek egy´ertelm˝ uen meghat´arozz´ak a 1. a VP0 , VP ´es V0P term´eszetes sebess´egh´aromsz¨oget; 2. a {∆s, ∆t}-t a {∆s0 , ∆t0 }-vel ¨osszek¨ot˝o t´erid˝o transzform´aci´ot; 3. a VP0 , VP ´es V0P vektorok k¨ozti Lorentz-transzform´aci´ot. 7.2. Feladat (Az (a, b, c), (A, B, C) ´ es az S ´ es E geometria kapcsolat´ ahoz) A fentiek alapj´an az olvas´o l´atja, hogyan sz´armaztathat´o tetsz˝oleges (a, b, c) h´aromsz¨ogb˝ ol (A, B, C) h´aromsz¨og, ahol A, B, C < 1. Az A, B, C oldalakkal k¨ ul¨onf´ele h´aromsz¨ogeket lehet l´etrehozni: 202
• a speci´alis S h´aromsz¨og αS sz¨ og´et, amellyel fenn´all az cos αS − BC √ 1 − B 2 √1 − C 2 < 1
(7.127)
ugg´es; ¨osszef¨ • egy speci´alis euklideszi h´aromsz¨oget, melynek oldalai k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi egyenl˝otlens´eg: B−C B+C (7.128) 1 − BC < A < 1 + BC • egy speci´alis Bolyai-Lobacsevszkij h´aromsz¨oget, amelyre fenn´all cos αB − BC/2(1 + cos2 αB ) <1 √ √ 1 − B2 1 − C 2
(7.129)
• egy speci´alis g¨ombh´aromsz¨oget, x, y, z hegyessz¨ogekkel, amelyre sin y sin x sin x = = < 1. sin αG sin βG sin γG
(7.130)
A (7.127)-(7.130) tulajdons´agokkal egyetlen m´asik geometria sem rendelkezik. A fentiek alapj´an minden euklideszi h´aromsz¨ogh¨oz egy´ertelm˝ uen rendelhet˝o: 1. egy term´eszetes S-h´aromsz¨og; 2. egy B h´aromsz¨og; 3. egy olyan G h´aromsz¨og, amelyben az oldalakat defini´al´o k¨oz´epponti sz¨ogek hegyessz¨ogek. A h´aromsz¨ogek geometri´at´ol f¨ uggetlen defin´ıci´oja ut´an fel kell ´ep´ıteni a teret. Itt Wagner arra t´amaszkodik, hogy a megfigyel´esek mindig egyes pontokban t¨ort´ennek, ez´ert a teret elegend˝o h´aromsz¨ogekb˝ol fel´ep´ıteni. A h´aromsz¨ogekb˝ol fel´ep´ıthet˝o legegyszer˝ ubb t´erbeli forma a tetra´eder. Ezt hozza l´etre az al´abbi konstrukci´o. A tetra´ederben a k¨ovetkez˝o jel¨ol´est haszn´aljuk (ld. 7.6.1. ´abra): Legyen a tetra´eder h´arom, k¨oz¨os P0 pontb´ol indul´o szakasszal megadva, a szakaszok hossza legyen A, B, C. A szakaszok P1 , P2 , P3 v´egpontjai is egy h´aromsz¨oget alkotnak, legyenek e h´aromsz¨og oldalai a, b, c. 7.26. T´ etel (Tetra´ eder t´ etel) Legyen adott n´egy pont (P0 , P1 , P2 , P3 ) a sebess´eggeometri´aban. Legyenek e pontok ´altal meghat´arozott term´eszetes sebess´egh´aromsz¨ogek: • {A, B, c}, e h´arom oldalhoz tartozzanak az αS3 , βS3 , γS3 sz¨ogek; 203
7.8. a´bra. Tetra´eder a P0 , P1 , P2 , P3 pontokb´ol
• {A, b, C} e h´arom oldalhoz tartozzanak az αS2 , βS2 , γS2 sz¨ogek; • {a, B, C} e h´arom oldalhoz tartozzanak az αS1 , βS1 , γS1 sz¨ogek. A felsorolt h´aromsz¨ogekben fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: cos βS2 − AC √ cos βE2 = √ 1 − A2 1 − C 2 cos γS3 − AB √ cos γE3 = √ 1 − A2 1 − B 2 cos αS1 − BC √ . cos αE1 = √ 1 − B2 1 − C 2
(7.131) (7.132) (7.133)
Amennyiben teljes¨ ul |βE2 − γE3 | ≤ αE1 ≤ βE2 + γE3 ,
(7.134)
akkor (a, b, c) term´eszetes sebess´egh´aromsz¨og, amelynek euklideszi ˝ose az aE , bE , cE h´aromsz¨og.
Tekintettel arra, hogy a h´aromsz¨og oldalai a vizsg´alt geometri´ak mindegyik´eben meghat´arozhat´oak egym´asb´ol, ez´ert ha {a, B, C}, {A, b, C}, {A, B, c}, {a, b, c} term´eszetes sebess´egh´aromsz¨ogek alkotta tetra´eder S-geometri´aban, akkor az {aE , BE , CE }, {AE , bE , CE }, {AE , BE , cE }, {aE , bE , cE } euklideszi tetra´eder. Tov´abb´a {aB , BB , CB }, {AB , bB , CB }, {AB , BB , cB }, {aB , bB , cB } Bolyai-Lobacsevszkij tetra´eder, {aG , BG , CG }, {AG , bG , CG }, {AG , BG , cG }, {aG , bG , cG } pedig n´egysz¨og a nyolcadg¨omb felsz´ın´en, ahol ha max{aG , bG , cG , AG , BG , CG } AG , akkor AG ´es aG a´tl´ok, a t¨obbi hat´arol´o oldal. Itt a = tanh aB , b = tanh bB , c = tanh cB ,A = sin AG , B = sin BG , C = sin CG , a = sin aG , b = sin bB , c = sin cG ,A = c a √ b , cE = √1−c sinh AG , B = sin BG , C = sin CG , tov´abb´a aE = √1−a 2 , bE = 2, 1−b2 A B C AE = √1−A2 , BE = √1−B 2 , CE = √1−C 2 . Mivel a m´er´esek mindig diszkr´et pontokban 204
t¨ort´ennek, a geometri´at tetra´ederek sokas´aga seg´ıts´eg´evel fogjuk ki´ep´ıteni. Ezt u ´jabb ´es u ´jabb pontok hozz´aad´as´aval ´erj¨ uk el. Ezt seg´ıti az al´abbi t´etel. 7.27. T´ etel (Kiterjeszt´ esi t´ etel) Alkossanak a P0 , P1 , P2 , P3 pontok term´eszetes tetra´edert. Vegy¨ unk fel az eredeti P0 , P1 , P2 , P3 pontokhoz egy P4 pontot, mondjuk u ´gy, hogy a P1 , P2 , P3 , P4 pontok alkossanak term´eszetes tetra´edert. Ekkor P0 , P2 , P3 , P4 , P0 , P1 , P3 , P4 , P0 , P1 , P2 , P3 term´eszetes tetra´edereket alkotnak, azaz, az ¨ot pontb´ol ´all´o pontrendszerben b´armely n´egy pont term´eszetes tetra´edert alkot. A fenti t´etel a sebess´egt´eren k´ıv¨ ul ´erv´enyes az euklideszi ´es a Bolyai-Lobacsevszkij t´erben is. Ezut´an a fenti t´etel kiterjeszthet˝o tetsz˝oleges sz´am´ u pontb´ol a´ll´o pontrendszerre. A h´aromsz¨ogekb˝ol tetra´ederek seg´ıts´eg´evel fel´ep´ıthet˝o a t´er.
7.6.2.
A geometriai viszonyok kiv´ alaszt´ asa
Tekints¨ uk az al´abbi probl´em´at. Adott egy K inerciarendszer, melynek orig´oja O, az inerciarendszerben adott egy ´altal´anos helyzet˝ u P pont, amely K-ban VP sebess´eggel 0 mozog. Adott egy m´asodik inerciarendszer, K , melynek orig´oj´at O0 jel¨oli, O0 sebess´ege a K rendszerben V0 0 . Legyen adott tov´abb´a egy K” inerciarendszer, amelynek orig´oja O”, amely O-hoz k´epest V”0 sebess´eggel, O0 -h¨oz k´epest V0 ” sebess´eggel mozog. Egy V vektor abszol´ ut´ert´ek´et V -vel jel¨olj¨ uk. Legyenek K, K0 , K” tengelyei p´arhuzamosak. Mivel az inerciarendszeren bel¨ uli k´et t´avols´ag ¨osszeg´et euklideszi m´odon kell meghat´arozni, ha a megfigyel´esekkel ¨osszhangban akarunk maradni, ez´ert b´armely inerciarendszeren bel¨ ul a geometri´at euklideszinek tekintj¨ uk. Feltessz¨ uk, hogy egy adott t0 0 id˝opontban O ´es O ¨osszeesik, azaz, a k´et pont azonos. Egy adott inerciarendszer t´erbeli pontjainak geometri´aja teh´at euklideszi geometria. Most t´erj¨ unk ´at a k¨ ul¨onb¨oz˝o koordin´ata-rendszerekben m´ert sebess´egekre. Mivel k´et, elt´er˝o inerciarendszerben mert sebess´eg ¨osszead´asa a megfigyel´esek szerint nem k¨oveti az euklideszi geometria szab´alyait, ez´ert a k¨ ul¨onb¨oz˝o inerciarendszerekben m´ert sebess´egek k¨oz¨otti sz¨ogr˝ol nem tudunk besz´elni. Annyit a´ll´ıthatunk bizonyosan, hogy a kor´abban kialak´ıtott pontt´er alkalmazhat´o, de amint l´attuk, a pontok k¨oz¨otti sz¨ogek nincsenek egy´ertelm˝ uen meghat´arozva, a sz¨og annak f¨ uggv´enye, milyen geometri´at fog igazolni a tapasztalat. Legyen a P pont K0 -beli sebess´ege VP0 . A fenti jel¨ol´esekkel a K-inerciarendszerbeli ∆s t´avols´ag ´es az ugyanott m´ert ∆t id˝o, valamint a K0 -beli ∆s0 t´avols´ag ´es ∆t0 id˝o k¨oz¨ott egy m´atrix teremt kapcso¨ latot. Osszevetve (2.140)-gyel, az al´abbi k¨ ul¨onbs´eget l´atjuk: nem egy helyvektor komponenseire ´ırtuk fel a transzform´aci´ot, hanem hossz´ us´agokra, mert az elmozdul´asvektorok ´es a sebess´egvektorok geometri´aja a k´et inerciarendszerben nem azonos. Azt is l´attuk, hogy a (2.151)-ben szerepl˝o sebess´egabszol´ ut´ert´ekekkel h´aromsz¨og alkothat´o, ezek a h´aromsz¨ogek S-geometri´at k¨ovetnek.
205
7.7.
A fizikai probl´ ema
A c´el annak le´ır´asa, hogyan lehet ´att´erni egyik inerciarendszerben m´erhet˝o mennyis´egekr˝ol egy m´asik inerciarendszerben m´erhet˝o mennyis´egekre. E feladatot az el˝oz˝o r´eszben megadtuk, a fizikai megfogalmaz´as a megadott´ol nem t´er el. Azt szeretn´enk meghat´arozni, milyen transzform´aci´o k¨oti ¨ossze a P pont K, K0 , K” inerciarendszerekben m´ert sebess´egeit. A fizikai elm´eletekben kiemelt szerepet j´atszik a hely ´es az id˝o. A Lorentz-transzform´aci´o kapcs´an m´ar sz´o esett arr´ol, hogy a geometria ´es az algebra (azaz, a vizsg´alt t´er automorfizmusainak csoportja) szorosan ¨osszefon´odik. A 2.4 alfejezetben bemutatott t´argyal´asm´od az euklideszi geometria elfogad´as´ara ´ep¨ ul, hiszen amikor az inerciarendszerek sebess´eg´enek komponenseir˝ol esik sz´o, amikor k´et pont t´erbeli t´avols´ag´ar´ol esik sz´o, az ´n euklideszi geometria k´epleteire hagyatkoztunk. Ebben a fejezetben Wagner Istva munk´aja alapj´an egy m´asik megk¨ozel´ıt´est mutatunk be. Amennyire csak lehets´eges, az elm´elet fel´ep´ıt´es´eben a geometria lehet˝os´eg´et nyitva hagyjuk. Kiz´ar´olag a megfigyel´esekre ´ep´ıtj¨ uk az elm´eletet.
7.7.1.
T´ erid˝ o transzform´ aci´ o, komponensek transzform´ aci´ oja
Vizsg´aljuk meg, hogyan lehet a P pont elmozdul´asait le´ırni a K, K0 ´es K” inerciarendszerekben. Amennyiben megk¨ovetelj¨ uk, hogy a transzform´aci´o 1. r¨ogz´ıtse a sebess´egek megfigyelt ´es (2.151) ´altal helyesen le´ırt transzform´aci´oj´at; 2. az eltol´assal szemben invari´ans legyen; 3. line´aris legyen; 4. teljes´ıtse a f´enysebess´eg a´lland´os´ag´anak megfigyelt elv´et; 5. h´arom koordin´ata-rendszer (K, K0 , K” ) orig´oj´at ´es egy P pontot u ´gy kezelje, hogy a P pont helyettes´ıthet˝o legyen egy hozz´a k´epest nyugv´o koordin´ata-rendszer orig´oj´aval. Ekkor az egyetlen lehet˝os´eg a . alfejezetben m´ar vizsg´alt Lorentz-transzform´aci´o. Megism´etelj¨ uk az ismert eredm´enyt: a K inerciarendszerben megfigyelt ∆s elmozdul´ast (nem vektor) ´es a ∆t id˝ointervallumot a K0 inerciarendszerbeli megfigyel˝o ∆s0 -nek ´es ∆t0 -nek ´eszleli, ahol ∆t0 a b ∆t = . (7.135) ∆s0 c d ∆s
206
Megmutathat´o a (2.153) levezet´es´ehez hasonl´o m´odon, hogy a kik¨ot¨ott tulajdons´agokb´ol k¨ovetkezik, hogy a (7.135)-ben szerepl˝o m´atrix az al´abbi alakot ¨olti: ! √ U 1−U 2 √ 1 1−U 2
√ 1 1−U 2 √ U 1−U 2
,
(7.136)
ahol U = |U|, tov´abb´a az U, |VP |, |VP0 | ´es |V0 0 |, |VP |, |VP0 | t´avols´agok h´aromsz¨oget alkotnak. 6 A (7.135) transzform´aci´o inverz´et az al´abbi alakba ´ırjuk: ! U0 1 0 √ √ ∆t ∆t 02 02 1−U 1−U . (7.137) = 0 √ U √ 1 ∆s0 ∆s 02 1−U 1−U 02 U meghat´aroz´asa az al´abbi m´odon t¨ort´enik. Osszuk el (7.135) m´asodik egyenlet´et ∆tvel, ´es haszn´aljuk fel, a VP0 = lim∆t0 →0 ∆s0 /∆t0 (a P pont sebess´ege a K0 rendszerben) defin´ıci´ot, a kapott kifejez´est a´trendezve: U=
VP0 − VP . 1 − VP VP0
Felhaszn´alva a
(7.138)
∆s0 ∆t →0 ∆t0
VP0 = lim 0 ´es
VP = lim
∆t→0
∆s ∆t
defin´ıci´okat, az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: VP0 =
VP + U . 1 + VP U
(7.139)
Ha itt U = V0 /c, (ahol c a f´enysebess´eg), azaz, U a K ´es K0 rendszer relat´ıv sebess´eg´enek f´enysebess´eg egys´egekben kifejezett ´ert´eke, amit (2.151)-ben v-vel jel¨olt¨ unk, azt a´llap´ıthatjuk meg, hogy (7.139) megegyezik (2.151)-el. Ugyanakkor vegy¨ uk ´eszre, hogy a (2.151)-ben megadott sebess´eg¨osszead´as csak akkor lehet igaz, ha V00 , VP ´es VP0 elfajult h´aromsz¨og. Ezzel szemben (7.139) mindig igaz, mert azonoss´ag, amennyiben U -t (7.138) defini´alja. Alapvet˝o jelent˝os´eg˝ u, hogy a(7.137) transzform´aci´o V00 v´alaszt´as´at´ol f¨ uggetlen¨ ul igaz. Az (7.137) transzform´aci´oban h´aromsz¨ogek oldalai szerepelnek, ez´ert az (7.137) transzform´aci´o minden geometri´aban ´erv´enyes. Egyetlen kik¨ot´esnek kell teljes¨ ulnie: a VP , VP0 , ´es V0 0 sebess´egek term´eszetes h´aromsz¨oget alkotnak. Itt V0 0 a K0 rendszer orig´oj´anak sebess´ege a K inerciarendszerben. 6
Figyelmen k´ıv¨ ul hagyjuk azt a t´enyt, hogy ez a h´aromsz¨og speci´alis esetben elfajult is lehet.
207
(7.135) els˝o egyenlet´eb˝ol megkapjuk a K ´es K0 rendszerekben eltelt id˝ok k¨oz¨otti kapcsolatot: 1 − Vp2 ∆t0 1 VP (VP0 − VP ) 1 1 − VP2 1 =√ +1 = √ =√ , ∆t 1 − VP VP0 1 − U2 1 − U 2 1 − VP0 VP U 2 − 1 1 − VP VP0 (7.140) amit ´atrendezve, a P pont mozg´as´anak egy inerciarendszert˝ol f¨ uggetlen (invari´ans) kifejez´es´et kapjuk: q p (7.141) ∆t0 1 − VP0 2 = ∆t 1 − VP 2 . A t´erid˝otranszform´aci´o v´egrehajt´as´at mindig megel˝ozi a h´armassebess´eg abszol´ ut´ert´ek´enek meghat´aroz´asa. Ez u ´gy t¨ort´enik, hogy a sebess´egt´erben megoldjuk a K rendszer orig´oj´ara t´amaszkod´o sebess´egh´aromsz¨oget. A sebess´egh´aromsz¨og megold´asa az al´abbi m´odon t¨ort´enik. Felm´erj¨ uk a K rendszer orig´oj´ab´ol azt az elmozdul´asvektort, amely ∆t id˝oh¨oz tartozik. Ezalatt a P pont elmozdul´asa ∆sP , a K0 rendszer orig´oj´anak elmozdul´asa ∆s0 ´es a kett˝o k¨oz¨otti βe sz¨oget, amely az ´eppen aktu´alis t´erszerkezet f¨ uggv´enye. Mint eml´ıtett¨ uk, ez a sz¨og megadhat´o u ´gy, hogy a ∆sp /∆t = A ´es ∆s0 /∆t = C norm´alt sebess´egar´anyok sebess´egh´aromsz¨oget alkotnak euklideszi geometri´aban ´es egy´ uttal egy¨ utt meghat´arozz´ak a ∆s0p /∆t0 = B norm´alt sebess´egar´anyt. Ily m´odon meghat´aroztuk az A, B, C oldalakat ´es az α, β, γ sz¨ogeket. Egy sebss´egh´arosz¨ogben t¨obb m´odon is meghat´arozhatjuk a sebess´egh´aromsz¨og egyik oldal´at. Fizikailag ez zat jelenti, hogy a P pont, a K inerciarendszer O orig´oja, ´es a K 0 inerciarendszer O0 orig´oj´ahoz illesztett inerciarendszerek k¨oz¨ott is v´egrehejthat´o Lorentz-transzform´aci´o. Ebb˝ol u ´jabb hasznos o¨sszef¨ ugg´eseket kapunk. ¨ 7.28. T´ etel (Osszef u esek sebess´ egh´ aromsz¨ ogben) Alkossanak a VP , VP0 ´es V0 ¨ gg´ sebess´egabszol´ ut´ert´ekek term´eszetes h´aromsz¨oget. Ekkor a V0 sebess´egabszol´ ut´ert´ekhez 0 hozz´arendelhet˝o a V0P sebess´eg, amely a V0 sebess´eg a P -ponthoz r¨ogz´ıtett, azaz, VP sebess´eggel mozg´o inerciarendszerben m´ert ´ert´eke, amelyet az al´abbi o¨sszef¨ ugg´es ad meg: q p 2 02 1 − V 1 − V P V V0P P p . p 0 q =p (7.142) 2 2 2 2 0 1 + 1 − V0 1 − V0P 1 − VP + 1 − VP Fenn´all tov´abb´a a sebess´egek k¨oz¨ott a
0
V VP V 1 p 1 q P p 0 =p − +q 2 2 2 2 02 0 1 − V 1 + 1 − V 1 − V P 0 P 1 − VP 1 − VP ugg´es. ¨osszef¨ 208
(7.143)
7.1. Feladat (H´ arom pont relat´ıv sebess´ egei) A 7.25.. t´etel alapj´an azt gondolhat0 0 n´ank, a t´etelben szerepl˝o V0 , VP ´es VP sebess´egek kimer´ıt˝oen le´ırj´ak a h´arom pont relat´ıv sebess´eg´enek probl´em´aj´at. A helyzet azonban enn´el bonyolultabb. Ebben a p´eld´aban r´eszletesen tanulm´anyozzuk h´arom pont (legyenek (P0 , P1 , P2 )) relat´ıv sebess´egeit. A 7.25.. t´etelben P0 a K inerciarendszer orig´oja, P1 a K0 inerciarendszer orig´oja ´es P2 a P pont, ´es azt vizsg´altuk, hogyan v´altozik a P pont sebess´ege a P1 -hez tartoz´o inerciarendszerben. Legyen a pontok relat´ıv sebess´egei VPi Pj , i, j = 0, 1, 2, ahol az els˝o index jelenti az inerciarendszer orig´oj´anak v´alasztott pontot. A Lorentz-transzform´aci´o ∆sPi Pj elmozdul´asokb´ ol ´es az elmozdul´asokhoz tartoz´o ∆tPi Pj id˝ok transzform´aci´oj´at adja meg a (7.135) ¨osszef¨ ugg´esekkel. Az id˝otartamok ´es a relat´ıv sebess´egek k¨oz¨ott fenn´all a (7.141) ¨osszef¨ ugg´es. Ez´ert q q (7.144) ∆tPi Pj 1 − VPi Pj = ∆tPk Pj 1 − VPk Pj . Itt i, j, k k¨ ul¨onb¨oz˝o indexek, az inerciarendszerek relat´ıv sebess´ege VPi Pk . Az elmozdul´asokra a (7.137) m´asodik sor´at kell alkalmazni: ∆sPi Pj =
∆sPk Pj + VPi Pk ,µ ∆tPi Pk q . 1 − VPi Pk 2
(7.145)
Az (7.145)-ben szerepl˝o h´arom sebess´eg, VPk Pj , VPi Pk ´es VPi Pj ´altal´aban nem alkot term´eszetes h´aromsz¨oget S-geometri´aban. Ugyanakkor a 34. t´etelben l´attuk, hogy ha az egyik sebess´eget al´avetj¨ uk a (7.143) utols´o tagj´aban l´ev˝o transzform´aci´onak, akkor m´ar term´eszetes h´aromsz¨oget kapunk. Hajtsuk v´egre a sz´oban forg´o transzform´aci´ot a VPi Pk sebess´egen, deform´altja legyen VPi Pk ,µ , amelyet ´ıgy kapunk meg: V 1 . q 1 q Pi Pk (7.146) VPi Pk ,µ = +q 2 2 2 1 − VPi Pj 1 − VPk Pj 1 + 1 − V Pi Pk ¨ Osszevetve (7.146)-t (7.152) utols´o tagj´aval a k´et kifejez´es egyez´es´et l´atjuk. Ez annyit jelent, hogy (7.152) utols´o tagja egy Lorentz-transzform´aci´o eredm´enye. Egy term´eszetes S-h´aromsz¨ognek a 7.21.. t´etel ´ertelm´eben l´etezik euklideszi ˝ose. Az euklideszi ˝osben legyen a V00 ´es VP sebess´egek k¨oz¨otti sz¨og βE . Term´eszetesen a relat´ıv sebess´eg szimmetrikus, ez´ert fenn´all VPi Pj = VPj Pi , (7.147) minden i, j-re. Legyen i = 0, j = 2, k = 1, VP0 P2 = VP , VP1 P2 = VP0 , legyen P0 , P1 a K, K0 inerciarendszerek orig´oja, legyen a K-ben m´ert id˝o t, a K0 -ben m´ert id˝o pedig t0 . Ekkor t0 ´es t kapcsolata: 1 − VP V 0 0 t0 = t, (7.148) 1 − V00 2 209
ami id˝ointervallumokra (teh´at ∆t ´es ∆t0 -re is), tov´abb´a n´egyessebess´egekre is alkalmazhat´o. A VP0 sebess´egre az al´abbit kapjuk: ( " ! #) p 2 1 − V 1 V V 1 0 0 P p VP + V 0 −1 −p . (7.149) VP0 = 1 − V 0 VP V0 2 1 − V0 2 1 − V0 2 A fenti egyenletb˝ol n´egyzetreemel´es ´es hossz´ u ´atalak´ıt´as ut´an az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est kapjuk: (1 − V0 2 )(1 − VP 2 ) 2 1 − VP0 = . (7.150) 1 − V0 V P Mivel V00 VP = V00 VP cos βE , ez´ert p p q 2 1 − V 1 − VP 2 0 2 0 1 − VP = . 1 − V0 VP cos βE
(7.151)
Ezt behelyettes´ıtve (7.149)-be:
0
V VP V 1 . p 1 q P p 0 =p − +q 2 2 2 2 02 0 1 − VP 1 + 1 − V0 1 − VP 1 − VP 1 − VP
(7.152)
(7.152) utols´o tagja pontosan a keresett VP1 P2 ,µ = V0P . Mivel VP0 P2 = VP2 ,P0 = VP0 , ez´ert q p 2 02 1 − V 1 − V P V V P = p q p 0P p 0 (7.153) 2 2 02 1 − V0P 2 1 + 1 − V 0 1 − VP + 1 − VP Jegyezz¨ uk meg, hogy itt V0P a K0 inerciarendszer P ponthoz k´epesti sebess´ege. A (7.143) transzform´aci´oval t´erhet¨ unk ´at a K-r´ol a K0 inerciarendszerre. Itt a P pont sebess´eg´et vizsg´aljuk. Amennyiben az O0 pont sebess´eg´et vizsg´aljuk, a (7.142) transzform´aci´oval t´erhet¨ unk ´at a K-r´ol a P -hez r¨ogz´ıtett inerciarendszerre. Vess¨ uk ¨ossze a (7.137) transzform´aci´ot (2.153)-tal! Az itt levezetett Lorentz-transzform´aci´o a (2.61) transzform´aci´o egy speci´alis esete, a transzform´aci´o elemeit az inerciarendszerek orig´oinak relat´ıv sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´eke param´eterezi. A sebess´egek ¨osszead´as´ara pedig a (7.139) szab´aly szolg´al. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a (2.61) transzform´aci´o csak akkor m˝ uk¨odik, ha a sebess´egek egy egyenesbe esnek, az a´ltal´anos transzform´aci´ot (2.158) ´ırja le, ahol az L m´atrix egy forgat´as ´es egy sebess´egtranszform´aci´o (Lorentz-m´atrix) szorzatak´ent ´ırhat´o. A k´epletekben azonban a h´arom sebess´eg (v1 , v2 ´es v3 a (2.164) egyenletben) nem azonos szerepet j´atszik: v1 → VP ´es v2 → VP0 szerepe szimmetrikus, viszont a k´et inerciarendszer orig´oj´anak 210
relat´ıv sebess´ege (v3 → V00 ) nem. Ezt a Wagner a´ltal javasolt gondolatmenet sem k¨ usz¨ob¨oli ki, a P pont kit¨ untetett szerepet j´atszik a transzform´aci´oban. Eddig csak szakaszok transzform´aci´oj´aval foglalkoztunk, most a´tt´er¨ unk a sebess´egkomponensek transzform´aci´oj´ara. Az euklideszi o˝s l´etez´es´et biztos´ıt´o t´etel alapj´an az (a, b, c) oldalakkal felrajzolt sebess´egh´aromsz¨ogh¨oz rendelhet˝o az (A, B, C) oldalakkal felrajzolt euklideszi h´aromsz¨og. Az (A, B, C) h´aromsz¨ogre teh´at alkalmazhat´o az euklideszi geometria koszinuszt´etele, lehet komponensekr˝ol besz´elni. Alkalmazzuk most ezt a felismer´est az a = VP , b = VP0 , c = V 0 0 sebess´egh´aromsz¨ogre: VP V0P V0 q P =p −p , 2 2 02 1 − V 1 − V P 0P 1 − VP
(7.154)
V0P VP = V0P VP cos βE .
(7.155)
´es fenn´all Ezen t´ ul, bel´attuk, hogy a k¨ ul¨onb¨oz˝o inerciarendszerekben m´ert id˝ok k¨oz¨ott fenn´all (7.141). Ebb˝ol az elmozdul´asvektorokra az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est a´llap´ıthatjuk meg: s 1 − VP 2 , (7.156) ∆s0 = ∆s − V0 ∆t 1 − V0 2 tov´abb´a, a (7.138)-ban bevezetett transzform´alt sebess´eg, V0 seg´ıts´eg´evel pedig az elmozdul´asok k¨oz¨ott fenn´all´o p V0 ∆t 1 − VP 2 0 p (7.157) ∆s = ∆s − 1 − V0 2 k´epletet kapjuk. Mivel ∆s0 = VP0 ∆t0 ´es ∆x = VP0 x ∆t0 , ez´ert ∆s0 = VP0 ∆x0 /VP0 x , azaz ∆x0 =
VP0 x ∆s + V0 ∆t p . VP0 1 − V0 2
(7.158)
A sebess´egabszol´ ut´ert´ekek transzform´aci´oja elv´egezhet˝o a sebess´eggeometria (A, B, C) h´aromsz¨og´enek meghat´aroz´as´aval. Eml´ekezz¨ unk, hogy a sebess´eggeometria αS , βS ´es γS sz¨ogeit az A, B oldalak ´es a αE , βE ´es γE sz¨ogek alapj´an a (7.131) egyenletekb˝ol meg tudjuk hat´arozni. Ez´ert az x ir´any´ u komponensekre ∆x0 =
V 0 P x ∆s + U ∆t √ . V 0 0x 1 − U2
(7.159)
Ide most vissza´ırjuk az elmozdul´asok sebess´egekkel kifejezett ´ert´ek´et, amib˝ol az elmozdul´as x komponens´ere, terjedelmes sz´am´ıt´asok ut´an, a s 1 − VP 2 ∆x0 = V 0 P x ∆t (7.160) 1 − V 0P 2 211
majd az elmozdul´as-komponensek vissza´ır´asa ut´an a s 1 − VP 2 ∆s0 = ∆s − V0 ∆t 1 − V0 2
(7.161)
eredm´enyre jutunk. A kapott eredm´eny azonos (7.156)-mal, vagyis, azonos a´talak´ıt´asokat hajtottunk v´egre a fentiekben. V´egeredm´enyk´ent, a s 1 − VP 2 0 ∆t ∆x0 = ∆x − V0x (7.162) 1 − V 002 kifejez´esb˝ol azonos a´talak´ıt´asokkal kapjuk meg a ∆x0 =
1 V0x √ [∆s + U ∆t] V0 1 − U 2
(7.163)
o¨sszef¨ ugg´est. (Az anal´og kifejez´eseket ∆y ´es ∆z-re az olvas´o k¨onnyed´en fel´ırhatja.) Ebb˝ol n´emi ´atalak´ıt´as ut´an bel´athat´o (7.161), ´es az id˝ointervallumok transzform´aci´oit le´ır´o s 1 − VP 2 (7.164) ∆t0 = ∆t 1 − VP0 2 egyenletek ekvivalens a´talak´ıt´assal megkaphat´oak a Lorentz-transzform´aci´o (7.137) egyenleteib˝ol. 7.2. Feladat (Az (7.152) ¨ osszefu es igazol´ asa) Induljunk ki a Lorentz-transzform´ aci´ ob´ ol: ¨ gg´ 0 a K inerciarendszerben VP sebess´eggel mozog a P pont, a K inerciarendszer sebess´ege K-ban V0 . Legyen a V0 ´es VP sebess´egek k¨ozti sz¨og α. s, t jelenti a P pont elmozdul´as´at ´es idej´et K-ban, s0 , t0 pedig K0 -ben. A Lorentz-transzform´aci´ot (7.135) ´ırja le, ez´ert " ! # 1 V cos α 1 P p s0 = s + −1 −p V0 t (7.165) 2 V0 1 − V0 1 − V0 2 t0 = p
t 1 − V0 2
(1 − VP V0 cos α) .
(7.166)
Ebb˝ol a sebess´egek viszony´at a sebess´eg per id˝o ¨osszef¨ ugg´es adja meg: ! ) ( p p 2 2 1 − V 1 − V V V 1 1 0 0 0 P p (7.167) VP0 = VP + V0 −1 −p 1 − V0 VP 1 − V0 VP V0 2 1 − V0 2 1 − V0 2 Ezt ´atalak´ıtjuk az p 1 − 1 − V0 2 =
V0 2 p 1 + 1 − V0 2
212
azonoss´ag felhaszn´al´as´aval: " # p 2 p V 1 V 1 − V 0 0 p 0 VP 1 − V0 2 − VP0 = − + √ 2 . 2 1 − V V 0 P 1 + 1 − V0 1 + 1 − V0
(7.168)
Ebb˝ol egyszer˝ u ´atalak´ıt´asokkal " # p 2 p V V 1 1 − V 0 0 0 p VP 1 − V0 2 − VP0 = − + √ 2 . 2 1 − V V 0 P 1 + 1 − V0 1 + 1 − V0
(7.169)
ad´odik. Felhaszn´alva a Bolyai-Lobacsevszkij geometria koszinuszt´etel´et: p p 1 − V0 2 1 − VP 2 =p , 1 − V0 V P 1 − VP 2 az eredm´enyb˝ol pedig n´emi ´atrendez´es ut´an eljutunk a v´egeredm´enyhez: 0 VP V V 1 . p 1 q P p 0 =p − +q 2 2 2 02 02 1 − V 1 + 1 − V 1 − V P 0 P 1 − VP 1 − VP
(7.170)
´ Alljon fenn koincidencia a t = 0 id˝opontban a K ´es K0 inerciarendszerek ´es a P pont k¨oz¨ott. Feltessz¨ uk, hogy a K rendszerbeli megfigyel˝o megm´eri a K ´es K0 inerciarendszerek orig´oi k¨oz¨otti sebess´eg abszol´ ut´ert´ek´et, legyen ez V00 . Feltessz¨ uk, hogy ugyanez a megfigyel˝o megm´eri a P pont sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´ek´et a K rendszerben, legyen ez VP . Feltessz¨ uk tov´abb´a, hogy a K rendszerbeli megfigyel˝o k´epes megm´erni a γ sz¨oget, amelyet ez el˝obbi k´et sebess´eg egym´assal bez´ar. Tov´abbra sem r¨ogz´ıtj¨ uk le, milyen geometria ´erv´enyes K-ban, feltessz¨ uk, hogy az S, B, E, G geometria valamelyike ´erv´enyes, a tov´abbi gondolatmenet mindegyik geometri´aban v´egigvihet˝o. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert feltessz¨ uk, hogy K-ban az S-geometria ´erv´enyes, ez a geometria van ¨osszhangban a megfigyel´esekkel. Ebben az esetben a K-beli megfigyel˝o sz´am´ara a K0 inerciarendszer orig´oja ´es a P pont k¨oz¨otti sebess´eg (v.¨o. (7.110)) s V 0 20 − 2V 0 0 VP cos γS1 + VP 2 (7.171) VP0 = 1 − 2V 0 0 VP cos γS1 + VP 2 V00 2 lesz. A 7.7.1. ´abr´an bemutatott β sz¨oget is meg lehet m´erni, de a, b ´es c ismeret´eben ki is lehet sz´amolni a V 0 20 + VP0 2 − 2V 0 0 V 0 P cos βS1 VP 2 = (7.172) 1 − 2V 0 P V 0 0 cos βS1 + V 0 P 2 V00 2 213
7.9. a´bra. A K-K0 -K” sebess´egtranszform´aci´ohoz
o¨sszef¨ ugg´esb˝ol. A megfigyel´esekb˝ol teh´at meghat´arozhat´o egy sebess´egh´aromsz¨og, err˝ol feltessz¨ uk, hogy term´eszetes h´aromsz¨og, de ezt m´er´esekkel igazolni kell. Most a´tt´er¨ unk a sebess´eg komponenseinek transzform´aci´oj´anak k´erd´es´ere. A Wagner a´ltal bevezetett pontgeometri´anak l´enyeges von´asa, hogy b´armilyen legyen is a geometria, minden term´eszetes, S-geometriabeli h´aromsz¨ognek l´etezik euklideszi o˝se, ez´ert lehet besz´elni a komponensekr˝ol. ´Igy p´eld´aul a VP , VP0 , V0P oldalakkal (ezek teh´at nem vektorok, csak vektorok hossza) jellemzett h´aromsz¨ogben a h´aromsz¨og cs´ ucsait kijel¨ol˝o 0 VP , VP , V0P vektorok k¨oz¨ott mindig fenn´all az al´abbi h´arom ¨osszef¨ ugg´es: VP V0P VP0 p =p −p 0 2 |(1 − VP ) | |(1 − VP )2 | |(1 − V0P )2 |
(7.173)
VP V0 = VP V0 cos αE ,
(7.174)
(VP )2 − 2VP V0 cos αS + V0 2 . 1 − 2VP V0 cos αS + VP 2 V0 2
(7.175)
tov´abb´a ´es 2
VP0 =
V´egig szorozva (7.173)-t (7.141)-vel: s VP0 ∆t0
= VP ∆t − V0
1 − VP 2 ∆t 1 − V00 2
(7.176)
alakba, ez´ert fenn´all az elmozdul´asvektor (∆s) komponenseire az al´abbi transzform´aci´os szab´aly: s 1 − VP 2 0 ∆s = ∆s − V0 ∆t. (7.177) 1 − V00 2 214
Ezzel a koordin´ata transzform´aci´o le´ır´asa teljes. Azt kell m´eg megmutatni, hogy a Wagner a´ltal bevezetett transzform´aci´ok csoportot alkotnak. Ennek bizony´ıt´as´ahoz elegend˝o bel´atni, hogy k´et egym´ast k¨ovet˝o transzform´aci´oban szerepl˝o sebess´egvektorok egym´assal felcser´elhet˝o szerepet j´atszanak a transzform´aci´oban.
7.7.2.
Sorozattranszform´ aci´ o
A sorozattranszform´aci´ot u ´gy vizsg´aljuk, hogy meghat´arozzuk egy P pont sebess´eg´et h´arom inerciarendszerben: K-ban, K0 -ben ´es K”-ben. A P pont helyzet´et az inerciarendszerben m´ert elmozdul´asvektorokb´ol ´es az ugyanabban az inerciarendszerben az elmozdul´ashoz sz¨ uks´eges id˝ob˝ol a´llap´ıtjuk meg. Legyen teh´at a P pont sebess´eg´enek 0 , a K0 -ben B = ∆s . ´es a K”-ben C = ∆s” abszolut´ert´eke a K inerciarendszerben A = ∆s ∆t ∆t0 ∆t” A t´avols´agok ´es id˝ok transzform´aci´oj´at a (7.135) k´epletb˝ol kapjuk meg: 1 B−A 0 ∆s = q (7.178) B−A 2 1 − AB ∆t + ∆s 1 − 1−AB 1 B−A ∆t = q B−A 2 1 − AB ∆s + ∆t 1− 0
(7.179)
1−AB
0
K¨onnyen bel´athat´o, hogy ∆s = A-b´ol k¨ovetkezik ∆s = B. Ehhez osszuk el (7.178)-t ∆t ∆t0 (7.179)-vel, ´es haszn´aljuk fel az A = ∆s/∆t ´es a B = ∆s0 /∆t0 jel¨ol´est, valamint U ´ert´ek´et (7.138)-b´ol a VP = A, Vp0 = B jel¨ol´esekkel, amib˝ol az a´ll´ıt´as ad´odik. A 27. t´etel szerint az {A, B, C} sebess´egh´aromsz¨ognek l´etezik euklideszi o˝se, az euklideszi ˝os oldalai k¨oz¨otti sz¨ogeket (7.131) egyenletekb˝ol kapjuk meg. Legyen xE = √ 2 x / 1 − x2 , ahol x = a, b, c az euklideszi o˝s oldalainak hossza. A (7.131) egyenletekb˝ol meghat´arozott αE , βE , γE sz¨ogek seg´ıts´eg´evel pedig fel´ırhat´o az aE , bE , cE vektor, amelyek k¨oz¨ott (7.173) miatt fenn´all cE = bE − aE .
(7.180)
uk az al´abbi Most v´egrehajtjuk a K0 → K” transzform´aci´ot. Ehhez (7.135)-ben elv´egezz¨ 0 0 helyettes´ıt´eseket. A jobboldalon: ∆t → ∆t”, ∆s → ∆s”. A baloldalon: ∆t → ∆t0 , C−B ∆s → ∆s0 . Az U relat´ıv sebess´eg pedig U = 1−CB . Az eredm´eny: 1 C −B 0 0 ∆s” = q C−B 2 ∆s + 1 − CB ∆t 1−
(7.181)
1 C −B 0 0 ∆t” = q 2 1 − CB ∆s + ∆t 1 − C−B
(7.182)
1−CB
1−CB
215
0
= B-b˝ol k¨ovetkezik ∆s” = C. Az (7.181) el˝ott le´ırt gondoA fenti k´et egyenletben ∆s ∆t0 ∆t” latmenet alkalmaz´as´aval bizony´ıthat´oak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: 1 C −A ∆s” = q (7.183) C−A 2 ∆s + 1 − CA ∆t 1 − 1−AC ∆t” = q ∆s ∆t
= A-b´ol k¨ovetkezik
∆s” ∆t”
1−
1 C−A 2
C −A ∆s + ∆t 1 − AC
(7.184)
1−AC
= C. A k¨ovetkeztet´eseket az al´abbi t´etel foglalja ¨ossze:
7.29. T´ etel (Wagner 3. t´ etele) A ∆s, ∆t p´aros sorozattranszform´aci´oja csak a kezdeti ´es v´eg´allapott´ol f¨ ugg, a k¨ozb¨ uls˝o l´ep´esek v´egrehajt´asa a v´eg´allapotot megad´o transzform´aci´on semmif´ele nyomot nem hagy. Az 7.1.. p´elda (7.152) egyenlete egy u ´j lehet˝os´eget k´ın´al. A (VP0 , VP , V0 ) vektorok k¨oz¨ott a sebess´eggeometri´aban is tal´altunk egy u ´j ¨osszef¨ ugg´est. Ehhez csak arra volt sz¨ uks´eg, hogy az egyik vektor helyett (ez (7.152)-ben V0 ) annak (7.142) szerinti deform´altj´at (V0P -t) ´ırjuk a k´epletbe. Az (7.142) k´epletnek fizikai jelent´ese is van: megadja a P ponthoz r¨ogz´ıtett inerciarendszerben a K − K0 relat´ıv sebess´eget. Tekintettel arra, hogy a 7.7.1. ´abra h´aromsz¨ogein minden ´elhez k´et vektort lehet rendelni, az al´abbi jel¨ol´est fogjuk haszn´alni: • A K − P relat´ıv sebess´ege legyen A. • A K − K0 relat´ıv sebess´ege legyen cµ (= V0 ) ´es c(= V0P ). • A K − K” relat´ıv sebess´ege legyen bµ (= V ”0 ) ´es b. • A K0 − K” relat´ıv sebess´ege legyen aµ (= V 0 ”0 ) ´es a. • A K0 − P relat´ıv sebess´ege legyen Bµ (= VP0 ) ´es B. • A K” − P relat´ıv sebess´ege legyen cµ (= V ”P ) ´es c. Ahol nem ´ırtuk ki a µ indexszel jelzett deform´altat, az azonos index n´elk¨ uli v´altoz´ora alkalmazva a (7.142) transzform´aci´ot, megkapjuk a keresett deform´alt mennyis´eget. Megjegyezz¨ uk, hogy az (x, y, zµ ) t´ıpus´ u S-h´aromsz¨og nem sz¨ uks´egk´eppen term´eszetes h´aromsz¨og, ez´ert ´altal´aban nem l´etezik euklideszi o˝se. Az (x, y, z) t´ıpus´ u S-h´aromsz¨og mindig term´eszetes, ez´ert mindig l´etezik euklideszi ˝ose. Wagner 3. t´etele vizsg´alat´ahoz tekints¨ uk a K inerciarendszert, amelyben adott egy P pont, melynek sebess´egabszolut´ert´eke VP . Legyen adott a K0 inerciarendszer, melynek O0 orig´oja V00 sebess´eggel mozog a K inerciarendszerben. Legyen szint´en adott a K” inerciarendszer, amelynek O” orig´oja 216
V ”0 sebess´eggel mozog a K inerciarendszerben. A 7.7.1. ´abr´an sematikusan a´br´azoltuk a sebess´egabszol´ ut´ert´ekekkel l´etrehozott tetra´edert. Eml´ekeztet¨ unk r´a, hogy az ´abr´an n´egy darab, k¨ ul¨onf´ele sebess´eg abszol´ ut´ert´ekekb˝ol l´etrehozott h´aromsz¨og l´athat´o, ezek a h´aromsz¨ogek S-geometri´at k¨ovetnek, nem pedig euklideszi geometri´at. Az a´br´an alkalmazott jel¨ol´esek: VP0 a P pont sebess´ege a K0 rendszerben, V ”P pedig a P pont K”-ben m´ert sebess´ege. Feltessz¨ uk, hogy egy t0 id˝opontban a P pont, valamint az O, O0 , O” orig´ok egy pontba estek. Vizsg´aljuk el˝osz¨or a K − K0 geometri´at. Ebben a (V00 , VP , VP0 ) oldalakkal rajzoltunk S-geometri´aban h´aromsz¨oget. Ezt a h´aromsz¨oget mutatja a 7.7.2. ´abra. Az (V00 , VP , VP0 , αS1 , βS1 , γS1 ) oldalakkal ´es sz¨ogekkel felrajzolt term´eszetes h´aromsz¨ogre alkalmazhat´o az S-geometria koszinuszt´etele. Ebb˝ol a 25. t´etel seg´ıts´eg´evel meghat´arozhat´o VP0 , a P pont K0 -beli sebess´eg´eg´enek abszol´ ut ´ert´eke. A tetra´edert´etel ´ertelm´eben a VP , V0 0 , V”0 sebess´egekkel alkotott tetra´eder minden oldala term´eszetes h´aromsz¨og lesz. Ezeket a h´aromsz¨ogeket mutatj´ak a 7.7.2-7.7.2. ´abr´ak. Az (7.173) egyenletet most az
7.10. ´abra. A O, O0 , O” pontokkal alkotott sebess´egh´aromsz¨og al´abbi m´odon ´ertelmezz¨ uk. VP0 a P pont sebess´ege K0 (´ uj) inerciarendszerben, VP a P 0 pont sebess´ege a K (r´egi) inerciarendszerben, V 0 pedig a r´egi ´es az u ´j inerciarendszer k¨oz¨otti sebess´egk¨ ul¨onbs´eg. Ezt alkalmazzuk el˝osz¨or a K-K0 rendszerekre, majd a K0 -K” rendszerekre. VP0 VP V0 0 p p p = − (7.185) (1 − VP0 )2 (1 − VP )2 (1 − V00 )2 ´es fenn´all 0 0 VP V0P = VP V0P cos γS1 ,
(7.186)
ezzel a K-K0 a´tmenetet le´ırtuk. N´ezz¨ uk a K0 -r˝ol a K”-re a´tt´er´est. V0 P V0 ”0 p =p − (1 − VP0 )2 (1 − V ”P )2 (1 − V 0 ”0 )2 V”P
p
217
(7.187)
7.11. ´abra. A P, O0 , O” pontokkal alkotott sebess´egh´aromsz¨og
7.12. ´abra. A K, P, K 0 pontokkal alkotott sebess´egh´aromsz¨og
218
´es fenn´all VP0 V0 ”P = VP0 V 0 ”P cos α2E ,
(7.188)
amivel a K0 -K” a´tmenetet le´ırtuk. H´atra van m´eg a K-K” k¨ozvetlen ´atmenetet le´ır´asa. Ez a fentiek anal´ogi´aj´ara ´ıgy ´ırhat´o: VP V”0P V”P p =p −p (1 − V ”P )2 (1 − VP )2 (1 − V ”0P )2
(7.189)
VP V”0P = VP V ”0P cos α3E .
(7.190)
´es fenn´all 7.30. T´ etel (Sorozattraszform´ aci´ o) Legyen a K inerciarendszer kezd˝opontja O, egy P pont K-ban m´ert elmozdul´asa ∆tA id˝o alatt legyen ∆SA , sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´eke 0 0 0 legyen A. Legyen a K inerciarendszer kezd˝opontja O , ´es a P -nek K -ben m´ert ∆tB alatti elmozdul´asa legyen ∆SB , sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´eke legyen B. Legyen a K” inerciarendszer kezd˝opontja O”, a P pont elmozdul´asa ∆tC id˝o alatt K”-ben legyen ∆SC . A P pont sebess´eg´enek abszol´ ut´ert´eke legyen C. Ekkor ∆SA = A∆tA
(7.191)
∆SB = B∆tB
(7.192)
∆SC = C∆tC
(7.193)
a P pont elmozdul´asa K-ban, a P pont elmozdul´asa K0 -ben, ´es
a P pont elmozdul´asa K”-ben. Tegy¨ uk fel, hogy a P pont viszonylagos mozg´as´at a K-K0 0 ´es a K -K” inerciarendszerek viszonylat´aban a (7.163)-(7.164) Lorentz-transzform´aci´ o 0 0 ´ırja le. Legyen K ´es K viszonylagos sebess´ege a, a a K ´es K” viszonylagos sebess´ege c. Ekkor a K ´es K” inerciarendszerek k¨oz¨ott Lorentz-transzform´aci´o ´all fenn, a K ´es K” k¨oz¨otti b viszonylagos sebess´eget megadhatjuk a ´es c f¨ uggv´eny´eben. Tekintettel a t´etel fontoss´ag´ara, k¨oz¨olj¨ uk a bizony´ıt´as f˝obb l´ep´eseit is. El˝ore bocs´atjuk, hogy azt kell bel´atni, a P pont K”-ben m´ert C sebess´eg´et a K-ban m´ert sebess´eg (A) ´es a K0 -ben m´ert B sebess´eg seg´ıts´eg´evel megadhatjuk. Bizony´ıt´as: El˝osz¨or vegy¨ uk ´eszre, hogy (7.141) szerint fenn´all a ∆tA , ∆tB ´es ∆tC id˝otartamok k¨oz¨ott a √ √ √ (7.194) ∆tA 1 − A2 = ∆tB 1 − B 2 = ∆tC 1 − C 2 ugg´es. A k¨ ul¨onb¨oz˝o inerciarendszerek sebess´egeit sebess´eggeometria szerint kell ¨osszef¨ o¨sszeadni, a sebess´eggeometri´aban megszerkesztett term´eszetes h´aromsz¨ogb˝ol a 31. t´etel szerint euklideszi h´aromsz¨oget lehet szerkeszteni. Ez a h´aromsz¨og az (A, B, C) szakaszokkal megrajzolt tetra´eder v´egpontjai a´ltal meghat´arozott (a, b, c) h´aromsz¨og. A 31. 219
t´etelt alkalmazva az (A, B, C) vektorok a´ltal meghat´arozott tetra´eder h´arom oldal´ara az al´abbi ¨osszef¨ ugg´eseket kapjuk: B cµ 1 A 1 p √ √ = √ − +√ (7.195) 1 − A2 1 − B 2 1 + 1 − cµ 2 1 − A2 1 − B2 B C aµ 1 1 √ p √ (7.196) = √ − +√ 1 − B2 1 − C 2 1 + 1 − aµ 2 1 − B2 1 − C2 A 1 C bµ 1 √ √ q = √ − +√ (7.197) 1 − A2 1 − C2 1 + 1 − b 2 1 − A2 1 − B2 µ
Amennyiben a fenti h´arom ¨osszef¨ ugg´esb˝ol kett˝ot Lorentz-transzform´aci´ob´ol kaptunk, bel´atjuk, hogy a harmadik megkaphat´o a Lorentz-transzform´aci´ob´ol. Megmutatjuk, hogy a fenti harmadik egyenletet az el˝oz˝o kett˝o meghat´arozza. Az egyenletek szerkezet´eb˝ol k¨ovetkezik, mindegy melyik kett˝o ismeret´eben vizsg´aljuk a harmadikat. Szorozzuk meg (7.197)-t az (7.194) egyenl˝os´eg megfelel˝o tagj´aval, az eredm´eny: bµ bµ 1 − 1 2 (∆SC bµ ) − q ∆tC . (7.198) ∆SA = ∆SC − q 2 2 b µ 1−b 1−b µ
µ
(7.198) ´es (7.194) megfelel˝o tagjai pontosan a Lorentz-transzform´aci´o (7.163) ´es (7.164) k´epleteinek felelnek meg. K´erd´es, hogyan lehet meghat´arozni bµ -t, amennyiben ismerj¨ uk az A, B, C ´es aµ , cµ mennyis´egeket. Itt csak f˝obb vonalakban ismertetett sz´am´ıt´asok szerint (7.198) mint´aj´ara (7.195)-b´ol kapjuk az al´abbi egyenletet: # " cµ cµ 1 −1 (∆SB cµ ) − p ∆tB . (7.199) ∆SA = ∆SB − p 2 cµ 1 − cµ 2 1 − cµ 2 (7.199)-b´ol ´es (7.198)-b´ol elimin´aljuk ∆tC -t. Az eredm´eny: bµ =
2L 2M aµ + cµ . 2 1+W 1 + W2
(7.200)
Eml´ekeztet¨ unk r´a, hogy b a K ´es K” rendszerek relat´ıv sebess´ege. E sebess´eg transzform´aci´o ut´ani abszol´ ut´ert´ek´et ´ıgy adhatjuk meg: p 2 aµ 2 L2 − 2aµ cµ LM cos β0 + cµ 2 M 2 bµ = (7.201) 1 + aµ 2 L2 − 2aµ cµ LM cos β0 + cµ 2 M 2 ahol 1 p L= 1 − 1 − aµ 2
"
220
√ 1 1−B 2 √ 1 1−A2
+ +
√ 1 1−C 2 √ 1 1−C 2
# (7.202)
´es 1 p M= 1 − 1 − cµ 2
"
√ 1 1−A2 √ 1 1−A2
+ +
√ 1 1−B 2 √ 1 1−C 2
#
W 2 = aµ 2 L2 − 2LM aµ cµ cos β0 + cµ 2 M 2 .
(7.203) (7.204)
A β0 sz¨og az (a, b, c) euklideszi h´aromsz¨og a ´es c oldalai k¨oz¨otti sz¨og, azaz aµ cµ = aµ cµ cos β0 . QED. V´egezet¨ ul n´eh´any megjegyz´es az alkalmazott jel¨ol´esr˝ol. Inerciarendszerek K, K0 , K”, ezek orig´oja rendre O, O0 , O”. Szerepel m´eg egy a´ltal´anos P pont, amelynek sebess´eg´et vizsg´aljuk a fenti inerciarendszerekben. Sajnos ez nem elegend˝o, elker¨ ulhetetlen, hogy a P ponthoz is rendelj¨ unk egy inerciarendszert, amelynek orig´oja P . Jel¨olje ezt az inerciarendszert KP . Minden pont sebess´eg´et minden inerciarendszerben lehet m´erni. A jel¨ol´esben az al´abbi megszor´ıt´asok r´ev´en k´ıv´anunk rendet tartani. Jel¨olje a sebess´egeket VPi Pj , ahol az els˝o index az inerciarendszer orig´oja, a m´asodik index a pontot azonos´ıtja, amelynek sebess´eg´er˝ol van sz´o. Gyakran nincs sz¨ uks´eg ilyen a´ltal´anos jel¨ol´esre. A 7.5 a´br´an p´eld´aul a K, K0 , K” koordin´ata-rendszerek, ill. a P pont al´abbi sebess´egei szerepelnek: • V00 - K0 sebess´ege K-b´ol m´erve; • V ”0 - K” sebess´ege K-b´ol m´erve; • V 0 ”0 - K” sebess´ege K0 -b˝ol m´erve; • VP - P sebess´ege K-b´ol m´erve; • VP0 - P sebess´ege K0 -b˝ol m´erve; • V ”P - P sebess´ege K”-b˝ol m´erve. Ezen k´ıv¨ ul sz¨ uks´eg lehet az inerciarendszerek orig´oj´anak P pontb´ol m´ert sebess´egeire: • V0P - K0 sebess´ege P -b˝ol m´erve; • V ”0P -K” sebess´ege B-b˝ol m´erve. Mivel VPi Pj = −VPj Pi , K orig´oj´anak sebess´ege P -b˝ol m´erve −V0 .
221
8. fejezet A perem´ ert´ ek-feladat
222
Egy perem´ert´ek-feladatnak h´arom alkot´or´esze van: egy V tartom´any, egy egyenlet, amit a keresett f¨ uggv´enynek ki kell el´eg´ıtenie V belsej´eben; ´es egy m´asik egyenlet, amit a keresett f¨ uggv´enynek ki kell el´eg´ıtenie V hat´ar´an. A V tartom´anyr´ol feltessz¨ uk, hogy egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o, azaz, b´armely V belsej´e´ ben halad´o g¨orbe folytonos transzform´aci´oval egyetlen pontra h´ uzhat´o ¨ossze. Altal´ aban csak k´etdimenzi´os tartom´anyr´ol besz´el¨ unk, noha a feladatok egy r´esze h´aromdimenzi´os t´erre vonatkozik. Ennek oka az, hogy a k´etdimenzi´os tartom´any egyszer˝ ubb, ´es sok esetben a harmadik dimenzi´o ment´en minden t´erfogatelemet homog´ennek lehet tekinteni, ´ıgy a feladat k´et dimenzi´ora egyszer˝ us¨odik. V lehet v´eges (pl. n´egyzet) vagy v´egtelen (pl. f´elt´er). Ahol nem hangs´ ulyozzuk az ellenkez˝oj´et, V v´eges t´erfogatot jelent. A tartom´any belsej´eben megoldand´o egyenletr˝ol feltessz¨ uk, hogy m´asodrend˝ u, elliptikus oper´atork´ent ´ırhat´o le. Amennyiben az egyenletben az egy¨ utthat´ok f¨ uggenek a helyt˝ol, ezeket legal´abb k´etszer folytonosan differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek ´ırj´ak le. Amennyiben az egy¨ utthat´ok szakaszosan folytonosak (ez a helyzet, ha V -t t¨obb, homog´ennek tekinthet˝o r´esz egyes´ıt´es´evel kapjuk), az egy¨ utthat´ok ugr´as´at mindig v´egesnek tekintj¨ uk. A parci´alis differenci´alegyenleteket a k¨ovetkez˝o ´altal´anos alakba szok´as fel´ırni: n X i,j=1
aij (x)
∂ 2u + F (x, u, ∇u) = 0. ∂xi ∂xj
(8.1)
Itt x = (x1 , . . . , xn ) a f¨ uggetlen v´altoz´okat jel¨oli, u = u(x) a keresett f¨ uggv´eny (f¨ ugg˝o v´altoz´o), aij (x) ´es F (x, u, ∇u pedig folytonos f¨ uggv´enyek1 . Az egyenlet strukt´ ur´aj´anak vizsg´alat´ahoz keress¨ uk meg a f¨ uggetlen v´altoz´ok olyan f¨ uggv´eny´et, amelyekkel az egyenlet szerkezete leegyszer˝ us¨odik. Vizsg´aljuk meg az n X
aij (x0 )pi pj
(8.2)
i,j=1
kvadratikus alakot az x0 ∈ V pontban. A line´aris algebr´aban ismeretes, hogy l´etezik olyan nemszingul´aris transzform´aci´o, amellyel (8.2) r pozit´ıv ´es legfeljebb n − r negat´ıv tag ¨osszege lesz: r m X X 2 qi − qi2 , (8.3) l=1
l=r+1
ahol m ≤ n. Az egyenlet oszt´alyoz´asa az x0 pontban az al´abbiak szerint t¨ort´enik: • Ha m = r = n akkor a (8.1) egyenlet az x0 pontban elliptikus t´ıpus´ u; • Ha egy tag el˝ojele elt´er a t¨obbi´et˝ol, azaz r = 1 vagy r = n − 1 ´es m = n eset´en, akkor a (8.1) egyenlet az x0 pontban hiperbolikus t´ıpus´ u; 1
Fizikai feladatokban gyakran el˝ ofordul, hogy az egy¨ utthat´ok csak a V tartom´any egy r´esz´en folytonos. Ebben az esetben az egyenletet az eml´ıtett tartom´anyokon k¨ ul¨on-k¨ ul¨on kell megoldani, a megold´ asokat pedig u ´gy illesztj¨ uk ¨ ossze, hogy a megold´as V eg´esz´en a feladatnak megfelel˝o simas´ag´ u legyen.
223
• Ha m = n − 1 ´es r = 1 vagy r = n − 1, akkor parabolikus t´ıpus´ u. 8.3. Feladat A Laplace egyenlet ∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2
(8.4)
elliptikus t´ıpus´ u, mert n = 2 ´es r = 2. A hull´amegyenlet ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = + ∂t2 ∂x2 ∂y 2
(8.5)
hiperbolikus t´ıpus´ u, mert n = 3 ´es r = 1. A h˝ovezet´es egyenlete ∂ 2u ∂ 2u ∂u = + ∂t ∂x2 ∂y 2
(8.6)
egyenlete parabolikus t´ıpus´ u, mert n = 3, r = 2. A V peremen kiel´eg´ıtend˝o egyenletben szerepl˝o oper´ator legfeljebb els˝orend˝ u differenci´aloper´ator. Felmer¨ ul a k´erd´es, adott egyenlet eset´en milyen peremfelt´etelt lehet el˝o´ırni. A k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletek eset´eben a megold´asban annyi szabadon v´alaszthat´o egy¨ utthat´o szerepel, amennyi az egyenlet foksz´ama. Az is ismert, hogy minden analitikus komplex f¨ uggv´eny kiel´eg´ıt egy parci´alis differenci´alegyenletet ´es ha egy tartom´any perem´en megadjuk a f¨ uggv´eny ´ert´ek´et, akkor a f¨ uggv´eny ´ert´eke m´ar a tartom´any belsej´eben is egy´ertelm˝ uen meghat´arozott. A parci´alis differenci´alegyenletek eset´eben a helyzet kev´esb´e egyszer˝ u, ott az al´abbi h´arom alapfeladatot szok´as megk¨ ul¨onb¨oztetni: • Cauchy-feladat vagy kezdeti´ert´ek-feladat: hiperbolikos ´es parabolikus egyenletekre csak kezdeti felt´eteleket adunk meg a V tartom´any az eg´esz Rn t´errel egyezik meg, nincs peremfelt´etel. • Perem´ert´ek-feladatqindexPerem´ert´ek-feladat: elliptikus t´ıpus´ u egyenletek eset´eben a ∂V fel¨ uleten peremfelt´eteleket adunk meg, nincs kezdeti felt´etel. • Vegyes feladat: hiperbolikus ´es parabolikus egyenletekre kezdeti- ´es peremfelt´etelt is megfogalmazunk. A tov´abbiakban csak az elliptikus egyenletekkel foglalkozunk. Az u megold´as teh´at kiel´eg´ıti a (8.1) egyenletet, a peremfelt´etel a´ltal´anos alakja pedig αu(x) + β
∂u = q, ∂n
(8.7)
ahol x ∈ ∂V ´es n a ∂V fel¨ ulet x pontj´anak kifel´e mutat´o norm´alisa. Az al´abbi perem´ert´ekfeladatokat szok´as megk¨ ul¨onb¨oztetni: 224
• Dirichlet-feladat: β = 0, α = 1; • Neumann-feladat: β = 1, α = 0; • Harmadik vagy kevert perem´ert´ek-feladat: β 6= 0, α 6= 0. A fentiek alapj´an a megoldand´o feladatot a k¨ovetkez˝ok´eppen lehet megfogalmazni: A(x)Ψ(x) = Q(x); x ∈ V BΨ(x) = q(x); x ∈ ∂V.
(8.8) (8.9)
Itt Q(x) a t´erfogati forr´as, ´es q(x) a fel¨ uleti forr´as vagy perem´ert´ek, a kett˝o k¨oz¨ ul legal´abb az egyik nem azonosan nulla. Ezt a feladatot inhomog´ennek nevezz¨ uk. Az inhomog´en feladat megold´asa akkor egy´ertelm˝ u, ha Q(x) ≡ 0 ´es q(x) ≡ 0 eset´en nincs nemtrivi´alis megold´as. Az A, B oper´atorokat line´arisnak nevezz¨ uk, ha X(Y1 + Y2 ) = XY1 + XY2 (X = A vagy B). A perem´ert´ekfeladatokat alkalmank´ent saj´at´ert´ek-feladatk´ent is meg szok´as fogalmazni. Ilyenkor keress¨ uk azt a λ sz´amot, ami mellett az AΨ(x) = λΨ(x)
(8.10)
BΨ(x) = 0, x ∈ ∂V.
(8.11)
´es feladatnak l´etezik nemtrivi´alis megold´asa. A perem´ert´ek-feladatot teh´at az al´abbi rendezett h´armassal lehet jellemezni: (A, B, V ). A t´erfogati ´es fel¨ uleti forr´ast a feladat j´arul´ekos elem´enek tekintj¨ uk. A feladat megold´asa bizonyos felt´eteleket ki kell hogy el´eg´ıtsen. Egy fizikai probl´em´aban ezek a felt´etelek az al´abbiak lehetnek: • folytonoss´ag • folytonos deriv´alt • v´eges ´ert´ek b´armely pontban • folytonos deriv´altak adott rendig • pozit´ıv ´ert´ekk´eszlet. Amennyiben az egyenletben szerepl˝o egy¨ utthat´ok folytonosak, a megold´ast´ol is megk¨ovetelj¨ uk, hogy folytonos legyen. Ha V olyan r´eszekb˝ol a´ll, amelyekben az egy¨ utthat´ok folytonosak ´es a r´egi´ok hat´ar´an v´eges ugr´ast mutatnak, a norm´alis deriv´altak folytonoss´aga gyakran megk¨ovetelhet˝o. Ezeket a k¨ovetelm´enyeket k¨onny˝ u kiel´eg´ıteni, ha a megold´ast valamely L f¨ uggv´enyoszt´alyb´ol v´alasztjuk. A leggyakoribb f¨ uggv´enyoszt´alyok: C0 , C1 , C2 , L2 stb., ami a folytonos, folytonos els˝o- ´es m´asodik deriv´alttal rendelkez˝o ´es n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek ter´et jelenti. Ha a f¨ uggv´enyt csak a V t´erfogaton vizsg´aljuk, akkor pl. C0 (V )-t ´ırunk. 225
8.4. Feladat (Membr´ an rezg´ ese) Legyen a membr´an az x, y s´ıkban egyenletesen kifesz´ıtve, azaz, nyugalmi ´allapotban a fesz¨ ults´egtenzor elemei legyenek ´alland´oak: σxx = σyy = σ, a t¨obbi tenzorkomponens legyen nulla. A s´ıkra mer˝oleges infinitezim´alis ξ(x, y) ∂2ξ ∂2ξ elmozdul´as egy h vastags´ag´ u membr´an dxdy fel¨ ulet˝ u darabj´aban hσ( ∂x ot 2 + ∂y 2 )dxdy er˝ ´ebreszt. Legyen a membr´an s˝ ur˝ us´ege ρ, ez az er˝o gyors´ıtja a hdxdy t´erfogatban l´ev˝ o t¨omeget, ez´ert r 2 ∂ 2ξ σ ∂ ξ ∂ 2ξ = + . (8.12) ∂t2 ρ ∂x2 ∂y 2 Ez teh´at a membr´an mozg´asegyenlete, ehhez kell hozz´aadni a kezdeti felt´eteleket ´es a peremfelt´eteleket. Amennyiben a peremet r¨ogz´ıtj¨ uk, ott az elmozdul´as nulla lesz minden t-ben. Tegy¨ uk fel, hogy a megold´ast s´ıkhull´am alakban keress¨ uk. Ekkor ∂ 2ξ = −ω 2 ξ ∂x2
(8.13)
minden pontban, ez´ert a deform´aci´o helyf¨ ugg˝o r´esze kiel´eg´ıti a 4Φ(x) = −ω 2 Φ(x)
(8.14)
egyenletet ´es ξ(x, t) = eiωt Φ(x). A membr´an mozg´as´anak le´ır´as´aban is kiemelt szerepet kapnak a Laplace-oper´ator saj´atf¨ uggv´enyei. 8.5. Feladat (Potenci´ alg¨ od¨ or) Egy r´eszecske akkor ker¨ ul k¨ot¨ott ´allapotba, ha a potenci´alis energi´aja nagyobb, mint kinetikus energi´aja. A k¨ot¨ott ´allapotban kialakul´o energi´ak j´ol tanulm´anyozhat´ok a der´eksz¨og˝ u potenci´alv¨olgy p´eld´aj´an. Feltessz¨ uk, hogy a r´eszecske le´ır´as´ara a kvantummechanika alkalmazhat´o, azaz, a r´eszecske ψ(x) hull´amf¨ uggv´eny´et a Schr¨odinger-egyenletb˝ol hat´arozhatjuk meg: d2 ψ 2m + 2 [E − V (x)] ψ = 0, dx2 ~
(8.15)
ahol ~ = 1, 054710−27 ergs, m a r´eszecske t¨omege, E a saj´at´ert´ek (energia), V (x) pedig az egydimenzi´os potenci´al. Legyen −V0 ha |x| ≤ a V (x) = . (8.16) 0 egy´ebk´ent Ebben a feladatban a potenci´al nem folytonos az x = ±a pontokban. A (8.15) egyenlet integr´al´as´aval megmutathat´o, hogy a ±a pontokban a megold´as ´es els˝o deriv´altja folytonos lesz. Amennyiben a vizsg´alt f¨ uggv´enyt´eren l´etezik alkalmas skal´arszorzat, a szok´asos m´odon defini´alhatjuk egy A oper´ator adjung´altj´at, amit A+ -szal jel¨ol¨ unk: (φ, Aψ) = A+ φ, ψ (8.17) 226
A skal´arszorzat rendszerint egy integr´al: Z (Ψ1 , Ψ2 ) = w(x)Ψ1 (x)Ψ2 (x)dx.
(8.18)
V
A w(x) s´ ulyf¨ uggv´enyt gyakran w(x) ≡ 1-nek v´alasztj´ak, a tov´abbiakban mi is ezt haszn´aljuk. A (8.18) skal´arszorzat alapj´an bevezethet˝o a (8.8) egyenletben szerepl˝o A oper´ator adjung´altja: Z ψ(x)A+ φdx.
(φ, Aψ) = (A+ φ, ψ) =
(8.19)
V
Hasonl´o m´odon defini´alhat´o a B oper´ator adjung´altja is: Z + (φ, Bψ) = (B φ, ψ) = ψ(x)Bφ(x)dx.
(8.20)
∂V
¨ Ugyelj¨ unk azonban arra, hogy a (8.19)-ben a skal´arszorzat a V t´erfogatra, a (8.20)-ban viszont a ∂V hat´arra vonatkoznak. Az A ill. B oper´atort o¨nadjung´altnak nevezz¨ uk + + amennyiben A = A ill. B = B . 8.6. Feladat (A Laplace-oper´ ator ¨ onadjung´ alt) Legyen Φ(x) ´es Ψ(x) ´ertelmezve a V tartom´anyon, ´es mindk´et f¨ uggv´eny legyen nulla a ∂V peremen. Ekkor a Green-t´etel miatt Z Z Z Z Φ(x)∆Ψ(x)dV = Ψ(x)∆Φ(x)dV + [Φ(x)∂n Ψ(x) − Ψ(x)∂n (x)] dF = Ψ(x)∆Φ(x)sV, V
V
∂V
V
azaz, a Laplace-oper´ator ¨onadjung´alt. 8.1. T´ etel (Fredholm-alternat´ıva t´ etel) Az AΨ(x) = Q(x) x ∈ V BΨ(x) = 0 x ∈ ∂V
(8.21) (8.22)
differenci´alegyenletb˝ol ´es a peremfelt´etelb˝ol ´all´o line´aris perem´ert´ek-feladatnak nem lehet egy´ertelm˝ u Ψ(x) megold´asa, ha a A+ Ψ+ (x) = 0 x ∈ V B+ Ψ+ (x) = 0 x ∈ ∂V
(8.23) (8.24)
adjung´alt egyenletnek van a Ψ+ (x) ≡ 0 trivi´alis megold´ason k´ıv¨ ul m´as megold´asa. Ekkor a (8.21)-(8.22) egyenletek csak akkor oldhat´oak meg, ha Q(x) ortogon´alis minden Ψ+ (x) megold´asra, vagyis (Ψ+ , Q) = 0. Ha ez a felt´etel teljes¨ ul, az (8.21)-(8.22) feladatnak v´egtelen sok megold´asa van. 227
8.7. Feladat (Neutrontranszport) Az adjung´alt feladat ´es az eredeti feladat (ezt gyakran ”egyenes” feladatnak nevezik) k¨ oz¨otti kapcsolatra j´ol r´amutat egy olyan p´elda, ahol az egyenes feladat megold´asa ´es az adjung´alt egyenlet megold´asa m´as halmazon van ´ertelmezve. Ilyen a neutrontranszport egyenlete. A neutrong´azban az n(r, v, t) neutrons˝ ur˝ us´egre vonatkoz´o stacion´arius m´erlegegyenlet az al´abbi alakot ¨olti: Z −(v∇)n(r, v) − Σ|v|n(r, v) + Σs (v0 → v)n(r, v0 )dv0 = Q(r, v) (8.25) 4π
a V tartom´any minden x pontj´aban, ´es minden v sebess´egre. A ∂V peremen viszont csak a bej¨ov˝o v sebess´egekre, azaz, a vn < 0 tartom´anyra kell a perem´ert´eket el˝o´ırni. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert vizsg´aljuk az n(r, v, t) = 0 ha vn < 0 , r ∈ ∂V peremfelt´etelt. Az adjung´alt egyenlethez ´all´ıtsuk el˝o a (8.25)-ban szerepl˝o m˝ uveletek adjung´altj´at. A skal´arszorzat most is a f¨ uggetlen v´altoz´okra vett integr´alt jelenti, ez´ert tekints¨ uk a Z Z Ψ+ (r, v)An(r, v)dvdV (8.26) Ψ+ , An ≡ v
V
integr´alokat, ahol A a (8.25)-ban szerepl˝o oper´atorokat jelenti. Az els˝o oper´ator a kifoly´ast ´ırja le, adjung´altj´at ´ıgy kapjuk: Z Z Z + + n(r, v)(v∇)Ψ+ (r, v)dvdV Ψ (r, v)(v∇)n(r, v)dvdV = − Ψ , Ln ≡ V v VZ Z (8.27) + + (Ωn)n(r, v)Ψ (r, v). v
∂V
Mivel az utols´o integr´alban n(r, v) = 0, ha nv < 0, fizikai megfontol´asokb´ol pedig Ψ+ (r, v) = 0 ha vn > 0 ad´odik, ez´ert az utols´o integr´al elt˝ unik, ´es ezt kaptuk a kifoly´as oper´ator adjung´altj´ara: L+ ≡ (v∇)+ = −(v∇) ≡ −L.
(8.28)
K¨onnyen bel´athat´o, hogy egy f¨ uggv´ennyel val´o szorz´as ¨onadjung´alt m˝ uvelet, ez´ert (Σ|v|)+ = Σ|v|. M´ar csak a sz´or´ast le´ır´o harmadik tag vizsg´alat´at kell elv´egezni. Z Z Z + + 0 0 0 Ψ ; Rs n = Ψ (r, v) Σs (r, v → v)n(r, v )dv dV dv v V v0 (8.29) Z 0 Z Z 0 + 0 0 0 = Σs (r, v → v)Ψ (r, v )dv dV n(r, v )dv, v
V
v
amib˝ol kiolvashat´o +
+
S Ψ ,n =
Z
Σs (r, v → v0 )Ψ+ (r, v0 )dv0 .
v0
228
(8.30)
Ezzel a stacion´arius transzportegyenlet adjung´altja: Z Ω∇ − Σ|v| + Σs (v0 → v) ∗ dv.
(8.31)
A (8.21) egyenlethez tartoz´o G(x, x0 ) Green-f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti az al´abbi egyenletet: AG(x, x0 ) = δ(x − x0 )
(8.32)
a V tartom´any belsej´eben ´es eleget tesz a G(x, x0 ) = 0
(8.33)
peremfelt´etelnek az x ∈ ∂V peremen. A Green-f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel a (8.21) egyenlet megold´asa az al´abbi integr´allal adhat´o meg: Z Ψ(x) = G(x, x0 )Q(x0 )dx0 . (8.34) V
A fenti Green-f¨ uggv´enyt t´erfogati Green-f¨ uggv´enynek fogjuk nevezni. Defini´alhat´o a fel¨ uleti GF Green-f¨ uggv´eny is, mint a AGF (x, x0 ) = 0 x ∈ V BGF (x) = δ(x − x0 ) x ∈ ∂V
(8.35) (8.36)
egyenlet megold´asa. A fel¨ uleti Green-f¨ uggv´ennyel a AΨ(x) = 0 x ∈ V BΨ(x) = q(x) x ∈ ∂V feladat megold´asa szint´en egy integr´allal adhat´o meg: Z Ψ(x) = GF (x, x0 )q(x0 )dx0 .
(8.37) (8.38)
(8.39)
∂V
Mivel az A ´es B oper´atorok line´arisak, a (8.8) perem´ert´ek-feladat megold´asa ´ıgy adhat´o meg: Z Z Ψ(x) = G(x, x0 )Q(x0 )dV + GF (x, x0 )q(x0 )dx0 . (8.40) V
∂V
Mivel az integr´aloper´ator adjung´altja olyan integr´aloper´ator, amelyben a magf¨ uggv´eny argumentumai felcser´el˝odnek, az adjung´alt feladat Green-f¨ uggv´enye G(x0 , x). 229
8.1.
A perem´ ert´ ek-feladat szimmetri´ aja
A 2. fejezetben l´attuk, hogy n´emely egyenlet alakja nem v´altozik, ha a f¨ uggetlen x v´altoz´o helyett ´att´er¨ unk az x0 v´altoz´ora. Ekkor azt lehet mondani, hogy az egyenlet invari´ans az x → x0 transzform´aci´oval szemben. Az 5. fejezetben ismertett¨ unk egy m´odszert, amivel ´ adott egyenlet eset´en az ilyen transzform´aci´okat meg lehet hat´arozni. Altal´ anosabban azt lehet mondani, hogy az egyenlet szimmetri´aja olyan transzform´aci´o, ami a f¨ uggetlen v´altoz´okat ´es a f¨ ugg˝o v´altoz´okat u ´gy transzform´alja, hogy az egyenlet egyik megold´as´at egy m´asik megold´asba viszi ´at. Egy perem´ert´ekfeladatban azonban k´et egyenlet van, egy a tartom´any belsej´eben, egy pedig a peremen. Ez´ert egy perem´ert´ek-feladat szimmetri´aj´anak olyan transzform´aci´ot nevez¨ unk, ami 1. A V t´erfogatot ¨onmag´aba viszi ´at; 2. A ∂V peremen megoldand´o egyenletet v´altozatlanul hagyja; 3. A V belsej´eben a megoldand´o egyenletet v´altozatlanul hagyja. Amennyiben a perem egyenlete f (x) = 0
(8.41)
x0 = Px
(8.42)
´es az transzform´aci´o a (8.41) egyenletet v´altozatlanul hagyja, akkor P-t a perem szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk. A perem szimmetri´ai automatikusan ad´odnak a V t´erfogat szimmetri´aib´ol. Ha (8.42)-ben minden x ∈ V eset´en x0 ∈ V , akkor P-t a V t´erfogat szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk. 8.1. Feladat (Szab´ alyos hatsz¨ ogalak´ u tartom´ any karakterisztikus egyenlete) Egy V tartom´any f (x) karakterisztikus f¨ uggv´enye az al´abbi tulajdons´agokkal rendelkezik: pozit´ıv V belsej´eben ´es nulla a tartom´any hat´ar´an. Az orig´o k¨oz´eppont´ u, H oldal´ u, cs´ ucs´an ´all´o hatsz¨og hat´ar´anak egyenlete: √ √ x 3 x x 3 x ∗ H)(− √ + H − y)(−y + √ + H)(x + ∗ H)(+ √ + H + y) = 0 (y − √ + H)(x − 2 2 3 3 3 3 (8.43) Ebb˝ol az o sszef¨ u gg´ e sb˝ o l konstru´ a lhat´ o olyan H (x, y) f¨ u ggv´ e ny, amely pozit´ ı v a szab´ a¨ 6 lyos hatsz¨ og belsej´eben ´es z´erus a hat´aron. A karakterisztikus f¨ uggv´eny j´ol alkalmazhat´ o numerikus m´odszerekben. Egy P transzform´aci´o hat´as´at egy f (x) f¨ uggv´enyre az al´abbi, Wignert˝ol sz´armaz´o gondolatmenettel ´ırjuk le. Bevezetj¨ uk a (Pf ) szimb´olumot, ami egy f¨ uggv´enyt jel¨ol, 230
pontosabban, azt a f¨ uggv´enyt, amelyre (Pf )(´ x) = f (x). Fejezz¨ uk ki x-et (8.42) alkal−1 maz´as´aval: (Pf )(´ x) = f (P x ´). Azaz, egy f¨ uggv´eny u ´gy transzform´al´odik a P transzform´aci´o alatt, hogy a f¨ uggv´eny argumentum´ara P inverz´et alkalmazzuk. Megjegyezz¨ uk, hogy ´erv´enyesek az al´abbi szab´alyok: P(f + g) = Pf + Pg; P(f g) = Pf Pg. Az a´ltalunk haszn´alt oper´atorok f¨ uggv´enyekre hatnak. Ezek az oper´atorok differenci´al´ast vagy integr´al´ast tartalmaznak, adott egy¨ utthat´o-f¨ uggv´enyekkel. L´attuk, hogyan transzform´al´odik egy f¨ uggv´eny szimmetria hat´as´ara: a transzform´alt f¨ uggv´eny az u ´j koordin´at´akon fejti ki hat´as´at. Ezut´an nem meglep˝o, hogy a transzform´aci´o az oper´atorokat is megv´altoztatja. Tekints¨ uk az al´abbi saj´at´ert´ekfeladatot: AΦ = αΦ.
(8.44)
Alkalmazzuk erre az egyenletre a P szimmetri´at, amit megtehet¨ unk, mert mindk´et oldalon egy-egy f¨ uggv´eny ´all, azok transzform´aci´oja ismert. Vezess¨ uk be a Ψ = PΦ f¨ uggv´enyt. Az egyenlet baloldal´an ´es jobboldal´an a saj´atf¨ uggv´enyt fejezz¨ uk ki Ψ-vel: A P−1 Ψ = α P−1 Ψ . (8.45) A kapott egyenletet el˝olr˝ol megszorozva P-vel, a k¨ovetkez˝o egyenletet kapjuk: PA P−1 Ψ = αΨ.
(8.46)
A z´ar´ojelet elhagyva azt tal´aljuk, hogy a transzform´alt f¨ uggv´enyen hat´o oper´ator ´epen PAP−1 , azaz, a P szimmetria hat´as´ara az A → PAP−1 helyettes´ıt´est kell elv´egezni. ´ Altal´ aban az egyenlet nem a val´os t´erben, hanem egy f´azist´erben (vagy konfigur´aci´os t´erben) van fel´ırva. Ennek megfelel˝oen egy egyenlet szimmetri´ai nem felt´etlen¨ ul korl´atoz´odnak a val´os t´er szimmetri´aira, el´eg arra gondolni, hogy k´et azonos r´eszecske k¨olcs¨onhat´as´at le´ır´o egyenlet invari´ans a r´eszecsk´ek koordin´at´ainak felcser´el´es´ere n´ezve. A perem´ert´ek-feladat szimmetri´aj´anak nevezz¨ uk a P transzform´aci´ot, ha • P szimmetri´aja V -nek • P kommut´al A-val is, B-vel is, azaz AP = PA ´es BP = PB. Mint l´athat´o a j´arul´ekos elemekre, azaz a fel¨ uleti, vagy a t´erfogati forr´asra nem tett¨ unk megszor´ıt´ast. Ezzel el´erj¨ uk, hogy a homog´en- ´es inhomog´en feladatokat nagyr´eszt egys´egesen lehet kezelni. Megmutatjuk, hogy amennyiben P1 ´es P2 szimmetri´aja az (A, B, V ) perem´ert´ekfeladatnak, akkor (P1 P2 ) is szimmetria. Az asszociativit´as miatt u.i. (P1 P2 )A = P1 (P2 A) = (P1 A)P2 . Az ut´obbi a´talak´ıt´asban kihaszn´altuk, hogy P2 felcser´elhet˝o A-val, mert szimmetri´aja a perem´ert´ek-feladatnak. Tov´abb´a, (P1 A)P2 = AP1 P2 = A(P1 P2 ). Hasonl´o ¨osszef¨ ugg´es ´erv´enyes ha A helyett B-t ´ırunk. Ezek szerint teh´at (P1 P2 ) felcser´elhet˝o A-val is, B-vel is. Amennyiben minden x ∈ V -re x1 = P1 x ´es 231
x1 ∈ V , valamint x2 = P2 x ´es x2 ∈ V , akkor x3 = P2 P1 x ´es x3 ∈ V . Azaz, (P1 P2 ) V -t ¨onmag´aba viszi a´t, teh´at felcser´elhet˝o A-val is, B-vel is ´es V -t ¨onmag´aba k´epezi le, ez´ert az (A, B, V ) perem´ert´ek-feladat szimmetri´aja. Amennyiben P egy line´aris transzform´aci´o, V -t folytonosan k´epezi le ¨onmag´ara, azaz, ha kx1 −x2 k < ε, akkor kPx1 −Px2 k < ε . Meg kell jegyezni, hogy l´eteznek olyan transzform´aci´ok, amelyek nem folytonosak V minden pontj´aban, ezek a´ltal´aban a megold´ast sem transzform´alj´ak m´asik megold´asba. Amint l´attuk, az (A, B, V ) perem´ert´ekfeladat szimmetri´ai k¨oz¨ott ´ertelmezhet˝o egy m˝ uvelet, amit a szimmetria transzform´aci´ok egym´as ut´ani alkalmaz´asak´ent, vagy szorzatak´ent foghatunk fel. L´etezik ”egys´egelem”, azaz olyan transzform´aci´o, ami mindent v´altozatlanul hagy, ez az x → x transzform´aci´o. Minden transzform´aci´ot meg lehet ford´ıtani, azaz, ha x → x0 l´etezik, akkor l´etezik x0 → x is. Az (A, B, V ) perem´ert´ek-feladat szimmetri´ai teh´at csoportot alkotnak. Azt k´ıv´anjuk megvizsg´alni, hogyan lehet megtal´alni egy perem´ert´ek-feladat szimmetri´ait ´es kihaszn´alni azokat a feladat megold´as´an´al ´es vizsg´alat´an´al. Egy x elem orbitja a G transzform´aci´ocsoportra n´ezve az a Gx halmaz, amely a g(x) alak´ u elemekb˝ol a´ll (itt g(x) jelent´ese: x k´epe a g transzform´aci´o alatt), mik¨ozben g v´egigfut G elemein. Tekints¨ uk azt a rel´aci´ot az x, y ∈ X elemek k¨oz¨ott, amikor az x-hez van olyan g ∈ G, hogy g(x) = y. Ez egy ekvivalencia rel´aci´o, hiszen reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az ekvivalens elemek G-nek egy orbitj´at alkotj´ak. Ezzel X-et orbitok diszjunkt uni´oj´ara bontottuk, az orbitok halmaza az orbitt´er, amit G\X-szel jel¨ol¨ unk. Ha csak egy orbit van, azaz minden x, y ∈ X-hez van olyan g ∈ G, hogy y = g(x), akkor azt mondjuk, hogy a X halmaz G tranzit´ıv. A tov´abbiakban a 2. fejezetben bemutatott technik´at fogjuk alkalmazni. El˝osz¨or, a csoportelemek seg´ıts´eg´evel a V t´erfogatot el˝o´all´ıthatjuk V0 ⊂ V egy r´eszhalmaz´ab´ol, ´ıgy V a V0 halmaz |G| egym´ashoz kapcsol´od´o p´eld´any´ab´ol a´ll. Jel¨olje L(V ) a V -n ´ertelmezett f¨ uggv´enyek ter´et. A (2.28) projektor seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges f (x) ∈ L(V ) felbonthat´o irreducibilis komponensekre, amelyek meghat´arozz´ak a G csoport egy regul´aris ´abr´azol´as´at. Ismeretes, hogy az RN t´erben a G csoport irreducibilis ´abr´azol´asait kifesz´ıtik az al´abbi vektorok: e2i = cos(i ∗ 2π/N ) e2i+1 = sin(i ∗ 2π/N ).
(8.47) (8.48)
Ennek alapj´an bel´athat´o, hogy L(V ) elemeinek irreducibilis komponensei el˝o´all´ıthat´oak egy ei vektor ´es egy V0 -on ´ertelmezett f¨ uggv´ennyel: fi (x) = eij fi (x0 ), ha x ∈ gj V0
(8.49)
ahol x0 ∈ V0 . K¨ovetkez´esk´epp, ha a Q(x) ´es q(x) forr´asok irreducibilis felbont´asa X X Q(x) = Qi (x) = eij Qi (x0 ), ha x ∈ gj V0 , (8.50) i
i
232
´es q(x) =
X
qi (x) =
i
X
eij qi (x0 ), ha x ∈ gi V0 .
(8.51)
i
A megold´as irreducibilis komponenseit pedig az al´abbi m´odon ´all´ıthatjuk el˝o: Ψi (x) = φi (x) + ψi (x),
(8.52)
Aφi (x) = Qi (x), Bφi (x) = 0,
(8.53)
Aφi (x) = 0, Bφi (x) = qi (x).
(8.54)
ahol
Amennyiben g az (A, B, V ) perem´ert´ekfeladat egy szimmetri´aja, akkor a g szimmetri´ahoz tartozik egy Pg m´atrix, amely alkalmazhat´o az x helyvektorra. A perem´ert´ekprobl´ema akkor szimmetrikus, ha a forr´ast transzform´alva g alatt, megkapjuk az egyenlet baloldal´anak transzform´altj´at g alatt. A transzform´aci´ot v´egrehatva a koordin´at´akon, a fenti felt´etel ´ıgy fogalmazhat´o meg: Z G(x, x0 )Q(Pg x0 )dx0 . (8.55) Ψ(Pg x) = V
es x0 = Pg−1 (Pg x0 ), ez´ert Minthogy x = P−1 g (Pg x) ´ Z 0 0 −1 0 0 0 Ψ(x ) = G(P−1 g x , Pg x0 )Q(x0 )dx0 ,
(8.56)
V
vagyis, szimmetrikus perem´ert´ekprobl´ema eset´en a perem´ert´ekhez tartoz´o Green-f¨ uggv´eny az al´abbi tulajdons´aggal rendelkezik: G(x, x0 ) = G(Pg x, Pg x0 ).
(8.57)
Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy amennyiben a homog´en egyenletnek nincs nemtrivi´alis megold´asa, a forr´as ´es a peremen el˝o´ırt perem´ert´ek szimmetri´aja meghat´arozza a megold´as szimmetri´aj´at. Az irreducibilis komponensek kivet´ıt´ese a (2.28) oper´atorral t¨ort´enik, ami annyit jelent, hogy Qα (x0 ), x0 ∈ V0 az x0 pont G alatti p´aly´aj´anak pontjaiban l´ev˝o forr´aser˝oss´egek (forr´asok) line´aris kombin´aci´oja. Hasonl´ok´eppen qα (x0 ) a peremen fekv˝o x0 pont p´aly´aj´anak pontjaiban a perem´ert´ekekb˝ol k´epzett line´aris kombin´aci´o. Qα ´es qα ismeret´eben a megold´as Ψα irrepje (8.40) alapj´an integr´al´assal a´ll´ıthat´o el˝o. Megford´ıtva, amennyiben Ψα ismert minden α-ra, a megold´ast b´armely pontban el˝o´all´ıthatjuk kihaszn´alva azt a t´enyt, hogy az x0 ∈ V0 pont p´aly´aj´anak pontjait megkapjuk, ha a V0 -ba es˝o ´ert´eket megszorozzuk az adott gV0 -ba es˝o eα sz´ammal. Amennyiben ismert az (A, B, V ) perem´ert´ekfeladat szimmetriacsoportja, a megold´ast leegyszer˝ us´ıthetj¨ uk a V0 halmazra, f¨ uggetlen¨ ul a peremfelt´etelk´ent el˝o´ırt q(x) f¨ uggv´eny 233
vagy a Q(x) t´erfogati forr´as szimmeri´aj´at´ol. Igaz, ´altal´anos esetben |G| sz´am´ u perem´ert´ekfeladatot kell megoldanunk, azonban a megold´as id˝oig´enye a pontok sz´am´anak kvadratikus f¨ uggv´enye, ez´ert el˝ony¨os a feladat feldarabol´asa. A Green-f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel a megold´asb´ol el˝oa´ll´ıthatunk sz´amos u ´j f¨ uggv´enyt. Ezek k¨oz¨ ul most azokkal foglalkozunk, amelyeknek szimmetri´aja megegyezik a megold´as szimmetri´aj´aval. Eml´ekeztet¨ unk r´a, hogy A elliptikus oper´ator, ez´ert olyan oper´atorokr´ol lehet sz´o, amelyek a megold´ast ´es annak els˝o deriv´altj´at tartalmazz´ak. Vizsg´aljuk meg el˝osz¨or a norm´alis menti deriv´altat a hat´aron, azaz, (n∇)Ψ(x)-et. Mivel a feladat P szimmetri´aja a skal´arszorzatot v´altozatlanul hagyja, ez´ert P(n∇)Ψ = (n∇)Pψ, vagyis a norm´alis gradiens ugyanahhoz az irreducubilis alt´erhez tartozik, mint a megold´as. Legyen Jn (x) = ∂n Ψ(x) a norm´alis a´ram az x ∈ ∂V pontokban. Tekintettel arra, hogy Q ≡ 0 eset´en Z G(x, x0 )q(x0 )dx0 (8.58) Ψ(x) = ∂V
´es Jn (x00 )
Z =
n∇G(x00 , x0 )q(x0 )dx0 ,
(8.59)
∂V
azt l´atjuk, hogy rendelkez¨ unk egy funkcion´allal, amely egy line´aris transzform´aci´oval a´ll el˝o a perem´ert´ekb˝ol. A (8.56) tulajdons´ag miatt azt l´atjuk, hogy az a´ram norm´alis komponense ´es a perem´ert´ek irreducibilis komponenseit az al´abbi t´ıpus´ u m´atrix a´ll´ıtja el˝o: Z 0 α (Jn (x0 ))i = δαβ δij n∇G(x00 , x0 )qiα (x0 )dx0 . (8.60) ∂V
Ezt a megfigyel´est alkalmazhatjuk a harmadik t´ıpus´ u perem´ert´ekfeldatra is. ´Irjuk el˝o a peremen az I(x0 ) = Ψ(x0 ) + a(x0 )(n∇)Ψ(x0 ) f¨ uggv´enyt. Ekkor a megold´as peremen felvett ´ert´eke ´es a megold´as norm´alis gradiense (a peremen) irrepjei k¨oz¨otti kapcsolat a (8.60) szerkezet˝ u m´atrixokkal ´ırhat´o le.2 8.2. Feladat (Reszponzm´ atrixok) Tekints¨ uk a (8.54) perem´ert´ek-feladatot (most az egyenletben szerepl˝o i indexet alhagyjuk), ´es tegy¨ uk fel, hogy a P transzform´aci´o szimmetria, azaz, fenn´all AP = PA ´es BP = PB. A peremfelt´etelben szerepl˝o B oper´ator egy lehets´eges v´alaszt´asa B ≡ 1, a Dirichlet-f´ele perem´ert´ek-feladat. A perem´ert´ek-feladatot tekinthetj¨ uk input-output kapcsolatk´ent, ahol a q perem´ert´eket tekintj¨ uk inputnak, a megold´ast (vagy abb´ol sz´armaztatott b´armely mennyis´eget) pedig outputnak. Legyen az output a megold´as norm´alismenti deriv´altja a hat´aron, ennek k´epz´ese az al´abbi oper´atorral ´ırhat´o le: B = ∂n . Ekkor a I(x) = q(x) input ´es a O(x) = ∂n φ(x) output k¨oz¨otti kapcsolat 2
Vegy¨ uk ´eszre, hogy (8.60)-ban szerepl˝o m´atrix diagon´alis, hiszen csak qiα -hoz ad j´arul´ekot. Ez a Schur-lemma k¨ ozvetlen k¨ ovetkezm´enye [7],[12], hiszen a (8.60)-ban szerepl˝o m´atrix felcser´elhet˝o az egyenlet minden szimmetri´ aj´ aval, ´ıgy csak diagon´alis m´atrix lehet.
234
megadhat´o a Green-f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel: Z ∂n G(x, x0 )I(x0 )dx0 , O(x) =
(8.61)
∂V
´es x ∈ ∂V . Mivel itt csak a peremen vizsg´aljuk x-et, ez az egyenlet csak a V tartom´any hat´ar´at k¨oti ¨ossze a V tartom´any hat´ar´aval. A (8.61)-ben szerepl˝o magf¨ uggv´enyt nevezik reszponz m´atrixnak: R(x, x0 ) = ∂n G(x, x0 ), x, x0 ∈ ∂V. (8.62) Az elnevez´es onnan ad´odik, hogy a (8.61)-ben szerepl˝o integr´alt fel lehet bontani oldalakra vett integr´alok ¨osszeg´ere: Z XZ 0 0 0 G(x, x )I(x )dx = ∂n G(x, x0 )I(x0 )dx0 (8.63) ∂V
amivel
Fn
n
XZ
Z O(x)dx = Fm
Z
Fn
n
∂n G(x, x0 )I(x0 )dx0 dx.
(8.64)
Fm
Legyen R
R
Fn
Rmn =
Fm
∂n G(x, x0 )I(x0 )dx0 dx R , I(x0 )dx0 Fn
(8.65)
X
(8.66)
amivel Om =
Rmn In ,
n
Z Om =
Z O(x)dx, In =
Fm
I(x0 )dx0 .
(8.67)
Fn
Az ´ıgy bevezetett reszponzm´atrixok el˝ony¨osen alkalmazhat´oak perem´ert´ek-feladatok megold´asa sor´an. 8.3. Feladat (Numerikus technik´ ak) Numerikus megold´as eset´en gyakran elegend˝ o a hat´ar minden pontj´an el˝o´ırt peremfelt´etel helyett a perem egy-egy pontj´aban el˝o´ırt felt´etelt megadni. Amennyiben e pontok, a kollok´aci´os pontok, a feladat szimmetri´ai alatt egyetlen p´aly´an helyezkednek el, a numerikus m´odszer nagyon egyszer˝ uv´e v´alik. P´eld´aul n´egyzet alak´ u t´erfogat eset´en ilyen pontok a lapk¨ozepek.
8.2.
A fed˝ ocsoport haszn´ alata
L´attuk, hogy a perem´ert´ek-feladatok nagy r´esze nem rendelkezik szimmetri´aval, p´eld´aul az´ert, mert a V t´erfogat automorfizmusa csak az egys´egelemb˝ol a´ll. Ugyanakkor azt is 235
l´attuk, hogy szab´alytalannak t˝ un˝o V t´erfogat is el˝oa´ll´ıthat´o egy t t´egla ´es egy fed˝ocspoport seg´ıts´eg´evel. Vagyis, a szimmetrikus t´erfogatokn´al kidolgozott technik´at r´eszben a´t lehet vinni az asszimetrikus t´erfogatokra. Egy X geometriai objektumot jellemezhet¨ unk a fundament´alis csoportj´aval. A 1. fejezetben l´attuk (v.¨o. a 2.3 r´esz elej´en tal´alhat´o diszkusszi´ot), hogy a fundament´alis csoport elemei folytonosan egym´asba transzform´alhat´o z´art g¨orb´ek, amelyek a g¨orb´ek kompoz´ıci´oj´ara, mint m˝ uveletre n´ezve alkotnak csoportot. Amennyiben X egyszeresen o¨sszef¨ ugg˝o, a fundament´alis csoport csak az egys´egelemb˝ol ´all. Vizsg´aljunk meg m´as lehet˝os´eget is. Vizsg´aljuk meg azt az esetet, amikor X egy (A, B) oldal´ u t´eglalap, az oldalak ir´any´ıt´asa legyen a 8.2. ´abra szerinti!
8.1. a´bra. T´eglalap a s´ık beter´ıt´es´ehez
Illessz¨ uk ezen t´eglalap p´eld´anyait egym´ashoz az azonos bet˝ uvel jel¨olt oldalak ment´en! Eredm´enyk´ent egy fel¨ uletet kapunk, amely el´agaz´ast nem tartalmaz´o fed´ese X-nek, amennyiben X nem g¨omb vagy projekt´ıv s´ık, akkor homeomorf a s´ıkkal 3 . A legplasztikusabban az l´athat´o be, hogyan lehet egy t´orusz fel¨ ulet´et lefedni a s´ıkkal. A t´oruszt u ´gy kapjuk meg a 8.2. a´br´an l´athat´o t´eglalapb´ol, hogy az azonos bet˝ ukkel jelzett oldalakat ¨osszeragasztjuk.
Tekerj¨ uk ¨ossze a f¨ ugg˝oleges ir´anyban a 8.2. ´abr´an l´athat´o alakzatot u ´gy, hogy az eredm´eny egy A ker¨ ulet˝ u henger legyen! A henger pal´astj´an v´egtelen sokszor ism´etl˝odik az ´abra egy sor´anak megfelel˝o r´esz. Ezut´an a kapott v´egtelen henger k´et v´eg´et dugjuk egym´asba, olyan m´elys´egben, hogy az eredm´eny egy B ker¨ ulet˝ u cs˝o legyen, amely nem m´as mint egy t´orusz. Teh´at a s´ıkkal el´agaz´as n´elk¨ ul lefedt¨ uk a t´oruszt. A t´oruszon rajzolt tetsz˝oleges z´art g¨orbe a´tvihet˝o folytonos deform´aci´oval k´et k¨or valamelyik´ebe, az 3
K´et alakzat, X ´es Y homeomorf, amennyiben folytonos deform´aci´oval X ´atvihet˝o Y -ba ´es viszont.
236
egyik k¨or a t´orusz k¨oz´eppontja k¨or¨ ul rajzolt B sugar´ u, a m´asik a t´orusz egy metszet´eben l´athat´o A sugar´ u k¨or. A s´ıkon rajzolt b´armely z´art g¨orbe viszont r´ah´ uzhat´o egy pontra. Sunada megmutatta, hogy ´altal´anoss´agban a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as fogalmazhat´o meg. 8.2. T´ etel Tekints¨ uk az al´abbi perem´ert´ek-feladatot: Ax G(x, x0 ) = δ(x − x0 ), hax ∈ V
(8.68)
´es G(x, x0 ) = 0, ha
x ∈ ∂V.
(8.69)
Itt a jel¨ol´es mutatja, hogy az A oper´ator az x v´altoz´ora hat. Tegy¨ uk fel, hogy Ax kommut´ al a G csoporttal ´es a G csoport szabadon hat az M ⊂ V ⊂ t halmazon. Ekkor a (8.68) egyenlet Green-f¨ uggv´enyei a t ´es a V halmazon kiel´eg´ıtik az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est: X (˜ x, g ∗ y˜) . (8.70) Gt (x, x0 ) = g∈GV
Itt x˜ az x-szel azonos p´aly´an fekv˝o pontokat jel¨oli. 8.1. Feladat A t´etel alkalmaz´asak´ent hat´arozzuk meg a Laplace- egyenlet Green-f¨ uggv´eny´et egy t´oruszra! Legyen teh´at t a t´orusz, V pedig a s´ık. A G csoport az x ´es y ir´any´ u eltol´asokb´ol ´all, az eltol´as m´ert´eke A ill. B eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨ose. GV a logaritmus f¨ uggv´eny, (6.3) alapj´an pedig a t´orusz Green-f¨ uggv´enye: X Gt (x, y, x0 , y0 ) = −ln (x − x0 − iA)2 + (y − y0 − jB)2 . (8.71) i,j
Hasonl´o gondolatmenettel megkereshet˝o a n´egyzet, a t´eglalap, bizonyos rombuszok Greenf¨ uggv´enye a s´ık Green-f¨ uggv´eny´eb˝ol. M´asr´eszt, o¨sszef¨ ugg´es ´allap´ıthat´o meg bizonyos alakzatok Green-f¨ uggv´enyei k¨oz¨ott, pl. a hatsz¨og ´es a trap´ez, a n´egyzet ´es az egyenl˝osz´ar´ u der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og, a k¨or ´es bizonyos k¨orcikkek Green-f¨ uggv´enyei k¨oz¨ott.
8.2. a´bra. S´ık beter´ıt´ese t´eglalapokkal 237
A fed˝ocsoportot el˝oa´ll´ıthatjuk a t h´anyadoshalmaz seg´ıts´eg´evel az al´abbi m´odon. Tekints¨ uk az 2.3. p´eld´aban vizsg´alt n´egyzetet, amit a n´egyzet 1/8-´at jelent˝o h´aromsz¨ogb˝ol a´ll´ıtunk el˝o. Legyen a fed˝ocsoport k´et gener´atora α ´es β, az a- ´es b oldalra vett t¨ ukr¨oz´es. 2 2 4 Nyilv´an α = 1 ´es β = 1, tov´abb´a (αβ) = 1. Ezzel a fed˝ocsoport v´egesen prezent´alt, hiszen
G = α, β; α2 = 1, β 2 = 1, (αβ)4 = 1 . (8.72) ´ ami a Cv4 csoporttal izomorf. Altal´ anos esetben a fed˝ocsoport el˝o´all´ıt´asa nem ilyen egyszer˝ u, de hasonl´o m´odon t¨ort´enhet. A fed˝ocsoport ismeret´eben reduk´alni lehet azt a t´erfogatot, amelyben a megold´ast keress¨ uk. Ennek egyik kihaszn´al´asi m´odja az al´abbi. Keress¨ uk a k¨ovetkez˝o saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at AΦ(x) = λΦ(x), x ∈ V Φ(x) = 0, x ∈ ∂V.
(8.73) (8.74)
Legyen V = G\t, ´es legyen ismert a (8.73) feladat megold´asa a t t´erfogatra, jel¨olj¨ uk ezt a megold´ast φ-vel. Ekkor Aφ(x) = λt φ(x), x ∈ t φ(x) = 0, x ∈ ∂t.
(8.75) (8.76)
Legyen tov´abb´a V sz´ınsz´ama 2. Ekkor a k¨ovetkez˝o alternat´ıva ´all fenn. Amennyiben a Ψ(x) =
N X
ci gi φ(x)
(8.77)
i=1
f¨ uggv´eny az A oper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´aba esik, akkor vagy Φ(x) = Ψ(x) ´es λ = λt , vagy (8.77) azonosan nulla. Az ut´obbi esetben a (8.73) megold´as´ara fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: X 0= ci gi Φ(x), (8.78) i
alkalmas ci egy¨ utthat´okkal. El˝osz¨or is vegy¨ uk ´eszre, hogy a (8.77)-ben szerepl˝o a´lland´ok nem lehetnek tetsz˝olegesek: ci = ±1, hiszen k¨ ul¨onben a (8.77)-beli ¨osszeg nem tartozna a C1 f¨ uggv´enyoszt´alyba. V´alaszthatjuk a ci egy¨ utthat´okat u ´gy, hogy Φ(x) = 0 legyen t k´et ´erintkez˝o p´eld´any´anak hat´ar´an. Ez´altal (8.78) jobboldala kiel´eg´ıti (8.75)-ot, noha λ 6= λt , ami csak u ´gy lehet, hogy a saj´atf¨ uggv´eny azonosan nulla, ami ´eppen a (8.78) egyenlet. Ezek szerint a (8.78) egyenlet azt mondja ki, hogy a V -beli megold´as a G alatti p´aly´aj´ahoz tartoz´o ´ert´ekek k¨oz¨ott fenn´all egy ¨osszef¨ ugg´es, nevezetesen (8.78), ami lehet˝ov´e teszi a megold´as intervallum´anak sz˝ uk´ıt´es´et. Megjegyezz¨ uk, hogy a megold´as intervallum´anak cs¨okken´ese elt´er˝o m´ert´ek˝ u a fed˝ocsoportt´ol f¨ ugg˝oen. A cs¨okken´es akkor a legnagyobb, ha a fed˝ocsoportnak csak egydimenzi´os a´br´azol´asai vannak. Ez´ert nem mindig c´elszer˝ u min´el 238
t¨obb elem˝ u fed˝ocsoportot keresni. A fed˝ocsoport seg´ıts´eg´evel gyakran olyan esetben is cs¨okkenthet˝o a megold´as tartom´anya, amikor a vizsg´alt t´erfogatnak l´atsz´olag nincs szimmetri´aja. Vizsg´aljuk meg a 8.2. ´abr´at! A V t´erfogat nem szimmetrikus a V1 ´es V2 r´eszeket elv´alaszt´o vonalra, teh´at nincs szimmetria. Fed˝ocsoportot viszont k¨onny˝ u tal´alni. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a baloldali ´abr´at A-val eltolva a m´asodik ´abr´at kapjuk, ha az eltol´ast mod2 ´ertj¨ uk, m´ar k´eszen is van a fed˝ocsoport!
8.3. a´bra. V´eges fed˝ocdoport
Tekints¨ uk az AΦ(x, y) = λΦ(x, y)
(8.79)
saj´at´ert´ekfeladatot a 8.2. a´br´an bemutatott t´erfogaton! A k´et alakzat k¨ uls˝o hat´ar´an legyen Φ(x, y) = 0 a peremfelt´etel. Tegy¨ uk fel, hogy AT = T A, ahol T az x → x + A eltol´as oper´atora. Legyen a fed˝ocsoport G = {e, tA }, ´es tA tA = 1 a mod2 eltol´asok miatt. Nyilv´an AG = GA, a G csoport minden eleme felcser´elhet˝o az A oper´atorral. Ekkor l´etezik A-nak ´es tA -nak k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´eny-rendszere. Jel¨olje Φ1 ´es Φ2 a megold´ast a baloldali ill. a jobboldali alakzaton abban a lok´alis koordin´ata-rendszerben, amit az alakzat bal als´o sark´ahoz r¨ogz´ıtett¨ unk. Ekkor az u = (Φ1 + Φ2 )/2; v = (Φ1 − Φ2 )/2
(8.80)
f¨ uggv´enyek megold´asai (8.79)-nek, ´es saj´atf¨ uggv´enyei tA -nak is. Amennyiben teh´at megoldjuk a k¨ovetkez˝o k´et feladatot a baloldali alakzaton: Au(x, y) = λu(x, y); 0 ≤ x ≤ A; u(0, y) = u(A, y) = Y (y)
(8.81)
Av(x, y) = λv(x, y); 0 ≤ x ≤ A; v(0, y) = −v(A, y) = Y (y)
(8.82)
´es
239
akkor tetsz˝oleges Y (x) f¨ uggv´eny eset´en a (8.79) feladat megold´asa a teljes alakzaton a k¨ovetkez˝o m´odon ´all´ıthat´o el˝o: Φ(x, y) = (u(x, y) + v(x, y))/2; 0 ≤ x ≤ A; Φ(x, y) = (u(x, y) − v(x, y))/2A ≤ x ≤ 2A. (8.83) A bemutatott elj´ar´as el˝onye abban a´ll, hogy k¨onnyebb k´et egyenletet megoldani egy adott intervallumon, mint egy egyenletet megoldani egy k´etszer akkora intervallumon. A fed˝ocsoport seg´ıts´eg´evel rem´enytelen¨ ul szab´alytalannak t˝ un˝o alakzaton is cs¨okkenthet˝o a tartom´any, amelyen a megold´ast meg kell hat´arozni. A 8.2. a´br´an h´et egybev´ag´o h´aromsz¨ogb˝ol kirakott alakzat tal´alhat´o, a megold´as ugyan az adott esetben csak 6 h´aromsz¨ogre cs¨okkenthet˝o.
8.4. a´bra. Szab´alytalan alakzat 7 egybev´ag´o h´aromsz¨ogb˝ol
8.3.
Irreducibilis komponensek el˝ o´ all´ıt´ asa
Tekints¨ unk egy V t´erfogatot, amelyen fel szeretn´enk bontani egy adott f (x) f¨ uggv´enyt V automorfizmusainak G csoportja szerinti irreducibilis komponensekre. A 2. fejezetben a karaktert´abla tulajdons´agai kapcs´an elmondtuk, hogy tetsz˝oleges f¨ uggv´eny felbonthat´o 240
irreducibilis komponensekre a (2.30) projektor seg´ıts´eg´evel. Legyenek az f f¨ uggv´eny α (1) (`α ) alt´erbe es˝o irreducibilis komponensei {fi , . . . , fi }. Ekkor ha g ∈ G, akkor gfi
(α)
=
`j X
Dα ji (g)fj (α)
(8.84)
j=1
minden g ∈ G-re ´es minden α = 1, . . . , nc irreducibilis alt´erre, ahol nc a konjug´alt α (g), j, i = 1, . . . , `α m´atrixot, elemoszt´alyok sz´ama G-ben. Mivel G meghat´arozza a Dij (α) (8.84) r¨ogz´ıti a gfi f¨ uggv´eny transzform´aci´os tulajdons´ag´at. Az irreducibilis komponensek egy x ∈ V pontban a felbontand´o f (x) f¨ uggv´enynek egy G alatti (x1 , . . . , x|G| ) p´alya pontjaiban felvett ´ert´ekeinek line´aris kombin´aci´oi. Ez´ert f (x) adott irrepj´et elegend˝o megadni az alapszektorbeli x-ekre, ´es egy transzform´aci´os szab´alyt, ahogyan az alapszektorbeli ´ert´ekek v´altoznak G elemei alatt. Az irrepek egy le´ır´as´at teh´at egy 2|G| elem˝ u vektorb´ol ´all´o n´egyzetes m´atrixszal lehet megadni. Jel¨olje a sz´obanforg´o m´atrix sorait e1 , . . . , e2|G| . A vektor elemeit megadhatjuk egy k¨or´ıven egy adott α sz¨oggel jellemzett pont G alatti p´aly´aj´anak pontjaiban. Legyen m = |G|. Egy tetsz˝oleges g(θ) periodikus f¨ uggv´eny megadhat´o az al´abbi Fourier-sorral: g(θ) =
m X
Ek (θ) + Ok (θ),
(8.85)
k=0
ahol az Ek f¨ uggv´enyek p´arosak, az Ok f¨ uggv´enyek p´aratlanok: Ek (θ) =
∞ X
cos(i ∗ m + k)θ
(8.86)
sin(i ∗ m + k)θ.
(8.87)
i=1
Ok (θ) =
∞ X i=1
Az i = 1 tagokra szor´ıtkozva megkapjuk a k´ıv´ant m´atrixot, ld. 8.1. t´abl´azat. Anal´og elj´ar´as k¨ovethet˝o a V tartom´any ∂V perem´en megadott f¨ uggv´enyek felbont´asakor. Legyen adott az f (x), x ∈ ∂V f¨ uggv´eny a peremen. E f¨ uggv´eny irrepjeit a (2.30) kifejez´essel hat´arozhatjuk meg u ´gy, hogy a vizsg´alt f¨ uggv´eny ´ert´ekeit a csoport alatt kapott p´alya pontjaiban megszorozzuk a csoport karaktert´abl´aj´anak adott elemeivel. Tekints¨ unk egy n´egyzet alak´ u V t´erfogatot. A n´egyzet ∂V perem´enek egy pontj´at param´eterezhetj¨ uk a n´egyzet k¨oz´eppontja ´es a hat´ar pontja a´ltal kijel¨olt egyenes szakasz, valamint az x tengely a´ltal bez´art θ sz¨oggel. Egy szab´alyos n oldal´ u soksz¨ogben a vet´ıt´es eredm´enyek´eppen θn fi (θ) = mi (θmodπ/n)ei (8.88) π 241
8.1. t´abl´azat. Az ei e1 1 1 1 1 e2 1 -1 1 -1 e3 1 -1 -1 1 e4 1 1 -1 -1 e5 2 2 1 1 e6 0 0 1 -1 e7 -2 2 -1 1 e8 0 0 1 1 e9 2 2 -1 -1 e10 0 0 1 -1 e11 -2 2 1 -1 e12 0 0 1 1
vektorok szab´alyos hatsz¨ogben 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -1 -1 1 1 -1 1 0 0 -1 1 1 -1 1 -1 2 -2 1 -1 -1 1 1 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 2 2 -1 -1 -1 -1 -1 1 0 0 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2 1 -1 1 -1 -1 -1 0 0 1 1 -1 -1
ad´odik, ahol az ei ([]) f¨ uggv´eny csak eg´esz ´ert´ekeket vesz fel, az mi () 6= 0 f¨ uggv´eny a soksz¨og perem´enek az alapszektorhoz tartoz´o r´esz´en van megadva. Az ei f¨ uggv´eny 2n lehets´eges ´ert´ek´et egy vektorban foglalhatjuk ¨ossze. E vektor elemeit megadhatjuk az al´abbi k´eplettel: ei (k) = cos(iπ/n ∗ k), k = 1, . . . , 2n; ha i p´aros, sin(iπ/n ∗ k), k = 1, . . . , 2n; ha i p´aros. (8.89) A 8.3. a´br´an j´ol l´athat´o, hogy elegend˝o az irrepeket megadni a [0, π/4] intervallumon, valamint azt, hogy az irrep milyen el˝ojelet vesz fel a nyolc szektorban. Az els˝o irrep eset´en (jobb fels˝o a´bra) az egy¨ utthat´ok rendre +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1. Egy oldalon (azaz, b´armelyik [i ∗ π/2, (i + 1) ∗ π/2] intervallumon) az irrep p´aros f¨ uggv´eny. A m´asodik irrep (bal als´o a´bra) viszont b´armelyik oldalon p´aratlan f¨ uggv´eny. A harmadik irrep mindegyik lapon p´aratlan f¨ uggv´eny, de a pozit´ıv peri´odusok minden lapon el vannak tolva.
8.4.
A reszponz m´ atrix n´ eh´ any tulajdons´ aga
A peremen megadhat´o–t¨obber k¨oz¨ott– a keresett f¨ uggv´eny, vagy gradiens´enek ´ert´eke, ill. ezek line´aris kombin´aci´oja. Amennyiben perem´ert´ekk´ent r¨ogz´ıtj¨ uk a megold´as ´ert´ek´et, v´alaszk´ent–a megold´as ismeret´eben–megkapjuk a gradiens ´ert´ek´et a hat´aron. Form´alisan a V t´erfogathoz hozz´arendelhet¨ unk egy m´atrixot, amely a ∂V hat´ar ´elein megadott megold´asb´ol el˝oa´ll´ıtja a gradiens ´ert´ek´et. Egy lehets´eges m´atrixot (a reszponzm´atrixot) t´argyaltunk a 8.2.. p´eld´aban. Most inputk´ent ´es outputk´ent a megold´as ´es a norm´alis gradiens egy-egy olyan line´aris kombin´aci´oj´at tekintj¨ uk inputnak ´es outputnak, amelyek
242
8.5. a´bra. A perem´ert´ek (bal fels˝o a´bra) ´es annak h´arom irreducibilis komponense
csak pozit´ıv ´ert´ekeket vehetnek fel. Ilyen mennyis´egek: I=
φ ∂n φ φ ∂n φ − ,O = + . 4 2 4 2
(8.90)
Amennyiben a φ megold´as gradiense kicsi, mind I, mind O csak pozit´ıv ´ert´ekeket vehet fel. A megfelel˝o R reszponzm´atrix teh´at pozit´ıv vektorokat pozit´ıv vektorokba k´epez le. Mivel Rij megadja az i-ik oldalon vett Ii > 0 input j´arul´ek´at a j-ik oldal Oj > 0 outputj´ahoz. Ez csak u ´gy lehets´eges, ha a m´atrix minden eleme pozit´ıv. A 7.6.. PerronFrobenius-t´etel miatt R legnagyobb saj´at´ert´eke pozit´ıv, a hozz´a tartoz´o saj´atvektor elemei v´alaszthat´oak pozit´ıvnak. A tov´abbiakban feltessz¨ uk, hogy V -ben homog´en anyag tal´alhat´o, azaz, az A, B oper´atorok felcser´elhet˝oek V automorfizmusaival. Ebben az esetben a reszponzm´atrix rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: • Rij = R|i−j| . Jel¨olje ezeket az elemeket R0 , R1 , R2 ,. . . , Rk . • A f¨ uggetlen elemek sz´ama k = (N + 2)/2 eg´esz r´esze. • A reszponzm´atrix sorai azonos elemekb˝ol ´allnak csak a sorrend v´altozik a sorok k¨oz¨ott.
243
• A reszponzm´atrix irreducibilis komponensei el˝oa´ll´ıthat´oak az e1 e2 Ω= ... ek
(8.91)
m´atrixszal az al´abbi m´odon: ΩRΩ−1 . 8.1. Feladat (Szab´ alyos hatsz¨ og reszponzm´ atrixa) 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 −1 2 1 1 −2 −1 −1 Ω= 0 1 1 0 −1 −1 2 −1 −1 2 −1 −1 0 1 −1 0 1 −1
(8.92)
A transzform´aci´o ut´an diag(R1 , R2 , R3 , R3 , R4 , R4 ),
(8.93)
ahol R1 = 2r1 +2r2 +r3 +t ´es R2 = −2r1 +2r2 −r3 +t skal´ar, tov´abb´a R3 = −r1 −r2 +r3 +t, R4 = −r1 − r2 − r3 + t.
8.5.
Nem egyenletes anyageloszl´ as
Amennyiben V -ben homog´en az anyageloszl´as, a v´alasz ugyanolyan szimmetri´aj´ u lesz, mint a perem´ert´ek. M´as a helyzet azonban, ha az anyageloszl´as f¨ ugg a soksz¨og¨on bel¨ uli poz´ıci´ot´ol. Az al´abbiakban azt t´argyaljuk, hogyan vezet az egyre a´ltal´anosabb anyageloszl´as egyre a´ltal´anosabb reszponzm´atrixhoz. Els˝o l´ep´esk´ent azt vizsg´aljuk meg, hogyan v´altozik a reszponzm´atrixha a homog´en anyageloszl´ashoz egy adott, nem szimmetrikus perturb´aci´o t´arsul. ´ Altal´ aban egy oper´atort (amilyen a reszponzm´atrixis) fel lehet bontani irreducibilis komponensekre az al´abbi recept szerint. Legyen XX R= Rk α . (8.94) k
α
Nyilv´an ebben az esetben a reszponzm´atrix´es az input szorzata a k¨ovetkez˝ok´eppen ´ırhat´o: XX XX XX Ra α Ib β = λikt αβτ vt τ (8.95) a
α
b
t
β
244
τ
A reszponzm´atrixirreducibilis felbont´as´at megadhatjuk az ei vektorokb´ol konstru´alt ortogon´alis m´atrix seg´ıts´eg´evel. Tekints¨ uk ugyanis az ΩRΩ+ m´atrixot. Ez nyilv´an ΩI-t ΩO-ba transzform´alja. Az irreducibilis komponensek sz´etv´alaszt´as´aban pedig seg´ıt a Clebsch-Gordan-egy¨ utthat´ok bevezet´ese. N´ezz¨ uk a r´eszleteket! ´Irjuk az output-input kapcsolatot az al´abbi alakba: O = RI.
(8.96)
Vezess¨ uk be az irreducibilis input- ´es output komponensekre az al´abbi jel¨ol´est: O = ΩO;
I = ΩI.
(8.97)
Megszorozva (8.96)-t el¨olr˝ol Ω-val, az al´abbi egyenletet kapjuk az irreducibilis komponensekre: O = RI, (8.98) ahol R = ΩRΩ−1 . Az R m´atrixban ¨ossze van zs´ ufolva minden irreducibilis komponens, ezek sz´etv´alaszt´as´ara az al´abbi fog´ast haszn´aljuk fel. Az irreducibilis komponensek kijel¨ol´ese c´elj´ab´ol vizsg´aljuk meg, hogyan transzform´al´odik egy ei vektorral ar´anyos komponens, ha megszorozzuk egy ej szerint transzform´al´od´o f¨ uggv´ennyel. A szorzat k´epz´esi szab´alyai szerint mind a nyolc szektorban ¨ossze kell szorozni az ei (k) ´es az ej (k) sz´amokat, eredm´eny¨ ul ism´et egy nyolc elem˝ u vektort kapunk. Erre a m˝ uveletre bevezetj¨ uk a pij = ei ◦ ej
(8.99)
jel¨ol´est, amely az R8 × R8 teret az R8 t´erre k´epezi le. Mivel pij ∈ R8 , ez´ert kifejthet˝o az ei vektorok line´aris kombin´aci´ojak´ent: pij =
8 X
Uij m em .
(8.100)
m=1
Az Um m´atrixok irreducibilis alterek direkt szorzat´anak irreducibilis komponenseit adj´ak meg. Az U m m´atrixok elemeit Clebsch-Gordan-egy¨ utthat´oknak nevezik, fontos szerep¨ uk m van pl. a magfizik´aban. Az R m´atrix azon elemei, amelyek az U m´atrix poz´ıci´oiban a´llnak, azok tekinthet˝oek az R m´atrix m-edik komponens´enek. Itt figyelembe kell venni, hogy a k´etdimenzi´os ´abr´azol´asok b´azisvektorai k¨oz¨ott ¨osszef¨ ugg´es a´ll fenn. ´ 8.1. Feladat (Altal´ anos n´ egyzetes reszponzm´ atrixfelbont´ asa) Tegy¨ uk fel, hogy a n´egyzet alak´ u r´egi´o oldalain az ´atlagos bej¨ov˝o- ´es kimen˝o´aramok viszony´at vizsg´aljuk. Ekkor a reszponzm´atrix le´ır´asa egy 4 × 4-es m´atrixszal t¨ort´enik. A m´atrixelemek azonban nem lehetnek tetsz˝olegesek, mert a lapk¨ozepekre t¨ ukr¨ozve az ´aramokat azt tal´aljuk, kett˝ o v´altozatlan marad, kett˝o pedig kicser´el˝odik. Jel¨olje rij a reszponzm´atrix elemeit, ekkor 245
a fenti kik¨ot´es az al´abbi megszor´ıt´ast jelenti: r12 − r32 = r14 − r34 valamint r21 − r41 = r23 − r43 . Legyen R = ΩrΩ+ . Ezzel az Rij m´atrixelemek: ! 1 X R11 = rij (8.101) 4 i,j ! 1 X (8.102) R12 = rij (−1)j−1 4 i,j P4 i=1 ri1 − ri3 √ R13 = (8.103) 2 2 P4 i=1 ri2 − ri4 √ R14 = (8.104) 2 2 P i−1 i,j rij (−1) R21 = (8.105) P4 4 r12 i,j=1 rij i+j R22 = (8.106) 4 P4 i−1 i−1 − ri3 i=1 ri1 (−1) √ (8.107) R23 = 2 2 P i = 14 (ri2 (−1)i−1 − ri4 (−1)i−1 ) √ (8.108) R24 = 2 2 P r11 + 4i=1 r1i − r3i √ R31 = (8.109) 2 2 P4 i−1 − r3i (−1)i−1 ) i=1 (r1i (−1) √ R32 = (8.110) 2 2 r11 − r13 − r31 + r33 (8.111) R33 = 2 r12 − r14 − r32 + r34 R34 = (8.112) 2 P4 i=1 r2i − r4i √ R41 = (8.113) 2 2 P4 i−1 i=1 (r2i − r4i )(−1) √ R42 = (8.114) 2 2 r21 − r23 − r41 + r43 R43 = (8.115) 2 r22 − r24 − r42 − r44 R44 = (8.116) 2 246
9. fejezet Numerikus m´ odszerek
247
Jel¨ol´esek
x, (x, y, z) -helyv´altoz´o x, y -(x1 , x2 , . . . ), (x1 , x2 , . . . ) vektorok V -a vizsg´alt r´egi´o L(V ) -a vizsg´alt f¨ uggv´enyt´er, f´azist´er fi (x), Φ(x) -f¨ uggv´eny az L(V ) megold´ast´erben Φk,m -a Φ f¨ uggv´eny ´ert´eke az xk , ym pontban Vi -r´eszt´erfogat (n´odus, elem) V -ben χi (x) -Vi karakterisztikus f¨ uggv´enye F(x) -f¨ uggv´eny az L(V ) megold´ast´erben W(x) -s´ ulyf¨ uggv´eny, x ∈ V ρ(f1 , f2 ) -az f1 , f2 ∈ L(V ) f¨ uggv´enyek t´avols´aga E -egys´egm´atrix, egys´egoper´ator A, B -m´atrix, oper´ator D -diff´ uzi´os ´alland´o Σ -hat´askeresztmetszet Q -forr´as
248
Az al´abbiakban ismertetett m´odszerek a neutrong´az le´ır´as´as´ara szolg´alnak egy atomreaktorban. A reaktor eg´esz´enek sz´am´ıt´asakor meglehet˝osen nagy kiterjed´es˝ u t´erbeli r´egi´oban, nevezetesen az eg´esz reaktorban, keress¨ uk a diff´ uzi´o- vagy transzport egyenlet megold´as´at. A klasszikus m´odszerekkel (mint amilyen a v´egesdifferencia-m´odszer) csak akkor kapunk elfogadhat´o pontoss´ag´ u megold´ast, ha a z´on´at a szabad u ´thosszal ¨osszem´erhet˝o ´atm´er˝oj˝ u, homog´en r´egi´okra bontjuk fel. Ebben az esetben a pontok sz´ama nagy lesz, s mivel a megold´as m˝ uveletig´enye a pontok sz´am´anak m´asodfok´ u f¨ uggv´enye, a megold´as t´ uls´agosan lass´ u a gyakorlat sz´am´ara. A hetvenes ´evekben m´eg ´elt az elk´epzel´es, hogy a megold´asban szerepl˝o iter´aci´o felgyors´ıthat´o, ´es siker¨ ul a gyakorlat sz´am´ara elfogadhat´o pontoss´ag´ u m´odszert kidolgozni. A gyors´ıt´asban ugyan sz´amos kiv´al´o ¨otlet felmer¨ ult, de ezek egyike sem v´altotta be a hozz´a f˝ uz¨ott rem´enyeket. A nyolcvanas ´evekre felmeleg´ıtett´ek a m˝ uszaki feladatokban m´ar ´evtizedek o´ta alkalmazott v´egeselem-m´odszert, ami meglehet˝osen sikeresnek bizonyult reaktorfizikai feladatok megold´as´aban is. Ugyanakkor megjelentek az u ´gynevezett nod´alis m´odszerek is, amelyeket az´ota is sikeresen haszn´alnak. A v´egesdifferencia-m´odszerben a megold´ast a homog´en r´egi´okban ´alland´onak t´etelezz¨ uk fel, a r´egi´o hat´ar´an a differenci´al-h´anyadosokat pedig differencia h´anyadosokkal helyettes´ıtj¨ uk. Az egyenletek vizsg´alata azt mutatja, hogy nagy homog´en r´egi´okban a megold´as a helyv´altoz´o lassan v´altoz´o f¨ uggv´enye lesz, k´ezenfekv˝o teh´at olyan numerikus m´odszert keresni, ahol a megold´ast a helyv´altoz´oban alacsony foksz´am´ u polinomnak tekintj¨ uk. A polinom egy¨ utthat´oit pedig abb´ol a felt´etelb˝ol hat´arozzuk meg, hogy a pr´obaf¨ uggv´enyt (most alacsony foksz´am´ u polinomot) az egyenletbe helyettes´ıtve kapott kifejez´es legyen mer˝oleges azokra a f¨ uggv´enyekre, amelyek szerint a megold´as j´o k¨ozel´ıt´essel kifejthet˝o. Az ´ovatos fogalmaz´as az´ert hely´enval´o, mert a megold´ast egy v´egtelen dimenzi´os t´erben keress¨ uk ugyan, azonban n´eh´any f¨ uggv´eny j´o k¨ozel´ıt´essel megadja a megold´as nagy r´esz´et. K´es˝obb ezeket a r´eszleteket pontosan kifejtj¨ uk.
9.1.
Gyenge megold´ as
Keress¨ uk az AΦ(x) = 0,
x∈V
(9.1)
egyenlet megold´as´at valamely L(V ) f´azist´erben, pl. a V -n n´egyzetesen integr´alhat´o f¨ uggv´enyek ter´en. Legyen f1 , . . . , fN egy b´azis L-ben, ahol N ak´ar v´egtelen is lehet. Ha tal´alunk olyan φ f¨ uggv´enyt, amelyre teljes¨ ul (Aφ; fi ) = 0, i = 1, . . . , N,
(9.2)
akkor φ a (9.1) egyenlet megold´asa, amennyiben egyetlen megold´as l´etezik, akkor Φ = φ az egyetlen megold´as. V´alasszunk ki az N b´azisf¨ uggv´enyb˝ol N1 < N f¨ uggv´enyt ´es k¨ovetelj¨ uk meg, hogy (9.2) teljes¨ ulj¨on minden i < N1 -re! Legyen a megold´as a b´azisf¨ uggv´e249
nyek szerint kifejtett alakja Φ=
N X
ci f i .
(9.3)
i=1
Ekkor az egzakt megold´as ´es a (9.2) szerinti gyenge megold´as k¨ ul¨onbs´ege az al´abbi lesz: Φ−φ=
N X
ci f i ,
(9.4)
i=N1
ami j´o k¨ozel´ıt´esnek vehet˝o, amennyiben a ci egy¨ utthat´ok elegend˝oen kicsik i ≤ N1 eset´en. Ez egy´ uttal azt is jelenti, hogy a Φ f¨ uggv´eny ´altal le´ırt fizikai folyamatot kell˝o pontoss´aggal le´ırj´ak a v´alasztott b´azisf¨ uggv´enyek. φ-t a (9.1) egyenlet gyenge megold´as´anak nevezz¨ uk. A (9.2)-ben szerepl˝o fi f¨ uggv´enyek, amelyeket s´ ulyf¨ uggv´enyeknek nevez¨ unk, nem sz¨ uks´eges, hogy azonosak legyenek a b´azisf¨ uggv´enyekkel. A s´ ulyf¨ uggv´eny kiv´alaszt´as´an´al az a f˝o szempont, hogy kiemelje a k¨ozel´ıt˝o megold´as fizikailag fontos tulajdons´agait. A reaktorfizik´aban fontos a neutronm´erleg teljes¨ ul´ese, ez´ert c´elszer˝ u az ´alland´o f¨ uggv´enyt is szerepeltetni a s´ ulyf¨ uggv´enyek k¨oz¨ott. Legyen a (9.3) alak´ u f¨ uggv´enyek halmaza L. E halmazon elv´egezhet˝o az ¨osszead´as ´es a sz´ammal val´o szorz´as, L teh´at vektort´er. Az ismeretlen ci egy¨ utthat´okat a (9.2) felt´etelekb˝ol hat´arozhatjuk meg, de v´alaszthatunk m´as s´ ulyf¨ uggv´eny sorozatot is. L-en bevezethet¨ unk metrik´at is, hiszen a ci egy¨ utthat´okat tekinthetj¨ uk egy vektornak. Az al´abbi p´eld´aban a megold´as tartom´any´at felosztjuk diszjunkt r´eszekre, minden egyes diszjunkt r´eszt´erfogaton polinomokkal k¨ozel´ıtj¨ uk a keresett f¨ uggv´enyt. 9.1. Feladat (Diszkretiz´ alt t´ erfogat) Osszuk fel a V t´erfogatot Vi r´eszekre, u ´gy, hogy teljes¨ ulj¨on V
=
L [
Vi
(9.5)
i=1
Vi
\
Vj = ∅,
ha
i 6= j.
(9.6)
Ebben az esetben a (9.3)-ban szerepl˝o f¨ uggv´enyeket v´alaszthatjuk az egyes Vi t´erfogatokon alkalmazni k´ıv´ant f¨ uggv´enyeket, ekkor a b´azisf¨ uggv´enyek sz´ama N = L. Ne feledj¨ uk azonban, hogy a b´azisf¨ uggv´enyeket az eg´esz V t´erfogaton kell ´ertelmezni. Ez´ert a Vi -n haszn´aland´o b´azisf¨ uggv´enyek fel´ır´as´ahoz felhaszn´aljuk a Vi t´erfogat karakterisztikus f¨ uggv´eny´et1 . Legyen χi (x) a Vi t´erfogat karakterisztikus f¨ uggv´enye, ´es R a Vi -n felhaszn´alni k´ıv´ant f¨ uggv´eny. Ekkor az R-b˝ol sz´armaztatott fi (x) = χi (x)Ri (x) b´azisf¨ uggv´eny ´ertelmezve van V -n, ´es felhaszn´alhat´o (9.2)-ben. 1
Egy V t´erfogat karakterisztikus f¨ uggv´enye pozit´ıv V belsej´eben, nulla V hat´ar´an ´es negat´ıv V -n k´ıv¨ ul.
250
A m´odszer hat´ekonys´aga (ez alatt a hiba ´es a sz´am´ıt´asi id˝o egy¨ uttes´et ´ertj¨ uk) er˝osen f¨ ugg a v´alasztott k¨ozel´ıt´est˝ol. A keresett Φ f¨ uggv´enyt a v´egeselem-m´odszerben az al´abbi m´odon k¨ozel´ıtj¨ uk minden elemen polinomokkal. Legyen a k¨ozel´ıt˝o LL f¨ uggv´enyt´er az al´abbi: LL = {ΦL ∈ C0 (V )|χi ΦL ∈ P(Vi ), 1 ≤ i ≤ N } (9.7) Itt P( Vi ) a Vi -n ´ertelmezett polinomok tere. A fenti k¨ozel´ıt´esben szerepl˝o f¨ uggv´enyeket Lagrange-csal´adnak nevezz¨ uk. A diff´ uzi´oegyenlethez jobban illeszkedik az Hermite-csal´ad: LH = {ΦH ∈ C0 (V )|D∂n ΦH ∈ C0 (V ), χi ΦH ∈ P(Vi ), 1 ≤ i ≤ N } .
(9.8)
A Vi t´erfogatok hat´ar´an a folytonoss´agi felt´etelek a polinomok egy¨ utthat´oinak alkalmas megv´alaszt´as´aval biztos´ıthat´ok. Amint l´attuk, a gyenge megold´as azt jelenti, hogy a pr´obaf¨ uggv´enyt az egyenletbe helyettes´ıtve nem kapunk ugyan null´at, de az eredm´eny ortogon´alis lesz bizonyos kiv´alasztott f¨ uggv´enyekre. Ezeket a f¨ uggv´enyeket nem sz¨ uks´eges a b´azisb´ol v´alasztani, s˝ot, amennyiben fizikai tartalmat k´ıv´anunk adni a s´ ulyf¨ uggv´enyeknek, c´elszer˝ u azokat fizikai megfontol´asokb´ol v´alasztani. Ilyen megfontol´as lehet az, hogy fontos a reaktor eg´esz´ere vonatkoz´o reakci´ogyakoris´agok teljes¨ ul´ese, ez´ert legyen olyan s´ ulyf¨ uggv´eny, ami f¨ uggetlen a helyt˝ol. Fontos tov´abb´a a k¨ uls˝o hat´arokon a peremfelt´etel teljes¨ ul´ese, bels˝o hat´arokon pedig az ´aram folytonoss´aga. Ennek bemutat´as´ara tekints¨ unk egy olyan s´ ulyf¨ uggv´enyt, ami V -ben deriv´altj´aval egy¨ utt folytonos. A gyenge megold´as pontoss´ag´ahoz ki kell ´ert´ekelni a (9.2) skal´arszorzatot (integr´alt). Az integr´al ki´ert´ekel´eshez felhaszn´aljuk a Green-t´etel al´abbi alakj´at: Z Z Z Z W ∆ΦdV = Φ∆W dV + W ∂n ΦdF − Φ∂n W dF. (9.9) V
V
∂V
∂V
V felosz´as´anak megfelel˝oen a V -re vett integr´alt helyettes´ıts¨ uk Vi -kre vett integr´alok uk k´et integr´al ¨osszeg´evel. Az els˝o legyen Vi ¨osszeg´evel. A Vi -re vett integr´alt k¨ozel´ıts¨ b˝ol elhagyva Vi hat´ara ment´en egy sz´eles s´avot, a m´asodik pedig a hat´ar ment´en egy 2 sz´eless´eg˝ u s´av, amely tartalmazza az els˝o r´eszb˝ol kihagyott ter¨ uletet, valamint a Vi k¨or¨ uli tartom´anyb´ol egy sz´eless´eg˝ u ter¨ uletet. Nyilv´an az → 0 hat´ar´atmenetben a k´et integr´al ¨osszege megadja a Vi -re vett integr´alt. Vegy¨ unk olyan pr´obaf¨ uggv´enyt, ami Vi ben kiel´eg´ıti a megoldand´o egyenletet. Ekkor az els˝o integr´al nulla, mert egy szorzatot kell integr´alni, aminek egyik tagja (W ) v´eges, a m´asik tagja pedig nulla. A m´asodik tagot a´talak´ıtjuk a Green-t´etel seg´ıts´eg´evel, ´es az → 0 hat´ar´atmenet ut´an kapjuk: XZ ∇W (∂n Φ+ − ∂n Φ− )dF. (9.10) δL = i
∂Vi
Azaz, a k¨ozel´ıt´es hib´aja att´ol f¨ ugg, mennyire biztos´ıtott az analitikus pr´obaf¨ uggv´eny norm´alis deriv´altj´anak (vagy az a´ramnak) folytonoss´aga. Amennyiben teh´at olyan pr´obaf¨ uggv´enyt siker¨ ul v´alasztani, amely kiel´eg´ıti a megoldand´o egyenletet, valamint a n´odusok hat´ar´an norm´alis deriv´altja folytonos, tetsz˝olegesen pontos megold´ast adhatunk, 251
hiszen ekkor δL tetsz˝olegesen kicsiv´e tehet˝o. Amennyiben a pr´obaf¨ uggv´eny nem el´eg´ıti ki a megoldand´o egyenletet, akkor a t´erfogati integr´al is ad j´arul´ekot δL-hez. Amennyiben azonban a Vi t´erfogat elegend˝oen kicsi, ez a j´arul´ek is kicsiv´e tehet˝o.
9.2.
Az iter´ aci´ o
A fizikai feladatok t¨obbs´eg´eben sz´oba sem j¨on a vizsg´alt egyenlet analitikus megold´asa, ez´ert a megold´ast iter´aci´o seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg. Az iter´aci´o alapja a Banach fixpontt´etele. 9.1. T´ etel (Banach fixpontt´ etele) K´epezze le az A oper´ator az L teljes metrikus t´er S z´art r´eszhalmaz´at o¨nmag´ara u ´gy, hogy b´armely f1 , f2 ∈ S pontp´arra teljes¨ ulj¨on ρ(f1 , f2 ) ≤ cρ(Af1 , Af2 ),
(9.11)
ahol c val´os, 0 < c < 1 ρ(f1 , f2 ) pedig az f1 , f2 ∈ L(V ) pontok t´avols´aga. Ekkor S-ben az A oper´atornak pontosan egy fixpontja van, azaz, egyetlen olyan f ∗ ∈ S pont, amelyre fenn´all Af ∗ = f ∗ . (9.12) Ekkor az fk+1 = Afk ,
, k = 0, 1, 2, . . .
(9.13)
szukcessz´ıv approxim´aci´oval k´epzett sorozat a (9.12) egyenlet megold´as´ahoz konverg´al. A konvergencia sebess´eg´ere fenn´all ρ(fk , f ∗ ) ≤
ck ρ(f1 , f0 ). 1−c
(9.14)
Az iter´aci´o t´argyal´as´an´al szok´asos az al´abbi terminol´ogia. A (9.13)-ban szerepl˝o A m´atrixot konvergensnek nevezz¨ uk, ha nagy k-ra Ak tart a nullm´atrixhoz. Ellenkez˝o esetben az A m´atrixot divergensnek nevezz¨ uk. A feladat teh´at a megoldand´o egyenletet olyan alakra hozni, amelyre alkalmazhat´o Banach fixpontt´etele. Erre mutatunk n´eh´any p´eld´at. 9.1. Feladat (Saj´ at´ ert´ ek-feladat) A megoldand´o egyenlet Ax = λx, ahol keress¨ uk x, λ-t. Legyen A ´ertelmez´ esi tartom´anya R, legyen x0 ∈ R. Ekkor x0 kifejezhet˝o A saP j´atvektorai szerint: x0 = i ci ui , ahol Aui = λi ui . Rendezz¨ uk a saj´at´ert´ekeket cs¨okken˝ o abszol´ ut´ert´ek szerint: |λ1 | > |λ2 | > . . . . Legyen λ = λ1 . Ekkor An x0 tart u1 -hez, ´es λk+1 =
(Axk ; xk−1 ) (xk ; xk−1 )
(9.15)
tart λ1 -hez, valamint xk tart u1 -hez. Amennyiben a kiindul´ashoz haszn´alt x0 vektor kifejt´es´eben c1 = 0, az iter´aci´o eredm´enye λ2 ill. u2 lesz. 252
´ 9.2. Feladat (Altal´ anos´ıtott saj´ at´ ert´ ek-feladat) Keress¨ uk az Ax =
1 Bx λ
(9.16)
egyenlet megold´as´at. Ez visszavezethet˝o a saj´at´ert´ek-feladat megold´as´ara, amelyben az iter´aci´ot a B−1 A oper´ator ´ırja le. 9.3. Feladat (Homog´ en feladat) Megoldand´o az Ax = 0 egyenlet. Ezt ´atalak´ıthatjuk az al´abbi m´odon: x − Ax = x. Amennyiben az xk+1 = (E − A)xk iter´aci´o m´atrixa konvergens, xk tart a keresett x f¨ uggv´enyhez. 9.4. Feladat (Inhomog´ en feladat) A megoldand´o egyenlet Ax = b. Legyen A = A 1 − A2 , u ´gy, hogy B = A1 −1 ismert ´es A2 B konvergens m´atrix. Ekkor az xk+1 = BA2 xk + Bb
(9.17)
iter´aci´o konverg´al a keresett x megold´ashoz. Megjegyezz¨ uk, hogy ez a felbont´as t¨obbf´ele m´odon lehets´eges (pl. minden m´atrix felbonthat´o egy diagon´alis m´atrixra, egy als´o- ´es fels˝o h´aromsz¨ogm´atrixra). Mindig azt a m´atrixot kell invert´alni, amelyik biztos´ıtja a konvergenci´at. Ezen a technik´an alapszik A Jacobi- ´es a Gauss-Seidel iter´aci´o is. 9.5. Feladat (Fizikai p´ elda) A megoldand´o fizikai egyenlet gyakran lehet˝os´eget k´ın´ al az iter´aci´o hat´ekony fel´ır´as´ara. P´eld´anak vegy¨ uk a neutron diff´ uzi´o egyenletet, amely egy m´erlegegyenlet: P (L + R) Φ = +S Φ (9.18) kef f ahol L-a kifoly´ast le´ır´o oper´ator; R-az abszorpci´o ´es kisz´or´as oper´atora; P a produkci´os oper´ator; S a sz´or´asoper´ator. A Φ neutronfluxust ´es a kef f saj´at´ert´eket kell meghat´arozni. Egy lehets´eges iter´aci´o az al´abbi. A neutrontermel´est tekintj¨ uk forr´asnak, ennek megfelel˝oen az egyenletet ´at´ırjuk (L + R − S)Φn = ´es kn =
P kn−1
Φn−1 ,
(Φn ; PΦn−1 ) . (Φn ; (L + R − S)Φn )
(9.19)
(9.20)
Mivel a feladat homog´en peremfelt´etel eset´en homog´en, a megold´as tetsz´es szerint norm´alhat´o.
253
9.3.
A pr´ obafu enyek ´ es a s´ ulyfu enyek kiv´ a¨ ggv´ ¨ ggv´ laszt´ asa
Olyan pr´obaf¨ uggv´enyeket v´alasztunk, amelyek az egyenletben foglalt fizikai folyamatokat lehet˝oleg korrekt¨ ul le´ırj´ak. A s´ ulyf¨ uggv´enyeket pedig u ´gy v´alasztjuk, hogy kiemelje a k¨ozel´ıt˝o megold´as sz´amunkra legfontosabb r´esz´et. K¨ ul¨on¨osen el˝ony¨os, ha olyan pr´obaf¨ uggv´enyeket siker¨ ul tal´alni, amelyek minden pontban kiel´eg´ıtik a megoldand´o egyenletet. Az al´abbiakban bemutatjuk, hogyan ´all´ıthatunk el˝o olyan pr´obaf¨ uggv´enyt, ami a megoldand´o diff´ uzi´oegyenletet minden pontban kiel´eg´ıti. Hasonl´o, j´oval bonyolultabb megold´as a transzportegyenlet eset´en is konstru´alhat´o, ezek az u ´n. Case-f´ele saj´atf¨ uggv´enyek. Az al´abbiakban a numerikus megold´asi m´odszerek kiindul´asi pontjak´ent a v´egesdifferenciam´odszert, ´es k´et modern m´odszert mutatunk be: a v´egeselem-, ´es a nod´alis m´odszert.
9.3.1.
V´ egesdifferencia-m´ odszer
A perem´ert´ek-feladatok megold´as´aban a v´egesdifferencia-m´odszer etalonnak sz´am´ıt. A v´egesdifferencia-m´odszert k´et t´erbeli dimenzi´oban t´argyaljuk. K¨ozel´ıt˝o ¨osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel a kapott differencia egyenletekb˝ol meghat´arozhatjuk a keresett f¨ uggv´eny (a diff´ uzi´oegyenlet eset´eben a fluxus) ´ert´ekeit egy r´acs pontjaiban. Ez a m´atrix m´eret´en´el fogva (az ismeretlenek sz´ama legal´abb 103 ) nem teszi lehet˝ov´e a m´odszerrel kapott linea´ris egyenletrendszer m´atrixinverzi´oval t¨ort´en˝o k¨ozvetlen megold´as´at, helyette iter´aci´os megold´ast kell alkalmazni. Nagyobb m´eret˝ u feladat eset´en, ha a pontok sz´ama el´eri a 5 6 10 − 10 -t, a numerikus m´odszereket is gondosan kell megv´alasztani, mert a kerek´ıt´esi hiba akkumul´al´od´asa a megold´as megengedhetetlen¨ ul nagy hib´aj´ara vezethet. H´arom dimenzi´oban a pontok sz´ama ´erthet˝oen nagyobb a k¨oz¨oltekn´el. Vizsg´aljuk meg az egycsoport diff´ uzi´oegyenletet mer˝oleges koordin´ata-rendszerben, a koordin´at´ak legyenek x, y. A megoldand´o egyenlet ∂Φ(x, y) ∂ ∂Φ(x, y) ∂ D − D + ΣΦ(x, y) = Q, (9.21) − ∂x ∂x ∂y ∂y ahol Φ(x, y) a keresett neutronfluxus, D a diff´ uzi´o´alland´o, Σ az abszorpci´os hat´askeresztmetszet, Q a forr´as. A megold´ashoz sz¨ uks´eges r´acsot az al´abbi ¨osszef¨ ugg´essel adjuk meg. A r´acsot mindk´et ir´anyban egyenl˝o k¨oz˝ unek vessz¨ uk, a r´acst´avols´agok ∆x ´es ∆y, a r´acspontokat (xk , ym ) jel¨oli, k = 0, 1, . . . K; m = 0, 1, . . . , M . A r´acspontokban a keresett mennyis´eg legyen Φ(xk , ym ) = Φkm . Feltessz¨ uk, hogy a r´acspontok homog´en r´egi´ok hat´ar´an helyezkednek el. Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert a formul´akban egyetlen homog´en r´egi´ot t´etelez¨ unk fel, amelyben az (9.21) egyenlet egy¨ utthat´oi a´lland´ok. A r´acs egy r´esz´et mutatja az 9.3.1) a´bra.
254
9.1. a´bra. R´acspontok k´et dimenzi´oban A keresett f¨ uggv´enyt line´arisnak t´etelezz¨ uk fel az x, y v´altoz´okban, az al´abbi m´odon: Φ(x, y) = Φkm +x(Φk+1,m −Φk,m )+y(Φk,m+1 −Φk,m ),
xk ≤ x ≤ xk+1 ;
ym ≤ y ≤ ym+1 . (9.22) Egyetlen s´ ulyf¨ uggv´enyt haszn´alunk, ez az azonosan egy f¨ uggv´eny, ezzel k´ıv´anjuk biztos´ıtani a m´erlegegyenlet fenn´all´as´at.
A (9.21) egyenletet integr´aljuk a 9.3.1. ´abra sz¨ urke n´egyzet´en. Amennyiben a k¨ozeg nem homog´en, a sz¨ urke n´egyzetet alkot´o n´egy n´egyzet mindegyik´en elt´er˝o a´lland´ok szerepelhetnek. Az integr´al´asi hat´arok: xk ± ∆x ´es ym ± ∆y. Az els˝o tag integr´al´as´ab´ol az al´abbi o¨sszef¨ ugg´est kapjuk: x +∆x/2 Z ym +∆y/2 ∂Φ k −D dy. (9.23) ∂x xk −∆x/2 ym −∆y/2 A m´asodik tag integr´al´as´anak eredm´enye: y +∆y/2 Z xk +∆x/2 ∂Φ m −D dx. ∂y ym −∆y/2 xk −∆x/2 . A harmadik, abszorpci´ot tartalmaz´o tag integr´alja: Z xk +∆x/2 Z ym +∆y/2 Σ dx Φ(x, y)dy. xk −∆x/2
(9.25)
ym −∆y/2
A forr´astagot tartalmaz´o integr´al azonos m´odon ad´odik: Z xk +∆x/2 Z ym +∆y/2 dx Q(x, y)dy. xk −∆x/2
(9.24)
ym −∆y/2
255
(9.26)
A deriv´altakat az al´abbi k¨ozel´ıt´es seg´ıts´eg´evel fejezz¨ uk ki a r´acspontokban ´erv´enyes megold´asokkal: x +∆x/2 ∂Φ k Φk+1,m − Φk,m Φk,m − Φk−1,m Φk+1,m − 2Φk,m + Φk−1,m ' − = . (9.27) ∂x xk −∆x/2 ∆x ∆x ∆x A m´asodik tagb´ol ad´od´o integr´al anal´og m´odon kaphat´o meg. V´egezet¨ ul a v´egesdifferenciaegyenlet az al´abbi alakot ¨olti: ∆y ∆x [Φk+1,m − 2Φk,m + Φk−1,m ]−D [Φk,m+1 − 2Φk,m + Φk,m−1 ]+ΣΦk,m ∆x∆y = Qkm ∆x∆y. ∆x ∆y (9.28) Itt csak megeml´ıtj¨ uk, hogy az integr´alok kisz´am´ıt´as´ara egy´eb, ´altal´aban bonyolultabb ´es valamivel pontosabb k¨ozel´ıt´eseket is szok´as haszn´alni, de a k¨oz¨olt k´epletek a diff´ uzi´oegyenlet megold´as´ahoz megfelel˝o pontoss´ag´ uak. Meg kell m´eg eml´ıteni a peremfelt´eteleket. Mivel a peremen lehet adott a megold´as, annak deriv´altja, vagy a kett˝o line´aris kombin´aci´oja, az al´abbi esetek lehets´egesek. A peremen adott megold´as azt jelenti, hogy Φ0m , ΦKm , Φk0 , ΦkM ´ert´ekei adottak. A m´asik k´et perem´ert´ek biztos´ıthat´o, ha a hat´arpontokhoz virtu´alis k¨ uls˝o pontokat vesz¨ unk hozz´a, ´es azokat u ´gy v´alasztjuk meg, hogy a peremfelt´etel a t´enyleges hat´arpontban teljes¨ ulj¨on. Ezzel a v´egesdifferencia-k¨ozel´ıt´es az al´abbi m´atrixform´aba ´ırhat´o: −D
AΦ = Q.
(9.29)
A (9.29) egyenlet megold´asa az u ´gynevezett bels˝o iter´aci´oval t¨ort´enik. Amennyiben (9.29)-ben t¨obb energiacsoport van, az egyenlet a g-ik energiacsoportra vonatkozik, a forr´as pedig a t¨obbi energiacsoport j´arul´ek´at tartalmazza. A csoportokon is egy iter´aci´o sor´an (ezt nevezik k¨ uls˝o iter´aci´onak) megy¨ unk v´egig. R´eszleteket ld. Szatm´ary Zolt´an k¨onyv´eben [43].
9.3.2.
V´ egeselem-m´ odszer
A V t´erfogatot L r´eszre osztjuk, az egyes Vi t´erfogatokat neve elem. Egy elemen az egyenlet egy¨ utthat´oit a´lland´onak tekintj¨ uk. A (9.2) a´tfogalmazhat´o az al´abbi m´odon. A (9.2) egyenlet megold´asa helyett vizsg´aljuk azt a vari´aci´os feladatot, amelynek Euler-Lagrange egyenlete ´eppen (9.2). Ebben az esetben a vari´aci´os feladat megold´asa matematikailag ekvivalens a (9.2) egyenlet megold´as´aval. A technik´at a diff´ uzi´os egyenlet eset´eben mutatjuk be. A diff´ uzi´os egyenlet al´abbi alakj´at vizsg´aljuk: −D∆Ψ(x) + ΣΨ(x) = Q(x).
(9.30)
A (9.2) gyenge megold´ashoz olyan fi (x) b´azisf¨ uggv´enyeket v´alasztunk, amelyek elt˝ unnek a V t´erfogat ∂V hat´ar´an ´es folytonosak V belsej´eben. A keresett Ψ(x) f¨ uggv´enyr˝ol is 256
feltessz¨ uk, hogy a D(n∇)Ψ(x) kifejez´es folytonos minden bels˝o hat´aron (itt n a hat´ar norm´alis´anak ir´anya). Mivel ∇ (fi (x)D∇Ψ(x)) = fi (x)∇ (D∇Ψ(x)) + (∇fi ) (D∇Ψ(x)) , a Gauss-Osztrogradszkij-t´etel ´ertelm´eben pedig Z Z ∇ (fi (x)D∇Ψ(x)) dV = fi (x)D∇Ψ(x)dF = 0, v
(9.31)
(9.32)
∂V
ez´ert (9.2) ´ıgy ´ırhat´o: Z I(Ψ, f ) = (−D∇Ψ(x)∇f (x) + ΣΨ(x)f (x) − Q(x)f (x)) dx = 0.
(9.33)
V
Megjegyezz¨ uk, hogy a (9.33) egyenlethez u ´gy is eljuthatunk, hogy keres¨ unk egy olyan vari´aci´os feladatot, amelynek Euler-Lagrange-egyenlete pontosan a (9.3.2) egyenlet lesz. A (9.3.2) egyenlet az al´abbi vari´aci´os feladathoz tartoz´o Euler-Lagrange-egyenlet: Z (−D∇Ψ(x)∇f (x) + ΣΨ(x)f (x) − Q(x)f (x)) dx = 0, (9.34) V
minden f (x) ∈ L(V )-re. Ez teh´at matematikailag ekvivalens a diff´ uzi´o egyenlet gyenge form´aj´anak megold´as´aval. A megold´ast u ´gy hat´arozzuk meg, hogy megk¨ovetelj¨ uk (9.34) fenn´all´as´at az f (x) = fi (x), i = 1, . . . , N1 eset´en. Vagyis, meg kell hat´arozni a (9.33)-ban szerepl˝o integr´alokat minden b´azisf¨ uggv´eny eset´ere. Term´eszetesen az ismeretlen Ψ(x) f¨ uggv´enyt is a b´azisf¨ uggv´enyekkel fejezz¨ uk ki, ´ıgy a (9.34) egyenletek a kifejt´esi egy¨ utthat´ok meghat´aroz´as´ara szolg´alnak. Ezzel a k´erd´essel r´eszletesen a k¨ovetkez˝o r´eszben foglalkozunk. A legt¨obb fizikai feladat eset´eben egy homog´en t´erfogatban az egyenlet megold´asa lassan v´altoz´o f¨ uggv´ennyel ´ırhat´o le. Ennek megfelel˝oen a b´azisf¨ uggv´enyeket alacsony foksz´am´ u polinomoknak v´alasztjuk minden Vi t´erfogaton. A b´azisf¨ uggv´enyeket ez´ert a Vi t´erfogaton lok´alis koordin´ata-rendszerben ´ırjuk le. Az alacsony foksz´am´ u polinom felfoghat´o egy interpol´aci´os s´emak´ent is, ebben az esetben a polinom egy¨ utthat´oit a megold´as bizonyos pontokban felvett ´ert´ekei seg´ıts´eg´evel adjuk meg. Az integr´alokban a teljes V t´erfogatra vett integr´al´as szerepel, ez´ert a b´azisf¨ uggv´enyek koordin´at´ait lok´alis (azaz Vi -beli koordin´at´ak) ´es glob´alis (azaz V koordin´at´ai) seg´ıts´eg´evel is ki kell fejezni. Legyen (x, y) ≡ (x1 , x2 ) a glob´alis, (ξ, η) ≡ (ξ1 , ξ2 ) a lok´alis koordin´ata. Az x(ξ, η), y(ξ, η) koordin´at´ak k¨oz¨otti kapcsolatnak invert´alhat´onak kell lenni, ez´ert a ∂xj /∂ξk a´ltal´anos elem˝ u Jacobi-m´atrix invert´alhat´o. Az interpol´al´o polinom egy¨ utthat´oit teh´at a megold´as megadott pontokban felvett ´ert´ekeivel kell kifejezni, lehet˝oleg egyszer˝ uen, hiszen ezeket a m´atrixokat a sz´am´ıt´asok sor´an sokszor kell megism´etelni. Egy h´aromsz¨og alak´ u elemen az (x, y) koordin´at´aj´ u pont 257
9.2. a´bra. Lok´alis koordin´at´ak megad´as´ahoz az (xi , yi ) pontokat haszn´aljuk, i=1,3. Jel¨olje A1 az (x, y), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ) h´aromsz¨og,A2 az (x, y), (x1 , y1 ), (x3 , y3 ) h´aromsz¨og, A3 az (x, y), (x2 , y2 ), (x1 , y1 ) h´aromsz¨og ter¨ ulet´et, ´es legyen A = A1 + A2 + A3 . Lok´alis koordin´atak´ent haszn´alhat´o az ui = Ai /A, i = 1, . . . , 3. Nyilv´an fenn´all u1 + u2 + u3 = 1. A lok´alis ´es a glob´alis koordin´at´ak k¨oz¨ott az al´abbi transzform´aci´o teremt kapcsolatot: 1 1 1 1 u1 x = x1 x2 x3 u2 . (9.35) y y1 y2 y3 u3 A helyzetet elbonyol´ıtja, hogy sz¨ uks´eg lehet a megold´as egy elemen, vagy egy fel¨ uleten felvett integr´alj´anak haszn´alat´ara is. A megfelel˝o ismeretek szakk¨onyvekb˝ol szerezhet˝oek be. Szerencs´ere az integr´alok kisz´am´ıt´as´ara numerikus m´odszereket is lehet alkalmazni (Gauss-Lobatto-formula, Gauss kvadrat´ ura), amikoris az integr´al el˝o´all´ıthat´o egyes pontbeli ´ert´ekekb˝ol. Az interpol´al´o f¨ uggv´enyeket kezdj¨ uk az egyv´altoz´os esettel. Az al´abbi jel¨ol´est fogjuk alkalmazni. Az n-edfok´ u polinom legyen p
(n)
(x) =
n X
ai x i ,
(9.36)
i=0
ezt pedig mint skal´arszorzatot fogjuk fel, amelyben az x = (1, x, . . . , xn ) vektor ´es az a = (a0 , a1 , . . . , an ) vektor skal´arszorzat´at k´epezt¨ uk. Legyen teh´at p(n) (x) = xn + a,
(9.37)
itt + transzpon´al´ast, azaz itt sorvektort jelent. Most pedig n´ezz¨ uk, hogyan haszn´alhat´oak az elmondottak a pr´obaf¨ uggv´enyek el˝oa´ll´ıt´as´aban. 258
Az egydimenzi´os esetben tekints¨ uk az [xk , xk+1 ] intervallumot, amelynek k¨oz´eppontj´at xk+1/2 -el jel¨olj¨ uk, az intervallum sz´eless´ege legyen ∆xk . Ezek teh´at glob´alis koordin´at´ak, ld. 9.3.1. a´bra. Lok´alis koordin´at´ab´ol csak egyre van sz¨ uks´eg, ld. 9.3.2. a´bra, legyen ez ξ ´es legyen x − xk+1/2 , (9.38) ξ=2 ∆xk amivel −1 ≤ ξ ≤ +1, ha xk ≤ x ≤ xk+1 . A ford´ıtott kapcsolat: x = xk+1/2 + ξ∆xk /2.
(9.39)
A deriv´altak k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´esek: dx ∆xk = dξ 2 d dξ d 2 d = = . dx dx dξ ∆xk dξ Sz¨ uks´eg¨ unk lesz m´eg az al´abbi lok´alis v´altoz´okra: u1 (x) =
xk+1 − x , ∆xk
x − xk . ∆xk Nyilv´anval´oan u1 + u2 = 1. A ford´ıtott kapcsolat: u2 (x) =
x = xk+1 − ∆xk u1 ´es x = u2 ∆xk + xk , ∂x ∂x valamint ∂u = −∆xk ´es ∂u = ∆xk . Ezekkel a koordin´at´akkal megkonstru´aljuk a Lag1 2 range vonalelemeket (mert 1D esetet vizsg´alunk). Az interpol´al´o polinom p(1) (x) = a0 + a1 x. Legyen adott p(1) (xk ) ´es p(1) (xk+1 ). Ekkor az egy¨ utthat´okat az al´abbi egyenletrendszerb˝ol kapjuk meg: (1) p (xk ) 1 xk a0 = . (9.40) 1 xk+1 a1 p(1) (xk+1 )
Szimbolikus form´aban p(1) = B1 a1 .
259
(9.41)
H´arom adott csom´opont eset´en az interpol´al´o polinom p(2) (x) = a0 +a1 x+a2 x2 . Legyenek ´ az adott pontok xk , xk+1/2 , xk+1 . (Altal´ aban c´elszer˝ u egyenl˝ok¨oz˝ u feloszt´ast v´alasztani.) Ekkor az egy¨ utthat´ok meghat´aroz´asa az al´abbi egyenletrendszer megold´as´aval t¨ort´enik: p(2) (xk ) 1 xk xk 2 a0 p(2) (xk+1/2 ) = 1 xk+1/2 xk+1/2 2 a1 , (9.42) 2 (2) 1 xk+1 xk+1 a2 p (xk+1 ) ugyanez szimbolikus form´aban: p(2) = B2 a2 .
(9.43)
Amennyiben a pontok sz´ama t¨obb, mint h´arom, Lagrange-polinomokat c´elszer˝ u haszn´alni az interpol´al´asra. A Lagrange-polinomok alakja: n Y i=1,i6=j
x − xi . xj − xi
(9.44)
Itt n a pontok sz´ama. Tetsz˝oleges foksz´am´ u interpol´aci´o megval´os´ıthat´o technikai neh´ezs´eg n´elk¨ ul. A kapott egyenletek azonban egyre bonyolultabbak lesznek, a tapasztalat azt mutatja, hogy n > 3 foksz´amot m´ar nem ´erdemes haszn´alni. Az Hermite-f´ele interpol´aci´o adott pontokban a f¨ uggv´eny ´es deriv´altj´anak ´ert´ek´eb˝ol a´ll´ıtja el˝o a polinom egy¨ utthat´oit, ez´ert a Lagrange-interpol´aci´on´al magasabb foksz´am´ u polinomok ad´odnak. A legegyszer˝ ubb esetben k´et pontban, xk -ban ´es xk+1 -ben adott a f¨ uggv´eny´ert´ek ´es a deriv´alt. Ezt egy harmadfok´ u polinommal ´all´ıtjuk el˝o, p(3) (x) = 2 3 a0 + a1 x + a2 x + a3 x . Az egy¨ utthat´ok meghat´aroz´as´ara az al´abbi egyenletrendszer szolg´al: p(3) (xk ) a0 1 xk xk 2 xk 3 a1 dp(3) /dx(xk ) 0 1 2xk 3xk 2 = (9.45) p(3) (xk+1 ) 1 xk+1 xk+1 2 xk+1 3 a2 . 0 1 2xk+1 3xk+1 2 a3 dp(3) /dx(xk+1 ) Megeml´ıtj¨ uk, hogy a magasabb foksz´am´ u interpol´aci´ohoz c´elszer˝ u az Hermite-polinomokat haszn´alni. Ld. 10.4. fejezet. Most pedig t´erj¨ unk ´at a k´etdimenzi´os esetre. A vonalelemek egyf´eles´eg´evel szemben a fel¨ uletek sokf´el´ek. Mi csak a s´ık fel¨ uletekkel foglalkozunk. A k´etdimenzi´os elemek peremvonalaik ment´en illeszkednek egym´ashoz, ezek ment´en kell biztos´ıtani a megfelel˝o folytonos illeszt´est. Magasabbrend˝ u illeszked´es eset´en az ´elek ment´en is diszkretiz´alni kell, amit u ´gy tesz¨ unk meg, hogy kit¨ untet¨ unk az ´elek ment´en bizonyos pontokat ´es ezekben k¨ovetelj¨ uk meg a folytonoss´agot. A glob´alis koordin´at´ak x, y, h´aromsz¨ogben az u1 , u2 , u3 ter¨ uletkoordin´at´akat fogjuk alkalmazni. N´egysz¨ogekben el˝ony¨osebb a lok´alis ξ, η koordin´at´akat haszn´alni, ezeket u ´gy
260
v´alasztjuk, hogy teljes¨ ulj¨on −1 ≤ ξ, η ≤ +1. A differenci´al´as szab´alyai: 3 X ∂ui ∂ ∂ = ∂x ∂x ∂ui i=1
(9.46)
3 X ∂ ∂ui ∂ = . ∂y ∂y ∂u i i=1
(9.47)
N´egysz¨ogek eset´en legyen a n´egy sarokpont (xi , yj ), (xi+1 , yj ), (xi , yj+1 ), (xi+1 , yj+1 ). A lok´alis ´es glob´alis koordin´at´ak kapcsolata: 1 [(1 − ξ)(1 − η)xi + (1 + ξ)(1 − η)xi+1 + (1 + ξ)(1 + η)xi + (1 − ξ)(1 + η)x(9.48) i+1 ] 4 1 y = [(1 − ξ)(1 − η)yj + (1 + ξ)(1 − η)yj + (1 + ξ)(1 + η)yj+1 + (1 − ξ)(1 + η)y (9.49) j+1 ]. 4
x =
Az (x, y) → (ξ, η) transzform´aci´o Jacobi-m´atrixa:
∂ ∂x ∂ ∂y
=J
−1
∂ ∂ξ ∂ ∂η
.
(9.50)
ahol
y1 y2 . y3 y4
(9.51)
m = (n + 1)(n + 2)/2.
(9.52)
x1 1 −(1 − η) (1 − η) (1 + η) −(1 + η) x2 J= x3 4 −(1 − ξ) −(1 + ξ) (1 − ξ) (1 − ξ) x4 Az interpol´aci´os polinomokat ´ıgy ´ırjuk le: p(n) (x, y) =
m X
ak xi y j ,
i + j ≤ n,
k=1
Adott k mellett minden olyan i, j kitev˝op´art figyelmbe kel venni, amely teljes´ıti a felt´eteleket. A line´aris polinomok eset´eben n = 1 ´es m = 3, ekkor p(1) (x, y) = a1 + a2 x + a3 y,
(9.53)
p(2) (x, y) = a1 + a2 x + a3 y + a4 xy + a5 x2 + a6 y 2 .
(9.54)
m´asodfok´ u polinom eset´en:
A k´etv´altoz´os polinomokat egy Pascal-h´aromsz¨oggel lehet illusztr´alni. 261
1 x y x2 xy y 2 x3 x2 y xy 2 y 3 x4 x3 y x2 y 2 xy 3 y 4 A Lagrange-fel¨ uletelemek eset´en u ¨gyelni kell arra, hogy az interpol´al´o polinom minden ´elen azonos foksz´am´ u legyen. Ez biztos´ıthat´o, amennyiben a csom´opontokat, amelyekben a f¨ uggv´eny´ert´ekek adottak, egyenl˝o t´avols´agokban helyezkednek el a h´aromsz¨og ´eleivel p´arhuzamos szakaszok ment´en. Ekkor a k-ad fok´ u interpol´aci´os polinomok a Pascalh´aromsz¨og els˝o k sor´aban l´ev˝o tagokat tartalmazz´ak. N´egysz¨og alak´ u elemben az interpol´aci´ot szint´en a Pascal-h´aromsz¨og alapj´an lehet fel´ırni, de most a Pascal-h´aromsz¨og¨on n´egyzeteket jel¨ol¨ unk ki, amelyben a Pascal2 ´ h´aromsz¨og oldalain k elem tal´alhat´o. Igy adott k eset´en k hatv´any szerepel az interpol´aci´oban. Az interpol´aci´ohoz a n´egysz¨og k¨ozep´en, cs´ ucsain, ´es az oldalakkal p´arhuzamos egyenesek metsz´espontjaiban tal´alhat´o ´ert´eket haszn´aljuk fel, vagyis, a polinomban szerepl˝o tagok egy¨ utthat´oit ezekkel az ´ert´ekekkel fejezz¨ uk ki.
9.3.3.
Nod´ alis m´ odszer
A nod´alsi m´odszerben a Vi t´erfogatokat n´odusoknak szok´as nevezni. A megoldand´o egyenlet helyett az egyenlet egy n´odusra vett integr´alj´anak teljes¨ ul´es´et k¨ovetel¨ uk meg. A n´odusok k¨oz¨otti peremen is csak integr´alis ´ertelemben ´ırjuk el˝o a folytonoss´agot. A keresett f¨ uggv´enyt egy homog´en n´odusban egy adott b´azis szerint fejtj¨ uk ki. L´eteznek m´odszerek, amelyekben alacsony foksz´am´ u polinomokb´ol ´all a b´azis, de lehet exponenci´alis vagy trigonometrikus f¨ uggv´enyeket is v´alasztani b´azisk´ent. Itt egy analitikus m´odszert ismertet¨ unk, amelyben a b´azisf¨ uggv´enyeket u ´gy v´alaszjuk, hogy azok kiel´eg´ıts´ek a megoldand´o diff´ uzi´o egyenletet a Vi n´odus minden pontj´aban. Tekints¨ unk teh´at egy homog´en ´ n´odust, a Vi -b˝ol az indexet elhagyjuk. Irjuk a megoldand´o egyenletet ∆Ψ + AΨ = 0
(9.55)
alakba, ahol az A matrix tartalmazza az energiav´altoz´assal j´ar´o folyamatok hat´askeresztmetszeteit. A Ψ megold´as az energi´at´ol is f¨ ugg, ez´ert egy vektornak tekintj¨ uk, annyi komponenssel, ah´any energiacsoport van. Legyenek az A m´atrix saj´at´ert´ekei ´es saj´atvektorai: Ati = λ2i ti ; i = 1, 2, . . . (9.56) amivel a k¨ovetkez˝o pr´obaf¨ uggv´enyt konstru´aljuk: X Z tkg eλk er sk (e)de, Ψg (r) = k
|e|=1
262
(9.57)
ahol az sk (e) s´ ulyf¨ uggv´enyeket tetsz˝olegesen v´alaszthatjuk. M´as sz´oval, sk (e) adott v´alaszt´as´aval egy olyan pr´obaf¨ uggv´enyt kapunk, ami minden pontban kiel´eg´ıti a megoldand´o egyenletet, tov´abb´a a s´ ulyf¨ uggv´enyben szerepelhet tetsz˝oleges sz´am´ u a´lland´o. A legegyszer˝ ubb eset akkor ad´odik, ha annyi e vektort tartunk meg, ah´any oldal van: sk (e) = cki δ(e − ei ).
(9.58)
Az ei vektorok mutathatnak pl. az oldalak k¨ozep´ere, a cki egy¨ utthat´okat pedig lehet u ´gy v´alasztani, hogy k´et n´odus hat´ar´an teljes¨ ulj¨on a (9.10) felt´etel vagy integr´alisan, vagy a fel¨ ulet egy pontj´aban. Amennyiben a (9.57) kifejez´es integrandus´aban szerepl˝o exponenci´alis kitev˝oje kell˝oen kicsi, a pr´obaf¨ uggv´eny alacsony foksz´am´ u polinomokkal helyettes´ıthet˝o. Ezen a m´odon megkaphat´o a v´egeselem-m´odszer ´es a v´egesdifferencia m´odszer, mint a nod´alis m´odszer partikul´aris esete. A pr´obaf¨ uggv´enyek meglehet˝osen t´ag hat´arok k¨oz¨ott v´alaszthat´oak. El˝osz¨or polinomokkal (pl. Lagrange-polinomokkal) pr´ob´alkoztak, de ez a k¨ozel´ıt´es l´enyeg´eben nem k¨ ul¨onb¨ozik a v´egeselem-m´odszert˝ol. Abb´ol kiindulva, hogy a (9.57)-ben szerepl˝o λk saj´at´ert´ekek egy adott alkalmaz´asban gyakran keveset v´altozik, haszn´alhat´o exponenci´alis f¨ uggv´enyekb˝ol a´ll´o b´azis is. Ha a saj´at´ert´ek komplex is lehet, trigonometrikus f¨ uggv´enyek ´es exponenci´alisok kever´ek´et c´elszer˝ u v´alasztani. A s´ ulyf¨ uggv´enyekre a nod´alis m´odszerben nincs sz¨ uks´eg, de a 9.1. fejezetben elmondottaknak megfelel˝oen fontos szerepet j´atszik a n´odusok perem´en a folytonoss´ag, vagy annak hi´anya. Ezt a hib´at gyakran korrekci´os f¨ uggv´enyek bevezet´es´evel cs¨okkentik.
9.4.
Az egyenletrendszer megold´ asa
A numerikus m´odszerek c´elja az el˝oz˝o r´eszben ismertetett megfontol´asok alapj´an egy linea´ris egyenletrendszer sz´armaztat´asa. Ebben a r´eszben az egyenletrendszer megold´as´anak m´odszereit ismertetj¨ uk. Tekintettel arra, hogy a kapott egyenletrendszer a m´odszerek t¨obbs´ege eset´en, az egyes m´odszerek eset´eben hasonl´o, a megold´asi m´odszerek k¨oz¨ott nincs l´enyegi k¨ ul¨onbs´eg. Fontos k¨ ul¨onbs´eg ellenben, hogy a modern m´odszerekben adott pontoss´ag el´er´es´ehez kev´esb´e finom feloszt´asra, k¨ovetkez´esk´eppen kevesebb ismeretlenre van sz¨ uks´eg. A v´egesdifferencia-m´odszerhez dolgozt´ak ki az iter´aci´os m´odszerek, a gyors´ıt´as alapjait. A vonatkoz´o irodalom alapja Richard Varga munk´aja [48].
9.4.1.
V´ eges differencia m´ odszer
A (9.29) egyenlet megold´asa sor´an alkalmazott iter´aci´os technika bemutat´as´ara particion´aljuk az egyenletben szerepl˝o A m´atrixot az al´abbi m´odon: A = D − U − L, 263
(9.59)
ahol D diagon´alis m´atrix, U fels˝o h´aromsz¨ogm´atrix, L pedig als´o h´aromsz¨ogm´atrix. Diff´ uzi´oelm´eletben az A m´atrix diagon´aldomin´ans, azaz, a legnagyobb elemek a diagon´alis ment´en tal´alhat´oak. Tov´abb´a, a r´acs jelleg´eb˝ol ad´od´oan egy sorban legfeljebb ¨ot nem ´ nulla elem tal´alhat´o. Atrendezve (9.29)-et: DΦ = [U + L] Φ + Q,
(9.60)
egy iter´aci´ora alkalmas alakot kapunk, hiszen U, L pozit´ıv elem˝ u m´atrixok, amelyeknek elemei kisebbek, mint a szint´en pozit´ıv elem˝ u D m´atrix´e. Az iter´aci´o l´ep´esei: Φi+1 = D−1 [L + U] Φi + D−1 Q
(9.61)
ahol i = 1, 2, . . . . Mivel kD−1 (L + U)k < 1, az iter´aci´ok sz´am´aval a hiba folyamatosan cs¨okken. Ezt az elj´ar´ast Richardson-m´odszernek nevezik, ezen k´ıv¨ ul sz´amos m´as technika is ismert. R´eszletek Varga k¨onyv´eben [48] tal´alhat´oak. R¨oviden kit´er¨ unk az iter´aci´o gyors´ıt´as´anak k´erd´esre is. Az iter´aci´o sor´an az el˝oz˝o l´ep´esben kapott vektorra r´aszorzunk egy m´atrixszal. A konvergencia sebess´ege a D−1 [L + U] m´atrix k´et legnagyobb saj´at´ert´ek´enek ar´any´at´ol f¨ ugg. Ismert a m´atrixelm´eletb˝ol, hogy egy A m´atrixnak ´es egy f (A) m´atrixnak a saj´atvektorai azonosak, a saj´at´ert´ekeik pedig nem. K´ezenfekv˝o teh´at olyan f (A) m´atrixf¨ uggv´enyt keresni, amelynek k´et legnagyobb saj´at´ert´eke min´el t´avolabb helyezkedik el. A m´atrixf¨ uggv´eny kisz´am´ıt´asa miatt sem kell agg´odni, a legt¨obb f¨ uggv´eny sorfejt´essel adhat´o meg, az iter´aci´o sor´an pedig t´arolni lehet A hatv´anyainak hat´as´at egy alkalmas vektoron. Nyilv´an akkor lehet hat´ekony f (A) f¨ uggv´enyt tal´alni, ha ismerj¨ uk az A m´atrix spektrum´at. Leegyszer˝ us´ıtve, ha az utols´o iter´aci´o eredm´eny´enek az utols´o k´et, vagy h´arom vektor alkalmas line´aris kombin´aci´oj´at tekintj¨ uk, az iter´aci´o felgyors´ıthat´o. Tegy¨ uk fel, hogy (9.61)-at alkalmazzuk. Amikor az u ´j Φi+1 vektor valamelyik elem´et, i+1 mondjuk Φj -t sz´am´ıtjuk ki, a jobboldalon csak az el˝oz˝o iter´aci´oban kapott Φi vektor elemei szerepelnek, noha id˝ok¨ozben m´ar rendelkez´esre a´llnak u ´j elemek eg´eszen a jindexig. Ezek figyelembev´etele gyors´ıthatja az iter´aci´ot. Ezt a gondolatot val´os´ıtja meg a [D − L] Φi+1 = UΦi + Q (9.62) iter´aci´o (Gauss-Seidel-elj´ar´as). Amennyiben az iter´aci´o a megold´ashoz k¨ozel´ıti az egym´as ut´ani Φi k¨ozel´ıt´eseket, c´elszer˝ u lehet a v´altoz´as ir´any´aba ”nagyobbat” l´epni. Ezt u ´gy val´os´ıthatjuk meg, hogy vessz¨ uk a r´egi iter´aci´o eredm´eny´enek ´es az utols´o iter´aci´o eredm´eny´enek alkalmas kombin´aci´oj´at, vagyis Φi+1 = ωD−1 (L + U)Φi + Q + (1 − ω)Φi−1 , (9.63) ahol az ω u ´.n. relax´aci´os param´eter alkalmas megv´alaszt´as´aval lehet gyorsul´ast el´erni (szukcessz´ıv overrelaksz´aci´o m´odszere). 264
A gyors´ıt´as kapcs´an ´erdemes megvizsg´alni, mit is jelent, hogy egyik iter´aci´os elj´ar´as gyorsabb, mint a m´asik. ´Irjuk az iter´aci´ot (9.29) ´atalak´ıt´as´aval az al´abbi alakba: Φi+1 = AΦi + Q.
(9.64)
Amennyiben M = E − A (itt E az egys´egm´atrix) nem szingul´aris, az (E − A)Φ = Q egyenletnek egyetlen megold´asa l´etezik. A hibavektort a (9.64) egyenlet iter´aci´oja kapcs´an ´ıgy defini´aljuk: εi = Φi − Φ, ekkor az egym´asut´ani hibavektorok k¨oz¨ott fenn´all i = Mi−1 . Ebb˝ol ki k ≤ kMki−1 . (9.65) Legyen A ´es B k´et m´atrix, amelyek azonos feladat k´et elt´er˝o megfogalmaz´as´ahoz tartoznak. Vezess¨ uk be az A m´atrixhoz az R(Am ) =
− ln(kAm k) m
(9.66)
a´tlagos konvergenciaar´anyt. Ha R(Am ) < R(Bm ), akkor B az iter´aci´o szempontj´ab´ol gyorsabb A-n´al. A k¨ovetkez˝o k´erd´es az iter´aci´o kezd˝ovektor´anak szerepe. Az iter´aci´o indul´asakor felvett Φ0 befoly´asolhatja az iter´aci´o sebess´eg´et. Erre vonatkozik az al´abbi t´etel. 9.2. T´ etel Az (9.26) Jacobi- ´es (9.62) Gauss-Seidel iter´aci´oval t¨ort´en˝o megold´asa konvergens tetsz˝oleges kezd˝ovektor v´alaszt´asa mellett, amennyiben az A m´atrix diagon´aldomin´ans m´atrix.
9.4.2.
V´ egeselem-m´ odszer
A (9.34) integr´alt kell teh´at kisz´am´ıtani a V t´erfogatra, b´azisk´ent az egyes elemeken polinomokat haszn´alunk. Ezeket a lok´alis f¨ uggv´enyeket megszorozzuk a Vi elem karakterisztikus f¨ uggv´eny´evel, ´ıgy v´egezz¨ uk el az integr´al´ast. Mivel minden b´azisf¨ uggv´eny csak egy elem eset´eben ad j´arul´ekot az integr´alhoz, ez´ert a tov´abbiakban az elem i index´et elhagyjuk. (9.34)-ben ´ıgy olyan integr´alokat kell kisz´am´ıtani, amelyekben azonos elemen egy Pi ´es egy Pj polinom szerepel az integr´alban f (x) ill. Ψ(x) helyett. C´elszer˝ u az integr´alokat visszavezetni egy ”referencia” elemen elv´egzett integr´al´asra, amelyb˝ol egy egyszer˝ u transzform´aci´o r´ev´en kapjuk meg a t´enyleges n´odusra vett integr´al ´ert´ek´et. Ilyen referencia-elem lehet az N n´egyzet, amelyb˝ol eltol´assal ´es nagy´ıt´assal kapjuk meg az aktu´alis elemre vonatkoz´o integr´alt. A (9.34) egyenletben az al´abbi integr´alok szerepelnek. El˝osz¨or, a deriv´altakat tartalmaz´o tagb´ol: Z ∂Pi ∂Pj x dxdy (9.67) Sij = ∂x ∂x ZN ∂Pi ∂Pj dxdy. (9.68) Sijy = N ∂y ∂y 265
Ezeket a m´atrixokat ”stiffness” m´atrixoknak nevezik. A t¨obbi tagb´ol csak a polinomok szorzat´anak integr´alj´at kell ki´ert´ekelni: Z Mij = Pi (x)Pj (x)dxdy. (9.69) N
Megjegyezz¨ uk, hogy a (9.69) integr´alok kisz´am´ıt´as´at nem c´elszer˝ u a glob´alis koordin´at´ak haszn´alat´aval v´egezni. A gyakorlatban ´att´er¨ unk a lok´alis koordin´at´akra (ui -kre h´aromsz¨ogekben vagy ξ, η-ra n´egysz¨ogekben. Gyakran az is c´elszer˝ u, ha az integr´alokat egy etalonra (pl. egys´egn´egyzet) ´ert´ekelj¨ uk ki, az etalont nagy´ıt´asokkal a´tvissz¨ uk az aktu´alis elemre. A polinomokat a Pi (ξ, η) = Pi (hx ξ, hy η) transzform´aci´oval kapjuk meg a referencian´egyzeten kisz´am´ıtott integr´alb´ol. Ezzel m´ar fel´ırhat´o a megoldand´o egyenletrendszer is. Minden (i, `) indexp´arhoz tartozik az `-ik elemen el nem t˝ un˝o i-ed fok´ u polinom, a V t´erfogat megfelel˝o b´azisf¨ uggv´eny´enek indexe legyen i` . A (9.64) egyenletet skal´arisan szorozva az fj b´azissal, egy egyenletet kapunk a polinomok egy¨ utthat´oira: (fi ; Afj ) = (Q; fi ) ,
(9.70)
ide behelyettes´ıtve a (9.67), (9.68) ´es (9.69) kifejez´eseket, a megoldand´o egyenletben szerepl˝o m´atrix az al´abbi alakot ¨olti: A`ij
=
h` h` D` x ` z Six` j` hx
+
h` h` D` x ` z Siy` j` hy
h`x h`y z +D Si` j` + Σ`t h`x h`y h`z Mi` j` . ` hz `
(9.71)
A (9.71)-ban szerepl˝o integr´alokat analitikusan meg lehet hat´arozni. Amennyiben az A oper´atorban a deriv´altak egy¨ utthat´oi ´alland´ok az fi f¨ uggv´enyek tart´oin (azaz, azon a tartom´anyon, ahol fi 6= 0), a skal´arszorzat kifejezhet˝o a (9.67)-(9.68) integr´alokkal. Ne feledj¨ uk el, hogy a forr´astag nem csak k¨ uls˝o forr´ast jelenthet, ha a sz´am´ıt´asban az energiacsoportok sz´ama legal´abb kett˝o, a fenti egyenletet minden energiacsoportra meg kell oldani. Egy adott energiacsoportban forr´ask´ent megjelenik minden olyan folyamat, amelynek eredm´enyek´ent a neutronok energi´aja az egyik energiacsoportb´ol a m´asikba ker¨ ulhet. Ez´ert a (9.70) megold´asa ut´an iter´aci´ora van sz¨ uks´eg az energiacsoportok k¨oz¨ott is. 9.1. Feladat (A forr´ astag hasad´ as ´ es lassul´ as eset´ en) Amennyiben a neutronok energi´aja sz´or´as ´es hasad´as r´ev´en v´altozhat, a forr´astagban megjelennek e folyamatok hat´askeresztmetszetei is2 . Tov´abb´a, figyelembe kell venni, hogy a (9.70)egyenlet megold´asa is iter´aci´oval t¨ort´enik ennek sor´an pedig az egyes elemeken a fluxus (azaz a keresett 2
A reaktorfizik´ aban n¨ ovekv˝ o energi´ ahoz cs¨okken˝o (energiacsoport) index tartozik, ´ıgy a legmagasabb energi´ ahoz a g = 1 index tartozik.
266
megold´as) v´altozik, ez´ert a hasad´asi forr´asban c´elszer˝ u az el˝oz˝o iter´aci´os l´ep´es fluxus´at p haszn´alni. Jel¨olje Qg a p-ik iter´aci´os l´ep´esben a g-ik energiacsoport forr´astagj´at. Ekkor Qpg
=
X
Σg0 →g Φpg0
+
g 0
G X
χg νΣf g0 Φgp−1 . 0
(9.72)
g 0 =1
Itt (a kor´abbi jel¨ol´essel ellent´etben) χg a hasad´asok g-ik energiacsoportba es˝o h´anyad´at jelenti. A jel¨ol´es a Szatm´ary k¨onyv [43] jel¨ol´es´et k¨oveti. A forr´astagban teh´at a Φg f¨ uggv´enyek ismeretlenek, r´ajuk is vonatkozik a m´odszer alapgondolata, azaz, kifejtj¨ uk ˝oket a b´azisf¨ uggv´enyek szerint. A kifejt´esi egy¨ utthat´ok xj gp lesz, amely f¨ ugg a r´eszt´erfogat index´et˝ol (j), az iter´aci´o index´et˝ol (p) ´es az energiacsoportt´ol (g): Z N G X N XX X 0 0 gg 0 g 0 p p p Qg dV = Rij xj + Fijgg xjg p−1 . (9.73) qi = V
g 0
g 0 =1 j=1
A fenti kifejez´esben az al´abbi jel¨ol´est haszn´altuk fel: Z L X gg 0 χg νΣf g0 Pi Pj dV = χ`g νΣ`f g0 hx hy Mi` j` . Fij = V gg 0 Rij
(9.74)
`=1
Z =
Σ
g 0 →g
Pi Pj dV =
V
L X
Σ`g0 →g hx hy Mi` j` .
(9.75)
`=1
Az ´ıgy kapott nagym´eret˝ u line´aris egyenletrendszer megold´asa ism´et numerikus m´odszerekkel t¨ort´enik.
9.4.3.
Nod´ alis m´ odszer
A (9.2) ortogonalit´asi felt´etelekb˝ol egy egyenletrendszert kapunk a k¨ozel´ıt˝o megold´asban szerepl˝o egy¨ utthat´okra. Az egyenletrendszer m´erete ´es tulajdons´agai a m´odszer hat´ekonys´aga szempontj´ab´ol d¨ont˝o lehet. Amint l´attuk, az analitikus nod´alis m´odszer eset´eben a hiba egyed¨ uli forr´asa a peremfelt´etelek r´eszleges teljes¨ ul´ese. Az egyenletrendszer megold´as´ahoz el˝osz¨or a peremfelt´eteleket vizsg´aljuk meg, majd az egyenletek szerkezet´et ´es megold´as´anak egy hat´ekony m´odj´at, a konjug´altgradiens m´odszert. Az analitikus megold´as (9.57) alakj´anak k¨ovetkezm´enyek´ent a megold´ast a k-ik n´odusban k¨ovetkez˝o t¨om¨or alakba ´ırhatjuk: Φk (x) = Tk hfk (x)i ck ,
(9.76)
ahol Tk a k-ik n´odus hat´askereszmetszet-m´atrix´anak saj´atvektoraib´ol k´epzett m´atrix, az < fk (x) > diagon´alis m´atrix j, j-ik eleme a j-ik saj´at´ert´ekkel k´epzett (9.76) f¨ uggv´eny. A k-ik n´odus m-ik oldal´an a norm´alis a´ramot a fenti k´epletb˝ol kiindulva kapjuk: Jkm (x) = − < Dk > Tk hgk (x)i ck . 267
(9.77)
Amennyiben az a´ramok pontonk´enti vagy integr´alis folytonoss´ag´at k¨ovetelj¨ uk meg, a gk (x) f¨ uggv´enyt kell a megfelel˝o funkcion´allal (´ert´ek egy pontban vagy integr´al az oldalra) helyettes´ıteni. Ahhoz, hogy a V t´erfogat eg´esz´eben fel´ırjuk a bels˝o ´es k¨ uls˝o fel¨ uleteken a peremfelt´eteleket, a n´odusokat meg kell sz´amozni, ´es meg kell hat´arozni, melyek a szomsz´edos n´odusok. El˝osz¨or azt ellen˝orizz¨ uk, megegyezik-e az egyenletek sz´ama az ismeretlenek sz´am´aval. Az egyenletek sz´ama egyenl˝o az ´elek sz´ama szorozva az energiacsoportok sz´am´aval szorozva kett˝ovel, mert k´et folytonoss´agi felt´etel (fluxus ´es a´ram) tartozik minden bels˝o ´elhez ´es minden csoporthoz. A k¨ uls˝o ´elekhez energiacsoportonk´ent csak egy felt´etel tartozik. Az egyenletek sz´ama teh´at az energiacsoportok sz´ama szorozva bels˝o ´elek sz´am´anak k´etszerese plusz a k¨ uls˝o ´elek sz´am´aval. Az ismeretlenek sz´ama egyenl˝o a n´odusok sz´ama szorozva a n´odus ´eleinek ´es az energiacsoportok sz´am´aval. Mivel minden bels˝o ´el k´et n´odushoz, ´es minden k¨ uls˝o ´el csak egy n´odushoz tartozik, az ismeretlenek sz´ama megegyezik az egyenletek sz´am´aval. A folytonoss´agot le´ır´o egyenletek az ismeretlen ck -kban line´arisak, teh´at egy line´aris egyenletrendszert kell megoldani. Amennyiben a k¨ uls˝o ´eleken a peremfelt´etel homog´en, a kapott line´aris egyenletrendszernek csak akkor van nemtrivi´alis megold´asa, ha az egyenletrendszer m´atrixa szingul´aris. Ez annak a felt´etelnek az ´altal´anos´ıt´asa, hogy egy V t´erfogat csak akkor lesz kritikus, ha a hat´askeresztmetszetek olyanok, hogy a materi´alis buckling megegyezik az anyagi bucklinggel. Itt az egyenlet egy¨ utthat´oi a λ saj´at´ert´ekeken kereszt¨ ul f¨ uggenek a hat´askeresztmetszetekt˝ol. A folytonoss´agot le´ır´o egyenletrendszer minden sor´aban annyi nemnulla elem van, amennyi a szomsz´edos n´odusok sz´ama plussz egy. Bel´athat´o, hogy nagy n´odussz´am eset´en az egyenlet m´atrixa u ´n. ritka m´atrix, azaz a m´atrix minden sor´aban sokkal t¨obb a nulla mint a t¨obbi elem. Mag´at az egyenletrendszert nem ´ırjuk fel, mert szerkezet´eb˝ol nem k´ıv´anunk k¨ovetkeztet´est levonni. Amennyiben azonban az egyenletrendszert nem norm´alis ´aramokkal ´es fluxusokkal, hanem kimen˝o- ´es bemen˝o´aramokkal fogalmazzuk meg, a k¨ovetkez˝o egyszer˝ u alakra jutunk: J = RHJ (9.78) ahol J a kimen˝o´aramok vektora, a H m´atrix azt mutatja meg, melyik oldal melyik oldallal hat´aros V -ben, R pedig a bemen˝o´aramokb´ol kimen˝oa´ramot el˝oa´ll´ıt´o m´atrix, ami a diff´ uzi´os egyenlet analitikus megold´as´ab´ol meghat´arozhat´o. 9.2. Feladat (A H m´ atrix, sz´ amoz´ as) Vizsg´aljuk meg a sz´oban forg´o egyenletrendszert egy n´egyzet alak´ u V t´erfogaton, amelyet x ´es y ir´anyban is h´arom-h´arom n´egyzetre bontottunk f¨ol, ld. 9.2.. ´abra. Az iter´aci´o 24 parci´alis ´aram meghat´aroz´as´ara ir´anyul. Az egyes n´odusok hat´arait az ´elek sorsz´am´aval adjuk meg, ld. 9.1. t´abl´azat. A t´abl´azatot az al´abbi m´odon kell haszn´alni. A sz´am´ıt´as c´elja a kilenc n´odus 24 hat´ar´an meghat´arozni a parci´alis ´aramokat. Minden hat´arhoz k´et parci´alis ´aram tartozik. A kimen˝o´aramokat ov´ er vektor 24 elem˝ u, az al´ah´ un´odusonk´ent csoportos´ıtjuk: J = (J 1 , J 2 , . . . , J 9 ). A k¨ zott vektor n´egy elem˝ u (az adott n´odushoz tartoz´o parci´alis ´aramokat tartalmazza). A 268
9.3. a´bra. A H m´atrixhoz 9.1. N´odus 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t´abl´azat. N´odusok ´es ´elek megfeleltet´ese ´ Elek Szomsz´edok Szomsz´edok ´ele (1,4,21,22) (0,4,0,2) (0,1,0,3) (2,5,22,23) (0,5,1,3) (0,1,4,3) (3,6,23,24) (0,6,2,0) (0,1,4,0) (4,7,17,12) (1,7,0,5) (2,1,0,3) (5,8,18,19) (2,8,4,6) (2,1,4,3) (6,9,19,20) (3,9,5,0) (2,1,4,0) (7,10,13,14) (4,0,0,8) (2,0,0,3) (8,11,14,15) (5,0,7,9) (2,0,4,3) (9,12,15,16) (6,0,8,0) (2,0,4,0)
kimen˝o- ´es bemen˝o parci´alis ´aramok kapcsolat´at J i = Ri I i adja meg. Az I i bej¨ov˝o´aramokat a szomsz´edok kimen˝o´aramaib´ol kell ¨osszegy˝ ujteni. Adott i eset´en a t´abl´azat m´asodik oszlopa megadja a n´egy oldal ment´en szomsz´edos n´odus sorsz´am´at. Ha az adott ´el k¨ uls˝ o ´el, akkor nincs szomsz´ed, ott 0 ´all, ekkor a bemen˝o´aramot pl. az adott oldal kimen˝o´aram´ab´ol egy albed´oval val´o szorz´assal vagy m´as szab´allyal3 lehet megkapni. A t´abl´azat utols´ o oszlopa azt mutatja, hogy a szomsz´edos n´odusok nem azonos ´elei ´erintkeznek. A szab´aly: mindig azonos legyen az ´elek sz´amoz´asa, akkor egyszer˝ u a megfeleltet´es, eset¨ unkben az 1 − 2 ´es 3 − 4 indexeket kell felcser´elni. Az al´abbiakban azzal a k´erd´essel foglalkozunk, hogyan lehet a (9.78) egyenletet megoldani. Az egyenletrendszert ´ırjuk az al´abbi alakba: x = A(α)x. 3
(9.79)
Ha p´eld´ aul a k¨ uls˝ o fel¨ uleten a Φ = 2(J + I) = 0 peremfelt´etelt alkalmazunk, akkor I = −J. Itt I ´es J az adott oldal k´et parci´ alis ´ arama.
269
Itt explicit m´odon figyelembe vett¨ uk, hogy a m´atrixelemek f¨ uggv´enyei egy param´eternek (α-nak), ´es keress¨ uk az α param´eter azon ´ert´ek´et, ami mellett az egyenlet legnagyobb saj´at´ert´eke egyenl˝o eggyel. A tov´abbiakban ennek megold´as´aval foglalkozunk. Tekints¨ uk az al´abbi saj´at´ert´ek feladatot: A(α)q = λ(α)q. (9.80) Amennyiben α valamely ´ert´ek´en´el λ = 1, akkor q = x. Az al´abb ismertetett elj´ar´as adott α-hoz megkeresi a legnagyobb saj´at´ert´eket ´es azt u ´gy ´all´ıtja be, hogy λ = 1 legyen. A legnagyobb saj´at´ert´ek meghat´aroz´as´ahoz az al´abbi rekurzi´oval jutunk el. Vegy¨ unk egy tetsz˝oleges q1 vektort, majd hat´arozzuk meg i = 1 mellett a hi+1,i qi+1 = Aqi −
i X
hij qj
(9.81)
j=1
egyenletb˝ol q2 -t, ´es ism´etelj¨ uk a fenti elj´ar´ast i = 2, 3, . . . , K ´ert´ekekre. A (9.81) k´epletben hij = q+ (9.82) j Aqi , ahol a + fels˝o index a transzpon´al´ast jel¨oli. Ezut´an oldjuk meg a Hu = λu
(9.83)
egyenletet. Tekintettel arra, hogy a H m´atrix u ´n. fels˝o Hessenberg-m´atrix ´es rendje is csak K, a (9.83) feladat megold´asa j´oval egyszer˝ ubb, mint a (9.79) egyenlet´e. A saj´atvektor ismeret´eben egy j´oval pontosabb becsl´es adhat´o q ´ert´ek´ere az al´abbi m´odon: q ˜=
K X
u j qj .
(9.84)
j=1
Megmutathat´o, hogy a pontosabb becsl´essel u ´jra ind´ıtva az iter´aci´ot, p´ar l´ep´esben a saj´at´ert´ek hib´aja (9.83)-ben valamint a saj´atvektor hib´aja (9.84)-ban gyorsan cs¨okken. Ezzel adott α eset´en a λ(α) legnagyobb saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´atvektort meg lehet hat´arozni. Ezut´an m´ar csak az α param´eter megfelel˝o be´all´ıt´asa van h´atra. Ez egy egyszer˝ u gy¨okkeres´es jelent, a (λ − 1) f¨ uggv´eny gy¨ok´et kell megkeresni. Erre a c´elra a probl´ema term´eszet´et˝ol f¨ ugg˝oen egy sor numerikus recept k¨oz¨ ul v´alaszthatunk. A legegyszer˝ ubb α ´ert´ek´et az iter´aci´o sor´an (λ − 1)-gyel ar´anyosan v´altoztatni. A fent ismertetett m´odszert Arnoldi-m´odszernek nevezik. Sz´amos el˝onye van, t¨obbek k¨oz¨ott gyorsan konverg´al, automatikusan ad becsl´est a pontoss´agra ´es nem ig´enyel el˝ozetes spektrumbecsl´est.
270
9.5.
Diszkretiz´ aci´ o, invari´ ans megold´ as, a szimmetri´ ak kihaszn´ al´ asa
A fizik´aban megoldand´o perem´ert´ek-probl´em´ak t¨obbs´eg´eben nem ´all rendelkez´es¨ unkre analitikus megold´as. Szerencs´es esetben numerikus megold´as el˝o´all´ıthat´o. Ebb˝ol modern megjelen´ıt˝o eszk¨oz¨okkel k´esz´ıthet¨ unk grafikusan ´abr´azolhat´o megold´ast, ami j´ol szeml´elteti a pontos megold´as l´enyeges von´asait. A numerikus megold´as, amint kor´abban l´attuk, u ´gy ´all el˝o, hogy a vizsg´alt V t´erfogatot felbontjuk n´odusokra (elemekre), a megold´as viselked´es´et illet˝oen egy n´oduson bel¨ ul feltesz¨ unk, hogy a keresett megold´as adott f¨ uggv´enyekkel j´ol k¨ozel´ıthet˝o. Az egy¨ utthat´okat pedig egy egyenletrendszerb˝ol iter´aci´oval hat´arozzuk meg. Ebben az appar´atusban is szerep jut csoportelm´eleti megfontol´asoknak. Amennyiben ismerj¨ uk a megoldand´o egyenlet szimmetriacsoportj´at, G-t, lehet˝os´eg¨ unk van olyan f¨ uggv´enyeket v´alasztani a megold´as k¨ozel´ıt´es´ere, amelyek G irreducibilis altereibe esnek. Ez, amint l´atni fogjuk, a megoldand´o egyenletek egyszer˝ us¨od´es´ere vezet. A diszkretiz´aci´o sor´an a fed˝ocsoport is kihaszn´alhat´o. A numerikus m´odszerek pontosabb megold´ast adnak, amennyiben biztos´ıtott, hogy a diszkretiz´alt egyenletek rendelkeznek mindazokkal a szimmetri´akkal, amivel az eredeti egyenletek. Ezekr˝ol a k´erd´esekr˝ol lesz sz´o az al´abbiakban. Az ismertetett m´odszerek alkalmaz´asa els˝osorban a nemline´aris egyenletek megold´as´an´al ´es a k´aosz tanulm´anyoz´as´an´al jelent˝os.
9.5.1.
Mimetikus diszkretiz´ aci´ o
A v´eges diferenci´akkal foglalkoz´o alfejezetben le´ırt diszkretiz´aci´o t¨ok´eletesen megfelel a (9.21) egyenlet megold´as´ahoz. Azonban a plazmafizika vagy a termohidraulika ´araml´astani feladataiban vektormez˝ok (sebess´egt´er, elektromos t´erer˝o stb.) meghat´aroz´as´ara van sz¨ uks´eg. A v´eges differencia m´odszer egyenletei k¨ozel´ıt˝o jelleg˝ uek, ez´ert el˝ofordulhat, hogy m´ıg az analitikus egyenletek rot´aci´omentes teret ´ırnak le, addig a numerikus megold´as rot´aci´oja m´ar nem lesz nulla. A probl´ema megold´as´at jelenti a mimetikus diszkretiz´aci´o. Az elnevez´es abb´ol ered, hogy a k¨ozel´ıt˝o egyenletek ”m´ımelik” az analitikus egyenletek bizonyos tulajdons´agait (megmarad´asi t¨orv´enyeket, rot´aci´omentess´eget s.´ı.t). Al´abb egy, a nyolcvanas ´evekben kifejlesztett m´odszert ismertetj¨ uk r¨oviden. Tekints¨ uk a valamely L(V ) f¨ uggv´enyt´eren megoldand´o feladatot az (x, y, z) koordin´at´akkal jellemzett V t´eren, amelyet felbontunk t´eglatestekre. Egy t´eglatestet hat lap hat´arol, a lapokat pedig 12 ´el hat´arolja, az ´elek pedig 8 cs´ ucspontban tal´alkoznak. ijk ijk A cs´ ucspontok legyenek P1 = (xi , yj , zk ),P2 = (xi+1 , yj , zk ), P3ijk = (xi , yj+1 , zk ), P4ijk = (xi+1 , yj+1 , zk ), P5ijk = (xi , yj , zk+1 ), P6ijk = (xi+1 , yj , zk+1 ), P7ijk = (xi , yj+1 , zk+1 ), P8ijk = (xi+1 , yj+1 , zk+1 ), ahol 1 ≤ i ≤ M , 1 ≤ j ≤ N , 1 ≤ k ≤ O. A t´eglatest k¨oz´eppontja legyen C ijk , a t´eglatest t´erfogata Vi,j,k . Ugyanezen t´eglatest h´arom lapja legyen Fxijk , amelyet a P1ijk ,P2ijk , P5ijk , P6ijk pontok hat´aroznak meg; Fyijk , amelyet a P1ijk ,P4ijk , P5ijk , P8ijk pontok hat´aroznak meg, ´es Fzijk , 271
amelyet a P1ijk ,P2ijk , P3ijk , P4ijk pontok hat´aroznak meg. A fenti lapok k¨oz´eppontjait ijk jel¨olje Lijk es Lijk oz´eppontokhoz rendelt norm´alisok ir´anya legyen +y, +x ´es 1 , L2 ´ 3 . A k¨ +z. A P1ijk pontban ¨osszefut´o h´arom ´el legyen Hxijk , Hyijk , ´es Hzijk . Az ´elek k¨oz´eppontjainak koordin´at´aja legyen Exijk , Eyijk , ´es Ezijk . A r´acson ´ertelmezn¨ unk kell skal´arf¨ uggv´enyeket ´es vektorf¨ uggv´enyeket. A vektorf¨ uggv´enyeket ´ırjuk le a t´eglatestek k¨oz´eppontj´aban vagy pedig a r´acspontokban felvett ´ert´ekekkel. A vektorf¨ uggv´enyeket pedig ´ırjuk le az ´eleken ill. a lapok k¨oz´eppontjainak norm´alisa ir´any´aba es˝o komponensek ´ert´ekeivel. A tov´abbiakban a jel¨ol´es egyszer˝ us´ıt´ese ´erdek´eben k´etdimenzi´os esettel foglalkozunk, feltessz¨ uk, hogy a z ir´any´ u m´eretek egys´egnyiek. A tov´abbiakban a k¨ ul¨onf´ele m´odon t´arolt f¨ uggv´enyekre tereket vezet¨ unk be. A 9.3.1 fejezetben le´ırt diszkretiz´aci´o eset´eben is a skal´ar megold´ast a r´acspontokban kaptuk meg, az ´aramokat viszont a feles r´acspontokban, ez azonban m´eg nem k¨ovetelt meg formaliz´aci´ot. Itt azonban a skal´arokat is t¨obb ponton t´arolhatjuk, a vektorokat is, ez´ert indokolt a gondosabb elj´ar´as.
9.4. a´bra. Az U (x, y) skal´arf¨ uggv´eny Ui,j diszkretiz´alt ´ert´ekei az (i, j) cella k¨oz´eppontj´aban ´es a k¨ uls˝o ´elek k¨oz´eppontjaiban
Legyen R a r´acspontok halmaza. Egy skal´ar f¨ uggv´enyt minden pontban egyetlen (val´os vagy komplex) sz´ammal jellemz¨ unk. Legyen C a t´eglatest-k¨oz´eppontok halmaza. Legyen F a lapk¨ozepek halmaza. Egy vektor- f¨ uggv´enyt a h´arom lapk¨oz´ep norm´alisa ir´any´aban es˝o komponenssel jellemz¨ unk. Legyen E a P ijk pontokban ¨osszefut´o ´elek halmaza. Egy vektor- f¨ uggv´enyt a h´arom ´el norm´alisa ir´any´aban es˝o komponenssel jellemz¨ unk. (Ld. 9.2 t´abl´azat.) Ezzel a diszkretiz´aci´ot jellemezt¨ uk. 272
9.5. a´bra. Az U (x, y) skal´arf¨ uggv´eny r´acspontokban t´arolt ´ert´ekei 9.2. t´abl´azat. A mimetikus diszkretiz´aci´o terei Ponthalmaz Jel¨ol´es k¨oz´eppontok C lapk¨ozepek F r´acspontok R ´elek E A sz´am´ıt´asokhoz azonban elengedhetetlen szab´alytalan n´egysz¨ogek alkalmaz´asa a diszkretiz´aci´oban. A szab´alytalan n´egysz¨ogek eset´en az al´abbi jellemz˝okre lesz sz¨ uks´eg. Ha n´egyzet alak´ u cell´akra bontjuk a vizsg´alt V t´erfogatot, lehet˝ov´e kell tenni a´ltal´anos n´egysz¨ogek haszn´alat´at is. Az ´altal´anos n´egysz¨ogeket mutatja az 9.5.1. ´es 9.5.1. a´bra. A 9.5.1. a´br´an r´acspontokban t´arolt skal´arf¨ uggv´eny (R t´er) eset´et, a 9.5.1. a´br´an pedig a cellak¨oz´eppontokban t´arolt skal´ar (C t´er) ´es az ´elk¨ozepeken t´arolt vektor (E t´er) elemeit mutatjuk be. Az (i, j, k) ´es (i + 1, j, k) ´el hossza lx(i+1/2,j,k) . Az (i, j, k) ´es (i, j + 1, k) ´el hossza ly(i,j+1/2,k) . Az (i, j, k) ´es (i, j, k + 1) ´el hossza lz(i,j,k+1/2) . K´etdimenzi´os cella eset´en lz(i,j,k+1/2) = 1. Az (i, j, k)-(i, j + 1, k)- (i, j, k + 1)- (i, j + 1, k + 1) pontok ´altal meghat´arozott fel¨ ulet nagys´aga Fx(i,j+1/2,k+1/2) . Hasonl´ok´eppen az (i, j, k)- (i+1, j, k)- (i, j, k+1)(i + 1, j, k + 1) pontok ´altal meghat´arozott fel¨ ulet nagys´aga Fy(i+1/2,j,k+1/2) . A k´etdimenzi´os (2D) cell´at olyan h´aromdimenzi´os cellak´ent a´br´azoljuk, amelynek magass´aga egys´egnyi. A 2D cella k¨oz´eppontja (i + 1/2, j + 1/2), fel¨ ulete Fz,i+1/2,j+1/2,k , ami a megfelel˝o 3D cella t´erfogata is. A (i+1/2, j +1/2) 2D cella fel¨ ulete Fz(i+1/2,j+1/2,k) . Az (i+1/2, j +1/2) 2D cella t´erfogat´at (mivel magass´aga egys´egnyi) Fz(i+1/2,j+1/2,k) = V( i+1/2, j+1/2) jel¨oli. Mivel a 2D cella egys´egnyi magass´ag´ u mer˝oleges prizma, nyilv´an fenn´allnak az al´abbi
273
ugg´esek: ¨osszef¨ Fx(i,j+1/2,k+1/2) = ly(i,j+1/2,k) lz(i,j,k+1/2) = ly(i,j+1/2,k) Fy(i+1/2,j,k+1/2) = lx(i+1/2,j,k) lz(i,j,k+1/2) = lz(i+1/2,j,k) .
(9.85) (9.86)
¨ Ugyelni kell arra, hogy a fenti jel¨ol´es nem egy´ertelm˝ u. Az Fx(i,j+1/2) ´es Fy(i+1/2,j) jel¨ol´esek a 3D-ban egy fel¨ uletet jelentenek, amelyet a i, j, k, i, j + 1, k, i, j, k + 1, i, j + 1, k + 1 pontok fesz´ıtenek ki, ugyanakkor mivel a prizma egys´egnyi magass´ag´ u, az i, j– i, j + 1 ´es az i + 1, j ´elek hossza egyenl˝o az Fx(i,j+1/2) ´es Fy(i+1/2,j) fel¨ uletelemek felsz´ın´evel is. Most r¨ogz´ıtj¨ uk a skal´arok ´es vektorok ´ertelmez´es´et a bevezetett diszkretiz´aci´oban. K´etdimenzi´os esetben: legyen U (x, y) egy skal´ar f¨ uggv´eny, az Ui+1/2,j+1/2 ´ert´ekekkel defini´aljuk U (x, y) ´ert´ek´et az E t´eren, vagyis az ´elk¨ozepeken (cella k¨ozep˝ u diszkretiz´aci´o). A peremfelt´etelek teljes´ıt´ese az U1,j+1/2 ´es UM,j+1/2 , valamint az Ui+1/2,0 ´es Ui+1/2,N pontokban sz¨ uks´eges. H´arom dimenzi´oban a cella k¨ozep˝ u skal´ar f¨ uggv´enyt a 3D has´ab k¨ozep´en (C t´er) vessz¨ uk fel. A diszkretiz´alt f¨ uggv´eny ´ert´ekeit a diszkretiz´al´as pontj´anak indexeivel l´atjuk el.
9.6. a´bra. Jel¨ol´esek a diszkretiz´aci´ohoz
Feltessz¨ uk, hogy a vektoroknak h´arom komponense lehet, de 2D-ban a komponensek csak k´et helyv´altoz´ot´ol f¨ uggenek. Az F t´er az adott fel¨ uletre mer˝oleges vektorkomponenseket t´arolja. Az ´elek ir´any´aba es˝o komponenseket az E t´er t´arolja4 Amennyiben a 4
Vegy¨ uk ´eszre, hogy az ´elek seg´ıts´eg´evel t´aroltuk a skal´arokat is, az ´elk¨ozepeken, teh´at feles index˝ u pontokban. A vektorokat val´ oj´ aban az (i, j, k) pontokhoz tartoz´o h´arom ir´anyban t´aroljuk, de eg´esz index˝ u pontokban.
274
3D E t´erben diszkretiz´alt vektort vet´ıtj¨ uk a z tengelyre mer˝oleges s´ıkra, a vektorkomponensek mer˝olegesek lesznek a 2D cella oldalaira, tov´abb´a kapunk egy vektort a cella k¨oz´eppontj´aban, amely mer˝oleges a 2D cella s´ıkj´ara. A t¨obbf´ele t´arol´asi m´od miatt a diszkretiz´alt vektorok jel¨ol´esm´odj´aban a t´arol´as m´odj´at is jelezni kell. Ez´ert a vektor jele ut´an ´ırt F ill. E fog utalni, hogy fel¨ uleteken vagy ´eleken t´arolt vektorr´ol van sz´o. Ezzel megteremtett¨ uk annak felt´eteleit, hogy a vektorkalkulus diszkr´et analogonj´at le´ırjuk.
9.5.2.
A div, grad ´ es rot oper´ atorok diszkretiz´ alt alakja
uggv´eny. A div oper´ator alapja Gauss diverLegyen W egy vektor, u pedig egy skal´arf¨ genciat´etele: H (W n)dF . (9.87) divW = lim ∂V V →0 V A div oper´ator az F t´erb˝ol a C t´erbe k´epez le, vagyis, olyan vektor divergenci´aj´at tudjuk a div oper´atorral k´epezni, amelyeket a cell´ak fel¨ ulet´ere norm´alis komponensekkel adtunk meg. Az eredm´eny pedig a cella k¨oz´eppontj´aban adott. A diszkretiz´alt div oper´ator alakja: 1 {(W Fx,i+1,j Fx,i+1,j − W Fx,i,j Fx,i,j ) + (W Fy,i,j+1 Fy,i,j+1 − W Fy,i,j Fy,i,j )} . Vi,j (9.88) A grad oper´ator l egys´egvektor ir´any´aba es˝o komponens´et (W C)i,j =
W =
∂u = (gradul), ∂l
(9.89)
amelynek diszkretiz´alt v´altozata 2D-ban: uC,i+1,j − uC,i,j lx,i,j uC,i,j+1 − uC,i,j = . ly,i,j
WEx,i,j = WEy,i,j
(9.90) (9.91)
A grad oper´ator a C t´erb˝ol az E t´erbe k´epez le, vagyis, a cellak¨ozepekben megadott skal´arokb´ol ´eleken megadott vektorokat ´all´ıt el˝o. Az rot oper´ator alakja fel´ırhat´o a Stokes-t´etel alapj´an, melynek alakja H W ldl (nrotW ) = lim . (9.92) S 0 →0 S0 Legyen R = rotW , ekkor RFz,i,j =
WEy,i+1,j ly,i+1,j − WE,y,i,j ly,i,j . WEx,i,j+1 lx,i,j+1 − WEx,i,j lx,i,j 275
(9.93)
A rot oper´ator az E t´erb˝ol az F t´erbe k´epez le, azaz, ´eleken adott vektorokb´ol fel¨ uleten adott vektorokat ´all´ıt el˝o. ¨ Osszesen hat vektorderiv´altat k¨ ul¨onb¨oztet¨ unk meg. Az al´abbiakban ezeket soroljuk fel. A deriv´altak k´etdimenzi´os cell´akra vonatkoznak. A 9.5.1. ´es 9.5.1. rajzokon felt¨ untetett diszkretiz´alt t´erfogatokat vizsg´aljuk, a cell´akat az (i, j) indexekkel azonos´ıtjuk. A r´acst´avols´agok hXi ´es hYj . Bevezetj¨ uk az al´abbi differenciaoper´atorokat: (δx U )i,j = Ui+1/2,j − Ui−1/2,j
(9.94)
(δy U )i,j = Ui,j+1/2 − Ui,j−1/2 .
(9.95)
Itt U tetsz˝oleges skal´ar f¨ uggv´eny, i, j a kor´abbiakkal ellent´etben f´el vagy eg´esz ´ert´ekeket is felvehet. 1. A div oper´ ator. Minden 1 ≤ i ≤ M − 1, 1 ≤ j ≤ N − 1 cell´ara a div oper´ator az i + 1/2, j + 1/2 cellak¨ozepeken adja meg a divergencia ´ert´ek´et: divWi+1/2,j+1/2 =
(δx WF x )i+1/2,j+1/2 (δx WF y )i+1/2,j+1/2 + hXi hYj
(9.96)
A div oper´atorral el˝o´all´ıtott skal´ar teh´at a cellak¨ozepeken van megadva. 2. A grad oper´ ator. A grad = (GEx , GEy ) oper´ator az ´elk¨ozepeken adja meg a gradiens komponenseit. δx U i+1/2,j (9.97) GEx,i+1/2,j = hXi δx U i,j+1/2 GEy,i,j+1/2 = . (9.98) hYj 3. A rot oper´ ator. A rotB = (RF x , RF y , RF z ) oper´ator a lapk¨ozepeken adja meg a rot´aci´o komponeneseinek ´ert´ek´et (ezt 3D-ban adjuk meg). A vektort az ´eleken felvett ´ert´ekeivel ´ırjuk le: B = (BEx , BEy , BEz ). RF x,i,j+1/2 =
δx BEz,i+1/2,j hXi δx BEy,i+1/2,j+1/2 δy BEx,i+1/2,j+1/2 = − hXi hYj
RF y,i+1/2,j = RF z,i+1/2,j+1/2
δy BEz,i,j+1/2 hYj
276
(9.99)
(9.100) (9.101)
4. A grad oper´ ator. A gradU = (GF x , GF y ) oper´ator a lapk¨ozepeken adja meg a gradiens komponenseit az U skal´arf¨ uggv´eny ´elk¨ozepeken diszkretiz´alt ´ert´ekeib˝ol. Bels˝o ´eleken δx U i,j+1/2 (9.102) GF x,i,j+1/2 = 0.5(hXi−1 + hXi ) GF y,i+1/2,j =
δy U i+1/2,j 0.5(hYj−1 + hXj )
.
(9.103)
A k¨ uls˝o hat´arokon a gradiens egyoldal´ u differenci´akkal van megadva, pl. i = 1, 1 ≤ j ≤ N − 1 eset´en, G(F x, 1, j + 1/2) =
U3/2,j+1/2 − U1,j+1/2 0.5hX1
(9.104)
Ui+1/2,3/2 − Ui+1/2,1 0.5hY1
(9.105)
´es j = 1, 1 ≤ i ≤ M − 1 eset´en G(F y, i + 1/2, 1) =
5. A div oper´ ator. Bels˝o pontokra 2 ≤ i ≤ M − 1, 2 ≤ j ≤ N − 1 a div oper´ator az i, j n´odusokban (azaz, a diszkretiz´aci´o pontjaiban) adja meg a divergencia ´ert´ek´et: (divW )i,j =
δy WEy,i,j δx WEx,i,j + 0.5(hXi + hXi−1 ) 0.5(hYj + hYj−1 )
(9.106)
6. A rot oper´ ator. A rotB = (REx , REy , REz ) oper´ator az ´elk¨ozepeken adja meg a rot´aci´o komponeneseinek ´ert´ek´et (ezt 3D-ban adjuk meg). A vektort az ´eleken felvett ´ert´ekeivel ´ırjuk le. 1 ≤ i ≤ M − 1, 1 ≤ j ≤ N -re: REx,i+1/2,j =
δy B(F z, i + 1/2, j 0.5(hYj−1 + hYj )
(9.107)
δx B(F z, i, j + 1/2 0.5(hXi−1 + hYi )
(9.108)
1 ≤ i ≤ M − 1, 1 ≤ j ≤ N − 1-re: REy,i+1/2,j = 1 ≤ i ≤ M , 1 ≤ j ≤ N − 1-re: REz,i,j =
δx B(F y, i, j 0.5(hXi−1 + hXi )
277
(9.109)
Sz¨ uks´eg van m´eg a skal´arszorzatok defini´al´as´ara. A skal´arszorzat k´et vektorhoz, (A, B)-hez rendel egy skal´art. A cellak¨oz´epben defini´alt skal´arszorzat ´ıgy sz´am´ıthat´o: i+1/2,j+1/2
1 X
(AB)i+1/2,j+1/2 =
k,l=0
h
Vi+k,j+l
sin2 φi+1/2,j+1/2 i+k,j+l
AF x,i+k,j+1/2 BF x,i+k,j+1/2 + AF y,i+1/2,j+l BF y,i+1/2,j+l + (−1)k+l (AF x,i+k,j+1/2 BF y,i+1/2, (9.110)
Itt a ”V ” s´ ulyok nemnegat´ıvak ´es 1 X
V i+1/2,j+1/2 i+k,j+l = 1.
k,l=0
A φi+1/2,j+1/2 sz¨og k´et sz´ar´at az (i, j), (i + 1, j) pontokat ´es az (i + 1, j), (i + 1, j + 1) pontokat ¨osszek¨ot˝o szakaszok alkotj´ak. Amennyiben a vektorokat a lapokon felvett ´ert´ekeivel adjuk meg, a skal´arszorzat ´ıgy ´ırhat´o fel: X X X [A, B] = AF x,i,j+1/2 BF x,i,j+1/2 + AF y,i+1/2,j BF y,i+1/2,j + AF z,i+1/2,j+1/2 BF z,i+1/2,j+1/2 . i,j
i,j
i,j
(9.111) A diszkretiz´alt t´erfogat eg´esz´ere vett skal´arszorzat kisz´am´ıt´as´ara sz¨ uks´eg van a r´acspontokban adott skal´arok, mint vektorok, ´es a r´acspontokban adott vektorok eset´eben is. Az el˝obbi esetben legyen U, V a skal´arok ´ert´eke. A skal´arszorzat most a r´acs belsej´eben a k¨oz´eppontokban felvett ´ert´ekekkel, a peremen pedig pedig az ´elk¨ozepen (ld. 9.5.1. ´abra) felvett ´ert´ekekkel sz´am´ıthat´o az al´abbi m´odon: [U, V ]C =
M −1 N −1 X X
M −1 X
Ui+1/2,1 Vi+1/2,1 +
i=1 j=1
N −1 X
Ui+1/2,j+1/2 Vi+1/2,j+1/2 +
i=1
M −1 X
UM,j+1/2 VM,j+1/2 +
j=1
i=1
(9.112) Diszkretiz´alt A, B vektorok eset´eben a skal´arszorzat alakja: [A, B]V =
M N −1 X X
AF x,i,j+1/2 BF x,i,j+1/2 +
M −1 X N X
i=1 j=1
AF x,i+1/2,j BF x,i+1/2,j .
(9.113)
i=1 j=1
Most bemutatjuk a fentebb bevezetett diszkretiz´alt oper´atorok n´eh´any tulajdons´ag´at. A Gauss-t´etel folytonos v´altozata: Z I divW dV, (9.114) W ndF = V
∂V
278
Ui+1/2,N Vi+1/2
9.3. t´abl´azat. Diszkretiz´alt vektoroper´atorok ´ertelmez´esi tartom´anya ´es ´ert´ekk´eszlete ´ ´ ekk´eszlet Oper´ator Ertelmez´ esi tartom´any Ert´ div F C grad C F grad C F rot F divgrad C C rotrot F F graddiv F F divrot E C ahol V egy t´erfogat, amelynek hat´ara ∂V , n a fel¨ ulet norm´alisa az adott pontban. A diszkretiz´alt v´altozat fel´ır´as´ahoz sz¨ uks´eg¨ unk lesz egy u skal´arf¨ uggv´eny t´erfogati integr´alj´ara, amelyet ´ıgy sz´am´ıtunk ki: Z X udV = uC,i,j Vi,j . (9.115) IV (u) = V
i,j
Egy W vektorf¨ uggv´eny F fel¨ uletre vett integr´alj´anak diszkretiz´alt v´altozat´at ´ıgy kapjuk meg: Z X X X WF z,i,j Fz,i,j . (9.116) WF y,i,j Fy,i,j + WF x,i,j Fx,i,j + W ndF = IF (W ) = F
x
y
z
9.3. T´ etel (Gauss-divergenciat´ etele) A (9.114) egyenlet diszkretiz´alt v´altozata: IV (divW ) = IF (W ).
(9.117)
9.1. Feladat A t´etel bizony´ıt´asa a (9.88) k´eplet linearit´as´anak k¨ozvetlen folyom´anya. 9.4. T´ etel Egy W = gradW 0 vektorf¨ uggv´eny diszkr´et vonalintegr´alja tetsz˝oleges folytonos, z´art g¨orbe ment´en nulla. Amennyiben az integr´al´as u ´tja nem z´art, az integr´al ´ert´eke csak a kezd˝o ´es v´egpont f¨ uggv´enye, de f¨ uggetlen az integr´al´as u ´tj´at´ol. V´egezet¨ ul ¨osszefoglaljuk n´eh´any vektoroper´ator ´ertelmez´esi tartom´any´at ´es ´ert´ekk´eszlet´et.
9.5.3.
Diszkretiz´ alt, invari´ ans megold´ as
A legegyszer˝ ubb eset, amikor a diszkretiz´alt egyenletet egy r´acson k´ıv´anjuk megoldani, p´eld´aul a v´eges differenci´ak m´odszer´evel. Ekkor a diszkretiz´alt egyenletek fel´ır´as´an´al 279
u ¨gyelni kell arra, hogy a diszkretiz´alt egyenletek rendelkezzenek mindazzal a szimmetria´val, amivel az eredeti egyenlet rendelkezett. A folytonos v´altoz´okkal tekintett egyenlet szimmetri´ait az 5. fejezetben vizsg´altuk, azok Lie-csoportok, amelyeket gener´atorokkal jellemezz¨ uk. A diszkretiz´al´as annyi v´altoz´ast hoz be, hogy az R2 t´er helyett a Z2 teret kell vizsg´alni. A diszkretiz´alt egyenletekkel kapcsolatban t¨obbf´ele n´ezet is kialakult. Shokin szerint az egyenlet foksz´am´an´al eggyel nagyobb fok´ u vektort´eren hat´o v´eges dif(n+1) ferencia s´em´akat kell vizsg´alni a pr (u, x), ld. 5. fejezet, t´eren. A differencia s´ema szimmetri´ai csoportot alkotnak, ez lesz a diszkretiz´alt egyenlet csoportja. Ebben az esetben az egyre magasabb k¨ozel´ıt´est jelent˝o differencia s´em´ak nem adnak egyre pontosabb eredm´enyt, hiszen a magasabb k¨ozel´ıt´est ad´o egyenletek szimmetri´aj´at semmi sem biztos´ıtja. Axford, Dorodnyicin ´es m´asok szerint egy differencia s´ema akkor invari´ans egy adott csoporttal szemben, ha az invariancia fenn´all a r´acson. Ebben az esetben az egyre pontosabb differencia s´em´ak tartanak az egzakt megold´ashoz. Az al´abb ismertetett elj´ar´as Dorodnyicin [6] gondolatmenet´et k¨oveti, a tov´abbiakban az 5. fejezetben megismert technik´at fogjuk alkalmazni. ´ Alljon a Z halmaz a z = (x, u, u1 , u2 , . . . ) elemekb˝ol, ahol x = (x1 , . . . , xp ) a f¨ uggetlen 1 q v´altoz´okat, u = (u , . . . , u ) pedig a f¨ ugg˝o v´altoz´okat jel¨oli. Az els˝o deriv´altak jel¨ol´es´ere k k az u1 = {ui = (∂u /∂xi ), i = 1, . . . , p; k = 1, . . . , q} jel¨ol´est alkalmazzuk. A magasabb rend˝ u parci´alis deriv´altak ¨osszess´eg´et (teh´at az ¨osszes s-ed rend˝ u parci´alis deriv´altat us jel¨oli, s = 1, 2, 3, . . . . Az (x, u, u1 , u2 , . . . ) v´altoz´okb´ol kiv´alasztott v´eges sok v´altoz´o jel¨ol´es´ere z szolg´al, ennek egyik koordin´at´aj´at zi -vel jel¨olj¨ uk. Az i-ik t´erkoordin´ata (azaz xi ) szerinti teljes deriv´alt oper´ator´at Di =
∂ ∂ ∂ + uki k + ukji k + . . . ∂xi ∂u ∂uj
(9.118)
jel¨oli, v.¨o. (5.55). A-val jel¨olj¨ uk a Z halmazon lok´alisan analitikus f¨ uggv´enyek ter´et, amelyek v´eges sok Z-beli v´altoz´o f¨ uggv´enyei. A a´ltal´anos eleme F (z) = (f1 (z), f2 (z), . . . , fn (z)) ∈ A. Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges a param´etert˝ol f¨ ugg˝o sokas´agot, aminek elemeit a k¨ovetkez˝o hatv´anysorral adjuk meg: ∞ X Aik (z)ak . (9.119) fi (z, a) = k=0
Itt Aik ∈ A ´es defin´ıci´o szerint Ai0 = zi . A (9.119) form´alis sorok k¨oz¨ott ´ertelmezhet˝o az uvelete. Ez ut´obbi annak k¨ovetkezm´enye, ¨osszead´as, a sz´ammal val´o szorz´as ´es a szorz´as m˝ hogy k´et A-beli f¨ uggv´eny szorzata szint´en A-ban lok´alisan analitikus f¨ uggv´enye v´eges sok Z-beli v´altoz´onak. Vizsg´alatunkat azokra a (9.119) hatv´anysorokra korl´atozzuk, amelyekre fenn´all fi (fi (z, a), b) = fi (z, a + b). Mivel a (9.119) alak´ u transzform´aci´o A egyik elem´et (legyen az zi ) A m´asik elem´ebe (legyen az zj ) transzform´alja, tekinthetj¨ uk
280
az al´abbi lek´epez´esnek: zj (z, a) = fj (z, a) = eaX (zi ) ≡
∞ X as s=0
s!
X s (zi ).
(9.120)
Itt a-nak ´es X-nek s kitev˝oje, nem pedig indexe, X pedig a csoport infinitezim´alis gener´atora, azaz (2.55)-nek megfelel˝oen a csoport infinitezim´alis gener´ator´at ∂fi (z, a) i X = ξ (z)∂xi ; i = 1, 2, . . . ; ξi (z) = (9.121) ∂a a=0
alakba ´ırhatjuk. Az X a´ltal gener´alt csoportban a tetsz˝oleges ´ert´eket felvehet. A csoport inverze adott a eset´en −a, egys´egeleme az a = 0-hoz tartoz´o elem. A diszkretiz´alt esetre, azaz a r´acsra pedig u ´gy t´erhet¨ unk ´at, hogy a ´ert´ek´et egy r¨ogz´ıtett eltol´as (az xi tengely ment´en hi ) eg´esz sz´am´ u t¨obbsz¨or¨os´enek vessz¨ uk. Ezen a r´acson az i-edik ir´anyban l´ephet¨ unk el˝ore ´es h´atra, aminek megfeleltetj¨ uk az Si ´es az Si +h
−h
oper´atorokat: Si +hi
hi Di
=e
=
∞ X (hi )s−1
s!
s=1
Si = e−hi Di = −hi
∞ X (−hi )s−1
s!
s=1
Dsi
(9.122)
Dsi .
(9.123)
Ezen oper´atorok seg´ıts´eg´evel bevezethetj¨ uk a diszkr´et baloldali (Di ) ´es jobboldali (Di ) +h
−h
differenci´aloper´atorokat (egy egyenletes diszkretiz´aci´on, v.¨o. Bakirova et al. J. Phys. A: Math. Gen. 30(1997)p. 8141): Di = hi
Di = −hi
Si +h
−1 (9.124)
hi 1 − Si − −hi
hi
.
(9.125)
Itt {hi } az xi koordin´ata diszkretiz´al´as´anak egyenletes l´ep´ese. 9.2. Feladat (A D oper´ atorok alkalmaz´ asa) A (9.124) k´et egyenlet´eb˝ol k¨ovetkezhi
nek az al´abbi tulajdons´agok: D (x) = 1
(9.126)
±h
D (u) = u1 − hu2
−h
h
D u = u1
+h
D (u1 ) −h +h
(9.127)
h
(9.128)
h
= u2 . h
281
(9.129)
9.3. Feladat (A Leibnitz-szab´ aly) Az olvas´ora b´ızzuk az al´abbi k´et azonoss´ag bizony´ıt´as´at: Legyen F, G ∈ A. Ekkor fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: D(F G) = D(F )G + D(G)F + hD(F )D(G) h
h
h
h
(9.130)
h
D (F G) = D (F )G + D (G)F − hD (F )D (G)
−h
−h
−h
−h
(9.131)
−h
A fentiek seg´ıts´eg´evel tetsz˝oleges parci´alis deriv´alt diszkr´et megfelel˝oj´et defini´alhatjuk. A tov´abbiakban a h´atra ir´anyban vett differenci´at fel¨ ulvon´assal k¨ ul¨onb¨oztetj¨ uk meg az el˝ore ir´anyba vett differenci´at´ol. 9.4. Feladat (Az S eltol´ asoper´ ator haszn´ alata) A jel¨ol´es jobb meg´ert´ese c´elj´ab´ol be´ mutatjuk az eltol´asoper´ator haszn´alat´at egyszer˝ u p´eld´akon. Alljon a diszkretiz´alt Z t´er h
egyetlen u f¨ uggv´enyb˝ol, annak legyen egyetlen f¨ uggetlen v´altoz´oja x. Ekkor a Z t´er elemei: h
Z = (x, u, u1 , u2 , . . . ). h
(9.132)
h
h
Legyen u(x) = x. Ekkor S (u) = x − h,
S (u) = x + h.
−h
(9.133)
+h
´ aban pedig Altal´ u = u − hu1 + h2 u2 + . . .
−h
h
(9.134)
h
´es u = u + hu1 + h2 u2 + . . .
+h
h
(9.135)
h
Az els˝o diszkretiz´alt deriv´alt: u1 = u1 − hu2 + h2 u3 + . . . −h
h
h
(9.136)
h
u1 = u1 + hu2 + h2 u3 + . . . +h
h
h
(9.137)
h
´ aban Altal´ u2k+1 = u −h
h 2k+1
− hu
h 2k+2
+ h2 u
h 2k+3
+ ...
(9.138)
Jegyezz¨ uk meg, hogy az S eltol´asok r¨ogz´ıtett h mellett nem alkotnak csoportot. P´eld´aul h
S2 u = S(u + hu1 ) = u + 2hu + h2 u2 + h2 u3 6= S (u) = u + 2hu . h
h
h
h1
h
282
h
2h
h1
(9.139)
A differencia oper´ator D tulajdons´agai k¨ovetkeznek az eltol´asoper´ator tulajdons´agaih
b´ol: D (u) = u1 − hu2
−h
h
h
D (u1 ) −h h
= u2 .
(9.140)
h
R¨oviden kit´er¨ unk a v´egesdifferencia-oper´atorok egyes tulajdons´agaira. A D ´es S ±h
±h
oper´atorok k¨oz¨ott fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: D = D S = SD h
−h+h
h −h
´es D = D = S = S D.
−h
−h
−h+h
+h
Defin´ıci´o szerint az eltol´as hat´asa egy F ∈ A f¨ uggv´enyre S (F (z)) = F ( S (z)).
±h
±h
Megjegyezz¨ uk, hogy a modern numerikus m´odszerek (¨onadapt´ıv diszkretiz´aci´o, mozg´ o diszkretiz´aci´o, multigrid m´odszerek) megk¨ovetelik szab´alytalan diszkretiz´aci´o haszn´alat´at. A v´eges differencia egyenletet az ωh r´acson5 az F (z) = 0
(9.141)
form´aba ´ırjuk, ahol z ∈ Z. Itt a diszkretiz´alt F f¨ uggv´eny a diszkretiz´alt A t´er elemeib˝ol ker¨ ul ki. Ezt az egyenletet a differencia r´acs (vagyis, azokb´ol a z pontokb´ol ´all´o r´acs, amelyekben a v´egesdifferencia- s´em´at fel´ırtuk) v´eges sok pontj´aban ´ırjuk fel, a r´acs lehet egyenletes vagy v´altoz´o feloszt´as´ u is. Mag´at a r´acsot is fel´ırhatjuk egyenlet form´aj´aban: Ω(z, h+ ) = 0.
(9.142)
A folytonos esettel szemben, a (9.142) egyenletet is meg kell adni, amikor a diszkretiz´alt egyenletek egy csoporttal szembeni invarianci´aj´ar´ol besz´el¨ unk, mert a szimmetriacsoport nem v´altoztathatja meg a diszkretiz´aci´o egyenletess´eg´et ´es ortogonalit´as´at. N´ezz¨ uk most ennek felt´etel´et. A r´acs egyenletess´eg´et meg˝orz˝o transzform´aci´okat keres¨ unk. Keress¨ uk a transzform´aci´ot x∗ = f (z, a) alakba, legyen tov´abb´a u = φ(z, a), amib˝ol a deriv´altakra az us = φs (z, a) kifejez´est kapjuk. A r´acs transzform´aci´oj´at infinitezim´alis gener´ator´aval adjuk meg: X X = ξ(z)∂x + η(z)∂u + ζi (z)∂ui . (9.143) i≥1
,η= ahol ξ = ∂f ∂a a=0
∂φ ∂a
∂φi , ζ = , i ∂a a=0 a=0
5
Itt az ωh jel¨ ol´es csak a k´enyelmet szolg´alja. A r´acsot t´enylegesen a f¨ uggetlen v´altoz´ok ir´any´aban alkalmazott l´ep´esk¨ oz¨ okkel kell megadni.
283
9.5. T´ etel (A r´ acs egyenletess´ eg´ et meg˝ orz˝ o transzform´ aci´ ok) A G1 transzform´ aci´ocsoport akkor ´es csak akkor hagyja a r´acsot egyenl˝ok¨oz˝ unek, azaz, teljes¨ ul h− = h+ , ha a (9.143) gener´atorban szerepl˝o ξ(z) f¨ uggv´eny m´asodik differenci´alja nulla, azaz D D (ξ(z)) = 0.
+h−h
9.6. T´ etel (A r´ acs ortogonalit´ as´ anak meg˝ orz´ ese) Egy tetsz˝oleges orient´aci´oj´ u r´acs ortogonalit´as´at meg˝orzi a (9.143) gener´atorokkal megadott transzform´aci´o amennyiben fenn´allnak a Di (ξ +hi
j
Di (ξ +hi
) = −Dj (ξ i )
(9.144)
+hj i
) = Dj (ξj ).
(9.145)
+hj
A r´acs meg˝orz´es´en k´ıv¨ ul azt is el˝o´ırjuk, hogy a transzform´aci´o meg˝orizze a v´eges differencia ´ertelm´eben vett deriv´altakat. 9.7. T´ etel (Dorodnyicin 1. t´ etele.) Legyen adott egy egyparam´eteres G1 csoport, amelynek gener´atora X X X = ξ∂x + η∂u + ζs ∂us + ζ` ∂u` + ξ(S(z) − ζ(z))∂h+ , (9.146) s≥1
`≥1
h
h
h
ahol ξ, η tetsz˝oleges f¨ uggv´enyek A-b´ol, tov´abb´a ζ`h f¨ uggv´eny h egy hatv´anysor´at jel¨oli, amelynek egy¨ utthat´oi A-b´ol val´oak. Annak felt´etele, hogy a (9.141) v´eges differenciaegyenlet, amelyet a (9.142) r´acson defini´altunk, invari´ans legyen a G1 csoport alatt, sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek fenn´all´asa: XF (z) = 0|(9.141),(9.142) ; XΩ(z, h+ ) = 0|(9.141),(9.142) .
(9.147)
Megism´etelj¨ uk, hogy korl´atoz´asokkal ´elt¨ unk a transzform´aci´o kiv´alaszt´asakor. Az egyenlet szimmetriacsoportj´anak X gener´atora megv´altoztathatja a diszkretiz´aci´o egyenl˝ok¨oz˝ us´eg´et, vagy a v´altoz´ok ortogonalit´as´at, p´eld´aul egy nemline´aris transzform´aci´o ut´an a kor´abban szab´alyos r´acs szab´alytalann´a v´alhat. A r´acs viszont befoly´asolja a v´eges differencia egyenletet, ez´ert felt´eteleket fogalmaztunk meg, amelyek teljes¨ ul´ese eset´en a r´acs szab´alyos marad, a v´altoz´ok pedig ortogon´alisak maradnak. A legt¨obb szimmetria (pl. transzl´aci´o, rot´aci´o, dilat´aci´o, Lorentz-transzform´aci´o), tov´abb´a egyes nemline´aris transzform´aci´ok (pl. trigonometrikus f¨ uggv´enyek) is teljes´ıtik a (9.6.) t´etelben kik¨ot¨ott felt´etelt. A v´eges differencia alak vizsg´alata c´elj´ab´ol Z-vel egy¨ utt fogjuk tekinteni a Z teret. h
Ennek elemei (x, u, u1 , u2 , . . . , h)-b´ol a´llnak. Itt h = {hi+ }-az ω r´acs adott Z pontj´aban h
h
h
284
h
a differencia l´ep´esk¨oze pozit´ıv ir´anyban. u1 a jobboldali els˝o deriv´altak v´eges differencia h
k¨ozel´ıt´es´et jelentik: k
u1 = ui = h
h
1 (Si − 1)(uk ) , hi+ h
Anal´og m´odon a baloldali els˝o deriv´altak 1 k (1 − Si )(uk ) , u1 = u1 = hi− −h h h
, i = 1, ..., n.
(9.148)
, i = 1, ..., n,
(9.149)
ahol hi− baloldali eltol´as oper´atora. A fentiek szerint a Zh t´eren p p´ar differencia oper´ator (Di ´es Di ) hat´as´at defini´altuk. A megmarad´asi t´eteleket folytonos v´altoz´ok eset´en h
−h
vari´aci´os elvb˝ol lehet levezetni, v. o¨. 5 utols´o alfejet´evel. ´Irjuk fel a Z t´eren a vari´aci´os oper´atort: ∞ X ∂ δ ∂ (−1)s Di1 . . . Dis = + , (9.150) δuk ∂uk s=1 ∂ui1 ...is ahol 1 ≤ i1 , . . . is ≤ p. Dorodnyicin megmutatta, hogy a (9.146) oper´ator Zh t´eren alkalmazhat´o v´altozata i i h h ∂ δ ∂ ∂ = − − (9.151) Di − + Di k . i i k δuk ∂uk h+ h ∂ui h− h ∂ui h
Az ´ıgy bevezetett vari´aci´os oper´ator az L = {L(x, u, uih , uih uggv´enyeken hat, ˙ ) ∈ Ah } f¨ amelyek lok´alisan analitikus f¨ uggv´enyei a Zh vektorokb´ol kiv´alasztott v´eges sz´am´ u v´altoz´onak. Ezek a f¨ uggv´enyek csak az els˝o baloldali ´es jobboldali v´eges differencia-h´anyadosokt´ol f¨ uggenek, a magasabb deriv´altakat vissza lehet vezetni els˝orend˝ uekre az ismert line´aris kapcsolatok seg´ıts´eg´evel. 9.5. Feladat Legyen p = 1, azaz, egyetlen t´erv´altoz´ot tekint¨ unk, a v´eges differenci´ak legyenek egyenk¨oz˝ uek. Ekkor (9.151) ´ıgy alakul: ∂ ∂ δ ∂ = − Di k − Di k . δuk ∂uk ∂u1 ∂ui h h h
(9.152)
h
Az Euler-Lagrange-egyenlet v´eges differencia v´altozata a fentiek ut´an m´ar ad´odik: δL = 0. δuk 285
(9.153)
Tegy¨ uk fel, hogy a Zh f¨ uggv´enyt´eren defini´alt egy egyparam´eteres G1 Lie-B¨acklund csoport (v.¨o. 2.3 alfejezet) hat´asa. Legyen G1 gener´atora X = ξi
∂ ∂ ∂ + ηk + ζik k + . . . , ∂xi ∂uk ∂ui
(9.154)
ahol ζik -ket a (5.51) prolong´aci´os formula szolg´altatja. A G1 csoportot a Z t´eren is (9.154) izomorf megfelel˝oj´evel a´ll´ıthatjuk el˝o: h
X = ξi
∂ ∂ ∂ ∂ + ηk + ζik k + · · · + hi+ Djh (ξ i ) , ∂xi ∂uk ∂hi+ ∂uih
a t¨obbi formula pedig a prolong´aci´ok alkalmaz´as´ab´ol ad´odik. Tekints¨ uk a Zh f¨ uggv´enyt´eren egy X L= L(xi , uk , ukih )h1+ . . . hn+
(9.155)
(9.156)
Ωh
v´eges differencia funkcion´alt, amelyre L ∈ Ah ´es amely csak az els˝o v´eges differenci´akt´ol f¨ ugg, Ωh ∈ ωh . A differencia r´acsot adja meg hi+ = ϕi (z),
ϕi ∈ Ah ,
, i = 1, . . . , n.
(9.157)
A (9.156) funkcion´alt invari´ansnak nevezz¨ uk a G1 csoport alatt a (9.157) r´acson, ha X X L(z)h1 . . . hn = L(z ∗ )h1∗ . . . hn∗ , (9.158) Ωh
Ω∗h
ahol a transzform´alt mennyis´egeket csillaggal jel¨olt¨ uk. 9.8. T´ etel (Dorodnyicin 2. t´ etele) Az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek teljes¨ ul´ese sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele annak, hogy a (9.156) funkcion´al a (9.157) r´acson invari´ans legyen a (9.155) gener´atorral megadott G1 csoport alatt: X(L) + LDih (ξi )|(9.157) = 0 Sih (ξi ) − ξi − X(ϕi (z))|(9.157) = 0.
(9.159) (9.160)
A folytonos deriv´altakkal fel´ırt Euler-Lagrange-egyenlet invarianci´aja a megfelel˝o vari´aci´os funkcion´al invarianci´aj´anak folyom´anya. A v´eges differencia v´altozatban viszont ez nem ´ıgy van. Tekints¨ uk ism´et a p = 1 esetet. 9.9. T´ etel (Dorodnyicin 3. t´ etele) Annak felt´etele, hogy a (9.156) funkcion´al (9.153) Euler-egyenlete invari´ans legyen a (9.155) gener´ator ´altal megadott G1 csoporttal szemben az ωh r´acson, sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges, hogy az Euler-Lagrange-egyenlet megold´asa teljes´ıtse az al´abbi felt´eteleket: ∂L ∂L ξu + uh11 − D (L) = 0 (9.161) h h− ∂x ∂u1h D D (ξ) = 0. (9.162) −h+h
286
Ezzel kapcsolatban felvet˝odik a k´erd´es: mi a felt´etele annak, hogy a G1 csoporttal szemben invari´ans L hat´as stacion´arius legyen, noha nem el´eg´ıti ki (9.159)-t. Dorodnyicin megmutatta, hogy stacion´arius L-et kapunk az al´abbi v´eges differencia s´ema megold´as´ab´ol: ∂L ∂L ∂L ∂L + D u1 −L +η −D =0 (9.163) ξ ∂x h− ∂u1h ∂u h− ∂u1 h
Ezut´an r´at´er¨ unk a v´eges differencia egyenletek megmarad´asi t´etel´ere. 9.10. T´ etel (Dorodnyicin 4. t´ etele) El´eg´ıtse ki a (9.157) funkcion´al a (9.163) v´eges differencia egyenletet, amelyben a (9.155) ´altal meghat´arozott G1 csoport ξ ´es η gener´atorai szerepelnek. Ekkor a (9.157) funkcion´al invarianci´aj´at jelent˝o (9.163) v´eges differencia egyenletet teljes¨ ul´es´ehez sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges az al´abbi megmarad´asi egyenlet teljes¨ ul´ese: ∂L D+h ξ S (L) + η − ξu1 S = 0. (9.164) −h −h ∂u1 h h
(9.163)
A t¨obbdimenzi´os esetben anal´og helyzetet tal´alunk. A (9.156) funkcion´alt kv´aziinvari´ansnak nevezz¨ uk a G1 csoport alatt, ha a differencia Lagrange-f¨ uggv´eny L kiel´eg´ıti az al´abbi egyenleteket: ηk
∂L ∂L ∂L + Di (η k ) k + Di (η k ) k + Di (B i ) = 0, ∂uk +h ∂ui ∂ui −h h h
(9.165)
h
ahol η k = η k − ξi (uki + uki ); L = L(xi , uki , ui ), h
h
h
h
´es B i (z) ∈ A. Az al´abbi t´etel u ´j megmarad´asi egyenletekre vezet (9.165)-b´ol. h
9.11. T´ etel (Dorodnyicin 5. t´ etele) Legyenek az Fα (z) = 0, α = 1, . . . , m, Fα ∈ Ah egyenletek a (9.157) funkcion´al Euler-Lagrange-egyenletei a (9.157) r´acson. Ekkor a (9.157) funkcion´al (9.165) kv´azi invarianci´aj´anak az Euler-Lagrange-egyenletekkel szemben a (9.157) r´acson, amely invari´ans a G1 csoport alatt, sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele az Fα = 0 egyenletek megmarad´asa az al´abbi vektorral: ∂L ∂L (9.166) Ai = B i (z) + η k Si k + S (η k ) k . hi ∂u ∂u h h i
287
h i
9.6. Feladat (A hull´ amegyenlet) Tekints¨ uk az egydimenzi´os hull´amegyenletet a x1 = t id˝ob˝ol ´es az x2 = x helyv´altoz´ob´ol ´all´o k´et f¨ uggetlen v´altoz´o eset´en. A diszkretiz´alt egyenlet: (9.167) u − u = 0. h 11
h 22
Itt az id˝ov´altoz´o eset´eben τ , a helyv´altoz´o eset´eben h l´ep´essel egyenl˝ok¨oz˝ u diszkretiz´al´ast alkalmazunk. Az el˝oz˝o t´etel alapj´an a (9.167) egyenletre vonatkoz´o megmarad´asi t´etel ∂ , a mondhat´o ki. A hull´amegyenlet csoportj´anak gener´atorai az id˝obeli eltol´as, X1 = ∂t ∂ ∂ ∂ t´erbeli eltol´as, X2 = ∂x , ´es a Lorentz-transzform´aci´o X3 = t ∂x + x ∂t . Mind a h´arom oper´ator meg˝orzi az egyenl˝ok¨oz˝ u diszkretiz´al´ast. Legyen a Lagrange-f¨ uggv´eny 1 1 L = u2 − u2 . 2h 2 2h 1
(9.168)
Behelyettes´ıt´essel ellen˝orizhet˝o, hogy a (9.168) Lagrange-f¨ uggv´eny Euler-Lagrange-egyenlete pontosan (9.167), ez az egyenlet invari´ans az X1 , X2 , X3 gener´atorokkal szemben. Felsoroljuk ax Xα mennyis´egekhez tartoz´o B 1 α ´es B 2 α mennyis´egeket, amelyek (9.166)-ban szerepelnek: α = 1 : B 1 1 = 0, B 2 1 = u S1 (u ) − u u . h 2 −h h 2
α=2:B
1
2
= u u − u S2 (u ), h2 h2
h1 h
h1
h1 h1
B22
= 0.
α = 3 : B31 = tu u − (t + τ )u S (u − u S (u), B32 = −xu u + (x + h)u S (u ) + h 1 −h2 h 1
h2 h2
h 1 −h2
h 2 −h1 h 2
h1 h1
u S (u). Dorodnyicin 5. t´etel´eb˝ol k¨ovetkezik, hogy a (9.167) egyenlet megold´as´ara teljeh2 h 1
s¨ ulnek az al´abbi megmarad´asi t¨orv´enyek 6 : α=1: 2 D u + u S (u ) D2 −u (u + u ) h 2 −h1 h 2 h2 h1 h1 +h1 h1
= 0.
(9.169)
(9.167)
α=2: D
+h1
−u (u + u ) + D u2 + u h1 h2
h2
+h2
h 2
h2
2
+ u S (u ) h 1 −h2 h 1
= 0.
(9.170)
(9.167)
α=3: D
2
xu + (x + h)u S (u ) + tu (u + u ) + S (u)u h1 h 2 −h1 h 2 h1 h2 h2 −h1 h2 2 + D −tu − (t + τ )u S (u ) − xu (u + u ) − S (u)u +h2 h2 h 1 −h2 h 1 h2 h1 h1 −h2 h1
+h1
(9.171) = 0. (9.167)
6
Az al´ abbi egyenletekben als´ o indexk´ent az egyenlet sorsz´ama jelenik meg, amelyet a kifejez´esben szerepl˝ o u f¨ uggv´eny kiel´eg´ıt.
288
9.7. Feladat (A Koerteweg de Vries egyenlet) A Korteweg de Vries egyenlet nemline´aris, harmadfok´ u egyenlet, amely a plazmafizik´aban fordul el˝o. Egyetlen f¨ ugg˝o v´altoz´ot (u) kell meghat´aroznunk. u f¨ uggv´enye egy t´erbeli v´altoz´onak (x) ´es az id˝onek (t). A folytonos v´altoz´okkal fel´ırt egyenlet: ut = uux + uxxx .
(9.172)
Az 5. fejezetben ismertetett elj´ar´asokkal meghat´arozhat´o az egyenlet Lie-csoportja, amelynek infinitezim´alis gener´atorai: X1 = ∂t,
X 2 = ∂x ,
X3 = t∂x − ∂u
X4 = x∂x + 3t∂t − 2u∂u .
(9.173)
Olyan diszkretiz´aci´ot ´es differencia egyenleteket szeretn´enk konstru´alni, amely v´egesdifferencia k¨ozel´ıt´ese a (9.172) egyenletnek, ´es invari´ans a (9.173) ´altal gener´alt Liealgebr´aval szemben. El˝osz¨or a r´acsot vizsg´aljuk. A r´acs egyenletess´eg´et meg˝orzi a Liecsoport, ha fenn´all (9.162). Egy ortogon´alis r´acs akkor marad ortogon´alis a (9.154) ´altal gener´alt Lie-csoport alatt, amennyiben a (9.154) infinitezim´alis gener´atorokra teljes¨ ul D(ξ j ) = −D+hj (ξ j ).
(9.174)
Ezt a felt´etelt kiel´eg´ıti X1 , X2 ´es X4 , de X3 m´ar nem. A (9.172) v´egesdifferencia form´aj´ahoz n´egy pontra van sz¨ uks´eg az x tengely ment´en, k´et pontra a t tengely ment´en. Az al´abbi jel¨ol´est fogjuk haszn´alni: u− = u(x − h− ), u = u(x), u+ = u(x + h+ ), u++ = u(x + h+ + h++ ). Az id˝o f¨ uggv´eny´eben u = u(x, t), de a t + τ id˝opontban nem sz¨ uks´egszer˝ u, hogy az x pontban vizsg´aljuk a megold´ast, ez´ert bevezetj¨ uk az u b = u(b x, t+τ ) diszkretiz´at ´ert´eket. Az ´ıgy bevezetett (x, x b, t, τ, h− , h+ , h++ , u, u b, u+ , u++ , u− ) alt´eren nyolc differencia invari´ans kifejez´es ´ırhat´o fel, ezek: J1 = J2 = J3 = J4 = J5 =
x b − x + τu h+ (b u − u)(h+ )2 τ u+ − u τ ux ≡ h+ h u − u− τ ux − ≡ τ h− h u++ − u+ τ ux + ≡ τ h++
(9.175) (9.176) (9.177) (9.178) (9.179)
h
J6 J7 J8
(h+ )3 = τ − h = + h h++ = . h+ 289
(9.180) (9.181) (9.182)
A fenti invari´ansok seg´ıts´eg´evel kell meghat´arozni a differencia s´ema r´acs´at. Vegy¨ uk ´eszre, hogy csak J1 -ben szerepel a k¨ovetkez˝o id˝ol´ep´es helykoordin´at´aja. A legegyszer˝ ubb v´alaszt´as: J1 = 0, azaz, x b = x − τ u. A megmarad´o mennyis´egek k¨oz¨ott fenn´all tov´abb´ a az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: J3 − J4 J5 − J3 −2 , (9.183) J2 = 2 J8 + 1 J7 + 1 ami differenciah´anyadosokkal kifejezve: + ux − ux ux − ux − 2 u b−u h h h = + ++ . (9.184) − h+ + τ h h +h h + h− Bel´athat´o, hogy a diszkretiz´aci´o fel´ır´as´aval a differencia egyenletek tartanak a (9.172) egyenlethez.
9.5.4.
Iter´ aci´ o´ es szimmetri´ ak
A numerikus m´odszerek egy egyenletrendszert sz´armaztatnak a keresett f¨ uggv´enyben szerepl˝o egy¨ utthat´okra. A pr´obaf¨ uggv´enyeket (a k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´enyt´er b´azisait) u ´gy kell megv´alasztani, hogy a fizikai folyamatokat megfelel˝oen le´ırj´ak, de arra is u ¨gyelni kell, hogy a kapott egyenleteket hat´ekonyan meg tudjuk oldani. A k´erd´est jelen fejezetben kor´abban vizsg´altuk. Itt most azzal a k´erd´essel foglalkozunk, hogyan lehet algebrai m´odszerek seg´ıts´eg´evel megvizsg´alni az iter´aci´o hat´ekonys´ag´at. A m´odszert egy konkr´et probl´ema kapcs´an mutatom be. A neutrontranszportegyenlet megold´asa sor´an a VARIANT program az al´abbi m´odszert haszn´alja: • A megold´as V t´erfogat´at felosztja egybev´ag´o Vi , i = 1, . . . , N r´egi´okra, ezekben az anyagi tulajdons´agok helyt˝ol f¨ uggetlenek. • A keresett neutronfluxusra alkalmaz egy k¨ozel´ıt´est Vi hat´aran, k´et szomsz´edos elem hat´ar´an megk¨oveteli a megold´as folytonoss´ag´at. • A Vi r´egi´o belsej´eben is alkalmaz egy k¨ozel´ıt´est, ennek alapj´an sz´am´ıtja a reaktorfizik´aban kiemelt fontoss´ag´ u reakci´ogyakoris´agokat. Ez a k¨ozel´ıt´esi m´od tipikusnak mondhat´o a numerikus m´odszerek k¨or´eben. Azt tal´alt´ak, hogy a VARIANT program algoritmusa csak akkor konverg´al, ha a fel¨ uleten megadott line´aris k¨ozel´ıt´eshez a t´erfogat belsej´eben legal´abb hatodfok´ u k¨ozel´ıt´est t´ars´ıtanak, ami a szerz˝ok szerint ´erthetetlen, programhib´ara gyanakodtak. A feladat vizsg´alat´ahoz elemezz¨ uk a k¨ozel´ıt´est. El˝osz¨or lesz¨ogezz¨ uk, hogy amennyiben a keresett megold´ast line´arisan f¨ uggetlen alterekben vizsg´aljuk, az iter´aci´onak minden ilyen alt´erben biztos´ıtania kell a konvergenci´at, hiszen a line´aris f¨ uggetlens´eg miatt az alterek k¨oz¨ott nem l´ephet fel kompenz´aci´o, azaz olyan helyzet, hogy egy alt´erben a 290
9.4. t´abl´azat. A legfeljebb azaz C4v csoport eset´en) i/Order 1 2 3 4 5 6 7 8
negyedfok´ u polinomok irreducibilis komponensei (n´egyzet, 0 1 -
1 x y
2 (x + y 2 ) (x2 − y 2 ) xy 2
3 x3 xy 2 x2 y y3
4 (x y ), (x4 + y 4 ) (x3 y − y 3 x) x4 − y 4 (x3 y + y 3 x) 2 2
konvergencia hi´any´at p´otolj´ak m´as alterek j´arul´ekai. Ezut´an az a k´erd´es, hogyan lehet egyszer˝ uen ilyen line´arisan f¨ uggetlen altereket tal´alni. Erre a v´alaszt a diszkretiz´alt t´erfogat egy n´odus´anak automorfizmusai szolg´altatj´ak. Ez az automorfizmuscsoport (2.28) szerint gener´al egy feloszt´ast a k¨ozel´ıt˝o f¨ uggv´enyek a´ltal kifesz´ıtett t´eren, ´es a konvergenci´anak minden egyes alt´eren fenn kell ´allnia. Vizsg´aljuk meg teh´at a konvergenci´at az egyes altereken. A sz´am´ıt´as u ´gy t¨ort´enik, hogy az el˝oz˝o n´odus kimen˝oa´ram´ab´ol meghat´arozzuk a bemen˝o´aramokat. Amennyiben a peremen line´aris f¨ uggv´enyekkel k¨ozel´ıtj¨ uk a bemen˝oa´ramokat, minden alt´erben kapunk nemnulla j´arul´ekot. Ezut´an megoldjuk az egyenletet a tartom´any belsej´eben, de ott is adott foksz´am´ u polinomok szerint fejtj¨ uk ki a megold´ast. Amennyiben a k¨ozel´ıt˝opolinomok nem teszik lehet˝ov´e, hogy a megold´asnak minden alt´erben legyen el nem t˝ un˝o komponense, az elj´ar´as nem konverg´alhat. A 9.4 ´es 9.5 t´abl´azatokb´ol meg´allap´ıthat´o, hogy a t´erfogat belsej´eben alkalmazott polinomok foksz´am´anak n¨ovel´es´evel el´erhet˝o, hogy minden line´arisan f¨ uggetlen alt´erben legyen el nem t˝ un˝o komponens, ´am ehhez legal´abb hatodfok´ u polinom kell szab´alyos hatsz¨og alak´ u n´odusokban, ´es legal´abb negyedfok´ u polinom n´egyzet alak´ u n´odusokban. Az ismertetett m´odszer egy´ uttal u ´tmutat´ast is ad, hogyan lehet egy adott k¨ozel´ıt´est jav´ıtani, ill. alkalmass´a tenni m´as geometria eset´ere.
291
9.5. t´abl´azat. A legfeljebb negyedfok´ u polinomok irreducibilis komponensei (hatsz¨og, azaz C6v csoport eset´en) i/Order 0 1 2 3 4 2 2 2 1 1 (x + y ) (x + y 2 )2 2 2 2 3 y(y − 3x ) 2 2 4 x(x − 3y ) 2 2 5 - x, y x(x + y ) 6 - x, y y(x2 + y 2 ) 7 - x, y 8 - x, y 9 (x2 − y 2 ) (5x4 − 6x2 y 2 − 3y 4 ), x3 y 10 xy y3x 11 6x2 y 2 − (x4 + y 4 ) 12 -
292
10. fejezet Speci´ alis fu enyek ¨ ggv´
293
A legt¨obb probl´ema megfogalmaz´asa egyszer˝ us´ıthet˝o, amennyiben a megfogalmaz´as megfelel˝o. A hom´alyos ”megfelel˝o megfogalmaz´as” azt jelenti, hogy a feladat matematikai megfogalmaz´as´anak illeszkednie kell a probl´ema term´eszet´ehez, t¨obbek k¨oz¨ott az alkalmas szimmetri´akhoz. ´Igy pl. a sz´or´as le´ır´as´ahoz c´elszer˝ u a forg´ascsoport saj´atf¨ uggv´enyei szerint kifejteni a megold´ast. Ilyen speci´alis f¨ uggv´enyek a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval kapcsolatos f¨ uggv´enyek, a hengerf¨ uggv´enyek ´es a g¨ombf¨ uggv´enyek is. Ezek a f¨ uggv´enyek analitikus ´es numerikus m´odszerekben is hasznosak, hiszen a legt¨obb f¨ uggv´eny kisz´am´ıt´as´ara egyszer˝ u eszk¨oz¨ok alkalmasak, a f¨ uggv´enyek ortonorm´altak ´es teljes rendszert alkotnak, ez´ert alkalmas f¨ uggv´enyt´erb˝ol vett f¨ uggv´eny tetsz˝olegesen pontosan k¨ozel´ıthet˝o line´arkombin´aci´ojukkal. A jelen fejezetben vizsg´alt speci´alis f¨ uggv´enyek legink´abb a sz¨ogf¨ uggv´enyekre hasonl´ıtanak, hiszen a f¨ uggetlen v´altoz´onak egy hatv´anysor´aval vannak megadva. Egyes esetekben (pl.a Legendre-polinomok eset´eben) az els˝o-, m´asod-, s. ´ı. t. foksz´am´ u polinomok is megold´asok, ezeknek is van jelent˝os´ege, seg´ıts´eg¨ ukkel a 9.1 r´eszben le´ırt gyenge megold´as el˝ony¨osen k¨ozel´ıthet˝o. A modern sz´am´ıt´astechnika pedig lehet˝ov´e teszi ezeknek a f¨ uggv´enyeknek a rutinszer˝ u haszn´alat´at, hiszen minden ismertebb szimbolikus nyelvben (MATHEMATICA, MATLAB), a nagyobb programk¨onyvt´arakban (pl. IMSL, LAHEY k¨onyvt´ar, Numerical recipies) megtal´alhat´oak. A 4. fejezetben a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa kapcs´an csak az egyenletet vizsg´altuk, peremfelt´etel n´elk¨ ul. A parci´alis differenci´alegyenletek saj´at´ert´ek-feladat´ahoz azonban mindig tartozik valamilyen perem´ert´ek. Tekintettel arra, hogy a feladatnak homog´ennek kell lennie, az al´abbi esetek lehets´egesek: • a keresett f¨ uggv´eny legyen nulla a peremen (Dirichlet-peremfelt´etel); • a keresett f¨ uggv´eny norm´alis gradiense legyen nulla a peremen (Neumann-peremfelt´etel); • a keresett f¨ uggv´enyb˝ol ´es norm´alis gradiens´eb˝ol a´ll´o line´aris kifejez´es legyen nulla a peremen. A tov´abbiakban az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert csak a Dirichlet-peremfelt´etelt vizsg´aljuk.
10.1.
A v´ altoz´ ok sz´ atv´ alaszt´ as´ ahoz kapcsol´ od´ o fu ¨ ggv´ enyek
A 4. fejezetben vizsg´altuk a Laplace-oper´ator saj´at´ert´ek-feladat´anak megoldhat´os´ag´at a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa seg´ıts´eg´evel. A m´odszer eredetileg Fourier-t˝ol sz´armazik, ´es meglehet˝osen hat´ekonynak bizonyult. Seg´ıts´eg´evel azonban nemcsak arra ny´ılik m´od, hogy a saj´atf¨ uggv´enyeket z´art alakban meghat´arozzuk, hanem egy sor olyan speci´alis f¨ uggv´enyt is szolg´altat, amelyek j´ol haszn´alhat´oak fizikai feladatok megold´as´aban.
294
10.1.1.
Legendre-polinomok
Vizsg´aljuk meg a (4.1) saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at (r, ϑ, ϕ) g¨ombi koordin´at´akban. Az egys´egsugar´ u g¨omb felsz´ın´en legyen a megold´as f¨ uggetlen a ϕ v´altoz´ot´ol. G¨ombi koordin´at´akban a Laplace-oper´ator alakja: ∆=
1 1 1 2 2 ∂ (sin ϑ∂ ) + ∂ r ∂ + ϑ ϑ r r 2 ∂ϕ2 2 r2 r2 sin ϑ r sin ϑ
(10.1)
Mivel a peremfelt´etel f¨ uggetlen ϕ-t˝ol, felt´etelezhetj¨ uk, hogy a megold´as is f¨ uggetlen ϕt˝ol, ez´ert ez utols´o tagot (10.1)-ban elhagyjuk, a kapott egyenletet pedig megszorozzuk r2 -tel. Az ´ıgy kapott egyenlet: ∆ = ∂r r2 ∂r +
1 ∂ϑ (sin ϑ∂ϑ ) . sin ϑ
(10.2)
A (10.2)-et ism´et a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´anak m´odszer´evel oldjuk meg, feltessz¨ uk, hogy Φ(r, ϑ) = R(r)T (ϑ). Ezt az alakot behelyettes´ıtve, az eredm´enyt R(r)T (ϑ)-val elosztva az al´abbi egyenletet kapjuk: T 00 + T 0 cot ϑ (r2 R00 + 2rR0 ) =− . R T
(10.3)
(Az egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek deriv´altj´at vessz˝ovel jelezz¨ uk.) A baloldal csak r, a jobboldal csak ϑ f¨ uggv´enye, azaz, mindk´et oldal a´lland´o. Legyen ez az ´alland´o ν(ν − 1). Az al´abbi k´et k¨oz¨onss´eges differenci´alegyenletet kell megoldanunk: r2 R00 + 2rR0 = ν(ν + 1)R (10.4) 00 0 T + cot ϑT = −ν(ν + 1)T. (10.5) Behelyettes´ıt´essel bel´athat´o, hogy az els˝o egyenlet k´et f¨ uggetlen megold´asa (ν 6= −1/2 eset´en) R1 = rν ´es R2 = 1/rν+1 . A m´asodik egyenletben bevezetj¨ uk az u = cosϑ v´altoz´ot, amivel a megoldand´o egyenlet 1 − u2
d2 T dT − 2u + ν(ν + 1)T = 0. 2 du du
(10.6)
Keress¨ uk (10.6) megold´as´at hatv´anysor alakj´aban: T (u) =
∞ X
ck u k .
(10.7)
k=0
Behelyettes´ıt´es ut´an az al´abbi rekurz´ıv formul´at nyerj¨ uk az egy¨ utthat´okra: ck+2 =
(k + 1) k − (ν + 1)ν ck . (k + 2)(k + 1) 295
(10.8)
10.1. t´abl´azat. Az els˝o 6 Legendre-polinom n Pn (u) 0 1 1 u 3 2 2 u − 21 2 5 3 u − 23 u 3 2 35 4 4 u − 30 u2 + 83 8 8 63 5 70 3 5 8 u − 8 u + 15 u 8 A fenti formula szerint c0 ´es c1 tetsz˝olegesen v´alaszthat´o, a t¨obbi egy¨ utthat´ot pedig a (10.8) formula r¨ogz´ıti. A rekurzi´os formul´ab´ol az is l´athat´o, hogy az egy¨ utthat´ok csak 1/k szerint cs¨okkennek. Ha azonban ν = n > 0 eg´esz sz´am, valamint p´aros n eset´en c1 , p´aratlan n eset´en c0 z´erus, akkor (10.8) sz´aml´al´oja k = n-t˝ol kezdve elt˝ unik, a sor v´eges, a kapott megold´as n-edfok´ u polinom. A (10.6) egyenletet Legendre-egyenletnek nevezik, a megold´ask´ent kapott polinomot pedig Legendre-polinomnak. Az els˝o hat Legendre polinomot a 10.1 t´abl´azat tartalmazza. A Legendre-polinomok el˝o´all´ıt´asa sor´an j´ol haszn´alhat´oak az al´abbi rekurzi´os formul´ak: (n + 1)Pn+1 (u) = (2n + 1)uPn (u) − nPn−1 (u).
(10.9)
nPn (u) = (2n − 1)uPn−1 (u) − (n − 1)Pn−2 (u).
(10.10)
A Legendre-polinomok ortogon´alisak az al´abbi ´ertelemben: Z +1 Pn (u)Pm (u)du = 0, n 6= m.
(10.11)
−1
Norm´ajuk pedig a k¨ovetkez˝o: Z
+1
(Pn (u))2 du =
−1
2 . 2n + 1
(10.12)
A Legendre-f¨ uggv´enyekkel a fizika t¨obb ter¨ ulet´en tal´alkozunk (pl. kvantummechanika, neutronfizika). R¨oviden megeml´ıtj¨ uk, hogy a (10.4) Legendre-egyenlet speci´alis esete az al´abbi egyenletnek: (1 − u2 )T 00 − 2uT 0 + ν(ν + 1) − µ2 (1 − u2 )−1 T = 0 (10.13) ν-edfok´ u, µ-edrend˝ u Legendre-f´ele differenci´alegyenletnek. Amennyiben ν = n, µ = m, n ´es m eg´eszek, a fenti egyenlet megold´asait a Legendre-f¨ uggv´enyekkel lehet kifejezni, az al´abbi m´odon. Legyen (10.4) megold´asa Pnm (u), ekkor Pnm (u) = 1 − u2
m/2 dm Pn (u) . dum
296
(10.14)
Az ´ıgy kapott Pnm (u) polinomokat asszoci´alt Legendre-f¨ uggv´enyeknek nevezik. El˝oa´ll´ıt´asukban hasznos az al´abbi rekurzi´o: Pn0 (u) = Pn (u) Pnm+1 (u) =
1 − u2
(10.15) 1/2 d m P (u) + du n
uP m (u) mp n . (1 − u2 )
(10.16)
Az asszoci´alt Legendre-f¨ uggv´enyek is teljes rendszert alkotnak az −1 ≤ u ≤ +1 intervallumon. R¨ogz´ıtett m eset´en fenn´all az al´abbi ortogonalit´as: Z +1 (10.17) Pkm (u)P`m (u)du = 0, k 6= `. −1
Norm´ajuk pedig: Z
+1
[Pnm (u)]2 du =
−1
2(n + m)! (2n + 1)(n − m)!
(10.18)
Tetsz˝oleges, az u ∈ [−1, +1] intervallumon integr´alhat´o f (u) f¨ uggv´eny sorbafejthet˝o Legendre-polinomok szerint: ∞ X f (u) = an Pn (u), (10.19) n=0
ahol 2n + 1 an = 2
10.1.2.
Z
+1
f (u)Pn (u)du.
(10.20)
−1
Bessel-fu enyek ¨ ggv´
Vizsg´aljuk meg a (4.1) saj´at´ert´ek-feladat megold´as´at (r, ϕ) pol´arkoordin´at´akban. Peremfelt´etelk´ent ´ırjuk el˝o a megold´as elt˝ un´es´et az adott sugar´ u k¨or¨on. Pol´arkoordin´at´akban a Laplace-oper´ator alakja: 1 1 ∆ = ∂r2 + ∂r + 2 ∂θ2 . (10.21) r r Olyan megold´ast keres¨ unk, amely f¨ uggetlen θ-t´ol. Ekkor a Laplace-oper´ator ω saj´at´ert´ek´et ´es Φ saj´atf¨ uggv´eny´et az al´abbi egyenletb˝ol kapjuk meg: 1 2 ∂r + ∂r + ω Φ(r, θ) = 0. (10.22) r Ism´et a v´altoz´ok sz´etv´alaszt´as´aval pr´ob´alkozunk, azaz, feltessz¨ uk, hogy Φ(r, θ) = R(r)T (θ). Ezt behelyettes´ıtve (10.22)-ba: R00 + R0 /r − ωR T” = = p2 , R T 297
(10.23)
ami csak u ´gy teljes¨ ulhet, ha mindk´et oldal a´lland´o (amit p2 -tel jel¨ol¨ unk). Ebb˝ol a k´et f¨ uggv´enyre k´et egyenletet kapunk: R00 + R0 /r + (p2 − ω)R = 0 T 00 = −T.
(10.24) (10.25)
Az els˝o egyenlet az al´abbi a´ltal´anos, Bessel-f´ele differenci´alegyenlet egy v´altozata: x2 y 00 + xy 0 + (x2 − n2 )y = 0.
(10.26)
A (10.26) egyenlet megold´asait nevezik Bessel-f¨ uggv´enyeknek. A (10.24) m´asodik egyenlet´enek adott peremfelt´etelekhez tartoz´o megold´asa trivi´alis feladat. Megjegyezz¨ uk, hogy a Bessel-egyenlet n param´etere tetsz˝oleges komplex ´ert´eket felvehet. Vezess¨ uk be a B 2 = p2 − ω param´etert, amivel (10.26) els˝o egyenlete a Br v´altoz´o f¨ uggv´enye szerint fejezhet˝o ki az al´abbi m´odon: R00 (Br) + R0 /(Br) + B 2 R(Br) = 0.
(10.27)
Amennyiben az R(r0 ) = 0 peremfelt´etelt szeretn´enk biztos´ıtani, B = λnk /r0 -t kell v´alasztani, ahol λnk a Jn Bessel-f¨ uggv´eny k-ik z´erushelye. Keress¨ uk (10.27) megold´as´at hatv´anysor alakj´aban, legyen R(Br) =
∞ X
ck (Br)k .
(10.28)
k=0
Ezt behelyettes´ıtve, az egyes Br hatv´anyok egy¨ utthat´oinak elt˝ un´es´et megk¨ovetelve az al´abbi egyenleteket kapjuk az egy¨ utthat´okra: c1 = 0, tov´abb´a ck−1 , k = 1, 2, . . . (10.29) ck+1 = − (k + 1)2 amib˝ol k¨ovetkezik, hogy az ¨osszes p´aratlan egy¨ utthat´o z´erus, a p´aros egy¨ utthat´ok pedig a fenti rekurzi´oval hat´arozhat´oak meg. A (10.27) egyenlet megold´as´at teh´at az al´abbi v´egtelen sor adja meg: ∞ X (−1)k (Br)2k . (10.30) J0 (Br) = 2k (k!)2 2 k=0 ´ Altal´ anoss´agban pedig az n-ed rend˝ u Bessel-f¨ uggv´enyt az al´abbi v´egtelen sor adja meg: Jn (Br) = c0
∞ X k=0
(−1)k (Br)2k+n . 22k (k!)(n + 1) . . . (n + k)
(10.31)
A c0 a´lland´o szok´asos v´alaszt´asa c0 =
1 2n Γ(n 298
+ 1)
.
(10.32)
A (10.31) sor minden Br argumentumra konvergens. A (10.22) feladatb´ol az al´abbi saj´atf¨ uggv´eny ad´odik: X Φ(r, φ, z) = (c1 cos(Bz z) + c2 sin(Bz z)) (c3 cos(nφ) + c4 sin(nφ)) Jn (λk r). λ2k +Bz2 =ω 2
(10.33) A peremfelt´etel teljes¨ ul´es´enek igazol´as´ahoz a Bessel-f¨ uggv´eny z´erushelyeit kell m´eg megvizsg´alnunk. Az m index˝ u Bessel-f¨ uggv´enyek el˝oa´ll´ıthat´oak az m-n´el kisebb index˝ u Bessel-f¨ uggv´enyekb˝ol az al´abbi rekurzi´o ´altal: 2m Jm (x) − Jm−1 (x) (10.34) Jm+1 (x) = x m 0 (10.35) Jm (x) = Jm (x) − Jm+1 (x). x Az al´abbi f¨ uggv´enyt els˝ofaj´ u m´odos´ıtott Bessel-f¨ uggv´enynek nevezik: Im (x) = e−imπ/2 Jm (xeiπ/2 .)
(10.36)
Megeml´ıtj¨ uk meg a harmadfaj´ u m´odos´ıtott Bessel-f¨ uggv´enyt, amelynek defin´ıci´oja az els˝ofaj´ u m´odos´ıtott Bessel-f¨ uggv´enyekre ´ep¨ ul: π [I−m (x) − Im (x)] (10.37) Km (x) = 2 sin(mπ) A Bessel-f¨ uggv´enyekn´el l´atotthoz hasonl´o rekurzi´o a´ll fenn a m´odos´ıtott Bessel-f¨ uggv´enyek eset´eben is: 2m Im (z) (10.38) Im+1 (z) = Im−1 (z) − z dIm (z) = (Im−1 (z) + Im+1 (z))/2 (10.39) dz 2m Km+1 (z) = Km−1 (z) + Km (z) (10.40) z dKm (z) = −(Km+1 + Km−1 (z))/2. (10.41) dz A Jm (x) f¨ uggv´enyekb˝ol teljes f¨ uggv´enyrendszer hozhat´o l´etre a (0, 1) intervallumon az al´abbiak alapj´an. • A Jm (x) f¨ uggv´enynek (m > −1) nincs komplex z´erushelye. • A Jm (λ1 x), Jm (λ2 x), . . . f¨ uggv´enyrendszer a (0, 1) intervallumon ortogon´alis az al´abbi ´ertelemben: Z 1
xJm (λk x)Jm (λ` x)dx = 0, k 6= `. 0
299
(10.42)
10.1. ´abra. A J0 (x), . . . , J4 (x) Bessel-f¨ uggv´enyek • Legyen f (x) integr´alhat´o val´os f¨ uggv´eny a (0, 1) intervallumon. Ekkor az f (x) f¨ uggv´eny az al´abbi egyenletesen konvergens sorba fejthet˝o: f (x) =
∞ X
ak Jm (λk x),
(10.43)
k=1
ahol 2 ak = [Jm+1 (λk )]2
Z
1
xf (x)Jm (λk x)dx.
(10.44)
0
´ A J0 (x), . . . , J4 (x) Bessel-f¨ uggv´enyek ´abr´aj´at a BesselJ.EPS FAJL TARTALMAZZA.
Az I0 (x), . . . , J4 (x) Bessel-f¨ uggv´enyek ´abr´aj´at a 10.1. ´abra mutatja.
A nulla index˝ u J0 (x), I0 (x) ´es K0 (x) f¨ uggv´enyek grafikonj´at a 10.2. a´bra mutatja. A J0 (x) f¨ uggv´eny els˝o 5 z´erushelye: 2.40483, 5.52008, 8.65373, 11.7915, 14.9309. A Bessel-f¨ uggv´enyek sorfejt´essel t¨ort´en˝o meghat´aroz´asa gyakran lass´ u. Amennyiben elegend˝o k¨ozel´ıt˝o pontoss´ag´ u sz´am´ıt´ast v´egezni, az al´abbi k¨ozel´ıt˝o polinomok haszn´alhat´oak: ======================================================= 10.1. Feladat (Hengeres geometria) Vizsg´aljuk meg a Laplace-oper´ator saj´at´ert´ek feladat´at hengeres geometri´aban! A megoldand´o egyenlet: 1 1 [∂r2 + ∂r + 2 ∂θ2 + (∂z )2 ]Φ(r, θ, z) = ωΦ(r, θ, z). r r 300
(10.45)
10.2. ´abra. A J0 (x), I0 (x) ´es K0 (x) f¨ uggv´enyek A megold´ast most is szepar´aci´oval keress¨ uk: Φ(r, θ, z) = R(r)T (θ)Z(z). Legyen Z” = (Bz )2 Z, amivel 1 2 1 2 (∂r ) + ∂r + 2 ∂θ R(r)T (θ) = (ω − (Bz )2 )R(r)T (θ) r r
(10.46)
(10.47)
Legyen T ” = n2 T , ahol n eg´esz sz´am. Ezzel R(r)-re a Bessel-f´ele differenci´alegyenlet ad´odik, amelynek megold´asa Jn (Br r), itt (Br )2 = ω − (Bz )2 . A saj´atf¨ uggv´eny teh´at Φ(r, θ, z) = Jn (Br r) cos Bz zeimθ .
(10.48)
A Bz param´eter lehet˝ov´e teszi, hogy a henger fed˝o- ´es alaplapj´an elt˝ un˝o megold´ast v´alasszunk, a Br param´eter lehet˝ov´e teszi, hogy a henger pal´astj´an elt˝ un˝o legyen a megold´as, a saj´at´ert´ek pedig ω = (Bz )2 + (Br )2 . A saj´at´a´ert´ekek diszkr´etek, az alapm´odushoz a hengerben pozit´ıv megold´as tartozik.
10.1.3.
Mathieu-fu enyek ¨ ggv´
Vezess¨ uk be (x, y) helyett az al´abbi v´altoz´okat: x = c cosh ξ cos η y = c sinh ξ sin η.
(10.49) (10.50)
Az ξ =´alland´o ´es η =´alland´o koordin´atavonalak (x, y)-nal kifejezett egyenletei: y2 x2 + =1 c2 cosh2 ξ c2 sinh2 ξ x2 y2 − = 1. c2 cos2 η c2 sin2 η 301
(10.51) (10.52)
Ezeket a tengelyeket az x. a´bra mutatja. A (ξ, η) koordin´at´akban fel´ırt saj´at´ert´ekfeladat: (10.53) ∂ξ2 + ∂η2 + ω 2 c2 /2 (cosh(2ξ) − cos(2η)) = 0. Vezess¨ uk be a 2ζ 2 = ω 2 c2 /2 jel¨ol´est, amivel az egyenlet ∂ξ2 φ(ξ, η) + ∂η2 + 2ξ 2 (cosh(2ξ) − cos(2η)) = 0
(10.54)
lesz. Legyen Φ(ξ, η) = A(ξ)B(η), amivel A00 B 00 + 2ζ 2 cosh(2ξ) = − + 2ζ 2 cos(2η) = a, A B itt a tetsz˝oleges ´alland´o. Az A(ξ) ´es B(η) f¨ uggv´enyek teh´at kiel´eg´ıtik az A00 − a − 2ζ 2 cosh(2ξ A = 0 B 00 + a + 2ζ 2 cos(2η) B = 0
(10.55)
(10.56) (10.57)
egyenleteket. Vegy¨ uk ´eszre, hogy (10.56) ´es (10.57) egym´asba transzform´ahat´o a ξ = iη transzform´aci´oval. (10.57) a Mathieu-f´ele differenci´alegyenlet. Homog´en, line´aris, egy¨ utthat´oi π szerint periodikusak. Azon a ´ert´ekeket, amelyek mellett (10.57) -nek l´etezik periodikus megold´asa, karakterisztikus ´ert´eknek nevezz¨ uk. Adott karakterisztikus ´ert´ekhez tartoz´o megold´as f¨ ugg a ζ param´etert˝ol, a megold´asok p´aros ´es p´aratlan f¨ uggv´enyek lesznek. A [0, π] intervallumon n sz´am´ u z´erushellyel rendelkez˝o, p´aros, ill. p´aratlan megold´as´at cen (ξ, ζ) ill. sen (ξ, ζ) jel¨oli. K¨ozvetlen¨ ul bel´athat´o az al´abbi k´et ¨osszef¨ ugg´es: cen (ξ, 0) = cos(nξ), sen (ξ, 0) = sin(n, ξ).
(10.58)
(10.55)-ban adott n eset´en a ´es ζ ´ert´eke k¨oz¨ott f¨ uggv´enykapcsolat ´all fenn. Az irodalomban haszn´alj´ak az al´abbi jel¨ol´eseket is: Cen (ξ, ζ) = cen (ξ, ζ) ´es Sen (ξ, ζ) = isen (ξ, ζ). A k¨ovetkez˝o a´br´an bemutatjuk a q = 2 ´ert´ekhez tartoz´o karakterisztikus ´ert´ekeket ´es a hozz´a tartoz´o p´aros ´es p´aratlan Mathieu-f¨ uggv´enyeket a [0, 2π] intervallumon. A p´aros f¨ uggv´enyhez tartoz´o q ´ert´ekek: n = 0 : −1.51396, n = 2 : 2.3792, n = 4 : 5.17267. A p´aratlan f¨ uggv´enyekhez tartoz´o q ´ert´ekek: n = 1 : −1.39068, n = 3 : 3.67223, n = 5 : 9.14063.
302
10.3. ´abra. N´eh´any Mathieu-f´ele cen f¨ uggv´eny
10.4. ´abra. N´eh´any Mathieu-f´ele cen f¨ uggv´eny
10.1.4.
Parabolikus hengerfu enyek ¨ ggv´
Az al´abbi differenci´alegyenlet megold´as´at parabolikus hengerf¨ uggv´enynek nevezik: d2 u 1 z2 + ν+ − u = 0. (10.59) dz 2 2 4 Amennyiben ν = 0, 1, 2, ..., a (10.59) egyenlet megold´asa u = D{ − ν − 1}(ix) ´es u = Dν (x), ahol Dn (z) = 2−n/2 exp(−z 2 /4)Hn (2−1/2 z), (10.60) itt pedig Hn (z) = (−1)n exp(z 2 )
dn exp(−z 2 ) dz n
(10.61)
az n-edfok´ u Hermite-polinom. Nem eg´esz ν ´ert´ekekre az u(z) megold´ast konfluens hipergometrikus f¨ uggv´enyek seg´ıts´eg´evel lehet el˝oa´ll´ıtani (ld. Miller k¨onyv´enek B, F¨ uggel´ek´et).
10.2.
G¨ ombfu enyek ¨ ggv´
Ebben a fejezetben egy csoportelm´eleti eszk¨oz¨okkel defini´alt f¨ uggv´enycsal´addal, a g¨ombf¨ uggv´enyekkel foglalkozunk. A h´aromdimenzi´os t´er transzform´aci´oinak csoportja, amely v´altozatlanul hagyja az egys´egg¨omb¨ot izomorf az O(3) csoporttal. Ez egy Lie-csoport,
303
ami a forgat´as Euler-sz¨ogeivel (θ, φ) param´eterezhet˝o, teh´at a csoportelemek k´et f¨ uggetlen param´etert˝ol f¨ uggenek folytonosan. A csoport infinitezim´alis gener´atorai der´eksz¨og˝ u koordin´ata-rendszerben: Lx = −i (y∂z − z∂y ) , (10.62) Ly = −i (z∂x − x∂z ) ,
(10.63)
Lz = −i (x∂y − y∂x ) .
(10.64)
A kommut´atorok k¨oz¨otti ¨osszef¨ ugg´esek k¨ozvetlen sz´am´ıt´assal ellen˝orizhet˝oek: [Li Lj ] = Lk , i 6= j 6= k, i, j, k = x, y, z.
(10.65)
Az irreducibilis a´br´azol´asokat a kvantummechanik´aban szok´asos t´argyal´asm´odban fogjuk meghat´arozni. Keress¨ uk a r¨ogz´ıtett z-tengely k¨or¨ uli forgat´asok saj´atf¨ uggv´enyeit. A megfelel˝o saj´at´ert´ek-egyenlet: ∂ f (m) = mf (m). (10.66) ∂θ ahol a saj´atf¨ uggv´enyt r¨ogt¨on a saj´at´ert´ek seg´ıts´eg´evel param´eterezt¨ uk. Bevezetj¨ uk az al´abbi, u ´n. l´eptet˝o oper´atorokat: Lz f (m) = −i
L± = Lx ± iLy ,
(10.67)
L+ ´es L− hasonl´oan viselkedik, ez´ert az al´abbi kommut´atort csak L+ -ra ´ırjuk fel: [L+ , Lz ] = −L+ . Ezt alkalmazva f (m)-re, a´trendez´es ut´an az al´abbi eredm´eny ad´odik: Lz (L+ f (m)) = (m + 1)(L+ f (m)),
(10.68)
azaz, L+ f (m) vagy azonosan nulla, vagy Lz -nek saj´atf¨ uggv´enye (m + 1) saj´at´ert´ekkel. Hasonl´o m´odon L− f (m)-re az ad´odik, hogy vagy nulla, vagy Lz -nek saj´atf¨ uggv´enye (m− 2 2 2 2 1) saj´at´ert´ekkel. K¨onnyen bel´athat´o, hogy az L = Lx + Ly + Lz oper´ator felcser´elhet˝o mindegyik Li -vel, ez´ert l´eteznek k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´enyek. Tegy¨ uk fel, hogy f (m) L2 -nek is saj´atf¨ uggv´enye: L2 f (m) = x(m)f (m). Mivel L2 = Lz (Lz + 1) + L− L+ , ´es f (m) egy m-t˝ol f¨ ugg˝o sz´ammal norm´alhat´o u ´gy, hogy fenn´alljon L+ f (m) = N (m)f (m + 1), ez´ert x 6= m(m + 1), mivel N (m) nemnegat´ıv. Ekkor van egy m ´ert´ek, legyen az `, amikor L+ f (`) = 0. Ekkor x = `(` + 1). Hasonl´o meggondol´as alapj´an l´etezik egy legkisebb m ´ert´ek, ez ´eppen −`, amikor L− f (−`) = 0. Adott ` eset´en teh´at 2` + 1 saj´atf¨ uggv´eny l´etezik. A saj´atf¨ uggv´enyek indexel´es´ehez teh´at m ´es ` is sz¨ uks´eges, ez´ert a tov´abbiakban f (m, `)-et fogunk ´ırni. Az infinitezim´alis oper´atorok saj´atf¨ uggv´enyeit teh´at az al´abbi egyenletek szolg´altatj´ak: Lz f (m, `) = mf (m, `), −` ≤ m ≤ +` p L+ f (m, `) = (` − m)(` + m + 1)f (m + 1, `) p L− f (m, `) = (` + m)(l − m + 1)f (m − 1, `) L2 f (m, `) = `(` + 1)f (m, `). 304
(10.69) (10.70) (10.71) (10.72)
Ezek a saj´atf¨ uggv´enyek eg´esz ` eset´en egy´ert´ek˝ u ´abr´azol´ast, feles ` ´ert´ek eset´en k´et´ert´ek˝ u a´br´azol´asokat adnak. (10.66)-b˝ol m = ` eset´ere f (`, `) = g(φ)ei`θ ad´odik. A felfel´e l´eptet˝o oper´atorral L+ f (`, `) = 0, azaz ∂ ∂ iθ e + i cot φ f = 0, ∂φ ∂θ
(10.73)
(10.74)
amib˝ol a g(φ) f¨ uggv´enyre az al´abbi egyenletet kapjuk: dg − ` cot φg = 0, dφ
(10.75)
g(φ) = sin` φ.
(10.76)
aminek megold´asa A fenti saj´atf¨ uggv´enyeket szokv´anyos jel¨ol´ese Y`m (θ, φ) , elnevez´es¨ uk pedig g¨ombf¨ uggv´enyek. Megfelel˝o norm´al´as ut´an a g¨ombf¨ uggv´enyek ´es az asszoci´alt Legendre-f¨ uggv´enyek (egy m´asik k¨ozismert speci´alis polinom) k¨oz¨ott egy egyszer˝ u kapcsolat a´ll fenn. A g¨ombf¨ uggv´enyek szerinti sorfejt´esek a fizika t¨obb ter¨ ulet´en el˝ofordulnak (kvantummechanika, sz´or´assz´am´ıt´as, neutronfizika). A teljess´eg kedv´e´ert megjegyezz¨ uk, hogy a g¨ombf¨ uggv´enyek t´argyalhat´oak a Laplaceegyenlet megold´asaik´ent is. Tekints¨ uk ugyanis a Laplace-egyenlet X U (x, y, z) = ahk` xh y k z ` (10.77) h+k+`=n
alak´ u megold´asait, azaz, a homog´en, n-edfok´ u, harmonikus polinom alak´ u megold´asokat. Vezess¨ uk be az egys´egsugar´ u, orig´o k¨oz´eppont´ u g¨omb felsz´ın´en l´ev˝o P = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ koordin´at´aj´ u pontj´at. Vezess¨ uk be az al´abbi koordin´at´akat: x = r sin ϑ cos ϕ y = r sin ϑ sin ϕ z = r cos ϑ.
(10.78) (10.79) (10.80)
Legyen a tov´abbiakban U (x, y, z) tetsz˝oleges harmonikus polinom. Az x, y, z v´altoz´ok fenti helyettes´ıt´ese ut´an kapott U (x, y, z) = U (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ) = rn U (. . . ) f¨ uggv´eny nyilv´anval´oan sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, ´es cos ϑ polinomja lesz. Az X(P ) = X(ϑ, ϕ) = U (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ) f¨ uggv´enyt n-edrend˝ u g¨ombf¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. Behelyettes´ıt´essel meg´allap´ıthat´o, hogy az X(P ) polinom kiel´eg´ıti a (10.62)
305
egyenletet az r = 1 helyettes´ıt´es mellett. Bebizony´ıthat´o, hogy pontosan 2n + 1 sz´am´ u line´arisan line´arisan f¨ uggetlen n-edfok´ u harmonikus polinom l´etezik. Jel¨olje ezeket Um (x, y, z), m = 0, 1, . . . , 2n. Vezess¨ uk be tov´abb´a az Xnm (ϑ, ϕ) = Um (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ)
(10.81)
jel¨ol´est. Nyilv´an Xn (ϑ, ϕ) egy harmonikus polinom, ´es az el˝obbi ´all´ıt´asnak megfelel˝oen uggv´enyek line´aris kombin´aci´ojak´ent: kifejthet˝o az Xnm (ϑ, ϕ) f¨ Xn (ϑ, ϕ) =
2n X
cm Xnm (ϑ, ϕ)
=
m=0
n X
am Unm (P )
+
m=0
n X
bm Vnm (P ),
(10.82)
n=1
ahol Unm (ϑ, ϕ) = Pnm (cos ϑ) cos(mϕ)
(10.83)
Vnm (ϑ, ϕ) = Pnm (cos ϑ) sin(mϕ).
(10.84)
´es Figyelj¨ uk meg, hogy az ´ıgy bevezetett Xn (P ) f¨ uggv´eny val´oj´aban g¨ombf¨ uggv´enyek egy line´aris kombin´aci´oja. Ezen f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi ortogonalit´as: Z Z Xn (P )Xm (P )dF = 0, han 6= m. (10.85) G
Gyakran hasznos a g¨ombf¨ uggv´enyek k¨oz¨ott fenn´all´o add´ıci´os t´etel ismerete. Legyen P = ´ (ϑ, ϕ) ´es Q = (ϑ, ϕ) ´ k´et pont az egys´egg¨omb felsz´ın´en. Legyen tov´abb´a γ az OP ´es az OQ egys´egvektorok ´altal bez´art sz¨og. A skal´arszorz´as szab´alyai szerint ´ cos γ = OP OQ = sin ϑ sin ϑ´ cos ϑ cos ϑ´ + sin ϕ sin ϕ´ = cos ϑ cos ϑ+sin ϑ sin ϑ´ cos(ϕ− ϕ´ (10.86) ´ ´ Nyilv´anval´oan Pn (cos γ) n-edfok´ u polinomja cos ϑ-nek, sin ϑ-nek ´es sin ϕ-nek, ´ tov´abb´a kiel´eg´ıti a (10.62) egyenletet r = 1 mellett, vagyis, maga is n-edrend˝ u g¨ombf¨ uggv´eny. Az (10.85) ortogonalit´as miatt Z Z Xn (Q)Pn (cos γ)dF = 0, han 6= m. (10.87) G
Itt az integr´al´ast a Q pont koordin´at´ai szerint kell elv´egezni. Ha viszont n = m, akkor Z Z 4π Xn (P ). (10.88) Xn (Q)Pn (cos γ)dF = 2n + 1 G Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy Pn (cos γ) kifejezhet˝o Xnm -mel a k¨ovetkez˝ok´eppen: Pn (cos γ) =
2n X
am Unm (Q) +
m=0
n X m=1
306
bm Vnm (Q),
(10.89)
ahol a0 = Xn0 (P ), tov´abb´a
(n − m)! m U (P ) (n + m)! n (n − m)! m bm = 2 V (P ). (n + m)! n am = 2
10.3.
(10.90) (10.91)
Elliptikus fu enyek ¨ ggv´
A fizika ´es a matematika egyes fejezeteiben el˝ofordulnak az al´abbi t´ıpus´ u integr´alok: Z ϕ q dψ 1 − k 2 sin2 ψ, (10.92) F (k, ϕ) = 0
´es
Z E(k, ϕ) =
ϕ
q 1 − k 2 sin2 ψdψ
(10.93)
0
amelyeket nem lehet a´ltal´aban z´art alakban megadni. A (10.92) integr´allal defini´alt F (k, ϕ) f¨ uggv´enyeket els˝ofaj´ u teljes elliptikus integr´alnak nevezik. Az E(k, ϕ) f¨ uggv´enyeket m´asodfaj´ u teljes elliptikus integr´alnak nevezik. Legyen u = F (k, ϕ). Ebb˝ol r¨ogz´ıtett k mellett kifejezhet˝o a ϕ amplit´ ud´o, mint u f¨ uggv´enye. A kapott f¨ uggv´eny v´egtelen sok ´ert´ek˝ u, u-ban periodikus periodusa 4F 0 (k), ahol √ (10.94) F 0 (k) = F ( 1 − k 2 , π/2), √ a komplementer modulus k 0 = 1 − k 2 f¨ uggv´enye. A Carl Gustav Jacobi (1804-1851) a´ltal bevezetett a sinus amplitudinis, cosinus amplitudinis ´es delta amplitudinis elnevez´eseknek megfelel˝oen az al´abbi jel¨ol´est szok´as haszn´alni: sn(u, k) = sin ϕ = sin am(u, k)
(10.95)
cn(u, k) = cos ϕ = cos am(u, k) p dn(u, k) = 1 − k 2 sn2 (u, k).
(10.96) (10.97)
A bevezetett f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott fenn´allnak az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek: sn2 (u, k) + cn2 (u, k) = 1 dn2 (u, k) + k 2 sn2 (u, k) = 1.
(10.98) (10.99)
Tov´abbi hasznos ¨osszef¨ ugg´esek: 1 − cn(2u, k) 1 + dn(2u, k) cn(2uk) + dn(2u, k) cn2 (u, k) = 1 + dn(2u, k) dn(2u, k) + k 2 cn(2u, k) + (k 0 )2 dn2 (u, k) = . 1 + dn(2u, k) sn2 (u, k) =
307
(10.100) (10.101) (10.102)
Deriv´al´asi szab´alyok: d/dz(snz) = cn(z)dn(z) d/dz(cn(z) = −sn(z)dn(z) d/dz(dn(z) = −k 2 sn(z)cn(z).
(10.103) (10.104) (10.105)
Tov´abbi r´eszletek tal´alhat´oak Farkas Mikl´os k¨onyv´eben [8].
10.4.
Hermite-polinomok
Az Hermite-polinomok kiel´eg´ıtik az al´abbi differenci´alegyenletet: d2 w dw + 2nw = 0. − 2z 2 dz dz
(10.106)
A w(z) megold´as val´os z = x argumentum eset´en egy´ert´ek˝ u ´es analitikus, l´etezik az Z +∞ 2 e−x w2 (x)dx −∞
integr´al. Az Hn (x) Hermite-polinomok k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi ortogonalit´as: ( Z +∞ 0 if n 6= n0 , 2 . (10.107) e−x Hn (x)Hn0 (x)dx = √ 2n n! π if n = n0 −∞ Az Hermite-polinomok el˝o´all´ıt´as´ara az al´abbi rekurzi´o haszn´alhat´o: Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x).
(10.108)
Hasznos lehet az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: dHn = 2nHn−1 (x). dx
(10.109)
Az els˝o hat Hermite-polinom: H1 (x) H2 (x) H3 (x) H4 (x) H5 (x) H6 (x)
= = = = = =
1 2x 4x2 − 2 8x3 − 12x 16x4 − 48x2 + 12 32x5 − 160x3 + 120x.
(10.110) (10.111) (10.112) (10.113) (10.114) (10.115)
Nem a´rt az ´ovatoss´ag, k¨ ul¨onb¨oz˝o k´ezik¨onyvek k¨ ul¨onb¨oz˝ok´eppen defini´alj´ak az Hermitepolinomokat. 308
11. fejezet A Galois elm´ elet
309
A fizik´aban jelent˝os szerepe van a fizikai rendszerek id˝obeli fejl˝od´es´enek. Ezeket az egyenleteket evol´ uci´os egyenletek n´even szok´as emlegetni, k¨oz¨os jellemz˝oj¨ uk, hogy a fizikai rendszer jellemz´es´ere haszn´alt x = (x1 , x2 , . . . , xn ) v´altoz´ok id˝obeli v´altoz´as´at az al´abbi egyenlet ´ırja le: x˙ = A(t)x. (11.1) Itt A(t) differenci´al´ast tartalmaz a fizikai rendszer egy´eb (t¨obbnyire hely, energia stb. de az id˝o nem) v´altoz´oi szerint. Jelen fejezetben azzal foglalkozunk, hogyan lehet az evol´ uci´os egyenletek megold´as´aban felhaszn´alni az algebrai m´odszereket. Az ¨otlet nem u ´j, hiszen Sophus Lie u ˝tt¨or˝o munk´aja 1893-ban sz¨ uletett, m´egis a m´odszer az elm´ ult ´evtizedben terjedt el, els˝osorban a sz´am´ıt´og´epes m´odszerek hat´ekonys´aga k¨ovetkezt´eben. Vizsg´al´od´asunkat az Evariste Galois-t´ol sz´armaz´o alap¨otlettel kezdj¨ uk. Az egyik legterm´eszetesebb k´erd´es annak vizsg´alata, hogy egy egyv´altoz´os polinom milyen transzform´aci´okkal szemben invari´ans. Az algebrai m´odszerek alkalmaz´as´anak egyik legl´atv´anyosabb eredm´enye az n-edfok´ u a´ltal´anos egyenlet gy¨okk´eplet´enek vizsg´alata. A legfeljebb negyedfok´ u egyenlet gy¨okeit megad´o k´epleteket m´ar a XVII. sz´azadban ismert´ek. A legal´abb ¨ot¨odfok´ u egyenlet megold´ok´eplet´et viszont hi´aba kerest´ek. Felmer¨ ult a k´erd´es: megadhat´o-e az a´ltal´anos n-edfok´ u egyenlet ¨osszes gy¨ok´et szolg´altat´o k´eplet? K¨ozismert a m´asodfok´ u ax2 + bx + c = 0 egyenlet megold´ok´eplete: √ −b ± b2 − 4ac . (11.2) x1,2 = 2a Ugyan mi´ert ne lehetne hasonl´o k´epletet megadni egy tetsz˝oleges polinomra? Igaz, m´ar a negyedfok´ u egyenlet gy¨okeit megad´o k´eplet is el´egg´e bonyolult, de legal´abb l´etezik. V´eletlen, hogy matematikusok sz´azai pr´ob´alkoztak hi´aba a k´eplet megad´as´aval, vagy valami t¨orv´enyszer˝ us´eg az oka, hogy minden k´ıs´erlet kudarcba fulladt? Az is meglep˝o, hogy ´eppen egy algebrai m´odszerrel siker¨ ult a k´erd´eseket megv´alaszolni, hiszen a gy¨okk´eplet egy f¨ uggv´eny, amely megadja a gy¨ok¨oket, mint az egyenlet egy¨ utthat´oinak f¨ uggv´eny´et. Hogyan kapcsolhat´o az algebra egy f¨ uggv´eny megkonstru´al´as´ahoz? Az elm´eleti fizika is olyan f¨ uggv´enyekkel foglalkozik, amelyek algebrai strukt´ ur´akat k´epeznek le m´as algebrai strukt´ ur´akra. A gy¨okk´eplet vizsg´alata egyszer˝ u eszk¨oz¨oket haszn´al, ezen eszk¨ uz¨ok megismer´ese a fizika sz´amos ter¨ ulet´en j´ol kamatoztathat´o. A testek, vektorterek, csoportok alapvet˝o konstrukci´ok a fizik´aban. A k¨oz¨ott¨ uk l´etes´ıtett lek´epez´esek vizsg´alata pedig alapvet˝o a kvantummechanika, a spektroszk´opia, az atom´es magfizika, a szil´ardtestfizika, vagy a relativit´aselm´elet ter¨ ulet´en. A jelen fejezetben teh´at az alapvet˝o algebrai strukt´ ur´ak k¨oz¨otti lek´epez´esek vizsg´alat´anak egyszer˝ u p´eld´aj´at tal´alja az Olvas´o. Adottnak tekint¨ unk egy a´ltal´anos n-ed fok´ u polinomot, ´es keres¨ unk olyan f¨ uggv´enyeket, amelyek az adott polinom o¨sszes gy¨ok´et megadj´ak a polinom egy¨ utthat´oinak f¨ uggv´eny´eben. A keresett f¨ uggv´eny legyen algebrai, 310
azaz, v´eges sokszor szerepelhet benne a n´egy alapm˝ uvelet ´es eg´esz kitev˝oj˝ u gy¨okvon´as. Meg kell jegyezni, hogy m´as eszk¨oz¨okkel is kereshet˝o egy polinom gy¨oke. 11.1. Feladat Az anal´ızis eszk¨ozeivel is kereshetj¨ uk a gy¨ok¨oket. Keress¨ uk meg az f (x) = x7 − 2x6 − 2x5 + 5x4 + x3 − 4x2 + 1 = 0 egyenlet gy¨okeit! f (x) differenci´alh´anyadosa f 0 (x) = 7x6 − 12x5 − 10x4 + 20x3 + 3x2 − 8x. K¨onnyen megkereshet˝o f (x) ´es f 0 (x) legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja: d1 (x) = x3 − x2 − x + 1. Ez a polinom az f (x) t¨obbsz¨or¨os gy¨okt´enyez˝oinek szorzata. Nyilv´an d1 (x) ´es d01 (x) legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja f (x) legal´abb h´aromszoros gy¨okt´enyez˝oinek szorzata s. ´ı. t. am´ıg az utols´o deriv´alt nulladfok´ uv´a nem 0 v´alik. Eset¨ unkben d1 (x) ´es d1 (x) legnagyobb k¨oz¨os oszt´oja d2 (x) = x − 1, v´eg¨ ul d2 (x) ´es d02 (x) k¨oz¨os oszt´oja 1. Ezek ut´an k¨onnyen lev´alaszthatjuk f (x)-b˝ol a t¨obbsz¨or¨os gy¨ok¨oket tartalmaz´o r´eszeket: a legal´abb k´etszeres gy¨ok¨ok lev´alaszt´asa ut´an kapjuk q1 (x) = df1(x) = (x) 4 3 2 x − x − 2x + x + 1, ami csupa egyszeres gy¨okt´enyez˝ok szorzat´ab´ol ´all, hasonl´ok´eppen a qk (x) (x) = x2 − 1 ´es a q3 (x) = dd23 (x) = x − 1. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a qk+1 sorozat az q2 (x) = dd21 (x) (x) (x) f (x) polinom k-szoros gy¨okt´enyez˝oinek szorzat´at tartalmazza, teh´a√t az egyszeres gy¨ok¨ok √ q1 (x) 1+ 5 2 szorzata q2 (x) = x − x − 1, ennek gy¨okei x1 = 2 , x2 = 1−2 5 . K´etszeres gy¨okei q2 (x) q1 (x)
q2 (x) = x − 1, amib˝ol x5 q3 (x) √ √ 1+ 5 1− 5 (x− 2 )(x− 2 )(x+1)2 (x−1)3
= x + 1, amib˝ol x3 = x4 = −1, h´aromszoros gy¨okei pedig
=
x6 = x7 = 1. A keresett gy¨okt´enyez˝os alak: f (x) = = 0. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a bemutatott m´odszer csak korl´atozottan alkalmazhat´o ugyan, de seg´ıts´eg´evel eld¨onthet˝o egy polinomr´ol, vannak-e t¨obbsz¨or¨os gy¨okei. A megold´ok´eplet vizsg´alata sor´an kiindulunk egy polinomb´ol, amelynek egy¨ utthat´oit valamely T0 testb˝ol v´alasztjuk. A polinom gy¨okei nem sz¨ uks´egszer˝ uen T0 -beli sz´amok, ez´ert konstru´alunk egy T0 ⊂ T1 testet, amely teh´at tartalmazza a polinom egy¨ utthat´oinak test´et u ´gy, hogy a b˝ov´ıt´es eredm´enyek´ent kapott testben a polinomnak legyen legal´abb egy gy¨oke. Ilyen b˝ov´ıt´esek egym´asut´anj´aval megkaphatjuk azt a testet, amelyben a vizsg´alt polinomnak minden gy¨oke benne van. El˝osz¨or teh´at a b˝ov´ıt´essel foglalkozunk, megvizsg´aljuk az egyenlet szimmetri´ait ´es a gy¨ok¨oket tartalmaz´o test szimmetri´ait. Legyen adott egy T test. Az x v´altoz´o olyan polinomjait, amelyek egy¨ utthat´o elemei T-nek, T(x)-szel jel¨olj¨ uk. Teh´at f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an ∈ T(x),
(11.3)
amennyiben minden i-re ai ∈ T. A legfeljebb n-edfok´ u polinomok egy testet alkotnak, az al´abbi k´et m˝ uveletre n´ezve: • polinomok ¨osszead´asa: a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an + b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn = (a0 + b0 )xn + (a1 + b1 )xn−1 + · · · + (an + bn ) • polinomok szorz´asa modulo g(x). Legyen g(x) ∈ T(x). Ekkor b´armely f (x) ∈ T(x) fel´ırhat´o f (x) = h(x) ∗ g(x) + r(x) alakban, ahol r(x) foksz´ama kisebb, mint g(x) 311
foksz´ama. Ekkor azt mondjuk, hogy f (x) = r(x)modulog(x). Amennyiben a szorz´ast modulog(x) tekintj¨ uk, k´at polinom szorzata is legfeljebb eggyel alacsonyabb foksz´am´ u, mint g(x) foksz´ama. K¨ozvetlen¨ ul ellen˝orizhet˝o, hogy a fenti k´et m˝ uveletre n´ezve a T(x)-ben legfeljebb nedfok´ u polinomok testet alkotnak. Amennyiben az f (x) ∈ T(x) n-edfok´ u polinom szorzatra bonthat´o, u ´gy, hogy a szorzatban szerepl˝o polinomok is T(x)-b˝ol val´oak, f (x) − et reducibilisnek, ellenkez˝o esetben irreducibilisnek nevezz¨ uk. Az irreducibilis polinom foksz´ama a T testt˝ol f¨ ugg. Ezzel kapcsolatban id´ez¨ unk k´et t´etelt. 11.1. T´ etel A val´os egy¨ utthat´os polinomok k¨oz¨ott irreducibilis polinomok az ¨osszes els˝ofok´ u ´es bizonyos m´asodfok´ u polinomok. A legal´abb harmadfok´ u, val´os egy¨ utthat´os polinomok mind reducibilisek a val´os sz´amok teste f¨ol¨ott. 11.2. T´ etel A racion´alis sz´amtest f¨ol¨ott tetsz˝olegesen magas foksz´am´ u irreducibilis polinomok is vannak. 11.3. T´ etel A komplex sz´amtest f¨ol¨ott minden legal´abb m´asodfok´ u polinom els˝ofok´ u t´enyez˝okre bonthat´o. Induljunk ki a racion´alis egy¨ utthat´os n-edfok´ u polinomokb´ol. Ezek k¨oz¨ott a polinomok k¨oz¨ott lesznek irreducibilisek is, hiszen a gy¨okvon´as nem v´egezhet˝o el a racion´alis sz´amok k¨or´eben. Ezen u ´gy seg´ıthet¨ unk, hogy a racion´alis sz´amok Q test´et kib˝ov´ıtj¨ uk. ´ Altal´ anoss´agban azt mondjuk, hogy a T1 test v´egesen gener´alt b˝ov´ıt´ese a T0 ⊂ T1 r´esztestnek 1 , ha tal´alhat´o v´eges sok α1 , . . . , αn ∈ T1 olym´odon, hogy T1 minden m´as eleme kifejezhet˝o α1 , . . . , αn T0 -beli egy¨ utthat´okkal k´epzett racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyek´ent. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az α1 , . . . , αn sz´amokat adjung´aljuk a T0 r´esztesthez. 11.2. Feladat Tekints¨ uk a racion´alis egy¨ utthat´os polinomok Q(x) test´et. Ebben a 11.2.. t´etel szerint tetsz˝olegesen magas foksz´am´ u irreducibilis polinomok is tal´alhat´oak. Ha meg 3 akarjuk oldani az x − 2 = 0 egyenletet, a gy¨ok¨ot Q egy kib˝ov´ıtett √ test´eben kell keresni. √ 3 3 ´gy kapjuk Q-b´ol, hogy adjung´aljuk hozz´a α1 = ( 2)-at. Ez a halmaz A Q( 2) testet u sem tartalmazza azonban x3 − 2 = 0 minden gy¨ok´et, ugyanis x3 − 2 = (x − α1 )(x2 + α1 x + α12 ), ´es a szorzat m´asodik t´enyez˝oj´enek gy¨oke nem eleme Q(α)-nak, √ ugyanis gy¨oke komplex. Ehhez u ´jabb b˝ov´ıt´esre van sz¨ uks´eg, az u ´j gy¨ok kifejezhet˝o α2 = −3 seg´ıts´eg´evel. Bel´athat´o, hogy az Q(α1 , α2 ) testben m´ar megtal´alhat´o az x3 − 2 = 0 egyenlet minden gy¨oke. Amennyiben teh´at a gy¨ok¨oket tartalmaz´o legsz˝ ukebb testet keress¨ uk, elj´arhatunk az al´abbi m´odon. Kiindulunk egy olyan sz˝ uk T0 testb˝ol, amelyben az egyenletnek nincs 1
A r´esztest maga is testet alkot ugyanazokra a m˝ uveletekre n´ezve, mint az a test, amelynek r´esze.
312
gy¨oke. Ezut´an T0 -hoz adjung´aljuk az egyenlet irreducibilis polinomjainak gy¨okeit egym´as ut´an. ´Igy kapjuk a T0 , T1 , . . . , Tn testek egym´asut´anj´at, u ´gy, hogy T0 ⊂ T1 ⊂ · · · ⊂ Tn . Vegy¨ uk ´eszre, hogy az egyre ´altal´anosabb testekben egyre alacsonyabb foksz´am´ u polinomot kell vizsg´alnunk, hiszen valah´anyszor egy gy¨ok ismert, azzal a vizsg´alt polinom eloszthat´o, ´ıgy foksz´ama eggyel cs¨okken.
11.1.
Gy¨ ok¨ ok ´ es egyu ok ¨ tthat´
Most tesz¨ unk egy r¨ovid kit´er˝ot, megvizsg´aljuk az egyenlet egy¨ utthat´oinak ´es gy¨okeinek kapcsolat´at. Bizony´ıt´as n´elk¨ ul id´ez¨ unk n´eh´any hasznos t´etelt. Vizsg´aljuk teh´at a (11.3) polinomot. Az id´ezett t´etelek els˝osorban a stabilit´asi vizsg´alatokban hasznosak. 11.4. T´ etel Val´os algebrai egyenlet komplex gy¨okei mindig p´aronk´ent konjug´altak ´es azonos multiplicit´as´ uak. Ez´ert minden p´aratlan foksz´am´ u val´os algebrai egyenletnek van legal´abb egy val´os gy¨oke. 11.5. T´ etel (Routh-Hurwitz krit´ erium) Az n-edfok´ u val´os algebrai egyenlet pozit´ıv val´os r´esz˝ u gy¨okeinek sz´ama a0 > 0 eset´en egyenl˝o a T0 , T1 , T2 /T1 , T3 /T2 , . . . , Tn /Tn−1 vagy a T0 , T1 , T1 T2 , T2 T3 , . . . , Tn−1 Tn−2 , an sorozatok b´armelyik´eben fell´ep˝o el˝ojelv´alt´asok sz´am´aval (az elt˝ un˝o tagokt´ol eltekintve), ahol a1 a0 0 a a T0 = a0 , T1 = a1 , T2 = 1 0 , T3 = a3 a2 a1 a3 a2 a5 a4 a3 . (11.4) a1 a0 0 0 a3 a2 a1 a0 ,T4 = a5 a4 a3 a2 a7 a6 a5 a4 A m´atrixok k´epz´esi szab´alya: egy oszlopon bel¨ ul az indexek p´aros´aval n˝onek, egy soron bel¨ ul balr´ol jobbra cs¨okkennek. A negat´ıv index˝ u elemek hely´ere nulla ker¨ ul. Az a0 > 0 esetben mindegyik gy¨ok val´os r´esze akkor ´es csak akkor negat´ıv, ha T0 , T1 , T2 , . . . , Tn mind pozit´ıv. Ezzel egyen´ert´ek˝ u felt´etel, hogy minden ai ´es minden p´aros index˝ u Tk vagy minden p´aratlan index˝ u Tk pozit´ıv (Li´en´ard-Chipart-pr´oba). 11.6. T´ etel (Descart-f´ ele el˝ ojelszab´ aly) A val´os algebrai egyenlet pozit´ıv val´os gy¨okeinek sz´ama vagy egyenl˝o az egy¨ utthat´ok a0 , a1 , . . . , an sorozat´aban az el˝ojelv´alt´asok Na sz´am´aval, ahol az elt˝ un˝o tagokt´ol eltekint¨ unk, vagy Na ´ert´ek´en´el p´aros sz´ammal kisebb. 11.1. Feladat Legyen annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy egy ξ v´eletlen mennyis´eg a [0, F ] intervallumba esik az ismeretlen γ ≤ 1 sz´am. Kisorsoljuk N alkalommal ξ ´ert´ek´et, legyen 313
a legnagyobb ´ert´ek xN ≤ F . Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a ξ v´altoz´o legal´abb γ h´anyada N esik a [0, xN ] intervallumba β = 1 − γ . A gyakorlatban el˝onyben r´eszes´ıtik a β = γ ´es N = 59 v´alaszt´ast. A sz´obaj¨ov˝o γ ´ert´ekek a γ = 1 − γ 59 egyenlet val´os gy¨okei. Az egyenlet foksz´ama p´aratlan, ez´ert legal´abb egy val´os gy¨oke van. A Descartes-f´ele el˝ojelszab´aly megmutatja, hogy az egy¨ utthat´ok sorozat´aban csak egy el˝ojelv´alt´as van, ez´ert a val´os gy¨ok¨ok sz´ama egy, ´ert´eke numerikus eszk¨oz¨okkel hat´arozhat´o meg: γ = 0.950372. 11.7. T´ etel (Fels˝ o hat´ ar a val´ os gy¨ ok¨ okre) Ha a val´os algebrai egyenlet a0 , a1 , . . . , ak egy¨ up tthat´oja nemnegat´ıv ´es ak negat´ıv, akkor az egyenlet minden val´os gy¨oke kisebb, mint ut ´ert´ek˝ u negat´ıv egy¨ utthat´o abszol´ ut ´ert´eke. 1 + k q/a0 , ahol q a legnagyobb abszol´ 11.8. T´ etel A (11.3) egyenlet z1 , z2 , . . . , zn gy¨okei ´es egy¨ utthat´oi k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat: a1 = −a0 (z1 + z2 + · · · + zn ) a2 = a0 (z1 z2 + z1 z3 + · · · + zn−1 zn ) a3 = −a0 (z1 z2 z3 + z1 z2 z4 + · · · + zn−2 zn−1 zn ) ... n an = (−1) a0 z1 z2 . . . zn .
(11.5) (11.6) (11.7) (11.8) (11.9)
A (11.5) kifejez´eseiben a z1 , z2 , . . . , zn gy¨ok¨okb˝ol k´epzett egyt´enyez˝os, k´ett´enyez˝os, h´aromt´enyez˝os szorzatok ¨osszege, s.´ı.t v´eg¨ ul az egyetlen n t´enyez˝os szorzat ´all. Ezek a kifejez´esek szimmetrikusak a gy¨ok¨ok felcser´el´es´ere n´ezve.
11.1.1.
A Galois-elm´ elet
T´erj¨ unk most vissza a testb˝ov´ıt´esekhez. Egy testhez–ugyan´ ugy, mint egy vektort´erhez– dimenzi´ot rendelhet¨ unk az al´abbi m´odon. Tekints¨ uk a T0 test T1 kib˝ov´ıt´es´et. Elfeledkezv´en a szorz´asr´ol, T1 -et tekinthetj¨ uk egy vektort´ernek, amelynek elemei T0 -b´ol val´oak. A b˝ov´ıt´est r¨oviden T1 |T0 -el fogjuk jel¨olni, ebben a jel¨ol´esben el¨ol ´all a b˝ovebb test. Amennyiben T1 , mint T0 -b´ol gener´alt vektort´er dimenzi´oja n, ezt a dimenzi´ot a b˝ov´ıt´es fok´anak nevezz¨ uk, ´es az al´abbi jel¨ol´est alkalmazzuk: [T1 : T0 ] = n . A tov´abbiakban csak v´eges dimenzi´os (n < ∞) esettel foglalkozunk. Legyen T2 = T1 (α), ahol α algebrai elem T1 felett (azaz, van olyan algebrai egyenlet T1 -beli egy¨ utthat´okkal, amelyneg gy¨oke α). Az ilyen F (x) polinomok k¨oz¨ott van legkisebb fok´ u, amely egy konstans szorz´o erej´eig van meghat´arozva, ezt a polinomot minim´alpolinomnak nevezik. Bel´athat´o (ld. Emil Artin jegyzet´et[3]), hogy b´armely v´eges testb˝ov´ıt´est T0 (α) alakba ´ırhatunk, ahol α egy n-edfok´ u, T0 (x)-b˝ol val´o P (x) polinom gy¨oke. Ez a megfigyel´es j´ol 314
kamatozik a b˝ov´ıt´es automorfizmusainak vizsg´alata sor´an. Egy T1 |T0 b˝ov´ıt´es automorfizmus´an olyan transzform´aci´ot ´ert¨ unk, amely T0 ¨osszes elem´et v´altozatlanul hagyja. Ezek a transzform´aci´ok az ism´etelt alkalmaz´as m˝ uvelet´ere n´ezve csoportot alkotnak, jel¨olje ezt a csoportot G1 . Egy b˝ov´ıt´es automorfizmus´at a b˝ov´ıt´est gener´al´o P (x) polinom gy¨ok´enek transzform´aci´oja egy´ertelm˝ uen meghat´arozza. Az automorfizmus nyilv´anval´oan v´altozatlanul hagyja a gener´al´o polinomot, P (x)-et, ez´ert a G1 csoport rendje nem lehet nagyobb, mint a b˝ov´ıt´est gener´al´o P (x) polinom foksz´ama, ami viszont [T1 : T0 ]. Az olyan b˝ov´ıt´est, amelyre |G1 | = [T1 : T0 ], Galois-b˝ov´ıt´esnek nevezz¨ uk. Ennek teh´at sz¨ uks´eges felt´etele, hogy a b˝ov´ıt´est gener´al´o P (x) polinom T0 felett line´aris faktorokra essen sz´et. Az el˝oz˝o paragrafus eredm´enyeit alkalmazhatjuk a b˝ov´ıt´esek egym´asut´anj´ara. Az egyenlet megold´as´ahoz kiindulunk a T0 testb˝ol, majd ehhez adjung´aljuk a vizsg´alt egyenlet els˝o gy¨ok´et, ´ıgy kapjuk T1 -et, ehhez adjung´aljuk a vizsg´alt egyenlet m´asodik gy¨ok´et, ´ıgy kapjuk T2 -t s.´ı.t. V´egeredm´enyk´eppen eljutunk az al´abbi, egym´asba a´gyazott testek sorozat´ahoz: Tn ⊂ Tn−1 · · · ⊂ T2 ⊂ T1 ⊂ T0 . Az egym´asra k¨ovetkez˝o testek dimenzi´osz´am´anak v´altoz´as´at az adjung´alt polinom foksz´ama szabja meg, ez viszont az adjung´alt gy¨ok multiplicit´as´at´ol f¨ ugg. A fenti testekb˝ol alkotott sorozathoz megkonstru´alhatjuk az el˝oz˝o bekezd´esben le´ırt csoportok sorozat´at. Legyen Gi az a csoport, amely a Ti test-automorfizmusainak olyan csoportja, amely fixen hagyja a Ti−1 testet. 11.9. T´ etel (A Galois-elm´ elet f˝ ot´ etele) A Gi 7→ Ti ´es a Ti 7→ Gi lek´epez´esek egym´as inverzei, ´es k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´est adnak a G = (Tn |T0 ) Galoiscsoport r´eszcsoportjai ´es a Ti r´esztestei k¨oz¨ott. Ez a megfeleltet´es megford´ıtja a tartalmaz´asi rel´aci´ot: Gi ⊂ Gi−1 akkor ´es csakis akkor, ha teljes¨ ul, ha Ti − 1 ⊂ Ti . F¨onn´all tov´abb´a a [Ti : Ti−1 ] = |Gi : Gi−1 | ¨osszef¨ ugg´es. Ti−1 ⊂ Ti ⊂ Ti−1 akkor ´es csakis akkor Galois-b˝ov´ıt´es, ha Gi ⊂ Gi+1 norm´aloszt´o. Ezek ut´an ¨osszefoglalhat´o a testb˝ov´ıt´esek sorozat´anak vizsg´alat´aval nyert eredm´eny. 11.10. T´ etel Egy Tn |T0 b˝ov´ıt´es pontosan akkor foglalhat´o bele egy olyan Un |U0 b˝ov´ıt´esbe, amelyet gy¨ok¨ok ism´eteltp hozz´aad´as´aval nyer¨ unk (azaz, amelyre Tn = Un ⊂ Un−1 ⊂ n . . . Ur = T0 , ahol Uk = Uk−1 ( λk−1 ) ´es λi ∈ Ui−1 ), ha a b˝ov´ıt´es Galois-csoportja feloldhat´o. A fenti t´etelt egybevetve azzal, hogy az n-edfok´ u polinom szimmetri´ai a gy¨ok¨ok permut´aci´oi, teh´at izomorf az n-edfok´ u permut´aci´ok Sn csoport´aval, amelyet a m´asodik fejezetben t´argyaltunk, ad´odik az al´abbi Abel-nek tulajdon´ıtott t´etel: 11.11. T´ etel Az n-edfok´ u ´altal´anos egyenlet n = 2, 3, 4-re megoldhat´o gy¨okjelekkel, n ≥ 5-re viszont nem.
315
A polinomok szimmetri´aj´anak vizsg´alata ut´an term´eszetesen ad´odik a t¨obbismeretlenes (line´aris) egyenletrendszerek szimmetri´ainak vizsg´alata. 11.2. Feladat (K¨ ozbu o test, b˝ ov´ıt´ es) Vizsg´aljuk az f (x) = x4 − 3 polinomot ¨ ls˝ √ aQ √ racion´alis sz´amtest f¨ol¨ott. A komplex sz´amok test´eben f (x) gy¨okei: ±i 4 3, ± 4 3. A b˝ov´ıt´es teh´at a T0 = Q racion´alis testb˝ol indul,´es a gy¨ok¨ok adjung´al´as´aval folytat´odik. Ezt azonban t¨obb l´epcs˝oben √ kell v´egrehajtani, hiszen Q-ban nem szerepel √ √sem i, sem irracion´alis sz´am (mint pl. 4 3). Ez´ert els˝ o l´ e p´ e sben a b˝ o v´ ı t´ e st a 3, i, i 3 sz´a√ √ mok adjung´al´as´aval hajtjuk v´egre: T1 = Q( 3), T2 = Q(i), T3 = Q(i 3). f (x) gy¨okei √ 4 megtal´alhat´ o ak a Q( 3, i) testben, ehhez T3 tov´ abbi b˝ov´ıt´esei r´ev´e√ n jutunk: √ T1 , T2 ´es√ √ √ √ √ 4 4 4 4 4 T4 = Q( 3), T5 = Q(i 3), T6 = Q(i, 3), T7 = Q( 3 + i 3),√T8 = Q( 3 − i 4 3). V´eg¨ ul, az f (x) polinom line´aris t´enyez˝okre bonthat´o a T9 = Q(i, 4 3) test f¨ol¨ott. Az Olvas´ o ellen˝orizheti, hogy a kilenc l´ep´esb˝ol ´all´o b˝ov´ıt´es minden egyes pontj´an egy testet kaptunk. Az egyes testek szimmetri´ait az f (x) polinom gy¨okeinek permut´ ol. √ aci´o seg´ıts´eg´evel ´ırjuk f¨ Minden ilyen permut´aci´o jellemezhet˝o azzal, hogyan hat a ( 4 3, i) p´aros elemein. A permut´aci´okat g¨or¨og bet˝ ukkel jel¨olj¨ uk, a 2. fejezetben ismertetett m´odon csak a permut´aci´ o m´asodik sor´at ´ırjuk ki. Az egys´egelem: √ 4 3, i . ε= √ Az α elem 4 3-at i-vel szorozza, i-t v´altozatlanul hagyja: √ 4 α= 3, i , ebb˝ol α2 ´es α3 k¨ozvetlen¨ ul ad´odik:
√ 4 α2 = − 3, i √ 4 α3 = −i 3, i .
A β elem kiz´ar´olag i el˝ojel´et v´altoztatja meg: √ 4 β= 3, −i , amib˝ol ad´odik
√ 4 αβ = i 3, −i , √ 4 2 α β = − 3, −i , √ 4 α3 β = −i 3, −i .
Fenn´all tov´abb´a α4 = ε, β 2 = ε, βα = α3 β. Az egyes testek szimmetri´ai v´egesen gener´alt csoportok, gener´atoruk α ´es β k¨ ul¨onb¨oz˝o hatv´anyai, ld. 11.1 t´abl´azat, ahol a Ti testnek csak az index´et (ld. index felirat´ u oszlop) ´ırtuk ki, a megfelel˝o Gi csoportnak (ld. csoport felirat´ u oszlop) pedig csak a gener´atorait. 316
11.1. t´abl´azat. A k¨ozbens˝o testek szimmetriacsoportjai a 11.2.. p´eld´aban index csoport 0 ε 1 hα2 , βi 2 hαi 2 3 hα , αβi 4 hβi 5 hα2 βi 6 hα2 i 7 hαβi 8 hα3 βi 9 hαβi
11.2.
Differenci´ al-egyenletek invarianci´ aja
A Galois-elm´elet egyik alkalmaz´asi ter¨ ulete a line´aris differenci´alegyenletek megold´asa integr´al´assal. A fizika t¨obb ter¨ ulet´en el˝ofordul´o evol´ uci´os egyenletek az id˝ov´altoz´o szerint k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletre vezetnek. Egy evol´ uci´os egyenlet alakja ∂ψ(x, t) = Aψ(x, t) ∂t
(11.10)
ahol az A operator csak az x v´altoz´okra hat. Azonban a 4. fejezetben ismertetett v´altoz´ok sz´etv´alaszt´asa r´ev´en a parci´alis deriv´altakt´ol megszabadulhatunk. Legyen ψ(x, t) = T (t)X(x), ezt behelyettes´ıtve (11.10)-be: T 0 (t)/T =
AX , X
(11.11)
ami csak u ´gy lehets´eges, hogy mindk´et oldal a´lland´o. Amennyiben az A oper´atorban differenci´al´as szerepel, egy (´altal´aban line´aris) k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenletet kell megoldani. Az egyenlet foksz´ama ritk´an nagyobb, mint n´egy. Ilyen egyenletek megold´asa ismeret´eben lehet meg´allap´ıtani egy fizikai vagy m´ern¨oki rendszer fejl˝od´es´et, stabilit´as´at. Jelen fejezet t´argya a (11.11) egyenlet jobboldal´anak megold´asa. Feltessz¨ uk, hogy A egy k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet oper´atora. Tekints¨ uk az al´abbi n-edrend˝ u, homog´en differenci´alegyenletet: y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a0 y (0) = 0.
(11.12)
Itt y (n) az y(x) f¨ uggv´eny n-ik deriv´altj´at jelenti, az n = 1 esetben az y 0 , az n = 2 esetben pedig az y” jel¨ol´est is fogjuk haszn´alni. Mint ismeretes, (11.12) egy n-edrend˝ u, line´aris, k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet. Megold´aster´et kifesz´ıti n line´arisan f¨ uggetlen 317
partikul´aris megold´as (y1 , y2 , . . . , yn ), amennyiben a line´arisan f¨ uggetlen megold´asokb´ol k´epzett y1 y2 ... yn y10 y20 ... yn0 (11.13) ... ... ... . . . (n−1) y1 y2 (n−1) . . . yn (n−1) Wronski-determin´ans a vizsg´alt x v´altoz´o egyetlen sz´obaj¨ohet˝o ´ert´ek´ere sem nulla. A line´aris kombin´aci´okban szerepl˝o yi f¨ uggv´enyeket alaprendszernek nevezik, alapvet˝o szerepet j´atszanak az ismertetend˝o m´odszerekben. 11.1. Feladat (M´ asodrend˝ u egyenlet) M´asodrend˝ u, line´aris differenci´alegyenletek eset´eben az al´abbi ¨osszef¨ ugg´essel el˝o´all´ıthatunk egy y2 f¨ uggetlen megold´ast egy ismert y1 megold´asb´ol. Az egyenlet norm´alalakja y” + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = q(x). Az y1 ´es y2 megold´asok k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat: Z 0 0 (y1 − y2 − y2 y1 ) exp( a1 (x)dx) = ´alland´o.
(11.14)
(11.15)
A (11.12) egyenletnek legfeljebb n line´arisan f¨ uggetlen megold´asa lehet. Az alapmegold´asokra ´ep¨ ul˝o technika kiterjeszthet˝o nemline´aris egyenletekre is. Miel˝ott ezt megtenn´enk, elhagyjuk a fenti, hagyom´anyos jel¨ol´est. Ennek oka az, hogy a fizikai feladatok t¨obbs´eg´eben a f¨ uggetlen x v´altoz´o szerep´et ´es a f¨ ugg˝o y v´altoz´o szerep´et is egy vektor veszi a´t, az y v´altoz´ot pedig m´as c´elokra tartjuk fenn. A vizsg´alatokat a´ltal´aban els˝orend˝ u egyenletekre v´egezz¨ uk el, jelezve, hogy a m´asod-, vagy harmadrend˝ u egyenletekn´el a k¨ovetend˝o elj´ar´as trivi´alisan ad´odik. Legyen a f´azist´er egy pontja (azaz, a keresett f¨ uggv´enyek) x = (x1 , . . . , xn ), a megoldand´o evol´ uci´os egyenletet pedig az al´abbi alakba ´ırjuk: n X i x˙ = ϕi (t, x), i = 1, . . . , n. (11.16) k=1
Legyen w(t, x) egy integr´alja a megold´asnak, azaz w(t, x) = a ´ll, amib˝ol k¨ovetkezik: n
∂w X k ∂w dw = + ϕ (t, x) = 0. dt ∂t ∂x k k=1
(11.17)
Sophus Lie megmutatta, hogy a line´aris differenci´alegyenletekn´el megismert alapmegold´as mint´aj´ara fel´ırhat´o a (11.16) egyenletrendszer megold´asa a partikul´aris megold´asok a´ltal´anos´ıt´asak´ent, ha fenn´all: [Xk , Xl ] =
r X i=1
318
j Xj , Ckl
(11.18)
ahol Xj =
Pn
k=1
∂w ϕkj ∂x ´ltal´anos´ıtott alak pedig az al´abbi: k , j = 1, . . . , n. Az a
x = Φ(y, . . . , z; c1 , . . . , cn ),
(11.19)
itt feltessz¨ uk, hogy a rendelkez´esre ´all´o m ≤ n partikul´aris megold´ast (y, . . . , z) tartalmazza. A Φ f¨ uggv´eny n komponens˝ u vektorf¨ uggv´eny, els˝o m argumentuma az m partikul´aris megold´as. A Φ f¨ uggv´eny mindegyik komponense minden argumentum´anak meghat´arozott f¨ uggv´enye ´es kiel´eg´ıti a
i
∂Φ (y0 , . . . , z0 , c1 , . . . , cn )
6= 0 det (11.20)
∂ck felt´etelt, egy´ebk´ent tetsz˝oleges f¨ uggv´eny. Feltessz¨ uk, hogy a kezdeti felt´etel y(t0 ) = y0 , . . . , z(t0 ) = z0 alak´ u. 11.2. Feladat (Ir´ any´ıt´ astechnikai alkalmaz´ as) Az ir´any´ıt´astechnik´aban gyakran a megoldand´o egyenletben szerepl˝o, ismertnek felt´etelezett egy¨ utthat´okat nevezik vez´erl´esnek, amelyek alkalmas megv´alaszt´as´aval kell el´erni, hogy az egyenlet megold´asa bizonyos felt´eteleknek megfeleljen. Ekkor a (11.17) egyenlet helyett n
∂w X k ∂w dw = + u (t)ϕk (t, x) =0 dt ∂t ∂x k k=1
(11.21)
´all, ahol uk (t) a vez´erl´es. Megmutathat´o, hogy (11.19) alak´ u megold´as l´etez´es´enek felt´etele, hogy a (11.16) egyenlet minden komponense ´atalak´ıthat´o legyen a k¨ovetkez˝o alakra: n
∂w X + Xk w = 0. ∂t k=1
(11.22)
Itt a bevezetett Xk oper´atorok differenci´al´asokat tartalmaznak: Xk =
n X
ϕik (x)
i=1
∂ , ∂xi
(11.23)
valamint, az Xk oper´atorok kommut´atoraira a´lljon fenn az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: [Xk , Xl ] =
r X i=1
j ahol Ckl a´lland´o, ´es mn ≥ r.
319
j Ckl Xj ,
(11.24)
Tekints¨ uk az al´abbi, n-edrend˝ u (k¨oz¨ons´eges), line´aris differenci´alegyenletet: y (n) + a1 y (n−1) + · · · + an y = 0,
(11.25)
amelynek egy¨ utthat´oi valamely tartom´any f¨ol¨ott komplex, egyv´altoz´os meromorf f¨ ugg2 v´enyek . Jel¨olje T0 a C(a1 , . . . , an ) testet, L pedig azt a testet, amely az ¨osszes olyan f¨ uggv´enyb˝ol a´ll, amely racion´alis f¨ uggv´enye az egyenlet egy¨ utthat´oinak, a megold´asnak ´es a megold´as deriv´altjainak. Az L|T0 b˝ov´ıt´es differenci´al-automorfizmus´an L-nek olyan automorfizmus´at ´ertj¨ uk, amely helyben hagyja T0 elemeit ´es L-en felcser´elhet˝o a differenci´al´assal. Az automorfizmusok csoportot alkotnak az ism´etelt alkalmaz´asra, mint m˝ uveletre n´ezve. Az L|T0 ¨osszes differenci´al-automorfizmus´anak csoportj´at a (11.25) egyenlet differenci´al Galois-csoportj´anak nevezz¨ uk. Ezen csoport elemei a (11.25) egyenlet megold´asait egym´asba transzform´alj´ak. Ezek a megold´asok egy n-dimenzi´os vektorteret alkotnak, ez´ert az egyenlet differenci´al Galois-csoportja izomorf a GL(n, C) csoport valameny r´eszcsoportj´aval. Ez a r´eszcsoport egy algebrai m´atrixcsoport. ´Igy a Galois-elm´elet olyan kiterjeszt´es´ehez jutunk, amelyben v´eges csoportok helyett algebrai csoportok szerepelnek, a v´eges b˝ov´ıt´esek hely´et pedig differenci´alb˝ov´ıt´esek veszik a´t. A gy¨okjelekkel val´o megoldhat´os´ag hely´et a kvadtrat´ ur´aval val´o megoldhat´os´ag veszi a´t. 11.3. Feladat Nem trivi´alis, hogyan kapcsol´odik az adjung´al´as egy differenci´alegyenlet megold´as´ahoz. Erre ad magyar´azatot az al´abbi p´elda. Legyen T0 a racion´alis polinomok halmaza. Adjung´aljuk ehhez a halmazhoz az y 3 + xy − 1 = 0 egyenlet gy¨ok´et, amely nincs benne T0 -ban. Az ´ıgy kib˝ov´ıtett testben (eml´ekezz¨ unk, T0 -ban csak x-t˝ol f¨ ugg˝o polinomok tal´alhat´oak) ´erv´enyes lesz az al´abbi, az egyenlet deriv´al´as´aval megkaphat´o szab´aly: y 0 = −y/(3y 2 + x). Ebb˝ol u ´jabb deriv´al´assal y 00 = (x − 3y 2 )/(x + 3y 2 )3 . Ezek seg´ıts´eg´evel pedig fel´ırhatunk olyan els˝o- vagy m´asodrend˝ u differenci´alegyenleteket, amelyek megold´asa m´ar benne lesz a kib˝ov´ıtett testben, pl. y 0 + y/(3y 2 + x) = 0. Az al´abbi t´etel foglalja ¨ossze az eredm´enyeket (Safarevics, 18. fejezet, ld. Ref. [36]): 11.12. T´ etel A (11.25) egyenlet megold´asait akkor ´es csak akkor lehet megadni racion´alis m˝ uveletek, integr´al, integr´al exponenci´alis f¨ uggv´enye ´es algebrai egyenletek megold´asa seg´ıts´eg´evel, ha a differenci´al Galois-csoportj´anak van egy olyan norm´all´anca, amelynek faktorai K addit´ıv faktorcsoportja, Ga , ´es K multiplikat´ıv csoportja, Gm , ´es v´eges csoportok. A Ga ´es Gm csoportokkal a 2.3. alfejezet 11. p´eld´aj´aban tal´alkoztunk. 2
Az f (z) komplex f¨ uggv´enyt meromorfnak nevezz¨ uk egy T tartom´any f¨ol¨ott, ha (a)´ertelmez´esi tartom´ anya az eg´esz T , esetleg v´eges sok pontot kiv´eve; (b) T egyetlen pontj´aban sincs p´olust´ol k¨ ul¨onb¨oz˝ o szingul´ aris pontja. Egy meromorf f¨ uggv´eny fel´ırhat´o k´et eg´esz f¨ uggv´eny (m´assz´oval az eg´esz T tartom´ anyon analitikus f¨ uggv´eny) h´ anyadosak´ent.
320
11.4. Feladat Tekints¨ uk az y” − (a0 /a)y 0 = 0 egyenletet, ahol a(x) adott f¨ uggv´eny, y(x) pedig a meghat´arozand´o megold´as. Ezen egyenlet differenci´alautomorfizmusai y 7→ y + c alak´ uRak, ´ıgy Galois-csoportja izomorf Ga -val, az egyenlet teh´at megoldhat´o, megold´asa y = a(x)dx. Ezt az u = y 0 helyettes´ıt´essel azonnal bel´athatjuk. 11.5. Feladat Az y” + xy = 0 egyenlet Galois-csoportja SL(2, C), ennek egyetlen norm´aloszt´oja {±E}, ez´ert az egyenlet nem oldhat´o meg kvadrat´ ur´aval. Most pedig n´ezz¨ uk a r´eszleteket! A Galois-elm´elet arra adott u ´tmutat´ast, hogyan lehet egy algebrai egyenlet gy¨okeit meghat´arozni az egy¨ utthat´okat tartalmaz´o elemeket egym´asba viv˝o transzform´aci´o (a megold´ok´eplet) seg´ıts´eg´evel. Itt is feltehetj¨ uk a k´erd´est, milyen algebrai (azaz, v´eges sok foksz´amot mag´aban foglal´o, v´eges sok m˝ uvelettel megadhat´o) megold´asok l´eteznek. Az alapgondolat: v´alasszuk az egy¨ utthat´ok test´et sz˝ uknek, majd fokozatos b˝ov´ıt´esek sor´an eljutunk az a´ltal´anos megold´ashoz. Az itt ismertetett alapgondolatot Fuchs vetette fel 1878-ban m´asodfok´ u differenci´alegyenletek algebrai megold´as´anak meghat´aroz´as´ahoz. Term´eszetesen nem csak az algebrai megold´asok lehetnek ´erdekesek. A nem algebrai a megold´asokat Liouville-f´ele megold´asoknak szok´as nevezni.
11.3.
Differenci´ alegyenletek Galois elm´ elete
A Galois-elm´elet alkalmaz´asa differenci´alegyenletekre P. Pepin, L. Fuchs, F. Klein, C. Jordan ´es m´asok nev´ehez f˝ uz˝odik. Az elgondol´as t¨obb, mint sz´az ´eves. M´egis, az itt ismertetett elm´elet 1981-1992 k¨oz¨ott fogalmaz´odott meg, nem utols´o sorban a 3. fejezetben ismertetett modern szimbolikus programnyelvek fejl˝od´ese r´ev´en. Kezdj¨ uk a hagyom´anyos Galois-terminol´ogi´aval, amelyet ´at lehet u ltetni differenci´ a legyenletekre. ¨ 11.13. Defin´ıci´ o Legyenek a vizsg´alt L(y) = 0 egy n-edrend˝ u k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet, amelynek egy¨ utthat´oi a K0 testb˝ol val´ok. Legyenek az y1 , . . . , yn alapmegold´asok f¨ uggetlenek, A K0 (y1 , . . . , yn ) testb˝ov´ıt´es, amelyet u ´gy nyer¨ unk a K0 testb˝ol, hogy adjung´aljuk hozz´a az y1 , . . . , yn alapmegold´asokat, az L(y) = 0 egyenlet has´ıt´oteste, amelyet az L(y) = 0 egyenlet Picard-Vessiot kiterjeszt´es´enek nevezz¨ uk. 11.14. Defin´ıci´ o A (K0 , δ) testet differenci´altestnek nevezz¨ uk, ha tetsz˝oleges f ∈ K0 eset´en δf ∈ K0 , azaz, K0 z´art a δ differenci´al´as m˝ uvelet´ere n´ezve. Egy differenci´altest (K0 , δ) egy K0 testb˝ol ´es egy K0 -n ´ertelmezett differenci´al´asb´ol a´ll. Mivel egyv´altoz´os f¨ uggv´enyekr˝ol van sz´o, δ = d/dx. Egy K0 differenci´alis test (K, ∆) kiterjeszt´ese egy K testb˝ol a´ll, amely a K0 test kiterjeszt´ese, ∆ pedig ´ertelmezett a K testen ´es δ kiterjeszt´ese. Feltessz¨ uk, hogy a K test karakterisztik´aja3 nulla, valamint, 3
Minden test tartalmaz vagy a racion´ alis sz´amok test´evel izomorf, vagy valamilyen p pr´ımsz´ammal jellemzett v´eges testtel izomorf r´esztesteket. Minden test ezek valamilyen b˝ov´ıt´ese. Ha a k test a p elem˝ u testtel izomorf r´esztestet tartalmaz, akkor azt mondjuk, k karakterisztik´aja p. Ha csak a racion´alis sz´ amok test´evel izomorf r´esztestet tartalmaz, akkor karakterisztik´aja nulla.
321
hogy a C = kerK0 (δ) test, amely a K0 test a´lland´oib´ol a´ll, algebrailag z´art. A deriv´al´ast a kor´abbiakhoz hasonl´oan δ n (y) helyett y (n) -nel fogjuk jel¨olni. Vizsg´alatunk t´argya a (11.25) differenci´alegyenlet. Al´abb (11.25) racion´alis z megold´asait fogjuk vizsg´alni a K0 testben (z ∈ K0 ), valamint azon megold´asokat, amelyek logaritmikus deriv´altja racion´alis (azaz, z 0 /z ∈ K0 ). Feltessz¨ uk, hogy K0 egy differenci´altest (pl. (C(x), d/dx), azaz, a komplex egy¨ utthat´os polinomok teste kieg´esz´ıtve a differenci´al´assal) amely f¨ol¨ott a mondott megold´asok vizsg´alhat´oak. 11.15. Defin´ıci´ o A (K0 , δ) test (K, ∆) kiterjeszt´ese Liouville-kiterjeszt´es, ha l´etezik a testek al´abbi sorozata k = K0 ⊂ K1 ⊂ . . . Km = K, ahol Ki+1 a Ki test egyszer˝ u kiterjeszt´ese az ηi elem adjung´al´as´aval, u ´gy, hogy az al´abbiak egyike fenn´all: • ηi algebrai Ki -ban (azaz, l´etezik olyan polinom Ki -beli egy¨ utthat´okkal, amelynek megold´asa ηi ). • δ(ηi ) ∈ Ki , azaz, ηi integr´alja Ki -ben van. • δ(ηi )/ηi ∈ Ki , azaz, ηi integr´al-exponenci´alisa Ki -ben van. A K0 test egy Liouville-kiterjeszt´esben tal´alhat´o f¨ uggv´enyt K0 -feletti Liouville-f¨ uggv´enynek fogjuk nevezni. Legyen {y1 , y2 , . . . , yn } a (11.25) egyenlet alapmegold´asainak egy halmaza. Jel¨olje T0 a (11.25) egyenlet alapmegold´asainak sorozat´aban a C(a1 , . . . , an ) testet, amelyb˝ol az egyenlet egy¨ utthat´o val´ok, L pedig azt a testet, amely az ¨osszes olyan f¨ uggv´enyb˝ol a´ll, amely racion´alis f¨ uggv´enye az egyenlet egy¨ utthat´oinak, a megold´asnak ´es a megold´as deriv´altjainak. Az L|T0 b˝ov´ıt´es differenci´alautomorfizmus´an az L-nek olyan automorfizmus´at ´ertj¨ uk, amely helyben hagyja T0 elemeit ´es L-en felcser´elhet˝o a differenci´al´assal. Az automorfizmusok csoportot alkotnak az ism´etelt alkalmaz´asra, mint m˝ uveletre n´ezve. Az L|T0 ¨osszes differenci´al-automorfizmu´anak csoportj´at (11.25) egyenlet differenci´al Galois-csoportja. Az algebrai Galois-elm´elettel anal´og defin´ıci´o az al´abbi. 11.16. Defin´ıci´ o Az L(y) = 0 egyenlet Galois-csoportja G(L) = GalK/K0 (L), amely a K0 feletti K test differenci´al´assal felcser´elhet˝o elemeib˝ol ´all. A G(L) csoport elemei a L(y) = 0 egyenlet megold´asait egym´asba transzform´alj´ak. Ezek a megold´asok line´aris L eset´en egy n-dimenzi´os vektorteret alkotnak, ez´ert az egyenlet differenci´al Galois-csoportja izomorf a GL(n, C) csoport valamely r´eszcsoportj´aval. Ez a r´eszcsoport egy algebrai m´atrixcsoport. ´Igy a Galois-elm´elet olyan kiterjeszt´es´ehez 322
jutunk, amelyben v´eges csoportok helyett algebrai csoportok szerepelnek, a v´eges b˝ov´ıt´esek hely´et pedig differenci´alb˝ov´ıt´esek, a gy¨okjelekkel val´o megoldhat´os´ag hely´et a kvadrat´ ur´aval val´o megoldhat´os´ag veszi ´at. A tov´abbiakban sz¨ uks´eg¨ unk lesz egy K test azon elemeinek halmaz´ara, amelyet G(L) elemei v´altozatlanul hagynak. 11.17. Defin´ıci´ o (G(L) invari´ ansai) Az I(y1 , . . . , yn ) homog´en polinomot a G(L) csoport invari´ans´anak nevezz¨ uk, ha G(L) elemei alatt a polinom ¨onmag´aba transzform´al´odik. Itt y1 , . . . , yn a L(y) = 0 egyenlet megold´aster´enek egy alkalmas b´azisa. Sz¨ uks´eg¨ unk lesz a partikul´aris megold´asokb´ol fel´ep´ıtett szorzatok vizsg´alat´ara is. Ezek a szorzatok nem el´eg´ıtik ki a megoldand´o egyenletet, de az egyenlet szimmetrikus hatv´any´anak nullter´et alkotj´ak. 11.18. Defin´ıci´ o (L szimmetrikus hatv´ anyai) Az Lsm oper´atort az L oper´ator m-ik szimmetrikus hatv´any´anak nevezz¨ uk, ha az Lsm (y) = 0 egyenlet megold´asait kifesz´ıtik az L(y) = 0 egyenlet megold´asaib´ol fel´ep´ıtett m t´enyez˝os szorzatok. Azonnal a l´enyegre t´er¨ unk, az al´abbi t´etel ¨osszefoglalja az eredm´enyeket: 11.19. T´ etel (A Picard-Vessiot kiterjeszt´ es alapt´ etele) Az L(y) = 0 egyenlet megold´asait akkor ´es csak akkor lehet megadni racion´alis m˝ uveletek, integr´al, integr´al exponenci´alis f¨ uggv´enye ´es algebrai egyenletek megold´asa seg´ıts´eg´evel, ha a differenci´alegyenlet Galois-csoportj´anak van egy olyan norm´all´anca4 , amelynek faktorai a Ga addit´ıv csoport ´es a Gm multiplikat´ıv csoport, esetleg m´as, v´eges csoportok. Jel¨olje G(L) az L(y) = 0 egyenlet csoportj´at. Minden σ ∈ G(L) szimmetria hat´asa egy yi alapmegold´asra egy m´atrixszal ´ırhat´o le: σy(i ) =
n X
cij yj , cij ∈ C.
(11.26)
j=1
Ezen m´atrixok a G(L) csoport h˝ u ´abr´azol´as´at alkotj´ak. 11.1. Feladat Legyen K0 = C(a1 , . . . , an ), ´es a b˝ov´ıt´esek egym´asut´anj´at u ´gy ´all´ıtjuk el˝o, hogy az L(y) = 0 egyenlet y1 , . . . , yn line´arisan f¨ uggetlen alapmegold´asait egym´as ut´an adjung´aljuk: K1 = K0 (y1 ), K2 = K1 (y2 ), . . . . Amennyiben a G(L) csoport Xi gener´atorai Lie-algebr´at alkotnak (v.¨o. (11.24)), Kn tartalmazni fogja a megold´ast, hiszen az alapmegold´asok kifesz´ıtik a lehets´eges megold´asok ter´et. 4 Azaz, van olyan G1 ⊂ G2 ⊂ . . . GN ≡ G r´eszcsoport sorozat G-ben, amelynek bal- ´es jobboldali mell´ekoszt´ alyai megegyeznek.
323
A (11.25) egyenlet megold´asainak ´es az egyenlet G(L) csoport kapcsolat´at az al´abbi t´etelek foglalj´ak ¨ossze: 11.20. T´ etel (Kolcsin-t´ etele) Az L(y) = 0 differenci´alegyenlet, melynek egy¨ utthat´oi a K0 testb˝ol val´ok ´es amelynek szimmetriacsoportja G(L): • akkor ´es csak akkor rendelkezik kiz´ar´olag K0 feletti algebrai megold´asokkal, ha G(L) v´eges csoport. • abban ´es csak abban az esetben rendelkezik kiz´ar´olag K0 feletti Liouville-f¨ uggv´eny 5 megold´asokkal, ha G(L) egys´egeleme Zaricki-topol´ogi´aban feloldhat´o . Ebben az esetben L(y) = 0-nak van egy megold´asa, amelynek logaritmikus deriv´altja algebrai K0 felett. 11.21. T´ etel (Kaplansky-t´ etele) Az L(y) = 0 differenci´alegyenlet G(L) Galois-csoportja abban ´es csak abban az esetben unimodul´aris, azaz, G(L) ⊂ SL(n, C), ha l´etezik olyan W ∈ K0 , ahol K0 a kor´abbiakhoz hasonl´oan az L(y) = 0 egyenlet egy¨ utthat´oit tartalmaz´ o 0 test, ´es fenn´all W /W = an−1 . R a dx transzform´aci´oval az (L(y) differenci´alegyenletetb˝ol kiEkkor az y = z exp − n−1 n k¨ usz¨ob¨olhet˝o az y (n−1) tag: y (n) + an−2 y (n−2) + · · · + a1 y 0 + a0 y = 0. 11.2. Feladat Az L(y) = y 000 + a2 y” + a1 y 0 + a0 y egyenlet eset´eben az al´abbi egyenletet kapjuk: a22 a1 a2 a”2 2a2 3 0 000 0 − a 2 y + a0 − − + y + a1 − y. 3 3 3 27 11.22. Lemma Legyenek K0 ⊂ K differenci´alis testek, amelyeknek karakterisztik´aja nulla, ugyanaz a konstansokb´ol ´all´o r´esztest¨ uk ´es y ∈ K eset´en y 0 /y ∈ K0 . Ha y algebrai kifejez´es a K0 test felett, akkor y minim´alpolinomja K0 felett y n − a = 0 alak´ u, valamely a ∈ K0 -ra. A 11.22. lemma pontos m´asa a polinomok eset´eben megfogalmazott a´ll´ıt´asnak. Az anal´ogi´at azonban folytatni lehet. Az L(y) = 0 differenci´alegyenlet akkor ´es csak akkor faktoriz´alhat´o line´aris differenci´al-oper´atorokra, ha G(L) reducibilis, line´aris csoport. A differenci´al-oper´ator faktoriz´aci´oja ebben az esetben nem egy´ertelm˝ u, de ismeretes algoritmus egy faktoriz´aci´o meghat´aroz´as´ara. Harmadfok´ u egyenletek eset´eben az L(y) = 0 Riccati- egyenlet ´es annak adjung´altj´anak megold´as´ab´ol a´ll el˝o. 5
A r´eszleteket illet˝ oen ld. M. F. Singer and F. Ulmer: Liouvillian and Algebraic Solutions of Second and Third Order Linear Differential Equations, J. Symbolic Computation, vol. 11, 1997.
324
Sokat levon a fenti t´etelek haszn´alhat´os´ag´ab´ol az a k¨or¨ ulm´eny, hogy G(L) meg´allap´ıt´as´ahoz meg kell hat´arozni a megold´ast. Ugyanakkor a lehets´eges csoportok sz´ama v´eges, ez´ert a megold´asi technik´ak elk´esz´ıtik a lehets´eges csoportok list´aj´at ´es a list´an szerepl˝o csoportok mindegyik´et megvizsg´alj´ak. A d’Alambert- (egy¨ utthat´ok vari´al´asa n´even is ismert)m´odszer seg´ıts´eg´evel egy trivi´alis y1 megold´as ismeret´eben lehet˝ov´e teszi az egyenlet foksz´am´anak cs¨okkent´es´et. Az L(y) = 0 egyenlet u ´jabb megold´as´anak megtal´al´asa az al´abbi egyenlet megold´as´ara reduk´al´odik: Z (i) n X ai y1 y(x)dx = 0, (11.27) i=0
minthogy az
∗ y1∗ , . . . , yn−1
alapmegold´as seg´ıts´eg´evel az al´abbi u ´jabb megold´asokat kapjuk: Z Z ∗ y1 , y1 (y1∗ )dx, . . . , y1 (yn−1 )dx. (11.28)
11.23. Lemma Legyen L(y) = y 000 + Ay 0 + By = 0 egy reduk´alhat´o, harmadfok´ u differenci´alegyenlet, ahol A, B ∈ Q(x). Ekkor 1. Ha az L(y) = 0 egyenletnek van egy z megold´asa, amelyre z 0 /z = u ∈ Q(x), a d’Alambert m´odszer az al´abbi eredm´enyre vezet: e L(y) = y” + 3u0 y 0 + (3u” + 3(u0 )2 + A)y.
(11.29)
e Amennyiben az L(y) = 0 egyenletnek nincs nemz´erus Liouville-megold´asa, akkor z az L(y) = 0 egyenlet konstans szorz´ot´ol eltekintve egyetlen Liouville-megold´asa. e Amennyiben viszont az L(y) = 0 egyenletnek van nemz´erus Liouville-megold´asa, akkor ism´etelten alkalmazva a d’Alambert m´odszert, h´arom line´arisan f¨ uggetlen megold´ast kapunk. e 2. Ha L(y) = 0 egyenletnek nincs nemz´erus z Liouville-megold´asa, amelyre z 0 /z = u ∈ Q(x), akkor b´armely faktoriz´aci´o ad egy felbont´ast L(y) = L1 (L2 (y)), ahol L2 (y) m´asodrend˝ u oper´ator. Vagy L2 (y) = 0-nak csak Liouville-megold´asai vannak, amely esetben a Liouville m´odszer az L(y) = 0 egyenlet egy harmadik Liouville megold´as´at fogja szolg´altatni, amely nem megold´asa az L2 (y) = 0 egyenletnek, vagy L(y) = 0-nak nincs Liouville-megold´asa. A fenti esetek fenn´all´as´at algoritmikusan el lehet d¨onteni.
11.3.1.
Elj´ ar´ asok a megold´ as meghat´ aroz´ as´ ara
Ebben a r´eszben p´eld´akat tal´al az olvas´o. A p´eld´ak els˝osorban azt mutatj´ak, hogy egyszer˝ u egyenletek eset´eben is nagy munka egy megold´as meghat´aroz´asa. Gyakran sz¨ uks´eges szimbolikus sz´am´ıt´asok v´egz´es´ere szolg´al´o algoritmusok (MATHEMATICA, MAPLE ) ig´enybev´etele. 325
11.3. Feladat Vizsg´aljuk meg az al´abbi egyenletet: d2 y 3 2 3 y = 0. + + − dx2 16x2 9(x − 1)2 16x(x − 1)
(11.30)
Az egyenlet G(L) csoportja izomorf az A4 SL2 csoporttal, ezt Kovacic mutatta meg 1986ban, ez´ert a megold´as egyszer˝ u. Ismert ugyanis, hogy a fenti csoport gener´atorai az al´abbi m´atrixok: ! i−1 i−1 i+1 √ 0 2 2 2 . (11.31) S= U= i+1 i+1 1−i √ − 0 2 2 2 Legyen a fenti reprezent´aci´onak megfelel˝o b´azis y1 ´es y2 . A csoporttal szemben invari´ans kifejez´esek gy˝ ur˝ ut alkotnak, a gy˝ ur˝ u h´arom gener´atora: I1 = y1 y2 (y1 4 − y2 4 ) I2 = y1 8 + 14y1 4 y2 4 I3 = y1 1 2 − 33y1 8 y2 4 − 33y1 4 y2 8 3Y2 1 2.
(11.32) (11.33) (11.34)
A gener´atorok k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: 108I1 4 − I2 3 + I3 2 = 0, ez´ert csak k´et gener´ator f¨ uggetlen. Legyen P (u) egy algebrai logaritmikus deriv´alt minim´alpolinomja. Ekkor P (u) minden gy¨oke az L(y) = 0 egyenlet egy logaritmikus deriv´altja, jel¨olje ezeket yi0 /yi . Nyilv´an P (u) = (u − y10 /y1 )(u − y20 /y2 ) . . . (u − yn0 /yn ). Az egyenlet gy¨ okei ´es egy¨ utthat´oi k¨ozti ¨ osszef¨ ugg´esek szerint P (u) egy¨ utthat´oi homog´en f¨ uggm m−1 v´enyei a logaritmikus deriv´altaknak. Legyen P (u) = u + cm−1 u + · · · + c0 . Fenn´all (y1 y2 ...yn )0 0 0 0 cm−1 = y1 /y1 +y2 /y2 +· · ·+ym /ym , amit ´atrendezve cm−1 = (y1 y2 ...yn ) . Az n t´enyez˝os szorzatok viszont a szimmetriz´alt egyenlet megold´as´ahoz kapcsol´odnak: az y1 y2 . . . ym szorzat az Lsm (y) = 0 szimmetriz´alt egyenlet megold´asa. K¨ovetkez´esk´eppen, cm−1 a szimmetriz´alt egyenlet megold´as´anak logaritmikus deriv´altj´aval fejezhet˝o ki. Legyen vi = ci y1 . . . yn . Ekkor fenn´all vi0 c0 = i + cm−1 , vi ci ami lehet˝ov´e teszi, hogy meghat´arozzuk a P (u) minim´alpolimomj´anak egy¨ utthat´oit. Ez a m´odszer alkalmazhat´o, ha az imprimit´ıv Galois csoport rendje nem kisebb, mint h´arom. ´ Le kell m´eg ´ırni, hogyan lehet olyan y megold´ast tal´alni, amelyre y 0 /y ∈ C(x). Alljon az S halmaz az L(y) szingul´aris pontjaib´ol. Legyen c ∈ S. Ekkor minden ilyen c-re tal´alhat´o a C(x)-beli polinomok v´eges sok olyan polinom, amelynek alakja a szingularit´asnak megfelel˝oen α1 α2 αn fc = + + ··· + . 2 x − c (x − c) (x − c)n 326
Ezut´an az y 0 /y ∈ C(x) felt´etelnek eleget tev˝o megold´ast az al´abbi alakban kereshetj¨ uk: Y α2 α3 αn +···+ (x−c) + n y(x) = P (x) (x − c)α1 e x−c (x−c)2 . c∈S
A fenti kifejez´es k´et helyen problematikus: meg kell hat´arozni az S halmazt, ´es az alkalmas P (x) polinomot. Az el˝obbire Grigorjev ´es Tournier adott egy elj´ar´ast, amelyet implement´altak a DESIRE nev˝ u programban, ld. Singer(1991). Az invari´ans(ok) birtok´aban konstru´alhatunk egy P (u) = um + bm−1 + · · · + b1 u + b0 polinomot, amelynek z´erushelye a logaritmikus deriv´aRlt u = z 0 /z. Itt z a vizsg´alt L(y) = 0 differenci´alegyenlet Liouville-megold´asa: z = exp( udx). Egy m´asodrend˝ u egyenlet L(y) = y” + a1 y 0 + a0 y eset´en a P (u) polinom egy¨ utthat´oi az I(x) invari´ansb´ol az al´abbi k´eplettel kaphat´oak meg: bm = 1
(11.35) 0
I (x) (11.36) I(x) −b0i + bm−1 bi + a1 (i − m)bi + a0 (i + 1)bi+1 m − 1 > i ≥ 0. (11.37) bi−1 = m−i+1 El˝ofordulhat, hogy a kapott P (u) polinom reducibilis, ekkor faktoriz´alni kell. Ekkor b´armely t´enyez˝oje ´atveheti P (u) szerep´et. Itt az L(y) = y 00 + a1 y 0 + a0 y jel¨ol´est alkalmaztuk. bm−1 = −
11.4. Feladat A (11.54) egyenletnek l´etezik egy m´asodfok´ u invari´ansa. K´epezz¨ uk ui. a (11.55)-(11.57) megold´asokb´ol az al´abbi m´asodfok´ u szorzatokat: z1 = y1 y1 , z2 = y1 y2 ´es z3 = y3 y3 . A (11.54) egyenlet csoportja (mint tudjuk, izomorf az S3 csoporttal) ezen a b´azison k´et gener´atorb´ol ´all´ıthat´o el˝o: 1/ξ 0 0 0 0 1 σ1 = 0 1 0 , σ2 = 0 1 0 . (11.38) 0 0 ξ 1 0 0 Itt ξ az al´abbi egyenlet gy¨oke: x2 + x + 1 = 0. Amint l´atjuk, a csoport minden eleme v´altozatlanul hagyja z2 -t, k¨ovetkez´esk´eppen z2 a csoport invari´ansa. Amennyiben a MAPLE 7 seg´ıts´eg´evel meghat´arozzuk, z2 = x ad´odik az invari´ans f¨ uggv´enyre. Az I = z2 v´alaszt´as k´ezenfekv˝o, ez´ert legyen b2 = 1, b1 = −1/x, amivel x P (u) = u2 − u/x + 3 . 4x + 27 Ennek gy¨okeib˝ol az al´abbi megold´asokat kapjuk: √ Z 4x3 + 27 + 3 12x3 + 81 dx) (11.39) z1 (x) = exp ( 2(27x + 4x4 ) √ Z 4x3 + 27 − 3 12x3 + 81 z2 (x) = exp ( dx). (11.40) 2(27x + 4x4 ) 327
A k´et megold´as z´art alakban megadhat´o, s˝ot, bebizony´ıthat´o, hogy mindkett˝o algebrai f¨ uggv´eny is. (Ez egy´ebk´ent egy nehezen megoldhat´o feladat, a megold´as gyakran t˝ unik nem algebrainak.) Megmutathat´o, hogy zi gy¨oke az al´abbi minim´alpolinomnak: −
1 6 64 3 1 Y − Y − Y 3 α + x3 , 729 729 64
(11.41)
ahol α az al´abbi egyenlet gy¨oke: −63844352 + 5971968x + 531441x2 . Ezzel a (11.54) egyenletnek hat megold´as´at kapjuk meg, k¨oz¨ ul¨ uk k´et line´arisan f¨ uggetlen megold´as: q √ √ 3 (11.42) y1 = 3/2 −12 3 + 4 4x3 + 27 q q √ √ √ √ √ 3 3 y2 = −3/4 12 3 + 4 4x3 + 27 + 3/4 −3 12 3 + 4 4x3 + 27. (11.43) Ezek teh´at kifesz´ıtik a megold´asok ter´et. Az utols´o p´elda egy ir´any´ıt´astechnikai feladat megold´asa, amelyben az egyenlet nemline´aris. 11.5. Feladat (A Riccati-egyenlet) Vizsg´ajuk az x0 = u1 (t) + 2u2 (t) + u3 (t)x2
(11.44)
Itt u1 (t), u2 (t) ´es u3 (t) a vez´erl´es (vagyis ismertnek felt´etelezett f¨ uggv´enyek). Az alaprendszer l´etez´es´ehez el˝osz¨or meg kell keresni az egyenlet szimmetriacsoportj´anak, G(L)-nek, gener´atorait az 5. fejezetben ismertetett m´odszerrel. A gener´atorok: X1 =
∂ , ∂x
X2 = 2x
∂ ∂x
X 3 = x2
∂ . ∂x
(11.45)
A gener´atorok sz´ama r = 3, a f¨ ugg˝o v´altoz´onak egyetlen eleme van (n = 1). Alaprendszer akkor l´etezik, ha a fenti gener´atorok k¨oz¨ott fenn´allnak a (11.24) felcser´el´esi rel´aci´ok. Eset¨ unkben C 1 12 = 2, C 2 13 = 1, C 3 23 = 2. A (11.44) egyenlet szimmetri´ai teh´at Liecsoportot alkotnak, vizsg´aljuk meg, hogyan oldhat´o meg h´arom partikul´aris megold´as (azaz m = 3 eset´en) v 1 , v 2 ´es v 3 ismeret´eben. El˝osz¨or ellen˝orizz¨ uk, mi a felt´etele a megold´asok f¨ uggetlens´eg´enek. A Wronski-determin´ans
1 2v 1 (v 1 )2
1 2 2 3 3 1 2 2 2 det (11.46)
1 2v 3 (v 3 )2 = 2(v − v )(v − v )(v − v ) ne0.
1 2v (v ) 328
Ez annyit jelent, hogy a partikul´aris megold´asoknak minden t ´ert´ekn´el k¨ ul¨onb¨ozni¨ uk kell. A w invari´ans mennyis´eg pedig az al´abbi egyenletet el´eg´ıti ki: ∂w ∂w ∂w ∂w + 1+ 2+ 3 = 0 ∂x ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w ∂w + v1 1 + v2 2 + v3 3 = 0 x ∂x ∂v ∂v ∂v ∂w ∂w ∂w ∂w + (v 1 )2 1 + (v 2 )2 2 + (v 3 )2 3 = 0 x2 ∂x ∂v ∂v ∂v
(11.47) (11.48) (11.49)
Az els˝o egyenlet minden megold´asa F (x − v 1 , x − v 2 , x − v 3 ) alak´ u, ´es az F (y 1 , y 2 , y 3 ) f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti az al´abbi egyenleteket: ∂F 2 ∂F 3 ∂F + y + y = 0 ∂y 1 ∂y 2 ∂y 3 ∂F ∂F ∂F (y 1 )2 1 + (y 2 )2 2 + (y 3 )2 3 = 0. ∂y ∂y ∂y y1
(11.50) (11.51)
Az els˝o egyenlet alaprendszere z 1 = y 1 /y 3 ´es z 2 = y 2 /y 3 , vagyis, minden megold´as csak Φ(z 1 , z 2 ) alak´ u lehet. Ezt behelyettes´ıtve a m´asodik egyenletbe, egy u ´jabb els˝orend˝ u differenci´alegyenletet kapunk: z 1 (z 1 − 1)
∂Φ ∂Φ 2 2 + z (z − 1) = 0. ∂z 1 ∂z 2
(11.52)
R dz Legyen ψ(z) = z(z−1) = ln z−1 , amivel (11.52) megold´asa Φ = ψ(z 1 ) − ψ(z 2 ). Visszaz t´erve az eredeti v´altoz´okra 1 Φ
e = ´es
v3 − v1 x − v1
z −1 z1 z 2 −1 z2
,
3 v − v2 : = c. x − v2
Az ut´obbi egyenlet megold´asa x=
cv 1 (v 3 − v 2 ) − v 2 (v 3 − v 1 ) . c(v 3 − v 2 ) − (v 3 − v 1 )
(11.53)
Amennyiben c = 1, x = v 3 , m´ıg c = 0 eset´en x = v 1 ´es c = ∞-n´el x = v 1 .
11.3.2.
Algoritmusok
Az al´abbi programok haszn´alhat´oak a Picard-Vessiot kiterjeszt´es haszn´alat´aban: MAPLE ´es CAYLEY. A MAPLE nyelvben l´etezik a ratsols parancs, amellyel racion´alis megold´ast lehet keresni (Ulmer, 1999). 329
11.6. Feladat Keress¨ uk az L1 (y) =
d2 d 6x2 y(x)− y(x) + 2 3 dx 4x + 27 dx 2x y(x) = 0 3 4x + 27
(11.54)
egyenlet megold´as´at. Ez az ´artatlan egyenlet meglehet˝osen komoly neh´ezs´egeket Az egyenlet megold´asa az al´abbi h´arom f¨ uggv´eny: q √ 3 y1 (x) =1/6 108 + 12 12 x3 + 81 − 2 x p √ 3 108 + 12 12 x3 + 81 q √ √ x 3 3 y2 (x) = − 1/12 108 + 12 12 x3 + 81 + p + 1/2 i √ 3 108 + 12 12 x3 + 81 ! q √ x 3 1/6 108 + 12 12 x3 + 81 + 2 p √ 3 108 + 12 12 x3 + 81 q √ √ x 3 y3 (x) = − 1/12 108 + 12 12 x3 + 81 + p − 1/2 i 3 √ 3 108 + 12 12 x3 + 81 ! q √ x 3 1/6 108 + 12 12 x3 + 81 + 2 p √ 3 108 + 12 12 x3 + 81
hordoz.
(11.55)
(11.56)
(11.57)
Ezek a f¨ uggv´enyek az y 3 + xy − 1 = 0 egyenlet gy¨okei. K´erd´es, hogyan lehet ezeket megtal´alni? Ha a MAPLE program Kovacic elj´ar´as´at haszn´aljuk, az al´abbi megold´ast kapjuk: s √ √ 6 2 x3 + 27 − 3 12 x3 + 81 √ 1 y(x) = [ x , xq ] (11.58) √ 3 x 6 2 x3 +27−3 12 x3 +81 x3
A MAPLE dsolve elj´ar´asa pedig az al´abbi eredm´enyt adja: s √ √ 6 2 x3 + 27 − 3 12 x3 + 81 √ 1 + C2 x q yDS (x) = C1 x √ 3 x 6 2 x3 +27−3 12 x3 +81
(11.59)
x3
Itt C1 ´es C2 a megold´asban szerepl˝o ´alland´o. M´ıg Kovacic megold´asa val´os, addig az yi , i = 1, . . . , 3 f¨ uggv´enyek komplexek. A Picard-Vessiot elm´elet ´es a Galois elm´elet kapcsolat´at ´ıgy lehet jellemezni: 330
1. L´etezik a differenci´alegyenletek Galois-elm´elete, az egyenlet Galois-csoportja m´ert´eke az egyenlet megoldhat´os´ag´anak. 2. A lehets´eges Galois-csoportok sz´ama v´egtelen, ezek v´eges sz´am´ u t´ıpusba sorolhat´ok. 3. A Galois-csoport t´ıpus´at az alaptesten (ez a´ltal´aban C(X)) v´egzett sz´am´ıt´asokkal meg lehet k¨ ul¨onb¨oztetni. A Kolcsin-t´etel szerint az L(y) = 0 egyenlet V megold´aster´et egy vektort´er fesz´ıti ki a konstansok f¨ol¨ott. A megold´ast szolg´altat´o K has´ıt´o testet az {y1 , y2 , . . . , yn } megold´asok ´es a megold´asok mindegyik´enek n − 1 deriv´altj´anak adjung´al´as´aval kapjuk az egyenlet egy¨ utthat´oit tartalmaz´o K0 testb˝ol. Ez´ert K/K0 ≤ n2 . Egy´ uttal az L(y) = 0 egyenlet Galois-csoportja r´eszcsoportja a K/K0 Galois csoportj´anak: G(L) = {σ ∈ Aut(K/K0 )|σδ = δσ}. 11.7. Feladat Az (11.54) egyenlet h´arom alapmegold´as´ab´ol (11.55), (11.56), (11.57) a harmadikat meghat´arozza b´armely kett˝o. Ez a h´arom megold´as teh´at kifesz´ıti a harmadfok´ u (11.54) egyenlet megold´aster´et. A h´arom megold´as az y 3 +xy −1 = 0 egyenlet h´arom gy¨oke, ennek szimmetri´aja S3 . Mivel algebrai b˝ov´ıt´eskor a differenci´alis ´es a klasszikus Galois-csoportok egybeesnek, G(L1 ) = S3 . A lehets´eges Galois-csoportok felsorolhat´oak. Tegy¨ uk fel, hogy a megoldand´o L(y) = 0 differenci´alegyenlet irreducibilis, ´es Galois-csoportja unimodul´aris. Ha nem ez a helyzet, mint (11.54) eset´eben, akkor az egyenletet faktoriz´alni kell. Erre lehet˝os´eget k´ın´al a MAPLE program DEtools(DFactor) f¨ uggv´enye. Teh´at a fenti felt´eteleket adottnak vehetj¨ uk. A felt´etelek mellett a lehets´eges Galois-csoportok: M´asodfok´ u egyenletek eset´en (Felix Ulmer szerint): 1. Az SL(2, C) csoport imprimit´ıv r´eszcsoportjai, azaz, olyan csoportok, amelyek alkalmas b´azison m´atrixokkal ´abr´azolhat´oak, a m´atrixok minden sor´aban ´es oszlop´aban egy null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o elem tal´alhat´o. 2. A v´eges primit´ıv csoportok: h´arom ilyen csoport van, ezek rendje 24, 48 ´es 120. 3. A v´egtelen elem˝ u SL(2, C) primit´ıv csoport. Harmadfok´ u egyenletek est´eben: 1. Az SL(3, C) imprimit´ıv r´eszcsoportjai: olyan csoportok, amelyek alkalmas b´azison m´atrixokkal ´abr´azolhat´oak, a m´atrixok minden sor´aban ´es oszlop´aban egy null´at´ol k¨ ul¨onb¨oz˝o elem tal´alhat´o. 2. 8 v´eges primit´ıv csoport, ezek rendje 60,108,180,216,168,504, 648, 1080. 3. K´et v´egtelen elem˝ u primit´ıv csoport: SL(3, C), P GL(2, C). 331
Magasabb rend˝ u egyenletek eset´en hasonl´o a helyzet. Ezut´an azt kell eld¨onteni, melyik Galois-csoportr´ol van sz´o. Ehhez a csoport invari´ansait lehet felhaszn´alni. Az invari´ansok kisz´am´ıt´as´ahoz l´etrehozunk egy differenci´alegyenletet, amelynek megold´asa az alapmegold´asok szimmetriz´alt m-elem˝ u szorzataib´ol a´ll (m=2,3,...). Amennyiben adott az (y1 , . . . , yn ) alaprendszer, akkor a szimmetriz´alt m-es megold´asokat az (y1 m , y1 m−1 y2 , . . . , yn m ) f¨ uggv´enyek fesz´ıtik ki. (Az invari´ansokra uggvonatkoz´o egyenletet el˝oa´ll´ıtja a MAPLE 7-ben a DEtools(symmetric power) f¨ v´eny.) ´Irjuk a megoldand´o egyenletet L(y) =
n X
pi (x)y (i) ,
(11.60)
i=0
ahol pi (x) ∈ C(x). Keress¨ uk a megold´ast polinomok h´anyadosa alakban: S(x) S(x) = Qr . −αj N (x) j=1 (x − sj )
(11.61)
Itt az L(y) egyenlet szingul´aris az x = sj pontokban, ezek a pontok az N (x) polinom gy¨okhelyei. A gy¨okhelyek egy-egy Liouville-megold´ashoz kapcsolhat´oak. A megoldand´o egyenletbe behelyettes´ıtve a fenti alakot, egyenletet kapunk S(x)-re: LS (S(x)) =
n X
ai (x)S (i) (x).
(11.62)
i=0
Az αj kitev˝ok meghat´aroz´as´ara szolg´al a MAPLE 7 program DEtools(gen exp) f¨ uggv´enye. 11.8. Feladat Vizsg´aljuk meg az 2
d d x dx y (x) x2 dx d3 y (x) 2 y (x) +4 3 + 18 + y (x) = 0 L2 = −4 3 4 x + 27 4 x + 27 4 x3 + 27 dx3
(11.63)
egyenlet exponenci´alisait MAPLE 7-tel. A genexp parancs seg´ıts´eg´evel az al´abbi eredm´enyt kapjuk a szingularit´asok hely´en: [[1/2, T = x − RootOf 4 Z 3 + 27 ], [0, 1, T = x − RootOf 4 Z 3 + 27 ]] (11.64) Az x = ∞ pontban pedig [[−1, 2, T = x−1 ], [1/2, T = x−1 ]]
(11.65)
Az egyenlet racion´alis megold´asait a ratsols utas´ıt´assal kapjuk meg: [x]. 332
(11.66)
11.4.
G´ epi elj´ ar´ asok
A kor´abbiakban is gyakran hivatkoztunk a MAPLE 7 szimbolikus nyelvre, amely a k¨oz¨ons´eges- ´es parci´alis differenci´alegyenletek megold´as´aban sok seg´ıts´eget k´ın´al. Harmadfok´ u differenci´alegyenletek megold´as´ara szolg´al a 2002-ben megny´ılt bernina weboldal: (http://www-sop.inria.fr/cafe/lmc-cf/Manuel.Bronstein/sumit/bernina.html ) ahonnan let¨olthet˝o Linux, OSF1, SunOS oper´aci´os nyelvek alatt m˝ uk¨od˝o verzi´o. A szoftver egy 4049 m´eter magas hegycs´ ucsr´ol kapta a nev´et. Maga a bernina weboldal egy interakt´ıv interf´esz a Sumˆıt k¨onyvt´arhoz, amelyben a Q[x, d/dx] test oper´atoraival, ill. a Q(x)[d/dx] test oper´atoraival kapcsolatos sz´am´ıt´asokhoz tal´alunk seg´edeszk¨oz¨oket. A bernina a´ltal biztos´ıtott funkci´ok az al´abbiak: • Aritmetika a Q(x, d/dx) testben (adjung´alt, legkisebb k¨oz¨os t¨obbsz¨or¨os, legnagyobb k¨oz¨os oszt´o stb.). • szimmetrikus ´es k¨ uls˝o szorzatok. V • racion´alis kernelek, azaz, Ker(L) Q(x), valamint az L(y) = q egyenlet racion´alis megold´asai adott q forr´as mellett. • A dY /dx = A(x)Y (x) alak´ u rendszerek racion´alis kernelj´enek meghat´aroz´asa. • Gy¨ok¨ok ill. exponenci´alis megold´asok, vagyis az L(y) = 0 egyenlet olyan megold´asai, amikor y egy pozit´ıv hatv´anya (ill. y 0 /y) Q(x)-be esik. • M´asodfok´ u oper´atorok Liouville-megold´asai. • M´asod- ´es harmadfok´ u oper´atorok faktoriz´aci´oja ´es dekompoz´ıci´oja. Ugyaninnen let¨olthet˝o a shasta program is (nev´et egy Kaliforni´aban tal´alhat´o, 4317 m´eter magas vulk´anr´ol kapta) tov´abb´a el´erhet˝o Kovacic interakt´ıv on-line algoritmusa, amellyel egy adott m´asodrend˝ u, line´aris, k¨oz¨ons´eges differenci´alegyenlet megold´as´at lehet megkeresni. A felhaszn´al´onak fel kell k´esz¨ ulnie, hogy f´arads´agos munk´aval kereshet meg egy megold´ast. A program fut´asi ideje o´r´as nagys´ag´ u lehet, a megold´as pedig sok ´alland´ot tartalmaznak, a csoportok bonyolultak. A shasta program is a Sum\+it k¨onyvt´arhoz kapcsol´odik, annak az eltol´as oper´atorral kapcsolatos r´eszeihez. A Q[n, E] ill. Q(n)[E]-beli oper´atorokhoz ´es rendszerekhez kapcsol´od´o m˝ uveleteket biztos´ıt. Itt E jelenti az n → n + 1 eltol´ast. • Aritmetika a Q(n, E) testben (adjung´alt, legkisebb k¨oz¨os t¨obbsz¨or¨os, legnagyobb k¨oz¨os oszt´o stb.). • k¨ uls˝o hatv´anyok. 333
V • racion´alis kernelek, azaz, Ker(L) Q(n), valamint az L(y) = q egyenlet racion´alis megold´asai adott q forr´as mellett. • A Y (n + 1) = A(n)Y (n) alak´ u rendszerek racion´alis kernelj´enek meghat´aroz´asa. • Az y(n+1)/y(n) ∈ Q(n)-ben fel´ırt L(y) = 0 egyenlet hipergeometrikus megold´asai. • M´asod- ´es harmadfok´ u oper´atorok faktoriz´aci´oja ´es dekompoz´ıci´oja. Egy´eb k´odok: M. F. Singer ´es F. Ulmer a CAYLEY ´es az AXIOM programokat haszn´alt´ak.
11.5.
Irodalom
A Galois-elm´elet t¨obb, mint 100 ´eves. Az algebrai egyenletekre t¨ort´en˝o alkalmaz´asa j´ol ´erthet˝oen van le´ırva Artin jegyzet´eben [3], ez az interneten is el´erhet˝o. A l´enyeges elemek Szendrei tank¨onyv´eb˝ol [45] is j´ol meg´erthet˝ok. Ha az olvas´onak egy konkr´et megold´ast kell megtal´alnia, javaslom, el˝osz¨or pr´ob´alja meg az interneten ingyenesen el´erhet˝o algoritmusokat (bernina ´es shasta). Ha ez nem el´eg, keresse meg a MAPLE egyik u ´jabb v´altozat´at, abban elegend˝o seg´ıts´eget fog tal´alni. Sajnos a t´emak¨orben megjelent monogr´afi´ak egy r´esze m´eg a szimbolikus programok el˝ott ´ır´odott, ez´ert kev´es modern monogr´afia ´erhet˝o el. Ezeket t¨obbnyire matematikusoknak ´ırt´ak, az olvas´onak v´egig kell haladnia a nagysz´am´ u matematikai konstrukci´o defin´ıci´oj´an, csak azut´an jut el valami haszn´alhat´o eredm´enyhez. Javaslom viszont Jakovenko jegyzet´et [17], noha orosz nyelv˝ u.
334
12. fejezet Algebra ´ es val´ osz´ın˝ us´ eg
335
Jelen fejezetben a modern algebrai eszk¨oz¨ok k´et alkalmaz´as´at mutatjuk be a statisztikus fizik´aban. Az els˝o alkalmaz´as a gr´afok seg´ıts´eg´evel teszi a´ttekinthet˝ov´e az el´agaz´o folyamatokat, a m´asodik alkalmaz´as pedig csoportelm´eleti megfontol´asok seg´ıts´eg´evel old meg egy r´eszecskedetekt´al´asi feladatot.
12.1.
El´ agaz´ o folyamatok
Tekints¨ unk egy v´egtelen, homog´en k¨ozeget, amelyben objektumok k´epesek a´talakulni, sokszoroz´odni, vagy elpusztulni. Ilyen objektum lehet egy t´aptalajon teny´esz˝o bakt´erium, k´emiai vagy nukle´aris l´ancreakci´ora alkalmas r´eszecske. K¨olcs¨onhat´asnak nevezz¨ uk az esem´enyt, amelyben a r´eszecske k¨olcs¨onhat´asba l´ep k¨ornyezet´evel (a sokszoroz´o k¨ozeggel), a k¨olcs¨onhat´as k¨ovetkezt´eben vagy elpusztul (ezt a folyamatot abszorpci´onak nevezz¨ uk), vagy meg´ ujul, azaz a k¨olcs¨onhat´asban egy u ´j r´eszecske keletkezik, vagy sokszoroz´odik. Azt k´ıv´anjuk vizsg´alni, hogyan alakul egy r´eszecske ´es ut´odainak sorsa. A k´erd´esk¨or t¨obb magyar tud´os ´erdekl˝od´es´et felkeltette: Erd˝os P´al, R´enyi Alfr´ed, Lov´asz L´aszl´o, jelent˝osen hozz´aj´arultak a k´erd´es kutat´as´ahoz. Az itt k¨oz¨olt le´ır´as P´al L´en´ard munk´aja. Vizsg´al´od´asunk induljon a t = t0 id˝opillanatban, amikor a vizsg´alt v´egtelen t´erfogatban egyetlen r´eszecske tal´alhat´o. Feltessz¨ uk, hogy annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a r´eszecske t id˝opillanatban l´ep el˝osz¨or k¨olcs¨onhat´asba k¨ornyezet´evel exponenci´alis eloszl´ast k¨ovet. Legyen τ az els˝o k¨olcs¨onaht´asig eltelt id˝o ´es P τ > t − t0 = e−Q(t−t0 ) ,
(12.1)
ahol Q a k¨olcs¨onhat´as intenzit´asa. A v´eletlen jelleg˝ u k¨olcs¨onhat´ast a k¨olcs¨onhat´as eredm´enyek´ent keletkez˝o r´eszecsk´ek sz´am´aval jellemezz¨ uk: P ν = k = fk , k ∈ Z.
(12.2)
Itt 0 ≤ fk ≤ 1. Nyilv´an f0 az elpusztul´as, f1 a meg´ ujul´as, fk , k > 1 a sokszoroz´as val´osz´ın˝ us´ege. A Q, fk mennyis´egek a r´eszecske-k¨ozeg k¨olcs¨onhat´as jellemz˝oi. Az elemz´es sor´an a k¨olcs¨onhat´asban keletkez˝o r´eszecskesz´am v´arhat´o ´ert´ek´et ∞ X
q1 =
kfk
(12.3)
k(k − 1)fk
(12.4)
k=1
´es m´asodik momentum´at q2 =
∞ X k=1
fogjuk haszn´alni. Miel˝ott a k´erd´es t´argyal´as´ara t´ern´enk, k´et r¨ovid kit´er˝ot tesz¨ unk. AZ els˝ot a gener´atorf¨ uggv´eny ismertet´ese kedv´e´ert. 336
Legyen a ξ val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o diszkr´et eloszl´as´ u: P {ξ = k} = pk , k = 0, 1, . . .
(12.5)
12.1. Defin´ıci´ o A ξ diszkr´et val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´o gener´atorf¨ uggv´eny´enek a g(z) =
∞ X
pk z k
(12.6)
k=0
hatv´anysort nevezz¨ uk, amelyben z ´altal´aban komplex mennyis´eg. K¨onny˝ u bel´atni az al´abbi ¨osszef¨ ugg´esek fenn´all´as´at: g(1) = 1 g 0 (1) = E{ξ} g 00 (1) = D2 (ξ),
(12.7) (12.8) (12.9)
ahol E a v´arhat´o ´ert´ek, D2 a sz´or´asn´egyzet oper´atora. A m´asodik kit´er˝ot a Markov-folyamatok r¨ovid ismertet´ese kedv´e´ert tessz¨ uk. Legyen ξ(t) egy t val´os param´etert˝ol f¨ ugg˝o v´eletlen f¨ uggv´eny, amelynek ´ert´ekk´eszlete a nemnegat´ıv val´os sz´amok halmaza, a t param´eter pedig essen egy T intervallumba. 12.2. Defin´ıci´ o (Markov-folyamat) A ξ(t) v´eletlen f¨ uggv´enyt homog´en Markov-folyamatnak nevezz¨ uk, ha a P {ξ(t) = j|ξ(0) = i} = pj (t|i) = Pij (t) (12.10) ´atmeneti val´osz´ın˝ us´egekre teljes¨ ulnek az al´abbi felt´etelek: 1. pij (t) ≥ 0, ∀i, j, t ∈ T; P∞ 2. j=0 pij (t) = 1∀i, t ∈ T; P 3. pij (t) = ∞ k=0 pik (u)pkj (t − u), ∀i, j; 0 ≤ u ≤ t, u, t ∈ T; 4. pij (0) = δij 1 12.3. Defin´ıci´ o (El´ agaz´ o Markov-folyamat) A ξ(t) Markov-folyamatot el´agaz´o Markovfolyamatnak nevezz¨ uk, ha fenn´all X pkn (t) = p1n1 (t)p1n2 (t) . . . p1nk (t). (12.11) n1 +···+nk =n 1
Itt δ a Kronecker-f´ele delta f¨ uggv´eny.
337
Az el´agaz´o Markov-folyamatban a t = 0-kor megtal´alhat´o k r´eszecske egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul ind´ıt u ´jabb el´agaz´o folyamatokat. Ennek megfelel˝oen a t id˝opontban a r´eszecsk´ek sz´am´at ξ(t) = ξ1 (t) + ξ2 (t) + · · · + ξk (t) (12.12) adja meg, itt a ξi (t) v´eletlen f¨ uggv´enyek egym´ast´ol f¨ uggetlenek ´es eloszl´asuk azonos, nevezetesen P {ξi (t) = n|ξi (0) = 1} = p1n (t) = pn (t|1). (12.13) 12.4. T´ etel A p1n (t) val´osz´ın˝ us´eg g(t, z) gener´atorf¨ uggv´enye eleget tesz a g(t + u, z) = g(t, g(u, z))
(12.14)
f¨ uggv´enyegyenletnek ´es a g(0, z) = z kezd˝ofelt´etelnek. Az el´agaz´o folyamatot egy v´eletlen f´aval fogjuk le´ırni. A fa ´abr´azolja annak a popul´aci´o kialakul´as´at, amelyet a t = 0 id˝opontban a sokszoroz´o k¨ozegbe ker¨ ult egyetlen r´eszecske ´es ut´odai hoznak l´etre diszkr´et id˝opontokban. Ha egy r´eszecske t¨obb ut´odot hoz l´etre, a fa el´agazik. Egy r´eszecske k´et a´llapotban lehet: akt´ıv vagy inakt´ıv. Akt´ıv a´llapotban l´ep k¨olcs¨onhat´asba a k¨ozeggel, a k¨olcs¨onhat´as ut´an inakt´ıv ´allapotba ker¨ ul. Amennyiben a k¨olcs¨onhat´as sor´an u ´j r´eszecsk´ek keletkeznek, annyi u ´j a´g keletkezik, ah´any r´eszecske. Az ´agak k¨ovetkez˝o k¨olcs¨onhat´asig tart´o szakasz´anak hossza az egy k¨olcs¨onhat´asban keletkez˝o r´eszecsk´ek eset´en azonos. Az u ´jonnan keletkez˝o r´eszecsk´ek akt´ıv a´llapotban vannak, minden akt´ıv r´eszecske egy v´eletlen id˝otartam ut´an l´ep k¨olcs¨onhat´asba a k¨ornyezettel. Feltessz¨ uk, hogy k´et k¨olcs¨onhat´as k¨oz¨ott eltelt id˝o, mint v´eletlen v´altoz´o, exponenci´alis eloszl´ast k¨ovet, eloszl´as´at (12.1) ´ırja le. A fa teh´at egyr´eszt a r´eszecsk´ek k¨oz¨otti viszonyt (sz¨ ul˝o-ut´od) ´ırja le, m´asr´eszt a r´eszecske ´allapot´at adja meg (akt´ıv-inakt´ıv), harmadr´eszt a r´eszecske-k¨ozeg k¨olcs¨onhat´ast jellemzi (ut´odok sz´ama, k´et k¨olcs¨onhat´as k¨oz¨ott eltelt id˝o). Egy lehets´eges f´at mutat a 12.1. a´bra.
A t¨ort´enet egyetlen r´eszecsk´evel kezd˝odik, ezt a rajzon ”root” jel¨oli. A f¨ ugg˝oleges tengelyen az id˝ot t¨ untett¨ uk fel, tetsz˝oleges egys´egekben. Az els˝o szaggatott vonaln´al k¨ovetkezik be az els˝o k¨olcs¨onhat´as, ennek eredm´enyek´ent h´arom u ´j r´eszecske keletkezik. A k¨oz´eps˝o k¨olcs¨onhat´asa nem eredm´enyez ut´odot, a baloldali ut´od ism´et h´arom ut´odot hoz l´etre, a jobboldali csak kett˝ot. Az a´br´an a fekete pontok inakt´ıv, a feh´erek akt´ıv r´eszecsk´eket jel¨olnek. Ezeket egy¨ utt n´odusoknak nevezz¨ uk. Az itt k¨oz¨olt vizsg´alatok c´elja a technika bemutat´asa, ez´ert csak k´et k´erd´est vizsg´alunk meg: • a fa ´elettartam´anak eloszl´as´at; • az inakt´ıv n´odusok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´ek´enek meghat´aroz´as´at. 338
12.1. ´abra. El´agaz´o folyamat mint gr´af (fa) Kezdj¨ uk a pn (t|1) val´osz´ın˝ us´egekhez tartoz´o gener´atorf¨ uggv´eny meghat´aroz´as´aval. A {ξ(t) = n|ξ(0) = 1} esem´eny k´et, egym´ast kiz´ar´o esem´eny (logikai) ¨osszege: • a t0 = 0 id˝opontban a k¨ozegben l´ev˝o r´eszecske a t > 0 id˝opontig nem l´ep k¨olcs¨onhat´asba, ´ıgy a r´eszecsk´ek sz´ama a t id˝opontban 1 lesz; • a kezdetben k¨ozegben l´ev˝o r´eszecske egy 0 ≤ t0 ≤ t id˝opontban2 k¨olcs¨onhat´asba l´ep u ´gy, hogy az u ´j r´eszecsk´ek a h´atral´ev˝o t − t0 id˝o alatt a t¨obbi r´eszecsk´et˝ol f¨ uggetlen¨ ul annyi tov´abbi u ´j r´eszecsk´et hoz l´etre, hogy azok o¨sszes sz´ama a t id˝opontban pontosan n lesz. A fenti esem´enyekben t0 tetsz˝oleges (0, t]-beli ´ert´eket felvehet. Ennek megfelel˝oen pn (t|1) = e−Qt δn1 + Q
Z
"
t
e−Qt f0 δn0 +
0
∞ X
X
fk
k Y
# pnj (t − t0 |1) dt0 .
(12.15)
n1 +···+nk =n j=1
k=1
Ebb˝ol az al´abbi integr´alegyenlet ad´odik a gener´atorf¨ uggv´enyre: Z t ∞ X −Qt −Q(t−t0 ) g(t, z) = e z + Q e fk (g(t0 , z))k dt0 . 0
(12.16)
k=0
Vezess¨ uk be a
∞ X
q(z) =
fk z k
(12.17)
k=0
jel¨ol´est, amivel g(t, z) = e
−Qt
Z z+Q
t
0 2
0
e−Q(t−t ) q(g(t0 , z))dt0 .
Pontosabban a (t0 , t0 + dt0 ) id˝ ointervallumban.
339
(12.18)
A (12.18)-t id˝oszerinti differenci´al´assal differenci´alegyenlett´e alak´ıthatjuk: ∂g(t, z) = −Qg(z, t) + Qq(g(t, z)). ∂t
(12.19)
Mivel kezdetben egyetlen r´eszecske van jelen,ez´ert g(0, z) = z. A gener´atorf¨ uggv´eny ismeret´eben a r´eszecsk´ek sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke ´es sz´or´asa b´armely t > 0 id˝opontban meghat´arozhat´o. Amennyiben a vizsg´alt t´erfogatban n r´eszecske van, annak val´osz´ınus´ege, hogy ∆t id˝o alatt k¨olcs¨onhat´as k¨ovetkezik be nQ∆t, annak pedig hogy nem k¨ovetkezik be k¨olcs¨onhat´as 1−nQ∆t. Ha t-kor n r´eszecske volt, akkor t+∆t-kor csak u ´gy lehet n r´eszecske, ha ∆t alatt nem t¨ort´ent k¨olcs¨onhat´as. A k¨olcs¨onhat´ast k´et l´ep´esben ´ırjuk le: el˝osz¨or a r´eszecske elnyel˝odik, majd fk val´osz´ın˝ us´eggel megjelenik k r´eszecske. E folyamat eredm´enyek´ent akkor lesz pontosan n r´eszecske, ha a k¨olcs¨onhat´ast megel˝oz˝oen n − k + 1 r´eszecske volt. Ennek alapj´an fel´ırhat´o a pn (t) val´osz´ın˝ us´egre az al´abbi differencia egyenlet: pn (t + ∆t) = pn (t)(1 − nQ∆t) + Q∆t
n X
(n − k + 1)fk pn−k+1 (t).
(12.20)
k=0
Ebb˝ol a´trendez´es ´es a ∆t → 0 hat´ar´atmenet ut´an az al´abbi defferenci´alegyenletet kapjuk: ∞ X dpn (t) = −Qnpn (t) + Q (n − k + 1)fk pn−k+1 (t). dt k=0
(12.21)
Az egyenlethez kezdeti felt´etelk´ent a pn (0) = δn1 kezd˝ofelt´etelt ´ırjuk el˝o. (12.21) az u ´n. el˝orehalad´o Kolmogorov-egyenlet. Olyan folyamatok vizsg´alat´aban, ahol a r´eszecskesz´am v´altozik (pl. kvantummechanika) gyakran el˝ofordul. Amennyiben a (12.21) egyenletet megszorozzuk z n -nel ´es ¨osszegz¨ unk n-re, megkapjuk a gener´atorf¨ uggv´enyre vonatkoz´o egyenletet: ∂g(t, z) ∂g(t, z) = Q(g(z) − z) (12.22) ∂t ∂z P∞ ahol g(t, z) = n=0 pn (t)z n . A fenti bevezet˝o ut´an megvizsg´aljuk az el´agaz´o folyamatot le´ır´o fa ´el˝o n´odusainak val´osz´ın˝ us´egeloszl´as´at. Legyen az ´el˝o n´odusok sz´ama µe , amely egy v´eletlen v´altoz´o. Legyen P {µe = n|1} = pe (t, n) (12.23) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a t id˝opillanatban pontosan n ´el˝o (azaz akt´ıv) n´odus van a f´an, felt´eve, hogy T = 0-kor 1 r´eszecske volt a fa kiindul´asi pontj´aban (root). A fentiek alapj´an k¨ozvetlen¨ ul fel´ırhat´o az al´abbi integr´alegyenlet: " # Z t ∞ k X X Y 0 pe (t, z) = e−Qt δn1 + Q e−Q(t−t ) f0 δn0 + fk pe (t0 , nj ) dt0 . (12.24) 0
k=1
340
n1 +···+nk =n j=1
Itt az els˝o tag a k¨olcs¨onhat´asmentes eset, amely csak az n = 1-hez ad j´arul´ekot, a t0 -kor bek¨ovetkez˝o k¨olcs¨onhat´as eredm´enyek´ent k ut´od j¨ohet l´etre, azok lesz´armazottai pedig ¨osszesen n r´eszecsk´et hoznak l´etre, ezt ´ırja le az integr´al. Bevezetve a ge (t, z) =
∞ X
pe (t, n)z n
(12.25)
n=0
gener´atorf¨ uggv´enyt, az al´abbi integr´alegyenletet kapjuk az ´el˝o n´odusok gener´atorf¨ uggv´eny´ere: Z t
0
e−Q(t−t ) q(ge (t0 , z))dt0
ge (t, z) = e−Qt z + Q
(12.26)
0
ezt pedig deriv´al´as ut´an differenci´alegyenlett´e alak´ıthatjuk: ∂ge (t, z) = −Qge (t, z) + Qq(ge (t, z)). ∂t
(12.27)
A megfelel˝o kezd˝o´ert´ek ge (0, z) = z. A gener´atorf¨ uggv´eny ismeret´eben meghat´arozhat´o a v´arhat´o ´ert´ek Eµe (t) = m1e (t): Z t 0 −Qt m1e (t) = e + Qq1 e−Q(t−t ) m1e (t0 )dt0 , (12.28) 0
a (12.28) egyenlet megold´asa pedig m1e (t) = e−(1−q1 )Qt .
(12.29)
Ennek megfelel˝oen a k¨olcs¨onhat´ast le´ır´o q1 , azaz, a k¨olcs¨onhat´asb´ol kiker¨ ul˝o ut´odok sz´am´anak v´arhat´o ´ert´eke, d¨onti el, hogy az ´el˝o n´odusok sz´ama n˝o, stagn´al, vagy cs¨okken az id˝ovel. A f´at szubkritikusnak nevezz¨ uk, ha q1 < 1, szuperkritikusnak ha q1 > 1 ´es kritikusnak ha q1 = 1. Anal´og gondolatmenettel kapjuk meg az inakt´ıv n´odusok sz´am´anak eloszl´as´at. Legyen az inakt´ıv (halott) n´odusok sz´ama µh (t) ´es P {µh (t) = n|1} = ph (t, n). Az anal´og integr´al- ´es differenci´alegyenlet: Z t 0 −Qt gh (t, z) = e z + Q e−Q(t−t ) q(gh (t0 , z))dt0
(12.30)
(12.31)
0
∂gh (t, z) = −Qgh (t, z) + Qq(gh (t, z)). ∂t
341
(12.32)
P∞ n Itt gh (t, z) = atorf¨ uggv´eny ismeret´eben meghat´arozhat´o az n=0 ph (t, n)z . A gener´ Eµe (t) = m1h (t)v´arhat´o ´ert´ek : Z t 0 Qt m1h (t) = 1 − e + q1 Q e−Q(t−t ) m1h (t0 )dt0 , (12.33) 0
amelynek megold´asa: m1h (t) =
1 (1 1−q1
− e−(1−q1 )Qt ) q1 6= 1 Qt q1 = 1
(12.34)
Azt tal´aljuk, hogy az inakt´ıv n´odusok sz´ama 1/(1 − q1 )-hez tart szubkritikus fa eset´en ´es v´egtelenhez kritikus ´es szuperkritikus fa eset´en. Tov´abbi r´eszletek tal´alhat´oak P´al L´en´ard k´ezirat´aban.
12.2.
Neutrondetektorok hat´ ekonys´ aga
A csoportelm´elet alkalmaz´asaiban nem csak az irreducibilis a´br´azol´asoknak, vagy az ortogonalit´asi rel´aci´oknak van szerepe. Gyakran j´ol kihaszn´alhat´o az a t´eny, hogy bizonyos m˝ uveletek csoportot alkotnak, vagy izomorfak egy csoporttal. Ebben az esetben az invert´al´as, vagy ¨osszef¨ ugg´esek meg´allap´ıt´asa jelent˝osen k¨onnyebb´e v´alik. Erre j´o p´elda a neutrondetektor hat´ekonys´aga (H. Nifenecker cikke nyom´an). Ha egy neutron maggal u ¨tk¨ozik, az u ¨tk¨oz´es k¨ovetkezt´eben t¨obb neutron is keletkezhet, pl. hasad´as vagy (n, 2n), (n, 3n) reakci´o eredm´enyek´eppen. Ezek a folyamatok v´eletlenszer˝ uek, a keletkezett neutronok sz´am´at v´eletlen v´altoz´onak lehet tekinteni. A folyamat hat´askeresztmetszet´enek meghat´aroz´asa c´elj´ab´ol detektorokkal m´erik a keletkezett neutronok sz´am´at. A detektor hat´ekonys´aga v´eges, mindig van valamekkora h´att´ersug´arz´as, ez´ert nem minden, ´es nem csak a vizsg´alt folyamatb´ol sz´armaz´o neutront siker¨ ul detekt´alni, aminek eredm´enyek´eppen a m´ert neutronsz´am nem lesz azonos a val´odi neutronsz´ammal. Sz¨ uks´eg van egy m´odszerre, amivel a m´ert neutroneloszl´asb´ol megkaphat´o a val´odi neutroneloszl´as. Erre alkalmas Diven m´odszere, amit r¨oviden ismertet¨ unk. Legyen ε a detektor hat´ekonys´aga (azaz ´erz´ekenys´ege), P (p) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a reakci´oban p neutron keletkezett, legyen Q(n) annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy n neutront detekt´alunk. K¨onnyen bel´athat´o, hogy P ´es Q k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi kapcsolat: Q(ν) =
∞ X
Cpν εν (1 − ε)(p−ν) P (p).
(12.35)
p=ν
Ez egy line´aris kapcsolat Q ´es P k¨oz¨ott, amennyiben Q = (Q(1), Q(2), . . . ) ´es P = (P (1), P (2), . . . ), azaz az egyes esem´enyeket egy-egy vektorban foglaljuk o¨ssze, a k¨ovetkez˝ot kapjuk: Q = τ (ε)P. (12.36) 342
Ha a neutronforr´as ´es a detektor k¨oz´e egy f´oli´at helyez¨ unk, aminek transzmisszi´os egy¨ utt0 hat´oja ε , a kapott rendszer ekvivalens a k¨ovetkez˝o rendszerek valamelyik´evel: 1. egy megv´altozott, ε0 er˝oss´eg˝ u forr´as, ´es egy ε hat´ekonys´ag´ u detektor; 2. egy v´altozatlan, ε er˝oss´eg˝ u forr´as, ´es egy ε0 ε hat´ekonys´ag´ u detektor. Mivel ez a k´et rendszer ekvivalens, azt kaptuk, hogy τ (εε0 )P = τ (ε)[τ (ε0 )P]
(12.37)
¨ Osszeolvasva P egy¨ utthat´oit, azt l´atjuk, hogy a detektor´erz´ekenys´egek u ´gy viselkednek, 0 0 mint egy csoport elemei, hiszen τ (εε ) = τ (ε)τ (ε ). Ezen ¨osszef¨ ugg´es birtok´aban k¨onnyen megkapjuk τ (ε) inverz´et, hiszen τ (1) = 1 = τ (εε−1 ) = τ (ε) ∗ τ (ε−1 ), azaz, τ −1 (ε) = τ (ε−1 ). Ezzel a megfigyel´essel a (12.35) k¨onnyed´en invert´alhat´o: P(ν) =
∞ X
Cpν ε−ν (1 − ε−1 )p−ν Q(p).
(12.38)
p=ν
Az eloszl´asokb´ol a momentumok hordozz´ak a legl´enyegesebb inform´aci´ot, ezek meghat´aroz´as´ara pedig az el˝oz˝o r´eszben ismertetett karakterisztikus f¨ uggv´eny szolg´al. P´eld´aul P karakterisztikus f¨ uggv´enye (ld. P´al L´en´ard k¨onyv´et): ΦP (z) =
∞ X
z ν P (ν).
(12.39)
ν=0
A (12.35) k´epletb˝ol meghat´arozhat´o P ´es Q karakterisztikus f¨ uggv´enyei k¨ozti kapcsolat: ΦQ (z) = ΦP (1 − ε − εz).
(12.40)
Ez a kapcsolat azt mutatja, hogy Q karakterisztikus f¨ uggv´eny´et megkapjuk P karakterisztikus f¨ uggv´eny´eb˝ol, csak az argumentum´at kell megv´altoztatni. Legyen θε (z) = 1 − ε + εz,
(12.41)
az argumentumon hat´o oper´ator, amivel ΦQ (z) = Tε ΦP = ΦP (θε (z)) .
(12.42)
A θε transzform´aci´ok u ´jra egy csoportot alkotnak, mivel θε1 θε2 = 1 − ε1 + ε1 (1 − ε2 + ε2 z) = θε1 ε2 .
343
(12.43)
Megmutathat´o, hogy k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´es ´all fenn θε ´es τ (ε) k¨oz¨ott. Ezek ut´an a karakterisztikus f¨ uggv´enyek k¨oz¨otti kapcsolat invert´al´asa m´ar egyszer˝ u, az eredm´eny: ΦP = ΦQ (1 − ε−1 + ε−1 z). (12.44) Ez az ¨osszef¨ ugg´es P momentumait Q momentumai f¨ uggv´eny´eben ´all´ıtja el˝o. Az elj´ar´as kiterjeszthet˝o a k¨ovetkez˝o esetre is. Legyen P (n1 , n2 ) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a vizsg´alt mag boml´asa sor´an keletkez˝o egyik term´ek n1 , a m´asik term´ek pedig n2 neutront bocs´at ki. A keletkez˝o neutronokat k´et detektorral (ezeket α ´es β indexszel jel¨olj¨ uk) m´erj¨ uk, legyen Q(pα , pβ ) annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy az α detektor nα neutront, a β detektor pedig nβ neutront detekt´al. A detektor´erz´ekenys´eget most egy m´atrix adja meg: ε1α ε1β E= . (12.45) ε2α ε2β Itt ε1α annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy az 1-es term´ek a´ltal kibocs´atott neutront az α detektor detekt´alja. Erre az esetre a fenti sz´am´ıt´as megism´etl´ese j´oval hosszabb lesz ugyan-de v´egigvihet˝o. Feltessz¨ uk, hogy egyetlen neutront sem detekt´alhatja mindk´et detektor. Az els˝o hasad´asi t¨ored´ek a´ltal kibocs´atott ν1 neutronb´ol r-et detekt´alhst az α detektor, r0 -t pedig a β detektor, ´es ν1 − r1 − r0 neutron detekt´alatlan marad. Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy a ν1 neutron ´ıgy oszlik meg 0
0
Cνr1 rν1 −r Cνr1 (1 − 1α − 1β )ν1 −r−r ,
r + r0 ≤ ν1 .
(12.46)
Itt C tov´abbra is a binomi´alis egy¨ utthat´o. A kettes sz´am´ u hasad´asi t¨ored´ek eset´eben annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy u neutront detekt´al az α detektor ´es u0 neutront a β detektor: 0
0
0
Cνu2 u2α Cνu2 −u u0 2β (1 − 1α − 1β )ν2 −u−u
u + u0 ≤ ν2 .
(12.47)
Annak val´osz´ın˝ us´ege, hogy az α detektor pontosan r + u = pα neutront detekt´al ´es a β detektor pontosan r0 + u0 = pβ nem m´as, mint X 0 0 0 0 0 0 Cνr1 r1α Cνr1 −r r1β (1 − 1α − 1β )ν1 −r−r .Cνu2 u2α Cνu2 −u u2β (1 − 1α − 1β )ν2 −u−u . A= r,r0 u,u0 r+u=pα r0 +u0 =pβ
(12.48) Ezt az ¨osszef¨ ugg´est a´talak´ıtjuk: X 0 0 0 0 p −r0 p −r0 r r A= Cν1 1α Cνr1 −r r1β (1−1α −1β )ν1 −r−r Cνp2α −r p2αα −r Cν2β−pα r 2ββ (1−2β −2α )ν2 −pα −pβ +r+r . rr0
(12.49)
344
Ebb˝ol k¨ovetkez˝oen XX XX 0 0 Q(pα , pβ ) = P (ν1 , ν2 ) Cνr1 r1α Cνr1 −r r1β ν1
ν2
r
(1 − 1α − 1β )ν1
−r−r0
r0 p −r0
p −r0
Cνp2α −r p2αα −r Cν2β−pα +r 2ββ
0
(1 − 2β − 2α )ν2 −pα −pβ +r+r , (12.50)
ahol a k¨ovetkez˝o egyenl˝otlens´egeknek kell teljes¨ ulni¨ uk: r +r0 ≤ ν1 , pα +pβ −(r +r0 ) ≤ ν2 , pα ≤ r, pβ ≤ r0 . Q karakterisztikus f¨ uggv´eny´et ´ıgy defini´aljuk: XX (12.51) ΦQ (X, Y ) = X pα Y pβ Q(pα , pβ ). pα
pβ
A kor´abban bevezetett u ´es u0 v´altoz´okkal a karakterisztikus f¨ uggv´eny ´ıgy ´ırhat´o: XX XX XXXX Φ(X, Y ) = X pα Y pβ P (ν1 , ν2 ) A (12.52) pα
pβ
ν1
ν2
r
r0
u
u0
Itt az r, r0 , u, u0 -re men˝o n´egyes ¨osszegz´esn´el figyelembe kell venni az al´abbi megszor´ıt´asokat: r + u = pα , r + r0 ≤ ν1 , r0 + u0 = pβ , u + u0 ≤ ν2 . Behelyettes´ıtve A hely´ere a (12.49) kifejez´est ´es ´atrendezve az ¨osszegz´est, ezt kapjuk: " ΦQ (X, Y ) =
XX ν1
P (ν1 , ν2 )
ν1 νX 2 −r X
# r0
Cνr1 (r1ααX Cν1 −r (1β Y )(1 − 1α − 1β )ν1
−r−r0
r=0 r0 =0
ν2
" ν ν −u 2 X 2 X u=0
# u0
u0
Cνu2 (2α X)u Cν2 −u (2β Y ) (1 − 2α − 2β )ν2
−u−u0
(12.53)
u0 =0
amib˝ol ΦQ (X, Y ) =
XX ν1
P (ν1 , ν2 )(1−1α −1β +1α X +1β Y )ν1 (1−2α −2β +2αX +2β Y )ν2
ν2
= ΦP (1 − 1α − 1β + 1α X + 1β Y, 1 − 2α − 2β + 2α X + 2β Y ). (12.54) A formul´ak egyszer˝ ubb kezelhet˝os´eg´e´ert bevezetj¨ uk az al´abbi ¨osszevon´asokat: X 1 − 1α − 1β + 1α X + 1β Y 1 U= ,V = ,I = . Y 1 − 2α − 2β + 2α X + 2β Y 1
(12.55)
A bevezetett jel¨ol´esek k¨oz¨ott fenn´all az al´abbi ¨osszef¨ ugg´es: V = I − EI + EU = Θ(E)U 345
(12.56)
Ez a jel¨ol´es nyilv´anval´ov´a teszi a k´etdimenzi´os eset ´es a kor´abban vizsg´alt egydimenzi´os esett k¨oz¨otti anal´ogi´at: most Θ egy csoport transzform´aci´o, ez´ert fenn´all (Θ(E))−1 = Θ(E−1 ).
(12.57)
defini´aljuk a τ mennyis´eget az al´abbi m´odon: Q = τ (E)P.
(12.58)
Ekkor (τ (E))−1 = τ (E−1 ), ´es bevezetve az E m´atrix inverz´ere az al´abbi jel¨ol´est: a1α a1β A= = E−1 (12.59) a2α a2β Az al´abbi ¨osszef¨ ugg´est kapjuk P ´es Q k¨oz¨ott: XX XX 0 0 P (pα , pβ ) = Q(ν1 , ν2 ) Cνr1 ar1α Cνr1 −r ar1β (1 − a1α − a1β )ν1 −r−r ν1
ν2
r
(12.60)
r0
p −r0 pα −r pβ −r0 Cνp1α −r a2α Cν2 −pα +r a2ββ (1
ν2 −pα −pβ +r+r0
− a2α − a2β )
,
ahol teljes¨ ulnie kell az al´abbiaknak: r + r0 ≤ ν1 , pα + pβ − (r + r0 ) ≤ ν2 , pα > r, pβ > r0 . A karakterisztikus f¨ uggv´eny invert´al´as´ara az al´abbi formula szolg´al: ΦP (X, Y ) = ΦQ (X, Y )/(1−α1α −α1β +α1α X +α1β Y, 1+α2α (X −1)−α2β (Y −1)). (12.61) Ennek megfelel˝oen k´epleteket kapunk P centr´alis momentumaira, amelyek kisz´am´ıt´asa a i j ∂ ∂ + Y ΦP (X, Y ) (12.62) mPij = X ∂X ∂Y X=Y =1
k´eplettel t¨ort´enik. Az els˝o momentumok Q ν 1 = mP10 = a1α ν Q 1 + a2α ν 2
(12.63)
Q ν 2 = a1β ν Q 1 + a2β ν 2
(12.64)
valamint Q ahol ν 1 = mQ 10 , ν 2 = m01 . Ez az egyszer˝ u p´elda azt mutatja be, milyen seg´ıts´eget adhatnak elemi csoportelm´eleti megfontol´asok egy feladat leegyszer˝ us´ıt´es´eben.
346
13. fejezet Appendix 13.1.
Defin´ıci´ ok
347
Vektort´er. Az X halmazt testnek nevezz¨ uk, ha rajta k´et m˝ uvelet van megadva, mindk´et m˝ uvelet X-beli elemp´arokat visz a´t egy X-beli elembe. A k´et m˝ uveletet ¨osszead´asnak ´es szorz´asnak fogjuk nevezni, a + b ill. a ∗ b-vel fogjuk jel¨olni. Az ¨osszead´as kommutat´ıv, asszociat´ıv, l´etezik nullelem, minden elemhez l´etezik ellentett. A szorz´as kommutat´ıv, asszociat´ıv ´es l´etezik egy egys´egelem, a nullelem kiv´etel´evel minden elemhez l´etezik inverz. A nullelem ´es az egys´egelem nem azonos, ´es ´erv´enyes a z´ar´ojel felbont´as´anak szab´alya: a(b + c) = ab + ac. B´armilyen m˝ uvelet, ami a fenti felt´eteleknek eleget tesz, alkalmas a test defin´ıci´ohoz. P´elda testet alkot´o halmazokra: Q, R, C. Ha az X halmazon a fenti axi´om´ak egy kiv´etel´evel teljes¨ ulnek, azaz, nincs minden a 6= 0 elemhez inverz, akkor X-et gy˝ ur˝ unek nevezz¨ uk. Az al´abbiakban az olvas´o egy ¨osszefoglal´ast tal´al, amiben a leggyakrabban haszn´alt halmazelm´eleti, absztrakt terekkel ´es csoportokkal kapcsolatos fogalmakat gy˝ ujt¨ottem o¨ssze. Olyan fogalmak is szerepelnek, amelyeket esetleg nem haszn´altam az el˝oad´asok sor´an, de ismertetj¨ uk hasznos az ´erintett ter¨ uleten megjelen˝o munk´ak meg´ert´es´ehez. Tekintettel arra, hogy a csoportokat ill. azok r´eszeit id˝onk´ent halmaznak, m´askor pedig egy metrikus t´er elemeinek tekintj¨ uk, m´ar a sz˝ ukebb csoportelm´elet t´argyal´asakor is keveredik a csoportelm´elet halmazelm´eleti ´es a metrikus terek le´ır´as´ara haszn´alatos fogalmakkal. Erre j´o p´elda a kompakt topologikus csoport elnevez´es, amit olyan csoportra alkalmazunk, aminek elemei kompakt halmazt alkotnak ´es topologikus t´ernek tekinthet˝oek. Topologikus t´ernek nevezz¨ unk egy X halmazt ´es egy adott tulajdons´ag´ u halmazoszt´alyt, amelyet X r´eszhalmazaib´ol a´ll´ıtunk el˝o. A sz´oban forg´o halmazoszt´aly rendelkezik az al´abbi tulajdons´agokkal: • tartalmazza a 0 u ¨res halmazt ´es X-et; • z´art a v´eges k¨oz¨osr´esz (metszet) k´epz´es m˝ uvelet´ere n´ezve; • z´art tetsz˝oleges egyes´ıt´esre n´ezve. Az oszt´aly elemeit ny´ılt halmazoknak nevezz¨ uk. Az X topologikus t´er diszkr´et, ha X minden r´eszhalmaza ny´ılt. Az E halmaz z´art, ha X − E ny´ılt. A z´art halmazok oszt´alya tartalmazza az u ¨res halmazt ´es X-et ´es z´art a v´eges egyes´ıt´es ´es a tetsz˝oleges metszet m˝ uveletekre n´ezve. Az X t´er E r´eszhalmaz´anak E0 belseje az a legb˝ovebb ny´ılt halmaz, amelyet E tartalmaz. Az E halmaz lez´ar´asa az a legsz˝ ukebb z´art halmaz, amely tar¯ Egy halmaz lehet talmazza E-t. Ha E ny´ılt, akkor E = E0 , ha z´art, akkor E = E. ¯ egyszerre nyitott ´es z´art is. Az E halmaz s˝ ur˝ u az X t´erben, ha E = X. Az Y r´eszhalmazt topologikus t´err´e, X alter´ev´e tehetj¨ uk, amennyiben az Y t´ernek azokat a r´eszhalmazait nevezz¨ uk ny´ıltnak, amelyek X egy ny´ılt halmaz´anak ´es Y-nak k¨oz¨os r´eszek´ent ´allnak el˝o. Az x ∈ X pont k¨ornyezete x-et tartalmaz´o ny´ılt halmaz. Az E ny´ılt halmaz E0 k¨ornyezete E-t tartalmaz´o ny´ılt halmaz. X b´azisa ny´ılt halmazok olyan B oszt´alya, amelyre teljes¨ ul, hogy minden x ∈ X ponthoz ´es x minden U k¨ornyezet´ehez l´etezik olyan B ⊂ B halmaz, amelyre x ⊂ B ⊂ U. Az X t´er szepar´abilis, ha van megsz´aml´alhat´o b´azisa. 348
Szepar´abilis t´er altere is szepar´abilis. Az X topologikus t´er E halmaz´anak ny´ılt fed´ese S a ny´ılt halmazok olyan K oszt´alya, amelyre E ⊂ K) teljes¨ ul. Egy E ⊂ X halmaz kompakt, ha E minden K ny´ılt lefed´es´enek van olyan {K1 , . . . , Kn } v´eges r´eszoszt´alya, amely E ny´ılt lefed´ese. Egy topologikus t´er Hausdorff-t´er, ha tetsz˝oleges k´et (k¨ ul¨onb¨oz˝o) pontnak van egym´ast´ol diszjunkt k¨ornyezete. Metrikus t´eren egy X halmazt ´es egy X0 t´eren ´ertelmezett d val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyt (ezt metrik´anak nevezz¨ uk) ´ert¨ unk, amelyre teljes¨ ulnek az al´abbiak: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 akkor ´es csak akkor, ha x = y, tov´abb´a, d(x, y) = d(y, x) ´es d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Egy f f¨ uggv´enyre, ami az A halmazt B-be k´epezi le az al´abbi jel¨ol´eseket alkalmazzuk f : A → B, ill. b = f (a), ahol b ∈ B, a ∈ A. Az f f¨ uggv´enyt injekci´onak nevezz¨ uk, amennyiben f (a1 ) = f (a2 ) -b˝ol k¨ovetkezik a1 = a2 . Az f f¨ uggv´enyt sz¨ urjekci´onak nevezz¨ uk, amennyiben minden b ∈ B-hez l´etezik olyan a ∈ A, amelyre b = f (a). A bijekci´o k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u f¨ uggv´enykapcsolatot jel¨ol, egy bijekci´o teh´at egyszerre injekci´o ´es sz¨ urjekci´o is. Az A halmazon ´ertelmezett rel´aci´ot ekvivalencia rel´aci´onak (r¨oviden ekvivalenci´anak) nevezz¨ uk, amennyiben a rel´aci´o reflex´ıv, szimmetrikus ´es tranzit´ıv. Az A halmaz (egy adott ≡ rel´aci´o szerinti) ekvivelencia oszt´aly´aba A azon a, a0 elemei tartoznak, amelyekre fenn´all a ≡ a. Csoporton olyan nem u unk, amelyben ´ertelmezve van egy asszocia¨res X halmazt ´ert¨ t´ıv, szorz´asnak nevezett m˝ uvelet, tov´abb´a tetsz˝oleges a, b ∈ X eset´en az ax = b ´es ya = b egyenleteknek van X-beli megold´asa. X-ben van egys´egelem, amit e-vel jel¨ol¨ unk, amire minden X-beli x-re teljes¨ ul ex = xe = x. X egy nem¨ ures Y r´eszhalmaza r´eszcsoport, ha tetsz˝oleges x, y ∈ Y elemre x−1 y ∈ Y teljes¨ ul. Ha E az X csoportnak egy r´eszhalmaza, −1 −1 akkor E az ¨osszes x alak´ u elemek halmaz´at jel¨oli, ahol x ∈ E. Ha E ´es F k´et r´eszhalmaza az X csoportnak, akkor EF az ¨osszes xy alak´ u elem halmaz´at jel¨oli, ahol x ∈ E ´es y ∈ F. Az X egy nem u ¨res E r´eszhalmaza akkor ´es csak akkor r´eszcsoport, ha E−1 E ∈ E. Az x elemek halmaz´at szok´as kapcsos z´ar´ojelbe tenni: {x}, azonban {x}E ´es E{x} helyett rendre az xE ill. Ex jel¨ol´est szok´as haszn´alni. Ezek neve rendre E baloldali ill. jobboldali eltoltja. Ha Y az X csoportnak egy r´eszcsoportja, akkor az xY ill. Yx halmazokat Y bal-, ill. jobboldali mell´ekoszt´aly´anak´anak nevezz¨ uk. Az Y r´eszcsoport norm´alis (vagy invari´ans), ha minden x ∈ X elemre xY = Yx teljes¨ ul. Ha az Y invari´ans r´eszcsoport k´et mell´ekoszt´aly´anak Y1 -nek ´es Y2 -nek szorzat´at Y1 Y2 szorzatk´ent defini´aljuk, akkor erre a szorzatra n´ezve a mell´ekoszt´alyok H halmaza csoport, amelyet az X csoportnak az Y r´eszcsoportra vonatkoz´o faktorcsoportj´anak nevez¨ unk, ´es az Y\X szimb´olummal jel¨olj¨ uk. Az X csoportnak az Y csoportba val´o T : X → Y lek´epez´es´et homorfizmusnaknak nevezz¨ uk, ha tetsz˝oleges x1 , x2 ∈ X eset´en teljes¨ ul T (x1 x2 ) = T (x1 )T (x2 ). Topologikus csoporton egy olyan csoportot ´ert¨ unk, amely egyben olyan Hausdorff-t´er, amelyen az X0 X szorzaton ´ertelmezett (x, y) p´art az x−1 y elembe viv˝o lek´epez´es folytonos.
349
13.2.
P´ eld´ ak
350
Az al´abbi egyszer˝ u p´eld´ak megold´as´aval az olvas´o ellen˝orizheti tud´as´at. 1. Mutassuk meg, hogy az al´abbi 6 m´atrix csoportot alkot a m´atrixszorz´asra n´ezve (ω 3 = 1): 2 ω 0 0 1 ω 0 0 ω2 0 ω 1 0 , , , , , , . (13.1) 0 1 0 ω2 1 0 0 ω ω 0 ω2 0 Mutassa meg, hogy a csoport izomorf a C3v csoporttal! 2. Mutassa meg, hogy amennyiben egy a´br´azol´asban a csoport minden elem´et blokkdiagon´alis m´atrixok alkotj´ak, akkor a diagon´alisban ´all´o m´atrixok mindegyike a csoport egy ´abr´azol´as´at adja meg! 3. Tegy¨ uk fel, hogy egy vizsg´alt G csoporthoz 2 × 2-es m´atrixreprezent´aci´ot tal´altunk. Mutassa meg, hogy egy adott m´atrix saj´at´ert´ekeit a D determin´ans ´es az S spur seg´ıts´eg´evel az al´abbi m´odon adhatjuk meg: √ S ± S 2 − 4D . λi = 2 Hogyan v´altoznak a saj´at´ert´ekek, ha egy ekvivalens reprezent´aci´ora t´er¨ unk ´at? 4. Az amm´onia (N H3 ) molekula szimmetriacsoportja a C3v csoport. Legyen a hidrog´enek poz´ıci´oja ei , i = 1, . . . , 3. Vet´ıtse ki az ei vektorok irreducibilis komponenseit! Mi a fizikai jelent´ese az irreducibilis komponenseknek? 5. Mutassa meg, hogy az
1 a b 0 1 c 0 0 1
(13.2)
alak´ u m´atrixok Lie-csoportot alkotnak! Hat´arozza meg a csoport infinitezim´alis gener´atorait! 6. Mutassa meg, hogy az al´abbi GAP program el˝oa´ll´ıtja a G csoport szorz´asi t´abl´azat´at! Cayley:=function(G) local s,i,l,m,j,k,max; l:=Elements(G); max:=1; for i in [1..Length(l)] do for j in [1..Length(l)] do m:=l[i]*l[j]; 351
s:=String(m); if max
10. Mutassa meg, hogy a Maxwell-egyenletekben szerepl˝o f´enysebess´eg f¨ uggetlen az inerciarendszert˝ol! 11. A forgat´asok felfoghat´oak a s´ık ¨onmag´ara val´o lek´epez´eseik´ent is, amelyet a w = exp(iα)z konformis lek´epez´es ´ır le. Hat´arozza meg a csoport a´br´azol´asait! 12. Hat´arozza meg a G(x, y, u) = (∂ 2 u/∂x2 + ∂ 2 u/∂y 2 )u2 f¨ uggv´eny Frechet-deriv´altj´at! 13. A forgat´asok infinitezim´alis gener´atorai seg´ıts´eg´evel hat´arozza meg a karakterisztik´akat! Ennek seg´ıts´eg´evel hat´arozza meg a z tengely k¨or¨ uli forgat´asok karaktert´abl´aj´at! 14. Mutassa meg, hogy Ix , Iy ´es Iz ugyanolyan felcser´el´esi rel´aci´okat el´eg´ıt ki, mint a Pauli-m´atrixok! Milyen kapcsolat ad´odik ebb˝ol a forgat´asok ´es a 2 × 2-es unit´er ´ m´atrixok k¨oz¨ott? (Utmutat´ as. Haszn´alja fel az al´abbi t´eteleket. 1, Az olyan m´atrix, amely minden val´os vektort val´os vektorba visz a´t, ´es minden vektor hossz´at v´altozatlanul hagyja, forgat´as. 2, Az O m´atrix komplex ortogon´alis, ha tetsz˝oleges k´et vektor skal´arszorzat´at v´altozatlanul hagyja.) 15. Az 5.x p´eld´aban szerepl˝o tenzor szimmetrikus r´esze hat komponenst tartalmaz: Txx , Tyy , Tzz , Txy + Tyx , Tzx + Txz , Tyz + Tyz . Az aszimmetrikus tenzornak h´arom komponense van: Txy − Tyx , Tzx − Txz , Tyz − Tyz . A tenzor komponenseib˝ol k´epezhet˝o egy invari´ans line´aris kombin´aci´o: T = Txx + Tyy + Tzz . A marad´ek ¨ot line´aris kombin´aci´o egy z´erus a´tl´os¨osszeg˝ u szimmetrikus tenzor ¨ot komponense: Txx − t, Tyy − T, Tyx + Txy , Tyz + Tyz , Tzx + Txz . Mutassa meg, hogy ez a szimmetrikus tenzor egy D2 a´br´azol´ashoz tartozik. 16. Bizony´ıtsa az al´abbi ´all´ıt´ast: Legyen 0 < B, C < 1. Tetsz˝oleges αE mellett √ √ | 1 − B 2 1 − C 2 cos αe + BC| < 1. 17. Az el˝oz˝o ´all´ıt´as seg´ıts´eg´evel mutassa meg, hogy mindig l´etezik αS sz¨og, amelyre √ √ cos αS = 1 − B 2 1 − C 2 cos αE + BC. 18. Tekints¨ uk az al´abbi f¨ uggv´enyp´art: y(x) =
1−
√ 1 − BCx + B 2 C 2 , BC
x(y) = y + 1/2BC(1 − y 2 ). Mutassa meg, hogy y(x) ´es x(y) is monoton a −1 ≤ x, y ≤ +1 intervallumban! Bizony´ıtsa be, hogy a cos αS = cos αB + 1/2BC sin2 αB ¨osszef¨ ugg´essal az S-geometria 353
αS sz¨oge meghat´arozhat´o a B-geometria αB sz¨og´eb˝ol u ´gy, hogy az (A, BC) h´aromsz¨ogben fenn´all az A2 =
B 2 + C 2 − 2BC cos αS B 2 + C 2 − 2BC cos αB − B 2 C 2 sin2 αB = 1 − BC cos αs + B 2 C 2 (1 − BC cos αB )2
ugg´es! ¨osszef¨ 19. Mutassa meg, hogy minden E-h´aromsz¨og o˝se egy term´eszetes S-h´aromsz¨ognek! 20. Bizony´ıtsa be, hogy divW = 0 akkor ´es csak akkor, ha W = rotW 0 . 21. Bizony´ıtsa be, hogy rotW = 0 akkor ´es csak akkor, ha W = gradW 0 .
354
Irodalomjegyz´ ek [1] P. Sz. Alexandrov: A topol´ogia egyszer˝ u alapfogalmai, Akad´emiai Kiad´o, Budapest, (1971) [2] S. L. Altman: Band Theory of Solids: An Introduction from the Point of View of Symmetry, Oxford Press, Oxford, 1994 [3] E. Artin: Galois Theory, Notre Dame, Indiana, 1953 [4] G. I. Bell, S. Glasstone: Nuclear Reactor Theory, Van Nostrand, Cincinati, (1970), Chapter 3.2 [5] K. M. Case and P. F. Zweifel: Linear Transport Theory, Reading, Mass. (1967) [6] V. A. Dorodnitsin: Finite Difference Models Entirely Inheriting Symmetry of Original Differential Equations, in: N. H. Ibragimov: (Ed.) Modern Group Analysis: Advanced and Computational Methods in Mathematical Physics, pp. 191-201, Kluwer, 1993 [7] L. M. Falicov: Group Theory and Its Physical Applications, The University of Chicago Press, Chicago, 1996 [8] Farkas Mikl´os: Speci´alis f¨ uggv´enyek, M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, 1964 [9] R. Mieses: A mechanika ´es fizika differenci´al- ´es integr´alegyenletei, I., M˝ uszaki Kiad´o, 1966 [10] http://www.gap-system.org; http://www.math.rwth-aachen.de/GAP [11] J. J. Gray: Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincar´e, Birkhauser, Boston, 2000 [12] M. Hammermesh: Group Theory and Its Application to Physical Problems, Argonne National Laboratory, Addison-Wesley, Reading, 1962 [13] Hereman, W.: Symbolic Software for Lie Symmetry Analysis, in CRC Handbook of Lie group Analysis of Differential Equations, CRC Press, Boca Raton, 1995 355
[14] J. M. Hyman, M. Shashkov: Adjoint operators for the natural discretizations of the divergence, gradient and curl on logically rectangular grids, Appl. Num. Math. 25, 413-442(1997) J. M. Hyman, M. Shashkov: Natural Discretization for the Divergence, Gradient, and Curl on Logically Rectangular grids, Computers Math. Applic. 33, 81104(1997) [15] N. H. Ibragimov: Transzform´aci´ocsoportok az elm´eleti fizik´aban, 1983, Nauka, Moszkva, orosz nyelven [16] N. H. Ibragimov (ed.): CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, CRC Press, Boca Raton (FL), 1999 [17] G. N. Jakovenko: Fundament´alis megold´assal rendelkez˝o differenci´alegyenletek: Sophus Lie ´es m´asok, Fizmatknyiga, Moszkva, 2006, orosz nyelven [18] I. G. Kaplan: Sokelektronos rendszerek szimmetri´aja, Nauka, Moszkva, 1969, orosz nyelven [19] U. Fauo, A. R. P. Rau: Symmetries in Quantum Physics, Academic Press, San Diego, 1996 [20] J. M. Kay and R. M. Nedderman: An Introduction to Fluid Mechanics and Heat Transfer, Cambridge University Press, 1974 [21] Ch. Kittel: Bevezet´es a szil´ardtest-fizik´aba, M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, Budapest, 1966 [22] W. Ludwig and C. Falter: Symmetries in Physics, Springer, New York, 1988 [23] Kurutzn´e Kov´acs M´arta-Scharle P´eter: A v´egeselem-m´odszer egyszer˝ u elemei ´es elemcsal´adjai, M˝ uszaki K¨onyvkiad´o, 1985 [24] L. D. Landau, E. M. Lifsic: Elm´eleti fizika X., Kinetikus fizika, Tank¨onyvkiad´o, 1984 [25] L. D. Landau, E. M. Lifsic: Elm´eleti fizika V., Statisztikus fizika I., Tank¨onyvkiad´o, 1981 [26] G. Mackay: Induced representations of groups and quantum mechanics, New York, Benjamin, 1968 [27] Marx Gy¨orgy: Kvantummechanika, M˝ uszaki kiad´o, Budapest, 1964 [28] W. Miller: Symmetry and Separation of Variables, Addison Wesley, Reading, 1977
356
[29] Mikhailov, A. V., Shabat A. B. and Sokolov V. V.: The symmetry approach to classification of integrable equations, in: Zakharov V. I. (ed.): What is integrability?, Springer, New York, 1990 [30] H. Nifenecker: Correction for Fission Neutron Detector Efficiency and Unfolding of Neutron Multiplicity Histogramms, Nucl. Instrum. and Methods, 81, p.45-48(1970) [31] P. J. Olver: Application of Lie Groups to Differential Equations, Springer, 1986 [32] L. V. Ovsiannikov: Group Analysis of Differential Equations, Academic Press, New York, 1982 [33] P´al L´en´ard: A val´osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´as ´es a statisztika alapjai, I.-II., Akad´emiai Kiad´o, 1995 [34] P´al L´en´ard: Az el´agaz´o folyamatok fizik´aj´anak elm´eleti alapjai, K´ezirat, KFKI Atomenergia Kutat´oint´ezet, 2005 [35] van der Put M, M. F. Singer: Galois Theory of Linear Differential Equations, Springer, 2003 [36] I. R. Safarevics: Algebra, Typotex, Budapest, 2000 [37] D. H. Sattinger: Group Theoretic Methods in Bifurcation Theory, Springer, Berlin, 1979 [38] Y. I. Shokin: The method of Differential Approximation, Springer, New York, N. Y, (1983) [39] Simon L., Baderko, E. A: M´asodrend˝ u line´aris parci´alis differenci´alegyenletek, Tank¨onyvkiad´o, 1983 [40] M. F. Singer and F. Ulmer: Liouvillian and Algebraic Solutions of Second and Third Order Differential Equations, J. Symb. Comp. 11,1997 [41] S. Sternberg: Group Theory and Physics, University Press, Cambridge, MA, 1994 [42] John Stillwell: Classical Topology and Combinatorial Group Theory, Springer, New York, 1991 [43] Szatm´ary Zolt´an: Bevezet´es a reaktorfizik´aba, Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 2000 [44] Sz´asz P´al: Bevezet´es a Bolyai-Lobacsevszkij-f´ele geometri´aba, Akad´emiai Kiad´o, Budapest, 1973 [45] Dr. Szendrei J´anos: Algebra ´es sz´amelm´elet, Tank¨onyvkiad´o, ´e. n. 357
[46] R. S. Varga: M´atrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliff, 1962 An outline of differential Galois theory, in: E. Tournier (ed.): Computer Algebra and Differential Equations, Academic Press, NY, 1990 [47] F. Ulmer: How to Solve Linear Differential Equations, 1999, Universit´e de Rennes [48] Varga, R. S.: Matrix Iterative Analysis, Prentice-Hall, Emglewood Cliffs, NJ, (1962) [49] Waldsmidt et al. (ed): From Number Theory to Physics, Springer, 1992
358
T´ argymutat´ o 1 r´acs, 133 1m r´acs, 133 2mm r´acs, 133 3 r´acs, 133 3m r´acs, 133 4 r´acs, 133 4mm r´acs, 133 6 r´acs, 133 6mm r´acs, 133 Cn csoport, 130, 139 C3v csoport, 29, 31 C4v csoport, 33, 50 C6v csoport, 26 Cnh csoport, 140 Cnv csoport, 140 Dn csoport, 140 Dnd csoport, 140 Dnh csoport, 140 GL(2, 2) csoport, 29, 31 GL(n, X) csoport, 44 Oh csoport, 140 P GL(n, X) csoport, 44 SL(n, X) csoport, 44 SO(2) csoport, 40 SO2 csoport, 53 S2n csoport, 139 Sp(2n, X) csoport, 44 SpU (2n) csoport, 44 Th csoport, 140 Yh csoport, 141 Ga csoport, 44 Gm csoport, 44 O(3, 1), 45
O(n, X), 44 SL(n, X) csoport, 44 SU(n) csoport, 44 U(n) csoport, 44 cen , 302 sen , 302 ¨osszetett szimmetri´ak, 135 a´br´azol´as dimenzi´oja, 27 a´br´azol´as karaktere, 27 a´ramer˝oss´eg, 162 a szab´alyos poli´eder, 130 A. N. Kolmogorov, 169 Abel-csoport, 22 abszol´ ut h˝om´ers´ekleti sk´ala, 161 adjung´alt, 228 adjung´alt csoporthat´as, 24 adjung´alt feladat, 228 adjung´alt oper´ator, 226 Albert, 68 Alex Wegner, 74 Alexander Hulpke, 74 Alice Niemeyer, 74 ALJBR, 68 amorf, 129 amplit´ ud´o, 307 Ansgar Kaup, 74 ANU, 68 Arnoldi-m´odszer, 270 asszociat´ıv, 22 asszociativit´as, 22 AXIOM, 68 b´azisf¨ uggv´eny, 249 359
balregul´aris, 24 Banach fixpontt´etele, 252 bels˝o iter´aci´o, 256 Benjamin Franklin, 161 Bergman, 68 Bessel-f¨ uggv´eny, 298 Bessel-f¨ uggv´enyek, 297 Bessel-f´ele differenci´alegyenlet, 298 bet˝ uk, 21 Bettina Eick, 74 bifurk´aci´o, 176 bifurk´aci´oegyenlet, 177 bijekci´o, 349 bijekt´ıv lek´epez´es, 37 Bloch-f¨ uggv´eny, 152 Bolyai-Lobacsevszkij h´aromsz¨og, 197 Bolyai-Lobacsevszkij-geometria, 196 Boussinesq-egyenletek, 181 Bravais-csoport, 138 Bravais-r´acs, 132, 138 Brillouin-z´ona, 151 CALI, 68 CASA, 68 Cauchy-feladat, 224 Cayley-diagramm, 47 Celsius-sk´ala, 161 centrum, 44 CGS rendszer, 162 Charles Augustine de Coulomb, 161 CHEVIE, 68 ciklus, 26 Clebsch-Gordan-egy¨ utthat´ok, 245 CoCoA, 68 Conway-csoport, 147 coulomb, 161 cs´ usz´os´ık, 135 csavartengely, 135 csoport, 22, 349 csoportaxi´oma, 22 csoporthat´as, 23, 186
csoporthat´as f¨ uggv´enyt´eren, 25 csoportsebess´eg, 151 Davies, 147 DESIR, 68 diadikus csoport, 130 diffeomorfizmus, 37 digir, 134 dimenzi´o, 162 dimenzi´ok homogenit´asa, 162 DIMSYM, 68 direkt szorzat, 35 Dirichlet-peremfelt´etel, 294 Diven, 342 divergencia, 252 dodeka´eder, 130 Domenico Guilini, 59 du´alis, 130 egyenes feladat, 228 egys´eg, 160 egys´egelem, 22 egyszer˝ u csoport, 23 egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o halmaz, 188 ekvivalencia, 186 ekvivalencia rel´aci´o, 349 ekvivalenciaoszt´alyok, 22 ekvivalens, 21 el´agaz´ast nem tartalmaz´o fed´es, 236 el´agaz´o folyamatok, 336 el´agaz´o Markov-folyamat, 337 el˝orehalad´o Kolmogorov-egyenlet, 340 elektromos t¨olt´es, 161 elem, 256 elemi cella, 129, 132 ELIAS, 68 elliptikus differenci´alegyenlet, 223 elliptikus f¨ uggv´enyek, 307 elliptikus koordin´at´ak, 90, 99 els˝ofaj´ u teljes elliptikus integr´al, 307 eltolt, 349 360
Emmy Noether, 123 Erd˝os P´al, 336 euklideszi ˝os, 201 euklideszi geometria, 196 euklideszi h´aromsz¨og, 197 Euler-Lagrange egyenletek, 124 Euler-Lagrange-egyenlet, 256 Euler-sz¨ogek, 56 Evariste Galois, 310 evol´ uci´os egyenlet, 171 f¨ ugg˝o v´altoz´o, 223 f¨ uggetlen v´altoz´ok, 223 f´azissebess´eg, 150 f´azist´er, 249 Fahrenheit-sk´ala, 161 fajh˝o, 163 faktorcsoport, 23, 349 fed´es, 24, 186 fed˝ocsoport, 238 fel¨ uleti Green-f¨ uggv´eny, 229 felbont´as, 22 FELIX, 68 Felix Klein, 59 feloldhat´o csoport, 23 Fermi-energia, 129 forg´astengely, 134 forgat´as, 40 Frank Celler, 74 Franklin, 161 Frechet-deriv´alt, 175 Fredholm-alternat´ıva t´etel, 227 Froude-sz´am, 166 fundament´alis csoport, 36, 188 fundament´alis tartom´any, 131, 186 g¨ombf¨ uggv´enyek, 303 g¨ombfelsz´ın, 188 g¨ombi h´aromsz¨og, 197 G¨ombi-geometria, 196 G¨otz Pfeiffer, 74
Galilei-f´ele relativit´as, 60 Galilei-transzform´aci´o, 63 Galois, 68 GANITH, 68 GAP, 68 Gauss, 162 Gauss-Seidel iter´aci´o, 253 Gauss-Seidel-elj´ar´as, 264 GB, 68 gener´al´o elem, 22 gener´atorf¨ uggv´eny, 338 Gr¨obner-b´azis, 25 GRAPE, 68 GRB, 68 Green-f¨ uggv´eny, 193, 229, 233 GROEBNER, 68 GUAVA, 68 gyenge megold´as, 250 h´anyadoshalmaz, 238 h˝om´ers´eklet, 161 h˝ovezet´es, 224 h˝ovezet˝ok´epess´eg, 163 h˝ u ´abr´azol´as, 27 halmaz lez´ar´asa, 348 Hamilton-oper´ator, 129 Hans U. Besche, 74 Hausdorff-t´er, 349 Heiko Theissen, 74 Helmholtz-egyenletet, 83 Hermite-csal´ad, 251 Hermite-polinom, 260, 303, 308 hexagir, 134 hexagon´alis, 136 hibavektor, 265 hiperbolikus differenci´alegyenlet, 223 holo´ederes r´acs, 135 homeomorf tramszform´aci´o, 186 homog´en Markov-folyamat, 337 homogenit´as foka, 165 homomorfizmus, 23 361
homorfizmus, 349 homotop p´aly´ak, 187 homotop p´alya, 36 Horv´ath Erzs´ebet, 74 hull´amcsomag, 150 hull´amegyenlet, 224 hull´amvekor csillaga, 152 hull´amvektor, 150 ide´alis g´az, 162 IDEALS, 68 ikoza´eder, 130 imprimitivit´as rendszer, 25 IMSL, 294 index, 22 inhomog´en feladat, 225 injekci´o, 349 injekt´ıv lek´epez´es, 37 integr´al´o t´enyez˝o, 117 inverz, 22 inverzi´o, 134 inverzi´os csoport, 131 inverzi´os forg´astengely, 134 irreducibilis a´br´azol´as, 27–29 irreducibilis komponens, 232 irrep, 27 izometrikus lek´epez´es, 193 J¨ urgen Mnich, 74 Jacobi-iter´aci´o, 253 Jacobi-m´atrix, 37, 110 jobboldali mell´ekoszt´aly, 349 jobbregul´aris, 24 Johannes Meier, 74 k¨ob¨os, 136 k¨oz´eppontos t¨ ukr¨oz´es, 134 k¨ uls˝o iter´aci´o, 256 KAN, 68 kanonikus homomorfizmus, 23 KANT, 68 karakter, 27
karakterisztika, 42, 125 karaktert´abla, 27 Kelvin, 161 Kepler-t¨orv´eny, 166 kinematikai viszkozit´as, 163, 168 kis a´br´azol´as, 154 kocka, 130 Kolmogorov–Obuhow-t¨orv´eny, 168 kommut´ator, 40 kompakt, 349 kompakt csoport, 43 kompakt topologikus csoport, 348 komplementer modulus, 307 komponensek, 198 konjug´al´as, 23 konjug´alt oszt´aly, 23 kontakt transzform´aci´o, 46 konvergencia, 252 koszinuszt´etel, 196 kovari´ans, 30 Krein-Rutman t´etel, 174 krist´aly, 129 krist´alyoszt´aly, 132, 138 l´eptet˝o oper´ator, 304 Lagrange-csal´ad, 251 Lagrange-f¨ uggv´eny, 123, 165 Lagrange-polinom, 260 LAHEY, 294 Laplace-oper´ator, 227, 295 Leech-r´acs, 147 Legendre-egyenlet, 296 Legendre-polinomok, 295 Lie-algebra, 40 Lie-B¨acklund csoport, 45 Lie-csoport, 37, 38 Lie-gy˝ ur˝ u, 40 line´aris algebrai csoportok, 45 lok´alis izotr´opia, 169 lok´alisan homog´en turbulencia, 169 Lorentz-csoport, 63 362
Lorentz-transzform´aci´o, 58, 63 Lov´asz L´aszl´o, 336 m´asodfaj´ u elliptikus integr´al, 307 m´ert´ekrendszerek, 162 m´eterr´ ud, 59 m˝ uvelet, 22 MACSIMA, 68 MACSYMA, 68 Maculay, 68 MAGMA, 68, 69 MALM, 68 MAPLE, 68 Markov-folyamat, 337 Martin Sch¨onert, 74 MathEdge, 68 MATHEMATICA, 68, 294 Mathieu-f¨ uggv´enyek, 301 MathLink, 68 MATLAB, 294 MAXIMA, 68 Megmarad´asi t¨orv´eny, 124 mell´ekoszt´aly, 22 membr´an rezg´ese, 226 metrika, 349 Metrikus t´er, 349 Miller-index, 131 mimetikus diszkretiz´aci´o, 271 minim´alpolinom, 314 MKS rendszer, 162 MKSA rendszer, 162 monoklin, 135 monomi´alis, 27 n´egyzetes, 136 n´odus, 262, 338 Navier–Stokes-egyenlet, 166 Navier-Stokes egyenlet, 167 nem el´agaz´o fed´es, 189 nemszimmorf csoport, 133 nemzetk¨ozi h˝om´ers´ekleti sk´ala, 161
Neumann-peremfelt´etel, 294 neutrontranszport, 228 nod´alis m´odszer, 249, 262 Noether-t´etel, 123 Noether-t´etele, 125 norm´alis, 349 norm´alis r´eszcsoport, 23 norm´all´anc, 23 norm´aloszt´o, 23 nullap´alya, 36, 187 nullpont, 160 Numerical recipies, 294 ny´ılt fed´es, 349 okta´eder, 130 okta´edercsoport, 140 OpenMath, 68 orbit, 23, 186, 232 orbitt´er, 24 ortogon´alis, 136 ortogonalit´as, 198 oszt´alyok, 22 P´al L´en´ard, 336 p´aros permut´aci´o, 26 p˝ ulya, 187 parabolikus differenci´alegyenlet, 224 parabolikus hengerf¨ uggv´eny, 303 PARAMAX, 68 parci´alis differenci´alegyenlet, 223 PARI, 68 Pauli-m´atrix, 55 PDELIE, 68 PDEtools, 68 perem´ert´ek-feladat, 223, 225 permut´aci´o, 25 Perron-Frobenius-t´etel, 174, 243 Peter-Weyl-t´etel, 30 Picard-Vessiot kiterjeszt´es, 321 Planck, 163 plat´oni testek, 130 363
pont k¨ornyezete, 348 pontcsoport, 132 potenci´alg¨od¨or, 226 pr´obaf¨ uggv´eny, 249 prezent´aci´o, 22 primit´ıv csoporthat´as, 25 projektor, 32 prolong´aci´o, 109 PUNIMAX, 68 r´acs, 129, 131 R´eaumur-sk´ala, 161 R´enyi Alfr´ed, 336 r´eszcsoport, 349 r´eszcsoportj´anak, 22 reciprokr´acs, 131 REDUCE , 68 reducibilis a´br´azol´as, 27 rel´aci´o, 21 rel´ator, 21 relax´aci´os param´eter, 264 rend, 22 reszponz m´atrix, 242 Reynolds-sz´am, 166, 167 Richardson-m´odszer, 264 Riesz-t´etel, 30 ritka m´atrix, 268 rombo´ederes, 136 rombos, 136 s´ ulyf¨ uggv´eny, 250 s˝ ur˝ u, 348 SACLIB, 68 SAGE, 78 saj´at´ert´ek-feladat, 225 Schoonship, 68 Schr¨odinger-egyenlet, 226 Schur, 68 Schur-lemma, 29, 234 SCRATCHPAD, 68 sebess´eggeometria, 196, 199
SENAC, 68 ´ Seress Akos, 74 SHEEP, 68 SIMATH, 68 Singular, 68 sk´ala, 160, 164 sk´alatranszform´aci´o, 164 SMP, 68 Sophus Lie, 38, 101, 310 SPDE, 68 stabiliz´ator, 23 StandardForm, 68 STENSOR, 68 stiffness m´atrix, 266 Strouhal-sz´am, 166 sug´ar, 153 Sunada, 237 Sunada-t´etele, 193 sz¨ urjekci´o, 349 sz¨ urjekt´ıv lek´epez´es, 37 sz´ınsz´am, 193, 238 sz´o, 21 sz´or´asn´egyzet, 337 szabad csoport, 23 szabad csoporthat´as, 24 Szegedi Gyula, 199 szepar´abilis, 348 szimmetria-k¨oz´eppont, 134 szimmetrikus k -line´aris kifejez´es, 31 szimmorf csoport, 133 szinuszt´etel, 196 szorzat´an, 21 szporadikus csoport, 147 szporadikus csoport, 147 szukcessz´ıv overrelaksz´aci´o, 264 t¨ uk¨ors´ık, 134 t´erfogati Green-f¨ uggv´eny, 229 t´erid˝o, 63 t´erid˝o transzform´aci´o, 206 t´orusz, 189, 236 364
tengely k¨or¨ uli forgat´as, 54 tenzor´abr´azol´as, 30 term´eszetes h´aromsz¨og, 200 test, 348 tetra´eder, 130 Tetra´eder-t´etel, 203 tetra´edercsoport, 140 tetragir, 134 tetragon´alis, 136 Thomas Bischops, 74 Thomas Breuer, 74 Thomson, 161 topologikus csoport, 349 topologikus t´er, 187, 348 transzpoz´ıci´o, 26 tranzit´ıv, 24, 232 trigir, 134 trigon´alis, 136 triklin, 135
zseb´ora, 59
Udo Polis, 74 unit´er szimplektikus csoport, 44 univerz´alis sk´alat¨orv´eny, 169 v´arhat´o ´ert´ek, 337 v´eges csoport, 22 v´eges Lie-csoport, 147 v´egesdifferencia-m´odszer, 249 v´egeselem-m´odszer, 249, 265 v´eletlen fa, 338 vari´aci´os deriv´alt, 123 VAXIMA, 68 vegyes feladat, 224 Vektort´er, 348 Volkmar Felsch, 74 Weber, 162 Werner Nickel, 74 Wigner-Eckart-t´etel, 35 z´art halmaz, 348 z´aszl´o, 130 365
