FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO

i

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I ROSYID ADRIANTO Departemen Fisika Universitas Airlangga, Surabaya E-mail address, P. Carlson: i an [email protected] URL: http://www.rosyidadrianto.wordpress.com

Puji syukur atas kehadirat Allah swt yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga dapat diterbitkannya buku ”FISIKA UNTUK UNIVERSITAS JILID I” ini. Ringkasan. Buku Fisika untuk Universitas Jilid I ini diterbitkan untuk menunjang materi kuliah Rosyid Adrianto, S.Si., di kelas.

Daftar Isi Bab 1.

Pengukuran dan Vektor

1

Bab 2. Kinematika 1. Gerak Satu Dimensi 2. Gerak Dua Dimensi dan Tiga Dimensi 3. Soal Latihan

3 3 8 12

Bibliografi

15

v

BAB 1

Pengukuran dan Vektor

1

BAB 2

Kinematika Gambaran mengenai gerakan benda merupakan bagian yang penting dalam penggambaran alam semesta secara fisis. Masalah ini merupakan inti pengembangan sains dari Aristoteles hingga Galileo. Hukum tentang pergerakan benda-benda yang jatuh telah dikembangkan jauh sebelum Newton mengemukakan gagasannya tentang benda-benda jatuh. Salah satu fenomena ilmiah pada masa awal adalah mempersoalkan gerakan matahari melintasi langit dan gerak revolusi planet serta bintang. Keberhasilan mekanika newton adalah penemuan bahwa gerakan bumi dan planet-planet lain mengelilingi matahari dapat dijelaskan lewat gaya tarik antara matahari dan planet-planet itu. 1. Gerak Satu Dimensi Kita akan mulai dengan benda-benda yang posisinya dapat digambarkan dengan menentukan posisi satu titik agar pembahasan tentang gerak dapat dipahami secara mudah. Benda semacam itu dinamakan partikel. Sebagai contoh, kita anggap bumi sebagai partikel yang bergerak mengelilingi matahari dalam lintasan yang menyerupai lingkaran. Dalam kasus itu, kita hanya fokus terhadap gerakan pusat bumi, sehingga ukuran bumi dan rotasinya dapat diabaikan. Dalam bidang astronomi, keseluruhan tata surya atau bahkan seluruh galaksi kadangkadang diperlakukan sebagai partikel. Jika kita menganalisis rotasi atau struktur internal sebuah benda maka kita tidak dapat lagi memperlakukannya sebagai sebuah partikel tunggal. Akan tetapi, materi kita tentang gerakan partikel tetap berguna, bahkan untuk kasus yang kompleks sekali pun, karena setiap benda dapat dianggap sebagai kumpulan atau ”sistem partikel”. 1.1. Kelajuan, Perpindahan, dan Kecepatan. Kelajuan rata-rata partikel disefinisikan sebagai perbandingan jarak total yang ditempuh terhadap waktu total yang dibutuhkan: jarak total . waktu total Satuan SI kelajuan rata-rata adalah meter per sekon (M/s), dan satuan yang biasanya dipakai di Amerika adalah feet per sekon (ft/s). Secara internasional, satuan yang lebih umum adalah kilometer per jam km/jam. Konsep kecepatan serupa dengan konsep kelajuan akan tetapi berbeda karena kecepatan mencakup arah gerakan. Agar dapat memahami konsep ini, terlebih dahulu kita bahas konsep perpindahan. Pertama, kita buat sistem koordinat dengan memilih titik acuan pada sebuah garis untuk titik asal O. Untuk tiap titik lain pada garis itu kita tetapkan sebuah bilangan x yang menunjukkan seberapa jauhnya titik itu dari titik asal. Tanda x bergantung pada posisi relatifnya terhadap Kelajuan rata-rata =

3

4

2. KINEMATIKA

titik asal O. Kesepakatan yang biasa digunakan adalah titik-titik di kanan titik asal diberi nilai positif dan titik-titik di kiri diberi nilai negatif. Sebagai contoh, ada sebuah mobil yang berada pada posisi x1 saat t1 dan pada posisi x2 saat t2 . Perubahan posisi mobil (x2 −X1 ) dinamakan perpindahan. Dalam fisika biasanya ditulis : ∆x = x2 − x1 . Sementara kecepatan adalah laju perubahan posisi. Kecepatan rata-rata partikel didefinisikan sebagai perbandingan antara perpindahan ∆x dan selang waktu ∆t: ∆x x2 − x1 vrata-rata = = . ∆t t2 − t1 1.2. Kecepatan Sesaat. Gambar 1 adalah kurvax versus t yang menunjukkan urutan selang waktu, ∆t1 , ∆t2 , ∆t3 , · · · , yang masing-masing lebih kecil dari pada selang sebelumnya. Untuk tiap selang waktu ∆t, kecepatan rata-rata adalah kemiringan garis lurus yang sesuai untuk selang itu. Gambar 1 menunjukkan bahwa, jika selang waktu menjadi lebih kecil, garis lurusnya menjadi semakin curam, tetapi garis tersebut tak pernah lebih miring dari pada garis singgung pada kurva di titik t1 . Kemiringan garis singgung ini kita definisikan sebagai kecepatan sesaat pada t1 .

Gambar 1. Grafik x versus t. Jika selang waktu yang dimulai dari t1 diperkecil, kecepatan rata-rata untuk selang itu mendakati gradien pada kurva saat t1 . Kecepatan sesaat didefinisikan sebagai gradien ini. Definisi lain tentang kecepatan sesaat adalah limit rasio ∆x/∆t jika ∆t mendekati nol : ∆x (1.1) lim = gradien garis yang menyinggung kurva x terhadap t . ∆t→0 ∆t Limit ini dinamakan turunan x terhadap t. Dalam notasi matematis turunan biasa ditulis: ∆x dx lim = . ∆t→0 ∆t dt Sementara itu, besarnya kecepatan sesaat adalah kelajuan sesaat.

1. GERAK SATU DIMENSI

5

1.3. Percepatan. Jika kecepatan sesaat sebuah partikel berubah seiring dengan berubahnya waktu maka dengan kata lain partikel itu dipercepat. Percepatan rata-rata untuk suatu selang waktu tertentu ∆t = t2 − t1 didefinisikan sebagai rasio ∆v/∆t dengan ∆v = ∆v2 − ∆v1 adalah perubahan kecepatan sesaat untuk selang waktu tersebut: ∆v (1.2) arata-rata = . ∆t Dimensi percepatan adalah panjang dibagi (waktu)2 . Satuan yang umum adalah meter per sekon kuadrat (m/s2 ) atau feet per sekon sekon kuadrat (ft/s2 ). Percepatan sesaat adalah limit rasio ∆v/∆t dengan ∆t mendekati nol. Definisi lain percepatan sesaat adalah gradien garis yang menyinggung kurva saat t: ∆v = gradien garis yang menyinggung kurva v terhadap t . ∆t→0 ∆t Jadi percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu. Notasi matematis untuk turunan ini adalah dv/dt. Karena kecepatan adalah turunan posisi x terhadap t, percepatan adalah turunan kedua x terhadap t, biasa ditulis d2 x/dt2 : (1.3)

a = lim

a=

d(dx/dt) d2 x dv = = 2 . dt dt dt

1.4. Gerakan dengan Percepatan Konstan. Percepatan konstan adalah gradien kurva v terhadap t adalah konstan artinya kecepatan berubah secara linier terhadap waktu. Jika nilai kecepatan adalah v0 saat t = 0, nilai v saat t berikutnya diberikan oleh (1.4)

v = v0 + a t .

Sementara, perpindahannya adalah (1.5)

∆x = vrata-rata t =

1 (v0 + v) t 2

Dengan demikian, fungsi posisinya adalah 1 2 at 2 Sementara untuk mengetahui kecepatan akhir partikel saat waktu t adalah (1.6)

(1.7)

x = x 0 + v0 t +

v 2 = v02 + 2 a ∆x

1.5. Integrasi. Telah kita pahami bahwa untuk mendapatkan fungsi kecepatan dan percepatan dari suatu fungsi posisi dapat diperoleh dari diferensiasinya (turunannya). Sebaliknya, untuk mendapatkan fungsi posisi x jika diketahui kecepatan v atau percepatan a, maka dilakukan prosedur yang disebut integrasi. Sebagai contoh, jika percepatan konstan dv =a, dt maka kecepatan adalah fungsi waktu. Fungsi semacam itu adalah v = at . Dengan menambahkan kontanta v0 maka didapat v = v0 + a t .

6

2. KINEMATIKA

Kontanta v0 adalah kecepatan awal. Sementara fungsi posisi yang diperoleh adalah x = x0 + v 0 t +

1 at , 2

dengan x0 adalah posisi awal. Persoalan integrasi berhubungan dengan persoalan menemukan luas di bawah kurva. Pada kasus kecepatan konstan v0 , perubahan posisi ∆x selama ∆t adalah : δx = v0 ∆t .

Gambar 2. Grafik v(t) versus t. Perpindahan untuk selang ∆ti diperkecil mendekati vi ∆ti yang ditandai dengan daerah yang diarsir. Interpretasi grafis tentang perpindahan sebagai luas di bawah kurva v terhadap t ini adalah benar, baik untuk kasus dengan kecepatan konstan maupun kecepatan yang berubah-ubah, seperti pada Gambar 2. Jika selang waktu ∆t ini kita bagi lagi dengan nilai yang menjadi lebih kecil maka akan kita dapatkan selang waktu yang lebih kecil ∆t1 , ∆t2 , ∆t3 , dan seterusnya. Sehingga, perubahan posisi merupakan penjumlahan total dari perkalian antara kecepatan dan selang waktu yang lebih kecil tersebut. Secara matematis ditulis X ∆x ≈ vi ∆ti . i

Untuk limit selang waktu yang makin lama makin kecil, jumlah ini sama dengan luas di bawah kurva, yang sama dengan perpindahannya. Limit ini dinamakan integral dan ditulis Z t2 X (1.8) ∆x = lim vi ∆ti = v dt ∆ti →0

i

t1

1. GERAK SATU DIMENSI

7

Perubahan kecepatan untuk selang waktu dapat diinterpretasikan dengan cara sama sebagai luas di bawah kurva a terhadap t untuk selang tersebut. Pernyataan ini ditulis sebagai Z t2 X (1.9) ∆v = lim ai ∆ti = a dt ∆ti →0

t1

i

Contoh Soal Sebuah partikel bergerak menurut sumbu-x dengan percepatan a = 3 t + 2, a dalam m/s2 , t dalam sekon. Pada keadaan awal partikel berada pada x = 2 m dan kecepatan = 3 m/s. Tentukan (1) Posisi pada t = 2 s (2) Kecepatan rata-rata antara t = 2 s dan t = 4 s (3) Kecepatannya pada t = 3 s (4) Posisi pada saat kecepatannya = 12 m/s (5) Kecepatannya pada saat percepatan = 17 m/s2

Penyelesaian (1) Dalam soal ini percepatan adalah fungsi waktu, a = 3 t + 2. Karena dv = a dt, maka Z 3 v = (3 t + 2) dt = t2 + 2 t + c1 2 pada t = 0, v = 3 m/s → 3 = v=

3 2

(0)2 + 2 (0) + c1 atau c1 = 3. Jadi

3 2 t + 2t + 3 2

selanjutnya Z 

Z x=

v dt =

3 2 t + 2t + 3 2

 dt

1 3 t + t2 + 3 t + c2 2 Pada t = 0, x = 2 → 2 = 21 (0)3 + (0)2 + 3 (0) + c2 Maka x = 12 t3 + t2 + 3 t + 2 Untuk t = 2, x = 12 (2)3 + (2)2 + 3 (2) + 2 = 16 Jadi posisi partikel pada t = 2 adalah x = 16 m. (2) untuk t = 4 s → x2 = 12 (4)3 + (4)2 + 3 (4) + 2 = 62 untuk t = 4 s → x1 = 12 (2)3 + (2)2 + 3 (2) + 2 = 16 =

vrata - rata =

x2 − x1 62 − 16 = = 23m/s t2 − t1 4−2

(3) untuk t = 3 s → v = 32 (3)2 + 2 (3) + 3 = 22, 5m/s (4) 12 = 32 (t0 )2 + 2 (t0 ) + 3 → t0 = 1, 87 s Maka untuk t = 1, 87 s, x = 14, 38m (5) 17 = 3 t00 + 2 → t00 = 5 Maka untuk t = 5 s, v = 50, 5 m/s

8

2. KINEMATIKA

2. Gerak Dua Dimensi dan Tiga Dimensi Dalam bagian ini dibahas sifat-sifat vektor secara umum dan sifat-sifat perpindahan, kecepatan, dan percepatan secara khusus. Banyak ciri khusus dari gerakan dua dimensi maupun tiga dimensi. Karena gerak dua dimensi lebih mudah diilustrasikan di atas kertas maupun papan tulis, kebanyakan contoh yang dibahas adalah gerak dua dimensi. Dua kasus istimewa yang penting adalah gerka peluru dan gerak melingkar. 2.1. Vektor Perpindahan dan Penjumlahan Vektor. Besaran yang menyatakan jarak garis lurus dan arah dari satu titik dalam ruang ke titik lain adalah segmen garis berarah yang dinamakan vektor perpindahan. Sementara definisi vektor adalah adalah besaran yang memiliki besar dan arah yang dapat dijumlahkan dan dikurangkan seperti perpindahan

Gambar 3. Vektor A + B = C, dari gambar ini terlihat bahwa urutan penjumlahan tidak menyebabkan perbedaan; artinya A + B = B + A. ~ dan B ~ yang jumlahnya C. ~ Pada GamGambar 3 menunjukkan dua vektor A ~ bar 3 vektor B dipindahkan sejajar terhadap dirinya sehingga titik asalnya sama ~ Vektor resultan C ~ terletak di sepanjang diagonal jajargenjang dengan vektor A. ~ ~ yang dibentuk oleh A dan B. Penambahan grafis dua vektor dengan menempatkan kedua ujungnya membentuk suatu bangun jajargenjang maka diagonal jajargenjang merupakan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang penjumlahan vektor. Pada Gambar 3 terlihat bahwa tidak ada perbedaan hasil dalam penjumlahan vek~+B ~ =B ~ + A. ~ tor, meski urutannya berbeda, artinya A 2.2. Penjumlahan Vektor Berdasarkan Komponen. Penjumlahan atau pengurangan vektor secara analitis mula-mula dengan menguraikan vektor yang terlibat ke dalam komponen - komponennya. Gambar 4 menjelaskan penggunaan ~ dan B ~ yang terletak pada bidang komponen dalam penjumlahan dua vektor A ~ = xy. Komponen tegak masing-masing vektor dan komponen hasil penjumlahan C ~ ~ ~ ~ ~ A + B ditunjukkan dalam gambar. Pada Gambar 4 terlihat bahwa C = A + B menunjukkan Cx = Ax + Bx dan Cy = Ay + By . 2.3. Vektor Satuan dan Perkalian Vektor dengan Skalar. Sebuah vek~ dapat dikalikan dengan skalar s, hasilnya adalah vektor B ~ = sA ~ (yang menuntor A ~ ~ ~ juk ke arah A dan mempunyai besar s |A|). Dimensi B adalah dimensi s dikalikan ~ Berikut ini ditunjukkan sifat-sifat vektor dalam Tabel 1. dengan dimensi A.

2. GERAK DUA DIMENSI DAN TIGA DIMENSI

9

Gambar 4. Komponen x dan y vektor A, B, dan C, dari gambar terlihat bahwa Cx = Ax + Bx dan Cy = Ay + By . Tabel 1. Sifat - sifat Vektor No.

Sifat

Penjelasan

Gambar

Tampilan Komponen

1

Kesamaan

~=B ~ jika |A| ~ = |B| ~ A dan arahnya sama

Ax = Bx , Ay = By , Az = Bz

2

Penjumlahan

~ =A ~+B ~ C

Cx = Ax + Bx Cy = Ay + By Cz = Az + Bz

3

Negatif suatu vektor

~ = −B ~ jika |A| ~ = |B| ~ A dan arahnya berlawanan

Ax = −Bx , Ay = −By , Az = −Bz

4

Pengurangan

~ =A ~−B ~ C

Cx = Ax − Bx Cy = Ay − By Cz = Az − Bz

5

Perkalian

~ = sA ~ jika |B| ~ = s |A| ~ B ~ ~ dan arah B sama dengan arah A

Bx = s Ax , B y = s Ay , Bz = s Az ,

10

2. KINEMATIKA

2.4. Vektor Kecepatan dan Percepatan. Rasio vektor perpindahan terhadap selang waktu t = t2 − t1 adalah vektor kecepatan rata - rata ∆~r . ∆t Sementara vektor kecepatan sesaat merupakan limit vektor kecepatan rata - rata untuk selang waktu ∆t mendekati nol

(2.1)

(2.2)

~vrata - rata =

~v = lim

∆t→0

∆~r d~r = . ∆t dt

Vektor percepatan rata - rata didefinisikan sebagai rasio perubahan vektor kecepatan sesaat ∆v terhadap selang waktu ∆t ∆~v . ∆t Vektor percepatan sesaat adalah limit rasio ini saat selang waktu mendekati nol. Artinya, vektor percepatan sesaat adalah turunan vektor kecepatan terhadap waktu (2.3)

(2.4)

~arata - rata =

~a = lim

∆t→0

∆~v d~v = . ∆t dt

2.5. Gerak Peluru. Gambar 5 menunjukkan bola yang dilempar ke udara. Sebuah partikel yang diluncurkan dengan suatu kecepatan awal mempunyai komponen vertikal dan horizontal relatif terhadap titik asal yang tetap. Jika sumbu vertikal y dengan arah positif ke atas dan sumbu horizontal x dengan arah positif searah komponen horizontal awal kecepatan peluru maka percepatan peluru ay = −g dan ax = 0

Gambar 5. Bola yang dilempar ke udara.

2. GERAK DUA DIMENSI DAN TIGA DIMENSI

11

Sebagai contoh diluncurkan sebuah peluru dari titik asal dengan kelajuan awal v0 dengan sudut θ terhadap sumbu horizontal maka kecepatan awal mempunyai komponen v0x = v0 cos(θ) dan v0y = v0 sin(θ) Gerakan horizontal mempunyai kecepatan konstan yang bernilai sama dengan kecepatan awal pada komponen horizontal (2.5)

vx = v0x .

Sementara itu, gerakan vertikal sama dengan gerakan satu dengan percepatan konstan akibat gravitasi g dan berarah ke bawah (2.6)

vy = v0y − g t

Dengan demikian komponen perpindahan peluru adalah (2.7) (2.8)

∆x = v0x t 1 ∆y = v0y t − g t2 2

2.6. Gerak Melingkar. Jika sebuah benda bergerak dalam sebuah lingkaran dengan kelajuan konstan, benda dipercepat karena kecepatannya berubah arah. Percepatan ini dinamakan percepatan sentripetal, dan mengarah ke pusat lingkaran. Besar percepatan sentripetal adalah v2 r dengan v adalah kelajuan dan r adalah jari - jari lingkaran. Gambar 6 menunjukkan bahwa percepatan sentripetal berlaku umum untuk gerak melingkar dengan kelajuan konstan. Vektor kecepatan awal v1 tegak lurus vektor posisi awal r1 . Sesaat kemudian, kecepatannya menjadi v2 yang tegak lurus r2 . Sudut antara vektor vektor kecepatan ∆θ adalah sama dengan sudut antara vektro - vektor posisi, karena vektor posisi dan kecepatan harus bergerak melewati sudut yang sama untuk tetap saling tegak lurus. (2.9)

a=

Gambar 6. Vektor posisi dan kecepatan untuk sebuah partikel yang bergerak dalam sebuah lingkaran.

12

2. KINEMATIKA

2.7. Kecepatan Relatif. Kecepatan sebuah benda kadang-kadang diukur relatif terhadap suatu sistem koordinat yang bergerak relatif terhadap sistem koordinat lain. Contohnya, pada Gambar 7 menunjukkan penumpang yang berjalan dengan kecepatan vp relatif terhadap terhadap kereta. Sementara itu, kereta bergerak dengan kecepatan vk relatif terhadap tanah. Maka kecepatan penumpang vpt adalah jumlah dua kecepatan ini: (2.10)

vpt = vk + vp

Gambar 7. Ilustrasi gerak relatif penumpang terhadap kereta yang bergerak dan titik acuan yang diam.

3. Soal Latihan Soal 1.1 Sebuah partikel berada di x = +5 m pada t = 0, x = −7 m pada t = 6 s, dan x = +2 m pada t = 10 s. Carilah kecepatan rata rata partikel selama selang (a) t = 0 sampai t = 6 s, (b) t = 6 s sampai t = 10 s, dan (c) t = 0 sampai t = 10 s. Soal 1.2 Cahaya merambat dengan kelajuan c = 3 · 108 m/s (a) berapa waktu yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak dari matahari ke bumi yang berjarak 1, 5 · 1011 m? (b) berapa waktu yang dibutuhkan cahaya untuk bergerak dari bulan ke bumi yang berjarak 3, 84 · 108 m? (c) Satu tahun cahaya adalah satuan jarak yang sama dengan jarak yang ditempuh cahaya dalam 1 tahun. Carilah jarak ekivalen dari 1 tahun cahaya dalam kilometer dan dalam mil. Soal 1.3 Bintang yang terdekat adalah Proxima Centauri dan jaraknya sejauh 4, 1 · 1013 km dari bumi. (a) Berapa waktu yang dibutuhkan sinyal cahaya yang dikirim dari bumi untuk mencapai Proxima Centauri? (b) Berapa tahun waktu yang dibutuhkan pesawat ruang angkasa yang bergerak dengan kelajuan 10−4 c untuk mencapai Proxima Centauri?

3. SOAL LATIHAN

13

Soal 1.4 Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan 45 km/jam saat t = 0. Mobil dipercepat dengan percepatan konstan 10 km/jam · s. (a) Berapa kecepatan mobil saat t = 1 s dan saat t = 2 s? (b) Berapakah kelajuannya saat t? Soal 1.5 Pada t = 5 s sebuah benda bergerak dengan kecepatan 5 m/s. Pada t = 8 s kecepatannya adalah -1 m/s, Carilah percepatan rata - rata untuk selang ini. Soal 1.6 Sebuah bola dilempar ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s. (a) Berapa lama bola berada di udara? (b) Berapa ketinggian maksimum yang dapat dicapai bola? (c) Mungkinkah bola berada 15 m di atas tanah? Jelaskan! Soal 1.7 Posisi sebuah partikel bergantung pada waktu menurut x = (1 m/s2 ) t2 - (5 m/s) t + 1 m. (a) Cari perpindahan dan kecepatan rata - rata untuk selang t = 3 s sampai t = 4 s. (b) Cari rumus umum perpindahan untuk selang waktu dari t sampai t + ∆t. (c) Cari kecepatan sesaat untuk setiap saat t. Soal 1.8 Ketinggian sebuah peluru dihubungkan dengan waktu oleh y = -5 (t - 5)2 + 125, dengan y dalam meter dan t dalam sekon. (a) Gambar y terhadap t untuk t = 0 sampai t = 10 s. (b) Cari kecepatan rata - rata untuk tiap selang waktu 1 s antara nilai - nilai waktu berbilangan bulat dari t = 0 sampa t = 10 s. Kemudian gambar vrata - rata terhadap t. (c) Cari kecepatan sesaat sebagai fungsi waktu. Soal 1.9 Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan yang diberikan oleh v = 8 t − 7, dengan v dalam meter per sekon dan t dalam sekon. (a) Carilah nilai percepatan rata - rata untuk selang 1 s dimulai dari t = 3 s dan t = 4 s. (b) Gambar v terhadap t. Berapa percepatan sesaat tiap saat? Soal 1.10 Posisi sebuah benda yang berosilasi pada suatu pegas diberikan oleh x = A sin(ω t), dengan A konstanta yang brnilai 5 cm dan ω konstanta yang bernilai 0,175 s−1 . Gambar x terhadap t untuk waktu dari t = 0 sampai t = 36 s. (a) Ukur kemiringan grafik tersebut pada t = 0 untuk mendapatkan kecepatan saat ini. (b) Hitung kecepatan rata - rata untuk deretan selang dimulai pada t = 0 dan berakhir pada t = 6, 3, 2, 1, 0,5 ; dan 0,25 s. (c) Hitung dx/dt dan cari kecepatan saat t = 0 Soal 1.11 Carilah besar dan arah vektor - vektor berikut: ~ = 5ˆi + 3ˆj (a) A ~ = 10ˆi − 7ˆj, dan (b) B ˆ ~ (c) C = −2ˆi − 3ˆj + 4k.

14

2. KINEMATIKA

Soal 1.12 ~ B, ~ dan A ~+B ~ untuk Carilah besar dan arah A, ~ = −4ˆi − 7ˆj , B ~ = 3ˆi − 2ˆj, dan (a) A ~ = −11ˆi − 4ˆj , B ~ = 2ˆi + 6ˆj (b) A Soal 1.13 Nyatakan vektor - vektor berikut ini menggunakan vektor satuan ˆi dan ˆj (a) kecepatan 10 m/s pada sudut elevasi 60o ~ yang besarnya 5 m dan θ = 225o ; serta (b) sebuah vektor A (c) perpindahan dari titik asal ke titik x = 14 m, y = −6 m Soal 1.14 ~ = 5ˆi−4ˆj dan B ~ = −7, 5ˆi+6ˆj, tuliskan persamaan yang menghubungkan Jika A ~ dengan B. ~ A Soal 1.15 Koordinat posisi sebuah partikel (x, y) adalah (2 m, 3 m) pada t = 0; (6 m, 7 m) pada t = 2 s; dan (13 m, 14 m) pada t = 5 s. (a) Cari vrata - rata dari t = 0 sampai t = 2 s. (b) Cari vrata - rata dari t = 0 sampai t = 5 s. Soal 1.16 Pada t = 0 sebuah partikel yang berada di titik asal mempunyai kelajuan 40 m/s pada θ = 45o . Pada t = 3 s partikel berada di x = 100 m dan y = 80 m dengan kelajuan 30 m/s pada θ = 50o . Hitung (a) kecepatan rata - rata dan (b) percepatan rata -rata partikel selama selang waktu ini. Soal 1.17 Sebuah peluru ditembakkan secara horizontal dengan kecepatan awal 245 m/s. Senapan berada 1,5 m di atas tanah. Berapa lama peluru di udara? Soal 1.18 Sebuah partikel menempuh lintasan melingkar berjari - jari 5 m dengan kelajuan konstan 15 m/s. Berapakah besar percepatan partikel? Soal 1.19 Sebuah partikel bergerak dalam bidang xy dengan percepatan konstan. Saat t = 0, partikel berada di x = 4 m, y = 3 m. Percepatan diberikan oleh vektor ~a = 4 m/s2 ˆi + 3 m/s2 ˆj. Vektor kecepatan mula - mula adalah ~v = 2 m/s ˆi - 9 m/s ˆj. (a) Carilah vektor kecepatan pada t = 2 s. (b) Carilah vektor posisi pada t = 4 s. Berikan besar dan arahnya Soal 1.20 Sebuah bola hoki es yang dipukul pada permukaan es tepat terbang melewati puncak sebuah tembok kaca yang tingginya 2,8 m. Waktu terbang ke titik ini adalah 0,65 s, dan jarak horizontalnya adalah 12 m. Carilah (a) kelajuan awal bola ini dan (b) ketinggian maksimum yang akan dicapainya

Bibliografi [1] P. A. Tipler, 1991, Fisika untuk Sains dan Teknik Edisi Ketiga Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta. [2] F. W. Sears, M. W. Zemansky, 1982, Fisika untuk Universitas 1: Mekanika, Panas, Bunyi, Penerbit Binacipta, Bandung. [3] G. Woan, 2000, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press, Cambridge. [4] R. Feynman, 1964, The Feynman Lectures on Physics Volume 1, Addison-Wesley Publishing Company, London. [5] Tim Dosen ITS, 2006, Fisika I: Kinematika, Dinamika, Getaran, Panas, FMIPA, ITS

15