Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. máj. 30. 1. Legyen f : [0, ∞[ → R,
f (x) =
x2
x . +1
a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából!
5 pont
Megoldás: f ′ (x) =
1 − x2
(x2 + 1)2
. x=0 × min. 0
′
f (x) f (x)
0<x<1 + ր
x=1 0 max. 1 2
1<x − ց
b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény?
5 pont
Megoldás: Nem injektív, mert a 0-nál nagyobb, de 12 -nél kisebb értékeket kétszerh is felveszi i √ √ (pl. az 14 − et az x = 2 − 3 és x = 2 + 3 helyeken is. Nem szürjektív, mert R f = 0, 21 , R. Nem bijektív. c) Milyen számot írhatunk a helyébe, hogy az f függvény [a, ∞[ halmazra vonatkozó lesz˝ukítése invertálható legyen? Adja meg az inverz függvényt egy konkrét a esetén! Megoldás:
8 pont
a ≥ 1 esetén invertálható, mert az [1, ∞[ intervallumon szigorúan monoton csökken˝o. Pl. Ha a = 1, akkor az inverz függvény: √ 1 1 + 1 − 4x2 ¯ ¯ f : D f¯ = 0, → [1, ∞[ , f (x) = 2 2x 2.
a) Definiálja a [0, ∞[ → R,
f (t) függvény Laplace-transzformáltját!
Megoldás: Az f : [0, ∞[ → R,
f (t) függvény Laplace-transzformáltján az F (s) =
Z∞
f (t) e−st dt
0
függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya azon s számok halmaza, ameR∞ lyre az f (t) e−st dt Laplace-integrál konvergens. 0
3 pont
b) Adja meg az f (t) = t + e2t + tet − sin 2t + et cos 2t függvény Laplacetranszformáltját! Megoldás: 1 1 1 2 s−1 L f (t) = 2 + − 2 + + 2 s s − 2 (s − 1) s + 4 (s − 1)2 + 4
5 pont
c) Határozza meg az F (s) =
6 pont
s2 + 3s + 3 függvény inverz Laplace-transzfor(s − 2) (s2 + 9)
máltját! Megoldás: # " 2 s + 3s + 3 = e2t + sin 3t L−1 (s − 2) (s2 + 9)
3. Vezessük be az ε = cos 2π + j sin 2π jelölést. 3 3 a) Számítsa ki a z = ε + ε2 + ε3 + . . . + ε2006 összeg értékét algebrai alakban!
5 pont
Megoldás: A tagok hármasával ismétl˝odnek és 3 egymást követ˝o tag összege 0. Így z = ε2005 + ε2006 = ε + ε2 = −1. b) Határozza meg az el˝oz˝o pontban meghatározott összeg harmadik gyökeit! Az eredményt írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban! Megoldás:
6 pont
π 2kπ cos (60◦ + k · 120◦ ) + j sin (60◦ + k · 120◦ ) = e j( 3 + 3 ) , ahol k ∈ {0, 1, 2} .
c) Igaz-e, hogy az el˝oz˝o pontban kapott harmadik gyökök csoportot alkotnak a komplex számok szorzására nézve? Megoldás:
4 pont
Nem, mert a három köbgyökb˝ol álló halmaz nem zárt a m˝uveletre. 4. Jelöljük a valós, konvergens számsorozatok halmazát K-val! a) Igaz-e, hogy (K; +, ·) gy˝ur˝u, ha + és · a sorozatok közötti szokásos öszeadást és 10 pont szorzást jelenti? Megoldás: Igen, minden feltétel teljesül. (A hallgatóknak a feltételeket a megoldásban részletezniük kell.) b) Értelmezzük a K halmazon az R relációt a következ˝oképpen: han i R hbn i akkor és csak akkor, ha a1 ≤ b1 . Igaz-e, hogy R parciális rendezési reláció K-n? Megoldás: Nem. Ugyanis ha han i és hbn i olyan sorozatok, amelyek els˝o tagja egyenl˝o (a1 = b1 ), de egyébként a két sorozat nem azonos, akkor han i R hbn i és hbn i R han i, de han i , hbn i, tehát a reláció nem antiszimmetrikus.
5 pont
c) Írja fel predikátumlogikai formulával a következ˝o állítást: Ha két valós numerikus sorozat mindegyike konvergens, akkor összegük is konvergens.∗ Megoldás:
5 pont
Legyen S a valós numerikus sorozatok halmaza (alaphalmaz). H az S-en értelmezett predikátum a következ˝o jelentéssel: Hx : x konvergens. f az S halmazon értelmezett kétváltozós függvény: f x, y = x + y Az állítás: ∀x∀y Hx ∧ Hy → H f x, y .
5.
d) Írja fel az el˝oz˝o pontbeli állítás tagadását, kvantor(ok), továbbá ∨, ∧ és ¬ jelek felhasználásával! Megoldás: ∃x∃y¬ Hx ∧ Hy → H f x, y = ∃x∃y Hx ∧ Hy ∧ ¬H f x, y
5 pont
a) Van-e olyan hatpontú gráf, amelyben a fontok fokszámai rendre: 1, 2, 2, 3, 3, 4?
2 pont
Megoldás: Nem, mert a fokszámok összege nem lehet páratlan. b) Van-e olyan páros gráf, amelyben a pontok fokszámai rendre: 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4
4 pont
Megoldás: Páros gráfban a csúcsok halmaza két részhalmazra bontható (A és B) úgy, hogy mindegyik él két különböz˝o halmazbeli csúcsot köt össze. Ezért az A-beli csúcsok fokszámainakPösszege egyenl˝ P o kell legyen a B-beli csúcsok fokszámainak összegével, azaz ϕ(P) = ϕ(P) = 11. Ez azonban nem lehetséges, mert P∈A
P∈B
minden pont fokszáma páros. Tehát nincs a feltételnek eleget tev˝o páros gráf.
c) Van-e zárt, illetve nyitott Euler-sétája az ábrán látható gráfnak? Van-e Hamiltonköre?
∗
Jelölje S a valós numerikus sorozatok halmazát. Használja az x, y individuumváltozókat, a H predikátumjelet és az f függvényjelet, továbbá a szokásos logikai és segédjeleket!
7 pont
Megoldás: Sem zárt sem nyitott Euler-sétája nincs, mert 6 db páratlanfokú pontja van. Hamilton-köre van.
6. Adott az f : R2 → R,
f x, y = x2 y függvény.
a) Határozza meg az f függvény α = 30◦ -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (−1, 2) pontban! Megoldás: fα′ (P0 ) = fx′ (P0 ) cos α + f y′ (P0 ) sin α = 2xy P cos 30◦ + x2 P sin 30◦ = 0 0 √ = −2 3 + 21 ≈ −2, 964.
5 pont
b) Számítsa ki a függvény kett˝os integrálját a T = x, y | −1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 10 pont tartományon! Megoldás: " # " 2 #3 ! R3 R2 R3 x3 y 2 R3 3y 2 f x, y dT = x ydxdy = dy = 3ydy = = 12. 3 −1 2 1 T 1 −1 1 1
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. jún. 13. 1. Legyen f : R \ {1} → R,
x+1
f (x) = e x−1 .
a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából!
5 pont
Megoldás: x+1
f ′ (x) = e x−1 ·
−2
< 0. (x − 1)2 A függvény a ]−∞, 1[ és ]1, ∞[ intervallumok mindegyikén szigorúan monoton csökken, de nem monoton. b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény? Megoldás: Injektív (ex és Nem bijektív.
x+1 x−1
5 pont
is injektív). Nem szürjektív(pl. negatív értékeket nem vesz fel).
c) Írja fel a függvénygörbe x0 = 2 abszcisszájú pontjához tartozó érint˝o egyenletét!
5 pont
Megoldás: y0 = f (x0 ) = e3 , m = f ′ (x0 ) = −2e3 , az érin˝o egyenlete: y = −2e3 x + 5e3 . 2. Adottak az
A(3, 2, 4),
B(8, 1, 3),
C(4, 3, 2)
pontok.
a) Írja fel az ABC sík egyenletét!
6 pont
Megoldás: #» #» #» #» AB(5, −1, −1), AC(1, 1, −2), AB × AC = 3i + 9j + 6k, S : x + 3y + 2z = 17. b) Legyen a ϕ : R3 → R3 lineáris transzformáció mátrixa 1 0 1 M = 0 1 1 0 4 1
Határozza meg az A pont ϕ (A) képét! Megoldás:
Tehát A′ (7, 6, 12).
1 0 1 3 7 0 1 1 2 6 · = 0 4 1 4 12
n(1, 3, 2)
3 pont
c) Határozza meg a b) pontban megadott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! Megoldás: 0 1 1 − λ 1−λ 1 = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásai: A 0 0 4 1−λ λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 3. Az ezeknek megfelel˝o sajátvektorok rendre: u v t u v 0 v ∈ R t ∈ R, u ∈ R, −2u 2v 0
8 pont
a) csak hárommal osztható számot jelölünk meg;
4 pont
3. Hányféleképpen lehet kitölteni egy lottószelvényt † , ha
! 30 Megoldás: = 142 506 5 b) két páros és három páratlan számot jelölünk meg;
6 pont
! ! 45 45 Megoldás: · = 14 048 100 2 3 c) a legnagyobb és a legkisebb megjelölt szám különbsége 50?
8 pont
! 49 Megoldás: 40 · = 736 960 3 4. Jelölje U a P0 ∈ R2 egy környezetében értelmezett R2 → R függvények halmazát. Vezessük be a következ˝o predikátumokat: • Px : x mindkét változója szerint parciálisan differenciálható P0 -ban; • Tx : x totálisan differenciálható P0 -ban; • Fx : x folytonos P0 -ban. Használjuk továbbá az f x, y = x + y jelölést. Írja le szöveggel a következ˝o formulák által megfogalmazott állításokat és döntse el, hogy igazak-e vagy sem! a) ∀x∀y Fx ∧ Fy → F f x, y Megoldás:
Ha két kétváltozós függvény mindegyike folytonos P0 -ban, akkor az összegük is folytonos P0 -ban. (Igaz.) †
ötöslottó: 90 számból 5-öt kell megjelölni
4 pont
b) ∀x Tx → (Fx ∧ Px)
4 pont
Megoldás: Ha egy kétváltozós függvény totálisan differenciálható a P0 pontban, akkor ott folytonos és mindkét változója szerint parciálisan differenciálható. (Igaz) c) ∀x∃y P f x, y ∧ T f x, y
6 pont
Megoldás:
Minden P0 egy környezetében értelmezett kétváltozós függvényhez található egy ugyancsak P0 egy környezetében értelmezett kétváltozós függvény úgy, hogy összegük akkor és csak akkor totálisan differenciálható, ha mindkét változója szerint parciálisan differenciálható. (Igaz, pl. választhatjuk y-nak az x függvény −1-szeresét.) 5.
a) Egy körmentes gráf csúcsainak száma 2006, éleinek száma 1848. Hány komponensb˝ol áll a gráf?
2 pont
Megoldás: A komponensek száma: 2006 − 1848 = 158. b) Határozza meg a következ˝o síkgráf kromatikus számát!
6 pont
Megoldás: χ (G) ≥ 4, mert a kisebbik szabályos ötszög egy páratlan hosszú kör, amelynek színezéséhez legalább 3 szín szükséges, és kell egy negyedik szín a középs˝o ponthoz. A négyszíntétel miatt ennél nagyobb nem lehet a kromatikus szám, tehát χ (G) = 4. c) Rajzolja le azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (2, 7, 7, 4, 2, 2, 4, 3, 7) Megoldás: 3 7
4 8
2 11 1
10
9
5
6
6 pont
6.
a) Döntse el, hogy az alábbi numerikus sorok konvergensek vagy divergensek! i)
1 1 1 1 + + + ...+ + ... (3n − 2) (3n + 1) 1 · 4 4 · 7 7 · 10
3 pont
Megoldás:
∞ P
1 konvergens sor. Tehát n=1 n (n + 1) a majoráns kritérium értelmében a sor konvergens. 1 1 1 1 ii) √ + √ + ...+ p + √ + ... 3 pont 2·3 3·4 1·2 n (n + 1) Ez egy pozitív tagú sor, melynek majoránsa a
Megoldás:
∞ P
1 pozitív tagú divergens sor. Tehát a min=1 n + 1 noráns kritérium értelmében a sor divergens. Ennek a sornak minoránsa a
b) Határozza meg a Megoldás:
∞ (x + 3)n P függvénysor konvergenciatartományát! n2 n=1
8 pont
Használjuk a hatványsorokra vonatkozó gyökkritériumot: √ 1 n r = lim √ = lim n2 = 1. Tehát a függvénysor konvergens a ]−4, −2[ inn n→∞ |cn | n→∞ tervallum pontjaiban. ∞ (−1)n P Az intervallum végpontjaiban külön vizsgálat szükséges: Mivel a és 2 n=1 n ∞ 1 P numerikus sorok konvergensek, ezért a függvénysor konvergenciatar2 n=1 n tománya a [−4, −2] intervallum. c) Az f (x) = cos x függvény Maclaurin-sorának felhasználásával közelítjük a cos 18◦ értékét. Hány tagot kell felhasználni a sorból, hogy három tizedesjegyre pontos közelítést kapjunk? Írja fel a közelít˝o értéket! Megoldás: x2 x4 x6 cos x = 1 − + − + . . .. Mivel a sor váltakozó el˝ojel˝u, ezért a közelítés hi2! 4! 6! báját az els˝o fel nem használt tag abszolút értékével becsülhetjük. A szög értéke π π2n x2n 18◦ = , tehát = 2n < 5 · 10−4 -nek kell teljesülnie. Az egyen(2n)! 10 10 · (2n)! l˝otlenség már n = 2 esetén teljesül (ekkor az baloldal ≈ 0, 000406), tehát az els˝o π2 két tag megfelel˝o közelítést biztosít: cos 18◦ = 1 − ≈ 0, 951. 200
8 pont
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 2006. jún. 21. 1. Legyen f (x) =
x2 − 1 . x
a) Adja meg a függvény értelmezési tartományát!
2 pont
Megoldás: D f = R \ {0} b) Írja fel a függvény els˝o és második deriváltfüggvényét!
6 pont
Megoldás: ′
f (x) =
x2 + 1 x2
f ′′ (x) = −
2 x3
c) Számítsa ki a következ˝o határértékeket:
6 pont
lim f (x) = ∞
x→∞
lim f (x) = −∞
x→−∞
lim f (x) = −∞
x→0+
lim f (x) = ∞
x→0−
d) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a füg- 5 pont gvény? Megoldás: Nem injektív (minden valós értéket kétszer vesz fel). Szürjektív. Nem bijektív. 2. Adottak az
A(2, 2, 5),
B(5, 1, 3),
C(4, −3, 2)
pontok.
a) Számítsa ki az ABC háromszög kerületét! Megoldás: #» #» #» AB(3, −2), BC(−1, −4, −1), √CA(−2, # −1, √ √ 5, 3) » # » # » k = AB + BC + CA = 14 + 18 + 38 ≈ 14, 15.
b) Határozza meg az ABC háromszög legnagyobb szögét!
#» #» BC · BA −3 Megoldás: cos β = # » # » = √ √ ≈ −0, 189 ⇒ β ≈ 100, 9◦. BC · BA 14 · 18
3 pont
4 pont
c) Írja fel az ABC háromszög síkjának az egyenletét!
6 pont
Megoldás: k i j #» #» AB × AC = 3 −1 −2 2 −5 −3 S : 7x − 5y + 13z = 69
= −7i + 5j − 13k
d) Rajta van-e a P (17, −3, −5) pont az AB egyenesen?
4 pont
Megoldás: #» #» #» Igen, mert OP = OB + 4AB 3. Jelölje H a 100-nál nem nagyobb pozitív páros számok halmazát. a) Hányféleképpen lehet H elemei közül 4-et kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje is számít?
4 pont
Megoldás: 50 · 49 · 48 · 47 = 5 527 200 b) Hányféleképpen lehet H elemei közül 4-et kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít? ! 50 Megoldás: = 230 300 4
4 pont
c) Értelmezzük a (H; R) relációt a következ˝oképpen: xRy : x − y osztható 3-mal. Igazolja, hogy R ekvivalencia-reláció és adja meg az ekvivalencia-osztályokat!
8 pont
Megoldás: A reláció homogén, bináris. Reflexív, mert ∀x ∈ H : 3 | x − x = 0, szimmetrikus, mert ∀x, y ∈ H : 3 | x − y ⇒ 3 | y − x, tranzitív, mert ∀x, y, z ∈ H esetén ha 3 | x − y és 3 | y − z, akkor 3 | x − y + y − z = (x − z). Három ekvivalencia-osztály van: H0 = {x ∈ H | x osztható 3-mal}, H1 = {x ∈ H | x 3-mal osztva 1 maradékot ad.}, H2 = {x ∈ H | x 3-mal osztva 2 maradékot ad.}. 4. Legyen f : R2 → R, f x, y = x2 e y a) Számítsa ki az f függvény α = 45◦ -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P0 (1, 0) pontban! Megoldás: fx′ (P0 ) = 2xe y |P0 = 2, f y′ (P0 ) = x2 e y P = 1, 0 √ 3 2 ′ ′ ′ fα (P0 ) = fx (P0 ) cos α + f y (P0 ) sin α = ≈ 2, 12 2
6 pont
b) Írja fel a függvényt ábrázoló felület érint˝osíkjának egyenletét a P0 pontban!
6 pont
Megoldás: n (2, 1, −1), z0 = 1, S : 2x + y − z = 1
c) Határozza meg az f függvény kett˝os integrálját a T = x, y | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 tartományon!
8 pont
Megoldás: "
f x, y dT =
T
Z2 Z2 1
x2 e y dydx =
0
Z2 h
i2
x2 e y dx = 0
1
"
3
2
x e −1 = 3
Z2 1
#2 1
x2 e2 − 1 dx =
7 e2 − 1 = ≈ 14, 9 3
5. Vizsgáljuk a következ˝o két gráfot:
G2
G1
a) Melyik gráfnak van zárt, illetve nyitott Euler-sétéja a fentiek közül?
6 pont
Megoldás: A G1 gráfnak van zárt Euler-sétája, mert összefügg˝o és minden pontjának a fokszáma páros. A G2 gráfnak sem zárt, sem nyitott Euler-sétája nincs, mert négy páratlan fokú pontja van. b) A fenti két gráf közül melyik síkgráf?
6 pont
Megoldás: G1 az egyik Kuratowski-gráf (teljes ötgráf), tehát nem síkgráf. G2 síkgráf, hiszen felrajzolható a következ˝oképpen is:
G2
c) Rajzolja le azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (5, 4, 9, 8, 5, 4, 4)
6 pont
Megoldás: 4
5
7
9
2 1
3
8
6
6. Határozza meg az y′′ + 4y = 13e3x differenciálegyenlet megoldását az y(0) = 1, y′ (0) = 5 kezdeti feltételek mellett! I. Megoldás: Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x, yp = e3x , y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + e3x , y0 = sin 2x + e3x II. Megoldás: y¯ =
s2 + 2s − 2 1 2 = + 2 ⇒ y0 = sin 2x + e3x 2 (s − 3) (s + 4) s − 3 s + 4
10 pont
