Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások
Megoldás: A = {1; 3; 5; 7; 9}
A∩B = {3; 5; 7}
A/B = {1; 9}
Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a3 * a4 = a3+4 = a7 Azonos alapú hatványokat úgy osztunk hogy a kitevőket kivonjuk. Tehát: a8 : a2 = a8-2 = a6
Megoldás:
X értékei: 2 és 6
Megoldás:
3x = 81 = 34
ahonnan:
x=4
Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások
Megoldás: Adatgyűjtés: n = 10 k= 2 Fontos a sorrend, mert nem mindegy, hogy kiből lesz elnök és kiből titkár. (megjegyzés: ha azonos pozíciót választanak pl. két titkárt, két elnököt stb, akkor nem számít a sorrend) Így viszont ismétlés nélküli variáció a feladat. 10 * 9 = 90 a megoldás.
Megoldás: n = 8. Az összes lehetőség: FFF, III, FFI, IIF, FIF, IFI, IFF, FII kedvező esetek száma: k = FII, IIF, FIF, azaz k= 3. A valószínűség:
𝒌 𝒏
=
𝟑 𝟖
𝟐
Megoldás: 𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟏) = 𝟏𝟎 /*3 2 ( x2 – 1 ) = 30
/:2
x2 – 1 = 15
/+1
x2 = 16,
ahonnan
másképp:
x=±4
2 ( x2 – 1 ) = 30 2x2 – 2 = 30
/+2
2x2 = 32
/:2
x2 = 16, ahonnan x = ±4
Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások 8.
Megoldás:
Ét = 1; 5
Ék = −3; 2
9.
Megoldás: a6 = 17 = a1 + 5d
Visszahelyettesítve d-t:
a2 = 5 = a1 + d
5 = a1 + 3, ahonnan
a1 = 2
12 = 4d /:4 3=d
10.
Megoldás: Az x2 – 2x – 8 = 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. A két gyök (megoldások) lesznek a válaszok a feladatra. megoldások: x1 = 4 és x2= -2
Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások
11. Egy egyenes egyenlete: 3x – 7y = 16. Adja meg az egyenes irányszögét!
Megoldás: 1.lépés: normálvektor felírása
n(3; -7)
2.lépés: meredekség felírása a normálvektorból
m = − 𝐵 = − −7 =
3.lépés: meredekség = tg £
m = 7 = 𝑡𝑔£
4.lépés: 2ndF tan gombokkal a szög visszakeresése
£ = 23,19º
12. Adja meg a c = 2a + 3b értékét, ha
és
𝐴
3
3 7
3
a = -2i
b = i – j!
Megoldás: 1. lépés: Az a és b vektorok felírása koordinátákkal
a(-2; 0) és
2. lépés: Képezzük az a vektor 2-szeresét, és a b vektor 3-szorosát
b(1; -1) 2a(-4; 0) és
3b(3; -3)
3. lépés: c = 2a + 3b, azaz (-4; 0) + (3; -3) összegét kell kiszámolni: c (-1; -3). Lineáris kombinációval: c = -1i – 3j = -i – 3j
13.
c) Magyarországon a gépkocsik tipikus rendszáma hat karakterből áll: az első három egyegy betű, a második három pedig egy-egy számjegy. Legfeljebb hány gépkocsit lehet ellátni tipikus rendszámmal? Válaszát indokolja! (25-féle betű és 10-féle számjegy szerepelhet a rendszámokon.)
Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások Megoldás: a) A módusz miatt az egyik hiányzó szám a 4-es. Tehát az eddigi adataink: 3, 4, 4, 7, x. Egy ismeretlen számunk van, amit a megadott átlaggal kell kiszámolnunk. felírjuk az átlag képletét, behelyettesítünk, és megkapjuk a hiányzó számunkat: 3+4+4+7+𝑥 5
= 6,5
/ *5
18 + x = 32,5 / -18 x = 14,5 a másik hiányzó szám. b) medián: 3, 4, 4, 7, 14,5 Me = 4 c) Adatgyűjtés: betűk esetében: n = 25 és k = 3 Fontos a sorrend és van ismétlődés! -> ism.variáció számok esetében: n = 10 és k = 3 Fontos a sorrend és van ismétlődés! -> ism. variáció Számítás: 25 * 25 * 25 * 10 * 10 * 10 = 15.625.000 db rendszámtábla készíthető
14.
Megoldás: a)
2cosx – 1 = 0 2cosx = 1 cosx = 0,5
/ +1 / :2 / 2ndF cos 𝜋
x = 60º = 3 𝑟𝑎𝑑
b) 3𝑥 + 1 = 5 − 𝑥 2 /( )2 négyzetre emelünk 3x + 1 = 5 – x2 /+ x2 2 x + 3x + 1 = 5 / -5 x2 + 3x – 4 = 0 A másodfokú egyenlet megoldása a megoldóképlettel: x1 = 1 és x2 = -4
15.
a) Számítsa ki a háromszög súlyvonalának egyenletét! b) Adja meg a háromszög AC oldalának egyenletét! c) Számítsa ki a súlyvonal és az e: 3x + 4y = 2 egyenes metszéspontjának koordinátáit!
Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások
d) A háromszög köré írható kör egyenlete: x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0. Határozza meg a kör középpontját és sugarát! Megoldás: a) A háromszög egy súlyvonalának egyenlete két ponton átmenő egyenes egyenletével is felírható. Súlyvonal: Az egyik csúcs és a vele szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz. B(4; 4) 1.lépés: F(x;y) felezőpont számítása BC szakasz fele F(
−4+4 8+4 ; 2 ) 2
= F(0; 6)
2.lépés: A(-4; -4) és F(0;6) ponton átmenő egyenes egyenletének felírása:
F(x; y)
(0+4)*(y+4) = (6+4)*(x+4), ahonnan rendezéssel A(-4; -4)
C(-4; 8)
Tehát az egyik súlyvonal egyenlete:
kapjuk az alábbi alakot: -24 = 10x – 4y s: -24 = 10x – 4y
b) AC oldal egyenletét hasonlóképpen számítjuk, mint az előbbi feladatban: A(-4;-4) és C(-4;8) x1; y1 x2;y2 Az egyenlet: (-4+4)*(y+4) = (8+4)*(x+4) ahonnan rendezéssel kapjuk az AC oldal egyenletét: 0 = 12x + 48 vagy -48 = 12x c) két egyenes metszéspontjának kiszámítása: (egyenlő együtthatók módszerével oldjuk meg) s: 10x – 4y = -24 e: 3x + 4y = 2 / adjuk össze a két egyenletet, így kiesnek az y-os tagok 13x = -22 / : 13 x = -1,69 ≈ -1,7 Az y koordinátát megkapjuk, ha x=-1,7-et visszaírjuk valamelyik eredeti egyenletbe: 3 *(- 1,7) + 4y = 2 -> -5,1 + 4y = 2 /+5,1 -> 4y = 7,1 /:4 y = 1,75 ≈ 1,8 A két egyenes metszéspontja tehát: M(x; y) = M(-1,7; 1,8) 2 2 d) x + y – 2x + 4y – 20 = 0
együtthatók:
a = -2 𝑎
b = 4 c = -20
𝑏
Kör középpontja: O( − 2 ; − 2 ) = O(1; -2) A kör sugara:
r=
𝑎 2 + 𝑏 2 − 4𝑐 2
=
4+16−(−80) 2
=
10 2
=𝟓
Próbaérettségi feladatsor B csoport. - megoldások
Megoldás: a) 42𝑥
2 − 26𝑥+75
= 64 = 43
/ két azonos alapú hatvány akkor egyenlő, ha kitevőjük megegyezik. Exponenciális egyenleteknél az azonos alapok elhagyhatók, és a kitevőkkel dolgozunk tovább. 2 2x – 26x + 75 = 3 /-3 / kaptunk egy másodfokú egyenletet, amit a megoldóképlettel 2x2 – 26x + 72 = 0 kell megoldani. Ha jól számolunk, akkor a feladatban megadott két szám (4 és 9) a két helyes megoldás. Ezzel az állítást bizonyítottuk. b) Számtani sorozat: adatgyűjtés: a1 = 9 d=4 S5 = ? S5 =
𝑎1 + 𝑎5 2
∗5=
9 +25 2
∗ 5 = 𝟖𝟓
Tehát a sorozat első 5 tagjának összege: 85
a5 = a1 + 4d = 9 + 4 * 4 = 9+16 = 25 c) Adatgyűjtés: Sn = 3649
Az n értékét keressük!!!! Írjuk fel az összegképlet képletét!
𝑎1 + 𝑎𝑛 ∗𝑛 = 2 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑎 + 𝑎 + 𝑛−1 𝑑 ∗𝑛 = 1 1 2 ∗𝑛 2 9+9+ 𝑛−1 4 18+4𝑛−4 ∗𝑛 = ∗𝑛 2 2
Sn = 3649 =
A képletben írjuk át az an utolsó tagot a képletére
3649 =
Helyettesítsük be a meglévő adatainkat!
3649 =
7298 = (18 + 4n – 4) * n 7298 = 18n + 4n2 – 4n
/*2 eltüntetjük a törtet / beszorzunk a jobb oldalon n-nel / másodfokú egyenletet kapunk, rendezzük, és megoldjuk
4n2 + 14n – 7298 = 0 megoldások n-re: n1= 41 és n2= -44,5 Ez az eredmény nem megoldása a sorozatnak, mert negatív szám. Nincs a sorozatnak -44,5. tagja. Csak a pozitívokat értelmezzük rájuk. Tehát a sorozat első 41 tagjának az összege ér 3649-et.
