Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ©nikkel, 2014-2016
Felhasznált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásain készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltán – Felsőbb matematika (Scolar Kiadó, Budapest, 2009)
A1 minimumkérdések Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, unió, különbség 2. Descartes-szorzat, hatványhalmaz 3. Csoport, gyűrű, test 4. Komplex számok algebrai, exponenciális, trigonometrikus alakja 5. Komplex számok hatványozása 6. Komplex számok gyökvonása Numerikus sorozatok 1. Numerikus sorozat határértéke 2. Konvergens, divergens sorozat 3. Nevezetes sorozatok 4. Cauchy sorozat 5. Torlódási pont Függvények, Derivált 1. Függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet 2. Függvény határérték 3. Függvény folytonosság 4. Inverz függvény 5. Derivált 6. Lokális szélsőérték definíciója és feltétele 7. L’Hospital szabály Középérték tételek és Integrálás 1. Lagrange középérték tétel 2. Rolle középérték tétel 3. Cauchy középérték tétel 4. Riemann-integrálhatóság 5. Newton-Leibnitz formula 6. Improprius integrálok Numerikus sorok 1. numerikus sor fogalma 2. numerikus sor konvergenciája (feltételes is), 3. numerikus sor divergenciája 4. konvergencia tesztek
A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, unió, különbség halmaz: nem definiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; 𝑎 ∈ 𝐴; 𝑎 nem ∈ 𝐵 (nem definiáljuk) o ∅ üreshalmaz: egyetlen eleme sincs o nemüres halmaz: ∃ legalább egy eleme o jól megadott halmaz: ha bármely elemről eldönthető, hogy beletartozik-e 𝐴 és 𝐵 az 𝑋 alaphalmaz részhalmazai, ekkor metszet: A ∩ B = { x ∈ X | x ∈ A ⋀ 𝑥 ∈ 𝐵 } Két halmaz diszjunkt, ha metszetük üres halmaz. unió: A ∪ B = { x ∈ X | x ∈ A ⋁ 𝑥 ∈ 𝐵 } különbség: A \ B = { x ∈ X | x ∈ A ⋀ x nem ∈ 𝐵 } egyéb: A ⊂ A az A részhalmaza önmagának: reflexív tulajdonság ha A ⊂ B és B ⊂ A A = B vagyis antiszimmetrikus (A részhz.-a B-nek és fordítva) ha A ⊂ B és B ⊂ C A ⊂ C tranzitív tulajdonság (A a nagyobb hz.-nak is részhz.-a) 2. Descartes-szorzat, hatványhalmaz Descartes-szorzat: az A és B halmazok Descartes-szorzatán az A és B halmazok elemeiből alkotott összes rendezett elempár halmazát értjük. Jelölése: A × B = { (a;b) | a ∈ A ⋀ 𝑏 ∈ 𝐵 } Az A × B szorzathalmaz egy 𝑇 ⊂ A × B részhalmaza az A és B halmazok elemei közti kételemű (binér) reláció Ha (𝑎; 𝑏) ∈ 𝑇, akkor a és b relációban vannak: 𝑎𝑇𝑏 Hatványhalmaz: egy halmaz összes részhalmazainak halmaza Egy 𝑛 elemű halmaznak 2𝑛 darab részhalmaza van Kommutativitás = felcserélhetőség Asszociativitás = csoportosíthatóság Disztributivitás = szétbonthatóság 3.
Csoport, gyűrű, test (~A2) félcsoport: olyan halmaz, melyben a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok esetén az összeadás) csoport: olyan halmaz, melyben a kétváltozós műveletek asszociatívak ÉS létezik zérus elem ill. inverz elem (összeadásnak a kivonás, szorzásnak az osztás az invertálása) (pl. egész számok halmaza esetén az összeadás) Abel-csoport: olyan halmaz, melyben a kétváltozós műveletek asszociatívak és kommutatívak is ill. létezik a zérus elem és az inverz elem gyűrű: olyan csoport, amelyben a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra nézve (pl. az egész számok esetén az összeadásra nézve a szorzás) A gyűrűben tehát elvégezhető: az összeadás, a kivonás és a szorzás 1
test: olyan csoport, amelyben a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra nézve (pl. racionális számoknál az összeadásra nézve a szorzás disztributív) A testben, mint algebrai struktúrában tehát elvégezhető az összeadás, kivonás, szorzás és az osztás
4. Komplex számok algebrai, trigonometrikus, exponenciális alakja algebrai alak: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑧 valós része 𝑎, képzetes része pedig 𝑏) konjugált: 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖
abszolút érték:|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 (Pitagorasz-tételből), és mivel 𝑧 ∙ 𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 − (𝑏𝑖)2 = 𝑎2 +𝑏2 , ezért |𝑧| = √𝑧 ∙ 𝑧̅ trigonometrikus alak: 𝑧 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑), mivel 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑟 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑟 Tehát 𝑎 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 é𝑠 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, innen már egyértelműen következik a trigonometrikus alak az algebraiból 𝑟-t kiemelve (𝑎 = 𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 é𝑠 𝑏𝑖 = 𝑟 ∙ 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑) exponenciális alak: 𝑧 = 𝑟 ∙ 𝑒 𝑖∙𝜑 – ez csak egy szimbólum, rövidítés, ami megkönnyíti a számolást a komplex számokkal, lényegében a trigonometrikus alak kicsit rövidebben.
5. Komplex számok hatványozása 𝒛𝒏 = [𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑)]𝑛 = 𝒓𝒏 (𝒄𝒐𝒔(𝒏𝝋) + 𝒊𝒔𝒊𝒏(𝒏𝝋)) (de Moivre-képlet) Bizonyítás: teljes indukcióval 1) n=1 OK n=2 OK 2) indukciós feltétel: 𝑛 = 𝑘 ekkor 𝑧 𝑘 = 𝑟 𝑘 (𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜑)) ha 𝑛 = 𝑘 + 1, akkor 𝑧 𝑘+1 = 𝑧 𝑘 ∙ 𝑧 = 𝑟 𝑘 (𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜑)) ∙ 𝑟(𝑐𝑜𝑠(𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑)) = 𝑟 𝑘+1 [𝑐𝑜𝑠(𝑘𝜑 + 𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑘𝜑 + 𝜑)] = 𝑟 𝑘+1 [𝑐𝑜𝑠((𝑘 + 1)𝜑) + 𝑖𝑠𝑖𝑛((𝑘 + 1)𝜑)] és k+1 az n volt, tehát a bizonyítás kész. 6. Komplex számok gyökvonása 𝑧1𝑛 = 𝑧2 = 𝑟1𝑛 (𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜑1 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜑1 )) = 𝑟2 (𝑐𝑜𝑠𝜑2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑2 ) 𝑧1 = 𝑛√𝑧2 Két komplex szám akkor egyenlő, ha a hosszuk és argumentumuk is egyenlő: 𝒓𝟏 = 𝒏√𝒓𝟐 (hossz) 𝑛𝜑1 = 𝜑2 + 𝑘 ∙ 2𝜋 (argumentum) forgásszög, periodicitás miatt 𝑝 = 2𝜋 Így 𝝋𝟏 =
𝝋𝟐 +𝒌∙𝟐𝝅 𝒏
𝑘 ∈ {0, 1, 2, … , 𝑛 − 1}
Tehát 𝑛
𝑛
√𝑧 = √𝑟 [𝑐𝑜𝑠
𝜑 + 𝑘2𝜋 𝜑 + 𝑘2𝜋 + 𝑖 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ] 𝑛 𝑛
Az 𝑛-edik gyökvonás után olyan komplex számokat kapunk, amik egy szabályos sokszög (𝑛-szög) csúcsai! Tehát 𝑛-edik gyökvonás esetén 𝑛 db komplex szám a megoldás.
2
Numerikus sorozatok Mitől numerikus? – Attól, hogy a sorozat a pozitív egész számok halmazán értelmezett függvény. 1. Numerikus sorozat határértéke TÉTEL: Az (𝒂𝒏 ) konvergens és határértéke az 𝒂 ∈ ℝ akkor és csak akkor, ha bármely poz. 𝜺-hoz létezik olyan N(𝜺) küszöbindex (küszöbszám), hogy a sorozat N(𝜺)-nál nagyobb indexű elemei már az ’a’ 𝜺-sugarú környezetébe esnek. (az ilyen indexű elemekből végtelen sok van!) TÉTEL 2: Az (𝒂𝒏 ) konvergens és határértéke az 𝒂 ∈ ℝ akkor és csak akkor, ha az ’a’ bármely poz. 𝜺-sugarú környezetén kívül csak véges sok eleme van a sorozatnak. (ez ekvivalens az első tétellel) Következmény: Ha egy sorozatnak véges sok elemét megváltoztatjuk, vagy a sorozathoz véges sok elemet hozzáveszünk / elhagyunk belőle, akkor sem a konvergencia, sem a határérték nem változik meg! 2. Konvergens, divergens sorozat DEFINÍCIÓ: Az (𝒂𝒏 ) konvergens, ha van olyan 𝒂 ∈ ℝ szám, hogy minden 𝜺 > 𝟎 valós szám esetén létezik N(𝜺) valós küszöbszám, hogy |𝐚𝐧 − 𝐚| < 𝛆, 𝐡𝐚 𝐧 > 𝐍(𝛆) azaz 𝑎 − 𝜀 < 𝑎𝑛 < 𝑎 + 𝜀 Az
„a”
számot
az
(𝒂𝒏 )
határértékének
hívjuk,
és
a
𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒏 = 𝒂
𝒏→∞
vagy
az
𝒂𝒏 → 𝒂, 𝒉𝒂 𝒏 → ∞ jelölést használjuk. Az (𝒂𝒏 ) divergens, ha nem konvergens.
Tételek: - Konvergens sorozat korlátos. (Minden konvergens sorozat korlátos, de nem minden korlátos sorozat konvergens, csak az, ami monoton is, így pl. (−1)𝑛 nem!) - Monoton korlátos sorozat konvergens. - Monoton, nem korlátos sorozatnak van határértéke. konvergens van határértéke van határértéke/torlódási pontjai nem biztos, hogy konvergens
Bolzano-Weierstrass-tétel: minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. 3. Nevezetes sorozatok Olyan sorozatok, amelyek határértékét NEM KELL BIZONYÍTANI, csak felhasználni! (𝟏 + 𝒙)𝒏 ≥ 𝟏 + 𝒏 ∙ 𝒙
Bernoulli-féle egyenlőtlenség: ha 𝑥 ≥ −1, akkor I.
II. III.
𝑎𝑛 → 0, ℎ𝑎 |𝑎| < 1 → 1, ℎ𝑎 𝑎 = 1 → +∞, ℎ𝑎 𝑎 > 1 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑠, ℎ𝑎 𝑎 < −1 𝑛 √𝑎 → 1, ℎ𝑎 𝑛 → ∞ (𝑎 > 0) 𝑎𝑛 ∙ 𝑛𝑘 → 0 (𝑛𝑢𝑙𝑙𝑠𝑜𝑟𝑜𝑧𝑎𝑡), ℎ𝑎 |𝑎| < 1 é𝑠 𝑘 𝑟ö𝑔𝑧í𝑡𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑚é𝑠𝑧𝑒𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑧á𝑚 3
𝑛
√𝑛 → 1, ℎ𝑎 𝑛 → ∞ (𝑛 ≥ 2)
IV.
𝑎𝑛
V.
𝑛!
→ 0 (𝑎 ∈ ℝ)
Legfontosabb:
Hiszen a faktoriális gyorsabban nő, mint a hatványfüggvény!
𝛼 𝑛 (1 + ) → 𝑒 𝛼 𝑛
4. Cauchy sorozat Definíció: Az (𝒂𝒏 )-t Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha minden 𝜺 > 𝟎 esetén ∃𝑵(𝜺) küszöbindex, hogy |𝒂𝒏 − 𝒂𝒎 | < 𝜺, ha 𝒏, 𝒎 > 𝑵(𝜺) (𝒏, 𝒎 ∈ ℕ) Tétel: Cauchy-féle konvergencia kritérium (szükséges ÉS elégséges feltétel) Az (𝒂𝒏 ) akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy sorozat! 5. Torlódási pont Definíció: A h a H halmaz torlódási pontja, ha h bármely környezetében van H-nak h-tól különböző eleme. A t szám a sorozat torlódási pontja, ha t akármilyen kicsi környezete a sorozat végtelen sok elemét tartalmazza. Például (−1)𝑛 Fontos: A határérték is torlódási pont!
Függvények, derivált 1. Függvények, értelmezési tartomány, értékkészlet függvény: ha az A (nemüres) halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük a B (nemüres) halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a leképezést függvénynek nevezzük. értelmezési tartomány: azon elemek halmaza, melyekhez a függvény hozzárendel egy-egy elemet a B halmazból, jelen esetben ez az A halmaz. 𝐷𝑓 = 𝐴
értékkészlet: A képhalmaz, azaz a B halmaz azon elemei, melyeket az 𝑓 függvény ténylegesen hozzárendel az A valamelyik eleméhez. Az értékkészlet tehát része a képhalmaznak: 𝑅𝑓 ⊂ 𝐵 2. Függvény határérték Azt mondjuk, hogy az 𝒇 függvény határértéke az „a” pontban A, ha minden 𝜺 > 𝟎 számhoz létezik olyan 𝜹(𝜺) > 𝟎, hogy ha 𝟎 < |𝒙 − 𝒂| < 𝜹(𝜺), akkor |𝒇(𝒙) − 𝑨| < 𝜺. /Ez a Cauchy-féle definíció/ |𝒙 − 𝒂| < 𝜹(𝜺) azt jelenti, hogy: −𝜹(𝜺) < 𝒙 − 𝒂 < 𝜹(𝜺) /+𝒂 𝒂 − 𝜹(𝜺) < 𝒙 < 𝒂 + 𝜹(𝜺) Szemléletesesen: azt jelenti, hogy a függvényértékek (𝑓(𝑥)-ek) tetszőlegesen megközelítik az 𝐴 számot, ha az 𝜀 értékek elég közel kerülnek a-hoz.
4
Az f függvénynek az „a” pontban acsa (akkor és csak akkor) van határértéke, ha van bal- és jobboldali határértéke és ez a kettő megegyezik! Határérték a végtelenben Az 𝑓 függvény határértéke +∞-ben A, ha minden 𝜀 > 0 esetén van olyan 𝑁(𝜀), hogy |𝒇(𝒙) − 𝑨| < 𝜺, ha 𝑥 > 𝑁(𝜀). Az 𝑓 függvény határértéke −∞-ben A, ha minden 𝜀 > 0 esetén van olyan 𝑁(𝜀), hogy |𝒇(𝒙) − 𝑨| < 𝜺, ha 𝑥 < 𝑁(𝜀). A végtelen, mint határérték Az 𝑓 függvény határértéke 𝑎-ban +∞, ha bármely 𝑁 > 0 esetén van olyan 𝛿(𝑁), hogy 𝒇(𝒙) > 𝑵, ha 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿(𝑁). Az 𝑓 függvény határértéke 𝑎-ban −∞, ha bármely 𝑁 > 0 esetén van olyan 𝛿(𝑁), hogy 𝒇(𝒙) < 𝑵, ha 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿(𝑁). 3. Függvény folytonosság Az 𝒇 függvény az értelmezési tartományának „a” pontjában folytonos, ha ebben a pontban létezik határértéke és ez egyenlő az adott pontbeli helyettesítési értékkel, azaz ha lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 𝑥→𝑎
Definíció: Az 𝒇 függvényt folytonosnak nevezzük az 𝒂 ∈ 𝓓𝒇 pontban, ha bármely 𝜺 > 𝟎 esetén van olyan 𝜹(𝜺) > 𝟎 szám, hogy ha |𝒙 − 𝒂| < 𝜹(𝜺) , akkor |𝒇(𝒙) − 𝒇(𝒂)| < 𝜺. Az 𝑓 függvény egy intervallumon egyenletesen folytonos, ha bármely 𝜀 > 0 számhoz van olyan 𝛿 > 0 szám, hogy 𝑓 értelmezési tartományának bármely 𝑥1 , 𝑥2 elemére, amelyek távolsága egymástól kisebb 𝛿-nál, fennáll az |𝒇(𝒙𝟏 ) − 𝒇(𝒙𝟐 )| < 𝜺 egyenlőtlenség. Tétel: Az 𝑓 függvény pontosan akkor folytonos értelmezési tartományának „a” pontjában, ha ott balról és jobbról is folytonos. Def.: Az 𝑓 függvény folytonos az ]𝒂, 𝒃[-on, ha folytonos ]𝑎, 𝑏[ minden pontjában. Az 𝑓 függvény folytonos az [𝒂, 𝒃]-on, ha folytonos ]𝑎, 𝑏[-on és a-ban balról, b-ben jobbról folytonos. A folytonosság néhány nevezetes következménye: - ha 𝑓 folytonos egy zárt intervallumon, akkor ott egyenletesen folytonos. - Bolzano-tétel: ha a függvény a zárt intervallumon folytonos, és az intervallum két végpontjában az értékei különböző előjelűek, akkor az intervallum belsejében van zérushelye. Másképp: felvesz minden 𝒇(𝒂) és 𝒇(𝒃) közé eső értéket egy folytonos függvény egy zárt intervallumon. - Weierstrass-tétel: Zárt intervallumon folytonos függvény felveszi a minimumát és a maximumát is függvényértékként; továbbá minden olyan értéket, ami a legnagyobb és legkisebb érték közé esik. (Arról nem szól a tétel, hogy a függvény HOL veszi fel a min. és max. értékét.)
5
4. Inverz függvény Ha az 𝑓: 𝑋 → 𝑌 függvénynél a leképezés irányát megfordítjuk, vagyis az Y halmaz elemeit képezzük le az X halmaz elemeire, akkor ez a fordított leképezés általában nem függvény, mert nem biztos, hogy egy 𝑦 ∈ 𝑌 elemnek egyetlen 𝑥 ∈ 𝑋 elem felel meg. Ezért fontos az, hogy 𝑓 bijektív, azaz kölcsönösen egyértelmű legyen, mert ekkor az 𝑓 −1 -gyel jelölt fordított leképezés is már függvény lesz. Definíció: Ha az 𝑓: 𝑋 → 𝑌 függvény kölcsönösen egyértelmű, akkor az 𝑓 −1 = 𝑌 → 𝑋 függvényt 𝑓 inverz függvényének nevezzük. Ekkor igaz az alábbi összefüggés: 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥 Egyszerűbben megfogalmazva: az 𝑓 é𝑠 𝑎𝑧 𝑓 −1 függvényeknél az értelmezési tartomány és az értékkészlet helyet cserél. Ennek következtében az ábrázolásnál a koordinátatengelyek helyet cserélnek, s az 𝑦 = 𝑓(𝑥) és 𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) görbék egymásnak tükörképei az 𝑦 = 𝑥 egyenesre nézve. 5. Derivált Legyen 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ függvény értelmezve az 𝑥 ∈ 𝐼 pontban és annak egy környezetében. Ha 𝑥 ≠ 𝑎, akkor az
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎
Ha létezik és véges a 𝒍𝒊𝒎
hányadost differenciahányadosnak nevezzük.
𝒇(𝒙)−𝒇(𝒂) 𝒙−𝒂
𝒙→𝒂
határérték, akkor azt az 𝑓 függvény deriváltjának vagy
„a” pontbeli differenciálhányadosának nevezzük és a 𝑑 𝑓(𝑎) 𝑑𝑥
Régi jelölés:
lim
∆𝑥→0
vagy 𝑓′(𝑎) jelöléseket használjuk.
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥
= 𝑓′(𝑥)
Ha x-szel elkezdek közelíteni a-hoz: a szelőkből érintő lesz. 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼 =
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎
Adott pontbeli derivált = adott pontbeli érintő meredeksége! Az érintő egyenlete: 𝒚 = 𝒇′ (𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂) ~ 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑦 − 𝑦0 átrendezve Definíció: az 𝑓: [𝑎; 𝑏] → ℝ függvény balról differenciálható a b pontban, ha létezik és véges a lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑏) 𝑥−𝑏
egyoldali határérték.
Az 𝑓: [𝑎; 𝑏] → ℝ függvény jobbról differenciálható az a pontban, ha létezik és véges a 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎) 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎+
lim
egyoldali határérték.
Eszerint megkülönböztetünk bal- és jobboldali deriváltat. TÉTEL: az 𝑓: 𝐼 → ℝ függvény differenciálható az 𝑎 ∈ 𝐼 pontban ⟺ ha létezik (és így véges) a bal- és jobboldali deriváltja a-ban ÉS ezek egyenlők. TÉTEL: ha az 𝑓 függvény differenciálható az 𝑥0 pontban, akkor ott folytonos. (DE: attól, hogy folytonos, nem biztos, hogy differenciálható a függvény minden pontjában!) Definíció: az 𝑓: ]𝑎; 𝑏[ → ℝ függvény differenciálható ]a;b[-on, ha differenciálható ∀𝑥 ∈]𝑎; 𝑏[ pontban. Az 𝑓: [𝑎; 𝑏] → ℝ függvény differenciálható [a;b]-on, ha differenciálható ]𝑎; 𝑏[-on ÉS a-ban jobbról, b-ben balról differenciálható. 6
+Az inverz függvény deriválási szabálya: ! 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ fv. szig. mon. és folytonos az 𝑥0 pont egy környezetében; 𝑓′(𝑥0 ) ≠ 0. Ekkor 1
′
az 𝑓 fv. inverze is differenciálható a 𝑏 ≔ 𝑓(𝑥0 ) pontban és (𝑓 −1 (𝑏)) =
𝑓′ (𝑥0 )
6. Lokális szélsőérték definíciója és feltétele Definíció: Legyen 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ, 𝑎 ∈ 𝐼. Azt mondjuk, hogy 𝑓-nek a-ban lokális maximuma van, ha van olyan 𝛿 > 0, hogy 𝑓(𝑎) ≥ 𝑓(𝑥) minden olyan xre, ami benne van a-nak a 𝛿 sugarú környezetében. 𝑓-nek a-ban lokális minimuma van, ha van olyan 𝛿 > 0, hogy 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑥) minden olyan xre, ami benne van a-nak a 𝛿 sugarú környezetében. Szükséges feltétel: ha 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ függvény differenciálható és 𝑓-nek 𝛼 ∈ 𝑖𝑛𝑡 𝐼-ben szélsőértéke van, akkor 𝑓 ′ (𝛼) = 0. // 𝛼 ∈ 𝑖𝑛𝑡 𝐼: olyan 𝛼, ami 𝐼 egy belső pontja Elégséges feltétel: ha 𝑓: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ függvény differenciálható ÉS 𝛼 ∈ 𝑖𝑛𝑡 𝐼, továbbá van nekünk egy 𝑟 > 0 számunk, amire az teljesül, hogy 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ha 𝑥 ∈]𝛼 − 𝑟; 𝛼] VAGY 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ha 𝑥 ∈ [𝛼; 𝛼 + 𝑟[ akkor f-nek 𝛼-ban lokális maximuma van. 𝑓′(𝑥) ≤ 0, ha 𝑥 ∈]𝛼 − 𝑟; 𝛼] VAGY 𝑓′(𝑥) ≥ 0, ha 𝑥 ∈ [𝛼; 𝛼 + 𝑟[ akkor f-nek 𝛼-ban lokális minimuma van. Egyszerűbben: az 𝑓 függvénynek az 𝒙𝟎 -ban lokális szélsőértéke van, ha 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 DE 𝑓′′(𝑥0 ) ≠ 0. -
ha a 2. derivált pozitív, akkor lokális minimuma (konvex!) ha a 2. derivált negatív, akkor lokális maximuma van (konkáv!)
-
Általánosabban:
-
(𝑓 𝑛-edik deriváltja MÁR NEM NULLA) Ekkor 𝑓 (𝑛) deriváltját vizsgáljuk: ha 𝑛 páros, akkor van csak szélsőértéke (ugyanúgy, vagyis ha pozitív, akkor lokális minimum; ha negatív, akkor lokális maximum.)
𝑓 ′ (𝛼) = 0 = 𝑓 ′′ (𝛼) = 0 = 𝑓 ′′′ (𝛼) = 0 … 𝑓 (𝑛−1) (𝛼) = 0,
de 𝑓 (𝑛) (𝛼) ≠ 0
7. L’Hospital szabály TÉTEL: Legyen 𝑓 és 𝑔 differenciálható függvények az 𝛼 pont egy környezetében (𝛼-ban nem szükségképpen). Továbbá, lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0 𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
vagy |lim 𝑓(𝑥)| = |lim 𝑔(𝑥)| = ∞ 𝑥→𝛼
𝑥→𝛼
Ahol 𝛼 ∈ {𝑎; 𝑎 + 0; 𝑎 − 0; ±∞} lim 𝑓′(𝑥)
Ekkor:
𝑥→𝛼
lim 𝑔′(𝑥)
𝑥→𝛼
lim 𝑓(𝑥)
= 𝑥→𝛼
lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝛼
Fontos, hogy akkor lehet csak használni, ha a hányados határértéke
7
0 0
vagy
∞ ∞
alakú!
Középérték tételek és integrálás Függvények és deriváltjaik kapcsolatának vizsgálatakor használhatjuk fel a középértéktételeket 1. Rolle középértéktétel Legyen 𝑓 folytonos [𝑎; 𝑏]-on és differenciálható ]𝑎; 𝑏[-on, továbbá 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) = 0. Ekkor létezik 𝜉 ∈]𝑎; 𝑏[, melyre 𝒇′ (𝝃) = 𝟎 (vízszintes érintő!) Ha 𝑓(𝑥) ≡ 0 (azonosan, minden pontban nulla) – ekkor nyilván 𝑓(𝜉) = 𝑓 ′ (𝜉) = 0. Érdekesebb: ha 𝒇(𝒙) ≢ 𝟎
𝛼) eset: Weierstrass tétele miatt (folytonos függvény zárt intervallumon felveszi a szélsőértékét függvényértékként) létezik a függvénynek maximuma! Azaz van olyan 𝜉, amire igaz, hogy 𝑓(𝜉) ≥ 𝑓(𝑥) minden 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] esetén. Ekkor
𝑓(𝑥)−𝑓(𝜉) 𝑥−𝜉
törtet vizsgálva:
az 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝜉) számláló mindig ≤ 0, mert 𝑓(𝜉) ≥ 𝑓(𝑥) a nevező pedig pozitív, ha 𝑥 > 𝜉, így az egész tört negatív, tehát 𝒇′ (𝝃) ≠ 𝟎 a nevező pedig negatív, ha 𝑥 < 𝜉, így az egész tört pozitív, tehát 𝒇′ (𝝃) ≠ 𝟎 𝑓(𝑥)−𝑓(𝜉) = 𝑥−𝜉 𝜉→𝑥
De ha lim
𝑓 ′ (𝜉) = 0
∎ (csak az egyenlőség a jó nekünk)
𝛽) eset: 𝛼-val analóg módon bizonyítható. 𝛾) eset: 𝛼 és β esetekből összerakható. 2. Lagrange középértéktétel (a Rolle középértéktétel általánosítása) Legyen 𝑓 folytonos [𝑎; 𝑏]-on és differenciálható ]𝑎; 𝑏[-on, ekkor létezik 𝜉 ∈]𝑎; 𝑏[, hogy 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) = 𝒇′(𝝃) 𝒃−𝒂 Ez körülbelül azt jelenti: ha húzunk egy vonalat (húrt) a két végpont között, akkor lesz legalább egy pont a függvényen, aminek a deriváltja (vagyis az adott pontbeli érintő meredeksége!) megegyezik a húr meredekségével! Vagyis az ábrán a piros húr párhuzamos lesz a zöld érintővel! 8
Tekintjük az (𝑎, 𝑓(𝑎)) és a (𝑏, 𝑓(𝑏)) pontokat összekötő húrt, aminek az egyenlete: ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑎) +
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂
(𝑥 − 𝑎)
//ez az 𝒎(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑦 − 𝑦0 képletből jön ki
𝒈(𝒙) ≔ 𝒇(𝒙) − 𝒉(𝒙), így 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − ℎ(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑎) = 0
𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − ℎ(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑏) = 0
és
𝑔 folytonos az [𝑎; 𝑏]-on, mert 𝑓 és ℎ is az
𝑔 differenciálható ]𝑎; 𝑏[-on, mert 𝑔′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝒉′ (𝒙) = 𝑓 ′ (𝑥) −
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂
A Rolle-tételt alkalmazva a 𝑔 függvényre: létezik 𝜉 ∈]𝑎; 𝑏[, melyre 𝒈′ (𝝃) = 𝟎 (vízszintes érintő) Így 𝒈′ (𝝃) = 𝑓 ′ (𝜉) −
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂
= 𝟎 ⇒ = 𝒇′ (𝝃) =
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂
∎
3. Cauchy középértéktétel Legyen 𝑓 és 𝑔 folytonos [𝑎; 𝑏]-on és differenciálható ]𝑎; 𝑏[-on, ekkor létezik 𝜉 ∈]𝑎; 𝑏[, hogy 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂) 𝒇′ (𝝃) = 𝒈(𝒃) − 𝒈(𝒂) 𝒈′ (𝝃) Bizonyítás Alkalmas segédfüggvény bevezetésével: ℎ(𝑥) ≔ 𝑓(𝑥) + 𝜆𝑔(𝑥) ahol λ-t úgy választjuk meg, hogy ℎ(𝑎) = ℎ(𝑏) teljesüljön. ℎ(𝑎) = ℎ(𝑏) 𝑓(𝑎) + 𝜆𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑏) + 𝜆𝑔(𝑏) átrendezve 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) = 𝜆[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] leosztva, (-1)-et kiemelve
−
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒈(𝒃)−𝒈(𝒂)
=𝝀
ℎ(𝑥) ≔ 𝑓(𝑥) + 𝜆𝑔(𝑥) volt, tehát ℎ′ (𝑥) ≔ 𝑓 ′ (𝑥) + 𝝀𝑔′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) −
𝒇(𝒃)−𝒇(𝒂) 𝒈(𝒃)−𝒈(𝒂)
𝑔′(𝑥)
Most még alkalmazzuk a Rolle tételt a segédfüggvényre: 𝜉 ∈]𝑎; 𝑏[, melyre ℎ′(𝜉) = 0, ebből ℎ′ (𝜉): = 𝑓 ′ (𝜉) − 𝑓′ (𝜉) 𝑔′ (𝜉)
=
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)
𝑔′ (𝜉) = 0, ezt átrendezve adódik, hogy
∎
Megjegyzés: a Cauchy-féle középértéktételből 𝑔(𝑥) = 𝑥 választással adódik a Lagrange középértéktétel: 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓 ′ (𝜉) = 𝑏−𝑎 1 hiszen így 𝑔(𝑏) = 𝑏 é𝑠 𝑔(𝑎) = 𝑎 𝑔′ (𝑥) = 𝑥 ′ = 1 9
4. Riemann-integrálhatóság Definíció: 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ korlátos függvény. (Nem kell folytonosnak, ill. deriválhatónak lennie!) 𝐼 = sup{𝑠(𝑓, 𝑑) | 𝑑 [𝑎, 𝑏]-nek egy beosztása} Darboux-féle alsó integrál 𝐼 ̅ = inf{𝑆(𝑓, 𝑑) | 𝑑 [𝑎, 𝑏]-nek egy beosztása}
Darboux-féle felső integrál
Az 𝑓 függvény Riemann-integrálható [𝑎; 𝑏]-on, ha a Darboux-féle alsó- és felső integráljai 𝑏
megegyeznek. E közös értéket az 𝒇 függvény Riemann-integráljának nevezzük és ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 -szel jelöljük. Darboux tétele: 𝟎 ≤ 𝑰 − 𝒔(𝒇, 𝒅) < 𝜺 valamint 𝟎 ≤ 𝑺(𝒇, 𝒅) − 𝑰 < 𝜺 teljesül. Vagyis: a felső/alsó int. közelítő összeg tetszőlegesen kicsivé tehető. A Riemann-integrálhatóság kritériumai: Korábban: a 𝑺(𝒇, 𝒅) felső integrálközelítő összeg monoton csökken, a 𝒔(𝒇, 𝒅) alsó integrálközelítő összeg monoton nő! A kettő integrálközelítő összeg határértéke pedig ∞-ben a Riemann-integrál. 𝑚𝑖 ≔ inf{𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ] }
a beírt téglalapok közül a legnagyobb magassága
𝑀𝑖 ≔ sup{𝑓(𝑥) | 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 ] }
a köré írt téglalapok közül a legkisebb magassága
𝒔(𝒇, 𝒅) ≔ ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒎𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 ) 𝑺(𝒇, 𝒅) ≔ ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑴𝒊 (𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 ) 𝓞(𝒇, 𝒅) Oszcillációs összeg: 𝑺(𝒇, 𝒅) − 𝒔(𝒇, 𝒅) TÉTEL: első kritérium, oszcillációs összeggel Legyen 𝑓 [𝑎; 𝑏] → ℝ függvény korlátos. 𝒇 ∈ 𝓡[𝒂; 𝒃] (az [𝑎, 𝑏]-on értelmezett Riemann-integrálható függvények halmazának eleme az 𝑓 függvény) pontosan akkor, ha minden 𝜺 > 𝟎 esetén létezik olyan 𝒅 beosztás, hogy 𝓞(𝒇, 𝒅) < 𝜺; vagyis hogy az oszcillációs összeg tetszőlegesen kicsivé tehető! Bizonyítása: 𝑓 Riemann-integrálható [𝑎, 𝑏]-on, tehát 𝑰 = 𝑰 = 𝑰. A Darboux-tételt „összeadva” így 𝛆
kijön, hogy 𝑺(𝒇, 𝒅) − 𝒔(𝒇, 𝒅) < 𝟐 ∙ 𝟐 = 𝜺, azaz 𝓞(𝒇, 𝒅) < 𝜺
∎ (ezt akartuk bizonyítani)
TÉTEL: második kritérium, integrálközelítő összeggel Legyen 𝑓 [𝑎; 𝑏] → ℝ függvény korlátos. 𝑓 Riemann-integrálható ⟺ ∀𝜀 > 0 esetén ∃ 𝛿(𝜀) > 0, hogy |𝝈(𝒇, 𝒅, 𝒕) − 𝑰| < 𝜺 ha ||𝑑|| < 𝛿(𝜀) (d beosztásának finomsága kisebb) és 𝑡 egy tetszőleges közbeeső érték-vektor. A 𝝈(𝒇, 𝒅, 𝒕) ≔ ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇(𝒕𝒊) (𝒙𝒊 − 𝒙𝒊−𝟏 ) összeget az 𝑓 függvény 𝑑 beosztásához, 𝑡 közbeeső érték vektorhoz tartozó integrálközelítő összegének hívjuk.
10
Bizonyítása: Darboux-tételből! 𝒔(𝒇, 𝒅) > 𝑰 − 𝜺 ill. 𝑺(𝒇, 𝒅) < 𝑰 + 𝜺 𝑰 − 𝜺 < 𝑠(𝑓, 𝑑) ≤ 𝝈(𝒇, 𝒅, 𝒕) ≤ 𝑆(𝑓, 𝑑) < 𝑰 + 𝜺 −𝜺 < 𝝈(𝒇, 𝒅, 𝒕) − 𝑰 < 𝜺 így |𝝈(𝒇, 𝒅, 𝒕) − 𝑰| < 𝜺 ∎ TÉTEL: harmadik kritérium, normális beosztással Legyen 𝑓 [𝑎; 𝑏] → ℝ függvény korlátos. 𝑓 Riemann-integrálható [a;b]-on ⟺ ha bármely (𝒅𝒌 ) normális beosztássorozat és 𝒕(𝒌) közbeeső értékvektor-sorozat esetén 𝝈(𝒇, 𝒅𝒌 , 𝒕(𝒌) ) konvergens. 𝑏
Ekkor lim 𝜎(𝑓, 𝑑𝑘 , 𝑡 (𝑘) ) = ∫𝑎 𝑓. 𝑘→∞
5. Newton-Leibniz-formula – az integrálszámítás alaptétele Legyen 𝑓 ∈ ℛ[𝑎, 𝑏]-on és 𝐹: [𝑎, 𝑏] → ℝ olyan, hogy 𝐹 folytonos [𝑎, 𝑏]-on, deriválható az ]𝑎, 𝑏[-on és 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) minden 𝑥 ∈]𝑎, 𝑏[-ra (azaz F deriváltja minden pontban f-et adja!). 𝑏
Ekkor ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Jelölése: 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂) ≔ [𝑭(𝒙)]𝒃𝒂 Bizonyítása: természetesen egy minden határon túl finomodó, normális beosztássorozattal. 6. Improprius integrál Eddig, a Riemann-integrálnál: „legyen 𝑓 korlátos…” Definíció: ! 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ𝑏 , 𝑎 < 𝑏 A bővített valós számok halmaza: ℝ𝑏 ≔ ℝ ∪ {−∞; +∞}, továbbá teljesüljön a következő két feltétel is: 1. Minden [𝑥, 𝑦] ⊂]𝑎, 𝑏[ esetén 𝑓 legyen Riemann-integrálható [𝑥, 𝑦]-on. (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ) 𝑐
𝑦
2. Létezzen olyan 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, hogy lim ∫𝑥 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 és lim ∫𝑐 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 határértékek 𝑥→𝑎
𝑦→𝑏
létezzenek és végesek legyenek. 𝑐
𝑦
Ekkor az 𝐼 ≔ lim ∫𝑥 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + lim ∫𝑐 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 összeget az 𝑓 függvény improprius integráljának 𝑥→𝑎
𝑦→𝑏
𝑏
nevezzük az ]𝑎, 𝑏[-on és ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡-vel jelöljük. -
-
Azt is mondjuk, hogy az 𝒇 függvény improprius Riemann-integrálja az ]𝑎; 𝑏[ intervallumon konvergens. Ha az 1. feltétel teljesük, DE a 2. feltétel NEM, akkor az 𝒇 függvény improprius Riemannintegrálja ]a,b[-on divergens! (Ez fontos, mert ekkor nem létezik az improprius integrál.) 𝐼 értéke független 𝑐-től Ha 𝑓 nem korlátos az intervallum egy 𝛾 belső pontjának környezetében, akkor az intervallumot kettévághatjuk; az improprius integrál additív 11
Numerikus sorok Definíció: Az 𝑎𝑛 numerikus sorozat tagjaiból képzett végtelen összeget numerikus sornak nevezzük. ∞
∑ 𝑎𝑛 𝑛=1 ∞
∑ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ 𝑛=1
1. Numerikus sor fogalma Az (𝑎𝑛 ) numerikus sorozatból képezzük az alábbi sorozatot: 𝑠1 ≔ 𝑎1 𝑠2 ≔ 𝑎1 + 𝑎2 𝑠3 ≔ 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ⋮ 𝑛
𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑗 𝑗=1
2. Numerikus sor konvergenciája Azt mondjuk, hogy a ∑ 𝒂𝒏 sor konvergens, ha (𝒔𝒏 ) konvergens. - 𝒂𝒏 a sor n. tagja vagy általános tagja - 𝒔𝒏 a sor n. részletösszege Az (𝑠𝑛 ) sorozat határértékét a ∑ 𝒂𝒏 sor összegének mondjuk, azaz 𝑛
∞
𝑠 = lim 𝑠𝑛 = lim ∑ 𝑎𝑗 = ∑ 𝑎𝑗 𝑛→∞
𝑛→∞
𝑗=1
𝑗=1
A numerikus sorok konvergenciájának szükséges feltétele: Ha ∑ 𝑎𝑛 numerikus sor konvergens ⟹ (𝑎𝑛 ) numerikus sorozat nullsorozat, azaz lim 𝑎𝑛 = 0. 𝑛→∞
Állítás: A ∑0 𝑎𝑞 𝑛 végtelen geometriai sor konvergens ⟺ |𝑞| < 1, ekkor a sorösszeg 𝑎 ∙
1 1−𝑞
A numerikus sorok konvergenciájának elégséges feltétele: TÉTEL: A ∑ 𝒂𝒏 numerikus sor konvergens ⟺ ha minden 𝜀 > 0 esetén van olyan 𝑁(𝜀) 𝜀-tól függő szám, hogy: |𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛+2 + ⋯ + 𝑎𝑚 | < 𝜀 ha 𝑛, 𝑚 > 𝑁(𝜀) é𝑠 𝑚 > 𝑛 ⇒ Cauchy-féle konvergencia kritérium: |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚 | < 𝜀, ha 𝑛, 𝑚 > 𝑁(𝜀) Vagyis: ∑ 𝑎𝑛 numerikus sor konvergens ⟺ ha (𝑠𝑛 ) Cauchy-sorozat! TÉTEL: Ha ∑ 𝒂𝒏 konvergens, akkor bármely csoportosított sora is konvergens és a két sor összege megegyezik! (Megfordítva is igaz.) Definíció: a ∑ 𝒂𝒏 sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha ∑|𝒂𝒏 | konvergens. Ha ∑ 𝒂𝒏 sor konvergens, DE NEM abszolút konvergens, akkor feltételes konvergenciáról beszélünk.
12
TÉTEL: Abszolút konvergens sor feltételesen is konvergens. (Visszafelé nem igaz!) (Ott érdekes ez, ahol poz. és neg. számok váltogatják egymást.) TÉTEL: Abszolút konvergens sor bármely átrendezett sora is konvergens. 3. Numerikus sor divergenciája Például, ha a szükséges feltétel (nullsorozat) nem teljesül, akkor divergens. Jellegzetes divergens sor: ∞ 1 ∑ 𝑛 𝑛=1
4. Konvergencia tesztek
Majorálás/minorálás: Legyen ∑ 𝑎𝑛 és ∑ 𝑏𝑛 nemnegatív tagú sorok, melyekre 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 minden 𝑛 természetes számra vagy egy bizonyos 𝑛-től, ekkor: Minoráns kritérium: HA ∑ 𝑎𝑛 divergens, akkor ∑ 𝑏𝑛 is az. Majoráns kritérium: HA ∑ 𝑏𝑛 konvergens, akkor ∑ 𝑎𝑛 is az.
D’Alambert-féle hányadosteszt Legyen ∑ 𝑎𝑛 egy pozitív tagú sor (hogy ne osszunk 0-val). Ha létezik 0 < 𝑞 < 1 valós szám, hogy 𝑎 lim 𝑛+1 𝑛→∞ 𝑎𝑛
< 𝑞 (𝑛 ∈ ℕ 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑛 > 𝑛0 ),
akkor ∑ 𝒂𝒏 konvergens. Ha lim
𝑎𝑛+1
𝑛→∞ 𝑎𝑛
> 1, akkor divergens; ha lim
𝑛→∞
𝑎𝑛+1 𝑎𝑛
= 1, akkor nem tudunk semmit a
konvergenciájáról!
Cauchy-féle gyökteszt Legyen ∑ an egy nemnegatív tagú (a gyökvonás miatt) numerikus sor. Ha létezik 0 < 𝑞 < 1 valós szám, hogy lim 𝑛√𝑎𝑛 < 𝑞 (𝑛 ∈ ℕ 𝑣𝑎𝑔𝑦 𝑛 > 𝑛0 ),
𝑛→∞
akkor ∑ 𝒂𝒏 konvergens.
13
+ TÉTEL: integrál kritérium Ha 𝑥 ≥ 1 esetén az 𝑓 folytonos, nemnegatív és csökkenő, akkor ∑ 𝑓(𝑛) numerikus sor konvergens vagy divergens aszerint, hogy az ∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1
improprius integrál konvergens vagy divergens-e.
DEFINÍCIÓ: A ∑(−1)𝑛+1 𝑏𝑛 numerikus sort alternáló numerikus sornak hívjuk. TÉTEL: Leibniz típusú sorok A ∑(−1)𝑛+1 𝑏𝑛 alternáló numerikus sor konvergens ⟺ ha (𝑏𝑛 ) monoton csökkenő nullsorozat. Továbbá, |𝑠 − 𝑠𝑛 | < 𝑏𝑛+1, ahol 𝑠 a ∑(−1)𝑛+1 𝑏𝑛 alternáló sor sorösszege, 𝑠𝑛 pedig az 𝑛. részletösszege.
14
Matematika A2 szóbeli beugró kérdések – 2015 Lineáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test 2. Euklideszi tér 3. Vektortér 4. Vektorok lineáris függősége és függetlensége 5. Lineáris egyenletrendszer 6. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele 7. Mátrix determináns 8. Mátrix inverz 9. Mátrix rang
Lineáris algebra II. 1. Lineáris leképezés fogalma 2. Rangnullitás tétele 3. Magtér, képtér 4. Sajátvektor, sajátérték 5. Bázis transzformáció 6. Hasonló mátrixok 7. Ortogonális mátrix
Függvénysorozatok, függvénysorok 1. Függvénysorozat 2. Függvénysor 3. Függvénysorozat, függvénysor konvergenciája, egyenletes konvergenciája 4. Weierstrass-tétel 5. Cauchy-Hadamard-tétel 6. Hatványsor 7. Taylor-polinom, Taylor-sor 8. Konvergencia sugár, konvergencia tartomány 9. Fourier-sor
Többváltozós függvények 1. Primitív függvény 2. ℝ → ℝ leképezés differenciálhatósága 3. Iránymenti derivált 4. Parciális derivált 5. Gradiens 6. Jakobi mátrix 7. Szélsőérték 8. Kvadratikus formák definitsége 9. Riemann-integrálhatóság (alsó-felső Darboux-integrál)
A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015 Lineáris algebra I. 1.
Csoport, gyűrű, test félcsoport: olyan halmaz, melyben a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok esetén az összeadás) csoport: olyan halmaz, melyben a kétváltozós műveletek asszociatívak, és létezik zérus (vagy egység-) elem, ill. inverz elem (összeadásnak a kivonás, szorzásnak az osztás az invertálása) (pl. egész számok halmaza esetén az összeadás) Abel-csoport: olyan halmaz, melyben a kétváltozós műveletek asszociatívak, és kommutatívak is, ill. létezik a zérus elem és az inverz elem gyűrű: olyan Abel-csoport, amelyben a kétváltozós műveletek már disztributívak is egymásra nézve (pl. az egész számok esetén az összeadásra nézve a szorzás) A gyűrűben már két műveletet definiálunk! Az új, második művelet is asszociatív (azaz tetszőlegesen zárójelezhető). test: olyan Abel-csoport, amelyben a kétváltozós műveletek disztributívak egymásra nézve (pl. racionális számoknál az összeadásra nézve a szorzás disztributív) A testben szintén két műveletet definiálunk! Az új, második művelet itt is asszociatív. Továbbá, létezik a második műveletre is az egység (e) és az inverz (a*) elem.
2.
Euklideszi tér Valós euklideszi térben értelmezhetőek: skaláris szorzat: < 𝑥, 𝑦 >: = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 Tulajdonságai: szimmetrikus, homogén, additív, nemnegatív (vektorterek axiómái)
vektor hossza: ||𝑥|| ≔ √< 𝑥, 𝑥 >
vektorok közbezárt szöge: 𝑐𝑜𝑠∢ (𝑥, 𝑦) ≔
<𝑥,𝑦> ||𝑥||||𝑦||
Def.: Az olyan lineáris teret (vektorteret), amelyben skaláris szorzat van értelmezve, euklideszi térnek nevezzük. Pl. a geometriai vektortér euklideszi tér. Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség : < 𝑥, 𝑦 >2 ≤< 𝑥, 𝑥 >∙< 𝑦, 𝑦 > 2
2
Ahol < 𝑥, 𝑥 > = ||𝑥|| illetve < 𝑦, 𝑦 > = ||𝑦|| (ld. vektor hossza) Következménye: valós euklideszi terekben igaz a háromszög-egyenlőtlenség: ||𝑥 + 𝑦|| ≤ ||𝑥|| + ||𝑦|| Tétel: minden 𝑛 dimenziós euklideszi térben létezik ortonormált (egységnyi hosszúak az ortogonális, azaz egymásra merőleges bázisvektorok) bázis. 1
3.
Vektortér Def.: Az elemek egy 𝕍 halmazát a γ számtest (valós, egész, komplex számok stb.) felett vektortérnek nevezzük, ha értelmezve van 2 művelet: egy „összeadás”(+) a vektortér elemei között és egy „szorzás”(∙) a számtest és a vektortér elemei között, és érvényesek az alábbiak: 1) ha 𝑎, 𝑏 ∈ 𝕍, akkor 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝕍 2) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎, 𝑏 ∈ 𝕍 kommutativitás (+) 3) 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝕍 asszociativitás (+) 4) létezik zéruselem, ahol 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝕍 5) létezik az inverz elem, amelyre 𝑎 + (−𝑎) = 0 6) ha 𝑎 ∈ 𝕍, 𝛼 ∈ 𝛾, akkor 𝛼 ∙ 𝑎 ∈ 𝕍 7) 𝛼(𝑎 + 𝑏) = 𝛼𝑎 + 𝛼𝑏 disztributivitás (+) a (∙)-ra 8) (𝛼 + 𝛽)𝑎 = 𝛼𝑎 + 𝛽𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝕍 9) 𝛼(𝛽𝑎) = (𝛼𝛽)𝑎 asszociativitás (∙) a (∙)-ra Általánosan: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝕍 és 𝛼, 𝛽 ∈ 𝛾 1)-5) állítások az összeadásra, 6)-9) állítások a szorzásra vonatkoznak
4.
Vektorok lineáris függősége és függetlensége Az {𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 } vektorok lineárisan függetlenek, ha csak a triviális, 𝜶𝒊 = 𝟎 megoldása van az 𝛼1 𝑎1 + 𝛼2 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑎𝑛 = 0 egyenletnek. Ellenkező esetben – bármely 𝜶 nem nulla – lineárisan összefüggőek (azaz nem függetlenek) ezek a vektorok. Az 𝛼1 𝑎1 + 𝛼2 𝑎2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑎𝑛 vektor az 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 vektorok lineáris kombinációja.
5.
Lineáris egyenletrendszer Def.: A véges sok elsőfokú egyenletet és véges sok ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert lineáris egyenletrendszernek nevezzük. Az egyenletrendszer felírható az 𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑏 ún. mátrix alakban, ahol 𝑨 az együttható mátrix, 𝒙 az ismeretlenek vektora és 𝒃 az eredményvektor. - homogén: ha az eredményvektor nullvektor - inhomogén: ha az eredményvektorban van akár csak egy darab 0-tól különböző szám Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele A lineáris egyenletrendszer akkor, és csak akkor oldható meg, ha együttható mátrixának rangja megegyezik (az eredményvektorral) bővített mátrixának rangjával. Másképpen: az együttható mátrix rangja nem nő, ha hozzávesszük a 𝑏-t. Tehát:
6.
𝒓𝒈 (𝑨) = 𝒓𝒈(𝑨|𝒃) -
nincs megoldás, ha 𝒓𝒈 (𝑨) ≠ 𝒓𝒈 (𝑨|𝒃)
-
1 db megoldás van, ha 𝒓𝒈 (𝑨) = 𝒓𝒈 (𝑨|𝒃) = 𝒏
-
végtelen sok megoldás van, ha 𝒓𝒈 (𝑨) = 𝒓𝒈 (𝑨|𝒃) < 𝒏
(𝑛 az ismeretlenek száma)
Megoldási módszerek: 𝐴 inverzével, Cramer-szabállyal, Gauss(-Jordan) eliminációval.
2
7. Mátrix determináns Az ℝ𝑛 tér 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 vektoraihoz (vagyis az 𝑛 dimenziós tér 𝑛 db vektorához) hozzárendelünk egy valós számot, amit determinánsnak nevezünk és det(𝑎1 , 𝑎2 , … 𝑎𝑛 )-nel jelölünk. Axiomatikus felépítés – a hozzárendeléshez szükséges axiómák: 1) Additív tulajdonság: ha az i-edik oszlopban vagy sorban csupa kéttagú összeg szerepel, akkor a determináns előállítható két olyan determináns összegeként, melyeknek az 𝑖-edik sorában vagy oszlopában csak a kéttagú összegek első, ill. második tagja szerepel. 2) Homogén tulajdonság: determinánst számmal úgy szorzunk, hogy csupán egyik sorának vagy oszlopának elemeit szorozzuk a számmal. Hasonlóan, csak a determináns egyetlen oszlopából vagy sorából kell kiemelni a 𝜆 számot a determináns elé, hogy ne változzon az értéke. 3) Ha a determináns 2 oszlopát felcseréljük, akkor értéke (−𝟏)-szeresére változik. 4) Az egységmátrix determinánsa 1. Fontos, hogy csak kvadratikus, azaz négyzetes mátrixoknak van determinánsa. 8. Mátrix inverz A négyzetes 𝐴 mátrix inverzén olyan 𝐴−1 -gyel jelölt 𝑛𝑥𝑛-es mátrixot értünk, melyre 𝐴 ∙ 𝐴−1 = 𝐴−1 ∙ 𝐴 = 𝐸 Csak akkor létezik, ha az 𝐴 mátrix determinánsa nem nulla, vagyis az 𝐴 mátrix reguláris. (Vagyis
9.
-
nem szinguláris.) Kiszámítási módszerek: adjungálttal vagy Gauss-eliminációval. Mátrix rang Def.: A mátrix rangja egyenlő a mátrix lineárisan független sorvektorainak vagy oszlopvektorainak számával. Másképpen: megegyezik a maximális, el nem tűnő aldeterminánsának rendjével. (aldetermináns rendje v. rendszáma: hányszor hányas) Avagy: lineárisan független oszlopvektorok maximális száma = rang Egy mátrix rangja nem változik meg, ha… tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól különböző számmal szorozzuk tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk
Lineáris algebra II. 1. Lineáris leképezés fogalma Legyen 𝑉1 és 𝑉2 ugyanazon test (ℝ,ℂ) feletti vektortér. A 𝜑: 𝑉1 → 𝑉2 lineáris leképezés, ha teljesül, hogy 𝝋(𝝀𝒖𝟏 + 𝒗𝟏 ) = 𝝀𝝋(𝒖𝟏 ) + 𝝋(𝒗𝟏 ) A linearitás tehát azt jelenti, hogy a leképezés az összegre tagonként hat, a skalár kiemelhető. Úgy is mondhatjuk, hogy ez a lineáris leképezések additív és homogén tulajdonsága. Megjegyzés: 𝜑(0) = 0
Fogalmak: lineáris transzformáció: ℎ𝑎 𝑽𝟏 = 𝑽𝟐 (pl. ℝ3 → ℝ3) injektív transzformáció: ℎ𝑎 𝝋(𝒖𝟏 ) = 𝝋(𝒗𝟏 ), akkor 𝑢1 = 𝑣1 Tehát két különböző elemhez nem rendelhetjük ugyanazt, az ősképeknek meg kell egyezniük! (kölcsönösen egyértelmű, de 𝑉2 nem minden eleme képelem) szürjektív transzformáció: ∀𝑣2 ∈ 𝑉2 esetén ∃𝑣1 , hogy 𝜑(𝑣1 ) = 𝑣2 (𝑉2 minden eleme képelem, de nem kölcsönösen egyértelmű!) bijektív (kölcsönösen egyértelmű) transzformáció: ha injektív és szürjektív is 3
2. Rangnullitás tétele Más néven: dimenziótétel 𝐝𝐢𝐦 𝑲𝒆𝒓𝝋 + 𝒅𝒊𝒎𝑰𝒎𝝋 = 𝒅𝒊𝒎 𝑽𝟏 azaz 𝐝𝐞𝐟 𝝋 + 𝒓𝒈𝝋 = 𝒅𝒊𝒎𝑽𝟏 ahol 𝐾𝑒𝑟𝜑 a leképezés magtere, 𝐼𝑚𝜑 a képtere (𝑉2 részhalmaza), 𝑉1 pedig a tárgytér. 3. Magtér, képtér - magtér: 𝑲𝒆𝒓𝝋 = {𝒗𝟏 ∈ 𝑽𝟏 |𝝋(𝒗𝟏 ) = 𝟎} Megjegyzés: 𝐾𝑒𝑟𝜑 altér 𝑉1-ben. A magtér dimenziója a leképezés ún. defektusa. - képtér: 𝑰𝒎𝝋 = {𝒗𝟐 ∈ 𝑽𝟐 |∃𝒗𝟏 ∈ 𝑽𝟏 , 𝝋(𝒗𝟏 ) = 𝒗𝟐 } Megjegyzés: 𝐼𝑚𝜑 dimenziója a leképezés rangjával egyenlő. 4. Sajátvektor, sajátérték Számos műszaki-gazdasági probléma az 𝐴 ∙ 𝑥 = 𝜆𝑥 alakú egyenletrendszer megoldását igényli, ahol 𝜆 valós vagy komplex paraméter. Akkor van az (𝐴 − 𝜆𝐸) 𝑥 = 0 homogén egyenletrendszernek triviálistól különböző megoldása (𝑥 ≠ 0), ha a 𝐝𝐞𝐭 (𝑨 − 𝝀𝑬) = 𝟎 ún. karakterisztikus egyenlet nulla. Ha létezik zérustól különböző megoldásvektora az első kettő egyenletnek, akkor a 𝝀 számokat az 𝑨 mátrix sajátértékeinek, a sajátértékekhez tartozó 𝒙 megoldásvektorokat pedig sajátvektoroknak nevezzük. Def.: Legyen 𝑣 ≠ 0. Ekkor 𝑣-t a 𝜑: 𝑉 → 𝑉 lineáris leképezés sajátvektorának hívjuk, ha 𝝋(𝒗) = 𝝀𝒗. 𝜆 ∈ 𝕋, tehát azon 𝕋 testbeli elem, amely felett 𝑉 vektortér. 𝜆-t a 𝑣 sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek mondjuk. Megjegyzések: valós, szimmetrikus mátrix minden sajátértéke és sajátvektora valós és a sajátvektorok ortogonálisak (egymásra páronként merőlegesek) különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek az 𝑨 mátrixra alkalmazott tetszőleges 𝑺−𝟏 𝑨 𝑺 hasonlósági transzformáció változatlanul hagyja az 𝑨 mátrix sajátértékeit. -
minden valós szimmetrikus mátrixhoz megadható egy olyan ortogonális 𝑺 mátrix (azaz olyan, aminek a transzponáltja megegyezik az inverzével), amelyre 𝑺−𝟏 𝑨 𝑺 = 𝑨𝒅 Ekkor az 𝑨𝒅 diagonális mátrix főátlójában az 𝑨 mátrix sajátértékei vannak.
-
A diagonizálás is bázis transzformáció, azon alapul! az 𝑨 mátrix 𝑘-adik hatványának sajátértékei egyenlők az 𝑨 sajátértékeinek 𝑘-adik
hatványával ha 𝑣 sajátvektora 𝜑-nek, akkor 𝜇𝑣 is sajátvektor, hiszen a sajátvektor sosem egyértelmű; végtelen sajátvektora van egy vektornak, minket csak az iránya érdekel, így a hossza nem is számít (általában ezért adjuk meg egységhosszúra). 5. Bázis transzformáció Egy 𝑛 dimenziós vektorokból álló 𝑛 dimenziós lineáris térnek végtelen sok bázisa van. Az egyik bázisból át lehet térni a másikba. Amikor a bázisnak csak az egyik vektorát cseréljük ki, akkor elemi bázistranszformációt hajtunk végre. Egy adott bázisból egy másik bázisba való áttérést bázistranszformációnak nevezzük. Az új bázist a bázistranszformáció mátrixának inverzével ̂ = 𝑺−𝟏 𝑨 𝑺 kaphatjuk meg: 𝑨 4
̂ az új bázis, 𝑨 az eredeti bázis, 𝑺 pedig a bázis transzformáció mátrixa. ahol 𝑨 Legyen {𝑏1 , … , 𝑏𝑛 } és {𝑏̂1 , … , 𝑏̂𝑛 } bázisok 𝑉-ben, ekkor az egyikről a másikra való áttérés 𝑺 mátrixa: 𝑛
𝑛
𝑛
𝑏̂1 = ∑ 𝑠𝑖1 𝑏𝑖 ;
𝑏̂𝑗 = ∑ 𝑠𝑖𝑗 𝑏𝑖 ;
𝑏̂𝑛 = ∑ 𝑠𝑖𝑛 𝑏𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝒔𝟏𝟏 𝑺=[ ⋮ 𝒔𝒏𝟏 6. Hasonló mátrixok ̂ = 𝑺−𝟏 𝑨 𝑺 Az 𝑨 -
⋯ ⋱ ⋯
𝒔𝟏𝒏 ⋮ ] 𝒔𝒏𝒏
hasonlósági transzformáció.
̂ mátrixokat hasonló mátrixoknak nevezzük, ha létezik olyan 𝑺 reguláris mátrix, Az 𝑨 és 𝑨
amely kielégíti a fenti egyenletet Hasonló mátrixok determinánsa és rangja is megegyezik (az első állítás a determinánsok szorzattétele alapján könnyen belátható.) 7. Ortogonális mátrix Egy mátrix ortogonális, amennyiben inverze megegyezik a transzponáltjával, azaz 𝑨−𝟏 = 𝑨𝑻 -
Ez azért előnyös, mert ekkor 𝑨𝑻 𝑨 = 𝑨−𝟏 𝑨 = 𝑬 Megjegyzés: ortonormált egy bázis, ha az ortogonális bázis vektorai egységnyi hosszúak. Függvénysorozatok, függvénysorok 1. Függvénysorozat A számsorozathoz úgy jutottunk, hogy a természetes számokhoz számokat rendeltünk. Rendeljünk most ezekhez függvényeket. Def.: Ha a természetes számok mindegyikéhez egy-egy függvényt rendelünk, akkor függvénysorozatot kapunk. Legyenek e függvénysorozat elemei az 𝑓1 , 𝑓2 , … , 𝑓𝑛 , … függvények, amelyek az I intervallumon értelmezettek. Rögzítsünk egy 𝑥 ∈ 𝐼 helyet. Ekkor az 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), … , 𝑓𝑛 (𝑥), … számsorozat lehet konvergens vagy lehet divergens. Ha konvergens, akkor létezik a 𝐥𝐢𝐦 𝒇𝒏 (𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝒏→∞
határérték. Ez azt jelenti, hogy akármilyen kicsi 𝜀 > 0-hoz van olyan 𝜺–tól és 𝒙-től függő 𝑁 természetes szám, hogy 𝑛 > 𝑁 esetén |𝒇𝒏 (𝒙) − 𝒇(𝒙)| < 𝜺. Az 𝑁 szám a küszöbszám. - 𝑓 az (𝑓𝑛 ) függvénysorozat határfüggvénye. - azok az 𝑥 számok, melyeknél a sorozat konvergens: a függvénysorozat konvergenciatartományát alkotják. - Az így értelmezett konvergenciát pontonkénti konvergenciának nevezzük. Def.: Az 𝒇𝒏 ∶ 𝑰 ⊂ ℝ → ℝ, 𝒏 ∈ ℕ sorozatot függvénysorozatnak nevezzük.
5
2. Függvénysor Def.: Legyen 𝑓𝑛 ∶ 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ függvénysorozat. Képezzük a következő részletösszegfüggvényeket: 𝑠1 (𝑥) ≔ 𝑓1 (𝑥) (𝑥) 𝑠2 ≔ 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) ⋮ 𝑛
𝑠𝑛 (𝑥) ≔ ∑ 𝑓𝑖 (𝑥) 𝑖=1
-
Az így előálló (𝒔𝒏 ) függvénysorozatot az (𝑓𝑛 ) függvénysorozatból képzett függvénysornak nevezzük és ∑ 𝒇𝒏 -nel jelöljük. Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük. Itt nem határfüggvény van, hanem összegfüggvény: 𝒔(𝒙) ≔ 𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒏 (𝒙) 𝒏→∞
3. Függvénysorozat, függvénysor konvergenciája, egyenletes konvergenciája - A függvénysorozat konvergenciáját a határfüggvénytől függetlenül is értelmezhetjük: a) Az (𝑓𝑛 ) függvénysorozat akkor, és csak akkor konvergens egy 𝑥0 ∈ 𝐻 pontban, ha minden 𝜀 > 0 esetén ∃ 𝑁(𝜀) olyan csak 𝜺-tól függő 𝑵 természetes szám, hogy 𝑛, 𝑚 > 𝑁(𝜀) esetén |𝒇𝒏 (𝒙𝟎 ) − 𝒇𝒎 (𝒙𝟎 )| < 𝜺 b) Az (𝑓𝑛 ) függvénysorozat akkor, és csak akkor konvergens pontonként a 𝐻 ⊂ 𝐼 halmazon, ha minden 𝜀 > 0 esetén ∃ 𝑁(𝜀, 𝑥) olyan 𝜺-tól és 𝒙-től függő 𝑵 természetes szám, hogy 𝑛, 𝑚 > 𝑁(𝜀, 𝑥) esetén ∀𝑥 ∈ 𝐻-ra |𝒇𝒏 (𝒙) − 𝒇𝒎 (𝒙)| < 𝜺 c) Az (𝑓𝑛 ) függvénysorozat akkor, és csak akkor konvergens egyenletesen az 𝐸 ⊂ 𝐻 halmazon, ha minden 𝜀 > 0 esetén ∃ 𝑁(𝜀) olyan csak 𝜺-tól függő 𝑵 természetes szám, hogy 𝑛, 𝑚 > 𝑁(𝜀) esetén ∀𝑥 ∈ 𝐸-re |𝒇𝒏 (𝒙) − 𝒇𝒎 (𝒙)| < 𝜺 Ezen esetek közül a leglényegesebb az az eset, amikor 𝑵 függetleníthető 𝒙-től, vagyis 𝑵 minden 𝒙 ∈ 𝑰 esetén küszöbszám. Ilyenkor a függvénysorozat egyenletesen konvergens, más szóval egyenletesen tart a határfüggvényéhez. Ez azért fontos, mert az egyenletesen konvergens függvénysorozatoknál az elemek néhány jelentős tulajdonsága öröklődik a határfüggvényre (pl. differenciálhatóság, integrálhatóság). -
Függvénysorok konvergenciája: a) b) c)
A ∑ 𝐟𝐧 függvénysor konvergens az 𝐱𝟎 pontban, ha az (𝒔𝒏 ) függvénysorozat konvergens 𝒙𝟎 -ban. A ∑ 𝐟𝐧 függvénysor konvergens a 𝑯 ⊂ 𝑰 halmazon, ha az (𝒔𝒏 ) függvénysorozat konvergens 𝑯 -n. A ∑ 𝐟𝐧 függvénysor egyenletesen konvergens 𝑬 ⊂ 𝑯 halmazon, ha az (𝒔𝒏 ) függvénysorozat egyenletesen konvergens 𝑬 ⊂ 𝑯 halmazon.
Cauchy-féle konvergenciakritérium
A ∑ 𝑓𝑛 függvénysor egyenletesen konvergens az 𝐸 ⊂ 𝐻 halmazon akkor, és csak akkor, ha bármely 𝜀 > 0 –hoz létezik csak 𝜺-tól függő 𝑵 szám, hogy |𝒔𝒏 (𝒙) − 𝒔𝒎 (𝒙)| < 𝜺, ha 𝑛, 𝑚 > 𝑁(𝜀), ∀𝑥 ∈ 𝐸-re. 6
4. Weierstrass-tétel Az előbb leírt Cauchy-féle konvergencia kritériummal elég nehézkes vizsgálni az egyenletes konvergenciát, de erre való a Weierstrass-tétel is, ami a függvénysorok egyenletes konvergenciájának elégséges feltétele: Legyen 𝑓𝑛 ∶ 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ a függvénysorozat és ∑ 𝑓𝑛 a belőle képzett függvénysor; ∑ 𝒂𝒏 pedig egy konvergens numerikus sor. Ha bármely 𝑥 ∈ 𝐽 esetén teljesül, hogy |𝒇𝒏 (𝒙)| ≤ 𝒂𝒏 minden 𝑛 ∈ ℕ-re, akkor a ∑ 𝑓𝑛 függvénysor egyenletesen konvergens 𝐽-n. Értelmezés: ha felülről tudjuk becsülni (majorálni) a függvénysorozatunkat egy konvergens numerikus sorozattal, akkor a függvénysorozatból képzett függvénysor is konvergens, mégpedig egyenletesen konvergens lesz. (majoráns kritérium). Megjegyzés: a Weierstrass-tételbeli konvergencia abszolút konvergencia is, azaz a ∑|𝑓𝑛 | függvénysor is konvergens. A függvénysoroknál is az egyenletesen konvergensek a különleges jelentőségűek, mert például a sor tagjainak folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága öröklődik az összegfüggvényre. 5. Cauchy-Hadamard-tétel Legyen 𝒓 a ∑ 𝒂𝒏 𝒙𝒏 hatványsor (ld. következő pont) konvergenciasugara a) ha 𝑟 = 0, akkor a hatványsor csak az 𝑥0 = 0 pontban konvergens (legrosszabb eset) b) ha 𝑟 = ∞, akkor a hatványsor bármely 𝑥0 ∈ ℝ esetén konvergens c) ha 0 < 𝑟 < ∞, akkor a hatványsor i. abszolút konvergens, ha |𝒙| < 𝒓, vagyis −𝑟 < 𝑥 < 𝑟 ii. divergens, ha |𝒙| > 𝒓, vagyis 𝑥 > 𝑟 vagy 𝑥 < −𝑟
-|𝒓|-ben és |𝒓|-ben külön-külön ki kell értékelni, hogy konvergens-e
A c) eset a legfontosabb, ennek a bizonyítása a következő: i.
|x0 | < r feltétel esetén a gyöktesztet alkalmazva 𝑛
𝑙𝑖𝑚𝑠𝑢𝑝 𝑛√|𝑎𝑛 𝑥0𝑛 | a gyökvonás azonossága miatt |𝑥0 | ∙ 𝑙𝑖𝑚𝑠𝑢𝑝 √|𝑎𝑛 | = |𝑥0 | ∙
ii.
1 𝑟
ami a feltétel miatt kisebb, mint 1. Tehát létezik olyan 𝑞 < 1, hogy ∑ 𝑎𝑛 𝑥0𝑛 a gyökteszt miatt konvergens (𝑥0 tetszőleges volt, bármely 𝑥-re igaz ez, ha |x| < r). Ugyancsak a gyökteszt miatt, ha |x| > r, akkor ∑ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 hatványsor divergens, hiszen 𝑞 =
|𝑥0 | 𝑟
> 1 ekkor.
Megjegyzés: azt, hogy a függvénysor hol állítja elő az összegfüggvényét, csak a hatványsoroknál ilyen egyszerű meghatározni: 1 𝑛 𝑛 = lim𝑠𝑢𝑝 √|𝑎𝑛 | = lim √|𝑎𝑛 | 𝑛 𝑛→∞ 𝑟 (egyenlők, ha a határérték létezik és felveszi függvényértékként).
7
6. Hatványsor Az alkalmazásokban legtöbbször a függvénysorok speciális osztályával, a hatványsorokkal találkozunk. Előnyük, hogy e sorok tagjai egyszerű függvények, könnyen lehet őket deriválni, illetve integrálni. Def.: 𝒇𝒏 (𝒙) ≔ 𝒂𝒏 (𝒙 − 𝒂)𝒏 kitüntetett, speciális függvénysorozatból képezzük a hatványsort: ∞
∑ 𝒂𝒏 (𝒙 − 𝒂)𝒏 𝑛=0
𝑎𝑛 : a hatványsor 𝑛. együtthatója 𝑎: a sorfejtés centruma Definíció szerint a hatványsor konvergenciasugarának reciproka: 1 𝑛 = lim𝑠𝑢𝑝 √|𝑎𝑛 | , 𝑟 ∈ ℝ𝑏 𝑛 𝑟 Tétel. Ha a ∑0 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 (𝑎 = 0 a centrum és 0-tól összegzünk) hatványsor konvergens az 𝑥0 pontban, akkor az |𝐱| < |𝐱𝟎 | helyeken abszolút és egyenletesen is konvergens. 7. Taylor-polinom, Taylor-sor Def.: Ha az egyváltozós valós 𝒇 függvény az értelmezési tartományának egy belső 𝒙𝟎 pontjában legalább 𝒏-szer differenciálható, akkor a 𝒏
𝑻𝒇,𝒏 (𝒙) ≔ ∑ 𝒌=𝟎
𝒇(𝒌) (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎) 𝒌 𝒌!
polinomot a függvény 𝒙𝟎 helyhez tartozó 𝒏-edfokú Taylor-polinomjának, az 𝑹𝒏 (𝒙) ≔ 𝒇(𝒙) − 𝑻𝒏 (𝒙) különbséget pedig Lagrange-féle maradéktagnak nevezzük, ami 𝑓 (𝑛+1) (𝜉) 𝑛+1 𝑥 (𝑛 + 1)!
𝑅𝑛 (𝑥) =
Valamely akárhányszor differenciálható 𝑓 függvénynek a Taylor-polinommal való közelítése akkor hasznos, ha 𝑛 (a szumma felső határa) növelésével a közelítés hibája tetszőlegesen kicsivé tehető, azaz a maradéktag a végtelenben 0-hoz tart. Tehát ha 𝒏 → ∞, akkor a Taylorpolinomból egy végtelen sor, a Taylor-sor lesz: ∞
𝒇(𝒙) = ∑ 𝒌=𝟎
𝒇(𝒌) (𝒙𝟎 ) (𝒙 − 𝒙𝟎) 𝒌 𝒌!
Def.: Ha 𝑓 akárhányszor differenciálható az 𝑥0 ∈ 𝐷𝑓 helyen, akkor a fenti végtelen sort az 𝑓 függvény 𝒙𝟎 helyhez tartozó Taylor-sorának, a sor előállítását pedig a függvény sorbafejtésének nevezzük. Feltétel, hogy a maradéktag 0-hoz tartson, csak akkor állítja elő a függvényt a Taylor-sor! Az 𝑥0 = 0 helyhez tartozó Taylor-sort Maclaurin-sornak nevezzük. Ekkor ∞
𝑓′(0) 𝑓 ′′ (0) 2 𝒇(𝒌) (𝟎) 𝒌 𝒇(𝒙) = 𝑓(0) + 𝑥+ 𝑥 +⋯= ∑ 𝒙 , 1! 2! 𝒌!
|𝑥| < 𝑟
𝒌=𝟎
Megjegyzés: Hasonlóképpen, az 𝑥0 = 0 esetre felírt Taylor-formulát Maclaurin-formulának is nevezzük. 𝒂𝒏 =
𝑓 (𝑛) (0) 𝑛!
, ha a hatványsor ∑ 𝒂𝒏 𝑥 𝑛 alakú. (Vagyis 𝑎 = 0 a centrum).
8
8. Konvergenciasugár, konvergenciatartomány Mivel mind a Taylor-sor, mind a Maclaurin-sor hatványsor, ezért e sorok konvergenciatartományát a konvergenciasugár kiszámításával határozzuk meg, a szokásos módon, leginkább hányadosteszttel vagy gyökteszttel: 1 𝑎𝑘+1 = lim | | 𝑟 𝑘→∞ 𝑎𝑘 9. Fourier-sor Trigonometrikus polinomnak nevezzük a következő alakú függvényt: 𝑡𝑘 (𝑥) ≔ 𝒂𝟎 + 𝑎1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥 A Fourier-sor lényegében a trigonometrikus polinomból képzett trigonometrikus sor. Így a Fourier-sor általános képlete: ∞
𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 + ∑(𝒂𝒌 𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙 + 𝒃𝒌 𝒔𝒊𝒏𝒌𝒙) 𝒌=𝟏
A Fourier-sorfejtés csak (általában 2𝜋 szerint) periodikus függvényekre alkalmazható. Ehhez az 𝑓 függvénynek, aminek a Fourier-sorát akarjuk megállapítani, korlátosnak és Riemann szerint integrálhatónak is kell lennie. A fenti képletbeli ún. Fourier-együtthatók a következők: 2𝜋
1 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑏0 = 0 2𝜋 0
2𝜋
1 𝑎𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥𝑑𝑥 𝜋 0
2𝜋
1 𝑏𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑑𝑥 𝜋 0
Egyszerűsítések: -
Ha a periodikus, korlátos, Riemann-integrálható függvényünk páratlan, akkor csak szinuszos tagok szerepelnek a Fourier-sorában, így 𝑎0 = 𝑎𝑘 = 0
-
Ha a periodikus, korlátos, Riemann-integrálható függvényünk páros, akkor csak koszinuszos tagok szerepelnek a Fourier-sorában, így 𝑏𝑘 = 0
Általánosan, 𝟐𝒍 szerint periodikus függvények Fourier-sora: 2𝑙
1 𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 2𝑙 0
2𝑙
1 𝑘𝜋𝑥 𝑎𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑥 𝑙 𝑙 0
9
2𝑙
1 𝑘𝜋𝑥 𝑏𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝑥 𝑙 𝑙 0
Többváltozós függvények 1. Primitív függvény Def.: Legyen 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 nyílt halmaz, 𝑓: 𝐷 → ℝ𝑛 . Ekkor az 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ függvényt az 𝑓 függvény primitív függvényének nevezzük, ha 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷 esetén. A primitív függvény ℝ𝑛 → ℝ típusú, ezért a deriváltja egy vektor, ami éppen a parciális deriváltakból áll össze, s ez egyenlő 𝑓(𝑥) komponens függvényeivel: 𝝏𝑭(𝒙) 𝝏𝑭(𝒙) 𝝏𝑭(𝒙) , ,… , ) = (𝒇𝟏 (𝒙), 𝒇𝟐 (𝒙), … , 𝒇𝒏 (𝒙)) 𝝏𝒙𝟏 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒙𝒏 Vagyis pl. 𝜕𝑗 𝐹 = 𝑓𝑗 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} (A primitív függvény 𝑗-edik változó szerinti parciális deriváltja a 𝑗-edik komponens függvényt adja eredményül; 𝑗 megy 1-től 𝑛-ig.) (
Tétel. Szükséges feltétel a primitív függvény létezéséhez: Ha 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 nyílt halmaz, és 𝐹: ℝ𝑛 → ℝ az 𝑓 primitív függvénye, akkor 𝜕𝑖 𝑓𝑗 = 𝜕𝑗 𝑓𝑖 Azaz 𝑓 𝑗-edik komponens függvényének az 𝑖-edik változó szerinti parciális deriváltja megegyezik az 𝑖-edik komponens függvény 𝑗-edik változó szerinti parciális deriváltjával. Tétel. Elégséges feltétel a primitív függvény létezéséhez: Legyen 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 konvex, nyílt halmaz. Ha 𝑓: 𝐷 → ℝ𝑛 folytonosan differenciálható és 𝜕𝑖 𝑓𝑗 = 𝜕𝑗 𝑓𝑖 ∀ 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑛} esetén, akkor az 𝑓-nek létezik primitív függvénye. 2. ℝ𝑛 → ℝ𝑘 leképezés differenciálhatósága Def.: Legyen 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 nyílt halmaz, 𝑓: 𝑈 → ℝ𝑘 leképezés. Azt mondjuk, hogy 𝑓 differenciálható az 𝑎 ∈ 𝐷𝑓 pontban, ha létezik 𝒜: ℝ𝑛 → ℝ𝑘 lineáris leképezés és 𝜔: ℝ𝑛 → ℝ𝑘 leképezés, melyre 𝜔(0) = 0 , valamint létezik lim
||ℎ||→0
||𝜔(ℎ) || ||ℎ||
= 0, ℎ𝑜𝑔𝑦
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 𝒜(𝑥 − 𝑎) + 𝜔(𝑥 − 𝑎) Az 𝓐 leképezésnek egy 𝒌𝒙𝒏-es mátrix felel meg, hiszen a deriválás egy (lineáris) leképezés! 𝑥 − 𝑎 = ℎ helyettesítéssel: 𝒇(𝒂 + 𝒉) − 𝒇(𝒂) = 𝓐(𝒉) + 𝝎(𝒉) 3. Iránymenti derivált Egyváltozóban az adott pontbeli derivált egyértelmű, de többváltozós függvények esetén az adott pontban végtelen sok érintője van a felületnek, ezért kiválasztunk egy síkot, amivel elmetsszük ezt a felületet. Ez a görbe kimetsz a felületből egy egyenest, ennek pedig már konkrét érintője van. Az iránymenti derivált az adott irány által kimetszett függvény deriváltja: 𝜕𝑓 𝑓(𝑎 + 𝜆𝑒) − 𝑓(𝑎) = lim =< 𝑒, 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 >, 𝑎ℎ𝑜𝑙 |𝑒| = 1 𝜆→0+0 𝜕𝑒 𝜆 Ha a fenti határérték létezik és az egy valós szám, akkor ezt az 𝑓 𝑎 pontbeli, 𝑒 irányú iránymenti deriváltjának nevezzük. Jele: 𝜕𝑒 𝑓(𝑎). Az 𝑎 vektor által mutatott ponthoz tehát nem mindegy, hogyan, melyik irányból közelítünk.
10
4. Parciális derivált A koordinátatengelyek irányába eső iránymenti deriváltnak kitüntetett szerepe van, ez a parciális derivált. Ekkor az egyik koordinátatengely irányából tartunk az adott pontba, a másik változót rögzítjük, konstansnak tekintjük, és úgy deriválunk. A többváltozós függvény valamely változója szerinti deriváltját parciális deriváltnak nevezzük: Jele:
𝝏𝒇 𝝏𝒙
= 𝒇′𝒙 vagy
𝝏𝒇 𝝏𝒚
= 𝒇′𝒚
5. Gradiens Def.: Legyen 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ típusú függvény, ekkor 𝑓 gradiensvektora az egyes változók szerinti parciális deriváltakból áll: 𝜕𝑓 𝜕𝑥1 𝜕𝑓 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = ∇𝑓 = 𝜕𝑥2 ⋮ 𝜕𝑓 [𝜕𝑥𝑛 ] - minden pontban merőleges a ponton áthaladó szimmetriavonalra - a függvény legnagyobb növekedésének irányába mutat 6. Jakobi mátrix Def.: Legyen 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ𝑘 típusú függvény. Tudjuk, hogy a deriválás is egy lineáris leképezés, így megfeleltethető neki egy 𝑘𝑥𝑛-es mátrix: 𝑓 ′ (𝑎) ↭ 𝐴 ∈ ℳ𝑘𝑥𝑛 0 0 0 A deriválás mátrix reprezentációja a legegyszerűbb esetben: [2 0 0] 0 1 0 ′ Jelölés: 𝑓 (𝑎) = 𝒥𝑓(𝑎)= 𝜕𝑓1 𝜕𝑓1 ⋯ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓1 (𝑎) 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓2 (𝑎) ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑓𝑘 ⋮ ⋯ [ 𝜕𝑥1 𝜕𝑥𝑛 ]𝑘𝑥𝑛 [𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓𝑘 (𝑎)] Lényege: azonos oszlopba a különböző függvényeknek ugyanazon változó szerinti parciális deriváltja kerül; azonos sorba pedig az adott függvény egyes parciális deriváltjai, vagyis a gradiensek. 7. Szélsőérték Az 𝑓(𝑥, 𝑦) kétváltozós függvény lokális szélsőértéke létezésének szükséges, de nem elégséges feltétele: az első parciális deriváltak nullák legyenek az (𝑥0 , 𝑦0 ) pontban, azaz 𝒇′𝒙 (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ) = 𝟎 𝒇′𝒚 (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 ) = 𝟎 Az 𝑓(𝑥, 𝑦) kétváltozós függvény lokális szélsőértéke létezésének elégséges feltétele: az ún. Hesse-mátrix determinánsa nagyobb legyen, mint 0, azaz 𝑓′′𝑥𝑥 | 𝑓′′𝑦𝑥
𝑓′′𝑥𝑦 ′′ ′′𝟐 | = 𝑓𝑥𝑥 ∙ 𝒇′′ 𝒚𝒚 − 𝒇𝒙𝒚 = 𝑫(𝒙, 𝒚) > 𝟎 𝑓′′𝑦𝑦
′′ ′′ (A második parciális deriváltak folytonosak, így 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 )
11
Tehát van lokális szélsőérték, ha 𝐷 > 0. Ezen belül: a függvénynek…
lokális minimuma van, ha 𝑆(𝑥0 ) = 𝑓′′𝑥𝑥 + 𝑓′′𝑦𝑦 > 0
lokális maximuma van, ha 𝑆(𝑥0 ) = 𝑓′′𝑥𝑥 + 𝑓′′𝑦𝑦 < 0 𝑆(𝑥0 ) a főátlóban lévő elemek összege, vagyis a Hesse-mátrix nyoma (Spur, Trace).
Nem dönthető el, hogy van-e szélsőérték, ha 𝐷 = 0. Nincs szélsőérték, ha 𝐷 < 0. 8. Kvadratikus formák definitsége Def.: 𝜓: 𝑉 × 𝑉 → ℝ szimmetrikus bilineáris forma és 𝜂(𝑥) = 𝜓(𝑥, 𝑥) kvadratikus forma. Az 𝜂: 𝑉 → ℝ kvadratikus formát i. pozitív definitnek mondjuk, ha 𝜂(𝑥) > 0 ii.
negatív definitnek mondjuk, ha 𝜂(𝑥) < 0
iii.
pozitív szemi-definitnek mondjuk, ha 𝜂(𝑥) ≥ 0
iv.
negatív szemi-definitnek mondjuk, ha 𝜂(𝑥) ≤ 0
∀𝑥 ≠ 0 ∈ 𝑉 esetén.
Ha ezek egyike sem teljesül, akkor indefinit kvadratikus formáról beszélünk. A kvadratikus formák definitsége kapcsolatba hozható a lokális szélsőértékek létezésével: 1) 2) 3) 4)
Ha 𝑄 pozitív definit, akkor 𝑓-nek az 𝒙𝟎 pontban lokális minimuma van. Ha 𝑄 negatív definit, akkor 𝑓-nek az 𝒙𝟎 pontban lokális maximuma van. Ha 𝑄 indefinit, akkor 𝑓-nek az 𝒙𝟎 pontban nincs szélsőértéke. Ha 𝑄 szemi-definit: nem tudjuk megmondani, hogy van-e szélsőértéke.
9. Riemann-integrálhatóság (alsó-felső Darboux-integrál) Legyen 𝑓: 𝑰 ⊂ ℝ𝒏 → ℝ típusú korlátos függvény. Ekkor az 𝑓 függvényt Riemannintegrálhatónak mondjuk, ha 𝑺(𝒇) = 𝑺(𝒇) (alsó és felső Darboux-integrál megegyezik). 𝑺(𝒇): = 𝐬𝐮 𝐩{𝑺(𝒇, 𝒅) | 𝑑 𝑏𝑒𝑜𝑠𝑧𝑡á𝑠𝑎 𝐼 − 𝑛𝑒𝑘} alsó Darboux-integrál 𝑺(𝒇): = 𝐢𝐧𝐟{𝑺(𝒇, 𝒅) | 𝑑 𝑏𝑒𝑜𝑠𝑧𝑡á𝑠𝑎 𝐼 − 𝑛𝑒𝑘}
felső Darboux-integrál
ahol A 𝒅 beosztáshoz tartozó alsó integrálközelítő összeg: 𝑘
𝑆(𝑓, 𝑑) ≔ ∑ inf(𝑓(𝐼𝑖 )) ∙ 𝑉𝑜𝑙(𝐼𝑖 ) 𝑖=1
A 𝒅 beosztáshoz tartozó felső integrálközelítő összeg: 𝑘
𝑆(𝑓, 𝑑) ≔ ∑ sup(𝑓(𝐼𝑖 )) ∙ 𝑉𝑜𝑙(𝐼𝑖 ) 𝑖=1
ahol 𝑽𝒐𝒍(𝑰𝒊 ) = (𝑏1 − 𝑎1 )(𝑏2 − 𝑎2 ) ∙ … ∙ (𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 ) szorzat az 𝑖. intervallum térfogata. Amennyiben az alsó- és felső Darboux-integrál megegyezik, akkor ezt a közös értéket ∫𝑰 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 -szel jelöljük és Riemann-integrálnak nevezzük.
12
Matematika A3 szóbeli beugró kérdések – 2015 Vektoranalízis 1. 1. Duális tér 2. Leképezés adjungáltja, szimmetrikus és antiszimmetrikus leképezés 3. Mátrix vektorinvariánsa és nyoma (trace, spur) 4. Gradiens, divergencia és rotáció 5. Nabla vektor 6. Laplace operátor, harmonikus függvény
Vektoranalízis 2. 1. Skalárpotenciálos vektormező 2. Vektorpotenciálos vektormező 3. Görbe 4. Görbe ívhossza 5. Felület 6. Felszínszámítás 7. Stokes-tétel 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel 9. Green-tételek
Differenciálegyenletek 1. 1. Közönséges n-edrendű differenciálegyenlet 2. Differenciálegyenlet megoldásának típusai (általános, partikuláris, szinguláris) 3. Cauchy-feladat 4. Lipschitz-feltétel 5. Picard-Lindelöf tétel 6. Iránymező
Differenciálegyenletek 2. 1. Szeparábilis és arra visszavezethető DE 2. Bernoulli-féle DE 3. Riccati-féle DE 4. Egzakt DE 5. Lineáris állandó együtthatós DE 6. Lineárisan független függvényrendszer 7. Wronski-determináns 8. Differenciálegyenlet-rendszer
A3 minimumkérdések szóbelire 2016 Vektoranalízis 1. 1. Duális tér 𝑽∗ ≔ 𝐻𝑜𝑚(𝑉, ℝ), 𝑎ℎ𝑜𝑙 (𝑉, +, 𝜆) vektortér, 𝑽∗ elemei pedig ún. lineáris formák, azaz 𝑣 → 𝜑(𝑣) és
𝜑(𝛼𝑣 + 𝛽𝑤) = 𝛼𝜑(𝑣) + 𝛽𝜑(𝑤)
Megjegyzés: homomorfizmus alatt két algebrai struktúra közötti művelettartó leképezést értünk. Pl. ha az egyik struktúrában valamely elemek közt valamilyen reláció áll fenn, akkor ezen elemeiknek képei a másik struktúrában is ebben a relációban állnak. (Endomorfizmus: ha a képhalmaz részhalmaza az alaphalmaznak, pl. ℤ → ℕ) 𝑉 ∗ halmazt természetes módon vektortérré tehetjük a következőképpen: (𝛼 + 𝛽)𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣, 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑽∗ (𝜌 ∙ 𝜑)𝑣 = 𝜌 ∙ 𝜑(𝑣) 𝜌 ∈ ℝ, 𝜑 ∈ 𝑽∗ Így (𝑽∗ , +, 𝜆) már vektortér, amit 𝑉 duális terének is nevezünk. Vektortér és duális terének dimenziója megegyezik. 2. Leképezés adjungáltja, szimmetrikus és antiszimmetrikus leképezés Legyen 𝐸 = (𝑉, < ; >) adott euklideszi tér (tehát egy olyan vektortér, amiben értelmezve van a skaláris szorzás), és 𝜑: 𝑉 → 𝑉 egy lineáris leképezés. Ekkor a 𝜑∗ : 𝑉 → 𝑉 leképezést a 𝝋 leképezés adjungáltjának mondjuk, ha ∀ 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 esetén < 𝑣1 ; 𝜑(𝑣2 ) > = < 𝜑∗ (𝑣1 ) ; 𝑣2 > Idempotens tulajdonság: adjungált adjungáltja az eredeti leképezés, azaz (𝜑∗ )∗ = 𝜑. Szimmetrikus leképezés: 𝜑 szimmetrikus leképezés, ha adjungáltja önmaga, azaz 𝜑∗ = 𝜑, ekkor < 𝑣1 ; 𝜑(𝑣2 ) > = < 𝜑(𝑣1 ) ; 𝑣2 > ∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 Antiszimmetrikus leképezés: 𝜑 antiszimmetrikus leképezés, ha 𝜑∗ = −𝜑, ekkor −< 𝑣1 ; 𝜑(𝑣2 ) > = < 𝜑(𝑣1 ) ; 𝑣2 >
∀𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉
3. Mátrix vektorinvariánsa és nyoma (trace, spur) Tekintsük a következő, 3x3-as antiszimmetrikus mátrixnak és a 𝑤 vektornak a szorzatát: 𝑤1 𝑎12 𝑤2 + 𝑎13 𝑤3 0 𝑎12 𝑎13 0 𝑎23 ] ∙ [𝑤2 ] = [−𝑎12 𝑤1 + 𝑎23 𝑤3 ] [−𝑎12 𝑤3 −𝑎13 𝑤1 − 𝑎23 𝑤2 −𝑎13 −𝑎23 0 Egy antiszimmetrikus lineáris transzformáció mindig leírható egy rögzített vektorral való vektoriális szorzatként. Ezt a vektort nevezzük a mátrix vektorinvariánsának. 𝑤1 𝑣1 𝑣2 𝑤3 − 𝑣3 𝑤2 [𝑣2 ] × [𝑤2 ] = [𝑣3 𝑤1 − 𝑣1 𝑤3 ] 𝑤3 𝑣3 𝑣1 𝑤2 − 𝑣2 𝑤1 𝐴∙𝑤 = 𝑣×𝑤
1
𝑤 együtthatóinak meg kell egyeznie, tehát a vektorinvariáns: 𝑣1 −𝑎23 𝑣 𝑣 [ 2 ] = [ 𝑎13 ] 𝑣3 −𝑎12 A vektorinvariáns csak ortogonális transzformációkkal szemben invariáns. Egy lineáris transzformáció mátrixának főátlójában lévő elemek összege minden KR-ben ugyanannyi, tehát a koordináta-transzformációkkal szemben invariáns. Ezt az összeget a lineáris transzformáció (𝑉1 = 𝑉2 ) első skalárinvariánsának / nyomának / spurjának / tracejének nevezzük. (És ez a sajátértékek összege.) 4. Gradiens, divergencia, rotáció A gradiens csak skalármező (azaz skalár-vektor függvény) esetében értelmezhető. 𝑢: ℝ3 → ℝ 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 A gradienst tehát úgy kapjuk, hogy a skalármezőt az összes változója szerint, külön-külön (parciálisan) lederiváljuk, és egy oszlopvektorba rendezzük. 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 𝜕𝑦 𝜕𝑢 ( 𝜕𝑧 ) A gradiens tehát vektormennyiség. Ha bevezetjük az ún. nabla vektort: 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝛁= 𝜕𝑦 𝜕 ( 𝜕𝑧 ) Akkor 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 formálisan a nabla vektornak és az 𝑢 skalármezőnek a szorzataként írható fel: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = ∇ ∙ 𝑢 Megjegyzés: Skalármező gradiense, illetve vektormező divergenciája és rotációja független a koordinátarendszertől. A divergencia csak vektormező (azaz vektor-vektor függvény) esetében értelmezhető. Eredménye skalármennyiség. 𝑣: ℝ3 → ℝ3 Definíció szerint 𝑑𝑖𝑣 𝑣 = 𝑠𝑝(𝒥𝑣 ), tehát 𝑣 Jakobi-mártixának a nyoma: 𝝏𝒇𝟏 𝝏𝒇𝟐 𝝏𝒇𝟑 + + 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛 Ahol 𝑓𝑖 a 𝑣 vektormező 𝑖-edik komponensfüggvénye. Formálisan 𝑑𝑖𝑣 𝑣 a nabla vektornak és a 𝑣 vektormezőnek a (skaláris) szorzataként írható fel: 𝑑𝑖𝑣 𝑣 = ∇ ∙ 𝑣(𝑟) Ha 𝑑𝑖𝑣 𝑣 = 0, akkor a vektormező forrásmentes. 𝒅𝒊𝒗 𝒗 =
2
A rotáció szintén csak vektormező (azaz vektor-vektor függvény) esetében értelmezhető. Eredménye viszont vektormennyiség. 1
1
Definíció szerint 2 𝑟𝑜𝑡𝑓 = 2 (𝐷𝑓 − 𝐷𝑓 ∗ ), ahol 𝐷𝑓 a derivált mátrix (Jakobi-mátrix), aminek a soraiban az egyes komponensfüggvények gradiensei vannak. 𝐷𝑓 ∗ pedig 𝐷𝑓 transzponáltja.
Formálisan 𝑟𝑜𝑡 𝑣 a nabla vektornak és a 𝑣 vektormezőnek a vektoriális szorzataként írható fel: 𝑟𝑜𝑡 𝑣 = ∇ × 𝑣(𝑟) 3 3 𝑣: ℝ → ℝ esetén 𝜕𝑓𝑧 𝜕𝑓𝑦 − 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑓𝑥 𝜕𝑓𝑧 𝑟𝑜𝑡 𝑣 = − 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑓𝑦 𝜕𝑓𝑥 − ( 𝜕𝑥 𝜕𝑦 ) Fontosabb azonosságok, ha 𝑥 r = (𝑦) 𝑧 𝑑𝑖𝑣 𝑟 = 3 𝑟𝑜𝑡 𝑟 = 0 Illetve a zérus azonosságok: 𝑟𝑜𝑡𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 0 𝑑𝑖𝑣𝑟𝑜𝑡 𝑣 = 0 5. Nabla vektor 𝜕 𝜕𝑥 𝜕 𝛁= 𝜕𝑦 𝜕 ( 𝜕𝑧 ) Igazából nem vektor, hanem operátor, de vektorként kezelve a legtöbb művelet könnyebben elvégezhető a segítségével. 6. Laplace operátor, harmonikus függvény A Laplace-operátor definíció szerint: 𝜕2 𝜕2 𝜕2 ∆= ∇ ∙ ∇= 2 + 2 + 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 3 Akkor harmonikus például az 𝑢 skalár-vektor (ℝ → ℝ) függvény, ha ∆𝑢 = 0 = ∇ ∙ ∇𝑢 = ∇ ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 𝑑𝑖𝑣𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 = 0 Tehát kielégíti az ún. Laplace-egyenletet. (Feltétel: legyen kétszeresen differenciálható az 𝑢 függvény.)
3
Vektoranalízis 2. 1. Skalárpotenciálos vektormező Egy 𝑣: 𝑉 → 𝑉 vektormező skalárpotenciálos, ha ∃ 𝑢: 𝑉 → ℝ skalármező, hogy 𝑣 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢. (Fizikai) erőtér esetén a vektortér más néven konzervatív, ha ez teljesül. Ekkor 𝑢-t 𝑣 potenciálfüggvényének nevezzük. Feltétel: 𝑟𝑜𝑡 𝑣 = 0. (örvénymenteség) Megjegyzés: Ha egy vektormező előáll egy skalármező gradienseként, akkor a vektormező bármely görbe menti skalárértékű vonalintegrálja csak a kezdő- és a végponttól függ, tehát független az úttól. Egy vektortérnek végtelen sok skalárpotenciálja van (a konstans miatt). A skalárértékű vonalintegrál értéke (a munka) a potenciálkülönbséggel egyenlő: 𝐵
∫ < 𝑣(𝑟(𝑡)) , 𝑟̇ (𝑡) > = 𝑢(𝐵) − 𝑢(𝐴) 𝐴
A potenciálfüggvénynek a vonalintegrállal kapcsolatban az a szerepe, mint egy egyváltozós függvény határozott integráljával kapcsolatban a primitív függvénynek. 2. Vektorpotenciálos vektormező Egy 𝑣: 𝑉 → 𝑉 vektormező vektorpotenciálos, ha ∃ 𝑤: 𝑉 → 𝑉 vektormező, hogy 𝑣 = 𝑟𝑜𝑡 𝑤, azaz előáll egy másikmező rotációjaként. (𝑤 vektor tetszőleges koordinátáját nullának választjuk a megoldás során.) Feltétele: 𝑑𝑖𝑣 𝑣 = 0. (forrásmenteség) 3. Görbe Legyen 𝐼 ∈ ℝ egy nem feltétlenül korlátos intervallum. Ekkor az 𝑟: 𝐼 → ℝ3 leképezést reguláris görbének hívjuk, ha 𝑟 immerzió, azaz a derivált leképezése injektív (a képek egyenlőségéből következik az ősképek egyenlősége: 𝜑(𝑎) = 𝜑(𝑏) → 𝑎 = 𝑏). 4. Görbe ívhossza A pályasebesség 𝐼 fölötti integrálját a térgörbe ívhosszának nevezzük: (avagy a sebesség idő szerinti vonalintegrálját) 𝐿(𝑟) = ∫ || 𝑟̇ (𝜏)|| 𝑑𝜏 𝐼
Más definíció szerint, amikor egy tetszőleges síkgörbe ívhosszát olyan húrok összegével közelítjük, amik 0-hoz tartanak: Egy 𝑦 = 𝑓(𝑥) egyenlettel adott, szakaszonként sima görbe 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 határok közötti ívhossza: 𝑏
𝑏
𝑠 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √1 + 𝑦 ′2 𝑑𝑥 𝑥=𝑎
𝑥=𝑎
A „töröttvonalak” hosszának az összege is az ívhossz, minden határon túli finomítás esetén: ∑ || 𝑟(𝑡𝑖 ) − 𝑟(𝑡𝑖−1 )|| 𝑖
5. Felület Legyen 𝑆 ⊂ ℝ3 , ekkor S-t reguláris (szabályos) felületnek mondjuk, ha ∀𝑝 ∈ 𝑆 ponthoz létezik 𝑝-nek olyan 𝑉 ⊂ ℝ3 környezete, hogy a 𝜑: 𝑈 ⊂ ℝ2 → 𝑉 ∩ 𝑆 leképezés - differenciálható homeomorfizmus (diffeomorfizmus, azaz differenciálható bijekció) - és 𝜑 immerzió, azaz a 𝜑𝑞′ : ℝ2 → ℝ3 (𝑞 pontban) injektív lineáris leképezés 𝜑 neve: parametrizáció 𝑝 ∈ 𝑉 ∩ 𝑆 neve: 𝑝 koordinátakörnyezete
4
6. Felszínszámítás Triangularizáció (felszín lefedése háromszögekkel) helyett kicsi, elemi, érintő paralelogrammákkal közelítjük a felszínt, amik már nem tudnak elválni a felülettől (ez az alapelve). Az ún. skaláris felületelem: 𝜕𝑟 𝜕𝑟 × ‖ ∆𝑢∆𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑟 𝜕𝑟 Ahol 𝜕𝑢 és 𝜕𝑣 a paramétervonalak 𝑃 pontbeli érintővektorai. (A felületen a 𝑃 pontot az 𝑢 és 𝑣 𝑑𝑆 = ‖
ún. paramétervonalak metszéseként vettük fel; 𝑟 a 𝑃 pontba mutató vektor) A skaláris felületelem a két differenciálvektor által kifeszített elemi paralelogramma területe. Amit, ha minden határon túl finomítunk, akkor a következő integrál megadja a teljes felszínt: 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑆 = ∬ 𝑑𝑆 = ∬ ‖ × ‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝑇
𝑇
7. Stokes-tétel A görbe menti és a felületi integrálok közötti kapcsolatot írja le. „Kétdimenziós Newton-Leibnizformulának” is szokták nevezni. Legyen 𝐹: [𝑎, 𝑏] × [𝑎, 𝑏] → ℝ3 jobbkéz-szabály szerint irányított, parametrizált peremes felület. Továbbá, legyen 𝑣: ℝ3 → ℝ3 legalább egyszer folytonosan differenciálható vektormező, ekkor: ∮ < 𝑣(𝑟), 𝑑𝑠 > ∬ < 𝑟𝑜𝑡 𝑣, 𝑑𝐹 > 𝒢
𝐹
Tehát a 𝒢 görbe menti vonalintegrál megegyezik az 𝐹 felületen vett felületi integrállal. 𝑑𝐹 = 𝑛 Ezáltal is belátható, hogy ha a vektormező örvénymentes, akkor bármely zárt görbe menti integrálja zérus, hiszen, ha 𝑟𝑜𝑡 𝑣 = 0, akkor a skalárszorzat nulla a kettős integrálban. Megjegyzések: - kétoldalú, zárt felület legyen adott, amit egy zárt görbe határol - azonos peremmel rendelkező 𝑆1 és 𝑆2 felületek esetén az integrálok megegyeznek - perem nélküli felület esetén nulla a kettős integrál értéke - ha nem irányítható a felület, akkor felbontjuk irányítható részekre - fizikai alkalmazás pl. gerjesztési törvény 8. Gauss-Osztrogradszkij-tétel A felületi integrál és a térfogati integrál között teremt kapcsolatot. Szükséges egy korlátos, zárt felület és egy kifelé mutató normálvektor. Legyen 𝑉: [𝑎, 𝑏]3 → ℝ3 irányított, paraméterezett elemi tértartomány és 𝑣: ℝ3 → ℝ3 𝑉-n legalább egyszer differenciálható vektormező, ekkor: ∯ < 𝑣(𝑟), 𝑑𝐹 >= ∭ 𝑑𝑖𝑣 (𝑣(𝑟)) 𝑑𝑉 𝐹
𝑉
Ahol 𝐹 a határfelülete 𝑉-nek. A tételből látható, hogy forrásmentes (𝑑𝑖𝑣 𝑣 = 0) vektortér zárt felületre vett integrálja (avagy átáramlási feleslege) nulla. 9. Green-tételek Legyenek 𝜑, 𝜓: ℝ3 → ℝ kétszeresen folytonosan differenciálható skalármezők. A GaussOsztrogradszkij-tételben vegyük fel a 𝑣 vektorteret 𝑣 = 𝜑 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓 alakban. Ekkor 𝑑𝑖𝑣 𝑣 = ∇ ∙ 𝑣 = ∇(𝜑 ∙ ∇𝜓) = ∇𝜑∇𝜓 + 𝜑∆𝜓 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓 + 𝜑∆𝜓
5
Ezt felhasználva kapjuk az első, ún. aszimmetrikus Green-tételt: ∯ < 𝜑 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓 , 𝑑𝐹 >= ∭(𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓 + 𝜑∆𝜓) 𝑑𝑉 𝐹
𝑉
Az első Green-tételben 𝜑 és 𝜓 szerepét felcserélve, és az így kapott egyenletet kivonva az első tétel egyenletéből, a második, ún. szimmetrikus Green-tételt kapjuk: ∯ < 𝜑 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜓 − 𝜓 ∙ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜑, 𝑑𝐹 > = ∭(𝜑∆𝜓 − 𝜓∆𝜑) 𝑑𝑉 𝐹
𝑉
Differenciálegyenletek 1. A differenciálegyenletek a természetben lejátszódó folyamatok, műszaki, fizika és kémiai problémák matematikai leírásának nélkülözhetetlen elemei. 1. Közönséges n-edrendű differenciálegyenlet Differenciálegyenletnek az olyan egyenletet nevezzük, melyben ismeretlen függvények, ezek deriváltjai, valamint független változó(k) fordul(nak) elő. Közönséges: csak egyetlen független (𝑥) változó van benne (nem parciális, ahol több) Rend: az ismeretlen (𝑦 ′ , 𝑦" …) legmagasabb fokszámú deriváltja Definíció szerint Legyen 𝑦: ℝ → ℝ 𝑛-szer folytonosan differenciálható függvény, 𝑦 = 𝑦 (0) , 𝑦 ′ = 𝑦 (1) , … , 𝑦 (𝑛) deriváltfüggvények szintén folytonosak és jelölje 𝑥 a független változót! Ekkor az 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦", … , 𝑦 (𝑛) ) = 0 egyenlet az 𝑦-ra vonatkozó, 𝑛-edrendű, közönséges differenciálegyenlet. (A fenti megadást implicit megadásnak is hívjuk, mivel a legmagasabb fokszámú derivált nem fejezhető ki egyértelműen, expliciten.) 2. Differenciálegyenlet megoldásának típusai (általános, partikuláris, szinguláris) Általános: amely kielégíti a differenciálegyenletet (DE-t) és pontosan annyi, egymástól független, tetszőleges konstanst tartalmaz, ahányad rendű a DE. Az általános megoldás a homogén és az inhomogén rész összege: 𝑦á = 𝑦𝐻 + 𝑦𝐼𝐻 Partikuláris: amely az általános megoldásból úgy származtatható, hogy az abban szereplő konstansoknak meghatározott értéket adunk. (pl. Cauchy kezdetiérték-feladat) Általánosabban: partikuláris megoldás, ha a megoldásfüggvény legalább 1-gyel kevesebb egymástól független állandót tartalmaz, mint ahányad rendű a DE. Szinguláris: olyan megoldás, amely NEM kapható meg az általános megoldásból az állandók megfelelő választásával. (pl. szeparábilis DE esetén) 3. Cauchy-feladat Más néven kezdetiérték-feladat. Az 𝑛-edrendű DE olyan megoldását keressük, amely kielégíti az (𝑛−1)
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦0′ , … , 𝑦 (𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦0 (𝑛−1)
kezdeti feltételt, ahol 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑦0′ , … , 𝑦0 adott számok. Egy DE megoldása során meg van adva megfelelő számú peremfeltétel (PF), amikkel az integrálás során feltűnő állandók értéke meghatározható. Annyi PF kell, ahányad rendű a DE.
6
4. Lipschitz-feltétel Ha az 𝑓 függvény teljesíti a Lipschitz-feltételt az adott tértartományon, akkor a megoldásgörbék nem metszik egymást (azaz létezik egyértelmű megoldás, egy ponton csak egy darab integrálgörbe halad át). Definíció: Az 𝑓 függvény a 𝐷 tartományon az 𝑦 változóra nézve kielégíti a Lipschitz-feltételt, ha létezik 𝑀 pozitív valós szám, hogy |𝑓(𝑥, 𝑦2 ) − 𝑓(𝑥, 𝑦1 )| ≤ 𝑀|𝑦2 − 𝑦1 | ∀(𝑥, 𝑦1 ), (𝑥, 𝑦2 ) ∈ 𝐷 5. Picard-Lindelöf tétel Ez egyben egzisztencia- és unicitástétel is. Legyen 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) egy explicit alakban adott DE, és 𝐷 = 𝐼1 × 𝐼2 nyílt téglalap tartomány, ahol 𝐼1 , 𝐼2 nyílt intervallumok és legyen (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ 𝐷, továbbá I. 𝑓 folytonos mindkét változójában 𝐷-n II. 𝑓 elégítse ki a Lipschitz-feltételt 𝑦 változóra 𝐷-n. Ekkor: egyértelműen létezik 𝜑: (𝑥0 − 𝜀, 𝑥0 + 𝜀) → ℝ függvény, melyre 𝜑 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥)) 𝜑′ (𝑥0 ) = 𝑦0 egyaránt teljesül, azaz a 𝜑 megoldás egyértelmű. Megjegyzések: - ha 𝑓 függvényről csak a folytonosságot feltételezzük: Peano-feltétel - hasonlóan a Cauchy-feltételhez (ott I. feltétel ugyanaz, II. feltétel, hogy az 𝑓 függvény 𝑦 szerinti parciális deriváltja korlátos ∀ D-beli pontban), a Picard-Lindelöf tétel is erősebb, szigorúbb tétel. Hiszen, a tételben elegendő, de nem szükséges feltételek vannak, ezáltal lehet, hogy nem teljesül mindkét feltétel, mégis van egyértelmű megoldás! 6. Iránymező Az iránymező a differenciálegyenlet megoldásairól ad szemléletes képet. Az 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) DE megoldása geometriailag a következőképpen szemléltethető. Az 𝑓 függvény értelmezési tartományának minden egyes (𝑥, 𝑦) pontjához rendeljük hozzá a rajta átmenő, 𝒚′ = 𝒇(𝒙, 𝒚) iránytangensű (meredekségű) egyenesnek (megoldásgörbének) a pontot tartalmazó kicsiny szakaszát. E szakaszok összessége alkotja a differenciálegyenlet iránymezőjét; a szakaszokból elég sokat ábrázolva kapjuk a DE megoldásának geometriai képét. Tehát sok-sok pontban berajzoljuk az érintők egy kicsiny darabját, ezek lesznek a képen is látható vonalelemek, amik összessége az iránymező. Izoklina: az a görbe, amelynek pontjaihoz azonos irányú, vagyis párhuzamos vonalelemek tartoznak.
7
Differenciálegyenletek 2. 1. Szeparábilis és arra visszavezethető DE Definíció: Az olyan 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) elsőrendű DE-et, amely 𝑦 ′ = ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑦) alakra hozható, szeparábilis (változóiban szétválasztható) differenciálegyenletnek nevezzük. Feltesszük, hogy ℎ és 𝑔 valamely, alkalmas 𝐼 és 𝐽 intervallumon folytonosak. Megoldási módszer: 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ = ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥 1 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥 𝑔(𝑦) Szinguláris megoldás: ha 𝑔(𝑦) = 0, amivel osztani kell Nem szinguláris megoldás: 𝑔(𝑦) ≠ 0 Szeparábilis differenciálegyenletre visszavezethetőek más DE-ek is 𝑢 helyettesítéssel, például: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐) 𝑢 ≔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 𝑑𝑢 𝑢′ = = 𝑎 + 𝑏𝑦 ′ = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑥 Illetve 𝑦 𝑦 ′ = 𝑓 (1, ) 𝑥 𝑦 𝑢= 𝑥 𝑦 ′ ′ 𝑦′ − 𝑥 𝑑𝑢 𝑦 𝑥 − 𝑦 ∙ 1 𝑦 𝑦 𝑢′ = = = − 2= 𝑑𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥 𝑥 Továbbá, fontos még az is, hogy az elsőrendű, lineáris differenciálegyenleteknek a homogén része is szétválasztható DE-re vezethető vissza. 2. Bernoulli-féle DE Definíció: Az 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥) ∙ 𝑦 = 𝑞(𝑥) ∙ 𝑦 𝑛 (𝑛 ≠ 0, 𝑛 ≠ 1) alakú, elsőrendű, nemlineáris DE-et Bernoulli-féle differenciálegyenletnek nevezzük, ahol 𝑝, 𝑞: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ folytonos függvények. Megoldási módszer: Helyettesítéssel: 𝑧(𝑥) = 𝑧 = 𝑦1−𝑛 . 𝑑𝑧 𝑧′ = = (1 − 𝑛) ∙ 𝑦 −𝑛 ∙ 𝑦 ′ (∗) 𝑑𝑥 Ahonnan az eredeti DE-et 𝑦 𝑛 -nel leosztva, a (∗) egyenletet pedig (1 − 𝑛)-nel leosztva és felhasználva a helyettesítést, azt kapjuk, hogy 𝑧 ′ + (1 − 𝑛)𝑝(𝑥) ∙ 𝑧 = (1 − 𝑛)𝑞(𝑥) Ami már egy 𝑙𝑖𝑛𝑒á𝑟𝑖𝑠 DE 𝑧-re nézve, tehát megoldható homogén-inhomogén módon. 3. Riccati-féle DE Definíció: Az 𝑎(𝑥) ∙ 𝑦 ′ + 𝑏(𝑥) ∙ 𝑦 + 𝑐(𝑥) ∙ 𝑦 2 = 𝑟(𝑥) alakú elsőrendű, nemlineáris DE-et Riccatiféle differenciálegyenletnek nevezzük, ahol 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑟: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ folytonos függvények. Megoldási módszer: A Riccati-féle nemlineáris DE integrálással általában nem oldható meg. Akkor, és csak akkor tudjuk integrálással előállítani a megoldását, ha ismerjük egy partikuláris megoldását. Megjegyzések: - Ha 𝑟(𝑥) = 0, akkor Bernoulli-féle DE-et kapunk - Ha 𝑐(𝑥) = 0, akkor a DE lineáris
8
1
𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) alakban bevezetett új függvény segítségével 𝑧-re már lineáris DE-et kapunk, Vagy 𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) típusú helyettesítéssel Bernoulli-típusúra redukálható a Riccati-féle DE. Például: Helyettesítés: 𝑦 ′ = 𝑥 + 𝑧 → 𝑦 ′ = 1 + 𝑧′, amit visszaírva a DE-be, leegyszerűsödik Bernoulli-ra. 4. Egzakt DE Definíció: Egy 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 alakú DE-et, melyben 𝑃, 𝑄: 𝐷 ⊂ ℝ𝟐 → ℝ folytonos függvények, egzakt DE-nek nevezzük, ha 𝜕𝑃 𝜕𝑄 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 folytonosak és egyenlők. Megoldási módszer: Létezik olyan 𝐹(𝑥, 𝑦), hogy 𝜕𝐹 𝜕𝐹 = 𝑃 é𝑠 =𝑄 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Ezért a DE megoldása 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝐶 alakú (a skalárpotenciál kereséséhez hasonló). Egzaktra visszavezethető: a 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 alakú DE általában nem egzakt (vagyis a bal oldala nem teljes differenciál), azaz 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) ≠ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Ilyen esetben kísérletet tehetünk egy olyan 𝑀(𝑥, 𝑦) ≠ 0 függvény megkeresésére, amellyel a differenciálegyenletet beszorozva az új DE már egzakt lesz: 𝑃𝑦′ − 𝑄𝑥′ 𝑑𝑥 𝑄 𝑄𝑥′ − 𝑃𝑦′ ln|𝑀(𝑦)| = ∫ 𝑑𝑦 𝑃 Azt a multiplikátort kell használni, ami csak az egyik változótól függ (amit ki lehet integrálni). 5. Lineáris állandó együtthatós DE Lineáris: melyben az ismeretlen függvény és annak deriváltjai csak első hatványon szerepelnek és ezek szorzatai sem fordulnak elő az egyenletben. (Ellenkező esetben nemlineáris.) ln|𝑀(𝑥)| = ∫
Definíció: Az 𝑎𝑛 ∙ 𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 ∙ 𝑦 (𝑛−1) +. . . + 𝑎1 ∙ 𝑦 ′ + 𝑎0 ∙ 𝑦 = 0 DE-et, ahol 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 ∈ {0,1, … 𝑛} 𝑛-edrendű (𝑎𝑛 ≠ 0), állandó (konstans) együtthatós, lineáris differenciálegyenletnek hívjuk. Egy 𝑛-edrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet megoldásai 𝒏-dimenziós, valós vektorteret alkotnak a ℝ fölött. Ezért elegendő 𝑛 db lineárisan független megoldást megtalálni. Ezeket elemi megoldásoknak, más szóval alaprendszernek nevezzük. 6. Lineárisan független függvényrendszer Legyen 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 : (𝑎, 𝑏) → ℝ; (𝑎, 𝑏)-n (𝑛 − 1)-szer folytonosan differenciálható függvényrendszer. Ez az 𝑛 db függvény lineárisan független, ha 𝑐1 𝑦1 (𝑥) + 𝑐2 𝑦2 (𝑥)+. . . +𝑐𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) ≡ 0 azonosság csakis a 𝑐1 = 𝑐2 =. . . = 𝑐𝑛 = 0 esetben áll fenn. Ellenkező esetben a függvények lineárisan függők.
9
7. Wronski-determináns A 𝑐𝑖 konstans értékek miatt végtelen sok megoldása (alaprendszere) létezne egy 𝑛-edrendű differenciálegyenletnek: 𝑦(𝑥) = ∑ 𝑐𝑖 𝑦𝑖 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 +. . . +𝑐𝑛 𝑦𝑛 A Wronski-determináns segítségével is meg tudjuk állapítani, hogy egy függvényrendszer lineárisan független-e. Az 𝑛 db valós függvényt lineárisan függetlennek mondjuk, ha az ún. Wronski-determináns nem nulla, és lineárisan függőnek, ha nulla. 𝑦1 𝑦2 𝑦3 … 𝑦𝑛 ′ ′ ′ 𝑦1 𝑦2 𝑦3 … 𝑦𝑛′ | . . . … . | det 𝑊 = . . . … . | . . . … . | (𝑛−1) (𝑛−1) (𝑛−1) (𝑛−1) 𝑦1 𝑦2 𝑦3 … 𝑦𝑛 Tehát ha adott a DE egy alaprendszere, akkor ezzel meg tudjuk határozni, hogy az alaprendszer és annak tetszőleges lineáris kombinációja megoldása-e a differenciálegyenletnek. (Visszafelé nem igaz, lehet, hogy a függvényrendszer lineárisan független, de det 𝑊 = 0) 8. Differenciálegyenlet-rendszer A következő alakban adott egy elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer: 𝑦1′ = 𝑓1 (𝑥, 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) 𝑦 ′ = 𝑓2 (𝑥, 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) { 2 ⋮ 𝑦𝑛′ = 𝑓𝑛 (𝑥, 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) Ahol 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 a keresendő függvények és 𝑥 a független változó. Általános alak: 𝑥̇ = 𝐴 ∙ 𝑥 𝑥(𝑡) 𝑥 = [𝑦(𝑡)] ⋮ 𝑛𝑥1 Ahol 𝐴 az együtthatómátrix és most 𝑡 a független változó. Egy ilyen DE-rendszer megfeleltethető egy állandó együtthatós 𝑛-edrendű, lineáris DE-nek. Az alaphalmaz vagy ún. hipermátrix: 𝑋(𝑡) = [𝑒 𝜆1 𝑡 ∙ 𝑠1 𝑒 𝜆2 𝑡 ∙ 𝑠2 … 𝑒 𝜆𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑛 ]1𝑥𝑛 Ahol 𝜆𝑛 : 𝐴 sajátértékei És 𝑠𝑛 : 𝐴 sajátvektorai Példa 𝐶 ∙ 𝑒 𝑡 + 𝐶2 ∙ 𝑒 5𝑡 𝑥(𝑡) = [ 1 𝑡 ] −𝐶1 ∙ 𝑒 + 3𝐶2 ∙ 𝑒 5𝑡 Ha a sajátértékek 𝜆1 = 5 és 𝜆2 = 1 És a sajátvektorok 1 1 𝑠1 = [ ] és 𝑠2 = [ ] −1 3 Komplex sajátértékek esetén 𝑥(𝑡) = 𝐶1 ∙ [𝑒 𝜆𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 ∙ 𝑣1 − 𝑒 𝜆𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡 ∙ 𝑣2 ] + 𝐶2 ∙ [𝑒 𝜆𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 ∙ 𝑣2 − 𝑒 𝜆𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡 ∙ 𝑣1 ]
10
