MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉS MÓDSZERTAN SZAKISKOLA 9. ÉVFOLYAM KÍSÉRLETI TANKÖNYV

MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉS MÓDSZERTAN SZAKISKOLA 9. ÉVFOLYAM KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Budapest, 2014

Módzsertani füzetek - Matematika.indd 1

2014.03.19. 19:36:35

MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉS MÓDSZERTAN SZAKISKOLA 9. ÉVFOLYAM KÍSÉRLETI TANKÖNYVHÖZ Témavezető: Mayer József © Tüskés Gabriella © Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest, 2014 ISBN 978-963-682-723-6 Kiadja az Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Felelős kiadő: Dr. Kaposi József főigazgató Felelős szerkesztő: Tüskés Gabriella Olvasószerkesztő: Juhász Zsuzsa Nyomdai előkészítés: Pattantyus Gergely Térjedelem: 3,25 ív 1. kiadás

Nyomta és kötötte: Duna-Mix Kft., Vác Felelős vezető: Szakolczai Lóránt ügyvezető igazgató


2014.03.19. 19:36:36

Módszertani füzetek

Bevezető A matematikai előismeretek a szakiskolásoknál általában nagyon hiányosak, hullámzó szintűek. Ezek a tanulók mind a képességeiket, mind pedig az ismereteiket tekintve lényegesen alacsonyabb szinten állnak, mint a többi középfokú intézménybe jelentkező társaik. Ezért azokat a hiányokat pótolni kell, amelyeket egyébként az általános iskolát elvégzett tanulóknál már nem feltételezünk. Mind a fejlesztési feladatokkal, mind pedig az ismeretanyaggal erőteljesen viszsza kell nyúlni az általános iskolában elvárható szintre. Ehhez kapcsolódva a követelményeket is minimum szinten, a továbbhaladáshoz feltétlenül szükséges követelményként fogalmazta meg a kerettanterv. Minden bizonnyal sok negatív élményük volt már e tárgy kapcsán a tanulóknak. Ebből adódóan nem lehet az ott el nem sajátított képességeket és ismereteket egyszerűen „újra tanítani”. Meg kell próbálni ezt úgy tenni, hogy új formában találkozzanak ezekkel. Erre ad lehetőséget a tankönyv újszerű feldolgozási módja. A heti két matematikaóra keretében kell megoldani az általános iskolai tananyag ismeretében lévő hiányosságok csökkentését, a tanulók felzárkóztatását és az új ismeretek átadását (pl.: Thalész-tétel). Elsősorban a tantárgy használhatóságát, játékos, kellemes oldalát, alapvető köznapi szükségességét kell megvilágítanunk, a tantárgyhoz való hozzáállást kell javítanunk. A szakmai jellegű feladatoknak, az egyes szakmákhoz kapcsolódó számítási ismereteknek elsősorban a motiváció szempontjából van jelentősége. Tudatosítsuk a tanulókban, hogy a tanult matematikai ismeretekre miért van szükségük a szakmában, hogy a matematika tanulása szükséges és hasznos. A matematika tantárgyi ismereteinek elsajátítását olyan mindennapi problémák, feltevések, eljárások alkalmazásával kell segíteni, hogy a tanulók felismerjék a matematika gyakorlati életben és más ismereteik bővítésében való alkalmazhatóságát és hasznosíthatóságát. Erre jó lehetőséget ad a tankönyv többi műveltségterületi tananyaga. A leckék leírásánál konkrétan utalunk ezekre a kapcsolódásokra és a didaktikai lehetőségekre. A tanulási folyamatot, a tevékenységeket úgy kell megszervezni, hogy növekedjék a tanulók figyelem-koncentrációja, fejlődjék önálló és logikus gondolkodásuk, kreativitásuk, probléma- és összefüggés-felismerő és a fegyelmezett, precíz (kooperatív) munkára való képességük, bővüljön kommunikációs terük (szöveg, ábra, jelrendszer), legyen igényük a folyamatos önellenőrzésre. Egy új matematikai fogalom megértése, megtanulása, elfogadása, a fogalmi struktúrába való beépülése tapasztalatok útján lehetséges. A tapasztalatok mellett az előismeretek és az előzetes fogalmak megléte is szükséges. A tanórákra való felkészüléskor az előzetes fogalmakat érdemes összegyűjteni a tankönyv segítségével. Törekednünk kell, hogy az órai tevékenységek során tisztázásra, értelmezésre kerüljenek ezek a fogalmak, és hogy elősegítsük a matematikai fogalmi rendszerbe való beépülésüket. Miután több szempontból, többféle szituációban is meggyőződtünk a fogalmak tisztaságáról, kerülhet sor a bővítésre, új fogalom megismerésére, a továbbfejlesztésre.

3


2014.03.19. 19:36:36

MATEMATIKA Témák bemutatása A matematika tanítása alkalmazásközpontú, elsősorban az induktív gondolkodásra épít, tevékenységhez kapcsolódik, és törekszik az egyre önállóbb tanulói munkára alapozni. A tanuló számára – minél csekélyebb előismerettel rendelkezik, annál inkább – a saját hétköznapi teendőin, azok megoldásán át vezethet az út a magasabb absztrakciós szint felé (aminek itt csupán az alsóbb lépcsőfokáig juthatunk el). Minden más ismeretanyag, információ feldolgozása igényli a matematikai eszközök használatát, e tényt kell tudatosítanunk. A tanítási óra a gyakorlatból (ideális esetben a tanulók által hozott problémából) indul ki, és következtetései, eredményei (általánosan alkalmazhatóan) oda is térnek vissza. Rugalmas óravezetéssel a tanulók ötleteire, kérdéseire, kéréseire, előzetes tudására kell alapozni.

Kerettantervi követelmények és az ajánlott tankönyvi óraszámok

Témakörök Gondolkodási módszerek

Számtan, algebra

Geometria

Halmaz, függvény, sorozat

Hangsúlyos fejlesztési területek

Követelmény – relációk, logikai kapcsolatok, egyszerű grafikonok, diagramok, táblázatok értelmezése, létrehozása; – felismerni, értelmezni a matematika elemi fogalmait, szakkifejezéseit; – egyszerű szöveges problémák értelmezése; – a szakma tanulása során felmerülő matematikai jellegű kérdések, problémák megfogalmazása, megoldásukat keresni; – új információkat keresni könyvtárban, interneten; – alapműveletek, egész kitevőjű hatványozás végzése racionális számkörben; – adott (szakmai) képletek behelyettesíteni értékét, megbecsülni és kiszámolni (géppel); – alkalmazni az egyenes és fordított arányosságot, a százalékszámítást; – elemi geometriai fogalmak használata; – tudjon elemi méréseket, geometriai számításokat elvégezni, mértékegységeket használni; – felismerni a szimmetria, hasonlóság, egybevágóság eseteit; – tájékozódni a számegyenesen, derékszögű koordináta-rendszerben; – megoldani egyszerűbb szöveges feladatokat, egyismeretlenes elsőfokú egyenleteket; – felismerni egyszerűbb sorozatokat, műveletsorokat, algoritmusokat; – értelmezni, létrehozni egyszerű grafikonokat, diagramokat, táblázatokat; – Kommunikáció (szövegértelmezés, elemzés, szöveges problémamegoldás). – Figyelem-koncentráció, feladattartás. – Gondolkodási képességek (összefüggés-felismerés, algoritmikus és logikus gondolkodás). – Fegyelmezett, precíz munkára való képesség, önellenőrzés igénye.

Ajánlott tankönyvi óraszám

12 óra

14 óra

18 óra

16 óra

A tematikus egységekhez rendelt óraszámok hozzávetőleges arányokat fejeznek ki. A tanulók felkészültségéhez igazodva használjuk fel a szabad órakeretet. Mind a négy témakör (számtan-algebra, geometria, gondolkodási műveletek, halmazok, sorozatok, függvények) kétszer kerül

4


2014.03.19. 19:36:36

Módszertani füzetek elő a tanév során. Az egyes témakörök tananyagát 4–12 órás önálló tömbökben áttekinthetjük, összegezhetjük, általánosíthatjuk úgy, hogy ezek az anyagrészek alkossák az órák fő témáját. A matematikaoktatás jellegéből adódóan az egyes témákat, egymást erősítve, egymással öszszeszőve dolgozzuk fel, beépítve a többi témakörbe, illetve eszközként használva a matematikai gondolkodás fejlesztésében.

Értékelés A tanulók értékelését minden kolléga a jól bevált tanári tapasztalata alapján végezze. Itt csak néhány lehetőséget ajánlunk: A csoportmunka, illetve az egyéni munka egyaránt értékelhető egy-egy feladat elvégzése végén. A következő ajánlások csupán lehetőségnek tekintendők. A csoportmunka például pontrendszer bevezetésével értékelhető. A tanár minden csoportban kinevez egy csoportfelelőst, aki rögzíti a kapott pontokat. Minden részfeladatnál a kapható maximális pontszám a csoportok számával egyenlő. Külön-külön adhatóak pontszámok az elkészült feladat minősége, illetve a feladatmegoldás gyorsasága alapján. A két pontszám összege jelzi a csoport teljesítményét. Az óra végén vagy a legközelebbi csoportképzés előtt az adott csoport minden tagja a pontszámnak megfelelően ugyanazt a jegyet kapja. Egyéni munka lehetséges értékelése: +/– értékeléssel. Ezt a tanár tartja nyílván. Csoporton belüli teljesítmény mérésére alkalmas, de adható frontális, differenciált és egyéni munka során is. Ha 5 jel összegyűlt, beváltható jegyre, melyet a + (plusz)-ok száma határoz meg (pl. + + + – – esetén a kapott érdemjegy 3-as). A diagnosztizáló felmérőkkel a tanulási folyamatban mérhető le, hogy az adott tananyag mely részét sajátították már el a tanulók, és mely részét kell még gyakorolni. Ezt természetesen nem osztályozzuk.

Támogató rendszer – Kapcsolódás * A tankönyv többi műveltségterületével való kapcsolat, a matematika alapozó jellegének, a gyakorlatban való szükségességének a bemutatása. ** GONDOLKODJUNK EGYÜTT! DVD-sorozat (2009, OFI NSZFI) matematika munkalapjai jól használhatók új ismeretek szerzésére, a meglévő ismeretek felelevenítésére, rendszerezésére, elmélyítésére, a számolási rutin differenciált fejlesztésére. A szakiskolai feladatállomány több mint 60 feladatsort, a feladatsorokban 3-8 (többnyire összetett, további részfeladatokat tartalmazó) feladatot találunk. Minden feladatsor didaktikai és részletes megoldási útmutatóval segíti a felhasználást. A feladatsorok megtalálhatóak Word és PDF formátumban, illetve színes és fekete-fehér változatban is rendelkezésre állnak. Egyaránt lehetővé teszik a nyomtatást és a kivetítést is. SZAKI honlapon www.szaki.ofi.hu a Matematika 9. évfolyam mappában található modulok tanári és tanulói anyagai. Ezekre külön nem hivatkozunk az útmutatóban, mivel az itt fellelhető modulok részletes módszertani ajánlást tartalmaznak.

5


2014.03.19. 19:36:36

MATEMATIKA További honlapok: SULINET tudásbázis: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika Realica EDUCATIO: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu Kognitív profil teszt: http://kognitivprofil.hu KSH: http://www.ksh.hu GeoGebra: http://www.szoftverbazis.hu/szoftver/geogebra-v3-0--magyar--IJ13.html Graph v4.3 ingyenes, magyar nyelvű matematikai grafikonábrázoló szoftver: http://www.szoftverbazis.hu/szoftver/graph-v4-3--magyar--XR13.html Online gráf készítő animáció: http://tenger.web.elte.hu/flash/graf/graf0.htm A Pi első 2000 számjegye: http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Pi_elso_2000_szamjegye.htm Gondolattérkép készítő program: http://smart.lsk.hu/edu/tamogatas/letoltes/SMART+Ideas+szoftver.html

Ajánlott módszerek Fektessünk nagyobb hangsúlyt a kooperatív tanulási módszerek alkalmazására, a csoportos és a páros munkaformákra, ugyanis ilyenkor a matematikai és tanulási kompetenciák mellett a szociális kompetenciák is fejleszthetők. A csoportmunkának az a célja, hogy mindenki dolgozzon az órán. Így a gyengébb képességűek, kevesebb tudással rendelkezők sem maradnak le az anyaggal, a csoporttársaktól is segítséget kapnak a minimális követelményszint eléréséhez. A kooperatív munka folyamán a tanár feladata az óra precíz előkészítése, a feladat megoldásainak átgondolása, a munkafolyamatok irányítása, míg a főszerep a tanulóké. A tapasztalatok szerint a szakiskolákban 2–4 fős csoportokat érdemes kialakítani. Az egyes leckéket záró KÉRDÉSEK segítségével plenárisan rendszerezhetjük az adott témához kapcsolódó ismereteket, míg az ajánlott FELADAT egyéni vagy páros munka keretében lehetőséget ad a tanultak továbbgondolására, gyakorlására. Használjuk ki maximálisan a diákok IKT eszközökhöz való vonzalmát, az okostelefonok adta lehetőségeket. Adjunk rendszeresen olyan feladatokat, amelyekhez az internetről kell adatokat gyűjteniük, ismereteket szerezniük. Adjunk lehetőséget a diákoknak az információszerzés minél többféle módjának gyakorlására, ugyanakkor hívjuk fel a figyelmet a biztonságos internethasználatra is. Egy-egy téma feldolgozását, bemutatását, prezentálását szívesen készítik el a tanulók PowerPoint, vagy Prezi felhasználásával. A prezentációk alkalmat adnak a kommunikáció gyakorlására és érdemjegyek szerzésére is.

6


2014.03.19. 19:36:36


SZÁMTAN, ALGEBRA TÉMAKÖR I. A témakör célja az első hat órában a matematika iránt nem éppen elkötelezett tanulók ellenállásának feloldása. Fontos, hogy lehetőséget adjunk kulturált kommunikációra, egymás gondolatainak megismerésére. Játékos fejtörőkkel teremtsünk módot a nyitott, logikus gondolkodás gyakorlására. Hozzuk felszínre és rendszerezzük a tanulók szám- és műveletfogalommal kapcsolatos ismereteit. Különböző munkaformákat váltogatva igyekezzünk aktivizálni a diákokat. Didaktikai lehetőségek: A szakiskolába érkezett tanulók nagy részének komoly hiányosságai vannak az alapkompetenciákban. Ennek hátterében nemcsak az ismeretek és a szorgalom, a motiváltság hiánya, hanem sok esetben valamely részképességbeli fejlődési lemaradás áll.

2.1 Matematika az életünkben (problémázunk, logikázunk, modellezünk…) Ismerkedjünk, a memóriajátékok lehetőséget adnak egymás jobb megismerésére, miközben a tanulók kommunikációs készsége, koncentrációs képessége is fejlődik. Vonjuk be játékos feladatokba, fejtörőkbe a tanulókat a lemaradások, a részképesség hiányok (koncentráció, feladattartás stb.) feltárására. Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy milyen fontos ismernünk az esetleges hiányosságainkat. Beszéljük meg az egyes részképességek fejlesztési lehetőségeit, mutassunk példákat a memória, a koncentráció, a formaérzékelés, a rész-egész észlelés, a figyelem, a térszemlélet, továbbá a különböző gondolkodási képességek fejlesztésére. Ehhez jól használható a Kognitív profil teszt (Dr. Gyarmathy Éva), amely elérhető és letölthető a http://kognitivprofil.hu oldalról. Beszélgessünk kötetlenül a mindennapi tevékenységekben rejlő matematikai problémákról, a matematika tanulásával elérendő céljainkról, a választott szakmához szükséges matematikai eszköztudásról. A tankönyv 68. oldalán lévő „jó tanácsok”, továbbá a GONDOLKODÁS – A MATEMATIKA – és A MATEMATIKAI LOGIKA szövegek önálló feldolgoztatása a szövegértelmező képesség gyors felmérésére is lehetőséget ad. A kérdezni tudás fontosságát világítsuk meg Arisztotelész mondásával. Provokáljunk vitát: Milyen a jó kérdés? (Utalhatunk a tv-ben látott riportokra.) Mikor tud valaki célravezető kérdéseket feltenni? Hagyjuk, hogy a tanulók kifejtsék gondolataikat az Einsteintől származó idézetről. Irányítsuk úgy a vitát, hogy eljussanak a kérdezés – logikus gondolkodás és a matematika közti kapcsolat felfedezésére. Segítségül olvassuk fel Konfucius mondását. „Gondolkodás nélkül tanulni: kárba veszett munka. De tanulás nélkül gondolkodni veszélyes.” Kapcsolódó feladat: internetes gyűjtőmunka Arisztotelész és Einstein (Konfucius) bemutatása. A tanulókat ösztönözhetjük további, a gondolkodással /matematikával /logikával kapcsolatos idézetek gyűjtésére, amelyeket a következő alkalommal megbeszélhetünk, értelmezhetünk. * Kapcsolódás: Miért hasznos az okok ismerete? - tankönyv 131. oldal.

7


2014.03.19. 19:36:36

MATEMATIKA Az ábra segítségével beszéljük meg a matematikai gondolkodás alapelemeit: alapfogalmak, definíciók, alapvetőnek kimondott állítások (axiómák), bizonyított tételek.

Matematikai gondolatok fajtái

Alapfogalmak

Definíciók

Axiómák

Bizonyított tételek

Ábraértelmezés: A teakészítés folyamatábrája alapján beszéljük meg, mit értünk ALGORITMUSON, FOLYAMATÁBRÁN. Gyűjtessünk példákat a tanulókkal eljárásokra, algoritmusokra, recept leírásokra. Tisztázzuk, hogy mi a célja az algoritmusok leírásának, mikor tekintünk egyértelműnek egy algoritmust, és miért fontos elvárás az egyértelműség. * Kapcsolódás: tankönyv 14. oldal: információrögzítés folyamatábrája; 37. oldal: projektfolyamat bemutatása. Értelmezzük a tanulókkal mindkét ábrát. Kapcsolódó feladat: Készítsék el a bankkártyás pénzfelvétel folyamatábráját páros/csoportmunka keretében, majd a párok/csoportok munkája alapján rajzoljunk egy közös folyamatábrát.

2.2 Természetes számok, alapműveletek A szakiskolába érkező tanulók számfogalma, számolási készsége messze elmarad az elvárható szinttől. Közös munka keretében építsük fel a racionális számok halmazát, rendszerezzük részhalmazait és tulajdonságait szemléletes halmazfogalom segítségével. A tankönyvi információk alapján csoportban dolgozzák fel a SZÁMOK TULAJDONSÁGAI – MŰVELETEK– MŰVELETI TULAJDONSÁGOK témakörben tanultakat, készítsenek összefoglaló ábrákat, melyeket posztereken ábrázolnak. Rendezzünk egyéni versenyt a tanulók között a négy alapművelet önálló gyakorlására számológéppel. Beszéljük meg a telefonok számoló funkciójának használatát, a műveleti sorrendet. Mutassunk rá, hogy becsléssel elkerülhetjük a helytelen műveleti sorrendből adódó hibákat. Kapcsolódó feladat: gondolattérkép készítése. A SMART Ideas gondolattérkép-készítő szoftverrel különféle dinamikus és színes interaktív fogalomtérképeket építhetünk fel, az egyszerűektől egészen a többszintes diagramokig, amelyek vizuálisan szemléltetnek egy adott problémát. http://smart.lsk.hu/edu/tamogatas/letoltes/SMART+Ideas+szoftver.html

8


2014.03.19. 19:36:36


Közösen gyűjtsük össze a fontosabb oszthatósági szabályokat. Vitassuk meg, milyen kapcsolat van az oszthatósági szabályok és a kártyás feladat között. Hagyjunk időt a pároknak a feladat megbeszélésére, majd kérjünk fel egy párost, hogy mutassák be megoldásukat a többieknek. Készíttethetünk tablót az összegyűjtött oszthatósági szabályokból, amit kiteszünk a falra, így a későbbiekben ezt használni tudják a diákok. ** Kapcsolódás: 1.6. METEO feladat a számelméleti alapfogalmak (maradékos osztás, legkisebb közös többszörös) bevezetéséhez, illetve alkalmazásának gyakorlásához.

2.3 Oszthatóság, törtek, arány, hatvány Adatgyűjtés internetről. Gyűjtsünk közösen olyan mennyiségeket, amiket nagyon nagy, illetve nagyon kicsi számokkal tudunk csak kifejezni. Mobiltelefon segítségével keressenek az interneten adatokat a bolygókra, atomokra, molekulára vonatkozóan, amiket összegzünk, majd felírunk normál alakban. Ennek kapcsán beszéljük meg a hatvány és a normálalak fogalmát is. Számítsuk ki közösen, mekkora utat tesz meg a fény egy év alatt, ha másodpercenként 300 000 km-t tesz meg? 1 nap = 24 · 60 · 60 s = 8,64 · 104 s 1 év = 365 nap· (8,64 · 104)s = (3,65 · 102) (8,64 · 104)s = 31,536 · 106 s Kerekítés után normálalakban: 1 év ≈ 3,15 · 107 s A fény sebessége: 3 · 105 km/s

9


2014.03.19. 19:36:36

MATEMATIKA A fény egy év alatt megtett útja (egy fényév): (3 · 105) km/s · (3,15 · 107) s = (3 · 3,15) · (105 · 107) = 9,45 · 1012 km ≈ 1013 km Használjuk a tankönyvi tortás feladatot a törtekről tanult ismeretek felidézéséhez, rendszerezéséhez, a törtrész értelmezéséhez. Idézzük fel a tört bővítésének, egyszerűsítésének algoritmusát egy közös folyamatábra rajzolásával, majd önállóan végeztessünk el néhány feladatot. Pl.: 4 szelet

4 2 rész = = 16 4

4 szelet

4 2 rész = = 32 8

** Kapcsolódás: 3.2. TÖRTÁK feladatlap segíti a törtek fogalmának és a törtekkel való műveleteknek a megértését. A 3.5 TÖRTELÉK feladatsor a számolási eljárások átismétlésére, a törtekkel való műveletvégzés, műveleti sorrend, százalékszámítás alapjainak felfrissítésére alkalmas. A tanár számára információt nyújthat a tanulók munkájának megfigyelése és az eredmények ellenőrzése ahhoz, hogy milyen jellegű ismétlésre, gyakorlásra van szükség az adott csoportban. 1. Rendezd növekvő sorrendbe az alábbi törteket! . 1 3 1 –0,7 – 0,3 0,3 0,333 3 4 4 2. Írj fel két, az

1 1 és az közé eső a) racionális számot b) irracionális számot 3 4

3. Írd a megjelölt osztópontok alá a megfelelő értéket tört és tizedes tört alakban is!

–1

0

1

2

Törtműveletek kiszámítása zsebszámológéppel Hívjuk fel a tanulók figyelmét arra, hogy csak az a számológép képes közönséges törtekkel számolni, amelyeken található

vagy

Mutassuk meg, hogyan számoljuk ki a 2 Ha van

vagy

gomb. 3 4 – műveletet. 7 5

gomb:

Ha nincs ilyen gomb, akkor a törtet, mint egy kijelölt osztást értelmezzük. 3 17 = · 7 7 A műveleti jel után zárójelbe tesszük a törtet helyettesítő osztást (amelyet / vagy ÷ jelöl):

Először átváltjuk a vegyestörtet: 2

10


2014.03.19. 19:36:36

Módszertani füzetek Kapcsolódó feladat: Műveleti algoritmus készítése kooperatív csoportmunkában. Csoportonként egy-egy törtművelet folyamatábrájának elkészítése. Amennyiben csomagolópapírra dolgoznak, úgy ki tudjuk tenni a falra, és a későbbiekben mankóként szolgálhat a tanulóknak. Attól függően, hány 3-4 fős csoportot akarunk kialakítani, határozhatjuk meg a leírandó algoritmusokat (törtek összeadás/kivonása – törtek szorzása egész számmal – törtek osztása egész számmal – törtek szorzása törttel – törtek osztása törttel – törtek hatványozása).

Törtek összeadása/kivonása

Azonos nevezőjűek a törtek?

Nem

Közös nevezőre hozzuk őket.

Igen A számlálókkal elvégezzük a műveletet, a közös nevezőt változatlanul leírjuk

Lehet egyszerűsíteni az eredményt?

Nem

Megoldottuk a feladatot.

Igen Elvégezzük az egyszerűsítést.

Megoldottuk a feladatot.

Arány–törtrész–százalék kapcsolat gyakoroltatására használjuk a Bora-Bora koktélos feladatot. 1 rész jégkocka, illetve lime lé 1/10 =10/100= 0,1 rész, ami 10%; 3 rész ananászlé, illetve gyömbér 3/10 = 30/100 = 30%; 2 rész grenadin 2/10 = 20/100 = 20%. A tanulók sorolják fel a hozzávalókat %-os formában. Páronként állítsák össze egy-egy alkoholmentes koktél receptjét, adják meg a hozzávalók arányát. * Kapcsolódás: Tankönyv 12. oldal kördiagram. Értelmezzük az iskolaválasztást befolyásoló tényezőket szemléltető kördiagramot. Párokban dolgozva töltsék ki a következő táblázatot. A feladattal gyakoroltatjuk a diagramértelmezést, adatleolvasást, adatok táblázatba rendezését, százalék átírását törtalakba, tört egyszerűsítését. Mélyítsük a százalék, századrész, törtrész közti kapcsolatot. Kérdezzük meg a tanulóktól, hogy ők melyik csoportba tartoznak.

11


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA Elkészíthetjük az osztályt reprezentáló adattáblát és összevethetjük az arányokat az országos eredményekkel. Iskolaválasztás szempontja

százalékos arány

századrész

tized

legegyszerűbb alak

Ide vettek fel

13,6% =

1360/100

136/10

68/5

A szüleim ezt javasolták

16,2% =

1620/100

162/10

81/5

A tanáraim ezt javasolták

6,3% =

630/100

63/10

63/10

Engem ez a szakma érdekel

41,9% =

4190/100

419/10

419/10

Baráti, családi körben is ezt tanulták

17,3% =

1730/100

173/10

173/10

Egyéb

4,7% =

470/100

47/10

47/10

* Kapcsolódás: Tankönyv 31. oldal: a tanulók baráti kapcsolatainak kötődését mutató kördiagram adatai alapján különböző arányok kifejezését végeztethetjük el:  a lakóhelyhez kapcsolódó barátok aránya 32 : 24 = 4 : 3;  a valláshoz kapcsolódó barátok és a különórához kapcsolódó barátok aránya 4 : 3.

A tanulók baráti kapcsolatainak kötődése 4% 23%

32%

14% 3%

24%

Az iskolához A lakóhelyhez Különórához Sporttevékenységhez Hobbihoz Valláshoz

Értelmezzük közösen, hogy mit fejeznek ki ezek az arányok. ** Kapcsolódás: 3.8 ALMA munkalappal a százalékszámítást gyakoroltathatjuk, fejleszthetjük a problémamegoldási képességet, a szövegértést. A feladatok a szövegértésen kívül nem tartalmaznak komoly nehézséget azok számára, akik a százalékszámítás minimumfeladatait meg tudják oldani. Így optimális esetben a gyerekek többségének önállóan meg kell tudniuk oldani a példákat. Az eredmények egyeztetését párosával vagy akár plenárisan is megtehetjük. A feladatsor megoldása közben a következőket érdemes figyelemmel kísérni:  Hogyan sikerül a szöveg matematikai nyelvre fordítása?  Megfelelő biztonsággal kezelik-e a tanulók a százalékszámítási alapfeladatokat? 12


2014.03.19. 19:36:37


HALMAZ, FÜGGVÉNY, SOROZAT I. A témakör célja: Ebben a témakörben 8 modulba rendezve, összesen 16 tanórát terveztünk. Az elsőn nagyobb blokkban kerül tárgyalásra a halmaz, grafikon, függvény, szöveges problémamegoldás. A fogalmakat célszerűen konkrét példák megbeszélése után fogalmazzuk meg. A témakörhöz tartozó ismereteket nagyrészt eszközszerűen, a matematika minden témaköréhez kapcsolódóan alkalmazzuk a fogalmak közti összefüggések feltárásakor. A kiindulás a halmaz fogalma, ezért is került ebbe a témakörbe. Nem halmazelméleti ismereteket tanítunk elsősorban, hanem a halmaz fogalmának szemléletes kialakítása és továbbfejlesztése a cél. A halmaz elemi fogalmát alkalmazzuk a függvény fogalmának kialakítása és továbbfejlesztése során is. A középiskolai függvényfogalom szintén szemléletes, elemi fogalom. Lényege a hozzárendelés, az ezzel kialakított kapcsolat. Ez alkalmazható az algebra és a geometria oktatásában is. Az induktív és a deduktív fogalomalkotás képességének fejlesztése a fogalmak közti kapcsolatok tudatosításával, az általános összefüggések felismertetésével, megfogalmazásával és alkalmazásával történik. A Kapcsolódások cím alatt a tanultak eszközszerű alkalmazását kívánjuk segíteni a többi műveltségterületből vett példákkal, illetve a tapasztalati függvények esetében megmutatni a mindennapi életben való megjelenést. A tankönyvi problémafelvetések sokféle lehetőséget kínálnak a problémaérzékenység, az ötletgazdagság fejlesztésére, különböző megoldások keresésével. Didaktikai lehetőségek: Ez a modul is sok lehetőséget ad arra, hogy megmutassuk a matematika és a többi műveltségterület kapcsolatát. Változatos munkaformákkal és módszerekkel (önálló ismeretszerzés internetről, játék, vita, megbeszélés stb.) igyekezzünk minden tanulót bevonni a munkába.

2.4 Halmazok, halmazműveletek A tanulók halmazszemléletének fejlesztése: a halmazokkal kapcsolatos legalapvetőbb ismeretek felelevenítéséhez a mindennapi gyakorlatból vett példákat használjunk. Barkochba játék: bármit tekinthetünk alaphalmaznak, vegyük például az osztály tanulóit. Hogyan tudunk egy tanulóhoz eljutni? A feltett kérdések alapján jelenítsük meg az osztály tanulóinak halmazát: pl. fiú/lány – sportol – különórára jár, vagy pl. aszerint, hogy bejáró vagy sem. Kérdezzünk rá az egyes halmazrészekben lévő tanulók közös tulajdonságaira. Helyezzük el az osztály tanulóinak nevét a halmazábrában. Értelmezzük a halmaz fogalmát, gyakoroljuk a halmaz megadását, a halmazok közötti részegész viszonyt, a halmazműveleteket a 75. oldalon lévő feladatkártyák segítségével. Bizonyos dolgok összességét halmaznak nevezzük, ha minden dologról egyértelműen el tudjuk dönteni, hogy beletartozik-e a halmazba, vagy sem. Nem tekinthető ilyen értelemben halmaznak a magyar irodalom gyöngyszemei , mivel ennek megítélése szubjektív, illetve a középiskolai tantárgyak elemeinek meghatározása sem egyértelmű, attól függ, milyen típusú középiskolára gondolunk. Rész-egész viszony van pl. a minden háromszög és a szabályos háromszögek között, továbbá József Attila összes költeménye és az Altató között.

13


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA A halmazokkal végzett műveletek gyakorlásához használjuk a 74. oldalon lévő tankönyvi ábrákat. Szöveggel adjunk meg halmazműveleteket, és kérjük, hogy keressék meg hozzá a megfelelő ábrát. Pl.: a) Nem minden rovar bogár, de minden bogár rovar (részhalmaz). b) A négyzet téglalap is és rombusz is (metszet). c) Azok a négyszögek, amelyek vagy tengelyesen, vagy középpontosan tükrösek (unió). d) A 2 többszörösei közül azok, amelyek 4-nek nem többszörösei (különbség). * Kapcsolódás: A halmazba sorolást, a halmazműveletek közül a metszetet gyakoroltathatjuk, ha a legismertebb magyar prózaírók (238. oldal) évszázad szerinti besorolását kérjük. Figyeltessük meg az üres halmazrészeket.

XIX. sz. Jókai Mikszáth Krúdy Kosztolányi Móricz

XX. sz.

Mészöly Kertész I.

XXI. sz.

Halmazokkal szemléltethetjük pélMárai Nádas Mándy dául (167. oldal) néhány jellemző Esterházy atomcsoport poláros vagy apoláros tulajdonságát. Az Állandóság és változás (139. oldal) témakörben tárgyalt események bekövetkezésének lehetősége is alkalmas halmazokkal való ábrázolásra. Az Athén lakosságát bemutató diagram (274. oldal) alapján értelmezhetjük a rész- és diszjunkt halmazokat. A halmazok megadásához, a halmazműveletek gyakorlásához biztosít további lehetőséget a http://realika.educatio.hu oldal.

2.5 Koordináta-rendszer, függvényábra A koordináta-rendszerben való ábrázolás megértéséhez először végezzünk néhány helymeghatározást pl. mobiltelefon segítségével. Beszéljük meg, milyen szerepe van a mindennapi életben a GPS-nek, és hogyan működik. A Torpedójáték segíthet elmélyíteni a koordináta-rendszerről tanultakat, az egyes tengelyek szerepét, a rendezett számpár fogalmát, a sík pontjainak rendezett számpárokkal történő megadását. A játék koordináta-rendszerbeli változatában a vízszintes és a függőleges értékek egyaránt −4 és +4 között fordulhatnak elő. Ötféle típusú hajóból lehet egyet-egyet elhelyezni. A hajók 1, 2, 3, 4 és 5 egymás melletti rácspontból állnak, melyeket vízszintes, illetve függőleges szakaszokkal lehet összekötni. Az egymás mellett lévő hajók között legalább egy üresen hagyott pontnak kell maradnia.

14


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek Kapcsolódó feladat: Ponthalmazokról eddig nem volt szó, de fontos, hogy a tanulók lássák, hogy a koordináta-rendszer egyes síknegyedeiben milyen előjelű számpárok helyezkednek el. Egyenlőtlenségekkel sem foglalkoztunk, de a fogalmat ismerik. A színezési feladatok mindenképpen fejlesztik a tanulóknak a koordináta-rendszerrel kapcsolatos ismereteit. Pl.: Színezzük ki a koordináta-rendszernek azt a tartományát, amelynek a pontjai megfelelnek az alábbi feltételeknek! a) x < 0 és y ≥ 0; b) x > 0 és y < 0; c) x ≥ -1; d) y > 1 stb. * Kapcsolódás: További információkat olvashatunk a GPS-ről a tankönyv 135. oldalán. A tanulókkal átismételtük az előző órán a halmaz fogalmát, most a hozzárendelés fogalmát elevenítsük fel egyszerű ábrákkal. A halmazokat különböző témakörökből válasszuk, erősítve ezzel a matematika interdiszciplináris voltát. Pl.: szerzőkhöz azok műveit; szavakhoz a kezdőbetűiket; történelmi eseményekhez azok évszámát; fővárosokhoz az országot; egyszerű vegyületekhez a képletüket rendeljük. Figyeltessük meg az azonosságokat és különbözőségeket a Venn-diagramokban. Értelmezzük a diagramok segítségével a függvény fogalmát. Ezután válasszunk olyan halmazokat és hozzárendeléseket, amelyeket már koordináta-rendszerben is érdemes megjeleníteni. Pl.: minden tanulóhoz rendeljük hozzá a magasságát; számokhoz az osztóikat. A 77. oldal oszlop- és tortadiagramját közösen értelmezzük a tanulókkal. Kérdezzünk rá, hogy hány 9. és 10. évfolyamos tanuló eredményét szemléltetik az ábrák. ** Kapcsolódás: 1.1. OLIMPIA munkalap 1. és 2. feladatának segítségével gyakorolhatják a tanulók a Venn-diagramos ábrázolást, a halmazábra és az értéktáblázat használatát. A feladatok megoldása történhet páros feldolgozásban vagy csoportmunkában.

2.6 Diagramok, korfa A különböző diagramtípusok értelmezésének gyakorlására, értékelésére, adatok leolvasására sok lehetőséget kínál a tankönyv. Beszéljük meg a pont-, sáv-, terület-, térképdiagramok jellemzőit a tankönyv 10–11., 16. és 285. oldalán lévő diagramok alapján. Párban elemezzék a tanulók a 78. oldalon található diagramokat, gyűjtsék ki és rendezzék táblázatba az adatokat. ** Kapcsolódás: 1.1. OLIMPIA munkalap 2/c feladatában lévő összesített éremtáblázat adatainak ábrázolása a tanulópárok által választott diagramtípuson jól segíti az elmélet gyakorlati megvalósítását. 5.3 Grafikonok munkalap 1. feladata további lehetőséget ad a grafikonok adatainak leolvasására, az adott számértékek megkeresésére. A statisztikai KORFA lehetőséget ad arra, hogy szemléltessük a függvényeknek a mindennapokban betöltött szerepét. Beszéljük meg, hogy milyen feladatokat lát el a Központi Statisztikai Hivatal, miért fontos a munkájuk.

15


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA Párokban dolgozva végezzék el a tanulók az 1949, 2008 és 2050-es korfák összehasonlítását. Segítségképpen adjunk meg szempontokat (korfa formája, legnépesebb korosztály nemenként; legkisebb korosztály nemenként; legfiatalabbak száma; legidősebb korosztály kora és száma stb.). Ha lehetőségünk van rá, vetítsük ki az ábrákat (www.szaki.hu oldalról letölthető PDF formátumban) a plenáris megbeszéléshez. Az 1949-es piramis alakú, a növekvő népesség korfája. Széles alap, ami fölfelé gyorsan keskenyedik. Oka: sok a fiatal és magas a halandóság (alacsony a születéskor várható átlagos élettartam). Kérdezzünk rá, hogy szerintük mi lehetett ennek az oka 1949-ben. A 2008-as magyarországi korfa a stagnáló népesség korfája: a fiatalok és a középkorúak aránya közel egyformán magas, a korfa csak az idős népességnél keskenyedik el és veszi fel jellegzetes, haranghoz, méhkashoz hasonló formáját. A 2050-re prognosztizált népességet szemléltető korfa urna vagy hagyma alakú. Ez a fogyó népesség korfája: keskeny alapú, felfelé kissé szélesedő forma, amit a fiatalok arányának csökkenése, az idősek arányának növekedése okoz (magas születéskor várható átlagos élettartammal). Itt is kérdezzünk rá a társadalmi okokra. Kapcsolódó feladat: Ha lehetőségünk van rá, mutassuk be, hívjuk fel a tanulók figyelmét a Központi Statisztikai Hivatal honlapján található interaktív korfára, melynek segítségével nemcsak időben, hanem régiónként is végezhetünk (http://www.ksh.hu/interaktiv_korfa) lekérdezéseket, összehasonlításokat. A lakosság családi állapot szerinti megoszlását bemutató diagramot érdemes kivetíteni és plenárisan értelmezni. Megfigyelhetjük a nők és férfiak helyzetének egyenlőtlenségét, mely jelentős mértékben függ az adott ország gazdasági szerkezetétől, a foglalkoztatottság és a keresetek színvonalától. A zöld az egyedülállókat, a barna a házasságban élőket, a sárga a megözvegyülteket, míg a lila szín az elváltak arányát mutatja. Ne irányítsuk a tanulókat kérdésekkel, hagyjuk, maguk fogalmazzák meg észrevételeiket. * Kapcsolódás: Végeztessük el a 2008-as és a 2010-es (320. oldal) korfák összehasonlító elemzését. Vitassuk meg, milyen társadalmi mozgások figyelhetők meg hazánkban 2008 és 2010 között.

2.7. Mérlegelv Ezzel a leckével elevenítsük fel a tanulóknak az algebrai kifejezések használatával kapcsolatos ismereteit, gyakoroljuk az egyenletek rendezését. ** Kapcsolódás: A 4.1 Képletesen szólva feladatsor első négy feladatával ismételjük át az algebrai kifejezések használatát. A legelemibb matematikai képletek közül a téglalap kerületének és területének kiszámítására vonatkozókat ismételhetjük át a tankönyvi kertes feladattal. Rajzzal értelmezzük a feladatban szereplő adatokat, amit a tanulók a füzetükben rögzítenek. Vetessük észre, hogy a megoldás menetét szemléltető hatszögek is egy folyamatábrát alkotnak. 16


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek ** Kapcsolódás: A 4.1 Képletesen szólva munkalap 8/a, 6/a¸ 9/a és 10/a feladatokat adjuk fel önálló megoldásra. Ezután közösen végezzük az általánosításokat a feladatok b) részének megoldásával. Beszéljük meg a modellalkotás, az adatértelmezés és -ábrázolás, a megoldás, valamint az ellenőrzés fontosságát. Mutassunk rá, hogy az egyenlet nem más, mint az adatok közti összefüggések felírásának egy módja. Tudatosítsuk a tanulókban, hogy mérlegelvnek nevezzük azt az egyenletmegoldási módszert, amelynek során az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet hajtjuk végre. Rögzítsük, hogy a mérlegelv végrehajtása során mely lépéseket végezhetjük el. – Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve azokból kivonhatjuk ugyanazt a számot; az ismeretlen ugyanannyiszorosát. – Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal. – Az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal. Mindig úgy alakítjuk át az egyenletet, hogy végül az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig egy szám álljon. Kapcsolódó feladat: Gyakoroljuk az egyenletek megoldását: Visszafelé számolással, néhány „gondoltam egy számot” típusú feladattal. Mérlegelv alkalmazásával, egyszerű, 2-3 lépéses, nem törtes feladaton keresztül, ügyelve a fokozatosság megtartására. Minden esetben végeztessünk ellenőrzést is. 8x = 4x + 48; 7x + 3 = 31; 8x + 1 = 65

10x + 5 = 70 + 5x; 13x + 7 = 12x + 8; 9x + 7 = 4x + 17

2(10x + 4) = 13x + 29; 2(4x – 3) = 4(x + 51); 5 = (32 – 2x) : 4

6(1 – x) = 3(x – 5); 4x + 4 = 3x + 4; (2x – 5) : 3 = 3

A lecke végén lévő macskás FELADAT megoldását párban végezhetik el a tanulók. Hívjuk fel a figyelmet a feladat modellezésére. Ha nem boldogulnak a megoldással, akkor játsszuk el a feladatot úgy, hogy kinevezünk macskákat és embereket. Addig próbálgassák a szobában lévő csoportot összeállítani, amíg megtalálják a helyes megoldást. Ezután közösen általánosítsuk a feladatot, és írjuk fel egyenlettel az adatok közti összefüggést. Ennek mintájára a 9 fej és 16 láb megoldását kérjük önállóan a tanulópároktól, és biztassuk őket hasonló feladatok írására, amit a következő órán adhatnak fel az osztálynak.

2.8 Szöveges problémamegoldás A szövegesen megfogalmazott problémák a matematikai kompetenciákon túl komoly szövegértési és értelmezési képességet is igényelnek. Matematikai szöveges feladatnak tekintendő minden olyan probléma, melynek megfogalmazása szöveges, és a megoldásához elengedhetetlen a matematika valamely területének alkalmazása. A szöveges feladatok megoldásával fejlesztendő területek: • szövegértés, • problémamegoldó gondolkodás,

17


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA • ítélő, emlékező, lényegkiemelő és önellenőrző képesség, • modellalkotási képesség, • műveletfogalom, műveletvégzési rutin. Ebben a részben az egyszerű egyenlettel megoldható szöveges feladatok értelmezésére, az adatok közti kapcsolatok egyenlettel való felírására, az egyenlet megoldására, a megoldás ellenőrzésére helyezzük a hangsúlyt. A tankönyvi mintapélda értelmezésekor ellenőrizzük, hogy a tanulók értik-e, hogy mit jelent valaminek a másfélszerese. Vitassuk meg a diákokkal a megoldás életszerűségét, és azt, hogy milyen problémákat vetne fel, ha egy fiúnak 15 éves korában gyermeke születne. Biztassuk a tanulókat, hogy önállóan írjanak feladatot saját koruk és valamelyik szülőjük életkorára vonatkozóan. A feladatokat a padtársukkal cseréljék ki, majd néhányat oldjunk meg plenárisan is. A kamionos feladat plenáris megoldása az információfeldolgozást segítő kérdésekkel történhet. * Kapcsolódás: Tankönyv 132. oldal: az egyenes vonalú egyenletes mozgás jellemző tulajdonságairól tanultak felelevenítése. Az s = vt képlethez hasonlóan az adatok közötti összefüggés felírása: átlagfogyasztás  megtett út = összes üzemanyag szükséglet. Figyeltessük meg a tanulókkal mindkét képletben, hogy mely mennyiségek között áll fenn egyenes, illetve fordított arányosság. Kérjük, hogy példákkal igazolják a mennyiségek között fennálló arányossági viszonyt. * Kapcsolódás: Gyakoroljuk az egyenletek felírását a britek pazarló ételfogyasztási szokásai (21. oldal), valamint a KSH-nak a hazai átlag élelmiszerfogyasztásra vonatkozó 2010-es adatainak összehasonlításával.

Kenyér Csirkehús

Egyesült Királyság (napi kidobott mennyiség)

Magyarország (éves átlagfogyasztás)

220 ezer félkilós kenyér/nap = 110 000 kg/nap

43 kg/fő/év

550 ezer adag csirke = 137 500 kg (1 adag ≈ 25 dkg)

59 kg/fő/év

Alma

4,4 millió db = 440 000 kg (1 db = 10 dkg)

11 kg/fő/év

Tojás

660 ezer db = 39 600 kg (1 db ≈ 6 dkg)

148 kg/fő/év

1,3 millió doboz = 260 000 l (1 doboz 2 dl)

12 kg/fő/év

1,6 millió db = 1920 kg (1 db ≈ 12 dkg)

4 kg/fő/év

Joghurt Banán

Megvizsgálható kérdések: – A kidobott termékek hány ember éves szükségletét elégítenék ki? – Hány tanuló 2 hetes tábori ellátását fedezné a naponta kidobott mennyiség, ha egy főre 1 joghurtot, 1 banánt,1 almát, 1 adag csirkehúst, 20 dkg kenyeret és 2 db tojást számítanak? – Hány pék hány óra alatt tudja megsütni a kidobott kenyérmennyiséget, ha 1 pék 8 óra alatt 1000 db félkilós kenyeret tud elkészíteni? A lecke végén lévő százalékos FELADAT megoldását közösen végezzük a tanulókkal. Modellezzük a feladatot egy szakasszal, melyet képzeletben 100 egyenlő részre osztunk. Jelöljük az első 18


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek 36 64 32 , majd a második órában megtett :2= távolságot. Ebből már 100 100 100 könnyen leolvasható a kérdésre a válasz. 4 órában megtett

2.9 Függvények A lecke elején utaljunk vissza a halmazokra, a hozzárendelések megadására. Ennek a leckének a kapcsán elevenítsük fel és gyakoroljuk az általános iskolai függvénytani ismereteket: • az általános iskolában kialakított függvényfogalom elmélyítése, • a függvény tulajdonságainak megismerése, • a függvények megadási módjai, • a függvény mint modell alkalmazása egyszerű problémákban, a hétköznapi életben, • a függvény grafikonjának értő olvasása. ** Kapcsolódás: 5.3. GRAFIKONOK munkalap példáin keresztül a függvény mint modell alkalmazását tudjuk megmutatni egyszerű problémákban, a hétköznapi életben. Gyakoroltathatjuk különböző típusú grafikonok, diagramok készítését, kész ábrák értelmezését, értékelését, adatok leolvasását, értéktáblázatok készítését. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősíti. Mozgás-, hőingadozási stb. grafikonok, egyéb statisztikai adatokat szemléltető grafikonok segítségével tovább mélyíthető a mennyiségi következtetés képessége. Megfigyeltethetjük a valóság folyamatait leíró grafikonok és a matematikai függvények grafikonjainak különbözőségét, hasonlóságát. Csoportmunkára kiválóan alkalmas feladatsor. A feladatsorban többféle grafikon szerepel, így lehetőség van az egyes típusok előnyeinek és hátrányainak a megmutatására, illetve alkalmazhatósági lehetőségeinek ismertetésére. (ºC) 30

Áprilisi nappali átlaghőmérsékletek (ºC)

25 20 15 10 5 0 dátum 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. hőmérséklet (ºC) 13 14 13 18 22 25 25 22 22 22 12 10 8 8 8 8 9 9 10 10 10 15 15 20 22 22 25 25 26 25

A grafikon egy áprilisi hónap nappali átlaghőmérsékleti értékeit tartalmazza. a) Melyik napon volt a legmelegebb? b) Mely napokon volt a leghidegebb? c) Mely egymást követő napok között változott a legnagyobb mértékben a hőmérséklet? d) Mennyi az április havi átlaghőmérséklet? e) Hogy lehetne jellemezni a hőmérséklet szempontjából ezt a hónapot? f) Lehet-e jellemezni a fenti grafikon alapján ennek a hónapnak az időjárását? 19


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA ** Kapcsolódás: 5.1. FELGÖRDÜL A FÜGGÖNY munkalap feladatai jól kiegészítik a tankönyvet. Együttes alkalmazásukkal sok példán keresztül felidézhetjük és elmélyíthetjük az általános iskolában kialakított függvényfogalmat. A feladatok kapcsán ismételjük át a jellemző függvénytulajdonságokat. A következő hozzárendelések közül melyik függvény, és melyik nem? B

A a)

A

B

b)

c)

Ha van rá mód, vetítsük ki a tankönyvben adott függvényeket, és néhány vizsgálatát közösen végezzük el, majd hagyjuk párban dolgozni a tanulókat. A tankönyvben adott szempontok alapján vizsgálják és határozzák meg a függvények tulajdonságait. Beszéljük meg, és a feladatok közül mutassunk példát a különböző függvénymegadási módokra. Biztassuk a tanulókat, hogy ők is fogalmazzanak meg függvénnyel leírható kapcsolatokat. Szemléletesebbé és érdekesebbé tehetjük a témakört a Graph (www.szoftverbazis.hu) ingyenes, magyar nyelvű matematikai grafikonábrázoló szoftver segítségével. Számtalan izgalmas függvényt képes megjeleníteni, illetve speciális animációkat előállítani. Alkalmas egyváltozós, poláros és paraméteres függvény, egyenlőtlenség, valamint pontsor kezelésére. Saját függvényt és animálható paramétert is megadhatunk a munkasorán, majd a képet, animációkat többféle formátumba menthetjük el. 20


2014.03.19. 19:36:37


GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK I. A témakör célja: Állítások és tagadásuk megfogalmazása, azok igaz, hamis voltának eldöntése, az „és”, illetve a „vagy” műveletek alkalmazása. Logikai kijelentések értelmezése, gyakorlati környezetben való tárgyalása. Állítások és megfordításuk megfogalmazása, logikai kapcsolatok kiértékelése. Állításokból egyszerű következtetések levonása. Tudják helyesen értelmezni az elolvasott szövegeket, képesek legyenek logikus következtetéseket levonni. Pontos szövegértés, szövegelemzés, a szöveges feladatokban megfogalmazott hétköznapi problémák átemelése a matematikai logika rendszerébe, a metakogníció fejlesztése. Didaktikai lehetőségek: A feladatok megoldását csoportos munkában javasoljuk, utána közös megbeszéléssel, érvek felsorakoztatásával. Ezzel a feladattípussal a gyerekek ritkán találkoznak, de a helyes következtetések levonása, illetve a rossz következtetések kiszűrése a hétköznapi életben is fontos lehet. Lesznek könnyen elvethető, rossz következtetések és nehezen megmagyarázható helyes következtetések. Egyszerű analóg példákon lehet meggyőzni a kétkedőket a következtetések helyességéről vagy helytelenségéről.

2.10 Logikai alapfogalmak, nyelv és logika A skót vicc önálló olvasása után vitassuk meg osztálykeretben a három kijelentést. Mi a különbség a három megfogalmazásban? Hogyan közvetíti a látottakat a politikus (egyedi eset alapján általánosít), az újságíró (általánosít, és a mögöttes okot keresi), és a matematikus (a tényeket objektíven rögzíti)? Kapcsolódó feladat: Írd le , mi van a tankönyv 27. oldalán lévő képen! Beszéljük meg, hogy ki milyen „szemszögből” írta le a látottakat. Mennyire objektívek ezek a leírások? * Kapcsolódás: Történetmesélés mint a világ megismerésének eszköze, tankönyv 234. old. A közmondásokban megfogalmazódó népi bölcsességekhez kapcsolódó állítások igazságtartalmának eldöntésekor használjuk a „biztosan igaz”, „biztosan hamis”, „lehet, de nem biztos” fogalmakat. Vizsgáltassuk meg a tanulókkal, hogy milyen következtetéseket vonhatunk le a kijelentésekből. Beszéljük meg a közmondások jelentését. Kapcsolódó feladat: Egy régi sláger szerint: „Ha a ma lesz a holnap tegnapja, tedd a bús emléket az ablakba …” Ezek szerint mikor tegyük a bús emléket az ablakba? (Megoldás: E) (A) vasárnap (B) tegnap (C) ma (D) holnap

(E) mindig

A KIJELENTÉS (vagy állítás, ítélet): olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen eldönthető, hogy igaz, vagy hamis. Egy kijelentésnek kétféle logikai értéke (vagy igazságértéke) lehet: igaz, vagy hamis. Állapítsuk meg közösen a könyvben lévő kijelentések logikai értékét, majd tagadjuk az állításokat. 21


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA Kapcsolódó feladat: A tanulók önálló munka keretében oldhatják meg. (1.) Kijelentés-e a következő mondat (indokold az állításodat)? Ha igen, mi a logikai értéke? a) Júlia szép leány. (Nem kijelentés, mert nem eldönthető.) b) Minden négyzet téglalap. (Kijelentés, igaz) c) Az angolt könnyű megtanulni. (Nem kijelentés, van, akinek könnyű, és van, akinek nem.) d) Van olyan téglalap, amelyik nem paralelogramma. (Kijelentés, hamis) (2.) Tagadd a következő kijelentéseket: a) Minden páros szám osztható 6-tal. (Van olyan páros szám, amelyik nem.) b) A színes bőrű zenészek rapperek. (Van olyan színes bőrű zenész, pl. Jimmy Hendrix, aki nem rapper.) ** Kapcsolódás: 1.2. ROZSOMÁK munkalap további érdekes feladatokat biztosít a logikai kijelentések vizsgálatára, értelmezésére, a szövegértés képességének fejlesztésére, némi kombinatorikai ismerettel vegyítve. Állatokra vonatkozó állítások alkotása, állítások igazságtartalmának eldöntése, továbbá állítások tagadása szerepel a feladatokban. A megoldásánál fontos a tanári vezetés és a közös gondolkodás. A tagadások kiválasztásánál pedig a tanulók által adott rossz megoldások helytelenségének megmutatása azzal, hogy olyan konkrét szituációt vázolunk fel (azaz megadjuk, hogy melyik tulajdonság teljesül és melyik nem), melyben vagy mindkét mondat igaz, vagy egyik sem. A tankönyvi FELADVÁNY kapcsán beszéljük meg az információ rendezésének táblázatos módszerét. A megoldást megkönnyíthetjük a szituáció eljátszásával. 2.11 Logikai műveletek, problémamegoldás Továbbra is fontos gyakorlási feladat az elolvasott szövegek értelmezése, logikus következtetések levonása, ezek indoklása. Saját álláspont megértetése a többiekkel, szükség esetén érvelni, vitatkozni mellette, meggyőzni a társakat. A logikai műveletek (tagadás, a konjunkció, diszjunkció) alkalmazása érdekes és mindennapi esetekben történjen. A „Veri az ördög a feleségét” közmondáshoz kapcsolódóan érdemes további állításokat is értékelni, pl.: – Ma biztos, hogy süt a nap, vagy fúj a szél. – Reggel esett az eső, vagy sütött a nap. – Reggel vagy az eső esett és nem sütött a nap, vagy sütött a nap és nem esett az eső. Térjünk ki a közmondás valós tartalmának megbeszélésére is. A „4 hajós” fejtörőt páros munkára adhatjuk a tanulóknak. Hívjuk fel a figyelmüket arra, hogy a megoldásukat meg is kell indokolni, vagyis bizonyítani kell helyességét a többiek számára. Tisztázzuk, hogy mi a „bizonyítás” célja: logikai következtetések útján egy állítás igazságának, vagy hamis voltának igazolása. A „tevés” fejtörő alkalmas arra, hogy a problémamegoldás eszközének a szituáció eljátszását, vagy modellezését válasszuk. Hagyjunk időt a pároknak a probléma megbeszélésére, majd fog22


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek laljuk össze közösen a tanulók megállapításait. Kérjünk ötleteket a probléma kiküszöbölésére, ezután modellezzük a tevék elosztását. A „hordós” probléma megoldásához alkalmazzuk az adatok táblázatba rendezésének módszerét. Írjuk be az első 5 forduló eredményeit. Ezt követően írják fel a tanulók általánosan, hogy n forduló után hány liter víz lesz a két hordóban összesen, és mennyi lesz a két hordóban lévő mennyiség közti különbség. Fordulók száma 1. 2. 5. n

Kanna (4l)

Vödör (7l)

4 8 20 n∙4

7 14 35 n∙4

A két hordóban lévő víz mennyisége közti különbség (l) 3 6 15 n ∙ (7 – 4)

A hordókban lévő összes víz mennyisége (l) 11 22 55 n ∙ (7 + 4)

A feladat alkalmas az adatok grafikonon való megjelenítésére is. 84 77 70 63 56 49 42 35 28 21 14 7 0

kanna vödör

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

** Kapcsolódás: 1.4. BALATONI NYARALÁS munkalap további lehetőséget ad a logikus gondolkodás fejlesztésére, a logikai formulákkal és módszerekkel való helyes bánásmód gyakorlására. A szövegértés, továbbá a szituációs környezetben megfogalmazott problémák matematikai gondolatokra való lefordításának alkalmazására. A mindennapi életben is használatos logikai kifejezések, összetételek (van olyan; ha…, akkor; és; vagy) sokszor a köznapi szóhasználattól eltérően jelennek meg a matematikában. Fontos, hogy a tanulók megértsék ezeket a különbségeket. Ehhez pontosan kell érteniük az egyes mondatok jelentését, a köztük lévő összefüggéseket. Figyelni kell az egyértelmű, pontos megfogalmazásra is. A történethez kapcsolódó három kérdéssor mindegyikét külön-külön is feldolgoztathatjuk, kérdéssoronként más-más munkaformában. A feladatsor használható egyéni vagy közös feldolgozással is, de bevezető óra után otthoni tevékenységre is alkalmasak a feladatok. A feladatsor feldolgozása páros vagy kiscsoportos munkában is érdekes lehet, a kapott eredményeket, illetve a táblázat használatát azonban érdemes közösen is megbeszélni.

23


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA

HALMAZ, FÜGGVÉNY, SOROZAT II. A témakör célja: A sorozat fogalmának mélyítése. Sorozatok egyértelmű megadási módjainak gyakorlása. A sorszám és a sorozat tagjának kapcsolata a megadásokban. Sorozatok tagjai közötti összefüggések felismerése, képlettel, rekurzív módon történő megadás. A számtani sorozat felismerése, illetve összefüggéseinek segítségével gyakorlati feladatok megoldása. Számtani sorozat vizsgálata, fogalma, tulajdonságai, a tagok összegzése. Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint, néhány taggal megadott sorozat esetén szabály(ok) keresése. Mértani sorozat felismerése, tagjainak keresése. Egyéb „nevezetes sorozatok” ismerete. A modellalkotás fejlesztése. Ha a pozitív egész számokhoz rendelünk hozzá számokat, akkor ezt a speciális függvényt sorozatnak, mivel tagjai számok, számsorozatnak nevezzük. Didaktikai lehetőségek: A tanórák tervezésekor érdemes arra is figyelni, hogy a diákok minél többféle problémamegoldási stratégiát tudjanak alkalmazni. Pl.: logikus gondolkodás, rendezett lista vagy táblázat készítése, szabálykeresés, visszafelé számolás, kísérletezés és tökéletesítés.

2.12 Sorozatok Gyűjtessünk példákat a környezetünkből, hétköznapi életünkből arra, hogy hol találkozhatunk sorba rendezésekkel (pl.: osztálynévsor ABC szerinti sorba rendezése; bankokban, orvosi rendelőkben a várakozók érkezés szerinti sorba rendezése; tornasorban nagyság szerinti rendezés; sportversenyeken a szerzett érmek száma szerinti rendezés; kihúzott lottószámok növekvő sorrendje; vonatmenetrend… stb.)! Beszéljük meg, hogy a sorba rendezéseknek van egy első, második, harmadik, … n-edik (ahol n természetes szám) tagja. Fontos hangsúlyozni a sorszám szerepét, mert ez egyértelműen meghatározza, hogy melyik tagról van szó. Számtani sorozatokat láttak már a diákok korábbi tanulmányaik során, de a mindennapi életben is gyakran találkoznak velük. Például számtani sorozatot alkotnak – a növekvő sorrendben felsorolt természetes számok (0, 1, 2, 3, …); – a csökkenő sorrendben felsorolt negatív egész számok (–1, –2, –3, –4, …); – egy bank pénztáránál sorban álló ügyfelek érkezési sorrendjüknek megfelelő sorszámai; – egy utcában a páros oldalon álló házak 2, 4, 6, 8, … házszámai; – a 10-zel osztható pozitív egész számok (10, 20, 30, 40, …) stb. Néhány egyszerű sorozat folytatása után végezzük el a tankönyvi feladat segítségével az általánosítást. A tanulókkal közösen keressük a szabályosságokat az Európai Unió brüsszeli üléstermének fényképén. Az első sorban 4 ülés van, összesen 13 sor van, és minden sorban eggyel több szék van. Kérdések: a) Hány ülőhely van egy-egy szektor utolsó sorában? (a13 = 4 + 12 = 16) b) Hány ülőhely van összesen? (S13 =

4 + 16 ∙ 13 = 130) 2

Biztassuk a tanulókat, hogy nézzenek utána a Wikipédián, mi a feladata az Európai Parlamentnek, kik lehetnek a tagjai.

24


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek Az érdeklődőbb tanulók készíthetnek értéktáblázatot és ábrázolhatják a széksorokat koordináta-rendszerben.

székek száma

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

székek száma

2 5

1 4

3 6

4 7

5 8

6 9

7 8 9 10 11 12 13 sor 10 11 12 13 14 15 16

A KÉRDÉSEK közül a 4. feladatot érdemes közösen megbeszélni. Ábrázolás előtt kérjünk javaslatot a tengelyek beosztására. Hasonlíttassuk össze az előző számsorozat grafikonjával. Ez után kérjük, hogy szóban fogalmazzák meg a sorozat képzési szabályát, majd írjuk fel általánosan is. a1 = 1; 1 2 1 a3 = 1 : 3 = a1 ∙ 3 1 a4 = 1 : 4 = a1 ∙ 4 1 an = 1 : n = a1 ∙ n

a2 = 1 : 2 = a1 ∙

1 9/10 4/5 7/10 3/5 1/2 2/5 3/10 1/5 1/10 0

1 1

Sorozatok1

2 1/2

3 1/3

4 1/4

5 7/30

5. kérdés Az egymást követő egész számok négyzetének sorozatát is érdemes ábrázoltatni a tanulókkal. Segítsük a sorozat általános felírását: a1 = 1;

120

a2 = 1 ∙ 22 = a1 ∙ 22

100

a3 = 1 ∙ 32 = a1 ∙ 32

80

a4 = 1 ∙

42

= a1 ∙

42

60

an = 1 ∙

n2

= a1 ∙

n2

40 20 0 Sorozatok1

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10 100

25


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA A tömör kockából épített piramis (FELADATOK 2.) által felvetett kérdéseket egyénileg vagy kis csoportban érdemes elvégeztetni, mert a számolási készség különbözősége miatt nagyban eltérhetnek a kidolgozási idők. Kérjük, hogy rajzolják le a piramist, és a kép alapján vizsgálják a feladatot.

a1

1

a2

3

a3

5

a4

7

a5

9

a6

11

a7

13

a8

15

Hívjuk fel a diákok figyelmét, hogy ez a piramis oldalnézeti képe, ebben az esetben nem láthatjuk az összes kockát. A felülnézeti kép már pontosabb információt ad.

Számtani sorozat és sor ábrázolását bemutató animáció: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-12-osztaly/sorozatokrol-altalaban/ szamtani-sorozat

2.13 Mértani sorozat A mértani sorozat jellemző tulajdonságait, adott elem, valamint a sorozat összegének meghatározását jól áttekinthetjük a tankönyvi feladatokkal. KÉRDÉSEK: (2) Rendezzük táblázatba az adatokat, és a számértékek alapján végezzük el az általánosítást. a1 = 5000;

a1 = a1 ∙ 20

a3 = 5000 ∙ 2 = 10 000;

a3 = a1 ∙ 21

a5 = 5000 ∙ 2 ∙ 2 = 5000 ∙ 22 = 20 000;

a5 = a1 ∙ 22

a7 = 5000 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5000 ∙ 23 = 40 000;

a7 = a1 ∙ 23

a9 = 5000 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 5000 ∙ 24 = 80 000;

a9 = a1 ∙ 24

Figyeltessük meg a tanulókkal, hogy milyen szabályszerűség van kettő hatványai és az elem sorszáma között. Mivel kétnaponta történik meg a kétszereződés, a következő összefüggést írhatjuk fel: a2n+1 = a1 ∙ 2n Nyolc nap elteltével, vagyis a 9. napon pontosan 80 000 sejtből fog állni a tenyészet. Az értékek ábrázolása után megfigyeltethetjük a mértani sorozat jellegzetes függvényképét is. 26


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek Mutassunk rá, hogy a számtani és mértani sorozatok általában két adatukkal jellemezhetők. Ha például ismerjük egy mértani sorozat a1 kezdőtagját és q hányadosát, akkor an és Sn meghatározható. Azt is észrevetethetjük ezekből az összefüggésekből, hogy ha az an, Sn és q jellemzőkből bármely kettőt ismerjük, akkor a harmadik hiányzó adat is meghatározható (adott n esetén). Kiegészítő feladat önálló munkára a) Egy (a) számtani sorozatban a1 = 5, d = 3. Mennyi a4 értéke? Mennyi az első 4 elem összege? b) Egy (a) mértani sorozatban a1 = 5, q = 3. Mennyi a4 értéke? Mennyi az első 4 elem összege? c) A két sorozat egy koordináta-rendszerben való ábrázolása. A grafikonok összehasonlítása. Mértani sorozat és sor ábrázolását gyakoroltató animáció: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/ matematika/matematika/matematika-12-osztaly/sorozatokrol-altalaban/mertani-sorozat Százalék = századrész A százalékszámítást gyakoroltassuk fejben is! Célszerű először arányt számoltatni: pl. olyan törtrészt, ami fejben átváltható 100-adrészre: negyedek, ötödök, kettedek, azután a 12-nek ¼, 1⁄3, 7⁄3 stb. része. Ezt követően érdemes a százalékba átváltást gyakoroltatni: adott számnak hány százaléka egy bizonyos szám, illetve hogy ha pl. a 30% 75, akkor mennyi 50%, 60%, 100% stb. Fontos, hogy a gyerekek megértsék, a százalékokban kifejezett értékekkel ugyanúgy számolhatnak, mintha magukkal a számokkal számolnának. Ezután oldjuk meg közösen a kerékpárvásárlásról szóló feladatot. Példa: A radioaktív izotópok felezési ideje állandó. Értéke nem függ sem a hőmérséklettől, sem más anyagi paramétertől (csak az izotóp atommagjának belső szerkezetétől). A felezési időt exponenciális függvény írja le. A feladat szerint T = 10 év. A radioaktív anyag felezési idejét ábrázoló grafikonról leolvashatók az adatok.

100% 75%

Évek száma 10 20 30 5

Lebomló mennyiség ½ rész = 50% ¾ rész = 75% 7⁄8 rész = 87,5% ¼ rész = 25%

50% 25% 0% 0

10

20

30

40

* Kapcsolódás: Természet- és környezetvédelem (48. oldal) Tankönyvi FELADAT: Értelmezzük a családfa fogalmát, majd mutassuk meg, hogyan ábrázolhatjuk őseinket fa diagram segítségével. 27


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA * Kapcsolódás: 56. oldal a Rippl-Rónai család családfája.

Az interneten találunk gráfot rajzoló animációt, melynek segítségével könnyen motiválhatjuk a gyerekeket a feladat ábrázolására: http://tenger.web.elte.hu/ flash/graf/graf0.htm

Kiegészítő feladat: Megmutathatjuk a tanulóknak, hogy a Pascal-háromszög segítségével könnyen leolvashatjuk és összesíthetjük az őseink számát. Forrás: http://www.mathsisfun.com/images/pascals-triangle-4.gif

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 2 1 3

6

4 1

4

8 1

5 10 10 5

16 1

6 15 20 15 6 7 21 35 35 21 7

32 1

64 1

128

28


2014.03.19. 19:36:37


SZÁMTAN, ALGEBRA II. A témakör célja: Az algebrai kifejezésekről tanultak bővítése az egynemű, különnemű, egyszerű, összetett kifejezésekkel, az algebrai törtekkel. Átismételni és gyakorolni a hatványozás és gyökvonás azonosságait, az azonos átalakításokat. A gyökvonás megkívánja a számelméleti ismeretek kiterjesztését a valós számkörre. Tovább szélesítjük és mélyítjük a tanulók számelméleti ismereteit a valós számhalmazzal. Kiterjesztjük a műveleti azonosságokat a hatvány és gyökös kifejezésekre. Ebben a részben kell sort keríteni az egyenes és fordított arányosság átismétlésére is, az egyenletmegoldási rutin továbbfejlesztésére, egyenlőtlenségek megoldására, az egyenletmegoldás során alkalmazott azonosságok gyakorlására is. Szakmákhoz kapcsolódó típus szöveges feladatok megoldásával erősítjük a matematika eszközjellegéről alkotott tanulói képet. Didaktikai lehetőségek: A problémamegoldási módszerek közül a visszafelé számolás, a szituáció eljátszása, az egyszerűbb esetre való következtetés, a logikus gondolkodás, a modellalkotás módszerét gyakoroltathatjuk. A tankönyvi anyag kiegészítésére most használjuk a DVD munkalapjait, az internet adta lehetőségeket. A számolási feladatokkal erősítsük a számológéppel való műveletvégzési rutint.

2.14. Arány, százalék Az arány – tört – százalék fogalmak felelevenítésével érdemes kezdeni az órát. Kiegészítő feladat: A „nemzetiség és nyelv erősítése, terjesztése és pallérozása szent céljára” az 1800-as évek elején, gr. Széchenyi István kezdeményezésére közadakozásból jött létre a Tudományos Akadémia. A felajánlott nagyobb anyagi támogatások: gróf Széchenyi István 60 000, Vay Ábrahám 8000, gróf Andrássy György 10 000, gróf Károlyi György 40 000, József nádor 10 000 forint. Kifejeztethetjük aránnyal, százalékkal az egyes főurak adományainak nagyságát, megfigyeltethetjük az arány–századrész–százalék kapcsolatát. Az adatokat érdemes kördiagramon is megjeleníteni. * Kapcsolódás: Tankönyv 300. oldal Az erdőirtásról szóló tankönyvi mintapélda közös értelmezése lehetőséget ad a kritikai gondolkodás fejlesztésére, a hihetőnek tűnő adatokon való elgondolkodás igényének kialakítására, a kételkedés hasznosságának kiemelésére, a szövegértés fejlesztésére. ** Kapcsolódás: 3.3 GYÜMÖLCS TV HÍRADÓ

29


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA A feladatokkal fejlesztendő terület a statisztika egyik alapkérdése: az adatok és a valóság közötti helyes kapcsolat feltárása, a szövegértés és a szöveg mögött megbúvó tartalmak felismerése. A feladatok megoldása kisebb csoportokban is végeztethető, ekkor az egymás közötti érvelések és viták során jobban fejlődik a tanulók vitakészsége. Az sem elhanyagolható, hogy a beszélgetések során a tanulók egymástól jobban elfogadják, és a szituációnak köszönhetően talán jobban rögzítik is a lényeges lépéseket. Érdemes egyesével alaposan megbeszélni az ötleteket, megoldásjavaslatokat. Néhány ilyen feladat megoldása után biztassuk a diákokat arra, hogy hozzanak ők is ilyen valós vagy kitalált „Gyümölcs TV-s” híreket. Használhatjuk differenciálásra a 3.8 ALMA munkalapot (**Kapcsolódás) a százalékszámítás, továbbá az adatok kritikai elemzésének gyakorlására, amennyiben nem oldottak még meg minden feladatot a tanulók. ** Kapcsolódás: 11.4. Főzőcske feladatsor keretében egy 2 napos menüsor alapanyag igényét kell meghatározni 10 főre, a 4 főre adott értékek alapján. Az órán javasolt a páros munka, otthon pedig a csoportmunka. A 2. feladatot 4-5 fős csoportokban, projektmunka keretében célszerű megoldatni. Jobb megoldásokat várhatunk, ha nem a következő napra kérjük a kész projektet, hanem hagyunk időt a leírásra. Ha a tanulók informatikából már begyakorolták a szövegszerkesztő használatát, akkor a beadandó munkát megadott formátumban, táblázattal kérhetjük. Ha ez még a többség számára nehézséget okoz, akkor választható feladatnak ajánlhatjuk. A projektmunka után minden tanulónak tudnia kell a 4 főre megadott hozzávalókból kiszámítani, hogy 3, 7, illetve 10 főre mennyi kell az egyes alapanyagokból.

2.15 Algebrai kifejezések, műveleti szabályok Plenáris formában gyűjtsünk algebrai kifejezéseket, majd rendszerezzük típus szerint őket. Beszéljük meg, hogy az algebrai kifejezések értékét az ismeretlen helyére behelyettesített érték fogja meghatározni. Önálló munka keretében kiszámolhatják a füzetükben a táblázat hiányzó értékeit, közben figyeljük meg, mely lépések okoznak problémát a tanulóknak, ezekre térjünk ki a közös megbeszélés során. Alapműveletek néhány nevezetes azonossága figyelhető meg a téglalap területének többféle felírásával. A feladatot párban oldhatják meg a diákok, majd a táblai ábrába írják be az algebrai kifejezéseket. ** Kapcsolódás: 4.3 GONDOLJ, GONDOLJ… munkalap feladataival az egyismeretlenes, egészegyütthatós egyenletek, egyszerűbb algebrai törtes egyenletek megoldását, továbbá algebrai azonosságok használatát gyakorolhatják a diákok. A feladatokat párban oldhatják meg a tanulók, így ötleteikkel segíteni tudják egymást. ** Kapcsolódás: 3.6. GYÖKÖLÉS A becslések és közelítések képességének elsajátítása; a pontos érték hiányában adott közelítések. A négyzetgyök fogalmának bevezetése, azonosságok felismerése. A feladatsort közvetlenül a négyzetgyök fogalmának átismétlése után a fogalom elmélyítésére és az alapvető azonosságok felfedeztetésére használhatjuk. Ennél a feladatsornál ne engedjünk számológépet 30


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek használni! Fontos, hogy a diákok saját megfontolásuk alapján tartsák igaznak vagy hamisnak valamelyik eredményt. Figyeljük meg érvelésüket, számolási készségüket, biztonságukat. A feladatok megoldása nem nehéz, de apróságokon múlhat a sikeres munka. Használható a feladatsor ismétléskor, az ismeretek gyors felelevenítése céljából is. Hasonló feladatok nagyon könnyen generálhatók, és valószínűleg kell is adni hasonlókat a tanulóknak, hogy jól begyakorolják az összefüggéseket és a módszereket. Kiegészítő feladat: Az előző lecke keretében már átismételtük, gyakoroltuk az arányos felosztást. A mindennapi életünkben előfordul az is, hogy bizonyos mennyiségek arányát ismerjük, de nekünk kell eldönteni, hogy ha az arányos mennyiségek közül az egyik megváltozik, hogyan változik meg a másik. Iktassunk be legalább egy-egy típusfeladatot a mennyiségi következtetések, az egyenes és a fordított arányosság átismétlésére is. Például igaz–hamis állítások eldöntésével értelmezhetjük az adatok közti egyenes és fordított arányossági kapcsolatot. Állapítsd meg, hogy a feladatokban egyenes vagy fordított arányosság áll-e fenn az adatok között! a) Egy tehergépkocsi 500 km-t 4 óra alatt tesz meg. Mekkora utat tesz meg ugyanekkora átlagsebességgel 6 és fél óra alatt? b) 15 m vezeték tömege 75 dkg, mekkora a tömege 75 m vezetéknek? c) 4 személy részére 6 tojás kell a piskótához. Hány tojás kell, ha 6 személynek készítjük? d) Egy tehergépkocsi 80 km/h átlagsebességgel 5 óra alatt tesz meg egy utat. Mennyi idő alatt teszi meg ugyanazt a távolságot 60 km/h átlagsebességgel? e) Egy 10 fős brigád 8 nap alatt készíti el egy ház vakolását. Hány napig tart a munka, ha csak 5-en dolgoznak?

2.16 Valós számhalmaz felépülése, számegyenes A tankönyvi ábrák segítségével ismételjük át a már tanult számhalmazokat, és bővítsük a számhalmazokkal kapcsolatos ismereteket a valós számok halmazával. Mutassunk rá, hogy miért van szükség erre a bővítésre. A számegyenes tulajdonságainak vizsgálata kapcsán érdemes megemlíteni John Wallis (1616– 1703) angol matematikust, nyelvészt, a hallássérültek gyógypedagógiájának egyik korai, neves művelőjét. Neki tulajdonítják a ∞ jel bevezetését a végtelen jelölésére. Mit tanultunk a számokról? Természetes számok halmaza: N = {0; 1; 2; 3; 4; ...} Egész számoknak nevezzük az olyan számokat, amelyek felírhatók két természetes szám különbségeként. Z = {..., −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ...} Az egész számok: a természetes számok és azok ellentettjei. Racionális számoknak nevezzük az olyan számokat, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, vagyis törtalakban (a nevező nem nulla). Jelölés: Q Az egész számok is fölírhatók törtalakban, ezért a racionális számok: a 0, a pozitív és a negatív egész számok, valamint a pozitív és a negatív törtszámok. A racionális számok vagy véges tizedestört, vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban is felírhatók. A racionális számok a száme-

31


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA gyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el, ezért folytonos vonallal ábrázoljuk őket, de ezt a vonalat nem folytonosnak képzeljük el, mert a számegyenes bármilyen kicsi szakaszán végtelen sok irracionális szám is van. Végtelen sok olyan tizedestört írható föl, amely nem véges, és amelyben nincsenek ismétlődő szakaszok. Például: 4,101 001 000..., mindig eggyel több nulla van egy-egy 1-es után; 3,240 856 823..., nincs szabályosság a számjegyek ismétlődésében. Ezek nem racionális, hanem irracionális számok. Két nevezetes irracionális számot szoktunk említeni: a π-t és a √2-t. A π a görög abc egyik betűje, szimbólum, a kör kerületének és az átmérőjének az arányát jelenti, azaz pi = k/d, amely bármely kör esetén egy állandó szám. Bár a π két szám hányadosa, mégsem racionális szám, mivel vagy a kör kerülete, vagy az átmérője vagy mindkettő irracionális szám. Magát a számra vonatkozó π szimbólumot Euler javasolta 1739-ben. Ludolph Van Ceulen az 1600-as évek elején már 35 tizedesjegyig kiszámította a π szám értékét. Ezért szokás a π-t Ludolph-féle számnak nevezni. Ma már a számítógépek korában a π értékét több mint 16 millió tizedesjegyig kiszámították. Az első 2000 számjegy itt megtekinthető: http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Pi_elso_2000_szamjegye.htm 1882-ben Lindemann német matematikus azt is kimutatta, hogy π nemcsak irracionális, hanem transzcendens is, azaz nem lehet gyöke semmilyen racionális együtthatójú algebrai egyenletnek. Ez azt is jelenti, hogy euklideszi szerkesztéssel nem szerkeszthető meg, de több jó közelítő szerkesztési eljárás is született az idők során. Adjuk fel gyűjtőmunkára a π-ről és a √2-ről való információk gyűjtését. A négyzetgyök kettő valószínűleg az elsőként megismert irracionális szám. A geometriai jelentősége az, hogy ez a hossza az egységnyi oldalú négyzet átlójának, ami levezethető a Pitagorasz-tételből. A négyzetgyök kettő, más néven Püthagorasz-állandó, ami

2

1

1

felírva: √2, vagy törtkitevős hatványként 2 2 egy pozitív, valós szám, melyet önmagával szorozva 2-t kapunk. 1

Ismételjük át az abszolútérték, a számok ellentettje, a reciprok fogalmakat, a számok kerekítésére vonatkozó szabályokat, végezzünk ezzel kapcsolatban is néhány gyakorlatot. A számok használatának történetéből: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/a-valos-szamokrol-bovebben/a-szamok-hasznalatanak-tortenetebol A különböző léptékű számegyenesek használatát gyakoroltathatjuk történelmi események évszámainak ábrázolásával. Ez nagymértékben elősegíti a tanulók időben való tájékozódási képességének fejlődését.

32


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek Kiegészítő feladat: Ábrázoljuk a következő események idejét: (tankönyv 276. oldal) Az első Olimpia rendezésének ideje (Kr.e. 776). Theodosius római császár ekkor tiltja be az olimpiai játékokat (4. század vége, kb. 390). Első újkori olimpia megrendezésének éve (1896). Vitassák meg a tanulók, hogy milyen beosztású időszalagot érdemes készíteni. További feladat lehet a tankönyv 286-287. oldalán található évszámok ábrázolásához a megfelelő időbeosztás megállapítása.

2.17 Valós számhalmaz és Venn-diagramja Folytassuk az előző leckét a nevezetes számhalmazok tankönyvi ábráinak megbeszélésével, felelevenítve a halmazokról tanultakat. Venn-diagrammal már többször foglalkoztunk. Ezeknek az ismereteknek a felhasználásával készítsék el a tanulók a 2.13 leckénél már lerajzolt családi gráf alapján a családi kapcsolatokat bemutató Venn-diagramot. Ábrázolás Venn-diagramban Európa és az EU országait ábrázolják Venn-diagramban a tanulók. A szükséges információkat az 5.22-es leckénél található térképről olvashatják le. (* Kapcsolódás: 317. oldal) (EU 28 jelenlegi tagállama: Németország, Franciaország, Egyesült Királyság, Olaszország, Spanyolország, Lengyelország, Románia, Hollandia, Görögország, Belgium, Portugália, Csehország, Magyarország, Svédország, Ausztria, Bulgária, Dánia, Szlovákia, Finnország, Írország, Horvátország, Litvánia, Szlovénia, Lettország, Észtország, Ciprus, Luxemburg, Málta). Igaz-hamis állítások a számfogalom elmélyítésére. Pl.: Döntsd el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz-e vagy hamis! a) Bármely két egész szám átlaga egész szám. b) Bármely két természetes szám hányadosa egész szám. c) Bármely két páratlan szám átlaga egész szám. d) Bármely két páros szám átlaga páros szám. e) Bármely két racionális szám hányadosa is racionális szám. ** Kapcsolódás: 3.4. JÁRŐRÖK Mozgásos feladatok előkészítése, mozgásos szituációk elképzelése, lejátszása fejben vagy eszközökkel, különböző megoldási módszerek megismerése, a modellalkotás és szövegértés fejlesztésére. Javasoljuk a gyerekeknek a szituációk lejátszását. Az órán érdemes párokban dolgozni (kék és fehér, azaz külső és belső járőrautó), a feladatok megoldása során lehet modellezni a települést és az autókat. A feladatok megoldása közben figyeljük meg, hogy értik-e a diákok a feladat szövegét. (Külső és belső körút, sebesség, irány, találkozás stb.) Tudnak-e sebességből és távolságból menetidőt számolni? Tudnak-e értelemszerű és megfelelő információkat kiszűrni, és a feladat megoldásához egyszerű számításokkal eljutni?

33


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA Kiegészítő feladat: Csoportban vagy párban megoldandó gyakoroló feladat a számtani átlag kiszámítására. a) Adjatok meg két olyan számot, melyek átlaga 12! Keressetek minél több ilyen tulajdonságú számpárt! Keressetek szabályosságot! b) Adjatok meg két olyan páros számot, melyek átlaga 12! Keressetek minél több ilyen tulajdonságú számpárt! Keressetek szabályosságot! c) Adjatok meg két olyan néggyel osztható számot, melyek átlaga 12! Keressetek minél több ilyen tulajdonságú számpárt! Keressetek szabályosságot! d) Adjatok meg két olyan öttel osztható számot, melyek átlaga 12! Megoldások: a) 12 és 12; 11 és 13; 10 és 14; általánosan 12 – x és 12 + x. b) 12 és 12; 10 és 14; általánosan 12 – 2k és 12 + 2k, kN. c) 12 és 12; 8 és 16; általánosan 12 – 4k és 12 + 4k, kN. d) Nincs ilyen két szám, mert két öttel osztható szám összege nem lehet 24. Kiegészítő feladat: Oszthatósághoz, törzstényezős felbontáshoz kapcsolódó fejtörő megoldása logikus gondolkodással és próbálkozással. Egy 50-nél nem nagyobb szám törzstényezős felbontásakor ilyen fadiagramot kaptunk. Mely számokat írhattuk az egyes keretekbe? Az azonos keretek azonos, a különbözők különböző számokat jelentenek. Megoldás: 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 Ösztönözzük a tanulókat hasonló feladatok készítésére. Kiegészítő feladat: TOTÓ számhalmazokkal végzett műveletekre. 2

x

{4; 5; 6; 7}

{4; 5; 6; 7; 8}

{1; 2; 3}

{4; 5; 7}

{4; 5; 6; 7; 8}

{1; 4; 8}

{4; 5; 7}

{4; 5; 6; 7; 8}

{1; 8}

sg

s ro pi

További feladat lehet a halmazrészek megadása, szóbeli jellemzése. A feladat segítségével tapasztalatot szereznek halmazok megadásában, közös tulajdonságok meghatározásában, 2-3 szempont szerinti vizsgálatban, miközben kommunikációs készségük, technikájuk is fejlődik. A feladat indításakor felvethetünk néhány kérdést: – Ehetők-e az 1. halmaz elemei? – Mi a közös tulajdonsága a 2., 4. és 7. halmazban lévő elemeknek? – Hol találhatók a piros kisgolyók, amelyek nem ehetők? A továbbiakban a tanulók adhatnak fel egymásnak hasonló kérdéseket.

ol yó

1

ki

1. Adott A = {4; 5; 6; 7; 8} és B = {4; 5; 6; 7} halmaz. Mely halmaz a két halmaz uniója? 2. Adott A = {1, 4; 5; 7; 8} és B = {4; 5; 6; 7} halmaz. Mely halmaz a két halmaz metszete? 3. Adott A = {1, 4; 5; 7; 8} és B = {4; 5; 6; 7} halmaz. Mely halmaz A és B halmaz különbsége?

2

1

3

7 6

4 5 ehető

34


2014.03.19. 19:36:37


GEOMETRIA I. A témakör célja: Alapvető geometriai fogalmak (sík és tér, pont, egyenes, félegyenes, szakasz, távolság, szög, párhuzamosság, merőlegesség, síkidomok és térbeli testek) átismétlése, megértése, rendszerbefoglalása, alkalmazni tudása. Háromszög, négyszög, sokszög, kör felismerése, tulajdonságaik megállapítása (Thalész-tétel). Tulajdonságok, szabályosság, szimmetria felismerése, alkalmazása egyszerű esetekben. Derékszögű háromszög adatai, Pitagorasz-tétel. A mindennapi életben szükséges geometriai számítások (kerület, terület) és mértékegység váltások elvégzése, a térszemlélet fejlesztése. Didaktikai lehetőségek: A tájékozódáshoz, a megismeréshez szükséges képességek fejlesztése sok gyakorlati tapasztalaton keresztül történhet csak. A párban vagy csoportban elvégzendő feladatokkal a diákok kognitív, tanulási és információszerzési képességét egyaránt fejlesztjük, ha kreativitást, önálló ötleteket igénylő feladatokon keresztül rendszerezzük a geometriai ismereteket.

2.18 Dimenziók, a geometria elemei Önálló témafeldolgozás csoportmunkában, prezentáció A tankönyvi anyag kiválóan alkalmas arra, hogy a tanulók csoportokban önállóan rendszerezzék a síkgeometria ismereteket a tankönyv segítségével. A feldolgozáshoz adjunk szempontokat. Pl.: 1) Fogalmak, alapfogalmak. – Állítások, axiómák –Tételek; 2) Térelemek kölcsönös helyzete (2 pont, pont és egyenes, 2 egyenes, 2 sík, egyenes és sík helyzete); 3) Szögfajták. A plakátokra elkészített csoportmunkákat prezentáció keretében ismertetik a csoportok. A kiegészítések és javítások után a posztereket helyezzük ki a falra. A csoportmunkák lehetőséget adnak a tanulók értékelésére is. Használhatják a tanulók a gondolattérkép készítő programot is a rendszerezéshez (http://smart.lsk.hu/edu/tamogatas/letoltes/SMART+Ideas+szoftver. html).

2.19 Alakzatok csoportosítása, kerület, terület A tankönyv jól rendszerezi a síkidomokkal, sokszögekkel kapcsolatos információkat. Párban dolgozva, gyakorlati példákon keresztül biztosítsuk az ismeretek alkalmazását. Csoportmunka: Sokszögek vizsgálata oldalak, szögek, átlók, a belső szögösszeg alapján. ** Kapcsolódás: 6.4 PATCHWORK munkalap. Konkrét gyakorlati feladatokban kell alkalmazni a problémák megoldásához a tanult eszközöket (területszámítás, számolás, kreativitás). Közben a szövegértés és a modellalkotás fejlesztése is megvalósul. A feladatsor megoldásának értékelésénél a szövegértést, a matematikai tartalom kiszűrését, a felvázolt gondolatmeneteket és az elvégzett számolásokat vegyük figyelembe.

35


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA ** Kapcsolódás: 6.5 BURKOLD BE! munkalap feladatsora szorosan kapcsolódik a burkoló/kőműves szakmákhoz. A téglalap területének kiszámítása mellett százalékszámítást is kell végezniük a tanulóknak. A 2. feladatban már egy méreteivel adott helyiség burkolását kell megtervezniük és a szükséges anyagmennyiséget kell kiszámítaniuk. ** Kapcsolódás: 6.2 A TELEK Az 1. feladatban egy háromszöget kell felosztani két egyenlő területű és formájú háromszögre. A feladatot közösen oldjuk meg, és mutassunk rá, hogy a háromszög súlyvonala felezi a háromszög területét. A megoldás alapos megbeszélése után pármunkában dolgozhatnak a gyerekek a 2. feladaton, amikor hasonló módon tovább kell bontani a háromszöget. Ügyeljünk arra, hogy az 1. feladat megoldását végül mindenki megértse, hiszen a gondolatmenetet és az eredményt fel kell használni a következő feladatoknál. A 3. feladat megoldását is közösen végezzük. Itt egy deltoid alakú sárkányhoz felhasználandó két különböző színű papír területét kell kiszámítani, továbbá a leggazdaságosabb papírfelhasználást. ** Kapcsolódás: 6.1 NEVEZETESSÉGEK HÁROMSZÖGORSZÁGBAN A feladatsor hajtogatós példáival gyakorlati tapasztalatot szerezhetnek a tanulók a háromszög nevezetes vonalainak tulajdonságairól, így könnyebben megértik, mi a különbség a szögfelező, az oldalfelező merőleges, és a magasságvonal között. A szerkesztési gyakorlatokkal tapasztalatot szereznek arra vonatkozóan, hogy hogyan néz ki az ábra, ez segíti, hogy közelítőleg pontos szabadkézi vázlatot tudjanak rajzolni. Kiegészítő feladat: NÉGYSZÖG TOTÓ - kitöltésekor használják a tanulók a tankönyvi összefoglaló ábrát. 1. Olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja (trapéz). 2. Olyan négyszög, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely (deltoid). 3. Olyan trapéz, amelynek van derékszöge: derékszögű (trapéz). 4. Olyan téglalap, amelynek szomszédos oldalai egyenlők (négyzet). 5. Olyan trapéz, amelynek két oldalpárja is párhuzamos (paralelogramma). 6. Olyan négyszög, amelynek van szimmetria-középpontja (paralelogramma). 7. Olyan paralelogramma, amelynek van derékszöge (téglalap). 8. Olyan paralelogramma, amelynek szomszédos oldalai egyenlők (rombusz). 9. Olyan négyszög, amelynek oldalai egyenlők (rombusz). 10. Olyan deltoid, amelynek van párhuzamos oldalpárja (rombusz). 2.20 Pitagorasz-tétel Tudatosítsuk a tanulókban, hogy a síkidomok és tulajdonságaik a mindennapokban fontos szerepet játszanak. Például a házak és terek építése, burkolása során, szabásminta elkészítésekor, a megtervezett bútor anyagköltségének megbecsüléséhez szükséges, hogy a síkidomokat meg tudjuk tervezni, a kerületüket és területüket ki tudjuk számítani, és ismerjük a legfontosabb tulajdonságaikat. A síkidomokat meg kell tudnunk különböztetni egymástól. A következő feladatok a síkidomok különböző csoportosítására összpontosítanak, hogy a tanulók ez által is pontosítsák ismereteiket. 36


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek Ismételjük át a háromszögekről tanultakat. Közösen végezzük el a háromszögek csoportosítását. Néhány kérdéssel ellenőrizzük a tanulók tudását. Pl.: Fejezd be a mondatokat! a) Azt a háromszöget, amelynek minden szöge különböző, .................... háromszögnek nevezzük. b) A két egyenlő szöggel rendelkező háromszöget .................... háromszögnek nevezzük. c) Egy háromszög akkor és csakis akkor szabályos, ha .................... . d) Derékszögű háromszögben hogyan nevezzük a derékszöggel szemben levő oldalt? e) Egy derékszögű háromszögben az egyik szög 35°-os. Mekkorák a háromszög szögei? f) Egyenlőszárú háromszögben az egyik szög 42°-os. Mekkorák lehetnek a háromszög hiányzó szögei? Kiegészítő feladat: (1) Pitagorasz-tétel alkalmazása hegyesszögű, tompaszögű és derékszögű háromszögre. Szerkeszd meg a háromszögeket, majd írd le az oldalak négyzetére vonatkozó összefüggést mindhárom esetben. Mit tapasztaltál? 1) a = 2 cm, b = 3 cm, c = 5 cm; 2) a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm; 3) a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm; (2) Tanulói prezentáció készítése Pitagorasz munkásságáról. A Pitagorasz-tétel pontos tudásának ellenőrzésére használhatjuk a 6.7 PITI PÉLDÁK (** Kapcsolódás) 1. feladatsorát. A tisztán matematikán belüli alkalmazást a 2. feladattal , a modellalkotást a 3. feladattal gyakoroltathatjuk. Ennél a példánál adjunk segítséget a megoldáshoz, hogy ne akadjanak el rögtön a feladat elején. Az oldalak felcserélése a Pitagorasz-tétel alkalmazásakor tipikus hiba, ami a feladatsor megoldásának végére kiküszöbölhető.

2.21 A kör részei, Thalész-tétel Néhány feladaton keresztül ismételjük át a körről általános iskolában tanultakat. A kört mint ponthalmazt értelmezzük. Végeztessünk néhány egyszerű számítási feladatot: • Mekkora területe az r = 10 cm sugarú körnek? • Mekkora körív tartozik ebben a körben a 90°-os körcikkhez? • Mekkora a területe annak a körgyűrűnek, amelynél a belső kör sugara 3 cm, a külső köré pedig 6 cm? • Mekkora annak a körnek a sugara, amelynek kerülete 100 cm? ** Kapcsolódás: 6.9 KÖRÖK 1. feladata a megfigyelés és következtetés fejlesztését segíti gyakorlati feladatokban. Gyakoroltatja a geometriai modellekben fellépő azonos alakzatok felismerését és a számításokban való alkalmazást, a kör és részei területének kiszámítását. A feladatot közösen értelmezzük, majd a tanulókkal együtt oldjuk meg az A, B, C eseteket. A további esetek alapján a szabályszerűség felismerését hagyjuk páros, illetve otthoni munkának. Kiegészítő feladat: Tanulói prezentáció készítése Thalész életéről, munkásságáról, a vele kapcsolatos történetekről.

37


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA Thalész-tétel A tétel kapcsán értelmezzük, hogy miért fontos egy állítást bizonyítani. Olvassák el a tételt a könyvben, majd értelmezzük. Kérdezzünk rá, hogy ennek az állításnak kapcsán mit kell bizonyítani. Mutassuk meg, hogyan igazolja az állítást a tankönyvi ábra. Ezt követően kérjük, hogy fogalmazzák meg a tétel megfordítását a már tanult módon. Most mit kell bizonyítani? Thalész-tétel alkalmazása Szerkesszünk háromszögeket 3, 4, 5; 3, 3, 5 és 5, 6, 7 cm-es oldalakkal. Szerkesszük meg mindhárom háromszög esetében a köré írható kört is. Figyeltessük meg a tanulókkal, hová esik a kör középpontja az egyes esetekben, és mekkora a kör sugara. Szerkesszünk tetszőleges kört, és húzzuk meg az egyik átlóját. Jelöljünk a kör belsejében, a körvonalon és a körön kívül is egyegy pontot. Rajzoljuk meg az egyes pontok és az átmérő alkotta háromszögeket. Kérjük a tanulókat, hogy fogalmazzák meg észrevételeiket, továbbá ajánljanak módszert annak megállapítására, hogy van-e köztük derékszögű háromszög.

E D

B

A

C

F

Gyakorlati példák a Thalész-tétel alkalmazására F2 (1) Mekkora sugarú kör írható egy derékszögű háromszög köré, ha befogóinak hossza 8 cm és 24 cm? (2) Egy egyenes út mellett a mezőn áll két fa. Készítsünk térképvázlatot, majd szerkesztéssel határozzuk meg az úttestnek azt a pontját, ahonnan a két fa derékszögben látszik! F1 A feladat kapcsán a látószögről is szót tudunk ejteni. A keresett e pontok a Thalész-kör és az e egyenes közös pontjai lesznek. Vizsgáltassunk meg minden lehetséges esetet a fák és az út elhelyezkedésére. Fogalmaztassuk meg észrevételeiket általános formában is. Ha a Thalész-kör metszi az e egyenest, akkor két pont is megfelel. Ha a Thalész-kör érinti az e egyenest, akkor egy megfelelő pont van. Egyébként nincs megfelelő pont. FELADAT A hajós feladat önálló elolvasása után beszéljük meg a problémát, majd kérjünk problémamegoldási javaslatokat. Ha nem tudnak mondani, akkor javasoljuk mi a diákoknak a vázlat/ábra készítését. Kérdezzünk rá, hogy a hajó által leírt háromszög milyen típusú, s honnan tudjuk ezt? A feladatot meg is szerkesztethetjük a tanulókkal.

38


2014.03.19. 19:36:37


GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK II. A témakör célja: Már általános iskola alsó tagozatában is rendszeresen oldottak meg kombinatorikai feladatokat a tanulók. A gyakorlati problémákban felvetett kombinatorikus kérdésekre adott válaszokkal rendszerezzük, elmélyítjük a diákok tudását. Gyakoroljuk a megfelelő modellkeresés; a lépésről lépésre történő felismerés és képletalkotás, valamint a szövegértés és modellalkotás folyamatát. A gráfok használatát mindennapi példák szemléltetésére, megoldására használjuk. A valószínűségszámítási feladatok megoldásával, az alkalmazott arányossági összefüggésekkel a következtetési képességet fejlesztjük. Az események valószínűségének becslése. Olyan mindennapi szituációk értelmezése, ahol a véletlennek vagy a bizonytalanságnak szerepe van. A mindennapi életben megfogalmazott valószínűségi állítások vizsgálata. Az összes eset és a kedvező esetek felsorolásával, kombinatorikai módszerrel megoldható valószínűségek kiszámításával fejlesztjük a kombinatív gondolkodást. Didaktikai lehetőségek: Közös megbeszélésnél nézzük végig a különféle megoldásokat; csoportmunkánál különösen biztassuk a diákokat többféle megoldás, illetve reprezentáció kidolgozására. Mutassunk mi is minél többféle megoldást. Ösztönözzük a diákokat, hogy ők is mondják el, hogyan gondolkodtak. Ebből látható, helyes-e az okoskodásuk, és a többiek is tanulhatnak belőle. A kis számokkal, próbálgatással történő leszámlálási mód pozitívan értékelendő, különösen, ha ebből kiindulva elmozdulás történik a modellalkotás, absztrahálás irányába. A kombinatorikus gondolkodás fejlődése tetten érhető abban, ha az egyik feladat tanulságait, módszereit a feladatsor további részében alkalmazni tudja a tanuló azonos módon, alkalmas módosítással vagy összetett probléma megoldásának részeként.

2.22 Hányféleképpen? A tankönyvi feladatok segítségével értelmezzük, rendszerezzük és általánosítsuk a kombinatorikai ismereteket. Kombináció (kiválasztás sorrend nélkül) Hányféleképpen választhatok hatféle fagylaltból egy 3 gombócos kelyhet úgy, hogy nem számít a gombócok sorrendje? Valamennyi lehetséges (ismétléses, ismétlés nélküli) esetet rögzítsenek táblázatban a tanulók, csak ezután végezzük el közösen az általánosítást. Ismétlés nélküli kombinációk száma: 6. Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje, és mindegyiket csak egyszer választhatjuk? C=

n n! = k k! ∙ (n – k)!

Ehhez hasonló feladat például a lottó (90 számból választunk ötöt, nem számít a kiválasztás sorrendje): 90 90! = = 43949268 5 5! ∙ 85!

39


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA Ismétléses kombináció: Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha nem számít a kiválasztás sorrendje, és egy dolgot többször is választhatunk? (három különböző gombócból 6, két különböző gombócból 20, egy gombócból 5 féleképpen = 30 eset) Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P = 1 · 2 · ... · (n – 1) ∙ n = n! Feladat: Hányféleképpen tud az öt gyerek sorba állni az iskolai menzán? (120) Ha a három lány áll elöl és a két fiú mögöttük, akkor a permutációk száma 3! ∙ 2! = 12. Ez nem ismétléses permutáció. Ismétléses permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n dolgot, ha köztük n1, n2, ..., nk darab egyforma van? n! (n1 + n2 + ... + nk = n) ∙ P = n1! ∙ n2! ∙ ... ∙ nk! 5! 120 Pl.: Hányféleképpen lehet sorba rakni 2 kék és 3 piros golyót? = = 10 2! ∙ 3! 2 ∙ 6 Ismétlés nélküli variáció Hányféleképpen lehet n különböző dologból kiválasztani k darabot, ha számít a kiválasztás sorn! rendje, és mindegyiket csak egyszer választhatjuk? V = (n – k)! Feladat: – A 2, 3, 4, 5, 7 számjegyek egyszeri felhasználásával ötjegyű számokat képezünk. Hány számot 7! képezhetünk? = 2520 (7 – 5)! – Hány páros szám lesz közöttük? Mivel csak két páros szám van, ezért a 2⁄5 része lesz páros. – Hány olyan lesz, amely osztható néggyel? Emlékeztessük a tanulókat a 4-gyel való oszthatósági szabályra, ennek alapján gyűjtsék össze, hogy mire végződhet a szám: 24, 32, 52, 72. Ez az 4 1 összes képezhető szám = -ad része. 2520 630 – Legnagyobb néggyel osztható szám: 75324. – Legnagyobb páratlan: 75423. – Legkisebb páros szám: 23574. KÉRDÉSEK, FELADATOK (1) Ismétlés nélküli kombináció: az első ember 6 másikkal fog kezet, a második 5 emberrel (az elsővel való kézfogását az első embernél már beszámítottuk), a harmadik 4 emberrel stb., azaz összesen 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =21 kézfogás történik. (2) Gabi ükapjának 2 fia, 2 ∙ 2 = 4 lányunokája, 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 fiú dédunokája és 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16 lány ükunokája volt. Vagyis Gabi lány, és az ő generációjáig 2 + 4 + 8 + 16 = 30 leszármazottja volt az ükapjának. (3) Ha Ricsit tekintjük a nulladik generációnak, akkor 25 = 32 családtagot gyűjtött össze, akiknek a fele férfi. Az ábrázolással már a következő leckét készítjük elő, de ott is elővehető a feladat.

40


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek (4) Ismétlés nélküli variáció: nyolcból hányféleképpen tudunk hármat kiválasztani, ha számít a 8! sorrend is. = 342 (8 – 3) (5) Biztassuk a tanulókat az adatok táblázatba rendezésére. Jelölje a játékosokat: A, B, C, D, E. Legyen ez a vesztesek sorrendje is egyben: 5. fordulóban E, 4. fordulóban D, és így tovább. A csillag jelzi, hogy ki veszített az adott fordulóban. Mutassuk meg, hogyan tudjuk visszafelé kiszámítani az adatokat, majd önálló munkában folytassák a táblázat kitöltését. Segítségképpen emlékeztessük a tanulókat, hogy a játék során mindig ugyanannyi a játékosoknál lévő pénz összessége: 5 ∙ 128 Ft = 640 Ft. Így a felezésekkel és a 640-re való kiegészítéssel könnyen meghatározhatók a hiányzó mennyiségek. Forduló

A

B

C

D

0.

*324

1.

8

2.

16

16

E

164

84

44

24

*328

168

88

48

*336

176

96

3.

32

32

32

*352

192

4.

64

64

64

64

*128 + (4 ∙ 64) = 384

5.

128 Ft

128 Ft

128 Ft

128 Ft

128 Ft

Figyeltessük meg a táblázat néhány érdekességét: A kezdő pénzek közötti összefüggés: 324, 164, 84, 44, 24. Vezessük rá a diákokat a különbségsorozat felírására: 160, 80, 40, 20. ** Kapcsolódás: 2.4 LÓVERSENY munkalapon további gyakorló feladatokat találunk a kombinatorikus gondolkodásmód, valamint a modellalkotás és szövegértés fejlesztésére.

2.23 Gráfok, fák A gráfok a kombinatorika külön ágaként fejlődött ki. A vele való megismerkedést az teszi szükségessé, hogy mindennapi életünkben is egyre többször találkozunk gráfokkal, még ha magát a fogalmat nem is említjük. Ma még a legtöbb diák nem sejti, élete folyamán merre vezet az útja, milyen pályán helyezkedik el. Csak megemlítünk néhány szakmát, amely alkalmazza a gráfelméletet: pszichológus, biológus, informatikus, közlekedésszervező, közlekedésmérnök, szállítás-szervező, a munkavégzés hatékonyságát elősegítő szakember, villamosmérnök, közgazdász és még sok egyéb. A kompetenciaalapú oktatás célja az, hogy megtanítsuk a diákokat arra, hogy a mindennapi életben hogyan tudják hasznosítani az iskolában tanultakat. Célunk, hogy a gyakorlati élet problémáinak megoldásához minél több eszközre tegyenek szert, és ismerjék fel, melyik eszköz alkalmazható az adott esetben. A Königsbergi problémát Euler úgy oldotta meg, hogy készített egy rajzot, amelyben a városrészeket pontokkal szemléltette, az ezeket összekötő hidakat pedig vonalakkal. Az így elkészített alakzatot gráfnak nevezzük. A gráfelméletben a pontokat csúcsoknak, az őket összekötő vonalakat pedig éleknek nevezzük. Közösen oldjuk meg a hét település vasúthálózatának felrajzolását. Beszéljük meg, mit értünk fokszámon (az egy csúcsba futó élek száma), és mit a fokszámok összegén. 41


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA ** Kapcsolódás: 2.2 SZIGETELŐK munkalap feladatsorait használjuk a gráfelméleti alapfogalmak megismertetésére, használatukra a gyakorlati életben, a szövegértés és modellalkotás fejlesztésére. * Kapcsolódás: Vizsgálják meg a tanulók a hálózati típusokat (TK. 28. oldal) él és fokszám szerint. Figyeltessük meg, melyik rajzolható meg egy vonallal. Milyen összefüggést fedezhetünk fel a csúcsok fokszámának összege és az élek száma között (bármely gráfban a csúcsok fokszámának összege az élek számának kétszerese)? Az interneten találunk gráfot rajzoló animációt, melynek segítségével könnyen motiválhatjuk a gyerekeket a feladat ábrázolására: http://tenger.web.elte.hu/flash/graf/graf0.htm

2.24 Vagy talán mégis? Pénzfeldobás: Minden tanuló dobjon fel egy pénzérmét, és az adatokat rögzítsük táblázatban. Előtte egyeztessünk, hogy a különböző pénzérmék esetén melyik oldalt tekintjük fejnek és melyiket írásnak. Legalább két sorozatot végezzünk a dobásokból. A dobások megkezdése előtt mindenki tegye meg tippjét. Összegezzük a dobásokat, és állapítsuk meg a fej, illetve az írás előfordulásának relatív gyakoriságát. Tudatosítsuk a tanulókban, hogy szabályos pénzérmével dobva a két esemény ugyanakkora eséllyel következhet be, vagyis a két eseménynek ugyanakkora a valószínűsége. Minél több feldobást végzünk, annál inkább megközelítjük ezt a valószínűséget (nagy számok törvénye). KÉRDÉSEK, FELADATOK (1) 50%; (2) Minden tanuló tippjét rögzítsük, majd játsszuk le a feladatot minden tanuló esetén. Az eredmények összegzése után írjuk fel az egyes színek előfordulásának relatív gyakoriságát: kedvező esetek száma/összes húzás. Mutassunk rá, hogy az egyes színek előfordulásának az aránya fogja a húzásuk valószínűségét megadni. Az egyes húzások valószínűsége: fehér 3⁄10 = 30%, kék 2⁄10 = 20%, piros 5⁄10 = 50%. (3) Párban vizsgálják meg a tanulók, hogy egy szabályos dobókockával dobva hányféle eredményt kaphatunk, és ezek között hány esetben osztható a szám hárommal. Vegyék észre, hogy 1–6 között minden számnak ugyanakkora, 1⁄6 a valószínűsége. Kedvező esetek száma: 2, tehát 2⁄6 a valószínűsége a hárommal osztható számnak. (4) Ha kétféle szín szerepel, akkor a 3. húzás már biztos azonos színt eredményez. ** Kapcsolódás: 10.3 MADAROCK munkalap a valószínűség-számításról eddig tanultak ismétlésére, mélyítésére, a szövegértés fejlesztésére. A feladatsorban az egyes helyszínek Magyarországon belüli helyzetének meghatározásához használjuk a tankönyv belső borítóján lévő földrajzi térképet. ** Kapcsolódás: 10.2 ESÉLYES feladatsorral a valószínűségről tanultak rendszerező ismétlése, a gyakorlati problémákban való alkalmazási képesség elsajátítása, a különböző szituációkhoz tartozó azonos modellek felismerése gyakoroltatható.

42


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek Kiegészítő feladat. Melyik a kedvezőbb? – klasszikus modell alkalmazása. Két játék közül kell választanunk. Az egyikben egy kockával dobunk. Ha a dobott szám 3-mal osztható, akkor vesztettünk. A másik játékban 30 darab műanyag kupakot elhelyezünk egy kalapba, 18 pirosat és 12 kéket. Piros húzása esetén nyerünk. Melyik játék kedvezőbb a számunkra? Minden dobás és húzás valószínűségét egyenlőnek feltételezzük, így a klasszikus modellt alkalmazzuk. Legyen A esemény: A dobókockával nem 3-mal osztható számot dobunk. Ebben az esetben az összes esetek száma 6, hiszen 6 különböző számot dobhatunk. A kedvező esetek száma 4, mert 4 2 = az 1, 2, 4, 5 számok a nyerők. Vagyis: P(A) = 6 3 Legyen B esemény: A kalapból piros kupakot húzunk. Bármelyiket húzhatjuk, ezért az összes eset 18 3 száma 30, a kedvezőé pedig csak 18. Vagyis: P(B) = = 30 5 Mivel P(A) > P(B), ezért az első játékot kedvezőbb játszani, ott nagyobb az esélyünk a nyerésre. (Ezt az eltérést nem fogjuk érzékelni, ha a játékokat csak néhányszor játsszuk.)

2.25 Statisztika Mindennapjainkban gyakran találkozunk diagramokkal, táblázatokkal, ezek megfelelő értelmezéséhez a statisztikai alapfogalmak ismeretére és megértésére van szükség. A tankönyv számos statisztikai jellegű feladatot tartalmaz, melyek értelmezéséhez néhány mutató használatának ismerete szükséges. Alapfogalmak a statisztikában A statisztikus először adatokat gyűjt a vizsgálat tárgyát képező egyedekről, az úgynevezett statisztikai sokaság elemeiről. Az információgyűjtés során vizsgált tulajdonságot ismérvnek nevezik. Nézzük meg az osztály matematikai félévi eredményeit! Az adatokat rögzítsük táblázatban. Itt a statisztikai sokaságot az osztály tanulói alkotják, az ismérv pedig az érdemjegy lesz. Az egyes érdemjegyek előfordulását nevezzük gyakorisági eloszlásnak. Az adatokat különböző típusú diagramokon ábrázolhatjuk. További statisztikai mutatók: a számtani átlag (amivel már foglalkoztunk), a medián (középső érték), módusz (leggyakrabban előforduló adat). Elemezzük a leckében található diagramokat abból a szempontból, hogy mennyi konkrét adatot tudunk leolvasni róluk, mennyire informatívak, milyen tulajdonságot, ismérvet vizsgálnak. * Kapcsolódás: Vizsgáljuk meg a „Diákmunkaidő” szerkezetét (19. oldal), a Szabadidő felhasználást (22. oldal), a 15 éves és idősebb népesség iskolai végzettség szerinti megoszlását (319. oldal), vagy az átlagos havi jövedelem területi megoszlását (318. oldal) szemléltető különböző diagramtípusokat. Gyűjtessük táblázatba az adatokat, és elemezzük statisztikai mutatók szerint. Mutassuk meg a statisztikai adatgyűjtés fontosságát a tankönyv OKÉ és Történelem-társadalomismeret anyagrészeinél található különböző diagramtípusokon keresztül. ** Kapcsolódás: 11.1 FOCIBAJNOKSÁG feladatsorral párokban dolgozhatnak a tanulók. Gyakorolhatják a szövegértést, adatgyűjtést, táblázatkezelést, grafikonok készítését, gráfok alkalmazását. 43


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA

GEOMETRIA II. A témakör célja: A témakört záró négy lecke a térszemlélet fejlesztése mellett a legáltalánosabb testek tulajdonságaival, a térfogat és felszín meghatározásával foglalkozik. A téma feldolgozása megkívánja a mértékegységek használatát, így elengedhetetlen a mértékegységekkel és átváltásukkal való foglalkozás. Átismételjük és rendszerezzük a geometriai transzformációkat egybevágóság és hasonlóság szempontjából. Egybevágósági és a hasonlósági transzformációkról, az adott tulajdonságú ponthalmazokról tanultak alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Használjuk fel a témakört a szakmákhoz kapcsolódó gyakorlati feladatok megoldására is. Didaktikai lehetőségek: A témakör lehetőséget ad a páros és csoportos munkákra, a tanulói kiselőadásokra, prezentációkra. Törekedjünk arra, hogy a problémamegoldási eszközök minél szélesebb tárházát alkalmazzák a tanulók. Különösen kiemelt fontosságú a modellezés, ábrakészítés a térszemlélet fejlesztése szempontjából.

2.26 Alakzatok csoportosítása Testek vizsgálata csoportmunkában A testekről tanultak átismétlését, rendszerezését csoportmunka keretében végezzük. Minden csoport számára biztosítsunk egy hasábot, téglatestet, kockát, hengert, gúlát és kúpot. Adott szempontsor alapján vizsgálják meg a kapott testeket: határoló lapok fajtája, száma; csúcsok, élek száma szerint. Rajzoltassuk meg az adott testek hálóját is. Minden csoport egy-egy testet mutasson be, az előadást kiegészítve, javítva rögzítsük a jellemző tulajdonságokat. A korrigált posztereket helyezzük ki a falra. ** Kapcsolódás: 7.2 RAJZOLGATUNK munkalap feladatainak megoldásával a tanulók térgeometriai szemlélete, térlátása, a modellalkotási képessége fejleszthető. Előkészíti a felszín- és térfogatszámítást. A tanulók önállóan dolgozzanak, ha szükséges, adjunk segítséget. A munka végén érdemes megbeszélni az elkészített rajzokat, az elkészítés miértjét, hogyanját, valamint további problémák felvetésére ösztönözni a diákokat. Kiegészítő feladat: Poszter készítése a különböző sokszögalapú hasábok felszín- és térfogatképleteiből. Kiegészítő feladat: Csapatjáték keretében a felszín- és térfogatszámítás előtt a már ismert terület fogalom (főképp a háromszög és a négyszögek területének) átismétlésére, átgondolására, a fogalom elmélyítésére. 6.6 RÁCSODÁLKOZÁS munkalap segítségével (**Kapcsolódás).

44


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek 2.27 Felszín, térfogat A felszín és a térfogat értelmezése után térjünk ki a használatos mértékegységekre is. Célszerű a tanulókkal leíratni a füzetbe a terület- és a térfogategységek közti összefüggést. A felszín és a térfogat szemléletes megközelítésére használjuk a 7.3 KISKOCKÁK (**Kapcsolódás) feladatsort, melyet érdemes párban feldolgoztatni, hogy egymás közt megvitathassák elképzeléseiket a tanulók. Mivel a feladatok részben egymásra épülve nehezednek, így javasoljuk a diákoknak, hogy sorban oldják meg azokat. A feladatok jól differenciálják majd a gyerekeket, de mindenki számára van megoldható feladat. A nagyon jóknak lehet további nehezebb feladatot, általánosításra vonatkozó kérdést is adni. A felszín- és térfogat-számítási képletek alkalmazását először biztosítsuk szokványos feladattípusokkal, amikor az ismert adatokból kell meghatározni egyszerű behelyettesítéssel a testek felszínét, illetve térfogatát. Ezt egyéni munka keretében tegyék, a számításokat számológép segítségével végezzék. A 7.1 munkalap (**Kapcsolódás) feladatsoraival párban vagy kiscsoportban dolgozzanak a tanulók. A számítások előtt beszéljük meg, hogy hány tizedesjegy pontossággal határozzák meg az eredményeket. Ismételjük át a kerekítés szabályait. Valamennyi feladat két részre bontható. Az első részében egy-egy felszínre vonatkozó képlettel kell algebrai átalakítást végezni úgy, hogy megkapják a benne szereplő egyetlen ismeretlen értékét. A második részben elvégzik az adatok behelyettesítését. Ez jó gyakorlóterep a tanulók számára az indirekt gondolkodásmód elsajátításához és fejlesztéséhez. A feladatsor igényli, hogy közösen rögzítsük a háromszögalapú hasáb felszín- és térfogatszámításának módját, értelmezzük a tengelymetszet fogalmát. A KÉRDÉSEK, FELADATOK példáit ezután önálló munka keretében, vagy otthoni munkaként oldják meg a tanulók. 2.28 Egybevágóság, szimmetria Geometriai transzformációk rendszerezése A geometriai transzformációt mint pont-pont függvényt értelmezzük. Ha lehetséges, vetítsük ki a képet (vagy adjunk páronként egy-egy rajzot a tanulóknak), és értelmezzük az egyes transzformációkat. a)

b)

A’

c)

A B’

B

d)

t

e

B

f

t

e’ f’

B’

A A’ C

C’

45


2014.03.19. 19:36:37

MATEMATIKA A megfigyelések alapján +/– jellel jelöljük táblázatban (minden tanuló a füzetében) az egyes transzformációk tulajdonságait. A feladatot páros munkában végezzék, majd plenárisan összegezzük a tanulók megfigyeléseit. Tulajdonság

tengelyes tükrözés

középpontos tükrözés

forgatás

eltolás

távolságtartó szögtartó egyenestartó párhuzamosságtartó illeszkedéstartó körüljárási irányt tartó körüljárási irányt fordító

Síkidomok vizsgálata páros munka keretében Szimmetriák értelmezése, vizsgálata, alkalmazásuk háromszögek, speciális négyszögek, szabályos sokszögek vizsgálatában. A tanulók tapasztalata és általános iskolában szerzett tudásuk alapján rajzolják be a síkidomokba azokat az egyeneseket, illetve pontokat, amelyekre tükrözve a tükörkép azonos az eredetivel.

A tanulói megfigyelések alapján plenárisan töltsük ki a táblázatot. Szimmetriák:

tengelyes

középpontos

forgás

Szimmetrikus háromszögek

egyenlőszárú háromszög, nincs szabályos háromszög

szabályos háromszög

Szimmetrikus négyszögek

húrtrapéz, deltoid, téglalap, rombusz, négyzet

paralelogramma, téglalap, négyzet

négyzet (90o), rombusz (180o), téglalap (180o)

Szimmetrikus sokszögek

minden szabályos sokszög

páros oldalszámú szabályos sokszög

minden szabályos sokszög

A tengelyes tükrözés gyakorlására, a tengelyes tükrözés tulajdonságainak felelevenítésére, a középpontos tükrözés előkészítésére használhatjuk a 8.1 munkalapot (** Kapcsolódás: TRÜKKÖZŐ TÜKRÖZŐ). A koordináta-rendszerben végzett tükrözéses példasor önálló munkára alkalmas. 46


2014.03.19. 19:36:37

Módszertani füzetek A geometriai transzformáció mint pont-pont függvény értelmezése. Mozgások, transzformációk vizsgálata a síkon és a térben. Az egybevágósági transzformáció fogalmának felelevenítése, a tanult egybevágósági transzformációk rendszerezése. Kiegészítő feladat: TOTÓ – egyéni munka. A kérdésekre adott válaszokat táblázatban adják meg a tanulók, így az ellenőrzés is egyszerűbb lesz. Tegyél X jelet ahhoz a transzformációhoz, amelyre igaz az állítás. Egyszerre többet is jelölhetsz!

Tengelyes tükrözés

Középpontos tükrözés

Eltolás

Pont körüli forgatás

1. Szakasz és képe ugyanolyan hosszú (távolságtartó).

x

x

x

x

2. Egyenes képe egyenes (egyenestartó).

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Kérdés

3. Körüljárási irányt tartó. 4. Bármely alakzat és képe formára és méretre ugyanolyan (egybevágóság).

x

5. Van fixegyenese.

x

6. Nincs fixpontja.

x

7. Egyetlen egy fixpontja van.

x

8. Szög és képe ugyanolyan nagyságú (szögtartó).

x

x

x

9. Létezik olyan egyenes a síkon, amelynek képe önmaga.

x

x

x

10. Ha a transzformáció után a képre újból végrehajtjuk a transzformációt, akkor az eredeti alakzatot kapjuk.

x

x

x

Egybevágó síkidomok Két síkidomot egybevágónak nevezünk, ha van olyan egybevágósági transzformáció, esetleg több ilyen transzformáció egymás utáni alkalmazása, amely után a két alakzat fedésbe hozható. Szemléltessük a sokszögek egybevágóságának feltételeit. Az ábrán látható ABC és A’B’C’ háromszögek két-két oldalának hoszsza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a rövidebbel szemközti szögek is egyenlők. A két háromszög mégsem egybevágó. Két háromszög egybevágó, ha rájuk a következő feltételek egyike teljesül: a) oldalaik hossza páronként egyenlő; b) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által bezárt szögek egyenlők;

C

C’

b b

A

c

B

47


2014.03.19. 19:36:38

MATEMATIKA c) egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két szögük páronként egyenlő; d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és a két-két oldal közül a hosszabbal szemközti szögek egyenlők. Ha ezek közül egy feltétel teljesül, akkor a háromszög minden megfelelő adata egyenlő, tehát a többi feltétel is teljesül. A sokszögek egybevágóságának a feltétele a megfelelő oldalak hossza és a megfelelő szögek egyenlősége. Az ábrán lévő rombusz és négyzet oldalai egyenlők, de a két négyszög nem egybevágó, mert megfelelő szögeik nem egyenlők. Két sokszög biztosan egybevágó, ha rájuk a következő a a feltételek egyike teljesül: a) megfelelő oldalaik hossza és megfelelő átlóik hossza egyenlő; a a a a b) megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik páronként egyenlők. Tudatosítsuk a tanulókban, hogy egybevágó síkidomok a a területe és kerülete, valamint egybevágó testek felszíne és térfogata egyenlő. Egyéni munka: Szerkessz szabályos hatszöget, és rajzold be az átlóit! Keress a kapott ábrán egybevágó síkidomokat! Kiegészítő feladat: szabályos sokszögeket bemutató poszter, vagy prezentáció készítése páros munkában.

2.29 Hasonlóság Mutassunk rá, hogy a geometriai transzformációknak több fajtáját ismerjük. Az egybevágóságok mellett hasonlóság, vetítések stb. is szerepet kapnak sok gyakorlati alkalmazásban. A geometriai transzformációk használatára példa a térképek készítése. *Kapcsolódó: Tankönyv 134–135. oldal, háromszögek, Arisztotelész mérése. Térképolvasás: A belső borítón lévő méretarány segítségével határoztassuk meg néhány nagyváros távolságát. Beszéljük meg és értelmezzük, hogy mit jelent a méretarány, hányszoros nagyítást jelent a példában megadott lépték. Hasonló alakzatok A történetírók szerint Thalész árnyékuk segítségével mérte meg a piramisokat úgy, hogy leszúrt egy botot a földbe, és kifigyelte azt a pillanatot, amikor azonos hosszúságú a bot és az árnyéka. Ekkor a piramis árnyéka egyenlő a magasságával.

a

x

b

1

48


2014.03.19. 19:36:38

Módszertani füzetek Hasonlónak nevezünk két alakzatot, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. A hasonlóság jele: ~. Például: Ha az ABC háromszög hasonlósági transzformációval kapott képe az A' B' C' háromszög, akkor ABC ~ A' B' C' . Ha két alakzat hasonlóságát akarjuk belátni, akkor keresnünk kell olyan hasonlósági transzformációt, amellyel az egyik alakzatot a másikba tudjuk átvinni. (Ez gyakran hosszadalmas munkát jelenthet.) Hasonlósági transzformáció fogalma A középpontos hasonlóságot hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció tulajdonságai 1. Egyenes képe egyenes. 2. A hasonlósági transzformáció szögtartó. 3. A λ arányú hasonlósági transzformáció bármely szakasz hosszát a λ-szorosára változtatja. (A hasonlósági transzformáció aránytartó.) 4. Ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszúságát λ-szorosára (λ>0) változtatja, akkor az hasonlósági transzformáció. Hasonlósági transzformációkat szemléltető animáció: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/alakzatok-hasonlosaga/a-hasonlosagi-transzformacio Ezután térjünk rá a tankönyvi FELADAT megbeszélésére. Rajzoltassunk vázlatot a tanulókkal, amin szemléltetik az adatokat. A két terület kiszámítása után figyeltessük meg a terület növekedésének arányát. Írjuk fel általánosan a két téglalap területét: T1 = 1 ∙ 2 cm2 T2 = 1(5 ∙ 105) ∙ 2(5 ∙ 105) = (1 ∙ 2) ∙ (25 ∙ 1010) cm2 Legyen a hasonlóság aránya: λ, ekkor T1 = a ∙ b T2 = a(λ) ∙ b(λ) = (a ∙ b) ∙ λ2 Vizsgáljuk meg, hogyan változik a téglalap kerülete: K = 2a + 2b = 2a ∙ λ + 2b ∙ λ = 2 ∙ λ (a + b). Fogalmaztassuk meg általánosan az összefüggést a tanulókkal: ha egy síkidomot λ-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor minden távolságadata, így a kerülete is a λ-szorosára, a területe pedig λ2-szeresére változik. Ezt követően önálló megoldásra adjuk fel a négyzet területének megduplázására vonatkozó feladatot. Hasonló sokszögek szerkesztése: gyakoroljuk a középpontos nagyítás, kicsinyítés szerkesztését tetszőleges háromszög, négyszög és kör esetében. Tankönyvi Mintafeladat megoldása páros munkában, plenáris ellenőrzés. Hívjuk fel a tanulók figyelmét, hogy az adatokat vázlatrajzon szemléltessék. Feladatmegoldás: A gömbös feladathoz adjunk meg egy tetszőleges sugár értéket, pl.: r = 10 cm, így a tanulók gyakorolják a képletek használatát, a behelyettesítési érték meghatározását is. A konkrét példán keresztül fogalmazzák meg általánosan is a hasonlóság mértéke, a felszín és a térfogat közötti összefüggést. 49


2014.03.19. 19:36:38

MATEMATIKA Egységnyi oldalú kocka nagyítását szintén önállóan számolják ki a tanulók. ** Kapcsolódás: 11.3 GULLIVER 1. feladata a hasonló testek felszínének, a 2. példa a térfogatának arányára vonatkozó összefüggést alkalmaztatja a mese szereplői közötti méretkülönbségre. A szöveg önálló értelmezése után közösen oldjuk meg a feladatot. A 3. példa arányos következtetéssel oldható meg. 2.30 Koordinátageometria, szögfüggvény Térjünk vissza a derékszögű háromszögekre, a háromszög oldalai között fennálló összefüggés átismétlésére. A Pitagorasz-tétel, a négyzetgyök, egyszerűbb algebrai azonosságok, egyenletmegoldás gyakorlására használhatjuk a 6.8 PIO RAGASZT (**Kapcsolódás) munkalap feladatait. Itt gyakorlati példákban kell felismerni a derékszögű háromszögeket, a probléma geometriai modelljében való felhasználásukat. A számítások elvégzésének biztosabbá tétele, a négyzet átlójának hosszára és a szabályos háromszög magasságára vonatkozó összefüggések megalapozására szolgáló feladatsor. A megoldásához használjanak a tanulók a gyökvonás elvégzésére alkalmas számológépet. Fontos megértetni a diákokkal (erről szól az első feladat), hogy mielőtt alkalmazzák a Pitagorasz-tételt, előtte meg kell győződni, hogy valóban derékszögű-e a háromszög, amire a tételt felírják! A további feladatokban is fokozott figyelemmel kell kísérni az ismeretek helyes alkalmazását. Vizsgáljuk meg, milyen összefüggés van a szögek között. Plenáris formában gyűjtsük öszsze a tanult tételeket: belső és külső szögek összege; a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Ismételjük át a szögmérés mértékegységét. Beszéljük meg az ív mérték fogalmát. Ha egységnyi sugarú kört használunk a méréshez, akkor a hosszúságmérés egységére vezetjük vissza a szögmérés egységét. Ekkor a szögszárak által kimetszett körív hossza a szög mértéke, az ív közvetlenül méri a szöget. Az egységnyi sugarú kör kerülete 2rπ, ami 360°-nak az ívmértéke. Mutassunk rá, hogy a körív és a szög nagysága egyenesen arányos, ennek alapján néhány nevezetes szöget könnyen fel tudunk írni ívmértékben: π π π 180° = π; 60° = ; 45° = ; 30° = 3 4 6 1

1 radián az a középponti szög, amelyhez egységnyi sugarú körben egységnyi (sugárnyi) ívhossz tartozik.

1

1

Kiegészítő feladat: 1) Hányszorosa a sugárnak a 47°-hoz tartozó körív? Megoldás: 180° esetén az ív a sugár π-szerese. π Ebből: 1° esetén az ív a sugár -szorosa. 180 π 47° esetén az ív a sugár 47 ∙ -szorosa. 180 Általánosítva: α szög esetén az ív nagysága α° ∙ π/180. 50


2014.03.19. 19:36:38

Módszertani füzetek 2) Elevenítsük fel a forgásszögről, a pozitív és negatív forgásirányról tanultakat. Koordináta-rendszerbe helyezve a forgásszöget, megfigyeltethetjük, hogy a szög forgó szára melyik síknegyedben található. – Ha a szög 0° és 90° közötti, akkor mindkét koordinátája pozitív. – Ha a szög 90° és 180° között van, akkor az x koordinátája negatív, az y pedig pozitív. – Ha a szög 180° és 270° közötti, akkor mindkét koordinátája negatív. – Ha a szög 270° és 360° között van, akkor az x koordinátája pozitív, az y pedig negatív.

sin α =

a

B Szöggel szembeni befogó

A derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés Trigonometria (görög), háromszögtan, a geometriának az az ága, mely a háromszögek oldalai és szögei közötti összefüggéseket vizsgálja. Alapfogalmai: a szögfüggvények, a derékszögű háromszög oldalai ó között fennálló arányokat fejezik ki a háromszög egyik hegyes og Átf c szögének függvényeként. Egy derékszögű háromszögben egy szög és két oldal hányadosa közötti összefüggést a szögfüggvények írják le. b Egy szög szinusza a szöggel szembeni befogó és az átfo- A Szög melletti befogó gó hányadosa.

C

szöggel szemközti befogó a = . átfogó c

Megjegyzendő, hogy a fenti összefüggés minden olyan derékszögű háromszögre igaz, melynek egyik szöge α, mivel minden ilyen háromszög hasonló egymáshoz. A szinusz függvényt bemutató animáció: http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/trigonometria/a-trigonometrikus-fuggvenyek

51


2014.03.19. 19:36:38

MATEMATIKA Szinusz függvény gyakorlati alkalmazása A budapesti Libegő 1970-ben épült. A Zugligetből a János-hegyre vezető drótkötélpályás felvonó (függővasút) a két állomása közötti 262 m szintkülönbséget teszi meg mintegy 12 perc alatt. A libegő pályájának meredeksége 15°. Milyen hosszú a libegő útvonala? (1040 m) Keressünk a tanulókkal olyan élethelyzeteket, amikor egy derékszögű háromszög egyik oldalát és egyik hegyesszögét ismerjük, miközben a háromszög oldalainak nagyságára lenne szükségünk. Pl.: háztető gerendáinak mérete, ha tudjuk, hogy a tető magassága és hajlásszöge mekkora. Oldassunk meg néhány egyszerű gyakorló feladatot, melyen rögzülhet a szöggel szemközti befogó és átfogó hányados, és gyakorolhatják a számológép használatát is. * Kapcsolódás: Tankönyv 176–177. oldal, hullám, hullámmozgás.

Hullám λ

λ = hullámhossz A = amplitúdó

kitérés

A

távolság

52


2014.03.19. 19:36:38

MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉS MÓDSZERTAN SZAKISKOLA 9. ÉVFOLYAM KÍSÉRLETI TANKÖNYV

Recommend Documents