MENCIPTAKAN PROSES BELAJAR AKTIF: KAJIAN DARI SUDUT PANDANG TEORI BELAJAR DAN TEORI DIDAKTIK1 Didi Suryadi Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI HP:08122417773 Email:
[email protected]
A. Belajar dan Pembelajaran Matematika dari Sudut Pandang Teori Belajar Memahami teori tentang bagaimana orang belajar serta kemampuan menerapkannya dalam pengajaran matematika merupakan persyaratan penting untuk menciptakan proses pembelajaran efektif. Berbagai studi tentang perkembangan intelektual manusia telah menghasilkan sejumlah teori belajar yang sangat bervariasi. Walaupun di antara para ahli psikologi, ahli teori belajar, dan para pendidik masih terdapat banyak perbedaan pemahaman tentang bagaimana orang belajar serta metoda paling efektif untuk terjadinya belajar, akan tetapi di antara mereka terdapat juga sejumlah kesepahaman. Menurut Bell (1978, h.97), tiap teori dapat dipandang sebagai suatu metoda untuk mengorganisasi serta mempelajari berbagai variabel yang berkaitan dengan belajar dan perkembangan intelektual, dan dengan demikian guru dapat memilih serta menerapkan elemen-elemen teori tertentu dalam pelaksanaan pembelajaran di kelas. Bagaimana matematika seharusnya dipelajari? Pertanyaan ini nampaknya sederhana, akan tetapi memerlukan jawaban yang tidak sederhana. Karena pandangan guru tentang matematika, belajar matematika, dan pembelajaran matematika (mathematics teaching) sangat berpengaruh terhadap bagaimana mereka melakukan pembelajaran di kelas, maka mempelajari teori-teori yang berkaitan dengan hal tersebut harus menjadi prioritas bagi para pendidik matematika. Bahkan pengembangan teori-teori baru yang mampu menjawab berbagai pertanyaan yang belum ada jawabannya saat ini, merupakan upaya yang perlu terus dilakukan baik oleh para guru, dosen maupun peneliti. Gagasan tentang belajar bermakna yang dikemukakan oleh William Brownell pada awal pertengahan abad duapuluh merupakan ide dasar dari teori konstruktivisme. Menurut Brownell (dalam Reys, Suydam, Lindquist, & Smith, 1998), matematika dapat dipandang sebagai suatu sistem yang terdiri atas ide, prinsip, dan proses sehingga keterkaitan antar aspek-aspek tersebut harus dibangun dengan penekanan bukan pada memori atau hapalan melainkan pada aspek penalaran atau intelegensi anak. Selanjutnya Reys dkk. (1998) menambahkan bahwa matematika itu haruslah make sense. Jika matematika disajikan kepada anak dengan cara yang demikian, maka konsep yang dipelajari menjadi punya arti; dipahami sebagai suatu disiplin yang terurut, terstruktur, dan memiliki keterkaitan satu dengan lainnya; serta diperoleh melalui proses pemecahan masalah yang bervariasi. Dalam NCTM Standards (1989) belajar bermakna merupakan landasan utama untuk terbentuknya mathematical connections. Untuk terbentuknya kemampuan koneksi matematik tersebut, dalam NCTM Standards (2000) dijelaskan bahwa pembelajaran matematika harus diarahkan pada pengembangan kemampuan berikut: (1) memperhatikan serta menggunakan koneksi matematik antar berbagai ide matematik, (2) memahami bagaimana ide-ide matematik saling terkait satu dengan lainnya sehingga terbangun pemahaman menyeluruh, dan (3) memperhatikan serta menggunakan matematika dalam konteks di luar matematika. Selain Brownell, ahli-ahli lain seperti Piaget, Bruner, dan Dienes memiliki kontribusi yang signifikan terhadap perkembangan teori konstruktivis. Berdasarkan teori ini, pengetahuan matematik dibentuk melalui tiga prinsip dasar berikut ini. 1. 2.
1
Pengetahuan tidak diterima secara pasif. Pengetahuan dibentuk atau ditemukan secara aktif oleh anak. Seperti disarankan Piaget bahwa pengetahuan matematika sebaiknya dikonstruksi oleh anak sendiri bukan diberikan dalam bentuk jadi. Anak mengkonstruksi pengetahuan matematika baru melalui refleksi terhadap aksi-aksi yang dilakukan baik yang bersifat fisik maupun mental. Mereka melakukan observasi untuk menemukan keterkaitan dan pola, serta membentuk generalisasi dan abstraksi (Dienes, 1969, h.181).
Makalah disajikan pada Seminar Nasional Pendidikan Matematika di UNP, 9 Oktober 2010 1
3.
Bruner (dalam Reys dkk., 1998, h. 19) berpandangan bahwa belajar, merefleksikan suatu proses sosial yang di dalamnya anak terlibat dalam dialog dan diskusi baik dengan diri mereka sendiri maupun orang lain termasuk guru sehingga mereka berkembang secara intelektual. Prinsip ini pada dasarnya menyarankan bahwa anak sebaiknya tidak hanya terlibat dalam manipulasi material, pencarian pola, penemuan algoritma, dan menghasilkan solusi yang berbeda, akan tetapi juga dalam mengkomunikasikan hasil observasi mereka, membicarakan adanya keterkaitan, menjelaskan prosedur yang mereka gunakan, serta memberikan argumentasi atas hasil yang mereka peroleh. Jelaslah bahwa prinsip-prinsip di atas memiliki implikasi yang signifikan terhadap pembelajaran matematika. Prinsip-prinsip tersebut juga mengindikasikan bahwa pembelajaran berdasarkan pandangan konstruktivisme merupakan proses yang memerlukan waktu serta merefleksikan adanya sejumlah tahapan perkembangan dalam memahami konsep-konsep matematika. Menurut Vygotsky (dalam John dan Thornton, 1993), proses peningkatan pemahaman pada diri siswa terjadi sebagai akibat adanya pembelajaran. Diskusi yang dilakukan antara gurusiswa dalam pembelajaran, mengilustrasikan bahwa interaksi sosial yang berupa diskusi ternyata mampu memberikan kesempatan pada siswa untuk mengoptimalkan proses belajarnya. Interaksi seperti itu memungkinkan guru dan siswa untuk berbagi dan memodifikasi cara berfikir masingmasing. Selain itu terdapat juga kemungkinan bagi sebagian siswa untuk menampilkan argumentasi mereka sendiri serta bagi siswa lainnya memperoleh kesempatan untuk mencoba menangkap pola berfikir siswa lainnya. Episode seperti ini, diyakini akan dapat meningkatkan pengetahuan serta pemahaman tentang obyek yang dipelajari dari tahap sebelumnya ke tahapan yang lebih tinggi. Proses yang mampu menjembatani siswa pada tahapan belajar yang lebih tinggi seperti ini menurut Vygotsky (1978) disebut sebagai zone of proximal development (ZPD). Menurut Vygotsky, belajar dapat membangkitkan berbagai proses mental tersimpan yang hanya bisa dioperasikan manakala seseorang berinteraksi dengan orang dewasa atau berkolaborasi dengan sesama teman. Pengembangan kemampuan yang diperoleh melalui proses belajar sendiri (tanpa bantuan orang lain) pada saat melakukan pemecahan masalah disebut sebagai actual development, sedangkan perkembangan yang terjadi sebagai akibat adanya interaksi dengan guru atau siswa lain yang mempunyai kemampuan lebih tinggi disebut potential development. Zone of proximal development selanjutnya diartikan sebagai jarak antara actual development dan potential development. Vygotsky (dalam John dan Thornton, 1993) selanjutnya menjelaskan bahwa proses belajar terjadi pada dua tahap: tahap pertama terjadi pada saat berkolaborasi dengan orang lain, dan tahap berikutnya dilakukan secara individual yang di dalamnya terjadi proses internalisasi. Selama proses interaksi terjadi baik antara guru-siswa maupun antar siswa, kemampuan berikut ini perlu dikembangkan: saling menghargai, menguji kebenaran pernyataan fihak lain, bernegosiasi, dan saling mengadopsi pendapat yang berkembang. Selain adanya tahapan perkembangan dalam memahami konsep-konsep matematika, terdapat juga tahapan perkembangan dalam kaitannya dengan intelektual atau kognitif anak seperti yang dikemukakan oleh Piaget, Bruner, dan Dienes. Sekalipun tahapan perkembangan yang dikemukakan oleh mereka masing-masing berbeda, akan tetapi kerangka dasar yang dikemukakan ketiganya pada prinsipnya adalah sama. Menurut Piaget perkembangan intelektual anak mencakup empat tahapan yaitu sensori motor, preoperasi, operasi kongkrit, dan operasi formal. Selain itu, Piaget (dalam Bell, 1978) juga menyatakan bahwa perkembangan intelektual anak merupakan suatu proses asimilasi dan akomodasi informasi ke dalam struktur mental. Asimilasi adalah suatu proses dimana informasi atau pengalaman yang diperoleh seseorang masuk ke dalam struktur mentalnya, sedangkan akomodasi adalah terjadinya restrukturisasi dalam otak sebagai akibat adanya informasi atau pengalaman baru. Piaget selanjutnya menjelaskan bahwa perkembangan mental seseorang dapat dipengaruhi oleh beberapa faktor yakni kematangan, pengalaman fisik, pengalaman matematis-logis, transmisi sosial (interaksi sosial), dan keseimbangan. Bruner mengemukakan bahwa perkembangan intelektual anak itu mencakup tiga tahapan yaitu enaktif, ikonik, dan simbolik. Pada tahap enaktif, anak biasanya sudah bisa melakukan manipulasi, konstruksi, serta penyusunan dengan memanfaatkan benda-benda kongkrit. Pada tahap ikonik, anak sudah mampu berfikir representatif yakni dengan menggunakan gambar atau turus. Pada tahap ini mereka sudah bisa berfikir verbal yang didasarkan pada representasi bendabenda kongkrit. Selanjutnya pada tahap simbolik, anak sudah memiliki kemampuan untuk berfikir atau melakukan manipulasi dengan menggunakan simbol-simbol. 2
Sementara itu Dienes berpandangan bahwa belajar matematika itu mencakup lima tahapan yaitu bermain bebas, generalisasi, representasi, simbolisasi, dan formalisasi. Pada tahap bermain bebas anak biasanya berinteraksi langsung dengan benda-benda kongkrit sebagai bagian dari aktivitas belajarnya. Pada tahap berikutnya, generalisasi, anak sudah memiliki kemampuan untuk mengobservasi pola, keteraturan, dan sifat yang dimiliki bersama. Pada tahap representasi, anak memiliki kemampuan untuk melakukan proses berfikir dengan menggunakan representasi obyek-obyek tertentu dalam bentuk gambar atau turus. Tahap simbolisasi, adalah suatu tahapan dimana anak sudah memiliki kemampuan untuk menggunakan simbol-simbol matematik dalam proses berfikirnya. Sedangkan tahap formalisasi, adalah suatu tahap dimana anak sudah memiliki kemampuan untuk memandang matematika sebagai suatu sistem yang terstruktur. Berdasarkan pandangan yang dikemukakan oleh Piaget, Bruner, dan Dienes di atas, dapat diperoleh hal-hal berikut ini. 1. Anak dapat secara aktif terlibat dalam proses belajar dan kesempatan untuk mengemukakan ide-ide mereka merupakan hal yang sangat esensial dalam proses tersebut. 2. Terdapat sejumlah karakteristik dan tahapan berfikir yang teridentifikasi dan dapat dipastikan bahwa anak melalui tahapan-tahapan tersebut. 3. Belajar bergerak dari tahapan yang bersifat kongkrit ke tahapan lain yang lebih abstrak. 4. Kemampuan untuk menggunakan simbol serta representasi formal secara alamiah berkembang mulai dari tahapan yang lebih kongkrit. Pengajaran yang efektif antara lain ditandai dengan keberhasilan anak dalam belajar. Dengan demikian untuk berhasilnya pengajaran matematika, pertimbangan-pertimbangan tentang bagaimana anak belajar merupakan langkah awal yang harus diperhatikan. Dalam upaya untuk melakukan hal tersebut, diperlukan beberapa prinsip dasar seperti yang akan dibahas di bawah ini. Prinsip-prinsip tersebut merupakan implikasi dari teori belajar yang telah dikemukakan sebelumnya. Siswa Terlibat Secara Aktif Prinsip ini berlandaskan pada pandangan bahwa keterlibatan anak secara aktif dalam suatu aktivitas belajar memungkinkan mereka memperoleh pengalaman yang mendalam tentang bahan yang dipelajari, dan pada ahirnya akan mampu meningkatkan pemahaman anak tentang bahan tersebut. Sebagaimana pepatah cina yang menyatakan bahwa ”Saya mendengar dan saya lupa; saya melihat dan saya ingat; serta saya mencoba dan saya mengerti”, mengisyaratkan bahwa keterlibatan secara aktif merupakan hal yang sangat penting dalam membangun pemahaman tentang sesuatu yang dipelajari. Keterlibatan siswa secara aktif bentuknya bisa secara fisik, dan yang lebih penting lagi secara mental. Bentuk-bentuk aktivitasnya antara lain bisa berupa interaksi siswa-siswa atau siswa-guru, memanipulasi benda-benda kongkrit seperti alat peraga, dan menggunakan bahan ajar tertentu seperti buku dan alat-alat teknologi. Memperhatikan Pengetahuan Awal Siswa Karena sifat matematika yang merupakan suatu struktur yang terorganisasikan dengan baik, maka pengetahuan prasyarat siswa merupakan hal penting yang harus diperhatikan dalam proses pembelajaran matematika. Pendekatan spiral yang dikembangkan dalam pengajaran matematika, merupakan langkah tepat untuk memberi kesempatan kepada anak mengembangkan pengetahuannya secara bertahap baik horizontal maupun vertikal. Dengan memperhatikan pengetahuan awal siswa, guru diharapkan mampu menyusun strategi pembelajaran lebih tepat yang meliputi penyiapan bahan ajar, penyusunan langkah-langkah pembelajaran, serta penyiapan alat evaluasi yang sesuai. Mengembangkan Kemampuan Komunikasi Siswa Salah satu syarat untuk berkembangnya kemampuan interaksi antara satu individu dengan individu lainnya adalah berkembangnya kemampuan komunikasi. Beberapa hal yang bisa dilakukan untuk mengembangkan kemampuan tersebut antara lain adalah memberikan kesempatan kepada siswa untuk menjelaskan dan berargumentasi secara lisan atau tertulis, mengajukan atau menjawab pertanyaan, dan berdiskusi baik dalam kelompok kecil maupun kelas.
3
Mengembangkan Kemampuan Metakognisi Siswa Metakognisi adalah suatu istilah yang berkaitan dengan apa yang diketahui seseorang tentang kognisinya dan bagaimana dia mengontrol serta menyesuaikan prilakunya. Selain itu, metakognisi juga merupakan bentuk kemampuan untuk melihat pada diri sendiri sehingga apa yang dia lakukan dapat terkontrol secara optimal. Dengan kemampuan seperti ini maka siswa dimungkinkan mengembangkan kemampuannya secara optimal dalam belajar matematika, karena dalam setiap langkah yang dia kerjakan senantiasa muncul pertanyaan seperti: “Apa yang saya kerjakan?”, “Mengapa saya mengerjakan ini?”, “Hal apa yang bisa membantu saya menyelesaikan masalah ini?” Mengembangkan Lingkungan Belajar yang Sesuai Lingkungan belajar hendaknya diciptakan sesuai dengan kebutuhan siswa dalam belajar. Terciptanya lingkungan belajar yang baik dapat membantu siswa dalam mencapai perkembangan potensialnya seperti yang dikemukakan oleh Vygotsky. Selain beberapa prinsip di atas, berdasarkan teori Vygotsky, diperoleh tiga hal utama yang berkaitan dengan pembelajaran yakni: (1) pembelajaran efektif mengarah pada perkembangan, (2) pembelajaran efektif akan berhasil dikembangkan melalui setting pemecahan masalah, dan (3) pembelajaran efektif berfokus pada upaya membantu siswa untuk mencapai potential development mereka. Untuk mencapai pembelajaran efektif tersebut maka beberapa saran berikut nampaknya penting untuk diperhatikan: (1) tingkatkan sensitivitas bahwa siswa terlibat secara aktif dalam setting belajar yang dikembangkan, (2) ciptakan problem solving interaktif yang mengarah pada proses belajar, (3) sajikan soal-soal yang bersifat menantang, (4) gunakan on-going assessment untuk memonitor pembelajaran, (5) ciptakan kesempatan bagi siswa untuk menampilkan kemampuan berfikir tingkat tingginya, (6) beri dorongan serta kesempatan pada siswa untuk menampilkan berbagai solusi serta strategi berbeda pada penyelesaian suatu masalah, (7) tingkatkan komunikasi, yakni dengan mendorong siswa untuk memberikan penjelasan serta jastifikasi pemikiran mereka, (8) gunakan berbagai variasi strategi mengajar dan belajar, dan (9) upayakan untuk menelusuri hal-hal yang belum diketahui siswa sehingga guru mampu membantu proses peningkatan potensial mereka. Dalam kajiannya tentang implikasi pandangan konstruktivisme untuk pencapaian hasil belajar dalam matematika, Burton (1992) mengajukan suatu model pengimplementasian kurikulum yang memuat tiga dimensi yakni dimensi silabi, pedagogi, dan evaluasi. Dalam model ini, silabi dimaknai sebagai sesuatu yang diharapkan tercapai oleh kurikulum, pedagogi adalah cara yang digunakan dalam proses pembelajaran, sedangkan evaluasi adalah rangkaian strategi yang digunakan guru, siswa, atau fihak lain untuk mengetahui sejauh mana hasil belajar yang sudah dicapai. Akar epistimologis dari interpretasi konstruktivis terhadap pembelajaran matematika, juga merupakan hal yang sangat penting dalam pengembangan model pembelajaran matematika. Dalam hal ini, Barbin (1992) mengemukakan bahwa terdapat dua kemungkinan konsepsi yang bisa muncul yakni pengetahuan matematika dipandang sebagai produk dan proses. Dalam konsepsi pertama, matematika dipandang sebagai suatu sistem yang sudah baku dan siap pakai, sedangkan konsepsi kedua lebih menitik beratkan pada matematika sebagai suatu aktivitas (mathematical activity). Pembelajaran matematika dalam interpretasi konstruktivis lebih cocok dengan konsepsi yang kedua. Proses terbentuknya pengetahuan baru (khususnya dalam matematika) diyakini sebagai hasil dari suatu rangkaian proses yang diperkenalkan Dubinsky sebagai Action-Process-ObjectSchema (APOS). Object yang telah tersimpan dalam memori seseorang sebagai pengetahuan akan diproses manakala terjadi action yang diakibatkan adanya stimulus tertentu. Proses ini dijelaskan oleh Tall (1999) melalui diagram seperti di bawah ini.
4
APOS Theory adalah sebuah teori konstruktivis tentang bagaimana seseorang belajar suatu konsep matematika. Teori tersebut pada dasarnya berlandaskan pada hipotesis tentang hakekat pengetahuan matematik (mathematical knowledge) dan bagaimana pengetahuan tersebut berkembang. Pandangan teoritik tersebut dikemukakan oleh Dubinsky (2001, h.11) yang menyatakan, An individual's mathematical knowledge is her or his tendency to respond to perceived mathematical problem situations by reflecting on problems and their solutions in a social context and by constructing mathematical actions, processes, and objects and organizing these in schemas to use in dealing with the situations. Istilah-istilah aksi (action), proses (process), obyek (object), dan skema (Schema) pada hakekatnya merupakan suatu konstruksi mental seseorang dalam upaya memahami sebuah ide matematik. Menurut teori tersebut, manakala seseorang berusaha memahami suatu ide matematik maka prosesnya akan dimulai dari suatu aksi mental terhadap ide matematik tersebut, dan pada ahirnya akan sampai pada konstruksi suatu skema tentang konsep matematik tertentu yang tercakup dalam masalah yang diberikan. Aksi adalah suatu transformasi obyek-obyek mental untuk memperoleh obyek mental lainnya. Hal tersebut dialami oleh seseorang pada saat menghadapi suatu permasalahan serta berusaha menghubungkannya dengan pengetahuan yang telah dimiliki sebelumnya. Seseorang dikatakan mengalami suatu aksi, apabila orang tersebut memfokuskan proses mentalnya pada upaya untuk memahami suatu konsep yang diberikan. Seseorang yang memiliki pemahaman lebih mendalam tentang suatu konsep, mungkin akan melakukan aksi yang lebih baik atau bisa juga terjadi bahwa fokus perhatiannya keluar dari konsep yang diberikan sehingga aksi yang diharapkan tidak terjadi. Ketika suatu aksi diulangi, dan kemudian terjadi refleksi atas aksi yang dilakukan, maka selanjutnya akan masuk ke dalam fase proses. Berbeda dengan aksi, yang mungkin terjadi melalui bantuan manipulasi benda atau sesuatu yang bersifat kongkrit, proses terjadi secara internal di bawah kontrol individu yang melakukannya. Seseorang dikatakan mengalami suatu proses tentang sebuah konsep yang tercakup dalam masalah yang dihadapi, apabila berpikirnya terbatas pada ide matematik yang dihadapi serta ditandai dengan munculnya kemampuan untuk membicarakan (to describe) atau melakukan refleksi atas ide matematik tersebut. Proses-proses baru dapat dikonstruksi dari proses lainnya melalui suatu koordinasi serta pengaitan antar proses. Jika seseorang melakukan refleksi atas operasi yang digunakan dalam proses tertentu, menjadi sadar tentang proses tersebut sebagai suatu totalitas, menyadari bahwa transformasitransformasi tertentu dapat berlaku pada proses tersebut, serta mampu untuk melakukan transformasi yang dimaksud, maka dapat dinyatakan bahwa individu tersebut telah melakukan konstruksi proses menjadi sebuah obyek kognitif. Dalam hal ini dapat dinyatakan bahwa prosesproses yang dilakukan telah terangkum (encapsulated) menjadi sebuah obyek kognitif. Seseorang dapat dikatakan telah memiliki sebuah konsepsi obyek dari suatu konsep matematik manakala dia telah mampu memperlakukan ide atau konsep tersebut sebagai sebuah obyek kognitif yang mencakup kemampuan untuk melakukan aksi atas obyek tersebut serta memberikan alasan atau penjelasan tentang sifat-sifatnya. Selain itu, individu tersebut juga telah mampu melakukan penguraian kembali (de-encapsulate) suatu obyek menjadi proses sebagaimana asalnya pada saat sifat-sifat dari obyek yang dimaksud akan digunakan. Sebuah skema dari suatu materi matematik tertentu adalah suatu koleksi aksi, proses, obyek, dan skema lainnya yang saling terhubung sehingga membentuk suatu kerangka kerja saling terkait di dalam pikiran atau otak seseorang. Untuk mendapatkan gambaran lebih jelas tentang penjelasan teori APOS di atas, berikut kita pandang sebuah konsep fungsi sebagai contoh. Seseorang yang belum mampu menginterpretasikan suatu situasi sebagai sebuah fungsi kecuali memiliki sebuah formula tunggal serta mampu menentukan nilai fungsi tersebut, dapat dinyatakan telah memiliki kemampuan untuk melakukan aksi atas fungsi tersebut. Dengan kata lain, individu tersebut telah memiliki suatu konsepsi aksi dari sebuah fungsi. Seseorang yang telah memiliki konsepsi proses tentang sebuah fungsi, berarti telah mampu berpikir tentang masukan yang bisa diterima, memanipulasi masukan tersebut dengan cara-cara tertentu, serta mampu menghasilkan keluaran yang sesuai. Selain itu, pemilikan konsepsi proses juga bisa meliputi kemampuan untuk menentukan balikan atau komposisi fungsi-fungsi yang diberikan. Indikator bahwa seseorang telah memiliki konsepsi obyek
5
suatu fungsi adalah telah mampu membentuk sekumpulan fungsi serta mampu melakukan operasioperasi pada fungsi-fungsi tersebut. Sementara indikator bahwa seseorang telah memiliki suatu skema tentang konsep fungsi, adalah mencakup kemampuan untuk mengkonstruksi contoh-contoh fungsi sesuai dengan persyaratan yang diberikan. Kalau proses pembentukan schema disepakati seperti uraian di atas, maka langkah selanjutnya adalah bagaimana proses pembelajaran berpikir matematik harus dilakukan sehingga diperoleh hasil yang lebih optimal. Salah satu landasan yang dapat digunakan untuk mencapai tujuan tersebut antara lain adalah teori Zone of Proximal Development (ZPD) dari Vygotsky seperti yang sudah dikemukakan sebelumnya. B. Pembelajaran Matematika dari Sudut Pandang Teori Didaktis Pembelajaran matematika pada dasarnya berkaitan dengan tiga hal yaitu Guru, Siswa, dan Matematika. Matematika yang dipahami secara tekstual dari bahan-bahan ajar tertulis seperti buku atau jurnal dapat kehilangan makna proses (doing math) serta konteks. Dengan demikian, jika pembelajaran hanya didasarkan atas pemahaman tekstual akan menghasilkan proses belajar matematika bersifat miskin makna dan konteks, serta proses belajar berorientasi hasil yang menyebabkan siswa belajar secara pasif. Kalau kita perhatikan serta telusuri bagaimana seorang matematikawan berproses sehingga menghasilkan bahan tertulis yang disajikan melalui buku atau jurnal, maka sajian matematika tersebut sebenarnya sudah berbentuk sangat sederhana dan ringkas sehingga memungkinkan pembaca dapat memahaminya dengan lebih mudah. Akan tetapi, tulisan sederhana tersebut sebenarnya sudah merupakan sintesis dari hasil eksplorasi panjang yang kadang-kadang menghabiskan waktu lama, sekian hari, sekian bulan, atau bahkan sekian tahun. Ketika hasil eksplorasi tersebut disajikan secara tertulis, maka sejumlah pengalaman panjang dan kompleks dari penulisnya tidak pernah secara eksplisit terlihat dalam tulisan. Hal ini disebabkan karena bahan matematika terlulis sebenarnya sudah mengalami proses dekontekstualisasi dan depersonalisasi. Jadi ada pengalaman personal serta konteks yang dihilangkan atau direduksi termasuk sejumlah kegagalan yang seringkali dialami para matematikawan sekalipun. Jika seorang guru atau dosen merencanakan pembelajaran matematika hanya berdasarkan pemahaman tekstual, maka proses untuk memperoleh pemahaman tersebut biasanya bisa dilakukan dalam waktu singkat. Apabila waktu yang diperlukan guru untuk memahami bahan ajar tertulis hanya setengah jam, maka proses pembelajaran di kelaspun biasanya tidak akan terlalu jauh berbeda sehingga siswa atau mahasiswa dapat mencapai pemahaman dalam waktu relatif cepat. Gambaran ini menunjukkan bahwa dalam proses belajar matematika seperti itu ada proses yang hilang sebagaimana proses yang dialami matematikawan yang menjadi pengembang konsep atau penulis buku tersebut. Untuk mampu memperoleh makna sebagaimana yang pernah dialami penulisnya, maka guru tidaklah cukup hanya mencapai pemahaman secara tekstual melainkan harus dilakukan melalui proses repersonalisasi dan rekontekstualisasi. Berbagai pengalaman yang diperoleh melalui proses tersebut akan menjadi bahan berharga bagi guru pada saat berusaha membantu kesulitan belajar yang dialami siswa yang kadang-kadang kesulitan tersebut sama persis dengan pengalaman yang pernah dialaminya pada saat melakukan proses repersonalisasi. Selanjutnya, bagaimana dengan proses belajar yang idealnya dialami siswa. Proses yang dilalkukan siswa pada saat belajar matematika pada hakekatnya sama dengan yang dilakukan para matematikawan. Perbedaannya, siswa tidak berproses untuk menemukan sesuatu yang betul-betul baru melainkan hanya melakukan redepersonalisasi dan redekontekstualisasi. Proses berpikir guru dalam konteks pembelajaran terjadi pada tiga fase yaitu sebelum pembelajaran, pada saat pembelajaran berlangsung, dan setelah pembelajaran. Kecenderungan proses berpikir sebelum pembelajaran yang lebih berorientasi pada penjabaran tujuan berdampak pada proses penyiapan bahan ajar serta minimnya antisipasi terutama yang bersifat didaktis. Penyiapan bahan ajar pada umumnya hanya didasarkan pada model sajian yang tersedia dalam buku-buku acuan tanpa melalui proses rekontekstualisasi dan repersonalisasi. Padahal, sajian materi matematika dalam buku acuan, baik berupa uraian konsep, pembuktian, atau penyelesaian contoh masalah, sebenarnya merupakan sintesis dari suatu proses panjang yang berakhir pada proses dekontekstualisasi dan depersonalisasi sebagaimana sudah dijelaskan di atas. Selain itu, proses belajar matematika yang cenderung diarahkan pada berpikir imitatif, berdampak pada kurangnya antisipasi didaktis yang tercermin dalam persiapan yang dilakukan guru. Rencana pembelajaran biasanya kurang mempertimbangkan keragaman respon siswa atas situasi didaktis 6
yang dikembangkan sehingga rangkaian situasi didaktis yang dikembangkan berikutnya kemungkinan besar tidak lagi sesuai dengan keragaman lintasan belajar (learning trajectory) masing-masing siswa. Lebih jauh, proses belajar matematika yang idealnya dikembangkan mengarah pada proses re-dekontekstualisasi dan re-depersonalisasi belum menjadi pertimbangan utama bagi para guru di lapangan. Kurangnya antisipasi didaktis yang tercermin dalam perencanaan pembelajaran, dapat berdampak kurang optimalnya proses belajar bagi masing-masing siswa. Hal tersebut antara lain disebabkan sebagian respon siswa atas situasi didaktik yang dikembangkan di luar jangkauan pemikiran guru atau tidak tereksplorasi sehingga kesulitan belajar yang muncul beragam tidak direspon guru secara tepat atau tidak direspon sama sekali yang akibatnya proses belajar bisa tidak terjadi. Salah satu upaya guru untuk meningkatkan kualitas pembelajaran adalah melalui refleksi tentang keterkaitan rancangan dan proses pembelajaran yang sudah dilakukan. Jika pembelajaran yang dikembangkan lebih berorientasi pada pencapaian tujuan, maka substansi refleksi cenderung berorientasi pada hal tersebut, sehingga permasalahan terkait keragaman proses, hambatan, dan lintasan belajar siswa bisa jadi bukan merupakan substansi utama dari refleksi tersebut. Dengan demikian, alternatif situasi didaktis dan pedagogis yang ditawarkan untuk perbaikan belum tentu merupakan hal yang sesuai dengan kebutuhan belajar siswa. Berdasarkan permasalahan-permasalahan terkait proses berpikir guru dalam ketiga fase tersebut, pada tulisan ini akan diformulasikan sebuah metodologi penelitian disain didaktis dalam pengembangan pembelajaran matematika. Tulisan akan diawali uraian tentang proses berpikir dalam pelaksanaan pembelajaran yang kemudian akan disebut sebagai analisis metapedadidaktik. Berdasarkan uraian ini selanjutnya akan diformulasikan langkah-langkah dasar dari Penelitian Disain Didaktis atau Didactical Design Research (DDR). Metapedadidaktik Berdasarkan hasil penelitian Suryadi (2005) tentang pengembangan berpikir matematis tingkat tinggi melalui pendekatan tidak langsung, terdapat dua hal mendasar yang perlu pengkajian serta penelitian lebih lanjut dan mendalam yaitu hubungan siswa-materi dan hubungan guru-siswa. Dalam penelitian tersebut ditemukan bahwa untuk mendorong terjadinya suatu aksi mental, proses pembelajaran harus diawali sajian masalah yang memuat tantangan bagi siswa untuk berpikir. Masalah tersebut dapat berkaitan dengan penemuan konsep, prosedur, strategi penyelesaian masalah, atau aturan-aturan dalam matematika. Jika aksi mental yang diharapkan tidak terjadi, yakni ditandai oleh ketidakmampuan siswa menjelaskan keterkaitan antar obyek mental yang berhubungan dengan masalah yang dihadapi, maka guru dapat melakukan intervensi tidak langsung melalui penerapan teknik scaffolding (tindakan didaktis) serta dorongan untuk terjadinya interaksi antar siswa (tindakan pedagogis). Dalam penelitian tersebut, aspek-aspek mendasar sekitar proses pembentukan obyek mental baru belum dikaji secara lebih mendalam dari sudut pandang teori situasi didaktis sebagaimana yang dikemukakan Brousseau (1997). Menurut teori ini, tindakan didaktis seorang guru dalam proses pembelajaran akan menciptakan sebuah situasi yang dapat menjadi titik awal bagi terjadinya proses belajar. Walaupun situasi yang tersedia tidak serta merta menciptakan proses belajar, akan tetapi dengan suatu pengkondisian misalnya melalui teknik scaffolding, proses tersebut sangat mungkin bisa terjadi. Jika proses belajar terjadi, maka akan muncul situasi baru yang diakibatkan aksi siswa sebagai respon atas situasi sebelumnya. Situasi baru yang terjadi bisa bersifat tunggal atau beragam tergantung dari milieu atau seting aktivitas belajar yang dirancang guru. Semakin beragam milieu yang terbentuk, maka akan semakin beragam pula situasi yang terjadi sehingga proses pembelajaran menjadi sangat kompleks. Kompleksitas situasi didaktis sangat potensial untuk menciptakan interaktivitas antar individu dalam suatu milieu atau antar milieu. Interaktivitas tersebut pada dasarnya merupakan hal yang baik, akan tetapi perlu diingat bahwa tidak setiap interaksi dapat memunculkan collaborative learning yang mampu menjamin terjadinya lompatan belajar. Selain itu, perlu diingat pula bahwa dalam setiap situasi didaktis serta interaktivitas yang menyertainya akan muncul proses coding dan decoding yang tidak tertutup kemungkinan bisa menyebabkan terjadinya distorsi informasi. Hal ini tentu saja akan menjadi masalah sangat serius dalam proses belajar selanjutnya dan secara psikologis bisa menjadi penyebab terjadinya prustasi pada diri siswa atau mereka menjadi tidak fokus dalam belajar. Dengan demikian, permasalahan yang muncul di luar situasi didaktis yakni 7
yang terkait dengan hubungan guru-siswa merupakan hal yang tidak kalah pentingnya untuk dikaji sehingga kualitas pembelajaran matematika dapat senantiasa ditingkatkan. Situasi yang tetkait dengan hubungan guru-siswa selanjutnya akan disebut sebagai situasi pedagogis (pedagogical situation). Dua aspek mendasar dalam proses pembelajaran matematika sebagaimana dikemukakan di atas yaitu hubungan siswa-materi dan hubungan guru-siswa, ternyata dapat menciptakan suatu situasi didaktis maupun pedagogis yang tidak sederhana bahkan seringkali terjadi sangat kompleks. Hubungan Guru-Siswa-Materi digambarkan oleh Kansanen (2003) sebagai sebuah Segitiga Didaktik yang menggambarkan hubungan didaktis (HD) antara siswa dan materi, serta hubungan pedagogis (HP) antara guru dan siswa. Ilustrasi segitiga didaktik dari Kansanen tersebut belum memuat hubungan guru-materi dalam konteks pembelajaran. Dalam pandangan penulis, hubungan didaktis dan pedagogis tidak bisa dipandang secara parsial melainkan perlu dipahami secara utuh karena pada kenyataannya kedua hubungan tersebut dapat terjadi secara bersamaan. Dengan demikian, seorang guru pada saat merancang sebuah situasi didaktis, sekaligus juga perlu memikirkan prediksi respons siswa atas situasi tersebut serta antisipasinya sehingga tercipta situasi didaktis baru. Antisipasi tersebut tidak hanya menyangkut hubungan siswa-materi, akan tetapi juga hubungan guru-siswa baik secara individu maupun kelompok atau kelas. Atas dasar hal tersebut, maka pada segitiga didaktis Kansanen perlu ditambahkan suatu hubungan antisipatif guru-materi yang selanjutnya bisa disebut sebagai Antisipasi Didaktis dan Pedagogis (ADP) sebagaimana diilustrasikan pada gambar segitiga didaktis Kansanen yang dimodifikasi berikut ini (Gambar1).
Gambar 1. Segitiga Didaktis yang Dimodifikasi Peran guru paling utama dalam konteks segitiga didaktis ini adalah menciptakan suatu situasi didaktis (didactical situation) sehingga terjadi proses belajar dalam diri siswa (learning stituation). Ini berarti bahwa seorang guru selain perlu menguasai materi ajar, juga perlu memiliki pengetahuan lain yang terkait dengan siswa serta mampu menciptakan situasi didaktis yang dapat mendorong proses belajar secara optimal. Dengan kata lain, seorang guru perlu memiliki kemampuan untuk menciptakan relasi didaktis (didactical relation) antara siswa dan materi ajar sehingga tercipta suatu situasi didaktis ideal bagi siswa. Dalam suatu proses pembelajaran, seorang guru biasanya mengawali aktivitas dengan melakukan suatu aksi misalnya dalam bentuk menjelaskan suatu konsep, menyajikan permasalahan kontekstual, atau menyajikan suatu permainan matematik. Berdasarkan aksi tersebut selanjutnya terciptalah suatu situasi yang menjadi sumber informasi bagi siswa sehingga terjadi proses belajar. Dalam proses belajar ini siswa melakukan aksi atas situasi yang ada sehingga tercipta situasi baru yang selanjutnya akan menjadi sumber informasi bagi guru. Aksi lanjutan guru sebagai respon atas aksi siswa terhadap situasi didaktis sebelumnya, akan menciptakan situasi didaktis baru. Dengan demikian, situasi didaktis pada kenyataannya akan bersifat dinamis, senantiasa berubah dan berkembang sepanjang periode pembelajaran. Jika milieu tidak bersifat tunggal, maka dinamika situasi didaktis ini akan menciptakan situasi belajar yang kompleks sehingga guru perlu melakukan tindakan pedagogis untuk terciptanya situasi pedagogis yang mampu mensinergikan setiap potensi siswa. Untuk menggambarkan penjelasan di atas dalam situasi nyata, berikut akan diilustrasikan sebuah kasus pembelajaran matematika di SMP dengan materi ajar faktorisasi. Berdasarkan skenario yang dirancang guru, pembelajaran diawali sajian masalah sebagai berikut. Tersedia tiga gelas masing-masing berisi uang Rp. 1000,00 dan tiga gelas lainnya masing-masing berisi uang Rp. 8
5000,00. Siswa diminta menemukan sedikitnya tiga cara untuk menentukan nilai total uang yang ada dalam gelas. Untuk membantu proses berpikir siswa, guru menyajikan ilustrasi berupa gambar (Gambar 2) yang cukup terstruktur sehingga situasi didaktis yang dirancang mampu mendorong proses berpikir kearah yang diharapkan.
Gambar 2. Ilustrasi Masalah Pertama Dengan bantuan ilustrasi ini, guru memperkirakan akan ada tiga macam respon siswa yaitu: (1) 1000 + 1000 + 1000 + 5000 + 5000 + 5000, (2) 3 × 1000 + 3 × 5000, dan (3) 3(1000 + 5000) atau 3 × (6000). Walaupun ketiga macam respon yang diperkirakan ternyata semuanya muncul, akan tetapi siswa ternyata memiliki pikiran berbeda dengan perkiraan guru yaitu 6000 + 6000 + 6000 atau 3 × 6000. Prediksi yang diajukan guru tentu saja dipengaruhi materi yang diajarkan yaitu faktorisasi, sehingga dapat dipahami apabila respon yang diharapkan juga dikaitkan dengan konsep faktorisasi suku aljabar. Adanya distorsi antara hasil linguistic coding yang dilakukan guru dan decoding yang dilakukan siswa merupakan hal wajar dan seringkali terjadi. Dengan demikian, keberadaan respon siswa terahir, walaupun tidak terlalu relevan, tidak perlu dipandang sebagai masalah. Walaupun guru tetap menghargai setiap respon siswa termasuk yang kurang relevan bahkan mungkin salah, akan tetapi dia perlu memilih respon yang perlu ditindak lanjuti sehingga tercipta situasi didaktik baru. Pada kasus pembelajaran ini, guru mencoba memanfaatkan tiga macam respon sebagaimana yang diperkirakan semula. Melalui diskusi kelas, selanjutnya diajukan sejumlah pertanyaan sehingga siswa berusaha menjelaskan hubungan antara ketiga representasi matematis tersebut. Berdasarkan penjelasan yang dikemukakan siswa, faktor 3 pada representasi kedua diperoleh dari banyaknya angka 1000 dan 5000 yaitu masing-masing tiga buah. Karena masingmasing suku pada representasi kedua mengandung faktor yang sama yaitu 3, maka representasi tersebut dapat disederhanakan menjadi representasi ketiga. Hasil diskusi ini sekilas menunjukkan adanya pemahaman siswa mengenai konsep faktorisasi suku aljabar. Namun demikian, dari masalah serupa yang diajukan berikutnya oleh guru, ternyata masih ada sejumlah siswa yang masih menggunakan representasi pertama untuk memperoleh nilai total uang yang ada dalam gelas. Masalah tersebut adalah sebagai berikut. Tersedia dua gelas masing-masing berisi uang Rp. 1000,00 dan dua gelas lainnya masing-masing berisi uang Rp. 5000,00. Siswa diminta menemukan dua cara untuk menentukan nilai total uang yang ada dalam gelas. Seperti pada soal pertama, guru menyajikan ilustrasi (Gambar 3) yang serupa seperti gambar sebelumnya.
Gambar 3. Ilustrasi Masalah Kedua Melalui penyajian soal kedua ini, guru mengharapkan akan muncul dua macam representasi yaitu: (1) 2 × 1000 + 2 × 5000, dan (2) 2 × (1000 + 5000) atau 2 × 6000. Namun demikian, dari respon yang diberikan siswa ternyata tidak hanya kedua representasi tersebut yang muncul, akan tetapi masih ada sejumlah siswa yang menggunakan representasi pertama seperti pada soal sebelumnya untuk menentukan nilai total uang yang ada dalam gelas. Ini menunjukkan bahwa situasi didaktis yang dirancang guru tidak serta merta bisa membuat siswa belajar. Untuk membantu proses berpikir siswa agar lebih fokus pada penggunaan faktor suku aljabar sekaligus memperkenalkan konsep variabel, selanjutnya guru menyajikan soal berikut. Terdapat tiga buah gelas yang masing-masing berisi uang yang besarnya sama akan tetapi tidak 9
diketahui berapa besarnya. Selain itu, terdapat tiga buah gelas lainnya yang masing-masing berisi uang yang besarnya sama akan tetapi juga tidak diketahui berapa besarnya. Jika banyaknya uang pada kelompok gelas pertama dan kedua tidak sama, berapakah nilai total uang yang ada dalam enam gelas tersebut? Temukan tiga cara berbeda untuk menentukan nilai total uang yang ada dalam gelas. Untuk membantu proses berpikir siswa, guru menyediakan ilustrasi berupa gambar gelas yang tidak terlihat isinya disusun dalam dua kelompok (Gambar 4).
Gambar 4. Ilustrasi Masalah Ketiga Untuk soal ketiga ini, terdapat tiga kemungkinan yang diperkirakan guru akan muncul sebagai respon siswa yaitu: (1) x + x + x + y + y + y, (2) 3x + 3y, dan (3) 3(x + y). Dari respon siswa yang teramati, ternyata penggunaan variabel sebagaimana yang diperkiraan guru tidak langsung muncul. Respon yang muncul dari sebagian besar siswa adalah representasi model kedua tetapi tidak menggunakan variabel, melainkan dengan cara sebagai berikut: (1) 3 × banyaknya uang dalam gelas putih + 3 × banyaknya uang dalam gelas hitam. (2) 3
+3
Walaupun respon atas masalah terahir ini tidak sepenuhnya sesuai dengan prediksi guru, akan tetapi melalui diskusi kelas dengan cara: (1) mengaitkan respon terahir ini dengan representasi matematis yang diperoleh pada soal pertama dan kedua, dan (2) mempertanyakan kemungkinan penggantian kalimat panjang pada representasi pertama atau lambang gelas pada representasi kedua dengan huruf tertentu misalnya a, b, c atau x, y, z, maka pada akhirnya siswa bisa memahami bahwa solusi atas masalah yang diajukan bisa direpresentasikan sesuai dengan yang diharapkan guru. Setelah siswa diperkenalkan dengan konsep variabel, selanjutnya guru menyajikan soal keempat yaitu sebagai berikut. Terdapat a buah gelas yang masing-masing berisi uang sebesar x rupiah, dan terdapat a buah gelas yang masing-masing berisi uang sebesar y rupiah. Tentukan dua cara menghitung total nilai uang yang ada dalam seluruh gelas. Walaupun masih ada siswa yang belum memahami inti materi yang dipelajari melalui aktivitas belajar sebagaimana yang sudah dijelaskan, akan tetapi melalui interaktivitas yang diciptakan guru, pada ahirnya mereka bisa sampai pada representasi matematis yang diharapkan yaitu: (1) ax + ay dan (2) a(x + y). Dari kasus pembelajaran yang diuraikan di atas, terdapat beberapa hal penting yang perlu digaris bawahi terkait dengan situasi didaktis yang diciptakan guru. Pertama, aspek kejelasan masalah dilihat dari model sajian maupun keterkaitan dengan konsep yang diajarkan. Masalah yang dihadapkan kepada siswa disajikan dalam dua cara yaitu model kongkrit dengan memanfaatkan beberapa gelas dan uang, serta model ilustrasi berupa gambar terstruktur. Walaupun masih terdapat respon siswa yang kurang sesuai dengan prediksi guru, akan tetapi teknik scaffolding yang digunakan guru mampu mengubah situasi didaktis yang ada sehingga proses berpikir siswa menjadi lebih terarah. Model sajian bersifat kongkrit dan terstruktur ternyata cukup efektif dalam membantu proses berpikir siswa, sehingga respon mereka terhadap masalah yang diberikan pada umumnya muncul sesuai harapan guru. Pada sajian pertama guru nampaknya berusaha memperkenalkan konsep suku sejenis disertai proses penyederhanaan dengan memanfaatkan konsep faktor persekutuan terbesar. Proses tersebut lebih diperkuat lagi pada sajian masalah kedua yang lebih sederhana dengan harapan siswa bisa lebih fokus pada aspek faktorisasi suku aljabar. Kedua, aspek prediksi respon siswa atas setiap masalah yang disajikan. Prediksi respon siswa tersebut disajikan dalam skenario pembelajaran yang merupakan bagian dari rencana pembelajaran yang disiapkan guru. Prediksi tersebut merupakan bagian yang sangat penting dalam menciptakan situasi didaktis yang dinamis karena hal itu dapat digunakan guru sebagai kerangka 10
acuan untuk memudahkan dalam membantu proses berpikir siswa. Teknik scaffolding yang digunakan guru pada dasarnya merupakan upaya untuk membantu proses berpikir siswa dengan senantiasa berpegang pada kerangka acuan tersebut. Ketiga, aspek keterkaitan antar situasi didaktis yang tercipta pada setiap sajian masalah berbeda. Untuk menjaga konsistensi proses berpikir, guru menggunakan konteks yang sama secara konsisten, yakni menentukan total nilai uang yang ada dalam sejumlah gelas, pada setiap masalah mulai dari yang bersifat kongkrit sampai abstrak. Keterkaitan antar situasi didaktis tersebut juga berkenaan dengan konsep yang diperkenalkan yaitu faktorisasi suku aljabar melalui sajian variasi masalah dengan tingkat keabstrakan yang semakin meningkat. Aspek keterkaitan tersebut memiliki peran yang sangat penting dalam proses pengembangan obyek mental baru karena aksiaksi mental yang diperlukan dapat terjadi dengan baik sebagai akibat adanya konsistensi penggunaan konteks serta keterkaitan antar situasi didaktis yang dikembangkan. Keempat, aspek pengembangan intuisi matematis. Menurut pandangan ahli intuisi inferensial, intuisi dapat dimaknai sebagai suatu bentuk penalaran yang dipandu oleh adanya interaksi dengan lingkungan (Ben-Zeev dan Star, 2005). Walaupun penalaran tersebut lebih bersifat intuitif atau tidak formal, akan tetapi dalam situasi didaktis tertentu keberadaannya sangatlah diperlukan terutama untuk membantu terjadinya aktivitas mental mengarah pada pembentukan obyek mental baru. Dalam ilustrasi pembelajaran di atas, lingkungan belajar yang dikonstruksi dengan menggunakan benda-benda nyata serta ilustrasi ternyata sangat efektif menumbuhkan intuisi matematis siswa yang secara langsung memanfaatkan ilustrasi yang tersedia. Representasi informal yang diajukan siswa berdasarkan intuisi matematis yang dimiliki ternyata dapat menjadi landasan yang tepat untuk mengarahkan proses berpikir siswa pada representasi matematis lebih formal. Kasus pembelajaran di atas juga memberikan gambaran tentang situasi pedagogis yang dikembangkan guru. Dalam mengembangkan milieu sepanjang proses pembelajaran, guru senantiasa memberi kesempatan bagi siswa untuk mengawali aktivitas belajar secara individual. Interaktivitas yang dikembangkan guru lebih didasarkan atas kebutuhan siswa dalam mencapai tingkat perkembangan potensialnya yakni pada saat mereka menghadapi kesulitan. Hal ini antara lain dilakukan dengan mendorong siswa yang teridentifikasi mengalami kesulitan untuk bertanya kepada siswa lain yang sudah bisa atau sudah lebih paham tentang masalah yang dihadapi. Disadari bahwa terdapat potensi yang berbeda-beda pada setiap diri siswa, maka selama proses pembelajaran guru senantiasa berkeliling untuk mengidentifikasi potensi serta kesulitan yang dihadapi siswa sehingga pada proses selanjutnya hal tersebut dapat digunakan untuk menciptakan interaktivitas yang lebih sinergis. Ada beberapa catatan menarik berkenaan dengan situasi pedagogis yang dikembangkan dan perlu digaris bawahi. Pertama, seting kelas berbentuk U dengan siswa duduk secara berkelompok (empat atau tiga orang). Seting kelas seperti ini ternyata dapat menciptakan situasi pedagogis lebih kondusif karena mobilitas guru menjadi lebih mudah sehingga siswa dapat terakses secara lebih merata. Situasi seperti ini juga memudahkan siswa dalam melakukan interaksi baik dalam kelompok maupun antar kelompok. Kedua, aktivitas belajar yang dilakukan secara bervariasi yaitu individual, interaksi dalam kelompok, interaksi antar kelompok, dan aktivitas kelas. Hal ini memberikan kemungkinan bagi setiap siswa untuk melakukan proses belajar secara optimal sehingga hak belajar mereka menjadi lebih terjamin. Dalam situasi pedagogis seperti ini serta dorongan yang diberikan guru untuk melakukan interaksi sehingga collabotaive learning bisa terjadi baik dalam kelompok, antar kelompok, maupun melalui diskusi kelas yang dipimpin guru. Ketiga, kepedulian guru terhadap siswa. Kepedulian ini ditunjukkan antara lain melalui upaya kontak langsung dengan siswa baik secara individu maupun kelompok, memberikan kesempatan kepada siswa yang mengalami kesulitan untuk bertanya kepada siswa lain, dan memberi kesempatan kepada siswa untuk menjelaskan hasil pemikirannya kepada siswa lain dalam kelompok atau kelas. Proses belajar matematika pada hakekatnya dapat dipandang sebagai suatu proses pembentukan obyek-obyek mental baru yang didasarkan atas proses pengaitan antar obyek mental yang sudah dimiliki sebelumnya. Proses tersebut dipicu oleh ketersediaan materi ajar rancangan guru sehingga terjadi situasi didaktis yang memungkinkan siswa melakukan aksi-aksi mental tertentu. Adanya keragaman respon yang diberikan siswa atas situasi didaktis yang dihadapi, menuntut guru untuk melakukan tindakan didaktis melalui teknik scaffolding yang bervariasi sehingga tercipta beberapa situasi didaktis berbeda. Kompleksitas situasi didaktis, merupakan 11
tantangan tersendiri bagi guru untuk mampu menciptakan situasi pedagogis yang sesuai sehingga interaktivitas yang berkembang mampu mendukung proses pencapaian kemampuan potensial masing-masing siswa. Untuk menciptakan situasi didaktis maupun pedagogis yang sesuai, dalam menyusun rencana pembelajaran guru perlu memandang situasi pembelajaran secara utuh sebagai suatu obyek (Brousseau, 1997). Dengan demikian, berbagai kemungkinan respon siswa baik yang memerlukan tindakan didaktis maupun pedagogis, perlu diantisipasi sedemikian rupa sehingga dalam kenyataan proses pembelajaran dapat tercipta dinamika perubahan situasi didaktis maupun pedagogis sesuai kapasitas, kebutuhan, serta percepatan proses belajar siswa. Menyadari bahwa situasi didaktis dan pedagogis yang terjadi dalam suatu pembelajaran merupakan peristiwa yang sangat kompleks, maka guru perlu mengembangkan kemampuan untuk bisa memandang peristiwa tersebut secara komprehensif, mengidentifikasi dan menganalisis halhal penting yang terjadi, serta melakukan tindakan tepat sehingga tahapan pembelajaran berjalan lancar dan sebagai hasilnya siswa belajar secara optimal. Kemampuan yang perlu dimiliki guru tersebut selanjutnya akan disebut sebagai metapedadidaktik yang dapat diartikan sebagai kemampuan guru untuk: (1) memandang komponen-komponen segitiga didaktis yang dimodifikasi yaitu ADP, HD, dan HP sebagai suatu kesatuan yang utuh, (2) mengembangkan tindakan sehingga tercipta situasi didaktis dan pedagogis yang sesuai kebutuhan siswa, (3) mengidentifikasi serta menganalisis respon siswa sebagai akibat tindakan didaktis maupun pedagogis yang dilakukan, (4) melakukan tindakan didaktis dan pedagogis lanjutan berdasarkan hasil analisis respon siswa menuju pencapaian target pembelajaran. Karena metapedadidaktik ini terkait dengan suatu peristiwa pembelajaran, maka hal ini dapat digambarkan sebagai sebuah limas dengan titik puncaknya adalah guru yang memandang alas limas sebagai segitiga didaktis yang dimodifikasi (Gambar 5).
Gambar 5. Metapedadidaktik Dilihat dari Sisi ADP, HD, dan HP Metapedadidaktik meliputi tiga komponen yang terintegrasi yaitu kesatuan, fleksibilitas, dan koherensi. Komponen kesatuan berkenaan dengan kemampuan guru untuk memandang sisisisi segitiga didaktis yang dimodifikasi sebagai sesuatu yang utuh dan saling berkaitan erat. Sebelum peristiwa pembelajaran terjadi, guru tentu melakukan proses berpikir tentang skenario pembelajaran yang akan dilaksanakan. Hal terpenting yang dilakukan dalam proses tersebut adalah berkaitan dengan prediksi respon siswa sebagai akibat tindakan didaktis maupun pedagogis yang akan dilakukan. Berdasarkan prediksi tersebut selanjutnya guru juga berpikir tentang antisipasi atas berbagai kemungkinan yang akan terjadi, yakni, bagaimana jika respon siswa sesuai dengan prediksi guru, bagaimana jika hanya sebagian yang diprediksikan saja yang muncul, dan bagaimana pula jika apa yang diprediksikan ternyata tidak terjadi. Semua kemungkinan ini tentu harus sudah terpikirkan oleh guru sebelum peristiwa pembelajaran terjadi. Dalam suatu peristiwa pembelajaran, guru tentu saja akan memulai aktivitas sesuai skenario yang memuat antisipasi didaktis dan pedagogis. Pada saat guru menciptakan sebuah situasi didaktis, terdapat tiga kemungkinan yang bisa terjadi terkait respon siswa atas situasi tersebut yaitu seluruhnya sesuai prediksi guru, sebagian sesuai prediksi, atau tidak ada satupun yang sesuai prediksi. Walaupun secara keseluruhan hanya ada tiga kemungkinan seperti itu, akan tetapi pada kenyataannya respon siswa tersebut tidak mungkin muncul seragam untuk setiap siswa. Artinya apabila respon siswa seluruhnya sesuai dengan prediksi guru, bukan berarti setiap siswa memberikan respon yang sama melainkan secara akumulasi respon yang diberikan siswa sesuai prediksi. Dengan kata lain, jika dilihat dari sisi siswanya, maka akan ada siswa yang memberikan respon sesuai prediksi, ada siswa yang sebagian responnya sesuai prediksi, ada yang responnya tidak sesuai prediksi, dan mungkin pula ada yang tidak memberikan respon. Situasi 12
seperti ini tentu menjadi tantangan bagi guru untuk mampu mengidentifikasi setiap kemungkinan yang terjadi, menganalisis situasi tersebut, serta mengambil tidakan secara cepat dan tepat. Tindakan yang diambil guru setelah melakukan analisis secara cepat terhadap berbagai respon yang muncul, bisa bersifat didaktis maupun pedagogis. Dalam kenyataannya, yang menjadi sasaran tindakan tersebut juga bisa bervariasi tergatung hasil analisis guru yaitu bisa kepada individu, kelompok, atau kelas. Akibat dari tindakan yang dilakukan tersebut tentu akan menciptakan situasi baru yang sangat tergantung pada jenis tindakan serta sasaran yang dipilih. Pada saat suatu situasi didaktis dan atau pedagogis terjadi, maka pada saat yang sama guru akan berpikir tentang respon siswa yang mungkin beragam, keterkaitan respon siswa dengan prediksi serta antisipasinya, dan tindakan apa yang akan diambil setelah sebelumnya melakukan identifikasi serta analisis yang cermat. Dengan demikian, selama proses pembelajaran berjalan guru akan senantiasa berpikir tentang keterkaitan antara tiga hal yaitu antisipasi didaktispedagogis, hubungan didaktis siswa-materi, dan hubungan pedagogis guru-siswa. Komponen kedua dari metapedadidaktik adalah fleksibilitas. Skenario, prediksi renspon siswa, serta antisipasinya yang sudah dipikirkan sebelum peristiwa pembelajaran terjadi pada hakekatnya hanyalah sebuah rencana yang belum tentu sesuai kenyataan. Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, respon siswa tidak selalu sesuai prediksi guru sehingga berbagai antisipasi yang sudah disiapkan perlu dimodifikasi sepanjang perjalanan pembelajaran sesuai dengan kenyataan yang terjadi. Hal ini sangat penting untuk dilakukan sebagai konsekuensi logis dari pandangan bahwa pada hakekatnya siswa memiliki otoritas untuk mencapai suatu memampuan sesuai kapasitasnya sendiri. Sementara guru sebagai fasilitator, hanya bisa melakukan tindakan didaktis atau pedagogis pada saat siswa benar-benar membutuhkan yaitu ketika berusaha mencapai kemampuan potensialnya. Dengan demikian, antisipasi yang sudah disiapkan perlu senantiasa disesuaikan dengan situasi didaktis maupun pedagogis yang terjadi. Komponen ketiga adalah koherensi atau pertalian logis. Situasi didaktis yang diciptakan guru sejak awal pembelajaran tidaklah bersifat statis karena pada saat respon siswa muncul yang dilanjutkan dengan tindakan didaktis atau pedagogis yang diperlukan, maka akan terjadi situasi didaktis dan pedagogis baru. Karena kejadian tersebut berkembang sepanjang proses pembelajaran dan sasaran tindakan yang diambil guru bisa bersifat individual, kelompok, atau kelas, maka milieu yang terbentuk pastilah akan sangat bervariasi. Dengan demikian, situasi didaktispun akan berkembang pada tiap milieu sehingga muncul situasi yang berbeda-beda. Namun demikian, perbedaan-perbedaan situasi yang terjadi harus dikelola sedemikian rupa sehingga perubahan situasi sepanjang proses pembelajaran dapat berjalan secara lancar mengarah pada pencapaian tujuan. Untuk mencapai hal tersebut, maka guru harus memperhatikan aspek pertalian logis atau koherensi dari tiap situasi sehingga proses pembelajaran dapat mendorong serta memfasilitasi aktivitas belajar siswa secara kondusif mengarah pada pencapaian hasil belajar yang optimal. Gagasan tentang tacit pedagogical knowing dalam konteks profesionalitas guru yang diteliti oleh Toom (2006) memberikan gambaran bahwa tacit pedagogical knowledge yang diperoleh guru selama melaksanakan proses pembelajaran merupakan pengetahuan sangat berharga sebagai bahan refleksi untuk perbaikan kualitas pembelajaran berikutnya. Toom juga menjelaskan bahwa proses berpikir didaktis dan pedagogis dapat terjadi pada tiga peristiwa yaitu sebelum pembelajaran berlangsung, pada saat pembelajaran berlangsung, dan setelah pembelajaran berlangsung. Namun demikian, tacit didactical and pedagogical knowledge hanya bisa diperoleh melalui peristiwa pembelajaran yang dialami guru secara langsung. Dengan demikian, metapedadidaktik pada hakekatnya merupakan strategi yang bisa digunakan guru untuk memperoleh tacit didactical and pedagogical knowledge sebagai bahan refleksi pasca pembelajaran. Jika seorang guru mampu mengidentifikasi, menganalisis, serta mengaitkan proses berpikir pada peristiwa sebelum pembelajaran (antisipasi didaktis dan pedagogis), tacit knowledge yang diperoleh pada peristiwa pembelajaran, dan hasil refleksi pasca pembelajaran, maka hal tersebut akan menjadi suatu strategi yang sangat baik untuk melakukan pengembangan diri sehingga kualitas pembelajaran dari waktu ke waktu senantiasa dapat ditingkatkan. Dengan kata lain, metapedadidaktik pada dasarnya merupakan suatu strategi pengembangan diri menuju guru matematika profesional.
13
Didactical Design Research (DDR) Proses pengembangan situasi didaktis, analisis situasi belajar yang terjadi sebagai respon atas situasi didaktis yang dikembangkan, serta keputusan-keputusan yang diambil guru selama proses pembelajaran berlangsung, menggambarkan bahwa proses berpikir guru yang terjadi selama pembelajaran tidaklah sederhana. Agar proses tersebut dapat mendorong terjadinya situasi belajar yang lebih optimal, maka diperlukan suatu upaya maksimal yang harus dilakukan sebelum pembelajaran. Upaya tersebut telah digambarkan di atas sebagai Antisipasi Didaktik dan Pedagogis (ADP). ADP pada hakekatnya merupakan sintesis hasil pemikiran guru berdasarkan berbagai kemungkinan yang diprediksi akan terjadi pada peristiwa pembelajaran. Salah satu aspek yang perlu menjadi pertimbangan guru dalam mengembangkan ADP adalah adanya learning obstacles khususnya yang bersifat epistimologis (epistimological obstacle). Menurut Duroux (dalam Brouseau, 1997), epistimological obstacle pada hakekatnya merupakan pengetahuan seseorang yang hanya terbatas pada konteks tertentu. Jika orang tersebut dihadapkan pada konteks berbeda, maka pengetahuan yang dimiliki menjadi tidak bisa digunakan atau dia mengalami kesulitan untuk menggunakannya. Sebagai contoh, seseorang yang pada awal belajar konsep segitiga hanya dihadapkan pada model konvensional dengan titik puncaknya di atas dan alasnya di bawah, maka concept image yang terbangun dalam pikiran siswa adalah bahwa segitiga tersebut selalu harus seperti yang digambarkan. Ketika suatu saat dia dihadapkan pada permasalahan berbeda, maka kemungkinan besar kesulitan yang tidak diharapkan akan muncul. Sebagai contoh, ketika sejumlah mahasiswa tingkat pertama dihadapkan pada soal di bawah ini, tidak seluruhnya bisa menjawab dengan benar. Hal ini menunjukkan bahwa pengetahuan yang dimiliki seseorang tidak selamanya dapat diterapkan pada sembarang konteks.
Pada gambar di atas, terdapat segitiga ABC, ABD, dan segitiga DEF. Garis CF dan AE sejajar. Segitiga manakah yang luasnya paling besar? Dengan mempertimbangkan adanya learning obstacle ini, maka dalam merancang situasi didaktis terkait konsep segitiga (termasuk luas daerahnya), perlu diperkenalkan beberapa model segitiga yang bervariasi. Hal ini dimaksudkan untuk menghindari terjadinya learning abstacle yang mungkin muncul dikemudian hari. Proses pengembangan situasi didaktis, analisis prediksi respon siswa atas situasi didaktis yang dikembangkan, serta pengembangan ADP, menunjukkan pengembangan rencana pembelajaran sebenarnya tidak hanya terkait dengan masalah teknis yang berujung pada terbentuknya RPP. Hal tersebut lebih menggambarkan suatu proses berpikir sangat mendalam dan komprehensif tentang apa yang akan disajikan, bagaimana kemungkinan respon siswa, serta bagaimana kemungkinan antisipasinya. Proses berpikir yang dilakukan guru tidak hanya terbatas pada fase sebelum pembelajaran, melainkan juga pada saat pembelajaran dan setelah pembelajaran terjadi. Aktivitas Lesson Study yang meliputi tiga langkah Plan, Do, dan See sebenarnya dapat dikaitkan dengan proses berpikir guru pada tiga fase yaitu sebelum, pada saat, dan setelah pembelajaran. Proses berpikir sebelum pembelajaran dapat difokuskan pada pengembangan disain didaktis yang merupakan suatu rangkaian situasi didaktis. Analisis terhadap disain tersebut akan menghasilkan ADP. Proses berpikir pada saat pembelajaran pada hakekatnya merupakan analisis metapedadidaktik yakni analisis terhadap rangkaian situasi didaktis yang berkembang di kelas, analisis situasi belajar sebagai respon siswa atas situasi didaktis yang dikembangkan, serta analisis interaksi yang berdampak terhadap terjadinya perubahan situasi didaktis maupun belajar. Refleksi yang dilakukan setelah pembelajaran, menggambarkan pikiran guru tentang apa yang terjadi pada proses pembelajaran serta kaitannya dengan apa yang dipikirkan sebelum pembelajaran terjadi. Menyadari bahwa proses berpikir yang dilakukan guru terjadi pada tiga fase, dan hasil analisis dari proses tersebut berpotensi menghasilkan disain didaktis inovatif, maka ketiga proses tersebut sebenarnya dapat diformulasikan sebagai rangkaian langkah untuk menghasilkan suatu 14
disain didaktis baru. Dengan demikian, rangkaian aktivitas tersebut selanjutnya dapat diformulasikan sebagai Penelitian Disain Didaktis atau Didactical Design Research (DDR). Penelitian Disain Didaktis pada dasarnya terdiri atas tiga tahapan yaitu: (1) analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran yang wujudnya berupa Disain Didaktis Hipotetis termasuk ADP, (2) analisis metapedadidaktik, dan (3) analisis retrosfektif yakni analisis yang mengaitkan hasil analisis situasi didaktis hipotetis dengan hasil analisis metapedadidaktik. Dari ketiga tahapan ini akan diperoleh Disain Didaktis Empirik yang tidak tertutup kemungkinan untuk terus disempurnakan melalui tiga tahapan DDR tersebut.
DAPTAR PUSTAKA Barbin, E. (1992). The Epistimological Roots of Constructivist Interpretation of Teaching Mathematics. Dalam J.A. Malone dan P.C.S. Taylor (Eds), Constructivist Interpretations of Teaching and Learning Mathematics. Perth: National Key Centre for School Science and Mathematics. Basden, J., Boone, S., Fetter, A., Koenig, J., Lanius, C., Mabbott, A., McKinstry, J., Renninger, K.A., Salehi, R., Stein, S. Underwood, J., dan Weimar, S. (2001). Encouraging Mathematical Thinking: Discourse Around A Rich Problem. Colorado: The Math Forum Becker, J.P. dan Shimada, S. (1997). The Open-Ended Approach: A New Proposal for Teaching Mathematics. Virginia: NCTM Bell, F.H. (1978). Teaching and Learning Mathematics in Secondary Schools. Dubuque: Wm.C. Brown Company Publishers. Ben-Zeev, T. Dan Star, J.(2002). Intuitive Mathematics: Theoretical and Educational Implications. Michigan: University of Michigan Brouseau, G. (1997). Theory of Didactical Situation in Mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Brophy, J.E., & Good, T.L. (1986). Teacher behavior and student achievement. Dalam M.Wittrock (Ed.), Handbook of research on teaching, (h. 328-375). New York: Macmillan. Burton, L. (1992). Implication of Constructivistm for Achievement in Mathematics. Dalam J.A. Malone dan P.C.S. Taylor (Eds), Constructivist Interpretations of Teaching and Learning Mathematics. Perth: National Key Centre for School Science and Mathematics. Departemen P dan K. (1993). Kurikulum Pendidikan Dasar 1994, Jakarta: CV. Aneka Ilmu. Departemen Pendidikan Nasional. Kurikulum Berbasis Kompetensi: Mata Pelajaran Matematika Sekolah Dasar, Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Depdiknas, 2001. Departemen Pendidikan Nasional. (2001). Kurikulum Berbasis Kompetensi: Mata Pelajaran Matematika Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama, Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Depdiknas. Departemen Pendidikan Nasional. (2001). Kurikulum Berbasis Kompetensi: Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Umum, Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Depdiknas. Departemen Pendidikan Nasional. (2001).Kurikulum Berbasis Kompetensi: Kebijaksanaan Umum Pendidikan Dasar dan Menengah, Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Depdiknas. Dienes, Z.P. (1969). Mathematics in The Primary School. London: Macmillan and Co Ltd. Dubinsky, E. (2001). Using a Theory of Learning in College Mathematics Courses. Coventry: University of Warwick Fraivillig, J.L., Murphy, L.A., & Fuson, K.C. (1999). Advancing Children’s Mathematical Thinking in Everyday Mathematics Classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30, 148-170. Gagne, R.M. (1970). The Conditions of Learning, second edition, New York: Holt, Rinehart and Winston, Inc. Good, T.L., Mulryan, C., & McCaslin, M. (1992). Grouping for Instruction in Mathematics: A Call for Programmatic Research on Small-Group Processes. Dalam D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, (pp. 165-196). New York: NCTM Henningsen, M., & Stein, M.K. (1997). Mathematical Tasks and Student Cognition: Classroom-Based Factors That Support and Inhibit High-Level Mathematical Thinking and Reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 28, 524-549. John, G.A., dan Thornton, C.A. (1993). Vygotsky Revisited: Nurturing Young Children’s Undersanding of Number. Focus on Learning Problems in Mathematics, 15, 18-28. Kansanen, P. (2003). Studying-theRealistic Bridge Between Instruction and Learning. An Attempt to a Conceptual Whole of the Teaching-Studying-Learning Process. Educational Studies, Vol. 29,No. 2/3, 221-232 NCTM. (1998). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA.: NCTM NCTM. (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston,VA: NCTM Peterson, P.J. (1988). Teaching for Higher-Order Thinking in Mathematics: The Challenge for the Next Decade. Dalam D.A. Grouws, T.J. Cooney, & D. Jones (Eds.), Effective Mathematics Teaching. Virginia: NCTM
15
Peterson, P.,& Fennema, E. (1985). Effective teaching, students engagement in classroom activities, and sexrelated differences in loearning mathematics. American Educational Research Journal, 22(3),309335. Piaget, J. dan Inhelder, B. (1974). The Child’s Construction of Quantities. London: Routledge & Kegan Paul Pierce, J.W. dan Putnam, R.T. (2001). Problem-Based Learning: Learning and Teaching in the Context of Problems. Dalam K.R. Howey,dkk. (Eds).Contextual Teaching and Learning: Preparing Teacher to Enhance Student Success in The Workplace and Beyond. (pp. 17-32). ERIC Clearinghouse on Teaching and Teacher Education. Reys, R.E., Suydam, M.N., Lindquist, M.M., dan Smith, N.L. (1998). Helping Children Learn Mathematics. Boston: Allyn and Bacon. Riedesel,C.A., Schwartz, J.E., dan Clements, D.H. (1996). Teaching Elementary School Mathematics. Boston: Allyn and Bacon. Ruseffendi, E.T. (1988). Pengantar Kepada Membantu Guru Mengembangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito Ruseffendi, E.T. (1979). Pengajaran Matematika Moderen untuk Orang Tua Murid, Guru dan SPG, buku 1, Bandung: Tarsito. Ruseffendi, E.T. (1985). Pengajaran Matematika Moderen untuk Orang Tua Murid, Guru dan SPG, buku 6, Bandung: Tarsito. Sears, S.J. dan Hers, S.B. (2001). Contextual Teaching and Learning: An Overview of the Project. Dalam K.R. Howey,dkk. (Eds).Contextual Teaching and Learning: Preparing Teacher to Enhance Student Success in The Workplace and Beyond. (pp. 1-20). ERIC Clearinghouse on Teaching and Teacher Education. Suryadi, D. (2001). Pengembangan Kemampuan Berpikir Matematik Tingkat Tinggi Melalui Kegiatan Pemecahan Masalah di SLTP. Bandung: UPI Suryadi, D. (2005). Penggunaan Pendekatan Pembelajaran Tidak Langsung serta Pendekatan Gabungan Langsung dan Tidak Langsung dalam Rangka Meningkatkan Kemampuan Berpikir Matematika Tingkat Tinggi Siswa SLTP. Bandung: SPS UPI Tall, D. (1998). Symbols and the Bifurcation between Procedural and Conceptual Thinking. Warwick: Mathematics Education Center. Tall, D. (1999). Reflections on APOS theory in Elementary and Advanced Mathematical Thinking. Haifa: PME23 Toom, A. (2006). Tacit Pedagogical Knowing At the Core of Teacher’s Professionality. Helsinki: University of Helsinki Van den Heuvel-Panhuizen, M (2000). Mathematics Education in the Netherlands: A guide tour. Utrecht: Universiteit Utrecht. Vygotsky, L.S. (1978). Mind in society. Cambridge, MA: Harvard University Press.
16
