MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közrem¶ködésével
Készítette: K®hegyi Gergely és Horn Dániel
Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely
2010. június
1
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék
MIKROÖKONÓMIA I. 4. hét
Elemzési eszközök 2. rész
K®hegyi Gergely, Horn Dániel
A tananyagot készítette: K®hegyi Gergely Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECONkönyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok. http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával. Optimalizálás Összes, átlagos és határmennyiségek
Összes, átlagos és határmennyiségek • Eladott mennyiség: Q • Ár: P • Bevétel: R = P Q • Átlagbevétel: AR =
R Q
• Határbevétel: M R =
=
PQ Q
=P
∆R ∆Q
1. Megjegyzés A
∆
szimbólum kis, illetve egységnyi változásokat jelöl.
2
A fels® gra kon az R összbevételfüggvényt ábrázolja, az alsó gra kon a hozzá tartozó AR átlagbevétel- és M R határbevétel-függvényt. A Q = 4 esetén például a teljes bevétel, R = 24. Az alsó gra kon AR görbéjének magassága a fels® gra konon kivastagított ON szakasz meredekségével egyenl®, azaz AR = R/Q = 24/4 = 6, ha Q = 4. Az M R görbe magassága Q = 4 esetén egyenl® a teljes bevétel görbéjének meredekségével. Ezt az LN és N M meredekségek átlagával közelítjük.
2. Megjegyzés FIGYELEM! Összmennyiséget (mint amilyen a bevétel az ábra fels® gra konján) SOHASE ábrázoljunk azonos gra konon az átlag- és határmennyiségekkel (mint amilyenek az átlagbevétel és a határbevétel az ábra alsó gra konján)!
A mértékegységeik ugyanis nem azonosak.
Az ábra fels® részében a függ®leges tengely
mértékegysége dollár, miközben az alsó részében termékegységre jutó dollár (dollár/termékegység).
A C összköltségfüggvényéb®l levezethetjük az AC átlagköltséget és M C határköltséget. Annál a kibocsátási mennyiségnél, ahol az összköltségfüggvény meredeksége a legkisebb (a fels® gra kon K pontja), M C minimális. Ahol az origóból a görbéig húzott egyenes meredeksége a legkisebb (a fels® gra kon L pontja), AC a minimumpontjában van. Ahol AC csökken®, ott M C alatta van AC -nek; ahol AC növekv®, ott M C felette van AC -nek.
3
Pl.: Vándorló életmód Az y(s) hozamú gy¶jtögetési helyeken akkor érik el az optimális s∗ tartózkodási id®t, amikor az illet® hely határhozama egyenl® a teljes t id®szakot gyelembe véve számolt y/t átlaghozammal, t = d + s. Az egyes helyekhez tartozó átlagos id® tehát nemcsak az s tartózkodási id®t, hanem az egyik helyr®l a másikra vándorlás d holtidejét is tartalmazza.
4
Diszkrét mennyiségek 3. Megjegyzés Ha csak diszkrét választások lehetségesek, akkor a kibocsátási szint optimuma annál az értéknél található, ahol a lehet® legsz¶kebb következ® szakaszon a határbevétel kisebb a határköltségnél, és a lehet® legsz¶kebb el®z® szakaszon a határbevétel nagyobb a határköltségnél.
Cikkek száma 1 5 10 15 20 25 30 35
Átlag zetéstöbblet (dollár) 543 295 227 194 174 160 149 150
Határ zetés-többlet (dollár) 543 191 153 120 109 100 93 49
Matematikailag kicsit precízebben • Egy változó esetén
Endogén változó: x Az endogén változótól függ® összmennyiség: G = f (x), f : R → R Átlagmennyiség: AG =
f (x) x
Határmennyiség: M G = lim∆x→0
∆f (x) ∆x
=
df (x) dx
= f0
• Két változó esetén
Endogén változók: x1 , x2 Az endogén változóktól függ® összmennyiség: G = f (x1 , x2 ), f : R2 → R Átlagmennyiségek: AG1 =
G x1
Határmennyiségek: M G1 =
=
f (x1 ,x2 ) , AG2 x1
∂f (x1 ,x2 ) , M G2 ∂x1
=
=
G x2
=
f (x1 ,x2 ) , AGi x2
∂f (x1 ,x2 ) ; M Gi ∂x2
: R2 → R; i = 1, 2
: R2 → R; i = 1, 2
• n változó esetén
Endogén változók: x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn Az endogén változóktól függ® összmennyiség: G = f (x1 , x2 , . . . , xi , . . . , xn ), f : Rn → R Átlagmennyiségek: AG1 = xG1 , AG2 = xG2 , . . . , AGi = xGi , . . . , AGn = xGn Határmennyiségek: M G1 =
∂f ∂x1 , M G2
=
∂f ∂x2 , . . . , M Gi
=
∂f ∂xi , . . . , M Gn
Vektorokkal kifejezve
x1 x2 .. . • Endogén változók: x = xi . .. xn • Az endogén változótól függ® összmennyiség: G = f (x), f : Rn → R
5
=
∂f ∂xn
AG1 AG2 .. . • Átlagmennyiségek: AG = AGi = . . . AGn
G x1 G x2
; AG : Rn → Rn
.. .
G xi
.. .
G xn
M G1 M G2 .. . = • Határmennyiségek: MG = M Gi .. . M Gn
∂G ∂x1 ∂G ∂x2
.. .
∂G ∂xi
.. .
∂G ∂xn
; MG : Rn → Rn
Mennyiségek közti összefüggések
Matematikai ismétlés
Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y = x3 − 6x + x2 függvény írja le. Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek?
Átlag és határmennyiségek közti összefüggések • A határnagyság az összmennyiség függvényének a meredeksége. • Az átlagnagyság az origóból az összmennyiség függvényéhez húzott sugár meredeksége.
1. Állítás Ha az összmennyiség növekv®, a megfelel® határmennyiség pozitív. (Gyakori hiba!) Ha az összmennyiség csökken®, a megfelel® határmennyiség negatív. Ahol az összmennyiségnek maximuma (vagy minimuma) van, a megfelel® határmennyiség nulla.
2. Állítás Ahol az átlagmennyiség csökken®, a határmennyisegnek az átlagmennyiség alatt kell lennie. Ahol az átlagmennyiség növekv®, a határmennyiség az átlagmennyiség felett lesz. Ahol az átlagmennyiség nem csökken® es nem is növekv® (minimumában vagy maximumában van), a határmennyiség egyenl® az átlagmennyiséggel.
Matematikai ismétlés
Tegyük fel, hogy az x és y endogén változók közti öszefüggést az y = x3 − 6x + x2 függvény írja le. Milyen x érték mellett maximális, illetve minimális y értéke és mekkorák ezek az értékek, ha a függvényt csak a [0; 2] zárt intervallumon vizsgáljuk?
Matematikai ismétlés 1. De níció
f (x) S → R deriválható függvény, ahol S ⊆ Rn ! Legyen Ekkor c stacionárius pontja az f (x) függvénynek, ha
Legyen nak!
továbbá
fi0 (c) = 0 i = 1, 2, . . . , n m 0
f (c) = 0.
6
c∈S
bels® pontja az
S
részhalmaz-
1. Tétel Legyen Ha
c
f (x) S → R
széls®érték helye az
2. Tétel Legyen
f (x, y)
egy
f (x)
S ⊆ R2
függvénynek az
halmazon értelmezett függvény, amely folytonos els®- és másodrend¶ parciális
deriváltakkal rendelkezik! Legyen továbbá
f (x, y)
S ⊆ Rn ! Legyen továbbá c ∈ S bels® pontja az S halmaznak! S halmazon, akkor c stacionárius pontja az f (x) függvénynek.
deriválható függvény, ahol
(x0 , y0 )
az
S
halmaz egy bels® pontja, amely stacionárius pontja az
függvénynek! Ekkor
00 • f11 (x0 , y0 ) < 0
és
00 00 002 f11 (x0 , y0 )f22 (x0 , y0 ) − f12 (x0 , y0 ) > 0 ⇒ (x0 , y0 )
lokális maximum hely;
00 • f11 (x0 , y0 ) > 0
és
00 00 002 f11 (x0 , y0 )f22 (x0 , y0 ) − f12 (x0 , y0 ) > 0 ⇒ (x0 , y0 )
lokális minimum hely;
00 00 002 • f11 (x0 , y0 )f22 (x0 , y0 ) − f12 (x0 , y0 ) < 0 ⇒ (x0 , y0 )
nyeregpont;
00 00 002 • f11 (x0 , y0 )f22 (x0 , y0 )−f12 (x0 , y0 ) = 0 ⇒ (x0 , y0 ) lehet lokális minimum vagy maximum vagy nyeregpont
is.
Matematikai ismétlés
Pl.: Legyenek y, x1 és x2 endogén változók és a köztük lév® kapcsolatot a írja le az y = x21 − 6x1 + x22 − 4x2 + 113 függvény. Milyen x1 és x2 értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték?
Matematikai ismétlés 3. Tétel f (x, y)-nak és g(x, y)-nak léteznek folytonos parciális deriváltjai az xy -sík egy A tartomá(x0 , y0 ) az A egy bels® pontja, másrészt, hogy f (x, y)-nak a g(x, y) = 0 feltétel 0 0 melletti lokális széls®értékhelye. Tegyük fel továbbá, hogy g1 (x0 , y0 ), g2 (x0 , y0 ) közül legalább az egyik nem 0. Ekkor létezik pontosan egy darab olyan λ szám, hogy az (x0 , y0 ) számpár a
Tegyük fel, hogy
nyában, valamint azt, hogy
L(x, y) = f (x, y) − λg(x, y) Lagrange-függvény stacionárius pontja.
Matematikai ismétlés 4. Tétel Legyen
f (x, y)
és
g(x, y) R2 → R
folytonosan deriválható függvény, és tegyük fel, hogy a
) max(min)f (x, y) g(x, y) = 0 feladat optimális megoldásait keressük.
Tegyük fel továbbá, hogy
(x0 , y0 )
a feladathoz tartozó Lagrange-
függvény
L(x, y) = f (x, y) − λg(x, y) stacionárius pontja, valamint hogy
g(x0 , y0 ) = 0.
Ekkor
L(x, y)
konkáv
⇒ (x0 , y0 )
a maximalizálási feldat megoldása;
L(x, y)
konvex
⇒ (x0 , y0 )
a minimalizálási feldat megoldása.
Matematikai ismétlés
Pl.: Legyenek y, x1 és x2 endogén változók és a köztük lév® kapcsolatot a írja le az y = x21 − 6x1 + x22 − 4x2 + 113 függvény. Milyen x1 és x2 értékek esetén vesz fel y minimum, illetve maximum értéket és mi ez az érték az x1 + x2 = 100 feltétel mellett? 7
