MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018

MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika

Luděk Bartoněk 2011

1 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


OBSAH 1.

2.

Analogové počítače .....................................................................................................................4 1.1

Historie vzniku hybridní výpočetní techniky .........................................................................5

1.2

Rozdělení analogových počítačů ..........................................................................................7

Základní principy analogového modelování .................................................................................8 2.1 Mechanický systém ...................................................................................................................8 2.2 Elektrický systém .......................................................................................................................9 2.3 Elektronický systém ................................................................................................................. 10

3.

Analogové zobrazení ................................................................................................................. 11

4.

Základní lineární operační prvky a jednotky ............................................................................... 12 4.1 Potenciometry ........................................................................................................................ 12 4.2 Stejnosměrný operační zesilovač ............................................................................................. 16

5.

Lineární aktivní operační jednotky - obecná lineární operační jednotka ..................................... 17 5.1 Invertor ................................................................................................................................... 20 5.2 Sumátor .................................................................................................................................. 21 5.3 Integrátor ................................................................................................................................ 22 5.3.1 Ovládání operačních stavů integrátoru ............................................................................. 24 5.4 Sumační integrátor .................................................................................................................. 25 5.5 Derivátor ................................................................................................................................. 26 5.6 Implikátor ............................................................................................................................... 28

6.

Použití potenciometrů............................................................................................................... 29 6.1 Potenciometr ve vstupu invertoru – násobení konstantou ....................................................... 30 6.2 Potenciometr na výstupu invertoru – dělení konstantou ......................................................... 31

7.

Příklad pro analogový počítač .................................................................................................... 32

8.

Základy programování na analogových počítačích ..................................................................... 32 8.1 Výpočet přímý ......................................................................................................................... 33 8.2 Výpočet nepřímý ..................................................................................................................... 33 8.3 Výpočet implicitní.................................................................................................................... 34

9.

Metoda snižování řádu derivace ................................................................................................ 34 9.1 Sumátor pro řešení rovnice ..................................................................................................... 35



9.2 Optimalizace zapojení ............................................................................................................. 37 10. Ukázky řešení nejjednodušších dif. rovnic.................................................................................. 38 10.1 Diferenciální rovnice y '  b0 z; y  0  0 ................................................................................... 38 10.2 Diferenciální rovnice y ''  b0 z; y '  0  0; y  0   0; .................................................................. 39 10.3 Diferenciální rovnice y '  a0 y  0; y  0   y0 ............................................................................ 39 10.4 Diferenciální rovnice y '  a0 y  0; y  0   y0 ............................................................................ 40 10.5 Diferenciální rovnice y '  a0 y  b0 z; y  0  0 .......................................................................... 40 10.6 Model ve tvaru

dx  t   k . x  t  ............................................................................................. 41 dt

10.7 Model nitrožilní injekce ......................................................................................................... 42 11. Závěr......................................................................................................................................... 43 Literatura .......................................................................................................................................... 43



1. Analogové počítače Analogový signál, na rozdíl od digitálního, je signál spojitý v čase i amplitudě. Základní obvody pro analogové zpracování elektrických signálů jsou operační zesilovače, funkční měniče, komparátory, spínače atd. a jsou komerčně vyráběny a sestaveny v ucelený systém - analogový počítač, což je forma počítače, který používá spojité signály k modelování a simulaci fyzikálních dějů. Úlohy, které se pomocí analogových počítačů řeší, jsou většinou formulovány tak, že studujeme odezvu chování určitého fyzikálního systému, na který působíme vnějšími vlivy. Pro studium vlastností a chování systému na analogovém počítači je třeba jej nejprve matematicky popsat, tj. vytvořit matematický model systému. Model pak řešíme na analogovém počítači. Řešit matematickou úlohu na analogovém počítači znamená rozložit je na příslušné základní operace, stanovit posloupnost základních elektronických obvodů a určit počítací síť, tj. vzájemné propojení základních obvodů. Programování na analogovém počítači spočívá tedy v sestavení počítací sítě, pomocí které lze zadanou úlohu řešit. Užití analogových počítačů je nejčastěji při řešení matematických úloh, řízení technologických procesů a vyhodnocování měření. V současné době existují tři základní skupiny počítačů. 1. Číslicové (ČP) – zobrazení diskrétními fyzikálními veličinami (U, I, stav mag. prvků). 2. Analogové (AP) – pracují se spojitě měnícími se fyzikálními veličinami (U, I,  hřídele). 3. Hybridní – spojení 1 a 2. Číslicové a analogové počítače reprezentují dva samostatné principy (různý způsob zobrazení), nezávislé systémy (vývoj každý samostatně), specialisté dvojího druhu, každý na svém řešil všechno. Problém netkví v tom, že řešený problém je na ČP nebo AP, ale v tom, že každý systém pracuje na jiném principu zobrazení. Snahou bylo spojení ČP a AP a vytvořit hybridní výpočetní systém (HVS), který se skládá z AP doplněného o číslicové a hybridní operační jednotky číslicového počítače a spojovacího zařízení.



Obr. 1. Hybridní výpočetní systém Hybridní analogový počítač (HAP) má všechny analogové operační jednotky diferenciálního analyzátoru a mimo to má potřebné číslicové a logické operační jednotky a hybridní operační jednotky. Spojovací díl (interface) je vybaven A/Č a Č/A převodníky, číslicový díl bývá realizovaný řídícím počítačem, který může spolupracovat se zařízením pracujícím v reálném čase. Na tomto číslicovém po čítači se generuje řídící proces celého hybridního výpočetního systému, využívá se paměti. Někdy je to speciální ČP. 1.1 Historie vzniku hybridní výpočetní techniky 1617 J. Napier 1654 R. Bissaker 1876 W. Thomson

1904 A. N. Krylov 1909 A. Rait 1915 H. Ford

násobení pomocí tyčí se stupnicemi logaritmické pravítko s pohyblivými stupnicemi mechanický talířový integrátor Lord Kelvin s bratrem James Thomsonem naznačili řešení diferenciálních rovnic zpětnovazební technikou návrh diferenciálního analyzátoru elektronické zařízení na sčítání a odečítání (pomocí odporů) použití mechanického integrátoru v přístrojích pro řízení palby lodních děl

První pokusy použití analogových a číslicových počítačů byly koncem padesátých let pro vojenské využití. Iterační AP jednotky jako AP, číslicové logické obvody - možnost práce v repetičním režimu s možností zapamatovat si numerické hodnoty během jednoho kroku a 5 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


použít je pří výpočtu následujícího kroku. Kromě klasického ČP je nutno uvést skupinu ČP vybavených analogovou technikou nebo analogovými prvky v programování. Velmi důležitou kombinací obou výpočetních technik ve skupině číslicově orientovaných počítačů je číslicový diferenciální analyzátor. Jedná se v podstatě o zvláštní typ číslicového počítače, který obsahuje operační jednotky pracující s čísly, jako ČP. Tyto operační jednotky mají předem stanovený program, daný jejich elektronickou realizací a mohou s čísly provádět operace realizovatelné na AP. Jako specializované případy analogových počítačů můžeme uvést:  Modely potenciálového pole (vodivý papír, pružná blána)  Modely elektrovodné sítě  Letové a automobilní simulátory  Modely biologických systémů Průsečíky analogové a digitální techniky:  Hybridní počítače  Numerické diferenciální analyzátory  Simulační jazyky pro číslicové počítače založené na modelování analogového počítače (např. CSMP) Způsob programování:  Propojení počítacích bloků šňůrami, nastavení koeficientů a počátečních podmínek potenciometry. Výstup:  Dlouhodosvitová obrazovka, registrační voltmetr, souřadnicový zapisovač

Obr. 2. a) Analogový model I. P. Pavlovových reflexů „Umělý pes― Katedra fyziky PřF UP Olomouc 1957, b) AP DIPOS-A sestavený na Katedře kybernetiky PřF UP Olomouc (1965) 6 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Obr. 3. AP MEDA a detail servonásobičky SEANS 2/10

Obr. 4. API1, API2 VUT Brno 1.2 Rozdělení analogových počítačů Podle struktury: Přímo modelující, nepřímo modelující. Podle operačních možností: Jednoúčelové, víceúčelové. Podle analogie: Mechanické, elektromechanické, elektrické, elektronické, optické, hydraulické, pneumatické atd. Podle funkce: Matematické stroje, simulátory, trenažéry, řídicí systémy. Podle druhu řešené úlohy: Diferenciální analyzátory, lineární analyzátory, analyzátory polynomů, parciální diferenciální analyzátory. Podle druhu výpočtu: Jednorázový výpočet, iterační výpočet.



2. Základní principy analogového modelování AP jsou založeny na podobnosti (analogii) fyzikálních jevů. V principu jde o modelování na základě znalosti matematických analogií. Využíváme tedy vlastností analogických soustav – modelů, v nichž probíhající děje a děje probíhající v řešené fyzikální soustavě jsou popsány podobnými matematickými rovnicemi. Analogové počítače jsou tedy v principu fyzikální modely. Model je však pojem širší než analogový počítač. Fyzikálních modelů se zcela běžně užívá při vyšetřování vlastností různých fyzikálních soustav a jsou v podstatě dvojího druhu: a) Modely prvého druhu - vyšetřovaná soustava je ve stejné fyzikální soustavě a liší se pouze měřítkem (např. model letadla v aerodynamickém tunelu, model přehrady, model lodi atd.). Takové modely nepovažujeme za analogové počítače. b) Modely druhého druhu – vyšetřovaná soustava je v jiné fyzikální soustavě než model, má však podobný matematický popis (optický prvek – el. zapojení, mat. příklad – el. zapojení). Existuje-li však takové vzájemné přiřazení parametrů dvou soustav které se chovají podle stejného matematického popisu říkáme, že jde o soustavy vzájemně izomorfní nebo homomorfní a můžeme proto tyto fyzikální modely nazvat analogovými počítači (isos  totožný, homos  stejný, morfé – obraz, forma). 2.1 Mechanický systém

Obr. 5. Mechanický systém (kmity) Systém lze popsat diferenciální rovnicí

My ''  By '  Ky  0,

y  0  y0

(1) 8

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Kde M je hmotnost, B je tlumení, K je konstanta pružiny a y0 je poloha M v čase t = 0. Rovnici můžeme podělit hodnotou M a získáme tvar y '' 

B ' K y  y  0, M M

y  0   y0 .

(2)

Vzhledem k tomu, že B, M, K jsou reálná čísla, můžeme jejich poměr vyjádřit koeficienty a1 , a0 . B K Dosadíme-li za  a1 ,  a0 obdržíme rovnici systému ve tvaru: M M

y ''  a1 y '  a0 y  0,

y  0  y0

(3)

2.2 Elektrický systém

Obr. 6. Elektrický systém (rezonanční obvod) Systém lze popsat diferenciální rovnicí 1 (4) u  0, U C  0  U C0 C R je odpor, C je kapacita, U C0 je napětí na C v čase t = 0

Lu ''  Ru ' 

Kde L je indukčnost U C  0   U C0 Podělíme-li rovnici L dostaneme: u '' 

dosadíme-li za

R  a1 , L

R ' 1 u  u  0, L LC

U C  0  U C0

(5)

1  a0 , u  y, U C0  y0 LC

obdržíme:

y ''  a1 y '  a0 y  0,

y  0  y0 .

(6)



2.3 Elektronický systém

Obr. 7. Elektronický systém Elektronický systém lze popsat diferenciální rovnicí

y ''  a1 y '  a0 y ;

y  0  y0

(7)

y  0  y0 .

(8)

kterou můžeme upravit:

y ''  a1 y '  a0 y  0,

Je patrno, že oba modely (2.1 mechanický i 2.2 elektrický) lze vyšetřovat na modelu sestaveném na AP (2.3). Poznatky: a) Snadno vytvořitelný model b) Snadné odměřování hodnot na jednotlivých místech modelu Charakter AP = analogie fyzikálních jevů a vzorových soustav.

y ''  a1 y '  a0 y  0,

y  0  y0

y ''  a1 y '  a0 y

(9)

Obr. 8. Model pro rovnici (9) sestavený z jednotek AP 10 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


n

 a y  t   b z  z  k 0

k

k

n

0

 a y t   0 k 0

k 

(10)

k

Rovnice 10 popisuje typické tvary diferenciálních rovnic vhodné pro výpočty na AP.

Obr. 9. a) Analogový počítač (MEDA), b) ukázka výstupu pořízeného souřadnicovým zapisovačem (BAK) při řešení rovnice (9)

3. Analogové zobrazení Jak bylo uvedeno, nahrazujeme vyšetřovanou soustavu soustavou novou (modelem), v níž se úloha řeší. V analogových výpočtech budeme tedy rozeznávat soustavu fyzikální, tj. soustavu, v níž je řešený problém, a soustavu analogovou, tj. soustavu, v níž se problém řeší. Podobně i veličiny v těchto soustavách budeme nazývat veličinami fyzikálními a veličinami analogovými. Fyzikální veličinou může být např. délka – posuv hmoty M z bodu y0 do bodu y . Použijeme-li k řešení elektronický diferenciální analyzátor, pak veličinou analogovou bu-

de napětí U, na které musíme délku převést. Vzájemné přiřazení analogové veličiny k veličině fyzikální nám udává tzv. zobrazovací rovnice:

X  M x .x

(11)



X … analogová veličina (strojová), např. elektrické napětí, posuv, úhel natočení atd. x … fyzikální veličina, např. délka, rychlost, proud, úhel, matematická veličina apod. Mx … konstanta úměrnosti, která se nazývá měřítkem. Zobrazení bývá nejčastěji lineární, ale vyskytuje se i kvadratické  X  M x x 2  , logaritmické

 X  M x log x 

atd. Při vzájemném přiřazení obou veličin je velmi důležité si uvědomit, že

jde o veličiny spojité v celém intervalu, v němž se vyskytují. Mění-li se fyzikální veličina xi spojitě v intervalu xmin  xi  xmax , musíme ji přiřadit analogovou veličinu X i tak, aby se mohla měnit spojitě v intervalu xmin  xi  xmax . To je charakteristickým rysem všech analogových počítačů. Naší snahou bude volit měřítko co největší, aby chyba vzniklá vlivem nastavení hodnot byla co nejmenší. Jsme však omezeni maximální hodnotou analogové veličiny, která je dána konstrukčním řešením analogového počítače.

4. Základní lineární operační prvky a jednotky Pod pojmem lineární operační prvky rozumíme R (rezistor), C (capacitor) a potenciometry a pod pojmem lineární operační jednotky zapojení složené z několika operačních prvků, nebo operační jednotky složené z operačního zesilovače a operačních prvků. Počítací odpory jsou přesné, drátové, vinuté odpory s minimální indukčností (L) a kapacitou (C). Jako kapacitory se používají přesné kondenzátory s kvalitním dielektrikem (např. styroflex).

4.1 Potenciometry Potenciometry jsou elektromechanické prvky převádějící mechanický pohyb (pootočení, posunutí) na změnu elektrického napětí (odporu). Používá se jich k násobení konstantou, k nastavení koeficientů, k vytváření součinů pomocí servomechanismů, k převodu fyzikálních veličin na elektrické a rovněž i k vytváření funkčních závislostí. U AP jsou nároky vysoké – speciální potenciometry kruhové a šroubovicové (víceotáčkové), u nichž je odporová dráha vybořena přesným drátem. Kvalitu potenciometrů lze hodnotit podle vlastností: 12 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


a) Ohmický odpor v rozmezí 1 k až 100 k . b) Rozlišovací schopnost – plynulost výstupního U udává přesnost, s jakou je možno nastavit požadovanou hodnotu. Protože běžec potenciometru se dotýká jednotlivých částí závitů odporového vinutí, mění se výstupní napětí po skocích, jejichž velikost odpovídá napětí na jednom závitu. Aby tyto skokové změny napětí byly co nejmenší, musí být celkový počet závitů co největší, což konstrukčně nejlépe splňují potenciometry šroubovicové. c) Přesnost průběhu – linearita potenciometru udává maximální odchylku výstupního napětí nastaveného na potenciometru od teoretického lineárního nebo funkčního průběhu. Chyba přesnosti průběhu bývá asi od 0,01% do 1%. d) Rušivá napětí, vznikající při pohybu běžce, tvoří šum potenciometru, který způsobuje proměnný odpor mezi běžcem a odporovou dráhou (nečistoty, změna přítlačné síly, galvanická a termoelektrická napětí). Šum musí být co nejmenší, zvláště u potenciometrů v počítacích servomechanismech. e) Mechanické provedení – vyrobeny tak, aby měly malý zatěžovací moment, velkou životnost a stálost nastavení dělícího poměru. Podle způsobu připojení vstupního napětí rozlišujeme dvě základní zapojení potenciometrů:

Obr. 10. Asymetricky napájený - běžec se pohybuje v mezích  0  x  1 .



Obr. 11. Symetricky napájený – běžec se pohybuje v mezích  1  x  1 . Při zapojování potenciometrů do obvodu musíme brát do úvahy jejich proměnný vstupní a výstupní odpor a výstupní napětí lineárního potenciometru. Vstupním odporem potenciometru nazýváme odpor, který můžeme měřit mezi začátkem a koncem vinutí potenciometru. Vstupní odpor potenciometru asymetricky napájeného je

Rvst  R 1  x  

R. x.Rz . R. x  Rz

(12)

Průběh vstupního odporu v závislosti na velikosti zatěžovacího odporu Rz a poloze běžce x je uveden na obr. 12a.

Obr. 12. Průběh odporu a) vstupního, b) výstupního, podle polohy běžce



Výstupním odporem potenciometru nazýváme odpor, který můžeme měřit na výstupních svorkách potenciometru, tj. mezi běžcem a koncem potenciometru při nekonečně velkém zatěžovacím odporu  Rz    . Výstupní odpor potenciometru podle obr. 10 je dán vztahem Rvýst 

R. x  R 1  x   Ri1 

R. x   R 1  x   Ri1 

.

(13)

Průběh výstupního odporu v závislosti na velikosti zatěžovacího odporu Ri1 a poloze běžce x je zobrazen na obr. 12b. Mění-li se vstupní a výstupní odpor, mění se i výstupní napětí potenciometru. Výstupní napětí potenciometru zapojeného podle obr. 10 při nulovém vnitřním odporu Ri1  0 je dáno vztahem R. x.Rz R. x  Rz u2  e1 . R. x.Rz R. x  Rz

(14)

Průběh výstupního napětí je závislý na poloze běžce x a velikosti zatěžovacího odporu R z. Grafické znázornění je na obr. 13a. Maximální chyba je asi ve dvou třetinách rozsahu.

Obr. 13. a) Průběh výstupního napětí b) Schéma potenciometru a zátěže Abychom zjednodušili další vztahy, budeme předpokládat, že potenciometr je zatížený odporem r a že měříme elektronickým voltmetrem nebo komparátorem. Nebudeme tedy uvažovat mechanický posuv běžce x, ale elektrický přenos napětí k, který je dán vztahem 15 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


k

u2 u1

(15)

kde 0  k  1 resp. sym. 1  k  1 . Zapojení potenciometru a jeho schématická značka obr. 14a.

Obr. 14. a) Zapojení potenciometru, b) schématická značka potenciometru

4.2 Stejnosměrný operační zesilovač Operační zesilovač (OZ) musí splňovat následující požadavky: a) Velká šířka kmitočtového pásma, stejné zesílení v co nejkratším kmitočtovém pásmu, stejné zesílení i pro nízké kmitočty (šířka pásma několika set kHz). b) Zanedbatelné kolísání nuly (drift) - malé dlouhodobé změny výstupního napětí. Kolísání nuly vlivem nežádoucích změn parametrů operačního zesilovače a rušivých signálů se souhrnně označuje jako drift. Působením driftu dochází ke změnám výstupního napětí operačního zesilovače i při nulové hodnotě vstupního napětí (vstup zkratován) a tím i k zmenšení přesnosti matematických operací. Zdroje driftu – nestálost napětí napájecích zdrojů, změny teploty, mechanické otřesy, změny klidového stavu tranzistorů, změny v poloze pracovního bodu, tepelný šum rezistorů, vliv vnějších elektromagnetických a elektrostatických polí, změny izolačních odporů vlivem teploty a vlhkosti atd. Velikost driftu se pohybuje v rozmezí 10  100V 8 hodin při zapojení jako invertor a v rozmezí mV / s při zapojení jako integrátor. c) Zesílení (Au) - max., ideál Au   , běžně 106  108 .



d) Změna polarity signálu - obracet fázi o 180o při všech přenášených kmitočtech. Za těchto předpokladů lze pak u OZ zavést zápornou zpětnou vazbu, potřebnou k vytvoření operačních jednotek. e) Vstupní a výstupní odpor OZ jsou parametry operační jednotky (OJ), které je nutno spojovat. Ideál Rvst  max , Rvýst  min . V reálu se Rvst rovná odporu vstupní impedance, výstupní se pohybuje ve stovkách  . f) Vstupní proud malý, zanedbatelná chyba při ig  109 A . g) Vstupní amplituda - rozsah strojové jednotky (SJ) odpovídá 10 V, 50 V h) Dlouhodobá stabilita - výběr, umělé stárnutí, stabilizace atd.

5. Lineární aktivní operační jednotky - obecná lineární operační jednotka

Obr. 15. a) Operační zesilovač, b) schématická značka

Zesilovač má zesílení A. Všechna napájecí napětí jsou vztažena k bodu nulového potenciálu AP – počítací zemi. Použijeme-li skutečného zesilovače (konečné zesílení – A, konečná vstupní a výstupní impedance, konečný vstupní proud, ekvivalentní driftové napětí) a zapojíme-li do vstupu a do zpětné vazby obecné impedance tak, jak je uvedeno na obr. 16, obdržíme skutečnou lineární operační jednotku [4].



Obr. 16. Skutečná lineární operační jednotka

u j  t  vstupní napětí j-tého vstupu1

ig  t  záporný řídící proud

ug  t  vstupní napětí zesilovače

ii  t  vstupní proud

ua  t  fiktivní výstupní napětí bez zátěže

iio  t  výstupní proud

u0  t  výstupní napětí při zatížení

io  t  proud ve zpětné vazbě

ud  t  ekvivalentní driftové napětí

zj

obecná impedance j-té-ho vstupu

i j t 

proud j-tého vstupu

zi

obecná vstupní impedance

zio

obecná výstupní impedance

zo

obecná impedance zpětnovazební

zz

obecná zatěžovací impedance

A

zesílení operačního zesilovače

Pro zjednodušení odvození lze psát obrazy v Laplaceově transformaci pouze velkými písmeny. Přenosová funkce operačního zesilovače bez zatížení, čili zesílení je dáno vztahem (16) A

Ua Ug

(16)

Pro součet proudů v bodě g platí podmínka: n

U j Ug

j 1

Zj

 1



Uo  U g Zo



Ug Zi

 Ig  0

(17)

u j  t  … vstupní napětí j-tého vstupu – obraz … U j  s  a pod.



Obraz výstupního napětí bez zátěže je:



Ua  A U g  Ud



(18)

Obraz výstupního proudu koncového zesilovače je: U a  Uo Zio Použitím rovnice (18) a (19) lze obdržet obraz výstupního napětí: I io 

U g  U d 

Uo  Zio I io A

(19)

(20)

Dosadíme-li rovnici (20) do rovnice (17) obdržíme vztah  n Z  Zo Zio I io  n Zo Zo  o  1  Zo   I Z      1   U Z  d  g o  j 1 Z j A  j 1 Zi Zi  Zi  j 1 j     (21) Uo   n   1 Z Z 1   o 1 o  A  j 1 Z j Zj    Tento vztah platí pro skutečný operační zesilovač. Budeme-li předpokládat ideální operační n

zesilovač, jehož parametry jsou

A  , Ud  0, Pak se vztah (20) zjednoduší na tvar

I g  0,

Zio  0.

(22)

n

Zo Uj Z j j 1

Uo   

(23)

Obr. 17. Ideální obecná lineární operační jednotka 19 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Vztah pro proudy v bodě g n

 I j  Io  0 ,

(24)

j 1

kde pro proudy platí Ij 

Uj Zj

;

Io 

Uo . Zo

(25)

Dosadíme-li vztahy (25) do rovnice (24), dostaneme vztah pro přenos ideální obecné lineární operační jednotky ve stejném tvaru jako v rovnici (23) a použijeme-li jednu vstupní impedanci, obdržíme vztah

Z  s Uo  s   U1  s  o . Z1  s 

(26)

5.1 Invertor Zapojíme-li do vstupu jeden odpor Z1  s   R1 a do zpětné vazby odpor Zo  s   Ro dostaneme lineární operační jednotku invertor - zvláštní případ obecné lineární operační jednotky.

Obr. 18. Invertor a) Schéma zapojení, b) schématická značka, c) průběh vstupního a výstupního napětí Invertor můžeme popsat vztahem: R Uo  s   U1  s  o R1

(27)

R U výst  s    o U vst  s  . R1

(28)

nebo-li



Při použití zpětné Laplaceovy transformace dostaneme R uo  t   u1  t  o  ku1  t  R1

(29)

kde Ro (30) k. R1 k označujeme jako zisk invertoru. Invertor tedy násobí konstantou k a obrací znaménko. Kon-

stantu píšeme ke vstupu invertoru na schématické značce, je-li k = 1  Ro  R1  , tak ji obvykle nepíšeme. 5.2 Sumátor Zapojíme-li do vstupu n odporů Z j  s   R j a do zpětné vazby rovněž odpor Zo  s   R , obdržíme lineární operační jednotku nazývanou sumátor.

Obr. 19. a) Schéma zapojení sumátoru, b) schématická značka sumátoru Sumátor můžeme popsat rovnicí n

U j  s

j 1

Rj

Uo  s    Ro 

(31)

Jestliže provedeme zpětnou Laplaceovu transformaci, dostaneme


INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 n u t  n j uo  t    Ro   k ju j  t  Rj j 1 j 1





(32)

kde Ro  kj. Rj

(33)

k j je zisk j-té vstupní cesty sumátoru. Sumátor násobí vstupní napětí u j  t  konstantami k j ,

provede jejich součet a obrátí znaménko výsledku.

5.3 Integrátor Integrátor je lineární operační jednotka s jedním vstupem. Vstupní impedance je tvořena odporem z1  s   R1 a zpětnovazební impedance je tvořena kondenzátorem Z o  s  

1 sCo

.

Obr. 20. a) Zapojení integrátoru, b) schematická značka, c) průběh vstupního a výstupního U

Integrátor můžeme popsat vztahem 1 . sCo R1 Provedeme-li zpětnou Laplaceovu transformaci, dostaneme Uo  s   U1  s 

(34)

t

1 uo  t    u1  t  dt Co R1 

(35)

0

kde 22 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


1  k, Co R1

RoC1  T .

(36)

k je zisk integrátoru. Převrácená hodnota zisku je časová konstanta T. Bude-li k = 1, znamená to, že za jednu sekundu bude napětí na výstupu stejné velikosti jako na vstupu, ale opačné polarity (obr. 20c). Zisk integrátoru má rozměr s 1 . Znamená to tedy, že integrátor násobí konstantou a tuto veličinu integruje, přičemž obrací znaménko. Jestliže v čase t = 0 bylo na kondenzátoru Co ve zpětné vazbě napětí U c  0  0 , pak platí

uc  0  uo  0 .

(37)

Napětí na kondenzátoru ve zpětné vazbě integrátoru (tj. v čase t = 0) představuje nenulovou počáteční podmínku. Nulová počáteční podmínka se v blokových schématech neoznačuje. Za předpokladu nenulové počáteční podmínky lze přepsat rovnici (35) do tvaru

t

1 uo  t   uo  o   u1  t  dt . Co R1 

(38)

o

Obr. 21. a) Zapojení integrátoru s počáteční podmínkou, b) schématická značka integrátoru

Pro jednodušší zápis můžeme použít diferenciálního operátoru

d p ; dt

t

1 du   dt; pu1  1 ;  p dt o

t

1 u1   u1dt . p

(39)

o



Rovnice (38) bude mít tedy tvar uo  t   uo  o  

1 1 u1  t  . Co R1 p

(40)

5.3.1 Ovládání operačních stavů integrátoru Každý analogový počítač musí mít tři základní pracovní režimy – Příprava, Řešení, Paměť, které se volí přepínači.

Obr. 22. Pracovní stavy analogového počítače

Obr. 23. Stavy integrátoru a) Příprava (počáteční podmínky), b) Řešení, c) Paměť (zastavení)

Mimo základní pracovní režimy mají některé analogové počítače další pracovní režimy. Např. řešení opakováním (repetice), statická kontrola počítacích jednotek, dynamická kontrola jednotek atd. Důležitá je polarita při zavádění počátečních podmínek. 24 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Režim PŘÍPRAVA – POČÁTEČNÍ PODMÍNKY

Obr. 24. Zadávání počátečních podmínek Režim ŘEŠENÍ

Obr. 25. Různé polarity počátečních podmínek 5.4 Sumační integrátor Zapojení je vlastně integrátor s n vstupy. Vstupní impedance jsou tvořeny odpory

Z j  s   R j a zpětnovazební impedance je tvořena kondenzátorem Z o  s  

1 . sCo

Obr. 26. Sumační integrátor a) Schéma, b) Schématická značka 25 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Sumační integrátor můžeme popsat vztahem:

Uo  s   

1 sCo

n

U j  s

j 1

Rj



(41)

Provedeme-li zpětnou Laplaceovu transformaci t

n

1 uo  t      u j t  dt C R o j j 1

(42)

o

Bude-li počáteční podmínka nenulová n

t

uo  t   uo  0   k j  u j  t  dt j 1

(43)

o

kde kj 

1 ; Co R j

Co R j  T j .

(44)

Přepíšeme-li rovnici pomocí diferenciálního operátoru, dostaneme n

1 1 u j t  p j 1 Co R j

uo  t   uo  o   

(45)

Sumační integrátor násobí vstupní napětí konstantou k j , tyto veličiny sečte a integruje, přičemž obrátí znaménko výsledku. Integraci provádí se zadanou počáteční podmínkou. Zisk k j má rozměr s 1 .

5.5 Derivátor Derivátor je lineární operační jednotka s jedním vstupem. Vstupní impedance je tvořena kondenzátorem Z1  s  

1 a zpětnovazební impedance je tvořena odporem obr. 27. sC1



Obr. 27. a) Schéma zapojení derivátoru, b) schématická značka Derivátor lze popsat vztahem:

Uo  s    sC1RoU1  s 

(46)

Provedeme-li zpětnou Laplaceovu transformaci, obdržíme uo  t   C1Ro

du1 du  k 1 dt dt

(47)

kde

k  C1Ro .

(48)

k je zisk derivátoru. Přepíšeme-li rovnici pomocí diferenciálního operátoru, dostaneme

uo  t   C1Ro p u1  k p u1 .

(49)

Derivátor násobí vstupní napětí konstantou k, derivuje a obrací znaménko výsledku. Zisk derivátoru má rozměr s. U analogových počítačů se derivátorů v tomto zapojení nepoužívá, protože derivují všechny šumy a poruchové signály. Protože šumy a poruchy obsahují spektrum mnohem vyšších kmitočtů než užitečný signál, dosahují na výstupu mnohem větší amplitudy než užitečný signál. Je-li na vstupu derivátoru poruchový signál y  A sin t je na výstupu derivátoru poruchový signál

y '   A cos t .

(50)



5.6 Implikátor Implikátor je lineární operační jednotka bez zpětné vazby s jedním nebo více vstupy viz obr. 28. Vstupní impedance jsou tvořeny odpory.

Obr. 28. a) Schéma implikátoru b) schématická značka Inplikátor můžeme popsat n

U j  s

j 1

Rj



0.

(51)

Provedeme-li zpětnou Laplaceovu transformaci, obdržíme

n

u j t 

j 1

Rn



 0;

n



j 1

k ju j  t   0

(52)

kde kj 

1 . Rj

(53)

Implikátor není možno použít jako samostatnou operační jednotku. Důvodem je vliv nenulového driftu a šumových napětí, který se projevuje jako u každého ss zesilovače a vzhledem k velkým hodnotám zisku způsobuje zahlcení zesilovače. Zpětná vazba implikátoru je tvořena například vlastní počítací sítí, znázorněnou na obr. 29 jako systém F. Pro lepší stabilitu se dává do zpětné vazby malý kondenzátor asi 10 nF.



Obr. 29. Implikátor se systémem F ve zpětné vazbě Použití implikátoru při dělení konstantou je na obr. 30.

Obr. 30. Implikátor v zapojení pro dělení Přenos je dán výrazem

u1  t   u2  t   kuo  t   0

(54)

1 u1  t   u2  t   . k

(55)

z čeho vyplývá uo  t  

6. Použití potenciometrů Protože nemáme většinou k dispozici dostatečný výběr zpětnovazebních odporů pro realizaci necelistvé hodnoty přenosu, používáme potenciometrů. Zapojením potenciometrů do vstupu nebo na výstup můžeme plynule měnit přenos v širokých mezích.



Obr. 31. a) Zapojení potenciometru, b) schématická značka Přivádíme-li na vstup potenciometru napětí u1 , obdržíme na výstupu napětí plynule proměnné v závislosti na poloze běžce. Nesmíme však zapomínat na vlastnosti potenciometru. Napětí na potenciometru lze popsat rovnicí

u2  ku1,

kde 0  k  1

(56)

Koeficient k nazýváme přenosem potenciometru. Při nezatíženém lineárním potenciometru je přenos k lineární. Zatížíme-li lineární potenciometr, nebude již přenos lineární. Musíme proto při používání potenciometrů měřit přenos vždy při zatíženém potenciometru, abychom se nedopustili chyby. 6.1 Potenciometr ve vstupu invertoru – násobení konstantou Zapojme potenciometr ve vstupu tak, že vstupní napětí přivádíme na asymetrický uzemněný potenciometr a z běžce potenciometru odebíráme napětí pro invertor. Získáme obvod, jímž můžeme plynule zisk invertoru měnit od nuly do velikosti dané poměrem zpětnovazebního odporu Ro a vstupního odporu R1 invertoru viz obr. 32. Toto zapojení lze užít i u integrátoru.

Obr. 32. a) Zapojení invertoru s potenciometrem na vstupu, b) schématická značka 30 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Přenos je dán výrazem

uo  t  

u2  t   Ro   u1  t    u1k1k2 , u1  t   R1 

(57)

kde

k2 

u2  t  , u1  t 

k1 

Ro . R1

(58)

6.2 Potenciometr na výstupu invertoru – dělení konstantou Podobným způsobem lze zapojit asymetrický uzemněný potenciometr na výstup invertoru a z běžce odebírat napětí pro zpětnou vazbu. Tímto obvodem můžeme zvyšovat přenos invetoru nad úroveň danou poměrem zpětnovazebního a vstupního odporu invertoru, neboli můžeme dělit konstantou. Tohoto zapojení lze užít i u integrátoru.

Obr. 33. a) Zapojení invertoru s potenciometrem na výstupu b) schématická značka Přenos je dán vztahem Ro R1

(59)

uo'  t   k2uo  t  .

(60)

R 1 1 uo  t   u1  t  o  u1  t  k1 R1 k2 k2

(61)

uo'  t   u1  t 

kde

Po úpravě dostaneme

kde

k1 

Ro , R1

k2 

uo'  t  . uo  t 

(62) 31

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


7. Příklad pro analogový počítač Uvažujme případ - máme vytvořit model rovnice y  t   x  t   sin  x  t   .

(63)

Předpokládejme, že máme k dispozici elektronickou stavebnici složenou z prvků, které lze mezi sebou spojovat. Každý z těchto prvků „umí― provádět určitou matematickou operaci. Výsledek y  t  dostaneme tak, že v naší elektronické stavebnici použijeme prvky, které umí realizovat funkce sinus a funkce sčítání a propojíme je mezi sebou.

Obr. 34. Schéma zapojení elektronických prvků Řešení modelu je velmi jednoduché a není k němu třeba speciálních znalosti z matematiky. Stačí mít k dispozici prvky a navzájem je mezi sebou podle řešeného problému propojit (analogový počítač  elektronická stavebnice). Vstupními a výstupními veličinami jsou elektrická napětí. Výsledky získané na analogovém počítači ve formě křivek se registrují pomocí osciloskopu (OPD osciloskop pomaloběžných dějů) nebo se zapisují na souřadnicovém zapisovači. Kromě základních operačních jednotek obsahuje analogový počítač prvky, které umožňují matematické operace - násobení, dělení, umocňování, odmocňování, logaritmování, funkce sinus, cosinus atd.

8. Základy programování na analogových počítačích Zadání řešeného problému je nutno rozložit (mat. vztahy – dif. rovnice, soustava dif. rovnic, algebraické rovnice) na takové základní operace, které mohou být řešeny pomocí operačních jednotek, nebo blokovým schématem a popisem bloku např. přenosové funkce bloků metoda modelování přenosů či vlastnostmi a chováním celého systému – systém popsán svým chováním (výstupní signál), identifikace systému – zpětný popis vztahů. Způsoby programo32 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


vání odpovídají klasickému způsobu programování pomocí symbolických programovacích schémat (programování podle Korna). Vzájemné vztahy mezi operačními jednotkami se vyjadřují programovým schématem, které může být strukturní (obecné), kde OJ jsou popsány schématickými značkami s vazbami, podrobné (úplné), kde OJ jsou rozkresleny na jednotlivé prvky a maticové (tabulkové), kde je využito k popisu vzájemných vazeb tabulky. Výpočet pak může probíhat přímo, nepřímo nebo implicitně. 8.1 Výpočet přímý Zapojená síť se nikdy nevrací zpět. Viz rovnice (64).

y  ax 2  bx  c

(64)

Obr. 35. Programové schéma přímého výpočtu 8.2 Výpočet nepřímý Hlavní znak je vznik zpětných vazeb mezi OJ. Nejdůležitější druh výpočtu.

y ''  a1 y '  a0 y  0;

y  0  1;

y '  0  0

(65)

Obr. 36. Programové schéma nepřímého výpočtu 33 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


8.3 Výpočet implicitní Výpočet, kde počítací obvod vypočítává neznámou z implicitní anulované rovnice pomocí operačního zesilovače s velmi vysokým zesílením (implikátoru) a vhodnými zpětnými vazbami (ZV) se vyznačuje tím, že zisk ve smyčce ZV je velmi vysoký, teoreticky v limitě nekonečný. x  yz  0

(66)

Obr. 37. Programové schéma implicitního výpočtu

9. Metoda snižování řádu derivace V literatuře analogového programování je nejvíce rozšířená. Název vyplynul z toho, že se za sebou spojují operační jednotky (integrátory), které snižují řád derivace. Tato metoda je použitelná pro rovnice typu (10) uvedené v textu výše a pro rovnice s derivacemi na pravé straně, je-li tato pravá strana již k dispozici na počítači. Jako příklad lze uveďme rovnici (67)

y''' (t )  1,8 y '' (t )  2,6 y ' (t )  0,8 y (t) = 0,5u(t) .

(67)

Předpokládejme, že počáteční podmínky jsou nulové. Úkolem je tedy odvodit blokové programové schéma řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty. y IV  a3 y III  a2 y II  a1 y I  a0 y  b0 z

(68)

Ze vztahu (68) osamostatníme nejvyšší derivaci na levé straně a všechny ostatní členy převedeme na pravou stranu. 34 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


y IV    a3 y III  a2 y II  a1 y I  a0 y  b0 z  .

(69)

Rovnici můžeme realizovat sumátorem. Znaménko (–) před závorkou odpovídá obrácení znaménka sumátorem. Sumátor na obr. 38 řeší rovnici (69). 9.1 Sumátor pro řešení rovnice

Obr. 38. Sumátor k řešení vztahu (69). Každou rovnici upravenou pro kreslení programového schéma si označíme číslem, které bude současně číslem odpovídající operační jednotky. Bude-li rovnice upravena tímto způsobem, vynikne nám i názornost, neboť levá strana rovnice je výstup operační jednotky a pravá strana jsou vstupy operační jednotky. Vstupní veličiny přivádíme se stejnými znaménky, neboť znaménko (–) před závorkou respektuje vlastnost aktivní operační jednotky – sumátoru, tj. obracení znaménka. Nyní potřebujeme získat veličiny, které je třeba přivádět na vstup sumátoru z obr. 38. Víme, že integrátor provádí integraci vstupní veličiny, že snižuje řád derivace. Nesmíme však zapomínat, že obrací znaménko. Napíšeme další rovnice tak, abychom je mohli realizovat řetězcem integrátorů tak, jak je to nakresleno na obr. 39.

Obr. 39. Řetězec integrátorů v metodě snižování řádu derivace. 35 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


t

y

III

   y IV dt 0 t

y Matematické odvození k obr. 39.

II





    y III dt 0 t

 y I    y II dt 0 t

 

y     y I dt 0

Nyní lze řetězec integrátorů připojit na výstup sumátoru 1.

Obr. 40. Sestavení řetězce pro výpočet příkladu Chceme-li přivést odpovídající veličiny na vstup sumátoru, musíme provést vynásobení konstantami a0 až a3 . Vynásobení provedeme pomocí potenciometrů. Dále zjistíme, zda odpovídá potřebné znaménko proměnné na výstupu z integrátorů 2 a 4. K obracení znaménka můžeme použít invertorů, které lze popsat rovnicemi (70), (71).



a3 y III   a3 y III



a1 y I   a1 y I





(70) (71)

Po vzájemném propojení operačních jednotek obdržíme programové schéma uvedené na obr. 41. Počáteční podmínky = 0. 36 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Obr. 41. Blokové programové schéma pro řešení rovnice Použijeme-li zápis pomocí diferenciálního operátoru p, můžeme situaci zapsat rovnicemi ve tvaru (72) a (73).

p IV y  a3 p III y  a2 p II y  a1 py  a0 y  b0 z

(72)

y IV  a3 y III  a2 y II  a1 y I  a0 y  b0 z .

(73)

9.2 Optimalizace zapojení

Obr. 42. Náhrada dvou invertorů jedním sumátorem Nepotřebujeme-li znát hodnotu y IV , můžeme sumátor 1 nahradit sumačním integrátorem 37 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


Obr. 43. Náhrada sumátoru sumačním integrátorem

10. Ukázky řešení nejjednodušších dif. rovnic 10.1 Diferenciální rovnice y '  b0 z; y  0  0 Máme řešit diferenciální rovnici prvého řádu ve tvaru

y '  b0 z;

y  0  0 .

y  b0 z Rovnici upravíme metodou snížení řádu derivace na tvar '

t

y     b0 z  dt; 0

(74) (75)

y  0  0 .

(76)

Předpokládejme, že z je konstantní a v našem případě to bude 1SJ. Abychom dostali na výstupu integrátoru +y přivedeme na vstup (-1SJ).

Obr. 44. a) Programové schéma pro řešení rovnice (74), b) průběh y  f  t   b0t  c Užití např. jako zdroj času. Při k = 1 bude U na výstupu odpovídat U na vstupu za 1s. 38 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


10.2 Diferenciální rovnice y''  b0 z; y '  0  0; y  0  0; Máme řešit rovnici druhého řádu

y ''  b0 z;

y '  0  0;

y  0  0;

(77)

Snížením řádu derivace upravíme na tvar t

 y '     b0 z  dt; y '  0  y  0  0 0

a t

 

y     y ' dt. 0

(78)

(79)

Obr. 45. a) Programové schéma pro řešení (78), b) průběh y  f  t  viz (80)

y  f  t   1 2 b0t 2  C .

(80)

10.3 Diferenciální rovnice y '  a0 y  0; y  0  y0

y '  a0 y  0; y '  a0 y; t

 y     a0 y  dt;

y  0  y0 y  0  y0 y  0  y0 .

(81) (82) (83)

0

Obr. 46. a) Programové schéma rovnice (81), b) průběh y  f  t  viz (84) 39 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.


y  f  t   y0ea0t .

(84)

10.4 Diferenciální rovnice y '  a0 y  0; y  0  y0

y  0  y0

y '  a0 y  0;

(85)

Upravíme

y '  a0 y;

y  0  y0

t

y     a0 y  dt; 0

y  0  y0

 y   y .

(86) (87) (88)

Obr. 47. a) Programové schéma rovnice (87), b) průběh y  f  t  viz (89)

y  f  t   y0ea0t .

(89)

10.5 Diferenciální rovnice y '  a0 y  b0 z; y  0  0

y '  a0 y  b0 z;

y  0  0 ,

(90)

y '    a0 y  b0 z  ;

y  0  0 ,

(91)

t

y     a0 y  b0 z  dt; 0

y  0  0 .

(92)



Obr. 48. a) Programové schéma (92), b) průběh y  f  t  viz (93) f t  

10.6 Model ve tvaru Řešme rovnici





b0 1  e  a0t . a0

(93)

dx  t   k . x  t  dt

dx  t   k . x  t  . dt

(94)

Model popisuje např. eliminaci látky x z krevního oběhu. Předpokládáme-li, že na vstupu integrátoru je hodnota veličiny dx  t  / dt , bude na výstupu hodnota  x  t  . Použitím prvku násobení konstantou (potenciometr) dostáváme hodnotu kx  t  . Protože kx  t  se rovná

dx  t  / dt , propojíme výstup potenciometru se vstupem integrátoru viz obr. 49.

Obr. 49. Naprogramování rovnice (94) na analogovém počítači



10.7 Model nitrožilní injekce Příklad rychlé nitrožilní injekce, která se distribuuje do dvoukompartmentového systému.

Obr. 50. Dvoukompartmentový systém rychlé nitrožilní injekce Intraverózním podáním 10 ml farmaka se vytvoří kompartment Q1  t  . Kromě vlastního vylučování farmaka, které probíhá s rychlostní konstantou

k1,0 ,

se farmakon mění s rychlostní

konstantou k1,2 na formu Q2  t  , která vytvoří jiný kompartment. Tato změna je však reverzibilní, protože forma Q2  t  se mění s rychlostní konstantou k2,1 opět na původní formu Q1  t  . Matematický model uvedeného kompartmentového systému je ve tvaru dQ1  t   k2,1Q2  t   k1,2Q1  t   k1,0Q1  t  dt

(95)

dQ2  t   k2,1Q2  t   k1,2Q1  t  dt

(96)

Ke každé z obou rovnic definujeme počáteční podmínky. Před započetím dynamického děje byl kompartment Q1 naplněn intraverózní injekcí o obsahu 10 ml farmaka. Komparment Q 2 byl prázdný. Odpovídající počáteční podmínky jsou

Q1  0  10

(97)

Q2  0  0

(98)

Rovnicím (95) - (98) odpovídá zapojení na obr. 51.



Obr. 51. Zapojení analogového počítače pro řešení dvoukompartmentového systému. Protože se oba kompartmenty při dynamickém ději navzájem ovlivňují, musíme i obě diferenciální rovnice řešit současně.

11. Závěr Výhodou analogových počítačů je velmi vysoká výpočetní rychlost, nevýhodou je větší chyba výpočtu.

Literatura [1] Haška, J.: Hybridní systémy. Praha: Nakladatelství techn. lit., 1986. Učeb. texty VUT, f. Elektrotechnická. [2] Rábová, Z., Češka, M.: Modelování a simulace. VUT Brno, SNTL, 1982. [3] Haška, J., Serba, I., Lukeš, M.: Analogové počítače, SNTL Praha 1982. [4] Vůjtek, M.: Aplikovaná elektronika pro aplikovanou fyziku. Přírodovědecká fakulta UP v Olomouci. Dostupné: http://fyzika.upol.cz/cs/system/files/download/vujtek/texty/apel.pdf. [5] Beneš, K.: Analogové počítače, Pokroky matematiky, fyziky, astronomie, sv. 11 (1966), č. 4, s. 214-228. [6] Beneš, K.: Použití analogového počítače při vyučování v matematice a fyzice. Pokroky matematiky, fyziky, astronomie, sv. 11 (1966), číslo 5, s. 288-310.



Doc. Ing. Luděk Bartoněk, Ph.D. Modelování a simulace. Analogové počítače Výkonný redaktor: Prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr. Odborný redaktor: Doc. RNDr. Roman Kubínek, CSc. Odpovědná redaktorka: Mgr. Jana Kreiselová Technický redaktor: Doc. Ing. Luděk Bartoněk, Ph.D. Určeno pro studenty, odbornou veřejnost a další zájemce. Vydala Univerzita Palackého v Olomouci Křížkovského 8, 771 47 Olomouc www.upol.cz/vup e-mail: [email protected] Olomouc 2012 1. vydání Oponent: Doc. Ing. Jiří Salinger, CSc. Tato publikace neprošla redakční jazykovou úpravou. © Luděk Bartoněk, 2012 Ediční řada — Skripta Online publikace ISBN 978-80-244-2974-8 http://fyzika.upol.cz/cs/predmety-kef-slo/modelovani-simulace


MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika

Recommend Documents