Determinan
Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Menghitung determinan Hitunglah determinan matriks berikut ini: A=
3 1 4 2
1 2 B= 2 4 C=
Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10
Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0
2 1 3 3 1 2 Det(C) = tidak didefinisikan
Aturan Sarrus A1 =
a11 a12 a a 21 22
-
a11 a12 a a 21 22
+
Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)
A2 =
a11 a 21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a12 a13 a11 a12 a a a a a 21 22 22 23 21 a31 a32 a33 a31 a32 - + + +
Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
Aturan Sarrus (lanjt) M=
K=
3 1 4 2
3 1 4 -
Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10
2 2 3 2 2 3 1 2 Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5) = 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0 4 5 4 4 - - + + +
Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?
MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :
A=
a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
Definisi determinan matriks dengan kofaktor
A=
a11 a12…….a1j ……a1n a21 a22 ……a2j…….a2n : : : : ai1 ai2 ……aij…….. ain : : : : an1 an2……anj……. ann
Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A.
Cij=(-1)i+jMij Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah : n
Det(A) =
i=1
n
a ij Cij
=
j=1
a ij Cij
Contoh: Minor dan kofaktor Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A=
a11 a12 a 21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
M13 = det a21 a22 a31 a32 C13 = (-1)1+3M13
A=
a11 a12 a 21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
M13 = det a21 a22 a31 a32 C13 = (-1)1+3M13 Cij = (-1)i+jMij
Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini: 3 1 4
+ +
0 2 4
0 0 5
- + + - +
M11=
Det
2 0 4 5
= 10
C11= (-1)1+1 10 = 10
M12=
Det
1 0 4 5
=5
C12= (-1)1+2 5 = -5
M13=
Det
1 2 4 4
= -4
C13= (-1)1+3 -4 = -4
C21=
?
0
C22=
?
15
C23=
?
-12
C31=
?
0
C32=
?
0
C33=
?
6
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom A=
a11 a12 a 21 a22 a31 a32
Det(A) =
a13 a23 a33
a11a22 a33 a11a23 a32 a12 a21a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a13 a22 a31
(11) (1 2) 13 a ( 1) ( a a a a ) a ( 1) ( a a a a ) a ( 1) (a21a32 a22 a31 ) 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 Det(A) =
C11 Det(A) =
a11C11 a12C12 a13C13
Det(A) =
a21C21 a22C22 a23C23
C12
C13
Ekspansi baris pertama Ekspansi baris kedua
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom A=
a11 a12 a 21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
a11C11 a12C12 a13C13
ekspansi baris pertama
=
a21C21 a22C22 a23C23
ekspansi baris kedua
=
a21C21 a22C22 a23C23
ekspansi baris ketiga
=
a11C11 a21C21 a31C31
ekspansi kolom pertama
Det(A) =
= a21C21 a22C22 a23C23
?
a21C21 a22C22 a23C23
?
=
Contoh: 3 1 4
0 2 4
0 0 5
ada 9 (= 3x3) kofaktor C11= 10
C21= 0
C31= 0
C12= -5
C22= 15
C32= 0
C13= -4
C23= -12
C33= 6
Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:
Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:
Det(A) = 5x6 = 30
Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor A=
a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43
a14 a24 a34 a44
Ada berapa banyak kofaktor?
Det(A) =
a11 a12 M34= det a21 a22 a41 a42
a13 a23 a43 aC
C34=(-1)3+4M34
n
j 1
ij
ij
Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4
a11C11 +a12 C12 +a13 C13 +a14 C14 ekspansi baris pertama = a 31C31 +a 32 C32 +a 33 C33 +a 34 C34 ekspansi ………
8 Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
baris ke tiga
Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor 1 1 1 1 1 1 3 2 A 4 2 1 3 3 1 1 4
matriks 4x4 berikut: Ekspansi baris 1: 1 3
2
C11 2 1
3
Det( A) a11.C11 a12.C12 a13.C13 a14.C14 1 3 2 0
7 7
3 1 4
0 10 2
1 3
2
1
C12 4 1
3
0 11
3
2
0 8 10
1 1
2
1 1
C13 4 2
3
0 6
2 5
3 3 4
0 6 10
1 1 3
1 1
C14 4 2 1
0 6
11
3 3 1
0 6
8
10 2
(14 70) 56
11 5 8 10
(110 40) 70
6 5 6 10
60 30 30
6 11 6 8
5
3 1 4
7 7
3
Det ( A) 1.56 1. 70 1. 30 1. 18 114
(48 66) 18
SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat 1 det(At) = det(A) Contoh :
5 2 A 4 3 det(A) = 7
5 4 A 2 3 t
det(At) = 7
Sifat 2 Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka
det(B) = - det(A)
Contoh Diberikan matriks
1 2 3 A 2 1 3 3 1 2 maka det(A) = 6.
2 1 3 Jika B 1 2 3, maka det(B) = -det(A) = -6. 3 1 2
Sifat 3 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(B) = k.det(A) Contoh: Diberikan matriks
Jika
1 2 B 4 2 1 1
1 2 3 A 2 1 dgn 3 det(A) = 6 1 1 0 3 6 det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12 0
Sifat 4 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka det(B) = det(A) Contoh : 1 2 3 4 2 6 A Diberikan matriks , det(A) = 12. 1 1 0
Jika
3 1 2 B 4 2 6 , maka 0 1 3
det(B) = det(A) = 12
Sifat 5 Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen – elemennya sama, maka determinannya adalah nol. Contoh 1 1 1 determinannya = nol. Matriks A 0 2 3 1 1 1
Sifat 6 Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.
Sifat 7 Jika matriks A=[aij], 1 i n, 1 j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka
det(A) = a11.a22. … .ann Contoh : Diberikan matriks
3 1 2 A 0 2 1 0 0 2
det(A) = 1.(-2).2 = -4
maka
Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B) Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka
det(A-1) =
1 det( A)
Determinan matriks sederhana Matriks diagonal a11 0 A= : 0 : 0
0 …0 … 0 a22 …0 … 0 : : 0 …aij… 0 : : 0… 0 .... ann
Matriks segitiga a11 0 B= : 0 : 0
a12…a1j …a1n a22 …a2j…a2n : : : 0 …aij….ain : : 0… 0 .... ann
Det(A) = a11a22a33…ann
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann.
Det(B) = a11a22a33…ann Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.
Determinan matriks dengan baris/kolom nol Matriks dengan baris / kolom nol
A=
a11 a21 : ai1 : 0
a12…….a1j ……a1n a22 ……a2j…….a2n : : : ai2 ……aij…….. ain : : : 0…… 0……. 0
B=
a11 a21 : ai1 : an1
0…….a1j ……a1n 0……a2j…….a2n : : : 0……aij…….. ain : : : 0……anj……. ann
Det(A) = 0
Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol.
Det(B) =0 Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?
Contoh : Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini: 19 0 0 D 0 0 0 0 0 18
Det(D) =0
12 27 56 11 13 1 23 90 B 11 35 11 41 0 0 0 0
Det(B) =0
14 15 K 70 82
Det(K) =0
98 11 42 74
0 0 0 0
42 54 31 66
41 10 14 M 41 10 14 0 9 1
Det(M) =0
Determinan dan operasi baris elementer
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan 1 3 A 2 4
R1 R2
1 3 A' 2 4
Det(A) = -2
Det(A’) = 2
1 4 2 B 2 0 1 3 3 6
3 3 6 B' 2 0 1 1 4 2
R1 R3
Det(B) = 45
Det(B’) = -45
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan semula.
X X’ dengan tukar baris
det(X’) = -det(X)
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan 1 3 A 2 4
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(A) = -2
1 4 2 B 2 0 1 3 3 6
1 3 A' 20 40
R3 1/3 R3
Det(B) = 45
1 4 2 B' 2 0 1 1 1 2
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks semula.
X X’ dengan mengalikan baris dengan k
det(X’) = kdet(X)
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan 1 3 A 2 4 Det(A) = -2 1 4 2 B 2 0 1 3 3 6
Det(B) = 45
R2 R2 + 2R1
1 3 A' 4 10
Det(A’) = -2 1 4 2 B' 3 1 3 3 3 6
R2 R2 +1/3 R3
Det(B’) = 45 = det(B)
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah. X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
det(X’) = det(X)
Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan Kesimpulan: menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan semula. satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks semula. Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE) Bentuk ebt A
A mempunyai inverse A
I
Det(A)
r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
Det(I) = 1
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) 1
= (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)
A mempunyai inverse maka det(A) ≠ 0
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer Bentuk ebt A Mempunyai baris nol
A TIDAK mempunyai inverse A r kali tukar baris
Det(A)
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
00…0
Det(A’) = 0
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A) 0
= (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
A TIDAK mempunyai inverse
Det(A) = 0
Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer B2 =
0
4
0
0
0
1
1
0
0
R2 R3
0
4
0
1
0
0
0 0
1
R1 R2
1 0
0
0
4
0
0
0
1
R2 ¼ * R2
B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan 2 kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼ Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ ) = (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4
1 0
0
0
1
0
0 0
1
I
Aplikasi determinan: Aturan Cramer Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan Linier
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
SPL
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn
= b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn : an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn
= b2
matriks koefisien a11 a12 a13 … a1n a21 a22 a23 … a2n A=
:
an1 an2 an3 … ann
x=
Ax = b
= bn
x1
b1
x2
b2
b =
:
:
xn
bn
Aturan Cramer
A=
a11 a12 … a1j … a1n a21 a22 … a2j … a2n :
an1 an2 … anj … ann
A1 =
Det(Aj) =
x1
x=
b1
x2
b =
b2
:
:
xn
bn
b1 a12 … a1j … a1n b2 a22 … a2j … a2n :
bn an2 … anj … ann
a11 a12 … b1 … a1n a21 a22 … b2 … a2n :
an1 an2 … bn … ann
Penyelesaian SPL:
xj = det(Aj)/ det(A) j = 1, 2, …, n
Contoh: x y 2z 1 SPL
2x y z 1
A
x y 2 z 3
1 1 2 2 -1 -1 1 -1 2
SPL dalam persamaan matriks
x y z
=
1 1 -3
Det(A) = 10
1 1 2 A1= 1 -1 -1 -3 -1 2 Det(A1) = -10
A2=
1 1 2 2 1 -1 1 -3 2 Det(A2) = -20
X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1 y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2 z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1
A3=
1 1 1 2 -1 1 1 -1 -3 Det(A3) = 10
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan SPL: Ax = b Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini
xj = det(Aj)/ det(A)
j = 1, 2, …, n
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan? Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.
