Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D.

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody FORMULACE ÚLOH MECHANIKY KONTINUA

a) diferenciální – problém je definován soustavou diferenciálních rovnic ( rovnice rovnováhy, geometrické rovnice, fyzikální rovnice) b) variační – hledá řešení problému jako stav, v němž energie analyzovaného tělesa dosahuje extrémní hodnoty, forma energie a podmínky kladené na hledané řešení je určeno tzv. variačními principy mechaniky, Na základě variačního (energetického) principu definována podstata metody konečných prvků.

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody

VARIANTY ŘEŠENÍ ÚLOH MECHANIKY KONTINUA a) Silová – neznámé jsou složky napětí

b) Deformační – neznámé jsou složky posunů c) Smíšená – neznámé jsou složky posunů i napětí Metoda konečných prvků je variantou deformační.

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody ŘEŠENÍ ROVNIC MECHANIKY KONTINUA

a) Analytické – výsledek hledáme ve tvaru spojitých funkcí metodami matematické analýzy a) Numerické – převádí problém hledání spojitých funkcí na problém hledání konečného počtu neznámých parametrů, pomocí nichž se hledané funkce přibližně aproximují Metoda konečných prvků – metoda numerická

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Obecná charakteristika přístupů k řešení úloh mechaniky kontinua - shrnutí


Charakteristika metody konečných prvků -shrnutí: Metoda konečných prvků je metoda • variační • deformační

• numerická

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Pokud je hledané řešení aproximováno danou aproximační funkcí na celé oblasti, dostáváme tzv. Ritzovu metodu. Ritzova metoda- aproximuje hledané řešení na celé oblasti sumou neznámých konstant ai a známých aproximačních (bázových) funkcí yi . n

u~n   aiy i i 1

Metoda konečných prvků je jistou variantou této Ritzovy metody – aproximační funkce je volena zvlášť pro každou podoblast konstrukce (pro každý konečný prvek).

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Variace funkce du: du je nekonečně malá libovolná změna funkce u jako celku, du tedy opět funkce

du(x)  u1 x   ux 

u1(x)=u(x)+du

u(x)

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Funkcionál: stručně řečeno jedná se o funkci jiných funkcí, přiřazuje tedy funkci nějaké číslo.

Ve variačních metodách pro řešení okrajových úloh je funkcionál definován obecně:

 du   du     F  u, ,...d   E u, ,...d dx  dx      – oblast, na níž hledáme řešení

 – hranice oblasti, na níž hledáme řešení F, E- funkce závislé na funkci u a jejich derivacích Změna (variace) funkcionálu odpovídá variaci v řešení.


CHARAKTERISTIKA ŘEŠENÍ u ROVINNÉ VARIAČNÍ ÚLOHY : 1) u je křivka popsaná nějakou funkcí

2) u musí splňovat podmínky okrajové i počáteční 3) křivka u musí splnit podmínku extrému daného funkcionálu (musí být extremála, musí mít funkcionál)


PRINCIP VIRTUÁLNÍ PRÁCE: virtuální práce – práce plynoucí buď:

a) z práce virtuálních sil dp na reálných posunech u – princip virtuálních sil (CASTIGLIAN) b) z práce reálných sil p na virtuálních posunech du – princip virtuálních posunutí (LAGRANGEŮV)– tento princip výhodnější pro formulaci metody konečných prvků

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Lagrangeův variační princip: mezi všemi funkcemi posuvů, které zachovávají spojitost tělesa a splňují geometrické okrajové podmínky, se realizují ty, které udílejí celkové potenciální energii  minimální hodnotu. Analogie variačního principu: Představte si kuličku, kterou vložíme do misky kulovitého tvaru, a to nikoliv na dno. Kulička v misce chvíli kmitá, až se ustálí na dně misky. Každá z poloh kuličky je v misce přípustná, na dně má však kulička potenciální energii minimální. (A. Ženíšek: Třicet let matematické teorie metody konečných prvků (medailon prof. M. Zlámala), Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol.44(1999), No. 1, str. 37-41)

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Potenciální energii  lze obecně vyjádřit jako rozdíl potenciální energie vnitřních sil i (odpovídá deformační práci vnitřních sil) a potenciálu vnějšího zatížení e ( odpovídá deformační práci vnějších sil):

  i   e Nastane tedy právě ten deformační stav tělesa, pro nějž je variace d potenciální energie soustavy nulová:

d  0

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody LAGRANGEŮV PRINCIP VIRTUÁLNÍCH POSUNUTÍ

1 T   i     d 2

virtuální práce vnitřních sil

T  T   e   u X d   u pd 

virtuální práce vnějších sil



práce od objemového zatížení

práce od povrchového zatížení na hranici 

T T u  u, v, w,    x ,  y ,  z ,  xy , yz ,  zx  T T    x ,  y ,  z , xy , yz , zx , X  X x , X y , X z  T p   px , p y , pz 


Určení řešení dané okrajové úlohy je tedy ekvivalentní se stanovením funkce posunů u, která minimalizuje funkcionál:

T  T  1 T     i   e     d   u X d   u pd 2  

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Aplikace Lagrangeova variačního principu (analytické řešení) Stanovení posunutí uo koncového bodu pružiny s tuhostí k, zatížené tělesem o tíze G:

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Postup řešení Energie akumulovaná v pružině: (u0- posun koncového bodu)

1 2 W  ku0 2

Potenciál vnějšího zatížení:

P  G u0

Celková potenciální energie:

1 2   ku0  Gu0 2

Podmínka minimalizace celkové energie (Lagrangeův princip):

d  0  ku0  G du0


Řešení předchozí rovnice a řešení úlohy:

Grafické schéma řešení variační úlohy

G u0  k

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Při aplikaci variačních úloh je obvykle hledané přesné řešení úlohy aproximováno jinou, tzv. aproximační funkcí : n

 u~n   aiy i i 1

ai …. neznámé konstanty yi*… známé bázové funkce Pak tedy:  u    u a1 , a2 ,....., an  ? min  u a1 , a2 ,....., an 

vzhledem k neznámým konstantám ai

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Z podmínky pro extrém plyne soustava rovnic pro určení neznámých koeficientů ai:

d 0 d ai

pro i=1,…,n

Čím větší počet členů obsahuje aproximační funkce, tím lepší je aproximace hledaného řešení, avšak počet rovnic v soustavě je rovněž vyšší a vzrůstají tedy požadavky časové, hardwarové apod..

Metoda konečných prvků – Charakteristika metody Obecný maticový zápis metody konečných prvků

  Ku  F

 T u  u1 , u2 ,..., un   T F  F1 , F2 ,..., Fn 

K – globální matice tuhosti

- uzlové parametry - známé síly (objemové, povrchové apod.)

Řešení úlohy je převedeno na řešení soustavy algebraických rovnic pro neznámé parametry (např. posuny) v uzlových bodech, výsledná matice soustavy(matice tuhosti) je symetrická a pásová- metoda vyžaduje využití výpočetní techniky, velká dimenze soustavy

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Recommend Documents