MENYELESAIKAN TURUNAN TINGKAT TINGGI DENGAN MENGGUNAKAN METODE SELISIH ORDE PUSAT BERBANTUAN PROGRAM MATLAB Arwan
Try Azisah
Mahasiswa Prodi Matematika, FST-UINAM
Prodi Matematika, FST-UINAM
Info: Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Edisi: Januari – Juni 2014 Artikel No.: 10 Halaman: 66 - 70 ISSN: 2355-083X Prodi Matematika UINAM
Irwan Prodi Matematika, FST-UINAM
ABSTRAK Numerical methods are techniques such formulate mathematical problems so that it can be solved by a mathematical operation. The method used is order central difference method is part of numerical methods in solving derivatives. This method is more rigorous because selectable order error. The order error used is O(h2). Function which will be derived in this study is trigonometric function because this function is a continous function means that the function of these derivatives fell again. This thesis aims to determine high completion rate derivatives using a central difference of order without the help of the program and help of the matlab program. High completion rate derivatives using a central difference of order that help of the matlab program obtained the same result, however less time spent than high completion rate derivatives using a central difference of order without the help of the program. Kata Kunci: Numerical Method, Derivative, Order Central Difference method, Taylor Row, Matlab
1.
PENDAHULUAN
Penggunaan matematika dalam memecahkan suatu persoalan dalam kehidupan sehari-hari yaitu dengan mengubah atau menyajikan masalah yang ada dalam suatu model atau konsep yang tepat. Caranya dengan menerjemahkan bahasa kehidupan nyata dan komponen-komponen yang ada pada suatu masalah ke dalam bahasa matematika yang dinyatakan dalam bentuk simbol-simbol. Hal tersebut merujuk pada ciri khas matematika yang bersifat abstrak dan menggunakan bahasa simbol. Salah satu cabang yang lain dari matematika adalah kalkulus. Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak terhingga. Di dalam kalkulus sering ditemui permasalahan turunan. Turunan dalam bahasa sederhana dapat diartikan sebagai perubahan satuan kuantitas per 66
kuantitas lainnya, atau dengan kata lain perubahan yang menyebabkan terjadinya suatu perubahan terhadap suatu objek. Misalnya percepatan yang merupakan laju perubahan kecepatan terhadap laju perubahan waktu dan kecepatan yang merupakan laju perubahan jarak terhadap laju perubahan waktu. Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Operasi hitungan dalam metode numerik pada umumnya dilakukan dengan iterasi sehingga jumlah hitungan yang dilakukan banyak dan berulang-ulang. Oleh karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakan operasi hitungan tersebut. Turunan numerik dengan menggunakan program komputer memungkinkan penggun matematika
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 2015 mendapatkan hasil penyelesaian yang lebih cepat, mudah dan tepat dibandingkan dengan penyelesaian menggunakan metode analitik, atau kalkulator. Bahasa pemrograman matlab cocok untuk analisis dan komputasi numerik. Matlab merupakan suatu program komputer yang bisa membantu memecahkan berbagai masalah matematis yang kerap kita temui dalam bidang teknis. Ada beberapa macam penyelesaian turunan dengan metode numerik yang terdiri dari beberapa kelompok berdasarkan proses penurunannya yakni rumus selisih maju dua titik, rumus selisih mundur dua titik, dan rumus selisih pusat dua titik. Dan ketiga rumus di atas dapat diturunkan dengan menggunakan metode deret Taylor atau polinomial interpolasi. Metode selisih orde pusat merupakan perbaikan dari kedua metode turunan lainnya sehingga metode ini lebih teliti dan galatnya bisa dikontrol karena dapat dipilih orde galat yang akan digunakan yaitu O(h 2 ) dan O(h 4 ) . Seacara umum kriteria dari turunan tingkat tinggi adalah jika fungsi yang diturunkan telah melalui penurunan pertama atau biasa disimbolkan f ' ( x ) . Turunan dapat dikatakan tingkat tinggi apabila telah masuk ketahap turunan kedua. Jika f ' dideferensialkan maka masih akan menghasilkan fungsi lain dan dinyatakan oleh f ' ' dan disebut turunan kedua dari f’ dan dapat diturunkan lagi sehingga menghasilkan f ' ' ' yang disebut turunan ketiga. Turunan akan berkelanjutan jika fungsi yang akan diturunkan untuk nilai turunan pertama memiliki nilai limit artinya apabila nilai dari limit kiri dan limit kanan sama. Fungsi trigonometri sangat bagus digunakan dalam penyelesaian turunan tingkat tinggi karena fungsi ini merupakan fungsi yang berkelanjutan artinya turunan dari fungsi ini dapat diturunkan lagi, sehingga memberikan kemudahan untuk mencari turunan selanjutnya karena tidak menghasilkan nol seperti pada fungsi aljabar jika diturunkan yang dapat menghasilkan nol. Tujuan umum dalam penelitian ini terdiridari dua yaitu yang pertama untuk mengetahui
penyelesaikan turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat dan yang kedua untuk mengetahui penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat dengan bantuan program matlab. Untuk mencapai tujuan penelitian yang ingin dicapai, maka langkah-langkah yang ditempuh adalah sebagai berikut: Langkah pertama yaitu pada tujuan penelitian yang pertama (untuk mengetahui penyelesaikan turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat) (1) Menurunkan rumus turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat dengan cara : (a) Mengekspansikan f ( x h) dan f ( x h) , f ( x 2h) dan f ( x 2h) , atau f ( x 3h) dan f ( x 3h) (b) Menuliskan deret Taylor untuk masing-masing fungsi di atas sampai suku sisa yang diinginkan. (c) Melakukan eliminasi untuk menghilangkan suku yang tidak digunakan dan mencari nilai turunan keberapa yang diinginkan dengan cara melakukan penjumlahan atau pengurangan pada masingmasing fungsi. (d) Melakukan hal yang sama untuk turunan berikutnya (2) Menyelesaikan turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat dengan cara : (a) Mendefinisikan fungsi f(x) yang akan diturunkan. (b) Mendefinisikan nilai x . (c) Menentukan nilai h . (d) Subtitusi nilai-nilai dari x dan h . Kemudian pada tujuan penelitian yang kedua (untuk mengetahui penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan metode selisih orde pusat dengan bantuan program matlab) dilakukan dengan cara (1) Membuat algoritma penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat. (2) Membuat diagram alur (flowchart) penyelesaian turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat. (3) Menuliskan script-script program pada editor tentang bagaimana penyelesaian numerik turunan tingkat tinggi dengan metode selisih orde pusat dengan bahasa MATLAB merujuk pada algoritma atau flowchart yang telah disusun sebelumnya. (4) Menguji program yang telah dibuat untuk melihat hasilnya. 67
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 2015 1. HASIL DAN PEMBAHASAN Dari prosedur penelitian yang telah dikerjakan di atas maka hasil yang didapatkan adalah sebagai berikut: Rumus dari turunan pertama sampai turunanan kelima berturut-turut dibawah ini
start
Input fungsi turunan
f ( x h) f ( x h) f ' ( x) O( h 2 ) 2h f ( x h) 2 f ( x ) f ( x h ) f " ( x) O( h 2 ) , 2 h
Input nilai (x) dan (h)
f ( x 2h) 2 f ( x h) 2 f ( x h) f '''( x )
f ( x 2h) 2h
O(h 2 )
3
f ( x 2h) 4 f ( x h) 6 f ( x ) f ''''( x)
4 f ( x h ) f ( x 2h ) h
4
O( h 2 )
f ( x 3h) 4 f ( x 2h)
f ( x h) f ( x h ) 2h f ( x h) f ( x h) 2 f ( x ) f " ( x) h2 f ( x 2h) 2 f ( x h) 2 f ( x h ) f ( x 2h ) 3 f ( x) 2h 3 f ( x 2h) 4 f ( x h) 6 f ( x) 4 f ( x h) f ( x 2h) f 4 ( x) h4 f ( x 3h) 4 f ( x 2h) 5 f ( x h) 5 f ( x h) 4 f ( x 2h) f ( x 3h) f 5 ( x) 2h 5 f ' ( x)
5 f ( x h) 5 f ( x h) 4 f ( x 2h) f ( 5) ( x)
f ( x 3h) 2h 5
O(h 2 )
Sebagai contoh soal diberikan fungsi f ( x) x sin( x) maka diperoleh hasil turunan secara numerik dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh sebelumnya dari turunan pertama sampai turunan kelima untuk h=0.8 dan x=2 secara berturut-turut -0.1128 , -2.469962 , 1.3553523120 , 3.0483592920,dan2.670512169619290.Turunan tingkat tinggi dengan menggunakan bantuan program matlab diperoleh hasil yang sama dengan berdasar pada flowchart yang telah dibuat sebagai berikut
68
Hasil turunan END 2. PEMBAHASAN Pada hasil penelitian yang dilakukan penulis memberikan contoh kasus menggunakan fungsi trigonometri yang akan diselesaikan dengan metode numerik dan menggunakan program matlab. Penyelesaian turunan tingkat tinggi diawali dengan menurunkan rumus turunan terlebih dahulu. Ada 2 hampiran yang digunakan diantaranya dengan menggunakan deret Taylor atau dengan interpolasi. Dalam hal ini penulis menggunakan hampiran deret Taylor karena memungkinkan untuk memilih atau mengontrol orde galat yang akan digunakan. Orde galat yang digunakan adalah O(h 2 ) . Penurunan rumus dengan hampiran deret Taylor dilakukan dengan cara mengkspansikan masing-masing fungsi
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 2015 f ( x h) , f ( x h) , f ( x 2h) , f ( x 2h) , dan cara f ( x 3h) f ( x 3h) dengan menuliskan masing-masing fungsi di atas sampai suku sisa berdasarkan turunan yang akan dicari. Selanjutnya lakukan eliminasi untuk suku-suku yang tidak digunakan dalam perhitungan baik dengan mengalikan fungsi dengan bilangan tertentu atau dengan melakukan pengurangan atau penjumlahan untuk mendapatkan nilai turunan yang dicari. Pada turunan pertama dan kedua fungsi yang diekspansikan yaitu f ( x h) dan f ( x h) , pada turunan ketiga dan keempat fungsi yang diekspansikan yaitu f ( x h) dan f ( x h) , f ( x 2h) dan f ( x 2h) , sedangkan pada turunan kelima fungsi yang diekspansikan yaitu f ( x h) , f ( x h) , f ( x 2h) , f ( x 2h) , f ( x 3h) dan f ( x 3h) .
Pada perhitungan numerik turunan tingkat tinggi, cara penyelesaiaannya dilakukan berdasarkan algoritma yang telah disusun sebelumnya. Pertama mendefinisikan fungsi f(x) yang akan diturunkan. Kedua mendefinisikan nilai x sesuai yang diinginkan, dalam hal ini x 2 untuk fungsi f ( x) x sin( x) Ketiga menentukan nilai h sesuai keinginan, dimana h yang diambil menuju 0 dalam hal ini penulis mengambil h 0.8, h 0.08, h 0.008 yang digunakan pada kedua fungsi yang ada. Pengambilan h untuk kasus ini dalam artian sampai turunan kelima penulis membatasi hanya sampai h 0.008 dikarenakan tidak memungkinkan untuk mengambil nilai yang lebih kecil lagi karena hanya akan memunculkan nilai yang jauh dari nilai sebenarnya. Hal ini disebabkan karena dalam perhitungan dengan menggunakan komputer hanya akan membaca jika menggunakan 10 angka atau lebih angka desimal signifikan. Sehingga tidak memungkinkan mengoperasikan nilai yang sangat kecil. Keempat mensubstitusi nilai-nilai x dan masingmasing nilai h ke dalam rumus yang telah diturunkan sebelumnya untuk turunan pertama sampai turunan ke lima. Dan selanjutnya melakukan hal yang sama untuk turunan ke dua sampai turunan ke lima. Perhitungan numerik dengan cara manual dalam hal ini masih membutuhkan waktu yang lama dan
penyelesaian yang panjang. Akan tetapi dengan menggunakan bantuan program komputer yakni menggunakan pemrograman matlab memberikan hasil yang sama dengan hanya membutuhkan waktu yang tidak lama karena pada dasarnya analisis numerik diciptakan untuk membuat suatu program dengan bantuan komputer. Namun pada penggunaan program tidak memungkinkan untuk mencari nilai turuna sampai ke-n dikarenakan tidak ada rumus umum ke-n untuk masing-masing rumus turunan, yang memungkinkan mencari rumus turunan seara berulang-ulang dari turunan pertama sampai seterusnya dengan menggunakan deret Taylor, sehingga penulis hanya membatasi sampai turunan kelima saja. Penggunaan program juga terbatas hanya untuk menampilkan nilai dari masing-masing turunan sehingga perlu untuk menentukan nilai x terlebih dahulu. 3. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab IV dapat diberikan suatu kesimpulan untuk menjawab rumusan masalah yang telah disusun sebelumnya pada bab I yaitu: (a) Penyelesaian fungsi turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat diperoleh hasil turunan pertama 0.1128, 0,074988, dan 0,0770. Turunan kedua -2.469962, -2.649062, dan -2.6508593. Turunan ketiga -1.355352312, -1.889662109, dan -1.895507812. Turunan keempat 3.0483592920, 3.478581660340454, dan 3.483135980163198. Turunan kelima yaitu 3.714046350198132, 3.714046350198132, dan 3.714046350198132 untuk fungsi f ( x) x sin( x) , untuk fungsi cos(x ) f ( x) ln( x ) diperoleh hasil turunan pertama 0.8115, 0.8850, dan 0.8857. Turunan kedua 1.2318, 1.3244, dan 1.3254. Turunan ketiga -0.6007, -0.7200, dan 0.7212. Turunan keempat -1.5885, -1.7959 dan -1.7981. Turunan kelima 0.6450, 0.8035 dan 0.8053. (b) Penyelesaian fungsi turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde 69
Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Ed. Jan-Juni 2015 pusat berbantuan program matlab diperoleh hasil yang sama namun waktu yang digunakan lebih sedikit dibanding dengan menyelesaikan fungsi turunan tingkat tinggi dengan menggunakan metode selisih orde pusat tanpa berbantuan program. 4. DAFTAR PUSTAKA Alisah, Evawati. Prasetyo, Eko. Filsafat Dunia Matematika. (Malang:Prestasi Pustaka. 2007) Alwi ,Wahidah. Analisis Real .(Maksassar : jurusan matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Alauddin. 2010) AN, Micheal, Dkk. Algoritma dan Teknik Pemrograman . (Yogyakarta: Andi. 2002) Arhami, Muhammad. Desiani, Anita. Pemrograman MATLAB. (Yogyakarta: Andi.2005) Chapra, Steven. dkk. Metode Numerik untuk Teknik dengan Penerapan pada Komputer Pribadi. (Jakarta:UI-press. 2007) Departemen Agama RI, Al-Qur’an dan Terjemahnya (Semarang:PT Karya Toha Putra. 2002) Fathani, Abdul Halim. Mukjizat Angka Di Dalam al-Qur’an Melejitkan Iman, Menguatkan Ketakwaan. (Jakarta: QultumMedia, 2011) Gazali, Wikaria. Soedadyatmodjo. Kalkulus edisi2.(Yogyakarta:graha Ilmu. 2007) Idba. Pengertian Matematika. www. idba.wikispaces.com/file/view/lr4006.2. pdf.(Diakses tanggal 13 Januari 2013) Kosasi, Buyung. Komputasi Numerik Teori dan Aplikasinya. (Yogyakarta: Andi. 2006) Luknanto, Djoko.Metoda Numerik, Bahan Kuliah Metoda Numerik Jurusan Teknik Sipil FT UGM (Yogyakarta:UGM. 2001) Madiun Publik. Bilangan dalam alQuran.http://madiunpublik.wordpress.com /2012/ 09/20/bilangan-dalam-alquran/.(Diakses tanggal 22 Oktober 2013) 70
Munir,Rinaldi.MetodeNumerik. (Bandung:Informatika Bandung. 2003) Pujiyanta, Ardi. Komputasi numerik dengan MATLAB (Yogyakarta:Graha Ilmu. 2007) Purcell, dkk. Kalkulus.Jilid1.Edisi Kedelapan.(Jakarta:Erlangga. 2004) Sahid.Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. (Yogyakarta:Andi. 2005) Sutarno ,Heri. Rachmatin, Dewi. Metode Numerik dengan Pendekatan Algoritmik (Bandung:PT sinar baru algesindo.2005) Triatmodjo, Bambang. Metode Numerik Dilengkapi dengan Program Komputer (Yogyakarta:Beta offset.2002) Varberg, dkk. Kalkulus.Jilid1.Edisi kesembilan.(Jakarta:Erlangga. 2007) Wahyudin. Materi Pokok Metode Numerik.(Jakarta:Karunia Jakarta. 1986)
