Matematikai módszerek alkalmazása a földtudományban Bárdossy György, Fodor János
Előszó Célunk több évtizedes tapasztalataink átadása és fel szeretnénk hívni a figyelmet új módszerek alkalmazásának lehetőségeire.
Az alkalmazások fő céljai 1. Megfigyelési és mérési adatok mennyiségi feldolgozása 2. Összefüggések felderítése és kiértékelése 3. Bizonytalanságok mennyiségi értékelése 4. Döntési kockázatok meghatározása
Fő tapasztalatok • Pontos definiciók fontossága (félreértések miatt) • A számítástechnika fontossága (pl. SPSS statisztikai program-csomag)
• A kiütő értékek (outliers) megfelelő kezelése
A matematikai feldolgozás fő tartományai
1.Skaláris (csak számok) 2.Térbeli ( X,Y,Z koordinátákkal) 3.Térbeli és időbeli (tér-koordinátákkal és időpontokal)
Modellezés 1. Elvi modellektől (conceptual -) a helyi konkrét modellek felé halad földtani, geofizikai, meteorológiai, hidrológiai, geodéziai stb. modellek
Tulajdonság modellek, grafikus – (pl. szelvények), folyamat - , genetikai – A modellek validálása (hibák kiküszöbölése)
Modellezés
(folytatás)
2. Geomatematikai modellek (numerikus-, analitikus módszerek, differnenciál egyenletek) 3. A modellek együttes földtudományi értékelése
Bizonytalanságok • Kolmogorov három axiómájából az additivitási a földtudományban többnyire nem teljesül! (átmenetek és átfedések miatt) • Bárdossy Gy., Fodror J. (2004): Evaluation of Uncertainties and Risks in Geology. (Springer)
Bizonytalanságok fő okai a földtudományban
1. Véletlenszerűség (randomness) Aleatory uncertainty. Térbeli és időbeli változékonyság (sztochasztikus módszerekkel többnyire meghatározható, de nem csökkenthető) 2. Emberi hibaforrások. Epistemic uncertainty. hiányos ismeretek, hiányos „nem-reprezentatív mintavétel, kutatási hibák, mérési hibák, hibás kiértékelés stb. (nem-sztochasztikus módszerekkel csökkenthető)
Számtípusok bizonytalanság szerint 1. Biztos számok 2. Bizonytalan számok - valószínűségek, valószínűségi sávok - ordinális számok - intervallumok - fuzzy számok - hibrid számok
Determinisztikus módszerek Egyetlen eredmény („best guess”) A bizonytalanságokat nem közli. Gyors, egyszerű, de csak közelítő megbízhatóságú
Sztochasztikus módszerek (a valószínűség elmélet alapján) Frekventista módszerek - egyváltozós - (átlagok, szórások, gyakoriságok, ferdeség, robusztus módszerek), eloszlás típusok, box-plotok összehasonlítása - kétváltozós – korreláció számítások és diagramok (scatterplots) - sokváltozós- (klaszter elemzés, parciális és multi-korreláció, faktor elemzés, főkomponens elemzés, diszkriminancia elemzés)
Valószínűségi módszerek folytatása • Bayes- elv alkalmazása (feltevés a kimenetel valósznűségére) - előzetes és utólagos valószínűségek meghatározása - a Bayes tétel alkalmazása - maximum likelihood függvények alkalmazása - szekvenciális diagramok készítése a változások kimutatására
Valószínűségi módszerek folytatása Geostatisztikai módszerek (Matheron) izotróp és iránymenti szemi-variogramok meghatározása, variogram modelek, variogram felületek, fuzzy variogramok átlagos és lokális hatástávolságok szerepe
krígelés, krígelési szórás, fuzzy krigelés hibaforrások: nem-lineáris összefüggések gyakoribbak
Magasabb rendű sztochasztikus szimulációk (Dimitrakopoulos 2010 ) nem lineáris összefüggésekre
Valószínűségi módszerek folytatása
• Térbeli adatsorok elemzése - Markov láncok (főleg üledékes összletekben) - Szekvenciális térbeli szimulációk (üledékes összletekben)
- Bootstrap módszerek (kevés adat esetén növeli a pontosságot)
Valószínűségi módszerek folytatása • Monte Carlo szimuláció Előnyök: - egyszerű számítógépes alkalmazás - könnyen érthető eredmények Hátrányok:- a változók eloszlásának pontos ismerete szükséges - nem veszi kellően figyelembe a kis gyakoriságokat (Latinhypercube mintavétel fontossága) - a korrelációs kapcsolatokat figyelembe kell venni (jelentős hibaforrás lehet)
Bizonytalanság elemzés módszerei • Entrópia meghatározása (egyetlen számmal) • Összetett bizonytalanságok számítása • Hibaterjedés törvényszerűségeinek figyelembe vétele • Visszaszámlálás módszerei • Nem valószínűségi módszerek
Kaotikus rendszerek elemzése Nem lineáris, „dinamikus”, hiper szenzitiv rendszerek, főleg meteorológiai jelenségeknél „Lorenz-attraktorok” szerepe
Az intervallum analizis Biztos számok helyett intervallumok (Moore 1979) Előnyök: - Könnyű számíthatóság - Az eredmények könnyen értelmezhetők - Minden bizonytalanság fajtára alkalmazható
Hátrányok: - Az intervallumok gyors kiszélesedése - Hibaterjedés erős hatása
Bizonytalanság-elemző nem-valószínűségi módszerek 1. Dempster-Shafer elmélet (1967) (feltételezés és plauzibilitás függvények alkalmazása, az ismeret mértéke, Dempster kombinációs szabálya)
2. Lehetőség elmélet (possibility theory) ( Dubois, Prade 1988 ) (a lehetőség és szükségszerűség függvényei, a valószínűség- elmélet kiterjesztése)
3. Bizonytalansági sávok elemzése (Ferson 2002) ( a valószínűség elmélet és az intervallum elemzés együttese)
A bizonytalan halmazok elmélete Fuzzy set theory (L.Zadeh 1978) Előnyök: - Szemi-kvantitatív és kvalitatív adatok értékelését teszi lehetővé - Tagságfüggvényekkel leírhatók a bizonytalanságok és a halmazok átfedései - Fuzzy aritmetika könnyen alkalmazható - Fuzzy logika módszerei (Mamdani - , Takagi-Sugeno módszerei földtudományi folyamatokra jól alkalmazhatók
Hátrányok: - Nem veszi figyelembe a korrelációk hatását - Sok változó esetén túlzottan megnő a bizonytalanság
További módszerek • Neurális hálózatok
(Hebb 1949)
• Neuro-fuzzy hálózatok (Fullér 2000) • Alakzat felmérő és leíró módszerek (kernelek, copulák, számítógépes alakzat felismerő rendszerek)
Geometriai jellegű módszerek 1. Fraktálok (ismétlődő alak azonosság) pl. töréses tektonikai értékelésre jól használhatók
2. Nem-lineáris térképezés (non-linear mapping) térbeli tulajdonságok összehasonlítására
3. Matrix operációk 4. Konvolúció, dekonvolúció (több változó együttes értékelésére)
5. Hálózat (grid) alapú módszerek 6. Orientáció elemzés (tektonikai jelenségek étékelésére)
Idősorok elemzése Amplitudó, periódus, hullámhossz, fázisszög Fourier elemzés, periodogramok Stacionárius idősorok, ergodikus és nemergodikus folyamatok „Filterek” és simítók A természetben kevés folyamat tisztán periódusos!
Térben irányított tulajdonságok elemzése 1. Trend- felület elemzés 2. Vektor mező elemzés (egységvektorok) 3. Sztereogramok, pólus eloszlás diagramok
Fő alkalmazási lehetőségek 1. Nyersanyagkutatás, ásványvagyon számítás (szilárd és szénhidrogén - ) kutatási optimum meghatározása
2. Geofizikai kutatások (a kiértékelés inverz módszerei – integrál egyenletek és linearizálással) Dobróka M., Fancsik T., Steiner F.
3. Bányászat, bányaföldtan (mennyiség/minőség diagramok, optimális „depletion-rate meghatározása)
4. Természeti veszélyforrások előre jelzése (vulkáni kitörések, földrengések, cunamik, földcsuszamlások stb.)
Folytatás 4. 5. 6. 7. 8.
Környezetvédelem (pl. talajvíz szennyezések) Hulladék elhelyezés (közületi, toxikus, radioaktív) Geotechnikai feladatok (mélyépítés, alagutak stb.) Meteorológia és klimatikus alkalmazások Hidrológia (vízkészletek felmérése, árvizek előrejelzése)
Kockázat elemzés elvi sémája 1. 2. 3. 4.
Döntés cselekvésről Lehetséges kimenetelek meghatározása A kimentelek valószínűségének kiszámítása A kimenetelek következményeinek meghatározása: tipus és nagyság
Kockázat elemzés problémái • Kimenetelek valószínűsége bizonytalan • Következmények nagysága is bizonytalan (kiütő és szélső értékek figyelembe vétele gyakran elmaradt)
• Érzékenység elemzés (sensitivity analysis) fontossága
• Biztonság- elemzések (radioaktív hulladék elhelyezéshez) (safety assessments),hagyományos módszerek: worst case analysis, új megközelítések: fuzzy és hibrid módszerek Mindezek eddig főleg csak szakértői becsléssel készültek! Nem elégséges: pl. Mexikói öböl kőolaj katasztrófája!
4. A matematikai alkalmazások optimális sorrendje 1. „Reprezentativ” mintavétel 2. Modell alkotás és ellenőrzés (cross validation) 3. Számítógépes adatbázisok kialakítása („relational databases”)
4. Az alkalmazandó matematikai módszerek kiválasztása
Folytatás 4. A mérettartomány hatás értékelése scaling factor, (térbeli: globális-, regionális-, lokális-, mikro-, nanoidőbeli: másodperc,perc,óra, nap, év, millió év)
5. Az eredmények bizonytalanságának kiszámítása (főként nem-valószínűségi módszerek) 6. Döntések esetében kockázat elemzés 7. Jelentés készítés ( a szakértői vélemény – ”expert’s opinion” értékelése) átláthatóság, alternatív lehetőségek bemutatása
Következtetések • Sikeres alkalmazásokhoz földtudományi szakemberek és matematikusok együttműködése szükséges • A szakértői vélemény egymagában többnyire nem nyujt elégséges biztonságot (pl. Mexikói-öböl kőolaj katasztrófa)
• Célszerű több módszert alkalmazni, mert többnyire kiegészítik egymást. • Valós eredmények alapja a megbízható földtudományi modell alkotás
