K e l a s
K-13
matematika
XI
PEMBAGIAN HORNER DAN TEOREMA SISA Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Menguasai konsep pembagian suku banyak dengan metode Horner. 2. Memahami konsep pembagian suku banyak dengan metode Horner yang diperluas. 3. Menggunakan teorema sisa dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan suku banyak.
1
4
p(
p
x–k h )(
)
(x–
–b
):
(a x
( x – a)
3
p (x) :
x) :
2
b sisa = s = p a
– h )( x – k ) (x ) :( x
(x
p TEORE M
A
LU YANG DIPER
R
ag i
koefisien p(x)
ax +
x – b)
b)
as il b agi
) p (x
a)( : (x –
:(
N ER
x)
HO
Pembagian Horner dan Teorema Sisa p(
b
S
sisa pembagian ko efis ien hasil bagi
p ( x ) : (x – q)
A
sebara n g p e m
S IS
x −k x −h s( x ) = p(h) + p(k ) h−k k −h
q A
a
h en bagi a dulu fisi koe
+
angka khusus
b kolom kosong
+s
isa
(x – a) +
i k o efisien hasil bag
1
agi
sisa = s = p(a)
( x − h)( x − k ) ( x − h)( x − l ) ( x − k )( x − l ) p(h) p(l ) + p(k ) + (h − k )(h − l ) (l − h)(l − k ) (k − h)(k − l )
) (x –l )
s( x ) =
b sisa
A.
PEMBAGIAN SUKU BANYAK OLEH (x - q) DENGAN MENGGUNAKAN METODE HORNER n n −1 Misal p ( x ) = an x + an−1x +…+ a1x + a0 dibagi dengan (x – q), maka akan diperoleh hasil bagi h(x) dan sisa bagi s, yang secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.
an x n + an−1x n−1 +…+ a1x + a0 = ( x − q )h( x ) + s Jika setiap x di ruas kiri dan kanan diganti dengan q, maka akan diperoleh: an q n + an−1q n−1 +…+ a1q + a0 = s Artinya, sisa bagi bisa kita dapatkan dengan memasukkan akar pembagi, yaitu q ke dalam p atau p(q), sedangkan nilai p(q) sendiri dapat dicari dengan menggunakan bagan Horner.
Contoh Soal 1 Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian 2x3 + 6x2 – 10x + 3 oleh x – 2! Pembahasan: x – 2 = 0 memiliki akar x = 2, berarti sisa pembagiannya adalah p(2). Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh: 2 2 2
6
-10
3
+4
+20
+20
10
10
23
Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 23, sedangkan hasil baginya bisa dikembalikan kepada bentuk persamaan: P ( x ) = h ( x ) ( x − 2 ) + ( 23 ) 2 x 3 + 6 x 2 − 10 x + 3 = h ( x ) ( x − 2 ) + 23 Kita misalkan h(x) = ax2 + bx + c agar terbentuk hasil perkalian pangkat tiga. Lebih spesifik lagi, kita bisa tentukan nilai a = 2 agar langsung terbentuk hasil perkalian 2x3 sehingga h(x) = 2x2 + bx + c. Dengan demikian bentuk perkalian di atas dapat ditulis:
(
)
2 x 3 + 6 x 2 − 10 x + 3 = 2 x 2 + bx + c ( x − 2 ) + 23 Langkah selanjutnya adalah menganalisis konstanta. Konstanta didapatkan dari hasil operasi konstanta saja, yaitu dengan mengganti x = 0 di ruas kiri dan kanan persamaan, sehingga diperoleh: 3 = c ( −2 ) + 23 2c = 20 c = 10
2
Kita substitusi balik pada persamaan, didapatkan:
(
)
2 x 3 + 6 x 2 − 10 x + 3 = 2 x 2 + bx + 10 ( x − 2 ) + 23 Kita akan menganalisis persamaan untuk mendapatkan nilai b. Nilai b dapat diperoleh dengan menganalisis suku-suku yang mengandung x2 pada ruas kiri dan kanan. 6 x 2 = 2 x 2 ( −2 ) + bx ( x ) 6 x 2 = −4 x 2 + bx 2 6 x 2 = (b − 4 ) x 2 Kesimpulannya: b−4 =6 b = 10 Jadi, hasil pembagiannya adalah 2 x 2 + 10 x + 10. Perhatikan skema Horner di bawah ini! 2 2 2
6
-10
3
+4
+20
+20
10
10
23
Koefisien dan konstanta hasil bagi 2x2 + 10x + 10 Angka-angka di sebelah kiri sisa pembagian akan selalu menjadi koefisien dan konstanta hasil bagi untuk pembagian dengan x – q.
Contoh Soal 2 Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian x 5 − 2 x 4 − 30 x 3 + 24 x 2 − 2 x − 10 oleh x + 5! Pembahasan: Dengan menggunakan metode Horner, diperoleh: 1 -5 1
-2
-30
24
-2
-10
-5
35
-25
5
-15
-7
5
-1
3
-25
Koefisien dan konstanta hasil bagi 4
3
2
Sisa bagi
Jadi, hasil pembagiannya adalah x − 7 x + 5 x − x + 3 dan sisa pembagiannya adalah –25.
3
B.
PEMBAGIAN SUKU BANYAK OLEH (ax + b) DENGAN MENGGUNAKAN METODE HORNER Sifat metode Horner dengan pembagi ax + b untuk bilangan-bilangan yang terletak pada baris paling bawah adalah sebagai berikut: 1.
Angka paling kanan selalu menjadi sisa pembagian.
2.
Sisa angkanya menjadi koefisien hasil bagi setelah semuanya dibagi a.
Contoh Soal 3 Tentukan hasil bagi dan sisa bagi dari pembagian 3x4 + 5x3 – 17x2 + 14x + 8 oleh (3x – 1)! Pembahasan: 3 1 3
5
-17
14
8
1
2
-5
3 +
3
6
-15
9
11
Koefisien hasil baginya setelah dibagi 3 adalah 1, 2, -5, dan 3 sehingga hasil baginya adalah x 3 + 2 x 2 − 5 x + 3 dengan sisa pembagiannya adalah 11. Untuk membuktikan kebenarannya, kita akan lakukan perkalian balik:
(x
3
)
+ 2 x 2 − 5 x + 3 ( 3 x − 1) + 11 = 3 x 4 − x 3 + 6 x 3 − 2 x 2 − 15 x 2 + 5 x + 9 x − 3 + 11 = 3 x 4 + 5 x 3 − 17 x 2 + 14 x + 8
Jadi, hasil bagi dan sisa bagi dari pembagian 3x4 + 5x3 – 17x2 + 14x + 8 oleh (3x – 1) adalah x 3 + 2 x 2 − 5 x + 3.
C.
PEMBAGIAN SUKU BANYAK OLEH (x – h)(x – k) DENGAN MENGGUNAKAN METODE HORNER n n −1 Misal suku banyak p ( x ) = an x + an−1x +…+ a1x + a0 dibagi oleh (x – h)(x – k), maka skema Hornernya adalah sebagai berikut:
an h an
k an
an – 1
...
a2
a1
a0
bn
...
b2
b1
b0
cn – 1 .
...
c2
c1
c0
dn– 2
...
d1
d0
en – 2
...
e1
e0
4
Jadi, sisa pembagiannya adalah e0 ( x − h ) + c0 dan hasil baginya adalah anxn – 2 + en – 2xn – 3 + ... + e1
Contoh Soal 4 Hasil bagi dan sisa bagi suku banyak 6 x 5 + 3 x 4 − 40 x 2 − 26 x − 1 oleh (x – 2)(x – 1) adalah .... Pembahasan: Dengan menggunakan skema Horner, diperoleh:
2
1
6
3 12
0 30
-40 60
-26 40
-1 28
6
15
30
20
14
27
6
21
51
71
21
51
71
85
6
Jadi, sisanya adalah 85 ( x − 2 ) + 27 = 85 x − 143 , sedangkan hasil baginya adalah 6 x 3 + 21x 2 + 51x + 71 .
Contoh Soal 5 Hasil bagi dan sisa bagi suku banyak 3 x 3 + 7 x 2 − 7 x − 8 oleh (3x + 1)(x – 2) adalah .... Pembahasan: Dengan menggunakan skema Horner, diperoleh: 3 −
1 3 3
7
-7
-8
-1
-2
+3
6
-9
-5
Oleh karena pembagi awalnya adalah (3x + 1), maka koefisien 3, 6, dan -9 dibagi 3. 1 2 1
2
-3
2
8
4
5
Jadi, sisanya adalah 5(3x + 1) – 5 = 15x dan hasil baginya adalah x + 4.
5
D.
PEMBAGIAN SUKU BANYAK TERMUDAH DENGAN MENGGUNAKAN METODE HORNER YANG DIPERLUAS n n −1 Suatu suku banyak p ( x ) = an x + an−1x +…+ a1x + a0 dibagi oleh suku banyak q ( x ) = bm x m + bm −1x m −1 +…+ b1x + b0 dengan n > m dapat mudah diselesaikan melalui pencarian hasil bagi dan sisa baginya dengan menggunakan metode Horner yang diperluas.
a.
Langkah pertama Tuliskan koefisien p(x) pada skema Horner di baris paling atas. an – 1
an
b.
an – 2
an – 3
a2
...
a1
a0
Langkah kedua Tuliskan bilangan khusus dari q(x) di kolom paling kiri, di mana bilangan tersebut dituliskan berurutan dari atas seperti berikut. −
b b b bm −1 b , − m −2 , − m −3 ,…, − 1 , dan − 0 bm bm bm bm bm an
−
an – 1
an – 2
an – 3
...
a2
a1
a0
bm −1 bm
−
bm −2 bm
−
bm −3 bm ...
c.
−
b1 bm
−
b0 bm
Langkah ketiga Pola pengisiannya dilakukan dengan mengosongkan kolom pertama dari baris m–1 ke bawah. Kemudian, kolom kedua dikosongkan dari baris m–2 ke bawah, dan
6
seterusnya. Untuk kolom yang paling kanan, akan menyesuaikan ketika bilanganbilangan sudah dioperasikan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan skema berikut. an – 1
an -
bm −2 bm
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
bm −3 bm ... b1 − bm −
−
d.
an – 3
bm −1 bm
− −
an – 2
b0 bm
...
a2
a1
a0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Langkah 4 Pola pengisian selanjutnya adalah jumlahkan bilangan-bilangan dalam satu kolom, kemudian kalikan dengan angka khusus. Hasilnya tempatkan pada baris kosong terdekat dengan angka khusus tersebut, kemudian ulangi kembali langkahnya. an – 1
an -
−
bm −2 bm
-
bm −3 bm ... b − 1 bm −
−
b0 bm
-
jumlahkan
bm −1 bm
−
an – 2
an – 3
...
a2
a1
a0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
an
7
-
Selanjutnya an – 1
an −
−
bm −1 bm
bm −2 bm
bm −3 bm ... b − 1 bm −
−
b0 bm
sampai di sini
an – 2
an – 3
-
h1
-
-
h2
-
-
-
h3
-
-
-
-
-
-
sampai angka khusus terakhir
-
-
...
a2
a1
a0
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
an
−
bm −1 bm
-
h1
bm −2 bm
-
-
h2
-
-
-
h3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
an
kn – 1
kn – 2
kn – 3
...
bm −3 bm ... b − 1 bm −
−
b0 bm
an – 3
Koefisien dan konstanta hasil bagi
8
...
a2
a1
a0
-
-
-
-
-
-
-
-
jumlahkan
an – 1
−
an – 2
jumlahkan
an
jumlahkan
Kemudian lakukan penjumlahan kolom kedua, begitu seterusnya.
-
-
k2
k1
Koefisien dan konstanta sisa
k0
bagi Contoh Soal 6 Hasil bagi dan sisa pembagian x5 − 4x4 + 3x3 − 2x2 + 5x − 6 oleh x3 − 3x2 + 3x − 2 adalah .... Pembahasan: Pembagian ini dapat diselesaikan dengan metode Horner yang diperluas. •
•
Langkah 1 1
-4
3
-2
5
-6
1
-4
3
-2
5
-6
1
-4
3
-2
5
-6
Langkah 2
3 -3 2 •
•
Langkah 3
3
-
-3
-
-
2
-
-
-
1
-4
3
-2
5
-6
3
-
3
-3
-9
-
-
-3
-
-
-3
3
9
-
2
-
-
-
2
-2
-6
1
-1
-3
-6
12
-12
Langkah 4
Koefisien dan konstanta hasil bagi
Koefisien dan konstanta sisa bagi
Jadi, hasil baginya adalah x2 – x – 3 dan sisa baginya −6 x 2 + 12 x − 12 .
9
Contoh Soal 7 Hasil bagi dan sisa pembagian 4 x 6 + 2 x 5 − 6 x 4 + 6 x 3 − 7 x 2 + 4 x − 8 oleh 2x2 – x – 2 adalah .... Pembahasan: Dengan menggunakan metode Horner yang diperluas, diperoleh: 4
2
-6
6
-7
4
-8
1 2
-
2
2
0
5
-1
-
1
-
-
4
4
0
10
-2
4
4
0
10
-2
13
-10
Koefisien dan konstanta hasil bagi
Koefisien dan konstanta sisa bagi
Seperti biasa, karena koefisien suku pangkat tertinggi dari pembagi ≠ 1, maka hasil baginya adalah: 4 x 4 + 4 x 3 + 10 x − 2 atau 2 x 4 + 2 x 3 + 5 x − 1 2 Sementara itu, sisa baginya adalah 13x – 10. Jadi, hasil baginya adalah 2 x 4 + 2 x 3 + 5 x − 1 dan sisa baginya adalah 13x – 10.
E.
TEOREMA SISA 1 Jika suku banyak p(x) dibagi oleh (x – a), maka sisanya adalah s = p(a), dengan a adalah akar dari x – a. Pembuktian: Suku banyak p(x) yang dibagi oleh (x – a) menghasilkan hasil bagi h(x) dan sisa s, dapat dinyatakan dengan persamaan: p ( x ) = h ( x ) ⋅ ( x − a) + s Jika kita ganti x = a, maka akan didapatkan: p(a) = h(a) · 0 + s p(a) = s
10
Contoh Soal 8 Jika suku banyak P ( x ) = x 3 + ax 2 − 2 x + b dibagi oleh (x – 3) memiliki sisa 5 dan jika dibagi oleh (x + 1) memiliki sisa -5, maka nilai a dan b adalah .... Pembahasan: P ( x ) = x 3 + ax 2 − 2 x + b jika dibagi oleh (x – 3) memiliki sisa 5 dapat dinyatakan: p(3) = 5
{ x − 3 = 0 → x = 3}
( 3)3 + a ( 3)2 − 2 ( 3) + b = 5 9a + b + 21 = 5 9a + b = –16
… (1)
P ( x ) = x 3 + ax 2 − 2 x + b dibagi oleh (x + 1) memiliki sisa -5 dapat dinyatakan: p ( −1) = −5
{ x + 1 = 0 → x = −1}
( −1)3 + a ( −1)2 − 2 ( −1) + b = −5 a + b + 1 = −5 a + b = −6
...(2)
Dengan melakukan teknik eliminasi akan didapatkan nilai a = –1 dan b = –7. Jadi, diperoleh nilai a = -1 dan b = -7.
F.
TEOREMA SISA 2
b Suatu suku banyak p(x) jika dibagi oleh (ax + b), maka sisanya adalah s = p − , dengan a b − adalah akar dari (ax – b). a Pembuktian: Suku banyak p(x) yang dibagi oleh (ax + b) menghasilkan hasil bagi q(x) dan sisa s, dapat dinyatakan dengan persamaan: p ( x ) = q ( x ) ⋅ (a x + b ) + s b Jika kita ganti x = − , maka akan didapatkan: a b b p − = q − ⋅ 0 + s a a b p − = s a
11
Contoh Soal 9 Jika f(x) dibagi (2x + 1) menghasilkan sisa 6, dan jika f(x) dibagi (3x – 1) menghasilkan sisa 11, maka sisa pembagian f(x) oleh 6x2 + x – 1 adalah .... Pembahasan:
1 f(x) dibagi (2x + 1) menghasilkan sisa 6 → f − = 6 2 1 f(x) dibagi (3x – 1) menghasilkan sisa 11 → f = 11 3 2 f(x): 6x + x – 1, misal:
(
)
f(x) = 6 x 2 + x − 1 h( x ) + ax + b f(x) = ( 2 x + 1) ( 3 x − 1) h( x ) + ( ax + b ) {pembagi derajat 2 maka sisa maksimal derajat 1} 1 1 dan x = 3 2 1 1 f(x) = ( 2 x + 1) ( 3 x − 1) h( x ) + ( ax + b ) → f( − ) = − a + b = 6 …… (1) 2 2 1 1 f(x) = ( 2 x + 1) ( 3 x − 1) h( x ) + ( ax + b ) → f( ) = a + b = 11 ……. (2) 3 3 Dengan memasukkan nilai x = −
Dengan melakukan eliminasi persamaan (1) dan (2) akan didapatkan a = 6 dan b = 9, sehingga sisa f(x) dibagi 6x2 + x – 1 adalah 6x + 9.
Contoh Soal 10 Suatu suku banyak p(x) memiliki sisa 5 jika dibagi (x + 1) dan memiliki sisa 9 jika dibagi (x – 3), sisa suku banyak tersebut jika dibagi oleh x2 – 2x – 3 adalah .... Pembahasan: p(x) memiliki sisa 5 jika dibagi x + 1 → p(–1) = 5 p(x) memiliki sisa 9 jika dibagi x – 3 → p(3) = 9 p(x): x2 – 2x – 3 p(x) = (x2 – 2x – 3 ) h(x) + s(x) p(x) = (x – 3)(x + 1) h(x) + mx + n {dengan pembagi derajat 2, sisa maksimal derajat 1} Substitusikan x = 3 dan x = –1 p(x) = (x – 3) (x + 1) h(x) + mx + n → p(3) = 3m + n = 9 …. (1) p(x) = (x – 3) (x + 1) h(x) + mx + n → p(–1) = –m + n = 5 ….(2)
12
Dengan mengeliminasikan persamaan (1) dan (2) akan didapatkan m = 1 dan n = 6 sehingga sisa pembagiannya oleh x2 – 2x – 3 adalah x + 6.
Contoh Soal 11 Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x2 – 4) memberikan sisa 3x + 1 dan jika dibagi x2 – 3x + 2 memberikan sisa bagi x + 5, sisa pembagian f(x) oleh x2 + x – 2 adalah .... Pembahasan: f(x) : (x2 – 4)
(
)
f ( x ) = x 2 − 4 h( x ) + 3 x − 1 f ( x ) = ( x + 2)( x − 2) h( x ) + 3 x + 1 Dengan menyubstitusi x = 2 dan x = –2 akan didapatkan: f(x) = (x + 2) (x – 2) h(x) + 3x + 1 → f(2) = 3(2) + 1 = 7 f(x) = (x + 2) (x – 2) h(x) + 3x + 1 → f(–2) = 3(–2) + 1 = –5 f(x) : x2 – 3x + 2 f(x) = (x2 – 3x + 2 ) h(x) + x + 5 f(x) = (x – 2) (x – 1) h(x) + x + 5 Dengan menyubstitusi x = 2 dan x = 1 akan didapatkan: f(x) = (x – 2) (x – 1) h(x) + x + 5 → f(2) = 2 + 5 = 7 f(x) = (x – 2) (x – 1) h(x) + x + 5 → f(1) = 1 + 5 = 6 f(x) : x2 + x – 2 f(x) = (x2 + x – 2) h(x) + mx + n f(x) = (x – 1) (x + 2) h(x) + mx + n Dengan menyubstitusi x = 1 dan x = –2, maka: f(x) = ( x − 1) ( x + 2 ) h ( x ) + mx + n → f (1) = m + n = 6 ….(1) f(x) = ( x − 1) ( x + 2 ) h ( x ) + mx + n → f ( −2 ) = −2m + n = −5 ….(2)
11 7 dan n = , Proses eliminasi persamaan (1) dan (2) akan menghasilkan m = 3 3 11 7 . sehingga sisa pembagian f(x) oleh x2 + x – 2 adalah x+ 3 3
13
G.
TEOREMA SISA 3 Untuk pembagian yang melibatkan bentuk (x – h) dan (x – k), maka sisa pembagiannya dapat ditentukan dengan rumus berikut. s( x ) =
x −k x −h p ( h) + p(k ) h−k k −h
Contoh Soal 12 Sisa pembagian suku banyak P ( x ) = 3 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 4 oleh (x + 1) (x – 1) adalah .... Pembahasan: Dari x – 1, misalkan didapat h = 1 dan dari x + 1 didapatkan k = –1 maka dengan menggunakan formula teorema sisa, diperoleh: x −k x −h p ( h) + p(k ) h−k k −h x +1 x −1 s( x ) = p (1) + p ( −1) −1− 1 1+ 1 x +1 x −1 ( −2) + s( x ) = (2) −2 2 s ( x ) = − x − 1− x + 1 s( x ) =
s ( x ) = −2 x Jadi, sisa pembagiannya adalah -2x.
Contoh Soal 13 Sisa pembagian suku banyak 2 x 4 + 5 x 3 + x 2 − 6 x + 3 oleh (2x – 1) (x – 1) adalah .... Pembahasan: Misal p( x ) = 2 x 4 + 5 x 3 + x 2 − 6 x + 3 . Dengan menggunakan skema Horner didapat 1 nilai dari p = 1 dan p(1) = 5. Dengan demikian, diperoleh: 2
14
x −k x −h p ( h) + p(k ) h−k k −h 1 x− x −1 1 2 p (1) s( x ) = p + 1 1 2 −1 1− 2 2 1 x− x −1 2 s( x ) = (1) + 1 .5 1 − 2 2 s ( x ) = −2 x + 2 + ( 2 x − 1) 5 s( x ) =
s( x ) = 8 x − 3 Jadi, sisa pembagiannya adalah 8x – 3.
H.
TEOREMA SISA 4 Untuk pembagian suku banyak P(x) oleh (x – h)(x – k)(x – l), dapat digunakan rumus berikut: s( x ) =
( x − h)( x − k ) p l + ( x − h)( x − l ) p k + ( x − k )( x − l ) p h () ( ) ( ) ( l − h)( l − k ) ( k − h)( k − l ) ( h − k )( h − l )
Contoh Soal 14 Tentukan sisa pembagian dari p ( x ) = x 6 − 4 x 5 + 4 x 4 − x 3 + 2 x 2 + 5 x − 5 jika dibagi oleh (x – 1)(x + 1)(x – 2) Pembahasan: Dengan menggunakan formula teorma sisa didapat: s( x ) =
( x − 1) ( x + 1) p 2 + ( x − 1) ( x − 2 ) p −1 + ( x + 1) ( x − 2 ) p 1 ( ) () ( ) ( 2 − 1) ( 2 + 1) ( −1− 1) ( −1− 2 ) (1+ 1) (1− 2 )
s( x ) =
x2 −1 x2 − 3x + 2 x2 − x − 2 p (2) + p ( −1) + p (1) 3 6 −2
15
Dengan menggunakan metode Horner kita akan dapatkan nilai p(2) = 5, p(1) = 2, dan p(–1) = 2. x2 −1 x2 − 3x + 2 x2 − x − 2 ⋅5 + ⋅2 + ⋅2 −2 3 6 5x2 − 5 x2 − 3x + 2 + − x2 − x − 2 s( x ) = 3 3 6 x2 − 3x − 3 − x2 + x + 2 s( x ) = 3 s ( x ) = 2 x 2 − x − 1− x 2 + x + 2 s( x ) =
(
)
s( x ) = x2 + 1 Jadi, sisa pembagiannya adalah x2 + 1.
16
