1
Od výpočtů obsahů a objemů k integrálnímu počtu Co uměl Archimédes
RNDr. Petra Šarmanová, Ph.D. Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB–TU Ostrava
Výpočty obsahů rovinných obrazců a objemů těles jsou standardní součástí školské matematiky. Ta však studentům předkládá hotové vzorce a postupy vedoucí k výsledkům. Méně se již zmiňuje o tom, kam až sahají kořeny těchto postupů, jak dlouhý byl jejich vývoj. Pokusme se nyní na několika příkladech naznačit, jakými cestami bylo třeba projít, než se dospělo k dnes používanému kalkulu - k dnešnímu pojetí integrálu. Zmíníme se o tom, jak přistupovali k výpočtům obsahů a objemů ve starověkém řecku, především budeme mluvit o nejvýznamnějším představiteli této matematiky o Archimedovi. Stručně také pohovoříme o předchůdcích Newtona a Leibnize, kteří jsou považováni za zakladatele diferenciálního a integrálního počtu. Podíváme-li se do dnešních učebnic, většinou výklad začíná seznámením s reálnými čísly, dále přejdeme k pojmu limita a pak pomocí limity definujeme derivaci, pak neurčitý integrál a nakonec integrál určitý. Historicky ovšem tyto pojmy nevznikaly v tomto pořadí. Ve skutečnosti se nejdříve vyvíjel pojem určitého integrálu (výpočty obsahů a objemů), pak derivace a neurčitý integrál (v 17. stol), které byly založeny na intuitivním chápání nekonečně malé a velké veličiny a tudíž limitního procesu, a o 100 let později se upřesňoval pojem limity a teprve v 19. století byla vybudována teorie reálných čísel. Jak vidíme, historicky byly tyto pojmy upřesňovány přesně v opačném pořadí, než se s nimi dnes seznamují studenti. Věnujme nyní pozornost určování obsahu rovinného obrazce, což je jedna z vůbec nejstarších úloh v matematice. Již staří Egypťané byli nuceni vyměřovat pole, tj. počítat obsahy. Znali obsah čtverce, obdélníka, trojúhelníka a tím i libovolného mnohoúhelníka. Mnohoúhelník rozdělili na trojúhelníky, spočítali jejich obsahy a ty potom sečetli. Uměli počítat i objemy krychle, válce nebo komolého jehlanu se čtvercovou základnou (pyramidy). Velkého pokroku v měření obsahů a objemů bylo dosaženo ve starověkém Řecku v období let 350–200 před. n. l. Z té doby pochází i známé Eukleidovy Základy, ve kterých jsou shrnuty téměř všechny v té době známé matematické poznatky.
2 Řekové se snažili plochu neznámého obrazce získat pomocí mnohoúhelníků P 1 , P 2 , · · · , kterými obrazec „vyčerpávaliÿ. Podstatou jejich přístupu bylo to, že obsah tohoto mnohoúhelníku snadno vypočítali tím, že jej rozložili na vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky. Obsah mnohoúhelníku je pak roven součtu obsahů jednotlivých trojúhelníků. Tuto metodu, která byla později nazvána exhaustivní, rozpracoval Eudoxos. Exhaustivní (vyčerpávací) metoda umožňuje již poměrně přesné výpočty obsahů a objemů a je považována za geniální předchůdkyni pozdějších infinitezimálních úvah. Zpočátku se exhaustivní metody využívalo pouze k důkazův vět, ke kterým se došlo jinými metodami. Exhaustivní metoda je založena na nekonečném dělení veličiny a jejím základem je následující tvrzení: (?) Jestliže od dané veličiny odečteme její část větší než její polovina a od zbytku opět jeho část větší než jeho polovina a budeme tak činit stále, zbude nějaká veličina, jež bude menší než libovolná kladná veličina. Ilustrujme tuto metodu na výpočtu obsahu s(A) nějakého útvaru A. Máme-li najít obsah útvaru A, budeme do něj vepisovat jiné útvary P 1 , P 2 , . . . , P n jejichž obsahy jsou známé, tvoří monotonní posloupnost s(P 1 ) < s(P 2 ) < · · · < s(P n ), a pro něž platí: s(A) − s(P 1 ) <
s(A) (s(A) − s(P 1 )) s(A) , s(A) − s(P 2 ) < < ,··· 2 2 4
s(A) . 2n Při dostatečně velkém n je podle (?) rozdíl s(A) − s(P n ) menší než libovolná kladná veličina. Dnes bychom napsali, že s(A) = lim s(P n ). Pro Eudoxa byl však pojem · · · , s(A) − s(P n ) <
n→∞
limity neznámý; hledal tudíž takové B, aby rozdíl B − s(P n ) byl menší než libovolná kladná veličina. K nalezení obsahu s(A) zbývá dokázat, že s(A) = B. Tady Eudoxos využívá důkazu sporem. Nechť s(A) 6= B, tj. s(A) < B nebo s(A) > B. V obou případech dojdeme ke sporu. V prvním případě položme B − s(A) = ε. Víme však, že k ε lze najít takové n, že platí B − s(P n ) < ε. Odtud plyne B − s(P n ) < B − s(A), tedy s(P n ) > s(A), což je spor. Podobně lze postupovat ve druhém případě.
Archimédes Archimédes (asi 287 – 212 před n. l.) byl největším matematikem helénistického období. O jeho osobnosti se traduje několik legend. Např. známá je historie objevení zákona o vztlaku ponořených těles, kdy Archimédes údajně vyběhl nahý přímo z vany na ulici s křikem „Nalezl jsem!ÿ (Heuréka). K dalším patří slavné „Dejte mi pevný bod a pohnu Zemíÿ, pronesené prý po objevu zákona páky, nebo jeho poslední
3 slova „Neničte mé kruhyÿ. Za svého života proslul především svými technickými vynálezy, které byly použity při obraně Syrakus před Římany. Archimédovým nejvýznamnějším přínosem v matematice jsou věty o obsahu rovinných útvarů a o objemu těles. Archimédovy práce zabývající se obsahy, objemy a délkami jsou: Měření kruhu, Kvadratura paraboly, O kouli a válci, O spirálách, O konoidech a sféroidech a Metoda. Prvních pět rozvíjí exhaustivní metodu, kterou Archimédes aplikoval na širokou škálu problémů, které jsou dnes typickými aplikacemi integrálního počtu. Šestá práce, neznámá do roku 1906, popisuje heuristickou infinitezimální metodu. Téměř všechny současné překlady Archiméda se opírají o řecké rukopisy, které byly opsány z originálu v Cařihradě v 9. století, přeloženy do latiny ve 13. století a znovu objeveny v 16. století. Jedinou výjimkou je dílo Metoda, které bylo náhodou objeveno na pergamenu v Cařihradě až roku 1906. Přibližme si historii tohoto pergamenu. Stejně jako ostatní Archimédovy knihy, bylo i dílo Metoda v 10. století opsáno na pergamen z kozí kůže. Bohužel však o dvě stolení později došlo téměř ke zničení tohoto díla, neboť písař, který potřeboval materiál na psaní biblických textů, vzal tuto starou knihu, oddělil jednotlivé listy, rozpůlil je na polovinu, inkoust omyl a oškrábal. Tak získal materiál na psaní biblických textů. Roku 1906 tento text objevil dánský student, který si všiml, že někde prosvítá starý inkoust a rozeznal dílo Archiméda. Dílo bylo restaurováno a zkoumáno za pomocí různých barevných světel a ultafialového světla, aby vynikly stopy po starém inkoustu. Přesto se některé stránky stále nedařilo rozluštit. Problém byl především se stranami, na nichž byly nakresleny biblické výjevy, které zcela pohltily Archimédův text. Zlom nastal roku 2003, kdy si jistý vědec uvědomil, že stopy po obou druzích inkoustu obsahují kov. Použil tedy speciální rentgenové záření, které detekuje stopy kovu ze starého inkoustu. Tento přístroj, stejně jako jehličková tiskárna, zaznamenává starý text bod po bodu v místech, kde detekuje kov z inkoustu. Nyní je tento starý rukopis stále v rukou týmu vědců, kteří plánují kompletní překlad a uložení celého textu v digitální formě a vytvoření interaktivního DVD. Tato práce bude ukončena roku 2008, kdy bude tento pergamen vrácen majiteli. Pro zajímavost uveďme, že majitelem je soukromý sběratel, který koupil toto dílo v aukci roku 1998 za 2 miliony dolarů. Pojďme nyní do tohoto díla nahlédnout.
Metoda aneb Poselství Eratosthenovi o mechanické metodě na řešení geometrických úloh V tomto díle Archimédes podrobně vylíčil metodu, pomocí níž objevoval nové výsledky, dříve, než je opatřil důkazem. Citujme přímo Archiméda:
4 „Pocítil jsem nutnost napsat Ti a v téhle knize vyložit jednu zvláštní metodu, pomocí níž získáš možnost nalézat některé matematické věty pomocí mechaniky. Věřím, že Ti tato metoda bude neméně užitečná i k důkazům samotných vět. Skutečně, cokoliv jsem dříve nahlédl pomocí mechaniky, později jsem dokázal i geometricky, protože to, co se nahlédne touto metodou, není ještě důkaz; nicméně je mnohem snažší získat pomocí ní jakousi představu o zkoumané věci a pak najít i důkaz něž když se zkoumá a nic se neví.ÿ „...proto jsem se rozhodl napsat o této metodě a zveřejnit ji, jednak proto, aby mé dřívější odkazy na ni nezůstávaly prázdnými slovy, jednak proto, že jsem přesvědčen, že může přinést matematice nemalý užitek; předpokládám, že někteří současní nebo budoucí matematici budou umět předvedenou metodou nalézt i jiné věty, které nám ještě nepřišly na mysl. Jako první popíšeme to, co jsme jako první věc objevili pomocí mechaniky, a to, že každá úseč paraboly vytváří čtyři třetiny trojúhelníku s touž základnou a stejnou výškou, .....ÿ Ukažme si krok po kroku, jak Archimédes postupoval. [ ohraničenou přímkou AC a parabolou ABC. Uvažujme úseč paraboly ABC Nechť D je střed AC. Nakresli přímku DBE rovnoběžnou s osou paraboly o a spoj AB, BC. [ roven 4 obsahu trojúhelníka ABC. Pak bude obsah úseče paraboly ABC 3 Z bodu A veď přímku AKZ rovnoběžnou s DE. Nechť tečna k parabole v dotykovém bodě C protíná DBE v bodě E a AKZ v bodě Z. Průsečík CB a AZ označme K. Sestojte bod V – V leží na přímce BC a platí |V K| = |KC|. Podívejme se na CV jako na páku se středem K. Nechť M X je přímka rovnoběžná s DE a nechť protíná CZ, CK, CA v bodech M , N , X a parabolu v bodě O. Z vlastností paraboly vyplývá, že |EB| = |BD| (dokázáno v Eukleidových Základech). Proto také |KZ| = |KA| |M N | = |N X|. Dále z vlastností paraboly plyne (dokázáno v díle „Kvadratura parabolyÿ), že |M X| |CK| |KV | = = . |OX| |KN | |KN | Vezměme úsečku T H rovnu OX a umístěme ji těžištěm do V , tj. |HV | = |T V |. Neboť N je těžištěm úsečky M X a platí |KV | |M X| = , |T H| |KN | pak je bude úsečka T H umístěná těžištěm ve V v rovnováze s úsečkou M X umístěnou těžištěm v N .
5 Podobnou úvahu lze provést pro všechny úsečky M X rovnoběžné s DE. Trojúhelník ACZ je tvořen všemi takovými úsečkami jako je M X a úseč paraboly všemi takovými úsečkami jako je OX. Z toho vyplývá, že trojúhelník umístěný tam, kde je, bude v rovnováze s úsečí paraboly umístěnou svým těžištěm v bodě V . Rozděl úsečku KC bodem S tak, že |CK| = 3|KS|. Pak bod S je těžištěm trojúhelníka ACZ. Proto s(4ACZ) |V K| 3 = = . |KS| 1 [ s(ABC) Lehce se dále ukáže, že s(4ACZ) = 4s(4ABC). Konečně tedy [ = 1 s(4ACZ) = 4 s(4ABC). s(ABC) 3 3 Z M
E
H V T
NB
K
C
O
D o
A
X
Nakonec Archimédes uvádí, že toto odvození, jakkoliv se jeví jako správné, nepovažuje za důkaz a proto předkládá v díle „Kvadratura parabolyÿ důkaz geometrický. Jak jsme viděli v předchozím příkladě, Archimédes předkládá jakousi metodu páky, podle které je konečný systém bodů o hmotnostech m1 , · · · , mp na jedné straně páky ve vzdálenostech d1 , · · · , dp od podpěry O vyvážen jiným systémem bodů o hmotnostech m01 , · · · , m0q ve vzdálenostech d01 , · · · , d0q na druhé straně páky. Pak v souladu s přirozenými zákony mechaniky platí rovnost p X i=1
mi di =
q X j=1
m0j d0j .
6 Na základě tohoto vztahu se na jednu stranu páky umístí rovinný útvar (resp. těleso), jehož obsah (resp. objem) určujeme, a na druhou stranu páky rovinný útvar (resp. těleso), jehož obsah (resp. objem) a těžiště známe. mp
m1
O
m0q
m01 d0q
d1
Ilustrujme tuto metodu na jednoduchém příkladě určení obsahu oblasti ohraničené parabolou y = x2 a přímkami x = 1, y = 0, viz obrázek. Označme tuto oblast R. Budeme se snažit určit její obsah na základě znalosti obsahu a těžiště trojúhelníka T s vrcholy (0, 0), (1, 21 ), (1, − 12 ). Jeho obsah s(T ) = 12 a těžiště má v bodě ( 32 , 0). Nejprve umístěme trojúhelník i parabolu na stejnou strany páky se středem O v bodě (0, 0). Nyní využijeme následujícího Archimédova principu: Předpokládejme, že existuje konstanta k tak, že pro každou svislou přímku vedenou ve vzdálenosti x od středu páky O vytínající na ploše R úsek r a na ploše T úsek t platí k · r = x · t. Umístíme-li útvar R na druhou stranu páky tak, že těžiště je ve vzdálenosti k od středu O, pak „vyvážíÿ útvar T , které necháme na původním místě a platí k · s(R) = xT · s(T ), kde xT je vzdálenost těžiště útvaru T od středu O.
r O
t
k
Aplikujme nyní tento princip na náš konkrétní případ. Protože trojúhelník T je rovnoramenný, řez ve vzdálenosti x od středu O má velikost x (t = x). Velikost řezu v oblasti R je x2 (r = x2 ). Dosazením do výše zmíněného vztahu dostáváme k · x2 = x · x
odkud
k = 1.
7 Pak pomyslně přesuneme oblast R na druhou stranu páky tak, aby vzdálenost těžiště této oblasti od středu O byla k. Pro obsahy obou oblastí pak platí: k · s(R) = xT · s(T ) odkud dostáváme obsah oblasti R s(R) =
2 1 1 · = . 3 2 3
Tímto způsobem Archimédes odvozuje nejenom obsahy plošných útvarů, ale i objemy těles. Např. objem koule určuje pomocí známých objemů válce a kužele. Ukažme si jeho postup. Umístěme nejprve na jednu stranu páky všechny tři tělesa – kouli, kužel i válec, podle následujícího obrázku.
2r
k −2r 2r
O
x
2r
Ve vzdálenosti x od středu páky veďme řez těmito tělesy. Řezem koule A, kužele B i válce C i bude kruh. Obsah řezu označme písmenem „aÿ. Podle Archimédova principu existuje k tak, že platí k · (a(A) + a(B)) = x · a(C) k · (π(r − (r − x)2 ) + πx2 ) = x · π(2r)2 kπ(r2 − r2 + 2rx − x2 + x2 ) = 4πxr2 k = 2r 2
Dále přesuňme kouli a kužel na druhou stranu páky do vzdálenosti k = 2r. Tyto dvě tělesa nyní „vyvážíÿ válec, který necháme tak, kde je. Těžiště válce je ve vzdálenosti
8 r od středu páky. Objem tělesa označme V . Tedy k · (V (A) + V (B)) = xT · V (C) 2r · (V (A) + V (B)) = r · V (C) 1 V (A) = V (C) − V (B) 2 1 1 V (A) = π(2r)2 2r − π(2r)2 2r 2 3 4 3 V (A) = πr . 3 Uvedli jsme si tři ukázky toho, jak Archimédes objevoval své výsledky mechanickou metodou páky. Každý takový výsledek dále považuje za nutné dokázat exhaustivní metodou. Archimédovy důkazy vedené exhaustivní metodou si ilustrujme na příkladě důkazu toho, že obsah úseče paraboly je roven 34 obsahu vepsaného trojúhelníka. Nechť je dána úseč paraboly se základnou AB (úseč konvexní křivky je oblast ohraničená přímkou a částí dané křivky). Označme P bod nejvzdálenější od AB – tzv. vrchol úseče (je to dotykový bod tečny rovnoběžné s přímkou AB). Vzniklý trojúhelník AP B má největší obsah ze všech trojúhelníků vepsaných do úseče. Archimédes dokázal, že obsah uvažované úseče je roven 43 obsahu trojúhelníka AP B. B
B0 P2
A P
P1 A0
Ukažme, jak Archimédes při tomto důkazu postupoval. Opišme kolem parabolické úseče rovnoběžník A0 ABB 0 , kde A0 B 0 je tečna sestrojená v bodě P a úsečky AA0 , BB 0 jsou rovnoběžné s osou paraboly. Archimédes nejdříve dokazuje, že trojúhelník AP B má obsah větší než 21 obsahu [ s(AP B) uvažované úseče, tj. 1 [ 1 B). s(4AP B) = s(A0 ABB 0 ) > s(AP 2 2 Uvažujme nyní dvě menší parabolické úseče se základnami AP a P B a jejich vrcholy P1 a P2 . Stejně tak, jako v předchozí situaci vepišme příslušným úsečím
9 trojúhelníky AP1 P a P P2 B, které opět tvoří více než polovinu obsahu úsečí. Tím [ vyčerpáme plochu úseče AP B vepsaným mnohoúhelníkem AP1 P P2 B. Naznačený postup můžeme zřejmě opakovat. Z Eudoxova principu přitom vyplývá (v dnešní řeči), že ke každému ε > 0 obdržíme po konečném počtu výše uvedených konstrukcí mnohoúhelník vepsaný do [ parabolické úseče AP B, který se svým obsahem liší od obsahu úseče o méně než ε. V dalším kroku Archimédes využívá obecných vlastností paraboly k důkazu faktu, že součet obsahů trojúhelníků AP1 P a P P2 B je 14 obsahu trojúhelníku AP B. Mnohoúhelník Pn získaný po n krocích má tedy obsah s(Pn ) = α +
α α α + 2 + · · · + n , kde α = s(4AP B). 4 4 4
K výpočtu s(Pn ) Archimédes odvozuje vztah 1 1 1 1 1 + = . k k 4 34 3 4k−1 Postupnou aplikací tohoto vzorce na poslední dva členy následujícího součtu dostaneme 1 1 1 1 1 1 + + 2 + ··· + ( n + )= 4 4 4 3 4n 1 1 1 1 1 1 11 1 4 = 1 + + 2 + · · · + ( n−1 + ) = · · · = 1 + ( + ) = 1 + = . 4 4 4 3 4n−1 4 34 3 3 Tedy 1 1 4 1 1 1 1 + + 2 + ··· + n = − · n. 4 4 4 3 3 4 1 1 Pro dostatečně velká n můžeme člen 3 · 4n zanedbat (dnes bychom použili operace limity pro n → ∞). [ Odtud ihned plyne tvrzení věty, že s(AP B) = 43 s(4AP B). Přínos Archiméda k rozvoji matematiky je obrovský v jeho originalitě a přesnosti. Archimédova matematika se stále více orientuje k proměnným, zavádí do geometrie pohyb. Tím se liší např. od Eukleida, který přijímal změnu a pohyb velmi neochotně. Archimédes ve svých pojednáních podstatně rozvinul jak metodu na určení obsahů a objemů, tak i metodu na stanovení tečen ke křivkám a na určení extrémů. Metoda „nedělitelných veličinÿ mu byla pouze prostředkem, který pomáhal objevovat nová tvrzení. Pokládal však za povinnost každé takové tvrzení dokázat exhaustivní metodou, kterou za tímto účelem obohatil a vylepšil. Zavedl totiž kromě vepsaných mnohoúhelníků i mnohoúhelníky opsané a zkoumal jejich obsahy, které omezují hledaný obsah. Jinými slovy, zabýval se zkoumáním dolního a horního součtu omezujícího danou veličinu. Při výpočtech objemů používal stejným způsobem vepsaných a opsaných mnohostěnů. V souvislosti s tečnou křivky naznačil také myšlenku charakteristického trojúhelníka. Archimédovy práce znamenaly obrovský krok ve výpočtech obsahů a objemů. Při výpočtech však vždy vychází z geometrických vlastností dané plochy nebo tělesa. To
10 je charakteristické pro celou další etapu vývoje výpočtu obsahu plochy. Při určování obsahů a objemů různých ploch a těles se vždy využívaly nějaké charakteristické vlastnosti studovaného útvaru. Nejednalo se tedy o jednotný postup, který by se dal použít k určení obsahu, příp. objemu, libovolného útvaru.
Po tomto plodném období řecké vědy ve 2 stol. př. n. l. následovalo mnoho století stagnace vědy, kdy se obzvláště v Evropě na poli matematiky nedělo nic. Teprve ve 12. a 13. století se začínají překládat stará řecká díla Eukleida, Archiméda, Apollónia atd. Začaly vznikat první univerzity. Až v 16. století se matematika dostává nad rámec řecké matematiky. 16. a 17. století bylo renesancí kultury a vědy a tedy i matematiky. Popsat toto období by bylo tématem na samostatnou přednášku. Připomeňme jen jména některých matematiků, kteří se zabývali určováním obsahů a objemů a tím významně přispěli k dalšímu vývoji diferenciálního a integrálního počtu. Byli to Johann Kepler, Galileo Galilei, Bonaventura Cavalieri, John Wallis, Pierre de Fermat, Blaise Pascal aj.
Johann Kepler Kepler při svých výpočtech postupoval metodou rozdělení tělesa na nekonečně mnoho nekonečně malých „kusůÿ, jejichž objem lze jednoduše výpočtem určit. Použil tedy úvahu, které se říká infinitezimální. Např. při určování objemu koule při známém povrchu rozdělil kouli na nekonečně mnoho jehlanů s vrcholy ve středu koule a základnou na povrchu koule a výškou rovnou poloměru koule. Sečetl objemy těchto jehlanů a dostal V = 13 Ar, kde A = 4πr2 je povrch koule. Odtud získal objem koule V = 43 πr3 . Ještě známější je jeho určování obsahu kruhu. Každou z (nekonečně malých) částí ohraničující kružnice považuje za základnu rovnoramenného trojúhelníka s vrcholem ve středu kruhu. Obsah kruhu je pak roven součtu obsahů všech takových trojúhelníků. Představme si, že kružnice se středem S je rozvinuta do úsečky AC (její délka je rovna délce obvodu O kruhu) tak, že poloměr SA je k ní kolmý. Nekonečně malému XY na kružnici odpovídá dílek X 0 Y 0 na úsečce AC. Trojúhelníky XY S, X 0 Y 0 S 0 mají výšku i základnu stejné délky, a tedy mají stejný obsah (Kepler zde považuje délku oblouku XY a délku jemu odpovídající úsečky X 0 Y 0 za stejné). Tyto trojúhelníky lze zaměnit jinými, se stejnými základnami a výškou, přičemž vrcholy všech trojúhelníků se posunou do středu kružnice S. Takto vzniklé trojúhelníky mají stejné obsahy jako původní trojúhelníky a dohromady vyplňují trojúhelník ACS. Obsah kruhu je tedy roven obsahu pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami AC a
11 Y X
S0
S
X 0Y 0
A
C
Obr. 3. Keplerův výpočet obsahu kruhu
S
X 0Y 0
A
C
Obr. 4. Keplerův výpočet obsahu kruhu
AS, kde velikost strany AC je rovna velikosti obvodu O kruhu. Odtud plyne 1 1 S = rO = r · 2πr = πr2 . 2 2 Kepler podobných úvah použil k výpočtům objemů velkého množství těles používaných v praxi. Z hlediska důkazových metod se Kepler rozešel s archimédovským požadavkem přesnosti. Prohlásil, že Archimédovy důkazy jsou absolutně přesné, že je však přenechává lidem, kteří si chtějí dopřát přesné důkazy. Za nepřesnosti tohoto typu bylo Keplerovo dílo ve své době velmi kritizováno. Dnes vidíme, že však znamenalo velký krok ke vzniku moderních integračních metod. Kepler pro řešení praktické úlohy vedl správné úvahy nového typu, chyběla mu však jejich odpovídající matematická formalizace a proto i rigorózní důkazy.
Bonaventura Cavalieri Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) ve svém díle Geometria indivisibilibus continuorum (1635) vyložil jednoduchou formou metodu výpočtu objemu tělesa. Své výsledky shrnul ve formulaci, které dnes říkáme „Cavalieriho principÿ: „Když dvě tělesa mají stejnou výšku a když řezy rovinami, které jsou rovnoběžné s jejich podstavami a mají od nich stejnou vzdálenost, jsou takové, že poměr jejich obsahů je vždy stejný, potom objemy těles mají týž poměr.ÿ
12 Když budeme pomocí Cavalieriho principu určovat objem kruhového kužele s poloměrem podstavy r a s výškou h, můžeme jej porovnat s jehlanem o výšce h se čtvercovou podstavou, jejíž strana má délku 1 (viz obr. 5.). Roviny, které jsou rovnoběžné s podstavami obou těles a jsou vedeny ve stejné vzdálenosti od podstav, protínají tato tělesa v kruhu, resp. ve čtverci, jejichž obsahy jsou v konstantním poměru πr2 : 1. Podle Cavalieriho principu tedy platí VVkj = πr2 , tedy Vk = πr2 Vj , kde Vk je objem kužele a Vj objem jehlanu, pro nějž platí Vj = 13 h. Odtud plyne, že objem kužele je roven Vk = 13 πr2 h. Cavalieriho metoda se liší od Keplerových postupů ve dvou aspektech. Za prvé, Kepler rozkládal těleso dané dimenze na nekonečně mnoho částí téže dimenze, kdežto Cavalieriho vrstvičky mají nižší dimenzi, než vyšetřovaný útvar. Za druhé, Kepler rozkládal dané těleso na infinitezimální části a sečtením jejich obsahů (resp. objemů) obdržel obsah (resp. objem) daného tělesa. Cavalieri potřeboval k výpočtu dvě tělesa a použil metodu porovnávání nekonečně malých částí těles, jakýchsi nedělitelných vrstviček.
h
r 1
Obr. 5. Cavalieriho princip
Praktický efekt Cavalieriho principu při výpočtu obsahů (resp. objemů) spočívá v tom, že odvozuje správné formule, aniž je nucen použít postupu, který dnes nazýváme výpočtem limity. I přes některé nedostatky měla Cavalieriho metoda velký vliv na jeho současníky i matematiky pozdějšího období. Leibniz například napsal, že Galilei a Cavalieri byli prvními, kdo začali odhalovat drahocenné metody a postupy Archiméda. Torricelli prohlásil, že Cavalieriho metoda je udivující ve své ekonomičnosti pro nalezení vět a dává možnosti dokázat ohromné množství nových tvrzení a to krátkými, přímými důkazy, což je nemožné metodami starověku. Cavalieriho kniha podnítila matematiky ke studiu problémů, při jejichž řešení se užívalo infinitezimálních veličin. Kromě starých problémů určování obsahů, objemů a těžišť hrál stále významnější úlohu problém tečen. Šlo o stanovení metody k určení tečny k dané křivce v daném bodě. Při těchto úvahách se zřetelně vydělily dva směry, geometrický a algebraický. Následovníci Cavalieriho, zvláště Torricelli a Newtonův
13 učitel Isaac Barrow, používali řecké metody spočívající na geometrických úvahách, aniž by se příliš starali o jejich přesnost. Jiní však, zvláště Fermat, Descartes a Wallis, zastupovali druhý směr a používali při řešení stejných otázek algebraického přístupu. Prakticky všichni autoři formulí pro výpočty obsahů, objemů a případně těžišť se v letech 1630 až 1660 zaměřují na problémy týkající se tzv. algebraických křivek, zvláště těch, jejichž rovnice má tvar am y n = bn xm . Každý došelR svým vlastním m+1 a způsobem k výsledkům, které jsou ekvivalentní výpočtu integrálu 0 xm dx = am+1 . Tato řešení byla nalezena nejprve pro kladná celočíselná m, později pro záporné i racionální exponenty.
Pierre de Fermat Práci matematiků té doby ilustrujme na díle Pierre de Fermata (1601 – 1665). Stejně jako všichni matematikové této doby se i Fermat věnoval kvadraturám hyperbol a parabol zadaných rovnicemi y n = kx±m , kde m, n ∈ N, k ∈ R. Ukažme, jak Fermat postupoval při výpočtu obsahu plochy ohraničené parabolou y = x2 , osou x a přímkou x = 1.
α4 α3 α2
α
1
Nejdříve zvolil libovolné číslo α ∈ (0, 1) a sestrojil posloupnost čísel 1, α, α2 , α3 , . . . . Uvažovanou plochu pokryl nekonečně mnoha obdélníky s výškami rovnými funkčním hodnotám funkce y = x2 v bodech 1, α, α2 , α3 , . . . , tj. s výškami 1, α2 , α4 , α6 , . . . a šířkami 1 − α, α − α2 , α2 − α3 , . . . . Součet obsahů těchto obdélníků je 1(1 − α) + α2 (α − α2 ) + α4 (α2 − α3 ) + · · · = 1 − α + α3 (1 − α) + α6 (1 − α) + · · · = = (1 − α)(1 + α3 + α6 + · · · ) = 1−α 1 1−α = = . = 3 2 1−α (1 − α)(1 + α + α ) (1 + α + α2 ) Jestliže nyní zmenšujeme základny obdélníčků, tj. číslo α se přibližuje k číslu jedna, 1 1 pak podíl (1+α+α 2 ) se bude blížit k 3 . p
Obdobně Fermat postupoval při určování kvadratury paraboly y = x q pro p > 0 a q > 0 na intervalu [0, b].
14 Zapsáno dnešním mat. jazykem, dospěl k výsledku Z b p p+q q x q dx = b q . p+q 0 Fermat se také zabýval určováním tečen ke křivkám. On i další matematikové této doby již tušili, že existuje souvislost mezi derivováním a integrováním. Dokázat tuto souvislost se však podařilo až Issacu Newtonovi a G. Wilhelmu Leibnizovi, kteří jsou proto považováni za zakladatele diferenciálního a integrálního počtu. Nezávisle na sobě a každý jinou cestou nalezli propojení mezi integrováním a derivováním. Celé toto období lze stručně charakterizovat těmito nejvýznamnějšími výsledky: • Došlo k vzájemnému propojení metod integrování a diferencování. Diferenciální metody se staly prvotními, z nich se při infinitezimálních úvahách nadále vycházelo. Integrál funkce f : [a, b] → R se začal počítat na základě fundamentálního vztahu Z b f (x)dx = F (b) − F (a), a
kde F : (a, b) → R je funkce primitivní k funkci f na intervalu (a, b), tj. taková, že platí dF (x) = f (x) pro každé x ∈ (a, b). dx • „Statickýÿ určitý integrál se propojil s „dynamickýmÿ neurčitým integrálem zejména pod vlivem mechanických představ o pohybu. • Matematické metody byly přímo odvozeny z potřeb fyziky a byly s ní těsně svázány. • Vytvořil se základní názor na pojem funkce, která se tak stala hlavním objektem zkoumání nové vědní disciplíny (matematické analýzy). • Byla vytvořena promyšlená symbolika a bohatý algoritmický aparát. V souvislosti s těmito výsledky zavládlo všeobecné přesvědčení, že dříve či později bude dořešeno vše, co s matematickou analýzou souvisí. Projevilo se to například v přesvědčení, že funkci bude vždy možné derivovat a že ji bude možné vždy integrovat tak, že se užije výše uvedeného fundamentálního vztahu. Jestliže se nám dnes takové přesvědčení zdá být poněkud přehnané, je to zejména tím, že máme jinou představu o tom, co je to funkce. Newtonovo přesvědčení se opíralo o to, že „jehoÿ funkce byly v podstatě polynomy. 18. století bylo obdobím nakupení velkého množství nových poznatků, které však nestály na pevném základě. Nejasnosti a problémy se objevily kolem nekonečně malých veličin, konvergence řad, limity, ale i derivace a integrálu. V 19. století nastupuje
15 období zpřesňování matematické analýzy, jejímiž představiteli byli B. Bolzano, A.L. Cauchy, N. H. Abel, P. G. L. Dirichlet a později R. Dedekind a K. Weierstrass. Upřesnění pojmu integrál se věnovatl především Augustin Louis Cauchy a B. Riemann. Z dalších teorií integrálu jmenujme Lebesgueův integrál, Perronův integrál nebo Kurzweilův integrál, které byly vytvořeny ve 20. století. Zájemce o historický vývoj integrálního počtu od starého Egypta až po současnost odkazuji na publikaci Schwabik Š., Šarmanová, P. Malý průvodce historií integrálu, Prometheus, Praha, 1996.
