MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII

Tim Penyusun Penulis

:

To’ali

Ukuran Buku

:

21 x 29,7

510.07 TOA M

TO’ALI Matematika : Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk kelas XII/ Oleh To’ali – Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional, 2007 vii, 206 hlm.: 29,7 cm.

Bibliografi ISBN 979-462-816-6 1. Matematika-Studi dan Pengajaran

I. Judul

Cetakan I Tahun 2008

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007-03-30 Duiperbanyak oleh ………………………………………………………

iii

SAMBUTAN Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluasluasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu.

Jakarta, 25 Pebruari 2008 Kepala Pusat Perbukuan

Sugijanto

v

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap syukur pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat begitu besar pada kita semua, sehingga Alhamdulillah, buku matematika SMK untuk kelas XII Kelompok Penjualan dan Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan dapat terselesaikan dengan baik. Buku ini disusun berdasarkan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan SMK/MAK yang sesuai dengan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Republik Indonesia No. 22 dan 23 Tahun 2006 Tentang Standar Isi dan Standar Kompetensi Lulusan untuk Satuan Pendidikan Dasar dan Menengah dengan pengembangannya yang mudah-mudahan dapat melengkapi pemahaman konsep-konsep dasar matematika dan dapat menggunakannya baik dalam mempelajari pelajaran yang berkaitan dengan matematika, pelajaran lain maupun dalam kehidupan sehari-hari. Tiap bab berisi ringkasan teori yang melandasi kompetensi yang harus dipahami secara benar oleh siswa-siswi peserta didik dan disertai contohcontoh soal yang relevan dengan teori tersebut. Soal-soal dibuat didasarkan pada teori dan sebagai latihan untuk dapat menyelesaikan uji kemampuan yang digunakan sebagai parameter atau indikator bahwa peserta diklat sudah kompeten atau belum pada materi yang dipelajarinnya. Kami menyadari bahwa tersediannya buku-buku referensi atau sumber bacaan dari berbagai penulis dan penerbit sangat membantu penulis dalam menyajikan konsep-konsep dasar yang sesuai dengan kaidah-kaidah matematika. Dan mudah-mudahan buku ini dapat bermanfaat secara khusus untuk anak-anak didik di Sekolah Menengah Kejuruan dan bagi siapapun yang berkenan menggunakan buku ini. Akhir kata “Tidak Ada Gading yang Tak Retak”, tidak ada karya manusia yang sempurna selain dari karya-Nya. Demikian pula dengan buku ini masih jauh dari apa yang kita harapkan bersama. Oleh karena itu segala kritik dan saran demi kebaikan bersama sangat diharapkan sebagai bahan evaluasi atau revisi dari buku ini. Jakarta, September 2007 Penulis

vi

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ………………………………………………………………………… Daftar Isi ………………………………………………………………………………… Petunjuk Penggunaan Buku…………………………………………………………

ii iii iv

BAB 1

Teori Peluang…………………………………………………………..… A. Pendahuluan.……………………………………………………………………..... B. Kompetensi Dasar...................................................….………..... B.1 Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi.……………..… B.2 Peluang Suatu Kejadian..…………………………………………....... Uji Kemampuan ……………………………………………………………………...….

1 2 2 2 19 36

BAB 2

Statistika.......................................……………….……………...…. A. Pendahuluan............................................................................ B. Kompetensi Dasar....................................................….………..... B.1 Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel........... B.2 Penyajian Data ………………………………………………………….... B.3 Ukuran Pemusatan (Tendensi Sentral) ………………………...… B.4 Ukuran Penyebaran (Dispersi) …………………………………...… Uji Kemampuan ………………………………………………………………………....

41 42 42 42 50 63 75 91

BAB 3

Matematika Keuangan......................……………………………..... A. Pendahuluan......................................................………………...... . B. Kompetensi Dasar...................................................….………...... . B.1 Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk..…………………………..... B.2 Rente.............................................................................. B.3 Anuitas............................................................................ ... B.3 Penyusutan Nilai Barang................................................... Uji Kemampuan ……………………………………………………………………….... Daftar Bunga.................................................................................

95 96 96 96 125 141 161 178 185

Kunci Jawaban.......................................................................................... Glosarium.................................................................................................. Indeks....................................................................................................... Daftar Pustaka ……………………………………………………………………...... ..

195 200 203 206

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

MUDAH BELAJAR MATEMATIKA 3 Untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah

Tim Penyusun Penulis

:

Nuniek Avianti Agus

Ukuran Buku

:

21 x 28

510.07 AGU M

AGUS, Nuniek Avianti Mudah Belajar Matematika 3: untuk kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah/Oleh Nuniek Avianti Agus. -- Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2007 vi, 138 hlm.: ilus.; 30 cm. Bibliografi : hlm. 138 Indeks. Hlm. 136-137 ISBN 979-462-818-2 1. Matematika-Studi dan Pengajaran

I. Judul

Cetakan I Tahun 2008

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2007 Diperbanyak oleh ………………………………………………………

SAMBUTAN

Buku teks pelajaran ini merupakan salah satu dari buku teks pelajaran yang telah dilakukan penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 46 Tahun 2007. Buku teks pelajaran ini telah dibeli hak ciptanya oleh Departemen Pendidikan Nasional pada tahun 2007. saya menyampaikan penghargaan tinggi kepada para penulis buku teks pelajaran ini, yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para pendidik dan peserta didik di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional ini dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak, dialih mediakan, atau di fotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial, harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah antara lain dengan harga eceran tertinggi. Diharapkan buku teks pelajaran ini akan lebih mudah dijangkau masyarakat sehingga peserta didik dan pendidik di seluruh Indonesia dapat memperoleh sumber belajar yang bermutu. Program pengalihan/pembelian hak cipta buku teks pelajaran ini merupakan satu program terobosan yang ditempuh pemerintah melalui Departemen Pendidikan Nasional. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini agar anak didik memperoleh kesempatan belajar dengan baik. Kepada para siswa, kami menyampaikan selamat belajar, manfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kepada para guru, kami menghimbau agar dapat memberdayakan buku ini seluas-luasnya bagi keperluan pembelajaran di sekolah. Akhir kata, saya menyampaikan Selamat Mereguk Ilmu Pengetahuan Melalui Buku Teks Pelajaran Bermutu.

Jakarta, 25 Pebruari 2008 Kepala Pusat Perbukuan

Sugijanto

iii

Panduan Menggunakan Buku Buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini merupakan buku penuntun untukmu dalam mempelajari matematika. Untuk membantumu mempelajarinya, kenalilah terlebih dahulu bagian-bagian buku ini, yaitu sebagai berikut.

1

12

Gambar Pembuka Bab

Setiap bab diawali oleh sebuah foto yang mengilustrasikan materi pengantar.

1 2

2 3

4

Solusi Matematika Berisi soal-soal terpilih EBTANAS, UAN, dan UN beserta pambahasannya.

14 15

13

Judul Bab

3

Judul-Judul Subbab

4

Materi Pengantar

Berisi soal-soal untuk mengukur pemahamanmu terhadap materi yang telah kamu pelajari pada subbab tertentu.

16 17

Berisi gambaran penggunaan materi yang akan dipelajari dalam kehidupan sehari-hari.

5

14

6

Uji Kompetensi Awal

Materi Pembelajaran

19 20

8 9

7

21

Gambar, Foto, atau Ilustrasi

22

Materi dalam buku ini disertai dengan gambar, foto, atau ilustrasi yang akan membantumu dalam memahami materi.

8

Contoh Soal

11 12

9 10

11

16

Rangkuman

17 Berisi pertanyaanpertanyaan untuk mengukur pemahamanmu tentang materi yang telah dipelajari.

18

Problematika

19

Situs Matematika

20

Peta Konsep

Uji Kompetensi Bab Disajikan sebagai sarana evaluasi untukmu setelah selesai mempelajari bab tertentu.

22

Plus + 23 Kegiatan

Berisi kegiatan untuk menemukan sifat atau rumus. 13

Sudut Tekno

21

Berisi soal-soal yang disertai langkah-langkah cara menjawabnya. 10

15

Berisi ringkasan materi yang telah dipelajari.

18

Berisi materi pokok yang disajikan secara sistematis dan menggunakan bahasa yang sederhana.

6

7

Cerdas Berpikir

Berisi soal-soal yang memiliki lebih dari satu jawaban.

Berisi soal-soal materi prasyarat untuk memudahkanmu memahami konsep pada bab tertentu. 5

Uji Kompetensi Subbab

Uji Kompetensi Semester Berisi soal-soal untukmu sebagai persiapan menghadapi Ujian Akhir Semester.

23 24

Tugas

Berisi tugas untuk mencari informasi, berdiskusi, dan melaporkan.

Berisi soal-soal dari semua materi yang telah kamu pelajari selama satu tahun.

24 v

Uji Kompetensi Akhir Tahun

Kunci Jawaban

Prakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami. Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan pada buku Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah ini disampaikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak merasa bosan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar.

Penulis

vi

Daftar Isi Panduan Menggunakan Buku ..............................................................................................

v

Prakata .....................................................................................................................................

vi

Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun ........................ Datar .................................................

1

A. Kesebangunan Bangun Datar ...........................................................................................

2

B. Kekongruenan Bangun Datar ...........................................................................................

8

Uji Kompetensi Bab 1 ............................................................................................................. 14 Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung ................................................................................... 17 A. Tabung ............................................................................................................................... 18 B. Kerucut .............................................................................................................................. 23 C. Bola ................................................................................................................................... 28 Uji Kompetensi Bab 2 ............................................................................................................. 35 Bab 3 Statistika ...................................................................................................................... 37 A. Penyajian Data................................................................................................................... 38 B. Ukuran Pemusatan Data .................................................................................................... 44 C. Ukuran Penyebaran Data................................................................................................... 48 Uji Kompetensi Bab 3 ............................................................................................................. 52 Bab 4 Peluang ........................................................................................................................ 55 A. Dasar-Dasar Peluang.......................................................................................................... 56 B. Perhitungan Peluang ......................................................................................................... 59 C. Frekuensi Harapan (Pengayaan)........................................................................................ 63 Uji Kompetensi Bab 4 ............................................................................................................. 67 Uji Kompetensi Semester 1 ..................................................................................................... 70

vii

Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya............................................................................................

73

A. Bilangan Berpangkat Bulat................................................................................................

74

B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan....................................................................................

85

Uji Kompetensi Bab 5 .............................................................................................................

97

Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret.............................................................................

99

A. Pola Bilangan..................................................................................................................... 100 B. Barisan Bilangan................................................................................................................ 107 C. Deret Bilangan .................................................................................................................. 114 Uji Kompetensi Bab 6 ............................................................................................................. 124 Uji Kompetensi Semester 2 ..................................................................................................... 126 Uji Kompetensi Akhir Tahun ................................................................................................... 128 Kunci Jawaban ........................................................................................................................ 131 Daftar Pustaka ......................................................................................................................... 138

viii

Bab

1 Sumb er:

CD Image

Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang, dan trapesium. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari kesebangunan dan kekongruenan bangun-bangun datar tersebut. Pernahkah kamu memperhatikan papan catur? Setiap petak satuan pada papan catur, baik yang berwarna hitam maupun yang berwarna putih, memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Tahukah kamu, disebut apakah bangun-bangun yang sama bentuk dan ukurannya? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

A. B.

Kesebangunan Bangun Datar Kekongruenan Bangun Datar

1

Uji Kompetensi Awal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut.

1.

Jelaskan cara mengukur sudut menggunakan busur derajat. Jelaskan sifat-sifat persegipanjang, persegi, layanglayang, trapesium, belah ketupat, dan segitiga. Jelaskan cara membuat segitiga sama sisi. Tentukan nilai a .

2. 3. 4.

5.

Perhatikan gambar berikut.

R2 3

Q2

1

3

4

1 4

P2 3

S2 3

1 4

1 4

Jika ? P 1 = 50°, tentukan besar ? Q2, ? R3, dan ? S4.

α

A. Kesebangunan Bangun Datar D

C 2 cm

1. Kesebangunan Bangun Datar

Dalam kehidupan sehari-hari, pasti kamu pernah mendengar istilah memperbesar atau memperkecil foto. Ketika kamu memperbesar (atau H G memperkecil) foto, berubahkah bentuk gambarnya? Bentuk benda pada foto mula-mula dengan foto yang telah diperbesar adalah sama, tetapi ukurannya 4 cm berlainan dengan perbandingan yang sama. Gambar benda pada foto mulamula dengan foto yang telah diperbesar merupakan contoh dua bangun yang E F 8 cm sebangun. (b) Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 1.1 . Sebangunkah persegiGambar 1.1 panjang ABCD dengan persegipanjang EFGH? Pada persegipanjang ABCD Dua persegipanjang yang sebangun. dan persegipanjang EFGH, perbandingan panjangnya adalah 4 : 8 = 1 : 2. Adapun perbandingan lebarnya adalah 2 : 4 = 1 : 2. Dengan demikian, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua persegipanjang tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. AB 1 BC 1 CD 1 DA 1 = ; = ; = ; = Plus + EF 2 FG 2 GH 2 HE 2 Kesebangunan Keseba Keseban Kemudian, perhatikan sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang dilambangkan dengan “ ~ “. ABCD dan persegipanjang EFGH. Oleh karena keduanya berbentuk persegipanjang, setiap sudut besarnya 90° sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Artinya kedua persegi Cerdas Berpikir panjang tersebut memiliki sisi-sisi yang bersesuaian dan sebanding sedangBuatlah tiga kan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Oleh karena itu, persegipanjang persegipanjang yang ABCD dan persegipanjang EFGH dikatakan sebangun.. sebangun dengan kedua persegipanjang pada Jadi, dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syaratGambar 1.1 . syarat sebagai berikut. A

4 cm (a)

B

• •

2

Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang senilai. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar.

Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX

Contoh Soal

1.1

Di antara ra gambar gambar-gambar b berikut, manakah yang sebangun? L

K

P

2 cm

6 cm

T

S

O

2 cm I

6 cm

M

J

N

Jawab: Q a. Perhatikan persegipanjang IJKL dan persegi MNOP. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah

R

IJ 6 JK 2 KL 6 LI 2 = ; = ; = ; = MN 2 NO 2 OP 2 PM 2

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebanding. (ii) Besar setiap sudut pada persegipanjang dan persegi adalah 90° sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada persegipanjang IJKL dan persegi MNOP sama besar. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegipanjang IJKL dan persegi MNOP tidak sebangun. b. Perhatikan persegi MNOP dan persegi QRST. (i) Perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian adalah MN 2 NO 2 OP 2 PM 2 = ; = ; = ; = QR 6 RS 6 ST 6 TQ 6

c.

Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada persegi MNOP dan persegi QRST sebanding. (ii) Oleh karena bangun MNOP dan QRST berbentuk persegi, besar setiap sudutnya 90˚ sehingga sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua bangun tersebut sama besar. Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa persegi MNOP dan persegi QRST sebangun. Dari jawaban a telah diketahui bahwa persegipanjang IJKL tidak sebangun dengan persegi MNOP. Dengan demikian, persegipanjang IJKL juga tidak sebangun dengan persegi QRST. Coba kamu jelaskan alasannya

Contoh Soal

1.2

Perhatikan kan gamb gambar berikut. D

C

S

R

6 cm

A

9 cm

B

P 2 cm Q

Jika kedua bangun pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang QR. Jawab: Oleh karena persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sebangun, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding. 9 X2 9 6 AB BC = = =3 QR = 6 QR RS QR 2 Jadi, panjang QR adalah 3 cm.

Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

3

Contoh Soal

1.3

Diketahuii dua d jjajargenjang j yang sebangun seperti gambar berikut.

Sekilas Matematika

D

C H

Thales 624 SM–546 SM

A

6 dm

E

B

9 cm

2 dm

x

120°

Thales adalah seorang ahli

G

6 cm F

Tentukan nilai x. Jawab: Perhatikan jajargenjang ABCD. 1B = 1 D = 120° 1 A = 1 C = 180° − 120° = 60° Oleh karena jajargenjang ABCD sebangun dengan jajargenjang EFGH, besar sudutsudut yang bersesuaiannya sama besar. Dengan demikian, 1 E =1=A = 60°. Jadi, nilai x = 60˚

mempelajari matematika, ilmu pengetahuan lain. Dalam matematika, ia terkenal dengan caranya mengukur tinggi piramida di Mesir dengan menggunakan prinsip kesebangunan pada segitiga. Sumber: Matematika, Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-anak, 1979.

2. Kesebangunan pada Segitiga Berbeda dengan bangun datar yang lain, syarat-syarat untuk membuktikan kesebangunan pada segitiga memiliki keistimewaan tersendiri. Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

Kegiatan Perhatikan pasangan-pasangan segitiga berikut ini, kemudian jawab pertanyaannya. a. 5 cm

4 cm

10 cm

8 cm 2 cm 3 cm

3 cm

(a)

(b) 6 cm

Pada kedua pasangan segitiga tersebut, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama. Ukurlah besar sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah sama besar? b. 40°

60°

40°

60° 60°

60°

60°

60°

90°

(a)

50° 90° (b)

50°

Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisinya. Apakah sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang sama? c. 2,5 cm

37,5 cm

3 cm

2 cm 25°

25°

4,5 cm 75° 2 cm (a)

4


75° 3 cm

3 cm (b)

Pasangan-pasangan segitiga tersebut memiliki 2 sisi bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. Coba kamu ukur panjang sisi-sisi yang belum diketahui. Apakah sisi-sisi tersebut memiliki perbandingan yang sama dengan sisi-sisi yang lainnya? Kemudian, ukur pula sudut-sudut yang bersesuaiannya, apakah hasilnya sama besar?

Jika kamu mengerjakan kegiatan tersebut dengan benar, akan diperoleh kesimpulan bahwa untuk memeriksa kesebangunan pada segitiga, cukup lakukan tes pada kedua segitiga tersebut sesuai dengan unsur-unsur yang diketahui. Tabel 1.1 Syarat kesebangunan pada segitiga

Unsur-Unsur yang Diketahui Pada Segitiga (i)

Syarat Kesebangunan

Sisi-sisi-sisi (s.s.s)

(ii) Sudut-sudut-sudut (sd.sd.sd)

Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar.

(iii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)

Contoh Soal

Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

1.4 Problematika

Di antara gambar-gambar b berikut, manakah yang sebangun? 13

6

5

10 50°

50° 3 (a)

Dari gambar berikut, ada berapa buah segitiga yang sebangun? Sebutkan dan jelaskan jawabanmu. C

50°

10 (b)

(c)

Jawab: Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapitnya, gunakan syarat kesebangunan ke-(iii), yaitu sisi-sudut-sisi. a. Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar, yaitu 50°. b. Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut. Untuk segitiga (a) dan (b). 3 6 = 0,3 dan = 0,46 10 13

D

A

E

F

B

Untuk segitiga (a) dan (c). 3 6 = = 0, 6 5 10 Untuk segitiga (b) dan (c). 13 10 = 2 dan = 1, 3 10 5 Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c)

Ketiga syarat kesebangunan pada segitiga dapat digunakan untuk mencari panjang salah satu sisi segitiga yang belum diketahui dari dua buah segitiga yang sebangun. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

5

Contoh Soal

1.5


Solusi Matematika

R

M

Perhatikan gambar berikut. S

21 cm

12 cm

10 cm 7 cm

K

Q

P

8 cm P

6 cm

30 cm

R

L

Q

3 cm T

Jika kedua segitiga pada gambar tersebut sebangun, tentukan panjang PR. Jawab: PQ = 3 KL = 21 cm QR = 3 LM = 30 cm PR = 3 MK = 3 × 6 = 18 Jadi, panjang PR adalah 18 cm

Panjang QT adalah .... a. 4 cm b. 5 cm c. 6 cm d. 8 cm Jawab: ΔQST sebangun dengan ΔQRP. R

Contoh Soal

S

1.6

12 cm 8 cm P

3 cm T

Q

Gambar berikut b ik menunjukkan ∆ABC dengan DE sejajar BC. Jika panjang AD = 8 cm, BD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan panjang BC.

ST QT = RP QP 8 QT = 12 QT + 3

C E A

8(QT + 3) = 12QT 8 QT + 24 = 12 QT 4QT = 24 QT = 6 Jadi, panjang QT adalah 6 cm. Jawaban: c Soal UN, 2007

D B Jawab: Oleh karena ∆ABC sebangun dengan ∆ADE, 8 4 AD DE = maka = 8 + 2 BC AD + DB BC 8 4 = 10 BC 4 X 10 BC = =5 8 Jadi, panjang BC adalah 5 cm

Contoh Soal

1.7

Sebuah tongkat k yang tingginya 1,5 m mempunyai bayangan 1 m. Jika pada saat yang sama, bayangan sebuah tiang bendera adalah 2,5 m, tentukan tinggi tiang bendera tersebut. C Jawab : Misalkan, DE = tinggi tongkat E BD = bayangan tongkat ? AB = bayangan tiang bendera 1,5 m AC = tinggi tiang bendera A

D 2,5 m

6


1m

B

BD DE 1 1, 5 = maka = AB AC 2, 5 AC 2, 5 × 1, 5 AC = 1 = 3, 75 Jadi, panjang tiang bendera tersebut adalah 3,75 m

Uji Kompetensi 1.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Manakah di antara bangun-bangun berikut yang pasti sebangun? a. Dua jajargenjang b. Dua trapesium c. Dua persegi d. Dua lingkaran e. Dua persegipanjang 2.

5.

Tentukan nilai x dan y pada pasangan bangunbangun yang sebangun berikut. D a. A 70°

Perhatikan gambar berikut. D

65°

2

E 70°

70° C

x°

F

H

C H

B

G

5 E

B

A

S

b.

6

G R

103°

F

15

Sebangunkah persegipanjang ABCD dan persegipanjang EFGH? Jelaskan jawabanmu. 3.

S

y

R

2

4

x

10

b.

x

y

4

10

Q

P

5

4.

Q

P

Gambar-gambar berikut merupakan dua bangun yang sebangun. Tentukanlah nilai x dan y. a.

10

6.

Di antara gambar-gambar berikut, manakah yang sebangun? 15

20

Deni membuat sebuah jajargenjang seperti gambar berikut.

30°

9 (a)

5

12 30°

30°

3 (b)

6 (c)

6 35° 10

Buatlah tiga jajargenjang yang sebangun dengan jajargenjang yang dibuat Deni.


7

C

7.

D

E

A

8.

Pada gambar di samping, DE // AB. Jika AB = 12 cm, DE = 8 cm, dan DC = 10 cm, tentukan panjang AC. B

Buktikan bahwa ∆DEF sebangun dengan ∆GHF. 5

D 4

9. Sebuah tongkat yang tingginya 2 m mempunyai bayangan 1,5 m. Jika pada saat yang sama, sebuah pohon mempunyai bayangan 30 m, tentukan tinggi pohon tersebut. 10. Seorang pemuda menghitung lebar sungai dengan menancapkan tongkat di titik B, C, D, dan E (seperti pada gambar) sehingga DCA terletak pada satu garis. Tentukan lebar sungai tersebut. A

E 7

F

aliran sungai 12 B

G

E D

12 m

H

B. Kekongruenan Bangun Datar 1. Kekongruenan Bangun Datar

Sumber: Dokumentasi Penulis

Gambar 1.2

Pernahkah kamu memperhatikan ubin-ubin yang dipasang di lantai kelasmu? Ubin-ubin tersebut bentuk dan ukurannya sama. Di dalam matematika, dua atau lebih benda yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut bendabenda yang kongruen. Coba kamu sebutkan benda-benda lain di sekitarmu yang kongruen. Perhatikan Gambar 1.3 S

D

A

C B

Plus+ Kongrue disebut juga Kongruen Kongru sama dan sebangun, dilambangkan dengan “≅”.

8

R

P

Gambar 1.3: Dua bangun kongruen

Q

Gambar 1.3 menunjukkan dua bangun datar, yaitu layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua layang-layang tersebut sama besar, yaitu AB = QR = AD = RS dan BC = PQ = CD = SP. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua layanglayang tersebut juga sama besar, yaitu 1 A = 1 R, 1 C = 1 P, 1 B = 1 Q, dan 1 D = 1 S. Oleh karena itu, layang-layang ABCD dan layang-layang PQRS kongruen, ditulis layang-layang ABCD ≅ layang-layang PQRS. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.


Contoh Soal

1.8

Perhatikan gambar berikut. H

G

Tentukan sisi-sisi yang kongruen pada bangun tersebut.

F

E

C

D A

B

Jawab : Syarat kekongruenan pada bangun datar adalah sama bentuk dan ukurannya. Pada balok ABCD. EFGH, sisi-sisi yang kongruen adalah • sisi ABCD ≅ sisi EFGH • sisi ABFE ≅ sisi CDHG • sisi BCGF ≅ sisi ADHE

Contoh Soal

1.9

Tugas


Q R

C

D

A

Manakah pernyataan yang benar? a. Bangun-bangun yang sebangun pasti kongruen. b. Bangun-bangun yang kongruen pasti sebangun. Jelaskan jawabanmu.

B

S P

Tunjukkan bahwa kedua bangun tersebut kongruen. Jawab : a. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada trapesium ABCD dan trapesium PQRS sama besar, yaitu AB = PQ, BC = QR, CD = RS, dan AD = PS. b. Sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua trapesium tersebut sama besar, yaitu 1 A = 1 P = 1 E = 1 Q dan 1C = 1 R = 1 D = 1 S. Dari jawaban a dan b terbukti bahwa trapesium ABCD ≅ trapesium PQRS.

Contoh Soal

1.10

Perhatikan k dua d bangun b datar yang kongruen berikut. D

E x

120° A

C

45° B

H

60°

F G

Tentukan besar 1 E.


9

Situs Matematika www.deking. wordpress.com www.gemari.or.id

Jawab : Oleh karena kedua bangun datar tersebut kongruen, sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar. 1A = 1 F = 45˚ 1C = 1 H = 60˚ 1D = 1 G = 120˚ 1B = 1 E = ? Jumlah sudut pada bangun datar ABCD = jumlah sudut pada bangun datar EFGH = 360°. E = 360° − ( – F + – G + – H ) = 360° − (45° +120° + 60° ) = 360° − 225° = 35° Jadi, 1E = 35°

2. Kekongruenan Segitiga Pada bagian ini, pembahasan bangun-bangun yang kongruen difokuskan pada bangun segitiga. Untuk menunjukkan apakah dua segitiga kongruen atau tidak, cukup ukur setiap sisi dan sudut pada segitiga. Kemudian, bandingkan sisi-sisi dan sudut-sudut yang bersesuaian. Perhatikan tabel syarat kekongruenan dua segitiga berikut. Tabel 1.2 Syarat kekongruenan pada segitiga

Unsur-Unsur yang Diketahui Pada Segitiga

Syarat Kekongruenan

Sisi-sisi-sisi (s.s.s)

Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

(ii) Sisi-sudut-sisi (s.sd.s)

Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

(iii) Sudut-sisi-sudut (sd.s.sd) atau

Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang.

(i)

Sudut-sudut-sisi (sd.sd.s)

Contoh Soal

1.11 U

S

O

T

10


Gambar di samping merupakan gambar segitiga samasisi STU. Jika SO tegak lurus TU dan panjang sisi-sisinya 3 cm, buktikan bahwa ∆STO ≅ ∆SUO.

Jawab: • ∆STO merupakan segitiga samasisi sehingga ST = TU = US = 3 cm dan – STU = – TUS = – UST = 60°. • SO tegak lurus TU maka – SOT = – SOU = 90° dan TO = OU sehingga – OST = 180˚ − ( – STO + – TOS) = 180˚ − (60°+ 90°) = 30° – USO = 180˚ − ( – SOU + – OUS) = 180˚ − (90° + 60°) = 30° Oleh karena (i) – T = – U = 60° (ii) ST = US = 3 cm (iii) – OST = – USO = 30° terbukti bahwa ∆STO ≅ ∆SUO

Contoh Soal

Solusi Matematika Diketahui segitiga ABC dengan siku-siku di B; kongruen dengan segitiga PQR dengan siku-siku di P. Jika panjang BC = 8 cm dan QR = 10 cm maka luas segitiga PQR adalah .... a. 24 cm c. 48 cm b. 40 cm d. 80 cm Jawab: A

1.12 B

Perhatikan dua segitiga yang kongruen berikut. C

C 8 cm

Q

R

w

10 cm

65° P

z

35°

A

x

Oleh karena ΔABC @ΔPQR maka BC = PR = 8 cm. Menurut Teorema Pythagoras,

Q

y B

R

PQ = QR 2 – PR 2

P

= 102 – 82

Tentukan nilai w, x, y, dan z. Jawab: Oleh karena ∆ABC @ ∆PQR, sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu 1A = 1 Q = z = 35° 1 C = 1 R = w = 65° 1 B = 1 P = x = y = 180° − (35° + 65°) = 180° − 100° = 80° Jadi, w = 65°, x = y = 80°, dan z = 35°.

= 100 – 64 = 36 = 6 1 × PR R× PQ 2 1 = × 8× × 6 = 24 2 Jadi, luas ΔPQR adalah 24 cm2. Luas PQR

Jawaban: a Soal UN, 2007

Uji Kompetensi 1.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Dari gambar-gambar berikut, manakah yang kongruen? F C

40°

4 cm

A

65°

75° x

O

3. R

P

B

Pada gambar di atas, tentukan nilai x.

4 cm H

L

A

4 cm

B

C

40°

E

D

D

I

G 75°

2.

Perhatikan gambar berikut. F

C 13 cm

4 cm 13 cm M K

4 cm

5 cm

13 cm 13 cm

13 cm

J

5 cm

4 cm

A

N

12 cm

B

D

E

Buktikan bahwa ∆ABC ≅∆DEF. Q Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar

11

4.

5.

S 140° P

Perhatikan gambar berikut. P

60° R

Q

140° Q

Jika – PSR = 140° dan – SPR = 30° , tentukan besar – PRQ.

T

R

S

Pada gambar tersebut, panjang PR = (5x + 3) cm dan PS = (2x + 21) cm. Tentukan panjang PS.

Rangkuman •

Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika memenuhi syarat-syarat berikut. - Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut mempunyai perbandingan yang senilai. - Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangunbangun tersebut sama besar. Syarat kesebangunan pada dua atau lebih segitiga adalah - perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai (s.s.s), - sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd), atau - dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar.

•

• • •

12

•

•

Dua atau lebih bangun dikatakan kongruen jika memenuhi syarat-syarat berikut. - Bentuk dan ukurannya sama. - Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Syarat kekongruenan dua atau lebih segitiga adalah - sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, - dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar , atau - dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang.

Setelah mempelajari bab Kesebangunan dan Kekongruenan ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Pada bab ini, materi-materi apa saja yang belum kamu pahami dan telah kamu pahami dengan baik? Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini?


Peta Konsep t Bangun Datar

syarat

t Kesebangunan

untuk

t

Segitiga

syarat

t t


meliputi

Bangun Datar

Kekongruenan

Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang senilai Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

syarat

Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian senilai (s.s.s) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd) Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (s.sd.s)

t t

Bentuk dan ukurannya sama Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sd.sd.sd)

t

Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s) Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar (s.sd.s) Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang (sd.sd.s)

untuk

Segitiga

syarat

t

t


13

Uji Kompetensi Bab 1 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Berikut adalah syarat kesebangunan pada bangun datar, kecuali .... a. perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya senilai b. sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar c. sudut-sudut yang bersesuaiannya memiliki perbandingan yang senilai d. pernyataan (a) dan (b) 2. Perhatikan gambar dua trapesium yang sebangun berikut.

d e

a.

n

9

8

b. A

3.

4.

5.

B

12

E

16

F

Nilai n yang memenuhi adalah .... a. 12 b. 14 c. 16 d. 18 Ukuran persegipanjang yang sebangun dengan persegipanjang berukuran 4 cm × 12 cm adalah .... a. 4 cm × 2 cm b. 18 cm × 6 cm c. 8 cm × 3 cm d. 20 cm × 5 cm Bangun-bangun di bawah ini pasti sebangun, kecuali .... a. dua persegi b. dua persegipanjang c. dua lingkaran d. dua segitiga samasisi Perhatikan gambar berikut. B

E

A

D C

c. d. 7.

Jika ΔABC dan ΔDEF sebangun, pernyataan yang benar adalah .... a. AC = DF b. AB : DE = BC : EF

14


e f e f e f e f

a+b b d+c = d b = a c = d =


10 cm 6 cm x 9 cm

8.

9. F

b

a

C

6

c

f

G

H D

6.

c. AB × AC = FD × ED d. AC : AB = DE : DF Pernyataan yang benar mengenai gambar berikut adalah ....

Nilai x sama dengan .... a. 6,7 cm b. 5,0 cm c. 4,1 cm d. 3,8 cm Diketahui ΔPQR dengan ST sejajar PQ, PS = 6 cm, ST = 10 cm, dan RP = 15 cm. Panjang BS adalah ... cm. a. 9 cm b. 10 cm c. 12 cm d. 15 cm Jika ΔDEF kongruen dengan ΔKLM, pernyataan yang benar adalah .... a. – D = – L b. – E = – K c. DF = LM d. DE = KL

10. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah .... a. jika sudut-sudut dua segitiga sama besar, sisisisi yang bersesuaian sama panjang b. jika sisi-sisi dua segitiga sama panjang sudutsudut, kedua segitiga itu sama besar c. jika dua segitiga sebangun, kedua segitiga itu kongruen d. jika dua segitiga sebangun, sisi-sisinya sama panjang 11. Perhatikan gambar berikut. C

A

D

14.

S 100° 45°

P

R

Q

Pada gambar di atas, besar – RSP adalah .... a. 45° b. 40° c. 35° d. 30° 15. Perhatikan gambar berikut. D

C

B

Pasangan segitiga yang kongruen adalah .... a. ΔDAB dan ΔCAD b. ΔCDA dan ΔCBA c. ΔABC dan ΔADC d. ΔBAD dan ΔCAD 12. Perhatikan gambar berikut. D

C S

R y

50°

x

50° A

B

Q

P

Nilai x + y = .... a. 260° b. 130° c. 50° d. 25° 13. Pada gambar berikut, ∆PQR @ ∆STU.

A

B

Jika panjang AB = (6x − 31) cm, CD = (3x − 1) cm, dan BC = (2x + 3) cm, panjang AD = .... a. 29 cm b. 26 cm c. 23 cm d. 20 cm B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Buatlah tiga pasang bangun datar yang sebangun. Kemudian, berikan alasan jawabannya. 2. Perhatikan gambar berikut. A

B

U

R

C

70°

50° P

Q

S

Pernyataan yang benar adalah .... a. – S = 50° b. – T = 70° c. – S = 60° d. – U = 60°

T

D

E

Tunjukkan bahwa ΔABC sebangun dengan ΔCDE.


15

3.

Pada gambar berikut, tentukan panjang PQ. R

4. 5.

Jelaskan cara menguji kekongruenan dua segitiga dengan kata-katamu sendiri. Perhatikan gambar berikut. 85°

T 12 cm 8 cm

P

10 cm

S

x z

Q y

Tentukan nilai x, y, dan z.

16


vii

PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU A. Deskripsi Umum Matematika SMK Kelompok Penjualan dan Akuntansi kelas XII kompetensi, yaitu: 1. Standar kompetensi Teori Peluang 2. Standar kompetensi Statistika 3. Standar kompetensi Matematika Keuangan

terdiri atas 3

standar

Setelah mempelajari buku ini, kompetensi yang diharapkan adalah peserta didik dapat menerapkan konsep Teori Peluang, Konsep Statistika, dan Matematika Keuangan dalam menunjang program keahlian, yaitu program keahlian pada kelompok Penjualan dan Akuntansi. Pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan buku ini menggunakan pendekatan siswa aktif melalui metode: Pemberian tugas, diskusi pemecahan masalah serta presentasi. Guru merancang pembelajaran yang memberikan kesempatan seluas-luasnya kepada peserta didik untuk berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri ataupun bersama-sama.

B. Prasyarat Umum Dalam mempelajari buku ini, setiap standar kompetensi yang satu dengan standar kompetensi yang lain saling berkaitan dan anda boleh mempelajari kompetensi ini tidak harus berurutan sesuai dengan daftar isi. Jadi untuk dapat mempelajari kompetensi berikutnya harus menguasai secara mendasar kompetensi sebelumnya. Standar kompetensi yang paling mendasar dan harus benar-benar dikuasai adalah standar kompetensi sistem bilangan real.

C. Petunjuk Penggunaan Buku 1. Penjelasan Bagi Peserta Didik a. Bacalah buku ini secara berurutan dari kata pengantar sampai cek kemampuan, lalu pahami benar isi dari setiap babnya. b. Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam buku ini agar kompetensi anda berkembang sesuai standar. c. Buatlah rencana belajar anda dalam mempelajari buku ini, dan konsultasikan rencana anda dengan guru. d. Lakukan kegiatan belajar untuk memdapatkan kompetensi sesuai dengan rencana kegiatan belajar yang telah anda susun.

viii e. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, anda harus mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi), membaca rangkumannya dan mengerjakan soal latihan baik melalui bimbingan guru ataupun tugas di rumah. f. Dalam mengerjakan soal-soal latihan, anda jangan melihat kunci jawaban terlebih dahulu, sebelum anda menyelesaikannya. g. Diakhir kompetensi, selesaikan Uji Kemampuan untuk menghadapi tes evaluasi yang diberikan oleh guru.

2. Peranan Guru a. Membantu peserta didik dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing peserta didik melalui tugas-tugas pelatihan yang dijelaskan dalam tahap belajar. c. Membantu peserta didik dalam memahami konsep dan menjawab pertanyaan mengenai proses belajar peserta didik. d. Membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar. e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Melaksanakan penilaian. g. Menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya. h. Mencatat pencapaian kemajuan peserta didik dengan memberikan evaluasi. Pemberian evaluasi kepada siswa diharapkan diambil dari soal-soal Uji Kemampuan yang tersedia.

D. Cek Kemampuan Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi. Rumus :

Tingkat Penguasaan =

Jumlah jawaban yang benar x 100 % Jumlah soal

______________________ ___________

Arti tingkat penguasaan yang anda capai : 90% - 100% = baik sekali 76% - 89% = baik 60% - 75% = sedang < 60% = kurang Jika anda mencapai tingkat penguasaan 60% ke atas, anda dapat meneruskan dengan kompetensi dasar berikutnya. Tetapi jika nilai anda di bawah 60%, anda harus mengulangi materi tersebut terutama yang belum dikuasai.

Sumber: Art and Gallery

Standar Kompetensi

Kompetensi Dasar

1. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang

9. 1 Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi 9. 2 Menghitung peluang suatu kejadian

2

Matematika XII SMK Kelompok: Penjualan dan Akuntansi

A. PENDAHULUAN Standar Kompetensi Teori Peluang terdiri dari dua (2) Kompetensi Dasar. Pada penyajian dalam buku ini, setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi, dan Peluang Suatu Kejadian Standar Kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan masalah–masalah peluang suatu kejadian pada kehidupan sehari-hari dalam rangka untuk menunjang program keahliannya. Sebelum mempelajari kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real. Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap peserta didik, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.

B. KOMPETENSI DASAR B.1. Kaidah Pencacahan, Permutasi, dan Kombinasi a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Menjelaskan pengertian kaidah pencacahan, faktorial, permutasi, dan kombinasi ¾ Menentukan banyaknya cara meyelesaikan masalah dengan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi ¾ Menyelesaikan masalah dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi b. Uraian Materi Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-17 melalui permainan dadu. Dari permainan dadu inilah akhirnya berkembang permainan-

3

BAB I Peluang

permainan yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya. Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan. Dalam perkembangannya, perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya, seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain.

1). Pengertian Kaidah Pencacahan (Caunting Slots) Kaidah pencacahan atau Caunting Slots adalah suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah pencacahan terdiri atas : a. Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots), b. Permutasi, dan c. Kombinasi.

2). Pengisian Tempat yang Tersedia (Filling Slots) Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K, di mana : K = k1 x k2 x . . . x kn K sering disebut dengan istilah banyaknya tempat yang tersedia dengan aturan perkalian atau Kaidah perkalian. Untuk menentukan banyaknya tempat yang tersedia selain menggunakan aturan perkalian, juga menggunakan diagram pohon, tabel silang, dan pasangan berurutan Contoh 1 Misalkan ada dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk?

Jawab: Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut ini:

Dengan tabel silang Warna baju

Kuning (k)

Merah (m)

Putih (p)

Ungu (u)

( h, k )

( h, m )

( h, p )

( h, u )

( b, k )

( b, m )

( b, p )

( b, u )

Warna celana

Hitam (h) Biru (b)

4


Dengan Diagram Pohon Warna celana

Warna baju Kuning (k)

( h, k )

Merah (m)

( h, m )

Putih (p)

( h, p )

Ungu (u)

( h, u )

Kuning (k)

( b, k )

Merah (m)

( b, m )

Putih (p)

( b, p )

Ungu (u)

( b, u )

Hitam (h)

Biru (b)

Dari tabel silang dan diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u),

Dengan Pasangan Terurut

Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna baju dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna. Contoh 2 Misalkan dari Semarang ke Bandung ada dua jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Berapa banyak jalan yang dapat ditempuh untuk bepergian dari Semarang ke Jakarta melalui Bandung?

Jawab: Dari Semarang ke Bandung ada 2 jalan dan dari Bandung ke Jakarta ada 3 jalan. Jadi, seluruhnya ada 2 x 3 = 6 jalan yang dapat ditempuh. Contoh 3 Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas 4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak boleh berulang?

Jawab: Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari 3 angka, yaitu 2, 3,

BAB I Peluang

5

dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang. Contoh 4 Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan tidak boleh ada angka yang diulang. a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk? b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk? c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk? d. Berapa banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk?

Jawab: a. Angka ribuan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin, yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan yang dapat dibentuk = 6 x 6 x 5 x 4 = 720 angka. b. Bilangan ganjil apabila angka satuannya merupakan angka ganjil. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 1. Angka ribuan ada 5 angka yang mungkin yaitu 2, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 2. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk = 4 x 5 x 5 x 4 = 400 angka. c. Bilangan yang kurang dari 5.000, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Misalkan terpilih angka 1. Angka ratusan ada 6 angka yang mungkin yaitu 0, 2, 3, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 5 angka yang mungkin yaitu 0, 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka satuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 0, 4, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan dapat dibentuk = 4 x 6 x 5 x 4 = 480 angka. d. Bilangan genap apabila satuannya merupakan angka genap, yaitu 0, 2 atau 4. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 0, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 2. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 2, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 3, 4, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 3. Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 4, 5, dan 7. Misal terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 4, 5, dan 7. Bilangan lebih besar dari 2.000 dan angka satuannya 4, maka: Angka ribuan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 2, 3, 5, dan 7. Misal terpilih angka 3.

6


Angka ratusan ada 5 angka yang mungkin, yaitu 0, 1, 2, 5, dan 7. Misalkan terpilih angka 0. Angka puluhan ada 4 angka yang mungkin, yaitu 1, 2, 5, dan 7. Jadi, banyak bilangan genap dan lebih besar dari 2.000 yang dapat dibentuk adalah = (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) + (4 x 5 x 4) = 240 angka.

3). Pengertian dan Notasi Faktorial n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. Notasi dari n faktorial dilambangkan dengan n ! (dibaca : “n faktorial”) n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1) . n Contoh 5 Tentukanlah nilai dari 0!

Jawab: Dari definisi faktorial :

n ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . n . . . 1), (n – 1) ! = 1 . 2 . 3 .…. (n – 2) . (n – 1) . . . 2). Jika persamaan 2) kita substitusikan ke persamaan 1), maka akan diperoleh: n! . Jika n = 1 maka akan diperoleh kesamaan: n ! = (n – 1) ! . n atau n = (n − 1) ! 1! 1! atau 1 = , Jadi, 0! = 1! = 1 1= (1 − 1) ! 0! Contoh 6 Hitunglah nilai dari:

a. 5!

b.

7! 4!

c.

10 ! 6! . 4!

Jawab: a. b. c.

5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120 7! 1. 2 . 3 . 4 .5 . 6 . 7 = = 5 . 6 . 7 = 210. 4! 1. 2 . 3 . 4 10 ! 6 ! . 7 . 8 . 9 .10 = = 210. 6! . 4! 6 ! .1 . 2 . 3 . 4

Contoh 7 Tulislah dengan notasi faktorial: 1 b. n.(n – 1).(n – 2) … (n – 8) a. 9.10.11.12

c.

n.(n − 1).(n − 2).(n − 3) 1⋅2⋅3⋅ 4

Jawab: 1 1.2.3... 8 8! = = 9.10.11.12 1.2.3... 8 . 9.10.11.12 12 ! n .(n − 1) . (n − 2) … (n − 8). (n − 9)...3 . 2 .1 n! b. n.(n – 1).(n – 2) … (n – 8) = = (n − 9)...3. 2.1 (n − 9) !

a.

7

BAB I Peluang

c.

n.(n − 1).(n − 2).(n − 3) n! n.(n − 1).(n − 2).(n − 3).(n − 4).(n − 5)... 3.2.1 = = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4.(n − 4).(n − 5)... 3.2.1 4 !.(n − 4) ! 1⋅2⋅3⋅ 4

Contoh 8

Sederhanakanlah bentuk :

(n + 1)! , untuk n ≥ 1 (n − 1)!

Jawab: (n + 1)! (n + 1). n .(n − 1)! = = (n + 1) . n = n2 + n (n − 1)! (n − 1)! Contoh 9

Hitunglah n dari:

(n − 1)! = 30. (n − 3)!

Jawab: (n − 1)! = 30 (n − 3)! (n − 1).(n − 2).(n − 3)! = 30 (n − 3)! (n – 1).(n – 2) = 30 n2 – 3n + 2 – 30 = 0 n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7)(n + 4) = 0 n = 7 atau n = -4 (tidak memenuhi)

1.

Dalam suatu penelitian akan ditanam 4 jenis padi (p1, p2, p3, p4) pada 5 petak sawah yang berbeda (s1, s2, s3, s4, s5) a. Buatlah diagram pohon dan tabel silang pada penelitian itu! b. Berapa macam cara penanaman 4 jenis padi di 5 petak sawah yang berbeda?

2.

Dari kota A ke Kota B ada 5 jalan yang dapat dilalui. Dari Kota B ke Kota C ada 7 jalan yang dapat dilalui. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi: a. Dari Kota A ke C melalui B? b. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B? c. Dari Kota A ke C melalui B dan kembali lagi ke A melalui B tetapi jalan yang ditempuh pada waktu kembali tidak boleh sama dengan jalan yang dilalui ketika berangkat?

3.

Berapa banyak lambang bilangan dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6: a. Jika bilangan tersebut terdiri dari 3 angka dan ada angka yang sama? b. Jika bilangan tersebut terdiri dari 4 angka yang berlainan dan genap?

8


4.

Berapa banyak pasang pakaian yang dapat dipakai seorang siswa apabila ia mempunyai 6 celana dan 8 kemeja?

5.

Dari angka 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas 4 angka yang berbeda. Berapakah banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan itu kurang dari 5000 dan tanpa pengulangan?

6.

Pengurus suatu organisasi terdiri dari 4 orang, yaitu seorang ketua, seorang sekretaris, seorang bendahara, dan seorang pembantu umum. Untuk jabatan ketua ada 5 calon, untuk sekretaris ada 7 calon, untuk bendahara ada 4 calon, dan untuk pembantu umum ada 3 calon. Jika dalam susunan pengurus itu tidak boleh seorang pun yang dicalonkan pada 2 jabatan atau lebih. Dengan berapa cara susunan pengurus itu dapat dibentuk?

7.

Untuk mengikuti lomba KEMAMPUAN MIPA di tingkat Kabupaten, akan dipilih wakil untuk pelajaran matematika, fisika, kimia, dan biologi. Masing-masing untuk 1 pelajaran ditempatkan seorang wakil. Bila untuk matematika tersedia 8 calon, Fisika 5 calon, Kimia 6 calon, dan Biologi 4 calon. Ada berapa cara pemilihan pasangan dapat dilakukan?

8.

Berapa banyaknya huruf dapat dibentuk dari kata SHOLAT, apabila : a. Huruf terakhir adalah konsonan? b. Huruf terakhir adalah huruf A?

9.

Berapakah banyaknya bilangan antara 500 dan 900 yang dapat disusun dari angka 2, 3, 4, 5, dan 6, jika pada penyusunan bilangan itu tidak boleh ada pengulangan angka?

10. Delapan orang terdiri atas 2 pria dan 6 wanita. Mereka mendapatkan 8 kursi sebaris ketika menonton pertunjukan. Jika pria harus menempati di ujung-ujung kursi, ada berapa cara mereka duduk? 11. Dari kotak A, B, dan C berturut turut berisi 5 bola merah, 6 bola kuning, dan 4 bola hijau. Seorang mengambil sebuah bola dari masing masing kotak sehingga mendapat 3 bola yang berlainan warna. Berapa cara agar mendapatkan 3 bola yang berlainan warna tersebut? 12. Seorang karyawan dalam bertugas setiap harinya melewati 4 gedung. Dari gedung 1 ke gedung 2 ada 5 jalan, dari gedung 2 ke gedung 4 ada 6 jalan, dari gedung 1 ke gedung 3 ada 5 jalan, dari gedung 3 ke gedung 4 ada 2 jalan, namun dari gedung 2 ke gedung 3 tidak ada jalan. Setelah sampai dari gedung 4 orang tersebut kembali ke gedung 1 melalui gedung 3 atau gedung 2. Ada berapa cara orang tersebut untuk keluar dari gedung tempat dia bekerja? a. Jika waktu pulang boleh melalui jalan yang sama. b. Ketika pulang tidak boleh melalui jalan yang sudah dilewati. 13. Dari angka-angka 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 9 akan disusun suatu bilangan puluhan ribu. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun apabila bilangan tersebut: a. Merupakan bilangan yang habis dibagi 10 dan angka tidak berulang? b. Merupakan bilangan genap dan kurang dari 60.000?

9

BAB I Peluang

14. Nyatakan dengan notasi faktorial: 8.7 .6 1. 2 . 3 . 4 d. (k+2).(k + 1).k.(k – 1).(k – 2)

a. 10 . 9 . 8

c.

b. p.(p – 1).(p – 2).(p – 3)

15. Seseorang akan pergi dari kota A ke kota F seperti gambar di bawah ini:

Ada berapa jalan yang mungkin di lalui dari kota A ke kota F tersebut? 16. Hitunglah: a. 7! b. 10! c.

8! 5!

17 ! 15 !.2 ! 4 !.5 ! e. 2 !.3 ! 3 ! .4 !.5! f. 2 !.2 !

20! (20 − 3)! 100 ! h. 98 ! 10! i. (10 − 2)!

d.

g.

17. Sederhanakan: (n − 1)! a. (n + 3)! (n − 1)! 3(n − 3)! b. = (n + 2)! (n + 1)!

(n − 1)! (n + 2)! (n − 2)! 5! d. = (n − 4)! 3!

18. Hitunglah n dari: (n + 2) ! a. = 42 n! n! 2.(n − 1) ! b. = ; n≥3 (n − 2) ! (n − 3) !

(n + 1) ! n! = 2!.(n − 1) ! (n − 2) ! n! e. =6 (n − 2) !

c.

d.

10


4). Pengertian Permutasi a). Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun : a. Satu huruf, maka diperoleh susunan huruf A, B, C, dan D. 4.3.2.1 4! 4! Jumlahnya susunan ada 4 kemungkinan = = = 3.2.1 3! (4 − 1) ! b. Dua huruf yang berbeda, maka diperoleh susunan: AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, 4.3.2.1 4! 4! CB, BD, DB, CD, dan DC. Jumlah susunan ada 12 = 4.3 = = = 2.1 2 ! (4 − 2) ! c. Tiga huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian, yaitu huruf pertama dapat ditempati 4 huruf yang tersedia, huruf kedua dapat ditempati 3 huruf sisa yang tersedia, dan huruf ketiga dapat ditempati dua 2 huruf sisa yang 4! 4! = tersedia. Jumlah susunan ada 24 = 4 . 3 . 2 = 1! (4 − 3) ! d. Empat huruf yang berbeda, maka dengan menggunakan aturan perkalian 4! 4! diperoleh jumlah susunan sebanyak 24 = 4 . 3 . 2 . 1 = = 0 ! ( 4 − 4) ! Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek yang berbeda dengan k < n diperoleh jumlah susunan: n.(n – 1).(n – 2) . . . (n – k + 1) = n! n.(n − 1).(n − 2) . . . (n − k + 1).(n − k ).(n − k − 1) . . . 3.2.1 = (n − k ).(n − k − 1) . . . 3.2.1 (n − k ) ! Susunan k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia di mana k < n sering di dipopulerkan dengan istilah Permutasi k objek yang berbeda dari n objek yang tersedia. Banyak permutasi k objek dari n objek di tulis n Pk, atau Pkn dapat dirumuskan : n! n Pk = (n − k )! Contoh 9 Berapa banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, dan E.

Jawab: • Sebagai huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dari 5 huruf yang tersedia, yaitu A, B, C, D, atau E. Misalkan terpilih huruf A. • Setelah huruf pertama dipilih, ada 4 huruf untuk memilih huruf ke dua, yaitu B, C, D, dan E. Berdasarkan kaidah perkalian, banyak susunan seluruhnya adalah = 5 x 4 = 20.

Dengan menggunakan permutasi, berarti permutasi 2 objek dari 5 objek yang tersedia: 5! 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 5 . 4 = 20. = 5P2 = (5 − 2)! 3 . 2 .1

11

BAB I Peluang

Contoh 10 Berapa banyak susunan yang terdiri atas 4 huruf yang di ambil dari huruf-huruf T, O, S, E, R, B, dan A?

Jawab: Banyaknya susunan huruf-huruf itu adalah permutasi 4 huruf berbeda yang diambil dari 7 huruf yang tersedia adalah: 7! 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 .1 = 7 . 6 . 5 . 4 = 840. = 7P4 = (7 − 4)! 3 . 2 .1 Contoh 11 Hitunglah nilai dari

6

P 6!

Jawab: 6P6

=

6! 6! = = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720. (6 − 6)! 0!

b). Permutasi yang memuat beberapa unsur yang sama Banyaknya permutasi n P n di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama, dan seterusnya adalah P, maka nilai P: P =

n! a !. b ! . . .

Contoh 12 Carilah banyak permutasi berikut ini: a. 5 objek yang memuat 3 objek yang sama b. 10 objek memuat 2 objek yang sama, 4 objek lainnya sama dan 3 objek lainnya lagi sama.

Jawab: a.

P=

1 .2 . 3 .4 . 5 5! = = 20. 1 .2 . 3 3!

b.

P=

10 ! 4 !.5 .6 .7 .8 .9 .10 = = 12.600. 2 !. 4 !.3 ! 1 .2 .4 !.1 .2 .3

Contoh 13 Berapa banyak susunan huruf yang berbeda yang dibentuk dari huruf-huruf MATEMATIKA ?

Jawab: Pada kata “ MATEMATIKA “ terdapat 10 huruf dengan 2 huruf M, 3 huruf A, dan 2 huruf T. Jika banyak susunan yang diminta adalah P, maka: P=

10 ! = 3 !.4 .5 .6.7.8 .9.10 = 151.200. 2 !. 3 !. 2 ! 3 !.1 .2 .1 .2

12


Contoh 14 Dari 10 kelereng, 5 berwarna merah, 3 berwarna hitam dan 2 berwarna putih. Berapa banyak cara untuk menyusun kelereng tersebut berdampingan?

Jawab: P=

10 ! 5 !.6 .7 .8 .9 .10 = = 2.520. 5 !. 3 !.2 ! 5 !.1 .2 .3 .1 .2

c). Permutasi Siklik Jika ada 2 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 1 = (2 – 1)!, yaitu:

Jika ada 3 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 2 = (3 – 1)!, yaitu:

Jika ada 4 objek duduk melingkar, maka banyak susunan ada 6 = (4 – 1)!, yaitu:

Dari ilustrasi di atas, maka: Jika ada n objek duduk melingkar, maka banyak susunan yang terjadi ada (n – 1)! Sehingga diperoleh definisi: Jika ada n objek yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklik, maka banyaknya susunan yang terjadi (permutasi siklik atau P siklik) adalah: P siklik = (n – 1)! Contoh 15 Dari 8 peserta konferensi akan menempati kursi pada meja bundar, berapa macam susunan posisi duduk yang dapat terjadi?

Jawab: Banyak objek n = 8, maka banyak permutasi sikliknya: P siklik = (8 –1)! = 7! = 5.040. Contoh 16 Dari 8 anggota Karang Taruna dimana Hanif, Nisa, dan Azzam ada di dalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi, jika: a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk b. Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan c. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh ketiganya duduk berdampingan

13

BAB I Peluang

Jawab: a. b.

c.

Jika semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih, maka banyak susunan siklik = (8 – 1)! = 5.040. Jika Hanif, Nisa, dan Azzam harus duduk berdampingan, maka mereka bertiga dianggap satu objek dalam susunan siklik. Jumlah objek dalam susunan siklik tinggal 6 objek, maka banyak susunan siklik = (6 – 1)! = 120. Namun Hanif, Nisa, dan Azzam dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6. Jadi, susunan siklik dimana Hanif, Nisa, dan Azzam duduk berdampingan adalah = 120 x 6 = 720. Hanif, Nisa, dan Azzam tidak boleh bertiganya duduk berdampingan = 5.040 – 720 = 4.320.

5). Pengertian Kombinasi Misalkan dari empat huruf yang berbeda A, B, C, dan D akan disusun: 4! (4 − 1) !.1!

a.

Satu huruf, maka diperoleh huruf A, B, C, dan D. Jumlahnya ada 4 =

b.

Dua huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan: AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB, dan CD = DC. Jumlah susunan ada 6 4! = (4 − 2) !.2 !

c.

Tiga huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan: ABC, ABD, 4! BCD, dan ACD. Jumlah susunan ada 4 = (4 − 3) !.3 ! Empat huruf dengan urutan tidak diperhatikan, maka diperoleh susunan hanya 1, 4! yaitu ABCD, 1 = (4 − 4) !.4!

d.

Dari ilustrasi di atas, maka jika jumlah objek ada n, akan disusun k objek dengan n! . urutan tidak diperhatikan, dan k < n diperoleh jumlah susunan = (n − k ) !. k ! Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k < n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang tersedia. Banyaknya kombinasi k objek dari n objek di tulis rumuskan: nC k

=

n! (n − k )!. k !

n

C k, atau C nk dan dapat di

14


Contoh 17 Tentukanlah nilai kombinasi di bawah ini:

a. 4 C

b.

2

12

C

7

5 C2. 7 C2

c.

12 C 2

Jawab: 1.2.3.4 4! = =6. (4 − 2)!. 2 ! 1.2.1.2 12 ! 12 ! 7 !.8.9.10.11.12 b. 12 C 7 = = = = 792. (12 − 7)!. 7 ! 5 !.7 ! 7 !.1.2.3.4.5 3 !.4.5. 5 !. 6.7 7! 5! 4.5.6.7 . 3 !. 2 ! 5 !. 2 ! 3 !.1.2 . 5 !.1.2 5 C2. 7 C2 1 .2.1.2 = 210 = 14 . = = = c. 8 !. 9 . 10 . 11 . 12 12 ! 9 . 10 .11.12 495 33 12 C 4 1.2.3.4 8 !.1.2.3.4 8 !. 4 !

a.

4

C

2

=

Contoh 18 Carilah nilai n dari persamaan

(n + 1)

C3=4.nC

2

Jawab: C3=4.nC2 (n + 1) ! n! = 4. (n + 1 − 3)!. 3 ! (n − 2) !.2 ! (n + 1) ! 4. n ! = (n − 2)!. 6 (n − 2) !.2! (n + 1) ! 4. n ! = 6 2 (n + 1)

(n + 1) . n ! 4. n ! = 6 2 (n + 1) =2 6

n + 1 = 12

⇔

n = 11.

Catatan: Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal verbal: • Soal verbal diselesaikan dengan permutasi, jika urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki status. • Soal verbal diselesaikan dengan kombinasi, jika urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak memiliki status. Contoh 19 a. Dari 12 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 3 orang sebagai petugas ronda. Ada berapa susunan petugas ronda yang dapat dibentuk? b. Dari 35 siswa akan dipilih 3 siswa sebagai ketua kelas, bendahara, dan sekretaris. Ada berapa susunan pengurus kelas yang dapat dibentuk? c. Suatu rapat dihadiri oleh 10 orang anggota. Pada kesempatan ini dipilih 3 orang untuk berbicara. Berapa banyak cara untuk memilih ketiga orang tersebut? d. Pada sebuah tes seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 6 dari 10 soal yang diberikan. Berapa jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan? e. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka 4, 5, 6, 7, dan 8 tanpa pengulangan? f. Berapa macam susunan pengurus RT yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara dari 8 calon pengurus?

BAB I Peluang

15

Jawab: a.

Objek tidak punya status atau urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi: 12 ! 12 ! 9 !.10.11.12 = = = = 220. 12 C 3 (12 − 3)!. 3 ! 9 !.3 ! 9 !.1.2.3

b.

Objek memiliki status yaitu sebagai ketua, sekretaris dan bendahara. Penyelesaiannya dengan menggunakan permutasi: 35 ! 35 ! 32 !.33.34.35 = = = = 39.270. 35 P 3 (35 − 3)! 32 ! 32 !

c.

Objek tidak punya status atau urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi: 10 ! 10 ! 7 !.8.9.10 = = = 120. 10 C 3 = (10 − 3)!. 3 ! 7 !.3 ! 7 !.1.2.3

d.

Urutan objek dibalik sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan kombinasi : 10 ! 10 ! 6 !.7.8.9.10 = = = 210. 10 C 6 = (10 − 6)!. 6 ! 4 !.6 ! 6 !.1.2.3.4

e.

Urutan objek dibalik tidak sama, maka menyelesaikannya dengan menggunakan permutasi: 5! 5 ! 1.2.3.4.5 = = = 60. 5P 3 = (5 − 3)! 2 ! 1.2

f.

Objek memiliki status, yaitu sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Penyelesaiannya dengan menggunakan permutasi: 8! 8 ! 5 !.6.7.8 = = = 336. 8P 3 = (8 − 3)! 5 ! 5!

Contoh 20 Dari suatu kotak terdapat 20 bola dimana 8 warnanya merah, 7 warnanya putih, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 4 bola dari kotak tersebut, berapa banyak cara untuk mendapatkan warna: a. Dua merah dan dua putih? b. Semuanya hitam? c. Paling sedikit dua merah?

Jawab: a.

b.

Mengambil 2 merah dari 8 merah sebanyak 8C2 cara dan mengambil 2 putih dari 7 putih sebanyak 7C2 cara. Banyaknya cara untuk mendapatkan 2 merah, dan dua 8! 7! 7.8 6.7 = = 588. putih adalah : 8C2 x 7C2 = x x 6 !. 2 ! 5 !.2 ! 2 2 5! Mengambil 4 hitam dari 5 hitam sebanyak 5C4 cara = = 5. 4!.1!

16

c.


Mengambil paling sedikit 2 merah memiliki beberapa kemungkinan, yaitu: 8! 5! 7.8 4.5 = = 280. 2 merah dan 2 hitam = 8C2 x 5C2 = x x 6 !. 2 ! 3 !.2 ! 2 2 8! 7! 7.8 6.7 2 merah dan 2 putih = 8C2 x 7C2 = x x = = 588. 6 !. 2 ! 5 !.2 ! 2 2 8! 7! 5! 2 merah, 1 putih, dan 1 hitam = 8C2 x 7C1 x 5C1 = = 980. x x 6 !. 2 ! 6 !.1! 4 !.1! 8! 7! 6.7.8 x = x 7 = 392. 3 merah dan 1 putih = 8C3 x 7C1 = 5 !. 3 ! 6 !.1! 6 8! 5! 6.7.8 3 merah dan 1 hitam = 8C3 x 5C1 = x = x 5 = 290. 5 !. 3 ! 4 !.1! 6 8! 5.6.7.8 4 merah = 8C4 = = = 70. 4 !. 4 ! 1.2.3.4 Jadi, banyaknya cara paling sedikit 2 merah adalah : = 280 + 588 + 980 + 392 + 290 + 70 = 2.600 cara.

c. Rangkuman

1.

Apabila suatu peristiwa pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara yang berbeda, peristiwa kedua dapat dikerjakan dengan k2 yang berbeda dan seterusnya sampai peristiwa ke-n, maka banyaknya cara yang berbeda dari semua peristiwa tersebut adalah K di mana: K = k1 x k2 x . . . x kn

2.

n faktorial adalah hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n. n ! = 1 . 2 . 3 . . . (n – 2) . (n – 1) . n

3.

Permutasi k dari n unsur: n Pk =

4.

Banyaknya permutasi

n

n! (n − k )!

Pn di mana ada a objek yang sama, b objek yang sama

dan seterusnya adalah P, maka P =

n! a !. b ! . . .

5.

Permutasi siklik atau P siklik = (n – 1)!

6.

Kombinasi k dari n unsur:

nC k

=

n! (n − k )!. k !

7. Perbedaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan soal-soal verbal: • Soal verbal diselesaikan dengan permutasi, jika urutan unsur dibalik bernilai berbeda atau unsur dalam soal tersebut memiliki status. • Soal verbal diselesaikan dengan kombinasi, jika urutan unsur dibalik bernilai sama atau unsur dalam soal tersebut tidak memiliki status.

17

BAB I Peluang

1.

2.

Hitunglah: a. 6 P 1 b. 5 C 4 4. 5 P2 c. 12 C 2 Tentukanlah nilai n jika: a. nC3 = 20C17 b. nP2 =2. n – 1 P3

d. e.

P5 C 7 5 6 C2. 5C2 f. 11 C 2 5

g. h.

P2 11 C 6 C . C i. 20 2 20 20 20 C 18 15

c. nC5 = 2. nC2 d. (n + 1) P3 = n P4

3.

Dengan berapa cara 5 orang dapat duduk pada: a. Lima kursi berdampingan b. Lima kursi yang terletak di sekeliling meja bundar?

4.

Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari tiap huruf berikut ini: a. P, A, L, A, P, dan A b. M, O, N, O, T, O, dan N c. A, M, B, U, R, A, D, U, dan L?

5.

Berapa banyak cara duduk yang dapat terjadi jika 9 orang disediakan hanya 4 kursi, sedangkan salah seorang dari mereka harus selalu duduk di kursi tertentu?

6.

Ada 3 orang Belanda, 4 orang Jerman, 3 orang Inggris dan 2 orang Jepang. Disediakan 12 kursi berdampingan. Dengan berapa cara mereka dapat duduk, jika yang sebangsa berdampingan?

7.

Tentukanlah berapa banyak: a. Garis lurus yang dapat dibuat dari 20 titik yang tidak segaris b. Diagonal segi-10 yang dapat dibentuk c. Segitiga yang dapat di tarik dari 15 titik yang tidak segaris?

8.

Dari 12 orang Jenderal akan dipilih 4 orang sebagai Kapolda untuk ditempatkan di 4 provinsi, yaitu DKI Jakarta, Jabar, Jateng, dan Yogyakarta. Berapa cara pemilihan dapat dilakukan?

9.

Dari suatu kotak terdapat 25 bola, 10 warnanya merah, 9 warnanya putih, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 4 bola dari kotak tersebut, berapa banyak cara untuk mendapatkan warna: d. Paling banyak dua hitam a. Tiga merah dan satu putih e. Tidak ada yang merah? b. Semuanya hitam c. Paling sedikit dua putih

10. Dari 10 anggota Karang Taruna di mana Tutik, Susan, Yusuf, dan Azzam ada didalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa susunan yang terjadi jika: a. Semua anggota Karang Taruna bebas untuk memilih tempat duduk? b. Tutik, Susan, Yusuf, dan Azzam harus duduk berdampingan? c. Tutik, Susan, Yusuf, dan Azzam tidak boleh keempatnya duduk berdampingan?

18


11. Suatu pertemuan diikuti oleh 10 orang peserta yang akan duduk mengelilingi meja bundar. Jika dalam peserta tersebut ada Ani, Badu, dan Cecep. Tentukan banyak susunan yang terjadi: a. Jika semua peserta bebas memilih tempat duduk b. Ani dan badu duduk berdampingan c. Ani, Badu, dan Cecep duduk berdampingan

12. Berapa banyak warna campuran yang terdiri atas 4 warna yang dapat dipilih dari 8 warna dasar yang berbeda? 13. Dari 40 siswa suatu sekolah, ditunjuk 3 siswa untuk mengikuti penyuluhan NARKOBA di Kelurahan. Ada berapa susunan siswa yang terpilih? 14. Dari 45 anggota DPRD akan ditunjuk 3 orang untuk mengunjungi 3 daerah bencana, yaitu Tanah longsor di Jember, Tanah longsor di Banjarnegara, dan banjir di Kendal. Ada berapa susunan utusan yang dapat dibentuk yang terjadi? 15. Dari 100 orang peserta demo di PT X ditunjuk 5 orang sebagai wakil untuk berbicara dengan Direktur. Ada beberapa susunan yang terjadi apabila Badu, dan Dodi sebagai penggerak demo sudah pasti terpilih sebagai wakil? 16. Dari 30 peserta kontes akan dipilih 3 kontestan sebagai juara 1, juara 2, juara 3, dan juara harapan. Ada berapa susunan yang terjadi jika: a. Ada peserta yang mengundurkan diri, dan Ani sebagai peserta kontes sudah pasti juara 1? b. Tidak ada peserta yang mau dijadikan juara harapan? 17. Berapa banyak permutasi berikut ini: a. 3 unsur diambil dari 20 unsur yang tersedia? b. 4 unsur diambil dari 50 unsur yang tersedia? 18. Carilah banyaknya kombinasi berikut ini: a. 4 unsur diambil dari 15 unsur yang tersedia? b. 3 unsur diambil dari 100 unsur yang tersedia? 19. Dari 16 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang Ketua, Wakil ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Tentukan banyaknya cara pemilihan pengurus sebuah organisasi tersebut? 20. Dari 10 orang anggota Karang taruna di mana Hanif, Aldi, dan Muslim ada di dalamnya akan dipilih untuk satu team bola voli. Tentukan banyaknya susunan team yang dapat dibentuk apabila: a. Semua anggota bebas untuk dipilih? b. Hanif sebagai Kapten harus dipilih? c. Hanif sebagai kapten harus dipilih dan Muslim tidak masuk untuk dipilih? d. Hanif dan Aldi harus dipilih? e. Aldi harus dipilih, Hanif dan Muslim tidak ikut untuk dipilih?

BAB I Peluang

19

B.2 Peluang Suatu Kejadian a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Menjelaskan pengertian kejadian dan ruang sampel Menghitung frekuensi harapan suatu kejadian Menghitung peluang suatu kejadian Menghitung peluang kejadian saling lepas Menghitung peluang kejadian saling bebas Menerapkan konsep peluang dalam menyelesaikan masalah program keahlian.

b. Uraian Materi

1). Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian Pada percobaan melempar sekeping mata uang logam, hasil yang muncul dapat dituliskan dengan memakai notasi himpunan. Misalkan “G” dimaksudkan munculnya gambar dan “A” munculnya angka. Himpunan dari semua hasil di atas yang mungkin muncul pada percobaan ditulis S = {G , A}, S disebut ruang sampel atau ruang. Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam, himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada percobaan ditulis S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. S disebut ruang sampel atau ruang contoh. Jadi, ruang sampel adalah Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Ruang sampel biasanya dilambangkan dengan huruf “S” yang disebut sebagai himpunan semesta. Anggota-anggota ruang contoh disebut titik sampel atau titik contoh. Misalnya ruang contoh S = {G, A} mempunyai 2 titik contoh, yaitu G dan A yang disebut sebagai anggota-anggota dari himpunan semesta. Banyaknya anggota ruang sampel biasanya dilambangkan dengan n(S). Setiap kali melakukan percobaan akan diperoleh hasil kejadian atau peristiwa. Misalnya, kegiatan melempar sekeping uang logam akan muncul sisi gambar (G) atau munculnya sisi angka (A). Kegiatan melempar sebuah dadu bersisi enam, akan diperoleh hasil kejadian yang mungkin muncul salah satu dari enam sisi mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Jadi, hasil kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan dari titik sampel atau merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Himpunan kosong φ atau { } dan S sendiri adalah himpunan bagian dari S, sehingga merupakan kejadian-kejadian. φ disebut kejadian yang tak mungkin (mustahil), sedangkan S disebut kejadian yang pasti. Contoh 21 Dua uang logam dilempar bersamaan, tentukan: a. Ruang Sampel dan banyaknya ruang sampel? b. Titik sample?

20


Jawab: a.

Ruang sampel diperlihatkan pada tabel di bawah ini: A

G

A

(A, A)

(A, G)

G

(G, A)

(G, G)

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} dan n(S) = 4 b. Titik sampelnya ada 4, yaitu: (A,A), (A,G), (G,A), (G,G). Contoh 22 Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, jika P adalah kejadian muncul 2 angka, tentukanlah ruang sampel S, banyaknya ruang sampel, dan himpunan kejadian P.

Jawab: S = {AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG} dan n(S) = 8 P = {AAG, AGA, GAA}

2). Pengertian Peluang Suatu Kejadian Sebelum mengetahui definisi dari peluang suatu kejadian, sebaiknya diketahui dahulu pengertian frekuensi relatif. Frekuensi relatif adalah perbandingan antara banyaknya hasil yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. Misalnya percobaan melempar sekeping uang logam sebanyak 12 kali. Jika muncul “G” 7 7 kali dan muncul “A” 5 kali, maka frekuensi relatif (Fr) dari G = dan frekuensi 12 5 7 5 atau dapat ditulis: Fr(G) = dan Fr(A) = . Dengan relatif (Fr) dari A = 12 12 12 1 demikian nilai frekuensi relatif sekeping mata uang dari G atau A akan mendekati . 2 1 1 Peluang munculnya G atau A adalah ditulis P(G) = P(A) = . 2 2 Jadi, suatu percobaan yang mempunyai beberapa hasil, masing-masing mempunyai peluang yang sama, dapat dirumuskan sebagai berikut : P( A ) =

n( A ) n(S)

Keterangan: P(A) = Peluang munculnya suatu kejadian A n(A) = Banyaknya anggota dalam kejadian A n(S) = Banyaknya anggota dalam himpunan ruang sampel.

21

BAB I Peluang

Nilai P(A) berkisar antara 0 sampai 1, P(A) = 1 adalah suatu kepastian dan P(A) = 0 adalah suatu mustahil. Contoh 23 Pada pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang kejadian muncul: a. Bilangan 2? b. Bilangan prima?

Jawab: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6 a. Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan 2, maka A ={2}, dan n(A) = 1 n( A) 1 = . Jadi, P(A) = 6 n(S) b. Misalkan B adalah kejadian muncul bilangan prima, maka B = {2, 3, 5}, n(B) =3 3 n(B) 1 Jadi, P(B) = = = . 6 2 n(S) Contoh 24 Pada pelemparan suatu uang logam dan sebuah dadu, berapakah peluang munculnya: a. Gambar pada uang logam dan bilangan genap pada dadu? b. Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada dadu?

Jawab: dadu Uang logam

A (Angka) G (Gambar)

1 (A, 1) (G, 1)

2 (A, 2) (G, 2)

3 (A, 3) (G, 3)

4 (A, 4) (G, 4)

5 (A, 5) (G, 5)

6 (A, 6) (G, 6)

Dari tabel di atas: S = {(A, 1), (A, 2), . . . , (G, 6) }, maka n(S) = 12 a. Misalkan A kejadian muncul gambar pada uang logam dan bilangan genap pada n( A) 3 1 = . dadu, maka A = {(G, 2), (G, 4), (G, 6)}, dan n(A) = 3. Jadi, P(A)= = n(S) 12 4 b. Misalkan B kejadian muncul Angka pada uang logam dan bilangan komposit pada n(B) 2 1 = = . dadu, maka B = {(A, 4), (A, 6)}, n(B) = 2. Jadi, P(B) = 6 n(S) 12 Contoh 25 Suatu kotak berisi 6 bola putih dan 4 bola merah. Dari kotak itu diambil sebuah bola secara acak. Berapa peluang yang terambil itu: a. Sebuah bola putih? b. Sebuah bola merah?

Jawab: Bola putih dan bola merah seluruhnya ada 10 buah, jadi, n(S) = 10 a. Bola putih ada 6, jadi, n(bola putih) = 6 jadi, peluang terambilnya sebuah bola putih adalah:

22


6 3 n(bola putih) = = . n(S) 10 5 Bola merah ada 4, jadi, n(bola merah) = 4 jadi, peluang yang terambil sebuah bola merah adalah : 4 2 n(bola merah) = = . P (1 bola merah) = n(S) 10 5

P (1 bola putih) = b.

Contoh 26 Di dalam sebuah kotak ada 9 bola yang diberi nomor 1 sampai 9. Apabila 2 bola diambil secara acak (random), tentukan peluang terambilnya: a. Kedua bola bernomor ganjil b. Kedua bola bernomor genap c. Satu bola bernomor ganjil dan satu bola bernomor genap?

Jawab: 9! 8.9 = = 36 7 !. 2! 2 Misalkan A kejadian muncul bola bernomor ganjil, maka A memilih 2 bola dari 5 5! bola yang bernomor ganjil, n(A) = 5C2 = = 10 3 !. 2! n( A) 5 10 = = P(A) = 36 n(S) 18 Misalkan B kejadian muncul bola bernomor genap, maka B memilih 2 bola dari 4 6 1 4! n(B) bola yang bernomor genap, n(B) = 4C2 = = = 6 dan P(B) = = 36 6 2 !. 2! n(S) Misalkan C kejadian muncul 1 bola bernomor ganjil dan 1 bola bernomor genap, n(C) = 5C1 x 4C1 = 4 x 5 = 20 20 5 n(C) = P(B) = = 36 9 n(S)

Banyaknya ruang sampel: memilih 2 bola dari 9 bola adalah 9C2 = a.

b.

c.

Contoh 27 Pasangan suami istri berencana memiliki 3 orang anak. Tentukan peluang 3 anak tersebut: b. Dua laki-laki c. Paling sedikit 1 perempuan? a. Laki-laki semua

Jawab: Misalkan laki-laki dilambangkan dengan L, dan perempuan dengan P, maka: S = {LLL, LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}, sehingga n(S) = 8 n( A) 1 = a. Jika A = semua laki-laki, maka A = {LLL} , n(A) =1 jadi, P(A) = 8 n(S) b. Jika B kejadian dua anak laki-laki, maka B = {LLP, LPL, PLL} , n(B) = 3 3 n(B) P(B) = = 8 n(S) c. Jika C kejadian paling sedikit 1 perempuan, maka C = { LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, 7 n(C) = PPL, PPP} , n(C) = 7, sehingga P(C) = n(S) 8

23

BAB I Peluang

Catatan: Pola segitiga Pascal dapat juga digunakan untuk menyelesaikan berbagai soal peluang dimana kejadian sederhananya memiliki titik sampel 2. Jumlah ruang sampel n(S) dari n objek yang mempunyai dua sisi apabila ditos bersama-sama adalah 2n, atau n(S) = 2n. Contoh 28 Sepuluh uang logam yang bersisi G dan A dilempar bersama, tentukanlah : a. Banyaknya ruang sampel b. Peluang munculnya 3 gambar c. Peluang munculnya 7 angka d. Peluang munculnya paling sedikit 8 gambar!

Jawab: a. b.

c.

d.

Jumlah n(S) dari 10 keping uang logam jika dilempar bersama = 210 = 1.024 10 ! 8.9.10 = n(3 gambar) dari pola segitiga Pascal = 10C3 = = 120, 7 !. 3! 1.2.3 n(3 gambar) 120 15 = = jadi, P(3 gambar) = 1.024 128 n(S) 10 ! 8.9.10 = = 120, n(7 angka) dari pola segitiga Pascal = 10C7 = 7 !. 3! 1.2.3 120 15 n(7 angka) = jadi, P(7 angka) = = 1.024 128 n(S) Paling sedikit 8 gambar( > 8 gambar), berarti yang memungkinkan: 10 ! 10 ! n(8 gambar) = 10C8 = = 45, n(9 gambar) = 10C9 = = 10, dan 8 !. 2! 9 !.1! 10 ! =1. n(10 gambar) = 10C10 = 10 !. 0! Sehingga n(> 8 gambar) = 45 + 10 + 1 = 56. n( ≥ 8 gambar) 56 7 Jadi, P(> 8 gambar) = = . = 1.024 128 n(S)

Contoh 29 Dari seperangkat kartu bridge, jika diambil 1 kartu secara acak, tentukanlah peluang munculnya: c. Kartu hati a. Kartu As d. Kartu King wajik! b. Kartu merah

Jawab: Kartu Bridge terdiri dari 52 kartu dengan perincian: Sesuai warnanya : 26 merah dan 26 hitam Sesuai motifnya : 13 kartu daun, 13 kriting, 13 hati, dan 13 wajik

♠ ♣ ♥ ♦

Sesuai jenisnya: Masing-masing 4 kartu dari: King, Jack, Queen, As, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 10.

24


Jika diambil 1 kartu secara acak, maka n(S) = 52 4 1 n( As) a. P(As) = = = n(S) 52 13 n(Merah) 26 1 P(Merah) = b. = = n(S) 52 2 n(Hati) 13 1 P(Hati) = c. = = n(S) 52 4 n( King wajik ) 1 = P(King Wajik) = d. n(S) 52

3). Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi harapan suatu kejadian Fh dari suatu percobaan adalah hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan n : Fh = P(A) x n Contoh 30 Tiga buah uang logam yang bersisi gambar (G) dan angka (A) dilempar bersama-sama sebanyak 80 kali, tentukan harapan munculnya : b. 2 gambar? c. Tidak ada angka? a. Tiga-tiganya angka?

Jawab: S = {GGG, GGA, GAG, AGG, AAG, AGA, GAA, AAA}, sehingga n(S) = 8 1 a. Tiga-tiganya angka A = {AAA}, n(A) = 1 sehingga P(A) = 8 1 Fh (tiga-tiganya angka) = n x P(A) = 80 x 8 = 10 b.

2 gambar, B = {GGA, GAG, AGG} , n(B) = 3 sehingga P(B) = Fh (2 gambar ) = n x P(B) = 80 x

c.

3 8

3 = 30 8

1 Tidak ada angka C = {GGG}, n(C) = 1 jadi, P(C) = 8 1 Fh (tidak ada angka) = n x P(C) = 80 x 8 = 10

Contoh 31 Tiga dadu dilempar bersama-sama sebanyak 432 kali, tentukan harapan munculnya jumlah mata ketiga dadu adalah 7?

Jawab: Tiga dadu dilempar bersama-sama memiliki n(s) = 63 = 216 Tiga mata dadu yang berjumlah 7 terdiri dari mata-mata dadu : 1, 2, dan 4. Banyaknya permutasi dari angka-angka tersebut = 3 ! = 6 1, 3, dan 3. Banyaknya permutasi dari angka-angka tersebut = 3 1, 1, dan 5. Banyaknya permutasi dari angka-angka tersebut = 3 2, 2, dan 3. Banyaknya permutasi dari angka-angka tersebut = 3

25

BAB I Peluang

Jadi, n(berjumlah 7) = 6 + 3 + 3 + 3 = 15 15 x 432 = 30 Fh jumlah 7 = P(berjumlah 7) x n = 216

4). Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misalkan banyaknya ruang sampel adalah n(S), banyaknya suatu kejadian A adalah n(A). Banyaknya kejadian yang bukan A atau komplemen A dilambangkan Ac adalah: n(Ac) = n(S) – n(A), jika ruas kiri dan kanan dibagi n(S), maka akan diperoleh persamaan: n( A c ) n(S) − n( A) n( A c ) n(S) n( A) = ⇔ = − ⇔ n(S) n(S) n(S) n(S) n(S)

P(Ac) = 1 – P(A)

Contoh 32 Peluang bahwa esok hari akan hujan adalah 0,26. Tentukanlah peluang bahwa esok hari tidak hujan!

Jawab: P(esok hari tidak hujan) = 1 – P(esok hari hujan) = 1 – 0,26 = 0,74 Contoh 33 Dari suatu kotak terdapat 7 bola hijau, 3 bola merah, dan 5 bola kuning. Jika diambil 2 bola sekaligus, tentukanlah peluang yang muncul bukan keduanya bola hijau !

Jawab: Untuk menentukan peluang keduanya bukan bola hijau, tentukan terlebih dahulu peluang kedua-duanya hijau. 15 ! = 105 n(S) = memilih 2 bola dari 15 bola = 15C2 = 13 !. 2! 8! n(2 bukan hijau) = memilih 2 bola dari 8 bola bukan hijau = 8C2 = = 28 6 !. 2! n(2 bukan hijau) P(keduanya bukan hijau) = = 28 = 4 n(S) 105 15 Contoh 34 Dari hasil penelitian pada suatu rumah sakit di Jakarta diperoleh bahwa dari tiap 150 pasien yang diteliti ternyata terdapat 6 orang terkena virus HIV. Jika di rumah sakit A terdapat 200 pasien, berapa pasien yang terbebas dari virus HIV?

Jawab: P(terbebas virus HIV) = 1 – P(terkena virus HIV) n(terkena virus HIV) 6 24 =1– = =1– n(S) 150 25 Fh terbebas virus HIV = P(terbebas virus HIV) x n 24 = x 200 = 192 pasien 25

26


1.

Tentukanlah banyaknya ruang sampel dari pernyataan berikut: a. Dua dadu dilempar sekali? b. Mata uang logam dilempar 4 kali? c. Suami istri yang mempunyai rencana memiliki 8 orang anak? d. Dadu dan koin dilempar bersama-sama? e. Tiga dadu yang dilempar bersama-sama?

2.

Sebuah dadu di lempar sekali. Berapa peluang: a. Munculnya jumlah mata dadu kurang dari 3? b. Munculnya jumlah mata dadu lebih dari 4?

3.

Dari seperangkat kartu bridge (Remi) di ambil satu kartu secara acak, tentukan peluang terambilnya: a. Kartu berwarna hitam? c. Kartu Wajik? b. Kartu Jack merah? d. Kartu As hati?

4.

Dari huruf-huruf pembentuk “PRACIMANTORO” akan diambil sebuah huruf secara acak. Berapa peluang yang terambilnya: a. Huruf hidup (vokal)? b. Huruf mati (konsonan)?

5.

Dalam sebuah kantong terdapat 4 kelereng putih, 10 kelereng merah dan 6 kelereng kuning. Dari kantong diambil sebuah kelereng secara acak. Berapa peluang yang terambil sebuah kelereng : a. Berwarna putih? c. Berwarna kuning? b. Berwarna merah? d. Bukan putih?

6.

Sebuah kotak berisi 6 bola merah, 5 bola biru, dan 4 bola putih. Dari kotak itu diambil 3 bola sekaligus secara acak. Berapa peluang terambilnya. a. Semua merah ? c. putih dan 1 merah? b. Semua putih? d. Paling sedikit 2 merah?

7.

Dua dadu dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan: a. 5 b. 10 c. 14 d. kurang dari 8

8.

Tiga buah dadu di lempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya tiga mata dadu berjumlah : a. 4 b. 5 c. 16 d. lebih dari 12?

9.

Delapan uang logam yang bersisi G dan A dilempar bersama-sama, tentukanlah: a. Banyaknya ruang sampel c. Peluang munculnya 4 angka b. Peluang munculnya 3 gambar d. Peluang munculnya < 4 gambar?

10. Sepasang suami istri berencana memiliki 7 orang anak, tentukanlah peluang anakanaknya: a. Semuanya laki-laki c. Paling sedikit 2 laki-laki b. Tiga perempuan d. Paling banyak 3 perempuan?

BAB I Peluang

27

11. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi nomor 1 sampai 9. Apabila 2 tiket diambil secara acak (random), tentukan peluang terambilnya: a. Kedua duanya bernomor ganjil c. Satu ganjil satu genap b. Kedua duanya adalah genap d. Keduanya bukan ganjil? 12. Tiga kartu diambil secara acak dari 1 set kartu bridge. Tentukan peluang yang terambil : a. Tiga-tiganya kartu berwarna hitam c. As, King, dan kartu 9 b. Dua kartu wajik dan 1 As d. Dua kartu king dan 1 kartu 10? 13. Sebuah dadu di lempar sebanyak 60 kali. Berapa frekuensi harapan muncul: a. Bilangan prima c. Bilangan yang habis dibagi 3 b. Bilangan yang habis dibagi 2 d. Bilangan komposit? 14. Dua keping mata uang logam dilempar sebanyak 800 kali. Berapa frekuensi harapan muncul semuanya sisi angka? 15. Suatu bibit tanaman memiliki peluang tumbuh 0,78. Bibit tanaman itu ditanam pada suatu lahan sebanyak 2.000 bibit. Berapa perkiraan tanaman yang tidak tumbuh? 16. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan sebanyak 180 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu: a. Kedua-duanya bilangan prima c. Berjumlah kurang dari 5 b. Berselisih 3 d. Bermata sama? 17. Dalam sebuah kotak terdapat 10 buah bola, 7 bola diantaranya berwarna putih dan 3 bola yang lainnya berwarna hitam. Dari kotak itu diambil 2 bola secara acak. Tiap kali kedua bola itu diambil, dikembalikan lagi kedalam kotak. Jika pengambilan seperti itu dilakukan sebanyak 180 kali. Berapa frekuensi harapan yang terambil itu: a. Keduanya bola putih c. Satu bola putih dan satu hitam b. Keduanya bola hitam d. Bukan kedua-duanya hitam? 18. Dua buah dadu besisi enam dilempar sekali. berapa peluang munculnya bilangan dadu pertama tidak sama dengan bilangan dadu kedua? 19. Dari hasil diagnosa suatu rumah sakit di Jakarta, 2,5% pasiennya terinveksi virus Flu Burung. Jika di RS X terdapat 350 pasien, berapa pasien yang terbebas dari virus Flu burung? 20. Hasil survey yang dilakukan pada suatu wilayah terhadap kepemilikan mobil dan sepeda diperoleh data sebagai berikut: 15% penduduk tidak memiliki mobil, 40% penduduk memiliki sepeda. Kalau dari wilayah itu diambil satu orang secara acak, berapa peluang ia memiliki mobil tetapi tidak memiliki sepeda?

28


5). Peluang Kejadian Majemuk Kejadian majemuk adalah kejadian yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana. Dengan memanfaatkan operasi antar himpunan, kita akan menentukan peluang kejadian majemuk. Operasi antar himpunan tersebut adalah gabungan dua himpunan dan irisan dua himpunan. a). Aturan Penjumlahan dalam Peluang Kejadian Majemuk Misalkan pada percobaan melempar dadu bersisi enam sebanyak satu kali. Kejadian A muncul bilangan prima, yaitu A = {2, 3, 5} dan kejadian B muncul bilangan genap, yaitu B = {2, 4, 6}. Dalam diagram Venn, dua kejadian di atas dapat dilukiskan sebagai berikut:

Gambar: 1.1

Tampak bahwa kejadian A dan B tidak saling lepas (memiliki irisan A ∩ B = { 2}) Dari operasi gabungan dua himpunan diperoleh : n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) n( A U B ) P(A U B) = n(S) n( A ) + n( B ) − n( A I B ) = n(S) n( A ) n( B ) n( A I B ) = + − n(S) n(S) n(S) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Misalkan kejadian A muncul bilangan 1 atau 3, ditulis A ={1, 3} sedangkan kejadian B muncul bilangan 2 atau 4, ditulis B ={2, 4}. Dalam diagram Venn, himpunan A dan B digambarkan:

Gambar: 1.2

Dari diagram Venn tampak bahwa A dan B adalah dua himpunan saling lepas atau saling asing, karena A ∩ B = Ø atau n(A ∩ B) = 0 Dari operasi gabungan dua himpunan yang saling lepas diperoleh: n(A U B) = n(A) + n(B) ( karena n(A ∩ B) = 0), n( A U B ) P(A U B) = n(S)

29

BAB I Peluang

n( A ) + n( B ) n(S) n( A ) n( B ) + = n(S) n(S) =

P(A U B) = P(A) + P(B) Contoh 35 Sebuah dadu dilempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan < 2 atau > 5?

Jawab: 2 1 = 6 3 2 1 dan B kejadian munculnya bilangan > 5 maka B = {5, 6}, P(B) = = 6 3 Karena n(A ∩ B)= 0, maka A dan B adalah kejadian yang saling lepas, sehingga 1 1 2 P(A U B) = P(A) + P(B) = + = 3 3 3

Misal A kejadian munculnya bilangan < 2 maka A = {1, 2} , P(A) =

Contoh 36 Dua dadu dilempar bersama-sama, tentukan peluang munculnya: a. Dua dadu berjumlah 6 atau berjumlah 10 b. Dua dadu berjumlah 6 atau muncul mata dadu bernomor lima!

Jawab: Dadu 1 Dadu 2

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a.

Misalkan A kejadian munculnya dua dadu berjumlah 6, maka A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}, n(A) = 5 dan B kejadian munculnya dua dadu berjumlah 10, maka B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}, n(B) = 3. Karena A dan B adalah kejadian 6 3 9 1 yang saling lepas, maka: P(A U B) = P(A) + P(B) = + = = 36 36 36 4

b.

Misalkan A kejadian kejadian munculnya (5, 5) (6, 5) (5, 1) kejadian yang saling maka:

munculnya dua dadu berjumlah 6, maka n(A) = 5 dan B dadu bermata lima, maka B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5) (4, 5), (5, 2) (5, 3), (5, 4) (5, 6)}, n(B) = 11. A dan B bukan lepas karena A ∩ B ada, yaitu {(1, 5), (5, 1)}, n(A∩ B) = 2,

30


n( A ) n( B ) n( A I B ) + − n(S) n(S) n(S) 5 11 2 14 7 + − = = = 36 36 36 36 18

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =

Contoh 37

Jika A dan B dua kejadian yang tidak saling lepas, tentukanlah P(A), jika P(B) = P(A U B) =

2 , 3

3 5 dan P(A∩ B) = ? 4 12

Jawab: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B) 3 2 5 3 2 5 1 ⇔ P(A) = = P(A) + – – + = 4 3 12 4 3 12 2

b). Aturan Perkalian dalam Peluang Kejadian Majemuk 1. Kejadian saling bebas

Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian pada ruang sampel S. A dan B disebut dua kejadian saling bebas apabila kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi oleh kemunculan kejadian lainnya. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa: Kejadian A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Jika P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B), maka kejadian A dan B tidak saling bebas. Contoh 38 Dua dadu berwarna biru dan putih dilempar bersama-sama. A adalah kejadian muncul bilangan 4 pada dadu biru dan B adalah kejadian muncul bilangan 4 pada dadu putih. Apakah kejadian A dan B merupakan dua kejadian saling bebas?

Jawab: Dadu biru Dadu putih

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) Pada ruang contoh S, diperoleh: P(A) = P(4 biru) = 6 = 1 (Perhatikan pada baris ke-4) 36 6

(6,6)

31

BAB I Peluang

P(B) = P(4 putih) = 6 = 1 36 6

(Perhatikan pada kolom ke-4)

1 (baris dan kolom ke-4) 36 Dari rumus: P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 1 x 1 = 1 6 6 36 Oleh karena P(A ∩ B) = P(A) x P(B), maka A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas. P(A ∩ B) = P(4 biru dan 4 putih) = P(4,4) =

Contoh 39 Dua keping mata uang logam dilempar secara serentak sebanyak sekali. Kejadian A munculnya sisi angka pada mata uang pertama dan kejadian B munculnya sisi yang sama untuk kedua mata uang logam itu. Periksalah apakah kejadian A dan B merupakan kejadian yang saling bebas!

Jawab: Keping1

A

G

(A,A) (G,A)

(A,G) (G,G)

Keping2 A G

Ruang sampel S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} ⇒ n(S) = 4 Kejadian A = {(A,A);(A,G)} ⇒ P(A) = 2 = 1 4 2 Kejadian B = {(A,A);(G,G)} ⇒ P(B) = 2 = 1 4 2 Kejadian A ∩ B ={(A, A)} ⇒ P(A ∩ B) = 1 = P(A) x P(B) 4 Karena P(A ∩ B) = P(A) x P(B), maka A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas. Contoh 40 A dan B kejadian yang saling bebas, P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,4. Carilah P(A ∩ B)!

Jawab: P(A∩ B) = P(A) x P(B) = 0,3 x 0,4 = 0,12 Contoh 41

Jika kejadian A mempunyai peluang P(A)= 1 , kejadian B mempunyai peluang P(B) = 3 2 , dan kejadian A atau B mempunyai peluang P(A U B) = 7 , tunjukkan bahwa 3 9 kejadian A dan B adalah kejadian saling bebas!

Jawab: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

32


1 2 + – P(A ∩ B) ⇔ P(A ∩ B)= 1 + 2 – 7 = 2 3 3 9 9 3 3 1 2 2 P(A) x P(B) = x = . 3 3 9 Ternyata P(A∩ B) = P(A) x P(B), sehingga kejadian A dan B saling bebas.

3 5

2.

=

Kejadian Bersyarat

Dua kejadian dimana kejadian yang satu saling mempengaruhi kejadian yang lain, maka dikatakan bahwa dua kejadian itu tidak saling bebas atau kejadian bersyarat. Peluang munculnya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah : P(A/B) =

P( A I B ) P(B)

atau

P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Peluang munculnya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah : P(B/A) =

P( A I B ) P( A )

atau

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)

Contoh 42 Dari seperangkat kartu Bridge, diambil satu per satu dua kali tanpa pengembalian, tentukan peluang munculnya: a. Dua-duanya kartu merah b. Kartu pertama As dan kartu kedua wajik?

Jawab: Apabila A kejadian mendapatkan kartu merah pada pengambilan pertama, maka kejadian B pada pengambilan kedua tidak saling bebas terhadap kejadian A, sebab tanpa pengembalian. Jadi, kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A, sehingga : n(merah) n(merah − 1) 26 1 = = , dan P(B/A) = = 25 51 52 2 n(S) n(S) − 1 P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = 1 x 25 = 25 2 51 102 n(wajik ) n( As) = 4 = 1 , dan P(B/A) = b. P(A) = = 13 51 52 13 n(S) n(S) − 1 P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) = 1 x 13 = 1 13 51 51 a. P(A) =

Contoh 43 Dua buah dadu bersisi enam dilempar sekali. misalkan: A adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu sama dengan 7, B adalah kejadian munculnya selisih kedua mata dadu sama dengan 3, C adalah kejadian munculnya perkalian kedua mata dadu sama dengan 12. Carilah ! a. P(A/B) c. P(A/C) b. P(B/A) d. P(C/B)

33

BAB I Peluang

Jawab: n(S) = 36 6 1 = 36 6 6 1 = B = {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}, n(A) = 6, P(A) = 36 6 4 1 = C = {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}, n(A) = 4, P(A) = 36 9 2 1 = A ∩ B = {(2, 5), (5, 2)}, n(A ∩ B) = 2, P(A ∩ B) = 36 18 2 1 = A ∩ C = {(3, 4), (4, 3)}, n(A ∩ C) = 2, P(A ∩ C) = 36 18 B ∩ C = { }, n(B ∩ C) = 0, P(B ∩ C) = 0

A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, n(A) = 6, P(A) =

a. b.

P( A I B ) = P(B) P( A I B ) = P(B/A) = P( A ) P(A/B) =

1 6 1 x = 18 1 3 1 6 1 x = 18 1 3

P( A I C ) 1 9 1 x = = 18 1 2 P(C) 6 P( B I C ) d. P(C/B) = = 0 x =0 P(B) 1 c. P(A/C) =

c. Rangkuman

1.

Ruang sampel adalah Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Hasil kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel.

2.

Suatu percobaan yang mempunyai beberapa hasil, masing-masing mempunyai n( A ) peluang yang sama, yaitu: P( A ) = n(S) Jumlah ruang sampel n(S) dari n objek yang mempunyai dua sisi apabila ditos bersama-sama adalah 2n atau n(S) = 2n

3.

4.

Frekuensi harapan suatu kejadian Fh dari suatu percobaan adalah hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan n : Fh = P(A) x n

5. Jika A suatu kejadian, maka peluang bukan A:

P(Ac) = 1 – P(A)

6. Jika A dan B suatu kejadian, maka berlaku: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) dan jika A dan B dua kejadian saling lepas, berlaku :P(A U B) = P(A) + P(B) 7.

Kejadian A dan B saling bebas jika dan hanya jika P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Jika P(A ∩ B) ≠ P(A) x P(B), maka kejadian A dan B tidak saling bebas.

34


1.

Tiga mata uang logam dilemparkan sekali. Kejadian A adalah kejadian munculnya 2 sisi angka dan B adalah kejadian munculnya 2 sisi gambar. Apakah kejadian A dan B merupakan dua kejadian yang saling lepas?

2.

Sekeping mata uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. A adalah kejadian munculnya gambar pada mata uang logam, B adalah munculnya angka pada mata uang logam, C adalah munculnya bilangan prima pada dadu, D adalah munculnya bilangan kelipatan 3 pada dadu, serta E adalah munculnya bilangan 2 atau 4 pada dadu. Tunjukanlah bahwa pasangan kejadian berikut ini merupakan kejadian yang saling bebas: a. A dan C b. B dan D c. A dan E?

3.

Dua dadu berwarna putih dan merah dilempar sekali. A adalah kejadian munculnya bilangan 5 pada dadu putih, B adalah kejadian munculnya bilangan genap pada dadu merah, C adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu 7 serta D adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu 10. Diantara pasangan kejadian berikut ini, manakah yang merupakan kejadian yang saling bebas? a. A dan B d. B dan C b. A dan C e. C dan D? c. A dan D

4.

Sebuah dadu di lempar sekali. Berapa peluang munculnya bilangan ≤ 3 atau ≥ 3?

5.

Lima belas kartu ditandai dengan nomor dari 1 sampai dengan 15. Diambil sebuah kartu secara acak, berapa peluang yang terambil itu: a. Kartu bernomor bilangan ganjil atau kartu bernomor bilangan genap. b. Kartu bernomor bilangan prima atau kartu bernomor bilangan ganjil. c. Kartu bernomor bilangan komposit atau kartu bernomor bilangan ganjil < 6?

6.

Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu bridge. Berapa peluang yang terambil: a. Kartu king atau kartu berwarna hitam b. Kartu wajik dan kartu As c. Kartu bernomor 6 atau kartu As d. Kartu merah dan kartu As e. Kartu bernomor bilangan komposit atau kartu bernomor bilangan prima f. Kartu bernomor bilangan komposit dan kartu As?

7.

Dua buah dadu berwarna putih dan hitam dilempar secara bersamaan sekali. Berapa peluang kejadian munculnya mata dadu bernomor < 4 untuk dadu putih atau bilangan < 3 untuk dadu hitam?

35

BAB I Peluang

8.

Dua buah dadu berisi enam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Berapa peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan: a. 4 atau 8? d. 2 atau 3 atau 9? b. 3 atau 5? e. 2 atau 3 atau 5? c. 6 atau 12? f. 8 atau 10 atau 12?

9.

Pada kotak A terdapat 4 bola merah dan 6 bola putih, sedangkan pada kotak B terdapat 7 bola merah dan 3 bola hitam. Dari tiap kotak itu diambil sebuah bola. Berapa peluang yang terambil itu: a. Bola merah dari kotak A maupun dari kotak B? b. Bola merah dari kotak A dan bola hitam dari kotak B? c. Bola putih dari kotak A dan bola merah dari kotak B? d. Bola putih dari kotak A dan bola merah dari kotak B? 1 10. Kejadian A mempunyai peluang P(A) = , kejadian B mempunyai peluang P(B) = 3 3 7 , dan kejadian A atau B mempunyai peluang P(A U B) = , tunjukkan bahwa 4 12 kejadian A dan B tidak lepas, dan juga tidak bebas! 11. Tiga keping mata uang logam dilempar sekali. Misalkan: A adalah kejadian munculnya sekurang-kurangnya dua sisi gambar dan B adalah kejadian munculnya mata uang pertama sisi gambar. Carilah: a. P(AB) b. P(A/B) 12. Kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas. Carilah P(A U B), jika: a. P(A) = 0,5 dan P(B) = 0,25 b. P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,6 13. Kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas. Apabila P(A) = 0,3 dan P(B) = 0,6 carilah: a. c. P(Ac ∩Bc) P(A ∩ B) d. P(Ac U Bc) b. P(A U B) 14.

Dua dadu merah dan biru dilempar bersama-sama sekali. Jika A adalah kejadian munculnya jumlah kedua mata dadu 9, B adalah kejadian munculnya mata dadu 3, dan C adalah kejadian munculnya selisih kedua mata dadu 1. Carilah : a. P(A/B) d. P(C/A) b. P(B/A) e. P(B/C) c. P(A/C) f. P(C/B)

15.

Misalkan A dan B adalah dua kejadian dengan P(A) = 0,4, P(A U B) = 0,8. Carilah: a. P(A∩B) d. P(Ac∩Bc) b. P(A/B) e. P(Ac/Bc) c. P(B/A) f. P(Bc/Ac) c c Petunjuk : P(A ∩B ) = P[(A U B)c]

P(B) = 0,5 dan

36


A. Soal Pilihan Ganda 1.

Ada 8 jalan dari P ke Q dan ada 4 jalan dari Q ke R. Banyaknya cara Tutik berjalan dari P ke R melewati Q pergi pulang dengan tidak melewati jalan yang sama adalah …. a. 32 c. 128 e. 1.024 b. 64 d. 672

2.

Mona dan Nisa mengikuti suatu berturut-turut adalah adalah 0,8 lulus adalah …. a. 0,15 b. 0,20

tes. Peluang Mona dan Nisa lulus dalam ujian dan 0,75. Peluang Nisa lulus tetapi Mona tidak c. 0,25 d. 0,45

e. 0,65

3.

Dari 10 siswa akan dipilih seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang sekretaris. Banyaknya pilihan terjadi ada …. a. 640 c. 800 e. 880 b. 720 d. 820

4.

Suatu himpunan A memiliki 8 anggota. Banyaknya himpunan bagian A yang memiliki paling banyak 4 anggota adalah …. a. 163 c. 220 e. 250 b. 219 d. 247

5.

Dari 20 siswa akan dibentuk satu tim bola basket, banyaknya cara pembentukan ada …. a. 4.845 c. 15.504 e. 38.760 b. 14.400 d. 16.504 Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, dan 9 akan dibentuk angka ribuan yang kurang dari 5.000 dan angka tidak boleh ada yang berulang. Banyaknya angka yang terjadi adalah …. a. 480 c. 810 e. 1.050 b. 560 d. 840 Banyaknya kata yang dapat disusun dari kata “BERSERI” adalah …. a. 820 c. 1.160 e. 1.260 b. 840 d. 1.230

6.

7.

8.

Enam orang termasuk A, B dan C duduk mengelilingi meja. Jika A, B, dan C tidak boleh tiga-tiganya duduk berdampingan, maka banyaknya susunan yang terjadi ada …. a. 36 c. 108 e. 720 b. 84 d. 120

9.

Dari 40 siswa akan diberi tugas, seorang untuk membersihkan ruang bengkel. Seorang membersihkan kamar mandi, dan seorang membersihkan taman. Banyaknya pilihan ada …. a. 9.800 c. 58.980 e. 59.280 b. 9.880 d. 59.080

BAB I Peluang

37

10.

Tiga dadu dilempar sebanyak 648 kali. Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 6 adalah …. a. 9 c. 30 e. 56 b. 21 d. 36

11.

Dua dadu dilempar bersama. Peluang muncul mata dadu yang berjumlah bilangan genap lebih dari 8 adalah …. 1 7 1 a. c. e. 9 36 4 5 2 d. b. 36 9 Sebuah kantong berisi 10 kelereng biru, 8 kuning, dan 2 merah. Jika diambil dua kelereng sekaligus. Peluang terambil dua-duanya kelereng biru atau kuning adalah …. 36 71 77 a. c. e. 95 190 153 73 73 d. b. 190 153 3 Jika A dan B kejadian tidak saling lepas dengan P(A U B) = , P(A) =0,6 dan 4 P(A ∩ B) = 0,25 , maka P(B)= …. 1 1 c. e. 0,8 a. 5 2 2 2 b. d. 5 3

12.

13.

14.

Percobaan pelemparan dadu putih dan biru, peluang muncul bilangan prima pada dadu putih dan bilangan genap pada dadu biru adalah …. 1 1 c. e. 0,65 a. 4 2 b. 0,3 d. 0,55

15.

Sekeping uang logam dilemparkan 4 kali. Peluang muncul angka 3 kali adalah …. 1 1 a. c. e. 0,5 5 4 d. 0,3 b. 0,24

16.

Sebuah kotak berisi 8 bola merah dan 5 bola biru diambil 2 bola sekaligus. Peluang terambil dua bola biru adalah …. 5 14 10 a. c. e. 78 39 13 5 5 d. b. 39 13

38


17.

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 3 angka yang berbeda yang dapat dibentuk dari angka-angka: 0, 1, 2, 3 ,4, dan 5 yang ganjil adalah …. a. 24 c. 48 e. 80 b. 36 d. 60

18.

Jika nC2 = 2n, maka nilai dari a. 20 b. 346

19.

(3n – 1)C 3

adalah …. c. 364 d. 455

Banyaknya permutasi dari kata “PRAHARA” adalah …. a. 120 c. 320 b. 240 d. 420

e. 463

e. 450

20.

Tiga buah mata uang logam dilempar bersama-sama. Nilai kemungkinan muncul bukan dua gambar adalah …. 5 7 1 a. c. e. 8 8 8 3 3 d. b. 8 4

21.

Dari lemparan 2 buah mata uang logam dan sebuah dadu, frekuensi harapan muncul kejadian 2 gambar dan mata dadu ganjil jika dilempar bersama-sama 80 kali adalah …. a. 10 c. 20 e. 30 b. 15 d. 25

22.

Sebuah dadu dilempar sekali, maka peluang muncul bilangan prima atau bilangan genap adalah …. 1 2 c. e. 1 a. 3 3 1 5 b. d. 2 6 Jika pasangan pengantin baru ingin memiliki 5 anak, banyaknya ruang sampel dari kejadian tersebut adalah …. a. 10 c. 20 e. 64 b. 16 d. 32

23.

24.

Dalam suatu kelas ada 8 murid laki-laki dan 6 murid wanita. Secara acak diambil 3 orang diantara mereka. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu wanita adalah …. 5 7 10 c. e. a. 13 13 13 6 8 b. d. 13 13

25.

Jika n P5 = 10 x a. 132 b. 156

n

P4, maka nilai n P2 adalah …. c. 182 d. 210

e. 240

39

BAB I Peluang

26.

Koefisien suku x11 dari (x2 + a. 120 b. 150

1 10 ) adalah …. x c. 210 d. 230

e. 245

27.

Sebuah panitia yang beranggotakan 4 orang akan dipilih dari kumpulan 5 pria dan 6 wanita. Bila dalam panitia tersebut diharuskan ada paling sedikit 2 orang wanita, maka banyaknya cara memilih ada …. a. 190 c. 250 e. 280 b. 205 d. 265

28.

Dari sebuah kantong terdapat 8 kartu merah dan 7 kartu kuning. Jika diambil satu-satu sampai tiga kali, dimana setiap pengambilan tidak dikembalikan. Peluang bahwa pengambilan pertama dan kedua merah dan pengambilan ketiga kuning adalah …. 28 28 16 a. c. e. 225 195 105 448 32 d. b. 3.375 195

29.

Seratus orang akan mengadakan salam-salaman, banyaknya salaman yang terjadi adalah …. a. 445 c. 910 e. 4.950 b. 455 d. 1.820

30.

Seorang pengamat transportasi telah mengadakan beberapa kali pengamatan di jalan Pantura. Diperoleh data bahwa 65 % pengguna jalan adalah berkendaraan motor, 8 % pengguna jalan mengalami kecelakaan dan 6% nya berkendaraan motor. Banyaknya orang yang mengalami kecelakaan atau berkendaraan motor adalah …% a. 8 c. 67 e. 79 b. 65 d. 73

31.

Banyaknya diagonal segi-10 adalah …. a. 30 c. 40 b. 35 d. 45

e. 90

32.

Seorang marketing memperediksi barangnya akan laku 0,8888…, Jika banyaknya barang yang dijual 90.000 unit, maka kemungkinan barang yang tidak laku adalah …. unit a. 8.800 c. 60.000 e. 88.000 b. 10.000 d. 80.000

33.

Sebuah kantong berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika diambil 3 bola sekaligus, maka peluang yang terambil ketiganya bukan putih adalah …. 1 1 29 c. e. a. 30 5 30 5 17 b. d. 30 30

40


34.

Dari seperangkat kartu Bridge, diambil satu kartu secara acak. Peluang terambil kartu As atau kartu berwarna merah adalah …. 17 7 8 c. e. a. 52 13 13 1 15 b. d. 2 26 8 1 Misalkan A dan B adalah dua kejadian dengan P(A) = , P(A I B) = , dan 15 3 4 P(A/B) = . Nilai P(B/A) adalah …. 7 1 3 5 a. c. e. 8 8 8 2 4 b. d. 8 8

35.

B. Soal Essay

1. 2.

3.

4. 5.

6.

7.

8.

Terdapat 4 bendera merah, 5 bendera biru, dan 6 bendera kuning. Berapa macam komposisi warna bendera apabila dipasang berjejer di sepanjang jalan? Parlemen suatu negara mempunyai 30 anggota dari partai Republik dan 15 anggota dari partai Demokrat. Jika akan dibentuk suatu komisi yang terdiri dari 3 orang dari partai Republik dan 2 orang dari partai Demokrat. Berapa jenis komposisi komisi yang dapat dibentuk? Dari 9 buku yang berbeda terdiri dari 5 buku cerita dan 4 buku politik tersusun dalam sebuah rak. Jika diambil secara acak 4 buah buku, tentukan peluang mendapatkan dua buku cerita dan dua buku politik? Dua dadu dilempar sebanyak 360 kali. Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu kembar? Dua dadu dilemparkan bersama-sama. Berapa peluang muncul mata dadu: a. Berjumlah 7 atau 11 b. Berjumlah 9 atau kembar c. Berjumlah 10 atau kembar d. Berjumlah 7 atau prima? Empat keping mata uang logam dilempar secara bersamaan sebanyak 160 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya: a. Semuanya sisi gambar b. Paling sedikit 2 sisi angka c. Paling banyak 3 sisi gambar? Arman dan Budi mengikuti SPMB di UGM dengan berpeluang lulus masing-masing 0,85 dan 0,75. Tentukanlah peluangnya bahwa: a. Arman tidak lulus b. Arman lulus tetapi Budi c. Budi lulus tetapi Arman tidak lulus? Kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas. Kalau P(A) = 0,25 dan P(B) = 0,7 carilah : a. b.

P(A ∩ B) P(A ∪ B)

c. d.

P(A ∩ B ) c c P(A ∪ B ) c

c

Bab

2 Sumb er:

www.contain.ca

Bangun Ruang Sisi Lengkung Di Sekolah Dasar, kamu telah mengenal bangun-bangun ruang seperti tabung, kerucut, dan bola. Bangun-bangun ruang tersebut akan kamu pelajari kembali pada bab ini. Dalam kehidupan sehari-hari, kamu mungkin sering melihat bendabenda yang berbentuk tabung, kerucut, dan bola. Misalnya, sebuah tangki berbentuk tabung memiliki jari-jari 15 m dan tingginya 50 m. Jika tangki tersebut akan diisi minyak tanah sampai penuh, berapa liter minyak tanah yang diperlukan? Untuk menjawabnya, pelajarilah bab ini dengan baik.

A. B. C.

Tabung Kerucut Bola

17


1.

3. x

12 cm

Tentukan nilai x.

4. 5.

9 cm

2. 7 cm

Gambarlah jaring-jaring prisma segiempat beraturan. Tentukan luas permukaan kubus yang memiliki panjang rusuk 5 cm. Sebuah limas segiempat memiliki panjang alas 15 cm dan lebarnya 12 cm. Tentukan volume limas tersebut.

Tentukan luas bangun di samping.

Di Kelas VIII, kamu telah mempelajari bangun ruang sisi tegak seperti kubus, balok, prisma, dan limas. Pada bab ini, bangun ruang tersebut akan diperluas dengan mempelajari bangun ruang sisi lengkung, yaitu tabung, kerucut, dan bola. Di dalam kehidupan sehari-hari, kamu pasti pernah menemukan bendabenda seperti kaleng susu, nasi tumpeng, dan bola sepak.

(a)

(c) (b) Gambar 2.1 : Contoh bangun ruang sisi lengkung


Perhatikan Gambar 2.1 . Gambar (a), (b), dan (c) merupakan contohcontoh bangun ruang sisi lengkung. Sekarang, coba kamu sebutkan namanama bangun ruang yang diwakili oleh gambar-gambar tersebut.

A. Tabung Gambar 2.2 Tabung atau silinder.

P2

D

A

r

r

P1

C

B

Gambar 2.3 : Tabung

18

Perhatikan Gambar 2.2 . Amatilah bentuk geometri bangun tersebut. Tabung (silinder) merupakan bangun sisi lengkung yang memiliki bidang alas dan bidang atas berbentuk lingkaran yang sejajar dan kongruen.

1. Unsur-Unsur Tabung Perhatikan Gambar 2.3 . Tabung memiliki unsur-unsur sebagai berikut. a. Sisi alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P1, dan sisi atas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran dengan pusat P2. b. Selimut tabung, yaitu sisi lengkung tabung (sisi yang tidak diraster). c. Diameter lingkaran alas, yaitu ruas garis AB, dan diameter lingkaran atas, yaitu ruas garis CD. d. Jari-jari lingkaran alas (r), yaitu garis P1A dan P1B, serta jari-jari lingkaran atas (r), yaitu ruas garis P2C dan P2D. e. Tinggi tabung, yaitu panjang ruas garis P2P1, DA, dan CB.


2. Luas Permukaan Tabung Perhatikan kembali Gambar 2.3 . Jika tabung pada gambar tersebut dipotong sepanjang garis AD, keliling sisi alas, dan keliling sisi atasnya, akan diperoleh jaring-jaring tabung seperti pada Gambar 2.4 . P2 r D

D'

A

P2

A'

Gambar 2.4 : Jaring-jaring tabung.

Selimut tabung pada Gambar 2.4 berbentuk persegipanjang dengan panjang AA ' = DD ' = keliling alas tabung = 2πr dan lebar AD = A' D ' = tinggi tabung = t. Jadi, luas selimut tabung = luas persegipanjang = p × l = 2πrt. Luas permukaan tabung merupakan gabungan luas selimut tabung, luas sisi alas, dan luas sisi atas tabung. Luas permukaan tabung = luas selimut + luas sisi alas + luas sisi atas = 2πrt + πr2 +πr2 = 2πrt + 2πr2 = 2πr (r + t) Dengan demikian, untuk tabung yang tertutup, berlaku rumus sebagai berikut.

Tugas 2.1 Diskusikan dengan teman sebangkumu tentang rumus luas permukaan tabung tanpa tutup. Laporkan hasilnya di depan kelas.

Luas selimut tabung = 22rt Luas permukaan tabung = 22r (r + t)

Contoh Soal

2.1

Diketahuii suatu t tabung t jari-jari alasnya 7 cm dan tingginya 10 cm. Tentukan luas selimut tabung dan luas permukaan tabung tersebut. Jawab: Diketahui : r = 7 cm t = 10 cm Ditanyakan : • luas selimut tabung • luas permukaan tabung Penyelesaian: • Luas selimut tabung = 2πrt 22 7 . 10 = 440 cm 2 = 2. 7 •

Luas permukaan tabung = 2πr (r + t)

Plus+ tt

t

Jika pada bangun ruang terdapat unsur yang nilainya kelipatan 7, gunakan nilai 22 π= . 7 Jika pada bangun ruang tidak terdapat unsur yang nilainya kelipatan 7, gunakan nilai π = 3,14.

22 . 7 .( 7+ 10 ) = 748 cm 2 7 Jadi, luas selimut tabungnya adalah 440 cm2 dan luas permukaan tabungnya adalah 748 cm2 = 2.

Bangun Ruang Sisi Lengkung

19

Contoh Soal

2.2

Diketahuii lluas selimut suatu tabung adalah 1.408 cm2. Jika jari-jari alasnya 14 cm, tentukan luas permukaan tabung tersebut. Jawab : Diketahui : luas selimut tabung = 1.408 cm2 r = 14 cm Ditanyakan : luas permukaan tabung Penyelesaian: Luas selimut tabung = 2πrt 22 1.408 = 2 . . 14 . t 7 1.408 t= = 16 cm 88 Luas permukaan tabung = 2πr (r + t) 22 . 14 . (14 + 16 ) 7 = 2.640 cm2 Jadi, luas permukaan tabung tersebut adalah 1.640 cm2 = 2.

Contoh Soal

2.3

Jika luas permukaan tabung di samping adalah 1.406,72 cm2, tentukan tinggi tabung tersebut. Jawab: Diketahui: luas permukaan tabung = 1.406,72 cm2 r = 8 cm. Ditanyakan: tinggi (t) Penyelesaian: Luas permukaan tabung = 2pr (r + t) 1.406,72 = 2 · 3,14 · 8 · (8 + t) = 50,24 (8 + t) = 401,92 + 50,24 · t 50,24 · t = 1.004,8 1.004, 8 t= = 20 50, 24

8 cm

Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm

3. Volume Tabung

(a)

(b)

Gambar 2.5 : Prisma dan Tabung

Masih ingatkah kamu pelajaran mengenai prisma di Kelas VIII? Pada dasarnya, tabung juga merupakan prisma karena bidang alas dan bidang atas tabung sejajar dan kongruen. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gambar 2.5. Dengan demikian, volume tabung sama dengan volume prisma, yaitu luas alas dikali tinggi. Oleh karena alas tabung berbentuk lingkaran, volume tabung dinyatakan sebagai berikut. Volume tabung = luas alas × tinggi = πr2t

20


Contoh Soal

2.4

Diketahuii jjari-jari i j alas suatu tabung adalah 12 cm. Jika tinggi tabung tersebut 10 cm, tentukan volume tabung tersebut. Jawab : Diketahui : r = 12 cm t = 10 cm Ditanyakan : volume tabung Penyelesaian: Volume tabung = πr2t = 3,14 · (12)2 · 10 = 4.521,6 cm3 Jadi, volume tabung tersebut adalah 4.521,6 cm3

Contoh Soal

Plus+ Volume digunakan untuk menyatakan ukuran besar suatu ruang.

2.5

Diketahui jari-jari suatu tabung adalah 7,5 cm. Tentukan tinggi tabung tersebut jika volumenya 3.532,5 cm3. Jawab : Diketahui: r = 7,5 cm V = 3.532,5 cm3 Ditanyakan: tinggi (t) Penyelesaian: Volume = πr2t 3.532,5 = 3,14 (7,5)2 · t = 176,625 · t 3.532, 5 t= = 20 176, 625 Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm

Problematika Contoh Soal

2.6

Volume sebuah b h tabung adalah 20.790 cm3. Jika tinggi tabung tersebut 15 cm, tentukan panjang jari-jari dan luas selimut tabung tersebut. Jawab : Diketahui : t = 15 cm V = 20.790 cm3 Ditanyakan : panjang jari-jari (r) dan luas selimut tabung. Penyelesaian: • Volume = πr2t 22 2 . r . 15 20.790 = 7 20.790 x 7 r2 = = 441 330 r = 441 = 21 cm

Diketahui suatu tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika jari-jarinya 3 diperbesar menjadi r dan 2 tingginya diperkecil menjadi 1 t, tentukan perbandingan 3 volume tabung sebelum dan sesudah mengalami perubahan.


21

Luas selimut tabung = 2πrt 22 = 2 . . 21 . 15 = 1.980 cm 2 7 Jadi, jari-jari tabung tersebut adalah 21 cm dan luas selimutnya 1.980 cm2. •

Contoh Soal

2.7

Jari-jari alas suatu tabung adalah 14 cm. Jika luas permukaannya 3.432 cm2, tentukan volume tabung tersebut. Jawab : Diketahui: r = 14 cm Luas permukaan = 3.432 cm2 Ditanyakan : volume (V) Penyelesaian: Luas permukaan = 2πr (r + t) 22 .14 . (14 + t ) 3.432 = 2 . 7 = 1.232 + 88 · t 88 · t = 2.200 2.200 t= = 25 88 Volum e = πr2t 22 . (14 )2 . 25 = 7 = 15.400 Jadi, volume tabung tersebut adalah 15.400 cm3

Uji Kompetensi 2.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Hitunglah luas selimut tabung-tabung berikut.

5.

Perhatikan gambar berikut. 8 dm

12 cm

8 cm

7 cm

16 dm 14 cm

5 cm (a)

2.

3.

4.

22

16 cm (b)


(a)

(c)

Diketahui suatu tabung memiliki jari-jari 4 cm. Jika tinggi tabung tersebut 16,5 cm, tentukan luas selimut tabung tersebut. Luas selimut suatu tabung 628 cm 2 . Tentukan tinggi tabung tersebut jika diketahui jari-jari alasnya 10 cm. Hitunglah luas permukaan suatu tabung yang memiliki jari-jari 7 cm dan tinggi 12 cm.

20 dm

6 dm

6.

7.

(b)

Tentukan perbandingan luas permukaan tabung (a) dan tabung (b). Sebuah tabung tanpa tutup memiliki jari-jari 6,5 cm dan tinggi 18 cm. Tentukan luas permukaan tabung tersebut. Diketahui jari-jari alas sebuah tabung 28 cm. Jika tingginya 20 cm, tentukan volume tabung tersebut.

8.

Hitunglah volume tabung-tabung berikut.

2,1 dm 30 mm

70 dm 17 cm

4,5 mm

9. Sebuah tabung memiliki volume 192,5 cm3. Jika tinggi tabung tersebut adalah 0,5 dm, tentukan panjang jari-jari alasnya. 10. Diketahui sebuah tabung memiliki luas selimut 7.536 cm2. Tentukan volume tabung tersebut jika tingginya 40 cm.

3,5 m (a)

(b)

(c)

T

B. Kerucut Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360°, di mana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Perhatikan Gambar 2.6 . Kerucut pada Gambar 2.6 dapat dibentuk dari segitiga siku-siku TOA yang diputar, P di mana sisi TO sebagai pusat putaran.

Q

O A

1. Unsur-Unsur Kerucut Amatilah Gambar 2.7 . Kerucut memiliki unsur-unsur sebagai berikut. a. Bidang alas, yaitu sisi yang berbentuk lingkaran (daerah yang diraster). b. Diameter bidang alas (d), yaitu ruas garis AB. c. Jari-jari bidang alas (r), yaitu garis OA dan ruas garis OB. d. Tinggi kerucut (t), yaitu jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang alas (ruas garis CO). e. Selimut kerucut, yaitu sisi kerucut yang tidak diraster. f. Garis pelukis (s), yaitu garis-garis pada selimut kerucut yang ditarik dari titik puncak C ke titik pada lingkaran. Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan persamaan- A persamaan berikut. s2 = r2 + t2

B

r2 = s2 − t2

2. Luas Permukaan Kerucut

t2 = s2 − r2

Gambar 2.6 Kerucut.

C

s

t r

B

O D Gambar 2.7 Kerucut.

C

Perhatikan kembali Gambar 2.7 . Jika kerucut tersebut dibelah sepanjang garis CD dan keliling alasnya, akan diperoleh jaring-jaring kerucut seperti pada Gambar s s 2.8. Jaring-jaring kerucut pada Gambar 2.8 terdiri atas: • juring lingkaran CDD' yang merupakan selimut kerucut. • lingkaran dengan jari-jari r yang merupakan sisi alas kerucut. D Pada Gambar 2.8 , terlihat bahwa panjang jari-jari juring lingkaran sama dengan s (garis pelukis kerucut). Adapun panjang busur DD' sama dengan keliling alas kerucut, yaitu 2πr. Jadi, luas selimut kerucut sama dengan luas r juring CDD'. Luas juring CDD ' Panjang busur DD ' = Luas lingkaran Keliling lingkaran Luas juring CDD' 2 π r Gambar 2.8 : Jaring-jaring kerucut. = 2 2πs πs Bangun Ruang Sisi Lengkung

23

D'

Solusi Matematika Diketahui jari-jari alas sebuah kerucut 3,5 cm dan tingginya 12 cm. Jika 22 digunakan π = , luas sisi 7 kerucut tersebut adalah .... a. 132 cm b. 154 cm c. 176 cm d. 198 cm t

Jawab: r = 3,5 cm t = 12 cm s=

Jadi, luas selimut kerucut = πrs. Luas permukaan kerucut = luas selimut + luas alas = πrs + πr2 = πr (s + r) Dengan demikian, pada kerucut berlaku rumus sebagai berikut. Luas selimut kerucut = πrs Luas permukaan kerucut = πr (s + r)

s r

t2 + r2 122 +

2πr . πs 2 2πs = πrs

Luas juring CDD ' =

52

= = 12,5 Luas sisi kerucut = πr (s + r) 22 · 3,5 · (12,5 + 3,5) = 7 = 176 cm2 Jadi, luas sisi kerucut tersebut adalah 176 cm2. Jawaban: c Soal UAN, 2003

Contoh Soal

2.8

Diketahui uii jjar jari-jari a i jjar a i alas sebuah kerucut adalah 7 cm dan panjang garis pelukisnya 15 cm. Hitunglah luas permukaan kerucut tersebut. Jawab : Diketahui: r = 7 cm s = 15 cm Ditanyakan: luas permukaan kerucut Penyelesaian: Luas permukaan kerucut = πr (s + r) = 22 . 7 . (15 + 7 ) = 484 cm 3 7 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 484 cm3

Contoh Soal

2.9

Jika diameter t sebuah b kerucut adalah 10 cm dan tingginya 12 cm, tentukan: a. panjang garis pelukis (s), b. luas selimut kerucut, c. luas permukaan kerucut. Jawab: Diketahui : d = 10 maka r = 5 cm t = 12 cm Ditanyakan : a. panjang garis pelukis (s) b. luas selimut kerucut c. luas permukaan kerucut Penyelesaian: a. s2 = t2 + r2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 s = 169 = 13 Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 13 cm. b. Luas selimut kerucut = πrs = 3,14 · 5 · 13 = 204,1 Jadi, luas selimut kerucut tersebut adalah 204,1 cm2. c. Luas permukaan kerucut = πr (s + r) = 3,14 · 5 · (13 + 5) = 282,6 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 282,6 cm2

24


Contoh Soal

2.10

Diketahui luas permukaan suatu kerucut adalah 376,8 dm2. Jika jari-jari alasnya 6 dm, tentukan panjang garis pelukis kerucut tersebut. Jawab: Diketahui: luas permukaan kerucut = 376,8 dm2 r = 6 dm Ditanyakan: panjang garis pelukis (s) Penyelesaian: Luas permukaan kerucut = πr (s + r) 376,8 = 3,14 · 6 · (s + 6) 376,8 = 18,84s + 113,04 376, 8 - 113, 04 s= = 14 18, 84 Jadi, panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 14 dm

Contoh Soal

2.11

Jika luas selimut li suatu kerucut adalah 113,04 cm2 dan jari-jarinya 4 cm, tentukan luas permukaan kerucut tersebut. Jawab : Diketahui: luas selimut kerucut = 113, 04 cm2 r = 4 cm Ditanyakan: luas permukaan kerucut Penyelesaian: Luas selimut = πrs 113,04 = 3,14 · 4 · s = 12,56s 113, 04 =9 s= 12, 56 Luas perm ukaan = πr (s + r) = 3,14 · 4 · (9 + 4) = 12,56 · 13 = 163,28 Jadi, luas permukaan kerucut tersebut adalah 163,28 cm2 (a)

3. Volume Kerucut Perhatikan Gambar 2.9 . Dapatkah kamu menemukan persamaan antara gambar (a) dan gambar (b)? Pada dasarnya, kerucut merupakan limas karena memiliki 1 titik puncak sehingga volume kerucut sama dengan volume limas, yaitu kali 3 luas alas kali tinggi. Oleh karena alas kerucut berbentuk lingkaran, volume kerucut dinyatakan oleh rumus sebagai berikut. Volume kerucut = =

1 x luas alas x tinggi 3

(b) Gambar 2.9 : Limas dan Kerucut

1 2 πr t 3


25

Contoh Soal

2.12

Hitunglahh volume l suatu kerucut yang memiliki jari-jari 2,5 dm dan tinggi 9 dm. Jawab : Diketahui: r = 2,5 dm t = 9 dm Ditanyakan: volume kerucut Penyelesaian: Volume kerucut =

1 2 πr t 3

=

[]

1 · 3,14 · (2,5)2 · 9 = 58,875 dm3 3

Jadi, volume kerucut tersebut adalah 58,875 dm3

Contoh Soal

2.13

T

O

Situs Matematika www.mate–mati–kaku.com com www.krenllinst.org

A

Jika panjang OA = 30 mm dan TA = 5 cm, hitunglah volume kerucut di samping. Jawab : Diketahui : OA = r = 30 mm = 3 cm TA = s = 5 cm Ditanyakan : volume kerucut

Jawab: t2 = s2 − r2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16 t = 16 = 4 . . . Tinggi kerucut = 4 cm. Volume kerucut = =

1 2 πr t 3

1 · 3,14 · (3)2 · 4 = 37,68 3

Jadi, volume kerucut tersebut adalah 37,68 cm3

Contoh Soal

2.14

Diketahui volume kerucut adalah 254,34 cm3. Jika jari-jarinya 4,5 cm, tentukan tinggi kerucut tersebut. Jawab : Diketahui: V = 254,34 cm3 r = 4,5 cm Ditanyakan: tinggi kerucut (t) Penyelesaian: Volume =

26

1 2 πr t 3


1 2 254,34 = . 3, 14 . ( 4, 5 ) . t 3 1 254,34 = . 63, 585 . t 3 t = 254, 34 x 3 = 12 63, 585 Jadi, tinggi kerucut tersebut adalah 12 cm

Contoh Soal

2.15

Diketahui jari-jari suatu kerucut adalah 9 dm. Tentukan volume kerucut tersebut jika luas permukaannya 678,24 dm2. Jawab : Diketahui: r = 9 dm luas permukaan = 678,24 dm2 Ditanyakan: volume kerucut Penyelesaian: Luas permukaan = 2r (s + t) 678,24 = 3,14 · 9 · (s + 9) = 28,26 · (s + 9) = 28,26 · s + 254,34 28,26 · s = 423,9 423, 9 = 15 s= 28, 26 Oleh karena garis pelukisnya 15 dm, t2 = s2 – r2 = 152 – 92 = 144 t = 144 = 12 Dengan tinggi 12 dm maka 1 Volume = 2r 2 t 3 1 = . 3, 14 (9 )2 . 12 3 = 1.017, 36 Jadi, volume kerucut tersebut adalah 1.017,36 dm3

Uji Kompetensi 2.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Hitunglah luas selimut kerucut yang memiliki jarijari 10 cm dan panjang garis pelukis 17 cm. 2. Diketahui luas selimut suatu kerucut adalah 220 dm2. Jika panjang garis pelukisnya 14 dm, tentukan panjang jari-jari kerucut tersebut. 3. Jika jari-jari alas sebuah kerucut 6 dm dan tingginya 80 cm, hitunglah luas selimut dan luas permukaan kerucut tersebut.

4.

5.

Diketahui luas permukaan suatu kerucut 2 438,815 dm . Jika jari-jarinya 6,5 dm, tentukan luas selimut kerucut tersebut. Tentukan luas selimut dan luas permukaan suatu kerucut yang memiliki jari-jari 5 cm dan tinggi 13 cm.


27

6.

Hitunglah luas permukaan kerucut-kerucut berikut.

11 dm 15 cm 7 dm (a)

20 cm (b)

160 mm 8,5 cm (c)

7.

8. Hitunglah volume kerucut yang memiliki: a. r = 8 cm dan t = 15 cm b. r = 7 cm dan s = 25 cm c. r = 10 cm dan t = 21 cm 9. Diketahui suatu kerucut memiliki jari-jari 5 cm dan tinggi 12 cm. Tentukan: a. luas selimut kerucut, b. luas permukaan kerucut, c. volume kerucut. 10. Suatu kerucut memilki volume 1.884 dm3. Jika tingginya 8 dm, tentukan: a. panjang jari-jari alas kerucut, b. panjang garis pelukis, c. luas selimut kerucut, d. luas permukaan kerucut.

Suatu kerucut memiliki jari-jari 70 mm dan luas selimut 308 cm2. Tentukan luas permukaan kerucut tersebut

C. Bola A

A

O (a)

O

B

B

Bola merupakan bangun ruang sisi lengkung yang dibatasi oleh satu bidang lengkung. Bola dapat dibentuk dari bangun setengah lingkaran yang diputar sejauh 360° pada garis tengahnya. Perhatikan Gambar 2.10 . Gambar (a) merupakan gambar setengah lingkaran. Jika bangun tersebut diputar 360° pada garis tengah AB, diperoleh bangun seperti pada gambar (b).

1. Luas Permukaan Bola (b) Gambar 2.10 Bangun setengah lingkaran dan Bola

Untuk mengetahui luas permukaan bola, lakukanlah kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

Kegiatan 2.1 1. 2. 3.

Sediakan sebuah bola berukuran sedang, misalnya bola sepak, benang kasur, karton, penggaris, dan pulpen. Ukurlah keliling bola tersebut menggunakan benang kasur. Lilitkan benang kasur pada permukaan setengah bola sampai penuh, seperti pada gambar (i).

benang kasur yang dililitkan pada permukaan setengah bola sampai penuh. bola sepak

(i)

28


4.

Buatlah persegipanjang dari kertas karton dengan ukuran panjang sama dengan keliling bola dan lebar sama dengan diameter bola seperti pada gambar (ii).

Tugas 2.2 Amatilah Gambar 2.10 (b). Coba tuliskan unsur-unsur yang dimiliki bola pada buku latihanmu. Bacakan hasilnya di depan kelasmu.

(ii)

5.

Lilitkan benang yang tadi digunakan untuk melilit permukaan setengah bola pada persegipanjang yang kamu buat tadi. Lilitkan sampai habis. benang kasur yang dililitkan persegipanjang dari karton

6. 7.

Jika kamu melakukannya dengan benar, tampak bahwa benang dapat menutupi persegipanjang selebar jari-jari bola (r). Hitunglah luas persegipanjang yang telah ditutupi benang. Dapatkah kamu menemukan hubungannya dengan luas permukaan setengah bola?

Dari Kegiatan 2.1 , jelaslah bahwa luas permukaan setengah bola sama dengan luas persegipanjang. Luas permukaan setengah bola = luas persegipanjang =p×l = 2πr × r = 2π r2 sehingga luas permukaan bola = 2 × luas permukaan setengah bola = 2 × 2πr2 = 4πr2 Jadi, luas permukaan bola dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Luas permukaan bola = 4πr2

Contoh Soal

2.16

Diketahuii sebuah b h bola dengan jari-jari 7 dm. Tentukan luas permukaan bola tersebut. Jawab: Diketahui: r = 7 dm Ditanyakan: luas permukaan bola 7 dm Penyelesaian: 2 Luas permukaan bola = 4π r 22 = 4 . . ( 7 )2 = 616 7 Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah 616 dm2


29

Contoh Soal

2.17

Jika luass perm permukaan permuk k suatu bola 154 cm 2, tentukan panjang jari-jari bola tersebut. Jawab: Diketahui : luas permukaan bola = 154 cm2 Ditanyakan : panjang jari-jari (r) Penyelesaian: Luas permukaan bola = 4πr 2 22 154 = 4 . . r 2 7 r2 =

154 x 7 = 12, 25 88

r = 12, 25 = 3, 5 Jadi, panjang jari-jari bola tersebut adalah 3,5 cm

Contoh Soal

2.18

n luas permukaan per Tentukan sebuah bola yang berdiameter 56 mm. Jawab : Diketahui: d = 56 mm 56 mm = 28 mm r= 2 Ditanyakan: luas permukaan bola Penyelesaian: Luas permukaan bola = 4πr2 = 4 · 3,14 · (28)2 = 9.807,04 Jadi, luas permukaan bola tersebut adalah 9.807,04 cm2

[]

Contoh Soal

2.19

Sebuah bangun be berbentuk belahan bola padat memiliki jari-jari 10 cm. Tentukan luas permukaan bangun tersebut. Jawab : 1 Diketahui: belahan bola padat berbentuk bola dengan r = 10 cm. 2 Ditanyakan: luas permukaan belahan bola padat Penyelesaian: 1 Luas permukaan belahan bola padat = luas permukaan bola + luas lingkaran 2 1 = (4πr2) + ? r2 2 = 2πr2 + ? r2 = 3πr2 = 3 · 3,14 · (10)2 = 942 Jadi, luas permukaan bangun tersebut adalah 942 cm2

30


2. Volume Bola Untuk mengetahui rumus volume bola, lakukan kegiatan berikut.

Kegiatan 2.2 1.

Siapkan sebuah wadah yang berbentuk setengah bola berjari-jari r (wadah (i)) dan sebuah wadah yang berbentuk kerucut berjari-jari r dan tingginya 2r (wadah (ii)). r r 2r

(i)

2. 3.

(ii)

Isikan pasir ke wadah (ii) sampai penuh. Pindahkan pasir di dalam wadah (ii) ke wadah (i). Apakah yang terjadi?

Dari kegiatan di atas, dapat dilihat bahwa volume pasir yang dituangkan ke dalam wadah setengah bola tidak berubah. Ini berarti, untuk bangun setengah bola, dan kerucut yang berjari-jari sama, dan tinggi kerucut sama dengan dua kali jari-jarinya maka : volume setengah bola = volume kerucut 1 1 volume bola = π r 2 t 2 3 volume bola =

4 3 2 2 π r (2 r ) = π r 3 3

Jadi, volume bola dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Volume bola =

Contoh Soal

4 3 πr 3

2.20

Hitunglahh volume l bola yang memiliki jari-jari 9 cm. Jawab: Diketahui: r = 9 cm Ditanyakan: volume bola Penyelesaian: 4 Volume bola = pr 3 3 =

9 cm

4 . 3, 14 . (9 )3 = 3.052,08 3

Jadi, volume bola tersebut adalah 3.052,08 cm3


31

Sekilas Matematika

Contoh Soal

2.21 3 dm

Hitunglah volume bangun di samping.

Jawab: Diketahui : r = 3 dm Ditanyakan : Volume setengah bola Penyelesaian: 1 4 Volume setengah bola = . π r 3 2 3 Sumber:

Gunung es adalah suatu bongkahan es air tawar yang telah terpecah dari gletser dan mengambang di perairan terbuka. Pada umumnya, sekitar 90% volume gunung es berada di bawah permukaan laut. Sumber: www.id.wikipedia.org

=

2 . 3, 14 . ( 3)3 = 56, 52 3

Jadi, volume bangun tersebut adalah 56,52 dm3

Contoh Soal

2.22

Diketahui volume sebuah bola adalah 38.808 cm3. Tentukan diameter bola tersebut. Jawab : Diketahui: volume = 38.808 cm3 Ditanyakan: diameter (d) Penyelesaian: 4 Volume = πr3 3 4 22 38.808 = . · r3 3 7 88 3 = ·r 21 21 r3 = 38.808 × 88 = 9.261 r = 3 9.261 = 21 Oleh karena panjang diameter adalah dua kali panjang jari-jarinya, d = 2r = 2 · 21 = 42. Jadi, diameter bola tersebut adalah 42 cm

Contoh Soal

2.23

Diketahui volume udara yang dimasukkan ke dalam sebuah bola sepak plastik adalah 4.846,59 cm3. Tentukan panjang jari-jari bola sepak tersebut. Jawab: Diketahui: volume udara = volume bola = 4.846,59 cm3. Ditanyakan: panjang jari-jari bola (r) Penyelesaian: 4 Volume bola = πr 3 3 4.846,59 =

32


3 . 3, 14 . r 3 4

r3 =

4.846, 59 x 3 = 1.157, 625 4 x 3, 14

r = 3 1.157, 625 = 10, 5 Jadi, panjang jari-jari bola sepak tersebut adalah 10,5 cm

Uji Kompetensi 2.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Diketahui sebuah bola memiliki panjang jari-jari 5 cm. Hitunglah luas permukaan bola tersebut. 2. Hitunglah luas permukaan setengah bola padat yang berjari-jari 14 mm. 3. Suatu bola memiliki luas permukaan 803,84 cm2. Tentukan panjang jari-jari bola tersebut. 4. Dua bola jari-jarinya masing-masing adalah r1 dan r2. Adapun luas permukaannya masing-masing L1 dan L2. Jika r2 = 3r1, tentukan perbandingan L1 : L2. 5. Perhatikan gambar berikut. Hitunglah luas permukaan bangun tersebut. 18 cm 4 cm

6. Tentukan volume bola yang memiliki: a. r = 5 cm b. r = 4,2 dm c. d = 12 cm 7. Hitunglah volume sebuah bola yang memiliki jarijari 3 dm. 8. Diketahui volume sebuah bola adalah 381,51 cm3. Tentukan panjang jari-jari bola tersebut. 9. Diketahui volume sebuah kerucut sama dengan volume sebuah bola. Jika jari-jari alas kerucut sama dengan jari-jari bola, yaitu r, nyatakan tinggi kerucut dalam r. 10. Sebuah bola dimasukkan ke dalam tabung. Jika diameter bola sama dengan diameter tabung, yaitu 12 cm, dan tinggi tabung sama dengan 20 cm, tentukan volume tabung di luar bola.

Rangkuman • •

Yang termasuk bangun ruang sisi lengkung adalah tabung, kerucut, dan bola. Pada sebuah tabung, berlaku rumus-rumus:

•

Pada sebuah kerucut, berlaku rumus-rumus:

s t

Luas selimut = 22rt Luas permukaan = 22r (r + t) Volume = 2r2t

t

Luas selimut = 2rs Luas permukaan = 2r (r + s) 1 Volume = 2r2t 3

r

r

•

Pada sebuah bola, berlaku rumus-rumus:

r

Luas permukaan = 42r2 4 Volume = 2r 3 3


33

t t t

Pada bab Bangun Ruang Sisi Lengkung ini, materi apa sajakah yang belum kamu pahami dan sudah kamu pahami dengan baik? Pada bab ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini?

Peta Konsep Bangun Ruang Sisi Lengkung meliputi

Tabung

Kerucut

rumus

Luas selimut tabung = 22rt Luas permukaan tabung = 22r (r + t) Volume = 2r2t

34

rumus

Luas selimut kerucut = 2 rs Luas permukaan kerucut = 2r (r + s) 1 2 Volume = 2 r t 3


Bola

rumus

Luas permukaan bola = 42 r2 4 Volume = 2 r 3 3

Uji Kompetensi Bab 2 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Yang tidak termasuk bangun ruang sisi lengkung adalah .... a. kerucut c. balok b. tabung d. bola 2. Selimut tabung berbentuk .... a. juring lingkaran b. persegipanjang c. segitiga d. lingkaran 3. Sebuah tabung jari-jarinya 3,5 cm dan tingginya 10 cm. Luas selimut tabung tersebut adalah .... a. 2.200 cm2 c. 219,8 cm2 b. 220 cm2 d. 2.198 cm2 4. Diketahui diameter sebuah tabung 8 cm. Jika tingginya 16 cm, luas permukaan tabung tersebut adalah .... a. 251,2 cm2 b. 160 cm2 c. 125,6 cm2 d. 502,4 cm2 5.

16 dm 7 dm

6.

7.

Gambar di samping menunjukkan sebuah tabung tanpa tutup. Luas permukaan tabung tersebut adalah ....

a. 154 dm2 b. 704 dm2 c. 858 dm2 d. 975 dm2 Diketahui luas permukaan tabung 2.992 dm 2. Jika jari-jari alasnya 14 dm, tinggi tabung tersebut adalah .... a. 7 dm c. 20 dm b. 14 dm d. 22 dm Volume tabung yang jari-jarinya 6,5 cm dan tingginya 15 cm adalah .... a. 1.897,691 cm3 b. 1.835,433 cm3 c. 1.995,866 cm3 d. 1.899,975 cm3

8. Sebuah tangki minyak berbentuk tabung berisi minyak sebanyak 183,69 liter. Jika jari-jari tangki tersebut adalah 30 cm, tingginya adalah .... a. 3,5 dm c. 5,5 dm b. 4,5 dm d. 6,5 dm 9. Luas selimut suatu kerucut 353,25 cm. Jika jari-jari alas kerucut tersebut 7,5 cm, luas permukaan kerucut tersebut adalah .... a. 529,875 cm2 b. 451,777 cm2 c. 397,256 cm2 d. 354,106 cm2 10. Jika d adalah diameter alas kerucut dan t adalah tinggi kerucut, luas permukaan kerucut dinyatakan dengan rumus .... a. πd (d + s) b.

1 ⎛1 ⎞ πd ⎜ d + s ⎟ ⎝ ⎠ 2 2

c.

⎛ 1 1 ⎞ πd ⎜ d + s ⎟ ⎝ 4 4 ⎠

d.

1 1 ⎞ πd ⎜⎛ d + s ⎟ ⎠ ⎝4 2

11. Sebuah kerucut memiliki jari-jari alas 4 cm dan tinggi 12 cm. Volume kerucut tersebut adalah .... a. 200,96 cm3 c. 301,44 cm3 b. 150,75 cm3 d. 602,88 cm3 12. Volume sebuah kerucut adalah 588,75 mm3. Jika jari-jarinya 7,5 mm, tingginya adalah .... a. 6 mm c. 10 mm b. 8 mm d. 12 mm 13. Perbandingan volume dua kerucut yang jari-jarinya 3 cm dan 9 cm adalah .... a. 3 : 4 c. 1 : 7 b. 2 : 5 d. 1 : 9 14. Sebuah tempat es krim yang berbentuk kerucut memiliki diameter 5 cm dan tinggi 12 cm. Banyak es krim yang diperlukan untuk mengisi tempat tersebut sampai penuh adalah .... a. 60 cm3 c. 471 cm3 b. 314 cm3 d. 942 cm3


35

15. Perhatikan gambar berikut. s

t

Luas permukaan benda tersebut adalah .... a. πrs + 4πr + πr2 b. πr (s + 2t + r) c. πr (s + 4t + r) d. πrs + 2πrt + πr2

16. Luas permukaan bola yang berjari-jari 4 cm adalah .... a. 96,375 cm2 c. 200,96 cm2 b. 100,43 cm2 d. 213,01 cm2 17. Perhatikan gambar berikut.

9 dm 3 dm 5 dm

Luas permukaan bangun tersebut adalah .... a. 47,1 dm2 c. 169,56 dm2 b. 56,52 dm2 d. 273,18 dm2 18. Diketahui bangun setengah bola padat memiliki jari-jari 10 cm. Luas permukaan bangun tersebut adalah ... c. 628 cm2 a. 942 cm2 b. 853 cm2 d. 314 cm2

36


19. Diketahui volume sebuah bola adalah 36π m3. Luas permukaan bola tersebut adalah ... c. 36π m2 a. 9π m2 b. 18π m2 d. 72π m2 20. Volume bola terbesar yang dapat dimasukkan ke dalam kubus dengan panjang rusuk 12 cm adalah ... a. 904,32 cm3 c. 673,11 cm3 b. 343,89 cm3 d. 510,88 cm3 B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Diketahui volume sebuah tabung 196,25 cm3. Jika tingginya 10 cm, tentukan: a. panjang jari-jari kerucut, b. luas selimut kerucut, c. luas permukaan kerucut. 2. Sebuah bak air yang berbentuk tabung dengan jarijari lingkaran alas 1 m dan tinggi 1 m akan diisi penuh dengan air. Jika setiap 1 menit air yang 2 1 diisikan adalah liter, tentukan: 2 a. volume bak air dalam liter, b. waktu yang diperlukan untuk mengisi bak air itu sampai penuh (dalam jam). 3. Luas selimut suatu kerucut 1.177,5 cm 2 dan jarijarinya 15 cm. Tentukan: a. panjang garis pelukis, b. luas permukaan kerucut. 4. Diketahui jari-jari alas kerucut 7 cm dan tingginya 9 cm. a. Sketsalah gambar kerucut dengan ukurannya. b. Hitunglah volume kerucut tersebut dengan langkah langkahnya. 5. Sebuah bola berdiameter 7 dm. Tentukan: a. luas permukaan bola, b. volume bola.

Sumber : Art and Gallery

Standar Kompetensi 8. Menerapkan aturan konsep statistik dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar 8. 1

Mengidentifikasi pengertian statistik, statistika, populasi, dan sampel

8. 2

Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram

8. 3

Menentukan ukuran pemusatan data

8. 4

Menentukan ukuran penyebaran data

42

Matematika XII SMK Kelompok:Penjualan dan Akuntansi

A. PENDAHULUAN Standar Kompetensi Statistika terdiri dari empat (4) Kompetensi Dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel; Penyajian Data; Ukuran Pemusatan Data dan Ukuran Penyebaran Data. Standar Kompetensi ini digunakan untuk menyelesaikan masalah –masalah Statistika pada kehidupan seharihari dalam rangka untuk menunjang program keahliannya. Sebelum mempelajari kompetensi ini diharapkan anda telah menguasai standar kompetensi Sistem Bilangan Real terutama tentang perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan bilangan real dan fungsi. Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap siswa, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan soal 60% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.

B. KOMPETENSI DASAR B.1. Pengertian Statistik, Statistika, Populasi dan Sampel a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Menjelaskan pengertian dan kegunaan statistika ¾ Membedakan pengertian populasi dan sampel ¾ Menyebutkan macam-macam data dan memberi contohnya b. Uraian Materi

1). Pengertian dan Kegunaan Statistika Statistika banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pernyataan-pernyataan seperti: pada bulan maret tahun 2006 terjadi kecelakaan di jalan tol Jagorawi sebanyak 15 kali, dengan korban meninggal dunia sebanyak 6 orang dan lainnya luka-

BAB II Statistika

43

luka. Ada sekitar 20 % usia produktif penduduk Indonesia menganggur, setiap 20 detik sebuah perusahaan sepeda motor menghasilkan satu produk dan sebagainya, yang sering kita dengar, baik dari media elektronik maupun dari media cetak. Instansi terkait menggunakan statistika untuk menilai progress dari perusahaannya dimasa lalu dan juga dapat membuat rencana untuk masa yang akan datang. Demikian pentingnya peranan statistika dalam kehidupan ini, baik dalam kegiatan pemerintahan, perusahaan maupun dalam kehidupan sehari-hari, sehingga kita juga perlu mengetahui apa yang dimaksud dengan statistika tersebut. Untuk keperluan praktis statistika dapat diartikan sebagai berikut: a.

Dalam arti sempit, statistika berarti statistik yang berarti sekumpulan data. Misalnya statistik tentang penduduk, yang dimaksudkan adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk (jumlahnya, rata-rata umur, distribusinya, jumlah balita, jumlah angkatan kerja, jumlah usia sekolah, distribusi pekerjaan dan sebagainya).

b. Dalam arti luas, statistika berarti pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan data , penyajian data , pengolahan data, penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan secara logis dan rasional tentang data tersebut. Karena begitu panjang kegiatan dalam ilmu statistika tersebut, maka dalam pembahasannya Statistika dibagi menjadi 2, yaitu: a.

Statistika Deskriptif/Deduktif adalah statistika yang kegiatannya dimulai dari pengumpulan sampai pada analisis data yang paling sederhana, bersifat memberi gambaran suatu data apa adanya dan meringkas data agar mudah dibaca.

b.

Statistika Inferensial/Induktif adalah statistika yang kegiatannya dimulai dari pengumpulan data sampai pada pengambilan kesimpulan secara logis dan rasional. Statistika ini dilakukan untuk menentukan kebijakan atau penelitian.

Kegunaan Statistika secara umum antara lain sebagai berikut: • • • • •

Memberikan cara mencatat data secara sistematis. Memberi petunjuk pada penelitian supaya berpola pikir dan bekerja secara pasti dan mantap. Dapat meringkas data dalam bentuk yang mudah dianalisis. Alat untuk memprediksi secara ilmiah dari suatu kejadian yang akan datang. Dapat menyelesaikan suatu gejala sebab akibat yang rumit.

Seorang pemimpin perusahaan mengambil manfaat dari statistika untuk melakukan tindakan-tindakan yang perlu dalam menjalankan tugasnya, diantaranya: perlukah mengangkat pegawai baru, sudah waktunyakah untuk merevitalisasi mesin-mesin yang ada, bermanfaatkah jika pegawai yang ada ditraining, berapa banyak produk yang diproduksi dan yang dapat diserap oleh pasar, berapa barang harus diproduksi pada tahun yang akan datang guna memenuhi kebutuhan konsumennya dan sebagainya. Jika dikaitkan dengan masalah manajemen, statistika dapat dipergunakan sebagai berikut: a.

Dasar suatu perencanaan, agar perencanaan sesuai dengan kemampuan yang ada, sehingga dapat menghindari perencanaan yang ambisius yang menyebabkan tidak mudah untuk dilaksanakan.

44


b.

Alat pengendali terhadap pelaksanaan atau implementasi perencanaan sehingga dapat diketahui sesegera mungkin terhadap kesalahan atau penyimpangan yang terjadi dan dapat segera diperbaiki atau dikoreksi.

c.

Dasar evaluasi hasil kerja akhir. Apakah hasil kerja yang telah ditargetkan dapat tercapai sesuai dengan rencana? Berapa persenkah ketercapaiannya? Hambatanhambatan apa yang muncul dalam pelaksanaan rencana tersebut?

2). Data Statistika Data adalah sekumpulan keterangan yang dapat menjelaskan sesuatu hal. Tidak mungkin ada kegiatan statistika tanpa adanya data. Data tidak memiliki arti yang signifikan tanpa adanya kegiatan statistika. Oleh karena itu pada kegiatan statistika mulai dari pengumpulan data sampai pada pengambilan kesimpulan secara logis dan rasional membutuhkan data yang baik. Syarat-syarat data yang baik, yang dapat menganalisis untuk mendapatkan kesimpulan yang valid, adalah sebagai berikut: • Data harus objektif, yaitu data harus apa adanya dan tidak adanya rekayasa. • Data harus representatif, yaitu data harus dapat mewakili dari keseluruhan objek pengamatan. • Data harus reliabel, yaitu data yang memiliki kesalahan baku relatif kecil, sehingga jika membuat suatu perkiraan selisih antara perkiraan dengan sebenarnya sangat kecil. • Data harus relevan, yaitu data harus sesuai dengan penelitian yang dikehendaki. • Data harus uptodate, yaitu data yang digunakan harus data terbaru/terkini. Sebelum pengumpulan data, seorang peneliti harus menentukan dahulu apakah data dalam bentuk populasi, yaitu keseluruhan data yang akan diteliti, atau data dalam bentuk sampel. Hal ini tergantung dari maksud dan tujuan dari penelitian tersebut. Untuk keperluan praktis, pengumpulan data biasanya dilakukan dengan cara pengambilan sebagian dari populasi yang dikenal dengan sampel. Sampling adalah cara pengumpulan data. Data yang diperoleh hasil sampling merupakan data perkiraan (estimate value). Jadi, misalnya dari 200 SMK di DKI Jakarta akan diteliti hanya 20 sekolah yang sama, maka hasil penelitian terhadap 20 sekolah tersebut merupakan suatu perkiraan. Untuk keperluan penelitian yang variatif, dibutuhkan juga data yang variatif sehingga dapat menunjang dari hasil penelitian tersebut. Untuk itu data dibedakan beberapa macam antara lain: •

Data menurut penyajiannya, terbagi menjadi: o Data tunggal, yaitu data yang disajikan satu per satu. o Data kelompok, yaitu data yang disajikan berdasarkan interval tertentu (dikelompok-kelompokkan)

•

Data berdasarkan pengukurannya, terbagi menjadi: o Data diskrit, yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung, misalkan jumlah rata-rata guru setiap SMK di Pulau Jawa ada 30 orang. o data kontinu, yaitu data yang diperoleh dari hasil mengukur, misalkan ratarata tinggi siswa SMK di DKI Jakarta adalah 160 cm.

BAB II Statistika

45

•

Data berdasarkan sifatnya: o Data kuantitatif, yaitu data yang berupa angka atau bilangan. o Data kualitatif, yaitu data yang bukan berbentuk angka, melainkan hanya keterangan, misalkan data tentang jenis kelamin, hobi, agama, dan lain-lain.

•

Data berdasarkan sumbernya: o Data internal, yaitu data yang diperoleh dari instansinya sendiri, misalkan untuk keperluan identitas pegawai suatu perusahaan, diambil data tentang personalia. o Data eksternal, yaitu data yang diperoleh dari luar instansinya sendiri, misalkan untuk keperluan tentang perkembangan harga produk suatu perusahaan, data yang diambil diluar perusahaan dengan tujuan untuk membandingkan harga produknya.

•

Data berdasarkan cara memperolehnya: o Data primer, yaitu data yang dikumpulkan langsung dari objeknya kemudian di olah sendiri, misalkan ingin mengetahui rata-rata produk sabun yang terpakai tiap bulan, langsung memberikan wawancara atau memberi kuesioner kepada masyarakat tertentu. o Data sekunder, yaitu data yang diperoleh dari data yang sudah dikelola pihak lain yang sudah dipublikasikan, misalkan dari majalah, Biro Pusat Statistik, dan lain-lain.

3) Pengumpulan Data Yang perlu diperhatikan dalam pengumpulan data adalah terlebih dahulu harus mengetahui untuk apa data tersebut dikumpulkan. Apakah data tersebut sekadar untuk mendapatkan gambaran mengenai suatu keadaan/permasalahan atau untuk memecahkan suatu permasalahan. Apapun tujuan pengumpulan data, terlebih dahulu harus diketahui jenis elemen atau objek yang akan diselidiki. Tujuan pengumpulan data selain untuk mengetahui jumlah/banyaknya elemen juga untuk mengetahui karakteristik dari elemen-elemen tersebut. Karakteristik adalah sifatsifat, ciri-ciri atau hal-hal yang dimiliki oleh elemen tersebut, yaitu keterangan mengenai elemen. Misalnya, elemen itu pegawai suatu perusahaan, maka karakteristik yang perlu diketahui antara lain jenis kelamin, pendidikan, usia masa kerja, gaji, golongan dan sebagainya. Seringkali data yang dikumpulkan menyebar pada wilayah yang luas dan sangat variatif, misalnya data tentang penduduk dan biasa disebut dengan populasi, yakni kumpulan data yang sejenis akan tetapi dapat dibedakan satu sama lain. Misalnya, seluruh siswa di DKI Jakarta merupakan suatu populasi. Elemen dari data adalah orang, yaitu siswa di DKI Jakarta. Walaupun jenisnya sama tetapi karakteristik secara keseluruhan akan berlainan, misalnya siswa sekolah dasar (SD), SMP, SMA, dan SMK, usia, tempat tinggal, dan sebagainya. Ada beberapa cara pengumpulan data, antara lain: a. Penelitian langsung di lapangan atau laboratorium Penelitian di lapangan biasanya disebut dengan observasi atau pengamatan merupakan teknik pengumpulan data dengan cara pengamatan terhadap objek, baik secara langsung maupun tidak langsung, misalnya penelitian terhadap situs-

46


situs purbakala dan penelitian di dalam laboratorium. Pelaksanaan pengamatan dapat dilakukan dengan: • • •

Pengamatan langsung, yaitu pengamatan yang dilakukan tanpa perantara (secara langsung) terhadap objek yang diteliti. Pengamatan tak langsung, yaitu pengamatan yang dilakukan terhadap objek melalui perantaraan suatu alat atau cara. Pengamatan partisipasif, yaitu pengamatan yang dilakukan dengan cara ikut ambil bagian atau melibatkan diri dalam situasi yang dialami oleh responden. Cara ini banyak dilakukan terutama dalam penelitian psikologi, sosiologi maupun antropologi.

b. Interview (wawancara) Teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara mengadakan tanya jawab, baik secara langsung maupun tidak langsung dengan responden. Pada wawancara langsung, peneliti mengadakan tatap muka langsung dengan responden, sedangkan pada wawancara tidak langsung, peneliti mewawancarai perantara yang tahu persis tentang objek yang diteliti. c. Kuesioner (Angket) Angket dapat dipandang sebagai teknik pengumpulan data yang banyak kesamaannya dengan wawancara. Perbedaannya adalah wawancara dilakukan secara lisan, sedangkan angket dilakukan secara tertulis. Bentuk penyusunan angket ada dua macam, yaitu: • Angket berstruktur, yaitu angket yang menyediakan kemungkinan jawaban. • Angket tak berstruktur, yaitu angket yang tidak menyediakan kemungkinan jawaban. Contoh 1 Data hasil penelitian tingkat atau kualifikasi pendidikan dari karyawan/pegawai perusahaan asing di Jakarta. Setelah data terkumpul dan disajikan seperti tampak pada gambar berikut. Dari diagram di samping dapat diambil suatu kesimpulan secara kasar bahwa rata-rata tingkat pendidikan pegawai atau karyawan perusahaan asing di Jakarta adalah berpendidikan setingkat SMA. Lebih lanjut dimungkinkan pihak manajemen perusahaan-perusahan akan mengambil kebijakan tertentu untuk meningkatkan kualitas sumber daya manusia di perusahaannya. Gambar 2-1

Contoh 2 Data tentang pergerakan nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang disajikan sebagai berikut:

BAB II Statistika

47

Y-Axis

Grafik pada gambar di samping menunjukkan pergerakan nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat selama 5 hari pengamatan dari tanggal 9 sampai 13 Oktober tahun 2006 (Kompas, 14 Oktober 2006). Nilai tukar pada kurs tengah dari lembaga keuangan Bank Indonesia dan Bloomberg.

Gambar 2-2

Dari grafik dapat kita simpulkan bahwa pergerakan nilai tukar rupiah selama lima hari berkisar antara Rp9.205 hingga Rp 9.230 atau fluktuasi nilai tukar rupiah tidak terlalu besar. Pada tanggal 13 mengalami penguatan tertinggi selama lima hari pengamatan, yaitu Rp9.205/dollar.

Contoh 3 Beberapa pernyataan dapat dibuat dari gambar grafik hasil pengumpulan data selama 6 tahun di samping, antara lain yaitu volume ekspor tertinggi selama enam tahun adalah pada tahun 2002, tetapi nilai ekspornya terendah. Nilai ekspor tertinggi pada tahun 2000, yakni sebesar 66,3 ribuan dollar AS. Padahal volumenya hanya merupakan sekitar ratarata ekspor selama kurun waktu tersebut. Gambar 2-3

c. Rangkuman 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Statistika adalah pengetahuan mengenai pengumpulan data, penyajian data, analisis data, penarikan kesimpulan secara logis dan rasional. Statistika dibagi menjadi dua, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial. Populasi adalah keseluruhan data yang akan diteliti. Sampel adalah sebagian dari data yang akan dileliti. Data adalah sekumpulan keterangan yang dapat menjelaskan suatu hal. Data terbagi menjadi data: tunggal, kelompok, diskrit, kontinu, kualitatif, kuantitatif, internal, eksternal, primer, dan sekunder. Syarat-syarat data yang baik adalah: objektif, representatif, reliabel, relevan, dan up to date. Beberapa cara mengumpulkan data, yaitu: observasi, angket, dan wawancara.

48


1.

Jelaskan apakah yang dimaksud dengan : a. Statistik c. Sampel b. Statistika d. Populasi

2.

Jelaskan tentang pembagian statistika!

3.

Sebutkan kegunaan statistika secara umum dan berikan contohnya!

4.

Sebutkan kegunaan statistika dalam bidang manajemen!

5.

Sebutkan jenis-jenis data dan berikan contohnya!

6.

Sebutkan beberapa cara yang dapat dilakukan dalam pengumpulan data dan jelaskan masing-masing cara tersebut!

7.

Buatlah contoh angket terstruktur dan tidak terstruktur pada pengumpulan data dalam kegiatan sensus penduduk!

8.

Data kecelakaan lalu lintas di kota ”Baru” pada tahun 2001 sampai dengan 2005 adalah sebagai berikut: Tahun Banyaknya kecelakaan

2001

2002

2003

2004

2005

400

351

404

320

260

a. Tahun berapakah angka kecelakaan tertinggi? b. Berapa persenkah kenaikan angka kecelakaan tertinggi? c. Berapakah penurunan terbesar angka kecelakaan selama 5 tahun tersebut? 9.

Jumlah kendaraan roda empat di suatu ”kota Indah” pada tahun 2006 berjumlah 15.545, yang terdiri atas jenis sedan, bus, pick up, dan Jip. Data kendaraan disajikan dalam bentuk diagram lingkaran seperti pada gambar di bawah ini:

40%

Pick up

16% 10%

Bus

34%

Jip Sedan

Tentukanlah: a. Banyaknya mobil jenis sedan b. Jenis mobil yang paling banyak ditemui di kota tersebut dan berapa banyaknya! c. Jenis mobil yang jarang ditemui serta berapakah banyaknya!

10. Laba penjualan bersih PT Asahimas Flat Glass Tbk selama lima tahun yang dimuat dalam laporan tahunan pada tahun 2007 berturut-turut disajikan dalam diagram batang berikut:

49

BAB II Statistika Penjualan Bersih PT Asahimas Flat Glass Tbk (dalam milliar rupiah) 1.719 1.457 1.294 1.357

1500 1.227 1000 500 0

2001 2002 2003 2004

Cobalah buatkan pernyataan atau uraian menurut kata-katamu sendiri tentang laporan penjualan yang disajikan pada gambar di samping, kemudian kesimpulan kasar tentang perusahaan yang didasarkan pada data tersebut!

2005

11. D i a g r a m d i s a m p i n g menunjukkan angka kelahiran dan kematian di kota A dalam pengamatan selama 10 tahun. a. Pada tahun berapakah angka kelahiran paling besar dan berapakah banyaknya kelahiran tersebut? b. Pada tahun berapakah angka kematian paling kecil dan berapakah orang yang meninggal pada tahun itu? c. Pada tahun berapakah penduduk pada kota tidak bertambah apabila dilihat dari angka kematian dan kelahirannya? 12. Nilai aktiva bersih dan unit penyertaan modal reksa dana di bursa efek selama sebelas tahun disajikan dalam gambar berikut (Kompas, 5 Desember 2006):

a. Kapankah lonjakan nilai aktiva bersih dan berapakah volume sahamnya? b. Taksirlah berapakah penurunan volume saham tertinggi selama kurun waktu tersebut! c. P a d a t a h u n b e r a p a penyertaan reksa dana paling rendah dan taksirlah berapa nilai aktiva bersihnya ?

50 B.2


Penyajian Data

a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Menjelaskan jenis-jenis tabel ¾ Menjelaskan macam-macam diagram (batang, lingkaran, garis, gambar), histogram, poligon frekuensi, kurva ogive ¾ Mengumpulkan dan mengolah data serta menyajikannya dalam bentuk tabel dan diagram b. Uraian Materi Data yang telah dikumpulkan, baik dari populasi maupun sampel untuk keperluan laporan dan atau analisis selanjutnya, perlu diatur, disusun, disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Secara garis besar penyajian data dibagi menjadi dua cara, yaitu dalam bentuk tabel atau daftar dan grafik atau diagram. Buku ini hanya akan menguraikan: diagram garis, diagram batang, diagram lingkaran, piktogram, histogram, poligon frekuensi atau tabel distribusi frekuensi.

1). Diagram Garis Untuk menggambarkan keadaan yang berkesinambungan atau kontinu, misalnya produksi minyak tiap tahun, jumlah penduduk dalam suatu negara, keadaan temperatur tiap jam di suatu daerah, dibuat diagram garis. Untuk meggambar diagram garis diperlukan sumbu mendatar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal). Sumbu mendatar menyatakan waktu, sedang sumbu tegak menyatakan kuantum data tiap waktu. Contoh 4 Berikut menyatakan gambaran perkiraan produksi tenaga listrik yang menggunakan bahan bakar minyak (BBM) sebagai bahan bakar utama untuk pembangkit tenaga listrik di Indonesia dari tahun 2006 sampai dengan tahun 2010 (Kompas, 14 Oktober 2006). Tahun Produksi (GWh)

2006 28.009

2007 9.104

2008 5.978

2009 4.350

2010 4.950

Data tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram garis dengan sumbu vertikal menyatakan banyaknya produksi dan sumbu horisontal menyatakan tahun, seperti tampak pada gambar 2-4.

51

BAB II Statistika

Gambar 2-4

Dari diagram terlihat bahwa perkiraan produksi tenaga listrik dengan menggunakan bahan bakar minyak (BBM) sampai dengan tahun 2010 mengalami penurunan. Penurunan produksi paling besar terjadi pada tahun 2007. Ada kemungkinan pengalihan bahan bakar untuk memproduksi listrik guna mencukupi kebutuhan listrik secara nasional. Bahan bakar lain yang banyak digunakan antara lain batubara dan gas pada pembangkit tenaga listrik tenaga uap dan gas. Contoh 5 Berikut merupakan data perkembangan tenaga kerja dan kegiatan ekonomi sektor pertambangan dan penggalian non migas Indonesia selama kurun waktu delapan tahun (1997 – 2003). Perkembangan Tenaga Kerja dan Kegiatan Ekonomi Sektor Pertambangan dan Penggalian Non Migas (Kompas 14 Oktober 2006) Tahun Nilai Ekonomi (Rp. milliar) Tenaga Kerja (orang)

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

22.650,7

45.444,8

37.500,4

45.560,4

66.672,7

67.931,8

74.755,2

42.276

45.728

45.594

38.331

40.651

44.958

40.628

Berdasarkan data tersebut dapat dibuat diagramnya. Untuk membuat diagram garis, nilai pada sumbu vertikal dapat langsung ditulis pada titik yang bersesuaian seperti tampak pada Gambar 2-5. Dari diagram terlihat nilai kegiatan ekonomi sektor pertambangan nonmigas (emas, batubara, timah dsb) mengalami kenaikan kecuali pada tahun 1999. Sejak tahun 1997 hingga tahun 2003 telah mengalami kenaikan sebesar Rp52.104,5 milliar, sedangkan jumlah tenaga kerja pada sektor ini mengalami fluktuasi dan adanya kecenderungan penurunan.

52


Perkembangan Tenaga Kerja dan Kegiatan Ekonomi Sektor Pertambangan dan Penggalian Nonmigas 74.755,2 66.672,7 74.755,2

42.276

45.728

45.594 45.560,4

45.444,8 40.651

44.958 40.628

40.651

37.500,4 Nilai kegiatan ekonomi sektor pertambangan nonmigas (Rp. milliar)

22.650,7

1997

1998

Tenaga kerja sektor pertambangan nonmigas (orang)

1999

2000

2001

2002

2003

Gambar 2-5

2). Diagram Batang Seperti halnya pada diagram garis, untuk data yang variabelnya berbentuk kategori atau atribut (mempunyai ciri-ciri khusus) dapat disajikan dalam bentuk diagram batang. Contoh 6 Berikut merupakan contoh keadaan penduduk menurut tingkat pendidikan dan jenis kelamin di suatu daerah tertentu. Keadaan Penduduk Menurut Tingkat Pendidikan dan Jenis Kelamin Tahun 2006 Tingkat Pendidikan TK SD SMP SMA PT Jumlah

Komposisi Laki-laki Perempuan 35 40 55 67 46 53 34 40 20 25 190 225

Jumlah 75 122 99 74 45 415

Diagram batang yang menunjukkan jumlah penduduk menurut tingkat pendidikan tanpa merinci komposisi dari jenis kelaminnya ditunjukkan pada diagram berikut.

53

BAB II Statistika

Gambar 2-6

Jelas terlihat dari diagram bahwa tingkat pendidikan sekolah dasar (SD) merupakan kualifikasi pendidikan yang terbanyak yang dimiliki oleh penduduk daerah tersebut, sedangkan jumlah penduduk yang pernah mengikuti kuliah di perguruan tinggi menduduki jumlah yang paling sedikit. Jika jenis kelamin diperhatikan dan digambarkan diagramnya, maka didapat diagram batang dua komponen seperti tampak pada diagram berikut. 70

B a n y a k n y a

60 50 40 30 20 10

Laki-laki Perempuan TK

SD

SMP

SMA

PT

Gambar 2-7

Komposisi penduduk pada semua tingkatan pendidikan selalu lebih banyak perempuan dibandingkan dengan jumlah laki-laki.

3). Diagram Lingkaran Pada penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran, lingkaran dibagi dalam bentuk juring-juring lingkaran sesuai dengan data yang bersangkutan. Luas masing-masing juring sebanding dengan prosentase data yang bersangkutan.

54


Contoh 7 Penelusuran tamatan sebuah sekolah menengah yang berjumlah 1000 orang, diperoleh data sebagai berikut: Data 1000 Tamatan SMA “Nasional” Tahun 2005 Pekerjaan Banyaknya

PNS 225

ABRI 125

Peg. Swasta 400

Wiraswasta 150

Belum Kerja 100

Untuk membuat diagram lingkaran, ditentukan sudut pusat sektor lingkaran sebagai berikut: 225 x 100% = 22,5 % (dalam derajat = 22,5% x 360o = 81o) PNS = 1000 125 x 100% = 12,5 % (dalam derajat = 12,5% x 360o = 45o) ABRI = 1000 400 x 100% = 40 % (dalam derajat = 40% x 360o = 144o) Peg. Swasta = 1000 150 x 100% = 15 % (dalam derajat = 15% x 360o = 54o) Wiraswasta = 1000 100 x 100% = 10 % (dalam derajat = 10% x 360o = 36o) Belum Kerja = 1000 Diagram lingkaran yang dimaksud adalah sebagai berikut:

Gambar 2-8

4). Piktogram (Diagram Gambar) Diagram gambar menunjukkan keterangan secara kasar sesuatu hal dan sebagai alat visual dengan menggunakan gambar-gambar. Sangat menarik dilihat, terlebih jika simbol yang digunakan cukup baik dan menarik. Setiap gambar atau lambang digunakan sebagai ukuran satuan, misalnya untuk data mengenai jiwa, penduduk, dan pegawai dibuat gambar orang, misalnya 1 orang mewakili 5000 jiwa. Kesulitan yang dihadapi adalah ketika menggambar simbol untuk satuan yang tidak penuh. Diagram gambar disebut juga piktogram. Contoh 8 Pertumbuhan kendaraan bermotor roda empat jenis sedan di suatu negara selama empat tahun (2000 – 2003) ditunjukkan pada tabel berikut:

55

BAB II Statistika

Produksi Kendaraan Jenis Sedan tahun 2000 – 2003 (ribuan unit) Tahun Produksi (ribuan unit)

2000 600

2001 800

2002 1000

2003 1200

Hasil tersebut dapat digambarkan dalam bentuk piktogram sebagai berikut: Produksi Kendaraan Jenis Sedan tahun 2000 – 2003 (ribuan unit) Tahun

Produksi

2000 2001 2002 2003 = 200.000 unit Cara penyajian data berbentuk simbol ini sangat terbatas dan lebih cocok untuk menunjukkan perbandingan dan kurang baik apabila digunakan untuk menunjukkan ukuran satuan.

5). Tabel distribusi Frekuensi Biasanya data yang terkumpul belumlah terurut, untuk itu data diurutkan terlebih dahulu menurut besarnya dalam urutan naik atau turun, sehingga didapat sebuah jajaran dalam suatu tabel. Sebagai contoh, nilai ujian matematika dari 30 siswa diperoleh data sebagai berikut: 5, 7, 6, 6, 8, 4, 5, 6, 7, 5 6, 9, 3, 6, 6, 7, 9, 7, 7, 8 5, 5, 8, 8, 9, 5, 6, 7, 8, 7 Dari catatan itu tidak tampak adanya pola tertentu dari data tersebut, oleh karena itu penyusunan atau pengelompokan data dalam bentuk tabel akan dapat memberikan informasi yang jelas dari data tersebut. Tabel Nilai Ujian Matematika Nilai 3 4 5 6 7 8 9

Tally (turus) | | |||| | |||| || |||| || |||| ||| Jumlah

Frekuensi 1 1 6 7 7 5 3 30

56


Dari tabel dapat dibaca dengan mudah, misalnya banyaknya siswa yang mendapat nilai 6 pada ujian sebanyak 7 orang, yang mendapatkan nilai 8 sebanyak 5 orang. Daftar tersebut sering disebut sebagai distribusi frekuensi. Karena datanya tunggal maka disebut tabel distribusi frekuensi tunggal. Untuk data yang sangat banyak, rentangannya tinggi dan tidak memungkinkan disajikan dalam daftar distribusi tunggal, maka dibuat tabel distribusi data yang berkelompok atau bergolong, data dikumpulkan dalam kelompok-kelompok yang disebut interval. a). Membuat Daftar Distribusi Frekuensi Perhatikan nilai ujian matematika untuk 80 siswa berikut: 80 49 48 74 81 98 87 82

80 84 90 70 91 93 82 78

70 71 92 38 56 81 74 73

68 72 85 51 65 93 83 86

90 35 83 73 74 43 86 68

92 93 76 71 90 72 67 75

80 91 61 72 97 91 88 81

70 74 99 95 80 59 71 77

63 60 83 82 60 67 89 63

76 63 88 70 66 88 79 75

Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama dilakukan langkah-langkah berikut: •

Tentukan Rentangan (R) atau jangkauan, yaitu data terbesar dikurangi data terkecil. Data terbesar dari data di atas adalah 99, sedangkan data terkecil = 35, maka Rentangan (R) = 99 – 35 = 64

•

Tentukan banyaknya kelas yang diperlukan, misalnya 5 kelas atau 10 kelas sesuai dengan keperluan. Cara lain dengan menggunakan aturan Sturges: Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n , dimana n = banyaknya data Pada data di atas: k = 1 + 3,3 log 80 = 1 + (3,3)(1,9031) = 7,2802 Kita dapat membuat daftar dengan banyaknya kelas 7 atau 8.

•

Tentukan panjang kelas interval (p) secara perkiraan ditentukan dengan aturan berikut: p=

rentangan 64 = 9,14 = banyak kelas 7

Panjang kelas dapat diambil 9 atau 10 •

Pilih batas bawah kelas interval pertama Batas bawah interval kelas pertama dapat diambil dari data yang terkecil atau data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya kurang dari panjang kelas dan kelas pertama tidak boleh mempunyai frekuensi sama dengan nol. Dengan mengambil banyak kelas 7, panjang kelas 10 dan dimulai dengan batas bawah interval pertama sama dengan 31 diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut:

57

BAB II Statistika

Nilai ujian 31 – 40

41 – 50

Tally(Turus)

Frekuensi 2

||

51 – 60

||| ||||

3 5

61 – 70

|||| |||| ||||

14

71 – 80

|||| |||| |||| |||| ||||

24

81 – 90

|||| |||| |||| ||||

20

91 – 100

|||| |||| ||

12

Beberapa istilah yang digunakan dalam tabel distribusi frekuensi antara lain: • Interval kelas Tiap-tiap kelompok disebut dengan interval kelas. Pada tabel di atas terdiri atas 7 interval atau kelas. • •

•

Batas atas dan bawah Bilangan paling kiri pada tiap kelas disebut batas bawah, sedangkan bilangan yang paling kanan pada tiap interval disebut batas atas kelas. Bilangan-bilangan 31, 41, 51, . . . dan 91 merupakan batas bawah. 41 merupakan batas bawah interval kedua sedangkan 81 merupakan batas bawah interval keenam. Bilangan-bilangan 40, 50, 60, . . . dan 100 merupakan batas atas. 50 merupakan batas atas interval kedua, sedangkan 100 merupakan batas atas interval ketujuh. Tepi kelas (Tepi atas dan tepi bawah) Tepi atas dan tepi bawah dihitung berdasarkan ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat teliti hingga satuan, maka tepi bawah diperoleh dengan cara mengurangi batas bawah dengan 0,5 (tepi bawah = batas bawah – 0,5) untuk kelas yang bersangkutan, sedangkan untuk tepi atas, batas atas ditambah dengan 0,5 (tepi atas = batas atas + 0,5).

b). Tabel Distribusi Relatif dan Kumulatif Jika banyaknya frekuensi pada tiap interval dibandingkan dengan jumlah data keseluruhan dan dinyatakan dalam bentuk persen, maka akan didapat frekuensi relatif 2 .100% = 2,5% . (frel.). Frekuensi relatif interval pertama pada tabel di atas adalah 80 Distribusi Frekuensi Relatif Ujian Matematika Nilai ujian 31 – 40

Frekuensi 2

Frel. (%) 2,5

41 – 50

3

3,75

51 – 60

5

6,25

61 – 70

14

17,50

71 – 80

24

30,00

81 – 90

20

25,00

91 – 100

12

15,00

Jumlah

80

100

58


Daftar distribusi kumulatif dapat dibentuk dari daftar distribusi frekuensi dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu frekuensi kumulatif kurang dari dan frekuensi kumulatif lebih dari. Frekuensi kumulatif kurang dari adalah frekuensi yang diperoleh dari jumlah frekuensi yang kurang dari atau sama dengan tepi atas kelas yang bersangkutan, sedangkan frekuensi kumulatif lebih dari diperoleh dari jumlah frekuensi yang lebih dari atau sama dengan tepi bawah kelas yang bersangkutan. Perhatikan tabel sebelumnya, kemudian dibuat tabel frekuensi kumulatif (fkum) kurang dari dan lebih dari seperti pada tabel di bawah ini. Daftar Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Daftar Frekuensi Kumulatif Lebih Dari

Nilai ujian < 40,5

fkum kurang dari 2

Nilai ujian > 30,5

fkum lebih dari 80

< 50,5

5

> 40,5

78

< 60,5

10

> 50,5

75

< 70,5

24

> 60,5

70

< 80,5

48

> 70,5

56

< 90,5

68

> 80,5

32

< 100,5

80

> 90,5

12

Grafik yang menggambarkan frekuensi kumulatif disebut ogive .

Gambar 2-9

59

BAB II Statistika

Gambar 2-10

6). Histogram dan Poligon Frekuensi Histogram merupakan diagram untuk menyajikan data dalam bentuk distribusi frekuensi. Sumbu tegak untuk menyatakan frekuensi dan sumbu mendatar untuk menyatakan batas interval kelas. Batas yang digunakan merupakan tepi atas dan tepi bawah pada setiap intervalnya. Contoh 9 Dengan menggunakan data dari tabel pada halaman 57 dapat dibuat histogram seperti yang tertera pada diagram di bawah ini.

Gambar 2-11

60


Poligon frekuensi diperoleh dari histogram dengan cara menghubungkan titik tengah dari masing-masing puncak batang histogram. Poligon frekuensi dapat juga digambar tepisah dengan poligon, dimana letak titik-titik merupakan koordinat antara titik tengah dengan frekuensi yang bersesuaian, seperti tampak pada grafik berikut.

Gambar 2-12

Untuk mendapatkan kesimpulan sederhana dapat dilakukan dengan mencari ukuran pemusatan (tendensi sentral), distribusi frekuensi, dan ukuran penyebarannya (dispersi). c. Rangkuman

1. Setelah data diperoleh, maka data dikelola dan disajikan dalam bentuk: • Daftar/tabel terdiri dari: Daftar distribusi frekuensi tunggal dan daftar distribusi frekuensi kelompok •

Diagram, terdiri atas: o Diagram Batang o Diagram Lambang (Piktogram) o Diagram Garis o Diagram Lingkaran

•

Grafik terdiri atas: o Histogram, yaitu diagram batang yang saling berimpit sumbu vertikalnya dengan nilai frekuensi data dan sumbu horizontalnya merupakan tepi bawah kelas. o Poligon Frekuensi, yaitu diagram garis yang ujungnya tertutup sehingga membentuk bangun poligon, sumbu horizontalnya merupakan nilai tengah data dan sumbu vertikalnya adalah nilai frekuensi o Ogive, yaitu diagram garis yang diperoleh dari daftar distribusi frekuensi kumulatif, terdiri atas: Ogive positif dari f < Ogive negatif dari f >

61

BAB II Statistika

2. Langkah-langkah untuk membuat daftar distribusi frekuensi kelompok, yaitu dengan menentukan rentangan data, banyaknya kelas dengan menggunakan aturan Sturgess, panjang interval kelas, nilai tengah data dan banyaknya frekuensi masingmasing kelas.

1.

Data kecelakaan lalu lintas di suatu daerah selama lima tahun (2000 – 2004) sebagai berikut: Tahun Banyaknya kecelakaan a. b. c. d.

2.

2000 400

2001 325

2002 450

2003 300

2004 250

Gambarlah diagram batang dari data di atas! Pada tahun berapakah terjadi kenaikan angka kecelakaan tertinggi? Berapa persenkah penurunan terbesar yang terjadi? Berapakah jumlah angka kecelakaan dari tahun 2002 sampai dengan 2004?

Banyaknya murid sekolah dan mahasiswa di kabupaten “Taruna Tiga” menurut tingkat sekolah dan jenis kelaminnya pada tahun 2005 sebagai berikut: Jenis Kelamin Laki-laki Perempuan Jumlah a. b. c.

Tingkat Pendidikan SD SMP SMA 4.758 2.795 1.459 4.032 2.116 1.256 8.790 4.911 2.715

SMK 955 1.005 1.960

PT 468 575 1.043

Jumlah 10.435 8.984 19.419

Buatlah diagram garis dari data tersebut! Berapa persenkah jumlah murid sekolah dasar di kabupaten tersebut? Buatlah komentar tentang kemungkinan siswa sekolah menengah yang melanjutkan ke perguruan tinggi!

3. Hasil tangkapan ikan nelayan selama enam bulan adalah sebagai berikut: Januari sebanyak 300 ton Pebruari sebanyak 250 ton Maret sebanyak 350 ton April sebanyak 200 ton Mei sebanyak 400 ton Juni sebanyak 300 ton Buatlah diagram lingkaran dan piktogram dari data tersebut! 4.

Hasil pengujian kadar lumpur dari macam-macam jenis pasir dibedakan oleh kadar lumpur yang bercampur pada pasir yang dinyatakan dalam bentuk persen sebagai berikut : 3% 1% 11% 1% 6% 8% 5% 2% 9% 2% 7% 10% 8% 7% 5% 4% 7% 5% 4% 4% 3% 5% 8% 6% 2% 5% 12% 6% 4% 6%

62


a.

b. c.

5.

Buatlah tabel distribusi frekuensi dengan ketentuan berikut ini: 1) Banyaknya interval kelas = 6 2) Panjang interval kelas = 2 Buatlah kurva ogive kurang dari dan lebih dari. Apabila pasir yang baik adalah pasir yang mempunyai kadar lumpur tidak lebih dari 4,5 %. Berapa persenkah sampel yang diuji dikategorikan sebagai pasir yang baik atau mempunyai kadar lumpur yang rendah?

Suatu penelitian modal usaha kecil terhadap 100 perusahaan di wilayah tertentu disajikan dalam tabel berikut: Interval Modal (Jutaan rupiah) 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 Jumlah

Dari tabel di samping, tentukanlah! a. Banyaknya interval b. Panjang interval kelas c. Batas bawah tiap interval d. Batas atas tiap interval e. Titik tengah tiap interval f. Tepi bawah g. Tepi atas! h. Buatlah frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari beserta grafiknya! i. Buatlah daftar frekuensi relatifnya!

Banyaknya Perusahaan 2 3 11 20 32 25 7 100

6.

Dari tabel pada soal nomor 5, tentukanlah! a. Interval modal usaha yang paling banyak dimiliki perusahaan b. Banyaknya perusahaan yang memiliki modal lebih dari 59,5 juta c. Banyaknya perusahaan yang memilik modal kurang dari 89,5 juta d. Buatlah histogran dan poligon frekuensinya!

7.

Nilai ujian matematika kelas XI untuk 80 siswa sebagai berikut: 79 49 48 74 81 98 87 80

80 84 90 70 91 93 82 78

70 71 92 38 56 81 74 73

68 72 85 51 65 93 83 86

90 35 83 73 74 43 86 68

92 93 76 71 90 72 67 75

80 91 61 72 97 91 88 81

70 74 99 95 80 59 71 77

63 60 83 82 60 67 89 63

76 63 88 70 66 88 79 75

Buatlah tabel distribusi dengan ketentuan berikut: a. Tentukanlah rentang/jangkauan dari data tersebut b. Gunakan aturan Sturges untuk menentukan banyaknya kelas/interval (bulatkan ke bawah) c. Menentukan panjang kelas (bulatkan ke atas) d. Pilihlah batas bawah interval pertama sama dengan 31. Dari tabel yang telah dibuat, kemudian buatlah histogram, poligon frekuensi, dan ogive nya! Dari ogive kurang dari yang telah dibuat, tentukanlah:

63

BAB II Statistika

i. ii. iii.

Banyaknya siswa yang mendapat nilai kurang dari 60,5! Banyaknya siswa yang mendapat nilai lebih dari 80,5! Jika batas kelulusan yang disyaratkan minimum mendapat nilai 70,5, berapa persenkah jumlah siswa yang lulus pada ujian tersebut?

8. Buatlah daftar distribusi frekuensi kelompok lengkap (nilai tengah data, frekuensi relatif, frekuensi kumulatif, tepi atas, dan tepi bawah) data di bawah ini, kemudian tentukan pula histogram, poligon frekuensi, dan ogivenya. Data berikut menunjukkan nilai ujian mata pelajaran Statistika 60 siswa SMK X 36 44 53 58 63 67 69 74 83 89 40 50 55 60 64 68 70 78 95 89 90 83 75 69 67 63 59 53 45 37 39 49 55 60 63 68 70 77 86 95 95 85 76 69 68 63 59 53 45 37 39 48 55 60 63 68 70 78 88 95

B.3

Ukuran Pemusatan ( Tendensi Sentral )

a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ ¾ ¾

Menghitung mean data tunggal dan data kelompok Menghitung median data tunggal dan data kelompok Menghitung modus data tunggal dan data kelompok

b. Uraian Materi

Untuk mendapatkan informasi yang jelas dari sekumpulan data baik dalam sampel maupun populasi selain data tersebut disajikan dalam bentuk tabel maupun diagram, masih diperlukan ukuran-ukuran yang menunjukkan sifat atau ciri dari kumpulan data tersebut. Ukuran-ukuran tersebut meliputi: rata-rata (mean), data yang sering muncul (modus), dan data yang berada ditengah-tengah sekumpulan data yang terurut (median). Ukuran-ukuran tersebut disebut ukuran pemusatan (Tendensi Sentral) Ukuran pemusatan memberikan gambaran bagaimana suatu data itu cenderung memusat ke suatu ukuran atau nilai tertentu. Misalkan sekumpulan data dari hasil ujian matematika dalam satu kelas mempunyai rata-rata 7, maka data hasil ujian tersebut berkecenderungan berada di sekitar 7, untuk itu rata-rata merupakan salah satu ukuran pemusatan.

64


1). Rata-Rata Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata lebih banyak dikenal, misalnya rata-rata gaji pegawai suatu perusahaan tiap bulan, rata-rata pendapatan perkapita masyarakat Indonesia, rata-rata usia siswa SMA kelas XI, dan sebagainya. Nilai rata-rata yang akan dibahas dalam buku in meliputi rata-rata hitung, rata-rata ukur (rata-rata geometrik), dan rata-rata harmonik.

a). Rata-Rata hitung (Mean) Dari sekumpulan data x1, x2, x3, x4, . . . , xn , maka rata-rata hitung dari data tersebut adalah:

x =

∑ xi x1 + x 2 + x 3 + ... + xn = n n

Contoh 10 Tentukan nilai rata-rata hitung dari data 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7

Jawab: Rata-rata hitung = x =

6 + 4 + 8 + 10 + 11 + 10 + 7 = 8 7

Contoh 11 Nilai rata-rata ujian matematika dari 34 siswa adalah 49. Jika nilai dari seorang siswa lainnya yang bernama Dodo digabung dengan kelompok ini, maka nilai rata-ratanya menjadi 50. Berapakah nilai ujian dari Dodo tersebut?

Jawab:

x = ∑ xi n

∑ xi

=

=

∑ xi =

34 34.49 = 1666

49

Misalkan nilai ujian Dodo adalah x. Setelah nilai tersebut digabungkan nilai rataratanya menjadi 50, sehingga ∑ xi + x = 50 x = 35 ∑ x i + x = 35.50 = 1760 x = 1760 − ∑ x i =

1760 − 1666 = 84

Contoh 12 Terdapat dua kelompok siswa, laki-laki dan perempuan dalam suatu ujian matematika. Kelompok laki-laki yang berjumlah 20 anak mempunyai rata-rata 6, sedangkan kelompok perempuan mempunyai rata-rata ujian 8 dan banyaknya anak 30. Andaikan kedua kelompok tersebut digabung, berapakah rata-ratanya yang baru?

65

BAB II Statistika

Jawab: Untuk kelompok laki-laki (i) x i = 6 dan ni = 20, sehingga ∑ x i = 6 . 20 = 120 Untuk kelompok perempuan (p) x p = 8 dan np = 30, sehingga ∑ xp = 8 . 30 = 240

Setelah digabung n = ni + np = 20 + 30 = 50 ∑ x = ∑ x i + ∑ x p = 120 + 240 = 360, maka:

x =

∑x n

=

360 = 7,2 50

Jadi, rata-rata yang baru (data gabungan) adalah 7,2. Untuk data yang berfrekuensi, maka rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus berikut.

∑ fi. xi x = f1.x1 + f 2.x2 + f 3.x3 + ... + fn.xn = n ∑ fi Contoh 13 Tentukan nilai rata-rata dari data di bawah ini:

x f

2 1

3 4

4 3

5 2

Jawab: f1 .x1 + f2 .x 2 + f3 .x 3 + f4 .x 4 = 1.2 + 4.3 + 3.4 + 2.5 n 1+ 4 +3+2 2 12 + + 12 + 10 = 10 = 3,6 Contoh 14 Nilai ujian dari 40 siswa dapat dilihat pada tabel berikut:

x =

Nilai 3 – 5 6 – 8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23

frekuensi 3 4 11 4 8 5 5

Tentukan rata-ratanya!

Jawab: Untuk menghitung rata-rata dari data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi, terlebih dahulu dicari nilai tengah dari tiap intervalnya (xi). Nilai tengah interval adalah

66


setengah dari jumah batas bawah dan batas atas pada tiap kelas yang bersangkutan. Misalnya nilai tengah interval pertama adalah 0,5(3 + 5) = 4 dan seterusnya. Nilai 3 – 5 6 – 8 9 – 11 12 – 14 15 – 17 18 – 20 21 – 23

Nilai rata-rata adalah x =

Nilai tengah (xi) 4 7 10 13 16 19 22 Jumlah

Frekuensi (fi) 3 4 11 4 8 5 5 40

xi fi 12 28 110 52 128 95 110 535

∑ fi. xi = 535 = 13,38 . 40 ∑ fi

Selain menggunakan rumus seperti di atas dapat juga menghitung rata-rata dengan terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementara, kemudian rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut: Untuk menghitung rata-rata dari data yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi dapat juga dilakukan dengan menggunakan rata-rata sementara, yaitu dengan rumus x

=

xs +

∑ fi . di ∑ fi

Keterangan: • di = simpangan yang ke-i (selisih antara nilai tengah dengan rata-rata sementara), yaitu di = xi – x s • x s = Rata-rata sementara. Contoh 15 Tentukan rata-rata dari data yang disajikan dalam tabel berikut dengan menggunakan rata-rata sementara. Interval Frekuensi (fi) 119 – 127 3 128 – 136 6 137 – 145 10 146 – 154 11 155 – 163 5 164 – 172 3 173 – 181 2 40

Jawab: Ditentukan terlebih dahulu nilai rata-rata sementaranya, misalkan x s = 150. Untuk mempermudah x s diusahakan diambil dari salah satu nilai tengah interval (xi).

67

BAB II Statistika

Interval 119 – 127 128 – 136 137 – 145 146 – 154 155 – 163 164 – 172 173 – 181

Frekuensi (fi) 3 6 10 11 5 3 2 40

Nilai tengah (xi) 123 132 141 150 159 168 177

Simpangan (di) -27 -18 -9 0 9 18 27

fi.di -81 -108 -90 0 45 54 54 -126

Jadi, rata-rata sesungguhnya adalah: fi.di x = xs + ∑ ∑ fi = 150 + − 126 = 146,85 40

Untuk menyederhanakan penghitungan, rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan cara pengkodean (coding). Kode (u) untuk setiap interval dicari dengan ⎛d ⎞ rumus u = ⎜⎜ i ⎟⎟ dengan di merupakan simpangan dan c panjang kelas. Rata-rata ⎝c⎠ sesungguhnya dihitung dengan menggunakan rumus

x

=

fi . u i xs + ∑ c ∑ fi

Keterangan: • x s = rata-rata sementara • di = simpangan ke i • ui = kode ke i • c = panjang kelas Contoh 16 Dari data pada tabel contoh 15 , hitunglah rata-ratanya dengan menggunakan cara coding.

Jawab: Seperti dengan menggunakan cara rata-rata sementara, cara coding juga terlebih dahulu menentukan rata-rata sementaranya, dalam hal ini x s = 150. Interval 119 128 137 146 155 164 173

– – – – – – –

127 136 145 154 163 172 181

Frekuensi (fi) 3 6 10 11 5 3 2 40

Nilai tengah (xi) 123 132 141 150 159 168 177

Simpangan (di) -27 -18 -9 0 9 18 27

Kode (ui) -3 -2 -1 0 1 2 3

fi.ui -9 -12 -10 0 5 6 6 -14

68


Rata-rata sesungguhnya adalah: ∑ fi . ui c x = xs + ∑ fi − 14 .9 = 150 + 40 = 146,85 b). Rata-rata Ukur (Rata-rata Geometrik) Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap, rata-rata ukur lebih baik digunakan dari pada rata-rata hitung, apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data x1, x2, x3, x4, . . . , xn maka rata-rata ukur (U) didefinisikan sebagai berikut:

U = n x1. x 2 . x 3 . .. x n Contoh 17 Hitunglah rata-rata ukur data berikut: 2, 4, 8, 16!

Jawab: U = n x1. x 2 . x 3 . x 4 = 4 2. 4 . 8 . 16 =4 2 c). Rata-rata Harmonik Untuk data x1, x2, x3, x4, . . . ,xn, maka rata-rata harmonik (H) didefinisikan sebagai berikut: n H=

∑

1 xi

Contoh 18 Hitunglah rata-rata harmonik dari data berikut: 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12!

Jawab: Banyaknya data (n) = 7, sehingga

H=

n 1

∑x

i

=

7 1 3

+

1 5

+

1 6

+

1 6

+

1 7

+

1 10

+

1

= 5,87

12

2). Modus ( Mo) Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi. a). Modus Data Tunggal Contoh 19 Tentukan modus dari data di bawah ini:

69

BAB II Statistika

a. 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 b. 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8 c. 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7

Jawab: a. b. c.

modus data adalah 5 modus data adalah 6 dan 7 tidak mempunyai modus

b). Modus Data Berkelompok Untuk menentukan modus dari data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi digunakan rumus yang dapat dicari dengan menggunakan histogram berikut:

Pada gambar di samping Mo = Tb + TU TU dapat dicari dengan cara berikut: Δ PUS ~ Δ RUQ, dan berluku hubungan TU : UV = PS : RQ UV . PS (SR − TU)( fMo − fb) = TU = fMo − fa RQ (c − TU)( fMo − fb) = fMo − fa f − fb TU = Mo c − TU fMo − fa c − TU fMo − fa = TU fMo − fb

Gambar 2-13

f − fa c − 1 = Mo fMo − fb TU f − fa fMo − fb f − fa c = Mo + 1 = Mo + fMo − fb fMo − fb TU fMo − fb (fMo − fa) + (fMo − fb) fMo − fb

=

fMo − fb TU = c (fMo − fa) + (fMo − fb) TU = Mo = Tb + TU = Tb +

(fMo

fMo − fb c − fa) + (fMo − fb)

fMo − fb c , (fMo − fa) + (fMo − fb)

untuk mempermudah mengingat, rumus disederhanakan sebagai berikut: Mo

=

Tb +

d1 c d1 + d2

70


Keterangan: Mo = Modus Tb = Tepi bawah kelas modus (Kelas dengan frekuensi tertinggi) d1 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya (fMo – fb) d2 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya (fMo – fa) c = Panjang kelas Contoh 20 Dari data pada tabel di samping, tentukan modus data tersebut!

Jawab: Dari tabel, frekuensi yang tertinggi adalah 17 dan terletak pada interval 45 – 49, sehingga diperoleh, Tb = 45 – 0,5 = 44,5 d1 = 17 – 13 = 4 d2 = 17 – 14 = 3 c = 35 – 30 = 5

Mo = Tb +

Interval 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

frekuensi (fi) 8 10 13 17 14 11 7

d1 c d1 + d2

3 .5 3+4 15 = 44 ,5 + 7 = 46,64 = 44 ,5 +

3). Median a). Median Data Tunggal Median (Me) adalah nilai pertengahan dari sekelompok data yang telah diurutkan menurut besarnya. Untuk sekumpulan data x1, x2, x3, x4, . . . , xn dimana data x1 < x2 < x3 < x4 < . . . < xn Jika banyaknya data ganjil, maka median sama dengan data yang ditengah atau data n +1⎞ yang ke ⎛⎜ ⎟ . Jika banyaknya data genap, maka median adalah nilai rata-rata dari ⎝ 2 ⎠ n n data yang ke ⎛⎜ ⎞⎟ dan data ke ⎛⎜ + 1 ⎞⎟ . ⎠ ⎝2⎠ ⎝2 Me = x n+1 untuk n ganjil 2

Me =

x n + x n+1 2

2

2

, untuk n genap.

Contoh 21 Tentukan median dari data: a. 3, 10, 9, 4, 5, 8, 8, 4, 6

b. 3, 8, 5, 4, 10, 8, 4, 6, 9, 5

71

BAB II Statistika

Jawab: a. Data harus diurutkan terlebih dahulu, sehingga didapat: 3

4

4

5

6

8

8

9

10

Banyaknya data atau n = 9 (ganjil), maka median (Me) = x n+1 = x 9 +1 = x 5 = 6 2

2

(letak median pada data ke lima, dihitung dari kiri, yaitu 6). b. 3

4

4

5

5

6

8

8

9

10

Banyaknya data atau n = 10 (genap), maka median (Me) x 10 + x 10 +1 x + x6 5 + 6 2 Me = 2 = 5 = = 5,5 2 2 2 (letak median pada data ke lima dan ke enam, dihitung dari kiri, yaitu 5 dan 6) b). Median Data Berkelompok Untuk data yang berkelompok, median dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut: 1 n−F Me = Tb + 2 c f Keterangan: Me = Median Tb = Tepi bawah kelas median n = Jumlah frekuensi f = frekuensi median (frekuensi pada kelas median) F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi median Contoh 22 Tentukan median dari data pada tabel di bawah ini:

Interval 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

Me

Frekuensi (fi) 8 10 13 17 14 11 7 80 n−F c f 1 .80 − 31 = 44 ,5 + 2 .5 17 9 = 44 ,5 + .5 = 47,15 17 = Tb +

1 2

Jawab: Untuk mencari median, terlebih dahulu mencari letak median, yaitu

1 n = 1 .80 = 40 . Hal ini berarti median 2 2 terletak pada data yang ke 40 dan dicari dari frekuensi, ternyata data yang ke 40 ada pada frekuensi 17 yang terletak pada interval ke 4 yaitu 45 – 49, sehingga f = 17 F = 8 + 10 + 13 = 31 Tb = 44,5 c=5

72


c. Rangkuman

1.

Dari sekumpulan data x1, x2, x3, x4, . . . , xn , maka rata-rata hitung (mean) dari data tersebut adalah

2.

x =

∑ xi x1 + x 2 + x 3 + ... + xn = n n

Untuk data yang berfrekuensi, mean: x =

f1.x1 + f 2.x 2 + f 3.x 3 + ... + fn.xn n

3. Untuk data berkelompok, mean:

∑ x i .fi

a.

x =

b.

x

=

xs +

c.

x

=

fi . u i xs + ∑ c ∑ fi

n ∑ fi . di ∑ fi

Keterangan: • di = simpangan yang ke-i (selisih antara nilai tengah dengan rata-rata sementara), yaitu di = xt – x s x s = Rata-rata sementara. • • ui = kode ke i ( bilangan bulat . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . . ) • c = panjang kelas 4. Untuk data x1, x2, x3, x4, . . . , xn, maka rata-rata ukur (U) didefinisikan sebagai berikut U = n x1 . x 2 . x 3 . .. x n 5. Untuk data x1, x2, x3, x4, . . . ,xn, maka rata-rata harmonik (H) didefinisikan n sebagai berikut H =

∑

1 xi

6. Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi. 7.

Modus data kelompok: Mo

=

Tb +

d1 c d1 + d2

Tb = Tepi bawah kelas modus d1 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya d2 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya 8. Median (Me) adalah nilai pertengahan dari sekelompok data yang telah diurutkan menurut besarnya n−F c f f = frekuensi median (frekuensi pada kelas median) F = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi median

9. Untuk data yang berkelompok: Me

= Tb +

1 2

73

BAB II Statistika

1.

Rata-rata nilai ujian matematika 39 siswa adalah 45. Apabila nilai ujian Ahmad yang ikut susulan ditambahkan, maka rata-ratanya sekarang menjadi 45,875. Berapakan nilai ujian yang diperoleh Ahmad?

2.

Nilai ujian dari 10 orang mempunyai rata-rata 6,9. Dengan masuknya seorang anak, rata-ratanya menjadi 7. Berapakah nilai ujian anak yang baru masuk?

3.

Rata-rata gaji 10 karyawan PT Sejahtera adalah Rp2.500.000,00. Jika gaji seorang manajer digabungkan rata-ratanya menjadi Rp2.800.000,00. Berapakah gaji manajer tersebut?

4.

Karyawan bagian administrasi sebanyak 5 orang mempunyai rata-rata gaji sebesar Rp1.500.000,00, sedangkan bagian produksi yang berjumlah 20 orang rataratanya Rp900.000,00. Berapakan rata-rata seluruh pegawai perusahaan tersebut

5

Nilai rata-rata ulangan matematika kelas I, II, dan II masing-masing 6, 7, dan 8. Jumlah murid masing-masing kelas adalah 25, 30, dan 45. Hitunglah nilai ratarata ulangan matematika dari ketiga kelas tersebut!

6

Nilai rata-rata ujian dalam suatu kelas adalah 5. Jika ditambah nilai siswa baru yang nilainya 7, maka rata-ratanya menjadi 5,1. Tentukan banyaknya siswa semula!

7

Tinggi rata-rata 10 orang siswa adalah 162, jika digabung dengan 5 murid lagi maka rata-ratanya menjadi 160. Berapakah rata-rata tinggi kelima siswa tersebut?

8.

Tentukan rata-rata hitung, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonik dari data berikut: a. 1, 3, 5, 7, 9, 11 c. 1, 3, 9, 27, 81 b. 2, 4, 6, 8, 10 d. 4, 1, 16, 64, 128

9.

Tentukan rata-rata hitung, median, dan modus dari data berikut: a. 8, 9, 12, 14, 5, 12, 9, 3, 9, 10, 5, 3 b. 4, 4, 7, 8, 5, 10, 5, 3, 6, 9, 5, 11, 7 c. 75, 82, 66, 57, 64, 56, 92, 94, 86, 52, 60, 70 d. 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 5, 5, 5, 5, 7

10. Hitunglah rata-rata hitung, median, dan modus dari data berikut: a. b. c. x f x f x 2 5 4 6 10 3 8 5 10 20 4 6 6 7 30 5 3 7 4 40 8 2 50

f 4 8 7 8 3

74


11. Tentukan mean, rata-rata harmonis , median dan modus data di bawah ini! a

x f

4 4

5 3

6 3

7 2

b.

x f

2 1

3 4

4 3

5 2

c.

x f

5 1

6 2

7 3

8 3

12. Carilah rata-rata hitung, median, dan modus a. b. Interval f Interval 1 – 20 3 1–5 21 – 40 12 6 – 10 41 – 60 25 11 – 15 61 – 80 16 16 – 20 81 – 100 4 21 – 25

8 2

9 1

9 2

10 2

dari data berikut: c. f Interval 4 141 – 144 7 145 – 149 15 150 – 154 3 155 – 159 1 160 – 164 165 – 169 170 – 174

f 2 7 8 12 6 3 2

13. Hasil ujian akhir untuk mata pelajaran Matematika, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris, yaitu 3 orang mendapatkan nilai 8,2 untuk matematika, 5 orang mendapatkan nilai 8,6 untuk bahasa Inggris, dan 7 orang mendapatkan nilai 9 untuk bahasa Indonesia. Hitunglah rata-rata nilai ujian tersebut? 14. Sekelompok data disajikan seperti gambar berikut. Hitunglah rata-rata, median, dan modus data tersebut! a. b. Data gaji 200 pegawai perbulan

75

BAB II Statistika

B.4 Ukuran Penyebaran (Dispersi) a. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Menentukan: Jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan baku, kuartil, jangkauan semi interkuartil, desil, persentil, dan jangkauan persentil dari data yang disajikan. ¾ Menentukan nilai standar (Z-score) dari suatu data yang diberikan. ¾ Menentukan koefisien variasi dari suatu data yang diberikan. b. Uraian Materi

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar orang atau dari media cetak atau elektronik menyebut data statistik, misalnya pendapatan rata-rata pegawai suatu perusahaan Rp1.350.000,00, rata-rata nilai tukar rupiah dalam satu minggu terakhir Rp9.035 per dollar Amerika, rata-rata ujian nasional provinsi DKI Jakarta untuk mata pelajaran matematika sebesar 7,4, dan sebagainya. Apabila kita mendengar rata-rata maka secara otomatis pikiran kita membayangkan sederetan data disekitar rata-rata tersebut. Ada yang sama dengan rata-rata, ada yang kurang dari dan ada yang lebih dari rata-rata. Dengan perkataan lain ada variasi dari nilai-nilai tersebut, baik terhadap rata-rata maupun terhadap nilai lainnya. Apabila sederetan data itu sama satu dengan yang lainnya, maka data tersebut disebut data yang homogen (tidak bervariasi). Apabila perbedaaan satu dengan lainnya sangat besar, maka dikatakan data tersebut sangat heterogen (sangat bervariasi) atau dikatakan penyebaran data tersebut sangat besar atau sangat variatif. Ada beberapa ukuran penyebaran (dispersi), yaitu jangkauan (range), simpangan kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, dan variansi.

1). Jangkauan/Range (R) Ukuran penyebaran yang paling sederhana adalah jangkauan atau range. Apabila sekumpulan data sudah terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar, maka range dari data adalah selisih data terbesar (xmax) dengan data yang terkecil (xmin). Range = data terbesar – data terkecil = xmax – xmin Contoh 23 Tentukan range dari data: 20, 30, 35, 40, 50, 56, 60!

Jawab: xmax = 60

xmin = 20

maka R = 60 – 20 = 40

Untuk data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, range dapat dicari dengan cara sebagai berikut: a. R = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama b. R = Tepi atas kelas terakhir – tepi bawah kelas pertama

76


Contoh 24 Tentukan range dari data pada contoh 22

Jawab: 30 + 34 = 32 2 60 + 64 = 62 Nilai tengah kelas terakhir = 2 Range = 62 – 32 = 30

Nilai tengah kelas pertama =

Dapat juga menggunakan cara yang kedua, yaitu: Tepi bawah kelas pertama = 30 – 0,5 = 29,5 Tepi atas kelas terakhir = 64 + 0,5 = 64,5 Range = tepi atas kelas terakhir – tepi bawah kelas pertama = 64,5 – 29,5 = 35. Untuk data dalam bentuk distribusi frekuensi, data tertinggi dan terendah tidaklah pasti, sehingga dalam range dengan dua cara tersebut (walaupun hasilnya berbeda) diharapkan dapat memberikan gambaran perkiraan tentang rentang dari sekumpulan data tersebut.

2). Rata-Rata Simpangan (RS) Untuk sekumpulan data x1, x2, x3, x4, . . . ,xn yang mempunyai rata-rata x dan nilai mutlak simpangan tiap data |x1 – x |, |x2 – x |, |x3 – x |, . . . , | xn – x | di jumlahkan kemudian dibagi dengan banyaknya data maka diperoleh rata-rata simpangan yang dirumuskan sebagai berikut: RS =

1 ∑ | xi − x | n

Keterangan: xi = data yang ke i x = rata-rata n = banyaknya data Contoh 25 Tentukan rata-rata simpangan data 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7!

Jawab: 6 + 4 + 8 + 10 + 11 + 10 + 7 =8 7 Simpangan rata-ratanya adalah: 1 SR = (| 6 − 8 | + | 4 − 8 | + | 8 − 8 | + | 10 − 8 | + | 11 − 8 | + | 10 − 8 | + | 7 − 8 | ) 7 1 = ( 2 + 4 + 0 + 2 + 3 + 2 +1 ) 7 =2 x=

77

BAB II Statistika

Untuk data yang berbobot atau data berkelompok, simpangan rata-rata dihitung dengan menggunakan rumus berikut: RS =

1 ∑ fi | x i − x | n

Keterangan: xi = data yang ke i x = rata-rata fi = frekuensi data yang ke i n = banyaknya data (Σ f) Contoh 26 Hitunglah simpangan rata-rata data berikut:

x f

4 3

5 8

6 10

7 4

Jawab: x 4 5 6 7

f 10 3 8 10 4 Σ 25

xi fi 12 40 60 28 Σ 140

|xi – x | 1,6 0,6 0,4 1,4

fi|xi - x | 4,8 4,8 4,0 5,6 Σ 19,2

140 = 5,6 25 1 RS = ∑ fi | x i − x | n 1 (19,2) = 0,77 = 25 x=

3). Simpangan Baku (Deviasi Standar) Barangkali ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar, karena mempunyai sifat-sifat matematik (mathematical property) yang sangat penting dan berguna untuk pembahasan teori dan analisis statistik selanjutnya. Untuk sekumpulan data x1, x2, x3, x4, . . . ,xn yang mempunyai rata-rata x dan nilai kuadrat simpangan tiap data (x1 – x )2, (x2 – x )2, (x3 – x )2, . . . , (xn – x )2, simpangan baku atau deviasi standar (s) dirumuskan sebagai berikut: s=

1 2 ∑ (x i − x ) n

atau

s=

1 n

⎛ ( x )2 ⎜ ∑ x i2 − ∑ i ⎜ n ⎝

Keterangan: s = simpangan baku xi = data yang ke i x = rata-rata n = banyaknya data Contoh 27 Tentukan simpangan baku dari data: 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7!

Jawab: 6 + 4 + 8 + 10 + 11 + 10 + 7 x= =8 7

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

78


Simpangan bakunya adalah:

s=

1 2 ∑ (x i − x ) n

s=

1 (6 − 8) 2 + (4 − 8) 2 + (8 − 8) 2 + (10 − 8) 2 + (11 − 8) 2 + (10 − 8) 2 + (7 − 8) 2 7

=

(

)

1 (4 + 16 + 0 + 4 + 9 + 4 + 1 ) 7

38 7 = 2,33 =

Contoh 28 Nilai ujian matematika dari tiga kelompok siswa sebagai berikut: a. Kelompok I : 50, 50, 50, 50, 50 b. Kelompok II : 50, 40, 30, 60, 70 c. Kelompok III: 100, 40, 80, 20, 10 Hitunglah simpangan baku dari data-data tersebut !

Jawab: Kelompok I x x2 2.500 50 2.500 50 2.500 50 2.500 50 2.500 50 Σ 250 Σ 12 .500

Kelompok II x x2 2.500 50 1.600 40 900 30 3.600 60 4.900 70 Σ 250 Σ 13.500

Kelompok I,

⎛ (∑ x i ) 2 ⎞ ⎟= s = 1 ⎜⎜ ∑ x i2 − ⎟

Kelompok II,

s=

Kelompok III,

s=

n⎝

1 5

1 5

n

⎠

2 ⎛ ⎜13.500 − (250) ⎜ 5 ⎝

Kelompok III x x2 10.000 100 1.600 40 6.400 80 400 20 100 10 Σ 250 Σ 18.500 1⎛ 250 2 ⎞ ⎟ =0 ⎜12.500 − 5⎝ 5 ⎠

⎞ ⎟ = 14 ,14 ⎟ ⎠

⎛ (250)2 ⎞⎟ ⎜19.500 − = 34,64 ⎜ 5 ⎟⎠ ⎝

Perhatikan nilai simpangan baku untuk tiap kelompok data. Semakin heterogen (bervariasi) akan mempunyai nilai simpangan baku yang relatif tinggi. Untuk data homogen (sama) mempunyai simpangan baku 0. Untuk data yang berbobot atau berkelompok, simpangan baku dihitung dengan menggunakan rumus: 1 2 s= ∑ fi ( x i − x ) n

79

BAB II Statistika

Keterangan: s = simpangan baku xi = data yang ke i x = rata-rata n = banyaknya data (Σ f) fi = frekuensi data/interval ke-i Contoh 29 Hitunglah deviasi standar dari data berikut !

x f

4 3

Jawab: f x 10 4 3 5 8 6 10 7 4 Σ 25

5 8

xi fi 12 40 60 28 Σ 140

Rata-rata data: x =

6 10

(xi – x )2 2,56 0,36 0,16 1,96

7 4

fi(xi - x )2 3,78 2,88 1,60 7,84 Σ 16,1

Deviasi Standar 1 2 s= ∑ fi ( x i − x ) n 1 = 16,1 25 = 0,80

140 = 5,6 25

Apabila simpangan baku dikuadratkan, maka akan diperoleh:

s 2 = 1 ∑ ( x i − x )2 atau s 2 = ∑ x i2 − n

(∑ x i )2 n

Untuk data tunggal berbobot atau data berkelompok:

s 2 = 1 ∑ fi ( x i − x )2 n

Rumus ini dikenal dengan variansi. Contoh 30 Tentukan variansi dari data: 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7!

Jawab: Simpangan baku data tersebut adalah s = 2,33, sehingga variansi dari data adalah s2 = 2,332 = 5,43

1.

Tentukan range, rata-rata simpangan, simpangan baku, dan variansi dari data di bawah ini! a. 4, 6, 8, 5, 5, 15, 9, 8, 10, 12, 14, 17, 16, 11 b. 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 7, 7, 12, 10, 10, 13, 14, 15 c. 2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 5, 6, 9, 4, 4, 9, 10, 7, 6 d. 10, 11, 12, 13, 14, 18, 18, 20, 15, 15, 18, 13, 12

80


2. Tentukan range, rata-rata simpangan, dan simpangan baku dari data di bawah: a.

x 2 3 4 5

f 3 7 6 4

b.

x 4 5 6 7 8

f 6 10 14 16 4

c.

x 10 20 30 40 50

f 15 28 37 12 8

3. Tentukan range, rata-rata simpangan, dan simpangan baku dari data di bawah: a.

Interval 1 – 20 21 – 40 41 – 60 61 – 80 81 - 100

f 9 16 25 7 3

b.

Interval 2–5 5–9 10 – 13 14 – 17 18 – 21

f 8 12 10 6 4

c.

Interval 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100

f 10 12 25 22 20 6 5

4. Tinggi badan yang tertinggi dari 25 orang siswa adalah 190 cm. Apabila range dari data tersebut 26 cm. Berapakah tinggi badan siswa yang terpendek? 5. Kelompok belajar terdiri atas 5 orang siswa. Siswa yang termuda umurnya x tahun dan yang tertua berumur 2x. Jika tiga anak yang lain berturut-turut berumur x+1, x+5, dan 2x – 3 tahun. Rata-rata hitung umur mereka adalah 16 tahun. a. Berapakah umur yang termuda dan tertua? b. Berapakah varian dari umur mereka? 6. Tiga kelompok siswa masing-masing terdiri atas 5 orang mengikuti ujian matematika dengan nilai berikut: Kelompok I : 5, 5, 5, 5, 5, Kelompok II : 5, 6, 6, 5, 6 Kelompok III : 4, 5, 7, 9, 2 a. Tentukanlah simpangan baku tiap kelompok data. b. Buatlah kesimpulan dari ketiga kelompok data tersebut. 7. Sekelompok data sebanyak n, mempunyai simpangan baku s. Tiap data sekarang: a. ditambah dengan 10 b. Dikurangi dengan 10 c. Dikalikan 10 Apakah yang terjadi tehadap simpangan baku untuk data yang baru dalam keadaan masing-masing di atas? 8. Sekelompok data mempunyai rata-rata x dan simpangan baku s. Tiap data dikurangi x lalu dibagi s. Berapakah rata-rata dan simpangan data baru? Bagaimana jadinya jika tiap data dibagi s kemudian dikurangi s? 9. Dari data pada soal nomor 2 dan 3, hitunglah variansi pada masing-masing data tersebut!

81

BAB II Statistika

4). Kuartil (Q) a). Kuartil Data Tunggal Kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak dari data yang telah terurut yang masing-masing 25% . Kuartil (Q) ada tiga yaitu Q1 (kuartil bawah), Q2 (kuartil tengah atau median) dan Q3 (kuartil atas), yang apabila digambarkan dalam garis bilangan akan tampak seperti berikut:

Beberapa langkah yang ditempuh untuk mencari kuartil adalah sebagai berikut: • Susunlah data menurut urutannya • Tentukan letak kuartil dan • Tentukan nilai kuartilnya Letak kuartil ke i dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut: i(n + 1) Letak Qi = data ke dengan i = 1, 2, dan 3 4 Contoh 31 Tentukan nilai kuartil dari data di bawah ini: a. 1, 6, 9, 3, 5, 8, 10 b. 3, 4, 7, 8, 9, 11, 13, 14, 15

Jawab: Untuk menentukan nilai kuartil, maka data harus diurutkan terlebih dahulu. a.

1

3

5

6 8 9 10 1(7 + 1) = data ke-2, sehingga Q1 = 3 Letak Q1 = data ke 4 2(7 + 1) Letak Q2 = data ke = data ke-4, sehingga Q2 = 6 4 3(7 + 1) = data ke-6, sehingga Q3 = 9 Letak Q3 = data ke 4

b.

3

4

7

Letak Q1 = data ke

8

9

11

13

14

15

1(9 + 1) = data ke 2,5 4

1 1 (data ke 3 − data ke 2) = 4 + (7 − 4) = 5,5 2 2 2(9 + 1) Letak Q2 = data ke = data ke-5, sehingga Q2 = 9. 4 3(9 + 1) = data ke-7,5 Letak Q3 = data ke 4 1 1 Q3 = data ke 7 + (data ke 8 − data ke 7) = 13 + (14 − 13) = 13,5 2 2 Q1 = data ke 2 +

82


b). Kuartil Data Berkelompok Untuk data bekelompok yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, digunakan rumus sebagai berikut: Qi

=

i 4

Tb i +

n − Fi c fi

Keterangan: Tbi = Tepi bawah kuartil ke-i. Fi = Jumlah frekuensi sebelum frekuensi kuartil ke-i. fi = Frekuensi kuartil ke-i. i = 1, 2, 3 n = Jumlah seluruh frekuensi. C = panjang interval kelas. Contoh 32 Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data pada tabel:

Jawab: Untuk Q1, maka i = 1 n = Jumlah seluruh frekuensi = 80 1 1 Letak Q1 = n = 80 = 20 4 4 (data yang ke 20), sehingga letak Q1 pada interval ke 3, yaitu 40 – 44, maka Tb1 = 40 – 0,5 = 39,5 f1 = 13 F1 = 8 + 10 = 18 c = 35 – 30 = 5 Q1 = Tb1 +

1 n 4

− F1

f1

c = 39,5 +

1 4

80 − 18 13

.5 = 39,5 +

Interval 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

frekuensi (fi) 8 10 13 17 14 11 7 80

2 .5 = 40,27 13

Untuk Q2, maka i = 2 n = Jumlah seluruh frekuensi = 40 2 2 Letak Q2 = n = 80 = 40 , (data yang ke 40), sehingga letak Q2 pada interval ke 4 4 4, yaitu interval 45 – 49, maka Tb2 = 45 – 0,5 = 44,5 f2 = 17 Q 2 = Tb2 +

2 n 4

− F2

f2

c = 44 ,5 +

F2 = 8 + 10 + 13 = 31 c =5 2 4

80 − 31 17

Untuk Q3, maka i = 3 n = Jumlah seluruh frekuensi = 40

.5 = 44 ,5 +

9 .5 = 47,15 17

83

BAB II Statistika

3 3 n = 80 = 60 , (data yang ke 60), sehingga letak Q3 pada interval ke 4 4 5 interval 50 – 54, maka

Letak Q3 =

Tb3 = 50 – 0,5 = 49,5 f3 = 14 Q 3 = Tb3 +

3 n 4

− F3

f3

F3 = 8 + 10 + 13 + 17 = 48 c =5

c = 49,5 +

60 − 48 12 .5 = 49,5 + .5 = 53,79 14 14

c). Jangkauan Kuartil dan Simpangan Kuartil atau Jangkauan Semi Inter Kuartil Dari sekumpulan data yang mempunyai kuartil bawah Q1 dan kuartil atas Q3, Jangkauan kuartil dan simpangan kuartil atau Jangkauan semi Inter kuartil dari data adalah sebagai berikut: JQ = Q3 – Q1 dan Qd =

1 (Q − Q1 ) 2 3

Keterangan: JQ = Simpangan kuartil Qd = Jangkauan semi inter kuartil atau simpangan kuartil. Q1 = Kuartil ke-1 (Kuartil bawah) Q3 = Kuartil ke-3 (Kuartil atas) Contoh 33 Dari data pada contoh 32 didapat

JQ = Q3 – Q1 = 53,79 – 40,27 = 13,52

Qd =

1 1 (Q 3 − Q1 ) = (53,79 − 40,27) = 6,76 2 2 = 6,76

5). Desil (D) a). Desil Data Tunggal Kumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama, maka diperoleh sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil. Desil1, desil 2, . . . desil 9 dan untuk menyederhanakan disingkat dengan D1, D2, . . . D9. Untuk mendapatkan desildesil digunakan langkah sebagai berikut: i) Susunlah data menurut urutan nilainya ii) Tentukan letak desilnya iii) Hitung nilai desilnya Letak desil ke i dapat ditentukan dengan rumus berikut: i(n + 1) dengan i = 1, 2, . . . ,9 Letak Di = data ke 10 Contoh 34 Tentukan nilai D3 dan D7 dari data berikut: 10, 8, 15, 12, 12, 8, 13, 14, 16, 17, 12, 8, 10, 11, 14

84


Jawab: 8, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17 3(15 + 1) = data ke 4 54 Letak D3 = data ke 10 4 4 D3 = data ke 4 + (data ke 5 − data ke 4) = 10 + (10 − 10) =10 5 5 7(15 + 1) = data ke 11 15 Letak D7 = data ke 10 1 1 D7 = data ke 11 + (data ke 12 − data ke 11) = 14 + (14 − 14) =14 5 5 b). Desil Data Berkelompok Data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dihitung dengan rumus berikut: i n − Fi D i = Tb i + 10 c fi Contoh 35 Tentukan nilai desil ke 4 (D4) dan desil ke 9 (D9) dari data pada contoh 32

Jawab: Untuk D4, maka i = 4 n = Jumlah seluruh frekuensi = 80 4 Letak D4 = data ke- n = data ke-32 10 sehingga letak D4 pada interval ke-4, yaitu 45 – 49, maka Tb4 = 45 – 0,5 = 44,5 f4 = 17 F4 = 8 + 10 + 13 = 31 c = 35 – 30 = 5 D4

=

Tb 4 +

4 n 10

− F4

f4

c = 44 ,5 +

Interval 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

32 − 31 1 .5 = 44 ,5 + .5 = 44 ,79 17 17

Untuk D9, maka i = 9 n = Jumlah seluruh frekuensi = 80 9 n = data ke 72 Letak D9 = data ke 10 sehingga letak D9 pada interval ke 6, yaitu 55 – 59, maka Tb1 = 55 – 0,5 = 54,5 f9 = 11 F9 = 8 + 10 + 13 + 17 + 14 = 62 D 9 = Tb 9 +

9 n 10

− F9

f9

c = 54 ,5 +

frekuensi (fi) 8 10 13 17 14 11 7

72 − 62 10 .5 = 54 ,5 + .5 = 59,05 11 11

80

85

BAB II Statistika

6). Persentil (P) Kumpulan data yang dibagi menjadi seratus bagian yang sama, maka diperoleh sembilan puluh sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan persentil, yaitu persentil 1, persentil 2, . . . persentil 99 dan untuk menyederhanakan disingkat dengan P1, P2, . . . P99. Untuk mendapatkan persentil digunakan langkah sebagai berikut: a. Susunlah data menurut urutan nilainya. b. Tentukan letak persentilnya. c. Hitung nilai persentilnya. Letak persentil ke i dapat ditentukan dengan rumus berikut: i(n + 1) dengan i = 1, 2, . . . ,99 Letak Pi = data ke 100 Persentil dari data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dihitung dengan rumus berikut: i n − Fi Pi = Tb + 100 c fi Contoh 36 Tentukan persentil ke 30 (P30) dari data berikut:

Interval 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174

f 5 15 20 30 16 8 6

Jawab: Untuk P30, maka i = 30 n = Jumlah seluruh frekuensi = 100 30 Letak P30 = data ke n = data ke 30, sehingga letak P30 pada interval ke 3, yaitu 100 150 – 154, maka Tb = 150 – 0,5 = 149,5 f30 = 20 F30 = 5 +15 = 20

30 n − F30 100 c P30 = Tb + f30 30 − 20 .5 20 10 .5 = 152 = 149,5 + 20 = 149,5 +

86


Jangkauan persentil dari sekumpulan data yang mempunyai persentil ke-10 (P10) dan Persentil ke-90 (P90) adalah sebagai berikut: JP = P90 – P10 Keterangan: JP = Jangkauan Persentil P10 = Persentil ke-10 P90 = persentil ke-90 Contoh 37 Dari data pada contoh 36, tentukan jangkauan persentilnya:

Jawab: Interval 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 – 174

f 5 15 20 30 16 8 6

Untuk P10, maka i = 10 n = Jumlah seluruh frekuensi = 100 10 n = data ke-10, Letak P10 = data ke 100 sehingga letak P10 pada interval ke 2, yaitu 145 – 149, maka Tb = 145 – 0,5 = 144,5 f10 = 15 F10 = 5 10 n − F10 100 c P10 = Tb + f10 10 − 5 .5 15 = 144 ,5 + 1,67 = 146,17 = 144 ,5 +

Untuk P90, maka i = 90 n = Jumlah seluruh frekuensi = 100 90 Letak P90 = data ke n = data ke-90, 100 sehingga letak P90 pada interval ke 6, yaitu 165 – 169, maka Tb = 165 – 0,5 = 164,5 f90 = 8 F90 = 5 + 15 + 20 + 30 + 16 = 86 90 n − F90 100 c P90 = Tb + f90 90 − 86 .5 8 = 144 ,5 + 2,5 = 167,0 = 144 ,5 +

Jadi, JP = P90 – P10 = 167,0 – 146,17 = 20,83

7). Angka Baku Angka baku adalah nilai yang menyatakan perbandingan antara selisih data dengan rata-ratanya berbanding simpangan baku data tersebut. Angka baku disebut juga Z score, oleh karena itu angka baku dilambangkan dengan huruf Z.

87

BAB II Statistika

Kegunaan angka baku ini adalah untuk mengetahui perbedaan suatu kejadian dibanding dengan kebiasaannya. Semakin besar angka bakunya semakin baik nilai tersebut dibandingkan dengan nilai lain yang memiliki angka baku lebih kecil. Angka baku dirumuskan sebagai berikut: x −x Z= i S Dengan Z = angka baku xi = nilai suatu data x = rata-rata hitung S = Simpangan baku Contoh 38 Diketahui data: 2, 7, 8, 10, 4, dan 5. Tentukan Angka baku dari data 2 dan 7!

Jawab: Untuk menentukan angka baku suatu data, ditentukan dahulu rata-rata dan simpangan bakunya. 2 + 7 + 8 + 10 + 4 + 5 x= =6 6 Simpangan bakunya adalah:

s=

1 2 ∑ (x i − x ) n

s=

1 (2 − 6) 2 + (7 − 6) 2 + (8 − 6) 2 + (10 − 6) 2 + (4 − 6) 2 + (5 − 6) 2 6

=

(

)

1 (16 + 1 + 4 + 16 + 4 + 1 ) 6

= 7 = 2,65 xi − x 4 2−6 4 7 =− = =− = 7 S 7 7 x −x 1 7−6 1 Angka baku dari data 7 : Z = i = 7 =− = = 7 S 7 7

Angka baku dari data 2 : Z =

Contoh 39 Rata-rata dan standar deviasi nilai ujian matematika suatu kelas masing-masing adalah 6,5 dan 1,5. Jika Ani adalah siswa kelas tersebut dan mendapat nilai 6,0 tentukan angka baku dari nilai matematika Ani.

Jawab: Z=

xi − x 6,0 − 6,5 0,5 1 = =− =− S 1,5 1,5 3

Contoh 40 Seorang siswa mendapat nilai 81 dalam Agama dan 53 dalam Matematika. Jika nilai rata-rata dan simpangan baku Agama adalah 78 dan 12. Nilai rata-rata dan simpangan baku Matematika 51 dan 6. Mana yang lebih baik, nilai Agama atau nilai matematika siswa tersebut?

88


Jawab: xi − x 81 − 78 3 = = 0,25 = 12 12 S x −x 53 − 51 2 = = 0,33 Angka baku nilai Matematika: Z = i = 6 6 S Dari angka baku kedua nilai di atas, angka baku nilai Matematika lebih besar dari angka baku nilai Agama, sehingga nilai Matematika 53 lebih baik dari nilai Agama 81

Angka baku nilai Agama: Z =

8). Koefisien variasi Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan baku dengan rata-rata suatu data dan dinyatakan dalam %. Koefisien variasi dirumuskan sebagai berikut: KV =

S . 100% x

Keterangan: KV = koefisien variasi Semakin kecil nilai KV semakin seragam (homogen) data, dan semakin baik data tersebut. Semakin besar nilai KV semakin tidak seragam (heterogen) data, dan semakin kurang baik data tersebut. Contoh 41 Lampu neon rata-rata dapat dipakai selama 2.800 jam dengan simpangan baku 700 jam, sedang lampu pijar dapat dipakai rata-rata selama 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Dari data di atas lampu manakah yang lebih baik.

Jawab: S . 100% x 700 = .100% = 25% 2.800 S . 100% Koefisien variasi pemakaian lampu pijar: KV = x 1.050 .100% = 30% = 3.500 Dari perhitungan koefisien variasi, lampu neon lebih baik dari lampu pijar, karena KV neon < KV lampu pijar

Koefisien variasi pemakaian lampu neon: KV =

c. Rangkuman

1.

Range = data terbesar – data terkecil = xmax – xmin

2. Rata-Rata Simpangan dirumuskan: RS =

1 ∑ | xi − x | n

Untuk data yang berbobot atau data berkelompok: RS =

1 ∑ fi | x i − x | n

89

BAB II Statistika

3. Simpangan baku atau deviasi standar (S) dirumuskan :

⎛ ( x )2 ⎜ ∑ x i2 − ∑ i ⎜ n ⎝ Untuk data yang berbobot atau berkelompok, menggunakan rumus 1 2 2 S= ∑ fi ( x i − x ) , sedangkan varians = S n i n − Fi 4. Kuartil data berkelompok dirumuskan: Q i = Tb i + 4 c fi S=

Tbi Fi fi n C

= = = = =

1 2 ∑ (x i − x ) n

atau

S=

1 n

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Tepi bawah kuartil ke-i. Jumlah frekuensi sebelum frekuensi kuartil ke-i. Frekuensi kuartil ke-i. i = 1, 2, 3 Jumlah seluruh frekuensi. Panjang interval kelas.

5. Jangkauan kuartil dan simpangan kuartil dirumuskan: 1 JQ = Q3 – Q1 dan Qd = (Q 3 − Q1 ) 2 i n − Fi 6. Desil data kelompok dirumuskan: D i = Tb i + 10 c fi 7.

i n − Fi c Kuartil data kelompok dirumuskan: Pi = Tb + 100 fi Jangkauan persentil dirumuskan: JP = P90 – P10

8. Angka baku dirumuskan: Z =

xi − x S KV =

S . 100% x

9.

Koefisien variasi dirumuskan:

1.

Tentukan Kuartil bawah, kuartil atas, jangkauan kuartil, simpangan kuartil, , desil ke-4, desil ke-8, dan jangkauan persentil dari data di bawah ini ! a. b. c. d.

2.

4, 6, 8, 5, 5, 15, 9, 8, 10, 12, 14, 17, 16 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 7, 7, 12, 10, 10, 13, 14, 15 2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 5, 6, 9, 4, 4, 9, 10 10, 11, 12, 13, 14, 18, 18, 20, 15, 15, 18, 13, 12

Tentukan simpangan kuartil, desil ke 3, desil ke 6, persentil ke 45, persentil ke 65, persentil ke 90, dan jangkauan persentil (persentil hanya data pada 2c) dari data di bawah ini:

90


a.

b. x 2 3 4 5

c.

F 3 7 6 4

x 4 5 6 7 8

f 6 10 24 16 4

x 10 20 30 40 50

f 15 28 37 12 8

3.

Tentukan, simpangan kuartil, desil ke 3, desil ke 6, persentil ke 45, persentil ke 65, dan jangkauan persentil dari data di bawah ini: a. b. c. Interval f Interval f Interval f 1 – 20 9 2–5 8 31 – 40 10 21 – 40 16 6–9 12 41 – 50 12 41 – 60 25 10 – 13 10 51 – 60 25 61 – 80 7 14 – 17 6 61 – 70 22 81 - 100 3 18 – 21 4 71 – 80 20 81 – 90 6 91 – 100 5

4.

Lampu A rata-rata dapat dipakai selama 2.900 jam dengan simpangan baku 650 jam, sedang lampu B dapat dipakai rata-rata selama 3.200 jam dengan simpangan baku 950 jam, dan lampu C dapat dipakai rata-rata 3.700 dengan simpangan baku 1.175 jam. Dari data tersebut lampu manakah yang lebih baik?

5.

Dari soal no.3, tentukan masing-masing koefisien variasinya dan simpulkan dari koefisien variasi tersebut!

6.

Dari data: 6, 10, 2, 12, 4, 7, dan 8 a. Rata-rata dan simpangan baku b. Angka baku dari data 2 dan 8 c. Koefisien variasi

7.

Lakukan hal yang sama seperti nomor 6 dari data: x f

2 2

4 3

6 5

8 6

10 3

12 1

8. Hasil tes seorang siswa dari 5 bidang studi diperoleh data sebagai berikut: Matematika Agama PKn Kewirausahaan B. Indo Nilai 52 74 67 82 81 Rata-rata 45 69 61 76 85 Simpangan baku 5 8 7,5 12 4,5 Dari data di atas, tentukan: a. Angka baku dan koefisien variasi masing-masing bidang studi b. Bidang studi manakah yang paling homogen dan bidang studi manakah yang lebih baik?

91

BAB II Statistika

1. Simpangan baku dari data : 2, 3, 5, 8, 7 adalah .... a. 5,2 c. 6

b.

5,25

d.

e.

7

6,5

2. Dibawah ini adalah tabel tinggi badan 20 anak balita: Tinggi (cm) 60 65 70 75 f 1 2 8 6 Rata-rata tinggi anak balita tersebut adalah .... a. 68 cm c. 70 cm b. 69 cm d. 71 cm

80 3 e. 72 cm

3. Rata-rata geometrik dari data : 2, 4, 1, 8, 1, 1 adalah .... a. 1 c. 4 e. 16 b. 2 d. 8 4. Dari hasil pengukuran tinggi badan siswa pada sebuah kelas diperoleh tinggi badan rata-rata siswa laki-laki 160 cm dan siswa wanita 150 cm. Jika jumlah siswa laki-laki adalah 25 orang dan wanita 15 orang, maka tinggi rata-rata gabungan siswa kelas tersebut adalah .... a. 153,75 cm c. 156,00 cm e. 156,50 cm b. 155,00 cm d. 156,25 cm 5. Diagram berikut menunjukkan frekuensi produksi suatu barang yang dihasilkan oleh sebuah pabrik selama 12 bulan. Rata-rata produksi barang tiap bulan adalah: a. 35,00 ton b. 35,63 ton c. 37,50 ton d. 38,33 ton e. 50,00 ton

6. Tinggi badan 34 siswa suatu kelas tercatat seperti dalam tabel berikut: Setelah data diurutkan, tinggi badan yang Tinggi (cm ) frekuensi membagi data di atas menjadi 2 kelompok sama 145 – 149 3 banyak adalah .... 150 – 154 5 a. 155,25 cm 155 – 159 12 b. 155,68 cm 160 – 164 7 c. 155,74 cm 165 – 169 5 d. 157,63 cm 170 – 174 2 e. 158,25 cm Jumlah 34 7. Hasil pendataan usia dari 12 balita (dalam tahun ) diketahui sebagai berikut: 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 4 . Kuartil atas dari data di samping adalah .... a. 1,0 c. 2,0 e. 4,0 b. 1,5 d. 3,5

92


8. Banyaknya sepeda motor yang terjual dalam 5 minggu terakhir pada suatu dealer dalam unit adalah 3, 4, 6, 7, 5. Rata-rata simpangan data tersebut adalah .... a. 1,2 c. 1,5 e. 2,3 b. 1,4 d. 1,8 9. Berat badan 50 siswa tercatat seperti pada tabel berikut: Jumlah siswa paling banyak mempunyai Berat (kg) Berat badan .... 35 – 39 a. 43,5 kg 40 – 44 b. 46,0 kg 45 – 49 c. 47,0 kg d. 47,4 kg 50 – 54 e. 51,0 kg 55 – 59

F 3 14 17 10 6

10. Diagram disamping menunjukkan cara yang ditempuh oleh 180 siswa SMA untuk berangkat sekolah. Jumlah siswa yang tidak naik mobil ke sekolah adalah .... a. 18 siswa b. 36 siswa c. 45 siswa d. 72 siswa e. 171 siswa 11.Tabel di samping merupakan hasil tes calon karyawan PT X. Jika yang tidak lulus 60 %, batas tertinggi nilai yang tidak lulus adalah .... a. 52,5 b. 53,7 c. 54,4 d. 55,1 e. 56,0

Nilai

41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65 jumlah 12. Nilai hasil ulangan matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 6, 8, 5, 7, 6, 8, 5, 9, 6, 6, 8, 7. Median dari data tersebut adalah .... a. 6 c. 7 e. 8,5 b. 6,5 d. 8 13. Rataan harmonik dari data : 3, 2, 12, 6, 1 adalah .... 5 7 12 a. c. e. 12 12 5 12 12 b. d. 25 7 14.Jika rata-rata sementara data pada tabel Nilai f x di samping adalah 67, maka nilai rata-rata 55 – 59 4 kelompok tersebut adalah .... 60 – 64 10 a. 66,7 d. 70,0 65 – 69 17 67 b. 67,3 e. 71,2 70 – 74 14 c. 67,6 75 – 79 5 50

Frekuensi 1 6 12 8 3 30

d -10 -5 0 5 10

f .d

93

BAB II Statistika

15. Diagram batang di samping menggambarkan lulusan SMA dari tahun 1992 sampai 1996. Banyaknya lulusan yang tidak menganggur selama 1992 sampai 1995 adalah .... a. 1.525 orang d. 1.600 orang b. 1.550 orang e. 1.675 orang c. 1.575 orang

16. Nilai rata-rata pada tabel di samping sama dengan 7, maka nilai x adalah .... a. 18 d. 10 b. 16 e. 7 c. 12

Nilai

5

6

7

8

9

f

6

8

10

x

4

17.Hasil pengukuran panjang potongan besi disajikan pada tabel di samping. Desil ke 8 dari data tersebut adalah .... a. 121,50 b. 121,72 c. 122,72 d. 123,12 e. 123,72

Panjang (cm) 101 – 105 106 – 110 111 – 115 116 – 120 121 – 125 126 – 130 131 – 135

Frekuensi 2 8 22 40 18 7 3

18.Hasil tes pelajaran matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut: 30, 45, 55, 60, 60, 65, 85, 75, 75, 55, 60, 35, 30, 50. Jangkauan semi inter kuartil (Qd) data tersebut adalah .... a. 10,5 c. 11,5 e. 13,0 b. 11,0 d. 12,5 19.Nilai ulangan mata pelajaran matematika 15 siswa adalah 5, 6, 7, 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 7, 4, 6, 5. Median dari data tersebut adalah .... a. 5,0 c. 7,0 e. 8,0 b. 6,5 b. 7,5 20.Perhatikan nilai ulangan pada tabel di samping. Rata-rata hitung dari ulangan tersebut adalah .... a. 6.00 c. 6,59 e. 7,37 b. 6,27 d. 7,27

Nilai

4

5

6

7

8

9

f

3

6

8

8

3

2

21. Nilai ulangan mata pelajaran matematika pada suatu kelas seperti tampak pada tabel di samping. Modus data tersebut adalah .... a. 73,5 c. 74,5 e. 75,9 b. 74,0 d. 75,0

Nilai 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99

frekuensi 2 4 5 7 4 3

94


22.

Keadaan siswa suatu sekolah seperti terlihat pada gambar di samping. Jumlah siswa perempuan sekolah tersebut adalah .... a. 155 orang d. 220 orang b. 175 orang e. 250 orang c. 200 orang

23.

Umur rata-rata dari sekelompok data terdiri dari guru dan karyawan adalah 40 tahun. Jika umur rata-rata para guru adalah 35 tahun dan umur rata-rata karyawan adalah 50 tahun, perbandingan banyaknya guru dan karyawan adalah.... a. 3 : 2 c. 2 : 3 e. 1 : 2 b. 3 : 1 d. 2 : 1

24.

Gaji rata-rata karyawan di sebuah perusahaan sebesar Rp2.000.000,00 dan gaji Pak karta Rp1.400.000,00 perbulan. Jika nilai Z score Pak Karta = -15, maka simpangan bakunya adalah .... a. Rp40.000,00 c. Rp100.000,00 e. Rp600.000,00 b. Rp50.000,00 d. Rp150.000,00

25.

Gaji rata-rata karyawan di sebuah perusahaan sebesar Rp2.500.000,00 dan koefisien variasi 3,2% , maka simpangan baku adalah .... a. Rp2.000,00 c. Rp25.000,00 e. Rp200.000,00 b. Rp20.000,00 d. Rp80.000,00

B. Essay

1. Nilai ujian matematika dari 10 orang siswa disajikan pada tabel berikut: Tentukanlah! Interval a. Banyaknya siswa yang mendapat nilai lebih dari 70,5 31 – 40 b. Banyaknya siswa yang mendapat nilai kurang dari 80,5 41 – 50 c. Jika batas lulus yang disyaratkan adalah 65, berapakah 51 – 60 jumlah siswa yang lulus pada ujian tersebut? 61 – 70 d. Jika 25 % siswa dinyatakan mendapat nilai terbaik, 71 – 80 berapakah nilai minimum yang harus diperoleh siswa agar 81 – 90 mendapat predikat terbaik? 91 – 100

f 10 12 25 22 20 6 5

2. Tentukan Simpangan kuartil, jangkauan persentil, desil ke-7, rata-rata hitung, median dan modusnya dari data: Berat badan (kg) 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70

frekuensi 5 8 12 7 6 2

Bab

3 Sum

b er: D

okumentas i Penulis

Statistika Di Sekolah Dasar, kamu telah mempelajari Statistika, di antaranya cara menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung rata-rata dari sekelompok data. Pada bagian ini, materi tersebut akan dikembangkan sampai dengan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran data. Lima orang siswa ditanya mengenai waktu belajar di rumah setiap harinya, hasilnya ditampilkan pada tabel berikut. Nama

Waktu (menit)

Hanif Erika Maria Cucu Yadi

30 60 60 75 30

A. B. C.

Penyajian Data Ukuran Pemusatan Data Ukuran Penyebaran Data

Dari tabel tersebut, dapatkah kamu menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut? a. Siapakah yang waktu belajarnya paling lama? b. Berapa menit rata-rata kelima siswa tersebut belajar di rumah setiap harinya? c. Berapa menit jangkauannya? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik.

37


1.

2.

3.

Tentukan nilai terkecil dan nilai terbesar dari bilangan-bilangan berikut. a. 3, 2, 5, 2, 1, 6, 7, 9, 8, 5, 5 b. 23, 30, 35, 36, 25, 27, 35, 28, 27 Urutkan mulai dari yang terbesar. a. 8, 9, 3, 5, 4, 7, 8, 8, 9, 9, 5 b. 53, 25, 29, 43, 20, 11, 49, 38 Hitunglah: a. 1 × 360° 8 2 × 360° b. 3

4.

Hitunglah: 5 + 8 + 7 + 9 + 7 + 7+ 6 a. 7 b.

(2 × 3) + (6 × 4 ) + (2 × 5 ) 8

5. 20° 75° x

90°

Tentukan nilai x.

65°

A. Penyajian Data 1. Pengertian Data dan Statistika Statistika sangat erat kaitannya dengan data. Oleh karena itu, sebelum membahas mengenai statistika, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai data. Data merupakan kumpulan datum, di mana datum merupakan fakta tunggal. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Ibu guru meminta Ratna untuk mengukur tinggi badan lima siswa Kelas XI A secara acak. Hasilnya adalah sebagai berikut. Tabel 3.1 Daftar tinggi badan lima siswa Kelas IX A

Tugas 3.1 Tuliskan olehmu, langkahlangkah kegiatan yang dilakukan Ratna ketika melakukan a. pengumpulan data, b. pengolahan data, dan c. penarikan kesimpulan. Bacakan hasilnya di depan kelasmu.

38

Nama

Dwi

Willi

Nita

Wulan

Dani

Tinggi (cm)

155

160

158

160

165

Perhatikan Tabel 3.1 . Bilangan 155 cm merupakan tinggi badan seorang siswa. Fakta tunggal ini dinamakan datum. Adapun hasil seluruh pengukuran terhadap lima orang siswa disebut data. Berdasarkan data yang diperoleh pada Tabel 3.1 , Ratna menyimpulkan bahwa dari kelima siswa tersebut, (i) siswa yang paling tinggi badannya adalah Dani, (ii) siswa yang paling pendek badannya adalah Dwi, dan (iii) tinggi badan Willi dan Wulan sama. Ketika Ratna menarik kesimpulan di atas, sebenarnya ia telah menggunakan statistika. Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh. Berdasarkan jenisnya, data dibedakan menjadi 2 macam, yaitu: a. Data Kuantitatif, yaitu data yang berupa bilangan dan nilainya bisa berubah-ubah. Contoh: Jumlah siswa Kelas IX SMP Tunas Harapan sebanyak 650 siswa.


b. Data Kualitatif, yaitu data yang menggambarkan keadaan objek yang dimaksud. Contoh : Selain ramah, Andri juga pintar.

2. Populasi dan Sampel Untuk menarik kesimpulan, kadang-kadang tidak diambil berdasarkan keseluruhan data. Misalnya, seorang peneliti ingin menguji kandungan air di sebuah sungai sehingga air tersebut layak diminum atau tidak. Untuk mengetahuinya, tentu tidak praktis untuk menguji semua air yang ada di sungai tersebut. Peneliti tersebut cukup mengambil satu gelas air sungai untuk diuji. Pada kasus ini, seluruh air tersebut dinamakan populasi, sedangkan satu gelas air untuk diuji dinamakan sampel.

Contoh Soal

3.1

Tentukan an popula populasi dan sampel yang mungkin jika seseorang ingin mengetahui tingkat penghasilan setiap kepala keluarga di suatu kelurahan. Jawab: Seluruh kepala keluarga yang ada di kelurahan tersebut merupakan populasi. Adapun beberapa kepala keluarga yang ditanya di kelurahan tersebut merupakan sampel

Sekilas Matematika Statistika telah digunakan ribuan tahun yang lalu. Statistika awal, seperti sensus bangsa Babilonia kuno, Mesir kuno, dan Cina kuno, digunakan untuk menghitung jumlah populasi untuk tujuan pemungutan pajak. Sejak awal abad ke-15 sampai sekarang, ahli-ahli statistika mulai menyadari bahwa statistika bisa digunakan dalam bidang yang lebih luas, seperti industri, kedokteran, genetika, dan lain-lain. Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

3. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Untuk memudahkan membaca data, biasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau diagram. Pada bagian ini, akan dibahas penyajian data dalam bentuk tabel. Diketahui data nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A sebagai berikut. 6 8 7 6 6 5 7 8 8 5 9 9 8 6 7 7 7 6 8 7 10 8 8 6 6 5 9 9 7 6 Dapatkah kamu membaca data tersebut? Tentu saja dapat, meskipun untuk membacanya memerlukan waktu yang cukup lama. Jika data tersebut disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, hasilnya akan tampak sebagai berikut. Tabel 3.2 Tabel distribusi frekuensi nilai ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A

Nilai

Turus

Jumlah Siswa 3 8 7 7 4 1

5 6 7 8 9 10 Jumlah

30

Sekarang, coba kamu baca data yang telah disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, kemudian bandingkan, manakah yang lebih mudah untuk dibaca?

Statistika

39

Contoh Soal

Situs Matematika www.library. gunadarma.ac.id aa acc id id www. mathworld.wolfram. com

3.2

Diketahuii ddata t bberat badan (dalam kg) 30 balita di sebuah kelurahan adalah sebagai berikut. 30 30 28 27 25 29 30 25 28 30 27 25 30 26 29 29 27 25 27 26 26 25 28 30 27 27 30 30 26 26 Sajikan data tersebut dalam bentuk tabel distribusi frekuensi. Jawab: Berat Badan (kg)

Turus

Frekuensi

25 26 27 28 29 30

5 5 6 3 3 8 30

Jumlah

4. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram a. Diagram Gambar Diagram gambar atau piktogram adalah bagan yang menampilkan data dalam bentuk gambar. Menyajikan data dalam bentuk piktogram merupakan cara yang paling sederhana.

Contoh Soal

3.3

Jumlah penduduk d d k di suatu kecamatan adalah sebagai berikut. Kelurahan A sebanyak 800 orang. Kelurahan B sebanyak 650 orang. Kelurahan C sebanyak 700 orang. Sajikan data tersebut dalam bentuk piktogram. Jawab:

Kelurahan

Jumlah Penduduk (

= 100 orang)

A B C

Pada dasarnya, penyajian data dalam bentuk piktogram memang menarik. Akan tetapi, penggunaan piktogram sangatlah terbatas. Misalnya pada Contoh Soal 3.3 , bagaimanakah cara menggambarkan piktogram kelurahan D yang memiliki penduduk sebanyak 627 orang? Dapatkah kamu menggambarkannya?

40


b. Diagram Batang Diagram batang biasanya digunakan untuk menyajikan data dalam bentuk kategori. Untuk menggambar diagram batang, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan. Terdapat dua macam diagram batang, yaitu diagram batang vertikal dan diagram batang horizontal.

Contoh Soal

3.4

Diketahuii ddata t suhu minimum dan suhu maksimum di kota A, B, C, D, dan E sebagai berikut. Kota Suhu Minimum (°C) Suhu Maksimum (°C)

A B C D 10 15 15 12 25 30 32 27

E 20 35

20

E

15

D

10

Kota

Suhu minimum (°C)

Sajikan data suhu minimum dalam diagram batang vertikal dan suhu maksimum dalam diagram batang horizontal. Jawab: a. Diagram Batang Vertikal b. Diagram Batang Horizontal

5

C B

A

B

C Kota

D

A

E

5

10

15

20

25

30

35

Suhu maksimum (°C)

c. Diagram Garis Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang berkesinambungan dan berkala. Seperti pada diagram batang, untuk menggambar diagram garis, diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan.

Contoh Soal

3.5

Diketahui ui data jumlah ju TV berwarna yang terjual di toko elektronik Maju Bersama setiap bulannya pada tahun 2006 adalah sebagai berikut. Bulan

Jan

Feb

Mar

Apr

Mei

Jun

Jul

Agt

Sept

Okt

Nov

Des

Jumlah TV

20

15

12

10

15

17

10

10

15

20

15

25

Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram garis.

Statistika

41

Jawab: 25 Jumlah TV

20 15 10 5 Jan

Tugas 3.2 Carilah informasi bagaimana menyajikan diagram lingkaran dalam persen (%). Kemudian, sajikan data pada Contoh Soal 3.6 dalam bentuk diagram lingkaran dalam persen (%)

Solusi Matematika Diagram di bawah ini menggambarkan hobi 40 siswa di suatu sekolah. Menari

Menyanyi (musik) 72˚ 126˚ Voli 36˚ 72˚ Sepak bola Melukis

Banyak siswa yang hobi sepakbola adalah .... a. 4 orang b. 6 orang c. 8 orang d. 14 orang Jawab: Jumlah siswa = 40 siswa. Besar sudut untuk siswa yang gemar sepakbola adalah 360˚– (36˚+ 72˚ + 126 ˚ + 72˚ ) = 54°.

Jadi, banyaknya siswa yang hobi sepakbola adalah 54˚ x 40 siswa = 6 siswa. 360˚ Jawaban: b

Feb

Apr

Mei

Jun Jul Bulan

Agt

Sep

Okt

Nov

Des

d. Diagram Lingkaran Diagram lingkaran biasanya digunakan untuk menunjukkan perbandingan suatu data terhadap keseluruhan. Biasanya, besar daerah pada lingkaran dinyatakan dalam persen (%) atau derajat (° ). Untuk diagram lingkaran yang dinyatakan dalam derajat, kamu harus membagi lingkaran menjadi juring-juring atau sektor-sektor. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal

3.6

Diketahui ui data w warna yang disukai 40 anak usia 12 sampai dengan 15 tahun sebagai berikut. Warna Putih Merah muda Merah Biru Kuning Hijau

Frekuensi 10 4 8 8 5 5

Sajikan data tersebut dalam bentuk diagram lingkaran. Jawab: Sebelum menyajikan data tersebut dalam bentuk diagram lingkaran, tentukan besar sudut pusat juring untuk setiap warna. 8 10 × 360° = 90° Biru = × 360° = 72° Putih = 40 40 Merah muda = Merah =

4 × 360° = 36° 40

8 × 360° = 72° 40

Soal UN, 2007

42

Mar


Kuning = Hijau =

5 × 360° = 45° 40

5 × 360° = 45° 40

Diagram lingkaran adalah sebagai berikut. Hijau Kuning

45°

Tugas 3.3 Bersama kelompok belajarmu, carilah contoh lain penggunaan diagram batang, garis, dan lingkaran dalam kehidupan sehari-hari. Kamu dapat mencarinya di koran atau majalah. Kemudian, ceritakan data yang diwakili diagram-diagram tersebut di depan kelas

Putih 90°

72° 36° Biru 72° Merah Muda Merah

Uji Kompetensi 3.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tentukan populasi dan sampel yang mungkin dari pernyataan-pernyataan berikut ini. a. Petugas puskesmas ingin mengetahui tingkat kesehatan balita di suatu kelurahan. b. Ibu mencicipi sayur sop untuk mengetahui rasanya. 2. Buatlah masing-masing tiga contoh populasi dan sampelnya. 3. Diketahui nilai tes IPA 20 siswa sebagai berikut. 78 53 60 65 88 78 60 50 77 53 55 80 85 85 85 70 70 65 53 78 Tentukan datum terkecil dan datum terbesar dari data tersebut. 4. Berikut adalah tabel jenis olahraga yang disukai oleh siswa Kelas IX A.

5.

6.

Jenis Olahraga

Jumlah Siswa

Sepakbola Bulutangkis Kasti Basket Voli

30 25 10 20 15

Sajikan data tersebut dalam bentuk piktogram. Banyak anak yang dimiliki setiap keluarga di suatu daerah adalah sebagai berikut. 4, 3, 4, 0, 0, 1, 2, 4, 5, 3 , 2, 3, 5, 2, 2, 2, 1, 0, 0 Sajikan data tersebut dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, kemudian tentukan: a. banyak keluarga yang disurvei. b. banyak keluarga yang tidak memiliki anak. Misalkan, data mengenai jumlah siswa SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi di suatu kota pada tahun 2006 berturut-turut adalah 14.600 orang, 12.800 orang, 9.500 orang, dan 6.700 orang. Buatlah diagram batang dari data tersebut.

7.

Banyaknya buku yang terjual di toko buku Gemar Membaca selama satu minggu adalah sebagai berikut. Hari Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu

8.

Jumlah Buku 40 25 35 40 30 50 55

Buatlah diagram garis dari data tersebut. Perhatikan diagram batang berikut. 300 250 200 150 100 50 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Perempuan Laki-laki

a. Buatlah judul yang sesuai dengan diagram batang tersebut. b. Pada tahun berapa terjadi kenaikan jumlah perempuan dan laki-laki terbesar ? c. Pada tahun berapa terjadi penurunan jumlah perempuan dan laki-laki terbesar ?

Statistika

43

9.

Diketahui data cara 100 siswa Kelas IX pergi ke sekolah. Jenis Kendaraan

10. Perhatikan diagram lingkaran berikut.

Jumlah Siswa

Jalan kaki Bis Angkutan umum Sepeda Jemputan

Ketela

20 15 25 30 10

Gandum

Jagung 90° 72° 180° Padi

Diagramlingkarantersebutmenunjukanbanyaknya hasil pertanian (dalam ton) di suatu daerah. Jika hasil pertanian di daerah tersebut 40 ton, tentukan jumlah hasil panen padi, jagung, gandum, dan ketela.

Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut.

B. Ukuran Pemusatan Data 1. Mean Sudut Tekno Perhitungan mean n dapat dilakukan dengan kalkulator Misalnya, diketahui data

Salah satu ukuran pemusatan data adalah mean atau rata-rata. Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi oleh banyaknya datum. Mean dilambangkan dengan huruf kecil dengan garis diatasnya. Misalnya n , x , atau y . Akan tetapi, biasanya mean dilambangkan dengan x (dibaca eks bar). Jika suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ... xn, mean dari data tersebut dirumuskan sebagai berikut.

sebagai berikut.

Mean ( x ) =

6, 7, 6, 8, 5, 7

Jumlah datum x1 + x2 + ... + xn = n Banyak datum

Untuk menghitung mean dari data tersebut, sebelumnya kamu harus menset kalkulator tersebut pada fungsi statistika, yaitu menekan tombol dengan nm ene Kemudian, K MODEE 3 . Kemudian, KAC HIFT FTT K SHIFT ttekan ekkan an n ttombol om ombo m ol mbo ol SSH 6 DAT ATA 7 DAT DATA DATA D ATA 6

Contoh Soal

3.7

Nilai delapan lapan kali kal ulangan Matematika Dina adalah sebagai berikut. ka 8, 8, 6, 7, 6, 7, 9, 9 Tentukan mean dari data tersebut. Jawab: jumlah datum 8+8+6 +7+6 +7+9 + x = = banyak datum 8

DATA DAT ATA 8 D DATA A 5 DATA

=

7 DATA . Kemudian, untuk menentukan ntu tukkan mea meannya, anny tekan

60 = 7, 5 8

Jadi, mean dari data tersebut adalah 7,5

ol SHIFTT x . Hasilnya tombol pada p layar y adalah 6,5.

Contoh Soal

3.8

Rata-rata nilai il i ulangan Geografi 10 orang siswa adalah 7,0. Jika nilai Rino dimasukkan, nilai rata-rata tersebut berubah menjadi 6,8. Tentukan nilai ulangan Geografi Rino. Jawab: x + x +... + xn x = 1 2 n 7,0 =

44

x1 + x2 +... + x10 maka x1 + x2 +... + x10 =70 10


Jika nilai Rino (xn + 1 = x11) dimasukkan, 70 + x11 x + x + ... + x10 + x11 6,8 = 1 2 maka 6, 8 = 11 11 74,8 = 70 + x11 x11 = 74,8 – 70 = 4,8 Jadi, nilai ulangan Geografi Rino adalah 4,8

Tabel 3.3 Tabel distribusi frekuensi

Misalkan suatu data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ... xi, dan memiliki frekuensi f1, f2, ..., fi seperti yang disajikan pada Tabel 3.2 . Mean dari data tersebut dinyatakan oleh rumus sebagai berikut.

x=

Contoh Soal

f1 x1 + f2 x2 +... + fi xi f1 + f2 +... + fi

Nilai (x i)

Frekuensi (f i)

x1 x2 . . . xn

f1 f2 . . . fn

3.9

Hasil pengukuran engukura berat badan 10 siswa SMP disajikan di dalam tabel distribusi engukuran frekuensi seperti pada gambar tersebut. Berat Badan (kg) (xi)

Frekuensi (fi)

fi·xi

42 43 44 45 Jumlah

2 3 1 4 10

84 129 44 80 437

Tentukan mean dari data tersebut. Jawab: f x + f x +f x + f x x= 1 1 2 2 3 3 4 4 f1 + f2 + f3 + f4 =

( 2 x 42 ) + ( 3 x 43) + (1 x 44 ) + ( 4 x 45 ) 2 + 3 +1+ 4

84 + 129 + 44 + 80 437 = = 43, 7 10 10 Jadi, mean dari data tersebut adalah 43,7 kg =

Solusi Matematika Perhatikan tabel di bawah ini. Nilai

4

5

6 7 8

Frekuensi

2

4

7 5 2

Tabel tersebut menunjukkan data nilai ulangan matematika sekelompok siswa. Nilai rata-rata dari data tersebut adalah .... a. 6,50 c. 6,00 b. 6,05 d. 5,00 Jawab: jumlah datum Rata-rata = banyak datum =

2. Modus Dalam 12 kali ulangan Bahasa Indonesia, Ucok memperoleh tujuh kali nilai 8. Artinya, nilai yang paling sering diperoleh Ucok adalah 8. Dalam statistika, nilai yang paling sering muncul di dalam suatu data disebut modus. Modus suatu data bisa satu, dua, tiga, atau lebih, bahkan tidak ada.

Contoh Soal

8 + 20+ 42 + 35+ 16 20

121 = 6, 05 20 Jadi, rata-ratanya adalah 6,05. =

Jawaban: b Soal UN, 2006

3.10

Berikut adalah d l h ddata penjualan berbagai merek TV berwarna di toko elektronik Maju selama satu bulan. Merek Jumlah

A 5

B 3

C 7

D 4

E 5

F 6 Statistika

45

TV berwarna merek apakah yang paling banyak terjual selama satu bulan tersebut? Jawab: Modus = nilai yang paling sering muncul =7 Jadi, TV berwarna yang paling banyak terjual adalah TV merek C

Contoh Soal

3.11

Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. an sek k mp 1, 4, 3, 5, 2, 3, 2, 2 , 5, 4, 3, 1 Tentukan modus dari data tersebut. Jawab: Perhatikan data tersebut dan beri tanda pada datum/nilai yang paling sering muncul. 1, 4, 3, 5, 2 , 3, 2 , 2 , 5, 4, 3, 1 Datum yang paling sering muncul adalah 2. Jadi, modus dari data tersebut adalah 2

3. Median Median adalah nilai tengah suatu data yang telah diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian sama banyak. Cara penentuan median tergantung pada banyaknya datum. Jika pada suatu data jumlah datumnya ganjil, mediannya adalah nilai tengah data yang telah diurutkan. Jika pada suatu data jumlah datumnya genap, mediannya adalah mean dari dua datum yang di tengah setelah data diurutkan.

Contoh Soal

3.12

Tentukan median di dari data berikut. 6, 7, 6, 6, 5, 8, 7 Jawab: Urutkan data terlebih dahulu. 5, 6, 6, 6 , 7, 7, 8 (banyaknya datum = 7 (ganjil)).

v

Median Jadi, median dari data tersebut adalah 6

Contoh Soal

3.13

Setelah delapan kali d l k ulangan Fisika, Budhi memperoleh nilai sebagai berikut. 7, 7, 10, 8, 6, 6, 7, 8. Tentukan median dari data tersebut. Jawab: Setelah diurutkan, data nilai Fisika Budhi akan tampak seperti berikut. 6, 6, 7, 7, 7, 8 8, 10 (banyaknya datum = 8 (genap)).

v Median =

7+7 =7 2

Jadi, median dari data tersebut adalah 7

46


Contoh Soal

3.14

Tentukan mean, modus, dan median data pada tabel-tabel berikut. a.

Nilai (xi) 5 6 7 8 9 10

Frekuensi (fi) 4 5 5 8 2 1

b.

Nilai (xi) 5 6 7 8 9 10

Frekuensi (fi) 3 5 8 8 5 3

Jawab: a.

(i) Mean = x =

x1 f1 + x2 f2 + x3 f3 + x4 f4 + x5 f5 + x6 f6 f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6

(5 × 4 )+ (6 × 5 )+ ( 7 × 5 )+ (8 × 8 )+ (9 × 2 )+ (10 × 1) 4 + 5 + 5+ 8 + 2 + 1 177 = = 7, 08 25

=

Jadi, mean dari data tersebut adalah 7,08. (ii) Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Pada tabel (a), nilai yang paling sering muncul adalah 8. Jadi, modus data tersebut adalah 8. (iii) Oleh karena banyak datum pada tabel (a) adalah 25 (ganjil), mediannya n+ 1 25 + 1 16 = datum ke= datum ke- = datum ke-13. adalah datum ke2 2 2 Dari tabel (a) diketahui: • datum ke-1 sampai dengan datum ke-4 adalah 5. • datum ke-5 sampai dengan datum ke-9 adalah 6. • datum ke-10 sampai dengan datum ke-14 adalah 7. Oleh karena datum ke-13 terletak pada interval ke-3, mediannya adalah 7. b. Coba kamu tentukan mean, modus, dan median pada tabel (b). bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumu

Uji Kompetensi 3.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tentukan mean dari data-data berikut. a. 3, 2, 4, 3, 3, 5, 4 b. 12, 14, 14, 13, 10, 12 c. 27, 30, 29, 28, 27, 30, 28, 27 d. 7,5; 6,5; 4,5; 6,5; 4,5; 5,5; 5,5; 6,5; 7,5; 7,5 2. Mean dari 10 data adalah 5,8. Tentukan jumlah seluruh data tersebut. 3. Rata-rata tinggi badan 15 anak adalah 152 cm. Jika tinggi badan Indra dimasukkan ke dalam perhitungan tersebut, rata-ratanya menjadi 152,5 cm. Tentukan tinggi badan Indra.

4.

5.

Data nilai ulangan Bahasa Indonesia 15 siswa Kelas XI adalah sebagai berikut. 7, 5, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 4, 5, 9, 5, 6, 4 Jika siswa yang dianggap lulus adalah yang nilainya di atas rata-rata, tentukan banyak siswa yang lulus. Berdasarkan hasil survei yang dilakukan oleh sebuah perusahaan pakaian selama satu bulan, diperoleh data nomor celana yang terjual selama satu bulan, yaitu sebagai berikut. 27 35 32 30 30 32 32 28 29 30 32 27 27 30 28 29 29 29 27 28 28 30 32 27 Tentukan modus dari data tersebut.

Statistika

47

6.

Diagram garis berikut menunjukkan banyak pasien Puskesmas Jayasehat selama 6 hari. 35

Jumlah Pasien

30 25 20 15 10 5 Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Hari

a. Berapakah jumlah seluruh pasien Puskemas Jayasehat selama 6 hari itu? b. Pada hari apakah jumlah pasien yang paling banyak? 7. Tentukan median dari data-data berikut. a. 15, 17, 10, 15, 18, 14, 15 b. 25, 37, 28, 30, 38, 25 c. 750, 853, 743, 750, 800, 841, 800, 853 d. 8,1; 7,8; 9,9; 4,5; 6,3; 5,4

8. Tentukan mean, modus, dan median dari data berikut. 8, 9, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 7, 4, 6, 6, 8 9. Diketahui hasil ulangan Matematika 30 orang siswa adalah sebagai berikut. 5 6 7 6 7 8 8 5 9 10 9 9 5 7 7 8 7 6 6 6 5 8 8 7 6 9 10 10 8 7 a. Buatlah tabel distribusi frekuensinya b. Tentukan mean, modus, dan mediannya. 10. Sebuah perusahaan sepatu ingin mengetahui ukuran sepatu yang harus diproduksi paling banyak. Setelah survei selama tiga bulan, diperoleh data nomor sepatu yang banyak dijual, yaitu sebagai berikut. 40 42 39 38 40 39 42 40 37 36 39 39 40 38 37 37 40 39 39 36 39 36 37 38 40 40 37 40 37 39 a. Tentukan mean, modus, dan median dari data tersebut. b. Nilai apakah yang tepat untuk menentukan nomor sepatu yang harus diproduksi paling banyak? Mean, modus, atau median? Jelaskan jawabanmu.

C. Ukuran Penyebaran Data 1. Jangkauan Jangkauan suatu data adalah selisih datum terbesar dengan datum terkecil. Biasanya, jangkauan dilambangkan dengan J. Untuk mengetahui jangkauan suatu data, kamu harus mengurutkan datum-datum pada data tersebut terlebih dahulu. Misalnya, diketahui data tinggi badan 8 siswa sebagai berikut. 150 155 160 157 158 160 155 150 Jika data tersebut diurutkan akan tampak seperti berikut. 150 150 155 155 157 158 160 160 v v

Datum terkecil

Datum terbesar

Jangkauan data tersebut adalah 160 – 150 = 10. Jangkauan diperlukan untuk mengetahui tersebar atau terkumpulnya suatu data.

Contoh Soal

3.14

Tentukan jjangkauan k dari data berikut. a. 26, 40, 18, 25, 16, 45, 30 b. 15, 15, 15, 15, 15

48


Jawab: a. Urutkan data terlebih dahulu. 16, 18, 25, 26, 30, 40, 45 v v Datum terkecil Datum terbesar J = datum terbesar – datum terkecil = 45 – 16 = 29 Jadi, jangkauan data tersebut adalah 29. b. Data ini jangkauannya nol. Mengapa? Coba kamu jelaskan alasannya

2. Kuartil Kuartil suatu data diperoleh dengan membagi suatu data terurut menjadi empat bagian sama besar. Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu: a. kuartil bawah (Q1) b. kuartil tengah/median (Q2) c. kuartil atas (Q3) Jika suatu data dilambangkan dengan garis lurus, letak kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atasnya adalah sebagai berikut. Median Data di bawah Q2

Data di atas Q2 Gambar 3.1

Q1

Q2

1 data 4

1 data 4

Letak kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) pada suatu data.

Q3 1 data 4

1 data 4

Cara menentukan kuartil sebagai berikut. • • • •

Urutkan data dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Tentukan Q2 atau median. Tentukan Q1 dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bagian yang sama besar. Tentukan Q3 dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama besar.

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal

3.15

Tentukan kkuartil til bbawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3) dari data-data berikut. a. 20 35 50 45 30 30 25 40 45 30 35 b. 11 13 10 10 12 15 14 12 Jawab: a. Urutkan data terlebih dahulu. 5 data di bawah Q2 20

25

30

v

Q1

30

5 data di atas Q2 30

35

v

Q2

35

40

45

45

50

v Q3

Jadi, Q1 = 30, Q2 = 35, dan Q3 = 45. Statistika

49

b. Urutkan data terlebih dahulu. 10 10 11 12 12 v Q2

v Q1

=

10 + 11 2

13

=

14

15

v Q3

12 + 12 2

=

13 + 14 2

= 10,5 = 12 = 13,5 Jadi, Q1 = 10,5; Q2 = 12; dan Q3 = 13,5

Uji Kompetensi 3.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tentukan jangkauan dari data-data berikut. a. 13, 11, 14 ,11, 13, 15, 12, 11 b. 27, 30, 45, 60, 11, 37, 41, 45 c. 209, 317, 211, 453, 194, 317 d. 16,8; 25,3; 17,7; 26,1; 38,4; 17,7 2. Diketahui dua data sebagai berikut. a. 273, 840, 728, 963, 543, 189 b. 110, 231, 601, 335, 815, 588 Manakah yang jangkauannya lebih besar? 3. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas data-data berikut. a. 8, 9, 7, 5, 3, 4, 6, 3, 5 b. 23, 23, 37, 40, 38, 37 c. 119, 203, 483, 423, 119, 200 d. 50,9; 35,8; 40,1; 35,8; 49,7 4. Diketahui data nilai ulangan Bahasa Indonesia 15 siswa sebagai berikut. 8 6 7 8 7 5 9 6 5 8 8 10 10 7 6

Tentukan nilai Q1, Q2, dan Q3. Berapa banyak siswa yang nilainya di bawah Q2? Berapa banyak siswa yang nilainya di atas Q2? Apa yang dapat kamu simpulkan dari data tersebut ? Seorang guru mengukur tinggi badan (dalam cm) 10 orang siswa, hasilnya adalah sebagai berikut. 150 155 153 154 160 150 155 155 150 153 Tentukan: a. jangkauan, b. mean, modus, dan median, c. Q1, Q2, dan Q3. a. b. c. d.

5.

6.

Jelaskan pengertian jangkauan dan kuartil serta cara menentukannya dengan kata-katamu sendiri.

•

Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi oleh banyaknya datum. Mean dirumuskan sebagai berikut.

Rangkuman • •

•

50

Datum adalah fakta tunggal. Adapun data adalah kumpulan datum. Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan pengumpulan data, perhitungan atau pengolahan data, serta penarikan kesimpulan berdasarkan data yang diperoleh. Data biasanya disajikan dalam bentuk tabel dan diagram (diagram gambar, batang, garis, dan lingkaran).


x= • •

Jumlah datum Banyak datum

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Median adalah nilai tengah suatu data.

•

Jangkauan suatu data adalah selisih datum terbesar dengan datum terkecil. Jangkauan dirumuskan sebagai berikut.

•

Kuartil terdiri atas tiga macam, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q3).

J = datum terbesar – datum terkecil

t t t

Pada bab Statistika ini, adakah materi yang menurutmu sulit untuk kamu pahami? Mengapa? Pada bab ini, bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Kesan apa yang kamu dapat setelah mempelajari bab ini?

Peta Konsep Pengumpulan Data

Tabel menggunakan

Diagram Gambar

Penyajian Data Diagram Batang

terdiri atas

Diagram

Diagram Garis

Statistika

mempelajari tentang

Diagram Lingkaran

Mean Ukuran Pemusatan

terdiri atas

Modus Median

Pengolahan Data

terdiri atas

Ukuran Penyebaran terdiri atas

Jangkauan

Kuartil

Penarikan Kesimpulan

Kuartil Bawah

Kuartil Tengah

Kuartil Atas

Statistika

51

Uji Kompetensi Bab 3 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1.

4.

135° 60° 45° Pegawai Swata Negeri

6.

Jika banyak penduduk yang menjadi pegawai negeri sebanyak 28 orang, perbandingan jumlah penduduk pekerja swasta dengan buruh adalah .... a. 6 : 5 c. 4 : 3 b. 5 : 4 d. 3 : 2 Mean data 8, 8, 7, 4, 5, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 5 adalah ....

7.

a. 6,5 c. 6,3 b. 6,4 d. 6,2 Nilai rata-rata dari tabel berikut adalah ....

Jumlah Buku

250 200 150 100 50

8. Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Hari

52


Pedagang

Petani

300

Diagram tersebut menunjukkan jumlah buku yang terjual selama satu minggu di toko buku BacaBaca. Kenaikan penjualan terbesar terjadi pada hari .... a. Senin dan Kamis b. Kamis dan Sabtu c. Kamis d. Senin

Diagram berikut menunjukkan jenis pekerjaan penduduk di kota A.

h

3.

5.

u Bur

2.

Yang bukan termasuk data kuantitatif adalah .... a. nomor sepatu siswa b. warna kesukaan siswa c. olahraga kesukaan siswa d. cara siswa pergi ke sekolah Petugas Departemen Kesehatan melakukan penelitian mengenai kesehatan balita di kota Solo. Sampel untuk penelitian tersebut adalah .... a. balita di kota Solo b. balita di luar kota Solo c. beberapa balita di kota Solo d. seluruh balita di kota Solo Pernyataan yang benar mengenai diagram batang adalah .... a. memerlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang saling berpotongan b. terbagi menjadi beberapa sektor/juring c. dapat disajikan secara vertikal maupun horizontal d. terbagi menjadi 2 kategori Perhatikan diagram garis berikut.

9.

Nilai (x i)

Frekuensi ( f i)

4 5 6 7 8 9

2 7 13 6 1 1

a. 6 c. 7 b. 6,5 d. 7,5 Diketahui data nilai ulangan matematika 15 orang siswa sebagai berikut. 7, 5, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 4, 4, 5, 9, 5, 6, 4 Banyak siswa yang nilainya di atas rata-rata adalah ... orang. a. 4 c. 8 b. 7 d. 11 Mean dari data 7, 8, 5, 7, 5, n, 6, 5, 9, 8 adalah 6,3 Nilai n sama dengan .... a. 5 b. 4 c. 3 d. 2

16. Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. Nilai Matematika

Frekuensi

5 6 7 8 9

5 7 6 3 5

Median dari data tersebut adalah .... a. 5 c. 7 b. 6 d. 8 17. Diketahui data tinggi badan 24 siswa Kelas IX SMP Bina Bangsa sebagai berikut (dalam cm). 150 153 160 147 150 155 155 148 148 155 150 158 147 160 160 150 155 162 150 155 147 153 153 160 Jangkauan data tersebut adalah .... a. 12 c. 13 b. 14 d. 15 18. Kuartil bawah dari data 6, 9, 3, 7, 5, 3, 6 7, 8, 5 adalah .... a. 5 c. 7 b. 6 d. 8 19. Diketahui data kuantitatif sebagai berikut. 1 1 6, 7 , 5, 8, 5, 7 , 6, 6, 7, 5, 8 2 2 Pernyataan yang benar mengenai data tersebut adalah .... a. mean = 5 b. modus = 6 1 c. median = 7 2 d. Q2 = 6 20. Diagram batang berikut menunjukan nilai ulangan matematika beberapa siswa Kelas IX. Jumlah Siswa

10. Rata-rata pendapatan per hari seorang pedagang koran di sebuah terminal bus adalah Rp 7.000,00. Oleh karena ada pedagang koran yang baru, ratarata pendapatannya menjadi Rp 6.800,00. Besar pendapatan pedagang koran yang baru tersebut adalah .... a. Rp 2.800,00 b. Rp 3.000,00 c. Rp 4.000,00 d. Rp 6.800,00 11. Diketahui data sebagai berikut. 53 55 40 45 30 30 53 55 54 53 45 53 45 55 53 54 56 57 43 63 65 40 54 55 Modus data tersebut adalah .... a. 53 c. 55 b. 54 d 56 12. Dari hasil ulangan Sejarah selama semester satu, Winda memperoleh nilai sebagai berikut. 7,8; 8,1; 6,5; 8,3; 8,1; 7,6; 6,9; 8,1 Modus dari data tersebut adalah .... a. 6,1 b. 6,9 c. 7,6 d. 8,1 13. Diketahui data pengeluaran harian dari beberapa keluarga di sebuah Rukun Warga (dalam ribuan) sebagai berikut. 30 20 25 20 25 37 26 18 20 26 20 24 30 19 Modus pengeluaran harian dari beberapa keluarga tersebut (dalam ribuan) adalah .... a. 30 c. 24 b. 25 d. 20 14. Diketahui data sebagai berikut. 25, 26, 22, 24, 26, 28, 21, 24, 26, 27, 28, 28, 30, 25, 29, 22, 21, 23, 25, 26, 23 Median dari data tersebut adalah .... a. 25 c. 27 b. 26 d. 28 15. Nilai tengah dari data 153 155 203 153 158 211 190 155 adalah .... a. 155 b. 156,5 c. 157 d. 158,5

4 3 2 1 5

6

7

8

Nilai

Dari data tersebut, mean + median + modus = .... 4 a. 4 c. 6 5 7 b. 5 d. 8 9

Statistika

53

B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1.

Perhatikan diagram lingkaran berikut.

3.

Voli

Bulu tangkis 180°

45° Basket

4.

60° Sepakbola 45°

5.

Silat

2.

54

Diagram tersebut menggambarkan jenis olahraga yang disukai 1.200 siswa SMP. Tentukan banyak siswa yang menyukai olahraga basket. Diketahui data tinggi badan (dalam cm) 20 siswa Kelas IX SMP Tunas Bangsa sebagai berikut. 150, 152, 152, 150, 151, 154, 154, 155, 155, 155 152, 153, 153, 153, 154, 154, 150, 150, 152, 153 a. Sajikan data tersebut dalam tabel distribusi frekuensi. b. Tentukan mean, modus, dan median dari data tersebut.


Diketahui rata-rata dua datum adalah 92. Jika selisih dua data tersebut adalah 72, tentukan nilai kedua datum tersebut. Rata-rata lima bilangan bulat yang berurutan adalah 10. Tentukan selisih bilangan terbesar dan terkecilnya. Diketahui data sebagai berikut. 1, 3, 5, 8, 3, 3, 2, 5, 8, 10, 4, 6, 7 Tentukan: a. datum terkecil dan datum terbesarnya, b. jangkauannya, c. kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atasnya (Q3).

Standar Kompetensi 11. Memecahkan masalah keuangan menggunakan konsep matematika

Kompetensi Dasar 11. 1 Menyelesaikan masalah bunga tunggal dan bunga majemuk dalam keuangan 11. 2 Menyelesaikan masalah rente dalam keuangan 11. 3 Menyelesaikan masalah anuitas dalam sistem pinjaman 11. 4 Menyelesaikan masalah penyusutan nilai barang


96

A. PENDAHULUAN Standar Kompetensi Matematika Keuangan terdiri atas empat (4) Kompetensi Dasar. Dalam penyajian pada buku ini setiap Kompetensi Dasar memuat Tujuan, Uraian materi, Rangkuman dan Latihan. Kompetensi Dasar dalam Standar Kompetensi ini adalah Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk, Rente, Anuitas, dan Penyusutan Nilai Barang. Standar Kompetensi ini digunakan sebagai penunjang dalam mempelajari standar kompetensi produktif maupun diaplikasikan pada kehidupan sehari-hari terutama pada masalah bunga pinjaman dan simpanan di Bank, cicilan kredit rumah, dan masalah keuangan lainnya. Pada setiap akhir Kompetensi dasar tercantum soal-soal latihan yang disusun dari soalsoal yang mudah sampai soal-soal yang sukar. Latihan soal ini digunakan untuk mengukur kemampuan anda terhadap kompetensi dasar ini, artinya setelah mempelajari kompetensi dasar ini secara mandiri dengan bimbingan guru sebagai fasilitator, ukur sendiri kemampuan anda dengan mengerjakan soal-soal latihan tersebut. Untuk melancarkan kemampuan anda supaya lebih baik dalam mengerjakan soal, disarankan semua soal dalam latihan ini dikerjakan baik di sekolah dengan bimbingan guru maupun di rumah. Untuk mengukur standar kompetensi lulusan tiap siswa, di setiap akhir kompetensi dasar, guru akan memberikan evaluasi apakah anda layak atau belum layak mempelajari standar Kompetensi berikutnya. Anda dinyatakan layak jika anda dapat mengerjakan soal 65% atau lebih soal-soal evaluasi yang akan diberikan guru.

B. KOMPETENSI DASAR B.1

Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ ¾ ¾ ¾

¾ ¾ ¾ ¾

Menyelesaikan soal persen di atas seratus dan persen dibawah seratus Menghitung bunga tunggal harian, bulanan maupun tahunan Menyelesaikan soal-soal diskonto Menghitung bunga tunggal dengan metode: o angka bunga dan pembagi tetap o persen sebanding o persen seukuran Menghitung Nilai Akhir Modal bunga majemuk Menghitung Nilai Akhir Modal dengan masa bunga majemuk pecahan Menghitung Nilai Tunai Modal bunga majemuk Menghitung Nilai Tunai modal dengan masa bunga majemuk pecahan

97

BAB III Matematika Keuangan

b. Uraian materi

1). Pengertian Bunga Mengapa banyak orang yang berbondong-bondong menyimpan atau mendepositokan uangnya di Bank. Di samping karena masalah keamanan, juga karena mendapatkan jasa dari simpanan tersebut, yang dinamakan bunga. Mengapa banyak dealer mobil maupun motor menawarkan kredit kepada konsumen. Karena dengan kredit, dealer akan mendapatkan tambahan modal dari sejumlah modal yang telah ditanamkan. Tambahan modal tersebut dinamakan bunga. Jadi, Bunga adalah jasa dari pinjaman atau simpanan yang dibayarkan pada akhir jangka waktu

yang telah disepakati bersama. Jika besarnya bunga suatu pinjaman atau simpanan dinyatakan dengan persen (%), maka persen tersebut dinamakan suku bunga. Suku bunga =

bunga x 100% pinjaman mula − mula

Contoh 1 Wulan meminjam uang dari Koperasi sebesar Rp1.000.000,00. Setelah satu bulan, maka Wulan harus mengembalikan modal beserta bunganya sebesar Rp1.020.000,00. Tentukan besarnya bunga dan suku bunganya?

Jawab: Bunga = Rp1.020.000,00 – Rp1.000.000,00 = Rp20.000,00 bunga x 100% pinjaman mula − mula 20.000,00 = x100% = 2% 1.000.000,00

Suku bunga =

Contoh 2 Fulan menyimpan uangnya di Bank ABC sebesar Rp500.000,00. Bank memberikan bunga 1.5% tiap bulan. Jika bank membebankan biaya administrasi Rp1.000,00 setiap bulan, tentukan jumlah simpanan Fulan setelah satu bulan!

Jawab: Jumlah simpanan Fulan setelah satu bulan = simpanan mula-mula + bunga – biaya administrasi = Rp500.000,00 + 1.5% x Rp500.000,00 – Rp1.000,00 = ....

2). Persen di atas seratus dan Persen di bawah seratus Untuk menentukan nilai persentase dari suatu bilangan jika diketahui bilangan dan persennya, hanya mengalikan bilangan tersebut dengan persen yang diketahui. Misalkan: Untuk menentukan besarnya laba jika persentase laba dan harga beli diketahui, maka laba = persen laba x harga beli. Untuk menentukan besarnya diskon jika persentase diskon dan harga sebelum diskon diketahui, maka besarnya diskon = persen diskon x harga sebelum diskon.


98

Bagaimana menentukan laba jika persentase laba dan harga jual yang diketahui. Juga bagaimana menentukan besarnya diskon jika persentase diskon dan harga setelah diskon diketahui. Ternyata besarnya laba dan diskon tidak dapat langsung dikalikan persentase masing-masing dengan nilai yang diketahui. Dari ilustrasi di atas, maka dibutuhkan persen yang lain, yaitu persen di atas seratus maupun persen di bawah

seratus. Persen di atas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum ditulis: p p% di atas seratus = 100 + p Persen di bawah seratus adalah bentuk pecahan yang jumlah antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum ditulis: p p% di bawah seratus = 100 − p Contoh 3 Ubahlah dalam bentuk pecahan! a. 25% b. 10% di bawah 100 c. 15% di atas 100

Jawab: a. 25% =

25 1 = 100 4

10 10 1 = = 100 − 10 9 90 15 15 3 c. 15% di atas 100 = = = 100 + 15 115 23

b. 10% di bawah 100 =

Contoh 4 Tentukan Nilainya! a. 7% di atas 100 dari Rp428.000,00 b. 12% di bawah 100 dari Rp4.400.000,00

Jawab: 7 x 428.000,00 100 + 7 7 x Rp428.000,00 = 107 = Rp28.000,00 12 b. 12% di bawah 100 dari Rp4.400.000,00 = x Rp4.400.000,00 100 − 12 12 = x Rp4.400.000,00 88 = Rp600.000,00

a. 7% di atas 100 dari Rp428.000,00 =


Contoh 5 Ubahlah 10% di atas 100 ke dalam: a. Persen b. Persen di bawah 100

Jawab: a.

10 P = 100 + 10 100 10 P = 110 100

11P = 100 100 P= = 9.09, 11 Jadi, 10% di atas 100 = 9.09% 10 P = 100 + 10 100 − P 10 P = 110 100 − P 1 P = 11 100 − P 100 – P = 11P 100 = 11P + P 100 = 12P 100 P = = 8.33, 12 Jadi, 10% di atas 100 = 8.33% di bawah 100

b.

Contoh 6 Ubahlah 20% di bawah 100 menjadi persen di atas 100

Jawab: 20 100 − 20 20 80

=

P 100 + P

=

P 100 + P

2(100 + P) = 8P 200 + 2P = 8P 200 = 8P – 2P 200 P= = 33.33 6 Jadi, 10% di atas 100 = 8.33% di bawah 100

99


100

3). Aplikasi Persen di atas seratus dan di bawah seratus Persen di atas seratus digunakan jika nilai yang diketahui lebih besar dari nilai mulamula. Misalkan % laba dengan harga jual, % bonus dengan harga setelah bonus. % bunga dengan modal setelah bunga dan lain-lain. Persen di bawah seratus digunakan jika nilai yang diketahui lebih kecil dari nilai mulamula. Misalkan % rugi dengan harga jual, % diskon dengan harga setelah diskon, dan lain-lain. Contoh 7 Harga jual suatu barang adalah Rp5.980.000,00. Jika barang dijual dengan untung 15%. Tentukan untung dan harga belinya!

Jawab: Besarnya untung = 15% di atas 100 x harga jual 15 x Rp5.980.000,00 = 100 + 15 15 = x Rp5.980.000,00 115 = Rp780.000,00 Harga Beli = Harga Jual – Untung = Rp5.980.000,00 – Rp780.000,00 = Rp5.200.000,00 Contoh 8 Gaji seorang karyawan Rp1.500.000,00. Karena prestasinya baik, maka ia mendapatkan bonus 17% dari gajinya. Tentukan besarnya bonus dan gaji karyawan setelah dapat bonus!

Jawab: Besar bonus

= persen bonus x gaji mula-mula ( bukan persen di bawah atau di atas 100 ) 17 x Rp1.500.000,00 = 100 = Rp255.000,00

Gaji setelah bonus = Gaji sebelum bonus + bonus = Rp1500000,00 + Rp255.000,00 = Rp1.755.000,00 Contoh 9 harga barang setelah dikenai pajak adalah Rp2.800.000,00. Jika besarnya pajak 12%, tentukan besar pajak dan harga sebelum pajak!

Jawab: Pajak =

12 x Rp2.800.000,00 100 + 12


=

101

12 x Rp2.800.000,00 112

= 12 x 25.000,00 = Rp300.000,00 Harga sebelum pajak = Harga setelah pajak – pajak = Rp2.800.000,00 – Rp300.000,00 = Rp2.500.000,00 Contoh 10 Harga barang setelah rabat adalah Rp492.800,00. Jika besarnya rabat 23%, tentukan rabat dan harga sebelum rabat!

Jawab: Rabat = =

23 x Rp492.800,00 100 − 23

23 x Rp492.800,00 73

= Rp147.200,00 Harga sebelum rabat = Harga setelah rabat – rabat = Rp492.800,00 – Rp147.200,00 = Rp640.000,00 Contoh 11 Harga beras tiap kilogram setelah mendapatkan subsidi dari pemerintah adalah Rp1.575,00. Jika pemerintah memberikan subsidi sebesar 37%, tentukan subsidi yang ditentukan pemerintah dan harga beras sebelum subsidi!

Jawab: Subsidi =

=

37 x Rp1.575,00 100 − 37

37 x Rp1575,00 63

= 37 x 25 = Rp925,00 Harga sebelum subsidi = Harga stelah subsidi + subsidi = Rp1.575,00 + Rp925,00 = Rp2.500,00

4). Bunga Tunggal Bunga tunggal adalah bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam. Perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal yang tetap, yaitu: Bunga = suku bunga tiap periode x banyaknya periode x modal


102

Contoh 12 Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 2%/bulan. Tentukan bunga setelah 1 bulan, 2 bulan, dan 5 bulan!

Jawab: Setelah 1 bulan besar bunga = 2% x 1 x Rp1.000.000,00 = Rp20.000,00 Setelah 2 bulan besar bunga = 2% x 2 x Rp1.000.000,00 = Rp40.000,00 Setelah 5 bulan besar bunga = 2% x 5 x Rp1.000.000,00 = Rp100.000,00 Jika suatu modal M dibungakan dengan suku bunga tunggal berlaku:

i% tiap tahun, maka

Mxix t 100 Mxixt bulan besarnya bunga: B = 1.200 Mxix t . untuk 1 tahun = 360 hari hari besarnya bunga: B = 36.000 Mxix t hari besarnya bunga: B = . untuk 1 tahun = 365 hari 36.500 Mxix t . untuk 1 tahun = 366 hari hari besarnya bunga: B = 36.600

Setelah t tahun besarnya bunga: B = Setelah t Setelah t Setelah t Setelah t

Modal akhir = Modal awal + bunga Ma = M + B Contoh 13 Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 3 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan bunga yang diperoleh dan modal setelah dibungakan!

Jawab: M = Rp1.000.000,00 i = 18%/tahun t = 3 tahun Mxixt 100 1.000.000 x 18 x 3 = 100 = Rp540.000,00

Bunga: B =

Modal akhir : Ma = M + B = Rp1.000.000,00 + Rp540.000,00 = Rp1.540.000,00 Contoh 14 Modal sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 3%/cawu selama 1 tahun 7 bulan. Tentukan:


103

a. Bunga yang diperoleh b. Modal akhir

Jawab: M = Rp2.500.000,00 i = 3%/cawu = 3 x 3%/tahun = 9%/tahun t = 1 tahun 7 bulan 2.500.000 x 9 x 1 a. Setelah 1 tahun bunga = = Rp225.000,00 100 2.500.000 x 9 x 7 Setelah 7 bulan bunga = = Rp131.250,00 1200 Bunga Total = Bunga tahunan + bunga bulanan = Rp225.000,00 + Rp131.250,00 = Rp356.250,00 Dapat juga diselesaikan dengan mengubah tahun menjadi bulan, yaitu: 1 tahun 7 bulan = 19 bulan. Setelah itu, bunga diselesaikan dengan menggunakan rumus bunga bulanan. Silakan dicoba!!! b. Modal akhir = Modal + Bunga = Rp2.500.000,00 + Rp356.250,00 = Rp2.856.250,00 Contoh 15 Pinjaman sebesar Rp1.250.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 0.5%/bulan selama 2 tahun 5 bulan dan 18 hari (jika dianggap 1 tahun =360 hari). Tentukan: a. Bunga yang diperoleh b. Modal akhir!

Jawab: M = Rp1.250.000,00 i = 0.5%/bulan = 0.5% x 12/tahun = 6%/tahun t = 2 tahun 5 bulan 18 hari (1 tahun = 360 hari) = 29 bulan 18 hari 1.250.000 x 6 x 29 = Rp181.250,00 1.200 1.250.000 x 6 x 18 = Rp3.750,00 Setelah 18 hari, bunga = 36.000

a. Setelah 29 bulan, bunga =

Bunga total = Rp181.250,00 + Rp3.750,00 = Rp185.000,00 Dapat juga diselesaikan dengan mengubah tahun dan bulan menjadi hari, yaitu: 2 tahun 5 bulan 18 hari = (720 + 150 + 18) hari = 888 hari. Setelah itu bunga Mxixt . Silakan diselesaikan dengan menggunakan rumus bunga harian B = 36.000 dicoba!


104

b. Modal akhir = Modal + Bunga = Rp1.250.000,00 + Rp185.000,00 = Rp1.435.000,00 Contoh 16 Suatu pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 3 bulan. Ternyata bunga yang diperoleh Rp450.000,00. Tentukan suku bunganya tiap tahun dan tiap triwulan!

Jawab: M = Rp2.500.000.00 t = 2 tahun 3 bulan = 27 bulan B = Rp450.000,00

Setelah t bulan, besar bunga: M.i. t B= 1.200 2.500.000 x i x 27 450.000 = 1.200 45 x 1.200 = 6.750 i 45 x 1.200 i= 6.750 i = 8%/tahun i=

8% /triwulan = 2%/triwulan 4

Contoh 17 Suatu pinjaman sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 7.5%/semester. Ternyata modal tersebut menjadi Rp1.800.000,00. Setelah berapa bulan bunga tersebut dibungakan?

Jawab: M = Rp1.500.000,00 i = 7.5%/semester = 7.5% x 2/tahun = 15%/tahun Ma = Rp1.800.000,00 Bunga = Modal akhir – Modal awal = Rp1.800.000,00 – Rp 1.500.000,00 = Rp300.000,00 Setelah t tahun, besarnya bunga: Mxix t B= 1.200 1.500.000 x 15 x t 300.000 = 1.200 3 x 1.200 = 225 t 3600 =16 bulan t = 225

(di bagi 100.000)


105

Contoh 18 Suatu modal setelah dibungakan dengan bunga tunggal 15%/tahun selama 2 tahun modal tersebut menjadi Rp6.110.000,00. Tentukan: a. Bunga yang diperoleh b. Modal mula-mula!

Jawab: Contoh di atas diselesaikan dengan cepat menggunakan persen di atas 100. (baca lagi tentang penggunaan persen di bawah 100 dan persen di atas 100) Ma = Rp6.110.000,00 i = 15%/tahun = 30% selama 2 tahun a. Bunga = 30% di atas 100 x Rp6.110.000,00 30 = x Rp6.110.000,00 100 + 30 30 = x Rp6.110.000,00 130 = Rp1.410.000,00 b. Modal mula-mula = Modal akhir – bunga = Rp6.110.000,00 – Rp1.410.000,00 = Rp4.700.000,00

5). Diskonto Diskonto adalah bunga yang dibayarkan oleh peminjam pada saat menerima pinjaman. Proses perhitungan diskonto menggunakan sistem bunga tunggal, sehingga untuk menghitung besarnya diskonto hampir sama dengan perhitungan besarnya bunga tunggal jika besarnya pinjaman dan % diskonto diketahui. Besarnya nilai pinjaman pada sistem diskonto nilainya sama dengan jumlah modal yang harus dibayar saat jatuh tempo. Misalkan seorang meminjam Rp100.000,00 dengan diskonto 2% tiap bulan, maka diskontonya = 2% x Rp100.000,00 tiap bulan = Rp2.000,00. Jika pinjaman akan dikembalikan 1 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 – Rp2.000,00 = Rp98.000,00 dan 1 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00. Jika pinjaman akan dikembalikan 3 bulan yang akan datang, maka di awal pinjaman orang tersebut hanya menerima = Rp100.000,00 – 3 x Rp2.000,00 = Rp94.000,00 dan 3 bulan yang akan datang ia harus membayar Rp100.000,00. Dalam kasus di atas, bagaimanakah jika pinjaman akan dikembalikan 50 bulan yang akan datang, apa yang terjadi? Jika pinjaman M dengan diskonto i%/bulan dan akan dikembalikan setelah t bulan. maka: Diskonto : D = M x i x t besarnya modal yang diterima di awal pinjaman : Mt = M – M x i x t

106


Rumus di atas berlaku juga untuk diskonto i%/tahun dan akan dikembalikan setelah t tahun. Bagaimanakah jika diskonto i%/bulan dan akan dikembalikan dalam t tahun atau diskonto i%/tahun akan dikembalikan dalam t bulan ...? Nilai diskonto untuk besarnya pinjaman M dengan suku bunga i%/tahun. Mxix t akan di bayar t tahun yang akan datang: D = 100 Mxix t 1.200 Mxix t . (1 tahun = 360 hari) akan di bayar t hari yang akan datang: D = 36.000

akan di bayar t bulan yang akan datang : D =

Bagaimanakah menentukan nilai diskontonya jika yang diketahui besarnya modal yang diterima peminjam (Mt) dan i% diskonto? Jika hal itu terjadi, maka nilai diskontonya adalah: D = i % di bawah 100 x Modal yang diterima Contoh 19 Pinjaman sebesar Rp2.000.000,00 dengan sistem diskonto 3%/bulan dan akan dikembalikan setelah 5 bulan. Tentukan: a. Nilai diskonto b. Modal yang diterima peminjam!

Jawab: M = Rp2.000.000,00 i = 3 % / bulan t = 5 bulan a. Diskonto: D = M x i x t = 2.000.000 x 3% x 5 = Rp300.000,00 b. Modal yang diterima = M – D = Rp2.000.000,00 – Rp300.000,00 = Rp1.700.000,00 Contoh 20 Pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 dengan sistem diskonto 18%/tahun dan akan dikembalikan setelah 9 bulan. Tentukan: a. Nilai diskonto b. Modal yang diterima peminjam!

Jawab: M = Rp5.000.000,00 i = 18 %/tahun t = 9 bulan Mxix t a. Diskonto: D = 1.200 5.000.000 x 18 x 9 = Rp675.000,00 = 1.200


107

b. Modal yang diterima = M – D = Rp5.000.000,00 – Rp675.000,00 = Rp4.325.000,00 Contoh 21 Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 dengan sistem diskonto 30%/tahun dan akan dikembalikan setelah 45 hari. Tentukan modal yang diterima peminjam jika dianggap 1 tahun 360 hari?

Jawab: M = Rp10.000.000.00 i = 30%/tahun t = 9 bulan Mxix t Diskonto: D = 36.000 10.000.000 x 30 x 45 = = Rp375.000,00 36.000 Modal yang diterima = M – D = Rp10.000.000,00 – Rp375.000,00 = Rp9.625.000,00 Contoh 22 Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 14%/tahun dan akan dikembalikan dalam waktu 1.5 tahun. Jika modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.135.000,00. Tentukan: a. Nilai diskonto b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo!

Jawab: Mt = Rp 5.135.000,00 i = 14 %/tahun t = 1.5 tahun. Jadi, i total = 14% x 1.5 = 21% a. Diskonto: D = i% di bawah 100 x Mt 21 x Rp5.135.000,00 = 100 − 21 21 = x Rp5.135.000,00= Rp1.365.000,00 79 b. Modal yang dibayar = Mt + D = Rp5.135.000,00 + Rp1.365.000,00 = Rp6.500.000,00 Contoh 23 Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 6%/cawu dan akan dikembalikan dalam waktu 10 bulan. Jika Modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp5.312.500,00. Tentukan: a. Nilai diskonto? b. Besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo!


108

Jawab: Mt i t a.

= Rp 5.312.500,00 = 6 % / cawu = 1.5 %/bulan = 10 bulan. Jadi, i total = 1.5% x 10 = 15% Diskonto: D = i% di bawah 100 x Mt 15 = x Rp 5.312.500,00 100 − 15 15 = x Rp 5.312.500,00 = Rp937.500,00 85

b. Modal yang dibayar = Mt + D = Rp 5.312.500,00 + Rp937.500,00 = Rp6.250.000,00

6). Metode Perhitungan Bunga Tunggal Pada dasarnya perhitungan bunga tunggal dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus yang sudah dipelajari. Namun, bagaimanakah caranya andaikan ada suatu koperasi simpan pinjam yang memiliki banyak nasabah dimana perhitungannya menggunakan sistem bunga tunggal. Tentunya tidak efisien jika bunga yang diperoleh koperasi dari masing-masing nasabah dihitung satu persatu dengan menggunakan rumus di atas. Oleh karena itu perlu kiranya metode yang lebih efisien dalam perhitungan multi bunga tersebut. a). Metode pembagi tetap Metode ini digunakan jika suku bunga tunggal merupakan pembagi dari 360, 1 tahun dianggap 360 hari, suku bunga i%/tahun dan jangka waktu pengembalian t hari. Bunga yang diperoleh setelah t hari: Mxixt Mxt i M x t 360 B= = . = : 36.000 i 100 360 100 Mxt 360 = pembagi tetap, maka: = angka bunga dan Jika 100 i jumlah angka bunga angka bunga dan Jumlah bunga = B= pembagi tetap pembagi tetap Contoh 24 Di bawah ini adalah tabel dari nasabah Koperasi Simpan Pinjam “ X “ dengan suku bunga tunggal i = 9%/tahun dan 1 tahun dianggap 360 hari:

Nama Nasabah 1 A 2 B 3 C 4 D 5 E Tentukanlah: a. Pembagi tetapnya No

Jumlah pinjaman (M)

Jangka waktu pengembalian (t)

Rp5.000.000,00 Rp4.000.000,00 Rp2.500.000,00 Rp6.000.000,00 Rp7.500.000,00

45 hari 100 hari 80 hari 120 hari 25 hari

109


b. Jumlah angka bunganya c. Bunga total yang diperoleh koperasi!

Jawab: 360 360 = = 40 i 9 b. Untuk menentukan jumlah angka bunga, perhatikan tabel di bawah ini:

a. Pembagi tetap =

No 1 2 3 4 5

M Rp Rp Rp Rp Rp

t

5.000.000,00 4.000.000,00 2.500.000,00 6.000.000,00 7.500.000,00

45 hari 100 hari 80 hari 120 hari 25 hari jumlah

Mxt 100 2.250.000 4.000.000 2.000.000 7.200.000 1.875.000 17.325.000

Jumlah angka bunga = 17.325.000 jumlah angka bunga pembagi tetap 17.325.000 = Rp433.125,00 = 40 Silakan anda coba jika suku bunga tunggalnya 1.5%/bulan ...!

c. Jumlah bunga =

b. Metode Persen yang Sebanding Metode ini digunakan jika suku bunga tunggal bukan merupakan pembagi dari 360, 1 tahun dianggap 360 hari, suku bunga i%/tahun dan waktu pengembalian t hari. Contoh 25 Di bawah ini adalah tabel dari nasabah Koperasi Simpan Pinjam “ Z “ dengan suku bunga tunggal i = 11%/tahun dan 1 tahun diangap 360 hari:

No 1 2 3 4 5

Nama Nasabah P Q R S T

Jumlah pinjaman (M)


Rp1.000.000,00 Rp8.000.000,00 Rp4.500.000,00 Rp2.000.000,00 Rp2.500.000,00


Tentukanlah bunga total yang diperoleh koperasi

Jawab: Suku bunga i = 11% diuraikan menjadi = 10% + 1% atau 9% + 2% Ditentukan dahulu jumlah angka bunga untuk i = 10%.


110

No

M

t

1 2 3 4 5

Rp1.000.000,00 Rp8.000.000,00 Rp4.500.000,00 Rp2.000.000,00 Rp2.500.000,00

50 hari 100 hari 60 hari 120 hari 90 hari jumlah

Mxt 100 500.000 8.000.000 2.700.000 2.400.000 2.250.000 15.850.000

360 360 = = 36 i 10 Jumlah angka bunga = 15.850.000 15.850.000 jumlah angka bunga Jumlah bunga = = = Rp440.277,78 36 pembagi tetap 1% x Rp440.277,78 = Rp44.027,78 Bunga yang sebanding dengan 1% = 10% Jadi, bunga total dari suku bunga 11% = Rp440.277,78 + Rp44.027,78 = Rp484.305,56

Pembagi tetap =

Silakan anda coba jika suku bunga tunggalnya 7.5% ...! (petunjuk: uraikan 7.5% menjadi 6% dan 0.5% atau 5% dan 2.5%)

c). Metode Persen yang Seukuran Metode ini digunakan jika 1 tahun dianggap 365 hari, sehingga tidak banyak suku bunga yang memberikan hasil bagi bulat terhadap 365, maka biasanya diambil suku 365 = 73 . bunga 5% sehingga pembagi tetapnya = 5 Bunga yang diperoleh setelah t hari: Mxixt Mxt 5 Mxt 1 . x B= = = 36.500 100 365 100 73 angka bunga jumlah angka bunga B= dan Jumlah bunga = 73 73 Untuk menghitung suku bunga sisanya digunakan metode persen yang sebanding. Contoh 26 Di bawah ini adalah tabel dari nasabah Koperasi Simpan Pinjam “ T “ dengan suku bunga tunggal i = 6.5%/tahun dan 1 tahun dianggap 365 hari.

No 1 2 3 4 5

Nama Nasabah P Q R S T

Jumlah pinjaman (M)


Rp5.000.000,00 Rp6.000.000,00 Rp7.500.000,00 Rp3.000.000,00 Rp4.500.000,00


Tentukanlah bunga total yang diperoleh koperasi

111


Jawab: Suku bunga i = 6.5% diuraikan menjadi = 5% + 1.5% Ditentukan dahulu jumlah angka bunga untuk i = 5% No 1 2 3 4 5

M Rp Rp Rp Rp Rp

5.000.000,00 6.000.000,00 7.500.000,00 3.000.000,00 4.500.000,00

t 40 hari 80 hari 60 hari 100 hari 20 hari jumlah

Mx t 100

2.000.000 4.800.000 4.500.000 3.000.000 900.000 15.200.000

365 365 = = 73 i 5 Jumlah angka bunga = 15.200.000 15.200.000 jumlah angka bunga Jumlah bunga = = Rp208.219,18 = pembagi tetap 73 1,5% x Rp208.219,18 Bunga yang sebanding dengan 1.5% = 5% 3 = x Rp208.219,18 = Rp62.465,75 10 Jadi, bunga total dari suku bunga 11% = Rp208.219,18 + Rp62.465,75 = Rp270.684,93

Pembagi tetap =

Silakan anda coba jika suku bunga tunggalnya 7.5% ....!

7). Bunga Majemuk Jika X menyimpan uang di bank kemudian setiap akhir periode, bunga yang diperoleh tersebut tidak diambil, maka bunga itu akan bersama-sama modal menjadi modal baru yang akan berbunga pada periode berikutnya. Bunga yang diperoleh nilainya menjadi lebih besar dari bunga pada periode sebelumnya. Proses bunga berbunga pada ilustrasi ini dinamakan Bunga Majemuk. Contoh 27 Hanif menyimpan uang di bank sebesar Rp1.000.000.00 dan bank memberikan bunga 10%/tahun. Jika bunga tidak pernah diambil dan dianggap tidak ada biaya administrasi bank. Tentukan jumlah bunga yang diperoleh Hanif setelah modal mengendap selama 3 tahun.

Jawab: Akhir tahun pertama, bunga yang diperoleh: B = suku bunga x modal = 10% x Rp1.000.000,00 = Rp100.000,00 Awal tahun ke dua, modal menjadi: M2 = M + B = Rp1.000.000,00 + Rp100.000,00 = Rp1.100.000,00

112


Akhir tahun kedua, bunga yang diperoleh: B2 = i x M2 = 10% x Rp1.100.000,00 = Rp110.000,00 Awal tahun ketiga, modal menjadi: M3 = M2 + B2 = Rp1.100.000,00 + Rp110.000,00 = Rp1.210.000,00 Akhir tahun ketiga, bunga yang diperoleh: B3 = i x M3 = 10% x Rp1.210.000,00 = Rp121.000,00 Jumlah bunga yang diperoleh setelah mengendap tiga tahun: = Rp100.000,00 + Rp110.000,00 + Rp121.000,00 = Rp331.000,00.

8). Nilai Akhir Bunga Majemuk Suatu modal M dengan bunga i%/bulan, maka setelah: 1 bulan modal menjadi = M + bunga M1 = M + M.i = M(1 + i) 2 bulan modal menjadi = M1 + bunga M2 = M(1 + i) + M(1 + i).i = M(1 + i)(1 + i) = M(1 + i)2 3 bulan modal menjadi = M2 + bunga M3 = M(1 + i)2 + M(1 + i)2 i = M(1 + i)2(1 + i) = M(1 + i)3 Dari pola uraian di atas, maka pada n bulan modal menjadi: Mn = M(1 + i)n. Jadi, dapat disimpulkan jika suatu modal M dibungakan dengan bunga majemuk i%/periode selama n periode, maka modal akhir Mn: Mn = M(1 + i)n Contoh 28 Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 10%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 6 tahun!

Jawab: M = Rp5.000.000,00 i = 10%/tahun = 0.1/tahun n = 6 tahun Mn = M (1 + i )n = 5.000.000,00 (1 + 0.1)6 = 5.000.000,00 (1.1)6 Menentukan nilai (1.1)6 dengan kalkulator scientific sebagai berikut: diperoleh 1,771561 = 5.000.000 x 1,771561 = Rp8.857.805,00 Bunga = Rp885.780,50 – Rp5.000.000,00 = Rp385.780,50

113


Contoh 29 Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun. Tentukan modal akhir!

Jawab: M = Rp2.000.000,00 i = 5%/semester = 0.05/semester n = 5 tahun = 10 semester Mn = M(1 + i)n = 2.000.000,00 (1 + 0.05)10 = 2.000.000,00 x 1.0510 = 2.000.000 x 1,628894627 = Rp3.257.789,25

dengan Daftar II maupun kalkulator diperoleh:

(Menentukan nilai 1,0510 dari daftar II pada lampiran buku ini diperoleh dengan cara melihat nilai pada daftar baris 10 dan kolom 5%). Contoh 30 Modal sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan selama 3 tahun 9 bulan. Tentukan modal akhir!

Jawab: M = Rp1.500.000,00 i = 4% / triwulan = 0.04/triwulan n = 3 tahun 9 bulan = 15 triwulan Mn = = = = =

M(1 + i) n 1.500.000,00 (1+0.04)15 1.500.000,00 x 1.0415 dengan tabel maupun kalkulator diperoleh: 1.500.000,00 x 1,800943506 Rp2.701.415,26

Contoh 31 Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi = Rp4.440.732,87?

Jawab: M = Rp3.000.000.00 i = 4%/semester = 0.04/semester Mn = Rp4.440.732,87 Mn = M(1 + i)n 4.440.732,87 = 3.000.000,00 x (1+ 0.04)n 4.440.732,87 = 1.04 n 3.000.000 di logaritmakan dengan bilangan pokok 10 1.48024429 = 1.04 n log 1.48024429 = n. log 1.04 log 1,48024429 n = = 10 semester = 5 tahun log 1,04


114

Contoh 32 Pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap bulan. Setelah 2 tahun modal menjadi Rp4.021.093,12. Tentukan suku bunganya!

Jawab: M = Rp2.500.000,00 n = 2 tahun = 24 bulan Mn = Rp4.021.093,12 Mn = M (1 + i)n 4.021.093,12 = 2.500.000,00 x (1 + i)24 4.021.093,12 = (1 + i)24 2.500.000 1,608437249 = (1 + i)24 (1 + i ) = 24 1,608437249 Untuk menentukan (1 + i) gunakan kalkulator Scientific dengan langkah: Klik: Jika kalkulator yang menggunakan kursor. Tapi jika tidak menggunakan kursor. langkahnya sebagai berikut: klik:

(1 + i ) = 1.02 i = 1.02 – 1 = 0.02 = 2 % Jadi, suku bunganya = 2 %/bulan.

9). Nilai Akhir Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan Jangka waktu proses berbunganya suatu modal tidak hanya merupakan bilangan bulat. Jika jangka waktu bukan merupakan bilangan bulat, maka cara menentukan nilai (1 + i)n dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain: • Dengan menggunakan kalkulator yang dilengkapi dengan tombol xy • Sisa masa bunga yang belum dihitung, digunakan untuk menghitung bunga berdasarkan bunga tunggal dari nilai akhir masa bunga yang bulat. Jika disederhanakan dalam rumus adalah sebagai berikut: Mn = M(1 + i)n (1 + p.i)

Dengan p masa bunga pecahan

Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas. Contoh 33 Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5.75 bulan!

Jawab: M = Rp4.500.000,00 i = 3%/bulan = 0.03/bulan n = 5.75 bulan


115

Dengan menggunakan kalkulator: Mn = M(1 + i)n Mn = 4.500.000,00 ( 1 + 0.03)5.75 Mn =4.500.000,00(1.03)5.75 Menentukan nilai (1.03)5.75 Mn = 4.500.000,00 x ........................ = ............................... Dengan menggunakan cara kedua untuk n = 5 dan p = 0,75: Dihitung dahulu untuk n = 5. yaitu: Mn = M(1 + i)n Mn = 4.500.000,00 ( 1 + 0,03)5 Mn = 4.500.000,00 (1,03)5 Mn = 4.500.000,00 x ........................ = ............................... Untuk menghitung bunga p = 0,75. yaitu: Bpecahan = 0,75 x 0,03 x Mn = ........................ Makhir = Mn + Bpecahan Makhir = ................ + ......................... Makhir = ............................................. Dapat juga diselesaikan dengan menggunakan rumus langsung, yaitu: Mn = Mn = Mn = Mn = Mn =

M(1 + i)n (1 + p.i) 4.500.000,00(1 + 0,03)5 (1 + 0,75 x 0,03) 4.500.000,00 (1,03)5 (1,0225) 4.500.000,00 x ...............................x 1,0225 ..............................................

Cara 2 dan 3 menghasilkan nilai yang sama, namun berbeda dengan cara 1. Contoh 34 Modal sebesar Rp5.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 10%/tahun. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 6 tahun 3 bulan.

Jawab: M = Rp5.000.000,00 i = 12%/tahun = 0.12/ tahun n = 6 tahun 3 bulan = 6

3 tahun = 6.25 tahun 12

Diselesaikan dengan menggunakan rumus langsung, yaitu: Mn = M(1 + i)n (1 + p.i) Mn = 5.000.000,00 (1 + 0,12)6 (1 + 0,25 x 0,12) Mn = 5.000.000,00 (1,12)6 (1,03) Mn = 5.000.000 x ............. x ................... Mn = ......................................................


116

10). Nilai Tunai Bunga Majemuk Apabila n periode seseorang harus melunasi pinjamannya sebesar M dengan perhitungan suku bunga i%/periode dan ternyata orang tersebut mampu untuk melunasi hutangnya sekarang, maka dikatakan orang tersebut membayar dengan tunai. Dari rumus nilai akhir bunga majemuk: Mn = M(1 + i)n dapat di ubah menjadi: Mn , dengan M = modal mula-mula atau sering disebut nilai tunai dan Mn = M= (1 + i) n modal setelah n jangka waktu selanjutnya ditulis dengan M. Jadi, rumus nilai tunai adalah: M Nt = atau Nt = M(1 + i)–n (1 + i) n Contoh 35 Tentukan modal mula-mula jika suatu modal setelah dibungakan dengan bunga majemuk sebesar 15%/tahun selama 12 tahun modal menjadi Rp13.375.625,26!

Jawab: Mn = Rp13375625.26 i = 15%/tahun = 0,15/tahun n = 12 tahun M = = =

Mn (1 + i) n 13.375.625,26 (1 + 0,15)12 13.375.625,26

1,1512 13.375.625,26 = = Rp2.500.000,00 5,350250105

Contoh 36 Tentukan modal mula-mula (Nilai Tunai dari suatu modal) jika nilai akhir modal sebesar Rp17.262.804.24 setelah dibungakan selama 4 tahun 9 bulan dengan suku bunga 8%/kwartal!

Jawab: M = Rp17.262.804.24 i = 8%/kwartal = 0.08/kwartal n = 4 tahun 9 bulan = 19 kwartal M Nt = (1 + i) n 17.262.804 ,24 = (1 + 0,08)19

(1 tahun = 4 kwartal)

117


=

17.262.804 ,24

(1,08)19 17262804 ,24 = Rp4.000.000,00 = 4 ,315701059

Contoh 37 Tentukan nilai tunai dari suatu modal Rp5.000.000,00 yang dibungakan dengan bunga majemuk 2%/bulan selama 2 tahun!

Jawab: M = Rp5.000.000,00 i = 2%/ bulan = 0,02 bulan n = 2 tahun = 24 bulan Nt = M(1 + i)-n = 5.000.000,00 (1+0.02)-24 = 5.000.000,00 x 1.02-24 menggunakan kalkulator Scientific dengan langkah = 5.000.000,00 x 0,621721487 = Rp3.108.607,44

diperoleh:

Atau dengan rumus: M Nt = (1 + i)n 5.000.000 = (1 + 0,02) 24 5.000.000 = 1,608437249 = Rp3.108.607,44 Dengan menggunakan daftar: Nt = M(1 + i)-n = 5.000.000,00 (1 + 2%) -24 dengan daftar III, kolom 2% baris 24 diperoleh: = 5.000.000,00 x 0,621721487 = Rp3.108.607,44

11). Nilai Tunai Bunga Majemuk Dengan Masa Bunga Pecahan Jika jangka waktu (n) bukan merupakan bilangan bulat, maka cara menentukan nilai (1 + i)–n dapat dilakukan dengan beberapa cara. antara lain: • Menggunakan kalkulator yang dilengkapi dengan tombol xy M dengan p = suku bunga pecahan. • Menggunakan rumus : Nt = n (1 + i) (1 + p.i) Terdapat perbedaan sedikit modal akhir yang diperoleh dari dua cara di atas.

118


Contoh 38 Tentukanlah nilai tunai setelah berbunga selama 6.5 bulan. Modal menjadi Rp3.500.000,00 jika dibungakan dengan suku bunga majemuk 3%/bulan!

Jawab: M = Rp3.500.000,00 i = 3%/bulan = 0,03/bulan n = 6,5 bulan Dengan menggunakan kalkulator Scientific: Nt = M(1 + i)–n Nt = 3.500.000,00 (1 + 0,03)6,5 Nt = 3.500.000,00 (1,03)6,5 Nt = 3.500.000,00 x ..................... = ..................................... M Dengan menggunakan rumus: Nt = dengan n = 6 dan p = 0,5 n (1 + i) (1 + p.i) 3.500.000,00 Nt = (1 + 0,03) 6 (1 + 0,5 x 0,03) 3.500.000,00 Nt = (1,03) 6 (1,015) 3.500.000,00 Nt = 1,194052297 x 1,015 3.500.000,00 = ................... Nt = ..................... Contoh 39 Modal setelah dibungakan selama 4 tahun 9 bulan dengan suku bunga majemuk 10%/tahun menjadi Rp6.500.000,00. Tentukanlah nilai tunai modal!

Jawab: M = Rp6.500.000.00 i = 10%/tahun = 0.1/tahun 9 tahun = 4,75 tahun n = 4 Tahun 9 bulan = 4 12 Dengan menggunakan kalkulator scientific: Nt = M(1 + i)–n Nt = 6.500.000 (1 + 0.1)4,75 Nt = 6.500.000 (1.1)4,75 Nt = 6.500.000 x ..................... = ...................... M Dengan menggunakan rumus: Nt = dengan n = 4 dan p = 0,75 n (1 + i) (1 + p.i) 6.500.000,00 Nt = (1 + 0,1) 4 (1 + 0,75 x 0,1) 6.500.000,00 Nt = (1,1) 4 (1,075) 6.500.000,00 = .................................. Nt = ........... x 1,075


119

c. Rangkuman

1. Suku bunga =

bunga x 100% pinjaman mula − mula

2. Persen di atas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum ditulis: p p% di atas seratus = 100 + p 3. Persen di bawah seratus adalah bentuk pecahan yang jumlah antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum ditulis: p p% di bawah seratus = 100 − p 4. Persen di atas seratus digunakan jika nilai yang diketahui lebih besar dari nilai mula-mula. Misalkan % laba dengan harga jual. % bonus dengan harga setelah bonus. % bunga dengan modal setelah bunga dan lain-lain. Persen di bawah seratus digunakan jika nilai yang diketahui lebih kecil dari nilai mula-mula. Misalkan % rugi dengan harga jual. % diskon dengan harga setelah diskon dan lain-lain. 5. Bunga = suku bunga tiap periode x banyaknya periode x modal 6. Jika suatu modal M dibungakan dengan suku bunga tunggal i% tiap tahun, maka berlaku: Mxix t ¾ Setelah t tahun besarnya bunga: B = 100 Mxixt ¾ Setelah t bulan besarnya bunga: B = 1.200 Mxix t ¾ Setelah t hari besarnya bunga: B = . untuk 1 tahun = 360 hari 36.000 Mxix t ¾ Setelah t hari besarnya bunga: B = . untuk 1 tahun = 365 hari 36.500 Mxix t ¾ Setelah t hari besarnya bunga: B = . untuk 1 tahun = 366 hari 36.600 7. Jika pinjaman M dengan diskonto i%/bulan dan akan dikembalikan setelah t bulan, maka: ¾ Diskonto : D = M x i x t ¾ besarnya modal yang diterima di awal pinjaman : Mt = M – M x i x t

Rumus di atas berlaku juga untuk diskonto i%/tahun dan akan dikembalikan setelah t tahun. Bagaimanakah jika diskonto i%/bulan dan akan dikembalikan. 8. Nilai diskonto untuk besarnya pinjaman M dengan suku bunga i%/tahun. Mxixt ¾ Akan di bayar t tahun yang akan datang: D = 100


120

Mxixt 1.200 Mxix t ¾ Akan di bayar t hari yang akan datang: D = . (1 tahun = 360 hari) 36.000

¾ Akan di bayar t bulan yang akan datang : D =

9. Diskonto juga dapat dicari dengan rumus: D = i % di bawah 100 x Modal yang diterima 10. Metode menentukan bunga tunggal: a. Metode pembagi tetap Metode ini digunakan jika suku bunga tunggal merupakan pembagi dari 360, 1 tahun dianggap 360 hari, suku bunga i%/tahun dan jangka waktu pengembalian t hari. Mxt 360 = angka bunga dan = pembagi tetap, maka: 100 i angka bunga jumlah angka bunga dan Jumlah bunga = B= pembagi tetap pembagi tetap

Jika

b. Metode persen yang sebanding Metode ini digunakan jika suku bunga tunggal bukan merupakan pembagi dari 360. 1 tahun dianggap 360 hari. Suku bunga i%/tahun dan jangka waktu pengembalian t hari. c. Metode persen yang seukuran Metode ini digunakan jika 1 tahun = 365 hari. Pembagi tetapnya = 73 angka bunga jumlah angka bunga dan Jumlah bunga = B= 73 73 11. Jika suatu modal M dibungakan dengan bunga majemuk i%/periode selama n periode, maka modal akhir Mn: Mn = M(1 + i)n

12. Rumus nilai akhir bunga majemuk dengan masa bunga pecahan: Mn = M(1 + i)n (1 + p.i)

Dengan p masa bunga pecahan

13. Rumus nilai tunai bunga majemuk adalah: M Nt = atau Nt = M(1 + i)–n n (1 + i) 14. Rumus nilai tunai bunga majemuk dengan masa bunga pecahan

Nt =

M (1 + i) (1 + p.i) n

dengan p = suku bunga pecahan

121


1. Ubahlah menjadi persen dan persen di atas 100: a. 5% di bawah 100 b. 18% di bawah 100 2. Ubahlah menjadi persen dan persen di bawah 100: a. 27% di atas 100 b. 16% di atas 100 3. Ubahlah menjadi persen: a. 2,5% di atas 100

b. 25% di bawah 100

4. Ubahlah menjadi pecahan yang paling sederhana: c. 12,5% a. 2,5% di atas 100 b. 30% di bawah 100 d. 25 % di bawah 100 5. Tentukan nilainya: a. 2,5% di atas 100 dari Rp51.250,00 c. 12,5% dari Rp300.000,00 b. 3% di bawah 100 dari Rp630.500,00 d. 33% di bawah 100 dari 201 6. Selesaikan : a. Harga barang setelah diskon 17% adalah Rp43.990,00. Tentukanlah besar diskon dan harga sebelum diskon! b. Harga jual suatu barang setelah untung sebesar 13% adalah Rp706.250,00. Tentukanlah besarnya untung dan harga belinya! c. Harga barang setelah dikenai pajak 28% adalah Rp806.400,00. Tentukanlah besar pajak dan harga sebelum pajak! d. Harga jual suatu barang setelah rugi sebesar 24% adalah Rp638.400,00 Tentukanlah besarnya rugi dan harga belinya! e. Harga barang setelah dikenai pajak 23% adalah Rp553.500,00. Tentukanlah besar pajak dan harga sebelum pajak! f. Harga bensin disubsidi oleh pemerintah sebesar 9% dan harganya per liter menjadi Rp4.550,00. Tentukanlah besarnya subsidi perliter dan harga sebelum subsidi! 7. Suatu modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 5 tahun dengan suku bunga 15%/tahun. Tentukan bunga yang diperoleh dan modal setelah dibungakan! 8. Modal sebesar Rp4.600.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 5 bulan, dengan suku bunga 4,5%/cawu. Tentukan: a. Bunga yang diperoleh! b. Modal akhir! 9. Pinjaman Rp6.750.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 0,75%/bulan selama 1 tahun 2 bulan dan 24 hari (jika dianggap 1 tahun =360 hari). Tentukan: a. Bunga yg diperoleh! b. Modal akhir! 10. Modal sebesar Rp360.000 dibungakan dengan suku bunga tunggal 1.5%/bulan. ternyata modal menjadi Rp516.600. Setelah berapa bulan modal itu dibungakan?

122


11. Pinjaman sebesar Rp2.800.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 2 tahun, 5 bulan dan 10 hari (1 tahun = 360 hari), dengan suku bunga 2%/bulan. Tentukanlah bunga yang diperoleh! 12. Modal sebesar Rp4.600.000,00 setelah dibungakan dengan bunga tunggal selama 1 tahun 10 bulan menjadi Rp5.106.000,00. Tentukanlah suku bunganya tiap semester! 13. Pinjaman sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 1 tahun 7 bulan dengan suku bunga 3%/triwulan . Tentukan bunga yang diperoleh! 14. Pinjaman sebesar Rp4.200.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 3 tahun. 1 bulan dan 20 hari (1 tahun = 360 hari), dengan suku bunga 1%/bulan. tentukanlah bunga yang diperoleh! 15. Modal sebesar Rp800.000,00 setelah dibungakan dengan bunga tunggal selama 1 tahun 8 bulan menjadi Rp1.120.000,00. Tentukanlah suku bunganya tiap triwulan? 16. Modal sebesar Rp2.400.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 5 %/ semester, ternyata modal menjadi Rp3.060.000,00. Setelah berapa bulan modal itu dibungakan! 17. Pinjaman sebesar Rp3.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 8 bulan 10 hari (1 tahun = 360 hari) dengan suku bunga 6%/cawu. Tentukan bunga yang diperoleh! 18. Pinjaman sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 3 tahun 2 bulan dengan suku bunga 6%/semester. Tentukan bunga yang diperoleh! 19. Pinjaman sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 1 tahun, 2 bulan dan 18 hari (1 tahun = 360 hari) dengan suku bunga 6%/cawu. Tentukanlah bunga yang diperoleh? 20. Modal Rp 4.000.000.00 setelah dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 7 bulan menjadi Rp 4.930.000,00. Tentukan suku bunganya tiap semester? 21. Modal Rp2.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 0.5 %/bulan. Setelah berapa bulan modal itu menjadi Rp2.762.500,00? 22. Suatu pinjaman sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 1 tahun 7 bulan. Ternyata bunga yang diperoleh Rp570.000,00. Tentukan suku bunganya tiap tahun dan tiap triwulan! 23. Suatu pinjaman sebesar Rp2.400.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 4.5%/semester. ternyata modal tersebut menjadi Rp2.634.000,00. Setelah berapa bulan bunga tersebut dibungakan? 24. Suatu modal setelah dibungakan dengan bunga tunggal 11%/tahun selama 2 tahun modal tersebut menjadi Rp6.832.000,00. Tentukan bunga yang diperoleh dan modal mula-mula!


123

25. Pinjaman sebesar Rp4.500.000,00 dengan sistem diskonto 1,5%/bulan dan akan dikembalikan setelah 7 bulan. Tentukan: a. Nilai diskontonya b. Modal yang diterima peminjam! 26. Pinjaman sebesar Rp1.250.000,00 dengan sistem diskonto 15%/tahun dan akan dikembalikan setelah 7 bulan. Tentukan: a. Nilai diskontonya b. Modal yang diterima peminjam! 27. Pinjaman sebesar Rp8.000.000,00 dengan sistem diskonto 18 %/tahun dan akan dikembalikan setelah 2 bulan 10 hari. Tentukan modal yang diterima peminjam jika dianggap 1 tahun = 360 hari! 28. Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 6.5%/tahun dan akan dikembalikan dalam waktu 3 tahun. Jika Modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp4.182.500,00. Tentukan nilai diskonto dan besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo! 29. Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem diskonto 4,5%/kwartal dan akan dikembalikan dalam waktu 14 bulan. Jika Modal yang diterima peminjam di awal periode sebesar Rp734.700,00. Tentukan besarnya pinjaman yang harus dikembalikan saat jatuh tempo! 30. Di bawah ini adalah tabel dari nasabah Koperasi Simpan Pinjam “ Sejahtera “ dengan suku bunga tunggal i = 12%/tahun dan 1 tahun dianggap 360 hari: Nama No Jumlah pinjaman (M) Jangka waktu pengembalian (t) Nasabah 1 Arif Rp7.000.000,00 50 hari 2 Budiman Rp4.500.000,00 120 hari 3 Cecep Rp8.500.000,00 40 hari 4 Dwi Rp2.500.000,00 150 hari 5 Endang Rp5.500.000,00 70 hari Tentukanlah: a. Pembagi tetap dan jumlah angka bunganya b. Bunga total yang diperoleh koperasi! 31. Di bawah ini adalah tabel dari nasabah Koperasi Mutiara dengan suku bunga tunggal i = 13 % / tahun dan 1 tahun diangap 360 hari: Nama No Jumlah pinjaman (M) Jangka waktu pengembalian (t) Nasabah 1 Puput Rp2.800.000,00 45 hari 2 Qalam Rp1.750.000,00 90 hari 3 Risma Rp4.500.000,00 60 hari 4 Syukur Rp3.600.000,00 80 hari 5 Titin Rp2.500.000,00 90 hari 6 Upik Rp1.500.000,00 150 hari Dengan menggunakan persen yang sebanding. Tentukan bunga total yang diperoleh koperasi!

124


32. Di bawah ini adalah tabel dari nasabah Koperasi ”Maju Bersama” dengan suku bunga tunggal i = 7.5%/tahun dan 1 tahun dianggap 365 hari. Nama No Jumlah pinjaman (M) Jangka waktu pengembalian (t) Nasabah 1 Kunti Rp2.400.000,00 40 hari 2 Lina Rp4.800.000,00 75 hari 3 Mira Rp3.500.000,00 50 hari 4 Nunik Rp2.500.000,00 90 hari 5 Ophi Rp1.800.000,00 80 hari 6 Puspita Rp7.000.000,00 150 hari Tentukan bunga total yang diperoleh koperasi dengan mengunakan persen yang seukuran! 33. Modal Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 12%/tahun. Tentukan modal akhir dan bunga yang diperoleh setelah 8 tahun! 34. Modal sebesar Rp4.800.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 6%/triwulan selama 3.5 tahun. Tentukan modal akhir! 35. Modal sebesar Rp4.500.000,00 dibungakan dengan bunga 4%/caturwulan selama 5 tahun 4 bulan. Tentukan modal akhir!

majemuk

36. Modal sebesar Rp3.250.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester, setelah berapa tahun modal akhir menjadi = Rp7.094.342.41? 37. Modal sebesar Rp5.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 2,5%/triwulan, setelah berapa triwulan modal akhir menjadi = Rp7.040.464,99? 38. Pinjaman Rp2.800.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap semester. Setelah 4,5 tahun modal menjadi Rp3.985.273,08. Tentukan suku bunganya! 39. Modal sebesar Rp5.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 2,5%/bulan. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 6,25 bulan! 40. Modal sebesar Rp7.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 12%/tahun. Tentukanlah modal akhir setelah berbunga selama 5 tahun 8 bulan! 41. Tentukan modal mula-mula jika suatu modal setelah dibungakan dengan bunga majemuk 11.5%/tahun selama 12 tahun modal menjadi Rp5.538.468,22! 42. Tentukan modal mula-mula (Nilai Tunai dari suatu modal) jika nilai akhir modal sebesar Rp8.959.233,86, setelah dibungakan selama 2 tahun 8 bulan dengan suku bunga 4,5%/caturwulan! 43. Tentukan nilai tunai dari suatu modal Rp800.000,00 yang dibungakan dengan bunga majemuk 2,5%/bulan selama 10 bulan! 44. Tentukanlah nilai tunai dari modal sebesar Rp8.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 1,75%/bulan selama 8.5 bulan! 45. Tentukan nilai tunai dari modal sebesar Rp1.650.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 7%/tahun setelah berbunga selama 3 tahun 8 bulan!


125

B.2. Rente a. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Menjelaskan pengertian dan macam-macam Rente ¾ Menghitung Nilai Akhir Rente Pra numerando ¾ Menghitung Nilai Akhir Rente Post Numerando ¾ Menghitung Nilai Tunai Rente Pra numerando ¾ Menghitung Nilai Tunai Rente Post Numerando ¾ Menghitung Nilai Tunai Rente Kekal b. Uraian Materi

1). Pengertian dan macam-macam Rente Andaikan anda menyimpan sejumlah uangnya setiap awal bulan di bank dengan jumlah yang sama, dan bank memberikan bunga terhadap simpanan anda. Setelah sekian bulan anda akan menghitung jumlah tabungan yang telah tersimpan. Andaikan bank tidak membebani biaya administrasi, dapatkah anda menghitung jumlah keseluruhan simpanan uang anda? Untuk menghitung jumlah tabungan dari ilustrasi di atas. dibutuhkan ilmu tentang Rente. Rente adalah sederatan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya. Pada hakikatnya ada tiga macam rente, yaitu: a. Rente berdasarkan saat pembayaran angsuran terdiri dari: ¾ Rente Pra numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di awal periode. ¾ Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan atau diterima di akhir periode. b. Rente berdasarkan banyaknya angsuran terdiri dari: ¾ Rente terbatas adalah rente yang jumlah angsurannya terbatas. ¾ Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. c. Rente berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama terdiri dari: ¾ Rente langsung adalah rente yang pembayaran pertamanya langsung sesuai perjanjian. ¾ Rente yang ditangguhkan adalah rente yang pembayaran pertamanya ditangguhkan beberapa periode.

2). Nilai Akhir Rente Pra numerando Rente Pra numerando adalah rente yang dibayarkan di awal periode, sehingga angsuran terakhir sudah mengalami pembungaan satu periode. Misalkan modal yang dibayarkan adalah M dengan bunga i%/periode selama n periode, maka proses pembungannya perhatikan skema di bawah ini:


126

Jika Nilai akhir Rente Pra numerando dilambangkan dengan Na, dari skema di atas diperoleh suatu deret, yaitu: Na = M(1 + i) + M(1 + i)2 + . . . + M(1 + i)n – 2 + M(1 + i)n – 1 + M(1 + i)n Ternyata deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M(1 + i) dan M(1 + i) 2 = (1 + i), sehingga: rasio r = M(1 + i) a(r n − 1) r −1 M(1 + i)((1 + i) n − 1) M(1 + i)((1 + i) n − 1) = = (1 + i) − 1 i Nilai akhir rente Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah: M(1 + i)((1 + i) n − 1) Na = i Na =

Dengan menggunakan tabel: Na = M(1 + i) + M(1 + i)2 + . . . + M(1 + i)n – 2 + M(1 + i)n – 1 + M(1 + i)n Na = M[(1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n – 2 + (1 + i)n – 1 + (1 + i)n] n

Na = M.

∑ (1 + i)

k

k =1

Na = M x Daftar Nilai akhir rente Keterangan: ¾ Daftar nilai akhir rente adalah daftar V dan VI pada lampiran buku ini ¾ Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n


127

Contoh 40 Setiap awal tahun Nisa menyimpan uang di Bank ABC sebesar Rp1.000.000,00. Jika bank memberikan bunga 6%/tahun, tentukan uang Nisa setelah menabung 20 tahun!

Jawab: M = Rp1.000.000.00 i = 6% / tahun = 0.06/tahun n = 20 tahun Na

M(1 + i)[(1 + i) n − 1] i 1.000.000(1 + 0,06)[(1 + 0,06) 20 − 1] = 0,06 =

1.060.000 x (1,06 20 − 1) 0,06 1.060.000 x 2,207135472 = = Rp38.992.726,68 0,06 =

Dengan Daftar : Na = Modal x Tabel VI kolom 6% dan baris 20 = Rp1.000.000 x 38,99272668 = Rp38.992.726,68 Contoh 41 Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp500.000,00. Bank memberikan bunga 1,5%/bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan karyawan selama 2 tahun!

Jawab: M = Rp 500.000,00 i =1,5%/bulan = 0,015/bulan n = 2 tahun = 24 bulan Na

M(1 + i)[(1 + i)n − 1] i 500.000,00 x (1 + 0,015)[(1 + 0,015) 24 − 1] = 0,015

=

507.500,00 x (1,01524 − 1) 0,015 507.500,00 x 0,429502811 = Rp14.531.511,80 = 0,015 Dengan daftar : =

Na

= Modal x daftar V baris 24 dan kolom 1.5% = Rp500.000.00 x ................... = Rp14.531.511,80


128

3). Nilai Akhir Rente Post Numerando Rente Post Numerando adalah rente yang dibayarkan di akhir periode, sehingga angsuran terakhirnya tidak mengalami pembungaan. Misalkan modal yang dibayarkan adalah M dengan bunga i%/periode selama n periode, maka proses pembungaannya perhatikan skema di bawah ini:

Jika Nilai akhir Rente Post Numerando dilambangkan dengan Na, dari skema di atas diperoleh suatu deret, yaitu: Na = M + M(1 + i) + M(1 + i)2 . . . + M(1 + i)n – 3 + M(1 + i)n – 2 + M(1 + i)n – 1 Ternyata deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M dan rasio r M(1 + i) = = (1 + i), sehingga: M a(r n − 1) Na = r −1 M((1 + i)n − 1) M((1 + i)n − 1) = = i (1 + i) − 1 Nilai akhir rente Post Numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah: M((1 + i)n − 1) Na = i Dengan menggunakan tabel: Na = M + M(1 + i) + M(1 + i)2 . . . + M(1 + i)n – 3 + M(1 + i)n – 2 + M(1 + i)n – 1 Na = M + M[(1 + i) + (1 + i)2 . . . + (1 + i)n – 3 + (1 + i)n – 2 + (1 + i)n – 1 ] n −1

Na = M + M.

∑ (1 + i)

k

k =1

Na = M + M x Daftar Nilai akhir rente


129

Keterangan: ¾ Daftar nilai akhir rente adalah daftar V dan VI pada lampiran buku ini. ¾ Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1). Contoh 42 Setiap akhir tahun Ayah menyimpan uangnya di bank ABC sebesar Rp800.000,00 selama 25 tahun. Jika bank memberikan bunga 5%/tahun, tentukan jumlah simpanan total Ayah!

Jawab: M = Rp800.000,00 i = 5%/tahun = 0,05/tahun n = 25 tahun Na

M((1 + i)n − 1) i 800.000,00 x (1 + 0,05) 25 − 1) = 0,05

=

800.000,00 x (1,0525 − 1) 0,05 800.000,00 x 2,386354941 = = Rp38.181.678,05 0,05

=

Dengan Na = = = =

daftar: M + M x Daftar V kolom 5% dan baris ke-(25 – 1) = baris ke-24 800.000.00 + 800.000,00 x 46,72709882 800.000.00 + 37.381.679,06 Rp38.181.679,06

Contoh 43 Setiap akhir bulan Yenny menyimpan uang di bank Rp500.000,00 selam 2 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 1.5%/bulan, tentukan simpanan total Yenny di bank tersebut!

Jawab: M = Rp500.000,00 i = 1,5% / bulan = 0,015 bulan n = 2 tahun = 24 bulan M((1 + i)n − 1) Na = i 500.000,00 x ((1 + 0,015) 24 − 1) = 0,015 500.000,00 x ((1,015) 24 − 1) = 0,015 500.000,00 x 0,429502811 = = Rp14.316.760,40 0,015

130


Dengan daftar: Na = M + M x Daftar V kolom 1.5% dan baris ke-(24 – 1) = baris ke-23 = 500.000,00 + 500.000,00 x 27,63352080 = Rp 14.316.760,40

4). Nilai Tunai Rente Pra Numerando Nilai tunai rente Pra numerando adalah jumlah semua nilai tunai angsuran yang dihitung pada awal masa bunga yang pertama. Nilai tunai angsuran pertama adalah nilai angsuran itu sendiri, yaitu M:

Jika Nilai tunai Rente Pra numerando dilambangkan dengan Nt, dari skema di atas. diperoleh suatu deret, yaitu: Nt = M + M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . + M(1 + i)n–3 + M(1 + i)n–2 + M(1 + i)n–1 Deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M dan rasio M(1 + i) −1 r= = (1 + i) –1 < 1, sehingga: M a(1 − r n ) Nt = 1−r M(1 − (1 + i) −n ) (1 + i) = x (1 + i) 1 − (1 + i) −1 M(1 + i)(1 − (1 + i) −n ) M(1 + i)(1 − (1 + i) −n ) = (1 + i) − 1 i Nilai tunai rente Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% selama n periode adalah: M(1 + i)(1 − (1 + i) −n ) Nt = i =


131

Dengan menggunakan daftar: Nt = M + M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . + M(1 + i)n–3 + M(1 + i)n–2 + M(1 + i)n–1 Nt = M + M[(1 + i)–1 + (1 + i)–2 . . . + (1 + i)n–3 + (1 + i)n–2 + (1 + i)n–1 ] n −1

Nt = M + M.

∑ (1 + i)

−k

k =1

Nt = M + M x Daftar Nilai tunai rente Keterangan: ¾ Daftar nilai tunai rente adalah daftar VII dan VIII pada lampiran buku ini. ¾ Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1). Contoh 44 Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari PT UNILEVER sebesar Rp250.000,00 selama 3 tahun. Jika pemberian itu akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 2%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

Jawab: M = Rp250.000,00 i = 2%/bulan = 0,02/bulan n = 3 tahun = 36 bulan Nt

M(1 + i)[1 − (1 + i) −n ] i 250.000,00 x (1 + 0,02)[1 − (1 + 0,02) −36 ] = 0,02

=

250.000,00 x (1,02)[1 − (1,02) −36 ] 0,02 250.000,00 x (1,02)[1 − 0,49022315] = 0,02 255.000,00 x 0,50977685 = = Rp6.499.654,83 0,02 =

Dengan daftar: Nt = M + M x daftar VII kolom 2% dan baris (36 – 1) = baris 35 = 250.000,00 + 250.000,00 x 24,99861933 = 250.000,00 + 6249654,83 = Rp6.499.654,83 Contoh 45 Tentukan nilai tunai rente Pra numerando dari suatu angsuran Rp4.000.000,00 selama 20 tahun dengan suku bunga 9%/tahun!

Jawab: M = Rp4.000.000,00 i = 9%/tahun = 0.09/tahun


132

n

= 20 tahun

Nt

=

M(1 + i)[1 − (1 + i) −n ] i 4.000.000,00 x (1 + 0,09)[1 − (1 + 0,09) −20 ] = 0,09

4.000.000,00 x (1,09)[1 − (1,09) −20 ] 0,09 4.000.000,00 x (1,09)[1 − 0,178430889] = 0,09 4.360.000,00 x 0,82156911 = Rp39.800.459,11 = 0,09 =

5).

Nilai Tunai Rente Post numerando

Perhatikan skema jumlah semua nilai tunai total di bawah ini:

Jika nilai tunai Rente Post Numerando dilambangkan dengan Nt, dari skema di atas diperoleh suatu deret, yaitu: Nt = M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . + M(1 + i)n–2 + M(1 + i)n–1 + M(1 + i)n Deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama a = M(1 + i)–1 dan rasio M(1 + i) −2 r= = (1 + i) –1 < 1. sehingga: −1 M(1 + i) a(1 − r n ) 1−r M(1 + i) −1 [1 − (1 + i) −n ] (1 + i) = x (1 + i) 1 − (1 + i) −1

Nt =


133

M(1 − (1 + i) −n ) M(1 − (1 + i) −n ) = i (1 + i) − 1 Nilai tunai rente Post Numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% selama n periode adalah: M(1 − (1 + i) −n ) Nt = i =

Dengan menggunakan tabel: Nt = M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . + M(1 + i)n–2 + M(1 + i)n–1 + M(1 + i)n Nt = M[(1 + i)–1 +(1 + i)–2 . . . + (1 + i)n–2 + (1 + i)n–1 + (1 + i)n ] n

Nt = M.

∑ (1 + i)

−k

k =1

Nt = M x Daftar Nilai tunai rente Keterangan: ¾ Daftar nilai tunai rente adalah daftar VII dan VIII pada lampiran buku ini. ¾ Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n. Contoh 46 Tentukan nilai tunai rente Post Numerando dari suatu modal Rp300.000/bulan selama 2.5 tahun dengan suku bunga 1.75%/bulan!

Jawab: M = Rp300.000.00 i = 1.75%/bulan = 0.0175/bulan n = 2 tahun 6 bulan = 30 bulan M [1 − (1 + i) −n ] i 300.000,00 x [1 − (1 + 0,0175) −30 ] = 0,0175 300.000,00 x 0,405752363 = = Rp6.955.754,79 0,0175

Nt =

Contoh 47 Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Damai mendapatkan sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sebesar Rp5.000.000,00 selama 3 tahun berturut-turut. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

Jawab: M = Rp5.000.000,00 i = 2% / bulan = 0.02 / bulan n = 3 tahun = 36 bulan M [1 − (1 + I) −n ] Nt = i


134

= = = =

5.000.000,00 x [1 − (1 + 0,02) −30 ] 0,02 5.000.000,00 x [1 − 1,02 −30 ] 0,02 5.000.000,00 x (1 − 0,552070889) 0,02 5.000.000,00 x 0,447929111 = Rp111.982.277,80 0,02

Dengan daftar: Nt = M x daftar VII kolom 2% dan baris 30 = 5.000.000.00 x 22,396455551 = Rp111.982.277,80

6). Nilai Tunai Rente Kekal Rente kekal adalah rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas. Nilai akhir rente merupakan deret geometri naik. Oleh karena itu rente kekal tidak ada nilai akhirnya. Nilai tunai rente merupakan deret geometri turun, sehingga nilai tunai rente kekal memiliki nilai. a). Nilai Tunai Rente Kekal Pra numerando Deret nilai tunai modal rente Pra numerando yang sudah dipelajari adalah: Nt = M + M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . + M(1 + i)n–3 + M(1 + i)n–2 + M(1 + i)n–1 Jika jumlah angsurannya tidak terbatas, maka deret di atas menjadi deret geometri tak berhingga, yaitu: Nt = M + M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . . . . M(1 + i) −1 dengan suku pertama a = M dan rasio r = = (1 + i) –1 < 1. sehingga: M a Nt = 1−r M (1 + i) = x −1 (1 + i) 1 − (1 + i) M(1 + i) M(1 + i) = = i (1 + i) − 1 Nilai tunai rente Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i%: M M(1 + i) Nt = atau Nt = + M i i Contoh 48 Tentukan nilai tunai Rente kekal Pra numerando dari suatu modal Rp500.000,00/bulan dengan suku bunga 2.5%/bulan!

Jawab: M = Rp500.000,00 i = 2.5%/bulan = 0.025/bulan


Nt = M +

135

M i

500.000,00 0,025 = 500.000,00 + 20.000.000,00 = Rp20.500.000,00

= 500.000,00 +

Contoh 49 Setiap awal bulan, Fulan akan mendapatkan beasiswa dari PT UNILEVER sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. PT.UNILEVER tak mau repot. Oleh karena itu, beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/ bulan. Tentukan beasiswa total yg diterima Fulan!

Jawab: Soal di atas merupakan rente kekal pra numerando karena memuat kata ” setiap awal bulan “ dan “ jangka waktu yang tak terbatas”. M = Rp175.000,00 i = 1%/bulan = 0,01/bulan M Nt = M + i 175.000,00 = 175.000,00 + 0,01 = 175.000,00 + 17.500.000,00 = Rp17.675.000,00 Contoh 50 Nilai tunai dari rente kekal Pra numerando adalah Rp15.300.000,00. Jika suku bunga 2%/bulan, tentukan besarnya angsuran!

Jawab: Nt = Rp15.300.000,00 i = 2%/bulan = 0,02/bulan M(1 + i) i M(1 + 0,02) 15.300.000,00 = 0,02 15.300.000,00 x 0,02 = M x1.02 306.000,00 = M x 1.02 306.000,00 M = 1,02 = Rp300.000,00 Jadi, besarnya angsuran adalah Rp300.000,00. Nt

=

Contoh 51 Chandra mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh Rp175.000.00 tiap awal bulan sampai jangka waktu yang tidak terbatas. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus


136

sebesar Rp10.175.000.00 dengan dikenai bunga. Berapakah besar suku bunganya setiap bulan?

Jawab: Nt = Rp10.175.000,00 M = Rp175.000,00 Nt = M +

M i

10.175.000,00 = 175.000.00 +

175.000,00 i

175.000,00 i 175.000,00 10.000.000,00 = i 175.000,00 i= 10.000.000,00 i = 0,0175 = 1.75% Jadi, suku bunga tiap bulan = 1.75%. 10.175.000,00 – 175.000,00 =

b). Nilai Tunai Rente Kekal Post Numerando Deret nilai tunai modal rente Post numerando yang sudah dipelajari adalah: Nt = M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 . . . + M(1 + i)n–3 + M(1 + i)n–2 + M(1 + i)n–1 Jika jumlah angsurannya tidak terbatas, maka deret di atas menjadi deret geometri tak berhingga, yaitu: Nt = M(1 + i)–1 + M(1 + i)–2 + M(1 + i)–3. . . . . . dengan suku pertama a = M(1 + i)–1 dan rasio r =

M(1 + i) −1 = (1 + i) –1, sehingga: M

a 1−r M(1 + i) −1 (1 + i) x = −1 (1 + i) 1 − (1 + i) M M = = i (1 + i) − 1 Nilai tunai rente Post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i%: M Nt = i Contoh 52 Tentukan nilai tunai rente post numerando dari suatu modal Rp40.000.00 dengan suku bunga 0.75% / bulan!

Nt =

Jawab: M = Rp40.000,00 i = 0.75% / bulan = 0,075 / bulan

137


M i 40.000,00 = = Rp533.333,33 0,075

Nt =

Contoh 53 Setiap akhir tahun yayasan X akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia Sebesar Rp3.500.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 17,5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yg diterima yayasan X tersebut!

Jawab: M = Rp3.500.000,00 i = 17,5%/tahun = 0,175/tahun M Nt = i 3.500.000,00 = 0,175 = Rp20.000.000,00

Contoh 54 Nilai tunai dari rente kekal post numerando adalah Rp5.000.000,00. Jika besar angsurannya Rp200.000.00 tiap bulan, tentukan suku bunganya!

Jawab: Nt = Rp5.000.000,00 M = Rp200.000,00 M i 200.000,00 5.000.000,00 = i 200.000,00 i= x100% = 4 % 5.000.000,00 Jadi, suku bunganya 4% / bulan.

Nt =

c. Rangkuman

1. Nilai akhir rente pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% selama n periode adalah: M(1 + i)((1 + i) n − 1) Na = i Dengan menggunakan tabel: Na = M x Daftar Nilai akhir rente Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n

138


2. Nilai akhir rente post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah: M((1 + i)n − 1) Na = i Dengan menggunakan daftar: Na = M + M x Daftar Nilai akhir rente Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1). 3. Nilai tunai rente pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah: M(1 + i)(1 − (1 + i) −n ) Nt = i Dengan menggunakan daftar: Nt = M + M x Daftar Nilai tunai rente Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-(n – 1). 4. Nilai tunai rente post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% Selama n periode adalah: M(1 − (1 + i) −n ) Nt = i Dengan menggunakan daftar: Nt = M x Daftar Nilai tunai rente Nilai dari daftar adalah kolom ke-i % dan baris ke-n. 5. Nilai tunai rente kekal Pra numerando dengan angsuran M dan suku bunga i% adalah: M M(1 + i) Nt = atau Nt = + M i i 6. Nilai tunai rente Post numerando dengan angsuran M dan suku bunga i%: M Nt = i 7. Kata-kata yang dapat membantu untuk membedakan masing-masing rente dalam soal-soal verbal antara lain: ¾ Rente pra numerando: di awal bulan, di awal tahun, dan lain-lain. ¾ Rente post numerando: di akhir bulan, di akhir tahun, dan lain-lain. ¾ Nilai akhir rente: menyimpan, menabung, dan lain-lain. ¾ Nilai tunai rente: menerima, mendapat, dan lain-lain. ¾ Rente kekal: selama-lamanya, abadi, jangka waktu yang tidak terbatas, dan lain-lain.


139

1.

Tentukanlah nilai akhir dari rente pra numerando dengan angsuran Rp125.000,00 tiap semester selama 10 tahun dengan suku bunga 4,75%/semester!

2.

Tentukanlah nilai akhir dari rente pra numerando dengan angsuran Rp300.000,00 tiap bulan selama 4 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

3.

Tentukanlah nilai akhir dari rente post numerando dengan angsuran Rp4.000.000,00 tiap tahun selama 15 tahun dengan suku bunga 11%/tahun!

4.

Tentukan nilai tunai post numerando dari modal Rp150.000.00 selama 1,5 tahun dengan suku bunga 3,5%/bulan!

5.

Tentukanlah nilai akhir dari rente post numerando dengan angsuran Rp600.000,00 tiap semester selama 8 tahun dengan suku bunga 4,6%/semester!

6.

Tentukanlah nilai tunai rente kekal pra numerando dari suatu modal Rp125.000,00 tiap bulan dengan suku bunga 1,25%/bulan!

7.

Tentukan nilai tunai post numerando dari modal Rp150.000,00 tiap bulan selama 2,5 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan!

8.

Nilai tunai rente kekal post numerando adalah Rp10.000.000,00. angsurannya tiap bulan Rp200.000,00, tentukanlah suku bunganya!

9.

Nilai tunai dari rente kekal pra numerando adalah Rp20.350.000,00. Jika suku bunganya 1,75%/bulan, tentukanlah angsuran tiap bulannya!

10.

Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulan dari Yayasan Super Semar sebesar Rp350.000,00 selama 3 tahun 7 bulan. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 3,25%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

11.

Tutik mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh dengan besarnya tetap tiap awal bulan sampai meninggal dunia. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus sebesar Rp20.450.000,00 dengan suku bunga 2,25%. Berapakah besar tunjangan setiap bulannya?

12.

Setiap awal tahun Azzam menyimpan uang di Bank BRI sebesar Rp1.500.000,00. Jika bank memberikan bunga 8,5%/tahun, tentukan jumlah simpanan Azzam setelah menabung 20 tahun!

13.

Tiap akhir bulan Yayasan Cinta Damai mendapatkan sumbangan dari Badan Perdamaian Dunia sebesar Rp5.500.000,00 selama 4,5 tahun. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 2%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

14.

Setiap akhir tahun Yayasan ABC akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia sebesar Rp3.250.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 10%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yang diterima yayasan ABC tersebut!

Jika

140


15.

Setiap akhir bulan Susan menyimpan uangnya di bank Rp225.000,00 selam 5 tahun. Jika Bank memberikan suku bunga 0,75%/bulan, tentukan simpanan total Susan di Bank tersebut!

16.

Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp650.000,00 bank memberikan bunga 1,8%/bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan total karyawan tersebut!

17.

Nilai tunai rente kekal post numerando adalah Rp5.000.000,00. Jika angsurannya tiap bulan Rp300.000,00, tentukanlah suku bunganya.

18.

Setiap awal tahun Yayasan Khartika akan mendapatkan sumbangan dari luar negeri sebesar Rp2.250.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank Dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 5%/tahun, tentukan jumlah sumbangan total yang diterima yayasan tersebut!

19.

Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap akhir bulan dari Yayasan Super Semar sebesar Rp50.000,00 selam 2 tahun 3 bulan. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus di awal bulan pertama dengan dikenai bunga 1,25%/bulan, tentukan besarnya beasiswa total yang diterima siswa!

20.

Tiap awal bulan Yayasan Keadilan Sejahtera mendapatkan sumbangan dari negara Saudi Arabia sebesar Rp7.500.000,00 selama 5 tahun. Jika sumbangan akan diberikan sekaligus dan dikenai bunga sebesar 1,75%/bulan, tentukan sumbangan total yg diterima yayasan!

21.

Setiap awal bulan Sisca menyimpan uangnya di bank Rp 75.000,00 selama 4,5 tahun. Jika bank memberikan suku bunga 0,75%/bulan, tentukan simpanan total Sisca di bank tersebut!

22.

Tutik mendapatkan tunjangan dari orang tua asuh dengan besarnya tetap tiap awal bulan sampai meninggal dunia. Namun, tunjangan akan diberikan sekaligus sebesar Rp18.450.000,00 dengan suku bunga 2,5%/bulan. Berapakah besar tunjangan setiap bulannya?

23.

Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp650.000,00 bank memberikan bunga 1.8 %/ bulan selama 2 tahun. Tentukan simpanan total karyawan tersebut!

24.

Setiap awal tahun Nissa menyimpan uang di Bank BRI sebesar Rp 475.000,00 Jika bank memberikan bunga 7,5%/tahun, tentukan jumlah simpanan Nissa setelah menabung 25 tahun!

25. Nilai akhir rente pra numerando dari suatu modal yang diberikan setiap bulan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5% adalah Rp21.144.221,26. Tentukan besarnya modal yang diberikan tiap bulannya!

141


B.3. Anuitas a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Menjelaskan pengertian anuitas. ¾ Menghitung anuitas. ¾ Menghitung besar sisa pinjaman. ¾ Menghitung anuitas yang dibulatkan. ¾ Menghitung rencana angsuran dengan sistem pembulatan. ¾ Menghitung anuitas pinjaman obligasi. b. Uraian Materi

1). Pengertian Anuitas Pernahkah anda menghitung sendiri cicilan yang harus dibayar setiap bulan jika akan membeli rumah dengan cara angsuran? Dapatkah anda menghitung sisa pinjaman anda, jika sudah mencicil selama n tahun dari pembayaran rumah yang anda cicil? Itu semua akan di bahas dalam kompetensi dasar Anuitas. Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. Anuitas = Angsuran + Bunga A = an + bn Untuk n = bilangan asli: 1. 2. 3. . . . Jika suatu pinjaman sebesar M dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama n tahun dengan suku bunga i%/tahun, dan setiap anuitas sama besarnya, maka berlaku: = An A n+1 an + 1 + bn + 1 = an + bn = an + bn – bn + 1 an + 1 an + 1 = an + an. i = an (1 + i), sehingga: an + 1 a2

= a1 (1 + i).

a3 a3 a3

= a2 (1 + i). = a1 (1 + i)(1 + i). = a1 (1 + i)2.

a4 a4 a4

= a3 (1 + i). = a1 (1 + i)2(1 + i). = a1 (1 + i)3, dan seterusnya. Sehingga diperoleh rumus: an = a1 (1 + i)n – 1 atau an = ak (1 + i)n – k

Contoh 55 Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan. Jika besarnya Anuitas Rp400.000.00, tentukan: a. Besarnya angsuran pertama jika bunga pertama = Rp250.000,00! b. Besarnya bunga ke-5 jika angsuran ke-5 adalah Rp315.000,00!

142


Jawab: A = Rp400.000,00 a. A = a1 + b1 a1 = A – b1 a1 = Rp400.000,00 – Rp250.000,00 a1 = Rp150.000,00 b. A = a5 + b5 b5 = A – a5 a1 = Rp400.000,00 – Rp315.000,00 a1 = Rp85.000,00 Contoh 56 Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besarnya anuitas jika besarnya angsuran ke-6 dan bunga ke-6 masing-masing adalah Rp215.000,00 dan Rp85.000,00!

Jawab: a6 = Rp215.000,00 b6 = Rp85.000,00 A = a6 + b6 A = Rp215.000,00 + Rp85.000,00 = Rp400.000,00 Contoh 57 Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan Rp500.000,00. Jika suku bunga 3%/ bulan, tentukan: a. Besarnya bunga pertama dan angsuran pertama b. Besarnya angsuran ke-7 c. Besarnya bunga ke-9!

Jawab: M = Rp10.000.000,00 A = Rp500.000,00 i = 3%/ bulan = 0,03 / bulan a. bunga pertama: b1 = M . i b1 = 10.000.000,00 x 0,03 b1 = Rp300.000,00 angsuran pertama: a1 = A – b1 a1 = 500.000,00 – 300.000,00 a1 = Rp200.000,00 b. angsuran ke-7: a7 = a1 ( 1 + i )7–1 a7 = 200.000,00 x (1 + 0,03)6 a7 = 200.000,00 x 1,036 a7 = 200.000,00 x 1,194052297 a7 = Rp238.810,46 c. angsuran ke-9: a9 = a1 ( 1 + i )9–1 a9 = 200.000,00 x (1 + 0,03)8 a9 = 200.000,00 x 1,038

143


a9 = 200.000,00 x 1,266770081 a7 = Rp253.354,02 b9 = A – a9 b9 = 500.000,00 – 253.354,02 b9 = Rp246.645,98

bunga ke-9:

2). Nilai anuitas Besarnya pinjaman = jumlah semua angsuran + a3 + a4 + . . . + an M = a1 + a2 M = a1 + a1 (1 + i) + a1 (1 + i)2 + a1 (1 + i)3 + . . . + a1 (1 + i)n – 1 M = Jumlah barisan geometri dengan suku pertama = a1 dan rasio = (1 + i) a ((1 + i)n − 1) M = 1 (1 + i) − 1 M

=

a1

=

a1 ((1 + i) n − 1) i M.i

A – M. i = A=M.i+

A =

A = a1 + b1 A = a1 + M . i a1 = A – M . i

((1 + i) n − 1) M.i ((1 + i) n − 1) M.i ((1 + i) n − 1) 1

M. i .(1 + i) n ((1 + i) n − 1)

x

=

M. i .((1 + i) n − 1) + M. i ((1 + i) n − 1)

(1 + i) n 1 (1 + i) n

A = (1 −

M. i 1

atau A = ) n

M. i (1 − (1 + i) −n )

(1 + i) Besarnya anuitas dari suatu pinjaman M dengan suku bunga i%/periode selama n periode adalah: M. i A = (1 − (1 + i) −n ) Dengan menggunakan daftar anuitas: M. i A = (1 − (1 + i) −n ) i A =M. (1 − (1 + i) −n ) A = M x daftar anuitas baris ke-n dan kolom i % Bagaimanakah hubungan antara anuitas dan angsuran pertama? M. i .(1 + i) n M.i dan A = Dari pembuktian di atas diperoleh: a1 = ((1 + i) n − 1) ((1 + i) n − 1)


144

M. i .(1 + i) n A M.i : = n a1 ((1 + i) − 1) ((1 + i) n − 1) A = (1 + i)n . sehingga diperoleh: a1 A = a1 x (1 + i)n Contoh 58 Tentukan nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan!

Jawab: M = Rp5.000.000,00 n = 2 tahun = 24 bulan i = 2% / bulan = 0.02 / bulan A

=

Mxi 1 − (1 + i) −n

= 5.000.000,00 x 0,02 1 − (1 + 0,02) −24 100.000,00 = 1 − 1,02 −24 100.000,00 = 0,378278512 = Rp 264.355,49 Dengan daftar anuitas: A

= M x Tabel anuitas baris ke-24 kolom 2% = 5.000.000,00 x 0,052871097 = Rp264.355,49

Contoh 59 Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan. Tentukan: a. Anuitasnya b. Bunga dan angsuran pertama c. Bunga dan angsuran ke-24!

Jawab: M = Rp10.000.000,00 n = 3 tahun = 36 bulan i = 2,5% / bulan = 0,025/bulan a. A

=

Mxi 1 − (1 + i) −n

= 10.000.000,00 x 0,025 1 − (1 + 0,025) −36


145

250.000,00 1 − 1,025 −36 250.000,00 = Rp 424.515,77 = 1 − 0,411093723

=

Dengan daftar anuitas: A

= M x Tabel anuitas baris ke-36 kolom 2,5% = 10.000.000,00 x 0,042451577 = Rp 424.515,77

b. Bunga pertama: b1 = M . i b1 = 10.000.000,00 x 0,025 b1 = Rp250.000,00 angsuran pertama: a1 = A – b1 a1 = 424.515,77 – 250.000,00 a1 = Rp174.515,77 c. Angsuran ke-24:

a24 = a1 ( 1 + i )24–1 a24 = 174.515,77 (1 + 0,025)23 a24 = 174.515,77 x 1,02523 a24 = 174.515,77 x 1,764610683 a24 = Rp 307.952,39

bunga ke-24: b24 = A – a24 b24 = 424.515,77 – 307.952,39 b24 = Rp116.563,38 Contoh 60 Hafsah bersama suaminya berencana mengambil rumah di VILLA INDAH dengan harga Rp250.000.000,00. Hafsah hanya memiliki uang muka Rp 100.000.000,00. Sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun. Tentukan: a. Nilai anuitasnya b. Cicilan setiap bulan c. Sisa pinjaman setelah mengangsur 1 tahun dan 2 tahun!

Jawab: M = Rp250.000.000,00 – Rp100.000.000,00 = Rp150.000.000,00 n = 10 tahun i = 18%/tahun = 0,18/tahun a. A

M.i 1 − (1 + i) −n 150.000.000,00 x 0,18 = 1 − (1 + 0,18) −10 27.000.000,00 = 1 − 1,18 −10 27.000.000,00 = Rp 33.377.196,20 = 0,808935533 =

146

b. Cicilan setiap bulannya =


Rp.33.377.196,20 = Rp2.781.433,02 12

c. Setelah pembayaran anuitas pertama atau setelah mengangsur 1 tahun: b1 = M x i = 150.000.000,00 x 18% = Rp27.000.000,00 a1 = A – b1 = 33.377.196,20 – 27.000.000,00 = Rp6.377.196,80 Sisa pinjaman setelah mengangsur 1 tahun: S1 = 150.000.000,00 – 6.377.196,80 = Rp143.622.803,20 Setelah pembayaran anuitas kedua atau setelah mengangsur 2 tahun: b2 = M x i b2 = 143.622.803,20 x 18% = Rp25.852.104,58 a2 = A – b2 a2 = 33.377.196,20 – 25.852.104,58 = Rp7.525.091,62 Sisa pinjaman setelah mengangsur 2 tahun: S2 = 143.622.803,20 – 7.525.091,62 = Rp136.097.711,58

3). Sisa pinjaman anuitas Jika S1, S2, S3. . . . Sm berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga . . . ke-m, maka ada beberapa cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m. Cara 1: Sisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut: b1 = i . M b2 = i . S1 b3 = i . S2 . . . . . . b bm + 1 = i . Sm . sehingga: Sm = m+1 i Contoh 61 Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan: a. Besarnya anuitas! b. Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!


147

Jawab: M = Rp10.000.000,00 i = 3 % / bulan = 0,03/bulan n = 2,5 tahun = 30 bulan a. A

= = =

M.i 1 − (1 + i) −n 10.000.000,00 x 0,03

1 − (1 + 0,03) −30 300.000,00

1 − 1,03 −30 300.000,00 = = Rp 510.192,59 1 − 0,411986759

dengan menggunakan daftar anuitas: A = M x daftar anuitas baris ke-30 kolom 3% A = 10.000.000,00 x 0,051019259 = Rp 510.192,59 b. Langkah-langkah menentukan sisa pinjaman setelah angsuran ke-10 (S10): ¾ Tentukan bunga pertama: b1 = M x i = Rp10.000.000,00 x 0.03 = Rp300.000,00 ¾ Tentukan angsuran pertama: a1 = A – b1 = Rp510.192,59 – Rp300.000,00 = Rp210.192,59 ¾ Tentukan angsuran ke-(10 + 1) atau angsuran ke-11 : a11 = a1 (1 + i)11 – 1 a11 = 210.192,59 (1 + 0,03)10 a11 = 210.192,59 (1,03)10 a11 = 210.192,59 x 1,343916379 a11 = Rp282.481,26 ¾ Tentukan bunga ke-11: b11 = A – a11 b11 = Rp 510.192,59 – Rp282.481,26 = Rp227.711,33 b Sm = m+1 i b11 S10 = i 227.711,33 = Rp7.590.377,67 = 0,03 Silakan di coba setelah pembayaran anuitas ke-15 ...! Cara 2: Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-k = pokok pinjaman dikurangi jumlah k angsuran yang sudah dibayar.


148

Sm = M – (a1 + a2 + a3 + . . . + ak) Sm = M – (a1 + a1(1 + i) + a1(1 + i)2 + a1 (1 + i)3 + . . . + a1(1 + i)k–1 ) Sm = M – (a1 + a1[(1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + . . . + (1 + i)k–1 ]) m −1

Sm = M – (a1 + a1[

∑ (1 + i)

k

])

k =1

Sm = M – (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom i% baris (m–1))

Contoh 62 Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Jawab: Dari contoh 61. diperoleh a1 = Rp210.192,59, sehingga: Sm = M – (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10–1)) Sm = 10.000.000,00 – (210.192,59 + 210.192,59 x 10,463879311) Sm = 10.000.000,00 – (210.192,59 + 2.199.429,89) Sm = Rp 7.590.377,52 (hampir sama dengan cara 1) Silahkan di coba untuk M = Rp15.000.000,00, suku bunga 2,5%/bulan selama 3 tahun dan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-20 ...! Cara 3: Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar. Sm = ak+1 + ak+2 + ak+3 + . . . + an) Sm = [a1 + a2+ a3+. . .+ak+ ak+1+ak+2+ ak+3+. . .+an] – [a1 + a2+ a3+ … + ak] Sm = [a1 + a1(1+ i) + a1(1+ i)2 +. . .+ a1(1 + i)n–1] – [a1+ a1(1+ i) + a1(1+ i)2 +. . .+ a1(1 + i)k–1] n −1

Sm = [a1 + a1[

∑

(1 + i) k ] – [a1 + a1[

k =1

n −1

Sm = a1 x

∑ (1 + i) k =1

k

m −1

∑ (1 + i)

k =1 m −1

– a1 x

∑ (1 + i)

k

]

k

k =1

Sm = a1 x [daftar nilai akhir rente kolom i% baris(n –1) – daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m –1)] Contoh 63 Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Jawab: n = 30, m = 10, dan i = 3% Dari contoh 61, diperoleh a1 = Rp210.192,59, sehingga:


149

S10 = a1 x [daftar nilai akhir rente kolom 3% baris 29 – daftar nilai akhir rente kolom 3% baris 9] S10 = 210.192,59 x [46,575415706 – 10,463879311] S10 = 210.192,59 x 36,111536395 S10 = Rp 7.590.377,36 ( hampir sama dengan cara 1) Silahkan di coba untuk M = Rp12.000.000,00, suku bunga 1,5%/ bulan selama 4 tahun dan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-25 ...! Cara 4: Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada akhir tahun ke-m: A A A A A + + + +... + Sm = 2 3 4 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) m−n –1 –2 –3 Sm = A[(1+ i) + (1+ i) + (1+ i) + . . . + (1 + i)n–m] n −m

Sm = A x

∑ (1 + i)

−k

k =1

Sm = A x [daftar nilai tunai rente kolom i % baris(n – m) ] Contoh 64 Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Jawab: n = 30, m = 10 dan i = 3% Dari contoh 61, diperoleh A = Rp510.192,59, sehingga: S10 = A x [daftar nilai tunai rente kolom 3% baris (30 – 10)] S10 = 510.192,59 x 14,877474860 S10 = Rp 7.590.377,43 (hampir sama dengan cara 1) Silakan dicoba untuk M = Rp20.000.000,00, suku bunga 4%/bulan, selama 3,5 tahun dan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-18 ...! Contoh 65 Pinjaman Rp15.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun 4 bulan dengan suku bunga 3,5%/bulan. Tentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-15!

Jawab: Keempat cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m membutuhkan nilai anuitas. Jadi, nilai anuitas harus dicari dahulu. M = Rp15.000.000,00 n = 3 tahun 4 bulan = 40 bulan i = 3,5% / bulan A = M x Daftar anuitas baris ke-40 kolom 3,5% A = 15.000.000,00 x 0,046827282 = Rp702.409,23


150

Cara 3 A = a1 (1 + i )n a1 = A (1 + i ) – n a1 = 702.409,23 (1 + 0,035 )– 40 a1 = 702.409,23 x 0,252572468 = Rp177.409,23 Sm = a1 x [daftar nilai akhir rente kolom i% baris(n –1) – daftar nilai akhir rente kolom i % baris (m –1)] S15 = 177.409,23 x [daftar nilai akhir rente baris ke-39 kolom 3,5% – daftar nilai akhir rente baris ke-14 kolom 3.5 % ] S15 = 177.409,23 x (83,550277748 – 18,295680879) S15 = 177.409,23 x 65,25459687 S15 = Rp11.576.767,78

Cara 4 n = 30, m = 10 dan i = 3% S15 = A x [daftar nilai tunai rente baris (40 – 15) kolom 3,5 %] S15 = 702.409,23 x 16,481514592 S10 = Rp 11.576.767,79 ( hampir sama dengan cara 3)

4).

Anuitas yang dibulatkan

Dalam transaksi perbankan, pembayaran pinjaman baik menggunakan sistem anuitas maupun lainnya nilainya bulat. Oleh karena itu, besarnya anuitas dibulatkan ke atas atau ke bawah dengan kelipatan berdasarkan persetujuan penerima hutang dengan pihak perbankan, dengan tujuan agar pembayaran mudah untuk dilaksanakan. Misalkan anuitas dibulatkan ke bawah atau ke atas dengan kelipatan Rp1.000,00 atau Rp100,00 dan lain-lain. Jika anuitas di bulatkan ke atas, maka akan terjadi kelebihan pembayaran. Sebaliknya jika anuitas dibulatkan ke bawah, maka akan terjadi kekurangan pembayaran. Kelebihan atau kekurangan pembayaran tersebut akan diperhitungkan pada pembayaran anuitas terakhir. a). Anuitas dibulatkan ke atas Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke atas dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu ditambah satu dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke atas adalah: A+ Contoh 66 Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp2.351.405,78. Bulatkan anuitas di atas dalam: a. Puluhan ke atas c. Ribuan ke atas b. Ratusan ke atas d. Puluhan ribu ke atas

Jawab: a. b. c. d.

Dibulatkan puluhan ke atas: A+ = Rp2.351.410,00 Dibulatkan ratusan ke atas: A+ = Rp2.351.500,00 Dibulatkan ribuan ke atas: A+ = Rp2.352.000,00 Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A+ = Rp2.360.000,00


151

Jika a1 = A+ - b1 = A+ - M . i, maka kelebihan pembayaran dari semua angsuran adalah: lihat halaman . . . NL = (a1 + a2 + a3 + . . . + an ) – M. 2 3 = (a1 + a1(1 + i) + a1(1 + i) + a1(1 + i) + . . . + a1(1 + i)k–1 ) – M n −1

= (a1 + a1[

∑ (1 + i)

k

]) – M

k =1

NL = (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n –1)) – M Keterangan: NL = Nilai Lebih. Dengan cara lain, jika L = A+ – A, maka nilai akhir kelebihan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu: NL = L + L(1 + i) + L(1 + i)2 . . . + L(1 + i)n – 3 + L(1 + i)n – 2 + L(1 + i)n – 1 NL = L + L[(1 + i) + (1 + i)2 . . . + (1 + i)n – 3 + (1 + i)n – 2 + (1 + i)n – 1 ] n −1

NL = L + L.

∑ (1 + i)

k

k =1

NL = L + L x Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n – 1) Besarnya anuitas terakhir: At = A – NL Contoh 67 Suatu pinjaman Rp20.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 6%/tahun selama 20 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam puluhan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan b. Total kelebihan pembayaran anuitas c. Pembayaran anuitas terakhir!

Jawab: M = Rp20.000.000,00 i = 6 %/tahun n = 20 tahun a. A = M x tabel anuitas kolom 6% baris 20 A = 20.000.000,00 x 0,087184557 A = Rp1.743.691,14 Dibulatkan puluhan ribu ke atas: A+ = Rp1.750.000,00 b. Kelebihan tiap anuitas : L = A+ – A = Rp 1.750.000,00 – Rp1.743.691,14 = Rp6.308,86 Total kelebihan pembayaran anuitas: NL = L + L x Daftar Nilai akhir rente kolom i % baris (n – 1) NL = 6.308,86 + 6.308,86 x Daftar Nilai akhir rente kolom 6 % baris 19 NL = 6.308,86 + 6.308,86 x 35,785591204 NL = Rp232.075,14


152

Dengan menggunakan cara lain: Jika a1 = A+ – M . i. = 1.750.000,00 – 20.000.000,00 x 6% = 1.750.000,00 – 1.200.000,00 = Rp550.000,00 NL = (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom 6% baris (20 –1)) – M NL = 550.000,00 (1 + 35,785591204) – 20.000.000,00 NL = 20.232.075,16 – 20.000.000,00 = Rp232.075,14 c. Pembayaran anuitas terakhir: Besarnya anuitas terakhir: At = A – NL = 1.743.691.14 – 232.075.14 = Rp 1.511.616.00 b). Anuitas dibulatkan ke bawah Setiap bilangan yang akan dibulatkan ke bawah dalam puluhan, ratusan, ribuan, puluhan ribu atau yang lainnya selalu tetap dari nilai sebelumnya. Lambang untuk pembulatan anuitas ke bawah adalah: A– Contoh 68 Hasil perhitungan nilai anuitas diperoleh A = Rp4.357.895,78 Bulatkan anuitas di atas dalam: a. Puluhan ke bawah c. Ribuan ke bawah b. Ratusan ke bawah d. Puluhan ribu ke bawah

Jawab: a. b. c. d.

Dibulatkan puluhan ke bawah: A– = Rp4.357.890,00 Dibulatkan ratusan ke bawah: A– = Rp4.357.800,00 Dibulatkan ribuan ke bawah: A– = Rp4.357.000,00 Dibulatkan puluhan ribu ke bawah : A– = Rp4.350.000,00

Jika a1 = A– – b1 = A– – M . i, maka kekurangan pembayaran dari semua angsuran adalah: ( lihat cara 2 sisa pinjaman) NK = M – (a1 + a2 + a3 + . . . + an ). 2 = M – (a1 + a1(1 + i) + a1(1 + i) + a1(1 + i)3 + . . . + a1(1 + i)k–1 ) n −1

= M – (a1 + a1[

∑ (1 + i)

k

])

k =1

NK = M – (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n –1)) Keterangan : NK = Total nilai kurang. Dengan cara lain. jika L = A – A–, maka nilai akhir kekurangan dari anuitas pertama sampai anuitas terakhir = nilai akhir rente post numerando, yaitu: NK = K + K(1 + i) + K(1 + i)2 . . . + K(1 + i)n – 3 + K(1 + i)n – 2 + K(1 + i)n – 1 NK = K + K [(1 + i) + (1 + i)2 . . . + (1 + i)n – 3 + (1 + i)n – 2 + (1 + i)n – 1 ] n −1

NK = K + K.

∑ (1 + i)

p

p =1

NK = K + K x Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n – 1)


153

Besarnya anuitas terakhir: At = A + NK Contoh 69 Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 5%/tahun selama 15 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan b. Total kekurangan pembayaran anuitas c. Pembayaran anuitas terakhir!

Jawab: M = Rp12.000.000,00 i = 5 %/tahun n = 15 tahun a. A = M x tabel anuitas kolom 5% baris 15 A = 12.000.000,00 x 0,096342288 = Rp1.156.107.46 Dibulatkan ratusan ribu ke bawah: A– = Rp 1.100.000,00 b. Kekurangan tiap anuitas : K = A – A– = Rp1.156.107,46 – Rp 1.100.000,00 = Rp56.107,46 Total kekurangan pembayaran anuitas: NK = K + K x Daftar Nilai akhir rente kolom i% baris (n – 1) NK = 56.107.46 + 56.107.46 x Daftar Nilai akhir rente kolom 5% baris 14 NK = 56.107.46 + 56.107.46 x 20.578563588 = Rp1.210.718.39 Dengan menggunakan cara lain: Jika a1 = A– – M . i. = 1.100.000,00 – 12.000.000,00 x 5% = 1.100.000,00 – 600.000,00 = Rp500.000,00 NK = M – (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom 5% baris (15 –1)) NK = 12.000.000,00 – 500.000,00 (1 + 20,578563588) NK = 12.000.000,00 – 10.789.281,79 = Rp1.210.718,21 c. Pembayaran anuitas terakhir: Besarnya anuitas terakhir: At = A + NK = Rp1.156.107,46 + 232.075,14= Rp 1.511.616,00

5). Tabel Pelunasan Anuitas Untuk memberi gambaran bagi peminjam terhadap rencana pelunasannya, biasanya digunakan tabel pelunasan anuitas dan biasanya anuitas yang dicantumkan dalam tabel merupakan anuitas pembulatan. Contoh 70 Suatu pinjaman Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 12%/tahun selama 8 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan


154

b. Tabel rencana pelunasan anuitas c. Pembayaran anuitas terakhir!

Jawab: M = Rp10.000.000,00 i = 12 %/tahun = 0.12/tahun n = 8 tahun M.i 1 − (1 + i) −n 10.000.000,00 x 0,12 = 1 − (1 + 0,12) −8 1.200.000,00 = 1 − 1,12 −8 1.200.000,00 = = Rp2.013.028,41 1 − 0.403883228 Jika dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu. maka A+ = Rp2.100.000,00

a. A

=

b. Tabel rencana pelunasan anuitas: Anuitas A+ = Rp2.100.000.00 Tahun Pinjaman awal ke tahun Bunga (12%) angsuran Rp10.000.000.00 Rp1.200.000.00 Rp 900.000.00 1 Rp 9.100.000.00 Rp1.092.000.00 Rp1.008.000.00 2 Rp 8.092.000.00 Rp 971.040.00 Rp1.128.960.00 3 Rp 6.963.040.00 Rp 835.564.80 Rp1.264.435.20 4 Rp 5.698.604.80 Rp 683.832.58 Rp1.416.167.42 5 Rp 4.282.437.38 Rp 513.892.49 Rp1.586.107.51 6 Rp 2.696.329.86 Rp 323.559.58 Rp1.776.440.42 7 Rp919.889.44 Rp 110.386.73 Rp919.889.44 8

Sisa pinjaman akhir tahun Rp9.100.000.00 Rp8.092.000.00 Rp6.963.040.00 Rp5.698.604.80 Rp4.282.437.38 Rp2.696.329.86 Rp 919.889.44 0

Keterangan Tabel: • • • •

Pinjaman awal tahun ke-2 = sisa pinjaman akhir tahun ke-1. Pinjaman awal tahun ke-3 = sisa pinjaman akhir tahun ke-2, dan seterusnya. Bunga + angsuran masing-masing kelas = anuitas hasil pembulatan (A+), kecuali pada baris terakhir (baris ke-8). Sisa pinjaman akhir tahun ke-1 = pinjaman awal tahun ke-1 – angsuran ke-1. Sisa pinjaman akhir tahun ke-2 = pinjaman awal tahun ke-2 – angsuran ke-2. Angsuran terakhir = pinjaman awal tahun terakhir.

c. Pembayaran anuitas terakhir = 110.386.73 + 919.889.44 = Rp 1.030.276.17 . Pembayaran anuitas terakhir tidak sama dengan anuitas hasil pembulatan, mengapa? Contoh 71 Suatu pinjaman Rp12.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 15%/tahun selama 7 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu. Tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan

155


b. Tabel rencana pelunasan anuitas c. Pembayaran anuitas terakhir!

Jawab: M = Rp12.000.000.00 i = 15 %/tahun = 0,15/tahun n = 7 tahun M.i 1 − (1 + i) −n 12.000.000,00 x 0,15 = 1 − (1 + 0,15) −7 1.800.000,00 = 1 − 1,15 −7 1.800.000,00 = Rp2.884.324.36 = 1 − 0.375937040 Jika dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu. maka A– = Rp2.800.000.00

=

a. A

b. Tabel rencana pelunasan anuitas: Anuitas A– = Rp2.800.000,00

Tahun ke

Pinjaman awal tahun

bunga (15%)

angsuran

Sisa pinjaman akhir tahun

1 2 3 4 5 6 7

Rp12.000.000,00

Rp1.800.000,00

Rp1.000.000,00

Rp11.000.000,00

Rp11.000.000,00

Rp1.650.000,00

Rp1.150.000,00

Rp .9.850.000,00

Rp .9.850.000,00

Rp1.477.500,00

Rp1.322.500,00

Rp .8.527.500,00

Rp .8.527.500,00

Rp1.279.125,00

Rp1.520.875,00

Rp .7.006.625,00

Rp .7.006.625,00

Rp1.050.993,75

Rp1.749.006,25

Rp .5.257.618,75

Rp .5.257.618,75

Rp 788.642,81

Rp2.011.357,19

Rp .3.246.261,56

Rp .3.246.261,56

Rp 486.939,23

Rp3.246.261,56

0

c. Pembayaran anuitas terakhir = 486.939,23+3.246.261,56 = Rp3.733.200,79 Pembayaran anuitas terakhir tidak sama dengan anuitas hasil pembulatan, mengapa? dan silakan dicoba untuk pinjaman Rp15.000.000,00 dengan waktu 8 tahun dan anuitas dibulatkan ke bawah dalam puluhan ribu dengan suku bunga 15%/tahun.

6). Anuitas Pinjaman Obligasi Obligasi adalah surat berharga yang merupakan perjanjian pinjaman tertulis. Obligasi ini biasanya digunakan untuk mendapatkan jumlah pinjaman yang besar. Pada surat obligasi terdapat tanggal pengeluaran, nilai nominal, tingkat bunga, tanggal pembebasan dan nilai emisi. Jika pinjaman obligasi ini akan dilunasi dengan sistem anuitas atau suatu pinjaman anuitas akan dilunasi dengan obligasi, maka biasanya nilai nominal obligasi akan dipecah menjadi nilai nominal yang lebih kecil, misalkan pinjaman obligasi Rp10.000.000,00 dipecah menjadi Rp10.000,00 sehingga banyaknya obligasi adalah 1.000.

156


Jika jumlah yang dicicil bukan merupakan kelipatan dari pecahan nominal obligasi, maka sisa yang bukan merupakan kelipatan obligasi akan dibayarkan pada anuitas berikutnya. Menentukan besarnya angsuran dapat dihitung sebagai berikut: Angsuran ke-n : Anuitas ... sisa pembayaran ke-(n – 1) ... sisa x suku bunga ... + Jumlah ... sisa pinjaman x suku bunga ... – Angsuran ... Jumlah obligasi terpakai = . . . x nilai nominal = . . . – Sisa pemayaran ke-n ... Contoh 72 Pinjaman obligasi Rp12.000.000,00 yang terpecah menjadi 1.200 lembar obligasi yang masing-masing sebesar Rp10.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 10%/tahun selama 5 tahun. Tentukan tabel rencana pelunasannya!

Jawab: M = Rp12.000.000.00 i = 10 %/tahun = 0,1/tahun n = 5 tahun M.i 1 − (1 + i) −n 12.000.000,00 x 0,1 = 1 − (1 + 0,1) −5 1.200.000,00 = 1 − 1,1−5 1.200.000,00 = Rp 3.165.569,77 = 1 − 0.620921323

A=

Rencana pelunasannya sebagai berikut: Angsuran ke-1 : Anuitas = Rp 3.165.569,77 + sisa pembayaran belum ada = 0 Jumlah = Rp 3.165.569,77 Bunga = Rp12.000.000,00 x 10% = Rp 1.200.000,00 – Angsuran = Rp 1.965.569,77 Jumlah obligasi terpakai = 196 x Rp10.000,00 = Rp 1.960.000,00 – Sisa pembayaran ke-1 = Rp 5.569,77 Angsuran ke-2 : Anuitas sisa pembayaran ke-1 sisa x 10% Jumlah

= Rp 3.165.569,77 = Rp 5.569,77 = Rp 556,98 + = Rp3.171.696,52

Sisa pinjaman setelah angsuran ke-1 = 12.000.000,00 – 1.960.000,00 = Rp 10.040.000,00

157


Bunga

= Rp 10.040.000,00 x 10% = Rp 1.004.000,00 – Angsuran = Rp 2.167.696,52 Jumlah obligasi terpakai = 216 x Rp10.000,00 = Rp 2.160.000,00 – sisa pembayaran ke-2 = Rp 7.696,52 Angsuran ke-3 : Anuitas sisa pembayaran ke-2 sisa x 10% Jumlah

= Rp 3.165.569,77 = Rp 7.696,52 = Rp 769,65 + = Rp 3.174.035,94

Sisa pinjaman setelah angsuran ke-2 = 10.040.000,00 – 2.160.000,00 = Rp 7.880.000,00 Bunga = Rp 7.880.000,00 x 10% = Rp 788.000,00 – Angsuran = Rp 2.386.035,94 Jumlah obligasi terpakai = 238 x Rp10.000,00 = Rp 2.380.000,00 – sisa pembayaran ke-3 = Rp 6.035,94 Angsuran ke-4 : Anuitas sisa pembayaran ke-3 sisa x 10% Jumlah

= Rp 3.165.569,77 = Rp 6.035,94 = Rp 603,59 + = Rp3.172.209,30

Sisa pinjaman setelah angsuran ke-3 = 7.880.000,00 – 2.380.000,00 = Rp 5.500.000,00 Bunga = Rp 5.500.000,00 x 10% = Angsuran = Jumlah obligasi terpakai = 262 x Rp10.000,00 = sisa pembayaran ke-4 = Angsuran ke-5 : Anuitas sisa pembayaran ke-4 sisa x 10% Jumlah

= = = =

Sisa pinjaman setelah angsuran ke-3 = 5.500.000,00 – 2.620.000,00 = Rp 2.880.000,00 Bunga = Rp 2.880.000,00 x 10% = Angsuran = Jumlah obligasi terpakai = 288 x Rp10.000,00 = sisa pembayaran ke-5 = Tabel angsurannya sebagai berikut: th Pinjaman Awal Jumlah obligasi ke tahun yang diangsur 1 2 3 4 5

Rp12.000.000,00 Rp10.040.000,00 Rp 7.880.000,00 Rp 5.500.000,00 Rp 2.880.000,00 Jumlah

196 lembar 216 lembar 238 lembar 262 lembar 288 lembar 1. 200 lembar

Rp 550.000,00 – Rp 2.622.209,30 Rp 2.620.000,00 – Rp 2.209,30 Rp 3.165.569,77 Rp 2.209,30 Rp 220,93 + Rp 3.168.000,00

Rp 288.000,00 – Rp 2.880.000,00 Rp 2.880.000,00 – Rp 0

Besar angsuran Rp1.960.000,00 Rp2.160.000,00 Rp2.380.000,00 Rp2.620.000,00 Rp2.880.000,00 Rp12.000.000,00

Sisa pinjaman Akhir tahun Rp10.040.000,00 Rp 7.880.000,00 Rp 5.500.000,00 Rp 2.880.000,00 0

Silahkan dicoba untuk pinjaman obligasi Rp20.000.000,00 dipecah dalam 10.000 lembar dan akan dilunasi dengan anuitas 5 tahun dengan suku bunga 12%/tahun ...!


158 c. Rangkuman

1. Anuitas adalah sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu, dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran. 2. Hubungan antara angsuran yang satu dengan angsuran yang lainnya: an = a1 (1 + i)n – 1 atau an = ak (1 + i)n – k 3. Nilai anuitas dari pinjaman M, suku bunga i%/periode selama n periode: M. i A = (1 − (1 + i) −n ) Dengan menggunakan daftar anuitas: A = M x daftar anuitas baris ke-n dan kolom i % 4. Hubungan antara anuitas dan angsuran pertama A = a1 x (1 + i)n 3.

Sisa pinjaman anuitas Jika S1. S2. S3. . . . Sm berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga . . . ke-m, maka ada beberapa cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-m. Cara 1: Sm =

b m+1 i

Cara 2:

Sm = M – (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom i% baris (m–1))

Cara 3:

Sm = a1 x [daftar nilai akhir rente kolom i% baris(n –1) – daftar nilai akhir rente kolom i% baris (m–1)]

Cara 4: Sm = A x [daftar nilai tunai rente kolom i % baris(n – m) ] 6. Kelebihan pembayaran karena anuitas dibulatkan ke atas adalah: NL = (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n –1)) – M atau NL = L + L x Daftar Nilai akhir rente kolom i % baris (n – 1) Besarnya anuitas terakhir: At = A – NL 7.

Kekurangan pembayaran karena anuitas dibulatkan ke bawah adalah: NK = M – (a1 + a1 x daftar nilai akhir rente kolom i% baris (n –1)) atau NK = K + K x Daftar Nilai akhir rente kolom i % baris (n – 1)

159


1. Suatu pinjaman akan dilunasi dengan sistem anuitas Rp550.000,00. Tentukan: a. Besarnya angsuran pertama jika bunga pertama = Rp450.000,00! b. Besarnya bunga ke-8 jika angsuran ke-8 adalah Rp412.000,00! 2. Suatu pinjaman akan dilunasi dengan anuitas tahunan. Tentukan besarnya anuitas jika besarnya angsuran ke-10 dan bunga ke-10 masing-masing adalah Rp318.000,00 dan Rp27.000,00! 3. Suatu pinjaman Rp2.600.000,00 akan dilunasi dengan Rp 250.000,00. Jika suku bunga 4%/bulan, tentukan: a. Besarnya bunga pertama dan angsuran pertama! b. Besarnya angsuran ke-5! c. Besarnya bunga ke-8!

anuitas

bulanan

4. Angsuran ke-5 suatu anuitas Rp300.000,00 dan bunga pertamanya Rp320.000,00. Jika suku bunganya 2,5%, tentukan: a. Besarnya pinjaman! b. Besarnya angsuran pertama! c. Besarnya anuitas! d. Besarnya angsuran ke-8! 5. Tentukan nilai anuitas bulanan dari suatu pinjaman sebesar Rp 8.000.000.00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2,5%/bulan! 6. Pinjaman sebesar Rp 2.800.000.00 dilunasi dengan anuitas bulanan selama 1 tahun 7 bulan dengan suku bunga 2,25%/bulan. Tentukan: a. Anuitasnya! b. Bunga dan angsuran pertama! c. Bunga dan angsuran ke-24! 7. Nissa bersama suaminya berencana membeli rumah di VILLA IMPIAN dengan harga Rp300.000.000.00 dan Nissa hanya memiliki uang muka Rp 50.000.000.00. Sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 15 tahun dengan suku bunga 14%/tahun. Tentukan: a. Nilai anuitasnya! b. Cicilan setiap bulan! c. Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 tahun! 8.

Pinjaman sebesar Rp12.500.000.00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 3,25 tahun. Tentukan: a. Besarnya anuitas! b. Sisa pinjaman setelah mengangsur 20 bulan!

9.

Pinjaman sebesar Rp10.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan dengan suku bunga 3,5%/bulan selama 3 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 25 bulan!

160


10.

Pinjaman sebesar Rp15.000.000.00 akan dilunasi dengan sistem anuitas tiap bulan dengan suku bunga 1.5%/bulan selama 2.75 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 2 tahun.

11.

Pinjaman sebesar Rp4.000.000.00 akan dilunasi dengan sistem anuitas tiap semester dengan suku bunga 7.5%/semester selama 7.5 tahun. Tentukan sisa pinjaman setelah mengangsur 10 semester!

12.

Pinjaman Rp18.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3.25 tahun dengan suku bunga 2.5%/bulan. Tentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-12!

13.

Pinjaman Rp25.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan selama 4.25 tahun dengan suku bunga 3.25%/bulan. Tentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-25!

14.

Suatu pinjaman dilunasi dengan anuitas bulanan sebesar Rp500.000 dengan suku bunga 2.5%/bulan selama 2.5 tahun. Tentukan besar pinjaman tersebut!

15.

Pinjaman Rp12.500.000.00 akan dilunasi dengan sistem anuitas tahunan selama 8 tahun dengan suku bunga 12.5%/tahun. Tentukan nilai anuitasnya dan bulatkan anuitas di atas dalam: a. Puluhan ke atas c. Ribuan ke atas b. Ratusan ke atas d. Puluhan ribu ke atas

16.

Suatu pinjaman Rp25.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 5.5%/tahun selama 18 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan! b. Total kelebihan pembayaran anuitas! c. Pembayaran anuitas terakhir!

17.

Suatu pinjaman Rp22.500.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 12%/tahun selama 15 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam ratusan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan! b. Total kelebihan pembayaran anuitas! c. Pembayaran anuitas terakhir!

18.

Pinjaman sebesar Rp14.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan selama 8 tahun dengan suku bunga 15%/tahun. Tentukan nilai anuitasnya dan bulatkan anuitas di atas dalam: a. Ratusan ke bawah c. Ribuan ke bawah b. Ratusan ribu ke bawah d. Puluhan ribu ke bawah

19.

Suatu pinjaman Rp15.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 4.5% / tahun selama 25 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam puluhan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan! b. Total kekurangan pembayaran anuitas! c. Pembayaran anuitas terakhir!


20.

161

Suatu pinjaman Rp25.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 10%/tahun selama 12 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan! b. Total kekurangan pembayaran anuitas! c. Pembayaran anuitas terakhir!

21. Suatu pinjaman obligasi Rp20.000.000.00 terpecah dalam nilai nominal Rp10.000,00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 12%/tahun selama 5 tahun. Susunlah rencana dan tabel pelunasannya! 22.

Suatu pinjaman Rp25.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 20%/tahun selama 8 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke bawah dalam ratusan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan! b. Tabel rencana pelunasanya! c. Pembayaran anuitas terakhir!

23.

Suatu pinjaman Rp50.000.000,00 dalam bentuk obligasi. Karena akan dilunasi dengan anuitas dengan suku bunga 15%, maka obligasi tersebut dipecah menjadi 1.000 lembar. Buatlah rencana pelunasannya!

24.

Suatu pinjaman Rp5.000.000.00 akan dilunasi dengan anuitas tahunan dengan suku bunga 8% / tahun selama 7 tahun. Jika pembayaran anuitas dibulatkan ke atas dalam puluhan ribu, tentukan: a. Besarnya nilai anuitas sebelum dan sesudah dibulatkan! b. Tabel rencana pelunasanya! c. Pembayaran anuitas terakhir!

25.

Suatu pinjaman dilunasi dengan anuitas sebesar Rp725.000,00 tiap bulan selama 3,75 tahun dengan suku bunga 2,75%/bulan. Tentukan: a. Besarnya pinjaman! b. Angsuran ke-10! c. Sisa pinjaman setelah anuitas ke-15!

B. 4. Penyusutan Nilai Barang a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: ¾ Mengidentifikasikan pengertian penyusutan, aktiva, nilai sisa, dan umur manfaat ¾ Menghitung besar penyusutan dengan metode: • Metode garis lurus atau metode persentase tetap dari harga pembelian. • Metode persentase tetap dari nilai buku atau metode saldo menurun. • Metode satuan hasil produksi atau metode unit produksi. • Metode satuan jasa kerja aktiva. • Metode jumlah bilangan tahun.

162


b. Uraian Materi

1). pengertian penyusutan, aktiva, nilai sisa dan umur manfaat Penyusutan atau Depresi adalah berkurangnya nilai ekonomi suatu aktiva. Berkurangnya nilai tersebut biasanya disebabkan karena aus dipakai atau umur manfaatnya. Aktiva adalah segala sumber daya ekonomi dari suatu perusahaan yang berupa harta maupun hak-hak yang di miliki berdasarkan kekuatan hukum. Aktiva perusahan dapat dibedakan menjadi dua, yaitu aktiva lancar dan aktiva tetap. Aktiva lancar adalah suatu aktiva perusahaan yang digunakan untuk membantu kelancaran proses kegiatan oprasional perusahaan. Misalnya uang tunai dan aktiva lain yang secara layak dapat diubah menjadi uang tunai dengan cara dijual atau dipakai habis dalam satu siklus operasi perusahaan yang normal. Aktiva tetap adalah suatu aktiva perusahaan yang sifatnya relatif permanan yang digunakan dalan meyelenggarakan operasi perusahaan. Aktiva tetap ini dibedakan menjadi dua, yaitu: aktiva tetap berwujud dan aktiva tetap tidak berwujud. Aktiva tetap berwujud contohnya tanah, gedung bangunan, peralatan, mesin kendaraan, dan lain-lain. Aktiva tetap tidak berwujud adalah suatu aktiva tetap tidak memiliki sifat-sifat, tetapi memiliki nilai uang karena hak secara hukum. Contohnya hak paten, hak cipta, copyright, goodwiil, dan merek dagang. Biaya perolehan suatu aktiva adalah besarnya biaya yang dikeluarkan untuk memperoleh aktiva tersebut. Nilai sisa atau residu adalah taksiran nilai aktiva setelah masa manfaat dari aktiva tersebut. Umur manfaat suatu aktiva adalah perkiraan lamanya suatu aktiva dapat dimanfaatkan. Agar perusahaan dapat tumbuh berkembang secara seimbang, maka salah satunya perusahaan tersebut perlu mengetahui atau memperkirakan penyusutan-penyusutan aktivanya secara baik dan tepat hingga pada gilirannya perusahaan dapat mengunakan hasil-hasil prakiraan ini sebagai dasar tidak lanjut operasional.

2). Menghitung Besar Penyusutan Pada kompetensi dasar ini, objek peyusutan aktiva perusahaan hanyalah pada aktiva tetap berwujud. Contohnya penyusutan pada mesin produksi, penyusutan pada kendaraan operasional dan penyusutan aktiva tetap berwujud lainnya. Untuk menentukan besarnya beban penyusutan dalam tiap-tiap periode, ada beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain: • Metode garis lurus atau metode persentase tetap dari harga pembelian. • Metode persentase tetap dari nilai buku atau metode saldo menurun. • Metode satuan hasil produksi atau metode unit produksi. • Metode satuan jasa kerja aktiva. • Metode jumlah bilangan tahun. Ada beberapa faktor yang harus diperhitungkan untuk mempermudah penulisan di dalam menentukan besarnya penyusutan, yaitu:

163


A = Biaya perolehan aktiva yaitu besarnya biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk memperoleh aktiva sampai aktiva itu siap di operasikan. S = Perkiraan nilai sisa aktiva yaitu nilai taksir yang mungkin dapat di peroleh melalui aktiva yang sudah lewat masa pemakaiannya. r = Tingkat peyusutan atau presentase peyusutan. n = umur manfaat /umur ekonomis aktiva dalam tahun. D = Beban peyusutan tiap periode. a). Metode Garis Lurus (straight line method). Metode garis lurus disebut juga metode presentase tetap dari harga pembelian aktiva. Berdasarkan metode garis lurus besarnya beban peyusutan tiap tahun adalah tetap yang didefinisikan oleh rumus: A −S D= n Besarnya tingkat peyusutan r di definisikan oleh rumus: r=

D x 100% A

Contoh 73 Sebuah aktiva dengan biaya perolehan sebesar Rp5.000.000,00. Diperkirakan aktiva itu dapat dimanfaatkan selama 6 tahun dengan perkiraan nilai sisa Rp 2.000.000,00. Dengan mengunakan metode garis lurus, tentukan: a. Besarnya beban penyusutan tiap tahun! b. Tingkat peyusutan atau persentase peyusutan per tahun! c. Nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-3! d. Buatlah daftar peyusutan lengkap dengan akumulasi penyusutannya!

Jawab: A = Rp5.000.000,00 S = Rp2.000.000,00 dan n = 6 tahun a. Beban penyusutan tiap tahun: A −S D= n 5.000.000,00 − 2.000.000,00 = = Rp600.000,00 5 jadi, besarnya penyusutan tiap tahun adalah Rp 600.000,00. b. Persentase penyusutan (r) D x 100% r= A 600.000,00 x 100% = 12 % r= 5.000.000,00 Jadi, tingkat penyusutan tiap tahun sebesar 12% dari harga pembelian c. Nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-3 misalkan S3, maka: S3 = A – 3D S3 = 5.000.000,00 – 3 x 600.000,00


164

S3 = Rp3.200.000,00 Jadi, harga aktiva pada akhir tahun ke-3 adalah Rp3.200.000,00. d. Daftar penyusutan aktiva menurut metode garis lurus: Tahun ke 1 2 3 4 5

Biaya perolehan

Beban peyusutan

Akumulasi peyusutan

5.000.000,00 4.400.000,00 3.800.000,00 3.200.000,00 2.600.000,00

600.000,00 600.000,00 600.000,00 600.000,00 600.000,00

600.000,00 1.200.000,00 1.800.000,00 2.400.000,00 3.000.000,00

Nilai buku akhir tahun 4.400.000,00 3.800.000,00 3.200.000,00 2.600.000,00 2.000.000,00

Contoh 74 Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp15.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 12,5% tiap tahun dari harga beli. Tentukan: a. Nilai aktiva pada akhir awal tahun 2010! b. Akumulasi penyusutan selama 6 tahun! c. Umur aktiva jika aktiva tidak bernilai lagi!

Jawab: A = Rp15.000.000,00 r = 12,5% (metode garis lurus) = 0,125 a. Dari awal tahun 2005 sampai awal tahun 2010 = 5 tahun (n = 5) Nilai buku atau harga aktiva untuk n = 5, misalkan S5, maka: S5 = A – 5D S5 = A – 5 x (r . A) S5 = 15.000.000,00 – 5 x (0,125 x 15.000.000,00) S5 = 15.000.000,00 – 9.375.000,00 = Rp5.625.000,00 Jadi, harga aktiva pada awal tahun 2010 adalah Rp5.625.000,00. b. Total persentase akumulasi penyusutan r = n. r = 6 x 12,5% = 75% Total akumulasi penyusutan = r . A = 75% x Rp15.000.000,00 = Rp11.250.000,00. c. Umur aktiva pada saat S = 0, atau r = 100% 100% ∑r =8 n= = r 12,5% b). Metode persentase tetap dari nilai buku (Metode Saldo Menurun) Metode saldo menurun dinamakan juga dengan declining balance method. Di dalam metode ini besarnya beban penyusutan tiap-tiap tahun diperoleh dari perkalian tingkat penyusutan (r) dengan nilai buku awal tahun pada tahun yang bersangkutan. Nilai buku dari tiap-tiap tahun dapat dicari sebagai berikut: Nilai buku pada akhir tahun ke-1 S1 =A – r.A =A (1 – r)

165


Nilai buku pada akhir tahun ke-2 S2 = S1 – r. S1 = S1 (1 – r) = A (1 – r) ( 1 – r) S2= A (1 – r)2 NIlai buku pada akhir tahun ke-3 = S2 – r.S2 S3 = S2 (1 – r) = A (1 – r)2 (1 – r) S3 = A(1 – r )3 , sehingga pada tahun ke-n nilai aktiva diperoleh: Sn= A (1 – r)n Sn A S = n n A

Jika Sn=A(1 – r)n, maka (1 – r)n = (1 – r)

Sn A Jika dinyatakan dalam %, maka tingkat penyusutan atau persentase penyusutan berdasarkan persentase tetap dari nilai buku atau metode saldo menurun adalah: S ) x 100% r = (1 – n A r =1–

n

Contoh 75 Sebuah aktiva dengan biaya perolehan Rp20.000.000,00. Setelah beroperasi selama 6 tahun ditaksir nilai sisanya Rp5.000.000,00. Dengan mengunakan metode persentase tetap dari nilai buku, tentukan: a. Tingkat penyusutan tiap tahun! b. Nilai buku atau harga aktiva pada akhir tahun ke-4! c. Daftar penyusutannya!

Jawab: A = Rp20.000.000,00 S = Rp5.000.000,00 n = 6 tahun S ) x 100% a. r = (1 – n A r = (1 –

6

5.000.000,00 ) x 100% 20.000.000,00

r = (1 – 6 0,25 ) x 100% dengan menggunakan kalkulator scientiffic, diperoleh: r = (1 – 0,7937) x 100% = 20,63%

Jadi, besar penyusutan tiap tahun adalah 20,63% dari nilai buku.


166

b. Nilai buku pada akhir tahun ke-4: Sn= A (1 – r)n Sn= 20.000.000,00 x (1 – 20,63%)4 Sn= 20.000.000,00 x 0,79374 Sn= 20.000.000,00 x 0,396849211 Sn= Rp 7.936.984,22 Jadi, nilai buku pada akhir tahun ke-4 adalah Rp7.936.984,22. c. Daftar penyusutan aktiva menurut metode persentase tetap dari nilai buku. Tahun ke

Biaya perolehan

Persentase penyusutan

Beban penyusutan

Akumulasi penyusutan

Nilai buku akhir tahun

1 2 3 4 5 6

20.000.000,00 15.874.000,00 12.599.193,80 9.999.980,12 7.936.984,22 6.299.584,38

20,63% 20,63% 20,63% 20,63% 20,63% 20,63%

4.126.000,00 3.274.806,20 2.599.213,68 2.062.995,90 1.637.399,84 1.299.604,26

4.126.000,00 7.400.806,20 10.000.019,88 12.063.015,78 13.700.415,62 15.000.019,88

15.874.000,00 12.599.193,80 9.999.980,12 7.936.984,22 6.299.584,38 4.999.980,12

Contoh 76 Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp15.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 7,5% tiap tahun dari nilai buku. Tentukan: a. Nilai aktiva setelah menyusut selama 5 tahun! Setelah berapa tahun nilai aktiva menjadi Rp 11.871.796,88? b.

Jawab: A = Rp15.000.000,00 r = 5,5% a. Sn= A (1 – r)n Sn= 15.000.000,00 x (1 – 7,5%)5 Sn= 15.000.000,00 x 0,9255 Sn= 15.000.000,00 x 0,677187080 Sn= Rp 10.157.806,20.

b. Untuk Sn = Rp 11.871.796,88, maka: Sn = A (1 – r)n 11.871.796,88 = 15.000.000,00 x (1 – 7,5%)n 11.871.796,88 = 0,925n 15.000.000,00 0,791453125 = 0,925n di logaritmakan dengan bilangan pokok 10 log 0,791453125 = n. log 0,925 log 0,791453125 = 3 tahun. n = log 0,925


167

c). Metode satuan hasil produksi (production output method) Besarnya tingkat penyusutan mengunakan metode satuan hasil produksi dihitung berdasarkan tiap satuan hasil produksi (shp). Jika suatu aktiva dengan biaya perolehan sebesar A, masa manfaat selama n tahun, memproduksi sebanyak Q unit produksi (Q = q1 + q2 + q3 + . . .+ qn dengan q1 + q2 + q3 + . . . + qn berturut-turut merupakan jumlah satuan hasil produksi dari tahun pertama sampai dengan tahun ke-n) dan nilai residu sebesar S, maka besarnya tingkat penyusutan r tiap satuan hasil produksi adalah: A−S r= Q Jika D1, D2, D3, . . . Dk merupakan beban penyusutan tahun pertama, ke-2, ke-3 . . . ke-k, maka jumlah kumulatif beban peyusutan pada akhir tahun ke-k adalah: ∑ D = D1 + D2 + D3 + . . . + Dk ∑ D = r. q1 + r . q2 + r . q3 + . . . + r qk ∑ D = r(q1 + q2 + q3 + . . . + qk) Dan nilai buku pada akhir tahun ke-k adalah: Sk = A – ∑ D Contoh 77 Suatu aktiva dengan biaya perolehan Rp25.000.000,00. Diperkirakan umur manfaat aktiva selama 6 tahun dengan jumlah produksinya 10.000 unit dan memiliki nilai sisa Rp5.000.000,00. Jika jumlah produksi tiap tahun berturut-turut adalah 2.500 unit, 2.250 unit, 2.000 unit, 1.750 unit, 1.000 unit, dan 500 unit. Tentukan: a. Tingkat penyusutan tiap satuan unit produksi! b. Beban penyusutan pada tahun ke-3! c. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-4 ! d. Nilai buku pada akhir tahun ke-5! e. Susunan daftar penyusutannya!

Jawab: A = Rp25.000.000,00 n = 6 tahun Q = 10.000 unit (q1 = 2.500, q2 = 2.250, q3 = 2.000, q4 = 1.750, q5 = 1.000 dan q6 = 500) S = Rp5.000.000,00 A−S a. r = Q r=

25.000.000,00 − 5.000.000,00 = Rp2.000,00 10.000

b. D3 = r . q3 = 2.000,00 x 2.000 = Rp2.000.000,00 c. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-4: ∑ D = r(q1 + q2 + q3+ q4) ∑ D = 2.000,00 x (2.500 + 2.250 + 2.000 + 1.750) ∑ D = 2.000,00 x 8.500 = Rp17.000.000,00


168

d. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-5: ∑ D = r(q1 + q2 + q3+ q4+ q5) ∑ D = 2.000,00 x (2.500 + 2.250 + 2.000 + 1.750 + 1.000) ∑ D = 2.000,00 x 9.500 = Rp19.000.000,00 Nilai buku pada akhir tahun ke-5: Sk = A – ∑ D Sk = 25.000.000,00 – 19.000.000,00 = Rp6.000.000,00 e. Susunan daftar penyusutannya sebagai berikut: r = Rp2.000,00 Tahun ke

Nilai buku awal tahun

Jumlah Produksi

1 2 3 4 5 6

25.000.000,00 20.000.000,00 15.500.000,00 11.500.000,00 8.000.000,00 6.000.000,00 Jumlah

2.500 2.250 2.000 1.750 1.000 500 10.000

Beban Penyusutan

Akumulasi penyusutan

5.000.000,00 4.500.000,00 4.000.000,00 3.500.000,00 2.000.000,00 1.000.000,00 20.000.000,00

5.000.000,00 9.500.000,00 13.500.000,00 17.000.000,00 19.000.000,00 20.000.000,00

Nilai Buku Akhir tahun 20.000.000,00 15.500.000,00 11.500.000,00 8.000.000,00 6.000.000,00 5.000.000,00

Contoh 78 Sebuah mesin foto copy dibeli dengan harga Rp 6.500.000,00. Mesin itu diperkirakan mempunyai tingkat penyusutan Rp900 tiap 1000 lembar foto copy yang dihasilkan. a. Jika tahun tertentu mesin foto copy itu dapat menghasilkan 565.500 lembar foto copy, berapakah beban penyusutan pada tahun tersebut? b. Berapakah harga mesin foto copy itu setelah mesin tersebut memproduksi 950.000 lembar foto copy?

Jawab: A = Rp6.500.000,00 r = Rp900/1.000 lembar a. D

=r.q 900 = x 565.500 = Rp508.950,00 1000

b. ∑ D

= r . ∑q 900 = x 950.000 = Rp855.000,00 1000 Nilai buku setelah memproduksi 950.000 lembar: Sk = A – ∑ D Sk = 6.500.000,00 – 855.000,00 = Rp5.645.000,00

169


Contoh 79 Suatu mesin dapat berproduksi sebagai berikut: Tahun ke-1 = 3.000 satuan hasil produksi Tahun ke-2 = 2.500 satuan hasil produksi Tahun ke-3 = 1.500 satuan hasil produksi Tahun ke-4 = 2.000 satuan hasil produksi Tahun ke-5 = 1.000 satuan hasil produksi Setelah 5 tahun, mesin tersebut ditaksir mempunyai nilai Rp 2.500.000,00. Jika dengan metode satuan hasil produksi besarnya penyusutan adalah Rp75,00 per unit. Tentukan: a. Biaya perolehan mesin! b. Besarnya nilai buku pada akhir tahun ke-3!

Jawab: S = Rp2.500.000,00 n = 5 tahun Q = 10.000 unit (q1 = 3.000, q2 = 2.500, q3 = 1.500, q4 = 2.000 dan q5 = 1.000) r = Rp75,00 a.

A−S Q A − 2.500.000,00 75 = 10.000 750.000,00 = A – 2.500.000,00 A = 750.000,00 + 2.500.000,00 = Rp 3.250.000,00 r=

d. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-3: ∑ D = r(q1 + q2 + q3) ∑ D = 75,00 x (3.000 + 2.500 + 1.500) ∑ D = 75,00 x 7.000 = Rp 525.000,00 Nilai buku pada akhir tahun ke-5: Sk = A – ∑ D Sk = 3.250.000,00 – 525.000,00 = Rp 2.725.000,00 d) . Metode satuan jam kerja aktiva (service hours method) Besarnya tingkat penyusutan mengunakan metode satuan jam kerja aktiva dihitung berdasarkan tiap satuan jam kerja aktiva. Jika suatu aktiva dengan biaya perolehan sebesar A, masa manfaat selama n tahun, berproduksi sebanyak Q jam kerja (Q = q1 + q2 + q3 + . . .+ qn dengan q1 + q2 + q3 + . . . + qn berturut-turut merupakan jumlah jam kerja aktiva dari tahun pertama sampai dengan tahun ke-n) dan nilai residu sebesar S, maka besarnya tingkat penyusutan r tiap jam kerja aktiva adalah: r=

A−S Q

Jika D1, D2, D3, . . . Dk merupakan beban penyusutan tahun pertama, ke-2, ke-3 . . . ke-k, maka jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-k adalah:

170


∑ D = D1 + D2 + D3 + . . . + Dk ∑ D = r. q1 + r . q2 + r . q3 + . . . + r qk ∑ D = r(q1 + q2 + q3 + . . . + qk) Nilai buku pada akhir tahun ke-k adalah: Sk = A – ∑ D Contoh 80 Suatu aktiva dengan biaya perolehan Rp30.000.000,00. Diperkirakan umur manfaat aktiva selama 7 tahun dengan pengoperasian mesin selama 40.000 jam dan memiliki nilai sisa Rp6.000.000,00. Jika jumlah jam kerja aktiva tiap tahun berturut-turut adalah 10.000 jam, 8.500 jam, 6.000 jam, 5.500 jam, 5.000 jam, 3.000 jam, dan 2.000 jam. Tentukan: a. Tingkat penyusutan tiap jam kerja aktiva! b. Beban penyusutan pada tahun ke-4! c. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-5! d. Nilai buku pada akhir tahun ke-6! e. Susunan daftar penyusutannya!

Jawab: A = Rp30.000.000,00 n = 7 tahun Q = 40.000 jam (q1 = 10.000, q2 = 8.500, q3 = 6.000, q4 = 5.500, q5 = 5.000 dan q6 = 3.000 dan q6 = 2.000 ) S = Rp6.000.000,00 A−S Q 30.000.000,00 − 6.000.000,00 r= = Rp600,00 40.000

a. r =

b. D4 = r . q4 = 600,00 x 5.500 = Rp 3.300.000,00 c. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-5: ∑ D = r(q1 + q2 + q3+ q4 + q5) ∑ D = 600,00 x (10.000 + 8.500 + 6.000 + 5.500 + 5.000) ∑ D = 600,00 x 35.000 = Rp21.000.000,00 d. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-6: ∑ D = r(q1 + q2 + q3+ q4+ q5+ q6) ∑ D = 600,00 x (10.000 + 8.500 + 6.000 + 5.500 + 5.000 + 3.000) ∑ D = 600,00 x 38.000 = Rp 22.800.000,00 Nilai buku pada akhir tahun ke-6: Sk = A – ∑ D Sk = 30.000.000,00 – 22.800.000,00 = Rp7.200.000,00

171


e.

Susunan daftar penyusutannya sebagai berikut: r = Rp600,00

Tahun ke

Nilai Buku Awal Tahun

Jumlah Jam Kerja

Beban Penyusutan

Akumulasi Penyusutan

1 2 3 4 5 6

30.000.000,00 24.000.000,00 18.900.000,00 15.300.000,00 12.000.000,00 9.000.000,00 7.200.000,00 Jumlah

10.000 8.500 6.000 5.500 5.000 3.000 2.000 40.000

6.000.000,00 5.100.000,00 3.600.000,00 3.300.000,00 3.000.000,00 1.800.000,00 1.200.000,00 24.000.000,00

6.000.000,00 11.100.000,00 14.700.000,00 18.000.000,00 21.000.000,00 22.800.000,00 24.000.000,00

7

Nilai Buku Akhir tahun 24.000.000,00 18.900.000,00 15.300.000,00 12.000.000,00 9.000.000,00 7.200.000,00 6.000.000,00

e). Metode Jumlah Bilangan Tahun (sum of the year’s digits method) Jika suatu aktiva mempuyai umur manfaat n tahun, maka tingkat penyusutan r merupakan bilangan pecahan dari tahun ke tahun semakin menurun dengan penyebut pecahan merupakan jumlah n bilangan asli. Jumlah bilangan tahun dari n tahun adalah: JBT= 1 + 2 + 3 + … + n Beban penyusutan akhir tiap-tiap tahun adalah: n D1 = ( A – S), JBT n −1 D2 = ( A – S ), JBT n−2 ( A – S), D3 = JBT . . . n − k +1 ( A – S) Dk = JBT Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-k adalah: ∑ D = D1 + D2 + D3 + . . . + Dk Nilai buku pada akhir tahun ke-k adalah: Sk = A – ∑ D Contoh 81 Sebuah aktiva dengan biaya perolehan sebesar Rp5.000.000,00 diperkirakan mempunyai umur manfaat selama 6 tahun dengan nilai sisa Rp800.000,00 dengan menggunakan metode jumlah bilangan tahun: a. Tentukan beban penyusutan tiap-tiap tahun! b. Tentukan akumulasi beban penyusutan pada 3 tahun pertama! c. Tentukan nilai buku pada akhir tahun ke-5! d. Buatlah daftar penyusutannya!

172


Jawab: A = 5.000.000,00 S = Rp800.000,00 n = 6 tahun JBT = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 6 a. D1 = (A – S) JBT 6 (5.000.000,00 – 800.000,00) = 21 6 = x 4.200.000,00 = Rp1.200.000,00 21 6 −1 D2 = (A – S) JBT 5 (5.000.000,00 – 800.000,00) = 21 5 = x 4.200.000,00 = Rp1.000.000,00 21 6−2 D3 = (A – S) JBT 4 (5.000.000,00 – 800.000,00) = 21 4 = x 4.200.000,00 = Rp800.000,00 21 6−3 D4 = (A – S) JBT 3 (5.000.000,00 – 800.000,00) = 21 3 = x 4.200.000,00 = Rp600.000,00 21 6−4 D5 = (A – S) JBT 2 (5.000.000,00 – 800.000,00) = 21 2 = x 4.200.000,00 = Rp400.000,00 21 6−5 D6 = (A – S) JBT 1 (5.000.000,00 – 800.000,00) = 21 1 = x 4.200.000,00 = Rp200.000,00 21 b. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-3 adalah: ∑ D = D1 + D2 + D3 = 1.200.000,00 + 1.000.00,00 + 800.000,00 = Rp3.000.000,00

173


atau: ∑ D = D1 + D2 + D3 6+5+4 (A – S) ∑D = JBT 15 (5.000.000,00 – 800.000,00) ∑D = 21 15 x 4.200.000,00 = Rp3.000.000,00 ∑D = 21 c. Nilai buku pada akhir tahun ke-5 adalah: S5 = A – ∑ D 6+5+4+3+2 (5.000.000,00 – 800.000,00) S5 = 5.000.000,00 – JBT 20 S5 = 5.000.000,00 – x 4.200.000,00 21 S5 = 5.000.000,00 – 4.000.000,00 = Rp1.000.000,00 d. Daftar Penyusutannya: Tahun ke

Nilai Buku Awal Tahun

1 2 3 4 5 6

5.000.000,00 24.000.000,00 18.900.000,00 15.300.000,00 12.000.000,00 9.000.000,00 Jumlah

Beban Penyusutan 1.200.000,00 1.000.000,00 800.000,00 600.000,00 400.000,00 200.000,00 4.200.000,00

Akumulasi Penyusutan

Nilai Buku Akhir Tahun

1.200.000,00 2.200.000,00 3.000.000,00 3.600.000,00 4.000.000,00 4.200.000,00

3.800.000,00 2.800.000,00 2.000.000,00 1.400.000,00 1.000.000,00 800.000,00

Contoh 82 Sebuah aktiva mempunyai umur manfaat selama 8 tahun. Menurut metode jumlah tahun beban penyusutan tahun keempat adalah Rp3.000.000,00 dan nilai buku pada akhir tahun ke-6 adalah Rp5.200.000,00. Tentukan biaya perolehan dan residu aktiva!

Jawab: n = 8 tahun, maka JBT = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 1 = 36 D4 = Rp3.000.000,00 S6 = Rp 5.200.000,00 8 − 4 +1 (A – S) JBT 5 (A – S) 3.000.000,00 = 36 D4 =

36 5 A – S = 21.600.000,00 . . . . . . . . . .1)

A – S = 3.000.000,00 x


174

∑D 8+7+6+5+4+3 (S – A) 5.200.000,00 = A – 36 33 5.200.000,00 = A – x 21.600.000,00 ( dari persamaan 1) 36 5.200.000,00 = A –19.800.000,00 A = 5.200.000,00 + 19.800.000,00 = Rp25.000.000,00

S6 = A –

A – S = 21.600.000,00 (dari persamaan 1) S = 25.000.000,00 – 21.600.000,00 = Rp3.400.000,00

3). Penyusutan Aktiva Tetap Tidak Berwujud Aktiva tidak berwujud adalah suatu aktiva tetap yang tidak memiliki sifat fisik. Contoh: hak paten, hak cipta (copy right), merek dagang, dan nama baik (goodwill). Semua biaya yang dikeluarkan untuk mendapatka aktiva sehingga aktiva itu dapat digunakan di dalam operasional perusahaan, maka biaya-biaya itu dimasukan ke dalam biaya perolehan aktiva itu. Proses penyusutan pada aktiva tetap tak terwujud disebut amortisasi. Umur manfaat aktiva tak terwujud, sesuai dengan ketentuan atau peraturan yang telah ditetapkan. Jika aktiva tak berwujud dikeluarkan oleh pemerintah maka masa berlaku aktiva itu ditetapkan oleh pemerintah sesuai dengan peraturan pemerintah. Misalnya hak paten masa berlaku dalam jangka waktu 15 tahun. Perhitungan amortisasi biasanya dilakukan dengan metode garis lurus. Dalam hal ini nilai sisa setelah masa manfaat dari aktiva itu habis adalah nol (S=0). Jadi, beban penyusutan tiap tahun: A−S A−0 A D= = = n n n A = biaya perolehan aktiva tak berwujud. n = masa berlakunya aktiva tak berwujud. Contoh 83 Perusahaan pertambangan Batu bara mendapat hak paten menambang batu bara selama 15 tahun dengan biaya perizinan sebesar Rp150.000.000,00. Tentukan: a. Beban penyusutan tiap tahun dari hak paten tersebut b. Nilai buku pada akhir tahun ke-8!

Jawab: A = Rp150.000.000,00 n = 15 tahun A 150.000.000,00 = Rp10.000.000,00 a. D = = n 15 b. Nilai buku pada akhir tahun ke-8: S8 = A – D S8 = 15.000.000,00 – 8 x 10.000.000,00 = Rp70.000.000,00


175

1.

Sebuah aktiva dengan biaya perolehan sebesar Rp15.000.000,00. Diperkirakan aktiva itu dapat dimanfaatkan selama 8 tahun dengan perkiraan nilai sisa Rp 3.000.000,00. Dengan mengunakan metode garis lurus, tentukan: a. Besarnya beban penyusutan tiap tahun b. Persentase penyusutan per tahun c. Harga aktiva pada akhir tahun ke-5 d. Buatlah daftar penyusutan lengkap dengan akumulasi penyusutannya!

2.

Pada awal tahun 2006 CV Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp12.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 10% tiap tahun dari harga beli. Tentukan: a. Nilai aktiva pada akhir tahun 2010 b. Akumulasi penyusutan sampai akhir tahun 2012 c. Umur aktiva jika aktiva tidak bernilai lagi!

3. Sebuah aktiva dengan biaya perolehan Rp25.000.000,00. Setelah beroperasi selama 7 tahun ditaksir nilai sisanya Rp7.000.000,00. Dengan mengunakan metode persentase tetap dari nilai buku, tentukan: a. Tingkat penyusutan tiap tahun b. Harga aktiva pada akhir tahun ke-5 c. Buatlah daftar penyusutanya! 4. Pada awal tahun 2005 PT Adil dan Sejahtera membeli sebuah aktiva seharga Rp20.000.000,00. Aktiva tersebut menyusut 10% tiap tahun dari nilai buku. Tentukan: a. Nilai aktiva pada akhir tahun 2010 b. Setelah berapa tahun nilai aktiva menjadi Rp9.565.938,00! 5. Suatu aktiva dengan biaya perolehan Rp35.000.000,00. Diperkirakan umur manfaat aktiva selama 8 tahun dengan jumlah produksinya 165.000 unit dan memiliki nilai sisa Rp2.000.000,00. Jika jumlah produksi tiap tahun berturut-turut adalah 30.500 unit, 25.250 unit, 23.000 unit, 20.750 unit, 19.000 unit, 18.500 unit, 18.000 unit dan 10.000 unit. Tentukan: a. Tingkat penyusutan tiap satuan unit produksi! b. Beban penyusutan pada tahun ke-6! c. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-5! d. Nilai buku pada akhir tahun ke-4! e. Susunan daftar penyusutannya. 6. Sebuah mesin foto copy dibeli dengan harga Rp8.500.000,00. Mesin itu diperkirakan mempunyai tingkat penyusutan Rp85 tiap 100 lembar foto copy yang di hasilkan. a. Jika tahun tertentu mesin foto copy itu dapat menghasilkan 250.000 lembar foto copy, berapakah beban penyusutan pada tahun tersebut? b. Berapakah harga mesin foto copy itu setelah mesin tersebut memproduksi 600.000 lembar foto copy?

176


7.

Suatu mesin dapat berproduksi sebagai berikut: Tahun ke-1 = 5.000 unit Tahun ke-2 = 4.500 unit Tahun ke-3 = 3.500 unit Tahun ke-4 = 3.000 unit Tahun ke-5 = 2.000 unit Setelah 5 tahun, mesin tersebut ditaksir mempunyai nilai Rp 2.500.000,00. Jika dengan metode satuan hasil produksi besarnya penyusutan adalah Rp105,00 per unit. Tentukan: a. Biaya perolehan mesin! b. Besarnya nilai buku pada akhir tahun ke-4!

8.

Suatu aktiva dengan biaya perolehan Rp45.000.000,00. Diperkirakan umur manfaat aktiva selama 6 tahun dengan pengoperasian mesin selama 42.000 jam dan memiliki nilai sisa Rp3.000.000,00. Jika jumlah jam kerja aktiva tiap tahun berturut-turut adalah 11.000 jam, 8.500 jam, 7.000 jam, 5.500 jam, 5.000 jam, 3.000 jam dan sisanya tahun ke-6. Tentukan: a. Tingkat penyusutan tiap jam kerja aktiva! b. Beban penyusutan pada tahun ke-3! c. Jumlah kumulatif beban penyusutan pada akhir tahun ke-6! d. Nilai buku pada akhir tahun ke-2! e. Susunan daftar penyusutannya!

10.

Sebuah aktiva mempunyai umur manfaat selama 6 tahun menurut metode jumlah bilangan tahun, beban penyusutan tahun kedua adalah Rp2.200.000,00 dan nilai buku pada akhir tahun ke-3 adalah Rp 6.000.000,00 a. Tentukan biaya perolehan dan residu! b. Buat daftar penyusutan!

11.

Perusahaan pertambangan timah mendapat hak paten menambang timah selama 12 tahun dengan biaya perizinan sebesar Rp180.000.000,00. Tentukan: a. Beban penyusutan tiap tahun dari hak paten tersebut! b. Nilai buku pada akhir tahun ke-8!

12.

Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp100.000.000,00. Dengan perkiraan umur manfaat selama 15 tahun. Berdasarkan metode jumlah bilangan tahun, beban penyusutan pada tahun ke-6 adalah Rp6.750.000,00. Tentukan: a. Besar residunya! b. Nilai buku pada akhir tahun ke-10!

13.

Suatu aktiva dengan metode saldo menurun, nilai buku akhir tahun ke-2 adalah Rp2.250.000,00 dan masa manfaat selama 8 tahun. Hitunglah: a. Persentase penyusutannya! b. Harga beli aktiva!

14.

Suatu aktiva dengan harga Rp12.000.000,00. Tiap tahun harganya tinggal 3 nya dari nilai buku, tentukan harga aktiva pada akhir tahun ke-5! 4


177

15.

Suatu aktiva setiap tahun nilainya menyusut hanya tinggal 0,85 nya dari nilai buku. Jika nilai aktiva pada akhir tahun ke-5 adalah Rp2.218.526,56. Tentukan nilai aktiva pada akhir tahun ke-3!

16.

Selama jangka waktu 10 tahun PT Hasil Alam menghasilkan batu bara sebanyak 50.000 ton dengan hasil tahun pertama sampai dengan tahun ke-10 berturut-turut adalah 5.000 ton, 5.000 ton, 3.000 ton, 4.000 ton, 5.000 ton 7000 ton, 7000 ton, 5000 ton dan 4000 ton. Dengan metode satuan hasil produksi: a. Tentukan tingkat penyusutan setiap satu ton batu bara yang dihasilkan! b. Tentukan nilai buku pada akhir tahun ke-8!

17.

Sebuah mesin pabrik dibeli dengan harga Rp60.000.000,00. Nilai sisa jika mesin tersebut habis masa manfaatnya adalah Rp4.000.000,00 dan ditaksir akan dapat digunakan selama 56.000 jam dengan taksiran sebagai berikut: Tahun I = 12.000 jam Tahun II = 10.500 jam Tahun III = 9.500 jam Tahun IV = 8.000 jam Tahun V = 6.500 jam Tahun VI = 5.500 jam Tahun VII = 4.000 jam Dengan metode satuan jam kerja, tentukan: a. Tingkat penyusutan setiap jam kerja b. Akumulasi penyusutan selama 3 tahun pertama c. Harga mesin setelah beroperasi selama 5 tahun d. Susunan daftar penyusutan!

18.

Suatu aktiva dengan harga Rp6.500.000,00. Dengan metode persentase tetap dari harga beli besarnya persentase penyusutan 6,25% per tahun. Hitunglah: a. Beban penyusutan aktiva tiap tahun b. Jumlah akumulasi nilai penyusutan 10 tahun pertama c. Harga aktiva setelah beroperasi selama 8 tahun d. Masa manfaat aktiva sehingga aktiva tidak bernilai lagi!

19.

Sebuah aktiva dengan biaya perolehan Rp500.000.000,00 diperkirakan selama 5 tahun dapat memproduksi dengan rincian sebagai berikut: Tahun pertama dapat memproduksi 1.200 unit. Tahun kedua dapat memproduksi 800 unit. Tahun ketiga dapat memproduksi 600 unit. Tahun keempat dapat memproduksi 400 unit. Selanjutnya aktiva itu tidak dapat dimanfaatkan lagi kemudian dijual dan laku sebesar Rp5.000.000,00. a. Hitunglah tingkat penyusutan tiap satu unit produksi! b. Berapa harga aktiva seandainya pada akhir tahun ke-2 dijual? c. Buat daftar penyusutan!


178

20. Data suatu aktiva sebagai berikut: Biaya perolehan …………………………… Rp20.000.000,00 Perkiraan aktiva: Masa manfaat aktiva……………………... 8 Jumlah jam kerja…………………………… 50.000 jam Jumlah produksi yang dihasilkan……... 1.600 unit Nilai residu………………………………….... Rp 4.000.000,00 a. Hitunglah beban penyusutan dan persentase penyusutan tiap tahun dengan menggunakan metode garis lurus! b. Hitunglah tingkat penyusutan tiap jam kerja! c. Hitunglah tingkat penyusutan tiap unit produksi! d. Dengan metode satuan hasil produksi dan satuan jam kerja, hitunglah beban penyusutan untuk tahun kedua (tahun kedua dihasilkan 7.600 unit dan bekerja selama 8.500 jam kerja)!

A. Pilihan Ganda

1.

2.

3.

15% di atas 100 senilai dengan …. 3 3 c. a. 23 20 3 3 b. d. 22 18

e.

3 17

12% dibawah 100 dari Rp 4.400.000,00 adalah …. a. Rp682.000,00 c. Rp600.000,00 d. Rp528.000,00 b. Rp628.000,00

e. Rp471.428,00

10% diatas 100 senilai dengan …. persen di bawah 100 c. 8.53 % a. 9.09 % b. 8.83 % d. 8.43 %

e. 8.33 %

4.

Harga jual suatu barang adalah Rp5.980.000,00. Jika barang dijual dengan untung 15%, maka untungnya adalah …. a. Rp760.000,00 c. Rp880.000,00 e. Rp5.200.000,00 b. Rp780.000,00 d. Rp5.100.000,00

5.

Suatu modal sebesar Rp1.000.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 3 tahun dengan suku bunga tunggal 18%/tahun, maka modal setelah dibungakan adalah …. a. Rp1.240.000,00 c. Rp1.450.000,00 e. Rp1.550.000,00 b. Rp1.440.000,00 d. Rp1.540.000,00


179

6.

Modal sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 1 tahun 7 bulan dengan suku bunga 3%/cawu. Bunga yang diperoleh adalah …. a. Rp356.250,00 c. Rp536.250,00 e. Rp635.350,00 b. Rp366.250,00 d. Rp563.350,00

7.

Suatu pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal selama 2 tahun 3 bulan dan bunga yang diperoleh Rp450.000,00, maka suku bunganya tiap tahun adalah …. a. 6% c. 7% e. 8% d. 7,5% b. 6,5%

8.

Suatu pinjaman sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan suku bunga tunggal 7,5%/semester dan modal tersebut menjadi Rp1.800.000,00. Setelah dibungakan selama t bulan, nilai t adalah …. a. 14 bulan c. 18 bulan e. 21 bulan b. 16 bulan d. 20 bulan

9.

Suatu pinjaman setelah dibungakan dengan bunga tunggal 15%/tahun selama 2 tahun modal tersebut menjadi Rp6.110.000,00, maka modal mula-mulanya adalah …. a. Rp 4.400.000,00 c. Rp 4.600.000,00 e. Rp 7.400.000,00 b. Rp 4.500.000,00 d. Rp 4.700.000,00

10.

Modal sebesar Rp2.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 5%/semester selama 5 tahun, maka modal akhirnya adalah …. a. Rp4.257.789,25 c. Rp3.527.789,25 e. Rp3.257.897,25 d. Rp3.257.789,25 b. Rp3.752.789,25

11.

Modal sebesar Rp1.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk 4%/triwulan selama 3 tahun 9 bulan, maka modal akhirnya adalah …. a. Rp3.711.415,26 c. Rp2.711.415,26 e. Rp2.701.415,26 b. Rp3.701.415,26 d. Rp2.710.415,26

12.

Pinjaman sebesar Rp2.500.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk tiap bulan selama 2 tahun ternyata modal menjadi Rp3.575.757,03, maka suku bunganya adalah …. a. 1,2%/bulan c. 1,5%/bulan e. 1,8%/bulan b. 1,4%/bulan d. 1,6%/bulan

13.

Suatu modal setelah dibungakan dengan bunga majemuk sebesar 15%/tahun selama 12 tahun modal menjadi Rp13.375.625,26, maka modal mula-mulanya adalah …. a. Rp2.500.000,00 c. Rp2.600.000,00 e. Rp2.800.000,00 d. Rp2.700.000,00 b. Rp2.550.000,00

14.

Nilai tunai dari suatu modal Rp5.000.000,00 yang dibungakan dengan bunga majemuk 2%/bulan selama 2 tahun adalah …. a. Rp3.008.706,44 c. Rp3.108.607,44 e. Rp3.810.607,44 b. Rp3.018.607,44 d. Rp3.180.607,44

180


15.

Seorang karyawan setiap awal bulan menyimpan uang di bank sebesar Rp 500.000,00. Jika bank memberikan bunga 1,5%/bulan, maka simpanan karyawan selama 2 tahun adalah …. a. Rp14.135.511,80 c. Rp14.531.521,80 e. Rp15.631.511,80 b. Rp14.531.511,80 d. Rp15.531.511,80

16.

Setiap akhir tahun Susan menyimpan uangnya di bank sebesar Rp800.000,00 selama 25 tahun di Bank ABC. Jika bank memberikan bunga 5%/tahun, maka jumlah simpanan total Susan di bank tersebut adalah …. a. Rp38.181.679,06 c. Rp39.181.679,06 e. Rp39.881.979,06 b. Rp38.811.679,06 d. Rp39.811.679,06

17.

Seorang siswa akan mendapat beasiswa pada setiap awal bulannya dari PT.UNILEVER sebesar Rp250.000,00 selama 3 tahun. Jika beasiswa akan diberikan sekaligus diawal bulan pertama dengan dikenai bunga 2%/bulan, maka beasiswa total yang diterima siswa tersebut adalah …. a. Rp6.349.654,83 c. Rp6.994.654,83 e. Rp7.949.654,83 d. Rp7.499.654,83 b. Rp6.499.654,83

18.

Setiap akhir tahun Yayasan Kasih Ibu akan mendapatkan sumbangan dari Bank Dunia sebesar Rp3.500.000,00 dalam jangka waktu yang tidak terbatas. Jika Bank dunia akan memberikan sumbangan sekaligus dengan bunga 17,5%/tahun, maka jumlah sumbangan total yang diterima yayasan tersebut adalah …. a. Rp19.500.000,00 c. Rp23.500.000,00 e. Rp24.000.000,00 d. Rp20.000.000,00 b. Rp23.000.000,00

19.

Nilai tunai Rente kekal pra numerando dari suatu modal Rp500.000,00 tiap bulan dengan suku bunga 2,5%/bulan adalah …. a. Rp19.500.000,00 c. Rp20.500.000,00 e. Rp22.500.000,00 b. Rp20.000.000,00 d. Rp21.500.000,00

20.

Setiap awal bulan Azzam akan mendapatkan beasiswa dari Yayasan Supersemar sebesar Rp175.000,00 dalam jangka waktu yang tak terbatas. Yayasan tak mau repot, oleh karena itu beasiswa akan diberikan sekaligus namun harus dikenai bunga sebesar 1%/bulan, maka beasiswa total yang diterima Azzam adalah …. a. Rp16.275.000,00 c. Rp16.765.000,00 e. Rp17.675.000,00 b. Rp16.500.000,00 d. Rp17.500.000,00

21.

Nilai tunai dari rente kekal Post Numerando adalah Rp5.000.000,00, jika angsurannya sebesar Rp200.000,00 tiap bulan, maka suku bunganya tiap bulan adalah …. a. 3,5% c. 4,5% e. 6% d. 5% b. 4%

22.

Mia bersama suaminya berencana mengambil rumah di VILLA BANDARA INDAH dengan harga Rp250.000.000,00, ternyata Mia hanya memiliki uang muka Rp100.000.000,00 sisanya akan dicicil dengan sistem anuitas tahunan selama 10 tahun dengan suku bunga 18%/tahun . Nilai anuitasnya adalah …. a. Rp33.377.196,2 c. Rp34.337.196,2 e. Rp34.773.196,2 b. Rp33.773.196,2 d. Rp34.377.196,2


181

23.

Nilai anuitas dari suatu pinjaman sebesar Rp5.000.000,00 selama 2 tahun dengan suku bunga 2%/bulan adalah …. a. Rp 262.335,49 c. Rp 264.355,49 e. Rp 265.355,49 b. Rp 263.355,49 d. Rp 264.553,49

24.

Suatu aktiva dibeli dengan harga Rp1.500.000,00 dengan menggunakan metode persentase tetap dari harga beli. Besarnya penyusutan tiap 6 bulan adalah Rp100.000,00 dan aktiva tersebut sekarang berharga Rp300.000,00. maka umur manfaat aktiva tersebut adalah …. a. 6 tahun c. 8 tahun e. 10 tahun b. 7 tahun d. 9 tahun

25.

Suatu mesin dapat berproduksi sebagai berikut: Tahun ke-1=3.000 satuan hasil produksi Tahun ke-2=2.500 satuan hasil produksi Tahun ke-3=1.500 satuan hasil produksi Tahun ke-4=2.000 satuan hasil produksi Tahun ke-5=1.000 satuan hasil produksi Mesin itu ditaksir mempunyai nilai Rp150.000,00. Jika dengan metode satuan hasil produksi besarnya penyusutan adalah Rp55.00 per unit, maka harga beli mesin tersebut adalah …. a.Rp580.000,00 d. Rp700.000,00 e. Rp800.000,00 b.Rp600.000,00 e. Rp750.000,00

26.

Biaya perolehan aktiva sebesar Rp3.000.000,00 mempunyai taksiran masa manfaat selama 10 tahun dengan nilai residu Rp500.000,00. Persentase penyusutan aktiva tersebut menurut straight line method adalah …. 1 1 1 c. 8 % e. 8 % a. 6 % 2 2 3 1 d.8% b. 7 % 2

27.

Seorang anggota meminjam uang dari koperasi sebesar Rp5.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 1,5% setiap bulan. Besar bunga selama setengah tahun adalah …. a. Rp225.000,00 c. Rp500.000,00 e. Rp 750.000,00 b. Rp450.000,00 d. Rp550.000,00

28.

Marina meminjam uang dengan sistem diskonto 5% setahun. Jika pada saat meminjam ia menerima uang sebesar Rp532.000,00, maka besar uang yang harus dikembalikan Sabrina setelah satu tahun adalah …. a. Rp26.600,00 c. Rp558.600,00 e. Rp600.000,00 b. Rp28.000,00 d. Rp560.000,00


182

29.

Setiap awal semester Umi menabungkan uangnya sebesar Rp200.000,00 pada sebuah bank yang memberikan suku bunga majemuk 5,5% setiap semester. Dengan bantuan tabel di bawah, jumlah tabungan Umi pada akhir tahun ke-4 adalah …. n 5,5 % a. Rp888.000,00 2 2,1680 b. Rp916.220,00 4 4,5811 c. Rp1.644.000,00 10,2563 8 d. Rp1.688.000,00 e. Rp2.051.260,00

30. Perhatikan tabel rencana pelunasan dengan sebagian data berikut Anuitas =Rp…… Sisa Bulan Pinjaman ke Awal Pinjaman Bunga = 2 % Angsuran 1 Rp60.000,00 Rp2.960.000,00 2 Berdasarkan data di atas, besar angsuran pada bulan ke-2 adalah . . . a. Rp40.000,00 c. Rp58.384,00 e. Rp400.000,00 d. Rp59.200,00 b. Rp40.800,00 31.

Tabel rencana pelunasan hutang: Bulan ke-

Pinjaman Awal

1 2

Rp6.000.000,00 -

Anuitas Bunga 2 ½% Angsuran Rp121.250,00

Besar anuitas pada tabel di atas adalah . . . . a. Rp1.125.000,00 c. Rp1.300.000,00 b. Rp1.205.000,00 d. Rp1.475.000,00

-

Sisa Hutang Rp4.850.000,00 Rp3.671.250,00 e. Rp1.600.000,00

32.

Nilai beli suatu aktiva sebesar Rp8.400.000,00. Setelah dipakai 5 tahun diperkirakan mempunyai nilai sisa Rp4.150.000,00. Jika dihitung dengan metode garis lurus, maka beban penyusutan setiap tahunnya adalah …. a. Rp168.000,00 c. Rp830.000,00 e. Rp1.050.000,00 b. Rp320.000,00 d. Rp850.000,00

33.

Pada setiap awal tahun, seorang menabung sebesar Rp100.000,00 pada sebuah bank yang memberikan bunga majemuk 20% setiap tahun. Jumlah tabungan tersebut pada akhir tahun ke-2 adalah …. a. Rp220.000,00 c. Rp260.000,00 e. Rp336.000,00 b. Rp240.000,00 d. Rp264.000,00

34. Seorang pedagang meminjam uang dengan sistem diskonto 20%/tahun. Ia menerima pinjaman tersebut sebesar Rp960.000,00. Besar uang yang harus dikembalikan setelah satu tahun adalah …. a. Rp1.000.000,00 c. Rp1.152.000,00 e. Rp1.250.000,00 b. Rp1.250.000,00 d. Rp1.200.000,00

183


35. Berikut ini adalah tabel rencana pelunasan suatu pinjaman dengan sebagian data: Bulan ke 1 2 3 4

Pinjaman Awal Rp. 200.000,00 Rp. 170.000,00 Rp. 138.500,00 dst

Anuitas Bunga 5 % Angsuran Rp. 8.500,00 Rp. 33.075,00 -

Besarnya Anuitas adalah . . . . a. Rp40.000,00 c. Rp30.000,00 b. Rp31.500,00 d. Rp10.000,00

Sisa Pinjaman Rp. 170.000,00 Rp. 138.000,00 Rp. 105.425,00

e. Rp6.925,00

C.2. Soal Essay

1.

Harga barang setelah dikenai pajak adalah Rp2.800.000,00 jika besarnya pajak 12%. Tentukanlah besarnya pajak dan harga sebelum pajak!

2.

Pinjaman sebesar Rp1.250.000,00 dibungakan dengan bunga tunggal 0.5%/bulan selama 2 tahun 5 bulan dan 18 hari (1 tahun = 360 hari). Tentukanlah bunga yang diperoleh!

3.

Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan dengan suku bunga majemuk 4%/semester. Tentukanlah setelah berapa tahun modal menjadi Rp 4.440.732,87!

4.

Setiap awal tahun Tutik menyimpan uangnya di Bank Asia sebesar Rp1.000.000,00, jika Bank memberikan bunga 9%/tahun. Tentukanlah uang Tutik setelah menabung 20 tahun!

5.

Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas bulanan selama 3 tahun dengan suku bunga 2.5%/bulan. Tentukan: a. Anuitasnya b. Bunga dan angsuran pertama!

6.

Pada awal tahun 2004 PT TEKNIK JAYA membeli sebuah aktiva termasuk biayabiaya lain sehingga aktiva itu siap dioperasikan sebesar Rp15.0000.000,00 aktiva itu setiap tahun disusutkan 40% dari nilai buku dan diperkirakan mempunyai umur manfaat selama 6 tahun. a. Tentukan beban penyusutan pada tahun 2008! b. Tentukan nilai buku pada akhir tahun 2007! c. Tentukan nilai residu!

184

7.


Suatu mesin yang dibeli dengan harga Rp600.000.000,00 ditaksir mempinyai nilai sisa Rp40.000.000,00. Mesin ini selama umur manfaatnya akan memberi hasil sebagai berikut: Tahun I =10.000 jam Tahun II = 8.000 jam Tahun III = 6.000 jam Tahun IV = 4.000 jam Dengan metode satuan hasil produksi, tentukan: a. beban penyusutan tiap-tiap unit, dan b. beban penyusutan pada tahun ke-2!

8.

Suatu aktiva dengan harga Rp6.500.000,00 dan ditaksir nilai sisanya Rp1.300.000,00. Dengan metode persentase tetap dari harga beli jika besarnya persentase penyusutan 20% per tahun, maka hitunglah: a. masa manfaat aktiva, b. beban penyusutan aktiva, dan c. nilai buku setelah tahun ke-2!

9.

Hitunglah angsuran ke-5 dari suatu pinjaman Rp2.000.000,00 dengan anuitas Rp800.000,00 dan bunga 4% per tahun!

10.

Utang Rp10.000.000,00 diangsur dengan 10 anuitas dengan bunga 3% setahun. Tentukan sisa pinjaman setelah anuitas ke-6!

Bab

4 Sumb

er: www.o pen-site.org

Peluang Konsep peluang sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, dalam bidang meteorologi, astronomi, asuransi, olahraga, dan lainlain. Salah satu manfaat materi peluang dapat kamu lihat dalam uraian berikut. Komet adalah benda langit yang menyerupai bintang dengan semburan ekornya. Komet yang terkenal adalah komet Halley yang melintas mendekati matahari setiap 76 tahun sekali. Jika peluang komet tersebut melintas setiap 76 tahun sekali adalah 0,937, berapakah peluang komet tersebut tidak melintas setiap 76 tahun sekali? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik.

A. B. C.

Dasar-Dasar Peluang Perhitungan Peluang Frekuensi Harapan

55


1.

2.

Sederhanakanlah pecahan-pecahan berikut. 8 15 a. c. 12 50 23 26 b. d. 37 52 Tentukan jumlah anggota himpunan-himpunan berikut ini.

A.

3.

a. A = {a, b, c, d, e, f, g} b. P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} c. T = {1, a, 2, b, 3} d. Z = {2, 4, 6, 8} Tentukan himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut ini. a. R = {1, 2, 3} b. D = {0, 9}

Dasar-Dasar Peluang

Dalam kehidupan sehari-sehari, kamu pasti sering mendengar pernyataanpernyataan berikut. • Nanti sore mungkin akan turun hujan. • Berdasarkan hasil perolehan suara, Joni berpeluang besar untuk menjadi ketua kelas. • Peluang Indonesia untuk mengalahkan Brazil dalam pertandingan sepakbola sangat kecil. Besar peluang ketiga pernyataan di atas dinyatakan dengan mungkin, berpeluang besar , dan berpeluang kecil. Di dalam Matematika, besar peluang suatu kejadian/pernyataan dapat ditentukan secara eksak. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

1. Kejadian Acak Coba kamu lemparkan sekeping uang logam. Dapatkah kamu memastikan sisi mana yang akan muncul? Tentu saja tidak, bukan? Kamu hanya mengetahui sisi yang mungkin muncul adalah salah satu dari sisi angka atau gambar. Pelemparan sekeping uang logam merupakan salah satu contoh kejadian acak. Untuk lebih memahami pengertian kejadian acak, lakukanlah kegiatan berikut.

Kegiatan 4.1 1. 2. 3.

4.

Siapkan sebuah dadu, sebuah wadah, lima bola merah, dan lima bola kuning. Lemparkan dadu tersebut. Dapatkah kamu menentukan muka dadu yang akan muncul? Masukan lima bola merah dan lima bola kuning ke dalam wadah. Aduklah bola-bola tersebut. Kemudian, tutup matamu dan ambillah satu bola. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil? Ulangi percobaan nomor 3. Kali ini, lakukan tanpa menutup mata. Dapatkah kamu menentukan warna bola yang terambil?

Pada percobaan nomor 1, kamu tentu tidak tahu muka dadu mana yang akan muncul. Kamu hanya mengetahui bahwa muka dadu yang akan muncul adalah yang bertitik satu, dua, tiga, empat, lima, atau enam. Kejadian muka dadu mana yang akan muncul tidak dapat ditentukan sebelumnya. Inilah yang disebut kejadian acak . Sekarang, tentukan olehmu kejadian acak atau bukankah percobaan nomor 3 dan nomor 4?

56


Percobaan yang dilakukan pada Kegiatan 4.1 disebut percobaan statistika. Percobaan statistika adalah percobaan yang dilakukan untuk mengamati suatu kejadian.

2. Titik Sampel dan Ruang Sampel Pada pelemparan sekeping uang logam, sisi yang mungkin muncul adalah sisi angka (A) atau sisi gambar (G). Jika sisi yang mungkin muncul ini dinyatakan dengan himpunan, misalnya S, menjadi S = {A,G}. Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, dilambangkan dengan S. Adapun anggota-anggota dari S disebut titik sampel. Banyak anggota (titik sampel) suatu ruang sampel dinyatakan dengan n(S). Cara menentukan ruang sampel dari titik sampel ada tiga, yaitu dengan mendaftar, tabel, dan diagram pohon.

(a)

(b)

Sumber: www.bi.go.id

Gambar 4.2 : Uang Logam Gambar 4.2 Memperlihatkan : (a) Sisi angka uang logam (b) Sisi gambar uang logam.

a. Menentukan Ruang Sampel dengan Mendaftar Misalkan, pada pelemparan dua keping uang logam sekaligus, sisi yang muncul adalah angka (A) pada uang logam pertama dan gambar (G) pada uang logam kedua, ditulis AG. Kejadian lain yang mungkin muncul pada pelemparan kedua uang logam tersebut adalah AA, GA, dan GG. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, hasilnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n (S) = 4.

b. Menentukan Ruang Sampel dengan Tabel Selain dengan cara mendaftar, ruang sampel dapat ditentukan dengan cara membuat tabel. Perhatikan kembali pelemparan dua keping uang logam pada bagian a. Untuk menentukan ruang sampel dengan tabel, buatlah tabel dengan jumlah baris dan kolom yang diperlukan. Untuk percobaan pelemparan dua uang logam sekaligus, diperlukan tabel yang terdiri atas tiga kolom dan tiga baris. Isi kolom pertama dengan hasil yang mungkin muncul dari uang logam ke-1 dan isi baris kedua dengan hasil yang mungkin dari uang logam ke-2. Kemudian, lengkapi tabel yang kosong. Tabel ruang sampel pelemparan dua logam adalah sebagai berikut.

Situs Matematika www. free.vism.org www.myscienceblogs.com

Uang logam ke-1

Uang logam ke-2

A

G

A

AA

AG

G

GA

GG

Baris pertama

Kolom pertama

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4.

c. Menentukan Ruang Sampel dengan Diagram Pohon Cara lain yang digunakan untuk menentukan ruang sampel adalah dengan diagram pohon. Cara ini merupakan cara yang paling mudah. Berikut adalah diagram pohon untuk pelemparan dua uang logam sekaligus.

Peluang

57

Uang logam ke-1

Uang logam ke-2

Hasil yang mungkin

A

AA

G

A

AG GA

G

GG

A

G

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AA, AG, GA, GG} dengan n(S) = 4.

Contoh Soal

4.1

Tentukan ruang sampel dari percobaan-percobaan berikut. a. Melempar sebuah dadu. b. Melempar tiga keping uang logam sekaligus. c. Melempar dua buah dadu sekaligus. Jawab: a. Hasil yang mungkin muncul dari pelemparan sebuah dadu adalah muka dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Jadi, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. b. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan tiga keping uang logam sekaligus, digunakan diagram pohon. Uang logam ke-3 Uang logam ke-2 Uang logam ke-1

A

A

A

AAA

G

A

AAG AGA

G A

AGG GAA

G

A

GAG GGA

G

GGG

G A G G

c.

Hasil yang mungkin

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. Untuk mempermudah penentuan ruang sampel pelemparan dua buah dadu sekaligus, digunakan tabel.

Sumber: www.kingofchicago.info

Gambar 4.3 Dua buah dadu.

Dadu ke-1

Dadu ke-2

1

1 2 3 4 5 6 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2

(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3

(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 5 6

(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Baris ke-1

Kolom ke-1

Jadi, ruang sampelnya adalah S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ... (6, 6)}

58


Uji Kompetensi 4.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Apa yang dimaksud dengan kejadian acak? Berikan contohnya paling sedikit tiga. 2. Tuliskan perbedaan ruang sampel dan titik sampel. Berikan contohnya. 3. Sebuah kartu diambil dari setumpuk kartu bilangan bernomor 1 sampai dengan nomor 15. Tentukan ruang sampelnya dengan mendaftar. 4. Andri melempar 4 keping uang logam sekaligus. Tentukan ruang sampelnya dengan diagram pohon.

5.

6.

Firdaus melemparkan sebuah dadu dan sekeping uang logam sekaligus. Tentukan ruang sampelnya dengan tabel. Tentukan ruang sampel dari percobaan berikut dengan cara yang kamu anggap paling mudah. a. Pemilihan sebuah bilangan kelipatan 3 dari 10 bilangan positif pertama. b. Sebuah bola diambil dari kotak yang berisi 3 bola merah, 4 bola kuning, dan 5 bola biru.

B. Perhitungan Peluang 1. Pengertian Kejadian Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sedangkan titik-titik sampel percobaan tersebut adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6. Adapun sebarang himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian, biasanya dilambangkan dengan K. Misalnya, K = {2, 4, 6} adalah kejadian munculnya muka dadu bertitik genap dengan n(K) = 3.

Cerdas Berpikir Buatlah sebanyakbanyaknya kejadian dari pengambilan kartu bilangan bernomor 1 sampai dengan 10.

2. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Frekuensi Relatif Frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. Frekuensi relatif dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Frekuensi relatif =

Banyak kejadian K Banyak percobaan

Ambillah sekeping uang logam, kemudian lemparkan sebanyak 30 kali. Misalkan, hasil yang diperoleh adalah muncul sisi gambar sebanyak 13 kali. Perbandingan banyak kejadian muncul sisi gambar dengan banyak 13 pelemparan adalah . Nilai inilah yang disebut frekuensi relatif. 30

Contoh Soal

4.2

Rino melempar elempar ddadu sebanyak 200 kali. Hasilnya adalah muncul muka dadu sebagai berikut. a. Bertitik 1 sebanyak 25 kali. b. Bertitik 3 sebanyak 17 kali. c. Bertitik 6 sebanyak 56 kali. Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 3, dan 6. Jawab: Banyaknya percobaan adalah 200 a. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 1 sebanyak 25 kali. 25 1 banyak kejadian Frekuensi relatif = = = = 0,125 banyak percobaan 200 8 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 1 adalah 0,125. Peluang

59

b. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 3 sebanyak 17 kali. 17 = 0, 085 Frekuensi telatif = 200 c.

Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 3 adalah 0,085. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 6 sebanyak 56 kali. 56 Frekuensi relatif = = 0, 28 200 Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bertitik 6 adalah 0,28

Setelah mengetahui cara menentukan frekuensi relatif suatu kejadian, dapatkah kamu menentukan hubungan frekuensi relatif dengan peluang? Untuk menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut dengan kelompok belajarmu.

Kegiatan 4.2 1.

Siapkan sekeping uang logam, kemudian lemparkan sebanyak 5 kali. Catat hasil yang muncul pada tabel berikut. Hitung frekuensi relatifnya. Sisi yang Muncul

Banyak Pelemparan

Angka ( A)

Gambar ( G)

5 16 22 35

2. 3.

Pada Kegiatan 4.2 , semakin banyak lemparan yang kamu lakukan maka

Tugas

1

Jika peluang dari kejadian mucul sisi angka pada 1 Kegiatan 4.2 adalah , 2 bagaimana dengan kejadian muncul sisi gambar? Apakah peluangnya sama? Diskusikan dengan kelompok belajarmu, kemudian laporkan hasilnya di depan kelas.

60

Ulangi langkah pada nomor 1 dengan jumlah pelemparan yang berbeda, misalnya 16 kali, 22 kali, 35 kali, dan seterusnya. Amatilah tabel yang telah kamu isi. Apa yang dapat kamu simpulkan?

frekuensi relatif kejadian munculnya sisi angka semakin mendekati angka . 2 Nilai ini disebut peluang kejadian muncul sisi angka, dilambangkan dengan P. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung dengan frekuensi relatif.

3. Perhitungan Peluang Suatu Kejadian dengan Rumus Peluang Perhatikan kembali percobaan pelemparan sebuah dadu. Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n (S) = 6. Misalkan, kejadian munculnya muka dadu yang bertitik prima dinyatakan dengan K = {2, 3, 5} sehingga n(K) = 3. Peluang munculnya setiap titik sampel di dalam ruang sampel adalah 1 sama, yaitu . Jadi, peluang munculnya muka dadu bertitik prima adalah 6 1 1 1 3 1 P(K) = + + = = . 6 6 6 6 2


Selain dengan cara tersebut, nilai P(K) juga dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. K = {2, 3, 5} maka n(K) = 3. n( K ) 3 1 = = P(K) = n(S ) 6 2 Uraian tersebut menjelaskan bahwa jika setiap titik sampel anggota ruang sampel S memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n(K) dinyatakan sebagai berikut. P(K ) =

Contoh Soal

n( K ) dengan Kc S n(S )

4.3

Siti melemparkan k sebuah dadu. Tentukanlah peluang munculnya mata dadu a. bertitik 3, b. bertitik lebih dari tiga, c. bertitik 1, 2, 3, 4, 5, 6, d. bertitik lebih dari 6. Jawab: Oleh karena ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. a. Misalkan, A adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik 3 maka A = {3} sehingga n(A) = 1. n( A ) 1 P( A) = = n(S ) 6 1 Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik 3 adalah . 6

Problematika Dua buah dadu dilempar bersamaan. Tentukan peluang munculnya muka dadu yang merupakan kelipatan dari muka dadu yang lain

b. Misalkan, B adalah himpunan kejadian munculnya dadu bertitik lebih dari 3 maka B = {4, 5, 6} sehingga n(B) = 3. n( B ) 3 1 P( B) = = = n(S ) 6 2 1 Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari 3 adalah . 2 c.

Misalkan, C adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 maka C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga n(C) = 6. n(C ) 6 P(C ) = = =1 n(S ) 6 Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah 1.

d. Misalkan, D adalah himpunan kejadian munculnya mata dadu bertitik lebih dari 6 maka D = { } sehingga n(D) = 0. Jadi, peluang munculnya mata dadu bertitik lebih dari 6 adalah 0

Peluang

61

4. Nilai Peluang Perhatikan nilai-nilai yang diperoleh pada Contoh Soal 4.3 . Nilai-nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Secara matematis, ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1

Plus+

dengan P(K) adalah peluang suatu kejadian K. Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol, berarti kejadian tersebut mustahil atau tidak mungkin terjadi, misalnya peluang matahari terbit dari arah barat. Jika peluang suatu kejadian sama dengan 1, berarti kejadian tersebut pasti terjadi, misalnya peluang setiap manusia akan meninggal. Adapun jika peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1, berarti kejadian tersebut mungkin terjadi, misalnya peluang kamu untuk menjadi juara kelas. Jika L merupakan kejadian komplemen dari kejadian K maka peluang kejadian L adalah satu dikurangi peluang kejadian K. Secara matematis, ditulis

Kejadian K j di komplemen dari kejadian K adalah kejadian bukan K.

P(L) = 1 − P(K) atau P(L) + P(K) = 1 Misalnya, peluang Romi lulus ujian adalah 0,9 maka peluang Romi tidak lulus ujian adalah 1 − 0,9 = 0,1.

Contoh Soal

4.4

Lima belas elas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 15. Kartu-kartu tersebut dikocok, kemudian diambil satu kartu secara acak (kartu yang telah diambil kemudian dikembalikan lagi). Tentukan peluang terambil kartu berangka a. genap, b. bukan genap. Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} a. Misalkan, A adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka genap maka A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} sehingga n(A) = 7. n( A ) 7 = P( A) = n(S) 15 7 . 15 b. Oleh karena kartu yang sudah diambil dikembalikan lagi, ruang sampelnya tetap, yaitu S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Misalkan, B adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap maka B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) sehingga n(B) = 8. n( B ) 8 = P( B) = n(S ) 15 Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah

8 . 15 Selain dengan cara tersebut, peluang terambil kartu berangka bukan bilangan genap dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut. Misalkan, B adalah himpunan kejadian terambil kartu berangka bukan genap. B merupakan kejadian komplemen dari kejadian A sehingga P(B) = 1 − P(A) 8 7 =1− = 15 15 Jadi, peluang terambil kartu berangka genap adalah

62


Uji Kompetensi 4.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1 Di dalam sebuah kotak, terdapat kartu bilangan yang bernomor 1 sampai dengan nomor 20. Sebuah kartu diambil dengan pengembalian. Tentukan: a. kejadian terambil kartu berangka genap, b. kejadian terambil kartu berkelipatan 3, c. kejadian terambil kartu berangka lebih dari 20. 2. Heri melempar sekeping uang logam sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi relatifnya jika hasil yang diperoleh adalah a. muncul gambar sebanyak 51 kali, b. muncul angka sebanyak 49 kali. 3. 30 orang siswa ditanya tentang warna kesukaannya. Hasilnya adalah sebagai berikut. P, P, H, M, P, B, H, P, M, M, M, B, B, H, P, M, H, B, B, P, P, P, B, M, B, H, H, B, B, B dengan P = putih, H = hijau, M = merah, dan B = biru. a. Sajikan data tersebut dalam tabel distribusi frekuensi. b. Tentukan frekuensi relatif setiap warna yang disukai. c. Tentukan jumlah seluruh frekuensi relatif. d. Tentukan warna yang paling banyak disukai. 4. Sebuah dadu dilemparkan ke atas. Tentukanlah peluang muka dadu yang muncul adalah a. bertitik 4, b. bertitik lebih dari 3.

5.

6.

7.

8.

c. bertitik ganjil, d. bertitik kelipatan 2. Sebuah kantong berisi 3 bola kuning (K), 5 bola hijau (H), dan 7 bola biru (B). Jika satu bola diambil secara acak dengan pengembalian, tentukan peluang terambilnya bola dengan warna a. kuning, b. hijau, c. biru, d. bukan kuning, e. bukan biru. Tiga keping uang logam dilemparkan bersamaan. Tentukanlah peluang yang muncul adalah a. dua angka dan satu gambar, b. satu angka dan dua gambar. Tentukan apakahkejadian-kejadian berikut mustahil, mungkin terjadi, atau pasti terjadi. a. Satu minggu terdiri atas 7 hari. b. Pengeraman telur ayam memerlukan waktu selama 21 hari. c. Sebelum bulan Maret adalah bulan April. d. Kamu menjadi juara lomba puisi. e. Bulan Februari berjumlah 29 hari. Tulislah masing-masing dua contoh kejadian yang mustahil terjadi, mungkin terjadi, dan pasti terjadi.

C. Frekuensi Harapan (Pengayaan) Pernahkah kamu mengirimkan kupon undian? Dalam suatu undian, semakin banyakkuponundianyangkamukirimkan,harapankamuuntukmemenangkan undian tersebut semakin besar. Harapan kamu untuk memenangkan undian di dalam matematika disebut frekuensi harapan. Frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan (n). Frekuensi harapan biasanya dilambangkan dengan Fh. Secara matematis ditulis Fh = P(K) × n dengan P(K) adalah peluang kejadian K dan n adalah banyaknya percobaan.

Peluang

63

Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal

4.5

Sekeping uang llogam dilemparkan sebanyak 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi angka. Jawab : 1 Misalkan, K adalah himpunan kejadian munculnya sisi angka sehingga P(K) = . 2 Banyaknya pelemparan (n) adalah 30 kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya sisi angka adalah Fh =P(K) ×n 1 = × 30 kali = 15 kali 2

Contoh Soal

4.6

Sebuah ddadu dilempar sebanyak 100 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya d dil a. muka dadu bertitik prima, b. muka dadu bertitik kurang dari 3. Jawab : a. Misalkan, A adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik prima maka 3 1 A = {2, 3, 5} sehingga P(A) = = . 6 2 Banyaknya pelemparan (n) adalah 100 kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik prima adalah Fh =P(A) ×n 1 = × 100 kali = 50 kali. 2 b.

Misalkan, B adalah himpunan kejadian munculnya muka dadu bertitik kurang dari 2 1 3 maka B = {1, 2} sehingga P(B) = = . 6 3 Banyaknya pelemparan (n) adalah 100 kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik kurang dari 3 adalah Fh =P(B) ×n 100 1 kali = × 100 kali = 3 3

Contoh Soal

4.7

Di sebuah h ddaerah, h kemungkinan seorang anak terjangkit suatu penyakit adalah 0,05. Tentukan banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut jika diambil sampel sebanyak 1.000 anak. Jawab : Misalkan, K adalah kejadian seorang anak terjangkit suatu penyakit maka P(K) = 0,05, dan n adalah banyak sampel anak maka n = 3.000. Jadi, banyak anak yang terjangkit penyakit tersebut adalah Fh = P(K) × n = 0,05 × 3.000 anak = 150 anak

64


Uji Kompetensi 4.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Insan melemparkan sebuah dadu sebanyak 150 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya muka dadu bertitik: a. ganjil, b. genap, c. lebih dari 3.

2.

3.

Dalampercobaanpengambilankartudariseperangkat kartu bridge sebanyak 50 kali, tentukan frekuensi harapan terambil kartu bergambar hati. Suatu daerah berpenduduk 2.500 orang. Peluang seorang penduduk di daerah tersebut menjadi seorang sarjana adalah 0,2. Tentukan banyak penduduk yang diperkirakan akan menjadi sarjana di daerah tersebut.

Rangkuman •

Kumpulan atau himpunan semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel. Adapun anggota-anggota ruang sampel disebut titik sampel. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. frekuensi adalah perbandingan banyaknya kejadian yang diamati dengan banyaknya percobaan. Frekuensi relatif suatu kejadian dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

• •

Frekuensi relatiff = •

Banyak kejadian Banyak peercobaan

•

Kisaran nilai peluang munculnya kejadian K adalah sebagai berikut. 0 ≤ P(K) ≤ 1

•

Jika P(K) bernilai 1 maka kejadian K pasti terjadi. Jika P(K) bernilai 0 maka kejadian K mustahil terjadi. Misalkan, L merupakan kejadian komplemen dari K. Besar peluang kejadian L adalah sebagai berikut. P(L) = 1 – P(K) atau P(L) + P(K) = 1

Jika setiap titik sampel anggota ruang sampel S memiliki peluang yang sama maka peluang kejadian K yang memiliki anggota sebanyak n(K) dinyatakan sebagai berikut. P(K ) =

• •

n( K ) dengan Kc C n(S )

Setelah mempelajari bab Peluang ini, materi apa sajakah yang belum kamu pahami dengan baik? Faktor-faktor apa saja yang menghambat pemahamanmu? Pada bab ini, bagian manakah menurutmu yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa?

Peluang

65

Peta Konsep Cara Mendaftar

Ruang Sampel

ditentukan dengan

Dasar-Dasar Peluang

Cara Tabel

Cara Diagram Pohon Titik Sampel

Pendekatan Frekuensi Relatif

Peluang

mempelajari

Perhitungan Peluang

dengan

Rumus

1 ≤ P(K) ≤ 0

Nilai Peluang Jika L kejadian komplemen dari K, P(L) = 1 – P(K) atau P(L) + P(K) = 1

66


Frekuensi Relatif Banyak kej e adian = Banyak percobaan

P(K) =

n(K ) n(SS )

Uji Kompetensi Bab 4 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Munculnya gambar atau angka pada pelemparan sekeping uang logam adalah .... a. kejadian mustahil b. kejadian pasti c. kejadian sampel d. kejadian biasa 2. Setiap anggota ruang sampel disebut .... a. kejadian b. peluang c. titik sampel d. sampel coba 3. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang memiliki nilai peluang nol, kecuali .... a. ayam melahirkan b. bumi berbentuk datar c. setiap siswa mendapat peringkat 1 di kelasnya d. bilangan genap yang habis dibagi 2 4. Pada pelemparan dua buah dadu, kejadian muka dadu berjumlah 5 adalah .... a. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)} b. {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} c. {(1, 4), (2, 3)} d. {(0, 5), (1, 4), (3, 2)} 5. Pada 100 kali pelemparan sekeping uang logam, muncul sisi angka sebanyak 67 kali. Frekuensi relatif muncul sisi angka adalah .... a. 67 c. 100 100 67 b. 6.

23 100

d.

100 23

Dalam sebuah kantong, terdapat 2 kelereng merah, 5 kelereng biru, 4 kelereng hijau, dan 1 kelereng kuning. Peluang terambil kelereng biru adalah .... 5 1 c. a. 12 2 b.

2 3

d.

1 6

7.

Seorang pedagang di suatu pasar mendapat kiriman telur sebanyak 500 butir. Oleh karena kurang hati-hati, 40 telur pecah. Jika sebutir telur diambil secara acak, peluang terambilnya telur pecah adalah .... 12 a. 23 b.

20 23

c.

2 23

d.

2 12

8. Dari soal nomor 7, peluang terambilnya telur yang tidak pecah adalah .... 20 a. 23 b.

21 23

c.

12 23

d.

2 23

9. Peluang munculnya gambar dan gambar pada pelemparan dua keping uang logam adalah .... a. 1

b.

1 3

c.

1 2

d.

1 4

10. Tiga belas kartu diberi nomor 1 sampai dengan 13. Kartu-kartu tersebut dikocok, kemudian diambil 1 kartu secara acak. Peluang terambilnya kartu bernomor genap adalah ....

Peluang

67

a. 1 b. 5 7 c. 13 d.

6 13

11. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Peluang terambil kartu As adalah .... 1 a. 52 b.

4 13

c.

4 13

d.

1 13

12. Dita melemparkan sebuah dadu sebanyak 50 kali Hasilnya adalah sebagai berikut. - Muncul muka dadu bertitik 1 sebanyak 8 kali. - Muncul muka dadu bertitik 2 sebanyak 6 kali. - Muncul muka dadu bertitik 3 sebanyak 6 kali. - Muncul muka dadu bertitik 4 sebanyak 10 kali. - Muncul muka dadu bertitik 5 sebanyak 12 kali. - Muncul muka dadu bertitik 6 sebanyak 8 kali. Pernyataan berikut yang benar adalah .... a. Frekuensi relatif muka dadu bertitik 1 adalah 4 25

b. Frekuensi relatif muka dadu bertitik 3 adalah 4 25

c.

Frekuensi relatif muka dadu bertitik 4 adalah 4 25

d. Frekuensi relatif muka dadu bertitik 6 adalah 1 5

13. Sebuah wadah berisi 15 kancing merah, 12 kancing hijau, dan 13 kancing putih. Jika satu kancing akan diambil secara acak, peluang terambil kancing yang bukan berwarna putih adalah ....

68


a.

3 8

b.

3 10

c.

27 40

d.

5 8

14. Peluang Deva untuk menjadi juara kelas adalah 0,73. Peluang Deva tidak menjadi juara kelas adalah .... a. 0,27 b. 0,43 c. 0,13 d. 0,4 15. Ade melemparkan dua buah dadu secara bersamaan. Peluang muncul muka dadu bertitik genap pada dadu pertama dan muka dadu bertitik ganjil pada dadu kedua adalah .... 1 a. 2 b.

1 3

c.

1 4

d.

1 5

16. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 180 kali. Frekuensi harapan munculnya mata dadu kurang dari 6 adalah .... a. 60 b. 90 c. 120 d. 150 17. Tiga keping uang logam yang sama dilemparkan secara bersamaan sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan ketiganya muncul sisi angka adalah .... a. 5 b. 10 c. 20 d. 40

18. Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260 kali. Jika setiap kartu yang diambil kemudian dikembalikan, frekuensi harapan terambil kartu As adalah .... a. 5 kali b. 20 kali c. 40 kali d. 60 kali 19. Frekuensi harapan munculnya mata dadu bilangan ganjil pada percobaan pelemparan sebuah dadu sebanyak 300 kali adalah .... a. 75 kali b. 100 kali c. 150 kali d. 200 kali 20. Dari 62 kali pelemparan dadu, frekuensi harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah ... kali. a. 10 b. 20 c. 30 d. 40

B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Dari 1 pak kartu bridge, diambil satu kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya a. kartu king, b. kartu berwarna hitam. 2. Dalam sebuah kantong terdapat 15 kaleng merah, 12 kelereng putih, 17 kelereng biru, dan 10 kelereng kuning. Jika satu bola diambil secara acak, kemudian dikembalikan lagi, tentukan peluang terambilnya bola berwarna a. merah, b. biru, c. kuning, d. bukan putih, e. bukan merah. 3. Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya muka dadu a. berjumlah 8, b. berjumlah lebih dari 7. 4. Sekeping uang logam dilemparkan sebanyak 80 kali. Hasilnya adalah muncul sisi angka sebanyak 35 kali dan muncul sisi gambar sebanyak 45 kali. Tentukan frekuensi harapan muncul sisi gambar dan sisi angka. 5. Diketahui bahwa peluang seorang anak lulus ujian adalah 0,85. Berapa orangkah di antara 500 anak yang diperkirakan akan lulus ujian?

Peluang

69

Uji Kompetensi Semester 1 Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Berikut adalah ukuran panjang sisi-sisi segitiga yang sebangun dengan segitiga berisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm, kecuali .... a. 9 cm, 12 cm, dan 15 cm b. 1,5 cm, 2 cm, dan 2,5 cm c. 6 cm, 12 cm dan 10 cm d. 4,5 cm, 6 cm, dan 7,5 cm 2.

5.

Jika ∆ABC .... a. – A = b. – A = c. – A = d. – A =

6.

– B = – P, – C = – B = – Q, – C = – C = – P, – B = – B = – P, – C =

–Q –R –R –B B

12 cm

6 cm

x

– R, – P, – Q, – Q,

A

Perhatikan gambar berikut. 18 cm

@ ∆PQR, hubungan yang benar adalah

D 8 cm

12 cm

C

Nilai x sama dengan .... a. 9 cm c. 15 cm b. 12 cm d. 16 cm

Pada gambar di atas, ΔABC siku-siku di A dan AD ^ CD, Jika AC = 12 cm dan BC = 16 cm, panjang sisi CD adalah .... a. 9 cm c. 6 cm b. 8 cm d. 4 cm

C

3.

Pada gambar di samping, AB = 20 cm, DE = 15 cm, dan CD = 24 cm. Panjang CA adalah ... cm. D

7.

Pasangan segitiga yang kongruen pada jajargenjang ABCD adalah .... D

C

E S

A

B

a. 32 b. 42 4.

c. 56 d. 60

A


a. b. c. d.

R 3 cm T

S

B

∆ADS dan ∆SDC ∆ADS dan ∆ABS ∆ABD dan ∆CDB ∆ABD dan ∆ABC

8.

x

D

4 cm x P

14 cm

Panjang ST adalah ... cm. a. 12 b. 6 c. 4 d. 3

Q A

40˚

120˚

z

y 20˚

B

70


Pada gambar di samping, nilai 2x – 3y + z = .... a. 60˚ b. 80˚ c. 140˚ d. 180˚

s r a. prs c. 2prs 2 b. pr s d. 2pr2s 13. Ditahui sebuah kerucut dengan tinggi 8 cm dan jari-jari alasnya 6 cm. Luas seluruh permukaan kerucut tersebut adalah .... a. 301,44 cm2 b. 188,40 cm2 c. 113, 04 cm2 d. 100,48 cm2 14. Volume kerucut yang jari-jarinya 8 cm dan garis pelukisnya 17 cm adalah ... cm. a. 2.009,6 c. 912,03 b. 1.004,8 d. 669,87 15. Luas permukaan bola yang berdiameter 21 cm adalah .... a. 264 cm2 b. 462 cm2 c. 1.386 cm2 d. 4.851 cm2

16. Sebuah bola volumenya 904,32 dam3. Jari-jari bola tersebut adalah .... a. 9 cm b. 8 cm c. 7 cm d. 6 cm 17. Diketahui panjang jari-jari sebuah bola sama dengan panjang jari-jari sebuah tabung yaitu 5 cm. Jika tinggi tabung adalah 8 cm, perbandingan volume bola dan volume tabung adalah .... a. 2 : 3 b. 3 : 4 c. 4 : 5 d. 5 : 6 18. Yang termasuk data kuantitatif adalah sebagai berikut, kecuali .... a. ukuran lingkar pinggang seorang siswa b. rasa manisan kolang kaling c. komet Halley muncul setiap 76 tahun sekali d. jarak bumi-bulan adalah 3,82 × 108 m 19. Petugas Departemen Pendidikan Nasional melakukan penelitan mengenai tingkat kelulusan siswa kelas IX di Bali. Sampel untuk penelitian tersebut adalah .... a. siswa SMP negeri di Bali b. siswa SMP swasta di Bali c. siswa beberapa SMP negeri dan swasta di Bali d. seluruh siswa SMP di Bali 20. Perhatikan diagram batang berikut. 250 Jumlah Siswa

9. Pernyataan yang benar mengenai tabung adalah .... a. mempunyai 2 buah sisi b. mempunayai 3 titik sudut c. jari-jari lingkaran alas sama dengan jari-jari lingkaran atas d. merupakan prisma segibanyak beraturan yang sisi alasnya berbentuk segiempat 10. Diketahui sebuah tabung memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari alasnya 7 cm. Luas permukaan tabung tersebut adalah .... a. 968 cm2 b. 1.452 cm2 c. 1.936 cm2 d. 1.980 cm2 11. Tinggi suatu kaleng yang berbentuk tabung yang berisi minyak sebanyak 314 dm3 dan berdiameter 10 dm adalah .... a. 25 cm b. 30 cm c. 35 cm d. 40 cm 12. Luas selimut kerucut pada gambar berikut adalah ....

200 150 100 50 2003 2004 2005 2006 2007 Tahun

Diagram batang tersebut menunjukkan jumlah penerimaan siswa baru di SMP Nusantara dari tahun 2003 sampai dengan tahun 2007. Kenaikan jumlah siswa terbesar terjadi pada tahun .... a. 2004 c. 2006 b. 2005 d. 2007

Uji Kompetensi Semester 1

71

21. Nilai ulangan Matematika 14 siswa adalah sebagai berikut. 4, 5, 5, 6, 7, 8, 7, 6, 9, 7, 5, 9, 8, 7 Banyak siswa yang mendapat nilai di bawah rata-rata adalah .... a. 4 orang b. 5 orang c. 6 orang d. 7 orang 22. Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. 1 4 3 5 2 4 3 5 2 6 2 4 1 3 4 3 5 4 1 6 Modus data tersebut adalah .... a. 2,5 c. 4,0 b. 3,5 d. 5,0 23. Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut. Nilai

Frekuensi

4 5 6 7 8 9 10

2 2 6 10 5 4 1

Median data tersebut adalah .... a. 6,5 c. 5,5 b. 6 d. 5 24. Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 26 siswa Kelas IX adalah 55. Jika seorang siswa yang mendapat nilai 80 tidak dimasukkan ke dalam perhitungan tersebut, nilai rata-rata ujian yang baru adalah .... a. 54 c. 52 b. 53 d. 51 25. Diketahui sekumpulan data sebagai berikut. 10 18 32 14 20 18 30 32 25 28 Pernyataan yang benar adalah .... a. jangkauan = 20 b. Q1 = 16 c. Q2 = 25 d. Q3 = 30

72


26. Jika tiga keping uang logam dilemparkan sekaligus, jumlah kejadian yang mungkin terjadi seluruhnya sebanyak .... a. 5 kejadian c. 7 kejadian b. 6 kejadian d. 8 kejadian 27. Sekeping uang logam dilemparkan 200 kali. Ternyata, muncul sisi gambar sebanyak 155 kali. Frekuensi relatifnya adalah .... 31 a. c. 29 60 30 b.

37 60

d.

23 30

28. Dari satu set kartu bridge diambil sebuah kartu secara acak. Peluang terambil kartu keriting adalah .... 1 1 c. a. 52 13 b.

13 52

d.

4 13

29. Sebuah kantong berisi 14 kelereng hitam, 12 kelereng putih, dan 22 kelereng biru. Jika sebuah kelereng diambil secara acak, peluang terambil kelereng putih adalah .... a. b. c. d.

7 24 11 24 1 4 3 4

30. Dari 50 siswa, terdapat 30 orang yang gemar lagu pop, 25 orang gemar lagu-lagu dangdut, 10 orang gemar keduanya, dan 5 orang tidak gemar keduanya. Jika dipanggil satu orang secara acak sebanyak 100 kali, harapan terpanggil kelompok siswa yang hanya gemar lagu-lagu dangdut adalah .... a. 15 kali b. 25 kali c. 30 kali d. 50 kali

Bab

5 Sum

b er : w

ww.h5.dion.ne.jp

Pangkat angkat Tak T Sebenarnya Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bilangan berpangkat positif. Pada bab ini, materi tersebut akan dibahas lebih dalam dan dikembangkan sampai dengan bilangan berpangkat negatif, nol, dan pecahan. Dalam kehidupan sehari-hari, perhitungan bilangan berpangkat banyak digunakan. Contohnya sebagai berikut. Frekuensi gelombang televisi 10 56 putaran per detik. Jika besar frekuensi sinar X 10.000 kali frekuensi gelombang televisi, berapa besar frekuensi sinar X ? Untuk menjawabnya, kamu dapat menggunakan alat pengukur besar frekuensi suatu gelombang, yaitu osiloskop. Secara matematis, besar frekuensi sinar X dapat ditentukan menggunakan sifat perkalian bilangan berpangkat yang akan dibahas pada bab ini. Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik.

A.

B.

Bilangan Berpangkat Bulat Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

73


1.

2.

3.

Tentukan nilai p. a. 2 + (–5) = p b. –4 – p = –2 c. p + 8 = 10 Tuliskan dalam bentuk pangkat. a. 2 × 2 × 2 b. (–5) × (–5) c. q × q × q × q Tentukan nilai dari: a. 32 b. 43 c. (–2)4

4.

5.

Tentukan nilai dari: a. 22 + 23 b. 32 – (–2)2 c. 52 + 43 Tentukan nilai dari: a.

36

b. c.

100 3

64

A. Bilangan Berpangkat Bulat Di Kelas VII, kamu telah mempelajari bilangan berpangkat bulat positif. Sekarang, materi tersebut akan dikembangkan sampai bilangan berpangkat bulat negatif dan nol.

1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif Ketika mempelajari operasi perkalian, kamu pasti pernah menemukan bentukbentuk perkalian seperti berikut. 7 × 7, 5 × 5 × 5, (–4) × (–4) × (–4) × (–4), (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5), dan lain-lain. Bentuk-bentuk perkalian berulang tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat. 7 × 7 ditulis 72 dibaca tujuh pangkat dua atau tujuh kuadrat. 5 × 5 × 5 ditulis 53 dibaca lima pangkat tiga. (–4) × (–4) × (–4) × (–4) ditulis (–4)4 dibaca negatif empat pangkat empat. (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) ditulis (0,5)5 dibaca nol koma lima pangkat lima. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa bilangan berpangkat merupakan bentuk sederhana dari perkalian berulang dan memperjelas definisi bilangan berpangkat berikut.

5.1 ∋

Jika a R (bilangan real) dan n adalah bilangan bulat maka bilangan an (dibaca a pangkat n) didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (faktor). a n = a × a ×... × a n faktor

an disebut bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok, dan n disebut pangkat (eksponen).

74


Contoh Soal

5.1

Nyatakan an bilangan-bilangan bilanga berpangkat berikut dalam perkalian berulang, kemudian hitunglah. d. (0,5)4 a. 25 b. (–3)2 e. (–4)3 Jawab: a. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 b. (–3)2 = (–3) × (–3) = 9 c. (0,5)4 = (0,5) × (0,5) × (0,5) × (0,5) = 0,0625 d. (–4)3 = (–4) × (–4) × (–4) = –64

Contoh Soal

5.2

Sudut Tekno Perhitungan bilangan gan berpangkat dapat dilakukan dengan menggunakan Misalnya, kamu diminta untuk menghitung 24. Untuk menjawabnya, tekan wabnya nyaa, te y tombol 2 x 4 = pada kalkulator. Hasil yang akan kamu peroleh pada layar adalah 16.

Sebuah kubus k b panjang rusuknya 8 cm. Tentukan volume kubus tersebut. Jawab : Diketahui : sebuah kubus dengan panjang rusuk (r) = 8 cm. Ditanyakan: volume kubus Penyelesaian: V = r3 = (8 cm)3 = 8 cm × 8 cm × 8 cm = 512 cm3 Jadi, volume kubus 512 cm3

2. Sifat-Sifat Operasi Bilangan Berpangkat a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

{{

{

Sifat perkalian bilangan berpangkat telah kamu pelajari di Kelas VII. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan katakatamu sendiri. Misalnya, 4 2 × 4 3 = ( 4 × 4 ) × ( 4 × 4 × 4 ) 2 faktor

3 faktor

= 4 × 4 × 4 × 4× 4 ( 2+ 3) faktor

= 4

2+ 3

= 45

Jadi , 42 × 43 = 42 + 3 = 45. Untuk perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, berlaku sifat berikut

Sifat 5.1 am x an = a m + n dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.

Pangkat Tak Sebenarnya

75

Agar kamu lebih memahami Sifat 5.1, pelajarilah contoh soal berikut.

Cerdas Berpikir Jika am × an = am + n, tentukan nilai am × an yang mungkin dari: a. am + n = 410 b. am +

n

= (–12)7

Contoh Soal

5.3

Sederhanakan k bbentuk-bentuk perkalian berikut. a. 63 × 64 c. 52 × 33 × 2 2 d. 7a3 × b4 × 3a2 × b b. (–4) × (–4) Jawab: a. 63 × 64 = 63 + 4 = 67 b. (–4) × (–4)2 = (–4)1 + 2 = (–4)3 c. Oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, perkalian 52 × 33 × 2 tidak dapat disederhanakan. d. 7a3 × b4 × 3a2 × b = 7a3 × 3a2 × b4 × b = 21a3 + 2 b4 + 1 = 21a5b5

Contoh Soal

5.4

Sebuah persegipanjang i memiliki ukuran panjang dan lebar berturut-turut 10a3 dan 4a3. Tentukan luas persegipanjang tersebut. Jawab: Diketahui: sebuah persegipanjang dengan p = 10a 3 dan l = 4a3 Ditanyakan: luas persegipanjang Penyelesaian: L=p× l = 10a3 × 4a3 = 40a3 + 3 = 40a6 Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah 40a6

4a3 10a3

b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Selain sifat perkalian bilangan berpangkat, sifat pembagian bilangan berpangkat juga telah kamu pelajari. Coba ingat kembali materi tersebut dan jelaskan dengan kata-katamu sendiri.

{

6 faktor

6

5 5 ×5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 4 5 5 × 5 ×5 × 5

{

Misalnya,

4 faktor

{

= 5× 5 2 faktor

= 56 – 4 = 52 Jadi,

76

56 = 5 6− 4 = 5 2 . 54


Sifat 5.2 am = a m− n an dengan a bilangan real yang tidak nol dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n.

Contoh Soal

5.5

Sederhanakan nakan pe pem pembagian-pembagian berikut. 12 93 6 a. c. 62 610 8

b.

4

(− 7) 3 (− 7)

(− 3) × (− 3) 2 (− 3)

d.

e.

24a8 : 12a3

f.

30 p8 × 4q 4 5 p 7 × 4q 3

3

Jawab: 12 a. 6 = 612 − 10 = 62 610 b. c.

(− 7) (− 7)

8 3

= (− 7)

8− 3

= (− 7)

5

3 Oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, pembagian 9 tidak dapat 62 disederhanakan.

4

3

4+ 3

(− 3) = 2 (− 3)

7

d.

(− 3) × (− 3) 2 (− 3)

(− 3) 7− 2 5 = = (− 3) = (− 3) 2 (− 3)

e.

24a8 : 12a3 =

f.

30 p8 × 4q 4 120 p8 q 4 = 6p8 – 7q4 – 3 = 6pq = 7 3 7 3 5 p × 4q 20 p q

24 a8 = 2a8 – 3 = 2a5 12 a 3

C. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

{

Masih ingatkah sifat perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari? Coba jelaskan kembali olehmu. Misalnya, (22)3 = ( 22 ) × ( 22 ) × ( 22 ) 3faktor

{

{

{

= ( 2 × 2) × ( 2× 2) × ( 2× 2) 2 faaktor

2 faktor

2 faktor

{

= 2 ×2 × 2 × 2 × 2 × 2 (3× 2) faktor

Jadi, (22)3 = 22 × 3 = 23 × 2.


77

Sifat 5.3 m n

(a ) = am × n = an × m dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif.

Coba kamu pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal

5.6

Sederhanakan anakan pe perpangkatan-perpangkatan berikut. 4 2 a. (5 ) 5 b. ( (− 6)3) c.

25 × ( 2 3)

2

24 7

8

d.

(− 3) × ( (− 3)2 ) 4 ( (− 3)3) × (− 3)

Jawab: a. (54)2 = 54 × 2 = 58 b. c.

5

( (− 6) ) = (− 6) 3

25 × ( 2 3 )

3× 5

= (− 6)

15

2

24

25 × 2 6 24 25 + 6 = 4 2 211 = 4 2 = 211− 4

=

= 27 8

d.

7

(− 3) × ( (− 3)2 ) 4 ( (− 3)3) × (− 3)

8

2× 7

8

14

(− 3) × (− 3) = 3× 4 (− 3) × (− 3)

(− 3) × (− 3) = 12 (− 3) × (− 3) 8+ 14 22 (− 3) (− 3) 22− 13 9 = = = (− 3) = (− 3) 12+ 1 13 (− 3) (− 3) d. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Pelajari penjumlahan bilangan berpangkat berikut. 1. 24 + 26 = 24 + 24 + 2 = 24 + 24 · 22 (menggunakan Sifat 5.1 ) 4 2 = 2 (1 + 2 ) (menggunakan sifat distributif)

78


2. (–5)6 + (–5)9 = (–5)6 + (–5)6+3 = (–5)6 + (–5)6 · (–5)3 (menggunakan Sifat 5.1 ) 6 3 = (–5) (1 + (–5) ) (menggunakan sifat distributif) Kedua contoh tersebut memperjelas sifat penjumlahan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama, yaitu sebagai berikut.

Sifat 5.4 n

a + am = an (1 + am – n) dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.

Tugas 5.1 Diskusikan dengan teman sebangkumu, bagaimana sifat pengurangan bilangan berpangkat yang memiliki bilangan pokok yang sama. Laporkan hasilnya di depan kelas.

Jika Tugas 5.1 kamu kerjakan dengan benar, diperoleh sifat pengurangan bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama, yaitu sebagai berikut.

Sifat 5.5 a – am = an (1 – am – n) atauam – an = an (am – n – 1) dengan a bilangan bulat dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n. n

Agar kamu lebih memahami Sifat 5.4 dan 5.5, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh Soal

5.7

Sederhanakanlah k l h penjumlahan dan pengurangan berikut. 3 c. a 4 + a 8 a. (–8) + (–8)5 b. 77 – 73 d. b10 – b7 Jawab: a. (–8)3 + (–8)5 = (–8)3 + (–8)3+2 = (–8)3 + (–8)3 · (–8)2 = (–8)3 (1+ (–8)2) b. 77 – 73 = 74 + 3 – 73 = 74 · 73 – 73 = 73 (74 – 1) c.

a5 + a6 = a5 + a5 + 1 = a5 + a5 · a = a 5 (1 + a)

d. b12 – b8 = b8 + 4 – b8 = b8 · b4 – b8 = b8 (b4 – 1)

2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif dan Nol Pada bagian A.1, kamu telah mempelajari bahwa bilangan berpangkat merupakan bentuk sederhana dari perkalian berulang. Misalnya, 2 3 merupakan bentuk sederhana dari 2 × 2 × 2. Sekarang, bagaimana cara menguraikan 2 –3 dan 20? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut dengan baik.


79

a. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Amatilah Sifat 5.2. Untuk a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n, berlaku am = a m− n n a Apa yang terjadi jika m < n? Jika m < n maka m – n merupakan bilangan bulat negatif. Pelajari pembagian bilangan berpangkat berikut. 22 2× 2 1 1 ... (i) = = 2 = 4 2 2 ×2 × 2 × 2 2 × 2 2 22 = 2 2− 4 = 2− 2 24

Sekilas Matematika

... (ii)

1 = 2− 2 . Sekarang, coba kamu selesaikan 2 2 pembagian bilangan berpangkat berikut dengan kedua cara di atas. 33 = ... 38 711 = ... 712 Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa

Jika kamu dapat menyelesaikan kedua soal tersebut dengan benar, akan memperjelas definisi bilangan berpangkat bulat negatif, yaitu sebagai berikut.

5.2

Sumber: www.bnd.com.au

Panjang gelombang sinar infra merah berkisar antara satu milimeter dan 750 nanometer. Satu nanometer (1nm) adalah satu per satu miliar meter. Jika dilambangkan dengan bilangan, satu nanometer ditulis 1 nm =

1 m 1.000.000.000

= 10–9 m Sumber: Ensiklopedia Iptek, Ensiklopedia Sains untuk Pelajar dan Umum, 2007

1 an dengan a bilangan real, a ≠ 0, dan n bilangan bulat positif. a− n =

Dengan menggunakan Definisi 5.2, kamu dapat mengubah bilangan berpangkat bulat negatif ke dalam bilangan bulat positif dan sebaliknya.

Contoh Soal 1. 2.

5.8

Tuliskan iiskan k dalam ddall bentuk pangkat positif. a. 3–5 b. (–8)–4 Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif. 1 1 a. b. 2 7 26

c.

a–2

c.

1 a9

c.

1 a2

c.

1 = a− 9 9 a

Jawab: 1.

2.

80

a.

a.

1 35

b.

1 = 7− 2 72

b.

3− 5 =


(− 8)

−4

=

1 = 2− 6 26

1

(− 8)

4

Sifat-sifat operasi bilangan berpangkat positif berlaku juga untuk bilangan berpangkat negatif dengan a, b bilangan real dan m, n bilangan bulat negatif.

Tugas 5.2 Buatlah masing-masing tiga contoh untuk setiap sifat bilangan berpangkat negatif di buku latihanmu. Bandingkan hasilnya dengan temanmu.

b. Bilangan Berpangkat Nol Perhatikan kembali bentuk berikut. am = a m− n n a Jika pada bentuk tersebut nilai m sama dengan nilai n maka m – n = 0 dan am – n merupakan bilangan berpangkat nol. Pelajari pembagian bilangan berpangkat berikut. 3× 3 9 ...(i) = = 1 32 : 32 = 3× 3 9 32 ...(ii) 32 : 32 = 2 = 32− 2 = 30 3 Dari (i) dan (ii) diperoleh bahwa 1 = 30. Sekarang, coba kamu selesaikan pembagian bilangan berpangkat berikut dengan kedua cara di atas. 24 = ... 24

(− 4) (− 4)

7 7

= ...

Jika kamu dapat menyelesaikan kedua soal tersebut dengan benar, akan memperjelas definisi bilangan berpangkat nol, yaitu sebagai berikut.

5.3 a0 = 1 dengan a bilangan real dan a ≠ 0.

Contoh Soal

5.9

Hitunglah perpangkatan-perpangkatan berikut. c. (25)0 a. (5)0 b. (12)0 d. 34a2 b0 Jawab: c. (25)0 = 1 a. (5)0 = 1 d. 34a2 b0 = 34a2 · 1 = 34a2 b. (12)0 = 1

Sifat-sifat bilangan berpangkat positif dan negatif berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol dengan a bilangan real, a ≠ 0, dan m – n = 0.

3. Bilangan Rasional Berpangkat Bulat a. Bilangan Rasional Di Kelas VII, kamu telah mempelajari materi bilangan bulat. Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.

Tugas 5.3 Buatlah masing-masing tiga contoh untuk setiap sifat bilangan berpangkat nol di buku latihanmu. Bandingkan hasilnya dengan temanmu.


81

Tugas 5.4 Selain bilangan rasional, di dalam sistem bilangan juga terdapat bilangan irasional. Carilah informasi mengenai bilangan irasional. Kamu dapat mencarinya di perpustakaan atau internet. Laporkan hasilnya di depan kelas

Misalnya,

1 2 5 7 1 = = = = = ... 1 2 5 7 2 4 6 10 = ... 2= = = = 1 2 3 5 − 5 − 10 − 15 − 25 −5 = = = = = ... 1 2 3 5

Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk pecahan disebut bilangan rasional. Uraian tersebut memperjelas definisi bilangan rasional, yaitu sebagai berikut.

5.4 a Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

b. Bilangan Rasional Berpangkat Bulat Pada bagian sebelumnya, kamu telah mampelajari bilangan bulat berpangkat bulat. Sekarang kamu akan mempelajari bilangan rasional berpangkat bulat. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat. Coba kamu tuliskan dan jelaskan sifat-sifat tersebut dengan kata-katamu.

Contoh Soal

5.10

Hitunglah perpangkatan bilangan rasional berikut.

( ( ( ( ( ( (

( ( ( ( ( ( ( 5

(

(

3

c.

2 7

( (

a.

2 3

( ( 3

b.

2 2 × 7 7

4 4 + 5 5

1 2 3 4

5

d.

Jawab:

(( ( ( ( ( ( ( ( ( (

a.

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3

3

2 2 2 23 8 = × × = 3= 3 3 3 3 27

3

b.

5

3

3+ 2

3

3

4 4 4 4 = + + 5 5 5 5

4 4 4 + = . 5 5 5

=

82


4 5

3

1+

4 5

2

2

2

6

2

2 3 5 1 x 4 x

6

⎛ 2 ⎞ ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ×⎜ ⎟ ⎝ 7 ⎠ ⎝7 ⎠ 5

c.

5 +2

2

⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 7⎠

⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝7 ⎠

7 7− 6

⎛ 2⎞ = =⎜ ⎟ = 6 6 ⎝7⎠ ⎛ 2⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠

6

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝7⎠

⎛ 2⎞ =⎜ ⎟ ⎝7⎠

d. Pembagian ini tidak dapat disederhanakan. Mengapa? Jelaskan jawabanmu.

Contoh Soal 1.

5.11

Tuliskan skan dalam dala pangkat positif. −7

−3

2.

−c

⎛ 3⎞ b. ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

⎛ 1⎞ a. ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

c.

⎛ a⎞ ⎜ ⎟ ⎝ b⎠

Tuliskan dalam pangkat negatif. a.

1

b.

5

⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 9⎠

1

1

c.

⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠

⎛ p⎞ ⎜ q⎟ ⎝ ⎠

2

r

Jawab: −3

1.

2.

⎛ 1⎞ a. ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

=

⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

3

b.

−5

⎛7 ⎞ a. = ⎜ ⎟ 5 ⎝9⎠ ⎛7 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝9⎠ 1

−c

−7

1

b.

⎛ 3⎞ 1 ⎜ ⎟ = 7 ⎝ 4⎠ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎛5 ⎞ =⎜ ⎟ 2 ⎝6 ⎠ ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ 1

c.

1 ⎛ a⎞ ⎜ ⎟ = c ⎝ b⎠ ⎛ a⎞ ⎜ b⎟ ⎝ ⎠

−2

−r

p = ⎛⎜ ⎞⎟ r ⎛ p⎞ ⎝q ⎠ ⎜ ⎟ ⎝q⎠ 1

c.

Uji Kompetensi 5.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. a. Tuliskan dalam bentuk bilangan berpangkat, kemudian tentukan bilangan pokok dan pangkatnya. 1) 4 × 4 × 4 × 4 2) 10 × 10 × 10 × 10 × 10 3) (–7) × (–7) × (–7) 4) c × c × c × c × c × c × c 5) (–y) × (–y) × (–y) × (–y) × (–y) b. Tuliskan perpangkatan berikut sebagai perkalian berulang. 1) 23 4) 26 42 2) 55 5) 83 a5 3) (–6)4

2.

3.

Sederhanakan perkalian berikut. a. 26 × 27 b. 43 × 42 c. (–3)5 × (–3) × (–3)7 d. 33 × 44 × 55 e. s6 × s7 × s9 f. 3a2 × 3a3 g. 8p4 × p h. 9a × a2 × b × 3b3 i. a4 × b3 × c2 × d j. 10p × 2q2 × 8p5 Sebuah balok memiliki panjang 12a, lebar 4a, dan tinggi 8a. Tentukan luas permukaan dan volume balok tersebut dalam a.


83

4.

Sederhanakan pembagian berikut. a. b.

24 23 55 35

f. g. 7

c.

8

5 r 5 5 4

d. 7 : 7 19

25

6.

1)

56 a 2 11 25

100q 25q17

i.

23b8 r 24b11 46b13

j.

7

3

c.

10

52 k r13@ 4 m13

Sebuah trapesium memiliki luas 54a2. Jika panjang sisi sejajarnya berturut-turut adalah 8a dan 10a, tentukan tinggi trapesium tersebut dalam a. Sederhanakan perpangkatan berikut. a. (23)2 b.

10. a.

2)

4

3)

1 96

4

4

3

9

8

3)

(910)9 : (97)8 (m18)2 : (n6)4

g.

( 4) : ( 4) 3

6

2

7.

8.

9.

84

¤ 4 ´µ ¥¥ µ ¥¦ 5 µµ¶

8

¤ 4 ´µ ¥¥ µ ¥¦ 5 µµ¶

23

4

4)

4

32

¤ ´ ¥¥ 9 µµ ¥¦ 13µµ¶ 3

7

Sebuah tabung memiliki jari-jari 7b3. Jika tinggi tabung tersebut 15b3, nyatakan volume tabung dalam p dan p. Sederhanakan bentuk penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat berikut. a. 32 + 36 e. 99 + 97 5 12 b. 5 + 5 f. (–23)20 – (–23)13 c. (–11)11 + (–11)25 g. 1517 – 1511 d. p9 + p8 h. (–a)28 – (–a)18 a. Tuliskan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk pangkat positif, kemudian sederhanakan. 1) 7–3 4) 8–3 × 17–5 2) 4–2 5) 20p–5 : 10p–25 3) (–5)–5


12

¤ 9 ´µ ¤ 9 ´µ ¥¥ µ r¥¥ µ ¥¦ 13µµ¶ ¥¦ 13µµ¶

11

19 : ( p ) 19 r p 5

10

¤ 6 ´µ ¤ 6 ´µ ¥¥ µ r¥¥ µ ¥¦ 7 µµ¶ ¥¦ 7 µµ¶ 11

( 8) r( 8)

4

p11 r p13 p9 r p3

9

12

e. f.

h.

5)

¤ 2´ ¤ 2´ 1) ¥¥¥ µµµ r¥¥¥ µµµ ¦ 3 µ¶ ¦ 3 µ¶

(33)5 × (32)7

8

2

6

4

2

1 1 r 12 2 11 11

15r 0 2) 130 5) 350 t 0 3) (–20)0 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat.

( 5) 4

d.

4)

Hitung nilai pangkat berikut. 1) 60 4) 5p0×12q0

2) c.

1 8 1

23

3 r 3 e. 3 r 3

5.

7 p r 8q8 52 r 4

h.

10

9

b. Tuliskan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk pangkat negatif, kemudian sederhanakan.

5)

3

¤¤ ´2 ´µ ¤¤ ´4 ´µ ¥¥¥ 12 µ µ ¥¥¥ 12 µ µ ¥¥¥¥ µµµ µµ r¥¥¥¥ µµµ µµµ ¥¦¦ 25 ¶ µµ¶ ¥¦¦ 25 ¶ ¶µ 4

¤¤ ´4 ´µ ¥¥¥ 12 µ µ ¥¥¥¥ µµµ µµµ ¥¦¦ 25 ¶ µ¶

b. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif.

2 ¤ 4´ 1) ¥¥¥ µµµ ¦ 5 µ¶

c.

10 ¤7´ 2) ¥¥¥ µµµ ¦19 µ¶

17 ¤ 13 ´ 3) ¥¥ µµµ ¥¦ 23µ¶

Tuliskan dalam bentuk pangkat negatif. 1)

1 8

¤ 2 ´µ ¥¥ µ µ ¦¥ 3 µ¶

2)

1 6

¤ 17 ´µ ¥¥ µ µ ¦¥ 20 µ¶

3)

1 15

¤ 25 ´µ ¥¥ µ µ ¦¥ 26 µ¶

B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan 1. Pengertian Bentuk Akar Di Kelas VII, kamu telah mempelajari akar kuadrat suatu bilangan. Sekarang, kamu akan mempelajari bentuk akar. Sebelumnya, pelajari perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan berikut. 4=

22 = 2

9=

32 = 3

16 =

42 = 4

Coba kamu tuliskan 5 contoh akar kuadrat bilangan lain di buku latihanmu. Perhitungan akar kuadrat bilangan-bilangan yang telah kamu pelajari tersebut memenuhi definisi sebagai berikut.

Sekilas Matematika Simbol radikal (akar) " " dikenalkan pertama kali oleh matematikawan di dalam bukunya Die Coss. Simbol tersebut ia pilih karena mirip dengan huruf " r " yang diambil dari kata radix, bahasa latin untuk akar pangkat dua. Sumber: Finite Mathematics and Its Applications,1994

5.5 a 2 = a dengan a bilangan real positif.

Sekarang, coba kamu periksa 3, 5 , 6 , dan 7 , apakah memenuhi Definisi 5.5 atau tidak? Jika kamu memeriksanya dengan benar maka bentuk-bentuk tersebut tidak memenuhi Definisi 5.4. Akar pangkat suatu bilangan yang tidak memenuhi definisi tersebut dinamakan bentuk akar. Jadi, 3, 5 , 6 , dan 7 merupakan bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 3, 5, 6, dan 7.

Contoh Soal

5.12

Manakahh yang merupakan bentuk akar? Berikan alasannya. a.

64

c.

49

e.

28

b.

40

d.

36

f.

55

Jawab: a. b. c. d. e. f.

2 64 bukan akar karena 64 = 8 = 8 . 40 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 40.

49 bukan bentuk akar karena

49 =

7 2 = 7. 62 = 6 .

36 bukan bentuk akar karena 36 = 28 adalah bentuk akar karena tidak ada bilangan real positif yang jika dikuadratkan hasilnya sama dengan 28. 55 adalah bentuk akar. Mengapa? Coba tuliskan alasannya


85

Solusi Matematika Jika diketahui dan

2. Sifat-Sifat dan Menyederhanakan Bentuk Akar Sebuah bentuk akar dapat dituliskan sebagai perkalian dua buah akar pangkat bilangan. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

2, 57 = 1, 60

25, 7 = 5, 07 maka nilai

2.570 adalah .... a. 16 c. 160 b. 50,7 d. 507 Jawab: Diketahui

2, 57 = 1, 60 dan

3× 5

24 =

4×6 =

4× 6 = 2 6

50 =

25 × 2 =

25 × 2 = 5 2

Sifat 5.6 ab =

2.570 = 25, 70 ×100

Jawaban: b

3×5 =

Ketiga contoh di atas memperjelas sifat berikut.

25, 7 = 5, 07 2.750 = 27,50 × 100 sehingga = 25, 7 × 100 = 5, 07 ×10 = 50, 7

15 =

a× b

dengan a dan b bilangan real positif.

Contoh Soal

5.13

Soal Ebtanas, 2000

Sederhanakan k bbentuk-bentuk akar berikut. a. b. 12 20 Jawab: a.

12 =

4× 3 =

4×

3= 2 3

b.

20 =

4× 5 =

4×

5= 2 3

c.

35 =

5× 7 =

5×

7

c.

Sekarang, pelajari contoh berikut. 4 = 6

4 6

25 = 36 5 = 9

2

=

6

25

=

36 5

=

9

5 6 5 3

Contoh-contoh tersebut memperjelas sifat berikut.

Sifat5.7 a = b

a b

dengan a ≥ 0 dan b > 0.

86


35

Contoh Soal

5.14

Sederhanakan nakan ben bentuk-bentuk akar berikut. 2 16

a.

9 10

b.

c.

81 100

Jawab : 2 = 16

a.

2

2 4

=

16

Solusi Matematika Hasil dari 0, 0625 + 0,022 adalah .... a. 0,029 c. 0,2504 b. 0,065 d. 0,29 Jawab: 0, 0625 =

9 = 10

b.

9 10

81 = 100

c.

3

= 81

10 =

100

=

9 10

25 = 0, 25 100 2

Ê 2 ˆ 22 = (0,02)2 = Á 100 0 ˜¯ Ë 10 1002 =

Contoh Soal

625 625 = 10.000 10.000

4 = 0, 0004 10.000

Jadi, 0, 06 062 25 + (0,02)2 = 0,25 + 0,0004 = 0,2504 Jawaban: c

5.15


Soal UN, 2006

C

Tentukan panjang BC. 3 cm B

A

6 cm

Jawab: Diketahui : AB = 6 cm dan AC = 3 cm Ditanyakan : Panjang BC Penyelesaian: Gunakan Teorema Pythagoras, BC =

AB 2 + AC 2

=

62 + 32

=

36+ 9

=

45

=

9× 5

=

9×

5

= 3 5 Jadi, panjang BC = 3 5 cm


87

3. Operasi Aljabar pada Bentuk Akar a. Penjumlahan dan Pengurangan Pelajari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut. i

2 3 + 3 3= ( 2 + 3) 3

i

7 5 − 4 5 = ( 7 − 4) 5

= 5 3 i

= 3 5

8 7 + 11 7 = ( 8+ 11) 7

i

23 6 − 12 6 = ( 23− 12) 6

= 19 7

= 11 6

Contoh-contoh tersebut menggambarkan sifat-sifat berikut.

Sifat 5.8 a c + b c = ( a + b) c dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0.

Sifat 5.9 a c − b c = ( a − b) c dengan a, b, c, bilangan real dan c ≥ 0.

Problematika Dapatkah kamu menjumlahkan 5 6 + 6 5 ? Jelaskan alasannya.

Contoh Soal

5.16

Hitunglah: h a. 4 3 + 8 3

c.

− 5 2+ 12 8

b.

d.

15 7 − 25 7

13 5 + 29 5

Jawab: a. 4 3 + 8 3= ( 4 + 8) 3 = 12 3 b.

13 5 + 29 5= (13 + 29) 5 = 42 5

c.

− 5 2+ 12 8 = − 5 2 + 12 4× 2 = − 5 2 + 12 4× = − 5 2 + 24 2 = (− 5 + 24) 2 = 19 2

d.

15 7 − 25 7 = (15 − 25) 7 = − 10 7

88


2

b. Perkalian dan Pembagian Perhatikan kembali Sifat 5.6. Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian bentuk akar seperti berikut. 2 × 3= 5 × 10 =

2 × 3=

6

5× 10 =

2 3 × 4 7 = 2 × 4×

50 = 5 2 3× 7 = 8 21

Uraian tersebut menggambarkan sifat perkalian bentuk akar sebagai berikut.

Sifat 5.10 p a × q b = pq ab dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

Sekarang, perhatikan Sifat 5.7 . Jika dibalik, sifat tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan pembagian bentuk akar berikut. 3

=

3 = 6

=

5 7

6 5 7 8 2

=

12 3

1 2

Situs Matematika www.nimasmultima.co.id id www.geocities.com

8 2 2 2 = 12 3 3 3

Uraian tersebut menggambarkan sifat pembagian bentuk akar sebagai berikut.

Sifat 5.11 p a

=

q b

p a q b

dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

Contoh Soal

5.17

Tentukan hasil h il perkalian dan pembagian bentuk akar berikut. a.

c.

11 × 5

7 28

b.

Jawab : a. 11 × 5= b.

d.

8 3 × 24 12

11× 5=

10 8 5 2

55

8 3 × 24 12 = 8 3 × 24 4× 3 = 8 3× 48 3 = 8× 48 × 3× 3 = 1.152


89

7

c.

=

28

d.

10 8 5 2

=

7 = 28

1 1 = 4 2

10 4 × 2 5 2

=

20 2

= 4

5 2

4. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari bilangan rasional. Masih ingatkah kamu tentang materi tersebut? Coba kamu jelaskan dengan kata-katamu sendiri. Di dalam matematika, selain bilangan rasional, terdapat bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah b bentuk akar, misalnya 2, 3, dan 5 . Pecahan yang penyebutnya bentuk akar 1 1 2 3 , , , juga termasuk bilangan irasional, misalnya , dan 2 3 5 + 1 10− 6 lain-lain. Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara merasionalkan penyebut pecahan-pecahan tersebut. Caranya yaitu dengan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan-pecahan tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawan penyebutnya. Secara umum, pecahan yang penyebutnya bentuk akar yang a c c , , dan dapat dirasionalkan adalah dengan a, b, dan c b a± b a± b bilangan real. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a

a. Merasionalkan Bentuk

b a

Cara merasionalkan bentuk

adalah dengan mengalikan pembilang dan b penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu : a

=

b

Contoh Soal

a b

.

b b

=

a b a = b b b

5.18

Rasionalkan k penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah. a.

4 5

90


b.

−6 7

c.

3 6

Jawab: 4

a.

4

=

5

5

−6

b.

=

−6

7

3

=

6

6

4 5 4 = 5 5 5

=

5 .

7

3

c.

5

.

7

=

7 .

6

−6 7 6 7 =− 7 7 9× 2 3 2 1 = = 2 6 6 2

18 = 6

=

6

b. Merasionalkan Bentuk

c a± b

c

Untuk pecahan bentuk

, cara merasionalkannya adalah dengan mengalikan a± b pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan a ± b . Bentuk sekawan dari a + b adalah a – b , sedangkan bentuk sekawan dari a – b adalah a + b. c a+

c

= b

a+

.

a− b

(

c a− =

b a− b

)

(

b

a 2 − a b+ a b −

c a−

( b)

2

=

)

b

a2 − b

c Sekarang, coba kamu rasionalkan bentuk dengan cara yang sama. a − b Bagaimanakah hasilnya ?

Contoh Soal

5.19

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. 3

a. 6+

−4

b. 2

5−

6

Jawab : 3

a. 6+

b.

−4 5−

6+

2

= 6

6−

2

2 6−

2

3

=

−4 5−

.

5+

6

6 5+

6

.

(

3 6− =

2

36 − 2

(

− 4 5+ =

c. Merasionalkan Bentuk

) = 3( 6 − 2) = 34

6

25 − 6

3 6− 34

(

2

)

) = − 4(5+ 6) = − 4 5 + 6 ( ) 19 19

c a± b

Sama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk

c

a± b adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawan dari

a±

b . Bentuk sekawan dari

bentuk sekawan dari

a – b adalah

a + b adalah

a – b , sedangkan

a+ b. Pangkat Tak Sebenarnya

91

Problematika Tentukan nilai dari 6 3 + . 3+ 2 2+3 2

c = a+ b

c a+ b

a− b a− b c( a − b)

=

2

( a) − ( a)( b) + ( a)( b) − ( b) c( a − b) =

2

a− b

c . Bagaimanakah hasilnya? a− b

Dengan cara yang sama, rasionalkan

Contoh Soal

5.20

Rasionalkan penyebut pecahan

8 . 5+ 2

Jawab: 8 = 5+ 2

8 5− . 5+ 2 5−

2 8 ( 5 − 2) 8 = = ( 5− 5− 2 3 2

2)

5. Bilangan Berpangkat Pecahan Perhatikan kembali Definisi 5.1. Definisi tersebut menyatakan bahwa bilangan berpangkat an didefinisikan sebagai perkalian berulang sebanyak n faktor. 1 2

2

Misalnya, 2 = 2 × 2. Sekarang, bagaimana dengan 2 ? Untuk mengetahui definisi pangkat pecahan, pelajari uraian berikut. (i) 9a = 3. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan a hasilnya sama dengan 3. Berapakah nilai a? a

2 Oleh karena 9a = 3 maka ( 3 ) = 3

32 a = 31 1 1 Ini berarti 2a = 1 atau a = sehingga 9 2 = 3 . 2 1

Oleh karena

9 = 3 maka 9 = 9 2 = 3 .

(ii) 9b = 27. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 9 dipangkatkan b hasilnya sama dengan 27. Berapakah nilai b? b

Oleh karena 9b = 27 maka ( 32 ) = 33 32 b = 33 3

3 sehingga 9 2 = 27 . 2 2 3 2 3 2 Oleh karena 9 = 27 maka 9 = 9 3 = 27.

Ini berarti 2b = 3 atau b =

Uraian (i) dan (ii) memperjelas definisi bilangan berpangkat pecahan, yaitu sebagai berikut.

92


5.6 m

m

an =

n

a m atau

n

am = a n

dengan a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat positif.

Sifat-sifat yang berlaku untuk bilangan berpangkat bulat berlaku juga untuk bilangan berpangkat pecahan. Coba kamu tuliskan sifat-sifat tersebut dengan contoh-contohnya di buku latihanmu. Bandingkan hasilnya dengan teman-temanmu.

Contoh Soal

Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar. 1

a. 2.

3

b.

32

7

c.

72

Ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan. a.

3

b.

6

9

Jawab : a.

2.

a.

32 =

3

72 =

b.

3

73

c.

62 =

c.

4

152

67 2

1

9 = 93

1

152 = 154 = 152

5.22

Sederhanakan nakan k bben bentuk-bentuk pecahan berikut. 2 ×2

1 2

(4

c.

7 1 4 2

(

1 2

4

7

b.

1

6 = 62

Contoh Soal

c.

3

1

1.

a.

62

Problematika Tentukan nilai dari 2

27 3 +

b.

5

8 3

−

−

3 ×3 3− 1

d.

6

1 2

53

3 2

(

52

1 4

(

1.

5.21

-2

.

Jawab: 1

1

1

a.

22 × 22 = 22

b.

53

+

1 2

2

= 2 2 = 21 = 2

8 8 6 −

2

= 53 3 = 5 3

6

53

c.

(4

d.

3 2× 3 3− 1

(

−

1

1 7 ×

7

= 42 4 = 48 −

(

1 3 − + − 2 2

3 2

=

3

3− 1

(

7 1 4 2

−

4 4

− − (− 1) 3 2 = − 1 = 3 2 = 3− 1 3


93

Uji Kompetensi 5.2

32

a.

b.

27

f.

c.

75

g.

245

d. 2. 3.

9 25

e.

h.

6.

Sebuah kerucut memiliki jari-jari 5 2 cm. Jika tinggi kerucut tersebut 18 5 cm, tentukan volume kerucut tersebut.

7.

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut.

48 125

a.

121 441

b.

320 1.000

c.

15

d.

2 2

9.

P

Tentukanlah hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut. a.

11 2 + 10 2

e.

28 11 − 10 11

b.

23 6 + 5 6

f.

7 19 − 2 19

c.

− 15 3+ 7 3

g.

− 29−

h.

− 32 33−

d. 5.

5+ 9 5

e.

5× 2

2

b.

f.

2 13 × 9

20 2 5

(

c.

d.

94

6 5 + 12

(

2+

)(

3

)

g.

24

×

45 2−

)

3

h.

9 2

7 32 6 28 × 7 27


2 5− 2 3

e.

3

10

52

f.

3

152

165

g.

5

23

d.

4

122

h.

6

404

10. Sederhanakan bentuk pangkat pecahan berikut. a. b.

1 3

27 × 27 4 5

2 3

6 7

11 × 11

1

e.

( 282) 4

c.

2 × 23 1

9 2 16 3

f.

(19

g.

36 2

h.

81

1 3

1

22 9

d.

18

32

2 5+ 2 3

3

29 33

h.

c.

Tentukan hasil perkalian dan pembagian bentuk akar berikut. a.

11 − 8

P an j an g d i ag o n al s eb u ah persegi 20 cm. Tentukan panjang sisi persegi tersebut. Ubahlah bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan. a.

Tentukan panjang PQ.

5

15

g.

16 100

b.

4.

3+

1+

8.

2

2 5

f.

6 6

Q

15 cm

5−

7

Diketahui segititiga siku-siku PQR seperti pada gambar berikut. 10 cm

10

e.

5

Sebuah persegi ABCD memiliki panjang sisi a cm. Tentukan panjang diagonal AC dalam a.

R

3

(

Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.

7

611 : 611

−

1 4

Rangkuman •

Bilangan berpangkat sebenarnya adalah bilangan berpangkat bulat positif. Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif adalah sebagai berikut. - am × an = am + n dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif. am = a m− n n a dengan a bilangan real yang tidak nol dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m > n. - (am)n = am × n = an × m dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n. - an + am = an (1+ am – n) am – an = an(am – n – 1) dengan a bilangan real dan m, n bilangan bulat positif yang memenuhi m ≥ n.

•

•

•

Bilangan berpangkat tak sebenarnya terdiri atas bilangan berpangkat bulat negatif, berpangkat nol, dan berpangkat pecahan. Bilangan berpangkat pecahan dapat diubah menjadi bentuk akar, yang memiliki sifat-sifat sebagai berikut. ab = a × b dengan a dan b bilangan real positif. -

-

-

a = b

a b

dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. a c ± b c = (a + b ) c dengan a, b, c bilangan real dan c ≥ 0. p a × q b = pq ab dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0. p a p a = q b q b dengan a, b, p, q bilangan real dengan a ≥ 0 dan b ≥ 0.

t t t

Pada bab Pangkat Tak Sebenarnya ini, bagian manakah menurutmu yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Materi apa sajakah yang belum dan telah kamu kuasai dengan baik? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari bab ini?


95

Peta Konsep

Bilangan Berpangkat terdiri atas

Pangkat Sebenarnya

Pangkat Tak Sebenarnya terdiri atas

yaitu

Pangkat Bulat Positif

Pangkat Bulat Negatif

Pangkat Nol

definisi sifat

a–n =

a m × a n = a m+ n m an

1 n

a a bilangan real, a ≠ 0, dan bilangan bulat positif

= a m– n

Pangkat Pecahan

definisi

dapat diubah menjadi

Bentuk Akar

0

a =1 a bilangan real dan a ≠ 0

sifat

ab =

a×

a = b

a b

( a m )n = a m× n = a n× m

a c ± b c = ( a ± b) c

a n + a m = a n (1+ + a m– n )

p a × q b = pq ab

a m a n = a n ( a m–n − 1)

p a q b

96

b


=

p a q b

Uji Kompetensi Bab 5

9.

a.

(

2 5

b.

(

2 5

2 5

= ...

3 16

3 16

(

8.

(

2 5

c.

(

2 5

d.

(

2 5

1 4

11. Bentuk sederhana dari jika disederhanakan menjadi

c. (–2)0 d. (–2)12 nilai dari (a – b)10 dan (b – a)13

a.

1 9

1 8

80 adalah .... 8 10

b. 8 5 d. 4 10 12. Diketahui panjang dan lebar sebuah persegipanjang berturut-turut adalah 9 cm dan 5 cm. Panjang diagonal persegipanjang tersebut adalah ....

c. 1 dan –1 d. –1 dan –1

b9 : b5 adalah .... Nilai dari 8 b c. b6 a. b–4 b. b–3 d. b7 Penjumlahan (162)3 + (164)3 sama dengan .... a. 166 (1 + 166) b. 162 (1 + 163) c. 166 (163 + 1) d. 163 (162 + 1) Nilai dari 80a5b0c2 adalah .... c. 80a4bc2 a. a5c2 b. a5 d. 80a5c2 Bentuk 5–4 × 5–10 jika dinyatakan dalam bentuk pangkat positif menjadi ....

c.

4 5

(

7.

10.

((

(

6.

a. (–2)2 b. b–3 Jika a – b = –1, adalah .... a. 1 dan 1 b. –1 dan 1

×

(

5.

9

2 3 5 8

1 1 2 4

(

4.

3

((

8

(− 2) × (− 2) Bentuk (− 2) ....

((

1 2

((

A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Pernyataan yang salah mengenai a5 adalah .... a. bilangan pokok = a b. pangkatnya adalah 5 c. dapat ditulis a × a × a × a × a d. eksponennya adalah a 2. Bentuk sederhana dari 4a5× 16a adalah .... c. 3a5 a. 8a2 b. 64a6 d. 16 a5 3. Sebuah kubus memiliki sisi 3p satuan. Perbandingan luas permukaan dengan volumenya adalah .... a. 3 : 6p c. 15 : 9p b. 8p : 5 d. 22p : 18

5 3 cm

a.

b. 10 6 cm

c.

15 2 cm

d. 20 cm

13. − 8 13− 10 13 = ... a.

− 2 13

c.

− 12 13

b.

− 8 13

d.

− 18 13

(

14.

)

3 8 − 7 9 = ... a.

− 13 3

c.

3

b.

− 3

d.

15 3

20

15.

×

27

2

= ...

3

a. 514

c.

1 514

a.

2 3

c.

2 5 3

b. 154

d.

1 1514

b.

5 9

d.

5 3 9


97

B. 1.

6 2 × 7 10

2 21

d.

17. Bentuk rasional dari

1 21 3 21 8

( ) 8( 2 − 5)

8 2− 5

d.

3.

Tentukan nilai x.

1

4

b.

8 p3q3

2

5

1

4 p3q3

(132) 4 × (145) 15 × 14

(

1 2

13 14

b. 14

2 5

5 6

(

( (

4 1 3 5

c. 11r d. r 2

4.

= ...

c.

(14–2)3 = 196x

d.

(

c. d.

13 14 14

=

5 2

1 15

5 6


5.

1 25

2

= 5x

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut. Kemudian, sederhanakanlah. 2 a. 5 1 11 −

b. 1 2

x

( ( 2 5

4

2

1

98

d.

2

19. 11r : 11r = ... a. 11 b. r

13

4 p 3q 3

4

6

x

4

c.

4

1 3 3 2

(

1 3

b.

4

18. Bentuk 3 64 p q jika dinyatakan dalam pangkat pecahan menjadi .... 8 p 3q 3

( (

a. 35 = 2

−2

Jika p = q + 1, tentukanlah nilai dari ( p − q )10× (q − p )7 . ( p − q )5

−3

a.

2 2 × p q

2.

3

c.

a.

p 5 × p 9× p− 16 p 4 × p− 10

− 8 2−

b.

20.

c. d.

5

( 5) − 8( 2− 5)

a.

(− 2 )9× (− 2 )10 (− 2 )17

5

adalah ....

2+

b.

5

Tentukan keliling sebuah persegi yang memiliki 1 sisi cm. 3+ 1

(

(

c.

(

b.

4 21

( (

a.

Kerjakanlah soal-soal berikut. Nyatakanlah dalam bentuk yang paling sederhana. a. 85 × 84 × 8–2

(

= ...

( (

8 5

16.

185

Daftar Bunga

Daftar I untuk (1,015)n ; (1,02)n ; (1,025)n ; (1,03)n ; (1,035)n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1,5% 1,015 1,030225 1,045678375 1,061363551 1,077284004 1,093443264 1,109844913 1,126492587 1,143389975 1,160540825 1,177948937 1,195618171 1,213552444 1,231755731 1,250232067 1,268985548 1,288020331 1,307340636 1,326950745 1,346855007 1,367057832 1,387563699 1,408377155 1,429502812 1,450945354 1,472709534 1,494800177 1,517222180 1,539980513 1,563080220 1,586526424 1,610324320 1,634479185 1,658996373 1,683881318 1,709139538 1,734776631 1,760798281 1,787210255 1,814018409 1,841228685 1,868847115 1,896879822 1,925333019 1,954213014 1,983526210 2,013279103 2,043478289 2,074130464 2,105242421

2% 1,02 1,0404 1,061208000 1,082432160 1,104080803 1,126162419 1,148685668 1,171659381 1,195092569 1,218994420 1,243374308 1,268241795 1,293606630 1,319478763 1,345868338 1,372785705 1,400241419 1,428246248 1,456811173 1,485947396 1,515666344 1,545979671 1,576899264 1,608437249 1,640605994 1,673418114 1,706886477 1,741024206 1,775844690 1,811361584 1,847588816 1,884540592 1,922231404 1,960676032 1,999889553 2,039887344 2,080685091 2,122298792 2,164744768 2,208039664 2,252200457 2,297244466 2,343189355 2,390053142 2,437854205 2,486611289 2,536343515 2,587070385 2,638811793 2,691588029

2,5% 1,025 1,050625 1,076890625 1,103812891 1,131408213 1,159693418 1,188685754 1,218402898 1,248862970 1,280084544 1,312086658 1,344888824 1,378511045 1,412973821 1,448298166 1,484505621 1,521618261 1,559658718 1,598650186 1,638616440 1,679581851 1,721571398 1,764610683 1,808725950 1,853944098 1,900292701 1,947800018 1,996495019 2,046407394 2,097567579 2,150006769 2,203756938 2,258850861 2,315322133 2,373205186 2,432535316 2,493348699 2,555682416 2,619574476 2,685063838 2,752190434 2,820995195 2,891520075 2,963808077 3,037903279 3,113850861 3,191697132 3,271489561 3,353276800 3,437108720

3% 1,03 1,0609 1,092727000 1,125508810 1,159274074 1,194052297 1,229873865 1,266770081 1,304773184 1,343916379 1,384233871 1,425760887 1,468533713 1,512589725 1,557967417 1,604706439 1,652847632 1,702433061 1,753506053 1,806111235 1,860294572 1,916103409 1,973586511 2,032794106 2,093777930 2,156591268 2,221289006 2,287927676 2,356565506 2,427262471 2,500080345 2,575082756 2,652335238 2,731905296 2,813862454 2,898278328 2,985226678 3,074783478 3,167026983 3,262037792 3,359898926 3,460695894 3,564516770 3,671452273 3,781595842 3,895043717 4,011895028 4,132251879 4,256219436 4,383906019

3,5% 1,035 1,071225 1,108717875 1,147523001 1,187686306 1,229255326 1,272279263 1,316809037 1,362897353 1,410598761 1,459969717 1,511068657 1,563956060 1,618694522 1,675348831 1,733986040 1,794675551 1,857489196 1,922501317 1,989788863 2,059431474 2,131511575 2,206114480 2,283328487 2,363244984 2,445958559 2,531567108 2,620171957 2,711877976 2,806793705 2,905031484 3,006707586 3,111942352 3,220860334 3,333590446 3,450266111 3,571025425 3,696011315 3,825371711 3,959259721 4,097833811 4,241257995 4,389702025 4,543341595 4,702358551 4,866941101 5,037284039 5,213588981 5,396064595 5,584926856


186

Daftar II untuk (1,04)n ; (1,045)n ; (1,05)n ; (1,055)n ; (1,06)n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

4% 1,04 1,0816 1,124864000 1,169858560 1,216652902 1,265319018 1,315931779 1,368569050 1,423311812 1,480244285 1,539454056 1,601032219 1,665073507 1,731676448 1,800943506 1,872981246 1,947900496 2,025816515 2,106849176 2,191123143 2,278768069 2,369918792 2,464715543 2,563304165 2,665836331 2,772469785 2,883368576 2,998703319 3,118651452 3,243397510 3,373133410 3,508058747 3,648381097 3,794316341 3,946088994 4,103932554 4,268089856 4,438813450 4,616365988 4,801020628 4,993061453 5,192783911 5,400495268 5,616515078 5,841175681 6,074822709 6,317815617 6,570528242 6,833349371 7,106683346

4,5% 1,045 1,092025 1,141166125 1,192518601 1,246181938 1,302260125 1,360861830 1,422100613 1,486095140 1,552969422 1,622853046 1,695881433 1,772196097 1,851944922 1,935282443 2,022370153 2,113376810 2,208478766 2,307860311 2,411714025 2,520241156 2,633652008 2,752166348 2,876013834 3,005434457 3,140679007 3,282009562 3,429699993 3,584036492 3,745318135 3,913857451 4,089981036 4,274030182 4,466361541 4,667347810 4,877378461 5,096860492 5,326219214 5,565899079 5,816364538 6,078100942 6,351615484 6,637438181 6,936122899 7,248248430 7,574419609 7,915268491 8,271455573 8,643671074 9,032636273

5% 1,05 1,1025 1,157625000 1,215506250 1,276281563 1,340095641 1,407100423 1,477455444 1,551328216 1,628894627 1,710339358 1,795856326 1,885649142 1,979931599 2,078928179 2,182874588 2,292018318 2,406619234 2,526950195 2,653297705 2,785962590 2,925260720 3,071523756 3,225099944 3,386354941 3,555672688 3,733456322 3,920129138 4,116135595 4,321942375 4,538039494 4,764941469 5,003188542 5,253347969 5,516015368 5,791816136 6,081406943 6,385477290 6,704751154 7,039988712 7,391988148 7,761587555 8,149666933 8,557150280 8,985007793 9,434258183 9,905971092 10,401269647 10,921333129 11,467399786

5,5% 1,055 1,113025 1,174241375 1,238824651 1,306960006 1,378842807 1,454679161 1,534686515 1,619094273 1,708144458 1,802092404 1,901207486 2,005773897 2,116091462 2,232476492 2,355262699 2,484802148 2,621466266 2,765646911 2,917757491 3,078234153 3,247537031 3,426151568 3,614589904 3,813392349 4,023128928 4,244401019 4,477843075 4,724124444 4,983951288 5,258068609 5,547262383 5,852361814 6,174241714 6,513825008 6,872085383 7,250050079 7,648802834 8,069486990 8,513308774 8,981540757 9,475525498 9,996679401 10,546496768 11,126554090 11,738514565 12,384132866 13,065260173 13,783849483 14,541961205

6% 1,06 1,1236 1,191016000 1,262476960 1,338225578 1,418519112 1,503630259 1,593848075 1,689478959 1,790847697 1,898298558 2,012196472 2,132928260 2,260903956 2,396558193 2,540351685 2,692772786 2,854339153 3,025599502 3,207135472 3,399563601 3,603537417 3,819749662 4,048934641 4,291870720 4,549382963 4,822345941 5,111686697 5,418387899 5,743491173 6,088100643 6,453386682 6,840589883 7,251025276 7,686086792 8,147252000 8,636087120 9,154252347 9,703507488 10,285717937 10,902861013 11,557032674 12,250454635 12,985481913 13,764610827 14,590487477 15,465916726 16,393871729 17,377504033 18,420154275

187

Daftar Bunga

Daftar III untuk (1,015)-n; (1,02) -n ; (1,025) -n; (1,03) -n; (1,035) -n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1,5% 0,985221675 0,970661749 0,956316994 0,942184230 0,928260325 0,914542193 0,901026791 0,887711124 0,874592240 0,861667232 0,848933233 0,836387422 0,824027017 0,811849277 0,799851505 0,788031039 0,776385260 0,764911587 0,753607474 0,742470418 0,731497949 0,720687634 0,710037078 0,699543920 0,689205832 0,679020524 0,668985738 0,659099249 0,649358866 0,639762430 0,630307813 0,620992919 0,611815684 0,602774073 0,593866081 0,585089735 0,576443089 0,567924226 0,559531257 0,551262322 0,543115588 0,535089249 0,527181526 0,519390666 0,511714942 0,504152653 0,496702121 0,489361695 0,482129749 0,475004679

2% 0,980392157 0,961168781 0,942322335 0,923845426 0,905730810 0,887971382 0,870560179 0,853490371 0,836755266 0,820348300 0,804263039 0,788493176 0,773032525 0,757875025 0,743014730 0,728445814 0,714162562 0,700159375 0,686430760 0,672971333 0,659775817 0,646839036 0,634155918 0,621721488 0,609530871 0,597579285 0,585862044 0,574374553 0,563112307 0,552070889 0,541245970 0,530633304 0,520228729 0,510028166 0,500027613 0,490223150 0,480610932 0,471187188 0,461948223 0,452890415 0,444010211 0,435304128 0,426768753 0,418400739 0,410196803 0,402153728 0,394268361 0,386537609 0,378958440 0,371527882

2,5% 0,975609756 0,951814396 0,928599411 0,905950645 0,883854288 0,862296866 0,841265235 0,820746571 0,800728362 0,781198402 0,762144782 0,743555885 0,725420376 0,707727196 0,690465557 0,673624934 0,657195057 0,641165909 0,625527716 0,610270943 0,595386286 0,580864669 0,566697238 0,552875354 0,539390589 0,526234721 0,513399728 0,500877784 0,488661252 0,476742685 0,465114815 0,453770551 0,442702977 0,431905343 0,421371066 0,411093723 0,401067047 0,391284924 0,381741389 0,372430624 0,363346950 0,354484829 0,345838858 0,337403764 0,329174404 0,321145760 0,313312936 0,305671157 0,298215763 0,290942208

3% 0,970873786 0,942595909 0,915141659 0,888487048 0,862608784 0,837484257 0,813091511 0,789409234 0,766416732 0,744093915 0,722421277 0,701379880 0,680951340 0,661117806 0,641861947 0,623166939 0,605016446 0,587394608 0,570286027 0,553675754 0,537549276 0,521892501 0,506691748 0,491933736 0,477605569 0,463694727 0,450189056 0,437076753 0,424346362 0,411986760 0,399987145 0,388337034 0,377026247 0,366044900 0,355383398 0,345032425 0,334982937 0,325226152 0,315753546 0,306556841 0,297628001 0,288959224 0,280542936 0,272371782 0,264438624 0,256736528 0,249258765 0,241998801 0,234950292 0,228107080

3,5% 0,966183575 0,933510700 0,901942706 0,871442228 0,841973167 0,813500644 0,785990961 0,759411556 0,733730972 0,708918814 0,684945714 0,661783298 0,639404153 0,617781790 0,596890619 0,576705912 0,557203779 0,538361140 0,520155690 0,502565884 0,485570903 0,469150631 0,453285634 0,437957134 0,423146989 0,408837671 0,395012242 0,381654340 0,368748155 0,356278411 0,344230348 0,332589709 0,321342714 0,310476052 0,299976862 0,289832717 0,280031610 0,270561942 0,261412505 0,252572468 0,244031370 0,235779102 0,227805895 0,220102314 0,212659241 0,205467866 0,198519677 0,191806451 0,185320243 0,179053375


188

Daftar IV untuk (1,04)-n; (1,045) -n ; (1,05) -n; (1,055) -n; (1,06) -n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

4% 0,961538462 0,924556213 0,888996359 0,854804191 0,821927107 0,790314526 0,759917813 0,730690205 0,702586736 0,675564169 0,649580932 0,624597050 0,600574086 0,577475083 0,555264503 0,533908176 0,513373246 0,493628121 0,474642424 0,456386946 0,438833602 0,421955387 0,405726333 0,390121474 0,375116802 0,360689233 0,346816570 0,333477471 0,320651415 0,308318668 0,296460258 0,285057940 0,274094173 0,263552090 0,253415471 0,243668722 0,234296848 0,225285431 0,216620606 0,208289045 0,200277928 0,192574930 0,185168202 0,178046348 0,171198412 0,164613858 0,158282555 0,152194765 0,146341120 0,140712615

4,5% 0,956937799 0,915729951 0,876296604 0,838561344 0,802451047 0,767895738 0,734828458 0,703185127 0,672904428 0,643927682 0,616198739 0,589663865 0,564271641 0,539972862 0,516720442 0,494469323 0,473176385 0,452800369 0,433301788 0,414642860 0,396787426 0,379700886 0,363350130 0,347703474 0,332730597 0,318402485 0,304691373 0,291570692 0,279015016 0,267000016 0,255502407 0,244499911 0,233971207 0,223895892 0,214254442 0,205028174 0,196199210 0,187750440 0,179665493 0,171928701 0,164525073 0,157440261 0,150660537 0,144172763 0,137964366 0,132023317 0,126338102 0,120897706 0,115691584 0,110709650

5% 0,952380952 0,907029478 0,863837599 0,822702475 0,783526166 0,746215397 0,710681330 0,676839362 0,644608916 0,613913254 0,584679289 0,556837418 0,530321351 0,505067953 0,481017098 0,458111522 0,436296688 0,415520655 0,395733957 0,376889483 0,358942365 0,341849871 0,325571306 0,310067910 0,295302772 0,281240735 0,267848319 0,255093637 0,242946321 0,231377449 0,220359475 0,209866167 0,199872540 0,190354800 0,181290285 0,172657415 0,164435633 0,156605365 0,149147966 0,142045682 0,135281602 0,128839621 0,122704401 0,116861334 0,111296509 0,105996675 0,100949214 0,096142109 0,091563913 0,087203727

5,5% 0,947867299 0,898452416 0,851613664 0,807216743 0,765134354 0,725245833 0,687436809 0,651598871 0,617629261 0,585430579 0,554910502 0,525981518 0,498560681 0,472569366 0,447933048 0,424581088 0,402446529 0,381465904 0,361579056 0,342728963 0,324861577 0,307925665 0,291872668 0,276656558 0,262233704 0,248562753 0,235604505 0,223321805 0,211679436 0,200644016 0,190183901 0,180269101 0,170871185 0,161963209 0,153519629 0,145516236 0,137930082 0,130739414 0,123923615 0,117463142 0,111339471 0,105535044 0,100033217 0,094818215 0,089875085 0,085189654 0,080748488 0,076538851 0,072548674 0,068766515

6% 0,943396226 0,889996440 0,839619283 0,792093663 0,747258173 0,704960540 0,665057114 0,627412371 0,591898464 0,558394777 0,526787525 0,496969364 0,468839022 0,442300964 0,417265061 0,393646284 0,371364419 0,350343791 0,330513010 0,311804727 0,294155403 0,277505097 0,261797261 0,246978548 0,232998631 0,219810029 0,207367952 0,195630143 0,184556739 0,174110131 0,164254840 0,154957397 0,146186223 0,137911531 0,130105218 0,122740772 0,115793181 0,109238850 0,103055519 0,097222188 0,091719045 0,086527401 0,081629624 0,077009079 0,072650074 0,068537806 0,064658308 0,060998403 0,057545664 0,054288362

189

Daftar Bunga

Daftar V untuk Σ (1,015)n ; Σ (1,02) n; Σ (1,025) n; Σ (1,03) n; Σ (1,035) n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1,5% 1,015000000 2,045225000 3,090903375 4,152266926 5,229550930 6,322994193 7,432839106 8,559331693 9,702721668 10,863262493 12,041211431 13,236829602 14,450382046 15,682137777 16,932369844 18,201355391 19,489375722 20,796716358 22,123667103 23,470522110 24,837579942 26,225143641 27,633520795 29,063023607 30,513968961 31,986678496 33,481478673 34,998700853 36,538681366 38,101761587 39,688288010 41,298612331 42,933091515 44,592087888 46,275969207 47,985108745 49,719885376 51,480683656 53,267893911 55,081912320 56,923141005 58,791988120 60,688867942 62,614200961 64,568413975 66,551940185 68,565219288 70,608697577 72,682828040 74,788070461

2% 1,020000000 2,060400000 3,121608000 4,204040160 5,308120963 6,434283382 7,582969050 8,754628431 9,949721000 11,168715420 12,412089728 13,680331523 14,973938153 16,293416916 17,639285255 19,012070960 20,412312379 21,840558626 23,297369799 24,783317195 26,298983539 27,844963210 29,421862474 31,030299723 32,670905718 34,344323832 36,051210309 37,792234515 39,568079205 41,379440789 43,227029605 45,111570197 47,033801601 48,994477633 50,994367186 53,034254530 55,114939620 57,237238412 59,401983181 61,610022844 63,862223301 66,159467767 68,502657123 70,892710265 73,330564470 75,817175760 78,353519275 80,940589660 83,579401454 86,270989483

2,5% 1,025000000 2,075625000 3,152515625 4,256328516 5,387736729 6,547430147 7,736115900 8,954518798 10,203381768 11,483466312 12,795552970 14,140441794 15,518952839 16,931926660 18,380224826 19,864730447 21,386348708 22,946007426 24,544657612 26,183274052 27,862855903 29,584427301 31,349037983 33,157763933 35,011708031 36,912000732 38,859800750 40,856295769 42,902703163 45,000270742 47,150277511 49,354034449 51,612885310 53,928207443 56,301412629 58,733947944 61,227296643 63,782979059 66,402553536 69,087617374 71,839807808 74,660803004 77,552323079 80,516131156 83,554034434 86,667885295 89,859582428 93,131071988 96,484348788 99,921457508

3%

3,5%

1,030000000 2,090900000 3,183627000 4,309135810 5,468409884 6,662462181 7,892336046 9,159106128 10,463879311 11,807795691 13,192029562 14,617790448 16,086324162 17,598913887 19,156881303 20,761587742 22,414435375 24,116868436 25,870374489 27,676485724 29,536780295 31,452883704 33,426470215 35,459264322 37,553042251 39,709633519 41,930922525 44,218850200 46,575415706 49,002678178 51,502758523 54,077841279 56,730176517 59,462081812 62,275944267 65,174222595 68,159449273 71,234232751 74,401259733 77,663297525 81,023196451 84,483892345 88,048409115 91,719861388 95,501457230 99,396500947 103,408395975 107,540647855 111,796867290 116,180773309

1,035000000 2,106225000 3,214942875 4,362465876 5,550152181 6,779407508 8,051686770 9,368495807 10,731393161 12,141991921 13,601961638 15,113030296 16,676986356 18,295680879 19,971029709 21,705015749 23,499691300 25,357180496 27,279681813 29,269470677 31,328902150 33,460413726 35,666528206 37,949856693 40,313101678 42,759060236 45,290627345 47,910799302 50,622677277 53,429470982 56,334502466 59,341210053 62,453152404 65,674012739 69,007603184 72,457869296 76,028894721 79,724906037 83,550277748 87,509537469 91,607371280 95,848629275 100,238331300 104,781672895 109,484031447 114,350972547 119,388256586 124,601845567 129,997910162 135,582837017


190

Daftar VI untuk Σ (1,04)n ; Σ (1,045) n ; Σ (1,05)n ; Σ (1,055) n ; Σ (1,06) n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

4%

4,5%

5%

5,5%

6%

1,040000000 2,121600000 3,246464000 4,416322560 5,632975462 6,898294481 8,214226260 9,582795311 11,006107123 12,486351408 14,025805464 15,626837683 17,291911190 19,023587638 20,824531143 22,697512389 24,645412884 26,671229400 28,778078576 30,969201719 33,247969788 35,617888579 38,082604122 40,645908287 43,311744619 46,084214403 48,967582980 51,966286299 55,084937751 58,328335261 61,701468671 65,209527418 68,857908515 72,652224855 76,598313850 80,702246403 84,970336260 89,409149710 94,025515698 98,826536326 103,819597779 109,012381691 114,412876958 120,029392037 125,870567718 131,945390427 138,263206044 144,833734286 151,667083657 158,773767003

1,045000000 2,137025000 3,278191125 4,470709726 5,716891663 7,019151788 8,380013619 9,802114231 11,288209372 12,841178794 14,464031839 16,159913272 17,932109369 19,784054291 21,719336734 23,741706887 25,855083697 28,063562463 30,371422774 32,783136799 35,303377955 37,937029963 40,689196311 43,565210145 46,570644602 49,711323609 52,993333171 56,423033164 60,007069656 63,752387791 67,666245242 71,756226277 76,030256460 80,496618001 85,163965811 90,041344272 95,138204764 100,464423979 106,030323058 111,846687595 117,924788537 124,276404021 130,913842202 137,849965101 145,098213531 152,672633140 160,587901631 168,859357204 177,503028279 186,535664551

1,050000000 2,152500000 3,310125000 4,525631250 5,801912813 7,142008453 8,549108876 10,026564320 11,577892536 13,206787162 14,917126520 16,712982846 18,598631989 20,578563588 22,657491768 24,840366356 27,132384674 29,539003908 32,065954103 34,719251808 37,505214398 40,430475118 43,501998874 46,727098818 50,113453759 53,669126447 57,402582769 61,322711908 65,438847503 69,760789878 74,298829372 79,063770841 84,066959383 89,320307352 94,836322719 100,628138855 106,709545798 113,095023088 119,799774242 126,839762955 134,231751102 141,993338657 150,143005590 158,700155870 167,685163663 177,119421847 187,025392939 197,426662586 208,347995715 219,815395501

1,055000000 2,168025000 3,342266375 4,581091026 5,888051032 7,266893839 8,721573000 10,256259515 11,875353788 13,583498247 15,385590650 17,286798136 19,292572033 21,408663495 23,641139987 25,996402687 28,481204835 31,102671100 33,868318011 36,786075502 39,864309654 43,111846685 46,537998253 50,152588157 53,965980505 57,989109433 62,233510452 66,711353527 71,435477971 76,419429259 81,677497868 87,224760251 93,077122065 99,251363779 105,765188786 112,637274170 119,887324249 127,536127083 135,605614072 144,118922846 153,100463603 162,575989101 172,572668502 183,119165269 194,245719359 205,984233924 218,368366789 231,433626963 245,217476446 259,759437650

1,060000000 2,183600000 3,374616000 4,637092960 5,975318538 7,393837650 8,897467909 10,491315983 12,180794942 13,971642639 15,869941197 17,882137669 20,015065929 22,275969885 24,672528078 27,212879763 29,905652549 32,759991701 35,785591204 38,992726676 42,392290276 45,995827693 49,815577354 53,864511996 58,156382715 62,705765678 67,528111619 72,639798316 78,058186215 83,801677388 89,889778031 96,343164713 103,183754596 110,434779872 118,120866664 126,268118664 134,904205784 144,058458131 153,761965619 164,047683556 174,950544569 186,507577243 198,758031878 211,743513791 225,508124618 240,098612095 255,564528821 271,958400550 289,335904583 307,756058858

191

Daftar Bunga

Daftar VII untuk Σ (1,015)-n; Σ (1,02)-n; Σ (1,025)-n; Σ (1,03)-n; Σ (1,035)-n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1,5% 0,985221675 1,955883424 2,912200417 3,854384648 4,782644973 5,697187165 6,598213956 7,485925080 8,360517320 9,222184552 10,071117785 10,907505207 11,731532224 12,543381501 13,343233006 14,131264045 14,907649306 15,672560892 16,426168367 17,168638785 17,900136734 18,620824369 19,330861447 20,030405366 20,719611198 21,398631723 22,067617461 22,726716710 23,376075576 24,015838006 24,646145819 25,267138738 25,878954422 26,481728494 27,075594576 27,660684311 28,237127400 28,805051625 29,364582882 29,915845204 30,458960792 30,994050042 31,521231568 32,040622235 32,552337177 33,056489830 33,553191950 34,042553646 34,524683395 34,999688074

2% 0,980392157 1,941560938 2,883883273 3,807728699 4,713459509 5,601430891 6,471991069 7,325481440 8,162236706 8,982585006 9,786848045 10,575341221 11,348373746 12,106248771 12,849263501 13,577709314 14,291871877 14,992031252 15,678462011 16,351433345 17,011209161 17,658048197 18,292204115 18,913925603 19,523456474 20,121035758 20,706897802 21,281272355 21,844384662 22,396455551 22,937701521 23,468334824 23,988563553 24,498591719 24,998619332 25,488842482 25,969453414 26,440640602 26,902588826 27,355479241 27,799489452 28,234793580 28,661562333 29,079963072 29,490159875 29,892313602 30,286581963 30,673119572 31,052078012 31,423605894

2,5% 0,975609756 1,927424152 2,856023563 3,761974208 4,645828496 5,508125362 6,349390597 7,170137167 7,970865529 8,752063931 9,514208713 10,257764598 10,983184974 11,690912170 12,381377726 13,055002660 13,712197717 14,353363626 14,978891343 15,589162286 16,184548571 16,765413240 17,332110478 17,884985833 18,424376422 18,950611143 19,464010872 19,964888655 20,453549908 20,930292593 21,395407408 21,849177959 22,291880935 22,723786278 23,145157345 23,556251068 23,957318115 24,348603039 24,730344428 25,102775052 25,466122002 25,820606831 26,166445689 26,503849453 26,833023856 27,154169616 27,467482552 27,773153709 28,071369473 28,362311681

3% 0,970873786 1,913469696 2,828611355 3,717098403 4,579707187 5,417191444 6,230282955 7,019692190 7,786108922 8,530202837 9,252624113 9,954003994 10,634955334 11,296073139 11,937935087 12,561102026 13,166118472 13,753513079 14,323799106 14,877474860 15,415024136 15,936916637 16,443608386 16,935542122 17,413147691 17,876842419 18,327031474 18,764108228 19,188454590 19,600441349 20,000428495 20,388765529 20,765791776 21,131836675 21,487220073 21,832252498 22,167235435 22,492461587 22,808215133 23,114771974 23,412399975 23,701359199 23,981902135 24,254273917 24,518712541 24,775449069 25,024707834 25,266706635 25,501656927 25,729764007

3,5% 0,966183575 1,899694275 2,801636981 3,673079209 4,515052375 5,328553020 6,114543980 6,873955537 7,607686509 8,316605323 9,001551036 9,663334335 10,302738488 10,920520278 11,517410896 12,094116808 12,651320588 13,189681727 13,709837418 14,212403302 14,697974205 15,167124836 15,620410469 16,058367603 16,481514592 16,890352263 17,285364505 17,667018846 18,035767001 18,392045411 18,736275760 19,068865468 19,390208182 19,700684234 20,000661095 20,290493812 20,570525422 20,841087365 21,102499869 21,355072337 21,599103708 21,834882809 22,062688705 22,282791019 22,495450260 22,700918125 22,899437802 23,091244253 23,276564496 23,455617871


192

Daftar VIII untuk Σ (1,04)-n; Σ (1,045) -n; Σ (1,05) -n; Σ (1,055) -n; Σ (1,06) –n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

4% 0,961538462 1,886094675 2,775091033 3,629895224 4,451822331 5,242136857 6,002054670 6,732744875 7,435331611 8,110895779 8,760476711 9,385073760 9,985647847 10,563122929 11,118387432 11,652295608 12,165668854 12,659296975 13,133939399 13,590326345 14,029159947 14,451115334 14,856841667 15,246963141 15,622079944 15,982769177 16,329585747 16,663063218 16,983714633 17,292033301 17,588493558 17,873551498 18,147645672 18,411197761 18,664613232 18,908281954 19,142578802 19,367864232 19,584484839 19,792773883 19,993051811 20,185626741 20,370794944 20,548841292 20,720039704 20,884653561 21,042936117 21,195130881 21,341472001 21,482184617

4,5% 0,956937799 1,872667750 2,748964354 3,587525698 4,389976744 5,157872483 5,892700940 6,595886067 7,268790495 7,912718177 8,528916916 9,118580781 9,682852422 10,222825284 10,739545726 11,234015049 11,707191435 12,159991803 12,593293592 13,007936451 13,404723877 13,784424763 14,147774893 14,495478366 14,828208963 15,146611448 15,451302821 15,742873513 16,021888529 16,288888544 16,544390951 16,788890863 17,022862070 17,246757961 17,461012403 17,666040577 17,862239787 18,049990227 18,229655719 18,401584420 18,566109493 18,723549754 18,874210291 19,018383054 19,156347420 19,288370737 19,414708839 19,535606544 19,651298129 19,762007779

5% 0,952380952 1,859410431 2,723248029 3,545950504 4,329476671 5,075692067 5,786373397 6,463212759 7,107821676 7,721734929 8,306414218 8,863251636 9,393572987 9,898640940 10,379658038 10,837769560 11,274066248 11,689586903 12,085320860 12,462210343 12,821152707 13,163002578 13,488573884 13,798641794 14,093944566 14,375185301 14,643033620 14,898127257 15,141073578 15,372451027 15,592810502 15,802676668 16,002549208 16,192904008 16,374194293 16,546851708 16,711287341 16,867892705 17,017040672 17,159086354 17,294367956 17,423207577 17,545911978 17,662773313 17,774069822 17,880066497 17,981015711 18,077157820 18,168721734 18,255925461

5,5% 0,947867299 1,846319714 2,697933378 3,505150122 4,270284476 4,995530309 5,682967117 6,334565988 6,952195249 7,537625829 8,092536330 8,618517849 9,117078530 9,589647895 10,037580943 10,462162032 10,864608561 11,246074465 11,607653522 11,950382485 12,275244062 12,583169727 12,875042395 13,151698952 13,413932656 13,662495409 13,898099914 14,121421719 14,333101156 14,533745171 14,723929072 14,904198173 15,075069358 15,237032567 15,390552196 15,536068432 15,673998514 15,804737928 15,928661543 16,046124685 16,157464157 16,262999201 16,363032418 16,457850633 16,547725718 16,632915373 16,713663861 16,790202711 16,862751385 16,931517901

6% 0,943396226 1,833392666 2,673011949 3,465105613 4,212363786 4,917324326 5,582381440 6,209793811 6,801692274 7,360087051 7,886874577 8,383843940 8,852682963 9,294983927 9,712248988 10,105895271 10,477259690 10,827603481 11,158116492 11,469921219 11,764076621 12,041581718 12,303378979 12,550357528 12,783356158 13,003166187 13,210534139 13,406164282 13,590721021 13,764831151 13,929085992 14,084043389 14,230229612 14,368141143 14,498246362 14,620987134 14,736780315 14,846019165 14,949074684 15,046296872 15,138015917 15,224543317 15,306172941 15,383182020 15,455832094 15,524369900 15,589028208 15,650026611 15,707572275 15,761860636

193

Daftar Bunga

Daftar IX untuk n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1,5% 1,015000000 0,511277916 0,343382960 0,259444786 0,209089323 0,175525215 0,151556165 0,133584025 0,119609823 0,108434178 0,099293844 0,091679993 0,085240357 0,079723319 0,074944356 0,070765078 0,067079657 0,063805782 0,060878470 0,058245736 0,055865495 0,053703315 0,051730752 0,049924102 0,048263454 0,046731960 0,045315268 0,044001076 0,042778780 0,041639188 0,040574295 0,039577097 0,038641438 0,037761886 0,036933630 0,036152396 0,035414367 0,034716133 0,034054630 0,033427102 0,032831061 0,032264257 0,031724649 0,031210380 0,030719760 0,030251246 0,029803424 0,029375000 0,028964784 0,028571683

1 Σ(1,015)

-n

,

1 Σ(1,02)

2% 1,020000000 0,515049505 0,346754673 0,262623753 0,212158394 0,178525812 0,154511956 0,136509799 0,122515437 0,111326528 0,102177943 0,094559597 0,088118353 0,082601970 0,077825472 0,073650126 0,069969841 0,066702102 0,063781766 0,061156718 0,058784769 0,056631401 0,054668098 0,052871097 0,051220438 0,049699231 0,048293086 0,046989672 0,045778355 0,044649922 0,043596347 0,042610607 0,041686531 0,040818673 0,040002209 0,039232853 0,038506779 0,037820566 0,037171144 0,036555748 0,035971884 0,035417295 0,034889933 0,034387939 0,033909616 0,033453416 0,033017922 0,032601836 0,032203964 0,031823210

-n

,

1 Σ(1,025)

2,5% 1,025000000 0,518827160 0,350137167 0,265817878 0,215246861 0,181549971 0,157495430 0,139467346 0,125456890 0,114258763 0,105105956 0,097487127 0,091048271 0,085536525 0,080766456 0,076598989 0,072927770 0,069670081 0,066760615 0,064147129 0,061787327 0,059646606 0,057696378 0,055912820 0,054275921 0,052768747 0,051376872 0,050087933 0,048891268 0,047777641 0,046739002 0,045768312 0,044859382 0,044006751 0,043205582 0,042451577 0,041740899 0,041070118 0,040436153 0,039836233 0,039267856 0,038728757 0,038216883 0,037730368 0,037267511 0,036826757 0,036406686 0,036005994 0,035623485 0,035258057

-n

,

1 Σ(1,03)

-n

,

3% 1,030000000 0,522610837 0,353530363 0,269027045 0,218354571 0,184597500 0,160506354 0,142456389 0,128433857 0,117230507 0,108077448 0,100462085 0,094029544 0,088526339 0,083766580 0,079610849 0,075952529 0,072708696 0,069813881 0,067215708 0,064871776 0,062747395 0,060813903 0,059047416 0,057427871 0,055938290 0,054564210 0,053293233 0,052114671 0,051019259 0,049998929 0,049046618 0,048156122 0,047321963 0,046539292 0,045803794 0,045111624 0,044459340 0,043843852 0,043262378 0,042712409 0,042191673 0,041698110 0,041229847 0,040785176 0,040362538 0,039960506 0,039577774 0,039213138 0,038865494

1 Σ(1,035)

-n

3,5% 1,035000000 0,526400491 0,356934181 0,272251139 0,221481373 0,187668209 0,163544494 0,145476647 0,131446005 0,120241368 0,111091966 0,103483949 0,097061573 0,091570729 0,086825069 0,082684831 0,079043132 0,075816841 0,072940325 0,070361077 0,068036587 0,065932074 0,064018804 0,062272830 0,060674035 0,059205396 0,057852410 0,056602645 0,055445382 0,054371332 0,053372400 0,052441505 0,051572422 0,050759658 0,049998347 0,049284163 0,048613245 0,047982141 0,047387751 0,046827282 0,046298217 0,045798276 0,045325391 0,044877682 0,044453433 0,044051082 0,043669194 0,043306458 0,042961666 0,042633710


194 Daftar X untuk n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

4% 1,040000000 0,530196078 0,360348539 0,275490045 0,224627113 0,190761903 0,166609612 0,148527832 0,134492993 0,123290944 0,114149039 0,106552173 0,100143728 0,094668973 0,089941100 0,085819999 0,082198522 0,078993328 0,076138618 0,073581750 0,071280105 0,069198811 0,067309057 0,065586831 0,064011963 0,062567380 0,061238541 0,060012975 0,058879934 0,057830099 0,056855352 0,055948590 0,055103566 0,054314772 0,053577322 0,052886878 0,052239566 0,051631919 0,051060827 0,050523489 0,050017377 0,049540201 0,049089886 0,048664544 0,048262456 0,047882049 0,047521885 0,047180648 0,046857124 0,046550200

1 1 1 1 1 , , , , -n -n -n -n Σ(1,04) Σ(1,045) Σ(1,05) Σ(1,055) Σ(1,06) -n 4,5% 1,045000000 0,533997555 0,363773360 0,278743648 0,227791640 0,193878388 0,169701468 0,151609653 0,137574470 0,126378822 0,117248182 0,109666189 0,103275353 0,097820316 0,093113808 0,089015369 0,085417583 0,082236898 0,079407344 0,076876144 0,074600567 0,072545646 0,070682493 0,068987030 0,067439028 0,066021367 0,064719462 0,063520805 0,062414615 0,061391543 0,060443446 0,059563196 0,058744528 0,057981912 0,057270448 0,056605780 0,055984021 0,055401692 0,054855671 0,054343147 0,053861580 0,053408676 0,052982349 0,052580706 0,052202018 0,051844711 0,051507340 0,051188582 0,050887224 0,050602146

5% 1,050000000 0,537804878 0,367208565 0,282011833 0,230974798 0,197017468 0,172819818 0,154721814 0,140690080 0,129504575 0,120388891 0,112825410 0,106455765 0,101023969 0,096342288 0,092269908 0,088699142 0,085546222 0,082745010 0,080242587 0,077996107 0,075970509 0,074136822 0,072470901 0,070952457 0,069564321 0,068291860 0,067122530 0,066045515 0,065051435 0,064132120 0,063280419 0,062490044 0,061755445 0,061071707 0,060434457 0,059839794 0,059284228 0,058764624 0,058278161 0,057822292 0,057394713 0,056993333 0,056616251 0,056261735 0,055928204 0,055614211 0,055318431 0,055039645 0,054776735

5,5% 1,055000000 0,541618005 0,370654075 0,285294485 0,234176436 0,200178948 0,175964418 0,157864012 0,143839458 0,132667769 0,123570653 0,116029231 0,109684259 0,104279115 0,099625598 0,095582538 0,092041972 0,088919916 0,086150056 0,083679330 0,081464775 0,079471232 0,077669647 0,076035804 0,074549353 0,073193071 0,071952282 0,070814400 0,069768572 0,068805390 0,067916654 0,067095189 0,066334687 0,065629577 0,064974927 0,064366349 0,063799929 0,063272166 0,062779914 0,062320343 0,061890900 0,061489273 0,061113367 0,060761276 0,060431265 0,060121751 0,059831286 0,059558542 0,059302303 0,059061450

6% 1,060000000 0,545436893 0,374109813 0,288591492 0,237396400 0,203362628 0,179135018 0,161035943 0,147022235 0,135867958 0,126792938 0,119277029 0,112960105 0,107584909 0,102962764 0,098952144 0,095444804 0,092356541 0,089620860 0,087184557 0,085004547 0,083045569 0,081278485 0,079679005 0,078226718 0,076904347 0,075697166 0,074592552 0,073579614 0,072648911 0,071792220 0,071002337 0,070272935 0,069598425 0,068973859 0,068394835 0,067857427 0,067358124 0,066893772 0,066461536 0,066058855 0,065683415 0,065333118 0,065006057 0,064700496 0,064414853 0,064147680 0,063897655 0,063663562 0,063444286

Bab Ba

6 Sum

b er: w

ww.medec

te.fr fcom inepharmacie.univ-

Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Pola bilangan, barisan, dan deret merupakan materi baru yang akan kamu pelajari pada bab ini. Terdapat beberapa masalah yang penyelesaiannya memerlukan materi ini, contohnya sebagai berikut. Jumlah bakteri dalam suatu kondisi tertentu bertambah dari 10.000 menjadi 25.000 dalam 4 hari. Jika jumlah bakteri tersebut terus bertambah menurut deret geometri, berapa banyak pertumbuhan bakteri tersebut per hari? Untuk menjawabnya, pelajari bab ini dengan baik.

A. B. C.

Pola Bilangan Barisan Bilangan Deret Bilangan

99


1. 2. 3.

Tuliskan himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 10. Tuliskan himpunan genap antara 10 dan 20. Tuliskan bilangan kelipatan tiga antara 50 dan 70.

4. 5.

Tuliskan bilangan kelipatan 5 antara 80 dan 95. Hitunglah: c. 10(1,5)3 a. 54 7 (15 + 25 ) b. (1,5)3 d. 2

A. Pola Bilangan


Gambar 6.1 : Dadu

Pernahkah kamu memperhatikan dadu? Pada umumnya, dadu memiliki bilangan-bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan. Coba kamu perhatikan Gambar 6.1 . Gambar tersebut menunjukkan bahwa dadu memiliki bulatan-bulatan kecil (disebut noktah atau titik) di setiap sisinya. Noktahnoktah tersebut mewakili bilangan-bilangan yang ditentukan. Satu noktah mewakili bilangan 1, dua noktah mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga enam noktah yang mewakili bilangan 6. Penggunaan noktah untuk mewakili suatu bilangan tertentu sebenarnya telah digunakan manusia pada zaman dahulu. Uniknya, penulisan noktah-noktah tersebut ternyata mengikuti pola yang didasarkan pada bentuk bangun datar atau bangun ruang.

1. Pola Garis Lurus Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya, a. mewakili bilangan 2. b. mewakili bilangan 3. c. mewakili bilangan 4. d. mewakili bilangan 5.

Plus+ Semua bilangan b asli dapat digambarkan dengan noktah-noktah yang mengikuti pola garis lurus.

Contoh Soal

6.1

Gambarkan rkan bilan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk noktah yang berpola garis lurus. a. 8 b. 11 c. 15 Jawab: a. b. c.

100


2. Pola Persegipanjang Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegipanjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegipanjang. Misalnya, a.

mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6.

b.


c.


Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.2

Dari bilangan-bilangan angan bi angan-bil berikut, manakah yang dapat mengikuti pola persegipanjang? Jelaskan dengan gambar. a. 15 b. 16 c. 17 Jawab: a. Bilangan 15 merupakan hasil perkalian 3 dan 5. Jadi, mengikuti pola persegipanjang.

b. Bilangan 16 merupakan hasil perkalian 2 dan 8. Jadi, mengikuti pola persegipanjang.

c.

Bilangan 17 merupakan hasil perkalian dari 1 dan 17. Jadi, mengikuti pola garis lurus.

3. Pola Persegi Persegi merupakan bangun datar yang semua sisinya memiliki ukuran yang sama panjang. Begitu pula dengan penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut. a.


b.

mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4.

Pola Bilangan, Barisan, dan Deret

101

c.


d.


Jika dilanjutkan, bilangan-bilangan yang digambarkan mengikuti pola persegi adalah : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat dua). Jika kamu perhatikan, bilangan kuadrat memiliki pola sebagai berikut.

+2

Contoh Soal 1.

2.

+2

+2

+2

+2

+2

+2

100 +19

+17

+15

+13

+11

+9

+7

+5

+3

81

64

49

36

25

16

9

4

1

+2

6.3

Dengan menggunakan ciri-ciri penulisan bilangan yang memiliki pola persegi, tentukan bilangan manakah yang mengikuti pola persegi? a. 60 b. 196 c. 225 Seorang anak menyusun persegi dari batang lidi yang mengikuti pola sebagai berikut.

Pola 1

Pola 2

Pola 3

Berapa banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5? Jawab: 1. a. Bilangan 60 bukan merupakan bilangan kuadrat. Jadi, bilangan 60 tidak dapat digambarkan mengikuti pola persegi. b. Bilangan 196 merupakan bilangan kuadrat dari 14. Jadi, bilangan 196 dapat digambarkan mengikuti pola persegi. c. Bilangan 225 merupakan bilangan kuadrat dari 15. Jadi, bilangan 225 dapat digambarkan mengikuti pola persegi.

102


2.

Persegi yang dibentuk pada pola ke-5 dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari gambar di samping, banyak lidi yang dibutuhkan untuk membuat persegi pada pola ke-5 adalah 60 lidi.

Situs Matematika www.free.vism www.sgi.com

4. Pola Segitiga Selain mengikuti pola persegipanjang dan persegi, bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan lima bilangan yang mengikuti pola segitiga berikut ini. a. mewakili bilangan 1. b.

mewakili bilangan 3.

c.


d.


Jadi, bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... Coba kamu perhatikan bilangan yang memiliki pola segitiga. Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut.

+1

+1

+1

+1

+1

36 +8

+7

+6

+5

+4

+3

+2

28

21

15

10

6

3

1

+1


103

atau 1 = 1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 10 = 1 + 2 + 3 + 4 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 dan seterusnya. Apa yang dapat kamu simpulkan dari uraian tersebut?

Contoh Soal

6.4

1. Tentukan t k lima li bilangan segitiga setelah bilangan 36. 2. Seorang anak membuat kerangka segitiga dari batang lidi dengan mengikuti pola sebagai berikut.

pola 1

pola 2

Berapa banyak lidi yang diperlukan untuk membuat pola ke-4? Jawab: 1. Lima bilangan segitiga setelah bilangan 36 dapat ditentukan dengan pola: 36

+ 9 = 45 +

10 = 55 + 11 = 66 +

12

=

78

+

13

=

91

Jadi, bilangan segitiga tersebut adalah 45, 55, 66, 78 dan 91 2. Segitiga yang dibentuk pada pola keempat dapat digambarkan sebagai berikut. Dari gambar di samping, banyaknya batang lidi yang dibutuhkan untuk membuat kerangka segitiga yang sesuai dengan pola ke-4 adalah 30 batang lidi

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap Bilangan yang memiliki pola bilangan ganjil atau genap biasanya memiliki selisih dua angka antara bilangan yang satu dengan bilangan sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

a. Pola Bilangan Ganjil Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut. (1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal. (2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan ganjil berikut ini. 1

3 +2

104


5 +2

7 +2

9 +2

11 +2

13 +2

15 +2

b. Pola Bilangan Genap

Tugas 6.1

Pola bilangan genap memiliki aturan sebagai berikut. (1) Bilangan 2 sebagai bilangan awal. (2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya. Perhatikan pola bilangan genap berikut ini. 2 4 6 8 10 12

14

Carilah contoh lain pola bilangan ganjil dan genap selain contoh yang sudah ada. Bandingkan hasilnya dengan teman sebangkumu

16

+2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 Agar kamu lebih memahami pola bilangan ganjil dan genap, coba kamu perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

6.5

1.

Isilah ahh titik-titik titik ti tit berikut sehingga membentuk pola bilangan genap. ... ... ... ... 28 ... ... ... ... 38 ... 2. Isilah titik-titik berikut sehingga membentuk pola bilangan ganjil. ... 51 ... ... ... ... ... ... ... ... ... 69 Jawab: 1. Pola bilangan genap yang dimaksud adalah 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 2. Pola bilangan ganjil yang dimaksud adalah 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69

6. Pola Segitiga Pascal Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga Pascal memiliki pola yang unik. Hal ini disebabkan karena bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola segitiga Pascal adalah sebagai berikut. a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak. b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1. c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut. d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola segitiga Pascal berikut. 1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

1

6

Pola bilangan bila bil segitiga Pascal ini dapat digunakan dalam perhitungan matematika lainnya. Salah satunya adalah

1 3

1 4

10 10 dan seterusnya.

Plus+

variabel bilangan berpangkat

1 5

1


105

Uji Kompetensi 6.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan pola noktah berikut.

2.

a. Salinlah kembali pola noktah tersebut dan lanjutnya tiga pola noktah berikutnya. b. Tulislah pola noktah tersebut dalam bentuk angka. c. Jelaskan pola bilangan tersebut. Isilah tabel berikut. Pola Bilangan

Bilangan Pada Dadu

Bilangan Pada Kartu Domino

Garis lurus

... ...

... ...

...

...

Persegi Persegi panjang 3.

4.

5.

6.

7. Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi.

Buatlah pola noktah dari bilangan-bilangan berikut. Kemudian, tentukan jenis pola yang digunakan. a. 9 d. 12 b. 10 e. 13 c. 11 Istilah titik-titik berikut dengan memperhatikan pola yang digunakan. a. 1, 2, 4, 8, 32, 256, ... b. 1, 5, 9, ..., 17, 21, 25 c. 5, 10, 15, 20, 25, ... , 35 d. 1, 4, 10, 19, 31, ... , ... e. 1, 4, 9, 16, ... , ..., 49 Berikut ini adalah pola yang dibuat dari batang lidi.

a. Salinlah pola tersebut dan lanjutkan tiga pola berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan untuk membuat pola kesepuluh? Tentukan pola bilangan berikut dan isilah titik-titik yang telah disediakan. a. 1, 8, 27, 64, ..., ..., ... b. 13, 23, ..., ..., ..., 63, 73 c. 1 + 2, 2 + 3, 3 + 4, ..., ..., 6 + 7 d. ..., ..., 75, 100, 125, ..., 175 e. 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ..., ..., ..., ...,

106


(a)

(b)

(c)

(d)

a. Salinlah pola tersebut dan tentukan tiga pola berikutnya. b. Berapa banyak batang lidi yang diperlukan untuk membuat pola 1, 2, 3, dan 4? 8. Berdasarkan pola yang telah dibuat pada soal nomor 7, isilah titik-titik pada tabel berikut. 9. Tentukan nilai m dan n sehingga pola bilangan berikut mempunyai pola tertentu. Banyaknya Persegi

Banyaknya Batang Lidi yang Digunakan

Banyaknya Batang Lidi pada Kelilingnya

1 2 3 ... ... ... ...

4 7 ... ... ... ... ...

4 6 ... ... ... ... ...

a. 7, 10, m, 16, 19, 22, n, ... b. 1, 2, 5, 6, 9, 10, m, n, c. 1, 6, 16, m, 51, n, ... d. 1, 6, m, 7, 3, n, 4 e. m, 12, 19, 26, n, 40, ... 10. Di sebuah bioskop, susunan tempat duduknya digambarkan sebagai berikut. baris 1 baris 2 baris 3

a. Berdasarkanpolatersebut,berapakahbanyaknya kursi pada baris ke-6? b. Jika di bioskop tersebut hanya terdapat enam baris kursi, berapa jumlah kursi di bioskop tersebut?

B. Barisan Bilangan Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut. a. 2, 4, 6, 8 b. 1, 3, 5, 7, ... c. 3, 6, 9, 12, 15, ... Jika kamu perhatikan, bilangan-bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut suku barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un. Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh U1 = suku ke-1 = 2 U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8 Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.

Contoh Soal

Plus+ TTanda “ ... “ pada akhir barisan bilangan menunjukkan bahwa barisan tersebut memiliki banyak sekali suku

6.6

1.

Diketahui ketahui ba barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. a. Tentukan banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Sebutkan satu per satu suku yang dimaksud. 2. Diketahui barisan bilangan 5, 10, 20, 40, 80. Tentukan U2, U4, dan U5. Jawab: 1. a. Terdapat 8 suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. U5 = 9 b. U1 = 1 U2 = 3 U6 = 11 U3 = 5 U7 = 13 U4 = 7 U8 = 15 2. U2 = suku kedua = 10 U4 = suku keempat = 40 U5 = suku kelima = 80

Berdasarkan polanya, barisan bilangan dibagi menjadi dua bagian, yaitu barisan arimetika (barisan hitung) dan barisan geometri (barisan ukur). Agar kamu lebih memahaminya, perhatikan uraian berikut ini.

1. Barisan Aritmetika (Barisan Hitung) Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Perhatikan uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan: 1

4

7

10

13

16

19

22

+3 +3 +3 +3 +3 +3 +3 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.


107

Sekilas Matematika Fibonacci (1180 –1250)

Sumber: www.lahabra.seniorhigh.net

Fibonacci, yang nama lengkapnya adalah Leonardo of Pisa, adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber Abaci, ia menjelaskan sebuah teka-teki yang sekarang kita kenal dengan barisan Fibonacci. Barisan tersebut adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya. (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, ...).

•

Diketahui barisan bilangan: 8

4

0

−4

−8

−12

−16

−20

–4 –4 –4 –4 –4 –4 –4 Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan, yaitu –4. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika. Dari kedua uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa barisan aritmetika memiliki beda (sering dilambangkan dengan b) yang tetap. Jika b bernilai positif maka barisan aritmetika itu dikatakan barisan aritmetika naik. Sebaliknya, Jika b bernilai negatif maka barisan aritmetika itu disebut barisan arimetika turun. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.7

Tentukan an jenis bba barisan aritmetika berikut berdasarkan nilai bedanya. a. 30, 32, 34, 36, 38, ... b. 18, 15, 12, 9, 6, 3, ... c. −10, −14, –18, −22, −26, ... Jawab a. 30 32 34 36 38 +2 +2 +2 +2 merupakan barisan aritmetika naik karena bedanya 2. b. 18

Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 2002

15

12

9

6

3

−3 −3 −3 −3 −3 merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −3. c.

−10

−14 −4

−18 −4

−22 −4

−26 −4

merupakan barisan aritmetika turun karena bedanya −4.

Kamu telah memahami barisan aritmetika naik dan turun. Sekarang, bagaimana mencari salah satu suku barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan bedanya saja? Bagaimana mencari beda jika yang diketahui hanya suku pertama dan satu suku barisan yang lain? Untuk menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. U1, U2, U3, U4, U5, U6, ..., Un – 1 , Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a) U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

108


U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b . . . Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) b Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika dapat ditulis sebagai berikut.

Problematika

Un = a + (n − 1) b Untuk mencari beda dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan uraian berikut. U2 = U1 + b maka b = U2 − U1 U3 = U2 + b maka b = U3 − U2 U4 = U3 + b maka b = U4 − U3 U5 = U4 + b maka b = U5 − U4 . . . Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un − 1 Jadi, beda suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut.

Isilah dengan barisan bilangan yang tepat. 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1 1 3 1 1 2 2 2 1

b = Un − U n − 1 Agar kamu lebih memahami materi ini, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.8

Diketahui ui barisa barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan: a. jenis barisan aritmetikanya, b. suku kedua belas barisan tersebut. Jawab: a. Untuk menentukan jenis barisan aritmetika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut. b = U2 − U1 = 13 − 10 = 3 Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik. b. Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut. Un = a + (n − 1)b maka U12 = 10 + (12 − 1) 3 = 10 + 11 · 3 = 10 + 33 = 43 Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.

Contoh Soal

6.9

Sebuah barisan aritmetika a memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. a. Tentukan beda pada barisan tersebut. b. Tuliskan sepuluh suku pertama dari barisan tersebut.

Solusi Matematika 127, 119, 111, 103, 95, ... Rumus suku ke-n dari barisan bilangan di atas adalah .... a. 8n + 119 c. 135 – 8n b. 119 – 8n d. 8n + 135 Jawab: Diketahui: U1 = a = 127 U2 = 119 b = –8 Rumus umum suku ke-n adalah Un = a + (n – 1) b = 127 + (n – 1) (–8) = 127 – 8n + 8 = 135 – 8n Jawaban: c Soal UAN, 2002


109

Solusi Matematika Di dalam suatu gedung pertunjukan, disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi, dan seterusnya selalu bertambah dua. Banyak kursi pada baris ke20 adalah .... a. 28 buah b. 50 buah c. 58 buah d. 60 buah Jawab: Misalkan, Un = banyak kursi pada baris ke-n Diketahui: U1 = 12, U2 = 14, dan U3 = 16 Ditanyakan: U20 Penyelesaian: Banyak kursi pada setiap baris membentuk barisan aritmetika dengan a = 12 dan b = 2. Jadi, Un = a + (n –1)b U20 = 12 + (20 – 1)2 = 12 + (19)2 = 12 + 38 = 50 Jawaban: b Soal UN, 2006

Cerdas Berpikir Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan aritmetika selain contoh yang sudah ada

110

Jawab: Diketahui : suku pertama = a = 6 suku ketujuh = U7 = 36 a. Untuk menentukan beda: Un = a + (n − 1) b maka U7 = 6 + (7 − 1) b 36 = 6 + 6 b 36 − 6 = 6 b 30 = 6 b b =5 Jadi, beda pada barisan itu adalah 5. b. Dengan suku pertama 6 dan beda 5 diperoleh barisan aritmetika sebagai berikut. 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

Contoh Soal

6.10

Diketahuii suatu t bbarisan aritmetika :−8, −3, 2, 7, 12, 17, ... Tentukan rumus suku ke-n yang berlaku pada barisan tersebut. Jawab: Diketahui: a = U1 = −8 b = U2 − U1 = −3 − (−8) = −3 + 8 =5 Jadi, rumus umum yang berlaku pada barisan tersebut adalah Un = a + (n − 1) b = −8 + (n − 1) 5 = −8 + 5n − 5 = 5n − 13

Contoh Soal

6.11

Setiap bulan, l Ucok U selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya. a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12. Jawab : a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 b. Diketahui : U1 = 10 b=1 U12 = a + (n – 1) b = 10 + (12 – 1) 1 = 10 + 11 = 21 Jadi, uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00.


2. Barisan Geometri (Barisan Ukur) Barisan geometriadalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r). Artinya, suku barisan ditentukan oleh perkalian atau pembagian oleh suatu bilangan tetap dari suku barisan sebelumnya. Pelajari uraian berikut. • Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 3 6 12 24 48 96 192

•

×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 1 1 81 27 9 3 1 3 9 ×

1 3

×

1 3

×

1 3

×

1 3

×

1 3

×

1 3

1 Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu . Berarti, 3 bilangan tersebut merupakan barisan geometri. Uraian tersebut memperjelas bahwa barisan geometri memiliki rasio tetap. Jika r bernilai lebih besar dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri naik. Adapun jika r lebih kecil dari 1, barisan geometri tersebut merupakan barisan geometri turun.

Contoh Soal

6.12

Tentukan apakah barisan bilangan geometri berikut merupakan barisan geometri naik atau turun. 5 5 5 , , , ... a. 100, 20, 5, 4 16 64 b. 1, 5, 25, 125, 625, ... c. 2, 4, 8, 16, 32, ... Jawab : a. 100

20

×

1 4

b. 1

c.

1 4

× 5

×5 2

1 4

×

25 ×5

4 ×2

5 4

5

1 4

×

125 ×5

8 ×2

5 16

625

1 4

merupakan barisan geometri 1 turun karena rasionya . 4

merupakan barisan geometri naik karena rasionya 5.

×5 16

×2

×

5 64

32 ×2

merupakan barisan geometri naik karena rasionya 2.


111

Sekarang, coba kamu perhatikan barisan bilangan geometri berikut. U1, U2, U3, U5, U6, ..., Un – 1, Un Dari barisan tersebut diperoleh U1 = a U2 = U1 × = a × r = ar U3 = U2 × r = (a × r) × r = ar2 U4 = U3 × r = (a × r2) × r = ar3 U5 = U4 × r = (a × r3) × r = ar4 U6 = U5 × r = (a × r4) × r = ar5 . . . Un = Un–1 × r = (a × rn – 2) × r = arn – 1 Jadi, untuk mencari suku ke-n barisan geometri digunakan rumus sebagai berikut. Un = arn – 1 Untuk mencari rasio dalam suatu barisan geometri, perhatikan uraian berikut. U U2 = U1 × r maka r = 2 U1 U U3 = U2 × r maka r = 3 U2 U U4 = U3 × r maka r = 4 U3 . . . Un Un = Un – 1 × r maka r = U n− 1 Jadi, rasio pada barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut.

r=

Contoh Soal

Cerdas Berpikir Buatlah tiga rumus suku ke-n barisan geometri selain contoh yang sudah ada

Un U n−1

6.13

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2 18, 6, 2, , 2 , 2 , ... 3 9 27 Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. Jawab: U U 6 1 r = n maka r = 2 = = U n− 1 U1 8 3 1 , suku kesepuluh barisan tersebut adalah 3 10 − 1 9 1 1 1 18 2 Un = arn–1 maka U10 = 18× = 18 × = 18 × = = 3 3 19 683 19 683 2.187 2 Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 2.187

Dengan rasio

(


(

112

(

(

(

(

Contoh Soal

6.14

Diketahui ui suatu barisan bba geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan: a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut, b. suku kesembilan barisan geometri tersebut. Jawab: a. Diketahui U4 = 4 dan U7 = 32 Un = arn – 1 maka U4 = ar3 = 4 .... (1) .... (2) U7 = ar6 = 32 Dari persamaan (1) diperoleh 4 ar3 = 4 maka a = 3 .... (3) r Subtitusikan persamaan (3) ke persamaan (2). 4 ar6 = 32 maka 3 r 6 = 32 r

(

(

4r3 = 32 r3 = 8 r=2 Subtitusikan r = 2 ke persamaan (1), diperoleh ar3 = 4 maka a · (2)3 = 4 a·8 =4 1 a= 2 1 Jadi, suku pertamanya adalah dan rasionya adalah 2. 2 1 · (2)9 – 1 2 1 = · (2)8 2 1 = · 256 = 128 2

b. Un = arn – 1 maka U9 =

Jadi, suku kesembilan dari barisan geometri tersebut adalah 128

Uji Kompetensi 6.2 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. –8, –3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37 a. Tentukanlah banyaknya suku barisan dalam barisan bilangan tersebut. b. Tentkan nilai U3, U5, U6, U8, dan U10. 2. Tentukanlah apakah barisan aritmetika berikut ini merupakan barisan aritmetika naik atau turun. a. 12, 36, 108, 324, ... b. –40, –28, –16, –4, ... c. 7, 4, 1, –2, –5, –8, ... d. 10, 8, 6, 4, 2, ... e. 1, –5, –11, –17, –23, ...

3.

4.

Tentukan beda untuk setiap barisan aritmetika berikut ini. a. 17, 27, 37, 47, 57, ... b. –6, –1, 4, 9, 14, 19, ... c. 48, 32, 16, 0, –16, ... d. 3, –1, –5, –9, –13, ... e. 0, –2, –4, –6, –8, ... Tulislah lima suku pertama dari barisan aritmetika yang mempunyai rumus umum sebagai berikut. 1 a. Un = 2n + 1 d. Un = n + 2 2 e. Un = 3n + 7 b. Un = n + 5 c. Un = 4n + 3


113

5.

6.

7.

Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 14 dan suku ke-8 adalah 29. a. Tentukan suku pertama dan beda barisan tersebut. b. Tentukan suku ke-12 dari barisan tersebut. c. Tuliskan sepuluh suku pertama barisan tersebut. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertamanya –15 dan suku kelimanya 1. a. Tentukan beda barisan aritmetika tersebut. b. Tentukan suku kesepuluh barisan aritmetika tersebut. c. Tuliskan 10 suku pertama barisan aritmetika tersebut. Tentukan rasio setiap barisan geometri berikut ini. a. 5, 15, 45, 135, ... 1 1 9 , , , , ... b. 12 4 4 c.

20, 10, 5, ... 7 7 7 d. 7, , , 2 4 8 e.

1, 2, 4, 8, ...

8. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri berikut ini. a. 2, 10, 50, 250, ..., U7 b. 16, 8, 4, 2, ..., U8 4 c. 100, 20, 4, , ..., U6 5 d. 1, 5, 25, 125, ..., U8 e. 6, 18, 54, 162, ..., U7 9. Tentukan rasio dan suku keempat suatu barisan geometri jika diketahui a. a = 2 dan U5 = 162 b. a = 4 dan U3 = 64 7 dan U7 = 224 c. a = 2 1 81 dan U6 = d. a = 15 15 10 e. a = 90 dan U5 = 9 10. Diketahui suatu barisan geometri dengan suku keempat 10 10 dan suku keenam . Tentukan: 81 9 a. suku pertama dan rasio pada barisan geometri tersebut, b. suku kesepuluh barisan geometri tersebut.

C. Deret Bilangan Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari barisan bilangan, baik itu barisan aritmetika maupun barisan geometri. Sekarang, bagaimana jika suku-suku dalam barisan bilangan tersebut dijumlahkan? Dapatkah kamu menghitungnya? Misalnya, diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 5, 8, 11, 14, 17, ..., Un Barisan bilangan tersebut jika dijumlahkan akan menjadi 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + ... + Un Bentuk seperti ini disebut deret bilangan . Jadi, deret bilangan adalah jumlah suku-suku suatu barisan bilangan. Sebagaimana halnya barisan bilangan, deret bilangan pun dibagi menjadi dua bagian, yaitu deret aritmetika dan deret geometri.

1. Deret Aritmetika (Deret Hitung) Coba kamu perhatikan barisan aritmetika berikut. 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... , Un Jika kamu jumlahkan barisan tersebut, terbentuklah deret aritmetika sebagai berikut. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + ... + Un Jadi, deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.

114


Contoh Soal

6.15

Suatu barisan arisan aritmetika ari ar memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tuliskan deret aritmetika dari barisan tersebut. Jawab: • Barisan aritmetikanya adalah 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ..., Un • Deret aritmetikanya adalah 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + ... + Un

Sekarang, bagaimana cara menjumlahkan deret aritmetika tersebut? Untuk deret aritmetika yang memiliki suku-suku deret yang sedikit mungkin masih mudah untuk menghitungnya. Sebaliknya, jika suku-suku deret tersebut sangat banyak, tentu kamu akan memerlukan waktu yang cukup lama untuk menghitungnya. Berikut ini akan diuraikan cara menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + ... + Un Kemudian, • Sn = a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + ( a + 3b ) + ( a + 4 b ) + ...+ U n Sn = U n + (U n − b ) + (U n − 2b ) + (U n − 3b ) + (U n − 4 b ) + ...+ a 2 Sn = ( a + U ) + ( a + U ) + ( a + U ) + ( a + U ) + ...+ ( a + U )

+

Sebany yak n kali

•

2 Sn = n (a + Un)

•

Sn =

n 1 n(a + Un) = (a + U n ) 2 2

Jadi, rumus untuk menghitung jumlah suku-suku deret aritmetika adalah sebagai berikut. Sn =

n (a + Un) 2

Oleh karena Un = a + (n – 1) b, rumus tersebut juga dapat ditulis sebagai berikut. Sn =

n (2a + (n – 1) b) 2

Agar kamu lebih memahami deret aritmetika, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.16

Diketahuii deret d t aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + U10. Tentukan: a. suku kesepuluh (U10) deret tersebut, b. jumlah sepuluh suku pertama (S10).


115

Solusi Matematika Setiap hari, Anisa menyimpan uang sebesar Rp1.000,00 di kotak uang. Uang di kotak itu pada hari ini ada Rp15.000,00. Berapa rupiah uang di kotak tersebut 2 minggu yang akan datang? a. Rp14.000,00 b. Rp28.000,00 c. Rp29.000,00 d. Rp30.000,00 Jawab: Setiap hari Anisa menabung sebesar Rp1.000,00 Oleh karena hari ini uang Anisa Rp15.000,00, hari ke-1 menjadi Rp16.000,00, hari ke-2 menjadi Rp17.000,00 dan seterusnya (mengikuti deret aritmetika). 16.000, 17.000, 18.000, .... a = 16.000 b = 1.000 U14 = a + (n –1)b = 16.000 + (14 – 1)1.000 = 16.000 + 13 × 1.000 = 29.000 Jadi, uang Anisa setelah dua minggu adalah Rp29.000,00. Jawaban: c Soal UN, 2005

Jawab : Diketahui : a = 3 dan b = 4 a. Un = a + (n – 1) b maka U10 = 3 + (10 – 1) 4 =3+9·4 = 3 + 36 = 39 Jadi, suku kesepuluh deret tersebut adalah 39. 10 n b. Sn = (a + Un) maka S10 = (3 + U10) 2 2 =

10 (3 + 39) 2

= 210 Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 210

Contoh Soal

6.17

Diketahui ui suatu dderet aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20. a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut. Jawab : Diketahui: U1 = a = 10 U6 = 20 a. Un = a + (n – 1) b maka U6 = 10 + (6 – 1)b 20 = 10 + 5b 20 – 10 = 5b 10 = 5b b =2 Jadi, bedanya adalah 2. b. Deret aritmetika tersebut adalah: 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + ... 1 6 c. Sn = (a + Un) maka S6 = (10 + U6) 2 2 6 (10 + 20) = 90 2 Jadi, jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah 90 =

Contoh Soal

6.18

Sebuah perusahaan permen memproduksi 2.000 permen pada tahun pertama. Oleh karena permintaan konsumen setiap tahunnya, perusahaan tersebut memutuskan untuk meningkatkan produksi permen sebanyak 5% dari produksi awal setiap tahunnya. a. Nyatakan jumlah permen yang diproduksi perusahaan tersebut pada 5 tahun pertama dalam barisan bilangan. b. Tentukan jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 (U7). c. Tentukan jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 (S7). Jawab: Diketahui: a = 2.000 5 b= x 2.000 = 100 100

116


a.

Barisan bilangannya adalah sebagai berikut. 2.000, 2.100, 2.200, 2.300, 2.400 b. Un = a + (n – 1) b maka U7 = 2.000 + (7 – 1) 100 = 2.000 + 6 · 100 = 2.000 + 600 = 2.600 Jadi, jumlah permen yang diproduksi pada tahun ke-7 adalah 2.600 permen. 7 n c. Sn = (a + U n ) maka S7 = (2.000 + 2.600) 2 2 = 3,5 × 4.600 = 16.100 Jadi, jumlah permen yang telah diproduksi sampai tahun ke-7 adalah 16.100 permen

Sekarang, kamu akan mempelajari sifat-sifat deret arimetika. Suatu deret aritmetika memiliki sifat-sifat sebagai berikut. (1) Jika diketahui deret aritmetika U1 + U2 + U3 + ... + Un maka U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ... = Un – Un – 1 (2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret aritmetika maka 2U2 = U1 + U3 (3) Jika Um dan Un adalah suku-suku deret aritmetika maka Um = Un + (m – n)b Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal

6.19

Tentukan k nilai il x jika suku-suku barisan x – 1, 2x – 8, 5 – x merupakan suku-suku deret geometri. 2. Dari suatu deret aritmetika diketahui bahwa suku keempatnya adalah 38 dan suku kesepuluhnya adalah 92. Tentukan: a. beda deret aritmatika tersebut, b. suku ketujuh deret aritmetika tersebut. Jawab: 1. Diketahui : U1 = x – 1 U2 = 2x – 8 U3 = 5 – x 2U2 = U1 + U3 maka 2 (2x – 8) = (x – 1) + (5 – x) 4x – 16 = x – 1 + 5 – x 4x – 16 = 4 4x = 20 x =5 Jadi, nilai x sama dengan 5. 2. Diketahui U4 = 38 dan U10 = 92 a. Untuk mencari beda: U − Un Um = Un + (m – n)b maka b = m m− n U − U 4 92 − 38 54 = 10 = = = 9 10 − 4 6 6 1.

Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 9.


117

b. Um = Un + (m – n)b maka U7 = U4 + (7 – 4)b = 38 + (3) 9 = 38 + 27 = 65 Jadi, suku ketujuh deret aritmetika tersebut adalah 65

2. Deret Geometri (Deret Ukur) Sama seperti deret aritmetika, deret geometri pun merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri. Coba kamu perhatikan barisan geometri berikut ini. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, ..., Un Jika kamu menjumlahkan suku-suku barisan geometri tersebut, diperoleh 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + ... +Un Bentuk seperti ini disebut sebagai deret geometri.

Contoh Soal

6.20

Diketahui suatu barisan geometri memiliki suku pertama 5 dan rasio 2. Tuliskan barisan dan deret geometrinya. Jawab: Barisan geometrinya adalah 5, 10, 20, 40, 80, 160, ..., Un Deret geometrinya adalah 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + .... + Un

Selanjutnya, kamu akan mempelajari cara menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri. Misalkan, Sn adalah jumlah n suku pertama deret geometri maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + ... +Un = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... +arn – 1 Kemudian, 2 3 4 n− 1 • Sn = a + ar + ar + ar + ar + ... + ar rSn = ar+ ar 2 + ar 3 + ar 4 + ar 5 + ...+ ar n Sn − rSn = a − ar n •

Sn − rSn = a (1 − r n ) Sn (1 − r) = a (1− r n ) Sn =

a (1 − r n )

(1 − r)

Jadi, rumus jumlah suku-suku deret geometri dapat dinyatakan sebagai berikut. Sn =

a (1 − r n ) 1− r

atau S n =

a ( r n − 1) r− 1

Agar kamu lebih memahami deret geometri, coba kamu pelajari contohcontoh soal berikut.

118


Contoh Soal

6.21

Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (S7). Jawab: • Menentukan suku ketujuh. Un = arn – 1 maka U7 = ar 6 = 3(2)6 = 3 · 64 = 192 Jadi, suku ketujuhnya adalah 192. • Menentukan jumlah tujuh suku pertamanya. a (1 − r n ) 3(1 − 2 7 ) maka S7 = Sn = 1− r 1− 2 3(1 − 128) = −1 3(− 127) = −1 = 381 Jadi, jumlah tujuh suku pertamanya adalah 381

Contoh Soal

6.22

Suatu deret geometri memiliki suku ketujuh 64 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio (r), suku kelima (U5), dan jumlah delapan suku pertamanya (S8). Jawab: Diketahui U7 = 64 dan U10 = 512. • Un = arn – 1 maka U7 = ar6 64 = ar6 64 a= 6 ... (1) r U10 = ar9 maka 512 = ar9

... (2)

Subtitusikan persamaan (1) ke persamaan (2), diperoleh ar9 = 512 maka 64 r 9 = 512 r6 64 r3 = 512 512 r3 = 64

()

•

r3 = 8 r =2 Jadi, rasio deret geometri tersebut adalah 2. 64 Dari persamaan (1) diperoleh : a = 6 r 64 = 6 ( 2) =

64 =1 64


119

Diperoleh a = 1, sehingga Un = arn–1 maka U5 = 1(2)5–1 = 1(2)4 = 1 · 16 = 16 Jadi, suku kelimanya adalah 16. •

Sn =

a (1 − r n ) 1− r

maka S8 = =

1(1 − 2 8 ) 1− 2 1(1 − 256)

−1 − 255 = −1 = 255 Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 255

Contoh Soal

6.23

Di suatu desa desa, jum jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 adalah 10.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di desa tersebut 5% per tahun, tentukan jumlah penduduk di desa tersebut pada tanggal 1 Januari 2011. Jawab: Misalkan, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2007 (U1) adalah 10.000 dan tingkat pertumbuhan penduduk (r) adalah 5 % = 0,05. • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2008 adalah U2 = 10.000 + (10.000 × 0,05) = 10.500 jiwa • Jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2009 adalah U3 = 10.500 + (10.500 × 0,05) = 11.025 jiwa dan seterusnya hingga diperoleh barisan sebagai berikut: 10.000, 10.500, 11.025, ... sehingga a = 10.000 r = 10.500 = 1, 05 10.000 Jadi, jumlah penduduk pada tanggal 1 Januari 2011 adalah U5 = ar5 – 1 = 10.000 (1,05)4 = 12.155,0625 = 12.155 jiwa.

Untuk mempermudah perhitungan deret geometri, kamu dapat menggunakan sifat-sifat dasar deret geometri, sebagai berikut (1) Jika diketahui deret geometri : U1 + U2 + U3 + ... +Un maka U2 U3 U4 Un = = = ...= U1 U 2 U 3 U n−1 (2) Jika U1, U2, dan U3 merupakan suku-suku deret geometri maka U22 = U1 × U3 (3) Jika Um dan Un merupakan suku dari deret geometri maka Um = Un · r m – n Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh-contoh soal berikut.

120


Contoh Soal

6.24

Diketahui suatu barisan : x + 2, 9, x + 26. Tentukanlah nilai x agar barisan tersebut dapat disusun menjadi sebuah deret geometri. Jawab: Diketahui bahwa : U1 = x + 2 U2 = 9 U3 = x + 26 Dengan menggunakan sifat dasar deret geometri maka U22 = U1 × U3 maka (9)2 = (x + 2) (x + 26) 81 = (x + 2) (x + 26) 2 81 = x + 28 x – 52 0 = x 2 + 28x – 29 0 = (x – 1) (x + 29) x = 1 atau x = –29 Jadi, nilai x = 1 atau x = –29

Contoh Soal

6.25

Dari suatu geometri, diketahui suku keenamnya 32 dan suku kesembilannya 256. Tentukan: a. rasio dari deret tersebut, b. suku ketiga (U3) dari deret tersebut. Jawab: Diketahui: U6 = 32 dan U9 = 256 a. Um = Un· rm–n maka U9 = U6 · r9–6 U 9 = U6 · r 3 U r3 = 9 U6 =

256 =8 32

r =2 Jadi, rasio deret tersebut adalah 2. b.

Um = Un· rm–n maka U6 = U3 · r6–3 U 6 = U3 · r 3 U U3 = 36 r 32

= =

( 2)

3

32 8

=4 Jadi, suku ketiga deret tersebut adalah 4


121

Uji Kompetensi 6.3 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tuliskan deret aritmetika dari barisan aritmetika berikut ini. a. 80, 120, 160, 200, ..., Un b. 13, 18, 23, 28, ..., Un c. –16, –9, –2, 5, ..., Un d. 10, 12, 14, 16,..., Un e. 17, 24, 31, 38, ..., Un 2. Tentukan jumlah setiap deret aritmetika berikut. a. 1 + 5 + 9 + 13 + ... + U10 b. 8 + 11 + 14 + 17 + ... + U15 c. 2 + 9 + +16 + 23 + ... + U7 d. 3 + 8 + 13 + 18 + ... + U20 e. 14 + 18 + 22 + 26 + ... + Un 3. Suatu deret aritmetika memiliki suku pertama 3 dan suku kedelapan 24. a. Tentukan beda deret tersebut. b. Tuliskan deret aritmetika tersebut. c. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut. 4. Jika diketahui dalam suatu deret aritmetika dengan suku kelima 13 dan suku kesembilan 21, tentukan: a. beda dari deret tersebut, b. suku kesepuluh deret tersebut, c. jumlah sebelas suku pertama dari deret tersebut. 5. Tentukan nilai x jika suku-suku barisan x – 4, 2x + 1, 10 + x, merupakan suku-suku yang membentuk dari aritmetika.

6.

Suatu barisan geometri memiliki suku pertama 3 dan rasio 4. a. Tuliskan barisan geometri tersebut. b. Tuliskan deret geometri tersebut. 7. Tentukan jumlah setiap deret geometri berikut. a. 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ... + U7 b. 3 + 15 + 75 + ... + U6 c. 1 + 4 + 16 + 64 + ... + U7 d. 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + ... + U8 1 1 e. + + 1 + 2 +... + U10 4 2 8. Diketahui suatu deret geometri memiliki suku ketiga 18 dan suku kelima 162. Tentukan: a. rasio deret geometri tersebut, b. suku kedelapan deret geometri tersebut, c. jumlah delapan suku pertama deret geometri tersebut. 9. Diketahui suatu barisan 1 + x, 10, x +16. Tentukan nilai x agar suku barisan tersebut menjadi deret geometri. 10. Tentukan n jika a. 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... + n = 510 b. 3 + 9 + 27 + ... + n = 120 c. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + n = 1.023 d. 3 + 6 + 12 + ... + n = 765 e. 2 + 6 + 18 + ... + n = 242

Rangkuman •

•

Pola bilangan terdiri atas: - pola garis lurus - pola persegipanjang - pola persegi - pola segitiga - pola bilangan ganjil dan genap - pola segitiga Pascal Barisan bilangan terdiri atas barisan aritmetika dan barisan geometri.

122


•

Rumus suku ke - n sebagai berikut.

barisan aritmetika

Un = a + (n – 1)b •

Rumus suku ke - n barisan sebagai berikut.

geometri

Un = arn – 1 •

Deret bilangan terdiri atas deret aritmetika dan deret geometri.

•

Jumlah suku ke-n deret aritmetika dinyatakan oleh rumus Sn =

• • •

•

Jumlah suku ke-n deret geometri dinyatakan oleh rumus

n (a + U n ) 2

Sn =

a(1 − r n ) dengan r π 1 1− r

Pada bab Pola Bilangan, Barisan, dan Deret ini, menurutmu bagian mana yang paling menarik untuk dipelajari? Mengapa? Setelah mempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi pada bab ini?

Peta Konsep Pola Bilangan, Barisan, dan Deret mempelajari tentang

Pola Bilangan

•

Pola garis lurus Pola persegipanjang Pola persegi Pola segitiga Pola bilangan ganjil dan genap pola segitiga Pascal

Deret terdiri atas

terdiri atas

terdiri atas

• • • • •

jika dijumlahkan menjadi

Barisan

Aritmetika rumus

Suku ke-n Un = a + ( n – 1)b

Geometri rumus

Suku ke-n Un = a rn – 1

Aritmetika

Geometri

rumus

Jumlah suku ke-n n Sn = ( a + Un) 2

rumus

Jumlah suku ke-n a(1− r n ) Sn = ,r π1 1− r


123

Uji Kompetensi Bab 6 A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Perhatikan pola berikut.

(1)

(2)

(3)

(4)

Pola kelima dari gambar tersebut adalah .... a. c.

b.

2.

Pola noktah-noktah berikut yang menunjukkan pola bilangan persegipanjang adalah ... a. c.

b.

3.

4.

5.

d.

d.

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Banyaknya suku barisan dari barisan bilangan tersebut adalah .... a. 10 c. 8 b. 9 d. 7 Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 28, 34, 40, 46, 52, 58, 64, 70 Nilai U3, U6, dan U8 berturut-turut adalah .... a. 40, 46, 64 b. 40, 52, 70 c. 40, 58, 70 d. 40, 64, 70 Berikut ini adalah barisan aritmetika, kecuali .... a. 70, 82, 94, 106, 118 b. 36, 40, 44, 48, 52 c. –10, –4, 2, 8, 14 d. 1, 2, 4, 8, 16

124


6. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. –8, –4, 0, 4, 8, 12, n, 20, 24 Nilai n yang memenuhi adalah .... a. 10 c. 16 b. 14 d. 18 7. Berikut ini yang merupakan barisan aritmetika turun adalah .... a. 30, 32, 34, 36, ... b. 12, 8, 4, ... c. 16, 21, 26, ... d. 50, 60, 70, ... 8. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 36, 44, 52, 60, 68, .... Beda pada barisan tersebut adalah .... a. 6 c. 8 b. 7 d. 9 9. Diketahui barisan bilangan aritmetika sebagai berikut. 42, 45, 48, 51, 54, .... Suku ke-12 barisan tersebut adalah .... a. 75 b. 55 c. 85 d. 65 10. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki suku pertama 15 dan suku ketujuh 39 adalah .... a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 11. Suatu barisan aritmetika memiliki suku keempat 46 dan suku ketujuh 61. Suku kesepuluh barisan tersebut adalah .... a. 66 c. 76 b. 71 d. 81 12. Barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum: 3n – 1 adalah .... a. 1, 4, 7, 10, 13, ... b. 1, 5, 9, 13, 17, ... c. 2, 8, 14, 20, ... d. 2, 5, 8, 11, 14, ...

13. Perhatikan barisan bilangan berikut. 1, 3, 9, 27, 81, m, 729, ... Agar barisan tersebut menjadi barisan geometri maka nilai m yang memenuhi adalah .... a. 324 b. 234 c. 243 d. 342 14. Diketahui barisan bilangan geometri sebagai berikut. 15 15 60, 30, 15, , 2 4 Rasio pada barisan tersebut adalah .... a. 30 b. 15 c. 3 d. 2 15. Perhatikan barisan bilangan geometri sebagai berikut. 3, 6, 12, 24, ... Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah .... a. 1.356 b. 1.536 c. 1.635 d. 1.653 16. Dalam suatu barisan geometri, diketahui suku pertamanya adalah 128 dan suku kelimanya adalah 8. Rasio dari barisan tersebut adalah .... a. 4 b. 2 6 c. 2 1 d. 4 17. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai berikut. 12 + 15 + 18 + ... Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah .... a. 160 b. 180 c. 360 d. 450

18. Suatu deret aritmetika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertama deret aritmetika tersebut adalah .... a. 242 b. 121 c. 81 d. 72 19. Dalam sebuah deret geometri, diketahui nilai S10 = 1.023. Jika rasio pada deret tersebut adalah 2, suku pertama deret tersebut adalah .... a. 1 c. 3 b. 2 d. 4 20. Diketahui suatu barisan sebagai berikut. x + 3, 16, 27 + x Nilai x yang memenuhi agar suku barisan tersebut menjadi deret geometri adalah .... a. 4 c. 6 b. 5 d. 7 B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan-barisan bilangan berikut. a. 4, 5, 9, 14, 23, ... b. 90, 78, 66, 54, ... c. 2, 6, 18, 54, 162, ... 2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan bilangan berikut. a. 3, 4, 6, 9, ... b. 1, 2, 4, 8, ... c. 10, 8, 6, 4, ... 3. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum sebagai berikut. a. n(n + 1) b. 2n + 5 c. n2 (n + 1) 4. Tentukan nilai suku keseratus barisan bilangan segitiga. 5. Diketahui barisan geometri 2, 4, 8, 16, 32, .... Tentukan: a. rasionya, b. rumus suku ke-n, c. jumlah sepuluh suku pertamanya.


125

Uji Kompetensi Semester 2 Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Nilai dari (–4)3 adalah .... a. 64 c. 12 b. –64 d. –12 –4 2 2. Bentuk a b jika diubah ke dalam bentuk pangkat bulat positif menjadi .... a.

b2 4a

b. –4ab

b2 a4

c. 2

d. ab

–2

9. Bentuk pangkat pecahan dari 27 3 3 adalah .... 1

a.

27 3

b.

27 3

5

c.

33

d.

33

4

10

10. Diketahui panjang rusuk sebuah kubus adalah 2 5 cm. Volume kubus tersebut adalah .... a.

40 5 cm3

c.

8 3 5 cm3

b.

40 3 5 cm3

d.

8 5 cm3

2

3.

¤ 1 ´µ ¥¥ µ ... ¥¦ 4 µµ¶

11. Bentuk sederhana dari 4 5 4 5 adalah ....

a. –8 b. –16 4.

5.

c. 8 d. 16

1 Jika 74 = p , nilai p sama dengan .... 7 a. 7 c. –4 b. 4 d. –7 Diketahui sebuah persegipanjang memiliki ukuran

(

1 × 2–4 ) cm. Luas persegipanjang tersebut adalah 2

... cm2. a. b.

1 16

c.

1 8

7.

8.

2

adalah ....

c. 134 d. 135

x 5 Bentuk sederhana dari 6 adalah .... x a. 1 c. x–1 x

b. x–11 d. x 5 –8 (p + 1) (p + 1) = ... a. (p + 1)3 c. p5 + 1 b. (p + 1)–3 d. p13 + 1

126

4

c.

2 5

5

d.

4 5

12. Diketahui adalah .... a. 2,873 b. 8,619


15 = 3, 873 . Nilai dari

15

15 1

c. 11,127 d. 11,732 5

13. Diketahui a. 10 b. 5

¤ 1 ´µ ¥¥ µ 2 a . Nilai a sama dengan .... ¥¦ 4 µµ¶

c. –10 d. –12

49

sama dengan ....

7

d. 16

¤ 1´ ¤ 1´ Hasil dari ¥¥ µµµ ¥¥ µµµ ¥¦ 5 µ¶ ¥¦ 2 µ¶

a. 125 b. 129

b.

5

14. Bentuk

3

6.

8

a.

a.

7 7

c.

21 7

b.

14 7

d.

49 7

12 15. Bentuk sederhana dan rasional dari adalah 6 2 .... a.

6 6 2 34

b.

6 6 2 17

c.

12 6 2 17

d.

6 2

16. Himpunan bilangan yang diurutkan dengan pola (2n – 1) dengan n bilangan asli, akan membentuk suatu barisan bilangan .... a. ganjil c. persegi b. genap d. segitiga 17. Gambar di bawah ini menggambarkan pola suatu barisan yang disusun dari batang-batang korek api.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

Banyak korek api pada pola berikutnya adalah .... a. 13 c. 15 b. 14 d. 16 Dari himpunan bilangan berikut ini yang merupakan barisan bilangan adalah .... a. 2, 4, 5, 6, ... b. 1, 2, 4, 12, ... c. –5, –2, 1, 4, ... d. 3, –3, 0, 3, ... Diketahui barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, .... Jika barisan tersebut dilanjutkan dengan suku berikutnya maka akan menjadi .... a. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 8 b. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 9 c. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 16 d. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 Tiga suku berikutnya dari barisan bilangan prima 13, 17, 19, ... adalah .... a. 23, 27, 29 c. 21, 23, 27 b. 23, 29, 31 d. 21, 23, 29 Diketahui barisan 1, 2, 0, 1, p, 0, .... Nilai p yang memenuhi adalah .... a. –2 c. 0 b. –1 d. 1 Suku kelima dan keenam barisan bilangan 2, 5, 9, 14, ... adalah .... a. 17 dan 20 c. 19 dan 23 b. 18 dan 22 d. 20 dan 27 Diketahui barisan bilangan 1, 4, 16, 64. Suku kedelapan barisan tersebut adalah .... a. 4.096 c. 19.373 b. 16.384 d. 24.576

24. Rumus suku ke-n barisan bilangan 10, 7, 4, ... adalah .... a. Un = 13 + 3n b. Un = 13 – 3n c. Un= 3n + 7 d. Un = 3n – 7 25. Jumlah 20 suku pertama barisan bilangan 5, 3, 1, –1, –3 ... adalah .... a. –280 c. 380 b. 180 d. 480 26. Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + ...+ Un adalah .... a. Sn = n2 + n c. Sn = 2n + n2 b. Sn = n + 1 d. Sn = n(n + 1) 27. Diketahui rumus jumlah n suku pertama sebuah n deret adalah S n 3n 1 . Deret yang dimaksud 2 adalah .... a. 1 + 1 + 2 + 2 + ... + Un b. 5 + 7 + 9 + 11 + ... + Un c. 4 + 7 + 10 + 13 + ... + Un d. 2 + 6 + 10 + 14 + ... + Un 28. Jumlah delapan suku pertama barisan bilangan 1, 3, 9, 27, ... adalah .... a. 3.180 c. 3.080 b. 3.280 d. 3.380 29. Sebuah bambu dibagi menjadi 4 bagian dan panjang setiap bagian membentuk suatu barisan geometri. Jika panjang potongan bambu terpendek adalah 25 cm dan potongan bambu terpanjang adalah 200 cm, panjang bambu mula-mula adalah .... a. 225 c. 400 b. 375 d. 425 30. Pak Joyo membeli sebuah TV berwarna seharga Rp 5.000.000,00. Pada setiap akhir 1 tahun, TV berwarna tersebut mengalami penurunan harga sebesar 10%. Harga TV berwarna tersebut pada akhir tahun ketiga adalah .... a. Rp3.645.000,00 b. Rp3.280.500,00 c. Rp2.952.450,00 d. Rp2.657.205,00

Uji Kompetensi Semester 2

127

Uji Kompetensi Akhir Tahun A. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. Perhatikan gambar berikut. C

P

Jika panjang PC = 3 cm, AC = 9 cm, dan AB = 15 cm, panjang PQ sama dengan ....

Q

B

A

2.

3.

a. 4,0 cm c. 7,5 cm b. 5,0 cm d. 10,0 cm Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai panjang bayangan 2 m. Jika pada saat yang sama panjang bayangan tiang bendera 3,5 m, tinggi tiang bendera tersebut adalah .... a. 2,625 m c. 4,66 m b. 3,625 m d. 5,66 m Perhatikan gambar berikut. R S 4

T

12 P

4.

Nilai x adalah .... x

Q

U

a. 2 c. 16 b. 16 d. 22 Penulisan yang benar mengenai kongruensi dua segitiga berikut adalah .... S

R

a. b. c. d.

T

P

5.

Q

ΔTPQ @ ΔRST ΔPQT @ ΔSRT ΔSTR @ ΔQTP ΔRTS @ ΔPQT

Perhatikan gambar berikut. C

6. Luas permukaan tabung yang memiliki diameter 10 cm dan tinggi 4 cm adalah .... a. 125,6 cm2 c. 244,92 cm2 b. 138,7 cm2 d. 251,2 cm2 7. Suatu kaleng berbentuk tabung dapat menampung air sampai penuh sebanyak 7.959,9 cm3. Jika jarijari kaleng tersebut 13 cm, tinggi kaleng tersebut sama dengan .... a. 13 cm c. 15 cm b. 14 cm d. 16 cm 8. Diketahui jari-jari alas suatu kerucut 5 cm dan tingginya 12 cm. Luas seluruh permukaan kerucut tersebut adalah .... a. 62,8 cm2 c. 204,1 cm2 b. 78,5 cm2 d. 282,6 cm2 9. Volume kerucut yang diameter alasnya 20 cm dan tingginya 24 cm adalah .... a. 7.536 cm3 c. 2.512 cm3 b. 5.024 cm3 d. 1.105 cm3 10. Luas permukaan bola yang memiliki diameter 21 cm adalah .... a. 19.404 cm2 c. 12.005 cm2 b. 15.783 cm2 d. 9.702 cm2 11. Luas dua buah bola berturut-turut adalah L1 dan L2 dan volumenya V1 dan V2. Jika panjang jarijarinya berturut turut 1 dm dan 2 dm, perbandingan volumenya adalah .... a. 2 : 5 c. 1 : 4 b. 1 : 5 d. 1 : 8 12. Dari 720 siswa di SMP Nusa Bangsa, diperoleh data tentang pelajaran yang disukai siswa. Data tersebut disajikan pada diagram berikut ini.

F IPA

9 cm

A

B. Inggris 70° 10 cm

B

D

45° 10 cm

E

Pada gambar tersebut, ΔABC @ ΔDEF. Pernyataan yang benar adalah .... a. EF = 9 cm dan –F = 70° b. EF = 9 cm dan –C = 45° c. –C = 65° dan EF = 70 cm d. –F = 65° dan EF = 9 cm

128


B. Indonesia

60° 45° 45° 75° IPS Matematika

Banyak siswa yang menyukai matematika adalah ... orang. a. 90 c. 270 b. 120 d. 280

13. Diketahui data sebagai berikut. 25, 26, 22, 24, 26, 28, 21, 24, 26, 27, 21 28, 28, 30, 25, 29, 22, 21, 23, 25, 26, 23 Mean dari data tersebut adalah .... a. 24 c. 26 b. 25 d. 27 14. Nilai rata-rata ujian PKn 10 siswa adalah 55. Jika nilai tersebut digabung dengan 5 siswa lainnya, nilai rata-ratanya menjadi 53. Nilai rata-rata kelima siswa tersebut adalah .... a. 47 c. 49 b. 48 d. 50 15. Tabel frekuensi nilai ulangan matematika 40 siswa adalah sebagai berikut. Nilai

Frekuensi

10 9 8 7 6 5 4 3

2 2 5 6 10 7 6 2

Median dari data tersebut adalah .... a. 6 c. 7 b. 6,5 d. 7,5 16. Diberikan sekumpulan data sebagai berikut. 153, 160, 275, 273, 154, 153, 160, 211, 160, 150, 150, 154, 154, 273, 160 Modus dari data tersebut adalah .... a. 160 c. 153 b. 154 d. 150 17. Pada pelemparan dua keping uang logam secara bersamaan, peluang tidak muncul sisi gambar adalah .... 1 a. 0 c. 2 1 b. d. 1 4 18. Dua buah dadu dilempar bersamaan. Peluang munculnya muka dadu berjumlah kurang dari 10 adalah .... a.

1 6

c.

1 4

b.

5 6

d.

1 3

19. Sebuah koin dilemparkan 200 kali. Hasilnya, muncul sisi angka sebanyak 120 kali. Frekuensi relatif muncul sisi angka adalah .... a. 0

2 5

c.

1 3 d. 5 5 20. Di suatu desa, diketahui peluang seorang balita terjangkit penyakit asma adalah 0,38. Jika di desa tersebut terdapat 100 balita, jumlah balita yang diperkirakan akan terjangkit penyakit asma adalah .... a. 23 orang c. 38 anak b. 27 orang d. 53 anak b.

21. Jika 1 = 5 p maka nilai p adalah .... 5 -5 a. –5 c. 1 b. 5 d. 0 22. Luas sebuah persegipanjang adalah 1 dm2. Jika lebarnya 4–2 dm, panjang persegipanjang tersebut adalah .... a. 2 dm c. 8 dm b. 4 dm d. 16 dm b

23. Bentuk akar dari a c adalah .... a.

ab

c.

c

ab

b.

a bc

d.

b

ac

1 3

24. Jika x = 3 maka nilai x adalah .... a. 27 c. 3 1 b. 9 d. 3 25. Bentuk rasional dari

1 adalah .... 5+ 7

1 2 2

a.

-

b.

1 12 2

c.

-

1 2

d.

1 2

(

(

5- 7 5- 7

)

)

Uji Kompetensi Akhir Tahun

129

26. Perhatikan gambar berikut.

B. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan gambar berikut. C

27.

28.

29.

30.

Barisan bilangan yang menunjukkan banyaknya persegipanjang pada setiap pola adalah .... a. 2, 3, 4, 6 b. 2, 3, 5, 7 c. 2, 3, 5, 6 d. 2, 3, 4, 8 Dua suku berikutnya dari barisan 6, 12, 20, 30 dan seterusnya adalah .... a. 36 dan 44 c. 40 dan 48 b. 38 dan 50 d. 42 dan 56 Jumlah 8 suku pertama dari barisan bilangan 1, 3, 9, 27, ... adalah .... a. 3.180 c. 3.080 b. 3.280 d. 3.380 Diketahui suku pertama barisan geometri adalah 4 dan rasionya 2. Rumus suku ke-n barisan tersebut adalah .... a. Un = 2n + 1 c. Un = 2n + 2 b. Un = 2n – 1 d. Un = 2n – 2 Dalam suatu pertandingan sepakbola, setiap pemain dari kedua kesebelasan yang masuk lapangan harus menjabat tangan pemain yang datang terlebih dahulu. Jumlah jabat tangan yang terjadi adalah .... a. 400 c. 200 b. 231 d. 40

130


Jika DE//AB, CD = 8 cm, AD = 2 cm, dan DE = 4 cm, tentukan: a. panjang AB, b. perbandingan BE : BC.

E

D

B

A

2.

Diketahui volume sebuah tabung yang memiliki jari-jari alas r dan tinggi t adalah 480 cm3. Jika jari1 jatinya diperkecil menjadi r, tentukan volume 2 tabung yang baru.

3.

Rata-rata nilai ulangan matematika dari 12 siswa adalah 7,2. Jika nilai Heri dimasukkan ke dalam perhitungan tersebut, rata-ratanya menjadi 7,3. Tentukan nilai ulangan Heri.

4.

Diketahui 3 = p dan 2 = q . Nyatakan bentukbentuk berikut dalam p dan q.

5.

a.

24

b.

54

c. 150 Jumlah suku kedua dan ketiga suatu barisan aritmetika adalah 14. Adapun jumlah suku ketujuh dan kedelapan adalah 54. Tentukan: a. bedanya, b. suku pertamanya, c. rumus suku ke-n.

Kunci Jawaban Bab 1 Kesebangunan dan Kekongruenan

Uji Kompetensi Bab 2 halaman 35

Uji Kompetensi 1.1 halaman 7

A.

1. 3. 5.

7. 9.

c dan d a. x = 5 b. y = 8 a. x = 160° b. y = 77° z = 103° AC = 15 cm Tinggi pohon = 40 cm

B.

3. 5.

Uji Kompetensi 1.2 halaman 11 1. 3. 5.

∆ABC dan ∆DEF ∆GHI dan ∆MNO x = 40° PS = 33 cm

B.

1. 3. 5. 7. 3. 5.

c b b b PQ = 15 cm x = 47, 5° y = 58° z = 47,5°

9. 11. 13. 15.

1.

d d c c 3. 5.

Populasi = seluruh balita di kelurahan tersebut Sampel = beberapa balita di kelurahan tersebut yang diperiksa kesehatannya b. Populasi = seluruh sayur sop yang dibuat ibu Sampel = sedikit/sebagian dari sayur sop yang dicicipi ibu. Datum terkecil = 50 Datum terbesar = 88 Tabel frekuensinya:

a. 376,8 cm2 b. 401,92 cm2 c. 616 cm2 t = 10 cm 33 : 56 V = 49.280 dm3 r = 2,5

7. 9.

533,8 cm2 a. 188,4 cm2 b. 301,44 cm2 188,4 cm2 282,6 cm2 462 cm2 a. 204,1 cm2 b. 282, 6 cm2 c. 314 cm3

Uji Kompetensi 2.3 halaman 33 1. 3. 5. 7. 9.

314 cm r = 8 cm 577,76 dm V = 113,04 dm3 t = 4r

Turus

Frekuensi

0 1 2 3 4 5

4 2 6 3 3 2 Jumlah

a. b.

20

20 keluarga 4 keluarga

7. 60 50 Jumlah Buku

5.

r = 2,5 cm 157 cm2 196,5 cm2 s = 25 cm 1.884 cm2 154 cm2 179,667 cm3

Jumlah Anak

Uji Kompetensi 2.2 halaman 27 1. 3.

a d b d c

a.


3. 5. 7. 9.

11. 13. 15. 17. 19.


Bab 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung 1.

c b c d a a. b. c. a. b. a. b.

Bab 3 Statistika

Uji Kompetensi Bab 1 halaman 14 A.

1. 3. 5. 7. 9. 1.

40 30 20 10 Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Sabtu Minggu Hari

Kunci Jawaban

131

5.

9. Bis Jalan Kaki

Jalan Kaki

54°

Jemputan

72° 36°

90° 108°

a.

Bis

Angkot

b. c.

15%

Angkot 20% 25% 10% 30% Jemputan

Sepeda

Datum terkecil = 1 Datum terbesar = 10 J=9 Q1 = 3 Q2 = 5 Q3 = 7,5

Bab 4 Peluang

Sepeda

Uji Kompetensi 4.1 halaman 59 Uji Kompetensi 3.2 halaman 47

3. 5. 7.

9.

1.

a. x = 3,57 b. x = 12,5 c. x = 28,25 d. x = 6,2 145 cm Modus = 27 a. Me = 15 b. Me = 29 c. Me = 800 d. Me = 7,05 a. Nilai

3. 5.

Dadu

1

Turus

4 6 7 6 4 3 Jumlah

3.

5.

a. b. c. d. a. b. c. d. a. b.

c.

1.

3.

a. b. c. a.

B.

1. 3. 5. 7. 9. 1. 3.

132

a b d a c 360 56 dan 128

11. 13. 15. 17. 19.

Warna

Turus

Frekuensi

Putih (P) Hijau (H) Merah (M) Biru (B)

b.

8 6 6 10 30

Frekuensi relatif warna 8 4 = 30 15 6 1 hijau = = 30 5

putih =

Q3 = 7,5 Q3 = 38 Q3 = 413 Q3 = 50,3

a d b d d


6

K = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} K = {3, 6, 9, 12, 15} K={}

Jumlah

Q3 = 155

5


Mean = 7,3 Median = 7 Modus = 7


4

Gambar (G, 1) (G, 2) (G, 3) (G, 4) (G, 5) (G, 6) (G)

30

J=4 J = 49 J = 244 J = 21,6 Q1 = 3,5 Q2 = 5 Q1 = 23 Q2 = 37 Q1 = 119 Q2 = 201,5 Q1 = 35,8 Q2 = 40,1 Jangkauan = 10 Mean = 153,5 Modus = 150 dan 155 Median = 153,5 Q1 = 150 Q2 = 153,5

3

Angka (A, 1) (A, 2) (A, 3) (A, 4) (A, 5) (A, 6) (A)

Uji Kompetensi 3.3 halaman 49 1.

2

S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}

Frekuensi

5 6 7 8 9 10

b.

Kejadian acak adalah kejadian yang hasilnya tidak dapat ditentukan sebelumnya. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Uang logam

1.

6 1 = 30 5 10 1 = biru = 30 3

merah =

5.

c.

Jumlah frekuensi relatif = 1

a.

1 5 1 3 7 12

b. c. 7.

a. b. c. d.

pasti terjadi mungkin terjadi mustahil mungkin terjadi

d. e.

4 5 2 3

e.

2) 3)

mungkin terjadi


3.

1 1

5)


a. 75 kali b. 75 kali c. 75 kali 500 orang

1.

a.

4 2

d.

7 5

g.

11 21

b.

3 3

e.

h.

2 2 5

c.

5 3

f.

3 5 4 5


B.

1. 3. 5. 7. 9.

b d a c d

1.

a. b.

3.

a. b.

5.

11. 13. 15. 17. 19.

d b c b c

3. 5.

1 13 1 2 5 36 5 12

7.

PQ = 5 13 cm a. 10 b. 2 117

e. f.

3 1

c.

5 6 +6 2

g.

2 3 5

d.

–1

h.

2 9 21

a.

3 5 5

e.

10 (5 + 2 ) 23

b.

15 7 7

f.

10 - 15

g.

5( 11 + 18 )

h.

4 (1 + 2 15 )

425 anak c.

Uji Kompetensi Semester 1 halaman 70 1. 3. 5. 7. 9.

c a b c c

5

11. 13. 15. 17. 19.

d a c d c

21. 23. 25. 27. 29.

c b d a c

d.

3 9 160 (6 – 32 ) 31

1

1

a.

32

e.

10 2

b.

5

f.

15 3

Bab 5 Pangkat Tak Sebenarnya

c.

16 3

g.

23 5


d.

12 2

h.

40 3

3. 5. 7.

1) 44 2) 105 3) (–7)3 4) c7 5) (–y)5 b. 1) 2 × 2 × 2 2) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 3) (–6) × (–6) × (–6) × (–6) 4) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4 × 4 5) 8 × 8 × 8 × a × a × a × a × a L = 352 a2 t = 6a V = 735 p9p

9.

a.

1.

9.

2

5

1

2

1

a.

1) 2) 3)

1 73 1 42 1 (-5 )5

4) 5)

1 1 ¥ 8 3 17 5

2p

20


B.

3. 5.

1)

8–1

4)

11–14

(–4)–2 9–6 1

5)

1 p -11

c.

2) 3) 1)

4)

d c a a c a.

87

11. 13. 15. 17. 19. c.

b.

(–2)2

d.

a. x = –5 b. x = –6 (2( 3 – 1)) cm

c. d.

a d a a b p4 23 q2 p5 x = –3 x = –4

Bab 6 Pola Bilangan, Barisan, dan Deret Uji Kompetensi 6.1 halaman 106 1.

b.

1. 3. 5. 7. 9. 1.

3.

60 5.

b. c. a. b. c. d. e. b.

1, 4, 7, 10, ... pola garis lurus pola persegi pola persegipanjang pola garis lurus pola persegipanjang pola garis lurus 30 batang lidi Kunci Jawaban

133

7. 9.

b. a. b. c. d. e.

4, 7, 10, 12 buah m = 13 m = 13 m = 31 m=2 m=5

n = 25 n = 14 n = 76 n= 8 n = 33

9.


a. b.

3.

a. b. c. a. b. c.

10 suku U3 = 2 U8 = 27 U10 = 37 U5 = 12 U6 = 17 b = 10 d. b = –4 b=5 e. b = –2 b = –16 U1 = –6 dan b = 5 U12 = 49 –6, –1, 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39

a.

r=3

d.

r= 1

b.

r=3

e.

r=2

c.

r=

a. b.

r=3 r=4

U4 = 54 U4 = 256

c.

r=2

U4 = 28

d.

r=3

e.

r=

5.

7.

9.

3.

5. 7.

A.

B.

e.

S10 = –255 3

1. 3. 5. 7. 9. 1.

5.

1 2

1 3

9 5 10 U4 = 3

U4 =


4

x = –21 atau x = 4

3.

2

a. 80 + 120 + 160 + 200 + ... + Un b. 13 + 18 + 23 + 28 + ... + Un c. –16 + (–9) + (–2) + 5 + ... + Un d. 10 + 12 + 14 + 16 + ... + Un e. 17 + 24 + 31 + 38 + ... + Un a. b = 3 b. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 + ... + Un c. S10 = 165 x=6 a. S7 = 2.186

134

S6 = 11.718 S7 = 5.461 S8 = 1.275

Uji Kompetensi Bab 6 halaman 124 c a d b a a. b. c. a. b. c. a. b. c.

11. 13. 15. 17. 19.

c c b b a

37, 60, 97 42, 30, 28 486, 1.458, 4.374 2, 6, 14, 20, 30 7, 9, 11, 13, 15 2, 12, 36, 80, 150 r=2 Un = 2n S10 = 1.024

Uji Kompetensi Semester 2 halaman 126 1. 3. 5. 7. 9.

b d a d d

11. 13. 15. 17. 19.

a c b c d

21. 23. 25. 27. 29.

b b a c b

Uji Kompetensi Akhir Tahun halaman 128 A.

1. 3. 5. 7. 9.

b c d c c

B.

1.

a. b. 8,5 a. b. c.


b. c. d.

3. 5.

11. 13. 15. 17. 19. AB = 5 cm BE : BC = 1 : 5 b=4 a=1 Un = 4n – 3

d b a c d

21. 23. 25. 27. 29.

b c c d a

Daftar Simbol ? ~ ° ≅ r d π t L s % x xn fn J Qn

sudut sebangun derajat kongruen jari-ja - ri jari-jari diameter phi tinggi luas garis pelukis persen mean atau rata-rata data ke-n frekuensi ke-n jangkauan kuartil ke-n

S n(S) P(A) P(A ( ) ? Fh Œ

himpunan ruang sampel jumlah anggota himpunan S peluang kejadian A himpunan bagian frekuensi harapan anggota akar kuadrat sama dengan tidak sama dengan lebih besar dari lebih besar sama dengan lebih kecil lebih kecil sama dengan suku ke-n jumlah suku ke-n dot

= ≠ > ≥ < ≤ Un Sn ?

Glosarium B Barisan bilangan: bilangan-bilangan yang disusun mengikuti pola tertentu Barisan aritmetika: barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan Barisan geometri: barisan bilangan yang mempunyai rasio yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan Beda: selisih dua suku barisan yang berurutan Bilangan irasional: bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan Bilangan real: bilangan yang mencakup bilangan rasional dan bilangan irasional atau semesta bilangan

D Data: kumpulan datum Data kualitatif: data yang bukan berupa bilangan, melainkan gambaran keadaan objek yang dimaksud Data kuantitatif: data yang berupa bilangan dan nilainya bisa berubah-ubah Datum: fakta tunggal

Deret bilangan: Jumlah suku-suku suatu barisan bilangan Deret aritmetika: jumlah suku-suku barisan aritmetika Deret geometri: jumlah suku-suku barisan geometri Diameter: garis tengah

F Frekuensi harapan: harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan Frekuensi relatif: perbandingan banyaknya kejadian uang diamati dengan banyaknya percobaan

G Garis pelukis: garis yang ditarik dari titik puncak kerucut ke sisi alas kerucut

J Jangkauan: selisih datum terbesar dengan terkecil

K Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel Kejadian acak: kejadian yang hasilnya tidak dapat diprediksikan sebelumnya

Kunci Jawaban

135

Indeks B bangun datar 1, 2, 4, 8, 9, 10 bangun ruang sisi lengkung 17, 18, 23, 28, 34, 35 barisan bilangan 99, 107, 108, 109, 111, 112, 116, 122, 124, 125, 127, 130 barisan aritmetika 107, 108, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 122, 124, 125, 130 barisan aritmetika naik 108, 109, 113 barisan aritmetika turun 108, 124 barisan geometri 107, 111, 112, 113, 114, 118, 119, 120, 125, 127 barisan geometri naik 111 barisan geometri turun 111 beda 107, 108, 109, 111, 114, 115, 117, 119, 122, 124, 130 belah ketupat 1, 2 bentuk akar 73, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 93, 94, 95, 96 bilangan berpangkat bulat 73, 74, 79, 81, 93, 95 bilangan berpangkat bulat negatif 74, 79, 80, 95 bilangan berpangkat bulat positif 74, 95 bilangan berpangkat nol 81 bilangan berpangkat pecahan 92, 93, 95 bilangan bulat positif 75, 77, 78, 79, 80, 93, 95, 96 bilangan irasional 82, 90 bilangan pokok 74, 75, 76, 77, 79, 83, 97 bilangan rasional 81, 82, 90 bilangan rasional berpangkat bulat 81, 82 bilangan real 74, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 85, 86, 88, 89, 90, 95, 96 bilangan real positif 85, 86, 95 bola 17, 18, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 70

C

diagram gambar 40, 50, 51 diagram garis 41, 43, 48, 51, 52 diagram lingkaran 42, 43, 44, 51, 54 diagram pohon 57, 58, 59, 66 diameter 18, 23, 24, 29, 32, 33, 35

E eksponen 74, 97

F Fibonacci 108 frekuensi harapan 63, 64, 68, 69 frekuensi relatif 59, 60, 63, 65, 66, 68, 72

G garis 8, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 28, 36 garis pelukis 23, 24, 25, 27, 28, 36

J jajargenjang 1, 4, 7, 70 jangkauan 48, 50, 51, 53, 72 jari-jari 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 36 jari-jari alas 21, 22, 24, 27, 28, 33, 35, 36 juring 42, 52

K

Christoff Rudolff 85

D data 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 71, 72 data kualitatif 39 data kuantitatif 38, 52, 53, 71 datum 38, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 54 deret bilangan 99, 114, 122, 127, 128 deret aritmetika 114, 115, 116, 117, 118, 122, 123, 125 deret geometri 99, 114, 117, 119, 120, 121, 122, 123, 125 diagram batang 41, 43, 51, 52, 53, 71 diagram batang horizontal 41 diagram batang vertikal 41

136


kejadian 56, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 72 kejadian acak 56 kekongruenan 1, 8 kekongruenan bangun datar 1, 8, 13 kekongruenan segitiga 10 kesebangunan 1, 2, 4, 5, 12, 13 kesebangunan bangun datar 1, 2 kesebangunan segitiga 4 kerucut 17, 18, 23, 24, 25, 31, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 71 komplemen 62, 65 kongruen 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 70 kuartil 49, 50, 51, 53, 54 kuartil atas 49, 51, 54 kuartil bawah 49, 50, 53, 54 kuartil tengah 49, 50, 51, 54

L lingkaran 18, 20, 23, 25, 28, 30, 35, 36, luas 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 71 luas alas 20, 24, 25 luas permukaan 18, 19, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 33, 35, 36, 71 luas permukaan kerucut 23, 24, 25, 28, 34, 35, 36 luas permukaan tabung 19, 20, 21, 22, 35, 34, 71 luas selimut 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 33, 34, 35, 36, 71 luas selimut kerucut 23, 24, 27, 28, 36, 34, 71 luas selimut tabung 19, 20, 21, 22, 34, 35

M mean 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54 median 46, 47, 48, 49, 50, 51, 53, 54 modus 45, 46, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 72

N nilai peluang 62, 65, 66

pola persegi 101, 102, 122, 123 pola persegipanjang 101, 103, 122, 123 pola segitiga 103, 105, 122, 123 pola segitiga Pascal 105, 122, 123 populasi 39, 43

R rasio 111, 112, 113, 114, 118, 119, 122, 125 ruang sampel 57, 58, 59, 60, 61, 65, 67

S sampel 39, 43, 52, 71 sebangun 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 70 segitiga 1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 70 sektor 42, 52 selimut kerucut 23, 24, 25, 27, 28, 36, 34 selimut tabung 18, 19, 20, 21, 22, 34, 35 sisi 2, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 23, 28, 33, 35, 24, 34, 70 sudut 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 suku barisan 107, 108, 111, 113, 114, 117, 118, 122, 124, 125 suku ke-n 107, 109, 110, 112, 122, 123, 125, 127, 130

P T pangkat bulat negatif 96 pangkat bulat positif 96 pangkat nol 96 pangkat pecahan 73, 85, 92, 93, 94, 98 pangkat sebenarnya 96 pangkat tak sebenarnya 73, 95, 96 panjang 2, 4, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 29, 26, 30, 32, 33, 36, 70, 71 peluang 55, 56, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 72 peluang kejadian 60, 61, 62, 63, 65 peluang suatu kejadian 56, 59, 60, 62 percobaan 56, 57, 58, 59, 60, 63, 65, 69 percobaan statistika 57 persegi 1, 2, 3, 7, 15 persegipanjang 1, 2, 3, 7, 14 piktogram 40, 43 pola bilangan ganjil 104, 105 pola bilangan genap 105

tabung 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 33, 34, 35, 36, 71 Thales 4 titik sampel 57, 59, 60, 61, 65, 66, 67 trapesium 1, 2, 7, 9, 14

V volume 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 71 volume bola 31, 32, 33, 36, 71 volume kerucut 25, 26, 27, 28, 31, 35, 36, 71 volume tabung 20, 21, 22, 23, 33, 35, 71

Indeks

137

Daftar Pustaka Bigelow, Paul dan Graeme Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Victoria: Macmillan Education Australia PTY LTD. Bin, Oh Teik. 2003. The Essential Guide to Science and Mathematics in English. Selangor: Shinano Publishing House. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 Mata Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional. Farlow, Stanley J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill Book Co. Hong, Tay Choong, Mark Riddington and Martin Grier. 2001. New Mathematics Counts For Secondary Normal (Academic) 4. Singapore: Times Publishing Group. Negoro, ST dan B. Harahap. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Nightingale, Paul. 2001. Vic Maths 6. Australia: Nightingale Press. O'Brien, Harry. 2001. Advanced Primary Maths 6. Australia: Horwitz Martin Education. O'Brien, Paul. 1995. Understanding Math Year 11. NSW: Turramurra.

138


Kunci Jawaban Soal-soal Pilihan

195

KUNCI JAWABAN BAB 1 TEORI PELUANG Latihan 1 1. b. 20 3. a. 216

b. 60

5. 20 7. 960 9. 24 11. 120 13. a. 210 15. 138 Latihan 2 1. a. 6

c.

40 33

3. a. 120

e. 21

h. 462

b. 24

5. 336 7. a. 190

c. 455

9. a. 1.080

c. 5.124

11. a. 362.880

b. 80.640

c. 30.240

13. 9.880 15. 152.096 17. a. 6.840

b. 5.527.200

19. 43.680 Latihan 3

1. a. 36 1 2 1 5. a. 5

3. a.

b. 16 1 52 1 b. 2

b.

c. 256 1 4 3 c. 10

c.

d. 12 1 52 4 d. 5

d.

e. 216


196

7. a.

1 9

9. a. 256 11. a.

5 18

13. a. 30

b.

1 c. 0 12 35 c. 128 5 c. 9

d.

7 12

c. 20

15. 440 18.

5 6

Uji Kemampuan

1 2 3 4 5 6 7

D A B A C D E

8 9 10 11 12 13 14

B E C A B B A

15 16 17 18 19 20 21

C B C C D C A

22 23 24 25 26 27 28

D D B C C D C

29 30 31 32 33 34 35

E C B A E C E

KUNCI JAWABAN BAB 2 STATISTIKA Latihan 3

1. 80 3. Rp5.800.000,00 5. 7,2 7. 156 9. a. Modus = 9, median = 9, mean = 8,25 c. Modus = tidak ada, median = 68, mean = 71,17 11. mean = 3,6 ; 13. 8,71

rata-rata harmonis = 3,35 ; median = 3,5 dan modus = 3


197

Latihan 4

25 7 Simpangan baku = 4,16 dan variansi = 17,29 b. Jangkauan = 2, simpangan rata-rata = 1,7 Simpangan baku = 4 ,6 dan variansi = 4,6

1. a. Jangkauan = 13, simpangan rata-rata =

3. b. Jangkauan = 4, rata-rata simpangan = 0,93 dan simpangan baku = 1,15 5. a. Tertua 22 tahun dan termudah 11 tahun b. variansi = 17,2 9. a. s b. s c. 10s

Latihan 5

3.

b. Simpangan kuartil = 3,665 Desil ke-3 = 5,83 Desil ke-6 = 11,1 Persentil ke-45 = 8,83 Persentil ke-65 = 11,9 Jangkauan persentil = 7,5 6. a. Rata-rata = 7 dan simpangan baku = 1 1 10 dan Z (8) = 10 b. Z (2) = 2 10 c. KV = 45,2 %

10

8. b. Data paling homogen adalah hasil tes Bahasa Indonesia Data paling baik adalah hasil tes matematika Uji Kemampuan

1 2 3 4 5

A E B D D

6 7 8 9 10

E E A B E

11 12 13 14 15

D B E C E

16 17 18 19 20

C C D C B

21 22 23 24 25

A C D A D

198


KUNCI JAWABAN BAB 3 MATEMATIKA KEUANGAN Latihan 1

1. a. 5% di bawah 100 = 5,56 % di atas 100 b. 18% di bawah 100 = 28,125 % di atas 100 3. a. 2,5% di atas 100 = 2,56 % b. 30% di bawah 100 = 14,29 % 6. a. diskon = Rp9.010,00 dan harga sebelum diskon Rp53.000,00 c. pajak = Rp176.400,00 dan harga sebelum pajak Rp630.000,00 7. Bunga = Rp1.500.000,00 dan modal setelah bunga Rp3.500.000,00 9. a. Rp749.250,00 b. Rp7.499.250,00 11. Rp1.642.666,67 13. Rp570.000,00 15. 2% tiap bulan 17. Rp437.500,00 21. 21 bulan 25. a. Rp472.500,00 27. Rp7.720.000,00 29. Rp930.000,00 33. Rp6.189.907,94 35. Rp8.428.415,61 37. 10 triwulan Latihan 2

1. Rp4.216.925,29 3. Rp1367.621.435,90 7. Rp3.139.543,89 9. Rp350.000,00 11. Rp450.000,00 13. 180.610,558,00

b. Rp4.027.500,00


199

17. 6 % 21. Rp5.007.662,57 25. Rp360.000,00

Latihan 3

1. a. Rp100.000,00 b. Rp138.000,00 3. a. bunga pertama Rp104.000,00 dan angsuran pertama Rp146.000,00 b. Rp170.799,35 5. Rp447.302,56 7. a. Rp40.702.240,74 b. Rp3.391.853,40

Uji Kemampuan

1 2 3 4 5 6 7

A C E B D A E

8 9 10 11 12 13 14

B D D E C A C

15 16 17 18 19 20 21

B A B D C E B

22 23 24 25 26 27 28

A C A D E B D

29 30 31 32 33 34 35

E B C D C D A

200


Glosarium Kaidah pencacahan

: Suatu kaidah yang digunakan untuk menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa

3

n faktorial

: Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n

6

Permutasi

: Susunan k obyek yang berbeda dari n obyek yang tersedia dimana

10

Kombinasi

: Susunan k obyek dengan urutan tidak diperhatikan dari n obyek yang tersedia

13

Ruang sampel

: Peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan

19

Hasil kejadian

: Himpunan bagian dari ruang sampel

19

Frekuensi harapan

: Hasil kali peluang P(A) dengan banyaknya percobaan n

24

Komplemen A

: Banyaknya kejadian yang bukan A

25

Kejadian majemuk

: Kejadian yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua atau lebih kejadian sederhana

28

Kejadian saling bebas

: Apabila kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi oleh kemunculan kejadian lainnya.

30

Statistika

: Pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan data , penyajian data , pengolahan data , penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan secara logis dan rasional tentang data tersebut

43

Deskriptif

: Gambaran suatu data apa adanya

43

Inferensial

: Kegiatan statistika dimulai dari pengumpulan data sampai pada pengambilan keputusan secara logis dan rasional.

43

Data

: Sekumpulan keterangan yang dapat menjelaskan sesuatu hal.

44

Reliabel

: Kesalahan baku kecil, dapat terpercaya

44

Representatif

: Dapat mewakili

44

Up to date

: Terkini

44

Populasi

: Keseluruhan data yang akan diteliti

44

Glosarium

201

Observasi

: Pengumpulan data melalui pengamatan

46

Interview

: Pengumpulan data melalui wawancara

46

kuesioner

: Pengumpulan data melalui angket

46

Piktogram

: Nama lain diagram lambang

55

Ogive

: Diagram garis yang diperolegh dari daftar distribusi frekuensi kumulatif

58

Histogram

: Diagram batang yang saling berimpit yang diperoleh dari daftar distribusi frekuensi

59

Foligon frekuensi

: Diagram garis yang tertutup yang diperoleh dari daftar distribusi frekuensi.

59

Mean

: Rata-rata hitung

64

Modus

: Nilai data yang sering muncul

68

Median

: Nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan

70

Rata-rata simpangan

: Perbandingan harga mutlak selisih data dengan rata-ratanya dengan banyaknya data

76

Simpangan baku

: Ukuran dispersi dengan rumus 1 2 s= ∑ (x i − x ) n

77

Varians

: Simpangan baku kuadrat

79

Kuaril

: Nilai data yang membagi data menjadi 4 bagian sama besar setelah data diurutkan

81

Desil


83

Persentil


85

Angka baku

: Nilai yang menyatakan perbandingan antara selisih data dengan rata-ratanya dengan simpangan baku data tersebut

86

Koefisien variasi

: Perbandingan antara simpangan baku dengan rata-rata suatu data dan dinyatakan dalam %.

88

Bunga

: Jasa dari pinjaman

97

Persen di atas 100

: Bentuk pecahan yang selisih antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus

98

Persen di bawah 100

: Bentuk pecahan yang jumlah antara penyebut dan pembilangnya sama dengan seratus

98

202


Bunga tunggal

: Bunga yang diperoleh pada setiap akhir jangka waktu tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipinjam

101

Diskonto

: Bunga yang dibayarkan oleh peminjam pada saat menerima pinjaman

105

Bunga majemuk

: Proses bunga berbunganya suatu modal

111

Rente

: Sederatan modal atau angsuran yang dibayarkan atau diterima pada setiap jangka waktu tertentu yang tetap besarnya

125

Rente pranumerando

: Rente yang dibayarkan atau diterima di awal 125 periode.

Rente postnumerando

: Rente yang dibayarkan atau diterima di akhir periode

125

Rente kekal

: Rente yang jumlah angsurannya tidak terbatas

125

Anuitas

: Sejumlah pembayaran pinjaman yang sama besarnya. yang dibayarkan setiap jangka waktu tertentu. dan terdiri atas bagian bunga dan bagian angsuran

141

Obligasi

: Surat berharga yang merupakan perjanjian pinjaman tertulis

155

Depresi(penyusutan)

: Perkurangnya nilai ekonomi suatu aktiva.

162

Aktiva

: Segala sumber daya ekonomi dari suatu perusahan yang berupa harta maupun hakhak yang di miliki berdasarkan kekuatan hukum

162

203

Indeks

Indeks A Aktiva ................................................................................................................166, 168, 171, 179, 180 Angka baku.......................................................................................................................89, 90, 92, 93 Anuitas ............................................ 96, 144, 145, 153, 154, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 187, 188

B Bunga majemuk 96, 97, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 111, 112, 113, 115, 116, 118, 120, 122, 123, 124, 144, 148, 158, 160, 161, 163, 187, 188, 189 tunggal... 96, 97, 102, 103, 104, 105, 106, 109, 111, 112, 113, 115, 116, 118, 120, 122, 123, 124, 144, 148, 158, 160, 161, 163, 187, 188, 189

D Data ............................................................ 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 57, 62, 64, 70, 72, 76 Deduktif.............................................................................................................................................43 Desil ........................................................................................................................... 77, 85, 86, 92, 96 Deskriptif ...........................................................................................................................................43 Deviasi standar............................................................................................................................. 79, 81 Diagram batang ............................................................................................ 50, 52, 53, 54, 55, 61, 94, 95, 96 gambar ........................................................................................... 50, 52, 53, 54, 55, 61, 94, 95, 96 garis................................................................................................ 50, 52, 53, 54, 55, 61, 94, 95, 96 lingkaran ......................................................................................... 50, 52, 53, 54, 55, 61, 94, 95, 96 Diskonto .................................................................................................... 106, 107, 108, 120, 121, 187 Diskrit................................................................................................................................................45

F Faktorial ..............................................................................................................................................6 Fermat.................................................................................................................................................3 Frekuensi ........................................................... 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 67, 68, 69, 73, 84, 91, 95, 96 Frekuensi harapan .................................................................................................................. 20, 24, 34

G Garis lurus ....................................................................................................................................... 167

H Hasil produksi ............................................... 111, 158, 159, 166, 167, 171, 174, 181, 182, 183, 187, 189 Histogram .................................................................................................................................... 60, 61

I Induktif..............................................................................................................................................43 Inferensial..........................................................................................................................................43 Interval....................................................................57, 63, 68, 69, 71, 73, 76, 82, 84, 86, 87, 88, 92, 97

204

Matematika XII KelompokPenjualan dan Akuntansi

Interview ...........................................................................................................................................46

J Jam kerja......................................................................................................................................... 176 Jangkauan ............................................................................................................ 77, 85, 88, 91, 92, 96 kuartil .............................................................................................................. 77, 85, 88, 91, 92, 96

K Kaidah pencacahan...........................................................................................................................2, 3 Kejadian bersyarat.................................................................... 2, 19, 20, 25, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 majemuk .......................................................................... 2, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 saling bebas ..................................................................... 2, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 saling lepas ...................................................................... 2, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 37, 42 Koefisien variasi ................................................................................................................90, 91, 92, 93 Kombinasi .......................................................................................................................2, 3, 13, 14, 17 Komplemen........................................................................................................................................25 Kontinu..............................................................................................................................................45 Kuartil..............................................................................................................77, 83, 84, 85, 91, 92, 94 Kuesioner...........................................................................................................................................46

M Mean ........................................................................................................................................... 65, 73 Median ....................................................................................................................... 72, 73, 74, 95, 96 Modus ..............................................................................................................................70, 71, 74, 96

N Nilai akhir96, 97, 106, 107, 108, 113, 115, 116, 117, 118, 121, 124, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188 sisa .96, 97, 106, 107, 108, 113, 115, 116, 117, 118, 121, 124, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188 tunai96, 97, 106, 107, 108, 113, 115, 116, 117, 118, 121, 124, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 146, 149, 154, 155, 156, 157, 162, 163, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 178, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 188

O Obligasi ........................................................................................................................................... 159 Ogive.................................................................................................................................................62

P Pascal ............................................................................................................................................3, 23 Peluang ......................................................... 2, 19, 20, 21, 23, 25, 26, 27, 28, 31, 33, 37, 38, 39, 40, 41

Indeks

205

Pembagi tetap....................................................................................................109, 110, 112, 121, 124 Penyusutan ...........................................................................................96, 165, 166, 173, 176, 178, 179 Permutasi ........................................................................................................... 2, 3, 10, 11, 12, 16, 17 siklik .............................................................................................................. 2, 3, 10, 11, 12, 16, 17 Persen .................................................................................................................. 98, 99, 100, 120, 184 di atas seratus .................................................................................................. 98, 99, 100, 120, 184 di bawah seratus............................................................................................... 98, 99, 100, 120, 184 sebanding......................................................................................................... 98, 99, 100, 120, 184 seukuran .......................................................................................................... 98, 99, 100, 120, 184 Persentil ................................................................................................................................ 77, 87, 88 Populasi ....................................................................................................................................... 42, 48

R Rente kekal .......................................................... 96, 126, 127, 128, 130, 132, 134, 135, 137, 139, 142, 186 postnumerando........................................... 96, 126, 127, 128, 130, 132, 134, 135, 137, 139, 142, 186 pranumerando ............................................ 96, 126, 127, 128, 130, 132, 134, 135, 137, 139, 142, 186 Ruang sampel ...................................................................................................................19, 20, 32, 34

S Saldo menurun................................................................................................................................. 169 Sampel ........................................................................................................................................ 42, 48 Simpangan baku .............................................................................. 68, 69, 77, 78, 79, 81, 82, 85, 89, 91, 93, 97 kuartil ............................................................................ 68, 69, 77, 78, 79, 81, 82, 85, 89, 91, 93, 97 Statistika.....................................................................................................................42, 43, 44, 48, 64

T Tabel distribusi..................................................................................................................56, 58, 84, 95 Tepi atas ............................................................................................................58, 71, 73, 74, 78, 84, 91 bawah .........................................................................................................58, 71, 73, 74, 78, 84, 91

U Ukuran pemusatan ...................................................................................................... 42, 64, 65, 76, 77 Umur manfaat....................................................................................................166, 168, 169, 179, 180

DAFTAR PUSTAKA

Alders, C.J. 1987. Ilmu Aljabar. Jakarta: Pradnya Paramita. Anton, Howard. 1988. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Ayres, Frank. Jr. 1972. Calculus 2 edition, Schum Outline Series:: Mc. Graw Hill London, London, Book Company. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. 1976. Matematika 8. Jakarta. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. 1976. Matematika 11. Jakarta. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. 2003. Kurikulum SMA dan MA. Jakarta. Holiger, Siegbert. Matematika Teknik untuk Kejuruan Logam. Jakarta: Katalis. a: Ilman, M. Oetjoep. Gunawan dkk. 1968. Aljabar dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta Jakarta: Widjaya. Erlangga. a. Purcell, Edwin J. Varberg Dole. 1999. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta: Erlangga Sadler. A.J. 1999. Introductory Calculus Second Edition n. Australia: Sadler Family Famiily Trust. Sadler, A.J. 1999. Geometry and Trigonometry. Australia: Sadler Family Trust. Spiegel, Murray R. 1993. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.

MATEMATIKA Untuk Sekolah Menengah Kejuruan(SMK) Kelas XII

Recommend Documents