MENINGKATKAN PEMAHAMAN SISWA MENSUBSTITUSIKAN RUMUS PYTHAGORAS KEDALAM SOAL GARIS SINGGUNG DI LUAR LINGKARAN MENGGUNAKAN PENDEKATAN INFORMAL Qusnul Dwi Cahyo Agus Wulandari Program Studi Tadris Matematika Institut Agama Islam Negeri (IAIN)Tulungagung e-mail :
[email protected]
ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk meningkatkan pemahaman siswa menganalisis soal garis singgung di luar lingkaran dengan menggunakan rumus Pythagoras. Rancangan penelitian yang di gunakan pemahan konsep dan pendekatan informal. Pemilihan dan pertimbangan bahwa siswa-siwa tersebut mudap memahami. Hasil penelitian ini adalah : Penggunakan pemahaman konsep dan pendekatan informal ternyata dapat meningkatkan pemahaman siswa menganalisis soal garis singgung di luar lingkaran dengan rumus pythagoras, melalui tahap : 1. Guru memberikan pemaham konsep pada materi garis singgung di luar lingkaran. 2. Kemudian guru menjelaskan topik materi garis singgung di luar lingkaran. 3. Selanjutnya guru mengenalkan rumus-rumus pythagoras. 3. Guru mengenalkan dan menggunakannya untuk menyelesaiakan soal-soal tanpa membuktikan terlebih dahulu kebenaranya. 4. Siswa diberi soal untuk dikerjakan tanpa membuktikan terlebih dahulu. Kata Kunci: Garis singgung diluar lingkaran, Rumus Pythagoras, Pemahaman konsep, pendekatan informal ABSTRACT This research aims to enhance students' understanding analyze problems outside the circle tangent using the Pythagorean formula . The research design used pemahan concept and informal approaches . Selection and consideration that the student - siwa mudap understand . The results of this study are : The use of informal understanding of concepts and approaches may increase students' understanding analyze the matter outside the circle tangent to the formula Pythagoras , through stages : 1. The teacher gives abiding by the concept of the material outside the circle tangent . 2. Then the teacher explains the subject matter outside the circle tangent . 3. The teacher then introduces formulas Pythagoras . 3. Teachers introduce and use them for accomplishing the questions without first proving kebenaranya . 4. Students are given a problem to be done without proving first. Keywords: Tangent outside the circle , the Pythagorean formula , understanding concepts , informal approach
observasi
Pendahuluan Istilah (inggris),
mathematics mathematik
(Jerman),
mathematique
(Perancis),
matematico
(Itali),
(Rusia),
atau
matematiceski mathematick/
wiskunde (Belanda), berasal dari perkataan yang
latin
mulanya
berkataan yang
diambil
Yunani, berarti
dari
mathematike, “relating
to
Perkataan
learning”. mempunyai yang
mathematica,
akar
berarti
ilmu
kata
itu mathema
pengetahuan
(knowledge,
atau
science).
Perkataan
mathematike
berhubungan sangat erat dengan sebuah kata lainnya yang serupa, yaitu
mathanein
yang
Jadi
berdasarkan
etimologis
(Perkataan
matematika
berarti
pengetahuan
yang
dengan
bernalar”.
maksudkan lain
bukan
diperoleh
penalaran,
akan
matematika aktiitas
lebih dalam
(penalaran),
eksperimen
disamping
penalaran.
Matematika hasil
terbentuk
pemikiran
sebagai
manusia
yang
berhubungan dengan ide, proses dan penalaran. Pada tahap awal matematika
terbentuk
pengalaman
manusia
dunianya
secara
metematika manusia
dari dalam
empiris,
sebagai kemudian
karena aktivitas
pengalaman
itu diproses dalam dunia rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan
penalaran
sruktur
di
kognitif,
dalam sehingga
sampailah pada suatu kesimpulan berupa
konsep-konsep
matematika.
Agar
konsep-konsep
matematika yang telah terbentuk itu dapat dipahami orang lain dan
mengandung arti belajar. .
atau
“ilmu diperoleh
Hal
ini
berarti tidak tetapi
di ilmu
melalui
sedangkan
rasio dalam
ilmu lain lebih menekankan hasil
dengan
dimanipulasi
mudah
secara
tepat,
maka
digunakan notasi dan istilah yang cermat
yang
secara
global
dikenal
disepakati
bersama
(universal)
dengan
yang bahasa
matematika Kamus
dalam
menekankan dunia
dapat
mengatakan adalah mengenai
ilmu
matematikanya bahwa
matematika
tentang bentuk,
logika susunan,
besaran, dan konsep-konsep yang
berhubungan lainnya
satu
dengan
banyak
yang
dengan
yang
matematika,
bukanlah
jumlah
yang
uurusannya.
Menurut
dalam
pendapatnya,
terbagi
ke
matematika
itu
tiga bidang, yaitu, aljabar, analis
adalah ilmu tentang struktur yang
dan geometri. Namun pembagian
bersifat deduktif atau aksiomatik,
yang jelas sangatlah sukar untuk
akurat,
dibuat, sebab cabang-cabang itu
sebagainya.
semakin
bercampur.
contoh,
adanya
mengatakan
Sebagai
pendapat
bahwa
abstrak,
yang
dalam
bukunya
matematika
bahwa
matematika
berpikir,
manusia
mengorganisasikan,
berhubungan
dan
Johnson dan Rising (1972)
itu timbol karena pikiran-pikiran yang
ketat
mengatakan adalah
pola pola
pembuktian
dengan ide, proses, dan penalaran
yang logic, matematika itu adalah
yang
bahasa yang menggunakan istilah
terbagi
wawasan
menjadi
empat
luas,
yaitu
yang
yang
didefinisikan
aritmatika, aljabar, geometri, dan
cermat,
analisis
dengan
representasinya
mencakup
teori
aritmatika bilangan
dan
statistika.
berpandangan
computer
dan
bagian
bahwa
stastistika
dari
Kelompok
matematika.
matematikawan
berpendapat
bahwa
ini
matematika
adalah ilmu yang dikembangkan untuk
matematika
Ilmu
adalah
itu
sendiri.
untuk
ilmu,
Reys bukunya
tidak
adanya
atau
kegunaan
daripada
(1984)
dalam bahwa
pola dan hubungan, suatu jalan atau
pola
berpikir,
suatu
seni,
suatu bahasa, dan suatu alat. Kemudian
Kline
(1973)
dalam bukunya mengatakan pula
pengetahuan
Ada
ide
matematika adalah telaah tentang
dikembangkan sendiri.
simbol
mengatakan
bahwa
kepentingan
dengan
mengenai
matematika itu adalah ilmu yang untuk
akurat,
mengenai bunyi.
ilmu bukan
dan
dan padat, lebih berupa bahasa simbol
Namun ada kelompok lain yang
jelas,
dengan
dapat
matematika
itu
menyendiri
sempurna
karena
bukanlah yang dirinya
sendiri, tetapi adanya matematika
itu
terutama
manusia
untuk
dalam
menguasai
membantu
memahami
permasalahan
dan sosial,
ekonomi, dan alam.
atas
uraian-uraian
mudah-mudahan
pengertian matematika
Matematika berkembang
Dengan
tumbuh karena
di
cakrawala
kita
tentang
makin
bertambah
dan
luas, tidak terlalu sempit dengan
proses
hanya memandang dari satu segi
berpikir, oleh karena itu logika
saja.
adalah dasar untuk terbentuknya
diberikan
matematika. Logika adalah masa
secara tertulis atau secara lisan
bayi dari matematika, sebaliknya
penjelasannya,
metematika adalah masa dewasa
memberikan jawaban secara utuh
dari
yang
logika.
Pada
cabang-cabang ditemukan atau
permulaannya
matematika adalah
Berhitung,
Akan
menyuluruh
Aritmatika
matematika
dan
dengan
panjang
lebar
akan
dipahami
secara
tentang
apa
Ibarat
enaknya
itu.
masakan,
walaupun
tidak
dapat
yang
Aljar
tetapi
meskipun
diceritakan
bahasa
yang
Geometri. Setelah itu ditemukan
dengan
Kalkulus yang berfungsi sebagai
bagaimanapun
tonggak
penopang
terbentuknya
mencobanya tk akan terasa enak.
cabang
matematika
baru
yang
Tapi meskipun demikian mudah-
antara
lain
lebih
kompleks,
Statistika, (Linear,
Topologi, Abstrak,
Geometri
(Sistem
Geometri
Aljabar Himpunan), Geometri,
Linear),
Analisis
Vektor, dan lain-lain.
tetapi
tentang tidak
satupun
sedikit
banyak
menambah
luasnya
pengetahuan
kita.
seperti
tanpa
dapat
cakrawala
Benar
diucapkan
oleh
sekali Courant
dan Robbin bahwa untuk dapat mengetahui
Masih banyak lagi definisidefinisi
mudahan
indahnya,
apa
matematika
itu
sebenernya,
seseorang
harus
matematika,
mempelajari
sendiri
ilmu
perumusan
matematika
itu,
yaitu
dengan
yang dapat diterima umum, atau
mempelajari,
sekurang-kurangnya
dapat
mengerjakannya.
Termasuk
diterima
sudut
pengkajian
timbulnya
pandang.
dari
berbagai
mengkaji,
sejauh
dan
matematika
dan
perkembangannya. cara
guru
mengajar
menekankan
dan
merumuskannya.
Walaupun kita menyadari bahwa
Kebanyakan dalam
masalah
terlalu
pada
penguasaan
sejumlah
informasi
atau
belaka.
Penumpukan
konsep informasi
ada siswa yang mampu memiliki tingkat
hafalan
terhadap
yang
baik
materi
yang
diterimanya,
namun
kenyataannya
mereka
sering
atau konsep pada subjek didik
kurang memahami dan mengerti
dapat kurang bermanfaat bahkan
secara
tidak
sekali
yang
tersebut
hanya
Pemahaman
oleh
guru
bermanfaat
kalau
hal
sama
dikomunikasikan
mendalam bersifat
adalah
pengetahuan
hafalan
yang
tersbut.
dimaksud
pemahaman
ini
siswa
kepada subjek didik melalui satu
terhadap dasar kualitatif dimana
arah.
fakta-fakta
Konsep
merupakan
suatu
saling
berkaitan
hal yang penting, namun bukan
dengan
terletak pada konsep itu sendiri,
menggunakan
tetapi
tersebut
dalam
situasi
konsep itu dipahami oleh subjek
Sebagian
besar
siswa
kurang
didik.
mampu
menghubungkan
antara
terletak
pada
Pentingnya
konsep
dalam
mengajar sikap,
begaimana
pemahaman
proses
sangat
keputusan,
belajar
begaimana
dan
akan
cara-cara
di
hanya
menghafal
jika
menemui
kehidupan
kurang
konsep masalah nyata
berhubungan yang
lapangan
kurang
menggunakan
dengan
dimiliki. mampu
pengetahuan baru.
pengetahuan
tersebut
dimanfaatkan
atau
diaplikasikan pada situasi baru.
Kenyataan
dan
untuk
apa yang mereka pelajari dengan
mempengaruhi
memecahkan masalah.
siswa
kemampuannya
konsep
bagaimana
mampu
yang
tersebut
menyampaikan
dalam
yang
yang
dapat
konsep
Bahkan
Persoalan
siswa
menentukan
sekarang
adalah
menemukan
cara
terbaik berbagai
diajarkan
mengingat tersebut.
untuk
sehingga
menggunakan lebih
lama
Bagaimana
berkomunikasi
baik
guru
konsep siswa dan konsep dapat dengan
siswanya. Bagaimana guru dapat
tidak tahu maka dalam benak kita
membuka wawasan berpikir yang
akan terjadi perubahan dan hal
beragam
ini
dari
seluruh
sehingga
dapat
berbagai
konsep
mengaitkannya
siswa,
akan
mempelajari
mempelajari
dan
Dalam
dalam
cara
kehidupan
perlu
selanjutnya.
pembelajaran
matematika
diketahui
matematika.
dan
merupakan
mampu
menggunakan
pendekatan
informal.
singgung
di
tentang luar
ilmu
aksiomatik dan
abstrak,
deduktif.
Proses disebut
garis
proses berpikir aksiomatik karena
lingkaran
pada dasarnya landasan berpikir matematika
menerapkan suatu konsep ketika
kesepakatan
menghadapi
suatu
soal.
aksioma.
dihadapkan
pada
sebuah
sudah
yang
matematika
utamanya, siswa merasa bingung
mereka
karekteristik Matematika
berpikir
Permasalahan
untuk
materi
nyata. Bagaimana guru yang baik bijaksana
berguna
soal
kesepakatan-
yang
disebut
Matematika
dikatakan
deduktif,
karena
bersifat
namun
matematika
disajikan
secara
apabila soalnya diganti dan siswa
aksiomatik
menggunakan
logika
disuruh
kembali
mengerjakan
deduktif.
bingung
untuk
mengerjakannya.
Ada
Sehingga jawaban siswa menjadi
gurunya:
tidak
itu, apakah gunanya kita belajar
benar
mengerti,
Ketika
adalah
karena
minimnya
anak
bertanya
“Apakah
kepada
matematika
matematika ?”
pemahaman pada suatu konsep.
Kalimat
diatas
memberikan
Teori Dasar
inspirasi
Hakekat Belajar Matematika
sudah sekian lama masih banyak
Belajar
matematika
adalah
kepada
yang
kita
belum
bahwa
mengenal
suatu proses yang mengakibatkan
matematika. Seperti halnya ilmu
perubahan
tingkah
laku
yang
berkaitan
dengan
metematika.
Bila
kita
matematika
tahu yang
yang
konsesp sebelumnya
aspek atau
lain, teori
matematika dan
aspek
praktis
penggolongannya
memiliki terapan dan atas
matematika
murni,
matematika
matematikanya,
pola
pikir
terapan dan matematika sekolah.
matematika,
Umumnya
bagi bidang lain, dan sebagainya.
matematika
dengan
dikenal
keabstrakannya
samping
sedikit
di
bentuk
yang
Atas
dasar
maka
ada
pemanfaatannya
pertimbangan beberapa
berangkat dari realita lingkungan
tentang
manusia.
Anitah, 2008:74):
Matematika
berkembangan diperlukan karena
ketika
dan
itu,
orang
ia
teknologi.
perlu
bagi
untuk
matematika, dan
banyak
semua
terorganisasi
mengenal
2.
peran
depan.
didefinisikan
secara
tepat
mengingat
fungsi
dan
tidak
mudah ada
peranan
dan
adalah
ilmu
Matematika
adalah
4.
Matematika
berkenaan
terhadap bidang study yang lain.
struktur,
dan
Kalau
tentang
yang
bersifat
yang logis
maka
itu
tentatif, tergantung kepada orang yang
mendefinisikannya.
ilmu
bilangan-bilangan
ide-ide,
matematika
atau
dan hubungan-hubungannya
matematika
definisi
cabang
eksak
dengan
ada
(Sri
keluasan
tentang
dan
banyak
yaitu
pengukuran dan letak 3.
matematika
Matematika tentang
ke
definisi
adalah
pengetahuan
matematika
Pengertian
Matematika
Oleh
memahami
manfaat
1.
matematika
itu
5.
Bila
diatur
Matematika deduktif
strukturhubungannya
menurut
urutan
adalah
ilmu
yang
tidak
seorang tertarik dengan bilangan
menerima
maka
didasarkan
pada
observasi
kumpulan
(induktif)
tetapi
diterima
digunakan
generalisasi
yang
didasarkan
ia
akan
matematika bilangan
adalah
yang
dapat
untuk persoalan perdagangan.
menyelesaikannya hitungan
kepada
dalam
Beberapa
mendefinisikannya berdasarkan
mendefinisikan
orang
matematika sruktur
generalisasi
pembuktian
yang
secara
deduktif 6.
Matematika tentang
adalah struktur
ilmu yang
terorganisasi mulai dari unsur
yang
tidak
didefinisikan
ke
numeric,
unsur yang didefinisikan, ke
mengenai kuantitas dan besaran,
aksioma
mempelajari
atau
akhirnya
ke
postulat dalil
atau
teorema 7.
masalah-masalah
bentuk
dan
berpikir,
Matematika tentang
adalah logika
ilmu
pola,
struktur,
sarana
kumpulan
sistem,
struktur dan alat.
mengenai
Matematika berasal dari akar
bentuk, susunan besaran, dan
kata
konsep-konsep
hubungan
pengetahuan,
lainnya
jumlahnya
berpikir
yang
hubungan
mathema
artinya
mathanein
artinya
belajar.
Dalam
atau
banyak dan terbagi ke dalam
kamus bahasa Indonesia diartikan
tiga
matematika adalah ilmu
bidang,
yaitu
aljabar,
analisis, dan geometri. Dalam
bilangan
definisi
dikatakan
bahwa:
lain
matematika
hubungan
bilangan
dan
operasional
yang
adalah cara atau metode berpikir
dalam
dan
mengenai bilangan.
bernalar,
bahasa
lambang
yang dapat dipahami oleh semua bangsa
berbudaya,
pada
musik
penuh
simetri,
pola,
dapat
menghibur,
pembuat
peta
angkasa
luar,
dan
seni
dan
seseorang
masalah
dengan
matematika.
kecerdasan bila
menguasai
Simbol
ini
dipakai
yang
dalam masyarakat ketika seorang
alat
bagi
lambat
navigator
pembuat
mesin,
(Sukardjono,
menghitung
dikatakan artinya
lemah
Kecerdasan
maka „jongkok‟,
IQ-nya dan
berpikir.
ditandai
dengan
cepatnya berhitung di luar kepala dkk
(2009)
dalam
pada
masalah-masalah
memberikan
definisi
sederhana.
hakekat
matematika
adalah:
dindentikkan
membahas
digunakan
Simbol
bukunya
Matematika
prosedur
penyelesaian
seperti
2008:12). Ismail
antara
irama
arsitek,
akuntan
tentang
adalah
ilmu
angka-angka
perhitungannya,
yang dan
membahas
yang
Kecerdasan dengan
di
sini
aritmatika
yaitu operasi hitung. Dahulu kita mengenal tangkas
pelajaran di
mana
siswa
cerdas dilatih
untuk
cepat
pertanyaan
guru
menjawab dalam
masalah
lagi
untuk
yang
mengetahui
terkandung
makna
di
dalamnya.
memahami
makna
operasi hitung. Dari sini siswa
Untuk
dilatih agar cepat berfikir, cepat
matematika
kita
harus
menjawab
mengetahui
pengertian
yang
masalah
dan
cepat
mencari solusi masalah. Menguasai
mendalam
matematika
tidak
dan
filosofi
saja
bisa
memfokuskan
seperti aritmatika, akan tetapi ada
pada
yang lebih luas yaitu menguasai
karakter, dan fungsinya.
hanya
dan
matematika
tentang
diihat
dari
unitnya
terampil
masalah
dengan
matematika.
pembicaraan
hakekat
menyelesaikan
Dalam
tahapan-tahapan
pendidikan
Kita
maematika,
masyarakat dan
umum
kata
tertentu. Paling sederhana siswa
matematika sering dipakai dalam
dapat
mengurangi
langkah-
pergaulan.
langkah
menyelesaikan
masalah
orang
langkah
perkembangan
sekuran-kurangnya
tiga
penyelesaian soal. langkah-langkah
penyelesaian
masalah
inilah
sekelompok
membicarakan
beredar
Penguasaan
Ketika
ekonomi,
pembicaraan
matematika
tentang
yang
maka
perhitungan
menolong
dan
membantu persoalnnya.
akhirnya menjadi target berhasil atau
tidaknya
seorang
guru
mengajar
matematika.
Kalau
subtansial
matematika
berisi
Pendekatan Informal Pendekatan
dalam
pembelajaran
adalah
fakta, konsep, prinsip, skill dan
jalan,cara
keterampilan
yang
ditempuh
siswa
dalam
solving
mak
menyelesaikan menjadi
serta
soal
problem procedural itulah
tujuan
yang belajar
matematika. Materi demikian
pembelajaran bagaimana atau
matematika banyak
yang
menyebabkan
kita harus berpikir lebih serius
atau
suatu
kebijaksanaan oleh
guru
pencapaian dilihat
proses materi
itu,umum atau khusus.
dari
atau tujuan sudut
pembelajaran pembelajaran
Pendekatan
pembelajaran
membuktikan
matematika menjadi dua, sebagai
kebenarannya.
berikut:
dahulu
Pendekatan
Pertama,
Materi
merupakan
(material approach), yaitu proses
pendekatan
penjelasan
pendekatan
Pendekatan
topik
tertentu
matematika
menggunakan
materi
matematika lain.
rumus-rumus kemudian
dugunakan
(teaching
tanpa
menurunkan
atau
penyampaian
atau
penyajian tertentu
mempermudah
agar siswa
Informal
berarti
membuktikan terlebih dahulu. Mayor
pendekatan
informal
dimulai
dengan
menyajikan
prosedur
kekuatan
formal adalah bersifat matematis,
Contoh
melalui
jalur-jalur
Definisi
sistematis,
dan
logis,
menggunakan
aksiomatis atau
dalam
dengan
konsep.
sedangkan
menyatakan
pembelajaran
tidak menurut aturan resmi dalam
aksioma,
matematika
masalah
proses
kaidah
teorema-teorema
menyelesaikan
yaitu
matematis,
ini
Dalam
untuk
approach),
matematika
formal.
dari
Pendekatan
Pembelajaran
memahaminya
atau
informal
penyimpangan
diberikan
Kedua,
topik
terlebih
Dikembangkan
urutan
tugas
teorema).
siswa
atau melalui
argumen
logika.
pembelajaran;
disampaikan;
Memberi
(definisi,
generalisasi
contoh,
mirip
dan
beberapa
contoh
dengan
dan
dikerjakan
maksud
untuk
Pendekatan informal adalah suatu
menguji
pemahaman
siswa
bagian dari sebuah sistem formal
tentang
definisi
yang
menyimpang
formal.
disampaikan.
disebut
Kelebihan
dari
Pembahasan
cara itu
menggunakan
pendekatan
informal (tidak formal). Sebagai contoh,
misalnya
suatu
mengenalkan
rumus
menggunakannya menyelesaikan
dan untuk
soal-soal
tanpa
dari
Pendekatan
Informal 1.
Lebih praktis
2.
Lebih
mudah
mengerjakan menggunakan rumus cepat
dalam soal
3.
Waktu yang digunakan luas,
m/2012/01/pendekatan-informal-
karena
dan-formal-sbm.html).
hanya
memperkenalkan
rumus-
rumus tidak dibutuhkan biaya
Melukis
dalam pendekatan ini
Luar Lingkaran
Kelemahan
Dari
Pendekatan
1.
Lukislah
titik
2.
Singgung
sebuah
lingkaran
A
berada
di
luar
Tidak dapat mengetahui asal-
lingkaran.
Lukislah
garis
usul rumus yang digunakan
singgung
ingkaran
yang
Memerlukan
persiapan
yang
melalui
titik
A
di
Langkah-langkah Persiapan
untuk
menghafal
rumus-rumus, siswa dan guru di
tuntut
menghafal
rumus-
rumus yang berkaitan dengan penyelesaian soal-soal Keberhasilan informal
luar
lingkaran.
lebih matang 3.
di
dengan titik pusat di O dan
Informal 1.
Garis
sangat
melukis
garis singgung melalui suatu titik di luar lingkaran sebagai berikut. a. Lukislah
lingkaran
titik
pusat di O dan titik A di luar lingkaran
pendekatan
b. Hubungkan titik O dan A
tergantung
c. Lukislah
busur
lingkaran
kepada apa yang dimiliki guru,
dengan pusat di titik O dan
seperti
pengetahuan,
di titik A sehingga saling
semangat,
berpotongan di titik B dan
rasa
persiapan, percaya
antusiasme, berbagai
diri, motivasi,
kemampuan
kemampuan
dan seperti
menyampaikan
materi agar menarik dan sampai pada peserta didik. Kemampuan
titik C d. Hubungkan memotong
BC
sehingga
garis
OA
di
titik D e. Lukis
lingkaran
berpusat
yang dimiliki siswa akan terbatas
di titik D dan berjari-jari
pada
OD
apa
yang
diberikan
(http://marianoflena.blogspot.co
guru
=
DA
emotong pertama
sehingga lingkaran
di
dua
titik.
Namailah
dengan
titik
E
dan F f. Hubungkan titik A dengan titik E dan titik A dengan ttik F. Garis AE dan EF merupakan
dua
singgung melalui
garis lingkaran
titik
A
di
luar
lingkaran B O
A
O
A
C (a)
(c)
E
A
O
B D C
(b) F (f)
B D
O
A
C (d) E B O
D C F (e)
A
O
A
Berdasarkan
uraian
di
atas
BP1
b.
PQ
adalah
persegi
panjang, berarti BQ = P1 P =
dapat di simpulkan sebaai berikut Melalui sebuah titik di luar
r dan BP1 = PQ = PGSPL
lingkaran dapat di buat dua garis
serta AP1 = AP – P1 P atau
singgung pada lingkaran tersebut.
AP1 = R – r. P
2.
Panjang
Garis
Singgung
P
Persekutuan Luar (PGSPL)
r A
P
Q
B
R
Q
(i)
R r A
d
P
B
Q p
R
Panjang
Garis
Singgung
Persekutuan Luar (PGSPL) Perhatikan Gambar
gambar
tersebut
PGSP L R-r d
B
A
diatas!
menunjukkan
(ii)
dua lingkarang yang berpusat di A dengan jari-jari R (lingkarang
Perhatikan AP1 B siku-siku
besar) dan lingkaran kecil yang
di
berpusat di B dengan jari-jari r.
Pythagoras, di peroleh :
Jarak kedua pusat adalah AB = d,
dan
PQ
adalah
panjang
P1.
Berdasarkan
garis
singgung luar = PGSPL Langkah-langkah
menentukan
PGSPL (PQ) : a.
Tarik
garis
lingkaran
melalui
kecil
(titik
pusat B)
sejajar garis PQ hingga tegak lurus garis AP, yaitu BP1 AP
Teorema
Contoh :
dihitung,
A
apabila
diketahui
panjang jari-jari lingkaran (r) dan
B
jarak
C
titik
di
luar
lingkaran
tersebut (d). Perhatikan Gambar
M L
di bawah! P
Perhatikan
gambar
PGSPL
di
r
samping! Jika diketahui LM =
Q
d
13cm, MB = 3cm, dan AL = 8cm,
tentukan
panjang
garis
singgung AB. Jawab :
OPQ
siku-siku
di
P,
dengan OP = r, OQ = d, dan PQ = PGSPL. Berdasarkan
Teorema
Pythagoras diperoleh :
Contoh : Perhatikan gambar di bawah di bawah! Titik lingkaran Jika Jadi, panjang garis singgung
dengan
jari-jari
dengan
lingkaran ,
tentukan
sama panjang
garis singgung lingkaran yang di
AB = 12cm
tarik dari titik 3.
berada di luar
Panjang
Garis
!
S
Singgung
Lingkaran (PGSL) Panjang lingkaran
garis
(PGSL)
singgung yang
ditarik
dari titik di luar lingkaran dapat
L
P
Jawab :
efisien,
dan
tepat
pemecahan
masalah.
matematik
akan
pembelajaran arahkan
antar
memahami
dan
matematik sama
lain
pemahaman menggunakan
matematik dalam konteks di luar
= Jadi, panjang garis singgung lingkaran adalah 12cm.
Menganalisis Soal Garis Lurus di Lingkaran
dengan
Mensubtitusikan
Rumus
Pytagoras Pemahaman
konsep
merupakan salah satu kecapakan atau kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematika yaitu dengan menunjukkan
pemahaman
matematika
pelajarinya,
yang
di
menjelaskan antar
mengaplikasikan
Suatu
konsep, bahwa
dapat
siswa
di
paham
terhadap suatu konsep akibatnya
Meningkatkan Pemahaman Siswa
Luar
matematik.
artikan
PEMBAHASAN
keterkaitan
satu
terbangun
menyeluruh,
konsep
ide,
terkait
di
matematika
ide-ide
sehingga
jika
pengmbangan
koneksi
berbagai
saling
=
bermakna matematik
bagaimana
=
Pemahaman
pada
kemampuan
dalam
konsep
dan
konsep
atau
alogaritma secara luwes,
akurat,
siswa
mempunyai
untuk
kemampuan
menyelesaikan
setiap
masalah dengan benar. Menurut Pollatsek
Skemp terdapat
dan
dua
jenis
pemahaman
konsep,
yaitu
pemahaman
instrumental
dan
pemahaman Pemahaman di
artikan
rasional. instrumental sebagai
dapat
pemahaman
atas konsep yang saling terpisah dan dalam
hanya
rumus
melakukan
sederhana,
yang
dihafal
perhitungan Sedangkan
Pemahaman rasional termuat satu skema atau skrukstur yang data
digunakan
pada
penyelesaian
Jawab :
masalah yang lebih luas. Suatu ide,
fakta
atau
matematika
dapat
sepenuhnya dengan
di
dari
koneksi.
NCTM,
untuk
maka
pahami
sejumlah
mencapai bermakna
pembelajaran
matematika
di
arahkan
pengembangan
b.
pada
kemampuan Jadi,
koneksi matematik antar berbagai ide,
memahami
bagaimana
lain
sehingga
terbangun
pemahaman
menyeluruh,
menggunakan
matematik
panjang
garis
singgung
ide-
ide mtematik saling terkait satu sama
A
13cm
Menurut
yang
harus
5c m
dikaitkan
kekuatan
pemahaman
B
prosedur
jika
jaringan
a.
Metode Pemahaman Konsep
dan dalam
konteks di luar matematika.
Pembelajaran
Pemahaman comprehension kemampuan
atau diartikan
untuk
sebagai
menangkap
pengertian dari sesuatu. Hal ini Misalnya : Diketahui di
lingkaran
berpusat
dengan
jari-jari
titik .
garis
Garis
singgung
melalui titik Jika jarak
adalah
lingkaran
di luar lingkaran.
Gambarlah sketsanya
b.
Tentukan
panjang
dipertunjukkan
dalam
bentuk
menerjemahkan
sesuatu,
misalnya atau
angka
kata
menafsirkan
sesuatu dengan cara menjelaskan atau
pada garis
menjadi
sebaliknya,
membuat
memperkirakan
, maka
a.
singgung
yang
dapat
masa
(Harjanto,
intisari,
dan
kecenderungan yang
akan
2005:60).
datang
Sedangkan
konsep adalah suatu kelas atau kategori
stimuli
yang
ciri-ciri
umum.
Stimuli
memiliki adalah
objek-objek atau orang. Konsep-
sudutnya
konsep
sisi.
tidak
terlalu
kongruen
180o, Jadi,
dengan pengalaman pribadi kita,
mengkategorikan
tetapi
berdasarkan
menyajikan
usaha-usaha
manusia
untuk
mengklasifikasikan kita
(Oemar
pengalaman
Hamalik,2009:162).
Selanjutnya
setelah
kita
mengetahui
pengertian
tentang
pemahaman
dan
konsep
maka
yang
tertentu
mengerti
siswa
dari
mana
pembelajaran
karya
Jerome
Brunner,
Goodnow, Austin dan
manusia
beragam, kita
harus
memahami suatu konsep menjadi bagian
yang sebuah
dari
sistem
Selanjutnya
dapat bahwa
konsep
metode merupakan
bertujuan untuk membantu siswa memahami suatu konsep tertentu. Rangkuman
sebagai
1.
2.
Konsep
adalah
subjek
yang
paling
besar,
yang
dapat
Konsep dan istilah (nama objek dalam dipisah.
itu.
dengan
konsep)
tidak
Konsep istilah,
dapat
dinyatakan dan
istilah
objek
dalam
formation
adalah
konsep
dengan
menunjukkan
mengkategorikan inilah
konsep
dipelajari
dalam
sesuatu
tentang
matematika:
yakin
semua
menyebabkan konsep
fundamental
persekolahan.
mampu
manusia
menanamkan
dasar
dalam
mengkategorikan
membedakan,
Atas
siswa
sekirar
dan
menanamkan
Kemampuan
dan
Brunner. Austin
membedakan, dan
dan
lingkungan
manusia
(atribut)
kemampuan
pemahaman
berdasarkan
bahwa
ciri-ciri
maka
konsep
konsep
Goodnow
konsep
tersebut
disimpulkan
perolehan
George
suatu
suatu metode pembelajaran yang
Pendekatan
Jacqueline
manusia
dimilikinya.
harus
tersebut diperoleh.
tiga
pandangan
sebelum siswa memahami suatu konsep
mempunyai
konsep 3.
Concept
munculnya
memperoleh
(Hamzah:1).
pengalaman.
Concept
Misalnya konsep segitiga adalah
assimilation adalah memperoleh
bentuk
konsep dengan menggunakan
bidang
yang
jumlah
4.
konsep lain. Konsep non verbal
kondisi dalam diri peserta didik,
adalah konsep yang dipelajari
mengerti
dengan pembentukan konsep;
dalam
konsep verbal adalah konsep
dan
yang dipelajari dengan asimilasi
lain. Kondisi eksternal disiapkan
konsep
oleh pengajar.
Konsep
berguna
mengambil
untuk:
kesimpulan,
sifat
yang
konsep,
dapat
membedakan
Peserta
terkandung mengenal
dengan
didik
yang
mempelajari
konsep
melalui:
definisi,
mengklasifikasikan objek-objek,
observasi,
mendengar,
melihat,
meluaskan
memegang,
mendiskusikan,
melakukan komunikasi.
memikirkan
bermacam-macam
5.
Strategi pengajaran konsep
konsep dan bukan konsep.
6.
Pertanyaan
pengetahuan,
yang
menuntun
Pemahaman
penguasaan
rencana pengajaran konsep:
konsep
a) Kemampuan
persepsi
(tanggapan),
(daya
untuk
intelektual
yang dimiliki siswa? b) Latar belakang konsep yang
dapat
dengan
memiliki
(penggunaan
dengan menyebutkan sifat, definisi.
Bila
belum
memperoleh
generalisasi
pengertian
yang
dimiliki). Latihan
penguasaan
dengan
contoh. Jika belum dapat
menunjukkan
melakukan
abstraksi,
Tunjukkan
dilanjutkan
dengan dan
abstraksi
lainnya),
memiliki maka diberikan
membandingkan
proses
pengertian dan membedakan satu
dimiliki siswa, kalau siswa dilanjutkan
melalui
cara
konsep
membedakan sifat
sifat
atau
yang
dan
atribut. dilupakan
peserta didik dari suatu konsep (M.Ali Hamzah:259).
mempertentangkan (Oemar Hamalik, 2009:289). Ada
beberapa
memengaruhi
faktor
Jenis-jenis Konsep yang
pemahaman
Jenis-jenis
konsep
dibagi
menjadi
tiga
jenis,
yaitu
konsep yaitu kondisi internal dan
conjuctive
concepts,
eksternal. Kondisi internal adalah
concept, dan relational concepts.
disjunctive
Konsep
konjungtif,
nilai-
Pendekatan Informal
nilai tertentu dari berbagai atribut disajikan nilai
bersama-sama.
dan
bersama
atribut
Nilai-
ditambahkan
untuk
dalam
pembelajaran jalan,cara
adalah atau
yang
ditempuh
suatu konsep konjungtif. Konsep
siswa
dalam
konjungtif
mudah
pembelajaran
karena
bagaimana
atribut
atau
dipelajari hanya
menghasilkan
Pendekatan
sangat dan
diajarkan
menambah
antara
dan nilai-nilai. Konsep yang
beda.
antara
disjungtif,
sesuatu
dirumuskan
cara
Antara
nilai-nilai
yang
dalam berbeda-
atribut-atribut
dapat
yang
satu
dan
oleh
pencapaian dilihat
sudut
pembelajaran
materi
pembelajaran
Pendekatan
konsep
pembelajaran
matematika menjadi dua, sebagai berikut: Pertama,
Pendekatan
dengan
penjelasan
yang
yang
yakni
mempunyai
topik
matematika
menggunakan
Kedua,
Pendekatan
khusus
antar
Pembelajaran
atribut.
konsep
jarak
approach),
yaitu
arah.
Jarak
penyampaian
atau
konsep
(teaching
menunnjuk pada hubungan antara
topik
dua titik, yakni terdapat dua titik
mempermudah
yang
memahaminya
terpisah
arah,
juga
hubungan
antara
materi
matematika lain.
hubungan-hubungan Misalnya
Materi
(material approach), yaitu proses
hubungan,
menunjukkan
atau tujuan
dari
proses
tertentu
Konsep
dan
guru
disubstitusikan
lainnya.
suatu
kebijaksanaan
itu,umum atau khusus.
dapat
sejumlah
suatu
matematika
proses penyajian
tertentu
agar siswa
Informal
berarti
tidak menurut aturan resmi dalam
dua titik gerakan dari satu titik ke
prosedur
titik
formal adalah bersifat matematis,
lainnya
Hamzah:163).
(M.Ali
matematis,
sedangkan
melalui
jalur-jalur
sistematis,
dan
kaidah aksioma,
aksiomatis atau
logis,
menggunakan (definisi, teorema).
Pendekatan informal adalah suatu
menguji
pemahaman
siswa
bagian dari sebuah sistem formal
tentang
definisi
yang
menyimpang
formal.
disampaikan.
disebut
Kelebihan dari Pendekatan Informal
dari
Pembahasan
cara itu
menggunakan
pendekatan
1.
Lebih praktis
2.
Lebih
informal (tidak formal). Sebagai contoh,
misalnya
suatu
mengenalkan
rumus
soal-soal
membuktikan
terlebih
tanpa
3.
dahulu
informal
penyimpangan
pendekatan
atau
formal. ini
dalam pendekatan ini
Dalam
matematika
kemudian
dugunakan
untuk
menyelesaikan
masalah
tanpa
menurunkan
atau
Kelemahan
menyatakan
1.
pendekatan
informal
dimulai
dengan
konsep.
Dikembangkan
kekuatan Contoh
urutan
Definisi
tugas siswa
logika.
pembelajaran;
disampaikan;
Memberi
contoh,
mirip dengan
atau melalui
argumen
usul rumus yang digunakan 2.
Memerlukan
persiapan
yang
3.
Persiapan
untuk
menghafal
rumus-rumus, siswa dan guru di
tuntut
menghafal
rumus-
rumus yang berkaitan dengan penyelesaian soal-soal Keberhasilan
pendekatan
dan
informal sangat tergantung kepada
beberapa
apa yang dimiliki guru, seperti
dikerjakan
persiapan, pengetahuan, rasa percaya
dan
contoh
Tidak dapat mengetahui asal-
lebih matang
dengan
generalisasi
Pendekatan
dalam
pembelajaran
menyajikan
Dari
Informal
membuktikan terlebih dahulu. Mayor
rumus-
rumus tidak dibutuhkan biaya
dari
teorema-teorema
rumus-rumus
diberikan
hanya
memperkenalkan
Pendekatan
pendekatan
Waktu yang digunakan luas, karena
kebenarannya.
merupakan
soal
menggunakan rumus cepat
untuk
menyelesaikan
dalam
mengerjakan
dan
menggunakannya
mudah
maksud
untuk
diri, semangat, antusiasme, motivasi,
dan berbagai kemampuan seperti
beberapa
kemampuan menyampaikan materi
singgung
agar menarik dan sampai pada
Sebelum
peserta didik. Kemampuan yang
siswa
dimiliki siswa akan terbatas pada apa
singgung diluar lingkaran.
yang
dapat
diberikan
guru
contoh di
tentang luar
garis
lingkaran.
memberikan
kepada
karakteristik
garis
memberikan
Guru
beberapa
(http://marianoflena.blogspot.com/20
contoh dari garis singgung di luar
12/01/pendekatan-informal-dan-
lingkaran.
formal-sbm.html).
singgung di luar lingkaran itu:
Pendekatan sering
kali
pemecahan
informal
ini
digunakan masalah
Misalkan
garis
Contoh soal mencari panjang
dalam
garis singgung lingkaran
matematika
PGSPL = 12cm
dalam soal-soal uraian dapat kita jumpai
hal
itu.
mencari masalah itu
di katakan
menggunakan
pendekatan
informal.
S
Pembahasan
Bila
L
P
pembahasan
dimulai dari hal-hal yang belum diketahui yang
sampai sudah
kepada
diketahui
hal dan
akhirnya menghasilkan apa yang ingin
diketahui.
atau
pokok
Masalah
yang
utama
dipersoalkan
diuraikan atas adalah siswa sulit menganalisis soal garis singgung di
luar
bingung
lingkaran dalam
sehingga
mensubtitusikan
rumus Pythagoras. Sebagai
contoh
informal
untuk
singgung
di
diawali
pendekatan
materi luar
pembelajarannya
garis
lingkaran, dengan
Perhatikan
gambar
di
samping! Titik P berada di luar lingkaran dengan PL 15 cm. jika jari-jari lingaran L sama dengan 9
cm,
tentukan
singgung
panjang
lingkaran
yang
garis ditarik
dari titik P! Kalau pendekatan
mencari
dengan
informal
dilakukan
dengan merasionalkan dan rumus Pythagoras
telah
diterangkan
guru buktinya kepada siswa. Jadi ada rumus.
pembuktian Kalau
penurunan
diberikan
guru
rumus
PGSPL
d2
=
–
r2
mencari ( . . . . ) itu tanpa mereka
SARAN Berdasarkan saran
= d2 – r2 itu maka ini dikatakan
adalah : 1. Bagi guru, hendaknya
penyelesaian
mengetahui
dengan
dapat
diatas
tahu darimana asal rumus PGSPL
soal
yang
simpulan
dulu
permasalahan
pendekatan informal. Penyelesaian :
siswa
PGSPL = 12cm
singgung
PL = d = 15cm
Bagi
hendaknya
Mempersiapkan
= (15 + 9)(15 – 9)
dahulu
= 24 . 6
materi
= 4 . 6 . 6
pendekatan
agar
guru
tidak
lingkaran adalah 12cm.
adalah
yang
ditempuh
siswa
dalam
bisa,
dalam suatu
kebijaksanaan oleh
guru
pencapaian dilihat
proses materi
itu,umum atau khusus.
siswa
sehingga
berjalan
lancer.
yang
3.
ingin
pembelajaran
menggunakan
singgung
atau
Melakukan
pendekan
informal
untuk pembelajaran materi garis
informal
pembelajaran
memahami
kepada
guru,
a).
terlebih
b).
menerapkan
Jadi, panjang garis singgung
Pendekatan
siswa
tersebut.
Bagi
:
siswa
pembelajaran
=2.6
ingin
pendekatan
= 152 - 92
= 4 . 36
atau
yang
2.
pembelajaran
informal,
yang
garis
lingkaran.
guru,
PGSPL = d2 – r2
= 4 . 36
dihadapi
materi
diluar
menggunakan
bagaimana
yang
dalam
PGSPL = . . . . ?
pembelajaran
permasalahan–
menerapkan
r = 9 cm
jalan,cara
disampaikan
dari
atau tujuan sudut
pembelajaran pembelajaran
diluar
lingkaran,
hendaknya membuat variasi agar siswa tidak tegang dan tidak sulit menerima guru,
penjelasan.
yang
ingin
4.
Bagi
menerapkan
pembelajaran
dengan
menggunakan
pendekatan
informal, pembelajaran singgung
khususnya
untuk
materi
garis
diluar
lingkaran,
hendaknya
guru
langkah-langkah pada
menyusun
yang
kesulitan
materi
garis
mengarah
siswa
dalam
singgung
diluar
lingkaran.
REFERENSI (1). Hamzah Ali & Muhlisraini 2014, Perencanaan
dan
Strategi
Pembelajaran Matematika.Jakarta:PT
Raja
Grafindo Persada (2). La Orde Arbiki dan Sanggar Matematika. http://C;Users/User/ Downloads/
contoh-skripsi-
model-pembelajaran. diakses
tanggal
02
Html. Oktober
2014. (3). Nuharini dewi &Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk Kelas VIII SMP/MTs (BSE). Jakarta:Pusat Perbukuan
Departemen
Pendidikan
Nasional.
