MODEL KOREKSI KESALAHAN DENGAN METODE BAYESIAN PADA DATA RUNTUN WAKTU INDEKS HARGA KONSUMEN KOTA - KOTA DI PAPUA

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

MODEL KOREKSI KESALAHAN DENGAN METODE BAYESIAN PADA DATA RUNTUN WAKTU INDEKS HARGA KONSUMEN KOTA - KOTA DI PAPUA 1

2

Mitha Febby R. D , Adi Setiawan , Hanna Arini Parhusip

3

1, 2 , 3

Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-62 Salatiga 50711 Email: [email protected], [email protected], [email protected]

ABSTRAK Melalui Model Koreksi Kesalahan (Error Correction Model – ECM) didapatkan bahwa Indeks Harga Konsumen di kota Jayapura, Sorong dan Manokwari saling berhubungan. Hubungan Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua merupakan hubungan linier dan membentuk garis regresi linier. Garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier tersebut. Pada makalah ini, data yang digunakan adalah data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dengan periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Estimasi parameter dengan metode Bayesian digunakan untuk membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian dibandingkan dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh metode kuadrat terkecil dan metode bootstrap. Diperoleh bahwa kedua pendekatan tidak berbeda secara signifikan. Kata-kata kunci: indeks harga konsumen, model koreksi kesalahan, regresi linier berganda, metode bayesian

diagram pencar, sebaran data cenderung membentuk pola linier atau garis lurus. Garis lurus tersebut atau yang lebih sering disebut garis regresi tidak dapat ditentukan secara tepat sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Untuk mengestimasi parameter dapat digunakan metode Bayesian. Dalam Puspaningrum [2] telah dijelaskan mengenai penerapan metode Bayesian untuk mengestimasi parameter pada model regresi sederhana dengan menggunakan data biaya promosi dan jumlah penjualan motor pada perusahaan “S” dari bulan Januari 2005 sampai dengan Desember 2006. Makalah ini akan dijelaskan mengenai membentuk model koreksi kesalahan dari data Indeks Harga konsumen kota-kota di Papua periode waktu Januari 2009 sampai dengan Mei 2013 dengan estimasi parameterparameternya menggunakan metode Bayesian.

PENDAHULUAN Indeks Harga Konsumen (IHK) merupakan nomor indeks yang mengukur harga rata-rata dari barang dan jasa yang dikonsumsi oleh rumah tangga. IHK digunakan sebagai tolok ukur inflasi. Tingkat perubahan IHK berbeda di setiap daerah, seperti halnya IHK di kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari di Papua. Meski memiliki tingkat perubahan yang berbeda, IHK kota-kota di Papua saling berhubungan. Pada studi Donggori dkk [1] telah dijelaskan tentang model koreksi kesalahan dengan metode bootstrap untuk data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Berdasarkan uji akar unit didapatkan data IHK kota-kota di Papua tidak stasioner dan melalui uji kointegrasi diketahui bahwa data tersebut memiliki hubungan jangka panjang sehingga dapat dibentuk model koreksi kesalahannya. Model koreksi kesalahan yang didapat merupakan model regresi linier berganda tanpa intersep. Model koreksi kesalahan yang didapat selanjutnya digunakan untuk membentuk hubungan jangka panjang. Hubungan jangka panjang IHK kota-kota di Papua merupakan hubungan linier karena apabila digambarkan dalam

METODE Regresi Linier Berganda Analisis regresi linier berganda ialah suau alat analisis peramalan nilai pengaruh dua atau lebih variabel independen terhadap variabel 676

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

dependen untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsi atau hubungan kausal antara dua variabel atau lebih dengan satu variabel dependen [3]. Model ini dijelaskan dalam persamaan berikut : (1) Y  0 1 X1 2X2 pXp

dengan X

1

2

,





p

2

) [4]. bentuk

x1 p x2 p  xnp

dan

) i 1

1

n i 1

(

2

2 2

)

n/2

1

exp

2

2

1

(y

maka bentuk (6)

v0

prior

ditulis

2

)

exp

v0 s02

( v 0 / 2 1)

2

2

2 2

β|

bersyarat

1

dan sebagai

.

(7)

berdistribusi

1

Λ0 ) .

makalah

ini,

( 0) T 3

T

0,0,0 , Λ 0 μ0 memiliki kepadatan prior bersyarat : p(β | 2 ) ( 2 ) k / 2 ( 0) 1 ,

exp

)

( 0) 2 ,

1 2

2

I dan

(β μ 0 )T Λ 0 (β μ 0 )

Xβ)T (y

Xβ)

T

( 0) 1 ( 0) 2 ( 0) 3

1

T

3

( 0) 1 ( 0) 2 ( 0) 3

1

I

2

3 3

3

1 1

( 0) 1 ,

(0) 2 ,

2

3

( 0) 3

I3

3

2 3

(y Xβ)T (y Xβ) 2

(4)

( 0) 2 1 )

(

dengan i 1,2,  , n dan i ~ N (0, ) sehingga mempunyai fungsi likelihood : p(y | X, β, 2 ) ( 2 ) n / 2 2

2

(0) 1 (0) 2 (0) 3

( 0) 2 ( 1 ( 2 ( 3 3 ) sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi : 1 ( 0) 2 p(β | 2 ) ( 2 ) k / 2 exp ( 1 1 ) 2 2

2

1

(8)

dengan (β μ 0 )T Λ 0 (β μ 0 )

2 Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut : (5) yi 1 x1i 2 x2 i 3 x3i i

exp

(

N (μ 0 , Pada

( y Xβ) ( y Xβ) 2 2 sehingga fungsi likelihood menjadi : p(y | X, β, 2 ) ( 2 ) n / 2

exp

)

2

1

exp

2

Prior

p ( yi | X , ,

T

dengan

1 Kepadatan berikut :

Dengan menggunakan notasi tersebut, model dapat dituliskan kembali sebagai : (3) y X β ε n ( p 1) ( p 1) 1 (n 1) (n 1) Dalam hal ini, fungsi likelihood didefinisikan sebagai : p( y | X , ,

v0 s02

b0

s02

.

2

3

dengan berdistribusi Invers Gamma (a0 , b0 ) dengan a0 v0 2

n

2

T

2,

2

p(

n

1,

[5]. Dengan β 1, 2 , 3 untuk prior : p(β, 2 ) p( 2 ) p (β | 2 )

1

2

β

x3i dan β

x2i

Distribusi Prior Konjugat Distribusi prior konjugat memiliki sifat jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior

Dalam hubungannya dengan data hasil pengamatan, model regresi linier berganda dituliskan sebagai berikut : (2) yi  0 1 xi1 2 xi 2 p xip i untuk i 1,2,  , n dengan i ~ N (0, Model ini dapat dituliskan dalam vektor dan matriks sebagai berikut : 1 x11 x12  y1 1 x21 x22  y2 X y ,      1 xn1 xn 2  yn

x1i

2

( 0) 2 2 )

( 0) 2 2 )

(

3

( 0) 2 3 )

(9)

Distribusi Posterior Posterior dapat diperoleh dari hasil kali fungsi likelihood dan prior dan dapat dinyatakan sebagai [6]:

(y Xβ)T (y Xβ)

677

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

p β,

2

p(y | X, β,

| y, X n2

2

a0 1

2

1

exp

2

2

exp

2

) p(

2

) p(β |

2

Pada makalah ini digunakan v0

)

dan XT X berdimensi 3 3 sehingga Λ 0 berdimensi 3 3 yaitu I 3 3 .

(y Xβ)T (y Xβ)

b0 2 2

2

k 2

Markov Chain Monte Carlo (MCMC) Untuk merancang rantai Markov dapat digunakan Gibbs Sampling dari distribusi posterior dengan p( 2 | y, X) ~ IG (an , bn ) dan p(β | 2 , y, X) ~ N n , 2 ( XT X Λ 0 ) 1 yan g menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat.

1

(β μ 0 )T Λ 0 (β μ 0 ) (10) 2 2 Posterior pada persamaan di atas dapat ditulis ulang sehingga mean posterior μ n dari vektor parameter β dapat dinyatakan dalam esimator kuadrat terkecil βˆ dan mean prior exp

μ 0 dengan kekuatan dari prior ditunjukkan

Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat dengan p( 2 ) ~ Invers Gamma(a0 , b0 )

oleh matriks prior presisi Λ 0 1 2 [3]: (11) μ n ( XT X Λ 0 ) 1 ( XT X ˆ Λ 0 μ 0 ) sehingga istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam β μ n :

dengan a0 p(β |

μ Tn

y y ( X X Λ 0 )μ n Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi Invers-Gamma : p β,

2

1

exp

2

2

b0

μ Tn

y y

2

| y, X

dapat 2

, y , X) p (

2

2

~N

2

,

( 0) 3

|

(*)

11

12

21

22

,

[7]

3

bersyarat pada

1

(**) :

( 0) 2 ,

( 0) 3

~N

1 22

12

1

| y , X) (12)

( 0) 2 ( 0) 3

2 3

dengan

dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi N ( n , 2 ( XT X Λ 0 ) 1 ) dan Invers Gamma(an , bn ) dengan parameternya diberikan oleh : 1 an ( n v0 ) 2 1 T bn b0 y y μ T0 Λ 0 μ 0 μ Tn Λ n μ n 2 T μ n ( X X Λ 0 ) 1 ( XT y Λ 0μ 0 ) Λ0

1 (n v0 ), 2

diparameterisasi 1

.

1

maka distribusi dari (0) 2 ,

2

dengan memilih nilai

3

( X X Λ 0 )μ n 2 2

p(β |

2

1

1

μ T0 Λ 0 μ 0

1

1 T (y y μT0 Λ 0μ 0 μTn Λ n μ n ) 2

b0

T

( XT X Λ 0 )

| y , X ~ Invers Gamma

exp

maka posterior sebagai berikut : p β,

2

Jika

T

2

n,

~ Invers Gamma(an , bn ) maka :

(β μ n )T ( XT X Λ 0 )(β μ n )

( n v0 ) 2 1

2

2

Jika

k 2

2

| y, X

)~ N

presisi Λ 0

μ T0 Λ 0 μ 0

T

2

dengan ditentukan secara subyektif dan prior

μ0

T

(β μ n )T ( XT X Λ 0 )(β μ n ) T

v0 s02 dengan v0

v0 2 dan b0

dan s 02 ditentukan secara subyektif dan

(y Xβ) (y Xβ) (β μ 0 ) Λ 0 (β μ 0 ) T

1 , n 52

11

11 ,

12

12

13

,

22

23

32

33

22

2

Apabila diberikan dan T vektor β yang tidak diketahui 1, 2 , 3 maka untuk mendapatkan distribusi dari T dengan metode Gibbs sampler 1, 2 , 3 digunakan langkah-langkah sebagai berikut : 1. Dipilih nilai awal

I

2. Sampel 2(1)

678

2 (1 )

2( 0 )

dari p(

,

(0) 1 , 2(1)

| y, X memenuhi (*).

(0) 2 ,

(0) 3

| y, X) sehingga

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922 (1) 1

Sampel dari p( (1) 1

(1) 1

2(1)

|

2(1)

( 0) 2 ,

( 0) 2 ,

,

( 0) 3 , y, X)

dengan h0 g 0 / g 3 dan h1 g 2 g 3 / g 3 . Pada makalah ini digunakan model koreksi kesalahan tanpa intersep sebagai berikut : (15) Yt g1 X t g 2 X t 1 g 3 ECt t dengan ECt 1 X t 1 Yt 1 .

sehingga

( 0) 3

memenuhi (**). | , 3. Langkah 2 diulangi sebanyak B kali sehingga didapatkan sampel dari 2 2 p( | y, X) dan p(β | , y, X) dalam bentuk rantai Markov.

Model Regresi Bayesian untuk Model Koreksi Kesalahan Data Indeks Harga Konsumen Kota-Kota di Papua Pada makalah ini digunakan model regresi berganda tanpa intersep dengan tiga variabel bebas dan dirumuskan sebagai berikut : yi 1 x1i 2 x2 i 3 x3i i dengan dan i 1,2,  , n 2 ) sehingga model koreksi i ~ N (0, kesalahan untuk data Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua dapat dituliskan sebagai berikut : Yt g1 X t g 2 X t 1 g 3 ECt 1 t dan mempunyai fungsi likelihood : p(y | X, β, 2 ) ( 2 ) n / 2

Model Koreksi Kesalahan Model koreksi kesalahan adalah model yang memasukkan penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan. Model koreksi kesalahan digunakan dalam mengatasi permasalahan data yang tidak stasioner, regresi lancung, mengoreksi ketidakseimbangan jangka pendek dan membentuk model hubungan jangka panjang [8]. Model koreksi kesalahan dapat digunakan ketika data tidak stasioner tapi terkointegrasi. Dalam mekanisme yang dipopulerkan oleh Engle-Granger, koreksi perilaku jangka pendek dilakukan menggunakan kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium error) dalam jangka panjang [9].

1 (y Xβ)T (y Xβ) 2 2 Yt , X X t X t 1 ECt 1 dan

exp

dengan y Salah satu model koreksi kesalahan yang berkembang adalah model koreksi kesalahan dari Domowitz dan Elbadawi. Model koreksi kesalahan Domowitz-Elbadawi menjelaskan bahwa perubahan Y atau Y dipengaruhi oleh perubahan variabel X atau X , variabel X periode sebelumnya X t 1 dan variabel koreksi kesalahan periode sebelumnya. Bentuk standar ECM Domowitz-Elbadawi adalah sebagai berikut : Yt g 0 g1 X t g 2 X t 1 g 3 ECt 1 (13) t dengan ECt 1 X t 1 Yt 1 .

T

β g1 , g 2 , g 3 Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) dipengaruhi IHK kota Manokwari (MAN ) maka model koreksi kesalahan dapat dituliskan kembali menjadi: JPRt g 1 MAN t g 2 MAN t 1 g 3 ECt 1 mempunyai fungsi likelihood : p(y | X, β, 2 ) ( 2 ) n / 2

dengan y X MANt

Menurut model ini, model koreksi kesalahan valid jika koefisien koreksi kesalahan bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai koefisien kesalahan besarnya adalah 0 g 3 1 . Koefisien g dalam persamaan merupakan analisis jangka pendek. Sedangkan koefisien jangka panjang pada kondisi keseimbangan (ketika Yt Yt 1 dan X t X t 1 ) adalah : Yt Yt 1 g 0 g1 X t X t 1 g 2 X t 1

Yt

h0

g3 X t h1 X t

1

Yt

1

exp

β

2

JPRt , MANt

1

2

(y Xβ)T (y Xβ)

ECt

1

dan

T

g1 , g 2 , g 3 sehingga bentuk untuk prior : p(β, 2 ) p( 2 ) p(β | 2 )

2 dengan berdistribusi Invers-Gamma (a0 , b0 ) dengan a0 v0 2 dan b0 v0 s02

dengan v0 1 dan s02 1 . Kepadatan prior ditulis sebagai berikut : p(

1

(14) 679

2

)

(

2

)

( v0 / 2 1)

exp

v0 s02 . 2 2

t

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Prior N (μ 0 ,

bersyarat 2

β|

2

Langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut : 1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior p β, 2 | y, X p(β | 2 , y, X) p( 2 | y, X)

berdistribusi

Λ 01 ) T

T dengan μ 0 g1(0) , g 2(0) , g 3(0) 0,0,0 , Λ 0 I dan memiliki kepadatan prior bersyarat : p(β | 2 ) ( 2 ) k / 2

dengan Gamma

1

(β μ 0 )T Λ 0 (β μ 0 ) 2 2 sehingga kepadatan prior bersyarat menjadi : 1 ( 0) 2 p(β | 2 ) ( 2 ) k / 2 exp ( 1 1 ) 2 2 exp

2

| y, X) ~ (an , bn )

Inversdan

p(β | 2 , y, X) ~ N ( n , 2 ( XT X Λ 0 ) 1 ) yaitu Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter g1 , g 2 , g 3 . 2. Taksiran g1 , g 2 , g 3 diperoleh dengan mencari nilai rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler setelah memotong nilai Gibbs sampler dari 500 iterasi pertama. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas untuk g1 , g 2 , g 3 berdistribusi normal.

( 0) 2 (0) 2 ( 2 ( 3 2 ) 3 ) Posterior diparameterisasi sebagai berikut : p β, 2 | y, X p(β | 2 , y, X) p( 2 | y, X) dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi 2 T 1 dan InversN ( n , (X X Λ 0 ) ) Gamma (an , bn ) dengan parameternya diberikan oleh: 1 an (n v0 ) 2 1 T bn b0 y y μT0 Λ 0μ 0 μTn Λ n μ n 2 T μ n ( X X Λ 0 ) 1 ( XT y Λ 0 μ 0 )

Λ0

p(

Untuk melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS 1.4.3. PENGEMBANGAN MODEL KOREKSI KESALAHAN Apabila dianggap bahwa IHK kota Jayapura (JPR) berpengaruh terhadap IHK kota Manokwari (MAN) dan IHK kota Sorong (SRG), melalui uji akar unit didapatkan data JPR, MAN dan SRG tidak stasioner namun stasioner pada tingkat diferensi pertama. Dengan demikian JPR, MAN dan SRG terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antara ketiganya.

I

serta digunakan v0 1 , n 52 dan XT X berdimensi 3 3 sehingga Λ 0 berdimensi 3 3 yaitu I 3 3 . METODE PENELITIAN Data yang digunakan adalah data IHK bulanan kota Jayapura, kota Sorong dan kota Manokwari pada bulan Januari 2009 sampai dengan bulan Mei 2013 yang diperoleh dari website resmi Badan Pusat Statistik (BPS). Dipilihnya periode waktu tersebut karena pada periode waktu itu tidak terjadi kenaikan harga BBM. Selanjutnya menerapkan metode Bayesian pada model koreksi kesalahan data IHK kota-kota di Papua untuk memperoleh taksiran parameternya. Taksiran parameter diperoleh melalui beberapa tahap penghitungan, yaitu menentukan fungsi likelihood, distribusi prior konjugat, distribusi posterior dan kemudian mengestimasi parameter. Pengolahan data dilakukan setelah taksiran parameter diperoleh.

Uji kointegrasi dapat dilakukan dengan membentuk persamaan : JPRt et (16) 0 1 MAN t 2 SRGt selanjutnya persamaan ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut : (17) et JPRt 0 1 MAN t 2 SRGt variabel gangguan et dalam hal ini merupakan kombinasi linier. Jika variabel gangguan et stasioner atau I (0) maka antar variabelnya terkointegrasi yang berarti mempunyai hubungan jangka panjang. Dari uji kointegrasi didapatkan nilai-p residual sebesar 0,0017, lebih kecil dari tingkat signifikansi 0,05 sehingga antar 680

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

variabel terbukti terkointegrasi yang berarti terdapat hubungan jangka panjang antar IHK ketiga kota tersebut. Selanjutnya dibentuk model koreksi kesalahan dengan metode Domowitz-Elbadawi sebagai berikut : JPRt

g 0 g1 MAN t g 2 SRGt g 4 SRGt 1 g 5 ECt 1 et

g 3 MANt

JPRt

Dengan cara yang sama, dilakukan estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan Sorong. Hasil estimasi ditampilkan pada Tabel 3. Sedangkan hasil estimasi untuk model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Jayapura dan kota Manokwari ditampilkan pada Tabel 4. Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

1

(18)

dengan ECt 1 MAN t 1 SRGt 1 JPRt 1 , JPR = IHK kota Jayapura, MAN = IHK kota Manokwari dan SRG = IHK kota Sorong. Hubungan jangka panjang dari model pada persamaan (18) : (19) JPRt h0 h1 MAN t h2 SRGt dengan h0 g 0 g 5 , h1 g 3 g 5 g 5 , dan h2 g 4 g 5 g 5

MAN t

0.2241 ECt

MANt

SRGt

1

0.3466 MAN t

0.1637 JPRt

1

1

dan memiliki hubungan jangka panjang : SRGt

0.0541 JPRt

Tabel 3. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Manokwari terhadap IHK kota Jayapura dan kota Sorong Variabel Koefisien D(SRG) 0.3785 JPR(-1) -0.2301 ECT08 0.2241

SE t-statistik Nilai-p 0.1391 2.7206 0.0090 0.0885 -2.5985 0.0123 0.0852 2.6286 0.0114

Tabel 4. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Sorong terhadap IHK kota Manokwari dan kota Jayapura Variabel Koefisien D(MAN) 0.3466 JPR(-1) -0.1637 ECT09 0.1730

Tabel 2. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong

SE t-statistik Nilai-p 0.1274 2.7206 0.0090 0.0806 -2.0311 0.0477 0.0835 2.0710 0.0436

HASIL DAN DISKUSI Pada Gambar 1, 2, dan 3 ditampilkan diagram pencar data Indeks Harga Konsumen (IHK) kota Jayapura, Sorong dan Manokwari. Dari ketiga gambar tersebut, terlihat sebaran data cenderung membentuk pola linier sehingga dapat dikatakan hubungan diantara variabel bebas dan variabel terikatnya merupakan hubungan linier. Karena data memiliki hubungan linier maka selanjutnya dapat ditentukan persamaan regresi dugaannya.

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p D(MAN) 0.3167 0.1203 2.6330 0.0113 SRG(-1) -0.3397 0.1074 -3.1634 0.0027 ECT07 0.3089 0.0970 3.1821 0.0025

Model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah : 0.3089 ECt

1

0.0269 SRGt

0.1730 ECt

Pada Tabel 1, koefisien koreksi kesalahan ( ECT 07 ) bertanda positif dan secara statistik signifikan. Nilai-p untuk variabel D(SRG) dan MAN ( 1) lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05 sehingga kedua variabel tersebut secara statistik dikatakan tidak signifikan. Maka model koreksi kesalahan dikoreksi kembali dan didapatkan hasil estimasi model koreksi kesalahan tersebut yang ditampilkan pada Tabel 2.

0.3397 SRGt

0.2301 JPRt

Sedangkan model koreksi kesalahan untuk data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong adalah :

Variabel Koefisien SE t-statistik Nilai-p C 6.4047 3.5223 1.8183 0.0755 D(MAN) 0.3645 0.1307 2.7885 0.0077 D(SRG) -0.1197 0.1350 -0.8866 0.3799 MAN(-1) -0.0667 0.0890 -0.7501 0.4570 SRG(-1) -0.4415 0.1414 -3.1217 0.0031 ECT07 0.4192 0.1145 3.6612 0.0006

0.3167 MAN t

0.3785 SRGt

dan memiliki hubungan jangka panjang :

Tabel 1. Hasil estimasi model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura terhadap IHK kota Manokwari dan kota Sorong

JPRt

0.0998 SRGt

1

1

dan memiliki hubungan jangka panjang :

681

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Gambar 1. Diagram pencar data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x (kanan)

Gambar 2. Diagram pencar data IHK kota Manokwari pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Sorong pada pada sumbu y terhadap data IHK kota Manokwari pada sumbu x (kanan)

Gambar 3. Diagram pencar data IHK kota Sorong pada sumbu y terhadap data IHK kota Jayapura pada sumbu x (kiri) dan data IHK kota Jayapura pada sumbu y terhadap data IHK kota Sorong pada sumbu x (kanan)

Model koreksi kesalahan yang digunakan dalam makalah ini adalah model regresi berganda tanpa intersep dan dinyatakan dalam persamaan berikut : JPRt g 1 MAN t g 2 MAN t 1 g 3 ECt 1 t untuk t 1,2,  , n dengan JPR IHK kota Jayapura, MAN IHK kota Manokwari dan EC variabel koreksi kesalahan.

g1 , g 2 dan g 3 ditampilkan dalam Gambar 4. Gambar 4 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter g1 , g 2 dan g 3 yaitu berturut-turut sebesar 0.3006, -0.0313 dan 0.3039. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut didapatkan fungsi densitas pada Gambar 5.

Dengan asumsi parameter berdistribusi normal, untuk mendapatkan estimasi ˆ parameter g g1 , g 2 , g 3 dengan metode Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Dipilih nilai awal g1( 0) 0 , g 2( 0) 0 dan g 3( 0) 0 . Agar tidak mengacaukan hasil estimasi, dilakukan pemotongan (burn in) 500 iterasi pertama (yang terdapat nilai awal) sehingga didapatkan hasil estimasi pada Tabel 5. Rantai Markov untuk taksiran parameter

Tabel 5. Distribusi statistik model koreksi kesalahan data IHK kota Jayapura dan IHK kota Manokwari dengan metode Bayesian. node mean Sd MC error 2.5% median 97.5% start sample

682

g1 0.3006 0.1211 0.0037 0.0582 0.3013 0.5364 501 4500

g2 -0.0313 0.0114 0.0012 -0.0554 -0.0301 -0.0109 501 4500

g3 0.3039 0.1035 0.0111 0.1192 0.2938 0.5208 501 4500

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922

Gambar 4. Rantai Markov untuk taksiran parameter g1, g2, dan g3.

Gambar 5. Fungsi densitas parameter g1, g2, g3.

Dengan parameter g1 , g 2 dan g 3 yang diperoleh menggunakan metode Bayesian, dibentuk model koreksi kesalahan yang baru. Model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari dituliskan dalam persamaan berikut : JPRt 0.3006 MAN t 0.0313MAN t 1

perhitungan untuk memperoleh taksiran parameter untuk model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain. Model koreksi kesalahan IHK kota-kota di Papua untuk pasangan kota yang lain ditampilkan dalam Tabel 6. Pada Tabel 6 ditunjukkan bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766% dan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787%. Sedangkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Manokwari dan kota Sorong berturut-turut sebesar 1.135% dan 1.2024%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK kota-kota di Papua hampir sama tetapi tingkat kenaikan IHK kota Jayapura dan kota Manokwari sedikit lebih lambat dibanding dengan tingkat kenaikan IHK kota Sorong.

0.3039ECt 1 . Dari persamaan di atas, dibentuk hubungan jangka panjangnya untuk data IHK kota Jayapura dan data IHK kota Manokwari sebagai berikut : JPRt 0.8970 MANt . Dari persamaan di atas berarti bahwa dalam jangka panjang, kenaikan IHK kota Manokwari sebesar 1% akan menyebabkan kenaikan IHK kota Jayapura sebesar 0.8970%. Dengan cara yang sama, dilakukan 683

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922 Tabel 6. Model Koreksi Kesalahan IHK Kota-Kota di Papua dengan metode Bayesian Model Koreksi Kesalahan Hubungan Jangka Panjang 1 JPRt 0.3006 MANt 0.0313 MANt 1 0.3039 ECt 1 JPRt 0.8970 MAN t 2 MAN t 0.3735 JPRt 0.0285 JPRt 1 0.2111 ECt 1 MAN t 1.1350 JPRt

No.

3

MAN t

4

SRGt

0.3437

5

SRGt

0.0197 JPRt

6

JPRt

0.3751 SRGt

MAN t

0.0053 SRGt

0.0080 MAN t

0.0973 ECt

0.0208 SRGt

0.2271 ECt

1

1

1

0.1650 ECt

1

1

0.1715 ECt

1

MAN t

0.9766 SRGt

SRGt

1.0484 MAN t

SRGt

1.2024 JPRt

JPRt

0.8787 SRGt

Tabel 7. Hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode kuadarat terkecil, metode Bootstrap dan metode Bayesian. Metode Kuadrat Terkecil

Metode Bootstrap

Metode Bayesian

JPRt

0.8966 MAN t

JPRt

0.8972 MAN t

JPRt

0.8970 MAN t

JPRt

0.8788 SRGt

JPRt

0.8793 SRGt

JPRt

0.8787 SRGt

MAN t

1.1335 JPRt

MANt

1.1328 JPRt

MAN t

1.1350 JPRt

MAN t

0.9763 SRGt

MANt

0.9765 SRGt

MAN t

0.9766 SRGt

SRGt

1.0484 MAN t

SRGt

1.0485 MAN t

SRGt

1.0484 MAN t

SRGt

1.1993 JPRt

SRGt

1.1958 JPRt

SRGt

1.2024 JPRt

Gambar 6. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Jayapura dan Manokwari (kiri: model 1, kanan : model 2)

Gambar 7. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Sorong dan Manokwari (kiri : model 3, kanan : model 4)

Gambar 8. Diagram pencar hubungan jangka panjang IHK kota Sorong dan Jayapura (kiri : model 5, kanan :

684

Prosiding Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains IX, Fakultas Sains dan Matematika, UKSW Salatiga, 21 Juni 2014, Vol 5, No.1, ISSN :2087-0922 model 6)

Perbandingan hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode Bootstrap dan metode kuadrat terkecil ditampilkan pada Tabel 7. Dari Tabel 7 dapat dilihat bahwa hubungan jangka panjang yang diperoleh dari model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, dengan metode kuadrat terkecil dan dengan metode Bootstrap memiliki koefisien yang relatif hampir sama.

[2] D. Puspaningrum, Desy. Penerapan Metode Bayesian untuk Mengestimasi Parameter pada Model Regresi Linier Sederhana. FSM, Universitas Kristen Satya Wacana, 2008. [3] V. Mutiarani, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Estimasi Parameter dan Interval Kredibel dengan Model Regresi Linier Berganda Bayesian”, Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan 2012 (SENDIKMAD 2012) Universitas Ahmad Dahlan, 2012. [4] S. Evans, Bayesian Regression Analysis. Faculty of The College of Arts and Sciences, University of Louisville, 2012. [5] D. B. Rowe, Multivariate Bayesian Statistics : Models for Source Separation and Signal Unmixing. CRC press, 2002. [6] T. Lancaster, An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. 2003. [7] R. Jennings, M. Wakeman-Linn, and Xin Zhao, Multivariate Normal Distribution, 2010. [Online] Available : http://www.colorado.edu/economics/morey/7 818/jointdensity/NotesOnMultivariateNormal /Multivariate%20Normal%20Distribution_W akeman-LinnJenningsZhao.pdf. [8] D. A. I. Maruddani, Y. Wilandari, dan D. Safitri, “Model Dinamik Pertumbuhan Ekonomi Indonesia Pasca Krisis Moneter : Suatu Pendekatan Koreksi Kesalahan (Model Koreksi Kesalahan),” Jurnal Sains & Matematika, vol. 15, no. 1, pp. 19-24, 2007. [9] A. Widarjono, Ekonometrika : Pengantar dan Aplikasinya. Ekonisia, 2009.

Diagram pencar dan persamaan garis regresi hubungan jangka panjang pada Tabel 6 ditampilkan pada Gambar 6, 7, dan 8. Sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus dan membentuk hubungan linier. KESIMPULAN Dalam makalah ini telah dijelaskan mengenai model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian pada data runtun waktu Indeks Harga Konsumen kota-kota di Papua. Hasil penelitian menunjukkan bahwa estimasi parameter dengan metode Bayesian menghasilkan rata-rata posterior yang hampir sama dengan estimasi parameter dengan metode bootstrap. Dari analisis data IHK menggunakan model koreksi kesalahan dengan metode Bayesian, didapatkan hasil bahwa dalam jangka panjang jika terjadi kenaikan IHK kota Sorong sebesar 1% akan menyebabkan peningkatan IHK kota Jayapura sebesar 0.8787% dan peningkatan IHK kota Manokwari sebesar 0.9766%. Dengan kata lain, tingkat kenaikan IHK pada kota-kota di Papua hampir sama tetapi kenaikan IHK kota Jayapura dan Manokwari sedikit lebih lambat daripada kota Sorong. Model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode Bayesian memiliki nilai-nilai parameter yang hampir sama dengan model koreksi kesalahan yang diperoleh dengan metode bootstrap sehingga hubungan jangka panjang yang dibentuk dari model koreksi kesalahan yang diperoleh dari kedua metode tersebut memiliki koefisien yang hampir sama. DAFTAR PUSTAKA [1] M. F. R. Donggori, A. Setiawan, dan H. A. Parhusip, “Model Koreksi Kesalahan pada Data Runtun Waktu Indeks Harga Konsumen Kota-kota di Papua,” Jurnal de Cartesian, vol. 3, no. 1, pp. 81-88, 2014.

685