Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice Přednáška MATEMATIKA č. 2
Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:
[email protected]
13. 10. 2010
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice
Definice Uspořádané schéma vytvořené z m × n reálných čísel, kde m, n ∈ N a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. .. .. .. . . . . am1 am2 · · · amn se nazývá matice typu m × n.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice
Definice Nechť A, B jsou matice stejného typu m × n. Říkáme, že matice A, B jsou si rovny, a píšeme A = B, jestliže pro každé i = 1, . . . , m a každé j = 1, . . . n platí aij = bij .
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice Definice Matice typu m × n, pro jejíž všechny prvky platí aij = 0, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, se nazývá nulová matice typu m × n. Nulovou matici značíme 0m×n nebo stručněji 0. Čtvercová matice řádu n je matice A typu n × n. Jednotková matice En řádu n je čtvercová matice taková, že platí 1 pro i = j, eij = 0 pro i 6= j.
E2 =
10 01
Jiří Neubauer
100 , E3 = 0 1 0 001
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice Definice Diagonální matice je taková čtvercová matice, pro jejíž prvky platí aij = 0 pro i 6= j.
100 A = 0 2 0 003 Definice Nechť A je matice typu m × n. Matice, která vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se AT .
A=
123 456
Jiří Neubauer
14 , AT = 2 5 36 Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice Definice Diagonální matice je taková čtvercová matice, pro jejíž prvky platí aij = 0 pro i 6= j.
100 A = 0 2 0 003 Definice Nechť A je matice typu m × n. Matice, která vznikne z matice A tak, že zaměníme řádky za sloupce, přičemž zachováme jejich pořadí, se nazývá matice transponovaná k matici A a značí se AT .
A=
123 456
Jiří Neubauer
14 , AT = 2 5 36 Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice Definice Matice A typu m × n se nazývá trojúhelníková matice, jestliže a) m ≤ n, b) aij = 0 pro i > j, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
123 A = 0 5 6 009 Definice Matice, která vznikne z matice A typu m × n vynecháním některých řádků nebo sloupců, se nazývá submatice matice A.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Matice Definice Matice A typu m × n se nazývá trojúhelníková matice, jestliže a) m ≤ n, b) aij = 0 pro i > j, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
123 A = 0 5 6 009 Definice Matice, která vznikne z matice A typu m × n vynecháním některých řádků nebo sloupců, se nazývá submatice matice A.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Definice Nechť A, B jsou matice (stejného) typu m × n. Matice C typu m × n, pro jejíž prvky platí cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n se nazývá součet matic A, B a značí se A + B. Definice Nechť r je reálné číslo, A matice typu m × n. Matice D typu m × n, pro jejíž prvky platí dij = raij se nazývá reálný násobek matice A a značí se r A.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Definice Nechť A, B jsou matice (stejného) typu m × n. Matice C typu m × n, pro jejíž prvky platí cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n se nazývá součet matic A, B a značí se A + B. Definice Nechť r je reálné číslo, A matice typu m × n. Matice D typu m × n, pro jejíž prvky platí dij = raij se nazývá reálný násobek matice A a značí se r A.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Nechť A, B, C, 0 jsou matice téhož typu a r , s ∈ R libovolná reálná čísla. Pak platí: 1 A + B = B + A . . . komutativní zákon pro sčítání matic, 2 A + (B + C) = (A + B) + C . . . asociativní zákon pro sčítání matic, 3 A + 0 = A . . . existence nulové matice, 4 A + (−A) = 0 . . . existence opačné matice, 5 r (sA) = (rs)A . . . asociativní zákon pro reálný násobek, 6 (r + s)A = r A + sA . . . první distribuční zákon, 7 r (A + B) = r A + r B . . . druhý distribuční zákon. Věta Množina Vm×n spolu s operacemi násobení matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor. Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Nechť A, B, C, 0 jsou matice téhož typu a r , s ∈ R libovolná reálná čísla. Pak platí: 1 A + B = B + A . . . komutativní zákon pro sčítání matic, 2 A + (B + C) = (A + B) + C . . . asociativní zákon pro sčítání matic, 3 A + 0 = A . . . existence nulové matice, 4 A + (−A) = 0 . . . existence opačné matice, 5 r (sA) = (rs)A . . . asociativní zákon pro reálný násobek, 6 (r + s)A = r A + sA . . . první distribuční zákon, 7 r (A + B) = r A + r B . . . druhý distribuční zákon. Věta Množina Vm×n spolu s operacemi násobení matic a reálného násobku matice tvoří vektorový prostor. Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Definice Nechť A je matice typu m × n a B matice typu n × p. Matice C typu m × p, pro jejíž prvky platí cij =
n X
aik bkj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,
k=1
se nazývá součin matic A a B a značí se AB. Z definice součinu matic vyplývá, že prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Operace násobení matic není komutativní, existují matice A a B takové, že AB 6= BA. Navíc se může stát, že jeden ze součinů matic A a B je definován a druhý definován není. Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Definice Nechť A je matice typu m × n a B matice typu n × p. Matice C typu m × p, pro jejíž prvky platí cij =
n X
aik bkj , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n,
k=1
se nazývá součin matic A a B a značí se AB. Z definice součinu matic vyplývá, že prvek ležící v i-tém řádku a j-tém sloupci matice C dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Operace násobení matic není komutativní, existují matice A a B takové, že AB 6= BA. Navíc se může stát, že jeden ze součinů matic A a B je definován a druhý definován není. Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Věta Pro každé tři matice A typu m × n, B typu n × p a C typu p × q platí (AB)C = A(BC).
Věta Pro každé tři matice A typu m × n, B typu n × p a C typu n × p platí A(B + C) = AB + AC. Pro každé tři matice A typu n × p, B typu m × n a C typu m × n platí (B + C)A = BA + CA.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Operace s maticemi Věta Pro každé tři matice A typu m × n, B typu n × p a C typu p × q platí (AB)C = A(BC).
Věta Pro každé tři matice A typu m × n, B typu n × p a C typu n × p platí A(B + C) = AB + AC. Pro každé tři matice A typu n × p, B typu m × n a C typu m × n platí (B + C)A = BA + CA.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice
Definice Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A). Věta Pro hodnost matice A typu m × n platí h(A) ≤ min{m, n}. Věta Hodnost trojúhelníkové matice A typu m × n je rovna počtu řádků této matice, tj. h(A) = m.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice
Definice Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A). Věta Pro hodnost matice A typu m × n platí h(A) ≤ min{m, n}. Věta Hodnost trojúhelníkové matice A typu m × n je rovna počtu řádků této matice, tj. h(A) = m.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice
Definice Dimenze lineárního obalu generovaného řádkovými vektory matice A se nazývá hodnost matice A a značí se h(A). Věta Pro hodnost matice A typu m × n platí h(A) ≤ min{m, n}. Věta Hodnost trojúhelníkové matice A typu m × n je rovna počtu řádků této matice, tj. h(A) = m.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice
Hodnost matice budeme určovat tak, že ji pomocí tzv. ekvivalentních úprav převedeme na schodovitý tvar (každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než řádek předcházející). Ekvivalentní úpravy matice (U1) (U2) (U3) (U4)
záměna pořadí řádků matice, násobení libovolného řádku matice nenulovým reálným číslem, přičtení k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků, vynechání řádku, který je lineární kombinací ostatních řádků.
Počet nenulových řádků takto upravené matice potom určuje hodnost matice.
Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice Věta Hodnost matice A se nemění, zaměníme-li v matici A libovolně pořadí sloupců. Věta Nechť A, AT jsou navzájem transponované matice. Platí h(A) = h(AT ).
Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(A) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(A) < n. Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice Věta Hodnost matice A se nemění, zaměníme-li v matici A libovolně pořadí sloupců. Věta Nechť A, AT jsou navzájem transponované matice. Platí h(A) = h(AT ).
Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(A) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(A) < n. Jiří Neubauer
Matice
Matice Operace s maticemi Hodnost matice
Hodnost matice Věta Hodnost matice A se nemění, zaměníme-li v matici A libovolně pořadí sloupců. Věta Nechť A, AT jsou navzájem transponované matice. Platí h(A) = h(AT ).
Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže platí h(A) = n. Řekneme, že matice A je singulární, jestliže platí h(A) < n. Jiří Neubauer
Matice
