Miskolci Egyetem Doktori (PhD) Tézisfüzetei

Miskolci Egyetem Doktori (PhD) Tézisfüzetei

GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

A maximum operátor szerepe a mérhetőségelméletben és néhány alkalmazás PhD értekezés

Készítette:

Agbeko Kwami Nutefe okleveles matematikus

Hatvany József Informatikai Tudományok Doktori Iskola

Doktori iskola vezető: Prof. Dr. Tóth Tibor A műszaki tudomány doktora

Tudományos vezető: Vadászné Bognár Gabriella dr. habil A matematikai tudomány kandidátusa

Miskolc, 2009

1.

Bevezet´ es ´ es n´ eh´ any jel¨ ol´ es

Egy adott (Ω, F) m´erhet˝o t´eren a µ : F → [0, 1] halmazf¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul a σ-addit´ıv m´ert´ek (vagyis a val´osz´ın˝ us´egi m´ert´ek) a legjobban kutatott ter¨ uletet teszi ki (l´asd Halmos P.R. [21]). Az ut´obbi ´evtizedekben az u ´n. fuzzy m´ert´ek is napvil´agot l´atott, melynek axi´om´ai sajnos nem egys´egesek u ´gy mint a hagyom´anyos m´ert´ekn´el azt megszoktuk (l´asd Sugeno M. ´es Murofushi T. [38], valamint Dubois D. [19]). A disszert´aci´om c´elja a maximum (szupremum) oper´ator tanulm´anyoz´asa. a) Megvizsg´aljuk a maximum oper´atort a σ-algebr´akon, azaz tetsz˝oleges σ-algebr´an defini´aljuk az u ´n. optim´alis m´ert´eket, amely bizonyos felt´eteleknek eleget tesz. b) Tanulm´anyozzuk a maximum oper´atort a m´erhet˝o f¨ uggv´enyek halmaz´an. A dolgozat h´et r´eszb˝ol ´all. Az I. fejezet a legfontosabb fogalmak r¨ovid bevezet´es´et ´es t¨ort´eneti le´ır´as´at tartalmazza. A II. fejezetben defini´aljuk az u ´n. optim´alis m´ert´eket ´es megfogalmazzuk a strukt´ urat´etelt. A III. fejezet ismerteti egy injekt´ıv lek´epez´es l´etez´es´et, amely a m´erhet˝o halmazokhoz optim´alis m´ert´ekek halmazait rendeli. Majd megadunk egy sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etelt, hogy a lek´epez´es sz¨ urjekt´ıv legyen. A IV. fejezetben a Lebesgue integr´alnak megfelel˝oen bevezetj¨ uk az u ´n. optim´alis ´atlagot. Ezzel kapcsolatos tulajdons´agok ´attekint´ese ut´an a Fubini illetve a Radon-Nikodym t´eteleknek a m´ert´ekelm´eletbeli megfelel˝oj´et ´ırjuk fel. Az V. fejezetben az optim´alis m´ert´ek ´es az optim´alis ´atlag felhaszn´al´as´aval jellemz¨ unk n´eh´any j´ol ismert konvergencia t´etelt mint p´eld´aul stabiliz´al´od´o, egy sorozat szerint pontonk´enti, egyenletes ill., pontonk´enti konvergencia t´etelt. A V I. fejezetben val´osz´ın˝ us´eg sz´am´ıt´asi eszk¨oz¨okkel a konk´av ill. konvex Young f¨ uggv´enyekkel kapcsolatos maxim´alis egyenl˝otlens´egeket fogalmazunk meg. A konk´av Young f¨ uggv´enyek halmaz´ab´ol egy s˝ ur˝ u val´odi r´eszhalmazt k¨ ul¨on´ıt¨ unk el ´es megadjuk a pozit´ıv fixponttal rendelkez˝o ¨osszes konk´av Young f¨ uggv´enyek halmaz´at. A V II. fejezetben az optim´alis m´ert´ek alkalmaz´asait ´es egy a konk´av Young f¨ uggv´enyek pozit´ıv fixpontj´aval kapcsolatos algoritmust mutatunk be. Jel¨ ol´ esek: W 1.) AVmaximum, illetve szupremum oper´atorokra ´es ∨ jel¨ol´eseket haszn´aljuk. Hasonl´oan ´es ∧ szimb´olumok a minimumot, illetve az infimumot jel¨olik. 2.) Az (Ω, F) p´ar tetsz˝oleges m´erhet˝o teret jel¨ol, ahol Ω tetsz˝oleges nem-¨ ures halmaz ´es F az Ω halmaz r´eszhalmazainak egy σ-algebr´aja. 3.) P-vel az optim´alis m´ert´ekek halmaz´at jel¨olj¨ uk. 4.) P<∞ az olyan optim´alis m´ert´ekek halmaz´at jel¨oli, melyek v´eges gener´al´o rendszerrel rendelkeznek. 5.) P∞ az olyan optim´alis m´ert´ekek halmaz´at jel¨oli, melyek megsz´aml´al´oan v´egtelen gener´al´o rendszerrel rendelkeznek.

1

2.

Az optim´ alis m´ ert´ ek ´ es a strukt´ urat´ etel

1. T´ ezis: A σ-addit´ıv m´ ert´ ekhez (vagy val´ osz´ın˝ us´ egi m´ ert´ ekhez) hasonl´ oan egy az u ´ n. optim´ alis m´ ert´ eket vezet¨ unk be, azaz egy olyan halmazf¨ uggv´ enyt, mely egy tetsz˝ oleges σ-algebr´ at a [0, 1] intervallumba k´ epezi le. Az optim´ alis m´ ert´ ek tulajdons´ agai k¨ oz¨ ul kiemelhet˝ o a monotonit´ as ´ es a fel¨ ulr˝ ol val´ o folytonoss´ ag. Bel´ attuk, hogy tetsz˝ oleges optim´ alis m´ ert´ ekhez van olyan felbonthatatlan atomok v´ eges vagy megsz´ aml´ alhat´ oan v´ egtelen tag´ u sorozata, mely gener´ alja azt, vagyis az optim´ alis m´ ert´ ekek struktur´ alis tulajdons´ ag´ uak.

2.1.

Az optim´ alis m´ ert´ ek: defin´ıci´ o, p´ eld´ ak

2.1. Defin´ıci´ o (Agbeko, [5], 1994). A p : F → [0, 1] halmazf¨ uggv´enyt optim´alis m´ert´eknek nevezz¨ uk, ha: 2.1. Axi´ oma. Teljes¨ ul a p (Ω) = 1 ´es p (∅) = 0 azonoss´ag. 2.2. Axi´ oma. Minden B ´es E m´erhet˝ o halmaz eset´en a p (B ∪ E) = p (B) ∨ p (E) azonoss´ag fenn´all. 2.3. Axi´ oma. Minden (En ) ⊂ F cs¨okken˝ o esem´enysorozat eset´en Ã∞ ! ∞ \ ^ p En = lim p (En ) = p (En ) , n→∞

n=1

n=1

azaz a p halmazf¨ uggv´eny fel¨ ulr˝ ol folytonos. Megeml´ıtj¨ uk, hogy a k¨ovetkez˝o tulajdons´ag fontosnak bizonyul a k´es˝obbiekben. 2.1. Lemma (Agbeko, [5], 1994). Legyen (Bn ) ⊂ F , Bn ↑ B ´es p egy optim´alis m´ert´ek. Akkor lim p (Bn ) = p (B) . n→∞

2.1. P´ elda (Agbeko, [5], 1994). Legyen (Ω, F) tetsz˝oleges m´erhet˝ o t´er, (ωn ) ⊂ Ω tetsz˝ oleges fix sorozat ´es (αn ) ⊂ [0, 1] egy adott sz´amsorozat, melyre αn ↓ 0. Akkor a p : F → [0, 1], p (B) = max {αn : ωn ∈ B} , (1) halmazf¨ uggv´eny egy optim´alis m´ert´ek. Tov´ abb´ a, ha Ω = [0, 1] ´es F egy Borel halmazokat tartalmaz´o σ-algebra a [0, 1] f¨ol¨ ott, akkor az F-en defini´alt b´armely optim´alis m´ert´ek megadhat´ o az (1) szerinti alakban. Megeml´ıtem, hogy a fenti p´eld´at Laczkovich Mikl´os adta. 2.2. P´ elda (Agbeko, [5], 1994). Legyen (Ω, F) tetsz˝ oleges m´erhet˝ o t´er ´es ω ∈ Ω egy r¨ogz´ıtett elem. Defini´aljunk egy pω : F → {0, 1} halmazf¨ uggv´enyt az al´abbi m´odon: pω (B) = 1, ha ω ∈ B, ´es pω (B) = 0 egy´ebk´ent. Akkor a pω halmazf¨ uggv´eny is egy optim´alis m´ert´ek. 2

2.2.

A strukt´ urat´ etel

2.2. Defin´ıci´ o (Agbeko, [5], 1994). Legyen p egy optim´alis m´ert´ek. Egy H, p (H) > 0 m´erhet˝ o halmazt p-atomnak nevez¨ unk, ha abb´ol, hogy B ∈ F ´es B ⊂ H k¨ ovetkezik, hogy p (B) = p (H), vagy p (B) = 0. 2.3. Defin´ıci´ o (Agbeko, [5], 1994). Legyen H egy p-atom. Azt mondjuk, hogy a H atom felbonthat´ o, ha l´etezik egy szub-atom (r´eszatom) B ⊂ H u ´gy, hogy p (B) = p (H) = p (H\B). Ha nincs ilyen szub-atom, akkor a H atomot felbonthatatlannak nevezz¨ uk. Strukt´ urat´ etel. Legyen az (Ω, F) m´erhet˝ o t´er ´es a p optim´ alis m´ert´ek tetsz˝oleges. Akkor l´etezik p´aronk´ent diszjunkt felbonthatatlan p-atomok egy H (p) = {Hn : n ∈ J} rendszere, ahol J v´eges vagy megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen indexhalmaz u ´gy, hogy minden B ∈ F, p (B) > 0 eset´en p (B) = max {p (B ∩ Hn ) : n ∈ J} .

(2)

Tov´ abb´ a, ha a J indexhalmaz megsz´ aml´ alhat´ oan v´egtelen, akkor 0 az egyetlen torl´od´ asi pontja a {p (Hn ) : n ∈ J} halmaznak, amelyet gener´al´ o rendszernek nevez¨ unk.

3.

Az optim´ alis ´ atlag

2. T´ ezis: A Lebesgue integr´ al (vagy a v´ arhat´ o ´ ert´ ek) mint´ aj´ ara defini´ alunk egy nemline´ aris funkcion´ alt (´ un. optim´ alis ´ atlagot) nem-negat´ıv m´ erhet˝ o l´ epcs˝ os f¨ uggv´ enyek eset´ en. El˝ osz¨ or bel´ attuk, hogy ez az ´ atlag nem f¨ ugg a l´ epcs˝ os f¨ uggv´ eny felbont´ as´ at´ ol, majd azt, hogy tetsz˝ oleges nem-negat´ıv korl´ atos m´ erhet˝ o f¨ uggv´ eny eset´ en a f¨ uggv´ eny feletti l´ epcs˝ os f¨ uggv´ enyek optim´ alis ´ atlag´ anak infimuma megegyezik a f¨ uggv´ eny alatti nem-negat´ıv l´ epcs˝ os f¨ uggv´ enyek optim´ alis ´ atlag´ anak szupremum´ aval. Kiterjesztett¨ uk az optim´ alis ´ atlagot tetsz˝ oleges nem-negat´ıv m´ erhet˝ o f¨ uggv´ enyekre ´ es ´ıgy megkaptuk a Fubini, illetve Radon-Nikodym t´ etelek a m´ ert´ ekelm´ eletbeli megfelel˝ oj´ et. Legyen s=

n X

bi χ (Bi )

i=1

nem-negat´ıv m´erhet˝o l´epcs˝os f¨ uggv´eny, ahol {Bi : i = 1, . . . , n} ⊂ F az Ω alaphalmaznak egy part´ıci´oja ´es (Ω, F) egy m´erhet˝o t´er. Az s l´epcs˝os f¨ uggv´eny Lebesgue integr´alj´at ´es optim´alis ´atlag´at az al´abbi t´abl´azatban ¨osszegezz¨ uk: 3

\

Az s Lebesgue integr´alja: R Pn sdµ := k=1 bk µ (Bk ) Ω

Az s optim´alis ´atlaga (Agbeko, [5], 1994) n W sdp := bi p (Bi ) , i=1

Ω

3.1. T´ etel (Agbeko, [5], 1994). Legyen egy s ≥ 0 l´epcs˝ os f¨ uggv´enynek k´et felbont´ asa n m X X bi χ (Bi ) ´es ck χ (Ck ) , i=1

k=1

ahol {Bi : i = 1, . . . , n} ´es {Ck : k = 1, . . . , m} ⊂ F az Ω alaphalmaz k´et part´ıci´ oja. Akkor n m _ _ bi p (Bi ) = ck p (Ck ) . i=1

k=1

\

\

´ ıt´ 3.1. All´ as. Legyen f ≥ 0 egy korl´atos m´erhet˝ o f¨ uggv´eny. Akkor sup s≤f

sdp = inf

sdp,

s≥f

Ω

Ω

ahol s ´es s nem-negat´ıv m´erhet˝ o l´epcs˝ os f¨ uggv´enyeket jel¨ol. 3.1. Defin´ıci´ o (Agbeko, [5], 1994). Legyen f egy tetsz˝oleges m´erhet˝ o f¨ uggv´eny. Az f optim´alis ´atlag´ an az

\

|f | dp = sup

\

Ω

sdp Ω

mennyis´eget ´ertj¨ uk, ahol a szupremumot azokon az s nem-negat´ıv m´erhet˝ o l´epcs˝ os f¨ uggv´enyeken vessz¨ uk, melyekre igaz, hogy s ≤ |f |. Az optim´alis m´ert´ekek atomos strukt´ ur´aj´anak egyik jelent˝os k¨ovetkezm´eny´et az al´abbi k´et eredm´enyben foglaljuk ¨ossze: ´ ıt´ 3.2. All´ as (Agbeko, [6], 1995). B´armely f : Ω → R nem-negat´ıv m´erhet˝ o f¨ uggv´eny minden felbonthatatlan atomon majdnem minden¨ utt konstans ´ert´eket vesz fel. ´ ıt´ 3.3. All´ as (Agbeko, [6], 1995). Legyen adott egy p ∈ P optim´ alis m´ert´ek ´es egy f m´erhet˝ o f¨ uggv´eny. Akkor     |f | dp = sup |f | dp : n ∈ J ,  

\

\

Ω

Hn

ahol H (p) = {Hn : n ∈ J} egy p-gener´ al´ o rendszer. Tov´ abb´ a, ha

\

felt´etel fenn´all, akkor

\

|f | dp < ∞

Ω

|f | dp = sup {cn · p (Hn ) : n ∈ J} ,

Ω

ahol cn = f (ω) majdnem minden ω ∈ Hn , n ∈ J eset´en. 4

4.

A m´ erhet˝ o f¨ uggv´ enyekkel kapcsolatos konvergenciat´ etelek ´ es korl´ atoss´ ag

3. T´ ezis: Az optim´ alis m´ ert´ ek, valamint optim´ alis ´ atlag felhaszn´ al´ as´ aval jellemz¨ unk sz´ amos j´ ol ismert konvergenciat´ etelt a m´ erhet˝ o f¨ uggv´ enysorozatok eset´ en: a stabiliz´ al´ od´ o (discrete), egy sorozat szerint pontonk´ enti (equally), egyenletes (uniform), valamint a pontonk´ enti (pointwise) konvergenciat´ eteleket. Kit´ er¨ unk a m´ erhet˝ o f¨ uggv´ enysorozatok k¨ ul¨ onf´ ele korl´ atoss´ ag´ anak jellemz´ es´ ere is az optim´ alis ´ atlag alkalmaz´ as´ aval. ´ ´ 4.1. Defin´ıci´ o (Cs´ asz´ ar A. es Laczkovich M., [16]-[18]). Legyen X egy tetsz˝oleges nem-¨ ures halmaz. Azt mondjuk, hogy az X-en defini´alt (hn ) val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enysorozat konverg´ al egy h val´os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyhez: a) ”stabiliz´ al´od´ oan”, ha minden x ∈ X eset´en l´etezik olyan n0 (x) egy k¨ usz¨ ob index, hogy hn (x) = h (x) , ha n > n0 (x); b) ”egy sorozat szerint pontonk´ent”, ha van egy olyan (bn ) pozit´ıv null´ahoz tart´o sz´amsorozat ´es tetsz˝oleges x ∈ X elemhez van olyan n0 (x) k¨ usz¨ ob index, hogy |hn (x) − h (x)| < bn , ha n > n0 (x). o f¨ uggv´enyek. 4.1. T´ etel (Agbeko, [7], 2000). Legyenek adottak f ´es fn (n ∈ N) m´erhet˝ Ahhoz, hogy az (fn ) f¨ uggv´enysorozat egyenletesen tartson f -hez, sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel, hogy a (zn ) f¨ uggv´enysorozat a null´ahoz tartson egyenletesen a P∞ halmazon, ahol zn (p) =

\

|fn − f | dp,

Ω

n ∈ N, p ∈ P∞ . 4.2. T´ etel (Agbeko, [7], 2000). Legyenek adottak f ´es fn (n ∈ N) m´erhet˝ o f¨ uggv´enyek. Ahhoz, hogy az (fn ) f¨ uggv´enysorozat pontonk´ent (stabiliz´al´ od´ oan, egy-sorozat szerint pontonk´ent) tartson f -hez, sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel, hogy a (zn ) f¨ uggv´enysorozat pontonk´ent (stabiliz´ al´ od´ oan, egy-sorozat szerint pontonk´ent) konverg´ aljon 0-hoz a P< ∞ halmazon, ahol zn (p) =

\

|fn − f | dp,

Ω

n ∈ N, p ∈ P<∞ .

5

5.

A val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ asi eszk¨ oz¨ okkel kapcsolatos maxim´ alis egyenl˝ otlens´ egek

4. T´ ezis: ´ Attekintj¨ uk a konk´ av (konvex) Young f¨ uggv´ enyekkel kapcsolatos maxim´ alis egyenl˝ otlens´ egeket val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ asi eszk¨ oz¨ okkel. Elk¨ ul¨ on´ıtj¨ uk az Yconc konk´ av Young f¨ uggv´ enyek halmaz´ anak egy A r´ eszhalmaz´ at, mely a kompoz´ıci´ ora z´ art. Megadunk az Yconc halmazon egy olyan metrik´ at, mely szerint az A r´ eszhalmaz s˝ ur˝ u az Yconc halmazban. Megadjuk a pozit´ıv fixponttal rendelkez˝ o¨ osszes konk´ av Young f¨ uggv´ enyek halmaz´ at.

5.1.

Szubmarting´ alokkal kapcsolatos maxim´ alis egyenl˝ otlens´ egek

uggv´enyt konk´av Young f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk, ha 5.1. Defin´ıci´ o. A Φ : R+ → R+ f¨ minden x ≥ 0 eset´en Z x

Φ (x) =

ϕ (t) dt, 0

ahol Φ (0) = 0 ´es ϕ : (0, ∞) → (0, ∞) cs¨okken˝ o, jobbr´ol folytonos f¨ uggv´eny, mely integr´ alhat´ o minden v´eges (0, x) intervallumon. Tov´ abb´ a feltessz¨ uk, hogy Φ (∞) = ∞. Az ¨osszes ilyen konk´av Young f¨ uggv´enyek halmaz´at az Yconc -cal jel¨olj¨ uk. 5.2. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a Φ konk´av Young f¨ uggv´eny teljes´ıti a maxim´alis egyenl˝ otlens´eget, ha l´etezik olyan KΦ > 0 (csak Φ-t˝ ol f¨ ugg˝ o ) konstans, hogy minden (Xn , Fn ), n ∈ N nem-negat´ıv szubmarting´al eset´en az EΦ (Xn∗ ) ≤ KΦ (1 + EXn ) egyenl˝ otlens´eg teljes¨ ul minden n ∈ N-re, ahol Xn∗ =

n W

(3)

Xk .

k=1

5.1. T´ etel (Agbeko, [3], 1989). Legyen Φ egy konk´av Young f¨ uggv´eny. Ahhoz, hogy a Φ f¨ uggv´eny teljes´ıtse a fenti maxim´alis egyenl˝ otlens´eget sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel, hogy Z ∞ ϕ (t) AΦ := dt < ∞. (4) t 1

5.2.

Konk´ av Young f¨ uggv´ enyek fixpontj´ ar´ ol

Fixpontr´ol az els˝o tanulm´any az 1912-ben jelentet meg Brouwert´ol (l´asd [14]). 5.2. T´ etel (Brouwer, [14]). Ha Dn egy z´art egys´egsugar´ u g¨omb, akkor minden f : n n n D → D folytonos f¨ uggv´eny eset´en, van olyan x pont D -ben, hogy x = f (x). A fixpontt´etelnek k¨ ul¨onb¨oz˝o form´aja van. Mindegyikre nem sz´and´ekozom kit´erni; egy ilyen t´etel p´eld´aul a kontrakci´os elven alapul´o fixpontt´etel. Megeml´ıtem M´esz´aros J. 6

koll´eg´amnak egy nagyon sz´ep dolgozat´at, ahol k¨ ul¨onb¨oz˝o kontrakci´os elveket k¨ot¨ott ¨ossze [27]. Brouwer t´etel´enek egy igen eleg´ans illusztr´aci´oja a k¨ovetkez˝o (l´asd http://www.marginalrevolution.com/marginalrevolution/2004/08/kakutani is at .html). ”Egy reggel, pontosan a napkeltekor, egy Buddhista szerzetes u ´tnak indult egy kis csillog´o templomba, mely egy hegy cs´ ucs´an tal´alhat´o. Egy keskeny ¨osv´eny k´ıgy´ozva vezet a hegy ment´en a templomhoz. A szerzetes v´altoz´o sebess´eggel ment fel, t¨obbsz¨or is meg´allt pihenni ´es enni. Kicsivel a napnyugta el˝ott el´erte a templomot. T¨obb napos b¨ojt¨ol´es ´es medit´aci´o ut´an szint´en a napkeltekor visszafel´e indult ugyanazon az ¨osv´enyen, megint v´altoz´o sebess´eggel haladt sok pihen´essel. Az ´atlagsebess´ege lefel´e term´eszetesen nagyobb mint, amikor felment. K´erd´es, hogy van-e az u ´t ment´en olyan pont, ahov´a azonos id˝opontban ´er el mindk´et ir´anyb´ol?” A feladatnak intuit´ıv megold´asa a k¨ovetkez˝o: ”K´epzelj¨ unk el k´et szerzetest, egyik a templomb´ol lefel´e, a m´asik a kolostorb´ol felfel´e indul el ugyazon a napon ´es a napkeltekor. Biztosan van olyan pont ahol tal´alkoznak.” A Brouwer-f´ele fixpont t´etel garant´alja egy ilyen pont l´etez´es´et. oleges f¨ uggv´eny. Ahhoz, hogy 5.3. T´ etel (Agbeko, [11], 2008). Legyen Φ ∈ Yconc tetsz˝ l´etezzen egy olyan s > 0 sz´ am, melyre ϕ (s) < 1 fenn´all sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etel, hogy a Φ f¨ uggv´eny rendelkezzen egy fixponttal, azaz x = Φ (x) fenn´ alljon valamilyen x > 0 sz´am eset´en. ´ ıt´ 5.1. All´ as (Agbeko, [11], 2008). Legyen Φ ∈ Yconc tetsz˝oleges f¨ uggv´eny. Ha x0 ∈ (0, ∞) egy olyan sz´am, hogy Φ (x0 ) = x0 , akkor ϕ (x0 ) < 1.

6.

Alkalmaz´ asok

6.1.

Az optim´ alis m´ ert´ ek adatokb´ ol val´ o meghat´ aroz´ asa

6.1.1.

El˝ ozm´ enyek

A fuzzy halmazelm´eletben probl´emak´ent mer¨ ult fel, hogy hogyan lehet meghat´arozni empirikusan a fuzzy m´ert´eket. Wang Z., Leung K.S. ´es Wang J. (valamint sokan m´asok) javasolt´ak a Sugeno-f´ele integr´al haszn´alat´at erre a c´elra (l´asd [40]). A Sugeno integr´alt u ´gyis lehet tekinteni mint t¨obb-bemen˝o ´es egy kimen˝o rendszernek. A bemenet egy (f (ω1 ) , . . . , f (ωn )) vektor ´es a kimenet Z E := (S) f dµ = sup {α ∧ µ (Fα ) : α ∈ [0, 1]} , ahol f egy ismeretlen m´erhet˝o f¨ uggv´eny, µ egy ismeretlen fuzzy m´ert´ek az (Ω, F) m´erhet˝o t´eren ´es Fα := {ω ∈ Ω : f (ω) ≥ α}. Megfigyelj¨ uk k-szor az (f (ω1 ) , . . . , f (ωn )) rendszert, melynek eredm´enye:

7

f1 (ω1 ) f2 (ω1 ) .. .

f1 (ω2 ) f2 (ω2 ) .. .

... ...

f1 (ωn ) f2 (ωn ) .. .

E1 E2 .. .

fk (ω1 ) fk (ω2 )

...

fk (ωn )

Ek Z

´es keress¨ unk azt a µ k¨ozel´ıt˝o fuzzy m´ert´eket, melyre Ei = (S) ´es amely minim´aliz´alja az e :=

s Xk µ i=1

fi dµ, (i = 1, . . . , k),

¶2 Z Ei − (S) fi dµ

(5)

kifejez´est. Megeml´ıtem, hogy a fenti (5) minim´al feladatot az u ´n. genetikus algoritmus felhaszn´al´as´aval oldott´ak meg, amelynek t¨obb inputja ´es egy outputja van [25]. 6.1.2.

Az optim´ alis m´ ert´ ek adatokb´ ol val´ o meghat´ aroz´ asa

A Wang Z. ´es t´arsainak dolgozata mint´aj´ara fogalmazzuk meg az al´abbi probl´em´at: 1. Probl´ ema. Legyen (Ω, F) egy m´erhet˝ o t´er, ahol Ω = {1, . . . , n} ´es F = 2Ω , azaz F az Ω alaphalmaznak hatv´anyhalmaza. Tekints¨ uk a B1 := {1} , . . . , Bn := {n} egyelem˝ u halamzokat ´es legyen f : Ω → [0, ∞) egy m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, melynek ´ert´ekk´eszlete csak elm´eleti ´ert´eket tartalmaz. Megfigyelj¨ uk k-szor az f (1) , . . . , f (k) elm´eleti ´ert´ekeket, melynek eredm´enye: B1 f1 (1) f2 (1) .. .

B2 f1 (2) f2 (2) .. .

... ... ...

fk (1)

fk (2) . . .

Bn f1 (n) f2 (n) .. .

Q1 Q2 .. .

fk (n) Qk

n

1X ahol Qi = fij , fij := fi (j), (j = 1, . . . , n; i = 1, . . . , k). n j=1 A k´erd´es az, hogy a k sz´ am´ u ”minta” k¨ oz¨ ul, mely tekinthet˝o a legjobbnak a minta´atlag szempontj´ ab´ ol ?

\

Ennek a probl´em´anak megold´as´ara javaslom, hogy keress¨ unk egy p elm´eleti optim´alis m´ert´eket, melyre fenn´all Qi ≈

fi dp, (i = 1, . . . , k), u ´gy, hogy Ω

err :=

r Xk i=1

\

v  2 u uX k u Qi − fi dp εi 2 = t i=1

Ω

8

(6)

minim´alis legyen. Nyilv´anval´oan a fent eml´ıtett elm´eleti optim´alis m´ert´ek k¨ozel´ıt´es´et csak szimul´aci´oval lehet meghat´arozni. Legyen p∗ az az optim´alis m´ert´ek, mely minimaliz´alja az (6) kifejez´est. K¨onnyen be lehet l´atni, hogy ¯ ¯ ¯ ¯ k _¯ ¯ ¯Qi − fi dp∗ ¯ < err. ¯ ¯ ¯ i=1 ¯ Ω

\

Legyen i0 az az index, mely eset´en a maximum el´erhet˝o volt, azaz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ _ ¯ k ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Qi − fi dp∗ ¯ . ¯Qi0 − fi0 dp∗ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i=1 ¯ ¯ Ω Ω

\

\

Ekkor azt mondhatjuk, hogy a p∗ optim´alis m´ert´ek mellett az i0 -adik minta a legjobb a minta´atlag szempontj´ab´ol. Megeml´ıtem, hogy a statisztikai mez˝ok alaphalmaza ´altal´aban nem sz´am´ert´ekekb˝ol vagy sz´amvektorokb´ol ´all. Ez´ert fogalmazzuk meg az al´abbi ´altal´anos probl´em´at. Majd r´amutatjuk, hogyan lehet az els˝o probl´em´anak megold´as´at felhaszn´alni az ´altal´anos probl´ema megold´as´ara. 2. Probl´ ema. Legyen (X, S) egy tetsz˝oleges m´erhet˝ o t´er ´es a D1 , . . . , Dn halmazok az X halmaz egy part´ıci´ oj´ at alkotj´ak. Tekints¨ uk a h : X → [0, ∞) egy val´osz´ın˝ us´egi v´altoz´ o. Megfigyelj¨ uk k-szor a h elm´eleti f¨ uggv´enyt a D1 , . . . , Dn part´ıci´ on. A megfigyel´es eredm´enye: D1 h11 h21 .. .

D2 h12 h22 .. .

... ... ...

Dn h1n h2n .. .

Q1 Q2 .. .

hk1

hk2

...

hkn

Qk

ahol hij a h f¨ uggv´eny megfigyelt ´ert´eke az i-edik k´ıs´erletn´el a Dj halmazon, i = n 1X 1, . . . , k; j = 1, . . . , n, ´es Qi = hij , i = 1, . . . , k. n j=1 A k´erd´es az, hogy a k sz´ am´ u ”minta” k¨ oz¨ ul, mely tekinthet˝o a legjobbnak a minta´atlag szempontj´ ab´ ol ? A 2. probl´em´at az els˝ore vezetj¨ uk vissza az al´abbi m´odon: Vegy¨ uk az S0 := σ (D1 , . . . , Dn ) a D1 , . . . , Dn part´ıci´o ´altal gener´alt v´eges σ-algebr´at. Nyilv´anval´o, hogy a h f¨ uggv´eny S0 -m´erhet˝o ´es legal´abb egy bijekci´o l´etes´ıthet˝o az S0 ´es a 2Ω halmazok k¨oz¨ott, ahol Ω = {1, . . . , n}. Ezut´an tekint¨ unk egy f : Ω → [0, ∞) m´erhet˝o f¨ uggv´enyt, melynek megfigyelt ´ert´ekei: fi (j) := hij , i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , n. Innent˝ol u ´gy j´arunk el mint az els˝o probl´em´an´al l´attuk. 9

˝ proble ´mat megoldo ´ algoritmus Az elso Step 0. Input: n positive integer Ω = {1, . . . , n} k k × n matrix F = [f (i, j)]n, i, j=1 n-dimensional vector Q error bound ε Bj = {j}, j = 1...n X = the power set of Ω whose elements should be indexed kk = 1 . . . 2n Generate the set σ of all permutations of {1, ..., n}. Step 1. Generate a decreasing sequence α(j) ∈ (0, 1], with α(1) = 1. Step 2. For any permutation {n1 , ..., nn } ∈ σ Put p (Bj ) = α(nj ), for j = 1, ..., n Compute the optimal average: A(i) = max{f 1...n} r³ (i, j) ∗ p (Bj ) : j = ´ 2 Pn Compute the corresponding error: err = j=1 (Q(i) − A(i)) Step 3. If err < ε for some permutation do Find the index i0 such that |Q(i0 ) − A(i0 )| = max{|Q(i) − A(i)| : i = 1...k} Determine p (B) = max {α(nj ) : j ∈ B}, for each B ∈ X Else GOTO Step 1 Step 4. The outputs 1.) Best sample: f (i0 , 1) , . . . , f (i0 , n) 2.) The approximated optimal measure: 2Ω {} := ∅ B1 .. .

p (B) 0 p (B1 ) .. .

Bi .. .

p (Bi ) .. .

10

6.2.

A kontrakci´ os fok ´ es a pozit´ıv fixpont keres´ es´ enek algoritmusa

Step 1. Input Φ (x) , cc > 0. Step 2. Compute the derivative ϕ (x) of Φ (x) Step 3. Starting from cc find an approximation root for equation ϕ (x) − 1 = 0 and put the result into c. Step 4. If c = 0 then STOP. else do Step 5. Starting from c apply the FixedPoint algorithm, i.e. x0 := c; xk+1 := Φ (xk ) ; k = k + 1.

11

7.

Dolgozataimra hivatkoz´ o munk´ ak list´ aja

[1]

I. Fazekas, A note on ”optimal measures”, Publ. Math. Debrecen 51 / 3-4 (1997), 273-277. (Paper referred to: Publ. Math. Debrecen 46 / 1-2 (1995), 79-87)

[2]

I. Fazekas, A note on ”optimal measures”, Publ. Math. Debrecen 51 / 3-4 (1997), 273-277. (Paper referred to: Acta Math. Hung. 63 (1-2) (1994), 1–15.)

[3]

Tasos C. Christofides, Maximal inequalities for N-demimartingales, Archives Ineq. Applic. 1(2003), 397 - 408. (Paper referred to: Ann. Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. 29 (1986), 9-17)

[4]

B.L.S. Prakasa Rao, On some maximal inequalities for demisubmartingales and N-demisuper martingales, J. Inequal. Pure and Appl. Math. 8(2006), Issue 4, Art.112, pp. 17 [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au/] (Paper referred to: Ann. Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. 29 (1986), 9-17)

[5]

Yu Miao and Guangyu Yang, A note on the upper bounds for the dispersion, J. Inequal. Pure and Appl. Math. 8(2007), Issue 3, Art.83, 17 pp. 6. [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au/] (Paper referred to: Inequal. Pure and Appl. Math. 7(5) (2006), Art.186. [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au/])

12

A disszert´ aci´ om t´ em´ aj´ ahoz kapcsol´ od´ o publik´ aci´ om az Irodalomjegyz´ ekben az 1–11-ig terjed˝ o munk´ akban szerepelnek.

Hivatkoz´ asok [1] N. K. Agbeko, Some reverse maximal inequalities for supermartingales, Ann. Univ. Sci. Budapest, Sect. Comput. 6 (1985), 49–54. [2] N. K. Agbeko, Concave function inequalities for sub- (super-) martingales, Ann. Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. 29 (1986), 9–17. [3] N. K. Agbeko, Necessary and sufficient condition for the maximal inequality of concave Young-functions, Ann. Univ. Sci. Budapest, Sect. Math. 32 (1989), 267–270. [4] N. K. Agbeko, On an inequality of Longnecker and Serfling, Analysis Math. 17 (1991), 3–9. [5] N. K. Agbeko, On optimal averages, Acta Math. Hung. 63 (1-2) (1994), 1–15. [6] N. K. Agbeko, On the structure of optimal measures and some of its applications, Publ. Math. Debrecen 46/1-2 (1995), 79–87. [7] N. K. Agbeko, How to characterize some properties of measurable functions, Math. Notes, Miskolc 1/2 (2000), 87–98. [8] N. K. Agbeko, Mapping bijctively σ-algebras onto power sets, Math. Notes, Miskolc 2/2 (2001), 85–92. [9] N. K. Agbeko, Studies on concave Young-functions , Miskolc Math. Notes 6/1 (2005), 3–18. [10] N. K. Agbeko, Some p.d.f.-free upper bound for the dispersion σ (X) and the quantity σ 2 (X) + (x − EX)2 , J. Inequal. Pure and Appl. Math. 7(5) (2006), Art.186. [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au/] [11] N. K. Agbeko, The class of concave Young-functions possessing a positive fixed point, Miskolc Math. Notes 9 (2008), No. 1, pp. 3-6.

13

[12] R. Ash, Real analysis and probability theory, Acad. Press, New York, London (1972). [13] N. S. Barnett, P. Cerone, S. S. Dragomir and J. Roumeliotis, Some inequalities for the dispersion of a random variable whose pdf is defined on a finite interval, J. Inequal. Pure and Appl. Math., 2(1)(2001), Art. 1. [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au] ¨ [14] L. E. J. Brouwer, Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann., 71(1912), 97–115. [15] Tasos C. Christofides, Maximal inequalities for N -demimartingales, Archives Ineq. Applic. 1(2003), 397 - 408. ´ Csa ´ sza ´ r and M. Laczkovich, Discrete and equal convergence, Studia Sci. [16] A. Math. Hung. 10(1975), 463–472. ´ Csa ´ sza ´ r and M. Laczkovich, Some remarks on discrete Baire classes, Acta [17] A. Math. Acad. Sci. Hung. 33 (1-2)(1979), 51–70. ´ Csa ´ sza ´ r and M. Laczkovich, Discrete and equal Baire classes, Acta Math. [18] A. Hung. 55(1-2) (1990), 165–178. [19] D. Dubois, Th´eorie des possibilit´es, Masson, Paris, 1985. ISBN: 2-225–80579-2 [20] I. Fazekas, A note on ”optimal measures”, Publ. Math. Debrecen 51/3-4 (1997), 273–277. [21] P. R. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand Co. Inc. 4th ed., 1956. [22] Shizuo Kakutani, A generalization of Brouwer’s fixed point theorem, Duke Mathematical Journal 8(3)(1941), 457-459. [23] J. Kennan, Uniqueness of positive fixed points for increasing concave functions on Rn : An elementary result, Review of Econmic Dynamics 4(2001), 893-899. [24] M. A. Krasnosel’ski and B. Ya Rutickii, Convex functions and Orlicz-spaces. (Transl. from Russian by Boron L. F.) Noordhoff, Groningen, 1961. [25] C. C. Lin and A. P. Chen, Fuzzy discrimnimant analysis with outlier detection by genetic algorithm, Computer & Operation Reaserch 31 (2004), 877-888. [26] M. Longnecker and R. J. Serflying, General moment and probability inequalities for the maximum partial sum, Acta Math. Acad. Sci. Hung. 30 (1977), 129–133. ´sza ´ros, A comparison of various definitions of contractive type mappings, [27] J. Me Bull. Cal. Math. Soc. 84(1992), 167-194. [28] Yu Miao and Guangyu Yang, A note on the upper bounds for the dispersion, J. Inequal. Pure and. Appl. Math., 8(3)(2007), Art. 83 [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au/]. 14

´ di, On the decomposition of Doob of non-negative submartingales, Ann. [29] J. Mogyoro Univ. Sci. Budapest, Sectio Math. 24 (1981), 255–264. ´ di and T. F. Mo ´ ri, Necessary and sufficient condition for the maximal [30] J. Mogyoro inequality of convex Young functions, Acta Sci. Math. Szeged 45 (1983), 325–332. ´ di, On a concave Young function inequality for martingales, Annales [31] J. Mogyoro Univ. Sci. Budapest, Sectio Math. 24 (1981), 265–271. [32] J. F. Nash, Jr., Equilibrium Points in N -Person Games, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 36(1950) 48–49. [33] B.L.S. Prakasa Rao, On some maximal inequalities fo demisubmartingales and N -demisupermartingales, J. Inequal. Pure and. Appl. Math., 8(4)(2007), Art. 112. [ONLINE: http://jipam.vu.edu.au/]. [34] M. Puri and D. Ralescu, A possibility measure is not a fuzzy measure, Fuzzy Sets and Systems, 7(1982), 311-313. [35] M. C. Reed, Fundamental Ideas of Analysis, John Wiley and Sons Inc., New York, Singapore, 1998. [36] W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill Book Company, Auckland, 1976. [37] J. Serfling, Moment inequality for the maximum cumulative sum, Ann. Math. Statist. 41 (1970), 1227–1234. [38] M. Sugeno and T. Murofushi, Pseudo-additive measures and integrals, J. Math. Anal. Appl. 122(1987), no. 1, 197-222. [39] A. Tarski, A lattice-theoretical Fixpoint Theorem and its applications, Pacific Journal of Mathematics 5(1955), 285-309. [40] Z. Wang, K.-S. Leung and J. Wang, Determining nonnegative monotone set functions based on Sugeno’s integral: an application of genetic algorithms, Fuzzy Sets and Systems, 112(2000), 155-164.

15