TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen
Mérésadatgy¶jtés mérnöki alkalmazásokkal I. Schier Ádám, PhD Pécs 2015
A tananyag a TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0009 azonosító számú, A gépészeti és informatikai ágazatok duális és moduláris képzéseinek kialakítása a Pécsi Tudományegyetemen cím¶ projekt keretében valósul meg.
2
Tartalomjegyzék I.
Mérésadatgy¶jtés mérnöki alkalmazásokkal I.
1. Mér®rendszerek általános felépítése 1.1.
A mér®rendszer célja
1.2.
A mérés hibája
1.3.
1.4.
1.5.
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Mérési hibák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.1.
Rendszeres hiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.2.
Véletlen hiba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3.3.
Durva hiba
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
A mér®rendszer struktúrája
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.1.
Érzékel® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4.2.
Jelkondicionáló egység
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.3.
Jelfeldolgozó egység . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.4.4.
Adatmegjelenít® egység . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Példák mér®rendszerekre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2. Mér®rendszer statikus karakterisztikája, kalibráció 2.1.
2.2.
5
Statikus karakterisztika és tulajdonságai
19
. . . . . . . . . . . .
19
2.1.1.
Névleges tartomány . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.1.2.
SPAN (Átfogás) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.3.
Érzékenység . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.1.4.
Lineáris karakterisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.1.5.
Osztálypontosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.1.6.
Nemlineáris karakterisztika . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.7.
Környezeti hatások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.1.8.
Hiszterézis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.1.9.
Hibasáv
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Kalibráció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2.1.
27
Etalonrendszer
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.2.
SI mértékrendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.3.
Kalibráció menete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3. Mérési adatsorok kiértékelése
37
3.1.
Medián és átlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2.
Intervallumbecslések
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. A mérés dokumentálása
45
4
I. rész Mérésadatgy¶jtés mérnöki alkalmazásokkal I.
5
A és
modern
technológia
uralt
mérésadatgy¶jtés
és
elengedhetetlen
környezetünkben
jelfeldolgozás
részévé
szükséges
vált.
mérnünk
lakásunk h®mérsékletét és páratartalmát, Fontos
tehát,
hogy
természettudományi
a
méréselmélet
modern
A az
tudomány
technológia
autónk
által
sebességét,
vagy a lakások h®sugárzását.
szerves
képzéseknek.
a
Ennek
része a
legyen
könyvnek
a a
m¶szaki célja,
és
hogy
bemutassa informatikusmérnök-hallgatóknak az alapvet® mérési elveket és módszereket, méghozzá a modern digitális szemléletmódon keresztül. Ezen személetmódban a mérési rendszer egy olyan információs rendszer, amely a meg gyel® számára egy zikai jelb®l numerikus értéket produkál. Egy ilyen rendszer négyféle elemet tartalmaz:
érzékel®, jelkondicionáló, jelfeldolgozó
és adatmegjelenít® elemet. A
jegyzet,
alapjait,
fejezeteit
tekintve,
els®ként
bemutatja
tisztázza a szükséges alapfogalmakat,
a
mérés
elméleti
a kalibráció menetét,
a
hibaszámítási módszereket, majd a mérési adatsorok kiértékelését. Ezek után a számtógéppel vezérelt méréseket mutatja be jelfeldolgozási, informatikai szemszögb®l.
Fontosnak tartom,
a jelek feldolgozása,
mérési rendszer
kialakítása nem történhet meg az alapvet® érzékel®k tárgyalása nélkül. Az automatizálás feladata, hogy az érzékel®k kiválasztását maga végezze el, amelyhez szükség van a különböz® érzékel®k felépítésének, mérési elvének ismeretére.
A könyv a digitális mérésekre koncentrál, mely során nem
lehet kihagyni a XXI. század egyik legfontosabb, a mérésadatgy¶jtéshez, automatizáláshoz használt fejleszt®környezetének, a National Instruments LabView szoftverének bemutatását mérési oldalról megközelítve.
A könyv
itt nem kíván programozásról szólni, hiszen arra számtalan hasznos kiadvány született.
Ennek
a fejezetnek
a célja
a mérési struktúrák,
módszerek bemutatásai a LabView környezeten belül.
eljárások,
A könyv végén a
hallgatók számára hasznos alkalmazások fejlesztését mutatom be lépésr®l lépésre.
Még egy gondolat zárásként.
Az egyes mérések során használt
elnevezések magyar fordítása nehézkes, mivel a nemzetközi jelölésrendszer vagy rövidítés elterjedt, magyar nyelv¶ katalógusokban, kiadványokban sem er®ltetik a felesleges kényszerfordításokat. Feltételezem, hogy az angol nyelv¶ rövidítések, elnevezések nem okoznak gondot egy mérnök számára.
7
8
1. fejezet Mér®rendszerek általános felépítése 1.1. A mér®rendszer célja A mérés során egy folyamatot gyelünk meg, mely zikai törvényszer¶ségeken alapszik.
Ez a folyamat számunkra információt generál.
Példa erre az
autó, amelynek mozgása számunkra olyan információkat szolgáltat, mint az elmozdulás, sebesség, gyorsulás. Egy másik példával élve, egy folyamatosan dolgozó nagynyomású pumpa az aktuális h®mérsékletér®l, elmozdulásáról, nyomásáról szolgál információkkal. A mérési eljárások során a leggyakrabban mért változókat az 1.1. táblázat tartalmazza.
1.1. táblázat. A leggyakrabban mért zikai változók Feszültség
Áramer®sség
Ellenállás
H®mérséklet
Gyorsulás
Sebesség
Er®
Tömeg
Nyomás
Páratartalom
Térfogat
Folyadékszint
Térfogatáram
pH
Elmozdulás
S¶r¶ség
A mérési eljárás során els®dleges célunk, hogy a
zikai jelenségek
során keletkezett információkat meg gyelve, lehet®leg beleavatkozás nélkül,
9
a lehet® legpontosabban megmérjük ®ket. Az el®z® mondatból adódik, hogy a valóságos információtartalmat sohasem tudjuk pontosan megmérni, viszont mint az a kés®bbiekben kiderül a mérési hibára a priori ismeretek által viszonylag jó becslést tudunk adni. A
zikai
folyamatról.
jelenségek
meg gyelésekor
információt
lehet egy buszsof®r, vagy akár egy mérnök. folyamat hiszen csakis
és
egy egy
gy¶jtünk
be
a
meg gyel® teszi, aki mér®rendszer a zikai
Ezt a tevékenységet egy tetsz®leges a víz
meg gyel®
között
h®mérsékletér®l,
mér®rendszer
információtartalmat a
által
teremt egy
mért értéknek
általános mérési folyamatot az 1.1.
kapcsolatot.
autó
kaphatunk
A
sebességér®l
pontos
nevezzük.
mér®rendszer kimenetén a meg gyel®ként.
mért értéket
szükséges,
információt.
Ezt
az
Az el®z®ekben tárgyalt
ábra mutatja.
zikai folyamat állítja el® a valós információt vagy
Ez
meg gyel®ként
Itt látható, hogy a
valós értéket
(xv ), a
(xm ) érzékeljük és használjuk fel
Az ábrán látható zajforrások a mér®rendszer bemenetén,
illetve a kimenetén is megjelennek, ha jelent®sek, a mérési folyamat során számolnunk kell velük.
1.1. ábra. Mér®rendszer felépítése
1.2. A mérés hibá ja A mér®rendszer felépítése kapcsán látható, a mért érték nem egyezik meg a
pontossága a kett® távolsága, amelyet két az úgynevezett abszolút hiba (H), mely a
valós értékkel. A mér®rendszer módon mérhetünk.
Az els®,
következ®képen számítható:
H = xm − xv . Figyelem! Az abszolút hiba
H
(1.1)
el®jeles mennyiség, vagyis elnevezésével
ellentétben pozitív és negatív értéket is felvehet.
10
1. Példa.
Legyen egy pontos etalon tömegünk 100 kg, amelyet ráteszünk egy
mérlegre. A mérleg 101 kg-ot mutat. Mekkora a mérés abszolút hibája?
xv = 100
Megoldás: A példában
100 kg = 1
2. Példa.
kg,
xm = 101
kg, vagyis
H = 101 kg −
kg. Egy kamion pontos tömege 10 000 kg, amelyet ráteszünk a saját
mér®hidunkra.
A mérleg 10 001 kg -ot mutat.
Mekkora a mérés abszolút
hibája? Megoldás: A példában
10 001 kg − 10 000 kg = 1
3. Példa.
xv = 10 000
kg,
xm = 10 001
kg, vagyis
H =
kg.
Egy általunk vásárolt nyomásmér®re 6,5 bar etalon nyomást adva
a m¶szerünk 6,1 bar nyomást mutat. Mekkora a mérés abszolút hibája? Megoldás: A példában
6, 5 bar = −0, 4
xv = 6, 5 bar, xm = 6, 1 bar, vagyis H = 6, 1 bar−
bar.
4. Példa. Egy ember magasságát mérjük meg egy mér®szalaggal, amely 1 cm beosztású. A leolvasásnál 181 cm-t olvasunk le. Mekkora a mérés abszolút hibája? Megoldás: A megoldás során három fontos dolgot kell letisztázni.
Az els®, hogy a mér®m¶szerek leolvasásánál azt a nagyon fontos szabályt kell betartani, hogy a leolvasásánál csak a beosztás szerinti értékeket lehet becsülni, vagyis a példával élve, nem olvashatunk le 181,24 cm-t. Vagy
181 cm-t, vagy 182 cm-t olvashatunk le. A másik fontos elv, hogy amikor az abszolút hibát próbáljuk megállapítani, mindig a legrosszabb esetb®l kell kiindulni.
Nem feltételezhetjük, hogy
a leolvasásánál mindig optimálisan végezzük a leolvasást, vagyis mindig a közelebbi
beosztást olvassuk le.
Ezzel ellentétben az abszolút hiba
megállapításánál azt kell feltételeznünk, hogy a valós érték és a mért érték a leolvasáskor a legnagyobb különbséget adja, ez pedig 1 cm. A harmadik fontos megállapítás, hogy vegyük észre, a számításnál a valós értéket nem ismerjük, mégis meg kell becsülnünk a mérés abszolút hibáját. A mérés abszolút hibájakor a lehet® legrosszabb esetet kell gyelembe venni, a leolvasáskor keletkez® legnagyobb hiba abszolút értékét, vagyis
H=1
cm. A példát az 1.2 ábra reprezentálja. Az két
els®
két
példából
nagyságrenddel
(példa
nagyobb
1.
és
példa
tartományban
2.)
mértünk,
kiderül, az
hogy
abszolút
bár hiba
megegyezik, mégis az az érzésünk, sokkal jobb 10 000 kg-ban 1 kg hibát
11
1.2. ábra. Abszolút hiba becslése a valós érték ismerete nékül
mérni, mint 100 kg-ban. A
relatív hiba (h)
erre ad megoldást, de nícióját
szét kell választanunk arra a két esetre, amikor a valós érték ismert vagy ismeretlen. A relatív hibát mindig %-ban adjuk meg. Ha
xv
ismert, akkor a mérés relatív hibája:
h= Ha
xv
ismeretlen, azt
xm
H · 100 (%). xv
(1.2)
értékkel becsüljük:
h=
H · 100 (%). xm
(1.3)
Most számítsuk ki az abszolút hibákat az el®z®ekben de niált példa 14-ben!
5. Példa.
Az 1. példában valós érték ismert, ennek a mérésnek kell a relatív
hibáját meghatározni. Megoldás:
h=
6. Példa. A 2.
1 kg · 100 = 1 (%). 100 kg
(1.4)
példában a valós érték ismert, ennek a mérésnek kell a relatív
hibáját meghatározni. Megoldás:
h=
1 kg · 100 = 0, 01 (%). 10 000 kg 12
(1.5)
7. Példa.
A 3. példában valós érték ismert, ennek a mérésnek kell a relatív
hibáját meghatározni. Megoldás:
h=
8. Példa.
A 4.
−0, 4 bar · 100 = −6, 15 (%). 6, 5 bar
(1.6)
példában valós érték ismeretlen, ennek a mérésnek kell a
relatív hibáját meghatározni. Megoldás:
h=
1 Ohm · 100 = 0, 55 (%). 181 Ohm
(1.7)
1.3. Mérési hibák Mint tárgyaltuk, a mérési eredmény mindig valamekkora hibát tartalmaz, a mérend® mennyiség valós értékét teljes biztonsággal nem lehet meghatározni. A hibát ha meg tudjuk becsülni,
akkor ezzel számolni tudunk,
amely
alapján a valós érték kívánt pontossággal számítható. Ehhez tudnunk kell a hiba nagyságát, illetve jellemz®it. A mérési hibákat az alábbi csoportokba sorolhatjuk: 1. rendszeres hibák; 2. véletlen hibák; 3. durva hibák.
1.3.1. Rendszeres hiba A rendszeres hibák jellemz®je, hogy nagyságát és el®jele a mérést megel®z®en, vagy azt követ®en meghatározható. Ezek a hibák értéküket tekintve mindig ugyanakkorák. Korrekcióval könnyen kiküszöbölhet®ek.
1.3.2. Véletlen hiba Véletlen hiba származik a mér®eszközök bizonytalanságából, a leolvasási pontatlanságból,
a
mérend®
mennyiségen
jelenlév®
véletlen
hatásokból.
Pontos értékét nem tudjuk meghatározni, id®ben is adott határok között változhat. A gyakorlatban egy
±σ
szélesség¶ intervallummal jellemezhet®,
13
amelybe az általunk el®írt valószín¶séggel benne van a véletlen hibától mentes valósi érték. Ennek
Ezt az intervallumot kon dencia intervallum nak nevezzük.
ismeretében
a
helyes
értéket
az
alábbi
összefüggés
segítségével
határozhatjuk meg:
xh = xm ± σ. A
kon dencia
intervallumot
el®zetes
(1.8) mérési
sorozat
segítségével
határozzuk meg.
1.3.3. Durva hiba A durva hiba általában személyi hibából eredend® hiba, amely nagysága a 100%-ot is elérheti. Ilyen lehet ha egy mér®m¶szeren rossz mérési tartományt állítunk be, vagy ha felcseréljük véletlenül a kalibrációs etalonokat.
1.4. A mér®rendszer struktúrá ja A mér®rendszer általános struktúrájának meghatározásánál az 1.1. ábrából indulhatunk ki.
A mér®rendszert fel kell bontanunk kisebb egységekre,
amely egy teljesen általános felépítést ad.
Az 1.3.
ábrán négy egységet
látunk: az érzékel® t, a jelkondicionáló egység et, a jelfeldolgozó egység et és az adatmegjelenít® egység et. Természetesen egy adott mérés kialakításánál nincs minden egységre szükség. Erre példa, hogy a mérés során nem minden adatot kell megjeleníteni, elég az értékét ismernünk, a mér®rendszer szoftvere az adatot egyszer¶en feldolgozza. Az is el®fordulhat, hogy az egyes elemek többször is szerepelnek.
1.3. ábra. A mér®rendszer általános struktúrája
1.4.1. Érzékel® Az érzékel® áll közvetve vagy közvetlenül kontaktusban a mérend® zikai mennyiséggel (valós értékkel), kimeneti értéke els®sorban ett®l függ (egyéb
14
jellemz®k
is
módosíthatják
az
érzékel®
kimenetét,
mint
a
környezeti
h®mérséklet, elektromágneses zajok stb.). A metrológia egyik feladata, hogy egy mérend® zikai változó méréséhez olyan mérési módszereket fejlesszen ki,
amely
eredményeként
a
zikai
jel
többnyire lineáris kapcsolatban áll.
változása
a
mérés
eredményével
Err®l a kés®bbi fejezetekben lesz még
szó részletesebben. Példák érzékel®kre:
•
H®elem, ahol a kimenetén lév® milivoltos (vagy mikrovoltos) feszültség a h®mérséklett®l függ.
•
Nyúlásmér®
bélyeg,
amelynek
ellenállás-változása
közel
lineáris
a
mechanikai megnyúlással.
•
Bourdon-csöves mechanikai
nyomásmér®,
elmozdulása
ahol
közel
a
nyomásmér®
lineáris
az
mutatójának
érzékel®
bemenetén
keletkezett nyomással.
els®dleges érzékel®r®l,
Az érzékel®k kapcsán beszélünk kapcsolatban
a
mérend®
zikai
mennyiséggel.
Ha
több
található egyazon zikai változó méréséhez, akkor a többit
érzékel®nek érzékel®je,
nevezzük. a
ez van szoros érzékel®
is
másodlagos
Erre példa egy mér®híd megnyúlásának els®dleges
nyúlásmér®
bélyeg,
míg
másodlagos
érzékel®
lehet
a
h®mérséklet-kompenzáció miatt használt ellenállás-h®mér®.
1.4.2. Jelkondicionáló egység Az
érzékel®k
gyakran
olyan
kimenettel
rendelkeznek,
amelyek
nehezen
kezelhet®ek, így egy olyan egységre van szükség, amely ezt egy szabványos, számunkra könnyebben kezelhet® jellé alakítja, mint például feszültségjel, áramjel, frekvencia. Példák jelkondicionálásra:
•
Jeler®sít®, mely egy érzékel® gyenge, zajérzékeny milivoltos kimenetét voltos tartományba alakítja át.
•
Mér®híd, amely a nyúlásmér® bélyeg ellenállás-kimenetét feszültségjellé alakítja át.
•
Induktív jelátalakító,
amely egy érzékel® mechanikai elmozdulását
feszültségjellé alakítja át.
15
1.4.3. Jelfeldolgozó egység A
jelfeldolgozó
egység
a
jelkondicionáló
egység
kimenetét
a
mérés
kimenetének megfelel®en átalakítja, korrigálja. Példák jelfeldolgozásra:
•
Analóg-digitális
jelátalakító
(ADC),
amely
egy
feszültségjelet
digitalizál, esetleg a kommunikációs protokollnak megfelel® formátumra alakítja, azt továbbítja.
•
A
digitalizálás
mennyiséggé
mellett
alakítja
feszültségkimenetét
egy
át.
kalibrációs
táblázat
Például
h®elem
digitalizálja,
és
a
kalibrációs
alapján már
táblázat
más
er®sített alapján
a
digitális feszültségértéket h®mérsékletértékké alakítja át.
•
A mért nyomás-, h®mérséklet-, s¶r¶ségértékek alapján egy folyadékban átlagsebességet, térfogatáramot számít.
1.4.4. Adatmegjelenít® egység Ennek feladata a mért érték közvetlen megjelenítése valamely digitális kijelz®n, vagy egyszer¶en letárolja az adatot, amit kés®bb feldolgozunk, vagy megjeleníthetjük egy egyszer¶ irodai táblázatkezel® programban. Példák jelfeldolgozásra:
•
Programozható LCD kijelz®.
•
Alfanumerikus adatmegjelenít®.
•
Vizuális adatmegjelenít® egység (Visual Display Unit VDU).
•
Egyszer¶ mechanikus, mutatóval és skálával ellátott adatmegjelenít® egység.
1.5. Példák mér®rendszerekre Az els® példa az 1.4. ábrán látható. Itt a feladat egy közeg h®mérsékletének mérése, illetve megjelenítése volt. Az a
érzékel®
egy
h®elem,
h®mérséklet-változással,
amely
kimenetén
karakterisztikája
16
termofeszültséget
azonban
nemlineáris.
ad A
h®elem
kimenetelén
kb.
1050
µV/K
jelenik
meg.
Mivel
a
termofeszültség a h®elem úgynevezett hideg- és melegpontjai között fellép® h®mérsékletkülönbséggel arányos, így szükséges egy hidegpont-kompenzáció, melyet
a
jelkondicionáló
egység
végez.
Ugyanennek
az
egységnek
feladata a mV-os jel voltos feszültségtartományba való er®sítése, melyr®l feltételezhetjük, karakterisztikája lineáris. -vel
digitális
például
az
jellé
konvertáljuk,
érzékel®
mely
nem-linearitását
Az analóg feszültségjelet ADC digitális
jelet
kompenzálja,
a
PC
illetve
feldolgoz, a
digitális
feszültségjelet h®mérsékletértékké alakítja
kalibrációs
A h®mérsékletérték megjelenítéséhez pl.
egy LCD-t használhatunk, mely
adatok segítségével.
programozásával intelligens módon jeleníthetjük meg a mért h®mérséklet értéket.
1.4. ábra. Mér®rendszer lehetséges felépítése h®elemes h®mérsékletmérésnél
A második példa az 1.5.
ábrán látható.
tárgy tömegét megmérni, kijelezni.
Itt a feladat egy adott
Az érzékelés itt egy els®dleges és egy
másodlagos érzékel® felhasználásával történik. Az els®dleges érzékel®nk egy tartókonzol, mely zikai bemenete maga a tömeg, kimenetén a tartókonzol zikai deformációja (lehet®ség szerint lineáris) jelenik meg.
Ezek után
nyúlásmér® bélyeg segítségével a zikai változást ellenállásjellé alakítjuk. A nyúlásmér® bélyeg a másodlagos érzékel®.
Az ellenállás értéket mV-os
feszültségjellé a mér®híd alakítja, amely az er®sít®vel együtt a jelkondicionáló egység része. Az immáron pár voltos tartományban található feszültségjelet az ADC és a PC, mint jelfeldolgozó egység alakítja digitális tömegértékké. Ezt az értéket egy digitális kijelz® jeleníti meg.
17
1.5. ábra. Mér®rendszer lehetséges felépítése nyúlásmérésnél
Fontosnak tartom megjegyezni, a fenti példák egy elég komplex feladatot adnak(adhatnának) az automatizálással foglalkozó mérnököknek. Az angol szólással kifejezve work, Ha tehetjük,
don't play!,
amely elv itt is érvényesíthet®.
ne mi magunk végezzük a jelkondicionálás,
ADC feladatát. Manapság komoly
vagy akár az
jelátalakítókat lehet kapni,
melyek az
érzékel®kkel integrálva például er®sített feszültségjelet adnak a kimenetükön, amely arányos az érzékel®n keletkezett mérend® zikai változással.
Több
pénzért további id®t és bajlódást spórolunk meg, ha a jelátalakító integrálva van az ADC-vel, esetleg egy szabványos
kommunikációs protokollt
ismer egy beépített mikrokontroller segítségével.
Ez esetben egy komplex
digitális érzékel® kimenetén akár szabványos üzeneteket kaphatunk.
18
is
2. fejezet Mér®rendszer statikus karakterisztikája, kalibráció Az
el®z®
fejezetb®l
karakterisztikája
látható
befolyásolja
volt,
hogy
a
teljes
mérés
hatékonyságát.
a
mér®rendszerek
egyes Például
nem lineáris elemeket alkalmazva a fellép® hiba megn®het. Elvárjuk, hogy az egyes elemek karakterisztikája lehet®ség szerint lineáris legyen, s®t, általában ezt is feltételezzük. Ebben a fejezetben kizárólag statikus karakterisztikákkal foglalkozunk,
vagyis amikor a mér®rendszer kimenete (O ) és bemenete
(I ) közötti összefüggéseket a ki- és bemeneti jelek állandósult állapotában (angolul steady state) vizsgáljuk.
2.1. Statikus karakterisztika és tula jdonságai A mér®rendszer statikus karakterisztikájának de niálásánál els®ként néhány matematikailag leírható fogalmat kell tisztáznunk.
Ezek nagy részét egy
komplex, több mér®pontos mér®rendszer esetén minden egyes mér®pontra meg kell fogalmazni még a komplex automatizálási folyamat kezdeti, tervezési szakaszában.
2.1.1. Névleges tartomány A mér®rendszer bármely eleménél de niálhatjuk a bemeneten (input) és a kimeneten (output) jelek maximum és minimum értékeit. ez
Imin ,Imax ,
a kimeneten
Omin ,Omax . 19
A bemeneten
Sokszor ez az automatizálás során
nem is olyan egyszer¶ feladat, hiszen egy érzékel® bemenetére érkez® zikai jel legkisebb és legnagyobb értékét vagy becsülni kell,
vagy el®zetesen
biztosítani azt. Kés®bbiekben az is látható, hogy nem szerencsés a bemeneti tartományt túlbecsülni. Például egy h®elem bemenetére a valóságban érkez® [−20 ◦ C...200 ◦ C] névleges tartomány esetén 1020%-os biztonsági túlbecslés ◦ ◦ elvárt, viszont egy [−120 C...400 C]-os tartománybecslés a kés®bbiekben felesleges pontatlansági problémákhoz vezet.
9. Példa. Egy nyomástávadó bemenetén a névleges tartomány 0..106 Pa, míg a kimenetén a bemeneti nyomás hatására egy
10. Példa.
Egy h®elem bemenetére a
4..20
mA-es áramjel keletkezik.
−40.. + 200 ◦ C
névleges tartomány
szerint kell h®mérsékleti értéket biztosítani, míg a kimenetén ennek hatására egy
2..10
mV-os feszültségjel keletkezik.
11. Példa.
Egy nyúlásmér® bélyeggel m¶köd® mérleg bemenetére
0..200
kg
tömeg adható, a kimenetén megjelen® ellenállásjel mér®híddal, er®sítéssel felszültségjellé alakítása után a kimeneten
5..20
V feszültségjel jelenik meg.
2.1.2. SPAN (Átfogás) A SPAN angol szó magyarra lefordítva átfogást jelent, azonban az angol kifejezés általánosan használatos a méréstechnika kapcsán.
A SPAN nem
más, mint a mér®elem bemenetén és kimenetén megjelen® jel maximális változása.
Így beszélhetünk input SPAN -r®l:
SPAN -r®l:
Omax − Omin .
12. Példa. A 9.
Imax − Imin ,
illetve output
106
Pa,
240 ◦ C ,
míg
példában bemutatott nyomástávadó input SPAN-ja:
míg az output SPAN-ja: 16 mA.
13. Példa.
A 10. példában bemutatott h®elem input SPAN-ja:
az output SPAN-ja: 8 mV.
14. Példa.
A 11. példában bemutatott mérleg input SPAN-ja:
200
kg, míg
az output SPAN-ja: 15 V.
2.1.3. Érzékenység Ez nem más, mint a lineárisnak feltételezett mér®elem bemenetén egységnyi =0 ∆I változásra mekkora ∆O kimeneti változással reagál. Ha lim∆I→0 dO dI 20
dO . Lineáris karakterisztikát dI így az érzékenység megegyezik a
akkor az érzékenység nem más, mint a derivált feltételezve a derivált végig konstans, kalibrációs egyenes meredekségével.
15. Példa. mA/Pa=
A 9. példában bemutatott nyomástávadó érzékenysége
1, 6 · 10−5
16
mA/Pa =
16. Példa.
A 10. ◦ mV/ C =50µV/ C .
0, 000016
nA / Pa.
példában
bemutatott
h®elem
érzékenysége
0, 05
◦
17. Példa. A 11. =
83
példában bemutatott mérleg input érzékenysége
0, 083 V/kg
mV / kg.
Informatikai és jelfeldolgozási szempontból a nagy érzékenység nagyobb pontosságot és kisebb bemeneti tartományt, a kis érzékenység általában pontatlanságot, viszont nagyobb bemeneti tartományt tesz lehet®vé.
2.1.4. Lineáris karakterisztika Mint
eddig
sokszor
elhangzott,
a
ki-
és
bemenet
karakterisztikát feltételezünk, illetve többnyire elvárunk.
között
lineáris
Akkor mondjuk,
hogy a statikus karakterisztika lineáris, ha a mért bemeneti (I ) és kimeneti (O ) pontok egy egyenesre esnek állandósult állapotban.
Természetesen,
a linearitást csakis a mérési tartományban tartjuk érvényesnek,
vagyis
[Imin ...Imax ] és [Omin ...Omax ] között. A lineáris karakterisztika felvételénél a mérési tartomány két pontja,
A(Imin , Omin )
és
B(Imax , Omax )
között feltételezzük, hogy lineáris.
A lineáris karakterisztika általános egyenlete:
O = a · I + b, ahol
a
(2.1)
az egyenes meredeksége (lineáris karakterisztikánál megegyezik az
érzékenységgel),
b
a tengelymetszet, vagy más néven az
oset.
Az érzékenység számítása:
a= Az oset számításánál, ha akkor
b = Omin .
∆I . ∆O
Imin = 0
(2.2)
akkor könny¶ dolgunk van, hiszen
Ez olyan méréseknél fordul gyakran el®, ahol a bemeneten
viszonylag könny¶ biztosítani a nulla értéket. Ilyen lehet például a feszültség
21
vagy akár a tömeg mérésénél. Ekkor, ha
Imin = 0
egyszer¶en leolvassuk az
osetet. Viszont számos mérésnél (pl.
Imin = 0
feltételt, ekkor
b
h®mérséklet) nem tudjuk biztosítani az
el®z® számítását egy kompenzációs taggal ki kell
egészíteni. Az általánosan használható összefüggés:
b = Omin − a · Imin .
18. Példa. b = 4.
A 9. példában bemutatott nyomástávadó esetén
Így a lineáris összefüggés
19. Példa. 3, 33333.
a = 0, 000016
a = 0, 03333 O = 0, 03333 · I + 3, 33333.
A 10. példában bemutatott h®elem esetén
A 11. példában bemutatott mérleg esetén
Így a lineáris összefüggés
és
O = 0, 000016 · I + 4.
Így a lineáris összefüggés
20. Példa.
(2.3)
a = 0, 075
és
és
b=
b = 5.
O = 0, 075 · I + 5.
2.1.5. Osztálypontosság A m¶szereket pontosságuk szerint csoportosíthatjuk.
Ennek az alapja
a bemeneten végkitérésre (Imax ) vonatkoztatott relatív hiba adja.
Az
osztálypontosság (β ) számítása a következ®:
β=
|Hmax | · 100. Imax
(2.4)
Az osztálypontosság számítása esetén tehát megnézzük a maximális hibát a kalibrációs tartományban, és ezt a hibát vonatkoztatjuk az egész tartományra.
A m¶szereket szabványos pontossági osztályokba sorolják,
az osztálypontosságuk alapján a legközelebbi szabványos értékhez rendeljük ®ket. A szabványos osztálypontossági értékek:
β = [0, 1 ; 0, 2 ; 0, 5 ; 1, 0 ; 1, 5 ; 2, 5 ; 5, 0]. Adott egy
β
osztálypontosság esetén kérdés,
adott mérés
relatív
hibáját,
hiszen
(2.5)
hogyan határozhatjuk meg
az osztálypontosságot
a
teljes
mérési tartományra értelmeztük. Adott osztálypontosságú m¶szerrel történ® méréskor a mért
Im
érték esetén a relatív hiba a következ®:
h=
Imax · β. Im 22
(2.6)
A m¶szerek relatív véletlen hibája azonban több összetev®b®l áll:
h = h1 + h2 ahol
h1
Imax ,. Im
(2.7)
h2
a végértékre vonatkoztatott
a mért értékre vonatkoztatott hiba,
hiba.
2.1.6. Nemlineáris karakterisztika Ha egy mér®elem karakterisztikája nem írható fel a 2.1. akkor a karakterisztikája
nemlineáris.
egyenlet alapján,
A nemlinearitást a valós
görbe és a lineáris karakterisztika különbségéb®l képzett
H(I)
O(I)
hibataggal
jellemezzük:
H(I) = O(I) − (a · I + b),
(2.8)
O(I) = a · I + b + H(I).
(2.9)
amelyb®l:
A nemlineáris karakterisztika értelmezését a 2.1. képzett
H(I)
ábra mutatja be.
hibatagot pedig a 2.2. ábra szemlélteti.
2.1. ábra. Nemlineáris karakterisztika értelmezése
23
A
2.2. ábra. Nemlineáris és lineáris karakterisztika hibája
2.1.7. Környezeti hatások Az ellenállások h®mérsékletfüggése általánosan ismert tény, h®mérséklet
változásával
az
elektromos
felvet®dik a kérdés, hogy a 11.
ellenállás
is
változik.
Ezáltal
példában felhasznált nyúlásmér® bélyeg
lineáris karakterisztikája függ-e a küls® h®mérséklett®l,
illetve ha függ,
akkor milyen h®mérsékleten kell felvenni a karakterisztikát. fontos kérdés,
miszerint a
Ugyancsak
hogyan tudom megmérni nyúlásmér® bélyeggel egy daru
terheléspróbája alatt a fém tartószerkezet deformációját mind a sivatagban, mind az Északi-sarkon egyaránt. A válasz, a standard környezeti értékek, amelyen a kalibrációt el kell végezni.
Ha nem ezeken az értékeken mérünk, akkor pedig a standard
értékekre kell visszaszámolni. az
Északi-sarkon
és
h®mérsékletértékre
a
kell
Így a megnyúlás értéke ugyanakkora lesz ◦ sivatagban, ugyanis mindkett®t Tstd = 20 C visszaszármaztatni.
környezeti változók a következ®ek:
•
H®mérséklet:
•
Nyomás:
•
Páratartalom:
Tstd = 20 ◦ C ;
Pstd = 1000 mbar; Hstd = 50%; 24
A
megállapodás
szerinti
•
Standard tápfeszültség:
Ustd = 10 V DC .
A környezeti hatások a karakterisztikát módosítják, mégpedig a lineáris tag
a
meredekségét és
b
osetét. A módosított környezetfügg®, nemlineáris
karakterisztika a következ®:
O(I) = (a + aM ) · I + (b + bM ) + H(I), ahol
aM
és
bM
(2.10)
a környezeti hatások okozta meredekség és oset változása.
A 2.3. és 2.4. ábrákon a h®mérséklet okozta meredekség- és osetváltozások látszanak.
2.3. ábra. Környezeti hatások szemléltetése nemlineáris karakterisztikán 1.
2.1.8. Hiszterézis A mérés során akkor beszélünk a hiszterézis jelenségér®l, ha egy adott bemeneti értékhez más
O
I
kimeneti érték tartozik, attól függ®en, hogy a
bemenet éppen növekszik vagy csökken. Ilyen jelenség lehet a mutatós kijelz® mechanikájából, vagy egy fogaskerék-áttétel mechanikájából ered® kotyogás.
2.1.9. Hibasáv A
nemlinearitás,
elhanyagolhatóak,
a
hiszterézis,
illetve
a
zajok
a
modern
érzékel®kben
összeadva ®ket sem jelentenek nagy hibát a lineáris
25
2.4. ábra. Környezeti hatások szemléltetése nemlineáris karakterisztikán 2.
2.5. ábra. Hiszterézis
karakterisztikához képest.
Emiatt a modern gyártók egy hibasávot adnak
meg. Azt garantálják, hogy bemenet (I ) hatására a kimenet (O ) egy adott
±h
hibasávon belül fog mozogni az ideális
képest.
26
O(I)
lineáris karakterisztikához
2.2. Kalibráció
2.2.1. Etalonrendszer Mint az el®z®ekb®l kiderült, a valóságot nem tudjuk pontosan megmérni, viszont a mér®m¶szerünkhöz képest egy sokkal pontosabb mér®m¶szert el tudunk fogadni valós értékként kell,
A m¶szereinket id®nként
kalibrálni
vagyis egy összehasonlító mérést kell végezni egy nála pontosabb,
etalonként egy
(xv ).
elfogadott mér®m¶szerrel, vagy hiteles mennyiséggel.
H = 0, 01
V pontossággal mér® multiméterhez képest egy
Például
H = 0, 0001
V pontossággal mér® m¶szert elfogadhatunk valós értéknek, etalonnak.
I
kalibráció során egy mér®m¶szer bemenetére adott etalon m¶szerrel, melyet mérjük a szükséges
IK
xv
kompenzáció végett, illetve a m¶szer fogadunk el.
Az
xm
értéket mérjük egy
valós bemenetnek elfogadunk.
környezeti hatásokat (pl.
O
A
Párhuzamosan
h®mérséklet, nyomás) a
kimenetét, melyet
xm
mért értéknek
mért értéket szintén mérjük etalon m¶szerrel az
összehasonlítás végett. A 2.6. ábra mutatja be a kalibráció m¶szerezettségét.
2.6. ábra. Kalibrációs környezet felépítése etalon m¶szerekkel
Az etalon hierarchia a 2.7.
ábrán látható.
vállalaton belüli kalibrációs rendszerre, infrastruktúrára. 1.
Két részre bontható, egy
és egy
nemzeti metrológiai
Vállalaton belüli kalibrációs rendszer.
Ez
a
a
vállalat
által
használt
minden
etalonhoz képest hitelesített.
mér®eszköz
biztosítja, saját
hogy
referencia
Ezt nem használják közvetlenül a helyi
27
mér®m¶szerek kalibrálásához, azt a végzik.
használati vagy gyári etalonnal
Ezek alapján a referencia etalon a vállalati etalonok közül a
legpontosabb etalon, a helyi méréseket a többi használati etalon által erre vezetik vissza.
A kalibrálási adatokat egy el®írt id®szakon belül
meg kell ®rizni, illetve a kalibrációt rendszeresen elvégezni. 2.
Nemzeti metrológiai infrastruktúra.
Az akkreditált kalibráló
laboratóriumok a cégek bels® kalibrálási hierarchiájának a csúcsán helyezkednek az
el.
Feladatuk
összehasonlítása
eredményeit
a
a
cég
referencia
saját
használati
etalonokkal.
kalibrálási bizonyítványban
etalonjainak A
kalibrálás
dokumentálják.
Az
akkreditációt akkreditáló szervezetek adják ezen laboratóriumoknak. A kalibráció hazai csúcsán a Magyarországon
ez
a
nemzeti metrológiai intézetek állnak.
Magyar Kereskedelmi Engedélyezési Hivatal
(MKEH). Az esetek nagy részében ezek tartják fenn az ország nemzeti etalonjait. Az akkreditált kalibráló laboratórium referencia etalonjait erre vezetik vissza. A
fenti
hierarchiát
a
nemzetközi
egységde níciók zárják le. de níciók.
etalonrendszer
folytatja,
majd
az
Ezek nagyon pontos, nemzetközileg elfogadott
Például a méter, az 1983-as de níció szerint annak az útnak a
hosszúsága, amelyet a fény a vákuumban 1/299 792 485-ad másodperc alatt tesz meg.
2.2.2. SI mértékrendszer A Mértékegységek Nemzetközi Rendszere, röviden SI (Système International
d'Unités ) modern, nemzetközileg elfogadott mértékegységrendszer.
alapegység
van, a többi
származtatott
Az alapegységeket a 2.1.
Hét
egység illetve kiegészít® egység.
táblázat mutatja be.
Az SI alapegységekb®l
hatványozással, szorzással, osztással képzett származtatott egységek a 2.2. táblázatban láthatóak. Érdekességképpen a világ méreteir®l: egy kvark mérete (elektronsugara) −18 26 10 méter, míg ellenkez® irányban 10 méter a kozmikus sugárzás által az ®srobbanás óta megtett út. A
mértékrendszer
nemzetközi,
azonban
számos
országban
egyéb
mértékeket is használnak. Magyarországon területmérték a hektár és hold, a cs®vezetékek átmér®jét sok helyen még coll ban adják meg, amely angol
28
2.7. ábra. Kalibrációs hierarchia
mértékrendszerben az inch nek felel meg. Kanadában az emberek nem érzik a Celsius-fokban de niált h®mérsékletet, csak Fahrenheit-fokban megadva érzik, hogy kell-e kabátot felhúzni.
A nyomásnál Pascalt használt az SI,
azonban a világ számos országában (UK, Kanada, közel-keleti országok) el®szeretettel az angolszász PSI-ban mérnek (font per négyzethüvelyk).
A
2.3. táblázat a használt pre xumokat mutatja be.
2.2.3. Kalibráció menete A
2.1.
egyenletben
a
lineáris
karakterisztikát
mérési tartomány két széls® pontja,
A(Imin ; Omin )
de niáltuk. és
Ekkor
B(Imax ; Omax )
a
között
feltételeztük a linearitást. Nézzük meg azonban az automatizálás szemszögéb®l a karakterisztikát. A feladatunk, hogy az érzékel® kimenetén kapott a bemenet
I
O
értékb®l határozzuk meg
értékét, és becsüljük meg a mérés hibáját.
Gondoljunk bele,
a nyomástávadó kimenetén kapott feszültségjel az, amely akár analóg, akár digitális formában rendelkezésünkre áll, ebb®l kell következtetnünk a nyomás
29
2.1. táblázat. SI alapegységek
SI alapegységek mértékegység neve jele mennyiség neve
mennyiség jele
méter
m
hossz
l
kilogramm
kg
tömeg
m
másodperc
s
id®
t
amper
A
elektromos áramer®sség
I
kelvin
K
termodinamikai h®mérséklet
T
mól
mol
anyagmennyiség
n
kandela
cd
fényer®sség
Iv
értékére. Az összefüggés tehát a 2.1. egyenlet alapján:
I=
O−b a
(2.11)
A feladat az, hogy adjunk becslést a kalibráció hibájára. Ezt úgy lehet megtenni, hogy a bemeneti tartomány [Imin ...Imax ] pontjai között
etalon,
a mér®rendszer szempontjából valós értéknek tekinthet® pontokon mérjük a rendszer kimenetét. A nemlinearitás, hiszterézis, zajok okozta hibák miatt a bels® pontok sokszor nem a lineáris egyenesre esnek, adott távolságra lesznek t®le. Ezeket a távolságokat véletlen hibákat mérni tudjuk. A 2.4. mutatja.
(Iv )
táblázat egy PT100-as ellenállás h®mér® kalibrációs táblázatát Kilenc kalibrációs pontot mértünk adott h®mérséklet-bemenetek
és a PT100 kimenetén mért ellenállás értékek,
alapján.
Az
(Iv )
valós
h®mérséklet
etalonnak tekintett h®mér®vel mérjük. kimenet
R(Ohm)-ban
mértük.
értékeket Az
(Iv )
mint kimenet
(O)
egy
másik, hitelesített, ◦ bemenet T ( C)-ban, az O
A mért tartomány elég széles ahhoz, hogy
lineárisnak feltételezzük a tartományt.
A kalibráció során megköveteljük,
hogy a bemeneti tartomány elején és végén lév® alappontokon a kalibrációs egyenes áthaladjon.
A két alappontunk
A(−200; 18, 49)
és
B(200; 175, 84).
A cél a két kalibrációs alappont alapján a 2.11. egyenlet meghatározása. A számítás alapján az oset etalonértékek alapján a
H
b = 99, 17,
illetve a meredekség
abszolút hibák és a
h
a = 0, 39.
A bels®
relatív hibák számíthatóak
az összes alappontban. A táblázatból kiolvasható a maximális abszolút hiba abszolút értéke
30
2.2. táblázat. SI származtatott egységek
SI származtatott Fizikai mennyiség SI név mennyiség jele frekvencia
hertz
Hz
er®
newton
N
nyomás
pascal
Pa
energia, munka, h®
joule
J
teljesítmény, h®áramlás
watt
W
elektromos töltés
coulomb
C
elektromos
volt
V
elektromos ellenállás
ohm
Ω
elektromos vezet®képesség
siemens
S
kapacitás
farad
F
mágneses indukció
tesla
T
mágneses uxus
weber
Wb
induktivitás
henry
H
fényáram
lumen
lm
megvilágítás
lux
lx
radioaktivitás
becquerel
Bq
elnyelt sugárdózis
gray
Gy
dózisegyenérték
sievert
Sv
katalitikus aktivitás
katal
kat
feszültség,
elektromos
potenciálkülönbség
|Hmax | = 7, 27 ◦ C ,
illetve
Imax = 200 ◦ C ,
β=
ezek alapján:
7, 27 ◦ C · 100 = 3, 63%. 200 ◦ C
A kalibrációs görbék a 2.8.
ábrán láthatóak.
(2.12)
A hibaszámításról a 2.9.
ábra ad magyarázatot, ahol látszik a linearizálás utáni mért (számított) értékek, és a valós
IV
IM
értékek közti különbség.
A kalibrációs példában eddig a
|Hmax | abszolút hibával becsültük a mérés
hibáját, vagyis ezt az értéket vetíthetjük a teljes mérési tartományra. Így, ha ◦ például a kalibrációs egyenlettel számított Im mért értékünk Im = 56, 25 C , ◦ ◦ akkor a hibabecslés után Im = 56, 25 C ± 7, 27 C hibasávot kapjuk. 31
2.3. táblázat. SI pre xumok
SI pre xumok El®tag Jele szorzó szorzó névvel kvadrillió
da (dk)
1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101
1
egy
yotta-
Y
zetta-
Z
exa-
E
peta-
P
tera-
T
giga-
G
mega-
M
kilo-
k
hekto-
h
deka deci-
d
centi-
c
milli-
m
mikro-
µ
nano-
n
piko-
p
femto-
f
atto-
a
zepto-
z
yokto-
y
−1
10 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24
Nyilvánvalóan a legegyszer¶bb,
trilliárd trillió billiárd billió milliárd millió ezer száz tíz
tized század ezred milliomod milliárdod billiomod billiárdod trilliomod trilliárdod kvadrilliomod
és a legkevesebb komplikációval járó
eljárást használtuk, miszerint egyetlen abszolút hibával számolunk a teljes mérési tartományon.
Így egyetlen kalibrációs ponton mért kiugró hiba
teljesen elrontja a m¶szerünk pontosságát, annak besorolását. van
jobb
megoldás,
annál
is
inkább,
mivel
számos
Azonban
informatikai
és
matematikai algoritmus rendelkezésünkre áll. Sokkal elegánsabb megoldás, ha az alappontokban kapott abszolút hibaértékeket interpoláljuk, és az interpolációs görbe segítségével bármely alappontban megállítjuk az abszolút hibát. Ezek után a 2.9. összefüggés alapján kompenzáljuk a mért értékünket. ◦ A 2.5. táblázat az így kalibrált értékeket tartalmazza. A Hint ( C) értékek egy másodfokú interpolációs polinommal lettek meghatározva. A számított
32
2.4. táblázat. Kalibrációs táblázat T∗ (◦ C); Im H(◦ C)
#
T(◦ C); Iv
R(Ohm), O
1
-200,00
18,49
-200,00
0,00
0,00%
2
-150,00
39,71
-146,06
3,94
-2,63%
3
-100,00
60,25
-93,84
6,16
-6,16%
4
-50,00
80,31
-42,85
7,15
-14,31%
5
-10,00
96,09
-2,73
7,27
-72,67%
6
50,00
119,44
56,63
6,63
13,25%
7
100,00
138,50
105,0
8 5,08
5,08%
8
150,00
157,31
152,8
9 2,89
1,93%
9
200,00
175,84
200,0
0 0,00
0,00%
h(%)
2.8. ábra. Kalibrációs görbe
interpolációs összefüggés, amely a 2.10. ábrán is látható:
2 − 0, 001 204 6545 · Im + 7, 396 771 1312. Hint = −0, 000 183 2542 · Im Látható, hogy az összefüggés a számított számol,
Im
(2.13)
h®mérsékletértékek alapján
hiszen ezek állnak rendelkezésre a lineáris kalibrációs egyenlet
kimeneteként.
A
számított
Im
h®mérsékleti
kompenzált pontosabb eredményeit az számított relatív hibaértékeket a számított
|Hmax | = 0, 28,
hk
Ikm
értékek
oszlop mutatja.
illetve az osztálypontosság
sokkal kevesebb, mint az el®z®ekben számított
33
Hint
értékek mutatják.
3, 63%.
értékekkel Az így
A táblázat alapján
β = 0, 14%,
amely
2.9. ábra. Hibaszámítás kalibráció esetén
2.10. ábra. Abszolút hiba és interpolációja
Az
abszolút
hiba
interpolációjával
a
kalibráció
jóval
pontosabbnak
bizonyult. A kalibráció lépései összefoglalva: 1. A 2.11 összefüggés felhasználásával a lineáris kalibrációs egyenlet számítása; 2.
H
abszolút hibaértékek meghatározása bels® alappontokban;
34
#
2.5. táblázat. Kalibrációs táblázat az abszolút hiba interpolációjával T(◦ C) T∗ (◦ C) H(◦ C) h(%) Hint (◦ C) T∗K (◦ C) hk (%)
R(Ohm) O
Iv
Im
Ikm
1
-200,00 18,49
-200,00
0,00
0,00
0,31
-200,31
-0,31
2
-150,00 39,71
-146,06
3,94
-2,63
3,66
-149,72
0,28
3
-100,00 60,25
-93,84
6,16
-6,16
5,90
-99,74
0,26
4
-50,00
80,31
-42,85
7,15
-14,31
7,11
-49,96
0,04
5
-10,00
96,09
-2,73
7,27
-72,67
7,40
-10,13
-0,13
6
50,00
119,44
56,63
6,63
13,25
6,74
49,88
-0,12
7
100,00
138,50
105,08
5,08
5,08
5,25
99,83
-0,17
8
150,00
157,31
152,89
2,89
1,93
2,93
149,97
-0,03
9
200,00
175,84
200,00
0,00
0,00
0,17
200,17
0,17
Im és H értékek által, amelyb®l bármely mért Im érték alapján az interpolált Hint abszolút hibaértékek
3. interpolációs polinom meghatározása az meghatározhatóak; 4. a
Hint
értékek alapján a
β
osztálypontosság meghatározható.
A mérés menete a következ®: 1. A mért kimeneti
O értékek, és a kalibrációs egyenlet alapján Im
értékek
meghatározása; 2. A
kalibrációs
egyenletét, így
táblázat
Hint
tartalmazza
az
abszolút
hiba
abszolút hibaérték meghatározható;
3. A 2.9 összefüggéssel kompenzáljuk
35
Im
mért értékünket.
interpolációs
36
3. fejezet Mérési adatsorok kiértékelése Egy
megbízható
mérés
feltétele
az
ismételhet®ség.
Természetesen
a
mér®m¶szer pontatlansága, a környezeti hatások, zajok miatt a valóságot soha
nem
tudjuk
megmérni.
Ezek
alapján,
ha
ugyanarra
a
valós
értékre többször rámérünk, akkor nem ugyanazokat az értékeket kapjuk, valamekkora eltérések mindig lesznek. Ha ez igaz, felmerülnek a következ® kérdések: 1. Mekkora
a
mért
érték,
ha
többször
is
rámérünk
ugyanarra
a
mennyiségre? 2. Ha mértem egy sorozatot, a következ® érték milyen hibaintervallumba fog esni? 3. Mekkora annak a valószín¶sége, hogy a következ® mérés egy adott hibaintervallumon belül esik? 4. Hogyan változik az intervallumba esés valószín¶sége az intervallum megváltoztatásával?
3.1. Medián és átlag A mérés során a valós értéket (xv ) nem ismerjük, a mért értékeket (xm ) adott fel.
H
abszolút hiba mellett számítjuk, amelyek véletlen hibákból lépnek
Emellett ismeri kell a hibavalószín¶ség s¶r¶ségfüggvényét.
A mérések
során általában a
H
eloszlást mutat.
Ennek ellen®rzésére léteznek statisztikai próbák, ennek a
hiba a valós érték körül normális (vagy Gauss ) folytonos
37
jegyzetnek ez most nem része.
Ha a mérések száma
E(X) várható érték becslésére az X
n → ∞,
akkor az
átlag (mintaközép) szolgál (ez torzítatlan
becslés):
n
X= ahol
Xk
a mérési sorozat
k.
1X Xk , n k=1
(3.1)
elemét jelöli.
A másik becslés a sorozat mediánja:
Xmed = X(n+1)/2 .
(3.2)
A medián számításához nincs szükség az adatok összegzésére.
Egyszer¶en
növekv® sorrendbe rendezzük ®ket, majd páratlan számú elem esetén a középs® elem lesz a sorozat mediánja.
Páros számú mért érték esetén a
medián a két középs® elem átlaga. A mérések számának növelésével a medián és az átlag közötti hiba nullához tart.
21. Példa. Legyen a feladat egy rúd hosszának megmérése egy mér®szalaggal, amelynek beosztása mm alapú,
vagyis
H = 0, 1
cm.
Megmértük tíz
alkalommal a rúd l hosszát és az alábbi adatsort kaptuk: l = [100, 1 99, 6 100, 3 100, 0 99, 8 100, 5 100, 1 100, 0 100, 1 99, 7]. Mekkora a mérési sorozat átlaga és mediánja?
10
1 X l= lk = 100, 02; 10 k=1
(3.3)
lmed = l(10+1)/2 = (l6 + l5 )/2 = 100, 05. 3.2. Intervallumbecslések Ha a mérési eredményünkre hibabecslést szeretnénk adni, a mérési adatsor alapján a legnagyobb és a legkisebb érték alapján megtehetjük, bár ez nem mutatja meg, hogyan oszlik el az adatsor a mérés átlaga körül. Sokkal jobb becslést ad a
szórás, szórásnégyzet,
vagy az
átlagos abszolút eltérés
számítása intervallumbecslés gyanánt. Kiindulópontként számítsuk ki az
X
átlag és a mért értékek
dk = xk − X. 38
dk
eltéréseit: (3.4)
Az
elméleti
szórésnégyzet,
valószín¶ségi változó
µ
variancia
vagy
számítása,
ha
ismert
X
várható értéke:
Pn
2
k=1 (xk
σ =
− µ)2
n
.
(3.5)
2 Adott minta esetén a tapasztalati szórásnégyzet (s ) meghatározható, ha a várható érték torzítatlan becslésére a számtani átlagot (X ) alkalmazzuk:
Pn
k=1 (xk
2
s =
Pn
− X)2
k=1
=
n
d2k
(3.6)
n
A korrigált szórásnégyzet:
s
∗2
Pn
Pn − X)2 d2 = k=1 k n−1 n−1
k=1 (xk
=
(3.7)
A mérési sorozat standard szórása (σ ) nem más, mint a variancia
σ2
négyzetgyöke:
r Pn
k=1 (xk
σ=
− µ)2
n
.
(3.8)
Ennek torzítatlan becslése a tapasztalati szórás (s):
s
Pn
s=
2 k=1 (xk − X) = n
r Pn
k=1
d2k
n
.
(3.9)
A korrigált szórásérték így a következ®:
s s∗ =
Pn
− n−1
k=1 (xk
X)2
sP =
n k=1
d2k . n−1
Az átlagos abszolút eltérés (δ ) nem más, mint a
dk
(3.10)
eltérések abszolút
értékének átlaga:
n
1X δ= |dk |. n k=1
(3.11)
A mért sorozat intervallumbecslése általános alakban a következ®:
+L1
xm = X −L2 , 39
(3.12)
ahol
L1
a hiba fels® határára,
L2
az alsó határára ad becslést.
L1
és
L2
értéke nem feltétlenül azonos, az intervallum így nem biztos, hogy az átlagra szimmetrikus. Az alábbi intervallumbecsléseket végezhetjük el:
1.
Terjedelem alapján:
A táblázat alapján meghatározzuk
xmax és xmin
értékeket, amely az átlag és a mérési sorozat legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbség.
L1 = xmax − X +L1 xm = X −L2 összefüggés Ekkor
és
L2 = X − xmin .
alapján számítjuk.
2.
Átlagos abszolút eltérés alapján:
3.
σ
szórás alapján:
22. Példa.
Az intervallumbecslést a
xm = X ± δ .
Ez a legáltalánosabb becslés.
xm = X ± σ
Számítsuk ki a 21. példa szórását, varianciáját, átlagos abszolút
eltérését. Végezzük el az intervallumbecsléseket!
Megoldás:
Els®ként vegyük fel egy táblázatba az adatokat és számítsuk ki a dk |dk | abszolút értékeit, illetve d2k négyzetüket. A táblázatot a 3.1. ábra mutatja.
eltéréseket, ezek
3.1. ábra. A mért értékeket, illetve ezek feldolgozását tartalmazó táblázat
40
A táblázat alapján: 10 X
d2k = 0, 656;
k=1
P10 Vs =
k=1
d2k
= 0, 0729; 9 p σ = Vs = 0, 27;
(3.13)
10
δ=
1 X |dk | = 0, 2. 10 k=1
Az intervallumbecslések:
L1 = xmax − X = 100, 5 − 100, 02 = 0, 48 = 100, 02 − 99, 6 = 0, 42.
1. Terjedelem alapján: Ekkor
L2 = X − xmin +L1 +0,48 xm = X −L2 = X −0,42
és
2. Átlagos abszolút eltérés alapján: 3.
σ
szórás alapján:
xm = X ± δ = X ± 0, 27.
xm = X ± σ = X ± 0, 27.
3.2. ábra. A mérési sorozat adatai az átlaggal, maximum és minumum értékekkel, szórással
Most vizsgáljuk meg a számított intervallumbecslések valószín¶ségeit. Képzeljük el,
hogy a mérésünk száma végtelenbe tart,
41
n → ∞.
Ha
a mérési hibák el®fordulását (frekvenciáját) ábrázoljuk a mérési hibák (D )
függvényében
egy ideig,
(most
használjuk
akkor
D
jelölést
az integrálásnál zavaró lenne a kis
frekvenciaeloszlás-függvényt, függvényt
a
f (D)
várható
kapjuk. értéke
vagy
d
használatosabb
a
d
jelölés
használata), elnevezéssel
helyett akkor a
a
s¶r¶ség
Ha a mintánk nem tartalmaz rendszeres hibát,
a
s¶r¶ségfüggvénynek
nulla,
így
ez
a
görbe
normál eloszlás esetén egy nullára szimmetrikus páros függvény. a s¶r¶ségfüggvényt normalizáljuk,
azaz a területe egy legyen,
Ha
akkor a
valószín¶ségi s¶r¶ségfüggvényt kapjuk meg. Matematikailag:
Z
+∞
f (D)dD = 1.
(3.14)
−∞ A
valószín¶ségi
s¶r¶ségfüggvény
a
3.3.
ábrán
látható.
D1 és D2 közé esik, s¶r¶ségfüggvény D1 és D2 közötti területe: Z D2 P (D1 < D < D2 ) = f (D)dD.
valószín¶sége, hogy a hiba két érték a valószín¶ségi
Annak
a
nem más, mint
(3.15)
D1 A
fenti
integrálérték
kiszámításához
felhasználjuk
az
eloszlásfüggvényt(F ), amelyre igaz:
dF (D) = f (D), dD
F 0 (D) =
(3.16)
vagy másképpen:
Z
D
f (t)dt.
F (D) =
(3.17)
−∞ Ezek alapján a hibaintervallum
[D1 , D2 ] valószín¶ségének meghatározása
a következ® módon történik: A mérésünk hibáinak eloszlását, mint de niáltuk, normális eloszlásnak feltételezzük.
Ekkor
a
mérési
eredmények
független,
azonos
eloszlású
valószín¶ségi változónak tekinthet®ek. A normál eloszlás s¶r¶ségfüggvénye a mért adatsor esetén:
ahol
X
az adatsor
1 2 2 f (x) = √ e[−(x−X) /2σ ] , σ 2π átlaga, σ pedig a szórása. Ha a Dk = xk − X
(3.18) eltéréseket
kiszámítjuk minden egyes mérési adathoz, akkor a hiba s¶r¶ségfüggvényét kapjuk:
42
3.3. ábra. A valószín¶ségi s¶r¶ségfüggvény
1 2 2 f (D) = √ e[−D /2σ ] . σ 2π D
Így annak a valószín¶sége, hogy a hiba essen:
Z
D2
P (D1 < D < D2 ) = D1
[D1 , D2 ]
a
intervallum közé
1 2 2 √ e[−D /2σ ] dD. σ 2π
Ha az el®z®ek alapján normalizáljuk, vagyis akkor a szórással elosztva vezessük be a
(3.19)
z
f (D)
(3.20)
területe egy legyen,
változót:
z = D/σ.
(3.21)
Így
Z
z2
P (D1 < D < D2 ) = P (z1 < z < z2 ) = z1 Ez alapján az integrálás eredménye vagy az
F (D)
a f(D) eloszlásfüggvényb®l meghatározható. történ®
kiértékelésével
nem
célunk
1 2 √ e[−z /2] dD. σ 2π
s¶r¶ségfüggvényb®l, vagy
Az integrálás táblázatokkal
foglalkozni,
hiszen
informatikai szoftver (akár MS Excel) is kiválóan elvégzi. Ez alapján az intervallumbecslések valószín¶sége:
43
(3.22)
ezt
bármely
1.
Terjedelem alapján:
2.
Átlagos abszolút eltérés alapján:
3.
σ
szórás alapján:
P (−0, 42 < D < 0, 48) = 90, 23% P (−0, 2 < D < 0, 2) = 54, 11%
P (−0, 27 < D < 0, 27) = 68, 27%
A fentiekb®l látszik, hogy nagyobb hibaintervallumba esés valószín¶sége nagyobb, mint a sz¶k intervallumba esésé. hibaintervallum esetén
X ± σ = X ± 0, 27
68, 27%
Például a szórással becsült
a valószín¶sége, hogy a következ® mérésünk
intervallumba essen, viszont
31, 73%
valószín¶séggel a
mérés nem esik bele az adott hibaintervallumba.
xm = X ± 2σ = X ± 0, 54 P (−0, 54 < D < 0, 54) = 99, 45%.
Általánosan a szórás kapcsán még az hibaintervallumot is használjuk, melyre Véletlen hibák esetén a
xm = X ± 3σ − 6σ
xm = X ± 3σ
intervallum használatos, a kiugró hibák
intervallumba esnek.
44
4. fejezet A mérés dokumentálása A mérési eredményeket a megfelel® kiértékelés és intézkedések meghozatala végett dokumentálni kell. A mérési jegyz®könyv elemei:
•
fed®lap (mérés neve, dátum, jegyz®könyvkészít® cég és személy neve);
•
A mérést végz® cég és személy részletes adatai;
•
A mérés leírása, a mérend® mennyiség jellemz®i;
•
A mérés körülményei (id®pont,
mérés helye,
felhasznált eszközök
megnevezése és típusszáma);
•
A mérési folyamat leírása;
•
A mérés kapcsolási vázlata, felhasznált módszerek;
•
A
méréshez
szükséges
számítások
de niálása,
megadása;
•
Adatok közlése táblázat, gra kon formájában;
•
Eredmények közlése;
•
Következtetések levonása;
•
Aláírás, pecsét.
45
mértékegységek
46
Irodalomjegyzék Principles of Measurement Systems.
[1] J.P. Bentley.
Longman Current
Aairs, 1988. [2] National
Instruments.
Labview:
Data Acquisition Basics Manual.
National Instruments, 1996. [3] F.C. Metrology and D. Placko.
Metrology in Industry:
The Key for
Quality. ISTE. Wiley, 2013. Measurement and Instrumentation Principles.
[4] A.S. Morris.
Elsevier
Science, 2001. [5] Dominique Placko. Fundamentals of Instrumentation and Measurement. ISTE. ISTE Ltd, 2007. [6] P.
Regtien,
F.
van
der
Heijden,
M.J.
Korsten,
and
W.
Measurement Science for Engineers. Elsevier Science, 2004.
47
Otthius.
