Frame
Matriks
@sampai@
Hasil pembelajaran Setelah ntenvelesaikanProgram ini, Anda diharapkan dapat: .
Mendefinisikan suatu matriks
.
Memahami apa yang dimaksud dengan kesamaandua matriks
.
Menambahkandan mengurangkandua matriks
'
Mengalikan matriks dengan suatu skalar dan mengalikandua matriks
.
Memperoleh transpossuatu matriks
.
Mengenalijenis-jenis matriks khusus
'
Memperoleh determinan, kofaktor, dan adjoin suatu matriks bujur-sangkar
.
Memperoleh invers matriks non-singular
'
Menggunakanmatriks untuk menyelesaikanset persamaanlinear denganmenggunakan matriks invers
'
Menggunakanmetode eliminasi Gaussuntuk menyelesaikanset persamaanlinear
.
Menentukannilai-eigen dan vektor-eisen
495
496
M
Matentatika feknik
Matriks - definisi dalambaris clankolom sehinggamembentukjajaran persegi'panjang (rectangulir H:lT-Suatu matriksyang memiliki rz barisdan rzkolom disebutmatriksnlx n (yakni 'rr kali n') dan disebutsebagaimatriks yang memiliki orde rn x n. Suatumatriks dinyatakandenganmenulisjajarannyadalam tandakurung. Misalnya, [] " \6
I 3
?.) adalahmatriks2 x 3. dengankata lain matriks'2 kali 3', di 8/
mana 5, J,2,6. ,3.8 adalahelemen-elemen dari rnatrikstersebut. Perhatikanbahwa. dalanr menyebutkannratriks,jumlah baris dinyatakanterlebih dulu dan iumlah kolom dinvatakansetelahitu.
t; t: ll \6
6 -3 8 7
4) )l
: l adalahmatriks berorde4 x 3, dengankata lain 4 baris dan 3 kolom.
:l
\/ (6
Jadi matriks
l0 [2
dan matriks
t,;
4)
b"o'o' 1J
53 '74
4\
I berorde 9t
3x2,
2x4
Suatu matriks tidak lain adalahjajaran bilangan: tidak ada hubungan aritmetik antara elemen-elemennya sehinggamatriksberbedadari deterrninan, elemen-elemen suatumatriks tidak dapat dikalikan dengancara apapununtuk mencari nilai numerik dari matriks tersebut.Matriks tidak mempunyainilai numerik selain itu, secaraumum, baris dan kolomnya tidak dapat disahng-tukarkansebagailnanahalnya dengandeterminan. Matriks baris: Suatu matriks baris hanya terdiri atas I baris saja. Sebagaicontoh, (4 3 7 2) adalahmarriks baris berorde I x 4. Matriks kolom: Matriks kolom hanya terdiri atas I kolom saia. 16\ Sebagaicontoh, I 3 I adalahmatrikskolom berorde3 x 1. \8/ Untuk menghenrattempatdalampenulisannya. ditulis suatumatrikskolom kadang-kadang pada satu baris saja tetapi dengantanda kurung'kurawal', misalnya {6 3 8} adalah matriks kolorn yang berorde3 x 1. Lanjutkan ke frame berikutrrya
Matriks
(a)
497
/5\ adalah matriks |,; J
. berorde
( b ) ( 4 0 1 3) adalah matriks (c)
1 2 6 e ) adalah matriks
. berorde . berorde
(a) kolom,2 x I (b) baris, I x 4 (c) kolom 3 x I Kita n-renggunakan suatu matriks baris sederhanadalam menyatakankoordinat x dan y suatutitik relatif terhadapsumbu-xdan -y. Sebagaicontoh,jika P adalahtitik (3, 5) maka 3 adalahkoordinat-r dan 5 adalahkoordinat-1'titiktersebut.Akan tetapi,dalam matriks unrumnyatidak digunakantanda koma untuk memisahkanelemen-elemennya. Mulrik,s elementunggal: Matriks elementunggal dapatdianggapsebagaimatriks I x I, yakni matriks yang memiliki 1 baris dan 1 kolom. Notctsiakhiran ganda: Setiapelemendalam suatumatriksmemiliki "alamat" atautempat tertentunyasendiri yang dapat didefinisikan dengan suatu sistem akhiran ganda, yang pertama menyatakanbaris, yang kedua menyatakankolom, dengandemikian: (ott I Qtr
atz
at3
O-t-t
()->t
"'. ) dtt
I
| ..; ,,;; ,,,, i,-,) .'. (rt.r nrenandakan elemen dalam baris kedua dan kolom ketiga. Oleh sebab itu. dalam matriks
(6 -s r-3) 8 3l 1 2 - 4- 1 - 6 4 sl | \-2 e 7 -t) tempat
(a) elernen3 dapat dinyatakansebagai (b) elenten-l dapatdinyatakansebagai. . . (c) elen-ren 9 dapatdinyatakansebagai
(a) az4
(b) c.*
(c) ao, Lanjutknn
Notasi matriks elemen umum tunggal yang ditulis di dalam tanda kurung, atau dengansebuahhuruf tunggalyang dicetak-tebal.Ini merupakannotasisingkatyang sangatrapi dan menghemat tempat dan penulisan.Sebagaicontoh, 2
498
Matematika teknik
("tt
arz arz oro )
[;l
:::
:::
dengan(a") atau(c) atauA dinvatakan
:::)o^o^t
:
l,',)
Serupahalnya | *, I dapat dinyatakandengan (x,) atau (x) atau cukup denganx.
(.",J
Untuk rnatriks(rn x n), kita menggunakanhuruf besartebal, misalnyaA. Untuk matriks barisataukolom, kita menggunakanhuruf kecil tebal,misalnyax. (Dalam tulisantangan, kita dapat menyatakanhuruf tebal dengangaris gelombangyang ditempatkandi bawah huruf yang bersangkutan,misalnya A atau x.) Jadi,jika B menyatakanmatritciZ x 3, iulislah elemen b,, dalammatriks, dengan menggunakannotasi akhiran.Notasi ini menghasilkan
u=(?,"?,:';,) Frame berikutnta
Matriks yang sama _ sama.Oleh karenaitu, keduamatrikstersebut juga harusberordesama. at2 nr:) = (a J a d ij i t a f a r r \dzr oz: lzt ) \2 maka 0,
6 3
3
= 4, an = 6; an = 5; a2t = 2; dl|.
Oleh sebab itu, jika (a,;) = ("r) maka o,j=
(a
h c')
(s
J a d i , j i k a l de f l = l r \s makad-.
5) 1)
h k)
\0
-t
7
xij untuk semua nilai i clan7.
3)
l
z 6i 4
8) .,a-k=
,b=
d l
d-1'.
b--7'.
a-k=-3
---E
499
Matriks
Penambahandan penguranganmatriks atauselisihnyaditentukandengancaramenambahkanataumengurangkanelemen-elemen' yang berkorespons.
2+8 8 9)=(4nl S e b a g a i . o n t o h , [24 3 ) + f l 1 6 ) s 4 ) [5 \3 [5+3 1+5 (s' 1o l2)
3+9) 6+4)
I
\8 12 r0)
d, a n
(6 s 12\ (3
[q 4
7
(6-3
l\
sj-[.z ro -s)= [n-, =t
J a d i ,( a ) ( 6 5 4 t ) * f r \23-78)[6-l (8 3 6)
(t
4
?1\
(3 -2 \7 -6
s-7
12-l\
4-lo
s+sJ
il) I t3)
v t _
I-
0 s)
2 3)
(b) ls 2 7l-14 s 6l = [r o 4) l.z 8 e)
(a)(;i _i,i) (b)[:j j]
Untuk mengalikansuatumatriks denganbilangantunggal (yakni suatu skalar),masingmasing elemen matriks harus dikalikan denganfaktor tersebut:
q = rli : ::) sebagai conroh, 7) "()\ 6 ?l :'l \24 4 28) dengankata lain, secaraumum, k(a) - (ka1). Ini, juga berarti bahwa kita dapat mengeluarkanfaktor persekutuandari setiap elemen - bukan hanya satu baris atau kolom sepertihalnya pada determinan. 25 45) o l e h s e b a ui tu , [1 0 ouou,di tul i s \\3 5 1 5 - 5 0 /
500
Matematika tdknik
- (2 s 9\ 3 ro) "[t
Perkalian dua matriks Dua matriks dapatdikalikan satusamalain apabilajumlah kolom dalam matrikspertama sama denganjumlah baris pada matriks kedua. S e b a g aci o n r o hj,i k a A - ( a , , )= ( : , , ,
\42 t
: t2. z A
(: r,zt l
) oun[ = (]-) =
)
rb')
lb,I
\b, ) ----------------
lDr\| makA a . b = ( a t t a t 2 o ' ,) i ; l I I a21 azt
\d z r
)
[r, ] J + arrb., + a,rb-,) (o rr b, \or,,b, + arrb, + a21\ ) dengankata lain, setiap elemen dalam baris pertamaA dikalikan denganelemen yang berkoresponsdalam kolom pertama b dan hasilkalinya ditambahkan.Serupa halnya, baris kedua hasilkalinyadiperolehdenganmengalikansetiapelemendalam baris kedua A denganelemen yang berkoresponspada kolom pertamab. C o n to h 1 (4 (2
7 3
6) 1)
r8)
8 + t x 5 + 6 x e ' )_ ( 3 2 t 3 s + s 4 ) _ f 1 2 1 ) t t 6 + 1 5+ 9 ) - \ + o )
lrl _ (f42x x 8 + 3 x 5 + I x 9 /
Iq,l
r3)
S e r u p ar r . t n v u[ 2 \4
3 6
5 0
II
1) . l4l= 7) t2l
InJ
(6+12+ I0+9) \ t 2 + 2 4 + a + $)
t-l
/:z\
I
[eei (t\
Dengancara yang persis sama,jika A = (t il
6 0
8 d^n = t t b ) l 4 l maka 2l \5/
A.b =
Prosesyang sama dilakukan untuk setiap baris dan kolom.
\
' I
i
501
Matriks
Co n to h 2
(t 5) J i k a A = ( r' / , ,- )1 2 Z l O a n B = ( b' , , ) = ( 8 4 3 l ) \2 s 8 6) [l 4)
nraka AB=l: ll r: :: l) \2 s 8 6) t'; o)
tx4+5x5 2x4+7x5 3x4+4x5
1,tx8+5x2 -12x8+7x2 \.3xs+4x2
4+25 3+40 8+35 6+56 12+20 9+32
[8+10 =l16+14 \24+8
1x3+5x8 2x3+7x8 3x3+4x8
lxl+5x6) 2xl+7x61 3xl +4x6)
t+:0) 2+42 1 3+24)
2e 43 31) = rl8 43 62 441 130 [:z 32 4i zi ) Perhatikanbahwa mengalikanmatriks (3 x 2) dan matriks (2 x 4) menghasilkanmatriks yanq berorde (3 x 4) yang artinya. orde (3 * 21.x ordey
6
"
4) --> orde (3 x 4)
Maka secariluululr hasilkalisuatumatriks (l x ni dan matriks (nr x re)memiliki orde (/ x n).
/) Jika A =: l l-r t1
4 6)aon u =ll, ;l e s)
[+
3)
maka A. B _
tt-"""t1 | \23 ee) |
karenaA.B
=i
-l
(t
(246) I
\3 e s)
r)
.t-2
9l
[+
3)
(14-8+ 24 2+ 36+ l8) - 1 8 + 2 0 3 + 8 1+ 1 - 5 i \21
(30 s6) [23 ee)
C o n to h 3 Sebagaiakibal.nyasuatumatriks dapatdikuadratkanhanyajika matriks itu sendiriberupa matrik bujursangkar,yakni, banyaknyabaris sama denganbanyaknyakolom.
502
Matematika teknik
7)
JikaA =(a
[s 2) t''=(4 ?).f4 7) \5 2) \s 2) =(16+3s 28+14)_fsl [zo+ro 35+4/-[:o
42\ 3e)
Ingatlahbahwa perkalian matriks terdefinisi hanya apabila
banyaknyakolom dalam matriks pertama = banyaknya baris pada rnatriks kedua 5
6)
2
3
5' )
\4 e 1) [8 ]
r)
In i b e n a r.(t
f
ri dak memi l i ki arti .
Jika A merupakanmatriks (m x n) I maka hasilkali A.B dan B.A akan dan B merupakanmatriks (n x m) J memungkinkan. Contoh
Jika A = (1 2 3')oun u =f, i?l \4 5 6)
lq n)
m aka ^' 0 2 3\ I19) =[ ; ir.f^ ?*', r;?I,i)=(::,*e, ) =[l i!.ltl danBA \ ?:) \e 12)
:
= [;:ii i3i ff
(7 + 40 14 + 50 2l + 60)
(41 64 81)
[;;1l3g) ":,:it)=
Perhatikanbahwa,dalam perkalianmatriks,A.B * B.A, yakni perkalian tidak komutatif. Urutan faktor-faktornyasangatpenting! Padahasilkali A.B, B dipra-kalikan oleh A dan A dipasca-kalikanoleh B. (s ?\ 2 4) J a d i -, i i k a A = l z +launB=(9
\-236)
[:r) maka A.B =
. dan B.A =
A.B =
)2 ?t) iii il,uo=(:; i
Matriks
503
yaitu baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, baris ketiga menjadi kolom ketiga, dst. niaka rnatriksyang baru dibentukdisebuttransposdari matriksaslinya.Jika A merupakan matriks aslinya, transposnyadinotasikandengan A utou Ar. Kita akan menggunakan notasi yang terakhir ini. (4 . ' . J i k r rA = | 1
6) , s L m a k a A ' '- ( 4
\6
lz s)
Olch sebabitu. diketahuibahwa
(2 - 6\ A^ = [ i - 'a. n B \ * -, 'i /l -. d
(4 0)
l3 7l \r s),,
. d a n (A.B)T
makaA.B=
= (;; ?i) o.u= (;; 'r7),A.tsr
(1 2 5) S e b a g ca oi n t o hl ,6 8 9 l m e r u p a k a n m a t r i k s 3 x 3 .
[r ] 4)
Suatumatriksbujur-sangkar adalahmatriksimetrikjika(a,,)- (tt1), (t r i s a l n yla2
2 5) 8 9l
\s e 4)
Dengankata lain, matriks itu sirnetrispada diagonal utamanya. PerhatikanbahwaA=Ar. Matriks bujur-sangkar(au) adalah matriks simetrik-miring jika aii = -aii,
(o r n i s a l n vla- l.
2 s) o
9l
[.-s -e o)
Dalam hal sepertiitu, A = -Ar. ( b ) Matriks diagonal adalah suatu matriks bujur-sangkaryang semuaelemennya nol
(s 0 0') kecualielemenyang beradapadadiagonalutamanya,dengandemikian,
lo 2 ol \o o 7)
rt
504
Matematika r6knik
(c) Matrik.ssutuan adalahsuatu matriks diagonal yang elernen-elemen pada diagonal
(1 o o) l0 I 0l \0 0 t)
utamanyasemuanyasatu. dengandem i k i a n , Matriks satuandinotasikandenganI
(s 2 4) (r 0 o) J i k a A = l l 3 s l d a n r = 1 0 I 0 maka A.I = | (oo t) [7e6)
t;
-) '4l \
3
8
|
yang artinya A.I = A
e 6)
Serupahalnya'jika kita membentuk hasilkaliI.A, kita akapmernperoleh: (100)(s24)
r.A=lo r ol lr 3 8l [o o t) lz s 6) 2+0+0 s+ = 110, + t +00+ 0 0 + 3 + 0 (o+o+7 o+o+e
4+0+0) (5 2 4,\ 0+8+Ol=lt 3 Sl=l o+o+6) [z s 6)
A.I=LA=A Oleh sebabitu. matriks satuanI berperilakurnirip denganl'aktor satu dalam aljabardan aritrnetik biasa. (d) Mntriks nol: Matriks nol ialah matriks yang semuaelemennyaadalahnol. (000) Yakni, 0 0 0 dan dinyatakandengan0. | | ('o
o o)
Jika A.ts = 0, kita ticlakdapatmengatakanA = 0 atau = B 0
jikaA = (; karena B= I _i) dan li
[z
4;l)
nrakaoo =(: \ _il (: jl \z
/
=(u'**,:--?r - i.)=(3S) #--,1 Dengankata lain, A.B = 0, tetapijelas A * 0 clanB * 0. Sekaranglatihan rev'isisirtgkot.Kerjakanlahyang berikut ini tanpa melihat kembalike atas. I
Jikao=(:657\
z
tentukanlah (a) A + B clan(b) A _ B. (4 3) JikaA-]i2 zloanB=(-5 e 2) \408) [or) tentukanlah (a) 5,A;(b) A.B; (c) B.A.
\:
R-(2
I e +)aono=i.;;
8
h^r
t/el I
v dt
-3 -l)
_'4 6) Per
iala
Matriks
50s (z 6\ Jika A =
(7 )
l-_tt'
l ) / l d a n g = 1 0 1 maka A.B = \41) [23
Diketahuib a h w an = ( a \l , r,,.) :
2 8
6') ten t u k a n l a h ( a ) A r c l a n ( b ) A . A I 1)
SetelaltAnda ntenvelesaikonnyo, periksakth hasil Anda pada .frttme berikutttyct.
Inilah penyelesaiannya. Periksalahhasil-hasilyang Anda peroleh.
I
2
=(: t::
(a) A+B
,uo)"''A-B=(-;:3
-;)
(32 36 32\ ( 20 ls) ( a ) S A = l t 0 - r . s| ( b ) 4 . s = | r s 1 8 6 ( )| (c) B.A = (-s0 B0) \64 20) 30 s) [,0 s4 20) /'a T' 6\ (3 2\ A . B = 1 5 I | | q I I tidak mungkinkarenabanyaknyakotom pada marriks \4 1) \2 3) pertama tidak samadenganbanyaknya barispadamatriksyangkedua.
I
3
4
(4
A=[.r
)
.r
6\
l)
(4
; 7' ) . . . 4 ' = 1 2 8 l 7)
[6
A.A'= (1 ul 2 \, tf t
J l - t r c + 4 + 3 64l ++6 -1l +6a+9 )4 2 \
l,o 7)=|1+*16+42
_ - (s6 62) \ 6 2 r 1 4) Sekurang lunjutkan ke franrc berikutnl'a
Determinan suatu matriks bujur-sangkar I ) e te n n i n a ns u atlt l-l]iat atrikr S bujur-sr Lgka tr merupak l p i Kan n determinan vans nrenriliki elernen yang samadengal1 e,leme l e )n matrik l y a . Sebagai ai c con ntoh:
:t
t"
detcrminandari t 0 I
2 6 4
I
-) 1
\8 _ s(12 t2) ) ( 0 - j '),4)
l,
5 ialah l 0 l
2 1l
6 3l d daa nnilai detenninan ini 8 4 t l lr ( 7 1 - 2(-24) + 1(-48) l ( 0 - 4 i8) = 5(30) 150 5 0+ 4 8 - 4 8 = 1 5 0
ialah
( :-5 0 8 ) I)crhatikanbahwa transposmatriks ini ialah t ,2 6 4 l d a ndetenlinan transposini t.
t 3 7) 5 i a l a h 2 : I I ,,,r* adarah - nilainya I 3 7l5 (4 2 - 12) - 0(14-- 4) + 8(6 - 6) = 5(30)= 150.
506
Matematikateknik
vlatriks
Dengan kata lain, determinanmatriks bujur-sangkarmemiliki nilai yang sama seperti nilai determinanmaftiks transposnya.
oh
Suatu matriks yang determinannyanol disebut matriks singular.
Ta
Determinandari ."oik,
Jar
i
il
([;. r 8 6 )
In.*,,iki nilai
. ctannilai dererminan
ek
(200) matriksdiagonal 0 5 0 memilikinilai . | | \o 0 4)
ta t1
2 7 8
I.-
l4
ll
l.> l'
0 5 0
l0 lo
.-
il = ,,-,o)- z(15) =5 + 5(2s) 6l ol =2(20 + )o + o = 4 0 ll
Adioit
c
Kofaktor I
Jika A - (o,) adalahsuatumatriks bujur-sangkar,kita dapatmembentukdeterrninan dari elemen-elemennya: lot, l"rt ln:' : | ran
arz at3 o22 o23 o:, o:. : : en2 an3
at,, I aznI
Setiapelemenrnenghasilkan suatukofuktor,yang tidak lain adalahminor clarielernendaliimdeterminan beserta'tandatempatnya,'yang diuraikan secararinci pada program sebefumini.
":,1 : I a,,l
Sebagaicontoh,determinandari matrikso = yansmemitikinilai45.
(2 o | [t
3 5) 12 3 5l t u ialahdet a = lal = I l+ i ;l 4 0) lr 4 0i
I 6l M i n o r d a r i e l e m e n-z ' i-a' l-a"n1I 4
ol=o-24=-21'
Tanda tempatnya ialah +. Sehinggakofaktor dari elen-ren2 ialah +(-24) yakni -24. Se ru p ah a l n y a .mi n o r d a ri el e: n r e n3 i a l a h/ a 6\ 0- 6 = -6. [; r)Tanda tempatnyaialah -. Sehinggakofaktor dari elemen 3 ialah -(-6) = 6. Dalam setiap kasus, minor diperoleh dengan mencoret garis dan kolom yang berisi elenlenyang dimahsuddan membentuksuatudetenninanelemenyang selebihnya.Tandatanda tempat yang sesuaidiberikan oleh: +
(+ + |:
t:
, -t-
+
) |
,J
plus dan minus yang bergantiandari sudutkiri atasyang
otrtanda+
'&-
Matriks
507
oleh sebabitu, padacontoh di atas,minordarielemenSiannl2, llvur.ni 8 - 3 = 5. lt +1" -. Tandatempatnya ialah Oleh sebabitu kofaktordari elemen6 ialah-5. Jadi.untut,noorc [Z 1 7'l, o"*ktor darielemen3 iatah
[: 8 e)
. dankofaktor
elemen4 ialah .
Kofaktor dari 3 ialah 4 - (-10) = 14 Kofaktor dari 4 ialah -(56 - 3) = -53
Adjoin suatu matriks bujur-sangkal Jika kita mulai sekalilagi denga o = f'o ? :'l, determinannya, "
[r4o)
detA = lAl = li i ll ,.", darisinikitadapar membentuk matiiks baruc dari oI kofaktor-k"rro,Jr|rr1 ( ot, A,, C = | A,, A, A;; [e.'
4,, ) A ' , m e r u p a k a kno f a k t o ra ' , Ar. I di mana Au merupakankofaktor au' dll' A.r)
o,,=*ll 3l=.,0-21)=-24 =6 u,,=-'13l=.0-6) - r)=15 o,.=*111l=-,16 s l = -foAr'= -li1 3 ol 20)= 20
12 sl a.,r-+ll 6l = *,0 5)= -5
o"=-11 il=-"-3)=-s o.,=*lf ;l =+(18-5)=13 o,,=-11 ll =-,12-20)-B o, =*11ll =*rz- 12) =-ro .'. Matriks kofakror ialahC = f-:!, -: 1;l t t3 8 -to) dantranspos c, yaknicr = l-'2 r.
?0, Tl
1 5 _ 5 _ 1 0)
InidisebutadjoindarimatriksasliAdanditulisadjA.>
J
508
tekniA Matematika Oleh sebabitu, untuk mencari adjoin matriks bujur-sangkarA: (a) kita bentuk matriks C kofaktor, (b) kita tulis transposC, yakni Cr. Jadi adjoin
I3
1 4 | ialah .
\+ 6 3)
7) o (-21 1 7 l l 1 adjA=ct=l I -22 -r) [ 14
Inverssuatu matriksbuiur-sangkar Adjoin suatumatrik bujur-sangkarsangatpenting,karenaadjoin ini membuatkita dapat membentukinvers dari matriks tersebrrt.Jika set.iapelemenadjoin A dibagi dengannilai detenninanA, yakni lAl, (asalkanlAl * 0), matriksyang dihasilkandisebutinversA dan d i n v u t a k l rdne r t c a rAt l . Untuk matriks yang kita gunakandalam frame terakhir'A =
(2 3 s') 14 1 6l [r 4 0)
lz 3 sl c l e r A = l A t- 1 4 I 6 l - 2 ( o _ 2 4 ) - 3 ( 0 - 6 ) + - 5 ( 1 6 - l ) = 4 5 .
Ir 4 ol
l-s) 6 ( -24 matriks kofaktor C = | 20 --5 -5 | 8 -loi \ t: (-24 dan adjoin A, yakni CT - I 6 \. t5
20 -5 -5
13) 8| -10 )
Maka invers A diberikanoleh
A - r- l
( 24
20
13)
l - -
4s
45 |
| 4s
6 --s
gl=tl
| 4 s 4 s 4 5| l0l I l s -Bs -E) ( {5
(-z+ 20
13\
6 --s 8l
or[ 1s _5 _toj
Oleh sebab itu, untuk nrembentrtkinvers sLtatumotriks bujur-,sangkarA: (a) Tentukanlahnilai dcterminanA, yakni lAl (b) Bentuklah matriks C kofaktor dari elemen-elementA l (c) Tulislah transposC, yakni Cr, untuk memperolehadjoin A
Matriks
509
(d) Bagilah setiap elemen Cr denganlAl (e) Matriks yang dihasilkan ialah invers A-l dari matriks asli A. Marilah kita kerjakan satu contoh secararinci: Untuk mencariinvers I =
(t + |
2 t
3) 5|
[6 o 2) (a) Tentukanlahnilai determinanA, vakni lAl.
tAt --
Karena
(t
r R= t la
2 3')
I 5 l - r(2 - 0) - 2(8 - 30) + 3(O- 6) = 28
\602) (b) Sekarang bentukl ah matriks kofaktorrvs. C =
()
))
-6)
I'LL
c = l - 4 - 1 6 t 2l _'7 I l
\7
K a re n a Arr=+Q-0)=2, A2 r = -(4 - 0 ) = -4 ;
Atz=-(8-30)-22-
Arr = +(0 - 6 ) = - 6 Ar.,= -(0 - 1 2 ) - 1 2
Azz=+Q-18)=-16. Az2= -(5 - 12) - 7.
Arr =+(10-3)=l;
A:: = +(l - 8 ) = - 7
(c) Selanjutnyakita harus menulistransposC untuk memperolehadjoin A. adjA=Cr=
(2
adjA=Cr-lzz [-6
_4
-16
7)
7l
12 _7 )
( c l ) Ak l ri rn y a , k i ra b a g i e l e m e n - e l e m e n adj A dengan nilai lAl, yakni 28, untuk memperolehA-l , invers A. .'.AI=
I L
_4 28 22 _ 1 6 N 28 t2 _6
n
Al=
28
n
7)
2Bl 7l-
,f
-B)l-
/ ) tl,',
-4 -16
28[._;t 2
,I
tl -1
)
510
Matematikateknik Masing-masingdikerjakandengancara yang sama.Anda kerjakansendirilahyang berikut ini: (274) Tentukanlahinvers matriks A =
l3 1 6l \508)
A-r _
(' 8 -s6
=
A-l
33\
rl6 4 ol 38[-s 3s -u)
Beginilahrinciannya:
', = 38 4(-5) detA = rAr= 13 1l = ,,r, - 7(-6)+ ls o 8l Kofaktor: Arr = +(8-0) = 8; Azr = -(56 - 0) = -56;
Ap=-(24-30) = 6' Azz= +(16 - 20) - 4; Ay= -(12 -12) - g'
A z r = + @ 2- 4 ) = 3 8 ;
c-[-,::;;l- t e ) [ :s
o
,( makaA-r =ll
8 -56 4 o
:s[-s
A,, = +(0-5)=-5 Ar..- -(0 - 3 5 ) = 3 5 A n = + ( 2 - 2I) = -19
P
c,=|,:-1:^'3.l 3s -te) [-s
38) ol
35 -te)
Sekarangmarilah kita cari beberapapenggunaaninvers ini.
Hasilkali suatu matriks bujur-sangkardan inversnya
(1 2
ini, kita telahlihatbahwaapabilaO = Dari contohsebelum [:
- L(,tr-;2il A-, 28[_6
J
a\ 1l
:''! l I
;l
_7)
n
= L(,1 -i' I I i;l MakaA-A 28(.-6 -i)
[o o 2)
12
-'
6-20+14 ) 4-4+o .,(2-16+42 lzz- 64+ 42 44-16+ o 66 -80+ 14 | 2 8 1 - o+ 4 8 - 4 2 - r 2 + 1 2+ o - 1 8 + 6 0 - 1 4 ) ,(28
o
o\
(t
o o)
=Il o 28 ol=lo t ol=1 zs[o o zB) [o o t)
.'.A-r.A=I
)
Matriks
511
Juga A.A-'
=ft i i)"L( ,1 Io o z) zs[-o
-4 -16
=r('o ? il (,: zsIo
t2
-4 -16
o z) [-e
7)
1l
-7) 7) It=
;)
t2
Selesaikunlah
o)
(2! 0
- -1 l u
zaIo
=' ?,J
(t o 0)
28 o l=lo I 0 28) \0 0
.'. A.A-l = A-l.A = I Dengan kata lain, hasilkali dari matriks bujur-sangkardan inversnya,dengan urutan manapunfaktor-faktornyaditulis, ialah matriks satuandenganorde matriks yang sama.
Penyelesaianset persamaan linear Perhatikan set persamaan linear, all-{l+ anx)+ anxl +.
. + arnxn=b,
{ t 2 f 1 + a Z Z x Z +0 2 1 x t + .
. + Q r , r x n =b .
a n y r l + 0 n 2 _ Y 2A * u3X3+.
+ t l , r r x , r =b n
Dari pengetahuan kita tentang perkalian matriks. persamaan-persamaanini dapat ditutis dalam bentuk matriks: (r,,,
dt2
nt.r
d r , ,)
/ r, )
( b, )
,ir-.ir),, "li,l | "; | _l;r l lr., , i : : | [t'r,
a,r2 a,t3 (ott
dimana A- ]|"?'
I t:-l:lil
or, ) 0n
[r;,,l ap
o?' o?'
l::::ll:ll:l \4,,t
(1,t2 a,,3
Ai' x = b Yakn
lr,, ) crn)
("' )
(b' )
[",, J
\h, )
o?"1, *=l".tl, danb=lu:l a n , ,)
Jika kita kalikan kedua sisi persamaanmatriks denganinvers A, kita peroleh: A - 1 . A . x= A - 1 . b T e ta p i A-l .A = I ... I.x = A -l .b
yakni x = A -l .b
Oleh sebabitu, jika kita membentukinvers dari matriks koefisien dan mempra-kalikan matriksbdenganinversitu,kitaakanmemperolehmatrikspenyelesaianx.> A
512
Matematika teRnik
Matrik-s
Contoh Untuk menyelesaianpersamaan_persamaan: xt+2.r2+xr-4 3", -4rr-2xr-2 5 _ r +, 3 r ' + 5 - r , - - l Pertama-tamatulislah set persamaanitu dalarn bentuk matriks, yang menehasilkan
')
(t
2
l)(',
[s
3
.5/ l.",)
4)
f lr -4 -21l".l=l 2l
\t)
.'. x - A-t.b
vakni, A.x = b
Jadi langkahberikutnyaialah mencariinvers A di mana A merupakanmatriks koefisien x' Kita telah melihat bagaimanamenentukaninvers suatu matriks, jadi datam hal ini 4-t _
-7
o)
__11_\10 ,t[
-' )ll -10) - l
;;
Karena
l l 2 rl t a t= 1 3 _ 4 -21 = -14 - 5O+ 29 = 29 - 64 ...lAl = -3-5 ls 1 )l t*
Kofaktor: Atr = +(-20 + 6) = -1,1: A z r = - ( 1 0 - -l ) = - J : A3t = +(-.{ +
A
+)=0;
A , = - ( 1 5 + l 0 ) = - 2 5 ; A r-,= +(9+ ) O t - ) 9 An = + ( - 5 - 5 ) = 0 ; A l-1- _ - - r 3 - l 0 ) = 7 A y - -(.-2 - 3) = -5; A ,. = * (--4 - 6 ) = - 1 0 -1-1
( - r 4 -2s 2e) (_14 _7 o) . ' .c - | - 7 0 1 l . . .ad" il A = C f - | - : - s 0 5l -10 s -10) \0 7 \2e ) SekaranglAl =
-35 .'.A-r = --a d iA
.'. x - A-r.b
--l| -2s
rAt
(-t4
J)[
\ - -) q
-7
0 j
t(-t1
-l
o)
sl
3 s l 2 s 7 -r0 )
0 ' )r 4 )
5l.l2l = - t 0 ) \ .l / t t l
Kalikanlah
ffiffi.is*4r,:*ii:,
Matriks
513
-L(;',3]: t'il t+o)
x-
" I
[-oJ
("') r 2) . ' . t r 1= 2 ; x z . = 3 ; x . - 4 ., = 3
Jadi akhirnyax -
| | | | \-4) \r:/ Begitu Anda rnentperolehinversnya, pekerjaanselebihnvahanvalahx = A -1.b. B eri kut nrerupakancontoh untuk diseles aikan dengancara yang sama: 2.r, - ,tr, +3-r:. - ) rl +3x, --r3 = 11 2 r, -2 .r, + 5 x . - 3
Jika
t n a k i t trt=
xz
;
l _
Xt = -1,
-)
-
- x U= 5 ; 1 3 = 3
H a s i-a l n ta ray a n g p e n ti n gialahsebagai berikut:
( 2 - r 3 ) ( , " , ) (t t 2 \ i .x = b .'.= A-r.b 3 - l l . l r , l = | tt I yaknA ll
Iz -]
s) [";J
[ :,1
detA=lAl =9
-1 -8) r13 c=l-1 4 2l 5
\-8
( t3 -1 -8) 4 sl .' .adj A = C r = l - t 2 7) [-s
7)
-r -8) 4 5l
(
^-r' l3 A-,- sl = !l-,
tAt
n
1 L
[_*
,(t3 x = A - l . b= - l - l
1l t)
-r
e[-s
-8) ( 2)
4 2
l,"')1 = l r-r') 5l
.'.x-lr',
[,;J [ .J
"'
sl lill
1) \.3/
=!(;?'l = nlr, t'-ll ,.,l
rt = -l;
xz=5, xl=3
) [
Metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikanset persamaanlinear (nrt lnl
| :
(/t:
Q1.\ o22 dr.t
:
:
[,r,,, (1,t2 on3
dr,,) ('' ) x' | | .l
1 , b ') | b. I
o'n,, ) [",, J
l;,, )
az,,
: I l,'l=l:
l v a k nA i 'x=b
Sentuainfirrmasiuntuk mcnyelesaikan set persalnaalidiberikanoleh matriks koeflsien A dan matriks kolorn b. Jika kita menulis elernen b dalam matriks A, kita peroleh nutriks augm.enB dari set persamaanyang diketahui tersebut. i L-
,|
514
1' M a
Matematika teknik
atz
(o1
Dengan r rkara \ . L q lain. Lq'rt' u u -= | "i'
atz
ah
'
o?.' o|0
ol'
', u.t
b,
t, an2
[r;,
an3
olnn
)
I
;r)
(a) Kita kemudianmengeliminasielemen-elemenselaina, darrkolom peftamadengan mengurangkanarrla,, kali baris pertama dari baris kedua dan a.rla, kali baris pertamadari baris ketiga, dst. (b) Ini akan menghasilkanmatriks baru yang berbentuk: (o rt 0 | l: l ,o
a t2 a t 3 czz czt : : c ,,2 c n 3
at,., C2,, : cn,,
t ,t ) 1 a, I | :l | ;,,)
Prosesini kemudian diulangi untuk mengeliminasic,, dari baris yang ketiga dan yang berikutnya. Contoh khusus akan menerangkan metode ini, jadi lanjutkan ke frame berikutnya
Lffi
untukmenyelesaikanx, + 2x,- 3x,= 3 Lrr-xr-xr=ll 3x,+2xr+r:=-5
(t 2 -3) (",) K i t ad a p amt e n u tli2s - l - l | 1 " , l = \3 2 t) tr.,J (r 2 -3
f 3) | lrl \.-sl | 3)
Matriks augmennyamenjadi 2 |
|
-1
\3
Sekarangkurangkan
-l
2
11
| 1 | -s)
? kali baris peftamadari baris kedua I
i
dan
I Prosesini
kali baris pertama dari beris ketiga.
(r 2 -3 | m e n g h a s i l k a n- l50 5 |
3) 5l
[04101-14) Sekarangkurangkan {. yafcnil, -55
mti baris kedua dari baris keriga.
2 -3 I 3) (r M a t r i k s i n i m e n j a d i l 0- 5 5 | 5l \0 0 6 t-18/ Perhatikan bahwahasildarilangkah-langkah ini, matrikskoefisienx telahdisederhanakan menjadimatrikssegitiga. Akhirnya,k;ta pisahkankolom kanankembalike posisisemulanya:
-1)(''') r 3) () - ? s 5l sl l0 \0
0
lxzl=l
6) [",/
[-rs/
Matrik>
515
Kemudian, dengan 'substitusi-kembali,'yang dimulai dari baris bau'ah kita peroleh: 6", - -18 .'. x: = -3 -5 x r+ 5 ,r, - 5 .' . -5 x, = 5 + 15 - 20 i . 1r= 4 - 8 + 9 = 3 ...r, = 2 xt + 2x1- 3", - 3 .'. "r = 2 , x 2-1;x.=-3 .'.-f,I Perhatikanbahwa apabila sedangmenanganimatriks augmen,kita dapat saja,jika kita ingin: (a) mempertukarkandua baris (b) mengalikansebarangbaris denganfaktor bukan-nol (c) menambah(atau mengurangi)suatukonstantakelipatandari sebarangsatu baris ke (ataudari) yang lain. Operasiini diperbolehkankarenasebenarnyakita sedangmenanganikoefisien-koefisien kedua sisi persamaan-persamaan tersebut. Sekarutg untuk memperolehcontoh lain: lanjutkan ke frame berikutnya
Selesaikanlahperangkatpersamaanberikut ini: xr-4xr-2x.-21 2xr+xr*2xr-J 3,r,+2rr-xt=-2 Pertama-tamatulislah persamaandalam bentuk matriks, yang berupa
(t
-4 -2)
1 2 1 -2r )l [3 2
[",)
f]i)
\",,/
\-2 )
l*, 1=l3l
Matriks augmennyadengandemikianialah .
(t
-4 -2 | 21)
\3
2 -1 | -2)
12 r
2 |
3l
Kita sekarangdapat nrengeliminasi koefisien-koefisien x, dari baris kedua dan ketiga dengan dan .
mengurangrbaris kedua dengan 2 kali bans penama dan baris ketiga densan 3 kali baris pertama -2 | (1 4 Jadi matriksnya sekarangm e n j a d i l o e 6 t
l0t2
21)
-3el 5t-6s)
dan tahapberikutnyaialah mengurangkanbaris ketiga dengan . . .
kalibariskedua.
516
Matematika teknik
Matr'
It l t 4 | l-l
tql
-2 (t -4 Jika kita lakukanini, matriksnyamenjadi| 0 g 6 o -4,33 lo (t -4 persamaan Denganmembentuk-kembali matriksnya| 0 g
\o o
21)
-3e -4,33I )
-2)
(
2t\
l,",) 6l l*rl= | -3el -4.33i Ix.i
\-4.33)
Sekarang,mulai dari baris paling bawah, Anda dapat menyelesaikannya. xr=
. rxz
,x3
P xt=3,
xz=-5
xl=7
SI
n( Pr
Sekarangsesuatuyang agak berbeda.
Nilai-eigendan vektor-eigen
IA kat SLIA
nilt dan getarantergandeng,persamaannyaberbentuk
Cor
A.x = ,?"x muncul, di mana A = [a;;Jnrerupakanmatriks bujur-sangkardan /" merupakanbilangan (skalar).Jelaslah.x = 0 merupakanpenyelesaian untuk sebarangnilai 2 dan biasanya tidak banyak manfaatnva.Untuk penyelesaian non-trivial,yakni x + 0, nilai 2 disebut nilai-eigen, nilai karakteristik atau akar laterzdari matriks A dan penyelesaianyang berkoresponsuntuk persamaanA.x = /"x yang diketahuidisebutvektor-cigenatauvektor karakteristik A. Dinyatakan sebagaiset persamaanyang terpisah,kita peroleh: ( ar t"'
Qrt
| ''
Q't't
f r,,r
an2
I Cl'>r
l:i
Unt
Dete Pers:
'.r:l[:] ^[:]
Cont
yakni, at{t
+ anxz + . . . + a l n x n= b r
a2(t + a2zx2J. . . . + a z n x n=
.. anlxl + an2x2+ "'
: * ar,rxn
Asc, : =M,
Untul,
Matril
'
Matriks
517
Dengan memindahkan suku-suku di sisi kananke sisi kiri, persamaan ini disederhanakan menjadi: ( a t r - ) , ) x , + a n x z + . . . + a t , r x ,= Q){t + (azz - L)x, + ... + u2nxtl=
0 0
::: en{t + 0n2x2+ ... + (ann_ L)x, _ 0 ((a,, - L; I
Yakni |
"?,
[
,ru,
t::
t[:][:]
an (ttzz - A)
a2n
an2
( o r r , r ' _t r )
at,
A.x = 2x menjadi A.x _ Lx _ 0 dan kemudian(A - ZI)x = 6;
Perhatikanbahwa matriks satuandimunculkan karena kita hanya dapat mengurangkan suatu matriks dari matriks lain. Untuk set persamaanlinear homogenini (yakni, konstantadi sisi kanan semuanya nol) agar diperoleh penyelesaiannon-trivial, lA - 2Il harus sama dengan nol (lihat Program 4, Frame 54).
lA - 2l =
Ita,, 2l | ':.t ,,
I |
ar2
(a:z tr) .-
,,,1
-0
o rt2
lA - lll ini disebutdeterminankaraktcristikA dan lA - 2Il = 0 merup akanperselna'tt karakteri'stiknyct. Pada waktu rnenguraikandeterminanini, penguraianini menghasilkan suittupolinomial berderajatrzdan penyelesaian persamaankarakteristikini menghasilkan nilai /", yakni nilai-eigenA. C o n to h 1 Untuk mencarinilai-eigenmarriksA = (1 \2
-r
)
1)
A.x = 2x yang arrinya (A - LI)x = 0 I)ererrninankarakreristik:lA -
LII - IG
- L)
l2
-1 | ( 1- h ) l
Persamaankarakteristik:lA - hll _ O .' . (4 - L )(t - 1 1 + 2 _ 0 ... 4 _ sL + A 2 + 2 = 0 ... L 2 - 5 ),+ 6 = o ... (L _ 2)(1 _ 3) - 0 .'. ),- 2 atau 3 .'. Lt = 2; Lz = 3. Co n to h 2
-L)
Untuk mencarinilai-eigenmatriks A = l(4 2(t I Matriks karakteristiknyaialah
-l
I
_ L )I l
518
Matematika telnik
-2 3 l(2-1) -2 | (4-A) I r | ro (--5-2)l I z Denganmenguraikanini kita peroleh: (2 - 1 ){ (1 - l x - s - L) + 201 - 3{ (--s- L) + 4} - 2{ 10 - 2(1 - L ) ) = (2 - L){-20 + )" + L2 + 20} + 3(l + h) * 2(2 + 2L) -- (2 D IL 2 + L \ + 3(l + L) - 4(t + Ll = ( 2 - I ) 1 ( ) , + 1 ) - ( 1 + , 2 r )- ( 1 + b Q I - 1 z - l ) = - ( l + 2 X 1 _ D 2 (1 + ,tX l - A )2-0 .' . Pe rs a m a akna ra k teri sti k: :. )"r--1
.' . L-
-1, 1, I
Lz=I;A.z=l
Sekarangsatu lagi untuk Anda kerjakansendiri.Carilah nilai-eigenmatriks
(1-r
A-lt \-2
0)
2 rl | -r)
Kerjakanlahdenganlangkah-langkahyang sama. L=.
Beginilahcaranya:
Itr-r.t P e r s a m a a n k a r a k t e r i |s t i k| :
| -z
-l Q-D
r
o
I
I
l=0
(-r-Dl
1t - 1){f2 - A)(-r - L) - l} + 1(-1- A + 2) + 0 = 0 -A-0 (1-A){1=-h-3)+l l-zt=0 a r a u) : - ) , - 2 - O 7 - 1 a t a u ( 2 + l ) ( 2 - 2 ) = 0 y a n g a r t i n y ah = - l a t a u 2 At = -l Lz.= l; )'. - 2
Vektor-eigen x yang berkoresponsyang Setiapnilai-eigenyang diperolehakan memiliki penyelesaian 'vektor' disebut vektor-eigen.Padamatriks, istilah menyatakansuatumatriks baris atau matriks kolom. C o n to h 1
Persamaan karakteristiknya lalan .'. (4 - L,lQ - ),) - 3 - 0 ... (L - r)(,L- 5) = 0 Lr=l;\=5
(4
l\ 2 ) \3 r l ^ t-o l (' 4 A ) | _ tt -1Q- A)l ...L2-6h +5=0 . ' . ) " - l a tau 5
PerhatikanpersamaanA.x = 2"xdi mana A
.:
r,i
I
fl
Matriks
519
Untuk Lr = l, persamaanA.x = ).x menjadi:
(i [*'/ l) f"')=^r'l,"') \.3 2) \"r/ 4xr*xr=rrl \, manapundari keduanyamenghasilkanxz = -3xr 3_r,+ 2ri = i "ung "; Hasil ini hanya memberitahukita bahwa berapapunnilai x,, nilai xrakan samadengan -3 kali nilai -r, tersebut.Oleh sebab itu, vektor-eigen r, = f ft \ merupakanbentuk ('_3tJ umum suatujumlah takberhinggavektor-eigenyang demikian. Oleh sebabitu vektor= [_tr) ", = Untuk \. 5, hasil yang serupadapat Oiper'otetr. Tentukanlahvektor-eigennyadengan cara yang sama. eigen yang paling sederhanaialah
x2=
x z = l 1r .k l\ merupakanpenyelesaianumumnya: xz = /1\ -".upakan suatu penyelesaian \^,/ [iJ
'l *' Karena. apabira L' = s. (1 2 ])) f"') = -sf' [ " r)) = (1"' \3 \.*'zl \s*r) :. 4x, * x, -- 5x, .'. xt = x2 .'. tr2 = (l) oleh sebabitu,
= ",
dan x, = (l)
suatupenyelesaian
vektor-eigenyang berkoresponsdenganLr = |
-.-n^kan
[-]a)
-.*pakan
menrpakanvektor-eigenyang berkorespons dengan4=
C o n to h 2 Tentukanlahnilai-eigendan vekto -eigenuntukpersamaan /,t
A.x = 2x di mana A =
yan! atat
T'
l-t \-r
Persamaankarakteristiknyaialah
01) 4 -1 | 2 0) (2- L) 0 -l (4 - A ) -l
2
.'. (2 - L){-L(4 - L) + 2l + I { - 2 + ( 4 .'.(2-Dttr-4L+21+(2-L)=o
. ' . ( 2 - D t A ? - 4 ) , + 3 =} g
Un tu k L t = l :
1l -ll=o -hl
t r ) )= o
... ),
( I o r) (*,) ro) -ll
l - t 3 - t ) l " r l = l 0 l d e n g a nmenggunakan(A \-1 2 \'rl [0/
-.l,I).x = 0
5.
520
M a t e m a t i k at e k n i k
rl
0 .'. -tr3= - l + /.^') - ' t : = 0 .'. -rl + 2x" + x, = 0
*"f3
-,rl
= "'Xl
=
.. xz=o
r 0r)l merupakanvektor-eigenyang berkorespons dengan/", I
l.
\'-li l:
Untuk 2,
r00
I
l-t
r) l,,,) ro)
-l l.lx. l= lo I
[-r 2 -2J['.J I,o]
Oleh seba itu, suatu vektor-eigenyang berkoresponsd e n g a nL z = 2 i a l a h Xl=
Karenar:=0dan
-rr * 2r, -r: = 0 .'. x, = 2rr.
Untuktrr = 3, kita dapat mencari suatu vektor-eigendengancara yang santa.Ini akan menghasilkan X3=
K a r e ndae n g a2n. r= 3 : .'. --rt + r-, - 0 --{t *r? -r-l = 0
(-t 0 l-l
I
r ) [ " ,)
-l
r0')
I l^, i= l0 |
\-t z -3) ['./
[o/
.'. -tr3= rl :. -2xr*x,
= Q .'. x2=2xt.
Jadi, dengan menyatukan hasil-hasil yang kita dapatkan ini, kita peroleh:
f1\ *, = | 0 | merupakan yangberkorespons denganLt = | vektor-eigen l \ / (2\ xz = | I I merupakan yangberkorespons denganLz = 2 vektor-eigen \0/
r t) *., =
|
2
yang berkoresponsdenganLt = 3 | rneruoakanvektor-eigen
\ r/
Berikut satulagi buatAnda kerjakansendiri.Metodenyasamadenganmetodesebelumnya.) ..,1
521
Matriks
J i k a A . x = 2 x dm i anaA=|, i 1 1 ' l a - n i l a i e i g e n n y a d i k e t a h u Li yt a = i-tru, -t) t [-z \
= t, dan Lt = 2, tentukanlahvektor-eigenyang berkorespons. Xl=
,
X2=
X3=
t)
'')
r r x r = 1 2 1 , * u= 1 0 1 , X 3 = \-7i [-r, (rr-At D e n g a n m e n g g u n a k a Ir r l [ -2
-r e-1) 1
[_i] o
)(",)
fo)
I ll"rl=l0l (-1 -L\) t'r,/ [o/
substitusi sedcrhananilai-nilai ,2,secaraberurutandan dengan mengetahuibagainrana mengalikanmatriks akan memberikanhasil-hasilyang dimaksud. Seperti yang telah kita lihat, suatu pengetahuandasar tentang matriks akan rnemberikancara yang mudahdan ringkasdalam menanganisetpersamaanlinear.Dalam praktek, koefisien numerik tidak selalu merupakanbilangan sederhana,demikian juga banyaknya persamaandalam set persamaantidak terbatashanya tiga. Pada soal-soal yang lebih rumit, memanfaatkanfasilitaskomputasiakansangatmembantu,tetapimetode yang mendasarinyatetap sama. YangtersisahanyalahmemeriksaRangkuman revisi danchecklistDapatkah Anda? KernudianAnda dapat mengerjakanLatihan ujian.
[t-l=ij
v 2
Mutn ks - suatujajaran bilangan (elemen-elemen)yang berbentukpersegi-panjang. Ortle - ordc matriks (nt x n) menandakanmatriks tersebutterdiri atasm baris dan n k o l o rn .
3
Mtttriks bctris - matriks yang hanya tercliri atas satu baris.
4
Matriks kolom - ntatriks yang hanya terdiri atas satu kolom. Notasi akhiran ganda - ay menandakanelemen yang bersangkutanberadapada baris ke-3 dan kolom ke-4. Matriks sanla - elemen-elemenyang berkoresponsnyasama.
|
5 6 7
Penantbahandun penguratlganmatrifts- menambahkan elemenataumengurangkan elemen yang berkoresporls.Oleh sebabitu, untuk penambahanatau pengurangan, matriks haruslahberorde sama.
8
Perkalian matrik,g (a) Pengttli skalar - setiapelemendikalikan dengankonstantayang sama,artinya, k la,) _ 1ka,,7. (b) Pe.ngalintatriks - hasilkali A.B dapat diperoleh hanya jika banyak kolom dalam A sama denganbanyaknyabaris dalam B.
(;-;,)
u.l
[a e f,
f:
[i
-/ ), |) l =_ ( o s + b h + c i a i + b k + c 1 ) lr** eh+fi di+ek+fl)
522
Matematika teknik
9
Matriks bujur-sangkar - berorde Qn x m)
(a) Simetrikjlkaa,,= aji,sebagai .""tn
j] [1 1
.:
(9 071) 1|
(b) Sintetrik miring jlka a,, - -aii, sebagaicontoh | -2
[-+ -r o)
l0
Matriks dictgonal- semuaelemennyanol kecuali pada diagonal pertamanya.
1l
Matriks satuan - matriks diagonhl denganelemen-elemenpada diagonal pertama
(r 0 0) semuanyasatu, dengankata lain | 0
I
0 | yang ditandai denganI.
[o o t) 12 Matrik.snol - semuaelemennyaadalahnol. Transpossustt,tmatriks - baris dan kolomnya dipertukarkan.TransposA ialah Ar. 14 Ko.faktor- minor elemenlAl bersamadengan'tandatempat' elemenmasing-masing. 13
15 Adjoin matriks bujur-sangkarA - bentuklahmatriks C dari kofaktor elemen-elemen lAl, maka adjoin A ialah Cr, dengankata lain transposC. .'.adjA=Cr. 16 Invers nmtriks bujur-sangkar A Cr r-r = adjA :rA l A rAr 17 Hasilkali matriksbujur-sangkar denganinversnya A.A-t=A-l.A=I 18 Penyelesaiansuatu set persamaanlinear A.x=b
x=A-l.b
19 MetodeeliminasiGauss- jadikan matriksaugmenmenjadibentuksegitiga,kemudian g u n a k a n ' s u b s t i tusi -bal i k.' 20
Nilai-eigen,nilai 2 di mana A.x = 2x.
2l
l/ektor-eigen- penyelesaianx yang berkoresponsdengannilai ,1"tertentu
l
( I
j
i
t(
Sekarttng untuk checklist Dapatkah Anda?
A DapatkahAnda? Periksalah daftar ini sebelum dan setelah Anda mencoba akhir ujian Program ini. Pada skala t hingga 5 seberapa yakinkah Anda bahwa Anda dapat:
.
Mendefinisikansuatu matriks? YatJI[[[ridak
Frame
@sampai
@/
I
lv
l& (_\
Matriks
523 Frame
Memahami apa yang dimaksud dengankesamaandua matriks?
Yar
t]IT
I
Tidak
Menambahkan dan mengurangkandua matriks?
Ya
t]IT
tl
I
ffisampaiffi
Tidak
Mengalikan matriks dengan suatu skalar dan mengalikandua matriks?
Ya
I
Ll
I
t-l
ft
ridak
memperoleh transpossuatumatriks? Ya;11lI[]ridak
ffi
sampai@
ffisampaiffi
Mengenalijenis-jenismatrikskhusus?
@sampai@
raL_JtjIIIridak 1 f
'
ffisampaiffi
Memperoleh determinan,kofaktor, dan adjoin suatu matriks buiursanskar'l
Ya .
[J
tl
@sampai@
t]uI
Tidak
Memperoleh invers matriks non-singular? Yct
'
u
IIUU
@sampai@ Tidak
Menggunakanmatriks untuk menyelesaikanset persamaanlinear dengan menggunakanmatriks invers?
YaTTTtrT
@sampai@
Tidak
. M e n g g u n a k a nm e t o d e e l i r n i n a s i G a u s s untuk menyel esai kanset persamaanlinear? Ya .
t]II[[
@sampai@
Tidak
Menentukannilai-eigen dan vektor-eigen? Ya
InnIr
@sampai@
Tidak
idb Latihan ujian 5 Perlanyaan-pertanyaannya semua mudah dan didasarkanpada pekerjaan yang telah dibahas. Anda tidak akan menemukankesulitan.
rcr I
\1J
rikaA=(? 19 3)ounB-(3 s 2 7\ t"ntuLanlah t; 1 6 3J \r t u 4) (a) A+Bdan(b)A-B
2
Dikerahui bahwa o= (u, ? -_1) 0""B=(? r/ J \r
[_+
(a ) 3 A, (b ) A.B ,
\ rfln
sl l
3
(c )
3l o","oanrah 1)
B .A .
(23s)
lika A = | I
7
4 l, bentrrklahtransposAr dan tentukanlahhasilkalimatriks Ar.I.
[s o 6)
524
Matematika teknik
(3 I Perlihatkanbahwarnatriksbujur-sangkarA = |
\-r
sinsular.
ffis
rikaA =
[i 1 l],
2 4') s i l merupakansuatumatriks ;;)
(a)rAldan (b) adj A. ,.","oanrah (2 r 4)
6
Carilah invers dari matriks A =
l:-t0 6rl) \2
Nyatakanlahset persamaanlinear berikutdalam bentuk matriks: 2xr+4*r-5x.,--7 - r ,- 3 ; r r + r - , - 1 0 3.r,+-5rr+3x..=2 Selesaikanlah set persamaanlinear berikut denganmetodematriks: x,+3xr+2.r.-3 2*, - x, - 3r. = -8 5;;,+bz+xt=9 Untuk set persamaansimultan berikut: (a) bentuklahmatriks koefisien augmennya (b) selesaikanlah persamaanini denganeliminasiGauss. -r, + 2r, * 3-r. = J 3", -xr*2-r.=$ 4rr-6rr.-lx..--2
l0
(2 2 -2\ I nh i l a i - e i g edna r rmatriks A dan JikaA.x Lx,dcngan.t= | I 3 I l . t c n t u k a n l a \r 2 2) vektor-eigenyang berkoresponsdengansetiapnilai-eigennya.
Soal-soallanjutan 5 Jika A =
0,"u = (1 3),,.n,uoanrah: tl ?)
( a ) A + B, (b) A - B, (c) A.B, (d) B.A. Jika A =
(t
0).e=(0
\o -j)
l').c=f(l
\-r o)
;\
(t o\
t=[o r,j \r 6J
(a) A.B. (b) B.C, (c) C.A, dan(d) A2 dalam sukudengan7 = ",/-1"nyatakanlali suku ntatriks lain. ( | o's\ ot'n'B = ( : 1 ) , r . n t u t a n l a h : \ z .:) [0,.t o.rj ( a ) B - r , (b ) A . B , ( c ) B - r . A .
JikaA =
Matriks
4
525 Tentukanlahnilai ft di mana set persamaanhomogenberikut memiliki penyelesaian non-trivial: 4rr+3-"r-rr=0 J.rr-xr-3,r,=0 3-*, - 4x. + ft.r, - 0
5
N1'atakanlah set persamaansirnultanberikut dalam bentuk matriks: (a)
2r, - 3-r, - -r.r= 2 .r, + 4r., + 2,r.,- 3 Jr -r2+x-,-5
(b)
x, - 2r., - r: * 3r', - l0 2.t, + 3-r" + x+ = 8 , -rl - 4,., - 2"ru - 3 -xz*3x.,+11 =-J
Pada soal-soal6 sarripail0 selesaikanlah, apabila memungkinkan,set persamaannya dcnganmetodentatriks: 6
8
l0
2i, + i, + i-, = g . 5 i ,- 3 i . + z i j - 3 7i,+ir+3i..-20
3.r+2r'+42-3
4 1 ,- 5 i . + ( r r . - 3 8 i ' - l i r - 3 i - ,= 9 lir-8ir+9ir-6
3.r+2.i'+52=l -r--)'+z=4 6x+4y+102,-7
x+)'*2.=2 2r-)'+32.=-3
3,r, + 2.rr.- 2x. = 16 , 1 . r+, 3 _ r . , + 3 r r = 2 - 2 - r ,+ - t r ,- r , = l
Padasoal-soal11 sampail3 bentuklahInatriksaugmennvaclanselesaikanlah setpersamaan it u c l e n g a ne l i rl i n a s iGa u s s : It
IWI l3
tg
5i, - ir+2i..=3 2i,+4ir+i:=ll ir+3i,-3i1-2
12
ir+2ir+3i7--1 2i,+6ir.-3i.=33 4ir-2ir+i:=3
ti, - 4i, = 12 -4r, + l2i. - 6i, = Q -(ti.+14i.=Q
11 Pada suatu rangkaianhubung-bintang(strtr-connec'ted tirt-ttit),arus i,, ir. dan i, vans nrengalirmelalui inrpedanszr. Zr. dan 2.. drberikanoleh: ir+ir*i-,=Q Ztir-Zziz=ct-€2 Zrir-Ztit=(2€3 J l k a Z ,- l 0 ; Z z = 8 . 2 t = 3 ; e r - e 2 = 6 5 ;e z - e 3 = 1 6 0 ;g u n a k a n l ar nh e t o dm e atriks u n tu k n te n e n tu k a n i l a i -n i l a ii,, i .,,dan i _,. l5
Arus i,. i.. dan i. dalan suatujaringarrclrkaitkanoleh persermaan-persamaan berikut: Zti,+Zji.=f Zri.-Zrir=0 i,_ir,_i:=0 T c n tu k a n l a h p e rn y a ta a u n n tu k i 1, i .,.dan i ., dal am suku-sukuzt,22,2.. d.anv.
526
Matematikateknik Soal-soal16 sampai20 mengacupadapersamaanvektor A.x = .1"x.Untuk matriks koefisien A yang diberikan dalam setiap soal ini, tentukanlahnilai-eigendan suatu vektor-eigen yang berkoresponsdengan setiap nilai-eigennya.
(2
16 A=ll [-1
1 1)
3 zl;u', |
2)
(2 0 1) 18 A=l-1 4 -1 It \-1 2 0) (3 o 3) 20 A= l0 3 3l \2 3 1)
(t
2 2)
(t
-4
lffi 17 A=lr 3 1l tuj [2 2 t) Le A=10 3 [r 2
-2)
r I 4)
