Penqadaan Buku Ajar No.089/PUNP/2Ooo
MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
@ ~
N
P
-
.
b-..
Oleh :
Drs. Gusnedi, M.Si
Editor : Drs. Akmam, M.Si
FAK. MATEMATIKA DAN ILMCI PENGETAHUAN ALAM tTNIVERSITAS NEGERI PADANC; DIP Universitas Neeeri Padang Nomor :01/XXI'II/OO8M/-/1999 Tanggal :1 April 1999
.
Euku zip: Tctrusan F i s h
.
lrli
clil;c.mba~~&anclxi sllabi luata kuliah llatrlks clan Ruang \..c'A~ordi
LX;. Schma h i buku yany d i ~ u n a k a nolih nlahasis\va rnsrupahn buku ~ek3
bcrbahasa asing !.;In sulit c.lipakni~ii(11th illahasisiva. Sslain itu b&u-bdu sumbzr y n g clipunakan j m n g cliiemukan di pcrlxistakaan. Lntuk nien~atasiha1 ini, m a h disusunlsl~buku :!jar
ini clengan harapan mah;~sis\va akan lzblh memahami materi ),ang rliberkan secara
i.c.lc.vanserta ciapat menlbantu rr.l;an-reka!i lain clala~liniemahami materi in!. Penui~.;msnyadari untuk: ii?enj.usun b u k ~ini banyak srkali kesulitan-kesulitan !rang ~lijumpai: n a m ~ ncler~ganbentuan berlxgai phak akhim!.a
dcngan mengucapkan s>ukur
~\ii?amduli!lah ks haclirat :j.llah S\VT. Iarsna berkat raknat dan larunla-%a jua lah akhirnya buku ajss >'z;?gdiberi judul "INTKIKS D.4N RT_?':\YG 1;EKTOR" ini clapat diseksailran
dc.ngzn bail;. Dal;:!:~ lxi~ulisan buku ajar Lni
:
banyak pihak
yzng mc~iibantu kel:~ncara:?
pi'~~ulisann)-a.K;~rsnaitu psnulis lid& :!apet mc.ny(sbutl:~n satu pcrsatu. Samun. sccara 1hu:;us psnuiis m e n s c - a p h n tsi.ima h s i h kcpacla >zmiia plhal; ili proyek P3T !.an2 k h h b2rseclia menspL?nsoripcnu!is.jn b u k ~:I&S hi. Sskiu!iurn\.a penulis nii.nguc.apbn tsrinia kasih i;sl?ada s a ~ ? : : ~ ia .i:clli l i a h s r i . 2 , i a ~ a r i i clan i \4.i\~,~icl Tosiida !.ang t=lal: 111t111bal;iu pc.ngsti6~1i
aaskirh buku +iai h i d2n khusus k<;~;~iia Bapak Lirs. .4h1iam. >,I. Si. yanp telah kerscclia iil~~lihaca clari iiiesniizrikan sar:in !,ailg beri~argatzshadap ! ? ( ~ I I U ~huku I G I ~ajar ini. 1'c.i-Lailir penulis ~nengicapkantcrunakasih kcpacia isrsiL:u terculra. Rt!'j Susila\i.at~clan puira-pi~triku. Ryan dar! Stc.'i2~!.ynng clzncan - sabar ~ncnsmnni!>c.nu!is. Pemb2l?asar! cla!.111
!,trl~r.sinn.ni?>cng:~n nnrai-l.1 Ixb ol!.-!qx
1 T.3.
I
-
1hcrihp;ll . . ..,
Sc.c!afiL&l:
-
.. . s!!~.i-~;f~rr?\.?.Bat? :
ai;?r
buL:u Iyg2i
ir!i clisusan secara sis!niat~s dengan uru:an !.ang
I>ah P.d> pertallin clihn3ns ~ n e n g t n a i niatriks clengnn
l.:c.clua ~1~i>:!>:!h3:;~~n).c!esi;).ai:sisttn: !:~rsaiiiaan ! h e r c!enzan
. ; ~ : s s i !~:?.:riIs, l x b kr.riga me!ubahas detenninan l3c.rser.n siht-sifatnya, bab
i l ~ ; hc.:las :~
\.~k:i>~. da12111 koc.r:!inat tiga
p:~:.: kt:15 s:::im
.. . : 1~~I 2 i ;-I=<:; &:I II~CY;L~.Z
Jil-ilen&
bab hn a n: sn; t~ahas~uzllgvcclor.
clibaliz.5 :cnlarly rransf'i7rn:asi lhier ilzn ' ~ z bttralAis ctibahas
-
\.
C ~&rigi1 Z Ixibagai ~~SZ~X:IYJ.;I.
.c'~~nulis !ugh mcn!.aciar~ bail\\,a buku ajar
in1
niasih bzlu~n s~:su;!i si'!~e.r~l>'alig
cliharapkln. I.!nruk itu psnulis ;ik;~n nl rrictrlni:l I;ri! t a n dan s ~ r a n!Tang m eln bar?gun dencan ?;cbn:lngheti untuk ycn>.empurnacin liuku +ar ini.
ki4T.A PENG:IYT,\K
DAFT.-\R IS1 PJ.AI3 I
>.IAT;[ILF;S
1.1. Pendahulu:~n 1.2. Tujuan Psin belajaran
T_'IIIUIII
1.3. Tujuan Instruk-5ional K1:usus
I . 4. Defin~sidan Wotasi 1.5. -4ljaba1 >.latrk$ 1.5.1. iJsnjuiiila han clan I ' e n g ~ r a n g ~ Ilatrk-s n
1.5.3. Psrkc?llan hlatriks ilenar; Suatu Skalar i . 5 3 . Perk~lian?-)u;l klairi1;5 i -5.4.!;r-!niu~~tltor 1 .6. J,Tatriks-matril.:~Khusus !. 6 ! llstril.:c :'Go1 1 .6.3. l.fair~l.:.: !(.ll:n~i!:>c 1
-
7
i . r\.:
7',.!;li~ii~~ OTlStniY;
1 .f.i.4.~ \ . f ~ ~Tr :.:~~IsJ>G!;c k>; I .6.5. \.fa!rks I3es!nit 1.6.5. S.iarii!s d e n g i i ~Elemen-rlemen Polu~~mia!'SuLurT:all>-ak 1.7. LatZxn
li spusrakaa~~ -
PEXS%LE;S,W\i SISTEM PERS;I\I..:;-L''
LINER
2.1. Pendahuluan
2.2.'Tu.juan Pcmbela!aran T h u m 2.3. Tuiuan Instruksional Khusus
3.4.Te~minologidan E.;otasi 3.5. O p z r ~ s baris i Elznlrln!c's 7
-
.
-. .?. ! . ?
(Ipcraai Paris E1c.mentc.r
' Elii~lignsiGauss dar. Elk1 iqasl G:.usr:-.lorden
.-.
5.6. Sistsiu Persani aan I., in ier Hoiii ogen 2.7. X:larrll;s Invsrs
2.7.1. Psngs~inaan3 4 a t r h Invers dalain h4enyelesaikan SPL 3.7.2. 14zncari Lni.ers dangan Elim hasi Geus-.Torclan 1,.8. Latihan
Kcpustakaan
E:IB
]Il.
DGTERhtIATiYX 3.1, Ps.ndahuluan
3.2. Tujuan Pem belzjaran Gill urn 3.3. Tuiuan h~struksionalKhusus 3.4. Pzmiutasi
3.5. Dsfiisi Dcteriniian 3.6. ?\.Iulordan Kofaktor 3.7. Silht-siht r k ~ innn m
3.8. Dstsrminan dan X.kitrks h w r s
3.9. J,a~ihan
Lepustakaan
3 . 4I
\'E..F;'rOR, L>.%.k\.f I.;OORDIX;\l- 'I'1G.A DI3fI-J.XSI 4.1. Pcl~clahuluai~
4.3.Tu!uai.i Pem belajaran I.?ruum 3.3. Tdiuan Inslruksiol~al1.; husus
4.4.,'iljabar 1-sk-t.or&!am Tiga Dut~ensi 4.4.1. Dclinisi clan I-'c.rl;alian Skalar < ,.-I.,.
' ?
Turunan I'ektor
4.4.3. Perkallan \'skor atau Pc.rh1ia.n Silang
4.4.1.Pcnggunaan Perhlian \yel\~orJalam Fisika
3.5.@erator I-eLSor 4.5.1. Gradien 4.5.2. Divergs~~si
1.5.3.Rotasi 1.6. Ciadi! 4 . 6 1 . P2rkaliail L'ektor
4.6.3. G raclien dari 1Izdan \i-cklor -I.!<.?. Tensor h:llomzn Innsrlia
4.7. Latihan Kepustt"k3an
B.413 I!
RUAYG VEXTOR
5.1. Pencl~hulua~~ 5.2. Tujuar? Pc.nibelajarnn Unlum
5.3. Tu-juan L~stsu1;sionalKhusus 5.4. Definki Ruang \.'cktor
5.5. Ruang I;el;tor K" 5.6. Sub Ruang 5.7. Kombinasi Linier 3an l\lzrent-al~g
5. S. Bebas c!an Tak Esbas Linicr 5.9. Bsbas Linisr untuk Funssi 5.1O. Bas~sdan Dhiiensi .5.1 1 . Ruang Hasil Periialian Da1iln.l
5 1 1.1. R u m s Hasil Iiali da!:~ni Kill -i . 1 1 .?.
H ~ s fF'erE:ati?.n i c!::!nl?~ Kan:pli.ks
5.13. Pri;sc::: Crtcgc?nslir;asi Gmm-Schnl'clI 5.13. Latiha3 Kc:,>l;.;iakaan
C,\,T3 \ 7 TPLk'<SFOR_\LiSI SrJII?
6.1. Fent!ahu!\?an
3. T~juarlPsnli:
.;.{
1 - n l L!IX
6.3. 'T~ ~ j ~ls~rui;s:~:~lial u n Kl~.~sus
(5.4.De
.
6.4.1. Ezberapa 5 ~ t . aPrar,sLrni:isl ~ L~I>ICI (,Ssms! i. dan Range r:l.ci.
Tran~fbrniasiCjrtitg~lnai . .
.
6. ?. J:l:~tr!ks I - r a n s f c ~ r ~1L1n:er ~l:~~~
6
q:. L;![Lh?q
Kepustak~an
RAI3 \,?I LlL.45 EIGEh D.4N \,'EKT(-)R El(.;EN 7.1. Pendahuluan
7.3 Tujuan Pe~nbtla-laranUmum
7.3. Tu-iuan 1nstrul~lsionalKhusus
7.4. IfasahhXdai Eigen dan I'cktor 13gt.n
7.5. Dis~onalisnsi 7.6. \~cl,tcr Eigen Llatriks-matriks Ken-u:
7.7. Rilhier ctzn Rel~rukI i u a d r a ~
7.7.1. Sentui: Iicrmit 7.7.2. Transiomlasi sumbu U13:iia 7
,. J. L3;21an - 5
k.;spu..;~ah,~;~
BAB I
MATRIKS I
Penggunaan matriks dalam fisika mencakup bidang yang sangat luas. Hampir semua
'I
bagian dari fisika menggunakan matriks. Sebagai contoh dalam mekanika, dalam membahas mornen inersia benda Untuk mengmalisa getaran yang ditimbulkan oleh
I
rangkaian listrik atau pegas juga digunakan rnatriks. Untuk tingkat yang lebih tinggi seperti dalam rnekanika kuantum banyak sekali digunakan matriks. 1.2. Tujuan Pembelajaran Umurn Agar mahasiswa memahami pengertian matriks beserta aljabarnya.
1.3. Tujuan Instruksional Khusus Dengan matriks ini diharapkan mahasiswa marnpu :
1. Menentukan orde matriks I
2. Menghitung penjumlahan ma& 3. Menghitung perkalian matriks 4. Menetukan sifat-sifat matriks
I 1
1.4. Defmisi clan Notasi
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai penulisan data-data dalam suatu baris clan kolom. Misalnya seorang turis yang berkunjung kesuatu Propinsi memiliki data jarak antar kota ke kota dalam propinsi itu. Sebagai contoh kita Iihat berbagai jarak antara kota
di Surnbar dalarn Kilometer. Tabel I . Jarak Antar Kota di Surnbar Kota padang Pariaman B . T i Payakumbuh B.Sangkar
Padang Pariaman B.Thggi 90 0 60 70 60 0 0 90 70 40 130 100 50 100 100
Payakumbuh 130 100 40 0 60
B.Sangkar 100 100 50 60 0
Penyusunan angka-angka seperti di atas merupakan suatn matriks. Dari sini dapat didefenisikan pengertian suatu mati-&.
Matriks merupakan suatu susunan bilangan (real maupun kompleks) yang disusun dalam
suatu baris dan kolom. Larik-larik dari bilangan ini disusun dalam suatu kurung siku
([.....I). Sebagai contoh, untuk matritcs jarak antar kota diatas dapat ditulis : -
7
0 60 90 130 - 100
60 0 70 100 100
90 70 0 40 50
130 100 40 0 60
100 100 50 60 0 -
Untuk contoh lain adalah :
Anggota tunggal dari susunan matrik disebut dengan elemen matriks. Meskipun kita mendefenisikan elemen suatu matriks adalah bilangan, kita dapat memperluas elemennya untuk h g s i sebagai contoh matriks.
dimana
fI(x)
merupakan
fimgsi
dari
x.
Jika
kita
tinjau
matriks
maka (qb,c) disebut dengan baris pertama dari matsiks. Sedangkan
adalah kolom pertama dari matriks tersebut.
Dalam menyatakan banyaknya elemen suatu rnatriks, kita menggunakan indeks dalam penulisannya. Jika suatu matriks memiliki m baris clan n kolom, maka kita katakan matriks tersebut memiliki or& m x n. Secara umum matriks @at ditulis :
Dengan elemen aV dapat berupa bilangan real, kompleks maupun hngsi. Untuk penyingkatan biasanya ditulis : A=
[agl_
yang berarti matriks A berorde m x n dengan elemen ij ke ji adalah a ij. Jelas disini bahwa 1 < i < m clan 1 < j I n. Jiia orde rnatrik tidak kita tuliskan, seperti (A)ij = qj Ini menyatakan elemen matriks A ke ij. 1.5. Aljabar Matriks
Sebelum kita masuk ke penjurnlahan dan pengurangan matriks, kita tihat dahulu kesamaan antara cfua matriks. Dua buah rnatriks dikatakan sama jika dipenuhi kondisi berikut : a. Orde kedua matrik harus sama b. Semua elernen terkait harus sama
Jadi jika A = B maka, A,,
I
Contoh :
dan setiap elemen &j
= bij.
Jika matriks A = m a w B tentukanlah X dan Y dimana A=[";'
Ii
=, ,B
']
X-Y
dan B=[:
:]
Dari syarat yang ada maka didapat x+y =2, x-y=O sehingga nilai x dan y didapatkan x = y=l
1 I
1.5.1.Penj~danPenguranganMatriks
Jika kita ingin menjurnlahkan dua matriks, maka kondisi yang harus dipenuhi adalah
I
I
orde kedua m a a s hams sama sedangkan m a w hasit penjumiahannya akan sarna dengan orde matriks yang dijumlahkan. Misalkan A clan B matriks orde m x n dan C adalah rnatrks hasil A+B maka C juga merniliki orde m x n Cara menjumlahkan kedua rnatriks adalah dengan menjumlahkan elemen-ekemen yang berhubungan :
C=A +B
= [qj + by],
.
,
atau cij = aij+bij
Begitu juga untuk pengurangan antar dua matrh dapat ditulis dengan :
[A-BIij= CIj = aij-by
1I
Didalam penjumlahan matriks ini berlaku hukum komutatif A+B=B+A. Contoh : Dapatkan jumlah dua matriks
3
1
4
5
1
-2
3+1
4-2
5+1
4
2
6
0+1
1+4
4+1
1
5
5
1.5.2.Perkalian Matriks dengan Suatu Skalar Suatu matriks dapat dikalikan dengan suatu skalar atau bilangan. Srka A suatu matriks m
1
x n dengan elemen ke ij adalah qj dan s suatu skalar, maka perkalian s dengan A akan
Contoh:
]
3 2 15 10 JikaA=[ 4 1]maka5A=[ 20 5
1.5.3.Perkalian Dua matriks Perkalian dua matriks tidaklah sesederhana mengalikan dua bilangan. Untuk dapat dua I
matriks dapat dikalikan perlukan syarat yaitu jumlah kolom matriks pertarna hams sama
1
I
11
dengan jumlah baris matriks kedua. Misalkan A,
.
,
dan Bk.Irnaka rnatriks A dapat
dikalikan dengan B jika n = k. Sedangkan orde h a i l perkalian matriks A dan B adalah m
I I
Cmxl=ArnxnBkxl
I
Untuk menghasilkan elemen matriks C dilakukan dengan cara berikut :
I
I
I
Andaikan A = [aij],
,,
clan B
=
[bijIk, 1, maka elernen ke ij dari perkalian AB adalah
I
jumlah perkalian elemen baris ke-i dari A dengan elemen ke-j dari B. Dapat kita tuliskan I
,
sebagai berikut :
Andaikan elemen baris ke-i dari A = [aj, ,a,,,* ,,........ain]danelemen kolorn ke-j dari B
diatas.
(AB)ij = ail bv+ai2b2j+.. ... ...+sin bnj
Contoh : Carilah perkalian A dan B dengan A = 1 2
Pemecahan : Kita lihat bahwa A memiliki orde 3x2 dan B berorde 2x2. Jadi syarat
untuk mengalikan A dengan B terpenuhi, karena jumlah kolom A sama dengan jurnlah baris B. Untuk mengecek jumlah orde matriks perkalian AB dapat ditulis 3 x 2 . 2 x 2 didapat 3 x 2.
2 3
22+3.2 21+3.4
10 14
adalah matriks
dengan orde 3x2
Dari contoh diatas bagaimana jika kits balik yaitu B dikalikan ke A. Ternyata jumlah kolom B tidak sama dengan jumlah baris A, dengan demikian B tidak dapat dikalikan dengan A. S i A clan B suatu matriks bujursangkar dimana jurnlah batis clan kolom sama, rnaka kita akan dapat mengalikan A dengan B dan B dengan A. Hal ini disebabkan jumlah baris clan kolom kedua matriks sama. Walaupun dernikian kita harus hati-hati bahwa perkalian AB tidak sama dengan BA. Jadi &lam perkalian mahriks tidak berlaku hukum komutatif. Contoh : Buktikan AB # BA untuk matriks berikut :
Sebaliknya : B.A=
6 2
[-t!
9 - 3 3 7 0 5 1 - 2 1 7][5 0
3
[l ::/
=31
14 -218
-48
Terlihat bahwa AB # BA 1.5.4. Komutator
Jika A dan B matriks orde n x n maka selisih antara perkalian AB dengan BA disebut Komutator, disirnbolkan dengan [A,B] = Al3 - BA
Untuk kasus khusus didapatkan AB sama dengan BA. Jika ha1 ini tq-adi dikatakan A dan B komut satu dengan lainnya. Untuk A clan B komut maka [A,B] sama dengan noL Pada cotoh diatas terlihat Adan B tidak komut, tetapi untuk
Jika A komut dengan B clan B komut dengan C maka kita tidak boleh mengambil kesirnpulan bahwa A juga komut dengan C. Dalam perkalian matriks berlaku hukurn asosiatif; yang berarti jika A, B dan C tiga buah matriks dirnana perkalian AB clan BC
dapat dilakukan atau didefurisikan, maka akan dipenuhi sifat : (AB)C =A(BC)
Bukti jika : A=[aij]mxn, B=[bij]nxp dan C = [ $ ] P X ~ maka elemen :
Sedangkan elemen ke-ij untuk A(BC) adalah :
dari sini didapat bahwa [(ABICIij = [A(BC)Iij Selain sifat-sifat diatas pada perkalian matriks berlaku juga hukum distributif A(B+C) =AB+AC
I
Dalam bahagian ini akan dibahas beberapa mat& khusus 1.6.1. Matriks No1 Suatu mtriks m x n disebut matriks no1 clan dinyatakan dengan 0 , .
.
jika semua elemen
matriks itu not Untuk semua matriks A maka operasinya dengan rnatriks no1 akan
menghasilkan sifat : a. A + O = A
b. A - A = O c.
A0 = O
d. OA=O
Matriks no1 dapat dihasilkan dari perkalian dua matriks yang tidak nol. Jika A clan B tidak matriks no1 tetapi AB dapat menghasilkan matriks noL
1
1.6.2.MatriksIdentitas
i
Salah satu matriks yang sangat penting adalah matriks identitas. Matriks identitas
I
merupakan suatu rnatriks bujursangkar dengan elemen diagonal utamanya l(satu) clan elernen yang lain adalah 0 (nol). Suatu ma-
identitas n x n dinyatakan dengan simbol
I,. Sebagai contoh :
Elemen-elemen dari ,I dapat juga dmyatakan sebagai simbol delta kronecher Sijyang didefenisikan sebagai :
sehingga dapat ditulis : I,, = [6ij] Salah satu sifat matriks identitas n x n adalah dia komut dengan matriks apapun yang berorde n x n Jadi :
I
'
I
A1 =
1.6.3.MatriksKonstans
IA
.
Jika semua elemen diagonal matriks identitas dapat berupa angka selain saty katakanlah a misalnya, maka matriks ini kita sebut matrika konstan atau tetap. Dapat ditulis :
A=
I !
I
6 : iml O a O
0
ataudalmsimbollain (A)ij=a&j
dimana a merupakan suatu skalar. Dapat kita tuliskan bahwa jika A suatu matriks konstan, maka A merupakan matriks Identitas.
+
a1 dimana I
Definisi : Transpose dari suatu mahriks A yang berorde m x n adalah mahriks yang
1
berorde n x m.
I1
Mahriks transpose dihasilkan dari pertukaran baris clan kolom dari matriks A. Kita
nyatakan transpose dari A adalah A ~Untuk . elemen ma&
kita dapatkan :
I
Beberapa sifat matriks transpose :
a I
=A
b. (A+c)~= A ~ + c ~ Sifat a clan b dengm mudah dapat dibukthn, sedangkan sifat c dapat dibuktikan bahwa
[ ( A B ) ~= ] ~p~T ~ T ] i j . I I
Daxi defrnisi matriks transpose kita dapatkan : [(AB)~]! = [ABbi n
=
(dari definisi matriks transpose)
C b, a,, (dari definisi perkalian matxiks) k-1
Dari transpose suatu matriks kita dapat mengenal dua jenis m a a s lain yaitu matriks
I
simetri clan matriks anti sirnetxi
I
Definisi : Jika A suatu matriks m x n maka jika 1. A= = A atau
aji = a;j
maka A disebut matriks simetrik
2. A= = -A atau aj; = -a;j maka A disebut matriks anti sirnetrik
[::9
Contoh : A = 2 3 5 terlihat aji = %j,maka A matriks simetri.
[ : ];-2
13 =
-4
3 5
4
terht,
= -aji, maka B m t r i ~ anti ~ s simetri.
1.6.5.Matriks Hermit
Ingat kembali suatu bilangan kompleks Z dapat ditulis sebagai Z = a + ib. Konjuget dari Z atau
I
2 = a-ib. Jika A suatu matriks kompleks, yang rnana elemen-elemennya terdiri
dari bitangan kompleks. Sebagai contoh :
rnaka A konjugate atau ;1 adalah ;l=
4 + i 3-2i
Apabila kita melakukan operasi transpose kemudian konjuget terhadap matriks A rnaka kita dapatkan Hermit konjuget dengan simbol A=. Dapat ditulis cara untuk mendapatkan I
I
matriks A+ untuk A suatu matriks Kompleks sebagai berikut :
Jelas bahwa A' = (2 )==
(2 )
Suatu matriks kompleks A jika memenuhi kondisi : a. A' = A atau
ir= aji maka A maaiks disebut mahiks H
b. A' = -A atau
d z
aV= -aji maka A matriks disebut matriks anti Hermik
Contoh : Buktikan setiap matriks bujursangkar dapat ditulis sebagai jurnlah matriks
Hennitz dan rnatriks anti Hennitz Pemecahan : Misalkan A suatu rnatsiks bujursangkar dengan orde n dimana A dapat
dituliskan sebagai : A=B+C
(a)
Dengan B matriks Hermit clan C mattikg anti Hermit. Dari persamaan (a) dapat ditulis elemen ke-ij nya adalah : aV = b.. + cIJ. . B
(b)
J"&a kita ambil Hermit konjuget dari persamaan (a) didapat :
A+= (B + C ) + =' B
+ C'
atau
=B- C
(c)
dengan elemen ke-ij adalah :
-
au = b,, -cV
(dl
dari penjumlahan clan pengurangan (b) dan (d) didapat : b, = (av+;;;;) 2
dan c , .= (a, )-, . Y
2
Sekarang akan kita lihat apakah B Hermit clan C anti Hennit. Jika diambil konjuget dari persamaan (C) akan didapat :
Jadi terbukti bahwa B matriks Hermit clan C anti Hermit. 1.6.6.Mahriks d e n p Elemen-elemen Polinomial/ Suku banyak
Misalkan suatu matriks dengan orde m x n adalah
Dimana fij(x)adalah suatu polinomial x derjat p. Dapat kita tuliskan bahwa :
dengan Bk(05 k Ip ) adalah matriks m x n. Contoh : Misalkan
Maka dapat dituliskan
Hitunglah jika memungkinkan AB, BC,CA, DC, DB, AD dan CD
3. Diketahui matriks Spin Pauli
Buktikan bahwa
0102
01
=
0 1
[l
013
= io3,0 2 0 3 = iol,
02=[i
(3301
0 -i 1 0],03=[0
-J 0
= in2
buktikan [A1,A21= A3, [&A31 = At, [A3, All = A2 5. Jika A, B dan C matriks orde m x m,buktikan Identitas Jacobi : [ 4IB,Cl I + [B,[GAl
I + [ G[A,Bl I = 0-
Kepustakaan :
Arfken, G. 1985. Madrematical M d o & For Physia Academic Press, Inc. New York Anton, Howard. 1987. Elementmy Linier Akebra John Wiley & Son New York. Boas, Mary. 1983. M o d h e a l in m e Physical Sciences. John Wiley & Son. New York. Bronwell, A. 1953. Advanced Mdemaiics in Physics and Engueering. Mc Graw-Hill. New York.
and Linier
igebra
Hollingsworth, C.A. 1967. Vektor : Mafrics and Teory Group For S c i e h and
Engineers.
Goode, Stephen W. 1991. An Introduehn to Dine&
Equ&n
Prentice Hall London.
Mc Graw-Hill. New York. J o s h A. 1975. M h e s and Tensor Zn Physics. Academic Press, Inc. New York.
BAB I1
.PEWELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER 2.1. Pen*
Dalam beberapa persoalan kita sering dihadapkan pada beberapa rnasalah yang melibatkan beberapa persamaan . Untuk mendapatkan dirnana atau pada ha1 mana persamaan tersebut berlaku, kita harus mencari penyelesaian persamaan tersebut. Sebagai contoh jika kita memiliki suatu rangkaian ben'Lkut :
Dari ha1 ini kita akan dihadapkan pada persoalan berapa besar kuat arm yang mengalir dalam tiap tahanan. Untuk mendapatkan jawabanya kita hams menyelesaikan sistem persamaan yang didapat dari rangkaian tersebut. 2.2. Tujuan Pernbelajaran Umum Agar mahasiswa dapat mencari penyelesaian sistern persamaan linier. 2.3. Tujuan Inshruksional K h ~ s
Dengan bahasan ini diharapkan mahasiswa mampu : 1. Mencari penyelesaian sistem pasamaan linier yang tidak homogen clan homogen
dengan Eliminasi Gauss
2. Mencari penyelesaian sistem persamaan linier dengan Eliminasi Gauss-Jordan.. 3. Menghitung Invers suatu matriks.
4. Mencari penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan matrik invers.
2.4. Terminologi dan Notasi. Sebuah garis dalarn ruang xyz dapat dinyatakan dengan persamaan : alx + azy + a3z = b Persamaan sernacarn ini kita namakan persamaan linier dengan periabel x,y dan z Lebih urnurn persamaan ini dapat ditulis :
alx1+ag2+a3x3+... +a,,x. = b
Jika kita mcmiliki dua vektor, misalnya
-
;= (v, ,vy,v, ) dan u = (u, ,u, ,u, ), maka untuk
menjumlahkannya dilakukan dengan cara menjumlahkan masing-masing komponennya :
- -
v
+u
= (v, +u,,v, + u y , v , + u , )
Perkalian Skalar
Perkalian skalar dari dua vektor u case -u .v- = n;l
1; clan ;didefinisikan sebagai
dengan 0 adalah sudut antara
:
;dan ;
Jika kita gunakan komponen-komponen dalam rung xyz untuk vektor ini,
-
u = (u, ,uy,u,
) clan ;= (v, ,vy,v, ) kita a k a . dapatkan :
Hal ini disebabkan komponen-komponen yang tidak searah seperti u, dan v, adalah saling tegak lurus (8 = 90') sehingga dapat ditulis :
Misalkan kita rnemiliki dua vektor
;dan;
yang tidak nol, maka jika
;.;
=
0 M ini
berarti kedua vektor saling tegak lurus atau disebut Ortogonal. Berdasarkan perkalian skalar kita dapat mendefrnisikan besar suatu vektor tidak lain perkalian titik vektor itu sendiri.
Contoh : Buktikan bahwa c2= u2+
- 2uv cos 9
Garnbar 4.2. Pengurangan dua vektor
- - -
Dari gambar terlihat bahwa c = v - u
Dengan menggunakan perkalian skalar didapat :
--
Contoh : Buktikan bahwa persarnaan bidang dapat dinyatakan dengan p .r = p2 dimana ;= (x,y,z), vvektor posisi dari titik asal ke titik (x,y,z) yang berada pada bidang clan
p adalah vektor c h i titik asal yang tegak lurus terhadap
bidang.
--
Gambar 4.3 Persarnaan bidang p .r = p2 Pernecahan : Misalkan
vektor pada bidang (Wat gambar 4.3). Kamna
tcrhadap bidang, maka
;akan tegak
huus pada
Persarnaan ini dapat diungkapkan dengan kornponen, yaitu : pxx+p,~+~zz=p~
p
p
tegak huus
--
sehingga p . v = 0
Jiia
I
p adalah vektor normal bidang % = (a,b,c) maka persamaan bidang menjadi
;merupakan suatu fungsi dari w a h (;(t)). Bila t bembah dari t ke t + At, maka ;juga akan berubah dari ;ke ;+ A; seperti diperlihat pada gambar 4.4. Sebuah vektor
;(t+At)- ;(t)
I
Gambar 4.4. Perubahan vektor
;
Komponen A; adalah (Av, Avy, AvJ. Tunman ;didefinisikan sebagai :
I
I 1
clan berhubungan dengan turunannya d ;= (dv, dv, dv,)
Jika s suatu fungi skalar, maka :
I
Untuk A; clan As menuju no1 maka : d(s;)
- -.
= sdv
+ vds
I
Untuk dua vektor ;clan ;akan didapat :
Andaikan suatu titik dengan vektor posisi
;bergeak sepanjang kurva c (gb.4.5)
Gambar 4.5. Suatu titik bergeser pada suatu kurva
Kecepatan titik itu bergerak &pat diungkapkan dengan
Andaikan
R vektor satuan ;, rnaka ;= r R . Dapat ditulis :
-
dr d$ Suku R - adalah kecepatan radial titik dan r - akan tegak lurus pada arah radial. dt dt
Gambar 4.6. Komposisi d ; &lam arah radial dan tangensial
dR Terlihat dari garnbar bahwa - tegak lurus pada dt menggunakan vektor satuan
R.
Jika kita diferensialkan akan didapat :
2. Ini dapat dibuktikan dengan
- dR
atau R -= 0
dt
-
Ini membuktikan
tegak -1
dR dt
4.4.3.Perkalian Vektor atau Perkalian Silang
Perkalian Vektor dari dua vektor akan menjadi suatu vektor lain yang tegak lurus pada kedua vektor tersebut clan didefinisikan sebagai :
A
dengan 0 sudut antara
;dan ;dan n vektor normal dari bidang ;dan ;.
-
-
9
Gambar 4.7. u x v = w A
A
Jika kita gunakan vektor satuan i ,j ,k maka kita dapatkan i x i = j x j = k x k = 0 Sedangkanixj =k, j x k =idan k x i = j k=Ixj
Gambar 4.8. Perkalian vektor dari Ij,k
-
i
j
k
ux
u7
Uz
vx
vy
vz
- -.
---
---.
Untuk perkalian tigavektor didapat : ; x ( u x v ) = (w . v ) u - ( w .u ) v
4.4.4.Penggunaan Perkalian Vektor dalam Fisika a. Momentum mdut Momentum linier
p suatu pertikel diberikan dengan : p = rn;
dimana m massa benda clan
kecepatannya Sedangkan momentum sudut
disekitar suatu titik dari titik asal adalah :
-
i Px
j
k
Py Pz
x
vy vz
dan kita dapatkan komponennya adalah :
2
Untuk sejurnlah rnassa dalarn suatu sistem partikel didapat momentum sudut total :
b. Momen gaya Jika suatu vektor p y a
bckerja pada sebuah benda dengan vektor posisi
- pada benda akan ada torsi atau manen gaya M dengan M = r x F .
Gambar 4.9 Torsi oleh gaya
;maka
F
c. Kecepatan sudut
disekitar titik asal dinyatakan dengan v = o x r . -
Kecepatan sudut
Gambar 4.10. Kecepatan sudut Contoh : Dapatkan hubungan
dengan
-
;
a, untuk partikel yang bergerak disekitar titk
asal.
dcngan demikian :
9
- - -
= mrx ( a , x r )
J i i kita gunakan vektor satuan
Jika
=
5 maka didapat :
lr l
;arahnya tetap dan ;tegak lurus a, maka didapd :
Ini merupakan kasus untuk gerak dalambidang. Contoh :
Tunjukkan energi kinetik rotasi untuk partikel adalah :
Pernecahan :El, = 112 m? sedangkan
--
Jadi Ek= 112 mo23sin2( o ,r )
= m?;
4.5.1. Gradien
Misalkan f(x,y,z) suatu fungsi dalam tiga dimensi, perubahan f(x,y,z) dari titik (x,y,z) ke
I
titik (x+dx, y+dy, z+dz) adalah :
I
aunana a r = (ax.ay,az) aan v (aer) aaalan operator veKtor v = - - (ayay'az)
I
1 1
Persamaan Vf disebut Gradien f yang kadang-kadang disebut grad f .
:[ ;);
grad f = Vf = -,-,- merupakan suatu medan vektor. 1
,
Jika f(x,y,z)
1
adalah:
=
C suatu permukaan, rnaka untuk pergeseran d; pada permukaan itu
~f.di=O
1
I I
1
Karma d; sejajar pemukaan, vektor Vf merupakan vektor yang tegak lurus pada
permukaan tersebut. Dalam berbagai hal, gaya sering ditulis sebagai gradien dari energi potensial.
45
Dalarn ha1 ini
merupakan gaya konservatif dimana usaha dilakukan olch gaya ini
tidak bergantung pada lintasan. 4-
W (usaha)
=
-.
-j~.dr 1
"1
=
Jvu.~; 1
=
j.dU
= U(I-Z) - U(r1)
1
4.5.2.Divergensi
,:I
Divergensi dari suatu medana vektor
(div U) didefinipikan sebagai perkalian titik :
Divergensi dapat diartikan sebagai berikut : Misalkan suatu fluida mengalir dalarn x,
Gambar 4.11. Aliran fluida dalam x Maka massa fluida yang mengalir adalah pv, dimana p rapat massa fluida dan v, kecepatan linier fluida. Massa fluida yang rnasuk ke dalam elemen volume dengan
ketebalan & tiap satu satuan waktu dan satu satuan luas pada x adalah p(x)vdx) clan yang keluar adalah p(x+dx)vdx+dx). Sedangkan fluida yang hilang dalam elemen
volume per-satuan waktu clan volume adalah :
Bila fluida mengalir tidak hanya dalam arah x melainkan &lam arah x,y,z, maka kehilangan m s a tiap satuan volume adalah :
Dengan demikian v.(~;)merupakan laju kehilangan massa tiap satu volume rnelalui satu volume.
Rotasi meclan vektor
ti dideffisikan sebagai :
Pada fluida yang mengalir, jika rotasi kecepatan (Vx;) ada pusaran. Hal ini disebut medan vektor disebut medan rotasional.
tidak nol, maka pada fluida a k a ,
;mtaional.
Scbaliknya jika VX; = 0,
Rotasi dari suatu gradien dapat dibuktikan bahwa : V x Vf
=
0 yang berarti Vf adalah
medan rotasional. Contoh :
ac a
Buktikan persamaan difusi -= D V ~ Cditnana c adalah konsentrasi clan D konstanta d h i
Pemecahan : Dalam cairan atau zat padat isotropik difusi terjadi tegak lurus pada
permukaan, c(qy,z) = konstan dan dalarn arah dari pengurangan konsentrasi
Dari hukum Fick didapat : c;
= - DVc
dengan ;kecepatan linier difusi. Maka rapat massa yang hilang tiap satuan
ac
volume adalah : -= - V. (- DVc) at
ac
Jika D tetap, maka -= DV.Vc = DV'C
at
Contoh :
Buktikan untuk fluida tak kornpresibel V. ; =0
Pemecahan : Jika fluida tidak kompresibel dimana massanya tidak berubah akibat tekanan, berarti p tetap.
-
ap = v.pv Dari persamaan untuk divergemi didapat : - -
at
ap = 0 atau v.~;= p Karena p tetap, maka at
~ . G = 0 dan v.;=
0 (tcrbukti)
4.6. Diadik Pada bagian ini kita dibahas operasi suatu vektor memberikan suatu vektor lain. Pekalian vektor disini membutuhkan suatu operasi tertentu. Didalam pembahasan medium yang tidak isotropik seperti dalam listrik, zat padaf mekanika kita sering menggunakan gaya yang menyebabkan pergeseran yang terjadi tidak sejajar dengan gaya yang diberikan. Secara matematik ha1 ini diuraikan dalarn tensor, seperti tensor tegangan. Tensor memiliki orde yang berbeda-be&. Skalar merupakan tensor orde nol, vektor adalah tensor orde satu clan diadik tensor orde dua. Misalkan dua vector I dan
ini kita sebut dengan diad
g , kita dapat
menuliskan perkalian antara
o
. Perkalian
dan jurnlah dua atau lebih dari diad disebut dengan
diadik. Untuk perkalian ini kita menggunakan sifkt
b .;clan a. ;adalah perkalian skalar. Diad dari a b dapat ditulis sebagai berikut :
-a b-.= ( ia, +jay+ kaJ(ib, =
a
t
4. + v,k
a, b,
H a m diperhatikan bahwa
dimana
+jby+ kbd
iiaxbx+ija,b,+ika,b,
+ jia,b, + j a , b y + j k a y b z-t
ki a, b, + kj a, by + kk a, bz Dengan menggunakan bentuk di atas dapat kita cari :
- --
v .a b = vxiaxbx+ via, by + v,ka,
+ vzi a, bx + v j a,
b, + v~ a, b, + v j a,
by + vzk a, b,
Dari apa yang dibahas di atas dapat kita tuliskan suatu diadik : D=albl + azb2 +a3b3 +
....
Dapat dikumpulkan dengan bentuk :
+ ijD, + ik D, + jiD,+jD, ki., + kjD, + kk D, Dxx= alx btx + a2xbzx + . . . D,=aly bl,+a2yb2y + . . .
D = iiD,
dimana
+ jk D, +
Diadik dapat dinyatakan dengan rnenggunakan matriks dengan 9 komponen .
a.
4.6.1.Perkalian vector
Kita ingin menentukan diadik A clan B yang berhubungan dengan perkalian silang
-. -
-. -
Kita dapat menufiskan u x v , A. v , u . B dan bandingkan komponen-komponennya,
Dari matriks di atas terlihat bahwa A dan B adalah matriks antisimetri. 4.6.2.Gradien Dari Medan Vektor
Misalkan
;(r) suatu fungsi dari posisi dalarn bidang dengan
;(r) = [ s 0 ), uy (r , s 0-j1 Perubahan ;dapat dinyatakan dengan
