Miskolci Egyetem. GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA Ph.D. értekezés

Miskolci Egyetem

GÉPÉSZMÉRNÖKI- ÉS INFORMATIKAI KAR

GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA Ph.D. értekezés

KÉSZÍTETTE: Mankovits Tamás okleveles gépészmérnök

SÁLYI ISTVÁN GÉPÉSZETI TUDOMÁNYOK DOKTORI ISKOLA GÉPÉSZETI ALAPTUDOMÁNYOK TÉMATERÜLET SZILÁRD TESTEK MECHANIKÁJA TÉMACSOPORT

DOKTORI ISKOLA VEZETŐ: Dr. Tisza Miklós egyetemi tanár TÉMACSOPORT VEZETŐ: Dr. Kozák Imre az MTA rendes tagja

TÉMAVEZETŐK: Dr. Szabó Tamás egyetemi docens Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja

Miskolc, 2012.

Mankovits Tamás

GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA

Doktori (Ph.D.) értekezés

Miskolc, 2012.

Tartalomjegyzék TÉMAVEZETŐK AJÁNLÁSA ......................................................................................... iii 1. BEVEZETÉS.................................................................................................................... 1 Célkitűzés ...................................................................................................................................... 1 Irodalmi áttekintés ......................................................................................................................... 2

2. TENGELYSZIMMETRIKUS GUMI VIZSGÁLATA NEMFOLYTONOS ÉS FOLYTONOS VÉGESELEMES LEÍRÁSSAL KIS ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN ........ 7 2.1. Rugalmasságtani feladat kitűzése............................................................................................. 7 2.2. Nemfolytonos variációs elv alkalmazása .................................................................................. 9 2.2.2. Végeselemes diszkretizáció ..............................................................................................12 2.3. Folytonos variációs elv alkalmazása .......................................................................................17 2.3.1. Az energia funkcionál ......................................................................................................17 2.3.2. Végeselemes diszkretizáció ..............................................................................................17 2.4. Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos és folytonos esetre......................................................19 2.4.1. Egytengelyű feszültségi állapot ........................................................................................19 2.4.2. Nem egytengelyű feszültségi állapot .................................................................................20 2.4.3. A megoldás stabilitásának numerikus vizsgálata nemfolytonos esetben.............................20 2.5. Az átemelő operátorral módosított nemfolytonos variációs elv alkalmazása ............................23 2.5.1. Az átemelő operátor alkalmazása.....................................................................................23 2.5.2. Végeselemes diszkretizáció ..............................................................................................24 2.6. Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos esetekben ...................................................................26 2.7. Számítási igények összehasonlítása ........................................................................................27

3. TENGELYSZIMMETRIKUS GUMIALKATRÉSZ VÉGESELEMES VIZSGÁLATA NAGY ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN .................................................................... 30 3.1. Nemlineáris rugalmasságtani összefüggések ...........................................................................30 3.2 A gumiban ébredő feszültségek és az alakváltozási energiasűrűség ..........................................33 3.3. Az anyagállandók tenzora .......................................................................................................34 3.4. Az energia funkcionál.............................................................................................................36 3.5. Végeselemes diszkretizáció ....................................................................................................38 3.6. Numerikus vizsgálat ...............................................................................................................41 3.7. A mérési- és a numerikus eredmények összehasonlítása ..........................................................46 3.7.1. A gumibak kísérleti nyomóvizsgálata................................................................................46 3.7.2. A gumibak nyomóvizsgálata végeselem-módszerrel ..........................................................48 3.7.3. A mérési- és számítási eredmények összehasonlítása ........................................................50

4. AZ ALAKOPTIMALIZÁLÁSI FELADAT.................................................................. 51 4.1. Az optimalizálási feladat kitűzése ...........................................................................................51 4.2. A célfüggvény ........................................................................................................................54

i

5. AZ OPTIMALIZÁLÁS ESZKÖZRENDSZERE ......................................................... 55 5.1. Regressziós modellek .............................................................................................................55 5.2. Tartóvektor gépek ..................................................................................................................57 5.2.1. Kernel függvények ...........................................................................................................57 5.2.2. Érzéketlenségi sávval rendelkező hibafüggvényen alapuló regressziós modell ..................58 5.2.3. Az RBF kernel optimális hiperparamétereinek meghatározása .........................................61 5.3. Az R programozási környezet .................................................................................................61

6. NUMERIKUS PÉLDÁK................................................................................................ 62 6.1. Egydimenziós alakoptimalizálás .............................................................................................62 6.2. Kétdimenziós alakoptimalizálás..............................................................................................65 6.3. Háromdimenziós alakoptimalizálás.........................................................................................71 6.4. Alakoptimalizálás érintkezés figyelembevételével ..................................................................76

7. ÖSSZEFOGLALÁS ....................................................................................................... 84 7.1. Új tudományos eredmények ...................................................................................................86 7.2. Továbbfejlesztési lehetőségek.................................................................................................87

SUMMARY ........................................................................................................................ 88 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS ............................................................................................ 91 A. függelék .......................................................................................................................... 92 A jobboldali Green-Lagrange alakváltozási tenzor növekmény független elemei ...........................92

B. függelék .......................................................................................................................... 94 Az alakváltozási elmozdulás mátrix és a II. Piola-Kirchhoff feszültségi mátrix elemei ...................94

C. függelék .......................................................................................................................... 96 C.1. A végeselemes programmal kapott erő értékek .......................................................................96 C.2. A vizsgált gumibak méreteinek meghatározása ......................................................................97 C.3. A gumibak nyomóvizsgálatának eredményei ..........................................................................98 C.4. A Shore-féle keménységmérés ...............................................................................................99 C.5. Az ANSYS fejlesztők által javasolt Mooney-Rivlin paraméterek ......................................... 101 C.6. A VEM program eredményei különböző keménységhez tartozó anyagállandókhoz .............. 101

D. függelék ........................................................................................................................ 102 D.1. A kernel függvények és azok tulajdonságai .......................................................................... 102 D.2. Lagrange-multiplikátoros technika ....................................................................................... 103

E. függelék ........................................................................................................................ 104 Publikációk az értekezés témájában ............................................................................................. 104

HIVATKOZÁSOK .......................................................................................................... 106

ii

TÉMAVEZETŐK AJÁNLÁSA

Mankovits Tamás „Gumialkatrészek alakoptimalizálása” című Ph.D. értekezéshez

A járműiparban számos helyen használnak különböző kialakítású gumirugókat. Ezen nagyelmozdulással és alakváltozással rendelkező szerkezeti elemek mechanikai viselkedésének ismerete a tervező számára nagyon fontos. A terhelés-elmozdulás függvény meghatározása a működési körülményektől függően nem kis kihívás. A megkívánt karakterisztikájú rugók előállítása, egyrészt az anyag megválasztásától, másrészt a kialakítás formájától függ. A gumialkatrészekkel kapcsolatosan számos munka foglalkozik ezek elméleti, numerikus és kísérleti vizsgálatával. Az értekezés az optimalizálás azon útját választja, amikor is a megkívánt karakterisztikájú rugót néhány geometriai méret, mint tervezési paraméter megfelelő megválasztásával kívánja elérni. Fontos momentum az optimalizálási feladat célfüggvényének megválasztása, meghatározása. A cél minél jobban megközelíteni egy adott rugókarakterisztikát. E célból a jelölt által javasolt célfüggvény a megkívánt és az elért karakterisztika alatti munka különbség négyzetének a minimuma lesz. A megoldási eljárásra a gumirugóknál ezideig még nem használt módszert javasol a jelölt. Az optimalizálási feladat megoldása során nyilván a mechanikai állapot pontos ismerete is szükséges. Ezzel kapcsolatosan a jelölt széleskörű vizsgálatokat végzett el, lehetés célszerű-e a szakadásos mezőkkel dolgozó Galjorkin típusú variációs eljárásokat használni, vagy célszerűbb a folytonos elmozdulásmezővel felépített eljárásokat igénybe venni. A nemfolytonos mezőt alkalmazó variációs elvek szisztematikus ismertetésére, kritikai elemzésre került sor a disszertációban. A bemutatott numerikus példákból levont következtetések nagymértékben segítették az optimalizálásnál használatos végeselemmódszeren alapuló folytonos elmozdulásmezőre alapuló eljárás kiválasztását. A munkájának fontos része az egyes variációs elvhez tartozó számítógépi programok elkészítése, az alakoptimalizációs feladathoz tartozó algoritmus kidolgozása, a számítógépi programrendszer elkészítése, annak belövése, továbbá konkrét optimalizációs feladatok megoldása a kísérletekből nyert gumit jellemző anyagállandók felhasználásával. Ezekkel a jelölt a gumirugók egy osztályának végeselemes tárgyalásához, a hatékony optimalizációs algoritmus kidolgozásához, konkrét problémák megoldásához tudott eredményeivel nem kis mértékben hozzájárulni.

iii

Az értekezéshez kapcsolódóan Mankovits Tamás nagy energiával, szorgalommal, igényességgel végezte munkáját. Eredményeiről rendszeresen beszámolt különböző hazai és nemzetközi fórumokon eleget téve a Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola publikációs követelményeinek. Elvégzett számításai, azok bemutatása a kidolgozott elvek eljárások helyességét bizonyítják. Az értekezés kivitele gondos munkát tükröz, szövegezése jól érthető, ábrái mondanivalójának megértését nagyban elősegítik, tézisei a PhD cím elnyeréséhez szükséges kívánalmakat messzemenően kielégítik.

Miskolc, 2012. 09. 18.

Dr. Páczelt István akadémikus

Dr. Szabó Tamás PhD

iv

Gumialkatrészek alakoptimalizálása

1. BEVEZETÉS A gumirugók olyan szerkezeti elemek, amelyek külső erők munkáját képesek belső alakváltozási energia formájában felhalmozni és ezt a megfelelő körülmények között újra külső mechanikai munkává alakítani. Többek között ezen kiváló tulajdonság miatt alkalmazásuk az utóbbi évtizedekben nélkülözhetetlenné vált a jármű- és gépiparban. Az acélrugóval szemben számos előnye közül a kiváló hang- és rezgésszigetelő képessége emelkedik ki. Tönkremenetele hosszú folyamat és ez könnyen diagnosztizálható. A gumiból készült rugók egyszerű szerkezete és beépítési módja szintén különös előnyöket biztosít. A megfelelően méretezett gumirugókra szerelt szerkezetek növelik a komfortérzetet is. A gumi nagy alakváltozási energiát képes tárolni, akár többszáz %-os alakváltozást is elvisel, így járművek rugózására rendkívül előnyös. A vevő elvárásai - a számítástechnika, a gumikról való ismeretünk fejlettségi szintje és természetesen a piaci versenyhelyzet miatt - mára nagyon magasak lettek. Így a gumirugóknak a terhelés hatására gyakran előre meghatározott jelleggörbével (rugókarakterisztika) kell rendelkezniük, melynek elérése, kifejlesztése komoly kontinuummechanikai hátteret igényel. Ennek a célnak a megvalósítása egy optimalizálási feladatra vezet. Az előírt karakterisztikát leggyakrabban a megfelelő gumiösszetétel változtatásával kívánják elérni, de a gumirugó alakjának megváltoztatásával komplexebb viselkedés érhető el. A gumirugók alkalmazási területük szempontjából különböző igénybevételt kell, hogy kielégítsenek. Jelen értekezés kizárólag a nyomásra igénybevett gumirugókkal foglalkozik, mivel ezek előfordulása a leggyakoribb. Nyomásra a karakterisztika progresszív jelleget mutat, amely a legtöbb rugózási feladatnál előnyösen kihasználható. Egyidejűleg figyelembe kell vennie a tervezőnek azt, hogy a gumi összenyomhatatlan anyagnak tekinthető, így biztosítani kell a terhelésnél is a szabad alakváltozást. A gumirugó nagy alakváltozást szenved terhelések hatására, amely önmagában is nemlineáris viselkedést mutat. Az alkatrészek közötti változó érintkezési tartománya, a gumi összenyomhatatlansága ezt a nemlineáris viselkedést tovább fokozza. Az ilyen feladatokat a nemlinearitás miatt a hagyományos mérnöki tervezés csak nagy elhanyagolás árán tudott kezelni. A számítástechnika és a mérnöki tudományok fejlődésének köszönhetően ma már számos kereskedelmi szoftver segíti a mérnöki tervezést, bár a téma kutatása továbbra is aktuális maradt. A végeselem-módszerrel foglalkozó kutatók számára komoly kihívást jelent az, hogy hatékony, megbízható módszereket, eljárásokat dolgozzanak ki az adott, illetve általános problémákra, így a gumi összenyomhatatlanságának kezelésére, alakoptimalizálásra, stb. A disszertációban a kontinuummechanika lineáris és nemlineáris elméletét és a végeselem-módszer használatát fogjuk alkalmazni az általunk vizsgált feladatokra. Célkitűzés A szerkezetek, folyamatok optimalizálása alapkövetelmény műszaki feladatok során. Jelen disszertáció tengelyszimmetrikus gumirugók alakoptimalizálásával foglalkozik. Az alakoptimalizálás célja, hogy egy előírt karakterisztikát érjünk el a gumi geometriájának megváltoztatásával egy kezdeti rugókarakterisztikából kiindulva. Ehhez olyan végeselem program szükséges, amely gyorsan és megfelelő pontossággal határozza meg a rugókarakterisztikát adott peremfeltételekre, továbbá jól illeszthető egy korszerű optimalizálási eljáráshoz. Ezen gondolatmenet mentén haladva az alábbi célokat tűztük ki: 1




Az előzetes irodalomkutatás alapján a szakirodalomban az utóbbi időben megjelenő nemfolytonos Galjorkin-módszer (szakadásos mezők alkalmazása) bíztató eredményekkel szolgált kis- és nagy alakváltozások kezelésére, ezért első feladatunk a nemfolytonos Galjorkin-módszer megismerése és implementálása mechanikai feladatokra.  A módszer számítási igényének és várható jóságának összevetése a folytonos Galjorkin-módszerrel. Az alakoptimalizáláshoz szükséges nagy mennyiségű adatszolgáltatást figyelembe véve vajon hoz-e annyi pluszt a módszer, hogy érdemes legyen azt használni. Ennek mentén egy olyan végeselem célprogram kidolgozása, amellyel numerikus vizsgálatokat lehet elvégezni.  A következtetések levonása után a következő lépés olyan végeselem program fejlesztése, amely az alakváltozás nemlineáris elméletét alkalmazva elegendően pontos, gyors és megfelelő adatokat szolgál az alakoptimalizáláshoz. A numerikus számítások ellenőrzése laboratóriumi mérésekkel.  Olyan alakoptimalizálási eljárás kidolgozása, amely a rendelkezésre álló adatokból pontosan és megbízhatóan tud kezelni egy- és többváltozós alakoptimalizálási feladatot. A lehetőségek közül olyan módszert kiválasztani, amely a tervező mérnöknek használható eredményt nyújt.  Numerikus példákon keresztül elvégezni az alakoptimalizálást, lehetőség szerint ipari problémára is. A disszertáció ezen feladatok vizsgálatával és megoldási javaslataival foglalkozik. Megjegyzendő, hogy jelen dolgozat nem foglalkozik a súrlódással, kopással, kémiai- és hőhatásokkal, valamint nem vizsgál dinamikus terheléseket. Irodalmi áttekintés A nemfolytonos Galjorkin-módszer az elmúlt két évtizedben egyre szélesebb körben terjed. Ezt a módszert először parabolikus, hiperbolikus feladatok megoldására alkalmazták, de újabban a számunkra fontos elliptikus feladatokra is számos eljárás került kidolgozásra. BREZZI és ARNOLD Poisson típusú differenciálegyenlettel leírt peremérték problémát tárgyal vegyes mezők módszerével [5,6,16]. Az irodalomban előforduló szakadásos eljárásokat a funkcionálanalízis eszközeivel tárgyalja és értékeli a különböző eljárásokat. PÁCZELT akadémiai doktori disszertációjában és tankönyveiben variációs elveket vizsgál többek között szakadásos mezőkre is. Ezt bemutatja a vegyes mezők módszerére és tisztán elmozdulásmezőre alapozva is [75,76,77,78]. Gyakorlati alkalmazásként elsősorban érintkezési feladatok megoldására mutat be példát. A [75] munkában részletes irodalom található a szakadásos mezőkkel kapcsolatos irodalmakra, amelyek közül kiemelkedő az ez irányú kutatásokat elindító PRAGER munkája [85]. MERGHEIM és STEINMANN szilárdságtani feladatokra mutatják be a nemfolytonos Galjorkin-módszert [64,65,66,94]. Az elmozdulásra felírt gyenge alakból kiindulva nagy alakváltozásra mutatnak be példát. Ezekben a cikkekben bemutatásra kerül a nemfolytonos végeselem-módszer számítógépes modellezése az erős és gyenge nemlinearitásnak véges elmozdulásokat figyelembe véve. Az illesztés helye független a hálószerkezettől, így a nemfolytonos elemeket bevezetik, hogy feltárják az alakváltozásnál jelentkező szakadást, valamint annak gradiensét. EYCK és LEW bemutatja a nemfolytonos Galjorkin-módszer matematikai hátterét elliptikus feladatok esetén nemfolytonos rugalmasságot feltételezve [18,51,52]. Bemutatásra kerül a nemfolytonos Galjorkin-módszer elméleti háttere LIU és szerzőtársai, McBRIDE és REDDY, WANG és LAZAROV cikkeiben. LIU és szerzőtársai egy numerikus 2


példán keresztül mutatják be gumi anyagot feltételezve a Galjorkin-módszert saját fejlesztésű kóddal [56]. McBRIDE és REDDY numerikus példákat oldanak meg, amelyben vizsgálják a locking jelenséget is [20,62]. WANG [105] és LAZAROV [48] szintén numerikus példákat oldanak meg elliptikus problémákra. LARSON és szerzőtársai cikkeikben a nemfolytonos Galjorkin módszert alkalmazzák összenyomhatatlan és majdnem összenyomhatatlan anyagot feltételezve, valamint numerikus stabilitásvizsgálatokat végeznek [32,47]. NOELS és szerzőtársai hiperelasztikus anyagot feltételezve, a nemfolytonos Galjorkin módszer alkalmazva írják fel a vonatkozó formulákat és numerikus példákon keresztül mutatják be azt [71]. A gumi leírásához célszerű magasabb rendű approximációt alkalmazni a térfogatállandósági feltétel biztosításához. A ún. „locking” (bezáródás, befeszülés) jelensége léphet fel a térfogatállandósági mellékfeltétel miatt, de azt várjuk, hogy a nemfolytonos módszer alkalmazása során ez elkerülhető. A „locking” jelenségével részletesen többek között BABUSKA és SURI foglalkozik cikkeikben [7,8,96] és ezeket feldolgozva kínálnak lehetőséget „locking”-mentes végeselemekre DÜSTER és szerzőtársai [24,35], BERTÓTI [14], valamint QI és szerzőtársai [86]. SURI analitikusan és numerikusan is kiértékeli a hp-verzió alkalmazásánál fellépő „locking” jelenség okait majdnem összenyomhatatlan anyagot feltételezve. Azt az esetet vizsgálja BABUSKA és SURI cikkeikben, amikor a Poisson-tényező közel van a 0,5-höz. Az ebben az esetben fellépő „locking” problémát vizsgálják háromszög és négyszög elemeket feltételezve. Egy cikkben QI és szerzőtársai vizsgálják a „locking” jelenséget háromdimenziós esetekben, amikor a Lamé állandó a végtelenhez tart. Három fajta végeselemes közelítést vizsgálnak arra, hogy elmozdulási peremfeltételekkel közelítsék a háromdimenziós rugalmasságot. A végén numerikus eredményeket mutatnak be abban az esetben, amikor „locking”-mentes eredményeket tapasztaltak. A cikkek utalnak arra, hogy magasabb approximációnál ez az eljárás az ismeretlenek vonatkozásában kevésbé hátrányos a folytonos mezőjű megközelítéshez képest. A kétféle megközelítésnél (folytonos és nemfolytonos) a nemfolytonos Galjorkin-módszer esetén mindig magasabb lesz az ismeretlenek száma. A módszer alkalmazása akkor válik gazdaságossá, ha magasabb fokú approximációt alkalmazunk. A gumik nagy alakváltozást szenvedhetnek a terhelés hatására tönkremenetel nélkül, amely nemlineáris viselkedést mutat. Ez egyrészt következik az anyag nagymértékű alakváltozásából, a gumi összenyomhatatlanságából. BONET könyvében [15] a nagy alakváltozás nemlineáris elméletének vonatkozó egyenleteit írja le, amelyek jó alapul szolgálnak a végeselemes program kifejlesztésében. KOZÁK könyvében [45] tárgyalja az alakváltozások nemlineáris elméletét, továbbá a nemlineáris rugalmas testre vonatkozó anyagegyenletet, amelyek jó alapok adnak a gumiszerű anyagok mechanikai viselkedésének leírására. KOZÁK által taglalt virtuális munka elvet kiegészítve a nemfolytonos Galjorkin taggal - használjuk a variációs elvünk alapjának. BATHE végeselem-módszer könyvében a Total-Lagrange formulára és a Newton-Raphson iterációs eljárásra vonatkozó összefüggések is szerepelnek többek között, amelyek szintén nagy segítséget nyújtottak a program megírásához [11]. A gumik viselkedésének leírására számos anyagmodell létezik. Ilyen például a Neo-Hooke, a Mooney-Rivlin, a Yeoh, az Arruda-Boyce, az Ogden anyagmodell. Ezek alkalmazhatósága nagymértékben függ az igénybevételtől. Az anyagmodellek paramétereinek meghatározásához mindenképpen szükséges a laboratóriumi mérés. Számos kutató foglalkozik paraméterillesztéssel hiperelasztikus anyagok vizsgálata esetén. Többek között OGDEN ezzel foglalkozik tanulmányaiban [72,73]. 3


GUO és SLUYS egy új, gumiszerű anyagokra vonatkozó anyagtörvény bevezetésével és annak elvi leírásával foglalkozik [29,30,31]. Összehasonlítják az Ogden és Mooney-Rivlin anyagmodelleket elméleti és numerikus példán keresztül. Numerikus vizsgálatok eredményeit elemzik gumiszerű anyagok ciklikus terhelési esetére is. Anyagmodellként a Neo-Hooke és Mooney-Rivlin modelleket építik be a saját fejlesztésű programjukba. ALTIDIS és WARNER vállalkozott gumiszerű anyagok végeselemes analízisére [2]. Az általuk használt anyagmodellek konstansait a Shore-féle keménységmérés eredményeiből állapították meg. Ezt a mérési módszert az ipari gyakorlatban is alkalmazzák a gumi keménységének meghatározására. A laboratóriumi mérés útján szerzett tapasztalatokkal a számunkra fontos numerikus paramétereket a valósághoz hűen tudjuk beállítani, igaz csak húzó igénybevételre. A cikk jó alapul szolgál a laboratóriumi mérések megismétlésére, a Shore-féle keménység meghatározására. Nyomóvizsgálatok alapján vizsgálja HORGAN és MURPHY a gumiszerű anyagokat [37]. A Mooney-Rivlin anyagmodellt alkalmazva saját fejlesztésű programjuk eredményeit a mérési eredményekkel összehasonlítják. SHANGGUAN és LU cikkében egy motortartó gumibakot vizsgálnak végeselem-módszer segítségével, továbbá javaslatokat tesznek a geometria optimalizálására [87]. Több anyagmodellt használnak a gumi leírására, majd az ADINA programrendszerrel nyomásvizsgálatokat végeznek és azokat összevetik a mérési eredményekkel. Szintén gumialkatrész végeselemes analízisével foglalkozik DOLWICHAI és LIMTRAGOOL [21]. Hiperelasztikus anyagok numerikus vizsgálatára általában a h-verziós végeselemeket alkalmazták, a p-verziós végeselemeket ilyen anyagtípusra csak az elmúlt években kezdték használni. MALKUS [60], SWANSON és szerzőtársai [99], ZIENKIEWICH és szerzőtársai [107], SUSSMAN és BATHE [97], SIMO és TAYLOR [89] és GADALA [26] mindannyian h-verziós végeselemeket alkalmaznak nemlineáris végeselemes vizsgálataikban. Az utóbbi években SZABÓ és szerzőtársai [100], NÁNDORI és szerzőtársai [68], HARTMANN és NEFF [33] és DÜSTER és szerzőtársai [23] végeztek összenyomhatatlan, vagy majdnem összenyomhatatlan anyagok végeselemes vizsgálatához p-verziós végeselemeket. A fenti könyvek és cikkek szolgálnak alapul a kidolgozandó végeselem programhoz. Optimalizálás témakörben számos alkalmazás található meg a szakirodalomban. Javarészt fémalkatrészeket, fémszerkezeteket optimalizálnak, ahol a célfüggvény a súly minimalizálása megtartva a vizsgált test, szerkezet szilárdságát. A hazai irodalomban ilyenek JÁRMAI és szerzőtársai tanulmányai, ahol fémszerkezetek optimalizálását végzik [40,101]. VIRÁG disszertációjában szintén fémszerkezet optimalizálását végzi, ahol a neurális hálózatokat is segítségül hívja [103]. KÖRTÉLYESI disszertációjában gépszerkezetek alakoptimalizálásával foglalkozik, ahol a célfüggvény valamilyen mechanikai jellemző [46]. Gumialkatrészek alakoptimalizálásával több kutató foglalkozik. Az optimalizálási feladat elvégzése előtt javarészt végeselemes vizsgálatokból nyerik ki az alapadatokat. FRIEDRICH és szerzőtársai kimondottan gumialkatrészek alakoptimalizálásval foglalkozik hagyományos optimalizálási eszközökkel [25]. JAVORIK és STANEK pneumatikus szelep alakoptimalizálását végzik [41]. PARK és szerzőtársai szintén gumialkatrész optimalizálásával foglalkoznak rezgést és tönkremenetelt figyelembe véve [81]. CHOI és DUAN cikkükben érzékenységvizsgálattal foglalkoznak hiperelasztikus anyagok vizsgálatára [17], csakúgy, mint SILVA és BITTENCOURT [88]. Végeselem analízist alkalmazva SUZUMORI és szerzőtársai optimális kialakítást fejlesztettek ki egy pneumatikus gumi aktuátoron [98]. SOHN és szerzőtársai ún. hibrid neurális hálózatot alkalmaz gumi-fém persely dinamikai szimulációjához [93]. A járműiparban alkalmazott gumibakok és gumirugók alakoptimalizálása témakörben is az utóbbi időben készültek tanulmányok. AHN és szerzőtársai cikkében egy iparban használatos motortartó bak (amely gumialkatrészt is tartalmaz) optimalizálását végzik, hagyományos 4


optimalizálási módszerrel [1]. Céljuk a rezonancia-átvitelt minimalizálni, a végeselemmódszert nem használják. LI és szerzőtársai kereskedelmi végeselem szoftvert alkalmazva végeznek optimalizálási feladatot egy motortartó gumibakon. Az optimalizálásra a neurális hálózatot és genetikus algoritmust használják [53,54]. MARZBANRAD és JAMALI kereskedelmi végeselem szoftvert használva motortartó gumibak alakoptimalizálását végzik el [61,69,70]. Az optimalizáláshoz genetikus algoritmus és az ún. „single value decomposition” módszereket használják. A gumi anyagtörvényének a Mooney-Rivlin anyagmodellt használják. SUN és szerzőtársai [95], KIM és szerzőtársa [44], valamint LEE és szerzőtársa [49] szintén motortartó gumibakon végeznek alakoptimalizálást neurális hálók, genetikus algoritmus és hagyományos optimalizálási módszerek alkalmazásával. A cikkek bátorítást adtak olyan tekintetben, hogy az informatikában elterjedt gépi tanulás módszerei optimalizálási feladatokra hatékonyan és megbízhatóan használható. Ezen cikkek javarészt az utóbbi 5 évben készültek, ebből is látható, hogy a gépi tanulás módszerek alkalmazása megjelent a műszaki problémák kezelésére is. Gumik vizsgálata esetén a nemlineáris jelleg adódhat az alkatrészek közötti változó érintkezési tartományból is. BAKSA disszertációjában részletesen foglalkozik fém-fém közötti érintkezés témakörével, figyelembe véve a súrlódást is [9]. Üveg és gumi érintkezés problematikájával foglalkozik ipari példán keresztül VOLA és szerzőtársai [104]. MERÉ és szerzőtársai végeselemes vizsgálatukban a járműiparban alkalmazott ajtó gumiszigetelést vizsgáltak, ahol az érintkezés figyelembevétele elengedhetetlen [63]. PERE gumitömítés érintkezési feladatát vizsgálta [83], PÁCZELT és szerzőtársai pedig légrugó analízisét végezte el, ahol szintén nagy szerepet játszik a fém-gumi érintkezés [79]. Korábban említettük, hogy a gumi súrlódási viszonyaival, esetleges kopásával nem foglalkozunk jelen disszertációban. Ilyen problémákat vizsgál részletesen PÁLFI a disszertációjában [80], valamint BÉKÉSI a disszertációjában [13]. A kopásból származó hőhatásokkal PERE foglalkozik disszertációjában és cikkében [82,84]. Gumialkatrész súrlódási viszonyait taglalja disszertációjában DELADI [19]. A gumialkatrészekre ható dinamikus igénybevételekkel OLSSON foglalkozik disszertációjában [74]. Számos kutató vizsgálja a gumikat érő dinamikus igénybevételeket, mint például BEIJERS és szerzőtársai [12], LIN és szerzőtársai [55] és SINGH [90]. A gumiról való klasszikus ismeretek feldolgozásánál és a Shore-féle keménységmérésnél BARTHA [10] és MAKHULT [59] munkáit tekintettük kiinduló pontnak. Az előzetes irodalomkutatás és a célkitűzés alapján az optimalizálási probléma megoldására a Magyarországon még kevésbé elterjedt VAPNIK által kifejlesztett ún. Support Vector Machines (továbbiakban: SVM, Tartóvektor gépek) módszert kívánjuk alkalmazni. Ez a módszer részben hasonlít a már elterjedt és korábban említett neurális háló alkalmazásra, ugyanis a tanulópontok alapján állítja elő a megoldást, de a nagy különbség az, hogy az SVM az ún. kernel térben keresi a megoldásfüggvényt. HAYKIN könyvében ugyan tárgyalja az SVM regressziót, de az elmélet mögött húzódó matematikai hátteret inkább osztályozási feladatokra részletezi [34]. GUNN és szerzőtársa összefoglalja az SVM osztályozást és regressziót, továbbá példákat old meg azokra [28], SMOLA és SCHÖLKOPF kizárólag az SVM regresszió matematikai hátterét és alkalmazásának lehetőségeit taglalja [92]. HORVÁTH könyveiben szintén tárgyalja az SVM regressziót és további mintapéldákat mutat be. Főleg villamosmérnöki feladatokat kezel a módszerrel [3,38,102]. Az SVM alkalmazásának egyik lehetséges eszköze az R statisztikai szoftver. Ez egyben programozási nyelv és interaktív környezet. Számos előnye közül részletes dokumentációja, gazdag eszköztára és a grafikus megjelenítési lehetőségei tűnnek ki. Számos csomag tölthető le, amely csomagok szabadon hozzáférhetőek és részletes használati útmutatóval rendelkezik. Az SVM R programozási nyelvben történő alkalmazásához nyújt segítséget MEYER és 5


szerzőtársai [43,67], valamint WICKHAM [106] összefoglalói. MEYER főleg az SVM-hez letölthető csomagok lehetőségeit és alkalmazási módjait taglalja, míg WICKHAM a grafikus megjelenítésekhez ad ötleteket. Az SVM-ben megjelenő és a megoldások, becslések jóságát befolyásoló paraméterek meghatározása szintén alapprobléma, valamint jelenleg is kutatott téma. Mivel numerikus példáink esetében a paraméter optimalizálását nekünk is el kell végezni, így számos hasznos információt és további motivációt nyújt HEERDEN és BARNARD [36], JENG és CHUANG [42], DUEN és szerzőtársai [22], valamint SMETS és szerzőtársai [91] cikkei, ahol kizárólag azokat a lehetőségeket taglalják és mutatják be, amellyel jó közelítéssel határozhatjuk meg a programunk bemenő paramétereit. Gyakorlati alkalmazásként LOPEZ és szerzőtársai a végeselem-módszert is használva egyszerű optimalizálási feladatot oldanak meg neurális hálózat és SVM segítségével. Az optimalizálási feladat alapproblémája nem gumiszerű anyag [57]. LU és szerzőtársai az SVM módszert alkalmazzák egy belsőégésű motor dinamikai modellezésére [58]. LEE és KIM az SVM regressziót használja szupergyors vonatok orralakjának megfelelő kialakítására [50]. ANGIULLI és DE CARLO pedig villamosmérnöki problémára alkalmazza az SVM regressziót [4]. A publikációkból jól látszik, hogy az SVM alkalmazása és lehetőségei jelenleg is intenzíven kutatott módszerek. Ezek áttanulmányozása során arra a következtetésre jutottunk, hogy tengelyszimmetrikus gumirugó alakoptimalizálási feladatára az SVM egy hatékonyan alkalmazható módszer.

6


2. TENGELYSZIMMETRIKUS GUMI VIZSGÁLATA NEMFOLYTONOS ÉS FOLYTONOS VÉGESELEMES LEÍRÁSSAL KIS ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN Jelen fejezetben összefoglaljuk nemfolytonos és folytonos variációs elvekre alapozva tengelyszimmetrikus gumi tulajdonságú anyagok végeselemes vizsgálatához szükséges kontinuummechanikai leírást lineáris esetben. A folytonos variációs elv alatt olyan elvet értünk, amikor az elvben szereplő mezők közül minimum egy folytonos az elemek között, így például az elmozdulásmező. Nemfolytonos variációs elvek esetén az elemek között nincs a priori biztosítva folytonos mező. Ezután a két technikát összehasonlítjuk egymással. Az elemzésre azért van szükség, mert gumiszerű anyagok vizsgálatánál gyakran lép fel az ún. „locking” (bezáródás) jelenség, amely numerikus problémákat okoz. A szakirodalom a nemfolytonos végeselemes tárgyalásmódot ajánlja [16], mint lehetséges alternatívát a fent említett jelenség kiküszöbölésére. Az észszerűség azt kívánja, hogy először a nemfolytonos leírással foglalkozzunk, s a peremértékfeladatot célszerűen ehhez tűzzük ki, majd a folytonos leírásra is implementáljuk. 2.1. Rugalmasságtani feladat kitűzése Vizsgáljunk egy két rugalmas testből álló mechanikai rendszert háromdimenzióban (2.1 ábra). A megoldást a lineáris rugalmasságtan keretei között keressük. Feltételezzük, hogy nincsen hő- és kémiai jellegű kölcsönhatás. A vizsgált feladat tengelyszimmetrikus. n1

Ap

Ap2

1

1k1

Au1

Ac2

Ac1 nc1

p2

2k2

V1

p1

V2

nc2

n2

Au2

2.1 ábra Rugalmas szilárd test A felső index jelöli, hogy melyik testről van szó ( = 1,2). A térfogatokon ∙ intenzitású térfogati terhelés működik, ahol a testek sűrűsége, pedig az egységnyi tömegen működő terhelés. Az felületeken intenzitású felületi terhelés működik, amelynek általános esetben normális és tangenciális irányú összetevői is vannak. Az felületeken ismert az elmozdulás. Az kapcsolódási felület két azonos nagyságú felület, amelyeknek a megfelelő normális irányú egységvektorai. A továbbiakban ∙ a skaláris szorzást, ∙∙ a kétszeres skaláris szorzást, ∘ a diadikus szorzást jelöli. A jelen vizsgálatban kétoldalú kapcsolatról van szó és az elemek között nincs kezdeti hézag. A testek között a felület mentén a céltól függően az elmozdulásmező lehet nemfolytonos, vagy folytonos. Feladatunk, hogy meghatározzuk azt az =

( ), ∀ ∈

,

(2.1) 7


elmozdulásmezőt, amely kielégíti a rugalmasságtani egyenletrendszert, ahol a helyvektor. A kontinuummechanikai problémák variációs elvek felhasználásával történő vizsgálata számos előnnyel bír a differenciál-egyenletrendszer közvetlen megoldásával szemben. Így például a funkcionál alacsonyabb rendű deriváltakat tartalmaz, a közelítő mezők folytonossági feltételeit az alkalmazott variációs elv alapján könnyen meg lehet határozni. További előnye, hogy az alapvető peremfeltételek jól kézben tarthatók, míg a természetes peremfeltételekről maga a variációs elv gondoskodik. Egy variációs elv esetén beszélhetünk kötött és szabad egyenletekről. A kötöttségeket mi biztosítjuk. A Hooke-törvény alapján az anyagegyenlet =

∙∙

,

∈

,

(2.2)

ahol a feszültségi tenzor, az alakváltozási tenzor, míg az anyagállandók tenzora. Homogén, izotróp anyagoknál az anyagállandók tenzora csak az rugalmassági modulusztól és a Poisson-tényezőtől függ. A geometriai egyenlet írja le a kapcsolatot az elmozdulásmező és az alakváltozás között lineáris esetben = (

∘∇+∇∘

∙∇+

∙

),

∈

.

(2.3)

Az egyensúlyi egyenlet = ,

∈

.

(2.4)

Vizsgálatainknál biztosítjuk továbbá azt, hogy a kinematikai peremfeltétel =

,

∈

(2.5)

az felületen teljesüljön. A variációs elvnek tartalmaznia kell még a szabad egyenleteket is. Ilyen a dinamikai peremfeltétel ∙

=

,

∈

.

(2.6)

Ha nemfolytonos variációs elvet alkalmazunk, akkor a variációs elv biztosítja az elmozdulásés feszültségmező folytonosságát a kapcsolódó felületen, ha folytonos esetet tárgyalunk, akkor azt a priori kell kielégíteni. Az elmozdulásmező illesztési feltétele a kapcsolódási felületen −

= ,

∈

,

(2.7)

a feszültségmező illesztési feltétele a kapcsolódási felületen ∙ megjegyezve, hogy az -őt használjuk.

és

+

∙

= ,

∈

,

helyett az egyszerűbb jelölés miatt a továbbiakban

(2.8) -et és

8


2.2. Nemfolytonos variációs elv alkalmazása A nemfolytonos Galjorkin-módszer az elmúlt pár évben kezdett széles körben elterjedni. Ez a módszer alkalmas parabolikus, hiperbolikus és a számunkra fontos elliptikus feladatok leírására is. Elliptikus feladatokra viszonylag kevés alkalmazás található. Páczelt akadémiai doktori disszertációjában [75] a nemfolytonos Galjorkin-módszerrel hasonló gondolatmenetre épülő szakadásos mezők módszerét mutatja be, amelyre alapozva fogjuk vizsgálatainkat végezni. Mivel jelen esetben a folytonosság nincsen biztosítva, így az elmozdulás-, illetve a feszültségmezőben egyaránt szakadás léphet fel, azaz a testek elválhatnak, vagy akár egymásba is hatolhatnak. 2.2.1. A büntetőparaméteres tagot tartalmazó energia funkcionál Az általunk alkalmazott Π Π

,

=∑

,

funkcionál ∙∙

∫

∙∙

−∫

+ ∫ 〈 〉{ ( )}

∙

−∫ 〈 〉

+ ∫

∙

+

,

(2.9)

ahol a szögletes zárójelben a potenciális energia szerepel, majd rendre követi a diszlokációs (szakadásos) potenciál és a büntetőparaméteres tag. A ℎ az elem mérete, a a büntetőparaméter. A kapcsos zárójel az átlagot jelöli. Az elmozdulásmező szakadása 〈 〉=

−

.

(2.10)

A { ( )} feszültségvektor Lagrange-féle multiplikátornak tekinthető, amelyet az érintkezési felületen háromféle módon értelmezhetünk. Egyik, mikor csak az 1-es jelű testen, másik, mikor csak a 2-es jelű testen vesszük figyelembe a feszültségtenzort. A harmadik esetben a feszültségvektor a két testen értelmezett feszültségtenzor átlagából adódik. { ( )} =

{ ( )} = [

(

)∙

=

∙

{ ( )} = −

(

)∙

=−

(

(

)∙

]= [

)∙

−

∙∙

,

∙

(2.11)

∙∙ ∙

, ∙∙

(2.12) −

∙

∙∙

].

(2.13)

Ezeknek képeznünk kell a variációját is tenzoros formában,

{

( )} = [

{

( )} =

{

( )} = − (

)∙

(

−

)∙ (

=

)∙ (

)∙

∙ =− ]= [

∙∙

,

∙

(2.14)

∙∙ ∙

, ∙∙

(2.15) −

∙

∙∙

]. (2.16)

9


Az indexes jelölést alkalmazva az alakváltozási tenzor a következő formában írható fel, =

∇ +

∇ ,

(2.17)

amely átírható az alábbi alakra is, =

δ ∇ +∇ δ

,

(2.18)

ahol δ a Kronecker szimbólum. Az alakváltozási tenzor, valamint annak variációja egy három indexes differenciáló operátorral az alábbi módon írható fel, =

∙ ,

=

∙

.

(2.19)

A derivált tenzor a jól ismert módon felbontható egy szimmetrikus és egy ferdeszimmetrikus tagra, ∘ ∇=

+

.

(2.20)

A forgató tenzor ferde szimmetriájából következően a feszültségi tenzorral kétszeresen megszorozva 0 skalárt ad, azaz ∙∙

= 0.

(2.21)

Ezt a tulajdonságot a levezetésnél felhasználjuk. A variálás elvégzése után a funkcionál elmozdulás szerinti variációja az alábbi módon írható fel, Π

,

=0=∑

∙∙

∫

+ ∫ (〈

∙∙

〉{ ( )} + {

−∫

∙

( )} ∙ 〈 〉)

−∫

+ ∫ 〈

〉

∙

〈 〉

+

.

(2.22)

Figyelembe véve a feszültségtenzor és a forgató tenzor kétszeres skaláris szorzatának eredményét az alakváltozási energia variációjának átalakításából kapjuk, hogy ∑

∙∙

∫ =∑

=∑

∫

∫

=∑

∫

∙∙

=∑

∘ ∇ ∙∙

(

∫ (

) −

∘ ∇) ∙∙ ∙(

(

(

) ∙ ∇)

)

= =

∙

(

)∙

−∑

∫

∙(

(

) ∙ ∇)

∙

(

)∙

−∑

∫

∙(

(

) ∙ ∇)

= .

(2.23)

Az adott elmozdulású peremen az elmozdulás variációja 0. Behelyettesítve kapjuk, hogy Π +∑

∫

,

=0=∑ ∙

(

∙(

−∫ )∙

+∫ +∫ (

)

∙∇+ (

) ∙ { ( )} + {

− −

∙(

+∫

)

(

−

)

.

−

( )} ∙ (

) −

+ )

+ (2.24) 10


A korábbiak alapján három féle módon értelmeztük a kapcsolódó felületek között a feszültségvektort. Az első esetet tekintve és azt behelyettesítve kapjuk, Π

=0=∑

,

+∫

∙(

−∫

∙

∙

−

+∫

∙

∙

)

+∫

∙∙

∙

−

∙

+

∙(

∙∇+ +

∙

+

∙( ∙(

)

− )

−

)

−

+

+

.

(2.25)

A második sorban láthatjuk, hogy az elmozdulás tetszőleges variációja mellett az elmozdulás folytonossága teljesül, legalábbis integrál értelemben. Az utolsó sorban lehet látni, hogy a feszültség folytonossága olyan mértékben teljesül, mint ahogy az elmozdulás folytonossága. A második esetet tekintve és azt behelyettesítve kapjuk Π

=0=∑

,

+∫ +∫

∙(

−∫

∙

)

∙∇+

∙

∙

+

∙

∙

−

∙

+

∙(

−

∙(

+∫

∙∙

−

∙

)

+

+ ∙(

−

)

−

)

−

. (2.26)

Az utolsó sorban láthatjuk, hogy az elmozdulás tetszőleges variációja mellett az elmozdulás folytonossága teljesül, legalábbis integrál értelemben. A második sorban lehet látni, hogy a feszültség folytonossága olyan mértékben teljesül, mint ahogy az elmozdulás folytonossága. A harmadik esetet tekintve és azt behelyettesítve kapjuk, hogy Π

=0=∑

,

+∫ +∫

∙ ∙

∙ ∙

− −

∙(

−∫ ∙ ∙

+ +

)

∙∇+ ∙ ∙

+

∙∙

+

∙(

+∫

∙∙

∙ ∙

− −

− ∙(

∙(

) )

− −

+

)

+ . (2.27)

Átlagos feszültségvektor esetén a két alsó sorban a feszültségmező folytonossága akkor biztosítható, ha az elmozdulásmező is folytonos. A végeselemes diszkretizáció előtt a tenzoros írásmódról áttérünk a mátrixosra, így az alakváltozási- és feszültségi tenzorok helyett a funkcionált független elemekből felépített alakváltozási- és feszültségi oszlopmátrixokkal írjuk le. Az elmozdulásmező elemeiből képzett elmozdulásvektor oszlopmátrixa →

,

∈

,

(2.28)

az alakváltozási tenzormező elemeiből képzett alakváltozási vektor oszlopmátrixa →

,

∈

,

(2.29)

A feszültségi tenzormező elemeiből képzett feszültségi vektor oszlopmátrixa →

,

∈

,

(2.30)

11


A feszültségvektor átlagából képzett átlagos feszültségi vektor oszlopmátrix { ( )} → { } ,

∈

−∫ (

−∫ (

.

(2.31)

Ilyen módon átírva a funkcionál ∑

∫ (δ )

+ ∫ [〈

〉 { } +{

)

} ∙ 〈 〉]

+∫ 〈

〉

)

〈 〉

+ = 0.

(2.32)

2.2.2. Végeselemes diszkretizáció Egy végeselemes háló nemfolytonos mezők esetén úgy néz ki, mint egy fugázott csempefelület. Egy közös geometriai ponthoz több elem csomópontjai tartoznak (2.2 ábra).

z 6 7

5

8

1 1

2 2 3

4

r

2.2 ábra A végeselemes háló nemfolytonos esetben Az approximációs mátrixban a négycsomópontú izoparametrikus elem [78] alakfüggvényeit alkalmaztuk (2.3 ábra).

z





3 4

3 (-1,1)

(1,1)



4

 1

2

(-1,-1)

(1,-1)

2

r

1

2.3 ábra Négycsomópontú izoparametrikus elem = ∙ (1 − ) ∙ (1 − ),

= ∙ (1 + ) ∙ (1 − ), (2.33)

1 = ∙ (1 + ) ∙ (1 + ) , 4

1 = ∙ (1 − ) ∙ (1 + ). 4

A geometriai leképzése ( , )=∑

( , )∙ ,

(2.34)

( , )=∑

( , )∙ .

(2.35) 12


Tengelyszimmetrikus feladatnál a vízszintes és függőleges elmozdulásokat közelítjük. Az alakfüggvényeket szokás interpolációs függvényeknek is nevezni, hiszen sarokpontokbeli értékek alapján a belső pontokban a mezőt interpolálja. ( , )=∑

( , )∙

( , )=∑

( , )∙

,

(2.36) .

(2.37)

Az elmozdulásvektor és az elmozdulásvektor variációjának közelítése = δ

,

=

δ

(2.38) ,

(2.39)

ahol az approximációs mátrix, a csomóponti elmozdulásvektor. Az alakváltozást az elmozdulásmező deriváltjaként állítjuk elő =∂

=

,

(2.40)

ahol az alakváltozási elmozdulás mátrix az e-dik elem vonatkozásában. A feladatunkat hengerkoordináta-rendszerben vizsgáljuk, így a mátrixok kirészletezve az alábbi módon írhatók fel

=

0

⎡ ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎦

0⎤ ⎡ ⎥ ⎢0 ⎥=⎢ ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎡ ⎢0 =⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0

0 ⎤⎡ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎢ ⎣

0

0

0

0

=

0

0

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

.

(2.41)

A globális koordináta-rendszerbeli deriváltak kifejezhetők a lokálisbeliekkel, + =

=

+

=

.

(2.42)

A Jacobi-mátrix közvetlenül előállítható, abból pedig integrálással az itt szereplő mátrix is. A feszültséget a Hooke-törvényből számítjuk a jól ismert módon =

,

(2.43)

13


amelyben az anyagállandók mátrixa az alábbi módon írható le

(

=(

)

)(

⎡ 1 ⎢ ⎢ )⎢ ⎢ ⎣ 0

1 1 0

0

(

0 ⎤ 0 ⎥ ⎥. 0 ⎥ ⎥ )⎦

(2.44)

Az elemek között az elmozdulás szakadása és a szakadás variációja 〈 〉= 〈

〉=

= [−

−

]

(2.45)

] −

=[

−

, .

(2.46)

A merevségi mátrix a hagyományos elemekre a szokásos módon írható fel =∬

=∫ ∫

J

.

(2.47)

A térfogati terhelés tehervektora =∫

,

(2.48)

A felületi terhelés tehervektora =∫

.

(2.49)

Tengelyszimmetrikus feladat esetén a peremen ható terhelés és az ívelem a 2.4 ábrán látható. 

z

 pz ds

pr ds

dz r

dr

2.4 ábra Az ívelem és a peremen ható terhelés Az ívelem =

((

) +(

) ),

(2.50)

ahol =

,

=

,

(2.51) 14


így (2.51)-et behelyettesítve (2.50)-be kapjuk = A

+

=

.

(2.52)

felületen megoszló terhelés munkája =

∫ =2

ahol a

( , = 1)

∫

( )

,

(2.53)

és ( )=

.

(2.54)

A kapcsolódó felületen értelmezett integrálokból származtatható a merevségi mátrixok előállítása, amelyből csak az egyiket részletezzük, hiszen a másik ennek transzponáltját szolgáltatja. Ehhez szükség van néhány mennyiség részletezésére. Az egyszerűség és a jobb áttekinthetőség kedvéért kételemes hálófelosztáson mutatjuk be az egyenletrendszer összeállítását. A feszültségvektor átírása a végeselemes feszültségi oszlopvektor segítségével 0 =

∙

→

0

0

+ 0 +

0 =

0

→

0

0 0

0

=

. (2.55)

A számítások azt igazolták, hogy abban az esetben, amikor a két testen értelmezett feszültségtenzor átlagából adódik a feszültségvektor, akkor kapjuk a legjobb eredményt, ezért ezen esetet részletezzük. A feszültségvektor végeselemes megfogalmazásban a kapcsolódó felületen az alábbi módon számítható { }= (

+

)=

|

+

|

.

(2.56)

A feszültségek átlaga, ebből a normális irányba eső feszültségi vektor felhasználva (2.56)-ot { } =

|

{ }=

|

.

(2.57)

Az 1-es testből kifelé mutató normálist választottuk közös normálisnak. Ezért fordul meg a negatív előjel. A feszültségek átlagának variációja

{δ } = [δ

δ

]

| |

.

(2.58)

15


Behelyettesítve a (2.32) variációs alakba az itt bevezetett mennyiségeket az integrálások elvégzése után a következő mátrixos formulát kapjuk, ∑

+

+[

+[

+

]

ahol a

+[

]

( (

−

+

−

) )

( (

) )

= , (2.59)

büntetőparaméteres tagból származó mátrix −

−

=∫

− a

]

,

−

(2.60)

mátrix a szakadásos tagból származik

=∫

.

(2.61)

Végül összeépítve a két testből álló mátrixokat, az érintkezési feladatoknál megszokott alakot kapjuk

[

]

⎧ ⎪

+ −

+

+( +(

+

)

−

)

+ +

⎨ ⎪ ⎩

+

+( +(

)

−⎫ ⎪

)

+ +

−

⎬ ⎪ ⎭

= . (2.62)

A kinematikai peremfeltételek figyelembevétele után, az elmozdulások tetszőleges variációjából következik, hogy a csomóponti elmozdulások az alábbi egyenletrendszer megoldásából adódnak + −

+ +

+( +(

) )

−

+ +

+

+( +(

) )

=

+ +

.

(2.63)

Az egyenletrendszer megoldása után a feszültségeket a Hooke-törvényből számoljuk. Erre a képletsorra 3 végeselemes célprogram készült a kapcsolódó felületen értelmezett 3 különböző feszültségi vektor alapján.

16


2.3. Folytonos variációs elv alkalmazása A folytonos variációs elv alkalmazásakor (hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló módszer) az energia funkcionál csak a potenciális energiát tartalmazza. Ennek részletes tárgyalásmódjára nem térünk ki, mivel azt [75,77,78] részletesen tárgyalja. 2.3.1. Az energia funkcionál Az általunk alkalmazott Π funkcionál Π =∑

∙∙

∫

∙∙

−∫

∙

−∫

∙

(2.64)

alakban írható fel. Láthatjuk, hogy a nemfolytonos esethez képest a funkcionál nem tartalmazza a diszlokációs potenciált és a büntetőparaméteres tagot. 2.3.2. Végeselemes diszkretizáció A végeselemes háló folytonos esetben a hagyományos módon értelmezhető (2.5 ábra).

z 4

5

6

2

1 1

r

3

2

2.5 ábra A végeselemes háló folytonos esetben Az approximációs mátrixban ismét a négycsomópontú izoparametrikus elem alakfüggvényeit alkalmaztuk. A célszerűség azt diktálja, hogy az 1-es és 2-es testen lévő ismeretleneket partícionáljuk oly módon, hogy külön választjuk a kapcsolódó felületre jutó csomópontokat a többi csomóponttól. Ennek megfelelően =

,

=

,

(2.65)

ahol c jelöli a kapcsolódó felületre jutó csomópontokat, a b pedig a többi csomópontot. Nyilvánvaló, hogy a kapcsolódó felületen a csomóponti elmozdulások megegyeznek =

=

(2.66)

és azok variációja is =

=

.

(2.67)

17


Az 1-es test merevségi mátrixa =

,

(2.68)

=

.

(2.69)

amíg a 2-es test merevségi mátrixa

A csomóponti terhelésvektor az 1-es testen =

,

(2.70)

=

.

(2.71)

amíg a 2-es testen

Az energia variációja és a diszkretizálás után összeépítve a két testből álló mátrixokat az alábbi összefüggést kapjuk

[

]

−

+

+

= .

(2.72)

A kinematikai peremfeltételek figyelembevétele után, az elmozdulások tetszőleges variációjából következik, hogy a csomóponti elmozdulások az alábbi egyenletrendszer megoldásából adódnak

+

=

+

.

(2.73)

Az egyenletrendszer megoldása után a feszültségeket a Hooke-törvényből számoljuk. Erre a képletsorra is készült végeselemes program.

18


2.4. Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos és folytonos esetre Az első feladatban egytengelyű feszültségi állapotot, a másodikban pedig nem egytengelyű feszültségi állapotot vizsgálunk rugalmas anyagjellemzőkkel (2.6 ábra), valamint gumihoz hasonló tulajdonságokkal. Az tengely mentén görgős megtámasztást feltételezünk. A geometriai méretek, a megtámasztás és az anyagjellemzők mindkét példánál azonosak (2.1 táblázat). 2.1 táblázat Adattábla Rugalmassági modulusz ( ) Poisson-tényező ( ) Felületen megoszló terhelés ( ) Az alkatrész átmérője ( ) Az alkatrész magassága (h)

z p

20 0,49 5 20 10

z p D/2

h D

h D

r

r

2.6 ábra Egytengelyű és nem egytengelyű feszültségi állapot 2.4.1. Egytengelyű feszültségi állapot A 2.7 ábrán látható, hogy ha a funkcionál tartalmazza a diszlokációs energiát is, akkor sokkal kisebb pozitív nem zérus büntetőparaméter mellett is folytonos megoldást kapunk. Ha a diszlokációs energia nélkül, kizárólag a büntetőparaméteres taggal együtt írjuk fel a funkcionált, akkor jóval nagyobb büntetőparaméter mellett is szakadás lép fel, az elemek egymásba hatolnak.

a)

b) 2.7 ábra Az elmozdulásmező a) = ∙ 5 ∙ 10 A funkcionál tartalmazza a diszlokációs potenciált b) = ∙ 1 A funkcionál nem tartalmazza a diszlokációs potenciált

19


2.4.2. Nem egytengelyű feszültségi állapot A 2.8 ábrán a hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló eredményt és a szakadásos mező módszerét alkalmazó eljárás eredménye látható alkalmasan megválasztott büntetőparaméter esetén. A két megoldás gyakorlatilag teljesen megegyezik. Ez azt mutatja, hogy a bemutatott eljárás alkalmas rugalmas peremérték feladatok vizsgálatára.

a)

b) 2.8 ábra Az elmozdulásmező a) Hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló módszer b) Szakadásos mezők módszere Azonos érték mellett a diszlokációs energiát is magába foglaló funkcionál lényegesen kedvezőbb eredményt szolgáltat, mint a tiszta büntetőparaméteres módszer (2.9 ábra).

a) b) 2.9 ábra Az elmozdulásmező a) Hagyományos kompatibilis elmozduláson alapuló potenciál b) = ∙ 1 Szakadásos mezők módszere Összességében elmondható, hogy büntetőparaméter alkalmazása nélkül a program nem futtatható, mert nem definit a mátrix, továbbá a diszlokációs energia figyelembevételével egytengelyű feszültségállapot esetén tetszőlegesen kis pozitív büntetőparaméter mellett is jó (folytonos) megoldást kapunk az elmozdulásmezőre. Nem egytengelyű feszültségállapot esetén a büntetőparaméter egy-két nagyságrenddel nagyobb kell, hogy legyen, mint a rugalmassági modulusz ahhoz, hogy kielégítően pontos megoldást kapjunk. 2.4.3. A megoldás stabilitásának numerikus vizsgálata nemfolytonos esetben A megoldás stabilitásának biztosítására az energia funkcionál tartalmazza a büntetőparaméteres tagot is. Az a Gauss-pontokban vizsgált értékekre utal. A maximális elmozdulás normál- és tangenciális irányú hibája (max) = max |

( )−

(max) = max |

( )−

( )|, ( )|.

(2.74) (2.75) 20


A közepes elmozdulás normál- és tangenciális irányú hibája (közép) =

∫(

(közép) =

∫(

)

(2.76)

∫

)

(2.77)

∫

A különböző interfész feszültségek és különböző felosztások esetén a következő táblázat tartalmazza azon büntetőparamétereket, melyeknél az együttható mátrix pozitív definitté válik, ahol az együttható mátrix sajátértéke. 2.2 táblázat A büntetőparaméter értéke a három interfész feszültség esetre I. eset II. eset Hálósűrűség ( > 0) 2x2 E*92 E*67 4x4 E*100 E*72 8x8 E*102 E*76

III. eset E*49 E*53 E*54

2.10 ábra A büntetőparaméter értéke a három interfész feszültség esetre A maximális és közepes elmozdulás normál- és tangenciális irányú hibáját a következő táblázat tartalmazza. 2.3 táblázat A hibák mértéke a büntetőparaméter hatására I. eset II. eset =E*1 =E*200 =E*1 =E*150 (max) 0.07102 0.0122872 0.12205 0.004099 (max) 0.60818 0.0022173 0.50897 0.004436 2x2 (közép) 0.03337 0.0080751 0.06077 0.003107 (közép) 0.26337 0.0010014 0.21827 0.001767 (max) 0.04026 0.0040705 0.46038 0.008804 (max) 0.23420 0.0019866 0.45358 0.002903 4x4 (közép) 0.01810 0.0020425 0.10995 0.002503 (közép) 0.05475 0.0003522 0.13413 0.000490 (max) 0.02724 0.0020203 0.15425 0.005798 (max) 0.12966 0.0010627 0.25179 0.001453 8x8 (közép) 0.01145 0.0006375 0.03111 0.000983 (közép) 0.02347 0.0000958 0.05961 0.000139

III. eset =E*1 =E*100 0.0495 0.009702 0.3847 0.005413 0.0315 0.0061100 0.1530 0.0023690 0.0533 0.007693 0.2235 0.004524 0.0214 0.0017917 0.0449 0.0007174 0.0554 0.002297 0.0852 0.002329 0.0198 0.0004724 0.0264 0.0001750 21


2.11 ábra A hibák mértéke az I. esetben a büntetőparaméter hatására

2.12 ábra A hibák mértéke az II. esetben a büntetőparaméter hatására

2.13 ábra A hibák mértéke az III. esetben a büntetőparaméter hatására Ugyan a módszer stabilitása növelhető a büntetőparaméter növelésével, de a kondíciószám (a mátrix legnagyobb- és legkisebb sajátértékének a hányadosa) növekszik, amely a megoldás pontatlanságát eredményezheti nagy ismeretlenszám esetén.

22


2.4 táblázat A kondíciószám változása I. eset =E*0 38351 50675 58069

2x2 4x4 8x8

=E*50 65933 94197 114824

=E*102 116527 170839 208061

=E*200 223366 328706 398113

=E*76 97085 135126 161620

=E*150 177558 252037 302061

=E*54 63136 89113 108929

=E*100 113675 163488 198685

II. eset 2x2 4x4 8x8

=E*0 36521 47622 55136

=E*35 57350 78141 273380

2x2 4x4 8x8

=E*0 30420 34501 708352

=E*25 36922 44599 54690

III. eset

2.5. Az átemelő operátorral módosított nemfolytonos variációs elv alkalmazása A nemfolytonos Galjorkin-módszer irodalomban megjelenik az átemelő (lifting) operátor definíciója [16]. Értelmezése, a térfogaton vett feszültséget átemeli a kapcsolódó felületre. Az átemelő operátornak két változata ismert: lokális és globális. A mi esetünkben a lokálist használjuk, hiszen ez kevésbé számításigényes és implementáljuk a szakadásos mezők módszerébe. Numerikus megvalósítás szempontjából a globális átemelő operátor esetén a feladat méretével megegyező együttható mátrixokat szükséges invertálni, míg a lokális esetben két szomszédos elem méretének megfelelő együttható mátrixot. Mivel az elemek nincsenek a priori illesztve, az illesztést és a folytonossági követelményeket büntetőparaméteresen oldhatjuk meg, vagy az átemelő operátor segítségével. Az operátor alkalmazásával azt várjuk, hogy a feladat, a büntetőparaméteres technikától stabilabb megoldást eredményez. Mostani vizsgálatunkban a III. eset szerint végezzük a számításokat. 2.5.1. Az átemelő operátor alkalmazása Az átemelő operátort tartalmazó tagot a büntetőparaméteres tag helyett alkalmazzuk a funkcionálban, így Π

,

=∑

∙∙

∫

∙∙

+ ∫ 〈 〉{ ( )}

−∫ +∑

∈

∙ ∫

−∫ [ (〈 〉)]

∙ ,

+ (2.78)

ahol az átemelő operátor paramétere. A matematikusok [6,105] az alábbi összefüggésben adják meg az operátort ∫

(〈

〉)

= − ∫ 〈 〉{ }

.

(2.79)

23


A (2.79) egyenlet kontinuummechanikai mennyiségekkel az alábbi alakban írható =−∫ { } 〈 〉

∫

,

(2.80)

ahol az átemelő operátor, a feszültségeloszlás. A képletben szereplő mennyiségek egymástól függetlenül közelíthetőek. Megjegyezzük, hogy a (2.80) jobb oldalán az érintkezési felületen fellépő feszültségeloszlás meghatározása csupán az érintkezési élek elmozdulásmezejéből nem határozható meg. 2.5.2. Végeselemes diszkretizáció A funkcionálban szereplő mennyiségeket az előzőekben már közöltük, így csak az átemelő operátor és az ún. feszültségeloszlás közelítésére térünk ki. Az átemelő operátor közelítése =

,

(2.81)

ahol =[

],

…

(2.82)

( = 1. .4) a csomóponti átemelő operátor értékek az amelyben a , , irányokban. A feszültségeloszlás közelítése =

,

,

,

(2.83)

ahol =[

],

…

(2.84)

( = 1. .4) a csomóponti feszültség értékek az , , amelyben a , , Az általunk használt alakfüggvények 0 0 = 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0 0

∈

.

0 0

irányokban.

0 0 . 0

(2.85)

0

Az operátorban használt feszültségvektor { } = [

]

,

(2.86)

Az 1-es test kifelé mutató normál egységvektorok értékei az alábbi mátrixban foglalhatóak össze az felületen =

0 0

0 0

.

(2.87)

24


A fentebb mechanikai nyelvre átírt operátor a közelített értékek alapján

[

]

∫

= ∫

= −[

]

− ∫

∫

− ∫

∫

.

(2.88)

Az együttható mátrixok egyszerűbb leírása érdekében a vektorokat index nélkül jelöljük, a baloldali mátrixot R–rel, azaz

=

∫ ,

(2.89)

∫ a jobboldalit P–vel,

=

− ∫

∫

− ∫

∫

.

(2.90)

Ez alapján a (2.88) felírható =−

,

(2.91)

+

)= ,

(2.92)

amiből (

ahol a csomóponti feszültségértékeket tetszőlegesnek feltételezve megkapjuk az átemelő operátor csomóponti értékét =

.

(2.93)

Behelyettesítve az átemelő operátor diszkretizált értékeit a funkcionálba, majd azt egyszerűsítve kapjuk, ∫

=

=

∫

, (2.94)

ahol =

.

(2.95)

Így az átemelő operátoros tagból származó merevségi mátrix =

.

(2.96) 25


A bevezetett approximációkból a Π , funkcionál diszkretizálható. A kinematikai peremfeltételek figyelembevétele után, az elmozdulások tetszőleges variációjából következik, hogy a csomóponti elmozdulások az alábbi egyenletrendszer megoldásából adódnak, +

+(

+ +

+(

) )

+(

+ +

+

) +(

)

+ +

=

. (2.97)

A (2.97) bal oldalán látható együttható mátrix az átemelő operátornak köszönhetően nagyobb sávszélességgel rendelkezik, mint a büntetőparaméteres technikánál kapott együttható mátrix, hiszen az élen lévő feszültségek meghatározásához az elem minden csomóponti elmozdulása szerepel. Amíg a büntetőparaméteres technika az érintkező élek között teremt kapcsolatot, addig az átemelő operátor a két szomszédos elem tartománya között. A levezetett összefüggések alapján egy végeselemes program került kifejlesztésre. 2.6. Összehasonlító vizsgálat nemfolytonos esetekben A feladat nem egytengelyű feszültségi állapotot vizsgál hasonló geometriai, anyagi és terhelési paraméterekkel, mint a korábbiakban. A peremértékfeladatot az Π , és Π , funkcionálokra alapozva oldjuk meg = ∗ 0,1 büntetőparaméter esetén.

a)

b) 2.14 ábra Az elmozdulásmező a) A szakadásos mezők módszerével b) Az átemelő operátoros technikával A baloldali ábra a büntetőparaméteres tagot tartalmazó funkcionálhoz tartozik, míg a jobboldali azt a megoldást mutatja, amikor a funkcionál az átemelő operátoros tagot tartalmazza. Jól látható mindkét esetben, hogy a megoldás nem megfelelő. Ez annak köszönhető, hogy az általunk alkalmazott büntetőparaméter alkalmazásával a két egyenletrendszer együttható mátrixa rosszul kondicionált. Ennek elkerülése érdekében megvizsgáltuk, hogy az együttható mátrix mikor válik pozitív definitté, azaz mely büntetőparaméter esetén lesz minden sajátérték pozitív. Az együttható mátrixok vizsgálatát három különböző végeselemes felosztás esetén néztük meg különböző értéket választva, amelynek eredményeit a 2.5 táblázat és a 2.5 ábra szemlélteti. 2.5 táblázat A büntetőparaméter értéke a két technika esetén Π Hálósűrűség ( > 0) 2x2 E*49 4x4 E*53 8x8 E*54

Π E*112 E*63 E*33 26


2.15 ábra A büntetőparaméter értéke a két technika esetén A 2.16 ábrán feltüntetett eredményeket már a jól megválasztott büntetőparaméterek mellett kaptuk meg.

a) b)

a) b) 2.16 ábra Az elmozdulásmező = ∙ 54 A szakadásos mezők módszere = ∙ 33 Az átemelő operátoros technika

A megoldás mindkét esetben hasonlóan folytonos. A numerikus vizsgálat megmutatta, hogy a büntetőparaméter értéke független a felosztás sűrűségétől a büntetőparaméteres technika esetén. Az átemelő operátor használatánál minél finomabb a felosztás, annál kisebb büntetőparaméter szükségeltetik, amiből adódik, hogy ezen technika nagyobb felosztás esetén pontosabb megoldást ad. 2.7. Számítási igények összehasonlítása Ebben a pontban megvizsgáljuk a folytonos és nemfolytonos végeselem-módszer számítástechnikai igényét. A jobb áttekinthetőség kedvéért a (2.63) és (2.97) összefüggésekben az 1-es és 2-es testeken levő ismeretleneket is felosztjuk úgy, hogy lesznek a kapcsolódó felületre jutó csomópontok és a belső (minden többi) részre jutó csomópontok. A folytonos eset egyenletrendszere =

+

+

(2.98)

,

a szakadásos mezők módszerének egyenletrendszere a (2.63) alapján ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ −

+ + (

+( ) + +( +( ) )

)

− +

( + + +(

) +( +( )

) )

+

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎤ ⎥ ⎥, ⎥ ⎦

(2.99)

27


míg az átemelő operátoros alkalmazás egyenletrendszere a (2.97) alapján ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ +

+

ℎ +

ℎ

+

+

ℎ

+

ℎ +

ℎ

ℎ

+

ℎ

ℎ

+(

+( +(

+(

ℎ )

ℎ

)

+

)

ℎ ℎ

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎣

+

)

ℎ

+

+(

)

+

+(

)

+(

+

ℎ +

)

+

ℎ +

⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

ℎ

⎤ ⎥ ⎥⎡ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(2.100)

Ha az egyenletrendszereket összehasonlítjuk, láthatjuk, hogy a folytonos esetben lényegesen kisebb az ismeretlenek száma, valamint az együttható mátrix elemeinek felépítéséhez a számítási igény is kevesebb. Kijelenthető továbbá az, hogy nemfolytonos esetekben a sávszélesség is nagyobb, mint folytonos esetben és ezt az átemelő operátor tovább növeli. A sávszélességgel négyzetesen változik az egyenletrendszer megoldási ideje [11]. A 2.17 ábra a folytonos és nemfolytonos elemkiosztásokat ábrázolja tengelyszimmetrikus esetben. z

z

n

n

i

i

2 1

r 1 2

i

n

2 1

r 1 2

i

n

2.17 ábra Az elemkiosztás folytonos és nemfolytonos esetben Az alábbi táblázatban foglaljuk össze a számítási igényeket a három esetre vonatkozóan, itt az ismeretlenek száma, pedig a sávszélesség. Az jelenti a sor és oszlop elemeinek számát. 2.6 táblázat Számítási igények Folytonos ( + 1)( + 1) ∙ 2 ( + 3) ∙ 2

Nemfolytonos (szakadásos mezők módszere) 4∙ ∙2 (2 ∙ + 2) ∙ 2

Nemfolytonos (átemelő operátoros technika) 4∙ ∙2 (3 ∙ 2 ∙ + 2) ∙ 2

28


Ismeretlenek száma (NEQ)

Folytonos

Nemfolytonos

10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 100 10 1 1

10

100

1000

Hálósűrűség (n)

2.18 ábra Ismeretlenek száma különböző hálósűrűségekre Egy egyszerű határérték számítással bizonyíthatjuk, hogy a hálósűrűség növelésével hogyan nő a számítási igény lim

→

lim

→

= lim

→

= lim

→

=2

(2.101)

és á

=6

(2.102)

Ezek az eredmények a nemlineáris feladatoknál válnak még izgalmasabbá, így a számítási igény miatt az alakoptimalizálási feladathoz a folytonos esetet célszerű alkalmazni. A nemfolytonos esetek nem adnak annyi pluszt a megoldás pontosságára, stabilitására vonatkozóan, hogy alakoptimalizálási feladathoz gazdaságosan lehessen alkalmazni. Megjegyezzük, hogy teljes approximációs teret (tensor product space [100]) alkalmazó magasabb fokú közelítés esetén a viszony kevésbé kedvezőtlen a folytonoshoz képest.

29


3. TENGELYSZIMMETRIKUS GUMIALKATRÉSZ VÉGESELEMES VIZSGÁLATA NAGY ALAKVÁLTOZÁS ESETÉN A gumik nagy alakváltozást szenvedhetnek a terhelés hatására tönkremenetel nélkül, amely nemlineáris viselkedést mutat. Ez egyrészt következik az anyag nagymértékű alakváltozásából, az alkatrészek közötti változó érintkezési tartományból, a gumi összenyomhatatlanságából. Jelen fejezet a kontinuummechanika nagy alakváltozás elméletét, majd annak végeselemes tárgyalásmódját összegzi, amely a saját fejlesztésű végeselemes program alapjául szolgál, de csak folytonos esetre. A gumirugó végeselemes vizsgálata a nagy alakváltozásból fakadóan iteratív megoldást tesz szükségessé, amely nagyszámú egyenletrendszer megoldását igényli. A feladat belátható időn belüli megoldásához a folytonos leírás hatékonyabban használható. A számítási szükséglet a nemfolytonos módszernél akár egy nagyságrenddel is nagyobb lehet, ez pedig az optimalizálásnál rendkívül hátrányos. 3.1. Nemlineáris rugalmasságtani összefüggések A Lagrange-féle leírásmód alapján [45] szerint henger-koordináta rendszerben a mozgásfüggvényt az alábbi módon írhatjuk fel a = pillanatnyi konfigurációban az azonosító (kezdeti) = 0 konfiguráció függvényeként = ( ,

,

; ).

(3.1)

Mivel vizsgálatainkban a terhelés és a peremfeltételek is tengelyszimmetrikusak, így nincsen –től való függés. A –től független helyvektor koordinátái a kezdeti konfiguráció helykoordinátáinak a függvényei, azaz = ( ,

; ),

= ( ,

; ),

(3.2)

A mozgásfüggvény így a következő alakban írható fel = ( ,

; )∙

+ ( ,

; )∙

,

(3.3)

ahol , egységvektorok. Megjegyezzük, hogy a henger-koordináta rendszer , , egységvektorai egymásra kölcsönösen merőlegesek. A 3.1 ábra a kezdeti és a pillanatnyi konfigurációban értelmezi a rugalmas szilárd test mozgását. z

V0

V

t=0 P0(r0,z0) dV0 r0

u0=u

dV P(r,z)

r

t=t r

3.1 ábra A rugalmas szilárd test meridián metszete az alakváltozás során 30


A , jelöli a kezdeti konfigurációban, míg , a pillanatnyi konfigurációban értelmezett térfogatot, illetve elemi térfogatot. A vizsgált test kezdeti konfiguráció és a pillanatnyi konfiguráció vonalelemének kapcsolatát, ahol =

∙

+

∙

∙

=

∙

,

(3.4)

valamint = az

∙

+

,

alakváltozási gradienssel írhatjuk le. Az =

∙

,

=

∙

+

,

∙

,

(3.5)

egységvektorok ortogonalitása miatt =

∙

.

(3.6)

Az alakváltozási gradiens így ,

(3.7)

amelyből 0 =

= 0

0 . 1

0

(3.8)

A Jacobi-determinánsra = ≠ 0.

(3.9)

A Jacobi-determináns nem zérus volta annak a feltétele, hogy a leképezés nem elfajuló. Koordináta-rendszertől függetlenül fennáll és a 3.1 ábra szemlélteti, miszerint =

=

∙

+

∙

,

de látható, hogy a tér különböző tartományaihoz van kötve. Itt és skalárkoordinátái. Igaz továbbá az alábbi összefüggés is, amely szerint =

+

.

(3.10) az elmozdulásvektor

(3.11)

Amikor összenyomhatatlan, vagy majdnem összenyomhatatlan anyagokkal foglalkozunk, célszerű az alakváltozási gradienst felbontani egy térfogatváltozást leíró és egy torzulásos (deviátoros) tagra [15] =

∙ .

(3.12)

Az alakváltozási gradiens determinánsa megadja a térfogatarányt =

= =

,

(3.13) 31


ahol

=

és az egységtenzor. Nyilvánvalóan = 1,

=

∙

(3.14)

módon állítható elő. Az előbb említett felbontást tengelyszimmetrikus esetben a 3.2 ábra szerint értelmezhetjük.

z F F P P0

r

3.2 ábra Az alakváltozási gradiens felbontása Megjegyezzük, hogy a 3.2 ábrán szürkével satírozott tartományok térfogatai megegyeznek. Az alakváltozási gradiensből származtathatók az alakváltozási mértékek meghatározására az alakváltozási tenzorok. A jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor a kezdeti konfigurációban értelmezett =

∙ ,

=

∙

(3.15)

amelyből a torzulásos tag =

∙ .

(3.16)

Mivel a gumi homogén izotróp anyag, ezért az anyagtörvényt az alakváltozási tenzorok invariánsaival szokás kifejezni. A jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor első, második és harmadik skalárinvariánsa =

+

+

,

= (

−

∙∙ ),

=

=

.

(3.17)

A jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor torzulásos tagjának a skalárinvariánsai rendre =

+

+

,

=

−

∙∙

,

=

.

(3.18)

A végeselemes számításokhoz szükséges még a Green-Lagrange alakváltozási tenzor bevezetése = ∙ ( − ).

(3.19)

32


3.2 A gumiban ébredő feszültségek és az alakváltozási energiasűrűség Ha a gumi viszkózus tulajdonságaitól eltekintünk az jellemző rá, hogy a feszültségi állapota az a pillanatnyi alakváltozási állapotától függ (nincs terheléstörténet). Bármely feszültségi mérték az alakváltozási gradienstől függ, nevezetesen az alakváltozási gradienshez az energetikailag konjugált I. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzor [15]. Ennek értelmében a alakváltozási energiasűrűség a feszültség által az alakváltozás kezdeti és végállapota közötti alakváltozáson végzett munka ( ) ∙∙ ̇

( )=∫

,

(3.20)

ahol ̇ az alakváltozási gradiens időszerinti deriváltja. Így az I. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzor kifejezhető az alakváltozási energiasűrűség deriváltjaként ( )

( )=

.

(3.21)

Hasonlóan kifejezhető az II. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzor a jobboldali Cauchy-Green, vagy a Green-Lagrange alakváltozási tenzorokkal, ( )

( )=2 figyelembe véve (3.19)-et. A mérnöki gyakorlatban jól ismert segítségével határozható meg

( )

=

,

(3.22)

Cauchy-féle feszültség tenzor egy transzformáció =

∙

∙

∙

.

(3.23)

Gumik esetén az anyagmodelleket az alakváltozási energiasűrűség függvénnyel szokás megadni. Majdnem összenyomhatatlan anyagok energiasűrűség függvénye két részből áll, azaz ahogyan az alakváltozás felbontható, úgy az alakváltozási energiasűrűség is felbontható egy térfogatváltozási és egy torzulásos részre. Ez alapján = ( )+

,

,

(3.24)

ahol ( ) jelöli a térfogatváltozásból származó alakváltozási energiasűrűséget, míg ( ) a torzulásból származó alakváltozási energiasűrűség. Az ( ) függvény a szakirodalomban leggyakrabban az alábbi egyszerű formában adott ( )= ∙

∙ ( − 1) ,

(3.25)

ahol térfogati rugalmassági (bulk) modulusz, amely egy valóságos anyagjellemző és a végeselemes vizsgálatokban büntetőparaméterként értelmezhető. Értéke kifejezhető a lineáris rugalmasságtanban ismert csúsztató rugalmassági modulusszal és a Poisson-tényezővel, azaz =

∙( (

) )

.

(3.26)

33


Ha összenyomhatatlan anyagot vizsgálunk, akkor ( ) zérus, mivel = 0,5. Megjegyzendő, hogy a gumi az összetételtől függően majdnem összenyomhatatlan anyagnak tekinthető. Ennek megfelelően a Poisson-tényező 0,49 < < 0,5 közé esik. Az alakváltozási energiasűrűség torzulásos tagjára a szakirodalomban számos anyagmodell található. Nyomó igénybevételre a Mooney-Rivlin anyagmodell jó egyezést mutat a laboratóriumi méréseinkkel, így a továbbiakban ezt használjuk. Ahogy azt a korábbiakban említettük az anyagtörvényt a skalárinvariánsok segítségével fejezzük ki, így a MooneyRivlin anyagtörvény =

∙

−3 +

∙

−3 ,

(3.27)

ahol a és az ún. Mooney-Rivlin anyagállandók. Az alakváltozás torzulásos és izotróp részre történő felbontásához hasonlóan a feszültségek is felbonthatók egy torzulásos és egy izotróp, azaz hidrosztatikus részre, így a Cauchy-féle feszültség tenzor = ´+

∙ ,

(3.28)

ahol a hidrosztatikus nyomás. Ugyanezen gondolatmenet alapján a II. Piola-Kirchhoff feszültség tenzor = ´+

∙ ∙

,

(3.29)

ahol a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor inverze = . Hasonlóan (3.22)-hez az ´ feszültség torzulásos tagja is a megfelelő alakváltozási energiasűrűségfüggvényből származtatható, azaz ´=2

.

(3.30)

A hidrosztatikus nyomás a térfogatváltozásból származó energiasűrűségből számolható =

.

(3.31)

3.3. Az anyagállandók tenzora Az alakváltozás és a feszültség között az anyagtörvény teremt kapcsolatot, amely az anyagállandók negyedrendű tenzorával írható le. A kezdeti konfigurációban az anyagállandók tenzora a II. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzornak a Green-Lagrange alakváltozási tenzor szerinti deriválásával számolható =

.

(3.32)

Felhasználva (3.19)-et és (3.22)-őt ez átalakítható az alábbi módon = 2∙

=4∙

.

(3.33)

34


Majdnem összenyomhatatlan anyagok esetén az anyagállandók tenzorát 3 tagra szokás szétválasztani [15] =

+

+

,

(3.34)

ahol a torzulásos tag, a hidrosztatikus nyomásból származó tag, míg a térfogatváltozásból származó tag. A végeselem programhoz és a könnyebb megértéshez szükséges ezeket kirészletezni, felhasználva (3.29)-et és (3.30)-at. Így (3.33) értelmében = 2∙

=4∙

+2∙

∙

( ∙

)

+2∙ ∙

∙

,

(3.35)

ahol a torzulásos tag = 4∙

,

(3.36)

míg a hidrosztatikus nyomásból származó tag =2∙

∙

( ∙

)

.

(3.37)

Figyelembe véve (3.17)-et =

(

)

=

∙

.

(3.38)

Egyenértékű átalakítással (3.38) felírható, hogy ∙

=2∙ ∙

→

= ∙ ∙

Szükséges levezetni még a hidrosztatikus nyomás felhasználásával a következőképpen írható le =

(

)

=

∙

.

(3.39)

szerinti deriváltját, amely (3.31)

= ∙ ∙

∙

.

(3.40)

A (3.40) és (3.35) értelmében így a térfogatváltozásból származó tag =

∙

∙

∘

.

(3.41)

35


3.4. Az energia funkcionál A gumikat összenyomhatatlan, vagy majdnem összenyomhatatlan anyagoknak tekintjük. A kontinuummechanikai leírásban az összenyomhatatlanság egy kiegészítő feltétel, amelynek biztosítására több megközelítést alkalmaz a szakirodalom [15]. Az egyik a büntetőparaméteres technika, egy másik a Lagrange-multiplikátoros technika és az ún. vegyes mezők módszerét is elterjedten alkalmazzák. A célunk megbízható, „locking” szempontjából kedvező tengelyszimmetrikus végeselemek alkalmazása. Az irodalom igen nagy hangsúlyt fordít locking-mentes elemek kifejlesztésére [7,8,14,96]. A gumikhoz a vegyes mezők módszerét, funkcionálként pedig független hárommezős funkcionált alkalmazunk. Szokás ezt a funkcionált Hu-Washizu típusú funkcionálnak nevezni [15], mert az elmozdulásmezőt, a ̅ térfogatváltozást és a ̅ hidrosztatikus nyomást egymástól függetlenül közelíti. Megjegyezzük, hogy a Hu-Washizu variációs elv az elmozdulásmező, az alakváltozási gradiens és a I. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzormező független közelítésére épül. A kifejlesztendő végeselem program alapjául az alábbi funkcionál szolgál Π

( , ,̅ ̅ ) = ∫

+∫

( )̅

̅ ∙ ( − )̅

+∫

− Π ( ), (3.42)

ahol (3.24) szerint a az alakváltozási energiasűrűség torzulásos része, az ( )̅ a büntetőparaméteres tag. A (3.8) alapján közvetve az elmozdulásból származtatható és független a ̅ -től. A ̅ egy Lagrange-féle multiplikátor, amelynek fizikai tartalma a hidrosztatikus nyomás, Π ( ) a külső erők potenciálja. Képezve a funkcionál változók szerinti variációját az alábbi három egyenletet kapjuk δ Π

( , ,̅ ̅ ) = 0 = ∫

∙∙

+∫

− Π ( ),

̅∙ ( )

δ ̅Π

( , ,̅ ̅ ) = 0 = ∫

δ ̅Π

( , ,̅ ̅ ) = 0 = ∫ ( − )̅ ∙

̅

− ̅ ∙ ̅

.

,

(3.43) (3.44) (3.45)

Mivel a ̅ és ̅ független mezőket az elem határán nem illesztjük, ezért a (3.44) és (3.45) egyenlet végeselemenként kerül felírásra. A (3.43) egyenlet az elmozdulás nemlineáris függvénye, ezért azt linearizálni szükséges. A számítások során az elmozdulásmezőről feltételezzük, hogy kinematikailag lehetséges, azaz folytonos, elegendően sokszor differenciálható és kielégíti a kinematikai peremfeltételt. Mivel az elmozdulás szerinti variáció nemlineáris elemeket tartalmaz, így a diszkretizáció előtt azt megfelelő változók szerinti növekmények alkalmazásával linearizálni kell, ezért bevezetjük a Green-Lagrange alakváltozási tenzort és az energia konjugált II. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzort. A funkcionál elmozdulásmező szerinti variációja a Total Lagrange féle leírást alkalmazva [11] alapján, amely tartalmilag megegyezik (3.43)-al ∫

∆

∙∙

∆

− Π ( ) = 0,

(3.46)

alakban írható fel.

36


A felső indexek értelmezését az alábbi 3.3 ábra mutatja.

3.3 ábra Az azonosító- és pillanatnyi konfiguráció Itt a helyvektor és az elmozdulásvektor az alábbiak szerint értelmezhető ∆

=

∆

+Δ ,

=

+Δ ,

(3.47)

míg a II. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzor ∆

=

+Δ ,

(3.48)

∆ ahol és a + ∆ és időpontban a II. Piola-Kirchhoff feszültségi tenzor, továbbá Δ a növekmény. A Green-Lagrange és a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzor az alábbi alakokban írható fel ∆

=

∆

+Δ ,

=

+Δ ,

(3.49)

∆ ahol és a + ∆ és időpontban a Green-Lagrange alakváltozási tenzor, továbbá Δ a növekmény. Ugyanez vonatkozik a jobboldali Cauchy-Green alakváltozási tenzorra is. Itt a Green-Lagrange alakváltozási tenzor növekmény ∆ felbontható egy elmozdulástól lineárisan és egy nemlineárisan függő részre

∆ =∆

+∆

Tengelyszimmetrikus esetet figyelembe véve a ∆ tartalmazza. Tudva, hogy ∆

.

(3.50)

tenzor független elemeit az A. függelék

= ∆ ,

(3.51)

így a linearizálás után a (3.46) az alábbi alakot nyeri ∫

∆ ∙∙ ∆

+∫

= Π ( )−∫

∙∙ ∆

∙∙ ∆

,

(3.52)

ahol ∆ =

∙∙ ∆

.

(3.53) 37


Behelyettesítve (3.53)-at közelítést alkalmazunk és a ∆ = ∆ ∫

∆

∙∙

∙∙ ∆

+∫

közelítést (3.52)-be

= Π ( )−∫

∙∙ ∆

∙∙ ∆

,

(3.54)

a virtuális munka elv növekményes alakját kapjuk. Az előzőekben levezetett anyagállandók mátrixát behelyettesítve megkapjuk a végeselemes számításra alkalmas alakot. Ez alapján ∆

∙∙

+

+

∙∙ ∆

+

= Π ( )−∫

∙∙ ∆

∙∙ ∆

=

.

(3.55)

3.5. Végeselemes diszkretizáció A 3.4 ábra egy folytonos végeselemes hálót szemléltet. A háló kilenccsomópontú izoparametrikus elemeket tartalmaz [78].

= 1,2,3,4 sorszámú

z 7

8

9

3 4

4 5

6

1 1

2 3

2

r

3.4 ábra A végeselemes háló Egy általános kilenccsomópontú elem leképzését a 3.5 ábra szemlélteti.

z

4

7

(-1,1)

6 

4 8

3 (1,1)

8

6 9

9 1

2 5 1

 7

3



(-1,-1)

(1,-1)

5

2

r

3.5 ábra Egy kilenccsomópontú izoparametrikus elem leképzése

38


A kilenccsomópontú izoparametrikus elem [78] alakfüggvényei =

1 ∙ (1 − ) ∙ (1 − ) ∙ (− − − 1), 4

=

1 ∙ (1 + ) ∙ (1 + ) ∙ ( + − 1), 4

= =

1 ∙ (1 + ) ∙ (1 − ) ∙ ( − − 1), 4

1 ∙ (1 − ) ∙ (1 + ) ∙ (− + 4

=

1 ∙ (1 − 2

) ∙ (1 − ) ,

=

1 ∙ (1 + ) ∙ (1 − 2

),

=

1 ∙ (1 − 2

) ∙ (1 + ) ,

=

1 ∙ (1 − ) ∙ (1 − 2

),

= (1 −

) ∙ (1 −

).

− 1),

(3.56)

Az -dik elem geometriai leképzése ( , )=∑

( , )∙ ,

(3.57)

( , )=∑

( , )∙ .

(3.58)

Tengelyszimmetrikus feladatnál ugyanúgy, mint a korábbiakban a vízszintes és függőleges elmozdulásokat közelítjük síkbeli esetben, mivel a test pontjai a meridiánsíkban mozdulnak el, azaz ( , )=∑

( , )∙

( , )=∑

( , )∙

,

(3.59) ,

(3.60)

amelyet mátrixos alakban is felírhatunk =∑

,

(3.61)

ahol a csomóponti elmozdulás értékek, az approximációs mátrix és = 9. Az elmozdulást teljes másodfokú függvénnyel a térfogatváltozást és a hidrosztatikus nyomást lineáris függvénnyel approximáljuk, ̅=

+

∙ +

∙ ,

(3.62)

̅=

+

∙ +

∙ .

(3.63)

A végeselemes diszkretizáció után megkapjuk a Newton-Raphson iterációs összefüggést (3.6 ábra) [11] ∆ =

−

=∆ ,

(3.64)

39


ahol a szerkezet tangenciális merevségi mátrixa, amely a lineáris és a geometriai merevségi mátrix összege, azaz =

+

,

(3.65)

és a szerkezet belső- és külső erőinek tehervektorai. A ∆ a szerkezet kiegyensúlyozatlan tehervektora, ∆ a csomóponti elmozdulás növekmény. A szerkezeti mátrixok az elemek megfelelő merevségi mátrixainak és tehervektorainak ún. végeselemes összegzésével állítható elő, azaz =∑

,

=∑

(3.66) ,

(3.67)

=∑

,

(3.68)

=∑

.

(3.69)

Az -dik elem lineáris merevségi mátrixa =∫

ahol

,

(3.70)

a lineáris alakváltozási elmozdulás mátrix. Az elem geometriai merevségi mátrixa =∫

,

(3.71)

ahol a nemlineáris alakváltozási elmozdulás mátrix. A , és mátrixok elemeit a B. függelék tartalmazza. A külső erők tehervektora a külső erők virtuális munkája alapján írható fel Π ( )= ahol

,

(3.72)

a csomóponti elmozdulás variációja. A belső erők tehervektora =∫

,

(3.73)

ahol a II. Piola-Kirchhoff feszültségi mátrix elemeiből előállított oszlopvektor, amelynek alakját a B. függelék tartalmazza.

40


f

KTt+t(2)

KTt+t(3) 1 1

f(u)

1

f

KTt+t(1) f t+t(3)

f t+t

u(1)

ft

f t+t(1)

f t+t(2)

u(2)

u(3) u

ut

u

ut+t

3.6 ábra Newton-Raphson iteráció Erre a képletsorra is készült egy saját fejlesztésű végeselemes program majdnem összenyomhatatlan anyagra. Az elmozdulás approximációjának foka, = 2. 3.6. Numerikus vizsgálat Az általunk alkalmazott alakoptimalizáláshoz nagyszámú gumirugó karakterisztika görbe meghatározása szükséges. A számítások gyors kivitelezéséhez célszerű a végeselemes feladat méretét egy adott korlát alatt tartani. A futásidő csökkentése céljából különböző érzékenységi vizsgálatokat végzünk. Célunk azt a legritkább hálófelosztást meghatározni, amely még kielégítően pontos megoldást ad. Mivel az összenyomhatatlanságot büntetőparaméteresen biztosítjuk, a büntetőparaméter helyes megválasztását is elemezzük. Alacsony büntetőparaméter esetén az összenyomhatatlanság kevésbé van biztosítva, míg nagyobb érték választása rosszul kondícionált együttható mátrixot eredményezhet. A fenti két cél elérésével kijelenthetjük, hogy bizonyos elemméret és büntetőparaméter alkalmazása esetén a futási idő minimálisra csökkenthető és megoldásunk is elegendően pontos. A saját fejlesztésű végeselemes programot azért részesítjük előnyben a kereskedelmi szoftverekkel szemben, mert a paraméterezésük könnyebben kézben tartható. A programhoz olyan geometria-, végeselem háló- és input adatgeneráló célprogram készült, amely gyorsan szolgáltatja a végeselemes input adatokat és egy rendszerré könnyen összeépíthető. Ez jelentősen lecsökkenti az alakoptimalizálás teljes időszükségletét.

41


Mintadarabnak egy tengelyszimmetrikus gumirugót (3.7 ábra) választottunk az alábbi jellemzőkkel (3.1 táblázat).

z d

nu

D k

H

r 3.7 ábra A vizsgált gumirugó 3.1 táblázat A vizsgált gumirugó jellemző adatai Geometriai méretek 100mm Külső átmérő ( ) 20mm Furat átmérő ( ) 120mm Magasság ( ) -5mm Parabola meredekség, konvexitás ( ) Anyagjellemzők 0,702N/mm2 Mooney-Rivlin állandó ( ) 0,175N/mm2 Mooney-Rivlin állandó ( ) Végeselemes beállítások 1000 Büntetőparaméter ( ) 2mm Teherlépcső (Δ ) 25db Lépések száma ( ) Megtámasztás alul és felül ideális, súrlódásmentes A hálósűrűség érzékenységét a megoldásra 5 esetben vizsgáltuk meg. A 3.8-3.10 ábrákon a nyomó igénybevétel hatására alakváltozott gumirugó látható. Vegyük észre, hogy a program több mint 40%-os összenyomódást is tud produkálni.

a)

b) 3.8 ábra Az elmozdulás a) 2x2-es hálósűrűségre b) 4x4-es hálósűrűségre

42


a)

b) 3.9 ábra Az elmozdulás a) 8x8-as hálósűrűségre b) 16x16-os hálósűrűségre

3.10 ábra Az elmozdulás 32x32-es hálósűrűségre A 3.11-3.13 ábrákon a feszültségeloszlás látható különböző felosztásokra.

a)

b) 3.11 ábra A feszültségeloszlás a) 2x2-es hálósűrűségre b) 4x4-es hálósűrűségre

a)

b) 3.12 ábra A feszültségeloszlás a) 8x8-as hálósűrűségre b) 16x16-os hálósűrűségre

43


3.13 ábra Az elmozdulás 32x32-es hálósűrűségre A 3.14 ábrán látható, hogy látszólag minden felosztásra ugyanolyan rugókarakterisztikát kapunk. Ilyen szempontból akár a 2x2-es felosztás is alkalmas lenne, de ha közelebbről megvizsgáljuk az értékeket 2 diszkrét pontban (20mm és 50mm összenyomódás), akkor láthatjuk, hogy hogyan közelít a numerikus megoldás (hibahatár 1%). Referenciának a 32x32es felosztást tekintjük (3.15 ábra). A kapott eredmények táblázatszerűen a C.1. függelékben találhatók.

3.14 ábra A kapott rugókarakterisztikák különböző végeselemes felosztások alapján A hálóérzékenység hibaanalízisét így a 3.15 ábra szemlélteti, amely eredményeként a 8x8-as felosztást tekintjük elegendően pontosnak, ahol a hiba mértéke (%) =

∙ 100,

(3.74)

ahol az adott összenyomódás mértéknél referenciának megválasztott 32x32-es felosztás nyomóerő értéke, amíg az a nyomóerő érték, amely adott összenyomódás mértéknél vizsgálni kívánunk.

44


3.15 ábra A megoldás pontossága A következő vizsgálat arra irányult, hogy az előzetesen megválasztott büntetőparaméter esetén milyen mértékben teljesül az összenyomhatatlanság. Ezt a 3.16 ábra reprezentálja. Kijelenthetjük, hogy amennyiben 0,1%-os pontatlanságot engedünk meg, akkor már a 4x4-es felosztás is megfelelő eredményt szolgáltat.

3.16 ábra Hálósűrűség hatása az összenyomhatatlansági feltételre A hálósűrűség és a büntetőparaméter vizsgálatokból kiderült, hogy a 8x8-as felosztás kellően pontos eredményeket biztosít a további feladatokhoz, továbbá számításigény szempontjából jóval költséghatékonyabb, mint bármely ennél sűrűbb hálófelosztás. A 3.17 ábrán látható, hogy milyen hatással van különböző büntetőparaméter érték 8x8-as felosztás esetén az összenyomhatatlansági feltételre. Az eredmények azt mutatták meg, hogy az előzetesen kiválasztott = 1000 nyújtja számunkra a megfelelő eredményt.

3.17 ábra A büntetőparaméter hatása az összenyomhatatlansági feltételre 45


Ennél egy nagyságrenddel nagyobb büntetőparaméternél nem mindig kapunk megbízható eredményt. Ez különösen azért is megnyugtató, mivel - figyelembe véve azt, hogy a gumik látszólagos rugalmassági modulusza = 20 érték körüli – 30 és 50 közötti büntetőparamétert ajánl a szakirodalom. 3.7. A mérési- és a numerikus eredmények összehasonlítása A kifejlesztett végeselem programunk hitelesítésére (valóságnak megfelelő eredmények) egy járműiparban alkalmazott gumibakon végzünk laboratóriumi méréséket. Ezt összehasonlítjuk a gumialkatrész numerikus vizsgálatának eredményeivel. Mivel számos kereskedelmi végeselem szoftver képes hatékonyan kezelni a gumikat, így ezt a feladatot a FEMAP szoftverrel is leellenőrizzük. Az eredményeket összehasonlítjuk, majd levonjuk a megfelelő konzekvenciákat. A mintadarabunk egy nyomó igénybevételre használt gumibak, amelyet kamionoknál alkalmaznak motor és váltó ágyazására. Mivel a gumibakról műhelyrajz nem állt rendelkezésre, így méreteit külön meg kell mérni, amelyet a C.2. függelék tartalmaz. 3.7.1. A gumibak kísérleti nyomóvizsgálata A laboratóriumi méréseket a Debreceni Egyetem Műszaki Karának Biomechanikai Laboratóriumában végeztük. A nyomóvizsgálatra egy INSTRON 7784 típusú szervohidraulikus, biaxiális anyagvizsgáló gép állt rendelkezésre (3.18 ábra).

3.18 ábra Képek a laboratóriumi vizsgálatról A nyomóvizsgálatot szobahőmérsékleten végeztük 20 mm összenyomódásig. A nyomás sebessége a gép teljesítménye alapján = 1 − 1000 intervallumban választható meg. A felső határ már nagyon kihasználja a gépet, így a méréseket a következő sebességértékeknél értékeltük ki: = [10; 50; 100; 200; 500; 800]. A laboratóriumi vizsgálatról a táblázatos kiértékelést a C.3. függelék tartalmazza.

46


3.19 ábra Mérési eredmények különböző nyomás sebességekre A 3.19 ábrából jól látható, hogy a karakterisztikát nem befolyásolja nagymértékben a nyomás sebessége, így a különböző sebességértékeknél mért karakterisztikákból átlagot számolunk, s azt vesszük etalonnak.

3.20 ábra A mérésből meghatározott átlagos rugókarakterisztika Mind a szoftverhez, mind pedig a végeselemes programhoz szükségünk van az anyagállandókra. A nyomóvizsgálat numerikus kiértékelését a Mooney-Rivlin anyagmodellre alapozva végezzük, ahol a két anyagállandó és . A szakirodalom az anyagállandók megválasztására ugyan javasol értékeket a vizsgált gumi Shore A keménységének függvényében [2], de csak tájékoztató adatként lehet felhasználni, ugyanis a paraméterek másmás igénybevétel típusra, más-más gumigeometriából kerültek meghatározásra. Mivel a gumibak Shore-féle keménységmérése olcsó és egyszerűen kezelhető eljárás, így a gumibakon az MSZ ISO 868:1991 szabvány alkalmazásával, s az eredmények az anyagvizsgálat statisztikai módszerével történő kiértékelése után [27] alapján meghatároztuk a gumibak keménységét, amely ℎ 66° értékre adódott. A keménységmérésről készült jegyzőkönyv a C.4. függelékben található. Az ANSYS szoftver fejlesztői által számos mérésre alapozva a C.5. függelékben található táblázatban adják meg a javasolt anyagállandókat a Shore keménység függvényében [2], amelyet a továbbiakban felhasználunk.

47


3.7.2. A gumibak nyomóvizsgálata végeselem-módszerrel A gumibak végeselemes paramétereit a 3.2 táblázat tartalmazza. 3.2 táblázat A vizsgált gumibak jellemző adatai gumibak méretei a mért geometria végeselem típusa kilenccsomópontú izoparametrikus elem büntetőparaméter 1000 előírt elmozdulás 15 mm teherlépcső 1,5 mm iteráció száma teherlépcsőként 10db Shore A keménység 66° peremfeltétel két fémlap közé vulkanizált A futtatáshoz szükségünk van a Mooney-Rivlin anyagállandókra. Kiindulásnak a szakirodalomban megadott értékeket alkalmazunk. Ennek leellenőrzése és hibavizsgálata elengedhetetlen, így a továbbiakban az eredmények kiértékelését és hibanalízisét is elvégezzük.

3.21 ábra A gumibak végeselemes felosztása és egy futási eredmény Az öt keménységértékhez tartozó anyagállandóval futtatott eredmények a 3.22 ábrán láthatóak, a táblázatos kiértékelést a C.6. függelék tartalmazza.

3.22 ábra A végeselem programmal előállított rugókarakterisztikák 48


A végeselem fejlesztők által a Shore keménységértékekhez javasolt anyagállandókkal meghatározott karakterisztikákból látható, hogy a ShA 67° keménységhez tartozó MooneyRivlin anyagállandók közelítik legjobban a mért karakterisztikát. Szükséges a továbbiakban meghatározni a hiba mértékét, amelyet a diszkrét pontpároknál négyzetes összefüggéssel adunk meg, (%) =

∑

(

) ∙∆

∙ 100,

(3.75)

ahol a hiba, az a mért, a program által számolt karakterisztikák teherlépcsők szerinti erő értékei, a teherlépcsők száma, ∆ az összenyomódás növekmények, a mért rugókarakterisztika alatti terület nagysága, azaz a gumirugón végzett munka.

3.23 ábra A hibaanalízis eredménye Az előzőek alapján a 3.23 ábrából kiolvasható, hogy a hiba minimális értékét a ShA 67° esetén kapjuk. A ShA 67° keménységhez a javasolt Mooney-Rivlin állandók: = 0,64

= 0,16.

A FEMAP végeselem szoftver NX Nastran Advanced Nonlinear megoldó modulja lehetővé teszi olyan modellek analizálását, melyek nemlineáris anyaggal és/vagy geometriai nem linearitással rendelkeznek. Azaz tipikusan alkalmazható nagy alakváltozásra. Az elvégzett mérések azt bizonyították, hogy ugyan a kereskedelmi szoftverek nagyon pontosan képesek számolni, de ha az alakoptimalizáláshoz különböző geometriákra kell gyors megoldásokat szolgáltatnunk, akkor már kevésbé hatékony. A szoftver minden mechanikai mennyiséget meghatároz, de a számunkra szükséges rugókarakterisztika előállításához további adatfeldolgozásra van szükség. A szoftverben és a végeselemes programban is a 3.2 táblázat paramétereit használjuk az összehasonlító vizsgálat során.

3.24 ábra A végeselemes futás eredménye 49


A 3.24 ábra a szoftveres végeselemes futás eredményét mutatja, a 3.25 ábra a rugókarakterisztikát.

3.25 ábra A szoftver eredményei által előállított rugókarakterisztika 3.7.3. A mérési- és számítási eredmények összehasonlítása Az eredményeket összevetve az tapasztalható, hogy mind a szoftver, mind pedig a program a mért adatokkal jó egyezést mutatnak.

3.26 ábra Az összehasonlító vizsgálat eredménye Ez alapján megállapíthatjuk, hogy a saját fejlesztésű program alkalmas tengelyszimmetrikus gumialkatrészek végeselemes vizsgálatához.

50


4. AZ ALAKOPTIMALIZÁLÁSI FELADAT Számos esetben a beépített gumirugók a működésből adódóan sok fajta igényt kell, hogy kielégítsenek. Gyakran a terhelés hatására előre megadott erő-elmozdulási jelleggörbével kell rendelkezniük. Ennek a célnak a kitűzése egy optimalizálási feladatra vezet (4.1 ábra). Az alakoptimalizálás célja, hogy egy előírt karakterisztikát érjünk el a gumi geometriájának megváltoztatásával egy kezdeti rugókarakterisztikából kiindulva.

4.1 ábra Az optimalizálási feladat Az alakoptimalizálási feladathoz először szükségünk van az ún. design (továbbiakban tervezési) paraméterekre és azok tartományára, amelyek behatárolják egy adott alkatrész geometriáját. Ezen paraméterek származhatnak gyártástechnológiai korlátból, vagy egyéb megfontolásokból. Tengelyszimmetrikus gumialkatrészek esetén ilyen paraméter lehet a furatátmérő, külső átmérő, vagy egyéb az adott alkatrésznek jellemző geometriai méretei. Ahány tervezési paraméterünk van, annyi változós lesz az optimalizálásunk. A tervezési paraméterek alsó és felső korlátai meghatározzák az ún. optimalizálási tartományt. Ebben a tartományban kell lennie az optimumnak is, amelynek vetületei adják meg az optimális tervezési paramétereket. Az optimalizáláshoz célfüggvényt kell megválasztani valamilyen elv szerint. Fémalkatrészek esetén leggyakrabban ez a súly minimalizálását szokta jelenteni, de gumi alkalmazásánál általánosságban ez nem mondható el. Műszaki gumialkatrészek esetén fizikai, vagy mechanikai jellemző a célfüggvény. A vevő meghatározhatja azt, hogy legyen lágyabb, vagy keményebb a gumi, esetleg valamilyen speciális jellemzőjében (ózonállóság, vízállóság, öregedés, stb.) kíván változtatást, ilyenkor a gyártó a gumi összetételének megváltoztatásában látja a megoldást. Azonban a gumi egyik legfontosabb jellemzője a rugókarakterisztika, s egy elvárt karakterisztika elérését nemcsak vegyi úton, hanem alakoptimalizálással is el lehet érni, azaz marad az eredeti összetétel. 4.1. Az optimalizálási feladat kitűzése A jelen alakoptimalizálási feladatot feltételes optimalizálási feladatként lehet megfogalmazni [39]. A célfüggvényünk legyen amelyet minimalizálni szeretnénk, azaz (

)→

,

(4.1)

51


ahol ∈ℝ , Itt

: ℝ → ℝ.

(4.2)

a tervezési paraméterek vektora, n pedig a tervezési paraméterek száma, azaz ⎡ ⋮ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ ⎦

(4.3)

A feladatunkban csak egyenlőtlenség típusú feltételek vannak. A 4.2 ábra kétváltozós ( = 2) optimalizálási feladatot ábrázol, amikor a paraméterek értéke rögzített határok között van. tp2 [mm] tp2max

 optimalizálási tartomány

tp2eredeti tp2opt

tp2min

tp1 [mm] tp1min tp1eredeti

tp1opt tp1max

4.2 ábra Optimalizálási tartomány és a tervezési paraméterek kapcsolata ( = 2) esetben Megjegyzendő, hogy egyébként elvileg tetszőleges számú változós is lehet a kitűzött feladat, ám ez a gyakorlatban ritkán fordul elő. A kívánt optimális megoldást általában egy-két, maximum három tervezési paraméter beiktatásával is elérhetjük, ha a feladatnak van megoldása. A egyenlőtlenségi feltételek n tervezési változó esetén általánosan ( = 1, … , ) ≤

,

(4.4)

amiből =

−

≤0

(4.5)

és ≥

,

(4.6)

52


amiből pedig = Itt a

−

≤ 0.

(4.7)

feltétel : ℝ → ℝ.

(4.8)

A fenti feladatot az előbbiek szerint vektoros formában is felírhatjuk, azaz

(

⎡ ⎢ ⎢ )=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⋮

⋮

(4.9)

Így az optimalizálási feladat tömör alakja (

)→

(

,

)≤ .

(4.10)

A feladat megengedett megoldásainak halmaza az ún. optimalizálási tartomány, amelyet matematikailag a következőképpen vezetünk be Ω={ A

:

∈ℝ , (

) ≤ }.

(4.11)

vektor megengedett megoldás, ha ∈ Ω.

(4.12)

Összefoglalva, a feladat ( formában írható fel. A tervezési paramétereknek

∗

)→

,

∈Ω

(4.13)

∈ Ω kombinációja optimális megoldás, ha (

∗)

≤

(

∗)

= min

(

), ∀

∈ Ω,

(4.14)

).

(4.15)

azaz ∈

(

Mivel numerikus módszereket alkalmazunk, ezért az általunk alkalmazott eljárás az optimum közelítő értékét adja meg.

53


4.2. A célfüggvény A rugókarakterisztika (erő-elmozdulás [F-s] jelleggörbe) gumik esetén nemlineáris. A laboratóriumi mérések és a végeselemes eredmények azt mutatták, hogy ez a görbe harmadfokú polinommal jól közelíthető, azaz ( )=

∙

+

∙

+

∙ +

(4.16)

alakban írható le, ahol F a nyomóerő, , , , a függvény együtthatói. A nyilvánvalóan zérus. A görbe alatti terület a gumialkatrészen végzett munkával egyenlő, így felírható =∫

( )

(4.17)

formában, ahol W a munka és a vizsgálataink során a maximálisan alkalmazott összenyomódás mértéke. Az alakoptimalizálás célfüggvénye (4.3 ábra) a végeselem programmal számolt munka és az előírt munka különbsége, azaz ∆ (

)=|

(

)−

őí

|.

(4.18)

Akkor érjük el az optimumot, ha ez a különbség minimális, így a megoldandó optimalizálási feladat =∆ ( F [N]

)→

.

(4.19)

W

VEM karakterisztika

ELÕÍRT karakterisztika 0

s [mm] smax

4.3 ábra A célfüggvény értelmezése

54


5. AZ OPTIMALIZÁLÁS ESZKÖZRENDSZERE 5.1. Regressziós modellek Vizsgálatainkban az optimalizálási eljárás részeként egy regressziós feladatot oldunk meg. Adottak a ( , ∆ ) ∈ ℝ , = 1, … , alappontok (tanulópontok), ahol a bemenő adatvektor , a kimenő adat (válasz) pedig ∆ . Az alappontok száma , a dimenziója (tervezési paraméterek száma) . Ennek megfelelően az alappontok által meghatározott kapcsolat felírható ,

⎡ ⋮ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ , ⎥ → ∆ ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ , ⎦

,

,⋯,

⎡ ⋮ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ , ⎥→∆ ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ , ⎦

,

⎡ ⋮ ⎤ ⎢ ⎥ , = ⎢ ⎥→∆ ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ , ⎦

,⋯,

.

(5.1)

módon is. Az általános regressziós feladatokban olyan : ℝ → ℝ függvényt keresünk, amelyre az ( ) és a ∆ értékek eltérése valamilyen értelemben minimális. A regressziós feladatok szélsőérték-számítási feladatok. A megfelelő függvény megtalálására számos módszert alkalmaznak a statisztikában és minden olyan tudományterületen, ahol a bemenő és kimenő mennyiségek között keresik a függvénykapcsolatot mérési eredmények alapján. A függvénykapcsolat alapján becsülhető a kimenő mennyiség értéke olyan helyeken is, ahol nincsen mért érték, de megalapoz további analitikus számításokat is, amelyek feltételezik a függvény képletének ismeretét. Egy regressziós módszer esetén három dolgot kell rögzítenünk: 1. a keresendő függvény osztályát, 2. az eltérés mérésének módszerét, 3. a minimalizálandó célfüggvényt. Regressziós feladatok lehetnek lineárisak és nemlineárisak. A klasszikus lineáris regressziós feladatban a keresett elsőfokú függvény a következő formában írható fel (

)=

+∑

∙

=

+

∙

,

(5.2)

amelyet a ∈ ℝ együttható vektor és a ∈ ℝ paraméter határoznak meg. Az egyszerűbb felírás érdekében a -t és -t kiegészítjük egy koordinátával az alábbi módon 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⋮ ⎥ =⎢ , ⎢ ⎥ ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⋮ ⎥. ⎢ ⎥ ⎢ ⋮ ⎥ ⎣ ⎦

(5.3)

∙ .

(5.4)

Ezekkel az (5.2) az alábbi alakban írható fel (

)=

55


A nemlineáris feladatokat transzformációval tesszük lineárissá. A klasszikus nemlineáris regressziós feladat esetén, figyelembe véve (5.3)-at, a regressziós függvény az (

)=

(

(

1 ( ⋮ ( ⋮ (

)⎤ ⎥ ⎥ )⎥ → ∆ ⎥ )⎦

(

, ⋯,

(5.5)

:ℝ

alakot veszi fel, ahol az új alappontok a segítségével állnak elő ⎡ ⎢ )=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

) ∙ →ℝ

⎡ ⎢ )=⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 ( ⋮ ( ⋮ (

⋯ ⋱ ⋯

( ⋮ (

transzformációs függvény

)⎤ ⎥ ⎥ )⎥ → ∆ ⎥ )⎦

(5.6)

és az alappontokból képzett mátrix 1 = ⋮ 1

(

) ⋮

(

)

) .

Megjegyezzük, hogy a együttható vektor dimenziója megegyezik a A kimenő értékek vektora ∆ ⎡ ⋮ ⎢ = ⎢∆ ⎢ ⋮ ⎣∆

∆

(5.7)

) (

) dimenziójával.

⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦

(5.8)

A bevezetett mennyiségekkel a célfüggvény a legkisebb négyzetek elvét alkalmazva ( )= ∑

[∆

− (

) ∙ ] = (∆

−

) ∙ (∆

∙

−

∙

)→

.

(5.9)

Ez a feladat egy közönséges szélsőérték-számítási probléma, amelyben egy + 1 változós másodfokú függvény minimumát kell megkeresni. Ez a modell a nemlineáris probléma linearizálásának tekinthető, mivel az (5.5)-ben szereplő együttható vektort a lineáris ( regresszió módszerével határozzuk meg a ( ), ∆ ), = 1, … , transzformált alappontokhoz. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a függvénnyel egy olyan térbe transzformáljuk a feladatot, ahol a lineáris regresszió jó eredményt ad. Az optimális megoldás kifejezhető az alappontok segítségével ∗

=

∙(

∙

)

∙∆ .

(5.10)

Ezzel a keresett regressziós függvény (

)=

(

) ∙

∗

.

(5.11)

56


Regressziós problémák megoldására (az optimális regressziós függvény paramétereinek megtalálására) használhatóak a tanulórendszerek különféle eljárásai is, például a genetikus algoritmus (GA: Genetic algorithm), a neurális hálózatok (NN: Neural networks) és annak speciális alkalmazásai. Ilyen a kernel függvény és a tartóvektor gép (SVM: Support Vector Machines) módszer, amelyekben alkalmazzák a gépi tanulás módszereit. A tanulás tanulópontok alapján történik. A tanulópontok a bemenet-kimenet kapcsolatáról adnak információt. A fenti módszerek mindegyikére található alkalmazás [50,53,54,57,58,61,69,70]. A cikkek az utóbbi évtized második felében jelentek meg, s mind a mai napig kutatási téma tárgyai. A vizsgálatok kimutatták, hogy ezek a módszerek a magasabb dimenziós regressziós feladatokra sokszor jobb megoldást adnak. Itt részletesen csak a tartóvektor gépek (továbbiakban: SVM) módszerével foglalkozunk, valamint numerikus példánkban használjuk a neurális hálózatokat is. Az SVM-et alapvetően osztályozási feladatokra fejlesztették ki, de regressziós feladatokra is kiválóan alkalmazható. 5.2. Tartóvektor gépek Az SVM (tartóvektor gépek) egy olyan tanuló rendszer, amely a válaszokat az ún. kernel függvények súlyozott összegeként állítja elő [28,34,38,92], a súlyok meghatározásával. A tanulási folyamat a legmegfelelőbb súlyok megtalálását jelenti adott kernel függvények esetén. Az SVM módszer hátterében két transzformáció áll. Az első transzformáció a tanulópontokat a bemeneti térből egy jellemzőtérbe képezi le, ennek célja az, hogy egy nemlineáris regressziós feladatot lineáris regressziós feladattá transzformáljuk. A kernel függvények a transzformációs függvény és az alappontok transzformáltjainak skaláris szorzataként állnak elő. A kernel függvények alkotják az ún. kernel teret. A második transzformáció a jellemzőtérből a kernel térbe képez. A kernel gépek alkalmazásánál a kernel térben kapjuk a megoldást. A hagyományos regressziós módszerekhez képest ez azzal az előnnyel jár, hogy a szabad paraméterek száma független a jellemzőtér dimenziójától. 5.2.1. Kernel függvények A kernel függvények megjelennek a klasszikus nemlineáris regressziós problémák megoldásában. Az (5.11) megoldásfüggvényét átalakítva azt kapjuk, hogy (

)=[ (

) ∙

][(

∙

)

∙∆ ] =∑

(

) ∙ (

)∙

=∑

(

)∙

,(5.12)

ahol ( ) = ( ) ∙ ( ), = 1, … , ún. kernel függvény. A megoldásfüggvények ebben a formában való felírása azt mutatja, hogy a regressziós feladatok előállnak speciális (skaláris szorzással felírt) kernel függvények tagú lineáris kombinációjaként függetlenül az és az értékétől. Ezt a tulajdonságot úgy használhatjuk ki, hogy eleve a kernel függvények együtthatóit keressük, és nem foglalkozunk a transzformációs függvénnyel. A kernel függvényeket alkalmazó eljárások lényeg éppen az, hogy a függvény és a hozzá tartozó jellemző tér rejtve marad, vagyis a számításban nem jelenik meg. A regressziós problémák esetén alkalmazott kernel függvények minden esetben skaláris szorzatok formájában állnak elő. Mivel az alkalmazásokban általában nem ismert, lényeges, hogy egy függvényről hogyan lehet megállapítani, hogy az kernel függvény-e. Mivel ezek számos más területen is fontos szerepet játszanak, a kernel függvényeknek kiterjedt elmélete van. A kernel függvényeket, és azok tulajdonságait a D.1. függelék tartalmazza. 57


A feladat típusától függően többfajta kernel függvény létezik. A számítási tapasztalatok és az irodalomkutatás alapján az általunk vizsgált problémára ezek közül a radiális bázisfüggvények (RBF) körébe tartozó Gauss-féle kernel függvény adja a legjobb megoldást, így a további alkalmazások során (

)=

∙‖

‖

,

(5.13)

ahol a kernel függvény szélességét szabályozó paraméter. E függvény értéke csak a -től való távolságtól függ, így a Gauss-féle kernel függvények alkalmazásakor az alappontok egyfajta centrumként viselkednek. A kernel függvény súlyfüggvény szerepet tölt be. A Gauss féle kernel függvény menetéből adódóan a közelebbi alappontokhoz nagyobb súly tartozik a számításban. A regressziós függvény értékét egy adott helyen lényegében a közelben levő ismert értékek (tanulópontok) határozzák meg. 5.2.2. Érzéketlenségi sávval rendelkező hibafüggvényen alapuló regressziós modell A klasszikus modellekben az optimális megoldás keresése a ( ) = |∆ − ( )| eltérésből származtatott célfüggvény minimumának keresésén alapul (legkisebb négyzetes eltérés elve), amely sok esetben nem szolgáltat kielégítő megoldást. A regressziós problémák megoldására jobbnak mutatkozik az ún. -érzéketlenségi sávval rendelkező hibafüggvénnyel való számolás, amely szerint (

)=

|∆

− ( 0

)| − , ha |∆ − ( egyébként,

)| ≥ ,

(5.14)

ahol egy rögzített nemnegatív paraméter. Az tekinthető a megoldás simaságát szabályozó paraméternek is. A fenti összefüggés szerint zérus a hiba, ha az érték a ± sávon belül van, különben a hiba a sáv közelebbi szélétől való távolság. A regressziós modellek alkalmazásakor számolnunk kell azzal, hogy egyes alappontok megzavarják a regressziós függvény menetét. Ha elfogadjuk, hogy a függvénynek eléggé simán kell haladnia, továbbá azt, hogy az alappontok zajos mérési eredményekből származnak (véletlenszerű hibát tartalmaznak), akkor célszerű az ilyen kiugró értékek hatását mérsékelni. Ezt a célt szolgálják az és ún. gyengítő változók. Bevezetésükkel kevesebbet várunk el, azt, hogy az -edik tanulópont eltérése a függvénytől ne legyen nagyobb, mint + és + . Minél nagyobb a gyengítő változók értéke, annál nagyobb a mozgástér a függvénykeresésben. A gyengítő változók bevezetésével a megoldandó szélsőérték feladat ∙

+

∙∑

( +

) →

,

(5.15)

az alábbi feltételek mellett ∆

−

∙ (

∙ (

)−∆

≥ 0,

≥ 0,

)≤ + , ≤ +

,

(5.16)

= 1, … .

58


Az (5.15)-ben a egy olyan hiperparaméter, amellyel a megoldás hibája és bonyolultsága közötti kompromisszumot lehet kifejezni. A paraméter felfogható úgy, mint egy büntetőparaméter, amely a túl nagy ( -nál nagyobb) eltérést bünteti. Nagyobb érték választása esetén érzékenyebb a célfüggvény a gyengítő változókra, így az optimális megoldásban a gyengítő változók értéke kicsi marad, a függvény jól közelíti a tanulópontokat. Kisebb érték esetén előfordulhat, hogy a kapott függvény az egyes tanulópontoktól jelentős távolságban halad. (5.15)-(5.16) egy feltételes szélsőérték-számítási feladat, melynek megoldását Lagrangemultiplikátoros módszerrel keressük. A számolás részleteit a D.2. függelék tartalmazza. Ezek alapján a regressziós függvényre az (

)=

∙ (

)=∑

−

∙ (

,

)

(5.17)

alakban adódik. Látható, hogy az érzéketlenségi sávval rendelkező hibafüggvényen alapuló regressziós modellben is kifejezhető kernel függvényekkel a megoldás. Megjegyezzük, hogy ebben a modellben a Lagrange-multiplikátorok többsége általában zérus, így csak néhány alappont szerepel a regressziós függvény felírásában. Ezeket hívjuk tartóvektoroknak. Az, hogy mely alappontok töltenek be tartóvektor szerepet, az paraméter megválasztásától függ. Minél szélesebb a sáv, annál simább a megoldás. Ellenkező esetben a modell pontosabban próbálja a tanulópontokra illeszteni a megoldást, így gyorsabban változik a függvény. Az, hogy a megoldást tartóvektorok határozzák meg, a speciális hibafüggvény alkalmazásának a következménye. Az 5.1 ábra értelmezi az érzéketlenségi sávot, a tartóvektorokat, gyengítő változókat és az általunk alkalmazott hibafüggvényt.

tanulópont tartóvektor

H(cf,f(tp))



'



 

' 

 cf-f(tp)

a)

b) 5.1 ábra Tartóvektor gépek a) Az érzéketlenségi sáv a tartóvektorokkal és a gyengítő változókkal b) A hibafüggvény

59


A tartóvektor gépeket ritkán alkalmazzák neurális hálózat formájában [34,38], de egyszerűbb tárgyalásmódot tesz lehetővé, amelyet formálisan az 5.2 ábra mutat. k(tp,tp1)

+1

tp1 k(tp,tp2)

tp2



cf

kernel térbeli súlyok (i) tpN k(tp,tpNt) kernel függvények

bemeneti réteg

kimeneti réteg

5.2 ábra Az SVM, mint neurális hálózat Itt a tartóvektorok száma. Az SVM is megfelelő számítások sorozata, akár a neurális hálózatok. A számítási modell hasonlít az egy rejtett rétegű neurális hálózat felépítéséhez. Az SVM módszer alkalmazásához elő kell állítani a rugókarakterisztikákat – a végeselem programmal - az optimalizálási tartományon belül, majd az alappontok felírásához ki kell számolni a munkaértékek eltérését (4.18). A tanulópontok számára nincs általánosan elfogadott szabály. Számuk függ többek között az elvárt pontosságtól és a feladat típusától. A tanulópontok meghatározásánál az volt a cél, hogy azok kellőképpen lefedjék az optimalizálási tartományt. A tanulópontokon keresztül le kell tesztelni a program által szolgáltatott eredményt és ez alapján paraméteroptimalizálást kell végezni ( , megkeresése). Ha a tesztelés alapján a számítások egy előre meghatározott hibahatáron belül vannak, akkor az egész optimalizálási tartományra futtatunk, s egy egyszerű algoritmussal kiválasztjuk az optimumot. Az 5.3 ábra egy kétváltozós alakoptimalizálási feladat folyamatábráját mutatja be.

VEM Mooney-Rivlin anyagtörvény

tp11,tp21 tp12,tp22

tp1N,tp2N

Célfüggvény W min

Tanulópontok tp1i,tp2i Wi

WVEM

i=1,..N

W

Welõírt

Hiperparaméter optimalizálás

SVM regresszió opt,,Copt,

Eredmények

tp1opt,tp2opt

Optimalizálási tartomány tp1j,tp2j j=1,..P P>>N

minW

nem

START növelése, vagy,C változtatása

VEM ellenõrzés igen

END

5.3 ábra Az alakoptimalizálás folyamatábrája ( = 2) esetén Az optimális geometriára célszerű végeselemes futást és kiértékelést elvégezni, hogy valóban jól illeszkedik-e az előírt karakterisztikára a meghatározott görbe.

60


5.2.3. Az RBF kernel optimális hiperparamétereinek meghatározása Osztályozási feladatokra a szakirodalomban találhatók tanulmányok, amelyekben különböző lehetőségeket kínálnak az általunk is használt RBF kernelt alkalmazó SVM optimális hiperparamétereinek meghatározására [22,36,42,91]. A hiperparaméterek ( , ) optimális megválasztása vezet ahhoz, hogy a tanulás minimális hibájú legyen. Az első ilyen, az összes szóba jöhető lehetőséget végigvizsgáló ún. kimerítő keresés (gridsearch). A kimerítő keresés a gyakorlatban nem alkalmazható nagy időigénye miatt. Második lehetőség az optimalizálási tartomány egy meghatározott részhalmazán történő hiperparaméter keresés. Ez a módszer csak akkor csökkenti a költséget, ha mintapontok száma is csökken. Harmadik lehetőségként az ún. vonal mentén történő keresést (linesearch) ajánlja a szakirodalom. Ismételt tanítást alkalmazva eredményes paraméterkombinációt (minimális hibájú feladatra vezető) érhetünk el vele. A módszer előnye, hogy viszonylag gyorsan és egyszerűen találhatjuk meg vele az optimális paramétereket. Gyengeségként említhetjük azonban, hogy az így kapott lokális minimum nem biztos, hogy a globális minimum lesz. Az viszont biztosan állítható, hogy a globális minimum szűk tartományában található meg a kapott értékpárhoz tartozó megoldás. Ezt alapul véve példáinkban következő lépéséket alkalmazva határozzuk meg az általunk választott hiperparamétereket: 1. Megkötjük a hiperparaméterek lehetséges intervallumát, azaz előre definiáljuk ∈[

],

,

∈[

,

].

2. Választunk egy kezdeti, kiindulási hiperparaméterpárt =

,

=

.

3. A állandó értéken tartása mellett keressük azt a = paramétert az előre meghatározott intervallumban, ahol a tanulás hibája minimális. 4. A paraméter állandó értéken tartása mellett az előre meghatározott intervallumban megkeressük azt a = paramétert, amely mellett a tanulás hibája minimális. Ez lesz a lokális minimum. 5. A és hiperparaméter értékek esetén így megtaláljuk a lokális minimumot. 6. Amennyiben számunkra elfogadható mértékű a hiba, úgy a továbbiakban ezt alkalmazzuk a feladatunkban. 5.3. Az R programozási környezet Mind az SVM-mel, mind pedig a neurális hálózattal való számolást az R nyílt forrású statisztikai és grafikai környezetben oldjuk meg. Ez egyben programozási nyelv és interaktív környezet. Számos előnye közül részletes dokumentációja, gazdag eszköztára és a grafikus megjelenítési lehetőségei tűnnek ki. Számos csomag (packages) tölthető le, amelyek közül a neurális hálózatokra az nnet, az SVM-es alkalmazásokra a class és az e1071 csomag szükséges a feladataink megoldásához. Mindhárom csomag szabadon letölthető és részletes használati útmutatóval rendelkezik [67,106]. Az excel állományokat, amely a tanulómintákat is tartalmazza .csv kiterjesztésben tudja beolvasni. A gumirugó alakoptimalizálási feladataihoz az R 2.15.1 verziót használjuk.

61


6. NUMERIKUS PÉLDÁK Az elméletekre alapozva numerikus példákat mutatunk be egy- és többváltozós alakoptimalizálásra. Példáink tárgya minden esetben nyomó igénybevételnek kitett tengelyszimmetrikus gumirugó. 6.1. Egydimenziós alakoptimalizálás Tekintsünk egy egyszerű furatos gumirugót, amelynek kezdeti geometriáját a 6.1 ábra mutatja. A szaggatott piros vonal mutatja azt, hogy figyelembe véve a gyártás- és a alkalmazástechnikai korlátokat, milyen határok között változhat a gumirugó k „konvexitásának” mértéke.

kmax kmin

k

h

d D

6.1 ábra A gumirugó geometriája A gumirugó kezdeti geometriáját, anyagjellemzőit és peremfeltételeit a 6.1 táblázat tartalmazza. 6.1 táblázat A gumirugó adatai Geometriai méretek Külső átmérő ( ) Furat átmérő ( ) Magasság ( ) Parabola meredekség, konvexitás ( )

100mm 20mm 120mm -5mm Anyagjellemzők

Mooney-Rivlin állandó ( Mooney-Rivlin állandó (

0,702N/mm2 0,175N/mm2

) ) Végeselemes beállítások

Büntetőparaméter ( ) Teherlépcső (Δ ) Megtámasztás alul és felül

1000 2mm ideális, súrlódásmentes

Mintapéldánk esetén elvégeztük a szükséges numerikus vizsgálatokat olyan tekintetben, hogy a végeselemes program milyen paraméterekkel futtassa le az analízist. 62


A gyártástechnológiai és alkalmazástechnikai korlátokat figyelembe véve a konvexitás mértéke tervezési változó −15

≤

≤ 15

,

=

∈ ℝ.

A gyártási pontosság 0,1. A 6.2 ábrán a kiinduló munkadarab rugókarakterisztikája, valamint az előírt, a minimális és maximális tervezési paraméterekhez tartozó rugókarakterisztika látható. A célfüggvény a korábban meghatározott munkakülönbség (∆ ).

6.2 ábra Különböző gumirugó geometriákhoz tartozó rugókarakterisztikák A minimális és a maximális tervezési paraméterhez tartozó geometria elmozdulásállapotát a 6.3 ábrán szemléltetjük.

a)

b) 6.3 ábra Elmozdulásállapot a) minimális tervezési változó = −15 esetén b) maximális tervezési változó = 15 esetén

63


A tanulóminták (

=7

) bemenő és kimenő adatait a 6.2 táblázatban közöljük.

6.2 táblázat A tanulóminták bemenő és kimenő adatai minta sorszáma ( ) 1 -15 2 -10 3 -5 4 0 5 5 6 10 7 15

∆ ( ) 108,415 83,169 57,328 31,385 8,702 9,087 22,296

Egyváltozós feladatra a gépi tanulás egyik rendszerét alkalmazzuk, a neurális hálózatot. A neurális hálózat egy elemi neuronokból és a köztük lévő súlyozott élekből álló hálózat építése. Többféle hálótípus létezik és a neurális hálózatok elmélete már jól ismert [3,34,38], így matematikai hátterével nem foglalkozunk. Jól használható algoritmusok állnak rendelkezésre ingyen elérhető szoftverekben is. Az 6.4 ábrán egyváltozós esetben mutatjuk be tömören az egy rejtett réteget tartalmazó előrecsatolt neurális hálózat működését. tp1 tp2 cf

tpN bemeneti réteg

rejtett réteg

kimeneti réteg

6.4 ábra Egy rejtett rétegű előrecsatolt neurális hálózat Az R program által szolgáltatott eredményt a 6.5 ábrán láthatjuk egy rejtett rétegű előrecsatolt neurális hálót alkalmazva.

6.5 ábra Az optimalizálás eredménye 64


A végeselemes programmal ezek után egy ellenőrző futtatás következik, ahol a hálózat által meghatározott optimális konvexitás mérték esetén előállítjuk az optimális, tizedes pontossággal meghatározott rugókarakterisztikát.

6.6 ábra Ellenőrző számítás kiértékelése Jól látható a fenti 6.6 ábrán, hogy az előírt és az optimalizálás eredményeként kapott rugókarakterisztika nagyon jó egyezést mutat. 6.2. Kétdimenziós alakoptimalizálás Kétváltozós esetben is az előző geometriából indulunk ki, csak eggyel nő a tervezési paraméterek száma (6.7 ábra). Itt már az SVM regressziót alkalmazzuk az optimális geometria meghatározásához. A második tervezési paraméter ebben az esetben a furatátmérő. dmax dmin

kmax kmin

k

h

d D

6.7 ábra a gumirugó geometriája A gumirugó geometriai méretei és az analízishez használt végeselemes beállítások is hasonlóak. A gyártástechnológiai és alkalmazástechnikai korlátokat figyelembe véve a = furatátmérő és = konvexitás mértéke a tervezési változók, azaz 16 −10

≤ ≤

≤ 24 ≤ 10

,

∈ ℝ, ,

∈ ℝ. 65


Az optimalizálási tartomány és a tanulópontok a 6.8 ábrán láthatók.

k(mm) 10 SVM tanulópontok

2

2

16

-2

24 d(mm)

Optimalizálási tartomány

-10 6.8 ábra Az optimalizálási tartomány és a tanulópontok A gyártási pontosság 0,5. Az előírt pontosság értelmében a lehetséges megoldások száma = 697 . A tanulópontok száma = 55 . A 6.9 ábrán az előírt, és a két tervezési paraméter minimális és maximális értékpárokhoz tartozó 5 karakterisztika látható. A célfüggvény továbbra is a korábban célfüggvényként kitűzött munkakülönbség (∆ .)

6.9 ábra Különböző gumirugó geometriák rugókarakterisztikái A 6.9 ábrán látható, hogy a kék és fekete szaggatottal jelölt karakterisztika a két szélső értéke a lehetséges megoldásoknak, azaz az előírt karakterisztikának is bele kell esni a kettő közötti tartományba, hogy annak megoldása legyen.

66


A tanulópontok ( [ , ], [∆ ]) beolvasát követően az R programban hiperparaméter optimalizálást kell végezni. Az előzetes mérések alapján az értékét beállítjuk és a két keresett hiperparamétert pedig az alábbi intervallumokon vizsgáljuk, = 0,01,

0,1 ≤

≤ 10,

1≤

≤ 100.

A és értékekkel lefuttatva a tanulást, az alábbi eredményeket kapjuk. A 6.10 (a-i) ábrák a vizuálisan jelenítik meg a közelítés jóságát (tanulás minőségét).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g) h) i) 6.10 ábra Különböző hiperparaméter párok esetén a tanulás minősége a) = 0,1 és = 1 b) = 0,1 és = 10 c) = 0,1 és = 100 d) = 1 és = 1 e) = 1 és = 10 f) = 1 és = 100 g) = 10 és = 1 h) = 10 és = 10 i) = 10 és = 100

67


A 6.11 ábrából jól látható, hogy bizonyos paraméterpárok esetén a tanulás pontossága gyakorlatilag nem változik, ami azt takarja, hogy elég nagy az a tartomány, ahol a hiba mértéke elfogadható.

a) b) 6.11 ábra A hiperparaméter optimalizálás eredménye a) Hiperparaméter hibaanalízis b) Optimális hiperparaméterek: = 1,3 és = 70 Vonal mentén történő keresés alapján az alábbi paramétereket tekintjük tehát optimálisnak = 0,01,

= 1,3,

= 70.

Ezek lesznek a bemenő adataink az SVM programban, amellyel kapott kimenetek és a végeselemes program által szolgáltatott kimenetek értékeit a 6.3 táblázat tartalmazza. 6.3 táblázat Az SVM és a VEM összehasonlítása tanulópont ( ) ( ) sorszáma 1 16 -10 2 16 -8 3 16 -6 4 16 -4 5 16 -2 6 16 0 7 16 2 8 16 4 9 16 6 10 16 8 11 16 10 12 18 -10 13 18 -8 14 18 -6 15 18 -4 16 18 -2 17 18 0

∆ ( ) VEM kód 40,657 32,239 23,764 16,493 9,309 2,635 3,581 9,261 14,505 19,302 23,71 35,064 26,525 18,334 10,577 3,319 3,388

∆ ( ) SVM 40,5303 32,3639 23,6339 16,6187 9,5931 2,758 3,4585 9,2547 14,6297 19,182 23,8344 35,1917 26,3994 18,463 10,4457 3,4439 3,4728 68


18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

18 18 18 18 18 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

9,654 15,376 20,622 25,439 29,866 29,452 20,765 12,484 4,66 2,673 9,437 15,741 21,472 26,742 31,57 36,018 23,825 15,016 6,618 1,266 8,662 15,478 21,799 27,577 32,86 37,71 42,165 18,185 9,247 0,756 4,0747 14,684 21,519 27,564 33,668 38,982 43,839 48,314

9,5248 15,5005 20,5006 25,5611 29,7421 29,3301 20,8943 12,6047 4,5371 2,7926 9,6488 15,8682 21,3435 26,8442 31,693 35,8877 23,7041 15,139 6,4977 1,35 8,5353 15,6066 21,6715 27,7039 32,9735 37,5811 42,0366 18,3105 9,1256 0,7125 4,1982 14,5634 21,73 27,438 33,7969 38,8569 43,9076 48,1916

A fenti táblázatból jól látható, hogy az optimalizálás eszközeként használt SVM nagyon pontosan számol. Így kijelenthető, hogy programunk megtanulta a bemenő adatpárokhoz tartozó kimeneti értékeket. Az optimalizálási tartomány egészére vonatkozóan az SVM által számolt kimeneti értékek közül megkeressük a minimumot, s ez lesz az optimális.

69


A 6.12 ábrán a bemenő adatpárokhoz tartozó munkakülönbség értékek láthatóak.

6.12 ábra Az optimalizálás eredménye A program alapján a lehetséges megoldások közül a minimális munkakülönbség ∆

= 0,01932 .

Az ehhez tartozó optimális tervezési paraméterek = 23,5

,

= −5,5

.

Az optimális tervezési változóra futatott ellenőrző végeselemes számításra kapott karakterisztikát és az előírt karakterisztikát a 6.13 ábra mutatja.

6.13 ábra Az ellenőrző számítás kiértékelése 70


6.3. Háromdimenziós alakoptimalizálás A mai korszerű gyártástechnológiának köszönhetően igen bonyolult felületű alkatrészeket is le lehet gyártani. Háromváltozós alakoptimalizálás esetén a gumirugó metszeti képén a külső palást 5 kontrolponton átmenő harmadfokú kardinál szplájn, amelyet a 6.14 ábra mutat.

ff

h fa d D 6.14 ábra A gumirugó geometriája A gumirugó kezdeti geometriáját, anyagjellemzőit és peremfeltételeit a 6.4 táblázat tartalmazza. 6.4 táblázat A gumirugó adatai Geometriai méretek Külső átmérő ( ) Furat átmérő ( ) Magasság ( ) Kontrolpont helyzete ( ) Kontrolpont helyzete ( )

120mm 20mm 120mm -5mm 5mm Anyagjellemzők

Mooney-Rivlin állandó ( Mooney-Rivlin állandó (

0,8N/mm2 0,2N/mm2

) ) Végeselemes beállítások

Büntetőparaméter ( ) Teherlépcső (Δ ) Megtámasztás alul és felül

1000 4mm ideális, súrlódásmentes

A gumirugó alján, közepén és tetején lévő kontrolpontokat fixen tartva a három tervezési paraméter a = furatámérő, valamint = és = kontrolpontok, amelyek minimális és maximális értékei, rendre 16

≤

≤ 24

,

∈ ℝ,

−5

≤

≤5

,

∈ ℝ,

−5

≤

≤5

,

∈ ℝ.

71


A kiinduló geometriához tartozó karakterisztikát és az előírt karakterisztikát a 6.15 ábra szemlélteti.

6.15 ábra A kezdeti és az előírt rugókarakterisztika Az optimalizálási tartomány és a tanulópontok a 6.16 ábrán láthatók. d(mm) SVM tanulópontok

24

16 Optimalizálási tartomány -5

-5 5 fa(mm)

5

ff (mm)

6.16 ábra Az optimalizálási tartomány és a tanulópontok A gyártási pontosság a kontrolpontoknál 1mm, a furatátmérőnél 2mm. Az előírt pontosság értelmében a lehetséges megoldások száma = 605 . A tanulópontok száma = 27 . A tanulópontok ( [ , , ], [∆ ]) beolvasását követően a vonal mentén történő keresés alapján az alábbi paramétereket tekintjük optimálisnak az SVM programban = 0,01,

= 0,1,

= 100.

72


A tanulás jóságát a 6.17 ábra mutatja.

6.17 ábra A tanulás jósága az optimális hiperparaméterekkel A bemenő adatokra kapott SVM-mel számolt kimenetek és a végeselemes programmal számolt kimenetek értékeit a 6.5 táblázat tartalmazza. 6.5 táblázat Az SVM és a VEM összehasonlítása tanulópont ( ) ( ) sorszáma 1 16 -5 2 16 -5 3 16 -5 4 16 0 5 16 0 6 16 0 7 16 5 8 16 5 9 16 5 10 20 -5 11 20 -5 12 20 -5 13 20 0 14 20 0 15 20 0 16 20 5 17 20 5 18 20 5 19 24 -5 20 24 -5 21 24 -5 22 24 0 23 24 0 24 24 0 25 24 5 26 24 5 27 24 5

(

) -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5 -5 0 5

∆ ( ) VEM kód 88,01 52,24 31,17 58,31 17,61 2,91 45,07 1,73 20,87 94,53 58,3 37,55 64,61 24,18 3,27 52,18 9,8 15,18 101,99 66,39 45,34 71,84 32,31 11,1 60,26 18,21 9,23

∆ ( ) SVM 87,72571 52,52388 30,89483 58,59287 17,32437 3,198291 44,79251 2,807765 20,58398 94,22738 58,59617 37,24965 64,9049 23,79884 3,844763 52,48355 10,08276 14,89319 101,7051 66,08789 45,63712 72,12089 32,60204 10,79916 59,96847 17,9271 9,513563 73


Az optimalizálási tartomány egészére vonatkozóan az SVM által számolt kimeneti értékek közül megkeressük a minimumot, s ez lesz az optimális. A 6.18 (a-e) ábrákon a bemenő adatpárokhoz tartozó munkakülönbség értékek láthatóak a furatátmérő függvényében.

a)

b)

c)

d)

e) 6.18 ábra (a-e) Az SVM-mel számolt munkakülönbségek a furatátmérő függvényében. A program alapján a lehetséges megoldások közül a minimális munkakülönbség ∆

= 0,2735 .

Az ehhez tartozó optimális tervezési paraméterek = 16

,

=3

,

=2

.

74



6.19 ábra Az ellenőrző számítás kiértékelése Az optimális geometriához tartozó gumirugó elmozdulásállapotát a 6.20 ábra szemlélteti.

6.20 ábra Az optimalizált gumirugó elmozdulásállapota

75


6.4. Alakoptimalizálás érintkezés figyelembevételével Ez az alakoptimalizálási példa egy ipari problémára ad megoldást. A Vibracoustic Kft. légrugókat gyárt, többek között városi buszokba. Az általunk vizsgált alkatrész egy autóbuszokban használt légrugó gumiütközője. A légrugó meridián metszetét - benne a gumiütközővel - az alábbi 6.21 ábra szemlélteti. A légrugókat úgy tervezték, hogy a busz a megállóhelyeken le tudjon „térdelni”, ilyenkor a légrugót leültetik. Leültetéskor a gumiütköző felfekszik az ún. ütközőlemezre.

6.21 A légrugó összeállítási rajza A cég jelenlegi gyakorlata szerint, ha lágyabb, vagy keményebb gumiütközőre van szükség, akkor azt a gumiösszetétel változtatásával érik el. Ezen ütköző keménysége ShA 75°. Feladatunk, hogy a fent említett gumiütköző a működési körülmények között 15%-kal több alakváltozási energiát tároljon a jelenleginél. Ezt a gumiütköző alakjának megváltoztatásával kell elérni. A cég a légrugó szerkezet műhelyrajzán kívül rendelkezésre bocsájtott egy laboratóriumi körülmények között meghatározott gumiütköző erő-elmozdulás karakterisztikát. A vizsgálat során a gumiütközőt két sima fémlap között nyomták össze. Ez a mérés alkalmas a kifejlesztett program hitelesítésére is. A 6.21 ábrából jól látszik, hogy már kis összenyomódás esetén is érintkezésbe lép a gumiütköző a felső lemezzel és a csappal. A végeselem program úgy került kifejlesztésre, hogy alkalmas legyen súrlódásmenetes érintkezés, azaz ún. normálkontakt figyelembevételére is. Felhasználva [9,75]-eket, a 6.22 ábra két érintkezésbe lépő rendszert mutat, ahol 1 jelöli a rugalmas testet, azaz a gumit, míg modellünkben a 2 jelöli a merevnek tekintett fém alkatrészeket, az érintkezési tartomány.

V1 Q1 Ac

1

un

h Ac2

1

Q2 V2

nc

6.22 ábra Az érintkezési tartomány 76


A párba állított pontokat a rugalmas test felületén lévő pont és ezen pontbeli normálisnak az felületből kidöfött pontja alkotja. A távolság úgy definiálható, hogy =

( )=−

+ℎ

∈

,

(6.1)

ahol ℎ a kezdeti hézag és az elmozdulásvektor normál irányú komponense. Érintkezési feltételről beszélünk, amennyiben = 0,

≥ 0,

(6.2)

= 0,

(6.3)

elválási feltételről, ha hézag van a két test között, azaz ≥ 0, ahol

az érintkezési nyomás. Mindkét esetben teljesül, hogy ∙

=0

∈

.

(6.4)

Érintkezési feladatok esetén a peremértékfeladatot büntetőparaméteresen kezeljük. A (3.42) vegyes mezők módszerét kiegészítjük egy büntetőparaméteres taggal [9,75,83] alapján Π

( , ,̅ ̅ ) = ∫

+∫

( )̅

+∫

̅ ∙ ( − )̅

+ ∙∫

∙

− Π ( ),(6.5)

ahol az érintkezés büntetőparamétere, fizikai jelentése az érintkezési tartományon elhelyezett rugalmas közeg merevsége. Itt a büntetőparaméteres tag akkor bünteti a kielégítendő feltételt, amikor a két test látszólag egymásba hatol, azaz a negatív értéket venne fel. Az érintkezési feltétel akkor lenne teljesen kielégítve, ha → ∞, de a gyakorlatban ez numerikus problémákat okoz. Ennek megfelelően a büntetőparaméter értékét alkalmasan kell megválasztanunk. Továbbá azzal a közelítéssel élünk, hogy az érintkező felületeket poligonnal közelítjük és a végeselemek érintkezésbe lépő éleit egyeneseknek tartjuk. A numerikus vizsgálatok először arra irányulnak, hogy meghatározzuk a végeselemes számításokhoz alkalmazott Mooney-Rivlin anyagállandókat. A labormérés által kapott rugókarakterisztikát és a numerikus számítás során kapott optimális anyagállandókkal futtatott program eredményét a 6.23 ábra szemlélteti.

6.23 ábra A VEM program és a mérés összehasonlítása

77


További numerikus vizsgálatok szükségesek az összenyomhatatlansági feltétel ellenőrzésére, a büntetőparaméter meghatározására, valamint arra vonatkozóan, hogy alakoptimalizálási feladathoz gyors, de kellően pontos eredményeket szolgáltasson a program. A vizsgálat eredményeként megfelelő hálósűrűségnek ismét a 8x8-as felosztás tekintjük. A hálóérzékenység hibaanalízisét a 6.24 ábra, a felosztás és az összenyomhatatlanság kapcsolatát az 6.25 ábra, míg a büntetőparaméter hatását az összenyomhatatlanságra a 6.26 ábra szemlélteti.

6.24 ábra A hálósűrűség hibaanalízise

6.25 ábra A térfogatállandósági feltétel a hálósűrűség függvényében

6.26 ábra A térfogatállandósági feltétel a büntetőparaméter függvényében A méréssel való jó egyezés alapján az anyagjellemzőket és a többi végeselemes adatokat a 6.6 táblázat tartalmazza. 78


6.6 táblázat A gumiütköző végeselemes paraméterei Anyagjellemzők Mooney-Rivlin állandó ( ) Mooney-Rivlin állandó ( ) Végeselemes beállítások Büntetőparaméter ( ) Teherlépcső (Δ ) Lépések száma ( ) Megtámasztás alul és felül

0,63N/mm2 0,1575N/mm2 1000 1mm 14db vulkanizált

A gumiütköző elmozdulásállapotát - a peremfeltételek szerint 14 mm-es összenyomódás esetén – a 6.27 ábra mutatja 8x8-as felosztásra.

6.27 ábra A gumiütköző elmozdulásállapota A gumiütköző egyszerűsített modelljét a beépítési körülmények között a 6.28 ábra szemlélteti. z

GUMI

FÉM

r

6.28 ábra A beépített gumiütköző A megadott érintkezési tartományok esetén a gumiütköző elmozdulásállapotát a 6.29 a) ábra mutatja. Ellenőrzésként kereskedelmi szoftverrel való futattást is végeztünk, amelyet a 6.29 b) ábra szemléltet.

79


a) b) 6.29 ábra A gumiütköző elmozdulásállapota beépített körülmények között a) VEM programmal számolva b) kereskedelmi szoftverrel számolva Az alakoptimalizálási feladat jelen esetben kétváltozós. A gumiütköző kezdeti (eredeti) geometriáját a 6.30 ábra szemlélteti, a méreteit pedig a 6.7 táblázatban foglaltuk össze. D3

Df

Dk h

h2

h1 D1

D2

6.30 ábra Az eredeti gumiütköző 6.7 táblázat A gumiütköző méretei Geometriai méretek

ℎ ℎ ℎ

72mm 90mm 25mm 80mm 40mm 56mm 14mm 21mm 80


A kiinduló geometriához tartozó karakterisztikát és az előírt karakterisztikát a 6.31 ábra szemlélteti.

6.31 ábra A kezdeti és az előírt rugókarakterisztika Az optimális geometriánál elvárt, hogy a gumiütköző ütköző felülete nagyobb legyen, valamint mindig teljesüljön > . Ezeket is figyelembe véve a két tervezési paraméter a = legnagyobb átmérő és a = ütköző felület külső átmérője. Ezek minimális és maximális értéket a következő intervallumon vehetnek fel 82 74

≤

≤ 102

≤

≤ 90

, ,

∈ ℝ, ∈ ℝ,

figyelembe véve a > feltételt. Ezáltal az optimalizálási tartomány, valamint a választott tanulópontok a 6.32 ábrán láthatók. Df (mm)

SVM tanulópontok

90 86 82 78 74 . Optimalizálási . tartomány .

Dk (mm) 82 86 90 94 98 102 6.32 ábra Az optimalizálási tartomány és a tanulópontok ...

A gyártási pontosság a két tervezési paraméter esetén 2mm. Az előírt pontosság értelmében a lehetséges megoldások száma = 84 . A tanulópontok száma = 24 .

81


A tanulópontok ( [ , ], [∆ ]) beolvasását követően a vonal mentén történő keresés alapján az alábbi paramétereket tekintjük optimálisnak az SVM programban = 0,01,

= 0,1,

= 90.

A tanulás jóságát a 6.33 ábra mutatja.

6.33 ábra A tanulás jósága az optimális hiperparaméterekkel A bemenő adatokra kapott SVM-mel számolt kimenetek és a végeselemes programmal számolt kimenetek értékeit a 6.8 táblázat tartalmazza. 6.8 táblázat Az SVM és a VEM összehasonlítása tanulópont sorszáma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

( 82 82 86 86 86 90 90 90 90 94 94 94 94 94 98 98 98 98 98 102 102 102 102 102

)

( 74 78 74 78 82 74 78 82 86 74 78 82 86 90 74 78 82 86 90 74 78 82 86 90

)

∆ ( ) VEM kód 13,56456 12,08466 10,76556 9,31056 7,6266 6,32326 5,82636 3,72566 3,16686 5,18966 4,45336 2,95666 2,73646 1,2436 2,37466 1,79876 0,53456 0,19134 2,62734 0,79134 1,49154 2,04734 2,91624 3,39414

∆ ( ) SVM 13,52891 12,04801 10,72857 9,349284 7,588287 6,361137 5,787971 3,762861 3,203982 5,150792 4,490516 2,920629 2,697754 1,281302 2,412045 1,83505 0,570113 0,22922 2,589178 0,829283 1,45321 2,085735 2,878989 3,432619

Az optimalizálási tartomány egészére vonatkozóan az SVM által számolt kimeneti értékek közül megkeressük a minimumot, s ez lesz az optimális. A 6.34 ábrán a bemenő adatpárokhoz tartozó munkakülönbség értékek láthatók.

82


6.34 ábra Az SVM-mel számolt munkakülönbségek A program alapján a lehetséges megoldások közül a minimális munkakülönbség ∆

= 0,0426 .

Az ehhez tartozó optimális tervezési paraméterek = 98

,

= 84

.


6.35 ábra Az ellenőrző számítás kiértékelése

83


7. ÖSSZEFOGLALÁS A járművekbe, szerkezetekbe beépített gumirugók a működésből adódóan sok fajta igényt kell, hogy kielégítsenek. Egyik ilyen, hogy a terhelés hatására előre megadott erő-elmozdulási jelleggörbével kell rendelkezniük. Ez a célkitűzés egy optimalizálási feladattal valósítható meg. Az alakoptimalizálás célja az volt, hogy egy előírt karakterisztikát érjünk el a gumi geometriájának megváltoztatásával egy kezdeti rugókarakterisztikából kiindulva. A különböző alakú gumirugók karakterisztikáit végeselem-módszer segítségével határoztuk meg. A szakirodalomban többnyire a folytonos elmozdulásra alapozott módszereket használják, de az utóbbi időben a nemfolytonos Galjorkin-módszerre is található alkalmazás. Az utóbbival mutat rokonságot a Páczelt [75] által javasolt ún. szakadásos mezők módszere. A folytonos módszerhez képest előnyként jelentkezik, hogy a „locking”-gal (bezáródás) szemben kedvezőbben viselkedik. A nemfolytonos Galjorkin-módszer esetén szokás alkalmazni az ún. „lifting” (átemelő) operátort, amely stabilabbá teheti az adott eljárást. Első feladatunk az volt, hogy a lineáris rugalmasságtan keretei között összehasonlító vizsgálatokat végezzünk a folytonos és nemfolytonos mezők alkalmazásával. Ehhez végeselem célprogramokat dolgoztam ki. Tengelyszimmetrikus esetre, gumiszerű anyagot feltételezve a vizsgálatok alapján megállapítottam, hogy büntetőparaméter alkalmazása nélkül a nemfolytonos végeselem-módszer nem stabil, azonban a büntetőparaméteres leírás esetén a módszer már kis büntetőparaméternél is többnyire kedvezően viselkedik. Szakadásos mezők esetén az átemelő operátor alkalmazásával az eljárás tovább javítható. A numerikus vizsgálat megmutatta, hogy a büntetőparaméter értéke független a felosztás sűrűségétől, míg az átemelő operátor használatával finomabb felosztáshoz kisebb büntetőparaméter is elegendő. A számítási igények összehasonlítása során arra a következtetésre jutottam, hogy habár a szakadásos mezők büntetőparaméteres és átemelő operátoros technikája elfogadhatóan stabil megoldást szolgáltat, a nagy alakváltozásra mégis a folytonost célszerű alkalmazni. A számítási szükséglet a nemfolytonos módszernél akár egy nagyságrenddel is nagyobb lehet, amely az optimalizálásnál rendkívül hátrányos. A gumirugó alakoptimalizálása a nagy alakváltozásból következően iteratív megoldást tesz szükségessé, amely nagyszámú egyenletrendszer megoldását igényli. A feladat reális időn belüli megoldásához a folytonos leírás hatékonyabban használható. Itt megjegyzem, hogy a teljes approximációs teret alkalmazó magasabb fokú közelítés esetén ez a viszony kevésbé kedvezőtlen a folytonoshoz képest. A gumirugók vizsgálatára így egy folytonos végeselemes programot dolgoztam ki nagy alakváltozásra majdnem összenyomhatatlan anyagot feltételezve. A gumik végeselemes vizsgálatához a vegyes mezők módszerét egy hárommezős funkcionálra alapoztam. Ennek során az elmozdulásmezőt folytonosan, a térfogatváltozást és a hidrosztatikus nyomást nemfolytonosan egymástól függetlenül közelítjük. A kifejlesztett végeselemes program alkalmas súrlódásmentes érintkezési feladat, azaz ún. normálkontakt kezelésére is. Az alakoptimalizálási feladathoz számos rugó karakterisztika kiszámítására van szükség, ezért egy geometria-, végeselemes háló- és input adatgeneráló célprogramot is készítettem, amely szervesen beépül az alakoptimalizáló rendszerbe. A rendszer előnye, hogy nagyszámú parametrikus sorozatszámítást tesz lehetővé. A számítási idő további csökkentése céljából numerikus vizsgálatokat végeztem a megfelelő hálósűrűség és büntetőparaméter meghatározására. A kifejlesztett végeselemes programot méréssel és egy kereskedelmi szoftverrel hitelesítettem. A vizsgálatok során megállapítottam, hogy az eredmények jó egyezést mutatnak, így a program alkalmas tengelyszimmetrikus gumik gyors numerikus vizsgálatára. 84


Az alakoptimalizálási feladat feltételes optimalizálási problémaként megfogalmazható. A célfüggvény a végeselem programmal számolt gumirugón végzett munka és az előírt munka különbsége alapján írható fel. Ezt kell minimalizálni az optimális tervezési paraméterek meghatározásához. Vizsgálataimban az optimalizálási eljárás részeként egy nemlineáris regressziós feladatot oldottam meg. Az utóbbi időben elterjedt tartóvektor gépeket (SVM) széles körben alkalmazzák az optimális regressziós függvény megtalálására. Az SVM a megoldásokat az ún. kernel függvények súlyozott összegeként állítja elő egy nemlineáris és egy lineáris transzformációt felhasználva. A kernel függvényeket alkalmazó eljárások előnye abban rejlik, hogy a nemlineáris transzformációt definiáló függvényt nem kell explicite módon megadni. Az SVM regresszió módszerét egy nyílt forrású szoftver segítségével alkalmaztam. Ehhez az alappontokat végeselem-módszerrel határoztam meg. A két módszert egy rendszerbe kapcsolva egy- és többváltozós feladatokat oldottam meg tengelyszimmetrikus gumialkatrészek alakoptimalizálására.

85


7.1. Új tudományos eredmények 1. A nemfolytonos Galjorkin-módszerrel rokonságot mutató szakadásos mezőkre épülő büntető tagot felhasználó variációs elvre alapozott számítási módszert alkalmazva összehasonlító vizsgálatokat végeztem a lineáris rugalmasságtan keretei között gumiszerű anyagokra. A vizsgálat tárgya az elmozdulásmező folytonosságával és nem folytonosságával dolgozó variációs elvre alapozott számítások numerikus stabilitásvizsgálata volt. Erre saját fejlesztésű végeselemes célprogramot dolgoztam ki {9}, {17}, {18}. A vizsgálatok eredményeként megállapítottam: a) A fenti szakadásos mezőkkel dolgozó módszer csak akkor válik stabillá, ha a virtuális munka elvével kapcsolatos egyenletet büntetőparaméteres taggal egészítjük ki. b) Nemfolytonos mezőket alkalmazva a büntetőparaméteres technika büntetőparaméterének megválasztása nem függ a hálósűrűségtől. 2. A nemfolytonos Galjorkin-módszerrel rokonságot mutató szakadásos mezőkre épülő átemelő operátort felhasználó variációs elvre alapozott számítási módszert alkalmazva összehasonlító vizsgálatokat végeztem a lineáris rugalmasságtan keretei között gumiszerű anyagokra. A vizsgálat tárgya a számítások numerikus stabilitásvizsgálata volt. Erre saját fejlesztésű végeselemes célprogramot dolgoztam ki {1}, {5}, {10}, {11}, {19}, {20}. Az elvégzett vizsgálatok fő következtetései: a) Numerikusan kimutattam az átemelő operátor alkalmazásának előnyét a büntetőparaméteres technikával szemben, miszerint minél sűrűbb a végeselem háló, annál kisebb paraméter szükséges ahhoz, hogy az eljárás stabil maradjon. b) Numerikusan kimutattam, hogy az átemelő operátor alkalmazása tovább növeli a diszkretizálás után kapott algebrai egyenletrendszer együttható mátrixának sávszélességét, ezzel a futásidőt, mindazonáltal magasabb polinom fokszám esetén a módszer alkalmazása a folytonoshoz képest kevésbé kedvezőtlen. 3. Tengelyszimmetrikus gumialkatrészek alakoptimalizáló programrendszerébe nagy alakváltozás számítására alkalmas végeselemes programot és hozzátartozó adatgenerálót fejlesztettem ki. A program folytonos elmozdulási-, nemfolytonos hidrosztatikus nyomásiés nemfolytonos térfogatváltozási mezők egymástól független közelítésére alapozott és figyelembe veszi a súrlódásmentes érintkezési feltételeket is. Kísérlettel igazoltam a program gyakorlati alkalmazhatóságát {2},{4},{6},{7},{8},{12},{13},{14},{21},{22}. 4. Alakoptimalizáló eljárást és programrendszert dolgoztam ki előírt karakterisztikájú gumirugó alakjának meghatározására {3}, {15}, {16}, {23}. A feladat megvalósításához: a) Az SVM regressziót alkalmazó eljárást összekapcsoltam a kifejlesztett végeselemes programmal, amely így alkalmas a felhasználó által előírt tervezési paraméterek meghatározására. b) Numerikus példákkal igazoltam, hogy a kidolgozott módszer hatékonyan alkalmazható alakoptimalizálásra.

86


7.2. Továbbfejlesztési lehetőségek Továbbfejlesztési lehetőségként több irányt javaslunk, amelyek a következők: Az átemelő operátorral kiegészített nemfolytonos leírás alkalmazása nagy alakváltozásra. Habár a disszertációban említett okok miatt optimalizálási feladatra ugyan nem célszerű, de a bezáródás szempontjából, illetve nagyobb alakváltozás elérése céljából indokolt lehet alkalmazásának kutatása. A súrlódás figyelembevétele a modellezés pontosságát tovább javítaná. A dinamikus-, a viszkózus- és a hőhatás beépítése a programba nyilvánvaló fejlesztési iránynak mutatkozik. A végeselemes számításoknál az újrahálózás technikája nagyobb összenyomódást lenne képes modellezni különösen magasabb fokú approximáció esetén. A kétdimenziós tapasztalatok birtokában célszerű a háromdimenziós általános térbeli alakoptimalizálási feladatok vizsgálata.

87


SUMMARY Rubber springs that are built into vehicles and structures have to meet several kinds of requirements as a result of their function. One of these is that they must have a predefined force-displacement characteristic curve under load. Achieving this aim is a problem of optimization. The aim of optimizing the shape was to achieve a prescribed characteristic by changing the geometry of the rubber, starting from an initial spring-characteristic. The characteristics of the rubber springs of different shapes were determined with the help of the finite element method. In the literature, usually the methods based on continuous displacement are used, but examples for the discontinuous Galerkin method can also be found recently. What is called the discontinuous field method, recommended by Páczelt [75], can be related to the latter. In contrast to the continuous method, it has the advantage that it shows more benefits concerning the phenomenon of ‘locking’. In the case of the discontinuous Galerkin method, a ‘lifting’ operator is frequently used, which may make the given process more stable. The first task was to make comparative investigations within the framework of linear elasticity by using continuous and discontinuous fields. For this purpose finite element target programs were developed. On the basis of the examinations it was established that, in case of axisymmetry and assuming a rubber-like material, the discontinuous finite element method is not stable without the application of a penalty parameter. However, in case of penalty parameter description the method proves to be effective even at a low penalty parameter. In case of discontinuous fields, the procedure can be further improved by applying the lifting operator. The numerical study showed that the value of the penalty parameter is independent of the mesh density, whereas a lower penalty parameter is sufficient for a finer mesh when a lifting operator is used. Comparing the calculation capacities needed, the conclusion was reached that, although the penalty parameter and lifting operator methods of discontinuous fields prove to be acceptably stable solutions, it is nevertheless advisable to apply the continuous method for large deformations. In case of the discontinuous method the calculation capacity needed may be even an order of magnitude higher, which is extremely disadvantageous in optimization. The finite element analysis of the rubber spring requires an iterative solution due to the large deformation, consequently a great number of equation systems have to be solved. To be able to solve the problem within reasonable time, it is more effective to use the continuous description. Let us note here that in case of a higher level approximation that applies a full approximation area this relation is more favourable than the continuous one. Thus a continuous finite element program was developed for the investigation of rubber springs, assuming a material that is nearly incompressible also in case of large deformation. The mixed method was based on a three-field functional for the finite element analysis of the rubbers. In the course of the analysis, the displacement field was continuously approximated, and the change in volume and the hydrostatic pressure were approximated discontinuously, independently of each other. The finite element program that was developed is also suitable for handling problems of friction-free contact, i.e. normal contact. A great number of spring characteristic calculations are required for shape optimization, so a geometry-, finite element mesh- and input data generating target program was also developed. The program is an inherent part of the shape-optimisation system. The system has the advantage that it enables a great number of parametric series calculations. Numerical studies were carried out to determine the appropriate mesh density and penalty parameter, with the aim of further reducing the calculation time. The finite element program developed was 88


calibrated by means of measurements and also of commercial software. During the examinations it was established that the results show good correlation, thus the program is suitable for the fast numerical examination of axisymmetric rubbers. The task of shape optimization can be defined as a conditional problem of optimization. The target function can be written on the basis of the difference between the work done on the rubber spring calculated by the finite element method and the prescribed work. This has to be minimalized in order to define the optimal design parameters. As part of the optimization process, a nonlinear regression problem was solved in the course of the investigations. Support Vector Machines (SVMs) that have become widespread recently are applied to find the optimal regression function. The SVM provides the solutions as the weighted sum of the kernel functions, using a nonlinear and a linear transformation. The main advantage of the methods using kernel functions is that it is not necessary to explicitly give the function that defines the nonlinear transformation. In the investigations, the SVM regression method was used by means of open-source software. For this, the learning points were determined using the finite element method. Combining these two methods into one system, problems with one and more variables were solved in order to optimize the shape of axisymmetric rubber components. New scientific results of the dissertation can be summed up as follows: 1. Applying a calculation method which is related to the discontinuous Galerkin method, and is based on discontinuous fields, uses penalty parameters and relies on the variational principle, comparative examinations were carried out on rubber-like materials, within the framework of linear elasticity. The subject of the investigations was the numerical stability examination of calculations that are based on the variational principle and work with the continuity and discontinuity of the displacement field. For this purpose, a finite element target program was developed {9}, {17}, {18}. As a result of the investigations. the following was established: a) The discontinuous field method described above becomes stable only if a penalty parameter is added to the equation related to the principle of virtual work. b) When discontinuous fields are used, the penalty parameter does not depend on the mesh density. 2. Applying a calculation method which is related to the discontinuous Galerkin method, and is based on discontinuous fields, uses the lifting operator and relies on the variational principle, comparative examinations were carried out on rubber-like materials, within the framework of linear elasticity. The subject of the work was to investigate the numerical stability of the calculations. For this purpose, a finite element target program was developed {1}, {5}, {10}, {11}, {19}, {20}. As a result of the investigations, the following was established: a) The advantages of applying the lifting operator were shown numerically as opposed to the penalty parameter method. Accordingly, the denser the finite element mesh is, the lower parameter is needed for the method to remain stable. b) It was numerically shown that the use of the lifting operator further increases the band width of the coefficient matrix of the algebraic equation system obtained after discretization, and the running time as well. However, in case of polinoms with higher order, the application of the method seems to be less disadvantageous, compared to the continuous method. 89


3. A program using the finite element method and based on the continuous displacement field for large deformation was developed; the program is suitable for the quasi-static calculation of axisymmetric rubber components. The program is based on the independent approximation of continuous displacement, discontinuous hydrostatic pressure and discontinuous change in volume fields. The program also makes it possible to take friction-free contact problems into consideration. Together with the data generator which was developed the system is suitable for performing calculation series that are necessary for optimization. Experiments were used to prove the practical applicability of the program {2},{4},{6},{7}, {8},{12},{13},{14},{21},{22}. 4. An optimization method with a system of programs was developed to determine the shape of a rubber spring with prescribed characteristics {3}, {15}, {16}, {23}. To achieve this aim: a) The method using SVM regression was combined with the finite element program system developed, which thus became suitable for determining the design parameters prescribed by the user. b) Numerical examples were used to prove the effective applicability of the method for shape optimization.

90


KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A többéves kutatómunkámhoz kapcsolódóan számos embernek tartozok köszönettel. Hálás köszönettel tartozom Dr. Szabó Tamás témavezetőmnek, hogy szabadidejét nem kímélve, esténként és hétvégenként is lehetőséget biztosított a személyes konzultációkra. Az Ő példaértékű hozzáállása nagy motivációt jelentett a munkám során. Itt köszönöm meg, hogy bevezetett a tudományos életbe. Páczelt István Professzor Úr témavezetőként hasznos tanácsaival, iránymutatásaival, kritikai észrevételeivel nagyban segítette munkámat. Korábbi Doktori Iskola vezetőként számos lehetőséget biztosított szakmai fórumokon való részvételre, eredményeim bemutatására. Tisza Miklós Professzor Úr jelenlegi Doktori Iskola vezetőként kiváló feltételeket biztosított számomra a kutatás zavartalan körülményeinek megteremtéséhez és számos publikációs lehetőségre, amelyet ezúton is hálásan köszönök. Ennek eredményeként a disszertáció a TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0008 jelű projekt részeként – az Új Magyarország Fejlesztési Terv keretében – az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósulhatott meg. A kutatómunkám második felét a Debreceni Egyetem Műszaki Karának alkalmazásában végeztem. A Kar vezetése és tanszékvezetőm mindvégig támogatta a munkámat és biztosította a szükséges anyagi feltételeket, így dékánként Dr. Szűcs Edit, tudományos dékánhelyettesként Dr. Kalmár Ferenc, tanszékvezetőként Dr. Tiba Zsolt. Köszönettel tartozom Tóth László Professzor Úrnak, aki végig figyelemmel kísérte munkámat és a szükséges eszközökhöz anyagi forrást is biztosított. Az Ő tanácsára választottam a Debreceni Egyetem Műszaki Karát, ahol kutatásaimat folytatni tudtam. Köszönettel tartozom Dr. Kocsis Imrének, hogy idejét nem kímélve bevezetett az SVM matematikai hátterébe, Portik Tamásnak, az input adatgeneráló program megalkotásában végzett önzetlen segítségéért, Hajdu Sándor egyetemi szobatársamnak az értékes megjegyzéseiért, ötleteiért, továbbá tanszéki kollégáimnak a támogatásért. Köszönöm Jeszenszky Péternek és Baják Szabolcsnak, a Debreceni Egyetem Informatikai Kar két kollégájának az R program megértéséhez kapcsolódó konzultációkat. Köszönöm Manó Sándornak a laboratóriumi mérésekben nyújtott segítséget. Köszönöm családom támogatását, köszönettel különösen Feleségemnek, Reninek tartozom, amiért biztosította nekem azt a nyugodt otthoni légkört, amely eredményeként disszertációm elkészülhetett. A legnagyobb motivációm drága Kisfiam, Danika volt, aki mindig új erőt adott nekem.

91


A. függelék A jobboldali Green-Lagrange alakváltozási tenzor növekmény független elemei Tengelyszimmetrikus esetben a jobboldali Green-Lagrange alakváltozási tenzor növekmény tenzora az alábbi formában írható fel [11] alapján ∆ ∆ = ∆ 0

∆ ∆ 0

0 0 . ∆

(F.1)

A (3.49) szerint a ∆ növekmény elemei is két részből állnak össze, egy lineáris és egy nemlineáris részből felhasználva (3.11)-et és (3.47)-et. Ezáltal ∆ sugárirányú fajlagos megnyúlás növekmény ∆

=∆

+∆

,

(F.2)

ahol a lineáris tag ∆

∆ ( , )

=

+

( , )

∆ ( , )

∙

( , )

+

∆ ( , )

∙

,

(F.3)

a nemlineáris tag ∆ A∆

= ∙

∆ ( , )

∆ ( , )

+

.

(F.4)

z irányú fajlagos megnyúlás növekmény ∆

=∆

+∆

,

(F.5)

ahol a lineáris tag ∆

∆ ( , )

=

+

( , )

∙

∆ ( , )

+

( , )

∆ ( , )

∙

,

(F.6)


= ∙

∆ ( , )

+

∆ ( , )

.

(F.7)

irányú fajlagos megnyúlás növekmény ∆

=∆

+∆

.

(F.8)

92


Megjegyezzük, hogy a helyvektor koordinátái is felírhatók növekményes alakban. Így az r koordináta ∆

=

+∆ .

(F.9)

Az r koordinátát is másodfokú polinomokkal közelítjük, azaz =∑

∙

=

∆ ( , )

.

(F.10)

Így a lineáris tag ∆

+

( , )∙∆ ( , ) (

)

,

(F.11)


= ∙

∆ ( , )

.

=∆

+∆

(F.12)

fajlagos szögtorzulás növekmény ∆

=∆

,

(F.13)

ahol a lineáris tag ∆ + ∙

( , )

∙

∆ ( , )

+

= ( , )

∙

∆ ( , ) ∆ ( , )

+

∆ ( , )

( , )

+

∙

+

∆ ( , )

+

( , )

∙

∆ ( , )

,

(F.14)

a nemlineáris tag ∆

=

∆ ( , )

∙

∆ ( , )

+

∆ ( , )

∙

∆ ( , )

.

(F.15)

93


B. függelék Az alakváltozási elmozdulás mátrix és a II. Piola-Kirchhoff feszültségi mátrix elemei A jobboldali Green-Lagrange alakváltozási mátrix növekmény lineáris része felírható ∆

=

,

(F.16)

ahol = [∆

∆

∆

∆

∆

]

(F.17)

és a csomóponti elmozdulásvektor figyelembe véve (3.56-3.61)-et =[

].

…

(F.18)

A lineáris alakváltozási elmozdulás mátrix [11] alapján két részre bontható =

+

,

(F.19)

ahol 0

⎡ ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0

⋯

0

⋯

0

⋯ 0

0 ⋯

0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ 0 ⎦

(F.20)

Bevezetve a következő jelöléseket, miszerint

a

ℎ

=∑

∙

ℎ

=∑

∙

,

ℎ

=

,

ℎ

=∑

∙

,

(F.21)

ℎ

=∑

∙

,

(F.22)

∑

∙

,

(F.23)

mátrix ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ℎ ⎢ ⎣

+ℎ

ℎ

ℎ

⋯

ℎ

ℎ

ℎ

ℎ

⋯

ℎ

ℎ

ℎ

+ℎ

⋯

ℎ

+ℎ

⋯

ℎ

0

ℎ

0

ℎ

+ℎ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥. (F.24) ⎥ ⎥ ⎦ 94


A nemlineáris alakváltozási elmozdulás mátrix ⎡ ⎢ ⎢ =⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣

0

0 ⋯

0

0 ⋯ 0

⋯

0

0

⋯

0

0 ⋯

0

0⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎦

(F.25)

A II. Piola-Kirchhoff feszültségi mátrix ⎡ ⎢ =⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ 0

0 0 0 0 0

0

0 0 0 0

0

⎤ 0 ⎥, ⎥ 0⎥ ⎦

(F.26)

míg a II. Piola-Kirchhoff feszültségi oszlopmátrix

=

.

(F.27)

95


C. függelék Labormérés C.1. A végeselemes programmal kapott erő értékek F.1 táblázat Különböző hálófelosztások esetén kapott erőértékek Hálófelosztás 2x2 4x4 8x8 Összenyomódás Erő értékek (N) (mm) 0 0 0 0 604,9168 586,9305 581,3506 2 1238,806 1203,734 1190,602 4 1899,487 1847,732 1827,003 6 2594,502 2518,402 2491,112 8 3314,269 3221,755 3186,905 10 4071,256 3959,721 3916,298 12 4863,951 4733,847 4680,338 14 5697,849 5545,756 5484,483 16 6575,831 6400,467 6330,154 18 7498,752 7301,523 7223,413 20 8475,549 8254,619 8164,536 22 9504,545 9262,981 9162,06 24 10594,59 10330,6 10218,48 26 11750,62 11462,46 11341,17 28 12979,92 12668,06 12533,73 30 14287,7 13954,45 13807,13 32 15680,47 15326,33 15164,54 34 17167,16 16793,75 16618,15 36 18758,75 18369,01 18177,61 38 20458,75 20061,01 19852,3 40 22278,9 21880,61 21657,55 42 24227,24 23842,49 23605,15 44 26309,62 25965,79 25709,32 46 28532,07 28263,99 27988,92 48 30877,27 30751,46 30463,6 50

16x16

32x32

0 578,3012 1185,119 1818,096 2480,717 3171,835 3897,733 4658,164 5459,008 6302,188 7189,448 8127,86 9119,332 10172,3 11289,24 12477,1 13743,85 15096,42 16544,71 18097,42 19766,87 21564,22 23505 25603,82 27877,81 30347,66

0 577,1392 1183,052 1815,172 2474,901 3165,707 3889,813 4649,155 5447,913 6287,947 7174,537 8110,502 9101,513 10151,39 11266,37 12452,08 13717,19 15067,69 16512,84 18063,48 19731,1 21525,61 23464,04 25560,19 27831,87 30297,68

96


C.2. A vizsgált gumibak méreteinek meghatározása A gumibak méreteit hagyományos és digitális tolómérővel is megmértük, összesen háromszor. A mért értékek, illetve a belőlük számolt átlag az F.2 táblázatban van feltüntetve. Az átlagértékekből meghatározhatóak a gyártás során előírt méretek. A 3D-s modell, továbbá a műhelyrajz a méretek névleges értéke alapján lett megrajzolva a Solid Edge 3D-s CAD szoftver segítségével, amelynek meridiánmetszetét az F.1 ábra mutatja.

F.1 ábra A gumibakról készült kép és annak műhelyrajza F.2 táblázat A gumibak mért geometriai méretei 1.mérés 2.mérés 3.mérés 121,1 119,3 119,55 D (mm) 90,2 89,3 90,45 d1 (mm) 103,85 99,7 96,4 d2 (mm) 39,8 40,15 40 d3 (mm) 19,9 20 20,05 d4 (mm) 15,25 15,3 14,4 h1 (mm) 39,65 40,15 40,1 h2 (mm) 98,6 97,15 104,2 H (mm)

Átlag 119,98 89,98 99,98 39,98 19,98 14,98 39,97 99,98

Előírt 120 90 100 40 20 15 40 100

97


C.3. A gumibak nyomóvizsgálatának eredményei F.3 táblázat A laboratóriumi nyomóvizsgálat eredményei A nyomás sebessége v (mm/min) 10 50 100 200 500 Összenyomódás Erő értékek (N) (mm) 0 0 0 0 0 0 16 21 24 30 43 1 403 357 368 342 348 2 828 818 765 773 799 3 1248 1239 1259 1258 1320 4 1619 1641 1587 1656 1680 5 1944 2005 2041 2033 2160 6 2341 2363 2401 2389 2479 7 2644 2713 2750 2696 2775 8 3001 3062 3106 3108 3220 9 3356 3355 3390 3390 3484 10 3671 3741 3785 3791 3802 11 4018 4068 4124 4129 4233 12 4346 4416 4464 4456 4519 13 4702 4720 4809 4836 4950 14 5052 5113 5165 5176 5247 15

800

0 51 294 956 1271 1789 2068 2544 2796 3306 3542 4002 4238 4687 4920 5404

98


C.4. A Shore-féle keménységmérés A gumibak keménységmérését az MSZ ISO 868:1991 szabvány, valamint az eredmények matematikai módszerekkel való útmutatásai alapján végeztük. A mérés előnye, hogy széles körben elfogadott, olcsó és egyszerűen kezelhető eljárás. A mérés elvégzéséhez rendelkezésre állt egy állványos digitális Shore A keménységmérő, amely az F.2 ábrán látható:

F.2 Az állványos Shore keménységmérő A vizsgálat során a Shore keménységet csak a mintadarab tetején és alján szabad mérni a szabvány előírásai szerint, mert csak ezek a felületek tekinthetőek vízszintesnek. A mérés kilencszer ( = 9) lett elvégezve tíz alkalommal ( = 10 ). A keménységmérés eredményei az F.4 táblázatban láthatók: F.4 táblázat A keménységmérés eredményei A mintadarab alján 1 2 3 4 Mérés 65,7 65,4 66,2 66,1 1 66,3 66,3 67,1 68,2 2 66 66,3 64,8 65,4 3 65,6 66,7 64,5 67,3 4 67,1 66,1 65,7 66 5 65 64,2 66,3 66,4 6 67,3 65,4 66,9 65,6 7 65,3 66 67,7 65,3 8 67 66,1 66,4 66,4 9 64,8 65,3 66,8 66,2 10 Átlag 66,01 65,78 66,24 66,29

5 66,5 66,3 66,4 65,3 66,4 66,2 65,6 66,6 67 67,3 66,36

A mintadarab tetején 6 7 8 66,9 66,4 65,1 68,3 65,6 66,3 66,3 67 66 67,1 67,6 66,4 64,7 63,5 65,6 65,1 65,2 66,4 64,7 64,7 66,2 65,6 66,1 65,4 66 66,5 66 66,6 66,8 67,1 66,13 65,94 66,05

9 64,7 65,1 65,7 65,6 66,2 66,5 67,3 66,4 65,3 66,2 65,9

A méréshez az aritmetikai átlag ̅ a következő kifejezéssel számolható, ̅= ∑

,

(F.28)

ahol a mérések száma, a mért értékek. Az eloszlásfüggvények alkalmazása az anyagvizsgálati gyakorlatban könnyebbé teszi a mérési eredmények feldolgozását. Ismeretükben nyilatkozhatunk arról, hogy a mérőszám milyen valószínűséggel igaz. Az eloszlásfüggvény [27] ( ) = ( < ),

(F.29) 99


ahol

a valószínűségi változó és −∞ <

< +∞. A sűrűségfüggvény

( )=

( )

.

(F.30)

Azt várjuk, hogy a valószínűségi változó normális eloszlást követ és a mérési eredményekre egyenes illeszthető. Ebben az esetben az eloszlásfüggvény Gauss-papíron egyenes [27]. Az átlag értéke az előfordulási valószínűség 50%-hoz tartozó értékkel egyezik meg. A mért átlagos Shore A keménységeket növekvő sorrendbe állítása után hozzárendeljük a megfelelő %-os arányokat. Az így kapott értékpárokat a F.5 táblázat tartalmazza: F.5 táblázat A keménységértékekhez tartozó %-os értékek Átlagok növekvő sorrendben (ShA °) Normális eloszlás (%) 65,78 6,8 65,9 17,6 65,94 28,4 66,01 39,4 66,05 50 66,13 60,6 66,24 71,6 66,29 82,4 66,36 93,2

F.3 ábra A Gauss eloszlásfüggvény Az F.5 táblázat értékei az F.3 ábrán láthatóak. Mivel a függvény képe egy egyenest közelít, ezért kijelenthető, hogy a mérési eredmények valóban normális eloszlást követnek. A gumibak keménysége 50% összegzett gyakoriságnál ShA 66,05°. A továbbiakban a vizsgált mintadarab keménysége ShA 66°.

100


C.5. Az ANSYS fejlesztők által javasolt Mooney-Rivlin paraméterek F.6 táblázat Az anyagállandók a Shore A keménységértékekhez [2] Mooney-Rivlin anyagállandók ( ShA ° 0,561 0,140 64 0,586 0,147 65 0,612 0,153 66 0,640 0,160 67 0,670 0,168 68

)

C.6. A VEM program eredményei különböző keménységhez tartozó anyagállandókhoz F.7 táblázat A mérés és a különböző keménységértékekkel kapott erő értékek VEM VEM VEM VEM Mérés ShA 64° ShA 65° ShA 66° ShA 67° Összenyomódás Erő értékek (N) (mm) 0 0 0 0 0 0 176 140 152 159 170 1 367 298 318 338 358 2 823 602 655 699 750 3 1266 968 1071 1170 1276 4 1662 1275 1412 1570 1720 5 2042 1608 1823 2008 2210 6 2227 1811 2049 2295 2560 7 2729 2094 2404 2587 2997 8 3133 2298 2598 2901 3310 9 3419 2489 2799 3188 3656 10 3798 2710 3011 3405 3962 11 4135 2903 3189 3650 4300 12 4481 3099 3402 3911 4634 13 4823 3388 3654 4209 5020 14

VEM ShA 68°

0 181 378 793 1365 1870 2410 2802 3303 3702 3991 4298 4556 4850 5199

101


D. függelék Kernel függvények és a Lagrange-multiplikátoros technika D.1. A kernel függvények és azok tulajdonságai Annak, hogy egy ( , ) → ( , ) függvény kernel függvény lehessen, feltételei vannak [34]. Ezzel foglalkozik például a Mercel feltétel, miszerint egy ( , ) → ( , ) függvény kernel függvény, ha szimmetrikus, azaz ( , ) = ( , ),

(F.31)

továbbá bármely nem azonosan nulla, négyzetesen integrálható hogy ∬ ( , )∙ ( )∙ ( )

függvény esetén fennáll,

≥ 0.

(F.32)

Érdemes megjegyezni, hogy a kernel függvények lineáris kombinációja és szorzata is kernel függvény. Ha kernel függvény, akkor =[ (

,

)] ,

(F.33)

,…,

mátrixot kernel mátrixnak hívjuk. A kernel függvények további tulajdonságai:    

≥ 0, ( , ) = (‖ − ‖), ( , ) = max ( , ), ( ) = 0, ahol = ‖ − ‖. lim →

Az irodalomban leggyakrabban megemlített kernel függvények:    

lineáris: ( , ) = ∙ , polinomiális ( fokszámmal): ( , ) = ( ∙ + 1) , exponenciális (Gauss-féle radiális bázisfüggvény (RBF)): ( , ) = tangens hiperbolikusz: ( , ) = ℎ( ∙ ∙ + ).

∙‖

‖

,

A felsorolt függvények közül háromban közvetlenül szerepel a változók skaláris szorzata. Kivételt képez a Gauss-féle kernel függvény, amely a radiális bázisfüggvények (RBF) csoportba tartozik.

102


D.2. Lagrange-multiplikátoros technika Az általunk vizsgált (5.15) problémához (primál feladathoz) tartozó Lagrange-függvény =

∙ ∑

+ ∙∑ ( + )−∑ ∙( ∙ ( ∙ (∆ − ∙ ( )+ + )−∑ ( ,

alakban írható fel, ahol

,

és

≥ 0,

)−∆ ∙

+

+ + )− ∙ ) (F.34)

a Lagrange-multiplikátorok, amelyekre

≥ 0,

≥ 0,

≥ 0,

= 1, … .

(F.35)

Célunk az primál Lagrange-függvényt minimalizálni a és a , kiegészítő változók szerint, és egyúttal maximalizálni , , , szerint. A primál Lagrange-függvény minimalizálásához elő kell állítanunk a , , szerinti deriváltakat, s annak eredményeit zérussá kell tenni, azaz =∑

=0 →

(

−

)∙ (

),

(F.36)

=0 →

=

−

,

(F.37)

=0 →

=

−

.

(F.38)

− )− ∙∑ ( + )− ( − )∙ ), − ∙ ( ,

(F.39)

A duális Lagrange-függvény =∑

∙(

∆ ∑

∑

ahol az alábbi feltételeknek kell teljesülni ∑ 0≤

≤ ,

(

−

0≤

) = 0, ≤ ,

(F.40) = 1, … .

A fenti duális Lagrange-függvényt úgy kapjuk meg, hogy a primál Lagrange-függvénybe helyére behelyettesítjük (F.36) eredményét, majd felhasználjuk (F.37)-et és (F.38)-at. Teljesülnie kell továbbá a Karush-Kuhn-Tucker-féle feltételeknek is, miszerint ( (∆ ( −

)∙

∙ (

)−∆

−

∙ (

= 0,

( −

+ + ) = 0, )+ + )∙

= 0,

) = 0,

(F.41)

= 1, … .

Így a duális Lagrange-függvény már csak a Lagrange-multiplikátorokat tartalmazza és a tanulóadatokat.

103


E. függelék Publikációk az értekezés témájában

Idegen nyelvű folyóiratban megjelent szakcikk {1} {2} {3} {4}

T. Mankovits. Discontinuous Galerkin Method Using Lifting Operator for Axially Symmetric Problems. Acta Technica Napocensis, 51(2): 63-68, 2008. T. Mankovits, Z. Tiba. Compression Test on Rubber Spring Using p-version Finite Element Method. Budowa Maszyn i Zarzadzanie Produkcja, 10: 81-86, 2009. T. Mankovits. Basic Principles of Shape Optimization of Elastomers. International Review of Applied Sciences and Engineering, 2(1): 75-78, 2011. T. Mankovits, T. Szabó. Finite Element Analysis of Rubber Bumper Used in Airsprings. Procedia Engineering (published by Elsevier), (megjelenés alatt).

Magyar nyelvű folyóiratban megjelent szakcikk {5}

{6}

{7}

T. Mankovits. Összehasonlító vizsgálat a büntetőparaméteres és átemelő operátoros technika között nemfolytonos Galjorkin-módszer esetén. Gép c. folyóirat 8(5-6): 3540, 2007. G. Szabó, T. Mankovits. Gumialkatrész Shore-féle keménységének kiértékelése az anyagvizsgálatok statisztikai módszerével. Debreceni Műszaki Közlemények, 9(1): 5263, 2010. T. Mankovits, T. Szabó. Nemlineáris VEM program gyakorlati alkalmazása gumialkatrészekre. Multidiszciplináris Tudományok, 2(1), (bírálatra beadva)

Tudományos közlemény, idegen nyelvű konferencia kiadványban {8} {9}

{10} {11}

{12} {13} {14}

T. Szabó, T. Mankovits. Finite Element Computations of Hyperelastic Materials. microCAD 2004 International Scientific Conference 18-19 March 2004, pp. 79-84. T. Mankovits, T. Szabó. Finite Element Analysis of Axially Symmetric Problems with Discontinuous Displacement Fields. microCAD 2006 International Scientific Conference 16-17 March 2006, pp. 25-31. T. Mankovits. The Discontinuous Galerkin Method Using Lifting Operator. microCAD 2007 International Scientific Conference 22-23 March 2007, pp. 59-65. T. Mankovits. Comparison of the Penalty and the Lifting Operator Approaches for Discontinuous FEM Problems. Proceedings of Technology Systems Operation 2007, pp. 87-90. T. Mankovits, T. Szabó. Finite Analysis of Rubber Buffer. microCAD 2009 International Scientific Conference 19-20 March 2009, pp. 31-36. T. Mankovits, G. Szabó. FEM Analysis of Rubber Buffer. 15th „Building Services, Mechanical and Building Industry days” International Conference 2009, pp. 33-38. T. Mankovits. Compression Tests on Rubber Buffer Using p-versional FEM. International Conference on Modelling and Simulation ASME 22-25 June 2010, Prague. 104


{15}

{16}

T. Mankovits, T. Portik, T. Szabó. One-dimensional Shape Optimization of a Rubber Spring Using FEM. microCAD 2011 International Scientific Conference 31 March-1 April 2011, pp. 31-36. T. Mankovits. Two-dimensional Shape Optimization of a Vulcanized Rubber Spring Using FEM and SVM. 11th Hungarian Conference on Theoretical and Applied Mechanics 2011.

Tudományos közlemény, magyar nyelvű konferencia kiadványban {17} {18}

{19} {20} {21}

{22} {23}

T. Mankovits. Tengelyszimmetrikus rugalmas feladat vizsgálata nemfolytonos Galjorkin-módszerrel. Doktoranduszok Fóruma 2005, pp.122-127. T. Mankovits, T. Szabó. Nemfolytonos mezővel közelített végeselemes eljárás stabilitásának numerikus vizsgálata. OGÉT 2006. XIV. Nemzetközi Gépész Találkozó 2006, pp. 243-246. T. Mankovits. Nemfolytonos Galjorkin-módszer stabilitásának biztosítása a „lifting” operátor alkalmazásával. Doktoranduszok Fóruma, 2006. T. Mankovits. Összehasonlító vizsgálatok nemfolytonos Galjorkin-módszer esetén. Tavaszi Szél Konferencia 2007, pp. 88-95. T. Mankovits, T. Szabó, Gy. Juhász. Gumirugó nyomóvizsgálata saját fejlesztésű végeselem program segítségével. XIV. Fiatal Műszakiak Tudományos Ülésszaka 2009, pp. 115-118. T. Mankovits. Hiperelasztikus anyagok nagy alakváltozásának kontinuummechanikai leírása. OGÉT 2010. XVIII. Nemzetközi Gépész Találkozó 2010, pp. 287-290. T. Mankovits, T. Portik. Alapvető megfontolások tengelyszimmetrikus gumialkatrészek alakoptimalizálásakor. Műszaki Tudomány az Észak-kelet Magyarországi Régióban 2012, pp. 203-210.

105


HIVATKOZÁSOK [1]

[2] [3] [4]

[5] [6]

[7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16]

[17]

[18] [19] [20]

[21] [22]

Y.K. Ahn, J.D. Song, B.S. Yang, K.K. Ahn, S. Morishita. Optimal Design of Nonlinear Hydraulic Engine Mount. Journal of Mechanical Science and Technology, 19(3):768-777, 2005. P. Altidis, B. Warner. Analyzing Hyperelastic Materials. IMPACT Engineering Solutions Inc, 2005. M. Altrichter, G. Horváth, B. Pataki, Gy. Strausz, G. Takács, J. Valyon. Neurális hálózatok. Panem Könyvkiadó Kft, 2006. G. Angiulli, D. De Carlo. Support Vector Regression Machines to Evaluate Resonant Frequencies of Elliptic Substrate Integrated Waveguide Resonators. Progress in Electromagnetics Research, 83:107-118, 2008. D.N. Arnold. An Interior Penalty Finite Element Method with Discontinuous Element. SIAM J. Numer. Anal, 19:742-760, 1982. D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L.D. Marini. Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems. SIAM J. Numer. Anal, 39(5):1749-1779, 2002. I. Babuska, M. Suri. Locking Effects in the Finite Element Approximation of Elasticity Problems. Numerische Mathematik, 62:439-463, 1992. I. Babuska, M. Suri. On Locking and Robustness in the Finite Element Method. SIAM J. Numer. Anal, 29(5):1261-1293, 1992. A. Baksa. Érintkezési feladatok numerikus vizsgálata. PhD értekezés, 2005. Z. Bartha. Gumiipari kézikönyv. II. kötet. Taurus-OMIKK, Budapest, 1989. K. J. Bathe. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1996. I. Beijers, B. Noordman, A. de Boer. Numerical Modelling of Rubber Vibration Isolators. 11th International Congress on Sound and Vibration, Russia, 2004. N. Békési. Elasztomer anyagok és csúszótömítések súrlódása és kopása. PhD értekezés, 2011. E. Bertóti. Locking-free Plate Bending Elements – a Complimentary Energy Approach. NMCM2002, Hungary, 2002. J. Bonet, R.D. Wood. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, 1997. F. Brezzi, G. Manzini, D. Marini, P. Pietra, A. Russo. Discontinuous Galerkin Approximations for Ellpitic Problems. Numer Methods Partial Differential Eq, 16:365-378, 2000. K.K. Choi, W. Duan. Design Sensitivity Analysis and Shape Optimization of Structural Components with Hyperelastic Material. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 187:219-243, 2000. T. Eyck, A. Lew. Discontinuous Galerkin Methods for Nonlinear Elasticity. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 00:1-6, 2000. E.L. Deladi. Static Friction in Rubber-metal Contacts with Application to Rubber Pad Forming Processes. PhD dissertation, 2006. J.K. Djoko, F. Ebobisse, A.T. McBride, B.D. Reddy. A Discontinuous Galerkin Formulation for Classical and Gradient Plasticity. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg, 197:1-21, 2007. P. Dolwichai, J. Limtragool. Hyperelastic Material Models for Finite Element Analysis with Commercial Rubber. TISD2006, Thailand, 2006. K. Duen, S.S. Keerthi, A.N. Poo. Evaluation of Simple Performance Measures for Tuning SVM Hyperparameters. Neurocomputing, 51:41-59, 2003.

106


[23]

[24] [25] [26] [27] [28] [29]

[30]

[31] [32]

[33]

[34] [35]

[36] [37]

[38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45]

A. Düster, S. Hartmann, E. Rank. p-fem Applied to Finite Isotropic Hyperelastic Bodies. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 85:51475166, 1991. A. Düster. High Order Finite Elements for Three-dimensional, Thin-walled Nonlinear Continua. Shaker Verlag GmbH, 2002. M. Friedrich, J. Baltes, M. Schütz, H. Gartner. Automatic Shape Optimisation of Elastomeric Products. Freudenberg Group, 1999. M.S. Gadala. Alternative Methods for the Solution of Hyperelastic Problems with Incompressibility. Computers & Structures, 42(1):1-10, 1992. I. Gál, L. Kóródy. Anyagismeret és technológia III. (Anyagvizsgálati gyakorlatok). Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. S.R. Gunn. Support Vector Machines for Calssification and Regression. Technical Report, 1998. Z. Guo, L.J. Sluys. Computational Modelling of the Stress-softening Phenomenon of Rubber-like Materials Under Cycling Loading. European Journal of Mechanics, 25:877-896, 2006. Z. Guo, L.J. Sluys. Applications of a New Constitutive Model for the Description of Rubber-like Materials Under Monotonic Loading. International Journal of Solids and Structures, 43:2799-2819, 2006. Z. Guo, L.J. Sluys. Constitutive Modelling of Hyperelastic Rubber-like Materials. HERON, 53(3), 2008. P. Hansbo, M.G. Larson. Discontinuous Galerkin Methods for Incompressible and Nearly Incompressible Elasticity by Nitsche’s Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 191:1895-1908, 2002. S. Hartmann, P. Neff. Polyconvexity of Generalized Polynomial-type Hyperelastic Strain Energy Functions for Near-incompressibility. International Journal of Solids and Structures, 40:2767-2791, 2003. S. Haykin. Neural Networks and Learning Machines. Prentice Hall, 2008. U. Heisserer, A. Düster, E. Rank, Z. Yoshibash, S. Hartmann. p-FEM is Locking-free for Finite Strain Hyperelasticity. International Workshop on High-Order Finite Element Methods, 2007. C.J. van Heerden, E. Barnard. Towards Understanding the Influence of SVM Hyperparameters. PRASA, 69-74, 2010. C.O. Horgan, J.G. Murphy. Compression Tests and Constitutive Models for the Slight Compressibility of Elastic Rubber-like Materials. International Journal of Engineering Science, 47(11-12):1232-1239, 2009. G. Horváth. Neurális hálózatok. Panem Könyvkiadó Kft, 2007. M. Hujter, A. Galántai. Optimalizálási módszerek. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1997. K. Jármai, J.A. Snyman, J. Farkas. Minimum Cost Design of a Welded Orthogonally Stiffened Cylindrical Shell. Computers & Structures, 84:787-797, 2006. J. Javorik, M. Stanek. The Shape Optimization of the Pneumatic Valve Diaphragms. International Journal of Mathematics and Computer in Simulation, 2011. J.T. Jeng, C.C. Chuang. A Novel Approach for the Hyperparameters of Support Vector Regression. Neural Networks, IJCNN, 2002. A. Karatzoglou, D. Meyer, K. Hornik. Support Vector Machines in R. Journal of Statistical Software, 15(9), 2006. J.J. Kim, H.Y. Kim. Shape Design of an Engine Mount by a Method of Parameter Optimization. Computers & Structures, 65(5):725-731, 1997. I. Kozák. Kontinuummechanika. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1995. 107


[46] [47]

[48]

[49] [50] [51]

[52] [53]

[54]

[55] [56]

[57]

[58] [59] [60] [61]

[62]

[63]

[64]

[65]

G. Körtélyesi. Gépszerkezeti elemek alakoptimálása matematikai programozási módszerekkel. PhD értekezés, 2007. M.G. Larson, A.J. Niklasson. Analysis of a Nonsymmetric Discontinuous Galerkin Method for Elliptic Problems: Stability and Energy Error Estimates. SIAM J. Numer. Anal, 42(1):252-264, 2004. R.D. Lazarov, J.E. Pasciak, J. Schöberl, P.S. Vassilevski. Almost Optimal Interior Penalty Discontinuous Approximations of Symmetric Elliptic Problems on Nonmatchnig Grids. Numer. Math, 96:295-315, 2001. J.S. Lee, S.C. Kim. Optimal Design of Engine Mount Rubber Considering Stiffness and Fatigue Strength. Journal of Automobile Engineering, 221(7):823-835, 2007. J. Lee, J. Kim. Approximate Optimization of High-speed Train Nose Shape for Reducing Micropressure Wave. Struct. Multidisc Optim, 35:79-87, 2008. A. Lew, P. Neff, D. Sulsky, M. Ortiz. Optimal BV Estimates for a Discontinuous Galerkin Method in Linear Elasticity. Applied Mathematics Research eXpress, 3, 2004. A. Lew, A.T. Eyck, R. Rangarajan. Some Applications of Discontinuous Galerkin Methods in Solid Mechanics. IUTAM BookSeries, 11:227-236, 2008. Q. Li, J. Zhao, B. Zhao, X. Zhu. Parameter Optimization of Rubber Mounts Based on Finite Element Analysis and Genetic Neural Network. Journal of Macromolecular Science, 46(2):186-192, 2009. Q. Li, J. Zhao, B. Zhao, X. Zhu. Parameter Optimization of a Hydraulic Engine Mount Based in a Genetic Neural Network. Journal of Automobile Engineering, 223:1109117, 2009. T.R. Lin, N.H. Farag, J. Pan. Evaluation of Frequency Dependent Rubber Mount Stiffness and Damping by Impact Test. Applied Acoustics, 66:829-844, 2005. R. Liu, M.F. Wheeler, C.N. Dawson. A Three-dimensional Nodal-based Implementation of a Family of Discontinuous Galerkin Methods for Elasticity Problems. Computers and Structures, 87:141-150, 2009. M. Lopez, J. Martinez, J.M. Matias, J. Taboada, J.A. Vilán. Shape Functional Optimization with Restinctions Boosted with Machine Learning Techniques. Journal of Computational and Applied Mathematics, 234:2609-2615, 2010. Z. Lu, J. Sun, D. Lee, K. Butts. Dynamic Engine Modelling Through Linear Programming Support Vector Regression. American Control Conference, USA, 2009. M. Makhult. Gumirugók. Műszaki Könyvkiadó, 1963. D.S. Malkus: Finite Element with Penalties in Nonlinear Elasticity. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 16:121-136, 1980. J. Marzbanrad, A. Jamali. Design of ANFIS Networks Using Hybrid Genetic and SVD Methods for Modeling and Prediction of Rubber Engine Mount Stiffness. International Journal of Automotive Technology, 10(2):167-174, 2009. A.T. McBride, B.D. Reddy. A Discontinuous Galerkin Formulation of a Model of Gradient Plasticity at Finite Strains. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 198:1805-1820, 2009. J.O. Meré, A.B. Garcia, V.M. Munilla, J.D.C. Diaz. Finite Element Analysis of the Hyperelastic Contact Problem in Automotive Door Sealing. Journal of NonCrystalline Solids, 354:5331-5333, 2008. J. Mergheim, E. Kuhl, P. Steinmann. A Hybrid Discontinuous Galerkin/Interface Method for the Computational Modelling of Failure. Comm. Num. Meth. Eng, 20:511519, 2004. J. Mergheim. Computational Modeling of Strong and Weak Discontinuities. PhD dissertation, 2006. 108


[66]

[67] [68] [69]

[70]

[71]

[72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79]

[80] [81]

[82] [83] [84] [85]

[86]

J. Mergheim, P. Steinmann. A Geometrically Nonlinear FE Approach for the Simulation of Strong and Weak Discontinuities. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195:5037-5052, 2006. D. Meyer. Support Vector Machines: The Interface to libsvm in Package e1071. RNews 1(3), 2011. F. Nándori, I. Páczelt, T. Szabó. Analysis of Incompressible Materials with p-version Finite Elements. microCAD’2003, Hungary, 2003. N. Nariman, J. Marzbanrad, A. Jamali. Stiffness Modelling of Rubber Engine Mounts by Polynomial Neural Networks and Genetic Algorithms. European Simulation & Modelling, 2004. N. Nariman, J. Marzbanrad, A. Jamali. ANFIS Networks Design Using Hybrid Genetic and SVD Methods for Modelling of Rubber Engine Mount Stiffness. International Journal of Automotive Technology, 10(2):167-174, 2009. L. Noels, R. Radovitzky. A General Discontinuous Galerkin Method for Finite Hyperelasticity. Formulation and Numerical Applications. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 00:1-31, 2005. R.W. Ogden. Nonlinear Elasticity with Application to Material Modelling. AMAS Lecture Notes, 2003. R.W. Ogden, G. Saccomandi, I. Sgura. Fitting Hyperelastic Models to Experimental Data. Computational Mechanics, 34(6):484-502, 2004. A.K. Olsson. Finite Element Procedures in Modelling the Dynamic Properties of Rubber. PhD dissertation, 2007. I. Páczelt. Rugalmas rendszerek érintkezési feladatának vizsgálata. MTA Doktori Disszertáció, 1981. I. Páczelt, P. Scharle. A végeselem-módszer a kontinuummechanikában. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. I. Páczelt. A végeselem-módszer alapjai. Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1993. I. Páczelt. Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban. I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, 1999. I. Páczelt, A. Baksa, T. Szabó. Product Design Using a Contact-Optimization Technique. Strojniski vestnik – Journal of Mechanical Engineering, 53(7-8):442-461, 2007. L. Pálfi. A súrlódás hiszterézis komponensének végeselemes modellezése gumi-érdes felület csúszó pár esetén. PhD értekezés, 2010. C.H. Park, H.J. Shim, D.H. Choi, J.K. Kim, S.M. Lee. Shape Optimmization of Rubber Isolators in Automotive Cooling Modules for the Maximization of Vibration Isolation and Fatigue Life. International Journal of Automotive Technology, 13(1):6175, 2012. B. Pere. Csatolt termo-mechanikai kopási folyamatok vizsgálata hp-verziós végeselem-módszerrel. PhD értekezés, 2004. B. Pere, T. Szabó. Gumitömítés érintkezési feladatának vizsgálata nagy alakváltozás esetén. GÉP 10-11:104-107, 2007. B. Pere: Gumiból készült alkatrészekben nagy alakváltozások hatására keletkező hő numerikus modellezése. GÉP 10-11:107-110, 2008. W. Prager. Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacement, Strains and Stresses. Recent Progress in Applied Mechanics, The F. Odquist Volume, Stockholm, 463-474, 1967. H. Qi, L. Wang, W. Zheng. On Locking-free Finite Element Schemes for Threedimensional Elasticity. Journal of Computational Mathematics, 23(1):101-112, 2005.

109


[87]

[88]

[89] [90] [91] [92] [93]

[94] [95] [96]

[97] [98]

[99]

[100]

[101] [102] [103] [104] [105] [106] [107]

W.B. Shangguan, Z.H. Lu. Experimental Study and Simulation of a Hydraulic Engine Mount with Fully Coupled Fluid Structure Interaction Finite Element Analysis Model. Computers & Structures, 82(22):1751-1771, 2004. C. Silva, M. Bittencourt. Structural Shape Optimization of 3D Nearly-incompressible Hyperelasticity Problems. Latin American Journal of Solids and Structures, 5:129156, 2009. J.C. Simo, R.L. Taylor. Quasi-incompressible Finite Elasticity in Principal Streches. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 85:273-310, 1991. R. Singh. Dynamic Design of Automotive Systems: Engine Mounts and Structural Joints. Sadhana, 25(3):319-330, 2000. K. Smets, B. Verdonk, E.M. Jordaan. Evaluation of Performance Measures for SVR Hyperparameter Selection. Neural Networks, IJCNN, 2007. A.J. Smola, B. Schölkopf. A Tutorial on Support Vector Regression. NeuroCOLT Techanical Report, 2003. J.H. Sohn, S.K. Lee, W.S. Yoo. Hybrid Neural Network Bushing Model for Vehicle Dynamics Simulation. Journal of Mechanical Science and Technology, 22:2365-2374, 2008. P. Steinmann, J. Mergheim. A FE Approach for the Computation of Strong and Weak Discontinuities at Finite Strains. COMPLAS VIII, Spain, 2005. B. Sun, Z. Xu, X, Zhang. Parametric Optimization of Rubber Spring of Construction Vehicle Suspension. Global Design to Gain a Competitive Edge, 4:571-580, 2008. M. Suri. Analytical and Computational Assessment of Locking in the hp Finite Element Method. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 133(34):347-371, 1996. T. Sussman K.J. Bathe. A Finite Element Formulation for Nonlinear Incompressible Elastic and Inelastic Analysis. Computers & Structures, 26(1-2):357-409, 1987. K. Suzumori, S. Endo, T. Kanda. Optimal Design of Bending Pneumatic Rubber Actuator Based on Non-linear Finite Element Analysis. 12th IFToMM World Congress, France, 2007. S.R. Swanson, L.W. Christensen, M. Ensing. Large Deformation Finite Element Calculations for Slightly Compressible Hyperelastic Materials. Computers & Structures, 21(1-2):81-88, 1985. B.A. Szabó, I. Babuska, B.K. Chayapathy. Stress Computation for Nearly Incompressible Materials by the p-version of the Finite Element Method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28:2175-2190, 1989. P.E. Uys, K. Jármai, J. Farkas. Optimal Design of a Hoist Structure Frame. Applied Mathematical Modelling, 27:963-982, 2003. J. Valyon, G. Horváth. A Robust LS-SVM Regression. World Academy of Science, Engineering and Technology 7, 2005. Z. Virág. Bordázott lemezek és héjak optimális méretezése. PhD értekezés, 2008. D. Vola, M. Raous, J.A.C. Martins. Friction and Instability of Steady Sliding: Squeal of a Rubber/Glass Contact. Int. J. Numer. Meth. Engng, 46:1699-1720, 1999. G. Wang. Benchmark Tests of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems, 2002. H. Wickham. Package „Classifly”. R topics, 2012. O.C. Zienkiewicz, S. Qu, R.L. Taylor, S. Nakazawa. The Patch Test for Mixed Formulations. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 23:18731883, 1986.

110

Miskolci Egyetem. GUMIALKATRÉSZEK ALAKOPTIMALIZÁLÁSA Ph.D. értekezés

Recommend Documents