Model Matematika Tentang Pengaruh Alkohol Terhadap Kesehatan dan Perkembangan Sosial
STUDI LITERATUR
Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur di Jurusan Matematika
Oleh : LUKMANUL HAKIM 208 700 542
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2013
MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH ALKOHOL TERHADAP KESEHATAN DAN PERKEMBANGAN SOSIAL
STUDI LITERATUR Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur di Jurusan Matematika
Oleh : LUKMANUL HAKIM 208 700 542
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2013
HALAMAN PENGESAHAN
Model Matematika Tentang Pengaruh Alkohol Terhadap Kesehatan dan Perkembangan Sosial
STUDI LITERATUR Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah studi literatur di Jurusan Matematika
Oleh :
Lukmanul Hakim 208700542
Telah Diperiksa dan Disetujui oleh Pembimbing Pada Tanggal 28 Maret 2013
Dosen Pembimbing
Siti Julaeha, M.Si. NIP.198301202006042002
Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si, MT, NIP. 197301122000032001
ABSTRAK
Model Matematika Tentang Pengaruh Alkohol Terhadap Kesehatan dan Perkembangan Sosial Lukmanul Hakim 208700542
Sebuah model matematika deterministik dianalisis untuk mengetahui pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial. model ini menceritakan tentang fenomena penyebaran pengaruh alkohol didalam suatu populasi manusia. Dimana pada model ini, populasi yang rentan akan terpengaruh oleh alkohol sehingga mengakibatkan
peminum alkohol semakin bertambah.
Hasil dari analisis yang telah dilakukan terhadap model ini diperoleh sebuah dua titik equilibrium yang stabil asimtotik lokal dan tidak stabil asimtotik lokal. Kata kunci : Model Matematika, Alkohol, Titik Equilibrium, Basic Reproductive Rasio, Sifat Akar-akar Polinom Berderajat Tinggi.
ABSTRACT
The Mathematic Model About Effect of Alcohol On Health and Social Development Lukmanul Hakim 208700542
A deterministic mathematical model was analyzed to determine the effect of alcohol on health and social development. the model is about the phenomenon of the spread of the influence of alcohol in the human population. Where on this model, vulnerable populations will be affected by alcohol, resulting in increasing alcohol drinkers. The results of the analysis has been done on this model obtained an equilibrium point which is local asymptotic stabily and not local asymptotic stabily.
Keywords: Mathematical Models, Alcohol, Equilibrium Point, Basic Reproductive Ratio, nature of roots high degree polynomial.
KATA PENGANTAR
Assalumu’alaikum Wr.Wb. Puji dan syukur kehadirat Allah SWT. Yang senantiasa memberikan nikmat, karunia, dan hidayah-Nya kepada hamba-hamba-Nya. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, keluarga, para sahabat, serta seluruh umatnya yang senantiasa memberikan suri tauladan yang baik kepada umatnya. Segala perencanaan manusia hanyalah usaha, adapun realisasinya hanya Allah yang menentukan. Begitupun dalam penyusunan studi literatur ini tidaklah terlepas dari hal tersebut dan patutlah bagi penulis untuk mengucapkan syukur atas terselesaikan studi literatur yang berjudul “model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial”. Dalam penyusunan studi literatur ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak. Sehingga sudah semestinya penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1.
Bapak Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., Mp., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung.
2.
Ibu Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati Bandung
3.
Ibu Siti Julaeha, M.Si, selaku Pembimbing Studi Literatur yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan studi literatur ini.
4.
Bapak Diny Zulkarnain M.Si, yang telah banyak memberikan bimbingan untuk menyelsaikan BAB III studi literatur ini.
5.
Dosen-dosen
Jurusan
Matematika
yang
telah
memberikan
ilmu
pengetahuannya, serta staf Fakultas Sains dan Teknologi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
i
6.
Ayahanda (Wanta) dan Ibunda (Satimen), kerta adik-adik dan keluarga besar yang telah member dukungan moril dan materil serta doa dan kasih sayang yang dapat memberikan semangat dan menjadi inspirator dalam penyelesaian studi literatur ini.
7.
Teman-teman MAPAN (Matematika Dua Ribu Delapan) yang selalu memberikan dukungan dan hiburannya, The Copec yang telah menjadi rumah kedua dalam hidup penulis, Fahmi Azis, Beben, Angga Hasim, yang telah meminjamkan komputernya dan mau menjadi sahabat terbaik.
8.
Semua pihak yang telah memberikan bantuan yang tidak bisa disebutkan satu-persatu. Tidak ada yang dapat penulis persembahkan kepada semua pihak yang telah
berperan aktif membantu dan memberikan motivasi dalam penyusunan studi literatur ini. Hanya sebatas rangkaian doa dan ucapan terima kasih yang dapat penulis berikan. Semoga segala kebaikan yang telah diberikan mendapat balasan dari Allah SWT. Amiin. Dengan segala kerendahan hati penulis berharap studi literatur ini dapat bermanfaat bagi pembaca dikemudian hari. Wassalamu’alaikum Wr.Wb
Bandung, 09 April 2013
Penulis
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGESAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR ......................................................................................... i DAFTAR ISI ......................................................................................................... iii DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ v BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah ........................................................................ 3
1.2
Rumusan Masalah .................................................................................. 3
1.3
Batasan Masalah .................................................................................... 3
1.4
Tujuan Penelitian ................................................................................... 3
1.5
Metode Penelitian .................................................................................. 4
1.6
Sistematika Penulisan ............................................................................ 4
1.7
Kerangka Berfikir .................................................................................. 5
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1
Sistem Persamaan Diferensial ................................................................ 6
2.2
Titik Equilibrium ................................................................................... 8
2.3
Basic Reproduction Ratio ...................................................................... 8
2.4
Pelinearan ............................................................................................... 9
2.5
Stabilitas ................................................................................................. 10
2.6
Sifat Akar-akar Polinom Berderajat Tinggi ........................................... 11
iii
BAB III MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH ALKOHOL TERHADAP KESEHATAN DAN PERKEMBANGAN SOSILAL 3.1
Hal-hal yang Mempengaruhi Model ...................................................... 12
3.2
Formulasi Model .................................................................................... 13
3.3
Menentukan Titik Equilibrium .............................................................. 15 3.3.1. Titik Equilibrium Bebas Alkohol ............................................... 15 3.3.2. Titik Equilibrium Endemik ........................................................ 16
3.4
Parameter Reproduktif Rasio ................................................................. 19
3.5
Kestabilan Titikl Equilibrium ................................................................ 20
BAB IV PENUTUP 4.1
Kesimpulan ............................................................................................ 28
4.2
Saran ...................................................................................................... 29
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 30
iv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Diagram Kerangka Berfikir ........................................................ 5 Gambar 3.1 Diagram Proses Penyebaran Pengaruh Alkohol Terhadap Lingkungan .................................................................................. 13
v
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah Dalam ilmu kedokteran alkohol digunakan untuk kepentingan pengobatan,
namun telah banyak ditemukan bahwa alkohol juga dikonsumsi dan diperjual belikan secara ilegal oleh suatu kalangan individu. Tetapi menurut pandangan agama dan kesehatan, alkohol adalah zat cair yang bila dikonsumsi dapat memabukan dan merusak sistem saraf pada tubuh. Q.S. Al-Baqarah ayat 219 yang berbunyi :
Artinya : mereka bertanya kepadamu tentang khamar (segala yang memabukkan, termasuk minuman keras) dan judi. Katakanlah: “Pada keduanya terdapat dosa yang besar dan beberapa manfaat bagi manusia, tetapi dosa keduanya lebih besar dari manfaatnya”. dan mereka bertanya kepadamu apa yang mereka nafkahkan. Katakanlah: “yang lebih dari keperluan”. Demikianlah Allah menerangkan ayat-ayat-Nya kepadamu supaya kamu berfikir. ( al-Baqarah ayat 219 ) Dari ayat diatas dapat disimpulkan sindiran halus bagi umat islam pada saat itu. Sebuah pandangan umum dimana tersebut dalam ayat itu “Pada keduanya terdapat dosa yang besar dan beberapa manfaat” mengenai alkohol. Sebuah tahap awal sekaligus strategi jitu dalam menyelesaikan permasalahan minuman keras dan pengaruhnya terhadap lingkungan sosial.
1
Pengaruh alkohol, juga dikenal sebagai “ketergantungan alkohol ” adalah penyakit kecanduan alkohol yang meminum alkohol secara terus menerus. Seperti kecanduaan obat lain, penyalahgunaan alkohol adalah penyakit yang dapat diobati. Menurut Organisasi kesehatan dunia (WHO) sekitar 140 juta orang di seluruh dunia menderita ketergantungan alkohol yang mengakibatkan masalahmasalah, seperti sakit, kehilangan pekerjaan dan lain sebagainya. Pengaruh alkohol memiliki kecenderungan yang lebih tinggi pada pria, meskipun dalam beberapa dekade terakhir, perbandingan pecandu alkohol
perempuan telah
bertambah [8]. Efek samping yang diakibatkan oleh alkohol terjadi di hampir setiap bagian tubuh dan berkontribusi untuk sejumlah penyakit manusia termasuk sirosis hati, pankreatitis, penyakit jantung, disfungsi seksual yang akhirnya dapat berakibat fatal yaitu kematian. Kerusakan pada sistem saraf pusat dan sistem saraf yang lain dapat terjadi dari konsumsi alkohol yang berkelanjutan. Selain itu, pecandu alkohol pada wanita telah ditemukan memiliki efek negatif pada fungsi reproduksi [3]. Saat ini belum banyak penelitian yang dilakukan dalam pemodelan matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial. Meskipun beberapa studi menawarkan pendekatan matematika untuk memahami pengaruh alkohol. Model yang akan dibahas dalam studi literatur ini adalah model yang realistis yaitu dengan membagi orang yang minum alkohol menjadi 4 kelompok dalam sebuah populasi yaitu : 1) Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol 2) Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol 3) Oarang yang sudah menjadi konsumen alkohol 4) Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol Sehingga bisa dibandingkan kontrol alkohol dari populasi peminum alkohol yang berbeda. Mengingat beberapa penyakit lain yang disebabkan oleh alkohol yang dapat membunuh orang seperti sirosis hati, pankreatitis, dan lain-lain, sehingga akan dibuktikan seberapa besar penyebaran pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial itu sendiri.
2
Dalam literatur ini penulis merasa tertarik untuk membahas mengenai peengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial yang terjadi pada populasi manusia yang dipresentasikan dalam sebuah model matematika.
1.2
Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam studi literatur ini dapat diuraikan sebagai
berikut. 1. Bagaimana model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial ? 2. Bagaimana mencari titik equilibrium dari model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial ?
1.3
Batasan Masalah Studi literatur ini hanya memodelkan dan mencari titik equilibrium dari
pengaruh alkohol terhadap lingkungan sosial, dimana hanya ada empat kelompok orang yang meminum alkohol yaitu orang yang tidak mengkonsumsi alkohol dan tidak pernah mengkonsumsinya, orang yang mengkonsumsi alkohol tetapi belum ketergantungan, pecandu alkohol dan ketergantungan, dan orang yang sembuh dari pengaruh alkohol.
1.4
Tujuan Penelitian Tujuan dari penulisan studi literatur ini dapat diuraikan sebagai berikut. 1. Mempelajari model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial. 2. Mencari titik equilibrium dari model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial.
3
1.5
Metode Penelitian Metode penelitian ini hanya melalui pendekatan teoritis atau studi literatur
dari buku-buku yang berkaitan, jurnal sampai artikel-artikel yang ada di website untuk menunjang penulisan literatur ini.
1.6
Sistematika Penulisan Sistematika penulisan literatur ini hanya memuat 4 bab. Dengan perincian
sebagai berikut. BAB I
PENDAHULUAN Pada bab ini dipaparkan tentang latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, metode penelitian, sistematika penulisan dan kerangka berfikir dari masalah yang dikaji.
BAB II
LANDASAN TEORI Dalam bab ini penulis akan memaparkan tentang landasan teori yang dijadikan ukuran standarisasi dalam pembahasan yang terdiri dari sistem persamaan diferensial, titik equilibrium, basic reproduction ratio, pelinearan, stabilitas, sifat akar-akar polinom berpangkat tinggi.
BAB III
KAJIAN PENELITIAN Dalam bab ini akan dipaparkan hasil kajian yang meliputi analisis model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial, yang terdiri dari hal-hal yang mempengaruhi model, formulasi model, menentukan titik equilibrium, parameter reproduktif rasio, serta kesetabilan titik equilibrium.
BAB IV
PENUTUP Dalam bab ini akan dipaparkan kesimpulan sebagai jawaban dari rumusan
permasalahan
yang
diajukan
serta
saran
untuk
pengembangan tulisan yang berbeda dimasa yang akan datang. DAFTAR PUSTAKA
4
1.7
Kerangka Berfikir Pengaruh alkohol, juga dikenal sebagai “ketergantungan alkohol ” adalah
penyakit kecanduan alkohol yang meminum alkohol secara terus menerus meskipun pengaruh alkohol tersebut sangat negatif terhadap kesehatan individu, hubungan dan kedudukan sosial [5]. Walaupun demikian, kecanduan alkohol juga sebagai salah satu penyakit yang dapat diobati. Dari fenomena yang terjadi, maka penulis akan mempelajari sebuah model yang nantinya akan dicari titik equilibriumnya untuk mengetahui darimana model yang telah ada. Langkah pertama adalah mengidentifikasi titik equilibrium dari model tersebut dengan cara me-nol-kan turunan pertamanya. Sehingga dari model tersebut akan didapat titik equilibrium yang terpengaruh oleh alkohol dan titik equilibrium bebas dari pengaruh
alkohol.
Langkah selanjutnya
menganalisis titik equilibrium dengan menggunakan
adalah
atau basic reproduction
ratio untuk mengetahui penyebaran pengaruh alkohol dalam model itu. Dan langkah terakhir mencari nilai eigen dari model tersebut untuk mengetahui apakah model tersebut itu stabil atau tidak.
Gambar 1.1 Diagram Kerangka Berfikir.
5
BAB II LANDASAN TEORI
2.1
Sistem Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan fungsi yang tidak diketahui. Persamaan diferensial digunakan untuk mempresentasikan fenomena-fenomena yang terjadi dikehidupan sehari-hari pada interval waktu kontinu dalam suatu model matematika. Persamaan diferensial terbagi atas persamaan diferensial biasa dan sistem persamaan diferensial parsial. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial biasa. Tetapi jika persamaan diferensial tersebut memiliki lebih dari satu peubah tak bebas, maka persamaan itu disebut persamaan diferensial parsial. Sebagai contoh : 1. 2.
(2.1) (
)(
)
(2.2)
3.
(2.3)
Dalam persamaan (2.1) dan (2.2) fungsi tak diketahui yang dinyatakan dengan dan
dan dianggap sebagai satu peubah bebas
( ). Lambang
yaitu
dalam persamaan (2.1) dan (2.2) berturut-turut menyatakan turunan
pertama dan kedua dari fungsi
( ) terhadap
. persamaan (2.1) dan (2.2)
memuat turunan biasa dan karenanya disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan untuk persamaan (2.3) disebut persamaan diferensial parsial [6]. Persamaan diferensial biasa umumnya berbentuk : (
( )
)
Persamaan diferensial tersebut dikatakan linear jika variabel
( )
(
)
linear dalam variabel-
. Definisi tersebut juga berlaku untuk persamasan diferensial
parsial. Jadi secara umum persamaan diferensial biasa linear ordo
berbentuk : 6
( )
( )
( )
(
( )
)
Selanjutnya persamaan diferensial yang bukan persamaan linear disebut persamaan diferensial tak linear. Dengan demikian persamaan diferensial ( )
(
)
merupakan persamaan diferensial tak linear, jika salah
satu dari bentuk dipenuhi oleh . ( )
1.
tidak berbentuk polinom dalam
.
2.
berbentuk polinom berpangkat 2 atau lebih dalam
( )
[6].
Sebagai contoh : 1.
merupakan persamaan diferensial tak linear karena (
)
polinom berpangkat dua dalam (
2.
)
.
merupakan persamaan tak linear karena
tidak berbentuk polinom dalam
.
Jika berbicara dengan sistem, sistem adalah sejumlah tertentu sedangkan yang dimaksud dengan sistem persamaan diferensial adalah sebuah sistem yang didalamnya memuat
buah persamaan diferensial, dengan
tidak diketahui, dimana
buah fungsi yang
merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama
dengan dua. Bentuk umum dari suatu sistem persamaan diferensial orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut : (
)
(
)
(
)
Dengan sehingga
(
adalah variabel bebas dan ( )
( )
( ) dimana
)
adalah variabel terikat,
merupakan derevatif fungsi
7
terhadap , dan
adalah fungsi yang tergantung pada variabel
dan
2.2
Titik Equilibrium Misal suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut: ( )
(
)
Titik equilibrium merupakan titik gerak dari vektor keadaan konstan. Maka titik equilibrium dari persamaan (2.7) didapat
. Untuk lebih jelasnya, ditinjau
contoh dibawah ini. Missal
( )
adalah dengan cara
, maka umtuk mencari titik equilibriumnya ( )
atau me-nol-kan turunan pertamanya, sehingga
diperoleh ( ) (
)(
)
Sehingga diperoleh titik equilibriumnya yaitu
2.3
atau
.
Basic Reproduction Ratio Untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu pengaruh alkohol diperlukan
suatu parameter tertentu. Parameter yang biasa digunakan adalah bilangan reproduksi dasar (Basic Reproduction Ratio). Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata individu yang dipengaruhi alkohol itu disebabkan oleh banyaknya individu yang rentan. Namun ada pula yang mengartikan rasio atau perbandingan yang menunjukan jumlah individu yang rentan untuk mengkonsumsi alkohol yang dipengaruhi oleh individu pecandu [7]. Model hanya mempunyai dua titik equilibrium yaitu titik equilibrium yang tidak stabil dan titik equilibrium yang stabil. Jika
maka stabil, dan jika
maka tidak stabil.
8
2.4
Pelinearan Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial tak linear dilakukan
melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial tak linear sebagai berikut. ̇
( )
(
)
Dengan menggunakan ekspansi taylor untuk suatu titik equilibrium, maka persamaan (2.8) dapat ditulis sebagai berikut. ̇
( )
(
( )
)
Persamaan tersebut merupakan sistem persamaan diferensial tak linear dengan adalah matriks Jacobi,
( )
yaitu matriks yang berukuran (
. Matriks ini
)
sering juga ditulis sebagai matriks [
( ) suku berorde tinggi
. Sedangkan
selanjutnya ( ) pada persamaan (2.9) disebut
( )
yang bersifat
]
persamaan dari sistem tak linear persamaan (2.8) yang didapat dalam bentuk ̇
( ).
Contoh sederhananya [4], (
)
(
)
Maka matriks jacobiannya adalah
[ [
]
]
9
2.5
Stabilitas Titik equilibrium dikatakan stabil jika untuk sebarang syarat awal yang
cukup dekat dengan titik equilibrium maka trayektori (kurva yang memotong tegak lurus kurva-kurva tersebut) dari penyelesaian tetap dekat dengan penyelesaian di titik equilibriumnya [10]. Kestabilan suatu titik equilibrium dapat diperiksa dari akar karakteristik atau nilai eigen dengan menyelesaikan |
|
dimana
merupakan matriks dari
sistem persamaan diferensial yang linear dan berukuran
. Sebagai contoh,
tinjau contoh berikut. Sistem linear
Bisa ditulis dalam bentuk matriks sebagai [
Didapat
[
Maka |
|
], dan
]
[
]
[ ]. Sehingga
|
[
].
|
( (
][
)( )(
Sehingga nilai eigen dari
)
( )( )
)
adalah
dan
.
Sifat stabilitas titik equilibrium berdasarkan tanda bagian real dibagi menjadi 3 yaitu : 1. Stabil Titik seimbang dikatakan stabil jika dan hanya jika akar karakteristiknya (nilai eigen ) adalah real negatif atau mempunyai bagian real tak positif.
10
2. Stabil Asimtotik Titik equilibrium dikatakan stabil asimtotik jika hanya jika akar karakteristik (nilai eigen ) adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real negatif. Asimtotik terbagi menjadi dua yaitu asimtotik lokal dan asimtotik global. Kestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linear atau kestabilan dari linearisasi sistem tak linear. Kestabilan lokal pada titik equilibrium ditentukan oleh tanda bagian real dari akarakar karakteristik sistem dari matriks Jacobian yang dihitung di sekitar titik equilibrium [7]. Sedangkan titik equilibrium dikatakan stabil asimtotik global jika sebaarang nilai awal yang diberikan, maka setiap solusi pada sistem persamaan diferensial dengan
sampai tak terhingga
menuju titik equilibrium. 3. Tidak stabil Titik setimbang dikatakan stabil jika hanya jika (nilai eigen ) adalah real dan positif atau mempunyai paling sedikit satu nilai eigen dengan bagian real positif [9].
2.6
Sifat Akar-akar Polinom Berderajat Tinggi Yang dimaksud polinom berderajat tinggi adalah polinom yang pangkat
variabelnya lebih dari dua. Secara umum fungsi polinom berderajat bentuk ( ) Untuk persamaan kubik
mempunyai
[1]. , akar-akarnya dapat
diperoleh dengan rumus:
11
BAB III MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH ALKOHOL TERHADAP KESEHATAN DAN PERKEMBANGAN SOSIAL
Pada bab ini akan dibahas model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial yaitu :
3.1
Hal-hal yang Mempengaruhi Model Karena model ini memonitori populasi manusia dari semua parameter yang
terkait maka variabel ini adalah non-negatif untuk semua
. Dalam literatur
ini populasi manusia yang rentan terpengaruh oleh alkohol dibagi menjadi beberapa bagian yaitu : orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol ( ( )) orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol ( ( )) orang yang sudah menjadi konsumen alkohol ( ( )) dan orang yang sembuh dari pengaruh alkohol ( ( )) Dimana hal-hal yang mempengaruhi model ini adalah :
a. Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol ( ) 1. Kelahiran murni 2. Tingkat kematian murni 3. Pengaruh dari lingkungan setempat b. Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol ( ) 1. Pengaruh dari lingkungan setempat 2. Tingkat kematian murni 3. Tingkat pertumbuhan peminum alkohol 4. Tingkat berhentinya peminum sekedarnya dari alkohol c. Orang yang sudah menjadi konsumen alkohol ( ) 1. Tingkat pertumbuhan peminum alkohol 2. Kematian yang dikarenakan penyakit dari alkohol 3. Tingkat kematian murni 4. Tingkat pemulihan dari peminum alkohol 5. Kembalinya peminum yang telah sembuh menjadi peminum alkohol
12
d. Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol ( ) 1. Tingkat berhentinya peminum alkohol yang hanya sekedarnya 2. Kembalinya peminum yang sembuh menjadi peminum alkohol 3. Tingkat pemulihan dari tingkat peminum alkohol 4. Tingkat kematian murni Dari fenomena itul dapat ditarik kesimpulan bahwa yang menjadi latar belakang banyak orang yang cenderung mengkonsumsi alkohol adalah melalui kontak sosial.
3.2
Formulasi Model Model ini membagi populasi manusia yang rentan memperoleh kebiasaan
mengkonsumsi alkohol lewat kontak sosial. ( )
Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol
( )
Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol
( )
Orang yang sudah menjadi konsumen alkohol
( )
Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol Dari fenomena yang terjadi, dapat digambarkan proses penyebaran
pengaruh alkohol terhadap lingkungan sosial dalam sebuah diagram dibawah ini.
Gambar 3.1 diagram proses penyebaran pengaruh alkohol terhadap lingkungan sosial
13
Dari diagram diatas dihasilkan formula untuk mengetahui dinamika pengaruh alkohol yang disajikan dalam suatu model matematika, yaitu : 1)
( )
(
)
2)
( )
(
)
3)
( )
(
)
4)
( )
(
)
(3.1)
Dengan total populasi penduduk sebagai berikut [2]: ( )
( )
Kelahiran murni pada tingkat
( )
( )
( )
(
)
termasuk kedalam kelas yang rentan. Kelas
ini sangatlah rentan memperoleh kebiasaan mengkonsumsi alkohol lewat tekanan dan pengaruh sosial pada tingkat
dengan parameter berikut [2]: (
dengan
)
(
)
adalah kemungkinan menjadi peminum setelah kontak lama dengan peminum adalah jumlah kontak antara peminum dan bukan peminum adalah faktor peningkatan adalah tingkat kelahiran yang rentan terpengaruhi adalah pengaruh dari lingkungan setempat adalah tingkat kematian murni adalah tingkat pertumbuhan peminum alkohol adalah tingkat berhentinya peminum sekedarnya dari alkohol adalah tingkat kematian yang disebabkan penyakit dari alkohol adalah tingkat pemulihan dari peminum yang ketergantungan adalah kembalinya peminum yang sembuh menjadi peminum
dimana
14
3.3
Menentukan Titik Equilibrium Dalam menentukan titik equilibrium terlebih dahulu akan dicari titik
equilibrium bebas alkohol dan titik equilibrium endemik (mengandung pengaruh alkohol). 3.3.1 Titik Equilibrium Bebas Alkohol Titik equilibrium bebas alkohol diperoleh dengan mengasumsikan tidak adanya orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol, dan tidak adanya orang yang menjadi konsumen alkohol, dan tidak adanya orang yang sembuh dari pengaruh alkohol (
).
Untuk
dari persamaan (3.1) yang disubstitusikan
dengan persamaan ( ( )
). Sehingga diperoleh : (
(
(
( (
)
(
)
(
)
( )
)
)
)
)
Sehingga diperoleh titik equilibrium bebas alkohol yaitu : (
)
(
*
(
)
15
3.3.2 Titik Equilibrium Endemik Untuk memecahkan masalah dari persamaan (3.1) pada keadaan pengaruh alkohol secara terus menerus pada masa penyebaran yang kuat maka diberikan tanda bintang (*) pada
. Sehingga akan diperoleh nilai
titik equlibrium endemik (
dalam titik
).
Langkah awal untuk mengidentifikasi titik equilibrium adalah me-nol-kan ruas kiri pada sistem (3.1) sehingga turunan pertamanya bernilai nol. Maka akan didapat seperti yang tertera dibawah ini. (
) (
)
(
) (
)
Langkah kedua, lakukan proses penyederhanaan sistem (3.1) dengan menggunakan proses substitusi. (
Dari
)
bisa didapatkan
(
)
. Adapun proses
pengerjaannya sebagai berikut. ( (
) )
(
(
) (
Dari
)
bisa didapatkan
(
)(
)
. Adapun
)
proses pengerjaanya sebagai berikut. ( ( (
) )
)
16
(
)
(
)
(
)
Substitusi persamaan (3.5) dan (3.6). Sehingga didapat
(
) (
)
(
) (
)(
) (
Dari
)
bisa
(
didapat
(
)(
)(
) )(
)
(
)
Adapun cara pegerjaannya sebagai berikut. ( (
)
)
Substitusi persamaan (3.7) dan (3.8). Sehingga didapat (
)
(
)( (
(
)(
)(
) )( (
Dari ( (
)
)(
( )(
)
) ) (
(
)(
(
)
))
bisa
)
didapat
Adapun cara pengerjaannya sebagai berikut.
)
(
)
(
)
(
)
Substitusi persamaan (3.6), (3.9) dan (3.10). Sehingga didapat (
)
( (
)(
)
(
)(
)( )(
) )
17
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( (
( ( ( (
(
(
)(
(
( )(
(
(
(
(
( ( ( (
) ) )( ) (
( )(
)(
)
) ) )(
)
)(
) )(
)
) ( )(
(
)(
) ) )(
)
*
)
)(
(
)(
(
(
( )(
)
*
( (
)(
(
( )(
(
(
( )(
)
) ) )(
)
) ) )( )
)(
)
)
) (
(
)
)
) ) )( ) (
)(
)(
)
( )(
(
) ) )(
)( )(
)
(
) )
)(
)(
)
)(
)( (
)(
(
)
( )(
)(
(
)
)(
( )(
)(
(
( (
)
*
)
) )
)(
(
)(
(
))
Dari persamaan (3.9) bisa didapatkan
)
dengan menstubstusikan
persamaan (3.11). Adapun cara pengerjaannya sebagai berikut ( ( ((
)(
)(
)(
)(
(
)(
))
(
)(
(
(
)
)(
) (
( (
(
)) )) (
)(
))
)(
( )(
))
( (
(
(
) ) )(
))
) ) )(
)
( (
(
) (
)(
))(
)(
)(
)
18
( ( (
(
)
)(
))(
)(
)(
)
(
)(
)
(
)(
( )(
)(
3.4
)(
) ) (
( ( (
dalam
))
) (
)
berturut-turut adalah :
) (
(
)(
)
Sehingga dapat ditulis ulang nilai
(
)
)(
( ( (
)(
)(
) )(
))
(
)
)
(
)(
))
Parameter Reproduktif Rasio Parameter reproduktif rasio ini (
) didefinisikan sebagai angka dari
banyaknya populasi yang baru saja masuk menjadi peminum akibat adanya pengaruh dari lingkungan sosial.
ini digunakan untuk menganalisis titik
equilibrium dari sistem (3.1). Ilustrasi dari
misal adanya populasi yang rentan dan tidak adanya
peminum non-alkohol. Kemudian ada peminum alkohol yang berinteraksi dengan populasi yang rentan. Maka, jika
, tidak akan terjadi endemik. Dalam
artian pengaruh alkohol didalam lingkungan sosial akan hilang dalam jangka panjang. Sedangkan jika
, akan terjadi endemik. Dalam artian, pengaruh
alkohol akan menyebar dalam sebuah populasi. Umumnya, semakin besar nilai , maka semakin sulit untuk mengendalikan pengaruh dalam lingkungan sosial. Penentuan nilai
dapat diperoleh dengan beberapa cara, yaitu dengan
pencarian titik equilibrium endemik, dengan analisis kestabilan titik equilibrium non endemik, dan melalui operator matriks pembangkit. Dengan menentukan nilai
19
, maka akan diketahui apakah pengaruh alkohol tersebut akan menyebar atau tidak. (
(
Pada model ini, telah didefinisikan
( (
)(
) ) ), )
dimana
angka tersebut merupakan ambang batas kuantitas yang nantinya akan digunakan untuk menganalisis kestabilan sistem (3.1) [2].
3.5
Kestabilan Titik Equilibrium Kestabilan sebuah sistem ditentukan oleh tanggapannya terhadap masukan
atau gangguan. Secara naluriah, sistem yang stabil adalah sistem yang tetap dalam keadaan diam bila tidak dipengaruhi oleh sumber dari luar dan akan kembali diam jika semua pengaruh dihilangkan. Jadi, sistem adalah stabil jika tanggapan perilaku kurva sistem mendekati nol ketika waktu mendekati tak hingga. Kestabilan dari suatu titik equilibrium dapat dilihat dari nilai eigennya. Jika semua nilai eigen positif, titik equlibrium tidak stabil dan jika semua nilai eigen negatif, maka titik equilibrium stabil. Nilai eigen sendiri dapat dicari dari persamaan karakteristik yang merupakan determinan dari matriks Jacobi. Karena terdapat nilai dalam variabel , maka akan diperiksa terlebih dahulu untuk mendapatkan nilai eigen dari
.
Substitusikan persamaan (3.13) kedalam persamaan (3.3). Sehingga didapat: (
)
(
(
(
(
)(
)(
(
)
)
(
)(
( )(
( (
)(
) ) (
( )(
)(
) ) (
)(
) ))
) ))
20
(
(
(
)(
)
(
)(
)
(
)
( (
(
(
(
)(
) ) ) ))
( (
(
)(
) ) ) ))
(
Mencari nilai
sebagai brikut :
( (
)
(
)(
)
(
(
(
(
(
)
)
(
(
(
) (
)
(
)
( (
(
) )
)
)(
(
(
)(
( (
(
( (
)(
(
(
)
))
)
)(
)
) )(
)(
))
)) )
)(
) )(
)(
) )(
(
)
(
(
(
(
)( (
) (
Misalkan
)(
) )
)(
)
)(
(
)(
( (
(
)
)) )
)(
)
(
) )
))
. Sehingga didapat :
)
(
)
Substitusikan persamaan (3.14) dengan persamaan (3.15). Sehingga didapat : (
)
21
(
) ( (
)
( (
)
*
(
) )
)
(
)
(
)
(
( (
)
(
(
)
) (
))
(
Dari persamaan (3.16) didapat dua nilai eigen yaitu berarti terdapat untuk
)
dan
yang merupakan equilibrium endemik. Untuk
mencari stabil asimtotik lokal dari equilibrium endemik maka dilakukan pemisalan dengan merubah variabel juga dengan
∑
demikian
[2].
Teorema 1 Titik equilibrium yang bebas dari pengaruh alkohol, asimtotik lokal jika
, akan stabil
, dan tidak stabil untuk sebaliknya [2].
Langkah pertama, lakukan pelinearan dengan menggunakan matriks jacobian dari sistem (3.1) yang didasarkan pada titik equilibrium bebas alkohol. (
) adalah matriks jacobian
dari sistem (3.1) dengan nilai
sama seperti persamaan (3.4).
22
Sistem (3.1) 1)
( )
(
( )
)
(
(
)
(
( )
)
)
∑ (
( )
)
( )
2)
( )
(
)
(
( )
)
∑
(
( )
)
( )
3)
)
(
)
(
( )
(
( )
4)
(
)
) (
( )
) (
( )
) (
)
Matriks Jacobian
(
)
(
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) )
23
Sehingga didapat
(
)
(
(
) (
Langkah kedua: mencari nilai eigen ( ( (
)
)
(
(
(
).
(
)
( (
)
(
)
)
)
)
(
)
)
)
)
)
(
)
sehingga didapat (
|
)
( ( (
(
(
)
)
)
)
)
(
)
)
)
)
(
((
(
(
(
(
)
)
(
(
|
)
(
)
)
)|
(
)
| (
(
)[(
(
)
)(( (
)
)( (
Maka didapat nilai eigennya (
)
)
)
( ( (
)
)
)
)
)]
dan didapat persamaan
karakteristiknya ( )
(
) (
(
)
(
(
( ( (
)
)
( )
)) (
(
( )
)( (
) )(
(
) ) )))
Langkah berikutnya, cek kestabilan titik equilibrium dengan menggunakan nilai .
24
Nilai eigen dari (
) adalah
dan persamaan karakteristiknya adalah ( )
(3.17)
Misal
(
) (
(
)
( ( (
)
(
( )
))
)
(
(
( )
)( (
)
(
) )
)(
))
Untuk mendapatkan kestabilan dari persamaan karakteristik diatas maka harus dicari nilai dengan memisalkan : (
(
( (
) ) )(
(
(
( (
( ( (
)) )(
(
)(
( (
(
)( )(
(
)
(
)(
)
) ) )
(
)(
(
(
)(
)( (
)
) )
))
(
) ))
(
)( (
) ))
(
)(
(
)(
)) (
))
(
) ))
)
Dapat dilihat dari persamaan (3.17) mempunyai solusi unik untuk dengan menggunakan sifat akar-akar polinom pangkat 3. Karena tujuan awal pembuktian teorema ini adalah pengecekan kestabilan lokal ketika
yang stabil asimtotik
, maka dikatakan stabil asimtotik lokal jika semua nilai
eigennya negatif. Maka, untuk mengetahui ( ) memiliki akar-akar yang negatif, akan dibuktikan 1) 2) 3)
25
Pembuktian yang pertama yaitu (
)
Tulis (
)
(
)
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)( (
(
(
)(
)(
)(
(
)(
)
(
(
( (
(
(
)) (
(
(
))
(
(
)(
(
)(
)
)(
(
)(
))
(
(
)(
)
) ))
)(
(
) )
)
(
(
) ))
))
(
) ))
)( (
(
)(
)) (
) ))
(
) ))
)(
)
(
))
(
(
)(
)( (
)(
)
)(
(
(
(
)(
(
(
(
)(
)
)
(
(
(
(
) ))
( (
(
))
) ))
)( (
(
(
(
) )
) ))
))
(
))
))
Pembuktian yang kedua yaitu
(
(
)
(
(
))
(
)(
)
(
) )
(
(
)
(
(
))
(
)(
)
(
) )
(
(
)
(
(
))
((
(
(
(
)( (
(
(
)( )(
(
)
)(
(
)(
)( (
(
))
)(
)) (
(
(
(
)(
(
) ))
)
( )(
(
)
)( )
(
(
(
)(
)
)(
((
)(
)
)
(
(
(
) ))
) ))
(
) ))
) ))
) ))
26
(
(
)(
)
(
(
)(
(
(
(
)(
)
(
)(
)( )
(
))
(
(
(
) (
(
) )
) ))
) ))
Pembuktian yang terakhir yaitu
(
(
(
( ( (
)
( ( (
(
)( (
)
( (
)
)
)( )(
)
)
))( ( ( )
(
) ) ))
)
(
( )
(
(
(
)
)
(
(
(
)(
(
)
)) )
)(
(
)(
Maka terbukti ( ) memiliki akar-akar yang negatif sehingga
)))
)))
stabil asimtotik
lokal.
27
BAB IV PENUTUP
4.1
Kesimpulan Model matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan
perkembangan sosial adalah : 1)
( )
(
)
2)
( )
(
)
3)
( )
(
)
4)
( )
(
)
(3.1)
dengan
dengan
( )
Orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol
( )
Orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol
( )
Orang yang sudah menjadi konsumen alkohol
( )
Orang yang sembuh dari pengaruh alkohol adalah kemungkinan menjadi peminum setelah kontak lama dengan peminum adalah jumlah kontak antara peminum dan bukan peminum adalah faktor peningkatan adalah tingkat kelahiran yang rentan terpengaruhi adalah pengaruh dari lingkungan setempat adalah tingkat kematian murni adalah tingkat pertumbuhan peminum alkohol adalah tingkat berhentinya peminum sekedarnya dari alkohol adalah tingkat kematian yang disebabkan penyakit dari alkohol adalah tingkat pemulihan dari peminum yang ketergantungan
28
adalah kembalinya peminum yang sembuh menjadi peminum dimana Analisis matematika tentang pengaruh alkohol terhadap kesehatan dan perkembangan sosial diperoleh : 1. Titik Equilibrium (
2. Titik equilibrium
)
(
diperoleh nilai eigen dari matriks ( dan
akar yang negatif, sehingga 3. Titik equilibrium nilai eigen dari
)
. Karena diketahui ( ) memiliki akarstabil asimtotik lokal.
ada jika
dan terbukti dengan cara mencari
dengan substitusi antara persamaan (3.13) kedalam
persamaan (3.3) sehingga diperoleh
4.2
) yaitu
dan
.
Saran Pada literatur ini hanya mengkaji tentang fenomena pengaruh alkohol
terhadap kesehatan dan perkembangan sosial dengan cara memodelkan fenomena yang ada dan mempelajari fenomena tersebut. Dimana didalam fenomena tersebut hanya terdapat 4 kompartemen yaitu orang yang tidak pernah mengkonsumsi alkohol, orang yang hanya sekedarnya mengkonsumsi alkohol, orang yang sudah menjadi konsumen alkohol, orang yang sembuh dari pengaruh alkohol. Untuk penulisan literatur selanjutnya dapat dilakukan dengan menambahkan komponen yang baru atau mencari titik-titik equilibrium dari kasus yang berbeda.
29
DAFTAR PUSTAKA
1.
Arjudin, Sifat Akar Polinom dan Penerapannya Pada Sistem Persamaan Non Linear, Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Mataram, Yogyakarta,
2011.
(http://eprints.uny.ac.id/7270/1/a-5.pdf,
diakses
02
Februari 2013) 2.
Bhunu, C., A Mathematical Analysis of Alcoholism, World Journal of Modelling and Simulation, 2011. (http://www.worldacademicunion.com/journal/-1746-7233WJMS/wjmsvol08no02paper05.pdf, diakses 16 Mei 2012)
3.
Blume, L., Nielson N., dkk. Alcoholism and Alcohol Abuse Among Women: Report Of The Council Of Scientific Affairs Journal Of Women’s Health, 1998. (http://europepmc.org/abstract/MED/9785312/reload=0;jsessionid=lx9bklGrYcukHh7S8XdJ.24, diakses 23 November 2012)
4.
Budhi, W.S., Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, Institut Teknologi Bandung, 2001.
5.
MedlinePlus, Alcoholism and Alcohol Abuse, Nasional Institute of Health, 2009. (http://www.nlm.nih.gov/medlineplus/ency/article/000944.htm, diakses 12 November 2012)
6.
Sulistianaini, erik, Analisis Model Matematika Pada Kompetisi Dinamik Sel Tumor dan Sistem Imun Akibat Perlambatan Waktu, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim, Malang, 2010. (http://lib.uin-malang.ac.id/thesis/fullchapter/06510005-erik-sulistianaini.ps, diakses 18 November 2012)
7.
Rahmalia, Dinita, Pemodelan Matematika dan Analisis Stabilitas dari Penyebaran Penyakit Flu Burung (Mathematical Model and Stability Analysis The Spread of Avian Influenza), Universitas Sumatra Utara, 2010. (http://digilib.its.ac.id/ITS-Undergraduate-3100010041661/13409, diakses 23 November 2012)
30
8.
Riley L, L., WHO to Meet Beverage Company Representatives To Discuss Health-Related Alcohol Issues, Organization, 2003. (http://www.who.int/mediacentre/news/releases/2003/pr6/en/index.html, diakses 12 November 2012)
9.
Winarni, Diny Tri, Analisis Stabilitas pada Model Epidemik Multi Grup dengan Laju Penularan Tak Linear, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya,
2011.
(http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate-16262-
Presentation-1326506.pdf, diakses 22 November 2012) 10.
Winaro, Analisis Model Dinamika Virus dalam Sel Tubuh, Universitas Negeri Sudirman, Solo, 2009. (http://win.staff.uns.ac.id/files/2009/02/-sir_routhhurwitz.pdf, diakses 14 Desember 2012)
31
