METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Galang Ismu Handoko1, M. Natsir2, Sigit Sugiarto2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
[email protected] ABSTRACT This paper discusses a new method to compute the determinant of a matrix of order 3 3 , i.e the determinant computation using three schemes formed by removal the elements of a matrix of order 3 3 . The schemes are easier to understand in computation of the determinant of a matrix of order 3 3 , than the existing method. This new method can be used as an alternative method to compute the determinant of a matrix of order 3 3 , than existing methods, such as Sarrus’s rule, Chio’s condensation method, the triangle rule and the Dodgson’s condensation method. This method is called "New Alternative Method". Keywords: Chio’s condensation method, Dodgson’s condensation method, Sarrus Rule. ABSTRAK Artikel ini dibahas tentang metode baru untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 , yaitu penghitungan determinan dengan menggunakan tiga skema yang dibentuk dari pemindahan elemen-elemen matriks orde 3 3 . Skema yang dihasilkan lebih mudah dipahami dalam menghitung determinan matriks orde 3 3 dibandingkan metode lain. Metode baru ini bisa dijadikan opsi lain dalam menghitung determinan matriks orde 3 3 , selain metode yang sudah ada sebelumnya yaitu aturan Sarrus, metode kondensasi Chio, aturan segitiga dan metode kondensasi Dodgson. Dan metode baru ini dapat disebut dengan “Metode Alternatif Baru”.
1
1. PENDAHULUAN Matriks adalah himpunan skalar yaitu bilangan riil atau kompleks yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom[5. h:65]. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dilakukan operasi matematik, seperti operasi perkalian, operasi penjumlahan dan operasi pengurangan. Khusus untuk matriks bujur sangkar mumpunyai suatu orde. Orde merupakan jumlah baris atau kolom dari matriks bujur sangkar, mulai dari matriks berorde 1, orde 2, hingga matriks berorde n yang artinya matriks tersebut berukuran n n . Banyak hal yang bisa dihitung dari suatu matriks diantaranya menghitung determinan matriks. Namun dalam menghitung determinan matriks hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai suatu besaran skalar yang disebut determinan. Determinan dari suatu matriks adalah semua hasil perkalian elementer dari matriks tersebut, misalkan akan dihitung determinan matriks bujur sangkar A maka dapat dinyatakan dengan det A . Dalam buku-buku yang umum sering diperkenalkan menghitung determinan matriks yang berorde tiga yang penyelesaiannya dapat menggunakan beberapa aturan dan metode diantaranya: aturan Sarrus, aturan Segitiga, metode kondensasi Chio dan metode kondensasi Dodgson. Karena banyaknya cara yang digunakan untuk menghitung determinan matriks orde tiga, maka dalam skripsi ini akan dibahas tentang menghitung determinan matriks orde tiga dengan suatu metode alternatif baru.
2. DETERMINAN MATRIKS Determinan merupakan nilai yang penting dalam perhitungan matriks bujur sangkar. Sebelum pembahasan lebih lanjut, perlu diketahui definisi-definisi yang merupakan halhal penting dalam menghitung determinan matriks. Definisi 1 [5. h:41] Sebuah permutasi dari himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3, …, } adalah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut aturan tertentu ”tanpa menghilangkan” atau “tanpa mengulangi” bilangan tersebut. Dapat dilihat untuk = 2, maka ada 2 permutasi. Untuk = 3, maka ada 6 = 3.2.1 permutasi. Untuk = 4, maka ada 24 = 4.3.2.1 permutasi. Definisi 2 [5. h:42] Dalam permutasi, dikatakan terjadi sebuah inversi apabila sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan yang lebih kecil.
2
Definisi 3 [5. h:43] Sebuah permutasi dinamakan permutasi genap jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut genap. Sebaliknya, sebuah permutasi dinamakan permutasi ganjil jika banyaknya inversi dalam permutasi tersebut ganjil. Definisi 4 [5. h:44] Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer (atau bentuk a1 , a2 , , an ) yang dikalikan dengan +1 jika permutasinya genap dan dikalikan dengan -1 jika permutasinya ganjil. Definisi 5 [5. h:50] Dalam matriks kuadrat elemen a11 , a22 , a33 ,
ann disebut diagonal utama.
a11 a diag utama (A) 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
Definisi 6 [1. h:63] Determinan matriks A adalah selisih antara perkalian elemen-elemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det (A) .
det A
a11 a 21
a12 a1n a 22 a 2 n
a n1
a n 2 a nn
j1 , j2 ,, jn a1 j1 a 2 j2 ,, a njn Sn
1, Jika j , j , , j adalah permutasipositif 1 2 n dimana j1 , j2 ,, jn { 1, Jika j , j , , j adalah permutasinegatif 1 2
n
3. METODE UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE TIGA Banyak cara untuk menghitung determinan matriks yang berorde 3 3 , namun dalam hal ini hanya dijelaskan dua aturan atau metode untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 yaitu: Aturan Sarrus, Metode Kondensasi Chio, Aturan segitiga dan Metode Kondensasi Dodgson.
3
3.1.
Aturan Sarrus (Sarrus’s rule)
Aturan Sarrus merupakan cara lain untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 . Dalam menggunakan aturan Sarrus untuk menghitung determinan matriks 3 3 dapat ditunjukkan dengan langkah-langkah sebagai berikut, 1. Salin kembali kolom pertama dan keduakemudian tempatkan di sebelah kanan tanda determinan, sehingga diperoleh
a11 a12 a 21 a 22
a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22
a31
a33 a31 a32
a32
.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan hasil kali tersebut dengan A (+), sehingga diperoleh
a11 a12 a 21 a 22
a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22
a31
a33 a31 a32
a32
A() a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
.
3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan A (-), sehingga diperoleh
a11 a12 a 21 a 22
a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22
a31
a33 a31 a32
a32
A() a31a22 a13 a32 a23a11 a33a21a12
.
Determinan matriks A adalah selisih antara A (+) dan A (-), yaitu
|
|
det (A) (a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 ) (a31a22a13 a32a23a11 a33a21a12 )
4
...(1)
3.2. Metode Kondensasi Chio Perhitungan determinan matriks dengan metode kondensasi Chio dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar apabila elemen pada a11 tidak sama dengan nol ( a11 0) . Metode kondensasi Chio menghitung determinan matriks dengan cara mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub-sub determinan derajat dua ( 2 2 ) menggunakan elemen matriks baris yang ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya. Setiap dekomposisi determinan awal akan turun satu derajat, dekomposisi determinan dapat dihentikan sampai determinan tersebut menjadi berderajat dua,
det A
a11 1 n2 a n 1,1 (a11 )
a1,n1 a n 1,n1
.
Teorema 1 [2. h:130] Metode Konndensasi Chio’s Misalkan A aij adalah matriks persegi berukuran n n dan a11 0 . Dan D dinotasikan sebagai matriks pengganti dari tiap elemen a ij dalam A11 oleh maka, det A
a11 a1 j ai1
aij
,
D n2 a11 .
3.3. Aturan Segitiga Aturan segitiga merupakan aturan yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 . Misalkan matriks A yang berorde 3 3 ,
a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
dengan menggunakan aturan segitiga dapat diformat dengan skema:
a11
a12
a13
a11
a12
a13
a 21 a 22
a 23
a 21 a 22
a 23
a31
a33
a31
a33
a32
a32
Elemen diagonal yang dihasilkan pada matriks pertama berbentuk dua bidang segitiga yang mana merupakan determinan dari matriks pertama yang bernilai positif (+), sedangkan pada matriks kedua elemen yang dihasilkan berbentuk segitiga merupakan determinan dari matriks yang bernilai negatif (-). Sehingga diperoleh determinan matriks A ,
5
a11 a12 det A a 21 a 22 a31
a32
a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22
a13 a 23 ,
a33
a33
a31
a32
sehingga diperoleh det A a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
.
3.4. Metode Kondensasi Dodgson Metode kondensasi Dodgson adalah suatu metode menghitung determinan yang merupakan hasil perluasan dari matriks – matriks yang berukuran kecil. Bentuk umum dari metode kondensasi Dodgson untuk menghitung determinan matriks orde 3 dapat diperoleh dengan ekspansi matriks tersebut yaitu,
a11 a12 det A a21 a22 a31
a32
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a33 a31 a32
a11 a13 a21 a23 a11 a13 a31 a33
a11a12 a12 a21 a11a23 a13a21 a11a12 a12 a31 a11a33 a13a31
2 a11a22 a33 a11a22 a23a32 a12 a21a22 a33 a21a32 a22 a13 a22 a32 a13a21 a222 a31a13
Selanjutnya dengan membagi elemen matriks tersebut dengan elemen matriks a22 maka diperoleh determinan matriks menggunakan metode kondensasi Dodgson, det A a11a22 a33 a11a23a32 a12a21a33 a21a32a13 a31a12a23 a22a31a13 .
4. SIFAT-SIFAT DETERMINAN MATRIKS Berikut ini akan ditunjukkan beberapa sifat-sifat determinan matriks untuk mempermudah dalam penghitungan determinan matriks, yang mana sifat-sifat determinan tersebut dinyatakan dalam bentuk notasi. 1. Jika AT transpose dari matriks A , maka det (A) det (AT ). 2. Jika elemen satu baris (kolom) matriks A 0 , maka det (A) 0 . 3. Jika dua baris (kolom) matriks A adalah sama (identik), maka det (A) 0 .
6
4. Jika salah satu baris (kolom) matriks A merupakan kelipatan dari baris (kolom) lain, maka det (A) 0 . 5. Jika setiap elemen dalam satu baris matriks A dikalikan dengan skalar k , maka det (A) k det (A) . 6. Jika setiap elemen pada salah satu baris (kolom) matriks A dikalikan dengan konstanta kemudian ditambahkan ke baris (kolom) lain, maka det (A) det (A) 7. Jika salah satu baris (kolom) matriks A dipertukarkan dengan baris (kolom) lain, maka det (A) det(A) . 8. Jika dan B adalah matriks ukuran maka A nn, det (AB) det (A). det (B) 9. Determinan matriks diagonal merupakan perkalian dari elemen diagonal utama, misalkan L adalah matriks diagonal maka, det (L) (l11 l22 l33 lnn )
5. METODE ALTERNATIF BARU Dalam sub bab ini akan dibahas mengenai metode alternatif baru untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 . Metode baru ini merupakan metode yang sederhana, misalkan dalam menghitung determinan matriks dari sebuah matriks A :
a11
a12
a13
det A a21
a22
a23
a31
a32
a33
Untuk menghitung determinan matriks tersebut terlebih dahulu menggambarkan dalam sebuah skema. Terdapat tiga skema yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 . Ketiga skema ini menghasilkan nilai determinan yang sama, yaitu
a13 a11 a12 a 21 a 22
a13 a 23
a33 a31
a33 a31 ,
a32
a11
Gambar 1 : Skema 1 sehingga diperoleh determinan matriks menggunakan skema 1, seperti terlihat pada Gambar 1, det A a13a21a32 a11a22 a33 a12 a23a31 a12 a21a33 a13a22a31 a11a23a32
7
.
Selanjutnya akan ditunjukkan dua skema baru dari metode alternatif baru untuk menghitung determinan matriks orde 3 3 . Dengan langkah yang sama dengan skema 1 dihasilkan skema sebagai berikut:
a32 a11
a12
a 23 a 21 a 22 a31 a32
a13 a 23 a 21 a33
a12
Gambar 2: Skema 2
sehingga diperoleh determinan matriks menggunakan skema 2, seperti terlihat pada
Gambar 2, det A a12a23a31 a11a22a33 a13a21a32 a11a23a32 a13a22a31 a12a21a33
.
Untuk skema yang ke-tiga yaitu,
a31 a11
a33 a12
a13
a 21 a 22 a31 a32
a 23 a33
a11
a13
Gambar 3 : skema 3 sehingga diperoleh determinan matriks dengan menggunakan skema 3, seperti terlihat pada Gambar 3, det A a12a23a31 a11a22a31 a13a21a32 a11a23a32 a13a22a31 a12a21a33
6. KESIMPULAN Dalam menghitung determinan matriks yang berorde tiga, metode alternatif baru ini merupakan opsi lain untuk menghitung determinan matriks orde tiga selain metode yang sudah ada sebelumnya. Juga menghasilkan tiga skema baru yang lebih mudah untuk dipahami sehingga lebih mudah dalam menghitung determinan matriks orde tiga.
8
DAFTAR PUSTAKA [1]. Howard, A. 1991. Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Terj. dari Elementary Linear Algebra, Fifth Edition, Oleh Silaban, P. Penerbit Erlangga, Jakarta. [2]. Eves, H. 1996. Chio’s Expantion Third Edition. Dover, New York. [3]. Hajrizaj, D. 2009. New Method to Compute the Determinant of a 3 x 3 Matrix. International Journal of Algebra. 3 (5): 211-219. [4]. Santosa, G. 2009. Aljabar Linier Elementer Dasar. Penerbit Rekayasa Sains, Semarang. [5]. Ruminta. 2009. Matriks. Penerbit Rekayasa Sains, Semarang. [6]. Sutojo, T, N. Bowo, Z. A. Erna, S. Astuti, E. Mulyanto. 2010. Aljabar Linier dan Matriks. Penerbit Rekayasa Sains, Semarang.
9
