Mekanika Analitik Muhammad Farchani Rosyid
1/22/2013
Kelompok Penelitian Kosmologi, Astrofisika, dan Fisika Matematik, Jurusan Fisika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta 1
”Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre eigene Sprache, und dann ist es alsobald etwas ganz anderes.” (Johann Wolfgang von Goethe) (Mathematicians are a kind of Frenchmen. Whenever you say anything or talk to them, they translate it into their own language, and right away it is something completely different.)
1/22/2013
2
”Die Geometrie ist eine Wissenschaft, welche im Wesentlichen so weit fortgeschritten ist, dass alle ihre Tatsachen bereits durch logische Schlüsse aus früheren abgeleitet werden können. ... Nach dem Muster der Geometrie sind nun auch alle anderen Wissenschaften in ester Linie Mechanik, hernach aber auch Optik, Elektrizitätstheorie usw. zu behandeln.”(David Hilbert) (Geometry is a science which essentially has developed to such a state that all its facts may be derived by logical deduction from previous ones. ... Now also all other sciences are to be treated following the model of geometry, first of all mechanics, but then also optics and electricity theory.) 1/22/2013
Pengantar
1/22/2013
4
Berikut berapa pandangan tentang kaitan antara fisika dan matematika: Pertama, pandangan yang paling lunak mendudukkan matematika hanya sebagai peranti yang memudahkan fisika dan sebagai bahasa untuk mengungkapkan hukum-hukum fisika. (Persamaan bukan segalanya, ada esensi lain dalam suatu hukum fisika yang tidak dapat dirumuskan secara matematis) Semua fisikawan eksperimental dan sebagian fisikawan teoretis mengambil posisi ini.
Einstein: ”Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und sofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.”
(If a theorem of mathematics refers to a reality, it is not rigorous. If it is rigorous, it does not refer to a reality)
1/22/2013
6
Kedua, adalah pandangan yang mendudukkan matematika sebagai tujuan, fisika adalah upaya memilih atau membangun struktur matematik yang cocok untuk menggambarkan pola-pola keteraturan gejala alamiah. Jadi, fisika dipahami sebagai upaya menemukan realitas matematis sebagai model yang mewakili realitas fisis. Matematika adalah kerangka bagi sebuah teori fisika. Kenyataan mengajarkan kepada kita bahwa semakin sempurna sebuah teori dalam fisika, semakin canggih matematika yang dibutuhkan untuk menjadi kerangka bagi teori itu.
Ketiga, adalah pandangan radikal bahwa fisika adalah upaya menemukan matematika alam, yakni matematika yang mengatur alam semesta ini, keseluruhannya. Alam semesta ini sebagai bangunan matematis, satu koheren dengan yang lain dalam kerangka matematika yang sama.
Minggu Pertama
Kilas Balik: Mekanika Newton dan segala keterbatasannya Menguasai dan mampu menerapkan Hukum Newton.
Dapat menjelaskan kesulitan-kesulitan yang muncul dalam penyelesaian masalah-masalah mekanika melalui hukum Newton. Dapat menjelaskan pentingnya terobosan guna mengatasi kesulitan-kesulitan itu.
1/22/2013
9
Hukum Newton :
Hukum Pertama : Setiap benda akan terus berada pada keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan tetap sepanjang garis lurus jika tidak dipaksa untuk merubah keadaan geraknya itu oleh gaya-gaya yang bekerja padanya.
Hukum Kedua : Resultan gaya yang bekerja pada suatu benda mengakibatkan terjadinya perubahan momentum. Perubahan momentum tiap satu satuan waktu yang dialami oleh benda itu berbanding lurus dengan resultan gaya yang bekerja padanya: 𝑑𝐩 𝐅= 𝑑𝑡
1/22/2013
10
Hukum Ketiga : Apabila suatu benda (sebut benda pertama) mengerjakan gaya pada benda lain (sebut benda kedua), maka benda kedua akan melakukan gaya pada benda pertama yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan gaya yang dikerjakan oleh benda pertama pada benda kedua.
Gaya aksi dan gaya reaksi tidak pernah bekerja pada benda yang sama. Gaya reaksi bekerja pada benda yang melakukan gaya aksi.
1/22/2013
11
Karena 𝐩 = 𝑚𝐯, maka 𝑑𝐩 𝑑𝑚 𝐅= = 𝑚𝐚 + 𝐯 𝑑𝑡 𝑑𝑡
Jika massa benda yang bergerak itu tetap, maka
𝑑𝑚 𝑑𝑡
= 0.
Akibatnya, hukum kedua dapat dituliskan sebagai 𝐅 = 𝑚𝐚
Secara umum benda yang bergerak mengalami perubahan massa : roket, meteorit, komet, dll.
1/22/2013
12
Hal-hal penting yang harus selalu diperhatikan dalam penerapan hukum Newton kedua : Ruas kiri persamaan (1) merupakan jumlahan vektor semua gaya yang bekerja pada sistem mekanis yang ditinjau. Apabila persamaan (1) hendak diterapkan hanya pada suatu bagian dari suatu sistem mekanis, maka lupakanlah gaya-gaya yang tidak bekerja pada bagian itu. Gaya-gaya yang bekerja pada sistem mekanik sangat bervariasi. Gayagaya itu dapat berupa gaya-gaya konstan. Tetapi, pada umumnya, gayagaya itu bergantung pada posisi dan waktu serta beberapa parameter yang lain (lihat Fowles mulai hal. 40). Meskipun demikian, semua gaya yang terlibat dalam mekanika dapat dikembalikan ke empat gaya mendasar : gaya gravitasi, gaya elektromagnetik, gaya kuat dan gaya lemah.
1/22/2013
13
Apabila hukum Newton diterapkan pada suatu sistem mekanis, maka akan diperoleh persamaan gerak. Jawaban persamaan ini adalah koordinat benda sebagai fungsi waktu : x(t), y(t), dan z(t). Fungsi-fungsi ini sangat bergatung pada syarat awal, yakni diketahuinya posisi dan kecepatan benda pada suatu saat tertentu (biasanya saat t = 0).
Keterbatasan Hukum Newton:
1/22/2013
dari segi kecepatan dari segi kompleksitas sistem (munculnya kendala)
14
Kendala: Mampu menjelaskan konsep kendala dan pengaruhnya pada masalah-masalah mekanika. Mampu merumuskan persamaan-persamaan kendala. Mampu menjelaskan jenis-jenis kendala Mampu menentukan jenis kendala yang ada pada setiap masalah mekanika.
1/22/2013
15
Seluruh masalah dalam mekanika secara prinsip dapat dikembalikan ke persamaan 𝑑 2 𝑥𝑖 𝑑𝑡 2 𝑑 2 𝑦𝑖 𝑑𝑡 2 𝑑 2 𝑧𝑖 𝑑𝑡 2
=
1 𝑚𝑖
𝑖 𝐹 𝑖 𝑥
= =
+
𝑖𝑗 𝑁 𝑗=1 𝐹𝑥
,
1 𝑚𝑖
𝑖+ 𝐹 𝑦 𝑖
𝑖𝑗 𝑁 𝐹 𝑗=1 𝑦
,
1 𝑚𝑖
𝑖 𝑖 𝐹𝑧 +
𝑖𝑗 𝑁 𝐹 𝑗=1 𝑧
.
dengan i,j = 1, 2, 3, ..., N adalah indeks/nomor partikel.
1/22/2013
16
Prosedur penyelesaiannya seolah-olah tampak jelas : memasukkan komponen-komponen gaya yang terlibat, mencari jawaban persamaan diferensial dan yang terakhir menentukan tetapan-tetapan berdasarkan syarat awal. Tetapi, tidak semuanya sederhana. Masalah muncul apabila terdapat kendala-kendala (constraints). Kendalakendala ini membatasi partikel-partikel untuk saling bebas.
1/22/2013
17
Jenis-jenis kendala : Kendala Holonomik: Apabila kendala dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan yang menghubungkan posisi-posisi partikel dalam bentuk 𝑓𝟏 𝐫1 , 𝐫2 , … , 𝐫𝑁 = 0, 𝑓2 𝐫1 , 𝐫2 , … , 𝐫𝑁 = 0, ....... 𝑓𝑘 𝐫1 , 𝐫2 , … , 𝐫𝑁 = 0,
(2)
maka kendala semacam ini disebut kendala holonomik.
1/22/2013
18
Kendala Nonholonomik adalah kendala yang tidak holonomik. Artinya, kendala yang tidak dapat dituliskan sebagai persamaan-persamaan seperti di atas. Contoh : Sebuah benda yang dikukung dalam tangki berbentuk silinder berjari-jari a dan tinggi h mengalami kendala
x2 + y2 − a2 < 0
dan
0 < z < h.
Sebuah benda yang berada di luar sebuah bola berjari-jari a2 terkekang oleh kendala yang hanya dapat dituliskan dalam bentuk ketidaksamaan
x2 + y2 + z2 − a2 ≥ 0. 1/22/2013
19
Koordinat Umum: Dapat menjelaskan konsep derajat kebebasan. Dapat menentukan derajat kebebasan terkait dengan suatu sistem mekanik. Dapat menjelaskan konsep koordinat umum. Dapat membangun sistem koordinat umum yang sesuai bagi suatu sistem mekanik. Dapat menjelaskan konsep transformasi koordinat. Dapat merumuskan persamaan-persamaan terkait dengan transformasi koordinat.
20
Adanya kendala mengakibatkan dua masalah dalam penyelesaian masalah mekanika : Pertama, koordinat xi, yi dan zi tidak lagi bebas satu dari yang lain sehingga persamaan-persamaan (1) tidak bebas satu dari yang lain. Kedua, adanya gaya kendala yang tidak dapat ditentukan terlebih dahulu sebab gaya tersebut termasuk ke dalam masalah yang harus diselesaikan.
Untuk kendala yang holonomik, masalah pertama dapat diselesaikan dengan memperkenalkan koordinat umum.
1/22/2013
21
Andaikan sistem mekanis yang ditinjau tersusun atas N buah partikel. Oleh karena itu diperlukan 3N koordinat (x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) untuk menggambarkan konfigurasi sistem (yakni posisi masing-masing partikel). Hal ini berarti terdapat 3N derajat kebebasan. Apabila terdapat k buah persamaan kendala f1(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0, f2(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0 ............. fk(x1, y1, z1, x2, y2, z2, ..., xi, yi, zi, ..., xN, yN, zN) = 0, maka derajat kebebasan sistem menyusut menjadi 3N − k.
1/22/2013
22
Dalam hal ini diperlukan sistem koordinat umum yang terdiri dari 3N − k koordinat, katakanlah (q1, q2, ..., q3N − k). Terdapat transformasi koordinat r1 = r1(q1, q2, ..., q3N − k) ...... ....... ri = ri(q1, q2, ..., q3N − k) ...... ....... rN = rN(q1, q2, ..., q3N − k).
1/22/2013
(3)
23
Prinsip d’Alembert dan persamaan EulerLagrange: Mampu menjelaskan konsep pergeseran maya. Mampu mengkonstruksi pergeseran maya yang konsisten dengan kendala. Mampu menjelaskan prinsip usaha maya. Mampu menerapkan prinsip usaha maya untuk berbagai masalah statika. Mampu menjelaskan prinsip d’Alembert. Mampu menerapkan prinsip d’Alembert. Mampu menjelaskan bahwa penerapan prinsip d’Alembert dengan koordinat umum menghasilkan persamaan Eulerlagrange.
1/22/2013
24
Pergeseran Maya
Suatu pergeseran maya suatu sistem adalah perubahan konfigurasi (posisi atau orientasi) sistem sebagai akibat pergeseran infinitisimal ri (i = 1,2, ..., N) yang konsisten dengan gaya-gaya dan kendala yang bekerja pada sistem itu pada saat t. Penting : Pergeseran maya terjadi tanpa membutuhkan waktu.
1/22/2013
25
Prinsip kerja maya pada sistem yang berada dalam keseimbangan Fi(a)• ri + fi•ri = 0,
dengan Fi(a) adalah gaya luar total yang bekerja pada partikel nomor i dan fi adalah gaya kendala yang bekerja pada partikel nomor i. Bila sistem yang ditinjau sedemikian rupa sehingga gaya kendala tegaklurus dengan pergeseran maya yang mungkin, maka suku kedua persamaan terakhir lenyap. Jadi, Fi(a)• ri = 0.
1/22/2013
26
Prinsip d’Alembert Prinsip d’Alembert merupakan perluasan prinsip usaha maya dengan menambahkan suku tambahan untuk gaya total pada tiap partikel menjadi Fi(a) + fi + pi sehingga (Fi(a) + fi + pi) • ri = 0.
1/22/2013
27
Dengan asumsi bahwa gaya kendala selalu tegak lurus terhadap pergeseran maya, maka didapat (Fi(a) + pi) • ri = 0.
Karena r1, r2, ..., rN tidak bebas satu dari yang lain (akibat adanya) kendala, maka tidak serta merta dapat disimpulkan bahwa
Fi(a) + pi = 0.
Melalui transformasi koordinat (3) masalah ini dapat di atasi.
1/22/2013
28
Persamaan Lagrange
Melalui transformasi koordinat (3) didapatkan 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛 = 0, − − 𝑄 𝛼 𝑑𝑡 𝜕𝑞 𝛼 𝜕𝑞 𝛼 dengan 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 tenaga kinetik total sistem dikurangi energi potensial total sistem dan 𝑄𝛼𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛 gaya umum yang tak konservatif yang diberikan oleh 𝑄𝛼𝑛𝑜𝑛𝑘𝑜𝑛
= 𝑖
1/22/2013
𝜕𝐫𝐢 𝒂,nonkon ∙ 𝐅 . 𝐢 𝛼 𝜕𝑞 29
Penerapan Persamaan Euler-Lagrange: Mampu menjelaskan perihal persamaan Euler-Lagrange. Mampu menjelaskan domain persamaan Euler-Lagrange. Mampu menerapkan persamaan Euler-Lagrange untuk berbagai masalah mekanika sederhana dengan kendala holonomik. Mampu menerapkan persamaan Euler Lagrange untuk berbagai masalah dengan potensial umum. Mampu menerapkan persamaan Euler Lagrange untuk berbagai masalah yang terkait dengan fungsi disipasi.
1/22/2013
30
Contoh :
Bandul Matematis : Sebuah bola bermassa m dan digantung dengan sebuah batang yang ringan pada atap sebuah ruangan. Panjang batang penggatunga itu l. Ujung batang tersambung dengan atap melalui sebuah engsel sehingga bandul tersebut bebas mengayun pada bidang vertikal (bidang XY). Gambar di bawah memperlihatkan posisi bola pada suatu saat sembarang. Bola mendapatkan kendala x2 + y2 = l 2
1/22/2013
dan
z = 0.
31
Bandul matematis yang berayun pada manik-manik yang diuntai pada kawat mendatar : Sebuah manikmanik bermassa m1 diuntai pada kawat lurus datar sehingga bebas bergerak sepanjang kawat itu. Sebuah bola bermassa m2 ditempelkan pada ujung sebuah batang yang ringan. Ujung batang yang lain ditempelkan pada manik-manik melalui engsel titik sehingga dapat berayun pada semabarang arah. Panjang batang l.
1/22/2013
32
Dalam koordinat kartesius tentunya ada enam koordinat (x1, y1, z1, x2, y2, z2), dengan sumbu z keluar bidang gambar. Tetapi manik-manik selalu berada pada garis yang sama, yakni kawat mendatar. Jika pada kawat mendatar itu ditempelkan sumbu y, maka posisi manikmanik selalu berada pada sumbu y. Oleh karena itu x1 = 0
1/22/2013
dan
z1 = 0.
33
Prinsip Variasi dan Persamaan Lagrange: Mampu menjelaskan prinsip Hamilton. Mampu menerapkan prinsip Hamilton. Mampu menjelaskan bahwa persamaan Euler-Lagrange dapat diturunkan dari prinsip Hamilton (prinsip variasi). Mampu menjelaskan konsep kalkulus variasi (prinsip variasi). Mampu menerapkan kalkulus variasi (prinsip variasi). Menjelaskan kelebihan menggunakan prinsip variasi
1/22/2013
34
Perluasan Prinsip Hamilton dan Kesetangkupan (Simetri) dan Hukum Kelestarian pada Mekanika Lagrange: Mampu menjelaskan perluasan prinsip Hamilton untuk sistem mekanik dengan kendala nonholonomik. Mampu menyelesaikan masalah mekanika dengan kendala nonholonomik. Mampu menjelaskan konsep kesetangkupan dalam mekanika Lagrange. Mampu menjelaskan hukum kelestarian dalam mekanika Lagrange. Mampu menerapkan kesetangkupan dan hukum kelestarian dalam mekanika Lagrange.
1/22/2013
35
Persamaan Gerak Hamilton: Mampu menjelaskan konsep ruang fase kecepatan dan ruang fase momentum. Mampu mengkonstruksi ruang fase kecepatan dan ruang fase momentum suatu sistem mekanik. Mampu menjelaskan transformasi Legendre. Mampu menerapkan transformasi Legendre. Mampu menerapkan formulasi Hamilton untuk berbagai masalah mekanika yang sesuai. Mampu menjelaskan konsep koordinat siklis dan kaitannya dengan hukum kelestarian. Mampu menentukan koordinat siklis dalam berbagai masalah mekanika
1/22/2013
36
Momentum Umum Jika L Lagrangan suatu sistem fisis dengan siatem koordinat umum (q1, q2, ..., q3N − k). Maka besaran p dengan ( = 1, 2, ..., 3N−1) yang didefiniskan sebagai 𝑝𝛼 ≔
𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝛼
disebut momentum umum atau momentum kanonik pasangan bagi koordinat q.
1/22/2013
37
Transformasi Legendre Transformasi Legendre adalah transformasi 𝐿↦𝐻≔
𝑞 𝛼 𝑝𝛼 − 𝐿
Fungsi 𝐻 disebut Hamiltonan. 𝐻 tidak lagi bergantung pada . Fungsi H bergantung pada (q1, q2, ..., q3N − k, p1, p2, ..., p3N − k, t). Hal ini dapat dipahami sebab 𝜕𝐻 𝜕𝑞 𝛼
= 0,
untuk setiap 𝛼
(Buktikan).
Jadi, H = H(q1, q2, ..., q3N − k, p1, p2, ..., p3N − k, t). 1/22/2013
38
Persamaan gerak Hamilton Meskipun telah dilakukan transformasi Legendre, masih akan muncul variable-variabel 𝑞 𝛼 dalam ungkapan untuk H. Namun ungkapan untuk H dapat segera dibersihkan dari 𝑞 𝛼 dengan melakukan subtitusi dari persamaan-persamaan 𝑝𝛼 ≔
𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝛼
Persamaan gerak Hamilton diberikan oleh
𝑞𝛼 ≔
𝜕𝐻 𝜕𝑝𝛼
dan
𝑝𝛼 ≔ −
𝜕𝐻 𝜕𝑞𝛼
,
untuk ( = 1, 2, ..., 3N−1). Jadi, akan terdapat 6N − 2 persamaan. 1/22/2013
39
Kalkulus Variasi dan persamaan Hamilton dan Transformasi Kanonik : Mampu menjelaskan penurunan persamaan Hamilton dari prinsip variasi. Mampu menjelaskan prinsip aksi terkecil. Mampu menerapkan prinsip aksi terkecil. Mampu menjelaskan konsep transformasi kanonik. Mampu menentukan kanonik tidaknya suatu transformasi
1/22/2013
40
Transformasi Kanonik (lanjutan): Mampu menjelaskan konsep fungsi pembangkit. Mampu mengkonstruksi fungsi pembangkit. Mampu mengkonstruksi transformasi kanonik. Mampu memilih fungsi pembangkit yang sesuai dalam penyelesaian masalah mekanika. Mampu menentukan sajian/wakilan matriks suatu transformasi. Mampu memastikan/menentukan keanggotakan suatu matriks dalam grup simplektik. Mampu menjelaskan formulasi simplektik transformasi kanonik. Mampu menjelaskan peranan kurung. Poisson dan invariansi kanonik dalam masalah mekanika
1/22/2013
41
Persamaan Gerak dalam formulasi kurung Poisson: Mampu menjelaskan formulasi persamaan gerak dengan kurung Poisson. Mampu menyajikan persamaan gerak suatu sistem mekanik dengan kurung Poisson. Mampu menjelaskan kelebihan formulasi persamaan gerak dengan kurung Poissaon. Mampu menjabarkan kaitan komponen-komponen momentum sudut dengan kurung poisson. Mampu menjelaskan kaitan kurung Poisson dengan dinamika sistem mekanik. Mampu menerapkan konsep kesetangkupan dalam penyelesaian masalah mekanika. Menjelaskan Teorema Liouville.
1/22/2013
42
Teori Hamilton-Jacobi: Mampu menjelaskan persamaan Hamilton-Jacobi untuk Funsi Hamilton Utama. Mampu menjabarkan persamaan Hamilton-Jacobi. Mampu menerapkan teori Hamilton Jacobi pada masalah-masalah mekanika (getaran selaras sebagai contoh). Mampu menjabarkan persamaan Hamilton-Jacobi untuk fungsi karakteristik Hamilton. Mampu menerapkan metode pemisahan peubah pada persamaan Hamilton-Jacobi.
1/22/2013
43
Terapan mekanika analitik: Mampu menerapkan mekanika analitik untuk sebuah benda yang berada dalam medan gaya terpusat. Mampu menerapkan mekanika analitik untuk masalah dua benda. Mampu menjelaskan gerak planet-planet, satelit-satelit, dll.
1/22/2013
44
Masalah Dua Benda dan Medan Sentral Contoh masalah dua benda: Bintang ganda biasa, Pluto dan pasangannya, sistem Bumi-Bulan, Bintang Ganda sinar-X, dll.
Dengan memahami orbit bintang ganda, kita dapat mengukur gaya gravitasi yang bekerja pada masing-masing kedua bintang itu. Pada akhirnya, kita dapat menentukan massa masing-masing bintang itu atau rasio massa keduanya. Jenis-jenis bintang ganda berdasarkan cara pengamatan : bintang ganda optis, bintang ganda visual, bintang ganda spektral, bintang ganda gerhana, bintang ganda astrometrik.
Medan Sentral Ditinjau partikel bermassa m yang berada di bawah pengaruh medan gaya terpusat:
Momen gaya medan gaya relatif terhadap pusat koordinat (0,0,0) tersebut lenyap: N = r × F = 0. Akibatnya, momentum sudut partikel itu tetap : L = r × mv= tetapan.
Akibatnya selanjutnya, partikel itu bergerak pada bidang yang melalui titik pangkal (0,0,0) dan tegak lurus pada vektor L.
Bidang tersebut ditentukan dari posisi awal dan kecepatan awal partikel.
Andaikan bidang-xy dipilih sebagai bidang orbit. Vektor L mengarah ke sumbu-z positif Lz = L.
Koordinat polar (r, ) :
Komponen momentum sudut sepanjang sumbu-z diberikan oleh
Apa akibat tetapnya besar momentum sudut partikel?
dS = r2d/2 dS d
r O
Teorema : Laju perubahan luas wilayah yang disapu oleh vektor posisi,
bersifat tetap. S2
O
S1
Setiap partikel yang berada di bawah pengaruh medan gaya terpusat selalu terkait dengan energi potensial V(r) sedemikian rupa sehingga
Dari hukum kedua Newton didapat
Dengan tenaga potensial V tersebut persamaan Euler-Lagrange memberikan:
Jika didefinisikan
maka
Energi keseluruhan partikel itu dapat dihitung :
Jika sebagai fungsi waktu bersifat monoton, maka memiliki invers.
Karenanya dari ungkapan tenaga didapatkan
Hubungan antara r dan (persamaan orbit) diperoleh dari
dengan r0 = r(0).
Dengan subtitusi r = 1/u ke dalam persamaan
didapat bentuk lain persamaan orbit, yaitu
dan
Potensial Kepler Energi potensial Kepler diberikan oleh
Potensial efektif diberikan oleh
Dengan mensubtitusikan potensial efektif ke dalam persamaan orbit, didapatkan
Jawaban persamaan homogen terakhir adalah
Sementara, jawaban khususnya adalah
Jawaban terakhir ini terkait dengan orbit melingkar dengan jari-jari
dan energi
Oleh karena itu, persamaan orbit, pada akhirnya diberikan oleh
atau
dengan e 0 disebut eksentrisitas dan ditentukan oleh
Untuk orbit yang berupa ellips, sumbu panjang dan sumbu pendek ditentukan dari persamaan
Luas ellips tentu saja sama dengan laju sapuan vektor posisi partikel dikalikan dengan periode T :
Mengingat
dan maka didapatkan
atau
(Hukum ketiga Kepler !)
Masalah Dua Benda m1
r = r2− r1
r1
R
r2
m2
Dengan persamaan gerak untuk masing-masing benda
Dengan mengurangkan persamaan-persamaan itu didapat
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
Ini berarti bahwa pusat massa bergerak dengan kecepatan tetap. Persamaan
dapat dituliskan sebagai
dengan Terlihat bahwa persamaan gerak tersebut tidak lain adalah persamaan gerak benda di bawah pengaruh medan terpusat Kepler
dengan
Jadi, jawabannya adalah
Jika penyelesaiaanya ellips, maka
Diamati dari pusat massa, posisi masing-masing benda adalah
Terapan mekanika analitik: Mampu menjelaskan hakekat benda tegar. Mampu menjelaskan gerak benda tegar. Mampu menerapkan mekanika analitik dalam bidang-bidang lain: teknik, kedokteran, dll.
1/22/2013
78
Konsep Benda Tegar
-
-
-
-
Batasan : Benda tegar adalah sebuah benda sedemikian rupa sehingga jarak antar titik-titik massa pada benda itu tidak berubah (tetap).
Contoh : Gas yang berada di dalam sebuah balon mainan bukan merupakan benda tegar sebab jarak partikel-partikel gas itu satu dari yang lain berubah-ubah. Sepotong pipa paralon yang menggelinding (tanpa tergencet) merupakan benda tegar. Sistem tata surya kita bukan merupakan benda tegar karena jarak satu planet dengan planet yang lain maupun jarak masingmasing planet dari matahari selalu berubah-ubah. Beberapa bola kecil yang dihubungkan dengan batang-batang yang kukuh (lihat gambar di bawah) merupakan benda tegar.
1/22/2013
79
1/22/2013
80
Pertanyaan : Apakah bumi kita merupakan benda tegar. Mengapa? Jelaskan! Dapatkah sekumpulan partikel-partikel yang bergerak-gerak dikatakan bukan merupakan benda tegar? Perhatikan gambar di bawah ini. Gambar tersebut memperlihatkan kedudukan sistem tiga partikel pada saat t1, t2 dan t3 sembarang. Dapatkah sistem tiga partikel itu dikatakan sebagai benda tegar?
t = t2 t = t1
1/22/2013
t = t3
81
Pusat Massa Benda Tegar Batasan : Pusat massa sebuah benda tegar adalah suatu titik dalam ruang yang menjadi posisi terpusatnya seluruh massa benda tegar itu. Jadi, pusat massa sebuah benda tegar adalah posisi sebuah partikel titik yang memiliki massa sebesar benda tegar itu.
1/22/2013
82
Pertanyaan : Haruskan pusat massa sebuah benda tegar berada di dalam benda tegar itu? Perkirakanlah kedudukan titik pusat massa bendabenda berikut ini.
1/22/2013
83
Rotasi Terhadap Sumbu Tetap Anda telah belajar tentang gerak lurus, gerak parabola dan gerak melingkar. Gerak-gerak semacam itu disebut gerak translasi. Pada gerak translasi, hal yang menjadi pokok perhatian adalah posisi dan pergeseran. Benda dikatakan bergerak bila posisinya berubah. Artinya, benda itu mengalami pergeseran. Kecepatan (sesaat), misalnya didefinisikan sebagai pergeseran posisi tiap satu satuan waktu. Konsep setelah kecepatan adalah percepatan, yakni perubahan kecepatan persatusatuan waktu. Gerak kemudian diklasifikasikan berdasarkan perilaku percepatan ini. Ada gerak lurus beraturan ada gerak lurus berubah beraturan, dan lain sebagainya.
1/22/2013
84
Rotasi adalah gerak yang menyangkut orientasi dan perputaran. Jadi, orientasi merupakan padanan posisi dan perputaran adalah padanan pergeseran. Sumbu rotasi : tempat kedudukan titik-titik yang tidak bergeming terhadap perubahan orientasi.
1/22/2013
85
Pengertian Dasar : momen inersia adalah kelembaman (inersia) untuk gerak rotasi. Jadi, momen inersia menunjukkan keengganan untuk melakukan perubahan rotasi. Penting : Momen inersia bergantung pada sumbu rotasi yang dipilih.
1/22/2013
86
