ANALISIS MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH SISTEM IMUN DAN VIRUS TERHADAP DINAMIK PERTUMBUHAN SEL TUMOR DAN SEL NORMAL
SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memenuhi Gelar Sarjana Sains
Oleh: Amalia Dikaningtyas 08305144038
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2012
i
ii
iii
PERNYATAAN Yang bertanda tangan di bawah ini: Nama
: Amalia Dikaningtyas
NIM
: 08305144038
Prodi/Jurusan : Matematika/Pendidikan Matematika Fakultas
: Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Judul TAS
: “Analisis Model Matematika Tentang Pengaruh Sistem Imun dan Virus Terhadap Dinamik Pertumbuhan Sel Tumor dan Sel Normal”
Menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil pekerjaan saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tidak berisi materi yang dipublikasikan atau ditulis oleh orang lain atau telah digunakan sebagai persyaratan penyelesaian studi di Perguruan Tinggi lain kecuali pada bagian tertentu yang saya ambil sebagai acuan. Apabila ternyata terbukti pernyataan ini tidak benar, sepenuhnya menjadi tanggungjawab saya dan saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan yang berlaku. Yogyakarta, 8 September 2012 Yang menyatakan,
Amalia Dikaningtyas NIM. 08305144038
iv
MOTTO
“Man Jada Wa Jadda”
Rasulullah saw bersabda, “Bersungguh-sungguhlah pada hal yang bermanfaat bagimu, dan mintalah pertolongan kepada Allah serta jangan merasa lemah. Jika kamu ditimpa sesuatu, janganlah kamu mengatakan,’Seandainya (tempo hari) aku melakukan ini, niscaya begini dan begini. ‘Katakanlah, Allah telah menakdirkan dan apa yang Allah kehendaki maka itu terjadi. ‘Sesungguhnya kata seandainya akan membuka pintu perbuatan setan.” (HR. Muslim) Belajarlah dari masa lalu, lakukanlah hari ini, dan berharaplah untuk hari esok. Yang penting jangan pernah berhenti mempertanyakan sesuatu. (Albert Einstein)
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Alhamdulillah segala puji syukur atas rahmat-Mu, Engkau anugerahkan segala kenikmatan kepada hamba. Skripsi ini dipersembahkan untuk: ◊
Ibu Handariyah dan Bapak Wagimin tercinta yang telah memberikan segala dukungan baik materi maupun moril, yang selalu mendoakan dan berjuang untuk keberhasilan anaknya serta menjadikan saya menjadi orang yang bermanfaat bagi orang lain
◊
Mas Fajar, Mbak Yati, Rueben, Hamid dan keluarga besar di Yogyakarta, terima kasih selama ini sudah banyak sekali membantu sehingga kuliah ini bisa saya selesaikan
◊
Mas Rheza tersayang, terima kasih untuk dukungan, perhatian dan waktunya hingga terselesaikannya skripsi ini
◊
Segenap teman-teman satu perjuangan “Bifurkasi” dan Matematika Swadana 2008 atas segala kerjasamanya, kenangan dan motivasinya, semoga keakraban ini akan tetap terjalin
◊
Teman-teman di Gresik untuk motivasinya
vi
ANALISIS MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH SISTEM IMUN DAN VIRUS TERHADAP DINAMIK PERTUMBUHAN SEL TUMOR DAN SEL NORMAL
Oleh: Amalia Dikaningtyas NIM. 08305144038 ABSTRAK Model tentang pengaruh sistem imun dan virus terhadap dinamik pertumbuhan sel tumor dan sel normal merupakan model yang berbentuk non linear. Peran serta sistem imun dan virus dimungkinkan mempengaruhi pertumbuhan populasi sel tumor dan sel normal. Berdasarkan permasalahan tersebut maka penelitian ini bertujuan untuk menguraikan pembentukan model dan mengetahui hasil analisanya. Penelitian ini diselesaikan secara matematis dengan menggunakan sistem dinamik (sistem persamaan diferensial). Model dibagi menjadi 3 antara lain pengaruh sistem imun dengan kemoterapi, pengaruh sistem imun tanpa kemoterapi dan pengaruh sistem imun dan virus dengan kemoterapi dan immunoterapi. Tahap menganalisis model meliputi mencari titik kesetimbangan, menentukan sifat kestabilan dan melakukan simulasi. Berdasar hasil analisis dapat disimpulkan bahwa interaksi sistem imun dan virus serta kemoterapi dan immunoterapi berpengaruh terhadap pertumbuhan populasi sel tumor dan sel normal. Model tentang pengaruh sistem imun dan virus terhadap dinamik pertumbuhan sel tumor dan sel normal mempunyai paling sedikit dua titik kesetimbangan
T , N , E , I ,V
yaitu
T , N , E , I ,V
g2 T * T* * T ,0, rT T 1 aT * KT
0, K N 1
*
T
T
*
N
rN
,0,0,0
p2T * E , , T *) E 3 ( g3
dan
b 1
yang keseluruhan bersifat tidak stabil, artinya dalam jangka panjang masih terdapat sel tumor dan virus yang dapat menginfeksi sel dalam tubuh.
vii
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan melimpahkan kasih-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Model Matematika Tentang Pengaruh Sistem Imun dan Virus terhadap Dinamik Pertumbuhan Sel Tumor dan Sel Normal” sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta. Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan, bimbingan, saran dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Hartono, selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik. 2. Bapak Dr. Sugiman, M.Si, selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk menyusun skripsi dan memberikan kelancaran pelayanan dalam urusan akademik. 3. Bapak Dr. Agus Maman Abadi, M.Si, selaku Koordinator Program Studi Matematika yang telah memberikan ijin kepada penulis untuk menyusun skripsi. 4. Ibu Dr. Hj. Dhoriva Urwatul W, selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah memberikan pengarahan selama studi.
viii
5. Bapak Kus Prihantoso Krisnawan, M.Si, selaku Dosen Pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, pengarahan, dan masukan yang sangat membangun sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan lancar. 6. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah membantu baik secara langsung maupun tidak langsung sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. 7. Semua pihak yang telah membantu dan memberikan motivasi dalam penulisan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, karena keterbatasan ilmu dan pengetahuan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari berbagai pihak. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Amin. Yogyakarta,
September 2012
Penulis
Amalia Dikaningtyas NIM. 08305144038
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ......................................................................................
i
HALAMAN PERSETUJUAN ......................................................................
ii
HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................
iii
HALAMAN PERNYATAAN ........................................................................
iv
MOTTO ..........................................................................................................
v
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................
vi
ABSTRAK ......................................................................................................
vii
KATA PENGANTAR ...................................................................................
viii
DAFTAR ISI ...................................................................................................
x
DAFTAR TABEL ..........................................................................................
xii
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................
xiii
DAFTAR LAMPIRAN ..................................................................................
xiv
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah............................................................................
1
B. Rumusan Masalah .....................................................................................
3
C. Pembatasan Masalah .................................................................................
4
D. Tujuan Penelitian ......................................................................................
4
E. Manfaat Penelitian ....................................................................................
4
BAB II
KAJIAN TEORI
A. Sistem Dinamik .........................................................................................
6
B. Nilai Eigen ................................................................................................
8
C. Solusi Sistem Linear .................................................................................
9
D. Linearisasi .................................................................................................
17
E. Kestabilan Titik Kesetimbangan ..............................................................
19
F. Kriteria Routh-Hurwitz .............................................................................
21
x
G. Model Matematika ....................................................................................
23
H. Pertumbuhan Logistik ...............................................................................
25
I.
Mekanisme Michaelis Menten ..................................................................
26
J.
Imunitas .....................................................................................................
29
1.
Komponen Sistem Imun ....................................................................
30
2.
Respon Imun terhadap Virus .............................................................
31
K. Virus ........................................................................................................
32
L. Kemoterapi ................................................................................................
32
M. Immunoterapi ............................................................................................
34
BAB III
PEMBAHASAN
A. Pembentukan Model Matematika .............................................................
35
B. Analisis Model Matematika 1.
Model tentang Pengaruh Sistem Imun terhadap Dinamik Pertumbuhan Sel Tumor dan Sel Normal Tanpa Terapi ..........................................
2.
Model tentang Pengaruh Sistem Imun terhadap Dinamik Pertumbuhan Sel Tumor dan Sel Normal dengan Terapi ........................................
3.
43
55
Model tentang Pengaruh Sistem Imun dan Virus terhadap Dinamik Pertumbuhan Sel Tumor dan Sel Normal dengan Terapi ..................
66
C. Interpretasi Hasil .......................................................................................
79
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan ...............................................................................................
81
B. Saran ........................................................................................................
82
DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................
83
LAMPIRAN ....................................................................................................
85
xi
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 1. Tabel Routh Hurwitz ............................................................................ 22 Tabel 2. Nilai-nilai Parameter ............................................................................ 37 Tabel 3. Nilai Eigen Model (a) untuk T , N , E1
.......................................... 49
Tabel 4. Nilai Eigen Model (a) untuk T , N , E2
........................................... 51
Tabel 5. Nilai Eigen Model (b) untuk T , N , E1 ........................................... 60 Tabel 6. Nilai Eigen Model (b) untuk T , N , E2 ........................................... 62 Tabel 7. Nilai Eigen Model (c) untuk T , N , E , I ,V
xii
................................. 73
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 1.
Titik kesetimbangan stabil ............................................................. 20
Gambar 2.
Titik kesetimbangan stabil asimtotik ............................................. 20
Gambar 3.
Langkah-langkah penyusunan model matematika ........................ 24
Gambar 4.
Hubungan antara laju reaksi enzim dan konsentrasi substrat Michaelis Menten ........................................................................... 28
Gambar 5.
Fase sel tumor ................................................................................ 33
Gambar 6.
Grafik populasi sel tumor tanpa terapi terhadap waktu ................. 52
Gambar 7.
Grafik populasi sel normal tanpa terapi terhadap waktu ................ 53
Gambar 8.
Grafik populasi sel efektor tanpa terapi terhadap waktu ................ 54
Gambar 9.
Grafik populasi sel tumor dengan terapi terhadap waktu............... 63
Gambar 10. Grafik populasi sel normal dengan terapi terhadap waktu ............. 64 Gambar 11. Grafik populasi sel efektor dengan terapi terhadap waktu ............. 65 Gambar 12. Grafik populasi sel tumor terhadap waktu ..................................... 74 Gambar 13. Grafik populasi sel normal terhadap waktu ................................... 75 Gambar 14. Grafik populasi sel efektor terhadap waktu ................................... 76 Gambar 15. Grafik jumlah konsentrasi IL-2 terhadap waktu ............................ 77 Gambar 16. Grafik populasi virus terhadap waktu ............................................ 78
xiii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman Lampiran 1. Sintax program dengan sistem imun tanpa terapi ................................... 85 Lampiran 2. Sintax program dengan sistem imun dan terapi...................................... 87 Lampiran 3. Sintax program dengan sistem imun, virus dan terapi........................... 89
xiv
