i
FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO Departemen Fisika Universitas Airlangga, Surabaya E-mail address, P. Carlson: i an
[email protected] URL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com
Puji syukur atas kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga dapat diterbitkannya buku ”FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I” ini. Ringkasan. Buku Fisika untuk Universitas Jilid I ini diterbitkan untuk menunjang materi kuliah Rosyid Adrianto, S.Si., di kelas.
Daftar Isi Bab 1. Pengukuran dan Vektor 1. Besaran dan Dimensi
1 1
Bab 2. Kinematika 1. Gerak Satu Dimensi
3 3
Bab 3. Hukum I Newton 1. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman 2. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton
5 5 5
Bab 4. Hukum II Newton 1. Gesekan 2. Gaya - gaya Hambat 3. Gaya Sentripetal 4. Gaya Gravitasi 5. Gerak Planet dan Satelit 6. Soal Latihan
7 7 10 11 13 14 16
Bibliografi
21
v
BAB 1
Pengukuran dan Vektor Fisika adalah ilmu yang mempelajari keadaan dan sifat-sifat benda serta perubahannya, mempelajari gejala-gejala alam serta hubungan antara satu gejala dengan gejala lainnya. Fisika berhubungan dengan materi dan energi, dengan hukum-hukum yang mengatur gerakan partikel dan gelombang, dengan interaksi antar partikel, dan dengan sifat-sifat molekul, atom dan inti atom, dan dengan sistem-sistem berskala lebih besar seperti gas, zat cair, dan zat padat. Beberapa orang menganggap fisika sebagai sains atau ilmu pengetahuan paling fundamental karena merupakan dasar dari semua bidang sains yang lain [5]. Dalam bidang sains dan teknologi sering kali dilakukan riset-riset yang tidak lepas dari berbagai macam pengukuran yang memerlukan beberapa macam alat ukur. Dalam pengukuran ini sering melibatkan besaran-besaran penting yang memiliki satuan dan dimensi. Besaran-besaran dalam fisika tidak hanya memiliki satuan melainkan ada beberapa di antaranya yang memiliki arah. Besaran fisis yang memiliki satuan dan arah disebut besaran vektor. Oleh sebab itu, dalam bab ini dibahas beberapa macam besaran beserta satuan dan dimensinya. Selain itu, dibahas pula beberapa macam alat ukur beserta penggunaannya dan analisis matematika suatu vektor. 1. Besaran dan Dimensi Besaran adalah keadaan dan sifat-sifat benda yang dapat diukur. Besaran fisika dibedakan menjadi dua yaitu besaran pokok dan besaran turunan. 1.1. Besaran pokok. Besaran pokok adalah besaran yang paling sederhana yang tidak dapat dinyatakan dengan besaran lain yang lebih sederhana. Dalam fisika dikenal tujuh macam besaran pokok yaitu panjang, massa, waktu, arus listrik, suhu, jumlah zat dan intensitas cahaya. Untuk memudahkan pernyataan suatu besaran dengan besaran pokok, dinyatakan suatu simbol yang disebut dimensi. Untuk besaran pokok mekanika (panjang, massa, dan waktu) berturut-turut mempunyai dimensi [L], [M], dan [T]. Besaran pokok ini hanya memiliki besar dan tidak memiliki arah. Tabel 1 menunjukkan satuan, simbol dan dimensi dari besaran pokok. 1.2. Besaran turunan. Besaran turunan adalah besaran yang dapat atau bisa diturunkan dari besaran pokok. Besaran turunan ini memiliki besar dan arah.
1
2
1. PENGUKURAN DAN VEKTOR
Tabel 1. Besaran turunan Besaran Fisika Panjang Massa Waktu Arus listrik Suhu termodinamika Jumlah zat Intensitas cahaya
Satuan meter kilogram sekon ampere kelvin mol kandela
Simbol m kg s A K mol cd
Dimensi L M T I θ N J
BAB 2
Kinematika Gambaran mengenai gerakan benda merupakan bagian yang penting dalam penggambaran alam semesta secara fisis. Masalah ini merupakan inti pengembangan sains dari Aristoteles hingga Galileo. Hukum tentang pergerakan benda-benda yang jatuh telah dikembangkan jauh sebelum Newton mengemukakan gagasannya tentang benda-benda jatuh. Salah satu fenomena ilmiah pada masa awal adalah mempersoalkan gerakan matahari melintasi langit dan gerak revolusi planet serta bintang. Keberhasilan mekanika newton adalah penemuan bahwa gerakan bumi dan planet-planet lain mengelilingi matahari dapat dijelaskan lewat gaya tarik antara matahari dan planet-planet itu. 1. Gerak Satu Dimensi Kita akan mulai dengan benda-benda yang posisinya dapat digambarkan dengan menentukan posisi satu titik agar pembahasan tentang gerak dapat dipahami secara mudah. Benda semacam itu dinamakan partikel. Sebagai contoh, kita anggap bumi sebagai partikel yang bergerak mengelilingi matahari dalam lintasan yang menyerupai lingkaran. Dalam kasus itu, kita hanya fokus terhadap gerakan pusat bumi, sehingga ukuran bumi dan rotasinya dapat diabaikan. Dalam bidang astronomi, keseluruhan tata surya atau bahkan seluruh galaksi kadangkadang diperlakukan sebagai partikel. Jika kita menganalisis rotasi atau struktur internal sebuah benda maka kita tidak dapat lagi memperlakukannya sebagai sebuah partikel tunggal. Akan tetapi, materi kita tentang gerakan partikel tetap berguna, bahkan untuk kasus yang kompleks sekali pun, karena setiap benda dapat dianggap sebagai kumpulan atau ”sistem partikel”. 1.1. Kelajuan, Perpindahan, dan Kecepatan. Kelajuan rata-rata partikel disefinisikan sebagai perbandingan jarak total yang ditempuh terhadap waktu total yang dibutuhkan: jarak total . waktu total Satuan SI kelajuan rata-rata adalah meter per sekon (M/s), dan satuan yang biasanya dipakai di Amerika adalah feet per sekon (ft/s). Secara internasional, satuan yang lebih umum adalah kilometer per jam km/jam. Konsep kecepatan serupa dengan konsep kelajuan akan tetapi berbeda karena kecepatan mencakup arah gerakan. Agar dapat memahami konsep ini, terlebih dahulu kita bahas konsep perpindahan. Pertama, kita buat sistem koordinat dengan memilih titik acuan pada sebuah garis untuk titik asal O. Untuk tiap titik lain pada garis itu kita tetapkan sebuah bilangan x yang menunjukkan seberapa jauhnya titik itu dari titik asal. Tanda x bergantung pada posisi relatifnya terhadap Kelajuan rata-rata =
3
4
2. KINEMATIKA
titik asal O. Kesepakatan yang biasa digunakan adalah titik-titik di kanan titik asal diberi nilai positif dan titik-titik di kiri diberi nilai negatif. Sebagai contoh, ada sebuah mobil yang berada pada posisi x1 saat t1 dan pada posisi x2 saat t2 . Perubahan posisi mobil (x2 −X1 ) dinamakan perpindahan. Dalam fisika biasanya ditulis : ∆x = x2 − x1 . Sementara kecepatan adalah laju perubahan posisi. Kecepatan rata-rata partikel didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan ∆x dan selang waktu ∆t: ∆x x2 − x1 vrata-rata = = . ∆t t2 − t1
BAB 3
Hukum I Newton Mekanika klasik atau mekanika Newton adalah teori tentang gerak yang didasarkan pada konsep massa dan gaya serta hukum - hukum yang menghubungkan konsep - konsep fisis ini dengan besaran kinematika (perpindahan, kecepatan, dan percepatan) yang telah dibahas sebelumnya. Semua gejala mekanika klasik dapat digambarkan dengan menggunakan tiga hukum sederhana yang dinamakan hukum Newton tentang gerak. Hukum Newton menghubungkan percepatan sebuah benda dengan massanya dan gaya - gaya yang bekerja padanya [1]. Hukum - hukum Newton • Hukum I. ”Benda berada pada kondisi tetap seperti keadaan awalnya yang diam atau bergerak dengan kecepatan sama (kecuali jika benda dipengaruhi oleh gaya yang tidak seimbang atau gaya eksternal neto) pada kerangka acuan yang tetap seperti keadaan awalnya pula (diam atau bergerak dengan kecepatan sama)”. Gaya neto yang bekerja pada sebuah benda disebut juga gaya resultan yaitu jumlahPvektor semua gaya yang bekerja pada benda: Fneto = F . P Sementara pada hukum pertama ini besar gaya resultan adalah nol ( F = 0). • Hukum II. ”Percepatan sebuah benda berbanding terbalik dengan massanya dan sebanding dengan gaya eksternal neto yang bekerja”: X Fneto a= , atau F = ma m • Hukum III. ”Gaya - gaya selalu terjadi berpasangan. Jika benda A memberikan gaya pada benda , gaya yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan diberikan oleh benda B kepada benda A (Faksi = −Freaksi )”. 1. Hukum Pertama Newton : Hukum Kelembaman Hukum pertama Newton menyatakan bahwa sebuah benda dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan konstan akan tetap diam atau terus bergerak dengan kecepatan konstan kecuali ada gaya eksternal yang bekerja pada benda itu. Kecenderungan ini digambarkan dengan mengatakan bahwa benda mempunyai kelembaman. Sehubungan dengan itu, hukum pertama Newton sering disebut dengan hukum kelembaman. 2. Gaya, Massa, dan Hukum Kedua Newton Hukum pertama dan kedua Newton dapat dianggap sebagai definisi gaya. Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda mengubah kecepatannya (dipercepat atau diperlambat). Arah gaya adalah arah percepatan 5
6
3. HUKUM I NEWTON
yang disebabkannya jika gaya itu merupakan satu - satunya gaya yang bekerja pada benda tersebut. Besarnya gaya adalah hasil kali massa benda dan besarnya percepatan yang dihasilkan gaya. Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Jika gaya F dikerjakan pada benda bermassa m1 , dan menghasilkan percepatan a1 , maka F = m1 a1 . Jika gaya yang sama dikerjakan pada benda kedua yang massanya m2 , dan menghasilkan suatu percepatan a2 , maka F = m2 a2 . Dengan menggabungkan persamaan - persamaan ini didapatkan F = m1 a1 = m2 a2 atau a1 m2 = m1 a2 Benda standar internasional adalah sebuah silinder campuran platinum yang disimpan di Bureau of Weights and Measures di Severes, Perancis. Satuan SI untuk massa benda adalah 1 kilogram. Gaya yang diperlukan untuk menghasilkan percepatan 1 m/s2 pada benda standar adalah 1 newton (N). (2.1)
BAB 4
Hukum II Newton Bab keempat ini membahas penggunaan hukum Newton pada contoh kasus kehidupan sehari - hari yang lebih nyata. Bab ini juga membahas secara singkat gerakan benda yang dipengaruhi gaya hambat, yang tidak konstan tetapi bergantung pada kecepatan benda. Oleh sebab itu, diperlukan suatu kemampuan untuk mendekati persoalan yang diawali dengan membuat gambar dan kemudian menunjukkan gaya - gaya penting yang bekerja pada tiap benda dalam diagram benda bebas. 1. Gesekan Jika Anda ingin memindahkan lemari pakaian besar yang diam di atas lantai dengan gaya horizontal yang kecil, maka mungkin saja lemari itu tidak bergerak sama sekali. Mengap ini terjadi? Alasannya sederhana yaitu karena lantai juga melakukan gaya horizontal terhadap lemari yang dinamakan gaya gesek statis fs . Gaya gesek ini disebabkan oleh ikatan molekul - molekul lemari dan lantai di daerah terjadinya kontak yang sangat erat antara kedua permukaan. Gaya ini berlawanan arah dengan gaya luar yang dikerjakan. Gaya gesek statis agak mirip dengan gaya pendukung yang dapat menyesuaikan dari nol sampai suatu gaya maksimum fs,maks , bergantung seberapa kuat Anda mendorong. Jika kotak meluncur, ikatan molekuler secara terus - menerus dibentuk dan dipecah, sementara potongan - potongan kecil permukaan berpecahan. Hasilnya adalah sebuah gaya gesek kinetik fk (gesekan luncuran) yang melawan gerakan. Untuk mempertahankan kotak agar meluncur dengan kecepatan konstan, Anda harus mengerjakan gaya yang sama besar dan berlawanan arah dengan gaya gesek kinetik ini. Mari kita lanjutkan contoh kasus di atas. Misalkan lemari yang Anda pindahkan tadi bermassa 10 kg dengan luas sisi 1 m2 dan luas ujun 20 cm2 . Jika lemari berada dengan sisinya di atas lantai, hanya sebagian kecil dari total 1 m2 yang benar - benar dalam kontak mikroskopik dengan lantai. Jika lemari ditempatkan dengan ujungnya di atas lantai, bagian luas total yang benar - benar dalam kontak mikroskopik bertambah dengan faktor 50 karena gaya normal per satuan luas 50 kali lebih besar. Namun, karena luas ujung adalah seperlima puluh luas sisi, maka luas kontak mikroskopik yang sesungguhnya tidak berubah. Jadi gaya gesekan statis maksimum fs,maks sebanding dengan gaya normal antara permukaan - permukaan : fs,maks = µs Fn , dengan µs dinamakan koefisien gesek statis. Koefisien gesek statis ini bergantung pada sifat permukaan lemari dan lantai. Jika Anda mengerjakan gaya horizontal yang lebih kecil dari fs,maks pada lemari maka gaya gesek akan tepat mengimbangi gaya yang Anda kerjakan pada lemari tersebut. Sera matematis, dapat kita tulis 7
8
4. HUKUM II NEWTON
sebagai berikut: fs,maks ≤ µs Fn .
(1.1)
Selain itu, gaya gesek kinetik juga berlawanan arah dengan arah gerakan. Seperti gaya gesek statis, gaya gesek kinetik merupakan gejala yang kompleks dan sulit untuk dimengerti secara utuh. Koefisien gesek kinetik µk didefinisikan sebagai rasio antara besar gaya gesek kinetik fk dan gaya normal Fn atau kita tulis sebagai berikut: (1.2)
fk = µk Fn .
Secara eksperimen dibuktikan bahwa: (1) µk lebih kecil dari µs (2) µk bergantung pada kelajuan relatif permukaan, akan tetapi untuk kelajuan sekitar 1 cm/s hingga beberapa meter per sekon µk hampir konstan (3) µk (seperti µs ) bergantung pada sifat permukaan - permukaan yang bersentuhan akan tetapi tidak bergantung pada luas kontak (makroskopik) Kita dapat mengukur µs dan µk antara dua permukaan hanya dengan menempatkan sebuah balok pada datar yang memiliki kemiringan tertentu hingga balok mulai meluncur. Misal θc adalah sudut kritis ketika balok mulai meluncur. Untuk sudut - sudut yang kurang dari nilai sudut kritis maka balok berada dalam kesetimbangan statik di bawah pengaruh beratnya, gaya normal, dan gaya gesek statis. Ilustrasi pergerakan balok ini dapat dilihat pada Gambar 1. Dengan memilih sumbu x sejajar permukaan bidang dan sumbu y tegak lurus dengan permukaan, maka
Gambar 1. Gaya - gaya yang bekerja pada sebuah balok bermassa m pada bidang miring yang kasar. kita dapatkan X
Fy
=
0
Fn − m g cos(θ)
=
0
Fn
=
m g cos(θ) ,
1. GESEKAN
9
dan X
Fx
=
0
m g sin(θ) − fs
=
0
fs
= m g sin(θ) .
Sehingga kita dapatkan nilai fs fs
= m g sin(θ) Fn = sin(θ) cos(θ) = Fn tan(θ) .
Karena fs = µs Fn , maka nilai µs adalah µs = tan(θc ) . Jadi koefisien gesek statis sama dengan tangen sudut kemiringan saat balok tepat mulai meluncur. Pada sudut yang lebih besar dari θc , balok meluncur ke bawah bidang miring dengan percepatan ax . Dalam kasusu ini gaya gesek yang bekerja adalah µk Fn sehingga kita dapatkan X Fx = m ax m g sin(θ) − µk Fn
=
m ax .
Karena telah kita ketahui bahwa Fn = m g cos(θ) maka nilai percepatannya adalah ax = g (sin(θ) − µk cos(θ)) . Jika kita dapat mengukur percepatan ax maka kita dapat mengukur µk untuk kedua permukaan. Tabel 1 menampilkan beberapa nilai pendekatan µs dan µk untuk berbagai bahan [1].
Contoh Soal D.1 Koefisien gesek statis antara ban mobil dan jalan pada suatu masa adalah 0,7. Berapakah sudut kemiringan jalan yang paling terjal agar mobil dapat diparkir dengan roda terkunci dan tidak meluncur ke bawah bukit?
Tabel 1. Beberapa nilai - nilai pendekatan koefisien gesek Bahan µs Baja pada baja 0,7 Kuningan pada baja 0,5 Tembaga pada besi tuang 1,1 Kaca pada kaca 0,9 Teflon pada teflon 0,04 Teflon pada baja 0,04 Karet pada beton (kering) 1,0 Karet pada beton (basah) 0,3 Ski yang licin pada salju (0o C) 0,1
µk 0,6 0,4 0,3 0,4 0,04 0,04 0,80 0,25 0,05
10
4. HUKUM II NEWTON
JAWAB : Ingat hubungan antara koefisien gesek statis dan sudut kritis µs = tan(θc ) . Maka besar sudut kritis adalah θc
=
arctan(µs )
=
arctan(0, 7) = 34, 992o
Contoh Soal D.2 Sebuah kotak meluncur sepanjang lantai horizontal dengan kelajuan awal 2,5 m/s. Kotak berhenti setelah meluncur 1,4 m. Carilah koefisien gesek kinetik. JAWAB : Pada arah vertikal berat kotak telah diimbangi oleh gaya normal lantai Fn = m g . Satu - satunya gaya horizontal yang bekerja pada kotak adalah gaya gesek kinetik (yang memiliki arah berlawanan dengan arah gerak kotak). Jika kita misalkan kecepatan adalah dalam arah positif, maka gaya gesek adalah = −µk Fn
f
= −µk m g . Dengan demikian percepatannya adalah a
f m = −µk g . =
Karena percepatan konstan dan kecepatan akhir adalah nol maka dapat kita kerjakan sebagai berikut v 2 = v02 + 2 a ∆x = 0 a
v02 2 ∆x (2, 5 m/s)2 = − = −2, 23 m/s2 2(1, 4 m) = −
Maka koefisien gesek kinetik adalah µk
a g −2, 23 m/s2 = − = 0, 228 9, 81 m/s2 = −
2. Gaya - gaya Hambat Saat sebuah benda bergerak melalui fluida seperti udara atau zat cair maka fluida melakukan gaya hambat atau gaya yang memperlambat dan cenderung mengurangi kelajuan benda. Gaya hambat ini bergantung pada bentuk benda, sifat fluida dan pada kelajuan benda relatif terhadap fluida. Tidak seperti gaya gesek biasa, gaya hambat bertambah jika kelajuan benda bertambah. Untuk kelajuan yang kecil, gaya hambat hampir sebanding dengan kelajuan benda; untuk kelajuan yang lebih tinggi gaya ini mendekati kuadrat kelajuan benda.
3. GAYA SENTRIPETAL
11
Contohnya, sebuah bola pejal dijatuhkan dari keadaan diam kemudian jatuh karena pengaruh gaya gravitasi (dengan asumsi besarnya konstan) dan gaya hambat yang besarnya b v n , dengan b dan n adalah suatu konstanta. Jadi, kita mempunyai gaya ke bawah yang konstan m g dan gaya ke atas b v n . Jika arah ke bawah diambil positif, maka dari hukum kedua Newton didapat Fneto
=
ma
=
m g − b vn = m a
Pada t = 0 saat bola jatuh kelajuan awal nol, sehingga gaya yang memperlambat adalah nol sementara itu ada percepatan g yang arahnya ke bawah. Jika kelajuan bola bertambah, gaya hambat bertambah dan percepatannya berkurang dari g. Pada akhirnya, kelajuan cukup besar bagi gaya hambat b v n untuk menyamai gaya gravitasi m g, sehingga percepatan adalah nol. Artinya bola bergerak dengan kelajuan konstan vt , yang disebut kelajuan terminal. Dengan demikian kita peroleh hubungan m g = b vtn . Sehingga kelajuan terminal adalah m g n1 (2.1) vt = b Makin besar konstanta b makin kecil pula kelajuan terminalnya. Konstanta b bergantung pada bentuk benda. Sebuah parasut dirancang agar b besar sehingga kelajuan terminal kecil. Sebaliknya mobil dirancang agar b kecil untuk mereduksi pengaruh resistansi angin.
Contoh Soal D.3 Seorang penerjun bebas dengan massa 64 kg mencapai kelajuan terminal 180 km/jam dengan lengan dan kakinya terbentang. (a) Berapakah gaya hambat ke atas pada penerjun bebas? (b) Jika gaya hambat sama dengan b v 2 , berapakah nilai b? JAWAB : (a) Karena penerjun bebas bergerak dengan kecepatan konstan, gaya ke bawah padanya m g harus diimbangi oleh gaya hambat ke atas Fd Fd
= mg =
(64 kg)(9, 81 m/s2 ) = 628 N
(b) Dengan mengambil b v 2 sama dengan 628 N dang menggunakan v = 180 km/jam = 50 m/s kita dapatkan b v2
= =
628 N 628 N = 0, 251 kg/m (50 m/s)
3. Gaya Sentripetal Suatu benda yang bergerak pada suatu lingkaran berjari - jari r, dengan ke2 cepatan v, mengalami percepatan ~a yang besarnya vr (telah kita bahas pada Bab 2 subseksi Gerak Melingkar). Arah vektor percepatan ~a selalu menuju pusat lingkaran dan selalu tegak lurus dengan vektor kecepatan ~v . Gaya sentripetal yang bekrja adalah (3.1)
F =m
v2 r
12
4. HUKUM II NEWTON
Jadi pada setiap gerak melingkar selalu terdapat gaya total, gaya sentripetal yang arahnya ke pusat lingkaran
Contoh Soal D.4 Badul konis (conical pendulum) adalah suatu bandul yang terikat suatu benda bermassa m yang berputar melingkar pada bidang datar dengan kecepatan v (lihat Gambar 2). Hitung periode getaran τ .
Gambar 2. Gaya - gaya yang bekerja pada bandul konis yang terikat suatu benda bermassa m dan berputar melingkar pada bidang datar dengan kecepatan v.
JAWAB : Jika tali membuat sudut θ dengan garis vertikal, maka jari - jari lintasan R = l sin(θ). Gaya -gaya yang bekerja pada massa m adalah T (tegangan tali) dan w (gaya berat). Tentunya T + w 6= 0 sehingga resultan kedua gaya ini adalah T cos(θ) = w = m g atau T =
mg cos(θ)
Sementara itu besar T sin(θ) sama dengan gaya sentripetal yang membuat benda bergerak melingkar dengan kecepatan v yang konstan:
T sin(θ) = m
p v2 atau v = R g tan(θ) r
4. GAYA GRAVITASI
13
Jika τ adalah waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu putaran dan R = l sin(θ) maka τ
= = =
2πR v 2 π l sin(θ) p l sin(θ) g tan(θ) p l cos(θ) 2π g
Perhatikan bahwa τ disebut juga periode dari getaran dan tidak bergantung pada massa.
4. Gaya Gravitasi Hingga abad ke-17 kecenderungan benda untuk jatuh ke bumi dianggap sebagai sifat hakiki dari benda sendiri yang tidak perlu diterangkan lebih lanjut. Sir Isaac Newton tidak sependapat tentang ini. Berat benda harus dianggap sebagai gaya tarik yang terjadi antara bumi dengan benda tersebut. Newton membandingkan gerakan apel yang jatuh dari dahannya dengan bulan yang mengelilingi bumi. Apel yang terlepas dari dahannya mengalami gaya tarik dari bumi, dan memperpendek jaraknya dengan pusat bumi, maka ia jatuh ke tanah. Lain halnya dengan bulan, bulan mempunyai kecepatan tangensial yang seharusnya membuat ia menjauhi bumi. Tetapi gaya tarik yang bekerja antara bulan dengan bumi mencegah hal tersebut terjadi. Jarak bulan dan bumi, kecepatan tangensial relatif bulan terhadap bumi, dan gaya tarik bulan dengan bumi, membuat bulan mengelilingi bumi pada lintasannya [5]. Newton menyimpulkan gaya tarik yang bekerja tersebut di dalam Hukum Gravitasi Universalnya (”The law of universal gravitation”). Gaya yang bekerja antara dua partikel yang bermassa m1 dan m2 serta terpisah sejauh r adalah gaya tarik menarik sepanjang garis hubung kedua partikel tersebut yang besarnya (4.1)
F =G
m1 m2 , r2
dengan G adalah konstanta universal yang sama untuk semua partikel. Konstanta universal G yang berdimensi L3 M−1 T−2 merupakan besaran skalar dan yang dipakai sekarang diperoleh dari P. R. Heyl dan P. Chizanowski dari U. S. National Bureau of Standards (USA) tahun 1942 yaitu G = 6, 6732 × 10−11 N m2 /kg2 Mari kita ”menimbang” bumi untuk mencari massanya. Misal massa bumi ME dan suatu benda pada permukaan bumi bermassa m mempunyai berat w, gaya tarik menarik yang bekerja pada keduanya F = w = m g sedang F =G
m ME , 2 RE
dengan RE adalah jari - jari bumi yang merupakan jarak antara benda dan pusat bumi, sementara g adalah percepatan gravitasi pada permukaan bumi. Sehingga
14
4. HUKUM II NEWTON
kita dapatkan ME
= = =
2 g RE G (9, 81 ms2 )(6, 37 × 106 m)2 6, 6732 × 10−11 N m2 /kg2
5, 97 × 1024 kg = 5, 97 × 1021 ton
Jika massa bumi ini dibagi dengan volumenya maka kita dapatkan kerapatan massa bumi rata - rata 5,5 gram/cm3 atau sekitar 5,5 kali kerapatan air. Dari contoh ini dapat kita simpulkan bahwa percepatan gravitasi G ME , r2 merupakan besaran yang tidak konstan dan bergantung pada jarak benda ke pusat bumi. (4.2)
g(r) =
Contoh Soal D.5 Seorang astronot yang bermassa 80 kg ingin mengetahui beratnya pada: (a) permukaan matahari (b) permukaan bulan diketahui massa matahari = 2,0 ×1030 kg, massa bulan = 7,35 ×1022 kg dan jari - jari matahari = 6,96 ×108 m sementara jari - jari bulan 1,74 ×106 m JAWAB : (a) berat astronot tersebut di permukaan matahari adalah WS
= = =
G
m MS RS2
(6, 6732 × 10−11 N m2 /kg2 )(80 kg)(2, 0 × 1030 kg) (6, 96 × 108 m)2 22 030, 7 N
(b) berat astronot tersebut di permukaan bulan adalah WM
= G = =
m MM 2 RM
(6, 6732 × 10−11 N m2 /kg2 )(80 kg)(7, 35 × 1022 kg) (1, 74 × 106 m)2 129, 5 N 5. Gerak Planet dan Satelit
Gerakan benda - benda angkasa dalam sistem tata surya kita disimpulkan oleh Johannes Keppler (1571 - 1630) dalam tiga poin penting yaitu: (1) Semua planet - planet bergerak dalam orbit berbentuk ellips dengan matahari berada di salah satu fokusnya (hukum dari orbit) (2) Garis hubung antara planet dengan matahari melintasi luasan yang sama dan waktu yang sama (hukum dari luasan) (3) Kuadrat dari periode planet mengelilingi matahari sebanding dengan pangkat tiga jarak rata - rata antara planet dengan matahari (hukum dari periode)
5. GERAK PLANET DAN SATELIT
15
Gambar 3. Dua benda bergerak melingkar di bawah pengaruh gaya tarik menarik gravitasi. Hukum - hukum di atas ini dapat diturunkan dari hukum hukum kinematika dan gravitasi Contohnya benda bermassa M dan m bergerak melingkar di bawah pengaruh gaya tarik gravitasi yang bekerja di antara mereka. Pusat massa dari sistem dua benda ini berada di titik C sedemikan hingga m r = M R (lihat Gambar 3). Hitung periode getaran τ . Benda yang besar bermassa M mempunyai jari - jari lintasan R, benda kecil bermassa m mempunyai jari - jari lintasan r. Gaya sentripetal yan bekerja (FC ) dapat ditulis sebagai berikut FC = m ω 2 r = M ω 2 R atau (5.1)
GM m = m ω2 r , (R + r)2
dengan ω adalah kecepatan sudut masing - masing benda. Jika M >> m seperti halnya massa matahari yang jauh lebih besar dari massa bumi, maka R dapat diabaikan terhadap r. Persamaan (5.1) menjadi G Ms = ω 2 r3 , dengan MS adalah massa matahari. Karena ω = 2Tπ dan T aadalah periode putaran maka 2 2π (5.2) G Ms = r3 . T Persamaan (5.2) adalah persamaan dasar dari gerakan planet - planet yang berlaku juga untuk lintasan ellips dengan r adalah setengah sumbu panjangnya. Persamaan (5.2) dapat pula ditulis dalam bentuk 4 π2 3 r , GM yang sesuai dengan hukum Keppler ketiga T2 =
Contoh Soal D.6 Jika periode T dan jari - jari r dari suatu planet dapat diketahui maka Persamaan (5.2) dapat dipakai untuk menentukan massa matahari MS . Misal, periode
16
4. HUKUM II NEWTON
mengelilingi matahari T = 365 hari = 3, 1517 sekon, sementara jari - jari orbitnya adalah r = 1, 5 × 1011 m. JAWAB : MS
=
4 π2 r3 GT2
=
(4 π 2 )(1, 5 × 1011 m)3 (6, 6732 × 10−11 N m2 /kg2 )(3, 1517 s)
≈ 2, 0 × 1030 kg Massa matahari adalah 300.000 kali massa bumi. Kesalahan yang dibuat dengan mengabaikan harga R terhadap r adalah sangat kecil, karena m r R = M 1 = r 300 000 atau 1 R ≈ dari 1% r 300 000 6. Soal Latihan Soal 4.1 Dua anak yang berada di atas kereta luncur ditarik melewati tanah yang diselimuti salju. Kereta luncur ditarik dengan tali yang membuat sudut dengan sumbux positif. Anak - anak itu mempunyai massa gabungan 45 kg dan kereta luncur mempunyai massa 5 kg. Koefisien gesek statis dan kinetik adalah 0,2 dan 0,15. Cari gaya gesek yang dikerjakan tanah pada kereta dan percepatan anak - anak serta kereta jika tegangan tali adalah (a) 100 N dan (b) 140 N Soal 4.2 Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 30 m/s sepanjang jalan horizontal. Koefisien gesekan antara jalan dan ban adalah µs = 0, 5 dan µk = 0, 3. Berapa jauh mobil bergerak sebelum berhenti jika (a) mobil direm secara hati - hati sehingga roda - roda hampir selip dan (b) mobil direm keras agar roda terkunci Soal 4.3 Sebuah mobil bergerak di atas jalan horizontal pada suatu lingkaran berjari - jari 30 m. Jika koefisien gesek statis 0,6, maka hitung cepat mobil agar dapat bergerak tanpa selip Soal 4.4 Sebuah lengkungan berjari - jari 30 m dimiringkan dengan sudut θ. Cari θ agar mobil dapat mengelilingi lengkungan itu dengan kelajuan 40 km/jam walaupun jalan licin. Soal 4.5 Sebuah balok tergantung pada tali yang tak bermassa yang melewati suatu katrol yang licin dan dihubungkan ke balok lain pada meja yang licin pula. Hitung percepatan tiap balok dan tegangan tali. Soal 4.6 Sebuah balok bermassa m1 berada di atas balok kedua yang massanya m2 . Balok kedua ini berada di atas meja horizontal yang licin. Sebuah gaya F dikerjakan
6. SOAL LATIHAN
17
Gambar 4. Ilustrasi gaya yang bekerja terhadap dua benda pada soal 4.6.
pada balok bawah seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4. Koefisien gesek statis dan kinetik antara balok - balok adalah µs dan µk (a) Cari nilai maksimum F yang menyebabkan balok tidak saling bergeser satu sama lain. (b) Cari percepatan tiap balok jika F lebih besar dari nilai ini. Soal 4.7 Suatu benda bermassa 0,8 kg berada pada bidang miring yang membuat sudut θ dengan bidang datar. Koefisien gesek kinetik dengan bidang 0,3 dan g = 9, 8 m/s2 . Berapa gaya yang diberikan agar bergerak (a) ke atas atau (b) ke bawah? (untuk kedua hal anggap bahwa benda bergerak beraturan dengan percepatan konstan 0,1 m/s2 ) Soal 4.8 Suatu balok bermassa m1 = 3 kg berada di atas balok kedua m2 = 5 kg. Anggap tak ada gesekan antara balok m2 dengan lantai. Sementara itu kofisien gesek statis dan kinetik antara kedua balok adalah 0,2 dan 0,1. Kemudian balok kedua didosong dengan gaya sebesar F . Tentukan (a) gaya maksimum yang dapat dikenakan pada balok agar balok - balok bergerak tetapi dengan keadaan m1 tetap di atas balok m2 . Hitung pula percepatannya. (b) percepatan pada balok m1 dan m2 jika gaya yang lebih besar dari gaya maksimum pada (a) dikerjakan pada m2 . Soal 4.9 Sebuah bola ping pong memiliki massa 2,3 gram dan kelajuan terminalnya 9 m/s. Gaya hambat berbentuk b v 2 . Berapa nilai b? Soal 4.10 Sebuah kursi bergeser melintasi lantai yang dipoles dengan kelajuan awal 3 m/s. Setelah bergeser sejauh 2 m kursi berhenti. Berapakah koefisien gesek kinetik antara lantai dan kursi? Soal 4.11 Sebuah benda berada di bawah pengaruh gravitasi dan gaya hambat Fd = −b v (a) Tunjukkan bahwa percepatan benda dapat ditulis sebagai berikut v a=g 1− , vt dengan vt = mg/b adalah kelajuan terminal.
18
4. HUKUM II NEWTON
(b) Selesaikan secara numerik untuk mendapatkan sebuah grafik v terhadap t dan sebuah grafik x terhadap t untuk vt = 60 m/s Soal 4.12 Sebuah benda jatuh karena pengaruh gravitasi dan sebuah gaya hambat Fd = −b v (seperti pada soal 4.11) (a) Tunjukkan bahwa percepatan benda dapat ditulis a=
dv b =g− v dt m
(b) Susun kembali nilai percepatan ini menjadi dv g−
b v
v
= dt
(c) Integrasikan persamaan ini untuk mendapatkan solusi eksak −g t −b t mg 1 − e( m ) = v t 1 − e( vt ) v= b (d) Gambar v terhadap t untuk v4 = 60 m/s dan bandingkan hasil ini dengan pemecahan numerik pada soal 4.11(b) Soal 4.13 Sebuah balok 2 kg berada di atas balok 4 kg yang diam di atas meja licin. Koefisien gesek antara kedua balok µs = 0, 3 dan µk = 0, 2. Gaya sebesar F digunakan untuk menarik balok 4 kg (a) Berapa gaya maksimum F yang dapat diberikan jika balok 2 kg tidak boleh bergeser dari balok 4 kg? (b) Jika F mempunyai stengah nilai ini maka cari percepatan tiap balok dan gaya gesek yang bekerja pada tiap balok. (c) Jika F dua kali nilai yang didapat dari soal (a) maka cari percepatan tiap balok. Soal 4.14 Sebuah tangan mendorong dua benda pada permukaan licin. Massa benda pertama 1 kg dan benda kedua yang tepat berada di depan benda kedua memiliki massa 1 kg. Tangan mengerjakan gaya 5 N pada benda 2 kg. (a) Berapakah percepatan sistem? (b) Berapakah percepatan benda 1 kg? Berapa gaya yang dikerjakan padanya? Dari mana asal gaya ini? (c) Tunjukkan semua gaya yang bekerja pada benda 2 kg. Berapakah gaya neto yang bekerja pada benda ini? Soal 4.15 Dua benda dihubungkan oleh tali tak bermassa yang bertumpu pada suatu katrol, benda pertama berada pada permukaan bidang miring yang memiliki sudut θ sementara benda kedua tergantung bebas. Anggap permukaan bidang miring dan katrol licin. Cari percepatan benda pertama dan kedua serta tegangan talu untuk (a) θ = 30o dan m1 = m2 = 5 kg serta (b) untuk nilai - nilai umum θ, m1 dan m2 Soal 4.16 Sebuah kotak 3 kg diam di atas meja horizontal. Kotak itu diikatkan pada kotak 2 kg lewat tali ringan yang bertumpu pada suatu katrol yang licin. (a) Berapa koefisien gesek statis minimum supaya benda tetap diam ?
6. SOAL LATIHAN
19
(b) Jika koefisien gesek statis lebih kecil dari yang ditemukan di soal (a) dan koefisien gesek kinetik antara kotak dan meja adalah 0,3 maka cari waktu agar massa 2 kg jatuh 2 m ke tanah jika sistem mulai dari keadaan diam. Soal 4.17 Mesin Atwood berupa benda satu yang dikaitkan dengan tali pada benda kedua melewati suatu katrol yang terpasang diam di langit - langit. Mesin ini digunakan untuk mengukur percepatan gravitasi g dengan mengukur percepatan benda - benda. Dengan asumsi tali tak bermassa dan katrol licin tunjukkan bahwa besarnya percepatan masing - masing benda adalah m1 − m2 a= m1 + m2 sementara tegangan tali adalah 2 m1 − m2 g T = m1 + m2 Soal 4.18 Seperti pada contoh soal D.6 periode T dan jari - jari r dari suatu planet. Misal jari - jari orbitnya adalah r = 1, 5 × 10111 m. Hitung jari - jari orbitnya Soal 4.19 Seperti pada contoh soal D.5 hitung berat astronot yang bermassa 100 kg ketika dia berada di permukaan planet merkurius, venus, mars, jupiter, saturnus, uranus dan neptunus. Soal 4.20 Gunakan hukum Keppler ketiga untuk menentukan jari - jari planet A yang mengelilingi matahari 27 kali lebih lama dibanding waktu yang dibutuhkan oleh bumi dan tentukan pula waktu revolusi planet B yang memiliki jari - jari 10 kali lebih besar dari jari - jari bumi.
Bibliografi [1] P. A. Tipler, 1991, Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta. [2] F. W. Sears, M. W. Zemansky, 1982, Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi, Penerbit Binacipta, Bandung. [3] G. Woan, 2000, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press, Cambridge. [4] R. Feynman, 1964, The Feynman Lectures on Physics Volume 1, Addison-Wesley Publishing Company, London. [5] Tim Dosen ITS, 2006, Fisika I: Kinematika, Dinamika, Getaran, Panas, FMIPA, ITS
21
