Mintapélda. a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) B ODÓ T IBOR Ö SSZEÁLLÍTOTTÁK: BME ÁLTALÁNOS- ÉS F ELSŐ GEODÉZIA T ANSZÉK

.. .. .. .. ..

Mintapélda a f él év k öz i h á z i f e l ad at m e g ol d ás á ho z ( G e od é z i a I I . )

ÖSSZEÁLLÍTOTTÁK:

BODÓ TIBOR DR.

KRAUTER ANDRÁS

BME ÁLTALÁNOS-

Budapest 1999. szeptember

ÉS

FELSŐGEODÉZIA TANSZÉK

.. .. .. .. ..

Bevezetés

Az adott pontok számozása, a vetület és a koordináták

.. .. .. .. ..

Az egy-egy tantárgy oktatására fordítható tantervi óraszám lassú, de töretlen csökkenése révén „felértékelődtek” az otthon, egyéni tanulás árán megoldandó feladatok és általában az ismeret-átadás valamennyi, az előadásoktól és a laboratóriumi műszergyakorlatoktól vagy közös számítási gyakorlatoktól eltérő formája. Ez a felismerés vezetett bennünket is egyrészt, amikor a Geodézia II. gyakorlati foglalkozásainak jelentős részét igénybe vevő ún. komplex pontkapcsolási feladatot házi feladattá alakítottuk át, másrészt amikor a házi feladat önálló megoldását megkönnyítő jelen oktatási segédanyagot összeállítottuk. A „Mintapélda…” több mint egyszerű mintapélda. Azzal a szándékkal állítottuk össze, hogy segítségével a hallgatók önállóan képesek legyenek megoldani a házi feladattá „előlépett” összetett pontkapcsolási feladatot. Igyekeztünk összefoglalni a feladatok megoldásának elvi alapjait is. Ezek az ismeretek egyebek között a nyomtatott jegyzetben is megtalálhatók, itteni szerepeltetésük azonban szükségtelenné teszi bármely más írásos segédanyag igénybe vételét a feladatok megoldásához. A mintapélda és a házi feladatok adott pontjainak számozása egyedi és nem felel meg az állami földmérés gyakorlatának. Az is szokatlan, hogy a feladatokban a vetület ismerete nélkül kell vetületi sík-koordinátákkal számolni. Az ebből fakadó hiányérzetet enyhíti egy-egy rövid összeállítás az adott pontok állami földmérés előírásai szerinti azonosító számozásáról, ill. a vetület típusáról és a vetületi koordináta-rendszerről. Reméljük, hogy az oktatási segédanyag – nevének megfelelően – segítséget jelent a házi feladat megoldásában. Egyúttal arra kérjük a hallgatókat, hogy az anyaggal kapcsolatos észrevételeiket (különösen a felfedezett hibákra vonatkozóan) juttassák el az összeállítókhoz. Előre is köszönjük.

Az adott pontok számozása A felhasznált (adott, ismert) pontok számozásában lényeges eltérés van a mintapélda és a házi feladat, valamint az állami földmérés előírásai között. Ez jórészt kényelmi szempontból van így: sokkal egyszerűbb egy-egy betűvel jelölni az adott pontokat, mint egy-egy számjegy-csoporttal, amelyek ráadásul hasonlítanak is egymásra, így könnyűszerrel összecserélhetők. A kényelmi szemponton kívül azonban más is szól amellett, hogy nem követtük az állami földmérés pontszámozását. Az állami vízszintes alappontok azonosító száma a térképi hely (a vízszintes koordináták) függvénye. Minthogy az adott pontok koordinátái az egyes házi feladatokban különbözőek, ugyanannak az adott pontnak (pl. a sokszögvonal kezdőpontjának) az állami földmérés előírásai szerinti azonosító száma feladatonként más és más lenne, ami meglehetősen kényelmetlen.

1

Mintapélda a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.)

Az alábbiakban röviden ismertetjük a pontszámozás állami földmérésben alkalmazott módját. Az egységes országos vízszintes alapponthálózat (EOVA) tetszőleges pontjának azonosítója egy, a pont rendűségétől független és egy, a rendűségtől függő részből áll. A rendűségtől független összetevő előállításához meg kell állapítani, hogy az alappont (vetületi képe) az egységes országos térképrendszer (EOTR) melyik 1:100 000 méretarányú térképén található. A rendűségtől független összetevő ennek a térképlapnak az azonosítóját (is) tartalmazza. Ismeretes, hogy a EOTR 1:100 000 méretarányú térképei olyan téglalap alakú területeket ábrázolnak, amelyek y irányú határvonalai egymástól 32 km, x irányú határvonalai pedig egymástól 48 km távolságban haladó egyenesek, ún. szelvényhálózati vonalak. Egy-egy térképlap az y tengellyel párhuzamos sorok és az x tengellyel párhuzamos oszlopok számozása szerint azonosítható. A sorok számozása délről észak felé 0-tól 10-ig, az oszlopok számozása nyugatról kelet felé 0-tól 11-ig tart. Az 1:100 000 méretarányú térképlap azonosító számának első (az ország legészakibb részén az első két) számjegye a sor száma, az ezt követő egy (az ország legkeletibb részén két) számjegy az oszlop száma. Az azonosító legfeljebb háromjegyű, mert a 10-es sor és a 10-es, valamint a 11-es oszlop közös területe (ahol négyjegyű lenne az azonosító) az ország területén kívül esik. Tájékoztatásul megemlítjük, hogy Budapest a 65-ös (6-os sor, 5-ös oszlop) térképlapon található. Az is ismeretes, hogy az egységes országos vetület (EOV) észak-keleti tájolású koordinátarendszerét a kezdőponttól nyugat felé 650 km-rel, dél felé pedig 200 km-rel áthelyezték. Ezzel elérték egyrészt, hogy mind az Y, mind az X „eltolt” koordináta az ország területének minden pontjában pozitív, másrészt, hogy X kisebb, Y pedig nagyobb 400 km-nél, így kisebb a koordináták felcserélésének veszélye. Az ismert Y és X koordinátájú alappontot ábrázoló 1:100 000 méretarányú térképlap azonosítójának megállapítását megnehezíti, hogy az eredeti y és x koordináta-tengelyek egyike sem esik egybe az 1:100 000 méretarányú térképek valamelyik szelvényhálózati vonalával.A szelvényhálózati vonalak és a koordináta-tengelyek relatív helyzete a B.1 ábrán látható.

+x 48 26

2

24 32

56 8

+y

45 Y = 672

X = 192 Y = 624

B.1 ábra. Az EOV koordinátatengelyeinek és az EOTR 1:100 000 méretarányú térképlapjai szelvényhálózati vonalainak relatív helyzete (a méretek kilométerben)

55 Y = 650

54 x=0 X = 200

65

y=0

X = 224

22

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

40

73

1

21

31

32

42

03

02 3

13

12

2

23

Kaposvár

33

43

22

Nagykanizsa

Zalaegerszeg

41

Veszprém

53

Győr

51 Szombathely52

480

63

72

528

62

61

Sopron

71

82

576

624

Pécs

35

45

55

65

BUDAPEST

75

05 5

4

15

04

14

24Szekszárd 25

34

44

Székesfehérvár

54

64

Tatabánya

74

85

672

432

384

720 6

16

26

36

Kecskemét

46

56

66

76

Salgótarján

86

Y [km]

7

17

Szeged

27

37

47

57

Szolnok

67

77

Eger

87

98

97

8

18

28

38

Békéscsaba

48

58

68

78

88

Miskolc

108

768

107

864

816 9

29

39

49

59

69

Debrecen

79

Nyíregyháza

89

99

109

10

610

710

810

910

11

711

811

32

64

96

128

160

192

224

256

288

320

352

384

X [km]

Hiba! A stílus nem létezik.

B.2 ábra. Az EOTR 1:100 000 méretarányú térképlapjainak számozása a szelvényhálózati vonalak km-es koordinátáival

3

960

912


A B.1 ábra alapján táblázat készíthető arról, hogy az egyes térképlapoknak melyek az X, ill. Y intervallum-határai. A kérdéses alappont koordinátáit ezekkel a határokkal összehasonlítva könnyen megtaláljuk a megfelelő 1:100 000 méretarányú térképlap azonosítóját. Egyszerűbb azonban egy kellően részletes (a B.2 ábránál részletesebb) térképet használni, amelyen a szelvényhálózati vonalak kilométeres koordinátái fel vannak tüntetve. Az ismert alappont azonosítójának rendűségtől független összetevője azonban nem az 1:100 000, hanem az 1:50 000 méretarányú térképlap azonosítója. Ehhez úgy jutunk, hogy a már megtalált azonosítóhoz kötöjellel egy 1-est kapcsolunk, ha a pont az 1:100 000 méretarányú térképlap északnyugati negyedében van, 2-est, ha az északkeleti negyedben, 3-ast ha a délnyugati, és 4-est, ha a délkeleti negyedben van. Minthogy az 1:50 000 méretarányú térképlapok keretméretei az 1:100 000 méretarányú térképlap keretméreteinek felezésével adódnak, az intervallum-határok az 1:50 000 méreterányú térképlapokra is egyszerűen megállapíthatók. A vízszintes alaphálózati pont azonosítójának másik, a pont rendűségétől függő összetevője a rendűségtől független összetevőhöz kapcsolódik azzal egybeírva az alábbiak szerint: ha a pont ♦

elsőrendű alappont, az összetevő egy 001 és 009 közötti számcsoport

♦

másod- v. harmadrendű alappont, az összetevő egy 011 és 049 közötti számcsoport

♦

negyedrendű főpont, az összetevő egy 051 és 099 közötti számcsoport.

A negyedrendű főpontokat (nevezik kitöltőhálózati vagy K-pontoknak is) a kitöltőhálózat harmadrendű háromszögeinek súlypontja közelében létesítették, és a kitöltőhálózat szögmérésekor ezekre a pontokra ill. ezekről a pontokról is mértek. Ha a pont „egyszerű” negyedrendű pont, akkor az összetevő számcsoport attól függ, hogy a pont melyik 1:25 000 méretarányú térképlapon található (az 1:25 000 méretarányú térképlapok ugyanúgy osztják négy részre az 1:50 000 méretarányú térképlapot, ahogy az utóbbiak az 1:100 000 méretarányú térképlapot). Ha a pont ♦

az 1 jelű lapon van, akkor a számcsoport 101-199, ha ez kevés, 501-599 közötti

♦

a 2 jelű lapon van, akkor a számcsoport 201-299, ha ez kevés, 601-699 közötti

♦

a 3 jelű lapon van, akkor a számcsoport 301-399, ha ez kevés, 701-799 közötti

♦

a 4 jelű lapon van, akkor a számcsoport 401-499, ha ez kevés, 801-899 közötti.

Az azonos rendűségű pontok között a sorszám az X koordináták csökkenésével (tehát északról dél felé) növekszik, egyforma X koordináták esetén Y növekedésével (tehát nyugatról kelet felé) növekszik. Néhány példa:

4

65–2037

másod- vagy harmadrendű alappont a 65–2 jelű 1:50 000 méretarányú térképlapon;

811–4309

negyedrendű alappont a 811–43 jelű 1:25 000 méretarányú térképlapon (az ország keleti szélén);

108–3002

elsőrendű alappont a 108–3 jelű 1:50 000 méretarányú térképlapon (az ország északi szélén);


04–1503

negyedrendű alappont a 04–11 jelű 1:25 000 méretarányú térképlapon (az ország déli szélén; a második 1-es helyén az 5-ös arra utal, hogy az 1-gyel kezdődő háromjegyű számok elfogytak).

Megemlítjük még, hogy a felsőredű pontoknak azonosító számuk mellett nevük is van: pl. 56–1001 (Szőlőhegy); ez a pont egyébként a magyarországi ún. felületi asztrogeodéziai hálózat (FAGH) kiindulópontja.

A vetület típusa és a vetületi koordináta-rendszer A mintapéldában nincs megnevezve a vetület, holott a koordináta-jegyzéken kötelező lenne azt feltüntetni (a magassági alapszinttel együtt). A feladatlapon a vetületi redukció 1 km távolságra vonatkozó értéke mindenki számára egyforma, holott a vetületi redukció amellett, hogy a vetület típusától függ, a hely (a koordináták) függvénye is; a különböző feladatkiírásokban szereplő munkaterületeken tehát nem (vagy csak kivételesen) lehetne egyforma. Az egységes vetületi redukció megadásával kényelmetlen számításoktól szeretnénk megkímélni a hallgatókat (és persze az ellenőrzés is gyorsabb ebben az esetben). Tájékoztatásul röviden ismertetjük az egyébként követendő eljárást: 1.

Kiválasztjuk a munkaterületet határoló alappontokat: a mintapéldában K és V, a házi feladatban A, B és C. Minthogy a pontok közötti távolság 5 kmnél nem nagyobb, a munkaterületen a hossztorzulási tényező értéke a határoló pontokra kiszámítható lineármodulusok középértéke lesz.

2.

Szakkönyvből kikeressük a lineármodulus számítási képletét az adott vetületre vonatkozóan. A lineármodulus a hely függvénye: sztereografikus vetületen a pont és a vetületi kezdőpont távolságától függ, érintő hengervetületen az x koordináta abszolút értékétől, metsző hengervetületen az m0 vetületi méretarány-tényezőtől és x abszolút értékétől (a két hengervetület képletében x páros kitevőjű hatványai szerepelnek).

3.

A képlet segítségével kiszámítjuk a lineármodulus értékét a munkaterületet határoló alappontokban; az m hossztorzulási tényező a lineármodulusok középértéke lesz. Ügyeljünk arra, hogy ha az egységes országos vetületen (EOV) dolgozunk, akkor a lineármodulusok értékének kiszámításához az eredeti (eltolás előtti) x koordinátákat kell a képletbe helyettesíteni: x = X – 200 000 m.

4.

Az m hossztorzulási tényező az egységhez közeli értékű viszonyszám, amellyel az alapfelületi távolságot megszorozva a vetületi távolságot kapjuk. Ha valami okból (pl. az alapfelületi és a vetületi redukció összevonása miatt) ki akarjuk számítani a vetületi redukció 1 km távolságra jutó értékét, akkor vet. red. [mm/km] = (m − 1) ⋅106 . A mintapélda esetében m = 0,999 938 és vet. red. = –62 mm/km.

A mintapéldában a negatív előjelű vetületi redukció azt mutatja, hogy a (közelebbről meg nem nevezett) vetület süllyesztett képfelületű ún. redukált vetület: ilyen az EOV is. Ami az adott pontok koordinátáit illeti, a mintapélda alappontjainak koordinátái akár „eltolás előtti” x, y EOV koordinátáknak is tekinthetők, megjegyezve, hogy az alappontok adattárban őrzött törzslapján csak az „eltolás utáni” X, Y koordináták szerepelhetnek: Y = y + 650 000 m;

5


X = x + 200 000 m. Az „eltolás előtti” x koordinátákból itélve a pontrendszer közel van a segédegyenlítőhöz (a távolság 8-9 km), ez nagyjából összhangban van a vetületi redukció –62 mm/km értékével (a hosszrövidülés a segédegyenlítőn a legnagyobb: –70 mm/km). A házi feladatban az ismert pontok koordinátái „EOV-jellegűek”, de a feladatonként változó helyzetű pontrendszer koordinátái nincsenek összhangban a vetületi redukció valamennyi feladatban állandó értékével. A mintapélda és a házi feladat eltéréseként meg kell említsük, hogy a házi feladat három része ugyanazon a munkaterületen oldandó meg, míg a mintapélda esetében csak a 2. és a 3. feladat munkaterülete kapcsolódik egymáshoz, az 1. feladat független a másik kettőtől.

6

1. feladat

Alappontsűrítés sokszögeléssel, magassági vonal számítása, poláris pontmeghatározás

.. .. .. .. ..

Az adott pontok felhasználásával, valamint a mellékelt mérési jegyzőkönyvek segítségével határozzuk meg: ♦

a K és V ismert pontok között vezetett és mindkét végpontján tájékozott (K kezdőpontjában magasponthoz csatlakozó) sokszögvonal 1 és 2 pontjának vízszintes koordinátáit;

♦

ugyanezen sokszögvonal ugyanezen pontjainak vízszintes koordinátáit, ha a vonal csak a V pontján tájékozott;

♦

ugyanezen sokszögvonal ugyanezen pontjainak koordinátáit, ha a vonal egyik végpontján sem tájékozott;

♦

a sokszögpontok magasságát a sokszögvonalnak megfelelően vezetett M–V magassági vonalból;

♦

a 2 sokszögpontból poláris pontként meghatározott 21 és 22 pontok vízszintes koordinátáit és magasságát.

Tudnivalók a megoldáshoz: 1.

A vetületi távolságok kiszámításához ♦

az alapfelületi redukció képletében elegendő a munkaterület átlagos tengerszint feletti magassága (méterre kerekített) értékével H számolni: ∆g = − átl ⋅ tv , ahol az R átlagos Földsugár értéke R 6 380 km.

♦

a vetületi redukció átlagos értéke a munkaterületen 1 km távolságra –62 mm.

2.

A magasságkülönbségek kiszámításakor a Földgörbület és a refrakció 2 együttes hatása (méterben) : + 0,068 ⋅ (tv [km ]) ; 0,4 km-nél rövidebb távolságokra a hatás 1 cm-nél kisebb, ezért nem szokás kiszámítani.

3.

Az ötödrendű magassági vonal záróhibájának megengedett értéke Σt ∆eng = 16 ⋅ , ahol Σt a vonal hossza kilométerben, n az oldalak száma. n A megengedettnél nem nagyobb záróhibát az oldalhosszak négyzetével arányosan kell elosztani.

4.

A mindkét végpontján csatlakozó és mindkét végpontján tájékozott ötödrendű sokszögvonal szögzáróhibájának megengedett értéke szögmásodpercben dβ eng = 28 + 2n , ahol n a törésszögek száma. A megengedettnél nem nagyobb szögzáróhibát a törésszögekre egyenlően kell elosztani.

7


5.

A mindkét végpontján csatlakozó és mindkét végpontján tájékozott ötödrendű sokszögvonal koordináta-záróhibákból számított lineáris záróhibájának megengedett értéke centiméterben d eng = 10 + 10Σt , ahol Σt a sokszögvonal hossza kilométerben. A csak a kezdőpontján tájékozott sokszögvonal megengedett lineáris záróhibája ezen érték 1,2-szerese, míg a tájékozás nélküli (beillesztett) sokszögvonal záróhibája – ha a hosszváltozást az m méretarányszorzóval nem vesszük figyelembe – a képletből kiszámítható érték 0,8-szerese.

A feladat megoldása A koordináta-jegyzék „meghatározott pontok” részében helyet biztosítunk az 1, a 2, a 21 és a 22 pontok vízszintes koordinátáinak és magasságának.

Koordináta-jegyzék a pont neve/száma

megjelölése

Y [m]

X [m]

M [m]

Felhasznált alappontok K

torony

–1 234,56

+7 890,12

–

V

kő

–3 229,86

+9 045,01

147,57

A

torony

–2 171,00

+10 040,76

–

B

torony

–2 430,99

+7 639,83

–

M

falicsap

–

–

95,432

Meghatározott pontok 1

kő

–2 053,19

+8 239,56

112,64

2

kő

–2 610,04

+8 764,84

127,75

21

kő

–2 399,64

+8 661,09

121,46

22

kő

–2 703,36

+8 575,61

126,40

Megjegyzés: a M falicsap ugyanannak a templomnak a bejárata mellett van, amelynek tornya a K pont A szögmérési jegyzőkönyvben kiszámítjuk az irányértékeket (elvileg úgy, hogy a két távcsőállásban kapott vízszintes körleolvasások átlagát 90°-kal megváltoztatjuk, gyakorlatilag úgy, hogy az I. távcsőállásban kapott fok-értékhez hozzáadjuk a perc- és a másodperc-értékek számtani közepét) és a zenitszögeket (kiírjuk a két távcsőállásban kapott magassági körleolvasások összegét, majd megfelezzük a „360° mínusz összeg” eltérést, végül az eltérés felét előjelhelyesen összevonjuk az I. távcsőállásban kapott magassági körleolvasással). Ugyanebben a jegyzőkönyben redukáljuk a ferde távolságokat a vízszintesre, rendre megszorozva azokat a megfelelő zenitszög színuszával. Ezután következik a vetületi távolságok kiszámítása. Kiszámítjuk a munkaterület átlagos tengerszint feletti magasságát (az M és a V pontok magasságának átlaga kb. 121 méter), az 1 km H távolságra eső átlagos redukciót az alapfelületre: ∆g = − átl ⋅ tv , ahol R = 6 380 km; tv=1km; R

8


a redukció értéke –19 mm. A vetületi redukció átlagos értéke a munkaterületen –62 mm/km, így a redukciók összege Σred = –81 mm/km

Szögmérési és távmérési jegyzőkönyv á.p.

Ir. p.

vízszintes

I.

h

H

körleolv.

II.

S

1

97–24–18

irányérték

magassági I. körleolv.

II.

zenitszög z

távolság ferde

vízszintes

1 045,902

1 045,830

765,802

765,657

680,617

680,331

234,678

234,608

211,011

211,010

891,081

890,925

97–24–08

277–23–59 K

155–43–29

155–43–21

335–43–13 1

A

1,48

6–53–45

6–53–38

186–53–31 K

123–45–10

123–45–01

303–44–52 S

154–02–13

1,42

334–01–53

2

323–57–45

1,44

143–57–25

2

1

222–33–52

1,44

1,48

42–33–37

V

23–33–45

1,45

203–33–19

21

205–29–05

2,00

V

323–57–35

222–33–44

23–33–32

205–28–57

25–28–45

22

295–29–10

2,00

115–28–55

A

38–09–11

2

105–43–13

1,44

285–42–53

B

141–46–40

1,45

154–02–03

295–29–02

90–39–59

90–40–15

269–19–29

(359–59–28)

88–52–55

88–53–10

271–06–35

(359–59–30)

91–07–43

91–07–59

268–51–45

(359–59–28)

88–20–04

88–20–21

271–39–22

(359–59–26)

91–23–45

91–24–00

268–35–45

(359–59–30)

90–12–34

90–12–50

269–46–54

(359–59–28)

91–39–58

91–40–15

268–19–28

(359–59–26)

91–04–01

91–04–19

268–55–23

(359–59–24)

38–09–00

218–08–49 105–43–03

141–46–28

321–46–17 1

M

1,48

2,00

A következő lépés a magasságkülönbségek kiszámítása. A táblázatban szereplő adatok közül az ismertek a szögmérési jegyzőkönyvből származnak; a Földgörbület és a refrakció együttes t2 hatása v ⋅ (1 − k ) , ahol R = 6 380 km a közepes Földsugár, k = 0,13 a refrakció-együttható 2R szokásos értéke, így a hatás méterben + 0,068 ⋅ (tv [km ])2 ; 0,4 km-nél rövidebb távolságokra nem számítjuk az értékét. A magasságkülönbség: m = h − H + tv ⋅ cot z + 0,068 ⋅ (tv [km])2 .

9


Vetületi távolságok ponttól

pontig

1

2

vízsz. táv. [m]

Σred. [mm]

vetületi táv. [m]

M

890,925

–72

890,853

S

1 045,830

–85

1 045,745

2

765,657

–62

765,595

V

680,331

–55

680,276

21

234,608

–19

234,589

22

211,010

–17

210,993

Magasságkülönbségek Álláspont

Irányz. pont

h [m]

H [m]

1

M

1,48

1

2

1,48

2

1

2

0,068 t2 [m]

vízsz. táv. tv [m]

zenitszög z

mag. kül. m [m]

2,00

890,925

91–04–19

+0,05

–17,14

1,44

765,657

88–53–10

+0,04

+14,97

1,44

1,48

765,657

91–07–59

+0,04

–15,14

V

1,44

1,45

680,331

88–28–21

+0.03

+19,75

V

2

1,45

1,44

680,331

91–40–15

+0,03

–19,81

2

21

1,44

2,00

234,608

91–24–00

–

–6,29

2

22

1,44

2,00

211,010

90–12–50

–

–1,35

Ezután összeállítjuk a magassági vonalat. Az M–V számítási irány felvétele után „oda” magasságkülönbségek lesznek mindazok, amelyek a számítás irányába esnek, „vissza” magasságkülönbségek lesznek a számítás irányával ellentétesek. A „közép” magasságkülönbség számítása előtt a „vissza” magasságkülönbségek előjelét meg kell változtatni; ha „oda” magasságkülönbség is van, a „közép” a két érték átlaga lesz.

Magassági vonal pont

magasságkülönbség m [m] oda

vissza

közép

javítás [m]

vízsz. táv. tv [km]

(tv)2

95,43

M –

–17,14

+17,14

+0,07

0,89

0,79

(+17,21)

+14,97

–15,14

+15,06

+0,05

0,77

0,59

(+15,11)

112,64

1

127,75

2 +19,75 V

mag. M (mag. kül m) [m]

–19,81

+19,78

+0,04

0,68

0,46

(+19,82)

+51,98

+0,16

2,34

1,84

147,57 V–M = +52,14

∆ = +0,16 ∆ = 16 cm < ∆eng = 22 cm

10


Σt képlettel számítandó, ahol Σt a vonal hossza n kilométerben, n az oldalak száma. A megengedettnél nem nagyobb záróhibát az oldalhosszak négyzetének arányában kell elosztani.

A záróhiba megengedett értéke a ∆eng = 16 ⋅

A 2 sokszögpont magasságának ismeretében kiszámíthatjuk a 21 és a 22 pontok magasságát is. Az eredményeket beírjuk a koordináta-jegyzék megfelelő helyére.

21 és 22 magassága ponttól

pontig

mag. kül. m [m]

magasság M [m] 127,75

2 21

–6,29

121,46 127,75

2 22

–1,35

126,40

A későbbiekben egy-egy irányszögre vagy távolságra többször is szükségünk lehet, ezért érdemes az irányszög- és távolságszámítások eredményét külön jegyzőkönyvben rögzíteni.

Irányszögek és távolságok pontról

pontra

távolság [m]

irányszög

K

A

2 345,67

336–28–14

V

A

1 453,51

46–45–34

V

B

1 616,39

150–22–52

2

1

765,51

133–19–44

2

V

680,20

294–19–26

K

V

2 305,427

300–03–45

Ezután következik a csatlakozás a magasponthoz. A sokszögvonal K kezdőpontja ún. magaspont: torony. A szögmérési jegyzőkönyvből látható, hogy a kezdőponttal szomszédos 1 sokszögpontból mérhető az A ismert pontra mutató irány. A magasponthoz való csatlakozáshoz szükséges a t K 1 távolság és a β K kezdőponti törésszög. A távolság (az első sokszögoldal hossza) az S segédpont felvétele után a KS1 háromszög megoldásával határozható meg. A háromszögben meg kell mérni a t1S távolságot továbbá a két „földi” ponton keletkezett KS1 és S1K szögeket; a távolságot redukálni kell a vetület síkjára. Egyetlen tájékozó irány esetében és a kezdőponti törésszög szokásos értelmezése szerint (a törésszög baloldali szára párhuzamos a +x tengellyel) a törésszöget a K1A háromszög megoldása után irányszögátvitellel számíthatjuk ki. A háromszögben ismert két oldal hossza (a korábban már kiszámított t K 1 távolság és az irányszög- és távolságszámításból adódó t KA távolság), valamint a nagyobbikkal szemközti η szög, színusztétellel kiszámítható tehát a másik ismert oldallal szemközti ε szög, majd a háromszög harmadik szöge, a K csúcspontú ξ szög. Ennek a szögnek az egyik (nem

11


feltétlenül a jobboldali!) szára a KA irány, amelynek irányszögét a t KA távolsággal együtt már kiszámítottuk. A ξ szög másik szára az a K1 irány, amely egyúttal a kezdőponti törésszög jobboldali szára. A kezdőponti törésszög szokásos értelmezése szerint a β K törésszög egyúttal a K1 első sokszögoldal δ K′ 1 tájékozott irányértéke, amely a δ KA irányszög és a K1A háromszög K csúcsánál lévő ξ szög ismeretében irányszögátvitellel kiszámítható. Készítsünk ábrát! A számításokat megkönnyíti a magasponthoz való csatlakozásról készített vázlat. Ne törekedjünk arra, hogy a vázlaton a +x tengellyel párhuzamos egyenes a lap hoszszanti élével párhuzamosan „felfelé” mutasson. Érjük be annyival, hogy a szögeket és a távolságokat nagyjából arányosan feltüntető vázlaton be tudjuk jelölni a +x tengely irányát. A sokszögvonalról később készítendő vázlaton azután a magasponthoz csatlakozás ábráját el tudjuk forgatni a szükséges mértékben addig, ameddig a +x tengely iránya „szokásos” helyzetébe nem kerül. Mielőtt hozzáfognánk a vázlat elkészítéséhez, számítsunk ki néhány szöget és távolságot. Vegyük szemügyre a szögmérési jegyzőkönyvet. Amíg nincs előttünk az ábra, nem tudhatjuk, hogy melyik az éppen keresett szög jobboldali szára (a szögek kiszámításakor a jobboldali szögszár irányértékéből kell a baloldali szögszár irányértékét levonni). Azt azonban tudjuk, hogy ha a keresett szög egy háromszög belső szöge, akkor legfeljebb tompaszög lehet, a kivonás eredménye tehát minden esetben 180°-nál kisebb szög kell legyen. (Ha valamelyik kivonás negatív eredményt adna, a kisebbítendőhöz 360°-ot hozzá kell adni.) A keresett szögek és távolságok: S1K szög

1S = –1K =

154–02–03 123–45–01 30–17–02

KS1 szög

SK = –S1 =

155–43–21 97–54–08 58–19–13

A két szög összege (amelynek színusza egyenlő a harmadik szög színuszával): 88–36–15 A keresett t K1 távolság (az első sokszögoldal hossza): t K1 = 1045,745 ⋅

sin (58 − 19 − 13) = 890,190 m sin (88 − 36 − 15)

A K1A háromszögben irányszög- és távolságszámításból: t KA = 2345,67 m; δKA = 336 − 28 − 14

A K1A szög = η

1K = 1A =

123–45–01 6–53–38 116–51–23

 890,19  A keresett ε szög színusztételből: ε = arcsin ⋅ sin (116 − 51 − 23) = 19 − 47 − 23  2345,67 

A háromszög harmadik szöge: ξ = 180° − (η + ε ) = 43 − 21 − 14 . A KS1 háromszög megoldása után hozzákezdhetünk a vázlat elkészítéséhez. Vegyük fel önkényesen „vízszintes” irányúnak a K1 szakaszt úgy, hogy a K magaspont a szakasz baloldali végpontja legyen. Az S1K szögnek 1K a baloldali szára, az 1S irányt tehát úgy kapjuk, hogy az 1 pontban az 1K iránnyal kb. 30°-os szöget bezáró félegyenest rajzolunk. A két szög össze-

12


géből látjuk, hogy a háromszög harmadik szöge, amelynek csúcspontja a K pont, valamivel nagyobb 90°-nál (kb. 91,5°; a háromszög kialakításánál törekedni kell a közel merőleges metsződésre), így ezt a félegyenest is megrajzolhatjuk. A két félegyenes metszéspontja lesz az S pont. A K1A háromszög megrajzolásakor vegyük figyelembe, hogy az 1A félegyenes az 1 pontban lévő kb. 117°-os szög baloldali szára, amely tehát megrajzolható. A K pontból kiinduló KA félegyenes a K pontban lévő kb. 43,5°-os szög jobboldali szára, amely szintén megrajzolható. Ha a rajzunk arányhelyes, a két félegyenes A metszéspontja (nem kell megkeresni!) kb. két és félszer akkora távolságra lesz a K ponttól, mint az 1 pont (a korábbi számítások eredményeiből adódik, hogy a megfelelő oldalak aránya, illetve a megfelelő szögek színuszainak aránya 2,64). Most már megkereshetjük a K pontban a +x tengellyel párhuzamos egyenes irányát. A legegyszerűbb, ha abból indulunk ki, hogy a δ KA irányszög kb. 336,5°, a +x tengellyel párhuzamos egyenes irányszöge pedig 0°. A KA baloldali szögszárhoz képest a +x tengellyel párhuzamos egyenes tehát egy kb. 23,5°-os szög jobboldali szára. Végül számítsuk ki az első sokszögoldal δ K′ 1 tájékozott irányértékét. Az irányszögátvitel szerint δ K′ 1 = δ KA − ξ = (336 − 28 − 14) − (43 − 21 − 14) = 293 − 07 − 00 ≡ β K Ellenőrzésül nézzük meg, hogy a vázlaton először megrajzolt K1 egyenes, mint jobboldali szögszár valóban kb. 293°-os szöget zár-e be a vázlaton utoljára megrajzolt és a +x tengellyel párhuzamos egyenessel (1.1 ábra). A következő lépés a törésszögek kiszámítása. A számítás módja a szögmérési jegyzőkönyvből értelemszerűen adódik, mihelyt felvettük a számítás irányát. Legyen a számítás iránya a magassági vonal számításával egyezően K–V, ekkor ♦

az 1 pontbeli törésszögnek 12 a jobboldali, 1K pedig a baloldali szára: β 1 = 12 − 1K = (323 − 57 − 35) − (123 − 45 − 01) = 200 − 12 − 34

♦

a 2 pontbeli törésszögnek 2V a jobboldali, 21 pedig a baloldali szára: β 2 = 2V − 21 = (383 − 33 − 32) − (222 − 33 − 44) = 160 − 59 − 48

A végponti törésszög szokásos értelmezése szerint a törésszög jobboldali szára a +x tengelylyel párhuzamos félegyenes, baloldali szára pedig az utolsó sokszögoldal V2 félegyenese. Más szavakkal: a végponti törésszög az utolsó sokszögoldal δ V′ 2 tájékozott irányértékét 360°-ra kiegészítő szög: βV = 360° − δ V′ 2 . A δ V′ 2 tájékozott irányérték kiszámításához a V végponton mért iránysorozatot tájékozni kell. Ehhez ki kell számítani a V pontból az A és B ismert pontokra mutató irányok irányszögét és a távolságokat. A két ismert pontra a megfelelő irányszögek és irányértékek különbségeként egy-egy tájékozási szöget számítunk. A két tájékozási szög távolság szerint súlyozott számtani középértéke lesz az ún. középtájékozási szög, amelyet az ismeretlen 2 pontra vonatkozó irányértékhez hozzáadva megkapjuk a keresett δ V′ 2 tájékozott irányértéket. Ezt az értéket 360°-ra ki kell egészíteni ahhoz, hogy megkaphassuk a sokszögvonal β V végponti törésszögét.

13


S

10 45 ,74 5m

βK ≡ d´K1

~ 91,5° ~ 30°

tK1 K

1 η ~ 117°

ξ ~ 43,5°

~ 23,5°

t KA ε

II +x

A

1.1 ábra. Csatlakozás a magasponthoz (vázlat)

A

A V végponton mért iránysorozat tájékozása (irányszögek és távolságok a megfelelő jegyzőkönyvből) álláspont

ir. pont

V

A

38–09–00

46–45–34

8–36–34

2

105–43–03

(114–19–32)

(8–36–29)

B

141–46–28

150–22–52

8–36–24

irányérték

irányszög v.

tájékozási v.

(tájék. ir. ért.)

(középtájék.) szög

táv. [km] 1,45

1,62

A tájékozás végeredménye: δ V′ 2 = 114 – 19 – 32, így βV = 245 – 40 – 28

A számítás a sokszögpontok koordinátáinak kiszámításával folytatódik. A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal pontjai koordinátáinak kiszámítása előtt nem árt, ha vázlatot készítünk a sokszögvonalról. Megegyezés szerint a +x tengely irányát a lap hosszanti élével párhuzamosnak tekintjük. A két sokszögponton mért törésszög kb. 200° ill. 160°, tehát a vonal nyújtottnak tekinthető, így irányát az első sokszögoldal tájékozott irányértéke (a kezdőpontbeli törésszög) nagyjából meghatározza. Ez a szög kb. 293°, ami azt jelenti, hogy a K kezdőpontot a lap jobboldalán kell felvenni, mert a vonal „jobbról balra” halad. Az oldalhosszak és a törésszögek arányos felvételével eljuthatunk a V végpontig, ahol ellenőrizhetjük a β V végponti törésszöget. Ezután a vonalat kiegészíthetjük a tájékozó irányokkal és a magasponthoz való csatlakozás kellően elforgatott ábrájával is (1.2 ábra).

14


II +x A A V

t2V ~

680

m

2 β2 ~ 160° t1 2 ~ 76 0 m

βV = 360° – δ´V2 ~ 245°

II +x 1

B

tK ~ 1 890

m

β1 ~ 200° K βK = δ´K1 ~ 293° S

1.2 ábra. A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal vázlata

A kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal számításakor egy szögfeltétel és két koordináta-feltétel írható fel. A szögfeltétel szerint a törésszögek összege egy (n + 1) szög belső vagy külső szögeinek összege (esetünkben külső szögeké), de ennek nincs különösebb jelentősége, mert a szögfeltételt úgy is átfogalmazhatjuk, hogy a törésszögek összege 180° egész számú többszöröse kell legyen. Az alappontok kerethibája és a szögmérés hibái miatt a szögfeltétel nem teljesül maradéktalanul: a sokszögvonalnak szögzáróhibája van, amelynek megengedett értéke szögmásodpercben (28 + 2n), ahol n a törésszögek száma. A megengedett értéket meg nem haladó szögzáróhibát a törésszögekre egyenlően kell elosztani. A számítást célszerű táblázatban végezni, amelynek első oszlopába beírjuk a számítás iránya szerint a sokszögvonal pontjait, utolsó két oszlopának megfelelő helyére pedig a K kezdőpont és a V végpont koordinátáit. Ezután a táblázat megfelelő oszlopában a megfelelő helyre bemásoljuk a törésszögeket. A kitöltött táblázatból látható, hogy a kezdőponti törésszög a kezdőpont utáni sorba kerül, mert ez a törésszög határozza meg a következő sokszögoldal (a törésszög jobboldali szára) tájékozott irányértékét, amelytől a következő sokszögpont koordinátája függ. A törésszögek beírása után a következő törésszög-helyre beírjuk a törésszögek összegét, alatta beírjuk az összeg „kell” értékét (a 180° megfelelő egész számú többszörösét), alatta kiszámítjuk a dβ szögzáróhibát (kell mínusz van) és feltüntetjük a szögzáróhiba megengedett értékét. A szögzáróhibát valamennyi törésszögre egyenlően osztjuk el. Ha a szögzáróhiba számértéke nem egész számú többszöröse a törésszögek számának, akkor a hányados le- és felkerekítésével úgy számítjuk ki az egyes törésszögek javítását, hogy azok összege egyenlő legyen a szögzáróhibával. A javításokat előjelükkel együtt a törésszögek másodperc-értéke fölé írjuk. A szögzáróhiba helyes kiszámítását és elosztását úgy ellenőrizhetnénk, hogy összeadjuk a javított törésszögeket: az összeg a 180° egész számú többszöröse kell legyen. Helyette a számítás következő lépését használjuk ellenőrzésül. Képzeljük el a sokszögvonalat, mint vektorsokszöget egymáshoz illeszkedő végpontokkal; a nyílhegyek a számítás irányába mutatnak. A vektorsokszög első vektora az x tengellyel párhuzamos és a K kezdőpontra mutat: ez a –x tengellyel párhuzamos irány, amelynek irányszöge 180°, ezt az értéket tájékozott irányértékként

15


beírjuk a K pont sorába. A vektorsokszög utolsó vektora az x tengellyel párhuzamos, és a V végpontból mutat „felfelé”: ez a +x tengellyel párhuzamos irány, amelynek irányszöge 0°; ezt az értéket kell kapjuk utolsó tájékozott irányértékként. A vektorsokszög bármelyik elemét az azt megelőzőből a következőképpen állíthatjuk elő: a megelőző vektor irányát ellenkezőjére változtatjuk (azaz ún. irányszögátvitellel a sokszögoldal tájékozott irányértékét 180°-kal megváltoztatjuk), majd az új értékhez hozzáadjuk a két vektor csatlakozási pontjában (a megfelelő sokszögpontban) megmért és a szögzáróhiba arányos részével megjavított törésszöget. Ily módon az első (180°-os) tájékozott irányértékből n darab irányszögátvitel végrehajtása és n darab törésszög hozzáadása után utolsó tájékozott irányértékként pontosan zérust kell kapjunk. Számítás közben az egyes tájékozott irányértékeket beírjuk a jegyzőkönyv megfelelő helyére. A vetületi távolságokat úgy írjuk be, hogy azok egy sorba kerüljenek a megfelelő sokszögoldal tájékozott irányértékével. Ezzel minden készen áll a két koordináta-feltétel felírásához. A két koordináta-feltétel szerint hibátlan mérés és kerethibától mentes alappontok esetében a sokszögoldalak koordinátatengely-irányú vetületének összege meg kell egyezzen a kezdő- és a végpont megfelelő koordinátáinak különbségével, azaz Σ∆y = yV − y K és Σ∆x = xV − xK . Az egyes oldalvetületeket az ellenőrzött tájékozott irányértékekből és a vetületi távolságokból számítjuk ki (érdemes a poláris → derékszögű koordináta-átszámítás fix programját használni). A jegyzőkönyv utolsó két oszlopának alján kiszámítjuk a „végpont mínusz kezdőpont” koordináta-különbségeket, majd összeadjuk a ∆y valamint a ∆x oldalvetületeket. A mérési hibák és a kerethiba miatt a koordináta-feltételek nem teljesülnek, két koordinátazáróhiba keletkezik. Kiszámítjuk a dy = ( yV − y K ) − Σ∆y és dx = (xV − xK ) − Σ∆x záróhibákat, majd a d = dy 2 + dx 2 lineáris záróhibát, (megengedett értéke d eng [cm] = 10 + 10Σt ), ahol Σt a sokszögvonal hossza kilométerben. A megengedettnél nem nagyobb lineáris záróhiba összetevőit a sokszögoldalak hosszának arányában osztjuk el az egyes oldalvetületekre. A javításokat úgy kell kerekíteni, hogy azok összege a megfelelő koordináta-záróhiba pontos értékét adja ki, ezt érdemes ellenőriznünk. Ezután az oldalvetület és javítása előjeles összegeként kiszámítjuk és a jegyzőkönyv megfelelő helyére beírjuk a javított oldalvetületeket. A sokszögpontok koordinátáit a javított oldalvetületekkel a kezdőponttól a végpont felé haladva folyamatos összegzéssel számítjuk ki. Ellenőrzésül a V végpont koordinátáit is kiszámítjuk; ezek pontosan meg kell egyezzenek a végpont ismert koordinátáival. Megjegyezzük még, hogy a kerekítési hibák csökkentése érdekében az oldalvetületeket és a koordinátákat milliméter élességgel számítjuk ki, de a koordináta-jegyzékbe az új pontok koordinátáinak centiméterre kerekített értéke kerül. A sokszögpontok koordinátáinak ismeretében kiszámíthatjuk a 2 sokszögponton poláris pontként meghatározott 21 és 22 pontok vízszintes koordinátáit (a két pont magasságát már kiszámítottuk). Első lépésként tájékoznunk kell a 2 sokszögponton mért iránysorozatot. Ilyen feladatot a V végponton mért iránysorozat tájékozásakor már megoldottunk.

16


Kétszeresen csatlakozó és kétszeresen tájékozott sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása. pont

K

törésszög

vetületi távolság

tájék. ir. ért

293 – 07 – 00

890,190

293 – 07 – 02 +3

200 − 12 − 34 2

765,595

313 – 19 – 39 +3

160 − 59 − 48 V

javítás

javított ∆y

javított ∆x

∆y

∆x

y

x

180 – 00 – 00 +2

1

javítás

680,276

294 – 19 – 30 +2

245 − 40 − 28

~ 2 336 m

–1 234,560

+7 890,120

+0,084

–0,058

–818,627

+349,443

–818,711

+349,501

–2 053,187

+8 239,563

+0,073

–0,049

–556,854

+525,277

–556,927

+525,326

–2 610,041

+8 764,840

+0,065

–0,044

–619,819

+280,170

–619,884

+280,214

–3 229,860

+9 045,010

–1 995,522

+1 155,041

–1 995,300

+1 154,890

000 – 00 – 00

+1 995,522

–1 155,041

Σβ

899 – 59 – 50

dy = +0,222

dx = –0,151

kell

900 – 00 – 00

d = 0,222 2 + 0,1512 = 0,268 m

dβ = + 10 ′′ < dβ eng = 3 6 ′′

d = 0,268 m < d eng = 0,333 m

A 2 ponton mért iránysorozat tájékozása álláspont

ir. pont

irányérték

irányszög v.

tájékozási v.

(tájék. ir. ért.)

(középtájék.) szög

táv. [km]

2

1

222–33–44

133–19–44

270–46–00

0,77

V

23–33–32

294–19–26

270–45–54

0,68

21

205–28–57

(116–14–54)

(270–45–57)

22

295–29–02

(206–14–59)

(270–45–57)

A 21 és 22 pontok koordinátáinak számítási módjával is találkoztunk már a sokszögpontok koordinátáinak kiszámításakor: A tájékozott irányértékeket az iránysorozat tájékozása jegyzőkönyvből, a vetületi távolságokat az azonos című jegyzőkönyvből vettük át. Az oldalvetületek értékét centiméterre kerekítettük. Felhívjuk a figyelmet, hogy a 21 és 22 pont koordinátáinak számítására nincs ellenőrzésünk. Az állami földmérés nem enged meg ilyen pontmeghatározást. A pontok helyét úgy kell(ett volna) megválasztani, hogy azokról legalább egy további alappont (a 2 sokszögponton kívül) látható és irányozható legyen. A koordináták kiszámítása után a két új ponton mért iránysorozatot tájékozni kell, és az irányeltérések minősítik a meghatározás pontosságát. Esetünkben a pontmeghatározás „sajátos célú” (a pontok nem állami alappontok, iránymérést sem végeztünk az új pontokon, ezért beérhetjük azzal, hogy a számítást egymástól függetlenül kétszer végezzük el. Egyező eredmények esetén a koordinátákat átírjuk a koordináta-jegyzék „meghatározott pontok” elnevezésű részébe.

17


A 21 és 22 pontok koordinátáinak kiszámítása pont

tájék. ir. ért.

vetületi táv. [m]

y vagy ∆y

x vagy ∆x

–2 610,04

+8 764,84

+210,40

–103,75

21

–2 399,64

+8 661,09

2

–2 610,04

+8 764,84

–93,32

–189,23

–2 703,36

+8 575,61

2

116–14–54

206–14–59

234,589

210,993

22

*

*

*

A feladatkiírás szerint a sokszögpontok koordinátáit egy olyan sokszögvonalból is ki kell számítanunk, amely csak a V pontjában tájékozott. Ez egy olyan kétszeresen csatlakozó egyszeresen tájékozott sokszögvonal, amelynek kezdőpontja V, végpontja pedig K. A kezdőpont és a végpont felcserélése miatt ellentétes lesz a számítás iránya, és az új törésszögek a korábbi törésszögek 360°-ra kiegészítői lesznek: ♦

a kezdőpontbeli törésszög βV = δ V′ 2 = 114 − 19 − 32

♦

a 2 pontbeli törésszög β 2 = 360° − (160 − 59 − 48) = 199 − 00 − 12

♦

az 1 pontbeli törésszög β 1 = 360° − (200 − 12 − 34 ) = 159 − 47 − 26

♦

a végponton nincs tájékozás, tehát törésszög sem számítható.

A számítás a következőkben tér el a kétszeresen tájékozott sokszögvonal számításának már megismert módjától: ♦

a végponton nincs tájékozás, tehát nincs szögfeltétel és szögzáróhiba sem számítható;

♦

a lineáris záróhiba megengedett értéke a megfelelő kétszeresen tájékozott sokszögvonalra vonatkozó érték 1,2-szerese.

A meghatározott sokszögpontok koordinátáit nem kell kiírni, érdemes azonban összehasonlítani azokat a kétszeresen tájékozott sokszögvonal számításából kapott megfelelő koordinátákkal. Az összehasonlításból kitűnik, hogy a legnagyobb eltérés mindössze 12 mm.

18


Kétszeresen csatlakozó és V „kezdőpontján” tájékozott sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása pont

törésszög tájék. ir. ért


javítás

javítás

javított ∆y

javított ∆x

∆y

∆x

y

x

180–00–00

V

114–19–32 114–19–32

2

199–00–12 133–19–44

1

159–47–26 113–07–10

K

680,276

765,595

890,190 ~ 2 336 m

–3 229,860

+9 045,010

–0,056

+0,059

+619,825

–280,161

+619,881

–280,220

–2 610,035

+8 764,849

–0,063

+0,066

+556,851

–525,274

+556,914

–525,340

–2 053,184

+8 239,575

–0,073

+0,077

+818,624

–349,455

+818,697

–349,532

–1 234,560

+7 890,120

+1 995,492

–1 155,092

+1 995,300

–1 154,890

–1 995,492

+1 155,092

dy = –0,192

dx = +0,202

d = 0,279 m < d eng = 0,400 m

*

*

*

A feladatkiírás szerint a sokszögpontok koordinátáit egy olyan sokszögvonalból is ki kell számítanunk, amely egyik végpontján sem tájékozott. Az ilyen ún. beillesztett sokszögvonal pontjainak koordinátái többféleképpen is kiszámíthatók. Legyen a számítás iránya az eredeti K–V. A beillesztett sokszögvonal K kezdő- és V végpontjának koordinátái ismertek, kiszámíthatjuk tehát a két pont közötti ún. záróoldal δ KV irányszögét és t KV hosszát. Ezután számítsuk ki a vonalat ún. szabad sokszögvonalként. A szabad sokszögvonal neve onnan ered, hogy az első sokszögoldal irányát nem köti semmi, azt szabadon választhatjuk meg. Vegyük fel önkényesen az első sokszögoldal irányát a +x tengellyel párhuzamosan, az első sokszögoldal tájékozott irányértéke tehát 0–0–0. A törésszögek ismeretében a további sokszögoldalak tájékozott irányértéke az ismert módon kiszámítható, és kiszámíthatók az oldalvetületek is, amelyeket előjelhelyesen a K kezdőpont ismert koordinátáihoz adva megkapjuk a (V) előzetes végpont koordinátáit. Az (1) és (2) előzetes sokszögpontok koordinátáira nincs szükségünk. A (V) előzetes végpont koordinátáinak ismeretében kiszámíthatjuk a (V) előzetes végpontra vonatkozó záróoldal δ K (V ) irányszögét és t K (V ) hosszát is. Hasonlítsuk össze a két értékpárt: ♦

a (V) előzetes végpontra vonatkozóan: δ K (V ) = 6 − 56 − 42; t K (V ) = 2305,695 m

♦

a V végleges végpontra vonatkozóan: δ KV = 300 − 03 − 45; t KV = 2305,427 m

19


Beillesztett sokszögvonal: a (V) előzetes végpont koordinátáinak kiszámítása pont



K

(1)

0–00–00 200–12–34

(2)

20–12–34 160–59–18

(V)

1–12–22

∆y

∆x

y

x

–1 234,560

+7 890,120

0

+890,190

–

–

+264,477

+718,462

–

–

+14,319

+680,125

–955,764

+10 178,897

890,190

765,595

680,276

Az előzetes → végleges átszámításhoz valamennyi tájékozott irányértéket ϕ szöggel meg kell változtatni, ahol ϕ = δ KV − δ K (V ) = 293 − 07 − 03 , és valamennyi oldal hosszát m-szeresére kell változtatni, ahol m =

t KV = 0,999 884 . t K (V )

Megjegyezzük, hogy m ~ 1 értéke azt jelzi, hogy az oldalhosszak meghatározásában nem követtünk el nagyobb hibát. Ugyanakkor ϕ értéke nem mutatja meg a szögmérésben esetleg elkövetett durva hibát (ezért kell a beillesztett sokszögvonalban a törésszögeket különös gonddal megmérni!). A továbbiakban a ϕ-vel elforgatott és m-szeresére nyújtott (zsugorított) sokszögvonalban a sokszögpontok koordinátáinak kiszámításakor végleges oldalvetületeket kapunk. Folyamatos összegzéssel kiszámítjuk a sokszögpontok koordinátáit, majd ellenőrzésül az ismert V végpont koordinátáit is. A kiszámított koordináták a számítás élességén belül meg kell egyezzenek a végpont ismert koordinátáival. A meghatározott sokszögpontok koordinátáit nem kell kiírni, érdemes azonban összehasonlítani azokat a kétszeresen tájékozott ill. az egyszeresen tájékozott sokszögvonal számításából kapott megfelelő koordinátákkal. A kétszeresen tájékozott sokszögvonalhoz képest a legnagyobb koordináta-eltérés 21 mm, az egyszeresen tájékozott sokszögvonalhoz hasonlítva az eltérések még kisebbek. Ismerkedjünk meg a beillesztett sokszögvonal kiszámításának egy másik módjával is. A számítás annyiban különbözik az imént bemutatottól, hogy a ϕ elforgatási szög kiszámítása után elmarad az m méretarányszorzó kiszámítása. Emiatt az oldalvetületek előzetes értékeit kapjuk meg és ki kell számítanunk a két koordináta-záróhibát, majd a lineáris záróhibát is. A lineáris záróhiba megengedett értéke a megfelelő kétszeresen tájékozott sokszögvonalra vonatkozó érték 0,8-szerese. A megengedettnél nem nagyobb lineáris záróhiba összetevőit a már megismert módon (az oldalhosszak arányában) osztjuk el az egyes oldalvetületekre. A sokszögpontok koordinátáit szintén a már megismert módon (a kezdőponttól a végpont felé haladva az oldalvetületek összegzésével) számítjuk ki. Ellenőrzésül a V végpont koordinátáit is kiszámítjuk; a kiszámított koordináták pontosan meg kell egyezzenek a végpont ismert koordinátáival.

20


Beillesztett sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása pont



2

V

∆x

y

x

–1 234,560

K

1

∆y

293–07–03

313–19–37

294–19–25

890,190

765,595

680,276

+7 890,120

–818,614

+349,464

–2 053,174

+8 239,584

–556,867

+525,260

–2 610,041

+8 764,844

–619,818

+280,166

–3 229,859

+9 045,010

Beillesztett sokszögvonal: a sokszögpontok koordinátáinak kiszámítása más módon pont



javítás

javítás

javított ∆y

javított ∆x

∆y

∆x

y

x

K

1

2

V

293–07–03

313–19–37

294–19–25

890,190

765,595

680,276 ~ 2 336 m

–1 234,560

+7 890,120

+0,088

–0,052

–818,621

+349,453

–818,709

+349,505

–2 053,181

+8 239,573

+0,076

–0,044

–556,856

+525,277

–556,932

+525,321

–2 610,037

+8 764,850

+0,067

–0,039

–619,823

+280,160

–619,890

+280,199

–3 229,860

+9 045,010

–1 995,531

+1 155,025

–1 995,300

+1 154,890

–1 995,531

+1 155,025

dy = +0,231

dx = –0,135

d = 0,268 m ≈ d eng = 0,267 m

A meghatározott sokszögpontok koordinátáit nem kell kiírni, érdemes azonban összehasonlítani azokat a beillesztett sokszögvonal pontjainak korábban már kiszámított koordinátáival. Megállapítható, hogy a még éppen megengedhető lineáris záróhiba ellenére (mind a tényleges, mind a megengedett záróhiba kerekített értéke 27 cm) a kétféle módon számított koordináták legfeljebb 11 mm-re térnek el egymástól.

21


22

2. feladat

Mérési vonalpontok, derékszögű koordinátaméréssel bemért pontok számítása, területszámítás

.. .. .. .. ..

A koordináta-jegyzékben megadott sokszögpontok felhasználásával számítsuk ki a 11-15 kisalappontok (mérési vonalpontok) vízszintes koordinátáit; a mérési eredmények a „Felmérési alappontok távmérési jegyzőkönyve” elnevezésű munkarészben találhatók, a mérési vonalpontok kiszámításának módja a „Meghatározási vázlat” elnevezésű munkarészen (2.1 ábra) látható. A mérési vonalhálózatról derékszögű koordinátaméréssel bemértük annak a tömbnek a négy sarokpontját (101-104), amelyen a későbbiekben házhelyeket fognak kialakítani. A mérési adatok a „Derékszögű koordinátamérési jegyzet” elnevezésű munkarészben találhatók meg (2.2 ábra). Amint ott látható, valamennyi sarokpontot két mérési alapvonalról mértünk be, a tömbhatárpontok végleges koordinátái a két számításból kapott koordináták számtani középértéke legyen. Számítsuk ki a 101-104 pontok alkotta négyszög területét a sarokpontok végleges koordinátáiból.

A megoldás Mindenekelőtt számítsuk ki a „Felmérési alappontok távmérési jegyzőkönyve” c. munkarészben a vízszintes távolságokat. A távolságokat rátét-távmérővel mérték, amely II. távcsőállásban rögzíthető a teodolit távcsövén. A vízszintes távolság kiszámításához a ferde távolságot a zenitszög szinuszával kellene megszorozni, a zenitszög értékéhez (zérus indexhibát feltételezve) a II. távcsőállásbeli magassági körleolvasást 360°-ra ki kell egészíteni. Ezt elkerülhetjük, ha a zenitszög helyett a táblázatban lévő zII értékekkel számolunk és nem veszünk tudomást arról, hogy az így számított távolság (a szinuszfüggvény harmadik és negyedik szögnegyedbeli negatív előjele miatt) negatív lesz. A vízszintes távolságokat elegendő centiméter élességgel kiírni. A következő feladat a mérési vonalpontok koordinátáinak kiszámítása. Vegyük észre, hogy csak azok a mérési vonalak számíthatók, amelyek kezdő- és végpontjának koordinátái már ismertek, így a számítás sorrendje többé-kevésbé kötött. A számításra ellenőrzést ad: ♦

a ∆t távolságkülönbségek előjeles összege pontosan egyenlő kell legyen a kezdő- és a végpont közötti távolsággal;

♦

a koordináták számításának ellenőrzéséül utolsóként a végpont ismert koordinátáit is kiszámítjuk.

A mérési vonalpontok kiszámított koordinátáit beírjuk a koordináta-jegyzék „meghatározott kisalappontok” elnevezésű részébe.

23


Koordináta-jegyzék a pont neve/száma

megjelölése

Y [m]

X [m]

M [m]

Felhasznált sokszögpontok 1

kő

60 525,37

37 890,12

–

2

kő

60 894,61

38 056,66

–

3

kő

60 681,10

37 508,32

–

4

kő

61 095,85

37 576,44

–

Meghatározott kisalappontok 11

cövek

60 829,12

38 027,12

–

12

cövek

61 022,20

37 564,34

–

13

cövek

60 592,04

37 726,66

–

14

cövek

60 898,05

37 861,91

–

15

cövek

60 989,79

37 642,01

–

Tömbsarokpontok 101

kő

60 588,00

37 730,00

–

102

kő

60 912,38

37 857,49

–

103

kő

60 978,75

37 642,10

–

104

kő

60 670,22

37 510,01

–

2 11

14

1

102

101 13

103

15

II +x

2.1 ábra. A kisalappontok (mérési vonalpontok) meghatározási vázlata

24

104 II +y

12 3

4


4,72

101

–2,36

(334,61) 14 [345,91]

9,80

13

11,54

102

102

9,64 –

(238,30) 233,96 –

15 10,12

14

103 (336,44) 3 [345,79]

5,86

4,46

10,13 –

104

104

101 2,47

103

9,40

15

[240,42]

(235,84)

5,69 – 3

13

2.1 ábra. Derékszögű kordinátamérési jegyzet

Felmérési alappontok távmérési jegyzőkönyve mag. körleolv. zII

ferde táv.

vízsz. táv

11

270–22–33

333,267

333,26

2

270–27–54

405,123

405,11

13

269–19–59

176,572

176,56

3

269–30–42

412,405

412,39

12

270–39–39

345,733

345,71

4

270–51–47

420,408

420,36

14

270–49–29

179,049

179,03

15

271–01–54

417,398

417,33

12

271–02–43

501,583

501,50

ponttól

pontig

1

3

11

A tömbsarokpontokat derékszögű koordinátaméréssel határoztuk meg, a mérési jegyzet (manuálé) alapján összeállítható a négy mérési vonalra a számítási jegyzőkönyv. (Emlékeztetőül: a számítást a vonal ismert kezdőpontjából kiindulva a vonal ismert végpontjával bezárólag végezzük; a részletpont abszcisszája negatív, ha a kezdőpontból a végpont felé nézve a talppont mögöttünk van; a részletpont ordinátája negatív, ha a kezdőpontból a végpont felé nézve a részletpont a vonal jobb oldalán van.)

25


A számításra ellenőrzést ad: ♦

a ∆a abszcissza-különbségek előjeles összege pontosan egyenlő kell legyen a kezdő- és a végpont között megmért távolsággal (a zárójelben álló ún. végmérettel);

♦

a ∆b ordináta-különbségek előjeles összege zérus kell legyen;

♦

a koordináták számításának ellenőrzéséül utolsóként a végpont ismert koordinátáit is kiszámítjuk.

Minden tömbhatárpontot két mérési vonalról mértünk be, össze kell tehát hasonlítsuk a kétféle módon számított koordinátákat. Ha az eltérés (koordinátánként) 10 cm-nél nem nagyobb, akkor a meghatározás elfogadható és végleges koordinátának a számtani középértéket kell tekinteni. A végleges koordinátákat be kell írni a koordináta-jegyzékbe.

Mérési vonalpontok számítási jegyzőkönyve Az i-edik vonalpont koordinátái: yi = yi−1 + ∆ti−1,i ⋅ r és xi = xi −1 + ∆ti−1,i ⋅ m , ahol yB − y A x − xA és m = B ; A a mérési vonal kezdőpontja, B a végpontja, (t AB ) az (t AB ) (t AB ) ún. végméret, a két pont megmért távolsága. r=

1–2 mérési vonal pont

∆t

t

2

r =

x

0

–

60 525,37

37 890,12

333,26

333,26

60 829,12

38 027,12

(405,11)

71,85

60 894,61

38 056,66

Σ = 405,11

+369,24

+166,54

1 11

y

+369,24 +166,54 = +0,911 456; m = = +0,411 098 405 ,11 405 ,11

1–3 mérési vonal pont 1 13 3

r =

26

∆t

t

y

x

0

–

60 525,37

37 890,12

176,56

176,56

60 592,04

37 726,66

(412,39)

235,83

60 681,10

37 508,32

Σ = 412,39

+155,73

–381,40

+155,73 −381,80 = +0,377 628; m = = −0,925 823 412,39 412,39



∆t

t

4

r =

x

0

–

60 681,10

37 508,32

345,71

345,71

61 022,20

37 564,34

(420,36)

74,65

61 095,85

37 576,44

Σ = 420,36

+414,75

+68,12

3 12

y

+414 ,75 +68,12 = +0,986 654; m = = +0,162 052 420,36 420,36


∆t

t

y

x

11

0

–

60 829,12

38 027,12

14

179,03

179,03

60 898,05

37 861,91

15

417,33

238,30

60 989,79

37 642,01

12

(501,50)

84,17

61 022,20

37 564,34

Σ = 501,50

+193,08

–462,78

r =

+193,08 −462,78 = +0,385 005; m = = −0,922 792 501,50 501,50

Derékszögű koordinátamérés számítási jegyzőkönyve: a tömbsarokpontok koordinátái Az i-edik bemért pont koordinátái: yi = yi −1 + ∆ai −1,i ⋅ r − ∆bi −1,i ⋅ m; xi = xi −1 + ∆ai −1,i ⋅ m + ∆bi −1,i ⋅ r

(r és m meghatározását lásd a „Mérési vonalpontok számítási jegyzőkönyve” c. munkarészben)


a

∆a

b

∆b

y

x

0

0

–

–

60 592,04

37 726,66

101

–2,36

+4,72

–2,36

+4,72

60 587,97

37 730,02

102

345,91

–9,80

+348,27

–14,52

60 912,35

37 857,52

(334,61)

0

–11,30

+9,80

60 898,05

37 861,91

Σ = 334,61

Σ=0

+306,01

+135,25

13

14

r =

+306,01 +135,25 = +0,914 527; m = = +0,404 202 334 ,61 334 ,61

27



a

y

x

0

–

–

60 898,05

37 861,91

9,64

+11,54

+9,64

+11,54

60 912,41

37 857,46

233,96

–10,12

+224,32

–21,66

60 978,78

37 642,12

(238,30)

0

+4,34

+10,12

60 989,79

37 642,01

Σ = 238,30

Σ=0

+91,74

–219,90

102

15

∆b

0

14

103

∆a

b

r =

+91,74 −219,90 = +0,384 977; m = = −0,922 786 238,30 238,30


a

∆a

b

∆b

y

x

0

0

–

–

60 989,79

37 642,01

103

10,13

–4,46

+10,13

–4,46

60 978,72

37 642,08

104

345,79

–5,86

+335,66

–1,40

60 670,19

37 509,98

(336,44)

0

–9,35

+5,86

60 681,10

37 508,32

Σ = 336,44

Σ=0

–308,69

–133,69

15

3

r =

−308,69 −133,69 = −0,917 519; m = = −0,397 367 336,44 336,44


a

∆a

b

∆b

y

x

0

0

–

–

60 681,10

37 508,32

104

5,69

+9,40

+5,69

+9,40

60 670,25

37 510,04

101

240,42

+2,47

+234,73

–6,93

60 588,02

37 729,97

(235,84)

0

–4,58

–2,47

60 592,04

37 726,66

Σ = 235,84

Σ=0

–89,06

+218,34

3

13

r =

−89,06 +218,34 = −0,377 629; m = = +0,925 797 235,84 235,84

A tömbsarokpontok végleges koordinátái

101 sarokpont mérési vonalról

y

x

13–14

60 587,97

37 730,02

3–13

60 588,02

37 729,97

0,05

0,05

60 588,00

37 730,00

eltérés végleges koordináták

28



y

x

13–14

60 912,35

37 857,52

14–15

60 912,41

37 857,46

0,06

0,06

60 912,38

37 857,49



y

x

14–15

60 978,78

37 642,12

15–3

60 978,72

37 642,08

0,06

0,04

60 978,75

37 642,10



y

x

15–3

60 670,19

37 509,98

3–13

60 670,25

37 510,04

0,06

0,06

60 670,22

37 510,01

Eltérés végleges koordináták

Végül számítsuk ki a 101, a 102, a 103 és a 104 tömbsarokpontok által meghatározott négyszög területét. Láthatjuk, hogy mind a négy sarokpont y és x koordinátája külön-külön azonos előjelű. A számítás egyszerűsítése érdekében valamennyi y-koordinátából 60 000 m, valamennyi x-koordinátából 37 000 m elhagyható. A számítást az ellenőrzés érdekében mindkét közölt képlettel el kell végezni: hibátlan számolás esetén a kétszeres terület mérőszáma azonos nagyságú, de ellentett előjelű lesz. Az ellenőrzött kétszeres területet ne felejtsük el kettővel elosztani! Ha a méterben kifejezett koordináták centiméter (két tizedesjegy) élességűek, akkor a velük kiszámított kétszeres terület négyzetméterben kifejezve négy tizedesjegy élességű lesz. Az utolsó tizedesjegy páros vagy páratlan egyaránt lehet, emiatt a végeredmény csak akkor nem csonkul, ha azt öt tizedesjegy élességgel írjuk ki: az utolsó jegy 0 vagy 5 lehet. Előírás szerint az egyszeres terület mérőszámát öt tizedesjegy élességgel kell kiírni (az utolsó értékes jegy után álló zérusokat is ki kell írni).

A tömb területe T=

1 n ⋅ ∑ xi ⋅ yi +1 − y y −1 2 i =1

(

)

vagy T =

1 n ⋅ ∑ yi ⋅ xi +1 − x y −1 , 2 i =1

(

)

ahol ha i = 1, akkor i – 1 = n és ha i = n, akkor i + 1 = 1

29


Megjegyezzük, hogy az állami földmérés előírásai szerint a kétszeres terület mérőszámát négy tizedesjegy élességgel kell kiírni, ha a sarokpontok koordinátái két tizedesjegy (cm) élességűek. Ugyancsak előírás, hogy a kettővel osztás eredményének valamennyi tizedesjegyét ki kell írni. Az előzőekből adódik, hogy a hányados négy tizedesjegyű, ha a kétszeres terület mérőszámának utolsó tizedesjegye páros és öt tizedesjegyű (az utolsó tizedesjegy 5ös), ha az osztandó utolsó tizedesjegye páratlan. Az előírás szerint (talán annak igazolására, hogy az osztás után az ötödik tizedesjegy után álló 5-ös nem feledékenységből maradt le) a végeredményt (a terület mérőszámát) mindig öt tizedesjegy élességgel kell (először) kiírni, majd a terület nagyságát négy tizedesjegyre kerekítve is meg kell adni. A koordináták „közös része” (y-ból 60 000, x-ből 37 000) elhagyható. pont

y’

x’

104

670,22

510,01

101

588,00

730,00

102

912,38

857,49

103

978,75

642,10

104

670,22

510,01

101

588,00

730,00

A baloldali képlettel számolva: 2T = 157 063,674 0 m2 A jobboldali képlettel számolva (ellenőrzés): 2T = –157 063,674 0 m2 A tömb területe T = 78 531,837 00 m2, kerekítés után T = 78 532 m2.

30

.. .. . Tervezett létesítmény alakjelző pontjai ... koordinátáinak kiszámítása, kitűzési .. 3. feladat

méretek meghatározása

A 3.1 ábrán látható sportcsarnok labdajátékok lebonyolítására alkalmas belső küzdőtérből és az azt körülvevő futópályából, valamint a futópálya körüli lelátó-gyűrűből áll. Az építmény alakját meghatározza, hogy ♦

a futópálya egyenes szakasza 60 m hosszú;

♦

a legbelső futópálya belső szélének kerülete 200 m;

♦

a legbelső futópálya belső egyenes széle egyben a küzdőtér oldalvonala, a legkülső futópálya külső széle egyben a nézőteret elválasztó palánk vonala;

♦

a hatsávos futópályán valamennyi sáv szélessége 1,2 m;

♦

a lelátó-gyűrű szélessége 25 m;

♦

a csarnok lefedése miatt az építési telek minden oldalról 10 m-rel nagyobb a létesítményt befoglaló téglalapnál.

H1 L1

25,00

L2

10,00

H2

O2

R1

A2

P1 7,2

P2

A1 O

O1

A3

A4

P3

P4 30,00

L3 H3

R1

H0

7,2

25,00

10,00

3.1 ábra. A létesítmény pontvázlata tervezési méretekkel

L4 H4

31


A feladat 1.

Kiszámítandók a létesítmény alakjelző pontjainak és a teleksarokpontoknak a koordinátái, ha a létesítmény O szimmetria-középpontja 75 m-re van a 4–5 sokszögoldaltól, talppontja 1:2 arányban osztja a sokszögoldalat (a talppont a 4 sokszögponthoz van közelebb), a létesítmény hossztengelye párhuzamos a sokszögoldallal, maga a létesítmény pedig a 4 pontról az 5 pont felé nézve a sokszögoldal bal oldalán van. A létesítmény elhelyezkedése az alappontokhoz képest a 3.2 ábrán látható.

1.

Kiszámítandó az építési telek területe a sarokpontok koordinátáiból és ellenőrzésül a derékszögű méretekből.

3.

Kiszámítandó, hogy hány néző befogadására alkalmas a sportcsarnok, ha (a közlekedő területet is figyelembe véve) egy ülőhely 2,45 m2 területet foglal el.

4.

Kiszámítandók a két koncentrikus félkör-sereg O1 és O2 középpontjának poláris kitűzési méretei a 4–5 sokszögvonal két végpontjából.

5.

Kiszámítandók a 200 m-es síkfutás rajtvonalának poláris kitűzési adatai az O2 középpontból valamennyi pályára vonatkozóan, ha a célvonal az alaprajz „felső” egyenesének „baloldali” végén van (tehát az 1. sz. pálya rajtvonala a célvonalon van). Feltételezzük, hogy verseny közben valamennyi futó pályájának belső (rövidebb) határvonalát követi.

2 11

14

1

102

5

101 13

3.2 ábra. A tervezett létesítmény elhelyezkedése az alappontokhoz képest (az ábrán a 2. feladat munkaterületét is feltüntettük)

32

103 15

II +x

104 3 II +y

12

4


A megoldás A 3.1 ábrán szereplő ismeretlen R1 méretet abból az összefüggésből számíthatjuk ki, hogy a legbelső (1. számú) futópálya belső széle kerületének „kell”-értéke 200 m, tehát 200 = 2 ⋅ 60 + 2 R1π R1 =

40

π

= 12,732 395 ~ 12,73 m

Vizsgáljuk meg, hogy R1 kerekítése centiméterre hogyan változtatja meg az 1. sz. pálya K1 kerületét. K1 = 2 ⋅ 60 + 2 ⋅ 12,73π = 199,985 m

A kerület tehát az „elméleti” értéknél 1,5 cm-rel rövidebb. A versenyszabályzat szerint az I. osztályúnak minősített pálya körhossza nem térhet el a névleges értéktől jobban, mint a kerület 1:10 000 része. Esetünkben a megengedett legnagyobb eltérés 2 cm, a pálya tehát ebből a szempontból I. osztályúnak minősül. Ezután méret-összegzéssel kiszámíthatjuk az építési telek méreteit: ♦

a hossztengely irányában 2 ⋅ (30,00 + R1 + 7,20 + 25,00 + 10,00 ) = 169,86 m

♦

a rövidebbik méret 2 ⋅ (R1 + 7,20 + 25,00 + 10,00) = 109,86 m

A koordináták kiszámításához kiinduló adatként a létesítmény O alaki középpontjának a koordinátáit kell kiszámítani. Számítsuk ki a δ45 irányszöget is, mert a létesítmény hossztengelye párhuzamos a 4–5 sokszögoldallal

A végpontok koordinátái pont

y

x

4

61 095,85

37 576,44

5

61 401,99

37 879,01

+306,14

+302,57

(5 – 4)

t 45 = 430,43

δ 45 = 45 – 20 – 10

A T talppont koordinátái: 1 ⋅ (y 5 − y 4 ) = 61 197,897 3 1 xT = x 4 + ⋅ (x 5 − x 4 ) = 37 677,297 3

yT = y 4 +

33


Ellenőrzés: 2 yT = y5 − ⋅ ( y5 − y4 ) = 61197,897 3 2 xT = x5 − ⋅ ( x5 − x4 ) = 37 677,297 3

centiméterre kerekítve yT = 61 197,90 m és xT = 37 677,30 m. Az O pont a T talpponton átmenő és a sokszögoldalra merőleges egyenesen van a bal oldalon, a talpponttól 75,00 m távolságra. Koordinátái poláris pontként számíthatók ki (az oldalvetületek centiméterre kerekített értékek): pont

irányszög

y vagy ∆y

távolság

T

δ45 – 90° = 315–20–10

61 197,90

37 677,30

–52,72

+53,34

61 145,18

37 730,64

75,00

O

x vagy ∆x

Ellenőrzés: a koordinátákból számított O4 ésO5 távolságok meg kell egyezzenek a derékszögű háromszögek átfogójaként kiszámított O4 és O5 távolságokkal:

távolság

koordinátákból

átfogóként

O4

161,90

161,90

O5

296,59

296,59

28 6, 95

5

O

43

14 3, 48

0, 43

0 ,0 75

Az O alaki középpont ellenőrzött koordinátái tehát:

4

yO = 61 145,18 m és xO = 37 730,64 m

A hosszanti szimmetriatengely OO1 ágának irányszöge: δ OO1 = 45 − 20 − 10 A két kiinduló adatból és a 3.1 ábrán megadott méretekből valamennyi alakjelző pont koordinátái kiszámíthatók. A számítás ellenőrzése érdekében a pontokat egy-egy zárt vonalba foglaljuk, a (tört) vonal utolsó pontja mindig egy korábban már kiszámított koordinátájú pont. (A milliméter élességgel kiszámított koordináták centiméterre kerekített értékét használtuk fel a későbbiekben.)

A számadatok elrendezése az előző pont száma

az előző pont koordinátái

a vonalszakasz irányszöge és hossza

a koordináta-változások

a következő pont száma

a következő pont koordinátái

34

y

x

∆y

∆x

y

x


Az atlétikai pálya belső szélének alakjelző pontjai: A1, A2, A3, A4 A számítási vonal töréspontjai: O – O1 – A1 – A2 – A3 – A4 – (O1) O

45–20–10; 30,00 O1

315–20–10; 12,73 A1

225–20–10; 60,00 A2

135–20–10; 25,46 A3

45–20–10; 60,00 A4

315–20–10; 12,73 (O1)

61 145,180

37 730,640

+21,337

+21,088

61 166,517

37 751,728

–8,949

+9,054

61 157,568

37 760,782

–42,675

–42,177

61 114,893

37 718,605

+17,897

–18,108

61 132,790

37 700,497

+42,675

+42,177

61 175,465

37 742,674

–8,949

+9,054

(61 166,516)

(37 751,728)

A játékteret a nézőtértől elválasztó palánk vonalának alakjelző pontjai: P1, P2, P3, P4 A számítási vonal töréspontjai: O1 – P1 – P2 – P3 – P4 – (O1) O1

315–20–10; 19,93 P1

225–20–10; 60,00 P2

135–20–10; 39,86 P3

45–20–10; 60,00 P4

315–20–10; 19,93 (O1)

61 166,517

37 751,728

–14,010

+14,175

61 152,507

37 765,903

–42,675

–42,177

61 109,832

37 723,726

+28,019

–28,350

61 137,851

37 695,376

+42,675

+42,177

61 180,526

37 737,553

–14,010

+14,175

(61 166,516)

(37 751,728)

35


A lelátó külső határvonalának alakjelző pontjai: L1, L2, L3, L4 A számítási vonal töréspontjai: O1 – L1 – L2 – L3 – L4 – (O1) O1

61 166,517

37 751,728

–31,583

+31,956

61 134,934

37 783,684

–42,675

–42,177

61 092,259

37 741,507

+63,167

–63,912

61 155,426

37 677,595

+42,675

+42,177

61 198,101

37 719,772

–31,583

+31,956

(61 166,518)

(37 751,728)

315–20–10; 44,93 L1

225–20–10; 60,00 L2

135–20–10; 89,86 L3

45–20–10; 60,00 L4

315–20–10; 44,93 (O1)

Az építési telek sarokpontjai: H1, H2, H3, H4 A számítási vonal töréspontjai: O – H0 – H1 – H2 – H3 – H4 – (H0) O

61 145,180

37 730,640

+60,406

+59,701

61 205,586

37 790,341

–38,613

+39,069

61 166,973

37 829,410

–120,812

–119,403

61 046,161

37 710,007

+77,226

–78,137

61 123,387

37 631,870

+120,812

+119,403

61 244,199

37 751,273

–38,613

+39,069

(61 205,586)

(37 790,342)

45–20–10; 84,93 H0

315–20–10; 54,93 H1

225–20–10; 169,86 H2

135–20–10; 109,86 H3

45–20–10; 169,86 H4

315–20–10; 54,93 (H0)

Az építési telek területe pont

y’

x’

H4

244,20

751,27

H1

166,97

829,41

H2

46,16

710,01

H3

123,39

631,87

H4

244,20

751,27

H1

166,97

829,41

36


Centiméterre kerekített koordinátákból számolva és a „közös” 61 000 m-t, ill. 37 000 m-t elhagyva: 2T = –37 322,710 8 m2 (a negatív előjel az óramutató járásával ellentétes körüljárási értelem következménye) T = 18 661,355 40 m2 Megjegyzés: milliméter élességű koordinátákkal 18 660,903 3200 négyzetméternyi terület adódik. Ellenőrzés: a derékszögű méretekből kiszámított terület (méretek a megoldás elején) T = 169,86 m · 109,86 m = 18 660,819 6 m2 Az eltérés kb. 0,5 m2, az egyezés megfelelő. A lelátó befogadóképességének megállapításához számítsuk ki a lelátó alapterületét. A 3.1 ábrából adódik, hogy a lelátó alapterülete két egybevágó és 60 m · 25 m méretű téglalap területének, valamint egy 44,93 m külső sugarú és 19,93 m belső sugarú körgyűrű területének összege, azaz

(

)

TL = 2 ⋅ 60 ⋅ 25 + 44,932 − 19,932 π = 3 000 + 5 094,1 = 8 094,1 m2

Egyetlen ülőhely területszükséglete 2,45 m2, a lelátón tehát 8 094,1 = 3 303,7 2,45

lefelé kerekítve 3 300 ülőhely alakítható ki. A két koncentrikus félkör-sereg O1 és O2 középpontjának a kitűzéséhez ismernünk kell az O2 pont koordinátáit. Az oldalvetületek centiméterre kerekített értékeivel számolva az ismert módon O

225–20–10; 30,00 O2

61 145,18

37 730,64

–21,34

–21,09

61 123,84

37 709,55

61 114,90

37 718,60

Ellenőrzés: A2

135–20–10; 12,73 (O2)

+8,95

–9,05

(61 123,85)

(37 709,55)

37


Az O1 és O2 körközéppontok poláris kitűzési adatai

A pontok koordinátái pont

y

x

4

61 095,85

37 576,44

5

61 401,99

37 879,01

O1

61 166,52

37 751,73

O2

61 123,84

37 709,55

4-es pontról (δ45 = 45–20–10) irányszög

távolság

δ 4O1 = 21 − 57 − 26

t 4O1 = t 1 = 189,00

δ 4O 2 = 11 − 52 − 30

t 4O2 = t 2 = 136,02

5-ös pontról (δ54 = 225–20–10) irányszög

távolság

δ 5O1 = 241 − 36 − 26

t 5O 1 = t 1 = 267,67

δ 5O2 = 238 − 38 − 55

t 5O 2 = t 2 = 325 ,71

A kitűzés szögadatai 4-es pontról

ϕ1 = δ 45 − δ 4 O1 = 23 − 22 − 44 ϕ 2 = δ 45 − δ 4 O2 = 33 − 27 − 40 5-ös pontról

ϕ1 = δ 5O1 − δ 54 = 16 − 16 − 16 ϕ 2 = δ 5O2 − δ 54 = 13 − 18 − 45

38


Az O1 és O2 körközéppontok kitűzési jegyzőkönyve álláspont

irányzott pont

4

5

beáll. vízsz. körleolv.

kitűz. vízsz. táv. [m]

I. 000–00–00

–

II. 180–00–00 I. 336–37–16

O1

189,00

II. 156–37–16 I. 326–32–20

O2

136,02

II. 146–32–20 5

I. 000–00–00

4

–

II. 180–00–00 I. 16–16–16

O1

267,67

II. 196–16–16 I. 13–18–45

O2

325,71

II. 193–18–45

Előírás szerint a kitűzést két távcsőállásban kell elvégezni, mert ekkor a szabályos műszerhibák jelentős részének hatása kiesik a középértékből. A kitűzés eredményeként két ponthelyet kapunk, végeredményként a két kitűzött ponthely közötti szakasz felezőpontját kell elfogadni. Ellenőrzés: a t1 és t2 távolságok kiszámítása a 45O1 és a 45O2 háromszögek megoldásával: 5

26 5 32

7

,71

43 0, 43

189

136,02

O2

,00

O1

7, 6

23–22–44 33–27–40

16–16–16 13–18–45

sin (23 − 22 − 44 ) = 267,67 sin (39 − 39 − 00 ) sin (16 − 16 − 16 ) = 189,00 4O1 = 430,43 ⋅ sin (39 − 39 − 00 ) sin (33 − 27 − 40 ) = 325,71 5O2 = 430,43 ⋅ sin (46 − 46 − 25) sin (13 − 18 − 45) = 136,02 4O2 = 430,43 ⋅ sin (46 − 46 − 25) 5O1 = 430,43 ⋅

4

A futópálya-rajthelyek poláris kitűzési adatainak kiszámításához írjuk fel az i-edik futópálya belső szélének kerületét (hosszát). Az íves szakasz sugara Ri = R1 + (i − 1) ⋅ d

ahol R1 = 12,73 m az első pálya belső körsugara; d = 1,20 m egy-egy pálya szélessége; az i index egész számként változik 1-től 6-ig. A belső szél kerülete K i = 2 ⋅ 60 + 2 Riπ .

39


Láttuk, hogy ez a kerület i = 1 esetén R1 centiméterre kerekített értéke miatt nem pontosan 200 m, de az eltérés megengedhető. A magasabb sorszámú pályák kerülete a sorszám növekedésével egyre nagyobb és így egyre inkább eltér a 200 m-től. Az eltérést úgy szüntetjük meg, hogy a rajthelyet az íves szakaszon a szükséges mértékben „előbbre” helyezzük. A többlet-út hossza

∆i = K i − 200 = (2 ⋅ 60 + 2 Riπ ) − 200 ; az úthosszhoz, mint ívhosszhoz tartozó középponti szög pedig radiánban

ϕ i (200) =

fok-egységben

ϕ io (200) =

∆i Ri

=

(2 ⋅ 60 + 2 Riπ ) − 200 Ri

(2 ⋅ 60 + 2 Riπ ) − 200 ⋅ 180° π

Ri

Mielőtt a kitűzéshez szükséges mennyiségeket táblázatba foglalnánk, vizsgáljuk meg, milyen pontosan kell ϕ°(200) értékét kiszámítani. Abból induljunk ki, hogy egyetlen kimért pálya hossza se térjen el 2 cm-nél jobban a névleges 200 m-től, azaz a körív 2 cm-es pontatlanságának megfelelő középponti szög-változást keressük. A legkisebb változás (egyben a szögkitűzéshez szükséges számítási élesség) a legnagyobb sugarú kör mentén adódik és értéke

∆ϕ °(200)min =

0,02 180° ⋅ = 0 − 03 − 40 . R6 π

A szögeket tehát elegendő lenne 3 szögperc élességgel kiszámítani. Minthogy azonban a 3 szögperc élességgel megadott szög sem tűzhető ki könnyebben, a szögeket 1 szögperc élességgel számítottuk ki. A kitűzési adatok kiszámításakor vegyük figyelembe, hogy a kitűzendő ϕ szögek jobboldali szára közös és adott: ez a célvonal. Ha a célvonal megfelelő pontját megirányozva a vízszintes körön zérus leolvasást állítunk be, akkor a ϕ i szögek baloldali szárán lévő rajthelynek a kitűzéséhez li = 360° − ϕ i értéket kell beállítani. Az eredményeket foglaljuk táblázatba, és készítsük el az általános (i-edik) rajthely kitűzési vázlatát (3.3 ábra). A szögkitűzéshez elégséges 1 szögperc beállítási élesség miatt a szögeket szükségtelen két távcsőállásban kitűzni.

A 200 m-es síkfutás rajthelyeinek poláris kitűzési adatai az egyes pályákon i

Ri [m]

ϕi°(200)

1

12,73

0–00

0–00

2

13,93

30–57

329–03

3

15,13

57–03

302–57

4

16,33

79–19

280–41

5

17,53

98–31

261–19

6

18,73

115–17

244–43

li°(200)

0 az i-edik pálya rajtvonala

P2

célvonal és az 1. sz. pálya rajtvonala

li°(200) A2 d

Ri φi°(200)

3.3 ábra. Az i-edik sorszámú futópálya rajtvonalának kitűzési adatai és 40 vázlata

O2


41

Mintapélda. a félévközi házi feladat megoldásához (Geodézia II.) B ODÓ T IBOR Ö SSZEÁLLÍTOTTÁK: BME ÁLTALÁNOS- ÉS F ELSŐ GEODÉZIA T ANSZÉK

Recommend Documents