MATEMATIKA TANTERV 1+4 ÉVFOLYAM
1
I. Célok és feladatok A matematikatanítás célja és feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Iskolánkban az 1+4 évfolyamos képzési forma lehetőséget ad arra, hogy a 9. évfolyamon heti 2 órában az általános iskolai tananyagot részletesen átismételhessük a tanulókkal. Ez nagyon fontos és hasznos, több szempontból is: - lehetőséget ad arra, hogy a tanulók tudásukban felzárkózzanak egymáshoz, így a továbbiakban az osztályon belül lehetséges az egységes követelményrendszer alkalmazása, - lehetőséget ad arra, hogy a tanulók tudásukban felzárkózzanak a 8 évfolyamos gimnáziumi osztályok megfelelő évfolyamához, így a továbbiakban az iskolán belül lehetséges az egységes követelményrendszer alkalmazása.
2
II. Fejlesztési követelmények
Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása. A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A “ha ..., akkor ...” az “akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos.
Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.
3
Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást.
Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is. Az egyes témakörök tanítási sorrendjét a tantervnek nem feladata meghatározni, ezt a tanterv alapján készülő tanmenet rögzíti. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza.
4
9. 10. 11. 12. 13. évfolyam évfolyam évfolyam évfolyam évfolyam Gondolkodási módszerek
6
6
6
10
15
Számtan, algebra
30
38
40
31
23
Függvények, sorozatok
10
15
12
14
25
Geometria
18
39
39
40
45
Valószínűség, statisztika
10
5
8
10
10
-
6
6
6
10
74
111
111
111
128
Év végi ismétlés Összesen
Készítette:
5
9. ÉVFOLYAM évi óraszám:74 Gondolkodási módszerek (folyamatosan) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az elsajátítás képességének fejlesztése. Pozitív motiváció kialakítása. Kommunikációs készség fejlesztése. Az igényes szóbeli és írásbeli közlés fejlesztése.
Tartalom A matematika tanulási módszereinek továbbfejlesztése. Informatikai eszközök igénybevétele.
Gondolatok (problémák, feltételezések, összefüggések, stb.) szóbeli és írásbeli kifejezése. A nyelv logikai elemeinek Összehasonlításhoz, viszonyításhoz helyes használata. szükséges kifejezések értelmezése, használata (pl.: egyenlő; kisebb; nagyobb; több; kevesebb; legalább; legfeljebb; nem; és; vagy; minden, van olyan). Az “és”, “vagy”, “ha”, …akkor”, “nem”, “van olyan”, “minden” kifejezések jelentése. Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások megfogalmazása. Egyszerű (“minden”, “van olyan” típusú) állítások átfogalmazása, igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán. Fogalmak, állítások logikai kapcsolata. A bizonyítási igény A matematikai bizonyítás fejlesztése. előkészítése: sejtések, kísérletezés, Ellenpéldák szerepe a módszeres próbálkozás, cáfolás. cáfolásban. Szövegértelmező és Változatos tartalmú szövegek szövegalkotó képesség értelmezése, készítése, a szaknyelv fejlesztése. fokozatos elsajátítása. Mindennapi tapasztalatok alapján matematikai modell alkotása.
6
A továbbhaladás feltételei A gondolkodási módszerek követelményei a többi témakörben konkretizálódnak. Szabatos, pontos írásbeli és szóbeli fogalmazás. Gondolatok (állítások, feltételezések, választások, stb.) világos, érthető szóbeli és írásbeli közlése. Egyszerű állítások igazságának eldöntése.
Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban.
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás a matematika nyelvére. Az ellenőrzés, önellenőrzés igényének fejlesztése. Tervezés, ellenőrzés igényének kialakítása. Halmazszemlélet fejlesztése.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei
Szöveges feladatok értelmezése, Szöveg értelmezése. megoldási terv készítése, a feladat megoldása és szöveg alapján történő ellenőrzése. Megoldások megtervezése, eredmények ellenőrzése. Konkrét dolgok adott szempont(ok) szerinti rendezése, rendszerezése.
(6 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Halmazszemlélet fejlesztése. Rendszerszemlélet fejlesztése. A tanult ismeretek közötti összefüggések felismerése, azok értő alkalmazása
Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése
Tartalom
A továbbhaladás feltételei
Példák konkrét halmazokra: részhalmaz, kiegészítő halmaz, unió, metszet. Elemek halmazokba rendezése, halmazok elemeinek felsorolása konkrét példák kapcsán. A tanult halmazműveletek alkalmazása konkrét feladatokban, összefoglaló rendszerezésben Változatos kombinatorikai feladatok megoldása különféle módszerekkel. Sorbarendezés, kiválasztás néhány elem esetén. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása változatos módszerekkel (fadiagram, útdiagram, táblázatok készítése). Kombinatorikai módszerek rendszerezése konkrét példákon keresztül.
A tanult halmazműveletek felismerése és alkalmazása konkrét halmazok esetén.
Sorbarendezés, kiválasztás legfeljebb 4-5 elem esetén, az összes eset felsorolása.
Számtan, algebra (30 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése számok kirakásával.
Tartalom Tízes alapú számrendszer. Kettes alapú számrendszer. Átírás tízes számrendszerből kettes számrendszerbe és kettes számrendszerből tízes számrendszerbe.
7
A továbbhaladás feltételei A tízes számrendszer biztos ismerete.
Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Fegyelmezettség, Műveleti sorrend. következetesség fejlesztése. A zárójel szerepe
A műveletfogalom mélyítése, kiterjesztése. A számolási készség fejlesztése gyakorlati feladatokon keresztül is.
A becslési készség fejlesztése. Egyenes és fordított arányosság felismerése gyakorlati jellegű feladatokban és a természettudományos tárgyakban. A következtetési képesség fejlesztése. Következtetési képesség fejlesztése összetettebb feladatokban.
A racionális számok. Ábrázolásuk számegyenesen. A számok reciprokának fogalma. Műveletek racionális számkörben: - szorzás, osztás törttel, tizedes törttel; - alapműveletek negatív számokkal. Műveletek rendszerezése a racionális számkörben. Műveleti tulajdonságok, a helyes műveleti sorrend. Becslés a törtek körében is. Arányossági következtetések. Egyenes arányosság, fordított arányosság. Egyenes-, fordított arányosság grafikonjának ábrázolása derékszögű koordinátarendszerben. Arány, aránypár, arányos osztás, arányossági összefüggések gyakorlati esetekben, természettudományos feladatokban. Százalékszámítási és egyszerű kamatszámítási feladatok.
A továbbhaladás feltételei Helyes műveleti sorrend ismerete a négy alapművelet esetén. Tört, tizedes tört, negatív szám fogalma. Pozitív törtek szorzása és osztása pozitív egésszel.
Egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása egyszerű konkrét feladatokban.
Egyszerű százalékszámítási feladatok.
Racionális szám fogalma (véges, végtelen tizedes törtek), példák nem racionális számra (végtelen, nem szakaszos tizedes törtek). Zsebszámológép használata A négyzetgyök fogalma. A rendszerező képesség A természetes, egész, racionális és valós fejlesztése. számok halmazának kapcsolata. Számítások egyszerűsítése Műveletek racionális számkörben. Alapműveletek például azonosságok Eredmények becslése. helyes sorrendű felismerésével. elvégzése egyszerű Zsebszámológépek esetekben, a alkalmazása. racionális számkörben. A hatványozás fogalma pozitív egész 10 pozitív egész kitevőre. kitevőjű hatványai, A hatványozás azonosságai konkrét 10-nél nagyobb példákon. számok normálalakja. Normálalak.
8
Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Matematikatörténeti Prímtényezős felbontás. érdekességek megismerése. Két szám legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse. Egyszerű oszthatósági szabályok (3-mal, 9cel, 8-cal, 125-tel, 6-tal).
Mindennapi szituációk összefüggéseinek leírása a matematika nyelvén, képletek értelmezése.
A helyettesítési érték célszerű kiszámítása.
Ellenőrzés igényének fejlesztése.
Szövegértelmezés, lefordítás a matematika nyelvére.
Betűk használata Az algebrai egész kifejezés fogalma. Egynemű kifejezések. Egyszerű algebrai egész kifejezések átalakítása, helyettesítési értékeinek kiszámítása. Egytagú algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása, osztása. Kéttagú algebrai egész kifejezések szorzása egytagú és kéttagú algebrai egész kifejezéssel. Műveleti azonosságok rendszerező áttekintése. Algebrai egész kifejezések, képletek, fizikai összefüggések átalakításai. Szorzattá alakítás kiemeléssel egyszerű esetekben. Algebrai egész kifejezések szorzása, osztása egyszerű esetekben. Értelmezési tartomány vizsgálata Elsőfokú vagy elsőfokúra visszavezethető egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Szöveges feladatok megoldása. Problémamegoldási módszerek rendszerezése
A továbbhaladás feltételei Osztó, többszörös, két szám közös osztóinak, néhány közös többesének megkeresése. 2-vel, 5-tel, 10-zel, 100-zal való oszthatóság.
Egyszerű algebrai egész kifejezések (képletek) átalakítása, helyettesi értékek kiszámítása.
Elsőfokú egyenletek megoldása.
Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlettel.
Összefüggések, függvények, sorozatok (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Helymeghatározás, adott tulajdonságú pontok keresése.
Tartalom Számegyenes, szám-intervallumok ábrázolása kisebb, nagyobb, legalább, legfeljebb; ábráról való leolvasása.
9
A továbbhaladás feltételei
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozódás a derékszögű koordinátarendszerben.
A gyakorlati életből vett egyszerű példákban a kapcsolatok felismerése, lejegyzése, ábrázolása. A függvényszemlélet fejlesztése. Táblázatok, grafikonok készítése konkrét hozzárendelések esetén. Tájékozódás a síkon a derékszögű koordinátarendszer segítségével. A függvényszemlélet fejlesztése. Táblázatok, grafikonok készítése konkrét függvények esetén.
Grafikus megoldási módszerek alkalmazása (lehetőség szerint számítógépen is).
Tartalom Helymeghatározás gyakorlati szituációkban, konkrét esetekben. A Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer. Változó mennyiségek közötti kapcsolatok, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben. Példák elsőfokú függvényekre. Példák konkrét sorozatokra, ábrázolásuk derékszögű koordinátarendszerben. Két halmaz közötti hozzárendelések megjelenítése konkrét esetekben. Egyértelmű hozzárendelések ábrázolása a derékszögű koordinátarendszerben.
Lineáris függvények és speciális esetei ábrázolása táblázattal, táblázat nélkül. Példák nem lineáris függvényekre (pl.: 1/x függvény). Függvények és ábrázolásuk a derékszögű koordinátarendszerben. x → x2; x → x
A továbbhaladás feltételei Konkrét pontok ábrázolása, pontok koordinátáinak leolvasása. Biztos tájékozódás a derékszögű koordinátarendszerben.
x ® ax + b függvény és ábrázolása konkrét racionális együtthatók esetén.
Függvények egyszerű tulajdonságai (tengelymetszetek, növekedés, csökkenés, szimmetriák, függvényérték vizsgálata) Egyszerű transzformációk konkrét esetekben. Adott feltételnek eleget tevő pontok a koordinátarendszerben. Egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Sorozatok és vizsgálatuk (számtani, mértani sorozat).
Geometria, mérés (18 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
10
A továbbhaladás feltételei
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Körző, vonalzók helyes használata, párhuzamosok, merőlegesek szerkesztése. Problémamegoldó képesség fejlesztése szerkesztésekkel. Megoldási terv készítése.
Ismert alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése.
A továbbhaladás feltételei Távolság szemléletes fogalma, adott A pont, egyenes, szakasz fogalmának tulajdonságú pontok keresése. Szakaszfelező merőleges. Szögfelező. helyes használata. Háromszögek csoportosítása oldalak, szögek Párhuzamos és merőleges egyenesek szerint. előállítása, Négyszögek tulajdonságai és fajtái. szögmásolás A kör, körrel kapcsolatos fogalmak (sugár, átmérő, húr, szelő, érintő, körcikk, körszelet). Szakasz másolása, A szög fogalma, mérése, szögfajták. adott távolságok Szögmásolás, szögfelezés; háromszögek, felmérése. téglalapok szerkesztése. Felezőmerőleges Külső pontból adott egyenesre merőleges szerkesztése. szerkesztése Szögfelező szerkesztése. A tengelyes tükrözés. Pont tengelyes Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. tükörképének megszerkesztése. Tartalom
Fejlesztés a gyakorlati mérések, és a mértékegységváltások helyes elvégzésében.
Mértékegységek átváltása konkrét gyakorlati Szög (fok), példák kapcsán. hosszúság, terület, térfogat, tömeg, űrtartalom, idő mérése és mértékegységeinek ismerete. Állítások megfogalmazása, Háromszögek nevezetes vonalai (oldalfelező, Háromszögek és igaz vagy hamis voltának szögfelező, magasságvonal, középvonal, területének eldöntése. Megoldási terv súlyvonal) kiszámítása. készítése kerület-, Háromszögek területe. Kör kerülete, területe. területszámítási Négyszögek: paralelogramma, trapéz, feladatoknál. deltoid, rombusz tulajdonságai, kerülete, területe. Kör kerülete, területe. Transzformációs szemlélet Szögpárok (egyállású szögek, váltószögek, fejlesztése. kiegészítő szögek). A kombinatorikus Középpontos tükrözés. Adott pont gondolkodás fejlesztése Középpontosan szimmetrikus alakzatok a középpontos síkban. tükörképének Szabályos sokszögek, átlók száma. megszerkesztése. Szerkesztési eljárások Nevezetes szögek szerkesztése. Háromszöggel gyakorlása. Háromszög szerkesztése alapesetekben. kapcsolatos A háromszög egybevágósági esetei. legegyszerűbb szerkesztések. Háromszögek és A bizonyítási igény A háromszög belső és külső szögeinek konvex négyszögek felkeltése. összege. belső szögeinek A négyszögek belső és külső szögeinek összege. összege. A sokszögek belső és külső szögeinek összege. 11
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Térszemlélet fejlesztése.
Egyenes hasábok (henger) hálója, tulajdonságai. A tanult testek áttekintése, ismerkedés a forgáskúppal, gúlával, gömbbel.
A tanultak alkalmazása más tantárgyak és a mindennapi élet problémáinak megoldása során. A transzformációs szemlélet fejlesztése.
A bizonyítási igény fejlesztése. Számolási készség fejlesztése.
A továbbhaladás feltételei Háromszög és négyszög alapú egyenes hasábok valamint a henger hálójának felismerése, jellemzése, felszíne, térfogata. Adott pont eltolása adott vektorral.
Tartalom
Eltolás a síkban. Vektor, mint irányított szakasz. Két vektor összege, különbsége. Középpontos nagyítás és kicsinyítés konkrét arányokkal. A tanult transzformációk áttekintése. Szerkesztési feladatok. Pitagorasz tétele. Síkbeli és térbeli alkalmazásai. Kerület, terület, felszín és térfogatszámítások. Számításos feladatok a geometria különböző területeiről.
Kicsinyítés és nagyítás felismerése hétköznapi szituációkban. Pitagorasz-tétel ismerete (bizonyítás nélkül).
Valószínűség, statisztika, mérés (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Valószínűségi és statisztikai szemlélet fejlesztése. A megfigyelőképesség, elemző képesség fejlesztése. Kapcsolat a mindennapi élettel. A becslési készség fejlesztése. Rendszerszemlélet fejlesztése. Megfigyelőképesség, elemző képesség fejlesztése. Adatok gyűjtése környezetünkből. Adatsokaságban való eligazodás képességének fejlesztése.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei
A biztos, a lehetséges és a lehetetlen fogalma.
Valószínűségi játékok és kísérletek. Valószínűség előzetes becslése, szemléletes fogalma.
Konkrét feladatok kapcsán a biztos és a lehetetlen események felismerése.
Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése, rendszerezése, adatsokaság szemléltetése. Oszlopdiagram, kördiagram készítése, elemzése. Grafikonok készítése, elemzése.
Leggyakoribb és középső adat meghatározása kisszámú konkrét adathalmazban. Grafikonok készítése, olvasása egyszerű esetekben.
Adatok értelmezése, jellemzése, ábrázolása (például a leggyakoribb adat, szélső adatok).
12
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Számolási készség fejlesztése.
Tartalom Átlagszámítás háromnál több adat esetén. Általános előtagok használata
Lehetséges események gyakorisága. Relatív gyakoriság fogalma, tulajdonságai.
13
A továbbhaladás feltételei Néhány szám számtani közepének (átlagának) meghatározása. A gyakoriság fogalma.
10. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (6 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A szemléletes fogalmak A megismert számhalmazok (természetes definiálása, számok, egész számok, racionális számok, tudatosítása. valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozódás a számegyenesen. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára. Módszer keresése az Kombinatorikai feladatok, az összes eset összes eset áttekintése. áttekintéséhez. A szükséges és Az “akkor és csak akkor” használata – elégséges feltétel (folyamatos) megkülönböztetése. Tétel és megfordítása (folyamatos).
A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben.
Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.
Számtan, algebra (39 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.
Kombinatív készség fejlesztése.
Tartalom Betűk használata a matematikában, műveletek betűs kifejezésekkel. Egytagú, többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 ± b3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. 14
A továbbhaladás feltételei Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.
Számok abszolút értéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása.
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata.
Tartalom
Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai törtekkel végzett műveleteknél. (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Paraméteres egyenletek. Gyakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egyenletekkel. Algoritmikus gondolkodás és a Elsőfokú kétismeretlenes gyakorlati problémák egyenletrendszer megoldása modellezése, értő (behelyettesítő módszer, egyenlő szövegolvasás. együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. A rendszerező képesség Abszolútértékes egyenletek. fejlesztése. A matematika iránti érdeklődés Relatív prímek, oszthatósági erősítése az elemi számelmélet feladatok (számolás maradékokkal, alapvető problémáival és oszthatósági szabályok: 2-vel, 3-mal, matematikatörténeti 4-gyel, 5-tel, 9-cel való oszthatóság), vonatkozásaival. Induktív a prímszámok száma. Prímtényezős gondolkodás fejlesztése felbontás, legnagyobb közös osztó, (próbálgatás, általánosítás). legkisebb közös többszörös. Példa számrendszerekre.
A továbbhaladás feltételei A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel.
Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.
3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása.
Függvények, sorozatok (16 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelő modell megkeresése.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei Az alapfüggvények A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a tulajdonságainak lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, a négyzetgyök függvény, ismerete. Képlettel megadott gyakorlati példák további függvényekre függvény (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény), a ábrázolása a fordított arány, x a . A vizsgált függvények értéktáblázat x segítségével. elemi tulajdonságai: értékkészlet, zérushely, monotonitás, korlátosság, szélsőértékek. 15
Célszerű eszközhasználat.
Függvénytranszformációk. Egyszerű példák változó és értéktranszformációkra (eltolás az x illetve y tengely mentén). Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.
Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.
Geometria (39 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.
Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.
Tartalom Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt körre.
A továbbhaladás feltételei Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete.
A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köré írt körének ismerete. Thalész tétele, néhány alkalmazása, a A körrel kapcsolatos kör és érintői, érintősokszög fogalma. fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete. A transzformációk, mint A geometriai transzformáció fogalma, A megismert függvények értelmezése, a példák geometriai transzformációkra. transzformációk matematika különböző A tengelyes és középpontos tükrözés, tulajdonságainak területei közötti kapcsolatok ezek tulajdonságai, néhány felhasználása keresése. alkalmazása (tengelyes és egyszerű, konkrét középpontos szimmetria; a esetekben. paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. Példa további egybevágósági transzformációra (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az egybevágóság, mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. Síkbeli tájékozódás, tervezés, A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, a konstrukciós, analizáló körcikk kerülete, területe. képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú Egyszerű szerkesztési feladatok. szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.
16
Valószínűség, statisztika (5 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenő statisztikai adatok elemzése.
Tartalom Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése.
A továbbhaladás feltételei Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.
Év végi ismétlés és rendszerező összefoglalás (6 óra)
17
11. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (6 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további fejlesztése.
Tartalom Tétel és megfordítása. (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv konkrét példákon keresztül). Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életből.
A továbbhaladás feltételei A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.
Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.
Számtan algebra (40 óra) Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A permanencia elve a A valós szám szemléletes fogalma, számfogalom bővítésében. kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedes tört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2 , szakaszok összemérhetetlensége). A négyzetgyökvonás azonosságai. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai. A megoldás keresése A másodfokú egyenlet megoldása többféle úton, tanulói (teljes négyzetté kiegészítés), a felfedezések, önálló megoldóképlet (a megoldhatóság eljárások keresése. vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), Az algoritmikus gyöktényezős alak, gyökök és gondolkodás fejlesztése. együtthatók összefüggése. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerű szélsőértékfeladatok megoldása.
18
A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedes tört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.
Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál.
Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban.
Tartalom Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok.
Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása. A megoldások ábrázolása számegyenesen.
A továbbhaladás feltételei Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.
Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése.
Függvények, sorozatok (12 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerű használata.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, A szögfüggvények a forgásszög szögfüggvényeinek definíciójának értelmezése, összefüggések a szög ismerete, az x → sinx szögfüggvényei között és x → cosx függvények 2 2 (sin a + cos a = 1, pótszögek ábrázolása és szögfüggvényei közötti kapcsolat, tulajdonságai. kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.
Geometria (39 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
19
A továbbhaladás feltételei
Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációs szemlélet fejlesztése.
Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.
A vektorok további alkalmazása.
Tartalom A körrel kapcsolatos ismeretek bővítése: kerületi és középponti szög fogalma, kerületi szögek tétele; húrnégyszög fogalma, húrnégyszögek tétele. Párhuzamos szelők és szelőszakaszok tétele. A szögfelezőtétel. A középpontos hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma, síkidomok hasonlósága. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel), körhöz húzott érintő és szelőszakaszok tétele. Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). Nevezetes szögek szögfüggvény-értékeinek kiszámítása. A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben.
A továbbhaladás feltételei A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban.
Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál.
Valószínűség, statisztika (8 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
20
A továbbhaladás feltételei
Fejlesztési feladatok, tevékenységek A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése.
Tartalom További valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínűsége). A valószínűség kiszámítása konkrét esetekben.
A továbbhaladás feltételei Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.
Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)
21
12. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 111 Gondolkodási módszerek (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése. A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei Véges halmaz permutációi, variációi, Egyszerű kombinatorikai kombinációi számának meghatározása egyszerű esetekben. feladatok megoldása. Binomiális együtthatók, Pascalháromszög. Véges halmaz részhalmazainak száma. Vegyes kombinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, A gráf szemléletes alkalmazásuk. fogalma, egyszerű alkalmazásai. Feladatok megoldása gráfokkal.
Számtan, algebra (31 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom
Másodfokúra visszavezethető egyszerű magasabb fokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása új ismeretlen bevezetésével. A matematikai fogalom A hatványozás kiterjesztése célszerű kiterjesztése, a pozitív alap esetén racionális fogalmak általánosításánál a kitevőkre. permanencia elv felhasználása. A hatványozási azonosságok. Bizonyítás iránti igény A logaritmus értelmezése. mélyítése. A logaritmus, mint a Matematikatörténeti hatványozás inverz művelete. vonatkozások megismerése A logaritmus azonosságai. (könyvtár- és internet használat). Az absztrakciós és szintetizáló Exponenciális és logaritmikus képesség fejlesztése. egyenletek, egyenlőtlenségek. Az önellenőrzés igényének fejlesztése.
22
A továbbhaladás feltételei
A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.
A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális és logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség esetén.
Függvények, sorozatok (14 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése.
Tartalom
A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze. Számítógép használata a A szögfüggvényekről tanultak függvényvizsgálatokban és a áttekintése. transzformációkban. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezésitartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás). A szögfüggvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).
A továbbhaladás feltételei
Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték).
Geometria, mérés (40 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.
Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése.
Tartalom A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése. A vektorműveletek tulajdonságai. Vektorok a koordinátarendszerben. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a). Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek.
23
A továbbhaladás feltételei Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai.
A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).
Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika gyakorlati felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei
Távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában.
Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakaszfelező- és harmadolópontja (általános osztópontja). A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenlete. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Adott probléma többféle Az egyenes irányára jellemző megközelítése. adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyenlete, különböző alakjai. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője adott pontjából (külső pontból). A parabola, mint ponthalmaz. A parabola tengelyponti egyenlete.
Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete.
Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.
Valószínűség, statisztika (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal.
Tartalom Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén (“és”, “vagy”, “nem”).
24
A továbbhaladás feltételei
Fejlesztési feladatok, tevékenységek Modellalkotásra nevelés. Modell és valóság kapcsolata.
A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése.
Tartalom Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje.
A továbbhaladás feltételei A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.
Statisztikai mintavétel. (Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel.)
Év végi ismétlés, rendszerező összefoglalás (6 óra)
25
13. ÉVFOLYAM Évi óraszám: 128 Gondolkodási módszerek (15 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás fejlesztése.
Tartalom Kijelentés fogalma, műveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai műveletekre vonatkozó egyszerű azonosságok. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. Néhány példa a teljes indukció megismertetésére. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése.
A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.
Számtan, algebra (23 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek
Tartalom Rendszerező összefoglalás Számhalmazok
Matematikatörténeti ismeretek (könyvtár- és Internet használat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása.
Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek
26
A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.
Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Tervszerű, pontos és Nevezetes másod- és harmadfokú fegyelmezett munkára nevelés. algebrai azonosságok. Az önellenőrzés fontossága. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe (értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata). Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. A problémamegoldó Szöveges feladatok. Paraméteres gondolkodás, a szövegértés, feladatok. a szövegelemzés fejlesztése.
A továbbhaladás feltételei
Függvények, sorozatok (25 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Matematikatörténeti feladatok.
Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat Számtani és mértani sorozat, az esetén az n-dik tag, és az első n. tag, az első n elem összege. n elem összegének Kamatoskamat-számítás. kiszámítása feladatokban. Példák egyéb sorozatokra Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű (rekurzió, pl. a Fibonaccisorozat). gyakorlati feladatokban. Rendszerező összefoglalás Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek. A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.
27
Geometria, mérés (45 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése.
Tartalom
Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Egyszerű kombinatorikus geometriai problémák vizsgálata. A síkra merőleges egyenes tételének ismerete. Egyszerű poliéderek. A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek A matematika gyakorlati összefoglalása. A terület és a alkalmazásai a térfogat fogalma. térgeometriában. A poliéderek felszíne, térfogata. Sík- és térgeometriai A hengerszerű testek, a henger ismeretek összekapcsolása, felszíne és térfogata. analógiák felismerése. Kúpszerű testek. A Cavalieri-elv. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A függvényszemlélet A geometriai transzformációk fejlesztése. áttekintése. A deduktív gondolkodás Háromszögekre vonatkozó tételek fejlesztése. és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. A matematika különböző Vektorok, vektorok koordinátái. területei közötti Vektorműveletek, műveleti összefüggések tulajdonságok, alkalmazások. felhasználása. Derékszögű koordináta-rendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.
28
A továbbhaladás feltételei Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.
A megismert felszín- és térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.
Valószínűség, statisztika (10 óra) Fejlesztési feladatok, tevékenységek A leíró statisztika és a valószínuségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Geometriai modell szerepeltetése a valószínűség meghatározására.
Tartalom
A továbbhaladás feltételei Adatkezelésnél osztályba Az előző években sorolás. Terjedelem. felsorolt Statisztikai és mintavételi adatok továbbhaladási vizsgálata (közvélemény-kutatás, feltételek. minőség ellenőrzés). A valószínűség meghatározása geometriai mérték segítségével. A geometriai modellre visszavezethető feladatok. A véletlen paradoxonjai. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.
Felkészülés az érettségire (10 óra)
29
Egyszerű klasszikus valószínűség-számítási feladatok megoldása.
