Mechanický pohyb vyšetřujeme jednak z hlediska kinematiky, jednak z hlediska dynamiky

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

KINEMATIKA 1.ÚVOD Mechanický pohyb vyšetřujeme jednak z hlediska kinematiky, jednak z hlediska dynamiky Kinematika je část mechaniky, která popisuje pohyb těles (trajektorie, dráha, rychlost…), nezkoumá však příčiny pohybu, neuvažuje síly, které tento pohyb způsobují nebo ovlivňují Kinematika tedy zkoumá JAK se příslušné těleso či hmotný bod pohybuje V dynamice se zajímáme o příčiny pohybu (tj. o síly působící na daný hmotný bod či těleso). Dynamika zkoumá, PROČ se těleso či hmotný bod pohybuje Hmotný bod (HB)je každé těleso, jehož rozměry jsou vzhledem k rozměrům zvolené vztažné soustavy zanedbatelné. Je charakterizován pouze hmotností tělesa. Zavedením hmotného bodu si popis pohybu zjednodušujeme Hmotným bodem může být golfový míček, kamion nebo planeta Země. Závisí na volbě vztažné soustavy Pohyb jakéhokoliv tělesa (hmotného bodu) vždy studujeme vzhledem k nějakému jinému tělesu, vztažné soustavě Vztažnou soustavou mohou být skutečná tělesa (strom u silnice, divák na tribuně, rybář u řeky) Vztažná soustava je soustava těles, vůči nimž pohyb popisujeme. Klid nebo pohyb je proto vždy relativní - závisí na volbě vztažné soustavy K určení polohy hmotného bodu nejčastěji používáme pravoúhlou soustavu souřadnic a)Rovinná soustava

b) Prostorová soustava

Př. Na dálnici jedou ve stejném směru v sousedních pruzích stejně velkou rychlostí dva vozy. Vzhledem k sobě jsou v klidu, ale vzhledem ke stromům, stojícím podél dálnice, se pohybují. Klid a pohyb těles je pouze relativní. Absolutní klid neexistuje. Pohyb je základní vlastností všich hmotných bodů

-1-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Trajektorie Souvislá čára, kterou hmotný bod při svém pohybu opisuje, se nazývá trajektorie hmotného bodu. Trajektorií je čára za křídou na tabuli, stopa za lyžařem ve sněhu, čára za letícím letadlem Podle tvaru trajektorie rozdělujeme pohyby na: 1. přímočaré – pohyby, jejichž trajektorií je přímka nebo úsečka (pád kamene na zem, pohyb tužkou při rýsování podle pravítka)

2. křivočaré – pohyby, které mají za trajektorii libovolnou křivku (psaní křídou, let ptáka, pohyb Země kolem Slunce) V technické praxi se často setkáme se zvláštním případem, kdy je trajektorií kružnice (soustružení, pohyb ozubených kol atd.

Popis pohybu hmotného bodu K popisu pohybu HB využíváme tři základní kinematické veličiny: dráhu, rychlost a zrychlení. Dráha s je délka trajektorie, kterou HB opíše za určitou dobu Udává se v metrech s  m

S

ΔS

Dráha hmotného bodu závisí na čase, po který se hmotný bod pohyboval. Tuto závislost lze zobrazit do grafu, v němž se na osu vodorovnou vynáší čas, na osu svislou dráha Δt

t

Rychlost v vyjadřuje změnu polohy za určitý čas Okamžitá rychlost hmotného bodu odpovídá podílu přírůstku dráhy s a času t

v

s t

v  m.s 1

Vyjádření okamžité rychlosti bude tím přesnější, čím více se bude t blížit nule

-2-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

vB

Okamžitá rychlost je vektorová fyzikální veličina, která má vždy směr tečny k dané trajektorii hmotného bodu a je orientována ve směru změny uražené dráhy

vA

Průměrná rychlost v p je podíl celkové dráhy s a celkového času t , za nějž hmotný bod

s t Průměrnou rychlost nelze počítat jako průměr rychlostí! dráhu urazí v p 

Pozn. 1 Při řešení praktických příkladů je často třeba převést rychlost v km.h na základní jednotku rychlosti

Převodní vztah lze odvodit takto: Př.

72km.h 1 

1km.h 1 

1km 1000m 1   m.s 1 h 3600s 3,6

72 m.s 1  20m.s 1 3,6

Rozdělení pohybů podle rychlosti 1. rovnoměrné – pohyby, u nichž je velikost rychlosti konstantní; hmotný bod urazí tedy v libovolných, ale stejných časových intervalech stejné úseky dráhy

2. nerovnoměrné – pohyby, u nichž se velikost rychlosti s časem mění. Hmotný bod urazí tedy v libovolných, ale stejných časových intervalech různé úseky dráhy

Rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou počáteční rychlostí

Rovnoměrně zrychlený pohyb s nulovou konečnou rychlostí

V diagramu v – t (rychlost – čas) je plocha vymezená průběhem rychlosti úměrná velikosti dráhy pohybu

-3-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Pozn. Budeme-li chtít zjednodušit popis nerovnoměrného pohybu hmotného bodu, lze použít průměrnou rychlost. Jejím zavedením se nerovnoměrný pohyb převede na pohyb rovnoměrný; celkový čas pohybu a celková dráha pohybu zůstanou nezměněny. Zavedením průměrné rychlosti u pohybu nerovnoměrného se pohyb zrovnoměrní - po celou uvažovanou dobu se hmotný bod pohybuje stálou rychlostí

Zrychlení (akcelerace) a je vektorová veličina, která charakterizuje změnu rychlosti HB za jednotku času Zrychlení HB nastává při změně jeho rychlosti. Délka dráhy se za stejné časové úseky zvětšuje (rozjezd automobilu), nebo zmenšuje – pak se jedná o záporné zrychlení (zpomalení) Okamžité zrychlení hmotného bodu je dáno podílem změny rychlosti v a doby t , během níž ke změně došlo

a

v t

a

vkoneč  v poč t



v  v0 t

a  m.s 2

Hmotný bod - zrychluje

v2  v1

a0

- zpomaluje

v2  v1

a0

U pohybů dochází k následujícím změnám vektoru rychlosti: - změna velikosti

v

v  v

v - změna směru

v

U křivočarého pohybu se okamžité zrychlení se rozkládá do dvou složek:

at - tečné zrychlení – leží na stejné vektorové přímce jako vektor okamžité rychlosti a vyjadřuje změnu velikosti rychlosti Je-li at  0  pohyb rovnoměrný an - normálové zrychlení – je kolmé ke směru okamžité rychlosti a vyjadřuje změnu směru rychlosti ( u pohybu po kružnici se nazývá dostředivé) Je-li an  0  pohyb přímočarý Celkové zrychlení

a  at2  an2 -4-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Pohyby a jejich zrychlení:

POHYB Rovnoměrný přímočar Rovnoměrný křivočarý Nerovnoměrný přímočarý Nerovnoměrný křivočarý

Tečné zrychlení

Normálové zrychlení

Celkové zrychlení

at = 0

an = 0

a=0

at = 0

an  0

a0

at  0

an = 0

a0

at  0

an  0

a0

2. KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 2.1 Přímočaré pohyby hmotného bodu 2.1.1. Přímočarý pohyb rovnoměrný je pohyb, při němž se hmotný bod pohybuje stálou rychlostí po přímé dráze, které přibývá rovnoměrně s časem

v = konst

v = konst

v = konst

Δs

Δs

Δt

Δt

s , kde s je dráha, t kterou urazí hmotný bod za dobu t. Vztah s  v  t platí za předpokladu, že v čase t = 0 s je dráha hmotného bodu s0 = 0 m. Velikost rychlosti rovnoměrného přímočarého pohybu je daná vztahem v 

-5-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

v

s

v = konst.

s

s = v.t

=

v.t

t

t

Je-li v čase t = 0 s dráha s0  0 m , pak platí pro dráhu rovnoměrného přímočarého pohybu vztah s  so  v  t

s 35

s = s

25

0

.t +v

v1

s

v1 > v2

Čím je rychlost větší, tím je

v2

přímka závislosti

15

s-t strmější

s0 2

4

6

8 10

t

t

Na dalších obrázcích jsou pak znázorněny příslušné grafy pro případ, kdy se hmotný bod začne pohybovat ze zvoleného počátku dráhy až po čase t0 (opožděný start sprintera) Závislost uražené dráhy na čase lze popsat vztahem s  vt  t0  .

2.1.2 Přímočarý pohyb nerovnoměrný v  konst

a0

2.1.2.1 Přímočarý pohyb hmotného bodu rovnoměrně zrychlený je pohyb, při kterém se velikost okamžité rychlosti zvětšuje (zmenšuje) za stejné časové intervaly o stejnou hodnotu. Tento pohyb charakterizuje nenulové zrychlení a rovnoběžné se směrem pohybu, mění se jen velikost rychlosti a ne její směr. Velikost zrychlení je daná v vztahem a  . t

-6-

SPŠ a VOŠ KLADNO

a AA

KINEMATIKA

BB

Δt

°

a

vA

Δt

°

Δt

a

vB 



Δt

CC

vC D

Δt

°

D °

Δt

v  konst. její velikost se s časem rovnoměrně zvětšuje a  konst. a  0

a) Počáteční rychlost v0  0

b) Počáteční rychlost v0  0

v

v vt s 2

s

vp

v0  v .t 2

vp

t

t (1) (2)

vt 2 v a t s

(1) (2)

s a

v0  v .t 2 v  v0 t

Graf závislosti dráhy na čase Úpravou rovnic (1) a (2) dostaneme vztah závislosti: (2)

v  at  (1)

(1)

s

at 2 ... rovnice paraboly 2

s

(2)

v  at  v0  (1)

(1)

s  v0 t 

at 2 2

s

s

at 2

s  v0 t 

2

at

2

2

2

Průměrná rychlost

t

s0 t

-7-

SPŠ a VOŠ KLADNO

vp 

KINEMATIKA

v at  2 2

vp 

v0  v at  v0  2 2

Volný pád Volný pád je zvláštní případ pohybu rovnoměrně zrychleného s nulovou počáteční rychlostí. Jedná se o pohyb tělesa volně puštěného v blízkosti povrchu Země ve vakuu. Blízkost povrchu Země je důležitý pro předpoklad, že tíhové zrychlení je konstantní, předpoklad vakua je důležitý proto, aby těleso nebylo nadlehčováno vzduchem a nepůsobily na něj odporové síly. Všechna tělesa padají ve vakuu k Zemi stejnou rychlostí. První pokusy s volným pádem prováděl už v 17. století Galileo Galilei (1564 - 1642). Ten prokázal, že se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený a později bylo stanoveno i jeho zrychlení. Nazývá se tíhové zrychlení a značí se , míří svisle dolů a má velikost Velikost tíhového zrychlení je závislá na nadmořské výšce a na zeměpisné šířce daného místa na Zemi. Dohodou byla stanovena hodnota normálového tíhového zrychlení v

h

vt 2

(1)

g

v t

(2)

vt h 2

Z obou rovnic lze odvodit vztahy pro

t

2 gh

- dopadovou rychlost

- dobu letu

t

2h g

-8-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

2.1.2.2 Přímočarý pohyb hmotného bodu rovnoměrně zpomalený je pohyb, při kterém se velikost okamžité rychlosti zmenšuje za stejné časové intervaly o stejnou hodnotu. Tento pohyb charakterizuje nenulové zrychlení a rovnoběžné se směrem pohybu, mění se jen velikost rychlosti a ne její směr. Velikost zrychlení je daná vztahem v a t Při zpomaleném pohybu je orientace zrychlení proti směru pohybu, jeho velikost vzhledem ke směru pohybu má záporné hodnoty. v  konst. její velikost se s časem rovnoměrně zmenšuje a  konst. a0

a) Konečná rychlost v  0

b) Konečná rychlost v  0

v

v s

vt s 0 2

v0  v .t 2

t

t (1)

s

v0t 2

(1)

s

v0  v .t 2

(2)

a

v t

(2)

a

v  v0 t

Graf dráhy rovnoměrně zpomaleného pohybu

Svislý vrh vzhůru v

h

g

v0 t 2

t

v t

-9-

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

2.2. KŘIVOČARÝ POHYB HMOTNÉHO BODU 2.2.1 Obecný rovnoměrný křivočarý pohyb v  konst. s v t

v

A

v = konst.

tečna

v

s = v.t

trajektorie normála t

2.2.2 Pohyb hmotného bodu po kružnici - nejjednodušší případ křivočarého pohybu

v ω

průvodič

A

Poloha hmotného bodu pohybujícího se po kružnici je

s ω 

B r

určena průvodičem, jehož velikost je rovna poloměru r kružnice, po níž se daný hmotný bod pohybuje. Přejde-li hmotný bod z bodu A do bodu B, opíše průvodič úhel

 (někdy se mu říká úhlová dráha)  - "úhlová dráha" průvodiče

- 10 -

   rad

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Dráha bodu Hmotný bod při přechodu z bodu A do bodu B urazí dráhu s rovnající se délce oblouku AB. Pro velikost délky oblouku s platí s  r.

Převody mezi radiány (tzv. míra oblouková) a stupni (tzv. míra stupňová) lze vycházet ze   skutečnosti, že 360  2 rad a tedy    . 180 Úhlová rychlost Úhlová rychlost se definuje jako podíl velikosti úhlu  , který opíše polohový vektor za dobu t , a této doby   t    rad.s 1 , při výpočtech    s 1

A s ω 

v B

r

Je-li   konst. - rovnoměrný pohyb bodu po kružnici

2.2.2.1 Rovnoměrný pohyb bodu po kružnici - průvodič hmotného bodu ve stejných časových intervalech opíše stejný úhel    konst.   t

ω φ = ω.t

t Perioda T - doba, za ktrou hmotný bod pohybující se po kružnici opíše plný úhel 2 (vykoná jednu otáčku)  rovnoměrný pohyb po kružnici je pohyb periodický  2   t T 1 Místo periody lze pro popsání pohybu po kružnici použít frekvenci f  T

- 11 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Frekvence pohybu hmotného bodu po kružnici udává počet oběhů za jednotku času (sekundu)

 f   s 1  Hz

Vyjádření úhlové rychlosti pomocí frekvence



2  2 . f T

Obvodová rychlost A



v

v

s ω

s r.  t t

v  r.

B

r

Při rovnoměrném pohybu bodu po kružnici je v  konst. Vektor rychlosti má v každém bodě kruhové trajektorie směr tečny ke kružnici v daném bodě

Při rovnoměrném pohybu hmotného bodu po kružnici se -

nemění

velikost

obvodové

rychlosti

 at  0 - mění směr obvodové rychlosti  an  0

ω v0

Normálové zrychlení

v  v.    A

an

v

s



B 

r

ω

v

v

v

v v

v v v 2 s  r.  r.  v.t    r. 2  an v t r

Δv

v2 an   r. 2 r

- 12 -

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Pozn.   Pro malý úhel  je změna rychlosti v k rychlosti v kolmá. Zrychlení má směr změny

rychlosti a je tedy kolmě k okamžité rychlosti – směřuje do středu dráhy (kružnice), proto se také nazývá zrychlení dostředivé a značí se ad protože at  0 , je výsledné zrychlení totožné se zrychlením dostředivým

2.2.2. Rovnoměrně zrychlený pohyb bodu po kružnici -

úhlová rychlost  průvodiče hmotného bodu se s časem úměrně zvětšuje

v0 Přírůstek obvodové rychlosti představuje úhlové zrychlení

R

Δφ

ε ω0→ω

v = v0+Δv

průvodiče  

 rad.s 2 t





  konst    konst. t

a) Rovnoměrně zrychlený pohyb rotační

b) Rovnoměrně zrychlený pohyb rotační při 0  0

z klidu 0  0

ω

ω





ω

ω

ω0 t 

 

t

.t





2

  0

2   0  t

 t

- 13 -

.t

SPŠ a VOŠ KLADNO

KINEMATIKA

Tečné zrychlení Obvodová rychlost hmotného bodu se s časem rovnoměrně zvětšuje, proto v jejím směru (tečny) musí působit tečné zrychlení a t

v0 an

at 

Úhlové zrychlení

R

at

ε av ω0→ω

v R.   R. t t



v = v0+Δv

   0   konst. t t

Výsledné zrychlení

av  at2  an2

2.2.3. Rovnoměrně zpomalený pohyb bodu po kružnici a) Rovnoměrně zpomalený pohyb rotační

b) Rovnoměrně zpomalený pohyb rotační z 0 do   0

z 0 do zastavení

ω

ω



ω0



ω0

ω

t 

0 .t



0



t 



2

0  

2   0  t

t

- 14 -

.t