MECHANIKA SZIGORLAT ELMÉLET

MECHANIKA SZIGORLAT ELMÉLET

Mechanika szigorlat - elmélet

TARTALOMJEGYZÉK 1.

STATIKA ..................................................................................................................................... 11 1.1.

ERİRENDSZEREK.................................................................................................................. 11

1.1.1.

Mit nevezünk erınek? ..................................................................................................... 11

1.1.2.

Mi a koncentrált erı?...................................................................................................... 11

1.1.3.

Mi a koncentrált erıpár? ................................................................................................ 11

1.1.4.

Hogyan határozzuk meg egy koncentrált erı tengelyre számított nyomatékát?.............. 11

1.1.5.

Mik a Statika axiómái? ................................................................................................... 11

1.1.6.

Mi a feltétele két erı egyensúlyának? ............................................................................. 11

1.1.7.

Mi a feltétele három erı egyensúlyának? ....................................................................... 11

1.1.8.

Mi a statikai vektorkettıs? .............................................................................................. 12

1.1.9.

Hogyan lehet kiszámítani egy térbeli erırendszer eredıjét? .......................................... 12

1.1.10.

Mi a centrális egyenes? .................................................................................................. 12

1.1.11.

Mi az egyensúly feltétele? .............................................................................................. 12

1.1.12.

Mikor egyenértékő két erırendszer? .............................................................................. 12

1.1.13.

Milyen megoszló erırendszereket ismer? Hogyan lehet meghatározni azok eredıjét? . 12

1.2.

SÚLYPONTSZÁMÍTÁS ............................................................................................................ 13

1.2.1.

Mi a statikai nyomaték? .................................................................................................. 13

1.2.2.

Mi a definíciója egy merev test súlypontjának? .............................................................. 13

1.2.3.

Hogyan számítja ki a súlypontját: ................................................................................... 13

1.3.

KÉNYSZEREK ........................................................................................................................ 13

1.3.1.

Mi a kényszer? ................................................................................................................ 13

1.3.2.

Mi a szabadságfok?......................................................................................................... 13

1.3.3.

Hány szabadságfoka van egy merev testnek? ................................................................. 13

1.3.4.

Mitıl függ egy kényszer szabadságfokainak száma? ...................................................... 13

1.3.5.

Mit nevezünk ideális kényszernek?.................................................................................. 13

1.3.6.

Hány szabadságfoka van a következı kényszereknek: .................................................... 14

1.3.7.

Mikor mondunk egy merev testet/szerkezetet statikailag határozottnak? ....................... 14

1.4.

RÚDSZERKEZETEK ................................................................................................................ 14

1.4.1.

Mit nevezünk rácsos szerkezetnek? ................................................................................. 14

1.4.2.

Mi a szükséges feltétele annak, hogy egy rácsos szerkezet statikailag határozott legyen? 14

1.4.3.

Miért nem elégséges ez a feltétel? ................................................................................... 14

1.4.4.

Mi a csomóponti módszer lényege? ................................................................................ 14

1.4.5.

Mi az átmetszı módszer lényege? ................................................................................... 14

1.4.6.

Mi a vakrúd? Miért van rá szükség? ............................................................................... 15

1.4.7.

Mit nevezünk csuklós szerkezetnek? ................................................................................ 15

2


1.4.8.

Mi a bakállvány?............................................................................................................. 15

1.4.9.

Mi a részekre bontás elve? .............................................................................................. 15

1.4.10.

Mi a szuperpozíció? ....................................................................................................... 15

1.5.

IGÉNYBEVÉTELEK................................................................................................................. 15

1.5.1.

Mi az igénybevétel?......................................................................................................... 15

1.5.2.

Hány igénybevételi fajtát ismer? ..................................................................................... 15

1.5.3.

Mi a normálerı? ............................................................................................................. 15

1.5.4.

Mi a nyíróerı? ................................................................................................................ 16

1.5.5.

Mi a hajlító nyomaték? ................................................................................................... 16

1.5.6.

Mi a csavaró nyomaték? ................................................................................................. 16

1.5.7. Mi az összefüggés a megoszló erırendszer, a nyíróerı és a hajlító nyomaték függvény között? Ez milyen következménnyel jár az igénybevételi ábrák rajzolásánál? ............................................ 16 1.5.8.

Hogyan változtatja meg az igénybevételeket rúdszerkezetben? ...................................... 16

1.5.9.

Hogyan lehet meghatározni az igénybevételeket síkgörbe rudakban?............................ 16

1.6.

2.

NEM IDEÁLIS KÉNYSZEREK ................................................................................................... 17

1.6.1.

Mit nevezünk Coulomb-súrlódásnak? ............................................................................. 17

1.6.2.

Mi a súrlódási kúp? ........................................................................................................ 17

1.6.3.

Mi a tapadási súrlódási tényezı?.................................................................................... 17

1.6.4.

Mi az önzárás? ................................................................................................................ 17

1.6.5.

Mi az egyensúly feltétele Coulomb-súrlódás esetén? ...................................................... 17

1.6.6.

Mi az egyensúly feltétele kötélsúrlódás esetén? .............................................................. 17

1.6.7.

Mi a gördülı ellenállás karja?........................................................................................ 17

1.6.8.

Hol jelenik meg a gyakorlatban a gördülı ellenállás? ................................................... 18

SZILÁRDSÁGTAN .................................................................................................................... 19 2.1.

RÚDMODELL......................................................................................................................... 19

2.1.1.

Milyen mechanikai modellt nevezünk „rúd”-nak?.......................................................... 19

2.1.2.

Mi a súlypontvonal és mi a keresztmetszet? .................................................................... 19

2.1.3.

Hogyan használjuk az igénybevételi ábrákat a rúd méretezésekor, ellenırzésekor? ...... 19

2.1.4.

Mi a Bernoulli-hipotézis? Miért van rá szükség? ........................................................... 19

2.1.5.

Mi a Saint-Venant-elv? ................................................................................................... 19

2.1.6.

Milyen feszültség ébred a rúd egy keresztmetszetében? .................................................. 19

2.1.7.

Mi a hajlítás tengelye? .................................................................................................... 20

2.1.8.

Mikor beszélünk „tiszta” és mikor „egyenes” hajlításról? ............................................ 20

2.1.9.

Mi a zérustengely ferde hajlítás esetén? ......................................................................... 20

2.1.10.

Mi a Grashof-képlet? Mikor használjuk? ....................................................................... 20

2.1.11.

Milyen a feszültség eloszlása görbe rúd adott keresztmetszetében? .............................. 21

2.1.12. Milyen irányú a csúsztató feszültség kör keresztmetszető rúd csavarásakor a keresztmetszet tetszıleges pontjában? ......................................................................................................... 21 2.1.13.

Mit tud a csúsztató feszültség irányáról nyírás esetén? ................................................. 21

3


2.1.14.

Hogyan határozza meg a rúd keresztmetszetének szükséges méretét? ........................... 21

2.1.15.

Minek alapján végzi el a rúd szilárdsági ellenırzését összetett igénybevétel esetén?.... 23

2.1.16.

Mik a veszélyes keresztmetszetek ill. pontok?: ............................................................... 23

2.2.

SÍKIDOMOK MÁSODRENDŐ NYOMATÉKAI ............................................................................. 23

2.2.1.

Mi a definíciója és mi a fizikai tartalma a következı mennyiségeknek? ......................... 23

2.2.2.

Mit mond ki a párhuzamos tengelyek tétele (Steiner-tétel)? ........................................... 24

2.2.3. mátrixot?

Mik egy ponthoz tartozó másodrendő nyomatéki mátrix elemei és mire használjuk ezt a 24

2.2.4.

Mik a másodrendő nyomatéki fıtengelyek és a fı másodrendő nyomatékok? ................ 25

2.2.5.

Hogyan határozzuk meg a fıtengelyeket és a fı másodrendő nyomatékokat? ................ 25

2.2.6. nyomatékokat? 2.3.

A szilárdságtan mely témaköreiben és hogyan használjuk fel a másodrendő 25

RUDAK ALAKVÁLTOZÁSA..................................................................................................... 25

2.3.1.

Mi a rugalmas szál differenciálegyenlete?...................................................................... 25

2.3.2.

Mik a járulékképletek? .................................................................................................... 25

2.3.3.

Hogyan számolja ki egyensúlyi erırendszerrel terhelt rúd egy adott keresztmetszetének? 25

2.3.4.

Hogyan számol alakváltozási energiát rudakban? ......................................................... 26

2.3.5.

Mi a kapcsolat az alakváltozási energia és a munkatételek között? ............................... 26

2.3.6.

Mi a Betti-tétel? .............................................................................................................. 26

2.3.7.

Mi a Castigliano-tétel? ................................................................................................... 27

2.3.8.

Mikor mondunk egy rúdszerkezetet statikailag határozatlannak? .................................. 27

2.3.9. Hogyan lehet meghatározni a reakciókat és a belsı erırendszert statikailag határozatlan rúdszerkezetben? 27 2.3.10.

Mikor lép fel a kihajlás veszélye? .................................................................................. 27

2.3.11.

A keresztmetszet melyik tengelye körül következik be a kihajlása? ................................ 28

2.3.12.

Mik a következık? .......................................................................................................... 28

2.3.13.

Hogyan ellenırzünk kihajlásra? .................................................................................... 29

2.3.14. Mit adnak meg az Euler- és a Tetmajer-képletek? Mikor érvényes az Euler- és mikor a Tetmajer-képlet? 29 2.4.

FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT ......................................................................................................... 29

2.4.1.

Mi a feszültségi állapot? ................................................................................................. 29

2.4.2.

Mi a feszültség vektor? .................................................................................................... 29

2.4.3.

Mi a normál és csúsztató feszültség? .............................................................................. 30

2.4.4.

Mi szükséges ahhoz, hogy egy pontban ismerjük a feszültségi állapotot? ...................... 30

2.4.5.

Mire használható a „feszültségi kis kocka”? .................................................................. 30

2.4.6.

Mi a feszültségi tenzor? .................................................................................................. 30

2.4.7.

Mi a különbség a feszültségi tenzor és mátrix között? .................................................... 30

2.4.8. A feszültségi tenzor ismeretében hogyan kapjuk meg egy tetszıleges síkhoz tartozó feszültség vektort, ennek normál és csúsztató komponenseit? ..................................................................... 30 2.4.9.

Mit nevezünk fıfeszültségnek és feszültségi fıiránynak? ................................................ 30

4


2.4.10.

Hogyan ábrázoljuk a feszültségi állapotot Mohr-körökkel? .......................................... 31

2.4.11.

Mi a feszültségi deviátor? .............................................................................................. 33

2.5.

ALAKVÁLTOZÁSI ÁLLAPOT................................................................................................... 33

2.5.1.

Mi a fajlagos nyúlás és a szögváltozás definíciója? ....................................................... 33

2.5.2.

Mi az alakváltozási állapot? ........................................................................................... 34

2.5.3.

Mi szükséges ahhoz, hogy egy pontban ismerjük az alakváltozási állapotot? ................ 34

2.5.4.

Mi az alakváltozási tenzor?............................................................................................. 34

2.5.5. Az alakváltozási állapot ismeretében hogyan számolja ki az adott pontban egy tetszıleges irányhoz tartozó fajlagos nyúlás értékét? .................................................................................. 34 2.5.6. Az alakváltozási állapot ismeretében hogyan számolja ki az adott pontból kiinduló, adott irányú rövid vonaldarab hosszának megváltozását? ................................................................................... 34 2.5.7.

Mit nevezünk fınyúlásnak és alakváltozási fıiránynak? ................................................. 34

2.5.8.

Mikor mondhatjuk „kicsi”-nek az alakváltozást? ........................................................... 34

2.5.9. Kis alakváltozás esetén mi írja le a fajlagos térfogatváltozást egy pont környezetében? Milyen esetben nem használható ez? ........................................................................................................... 34 2.5.10. 2.6.

Mi az alakváltozási tenzor térfogatváltozást ill. az alaktorzulást leíró része? ............... 35

ANYAGTÖRVÉNY .................................................................................................................. 35

2.6.1.

Mi a Hooke-törvény? Mikor használható? ..................................................................... 35

2.6.2.

Mit jelent az, hogy az anyag: .......................................................................................... 35

2.6.3.

Mit jelent az, hogy az anyag lineárisan rugalmas?: ....................................................... 35

2.6.4.

Mik között ad kapcsolatot az általános Hooke-törvény? Írja fel ezt a kapcsolatot!........ 36

2.7.

MÉRETEZÉS, ELLENİRZÉS .................................................................................................... 36

2.7.1.

Mi a megengedett feszültség? ......................................................................................... 36

2.7.2.

Mi lehet veszélyes feszültség? ......................................................................................... 36

2.7.3.

Mi a biztonsági tényezı? ................................................................................................. 36

2.7.4.

Mi a feszültségcsúcsra történı méretezés alapelve? ....................................................... 36

2.7.5.

Mit jelent az ellenırzés? ................................................................................................. 36

2.7.6.

Mi az egyenértékő (redukált) feszültség? ........................................................................ 36

2.7.7.

Mi az egyenértékőség alapja? ......................................................................................... 36

2.7.8.

Miért nevezik a HMH-elméletet „munkaelméletnek” is?................................................ 37

2.7.9.

Hogyan számolja ki az egyenértékő feszültséget? ........................................................... 37

2.8.

FORGÁSHÉJAK MEMBRÁNELMÉLETE .................................................................................... 37

2.8.1. fogadható el?

Mit jelent a „membrán feszültségi állapot” hipotézis? Milyen feltételek teljesülése esetén 37

2.8.2.

Mik a feszültségi fıirányok a héj tetszıleges pontjában? ............................................... 37

2.8.3.

Mik a fı görbületi sugarak? ............................................................................................ 38

2.8.4.

Mik a fı görbületi sugarak .............................................................................................. 38

2.8.5.

Milyen képletekkel számolhatók a feszültségek? ............................................................. 39

2.8.6.

Hogyan számolja ki hengeres héj esetén az alábbiakat? ................................................ 40

2.9.

KÜLSİ ÉS BELSİ NYOMÁSSAL TERHELT VASTAG FALÚ CSİ ................................................. 40

5


3.

2.9.1.

Milyen koordináta rendszert használunk a feszültségi állapot leírásához? .................... 40

2.9.2.

Mik az alakváltozási és feszültségi fıirányok a csıfalban? ............................................ 40

2.9.3.

Milyen a feszültségek eloszlása a sugár mentén? ........................................................... 41

2.9.4.

Hogyan számolja a feszültségeket? ................................................................................. 41

2.9.5.

Mik a peremfeltételek? .................................................................................................... 41

2.9.6.

Mit jelent az, hogy a csı „nyitott” illetve „zárt”? .......................................................... 41

2.9.7.

Hogyan számolja ki a csı alábbi tulajdonságait? .......................................................... 41

2.9.8.

Hol legnagyobb az egyenértékő feszültség és hogyan határozza meg?........................... 41

KINEMATIKA ÉS DINAMIKA ............................................................................................... 42 3.1.

ANYAGI PONT KINEMATIKÁJA .............................................................................................. 42

3.1.1. 3.2.

Mi a definíciója a következı alapfogalmaknak? ............................................................. 42 MEREV TEST KINEMATIKÁJA ................................................................................................ 43

3.2.1.

Mit nevezünk merev testnek?........................................................................................... 43

3.2.2.

Mikor ismert egy merev test pillanatnyi sebességállapota? ............................................ 43

3.2.3.

Hogyan osztályozzuk a pillanatnyi mozgásokat? ............................................................ 43

3.2.4.

Mit értünk pillanatnyi forgástengelyen? ......................................................................... 43

3.2.5.

Mi jellemzi a pillanatnyi csavarmozgást? ....................................................................... 43

3.2.6.

Hogyan kereshetjük meg a pillanatnyi csavarmozgás tengelyét? ................................... 43

3.2.7.

Mikor ismert egy merev test pillanatnyi gyorsulásállapota? .......................................... 44

3.2.8.

Mit értünk egy merev test véges mozgásán? ................................................................... 44

3.2.9.

Milyen véges mozgásokat ismer? .................................................................................... 44

3.2.10. Mely véges mozgás esetén beszélhetünk pillanatnyi sebességpólusról, illetve gyorsuláspólusról? ...................................................................................................................................... 44 3.2.11.

Mi a sebességpólus? Hogyan kereshetjük meg a helyét? ............................................... 44

3.2.12.

Hogyan számíthatjuk ki a pólusvándorlás sebességét? Melyik pólusra vonatkozik ez? . 44

3.2.13.

Mit értünk álló, illetve mozgó pólusgörbe alatt? Milyen kapcsolatban állnak egymással? 45

3.2.14.

Mi a gyorsuláspólus? Hogyan kereshetjük meg a helyét? ............................................. 45

3.2.15.

Mi a sebességábra és milyen jellemzıit ismeri? ............................................................. 45

3.2.16.

Mi a gyorsulásábra és milyen jellemzıit ismeri? ........................................................... 45

3.3.

RELATÍV KINEMATIKA .......................................................................................................... 46

3.3.1.

Mi a szállító sebesség?.................................................................................................... 46

3.3.2.

Mi a szállító gyorsulás? .................................................................................................. 46

3.3.3. Milyen összefüggés írható fel egy vektor - skalár függvény – egymáshoz képest mozgó koordináta-rendszerekben képzett – idı szerinti elsı deriváltjai között? .................................................... 46 3.3.4. 3.4.

Mely esetekben lesz zérus a Coriolis gyorsulás? ............................................................ 46 ANYAGI PONT DINAMIKÁJA .................................................................................................. 47

3.4.1. mennyiségeket!

Írja fel a dinamika alaptörvényét anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı 47

6


3.4.2.

Írja fel az impulzus tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! 47

3.4.3.

Írja fel a perdület tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! . 47

3.4.4.

Írja fel a teljesítmény tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! 47

3.4.5.

Írja fel a munkatételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! .... 47

3.4.6. Definiálja a kinetikai nyomaték vektort anyagi pontra! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik!................................................................................. 48 3.5.

ANYAGI PONTRENDSZEREK DINAMIKÁJA.............................................................................. 48


Írja fel a dinamika alaptörvényét anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı 48


Írja fel az impulzus tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı 48


Írja fel a perdület tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı 48


Írja fel a teljesítmény tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı 48


Írja fel a munkatételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı 48

3.5.6. Definiálja a kinetikai nyomaték vektort anyagi pontrendszerre! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik! .................................................................. 49 3.6.

MEREV TESTEK DINAMIKÁJA ................................................................................................ 49

3.6.1. Írja fel a tehetetlenségi nyomaték mátrixának általános alakját és adja meg az egyes elemek kiszámítási szabályát! Adjon példákat olyan szimmetriákra, amikor a tehetetlenségi nyomaték mátrixa egyszerőbb alakú!........................................................................................................................... 49 3.6.2.

Mit mond ki a párhuzamos tengelyek tétele? .................................................................. 49

3.6.3.

Adja meg a perdület derivált számítására vonatkozó Euler-formulát! ........................... 50


Írja fel a dinamika alaptörvényét merev testre és értelmezze a benne szereplı 50

3.6.5.

Írja fel az impulzus tételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! . 50

3.6.6.

Írja fel a perdület tételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!: .. 50

3.6.7.

Írja fel a teljesítmény tételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! 51

3.6.8.

Írja fel a munkatételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! ....... 51

3.6.9. Definiálja a kinetikai nyomaték vektort merev testre! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik! ............................................................................................. 51 3.6.10. Hogyan számítjuk ki egy merev test kinetikus energiáját? Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik!................................................................................. 51 3.6.11.

Mi a gördülés kinematikai illetve dinamikai feltétele? ................................................... 51

3.6.12.

Mikor nevezünk egy forgórészt statikailag kiegyensúlyozatlannak? .............................. 51

3.6.13.

Mikor nevezünk egy forgórészt dinamikailag kiegyensúlyozatlannak? .......................... 51

3.7.

ÁLTALÁNOS KÉRDÉSEK ........................................................................................................ 52

3.7.1.

Fogalmazza meg Newton I., II., illetve III. axiómáját! ................................................... 52

3.7.2.

Mit nevezünk inerciarendszernek? .................................................................................. 52

7


3.7.3.

Mikor nevezünk egy erıt potenciálosnak? Adjon példákat potenciálos és nem potenciálos 52

3.7.4.

Mi jellemzi a konzervatív erıtereket?: ............................................................................ 52

3.7.5.

Mit nevezünk kényszermozgásnak? ................................................................................. 52

3.7.6.

Mit nevezünk ideális kényszernek?.................................................................................. 52

3.7.7.

Mit tüntetünk fel a szabad test ábrán? ............................................................................ 53

erıkre!

3.8.

GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK................................................................................. 53

3.8.1. Írja fel a dinamika alaptörvényét gyorsuló koordinátarendszerben és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! .............................................................................................................................. 53 3.8.2. 4.

Milyen nem valódi (járulékos) erık léphetnek fel gyorsuló koordinátarendszerekben? . 53

LENGÉSTAN .............................................................................................................................. 54 4.1.

ÁLTALÁNOS KÉRDÉSEK ........................................................................................................ 54

4.1.1.

Mik a lengırendszer elemei? .......................................................................................... 54

4.1.2.

Mi a rugóállandó? .......................................................................................................... 54

4.1.3.

Mi a rugómerevség? ...................................................................................................... 54

4.1.4.

Mi a mértékegysége a rugóállandónak, a rugómerevségnek? ........................................ 54

4.1.5.

Mit jelent: torziós rugó, longitudinális rugó? ................................................................. 54

4.1.6.

Mi a rugalmas energia, és hogyan számítjuk ki? ............................................................ 54

4.1.7.

Mit jelent a lengéstanban a potenciálos erı fizikailag és matematikailag? Adjon rá 55

4.1.8.

Mit jelent a konzervatív mechanikai rendszer? ............................................................... 55

4.1.9.

Mit jelent: lineáris rendszer? Mit jelent linearizálni a mozgásegyenletet? .................... 55

4.1.10.

Rugalmas rudak mint rugók esetében hogyan számítható a rugómerevség? ................. 55

példát!:

4.1.11. Mi a fizikai jelentése és a képlete a húzó-, hajlító- és csavaró-merevségnek, mi a kapcsolata a rugómerevséggel? .................................................................................................................. 55 4.1.12.

Mit jelent egy mechanikai rendszer szabadságfoka? ..................................................... 56

4.1.13.

Mi az ideális kényszer? Adjon rá példát! ....................................................................... 56

4.1.14.

Mi az általános koordináta? .......................................................................................... 56

4.1.15.

Mi az általános tömeg, mi a mértékegysége? ................................................................. 56

4.1.16.

Mi az egyenértékő rugómerevség, mi a mértékegysége? ................................................ 56

4.1.17.

Mi az egyenértékő csillapítási tényezı, mi a mértékegysége? ........................................ 56

4.1.18.

Mi a Rayleigh-féle disszipatív függvény, mi a mértékegysége? ...................................... 56

4.1.19.

Mi az általános erı, mi a mértékegysége? ..................................................................... 56

4.2.

EGYSZABADSÁGFOKÚ LENGİRENDSZEREK: ......................................................................... 57

4.2.1. Mi az egyszabadságfokú lengırendszer egyenértékő modellje? Mik a benne szereplı mennyiségek jelentései, mértékegységei? .................................................................................................... 57 4.2.2.

Mi az egyszabadságfokú lengırendszer mozgásegyenlete? ............................................ 57

4.2.3.

Mi a kényszerrezgés? ...................................................................................................... 57

4.2.4. Mi az egyszabadságfokú lengırendszer lengését leíró mozgástörvény, és mi a benne szereplı mennyiségek jelentése? ................................................................................................................. 57 4.2.5.

Mi a sajátfrekvencia, a sajátkörfrekvencia, a periódusidı? ........................................... 58

8


4.2.6.

Mi a kapcsolat a sajátfrekvencia és a sajátkörfrekvencia között? ................................. 58

4.2.7.

Mi a rezonancia .............................................................................................................. 58

4.2.8.

Mi a statikus kitérés? ...................................................................................................... 58

4.2.9. Mi a rugók elıfeszítésének hatása a lengırendszer dinamikai tulajdonságaira, és a lengés lefutására? ........................................................................................................................................ 58 4.2.10. Mi az általános koordináta nulla értéke különbözı felvételének hatása a lengırendszer dinamikai tulajdonságaira, és a lengés lefutására?: ................................................................................... 58 4.2.11.

Mi a definíciója a Lehr-féle csillapítási tényezınek? ..................................................... 58

4.2.12.

Miért hívják a Lehr féle csillapítási tényezıt relatív csillapításnak? ............................. 59

4.2.13. Hasonlítsa össze a szárazsúrlódással csillapított lengırendszert a sebességgel arányos csillapítású lengırendszerrel! ..................................................................................................................... 59 4.2.14.

Milyen törvényszerőség szerint csökkennek a kitérések szárazsúrlódásos csillapítás 59

4.2.15.

Milyen törvényszerőség szerint csökkennek a kitérések viszkózus csillapítás esetén? ... 59

4.2.16.

Mi a bizonytalansági sáv? .............................................................................................. 59

esetén?

4.2.17. Mi a rezonanciagörbe? Mi van a tengelyeken, mi a paraméter, milyen különbözı jellegő tartományai vannak? ................................................................................................................................... 60 4.2.18.

Mi a nagyítási tényezı fizikai jelentése? ........................................................................ 60

4.2.19.

Mi a fáziskésés? Mit jelent az ellenfázis? ....................................................................... 60

4.2.20.

Mi a frekvenciaviszony, mi a mértékegysége? ................................................................ 61

4.2.21.

A rezgésszigetelés hatékonyságát hogyan befolyásolja a rendszer relatív csillapításának 61

4.2.22.

Mi a logaritmikus dekrementum, mi a mértékegysége? ................................................. 61

4.2.23.

Mit jelent: gyenge, erıs, kritikus csillapítás? ................................................................. 61

értéke?

4.3.

VÉGES SZABADSÁGFOKÚ LENGİRENDSZEREK...................................................................... 62

4.3.1.

Írja fel a másodfajú Lagrange-egyenletet és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! 62

4.3.2. Milyen feltétel teljesülése esetén használható a Lagrange-féle mozgásegyenletek mátrix alakja véges szabadságfokú lengırendszer esetén? .................................................................................... 62 4.3.3.

Írja fel egy n-szabadságfokú lengırendszer mátrix mozgásegyenletét! .......................... 62

4.3.4.

Hogyan számíthatók a tömegmátrix elemei? .................................................................. 62

4.3.5.

Hogyan számíthatók a csillapítási mátrix elemei? .......................................................... 62

4.3.6.

Hogyan számíthatók a merevségi mátrix elemei? ........................................................... 62

4.3.7.

Hogyan számíthatók az általános erıvektor elemei? ...................................................... 63

4.3.8.

Mi a modálanalízis? ........................................................................................................ 63

4.3.9. Hasonlítsa össze a mechanikai rendszer mozgásegyenleteinek felírására szolgáló Newton-Euler módszert az analitikus módszerrel! ...................................................................................... 63 4.3.10.

Mi a lengéskép fizikai tartalma? .................................................................................... 63

4.3.11.

Miért választjuk a lengéskép elsı koordinátáját 1-nek?: ............................................... 63

4.3.12.

Mit jelent a csomópont a lengésképben? ........................................................................ 63

4.3.13.

Mi a frekvenciaegyenlet és mi a karakterisztikus egyenlet? ........................................... 63

9


4.3.14. különbözı?

Hogyan kell értelmezni a lengésképet, ha az általános koordináták mértékegysége 63

4.3.15.

Hány gyöke van a frekvenciaegyenletnek? ..................................................................... 63

4.3.16.

Milyen közelítı módszereket ismer a legkisebb sajátfrekvencia kiszámítására?............ 64

4.3.17.

Mi a Rayleigh-elv? ......................................................................................................... 64

4.3.18.

Mi a Rayleigh-hányados?............................................................................................... 64

4.3.19.

Hogyan alkalmazzuk a Stodola-iterációt?...................................................................... 64

4.3.20. Hogyan közelíti a valódi sajátkörfrekvenciát a Rayleigh-hányadossal ill. a Dunkerleyelvvel számított érték? ................................................................................................................................. 64 4.3.21.

Mi a statikus és dinamikus csatolás? ............................................................................. 64

10


1. STATIKA 1.1. Erırendszerek 1.1.1. Mit nevezünk erınek? Az erı a testre ható toló hatás mértéke.

1.1.2. Mi a koncentrált erı? A koncentrált erı az-az erı, amelynek hatását egyetlen pontba képzeljük.

1.1.3. Mi a koncentrált erıpár? A koncentrált erıpár egy olyan M1 vektor, amelynek nincs toló hatása és forgató hatása (nyomatéka) a test bármely pontjára ugyanaz (tehát szabadvektor, ami a test bármely pontjába áthelyezhetı)

1.1.4. Hogyan határozzuk meg egy koncentrált erı tengelyre számított nyomatékát? A koncentrált erıt felbontjuk a tengelyre merıleges és azzal párhuzamos összetevıkre. A nyomaték az erı tengelyre merıleges komponensének és a „k” erıkarnak a szorzata, ahol „k” a tengely irányának, és az erı hatásvonalának a normál transzverzálisa. Az erı, a hatásvonalával párhuzamos tengelyre nem ad nyomatékot.

1.1.5. Mik a Statika axiómái? – Newton III. axiómája: Két test egymásra gyakorolt mechanikai hatása mindig azonos hatásvonalú, azonos nagyságú és ellentétes értelmő. – Két erı egyensúlya: Két erı akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha azonos hatásvonalúak, azonos nagyságúak és ellentétes értelmőek. – Erıösszeg: Közös támadáspontú erırendszer mindig helyettesíthetı egy egyenértékő erıvel, mely az egyes részerık vektori eredıje. – Merev test egyensúlya: Merev test egyensúlya nem változik, ha egy önmagában egyensúlyi erırendszerrel módosítjuk. – Deformálható test egyensúlyi állapotában merev testtel helyettesíthetı.

1.1.6. Mi a feltétele két erı egyensúlyának? Két erı akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha azonos hatásvonalúak, azonos nagyságúak és ellentétes értelmőek.

1.1.7. Mi a feltétele három erı egyensúlyának? A három erı a síkban akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik egy pontban metszıdnek, és a három erı vektora zárt vektorháromszöget alkot.

11


1.1.8. Mi a statikai vektorkettıs? Bármely erırendszer helyettesíthetı egy statikai vektorkettıssel a sík bármely pontjában, amely áll: n

– egy F erıbıl, amely az összes erı vektori eredıje: F = ∑ Fi i=1

m

n

i=1

j=1

– és egy erıpárból, amely: M = ∑ Mi + ∑ r j × F j , ahol: r az adott pontból az erı támadáspontjába mutató helyvektor. – Így a statikai vektorkettıs: [F; M0 ]0

1.1.9. Hogyan lehet kiszámítani egy térbeli erırendszer eredıjét? Minden térbeli erırendszer legegyszerőbb eredıje egy koncentrált erı, és egy vele párhuzamos nyomatékvektor. n

– Az F erı az összes erı vektori eredıje: F = ∑ Fi i=1

m

n

i=1

j=1

– A nyomatékvektor: M = ∑ Mi + ∑ r j × F j , ahol: r az adott pontból az erı támadáspontjába mutató helyvektor. – Így a statikai vektorkettıs: [F; M0 ]0

1.1.10. Mi a centrális egyenes? A centrális egyenes (síkra) az erırendszert helyettesítı F erı hatásvonala, melynek bármely pontjára az eredeti erırendszer nyomatéka nulla. Általánosan: Azon a ponton, - ahol az elıbbi legegyszerőbb eredı érvényes – átmenı, az erıvel párhuzamos egyenes a centrális egyenes.

1.1.11. Mi az egyensúly feltétele? Az összes erı vektori eredıje nulla kell, hogy legyen, valamint az erırendszer nyomatéka bármely pontra nulla.

1.1.12. Mikor egyenértékő két erırendszer? Két erırendszer statikailag egyenértékő, ha bármely pontba redukálva az erırendszereket ugyanazt a vektorkettıst kapjuk.

1.1.13. Milyen megoszló erırendszereket ismer? Hogyan lehet meghatározni azok eredıjét? Vonalmentén, felületmentén és térfogatmentén megoszló terhelés. Az eredı erı a megoszló terhelés intenzitása és a megoszló terhelés hosszának, felületének, vagy térfogatának szorzata. Az eredı helye pedig a terhelés középpontja. 12


1.2. Súlypontszámítás 1.2.1. Mi a statikai nyomaték? Egy anyagi pont statika nyomatéka egy testre: S =

∫ (r)dm az „m” tömegő testre. ( m)

1.2.2. Mi a definíciója egy merev test súlypontjának? A súlypont az a pont, amelyre az anyagi pontrendszer statikai nyomatéka nulla.

1.2.3. Hogyan számítja ki a súlypontját: n

– rúdnak: xs

∑l ⋅ x = ∑l i

i=1

i

n

∑ Ai ⋅ xi

– lemeznek: xs =

i=1

∑A

n

; ys

n

– testnek: xs =

∑ mi ⋅ xi i=1

∑m

i

∑A ⋅ y = ∑A i

i =1

i

n

; ys =

∑ mi ⋅ yi i =1

∑m

i

n

; zs

∑m ⋅ z = ∑m i =1

i

i

i

1.3. Kényszerek 1.3.1. Mi a kényszer? A kényszerek olyan kapcsolatok a testek között, amelyek azok egymáshoz képesti mozgását valamilyen módon gátolják, vagy akadályozzák.

1.3.2. Mi a szabadságfok? A szabadságfok a test gátolatlan mozgásformáinak száma. Az egyértelmő mozgásleíráshoz szükséges független skalárfüggvények száma.

1.3.3. Hány szabadságfoka van egy merev testnek? – síkban: 3 – térben: 6

1.3.4. Mitıl függ egy kényszer szabadságfokainak száma? Attól, hogy mennyi és milyen fajta mozgásokat tud gátolni.

1.3.5. Mit nevezünk ideális kényszernek? Az ideális kényszerek olyan kényszerek, amelyekben nincs ellenállás a lehetséges mozgásokkal szemben. 13


1.3.6. Hány szabadságfoka van a következı kényszereknek: – egyszerő támasz: 1 – görgı: 1 – csukló: 2 – csúszka: 2 – befogás: síkban: 3; térben: 6

1.3.7. Mikor mondunk egy merev testet/szerkezetet statikailag határozottnak? Akkor, ha pontosan annyi szabadságfokától fosztottuk meg kényszerekkel, mint amennyivel rendelkezik.

1.4. Rúdszerkezetek 1.4.1. Mit nevezünk rácsos szerkezetnek? – A rácsos szerkezet olyan rudakból áll, amelyek csak két végükön csatlakoznak egy, vagy több másik rúdhoz. (a csatlakozási helyet csomópontnak nevezzük). – A külsı erırendszer koncentrált erıkbıl áll, és ezek csak csomópontokban mőködnek. Egy rúdra a csatlakozó csomópontról mőködı erınek rúdirányúnak kell lennie, és fordítva is.

1.4.2. Mi a szükséges feltétele annak, hogy egy rácsos szerkezet statikailag határozott legyen? Az, hogy a független egyensúlyi egyenletek és az ismeretlenek száma pontosan megegyezik. Valamint: 2 ⋅ c = r + nk , ahol:

- „c” a csomópontok száma,

– „r” a rudak száma, – „ nk ” a külsı kényszerekkel lekötött szabadságfokok száma.

1.4.3. Miért nem elégséges ez a feltétel? Azért, mert még fenn kell állnia, hogy: r = 2 ⋅ c − 3 , amely csak rúdháromszögekbıl felépített rácsos szerkezet esetén elégséges.

1.4.4. Mi a csomóponti módszer lényege? A szerkezet csomópontjainak egyensúlyából határozzuk meg a rúderıket, sorra véve minden csomópontot. Csak olyan csomópontból indulhatunk ki, vagy térhetünk át, ahol az összefutó rúderık közül csak kettı az ismeretlen.

1.4.5. Mi az átmetszı módszer lényege? A módszer lényege, hogy a szerkezetet úgy vágjuk szét egy vonallal két különálló részre, hogy csak három rudat vágunk el, és ezek nem futhatnak össze közös csomópontba. 14


Az elvágott rudakban ébredı rúderıket az egyik fél egyensúlyából meghatározhatjuk (3 egyenlet 3 ismeretlen)

1.4.6. Mi a vakrúd? Miért van rá szükség? A vakrúd olyan rúd, amelyben nem ébred rúderı. Biztonsági okokból van rá szükség, azért, hogy ha valamelyik rúd tönkremegy a szerkezetben, akkor a megnövekedett terhelést felvegye.

1.4.7. Mit nevezünk csuklós szerkezetnek? Az olyan szerkezeteket, amelyben a rudak csuklókkal kapcsolódnak össze, csuklós szerkezetnek nevezzük.

1.4.8. Mi a bakállvány? A háromcsuklós szerkezetek alappéldája. Ezek jellegzetessége, hogy a reakciókényszereket két csukló alkotja, és az ezeken fellépı erık egyike sem rúdirányú, valamint két merev testbıl állnak, melyek csuklóval kapcsolódnak egymáshoz, és mindkét merev testen vannak aktív erık.

1.4.9. Mi a részekre bontás elve? A részekre bontásnál például a két rúdból álló fenti szerkezetet felbontjuk két különálló merev testre, ahol megjelenik a csuklóerı is. Ezáltal a két rúd rúderı-összetevıibıl és a csuklóerı két összetevıjébıl összesen 6 ismeretlent kapunk, melyekre 6 egyensúlyi egyenlet írható fel. Ebbıl meghatározhatók az ismeretlenek

1.4.10. Mi a szuperpozíció? Egy szerkezetet vizsgálhatunk úgy is, hogy egyszerre a terhelı erırendszernek csak az egyik felét adjuk rá a szerkezetre, ezzel meghatározhatjuk például a reakcióerıket. Majd a terhelı erırendszer másik részére is kiszámítjuk a reakciókat, az eredı reakció erırendszer a két rész-reakció erırendszer összege lesz.

1.5. Igénybevételek 1.5.1. Mi az igénybevétel? Az igénybevétel, a keresztmetszethez tartozó fogalom. Belsı erıt jelent, amely akkor válik láthatóvá, ha a keresztmetszet síkjával két részre vágjuk a rudat. Az egyik felét megtartjuk, a másik felére mőködı erırendszer hatását pótoljuk: redukáljuk ezt az erırendszert a keresztmetszet súlypontjába, ez szolgáltatja az igénybevételeket.

1.5.2. Hány igénybevételi fajtát ismer? 4-t. ☺

1.5.3. Mi a normálerı? A normálerı a keresztmetszet síkjára merıleges erı.

15


1.5.4. Mi a nyíróerı? A nyíróerı a keresztmetszet síkjával párhuzamos erı.

1.5.5. Mi a hajlító nyomaték? A hajlító nyomaték a keresztmetszet síkjával párhuzamos nyomaték.

1.5.6. Mi a csavaró nyomaték? A csavaró nyomaték a keresztmetszet síkjára merıleges nyomaték.

1.5.7. Mi az összefüggés a megoszló erırendszer, a nyíróerı és a hajlító nyomaték függvény között? Ez milyen következménnyel jár az igénybevételi ábrák rajzolásánál? Egyenes rúdnak tiszta nyíró igénybevétele nem lehet, a nyírással mindig együtt jár a csavarás. – Ahol a megoszló terhelésben szakadás van, ott: − A nyíróerı-ábrának töréspontja van, − A hajlító-nyomatéki ábra görbéi közös érintıvel csatlakoznak. – Ahol koncentrált (nyíró) erı mőködik, ott: − A nyíróerı-ábrában szakadás van, − A hajlító-nyomatéki függvényben töréspont van. – Ahol koncentrált erıpár mőködik, ott: − A nyíróerı-ábra görbéi közös érintıvel csatlakoznak, − A hajlító-nyomatéki ábrában szakadás van. – Ahol a nyíróerı-ábra metszi a nulla vonalat, ott van a maximális hajlító nyomaték. – Az ábrák közt differenciális kapcsolat van. A nyíróerı ábra a hajlító-nyomatéki függvény deriváltja.

1.5.8. Hogyan változtatja meg az igénybevételeket rúdszerkezetben? – a csukló: nem képes felvenni nyomatékot. – a csúszka: – a merev kapcsolat:

1.5.9. Hogyan lehet meghatározni az igénybevételeket síkgörbe rudakban? Az erı(ke)t fel kell bontani a keresztmetszetre merıleges és azzal párhuzamos összetevıkre, majd a keresztmetszetek helyét a középvonalon felvett ívkoordinátákkal kell megadni. Minden keresztmetszetben az éppen aktuális nagyságú erıkkel kell dolgozni, majd ezeket összeadni.

16


1.6. Nem ideális kényszerek 1.6.1. Mit nevezünk Coulomb-súrlódásnak? Amikor az érintkezı testek közti felületek nem ideálisak, akkor azokat csak Coulombsúrlódással tudjuk figyelembe venni. A Coulomb-súrlódás: amikor két- egy pontban vagy felületen érintkezı -test egymáshoz képest ellenállás nélkül elcsúszhat (nincs súrlódás), akkor a két test közt ébredı erı merıleges a közös érintısíkra. Ez az ideális kényszererı iránya. Ha van súrlódás a két test között, akkor a közöttük ébredı erı iránya eltérhet az ideálistól, és egy kúpon-a súrlódási kúpon- belül, illetve még a palástján is lehet. Ez az erı mindig olyan irányú, amilyen ahhoz szükséges, hogy a két érintkezı test ne csússzon el egymáshoz képest.

1.6.2. Mi a súrlódási kúp? Ha van súrlódás két test között, akkor a közöttük ébredı erı iránya eltérhet az ideálistól, és egy kúpon-a súrlódási kúpon- belül, illetve még a palástján is lehet. Ez az erı mindig olyan irányú, amilyen ahhoz szükséges, hogy a két érintkezı test ne csússzon el egymáshoz képest. Ha az erı éppen a kúp palástján helyezkedik el, akkor a test a megcsúszás határhelyzetébe kerül.

1.6.3. Mi a tapadási súrlódási tényezı? A súrlódási fél kúpszög tangense.

1.6.4. Mi az önzárás? Akkor alakul ki, ha a súrlódási erı nagyobb, mint az igénybevételi erı. Ennek csavaroknál, illetve kör alakú rudakra feltekert köteleknél lehet jelentısége. A húzás hatására a szerkezet egyensúlyban marad.

1.6.5. Mi az egyensúly feltétele Coulomb-súrlódás esetén? Az egyensúly feltétele, hogy a testek között ható erı egy kúpon, –a súrlódási kúpon– belül, vagy annak palástján legyen.

1.6.6. Mi az egyensúly feltétele kötélsúrlódás esetén? A kötélsúrlódás esetén az egyensúly feltétele: e

− µ0 ⋅α

<

K1 < eµ ⋅α , ahol a K1ésK2 a K2 0

kötélerık.

1.6.7. Mi a gördülı ellenállás karja? Henger (tárcsa, kerék) síkon való gördülésekor az érintkezés nem egy pontban történik az alakváltozás miatt, ezért amikor pl.: A G súlyú hengerre elég kicsi M0 nyomatékú erıpár mőködik, az nem kezd mozogni, hanem nyugalomban marad. Ez úgy lehetséges, hogy az érintkezési felületen létrejövı megoszló reakció-erırendszer eredıje olyan, hogy képes egyensúlyt tartani a G-vel és M0-al. A reakcióerı-rendszer eredıjének hatásvonala nem esik egybe G hatásvonalával, hanem attól „k” távolságra van. Úgy mondjuk, hogy a kényszererı támadáspontja képes kilépni az ideális érintkezési pontból, a kilépés maximális értékét f = kmax -t a gördülı ellenállás karjának nevezzük. 17


1.6.8. Hol jelenik meg a gyakorlatban a gördülı ellenállás? Henger (tárcsa, kerék) síkon való gördülésekor jelenhet meg, ha a gördülı test például nagyon kis mértékben deformálható. Ez esetben az érintkezés vonalmenti érintkezésbıl felületmenti érintkezésbe megy át.

18


2. SZILÁRDSÁGTAN 2.1. Rúdmodell 2.1.1. Milyen mechanikai modellt nevezünk „rúd”-nak? Rúdnak nevezzük az olyan testet, amelynek az egyik mérete lényegesen nagyobb a másik kettınél.

2.1.2. Mi a súlypontvonal és mi a keresztmetszet? A súlypontvonal olyan egyenes, amely pl. egy rúd hossza mentén minden pontbeli keresztmetszetben a súlyponton halad keresztül. A keresztmetszet egy test hossztengelyére vett merıleges metszéke.

2.1.3. Hogyan használjuk az igénybevételi ábrákat a rúd méretezésekor, ellenırzésekor? Az igénybevételi ábrák a veszélyes keresztmetszet megkereséséhez adnak segítséget. Az esetek többségében ott van a veszélyes keresztmetszet, ahol a hajlító-nyomatéki függvénynek maximuma van. (Ott van a hajlítónyomatéknak maximuma, ahol a nyíróerı zérus (ill. elıjelet vált).) Ettıl eltérı esetekben ott is lehet veszélyes keresztmetszet, ahol kisebb hajlító-nyomaték mellett ugyan, de megjelenik egy más fajta igénybevétel is, és ezek együtt nagyobb kockázatot jelentenek. Illetve a nem állandó keresztmetszető rudak esetén a kisebb terhelés is okozhat nagyobb feszültséget egy kisebb keresztmetszetben.

2.1.4. Mi a Bernoulli-hipotézis? Miért van rá szükség? A Bernoulli hipotézis kimondja, hogy egyenes hajlítás esetén: – A keresztmetszet síkja továbbra is sík marad, – A keresztmetszetek keresztmetszetek maradnak, – A súlypontvonal hossza nem változik.

2.1.5. Mi a Saint-Venant-elv? A Saint –Venant-elv azt mondja ki, hogy az erıbevezetés helyétıl eléggé távoli pontokban az alakváltozási és a feszültségi állapot nem változik meg, ha az erırendszert egy vele statikailag egyenértékő másik erırendszerrel helyettesítjük (az erıbevezetés helyén). Ez rúd esetén azt jelenti, hogy ha a rúd, a hosszához képest kicsiny szakaszon kapja a terhelést (vagy ezen a kicsi hosszon oszlik meg a terhelés), akkor ezt helyettesíthetjük koncentrált erıvel, illetve erıpárral. Nem vékonyfalú szelvény (keresztmetszet) esetén ez a távolság a keresztmetszeti méret 1-1,5 szerese. (Vékonyfalú szelvény esetén sokkal nagyobb is lehet!). Ezen a távolságon belül a tényleges feszültségi- és alakváltozási állapot eltér a rudakra levezetett, képletekkel számított értékektıl. Ugyanez a helyzet ugrásszerő keresztmetszet változás környezetében is.

2.1.6. Milyen feszültség ébred a rúd egy keresztmetszetében? – normál igénybevétel esetén: normál feszültség 19


– tiszta hajlítás esetén: normál feszültség (ilyenkor nincs nyírás (a valóságban nem létezik)), egyenes hajlítás esetén normál-, és csúsztató feszültség (ha van nyíróerı). – csavarás esetén: csúsztató feszültség. – nyírás esetén: csúsztató feszültség.

2.1.7. Mi a hajlítás tengelye? A hajlító-nyomaték vektora által kijelölt (súlyponti!) egyenes a keresztmetszetben.

2.1.8. Mikor beszélünk „tiszta” és mikor „egyenes” hajlításról? – Tiszta hajlításkor nem lép fel nyíró igénybevétel a hajlítás során, az igénybevétel csak hajlítás. (A valóságban ilyen nem létezik). – Egyenes hajlításkor a hajlítás tengelye egybeesik a keresztmetszet valamelyik súlyponti fıtengelyével.

2.1.9. Mi a zérustengely ferde hajlítás esetén? A zérustengely definíció szerint az a képzeletbeli tengely, amelyre teljesül, hogy σX = 0 . A zérustengely egyenlete: z =

Mhz Iy ⋅ ⋅y. Mhy Iz

2.1.10. Mi a Grashof-képlet? Mikor használjuk? Görbe rudak tiszta hajlításánál használjuk, a σ feszültség eloszlását adja meg a keresztmetszetben.

σX (z) =

Mh Mh R + ⋅ ⋅ z , ahol: -„ Mh ”a hajlító-nyomaték R ⋅ A IR R + z

– „R” a görbületi sugár – „z” a paraméter – „A” a keresztmetszet nagysága.

R ⋅ z2dA , a redukált másodrendő nyomaték. AR+z

– IR = ∫

Rudak esetén három eset különböztethetı meg: – Egyenes rúd:

– Görbe rúd:

R > 8 , ekkor a Navier-képlettel dogozhatunk. 2 ⋅e

R < 2 , ekkor a Grasfof-képletet kell használni. 2 ⋅e

20


– Ha 2 <

R < 8 , ekkor is a Grasfof-képlet használatos, de egyszerősödik, 2 ⋅e

mivel ez esetben a redukált másodrendő nyomaték jó közelítéssel megegyezik a hajlítás tengelyére vett másodrendő nyomatékkal: Iy ≈ IR .

2.1.11. Milyen a feszültség eloszlása görbe rúd adott keresztmetszetében? A normál feszültség eloszlása a görbületi sugár irányában a Grashof-képlet szerint hiperbolikus, a z=0 pontokban nem nulla. A görbületi középpont felé esı részben lesz nagy a feszültség.

2.1.12. Milyen irányú a csúsztató feszültség kör keresztmetszető rúd csavarásakor a keresztmetszet tetszıleges pontjában? Kör és körgyőrő keresztmetszető rudak csavarásakor a keresztmetszet síkjában csak csúsztató feszültség ébred, ami lineárisan változik a sugár mentén, és merıleges a sugárra (a sugárral rajzolt körhöz érintı irányú). A csúsztató feszültség a külsı, kerületi pontokban a legnagyobb, irányítása pedig megegyezik a csavaró nyomaték irányításával.

2.1.13. Mit tud a csúsztató feszültség irányáról nyírás esetén? Nyíráskor

τ(z) ≡ τxz =

a

csúsztató

feszültséget

a

következı

kifejezés

adja:

V Sy (z) ⋅ , ahol: Iy a(z)

– „V” a nyíróerı – „ Iy ” a keresztmetszet másodrendő nyomatéka – „ Sy (z) a „z” paraméter által meghatározott távolság fölötti keresztmetszetrész statikai nyomatéka az y tengelyre. – „a(z)” a „z” paraméter magasságában a „húsvastagság”. A nyíróerı irányára merıleges és párhuzamos is azzal (tau feszültségek dualitása), és általában parabolikus alakú (lásd másodrendő nyomaték képlete).

2.1.14. Hogyan határozza meg a rúd keresztmetszetének szükséges méretét? 2.1.14.1.

Húzás és hajlítás esetén: Feszültségcsúcsra való méretezéskor σX < σXMEG re törekszünk.

Hajlításkor a legnagyobb feszültség a szélsı szálban ébred, így: σXMAX =

Mhy (x) ⋅e, Iy

ahol: – „ Iy ” a keresztmetszet másodrendő nyomatéka a hajlítás tengelyére. – „e” a szélsı szál távolsága a hajlítás tengelyétıl.

21


Bevezethetı a keresztmetszeti tényezı:

Ky =

M Iy KySZÜKS. = hy σMEG . e , így:

A keresztmetszeti tényezıbıl, -mivel az tartalmazza a keresztmetszet fı méreteit a másodrendő nyomaték révén-, meghatározhatók a szükséges méretek. Az így kapott méreteket felfelé kerekítjük, hogy ha visszaszámolunk úgy hogy a húzó igénybevételt is figyelembe vesszük (maximális feszültség N/A-val nagyobb lesz), akkor is megfeleljen, de ha a húzó igénybevétel nem nagyobb nagyságrendekkel a hajlítónyomatékál, akkor a húzó igénybevételbıl keletkezı feszültség elhagyható.

2.1.14.2.

Húzás és csavarás esetén:

Csavarásnál a csúsztatófeszültség eloszlását a keresztmetszetben a következı képlet adja: τXtMAX =

MT ⋅ r , kör keresztmetszető rudak esetén, ahol: IP

d4 ⋅ π – „ Ip ”a keresztmetszet poláris másodrendő nyomatéka. (Körre: Ip = ) 32 – „r” a sugár paraméter. (szélsı szál) – „ MT a csavaró nyomaték

Ip MT d3 ⋅ π Bevezethetı a keresztmetszeti tényezı: Kp = , így: KPSZÜKS. = . = körre : r 16 τMEG Itt is elhanyagolható általában a húzó igénybevételbıl származó feszültség.

2.1.14.3.

Hajlítás és csavarás (esetleg húzás) esetén:

Hajlítás, csavarás és húzás esetére a feszültségek egymásra szuperponálódnak. Például hajlítás és húzás számolásakor: σX =

Mhy N ⋅ z + , ahol: - „N” a normálerı. Iy A

Ide ezt kell írni: Hajlítás és csavarás többtengelyő összetett igénybevétel egyszerre keletkezik szigma jellegő és tau jellegő feszültség is. Ebben az esetben egy redukált feszültséget kell számolni, és ezt kell összehasonlítani a megengedett feszültséggel. A maximális szigma jellegő feszültség hajlításkor:

σ=

τ= Csavaráskor:

Mh K

Mt Kp

Kör és körgyőrő keresztmetszet esetén:

Kp = 2 ⋅ K

22


τ=

Mt Mt = Kp 2 ⋅ K

σ red = σ 2 + α ⋅τ 2 = A redukált feszültség:

M h2 M t2 1 α α + ⋅ = ⋅ M h2 + ⋅ M t2 2 2 4⋅ K 4 K K

Mohr: α = 4 HMH: α = 3 A gyökjel alatti kifejezést redukált nyomatéknak is nevezik. Ebbıl a megengedett feszültség és a nyomatékok ismeretében K meghatározható.

2.1.15. Minek alapján végzi el a rúd szilárdsági ellenırzését összetett igénybevétel esetén? Egytengelyő feszültségi állapot esetén a feszültségeket össze kell adni (pl. húzáshajlítás). Többtengelyő összetett igénybevétel esetén redukált feszültséget kell számítani. (pl. elızı pont) Normálerı és hajlítás esetén: – Egyenes rúd, egyenes hajlítása: σX = – Egyenes rúd ferde hajlítása: σX = – Görbe rúd hajlítása: σX (z) =

Mhy (x) N(x) ⋅z + Iy (x) A(x)

Mhy (x) N(x) Mhz (x) ⋅z + − ⋅y Iy (x) A(x) Iz (x)

Mh (s) M R N(s) + h⋅ ⋅z + R(s) ⋅ A(s) IR R + z A(s)

az igénybevételek egymásra szuperponálódnak.

2.1.16. Mik a veszélyes keresztmetszetek ill. pontok? A veszélyes keresztmetszet az a hely, ahol a rúd, vagy tartó elhasználódásának, vagy törésének a legnagyobb a valószínősége. Ez általában a hajlító-nyomatéki függvény maximumánál van.Veszélyes pontja az a pontja a keresztmetszetnek, amelyben a legnagyobb feszültség keletkezik.

2.2. Síkidomok másodrendő nyomatékai 2.2.1. Mi a definíciója és mi a fizikai tartalma a következı mennyiségeknek? – tengelyre számított másodrendő nyomaték: IX = ∫ y dA és IY = ∫ x dA . 2

A

2

A

(Ekvatoriális)

23


Az adott tengelyre mekkora képzeletbeli nyomatékot ad a felület. Értéke mindig pozitív, nem függ a tengely irányításától. – tengelypárra számított másodrendő nyomaték: IXY = ∫ (xy)dA . (Centrifugális) A

A tengely irányításának megváltoztatásával elıjelet vált, értéke nulla, ha az egyik tengely szimmetria tengely. – poláris másodrendő nyomaték: IP = ∫ r dA . 2

A

R ⋅ z2dA . AR+z

– redukált másodrendő nyomaték: IR = ∫

2.2.2. Mit mond ki a párhuzamos tengelyek tétele (Steiner-tétel)? A tétel szerint, ha az x’;y’ súlyponti, és az x; y koordináta-rendszer-középponti tengelykeresztek párhuzamosak, akkor a két ponthoz tartozó mátrixok elemei között a következı kapcsolat áll fenn:

IX ' = IX − yS2 ⋅ A IY' = IY − xS2 ⋅ A

, ahol:

IX 'Y' = IXY − xS ⋅ yS ⋅ A – „A” a síkidom területe, – „ xS ”és „ yS ”a súlypont koordinátái az x-y tengelykeresztben. – A két mátrix pedig:

(−IXY )  (−IX 'Y' )   I  IX' IO =  X valamint: I =  (−I ) S IY  IY'  ( x;y ) ( x ';y ')  (−IYX )  Y 'X ' A két tengelykereszt közül az egyiknek súlypontinak kell lennie Az összes párhuzamos tengelyre számított másodrendő nyomaték közül a súlyponti tengelyre számított a legkisebb.

2.2.3. Mik egy ponthoz tartozó másodrendő nyomatéki mátrix elemei és mire használjuk ezt a mátrixot?

(−IXY )   I IO =  X a mátrix elemei: IY  ( x;y )  (−IYX ) – a fıátlóban a tengelyre számított másodrendő nyomatékok, – a mellékátlóban pedig a tengelykeresztre számított másodrendő nyomatékok szerepelnek.

24


2.2.4. Mik a másodrendő nyomatéki fıtengelyek és a fı másodrendő nyomatékok? – A másodrendő nyomatéki fıtengelyek: az a két, egymásra merıleges, adott pontban metszıdı tengely, amelyekre a tengelykeresztre vett másodrendő nyomaték értéke nulla. – A fı másodrendő nyomatékok: Az adott pontbeli fıtengelyekre számított másodrendő nyomatékok. Ezekre: I1 > I2 .

2.2.5. Hogyan határozzuk nyomatékokat?

meg

a

fıtengelyeket

és

a

fı

másodrendő

Kétféleképpen határozhatjuk meg ıket: – Mohr-körök segítségével, – Sajátérték-sajátvektor számítással.

2.2.6. A szilárdságtan mely témaköreiben és hogyan használjuk fel a másodrendő nyomatékokat? A szilárdságtanban fıként a méretezéseknél használjuk ıket, mivel az erre szolgáló képletekhez (Navier-;Grashof; stb…) szükség van rájuk.

2.3. Rudak alakváltozása 2.3.1. Mi a rugalmas szál differenciálegyenlete?

Mhy d2w(x) d2w(x) , ebbıl: ≡ w '' = −φY (x) , ahol φY (x) a keresztmetszet ≡ w '' = − dx2 dx2 IY ⋅ E „y” tengely körüli szögelfordulása.

2.3.2. Mik a járulékképletek? A járulékképletek a rugalmas szál differenciálegyenletének a megoldásai egyes esetekre.

2.3.3. Hogyan számolja ki egyensúlyi erırendszerrel terhelt rúd egy adott keresztmetszetének? – adott irányú elmozdulását: A rugalmas szál differenciálegyenletének megoldásából – adott tengely körüli szögelfordulását: A rugalmas szál differenciálegyenletének a megoldásából deriválással. Ezen kívül a kérdéses mennyiségek meghatározhatóak még a munkatételek segítségével is.

25


2.3.4. Hogyan számol alakváltozási energiát rudakban? A rúdban felhalmozott alakváltozási energiát közvetlenül az igénybevételekbıl számítjuk

2.3.4.1. Egyenes rúd esetén (a rúd tengelye az x tengely):

N(x) 2 – A rúderıbıl: U = ∫ dx , ( l ) 2 ⋅ A(x) ⋅ E N

Mh1 (x) 2 Mh 2 (x) 2 – A hajlításból: U = ∫ dx + ∫ dx , ( l ) 2 ⋅ I1 (x) ⋅ E ( l ) 2 ⋅ I2 (x) ⋅ E Mh

MT (x) 2 – Csavarásból: U = ∫ dx , ahol: - „G” a csúsztató rugalmassági ( l ) 2 ⋅ IT (x) ⋅ G MT

modulusz. – Nyírásra nem adható általános képlet, minden egyes keresztmetszetre külön kell levezetni. Viszont ez szükségtelen, mivel a nyírással mindig hajlítás is párosul, ami mellett a nyírásból származó igénybevétel elhanyagolható. Összetett igénybevételek esetén összeadódnak az egyes részenergiák.

2.3.4.2. Síkgörbe rúd esetén: (feltéve, hogy a hajlítás egyenes)

[N(s) + M (s) / R] ds + 2

N+ Mh

– A rúderıbıl és hajlításból: U

=

∫ (l )

valamint:

h

2⋅A⋅E

MhY (s) 2 ds , ∫ ( l ) 2 ⋅ IR ⋅ E

R ≥ 3 esetén az elsı integrál elhanyagolható. 2 ⋅e

MT (x) 2 – Csavarásnál ugyanúgy számolunk, mint egyenes rúdnál: U = ∫ dx , ( l ) 2 ⋅ IT (x) ⋅ G MT

ahol: - „G” a csúsztató rugalmassági modulusz.

2.3.5. Mi a kapcsolat az alakváltozási energia és a munkatételek között? Ezt hosszabban is ki lehetne fejteni, de az már a munkatételek levezetése lenne. A munkatételekben az-az alakváltozási energia deriváltjai szerepelnek.

2.3.6. Mi a Betti-tétel? A szilárdságtan egyik munkatétele. A Betti-tétel az un. idegen munkák egyenlıségét

W =W

21 . Ez azt jelenti, hogy a szerkezetre két különbözı – egy 1-es és egy 2-es mondja ki: 12 – külön-külön egyensúlyi erırendszert mőködtetünk különbözı sorrendben felvíve. A már fent lévı 1-es erırendszer munkát végez akkor, amikor a 2-es erırendszer felvitelekor tovább

26


alakváltozik a szerkezet – ez az 1-es erırendszer munkája a 2-es okozta alakváltozás során (W12). Fordított sorrendben felvíve az erırendszereket a 2-es fog munkát végezni az 1-es okozta alakváltozás során (W21). A tétel szerint a 2-es erırendszer munkája az 1-es okozta elmozdulásokon ugyanannyi, mint az 1-es munkája a 2-es okozta elmozdulásokon. Itt azt is el kellene mondani, hogy úgy lehet vele lehajlást számolni, hogy fel kell venni egy egységnyi erıbıl és a reakcióból álló erırendszert, stb. de ezt rajzolni kéne…

2.3.7. Mi a Castigliano-tétel? A szilárdságtan egyik munkatétele. Azt mondja ki, hogy az alakváltozási energiának, a szerkezetet terhelı valamely koncentrált erı szerinti parciális deriváltja megadja az erı támadáspontjának az erı irányú elmozdulását. Rudak esetén általánosítható ez erıpárokra is: az alakváltozási energiának, a szerkezetet terhelı valamely koncentrált erıpár szerinti parciális deriváltja megadja az erıpár keresztmetszetének az erıpár tengelye körüli szögelfordulását.

2.3.8. Mikor mondunk egy rúdszerkezetet statikailag határozatlannak? Külsı erıkre nézve határozatlan a szerkezet, amikor megtámasztása (kényszerek) olyan, hogy a kényszereken létrejöhetı erırendszer skalár összetevıinek száma nagyobb, mint a független skalár egyensúlyi egyenletek száma. Belsı erıkre nézve határozatlan, ha a külsı – egyensúlyi – erırendszer ismert, mégsem tudjuk meghatározni a belsı erıket – igénybevételeket, feszültségeket – ilyenek a zárt középvonalú rúdszerkezetek (keretek) és a különbözı tulajdonságú anyagokból álló szerkezetek.

2.3.9. Hogyan lehet meghatározni a reakciókat és a belsı erırendszert statikailag határozatlan rúdszerkezetben? – Statikailag határozottá tesszük a szerkezetet úgy, hogy a meglévı kényszerekbıl elveszünk annyit, hogy a megmaradt kényszererık meghatározhatók legyenek az egyensúlyi egyenletekbıl. – Az elvetett kényszererıket aktív erıkként mőködtetjük. – Biztosítjuk az eredeti kényszerek által elıírt alakváltozási feltételeket, ami azt jelenti, hogy az aktívvá tett reakcióerı támadáspontjának az erı irányú elmozdulása (vagy erıpár esetén a szögelfordulás) nulla. Ezt az elmozdulást (vagy szögelfordulást) meghatározhatjuk akár a Betti-, akár a Castiglianotétellel. Belsı erıkhöz úgy jutunk, hogy pl. a zárt keretnél elvágjuk valamelyik rudat és az elhagyott rész hatását pótoljuk a belsı erıkkel. Az elvágással ezeket az erıket aktív erıkké tettük, amelyekkel felírhatók az igénybevételi függvények és az alakváltozási energia is. Innen a Castigliano-tétel ad megoldást.

2.3.10. Mikor lép fel a kihajlás veszélye? Kihajlás akkor lép fel, ha egy keresztmetszeti méreteihez képest hosszú rudat nyomással terhelünk.

27


2.3.11. A keresztmetszet melyik tengelye körül következik be a kihajlása? A hossztengely hajlik ki, rá merıleges irányban. A kihajlás a keresztmetszet kisebbik inercianyomatékához tartozó fıtengely körül fog végbemenni.

2.3.12. Mik a következık? 2.3.12.1.

kritikus erı:

Az az erı, melynek hatására létrejövı feszültség értékénél a rúd egyensúlyi alakja már nem stabil, a legkisebb zavarás megszőnése után sem tér vissza egyensúlyi helyzetébe, hanem mozgásba jön, görbülete egyre nı, amíg el nem törik. A kritikus erı Euler szerint: 2

π FKR =   ⋅ I2 ⋅ E , ahol:  l0  – l0 a rúd kihajlási hossza (fél szinusz-hullám hossza) – I2 a keresztmetszet legkisebb súlyponti másodrendő nyomatéka.

2.3.12.2.

kritikus feszültség:

A kritikus erı okozta feszültség. σKR. =

2.3.12.3.

i2 =

FKR A0

inerciasugár:

I2 , ahol: A0 – A0 a keresztmetszet. – I2 a keresztmetszet legkisebb súlyponti másodrendő nyomatéka.

2.3.12.4.

karcsúság:

λ=

2.3.12.5.

l0 i2

kihajlási hossz:

A rúd megtámasztásától függ. A meggörbült alak szinuszos, és a kihajlási hossz l0 a fél szinusz-hullám hossza.

28


2.3.13. Hogyan ellenırzünk kihajlásra? Kiszámoljuk a kritikus feszültséget/erıt a karcsúságnak megfelelı elmélet segítségével, ezt elosztjuk egy biztonsági tényezıvel, és ez lesz a megengedett feszültség/erı, ha a szerkezetben fellépı feszültség/erı ennél kisebb, akkor megfelel!!!

2.3.14. Mit adnak meg az Euler- és a Tetmajer-képletek? Mikor érvényes az Euler- és mikor a Tetmajer-képlet? Az Euler - és Tetmajer – képletek a kritikus feszültséget adják meg. Az Euler – képlet akkor érvényes, ha λ ≥ λ0 , ahol λ0 anyagjellemzı, táblázatból kikereshetı. A Tetmajer – képletet akkor használjuk, ha λ ≥ λF , ahol λF anyagjellemzı, táblázatból kikereshetı.

2.4. Feszültségi állapot 2.4.1. Mi a feszültségi állapot? Az r helyvektorú pontban a különbözı állású síkokhoz tartozó feszültségvektorok összessége. Megadása három kölcsönösen merıleges síkhoz tartozó feszültségvektorral:

σ = ρn1 ; ρn 2 ; ρn3  T

Leírása a feszültség-tenzorral történik, melynek tulajdonsága, hogy az n irányhoz hozzárendeli a ρN feszültségvektort. Ez egy szimmetrikus tenzor (a csúsztató feszültségek duálisak).

2.4.2. Mi a feszültség vektor? A test r helyvektorú pontjában valamilyen állású (normálvektorú) felületen a belsı felületi erırendszer intenzitása. ρN (r) .

29


2.4.3. Mi a normál és csúsztató feszültség? A normál feszültség a keresztmetszetre merıleges feszültség, a rúderıbıl és a hajlításból adódik. A csúsztató feszültség a keresztmetszet síkjába esı feszültség, a nyírásból és a csavarásból adódik.

2.4.4. Mi szükséges ahhoz, hogy egy pontban ismerjük a feszültségi állapotot? Az szükséges hozzá, hogy ismerjünk 3 egymásra merıleges feszültségvektort a pontban. Egy pontban ismerjük a feszültségi állapotot, ha ismerjük a feszültségvektort.

2.4.5. Mire használható a „feszültségi kis kocka”? A feszültségi kis kocka arra használható, hogy a lapjain szemléltethessük a feszültség tenzor elemeit, a normál-, és csúsztató feszültségeket.

2.4.6. Mi a feszültségi tenzor? A feszültségi tenzor a tér három irányában fellépı feszültségeket foglalja magában. Az n irányhoz hozzárendeli a ρN feszültségvektort. Ez egy szimmetrikus tenzor (a csúsztató feszültségek duálisak).

2.4.7. Mi a különbség a feszültségi tenzor és mátrix között? A feszültségi tenzor mátrixa a feszültségi tenzor transzponáltja a matematikai szabály szerint.

2.4.8. A feszültségi tenzor ismeretében hogyan kapjuk meg egy tetszıleges síkhoz tartozó feszültség vektort, ennek normál és csúsztató komponenseit? – A feszültség – tenzorból a feszültség-vektor: ρN = σ ⋅ n , ahol az n a tetszıleges T

irány. – A normál-feszültség összetevık: σn = n ⋅ ρN = n ⋅ σ ⋅ n T

T

T

– A csúsztató-feszültség összetevıi: τn = ρn − σn ⋅ n

2.4.9. Mit nevezünk fıfeszültségnek és feszültségi fıiránynak? A fıfeszültségek a fısíkokhoz tartozó normál feszültségek. (A fısík egy ponton átmenı azon sík, amelyhez nem tartozik csúsztató-feszültség. Legalább három ilyen sík van, ezek merılegesek egymásra.) A feszültségi fıirányok a feszültségi fısíkok normálisai által meghatározott irányok.

30


2.4.10. Hogyan ábrázoljuk a feszültségi állapotot Mohr-körökkel?

31


32


2.4.11. Mi a feszültségi deviátor?

σd ≡ σ −

σI ⋅ E . A feszültség - tenzor része. 3

2.5. Alakváltozási állapot 2.5.1. Mi a fajlagos nyúlás és a szögváltozás definíciója? A fajlagos nyúlás az eredeti hosszúságra vonatkoztatott hosszváltozás: lim a→ 0

∆a ≡ εn1 , a

ahol: - εn1 az n irányhoz tartozó fajlagos nyúlás. A szögváltozás pedig egy adott pontban két vonalelem (irány) α szögének megváltozása. A fajlagos szögváltozás a merıleges vonalelemek (irányok) 90°-os szögének megváltozása.

33


2.5.2. Mi az alakváltozási állapot? Az alakváltozási állapotot mindig pontban értelmezzük, a pontban a különbözı irányokhoz tartozó alakváltozási jellemzık összessége alkotja. Megadása három egymásra merıleges irányhoz tartozó alakváltozási jellemzıkkel (6 adat). Leírása másodrendő tenzorral, amit egy koordinátarendszerben mátrixával adhatunk meg.

2.5.3. Mi szükséges ahhoz, hogy egy pontban ismerjük az alakváltozási állapotot? Az alakváltozási állapotot ismerjük a test egy pontjában, ha ismerjük három merıleges irányhoz az alakváltozási jellemzıket: fajlagos nyúlásokat és szögváltozásokat (90°-os szögek megváltozását).

2.5.4. Mi az alakváltozási tenzor? A fajlagos nyúlásokat és szögváltozásokat (90°-os szögek megváltozását) tartalmazó másodrendő tenzor.

2.5.5. Az alakváltozási állapot ismeretében hogyan számolja ki az adott pontban egy tetszıleges irányhoz tartozó fajlagos nyúlás értékét?

n ⋅ ε(r) ⋅ n = εn (r) , ahol „n” egy tetszıleges irány vektora. T

2.5.6. Az alakváltozási állapot ismeretében hogyan számolja ki az adott pontból kiinduló, adott irányú rövid vonaldarab hosszának megváltozását?

∆a = εn ⋅ a , ahol „a” a vonaldarab hossza. A képlet akkor igaz, ha feltesszük, hogy az a hosszon belül az alakváltozási állapot elhanyagolható.

2.5.7. Mit nevezünk fınyúlásnak és alakváltozási fıiránynak? – Az alakváltozási fıirányok: az a a három merıleges irány, amelyek egymással bezárt 90°-os szöge nem változik meg az alakváltozás folyamán. – A fınyúlások: a fıirányokhoz tartozó fajlagos nyúlások.

2.5.8. Mikor mondhatjuk „kicsi”-nek az alakváltozást? Akkor, ha az alakváltozási tenzor mátrixának elemei éppen a koordináta irányokhoz tartozó alakváltozási jellemzık.

2.5.9. Kis alakváltozás esetén mi írja le a fajlagos térfogatváltozást egy pont környezetében? Milyen esetben nem használható ez? Kis alakváltozás esetén egy pont környezetében a dV elemi térfogat fajlagos megváltozása: υ ≡

∆(dV) = ε1 az alakváltozási tenzor elsı skalár invariánsa (a fıátlóbeli dV

elemek összege).

34


2.5.10. Mi az alakváltozási tenzor térfogatváltozást ill. az alaktorzulást leíró része? A térfogatváltozást leíró rész: εI , az alakváltozási tenzor elsı skalár invariánsa (a fıátlóbeli elemek összege). Az alaktorzulást leíró rész: εTORZ. = ε − εTÉRF. , ahol εTÉRF. =

εI ε ⋅ E , így: εd = ε − I ⋅ E , 3 3

ami deviátor tenzor, mivel az elsı skalár invariánsa nulla.

2.6. Anyagtörvény 2.6.1. Mi a Hooke-törvény? Mikor használható? A Hooke-törvény a homogén, izotróp, lineárisan rugalmas anyag törvénye, a σ és az ε közötti kapcsolatot fejezi ki. – Az egyszerő Hooke-törvény: σ = E ⋅ ε

 

– Az általános Hooke-törvény pedig: σ = 2 ⋅ G ⋅ ε +

G=

ν  ⋅ εI ⋅ E , ahol: 1− 2 ⋅ν 

E . 2 ⋅ (1 + ν)

– Illetve az alakváltozási tenzorral: ε =

1+ ν  ν  ⋅ σ − ⋅ σI ⋅ E ,ez pedig E  1+ ν 

felírható az egyes irányokra különbözı skalár egyenletekkel.

2.6.2. Mit jelent az, hogy az anyag: 2.6.2.1. rugalmas A test az igénybevétel, vagy terheléskor alakváltozik, a terhelés befejezıdése után visszanyeri eredeti alakját.

2.6.2.2. homogén Bármely térrészben az anyag eloszlása egyenletes. Az anyag tulajdonságai a tér minden pontjában azonosak.

2.6.2.3. izotróp Irányfüggetlen. A különbözı irányból ható terhelésekre egyformán reagál.

2.6.3. Mit jelent az, hogy az anyag lineárisan rugalmas?: A terhelés-alakváltozás görbe lineáris (egyenes). 35


2.6.4. Mik között ad kapcsolatot az általános Hooke-törvény? Írja fel ezt a kapcsolatot! A feszültség tenzor, illetve az alakváltozási tenzor elemei között.

 

Az általános Hooke-törvény: σ = 2 ⋅ G ⋅ ε + Illetve az alakváltozási tenzorral: ε =

ν E  ⋅ εI ⋅ E , ahol: G = . 1− 2 ⋅ν 2 ⋅ (1 + ν) 

1+ ν  ν  ⋅ σ − ⋅ σI ⋅ E . E  1+ ν 

2.7. Méretezés, ellenırzés 2.7.1. Mi a megengedett feszültség? Az a határ-feszültség, amelyet túllépve az anyag maradandó károsodást szenved. Az értéke anyag-, illetve szerkezet függı. Az anyagra nézve értéke egy veszélyes feszültség (tipikusan a folyáshatár) és egy „n” biztonsági tényezı hányadosa:

σMEG =

Veszélyes _ feszültség Biztonsági _ tényezı

2.7.2. Mi lehet veszélyes feszültség? Veszélyes feszültség lehet például a folyáshatár.

2.7.3. Mi a biztonsági tényezı? A bizonsági tényezı jele általában „n”. A szerepe az, hogy kellı mértéket tartson ahhoz, hogy a szerkezetet érı terhelés ne érje el a kritikus értéket.

2.7.4. Mi a feszültségcsúcsra történı méretezés alapelve? Feszültségcsúcsra való méretezéskor meghatározzuk az anyagban ébredı legnagyobb igénybevételt, és ezt hasonlítjuk össze a megengedett feszültséggel. Ha a legnagyobb igénybevétel a megengedett feszültség érték alatt van, akkor a szerkezet megfelelı.

2.7.5. Mit jelent az ellenırzés? Az ellenırzés az a folyamat, melynek során egy ismert terheléssel bíró szerkezetet számolunk, és meggyızıdünk róla, hogy az valóban képes elviselni az ıt érı hatásokat.

2.7.6. Mi az egyenértékő (redukált) feszültség? Olyan egytengelyő feszültségi állapot, amely ugyanolyan veszélyes, mint a többtengelyő.

2.7.7. Mi az egyenértékőség alapja? – a Mohr-elméletben: σEGY = σ1 − σ3 , vagyis a legnagyobb Mohr – kör átmérıje. M

36


– a HMH-elméletben: σEGY = HMH

σEGY = HMH

3 .σ : σ , kifejezve: 2 d d

1 ⋅ (σX − σY ) 2 + (σY − σZ ) 2 + (σZ − σX ) 2 + 6 ⋅ (τXY + τYZ + τZX ) 2

2.7.8. Miért nevezik a HMH-elméletet „munkaelméletnek” is? Mert kimondja, hogy ha két feszültségi állapot akkor ugyanolyan veszélyes, ha a torzítási energiasőrőség ugyanakkora: uTORZ. = uTORZ. ,ahol: uTORZ. = 1

2

1 ⋅σ :σ . 2 d d

2.7.9. Hogyan számolja ki az egyenértékő feszültséget? – a Mohr elmélet szerint: σEGY = σ1 − σ3 M

– HMH-elmélet szerint:

σHMH = EGY σEGY = HMH

3 .σ : σ , kifejezve: 2 d d

1 ⋅ (σX − σY ) 2 + (σY − σZ ) 2 + (σZ − σX ) 2 + 6 ⋅ (τXY + τYZ + τZX ) 2

2.8. Forgáshéjak membránelmélete 2.8.1. Mit jelent a „membrán feszültségi állapot” hipotézis? Milyen feltételek teljesülése esetén fogadható el? Azt jelenti, hogy a vastagság mentén nem változnak a feszültségek. A tapasztalat szerint azokban a pontokban ad elfogadható eredményt, amelyek: – eléggé távol vannak az erıbevezetés, – a hirtelen sugárváltozás, – és a hirtelen vastagság változás helyétıl. – Belı felületi pontokban: σn = −p – Külsı felületi pontokban: σn = 0

2.8.2. Mik a feszültségi fıirányok a héj tetszıleges pontjában? – A középfelület normálisa: n – A meridiánsík normálisa: et – A meridiánsíkra merıleges, n - et tartalmazó sík normálisa: em

37


2.8.3. Mik a fı görbületi sugarak? – A meridiángörbe görbületi sugara, vagyis az adott pontban a meridián görbe görbületi sugara ρm . – A középfelület meridiánsíkra merıleges normál - metszetének görbületi sugara. ρt .

2.8.4. Mik a fı görbületi sugarak – hengeres héj esetén: – gömbhéj esetén: – kúphéj esetén:

38


2.8.5. Milyen képletekkel számolhatók a feszültségek? A képletek általánosan:

σm σt p σ p + = és m = , ahol: ρm ρt v ρt 2 ⋅ v

– - „v” a falvastagság A speciális esetekre lásd a fenti szöveget.

39


2.8.6. Hogyan számolja ki hengeres héj esetén az alábbiakat? 2.8.6.1. átmérı megváltozását:

1 δ = ∆D = D ⋅ εt = D ⋅ ⋅ (σt + v ⋅ p) , ahol: E – „v” a falvastagság – „D” az eredeti átmérı – „p” a nyomás – „E” a rugalmassági modulusz

2.8.6.2. a hossz megváltozását:

εz = l ⋅ εm

2.9. Külsı és belsı nyomással terhelt vastag falú csı 2.9.1. Milyen koordináta rendszert használunk a feszültségi állapot leírásához? A feszültségi állapot leírásához henger-koordinátarendszert használunk, mert a feladat mind geometriailag, mind dinamikailag tengelyszimmetrikus.

2.9.2. Mik az alakváltozási és feszültségi fıirányok a csıfalban?

40


2.9.3. Milyen a feszültségek eloszlása a sugár mentén? A feszültségek eloszlása a sugár mentén hiperbolikus.

2.9.4. Hogyan számolja a feszültségeket? B r2 B σt = A + 2 r σz = C σr = A −

2.9.5. Mik a peremfeltételek? σr (rb ) = −pb σr (rk ) = −pk

2.9.6. Mit jelent az, hogy a csı „nyitott” illetve „zárt”? – Zárt a csı: ha fenékkel van lezárva, és a csı „z” irányú terhelését a fenékre ható nyomás okozza. – Nyitott a csı: ha a csıben a nyomást pl.: egy dugattyú tartja meg, így a csı vége szabad, terheletlen.

2.9.7. Hogyan számolja ki a csı alábbi tulajdonságait? 2.9.7.1. külsı (vagy belsı) átmérıjének megváltozását: ∆D = ε t ⋅ D

2.9.7.2. hosszának megváltozását: ∆L = ε z ⋅ L

2.9.8. Hol legnagyobb az egyenértékő feszültség és hogyan határozza meg?

σEGY.max

2 ⋅ K2 r = 2 ⋅ (pb − pk ) , ahol: - K = K , sugárviszony, 1-nél nagyobb pozitív szám. K −1 rB

Ennek a legnagyobb értéke K=1-nél van, vagyis a belsı felületen. 41


3. KINEMATIKA ÉS DINAMIKA 3.1. Anyagi pont kinematikája 3.1.1. Mi a definíciója a következı alapfogalmaknak? 3.1.1.1. Pálya: A mozgástörvény grafikonja a térben, valamilyen görbe (térgörbe), de fontos speciális esetek az egyenes és a körív.

3.1.1.2. Mozgástörvény: Az anyagi pont helyének változását írja le, azaz a helyvektort az idı paraméter függvényében. A mozgástörvényt általában 3 skalárfüggvény írja le egyértelmően.

3.1.1.3. Sebességvektor: Az a vektor, melynek nagysága arányos a sebesség nagyságával, iránya pedig a sebesség irányába mutat. A sebességvektor idıfüggvényét úgy kaphatjuk meg, ha a d mozgástörvény idı szerinti elsı deriváltját képezzük: v ( t ) = r ( t ) = r& ( t ) dt

3.1.1.4. Pályasebesség: A befutási törvény s (t ) idı szerinti elsı deriváltja: s& ( t ) . A pályasebesség a sebességvektor abszolút értékével egyezik meg.

Az ívhossz szerint is paraméterezhetjük a pályát: r ( s ) az „s” helyére a befutási törvényt formálisan behelyettesítve és a láncszabály szerinti deriválást elvégezve: dr ( s ) d dr ds v (t ) = r ( s (t )) = ⋅ = et ⋅ s& ( t ) ( et = az érintıirányú egységvektor dt ds dt ds (differenciálgeometriából…)).

3.1.1.5. Gyorsulásvektor: Az a vektor, melynek nagysága arányos a gyorsulás nagyságával, iránya pedig annak irányába mutat. A gyorsulásvektor idıfüggvényét úgy kaphatjuk meg, ha a mozgástörvény d2 r (t ) idı szerinti második deriváltját képezzük: a ( t ) = 2 r ( t ) = && dt

3.1.1.6. Pályagyorsulás: A tangenciális irányú gyorsulás.

3.1.1.7. (Fı) normális irányú gyorsulás: Az a gyorsulás, amely a sebesség irányára merıleges irányítottságú.

3.1.1.8. Hodográf: A sebességvektor idıbeli változása által meghatározott pálya. 42


3.1.1.9. Foronómiai görbék: A foronómiai görbék a mozgáshoz kapcsolódó mennyiségek grafikus ábrázolásai az idı függvényében: s-t; v-t; at-t grafikonok. (an-t ez nem tartozik hozzá szigorúan véve a foronómiai görbékhez, mert nem érvényes rá a differenciális kapcsolat). Ezek egymásból deriválással vagy integrálással állíthatók elı.

3.2. Merev test kinematikája 3.2.1. Mit nevezünk merev testnek? Olyan, általában folytonos anyagi pontrendszer, ahol a pontok egymástól mért távolsága az idıben állandó.

3.2.2. Mikor ismert egy merev test pillanatnyi sebességállapota? Egy merev test sebességi állapota ismert, ha ismert a térben egy tetszıleges pontjának a sebessége, valamint szögsebessége. (ez a térben 6 ismeretlent jelent). Ennek ismeretében a sebesség bármely pontban számítható a sebességredukciós képlettel: vB = vA + ω × rAB .

3.2.3. Hogyan osztályozzuk a pillanatnyi mozgásokat? – Pillanatnyi nyugalom: ω = 0; _ vA = 0 – Elemi haladó mozgás: ω = 0; _ vA ≠ 0 (Ebben az esetben minden pont sebessége azonos!) – Elemi forgó mozgás: Található olyan A pont hogy: ω ≠ 0; _ vA = 0 , vagy:

ω ≠ 0; _ vA ≠ 0 , de ω ≠ vA (Ez így valahogy nem jó, mert a szögsebesség sose egyenlı a sebességgel, szerintem itt merıleges jelnek kéne lenni, de ez az elsı esetbıl következik.) – Pillanatnyi csavarmozgás: Van olyan pont melyben: v II ω

3.2.4. Mit értünk pillanatnyi forgástengelyen? Pillanatnyi forgástengely az a képzeletbeli tengely, amelyre igaz az, hogy a test sebességállapota abban az idıpillanatban olyan, mintha a test ekörül a tengely körül forogna.

3.2.5. Mi jellemzi a pillanatnyi csavarmozgást? Található olyan pont melyre igaz, hogy: v II ω

3.2.6. Hogyan kereshetjük meg a pillanatnyi csavarmozgás tengelyét? Pillanatnyi csavarmozgás tengelye mindig a szögsebesség vektorral párhuzamos. A tengely azon P pontját kereshetjük meg egy A pont sebességének ismeretében, melyre teljesül, hogy az A pontból a keresett pontba mutató vektor merıleges a szögsebesség vektorra, ugyanis: vP = vA + ω × rAP Tudjuk, hogy vP párhuzamos ω vektorral. 43


Az egyenlet mindkét oldalát ω -val megszorozva:

vP × ω = vA × ω + ω × rAP × ω 0 = vA × ω + ω 2 ⋅ rAP − (ω ⋅ rAP ) ⋅ ω Tudjuk, hogy ω merıleges rAP -re, ( ω ⋅ rAP ) = 0 0 = vA × ω + ω 2 ⋅ rAP

ω 2 ⋅ rAP = − vA × ω ω 2 ⋅ rAP = ω × vA ω × vA rAP = ω2 Tehát ismert a centrális egyenes egy pontja és az iránya, ezért ismert maga az egyenes is!

3.2.7. Mikor ismert egy merev test pillanatnyi gyorsulásállapota? Egy merev test gyorsulás állapota ismert, ha ismert a térben a mozgásának szögsebessége, valamint szöggyorsulása, és egy tetszıleges pontjának (normális- és tangenciális) gyorsulásvektora. Ennek ismeretében a gyorsulás bármely pontban számítható a gyorsulásredukciós képlettel: aB = aA + ε × rAB + ω × ω × rAB

3.2.8. Mit értünk egy merev test véges mozgásán? A véges mozgások kombinációiból adódnak.

olyan

mozgások,

amelyek

elemi

mozgások

végtelen

3.2.9. Milyen véges mozgásokat ismer? Például: Haladó mozgás, álló tengely körüli forgás, gömbi mozgás, síkmozgás, csavarmozgás.

3.2.10. Mely véges mozgás esetén beszélhetünk pillanatnyi sebességpólusról, illetve gyorsuláspólusról? Síkmozgás esetén.

3.2.11. Mi a sebességpólus? Hogyan kereshetjük meg a helyét? A centrális egyenes (pillanatnyi forgástengely) P pontja a mozgás síkjában, melyre teljesül, hogy : vP = 0 . A helyének képlete: rAP =

ω × vA ω2

.

3.2.12. Hogyan számíthatjuk ki a pólusvándorlás sebességét? Melyik pólusra vonatkozik ez? Az u pólusvándorlás sebessége a P geometriai pont , mint mértani hely (nem anyagi pont) sebessége. Kiszámításának módja: u =

ω × aP ω2

.

44


3.2.13. Mit értünk álló, illetve mozgó pólusgörbe alatt? Milyen kapcsolatban állnak egymással? A pólusgörbék arra szolgálnak, hogy a merev testek általános síkbeli mozgását testek egymáson való legördüléseként szemléltesse. A merev testhez képest a P sebességpólus helye az idıben változik, ezt az

rAP ( t) =

ω ( t) × vA ( t) ω2 ( t)

vektor írja le, és ezt nevezzük mozgó pólusgörbének.

Egy álló, rögzített merev testhez képest rA (t) vektor írja le az A pont mozgástörvényét. A P pont helye ezzel az álló rendszerben rP ( t) = rA ( t) +

ω ( t) × vA ( t) ω2 ( t)

. Ezt nevezzük álló

pólusgörbének. A merev test mozgása megfelel a mozgó pólusgörbe álló pólusgörbén való legördülésének.

3.2.14. Mi a gyorsuláspólus? Hogyan kereshetjük meg a helyét? A gyorsulás pólus az a G pont, amelyre teljesül, hogy aG = 0 . Helyének

ε × aA + ω2 ⋅ aA meghatározása a rAG = képlettel történik. ε2 + ω4 3.2.15. Mi a sebességábra és milyen jellemzıit ismeri? A sebességábra a síkmozgást végzı test vizsgált pontjainak sebességvektorait tartalmazza egy közös kezdıpontból felmérve. A sebességábra pontjai megkaphatók az eredeti test pontjainak a sebességpólus körüli, a szögsebesség irányába történı 90°-os elforgatással, és a pontok távolságának omega - szorosra nagyításával.

3.2.16. Mi a gyorsulásábra és milyen jellemzıit ismeri? A gyorsulásábra a síkmozgást végzı test vizsgált pontjainak gyorsulásvektorait tartalmazza egy közös kezdıpontból felmérve. A gyorsulásábra pontjai megkaphatók az eredeti test pontjainak a gyorsuláspólus körüli, a szöggyorsulás irányába történı

α = arctg

ε elforgatással, és a pontok távolságának ε 2 + ω 4 -szeresére nagyításával. 2 ω

45


3.3. Relatív kinematika 3.3.1. Mi a szállító sebesség? – Két test egymáshoz képesti mozgása esetén a szállítósebesség az a sebesség, amellyel az a test mozog, amely „szállítja” a másikat, vagyis amelyikhez rögzítettük a relatív koordinátarendszert. – Helyesebben: Annak a pontnak a sebessége, amely a vizsgált ponttal egybeesik, de ahhoz a testhez tartozik, amelyhez a relatív mozgás leírására használt koordinátarendszert kötöttük. – Másképp: A mozgó koordinátarendszer azon pontjának abszolút sebessége, amelyben a vizsgált pont tartózkodik.

3.3.2. Mi a szállító gyorsulás? – Két test egymáshoz képesti mozgása esetén a szállítógyorsulás az a gyorsulás, amellyel az a test gyorsul, amely „szállítja” a másikat, vagyis amelyikhez rögzítettük az relatív koordinátarendszert. – Helyesebben: Annak a pontnak a gyorsulása, amely a vizsgált ponttal egybeesik, de ahhoz a testhez tartozik, amelyhez a relatív mozgás leírására használt koordinátarendszert kötöttük. – Másképp: A mozgó koordinátarendszer azon pontjának abszolút gyorsulása, amelyben a vizsgált pont tartózkodik.

3.3.3. Milyen összefüggés írható fel egy vektor - skalár függvény – egymáshoz képest mozgó koordináta-rendszerekben képzett – idı szerinti elsı deriváltjai között? Egy vektor (vektor-skalár függvény pl.: a relatív szögsebesség) amely a relatív (mozgóforgó) koordinátarendszerben mind irány, mind nagyság szempontjából idıben állandó, az abszolút koordinátarendszerbıl nézve változtatja irányát, de nagyságát nem. Az irányváltozás miatt az idı szerinti derivált nem lesz 0, hanem pontosan az irányváltozást okozó vektorral vett keresztszorzata lesz az eredeti (mozgó koordinátarendszer - ben állandó) vektornak. Pl.: a relatív szögsebesség állandó. És kikötjük, hogy a mozgó koordinátarendszer szöggyorsulása 0, akkor: a vizsgált test szöggyorsulása:

ε = ω& 20 = ω10 × ω21 = ω10 × ω20

3.3.4. Mely esetekben lesz zérus a Coriolis gyorsulás? A Coriolis gyorsulás képlete: aPCor = 2 ⋅ ω10 × βP . Ez a kifejezés akkor nulla, ha vagy a szögsebesség nulla, vagy a relatív sebesség zérus, vagy a két vektor egymással párhuzamos.

46


3.4. Anyagi pont dinamikája 3.4.1. Írja fel a dinamika alaptörvényét anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

&I ; DA ]A = F; MA ]A . Álló pontra: &I ; π& 0 ]0 = F; M0 ]0

d – Az I& az impulzus derivált, vagy kinetikai mennyiség. ( &I = (m ⋅ v) ). dt

– Az impulzus nyomatéka az „A” pontra a perdület. ( πA = rAP × I ).

& a perdület derivált. – Aπ – A DA a kinetikai nyomaték, az impulzusderivált nyomatéka az „A” pontra. ( DA = rAP × &I )

& 0 . A dinamika alaptörvényét célszerő álló pontra felírni. Álló pont esetén: D0 = π 3.4.2. Írja fel az impulzus tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! t1

t1

t0

t0

∫ &Idt = ∫ Fdt , ahol a baloldal az impulzus megváltozása, a jobboldal pedig

definíciószerően az erıimpulzus. Ha a jobb oldal zérus, akkor az impulzus állandó marad. (Ütközések számításánál hasznos)

3.4.3. Írja fel a perdület tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! t1

t1

∫ π& dt = ∫ M dt , 0

t0

0

ahol a baloldal a perdület megváltozása, a jobboldal pedig a

t0

nyomatékimpulzus.

3.4.4. Írja fel a teljesítmény tételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

T& = P , ahol T& a kinetikus energia deriváltja, a P pedig a teljesítmény. 3.4.5. Írja fel a munkatételt anyagi pontra és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! A munkatétel a teljesítménytétel integrálja:

t1

t1

t0

t0

& = ∫ Pdt , ahol a baloldal a kinetikus ∫ Tdt

energia megváltozása, a jobboldal pedig definíciószerően az erı által végzett munka. 47


3.4.6. Definiálja a kinetikai nyomaték vektort anyagi pontra! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik!

& A + vA × I . , ahol a kifejezés A kinetikai nyomaték definíciószerően: DA = π egyszerősíthetı, ha: &0, – az „O” pont álló pont: D0 = π & P = 0 (Ez talán elírás, a második egyenlıség helyett – vP II I , ilyenkor DP = π valószínő + jel kell, mert a keresztszorzat lesz 0.

3.5. Anyagi pontrendszerek dinamikája 3.5.1. Írja fel a dinamika alaptörvényét anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

&I ; DA ]A = F; MA ]A &I ; π& 0 ]0 = F; M0 ]0 álló pontra, &I ; π& s ]s = F; Ms ]s súlypontra. A mennyiségek ugyanazok, mint fent. 3.5.2. Írja fel az impulzus tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! t1

t1

t0

t0

∫ &Idt = ∫ Fdt , ahol a baloldal az impulzus megváltozása, a jobboldal a külsı erık

összege.

3.5.3. Írja fel a perdület tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! t1

t1

t0

t0

∫ π& 0dt = ∫ M0dt , ahol a baloldal a perdület megváltozása, a jobboldal pedig a

nyomatékimpulzus.

3.5.4. Írja fel a teljesítmény tételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

T& = PF + PB, ahol PF a külsı erık teljesítménye, PB a belsı erık teljesítménye. PB=0 is lehet rudak és kötelek esetén.

3.5.5. Írja fel a munkatételt anyagi pontrendszerre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! A munkatétel a teljesítménytétel integrál alakja. T(t1) - T(t2) = W01F + W01B

48


3.5.6. Definiálja a kinetikai nyomaték vektort anyagi pontrendszerre! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik! n

∑r i=1

Ai

× mi ⋅ ai , az egyszerősödés feltétele ugyanaz, mint anyagi pont esetén.

3.6. Merev testek dinamikája 3.6.1. Írja fel a tehetetlenségi nyomaték mátrixának általános alakját és adja meg az egyes elemek kiszámítási szabályát! Adjon példákat olyan szimmetriákra, amikor a tehetetlenségi nyomaték mátrixa egyszerőbb alakú!

 Θξ  Ez egy szimmetrikus mátrix: ΘS =  −Dηξ  −D  ζξ

−Dξη Θη −Dζη

−Dξζ   −Dηζ  . Θζ 

Az egyes értékek számítása: – Θξ =

2

+ ζ2 )dm

2

+ ζ2 )dm

2

+ η2 )dm

∫ (η ( m)

– Θη =

∫ (ξ ( m)

– Θζ =

∫ (ξ (m)

A deviációs tehetetlenségi nyomatékok: – Dξη =

∫ (ξ ⋅ η)dm ( m)

– Dξζ =

∫ (ξ ⋅ ζ)dm (m)

– Dηζ =

∫ (η ⋅ ζ)dm (m)

Amikor a tehetetlenségi fıtengelyek egyben szimmetriatengelyek is akkor a tehetetlenségi nyomatéki mátrix diagonálissá válik, a deviációs nyomatékok zérus értékőek. Helyesebben: A tehetetlenségi fıtengelyek koordinátarendszerében felírt másodrendő nyomatéki mátrix diagonális.

3.6.2. Mit mond ki a párhuzamos tengelyek tétele? A párhuzamos tengelyek tétele szerint a tehetetlenségi nyomatékok átszámolhatók egy tengelyrıl (ez súlyponti tengely kell, hogy legyen) egy tetszıleges ezen tengellyel párhuzamos másik tengelyre az alábbi képlet szerint: 49


ΘA = ΘS + m ⋅ r2 , ahol ΘS , a súlyponti tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték, „m” a tömeg, „r” pedig a két tengely távolsága. 2 2 + zAS  yAS  Általánosabban: ΘA = ΘS + ΘAS , ahol ΘAS = m ⋅  −yAS ⋅ xAS  −z ⋅ x  AS AS

−xAS ⋅ yAS 2 2 xAS + zAS −zAS ⋅ yAS

−xAS ⋅ zAS   −yAS ⋅ zAS  . 2 2  xAS + yAS 

3.6.3. Adja meg a perdület derivált számítására vonatkozó Euler-formulát!

π& S = ΘS ⋅ ε + ω × (ΘS ⋅ ω) , ahol (ΘS ⋅ ω) = πS , súlypontra vonatkoztatva. 3.6.4. Írja fel a dinamika alaptörvényét merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

&I ; DA ]A = F; MA ]A . Álló pontra: &I ; π& 0 ]0 = F; M0 ]0 – Az &I az impulzus derivált, vagy kinetikai mennyiség. ( &I =

d (m ⋅ v) ) dt

– ( I& = m ⋅ aS fontos a súlypont!). – Az impulzus nyomatéka az „A” pontra a perdület. ( πA = rAP × I ).

& a perdület derivált. – Aπ – A DA a kinetikai nyomaték, az impulzusderivált nyomatéka az „A” pontra. ( DA = rAP × i )

& 0 . A dinamika alaptörvényét célszerő súlypontra, vagy álló Álló pont esetén: D0 = π pontra felírni. 3.6.5. Írja fel az impulzus tételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket! t1

t1

t0

t0

∫ &Idt = ∫ Fdt , ahol a baloldal az impulzus megváltozása, a jobboldal pedig

definíciószerően az erıimpulzus.

3.6.6. Írja fel a perdület tételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!: t1

t1

∫ π dt = ∫ M dt , 0

t0

0

ahol a baloldal a perdület megváltozása, a jobboldal pedig a

t0

nyomatékimpulzus. (O álló pont esetén).

50


3.6.7. Írja fel a teljesítmény tételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

T& = P , ahol T& a kinetikus energia deriváltja, P pedig a teljesítmény. 3.6.8. Írja fel a munkatételt merev testre és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

T1 − T0 = W01 , ahol T1 − T0 , a kinetikus energia megváltozása, W01 pedig a végzett munka.

3.6.9. Definiálja a kinetikai nyomaték vektort merev testre! Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik!

(

)

Általános pontra: DA = Θ A ⋅ ε + ω × Θ A ⋅ ω + rAS × m ⋅ a A

DS = π& S = ΘS ⋅ ε + ω × πS , súlypontra, illetve „o” indexeléssel álló pontra. 3.6.10. Hogyan számítjuk ki egy merev test kinetikus energiáját? Soroljon fel olyan eseteket, amikor az általános kifejezés alakja leegyszerősödik!

1 1 T T = ⋅ m ⋅ vS2 + ⋅ ω ⋅ ΘS ⋅ ω 2 2 Egyszerőbb álló pontra: T =

1 T ⋅ ω ⋅ ΘO ⋅ ω 2

3.6.11. Mi a gördülés kinematikai illetve dinamikai feltétele? – Kinematikai: Az érintkezési pontban a sebesség 0 legyen, ez akkor teljesül, ha v ω= S . r – Dinamikai: A súrlódási tényezı kellıen nagy legyen ahhoz, hogy a dinamika alaptételébıl számítható gördüléshez szükséges súrlódóerı ki tudjon alakulni. („Szemléletesen: a súrlódóerı forgatja a gördülı kereket, ha nem lenne, vagy nem lenne elegendıen nagy megcsúszna”).

3.6.12. Mikor nevezünk egy forgórészt statikailag kiegyensúlyozatlannak? Statikailag kiegyensúlyozatlan egy forgórész, ha nincs excentricitás, a súlypont a forgástengelyen belül van.

3.6.13. Mikor nevezünk egy forgórészt dinamikailag kiegyensúlyozatlannak? A forgórész tehetetlenségi fıtengelye párhuzamos a forgástengellyel.

51


3.7. Általános kérdések 3.7.1. Fogalmazza meg Newton I., II., illetve III. axiómáját! – 1. axióma: Egy anyagi pont nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, ha rá erı nem hat. – 2. axióma: A testre ható erık vektori erdıje megegyezik az n

impulzusderiválttal!: &I = F , ahol, F = ∑ Fk , az anyagi pontra ható erık vektori k=1

eredıje. (A dinamika alaptétele!) – 3. axióma: Két anyagi pont kölcsönhatása (erı/ellenerı)egyenlı nagyságú, egymással ellentétes értelmő.

3.7.2. Mit nevezünk inerciarendszernek? Inerciarendszerek azok a vonatkoztatási rendszerek, amelyekben az 1. axióma igaz. (Például ilyen lehet a föld felszíne, a nap, stb.)

3.7.3. Mikor nevezünk egy erıt potenciálosnak? Adjon példákat potenciálos és nem potenciálos erıkre! Potenciálos egy erı, ha létezik U(r) potenciálfüggvény, amelybıl negatív gradiensként számolható. F = -gradU(r) – Potenciálos erık például: Nehézségi erı, rugóerı. – Nem potenciálos erı például a csúszó súrlódó erı.

3.7.4. Mi jellemzi a konzervatív erıtereket?: A konzervatív erıterek tulajdonságai: – A konzervatív erıtér örvénymentes – A konzervatív erıtérben az erı munkája az úttól függetlenül számolható – Az erı az F= - grad(U) képlettel számítható.

3.7.5. Mit nevezünk kényszermozgásnak? Kényszermozgásról beszélünk akkor, ha az anyagi pont általunk elıre ismeretlen, a kialakuló mozgástól függı kényszererık hatására elıírt kényszerpályán (kényszerfelületen) mozog. (pl.: robotkar mőködı egysége, vagy ablaktisztításkor egy adott felületre van kényszerítve a mozgás.)

3.7.6. Mit nevezünk ideális kényszernek? Egy kényszer ideális, ha a kényszererı teljesítménye zérus.

52


3.7.7. Mit tüntetünk fel a szabad test ábrán? Szabadtest ábrán a geometriai kényszereket kényszererıkkel helyettesítjük. Csak a testet ragadjuk ki és a ráható erıket, valamint az egyéb vektorokkal megadható mennyiségeket rajzoljuk rá.

3.8. Gyorsuló koordinátarendszerek 3.8.1. Írja fel a dinamika alaptörvényét gyorsuló koordinátarendszerben és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

m ⋅ α = Fr , ahol: – - „m” a tömeg – - „ α ” a relatív gyorsulás – - „ Fr ” a relatív erı A relatív erı két részbıl tevıdik össze. A valóban ható (kölcsönhatásból származó) és a nem kölcsönhatásból származó erıkbıl. A nem kölcsönhatásból származó erıket is úgy tekintjük, mintha kölcsönhatásból származnának.

Fr = F + Fszáll. + FCor. , ahol: – „ F ” a valóban ható erık összessége, – „ Fszáll. = −m ⋅ aszáll. a szállító erı, – „ FCor. = −m ⋅ aCor. a Coriolis erı.

3.8.2. Milyen nem valódi (járulékos) koordinátarendszerekben?

erık

léphetnek

fel

gyorsuló

Szállítóerı, Coriolis erı, (centrifugális erı), stb.

53


4. LENGÉSTAN 4.1. Általános kérdések 4.1.1. Mik a lengırendszer elemei? A lengırendszer elemei: a tömeg(ek), a rugó(k), illetve a csillapítás(ok).

4.1.2. Mi a rugóállandó? A rugóállandó a rugó egységnyi terhelés alatti alakváltozását mutatja meg. Longitudinális rugó esetén az egységnyi erı hatására bekövetkezı megnyúlást vagy megrövidülést, míg torziós rugó esetén az egységnyi nyomaték hatására bekövetkezı szögelfordulást. A rugóállandó a rugómerevség reciproka. (Egyik végén befogott tartóra:

1 l3 c= = ) s 3⋅I⋅E 4.1.3. Mi a rugómerevség? A rugómerevség a rugó által kifejtett erıt, vagy nyomatékot adja meg egységnyi elmozdulás vagy elfordulás hatására. A rugóra jellemzı szilárdsági mutató. (Egyik végén befogott tartóra: s =

3⋅I⋅E ) l3

4.1.4. Mi a mértékegysége a rugóállandónak, a rugómerevségnek?

m

N

A rugóállandó mértékegysége:   , a rugómerevség mértékegysége:   N m

4.1.5. Mit jelent: torziós rugó, longitudinális rugó? – A torziós rugó nyomaték felvételére alkalmas rugó, alakja spirál is lehet (de lehet például egy csavarásra igénybevett egyik végén befogott tömör rúd is torziós rugó.) – A longitudinális rugó erı felvételére alkalmas, hosszirányban nyomódik össze, illetve nyúlik meg.

4.1.6. Mi a rugalmas energia, és hogyan számítjuk ki? A rugalmas energia a rugóban felhalmozott (alakváltozási) energia: U =

1 ⋅ s ⋅ x2 , ahol 2

„s” a rugómerevség, „x” pedig az összenyomódás. Vagy torziós rugó esetén a torziós rugómerevség és szögelfordulás.

54


4.1.7. Mit jelent a lengéstanban a potenciálos erı fizikailag és matematikailag? Adjon rá példát!: – Fizikailag: A potenciálos erı által végzett munka a kezdeti és végállapottól függ csupán, az úttól nem. A végzett munka a kezdeti és végállapotban mért potenciálkülönbséggel egyezik meg. – Matematikailag: A potenciálos erıhöz lehet találni egy olyan függvényt (potenciálfüggvényt) melybıl az erıt gradiens képzéssel és -1-gyel való szorzással megkaphatjuk. Potenciálos erı például a rugóerı. Potenciálfüggvénye az elızı pontban olvasható.

4.1.8. Mit jelent a konzervatív mechanikai rendszer? Konzervatív mechanikai rendszerben csak potenciálos erık mőködnek, és az ilyen rendszerben felírt munkatételbıl az összes (kinetikus és potenciális) energia állandósága következik.

4.1.9. Mit jelent: lineáris rendszer? Mit jelent linearizálni a mozgásegyenletet? A lineáris rendszerekre az jellemzı, hogy a mozgásegyenletben csak a koordináták és annak idı szerinti deriváltjai fordulnak elı konstans együtthatókkal szorozva. (A koordináták és azok deriváltjainak egyéb függvényei pl. sin, cos, tg nem fordulnak elı.) Abban az esetben ha a rendszert leíró mozgásegyenlet nem lineáris, akkor az egyszerőbb megoldhatóság érdekében a statikus egyensúlyi helyzet környezetében kialakuló kis kitéréső lengés (mozgás) esetére az egyenleteket linearizálni szokás. A linearizálás azt jelenti, hogy a koordinátákat tartalmazó függvényeket az érintıjükkel helyettesítjük. Ez pl. sin függvény esetén az argumentumot jelenti, cos függvény esetén konstans 1-et, akkor ha a statikus egyensúlyi helyzet az argumentumban elhelyezkedı koordináta 0 értéke esetén alakul ki. Ha az egyensúly pl. 180°-nál jön létre, sin helyére az argumentum -1-szeresét kell írni, és így tovább. A linearizált egyenlet azonban már csak megfelelıen kis kitérések esetén ad kielégítı pontosságú eredményt. Szögek esetén a mőszaki gyakorlatban ez max.: 5°-ot jelent.

4.1.10. Rugalmas rudak rugómerevség?

mint

rugók

esetében

hogyan

számítható

a

Egyik végén befogott tartó esetén:

3⋅I⋅E d4 ⋅ π s = 3 , ahol: I = (kör keresztmetszető rúdra). l 64 4.1.11. Mi a fizikai jelentése és a képlete a húzó-, hajlító- és csavaró-merevségnek, mi a kapcsolata a rugómerevséggel? A fent említett mennyiségek a rugó anyagának és keresztmetszetének jellemzıi: – A húzómerevség: A ⋅ E , – A hajlító-merevség: I ⋅ E , – A csavaró-merevség: IP ⋅ G , 55


A rugómerevség értéke az egyes merevségekkel egyenesen arányos. (A kialakítástól függ, hogy melyikkel befogott tartó rugómerevsége torziós rugónak használva a csavaróI p ⋅G merevséggel arányos: st = , míg hajlított longitudinális rugóként a hajlító-merevséggel l 3⋅I⋅E A⋅ E s = 3 , és húzásra igénybevett longitudinális rugóként a húzómerevséggel s = .) l l

4.1.12. Mit jelent egy mechanikai rendszer szabadságfoka? A rendszer egyértelmő mozgásleírásához szükséges független skalár - függvények száma.

4.1.13. Mi az ideális kényszer? Adjon rá példát! Egy kényszer ideális, ha a kényszererı teljesítménye zérus. Pl.: súrlódásmentes lejtı, súrlódásmentes csukló, rúd, kötél, súrlódásmenetes megtámasztás.

4.1.14. Mi az általános koordináta? Az általános koordináta az a koordináta, amellyel a rendszer mozgását leírjuk. Intuitív módon választjuk. Lehet ez az elmozdulás, vagy szögelfordulás.

4.1.15. Mi az általános tömeg, mi a mértékegysége? Az általános koordináták bevezetése után felírt mozgásegyenletben az általános koordináta második deriváltjának együtthatója. Avagy az egymással mereven összekapcsolt több tömegbıl álló lengırendszer tömegeivel egyenértékő tömeg, úgy, hogy az eredeti tömegekkel azonos legyen a mozgási energiája azonos sebesség esetén.

4.1.16. Mi az egyenértékő rugómerevség, mi a mértékegysége? Az egyenértékő rugómerevség a rendszerben lévı rugók eredı rugómerevsége.

4.1.17. Mi az egyenértékő csillapítási tényezı, mi a mértékegysége? Az egyenértékő csillapítási tényezı a rendszerben lévı összes csillapítás eredıje.

4.1.18. Mi a Rayleigh-féle disszipatív függvény, mi a mértékegysége? D=

1  Ns  ⋅ k ⋅ q& 2 , ahol: - „k” a csillapítási tényezı   . 2 m

4.1.19. Mi az általános erı, mi a mértékegysége? n

Az általános erı: Q K = ∑ Fi ⋅ i=1

δri , ahol qK az általános koordináta, ri pedig a ponthoz δqK

mutató helyvektor. (Az erık teljesítményének az adott általános koordináta - sebesség szerinti deriváltja).

56


4.2. Egyszabadságfokú lengırendszerek: 4.2.1. Mi az egyszabadságfokú lengırendszer egyenértékő modellje? Mik a benne szereplı mennyiségek jelentései, mértékegységei? Egy tömegbıl, egy rugóból és egy csillapításból áll. A tömeg mértékegysége: m – [kg] A rugó merevség mértékegysége: s -  N 

 m

A csillapítás mértékegysége: k - Ns 



m

4.2.2. Mi az egyszabadságfokú lengırendszer mozgásegyenlete?

&& + k ⋅ X& + s ⋅ X = 0 , ahol: X m m –

s = α2 , a saját körfrekvencia négyzete, m

–

k = 2 ⋅ D ⋅ α , ahol D – A Lehr – féle csillapítási függvény. m

4.2.3. Mi a kényszerrezgés? A gerjesztés hatására kialakuló állandósult állapotbeli rezgés, azaz amit a gerjesztés rákényszerít a lengırendszerre.

4.2.4. Mi az egyszabadságfokú lengırendszer lengését leíró mozgástörvény, és mi a benne szereplı mennyiségek jelentése? A mozgástörvény a mozgásegyenlet, mint differenciálegyenlet megoldása. Az általános megoldás:

X(t) = C1 ⋅ e−D⋅α⋅t cos(γt) + C2 ⋅ e− D⋅α⋅t sin(γt) = B ⋅ e− D⋅α⋅t sin(γt + δ) , ahol C1 ; C2 ; B; δ konstans paraméterek, a kezdeti feltételektıl függenek. Fennáll, hogy: – γ = α ⋅ 1 − D , ami a csillapított rendszer saját körfrekvenciája. 2

– B = C1 + C2 , ami a lengés amplitúdója, – ε = arctg

C1 , ami a fázisszög. C2 57


4.2.5. Mi a sajátfrekvencia, a sajátkörfrekvencia, a periódusidı? – A sajátfrekvencia: f =

α [Hz] = Lengés s 2 ⋅π

 (a gerjesztetlen lengırendszer 

lengéseinek frekvenciája) – A saját körfrekvencia: α =

s  1  rad  = (a gerjesztetlen m  s  s

lengırendszer lengéseinek körfrekvenciája) – A periódusidı: (lengésidı): T =

1 2 ⋅π = [ s] f α

4.2.6. Mi a kapcsolat a sajátfrekvencia és a sajátkörfrekvencia között?

f=

α 2 ⋅π

4.2.7. Mi a rezonancia A rezonancia akkor lép fel, ha a rendszer csillapítása kicsi, és a sajátfrekvencia közelében gerjesztjük: D < 0,1 és 0,8 ⋅ α < ω < 1,3 ⋅ α . Matematikai értelemben, pedig akkor beszélünk rezonanciáról, ha nincs harmonikus megoldása a differenciálegyenletnek: D = 0 és ω = α.

4.2.8. Mi a statikus kitérés? A statikus kitérés az a kitérése a lengırendszernek, amely akkor következne be, ha csak a gerjesztés amplitúdójának megfelelı konstans terhelést adnánk a rendszerre. (A súly alatti deformáció, a differenciálegyenlet partikuláris megoldása.)

4.2.9. Mi a rugók elıfeszítésének hatása tulajdonságaira, és a lengés lefutására?

a

lengırendszer

dinamikai

A rugók elıfeszítése nem befolyásolja a dinamikai egyenleteket, csak a rugókban kialakuló maximális erıt és a statikus egyensúlyi helyzetet.

4.2.10. Mi az általános koordináta nulla értéke különbözı felvételének hatása a lengırendszer dinamikai tulajdonságaira, és a lengés lefutására?: Semmi, csak a kiszámított mozgástörvények is a 0 szint felvételének megfelelıen eltolódnak. A koordinátarendszer megválasztása nem befolyásolhatja a rendszer mőködését.

4.2.11. Mi a definíciója a Lehr-féle csillapítási tényezınek? A Lehr-féle csillapítási tényezı jele: D. A logaritmikus dekrementum bevezetésével lett származtatva: D =

Λ

4 ⋅ π2 + Λ 2

., ahol Λ a logaritmikus dekrementum.

58


(Vagy: D =

k k = ... = ) 2 ⋅ m ⋅α 2⋅ s⋅m

4.2.12. Miért hívják a Lehr féle csillapítási tényezıt relatív csillapításnak? Azért, mert pontosan azt mutatja meg, hogy a rendszer csillapítása hányszorosa a kritikus csillapítású ugyanolyan egyéb paraméterekkel rendelkezı rendszernek, vagyis könnyen lehet következtetni belıle arra, hogy lengések fognak-e kialakulni vagy aperiodikus lesz a megoldás.

4.2.13. Hasonlítsa össze a szárazsúrlódással csillapított lengırendszert a sebességgel arányos csillapítású lengırendszerrel! – Szárazsúrlódásos: − A lengésidı ugyanaz, mint csillapítatlan esetben. − A lengés amplitúdók fél-lengésenként 2 ⋅ f0 -al csökkennek, ezzel számtani sort alkotnak, lineárisan csökkennek. − Megállás „n” fél-lengés után, ha A

n⋅

1 2

< f0

– Viszkózus csillapításos: − A lengésidı (növekszik) nagyobb, mint csillapítatlan lengés esetén. − A lengés amplitúdók mértani sort alkotnak, vagyis a csökkenés exponenciális. − Elvileg sosem áll meg.

4.2.14. Milyen törvényszerőség szerint csökkennek a kitérések szárazsúrlódásos csillapítás esetén? Szárazsúrlódásos esetben a lengés amplitúdók fél-lengésenként 2 ⋅ f0 -al csökkennek, ezzel számtani sort alkotnak, lineárisan csökkennek.

4.2.15. Milyen törvényszerőség szerint csökkennek a kitérések viszkózus csillapítás esetén? Viszkózus esetben a lengés amplitúdók mértani sort alkotnak, vagyis a csökkenés exponenciális.

4.2.16. Mi a bizonytalansági sáv? A bizonytalansági sáv a kitérés-idı diagramban az az intervallum [-f0; f0], amelyen belül a lengés bármikor megállhat.

59


4.2.17. Mi a rezonanciagörbe? Mi van a tengelyeken, mi a paraméter, milyen különbözı jellegő tartományai vannak?

A rezonancia diagram, más néven amplitúdó-frekvencia diagram, különbözı csillapítások esetén a nagyítást mutatja a frekvencia függvényében. A függıleges tengelyen a nagyítási tényezı szerepel, a vízszintesen pedig a frekvenciahányados. A paraméter pedig a D csillapítási tényezı. A tartományok az ábráról leolvashatók.

4.2.18. Mi a nagyítási tényezı fizikai jelentése? A nagyítási tényezı megmutatja, hogy a lengés amplitúdója hányszorosa a statikus kitérésnek. A = N ⋅ f0 .

4.2.19. Mi a fáziskésés? Mit jelent az ellenfázis? A fáziskésés az a szög, amely megmutatja, hogy a gerjesztéshez képest mennyit késik a rendszer, vagyis, hogy hogyan képes követni az ıt érı „behatásokat”. Ellenfázisban van a rendszer, ha a mozgásának az iránya ellentétes a gerjesztés irányával.

60


A fáziskésés a frekvenciaviszony függvényében különbözı csillapítások esetére a következı ábrán látható:

4.2.20. Mi a frekvenciaviszony, mi a mértékegysége? A frekvenciaviszony a gerjesztési frekvencia és a saját körfrekvencia hányadosa:

λ=

ω , dimenziótlan mennyiség. α

4.2.21. A rezgésszigetelés hatékonyságát hogyan befolyásolja a rendszer relatív csillapításának értéke? Minél nagyobb a relatív csillapítás értéke, annál kisebb lesz a rezgés amplitúdója.

4.2.22. Mi a logaritmikus dekrementum, mi a mértékegysége? A logaritmikus dekrementum két egymást követı amplitúdó hányadosának a természetes alapú logaritmusa:

Λ = ln

An 1 A , általános esetben pedig: Λ = ln 0 , ahol „n” a lengések száma. An+1 n An

4.2.23. Mit jelent: gyenge, erıs, kritikus csillapítás? – Gyenge csillapítású a lengı rendszer, ahol D<1. Itt lejátszódik lengés, ami folyamatosan csillapodik. A differenciálegyenlet megoldása: Hiba! A mezık szerkesztésével nem hozhatók létre objektumok.. – Erıs csillapítású a túlcsillapított rendszer, ahol D>1. Itt legfeljebb egyszeri átlendülésrıl beszélhetünk. Gyorsabban csillapodik a lengés, mint D<1, de lassabban, mint D=1 esetén. A differenciálegyenlet megoldása: Hiba! A mezık szerkesztésével nem hozhatók létre objektumok.alakú, mely Hiba! A mezık szerkesztésével nem hozhatók létre objektumok..

61


– Kritikus csillapítás D=1 esetben van. Ekkor nincs lengés. A differenciálegyenlet megoldása: Hiba! A mezık szerkesztésével nem hozhatók létre objektumok.alakú. Ez a rendszer csillapodik a leggyorsabban.

4.3. Véges szabadságfokú lengırendszerek 4.3.1. Írja fel a másodfajú Lagrange-egyenletet és értelmezze a benne szereplı mennyiségeket!

d δT δT δD δU − + + = Q K , ahol „k” a szabadságfokok száma. dt δq& K δqK δq& K δqK – T : Kinetikus energia (EK) – U : Potenciálfüggvény ( Ep ) – D : Disszipatív potenciál

4.3.2. Milyen feltétel teljesülése esetén használható a Lagrange-féle mozgásegyenletek mátrix alakja véges szabadságfokú lengırendszer esetén? 4.3.3. Írja fel egy n-szabadságfokú lengırendszer mátrix mozgásegyenletét!

M ⋅ && q + K ⋅ q& + S ⋅ q = Q (t) 4.3.4. Hogyan számíthatók a tömegmátrix elemei?

 ∂ 2T  A tömegmátrix: M =  . & & ∂ q ∂ q i j   4.3.5. Hogyan számíthatók a csillapítási mátrix elemei?

 ∂ 2D  A csillapítási mátrix: K =   ., illetve a csillapítási mátrix a tömegmátrix és a & & ∂ q ∂ q  i j merevségi mátrix lineáris kombinációja: K = km ⋅ M + ks ⋅ S , ahol: ks ; km konstansok.(arányos csillapítás).

4.3.6. Hogyan számíthatók a merevségi mátrix elemei?

 ∂ 2U  A merevségi mátrix S =    ∂qi∂q j 

62


4.3.7. Hogyan számíthatók az általános erıvektor elemei?

 ∂P   ∂r  =  ∑ FK k  .   ∂q& i   k ∂qi 

Az általános erıvektor elemei: Q = 

4.3.8. Mi a modálanalízis? Arányos csillapítás esetén alkalmazható. Segítségével vissza tudunk vezetni az adott több szabadságfokú, bonyolult rendszert egy szabadságfokúra lineáris transzformációval. A csatolt differenciálegyenleteket szét tudjuk választani független egyenletekre.

4.3.9. Hasonlítsa össze a mechanikai rendszer mozgásegyenleteinek felírására szolgáló Newton-Euler módszert az analitikus módszerrel! (Mi a különbség a szemlélet alapján és a Lagrange - egyenlettel történı mozgásegyenlet felírási mód közt.) A lényeg az, hogy a Lagrange - egyenlethez, csak mozgási energiát, potenciált, disszipációs függvényt, teljesítményt kell tudni számolni, valamint a kinematikát kell tudni, míg a hagyományos módszerhez a dinamikát is kell tudni, esetenként a relatív dinamikát is.

4.3.10. Mi a lengéskép fizikai tartalma?

A , a sajátvektornak megfelelı fogalom. A lengés amplitúdó-viszonyát adja meg. Azt mutatja meg, hogy ha a rendszer, csak az adott lengésképhez tartozó sajátfrekvenciájú lengéseket végezne, akkor az egyes koordináták lengéseinek amplitúdói hogyan aránylanának egymáshoz.

4.3.11. Miért választjuk a lengéskép elsı koordinátáját 1-nek?: Azért, hogy a vele való számolást egyszerősítsük, ugyanis a koordináták aránya számít csak, külön-külön vett értékeik nem.

4.3.12. Mit jelent a csomópont a lengésképben? A csomópontban rendszert.

rugó helyben marad, így a csomópontban szétválaszthatjuk a

4.3.13. Mi a frekvenciaegyenlet és mi a karakterisztikus egyenlet? A frekvenciaegyenlet és a karakterisztikus egyenlet ugyanaz: det( −α ⋅ M + S) . 2

4.3.14. Hogyan kell értelmezni a lengésképet, ha az általános koordináták mértékegysége különbözı? Ebben az esetben az lengésképek mértékegységei is különbözıek: a lengéskép elsı koordinátájának mértékegysége megegyezik az általános koordináta vektor elsı elemének mértékegységével, a második a másodikkal és így tovább.

4.3.15. Hány gyöke van a frekvenciaegyenletnek? A frekvenciaegyenletnek kétszer annyi gyöke van, mint ahány szabadságfokú a rendszer. 63


4.3.16. Milyen közelítı kiszámítására?

módszereket

ismer

a

legkisebb

sajátfrekvencia

A Rayleigh - elv és a Dunkerley - féle becsléssel határozhatjuk meg a legkisebb sajátfrekvenciát.

4.3.17. Mi a Rayleigh-elv? A Rayleigh-elvvel felülrıl becsülhetjük a legkisebb sajátfrekvenciát.

4.3.18. Mi a Rayleigh-hányados?

AK ⋅ S ⋅ AK A Rayleigh hányados: αK = , ahol az AK vektor, a „k”-adik lengéskép T AK ⋅ M ⋅ AK T

A ⋅S⋅A becslése. Speciálisan a legkisebb sajátfrekvencia becslése: α1 = ahol az A vektor, T A ⋅M⋅A T

az elsı lengéskép becslése.

4.3.19. Hogyan alkalmazzuk a Stodola-iterációt? A Stodola-iteráció lényege, hogy az elıször felvett lengésképet sorozatos közelítéssel pontosítsuk. A módszer a következıképp mőködik: – 1. Felveszünk egy lengésképet

A ⋅S⋅A – 2. Ezzel kiszámítjuk a saját körfrekvencia 0. közelítését α1 = T A ⋅M⋅A T

– 3. Felírjuk a frekvenciaegyenlet rugómátrixos alakját:

( −α

2

⋅C ⋅ M + I )⋅ A = 0

−α 2 ⋅ C ⋅ M ⋅ A + A = 0 Ebbıl A-t kifejezve:

A1,1 = α1,0 2 ⋅ C ⋅ M ⋅ A1,0 képlet segítségével számíthatunk egy már pontosabb lengésképet. Az iterációt kellıen sokszor elvégezve tetszıleges pontossággal megközelítgetjük a saját körfrekvenciát és a lengésképet.

4.3.20. Hogyan közelíti a valódi sajátkörfrekvenciát a Rayleigh-hányadossal ill. a Dunkerley-elvvel számított érték? A Rayleigh - hányadossal felülrıl, a Dunkerley - elvvel pedig alulról becsülhetjük a legkisebb sajátfrekvenciát.

4.3.21. Mi a statikus és dinamikus csatolás? A statikus csatolásnál a tömegmátrix diagonális alakú, a merevségi mátrix pedig általános, a dinamikus csatolásnál a merevségi mátrix diagonális alakú, a tömegmátrix pedig általános alakú. 64

MECHANIKA SZIGORLAT ELMÉLET

Recommend Documents