Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Definisi (Pengertian) Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks 𝐴 dengan Matriks 𝐵 adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen Matriks 𝐴 dengan setiap elemen Matriks 𝐵 yang seletak. Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dijumlahkan. 𝐴+𝐵 2 1 2 1 3 1 Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 0 4] dan Matriks 𝐵 = [0 2 0]. Tentukan 3 0 5 1 5 0 𝐴 + 𝐵! Jawab: 2+1 1+3 2+1 𝐴 + 𝐵 = [1 + 0 0 + 2 4 + 0] 3+1 0+5 5+0 3 4 3 𝐴 + 𝐵 = [1 2 4 ] 4 5 5 3 4 3 Jadi, 𝐴 + 𝐵 = [1 2 4] 4 5 5 2) Pengurangan Matriks Definisi (Pengertian) Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka pengurangan Matriks 𝐴 dengan Matriks 𝐵 adalah Matriks yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen Matriks 𝐴 dengan setiap elemen Matriks 𝐵 yang seletak. Matriks yang berordo tidak sama maka tidak dapat dikurangkan. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) 2 1 2 1 3 1 Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 0 4] dan Matriks 𝐵 = [0 2 0]. Tentukan 3 0 5 1 5 0 𝐴 − 𝐵! Jawab: 2−1 1−3 2−1 𝐴 − 𝐵 = [1 − 0 0 − 2 4 − 0] 3−1 0−5 5−0 1 −2 1 𝐴 − 𝐵 = [1 −2 4] 2 −5 5 1 −2 1 Jadi, 𝐴 − 𝐵 = [1 −2 4] 2 −5 5
1
3) Perkalian Matriks a) Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Definisi (Pengertian) Jika 𝐴 adalah suatu Matriks dan 𝑘 adalah Bilangan Real, maka 𝑘𝐴 adalah suatu Matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian 𝑘 dengan elemen-elemen pada Matriks 𝐴. 𝑘𝐴 = 𝑘 ⋅ 𝐴 2 Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 3 Jawab: 2 1 2 𝑘𝐴 = 2 [1 0 4] 3 0 5 2⋅2 2⋅1 𝑘𝐴 = [2 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2⋅3 2⋅0 4 2 𝑘𝐴 = [2 0 6 0 4 2 Jadi, 𝑘𝐴 = [2 0 6 0
1 2 0 4] dan 𝑘 = 2. Tentukan 𝑘𝐴! 0 5
2⋅2 2 ⋅ 4] 2⋅5
4 8] 10
4 8] 10
b) Perkalian Matriks dengan Matriks 𝑎11 𝑥 + 𝑎12 𝑦 = 𝑏1 ⋯ (1) 𝑎21 𝑥 + 𝑎22 𝑦 = 𝑏2 ⋯ (2) maka dari sistem persamaan linier dua variabel ter sebut dapat dibentuk perkalian matriks, yaitu: 𝑎11 [𝑎
21
𝑎12 𝑥 𝑏1 𝑎22 ] [𝑦] = [𝑏2 ]
Definisi (Pengertian) Jika 𝐴 adalah Matriks berordo 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 adalah Matriks berordo 𝑟 × 𝑛, maka hasik kali 𝐴𝐵 adalah Matriks 𝐶 berordo 𝑚 × 𝑛 yang elemenelemennya ditentukan sebagai berikut 𝑎11 𝑎21 Jika 𝐴 = [ ⋮ 𝑎𝑚1
𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2
⋯ 𝑎1𝑟 𝑏11 ⋯ 𝑎2𝑟 𝑏21 ⋮ ] dan 𝐵 = [ ⋮ ⋱ ⋯ 𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟1
(𝑎11 𝑏11 ) + (𝑎12 𝑏21 ) + ⋯ + (𝑎1𝑟 𝑏𝑟1 ) 21 𝑏11 ) + (𝑎22 𝑏21 ) + ⋯ + (𝑎2𝑟 𝑏𝑟1 ) ⋮ (𝑎𝑚1 𝑏11 ) + (𝑎𝑚2 𝑏21 ) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟1 )
maka 𝐴𝐵 = [ (𝑎
(𝑎11 𝑏12 ) + (𝑎12 𝑏22 ) + ⋯ + (𝑎1𝑟 𝑏𝑟2 ) (𝑎21 𝑏12 ) + (𝑎22 𝑏22 ) + ⋯ + (𝑎2𝑟 𝑏𝑟2 ) ⋮ (𝑎𝑚1 𝑏12 ) + (𝑎𝑚2 𝑏22 ) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟2 )
2
𝑏12 𝑏22 ⋮ 𝑏𝑟2
⋯ 𝑏1𝑛 ⋯ 𝑏2𝑛 ], ⋮ ⋱ ⋯ 𝑏𝑟𝑛
⋯ (𝑎11 𝑏1𝑛 ) + (𝑎12 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎1𝑟 𝑏𝑟𝑛 ) ⋯ (𝑎21 𝑏1𝑛 ) + (𝑎22 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎2𝑟 𝑏𝑟𝑛 ) ] ⋮ ⋱ ⋯ (𝑎𝑚1 𝑏1𝑛 ) + (𝑎𝑚2 𝑏2𝑛 ) + ⋯ + (𝑎𝑚𝑟 𝑏𝑟𝑛 )
2 1 2 1 3 Contoh: Diketahui Matriks 𝐴 = [1 0 4] dan Matriks 𝐵 = [0 2 3 0 5 1 5 Tentukan 𝐴𝐵! Jawab: 2 1 2 1 3 1 𝐴𝐵 = [1 0 4] [0 2 0] 3 0 5 1 5 0
1 0]. 0
(2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (2 ⋅ 1) (2 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (2 ⋅ 5) (2 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (2 ⋅ 0) 𝐴𝐵 = [(1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 1) (1 ⋅ 3) + (1 ⋅ 2) + (4 ⋅ 5) (1 ⋅ 1) + (1 ⋅ 0) + (4 ⋅ 0)] (3 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (5 ⋅ 1) (3 ⋅ 3) + (0 ⋅ 2) + (5 ⋅ 5) (3 ⋅ 1) + (0 ⋅ 0) + (5 ⋅ 0)
2 + 0 + 2 6 + 2 + 10 2 + 0 + 0 𝐴𝐵 = [1 + 0 + 4 3 + 2 + 20 1 + 0 + 0] 3 + 0 + 5 9 + 0 + 25 3 + 0 + 0 4 18 𝐴𝐵 = [5 25 8 34 4 18 Jadi, 𝐴𝐵 = [5 25 8 34
2 1] 3
2 1] 3
B. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks 1) Determinan Matriks Definisi (Pengertian) Determinan Matriks dinotasikan dengan det (𝐴) = |𝐴|, misal: 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 Jika 𝐴 = [ ], maka det 𝐴 = | | atau det (𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 𝑎11 𝑎12 𝑎11 𝑎12 Jika 𝐴2×2 = [𝑎 𝑎 ], maka det (𝐴) = |𝑎 𝑎 | atau 21
22
21
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12
2 Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [ 3 2 1 Jawab: 𝐴=[ ] 3 4
1 ], maka carilah det (𝐴) ! 4
2 1 det (𝐴) = | | 3 4 = (2)(4) − (3)(1) =8−3 =5 Jadi, det (𝐴) = 5
Jika 𝐴3×3
𝑎11 𝑎 = [ 21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
22
𝑎13 𝑎23 ], maka 𝑎33
3
𝑎11 det (𝐴) = |𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 | 𝑎33
𝑎11 det (𝐴) = |𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 | 𝑎23 | | 𝑎33 |
𝑎11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12 det (𝐴) = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) + 𝑎12 (𝑎23 𝑎31 − 𝑎33 𝑎21 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 ) det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (−𝑎23 𝑎31 + 𝑎33 𝑎21 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 ) det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (𝑎33 𝑎21 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 ) det (𝐴) = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 ) − 𝑎12 (𝑎21 𝑎33 − 𝑎31 𝑎23 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 ) 𝑎22 det (𝐴) = 𝑎11 |𝑎 32
𝑎23 𝑎21 𝑎33 | − 𝑎12 |𝑎23
𝑎31 𝑎21 𝑎33 | + 𝑎13 |𝑎31
𝑎22 𝑎32 |
7 3 0 Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 0 4], maka carilah det (𝐵) ! 3 0 1 Jawab: Cara 1 7 3 0 𝐵 = [2 0 4] 3 0 1 7 3 0 | 7 3 det (𝐵) = |2 0 4| | 2 0 3 0 1 | 3 0 =7⋅0⋅1+3⋅4⋅3+0⋅2⋅0−3⋅0⋅0−0⋅4⋅7−1⋅2⋅3 = 0 + 36 + 0 − 0 − 0 − 6 = 30 Cara 2 7 3 𝐵 = [2 0 3 0
0 4] 1
0 4 2 4 2 0 | − 3| | + 0| | 0 1 3 1 3 0 = 7( 0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4) − 3( 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4) + 0( 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0) = 7(0 − 0) − 3(2 − 12) + 0(0 − 0) = 7(0) − 3(−10) + 0(0) = 0 + 30 + 0 = 30
det (𝐵) = 7 |
Jadi, det (𝐵) = 30
4
2) Adjoin Matriks Definisi (Pengertian) Adjoin Matriks dinotasikan dengan adj (𝐴) = [𝐴], misal: 𝑎 𝑏 𝑑 −𝑏 Jika 𝐴 = [ ], maka adj (𝐴) = [ ] 𝑐 𝑑 −𝑐 𝑎 𝑎11 Jika 𝐴2×2 = [𝑎 21
𝑎12 𝑎22 (𝐴) ], maka adj = [ 𝑎22 −𝑎21
2 Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [ 3 2 1 Jawab: 𝐴=[ ] 3 4
−𝑎12 𝑎11 ]
1 ], maka carilah adj (𝐴) ! 4
4 −1 adj (𝐴) = [ ] −3 2 Jadi, adj (𝐴) = [
4 −1 ] −3 2
Metode Minor-Kofaktor Definisi (Pengertian) Minor suatu matriks 𝐴 dilambangkan dengan 𝑀𝑖𝑗 adalah determinan matriks bagian dari 𝐴 yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗. Jika 𝐴 adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo 𝑛 × 𝑛, maka minor elemen 𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗 , didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) setelah baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dihilangkan. Kofaktor matriks 𝐴 dilambangkan 𝑐𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 det (𝑀𝑖𝑗 )
Misal
𝐴3×3
𝑎11 = [𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎11 Minor elemen 𝑎11 adalah [𝑎21 𝑎31 Sehingga 𝑎22 𝑀11 = [𝑎 32
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎23 𝑎22 (𝑀 ) ] jika dan hanya jika det = | 11 𝑎33 𝑎32
𝑎22 𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 |𝑎 32
𝑎11 Minor elemen 𝑎12 adalah [𝑎21 𝑎31 Sehingga 𝑎21 𝑀12 = [𝑎 31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎23 𝑎22 𝑎33 | = |𝑎32
𝑎23 𝑎33 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎23 𝑎21 𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = |𝑎31
5
𝑎23 𝑎33 |
𝑎23 𝑎33 |
𝑎21 𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 |𝑎 31
𝑎11 Minor elemen 𝑎13 adalah [𝑎21 𝑎31 Sehingga 𝑎21 𝑀13 = [𝑎 31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎22 𝑎21 (𝑀 ) ] jika dan hanya jika det = | 13 𝑎32 𝑎31 31
𝑎11 Minor elemen 𝑎21 adalah [𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
32
𝑎12 𝑎22 𝑎32
31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎12 𝑎11 𝑎32 | = − |𝑎31
𝑎13 𝑎33 |
𝑎13 𝑎33 | 𝑎13 𝑎33 |
𝑎12 𝑎32 | 𝑎12 𝑎32 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎13 𝑎12 𝑎23 ] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = |𝑎22
6
𝑎13 𝑎33 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎11 𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 |𝑎
Sehingga 𝑎12 𝑀31 = [𝑎 22
𝑎13 𝑎11 𝑎33 | = |𝑎31
𝑎12 𝑎11 (𝑀 ) ] jika dan hanya jika det = | 23 𝑎32 𝑎31
𝑎11 Minor elemen 𝑎31 adalah [𝑎21 𝑎31
𝑎22 𝑎32 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎11 𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 |𝑎
Sehingga 𝑎11 𝑀23 = [𝑎 31
𝑎13 𝑎12 | = − | 𝑎33 𝑎32
𝑎13 𝑎11 (𝑀 ) ] jika dan hanya jika det = | 22 𝑎33 𝑎31
𝑎11 Minor elemen 𝑎23 adalah [𝑎21 𝑎31
𝑎22 𝑎32 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎12 𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 |𝑎
Sehingga 𝑎11 𝑀22 = [𝑎 31
𝑎22 𝑎21 𝑎32 | = |𝑎31
𝑎13 𝑎12 𝑎33 ] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = |𝑎32
𝑎11 𝑎 Minor elemen 𝑎22 adalah [ 21 𝑎31
𝑎23 𝑎33 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎21 𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 |𝑎
Sehingga 𝑎12 𝑀21 = [𝑎 32
𝑎23 𝑎21 | = − | 𝑎33 𝑎31
𝑎13 𝑎23 |
𝑎12 𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 |𝑎 22
𝑎11 Minor elemen 𝑎32 adalah [𝑎21 𝑎31 Sehingga 𝑎11 𝑀32 = [𝑎 21
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎11 (𝑀 ) ] jika dan hanya jika det = | 32 𝑎23 𝑎21 21
𝑎11 Minor elemen 𝑎33 adalah [𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32
𝑎13 𝑎23 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎11 𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 |𝑎
Sehingga 𝑎11 𝑀33 = [𝑎 21
𝑎13 𝑎12 | = | 𝑎23 𝑎22
𝑎13 𝑎11 𝑎23 | = − |𝑎21
𝑎13 𝑎23 | 𝑎13 𝑎23 |
𝑎13 𝑎23 ] 𝑎33
𝑎12 𝑎11 𝑎22 ] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = |𝑎21
𝑎11 𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 |𝑎 21
𝑎12 𝑎11 | = | 𝑎22 𝑎21
𝑎12 𝑎22 | 𝑎12 𝑎22 |
maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut 𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝐶(𝐴) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ] 𝑐31 𝑐32 𝑐33 Adjoin dari Matriks 𝐴 adalah Transpose dari Matriks Kofaktor 𝐴 adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇 7 Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 3 Jawab:
3 0 0 4], maka carilah adj (𝐵)! 0 1
7 3 Minor elemen 𝑎11 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 0 4 0 𝑀11 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = | 0 1 0
4 | 1
0 4 𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 | |= 0−0 =0 0 1 7 3 Minor elemen 𝑎12 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 2 4 2 𝑀12 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = | 3 1 3 7
4 | 1
2 4 2 𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 | | = −| 3 1 3 7 3 Minor elemen 𝑎13 adalah [2 0 3 0
4 | = −(2 − 12) = 10 1
0 4] 1
Sehingga 2 0 2 𝑀13 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = | 3 0 3
0 | 0
2 0 2 0 𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 | |=| |=0−0=0 3 0 3 0 7 3 Minor elemen 𝑎21 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 3 0 3 0 𝑀21 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = | | 0 1 0 1 3 𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 | 0 7 3 Minor elemen 𝑎22 adalah [2 0 3 0
0 3 0 | = −| | = −(3 − 0) = −3 1 0 1
0 4] 1
Sehingga 7 0 7 0 𝑀22 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = | | 3 1 3 1 7 𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 | 3 7 3 Minor elemen 𝑎23 adalah [2 0 3 0
0 7 0 |=| |= 7−0= 7 1 3 1
0 4] 1
Sehingga 7 3 7 3 𝑀23 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = | | 3 0 3 0 7 𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 | 3 7 3 Minor elemen 𝑎31 adalah [2 0 3 0
3 7 3 | = −| | = −(0 − 9) = 9 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 3 0 3 0 𝑀31 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = | | 0 4 0 4 8
3 𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 | 0 7 3 Minor elemen 𝑎32 adalah [2 0 3 0
0 3 0 |=| | = 12 − 0 = 12 4 0 4
0 4] 1
Sehingga 7 0 7 0 𝑀32 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = | | 2 4 2 4 7 𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 | 2 7 3 Minor elemen 𝑎33 adalah [2 0 3 0
0 7 0 | = −| | = −(28 − 0) = −28 4 2 4
0 4] 1
Sehingga 7 3 7 3 𝑀33 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = | | 2 0 2 0 7 𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 | 2
3 7 3 |=| | = 0 − 6 = −6 0 2 0
Sehingga diperoleh 𝑐11 = 0 𝑐12 = 10 𝑐13 = 0 𝑐21 = −3 𝑐22 = 7 𝑐23 = 9 𝑐31 = 12 𝑐32 = −28 𝑐33 = −6 maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut 𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝐶(𝐵) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ] 𝑐31 𝑐32 𝑐33 0 10 𝐶(𝐵) = [−3 7 12 −28
0 9] −6
adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇 0 10 adj (𝐵) = [−3 7 12 −28
0 𝑇 9] −6
9
0 adj (𝐵) = [10 0
−3 12 7 −28] 9 −6
3) Invers Matriks Definisi (Pengertian) Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, dan berlaku 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka dikatakan matriks 𝐴 dan 𝐵 saling invers. 𝐵 disebut invers dari 𝐴, atau ditulis 𝐴−1. Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. 1
𝐴−1 = det (𝐴) [adj (𝐴)], dimana det (𝐴) ≠ 0 2 Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [ 3 2 1 Jawab: 𝐴=[ ] 3 4
1 ], maka carilah 𝐴−1 ! 4
2 1 det (𝐴) = | | 3 4 = (2)(4) − (3)(1) =8−3 =5 4 −1 adj (𝐴) = [ ] −3 2 1 [adj (𝐴)] det (𝐴) 1 4 −1 = 5[ ] −3 2 4 1 −5 5 =[ 3 2 ] −5 5
𝐴−1 =
4
Jadi, 𝐴−1 = [
1
5 3
−5
−5 2 ] 5
7 3 0 Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [2 0 4], maka carilah 𝐵 −1 ! 3 0 1 7 3 0 Jawab: 𝐵 = [2 0 4] 3 0 1 0 4 2 4 2 0 | − 3| | + 0| | 0 1 3 1 3 0 = 7( 0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4) − 3( 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4) + 0( 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0) = 7(0 − 0) − 3(2 − 12) + 0(0 − 0) = 7(0) − 3(−10) + 0(0) = 0 + 30 + 0
det (𝐵) = 7 |
10
= 30 7 3 Minor elemen 𝑎11 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 0 4 0 𝑀11 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀11 ) = | 0 1 0
4 | 1
0 4 𝑐11 = (−1)1+1 det (𝑀11 ) = (−1)2 | |= 0−0 =0 0 1 7 3 Minor elemen 𝑎12 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 2 4 2 𝑀12 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀12 ) = | 3 1 3
4 | 1
2 4 2 𝑐12 = (−1)1+2 det (𝑀12 ) = (−1)3 | | = −| 3 1 3
4 | = −(2 − 12) = 10 1
7 3 Minor elemen 𝑎13 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 2 0 2 𝑀13 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀13 ) = | 3 0 3
0 | 0
2 0 2 0 𝑐13 = (−1)1+3 det (𝑀13 ) = (−1)4 | |=| |=0−0=0 3 0 3 0 7 3 Minor elemen 𝑎21 adalah [2 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 3 0 3 0 𝑀21 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀21 ) = | | 0 1 0 1 3 𝑐21 = (−1)2+1 det (𝑀11 ) = (−1)3 | 0 7 3 Minor elemen 𝑎22 adalah [2 0 3 0
0 3 0 | = −| | = −(3 − 0) = −3 1 0 1
0 4] 1
Sehingga 7 0 7 0 𝑀22 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀22 ) = | | 3 1 3 1
11
7 𝑐22 = (−1)2+2 det (𝑀22 ) = (−1)4 | 3 7 3 Minor elemen 𝑎23 adalah [2 0 3 0
0 7 0 |=| |= 7−0= 7 1 3 1
0 4] 1
Sehingga 7 3 7 3 𝑀23 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀23 ) = | | 3 0 3 0 7 𝑐23 = (−1)2+3 det (𝑀23 ) = (−1)5 | 3 7 3 Minor elemen 𝑎31 adalah [2 0 3 0
3 7 3 | = −| | = −(0 − 9) = 9 0 3 0
0 4] 1
Sehingga 3 0 3 0 𝑀31 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀31 ) = | | 0 4 0 4 3 𝑐31 = (−1)3+1 det (𝑀31 ) = (−1)4 | 0 7 3 Minor elemen 𝑎32 adalah [2 0 3 0
0 3 0 |=| | = 12 − 0 = 12 4 0 4
0 4] 1
Sehingga 7 0 7 0 𝑀32 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀32 ) = | | 2 4 2 4 7 𝑐32 = (−1)3+2 det (𝑀32 ) = (−1)5 | 2 7 3 Minor elemen 𝑎33 adalah [2 0 3 0
0 7 0 | = −| | = −(28 − 0) = −28 4 2 4
0 4] 1
Sehingga 7 3 7 3 𝑀33 = [ ] jika dan hanya jika det (𝑀33 ) = | | 2 0 2 0 7 𝑐33 = (−1)3+3 det (𝑀33 ) = (−1)6 | 2 Sehingga diperoleh 𝑐11 = 0 𝑐12 = 10 𝑐13 = 0 𝑐21 = −3 𝑐22 = 7 𝑐23 = 9 𝑐31 = 12 12
3 7 3 |=| | = 0 − 6 = −6 0 2 0
𝑐32 = −28 𝑐33 = −6 maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut 𝑐11 𝑐12 𝑐13 𝐶(𝐵) = [𝑐21 𝑐22 𝑐23 ] 𝑐31 𝑐32 𝑐33 0 10 𝐶(𝐵) = [−3 7 12 −28
0 9] −6
adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇 0 𝑇 9] −6
0 10 adj (𝐵) = [−3 7 12 −28 0 adj (𝐵) = [10 0
−3 12 7 −28] 9 −6
1 [adj (𝐵)] det (𝐵) 0 −3 12 1 = 30 [10 7 −28] 0 9 −6 0 3 12 − 30 30 30
𝐵 −1 =
=
10
7
30 0
30 9
[30 30 1 0 − 10 =
1
7
3
30 3
[0
10 1
0 − 10 Jadi, 𝐵
−1
=
1
7
3
30 3
[0
10
28
− 30 6
− 30] 2
5 14
− 15 1
−5] 2 5 14
− 15 1
−5]
13
