MIKROÖKONÓMIA II. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: K®hegyi Gergely
Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely
2011. február
1
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék MIKROÖKONÓMIA II. 2. hét
Általános egyensúlyelmélet 1. rész
K®hegyi Gergely A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECONkönyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok. http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával. Bevezetés
Parciális egyensúlyi elemzés Eddig parciális egyensúlyi elemzést folytattunk.
Általános egyensúlyi elemzés
2
Általános egyensúly 1. De níció Azt az elosztást és a hozzá tartozó árrendszert, amely mellett az egyéni keresleti-, kínálati-, tényez®keresletiés tényez®kínálati-függvények egyéni optimalizálásból származnak, valamint minden termék és termelési tényez® piacon az aggregált kereslet megegyezik az aggregált kínálattal általános egyensúlynak nevezzük. 1. Megjegyzés Általános egyensúly nem csak tökéletes verseny mellett képzelhet® el. Tökéletes versenyz®i gazdaság Tökéletes versenyz®i gazdaság • A termékek homogén, folytonosan osztható, magánjavak • Nincs id®dimenzió (nincs pénz) • Nincs bizonytalanság • Tökéletes, azonnali informáltság (a piaci szepl®k között az információt CSAK az árak közvetítik) • A piaci szerepl®k között csak piaci cserekapcsolat van (nincsenek küls® gazdasági hatások) • A piaci szerepl®k (fogyasztók és termel®k) árelfogadók • A termel® vállalatok pro tját teljes egészében felosztják a fogyasztók között • A piaci szterepl®k racionálisak (a fogyasztók hasznomaximalizálók, a termel®k pro tmaximalizálók)
Lehetséges modellek • Egy szerepl®, egy termék, nincs termelés (érdektelen) • Egy szerepl®, több termék, nincs termelés (érdektelen) • Egy szerepl®, egy termelési tényez®, egy termék (Robinson Crusoe-gazdaság) • Egy szerepl®, egy termelési tényez®, több termék • Egy szerepl®, több termelési tényez®, egy termék • Egy szerepl®, több termelési tényez®, több termék • Több szerepl®, több termék, nincs termelés (tiszta cseregazdaság) • Több szerepl®, több termék, egy termelési tényez® • Több szerepl®, egy termék, több termelési tényez® • Több szerepl®, több termék, több termelési tényez® (termeléssel b®vített cseregazdaság)
Egy szerepl®, két termék, nincs termelés Készletek: ω1 , ω2 NINCS PIAC, tehát nincs kivel cserélni Fogyasztói optimum ('ált. egyensúly'): x∗1 = ω1 , x∗2 = ω2
3
Robinson Crusoe-gazdaság
Robinson Crusoe-gazdaság • 1 szerepl® (Robinson), 1 termék (kókuszdió), 1 termelési tényez® (munka) • kókuszdió fogyasztás (db): c • szabadid® 'fogyasztás' (óra) : ` (megj.: 0 ≤ ` ≤ `¯, pl. `¯=24 ˙ ) • munkaid® (óra): h (megj.: h = `¯ − `) • hasznossági függvény: U (c, `) (felt.:
∂U ∂c
> 0, ∂U ∂` > 0)
• termelési függvény: c = f (h) (felt.: f 0 > 0, f 00 < 0)
Robinson döntési feladata: • célfüggvény: U (c, `) → maxc,` • korlát:
c = f (h) h = `¯ − ` • Lagrange-függvény:
L = U (c, `¯ − h) − λ (c − f (h))
• ERF:
∂L ∂c ∂L ∂h
= =
∂U ∂c ∂U ∂h
−λ=0 df + λ dh =0
4
−
∂U/∂h df = ∂U/∂c dh
M Uh = M RSh,c = mph M Uc ∂U ∂U df < 0, > 0, >0 ∂h ∂c dh
−
M Uh = M RSh,c = mph M Uc ∂U df ∂U < 0, > 0, >0 ∂h ∂c dh
−
Robinson Crusoe-gazdaság 1. Feltevés 'Skizofrén' Robinson: Termel® és fogyasztó énje kettészakad. Árelfogadóként hozza meg termel®i és fogyasztói döntését külön-külön, majd a két énje a termék- és tényez®piacon találkozik, hogy cseréljen. 2. Feltevés Árelfogadó Robinson adottnak tekinti: • kókuszdió árát: p • munkabért: w
1. Algoritmus • Megoldjuk a termel®i és fogyasztói optimumfeladatokat (a termel® pro tját ki zetik a tulajdonosnak) • Meghatározzuk a keresleti és kínálati, valamint tényez®keresleti és tényez®kínálati függvényeket. • Felírjuk a piaci és tényez®piaci egyensúlyi feltételeket. • Meghatározzuk az egyensúlyi (termék és tényez®) árakat. • A keresleti és kínálati függvények segítségével meghatározzuk az egyensúlyi mennyiségeket.
5
Robinson mint termel® • célfüggvény: π = pcS − whD → maxcS ,hD • korlát: cS = f (hD ) • Lagrange-függvény: L = pcS − whD − λT (cS − f (hD )) • ERF:
∂L ∂cS
∂L ∂hD
= p − λT = 0 df = −w + λT dh =0 D
• optimum feltétel: pmph = w w mph = p • megoldás:
kókuszdiókínálati függvény: cS (p, w) munkakeresleti függvény: hD (p, w) pro tfüggvény: π(p, w) Ismer®s optimumfeltétel pmph = w w mph = p
6
Robinson mint fogyasztó • célfüggvény: U (CD , `) → maxcD ,` • korlát: pcD + w` = w`¯ + π ∗ (π ∗ : t®kejövedelem a vállalat tulajdonosaként)
vagy • célfüggvény: U (CD , hS ) → maxcD ,hS • korlát: pcD = whS + π ∗ (whS : munkajövedelem a vállalat munkásaként) • Lagrange-függvény: L = U (CD , hS ) − λF (pcD − whS − π ∗ ) • ERF:
∂L ∂cD
=
∂U ∂cD
− λF p = 0
∂L ∂hS
=
∂U ∂hS
+ λF w = 0
• optimum feltétel: −
M Uc p = M RSc,h = M Uh w
• megoldás:
kókuszdiókeresleti függvény: cD (p, w) munkakínálati függvény: hS (p, w) szabaid®keresleti függvény: `(p, w) = `¯ − hS (p, w) Ismer®s optimumfeltétel −
M Uc p = M RSc,h = M Uh w
7
Egyensúly a Robinson Crusoe-gazdaságban • Termék (kókuszdió) piac: cD (p, w) = cS (p, w) • Tényez® (munka) piac: hD (p, w) = hS (p, w) • Megoldás (általános egyensúly): p∗ , w∗ , c∗ , h∗ , `∗ , π ∗ , U ∗
2. Megjegyzés Mivel a (termék- és tényez®)keresleti és kínálat függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék, vagy tényez® ármércének választható. Legyen pl. w=1 ˙ . 1. Következmény Az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni.
Mérethozadéki problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban
8
Konvexitási problémák a Robinson Crusoe-gazdaságban Konvexitás hiányában az egyensúly nem feltétlenül létezik.
9
Robinson Crusoe-gazdaság Példa: • Robinson hasznossági függvénye: U (c, `) = c2 ` √ • Robinson termelési függvénye: f (h) = h
Tiszta cseregazdaság
Tiszta cseregazdaság • Felt.: két szerepl® (A és B), két termék (1 és 2), Nincs termelés (nincsenek vállalatok) • A fogyasztók a készleteiket cserélik • El®nyös-e a csere? • Mikor el®nyös és mikor nem?
Edgeworth-Box
Edgeworth-Box (folyt.)
10
Mindkét szerepl® által preferált allokációk halmaza
Pareto-hatékony elosztás
Pareto-hatékony elosztások halmaza A szerz®dési görbe
11
Adott indulókészlet mellett a végs® allokációk halmaza
Pareto-hatékony elosztások meghatározása A társadalmi tervez® feladata: • célfüggvény:
A UA (xA 1 , x2 ) →
max
A B B xA 1 ,x2 ,x1 ,x2
• korlát: B ¯ UB (xB 1 , x2 ) = UB A B A x1 + x1 = ω1 + ω1B B A B xA 2 + x2 = ω2 + ω2
• Lagrange-függvény: µ1
A B B ¯ L = UA (xA 1 , x2 ) − λ UB (x1 , x2 ) − UB − B A B A B A B xA 1 + x1 − ω1 − ω1 − µ2 x2 + x2 − ω2 − ω2
• ERF:
1.
∂L ∂xA 1
=
∂UA ∂xA 1
− µ1 = 0
2.
∂L ∂xA 2
=
∂UA ∂xA 2
− µ2 = 0
12
3.
∂L ∂xB 1
B = −λ ∂U − µ1 = 0 ∂xB
4.
∂L ∂xB 2
B = −λ ∂U − µ2 = 0 ∂xB
1
2
µ1 µ2 µ1 M RSB = µ2 M RSA =
• A szerz®dési görbe (implicit függvény formájában): A A A M RSA (xA 1 , x2 ) = M RSB (x1 , x2 )
3. Megjegyzés B A B A B A B Az xA 1 + x1 = ω1 + ω1 és x2 + x2 = ω2 + ω2 korlátozó feltételeket felhasználva a szerz®dési görbe felírható A A például x2 = ϕ(x1 ) alakban. Decentralizált döntések A fogyasztó • cf.:
A UA (xA 1 , x2 ) → max
A xA 1 ,x2
A A A • kf.: p1 xA 1 + p2 x2 = p1 ω1 + p2 ω2
• opt. felt.: M RSA = − pp12 A • keresleti függvények: xA 1 (p1 , p2 ), x2 (p1 , p2 )
B fogyasztó • cf.:
B UB (xB 1 , x2 ) → max
B xB 1 ,x2
B B B • kf.: p1 xB 1 + p2 x2 = p1 ω1 + p2 ω2
• opt. felt.: M RSB = − pp12 B • keresleti függvények: xB 1 (p1 , p2 ), x2 (p1 , p2 )
M RSA = −
p1 p1 , M RSB = − p2 p2
13
Piaci egyensúly Egyensúlyi árak (p∗1 , p∗2 ) esetén a kereslet megegyezik a kínálkattal minden piacon. xA (p∗ , p∗ ) + xB (p∗ , p∗ ) = ω A + ω B | 1 1 2 {z 1 1 2} | 1 {z 1} ∗ S1 (p∗ 1 ,p2 )
∗ D1 (p∗ 1 ,p2 )
xA (p∗ , p∗ ) + xB (p∗ , p∗ ) = ω A + ω B | 2 1 2 {z 2 1 2} | 2 {z 2} ∗ S2 (p∗ 1 ,p2 )
∗ D2 (p∗ 1 ,p2 )
Általános egyensúly meghatározása Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban: A B B • ismeretlenek száma: p1 , p2 , xA 1 , x2 , x1 , x2 (2 db termékár+2*2 db fogyasztott mennyiség=6 db)
• egyenletek száma (2+2+2=6 db):
optimumfeltételek (M RS -feltételek): 2 db (2 szerepl®, 2 termék) költségvetési korlátok: 2 db (két szerepl®) egyensúlyi feltételek: 2 db (két piac) 2. Következmény Az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik. 4. Megjegyzés Mivel a keresleti függvények nulladfokon homogének, azaz NINCS PÉNZILLÚZIÓ, az egyik termék ármércének választható. Legyen pl. p2 =1 ˙ . Így az egyenletrendszer túlhatározottnak t¶nik (több az egyenlet, mint az ismeretlen). 1. Állítás Walras-törvény: A piacokon keresett és kínált javak összértéke megegyezik, azaz az aggregált piaci túlkereslet azonosan (minden árrendszer mellett) zérus: p1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) ≡ 0,
ahol z1 (p1 , p2 ) =
xA 1 (p1 , p2 )
−
ω1A
B B A A B + xB 1 (p1 , p2 ) − ω1 és z2 (p1 , p2 ) = x2 (p1 , p2 ) − ω2 + x2 (p1 , p2 ) − ω2 .
1. Bizonyítás Adjuk össze a két fogyasztó költségvetési korlátját és rendezzük át: A A A p1 xA 1 + p2 x2 ≡ p1 ω1 + p2 ω2 B B B p 1 xB 1 + p2 x2 ≡ p1 ω1 + p2 ω2
14
B A A B B p1 xA − p1 ω1A + p1 xB 1 − p1 ω1 + p2 x2 − p2 ω2 + p2 x2 − p2 ω2 | 1 {z } | {z } p1 z1 (p1 ,p2 )
p2 z2 (p1 ,p2 )
p1 z1 (p1 , p2 ) + p2 z2 (p1 , p2 ) ≡ 0
3. Következmény A Walras-törvény miatt az egyensúlyi feltételek nem alkothatnak független egyenletrendszert (két egyensúlyi egyenlet, egy ismeretlen ár). Tehát elég az egyik egyensúlyi egyelettel számolni és a rendszer nem lesz túlhatározott. 4. Következmény A Walras-törvény miatt, ha n − 1 piac kitisztul (egyensúlyban van), akkor az n-edik is kitisztul (egyensúlyban van). Tranzakciós (nettó) kereslet (kínálat) 2. De níció Tranzakciós (nettó) • kereslet: xti (p1 , p2 )=x ˙ i (p1 , p2 ) − ωi > 0 • kínálat: xti (p1 , p2 )=x ˙ i (p1 , p2 ) − ωi < 0
Teljes és tranzakciós egyéni kereslet (kínálat)
15
Teljes és tranzakciós piaci kereslet (kínálat)
Az aggregált teljes kínálati görbe és az aggregált teljes keresleti görbe metszéspontja adja meg a jószágból elfogyasztott teljes mennyiséget a gazdaságban, amelynek egyenl®nek kell lennie a jószág teljes kínálatával. Az aggregált tranzakciós kínálati görbe és az aggregált tranzakciós keresleti görbe metszéspontja pedig azt a menynyiséget jelöli ki, amelyet a jószágból az eladók és a vev®k ténylegesen elcserélnek. A két görbepár metszéspontja ugyanannál az egyensúlyi árnál van.
Egyensúlykeresési algoritmus tiszta cseregazdaságban 2. Algoritmus • Egyéni (fogyasztói) optimumfeladatok felírása • Egyéni optimumfeladatok megoldása (keresleti függvények meghatározása) • Piaci egyensúlyi feltételek felírása (kereslet=kínálat minden piacon) • Ármérce jószág kiválasztása (keresleti függvények átírása úgy, hogy az áraránytól függjenek) • Egyensúlyi árarány meghatározása (egy egyensúlyi egyenlet elhagyható) • Egyénileg fogyasztott mennyiségek meghatározása
Példa: A A A • UA = xA 1 x2 , ω1 = 80, ω2 = 30 B B B • UB = xB 1 x2 , ω1 = 20, ω2 = 70
Megoldás: A • Szerz®dési görbe: xA 2 = x1 A B B • Versenyz®i egyensúly: xA 1 = 55, x2 = 55, x1 = 45, x2 = 45
5. Megjegyzés A fenti algoritmus N termékes, M szerepl®s tiszta cseregazdaságban is alkalmazható. Általános egyensúly meghatározása M szerepl® és N termék esetén • Ismeretlenek:
M ∗ N (N db fogyasztási jószág, M db szerepl®) N db fogyasztási ár 16
Ismeretlenek száma: M ∗ N + N • Egyenletek:
M ∗N db egyéni optimum-feltétel (els®rend¶ feltételek+költségvetési korlátok a Lagrange-változókhoz) N db egyensúlyi feltétel: összkereslet=összkínálat (összkészletek) Egyenletek száma: M ∗ N + N • Tehát az egyenletek és az ismeretlenek száma megegyezik. • DE mivel csak a relatív árak számítanak (a keresleti függvények nulladfokon homogének), ármérce
jószág (numéraire) választható (-1 ismeretlen).
• Azaz túlhatározottnak t¶nik a rendszer (több az egyenlet, mint az ismeretlen). • DE a Walras-törvény miatt nem függetlenek az egyensúlyi egyenletek! • Tehát az egyenletrendszer mégsem túlhatározott, egy egyensúlyi egyenlet elhagyásával az egyensúly
meghatározható az algoritmus szerint.
6. Megjegyzés Az egyenletszámlálás módszere nem feltétlenül vezet eredményre, mert negatív árak is adódhatnak, ugyanis valójában a költségvetési korlátok és az egyensúlyi feltételek egyenl®tlenségek és nem egyenletek!→ Az egyensúly egzisztenciájának problémája (lásd kés®bb). Jóléti tételek tiszta cseregazdaságban 2. Állítás A jóléti közgazdaságtan I. tétele: A versenyz®i egyensúly Pareto-hatekony állapot (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett). 2. Bizonyítás ∗ Kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban láttuk, hogy a piaci egyensúlyban M RSA = − pp1∗2 és M RSB = p∗ − p1∗ , mivel ott az egyéni döntések optimálisak. Tehát M RSA = M RSB , azaz az egyensúlyban fogyasztott 2 jószágkosarak rajta vannak a szerz®dési görbén, így Pareto-hatékony allokációhoz tartoznak. Ez az eredmény M -szerepl®s, N -termékes gazdaságra is általánosítható. 3. Állítás A jóléti közgazdaságtan II. tétele: Ha a piaci szerepl®k preferenciái konvexek, akkor bármely Pareto-hatékony allokációhoz találunk olyan árrendszert - megfelel®en választott indulókészletek esetén - amely decentralizált döntések által (piaci mechanizmus) a fenti allokációhoz juttatja a piaci szerepl®ket (bizonyos technikai feltételek teljesülése mellett).
17
3. Bizonyítás Egy kéttermékes, kétszerepl®s tiszta cseregazdaságban, ahol ω1A , ω2A , ω1B , ω2B tetsz®leges induló készletek, legyen x ¯A ¯A ¯B ¯B 1 ,x 2 ,x 1 ,x 2 egy Pareto-hatékony allokáció. p0
• Ekkor M RSA (¯ xA ¯A xB ¯B ˙ p10 alkalmas egyensúlyi áraránynak. Az ármérce legyen pél1 ,x 2 ) = M RSB (¯ 1 ,x 2 )= 2
dául p02 =1 ˙ .
0 A A 0 B 0 B B ¯1 + x ¯B • Ha p01 x ¯A ¯A 1 +x 2 = p1 ω1 + ω2 (és ekkor a feltételek miatt p1 x 2 = p1 ω1 + ω2 ), azaz az allokáció 0 0 rajta van a (p1 , p2 ) árakkal képzett csereegyenesen, akkor a versenyz®i mechanizmus közvetlenül az x ¯A ¯A ¯B ¯B 1 ,x 2 ,x 1 ,x 2 allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként. 0 A A 0 0 • Ha p01 x ¯A ¯A 1 +x 2 6= p1 ω1 + ω2 , azaz az allokáció nincs rajta a (p1 , p2 ) árakkal képzett csereegyenesen,
akkor osszuk újra az indulókészleteket a
∆ω1A =ω ˙ 1A − ω ¯ 1A , ∆ω2A =ω ˙ 2A − ω ¯ 2A , ∆ω1B =ω ˙ 1B − ω ¯ 1B , ∆ω2B =ω ˙ 2B − ω ¯ 2B , (¯ ω1A + ω ¯ 1B = ω1A + ω1B , ω ¯ 2A + ω ¯ 2B = ω2A + ω2B ) 0 A újraelosztásokkal úgy, hogy p01 x¯A ¯A ¯1 + ω ¯ 2A legyen. Ekkor a készletek újraosztása után a 1 + x 2 = p1 ω A A B B versenyz®i mechanizmus az x¯1 , x¯2 , x¯1 , x¯2 allokációt valósítja meg versenyz®i egyensúlyként.
18
