4
Driehoeken
Dit kun je al 1 ruimtefiguren herkennen 2 hoeken meten en tekenen 3 oppervlakte berekenen van vierhoeken 4 volume berekenen van balk en kubus
Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek. A
1
2
3 4
B
C
Verder oefenen?
Welke ruimtefiguur herken je?
piramide
driehoek
prisma
oef. 519
85°
95°
75°
oef. 516
18 m2
18 dm2
90 dm2
oef. 694
24 dm3
96 dm3
240 dm3
oef. 704
Hoe groot is A?
A Een rechthoek heeft een lengte van 4 m en een breedte van 45 dm. Bereken de oppervlakte. De oppervlakte van het grondvlak van een balk is 4 dm2. De hoogte van de balk is 60 cm. Bereken het volume.
Dit heb je nodig
Inhoud
• leerwerkboek p. 75-92 • oefenboek p. 237-252 • geodriehoek • passer • rekenmachine • kleurpotloden
M18 M19 M20 M21
Driehoeken in de ruimte Driehoeken tekenen Merkwaardige lijnen in een driehoek Omtrek, oppervlakte en volume
p. 76 p. 80 p. 84 p. 88
75
M18
Driehoeken in de ruimte Op verkenning a
Begrippen • • •
• • •
driehoek ........................................................................... . . . . . . Van welke ruimtefiguur is deze vlakke figuur een grensvlak op de tweede foto ? piramide ......................................................... . . . . . . grondvlak = veelhoek Hoe herken je deze ruimtefiguur? ........................................................................... ...... zijvlakken= driehoeken . . . . . . ........................................................................... prisma Van welke ruimtefiguur is de driehoek een grensvlak op de derde foto ? ......................................................................... ...... driehoek Welke vorm hebben grond- en bovenvlak op de derde foto? ........................................................................... ...... neen Zijn grond- en bovenvlak steeds driehoeken? ........................................................................... ...... Welke vlakke figuur herken je op alle foto’s?
Wiskundetaal – begrippen Een driehoek wordt bepaald door drie punten die niet op dezelfde rechte liggen.
A
Δ ABC lees je als driehoek ABC A : de overstaande hoek van [BC] A : de ingesloten hoek van [AB] en [AC] B en C : de aanliggende hoeken van [BC]
B
C Een piramide is een ruimtefiguur begrensd door een veelhoek met n zijden en n driehoeken.
T
de tophoek: T het grondvlak: veelhoek ABCDE de hoogte: | TF |
E
D
A
F B
C
Een prisma is een ruimtefiguur die begrensd is door twee evenwijdige veelhoeken en waarvan de opstaande zijvlakken parallellogrammen zijn.
grondvlak: veelhoek ABCDE bovenvlak: veelhoek FGHIJ
I H
G
F D
E
C B
b
A
Indeling van driehoeken • Vul onderstaande tabel aan.
aantal even lange zijden aantal scherpe hoeken aantal stompe hoeken aantal rechte hoeken
76
J
driehoeken
Foto 1
Foto 2
Foto 3
Foto 4
0 2 0 1
3 3 0 0
2 2 1 0
2 2 0 1
Driehoeken kun je op twee manieren indelen: volgens de zijden en volgens de hoeken. Elke driehoek krijgt dus een dubbele naam. Volgend schema kan je daarbij helpen.
Is er een rechte hoek?
ja
Zijn er twee even lange zijden?
ja
nee
nee
rechthoekige gelijkbenige driehoek
rechthoekige ongelijkbenige driehoek
Is er een stompe hoek?
zijn er twee even lange zijden?
ja
ja
stomphoekige gelijkbenige driehoek
nee stomphoekige ongelijkbenige driehoek
nee
Zijn er twee even lange zijden?
ja
Zijn er drie even lange zijden?
nee scherphoekige ongelijkbenige driehoek
•
ja
scherphoekige gelijkzijdige driehoek
nee scherphoekige gelijkbenige driehoek
Welke twee benamingen kun je geven aan de driehoeken op de foto’s uit vorige tabel? Zeg ook waarom. Foto 1
volgens de zijden
verklaring
volgens de hoeken
verklaring
Foto 2
Foto 3
Foto 4
ongelijkbenige gelijkzijdige gelijkbenige gelijkbenige Δ Δ Δ Δ alle zijden minstens 2 minstens 2 alle zijden hebben een zijden zijn zijden zijn hebben verschillende even lang dezelfde lengte even lang lengte rechthoekige scherphoekige stomphoekige rechthoekige Δ Δ Δ Δ er is een rechte alle hoeken zijn scherp hoek
er is een rechte er is een hoek stompe hoek
77
Driehoeken in de ruimte (vervolg)
M18
B D C
A Wiskundetaal – definities
DefInITIe
A
B D C
Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden een verschillende lengte hebben.
E
K
Een rechthoekige driehoek is een driehoek met een rechte hoek.
J
L
M
I
N ΔKLM is O scherphoekig
B
P R
O
Q
P
S R
Q ΔNOP is rechthoekig S
ΔQRS is stomphoekig
E
S [ DF ] : basis
C
[ BC ]: schuine zijde of hypotenusa [ AB ] en [ AC ]: rechthoekszijden
O
R Q gelijkbenige driehoek
rechthoekige driehoek
A
N
P
Wiskundetaal – begrippen B
A: rechte hoek
M ΔHIJ is ongelijkbenig
I
N
K IL
L
J M
H
Een scherphoekige driehoek is een driehoek met drie scherpe hoeken.
J
H KΔDEF is gelijkzijdig
F Wiskundetaal – definities
E
F
ΔABC is gelijkbenig
Een stomphoekige driehoek is een driehoek met een stompe hoek.
H
D C
Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek met drie even lange zijden.
DefInITIe
F
B
Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met minstens twee even lange zijden.
E
[ DE ] en [ EF ] : benen of opstaande zijden A
C
E
E: tophoek D en F: basishoeken
Weer? 739 Meer? 740
78
1
2
B
Vul aan. a
De overstaande hoek van [ AB ] is . . . . . . . . . . . C ............... .
b
De aanliggende hoeken van [ CB ] zijn . . . . . B . . . . . .en . . . . . . . .C ....... .
c
C is de ingesloten hoek van zijde . . . . . . . .[AC] . . . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . . .[BC] .................. .
d
A is de overstaande hoek van . . . . . . . .[BC] .................. .
A
Van driehoek ABC is de grootte van de hoeken gegeven. Geef de passende naam volgens de hoeken. |A|
| B |
| C |
naam
40°
45°
95°
stomphoekige driehoek
68°
62°
50°
scherphoekige driehoek
26°
90°
64°
rechthoekige driehoek
120°
17°
43°
stomphoekige driehoek
driehoeken
F
D
Oefeningen Weer? 738
F
D
C
3
ongelijkbenige driehoek
gelijkbenige driehoek
11 1
gelijkzijdige driehoek
scherphoekige driehoek
X
22 2
X
33 3
X
5
5
rechthoekige driehoek
stomphoekige driehoek
X
X
X
X
X
X
Zijn de uitspraken juist of fout? Teken een tegenvoorbeeld als de uitspraak fout is. juist / fout
a
b
c
d
Een rechthoekige driehoek is nooit gelijkbenig.
Een rechthoekige driehoek kan twee rechte hoeken hebben.
Een gelijkzijdige driehoek is altijd scherphoekig.
Een driehoek met een scherpe hoek is een scherphoekige driehoek.
Meer? 742
X
44
4
Weer? 741
Meet de zijden en de hoeken. Zet een kruisje in de passende kolommen.
tegenvoorbeeld
Weer? 743 744 Meer? 745 746
fout
fout
Als er twee hoeken van 90° zijn, kun je de driehoek niet dichtmaken.
juist
fout
Wat moet je kunnen? τ de verschillende soorten driehoeken herkennen τ de definities van de verschillende soorten driehoeken correct formuleren
79
M19
Driehoeken tekenen Op verkenning Een architect maakt een maquette van een woning. Hij heeft een foto gemaakt van een deur die hij wil gebruiken. De driehoeken moeten uit karton worden gesneden. De architect voerde al de nodige metingen uit. a
Driehoek waarvan twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn Driehoek 1: Rechthoekige driehoek met rechthoekszijden gelijk aan 3 cm en 2 cm. •
Hoe kun je deze driehoek tekenen?
Teken eerst een zijde [AB] van 3 cm. een rechte hoek in het grens.Teken . . . . . . . . . . . . ................................................................................... A. Teken grenspunt C op de .punt . . . . . . . . . . . . ................................................................................... rechthoekszijde op 2 cm .tweede . . . . . . . . . . . . ................................................................................... Verbind B en C. .van . . . . . . . . . . . .A. ................................................................................... . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
C 2 cm
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
•
3 cm
A
. . . . . . . . . . . . . ...................................................................................
B
Teken de driehoek.
Stappenplan – driehoek tekenen waarvan twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn Teken een zijde. Teken vanuit een grenspunt de gegeven hoek. Meet op het tweede been van de hoek de lengte van de tweede zijde af. Verbind de hoekpunten.
ΔABC met |AB| = 3 cm, |AC| = 2 cm en | A | = 55°
A
B
C A
b
A
B
C B
2 cm 55° A 3 cm
B
Driehoek waarvan een zijde en de twee aanliggende hoeken gegeven zijn Driehoek 2: Een zijde van de driehoek is 1,5 cm en de aanliggende hoeken aan die zijde zijn 120° en 40° groot. •
Hoe kun je deze driehoek tekenen?
Teken een zijde [AB] van 1,5 cm. Teken in het grenspunt A een hoek van 120°, [AB een been is van die hoek en in B een hoek van 40°, waarbij AB] een .waarbij . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... is aan die hoek. .been . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... benen van beide hoeken komen samen in punt C. .De . . . . . . . . .andere . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
80
driehoeken
•
Teken de driehoek.
C
120°
40° A 1,5 cm B
Stappenplan – driehoek tekenen waarvan een zijde en de twee aanliggende hoeken gegeven zijn Teken de zijde. Teken vanuit het ene grenspunt van het lijnstuk een hoek. Teken vanuit het andere grenspunt van het lijnstuk de andere hoek. Het snijpunt van de benen van de hoeken is het derde hoekpunt van de driehoek.
ΔDEF met |EF| = 4 cm, | E | = 60° en | F | = 45°
E
F
F
D
E
c
E
F
E
60°
45° 4 cm
F
Een driehoek waarvan de lengten van de zijden gegeven zijn Driehoek 3: De drie zijden hebben een lengte van 3 cm, 4 cm en 1,5 cm. •
Teken deze driehoek met je geodriehoek op een apart blad. Lukt dit?
•
Hoe kun je het probleem oplossen?
•
Hoe teken je dan de driehoek?
moeilijk Je kunt een passer gebruiken. ............................................................................ ....... ............................................................................ . . . . . . .
Je een zijde van 3 cm [AB]. Je plaatst het passerpunt in A en tekent een. . . . . . . . . . . . . . tekent . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... boog op 4 cm. Je plaatst het passerpunt in B en tekent een boog op 1,5 cm. Je. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... verbindt het snijpunt van de boogjes met de grenspunten van het lijnstuk [AB]. . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... •
Construeer de driehoek.
A
3 cm
B
81
M19
Driehoeken tekenen (vervolg) Stappenplan – driehoek tekenen waarvan de lengte van de drie zijden gegeven zijn Teken een zijde. ΔGHI met |GH| = 4 cm, |GI| = 2,5 cm, |HI| = 3 cm Pas met de passer de lengte van een tweede zijde af op de geodriehoek. Zet vervolgens de passerpunt in een grenspunt van het lijnstuk en teken een boogje. G H G Pas met de passer de lengte van de derde zijde af op de geodriehoek. Zet de passerpunt in het andere grenspunt en teken een boogje dat het eerste boogje snijdt. 2,5 cm Teken de twee ontbrekende zijden door de grenspunten van het lijnstuk G G H met de snijpunten van de passerbogen te verbinden.
H
3 cm 4 cm
H
CONTROLE 10 Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van 3 cm.
3 cm Oefeningen Weer? 748 Meer? 749
5
Teken de gevraagde driehoeken. a
ΔABC zodat |AB| = 4 cm, | A | = 40° en | B | = 56°
b
ΔGHI zodat |GH| = 3,5 cm; |HI| = 2 cm en |H| = 100°
C
I
2 cm 56° B
82
driehoeken
100°
40° 4 cm
A
G
3,5 cm
H
c
ΔJKL zodat | J | = 90° en de rechthoekszijden gelijk zijn aan 2,5 cm en 4 cm
d
gelijkbenige ΔMNO zodat tophoek O gelijk is aan 76° en de benen gelijk zijn aan 3 cm
L
O 76° 3 cm
2,5 cm
3 cm
90° J
e
N
K
4 cm
gelijkzijdige ΔPQR met een zijde van 2,5 cm
f
M
ΔSTU zodat |ST| = 3 cm, |TU| = 4 cm en |SU| = 5 cm
T
P 3 cm
Q
6
2,5 cm
R
S
4 cm
5 cm
U
Op onderstaande tekening van een tempel ontbreekt het fronton. Als je weet dat het fronton een gelijkbenige driehoek is waarvan de basishoeken gelijk zijn aan 25°, vul dan de tekening aan.
Weer? 750 Meer? 751 752
25°
7
25°
Een terras heeft de vorm van een rechthoekige driehoek. De rechthoekszijden zijn 7 m en 5 m lang. Teken dit terras op schaal 1:200. Wat moet je kunnen? τ driehoeken tekenen waarvan de nodige gegevens bekend zijn
Weer? 753 Meer? 754
83
M20
Merkwaardige lijnen in een driehoek Op verkenning a
Zwaartelijn in een driehoek •
Knip een driehoek uit een stuk karton. Leg de driehoek op de rand van je meetlat, zodat een hoekpunt op de lat ligt. Zoek een positie waarbij de driehoek in evenwicht ligt.
•
Teken op de driehoek de rechte lijn waarmee hij op de meetlat rust.
•
Bekijk goed de positie van de rechte lijn. Wat stel je vast?
De gaat door het midden van de overstaande zijde. . . . . . . . . . .rechte . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... •
De rechte lijn die je tekende, noem je een zwaartelijn van de driehoek. Ze zorgt ervoor dat de driehoek in evenwicht blijft.
•
Hoeveel zwaartelijnen kun je in een driehoek tekenen?
•
Teken de zwaartelijn uit  in de onderstaande driehoek.
3
............................................................................. . . . . . .
–
Bepaal met je geodriehoek het midden van [BC]. Noem dit midden M.
–
Teken een rechte door A en M. A
N O Z
B
M C •
Teken ook de zwaartelijnen uit B en C. Wat valt op?
De snijden elkaar in één punt Z. . . . . . . . . .zwaartelijnen . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... Wiskundetaal – definitie
DefInITIe
Een zwaartelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt van een driehoek en door het midden van de overstaande zijde.
z
A
B Tekenafspraak: plaats bij een zwaartelijn steeds merktekens voor gelijke afstanden.
M
C
z is een zwaartelijn van ΔABC b
D
Hoogtelijn in een driehoek •
Wat moet je tekenen om de afstand van D tot [ FE ] te bepalen?
De uit D op EF. . . . . . . . . .loodlijn . . . . ............................................................................................ •
Teken die loodlijn. Deze loodlijn is een hoogtelijn van de driehoek.
•
Teken de hoogtelijnen uit E en F . Wat valt op?
H
De snijden elkaar in één punt H. . . . . . . . . .hoogtelijnen . . . . ............................................................................................ F
84
driehoeken
E
•
Teken in volgende driehoek de hoogtelijn vanuit H. –
Wat stel je vast als je de hoogtelijn wilt tekenen vanuit H?
–
Je kunt geen loodlijn tekenen uit H op het lijnstuk GI maar wel op de drager dat lijnstuk . .van . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... Teken eerst de rechte GI. Hoe los je dat probleem op? ..................................................................................... ......
–
Teken de hoogtelijn.
. . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . .
H G
I
Wiskundetaal – definitie
DefInITIe
Een hoogtelijn van een driehoek is een rechte door een hoekpunt en loodrecht op de drager van de overstaande zijde.
D E P
Tekenafspraak: plaats bij een hoogtelijn steeds een merkteken bij de rechte hoek.
h
F
h is een hoogtelijn van ΔDEF c
Middelloodlijn in een driehoek •
Teken de middelloodlijn van [FG] in driehoek EFG. E
F
M G •
Teken ook de middelloodlijnen van [EF] en [EG]. Wat valt op?
De middelloodlijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt M.
. . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Wiskundetaal – definitie
DefInITIe
Een middelloodlijn van een driehoek is de middelloodlijn van een zijde van de driehoek.
E m
Tekenafspraak: plaats bij een middelloodlijn steeds een merkteken om de rechte hoek aan te duiden en merktekens om gelijke afstanden aan te duiden.
F G m is een middelloodlijn van ΔEFG
85
Merkwaardige lijnen in een driehoek (vervolg)
M20
d
Deellijn of bissectrice in een driehoek •
Teken de deellijn van L in driehoek KLM.
K
K
D L
M
•
DefInITIe
M
De deellijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt D. ........................................................................................................... .......
Teken ook de deellijnen van K en M. Wat valt op?
........................................................................................................... . . . . . . .
Wiskundetaal – definitie Een deellijn (of bissectrice) van een driehoek is de deellijn van een hoek van de driehoek.
K
Tekenafspraak: plaats bij een deellijn steeds de merktekens om gelijke hoeken aan te duiden in de twee delen van de hoek.
L d
M
Oefeningen Weer? 755 756
8
Benoem de merkwaardige lijnen die je herkent in onderstaande driehoek.
d
B
a c
middelloodlijn b is een .deellijn . . . . . .......................................................... c is een .zwaartelijn . . . . . .......................................................... d is een .hoogtelijn . . . . . .......................................................... a is een
Weer? 758
9
. . . . . . ..........................................................
A b
Teken telkens in onderstaande driehoeken. a
de zwaartelijn AG en de middelloodlijn m van [AB]
Meer? 759 760
b
de bissectrice FG en de hoogtelijn DH
A D
m
C
86
C
driehoeken
G H
G
B
E F
10 Een schip in nood bevindt zich op de Noordelijke IJszee. De kapitein geeft aan dat het schip zich bevindt op het snijpunt van de middelloodlijnen van de driehoek gevormd door de steden Tromsø, Nuuk en Fairbanks. a b
Teken de driehoek op de kaart. Bepaal de plaats van het schip op de kaart.
Weer? 761 762 Meer? 763
Fairbanks
Verenigde Staten
Schip Noordelijke IJszee
Russische Federatie
Nuuk
Groenland
TromsØ
11 Teken een driehoek waarbij h een hoogtelijn is.
Weer? 764 Meer? 765
h
Meerdere oplossingen mogelijk. Voorwaarden: een hoekpunt van de driehoek moet op h liggen en de zijde die h snijdt moet loodrecht op h staan. h Wat moet je kunnen? τ merkwaardige lijnen in een driehoek herkennen en tekenen τ de definities van de merkwaardige lijnen correct formuleren
87
M21
Omtrek, oppervlakte en volume Op verkenning a
Omtrek van een driehoek Bij het tekenen van het plan van een tuin, komt Kobe voor een kippenren uit bij een driehoek van 5 m op 3,5 m op 3 m. Hoe lang moet de draad zijn die hij rond het hok moet zetten om het af te bakenen? •
Wat moet je berekenen?
–
Hoe kun je de omtrek berekenen?
–
Wat is de eenheid van de oplossing?
–
Vul de bewerking aan:
–
Formuleer een antwoord.
De omtrek van de driehoek. ................................................................................... O = z1 + z2 + z3 ................................................................................... m ................................................................................... 11,5 m .O . . . . .= . . . . (. . . .5 . . . . .+ . . . . .3,5 . . . . . . . . .+ . . . . .3 . . . . . . . . . ) m = .............. Kobe moet 11,5 m draad .......................................................................... rond het hok plaatsen. .......................................................................... ..........................................................................
b
Oppervlakte van een driehoek In een ander deel van de tuin wil Kobe gazon zaaien. Het stuk dat hij wil zaaien, is een driehoek met een basis van 10 m en een hoogte van 4 m. Hij wil weten hoeveel graszaad hij moet kopen. •
Wat moet je berekenen?
•
Teken op een apart blad twee dezelfde willekeurige driehoeken.
•
Knip de driehoeken uit en leg ze tegen elkaar. Welke figuur kun je steeds vormen met twee dezelfde driehoeken? –
Hoe bereken je de oppervlakte van een parallellogram? Hoe vind je dan de oppervlakte van één driehoek?
88
driehoeken
–
Wat is de eenheid van de oppervlakte?
–
Bereken de oppervlakte van het stuk gazon van Kobe.
De oppervlakte van de driehoek. ............................................................................. .......
een parallellogram ............................................................................. ....... S............................................................................. =b·h ...... b·h S............................................................................. =_ ...... 2 2 m ............................................................................. . . . . . . 10 · 4 S............................................................................. = _ m2 = 20 m2 ...... 2
formule – formule voor omtrek en oppervlakte van een driehoek driehoek
A
z1
h
C
z2
Omtrek O
Oppervlakte S
O = z1 + z2 + z3
b·h S=_ 2
een driehoek met zijden van respectievelijk een driehoek met een basis van 3 cm, 7 cm en 5 cm 7 m en een hoogte van 3 m 7·3 S = _ m2 = 10,5 m2 2
O = (3 + 7 + 5) cm = 15 cm
z3
b
B
CONTROLE 11 Bereken de oppervlakte van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 4 m en 8 m.
4·8 b·h _ = _ m2 = 16 m2 S. . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ...... 2 2 c
Volume van een prisma In de tuin staat een oude schuur. De man wil hout opslaan in het bovenste deel van de schuur onder het dak. Hoeveel m³ hout kan hij maximaal in de schuur opslaan? •
Wat moet je berekenen?
Het van een prisma. . . . . . . . . . . . volume . . ...................................................................... •
4m
Hoe kun je dat berekenen? (Denk aan de doos met theelichtjes uit het vorige lesgeheel.)
2,5 m 5m
V. . . . . . . .=. . . . . ..................................................................... SG · h •
3m
Wat is het grondvlak van het prisma?
een . . . . . . . . . . . .driehoek . ..................................................................... •
Bereken de oppervlakte van het grondvlak. 3 · 1,5 2 _ m = 2,25 m2 S. . . . .= . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... 2
•
Wat is de eenheid voor volume?
•
Vul de bewerking aan voor de berekening van het volume:
m3
................................................................................................................................................... . . . . . . .
V = ( . . . . . . . . . . . . . . . . .2,25 . . . . . . . . . . . .·. . .5 . . . . . . . . . . . . . . . . ) m³ = . . . . . . . . . . . . . 11,25 . . . . . . . . . . . . . . .m .................... 3
•
Formuleer een antwoord.
h
h SG Kobe kan maximaal 11,25 m3 hout opslaan. . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... SG
formule – formule voor volume van een prisma prisma
I H
G
F D
E
C B
J
Volume V = SG · h
Oppervlakte S = 2 · SG + O G · h
een prisma met een grondvlak van 25 m2 en een hoogte van 8 m V = (25 · 8) m3 = 200 m3
A
(SG is oppervlakte van het grondvlak)
89
M21
Omtrek, oppervlakte en volume (vervolg) Oefeningen
Weer? 766
12 Vul de tabel aan. Geef ook telkens je berekening. basis van de driehoek
hoogte van de driehoek
oppervlakte van de driehoek
12 cm
7 cm
12 · 7 S = _ cm2 = 42 cm2 2
4m
85 dm
4 · 8,5 S = _ m2 = 17 m2 of 1700 dm2 2
40 dm
(1200 · 2 : 40) dm = 60 dm
1200 dm2
(10,54 · 2 : 3,4) m = 6,2 m of 62 dm
34 dm
10,54 m2
Meer? 767
Weer? 768 Meer? 769
A
13 Bereken de oppervlakte van de gegeven driehoek.
S
4·5 b·h = _ = _ cm2 = 10 cm2 2 2
. . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
6,4 cm 5 cm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................
Weer? 770 771 Meer? 772 773
14 Een boer heeft 66 are (1 are = 100 m²) landbouwgrond. Een deel ervan wordt door de gemeente verkaveld en verandert in bouwgrond. Hiernaast zie je het verkavelingsplan. Bereken de oppervlakte van de genummerde percelen.
Perceel 1
b·h 39 · 28 S = _ = _ m2 = 546 m2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................. 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
b·h _
29 · 28 _
S = = m = 406 m .Perceel . . . . . . . . . . . . . . . .2 . . . . . .................................................................................. 2
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................
90
driehoeken
39 m 1 28 m 2 29 m
4 cm
B
15 Voor een tuinfeest maakt Lisa prismavormige kaarsen. Hoeveel liter was heeft ze nodig om kaarsen te maken met een grondvlak van 2 dm² en een hoogte van 50 cm?
Weer? 775
Volume prisma: S · h = 2 dm2 · 5 dm = 10 dm3 = 10 l 10 liter was nodig om de kaarsen te maken. .Lisa . . . . . . . . . . . .heeft . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... ....... G
16 Een serre is 3 m hoog, 6 m lang en 4 m breed. De zijwanden zijn 2,5 m hoog. De lengte van de schuine wand is 2,1 m. Hoeveel m² glas is er nodig voor deze serre?
Weer? 776 Meer? 777
Noteer je berekeningen op een overzichtelijke manier.
S
= l · b = (4 · 2,5) m = 10 m
2 2 . . . .rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . .voorvlak . . ..................................................................................................................
S
= l · b = (6 · 2,5) m = 15 m
2 2 . . . .rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . .zijvlak . . ..................................................................................................................
S
= l · b = (6 · 2,1) m = 12,6 m 4 · 0,5 b·h = _ = _ m2 = 1 m2 .S . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . .voorvlak . . . . .................................................................................................................. 2 2 (2 · 10 + 2 · 15 + 2 · 12,6 + 2 · 1) m2 = 77,2 m2 .S . . .totaal . . . . . . . . . . . .= . . . . . . .................................................................................................................. 2 2 . . . .rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . .dak . . ..................................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................
17 Evi wil rond een driehoekig salontafeltje een rubberen rand kleven. Hoe lang moet de rubber zijn als het tafeltje volgende afmetingen heeft: 5 dm, 5 dm en 7 dm. Berekening: Antwoord:
O = z + z + z = (5 + 5 + 7) dm = 17 dm = 1,7 m De rubber moet 1,7 m lang zijn. ............................................................................................................................................................................................ ...... ............................................................................................................................................................................................ ...... 1 2 3
18 Bereken de oppervlakte van de driehoeken in dit tangram.
Weer? 778 Meer? 779 Weer? 780
: .S . . .grote . . . . . . .gele . . . . . .driehoek . . . . . .............................................. 10 · 5 cm2 _ 2 2 .= ....S . . .grote . . . . . . . .groene . . . . . . .............................................. driehoek 25 cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . ..............................................
: .S . . .oranje . . . . . . . . gele . . . . . . driehoek . . . . .............................................. 5_ ·5 2 2 2 = Switte driehoek: .S . . .paarse . . . . . . . . . .driehoek . . . . . . . . .............................................. 5_ · 2,5 cm2 6,25 cm2 ......................= .............................................. 2 .S . . .vierkant . . . . . . . . . . . .:. . . . . . .............................................. 12,5 cm . . . . . . . . . . .cm .........= . . ..............................................
cm = 12,25 cm . 3,5 . . . . . . . .cm . . . . . . . . .·. .3,5 . . .............................................. 2
2
2
: .S . . .parallellogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. = 12,5 cm .5 . . . .·. .5,5 . . . . . . . .cm . . . . . . . .............................................. 2
2
: .S . . .volledig . . . . . . . . . . .vierkant . . . . . . . .............................................. = 100 cm .z . . . . .= . . . . 10 . . . . . . . .cm . . . . .............................................. 2
2
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................
Wat moet je kunnen? τ de omtrek van een driehoek berekenen τ de oppervlakte van een driehoek berekenen
τ het volume van een prisma berekenen
91
Problemsolving 19 Op de tekening zie je een driehoek waarvan alle zijden de lengte drie hebben. Hierin past precies een zeshoek met alle zijden 1. De oppervlakte van de driehoek is dan … keer de oppervlakte van de zeshoek?
Het grijze deel kun je verdelen in zes driehoekjes die even
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
groot zijn als de witte driehoekjes.
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
De totale driehoek bestaat uit negen driehoekjes. 9 3 De oppervlakte van de driehoek is bijgevolg _ = _ keer de . . . . . . . ....................................................................................................................................................................... 6 2 oppervlakte van de zeshoek. ....................................................................................................................................................................... ....... ....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
....................................................................................................................................................................... . . . . . . .
1 _
A
B
2
5 _
C
6
4 _ 3
D
3 _ 2
e
2
20 Van een regelmatige vijfhoek is M het middelpunt. Hoeveel procent van de vijfhoek is grijs? Tip: Teken alle mogelijke symmetrieassen van deze vijfhoek.
3 Het grijze deel is _ = 30 %. 10
.......................................................................................................................................................................... . . . . . . .
M
A
.......................................................................................................................................................................... . . . . . . .
B
10
C
20
25
D
30
e
40
21 In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? 5
3
3 5
7,5 cm2 · 4 = 30 cm2. ................................................................................................................................... .......
5 3 3 A
2 De oppervlakte van het grote vierkant 8 cm · 8 .cm ................................................................................................................................... . . . . . . = 64 cm . 5·3 cm2. De oppervlakte van één driehoekje is _ cm2 = ................................................................................................................................... . . . . . .7,5 . 2 Er zijn vier witte driehoeken met een totale oppervlakte van ................................................................................................................................... .......
16
64 cm2 – 30 cm2 = 34 cm2. ................................................................................................................................... .......
5 B
De oppervlakte van het grijze vierkant is ................................................................................................................................... .......
28
C
34
D
36
e
49
22 Esther tekent gelijkbenige driehoeken ABC met | AC | = | BC | = 5 cm. De tophoek is groter dan 60° en de basis is een geheel aantal centimeters. Hoeveel verschillende driehoeken kan zij tekenen.
Als de tophoek 60° is, bekom je een gelijkzijdige driehoek waarbij AB = 5 cm.
| | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... .......
De tophoek moet groter zijn dan 60° dus AB is langer dan 5 cm.
| | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... .......
AB is korter dan 5 cm + 5 cm = 10 cm
. .|. . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... . . . . . . .
Bijgevolg kan AB = 6 cm, 7 cm, 8 cm of 9 cm.
| | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................................... .......
92
problemsolving
