CNH4S3 Analisis Time Series Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Jadwal]: [Materi Analsis Time Series] Kuliah Pemodelan dan Simulasi berisi tentang dasar pemodelan time series seperti kestasioneran, identifikasi ACF dan PACF, analisis dan forecasting model time series meliputi AR, MA dan ARIMA. • Minggu 1 Review Peubah Acak dan Fungsi Distribusi • Minggu 2 Kestasioneran time series • Minggu 3 Identifikasi ACF dan PACF • Minggu 4-5 Analisis Model MA, AR, ARMA • Minggu 6-7 Model Diagnostik dan Forecasting • Minggu 8-9 Analisi Model ARI, IMA, ARIMA • Minggu 10 Pengerjaan Tugas: Identifikasi data • Minggu 11 Presentasi 1 • Minggu 12 Pengerjaan Tugas: Forecasting model time series • Minggu 13 Presentasi 2 • Minggu 14 Laporan Akhir [Penilaian] Kuis 30%; UTS 35%; Tugas 35% A 80 ≤ N A < 100; AB 70 ≤ N A < 80; B 65 ≤ N A < 70; BC 60 ≤ N A < 65; C 45 ≤ N A < 60; D 30 ≤ N A < 45 Aspek penilaian Tugas Besar: Keaktifan individu (20%), Ketajaman analisis (60%), Kemampuan menyimpulkan (20%). [Buku Acuan] 1. Cryer, J.D., and Chan, K.S., Time Series Analysis with Applications in R, Second Edition, Springer. 2. Tsay, R. S. (2002). Analysis of Financial Time Series. Wiley.
1
1
Review: Peubah Acak dan Fungsi Distribusi
[Perhatikan Grafik Berikut Ini]
Apakah keduanya merupakan data time series? Kejadian dan Pulang Peluang adalah suatu konsep berpikir, peluang mengajak kita untuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi. Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, n(A) n(A) = n→∞ n n(S)
P (A) = lim
[Kasus] Pak Mad mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya lakilaki, diberikan bahwa Pak Mad tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki?
2
[Aksioma Peluang] 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A 2. Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A ∩ B = ∅ 3. Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 4. P (Ac ) = 1 − P (A) 5. Jika A ⊂ B, maka P (A) ≤ P (B) 6. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) [Peluang Bersyarat] Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling bebas, dengan P (A) > 0, peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan P (B|A) =
P (A ∩ B) P (A)
Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Peubah Acak (p.a) merupakan fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan real. Salah satu karakteristik p.a adalah memiliki fungsi distribusi (f.d), f.d membuat p.a lebih aplikatif. [Kasus] Tentukan peubah acak dari kedua kasus dibawah ini? 1. Pada pelemparan sebuah koin tiga kali. Berapa banyak sisi angka (A) yang muncul! 2. Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki 2 pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam waktu empat hari. Asumsikan bahwa peluang sang napi memilih pintu 1 dan 2 masing-masing adalah 0.5. Berapa lama waktu rata-rata yang dibutuhkan untuk dia agar selamat! [Fungsi Distribusi] Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari peubah acak X, F (x) = P (X ≤ x), −∞ < x < ∞
3
Karakteristik fungsi distribusi, • F (x) fungsi tidak turun • limb→∞ F (x) = F (∞) = 1 • limb→−∞ F (x) = F (−∞) = 0 [Demo Matlab] clc; x = exprnd(0.1,100) hist(x) [Peubah Acak Diskrit] • Fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function (pmf), p(x) = P (X = x) • Fungsi distribusi kumulatif (cdf), F (x) = P (X ≤ x) = Σt≤x p(t) [Peubah Acak Kontinu] • Fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pmf), ditulis f (x) b
Z P (a ≤ X ≤ b) =
f (x)dx a
• Fungsi distribusi kumulatif (cdf), Z
x
F (x) = P (X ≤ x) =
f (t)dt −∞
4
Gambar 1: Sumber: Sheldon M. Ross, 2010
[Tes] 1. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? 2. Tentukan fungsi distribusi kumultif (cdf) dari distribusi Exponensial? [Proses Stokastik] adalah kumpulan peubah acak Yt dengan t ∈ T merupakan indeks waktu. Setiap proses stokastik memuat ruang keadaan S dan indeks parameter T . • Banyaknya Mahasiswa Baru IK per tahun • Banyaknya klaim asuransi PT.ASTERA yang masuk pada interval [0,t] 5
Mean/Ekpektasi [Definisi] Misalkan X p.a, maka ekspektasi dari X didefinisikan sebagai 1. Variabel Diskrit X
E(X) = µX =
xp(x)
x
2. Variabel Kontinu Z
∞
xf (x)dx
E(X) = µX = −∞
Sifat: Jika a dan b merupakan konstanta, tentukan E(aX + b)... Variansi [Definisi] Misalkan X adalah p.a dengan mean µ. Variansi dari X adalah V ar(X) = σ 2 = E[(X − µ)2 ] Sifat: Jika a dan b merupakan konstanta, tentukan V ar(aX + b)... Kovariansi [Definisi] Misalkan X dan Y adalah p.a dengan mean µX dan µY . Kovariansi dari X dan Y adalah Cov(X, Y ) = E(XY ) − µX µY Sifat: Untuk X, Y, Z p.a dan c adalah konstanta, berlaku 1. Cov(X, X) =... 2. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 3. Cov(cX, Y ) =... 4. Cov(X, Y + Z) =... Korelasi Pembahasan mengenai kuat lemahnya asosiasi antara satu hal dengan hal lain merupakan salah satu pembahasan dalam ilmu statistika. Untuk mengetahui seberapa besar asosiasi antara satu hal dengan hal lainnya, kita memerlukan ukuran kuantitatif, yaitu ukuran asosiasi. Asosiasi dua variabel dapat dinyatakan sebagai korelasi. 2 Misalkan X dan Y adalah p.a dengan variansi σX dan σY2 . Korelasi dari X dan Y adalah Cov(X, Y ) Corr(X, Y ) = ρXY = p 2 2 σX σY
6
2
Data Time Series
[Definisi] Barisan peubah acak Yt dengan t ∈ T menyatakan waktu. Analisis TS, ingin menjawab: ’Bagaimana menentukan model Yt sehingga model sehingga model tersebut dapat digunakan untuk forecasting’ TS memiliki dua tujuan penting: (1) Membangun model TS yang bersesuaian dengan data historis (2) Menggunakan model TS untuk forecasting. TS di Indonesia dikenal dengan ’Deret Waktu’. TS merupakan salah pendekatan yang digunakan oleh para statistisian untuk memodelkan observasi yang memiliki time dependency, sehingga tidak semua observasi dapat dimodelkan dengan TS. Yt = f (.) + εt dengan εt ∼ N (0, σ 2 ) berdistibusi identik dan saling bebas.Time dependency berhubungan dengan korelasi antar waktu, yang sering disebut sebagai autokorelasi, ρt,s = corr(Yt , Ys ) cov(Yt , Ys ) = p 2 σt σs2 γt,s =√ γt,t γs,s dengan k = t − s merupakan lag waktu.
Gambar 2: Plot Korelasi Harga Emas dan Nilai MK Geometri Nilai ρ antara 0 sampai 1, semakin mendekati 1 maka nilai korelasi semakin tinggi. Nilai korelasi dari harga emas adalah 0.9517. Sedangkan, korelasi nilai UTS MK Geometri adalah 0.0178. Dapat dikatakan bahwa data harga emas memiliki time dependency pada lag ke-1 7
3
Random Walk dan Moving Average • Random Walk Diberikan ε1 , ε2 , ..., εt peubah acak yang saling bebas dan identik dengan mean 0 dan variansi σε2 . Model Random Walk untuk sekumpulan observasi Yt , Y1 Y2 Y3 .. .Yt
= ε1 = ε1 + ε2 = Y 1 + ε2 = ε1 + ε2 + ε3 = Y 2 + ε3 = ε1 + ε2 + . . . + εt = Yt−1 + εt
Tentukan mean, variansi, kovariansi dan korelasi dari Yt ? • Moving Average Diberikan kumpulan observasi {Yt }, dengan Yt =
εt + εt−1 2
dengan εt ∼ N (0, σε2 ) merupakan peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Tentukan mean, variansi, kovariansi dan korelasi dari Yt ?
4
Kestasioneran
Salah satu karakteristik TS selain time dependency adalah kestasioneran. Kestasioneran memiliki peran penting dalam penaksiran parameter. Penaksiran parameter akan sulit dilakukan jika model TS tidak stasioner. Terdapat 2 kategori kestasioneran dalam TS: stasioner kuat dan lemah. • Stasioner Kuat Proses stokastik dikatakan stasioner kuat jika distribusi gabungan Yt1 , Yt2 , ..., Ytn sama dengan distribusi gabungan Yt1 +k , Yt2 +k , ..., Ytn +k , FYt1 ,Yt2 ,...,Ytn (yt1 , yt2 , ..., yt3 ) = FYt1 +k ,Yt2 +k ,...,Ytn +k (yt1 +k , yt2 +k , ..., ytn +k ) • Stasioner Lemah Proses stokastik dikatakan stasioner lemah jika mean dan variansi dari Yt untuk semua t tidak bergantung waktu (konstan) E(Yt ) = µ V ar(Yt ) = σ 2 8
Selain itu, nilai kovariansi hanya bergantung pada lag k dan tidak bergantung pada waktu t, Cov(Yt , Yt−k ) = Cov(Yt−1 , Y(t−1)−k ) = Cov(Yt−2 , Y(t−2)−k ) = ... • Proses White Noise Diberikan ε1 , ε2 , ..., εt peubah acak yang saling bebas dan identik. Akan ditunjukkan apakah proses tersebut stasioner kuat dan lemah? F (εt1 , εt2 , ..., εtn ) = P (εt1 < a1 , εt2 < a2 , ..., εtn < an ) = P (εt1 < a1 )P (εt2 < a2 ) . . . P (εtn < an ) = P (εt1 +k < a1 )P (εt2 +k < a2 ) . . . P (εtn +k < an ) = P (εt1 +k < a1 , εt2 +k < a2 , . . . , εtn +k < an ) = F (εt1 +k , εt2 +k , . . . , εtn +k ) Proses white noise merupakan stasioner kuat dan lemah. Apakah dua p.a yang tidak berkorelasi mengakibatkan saling bebas? Bagaimana sebaliknya!
9
