Matematika szigorlat javítókulcs, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Az elérhet˝o pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok) pont. Az elégségeshez mindkét részb˝ol el kell érni a pontszám legalább 50%-át!
0-49 pont: elégtelen,
50-61 pont: elégséges,
62-73 pont: közepes,
74-85 pont: jó,
86-100 pont: jeles
ELMÉLET 1. Mit értünk két vektor vektoriális szorzatán? Hogyan határozzuk meg a vektoriális szorzatot, ha ismerjük a két vektor koordinátáit?
3 pont
2. Mikor nevezünk egy n db vektorból álló rendszert lineárisan függetlennek? Mutasson egy példát!
3 pont
3. Hogyan definiáljuk a mátrix rangját? Hogyan határozzuk meg?
3 pont
4. Mit mond ki a Cramer-szabály?
3 pont
5. Definiálja az f valós-valós függvény x0 ∈ R helyen vett differenciálhatóságának fogalmát!
3 pont
6. Milyen kapcsolat van egy egyváltozós függvény adott pontbeli folytonossága és differenciálhatósága között?
3 pont
7. Írja fel a szétválasztható változójú differenciálegyenlet általános alakját! Mutasson az ilyen fajta differenciálegyenletre egy konkrét példát is!
3 pont
8. Létezik-e az x 7→ ln |x| függvénynek MacLaurin-sora? Miért igen/nem?
3 pont
9. Döntse el a következ˝o állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak!1 a) A háromdimenziós tér egyeneseinek halmazán értelmezett mer˝olegesség ek- H vivalencia reláció. b) Az n elemet tartalmazó halmaz hatványhalmazának elemszáma 2n .
I
2 pont
c) Létezik olyan 3-reguláris gráf, amelynek négy csúcsa van.
I
2 pont
d) Ha egy numerikus sor tagjainak abszolút értéke a 0-hoz tart, akkor a sor kon- H vergens.
2 pont
e) Az els˝orend˝u, homogén, lineáris differenciálegyenletek szétválasztható válto- I zójúak.
2 pont
f) Ha egy valós-valós függvény integrálható az [a, b] intervallumon, akkor léte- H zik ezen az intervallumon értelmezett primitív függvénye.
2 pont
g) n elem k-ad osztályú kombinációinak száma kevesebb, mint a k-ad osztályú I variációinak száma, ha n ≥ k ≥ 2.
2 pont
H
2 pont
h) Ha z ∈ C, akkor lim |z|n = ∞. n→∞
1
2 pont
Válaszát a kis négyzetbe írt I vagy H bet˝uvel jelezze! Válaszait indokolja! Indoklás nélküli válaszra pont nem adható!
FELADATOK x2 f (x) = ln x+1
1.
!
a) Határozza meg a valós számok halmazának azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen az f függvény értelmezett és valós értékeket vesz fel! Megoldás: D f =] − 1; 0[∪]0; ∞[. b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! Megoldás: f ′ (x) =
4 pont
6 pont
x+2 x(x + 1)
A deriváltfüggvény a ] − 1; 0[ intervallumban negatív, tehát f ezen az intervallumon szigorúan monoton csökken. A ]0; ∞[ intervallumon f ′ pozitív, ezért itt f szigorúan monoton növeked˝o. c) Számítsa ki f zérushelyeit! √ 1± 5 Megoldás: x1,2 = (x1 ≈ 1, 62, x2 ≈ −0, 62). 2 2. Legyen az S sík egyenlete 6x + 6y + 7z = 0, az e egyenes paraméteres egyenletrendszere x = 3 + 3t, y = 2 + 4t, z = 13 − 6t.
3 pont
a) Igazolja, hogy az e egyenes párhuzamos az S síkkal!
3 pont
Megoldás: S normálvektora n(6; 6; 7), e irányvektora v(3; 4; −6). Ezek skaláris szorzata n · v = 0, így n ⊥ v, tehát e k S. b) Számítsa ki az S sík és az e egyenes távolságát!
5 pont
Megoldás: Mivel e k S, e bármely pontjának távolsága S-t˝ol megegyezik az egyenes és sík távolságával. P0 (3, 2, 13) az e egyenes egy pontja. A P0 ponton áthaladó, S-re mer˝oleges egyenes paraméteres egyenletrendszere x = 3 + 6t, y = 2 + 6t, z = 13 + 7t, amit a sík egyenletébe helyettesítve és rendezve a t = −1 összefüggéshez jutunk. Ebb˝ol x = 3 − 6 = −3, y = 2 − 6 = −4 és z = 13 − 7 = 6, azaz a mer˝oleges és a sík metszéspontja T(−3, −4, 6). P0 (és így az e egyenes) távolsága a síktól √ p P0 T = (3 − (−3))2 + (2 − (−4))2 + (13 − 6)2 = 62 + 62 + 72 = 11.
c) Írja fel az S síkra való mer˝oleges vetítés – mint lineáris transzformáció – mátrixát!
Megoldás: A bázisvektorok mer˝oleges vetületeit pl. az el˝oz˝o pontban látott módszerrel határozhatjuk meg: 1 85 1 −36 ϕ 0 = 121 0 −42
0 −36 1 85 ϕ 1 = 121 0 −42
0 −42 1 −42 ϕ 0 = 121 1 72
A transzformáció mátrixa tehát:
85 36 42 121 − 121 − 121 36 85 42 − 121 T = − 121 121 42 42 72 − 121 − 121 121
6 pont
y′ = e−y (2x − 4)
3.
4.
a) Határozza meg a fenti differenciálegyenlet általános megoldását!
4 pont
Megoldás: A változók szétválasztása és integrálás után: e y = x2 − 4x + C, ahonnan y = ln(x2 − 4x + C). b) Adja meg az y(5) = 0 kezdeti feltételhez tartozó partikuláris megoldást!
3 pont
Megoldás: Behelyettesítve e0 = 25 − 20 + C, így C = −4, azaz yp = ln(x2 − 4x − 4). 1 2x3 − 11x2 + 4x + 12 c) Van-e az ′ + e y = differenciálegyenletnek az a) pontban y 2x − 4 megoldott differenciálegyenlettel közös megoldása? Megoldás: Helyettesítsük be a differenciálegyenletbe a korábbi differenciálegyenlet általános megoldását! Beszorzás és rendezés után (8 + 2C)x = 12 + 3C adódik, ami C = −4 esetén igaz. Tehát a b) pontban kiszámított partikuláris megoldás közös megoldása a két differenciálegyenletnek. !k ∞ P k a) Konvergens-e a numerikus sor? k=1 2k − 1 r n n n 1 n Megoldás: Mivel lim = lim = < 1, a sor a gyökkritérium n→∞ n→∞ 2n − 1 2n − 1 2 értelmében konvergens. ∞ 6 k P b) Számítsa ki a numerikus sor összegét, ha a sor konvergens! Ha a sor nem k=1 11 konvergens, indokolja, hogy miért nem! 6 hányadosú mértani sor. |q| < 1 ezért konvergens. Megoldás: A sor q = 11 6 a 6 A sor összege: s = = 11 6 = 1 − q 1 − 11 5 c) Értelmezzünk a valós, konvergens numerikus sorok halmazán az R relációt úgy, hogy két sor akkor és csak akkor van relációban, ha összegük megegyezik. Reláci∞ ∞ 1 k P P 1 és a sor? óban van-e a k=1 k(k + 1) k=1 2
Megoldás: Igen, mert mindkét sor összege 1. d) Ekvivalencia-reláció-e az el˝oz˝o pontban értelmezett R reláció?
Megoldás: Igen, mert homogén, bináris, reflexiv, szimmetrikus és tranzitív. 5. A következ˝o ábrán a Dürer gráfot láthatjuk: 2
1
8
3
7
9
6
10
4
11
5
0
5 pont
2 pont
4 pont
3 pont
3 pont
a) Létezik-e a gráfnak (nyílt vagy zárt) Euler bejárása?
2 pont
Megoldás: Egyik sem létezik, mivel páratlan fokú csúcsaink száma több mint 2 (mind a 12 csúcs páratlan fokú). b) Reguláris-e a gráf?
2 pont
Megoldás: Mivel minden csúcs fokszáma 3, ezért a gráf 3-reguláris. c) Határozza meg a gráf kromatikus számát!
5 pont
Megoldás: A kromatikus szám legalább három, mert pl. a 6,8,10 sorszámú pontok között nem fordulhat el˝o azonos szín˝u. Három színnel a gráf pontjai kiszínezhet˝ok, így a kromatikus szám pontosan 3: p
z
z
k
k
p
p
k
z
z
p
k
Matematika szigorlat javítókulcs, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 29. Az elérhet˝o pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok) pont. Az elégségeshez mindkét részb˝ol el kell érni a pontszám legalább 50%-át!
0-49 pont: elégtelen,
50-61 pont: elégséges,
62-73 pont: közepes,
74-85 pont: jó,
86-100 pont: jeles
ELMÉLET 1. Mit nevezünk a komplex számok algebrai alakjának? Magyarázza meg a jelöléseit! Írjon példát algebrai alakban megadott komplex számra!
3 pont
2. Definiálja az f valós-valós függvény x0 helyen vett folytonosságát!
3 pont
3. Definiálja az f valós-valós függvény x0 helyen vett differenciálhatóságát!
3 pont
4. Mit mond ki a Rolle-tétel?
3 pont
5. Definiálja a bináris reláció fogalmát!
3 pont
6. Mondjon példát ekvivalencia-relációra! Magyarázza meg, hogy a példa miért helyes!
3 pont
7. Hogyan lehet egy lineáris egyenletrendszert inverz mátrix módszerrel megoldani? Mi a módszer alkalmazásának feltétele?
3 pont
8. Írja fel a szétválasztható változójú differenciálegyenlet általános alakját! Adjon meg egy konkrét példát is ilyen típusú differenciálegyenletre!
3 pont
9. Döntse el a következ˝o állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak!1 a) n elem k-ad osztályú, ismétlés nélküli variációinak száma nagyobb vagy I egyenl˝o a k-ad osztályú, ismétlés nélküli kombinációinak számánál.
2 pont
b) Két diagonálmátrix szorzata (ha létezik), szintén diagonálmátrix.
I
2 pont
c) Létezik olyan 3-reguláris gráf, amelynek öt csúcsa van.
H
2 pont
d) Ha egy numerikus sor tagjainak abszolút értéke a 0-hoz tart, akkor a sor kon- H vergens.
2 pont
e) Ha egy kétváltozós valós függvény mindkét változója szerint parciálisan dif- H ferenciálható a P0 pontban, akkor ott folytonos is.
2 pont
f) Ha egy valós-valós függvény Riemann-értelemben integrálható az [a, b] inter- H vallumon, akkor létezik ezen az intervallumon értelmezett primitív függvénye.
2 pont
g) Ha az f valós-valós függvénynek létezik és konvergens az [a; +∞[ intervallu- I mon vett improprius integrálja, akkor lim f (x) = 0
2 pont
h) Ha egy vektorrendszer lineárisan összefügg˝o, akkor bármely vektora kifejez- H het˝o a többi lineáris kombinációjaként.
2 pont
x→+∞
1
Válaszát a kis négyzetbe írt I vagy H bet˝uvel jelezze! Válaszait indokolja! Indoklás nélküli válaszra pont nem adható!
FELADATOK f (x) =
1.
r
2x + 4 5−x
a) Határozza meg a valós számok halmazának azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen az f függvény értelmezett és valós értékeket vesz fel!
4 pont
Megoldás: D f = [−2; 5[. b) Bizonyítsa be, hogy az f függvény szigorúan monoton növeked˝o! √ 7 2 Megoldás: f ′ (x) = csak pozitív értékeket vesz fel a ] − 2; 5[ intervalq 2(x − 5)2 · x+2 5−x lumon és f folytonos a [−2; 5[ intervallumon, amib˝ol a szigorú monoton növekedés következik.
6 pont
c) Határozza meg az f függvény értékkészletét!
3 pont
Megoldás: Mivel f folytonos, f (−2) = 0, f szigorúan monoton n˝o és lim− f (x) = +∞, ezért R f = [0; +∞[. x→5
2.
3 a1 = −1 2
a2 =
2 4 −2
0 a3 = −14 10
15 b = −47 40
a) Írja fel azt a mátrixot, amellyel az [a1 a2 a3 ] mátrixot jobbról megszorozva az [a2 a3 a1 ] mátrixot kapjuk eredményül!
3 pont
Megoldás: 0 0 1 1 0 0 0 1 0
b) Kifejezhet˝o-e a b vektor az a1 , a2 , a3 vektorok lineáris kombinációjaként? Ha igen fejezze ki az összes lehetséges módon! Megoldás: a2 e/1 a1 e/2 e3
a1 a2 a3 b 3 2 0 15 −1 4 −14 −47 2 −2 10 40
a2 a3 b 14 −42 −126 −4 14 47 6 −18 −54
5 pont
a3 b −3 −9 2 11 0 0
Tehát b = (11 − 2t)a1 + (3t − 9)a2 + ta3 , ahol t ∈ R.
c) Legyen egy térbeli lineáris transzformáció mátrixa [a1 a2 a3 ]! Mutassa meg, hogy a transzformáció egyik sajátértéke 0, és határozza meg az ehhez tartozó sajátvektorokat! Megoldás: Mivel det [a1 a2 a3 ] = 0, a transzformáció egyik sajátértéke 0. Az el˝oz˝o pontbeli bázistranszformáció alapján a hozzá tartozó sajátvektorok: [−2t 3t t]⊤ , ahol t ∈ R \ {0}.
6 pont
3.
x a) Határozza meg az f (x; y) = p kétváltozós függvény els˝orend˝u parciális x2 + y2 deriváltjait a P0 (−4; 3) pontban! Megoldás: fx′ (P0 )
= 3 2 2 (x + y ) 2 y2
x = −4 y=3
9 = 0, 072 = 125
f y′ (P0 )
=− 3 2 2 (x + y ) 2 xy
x = −4 y=3
=
4 pont
12 = 0, 096 125
xy b) Számítsa ki az f (x; y) = p kétváltozós függvény kett˝os integrálját a 2 + y2 x T = (x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 tartományon!
6 pont
Megoldás: " T
Z3 Z2 Z3 h i2 1 1 2 2 −2 2 2 21 dy = y f (x; y) dT = (x + y ) · 2x dx (x + y ) · y dy = 2 1 1
1
1
Z3 3 3 3 (4 + y2 ) 2 (1 + y2 ) 2 2 12 2 12 = = (4 + y ) · y − (1 + y ) · y dy = − 3 3 1 1 √ √ √ √ 13 13 − 10 10 − 5 5 + 2 2 ≈ 2, 3 = 3
4.
∞ 1 k P a) Döntse el, hogy a numerikus sor konvergens-e és ha igen számítsa ki a k=1 e − 1 sor összegét! 1 ≈ 0, 58. Mivel Megoldás: Ez a sor egy mértani sor, melynek hányadosa q = e−1 1 1 |q| < 1, ezért a sor konvergens, összege s = e−1 1 = ≈ 1, 39 e−2 1 − e−1 k ∞ P x b) Határozza meg a függvénysor konvergenciatartományát és összegk=1 2x + 1 függvényét! x x Megoldás: A sor q = hányadosú mértani sor. |q| = < 1 megoldásá2x + 1 2x + 1 1 val kapjuk, hogy a konvergenciatartomány ] − ∞; −1[∪] − 3 ; +∞[. x x Az összegfüggvény: S(x) = 2x+1x = 1 − 2x+1 x+1
c) Formalizálja a következ˝o kijelentést a predikátumlogika eszközeivel:
Ha egy pozitív tagú numerikus sor egy majoráns sora konvergens, akkor az eredeti sor is konvergens.
4 pont
6 pont
4 pont
Megoldás: Használjuk a következ˝o jelöléseket: • Nx : x numerikus sor. • Px : x pozitív tagú. • Kx : x konvergens. • Mxy : x majoránsa y-nak. ∀x Nx ∧ Px ∧ ∃y Ny ∧ Myx ∧ Ky → Kx
5. Tekintsük az ábrán látható G gráfot:
a) Létezik-e a gráfnak Euler bejárása? Ha van adjon meg egy ilyen bejárást, ha nincs, magyarázza meg, hogy miért nem lehet. Megoldás: Mivel a gráf összefügg˝o és minden csúcsának fokszáma páros, létezik zárt Euler-bejárása. Egy ilyen bejárás látható a következ˝o ábrán: 3
2 12
4
9
15
1 14
10
11 13 16
5
5 pont
8 7
6
b) Mennyi a gráf kromatikus száma?
4 pont
Megoldás: Kett˝o, mivel kiszínezhet˝ok a csúcsok két színnel úgy, hogy a szomszédos csúcsok különböz˝o szín˝uek (egy szín nyilvánvalóan nem elég): p k
k
p
p
k
k p
Matematika szigorlat javítókulcs, Mérnök informatikus szak I. 2013. jún. 4. Az elérhet˝o pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok) pont. Az elégségeshez mindkét részb˝ol el kell érni a pontszám legalább 50%-át!
0-49 pont: elégtelen,
50-61 pont: elégséges,
62-73 pont: közepes,
74-85 pont: jó,
86-100 pont: jeles
ELMÉLET 1. Hogyan definiálja a bázis fogalmát lineáris térben?
3 pont
2. Mondjon példát lineáris transzformációra egy háromdimenziós lineáris térben!
3 pont
3. Mit értünk egy lineáris transzformáció sajátvektorán, illetve sajátétékén?
3 pont
4. Milyen mátrixokat nevezünk diagonálmátrixnak? Mely diagonálmátrixok determinánsa 0?
3 pont
5. Definiálja az f valós-valós függvény x0 -beli differenciálhányadosának fogalmát!
3 pont
6. Mondjon egy elégséges feltételt az f valós-valós függvény adott [a, b] intervallumon vett integrálhatóságára! Mutasson példát, ahol ez a feltétel teljesül!
3 pont
7. Mit mond ki a Newton-Leibniz szabály?
3 pont
8. Mit nevezünk szétválasztható változójú differenciálegyenletnek? Mutasson példát is!
3 pont
9. Döntse el a következ˝o állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak!1
1
a) Ha egy homogén, bináris reláció antiszimmetrikus és tranzitív, akkor parciális H rendezési reláció.
2 pont
b) Két diagonálmátrix szorzata (ha létezik), szintén diagonálmátrix.
I
2 pont
c) Létezik olyan egyszer˝u gráf, amelynek n > 1 csúcsa van és minden csúcs H fokszáma különböz˝o.
2 pont
d) Ha egy numerikus sor tagjainak abszolút értéke a 0-hoz tart, akkor a sor kon- H vergens.
2 pont
e) Ha egy kétváltozós valós függvény folytonos a P0 pontban, akkor ott mindkét H változója szerint parciálisan differenciálható is.
2 pont
f) Egy n elem˝u halmaz (ismétlés nélküli) variációinak számát az (ismétlés nél- I küli) kombinációinak számával osztva egész számot kapunk eredményül.
2 pont
g) Ha az f valós-valós függvény folytonos az x0 helyen, akkor létezik x0 -ban I véges határértéke.
2 pont
h) Az f (x) = |x| valós-valós függvény hatványsorba fejthet˝o az x0 = 0 hely H körül.
2 pont
Válaszát a kis négyzetbe írt I vagy H bet˝uvel jelezze! Válaszait indokolja! Indoklás nélküli válaszra pont nem adható!
FELADATOK f (x) = (x − 1) ln(x)
1.
a) Határozza meg a valós számok halmazának azt a legb˝ovebb részhalmazát, amelyen az f függvény értelmezett és valós értékeket vesz fel!
2 pont
Megoldás: D f =]0; +∞[. b) Határozza meg f els˝o deriváltfüggvényét!
3 pont
x−1 + ln(x). x c) Mutasa meg, hogy f ′ (1) = 0 és a deriváltfüggvény x > 1-re pozitív, x < 1-re negatív értékeket vesz fel. Vizsgálja ennek alapján az f függvény monotonitását! Megoldás: f ′ (x) =
5 pont
is és ln(x) is Megoldás: f ′ (1) = 0 behelyettesítéssel ellen˝orizhet˝o, x > 1 esetén x−1 x pozitív, így az összegük is pozitív, x < 1 esetén hasonlóan okoskodhatunk. x f′
]0; 1[ −
f
ց
1 0 min. 0
]1; +∞[ + ր
d) Bizonyítsa be, hogy a függvény szigorúan konvex!
3 pont
x+1 Megoldás: f ′′ (x) = minden x > 0 valós számra pozitív, így f a teljes értelx2 mezési tartományán szigorúan konvex. 2.
y′′ − 7y′ + 10y = 10x3 − 61x2 + 122x − 140 a) Határozza meg a differenciálegyenlethez rendelt homogén differenciálegyenlet általános megoldását!
3 pont
Megoldás: A λ2 − 7λ + 10 = 0 karakterisztikus egyenlet gyökei: λ1 = 2 és λ2 = 5. A differenciálegyenlet általános megoldása: y = C1 e2x + C2 e5x b) Értelmezzünk a homogén differenciálegyenlet megoldásainak halmazán egy S bináris relációt a következ˝oképpen: y1 Sy2 pontosan akkor, ha y1 (1) ≤ y2 (1). Igaz-e, hogy S parciális rendezési reláció?
5 pont
Megoldás: Nem, mert a reláció nem antiszimmetrikus, ugyanis ha y1 Sy2 és y2 Sy1 , abból csak y1 (1) = y2 (1) következik, de ett˝ol y1 = y2 nem feltétlenül teljesül. Pl. y1 = e2x + e5x és y2 = e3 · e2x + e13 · e5x esetén y1 (1) = y2 (1), de y1 , y2 .
c) Oldja meg a fenti (inhomogén) differenciálegyenletet!
6 pont
Megoldás: A próbafüggvény yp = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe: 10Ax3 − 21Ax2 + 10Bx2 + 6Ax − 14Bx + 10Cx + 2B − 7C + 10D =
= 10x3 − 61x2 + 122x − 140
A = 1, −21A + 10B = −61 ⇒ B = −4, 6A − 14B + 10C = 122 ⇒ C = 6, 2B − 7C + 10D = −140 ⇒ D = −9, tehát yp = x3 − 4x2 + 6x − 9, azaz az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldása: y = C1 e2x + C2 e5x + x3 − 4x2 + 6x − 9.
3. Legyen H az olyan 3 × 3-as mátrixok halmaza, amelyek minden eleme a 0, 1, 2, 3 számok valamelyike. a) Hány eleme van a H halmaznak?
3 pont
Megoldás: |H| = 49 = 262144
b) A H halmaz hány eleme diagonálmátrix?
3 pont
Megoldás: 43 = 64 c) Hány olyan eleme van a H halmaznak, amelynek mindhárom sorában az elemek monoton növekedve követik egymást? 6 Megoldás: Egy sort C(i) = = 20-féleképpen tölthetünk ki a feltételnek megfele3 4,3 l˝oen. (Ki kell választani 3 elemet a négy közül úgy, hogy az ismétlés megengedett és nem számít a sorrend, hiszen a kiválasztott elemeket növekv˝o sorrendben írjuk be a megfelel˝o sorba.) Mivel mindhárom sor 20-féleképpen tölthet˝o ki a kérdéses mátrixok száma 203 = 8000. f (x, y) =
4.
ln(4 − x2 − y2 ) xy
a) Legyen a fenti f kétváltozós valós függvény D f értelmezési tartománya a rendezett valós számpárok lehet˝o legb˝ovebb halmaza úgy, hogy a függvény D f minden pontjában valós értéket vegyen fel. Ábrázolja a D f halmazt az xy koordinátarendszerben! Megoldás: y 1 1
x
6 pont
4 pont
Mivel csak pozitív szám logaritmusát értelmeztük, ezért x2 + y2 < 4, aminek egy origó középpontú, 2 cm sugarú nyílt körlap felelne meg, de ebb˝ol ki kell hagyni az x, illetve y tengelyen fekv˝o két átmér˝ot, hiszen a nevez˝o nem lehet 0.
b) Számítsa ki az f függvény els˝orend˝u parciális deriváltjait a P0 (1, 1) pontban!
4 pont
Megoldás: ∂f ln(4 − x2 − y2 ) ∂ f 2 = −1 − ln(2) ≈ −1, 69 = − ⇒ ∂x (x2 + y2 − 4)y x2 y ∂x P0 ∂f ln(4 − x2 − y2 ) ∂ f 2 = −1 − ln(2) ≈ −1, 69 = 2 − ⇒ ∂y (x + y2 − 4)x xy2 ∂y P0
c) Számítsa ki az f függvény 45◦ -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (1, 1) pontban! Megoldás: √ √ f π′ (P0 ) = fx′ (P0 ) · cos(45◦ ) + f y′ (P0 ) · sin(45◦ ) = − 2 − 2 ln(2) ≈= −2, 39 4
5. Tekintsük az ábrán látható G gráfot:
4 pont
a) Létezik-e a gráfnak Euler-bejárása? Ha van adjon meg egy ilyen bejárást, ha nincs, magyarázza meg, hogy miért nem lehet. Megoldás: Mivel a gráf összefügg˝o és minden csúcsának fokszáma páros, létezik zárt Euler-bejárása. Egy ilyen bejárás látható a következ˝o ábrán: 18
1 17
2 16
14 15
6
3
10
4
13 11
7 9
5
12
8
b) Mennyi a gráf kromatikus száma?
4 pont
Megoldás: Legalább három, hiszen vannak benne három hosszúságú körök. Az alábbi ábra szerint három szín valóban elegend˝o, a színezéshez, tehát χ (G) = 3. p
k
z
z
k p
p
5 pont
k
z
p
