KÖZGAZDÁSZ SZAK Módszertani szigorlat követelménye, 2014. tavaszi félév A módszertani szigorlat a B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tantárgyak anyagát öleli fel. Szigorlatot az tehet, akinek a Matematika B1, B2, Optimumszámítás és Statisztika I. tárgyakból legalább elégséges vizsgajegye van. A szigorlat írásbeli és szóbeli részből áll. A szigorlaton megkövetelt elméleti anyagot 29 tételből álló jegyzékben foglaltuk össze. A szigorlat írásbeli része csak gyakorlati feladatok megoldását követeli meg. Az írásbelin megoldandó feladatok száma és az azokra kapható pontszámok mennyisége változhat, azokat minden írásbeli során külön közöljük. Egy kb. 100 feladatból álló feladat sort bocsátunk a hallgatók rendelkezésére, melyekből minden egyes szigorlati írásbeli során legalább két feladat fog szerepelni (esetleg a bennük szereplő adatok apróbb módosításával). Az írásbeli dolgozatot 40%-nál alacsonyabb szinten teljesítő hallgatók elégtelen, míg a 40-54%-ra teljesítő hallgatók elégséges osztályzatot kapnak. Az írásbeli dolgozatot legalább 55%-ra teljesítő hallgatók számára közepes, legalább 70%-ra teljesítő hallgatók számára jó osztályzatot ajánlunk meg, amelyet azonban a szigorlat szóbeli részén módosítani lehet. Jeles osztályzat a legalább 85%-ot teljesítő hallgatónak adható. (Kivételesen 50%-os írásbeli esetén is megengedett a szóbeli, ennek feltétele, hogy a szigorlat által felölelt négy tantárgyból legalább háromban legyen jó vagy jeles osztályzata a hallgatónak.) A szigorlat szóbeli részén a 29-es tételjegyzékből egyetlen tételt kell kötetlen előadásban ismertetni. A szóbeli vizsgát is tevő hallgatók szigorlati jegyébe az írásbeli és szóbeli eredményét is beleszámítjuk, így a végső eredmény elégségestől jelesig bármi lehet. Egyebekben a tanulmányi és vizsgaszabályzat rendelkezései érvényesek. A szigorlati mintafeladatok a következők: Példatár I-II. kötet: 132, 159, 162, 172, 895, 898, 900, 903, 914, 920, 936, 938, 944, 946, 1006, 1158, 1171, 1177, 1182, 1199, 1200, 1203, 1208, 1210, 1215, 1235, 1344, 1353, 1367, 1384, 1458, 1465, 1486. Példatár III. kötet: 240, 290, 297, 303, 318, 325, 327, 373, 376. Példatár IV. kötet: 3, 10, 31, 38, 51, 55, 86, 114. Példatár V. kötet: 13, 18, 45, 85, 87, 109, 116, 121, 132, 165, 167, 174, 178, 222, 224, 227. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika példatár: 24, 33, VI, 53, 57, 73, 81, 84, 85, 100, 109, 110. Operációkutatás: kétfázisú szimplex módszer, duál szimplex módszer, hozzárendelési feladat, szállítási feladat, hátizsák feladat, kétszemélyes zéróösszegű játékok.
Módszertani szigorlat tételei 2014. tavaszi félév [1] Komplex számok algebrája. Polinomok. (A komplex számok értelmezése, ábrázolása (Gauss-sík). Algebrai-, trigonometrikus- és exponenciális alak. Műveletek algebrai-, illetve trigonometrikus alakban megadott komplex számokkal. Gyökvonás. Polinomok gyökei. Az algebra alaptétele. Gyöktényezős alak. Valós együtthatós polinom gyökei.) [2] A determináns fogalma. Determinánsokra vonatkozó tételek. [3] Mátrixok algebrája. (Műveletek (transzponálás, összeg, számszoros, szorzat) értelmezése, műveleti tulajdonságok.) Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai. (A sajátérték ill. a sajátvektor definíciója és meghatározása). [4] Lineáris egyenletrendszerek elmélete. A megoldhatóság vizsgálata. (Lineáris egyenletrendszer általános alakja. Az m=n speciális esetre vonatkozó állítás. Az általános eset vizsgálata: a Gaussféle kiküszöbölési eljárás; a megoldhatóságra és a megoldás előállítására vonatkozó tétel. A megoldáshalmaz szerkezete: homogén, inhomogén egyenlet.) [5] Valós számok. (A valós számok struktúrája: A valós számok egy axiómarendszere (testaxiómák, rendezési axiómák, teljességi axióma); a bizonyos részhalmazai (, , Θ, Θ*); a teljességi axióma következményei (szuprémum elv, az archimédeszi- és a Cantor-tulajdonság, gyökvonás). Kapcsolat Θ és között. A valós számok kibővített halmaza.) Számsorozatok. (A valós sorozat fogalma. Elemi tulajdonságok: korlátosság, monotonitás, indexsorozat, részsorozat. Minden valós sorozatnak van konvergens részsorozata. Konvergens sorozat és sorozat határértékének a fogalma. Ekvivalens átfogalmazás. A határérték egyértelmű. Divergens, + ∞ -hez és − ∞ -hez divergáló sorozat értelmezése. (Példák.) A konvergencia kapcsolata a korlátossággal, illetve részsorozatok konvergenciájával. Műveletek konvergens sorozatokkal. A közrefogási elv. Monoton és korlátos sorozat konvergenciája. A Bolzano– Weierstrass-féle kiválasztási tétel. A konvergencia egy szükséges és elégséges feltétele: a Cauchy-féle konvergencia kritérium. Nevezetes sorozatok (a geometriai sorozat; k n 1 n n 1 + ; a , ahol a>0; n n ; n , ahol k ∈ , a>1; a , ahol a ∈ Θ; n! határértéke.) n an n! n n
( )
( )
[6] Egyváltozós függvények lokális tulajdonságai: határérték, folytonosság. Korlátos és zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai. (Számhalmaz torlódási pontjának fogalma és jellemzése. (Példák.) Függvény határértékének egységes értelmezése. Speciális esetek. Egyoldali határértékek értelmezése és kapcsolata a határértékkel. Határértékek meghatározásához használható tételek: egyértelműség, átviteli elv, műveletek, közrefogási elv. Nevezetes határértékek: hatványfüggvények, polinomok, racionális törtfüggvények, trigonometrikus sin x függvények, lim . Pontbeli folytonosság értelmezése. A folytonosságra vonatkozó átviteli x →0 x elv. Szakadási helyek. Műveletek folytonos függvényekkel. Halmazon vett folytonosság értelmezése. Kompakt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai: a Weierstrass és a Bolzano-tétel.)
[7] Egyváltozós függvények differenciálhatósága. Műveletek differenciálható függvények körében. Középérték-tételek. Bernoulli-L’Hospital-szabály. (Számhalmaz belső pontjának értelmezése. A pontbeli derivált fogalma, szemléletes és fizikai jelentése. A deriválhatóság egy
ekvivalens átfogalmazása: lineáris közelítés. Az érintő értelmezése. Az egyoldali derivált fogalma, kapcsolata a deriválhatósággal. Kapcsolat a folytonosság és a deriválhatóság között. Műveletek és a deriválhatóság: számszoros, összeg, szorzat, hányados, összetett függvény, inverz függvény. Középérték-tételek: Rolle, Lagrange, Cauchy. L’Hospital-szabályok.) [8] Egyváltozós függvények Taylor-polinomja, Taylor-formula a Lagrange-maradéktaggal, Taylor-sor. [9] Többváltozós függvények: határérték, folytonosság, deriválhatóság. (Szemléltetés. Határérték, folytonosság. Kompakt (korlátos és zárt) halmazon fonytonos függvények tulajdonságai. Parciális deriváltak. Iránymenti derivált, totális derivált. Láncszabály. Pozitív homogén függvények, Euler tétele. érintősík.) [10] A függvényvizsgálat feladata és módszerei. (Lokális növekedés, csökkenés, szélsőérték fogalma, és kapcsolata a pontbeli deriválttal. Monotonitás, szigorú monotonitás feltételei intervallumon. Lokális szélsőértékekre vonatkozó tételek: elsőrendű szükséges feltétel; elsőrendű elégséges feltétel; másodrendű elégséges feltétel; magasabbrendű elégséges feltétel. Konvexitás, konkávitás fogalma és feltételei intervallumon. Inflexiós pont. Aszimptoták értelmezése és meghatározása.) [11] Függvény szélsőértékének fogalma, a szélsőérték meghatározására szolgáló módszerek. (Lokális és globális szélsőértékek (elsőrendű szükséges feltétel, másodrendű elégséges feltétel). Feltételes szélsőérték (szükséges feltétel, elégséges feltétel).) [12] Lineáris tér, bázis. (A lineáris tér definíciója, legfontosabb példák. Lineáris függőség és függetlenség. Véges dimenziós és végtelen dimenziós terek, bázis. Az euklideszi tér definíciója, legfontosabb példák. Vektorok hossza (normája), alapvető tulajdonságai (Cauchy– Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség). Vektorok szöge, ortogonalitás. A skaláris szorzat, illetve a norma adott bázisban, illetve ortonormált bázisban. Bázistranszformáció, ortogonális bázistranszformáció (ortogonális mátrixok).) [13] A Riemann-féle integrálfogalom értelmezése. Feltételek Riemann-integrálhatóságra. A Riemann-integrál tulajdonságai. (Korlátos és zárt intervallumon értelmezett korlátos függvény Riemann-integrálhatóságának értelmezése (intervallum felosztása; alsó, illetve felső közelítő összegek; Darboux-féle alsó-, illetve felső integrál). Példa nem integrálható függvényre. Műveletek integrálható függvényekkel (számszoros, összeg, szorzat, hányados). Az integrál intervallum szerinti additivitása. Folytonos, illetve monoton függvény integrálható. Egyenlőtlenségek. Középérték-tételek.) [14] Egyváltozós függvények primitív függvényének meghatározására szolgáló módszerek. (A Newton–Leibniz-tétel. Az integrálfüggvény fogalma és tulajdonságai. Parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel.) [15] Többváltozós függvények integrálása normál tartományokon. Integráltranszformáció. (A határozott integrál értelmezése. Az integrál kiszámítása téglalapokon (téglatesteken), illetve normáltartományokon. Kettős integrálok transzformációja. Az általános tétel. Speciális eset: +∞
polártranszformáció. Az
−x ∫ e dx meghatározása. 2
−∞
[16] Az integrálszámítás geometriai alkalmazásai. (A határozott integrál alkalmazásai (terület, ívhossz, forgástest térfogata, felszíne).) [17] Improprius integrál.
[18] Numerikus sorok. (Végtelen számsor fogalma, konvergenciája, összege. Sorokra vonatkozó Cauchy-féle kritérium. A konvergencia egy szükséges feltétele. Műveletek konvergens sorokkal. Pozitív tagú sorok értelmezése, és a konvergenciájukra vonatkozó tételek: a részletösszegek sorozatának korlátossága, az összehasonlító kritérium, a Cauchy-féle gyökkritérium, a d’Alembert-féle hányados kritérium. Leibniz-típusú sor fogalma és konvergenciája. Abszolút- és feltételesen konvergens sorok fogalma és a konvergens sorokkal való kapcsolata. Tizedes törtek. n ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ (− 1) .) Nevezetes sorok: geometriai, ∑ , ∑ 2 , ∑ , ∑ , ∑ n n =1 n n =1 n n =1 n n = 0 n! n =1
[19] Differenciálegyenletek. (A differenciálegyenlet fogalma. Osztályozás. Az elsőrendű explicit differenciálegyenlet általános alakja. általános megoldás. Kezdetiérték-probléma. Szétválasztható változójú egyenletek (az általános megoldás és kezdetiértékprobléma megoldásának az előállítása). Elsőrendű lineáris egyenletek (az általános megoldás és kezdetiérték-probléma megoldásának az előállítása). Olyan hiányos másodrendű differenciálegyenletek, amelyekben maga az ismeretlen függvény nem szerepel (az általános megoldás és kezdetiérték-probléma megoldásának az előállítása). állandó együtthatós másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek megoldása. ) [20] Valószínűség, feltételes valószínűség. (Kombinatorikai alapfogalmak. Eseményalgebrai alapfogalmak. A valószínűség axiómái. A valószínűség számítás klasszikus képlete. Visszatevés nélküli és visszatevéses mintavétel. Valószínűségek meghatározása geometriai módszerekkel. Ellentett esemény valószínűsége. Két esemény különbségének valószínűsége. Tetszőleges események összegének a valószínűsége. Poincaré tétele. A feltételes valószínűség definíciója. Szorzási szabály. Teljes valószínűség tétele. Bayes-tétel. Események függetlensége, és teljesen függetlensége.) [21] Valószínűségi változók és jellemzőik. (Eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény, várható érték, szórás. Transzformált valószínűségi változó eloszlása. Lineárisan transzformált valószínűségi változó várható értéke, szórása. Binomiális eloszlás, hipergeometrikus eloszlás, Poisson eloszlás, egyenletes eloszlás, exponenciális eloszlás, normális eloszlás és ezek jellemzői. A normális eloszlásból származtatott eloszlások.) [22] Több valószínűségi változó együttes eloszlása. (Diszkrét együttes valószínűség eloszlás leírása. Folytonos együttes valószínűség eloszlás eloszlás- és sűrűségfüggvénye. Peremeloszlás és feltételes eloszlás fogalma és jellemzői. Valószínűségi változók függetlensége. Kovariancia és korrelációs együttható és azok tulajdonságai. Független valószínűségi változók összegének, szorzatának és hányadosának az eloszlása. Valószínűségi változók összegének várható értéke, szórása. Szorzat várható értéke. Feltételes várható érték. Regresszió.) [23] Csebisev-egyenlőtlenség. Nagy számok törvényei. (A Csebisev-egyenlőtlenség és a nagy számok törvényeinek különböző alakjai. Határeloszlás tételek.) [24] A kétfázisú szimplex módszer. (A lineáris programozás feladata. Standard alakra transzformálás. A megengedett bázismegoldás fogalma. A bázist elhagyó vektor kiválasztási szabálya. A lexikografikus kiválasztási szabály. A szimplex tábla transzformáció képletei. Az első fázis feladata és a megoldására lehetséges kimenetelek.) [25] A módosított szimplex módszer. (Az explicit bázis inverz módszer iterációs lépései. A módosított szimplex módszer árazó vektora és annak számítási módja. A BTRAN és FTRAN transzformációk jelentése és végrehajtásuk módja.)
[26] A duál szimplex módszer. (A közönséges és a duál szimplex módszer lényege. A duál szimplex módszer kiválasztási szabálya és transzformációs képletei.) [27] A szállítási feladat és megoldó algoritmusa. A szállítási feladat, mint lineáris programozási feladat. A szállítási feladat egy megoldó algoritmusa. A szállítási feladat duálisa. [28] A hozzárendelési feladat és megoldó algoritmusa. (A hozzárendelési feladat. A KőnigEgerváry tétel. A hozzárendelési feladat megoldása magyar módszerrel.) [29] A lineáris programozás dualitás-elmélete. A lineáris programozási feladat primál alakja. A primál feladat duális párja. A dualitás tétel. Az általánosított duál megfeleltetés szabályai. A dualitás tétel alkalmazása a kétszemélyes, zéróösszegű játékok elméletében.
Budapest, 2014. február 7. Dr. Szántai Tamás egyetemi tanár
