Matematikai analízis II

Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN161-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 2016

1. feladatlap Implicit f¨ uggv´enyek differenci´al´asa 1. Hat´arozzuk meg az al´abbi, implicit alakban adott f¨ uggv´enyek y 0 deriv´altj´at, ha y = y(x)! (a) x2 + y 2 = 1;

(b) xy + y 2 = 1;

(c)

4xy + y 2 = 10;

(d) x2 + 2xy − y 2 = 2x;

(e)

cos y = x;

(f) x2 y + 3xy 3 − x = 5;

(g)

1 1 + = 100; x y

(i)

ln y + xy = 1;

1 + ctg2 x = 3; cos2 y p y (j) arctg = ln x2 + y 2 . x (h)

2. Hat´arozzuk meg az x2 − xy + y 2 = 3 g¨orbe P (1, 2) pontj´ahoz tartoz´o ´erint˝o egyenlet´et! 3. Hat´arozzuk meg az 9x2 + 16y 2 = 52 egyenlet˝ u ellipszis azon ´erint˝oit, amelyek p´arhuzamosak a 9x − 8y = 1 egyenessel! 4. Hat´arozzuk meg y 0 -t ´es y 00 -t, ha xy + y 2 = 1 ´es y = y(x)! 5. Hat´arozzuk meg y 0 -t ´es y 00 -t az (1, 0) pontban, ha a sin y = x3 − x5 g¨orbe ´atmegy ezen a ponton ´es y = y(x)! 6. Igazoljuk, hogy y 00 =

2y 3 , ha x + y = xy ´es y = y(x)! x3 Param´eteres alakban adott f¨ uggv´eny deriv´altja

7. Hat´arozzuk meg y 0 =

dy ´ert´ek´et az dx ( x(t) = t3 + t, y(t) = t7 + t + 1,

t∈R

param´eteres alakban adott g¨orb´ere! 8. Hat´arozzuk meg y 0 =

dy ´ert´ek´et az dx ( x(t) = 2 cos t, t ∈ [0, 2π) y(t) = 2 sin t,

param´eteres alakban adott g¨orb´ere, ha t0 =

π ! 4

9. Hat´arozzuk meg y 0 =

10. Hat´arozzuk meg y 0 =

dy d2 y ´es y 00 = 2 ´ert´ek´et az al´abbi param´eteres alakban adott g¨orb´ere! dx dx ( x(t) = et · sin t, t ∈ R. y(t) = et · cos t, d2 y dy ´es y 00 = 2 ´ert´ek´et az dx dx ( x(t) = cos3 t, t ∈ [0, 2π)

y(t) = sin3 t, param´eteres alakban adott g¨orb´ere, ha t0 =

π ! 3

11. Hat´arozzuk meg az (

x = 5 cos t t ∈ [0, 2π) y = 4 sin t

π param´eteres alakban adott ellipszisnek a t0 = param´eter´ert´ekhez tartoz´o pontj´ahoz h´ uzott 4 ´erint˝o ir´anytangens´et! V´azoljuk a g¨orb´et! 12. Adjuk meg az al´abbi param´eteres alakban adott g¨orbe t0 = 0 param´eter´ert´ek˝ u pontj´aban az ´erint˝oegyenes egyenlet´et! ( x(t) = 3et , t ∈ R. y(t) = 5e−t , 13. Hol konvex az (

x(t) = 3t − 1, y(t) = 9t2 − 3t,

t∈R

g¨orbe? Pol´arkoordin´at´as alakban adott f¨ uggv´eny differenci´al´asa 14. Legyen r =

√ cos 2ϕ. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi kifejez´eseket!

(a)

dr ; dϕ

(b)

(c)

d3 r ; dϕ3

(d)

(e)

d2 r  π  ; dϕ2 4

(f)

d2 r ; dϕ2 dr  π  ; dϕ 6   d3 r 5π . dϕ3 6

√ 6 + 3π π 15. Igazoljuk, hogy az r = 3ϕ archim´edeszi spir´alis ´erint˝oj´enek meredeks´ege √ a ϕ0 = 6 6 3−π pontban! 3π 1 pontban! 16. ´Irjuk fel az r = hiperbolikus spir´alis ´erint˝oj´enek egyenlet´et a ϕ0 = ϕ 2 17. Hat´arozzuk meg az r = 18. Adjuk meg az r =

π 4 parabola ´erint˝oj´enek meredeks´eg´et a ϕ0 = pontban! 1 − cos ϕ 3

4 parabol´anak azt a pontj´at, ahol az ´erint˝o meredeks´ege 1! 1 − cos ϕ

19. ´Irjuk fel az r = 1 − sin ϕ kardioid ϕ0 = 0 pontj´aban az ´erint˝oegyenes egyenlet´et!

2. feladatlap A hat´arozatlan integr´al, integr´al´asi szab´alyok 1. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! (a)

R

(c)

R

(e)

R

(g)

R

(i)

R

−3

7

√

+ 2x − x) dx; √ x3 − 3x2 + 4 3 x dx; x   5 2 − dx; cos2 x sin2 x q p √ x x x dx; √ ( x − 1) (x + 3) dx;

(x

(b)

R



 √ √ √ 2 3 7 2 2 − x + x · x dx; x5

R

(12 + 5x + 22x+1 − 4ex ) dx;   R 2 (f) −2 sin x + 3 cos x − dx;  x R 2 1 (h) dx; +√ 2 1 − x2 R 1x + xx 2 (j) (2 + 3 ) dx. (d)

2. Vezess¨ uk vissza elemi integr´alokra a k¨ovetkez˝o integr´alok kisz´am´ıt´as´at! (b)

R

x2 dx; 1 + x2

(d)

R

tg2 xdx;

(a)

R

(c)

R

(e)

R

(g)

R

(i)

R

3x ex dx; √ 3 4 dx; 3 + 3x2 cos 2x dx; cos2 x sin2 x cos 2x dx; cos2 x √ 3 1 − 3xdx;

(k)

R

(x + 1)10 dx;

(l)

(m)

R

(n)

(o)

sin2 x cos x dx; R 2√ x 3 1 + x3 dx;

(q)

R

(s)

R

(t)

R

(u)

R

(v)

R

(x)

R

2x √ dx; x2 + 1 cos x √ dx; 5 sin3 x ln x dx; x 2x dx; 2 x +1 ex dx; ex + 1 arctg x dx; 1 + x2

(p)

R ch2x dx; ch2 x R cth2 x dx; R x(x2 + 10)30 dx; Rp 5 (8 − 3x)6 dx; R cos5 x sin x dx; R √ x x2 + 1 dx;

(r)

R√ chx − 1·shx dx;

(sz)

R

√ 5

(ty)

R

tgx dx;

(¨ u)

R

(f) (h) (j)

(w) (y)

sin x dx; 3 + cos x

x+2 dx; + 4x + 5 R 1 dx; x ln x R 1 dx; 1 + cos 2x x2

3. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! (a)

R

sin 3x dx;

(b)

R

cos(4x + π) dx;

(c)

R

e5x dx;

(d)

R

(e3x + 3e−3x ) dx;

(e)

R

(2x − 3)4 dx;

(f)

R√ 5

(g)

R

cos (3 − 4x) dx;

(h)

R

6x − 2 dx;

e7x−5 dx.

Szorzatintegr´al´assal megoldhat´o feladatok 4. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! (a)

R

xex dx;

(b)

R

x sin 2x dx;

(c)

R

x2 7x dx;

(d)

R

x2 cos x dx;

(e)

R

x3 sin 2x dx;

(f)

R

x2 e−2x dx;

(g)

R

ex 7x dx;

(h)

R

e2x+ln x dx;

(j)

R

ln x dx;

(l)

R

arctgx dx;

(k)

R x cos x dx; sin3 x R x ln x dx;

(m)

R

arcsin x dx;

(n)

R

arccos x dx;

(o)

R

x3 ln x dx,

(p)

R

x arctg dx; , 2

(q)

R

arthx dx,

(r)

R

ln2 x dx;

(s)

R

x2 arctgx dx;

(sz)

R

xarctgx dx;

(t)

R

xarccosx dx;

(ty)

R

(x2 + x)chx dx;

(u)

R

(x2 + 2x) ln x dx;

(v)

R√

(w)

R

e2x cos x dx;

(x)

R

chx · sin 5x dx;

(y)

R

sin 3x · cos 5x dx;

(z)

R

e3x+2 ln x dx.

(i)

x ln2 x dx;

3. feladatlap Integr´al´as helyettes´ıt´essel 1. Adjuk meg az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! Z 1 dx; (b) (a) 2 Z cos (1 − 5x) (c) 6sin x cos xdx; (d) Z dx (e) ; (f) 2 x +4 Z (g) x4 sh(x5 − 6) dx; (h) Z (i) Z (k) Z (m)

ex cos(ex ) dx;

(j)

√ sin x √ dx; x

(l)

√

(q)

− 1 dx;

e2x √ dx; 4 x e −1 Z 1 dx; ch x

e2x dx; 1 + ex Z x√ x e e −1 dx; (p) ex + 3 Z 1 (r) dx. 1 + ch x

(n)

2. Adjuk meg az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! Z 2 (a) dx; (b) 1 + cos x Z 1 (c) ; (d) 1 + sin x Z cos x (e) ; (f) 4 + sin2 x Z 1 (g) dx; (h) 1 + 3 cos2 x Z √ (i) x2 + 25 dx; (j) Z (k) Z (m)

√

1 dx; Z sin (4x + 7) ecos x sin xdx; Z 2+x dx; 5 + x2 Z e2x dx; 1 + ex Z ex dx; 1 + e2x Z √ e x dx; 2

Z

ex

Z

(o)

Z

1 − 2x −

x2 ;

dx √ ; 25 − 16x2

Z

1 dx; sin x

Z

ln tg x dx; sin x cos x

Z

sin x dx; 3 + cos x Z √ 9 − x2 dx; Z

x2 − 16 dx;

Z

x √ dx; 2 x − 2x − 1

Z

x2 √ dx. 1 − x2

(l) (n)

√

Racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyek integr´al´asa ´ ıtsuk el˝o az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! 3. All´ Z 1 dx; (b) (a) x−4 Z x+1 (c) ; (d) 2 x + 2x + 3 Z 2x + 3 (e) ; (f) 2 x + 2x + 2 Z 1 dx; (h) (g) 2 x +x+1 Z 1 (i) dx; (j) (2x − 1)2

Z

2x + 3 dx; x−2

Z

x2 dx; x2 + 1

Z

x dx; (1 + x2 )2

Z x2 Z

6x dx; − 2x + 7

x dx. x2 − 6x + 9

4. Parci´alis t¨ortekre bont´assal sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat! Z Z 1 1 dx; (b) dx; (a) (x − 2)(x − 4) x(x + 1) Z Z 2 3x − 59 (c) dx; (d) dx; (x − 1)(x + 1) (x + 11)(2x − 1) Z Z 2x + 1 11x − 29 dx; (f) dx; (e) 2 (3x − 5)(x − 7) x +x−6 Z Z 3x + 1 2x + 3 (g) dx; (h) dx; 3 2 x −x x + 2x + 1 Z Z x2 + 1 2x − 1 dx; (j) dx; (i) (x − 2)2 (x + 1)3 Z Z 2x2 − 2x − 1 1 (k) dx; (l) dx; 3 2 3 x −x x +x Z Z x10 2x + 3 dx; (n) dx; (m) (x2 − 1)2 x2 + x − 2 Racion´alis f¨ uggv´enyek integr´al´as´ara vezet˝o helyettes´ıt´esek ´ ıtsuk el˝o az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! 5. All´ Z (a) Z (c)

√ 3

ex dx; e−x + 3 √ Z x √ dx. 4 1 + x3 Z

x √ √ dx; x( x + 3 x)

(b)

1 √ √ dx; x+ 3x

(d)

4. feladatlap Trigonometrikus ´es hiperbolikus f¨ uggv´enyek integr´al´asa 1. Adjuk meg az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! Z (a) sin3 x cos x dx; Z (c) sin3 x cos2 x dx; Z (e) cos3 x dx; Z (g) (i) Z (k) Z (m) (o)

sh x dx; Z

(q)

sin5 x dx; cos2 x

4

ch3 x dx; sh2 x

(d) Z (f)

sin5 x dx dx; sin2 x cos2 x dx;

Z

cos3 x dx; sin4 x

Z (n) Z (p) Z (r)

sin2 x cos3 x dx;

sin x dx; cos2 x

(l) 2

sin x cos2 x dx;

Z (j)

sin 2x cos 2x dx; Z

Z

(h)

cos4 x dx; sin2 x

3

(b)

Z

4

sin x dx; Z

Z

sh3 x ch3 x dx; ch5 x dx; th2 x dx.

Riemann-integr´al 2. Tekints¨ uk az f : [0, 1] → R, f (x) = x2 f¨ uggv´enyt! Osszuk fel a [0, 1] intervallumot ¨ot r´eszre, majd adjuk meg a feloszt´as oszt´opontjait, r´eszintervallumait, tov´abb´a a feloszt´ashoz tartoz´o als´o ´es fels˝o integr´alk¨ozel´ıt˝o o¨sszeget! 3. Egy egyenes p´aly´an mozg´o test gyorsul´as-id˝o f¨ uggv´enye: h πi f : 0, → R, f (t) = sin 2t. 2 h πi Osszuk fel a 0, intervallumot n´egy egyenl˝o r´eszre, majd adjuk meg a feloszt´as 2 oszt´opontjait, r´eszintervallumait, tov´abb´a hat´arozzk meg k¨ozel´ıt˝oleg a sebess´eg megv´altoz´as´at, azaz adjuk meg a feloszt´ashoz tartoz´o als´o ´es fels˝o integr´alk¨ozel´ıt˝o ¨osszeget! 4. Legyen adott az f : [−2, 2] → R, f (x) = 4 − x2 f¨ uggv´enyt Osszuk fel a [−2, 2] intervallumot nyolc r´eszre, hat´arozzuk meg a feloszt´as oszt´opontjait, r´eszintervallumait, valamint a feloszt´ashoz tartoz´o als´o ´es fels˝o integr´alk¨ozel´ıt˝o o¨sszeget!

Z5 5. Hat´arozzk meg az 4 dx Riemann-integr´alt a defin´ıci´o alapj´an! 2

Z1 6. Hat´arozza meg az

5x2 dx Riemann-integr´alt a defin´ıci´o alapj´an!

0

Newton-Leibniz-formula 7. Sz´amoljuk ki az al´abbi hat´arozott integr´alokat! Z0 (a)

(2x + 5) dx;

(b)

−2

−2

Z1

2

(x +

(c)

√

x) dx;

(d)

0

Z

Z2 (x3 − 2x + 3) dx; Z2 √ 0 π

π 3

Z2 sin x dx;

(e)

(f)

π 6

Z (g)

√ x2 − 6x + 9 dx;

Zπ (h)

x2 sin 2x dx;

0

0

Z1

Z4

(i)

π

x3 ln2 x dx;

(j)

1 dx; 1 + sin x

0

0 0

100π Z

Z |2x + 3| dx;

(k)

(l)

−2

Z3

√

1 − cos 2x dx;

0

3

sgn(x − x ) dx; 0

cos x sin2 x dx;

0 1

(m)

4x + 1 dx;

Zπ (n)

x sgn(cos x) dx. 0

√ uggv´eny k¨oz´ep´ert´ek´et a [0, 1] intervallumon! 8. Hat´arozzuk meg az f (x) = 3 x f¨ h πi 1 9. Adjuk meg az f (x) = f¨ u ggv´ e ny k¨ o z´ e p´ e rt´ e k´ e t a 0, intervallumon! cos2 x 4 10. Hat´arozzuk meg a b val´os param´eter ´ert´ek´et, ha az f (x) = x3 + bx − 2 f¨ uggv´eny a´tlagos ´ert´eke a [0, 2] intervallumon 4.

Az integr´al, mint a fels˝o hat´ar f¨ uggv´enye 11. Hat´arozzuk meg az al´abbi deriv´altakat!

(a)

d dx

Zx

√

5 + 7t2 dt;

(b)

d dx

Z1

2

(c)

d dx

x

Zx

√ 3

t4 + 1 dx;

(d)

d dx

Z x4

−x

√

t dt.

0

12. Keress¨ uk meg Zx (a) y =

dy -et az al´abbi feladatokban! dx √

Zx 1+

t2

dt;

(b)

y=

0

1 dt, t

(x > 0);

1

Z x2

0

Z (c)

sin3 t dt;

y= √ x

sin t2 dt;

(d)

y= 0

√ cos t dt.

5. feladatlap Ter¨ ulet sz´am´ıt´asa hat´arozott integr´allal 1. Hat´arozzuk meg az f (x) = −x2 − 2x f¨ uggv´eny grafikonja ´es az x-tengely a´ltal hat´arolt tartom´any teljes ter¨ ulet´et, ha x ∈ [−3, 2]! 2. Sz´am´ıtsuk ki az f (x) = x3 − 4x ´es az x-tengely ´altal k¨ozrez´art v´eges s´ıkr´esz ter¨ ulet´enek m´er˝osz´am´at, ha x ∈ [−2, 2]! 3. Mekkora ter¨ uletet hat´arolnak az f (x) = x2 , a g(x) = x + 6, x = −2 ´es az x = −1 g¨orb´ek? 4. Adjuk meg annak a tartom´anynak a ter¨ ulet´et, amelyet az f (x) = 1+cos x f¨ uggv´eny grafikonja, valamint az y = 2 ´es az x = π egyenesek z´arnak k¨ozre! 5. V´azoljuk az f (x) = x3 f¨ uggv´eny grafikonja, az y = −x ´es az y = 1 egyenesek a´ltal hat´arolt tartom´anyt, majd hat´arozzuk meg a ter¨ ulet´et! 6. Sz´am´ıtsuk ki az f (x) = x2 ´es a g(x) = x + 2 g¨orb´ek a´ltal k¨ozrez´art s´ıkr´esz ter¨ ulet´et! 7. Adjuk meg az f (x) = x2 − x ´es a g(x) = x − x2 parabol´ak a´ltal hat´arolt tartom´any ter¨ ulet´enek m´er˝osz´am´at! √ u g¨orbe, valamint e 8. Sz´am´ıtsuk ki az x0 ´ert´ek´et u ´gy, hogy az y-tengely, az f (x) = x egyenlet˝ g¨orb´enek az x0 abszcissz´aj´ u pontj´ahoz h´ uzott ´erint˝oje a´ltal hat´arolt v´eges ter¨ ulet m´er˝osz´ama T =

2 3

legyen! 1 f¨ uggv´eny grafikonj´at! Sz´am´ıtsuk ki a b ∈ R param´eter +4 ´ert´ek´et, ha a g¨orbe alatti ter¨ ulet a [−b, b] intervallumon 1!

9. V´azoljuk az f : R → R, f (x) =

x2

´ azoljuk ugyanabban a koordin´ata-rendszerben az f (x) = sin x ´es a g(x) = cos x f¨ 10. Abr´ uggv´enyt, majd sz´am´ıtsuk ki, hogy mekkora ter¨ ulet˝ uek a megadott g¨orb´ek a´ltal k¨ozrez´art tartom´anyok! 11. Mekkora ter¨ ulet˝ u s´ıkidomot z´ar k¨ozre az y 2 = 2x parabola ´es az x2 + y 2 = 4x k¨or?  x(t) = 3 cos t 12. Sz´am´ıtsuk ki az param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe alatti ter¨ ulet y(t) = 3 sin t m´er˝osz´am´at a 0 ≤ t ≤ π intervallumban!  x(t) = r cos t 13. Sz´am´ıtsuk ki az param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe alatti ter¨ ulet y(t) = r sin 2t π m´er˝osz´am´at a 0 ≤ t ≤ intervallumban (r > 0)! 2 14. Sz´am´ıtsuk ki az

x(t) = 3(t − sin t) y(t) = 3(1 − cos t)

 ,

t ∈ [0, 2π]

param´eteres egyenletrendszerrel adott k¨oz¨ons´eges ciklois egy ´ıve alatti ter¨ ulet m´er˝osz´am´at!

15. Mekkora az x(t) = cos 2t y(t) = cos t

 ,

t ∈ [0, 2π]

param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe ´es az y tengely k¨oz´e es˝o s´ıkr´esz ter¨ ulete? K´esz´ıts¨ unk v´azlatot! √ 16. Sz´am´ıtsuk ki az r = 4 cos 2ϕ g¨orbe (lemniszk´ata) ter¨ ulet´et! V´azoljuk a g¨orb´et! 17. Sz´am´ıtsuk ki azon s´ıktartom´any ter¨ ulet´et, amely az r = 1 + cos ϕ g¨orb´en bel¨ ul ´es az r = 1 k¨or¨on k´ıv¨ ul van! √ ul ´es az r = 1 18. Sz´am´ıtsuk ki azon s´ıktartom´any ter¨ ulet´et, amely az r = 2 cos 2ϕ g¨orb´en bel¨ k¨or¨on k´ıv¨ ul van! K´esz´ıts¨ unk ´abr´at! 19. Hat´arozzuk meg az r = sin ϕ k¨or ´altal hat´arolt tartom´any r = 1 − cos ϕ kardioidon k´ıv¨ ul es˝o r´esz´enek a ter¨ ulet´et! 20. Sz´am´ıtsuk ki annak a s´ıktartom´anynak a ter¨ ulet´et, amely az r = 4 cos ϕ g¨orb´en bel¨ ul, de az r = 2 cos ϕ g¨orb´en k´ıv¨ ul van! K´esz´ıts¨ unk ´abr´at! √ 21. Hat´arozzuk meg az r = 4 k¨or ´es az r = 4 cos 2ϕ lemniszk´ata k¨oz´e es˝o v´eges s´ıktartom´any ter¨ ulet´et! K´esz´ıts¨ unk ´abr´at! 22. Hat´arozzuk meg az r = sin 2ϕ n´egylevel˝ u l´ohere egyik level´enek ter¨ ulet´et! S´ıkg¨orb´ek ´ıvhossz´anak sz´am´ıt´asa 23. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi g¨orb´ek ´ıvhossz´at! (a) y = ch x, x ∈ [0, 3]; (c) (e)

(b) y =

√

4 − x2 , x ∈ [−2, 2]; 

 1 (d) y = ln(1 − x2 ), x ∈ 0, ; 2

hπ π i y = ln sin x, x ∈ , ; 4 2   p 1 1 y = (2 + 2x)3 , x ∈ − , ; 6 3

(f) 6xy = x4 + 3, x ∈ [1, 2].

24. Sz´am´ıtsuk ki az x(t) = 3 cos t y(t) = 3 sin t



param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe ´ıvhossz´at a 0 ≤ t ≤ 2π intervallumban! V´azoljuk a g¨orb´et! 25. Sz´am´ıtsuk ki az

x(t) = et sin t y(t) = et cos t



param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe ´ıvhossz´at a 0 ≤ t ≤

π intervallumban! 2

26. Sz´am´ıtsuk ki az

x(t) = t − sin t y(t) = 1 − cos t



param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe ´ıvhossz´at a 0 ≤ t ≤ 2π intervallumban! 27. Sz´am´ıtsuk ki az

x(t) = cos3 t y(t) = sin3 t



π param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe ´ıvhossz´at a 0 ≤ t ≤ intervallumban! V´azoljuk 2 a g¨orb´et! 28. Sz´am´ıtsuk ki az x(t) = 4(cos t + t sin t) y(t) = 4(sin t − t cos t)



param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe ´ıvhossz´at a 0 ≤ t ≤ π intervallumban! 29. Sz´am´ıtsuk ki az r = 1 + cos ϕ kardioid ker¨ ulet´et! V´azoljuk a g¨orb´et! 30. Hat´arozza meg az r = eϕ spir´alis ´ıvhossz´at, ha ϕ ∈ [0, ln 2]! 31. Hat´arozza meg az r = cos2

ϕ g¨orbe ´ıvhossz´at, ha ϕ ∈ [0, 2π]! 2 Forg´astest t´erfogat´anak sz´am´ıt´asa

32. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi g¨orb´ek x-tengely k¨or¨ uli forgat´as´aval nyert testek t´erfogat´at! (a) y = 4x + 5, x ∈ [0, 6]; (c)

y = ch 3x, x ∈ [−1, 1] ;

(e)

y=

√

x + 3, x ∈ [1, 6];

(g) y = xex , x ∈ [0, 1].

(b) y = x2 + 4x + 6, x ∈ [2, 3]; √ (d) y = x 4 2 + x3 , x ∈ [0, 1] ; (f) y = ln x, x ∈ [1, e]; (h) y =

√ x, x ∈ [0, 4].

33. Sz´am´ıtsuk ki az y = sin x g¨orbe x-tengely k¨or¨ uli forgat´asakor keletkez˝o ”v´egtelen gy¨ongysor” egy gy¨ongyszem´enek t´erfogat´at! x 34. Az y = 2 sin g¨orbe egy f´el hull´am´at megforgatjuk az x-tengely k¨or¨ ul. Mekkora az ´ıgy 3 keletkez˝o test t´erfogata? 35. Tekints¨ uk az y = x3 egyenlet˝ u g¨orbe, az y = 1 egyenes ´es az y-tengely a´ltal k¨ozrez´art v´eges s´ıkr´eszt! Mekkora t´erfogat´ u forg´astestet kapunk, ha a tartom´anyt az y-tengely k¨or¨ ul megforgatjuk? 36. Forgassuk meg az x-tengely k¨or¨ ul azt a s´ıktartom´anyt, amelyet az xy = 1 hiperbola, az x = 1, az x = 3 ´es az y = 0 egyenesek hat´arolnak! Mekkora a keletkez˝o forg´astest t´erfogata?

4 37. Tekints¨ uk az y = (x − 3)2 ´es az y = g¨orb´ek ´altal hat´arolt tartom´anyt! Az x- illetve az x y-tengely k¨or¨ uli forgat´assal keletkez˝o forg´astestek k¨oz¨ ul melyiknek nagyobb a t´erfogata? x2 38. Sz´am´ıtsuk ki az + y 2 = 1 egyenlet˝ u ellipszis x-tengely k¨or¨ uli forgat´as´aval keletkez˝o forg´asi 9 ellipszoid t´erfogat´at! 39. Sz´am´ıtsuk ki az

x(t) = t − sin t y(t) = 1 − cos t

 ,

0 ≤ t ≤ 2π

k¨oz¨ons´eges ciklois egy ´ıv´enek x-tengely k¨or¨ uli megforgat´asakor keletkez˝o forg´astest t´erfogat´at! Forg´astest felsz´ın´enek sz´am´ıt´asa 40. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi g¨orb´ek x-tengely k¨or¨ uli forgat´as´aval nyert testek felsz´ın´et: (a) y = x3 , x ∈ [0, 1] ; √

(b) y = sin x, x ∈ [0, π] ;

r2 − x2 , x ∈ [−r, r];

(c)

y=

(e)

y = 2x + 3, x ∈ [0, 5] ;

(d) y = (f) y =

√

2x + 1, x ∈ [4, 12] ;

1√ x(3 − x), x ∈ [0, 3]. 3

ex + e−x 41. Az y = egyenlet˝ u g¨orbe [0, ln 2] intervallum feletti ´ıv´et forgassuk meg az x-tengely 2 k¨or¨ ul. Mekkora az ´ıgy keletkezett forg´astest t´erfogata ´es teljes felsz´ıne? x 1 42. Sz´am´ıtsuk ki az y = + , x ∈ [1, 3] egyenes szakasz y-tengely k¨or¨ uli forgat´as´aval keletkez˝o 2 2 csonkak´ up pal´astj´anak felsz´ın´et! x2 43. Sz´am´ıtsuk ki az + y 2 = 1 egyenlet˝ u ellipszis x-tengely k¨or¨ uli forgat´as´aval keletkez˝o forg´asi 4 ellipszoid felsz´ın´et! 44. Mekkora az x(t) = cos t y(t) = 2 + sin t

 ,

0 ≤ t ≤ 2π

param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe x-tengely k¨or¨ uli forgat´asakor keletkez˝o forg´astest felsz´ıne? 45. Mekkora annak a forg´astestnek a felsz´ıne, amely az 2√ 3 ) √ x(t) = t , 0≤t≤ 3 3√ y(t) = 2 t param´eteres egyenletrendszerrel adott g¨orbe y-tengely k¨or¨ uli forgat´asakor keletkezik?

6. feladatlap Improprius integr´alok 1. Sz´amoljuk ki a k¨ovetkez˝o improprius integr´alokat! Z∞ (a)

1 dx; x

Z∞ (b)

1 Z0

ex dx;

(c)

−∞ Z∞

(e)

1 dx; x2

1 Z∞

2

xe−x dx;

(d) 0

1 dx; x ln x

Z∞ (f) 3−10x dx; 0

2

Z∞ (g)

Z∞ sin x dx;

(h)

0

0

Z∞

Z∞

(i)

1 dx; x x2 + 1 √

(j)

1

1

Z∞

1 dx; 1 + x2

(l)

−∞

√

e

Z∞ (k)

sin x dx; ex x

dx;

x dx. 1 + x2

−∞

2. Sz´amoljuk ki a k¨ovetkez˝o improprius integr´alokat! Z1 (a)

1 dx; x

Z1 (b)

0

1 √ dx; x

0 π

1

Z2

Z ln x dx;

(c)

(d)

tg x dx;

0

0

Z2

Z2

(e)

√

x dx; 4 − x2

(f)

0

1 dx; sh2 x

0 π

3

Z (g)

√

1 dx; 9−x

Z4 (h)

0

Z−1 (i) −2

1 dx; cos2 2x

0

dx √ x x2 − 1

Z2 (j)

1 dx. 1 − x2

0

3. Hat´arozzuk meg az f : R+ → R, f (x) = x ln x f¨ uggv´eny grafikonja ´es az x-tengely a´ltal k¨ozrez´art v´eges s´ıkr´esz ter¨ ulet´et!

4. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z1 (a)

√

3

Z

1 √ dx; (4 − x) 1 − x

1 √ dx; 3 − x2

(b)

0

0

Z∞ (c)

2x2 + 4x + 5 dx; (x2 + 4x + 5)x2

(d)

Z∞ x−2 arctg x dx;

1

1

Z∞

Z∞

(e)

x+3 dx; (x − 1)(x2 + 1)

(f)

x dx. (x2 + 1)(x2 + 2)

−∞

2

5. Legyen f : R → R,

Sz´am´ıtsuk ki az

  0, ha x ≤ 0;   1 √ , ha 0 < x ≤ 1; f (x) = x    e−x , ha x > 1.

Z∞

Z∞

f (x) dx

´es

−∞

xf (x) dx −∞

improprius integr´alokat! 6. Milyen α ∈ R param´eter eset´en teljes¨ ul az al´abbi egyenl˝os´eg?

Z∞ xe1−αx dx = 1 0

7. Milyen β ∈ R param´eter eset´en lesznek az al´abbi integr´alok konvergensek? Z2 (a)

1 dx; x(ln x)β

Z∞ (b)

1

1 dx. x(ln x)β

2

8. Tekints¨ uk az f : R → R, f (x) = e−x f¨ uggv´eny grafikonja ´es az x-tengely a´ltal hat´arolt s´ıkr´eszt! (a) Mekkora az els˝o s´ıknegyedbe es˝o s´ıkr´esz ter¨ ulete? (b) Forgassuk meg az els˝o s´ıknegyedbe es˝o s´ıkr´eszt az x-tengely k¨or¨ ul! Mekkora a keletkez˝o forg´astest t´erfogata? (c) Forgassuk meg az els˝o s´ıknegyedbe es˝o s´ıkr´eszt az y-tengely k¨or¨ ul is! Mekkora a keletkez˝o forg´astest t´erfogata?

9. Vizsg´aljuk meg, hogy az al´abbi improprius integr´alok konvergensek-e! o¨sszehasonl´ıt´o krit´eriumot a feladatok megold´asa sor´an! Z+∞ (a)

1 dx; 3 x +1

Z+∞ (b)

1

4

Z+∞

Z+∞

(c)

√

1 dx; x−1

(d)

2

0

Z+∞ √

Z+∞

(e)

x+1 dx; x2

(f)

1

Z+∞ (g)

1 √ dx; x−1 1 √ dx; 6 x +1 2 + cos x dx; x

π

1 + sin x dx; x2

Z+∞ (h)

π

2

Z+∞

Z+∞

(i)

Alkalmazzuk az

ex dx; x

(j)

1

1 dx; ln x 1 √ dx. (1 + x) x

0

10. Az integr´alkrit´erium seg´ıts´eg´evel ´allap´ıtsuk meg, hogy az al´abbi sorok k¨oz¨ ul melyek konvergensek! (a) (c) (e)

∞ P

1 ; n=2 n ln n ∞ P n ; 2 n=1 n + 2 ∞ P 1 ; 2 n=2 n(ln n)

(b)

∞ P n=1

(d) (f)

n2

1 ; +2

∞ n P ; n n=1 e ∞ arctg n P . 2 n=1 n + 1

7. feladatlap Fourier sorok 1. V´azolja az  f (x) =

x, π,

ha 0 ≤ x < π , ha π < x < 2π

f (x + 2π) = f (x)

f¨ uggv´eny grafikonj´at! Fejtse Fourier-sorba f (x)-et! 2. Fejtse Fourier-sorba az al´abbi f¨ uggv´enyeket!  |x| , ha − π ≤ x < π (a) f (x) = f (x + 2π), egy´ebk´ent. 1 1 (b) Felhaszn´alva az el˝oz˝o sorfejt´est, sz´am´ıtsa ki az 1 + + + ... sor ¨osszeg´et! 9 25  2 x , ha − π ≤ x < π (c) f (x) = f (x + 2π), egy´ebk´ent.  x, ha 0 ≤ x < π (d) f (x) = , f (x + 2π) = f (x). 0, ha π < x < 2π  ha − π < x < 0  −1, 0, ha x = 0, x = π , f (x + 2π) = f (x). (e) f (x) =  1, ha 0 < x < π 1 1 1 (f) Felhaszn´alva az el˝oz˝o sorfejt´est, sz´am´ıtsa ki az 1 − + − + ... sor ¨osszeg´et! 3 5 7 ( π−x , ha 0 < x < 2π (g) f (x) = , f (x + 2π) = f (x) 2 0, ha x = 0 (h) Felhaszn´alva az el˝oz˝o sorfejt´est, sz´am´ıtsa ki az 1 −

1 1 1 + − + ... sor ¨osszeg´et! 3 5 7

x 3. Hat´arozza meg az f (x) = sin (−π < x ≤ π), f (x) = f (x + 2π) periodikus f¨ uggv´eny 2 Fourier-sor´aban cos x ´es sin x egy¨ utthat´oj´anak az ´ert´ek´et! x (−π < x ≤ π), f (x) = f (x + 2π) periodikus f¨ uggv´eny 4. Hat´arozza meg az f (x) = cos 2 Fourier-sor´aban cos x ´es sin x egy¨ utthat´oj´anak az ´ert´ek´et!  −x, ha − π ≤ x < π 5. Adott az f (x) = f¨ uggv´eny. V´azolja a f¨ uggv´eny grafikonj´at! Adja f (x + 2π), egy´ebk´ent meg az f f¨ uggv´eny Fourier-sor´aban az a3 ´es b4 egy¨ utthat´ok ´ert´ek´et!  x, ha − π ≤ x < π 6. Adott az f (x) = f¨ uggv´eny. V´azolja a f¨ uggv´eny grafikonj´at! Adja f (x + 2π), egy´ebk´ent meg az f f¨ uggv´eny Fourier-sor´aban a sin 2x ´es cos 4x egy¨ utthat´oinak ´ert´ek´et!

7. Hat´arozza meg az f (x) = sor´aban a5 ´es b3 ´ert´ek´et! 8. Hat´arozza meg az f (x) =

   1,

ha

  −1, 2    1,   3, 2

ha ha

π π ≤x≤ 2 2 uggv´eny Fourierπ 3π , f (x+2π) = f (x) f¨ ha < x < 2 2 −

π π ≤x≤ 2 2 uggv´eny Fourierπ 3π , f (x+2π) = f (x) f¨ <x< 2 2

−

sor´aban a3 ´es b4 ´ert´ek´et!  π  + x, ha − π ≤ x < 0 2 9. Adott az f (x) = , f (x + 2π) = f (x) f¨ uggv´eny.  π − x, ha 0 ≤ x < π 2 (a) V´azolja a f¨ uggv´eny grafikonj´at! (b) Adja meg az f f¨ uggv´eny Fourier-sor´at!

8. feladatlap K¨oz¨ons´eges els˝orend˝ u differenci´alegyenletek 1. Oldjuk meg az y 0 = xy differenci´alegyenletet! 2. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o, sz´etv´alaszhat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenleteket! (a)

(2x + 1)y 0 − 3y = 0;

(b)

(x2 y + 6y)y 0 + (xy 2 − x) = 0;

(c)

2(xy + x − y − 1) = (x2 − 2x)y 0 ;

(d)

dy = ex−y ; dx

(e)

xy 0 + (2x2 − 1) ctg y = 0;

(f)

yy 0 e2x = cos 3x;

(g)

y 0 = y 2 + 3y − 4;

(h)

y 0 sin x = y ln y;

(i)

(x2 − 1)y 0 = 2xy ln y;

(j)

xy 0 = y ln y;

(k)

x2 y 0 + (x + 5)y = 0;

(l)

xy 2 − x + (x2 + 4y)y 0 = 0;

(m)

(1 + y 2 )xdx + (1 + x2 )dy = 0;

(n)

(x2 − yx2 )dy + (y 2 + xy 2 )dx = 0;

(o)

(1 − cos y)y 0 = 1 + sin x;

(p)

√ 1 − x2 y 0 = 1 + y 2 ;

(q)

y 0 sin 2x + sin 2y = 0;

(r)

(1 − x2 )y 0 =

p 1 − y2.

3. Keress¨ uk meg az al´abbi differenci´alegyenletek eset´en azt a partikul´aris megold´as´at, amelyik az adott kezdeti ´ert´ek felt´etelt kiel´eg´ıti! π  (a) xy 0 = y ln y; y(1) = e; (b) y 0 sin x = y ln y; y = 2; 2   p √ 1 1 1 x−y x 0 0 (c) e − e − y = 0; y(0) = ln ; (d) x 1 − y 2 = yy 1 − x2 ; y = . 2 2 2 4. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o, alkalmas helyettes´ıt´essel sz´etv´alaszthat´o v´altoz´oj´ u differenci´alegyenletre visszavezethet˝o differenci´alegyenleteket! y (a) (y − x)y 0 + x + y = 0; (b) xy 0 = y − x cos2 ; x y

(c)

2xyy 0 + x2 − 2y 2 = 0;

(d) xy 0 = xe x + y,

(e)

(2x3 + 3xy 2 )y 0 = x2 y + 2y 3 ,

(g)

dy x + 2y = ; dx 3y − 2x

(h) y 0 = (y − x)2 ;

(i)

(x − y)2 y 0 = 5;

(j)

y(1) = 1;

(f)

(y) = 0;

xy 2 − x + (x2 + 4y)y 0 = 0;

y 0 = sin(x + 2y).

5. Hat´arozzuk meg annak a g¨orb´enek az implicit egyenlet´ a´tmegy a P0 (1, 3) ponton, ´es  et, yamely  amelynek a P (x, y) ponthoz tartoz´o meredeks´ege − 1 + ! x 6. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o els˝orend˝ u line´aris differenci´alegyenleteket! (a) y 0 = y ctg x + sin x;

2

(b)

y 0 + 2xy = xe−x ;

(c)

y0 =

3y + x; x

(d)

y 0 + y tg x =

(e)

y 0 + 2y sh x = sh x;

(f)

y0 +

3 (g) y 0 − y = 2; x (i)

1 ; cos x

y 3ex = ex + ; x x

(h) xy 0 − y = ex (x2 + x3 );

y = xy 0 + y 0 ln y;

(j)

(x − 2)y 0 = y + 2(x − 2)2 .

7. Keress¨ uk meg az al´abbi differenci´alegyenletek adott kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝o partikul´aris megold´as´at! (a) y 0 −

1 y = x ln x, x ln x

(c)

y 0 cos2 x + y = tg x,

(e)

y0 +

2y 2 3 = + , x x 2

y(e) =

e2 ; 2

y(0) = 0; y(1) = 0.

(b)

y0 −

(d) y 0 +

y − 2x2 = 0, x

y (1) = −1;

y 1 + 2x = , 1+x 1+x

y (0) = 2;

9. feladatlap Bernoulli-f´ele differenci´alegyenletek 1. Oldjuk meg az

√ xy 0 − 2y = 4x3 y

differenci´alegyenletet! 2. Keress¨ uk meg az al´abbi, Bernoulli-f´ele differenci´alegyenletek ´altan´anos megold´as´at!   1 4 0 (b) y 0 − y = xy 5 ; + 2x y = x3 y 2 ; (a) y − x √ (c) xy 0 − y = xy 3 (1 + ln x); (d) x2 y 0 + xy + y = 0; (e)

y0 =

y 1 − ; 2x 2y

(g) y 0 + y tg x +

(f)

2y 3 = 0; cos x

yy 0 + y 2 tg x = cos2 x;

(h) y 0 +

y = 2y 2 . x

3. Keress¨ uk meg az xy 0 + y =

ln x , y3

y(1) = 2,

(x > 0)

kezdeti´ert´ek feladat megold´as´at! G¨orbesereg differenci´alegyenlete, ortogon´alis trajekt´ori´ak 4. ´Irjuk fel az y = Cx2 g¨orbesereg differenci´alegyenlet´et! 5. ´Irjuk fel az x2 + y 2 = C g¨orbesereg differenci´alegyenlet´et! 6. ´Irjuk fel az els˝o ´es a harmadik s´ıknegyedben l´ev˝o azon k¨or¨ok differenci´alegyenlet´et, amelyek ´erintik az y = 0 ´es az x = 0 egyeneseket! 7. Hat´arozzuk meg az y = Cx2 ,

C ∈ R \ {0},

x 6= 0,

y 6= 0

x 6= 0,

y 6= 0

parabolasereg ortogon´alis trajekt´ori´ainak egyenlet´et! 8. ´Irjuk fel az y 2 = 2Cx,

C ∈ R \ {0},

g¨orbesereg ortogon´alis trajekt´ori´ainak egyenlet´et! 9. ´Irjuk fel az xy = C egyenlet˝ u hiperbol´ak ortogon´alis trajekt´ori´ainak egyenlet´et!

10. Adjuk meg az x2 = Cey + y + 1 egyparam´eteres g¨orbesereg ortogon´alis trajekt´ori´ait az els˝o s´ıknegyedben! Magasabbrend˝ u differenci´alegyenletek 11. Oldjuk meg az al´abbi, hi´anyos m´asodrend˝ u differenci´alegyenleteket! (a)

y 00 = 2 sin x cos2 x − sin3 x;

(b)

(1 + sin x)2 y 00 + cos x = 0;

(c)

2y 00 − (y 0 )2 + 4 = 0;

(d)

xy 00 = y 0 ln

(e)

(1 − x2 )y 00 − xy 0 = 2;

(f)

(1 + x2 )y 00 + (y 0 )2 + 1 = 0;

(g)

xy 00 − y 0 = x3 ;

(h) y 00 (2y + 3) − 2 (y 0 )2 = 0;

(i)

y0 y 00 = √ ; y

(j)

yy 00 = (y 0 )2 (1 − y 0 );

(k)

3y 00 = 2 (y 0 )2 ;

(l)

(y 0 )2 + yy 00 = yy 0 .

y0 ; x

12. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenletek eset´en az adott kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝o partikul´aris megold´ast! (a)

y 00 = xe−x ,

(b) y 00 − (c)

y0 = x(x − 1), x−1

yy 00 − (y 0 )2 = 0,

(d) y 00 = y 0 ey ,

y(0) = 1,

y 0 (0) = 0;

y(2) = 1,

y 0 (2) = −1;

y(0) = 1,

y 0 (0) = 2;

y(0) = 0,

y 0 (0) = 1.

13. Oldjuk meg az al´abbi, a´lland´o egy¨ utthat´oj´ u homog´en line´aris differenci´alegyenleteket! (a) y 00 + 2y 0 − 3y = 0;

(b) y 00 + 4y 0 + 4y = 0;

(c)

y 00 − 2y 0 + 5y = 0;

(d) y (4) − 5y 00 + 4y = 0;

(e)

y 000 − 2y 00 + 2y 0 = 0;

(f) 4y 000 − 4y 00 + y 0 = 0;

(g) y (5) − 2y (4) + 8y 000 − 16y 00 + 16y 0 − 32y = 0. 14. ´Irjuk fel az y 00 − y 0 − 2y = 0,

y(0) = 1,

y 0 (0) = 5

differenci´alegyenlet adott kezdeti felt´eteleit kiel´eg´ıt˝o partikul´aris megold´as´at!

15. Hat´arozzuk meg az y 000 + y 00 − 5y 0 + 3y = 0,

y 0 (0) = 4,

y(0) = 0,

y 00 (0) = 4

differenci´alegyenlet adott kezdeti felt´eteleit kiel´eg´ıt˝o partikul´aris megold´as´at! 16. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenleteket! (a)

y 00 − 2y 0 + y = 2e3x + 3ex ;

(b) y 00 + 4y = sin 2x;

(c)

y 00 − 6y 0 + 9y = 25ex sin x;

(d)

y 00 + 6y 0 + 9y = 3 sin 4x;

(e)

y 00 + 4y 0 + 4y = 25 cos x;

(f)

y 00 + 5y 0 + 4y = 3 − 2x − x2 ;

(g)

y 00 + y 0 = x2 + 1;

(h) y 00 − 2y 0 = 3x2 − 5;

(i)

y 00 − 2y 0 = 32 cos 2x + 4x;

(j)

y (4) + y 00 = x2 − 1 + 2ex ;

(l)

y (4) − y 0 = 1;.

(k) y 000 − y 00 = 12x2 + 6x; 17. Oldjuk meg az

y (5) + y 000 = 2ex + 2x − 6 differenci´alegyenletet! 18. ´Irjuk fel az al´abbi differenci´alegyenletek adott kezdeti felt´eteleit kiel´eg´ıt˝o partikul´aris megold´as´at! (a)

y 00 + y 0 − 20y = xe−5x ,

(b) y 00 + y 0 − 6y = x, (c)

00

y − y = 2 cos x,

(d) y 00 + 2y 0 + y = x sin x,

y(0) = 0,

y 0 (0) = −1;

y(0) = 0,

y 0 (0) = 1;

y

π  3

= 1,

5 y(0) = , 2

y

0

π  3

= 2;

y 0 (0) = 0.

10. feladatlap T¨obbv´altoz´os f¨ uggv´enyek 1. Hat´arozzuk meg az x + 2y f (x, y) = p 4 − x2 − y 2 f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at! 2. Adjuk meg az f (x, y) = ln(16 − x2 − y 2 ) + ln(x2 + y 2 − 1) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at! 3. Hat´arozzuk meg az f (x, y) = ex ln(xy) f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at! 4. Hat´arozzuk meg, hogy R3 mely legb˝ovebb r´eszhalmaz´an ´ertelmezhet˝o az p p f (x, y, z) = z − x2 − y 2 + 4 − x2 − y 2 − z f¨ uggv´eny! ´ azoljuk az al´abbi fel¨ 5. Abr´ uletek ´altal hat´arolt testeket! (a) z = 5 − x2 − y 2 , z = 1; (b) x2 + y 2 + z 2 = 9, z ≥ 0; p (c) z = 6 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 ; (d) x2 + y 2 = 4, z = 0, z = 4; p p (e) z = − 4 − x2 − y 2 , z = 4 − 2 x2 + y 2 . ´ azoljuk azt a t´err´eszt, amelyet a z = 16 − 6. Abr´ x2 + y 2 = 9 egyenlet˝ u henger hat´arol!

p x2 + y 2 k´ up, a z = x2 + y 2 paraboloid ´es az

7. V´azoljuk az x2 + y 2 = 1 egyenlet˝ u henger, az xy-s´ık ´es a z = 2 (x2 + y 2 ) egyenlet˝ u paraboloid a´ltal meghat´arozott testet! p ´ azoljuk azt a t´err´eszt, amelyet a z = x2 + y 2 k´ 8. Abr´ up ´es az x2 + y 2 = 2x egyenlet˝ u henger hat´arolnak! 9. V´azoljuk az

x2 y 2 + = 1 egyenlet˝ u hengert! 16 9

10. Hat´arozzuk meg az

x−6 y+2 z−2 = = 3 −6 −4

egyenes, ´es az x2 y 2 z 2 + + =1 81 36 9 ellipszoid metsz´espontjait!

x2 y2 11. Mutassuk meg, hogy a 2x − y − 2z = 10 s´ıknak ´es a 2z = + paraboloidnak egyetlen 9 4 k¨oz¨os pontja van! Adjuk meg a pont koordin´at´ait! 12. Igazoljuk, hogy

2x − 3y = −4.

lim (x,y)→(1,2)

13. Hat´arozzuk meg a 2xy 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

´es

2xy 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 4 lim

hat´ar´ert´ekeket, ha l´eteznek! 14. Mutassuk meg, hogy a

x2 − y 2 hat´ar´ert´ek nem l´etezik! (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

15. Hat´arozzuk meg a x2 y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

´es

x2 y 2 (x,y)→(0,0) x4 + y 4 lim

hat´ar´ert´ekeket, ha l´eteznek! 16. Folytonoss´a tehet˝o-e az orig´oban az f (x, y) =

x2

xy k´etv´altoz´os f¨ uggv´eny? + y2

Parci´alis deriv´altak 17. Hat´arozzuk meg az al´abbi f¨ uggv´enyek els˝orend˝ u parci´alis deriv´altjait! (a) f (x, y) = x3 + 4xy − y 2 + 6;

(b)

f (x, y) = ln (x2 + y 2 ); x+y ; x−y

(c)

f (x, y) = xy ;

(d)

f (x, y) =

(e)

f (x, y) = exy ;

(f)

z f (x, y, z) = x arctg ; y

(h)

f (x, y, z) = 2x

 (g) f (x, y) =

x y + y x

7 ;

2 −2y 2 +cos √z

.

00 000 18. Hat´arozzuk meg az fxy ´es az fyxy parci´alis deriv´altakat, ha f (x, y) = x3 y 5 − 2x2 y 3 + 8x! 2

00 000 19. Hat´arozzuk meg az fxx (1, 0, 1) ´es az fyyx (1, 1, 1) ´ert´ekeket, ha f (x, y, z) = exz−y !

20. Igazoljuk, hogy a z = arctg

x 00 00 k´etv´altoz´os f¨ uggv´eny teljes´ıti a zxx + zyy = 0 egyenl˝os´eget! y

21. Mivel egyenl˝o a √ kifejez´es, ha f (x, y) = y · ln xy ?

x 00 − · fx0 + y · fyy y

22. Mivel egyenl˝o az x · fx0 + y · fy0 kifejez´es, ha f (x, y) =

y ? x+y

23. Mivel egyenl˝o a 2x · fx0 − y · fy0 kifejez´es, ha f (x, y) = 2 ln

x xy 2 + ? y 2

Az ir´anymenti deriv´alt, a fel¨ ulet ´erint˝os´ıkja 24. Sz´am´ıtsuk ki az al´abbi ir´anymenti deriv´altakat! (a) f (x, y) = x2 + y 2 ; P (2, 1), v = (3, 4). π π  √
(b) f (x, y) = sin (x + y); P ,− , v = 3, 1 . 2 6 (c) f (x, y) = xey − yex ; P (0, 0), v = (2, 5). ln x (d) f (x, y) = ; P (e, e2 ), v = (12, 5). ln y x π (e) f (x, y) = ; P (1, 1), a v vektor ϕ = sz¨oget z´ar be az x- tengely pozit´ıv ir´any´aval. x+y 3 π (f) f (x, y) =sh(x + y)ch (x − y); P (0, 0), a v vektor ϕ = sz¨oget z´ar be az x- tengely 4 pozit´ıv ir´any´aval. √ 2 (g) f (x, y) = 2 x +y ; P (3, 7), a v vektor ϕ = π sz¨oget z´ar be az x- tengely pozit´ıv ir´any´aval. π √ (h) f (x, y) = xy; P (1, 4), a v vektor ϕ = sz¨oget z´ar be az x- tengely pozit´ıv ir´any´aval. 6 25. ´Irjuk fel az al´abbi fel¨ uletek eset´en a fel¨ uleti norm´alist, valamint az ´erint˝os´ık egyenlet´et a megadott pontban! (a) f (x, y) = x3 y 2 − 2y; P (1, 2, 0)   1 π xy (b) z = e sin (x + y); P , 0, 6 2 p (c) f (x, y) = ln x2 + y 2 ; P (1, 0, 0) (d) z = x2 e−y ; P (1, 0, 1) x−y (e) z = ; P (2, −1, 3) x+y (f) xyz − 4z 3 = −30; P (1, 1, 2) (g) xey cos z = 1; P (1, 1, 1) (h) z x + z y = 12; P (2, 3, 2)

26. Adott az f (x, y) = cos

x2

πy k´etv´altoz´os f¨ uggv´eny. + y2

(a) ´Irja fel az f f¨ uggv´eny P0 (2, 2) pontbeli gradiens´et! (b) Hat´arozza meg az f f¨ uggv´eny ir´anymenti deriv´altj´at a P0 (2, 2) ponton a´tmen˝o v = (1, 1) ir´anyvektor´ u egyenes ment´en! (c) ´Irja fel a z = f (x, y) fel¨ ulet P0 (2, 2) pontbeli ´erint˝os´ıkj´at! x f¨ uggv´eny P0 (0, 1) pontj´aban y2 √ (a) az ir´anymenti deriv´altat az a = (2, 2 3) ir´anyban;

27. Sz´am´ıtsa ki az f (x, y) =arctg

(b) a z = f (x, y) fel¨ ulet P0 pontbeli ´erint˝os´ıkj´at! 28. Hat´arozzuk meg az al´abbi f : R2 → R f¨ uggv´enyek Hesse-m´atrix´at! (a) f (x, y) = x3 y + xy 3 ;

(b)

f (x, y) = ex−y ;

(c)

f (x, y) = sin (xy) ;

(d) f (x, y) = xy ;

(e)

f (x, y) = ln (1 + xy) . A k´etv´altoz´os f¨ uggv´eny sz´els˝o´ert´eke

29. Hat´arozzuk meg az al´abbi t¨obbv´altoz´os skal´ar´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyek ((x, y) ∈ R2 ) lok´alis sz´els˝o´ert´ekeit! (a) f (x, y) = 3x2 + 2xy + y 2 ; (b) f (x, y) = (x − 1)2 + 4 (y − 3)2 ; (c) f (x, y) = x2 − y + ey ; (d) f (x, y) = x4 − 3y 3 − 2xy; 1 1 (e) f (x, y) = + + xy; x y (f) f (x, y) = x3 − 3xy + y 3 ; (g) f (x, y) = 2x2 + y 2 − 2xy + 4x − 2y + 5; (h) f (x, y) = x4 + y 3 − 32x − 27y − 1; (i) f (x, y) = xy(2x + 4y + 1). 30. Vizsg´aljuk meg az f (x, y) = x2 + y 2 + 8 − 8xy f¨ uggv´enyt lok´alis sz´els˝o´ert´ek szempontj´ab´ol! 31. Legyen f (x, y) = x3 − 2y 2 − 4x2 + 5y − 3x + 7 f¨ uggv´eny adott. Hol van a f¨ uggv´enynek lok´alis maximuma vagy minimuma?

x3 5 3 32. Hol van az f (x, y) = − y 2 − 2x2 + y − x + 5 f¨ uggv´enynek lok´alis maximuma vagy 2 2 2 minimuma? 3 +y 3 −3xy

33. Hol van lok´alis maximuma vagy minimuma az f (x, y) = ex

f¨ uggv´enynek?

34. Mutassuk meg, hogy az f (x, y) = (x − y)(1 − xy) k´etv´altoz´os f¨ uggv´enynek nincs sem lok´alis maximuma, sem pedig lok´alis minimuma! 35. Adjuk meg azokat az x, y, z pozit´ıv val´os sz´amokat, amelyekre x+y +z = 18 ´es xyz maxim´alis! 36. Hat´arozzuk meg azokat az x, y, z pozit´ıv val´os sz´amokat, amelyekre xyz = 64 ´es x + y + z minim´alis! 37. Igazoljuk, hogy az adott felsz´ın˝ u, t´eglatest alak´ u, tet˝ovel ell´atott dobozok k¨oz¨ ul a kocka alak´ unak a legnagyobb a t´erfogata!

11. feladatlap Kettős integrálok 1.

∫∫ f (x, y )dxdy

Írja fel a

kettős integrálban az integrálás határait, ha először x,

azután y szerint integrálunk (majd fordítva), és a T tartomány a) b) x 2 + y 2 ≤ 16 ; x 2 + y 2 ≤ 9, y<0; d) c) y ≥ x2 , x + y ≤ 4 ; x = 0, y = 0, 2 x + y = 6 2.

3.

4.

e)

6.

7.

8.

háromszög; f) y ≤ 8 x, y ≤ 2x, 4 x + y ≤ 24; y ≤ x, 2 y ≥ x, xy ≤ 2. 2

Vázolja az alábbi kettős integrálok integrálási tartományát: 4 4 x− x2

c)

1− x 2

1

∫ ∫ f (x, y )dxdy ;

∫ ∫ f (x, y )dxdy ;

b)

x = 0 y = −2 x

∫ ∫ f ( x, y ) dydx ;

d)

ϕ =0 r =0

a)

x =0 y =0 x2

1

x= 0 y= − x

π

2 2 cos ϕ

∫ ∫ f (r , ϕ )drdϕ .

Cserélje fel az integrálás sorrendjét az alábbi kettős integrálokban: a)

c)

2

2x

∫ ∫ f (x, y )dxdy ;

x =1 y = x

1− x

1

2

∫ ∫ f (x, y )dxdy ;

x = −1 y = 0

b)

d)

3

6 x− x2

x =0

y=x

∫ ∫ f (x, y )dxdy ; y

1

∫ ∫ f (x, y )dxdy .

y =0 x = y

Számítsa ki a következő kettős integrálokat:

a) c)

5.

egyenesek által határolt

e)

2

x

2 ∫ ∫ (x − 2)y dxdy ;

b)

∫ y sin xdxdy ;

d)

x =1 y = 0

π

4

∫

2

x =0 y =0 4

6

∫ ∫ ( 2 x y − x ) dxdy ; 3

= x 1= y 3

Számítsa ki a

2

f)

2

4 y −1 dxdy ; 4 3 x 0= y 1 6

∫ ∫

x =

π

y

∫ ∫ cos( x + y)dxdy ;

= y 0= x 0

∫∫

x 2 + y 2 ≤16

xy 2 dxdy .

∫∫ ( x − y)dxdy kettős integrált, ha T az T

y 2 = 3 x , az y 2= 4 − x

görbék és az x-tengely által határolt tartomány! Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát, amelyet a koordinátasíkok és a 2 z =12 + 4 x + 3 y sík határolnak! Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az x 2 + y 2 = 1 egyenes

henger, az xy sík és az x + z = 1 sík határol! Vázolja = a T {( x, y ) : −2 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ x } tartományt! Számítsa ki a

∫∫ (sin x + 2 y)dxdy T

9. 10.

11. 12.

kettős integrált!

17.

18.

19.

2

3 2

kettős integrált, ahol Ta az origó

T

középpontú egységnyi sugarú körnek az a része, amelyre teljesül, hogy x ≥ 0 és y ≥

1 ! 2

Vázolja azt a T síktartományt, amely az r = 1 + cos ϕ görbén belül és az r = 1

körön kívül van! Számítsa ki a

∫∫ T

1

x2 + y 2

dxdy kettős integrált!

Számítsa ki az alábbi felületek által határolt térrész térfogatát: a) z =5 − x 2 − y 2 , z =1 ; 2 2 2 b) x + y + z = 3, 2z = x 2 + y 2 ;

f)

16.

( x + y + 1) 2

kifejezés határértékét, ha a → ∞ ! Számítsa ki a ∫∫ xydxdy kettős integrált, ahol a T tartomány az origó

d) e)

14. 15.

Ta

dxdy

középpontú, a sugarú körtartomány. Határozza meg az így kapott A(a)

c)

13.

A(a ) = ∫∫

Számítsa ki az

g)

z =6 − x 2 − y 2 ,

z=

8 − x2 − y 2 ,

x 2 + y 2 = 2 x, z = 4 − y2, x 2 + y 2 = 4,

z = x2 + y 2 ;

z = 2 x2 + y 2 ;

z = x2 + y2 ,

x2 , z = 0; 2 z = x + y + 10,

y=

z = 0; z = 0.

Számítsa ki annak a testnek a térfogatát, amelyet a z =(1 + x 2 + y 2 ) z = 0 felületek metszenek ki az x 2 + y 2 = 4 hengerből!

−

3 2

és a

Számítsa ki integrálszámítás segítségével az 𝑅 = 3 sugarú gömb térfogatát! Számítsa ki annak a térrésznek a térfogatát, amelyet a z = 16 − x 2 + y 2 kúp, a = 9 egyenletű henger határol! z x 2 + y 2 paraboloid és az x 2 + y 2 = Legyen T az xy = 1 görbe és a 2 x + y = 3 egyenes által határolt tartomány. Határozza meg T területét kettős integrállal! Számítsa ki integrálszámítás segítségével az 𝑅 = 5 sugarú gömb térfogatát és felszínét! Számítsa ki a következő felületek felszínét: b) = a) z xy, x 2 + y 2 ≤ 4 ; 6 x + 3 y + 3= z 12, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ; d) c) x 2 + y 2 += z 2 20, x 2 + y 2 ≤ 4, z ≥ 0 ; x 2 += y 2 3z, x 2 + y 2 ≤ 3 . Számítsa ki a z = 15 − x 2 − y 2 és a z = 6 felületekkel határolt test teljes

felszínét!

20.

Számítsa ki annak a térrésznek a térfogatát és a teljes felszínét, amelyet a z= 16 − x 2 + y 2 kúp, a = 9 egyenletű z x 2 + y 2 paraboloid és az x 2 + y 2 =

25.

henger határol! Határozza meg annak a tetraédernek a térfogatát és a teljes felszínét, amelyet a koordinátasíkok és a z =6 − 2 x + 3 y sík határol! Határozza meg annak a testnek a térfogatát, amelyet az x 2 + y 2 = 1 egyenes henger, az xy -sík és az x + z = 1 sík határol! Határozza meg az r = 1 + cos ϕ kardioid területét kettős integrállal! Határozza meg az x 2 + y 2 + z 2 = 4 z gömb azon részének felszínét, amely a = z x 2 + y 2 paraboloid belsejében van! Számítsa ki az x 2 + y 2 + z 2 = 25 gömb azon részének felszínét, amely a z = 2

27.

részének a felszíne? Számítsa ki a z =5 − x 2 − y 2 felület azon részének felszínét, amely az origó

21.

22.

23. 24.

26.

28.

és a z = 4 síkok között van! Mekkora a z = arctg

y felületnek az x 2 + y 2 = 4 henger által kimetszett x

közép-pontú 2 sugarú hengeren belül van! Számítsa ki a következő hármas integrálokat, és vázolja az integrációs alaptartományokat: a) c)

1

3

4

∫ ∫

∫ dzdydx;

2

y

x =0 y =0 z =0 x

∫ ∫

∫ xyzdzdydx;

x =0 y =0 z =0

b)

d)

1

x

4

∫ ∫ ∫ dzdydx;

x =0 y =0 z =0 3

x

xy

∫ ∫ ∫x

x =0 y =0 z =0

2

y 3 zdzdydx .