Mendelova univerzita v Brně Agronomická fakulta Ústav techniky a automobilové dopravy. Modul pruţnosti v tahu Bakalářská práce

Mendelova univerzita v Brně Agronomická fakulta Ústav techniky a automobilové dopravy

Modul pruţnosti v tahu Bakalářská práce

Vedoucí práce: doc. Ing. Josef Filípek, CSc.

Vypracoval: Zdeněk Veselý

Brno 2010

Mendelova univerzita v Brně

PROHLÁŠENÍ

Prohlašuji, že jsem závěrečnou práci na téma Modul pružnosti v tahu vypracoval samostatně a použil jen pramenů, které cituji a uvádím v přiloženém seznamu literatury. Bakalářská práce je školním dílem a může být použita ke komerčním účelům jen se souhlasem vedoucího diplomové práce a děkana Agronomické fakulty Mendelovy univerzity v Brně.

dne……………………………………. podpis studenta……………….............

Tímto bych chtěl poděkovat panu doc. Ing. Josefu Filípkovi, CSc vedoucímu mé bakalářské práce za čas, který mi věnoval a za jeho cenné rady a připomínky, jenž mi pomohly vytvořit konečnou podobu této práce. Dále bych chtěl poděkovat mým rodičům za vynaloženou podporu během mého studia.

ABSTRAKT Tato práce se zabývá zjišťováním Youngova modulu pružnosti v tahu. Zkoušky jsou prováděny pro ocel různých průřezů. Zkoušeným materiálem je ocel RSt37-2. Určování Youngova modulu poskytuje informace o mechanických vlastnostech materiálů. Cílem této práce je zjistit odchylky měření Youngova modulu pružnosti zkoušeného materiálu. Tento princip je založen na Hookově zákoně, kde je napětí přímo úměrné relativnímu prodloužení. Měření využívá statické metody. Postupně byla ohýbána ocelová tyč, kde nám dochází z vnější strany k prodlužování a z druhé strany ke stlačování materiálu. V praktické části jsou uváděna naměřená data, tabulky a grafy. Na základě těchto poznatků je v závěru práce provedeno vyhodnocení výsledků. Klíčová slova Pružná deformace, modul pružnosti v tahu, pevnost materiálu.

ABSTRACT Determination of the Young's modulus of elasticity is presented in this thesis. Tests are realized for various steel sections. Tested material is steel RSt37-2. Determination of the Young's modulus provides us with information about the mechanical properties of material. The aim of this thesis is to find measuring deviations of Young's modulus of elasticity of the tested material. This principle depends on Hooks law, where stress is directly proportional to extension. Measurements are performed by using static method. We gradually bended the steel bar and then occurs to the extension of the one side and to the pressure of the other side of the material. The practical part of this thesis contains the measured data, tables and graphs. Evaluations of the results are presented in conclusion of this thesis.

Keywords Elastic deformation, modulus of tension elasticity, strength of material.

Obsah 1

Úvod a cíl práce

8

1.1

Úvod ........................................................................................................... 8

1.2

Cíl práce ...................................................................................................... 8

2

Metodika

3

Literární přehled 3.1

9 10

Vlastnosti konstrukčních materiálů ........................................................ 10

3.1.1

Fyzikální vlastnosti .......................................................................... 10

3.1.2

Chemické vlastnosti .......................................................................... 12

3.1.3

Technologické vlastnosti................................................................... 13

3.1.4

Mechanické vlastnosti ...................................................................... 13

3.2

Vlastnosti kovů: ........................................................................................ 13

3.2.1

Napětí ................................................................................................ 13

3.2.2

Pružnost ............................................................................................ 14

3.2.3

Tvrdost .............................................................................................. 14

3.2.4

Pevnost .............................................................................................. 14

3.2.5

Tvárnost............................................................................................. 15

3.2.6

Houževnatost .................................................................................... 15

3.2.7

Energie .............................................................................................. 15

3.3

Moduly pružnosti konstrukčních materiálů a jejich význam .................. 16

3.3.1

Modul pružnosti ve smyku ...............................................................18

3.3.2

Objemový modul pružnosti ..............................................................18

3.3.3

Modul pružnosti v tahu.................................................................... 20

3.4

Způsoby zjišťování modulu pružnosti v tahu .......................................... 23

3.4.1 Mechanický, opticko-mechanický a elektrický způsob zjišťování průtahu tyče ................................................................................................... 24 3.4.2

Tahová zkouška materiálu trhacím strojem ................................... 28

3.4.3

Ultrazvuková metoda ....................................................................... 29

3.4.4

Rezonanční metoda .......................................................................... 31

4

Vlastní práce

34

5

Diskuze

42

Závěr

44

Použité zdroje

45

Seznam obrázků

47

1

ÚVOD A CÍL PRÁCE

1.1 Úvod Nejznámějším a nejdůležitějším materiálem jsou kovy. V dnešním životě bychom si bez těchto kovů nedokázali představit život. Jsou nedílnou součástí života a denně se s nimi potkáváme. Někdy si ani neuvědomujeme jejich odlišnosti. Některé jsou patrné na pohled, u jiných je nutné znát vnitřní stavbu, surovinu, ze které jsou vyrobeny, způsob výroby, převládající vlastnosti materiálu nebo v jakých podmínkách vznikají. Abychom dokázali určit vhodnost materiálu a jeho vykazované vlastnosti, bylo nutné se zabývat strukturou suroviny. Už v dřívějších dobách byly zakládány zkoušky materiálů. Šlo spíše o zkoušky praktické a technologické, kde se podle těchto zkoušek zjišťovalo zpracování kovů nebo jejich význam použití. Zásadní poznatky přinesly do zkoumání kovů pevnost a pružnost. Abychom mohly tyto důležité vlastnosti kovů zkoumat, nezbytnou součástí bylo vybudování dalších zkoušek. Nejrozšířenější je zkouška prostým tahem, kterou jako první použil Leonardo da Vinci (1452 – 1519). Časem se zkoušky zdokonalovaly, tak aby bylo možno zjistit i jiné vlastnosti kovů. Zkoušky se prováděly jak na pracovištích tak v laboratořích. Vybral jsem si měření modulu pružnosti v tahu, kde tato vlastnost charakterizuje odpor materiálu proti deformaci. Robert Hook roku 1676 odvodil vztah, ze kterého plyne, že napětí je přímo úměrné relativnímu prodloužení.

1.2 Cíl práce Cílem této práce je všeobecně se seznámit se základními vlastnostmi materiálů a získat informace o druzích modulů pružnosti v tahu konstrukčních materiálů. Tyto moduly jsou popsány a je odvozen jejich výpočet. Mým záměrem je sledovat výši a způsob ovlivňování vlastností materiálů, které působí na modul pružnosti. Dílčím cílem je popsat nástroje a metodu měření těchto vlastností. Důležitá je i technika jejich zpracování a postup výpočtu, který lze v dané problematice použít. Mou úlohou v praktické části je zjistit z naměřených dat, jak se modul pružnosti v tahu liší u jednotlivých tyčí od údajů z tabulek.

2

METODIKA Bakalářská práce se skládá z teoretické a praktické části. V teoretické části je

nejprve vysvětleno, které vlastnosti konstrukčních materiálů se vyskytují, pomocí prostudované literatury. Jde o fyzikální, chemické, technologické a mechanické vlastnosti. Další rozdělení nám přináší druhy modulů pružnosti konstrukčních materiálů a jejich výpočet. Dále jsou uvedeny způsoby zjišťování modulů pružnosti, měření velmi malých deformací, metody měření a jejich odlišnost. V praktické části jsou podklady získávány díky měření v laboratoři. Měření je provedeno na různých tyčích stejného materiálu ČSN 11 375 (DIN RSt 37-2). Počet vzorků jednoho průřezu jsem zvolil 3 kusy. Naměřené a vypočtené výsledky v práci zhodnoceny a zaneseny do grafů. Zde je uvidíme, zda se vypočtené hodnoty liší od tabulkových. Je uveden důvod odlišnosti a přenosnosti použité metody.

9

3

LITERÁRNÍ PŘEHLED

3.1 Vlastnosti konstrukčních materiálů Obecně každá látka je specifická svými vlastnostmi, které se určují především experimentálně. Většina kovů a základních vlastností zbylých prvků je již známa, u sloučenin, slitin a polymerů se vlastnosti stále doplňují, především v jejich použití a přípravě. Z mnoho vlastností materiálů dáváme přednost těm, které mají vliv na využití nebo jejich zpracování. Tyto vlastnosti se rozdělují do čtyř hlavních skupin: fyzikální, chemické, technologické a mechanické. Z hlediska použití můžeme jen v některých případech pokládat jednu z vlastností za rozhodující a ostatní zbylé za ne méně určující. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) 3.1.1 Fyzikální vlastnosti Fyzikální vlastnosti jsou závislé na vnitřní stavbě hmoty, atomů a velikostí vazeb mezi nimi. Značnou část vlastností prvků lze předpokládat z postavení v periodické soustavě, vlastnosti slitin a sloučenin mohou být dosti jiné od vlastnosti prvků základních. Patří mezi ně hlavně neželezné kovy a jejich slitiny, které mají fyzikální vlastnosti v širokém intervalu hodnot. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) Do fyzikálních vlastností patří: 3.1.1.1 Hustota ρ Hustota je vlastně podíl hmotnosti m a objemem V při určité teplotě.



m  kg  V  m 3 

Její velikost závisí na dané stavbě látky. Je tedy závislá na

(3.1) poloze prvku

v periodické soustavě. tento vztah platí pouze tehdy zda jsou v krystalu obsažena všechna uzlová místa. Skutečnost ale říká, že vyskytování poruchy mřížky je časté (vakance, dislokace), tedy liší se hustota skutečné od ideální. (www.Strojnílyceum.cz) 3.1.1.2 Teplota tání ζ (°C) Teplota při níž látky mění své skupenství tuhé na kapalné. Velmi málo závisí na vnějších podmínkách spíše závisí na podmínkách vnějších. (Filípek, 1988)

10

3.1.1.3 Teplotní rozsah (interval) tání nebo tuhnutí Krystalické látky skládající se z jednoho prvku nebo jedné sloučeniny mají pro každý druh látky naprosto určitou teplotu tání a tuhnutí. (např. slitiny, skla, keramické látky) Uvádíme u nich teplotní rozsah tání nebo tuhnutí, protože pozvolna mění své skupenství se stoupající nebo klesající teplotou. (www.Ateam.zcu.cz) 3.1.1.4 Teplota tavení Teplota kolem 200 °C a vyšší, než je teplota tání určité slitiny. U různých slitin dosahujeme touto teplotou stejného přehřátí. (www.Ateam.zcu.cz) 3.1.1.5 Teplota lití Bývá asi o 50 až 100 °C nad teplotou likvidu. Základní vlastnosti materiálů a jejich zkoušení. (www.Strojnilyceum.cz) 3.1.1.6 Délková a objemová roztažnost Je to prodloužení délky nebo zvětšení objemu působením zvýšené teploty látky. Čím má kov nižší teplotu tání, tím je větší teplotní součinitel roztažnosti. (www.Ateam.zcu.cz) 3.1.1.7 Teplotní součinitel délkové a objemové roztažnosti Udává změnu délkové nebo objemové jednotky při změně teploty o 1 K. (www.Strojnilyceum.cz) 3.1.1.8 Tepelná vodivost λ Množství tepla, které při stabilizovaném stavu projde za jednotku času mezi dvěma protějšími stěnami krychle o délce hrany 1 m, pokud je rozdíl teplot mezi stěnami 1 K (www.Ateam.zcu.cz). Tepelná vodivost je schopnost přenášet tepelnou energii vedením. (Filípek, 1988) 3.1.1.9 Elektrická vodivost Elektrická vodivost je schopnost vést elektrický odpor. Podle vodivosti dělíme materiály na vodiče, polovodiče a nevodiče (izolanty). (www.Strojnilyceum.cz)

11

3.1.1.10 Měrný elektrický odpor U vodivých materiálů je to odpor vodiče o průřezu 1 mm 2 a délce 1 m. U méně vodivých a nevodivých materiálů je to odpor mezi protilehlými stěnami krychle o straně 1 cm. Nejlépe elektrický proud vede stříbro, měď a hliník. Naopak vakuum je nejlepším izolantem. (www.Ateam.zcu.cz) 3.1.1.11 Supravodivost U látek se při nízkých teplotách měrný odpor sníží skokem na nezjistitelnou hodnotu, tzv. supravodivost. Lze ji využít pouze v úzkém intervalu teplot a přechod do běžného stavu je ovlivněn vnějším magnetickým polem a intenzitou procházejícího proudu. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) 3.1.1.12 Magnetické vlastnosti Tyto vlastnosti jsou určeny magnetickým momentem a na změnách způsobených venkovním magnetickým polem. Dělí se na diamagnetické, paramagnetické a feromagnetické látky. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) 3.1.2 Chemické vlastnosti Považují se za ně především vlastnosti, které ovlivňují změny povrchu a povrchových vrstev ve spojení s prostředím plynným nebo kapalným. Změny čistých povrchů kovů v plynném prostředí začínají adsorpcí a chemisorpcí a pokračují chemickými reakcemi podle volných entalpií složek a cílem dosažení rovnováhy. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) U kovů se tento jev nazývá koroze. Aby bylo možné korozi zamezit nebo ji zpomalit, je nutno znát odolnost materiálu proti korozi. Koroze závisí nejen na druhu látky, jakosti povrchu a zpracování, ale i na mnoha vnějších vlivech, proto je obtížné ji napodobit. Zkoušky jsou dvojího typu: dlouhodobé v přírodě a krátkodobé v laboratořích. (www.Strojnilyceum.cz) Známou chemickou vlastností je také odolnost proti opalu, tzv. odolnost proti oxidaci při vyšších teplotách nebo také žáruvzdornost. (www.Strojnilyceum.cz)

12

3.1.3 Technologické vlastnosti Od fyzikálních a mechanických vlastností se liší tím, že určují vhodnost materiálu určitých technologických operací, případně upřesňují technologické podmínky zpracování. Odlišné jsou nejen způsoby zkoušení, ale i vyjadřování vlastností. Zjišťují se v přesně určených základních veličinách, ale získávají se porovnávací

hodnoty

nebo

jen

rozpoznání

dobrého

a

špatného

materiálu.

(Macek, Sedlák, Stránský, 1986) Podmínky technologických zkoušek se přibližují postupům zpracování nebo výrobním technologiím. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) 3.1.4 Mechanické vlastnosti Pro technickou praxi jsou významné mechanické vlastnosti materiálu, ty charakterizují jejich chování za působení vnějších sil. Tyto vlastnosti určuje také krystalická vazba, ale významný vliv mají mřížkové poruchy (dislokace a fázové rozhraní). (Macek, Sedlák, Stránský, 1986) Materiály jsou vystaveny různému namáhání při zpracování i při použití. Namáháním je myšlen tah, tlak, krut, střih a ohyb. Tato namáhání obvykle nepůsobí samostatně, ale naopak působí současně jako kombinace dvou i více namáhání prostých. Materiál musí mít jisté vlastnosti, jako je pevnost, tvrdost, pružnost a tvárnost, aby namáhání mohl odolávat. (www.Ateam.zcu.cz) Hlavními zásadami hodnocení materiálů i možností jejich použití pokaždé byly tvrdost a pevnost. Naproti tomu v poslední době vzrostl význam dalších hodnot: meze kluzu, lomová kriteria a jiné charakteristiky zjišťované při proměnlivé zatěžování nebo za zvláštních podmínek. Vlastnosti hodnotící plastické chování materiálu za různých podmínek namáhání jsou potřebným doplňkem pevnosti a tvrdosti. (Macek, Sedlák, Stránský, 1986)

3.2 Vlastnosti kovů: 3.2.1 Napětí Vyskytující se vnější síly vztahujeme na jednotku namáhaného průřezu, abychom při výpočtech postupně vyloučili rozměry. Definicí napětí je zatížení jednotky průřezu. (Jareš, 1966) 13

3.2.2 Pruţnost Elasticita je všeobecně definována jako schopnost materiálu se pružně deformovat před porušením (Veles, 1989). Po odlehčení vlivem vnitřních sil zůstane doformována hmota zcela nepružná, naopak deformace úplně vymizí u hmoty dokonale pružné. Dokonalé pružnosti se u mnohých kovů za nízkých teplot velmi blížíme, u většiny kovů se žádný z těchto případů nevyskytuje dokonale. Při číselném vyjádření pružnosti se používá dvou veličin. Jde o největší napětí, tzv. mez pružnosti, a závislost pružné deformace na velikosti vnějšího napětí. Skutečnost, že u kovů platí, s výjimkou mezi pružnosti, úměrnost mezi napětím a deformací jím vyvolanou, poprvé zjistil anglický fyzik Robert Hooke r. 1676. Tento fakt byl vyjádřen větou „ut tensio sic vis“. Hookův zákon patří k nejzákladnějším zákonům fyzikálním. Modul pružnosti je vymezen konstantou úměrnosti napětí/poměrná deformace. Rozlišujeme modul pružnosti v tahu E a ve smyku G. (Jareš, 1966) 3.2.3 Tvrdost Tvrdostí chápeme odolnost povrchových částí hmoty proti lokálnímu porušení nehomogenním vnikáním cizího tělesa. Hmota obtížně obrobitelná řeznými nástroji se obecně pojmenovává jako tvrdá. Pokud srovnáváme různé hmoty tak zjistíme, že pořadí jejich tvrdosti je různé. Zkoušíme je zatlačováním druhého tělesa, rýpáním, obrusem, obráběním

řezným

nástrojem.

Jako příklad

můžeme

uvést

vysokoprocentní

manganovou ocel ve stavu okamžitě ochlazeném z teploty rozpouštěcího žíhání, ta se jeví měkká při zkoušení vnikacími metodami, naopak je obrobitelná s obtížemi řeznými nástroji. Dalším příkladem je stříbro, které se jeví značně měkčí, ale při zkoušce obrusem je za daných poměrů mnohem odolnější. Z výše uvedeného rozpoznáváme, že tvrdost není žádnou fyzikálně definovatelnou vlastností, naopak je výslednicí celé řady vlastností hmoty (elastické vlastnosti, křehkost a plasticita, fyzikálně chemické vlastnosti povrchu). Tvrdost nemá ani jednotné metody určování. (Jareš, 1966) 3.2.4 Pevnost Pod názvem pevnost rozumíme odpor, tzn. odolnost materiálu proti stálému porušení soudržnosti jeho částic. Pevnost vyjadřujeme číselně napětím, při kterém se materiál rozdělí na dvě nebo více součástí. Toto porušení nebo rozdělení se realizuje procesem porušení, které probíhá v materiálu při podmínkách mezního stavu porušení.

14

Výsledkem procesu porušení materiálu je lom. Kovy, jako krystalické látky, můžeme porušit dvěma základními způsoby: štěpením a smykem (Veles, 1989). Podle způsobu, jakým je rozdělení provedeno, rozlišujeme pevnost v tahu, tlaku, ohybu, střihu a krutu. (Jareš, 1966) 3.2.5 Tvárnost Pojmem tvárnost je myšlena schopnost hmoty měnit v tuhém stavu bez porušení vzájemnou polohu součástí, a to metodou vnějších sil. U většiny kovů je vlastností typickou. (Jareš, 1966) 3.2.6 Houţevnatost Houževnatostí rozumím mechanickou vlastnost, která vzniká kombinací pevnosti a plasticitou. Představuje mechanickou energie, a ta se spotřebuje na plastickou deformaci materiálu. Každou plastickou deformací nebo porušením je vyžadována mechanická práce. Měřítkem houževnatosti je velikost této práce. Z toho vyplývá, že houževnatost kovu je tím větší, čím větší práce se spotřebuje na jeho plastickou deformaci. Houževnatost má význam v oblasti namáhání konstrukčních materiálů jako mechanická vlastnost a v technologii zpracování kovů jako měřidlo deformačního odporu kovu při plastické deformaci. Někdy se pojem houževnatosti chybně zaměňuje s pojmem plasticita, ta je ale definována jinými veličinami. Opakem houževnatosti je křehkost. (Veles, 1989) 3.2.7 Energie Jde o působení dvou podob energie na kov, a to energie mechanická, konaná pohybující se silou, a energie tepelná, nezbytná k ohřátí kovu. Protože podle základního zákona termodynamiky se žádná energie nemůže ztratit, ale musí se měnit v energii jinou, jsou tyto podoby energie ve vzájemné závislosti. Druhým hlavním zákonem je směřování hmoty pokaždé k dosažení nejmenšího energetického obsahu nebo nejmenší vnitřní energie, které odpovídají vnější podmínkám (např. okolní teplotě). Jako typický příklad je uváděno tuhnutí kovu. Při vysoké teplotě jsou jeho atomy v neuspořádaném stavu a dělají složité pohyby střídavě postupné a kmitavé. Ochlazováním vnitřní energie ubývá, a to se projevuje pomalejšími pohyby, přibližováním atomů k sobě, smršťováním kovu a zvětšováním jeho pevnosti. (Jareš, 1966)

15

3.3 Moduly pruţnosti konstrukčních materiálů a jejich význam Moduly pružnosti znázorňují vnitřní odpor materiálu proti pružné deformaci. Čím je modul pružnosti větší, tím je větší napětí, které je potřebné k vytvoření stanovené deformace. V tabulce č. 1 vidíme jak se hodnoty modulů pružnosti u různých materiálů odlišují. (Veles, 1989) Tab. 1 Modul pružnosti u různých materiálů (Trebuňa, Šimčák , 2005)

Materiál Litina (bílá, šedá) Kujná litina Uhlíková ocel Legovaná ocel Válcovaná měď Měď tvářená za studena Měď odlévaná Bronz fosforový Mosaz tvářená za studena Mosaz válcovaná Manganový bronz Válcovaný hliník Tažený hliník Hliníkový bronz litý Válcovaný dural Válcovaný cín Olovo Led Sklo Žula Vápenec Mramor Pískovec Zdivo žulové Zdivo vápencové Zdivo cihlové Beton s pevností 10 Mpa Beton s pevností 15 Mpa Beton s pevností 20 MPa Dřevo ve směru vláken Dřevo napříč vláken Kaučuk Textolit Pertinax Bakelit

Youngov modul pružnosti E*105 Mpa 1,15 - 1,60 1,55 2,0 - 2,1 2,1 - 2,2 1,1 1,3 0,84 1,15 0,91 - 0,99 1 1,1 0,69 0,7 1,05 0,71 0,84 0,17 0,1 0,56 0,49 0,42 0,56 0,18 0,09 - 0,1 0,06 0,027 - 0,030 0,146 - 0,196 0,164 - 0,214 0,182 - 0,232 0,1 0,005 - 0,01 0,00008 0,06 - 0,1 0,1 0,02 - 0,03

16

Modul pružnosti ve smyku G*10-5 MPa 4,5

Poissonovo číslo μ 0,23 - 0,27

8,0 -8,1 8,0 - 8,1 4 4,9

0,24 - 0,28 0,25 - 0,30 0,31 - 0,34

4,2 3,5 - 3,7

0,32 - 0,35 0,32 - 0,42 0,36 0,35 0,32 - 0,36

4 2,6 - 2,7 4,2 2,7 3,2 0,7 0 0,28 - 0,3 2,2

0,12

0,27 0,42 0,25

0,16 - 0,18 0,16 - 0,18 0,16 - 0,18 0,055 0,47

0,17 0,36

Celuloid Polystyrén Polymetylmetakrilát Polyetylén (malé měrné hmotnosti) Guma

0,014 - 0,023 0,033 0,036

0,12 0,13

0,33 - 0,38 0,33 0,33

0,00235 0,00002 - 0,00008

0,008 0,00007

0,38 0,49

Velký význam v oblasti modulů pružnosti konstrukčních materiálů má Hookeův zákon. Ten popisuje pružnou deformaci materiálu působením síly, a to za předpokladu malých sil a malých deformací, které po odlehčení zmizí. (www.Wikipedie.cz) Pro praktickou část je důležitý moment setrvačnosti průřezů. Při stanovení napětí v libovolném řezu tělesa je nutné poznat některé jeho geometrické vlastnosti, jako je poloha těžiště, momenty setrvačnosti a odporové momenty. Protože některé jsou známá z geometrie, a pro nás nejdůležitější jsou momenty setrvačnosti, předvedeme je na následujícím výpočtu pro nejrůznější průřezy. Moment setrvačnosti nějakého rovinného obrazce je daný výrazem (Horák, Krupka, Šindelář, 1941)

J   r 2 dm .

(3.2)

m

kde

[J] = M*L2 – moment setrvačnosti, [r] = L – vzdálenost elementu hmoty od osy rotace, [dm] = M – element hmoty tělesa. Důležitým pojmem je i napjatost. Je to stav tělesa, který vzniká v důsledku

vnějšího působení silových účinků na těleso. Napětí jsou výsledkem vzájemného působení částic tělesa. Je prokázáno, že napjatost v bodě tělesa je jednoznačně určená napětím působícími na tři navzájem kolmé roviny přeložené tímto bodem (Trebuňa, Šinčák, 2005). Stavy napjatosti rozeznáváme podle počtu působících hlavních napětí: jednoosový a víceosový. Jednoosový stav napjatosti vzniká tehdy, když na těleso působí jen jedno hlavní napětí a ostatní hlavní napětí jsou nulová. Jako příklad můžeme uvést jednoosový tah nebo jednoosový tlak. Víceosový stav napjatosti je stav, kdy každý systém napjatosti v libovolném bodě prostoru lze zobrazit kostkovým prvkem okolo tohoto bodu tak, aby hrany kostky byly rovnoběžné se zvolenými souřadnicemi. (Veles, 1989) Důležitou hodnotou pro různé výpočty v oblasti pružných namáhání je Poissonovo číslo. Tato hodnota je u různých hmot nestejné. V roce 1829 sám Poisson odvodil toto číslo pro izotropní hmoty číselnou hodnotu μ = 0,25. (Jareš, 1966) 17

3.3.1 Modul pruţnosti ve smyku Namáhání prostým smykem znamená, že jednotlivé vrstvy namáhaného materiálu se vzájemně posouvají a přitom se nemění jejich kolmá vzdálenost. Podle Hookeova zákona je tato deformace opět úměrná působící síle. Velikost deformace ΔS je při stálé síle úměrná výšce hranolku h, protože tečné síly mezi jednotlivými vrstvami musí být stejně velké, jakmile nastane rovnováha vrstvy jsou v klidu. Proto je posunutí mezi dvěma vedlejšími vrstvami v celém hranolu stejné a posuv vrchní vrstvy je úměrný vzdálenosti od pevné podstavy. Můžeme tedy zavést tzv. poměrné posunutí, které již na výšce h nezávisí. (Horák, Krupka, Šindelář, 1941)

 

u b

(3.3)

Je zřejmé, že deformace závisí také na velikosti plochy S = a*b, na které tečná síla τ působí. Síla se rovnoměrně rozloží na celou plochu, takže docházíme k tečnému (smykovému) napětí, které dostaneme, když tečnou sílu τ dělíme plochou, v níž působí.



Ft S

(3.4)

(Veles, 1989) Hookeův zákon pro smyk nabývá pak tvaru

  G *

(3.5)

Konstantní úměrnosti mezi tečným napětím a poměrným posunutím nazýváme modul pružnosti se smyku G. Rozměr tečného napětí a modulu pružnosti ve smyku je stejný jako u normálného napětí, takže i příslušné jednotky jsou stejné. Tento modul charakterizuje chování materiálu. (Horák, Krupka, Šindelář, 1941) G

E 2 * 1   

(3.6)

3.3.2 Objemový modul pruţnosti Tento modul vyjadřuje vztah mezi tlakovým napětím a pružnou objemovou změnou tělesa při všestranném tlaku. Objemový modul pružnosti je veličiny objemové

18

pružnosti materiálu při namáhání všestranným tlakem. Vystihuje se jako všestranný tlak σ, tzv. izotropný, dělený poměrnou pružnou změnou objemu ΔV/V, který tento tlak způsobí (Veles, 1989)

 1  , V  V

K

(3.7)

kde χ je objemová stlačitelnost. Vztah mezi moduly K a E se dá odvodit z úvahy. Poměrná pružná deformace v jednom směru bude

3 

3 E



 E

*  1   2  .

(3.8)

Protože

 3   2  1  

(3.9)

tvar bude mít výraz

3  

 E

2

 E

* 

 E

2  1 .

(3.10)

Při rovnoměrném všestranném tlaku platí

3   .

(3.11)

Poměrná pružná změna celého objemu se dá vyjádřit jako V 3  3  * 2  1 . V E

(3.12)

Objemový modul pružnosti po dosazení bude K

E . 3 * 1  2 

(Veles, 1989)

19

(3.13)

Moduly K a E jsou periodickou funkcí atomového čísla. Z odvozené rovnice modulu pružnosti vyplývá, že K = E při ν = 0,33, a to platí u většiny kovů. (Veles, 1989) 3.3.3 Modul pruţnosti v tahu Modul pružnosti v tahu se zjistí známým způsobem jako tangenta sklonu přímkové části diagramu napětí – prodloužení. Pokud se provádí zkouška bez odlehčování, tak je pro výpočet modulu důležité prodloužení celkové, které je o něco větší než prodloužení pružné, zjistitelné jen zkouškou s odlehčováním. Při zkoušce bez odlehčování se obdrží modul poněkud menší. Rozdíl může být 3 až 4 %. (Jareš, 1966) Tento modul závisí nejvíce na jejich atomovém objemu, a tím na poloze v periodické tabulce prvků. Poloměry atomů se zmenšují, zvyšuje se měrná váha a také moduly pružnosti směrem ke středním členům každé periody. Kovy, které tají vysoko, mají obecně velkou měrnou váhu a velký modul pružnosti. Vzorcem lze tuto závislost vyjádřit takto:

E

78 * 10 6 , V2

(3.14)

kde V je atomový objem, který je daný poměrem váhy atomové k váze měrné. Tento vztah byl později upraven empirickým vzorcem, protože vzorec dával u kovů tajících při vysoké teplotě velmi nízké výsledky a nezachycoval dostatečně změny modulu pružnosti s teplotou, a to: E k*

Ta , Vb

(3.15)

ve kterém je T absolutní teplota tání, a konstanta blízká 1 a b konstanta blízká 2. (Jareš, 1966) Někdy je modul pružnosti uváděn v souvislosti s tepelným obsahem kovu. Osopiv a Fedotov dokazují ze zákonů termodynamiky, že jsou moduly různých kovů při absolutní nule lineárně závislé na jejich tepelném obsahu v tekutém stavu při bodu tání. (Jareš, 1966)

20

Tab. 2 Vlastnosti kovů za teploty 20° (Jareš, 1966) Kov

Modul pružnosti v tahu E kp/mm2

Poissonovo číslo μ

Cín Hliník Hořčík Iridium Kadmium Kobald Křemík Mangan Měď Molibdén Nikl Olovo Platina Stříbro Titan Wolfram Zinek Zlato Železo

5540 7220 4500 53830 6350 21500 11500 20160 13130 34700 20540 1656 17400 8050 10830 39600 9400 8020 21160

0,33 0,34 0,28 0,26 0,3 0,31 0,44 0,24 0,35 0,31 0,32 0,44 0,39 0,38 0,34 0,29 0,29 0,42 0,29

V tabulce č. 2 jsou sestaveny moduly pružnosti v tahu technických kovů při 20 °C, a to ve stavu strukturně rovnovážném, kde 1kp*mm -2=9,81 MPa. Z větší části jsou to data předložená Kösterem. V literatuře se objevují i údaje značně odlišné. Zřejmě vždy nebyly uvažovány různé vlivy na výši modulu působící, teda jemnost krystalizace, vlivy vnitřních pnutí, směrová závislost, teplota a v neposlední řadě i metoda, kterou byl modul určován. U slitin se modul mění podle konstituce a také podle jemnosti krystalizace u mechanického a tepelného zpracování kovu. U ocelí je modul pružnosti do jisté míry závislý na složení. Ocele jsou často složitými slitinami. Podle Martensova průtahoměru má čisté železo a velmi měkké druhy ocelí asi do 0,15 % C modul průměrem 207 580 MPa. Naopak Köster dostává pro čisté železo hodnotu 211 602 MPa, i když měřil modul neméně přesně metodou dynamickou. 2% rozdíl je nutné přičíst na vrub rozdílnosti použité metody. (Jareš, 1966) Vlivem uhlíku se modul zmenšuje. V oceli mají ostatní příměsi vliv celkem podřadný. Běžnými malými přísadami manganu, chromu a molybdenu se modlu zvětšuje, naopak křemík, hliník a nikl ho zmenšují. Pokud by šlo o větší přísady, tak by to mělo vliv významnější. U některých kovů může mít vliv i jemnost krystalizace. Hrubší zrno způsobuje snížení modulu pružnosti. (Jareš, 1966) 21

Vnitřní pnutí, které je vyvoláno tvářením, kalením nebo jiným způsobem, modul pružnosti snižuje. Tepelné zpracování má takový vliv, že kalená ocel má modul nejmenší. Naopak popouštěním se zvětšuje. (Jareš, 1966) Velmi výrazná u jedno-krystalů je směrová závislost. Kovy krystalující krychlově mají modul nejmenší ve směru os a největší ve směru tělesné úhlopříčky elementárních krychlí. Tyto rozdíly u polykrystalového útvaru mizí, ale ukazuje se směrová závislost vyvolaná texturou od tváření za studena. Modul pružnosti u kovu tvářeného za studena je anizotropický. Anizotropie je vlastnost, kterou se označuje závislost určité veličiny na volbě směru. Nerovnoměrnost modulu pružnosti také může způsobit řádkové uspořádání heterogenit při tváření za tepla nebo u oceli jejich nerovnoměrnou překrystalizací za chladnutí. (Jareš, 1966) Všechny vlastnosti kovů jsou závislé na teplotě, modul pružnosti není výjimkou. Změna teploty způsobuje změnu tvaru a rozměry tělesa. Taková změna není doprovázena vznikem vnitřních sil. Tyto síly vznikají v konstrukcích staticky neurčitých, když přebytečný počet vazeb znemožňuje volnou změnu příslušné změně teploty. Pokud je změna teploty Δt kladná, tak jde o ohřev a naopak při záporné změně jde o ochlazení. Složka původní délky dx se vlivem rozdílu teploty Δt prodlouží na dx + Δdx. Absolutní prodloužení Δdx je úměrné původní délce dx, součinitel délkové teplotní roztažnosti α a přírůstku teploty Δt. (Trebuňa, Šimčák, 2005) dx    dx  t

(3.16)

Z čeho poměrné prodloužení je rovné

t

dx    t . dx

(3.17)

Součinitel délkové teplotní roztažnosti



t

(3.18)

t

určuje velikost poměrného prodloužení εt připadající na jednotku teplotní změny. Jeho rozměr je stupeň Celsia na mínus prvou. (Trebuňa, Šimčák, 2005) 22

Stoupající teplotu klesá nejen mez pevnosti, ale i mez průtažnosti a modul pružnosti. Závislost poklesu modulu pružnosti na teplotě je znázorněna na obrázku (obr. 1). (Černoch 1959)

Obr. 1 Změny modulů pružnosti železa s teplotou (Černoch 1959) Při vyšších teplotách není již možné uvažovat lineární průběh modulu pružnosti, jeho pokles se zrychluje. (Jareš, 1966)

3.4 Způsoby zjišťování modulu pruţnosti v tahu Zkušební stroje a zařízení nám slouží při způsobech zjišťování modulu pružnosti v tahu. Podle způsobu zjišťování máme přímé a nepřímé metody měření, ty se dále dělí na statické a dynamické. Do přímé metody patří měření na trhacím stroji a do nepřímé metody měření pružnosti v tahu z průhybu tyče (Youngův modul pružnosti), určení modulu pomocí ultrazvuku a také pomocí rezonanční metody. (Veles, 1989) Klasický způsob zjišťování modulu pružnosti ze sklonu počáteční přímkové části trhacího diagramu zahrnuje řadu chyb, které jsou uvedeny v mezi pružnosti. Pokud se nepracuje s dostatečnou pečlivostí, může dojít při zkouškách v různých laboratořích snadno k odchylkám měření. Často bývá používáno jiných metod měření, například ohybem. Při ohybu vznikají větší deformace, a proto jsou snadněji změřitelné s větší přesností. Tyto způsoby jsou nazývány také statickými metodami zjišťování modulu pružnosti. Vedle statických metod máme také dynamické určování modulu pružnosti, kde jejich výhodou je, že největší napětí jsou při zkouškách velmi nízká, jsou vždy menší jak 0,981 N*mm-2. Vždy se tedy nacházejí pod fyzikální mezí pružnosti, kde nejsou vlivy dopružování a jiné. Měření může probíhat pomocí rezonanční frekvence kmitů, ale také se v dnešní době objevují způsoby měření pomocí ultrazvuku. Byla

23

známa metoda spřažených kyvadel. Prakticky se ale neujala pro experimentální obtíže. (Jareš, 1966) Statické metody jsou založeny na postupném zvyšování zatížení, proto mohou vznikat při měření deformací výsledky nižší než u dynamické metody. Vzniklé rozdíly mohou být způsobeny tím, že u dynamických zkouškách jsme bezpečně pod fyzikální mezí pružnosti, ale u statických zkoušek pracujeme při napětí větších ležících nad mezí pružnosti. Při normální teplotě jsou u oceli rozdíly minimální, pokud se však teplota zvýší, jejich rozdíly jsou znatelné. (Jareš, 1966) 3.4.1 Mechanický, opticko-mechanický a elektrický způsob zjišťování průtahu tyče Pro stanovení modulu pružnosti E a jiných veličin je třeba v průběhu zatěžování měřit velmi malé deformace tyče. Většina registračních zařízení trhacích strojů nepracují s takovou přesností a citlivostí. Jemné měření malých deformací používají zvláštní přístroje nazývané průtahoměry. Tyto se upnou na zkušební tyč, kde nám přímo ukazují deformace, které vznikají při zatěžování. Podle principu měření se průtahoměry rozdělují na mechanické, opticko-mechanické a elektrické. (Jareš, 1966) Mechanické průtahoměry jsou na základě mechanického (nejčastěji pákového) převodu absolutní hodnoty deformace tyče ΔL. Převodoví systém je připevněn na zkušební tyči ve vzdálenosti L0 druhý konec vychyluje ručičku ukazatele deformace. Na obrázku (obr. 2) je schématicky namalovaný mechanický průtahoměr s indikátorem. Na tyči 1 v bodě a je rameno 2, které je pevné. Na spodní části v bodě 3 je otočně uložená dvojramenná páka 4, která je pevně upnutá v místě b zkušební tyče. Na konci této páky působí na ručičku indikátora 5, která ukazuje výchylku ΔL´. Ručičkový indikátor je připevněn objímkou 6 na pevné rameno 2. Velikost deformace zkušební tyče ΔL se zjistí z údaje ΔL´ a z poměru ramen k a l. Tímto průtahoměrem měříme mez kluzu Re0,2, protože citlivost (10-2mm) nestačí pro měření meze pružnosti. (Veles, 1989)

24

Obr. 2 Schéma mechanického průtahoměru (Veles, 1989)

L 

l  L´ k

(3.19)

Asi nejznámější opticko mechanický průtahoměr je Martensov zrcadlový průtahoměr, který je na obrázku (obr. 3). Zařízení pracuje na mechanickém natáčení zrcadla. Pohyb, který se mnohonásobně zvětšuje vychylováním odraženého paprsku. Je složen ze dvou podložek 2, které se pomocí pružiny 3 opírají ostřím 4 na zkušební tyč 1. V délce L0 od místa styku ostří jsou z obou stran tyče přitlačovány dva hranoly 5 jejichž průřez je kosodélník. Hranoly jsou pevně spojeny se zrcadlem 6 a plocha, která je kolmá, na větší úhlopříčku k hranolu 5. Ve výhodném postavení je úhlopříčka k kolmá na osu zkušební tyče a rovina zrcadla je s ní rovnoběžná. Na stojanu proti zrcadlům jsou ve vzdálenosti L stupnice 7 s milimetrovým bělením a dalekohledem 8, které mají osu v rovině kolmou na osu zkušební tyče v úrovni daného zrcadélka. Obrácená stupnice k zrcadlům nám slouží tak, aby v dalekohledu 8 byly viditelné dílky stupnice. V okuláru dalekohledu jsou zabudovány nitkové křížky. Pokud nepůsobíme na zkušební tyč silou, nitkový kříž se nám kryje se stupnicí odpovídajícímu bodu c. Prodlouží-li se nám zkušební tyč o délku ΔL hranol 5 se otočí a sním i zrcadlo 6 o úhel φ. Odražený světelný paprsek od vychýleného zrcadla svírá s osou dalekohledu úhel 2φ, tak můžeme sledovat v okuláru údaj b, který je také na stupnici 7. Před zatížení a po zatížení vymezuje rozdíl údajů na stupnici délky B. U této metody můžeme dosahovat citlivostí až 1μm. Aby nedošlo případnému vlivu ohybu na správnost výsledku,tak se měření provádí na dvou povrchových protilehlých přímkách zkušební tyče deformace ΔL. (Veles, 1989)

25

Obr. 3 Schéma opticko-mechanického průtahoměru (Veles, 1989) Elektrické průtahoměry se odlišují dle pracovního principu, které mohou být tenzometrické, indukční a kapacitní. Průtahoměry, které pracují na elektrickém odporu citlivého elementu snímače změny jeho rozměru, se nazývají tenzometrické. Vyskytují se polovodičové, fóliové a drátkové. (Veles, 1989) Tenzometry polovodičové se vyrábí z velmi tenké destičky monokrystalu křemíku z naneseny elektrolyticky s přívodními pásmy, tato část se kvůli ochraně vnějších vlivů zalévá do speciálního krycího povlaku. Tento tenzometr vyniká vysokou citlivostí. Fóliové tenzometry jsou vyráběny z tenké fólie nebo filmu, k těmto částem se naválcovává kovová folie - bývá většinou z konstantanu. Takto vyrobený tenzometr se ještě vyleptává kyselinou, kde se dosáhne potřebné mřížky. Výhodou těchto tenzometrů je velmi malá velikost např. 0,7 × 0,5 mm. Drátkový tenzometry jsou vyrobeny z tenkého konstantanového drátku. Vytvořená mřížka z drátu se přilepí na podložku, kde se zalije do ochranné vrstvy. Konce přívodů jsou postříbřeny, protože jsou z hrubšího drátu. Dobrá vlastnost tohoto tenzometru je vysoká přesnost při malých deformací. (Veles, 1989) Způsob měření tenzometrem vyplývá z deformace podložky, na kterou je přilepený, tím se deformuje také tenzometr. Změnou odporu R o hodnotu ΔR podle rovnice R  k  , R

26

(3.20)

kde k je konstanta citlivosti snímače, která je závislá na kvalitě podložky, materiálu, lepidla, nejvíce však záleží na druhu tenzometrického snímače. V oblasti deformacích pružných platí (Veles, 1989)

  E 

R E  . R k

(3.21)

Přístroje se vyrábí v různých provedeních. Základní zapojení bývá mostíkové.

Obr. 4 Schéma tenzometrického průtahoměru (Veles, 1989) Na obrázku (obr. 4) pozorujeme zapojení, ve kterém může být jeden, dva nebo čtyři tenzometry. Pokud zvolíme jeden činný tenzometr R4, druhý R3 je dobré použít na kompenzaci teploty, jak je nakresleno na obrázku. Při zapojení všech tenzometrů musí být deformace na obou koncích opačného znaménka, to nám zabezpečí teplotní kompenzaci a zvýší přesnost měření. Naměřené údaje jsou vždy průměrem všech zapojených tenzometrů. (Veles, 1989) Indukční snímače pracují na změně magnetických vlastností a na změně indukčnosti cívky vyvolaných pohybem magnetického jádra nebo změnou vzduchové mezery. Na spínací účely se používá především vzduchové mezery. Pro měření deformace se používá pohyb jádra cívky nebo cívek. Snímač obsahuje dvě nebo tři cívky, kde jejich rozlišovací schopnost je mezi 10 -4 až 10-5 měřícího rozsahu. Pro měření se používá střídaví proud s frekvencí 5 – 15 kHz, velikost deformace zkušební tyče se přenáší pomocí pákového převodu. (Veles, 1989)

27

Kapacitní snímače jsou založeny na změně vzdálenosti vodivých ploch a změny kapacity. Měření probíhá buď jako amplitudové při střídavém proudu nebo frekvenční, kde se do obvodu použije frekvenční měnič. (Veles, 1989) 3.4.2 Tahová zkouška materiálu trhacím strojem Vztah

mezi

normálovým

napětím

a

poměrnou

deformací

lze

určit

experimentálně. Princip takového experimentu spočívá v tom, že při známé zatěžující síle F, průřezové plochy A a měřené délce l tahové zkušební tyče měříme změnu původně měřené délky tyče l0. (Trebuňa, Šimčák, 2005) Tvar a rozměry zkušebních tyčí jsou dané normami STN 42 0310 až 42 0317. Pro mechanické zkoušky ocelí norma předpisuje, že tyč může mít průřez kruhový, čtvercový nebo obdélníkový. (Trebuňa, Šimčák, 2005) Tahovou neboli tlakovou sílu F vyvozuje tzv. trhací stroj. Vnitřní síly jsou na malou průřezovou plocho po průřezu konstantní. Síla F se pozvolně zvyšuje až do přetrhnutí tyče. Součástí trhacích strojů jsou automatické zapisovače zařízení, které vykreslí čáru závislosti mezi silou F a absolutním přetížením Δl. V každém časovém okamžiku můžeme síle F jednoznačně přiřadil Δl. (Trebuňa, Šimčák, 2005) Diagram F(Δl) v souřadnicovém systému F (os pořadnic), Δl (os úseček) nazýváme tahovým diagramem. Tvar tohoto grafu bude záviset na rozměrech zkušební tyče. Na osy souřadnic nanášíme místo síly normálové napětí σ a na osy úseček místo absolutního prodloužení poměrné prodloužení ε, aby diagram nezávisel na rozměrech dané tyče a aby to bylo možné porovnat s grafem jiných materiálů. Takto se stává zkouška nezávislou na průřezové ploše A a na délce l. (Jareš, 1966)

Obr. 5 Schéma pracovního diagramu v tahu (Trebuňa, Šimčák, 2005)

28

Na obrázku (obr. 5) je uvedený pracovní diagram tahových vzorků z houževnaté ocele. Závislost σ- ε je lineární až po bod U, který je vyznačený na grafu. Prodloužení zkušební tyče roste úměrně s napětím. Přímka svírá s osobou pořadnic velmi malý úhel, a to znamená, že prodloužení zkušební tyče roste na tomto úseku pomaleji. Nejvyšší hodnota napětí se nazývá mezní úměrností a označuje se Ru. Poměr napětí a příslušné poměrné prodloužení je po hranici úměrnosti konstantní

  E. 

(3.22)

Konstantní úměrnost E mezi napětím a deformací se nazývá modul pružnosti v tahu. Má rozměr napětí. Vztah je obsažen v Hookově zákonu. Modul pružnosti E je tangentní přímkou, protože platí

  tg . Čím je modul pružnosti větší, tím je přímka 

strmější, tzn. zkušení tyč víc odporuje deformaci. Modul pružnosti E charakterizuje z fyzikálního hlediska odpor materiálu proti deformaci při tahu. Mezní pružností Rp je napětí, po kterém jsou prodloužení pružná. Po překročení této meze pružnosti vzniká trvalé prodloužení a tyč se tedy po odlehčení nevrátí do původní délky, ale zůstává trvale prodloužená. Mezí kluzu nazýváme napětí, při kterém nastává značené prodlužování tyče bez zvyšování zátěže. Toto můžeme pozorovat na grafu v bodě C, který se nazývá kritický bod. Za dolní mezí kluzu graf znovu stoupá. Bod M náleží největší hodnotě napětí a nazýváme jej pevnost Rm. Při napětí, které přísluší bodu H, se tyč přetrhne. V okamžiku přetrhnutí je skutečné napětí největší, protože plocha krčku dosáhne v tomto okamžiku minima. (Trebuňa, Šimčák, 2005) 3.4.3 Ultrazvuková metoda Metoda zjišťování modulu pružnosti pomocí ultrazvuku spadá do dynamických zkoušek nepřímých. Při šíření zvukových vln závisí na materiálových konstantách a na tvaru, ve kterém se vlna pohybuje. U látek pevných záleží na tom, šíří-li se vlnění podélně nebo příčně. Toto vlnění nastává v homogenních látkách. U vlnění podélného z pohybové rovnice a = ΔF/Δm uvažovaného elementu (www.muj.optol.cz)

 2 u 1  .   t 2  x

29

(3.23)

Element tyče je definován vlivem lokálního napětí. Deformace relativní je přitom rovna  

u u . Tato deformace vyplívá z Hookova zákona napětí.  x x

  E   E 

u x

(3.24)

E nám značí Youngův modul pružnosti v tahu. Do pohybové rovnice dosadíme σ. Dostaneme pro akustické vlnění podélné šířící se v tenké tyči danou vlnovou rovnici

 2u E 2 u  t 2   x 2

(3.25)

rychlost šíření akustické podélné vlny pak máme

c

E



 E    c2 .

(3.26)

ρ – je hustota materiálu Pro ocel vychází c ≈ 5 000 m  s 1 . Zvuk v oceli se šíří asi patnáctkrát rychleji než ve vzduchu. První člověk, který změřil rychlost šíření zvuku v ocelové rouře byl Jean-Baptiste Biat roku 1808. (www.muj.optol.cz) U příčných vln vycházíme z teorie pružnosti, tzn. rychlost příčných vln obou polarizací a rychlost podélných vln je dána vzorci

c/ 

G



a c // 

E



.

(3.27)

G značí modul pružnosti ve smyku a E modul pružnosti v tahu bez příčného zkrácení materiálu. Dále je známo, že platí

E  2G

1   // 1  . c  c/  2 1  2 1  2

(3.28)

μ je Poissonovo číslo, které určuje relativní zúžení a relativní prodloužení tyče při lineárním napětí. Rychlost podélných vln je vždy větší než u příčných a platí obecná

30

nerovnost c //  2c / . Materiály obvyklé jakost jsou přibližně  

1 , to znamená, že 3

podélná vlna je asi dvakrát rychlejší než příčná. (www.muj.optol.cz) c //  2c / .

Tyto

rychlosti

je

možno spojit

(3.29)

i s Youngovým

modulem

pružnosti

E  2G  (1   ) , a z toho dostaneme tvar (www.muj.optol.cz)

c/ 

E 1  c //  2 1  

E





1  . (1  2 )  (1   )

(3.30)

Obr. 6 Ultrazvukový defektoskop (www.jirkaspol.cz)

3.4.4 Rezonanční metoda Ke strojům s vysokou frekvencí zátěžných cyklů, patří rezonanční stroje. U těchto strojů se využívá kmitů s frekvencí blížící se rezonanci soustavy hmoty-pružného prvku co nám tvoří zatěžování zkoušených vzorků. Částí pružného prvku je zkoušený materiál z tuhého tělesa. Rezonanci můžeme také označovat jako vzrůst amplitudy vynucených kmitů zkoušeného tělesa na maximum. Dochází k tomu v případě, kdy kmitočet budící síly je shodný s vlastním kmitočtem tělesa. Kmitání se udržuje a budí pomocí elektromagnetických soustav (budičem). Buzení se dá měnit. Podle použité metody v rozmezí od 30 Hz do 30 kHz, kde hledáme maximální vznik amplitudy (rezonance prvku). Hledanými veličinami jsou rezonanční frekvence příčného, podélného a kroutivého kmitání. Provázanost mezi tvarem, rozměrem, objemem, hmotností, vlastní frekvencí a modulem pružnosti tělesa, můžeme urči pružnostní charakteristiky materiálu 31

jako jsou dynamický modul pružnosti v tahu a tlaku E ve smyku G ale také Poissonův poměr ν. (Sylab, Zdzislow, 1968) Při výpočtu zjistíme očekávanou dobu podélného kmitání fL´. Poté se změří skutečný kmitočet podélný fL, ze kterého se vypočítají kmitočty očekávané ft´a ff´. U těchto zkoušek se umísťují budiče a snímače. Přibližnou hodnotu podélné frekvence vypočítáme vzorcem (www.Eanat.cz) f L/ 

500 , T

(3.31)

kde T je doba průchodu vlnění. Podobný vzorec použijeme i kmitání příčného, který je

f f/    f L ,

(3.32)

kde ff´ je přibližná frekvence příčného kmitání a β závisí na délce hranolu. Těmito výpočty pak můžeme vypočítat dynamický modul pružnosti v tahu i tlaku. Podélného kmitání

EL  4  L2  f L2   .

(3.33)

Příčné kmitání E f  0,0789  c1  L4  f f2   

1 , i2

(3.34)

kde i je poloměr setrvačnosti průřezu v m, L je délka vzorku v m a c1 je korekční součinitel, zahrnující vliv smyku a setrvačnosti. Mezi těmito vzorci je určitý vztah a proto můžeme vypočítat i dynamický modul pružnosti ve smyku G a Poissonův poměr ν . G  4  k  L2  f t 2   ,

(3.35)

kde k je součinitel, závislý na tvaru průřezu vzorku a pro Poissonův poměr plyne



EL 1 2G

32

(3.36)

Tato metoda je nedestruktivní a proto je také možnost měření opakovat. Díky této metodě zjišťujeme dynamické charakteristiky materiálu. (www.Eanat.cz)

33

4

VLASTNÍ PRÁCE Má práce se zabývá zjišťováním modulu pružnosti v tahu. Tyto zkoušky se dělí

na přímé a nepřímé. Mnou zvolený způsob pro zjišťování modulu pružnosti v tahu je nepřímým měřením. U tohoto měření přímo nalezené rozměry jsou šířka, výška, rozpětí mezi body L, hmotnost závaží m a také průhyb tyče y. Pomocí Hookova zákona, kde napětí je přímo úměrné relativnímu E 

 . Zákon platí pouze pro malé relativní 

prodloužení ε, kde nemusíme brát v úvahu změnu průřezu materiálu. Pokud je ale napětí vyšší, bereme v potaz změnu průřezu. Pokud by docházelo ke stálému zvětšování, mohlo by dojít i k přetržení materiálu. Dále se zkoušky člení na statické a dynamické. Z průhybu tyče plyne, že mnou provedená zkouška je statická. Dochází zde k postupnému zvětšování zatížení. Metoda je založena na prohýbání tyče do rovinného oblouku. U takového prohnutí dochází na vnější straně k tahu (k prodlužování zkušební tyče) a na vnitřní straně k tlaku (ke stlačení). Tento proces je vysvětlen na obrázku (obr. 7).

Obr. 7 Schéma působení sil na nosník (Horák, Krupka, Šindelář, 1941) V polovině své tloušťky je nosník rozdělen podélnou plochou. U této plochy si materiál zachovává původní délku. Vrstvu u zkoušeného materiálu nazýváme neutrální. Zde neutrální vrstva nepodléhá žádné dilataci a kontrakci. Průnik neutrální osy s rovinou průhybu se nazývá neutrální osa. Čím více se zkušební tyč prohne, tím na materiál působí větší deformace. Materiálové deformace se zvyšují s rostoucí vzdáleností od neutrální osy. (Horák, Krupka, Šindelář, 1941)

34

Pro výpočet modulu pružnosti je nutné vypočítat průhyb nosníku y.Oblouk křivky, do kterého se prohne některé neutrální vlákno, se nahradí obloukem kruhovým s poloměrem r o úhlu dα, který je stejný se změnou úhlu α, který svírá tečna ke křivce s osou x. U malého průhybu můžeme přibližně určit ds  dx a tg 

dy  dx

(4.1)

tak dostaneme vztah pro poloměr křivosti

1 d d  dy  d 2 y .     r dx dx  dx  dx 2 Nahradíme-li r rovnicí r 

(4.2)

EJ , dostaneme diferenciální rovnici ohybové čáry Mo

ve tvaru d2y Mo  . EJ dx 2

(4.3)

Do ohybového momentu dosadíme rovnici M o  F  (l  x) a vznikne d 2 y F  (l  x)  . EJ dx 2

(4.4)

Pomocí integrace bude mít rovnice tvar dy Flx Fx 2    c1  tg . dx EJ 2 EJ

(4.5)

Rovnice nám udává směrnici tečny ohybové čáry v místě x. Konstantu C dostaneme z podmínky, dáme-li x=0. Z toho

 dy   dx   c1  0 ,  

(4.6)

protože směrnice tečny je nulová. Pomocí další integrace bude průhyb y

Flx Fx 3   c2 . 2 EJ 6 EJ

35

(4.7)

Integrační konstantu c2 obdržíme, zavedeme-li x=0, kdy  y x0  c2  0 , protože průhyb v místě upevnění je nulový. Ohyb na volném konci nosníku délky l dostaneme, pokud rovnici položíme x=1 Fl 3 y1  . 3EJ

(4.8)

Znám-li průhyb na volném konci konzole, snadno tak zjistím průhyb nosníku na dvou podporách vzdálených o délku l. Ten je zatížen silou F, která působí uprostřed zkušební tyče. Pokud neuvažuji váhu tyče, působí v místě opěr reakce velikosti

F . 2

Pod silou F je směrnice tečny ohybové čáry nulová. Nosník uprostřed do sebe vetknutý a u podpěry zatížený silou

F l směřuje vzhůru. Délka nosníku je . Pokud použiji 2 2

rovnici (4.8), dosadím sílu

F l a délku , tak vznikne pro průhyb nosníku na dvou 2 2

podporách a zatížen osamělou silou vztah

y1 

kde:

Fl 3 . 48 EJ

(4.9)

y – průhyb zkušební tyče uprostřed mm F – síla působící na tyč N  l – vzdálenost podpor mm E – modul pružnosti v tahu – tlaku MPa J – moment setrvačnosti k danému nosníku mm 4





Aby vztahy platily, nelze překročit mez úměrnosti materiálu tyče, potom Hookův zákon je opět deformace (průhyb) y úměrné zatížení F. Jak plyne ze vzorce pro průhyb, je nutné znát moment setrvačnosti pro různý průřez měřených tyčí, abych mohl vypočítat modul pružnosti. Z následujícího obrázku (obr. 8) plyne

36

Obr. 8 Výpočet momentu setrvačnosti moment setrvačnosti lze vypočítat pro obdélníkový průřez podle vztahu b

b 2 b  2

J 

a  b 3 a  b 3 ab 3 a 3  2 y dya   y     . 83 83 12  3  b 2

(4.10)

2

Pro další průřezy, které jsem měřil se výpočet provede podobným způsobem. Pro čtverec je a 2

a  a3 a  a3 a4 a  J   y 2 dya   y 3     . 83 8  3 12  3  a a 2 a  2

(4.11)

2

V tabulce (tab. 3) je uvedeno, jaký moment setrvačnosti je u daného nosníku.

Tab. 3 Momenty setrvačnosti daných průřezů (Raša, Švercl, 2004) Průřez tyčí

Moment setrvačnosti [mm4]

bh 3 J 12

a4 J 12

J  0,0601s

4

J

d 4 64

Měřené ocelové tyče jsou z materiálu dle norem DIN RSt 37-2 (ČSN 11 375). Prováděné měření probíhá za různých průřezů tyčí: čtvercový, obdélníkový, kruhový a šestihranný. Rozměry těchto průřezů jsou 12 × 12 mm, 8 × 10 mm, 10 × 16 mm, 37

kulatina 14 mm, šestihran 13 mm a celková délka je 600 mm. Od každého průřezu tyče mám 3 vzorky materiálu označené od prvního ke třetímu měření, jak je na obrázku (obr. 9).

Obr. 9 Zkušební tyče a jejich popis Na obrázku (obr. 10) vidíme měřící zařízení na kterém probíhá měření. Zkušební tyče postupně nasunuji na brázdičku, kde později navěšuji závaží. Jednotlivé tyče pokládám mezi podpory. Do stojanu upínám indikátorové ručičkové hodinky s přesností 0,01 mm. Ty patří nad měřící tyč doprostřed, kde musí být kolmo na měřící tyč. Přitom měřící hrot indikátorových hodinek nasunu tak, aby se mohl pohybovat směrem dolů. Je nutné vyzkoušet, zda se měřící hrot volně pohybuje v hodinkách. Takto připravená tyč s měřícími hodinkami je připravená k měření.

Indikátorov é hodinky

Měřená tyč

podpory

Držák závaží

Stojan měření

Závaží

Stojánek Obr. 10 Měřící zařízení s popisem jeho částí

38

Na začátku měření je nutné na indikátorových hodinkách odečíst počáteční průhyb tyče pp (nezatížené tyče). Naměřené hodnoty zapisuji do tabulek. Na hrazdičku opatrně umisťuji závaží o hmotnosti jednoho kotouče (m=1±0,001 kg). Po umístění závaží na indikátorových hodinkách odečtu průhyb při zatížení p a zapisuji do tabulky. Následně závaží sejmu z hrazdičky. Odečtu průhyb po odlehčení pk. Takto měření provádím až do doby, než nasunu všechny kotouče na hrazdičku. Průhyb každého závaží vypočítám dle rovnice (Bartoň, Křivánek, Severa, 2005)

y1  p 

p p  pk 2

.

(4.12)

Jakmile změřím jednu stranu tyče, tak zkušební materiál vyjmu z hrazdičky a z podpěr. Zkušební tyč otočím o 180° podélné osy a znovu ji nasunu do polohy, ve které byla při předchozím měření. Způsob se opakuje. Nosník Svěrky

Nastavitelné šrouby Zkušební tyč

Obr. 11 Měřící zařízení se zkrácenými podpěrami Při proměření všech daných průřezů provádím zkrácení podpěr na délku 260,12 mm jak vidíme na obrázku (obr. 11) a délka tyčí je stejná 600 mm. Opakuji měření, ale jen u tyče 8 × 10 mm. Po dokončení měření ze všech stran tyč vydělám a zakrátím na délku 340 mm. Měření se opakuje. Aby nedocházelo k prohýbání spodního nosníku a tím skreslování naměřených výsledků, pod nosník jsem umístil výškově nastavitelné šrouby.

39

Všechny naměřené hodnoty zapisuji do připravených tabulek. Zde se vypočítá průhyb a dle vzorce

E

Fl 3 48 yJ

(4.13)

se získá modul pružnosti v tahu. Za J dosazuji moment setrvačnosti různých průřezů zkoušeného materiálu. Tab. 4 Změřené tvrdosti a rozměry tyčí

Rozměry tyčí [mm] Obdélník 10x8 ze strany 10 Obdélník 10x8 ze strany 8 Obdélník 10x16 ze strany 10 Obdélník 10x16 ze strany 16 Čtverec 12 Kruh 14 Šestihran 13

Tyč

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Tvrdost HRB

Měřené Pravděpodobná Relativní rozměry chyba průměru chyba tyčí tvrdosti [MPa] [%] [mm]

93,6

0,090

0,906

93,1

0,067

0,072

90,1

0,200

0,221

90,0

0,167

0,185

81,4

0,200

0,246

92,6

0,200

0,216

93,2

0,067

0,072

9,936 9,938 9,938 7,952 7,952 7,952 9,980 9,979 9,978 15,949 15,948 15,949 11,928 11,926 11,928 13,957 13,958 13,956 12,924 12,926 12,925

V tabulce(tab. 4) jsou uvedeny změřené tyče mikrometrem s přesností 0,001 mm ve třech místech průřezu. U zkoušených materiálů jsem provedl také tvrdost podle Rockwella abych zjistil zda mají materiály podobné vlastnosti. U výsledků jsem uvedl také chyby měření, které jsou velmi malé. Z měření vidím že se částečně liší tvrdost u čtverce. Což může být způsobeno jeho odlišností výroby.

40

Tab. 5 Vypočtené hodnoty modulu pružnosti a momentu setrvačnosti s chybami měření Průřez [mm] Obdélník 8x10 Čtrverec 12x12 Obdélník 16x10 Kruh d=14 Šestihran 13 Obdélník 10x8

Tyč

Modul pružnosti [MPa]

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

197 574,04 199 555,97 197 924,86 187 980,63 187 824,51 192 846,20 184 923,51 188 081,03 191 201,71 199 987,60 200 243,76 204 692,28 186 578,28 188 378,47 196 219,26 195 558,52 197 069,41 193 868,77

Moment Pravděpodobná Relativní setrvačnosti chyba průměru chyba [mm4] [MPa] [%] 416,32 416,38 416,47 1 687,01 1 685,60 1 687,07 1 320,97 1 320,56 1 320,19 1 862,89 1 863,11 1 682,31 1 676,83 1 677,97 1 677,09 650,08 650,42 650,47

0,0921 0,0816 0,0799 2,3604 1,7045 1,3061 0,4329 0,3811 0,3894 2,0532 2,0044 3,6115 1,2117 1,4642 1,6343 0,2572 1,1453 0,1180

0,331 0,291 0,286 2,201 1,592 1,187 0,524 0,454 0,456 1,629 1,588 2,801 1,145 1,370 1,468 0,598 0,335 0,277

Zkrácené podpěry l = 260,12 ± 0,2 mm a déka zkoušených tyčí je 600 mm Průřez [mm] Obdélník 10x8 Obdélník 8x10

Tyč

Modul pružnosti [MPa]

1 2 3 1 2 3

181 238,52 181 659,97 182 133,00 199 672,37 213 669,95 217 835,63

Moment Pravděpodobná Relativní setrvačnosti chyba průměru chyba [mm4] [MPa] [%] 650,08 650,42 650,47 416,32 416,38 416,47

7,9854 7,2720 6,6790 4,1698 7,3765 5,8619

2,485 2,257 2,067 1,839 3,040 2,369

Zkrácené podpěry l = 260,12 ± 0,2 mm a déka zkoušených tyčí je 340 mm Obdélník 10x8 Obdélník 8x10

1 2 3 1 2 3

197 126,74 191 187,71 190 452,31 192 895,25 192 145,43 193 360,14

Tato tabulka (tab. 5) obsahuje

650,08 650,42 650,47 416,32 416,38 416,47

7,6259 9,5570 7,9878 4,1828 4,6249 5,8398

2,182 2,818 2,364 1,910 2,120 2,659

vypočtené moduly pružnosti v tahu a také

momenty setrvačnosti různých průřezů materiálu. Jsou v ní vypočteny také chyby měření, které nejsou tak výrazné. Dále je uvedeno, že naměřené hodnoty jsou uváděny jak při délce podpěr 521,6 mm tak i u zkrácených podporách, kde hodnota činila 260,12 mm. U zkrácených podpěr jsem také zjišťoval zda se změní modul pružnosti v tahu, když budu měření provádět se stejnou délkou 600 mm a se zakrácenou tyčí na 340 mm. 41

5

DISKUZE Zkušební tyče z materiálu ČSN 11 375 byly měřeny dle Youngova modulu

pružnosti v tahu a postupu, který je uveden v praktické části. Z naměřených hodnot jsem vypočítal modul pružnosti v tahu. Získané hodnoty jsem zapisoval do tabulek a z nich poté sestrojil grafy, na nichž jsou zobrazeny závislosti zatížení F na průhybu tyče y. Grafy jsou uvedeny v příloze č. 2. Vyplývá z nich, že závislost je lineární. Ne u všech grafů se body umístily do přímky. Zde se nám projevilo to, že při měření vznikaly nepřesnosti. Chyby jsou dvojího druhu: nahodilé a nenahodilé. Při mém měření vznikaly chyby nahodilé, a proto je nebylo možné eliminovat. Mezi první tahovou zásadu patří vzdálenost podpor, která by měla být co největší. Tak se zamezuje nežádanému působení střihu materiálu při ohýbání tyče. U ohýbání musí probíhat pouze pružná deformace. Neměla by se zde vyskytovat deformace plastická, která může měření zkreslovat. Modul pružnosti v tahu a tlaku by měl být stejný. Do výpočtu jsem nezahrnoval také smykové napětí, ale při ohýbání se vyskytnout. Při prohýbání tyče částečně dochází k deformaci průřezu. Další podmínkou je neutrální osa, která leží uprostřed zkušební tyče. Při zatížení se modul pružnosti nemění v čase. Podklad, na kterém je měřící přístroj umístěn, musí být dostatečně tuhý. Zvolený podklad by neměl ovlivňovat měření. Dalším předpokladem pro správné měření by měla být zkušební tyč, která se neprohýbá vlastní váhou při vložení mezi podpěry. Správné je dostatečně tuhé uchycení hodinek a zatížení odečtu chybou odečítání, kde přesnost je 0,01 mm a odhadem na 0,002 mm. Důležitou částí je také teplota okolí a materiálu, která je uvedena v teoretické části. Dalším faktorem, který působí na měření, je atmosferický tlak. Ten může nadzvedávat a dotěžovat závaží vkládané na zkušební tyč. Homogenita různých průřezů zkušebních tyčí a způsob vyrábění profilů tyčí může ovlivnit chyby měření. Mezi činitele, kteří ovlivňují měření, patří i pružná deformace. Ta by měla probíhat za plynulého zvětšování zatížení.

42

Všechny tyto popsané vlivy mohou Youngův modul pružnosti v tahu ovlivňovat. Tvoří řadu nepřesností, které se projevují buď ve výpočtu nebo v zanesených grafech. Mou snahou bylo, abych se co nejvíce těchto chyb a nepřesností vyvaroval.

43

ZÁVĚR Z modulu pružnosti v tahu plyne, že pro každý materiál se jeho hodnota liší. Jde o olovo, bakelit, mramor, litinu a další materiály. Nejmenší modul pružnosti nabývá u gumy, naopak u diamantu se mnohonásobně zvětšuje. Významnou veličinou pro výpočet pevnosti a dalších vlastností materiálu je Youngův modul pružnosti. Další jeho využití je u staticky neurčitých soustav, kde se podle hodnoty modulu pružnosti vypočítá jejich hodnota. Z naměřených a vypočtených hodnot vyplívá, že Youngův modul pružnosti v tahu u ocele ČSN 11 375 vychází v rozmezí 181 238 – 217 835 MPa. Dle tabulkových hodnot (Třebuňa, Simčák 2005) je modul pružnosti pro uhlíkovou ocel E = 200 000 – 210 000 MPa. Tyto odlišnosti modulu pružnosti v tahu jsou dány ne zcela srovnatelnými podmínkami při měření. Takové předpoklady mohly způsobit částečné nepřesnosti. Přesto u tyčí stejného průřezu se modul pružnosti v tahu výrazně nemění a zůstává v přijatelné toleranci. Z přiložených grafů plyne, že stejné průřezy tyčí mají podobnou přímkovou závislost a výsledky výpočtů. U zkrácených podpor, kde délka tyče byla při prvním měření stejná a druhém zakrácená modul pružnosti kolísá a vyplívá z toho, že na měření negativně působili jak vnitřní tak vnější vlivy. Výsledkem mého měření je odlišnost tabulkových od naměřených hodnot. I když existují vlivy, které působí na měření a činí tak nepřesnosti měření, můžu říct, že měření je přesné. Všechna měření, výpočty modulu pružnosti a vypočtené chyby jsem uvedl v tabulce v praktické části práce.

44

POUŢITÉ ZDROJE [1]

BARTOŇ, Stanislav; KŘIVÁNEK, Ivo; SEVERA, Libor. Fyzika : Laboratorní cvičení. Vyd. 1. Brno : MZLU, 2005. 100 s. ISBN 80-7157-843-6.

[2]

ČERNOCH, Svatopluk. Strojně technická příručka. Vyd. 11. Praha : SNTL, 1 959. 1872 s.

[3]

DYLAG, Zdzislaw; ORLOŚ, Zbigniew. Únava materiálu a její zkoušení. Praha : SNTL, 1968. 256 s.

[4]

FILÍPEK, Josef. Technické materiály. Vyd. 1. Brno : Vysoká škola zemědělská , 1988. 196 s.

[5]

HORÁK, Zdeněk; KRUPKA, František; ŠINDELÁŘ, Václav. Technická fysika. Vyd. 3. Praha : SNTL, 1961. 1436 s.

[6]

JAREŠ, Vojtěch . Základní zkoušky kovů a jejich teorie. Vyd. 1. Praha : Academia, 1966. 210 s.

[7]

MACEK, Karel; SEDLÁČEK, Vladimír; STRÁNSKÝ, Karel . Struktura a vlastnosti konstrukčních materiálů. Vyd. 1. Praha : ČVUT, 1986. 111 s. ISBN 80-01-01492-4.

[8]

RAŠA, Jaroslav; ŠVERCL, Josef. Strojnické tabulky 1 : pro školu a praxi. Vyd. 1. Praha : Scientia, 2004. 753 s. ISBN 80-7183-312-6.

[9]

TREBUŇA, František; ŠIMČÁK, František. Pružnosť, pevnosť a plastickosť v strojárstve. Vyd. 1. Košice : Emilena, 2005. 484 s. ISBN 80-8073-276-0.

[10]

VELES, Pavol. Mechanické vlastnosti a skúšanie kovov. Vyd. 2. Bratislava : ALFA, 1989. 408 s.

[11]

DRIML, Bohuslav. Ateam.zcu.cz [online]. 2007-10-04 [cit. 2010-03-27]. Základní vlastnost materiálů a jejich zkoušení . Dostupné z WWW: .

[12]

Strojnilyceum.wz.cz [online]. 2007-05-07 [cit. 2010-04-27]. Základní vlastnosti materiálu a jejich zkoušky. Dostupné z WWW: http://strojnilyceum.wz.cz/maturita/tep/tep6.pdf

[13]

Wikipedie otevřená encyklopedie [online]. 2010-04-09 [cit. 2010-04-27]. Hookeův zákon. Dostupné z WWW:

45

[14]

Eandt II [online]. [cit. 2010-04-14]. Základní Porovnání dynamických a statických modulů pružnosti . Dostupné z WWW:147.229.27.214/vyuka/BI02/EANDT_II.pps

[15]

Jirkaspol [online]. [cit. 2010-04-19]. Ultrazvukový defektoskop . Dostupné z

[16]

WWW: http://.jirkaspol.cz/ultrazvukovy-defektoskop-1-1-90.html Muj.optol.cz [online]. [cit. 2010-04-05]. Akustika . Dostupné z WWW: http://muj.optol.cz/~bajer/skripta/kap7.pdf

46

SEZNAM OBRÁZKŮ Obr. 1

Změny modulů pružnosti železa s teplotou (Černoch, 1959)…...…...... 24

Obr. 2

Schéma mechanického průtahoměru (Veles, 1989)………………….. 26

Obr. 3

Schéma opticko-mechanického průtahoměru (Veles, 1989) ………..

27

Obr. 4

Schéma tenzometrického průtahoměru (Veles, 1989) ……………….

28

Obr. 5

Schéma pracovního diagramu v tahu (Trebuňa, Šimčák, 2005) …….

29

Obr. 6

Ultrazvukový defektoskop (www.Jirkaspol.cz)……………………..... 32

Obr. 7

Schéma působení sil na nosník (Horák, Krupka, Šindelář, 1941) …...

Obr. 8

Výpočet momentu setrvačnosti ………………………………………. 38

Obr. 9

Zkušební tyče a jejich popis ………………………………………….. 39

35

Obr. 10 Měřící zařízení s popisem jeho částí …………………………………. 39 Obr. 11 Měřící zařízení se zkrácenými podpěrami …………………………… 40

47

PŘÍLOHY

48

Příloha č. 1: Naměřené hodnoty a jejich výpočet Tyč 8 x 10 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,161 0,152 0,141 0,171 0,171

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,069 0,070 0,078 0,068 0,064

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,080 0,091 0,092 0,087 0,091

P

TYČ 1 0,505 0,872 1,220 1,584 1,904

TYČ 2 0,405 0,778 1,119 1,483 1,823

TYČ 3 0,429 0,792 1,152 1,493 1,860

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

8x10 1. strana 0,152 0,141 0,171 0,171 0,189

0,3485 0,7255 1,0640 1,4130 1,7240

28,1492 27,0434 27,6598 27,7707 28,4513

8x10 1. strana 0,070 0,078 0,068 0,064 0,073

0,3355 0,7040 1,0460 1,4170 1,7545

29,2399 27,8693 28,1358 27,6923 27,9567

8x10 1. strana 0,091 0,092 0,087 0,091 0,079

0,3435 0,7005 1,0625 1,4040 1,7750

28,5590 28,0086 27,6988 27,9487 27,6338

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,070 0,071 0,069 0,060 0,067

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,149 0,143 0,152 0,166 0,178

mat. 11 375 1 2 3 4 5

49

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,046 0,045 0,042 0,053 0,040

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 8x10 2. strana 0,415 0,774 1,124 1,491 1,849

0,071 0,069 0,060 0,067 0,068

0,3445 0,7040 1,0595 1,4275 1,7815

28,4761 27,8693 27,7773 27,4886 27,5330

TYČ 2 8x10 2. strana 0,491 0,849 1,210 1,568 1,948

0,143 0,152 0,166 0,178 0,169

0,3450 0,7015 1,0510 1,3960 1,7745

28,4348 27,9686 28,0019 28,1089 27,6416

TYČ 3 8x10 2. strana 0,391 0,760 1,101 1,462 1,831

0,045 0,042 0,053 0,040 0,059

0,3455 0,7165 1,0535 1,4155 1,7815

28,3936 27,3831 27,9355 27,7217 27,5330

Tyč 12 x 12 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,050 0,044 0,035 0,031 0,049

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,218 0,211 0,212 0,201 0,209

P

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,259 0,228 0,227 0,235 0,223

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 12x12 1. strana 0,152 0,229 0,322 0,429 0,509

0,044 0,035 0,031 0,049 0,062

0,1050 0,1895 0,2890 0,3890 0,4535

0,300 0,382 0,472 0,571 0,668

0,321 0,419 0,493 0,598 0,696

0,211 0,212 0,201 0,209 0,211

0,0855 0,1705 0,2655 0,3660 0,4580

0,0775 0,1915 0,2620 0,3690 0,4595

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,410 0,455 0,459 0,454 0,455

mat. 11 375

114,7368 115,0733 110,8475 107,2131 107,0961

12x12 1. strana 0,228 0,227 0,235 0,223 0,250

m [kg]

93,4286 103,5356 101,8339 100,8740 108,1588

TYČ 2 12x12 1. strana

mat. 11 375 TYČ 3 1 2 3 4 5

Pk

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,161 0,145 0,111 0,110 0,131

mat. 11 375

126,5806 102,4543 112,3282 106,3415 106,7465

1 2 3 4 5

50

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,215 0,228 0,218 0,221 0,222

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 12x12 2. strana 0,511 0,630 0,718 0,812 0,901

0,455 0,459 0,454 0,455 0,405

0,0785 0,1730 0,2615 0,3575 0,4710

124,9682 113,4104 112,5430 109,7622 104,1401

TYČ 2 12x12 2. strana 0,244 0,322 0,411 0,502 0,592

0,145 0,111 0,110 0,131 0,129

0,0910 0,1940 0,3005 0,3815 0,4620

107,8022 101,1340 97,9368 102,8571 106,1688

TYČ 3 12x12 2. strana 0,307 0,410 0,490 0,581 0,681

0,228 0,218 0,221 0,222 0,235

0,0855 0,1870 0,2705 0,3595 0,4525

114,7368 104,9198 108,7985 109,1516 108,3978

Tyč 16 x 10 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,159 0,149 0,151 0,143 0,151

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,198 0,199 0,188 0,181 0,194

P

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,270 0,273 0,268 0,276 0,279

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 16x10 1. strana 0,278 0,384 0,492 0,620 0,740

0,149 0,151 0,143 0,151 0,139

0,1240 0,2340 0,3450 0,4730 0,5950

0,316 0,431 0,553 0,658 0,778

0,388 0,492 0,619 0,724 0,851

0,199 0,188 0,181 0,194 0,194

0,1175 0,2375 0,3685 0,4705 0,5840

0,1165 0,2215 0,3470 0,4465 0,5775

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,364 0,344 0,348 0,342 0,342

mat. 11 375

83,4894 82,6105 79,8643 83,4006 83,9897

16x10 1. strana 0,273 0,268 0,276 0,279 0,268

m [kg]

79,1129 83,8462 85,3043 82,9598 82,4370

TYČ 2 16x10 1. strana

mat. 11 375 TYČ 3 1 2 3 4 5

Pk

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,177 0,183 0,188 0,181 0,185

mat. 11 375

84,2060 88,5779 84,8127 87,8835 84,9351

1 2 3 4 5

51

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,232 0,251 0,232 0,235 0,225

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 16x10 2- strana 0,471 0,589 0,702 0,814 0,934

0,344 0,348 0,342 0,342 0,336

0,1170 0,2430 0,3570 0,4720 0,5950

83,8462 80,7407 82,4370 83,1356 82,4370

TYČ 2 16x10 2. strana 0,297 0,413 0,528 0,641 0,759

0,183 0,188 0,181 0,185 0,183

0,1170 0,2275 0,3435 0,4580 0,5750

83,8462 86,2418 85,6769 85,6769 85,3043

TYČ 3 16x10 2. strana 0,359 0,470 0,581 0,702 0,801

0,251 0,232 0,235 0,225 0,239

0,1175 0,2285 0,3475 0,4720 0,5690

83,4894 85,8643 84,6906 83,1356 86,2039

Tyč průměr 14 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm m [kg]

F [N]

Pp

P

mat. 11 375 TYČ 1 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,227 0,250 0,269 0,268 0,268

0,319 0,393 0,502 0,569 0,670

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

14 kul. 1. strana 0,250 0,269 0,268 0,268 0,286

0,0805 0,1335 0,2335 0,3010 0,3930

121,8634 146,9663 126,0385 130,3654 124,8092

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,213 0,223 0,224 0,255 0,218

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 14 kul. 2. strana 0,292 0,391 0,464 0,579 0,659

0,223 0,224 0,255 0,218 0,245

0,0740 0,1675 0,2245 0,3425 0,4275

132,5676 117,1343 131,0913 114,5693 114,7368

mat. 11 375 TYČ 2 14 kul. 1. strana

mat. 11 375 TYČ 2 14 kul. 2. strana

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,158 0,189 0,238 0,254 0,229

0,260 0,365 0,468 0,538 0,620

0,189 0,238 0,254 0,229 0,267

0,0865 0,1515 0,2220 0,2965 0,3720

113,4104 129,5050 132,5676 132,3440 131,8548

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,174 0,184 0,160 0,188 0,209

0,255 0,323 0,422 0,528 0,586

0,184 0,160 0,188 0,209 0,181

0,0760 0,1510 0,2480 0,3295 0,3910

129,0789 129,9338 118,6694 119,0895 125,4476

mat. 11 375 TYČ 3

14 kul. 1. strana

mat. 11 375 TYČ 3 14 kul. 2. strana

1 2 3 4 5

0,185 0,180 0,185 0,180 0,171

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,165 0,185 0,180 0,185 0,180

0,243 0,311 0,392 0,479 0,557

0,0680 0,1285 0,2095 0,2965 0,3815

144,2647 152,6848 140,4773 132,3440 128,5714

52

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,240 0,243 0,235 0,240 0,248

0,330 0,417 0,482 0,566 0,621

0,243 0,235 0,240 0,248 0,226

0,0885 0,1780 0,2445 0,3220 0,3840

110,8475 110,2247 120,3681 121,8634 127,7344

Tyč šestihran 13 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm m [kg]

F [N]

Pp

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

m [kg]

F [N]

Pp

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

mat. 11 375 TYČ 1 13 šest. 1. strana

mat. 11 375 TYČ 1 13 šest. 2. strana

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,121 0,126 0,138 0,123 0,131

0,208 0,312 0,402 0,489 0,611

0,126 0,138 0,123 0,131 0,156

0,0845 0,1800 0,2715 0,3620 0,4675

116,0947 109,0000 108,3978 108,3978 104,9198

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,129 0,129 0,121 0,119 0,139

0,221 0,329 0,408 0,511 0,607

0,129 0,121 0,119 0,139 0,129

0,0920 0,2040 0,2880 0,3820 0,4730

106,6304 96,1765 102,1875 102,7225 103,6998

mat. 11 375 TYČ 2 13 šest. 1. strana

mat. 11 375 TYČ 2 13 šest. 2. strana

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,153 0,168 0,182 0,181 0,168

0,222 0,351 0,454 0,550 0,639

0,168 0,182 0,181 0,168 0,168

0,0615 0,1760 0,2725 0,3755 0,4710

159,5122 111,4773 108,0000 104,5007 104,1401

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,149 0,148 0,159 0,146 0,142

0,257 0,355 0,455 0,547 0,647

0,148 0,159 0,146 0,142 0,162

0,1085 0,2015 0,3025 0,4030 0,4950

90,4147 97,3697 97,2893 97,3697 99,0909

mat. 11 375 TYČ 3 13 šest. 1. strana

mat. 11 375 TYČ 3 13 šest. 2. strana

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,090 0,105 0,108 0,100 0,110

0,189 0,259 0,367 0,468 0,548

0,105 0,108 0,100 0,110 0,110

0,0915 0,1525 0,2630 0,3630 0,4380

107,2131 128,6557 111,9011 108,0992 111,9863

53

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,230 0,237 0,245 0,230 0,253

0,327 0,411 0,508 0,610 0,693

0,237 0,245 0,230 0,253 0,238

0,0935 0,1700 0,2705 0,3685 0,4475

104,9198 115,4118 108,7985 106,4858 109,6089

Tyč 10 x 8 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,055 0,059 0,055 0,061 0,042

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,049 0,049 0,051 0,069 0,069

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,060 0,041 0,050 0,048 0,051

P

TYČ 1 0,270 0,499 0,750 0,971 1,189

TYČ 2 0,271 0,511 0,729 0,979 1,218

TYČ 3 0,282 0,510 0,740 0,986 1,210

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

10x8 1. strana 0,059 0,055 0,061 0,042 0,035

0,2130 0,4420 0,6920 0,9195 1,1505

46,0563 44,3891 42,5289 42,6754 42,6336

10x8 1. strana 0,049 0,051 0,069 0,069 0,059

0,2220 0,4610 0,6690 0,9100 1,1540

44,1892 42,5597 43,9910 43,1209 42,5043

10x8 1. strana 0,041 0,050 0,048 0,051 0,051

0,2315 0,4645 0,6910 0,9365 1,1590

42,3758 42,2390 42,5904 41,9007 42,3210

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,020 0,005 0,008 0,019 0,001

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,042 0,048 0,049 0,051 0,054

mat. 11 375 1 2 3 4 5

54

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,120 0,118 0,114 0,115 0,125

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 10x8 2. strana 0,250 0,471 0,695 0,936 1,158

0,005 0,008 0,019 0,001 0,013

0,2375 0,4645 0,6815 0,9260 1,1510

41,3053 42,2390 43,1842 42,3758 42,6151

TYČ 2 10x8 2. strana 0,271 0,508 0,730 0,953 1,161

0,048 0,049 0,051 0,054 0,050

0,2260 0,4595 0,6800 0,9005 1,1090

43,4071 42,6986 43,2794 43,5758 44,2290

TYČ 3 10x8 2. strana 0,344 0,579 0,795 1,039 1,260

0,118 0,114 0,115 0,125 0,124

0,2250 0,4630 0,6805 0,9190 1,1355

43,6000 42,3758 43,2476 42,6986 43,1968

Tyč 10 x 8 mm, délka 600 mm, délka podpor 260,12 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,470 0,461 0,465 0,465 0,450

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,158 0,155 0,151 0,156 0,161

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,181 0,164 0,165 0,160 0,167

P

TYČ 1 0,490 0,531 0,555 0,592 0,618

TYČ 2 0,179 0,220 0,253 0,283 0,310

TYČ 3 0,208 0,230 0,258 0,295 0,321

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

10x8 1. strana 0,461 0,465 0,465 0,450 0,455

0,0245 0,0680 0,0900 0,1345 0,1655

400,4082 288,5294 327,0000 291,7472 296,3746

10x8 1. strana 0,155 0,151 0,156 0,161 0,160

0,0225 0,0670 0,0995 0,1245 0,1495

436,0000 292,8358 295,7789 315,1807 328,0936

10x8 1. strana 0,164 0,165 0,160 0,167 0,168

0,0355 0,0655 0,0955 0,1315 0,1535

276,3380 299,5420 308,1675 298,4030 319,5440

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,460 0,452 0,449 0,451 0,457

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,158 0,152 0,149 0,151 0,149

mat. 11 375 1 2 3 4 5

55

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,170 0,164 0,150 0,153 0,156

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 10x8 2. strana 0,482 0,520 0,545 0,575 0,610

0,452 0,449 0,451 0,457 0,452

0,0260 0,0695 0,0950 0,1210 0,1555

377,3077 282,3022 309,7895 324,2975 315,4341

TYČ 2 10x8 2. strana 0,187 0,221 0,238 0,276 0,301

0,152 0,149 0,151 0,149 0,150

0,0320 0,0705 0,0880 0,1260 0,1515

306,5625 278,2979 334,4318 311,4286 323,7624

TYČ 3 10x8 2. strana 0,190 0,212 0,244 0,279 0,312

0,164 0,150 0,153 0,156 0,154

0,0230 0,0550 0,0925 0,1245 0,1570

426,5217 356,7273 318,1622 315,1807 312,4204

Tyč 8 x 10 mm, délka 600 mm, délka podpor 260,12 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,228 0,222 0,225 0,220 0,205

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,248 0,278 0,269 0,276 0,287

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,222 0,227 0,230 0,232 0,220

P

TYČ 1 0,277 0,315 0,375 0,411 0,456

TYČ 2 0,310 0,353 0,380 0,419 0,450

TYČ 3 0,272 0,311 0,343 0,378 0,400

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

8x10 1. strana 0,222 0,225 0,220 0,205 0,219

0,0520 0,0915 0,1525 0,1985 0,2440

188,6538 214,4262 192,9836 197,6826 201,0246

8x10 1. strana 0,278 0,269 0,276 0,287 0,287

0,0470 0,0795 0,1075 0,1375 0,1630

208,7234 246,7925 273,7674 285,3818 300,9202

8x10 1. strana 0,227 0,230 0,232 0,220 0,234

0,0475 0,0825 0,1120 0,1520 0,1730

206,5263 237,8182 262,7679 258,1579 283,5260

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,256 0,255 0,250 0,239 0,235

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,195 0,218 0,218 0,220 0,215

mat. 11 375 1 2 3 4 5

56

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,240 0,241 0,248 0,255 0,258

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 8x10 2. strana 0,289 0,326 0,361 0,397 0,466

0,255 0,250 0,239 0,235 0,240

0,0335 0,0735 0,1165 0,1600 0,2285

292,8358 266,9388 252,6180 245,2500 214,6608

TYČ 2 8x10 2. strana 0,268 0,311 0,348 0,375 0,408

0,218 0,218 0,220 0,215 0,228

0,0615 0,0930 0,1290 0,1575 0,1865

159,5122 210,9677 228,1395 249,1429 263,0027

TYČ 3 8x10 2. strana 0,295 0,335 0,365 0,395 0,431

0,241 0,248 0,255 0,258 0,261

0,0545 0,0905 0,1135 0,1385 0,1715

180,0000 216,7956 259,2952 283,3213 286,0058

Tyč 10 x 8 mm, délka 340 mm, délka podpor 260,12 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,251 0,251 0,261 0,261 0,251

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,249 0,256 0,255 0,252 0,252

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,129 0,131 0,128 0,120 0,120

P

TYČ 1 0,280 0,311 0,340 0,359 0,393

TYČ 2 0,281 0,315 0,341 0,370 0,408

TYČ 3 0,151 0,185 0,205 0,240 0,281

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

10x8 1. strana 0,251 0,261 0,261 0,251 0,242

0,0290 0,0550 0,0790 0,1030 0,1465

338,2759 356,7273 372,5316 380,9709 334,8123

10x8 1. strana 0,256 0,255 0,252 0,252 0,258

0,0285 0,0595 0,0875 0,1180 0,1530

344,2105 329,7479 336,3429 332,5424 320,5882

10x8 1. strana 0,131 0,128 0,120 0,120 0,115

0,0210 0,0555 0,0810 0,1200 0,1635

467,1429 353,5135 363,3333 327,0000 300,0000

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,170 0,180 0,174 0,160 0,171

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,155 0,151 0,150 0,152 0,151

mat. 11 375 1 2 3 4 5

57

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,311 0,310 0,312 0,309 0,310

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 10x8 2. strana 0,202 0,230 0,258 0,290 0,319

0,180 0,174 0,160 0,171 0,178

0,0270 0,0530 0,0910 0,1245 0,1445

363,3333 370,1887 323,4066 315,1807 339,4464

TYČ 2 10x8 2. strana 0,179 0,210 0,236 0,262 0,300

0,151 0,150 0,152 0,151 0,142

0,0260 0,0595 0,0850 0,1105 0,1535

377,3077 329,7479 346,2353 355,1131 319,5440

TYČ 3 10x8 2. strana 0,342 0,377 0,408 0,428 0,461

0,310 0,312 0,309 0,310 0,311

0,0315 0,0660 0,0975 0,1185 0,1505

311,4286 297,2727 301,8462 331,1392 325,9136

Tyč 8 x 10 mm, délka 340 mm, délka podpor 260,12 mm m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,420 0,420 0,415 0,420 0,418

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,410 0,408 0,395 0,402 0,411

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,399 0,405 0,403 0,401 0,421

P

TYČ 1 0,465 0,501 0,551 0,586 0,638

TYČ 2 0,458 0,494 0,541 0,579 0,623

TYČ 3 0,455 0,486 0,524 0,589 0,63

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

8x10 1. strana 0,420 0,415 0,420 0,418 0,425

0,0450 0,0835 0,1335 0,1670 0,2165

218,0000 234,9701 220,4494 234,9701 226,5589

8x10 1. strana 0,408 0,395 0,402 0,411 0,402

0,0490 0,0925 0,1425 0,1725 0,2165

200,2041 212,1081 206,5263 227,4783 226,5589

8x10 1. strana 0,405 0,403 0,401 0,421 0,411

0,0530 0,0820 0,1220 0,1780 0,2140

185,0943 239,2683 241,2295 220,4494 229,2056

m [kg]

F [N]

Pp

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,405 0,401 0,409 0,403 0,402

mat. 11 375 1 2 3 4 5

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,415 0,410 0,415 0,418 0,412

mat. 11 375 1 2 3 4 5

58

9,81 19,62 29,43 39,24 49,05

0,412 0,415 0,411 0,419 0,411

P

Pk

y [mm]

F/y [N/mm]

TYČ 1 8x10 2. strana 0,452 0,498 0,541 0,582 0,640

0,401 0,409 0,403 0,402 0,405

0,0490 0,0930 0,1350 0,1795 0,2365

200,2041 210,9677 218,0000 218,6072 207,3996

TYČ 2 8x10 2. strana 0,462 0,498 0,545 0,590 0,630

0,410 0,415 0,418 0,412 0,418

0,0495 0,0855 0,1285 0,1750 0,2150

198,1818 229,4737 229,0272 224,2286 228,1395

TYČ 3 8x10 2. strana 0,471 0,501 0,549 0,585 0,625

0,415 0,411 0,419 0,411 0,425

0,0575 0,0880 0,1340 0,1700 0,2070

170,6087 222,9545 219,6269 230,8235 236,9565

Příloha č. 2: Grafy znázorňující zatížení a průhyb 3 tyčí stejného rozměru (materiál ČSN 11 375) Tyč 8 x 10 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm 2,00 1. strana

1. strana

2. strana

2. strana

1. strana

1,50

1,00

1,00

0,50

0,50

0

10

20

30

40

0,00

0

50

1,00

0,50

0,00

0,00

2. strana

1,50 y [mm]

y [mm]

1,50 y [mm]

2,00

2,00

10

20

30

40

50

0

10

20

30

F [N]

F [N]

40

50

F [N]

Tyč 12 x 12 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm 0,50 2. strana

1. strana

0,40

y [mm]

0,30 0,20 0,10

2. strana

0,30 0,20

0,00 0

10

20

30 F [N]

40

50

2. strana

0,30 0,20 0,10

0,10

0,00

1. strana

0,40

y [mm]

1. strana

0,40

y [mm]

0,50

0,50

0,00

0

10

20

30 F [N]

40

50

0

10

20

30 F [N]

59

40

50

Tyč 16 x 10 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm 0,70

0,70

0,60

1. strana

0,60

2. strana

1. strana

0,60

2. strana

0,30

0,40 0,30

0,20

0,20

0,10

0,10

0,00

0,00

0

10

20

30

40

y [mm]

y [mm]

0,40

50

1. strana

2. strana

0,50

0,50

0,50 y [mm]

0,70

0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

0

10

20

F [N]

30

40

0

50

10

20

30

40

50

40

50

F [N]

F [N]

Tyč průměr 14 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm 0,50 2. strana

1. strana

0,40

y [mm]

0,30 0,20

2. strana

0,30 0,20

0,10

0,10

0,00

0,00

1. strana

0,40

y [mm]

1. strana

0,40

y [mm]

0,50

0,50

2. strana

0,30

0,20

0,10

0

10

20

30

40

50

0

10

20

30

40

50

0,00 0

F [N]

F [N]

10

20

30 F [N]

60

Tyč šestihran 13 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm 1. strana

0,50

2. strana

1. strana

0,50

2. strana

0,30

0,30

0,20

0,20

0,20

0,10

0,10

0,10

0,00

0,00

0

10

20

30

40

50

2. strana

0,40 y [mm]

y [mm]

0,30

1. strana

0,50

0,40

0,40 y [mm]

0,60

0,60

0,60

0,00

0

10

20

F [N]

30

40

50

0

10

20

F [N]

30

40

50

30

40

50

F [N]

Tyč 10 x 8 mm, délka 600 mm, délka podpor 521,6 mm 1,50

1,50 1. strana

1,50 1. strana

2. strana

2. strana

1. strana

y [mm]

y [mm]

y [mm]

1,00

1,00

0,50

0,50

0,00

0,00

0

10

20

30 F [N]

40

50

2. strana

1,00

0,50

0,00 0

10

20

30

40

50

0

10

20 F [N]

F [N]

61

Tyč 10 x 8 mm, délka 600 mm, délka podpor 260,12 mm 0,30

0,30 1. strana

0,30 1. strana

2. strana

2. strana

1. strana

y [mm]

y [mm]

y [mm]

0,20

0,20

0,10

0,10

0,00

0,00

2. strana

0,20

0,10

0,00 0

10

20

30

40

50

0

10

20

F [N]

30

40

0

50

10

20

30

40

50

30

40

50

F [N]

F [N]

Tyč 8 x 10 mm, délka 600 mm, délka podpor 260,12 mm 0,50

0,50

1. strana

0,40

0,30

y [mm]

y [mm]

2. strana

2. strana

0,30

0,20

0,20

0,10

0,10

0,00

0,00

1. strana

0,40 y [mm]

1. strana

0,40

0,50 2. strana

0,30 0,20 0,10 0,00

0

10

20

30 F [N]

40

50

0

10

20

30

40

50

0

10

20 F [N]

F [N]

62

Tyč 10 x 8 mm, délka 340 mm, délka podpor 260,12 mm 0,50

0,50

1. strana

0,40

0,30

y [mm]

y [mm]

2. strana

0,20

2. strana

0,30

0,20

0,10

0,10

0,00

0,00

1. strana

0,40 y [mm]

1. strana

0,40

0,50 2. strana

0,30 0,20 0,10 0,00

0

10

20

30

40

50

0

10

20

F [N]

30

40

0

50

10

20

30

40

50

F [N]

F [N]

Tyč 8 x 10 mm, délka 340 mm, délka podpor 260,12 mm 2. strana

1. strana

0,40

y [mm]

0,30

2. strana

0,30

0,20

0,20

0,10

0,10

0,00

0,00

1. strana

0,40 y [mm]

1. strana

0,40

y [mm]

0,50

0,50

0,50

2. strana

0,30 0,20 0,10 0,00

0

10

20

30 F [N]

40

50

0 0

10

20

30

40

10

20

30

50

F [N]

F [N]

63

40

50