Mnohočleny v učebnicích v České Republice a ve Finsku

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Mnohočleny v učebnicích v České Republice a ve Finsku

Autorka: Ivana Durdíková Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Naďa Stehlíková, Ph.D. Obor: Matematika - Tělesná výchova

© Praha 2007

Prohlášení: ^ohlašuji, že diplomovou práci jsem vypracovala samostatně za Přispění vedoucí diplomové práce doc. RNDr. Nadi Stehlíkové, Ph.D. s

Použitím literatury uvedené v seznamu a souhlasím s využitím

Poznatků obsažených v této práci za předpokladu řádné citace.

v

Praze dne 10. 4. 2007

Poděkování: Na

tomto

místě

bych

ráda

poděkovala

především

paní

doc. RNDr. Nadě Stehlíkové, PhD. za její ochotu, odbornou pomoc a

trpělivost při vedení mé práce.

^ále děkuji dr. Georgi Malatemu za pomoc při obstarávání materiálů a

odborné rady týkající se výuky matematiky ve Finsku.

^ neposlední řadě děkuji své rodině a přátelům za podporu a věcné rady při psaní práce.

Název práce: Mnohočleny v učebnicích v České Republice a ve Finsku Autor: Ivana Durdíková Katedra (ústav): Katedra matematiky a didaktiky matematiky Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Naďa Stehlíková, Ph.D. Ermail vedoucího: [email protected] Klíčová slova: algebra, mnohočleny, matematika, výuka Abstrakt: Diplomová práce je zaměřena na výuku algebry, především části mnohočleny. V první části uvádím obecné charakteristiky, zákonitosti a cíle výuky algebry ve školách tak, jak jsou prezentovány v odborné literatuře. Hlavním tématem práce je porovnání způsobu výkladu a rozsahu tematického celku mnohočleny v kurikulu a učebnicích v České Republice a ve Finsku. Porovnáním vybraných českých a finských učebnic pro základní a střední školy jsem zjistila především rozdíl z hlediska rozsahu učiva týkajícího se práce se vzorci pro úpravu mnohočlenů. Zatímco způsob výkladu je ve všech sledovaných učebnicích srovnatelný, rozsah tohoto učiva v českých učebnicích pro základní školy zhruba odpovídá rozsahu ve finských učebnicích pro střední školy s rozšířenou výukou matematiky. Součástí práce je sbírka úloh, které by při výuce mnohočlenů mohly působit motivačně. Úlohy jsem vybrala z českých i finských učebnic a rozdělila je do několika skupin podle způsobu zadání.

liíle^ Polynomials in Czech and Finnish textbooks Author: Ivana Durdíková department: Department of Mathematics and Mathematics Education Supervisor: doc. RNDr. Naďa Stehlíková, Ph.D. Supervisor's e-mail address: [email protected] Keywords: algebra, polynomials, mathematics, education Abstract: This thesis focuses on the teaching of algebra, especially its part called polynomials. The first part contains general characteristics, regularities and goals of teaching algebra at school according to the presentation in specialized literature. The main goal of the work is to compare how polynomials are taught in the Czech Republic and Finland, considering its interpretation and extent in curriculum and textbooks. By comparing selected Czech and Finnish lower and upper secondary school textbooks, it was found out that there was a difference in the extent of teaching patterns for working with polynomials. While the interpretation of this is similar in all of the textbooks, the extent in Czech lower secondary school textbooks is comparable to the extent in Finnish textbooks for upper secondary school with extended education in mathematics. There is also a collection of problems included in this work, as these can act as motivation in teaching polynomials. They have been chosen from Czech and

Finnish textbooks and categorized according to their assignment.

"

Obsah: ÚVOD

7

OBECNÉ PŘÍSTUPY K VÝUCE ALGEBRY

8 8

2.1 2.2 2.3 2.4

DEFINICE ALGEBRY ALGEBRA VE ŠKOLNÍM PROSTŘEDÍ VÝUKA ALGEBRY TEORETICKÉ PŘÍSTUPY K VÝUCE ALGEBRY

2.5 2.6 2.7 2.8

VÝUKA ALGEBRY V PRAXI PROBLÉM Č. 1: POCHOPENÍ SYMBOLICKÉHO JAZYKA ALGEBRY JAK ŽÁCI CHÁPOU SYMBOLICKÁ VYJÁDŘENÍ SHRNUTÍ

15 17

MÍSTO ALGEBRY VE VÝUCE MATEMATIKY NA ZÁKLADNÍ ŠKOLE

20

3.1

ALGEBRA V KURIKULU V ČESKÉ REPUBLICE

21

3

ALGEBRA V KURIKULU VE FINSKU

2 3

DIDAKTICKÁ ANALÝZA ČESKÝCH UČEBNIC

24

ROZBOR UČEBNIC: TABULKA PODROBNĚJŠÍ ROZBOR HLAVNÍCH TEMATICKÝCH CELKŮ

25 28

i.

-2

4.1 4 2

9 10 12 14

18

28

VÝKLAD POJMŮ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ MNOHOČLENŮ

**

NÁSOBENÍ MNOHOČLENŮ

4-3

DĚLENÍ JEDNOČLENU JEDNOČLENEM, MNOHOČLENU JEDNOČLENEM

2 )

VYTÝKÁNÍ SPOLEČNÉHO ČINITELE PŘED ZÁVORKU

29

VZORCE (A + BF, (A - BF, CŘ-B2 ROZKLAD MNOHOČLENŮ NA SOUČIN POMOCÍ VZORCŮ

2

SHRNUTÍ

i' POROVNÁNÍ UČIVA MNOHOČLENY V UČEBNICÍCH PRO ZÁKLADNÍ ŠKOLY V ČESKÉ REPUBLICE A VE FINSKU 5

-L 5 -2

TABULKA POROVNÁNÍ HLAVNÍCH TEMATICKÝCH CELKŮ VÝKLAD POJMŮ SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ MNOHOČLENŮ

31

33 3 4

34 ^ ^

NÁSOBENÍ MNOHOČLENŮ VZORCE ( A + B)2, (A - B)2, A2 - B2 DĚLENÍ JEDNOČLENU JEDNOČLENEM, MNOHOČLENU JEDNOČLENEM

^^

VYTÝKÁNÍ SPOLEČNÉHO ČINITELE PŘED ZÁVORKU

36

ROZKLAD MNOHOČLENŮ NA SOUČIN POMOCÍ VZORCŮ

36

ROZSAH JEDNOTLIVÝCH TEMATICKÝCH CELKŮ

5-3 S

SHRNUTÍ

POROVNÁNÍ UČIVA MNOHOČLENY V UČEBNICÍCH PRO STŘEDNÍ *OLY V ČESKÉ REPUBLICE A VE FINSKU 6

-L 6.2

6

-3

35

TABULKA POROVNÁNÍ HLAVNÍCH TEMATICKÝCH CELKŮ

3 6

3 8

39 4 0

40

VÝKLAD POJMŮ OPERACE S MNOHOČLENY

^

VZORCE ( A + BF, (A - BF, CŘ-B2 ROZKLAD MNOHOČLENŮ NA SOUČIN

41

SHRNUTÍ

4 1

4 2

SBÍRKA ÚLOH

44

7.1 DOPLŇOVÁNÍ VÝSLEDKŮ OPERACÍ DO DANÝCH MÍST 7.1.1 ÚLOHY S VYUŽITÍM VLASTNOSTI MAGICKÉHO ČTVERCE 7.1.2

„PYRAMIDY"

44 45 46

7.2 ÚLOHY S GEOMETRICKÝM ZADÁNÍM 7.2.1 POČÍTÁNÍ ROZMĚRŮ OBRAZCŮ A TĚLES 7.2.2 POČÍTÁNÍ S OBSAHY OBRAZCŮ 7.3 SLOVNÍ ÚLOHY 7-4 DOPLŇOVÁNÍ VÝRAZŮ DO VÝPOČTŮ 7 - 5 DALŠÍ ÚLOHY 7.6 SHRNUTÍ

47 47 49 51 53 54 62

ZÁVĚR

63

LITERATURA:

65

PŘÍLOHY

69

-6-

1.

Úvod Snad každý občan České Republiky, který zde prošel základním vzděláním, si při slově

algebra či výrazy vzpomene na nekonečné množství úloh, které musel vypočítat, aby se naučil správně pracovat s mnohočleny a používat vzorce pro jejich úpravu. Toto učivo je nedílnou součástí předmětu matematika především v 8. ročníku základní školy. Jeho bezproblémové zvládnutí a svým způsobem zautomatizování je nezbytným předpokladem pro zvládnutí studia matematiky na střední škole, zvláště na školách gymnaziálního typu, ale i na odborných středních školách technicky zaměřených. Proto mě velmi překvapilo zjištění, že ne v

e všech zemích je na toto učivo kladen stejně velký důraz jako v České Republice. Během mého půlročního studijního pobytu ve finském městě Joensuu jsem se jako

hospitantka zúčastnila výuky matematiky na různých základních i středních školách. Po shlédnutí několika vyučovacích hodin na téma mnohočleny v 8. ročníku základní školy a následných rozhovorech s příslušnými vyučujícími jsem zaznamenala několik odlišností od výuky tohoto tematického celku v České Republice. Odlišnosti se týkaly především obsahového hlediska, kdy množství vědomostí souvisejících s učivem mnohočleny, které žák ua základní škole získá, se mi zdálo být výrazně menší než ve školách v České Republice. Tento fakt jsem se rozhodla ověřit jak porovnáním finského kurikula pro výuku Matematiky s příslušným kurikulem českým, tak porovnáním učebnic, ve kterých je učivo Mnohočleny vyloženo. Uvedené porovnání je obsahem hlavní části mé diplomové práce (kapitoly 4 až 6). Při prohlížení a porovnávání učebnic jsem narazila na množství úloh k procvičení učiva. Protože právě úlohy jsou podle mého názoru velmi důležitou motivační složkou a tudíž nedílnou součástí každé výuky, zařadila jsem přehled těch nejzajímavějších úloh týkajících se u

Čiva mnohočleny do další kapitoly. Teoretickému pozadí shrnujícímu obecné poznatky, které byly k tématu výuky algebry

učiněny a sepsány v odborné literatuře, je věnována následující kapitola.

-7-

2.

Obecné přístupy k výuce algebry

2.1

Definice algebry V literatuře nacházíme mnoho různých definic algebry. Jako nejvhodnější pro potřeby

této práce se zdají být následující dvě základní definice: •

„absolutní definice", která není určena přímo pro situace ve výuce; například „studium algebraických struktur", „modelování matematických aktivit", „specifické aktivity týkající se používání jazyka algebry", apod.

•

definice z pohledu „školské algebry": např. „zobecněná aritmetika", „ovládnutí jazyka symbolů", apod. (Boero, Bergsten, Gascon, 1999)1

Podobný přístup ke školské algebře, totiž jako k zobecněné aritmetice, lze nalézt 1

u dalších autorů, jako například:

„...algebra je v jistém smyslu rozšířením aritmetiky, upozorňujíce na některé otázky, které aritmetika pokládá, ale nedokáže sama řešit. .. Algebra aritmetiku doplňuje: aritmetika zjevně ke své bezproblémové existenci potřebuje reálná čísla, která by však nebylo možné Phě poznat bez pomoci algebry... algebra není omezena na svět čísel a nemusí být proto Pevně svázána s aritmetikou." (Wheeler, 1996b) Dalším názorem, se kterým mi nezbývá než souhlasit, je následující: „Algebra - viděna jako studium vztahů a postupů - skutečně začíná a musí začínat studiem aritmetiky. Ale jak dalece může znalost aritmetiky pomoci při přesunu k algebře? Vztahy mezi oběma oblastmi jsou velmi komplexní. Například

hlubší

znalost

aritmetiky,

formálních

vlastností

kinetických operací, různých číselných oblastí může podpořit učení se počítání s písmeny a

některým pojmům spojeným s rovnicemi, algebraickými operátory atd. Přesto však je to

Sa

motné algebraické vyjadřování, co dovoluje porozumět aritmetice na vyšší úrovni."

(Malara, Iaderosa, 1999) Kromě s

aritmetiky

je

algebra,

alespoň

ve

školské

praxi,

tradičně

svázána

geometrií. Základní algebraické poučky jsou vysvětlovány a ukazovány nejen na

Praktických příkladech (např. dosazováním reálných čísel), tedy prostředky aritmetiky, často ' s ° u využívány i poznatky z geometrie, aby pomohly dokonalému pochopení některých al

šebraických zákonů: „Prostředí a místo algebry v matematice je možné stručně, ale výstižně

Citace cizojazyčných dél jsou v textu uvedeny v autorčině překladu.

-8-

shrnout jako: ucelenou sadu nástrojů (třídění, porovnávání, kombinování, transformování, obracení postupů) a způsob myšlení (jazyk výrazů a manipulací), doplňované geometrií." (Mason, 1996, str. 190)

Přesto se setkáváme se zajímavým názorem, vyvozeným z historie, že „není jednoduché možná a

geometrii

dokonce v

vůbec

jeden

možné

harmonický

-

spojit

základy

matematický

celek.

aritmetiky,

Řekové

algebru

se

vypořádali

s iracionálními čísly tím, že je položili stranou jako svým způsobem nepravé matematické objekty. Velký objev 19. století, aritmetizace analýzy, nenašla ve svém programu místo pro geometrické poznání. Dalo by se říci, že v prvním případě geometrie „zvítězila" a odsunula odlišné aritmetické entity, ve druhém však „prohrála" a byla odehnána od dalšího vývoje jednoho z nejmocnějších intelektuálních nástrojů kdy vyvinutých. V každém případě se zdá, že

tyto historicko-matematické události demonstrují existenci jakési velké překážky, jakoby

Psychologické trhliny, která brání aritmetice, algebře a geometrii ve společném soužití v

Jednotném neodporujícím si celku." (Wheeler, 1996b) V historii matematiky

byla

snad

spolupráce

aritmetiky,

algebry

a geometrie

Problematická, ve školní praxi je však propojení těchto tri odvětví vhodné a žádané.

Algebra ve školním prostředí Co především by se měli žáci ve školní algebře naučit?

Podle Bella (1996) je třeba rozvíjet tri základní algebraické procesy: Používání jazyka algebry k vyjádření vztahů a pro práci s výrazy, 2

) úpravou symbolických vyjádření předložit nové aspekty těchto vztahů,

3

) provádění výše uvedeného určitými způsoby, z nichž nejdůležitějšími jsou sestavování a řešení rovnic, zobecňování a práce s funkcemi a vzorci. Tyto procesy mají dále podle Bella čtyři stránky.

„První z nich je schopnost a ochota pracovat s algebraickými výrazy." I studenti, kteří neznají algebraické postupy, mohou velmi úspěšně řešit aritmetické problémy. Jsou schopni Pucovat přímo s číselnými vztahy a nalézat tak skrytá řešení a možná právě proto „nechtějí Pojmout cestu algebry, kde by museli nejdříve vyjádřit situaci symbolicky, vyřešit a znovu Povést do původní situace." Žákům je třeba ukazovat situace, se kterými se pouhými ar

'tmetickými postupy nemohou vypořádat. Druhou

a

stránkou

je

učení

se

Jazyku

algebry,

tzn.

učení

se

správnému

smysluplnému psaní a čtení zápisů" (to je, podle Masona (1996, str. 191), dosažitelné

-9-

Pomocí přirozeného procesu, kdy učitel používá symbolů k vyjádření obecného a postupně vyžaduje po studentech, aby dělali totéž). Třetí je učit se pracovat s výrazy správně a plynule („pravidla pro práci se symboly vyvěrají z přirozené lidské touhy přeskočit prostřední stupeň a přejít od jednoho vyjádření Přímo k dalšímu. Plynulost je dána zkušeností.... Pokud chcete dosáhnout plynulosti a snadnosti, musíte být schopni dělat něco bez věnování plné pozornosti detailům; musíte se tedy zabývat úkolem, který odvádí většinu vaší pozornosti pryč od dané dovednosti." (Mason, 1996)). Čtvrtá k a

stránka

spočívá

v

„osvojení

si

strategického

know-how

potřebného

rozvinutí tohoto (algebraického) jazyka aktivitami jako zobecňování,

sestavování

řešení rovnic a práce s funkcemi a vzorci." (Bell, 1996, str. 174)

2.3

Výuka algebry Jak by, alespoň podle literatury, měla taková výuka algebry vypadat? Začněme otázkou motivace, která je pro nás zejména důležitá, neboť velice často přijdou

žáci s otázkou: „A k čemu nám tohle v životě bude?" Odpověď na uvedený dotaz není jednoduchá a někdy je dokonce přímo nemožná, protože i my sami víme, že v běžném životě je většina matematických poznatků opravdu nepotřebná. Zkusme však odpovědět na otázku obdobnou, avšak jednodušší: „K čemu je dobrá al

gebra pro matematiku?". Zde je možné najít hned čtyři důvody pro obhajobu její existence

(a zároveň důležitosti její přítomnosti ve výuce):

*

,Algebra je základem k zobecňování. Učení se algebře se potom zdá být učením se něčemu, co už lidé beztak dělají. Velmi mladé děti už vědí jak zobecňovat a příliš zanícené zobecňování je kořenem lidské pýchy a předsudku a mnoha dalších nebezpečných věcí." (Wheeler, 1996b) Tento bod je možné použít jako odpověď jak na První, obtížnější, otázku, tak i na otázku po významu algebry v matematice. Vždyť při studiu matematiky je velice častým cílem právě dojít ke zobecnění nějakého názoru či myšlenky.

* Algebra je základem pro funkce. *

,Algebra je základem pro řešení problémů. Tento bod se shoduje s historickým směrem a je hlavním přístupem zmiňovaným v učebnicích." (Wheeler, 1996b)

*

»Algebra je základem pro modelování. Zde je zdůrazněna důležitá role algebry při matematizaci." (Wheeler, 1996b)

- 10 -

Tyto důvody korespondují se čtyřmi základními přístupy k výuce algebry, jak jsou uvedeny ve zde často citované publikaci Approaches to Algebra. Perspectives for Research ar,

d Teaching (Bednarz, Kieran, Lee, 1996): „Přístupy zde uvedené a jejich teoretické zázemí

J e možné spojit s různými koncepcemi algebry: studium jazyka a jeho skladby; studium možností řešení různých tříd problémů, kde algebra není chápána jen jako nástroj k řešení Problémů, ale i jako nástroj pro vyjadřování obecných řešení; studium zákonů číselných rel

ací, tzn. koncepce algebry, která je zaměřená na zobecňování a kde mohou být zahrnuty

'důkazy a zkoušky; a studium měnících se číselných vztahů.... Pouze rovnováha mezi různými složkami a situacemi, které jim dávají význam, umožňuje studentům porozumět Příhodnosti algebry, její struktuře, významu základních pojmů, jako je proměnná, a použití a

'gebraického dokazování (schopnost jeho použití tam, kde algebraická manipulace může být

užitečná)." (str. 4) Další otázkou je, jak algebru ve škole zavést. Naší samozřejmou snahou je, aby žáci Pochopili pro ně nové a neznámé prostředí jako nezbytně nutné pro budování dalších Matematických poznatků a naučili se v něm co nejsnáze orientovat. Nejpřirozenějším přístupem, jak již bylo výše uvedeno, se zdá být vystavění jazyka algebry v u

na

aritmetickém

základě

neboli

uvedení

číselných

vyjádření

souvislost s vyjádřeními symbolickými. Tímto způsobem zavádí algebru většina autorů ^ebnic a i podle mého názoru je nejpřijatelnější a pro žáky nejpřístupnější. Můžeme

k

se

však

setkat

i

s

opačným

názorem,

který

nutí

přinejmenším

^myšlení:

„Ve výzkumu a vlastně i ve výuce budou při přechodu z aritmetiky na algebru vždy zdůrazňovány společné rysy aritmetiky a algebry a jakoby stálost při tomto přechodu a tím znehodnocována významná důležitost jejich rozdílů. Jsem nucen se ptát: * Jsme

si

dostatečně

vědomi

rozdílů

mezi

běžnou

symbolickou

algebrou

a aritmetikou celých čísel? * Máme nějaké důvody, proč bychom na druhém stupni základní školy nemohli zkusit Předložit žákům algebru jako něco zcela nového a odlišného od čehokoliv, co se učili Předtím? (Například biologie je běžně učena jako „nový" předmět, přestože již studenti Mají v tomto směru značné množství informací a poznatků.)" (Wheeler, 1996a) Myslím si, že může být podnětné nad tímto názorem se zamyslet a brát ho v

úvahu při samotné výuce algebraických základů.

- 11 -

Znamená to nespoléhat se příliš na to, že žáci pochopí všechny zákonitosti jen díky tomu, že jim ukážeme souvislost mezi algebrou a aritmetikou, vycházejíce z toho, co znají z aritmetiky. Možná by někdy opravdu mohlo být přínosnější zavést algebru jako něco zcela nového a nechat žáky, aby si případné souvislosti odvodili sami.

2.4

Teoretické přístupy k výuce algebry Velmi obecně, zároveň však názorně, je výuka popsána v publikaci International

Handbook of Mathematics Education (Bishop, Clements, Keitel, Kilpatrick, Laborde, 2003): „Modely vyvinuté pro výuku matematiky mají dvě základní složky. První z nich je „překlad", pomocí něhož jsou objekty a operace v abstraktních situacích vybaveny významy a smyslem tak, že je jim dán konkrétnější tvar. Stav věcí na konkrétní úrovni reprezentuje stav v

ěcí na abstraktnější úrovni." Příklad můžeme vidět na geometrickém modelu řešení rovnic (str. 150), kde např. rovnice

Ax + B = Cx (kde A, B i Cjsou kladná čísla a C >A) je „přeložena" do následujícího modelu (»Překlad" musí být dvoj čestný proces, aby bylo možné operace na konkrétní úrovni převést do úrovně abstraktní a naopak.):

i

•4

A

•

I

I Druhou složkou modelování je „oddělení" nových objektů a operací, zavedených Modelem. Tato složka je tím, co řídí konstrukci abstraktnějšího matematického symbolického ^stému. Vrátíme-li se ke geometrickému modelu uvedenému výše, bude druhým krokem Porovnání oblastí: *

A

•

t x •f

B «

- 12 -

A

*
+

Třetím krokem je pak „oddělení" nových objektů a operací a vytvoření nové rovnice: (C~A)x = B. Konkrétnější návod, jak postupovat při výuce algebry, tentokrát s důrazem na algebraické výrazy, dává publikace Teória vyučovania matematiky 2 (Hejný a kol., 1990), podle které má práce s algebraickými výrazy 3 hladiny: 1) Modelování. Jde zde o vyjadřování slovního textu symboly. Nejčastěji probíhá formou imitování, kdy žáci postupují podle učitelova návodu. Tento postup však často vede k formalismu, proto

Hejný

navrhuje „prodloužit

období

přechodu

od

zápisů

nesymbolických k symbolickým" (str. 144). 2) Standardní manipulace, neboli úprava algebraických výrazů podle dobře známých pravidel. „Dobrá znalost standardních úprav algebraických výrazů je nevyhnutelným předpokladem dalšího matematického vzdělání." (Hejný, 1990) Této znalosti lze dosáhnout počítáním velkého množství úloh, zde je však důležité pečlivě vybírat úlohy, aby nedošlo k jedné z protikladných situací, a to, že úlohy jsou buď příliš obtížné, takže je slabší žáci nezvládají řešit, neboje naopak úloh mnoho snadných a nadanější žáci tak ztrácí motivaci a jsou otráveni. Řešením může být Hejným navrhovaná „Metoda tří cest": = a2 -b2.

„Chceme žáky naučit používat vztah (a + b\a-b)

Sestavíme dvě skupiny

úloh: I. Rozložte na součin: r 2 - s 2 , a 2 -42,25 -c2,4a2

-b2,9-25a2,36r2

-9,

25k3-k,a2 -3,12-3t2,x2-x4,3y2-9,p*-r\(Sx + (a - c)2 -(b-

c)2 ,(a-6b)2-

(3a - 2b)2,25 - (2u + 5)2,25m2 - (2m - n f ,

a 6 - 64,(V2 + 2 ) 2 - ( V 2 + l ) 2 . II. Roznásobte: {a-b\a^b),{x-x2\x + x2\(t2-2\2 2

y)2-z2,

+ t2\(p-2

+

r\p-2-r\

2

{r-sÍr +s \r j2№-2\y2+j3p3+2l/3-j2yš-j6\ + s\[2 + (a + b + c\a + b- c\a -b + c\- a + b + c) Z těchto úloh vytvoříme tři soubory. Do souboru A dáme prvních 10 úloh z I. a první tři z II. Do souboru B dáme z I. úlohy 2, 5, 6, 9, 11 až 14 a z II. úlohy 2 až 6. Do souboru C dáme z I. úlohy 4, 6, 12, 14 až 19 a z II. úlohy 4 až 8. Každý ze souborů představuje jednu cestu. Žáci si sami, podle vlastního uvážení volí ten soubor - tu cestu poznávání - která se jim zdá přiměřená. Slabší si volí mírné stoupání po cestě A, nejzdatnější stoupají po strmé cestě C." 3) Strategická manipulace, kdy „řešitel nevystačí s nacvičenými šablonami, ale potřebuje objevit myšlenku - strategii postupu - která by ho vedla k cíli" (Hejný, 1990).

- 13 -

Nezbývá než souhlasit s Hejného poznámkou, že totiž „ve vědomí studentů dominuje úroveň standardní manipulace a zcela chybí manipulace strategická" (str. 152), což je způsobeno především nedostatkem náročnějších úloh ve školské matematice.

2.5

Výuka algebry v praxi Většina učitelů se při zavádění algebry setkává u svých žáků s různými problémy (ty

největší jsou podrobněji rozebrány dále).

Jedním z nich je úprava jednoduchých algebraických výrazů, jako je např. výraz +

*

5 - 3* + 2. Žáci často nechápou, jakým způsobem mají daný výraz upravit a které členy

je možné mezi sebou sčítat a které nikoli. Nejsou rovněž schopni přijmout algebraický výraz za konečný výsledek úlohy. Studie provedená na toto téma (Tirosh, Even, Robinson, 1998) předkládá několik učitelských přístupů tak, jak byly vypozorovány při sledování výuky čtyř učitelů a

následnou diskusí s nimi. K jednotlivým přístupům jsou zde zároveň uvedeny názory

vyskytující se v odborné literatuře. Ráda bych na tomto místě uvedla tři, které jsou, podle mého názoru, ve výuce a v učebnicích nejčastěji používané. Nejčastějším přístupem bylo tzv. „seskupování podobných členů". V hodinách jedné 2

učitelek se žáci učili „seskupovat podobné členy" ještě před započetím samotného

zjednodušování algebraických výrazů, aniž by věděli, proč se této dovednosti učí. Tato m

etoda zaznamenala pozitivní výsledky a žáci byli schopni následně sčítat členy polynomů

bez

větších problémů. Na druhou stranu, jak je ve studii uvedeno, podle Davise (1998) nevidí

žáci v původní aktivitě žádný účel ani cíl, což může mít neočekávané následky. Dalším často používaným přístupem je tzv. „ovocný salát". „Princip tohoto přístupu tkví v

Předpokladu,

že

výrazy

jako

2a

+

5b

mohou

být

vykládány

jako

2

jablka a 5 banánů a být tak studenty viděny jako objekty samy o sobě." (Tirosh, Even,

R

°binson, 1998) To však, podle Pimma (1987), vede ke zmatení významu písmen

v

algebraických výrazech, kde písmena nejsou zástupnými symboly pro objekty, ale pro čísla.

"Tento přístup k překonávání obtíží přirovnáváním ke konkrétním objektům je v matematice Vel Šk

mi častý. Jsou však případy, jako je „ovocný salát", kdy takový přístup může způsobit více

°dy než užitku." (Tirosh, Even, Robinson, 1998) Třetím přístupem je nahrazování. Je založen na procesu, kdy „studenti dosadí ve dvou

k a z e c h čísla za proměnné a zkontrolují, je-li výsledné číslo stejné.... Tento přístup sice

- 14 -

nepovzbudí schopnost vidět algebraické výrazy jako objekty a konečné výsledky, pomůže však vidět, že si výrazy nejsou rovny." (Tirosh, Even, Robinson, 1998) Jak bychom se tedy měli k výuce algebry stavět? Jak radí autoři zde zmíněné studie, „pro učitele

je

důležité

být

seznámen

s

různými

výukovými

metodami

a uvědomovat si jejich pro a proti v různých souvislostech, s různými výukovými záměry a různými studenty. Učitelé by měli brát v úvahu možné krátko- i dlouhodobé důsledky Použití každé z metod ve vědomostech studentů a jejich porozumění jednotlivým faktům, Postupům, pojmům a myšlenkám, jakož i v poznání podstaty matematiky." (Tirosh, Even, Robinson, 1998) 2

-6

Problém č. 1: Pochopení symbolického jazyka algebry Prvním problémem, se kterým se při výuce algebry setkáme, je neschopnost žáků

Pochopit Jazyk algebry" a důvody pro jeho používání vůbec.

Žáci často nemají problémy s pochopením aritmetických operací a vlastností, když se však tyto začnou vyjadřovat symbolicky, tedy pomocí písmen místo čísel, nejsou schopni to

muto již známému, jen jinak vyjádřenému, porozumět. „Tento rozdíl mezi tím, jak se žáci potýkají s písmennými a číselnými výrazy, a mezi

následnými chybami se ukazuje být evidentní při současné práci na obou úrovních. Když například měli žáci pracovat současně se dvěma výrazy (2x3 2 ) 3 +(2 2 x5) a [ab2) a

+{crb)

využít zde co možná nejvíce vlastností umocňování, 50 % třídy se s úkolem vypořádalo

následovně: v aritmetickém případě nejdříve vypočítali součin tvořící základ pro umocnění a

dosáhli správného výsledku, zatímco v případě s písmeny pouze 10 % žáků pracovalo

s

Mocninami tak, že umocnili každý činitel součinu v závorce vnější mocninou; ostatní se do

^Šení úlohy vůbec nepustili." (Malara, Iaderosa, 1999) Dalším zdrojem potíží a chyb může být „množství významů a rolí, které může jeden s

ymbol ( S jednoznačným aritmetickým významem) mít v jazyce algebry. Podívejme se

například k

na

závorky:

v

jazyce

aritmetiky

jsou

používány

pouze

vyjádření neobvyklé přednosti jedné operace před druhou; v algebraickém jazyce může

^mbol 0 hrát stejnou roli, může však být použit rovněž jako pouhá hranice mezi dvěma kaménky, která nelze psát jedno za druhým. Tato nová funkce závorek je častým zdrojem Ch

yb žáků, kteří používají závorky

pouze

v jejich prvním významu: tímto způsobem dochází

- 15 -

k

chybám jako: ( - 2 + 5 ) x ( - 4 ) = + 3 x - 4 nebo ( - 2 + 5 ) x ( - 4 ) = + 3 - 4 2 , kde je naprosto

z

měněn požadovaný význam operace." (Malara, N. A., Iaderosa, R., 1999) Podle Bazziniho (1999) J e evidentní, že používání symbolických vyjádření může být

u

studentů zdrojem potíží. Rozvinutí jistého symbolického jazyka může ochudit význam

Jazyka užívaného dříve. Podíváme-li se na historický vývoj algebry, vidíme, že používání a

Porozumění „rétorické" a „synkopické" algebře (algebře zcela vyjadřované slovy a algebře

vyjadřované směsicí slov a symbolů) bylo poměrně snadné. Na druhou stranu, v symbolickém s

ystému může význam slov a operací stát stranou, neboť silou jazyka symbolů je odstranit

většinu rozdílů udržovaných jazykem přirozeným. Díky této jedinečnosti rozšiřuje jazyk s

ymbolů svou použitelnost, zároveň však produkuje jakousi sémantickou slabost: zdá se, že

takový jazyk je možné použít v jakémkoli kontextu, aniž by k nějakému přímo patřil. Zde je Původ propasti mezi symboly a jejich významy, který se potvrzuje nepružným použitím a

'gebraické symboliky mnoha studenty. Často se stává, že někteří studenti jsou schopni

Pochopit význam symbolů pouze při použití „rétorické" či „synkopické" algebry." Podle

Banzziniho

používají

studenti

„rétorickou"

metodu,

narozdíl

od

čistého

symbolického jazyka, spontánně a bez větších problémů. Studenti totiž často nejsou schopni r

°zpoznat „všechny možnosti algebraického kódu, čili sílu možnosti propojit různé vlastnosti

v

Jediném pojmenování" (Banzzini, 1999) a z toho pramení jejich částečné odmítání jazyka

^mbolů vůbec používat.

Výše uvedené problémy žáků mohou být vysvětleny nedostatkem tzv. smyslu pro symboly. Smysl pro symboly (v anglickém originále symbol sense) je označením pro "komplexní „cítění" symbolů, což obsahuje uvědomění si síly symbolů; rozpoznání, kdy je v

hodné symboly použít; schopnost pracovat se symbolickými vyjádřeními a interpretovat je;

s

mysl pro různé role, které symboly mohou hrát v různých souvislostech. Získávání smyslu

Pro

symboly je důležitým cílem výuky algebry." (Hoch, 2003) Otázkou zůstává, jak se tedy výkladu základů algebry ujmout tak, aby žáci co možná

e

jsnáze pochopili potřebu jejího zavedení a význam vyjadřování pomocí proměnných,

bedním z možných přístupů je již při výuce aritmetiky zavádět postupně používání písmen au

kazovat souvislosti mezi aritmetikou a algebrou, takže žáci dříve a přirozeněji dosáhnou

Sch

opnosti používat algebraickou symboliku. (Malara, Iaderosa, 1999) Zde však může nastat problém ve věku žáků, když se poprvé setkají se symbolickými

^jádřeními.

Na

jedné

straně

stojí

názor

s

Vmboi x se zde používá pro násobení.

- 16 -

právě

zmíněný,

že

čím

dříve

S Výukou algebry začneme, tím lépe jsou žáci schopni její vyjadřování vstřebat a pochopit, na druhou stranu se však můžeme setkat i s názorem, který bere v úvahu hledisko Psychologické: „Se systematickou výukou algebry se v Rusku začíná u dětí 13 let starých. Praktické školní zkušenosti ukazují, že zde, i přes předchozí přípravu, existují vážné obtíže v

procesu porozumění algebře. Objevuje se například psychologická bariéra, kdy děti nejsou

ochotné přijmout algebraickou symboliku a stejně tak nejsou schopné používat jazyka algebry jako prostředku zefektivnění jejich intelektuální práce. Navíc se děti začínají obávat abstraktnosti školního algebraického materiálu. Obtíže mohou být vysvětleny faktem, že ve výuce algebry nejsou rovnoměrně zastoupeny linie informační a psychologická. Důsledkem je. že poznatková zkušenost dítěte není dostatečně přebudována a dítě není psychologicky Připravené pro práci s algebraickými prostředky." (Rososhek, 1999)

2 7

Jak žáci chápou symbolická vyjádření Poté, co žáci pochopí, proč je někdy lepší použít symbolů namísto číselných vyjádření

a

naučí se se symbolickými vyjádřeními pracovat, setkáváme se s dalším problémem: žáci

stále nepřijímají písmena jako zobecněná čísla, natož pak jako proměnné v pravém smyslu slova. Hall (2002, podle Kuchemann, 1978) uvádí, že můžeme rozpoznat šest stupňů mterpretace písmen: 1 2

) „Písmeno vyčíslené" - písmeno má určitou numerickou hodnotu již od počátku;

) „Písmeno neuvažované" - písmeno je přijímáno jako bezvýznamné či přímo neexistující; „Písmeno přijímané jako konkrétní objekt";

4

) „Písmeno přijímané jako určitá neznámá" - písmeno je sice neznámou, má však určitou

h

°dnotu;

5)

»Písmeno uvažované jako zobecněné číslo" - písmeno může reprezentovat několik

^ ý c h hodnot; 6)

"Písmeno uvažované jako proměnná" - písmeno může reprezentovat mnoho blíže

Specifikovaných hodnot, které spolu určitým způsobem souvisí. Tato schopnost porozumění písmenům je, podle Halla, důležitá například z

při

jednodušování algebraických výrazů, kde se proměnné vyskytují, či při kontrole správnosti

^sledků.

- 17 -

Neschopnost přijímat písmena na vyšší úrovni než 4 pak způsobuje časté problémy a chyby, s

když

žáci

zaměňují

zjednodušování

algebraických

výrazů

řešením rovnic.

Jak vyplývá z Hallovy studie, je pro žáky mnohem snazší, když mají při řešení úlohy d°jít k výsledku, kterým je konkrétní číslo (jak je tomu zpravidla při řešení rovnic), než když Je Jejich úkolem výraz pouze zjednodušit. Zde totiž nemají jistotu, že jejich výsledek je skutečně nejjednodušším možným vyjádřením daného výrazu. Uvedený problém je pravděpodobně součástí širšího problému, který má převážná většina 2a

ků. j e j í m nedostatek schopnosti vidět a pochopit algebraickou strukturu, tedy již

2m Ja

'něného smyslu pro strukturu. Tento smysl je v článku Maureen Hoch (2005) definován

ko schopnost studenta rozpoznat známou strukturu v nejjednodušší formě, vhodnou

substitucí rozpoznat známou strukturu i ve formě komplexnější a vhodnými postupy se strukturou pracovat. Ve stejném článku je prezentován výzkum zaměřený mimo jiné právě na schopnost žáků r z

° Poznat známou algebraickou strukturu. Jedná se zde o výraz a 2 - b2. v

Žákům byly předloženy tři úlohy, ve kterých se vyskytoval výraz cr - b . Jejich úkolem kýlo rozložit výrazy na součin. Myšlenkové postupy dvou studentů, kteří správně nerozložili ani

jeden z výrazů, jsou ve studii popsány. Po několika individuálních rozhovorech byli oba

stu X'denti schopni vzorec použít i ve složitějších případech, kdy bylo třeba si uvědomit, které stl mani

struktury musíme nahradit, abychom dostali vzorec a 2 - b2 (tedy při strategické

Pulaci, podle Hejný, 1990). Na uvedeném výzkumu je zajímavé, že studenti si zpočátku vůbec neuvědomovali, že je

tre

ba Části zadaného výrazu nahradit, aby bylo možné použít vzorce, chyběl jim právě smysl strukturu. Během rozhovorů postupně nabyli schopnosti s danou strukturou pracovat

na

tolik5 že zvládli bez chyb řešit i úlohy, které jsou pro ostatní studenty extrémně náročné.

2,8

Shrnutí ^ Předchozích stránek je patrné, že problémy, které žáci při získávání základních

a

e

'§ braických poznatků často mají, mohou mít nej různější důvody, které si učitelé často yňu ec

neuvědomují, a špatné známky připisují pouze tomu, že se žáci doma dostatečně

Opravují, a snaží se problémy vyřešit zvyšováním počtu domácích úkolů. Přitom by někdy ačil

° se pouze zamyslet, je-li důležitost učiva, jehož dokonalé zvládnutí je po žácích

p

°Žadováno, úměrná času, který při jeho studiu stráví.

- 18 -

Otázce s tímto související, totiž postavení algebry v kurikulu pro zá věnována následující kapitola.

- 19 -

3.

Místo algebry ve výuce matematiky na základní škole Ještě než se pustím do samotného porovnávání výuky algebry v ČR a ve Finsku, uvedu

výsledky výzkumu provedeného mezi čtenáři časopisu Mathematics Education Dialogues, vydávaného

National

Council

of

Teachers

of

Mathematics.

Výzkum

byl

v časopise uvedený v roce 1999. Respondenti měli vyslovit své názory na to, co jsou základní schopnosti v sedmi matematických oblastech: aritmetika, měření, odhad, algebra a funkce, Seometrie, pravděpodobnost a statistika, strategie řešení problémů, přičemž bylo definováno, že

„schopnosti jsou základní, jsou-li považovány za nezbytné pro pozdější matematiku nebo

Pokud jsou považovány za tak důležité, že by se je každý měl naučit a být z nich zkoušen." (fcallheim, 1999) Výzkumu se zúčastnilo více než 540 respondentů. Za základní schopnosti v oblasti „algebra a funkce" byly uznány následující (v závorkách je procentuální zastoupení respondentů, kteří souhlasili s tím, že daná schopnost J e základní): * řešení lineárních rovnic bez použití nástrojů moderní techniky (91 %) * násobení polynomů (82 %) %

Používání kvadratického rozkladu („quadratic formula") (80 %) Zarážející je zjištění, že „oblast algebra a funkce byla jedinou, kde někteří čtenáři (2 %)

Uve

dli, že by za základní nepovažovali žádnou z uvedených schopností." (Ballheim, 1999)

Znamenalo by to, že podle některých učitelů (předpokládám, že čtenáři uvedeného časopisu js

ou převážně učitelé) nemá algebra ve výuce matematiky žádné místo. Tvůrci kurikula v obou mnou z tohoto hlediska zkoumaných zemí mají jiný názor

a al

gebru do osnov zahrnují, jak je uvedeno dále. Jak

V 8

v

České Republice, tak ve Finsku se s výukou základů algebry začíná

ročníku základní školy. Objem probraného učiva se však v obou zemích velmi liší.

Osnému obsahu tak, jak ho vykládají učebnice, se budu věnovat později, na tomto místě Por

°vnám přístupy k výuce podle osnov pro základní školu.

-20-

3

-l

Algebra v kurikulu v České Republice V České Republice jsou v Osnovách vzdělávacího programu Základní škola (1996)

základy algebry zahrnuty v učivu Výrazy, jehož obsah je dále popsán.

Učivo Číselný výraz. Hodnota číselného výrazu. Proměnná. Výraz s proměnnou. Celistvý výraz. Mnohočlen.

Co

Určování hodnot číselných výrazů. Výrazy s proměnnou. Dosazování do výrazu. Zápis slovního textu pomocí výrazů. Mnohočlen. Sčítání a odčítání mnohočlenů. Násobení mnohočlenu jednočlenem. Vytýkání před závorku. Násobení mnohočlenu mnohočlenem. Užití vzorců (a ± b)2, a1 - b2.

by měl žák umět

Určit hodnotu daného číselného výrazu. " Zapsat slovní text pomocí výrazů s proměnnými v jednoduchých případech. Sčítat a odčítat celistvé výrazy. Násobit výraz jednočlenem. Upravit výraz vytýkáním před závorku. ~~ Násobit dvojčlen dvojčlenem, trojčlen trojčlenem. ~~ Užívat vzorce (a ± b)2, a2-b2ke zjednodušení výrazů.

úklady rozšiřujícího učiva bělení mnohočlenu jedno a dvojčlenem. Užití vzorců (a ± b)\ a 3 -b\c? + b\ " Rozklad výrazu na součin kořenových činitelů. Geometrická znázornění úprav výrazů. V dokumentu, který má od začátku školního roku 2007/2008 začít výše uvedený program Ohrazovat, tedy v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní školy (2005) je učivo ele

mentární algebry zahrnuto v oddílu Matematika pro 2. stupeň základní školy v kapitole aproměnná.

Učivo této kapitoly je následující:

^ dělitelnost přirozených čísel - prvočíslo, číslo složené, násobek, dělitel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel, kritéria dělitelnosti celá čísla - čísla navzájem opačná, číselná osa desetinná čísla, zlomky - rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě; převracene číslo, smíšené číslo, složený zlomek Poměr - měřítko, úměra, trojčlenka vzdělávací program jsem vybrala proto, že je na základních školách i v učebnicích nepoužívanějším ^elávacím programem.

-21 -

procenta - procento, promile; základ, procentová část, počet procent; jednoduché úrokování mocniny a odmocniny - druhá mocnina a odmocnina výrazy - číselný výraz a jeho hodnota; proměnná, výrazy s proměnnými, mnohočleny rovnice - lineární rovnice, soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

^Čekávané výstupy žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu zaokrouhluje a provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor modeluje a řeší situace s využitím dělitelnosti v oboru přirozených čísel užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem, zlomkem, desetinným číslem, procentem) řeší modelováním a výpočtem situace vyjádřené poměrem; pracuje s měřítky map a plánů reší aplikační úlohy na procenta (i pro případ, že procentová část je větší než celek) matematizuje jednoduché reálné situace s využitím proměnných; určí hodnotu výrazu, sčítá a násobí mnohočleny, provádí rozklad mnohočlenu na součin pomocí vzorců a vytýkáním formuluje a řeší reálnou situaci pomocí rovnic a jejich soustav analyzuje a řeší jednoduché problémy, modeluje konkrétní situace, v nichž využívá matematický aparát v oboru celých a racionálních čísel Dalším dokumentem, který je pro výuku matematiky na základní škole doporučen, je

Publikace Standardy a testové úlohy zmatemtatiky vc

' eletých gymnázií

pro základní školy a nižší ročníky

(Fuchs, Hrubý, 2000). Zde je uvedeno doporučené učivo, které by měl

každý žák po absolvování základní školy (případně odpovídajících ročníků víceletých ^mnázií) ovládat. Algebra je zde zahrnuta v kapitole Výrazy a odpovídající výstupy jsou Sledující. 1. Výrazy • Sestavit číselný výraz. • Sestavit jednoduchý výraz s proměnnou. • Určit hodnotu výrazu pro danou hodnotu proměnné. Mnohočleny •

Na konkrétních příkladech mnohočlenů s jednou proměnnou aplikovat pojmy člen, koeficient, stupeň mnohočlenu, hodnota mnohočlenu. • Sčítat, odčítat, násobit mnohočleny, dělit mnohočlen jednočlenem. • Rozložit mnohočlen v součin vytýkáním nebo pomocí vzorců (A + II)2, (A-B)2, A2-tf. Lomené výrazy • • •

Rozlišit mnohočlen a lomený výraz Krátit lomené výrazy, rozšiřovat lomené výrazy číslem, jednočlenem, lineárním dvojčlenem. Sčítat, odčítat, násobit a dělit lomené výrazy.

-22-

Algebra v kurikulu ve Finsku Ve Finsku může každý učitel vyučovat podle vlastního plánu, který je založen na °becném kurikulu (viz níže) a dále na detailnějším kurikulu přijatém školou, na jehož vývoji Se

každý učitel podílí. Učitelé mají rovněž volnost ve výběru učebnic.4 (podle Malaty, 2006) Ve finském kurikulu (New Finnish Math Core Curricuhim, 2004) je učivo uvedeno

v

samostatné kapitole Algebra a stejně jako v Rámcovém vzdělávacím programu je učivo

6

-

ročníku shrnuto do jednoho celku:

Výraz a jeho zjednodušení Exponenciální výraz a jeho zjednodušení Pojem polynomu; sčítání, odčítání a násobení polynomů """ Pojem proměnné; počítání s proměnnou a její hodnota Rovnost, nerovnost, obor, oblast řešitelnosti Řešení rovnic prvního stupně Řešení neúplných kvadratických rovnic Poměr Soustavy rovnic a jejich algebraické a grafické řešení Studium a vyjadřování pořadí čísel

Kritéria pro závěrečné hodnocení v 8. ročníku 2ác

»ví,jak řešit rovnici prvního stupně zjednodušit jednoduché algebraické výrazy Provádět výpočty s mocninami

sestavit jednoduchou rovnici spojenou s problémem týkajícím se běžného života řešit ji buď algebraicky, nebo dedukcí použít soustavy rovnic k řešení jednoduchých problémů logicky ohodnotit výsledek a ověřit různé fáze řešení.

a

Zaměříme-li se ve všech třech dokumentech pouze na učivo spojené se symbolickými ^ a z y , vidíme, že finští žáci základní školy jsou „ochuzeni" především o schopnost „užívat v

Zorce (a ± b f , c? - b2 ke zjednodušení výrazů" (která je v Rámcovém vzdělávacím

Pr

°gramu uvedena pod očekávanými výstupy žáka, který „provádí rozklad mnohočlenu na

s

oučin pomocí vzorců a vytýkáním" a v publikaci autorů Fuchs, Hrubý (2000) je popsána

2

Působem podobným). Uvedené učivo je ve

Vět§

finských

učebnicích pro základní školu uvedeno pouze částečně,

í pozornost je mu věnována až na střední škole, podrobněji viz následující kapitoly.

Jde

zde tedy o jakousi obdobu našeho Školního vzdělávacího programu.

-23 -

Didaktická analýza českých učebnic Rozbor vybraných učebnic provedu pouze z obsahového hlediska. Hlavními body tohoto rozboru budou: řazení a obsah jednotlivých kapitol a podkapitol, způsob výkladu nového u

čiva a řešené příklady a cvičení. Cvičení dále rozdělím do skupin na základní úlohy, úlohy

obtížnějšího charakteru a úlohy slovní a „zajímavé"

(podle Korábová, 2003). Jako

»zajímavé" jsem označila úlohy, které se nějakým způsobem (nejčastěji zadáním) odlišují od uloh k procvičení daného celku běžně užívaných. Zařazení úloh mezi úlohy obtížnějšího charakteru vychází z jejich označení autory učebnice. Primárním cílem tohoto rozboru je zjistit charakter učební látky mnohočleny v českých učebnicích, především způsob výkladu a řazení jednotlivých částí tohoto učiva. Proto jsem do r

°zboru nezařadila cvičebnice a sbírky úloh, které jsou součástí některých řad učebnic. Hlavní body rozboru jsou uvedeny v tabulce, kde jsou pod čísly (1) - (9) rozebrány

Sledující učebnice: (1) Coufalová, J. a kol. (2000) Matematika pro osmý ročník ZŠ. Praha: Fortuna (2) Rosecká, Z. a kol. učitelů (1999) Algebra - učebnice pro 8. ročník. Brno: Nová škola (3) Trejbal, J. (1998) Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl. Praha: SPN (4) Odvárko, O., Kadleček, J. (2000) Matematika [1] pro 8. ročník základní školy. Praha: Prometheus (5) Šedivý, O. a kol. (1991) Matematika pro 8. ročník základní školy, I. díl. Praha: Prometheus (6) Šarounová, A. a kol. (1999) Matematika 8, II. díl. Praha: Prometheus (7) Novotná,

J., Kubínová,

M.,

Sýkora,

V.

(1998) Matematika

sBetkou

3.

Praha: Scientia (8) Molnár, J. a kol. (2000) Matematika 8. Olomouc: Prodos (9) Múllerová, J. a kol. (2000) Matematika pro 8. ročník základní školy. Algebra. Praha: Kvarta Vysvětlivky k následující tabulce jsou uvedeny za tabulkou.

-24-

4.1

Rozbor učebnic: tabulka Učebnice číslo Sčítání mnohočlenů: pořadí způsob výkladu Odčítání mnohočlenů: pořadí způsob výkladu

Učební látka

Násobení jednočlenů: pořadí způsob výkladu Dělení jednočlenů: pořadí způsob výkladu Násobení mnohočlenu jednočlenem: pořadí způsob výkladu Dělení mnohočlenu jednočlenem: pořadí způsob výkladu

Násobení mnohočlenu mnohočlenem: pořadí způsob výkladu

(1) 1.1 popis, příklad 1.2 popis, příklad 2.1 popis, příklad 2.2 popis, příklad 2.3 popis, příklad, obrázek 2.4 popis, příklad

3 popis, příklad, obrázek

(2) 1 příklad 2 příklad, popis dříve

(3) 1.1 příklad, popis 1.2 příklad, popis 2 příklad

(4) 1.1 popis, příklad 1.2 popis, příklad 2.1 příklad, popis 0

dříve

6.1 příklad

3 příklad, popis, obrázek 3.1 příklad

3 příklad, obrázek, popis 6.2 příklad, popis

2.2 popis, příklad

5 obrázek, popis

4 příklad, obrázek, popis

2.3 popis

0

(5) 1.1 příklad, popis 1.2 příklad, popis 2.1 příklad v 7. ročníku 2.2 příklad, popis, obrázek 3.1 popis (opak. ze 7. ročníku) 2.3 příklad, popis

(6) 1.1 příklad 1.2 popis, příklad 2.1 příklad, popis 4.1 opak. na př. 2.2 příklad, popis 4.2 příklad, popis

2.3 příklad, popis

(7) 1.2 popis, příklad 1.3 popis, příklad 1.1 popis, příklad 0

1.4 příklad, obrázek, popis 0

1.5 obrázek, popis, příklad

(8) 1 příklad, popis 1 příklad, popis dříve

3.1 ve cvičeních 2.2 ve cvičeních 3.2 ve cvičeních

2.3 příklad, popis

(9) 1.1 příklad, popis 1.2 popis, příklad 2.1 popis, příklad dříve

2.2 příklad, popis, obrázek 0

2.3 příklad, popis

es &

'5 v >u Es

(a + b)2: pořadí způsob výkladu

4.1

6.1

5.1

4.1

2.4

3.1

1.6

4

3.1

obrázek

obrázek, popis

příklad, obrázek, popis

příklad, popis

popis

příklad, obrázek, popis

příklad

obrázek, popis, příklad

příklad, popis, obrázek

(a - b)2: pořadí způsob výkladu

4.2

6.2

5.2

4.1

2.4

3.2

1.6

4

3.1

obrázek

popis

příklad

příklad

příklad, popis

(a + b)-(a-b): pořadí způsob výkladu

4.3

obrázek

Vytýkání před závorku: pořadí způsob výkladu Vytýkání dvojčlenu: pořadí způsob výkladu

Rozklad na součin pomocí vzorců: pořadí způsob výkladu

příklad, obrázek, popis

příklad, popis

popis

příklad

6.3

5.3

4.3

2.4

3.3

1.6

4

3.2

obrázek, popis

příklad, obrázek, popis

příklad

popis

příklad, popis

příklad

příklad

příklad, popis

2.5

4

7.1

3.1

3.2

4.3

0

2.1

0

popis, příklad

popis, příklad

popis, příklad

příklad, popis

příklad, popis

popis

2.5

4

7.1

3.2

3.3

5.1

příklad

příklad

příklad

příklad

7.2

4.2

3.4

úloha, popis

příklad, popis

ve (rozšiřucvičeních jící) příklad 4 0 ve cvičeních

popis

příklad

0

0

0

5.2

1.6

4

0

postup, příklad

ve cvičeních

ve cvičeních

-C «

•o S5 3

>U PH

Řešené příklady Základní úlohy Úlohy obtížnějšího charakteru Slovní a „zajímavé" úlohy Úlohy k opakování Úlohy celkem

41 286 26

61 287 18

103 188 17

26 250 27

42 153 42

10 22 zákl. +3 347

24 0 zákl. + 2 331

20 46 zákl. + 16 287

39 18 zákl.

5 0 zákl. + 10 210

334

92 284 neznačeny 16 24 zákl. +5 329

26 39 2

21 199 4

46 161 36

0 0

5 34 zákl. + 16 258

4 75 zákl. + 19 295

41

Vysvětlivky k tabulce: • Pořadí způsobů vysvětlení je důležité - vyjadřuje skutečné pořadí v učebnici (např. zápis „příklad, popis" značí, že popis je proveden přímo na příkladu, případně následuje po vyřešení příkladu, zatímco zápis „popis, příklad" říká, že příklad obsahující vysvětlení je uveden až po naznačení postupu; samotný „popis" vysvětluje postup bez ilustrace na příkladu, příklady mohou být dále uvedeny, ale k samotnému vyložení postupu nepřispívají). • Číslování kapitol a podkapitol udává, jak jsou za sebou v textu řazeny, neodpovídá však skutečnému číslování v učebnicích (například číslování 1.1, 1.2 ukazuje, že dané učební látky jsou v učebnici součástí jedné kapitoly, zatímco číslování 1, 2 značí, že každá z učebních látek tvoří samostatnou kapitolu). • Vytýkání před závorku: zatímco vytýkání čísla - 1 je v kapitole vždy zahrnuto jako jeden z případů vytýkání před závorku, uvedení vytýkání dvojčlenu se v učebnicích liší, proto se v tabulce vyskytuje samostatně. • Úlohy k opakování: počet úloh v závěrečném shrnutí celé kapitoly „mnohočleny". Např. zápis „4 zákl. + 3" značí, že se v úlohách k opakování vyskytují 4 úlohy základní a 3 úlohy jiné (obtížnějšího charakteru, slovní či „zajímavé"). 0 učivo není v dané učebnici vůbec obsaženo popis v učebnici je uveden přesný slovní popis postupu obrázek .jako pomocný prostředek k vysvětlení učiva je použit obrázek (viz dále) ve cvičeních učivo není vysvětleno, ve cvičeních jsou však obsaženy úlohy k jeho procvičení

i

2

Podrobnější rozbor hlavních tematických celků Výklad pojmů •

přístup k vysvětlení základních pojmů týkajících se mnohočlenů je ve všech učebnicích srovnatelný, pojmy, které jsou vyloženy ve všech učebnicích jsou: člen, jednočlen, hodnota výrazu (v některých učebnicích je tento pojem uveden až v dalších kapitolách)

•

v učebnici (9) jsou navíc uvedeny pojmy stupeň členu a stupeň mnohočlenu a v učebnicích (3) a (6) a (9) je vysvětlen rovněž pojem absolutní člen

•

v mnoha učebnicích je vysvětlení pojmů týkajících se učiva mnohočleny již u uvedení učiva o výrazech

Sčítání a odčítání mnohočlenů •

pouze v učebnicích (5), (6) a (9) je sčítání mnohočlenů zavedeno s využitím asociativnosti a komutativnosti sčítání

•

odčítání mnohočlenů je ve všech učebnicích vyjma (4) zavedeno jako přičítání opačného mnohočlenu

•

v učebnicích (2), (4), (6) a (9) je část kapitoly věnována vysvětlení, jak ověřit správnost výpočtu dosazením, v dalších je toto po žácích vyžadováno pouze ve cvičeních; v učebnicích (1) a (7) se tento způsob ověřování nevyskytuje

Násobení mnohočlenů •

ve všech učebnicích je nejdříve vysvětleno násobení jednočlenu jednočlenem ajednočlenu mnohočlenem

•

kromě násobení dvojčlenu dvojčlenem je ve všech učebnicích vyjma (7) vysvětlen rovněž postup násobení dvojčlenu trojčlenem (v (1) jen ve cvičeních jako úloha obtížnějšího charakteru) , kromě (1), (3) a (8) rovněž násobení tří dvojčlenů, ve (3) a (9) je navíc uveden součin dvou trojčlenů

•

v učebnicích jsou rozdíly v pojímání obtížnosti úloh, např. v (2) je úloha „Počítej, proveď zkoušku: (2x-3)(x 2 - x + l)-2x(x 2 +5x),

zkouška pro

x = 2" (str. 60, úloha 3a) uvedena jako obtížnější, zatímco ve všech ostatních učebnicích jsou úlohy podobného typu uvedeny jako úlohy základní

-28-

•

pokud se v učebnici vyskytuje u vysvětlení obrázek, má vždy charakter následujících obrázků

ab

násobení mnohočlenu jednočlenem

cb a +c

ad

bd

d

násobení mnohočlenu mnohočlenem ac

bc

c

Dělení jednočlenu jednočlenem, mnohočlenu jednočlenem •

jak je patrné z tabulky, toto učivo se v rámci učiva mnohočleny v 8. ročníku vyskytuje pouze v některých učebnicích

•

pokud se však učivo vyskytuje, postup při jeho výkladu je obdobný: na příkladu je vysvětlen postup, jak při provádění operace postupovat

Vytýkání společného činitele před závorku •

v učebnicích (5) a (6) je učivo vyloženo pomocí dělení mnohočlenu jednočlenem, ostatní učebnice využívají rozkladu jednotlivých členů na součin a určení největšího společného dělitele

•

pouze v učebnicích (3), (5) a (6) je v příkladu ukázáno rovněž postupné vytýkání

Vzorce (a + b f , (a - b)\ a2 - b2 •

v (5) a (6) je uveden i Výpočet výrazů ( - a + bf a ( - a - bf

•

ve (4) a (9) je jako obtížnější úloha s nápovědou zadána i druhá mocnina trojčlenu a třetí mocnina dvojčlenu

•

obrázek provázející výklad má vždy charakter následujících obrázků

-29-

Ca +

b)(a-b)=a2-b2

a-b

(a + b)2 = cí2 + 2 ab + b2 ab

b2

a2

ab

(a-b)2

a-b

= a2-2ab

+ b2

(a-b)1

ab

ab a-b

•

b

v (8) není toto učivo uvedeno v tematickém celku mnohočleny, je probíráno později v rámci tematického celku druhá mocnina a odmocnina

Rozklad mnohočlenů na součin pomoci vzorců •

v učebnici (2) je toto učivo uvedeno pouze částečně, a to v úloze „Doplň následující výraz jednočlenem tak, aby se rovnal druhé mocnině dvojčlenu:", např. 9a2 + * + 16b2 (str. 66, úloha 3b)

•

v (5) se mezi základními úlohami vyskytuje i např. „Rozložte na součin podle vzorce (a + b\a-b)\

(2/?-l) 2 -r2"

(str. 122, úloha 12a), stejně je tomu

i v (1) a (9); v ostatních učebnicích jsou úlohy podobného typu uvedeny jako úlohy obtížné, případně je k jejich řešení poskytnuta nápověda Ve všech učebnicích je v úlohách využíváno možnosti znázornit algebraická Pravidla geometricky, pouze v učebnicích (1) a (7) jsou geometrické významy ukázány jen při výkladu nového učiva.

-30-

Ve cvičeních jsou ve všech učebnicích velice podobné úlohy (v tabulce označeny jako základní), jako obtížnější jsou většinou označeny takové úlohy, u kterých jsou požadované operace popsány slovně či obrázkem, případně je v jedné úloze zastoupeno více operací dohromady.

4.3

Shrnutí Ve většině sledovaných učebnic jsou patrné společné znaky, především způsob

výkladu učiva (nejčastěji na příkladu) a charakter úloh k procvičování učiva. Rovněž řazení jednotlivých tematických celků je velice podobné, ve všech učebnicích po sobě následují operace s mnohočleny v pořadí sčítání, odčítání, násobení (pouze násobení jednočlenů je ve dvou učebnicích uvedeno dříve než sčítání mnohočlenů). Operace dělení je v některých učebnicích probírána spolu s operací násobení, v jiných je uvedena v souvislosti s učivem vytýkání před závorku. Ve třech učebnicích není dělení v rámci učiva mnohočleny v 8. ročníku probíráno vůbec. Zatímco vzorce pro úpravu mnohočlenů jsou uvedeny a vysvětleny ve všech učebnicích

bez výjimky (většinou

s využitím

pomocných

obrázků),

rozklad

mnohočlenů na součin s využitím těchto vzorců se nevyskytuje ve dvou učebnicích. Nejčastěji je postup rozkladu ukázán na příkladu, případně se zvládnutí tohoto učiva Předpokládá automaticky a je uvedeno jen ve cvičeních. Rozklad mnohočlenů na součin vytýkáním před závorku je probírán v sedmi učebnicích, více do hloubky (vytýkání dvojčlenu, složitější úlohy) pak v šesti učebnicích, v jedné z nich pouze v rámci rozšiřujícího učiva. Jak je vidět z následujícího grafu, počty řešených příkladů se v jednotlivých učebnicích velmi liší, vždy jich je však alespoň 20.

- 31 -

řešené příklady 120 100 •3

J

80

f

60

,8 o

40 20

0

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

učebnice

Vzhledem k tomu, že k některým řadám učebnic jsou zvlášť vydávány pracovní sešity či sbírky úloh, které jsem z výše uvedených důvodů do svého porovnání nezahrnula, nebudu zde porovnávat počty úloh v jednotlivých učebnicích. Zajímavé je však porovnání zastoupení úloh základních, obtížnějšího charakteru a slovních a „zajímavých". To můžeme vidět na následujícím grafu: •základní" úlohy • slovní a "zajímavé" úlohy

• úlohy obtížnějšího charakteru

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) učebnice

Ve všech učebnicích mají největší zastoupení úlohy základní (vždy více než 75 %). Zastoupení ostatních typů úloh se v jednotlivých učebnicích velmi liší, největší množství úloh obtížnějšího charakteru je uvedeno (nebo spíše označeno) v učebnici (5), slovních a„zajímavých" úloh je nejvíce v učebnici (4).

-32-

5.

Porovnání učiva mnohočleny v učebnicích pro základní školy v České Republice a ve Finsku Pro porovnání jsem vybrala jednu finskou ajednu českou učebnici. Finskou učebnicí je učebnice Kolmio. Matematiikan tietokirja (Jaakkola, Latva,

Nieminen, Tolvanen, Tuomaala,

1996)5. Tato učebnice mi byla doporučena

dr. Georgem Malatym, který vyučuje matematiku na Pedagogické fakultě Univerzity v

Joensuu, jako jedna z nejkvalitnějších učebnic. Je to učebnice, která obsahuje učivo

1- - 9. ročníku základní školy. Učivo je v ní rozděleno do 10 oblastí, které jsou řazeny podle ročníků, v nichž je doporučeno učivo probírat. Mnohočleny jsou obsahem 5. a 10. oblasti. Učebnice je doplněna cvičebnicí Matematiikan harjoituksia 7 - 9 (Jaakkola, Latva, Nieminen, Tolvanen, Tuomaala, 1992), kde je uvedeno množství úloh k procvičení. Učebnice samotná žádné úlohy neobsahuje. Českou učebnicí je Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl. (Trejbal, 1998). Vybrala jsem ji proto, že výklad učiva mnohočleny odpovídá většině obecných charakteristik vyvozených v předchozí analýze českých učebnic. Dalším důvodem je fakt, že řada učebnic, do které patří, je podle výzkumu uvedeného v Korábová (2003) druhou nejpoužívanější českou učebnicí pro výuku matematiky. K porovnání s uvedenou finskou učebnicí je vhodná pro vysoký počet řešených příkladů (jak je v

idět z následující tabulky, obě učebnice jich obsahují téměř stejný počet) a rovněž

díky podobnému roku vydání. Kapitola „Výrazy a jejich užití" (do níž spadá výklad učiva mnohočleny) je jednou z pěti hlavních kapitol tohoto dílu učebnice. Porovnání provedu stejným způsobem jako v předchozí části.

doslovný překlad této učebnice viz Příloha 1.

-33 -

5.1

Tabulka Učebnice číslo

Sčítání mnohočlenů: pořadí způsob výkladu Odčítání mnohočlenů: pořadí způsob výkladu Násobení jednočlenů: pořadí způsob výkladu Dělení jednočlenů: pořadí způsob výkladu Násobení mnohočlenu jednočlenem: pořadí způsob výkladu Dělení mnohočlenu jednočlenem: 1K«S pořadí způsob výkladu Násobení mnohočlenu a A mnohočlenem: pořadí £ způsob výkladu (a + b)2: pořadí způsob výkladu (a - b)2: pořadí způsob výkladu {a + b)-(a-b)\ pořadí způsob výkladu Vytýkání před závorku: pořadí způsob výkladu Vytýkání dvojčlenu: pořadí způsob výkladu Rozklad na součin pomocí vzorců: pořadí způsob výkladu Řešené příklady

5.2

1.1 popis, příklad 1.2 popis, příklad 2.1 příklad, popis 5.1 příklad, popis 2.2 příklad, obrázek, popis

Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl 1.1 příklad, popis 1.2 příklad, popis 2 příklad 6.1 příklad 3 příklad, obrázek, popis

5.2 příklad, popis

6.2 příklad, popis

3 příklad, obrázek, popis

4 příklad, obrázek, popis

4.2 popis

5.1 příklad, obrázek, popis

4.2 popis

5.2 příklad, obrázek, popis

4.1 popis 6.1 příklad, popis 0 6.2 popis

5.3 příklad, obrázek, popis 7.1 popis, příklad 7.1 příklad 7.2 popis

106

103

Kolmio. Matematiikan tietokirja

Porovnání hlavních tematických celků Výklad pojmů •

v obou učebnicích jsou vysvětleny pojmy člen, koeficient, proměnná, hodnota mnohočlenu, ve finské učebnici je však věnováno více prostoru pojmům samotným (od žáků je požadováno si všechny pojmy dobře zapamatovat),

-34-

zatímco v české učebnici je největší důraz kladen na výpočet hodnoty polynomu •

pojem stupeň mnohočlenu, který je ve finské učebnici vyložen spolu s ostatními pojmy, se v české učebnici na tomto místě nevyskytuje

Sčítání a odčítání mnohočlenů •

v obou učebnicích je nejdříve zdůrazněno, že lze sčítat pouze mnohočleny stejné proměnné a ve stejné mocnině

•

vysvětlení postupu při sčítání i odčítání mnohočlenů je v obou učebnicích srovnatelné, odčítání mnohočlenů je popsáno jako přičítání opačného mnohočlenu

•

ve finské učebnici je, na rozdíl od české, vysvětlen rovněž postup při odstraňování závorek, včetně hranatých a složených

•

pouze v české učebnici je uveden i geometrický příklad

Násobení mnohočlenů •

v obou učebnicích je nejdříve probíráno násobení jednočlenů a násobení mnohočlenu jednočlenem

•

pouze ve finské učebnici je při výkladu násobení jednočlenů použito pojmů asociativita a komutativita

•

postup při výkladu násobení mnohočlenu jednočlenem

i mnohočlenu

mnohočlenem j e v obou učebnicích srovnatelný, vždy je použito pomocného obrázku •

učivo mnohočleny

končí ve finské učebnici

násobením

mnohočlenu

jednočlenem, další je uvedeno v jiné kapitole

Vzorce (a + b)2, (a - b)2, a2 - b1 •

pouze v české učebnici je vysvětlení všech vzorců doplněno obrázkem

•

pouze v české učebnici je vysvětleno rovněž použití vzorce pro součin součtu a rozdílu k určení součinu dvou čísel (např. 84 • 76 = (80 + 4) • (80 - 4), str. 20)

Dělení jednočlenů jednočlenem, mnohočlenu jednočlenem •

postup výkladu je v obou učebnicích stejný, na příkladu je vysvětleno, jak operaci provádíme, uveden je rovněž slovní popis postupu

- 35 -

Vytýkání společného činitele před závorku •

ve finské učebnici je nejdříve uveden a vysvětlen prvočíselný rozklad čísel

•

ve finské učebnici je uvedeno jen vytýkání jednočlenu před závorku, v české učebnici je ukázán rovněž postup vytýkání čísla - 1, vytýkání dvojčlenu a postupné vytýkání

Rozklad mnohočlenů na součin pomocí vzorců •

výklad má v obou učebnicích podobný charakter, nejdříve jsou uvedeny příslušné vzorce a poté na příkladech vysvětlen postup rozkladu mnohočlenů na součin jejich použitím

•

v obou učebnicích je rovněž příklad, ve kterém je třeba nejdříve vytknout společného činitele před závorku a poté provést rozklad na součin pomocí vzorců

Rozsah jednotlivých tematických celků Ve všech českých učebnicích rozebíraných v první části této kapitoly je rozsah jednotlivých tematických celků víceméně stejný a rovněž důraz na ně kladený je podobný. Při porovnání tohoto rozsahu a důrazu ve finské a české učebnici naproti tomu nacházíme velké rozdíly. Tyto rozdíly znázorním ve dvou grafech, první z nich ukazuje podíl jednotlivých tematických celků na celkovém objemu učiva mnohočleny z hlediska rozsahu učební látky v učebnici, druhý porovnává počty řešených příkladů, uvedených u daného tematického celku6.

Finská učebnice obsahuje kromě uvedených hlavních tematických celků i celky, které do porovnání ezahrnuji (např. prvočíselný rozklad čísel - viz příloha 1). Proto se počet příkladů v daném grafu liší °d počtu příkladů uvedených v tabulce.

n

-36-

Rozsah tématických celků • Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl • Kolmio. Matematiikan tietokiija

Učivo: 1

Výklad pojmů

2

Sčítání a odčítání mnohočlenů

3

Násobení jednočlenů

4

Násobení mnohočlenu jednočlenem

5 Násobení mnohočlenů 6

Vzorce pro úpravu mnohočlenů

7 Dělení jednočlenů a mnohočlenu

Počty řešených příkladů k jednotlivým tématickým celkům • Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl • Kolmio. Matematiikan tietokiija

jednočlenem 8

Rozklad mnohočlenů na součin

Na první pohled můžeme z obou grafů vidět, že objem učiva vzorce pro úpravu Mnohočlenů a rozklad mnohočlenů na součin je v české učebnici výrazně vyšší jak 2

hlediska rozsahu, tak počtem příkladů. Naopak ve finské učebnici je více prostoru

Snováno učivu sčítání a odčítání mnohočlenů, násobení jednočlenů

a dělení

Jednočlenů a mnohočlenu jednočlenem. Zajímavým zjištěním je fakt, že zatímco výkladu základních pojmů je větší Prostor z hlediska rozsahu věnován v české učebnici, z hlediska počtu příkladů je to

mu naopak. Ke stejnému zjištění docházíme i porovnáním objemu učiva násobení

Mnohočlenu jednočlenem, kde je rozdíl skutečně výrazný. Při porovnání objemu učiva násobení mnohočlenů docházíme k výsledku opačnému, ve finské učebnici má učivo v

ětší rozsah, v české je pak uvedeno větší množství příkladů. Tyto rozdíly mohou být

-37-

dány přítomností úloh k procvičení učiva v české učebnici a jejich nepřítomností v

učebnici finské.

5.3

Shrnutí Řazení a způsob výkladu učiva se ukázalo být v české i finské učebnici velice

Podobným, jen v české učebnici je při výkladu učiva častěji používáno pomocných obrázků (viz tabulka).

Hlavním rozdílem, ke kterému jsem došla, je fakt, že učivu vzorce pro úpravu Mnohočlenů a rovněž tak učivu rozklad mnohočlenů na součin je v české učebnici věnován výrazně větší prostor než v učebnici finské. Pravděpodobným důvodem tohoto rozdílu je rozdíl v obsahové náplni českého a finského kurikula, který je v této Práci zdůrazněn již v závěru 4. kapitoly. Větší prostor uvedenému učivu je ve Finsku věnován na střední škole, proto v další části porovnám učivo v učebnicích pro střední školy.

-38-

mnohočleny

6.

Porovnání učiva mnohočleny v učebnicích pro střední školy v České Republice a ve Finsku Porovnání provedu stejným způsobem jako v předchozí části, opět vyberu jednu

finskou a jednu českou učebnici, které vzájemně porovnám. Vybranou

finskou učebnicí je

učebnice Pyramidi

2:

Polynomifunktiot.

7

(Kontakanen a kol., 2005) , kterou mi rovněž doporučil dr. Malaty. Matematika na střední škole ve Finsku se od české poněkud liší. Žáci si mohou vybrat ze dvou variant: tzv. krátké a dlouhé, kde krátká je stručnější - průměrný týdenní počet hodin matematiky jsou 3 hodiny, zatímco u dlouhé varianty mají žáci Matematiku průměrně 5 hodin týdně. Učebnice, kterou jsem si vybrala pro překlad, je pro dlouhou variantu výuky. Protože uvedená dlouhá varianta výuky je v České Republice srovnatelná s

výukou matematiky na gymnáziu, vybrala jsem pro porovnání jedinou dostupnou

Učebnici matematiky pro tento typ střední školy, učebnici Matematika pro gymnázia: Nákladní poznatky z matematiky (Eusek, Boček, Calda, 1992)8. K porovnání opět použiji tabulky a dále provedu podrobnější rozbor. Vzhledem ktomu, že úlohy k procvičení učiva jsou v obou učebnicích velice podobného charakteru 2

(převažují základní

úlohy,

ostatních je

zanedbatelné

minimum),

porovnání je vynechám.

Doslovný překlad této učebnice viz Příloha 2. Další dostupnou učebnicí je učebnice Matematika pro I. ročník gymnázii (Šmída, 1984), kterou však Pro rok vydání nepovažuji pro porovnání za vhodnou. 8

-39-

6.1

Tabulka Učebnice

Sčítání mnohočlenů: pořadí způsob výkladu Odčítání mnohočlenů: pořadí způsob výkladu Násobení jednočlenů: pořadí způsob výkladu Dělení jednočlenů: pořadí způsob výkladu Násobení mnohočlenu jednočlenem: pořadí způsob výkladu Dělení mnohočlenu jednočlenem: pořadí způsob výkladu Násobení mnohočlenu mnohočlenem: pořadí způsob výkladu

1k es a •O U s >•»«

6.2

Matematika pro gymnázia: Základní poznatky z matematiky 1.1 popis, příklad 1.1 popis, příklad 0 0

Pyramidi 2: Polynomifunktiot 1 příklad 1 příklad 2.1 příklad 0

0

2.2 příklad

1.3 příklad

0

1.1 popis, příklad

2.3 příklad

(a + b f : pořadí způsob výkladu

1.2 příklad

3.2 příklad, obrázek

(a - b f : pořadí způsob výkladu (a + b)-(a-b): pořadí způsob výkladu Vytýkání před závorku: pořadí způsob výkladu Vytýkání dvojčlenu: pořadí způsob výkladu Rozklad na součin pomocí vzorců: pořadí způsob výkladu Řešené příklady

1.2 příklad

3.3 příklad, obrázek

2 příklad

3.1 příklad, obrázek

2 popis 2 v příkladech 2 příklad

4.1 popis, příklad 4.1 příklad 4.2 příklad

26

57

Porovnání hlavních tematických celků Výklad pojmů •

zatímco ve finské učebnici je přístup k výkladu základních pojmů a rovněž jeho obsah srovnatelný s přístupem ve finské učebnici pro základní školu, v české učebnici jsou pojmy spíše pouze opakovány

-40-

•

v obou učebnicích se vyskytuje vysvětlení pojmů konstanta, proměnná, hodnota výrazu, absolutní člen, stupeň mnohočlenu či opačný mnohočlen, z pojmů neuvedených v učebnicích pro základní školy je v české učebnici navíc pojem definiční obor a obor proměnné či kvadratický a kubický mnohočlen, ve finské učebnici polynom o více proměnných

•

ve finské učebnici jsou polynomy značeny jako funkce (např. P(x))

•

řešené příklady v české učebnici jsou zaměřeny na určování podmínek, kdy má daný výraz smysl, a symbolický zápis slovního zadání, ve finské učebnici jsou v příkladech ukazovány významy pojmů

Operace s mnohočleny •

v české učebnici jsou operace sčítání, odčítání a násobení uvedeny v jednom řešeném příkladě spolu s popisem postupu, ve finské učebnici je popis podrobnější, pro vysvětlení

násobení

mnohočlenů je užíváno pojmů

distributivnost, asociativita a komutativita •

operace dělení mnohočlenů není ve finské učebnici uvedena vůbec, v učebnici české je naopak na příkladu ukázáno dělení mnohočlenu jednočlenem a dále pak uvedeno a vysvětleno dělení mnohočlenu mnohočlenem

Vzorce (a + b)2, (a - b)2, a2 - b2 •

ve finské učebnici jsou všechny vzorce vysvětleny podobným způsobem jako v českých učebnicích pro základní školy

•

v české učebnici jsou vzorce pro druhou mocninu součtu a rozdílu pouze vypsány, vzorec pro součin součtu a rozdílu je uveden až v kapitole Rozklad mnohočlenů

•

v české učebnici jsou vypsány a v příkladech i úlohách používány i vzorce pro třetí mocninu součtu a rozdílu a rozdíl třetích mocnin

Rozklad mnohočlenů na součin •

v obou učebnicích je tato látka uvedena v jedné kapitole, kde je stručně vysvětlen jak postup při vytýkání před závorku, tak rozklad mnohočlenů pomocí vzorců

•

ve finské učebnici je jako další způsob vysvětlen rovněž rozklad pomocí tzv. třídění, neboli uspořádání mnohočlenu tak, abychom z něj mohli vytknout či

-41-

použít vzorců - tento postup je v české učebnici používán bez zvláštního vysvětlení •

v obou učebnicích je vysvětlen rovněž postup rozkladu kvadratického trojčlenu, ve finské učebnici však v jiné kapitole určené pro studenty ve vyšších ročnících

6.3

Shrnutí Zatímco v České Republice se na střední škole od žáků očekává, že mají ze

základní školy jistý základ týkající se mnohočlenů a práce s nimi, z učebnice používané ve Finsku vidíme, že žáci probírají na střední škole celé učivo mnohočleny znovu. Hlavní rozdíly opět znázorním ve dvou grafech. Vzhledem ktomu, že v obou učebnicích je operacím s mnohočleny již věnován menší prostor než na základní škole, v české učebnici jsou navíc všechny operace uvedeny v jedné kapitole, shrnula jsem v grafech všechno učivo týkající se operací s mnohočleny do jedné položky. Rozsah tématických celků • Pyramidi 2: Polynomifiinktiot • Matematika pro gymnázia: Základní poznatky z matematiky

A

Učivo: 9

Výklad pojmů

10 Operace s mnohočleny 11 Vzorce pro úpravu mnohočlenů 1

2

3

4

UČÍVD

12 Rozklad mnohočlenů na součin

-42-

Počty řešených příkladů k jednotlivým tématickým celkům B Pyramidi 2: Polynomifunktiot • Matematika pro gymnázia: Základní poznatky z matematiky 25 20 15 10 5

0 učivo

Jak je z grafu patrné, ve finské učebnici je v porovnání s českou učebnicí věnován výrazně větší prostor řešeným příkladům (což ostatně můžeme vidět i v úvodní tabulce). V české učebnici je více prostoru věnováno výkladu základních pojmů a operacím s mnohočleny. Druhý fakt je způsoben především tím, že je v této kapitole probíráno zcela nové učivo (dělení mnohočlenů), které do výkladu ve finské učebnici vůbec zahrnuto není. Největším zaznamenaným rozdílem je pozornost věnovaná práci s mnohočleny pomocí vzorců, kdy v české učebnici je toto učivo spíše opakováno, zatímco ve finské učebnici je vykládáno jako učivo zcela nové. V porovnání s učebnicemi pro základní školu je v obou učebnicích učivo probíráno více do hloubky a je zde používáno odbornějších výrazů. Z hlediska obsahového i rozsahového je však finská učebnice pro střední školu srovnatelná spíše s českou učebnicí pro základní školu.

-43-

7.

Sbírka úloh Z prostudovaných učebnic jsem vybrala úlohy, které by, podle mého názoru,

měly být součástí výuky mnohočlenů na základní škole. Jsou to úlohy, které se vymykají běžnému způsobu procvičování učiva a můžeme se proto domnívat, že působí na žáky více motivačně. Mým cílem zde není podat vyčerpávající přehled úloh, které je možné k procvičení daného učiva použít. Úlohy jsem vybírala převážně z učebnic, protože právě ty jsou ve školách nejpoužívanějším zdrojem pro procvičování učiva. Použila jsem následující finské a české učebnice: (1) Metiáinen, A., Paasonen, I , Voutilainen, E. (1997) Polynomeja

jayhtálóitá.

Helsinki: Wsoy (2) Laurinolli, T., Luoma-aho, E., Sankilampi, T., Talvitie, K., Váhá-Vahe, O. (2004) Laskutaiío 8. Helsinki: Wsoy (3) Odvárko, O., Kadleček, J. (2000) Matematika [1] pro 8. ročník základní školy. Praha: Prométheus (4) Odvárko, O., Kadleček, J. (2000) Matematika [1] pro 8. ročník základní školy - Pracovní sešit. Praha: Prométheus (5) Rosecká,

Z.

a

kol.

(1999) Algebra

-

učebnice pro

8.

ročník.

Brno: Nová škola (6) Novotná, J., Kubínová, M., Sýkora, V. (1998) Pracovní sešit k učebnici Matematika s Betkou 3 pro 8. ročník základní školy. Praha: Scientia (7) Šedivý, O. a kol. (1991) Matematika pro 8. ročník základní školy, I. díl. Praha: Prometheus (8) Trejbal, J. (1998) Matematika

2. díl. Pro 8. ročník základní

školy.

Praha: SPN Úlohy k procvičení učiva mají v českých i finských učebnicích velice podobný charakter, lze je proto rozdělit do několika skupin podle společných znaků.

7.1

Doplňování výsledků operací do daných míst Pro tento typ úloh je charakteristické zadání, ve kterém jsou zapsány výrazy

podle určitého pravidla, a žákovým úkolem je doplnit další výrazy do prázdných míst podle téhož pravidla.

-44-

7.1.1

Úlohy s využitím vlastností magického čtverce

Všechny úlohy jsou určeny k procvičení sčítání a odčítání mnohočlenů zábavnější a často rovněž náročnější formou, než je tomu u úloh zadávaných jako „sečti mnohočleny ..." apod. U těchto úloh musí žáci kromě procvičované dovednosti prokázat také schopnost určit optimální pořadí prováděných kroků, aby cesta k určení výsledku byla co nejkratší. ^

V magickém čtverci jsou součty výrazů v každém řádku, v každém sloupci i po úhlopříčkách stejné. Přesvědč se, zda čtverec na obrázku je magickým čtvercem. (5, str. 49) (Řešení: sečtením výrazů v prvním řádku čtverce

4+z

7-3z

4 -z

získáme výsledek 15 - 3z. Stejný výsledek dostaneme i sečtením

výrazů

v ostatních

řádcích,

ve

sloupcích i po diagonálách.)

^

- 3z + 5

-r +5

z+5

6 —z

3 +z

6 - 3z

Vyřešte křížovku doplněním polynomů tak, že součty polynomů vodorovně, svisle i úhlopříčně jsou si rovny. (1, str. 36, úloha A6) Řešení: x+5

x+4

x+4

x- 9

x+5

x+ 1

x

x- 1

X x-5

x-4

-45-

x+9

x-4

všech

^

Doplň výrazy s písmeny k průsečíkům linek tvořících magickou hvězdu tak, aby se rovnaly součty S výrazů na linkách; není-li zadán součet, vypočítej ho. (6, str. 83, úloha 7.18a) 3a -9b

Charakter všech úloh (dvou z českých učebnic, jedné z finské) je stejný, žáci Musí nejdříve najít součet několika mnohočlenů a poté pomocí odčítání mnohočlenů v

hodně doplňovat prázdná políčka (kromě první úlohy, kde je třeba najít pouze

součty). Obtížnost úloh je různá, první je nejjednodušší, poslední nejobtížnější. Tato obtížnost je dána především množstvím výpočtů, které je nutné provést. Úlohy jsou vhodné pro skupinovou práci žáků, případně by bylo možné řešit je soutěžní formou (například tak, že učitel napíše zadání na tabuli a žáci hledají výraz, který je třeba doplnit na učitelem určené místo; u první úlohy hledají odpověď na otázku s tím, že za špatnou odpověď dostávají záporné body). Další možností, jak tyto úlohy ve výuce využít je vymýšlení zadání samotnými ^ky, řeší je pak žáci z jiné skupiny.

^•1.2

„Pyramidy"

Všechny úlohy tohoto typu se liší v podstatě jen zadávanými výrazy. Pyramidy se n

ejČastěji používají k procvičování operací sčítání a násobení.

-46-

^

Doplň pyramidu, v níž každý výraz vznikne sečtením dvou výrazů, které jsou pod ním. (6, str. 85, úloha 7,21 a)

-5(d-c)

28c - 3(d + č)

d-(c-3d)

Řešení:

I5d- 13c

24c + 9 d 34c - 9 d

30c - 8 d

4c -d

-5(d

28c-3(
18(7 - 10c

-

19Í/ - 14 c d-(c

c)

3 d)

15 d- 13 c

Pyramidy mohou žáci řešit samostatně či stejnou formou jako úlohy v 7.1. Dále o této formě procvičování učiva viz např. Kubínová, Stehlíková (2001).

^•2

Úlohy s geometrickým zadáním Úlohy jsou založeny na možnosti vyučovat algebru s využitím nástrojů

geometrie. Jejich použití ve výuce ukazuje žákům, že vědomosti získané při studiu algebry je možné uplatnit i v dalších odvětvích matematiky.

^•2.1

Počítání rozměrů obrazců a těles

Žáci při řešení těchto úloh používají vzorců známých z geometrie, do kterých dosazují algebraické výrazy. Tyto výrazy je obvykle třeba dále upravovat s využitím y

šech operací s mnohočleny včetně vytýkání před závorku. *

Délka úsečky je:

a)2xy

b)2(x + y)

x+y A f

*+>-A-

|

X

c) 2x + 2y (1, str. 42, úloha 12)

j

y

|

X

_j

Řešení: b), c)

y

Úloha z finské učebnice je zajímavá především počtem řešení (2). Schopnost na

jít obě správné odpovědi ukazuje na žákovo dobré porozumění učivu. Doporučila

-47-

bych ji proto pro závěrečné opakování učiva mnohočleny (jak je ostatně použita i v učebnici). V českých i finských učebnicích se vyskytuje množství různých úloh, kde mají žáci hledat obsah dvourozměrného obrazce. ^

Zapište a upravte výraz pro obsah trojúhelníka. (2, str. 210, úloha L218)

a)

Řešení: 4x(5x + 2) 2 a)S = — = lOx +4* 5x + 2 6jc(4X + 3) , b) 5 = — ^ = 12x + 9* 4x + 3

^

Urči podle rozměrů z obrázku, kolikrát menší je obsah čtverce než obsah trojúhelníka. (4, str. 64, úloha 7)

3d /

Řešení: obsah čtverce: cf obsah trojúhelníka: 6
\

n 2d

K vyřešení obou úloh musí žáci znát vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníka, Čímž se stávají vhodnými pro závěrečná opakování nejen celku mnohočleny. Druhá 2

úloh je o něco obtížnější než první, neboť po žácích vyžaduje rovněž jistou

schopnost vyjadřovat vztahy mezi čísly a neznámými. První úloha je naopak obtížnější z hlediska úpravy mnohočlenů. Obě úlohy jsou vhodné především pro samostatnou práci žáků. Stejný charakter mají i některé úlohy týkající se vzorců pro upravování Mnohočlenů. Následující úloha napomáhá žákovu uvědomění si významu vzorce (a + b f . ^

Urči podle obrázků a) obsah vybarvené plochy v obrázku 1. b) obsah vybarvené plochy v obrázku 2.

-48-

c) obsah nevybarvené plochy v obrázku 2. Porovnej součet obsahů z b) a c) s obsahem z a). Poznáváš známý vzorec? (4, str. 68, úloha 3. Dva shodné čtverce) 1.

2. b a +b

Řešení: a) S = (a + b/ b ) S = a2 + b2 c) S = 2 ab

a +b

Úlohu je možné použít jak při samotném výkladu učiva, tak při samostatné práci žáků, kdy potřebujeme, aby si uvědomili, jaké je přesné znění daného vzorce (může pak sloužit jako nápověda při řešení dalších úloh na použití tohoto vzorce). Úlohy tohoto typu můžeme nalézt rovněž v třídimenzionálním

prostoru.

V učebnicích se nevyskytují příliš často, jednu jsem nalezla ve finské učebnici. >

Hrana každé z krychlí tvořících těleso má délku 2x\ Zapište a upravte vzorec pro a) objem, b) povrch tělesa. (2, str. 91, úloha 473) Řešení: a) V = 4 - 8 r ) = 32x? b) S = 4 • 6 • (2*3)2 = 96x6

Tato úloha již může být pro žáky poměrně náročná, neboť kromě jiného vyžaduje i prostorovou představivost (především k výpočtu povrchu tělesa). Doporučila bych ji pro skupinovou práci žáků s využitím názorných pomůcek a následným řešením úloh podobného charakteru.

7.2.2

Počítání s obsahy obrazců

Zde je kromě prostého použití známých geometrických vzorců potřeba umět tyto vzorce vhodně aplikovat a dále s nimi pracovat. Většinou se jedná o úlohy, ve kterých Žák musí odčítat obsahy obrazců.

-49-

^

Určete a zjednodušte výraz, který vyjadřuje obsah tmavé části. (1, str. 41, úloha B12) a)

6x - 3

b)

Řešeni: a) S = lx(6x - 3) - (2x • 3x + 4x • x) = 32*2 - 21x b) S = 3x(7x - 4) - 2x(5x + 1) = 1 lx 2 - 14x

V této úloze na úpravu mnohočlenů potřebují žáci znát pouze vzorec pro obsah °bdélníka a uvědomit si, že k získání výsledku je třeba obsahy obdélníků odečíst (a u úlohy a) rozpoznat, které obsahy odečítat a které naopak sčítat). ^

a) Vypočítej obsah vybarveného obrazce. b) Odhadni, zda má větší obvod vybarvený obrazec, nebo obdélník o délkách stran 6a ad. Potom svůj odhad ověř. (3, str. 69, úloha 5. Obsahy a obvody) f b

Řešení: a) S = 6ab -[4ab+\ba+]ba^

•b

=

b) Oba obvody jsou si rovny.

4a

Oproti předchozí je tato úloha obtížnější nejen pro náročnost obrazce, ale i pro Ctnost správné práce se zlomky.

- 50 -

>

Zapište a vypočítejte obsah fialové části víte-li, že čtverec v úloze a) je rozdělen na 9 menších čtverců a čtverec ve středu obsahuje tři fialové čtverce. V úloze b) je čtverec rozdělen na 4 čtverce a každý z fialových čtverců obsahuje světlý čtverec. (2, str. 212, úloha L239) Řešení: a) S = 4 • ( 9 / ) + 3- (3x)2 = 351*2 b) S = 4 • 4 • (4x)2 / 2 = 128*2

b)

16*

>

Zapište a vypočítejte obsah fialové části. (2, str. 212, úloha L240) a)

b)

Á

Řešení: a)3x(3x + 4 x ) / 2 = 1 0 , 5 / b)xx/2 = x?/2

Obě úlohy jsou pro žáky vysoce náročné a většina jich pravděpodobně bude potřebovat učitelovu nápovědu. Proto bych je doporučovala ke skupinové práci s učitelovou kontrolou dílčích výsledků (žáci pracují a vymýšlí možné postupy, zatímco učitel mezi nimi prochází a kontroluje, případně pokládá návodné otázky apod.).

7.3

Slovní úlohy Jde o úlohy procvičující všechny operace s mnohočleny a jejich úpravy. Po

žácích je vyžadována schopnost porozumět matematickému textu vyjádřenému slovy, což pro ně může být velmi náročné. Nejzákladnějšími a rovněž nejčastějšími úlohami tohoto typu jsou úlohy, ve kterých je pouze slovně popsána určitá operace.

-51-

>

Od trojnásobku dvojčlenu 5n - 2 odečti dvojnásobek dvojčlenu 3n + 1; získaný výraz vyjádři jako dvojčlen. (3, str. 74, úloha 12) Řešení: 3(5« - 2) - 2(3« + 1) = 9n - 8

Přestože řešení této úlohy není obtížné, pro žáky může být velkým problémem převést zadání do řeči symbolů. Úlohy podobného typu by měly být ve výuce používány co nejčastěji, protože učiteli ukazují úroveň žákovského porozumění řeči symbolů. Další skupinou slovních úloh jsou úlohy s geometrickou tématikou. ^

Jeden pozemek má tvar čtverce, druhý pozemek má tvar obdélníku; přitom jedna strana obdélníku je o 30 metrů delší a druhá o 30 metrů kratší než strana čtverce. Který pozemek má větší výměru? (3, str. 82, úloha 15. Pro přemýšlivé) Řešení: Větší výměru má pozemek čtvercového tvaru, neboť jeho obsah je a2, zatímco obsah druhého pozemku je (a + 30)(a - 30) = a2 - 900.

V této úloze se kombinují vlastnosti úloh s geometrickým zadáním s úlohami slovními, čímž je zvýšena náročnost úlohy. Žáci musí zadání nejdříve převést na geometrické (tj. načrtnout si obrázek) a poté řešit úlohu s geometrickým zadáním. K úlohám, s jejichž řešením mají žáci největší problémy, patří úlohy důkazové. Úlohy s mnohočleny, v nichž se po žákovi vyžaduje provést důkaz, budou pro většinu žáků pravděpodobně neřešitelným problémem. Ten je dán tím, že žákovým úkolem není pouze převést text do řeči symbolů a jako takovou úlohu vyřešit. U důkazových úloh musí žák sám přijít na to, co vlastně má do řeči symbolů převádět, a poté přemýšlet, jaký bude další postup. Přitom žáci často ani nechápou, co je po nich vyžadováno. Podobných úloh se v učebnicích nevyskytuje příliš mnoho, já jsem z nich vybrala dvě. ^

„Mysli si přirozené číslo menší než deset. Přičti k němu jeho druhou mocninu a řekni mi součet. Já ti řeknu, které číslo sis myslel." a) Postupovali jsme podle Pepova pokynu a vyšel nám součet 42. Pepa naše myšlené číslo uhodl. Zkus také určit, které číslo jsme si mysleli.

- 52 -

b) Pepa nám prozradil svůj trik: „Součet je součin myšleného čísla s číslem o jedna větším, tak mi stačí malá násobilka." Dokaž, že má Pepa pravdu. (4, str. 67, úloha 6. Kouzelník Pepa) Řešení: a) Myšleným číslem je číslo 6. b) x + x2 = x(x + 1)

>

Jsou dána tři po sobě následující sudá přirozená čísla. Zdůvodněte, proč druhá mocnina prostředního čísla je o 4 větší než součin zbývajících dvou čísel. (Návod: Prostřední, sudé číslo označte s (5 > 4). Číslo, které mu předchází, je (5 - 2) a číslo, které za ním následuje, je...). (8, str. 20, úloha 14) Řešení: (s - 2)fo + 2) = s 2 - 4

U obou úloh je pro jejich náročnost uvedena nápověda, která žákům pomůže při symbolickém zápisu. Podobné úlohy doporučuji zadávat žákům k domácímu řešení a hodnotit zvláštními body (za předpokladu, že žák je schopen postup uspokojivě vysvětlit, nejen odevzdat vyřešenou úlohu).

7.4

Doplňování výrazů do výpočtů Tento typ úloh se v českých učebnicích vyskytuje velice často. Jde o úlohy, ve

kterých je zapsána úprava mnohočlenu, některé členy jsou však vynechány. Po žákovi je vyžadováno tyto členy doplnit. >

Doplňte takový člen, aby platila rovnost: 5x + I5y - Q = 5(x + 3y- 2z) (7, str. 120, úloha 3) Řešení: 5x + 1 5 y - lOz = 5(x +

3y-2z)

Úloha není příliš náročná a většina žáků bude pravděpodobně schopna ji vyřešit bez větších problémů. Přesto jsou podobné úlohy vítanou změnou od standardně zadávaných úloh, kdy je naznačena operace a po žákovi požadován výsledek. Ve finských učebnicích jsou tyto úlohy rovněž často používány, v jedné z nich jsem našla i úlohu zajímavější, propojenou s geometrií. >

Doplňte vynechané členy a zapište je do náčrtku. (2, str. 212, úloha L241)

- 53 -

a

)

( • + D ) - ( 2 X + 5 ) = 2x 2 +9X + 10 2x

5

•I

b)

( 2 x + n ) - ( n + l ) = 6x2+llx + 3

•

Řešení: a) (x + 2) • (2x + 5) = 2Č + 9x + 10

El

2x

•

2x

5

ml b) (2x + 3) • (3x + 1) = Gx2 + 1 lx + 3

1 2x

m

Žáci na této úrovni budou pravděpodobně podobné úlohy řešit metodou pokus omyl, případně úvahou s využitím dělení jednočlenů. Učitelovým úkolem je, aby žákům dále zdůraznil, že zatímco v úloze a) je pořadí členů při zapisování do náčrtku libovolné (a dokazuje tak komutativnost sčítání), v úloze b) již musíme dbát na to, který člen do kterého okénka zapíšeme. Úlohy tohoto typu bych doporučila pro zadávání formou tzv. soutěžních úloh, kdy všichni žáci dostanou stejné zadání a snaží se být v řešení nejrychlejší. První tři (Čtyři, ...) dostanou bod (malou jedničku, ...).

7.5

Další úlohy Poslední skupinou úloh jsou takové úlohy, které se vyskytují pouze v některých

učebnicích a nelze je zařadit do některého z výše uvedených typů úloh. ^

Hodíme do terče dvěma šipkami. Šipky zasáhly různá pole. Která pole byla zasažena, je-li a) součet, b) rozdíl jejich hodnot - 3x + 2? (2, str.83, úloha 423)

- 54 -

~4x + 1 I

-2x - 3

Řešení: a) JC + 1 + (- 4x + 1) = - 3x + 2 2x + 3 + ( - 5x - 1) = - 3x + 2 b) - 5 x - l - ( - 2 x - 3 ) = - 3 x + 2 — JC + 3 — (Zr + l) = - 3 x + 2

2x + 3 2x -f ) ^JVMĚĚM? I

-x + 3

-5x~ 1

(

>

v

#

Hodíme do terče dvěma šipkami. Šipky zasáhly různá pole. Která pole byla zasažena, je-li jejich součin a) 9x2 - 16, b) \2x2 - Ix - 12? (2, str. 89, úloha 459)

_ 4 №Iaffi.

dr -1

4x + 3

Řešení: i a) (3x - 4)(3x + 4) = 9x2 - 16 b) (3x-4)(4jc + 3)= Ux^-lx-

12

3^ + 4

V uvedené finské učebnici se podobné úlohy vyskytují velice často. Já jsem vybrala dvě, ze kterých je patrné, že zadání je možné použít k procvičování různých operací či úprav mnohočlenů. Žáci řeší úlohy metodou pokus - omyl a nikdy neví, má-li úloha více řešení či pouze jediné. Úlohy můžeme zadat s dovětkem „najdi všechna řešení", čímž se stanou obtížnějšími, neboť žáci pak musí buď vyzkoušet všechny kombinace mnohočlenů, nebo ukázat, proč ostatní kombinace není třeba zkoušet. Úlohy jsou vhodné pro tzv. matematické rozcvičky na začátku hodiny. Zajímavou úlohou, která naučí žáky zobecňovat a používat symbolická vyjádření při seznamování se s mnohočleny, je následující. ^

Zakreslete prvních pět tvarů podle naznačeného vzoru. Zapište do tabulky, kolik zápalek každý tvar obsahuje. Kolik zápalek bude obsaženo v n-tém tvaru? (2, str. 93, úloha 489)

-55-

a)

«

~

•

1. kuvio

..

„

_

•

'

2. kuvio

3 . kuvio

b) A •—

»-

A/

»

4-

2. kuvio

1. kuvio

Řešení: a) tvar č. počet zápalek b) tvarč. počet zápalek

3. kuvio

1 3

2 6

1 3

2 5

3 9

n 3n

3 7

n 2/7

+1

Motivačně zajímavější se úloha stane, použijeme-li při jejím řešení opravdové zápalky či párátka. Po vyřešení této úlohy mohou žáci zkoušet sestavovat nové tvary a zadávat je svým spolužákům. Úloha je vhodná pro skupinovou práci. Následující dvě úlohy, jedna z české, druhá z finské učebnice, jsou stejného typu a v jiných učebnicích jsem je nenalezla. Jsou to úlohy, jejichž vyřešením získá žák tajenku s informací. Získávání konkrétního výsledku dává úlohám výrazný motivační náboj. >

Zjednodušte. Řešením je skotský matematik narozený v roce 1500. (2, str. 91, úloha 460) 4x + 3-4x a) 4x+3-4x

b) 10x-3-3x

2X2 + 4X-X 2

lx - 8 x • 2 x

>

d) lx2 - 3 x • 2 x 3

2

Řešení: a) 16x b) x c) 6x2 d) x2 e) - 9x2 f) - 8JC2 Hledaným matematikem je Napier.

5

f)- * ~ *-*

p

I

E

N

A

R

6X2

x2

-9X 2

16x

X

-8X 2

Tunel pod kanálem (tajenka) je jedním z největších stavebních projektů 20. století. Umožňuje vysokorychlostní železniční spojení sloužící pro přepravu lidí i nákladu. (5, str. 61, Zajímavostí)

Název kanálu: II 2x4 : 2 =

^

Šifra k tajence: X4

3x4

2

1

xJ

0

A

E

CH

L

M

N

2x4 : 2x = 2x4 - x 4 = 2x4 - 2x4 = li **

Řešení: V tajence jsou po řadč výrazy: 1, jc4, x3, x 4 ,0, 2, 3x4. Hledaným kanálem je LaManche.

2x4 + x4 =

- 56 -

Ventilační systém tunelu zajišťuje, že nedojde k nahromadění jedovatých a výbušných plynů. Vzduch v něm je stále suchý a čistý. Z druhé úlohy vidíme, že tímto typem úloh můžeme velice snadno uplatňovat mezipředmětové vztahy (žáci mohou v tajenkách získávat různé typy informací z různých oborů). Úlohy je možné použít různými způsoby, učitel například může zadání napsat na tabuli a vyvolávat žáky, kteří doplňují jednotlivá písmena. Žáci pak mohou sami říkat, jaký je význam výsledného slova. Další způsob procvičování učiva, který považuji za velmi vhodný pro použití ve výuce, byl uveden v časopisu

Učitel matematiky

(Hejný, Stehlíková,

1997;

Stehlíková, 2000). Zadávané úlohy jsou napsané na kartičkách, které jsou stupňovány podle obtížnosti, na každé úrovni je více kartiček. Žáci si svou počáteční úroveň (kategorii) vybírají sami podle svých schopností, při vyřešení dané kartičky na méně než 50 % sestupují do kategorie nižší, při dosažení n nebo n - 1 (z celkového počtu n) bodů, postupují do vyšší kategorie. V článku uvedený příklad použití této techniky, „minitabulky", je možné s menšími úpravami použít pro nácvik násobení mnohočlenu jednočlenem. Vytvoříme několik kartiček sedmi obtížností (kategorií), které značíme písmeny AažG. „Zadání úlohy. Čísla v prvním sloupci a v prvním řádku minitabulky (čísla ze zadávacího pole - pozn.) se mezi sebou násobí, výsledek se zapíše do prázdných Čtverečků. Doplňte všechna čísla. V prvním sloupci a prvním řádku jsou použita čísla 2 až 9 a každé z nich právě jednou." (Stehlíková, 2000). U proměnných v prvním sloupci se vyskytují pouze koeficienty 2 až 5, každý z nich rovněž právě jednou. Zadávací kartičky mohou být například následující: Kategorie A X

6

1

2

X 7 8 6 2 2a+ 3 14a + 21 16a + 24 12a + 18 4a + 6 4a-9 28a -63 32a-72 24a 54 8a- 18 3a-5 21a -35 24a - 40 18a 30 6a- 10 5a+ 4 35a+ 28 40a + 32 30a + 24• 10a + 8

2a + 3 4a-9

Řešení:

32a - 72

3a-5 5a+ 4

- 57 -

Kategorie B X

5

2

3

Řešení:

2 3 5 6 36-4 156 - 20 186 - 24 66 8 96- 12 26 + 8 106 + 40 126 + 48 46 + 16 66 + 24 46 + 7 206 + 35 246 + 42 86 + 14 126 + 21 56-9 256 45 306 - 54 106- 18 156-27 X

3b-4 12 b + 4 8

4b + 7 5b-9 Kategorie C X

9

3

Řešení:

3 3c-8 9c-24 2c-7 6c-21 5c+ 2 15c + 6 4c+ 6 12c+ 18 X

3c - 8 8c-28

10c-35

5c+ 2

4 12c-32 8c-28 20c + 8 16c+ 24

9 5 27c 72 15c -40 18c - 63 10c-35 45c + 18 25c + 10 36c + 54 20 c + 30

4c+ 6

Kategorie D X

1

5

X 7 9 3 5 5d+8 35d i 56 45c/+72 15c/ + 24 25tf + 40 3c/- 4 2lrf 28 21d - 36 9c/- 12 15 d 20 2d + 6 14c/ + 42 18ef + 54 6 d+ 18 1 Od + 30 4d-2 28c/ 14 36c/ 18 12 d 6 20 d- 10

5d+% 21d- 3 6

Řešení:

9d- 12

18í/+54

4d-2 Kategorie E X

4

Řešení:

4 2 9 3 4e - 7 16e 28 8e- 14 36« 63 12e - 21 3e + 8 12e + 32 6e i 16 27c + 72 9e + 24 2e - 5 8e 20 4e 10 18e - 45 6e- 15 5e + 6 20e + 24 lOe i 12 45c + 54 15c + 18 X

8 e - 14

12c-21

3c + 8 18c - 4 5

6 c - 15

5e + 6

Kategorie F X

Řešení: 1 8 / - 72

X 6 2 4 9 2/-8 8/- 32 18/-72 4/- 16 12/- 48 5/+ 7 20/1 28 45/+ 63 10/+ 14 30/+ 42 4/+5 16/+ 20 36/+ 45 8/+ 10 24/+ 30 3/ - 3 12/- 12 27/ 27 í>f-6 18/- 18

4/-16

4 5 / + 63 3 6 / + 45 1 2 / - 12

18/-18

- 58 -

Kategorie G X

Řešení:

X 2g + 9 4g + 2 5g-3 3g-6

Sg + 36 2 8 g + 14 20g-

12

7 5 4 8 10g + 45 14g + 63 8g + 36 16g + 72 20g + 10 28g + 14 16g4 8 32g+16 25g - 15 35g-21 20g - 12 40g 24 15g-30 21 g 42 12g-24 24g - 48

24g-48

15g-30

Uvedené tzv. aritmetické závody, jak je tento způsob v článku pojmenován, jsou vhodné k použití především po probrání většího tematického celku -

kjeho

zopakování. Závodům je vhodné vyhradit celou vyučovací hodinu. Poslední ukázka souvisí s výukou násobení mnohočlenů. Přestože se jedná o způsob výkladu učiva, je možné jej použít i k procvičování učiva, proto ho zařazuji právě do této části práce. Článek byl uveden v časopise Mathematics Teacher (Juraschek, Angle, 1986). Tento nástroj pro výuku násobení algebraických výrazů vychází ze známého přístupu k výuce vzorce (a + b)2.

ab

b2 (a + b)2 = d2 + lab + b2

a2

ab

-59-

Tuto síť je možno dále rozšířit. b b b b

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

Rozšířené sítě využijeme k násobení dvojčlenů. Například k výpočtu součinu (2a + b)(a + 3 b) vyznačíme v síti obdélník stranách 2a + b a a + 3b. Obsahem tohoto obdélníka je součet obsahů 12 ploch (dvě obsahu a 2 , sedm o obsahu ab a tři o obsahu b2).

ab

ab

b2

ab

ab

b2

ab

ab

b2

a2

a2

ab

a

b

a

-60-

b

b

b

Výsledkem je tedy (2a + b)(a + 3b) = 2a2 + lab + 3b2. „Přestože by bylo možné obdélník odpovídajících rozměrů k ilustraci součinu načrtnout, použití připravené binomické sítě činí řešení úlohy jednoduchým, rychlým a zjevným." (Juraschek, Angle, 1986) Pro řešení úloh se zápornými členy je zde nabídnut postup, kdy oblasti pro

-b

a

a

a

-b

-b

-b

-b

záporné členy v síti šrafújeme, viz příklad pro součin (a - 3b)(2a - b). Součet oblastí zapíšeme tak, že pro oblasti nevyšrafované a oblasti vyšrafované dvakrát používáme „+", zatímco pro oblasti vyšrafované jednou používáme „-". Součinem je tedy polynom 2a2 - 6ab ~ab + 3b2 = 2a2 - lab + 3b2. „Protože se tato metoda může studentům zdát náhodnou kombinací sčítání a odčítání,

navrhujeme

následující

vysvětlení: jelikož

nevyšrafované

oblasti

představují součin dvou kladných čísel, jsou přičítány. Jednou vyšrafované oblasti jsou součinem jednoho kladného a jednoho záporného čísla, proto jsou odčítány. Konečně dvakrát vyšrafované oblasti jsou výsledkem součinu dvou záporných čísel, který je číslem kladným, proto jsou tyto oblasti rovněž přičítány." (Juraschek, Angle, 1986) Tento postup je možné s úspěchem použít i pro ukázku platnosti vzorce (a-b)(a+b).

-61-

a-b

Ze sítě je jasně patrné, že výsledkem je pouze rozdíl dvou čtverců, tedy že (a-b)(a+

b)=cí2-b2.

Naučíme-lí žáky, jak s binomickou sítí pracovat, můžeme tento způsob používat i v úlohách. Přestože výroba sítí je časově náročná, myslím si, že tento čas se vyplatí investovat, protože uvedený přístup pomůže žákům uvědomit si, co znamená násobit dvojčlen dvojčlenem a proč (a + b)2 není a2 + b2.

7.6

Shrnutí Jak je patrné z rozsahu této kapitoly, má učitel na výběr řadu možností, jak

procvičovat učivo mnohočleny způsobem pro žáky zajímavějším a pravděpodobně rovněž přínosnějším než pouhým prováděním operací a úprav mnohočlenů. Úlohy je možné používat v běžné výuce především na základní škole.

-62-

8.

Závěr V úvodní, teoretické, části jsem na základě odborné literatury uvedla základní

východiska pro výuku základů algebry, do kterých učivo mnohočleny V literatuře jsem

rovněž

vyhledala

několik

možných

důvodů

spadá.

k žákovským

problémům s pochopením tohoto tematického celku a způsobů, jak je možné výuku pozměnit, abychom těmto problémům předešli. Praktická část je věnována porovnání přístupu k výuce mnohočlenů v České Republice a ve Finsku, nejdříve z pohledu kurikula, v druhé fázi pak z hlediska uvedení tohoto učiva v učebnicích. Porovnání učebnic proběhlo ve třech částech. Nejdříve jsem provedla rozbor učiva mnohočleny v českých učebnicích pro 8. ročník základní školy, podle kterého jsem vybrala nejvhodnější učebnici pro porovnání s odpovídající finskou učebnicí. Po porovnání těchto učebnic jsem stejným způsobem porovnala učebnice pro střední školy 9 . Na základě uvedeného porovnání jsem dospěla ke dvěma závěrům. •

Přístup k výkladu a uspořádání učiva mnohočleny se v učebnicích v České Republice a ve Finsku nijak zásadně neliší.

•

Hlavní rozdíl je v obsahovém i rozsahovém rozvržení daného učiva z hlediska věku žáků. Zatímco ve Finsku je v 8. ročníku základní školy věnováno více prostoru základním operacím s mnohočleny (zejména sčítání a odčítání) a úpravy mnohočlenů pomocí vzorců a rozkladu na součin jsou probírány až na střední škole, v České Republice je velký důraz na úpravy mnohočlenů kladen již na základní škole. Na střední škole je pak toto učivo jen opakováno a prohlubováno. Poslední částí mé práce je sbírka úloh vybraných z českých a finských učebnic.

Při výběru úloh jsem se zaměřila především na jejich možnost vzbudit v žácích o dané učivo zájem. Pro větší přehlednost jsem je rozdělila do několika skupin. Z této možnosti rozdělení usuzuji na podobnost charakteru úloh k procvičení učiva v českých a finských učebnicích. Uvedené závěry by mohly být podnětem k zamyšlení jak pro učitele matematiky na základních a středních školách (kteří se s pomocí sbírky úloh v poslední části mohou pokusit své žáky více motivovat k zájmu o tuto nepříliš oblíbenou učební

9

Zde byl výběr české učebnice jednodušší, neboť z učebnic pro střední školy byla vhodná jen jedna.

-63-

látku), tak pro tvůrce kurikula. Není zbytečné „trápit" všechny žáky na základní škole zdlouhavými a nezáživnými úpravami vzorců pro práci s mnohočleny, když jejich praktické použití v budoucnu uvidí jen ta skupina žáků, kteří se rozhodnou i nadále pokračovat ve studiu matematiky, ať už na gymnáziu či na střední škole technického zaměření? Tuto otázku snad v budoucnu alespoň částečně vyřeší připravovaná změna kurikulárních dokumentů ze striktních osnov na volnější rámcový vzdělávací program, kdy bude v kompetenci učitelů obsah a rozsah učiva upravit podle zaměření a cílů konkrétní skupiny žáků. V rámcovém vzdělávacím programu pro gymnaziální vzdělávání je mezi očekávanými výstupy žáka zahrnuto, že žák „rozkládá mnohočleny na součin vytýkáním a užitím vzorců, aplikuje tuto dovednost při řešení rovnic a nerovnic" (Rámcový vzdělávací program pro gymnázia, 2006). Podobný výstup (bez aplikace dovednosti při řešení rovnic a nerovnic) se ovšem podle Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (2005) očekává rovněž od žáků základní školy, proto se, podle mého názoru, situace ani s nastupujícími dokumenty příliš nezmění.

-64-

9.

Literatura:

Ballheim, C. (1999) Readers Respond to What's Basic. In: Johny W. Lott (Ed.), Mathematics Education Dialogues - A Publication of the National Council of Teachers of Mathematics. Back to the Basics or Forward to the Basics - Which Philosophy Should We Embrace? October 1999, Vol. 3, Issue 1, p. 13. Bazzini, L. (1999) On the Construction and Interpretation of Symbolic Expressions. In: Inge Schwank (Ed.), European Research in Mathematics Education I. II Proceedings of the First Conference of the European Society in Mathematics Education

Vol.11., pp.

115 -

125.

Osnabrück:

Forschungsinstitut

für

Mathematikdidaktik Bell, A.(1996) Problem-solving Approaches to Algebra: Two Aspects. In: Bednarz, N., Kieran, C., Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra. Perspectives for Research and Teaching, pp. 167 - 185. Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers Boero,

P., Bergsten,

Ch., Gascon, J.

(1999)

Group

6:

School

Algebra:

Epistemological and Educational Issues. In: Schwank, I. (Ed.), European Research in Mathematics Education I.II - Proceedings of the First Conference of the European Society in Mathematics Education.

Vol.11., pp. 107 - 212

Osnabrück: Forschungsinstitut für Mathematikdidaktik Bušek, I., Boček, L., Calda, E. (1992) Matematika pro gymnázia: Základní poznatky z matematiky. Praha: Prometheus Coufalová, J. a kol. (2000) Matematika pro osmý ročník ZŠ. Praha: Fortuna Davis, R. B. (1989). Three ways of improving cognitive studies in algebra. In: Wagner & Kieran (Eds.), Research issues in the learning and teaching of algebra, Vol. 4 ,pp. 115 - 119, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics Filloy, E., Sutherland, R. (2003) Chapter 4: Designing Curricula for Teaching and Learning Algebra. Bishop, A.J., Clements, K., Keitel, Ch., Kilpatrick, J., Laborde, C. (Eds.), International Handbook of Mathematics Education, Part 1., pp. 1 3 9 - 1 6 0 Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers Fuchs, E., Hrubý, D. a kol. (2000) Standardy a testové úlohy z matematiky pro základní školy a nižší ročníky víceletých gymnázií. Praha: Prometheus

- 65 -

Hall, R.D.G. (2002) An Analysis of Thought Processes during Simplification of an Algebraic Expression. In: Philosophy of Mathematics Education Journal March 2002, Vol. 15, online: www.people.ex.ac.uk/PErnest Hejný, M. a kol. (1990) Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: Slovenské pedagogické nakladatelstvo. Hejný, M., Stehlíková, N. (1997) Aritmetické závody. Učitel matematiky, 5 (1997), str. 2 1 3 - 2 1 9 Hoch, M. (2003) Structure Sense. In: M. A. Mariotti (Ed.), Proceedings of the 3rd Conference for European Research in Mathematics Education, (compact disc) Bellaria, Italy. Hoch, M., Dreyfus, T. (2005) Recognising an Algebraic Structure. Online: www, cvprusi sland. com/cerme/Group%2Q3/GRO U P3_4. doc Jaakkola, E., Latva, O., Nieminen, H., Tolvanen, A., Tuomaala, T. (1992) Kolmio. Matematiikan harjoituksia 7-9. Jyváskylá: Kirjayhtymá. Jaakkola, E., Latva, O., Nieminen, H., Tolvanen, A., Tuomaala, T. (1996) Kolmio. Matematiikan tietokirja. Jyváskylá: Kirjayhtymá. Juraschek, B., Angle, N. S. (1986) The Binomial Grid. Mathematics

Teacher,

May 1986, pp. 337-339 Kontakanen,

P.

a

kol.

(2005) Pyramidi

2

(Lukion pitka

matematiikka):

Polynomifunktiot. Helsinki: Tammi. Kubínová, M., Stehlíková, N. (2001) Žákovské projekty jako prostředek pro aktivizaci žáků. In: Hejný, M., Hrubý, D., Lišková, H., Stehlíková, N. (Eds.), Jak učit matematice žáky ve věku 10 -15 let., str. 7 1 - 7 8 . Litomyšl: MPS JČMF Kůchemann, D. (1978) Children's understanding of numerical variables. In: Mathematics in School, 7(4), pp. 23-26 Laurinolli, T., Luoma-aho, E., Sankilampi, T., Talvitie, K , Váhá-Vahe, O. (2004) Laskutaito 8. Helsinki: Wsoy Malara, N.A., Iaderosa, R. (1999) The Interwaving of Arithmetic and Algebra: Some Questions about Syntactic and Structural Aspects and Their Teaching and Learning. In: Inge Schwank (Ed.), European Research in Mathematics Education I.II - Proceedings of the First Conference of the European Society in Mathematics Education Vol.11., pp. 162 - 174 Osnabrueck: Forschungsinstitut fuer Mathematikdidaktik

- 66 -

Malaty, G. (2006) What Are the Reasons behind the Success of Finland in PISA? In: Matilde (Nyhedsbrev for Dansk Matematisk Forening) December 2006, Vol. 29, pp. 4 - 8 . Mason, J. (1996) Questions from History and Classroom Practice. In: Bednarz, N., Kieran, C., Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra. Perspectives for Research and Teaching., pp.

187 -

193. Dordrecht/Boston/London:

Kluwer Academic

Publishers Metiáinen, A., Paasonen, J., Voutilainen, E. (1997) Polynomeja ja

yhtalóita.

Helsinki: Wsoy Molnár, J. a kol. (2000) Matematika 8. Olomouc: Prodos Mullerová, J. a kol. (2000) Matematika pro 8. ročník základní školy. Algebra. Praha: Kvarta New Finnish Math Core Curriculum (2004) Helsinki: The National Board of Education Novotná, J., Kubínová, M., Sýkora, V. (1998) Matematika s Betkou 3. Praha: Scientia Novotná, J., Kubínová, M., Sýkora, V. (1998) Pracovní sešit k učebnici Matematika s Betkou 3 pro 8. ročník základní školy. Praha: Scientia Odvárko, O., Kadleček, J. (2000) Matematika [1] pro 8. ročník základní školy Pracovní sešit. Praha: Prometheus Odvárko, O., Kadleček, J. (2000) Matematika [1] pro 8. ročník základní školy. Praha: Prometheus Pimm, D. (1987) Speaking Mathematically:

Communication

in

Mathematics

Classrooms (Language, Education and Society Series). London: Routledge Rámcový vzdělávací program pro gymnázia (2006) Praha: VÚP Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (2005) Praha: VÚP Rosecká, Z. a kol. (1999) Algebra - učebnice pro 8. ročník. Brno: Nová škola Rososhek, S. (1999) Forming Algebra Understanding in MPI-Project. In: Inge Schwank (Ed.), European Research in Mathematics Education I. II - Proceedings of the First Conference of the European Society in Mathematics Education Vol.II., pp. 1 8 7 - 197 Osnabrueck: Forschungsinstitut fuer Mathematikdidaktik Stehlíková, N. (2000) Motivační způsoby nácviku základních matematických dovedností. Učitel matematiky, 1 (2000), str. 25 - 36. Šarounová, A. a kol. (1999) Matematika 8, II. díl. Praha: Prometheus

-67-

Šedivý, O. a kol. (1991) Matematika pro 8. ročník základní školy, I. díl. Praha: Prometheus Šmída, J. a kol. (1984) Matematika pro I. ročník gymnázií. Praha: SPN Tirosh, D., Even, R., Robinson, M. (1998) Simplyfying Algebraic Expressions: Teacher Awareness and Teaching Approaches. In: Educational Studies in Mathematics, January 1998, Vol. 35, No. 1, pp. 51 - 64. Trejbal, J. (1998) Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl. Praha: SPN Vzdělávací program Základní škola (1996) Wheeler, D. (1996a) Backwards and Forwards: Reflections on Different Approaches to Algebra. In: Bednarz, N., Kieran, C., Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra. Perspectives

for

Research

and

Teaching,

pp.

317

-

325.

Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publishers Wheeler, D. (1996b) Rough or Smooth? The Transition from Arithmetic to Algebra in Problem Solving. In: Bednarz, N., Kieran, C., Lee, L. (Eds.), Approaches to Algebra.

Perspectives

for

Research

and

Teaching,

Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publisher

pp.

147

-

149.

10.

Přílohy

Příloha 1

Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu 70

Příloha 2

Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro střední školu 85

Příloha 3

Výklad sčítání mnohočlenů v učebnicích Matematika 8. ročník základní školy, 2. díl (Trejbal, 1998) a Matematiikan harjoituksia 7-9 (Jaakkola, Latva, Nieminen, Tolvanen, Tuomaala, 1992)

pro

98

Příloha 4

Vzorec pro součin součtu a rozdílu v učebnicích Algebra - učebnice pro 8. ročník (Rosecká a kol., 1999) a Laskutaito 8 (Laurinolli a kol., 2004) 100

Příloha 5

Článek z časopisu (Juraschek, B., Angle, N. S. (1986) The Binomial Grid. Mathematics Teacher, May 1986, pp. 337-339) 102

- 69 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Kolmio (Matematiikan tietokirja). Kurs 5. Mnohočleny Základní pojmy Základní poplatek za telefonický hovor je 40 penny a každá minuta hovoru stojí 13 penny. 1

minuta hovoru stojí 2 minuty hovoru stojí 3 minuty hovoru stojí 10 minut hovoru stojí minut hovoru stojí X

13 13 13 13 13

1

+

2

+

3 + 10 + X

+

40 40 40 40 40

penny penny penny penny penny

Výraz 13* + 40 říká, kolik penny nás bude stát hovor, když budeme hovořit x minut. Mnohočlen Součet určitých výrazů neobsahujících p r o m ě n n o u ve j m e n o v a t e l i .

Příklad 1. 3 x - 8 , 2x2-6x

+l a

2

+ 4 jsou mnohočleny

3 — 5 není mnohočlen x -2x

+3x

±l)

sčítance neboli členy

Člen Sčítance mnohočlenu nazýváme členy mnohočlenu. Příklad 2. a) Členy mnohočlenu 5a 3 - 2 a 2 + 7 jsou 5 a \ 2a 2 a 7 b) Ze členů -4x 3 , 3x2, x a - 5 dostáváme mnohočlen -4x 3 +3x 2 + x - 5 . Jednotlivé členy (například - 8x4) mají většinou dvě části. První částí je Číslo ( - 8), které nazýváme koeficient a písmeno s exponentem (x4), neboli proměnná.

-70 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Příklad 3. člen

koeficient

proměnná

- 7xb

-7

xb

x2

1

X2

- X

- 1

X

-8

-8

není

Pozor!

lx = x -lx = -x

Mnohočlen 3x3 -7x2 +6 absolutní člen člen -lx2 koeficient proměnná -7 x2 Mnohočleny obvykle uspořádáváme. Vyskytuje-li se v mnohočlenu pouze jedna proměnná, uspořádáme členy sestupně podle mocnin. Pokud je v mnohočlenu více proměnných, uspořádáme je abecedně. Příklad 4. a)

4x - 3x3 + 7 - 2x2 = -3x 3 - 2x2 + 4x + 7

b) -y-vlz-lxStupeň

-lx-y

+ 2z

mnohočlenu

Stupeň mnohočlenu je dán nejvyšší mocinou proměnné. Příklad 5.

P(x) = 4x3 - 2x2 + x - 7 Stupeň mnohočlenu je 3, neboli P(x) je mnohočlenem třetího stupně.

Mnohočleny označujeme podle proměnných s využitím dalších písmen, nejčastěji P, Q a R. Označení mnohočlenů je například P(x), Q(x, y) a R(a, b, c). Příklad 6. a)

P(x) = 3x2 - 2x + 6

b) P(a,b) = 4a-8b

-71 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Hodnota

mnohočlenu

Hodnotu mnohočlenu pro dané číslo dostaneme, dosadíme-li toto číslo na místo proměnné a vypočítáme. Příklad 7. P(x) = 2x-6 Označení P(- 3) značí hodnotu mnohočlenu pro x = - 3 P(-3) = 2 - ( - 3 ) - 6 = - 6 - 6 = - 1 2 Příklad 8. P(x, y) = -x2 + 2xy = - ( - 4 ) 2 + 2 - (—4) • (—l) = - 1 6 +8 = - 8

P(-4,-l) / hodnota x

\ hodnota v

Sčítání n odčítání Sčítání členů stejného stupně i proměnné Pozor! Absolutní členy, tzn. členy, které neobsahují proměnnou, tvoří společně skupinu „členů stejného stupně i proměnné", např. - 3, 7 a 12. Příklad 1. Rozdělte Členy podle stupně. -8x 3 ,

lx2 ,

- 5 x , x\

3x 2 ,

6,

-4x,

-8x 3 a x3

(proměnná x3)

lx2 a 3x2

(proměnná x2)

-5x, - 4 x a x

(proměnná x)

6 a -7

(bez proměnné)

-7,

x

2 kg

+

3 kg

=

5 kg

5 kg

_

3 kg

=

2 kg

2m

+

3m

=

5m

5m

-

3m

=

2m

2x

+

3x

"5x

5x

-

3x

2x

2 a2b

+ 3 a2b

5 a2b

5 a2b

3 a2b

2 a2b

=

Sčítáni členů stejného stupně i

proměnné

1.

Sečteme koeficienty.

2.

Společnou proměnnou opíšeme.

-72 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Příklad 2. a)

- 3 x - 5 x = ( - 3 - 5 ) x = -8x

b) 8 x - 6 x = ( 8 - 6 ) x = 2x c)

- 8 a + 2 t f - 5 a = ( - 8 + 2 - 5 ) o = - 1 \a

2x + 3y + 3x + y = 5x + 4y 2m2 + 3m + 3m2 + m - 5m2 + 4/?? 2 a2 + 3a + 3a2 + a = 5a2 + 4 a Můžeme sčítat pouze členy se stejným základem i exponentem. Příklad 3.

i f f l H f f l - g i l l

Příklad4. H K S ! £ • •

-3

Sčítání mnohočlenů Porovnejme výpočty +(7-5) = 2 a + 7 - 5 =2 V tomto případě není třeba psát závorky. +(7-5) = +7-5 + {a-b)

= +a-b

Příklad 5. a)

4 + (7-5) = 4+ 7-5 = 6

b) a + (a-b)

= a + a-b = 2a-b

c) ( o - 3 ) + ( 2 « - l ) = fl-3 + 2 a - l = 3(7-4 Při sčítání mnohočlenů je možné vynechat psaní závorek. I

Odčítání mnohočlenů Porovnejme výpočty - ( 7 - 5 ) = -2 a - 7 +5 =-2 Výsledek zůstane stejný, pokud čísla v závorkách zaměníne za čísla opačná. - ( 7 - 5 ) = —7 + 5 -(a-b)

= -a + b

-73 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Mnohočlen vytvořený z jiného mnohočlenu otočením znamének u jednotlivých členů se nazývá mnohočlenem opačným k původnímu mnohočlenu.

opačný mnohočlen

Příklad 6. mnohočlen

-a + 3

a-3 -2x

2

2

2x - 3 x +4

+3x-4

m-n

-m + n Příklad 7. a)

4-(7-5) = 4-7 +5= 2

b) o-(a-b) c)

= a-a + b = b

(a-3)-(2a-\)

= a-3-2a+\

=

-a-2

Při odčítání mnohočlenů přičítáme opačný mnohočlen. Příklad 8. - 8 x - ( 4 x - 7 ) + ( - 2 x - 4 ) = - 8 x - 4x + 7 - 2x - 4 = -14x + 3 Odstraňování

závorek

Pokud je mnohočlen v závorce, před kterou je •

znaménko plus nebo není žádné znaménko, můžeme závorku odstranit beze změny mnohočlenu uvnitř

•

znaménko mínus, znaménka u všech členů mnohočlenu uvnitř závorky se změní na znaménka opačná.

Příklad 9. Určete a) součet

b) rozdíl

mnohočlenů 8x - 5 a - 3x + 6. a)

( 8 x - 5 ) + (-3x + 6)

zápis součtu odstranění závorek

= 8x - 5 - 3x + 6 = 5x + l

sečtení členů

b) ( 8 x - 5 ) - ( - 3 x + 6) = 8x-54-3x-6

zápis rozdílu odstranění závorek

= llx-ll

sečtení členů

-74 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Sčítání a odčítání

mnohočlenů

1.

Odstraníme závorky.

2.

Sečteme a odečteme členy se stejným základem a exponentem.

Příklad 10.

2 x - { 3 x - [ 2 x - ( x + 3)]} = 2x - |3x - [2x - x - 3]| = 2x - Í3x - 2x + x + 3} = 2x - 3x + 2x - x - 3 = -3

Pořadí

závorek

Pořadí odstraňování závorek je následující 1.

kulatá závorka ( )

2.

hranatá závorka [ ]

3.

složená závorka { }

Násobení Násobení jednočlenů Podívejme se na následující úlohu 5-1876-2 Pokud bychom ji chtěli vyřešit v hlavě a postupovali zleva doprava, je postup poněkud složitý. Zaměněním pořadí činitelů se však úloha stává snadno řešitelnou. 5-1876-2 = 10-1876 = 18760 ' inzL_t Při násobení můžeme měnit pořadí činitelů. a-b-b-a

komutativita

Při násobení můžeme činitele seskupovat. a-(b-c) = (ab)c

asociativita

Těchto vlastností využíváme při násobení jednočlenů. Obsah = 3m • 2 m = 3 • 2 •»? • m = 6 • m2 = 6 m2 v CfeíSí®!

2m

3m

-75 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

P ř í k l a d 11. a)

8x3-6x2 = 8 - x 3 - 6 x 2 = 8 - 6 - x 3 - x 2 = 48x5

b)

- 4 a • ( - 6 a 2 ) = - 4 • ( - 6 ) • a • a2 = 2 4 a 3

c)

- 3 a / ? 2 • 2ab = - 3 • 2 • a • a • />2 • /> = - 6 a 2 / ? 3

Násobení

mnohočlenů

Vynásobíme mezi sebou koeficienty a proměnné. Zapamatujte

si!

Při násobení exponenty sčítáme.

a'" • a" - a'"*"

Příklad 12. a) 4 • 5a = 20a b) - 6 a • ( - 2 a ) = 12a 2 c)

- 3 x - 3 x 2 / -(-3^) = 2 7 x V

Příklad 13. 5x • 4 - 2 • 3x = 20x - 6x = 14x

Násobení mnohočlenů jednočleny Příklad 14. Obvod je 2 • 5m + 2 -3m Totéž můžeme zapsat také jako 2 (5/» + 3m). Tedy 2 • (5m + 3m) = 2 • 5m + 2 • 3w = 1 Om + 6m = 16»? Uvedený způsob aplikujeme při násobení mnohočlenu jednočlenem: a(b + c) = ab + ac

Příklad 15. a) 5-(3x+2) = 5-3x+5-2 = 15x + 10 b) - 8 • (3x + 2 ) = - 8 • 3x + ( - 8 ) • 2 = - 2 4 x - 1 6 c)

Násobení

5x • ( 3 x + 2) = 5x • 3x + 5x • 2 = 15x 2 +1 Ox

mnohočlenu

Každý člen mn ' Příklad 16. a)

V1

jednočlenem isobíme jednočlenem.

- 3 x ( 4 x 2 - 2 x + ó) = - 1 2 x 3 + 6 x 2 - 1 8 x

-76 -

3m

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

b)

( - 4 x - l ) ( - 3 x ) = 12x2 + 3x

Příklad 17. 8 x - 6 x ( 3 x - 2 ) = 8 x - 1 8 x 2 + 1 2 x = - l 8x2 + 20x

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Kurs 10. Mnohočleny Násobení mnohočlenu mnohočlenem Budova má čtyři místnosti. Výměra budovy může být vypočítána vynásobením celkové délky a šířky nebo jako součet obsahů jednotlivých pokojů. ik : :

4%

IV

3 m + 4 m H n HMHP PH 3m

w

délka 5 m + 7 m = 12 m šířka 3 m + 4 m = 7 m obsah 12 m • 7 m = 84 m2 nebo

—

III 7 1.1

I 5m

• součet obsahů pokojů

<

5m •3m+ 5m •4m+ 7 m • 3 m + 7 m • 4 m = 84 m2

5 m + 7 m

^

a

'

r

11

délka a + b šířka x + y obsah (a + b)(x + y) nebo

IV

X +y x r

U

I

o

III />

a+b

•

součet obsahů pokojů ax + ay + bx + by

Tedy (a + b)(x+y)

= ax + ay + bx + by

Mnohočlen násobíme mnohočlenem postupným roznásobením. (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc+bd Každý člen prvního mnohočlenu (a a Z>) je vynásoben každým členem druhého mnohočlenu (c ad).

-78 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Ukažme si situaci na tenisové hře. Pertti a Risto tvoří jeden tým a hrají proti týmu Tiiny a Ully. ^Joukkuo! r\

" v i .

^

Ah f f I tff , 1 1 fta

íí) {Rf u

I If n

Risto

Partii

Jz:

.^rr

o

pelt

1- poli

JouKkue2

J

Tllna Tlína

KB

fV

0

Ulla Ulla

33.. ppel! e l l i: v

Ví

>

v

>

< •

'^ff^t

V:, •;;>.'/.;.-• v.;

r., 4, :pelt \

Členové jednoho týmu proti sobě nehrají. Násobení

mnohočlenu

mnohočlenem

1. Každý člen prvního mnohočlenu vynásobíme každým členem druhého mnohočlenu. 2. Členy se stejným základem i exponentem sečteme. Příklad 18. ( x - 3 ) ( 2 x + l) = 2x2 + x - 6 x - 3 = 2 x 2 - 5 x - 3 Příklad 19. (x + 3)2 = ( x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 +6x + 9 Příklad 20.

(x + 3 ) ( x - 2 ) - 2 x = x2 - 2x + 3x - 6 - 2x = x2 - x - 6

Příklad 21.

5x-(3x+2)(2x-l) = 5X-(6X2-3X + 4X-2) = 5x - 6x2 + 3x - 4x + 2 = -6x 2 + 4x + 2

Vzorce Součin součtu a rozdílu (a + b)(a-b)

= a2-ab

+ ba-b2 = a2-b

-79 -

:

,

; : V

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Součin součtu a rozdílu Součin součtu a rozdílu dvou čísel je roven rozdílu jejich druhých mocnin. Příklad 22. a) (3x + 7 ) ( 3 x - 7 ) = (3x)2 - 7 2 = 9 x 2 - 4 9 b) (2x 3 - y) (2x3 + y) = (2x 3 )2 - / = 4x6 - y2 iV...0

c)

.2

m

2

2 1^

d) (x + 7 2 ) ( x - V 2 ) = x 2 - ( V 2 ) 2 = x 2 - 2

Zapamatujte

si!

Při umocňování exponenty násobíme. («"')" = a"'"

D r u h á mocnina dvojčlenu Součin čísel xayje

x-y = xy

Dvojnásobek součinu čísel x a ^ j e 2 - x - ^ = 2xy členy

dvojnásobek součinu členů

2xa3y

2-2x-3y = \2xy

— 3a a 6

2-(-3a)-6 = -36a

xa5

2 • x • 5 = 1 Ox

x2 a 2x

2-x 2 -2x = 4x3

(a + bf = (a + b)(a + b) = a2 +ab + ab + b2 = a2+2ab + b2 (a-b)2

= (a-b)(a-b)

= a2 -ab-ab

+ b2

= a2-2ab + b2 Druhá mocnina

dvojčlenu

(a + b)2

= a2

+

2 ab + b2

(a-b)2

= a2

-

2 ab

druhá mocnina dvojčlenu

+ b2

druhá dvojnásobek druhá mocnina součinu mocnina prvního členů druhého členu členu

-80 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Příklad 23. a)

(a + 3)2 = a2 + 2 • a • 3 + 32 = a2 + 6a + 9

b) (2x - 4)2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 4 + 42 = 4x2 -16x +16 c) (4x 2 - x) 2 = (4x 2 )2 - 2 • 4x 2 • x + x2 = 4x2 -16x +16 Dělení Dělení jednočlenu jednočlcnem

Přikladl, a) — = 3 12

Příklad 2. a) 4 3

=

b) — = - 4 3

b

)

2

'

4 2 = *3 x

c) — = 5 -3

W

c) — = x7 x

Příklad 3. Vydělte zvlášť koeficienty a proměnné se stejným základem. 3a5b3 -alV2,3

3 a5 b3 3 3 -1, a-2 ~V = - J - « - l = - 3 a

Dělení jednočlenu

jednočlenem

Koeficienty a proměnné se stejným základem dělíme samostatně.

Příklad 4. a) ^ £ l = 2x2 7

b)

3a

= 3a»

Dělení mnohočlenu jednočlenem Dělení provádíme podle pravidla a+b c

a ^b c c

Příklad 5.

a a c \ Přiklad 6. a)

5

= —+ - = 3 + 1 = 4 5 5 5a + 15 5a 15 =— +— - a +3 5 5 5

-81 -

c)

-5a 2

=

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

2a3 - 1 0 a 2 + 2a

,. b)

2a

Dělení mnohočlenu

2a3 2a

=—

10a 2 2a , — +— = a -5a +l

2a

2a

jednočlenem

Každý člen mnohočlenu vydělíme jednočlenem. D v, n

Přiklad 7.

-8a2+4a

=

4a

. . o Příklad 8.

8a2

4a

1- — = -2a +1

4a

4a

6a4 - 4 a 3 + 8 a 2 r = - 3 a 22 + 2a - 4 2 -2a

Počítání se všemi operacemi Zopakujme si, které operace s proměnnými můžeme provádět. (Srovnej: m = metr, s = sekunda.) m + m = 2m

m-m = m2

m m

m2 + m nelze upravit

m2 • m = m3

m2

— =m m

m + s nelze upravit

m • s nelze upravit

m — nelze upravit

s

Sčítání a odčítání je možné u proměnných se stejným základem a exponentem. Násobení a dělení je možné u členů se stejným základem. Pozor! Znaménko pro násobení můžeme často vynechat, např. -3_y2 -x = -3xy 2

Přikladl,

Příklad 2.

a)

6 x - 2 x = 4x

b)

6 x - 2 x = 12x 2

c)

4 a ( 1 - a ) - ( 8 a 2 - 2 a ) : (-2a) = 4 a - 4 a 2 - ( - 4 a + 1) = 4 a - 4 a 2 + 4 a - 1 = - 4 a 2 + 8a - 1

Příklad 3.

P(x) = 4x (x - 3) - 4x2 +14x, vypočítejte P / v

Před dosazením mnohočlen zjednodušíme

-82 -

-)

1

3,

6x:(2x) = 3

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

4x(x-3)-4x2+14x = 4x2 - 1 2 x - 4x2 +14x = 2x ' ,

r _ 9 / 1) —z• 3, v

2 3

Rozklad mnohočlenů v

Číselný rozklad V této kapitole budeme uvažovat jen přirozená čísla. Číslo je dělitelné • dvěma,

když poslední číslice je 0, 2, 4, 6 nebo 8

• třemi,

když ciferný součet je dělitelný třema

• pěti,

když poslední číslice je 0 nebo 5

• devíti,

když ciferný součet je dělitelný devíti

• deseti,

když poslední číslice je 0.

Příklad 1. Číslo 360 504 je dělitelné třemi, protože jeho ciferný součet 3 + 6 + 0 + 5 + 0 + 4 = 1 8 je dělitelný třemi. Prvočíslo Číslo (>1), které je dělitelné jen samo sebou a číslem 1 nazýváme nedělitelné číslo neboli prvočíslo. Číslo jedna není prvočíslo. Příklad 2. Prvočísla menší než 50 jsou 2, 3, 5. 7, 11, 13, 17, 19,23,29,31,37,41, 43,47. Pokud je číslo a dělitelné číslem b, říkáme, že číslo Z? je dělitelem čísla a. Například 24 je dělitelné číslem 6, tedy číslo 6 je dělitelem čísla 24. Kromě čísla 6 jsou děliteli čísla 24 také čísla 1, 2, 3, 4, 8, 12 a 24. Zápisu čísla pomocí součinu jeho dělitelů říkáme rozklad čísla. Příklad 3.

24 = 4-6

100 = 5-20

24 = 2-12

100 = 10-10

24 = 2-3-4

100 = 2-5-10

Dělitel čísla, který je dále nedělitelný, nazýváme prvočíselný dělitel Zápisu čísla pomocí součinu jeho prvočíselných dělitelů říkáme prvočíselný rozklad čísla.

-83 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

24 = 4 - 6 = 2- 2- 2- 3 = 2 3 -3 rozklad čísla

prvočíselný rozklad čísla

Pokud se v prvočíselném rozkladu čísla vyskytuje několik stejných číslic, zapisujeme ho pomocí mocnin. Příklad 4.

120 = 10• 12 = 2-5-2-6 = 2-2-2-3-5 = 2 3 -3-5

Prvočíselný rozklad mnohočlenů Podobně jako čísla i mnohočleny můžeme rozkládat. Rozkladem mnohočlenu je jeho zápis jako součin dvou či více mnohočlenů. Společný dělitel Každý člen mnohočlenu 3x + 6>> + 9z je dělitelný číslem 3. 3x + 6v + 9z

. _ = x + 2y+3z

tedy 3x + 6y + 9z = [3j (x + 2y + 3z)

Společný dělitel Pokud je každý člen mnohočlenu dělitelný stejným číslem či proměnnou, nazýváme toto číslo (proměnnou) společným dělitelem. Příklad 1. 6x + 8y = 2(3x + 4y) 3x-5x2

=x(3-5x)

4x-4x2

= 4*(l-x)

Příklad 2. a2 -a3 = a2 (1 -a) 5xy + \0xz-5x

=

5x(y+2z-\)

9aA+3a3-6a2=3ct2(3a2+a-2)

-84 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro základní školu

Rozklad dvojčlenu Součin součtu a rozdílu je podle vzorce (a + b)(a-b)

= a2 -b2

zprava doleva dostáváme a2-b2

= (a +

b)(a-b)

Příklad 3. x2 - 9 = (x) 2 - (3)2 = (x + 3) ( x - 3)

Příklad 4. 4a 2 - 2 5 = (2a)2 - ( 5 ) 2 = ( 2 a + 5) ( 2 a - 5 ) Pokud je dvojčlen rozdílem druhých mocnin, lze ho rozložit. Příklad 5. 16x2 -9y4

=(4x +

3y2)(4x-3y2)

Rozklad trojčlenu Druhá mocnina dvojčlenu je (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 zprava doleva dostáváme a2 ±2ab + b2

=(a±b)2

Příklad 6. x2 + 6x + 9 = (x) 2 + 2 • x • 3 + (3)2 = (x + 3)2 Příklad 7. a2 - 8a +16 = (a)2 - 2 • a • 4 + (4) 2 = (a - 4)2 Pokud je trojčlen součtem druhých mocnin dvou čísel ± dvojnásobku součinu těchto čísel, lze ho rozložit. Příklad 8. x 2 - 2xy + y2 = (x) 2 - 2 • x • y + (y)2 Příklad 9. 4a 2 -12ab + 9b2 = (2a) 2 -2-2a-3b

+ (3b)2

=(2a-3b)2

Shrnutí Máme-li provést rozklad mnohočlenu •

pokud můžeme, vydělíme mnohočlen společným dělitelem

•

vyzkoušíme, můžeme-li použít vzorec

-85 -

Příloha 2: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky pro střední školu

Pyramidi 2 (Lukion pitka matematiikka): Polynomifiinktiot 1 Polynomy Základní pojmy Uvažujme výraz 2x3 -4x2 + x - 5 . Výraz je tvořen konstantami 2, -4, 1 a -5 a proměnnou x. Takový výraz nazýváme polynom. Stupeň polynomu P(x) = 2x 3 - 4x 2 + x - 5 je 3, protože nejvyšší exponent proměnné je 3. V polynomu se objevují následující pojmy:

členy

2x" - 4 x : + x \ koeficient.

absolutní člen

umocněna proměnna .stupeň členu .proměnná

Člen je součinem koeficientu a umocněné proměnné. Polynom je součtem členů. Stupeň členu je exponent u proměnné x. Stupeň absolutního členu je nula. Členy se stejnou mocninou u proměnné jsou členy téhož stupně. Stupeň polynomije npjvyšší hodnota stupně členu. o

I

Polynomy s jedním, dvěma a třemi členy nazýváme postupně jednočlen, dvojčlen a trojčlen. Opačným polynomem k polynomu P(x) je polynom -P(x). Definice polynomu Polynom s proměnnou x je výraz tvořený konstantami a proměnnou x, jejich sčítáním a násobením. Proměnná x stupně n určuje polynom P(x), který má tvar P(x)-anx" +a„_]x"~l + ... + a 2 x 2 + a ] x + o0 kde an>—>ao jsou konstanty, člen nejvyššího stupně má koeficient a>> * ^ a n je přirozené číslo.

- 86-

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu Příklad 10. Najděte příklad polynomu šestého stupně, který nemá členy lichého stupně a koeficient u členu nejvyššího stupně je - 1 . v

Řešení

Polynom šestého stupně má tvar a6x6 +a5x5 +aA:x* + a 3 x 3 +a2x2 + a,x l +a0,ab

^0

V hledaném polynomu je a 5 = 0,a 3 = 0,«, = 0 a a 6 = - 1 . Konstanty a4,a2,a0

můžeme volit libovolně, například aA =10,a 2 =0,a 0 = - 3 .

Potom - x 6 +10x 4 - 3 je jedním z polynomů vyhovujících daným podmínkám. Příklad 11. Opačným polynomem k polynomu P(x) = - 2 x 3 + 5x2 - 7 je - P(x) = - ( - 2x 3 + 5x2 - 7) = 2x 3 - 5x 2 + 7 . 4 Příklad 12. Vypočítejte hodnotu polynomu P(x) = - x 2 - 1 , je-li a) x = 6 Řešení

b)x = - l j

c)x = ^ .

a) P(6) = ~ 6 2 - 1 = - • 3 6 - 1 = 4• 4 - 1 = 15 b) P ( - H ) = P H ) = J \2

c) ť ( f2 ) = ň ' 9v

2

-1

v 2 =

,

4 9 •1 = - - - - 1 = 1 - 1 = 0 9 4

1.2_1 9 4

=

I_ 3

1 =

_2 3

Příklad 13. Polynom P(x) = - x + 3. Vypočítejte. b)

a)

Řešení

~ *)

c)

2P

W

~ 3P(x - 2)

a) P(-á) = -{-a) + 3 = a + 3 b) P(l - x) = -(1 - x) + 3 = - 1 + x + 3 = x + 2 c) 2 P ( x ) - 3P(x - 2) = 2(- x + 3 ) - 3 [ - (x - 2) + 3] = - 2 x + 6 - 3(- x + 2 + 3) = -2x.+ 6 + 3x - 1 5 = x-9

Vzpomeňte si Polynom o více proměnných je výraz tvořený konstantami a několika proměnnými. Například P(x,y) = 3x2^ - xy + y2 + 5 je polynom o dvou

-87 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu proměnných, neboť výraz 3 x 2 y - x y + y2 + 5 = 3-x-x-y-x-y

+ y-y + 5

je tvořen konstantami 3, - 1, 1 a 5 a dále dvěma proměnnými x a y. Příklad 14. Najděte příklad polynomu o dvou proměnných P(x,y). Vypočítejte hodnotu polynomu prox = 3 a y = - 2. Řešení

P(x,y) = x 2 - y2 je polynom o dvou proměnných, neboť x2-y2 = l - x - x + ( - l ) -y-y Pro x = 3 a y = - 2, je hodnota polynomu P(3,-2) = 32 - ( - 2 ) 2 = 9 - 4 = 5

Vzpomeňte si Například P(x) = 3/x - 1 není polynom o dvou proměnných. Zápis P(x) znamená, že proměnná je x a písmeno / je konstanta. Písmeno t nazýváme parametr. Potom například P{2) = 3/ • 2 - 1 = 6/ - 1 .

Početní operace Počítání s polynomy se řídí stejnými pravidly jako počítání s přirozenými čísly a počítání s mocninami. SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ Při sčítání a odčítání polynomů dáváme dohromady členy stejného stupně. Příklad 15. Součet polynomů P(x) = x 2 - 2x + 3 a Q(x) = -2x 2 + 2x + 3 je P(x) + Q(x) = (*2 - 2x + 3)+ ( - 2x 2 + 2x + 3) = x2-2x +3-2x2+2x + 3 = x 2 - 2 ^ 2 - 2 x + 2x + 3 + 3 = -x2+6 a jejich rozdíl je P(x) - Q(x)

= (x2 - 2x + 3 ) - ( - 2x 2 + 2x + 3)

= x 2 - 2x + 3 + 2x 2 - 2x - 3 = x 2 + 2x 2 - 2x - 2x + 3 - 3 = 3x2 - 4x

-88 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu NÁSOBENÍ Při násobení polynomů používáme pravidel komutativnosti, asociativnosti a distributivnosti. •

Při násobení jednočlenu jednočlenem používáme pravidel komutativnosti ab = ba a asociativnosti a(bc) = (ab)c.

Příklad 16. 6x 3 ( - 3x 6 ) = 6 • ( - 3) • x3 -x 6 = -18x 9 •

Při násobení mnohočlenu jednočlenem používáme pravidla distributivnosti a(b + c) = ab + ac.

= - 2 x 3 • 3x2 - 2x 3 • ( - 2 x ) - 2x 3 • 5 = -6x 5 +4x 4 - 1 Ox3

•

Při násobení mnohočlenu mnohočlenem používáme pravidla distributivnosti.

= - xX 2 -— xX ++ 2 - x • ( - x 2 ) - x • ( - x) - x • 2 = - x 2 - x + x + x 3 + x2 - 2x = x3 - 3 x + 2 Příklad 19. a) - 3x2 + 5x(4 - x 2 ) - (lx - x 3 ) = -3x 2 + 20x + 5x3 - 2x + x 3 = - 4 x 3 - 3 x 2 +18x b) ( 2 - 3 / ) 2 ^ ( 2 - 3 ? X 2 - 3 / ) = 4 - 6 / - 6 / + 9/2 = 4 - 1 2 / + 9/ 2 =9t 2 - 1 2 / + 4 e)

(,y + 1 X 2 - 4 ^ + 3) = ( 2 í - . ? 2 + 2 - . y ) ( 5 + 3) + .y + 2)(s + 3) - s 3 - 3 Í 2 + .v2 + 3 í + 2.y + 6 -s3 - 2.?2 + 5s + 6

Příklad 20. Vypočítejte hodnotu polynomu P(x), je-li x = a)

P(x) = 9x(x - lXx +1)

-89 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu b) P(x) = 4 x ( x - 3 ) - 2 x ( 2 x - 8 ) - 2 Řešení

a)

Vypočítáme hodnotu polynomu v nejjednodušším tvaru. P(x) = 9x(x - lX* +1) \

r n = n9 11 í 1 "i 3 ,3 / U J v3 J -

1)

4

-

3-2-4 _ 3-3 "

. "3/3 b)

8

2

3"

3

Polynom nejdříve zjednodušíme. P(x) = 4x(x - 3) - 2x(2x - 8) - 2 = 4x 2 - 1 2 x - 4 x 2 + 1 6 x - 2 = 4x-2 f1 ]_ v3y

= 4- —-2 = - - — = -— 3

3

3

3

Vzorce Vypočítejme součin součtu a rozdílu čísel a a b. (a + b)(a-b)

= a2-ab

+ ba-b2

= a2-b2

Výsledkem je rozdíl druhých mocnin čísel a a b. Součin součtu a rozdílu můžeme tedy vypočítat pomocí vzorce = a2

(a + b) (a-b)

-b2

(3x + 5 ) ( 3 x - 5 ) = ( 3 x ) 2 - 5 2 = 9x2 - 2 5 Podobně druhá mocnina součtu je (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2+2ab + b2 Vzorec pro druhou mocninu součtu je tedy (a + b)2

=

a2

+

2 ab

+ b2

(3x + 2 yf = (3x) 2 + 2 • 3x • 2 y + (2y)2 = 9x2 + \2xy + 4y2 Druhá mocnina rozdílu je

-90 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu

(a-bf=(a

(-b)f

+

= a2+2a(-b)

+ (-b)2

= a2 - 2ab + b2 Vzorec pro druhou mocninu rozdílu je tedy (a - b)2 = ci2 -

2ab

+ b2

(5* - 4 y f = (5x) 2 - 2 • 5x • 4y + (4^) 2 = 25x2 - 40x^ +16y 2 Poznámka V následujícím diagramu je ukázána geometrická interpretace vzorců.

Druhá mocnina součtu a > 0,b > 0

Druhá mocnina rozdílu a>0,b>0,a>b

a

b b

i';

1 1 hhH;

b

a + b

a-b

It^^Sk''.! a+ b

a-b

,

. ,2

+ b2

(a + b) =ď+2ab

(a-b)

2

o > = „2 a2-2ab+

, ib2

Součin součtu a rozdílu a>0,b>0,a>b

a-b

b

a-b

a-b

(a + b)(a-b)

= a2-b

Příklad 21.a) (x + 4 ) ( x - 4 )

\(a + b)(a-b)

= x 2 - 42 = x 2 - 1 6

-91 -

= a2-b2

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu

b) (x + 3)

| (a + b)~-a=a + 2ab + b

= x2 +2-X-3 + 32 = x2 + 6x + 9 c) (s + t)(t + s) = (s +1)2

\{a + b)2=a2 + 2 ab + b2

= s2+2st + ť d) ( 5 - a ) 2

\(a-b)2

= a2

-2ab+b2

= 52 - 2 • 5 • a + a 2 = 25 - 1 Oa + a 2 Příklad 22.a) (4x + 3 y f

\(a + b)2 = a2 +2ab + b2

= (4x)2+2-4x-3y

+ (3y)2

— 16x2 + 24xy + 9y2 b) ( y - 8 ) 2

(a-b)2

= a2-2ab

+ b2

= ( / ) 2 - 2 - / - 8 + 82 = / - 1 6 / + 64 c) ( l - x ) 2 - ( x - l ) 2

| (a-b)2

=a2-2ab

+ b2

= l 2 - 2 - l - x + x 2 - ( x 2 - 2 - x - l + l2) = l - 2 x + x 2 - x2 + 2 x - l =0

Jiná možnost řešení (l-x)2-(x-l)2

a2={-a)2

= [-(l-x)]2-(x-l)2 = (x-l)2-(x-l)2 =0

Příklad 23.a) (a-lb)2-(lb = a2 -2,a-lb

+

+ (lb)2-[(1b)2

= a2 -\4ab + (lb)2 -(lb)2 =

(a-b)2

a)(lb-a) -a2

= a2-2ab

(a + b)(a-b)

+ b2

= a2-b2

+a2

2a2-\4ab

b) ( - 2 x - 3 ) 2

\(a-b)2=a2-2ab

= (-2x) 2 - 2 • (-2x) • 3 + 32 = 4x2 +12x + 9

-92 -

+ b2

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu Jiná možnost řešení (-2x-3)2 = [-(-2*-3)]2

(a + b)2 = a2 +2ab + b2

= (2x + 3)2 = (2x) 2 + 2-2x-3 + 32 4x 2 +12x + 9

Příklad 24.

f x ^2 Zjednodušte 16 - + 1 \

/

Řešení

\2

1

N

x —

2,

/

\2

16 £ + 1 - 4 x —— 4

f-T

= 16 = 16

+ 2 - - - 1 + 12 - 4 x 2 - 2 - X - — + 4 v 16

+

2x ,1 11 t-1 - 4 X2 - x + — 4 4_

2

= x + 8x +16 - 4x2 + 4x - 1 = -3x 2 +12x + 15 Příklad 25. Řešení

Zjednodušte (x 2 + 2 ) 2 - ( x 2 + 4 ) [ ( x + 3 ) ( x - 3 ) + 5 ] - ( 2 x - 5 ) 2 (x 2 +2) 2 - ( x 2 + 4)[(x + 3 ) ( x - 3 ) + 5 ] - ( 2 x - 5 ) 2 = x4 + 4x 2 + 4 - (x 2 + 4)(x 2 - 9 + 5) - (4x 2 - 20x + 25) = x4 + 4x 2 + 4 - ( x 2 +4)(x 2 - 4 ) - 4 x 2 + 2 0 x - 2 5 = x 4 - ( x 4 - 1 6 ) + 20x-21 = x4 - x 4 + 16Yf 2 0 x - 2 1 = 20x-5

Příklad 26. Řešení

Vypočítejte a) 1052

b) 1052 - 9 5 2 s použitím vzorců.

a) 1052 = ( l 0 0 + 5)2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

= 1002 + 2 • 100 • 5 + 52 = 10000 + 1000 + 25 = 11025 2 b) 105 - 9 5 2 = (l05 + 95)(l05-95) = 200-10 = 2000

-93 -

| a2 -b2

=(a+b)(a-b)

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu

Příklad 27.a) ( 7 7 + 2 T 3 ) ( T 7 - 2 7 * ) =(VŤ)!-(2V3)!

= 7 - 4 . 3 = 7-12 = -5 b) (1-3V2) 2 = 1 - 2 - 1 -372 +(3V2) 2

= 1-672+9-2 = 19-672

Vš+i) c)

2 Odmocninu ze jmenovatele

73-1

odstraníme pomocí vzorce 2 ( V 3 + L) =

(a + A)(«-/>) = « 2 -/> 2

(73-I)(V3+I)

2(73+1)

2(73+1) 2 = 73+1

VŠ-VŠ) d)

2 Odmocninu ze jmenovatele

Tš+73

odstraníme pomocí vzorce

2(75-73)

(.a + b)(a-b)

(75 + 73)(75 - 73) 2(7š-73)

2(75-73) 5-3 _ 2 ( 7 5_- 7 3 ) =75-73

Příklad 28.

Vyřešte rovnici prvního stupně x-Jl - 1 = 73x.

-94 -

=

a2-b2

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu

Řešení

xV2 - 1 = VŠx W 2 - W 3 =1 x(V2-VŠ) = l

V2+V3 x =

V2-V3 V2+V3

V2+V3 x =• 2-3 X =•

\Í2+yj3 -1

x= Výsledek

-j2-yf3

x = -V2-V3

Příklad 29.Architekt interiéríi navrhuje do pokoje dětský stůl čtvercového tvaru. Sklo na stůl ale bylo uříznuto ve tvaru pravoúhelníka jiného tvaru. Jak se změní obsah desky stolu, když jedna strana je o 10 cm kratší a druhá strana je o 10 cm delší? Řešení

Udělejme si náčrtek. Jednotkou jsou centimetry. a + 10

A2

A{ =aa

= a~

A2=(a +

a -

\0)(a-\0)

10

= a2-102 = a2-100 4 - ^ = ( a 2 j - 1 0 0 ) - a 2 = - 1 0 0 (cm 2 ) Výsledek

2

Obsah se zmenší o 100 cm .

Rozklad na součin K rozkladu polynomů na součin je třeba řešit rovnice a nerovnice druhého a vyššího stupně. Rozkladem polynomu na součin rozumíme vyjádření polynomu jako součinu několika polynomů, jejichž stupeň je co možná nejmenší. Jestliže se nějaký činitel objeví více než jednou, změní se jeho mocnina. Rozklad na součin provádíme následujícími metodami:

-95 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu • vytýkání • použití vzorců • třídění • rozklad na čtverec (kapitola 3.3) Polynom druhého stupně, který je vždy kladný, nemůže být rozložen na součin. Takový polynom nazýváme nerozložitelný. 1. Vytýkání Pokud mají různé členy společný násobek, můžeme je tímto násobkem vydělit ab + ac = a(b + c) Příklad 30. Rozložte polynomy na součin. a) x 3 + x 2 = x 2 - x + x 2 l = x 2 (x + l) b) 1 3 / - 2 6 / = 13j 2 • y - 1 3 / -2 = 1 3 / ( y - 2 ) c) 2 a (3 a-b) + 4 b (3 a - b) = (3 a - b)(2a + 4 b) = 2(3 a- b) (a + 2b) d) ( k - m ) ( k 2 m - km2 ) = ( k - m)km(k -m) = km {k - mf 2. Použití vzorců Někdy můžeme polynomy rozložit pomocí vzorců. 2 a

-b2

=(a +

b)(a-b)

a2+ 2ab + b2 =(a + 6)2 a2-2ab

+ b2

=(a-b)2

Příklad 31. Rozložte polynomy na součin. a) x2 -9 = x2 -32 =(x + 3 ) ( x - 3 ) b) 9a2 -16b2 = (3a) 2 - (4b)2 =(3a +

4b)(3a-4b)

c) x2 +6.Y + 9 = X2 +2-X-3 + 32 = ( x + 3 ) 2 d) 9x2 - 24xy+16/=

(3x)2 - 2 • 3x • 4 y + (4j;)2 = (3x - 4 y f

-96 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu Příklad 32. Rozložte polynomy na součin. a) 1 6 - x 4 = 4 2 - ( x 2 ) 2 = ( 4 + x 2 ) ( 4 - x 2 ) = (4 + x 2 ) ( 2 2 - X 2 ) = (4 + x 2 )(2 + X)(2-X)

Polynom druhého stupně 4 + x2 > 0 , proto je nerozložitelný

b) x4 -18x 2 +81 = (x2 - 9 ) 2 = ( ( x + 3 ) ( x - 3 ) ) 2 = (x + 3 ) 2 ( x - 3 ) 2 c) 4x 5 +12x 3 +9x = x ( 4 x 4 + 1 2 x 2 + 9 ) = x(2X 2 +3) 2

Polynom druhého stupně 2x2 +3 > 0. proto je nerozložitelný

Příklad 33. Zjednodušte. a) V4x2 +4x + l b) \lx 6 + 2x5 + x 4 ,

x>-l

a) V4x 2 +4x + 1

Řešení

= yj(2x)2 +2-2x-l + l2

= V(2x + l)2

la =\a\

= |2x + l| c) yjxb + 2x5 + x4 4

Vytkneme před závorku

2

= ^ x ( x + 2x + l j la =\a\ x > —1

= |x 2 ||x + l| = x 2 (x + p 3. Třídění

Dalším způsobem, jak můžeme rozkládat polynomy na součin je utříděním členů vhodným způsobem a následným vytknutím. ^ax + b:r + ^ay + by) vytkneme x

vytkneme y

= x(a + b) + y(a + b) vytkneme a+b

-97 -

Příloha 1: Překlad části porovnávané finské učebnice matematiky prozákladníškolu

= (a + 6)(x + j ) Jiná možnost řešení ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x +y) + b(x +y) = (x + y)(a + b) Příklad 34. Rozložte polynomy na součin. a) x3 + 2x2 +x+2 = x 2 (x + 2) + l(x + 2) = (x + 2)(x 2 + l)

x2 +1 > 0

b) 3x3 - 2 x 2 +15x-10 = x2 ( 3 x - 2 ) + 5 ( 3 x - 2 ) = (3x-2)(x2+5)

x2 + 5 > 0

c) 8a3 +6a 2 - 8 a - 6

vytýkání

= 2(4a3+3a2-4a-3)

uspořádání

= 2 ( a 2 ( 4 a + 3 ) - l ( 4 a + 3))

vytýkání

= 2(4a + 3 ) ( a 2 - l )

použití vzorce

= 2(4a + 3)(a + l ) ( a - l )

-98 -

Příloha 3: Výklad sčítání mnohočlenů v učebnicích Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl (Trejbal, 1998) a Matematiikan harjoituksia 7-9 (Jaakkola, Latva, Nieminen, Tolvanen, Tuomaala, 1992)

<7x-'J- 5x; + 2* - I)J- <-9xJ + Sx: - 10x + (7x - 3) + 8x - 4 3. Zjcdivoduíte výrazy: a) 10 + (7-3) = 10 + 4= 14 a) 4a - (5a - 2) ' W <9k - 8) - (4k + 6) K Výsledku 14 dospijeme také tirnlo postupem; c) a - 7 - (10 - a) - a d) 3x - (2x - 4) + (-1) - 3m + 4) - <-2nr + 6m - 0) 10 + (7 - 3) = 10 + (+7t -103)+ (+7) + (-3) •e)0 (m<3x> + 2X1:) - (5xJ - 9x;) - (-7x> = 10 + 7-3=17-3= 14 J + 2x - 3} g.) »/)>' - Z5y - 0,2)' + 6.4 - (1,2y - 0.9v-» - 19 o h) (iu-b - |ab:> - (-ia-1) + 7.1b-' - |ab) Výrazy (7 - 3), - 3přičteme tak, lejich íleny. tň přičteme vfcchnyj : a Zjednodušte: J J J b) I0x* + (7*1 - 3) = I0x2 + - 3) a I0x-a))7x - 2x) + í5 + 11 x - ňx) - (x - x) J + (+7x) + (-3) = !0x- + 7.V - 3 = 17*2 -b)(m 3 + 3) + 2m - 8 - (-4tti + 15) C) 7b - <4ab + 7b - 3) + Xab (1) 4a + <3a - 4ax + 2) - (11» - Max) - 5a 2. Séžíwnue su sc zkrtcenýi» poMupcm pfí Jekní dalSích příkladů. aM 15a + t>) + (~4a + 3b) = 15a + b - 4a +o 3b = Zap * )5a - 4a + b + 3b := lla + 4b ; iSte pomocí výnun « A'i*orkairu a vznikly b)(4a' + 2a3J + 5a) + (2aJ - 6a! - 8a1 - I ) = 4aJvýra; + 2azjednodušte: + + 5a + 2a - - 8a • I = - 4a - 3a + I a) soudet výrazu Sx a dvujíletiu 5x - 7, í b) rozdíl dvojčlenu 2k - 9 a trojílenu 4k - Sk - 4. 3. Zj«í:mxl - 4x + 13) c) < I - 0.6)'2 - 7y) + (0.8yl - My1 - 2)') - V,, d) Vj - (V, + Vs) a pak >! upravte na dvojčleny. <1) (.3x+4)+(5x-S) + <-7x-!0) «} óa:b - 2abJ - 0.8 + <-2a:b • 6nb- - 1,2) - S yt U O Následující vyraz vyjádřete v« tvaru irojřlcnu a Správnost výsledku ovifte pro x = 2. (3x- - 2x + I) - (-8x* + 3x + 2) + 6x - 9 -4»

Ě3> 0 Vypočítejte: a) 10 + <7 - 3)

J

2

O a) Šířka obdélníku A B C D je x cm. jeho délka S > El l. Vypoiitcjle; je O 5 cm vňjí. Sifka otxtólirku EFGH tvoří 2 Šířky a) 12 -(9 -4) trtl2y*-(9y*-4y) obdélníku A B C D a jeho délka je o 2 cm měnil ne* ftrfcnf dílka obdélníku A B C D . NapiSté vzorec pro výpoéei a) 12-(9-4) = 12-5 = 7 1 K výsledku 7 doípčjenie «akt tímto postupem: součtu obvodů obou obdélnikfl.

I;- : % '«s < 14

-99-

Příloha 3: Výklad sčítání mnohočlenů v učebnicích Matematika pro 8. ročník základní školy, 2. díl (Trejbal, 1998) a Matematiikan harjoituksia 7-9 (Jaakkola, Latva, Nieminen, Tolvanen, Tuomaala, 1992)

i

- 100 -

Příloha 4: Vzorec pro součin součtu a rozdílu v učebnicích Algebra - učebnice pro 8. ročník (Rosecká a kol., 1999) a Laskutaito 8 (Laurinolli a kol., 2004)

Mnohočleny - 1 Násob dvojí lény, z nichž jeden je součet <1VQU čišet a druhý jejich rozdíl

ZLATÝ TEST (VM)

(a t b). (
modernizaci produkuje výrobní finka S 500 tahví denné, to jc 0 150% více níž před modernizaci, Kolik tiJivi
Součin součtu a rozdílu dvou čísel sc rovná rozdílu jejich druhých mocnin.

(A + B). (A - B) - AJ - B* Ovif pomoci obrazců: Narýsuj obdélník, jehož rozméry jsou + b, a - b. Obsah narýsovaného obdélníku vyjadřuje součin:

"

obr. I

a-b

í

rozsiřihití pmí

Obdélník

Ir aaz/uKvně < « n ir xloi

Příklady:

l.ftr. >

Pluti ledy: (a + 6>. ta - h\ - a1 :

l. C3a' * 4v). (3.t - 4y) » 9.t - 16v

2

zk. ntiwbťiiim: 9.r : - l i t y + 12w 2» (3c - l). (5c + 1.) » 25c! - t Criítní: l. Počítej: a) (a * i ) . ( f f - l)

{b +

2).(b-2)

se rozhodne- kaidý rnřsic Ukliidat 4 000 Kč? Úroky 1 vklad« foide rodina vybírat.

lok. jak ukazuje ubr.

Obsah barevného obrazce vyjadřuje výraz a ' - b ' \ a Obsali složeného obrazce na obr 2 je stejný s obsahem obrazce na obr. I.

a-b

<0

16v: - 9x'- lftv

^

.-.»vv

b> (4 <-.<}.(4 - r) (5 - y), (5 + _v>

-• Vypočiiej, provoď zkoušku násobením: a) (3ti * 5). Od - í ) b) (2a * 3b), (2a - 3b) (7e - 4). (7efc+ 4> (3c - rf) ."{3c + d)

1. Počiiej:

a) (f-l).feH (3c-
(o i- b). (<j - b).2. Za jakou dobu uspoří na nové auto v cení ň-h 260000 Kč frxiiM, kdyi

a-b

Cvičení:

3. Owc získal v dédietví \ 90 GOO Kč a rozhodl se peníze uložil naro^;s úrokovou sazbou 7 %. Unit ' kolík Kč uloéeitím ziskí], kdyí z úroku zaplalil I b' daň. 4. Tři zaměstnanci ve vý* q robně hraček, maji 4- dtay komptesovat dfevéně di|< 1 do stavebnic. 2a jak ' dlmdio vykoná tutéž prš- í oj šest zaitiřsinanců?

3. Vypočítej:

a) 2. (/ + Isř.Ir b) 3. (Iv - y j . <jj c> ( 5 - . v r + ( 5 J 4. Zvol si dvé 1« aby platilo »>] hodnoty čísel,

a - (řH- p) . (1« i> - 2np 1 C * Iť * p' $. Rozhodni, ída; né obrazce siq

B •

j

(i. Sestroj porno« a pravítka obdi obsah bude sí obsah vybar»1*

obrazce. Nejprve vyiádi obsal) v j b.ir.-flt

Pořtiť/ptv; » 3

i

64

- 101 -

Příloha 4: Vzorec pro součin součtu a rozdílu v učebnicích Algebra - učebnice pro 8. ročník (Rosecká a kol., 1999) a Laskutaito 8 (Laurinolli a kol., 2004)

f

»1••i7 '.

•

M aBc.' ,•rfi^-V!^—'•

U s á t e h t á v l á sivuille 8 8 - 8 9 L2ÍS,

Atudeu I.T.

MfcUlnittin

Slevoitn.i i) (V " ty

b) (\ + II})!

Oltjer (x * ,{}• * (.v + j)(.v + i)

<WU is utll

U2S. Shrnuti. i) p.v + «)- b) (-.v t 4H c) í5x - 4,.« rf) (-J.v - 2)-'

Uilil'iltNllb

Mim vn

E*un*rkki 1 Muodoiťíjs wew-niiifcikujcuJp V - wirn nun ji«inukw;j! tuki. • U + b)(>l - M - tp ~ Jít + ba -tr - r1 Hunmia, síti ji = fu.jotcn *• h "* (> Kihd«rt kmtfxumrrtan |a «rotukufi iulo

Oft NTKTEFT Uuku nehortwi gnlui. U

UsMťBi-r-V

£®lm«rkkt 2 \fí t-il^Š) * X* - y = .W - O

L227. Kim krrtoi ysfiviIfwti luku.moiiukícn. Wi&i uii Uvktin vjítitn? • VJIÍLH* jukin laiku x. • Kcmi >o linvwlta 2 • LU53 tulocm luku (k 1 • Ki-rm ximnitiji luevuih <,> » VaJtainS mimu alkiifwriiiiicjt lutu

i (5.1

• Ju enrtw Minvlb

t-y I) * - .1)

L228. Sir.veitiu. r > " V "> *> 'a - ají-r! • a* - 4)

23

b) ;.v5 • «Ms*-.v +1) e) (.v - 2ti.*3 * i) U23. Silnili a) HXx - -4) í'iv - 7) b) Av't.r - Iji-.v •» 1)

Iftr

L23D, KiaHr.m •.!.':,L-[I

L23I. <»evcnn:<, a) ' - 2} b) (v + y,(.v - 5) c) {* r 4)t.t - -) J) (p +
K*u»*r) lurvtun 0 emtukten tula Esimerkki 3 .v* - 49 - -v1 - 7 ? - {.v + Tn-v - 7)

UJ32. Kirjtlit.i yuninuu jj crotuVwjj nil.uu a) .v - .V,

e) - 1« V>

b) x- - «4

d) r - 1

EiJmerkkt 3 • kU2 a ÍIÓO2 - 2nl«H» •> 2) f

^ I«) - 2

* IDOlK.I - 4 * "-i »

L233. l-nli- jiiuaj: IsikuiM. h ) W .št a) !H • 22 c> '>5 • 105 d) -m i(dit

on x + I

M l i ť w i t n j í kiiunon

a) kukomupinta-jLii \ b) :i!-k"viiinlť:: |.mu.'lct\

211

1

- 102 -

.

"a

1

<« + ' < ! ' 0 j + i*h i b> •

A pwwi^iiitttibtl of thin technique {jive* «UJUDIMJ M. tininK TO E*p0i*»ion» PF MON> njfl»,j|,r«twl binomial or monomial prod®mf»I.H'»HH ti Jniuifflinl grid ah »hown in

«»ttr* 2 To Mpurui <2* + t»
^utliit«* n wtnntiuliir region with anion of

P ř í l o h a 5: Č l á n e k /. č a s o p i s u ( J u r a s c h c k , В . , A n g l e , N . Mathematics

Teacher,

M a y 19X6, pp. 3 3 7

1986) The B i n o m i a l Grid.

339)

Although one ecsuitl «Itetrh tVeehiuut it rectangle of .4p(Ji4>priiitf iliinetiskms lo 'I iUstcato the. products the availability of pre pared bin6iivmt grids makes the Ык wimple, ciuitrli, ami appealing. We give oixch student a tew «hvete containing six small binomial grins, trimii! by reducing a largo grid so that leu'etJiiio» (it i>n one 3 l,У in. v II in. shoot of paper. The toother can describe «ovorai .Wily» t lie rectangle rectangle for for a ways of. of identifying ido.niifying tlve B r i e n c e has has gfvi-n product However, our experience hoe a that that students, been students, through discussing discussing scinio examples, readily discover effective techniques of their own. Figure 3 suggests thai they mark the endpoints of a segment of length i d 4- b• я long the horizontal edge of the grid n h d t h o s e of a segment of length a + 3 6 along the vertical edge. !f the indi•cii.ted-grid 'linte are followed and their intersections are marked with dots. the vertires of the required rectangle are determined. After students have gained coniidence using grids for products involving only poewive terms, they can experiment with pi-odlicts involving differences. Of several techniques for handling these products, our favorite is shown in figure 4. For the product (o - A&XSa - iii. perform the following

steps: t Locate the same rectangular region as

t. Write the total area, uew "-

'it'V '

«' «-he '-«e'on is e h a d ^ -

type of diagonal, Tin», щ (a • 3i>)(2« - b) rx 2.

"«tá1

Я Ш I Нед ч,.

r

+ 3b>

Sinoo. to the students, this may eeorti an arbitrary mixture of and and subtraction, subtraction, we we suueest suggest the justification; Since the clear a r« a s s'ent t h e pproduct r o d u c t of two positivessent the positives t kffi^ ^' added. Regions s h a d e d by one-wa •''' rials a r e t h e p r o d u c t of one p o s i t i v ^ a n d o n e n e g a t i v e ; t h e r e f o r e thev J ^ ' w t r a c t e d . (Recall t h a t n - b # A r e a s with c r o s s h a t c h o d marks t e % t h e product, of t w o negatives, I - b\ w h i c h is p o s i t i v e 3b2. so these a ^ are also added. ^ T h i s t e c h n i q u e car. t h e n be used t oil{ . i r a t e t h e p r o d u c t of t w o factors—one sum of t w o t e r m s a n d t h e ,'ta.er a different As in figure 5. we o u t l i n shade a rsi t a n g l e w i t h s i d e s of l e n g t h fo -+ Zb) (2a - b). I n t e r p r e t i n g t h e c l e a r and shsdej regions, s s b e f o r e , w e find the proddn -7- Gab - ab — 3Zr. By now, s t u d e t t s ijjj; h a v e l i t t l e d i f f i c u l t y r e w r i t i n g this it

2cr + 5ab - 3b2.

f o r sums.

2. Shade diagonally ail агел derived trom ihe t e r m -36, as in figure -}(j>. 3. Shade diagonally in the other direction ali ares derived from the term ~b in the second fectar. as infigure-tfii T j g ' . -ум:- .. I

I

S

J

warn ill

i '2* - s ,'fe -Ш

U:

Vrirtg tho ЬйасваЫ grvi to бетлм&Я*. 'ht ptaávn Ы ife* ига And Ш&Юб***.

P ř í l o h a 5: Č l á n e k z časopisu (Juraschek, B., A n g l e , N . S. (1986) T h e B i n o m i a l Grid. Mathematics Teacher, M a y 1986, pp. 3 3 7 - 3 3 9 )

• B f S

R H BM*

to stutin equal >" reeet is only. gauge how stu•iar t p a r h i n g tech-

- 105 -

nique. but the binomial grid has received what amounts to high praise. After seeing grids that illustrate products of binomials and constructing a few themselves, two obviousiv pleased students looked at their work and approvingly remarked, "Hey, pretty n e a t T m