MATEMATIKA IV - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK FOURIEROVA ANALÝZA A PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

MATEMATIKA IV - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK FOURIEROVA ANALÝZA A PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE JAN MALÝ

Obsah 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Fourierovy řady – klasika Fourierovy řady v Hilbertově prostoru Sčítání Fourierových řad Fourierova transformace v L1 Distribuce Fourierova transformace distribucí Počítání Fourierových transformací Parciální diferenciální rovnice obecně Laplaceova rovnice Rovnice vedení tepla Vlnová rovnice Fourierova metoda

2 3 5 7 8 11 13 16 16 18 19 20

1

Fourierovy řady 1. Fourierovy řady – klasika 1.1. Periodické funkce. Řekneme, že funkce f : R → C má periodu p 6= 0, jestliže f (x + p) = f (x) pro všechna x ∈ R. Funkce sin x, cos x, sin nx (n ∈ Z) apod. mají periodu 2π. Pro funkce sin 2x, sin 3x,. . . číslo 2π není nejmenší perioda, ale je to perioda. Součet funkcí s periodou 2π je funkce s periodou 2π, platí samozřejmě i pro součty nekonečných řad. Tématem této partie bude otázka, které funkce se dají napsat ve tvaru tzv. trigonometrické řady ∞ X
(1) f (x) = c0 + ak cos kx + bk sin kx , c0 , a1 , a2 , . . . , b1 , b2 , · · · ∈ C. k=1

Každá taková funkce musí mít periodu 2π, tudíž stačí studovat chování na intervalu (−π, πi. 1.2. Komplexní tvar trigonometrické řady. Řadu (1) si můžeme přepsat do tvaru (2)

f (x) =

∞ X

ck eikx ,

k=−∞

kde c0 zůstává a

ak + ibk ak − ibk , c−k = , 2 2 Komplexní tvar se hůř predstaví, ale snáze se s ním počítá. ck =

k ∈ N.

1.3. Lebesgueovy prostory. Nechť J ⊂ R je interval a p ≥ 1. Symbolem Lp (J) budeme značit množinu všech funkcí f : J → C takových, že Z 1/p kf kp := |f (x)|p dx < ∞. J p k fk konverguje k funkci f v prostoru L (J), jestliže limn→∞ ksn − f kp = 0, ∞ P kde sn je n-tý částečný součet řady. Např. sn = f1 + · · · + fn pro fk a sn = f−n + · · · + fn pro řadu

Řekneme, že řada funkcí

∞ P

P

k=1

fk .

k=−∞

1.4. Skalární součin. Skalární součin funkcí f, g ∈ L2 (J) definujeme jako Z (f, g) := f (x)g(x) dx. J

Symbol g¯ značí komplexně sdruženou funkci. Pro reálnou verzi prostoru L2 je přechod ke komplexně sdružené funkci irelevantní. Skalární součin splňuje pravidla (pro f, g, h ∈ L2 (J)) (1) (f, g) = (g, f ), (2) (λf, g) = λ(f, g), (3) (f + g, h) = (f, h) + (g, h), (4) f 6= 0 na množině kladné míry =⇒ (f, f ) > 0. Všimněme si, že kf k2 = (f, f )1/2 . Řekneme, že funkce f, g jsou navzájem kolmé (na J), jestliže Z (3) f (x)g(x) dx = 0. J

Primárně je tento termín šit na míru prostoru L2 , dá se však použít i v jiných situacích, kdy integrál v (3) konverguje. Pokud funkce jsou navzájem kolmé, pak jsou lineárně nezávislé. Lineární nezávislost funkcí f1 , . . . , fk ∈ L2 (J) znamená, že pro čísla c1 , . . . , ck ∈ C platí k X

ck fk = 0 skoro všude =⇒ c1 = c2 = · · · = ck = 0.

j=1

1.5. Lemma (o kolmosti goniometrických funkcí). Funkce eikx , k ∈ Z, jsou navzájem kolmé. 2

1.6. Fourierova řada. Předpokládejme, že funkce f ∈ L1 ((−π, πi) se dá zapsat ve tvaru (2) a řada konverguje v prostoru L1 . Vynásobme řadu zprava funkcí e−imx a integrujme přes (−π, πi. Dostaneme Z π X Z π ∞ ∞ Z π X f (x)e−imx dx = ck eikx e−imx dx = ck eikx e−imx dx −π

−π k=−∞ π ck eimx e−imx −π

k=−∞

−π

Z =

dx = 2πcm ,

neboť členy s k 6= m se “vykolmí”. Odtud je vidět, že abychom měli šanci na rozvoj (2), koeficienty by měly mít tvar Z π 1 f (x)e−imx dx (4) cm = 2π −π Má-li trigonometrická řada koeficienty získané podle vzorce (4) z funkce f , nazývá se Fourierovou řadou funkce f . Reálný tvar Fourierovy řady je ∞
a0 X (5) + ak cos kx + bk sin kx , 2 k=1

kde Z 1 π f (x) cos kx dx, π −π Z 1 π bk = f (x) sin kx dx, π −π

ak = (6)

k = 0, 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . .

Ve srovnání s (1) používáme tradiční značení a0 /2 místo c0 , což je motivováno postřehem, že funkce 1 je mezním případem funkce cos kx pro k = 0 v (6). 1.7. Lemma (Riemann–Lebesgue). Nechť J ⊂ R je interval a f ∈ L1 (J). Potom Z f (x)e−ikx dx = 0. lim k→±∞

J

1.8. Poznámka. Lemma platí i pro interval J nekonečné délky a k necelé. Pro Fourierovy řady znamená mj. že Fourierovy koeficienty funkce z L1 ((−π, πi) jdou vždy k nule. 1.9. Jednostranné limity. Značíme f (x+) := lim f (t),

f (x−) := lim f (t).

t→x+

t→x−

1.10. Věta (Dirichlet – Jordan). Nechť f : R → R je 2π-periodická a po částech monotonní. Potom Fourierova řada funkce f konverguje. Její součet je f (x) v bodech spojitosti funkce f a
1 f (x+) + f (x−) 2 v bodech nespojitosti funkce f . 1.11. Poznámka. Je velký rozdíl mezi třídou funkcí, pro které Fourierova řada konverguje a třídou funkcí, pro které má smysl. Existují i spojité funkce, pro které Fourierova řada někde diverguje (avšak množina bodů divergence musí mít v takovém případě míru nula). Větu o konvergenci Fourierovy řady skoro všude (platí pro funkce z L2 ((−π, πi)) je velmi těžké dokázat. 2. Fourierovy řady v Hilbertově prostoru 2.1. Hilbertův prostor. Nekonečně rozměrnou analogií eukleidovského prostoru je tzv. Hilbertův prostor. Hilbertův prostor je unitární prostor H, který je úplný, to znamená, že každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. Hilbertův prostor se vyznačuje tím, že v něm můžeme najít ortonormální systém (tj. systém navzájem kolmých jednotkových vektorů), která P tvoří “bázi” vzhledem k nekonečným součtům. Připomeňme, že prvek u se pokládá za součet řadu k uk prvků H (jako v každém NLP), jestliže částečné součty konvergují k u v normě. Skalární součin prvků u a v v Hilbertově prostoru se značí (u, v). Pro účely Fourierových řad je praktické uvažovat Hilbertův prostor nad tělesem komplexních čísel. Tato změna nepřináší příliš mnoho nepříjemností, jen hlavně je třeba si dát pozor na asymetrii (v, u) = (u, v). 3

Řekneme, že Hilbertův prostor H je separabilní, jestliže v něm existuje spočetná množina S, jejíž uzávěr je H. Hilbertovy prostory, s nimiž se člověk setkává v praxi, jsou zpravidla separabilní. V separabilním Hilbertově prostoru je každý ortonormální systém spočetný a dá se tedy uspořádat do posloupnosti. 2.2. Ortogonalizace. Každou posloupnost vektorů unitárního prostoru lze opravit na ortonormální tzv. Gram–Schmidtovou ortogonalizací. Nejprve odstraníme členy posloupnosti, které jsou lineárními kombinacemi předchozích, a tak dostaneme posloupnost lineárně nezávislých vektorů. Pokud už členy posloupnosti {un } jsou navzájem lineárně nezávislé, přiřazujeme postupně en podle předpisu u∗ , en+1 = n+1 ku∗n+1 k kde u∗n+1 = un+1 −

n X

(un+1 , ek ) ek .

k=1

Posloupnost {en } už je ortonormální a Lin(e1 . . . , en ) = Lin(u1 , . . . , un ),

n ∈ N.

2.3. Věta (Riesz-Fischer). Nechť {ek } je ortonormální systém v Hilbertově prostoru H a {ck } je posloupnost komplexních čísel. Jestliže ∞ X |ck |2 < ∞, k=1

potom

∞ X

ck ek konverguje v H.

k=1

2.4. Úplný ortonormální systém. Ortonormální systém {ek }k v (separabilním) Hilbertově prostoru se nazývá úplný, jestliže už k němu není možné doplnit další ortonormální prvek. 2.5. Abstraktní Fourierova řada. Nechť {ek }k je úplný ortonormální systém v (separabilním) Hilbertově prostoru H. Fourierovy koeficienty prvku u ∈ H jsou čísla u ˆk := (u, ek ) Řada X

u ˆk ek

k

se nazývá abstraktní Fourierova řada prvku u. 2.6. Věta. V každém separabilním Hilbertově prostoru existuje (spočetný) úplný ortonormální systém. 2.7. Věta. Nechť {ek }k je úplný ortonormální systém. Potom (a) (Rozvoj do abstraktní Fourierovy řady) pro každý prvek u ∈ H je X u= u ˆ k ek , k

(b) pro každé dva prvky u, v ∈ H je (u, v) =

X

u ˆk vˆk .

k

(c) (Parsevalova rovnost) pro každý prvek u ∈ H je X kuk2 = |ˆ uk |2 k

2.8. Aplikace. Pomocí ortogonalizace se dají konstruovat úplné ortonormální posloupnosti v Hilbertových prostorech funkcí a studovat rozvoje funkcí do řad. Pro různé výpočty mají uplatnění např. Legendrovy či Hermitovy polynomy, o nichž je možné se dočíst v literatuře. Zde se omezíme na klasické Fourierovy řady. Prostor L2 ((−π, πi), kde rovnost prvků je chápána jako rovnost funkcí skoro všude, je Hilbertův prostor. Funkce 1 ek = √ eikt , k∈Z 2π tvoří úplný ortonormální systém v prostoru L2 ((−π, πi), a tak věta 2.7 doplňuje informace a dává nový pohled na klasické Fourierovy řady. 4

3. Sčítání Fourierových řad Najít Fourierovu řadu k dané funkci je rutinní úlohou vedoucí na použití vzorců (6). Těžší je najít součet dané Fourierovy řady. K tomu je užitečné uvědomit si souvislost mezi Fourierovou řadou a zobecněnými mocninnými řadami. Máme-li sečíst Fourierovu řadu ∞ X ck eikt k=−∞

v bodě t, je vhodné provést substituci z = eit a tím řada přechází na ∞ X

(7)

ck z k

k=−∞

Málokdy se nám poštěstí, aby řada (7) byla Laurentovou řadou holomorfní funkce. Častěji se hodí přepis z −k = z¯ k (z je komplexní jednotka!). Tím problém převedeme na nalezení součtu Taylorovy řady. 3.1. Příklad. Uvažujme funkci f (t) =

∞ X

∞

(−1)k+1

X eikt sin kt = Im . (−1)k+1 k k k=1

k=1

Po substituci z = eit máme f (arg z) = Im

∞ X

(−1)k+1

k=1

zk = Im ln(1 + z) = arg(1 + z) = k

1 2

arg z,

takže pro t ∈ (−π, π) je f (t) =

t . 2

Součtem řady ∞ X

(−1)k+1

k=1

sin kt k

je tedy “pilovitá” 2π-periodická funkce na R, která splývá s t/2 na intervalu (−π, π). V lichých násobcích π je součet nula, jak se snadno přesvědčíme přímým dosazením. 3.2. Příklad. Uvažujme funkci f (t) =

∞ X sin kt k=1

k2

∞ X

= Im

(−1)k+1

k=1

eikt . k2

Po substituci z = eit máme f (arg z) = Im g(z), kde g(z) =

∞ X zk k=1

k2

.

Zde asi součet řady neuhodneme. Máme g 0 (z) = zg 0 (z) =

∞ X z k−1 k=1 ∞ X k=1

g 0 (z) = −

k

,

zk = − ln(1 − z), k

ln(1 − z) , z

Vyřešení příkladu brání problém s hledáním primitivní funkce. 5

3.3. Příklad. Uvažujme funkci f (t) =

∞ X

(−1)k

k=1

cos kt . k2

Kdybychom převáděli na z = eit , setkali bychom se s podobným problémem jako výše v příkladu 3.2. Zderivováním řady člen po členu dostaneme ∞ X t sin kt f 0 (t) = (−1)k+1 = , t ∈ (−π, π), k 2 k=1

(převedli jsme na příklad 3.1), tedy f (t) = t2 + C. K dořešení použijeme příklad 12.15 ze zimního semestru, podle něhož ∞ X π2 (−1)k = − . C= k2 12 k=1

3.4. Příklad. Uvažujme funkci f (t) =

∞ X cos (2k + 1)t

(2k + 1)2

k=0

Zderivováním dostaneme f 0 (t) = −

.

∞ X sin (2k + 1)t k=0

2k + 1

.

Substitucí z = eit převedeme na nalezení imaginární části ∞ X 1 1+z z 2k+1 = ln . g(z) = 2k + 1 2 1−z k=0

Máme Im g(eit ) = a podobně


1 1 1 + eit 1 π arg = arg eit − arg(−eit ) = (t − (t − π)) = , 2 1 − eit 4 4 4 π f 0 (t) = Im g(eit ) = − , 4

Je tedy

t ∈ (−π, 0)

π |t| + C. 4 K nalezení konstanty použijeme příklad 12.15 ze zimního semestru, podle něhož ∞ X 1 π2 C= = . (2k + 1)2 8 f (t) =

k=0

6

t ∈ (0, π)

Fourierova transformace 4. Fourierova transformace v L1 4.1. Motivace. Jestliže 2π-periodická funkce f má Fourierův rozklad ∞ X

f (x) =

ck eikx ,

k=−∞

znamená to, že je součtem harmonických kmitů o frekvencích k s vahou ck . Některé funkce mohou být zapsané v obecnějším tvaru X (8) f (x) = ca eiax , (množina sčítacích indexů nejsou celá čísla!) a∈M

kde M ⊂ R je spočetná množina. Použijeme-li speciálně M = {k/l : k ∈ Z},

(9)

l > 1,

funkce f je periodická, ale její perioda 2πl je větší, protože frekvence jsou hustší. Jestliže M obsahuje čísla, jejichž poměr je iracionální, pak (až na triviální koeficienty u příslušných sčítanců) funkce f není periodická a řada (8) se nedá pokládat za Fourierovu řadu. (Např. f (x) = sin x + sin πx.) Frekvenční analýza je dostupná i v případě, že dochází k “nekonečnému” zahušťování frekvencí. Když při stejně silném signálu se frekvence zahušťují, ale příspěvek jednotlivé frekvence do celku se snižuje, v limitě máme jakousi hustotu jejich rozložení a funkce f není vyjádřena řadou, ale integrálem tvaru Z (10) f (x) = g(y) eiyx dy. R

Taková funkce není periodická, protože při zahušťování frekvencí se zvětšuje perioda a v limitě dostáváme periodu nekonečnou, tedy žádnou. Frekvenční analýza funkcí ve tvaru (8) a (10) se dá zahrnout pod jednu střechu v rámci jednotící teorie distribucí. Nejprve však se budem zabývat jednodušším problémem, jak najít hustotu g, pokud funkce f připouští rozklad (10). 4.2. Fourierova transformace. Je-li f ∈ L1 (R) integrovatelná funkce, definujeme Z 1 ˆ e−ixy f (y) dy. (11) f (x) := √ 2π R Funkce fˆ se nazývá Fourierova transformace funkce f . Její důležitost spočívá hlavně v tom, že za jistých podmínek lze pak funkci vyjádřit jako Z 1 (12) f (x) = √ eixy fˆ(y) dy 2π R čímž máme provedenu frekvenční analýzu funkce f a zápis (12) nám umožňuje používat užitečné vzorce fourierovského kalkulu. Konstanta √12π se přidává za tím účelem, aby vynikla symetrie mezi vzorci (11) a (12). Funkční hodnoty fˆ(y) hrají analogickou roli jako koeficienty Fourierovy řady. Místo fˆ někdy používáme značení Ff . Také značíme Z 1 ˇ f (x) = Ff (x) = √ eixy f (y) dy. 2π R (rozdíl mezi předpisem pro F a F je ve znaménku exponentu). Operátor F je “komplexně sdružený” ve smyslu F f¯ = Ff . V dalším budeme symbolem x značit identickou funkci x 7→ x. 4.3. Věta. Nechť f : R → C je integrovatelná funkce. Potom fˆ je omezená spojitá funkce a lim fˆ(x) = 0. |x|→∞

1

4.4. Větička. Nechť f , g ∈ L (R). Potom Z Z f (x)ˆ g (x) dx = fˆ(x) g(x) dx. R

R 7

4.5. Věta. Nechť f : R → C je integrovatelná funkce. Nechť funkce f a xf jsou integrovatelné. Potom fˆ je spojitě diferencovatelná a c = i(fˆ)0 . xf 4.6. Věta. Nechť f ∈ L1 (R) je spojitě diferencovatelná funkce a f 0 ∈ L1 (R). Potom fc0 = ixfˆ. 4.7. Věta (o inverzním vzorci). Nechť f i fˆ jsou integrovatelné funkce. Potom (fˆ)ˇ = (fˇ)ˆ = f, neboli (fˆ)ˆ(−x) = f (x). 4.8. Konvoluce. Konvoluce funkcí f , g ∈ L1 (R) je funkce, která se definuje předpisem Z f ∗g (x) = f (x − y) g(y) dy. R

Na L1 je operace konvoluce symetrická a výsledek je opět funkce z L1 . Konvoluce má v matematice mnohostranné použití, pro Fourierovu transformaci platí pozoruhodný vzorec √ (13) f[ ∗ g = 2π fˆ gˆ, f, g ∈ L1 . Operace konvoluce se dá zobecnit i na jiné typy operandů, jsme-li přísnější na výběr funkce f , můžem operovat s širším systémem funkcí g. Pro některé páry funkcí (tím spíš distribucí, viz. dále) však konvoluce nemá žádný rozumný smysl. Inverzní furmule nám dá vzorec pro Fourierovu transformaci součinu 1 ˆ (14) fc g =√ f ∗ gˆ, f, g ∈ L2 ∩ L1 . 2π Vzorec (14) platí i obecněji, diskuse jeho “definičního oboru” není lehká. 5. Distribuce 5.1. Motivace. Každá rozumná veličina reálné proměnné je charakterizovaná svým “rozdělením”, které udává její úhrn přes intervaly. Veličiny se většinou modelují jakoR funkce, pokud f : J → C je integrovatelná funkce a L ⊂ J je interval, “úhrn veličiny” f přes L je L f (x) dx, zatímco funkce f samotná je její “hustota”. Umíme si však také představit takovou veličinu δ0 , jejíž úhrn přes interval L by byl jedna pokud L obsahuje počátek a nula jinak. Taková veličina by byla “mezní případ”, limita pro j → ∞ posloupnosti veličin s hustotami fj , třeba ( j, x ∈ (0, 1j ), (15) fj (x) = 0 jinak . Veličina δ0 je “koncentrovaná” v bodě 0, podobně bychom “zavedli” veličinu δa o celkovém úhrnu 1 koncentrovanou v bodě a a lineární kombinace veličin δa diskrétními veličinami. Abychom dali takovým pojmům přesný matematický význam a zároveň jednotný rámec, který by zahrnul “pod jednou střechou” funkce a diskrétní veličiny, definujeme distribuce. Přínos distribucí bude dvojí. Distribuce dávají jednotící pohled na “veličiny s hustotou” a “koncentrované veličiny”. Pokud by nám šlo jen o to, stačilo by zavést tzv. komplexní míry. Míry jsou objekty vhodné k modelování fyzikálních veličin které se mohou (ale nemusí) “koncentrovat” do množin Lebesgueovy míry nula (např. idealizovaná hmotnost). Teorie distribucí nám však také umožňuje vytvářet “nové” objekty formálním derivováním “starých objektů”, “Formálnost” derivování je míněna tak, že nepožadujeme, aby derivace existovala v klasickém smyslu. Možnost bezmezného derivování je velmi užitečná pro teorii Fourierovy transformace. Distribuce, přesněji temperované distribuce, jsou objekty, které zahrnují integrovatelné funkce, lze je sčítat, násobit polynomy, derivovat a párovat s tzv. testovacími funkcemi. Párování je bilineární forma na kartézském součinu S 0 × S , kde S 0 je množina všech temperovaných distribucí a S je množina všech rychle klesajících testovacích funkcí. Protože vymezení distribucí jako “objektů” může být právem chápáno jako příliš vágní, definujeme je jako spojité lineární fukcionály (formy) na prostoru S . Tento přístup nám také umožňuje vymezit rovnost distribucí, neboť jedna distribuce může být “vygenerována” různými způsoby. 8

5.2. Neurčitý integrál. Pro pohodlí zde zopakujeme pár pojmů z teorie integrálu. Mějme funkci f definovanou na intervalu I. Řekneme, že f je lokálně integrovatelná na I, jestliže f je integrovatelná na každém intervalu ha, bi ⊂ I. (Např. funkce f (x) = 1/x je lokálně integrovatelná na intervalu (0, 1), ale není na něm integrovatelná.) Nechť f je lokálně integrovatelná funkce na I. Funkce F : I → C se nazývá neurčitý integrál funkce f , jestliže Z b f (x) dx F (b) − F (a) = a

pro každý interval ha, bi ⊂ I. Pokud F je neurčitý integrál funkce f na I, potom funkce f + C, kde C je konstanta, jsou také neurčité integrály a žádné jiné neurčité integrály funkce f na I nemá. Neurčitý integrál je “něco jako primitivní funkce”, ale na rozdíl od primitivní funkce je odvozen od jiného druhu R integrálu (Lebesgueova místo Newtonova). Neurčitý integrál funkce f značíme f (bez udání mezí). 5.3. Testovací funkce. Řekneme, že ϕ : R → C je rychle klesající testovací funkce, jestliže ϕ je nekonečně diferencovatelná a součin xm ϕ(k) je omezený pro každý řád k ∈ {0, 1, 2, . . . } a stupeň mocniny m ∈ {0, 1, 2, . . . }. Množina všech rychle klesajících testovacích funkcí se nazývá Schwartzův prostor a značí S . Např. 2 funkce e−x leží v S . 5.4. Konvergence testovacích funkcí. Nechť ϕ, ϕj ∈ S , j = 1, 2, . . . , jsou testovacích funkce. Řekneme, že posloupnost {ϕj }j konverguje k ϕ v S , značíme ϕj → ϕ, jestliže (k)

xm ϕj (x) → xm ϕ(k) (x) stejnoměrně pro každý řád k ∈ {0, 1, 2, . . . } a každý stupeň mocniny m ∈ {0, 1, 2, . . . }. 5.5. Definice distribuce. Temperované distribuce jsou spojité lineární funkcionály na S . Prostor všech temperovaných distribucí se značí S 0 . Ještě se v matematice pracuje s “obyčejnými distribucemi”, distribucemi “bez přívlastku”, v tomto textu se jimi však nebudeme zabývat a pojem distribuce budeme používat ve významu “temperovaná distribuce”. Základní úkon s distribucí je párování. Distribuce S se páruje s testovací funkcí ϕ ∈ S a z formálního hlediska jde o hodnotu funkce (funkcionálu) S ∈ S 0 v bodě (testovací funkci) ϕ ∈ S . Jenom místo značení S(ϕ), obvyklého pro záznam hodnoty funkce v bodě, používáme značení hS, ϕi. V definici distribuce se ještě vyskytuje termín spojitý. Ten se chápe jako následující vlastnost: Řekneme, že funkcionál S je spojitý na S , jestliže pro každou posloupnost {ϕj }j testovacích funkcí platí ϕj → ϕ =⇒ hS, ϕj i → hS, ϕi. 5.6. Regulární a diskrétní distribuce. Distribucím se také někdy říká zobecněné funkce. Termín pochází z toho, že mnohé funkce lze chápat jako speciální případ distribucí. Existují ovšem funkce, které se zahrnutí do kontextu distribucí vymykají. Nechť f : R → C je integrovatelná funkce. Funkci f budeme téměř ztotožňovat s distribucí Z (16) Sf : ϕ 7→ f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ S. R

Funkci f budeme nazývat hustota distribuce Sf . Distribucím vzniklým tímto způsobem se říká regulární distribuce. Protože po ztotožnění f ≡ Sf by symbol f (ϕ) byl matoucí, dáváme přednost symbolice párování, totiž Z hf, ϕi =

f (x)ϕ(x) dx. R

Obecněji, za regulární distribuce budeme považovat distribuce tvaru (16) i když f je jen lokálně integrovatelná, avšak musíme dát pozor, aby předpis byl distribucí (např. funkce f (x) = ex je lokálně integrovatelná, ale nedává předpisem (16) spojitý lineární funkcionál na S ). Diskrétní distribuce budou distribuce tvaru X ca δa , a∈M

kde M ⊂ R je spočetná množina a ca jsou komplexní koeficienty, X |ca | < +∞. a∈M

Funkcionál δa je tzv. Diracova distribuce a definuje se pomocí párování (17)

hδa , ϕi = ϕ(a), 9

ϕ ∈ S.

Většinou budeme mluvit o Diracově distribuci v souvislosti s δ0 . 5.7. Násobení a derivování distribucí. Je-li S lineární funkcionál na S , definujeme jeho derivaci S 0 předpisem (18)

ϕ ∈ S.

hS 0 , ϕi = −hS, ϕi,

Součin funkce ψ ∈ S a distribuce S ∈ S definujeme jako 0

(19)

hψS, ϕi = hS, ψϕi,

ϕ ∈ S.

hxS, ϕi = hS, xϕi,

ϕ ∈ S.

Speciálně (20)

Vzorce (18) a (20) můžeme iterovat, výsledek zápíšeme v symbolice párování. Je-li p polynom, dostaneme iterováním vzorce (20) (21)

hpS, ϕi = hS, pϕi.

Podobně iterování vzorce (18) dostaneme vzorec pro k-tou derivaci (22)

hS (k) , ϕi = (−1)k hS, ϕ(k) i.

Vzorce (18), (22) jsou evidentním zobecněním formule pro integrování per partes. Ke každé distribuci můžeme najít reprezentaci ve tvaru konečného součtu X (k) xm Smk , m,k

kde Smk jsou regulární nebo diskrétní distribuce popsané v 5.6. Toto vyjádření není jednoznačné a použití diskrétních distribucí z něho lze vyeliminovat. Pořád mějme na paměti, že distribuce jsou zobecněné funkce, ale ne funkce. Zacházíme tedy s nimi opatrně a provádíme jen takové operace, které jsou výslovně povoleny. Zatím to jsou operace sčítání, násobení testovací funkcí, derivace a párování s testovacími funkcemi. K těmto operacím přibude Fourierova transformace. Výslovně je “zakázáno” násobit dvě distribuce mezi sebou, nebo i násobit distribuci funkcí, která není testovací. V některých případech sice takový součin může mít smysl, ale o tom může rozhodnout jen zkušený matematik. Například součin δ0 δ0 v teorii temperovaných distribucí smysl rozhodně nemá. Existují upravené teorie, v nichž se dá násobit, ovšem za cenu ztráty jiných rozumných vlastností. 5.8. Poznámka. Mezi funkcemi a distribucemi existuje mezičlánek v obecnosti, tzv. míry. Zatímco pro funkce je primární hodnota v bodě a pro distribuce hodnota na testovací funkci, míry ‘měří” množiny. Přesto po jistém ztotožnění můžeme chápat {integrovatelné funkce} ⊂ {míry} ⊂ {distribuce} Míry jsou veličiny, které mohou mít hustotu, tj. Z A 7→

ρ A

(pak se dají ztotožnit s lokálně integrovatelnými funkcemi), ale také se mohou koncentrovat do množin míry nula (např. míry v R3 se mohou koncentrovat do bodů, křivek a ploch). Míry zahrnují i diskrétní distribuce popsané v 5.6. Diracova distribuce je typickým příkladem míry bez hustoty, jako množinová funkce je to ( 1, a ∈ A, A 7→ 0, a ∈ / A. Fyzikální interpretace je množina 7→ hmotnost za předpokladu, že připustíme i hmotné body a podobné případy koncentrované hmoty. V dimenzi jedna lze nezáporné míry získat jako distributivní derivace monotonních funkcí. Např. Diracovu distribuci dostaneme jako distributivní derivaci Heavisideovy funkce ( 1, x ≥ 0, 0 (23) δ0 = H , H(x) = 0, x < 0. 10

V literatuře se míry spolu s “funkcemi” zařazují mezi distribuce řádu nula, a (minimální) řád distribuce se definuje jako nejmenší možný počet iterací derivování, který je nutný k vytvoření dané distribuce z míry. 5.9. Konvergence distribucí. Pomocí prostoru S můžeme zavést konvergenci distribucí. Řekneme, že posloupnost {Sk }k distribucí konverguje k distribuci S, jestliže hSk , ϕi → hS, ϕi,

ϕ ∈ S.

Například funkce fk definované v (15) konvergují ve smyslu distribucí k Diracově distribuci. Zajímavé je, že ke každé distribuci najdeme posloupnost funkcí (dokonce funkcí z S ), které k ní konvergují. 5.10. Zařazení prostorů funkcí do distribucí. Je-li f omezená spojitá funkce, nemusí být integrovatelná, ale přiřazení Z Sf : ϕ 7→ f (x) ϕ(x) dx, ϕ∈S R

má i tak smysl jako temperovaná distribuce. Podobně funkce z Lebesgueových prostorů Lp (R), 1 ≤ p ≤ ∞, jsou distribuce nultého řádu. 5.11. Věta. Distribuce S řeší rovnici S 0 = 0, právě když existuje C ∈ C tak, že S = SC . 5.12. Věta. Distribuce S řeší rovnici (x − a)S = 0, právě když existuje C ∈ C tak, že S = Cδa . 5.13. Příklad. Řešme rovnici (24)

xS = 1

v distribucích. Výsledek by měl být něco jako funkce 1/x, ale smysl párování hS, ϕi pro S ∼ 1/x je nejasný, integrál Z

ϕ(x) dx x R pro “většinu” testovacích funkcí diverguje. Možný význam takového párování dá až integrování per partes. Distribuci x−1 definujeme předpisem Z hx−1 , ϕi = − ϕ(x) ln |x| dx. R

Tedy distribuce x−1 je derivace funkce ln |x| ve smyslu distribucí. Distribuce x−1 má řád 1. Můžeme se přesvědčit, že distribuce x−1 řeší rovnici (24). Další řešení dostaneme připočítáním násobku Diracovy distribuce δ0 a lze dokázat, že víc možností řešení už není, srv. 7.4. 5.14. Distribuce v n-rozměrném prostoru. Teorii temperovaných distribucí lze bez problémů převést ∂ do Rn , pouze namísto jednoho operátoru derivování máme n operátorů ∂x , i = 1, . . . , n, a namísto i namísto jednoho operátoru x-násobení máme n operátorů xi , i = 1, . . . , n, tedy xi f je funkce x 7→ xi f (x). Platí, též, že omezené spojité funkce na Rn a funkce z Lp (Rn ) jsou distribuce nultého řádu. 6. Fourierova transformace distribucí 6.1. Fourierova transformace distribuce. Nechť S ∈ S 0 je distribuce. Fourierovu transformaci FS distribuce S definujeme předpisem hFS, ϕi := hS, ϕi, ˆ

ϕ ∈ S.

ˇ hFS, ϕi := hS, ϕi,

ϕ ∈ S.

Podobně, Tato definice je rozšířením původní definice Ff (x) =

√1 2π

Z R 11

e−ixy f (y) dy,

kterou jsme použili pro funkce f ∈ L1 (R). Pro diskrétní distribuce tvaru X µ= ck δa , a∈M

kde M ⊂ R je spočetná množina a ca jsou komplexní koeficienty splňující X |ca | < +∞, a∈M

je Fµ(x) =

X

√1 2π

ca e−iax .

a∈M

Tato definice je konzistentní se vzorcem (17), ačkoli z tohoto vzorce přímo nevyplývá, totiž, funkce eiay nejsou povolené testovací funkce. (Prostor S je schválně úzký aby se jeho prvky daly testovat všechny distribuce. Pro speciální podtřídy distribucí by bylo možné uvažovat širší systémy “testovacích funkcí”.) 6.2. Fourierova transformace násobku a derivace. Věty 4.5 a 4.6 nám dávají návod, v jakém tvaru hledat vzorce pro Fourierovu transformaci násobku a derivace. Vskutku, platí F(xS) = i(FS)0 , F(S 0 ) = ixFS, podobně F(xS) = −i(FS)0 , F(S 0 ) = −ixFS. 6.3. Věta (o inverzním vzorci). Nechť S je temperovaná distribuce. Potom F(FS) = F(FS) = S. 6.4. Poznámka. Je-li f integrovatelná funkce, je Ff omezená spojitá funkce (tedy podle 5.10 distribuce nultého řádu) a F(Ff ) už má obecně smysl jen v distribucích, neboť Ff nemusí být integrovatelná. Věta 6.3 je tedy podstatným zesílením věty 4.7. 6.5. Fourierova transformace v Hilbertově prostoru. Nechť f ∈ L2 (R). Potom funkci f můžeme přiřadit distribuci Sf nultého řádu podle 5.10. Řekneme, že funkce u ∈ L2 (R) je Fourierovou transformací funkce f , jestliže FSf = Su , značíme u = fˆ. Podobně definujeme fˇ. Pro funkce f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) dávají obě definice (stará a nová) fˆ stejný výsledek. Fourierova transformace na prostoru L2 je izometrický izomorfismus L2 na sebe, totiž platí následující věta. 6.6. Věta (Plancherel). Nechť f ∈ L2 (R). Potom fˆ ∈ L2 (R) existuje a kfˆk2 = kf k2 . Pro f ∈ L2 (R) platí inverzní formule (fˆ)ˇ = (fˇ)ˆ = f. 6.7. Poznámka. V kapitole o Fourierových řadách jsme používali funkce ek : x 7→

√1 eikx , 2π

k ∈ Z.

Toto označení rozšíříme i na necelá čísla, tedy ey (x) = ex (y) =

√1 2π

eixy .

Pro Fourierovy řady v Hilbertově prostoru L2 ((−π, πi) máme X f= (f, ek ) ek , k∈Z

zatímco inverzní vzorec pro Fourierovi transformaci je formálně Z (25) f = (f, ey )ey dy. R

Vada na kráse je, že není snadné dát vzorci (25) přesný význam, např. Z Z 1 (f, ey ) = f (t)ey (t) dt = √ e−ity f (t) dt 2π R R 12

nemá smysl jako skalární součin na L2 (R), protože funkce ey v tomto prostoru nejsou. 6.8. Aplikace Fourierovy transformace na diferenciální rovnice. Fourierova transformace převádí “složitější operaci” derivace na “jednodušší operaci” násobení funkcí ix. Tím se diferenciální rovnice převádějí na “algebraické” rovnice. Metodu budeme ilustrovat na příkladu diferenciální rovnice ) −u00 + u = f (26) f ∈ L1 (R), u(−∞+) = u(+∞−) = 0 Aplikujeme-li Fourierovu transformaci na obě strany rovnice (26), dostaneme (x2 + 1)ˆ u = fˆ, takže fˆ +1 Zbývá jen maličkost, spočítat Fourierovu transformaci funkce f a inverzní Fourierovu transformaci funkce fˆ/(x2 + 1). Záležitost si můžeme zjednodušit pomocí tzv. fundamentálního řešení. Definujme fundamentální řešení diferenciálního operátoru −u00 + u jako řešení ve smyslu distribucí diferenciální rovnice ) −u00 + u = δ0 (27) u(−∞+) = u(+∞−) = 0 u ˆ=

x2

(obecně, fundamentální řešení se definuje i pro některé jiné diferenciální operátory s konstantními koeficienty). Potom metodou derivování podle parametru, anebo pomocí Fourierovy transformace, se dá odvodit, že w řeší (27) =⇒ w ∗ f řeší (26). Stačí tedy vyřešit rovnici (27). Aplikujeme-li Fourierovu transformaci na obě strany rovnice (27), dostaneme (x2 + 1)ˆ u = √12π Stačí tedy najít (inverzní) Fourierovu transformaci k funkci (x2 +1)−1 . K tomu můžeme použít reziduovou větu (něco podobného už jsme počítali v komplexní analýze). V praxi je většinou jednodušší počítat řešení diferenciální rovnice přímo než Fourierovu transformací, naopak se setkáme s výpočtem Fourierovy transformace pomocí řešení diferenciální rovnice. Přesto je metoda Fourierovy transformace silným nástrojem teorie diferenciálních rovnic, zvláště parciálních. Pro účely posledně jmenovaných je třeba ovšem zobecnit Fourierovu transformaci do vyšší dimenze. 6.9. Fourierova transformace v Rn . Fourierovu transformaci komplexní integrovatelné funkce f na Rn definujeme předpisem Z 1 ˆ f (x) = e−ix·y f (y) dy. (2π)n/2 Rn Je třeba zaregistrovat jen dvě změny: konstanta závisí na dimenzi a součin x · y je skalární součin. Fourierova transformace v Rn se chová podobně jako v R, například parciální derivaci podle xj převádí na násobení funkcí ixj . 7. Počítání Fourierových transformací 7.1. Poznámka. V této kapitole budeme občas zapisovat funkce nepřesným způsobem f (x) namísto f a oba zápisy kombinovat, například ve výrazech jako Ff + sin x, jinak by zápisy byly v některých případech nepřehledné. Vždy si uvědomme, že Fourierova transformace se dá “obrátit”, takže skoro každý příklad dává dva “góly”, dá se číst zleva doprava a zprava doleva. 7.2. Příklad. Je dobré si zapamatovat, jak se Fourierova transformace chová vzhledem k symetriím. Snadno spočítáme ( Ff (x), f sudá, (Ff )(−x) = Ff (x) = −Ff (x), f lichá, tedy Fourierova transformace zachovává sudost a lichost. Dále odtud plyne, že je-li f reálná a sudá, pak Ff je reálná, je-li f reálná a lichá, pak Ff je ryze imaginární. 13

Další užitečný vzorec je o lineární záměně proměnných ϕ(x) = ax + b. Máme ibx x (28) F(f ◦ ϕ)(x) = a1 e a (Ff )( ). a n ve vyšší dimenzi je nutno přepsat prvé 1/a jako 1/a . 7.3. Příklad. Už víme z definice, že δˆ0 = (2π)−1/2 , tedy podle inverzní formule je F 1 = (2π)1/2 δ0 . Všimněme si, že už tato Fourierova transformace má smysl jenom v distribucích. V dalším nebudeme analogický komentář explicitně zmiňovat. 7.4. Příklad. Řešme rovnici (29)

xu = 0

v distribucích. Po aplikaci Fourierovy transformace dostaneme i(Fu)0 = 0, tedy Fu = C (integrační konstanta). (Lze dokázat, že jiná řešení už nejsou.) Aplikujeme inverzní transformaci a dostaneme (s jinou konstantou) ˜ 0. u = Cδ 7.5. Příklad. Buď f (x) = transformaci

1 2

sgn x. Potom f “je” distribuce nultého řádu. Máme f 0 = δ0 , tedy po ixFf = (2π)−1/2 .

Odtud Ff = −i(2π)−1/2 x−1 + Cδ0 (viz. příklady 5.13, 7.4). Zbývá určit konstantu C. Jelikož f je lichá, podle příkladu 7.2 je Fourierova transformace lichá a tudíž C = 0 a Ff = −i(2π)−1/2 x−1 . 7.6. Příklad. Nechť f = χ(−1,1) , tedy f = 1 na (−1, 1) a 0 jinde. Potom f 0 = δ−1 − δ1 , tedy po transformaci ixfˆ(x) = (2π)−1/2 (eix − e−ix ) = 2i(2π)−1/2 sin x. Odtud sin x fˆ(x) = (π/2)−1/2 . x Pravá strana se dá spojitě dodefinovat v nule. Výsledek máme ověřen až na člen Cδ0 , ale f je integrovatelná, takže fˆ je spojitá a C tudíž musí být nula. 7.7. Příklad. Buď f (x) = e−

x2 2

. Funkce f splňuje diferenciální rovnici f 0 = −xf,

tedy po transformaci ixfˆ = −i(fˆ)0 . Ejhle, funkce fˆ splňuje stejnou diferenciální rovnici. Protože rovnice je lineární, musí být fˆ = cf . Konstantu c spočítáme přímo z definice Fourierovy transformace, totiž Z x2 −1/2 ˆ c = f (0) = (2π) e− 2 dx = 1. R

(To je v podstatě Laplaceův integrál. který jsme spočítali v zimním semestru pomocí převodu na dvoux2

rozměrný integrál a polárních souřadnic.) Vidíme, že √ funkce e− 2 se Fourierovou transformací zobrazí sama na sebe. Ze vzorce (28) dále dostaneme pro a = 2t 2 x2 1 (30) f (x) = e−tx =⇒ fˆ(x) = √ e− 4t . 2t 14

7.8. Příklad. Buď f (x) = 12 e−|x| . Funkce f splňuje diferenciální rovnici −f 00 + f = δ0 , tedy po transformaci (x2 + 1) fˆ = (2π)−1/2 . Odtud fˆ(x) = (2π)−1/2

1 x2 + 1

7.9. Příklad. Nechť f (x) = (x2 + 1)−1 . Pro počítání Fourierovy transformace máme tři možnosti. První možnost je použít příklad 7.8 a inverzni formuli. Bohužel, později chceme právě tento výsledek použít k důkazu inverzní formule, takže bychom dostali důkaz kruhem. Lepší možnost je použít rovnost (x2 + 1)f = 1, po transformaci −(fˆ)00 + fˆ = (2π)−1/2 δ0 , což je diferenciální rovnice pro fˆ, jejímž řešením odvodíme výsledek. Ještě jiná nezávislá možnost je počítat Fourierovu transformaci funkce f z definice a na výpočet integrálu použít reziduovou větu. Výsledek je fˆ(x) = (π/2)1/2 e−|x| . 7.10. Příklad. Buď f (x) = arctg x. Potom f 0 (x) = x21+1 , tedy podle předchozího příkladu 7.9 po transformaci ixFf = (π/2)1/2 e−|x| . Odtud   e−|x| − 1 + x−1 . Ff = −i(π/2)1/2 x Zde jsme rozložili e−|x| jako (e−|x| − 1) + 1, protože distribuce e−|x| − 1 x má smysl jako funkce a rovnici xu = 1 umíme řešit. Jelikož f je lichá, Ff musí být lichá a s členem Cδ0 naložíme jako v příkladu 7.5. Uvědomme si, že funkce f je omezená a spojitá, a přesto není Fourierovým obrazem komplexní míry, natož funkce. Otázka, ke kterým funkcím lze najít Fourierův vzor v klasickém smyslu, vůbec není lehká a odpověď je příliš často záporná. Teorie distribucí v tomto ohledu není komplikací, ale vysvobozením. 7.11. Poznámka. Uvažujme integrovatelnou funkci u, jejíž druhá derivace je také integrovatelná. Položme f = −u00 + u. Uvažujme integrál ZZ eix(z−y) f (y) (31) w(z) = dx dy. x2 + 1 R2 Vyintegrujme nejprve podle x. Jelikož znalost Fourierovy transformace funkce (x2 + 1)−1 (příklad 7.9) dává Z −ix(y−z) e dx = πe−|y−z| , (32) 2+1 x R dostaneme Z w(z) = π e−|z−y| f (y) dy. R

Derivováním podle parametru dostaneme −w00 + w = 2πf , což spolu s integrovatelností funkce w dává w = 2πu, viz. též 6.8. Nyní integrál (31) integrujme nejprve podle y. Dostaneme Z ixz ˆ e f (x) w(z) = (2π)1/2 dx. 2 R x +1 u = fˆ, tedy dohromady Jelikož −u00 + u = f , máme (x2 + 1)ˆ Z u(z) = (2π)−1 w(z) = (2π)−1/2 eixz u ˆ(x) dx = (ˆ u)ˇ(z), R

takže jsme ověřili inverzní formuli aspoň pro u splňující dané předpoklady.

15

Parciální diferenciální rovnice 8. Parciální diferenciální rovnice obecně 8.1. Úvodní poznámky. Parciální diferenciální rovnice jsou rovnice, v nichž hledáme funkci u na základě daného vztahu mezi jejími parciálními derivacemi. Řešení úlohy z parciálních diferenciálních rovnic jde málokdy spočítat přesně, účinnější jsou numerické metody. Parciální diferenciální rovnici většinou řešíme uvnitř nějaké otevřené množiny, přičemž na hranici této množiny zpravidla uvažujeme dodatečné tzv. okrajové podmínky. V aplikacích jsou nejdůležitější rovnice druhého řádu, tj. rovnice, kde se vyskytují parciální derivace druhého a nižších řádů. Derivace funkcí a tím i splnění rovnic budeme často chápat ve smyslu distribucí. Chceme-li zdůraznit, že rovnice jsou splněny tak, že derivace vyskytující se v zadání rovnice skutečně existují, jsou spojité a rovnice je splněna jako identita mezi funkcemi, mluvíme o klasickém řešení. V kapitolách o parciálních diferenciálních rovnicích budeme pracovat s reálnými (tj. nikoli komplexními) funkcemi. 8.2. Lineární rovnice s konstantními koeficienty. Všechny rovnice, kterými se budeme zde zabývat, budou lineární a s konstantními koeficienty. Obecná lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty aij , bi , c v n-rozměrném prostoru má tvar −Lu = f , kde (33)

Lu =

n X i,j=1

n

aij

X ∂u ∂2u + + cu bi ∂xi ∂xj ∂xi i=1

a f je daná funkce (jediná nekonstantní data v zadání rovnice). 8.3. Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu. Na základě chování kvadratické formy n X Q(ξ) = aij ξi ξj , ξ ∈ Rn , i,j=1

říkáme, že rovnice (33) je • eliptická, jestliže Q je definitní, • parabolická, jestliže Q je semidefinitní, • hyperbolická, jestliže Q je indefinitní. Transformací souřadnic a dalšími substitucemi lze rovnici (33) převést na jednodušší tvar. Např. v dimenzi dva lze rovnici zjednodušit na některý z tvarů ∂2u ∂2u + = 0, ∂x21 ∂x22 ∂u ∂2u = 0, − ∂x1 ∂x22

∂2u ∂2u + + u = 0, ∂x21 ∂x22 ∂u ∂2u + u = 0, − ∂x1 ∂x22 ∂2u ∂2u − = 0, ∂x21 ∂x22

∂2u ∂2u + −u=0 ∂x21 ∂x22 ∂u ∂2u −u=0 + ∂x1 ∂x22 ∂2u ∂2u − +u=0 ∂x21 ∂x22

(eliptické rovnice), (parabolické rovnice), (hyperbolické rovnice).

8.4. Fundamentální řešení. Fundamentální řešení je jedna z mála věcí v teorii parciální diferenciálních rovnic, které se dají “upočítat”. Definuje se jako řešení rovnice (v distribucích) −Lu = δ0 . Řešení úlohy s pravou stranou f a řešení tzv. počátečních úloh se pak dají získat konvolucí s fudamentálním řešením. Při odvozování tvaru fundamentálního řešení se často používá Fourierova transformace. 9. Laplaceova rovnice 9.1. Laplaceova rovnice, Poissonova rovnice. Nechť n je dimenze prostoru. Diferenciální operátor n X ∂2u ∆u = ∂x2i i=1 se nazývá Laplaceův operátor. Rovnice ∆u = 0 se nazývá Laplaceova rovnice, “nehomogenní” rovnice −∆u = f se nazývá Poissonova rovnice. Laplaceova rovnice v dimenzi jedna má tvar u00 = 0 a jediná řešení jsou lineární polynomy. Zajímavá teorie tedy začíná od dimenze dva. 16

9.2. Fundamentální řešení. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice v Rn je funkce ( 1 − 2π ln |x|, n = 2, U (x) = 1 2−n , n ≥ 3, (n−2)σ n |x| kde σ n je povrch koule o poloměru jedna v Rn . Dosazením n = 3 dostaneme 1 U (x) = , n = 3. 4π|x| Všimněme si, že mimo počátek máme (aniž buchom museli rozlišovat podle dimenze) x , n ≥ 2. ∇U (x) = − σ n |x|n 9.3. Potenciály. Řešení Poissonovy rovnice −∆u = f

(34)

dostaneme konvolucí s fundamentálním řešením, tedy ve tvaru Z (35) u(x) = U (x − y) f (y) dy. Rn

Pro n = 2 se integrál (35) nazývá logaritmickým potenciálem funkce f . Pro n ≥ 3 se integrál (35) nazývá Newtonovým potenciálem funkce f . O řešitelnosti Poissonovy rovnice potenciály vypovídají následující dvě věty. Vzhledem k drobným odlišnostem je dobré roslišit na dva případy podle dimenze. 9.4. Věta. Nechť Ω ⊂ R2 je omezená otevřená množina a f je omezená integrovatelná funkce na Ω. Potom funkce Z u(x) = U (x − y) f (y) dy Ω

řeší na Ω Poissonovu rovnici −∆u = f (v distribucích). 9.5. Věta. Nechť n ≥ 3 a f je omezená integrovatelná funkce na Rn . Potom funkce Z u(x) = U (x − y) f (y) dy Rn n

řeší na R Poissonovu rovnici −∆u = f (v distribucích) a platí (36)

lim u(x) = 0.

|x|→∞

Ve třídě funkcí splňujících (36) je řešení Poissonovy rovnice jednoznačné. 9.6. Dirichletova a Neumannova úloha. Uvažujme omezenou otevřenou množinu Ω ⊂ Rn s hranicí ∂Ω. Kromě diferenciální rovnice −∆u = f máme ještě dánu spojitou funkci ϕ : ∂Ω → R. Dirichletova úloha je úloha najít funkci u : Ω → R, která splňuje rovnici −∆u = f v Ω a navíc Dirichletovu okrajovou podmínku (37)

u(x) = ϕ(x),

x ∈ ∂Ω.

Limitní přechod y → x se chápe vzhledem k množině Ω. Pro formulaci Neumannovy úlohy potřebujeme, aby hranice ∂Ω měla normálu. Budeme říkat, že hranice množiny Ω je třídy C k , k ≥ 1, jestliže existuje funkce η třídy C k tak, že Ω = {x : η(x) < 0} a ∇η 6= 0 na ∂Ω. Normála je pak funkce ∇η(x) ν(x) = , x ∈ ∂Ω. |∇η(x)| Neumannova úloha je úloha najít funkci u : Ω → R, která splňuje rovnici −∆u = f a navíc Neumannovu okrajovou podmínku (38)

Dν− u(x) = ψ(x),

x ∈ ∂Ω,

kde ψ je opět zadaná spojitá funkce na ∂Ω. Levá strana je jednostranná derivace u v x ve směru vnější normály ν(x), totiž u(x + tν) − u(x) lim . t→0− t 17

K úloze najít řešení Poissonovy rovnice na omezené otevřené množině Ω zpravidla přidáváme Dirichletovu nebo Neumannovu podmínku, ne však obě současně. Řešení Dirichletovy úlohy je jednoznačné a řešení Neumannovy úlohy je jednoznačné až na aditivní konstantu. Tvrzení o jednoznačnosti pro Dirichletovu úlohu zformulujeme v následující větě. 9.7. Věta o jednoznačnosti. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina, f je spojitá funkce na Ω a ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Pak existuje nejvýš jedna spojitá funkce u na Ω, řešící Poissonovu rovnici −∆u = f v Ω a Dirichletovu podmínku (37) na ∂Ω. 9.8. Potenciál dvojvrstvy. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina s hranicí třídy C 2 , Uvažujme spojitou funkci g : ∂Ω → R. Potom potenciál dvojvrstvy s hustotou g je funkce Z 1 y−x u(x) = · dS(y), x ∈ Rn . σ n ∂Ω |y − x|n Integrál vpravo skutečně konverguje pro všechna x ∈ Rn . Potenciál dvojvrstvy řeší Laplaceovu rovnici uvnitř Ω a vně Ω. Potenciál dvojvrstvy s hustotou 1 je roven 1 uvnitř Ω a 0 vně Ω. Potenciál dvojvrstvy je spojitý v bodě x ∈ ∂Ω, když g(x) = 0. 9.9. Převedení Dirichletovy úlohy na integrální rovnici. Dirichletova a Neumannova úloha se dají převést na integrální rovnice na ∂Ω. Tuto metodu si budeme demonstrovat pouze na Dirichletově úloze. Budeme předpokládat, že ∂Ω je třídy C 2 , že pravá strana f je omezená integrovatelná funkce na Ω a že okrajová podmínka ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Především, pomocí Newtonova nebo logaritmického potenciálu najdeme nějaké řešení w rovnice −∆w = f , to vyjde jako spojitá funkce na Ω. Řešení u původní úlohy budeme hledat ve tvaru u = w + v. Je zřejmé, že u bude řešit původní úlohu, právě když v bude řešit Laplaceovu rovnici s Dirichletovou podmínkou v = ϕ − u na ∂Ω. Proto se v dalším můžeme omezit na Laplaceovu rovnici. 9.10. Věta. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina s hranicí třídy C 2 a ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Nechť funkce g řeší integrální rovnici Z 1 y−x (g(y) − g(x)) · dS(y) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω. g(x) + σ n ∂Ω |y − x|n Dodefinujeme-li potenciál dvojvrstvy 1 u(x) = σn

Z ∂Ω

y−x g(y) · dS(y), |y − x|n

x ∈ Ω,

hodnotami ϕ na ∂Ω, dostaneme spojitou funkci a tudíž řešení Dirichletovy úlohy (37) pro Laplaceovu rovnici. Řešení u je nekonečně diferencovatelné (a tudíž “klasické”) v Ω. 10. Rovnice vedení tepla 10.1. Evoluční rovnice. Některé rovnice druhého řádu mají rozumnou fyzikální interpretaci, použije-li se jedna proměnná pro čas a zbývající proměnné pro prostorové souřadnice. Abychom výrazněji odlišili časovou proměnnou a prostorové proměnné, používáme značení (x, t) pro dvojici (prostorový bod, časový okamžik). V evolučních rovnicích předpokládáme, že proměnná x probíhá n-rozměrný prostor Rn , proměnná t je jednorozměrná, takže vlastně rovnici řešíme v Rn × R = Rn+1 . 10.2. Rovnice vedení tepla. Rovnice vedení tepla, někdy též nazývaná rovnice difuze, je parabolická evoluční rovnice (39)

∂u − ∆u = 0, ∂t

kde ∆ je Laplaceův operátor vzhledem k prostorovým proměnným, tedy (40)

∆u(x, t) =

n X ∂2u i=1

∂x2i

(x, t)

Pro jednoduchost se omezíme na homogenní rovnici (tj. na pravé straně rovnice (39) je nula a ne funkce f ). 18

10.3. Cauchyova úloha. Počáteční Cauchyova úloha je úloha najít v Rn × h0, ∞) spojitou funkci u, která pro t > 0 řeší rovnici vedení tepla a pro t = 0 nabývá předepsaných hodnot, tedy (41)

∂u (x, t) − ∆u(x, t) = 0, x ∈ Rn , t > 0, ∂t u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn .

Abychom mohli řešit počáteční úlohu konvolucí, potřebujeme funkci G, která řeší ve zobecněném smyslu speciální počáteční úlohu (42)

∂G (x, t) − ∆G(x, t) = 0, ∂t G(·, 0) = δ0 .

t > 0,

Symbol δ0 je zde Diracova distribuce vzhledem k prostorové proměnné. Shodou okolností je funkce G řešící (42) také fundamentálním řešením rovnice vedení tepla, tedy ∂G − ∆G = δ0 , ∂t kde tentokrát δ0 je Diracova distribuce vzhledem k časoprostorové proměnné. (43)

10.4. Fundamentální řešení. Zatímco (43) nás opravňuje nazvat funkci G funkdamentálním řešením, pro odvození vyjdeme z motivce počáteční úlohou, tedy z úlohy (42). Aplikujeme-li Fourierovu transformaci vzhledem k prostorovým proměnným, dostaneme ˆ ∂G ˆ t) = 0, (x, t) + |x|2 G(x, t > 0, ∂t ˆ 0) = (2π)−n/2 . G(x, Pro pevné x řešíme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici v proměnné t, dostaneme ˆ t) = (2π)−n/2 e−|x|2 t , G(x,

x ∈ Rn , t > 0.

Aplikujeme inverzní Fourierovu transformaci v prostorové proměnné (viz. (30)) a dostaneme (44)

G(x, t) = (4πt)−n/2 e−

|x|2 4t

,

x ∈ Rn , t > 0.

10.5. Věta. Nechť ϕ je omezená spojitá funkce na Rn . Potom existuje právě jedno omezené řešení Cauchyovy úlohy (41) a to má tvar Z |y−x|2 u(x, t) = (4πt)−n/2 e− 4t ϕ(y) dy, x ∈ Rn , t > 0. Rn

Řešení u je nekonečně diferencovatelné (a tudíž “klasické”) na otevřeném poloprostoru Rn × (0, ∞). 11. Vlnová rovnice 11.1. Vlnová rovnice. Vlnová rovnice je hyperbolická evoluční (viz. úmluvy 10.1) rovnice ∂2u − ∆u = 0, ∂t2 kde ∆ je opět Laplaceův operátor vzhledem k prostorovým proměnným, viz. (40). Pro jednoduchost se opět omezíme na homogenní rovnici (tj. na pravé straně rovnice (45) je nula a ne funkce f ).

(45)

11.2. Počáteční úloha pro vlnovou rovnici. Jelikož vlnová rovnice je druhého řádu vzhledem k časové proměnné, můžeme si dovolit kromě počáteční hodnoty funkce současně zadat i počáteční hodnoty časové derivace. Počáteční úloha pro vlnovou rovnici je tedy úloha najít v Rn+1 funkci w, která řeší vlnovou rovnici a pro t = 0 nabývá předepsaných hodnot, tedy

(46)

∂2w − ∆w = 0 v Rn+1 , ∂t2 w(x, 0) = ϕ2 (x), x ∈ Rn , ∂w (x, 0) = ϕ1 (x), ∂t 19

x ∈ Rn ,

kde ϕ1 , ϕ2 jsou dané spojité funkce na Rn . Protože řešení úlohy se zapíše snáze než “fundamentální řešení”, otázku fundamentálního řešení přeskočíme a rovnou se budeme věnovat zápisu řešení. Úlohu si můžeme zjednodušit na ∂2u − ∆u = 0 v Rn+1 , ∂t2 u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,

(47)

∂u (x, 0) = ϕ(x), ∂t

x ∈ Rn ;

totiž, jestliže ui řeší (47) s ϕ = ϕi , pak w = u1 +

∂u2 ∂t

řeší (46). Vtip je v tom, že pro t = 0 je ∂ ∂u2 ∂ 2 u2 (·, 0) = ∆u2 (·, 0) = ∆0 = 0. (·, 0) = ∂t ∂t ∂t2 Tvar řešení se liší dimenzi od dimenze, napíšeme tedy zvlášť řešení pro n = 1, 2, 3. Věty zformulujeme pro klasická řešení, pro ϕ spojitou dostaneme pouze řešení ve smyslu distribucí. 11.3. Věta (n = 1, D’Alembert). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R. Potom funkce Z 1 u(x, t) = t ϕ(x + ty) dy −1

řeší úlohu (46) v R × R. Řešení je jednoznačné. 11.4. Věta (n = 2, Poisson). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R2 . Potom funkce ZZ t ϕ(x + ty) p u(x, t) = dy 2π 1 − |y|2 |y|<1 řeší úlohu (46) v R2 × R. Řešení je jednoznačné. 11.5. Věta (n = 3, Kirchhoff). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R3 . Potom funkce ZZ t u(x, t) = ϕ(x + ty) dS(y) 4π |y|=1 řeší úlohu (46) v R3 × R. 11.6. Poznámka. Integrál v (11.4) je dvojný, protože jsme v prostorové dimenzi dva. Integrál v (11.5) je dvojný, protože jsme sice v prostorové dimenzi tři, ale integrujeme přes sféru, takže integrál je plošný. 11.7. Poznámka. Mezi vlnovou rovnicí a rovnicí vedení tepla jsou značné rozdíly. Pomineme-li fakt, že u vlnové rovnice zadáváme na počátku nejen funkci, ale i derivaci, hlavní rozdíly jsou následující. • Rovnice vedení tepla zhlazuje, tedy i nehladká počáteční podmínka dává od samého počátku hladké řešení. Vlnová rovnice může “hrubosti” a singularity počátečních podmínek šířit dál. • Rovnice vedení tepla šíří informaci nekonečnou rychlostí. To je sice “nefyzikální”, ale přesto rovnice vystihuje v rámci možností fyzikální realitu dost věrně. Vlnová rovnice šíří informaci konstantní rychlostí (v tom tvaru jak ji máme zapsanou je to rychlost 1). • Rovnici vedení tepla má smysl řešit jen dopředu v čase, to znamená, že úloha určit z rozložení teploty v nějakém časovém okamžiku její rozložení v minulosti je nekorektní. Vlnová rovnice se dá řešit dopředu i zpět. 12. Fourierova metoda 12.1. Úvodní poznámka. Počáteční úloha pro evoluční rovnice je sice teorericky velmi důležitá, ale v praxi často řešíme okrajové úlohy. Například v dimenzi jedna nám rovnice vedení tepla popisuje vedení tepla v tyči a vlnová rovnice kmitání struny. Počáteční úloha odpovídá nekonečně dlouhé tyči, resp. struně, což nemusí být přesně to co potřebujeme. 20

12.2. Princip Fourierovy metody. Jednou z nejvýznamnějších metod pro řešení okrajových úloh pro evoluční rovnice je Fourierova metoda. Popíšeme si ji v prostorové dimenzi jedna. Každý daný interval lze převést lineární substitucí na interval (0, π), tedy budeme uvažovat jen tento interval. Danou počáteční úlohu si rozvineme do sinové Fourierovy řady. Plná Fourierova řada totiž odpovídá periodické okrajové podmínce, zatímco my se budeme zajímat o nulovou okrajovou podmínku. Pro každý člen řady najdeme zvlášť řešení okrajové úlohy a nakonec řešení sečteme. 12.3. Okrajová úloha pro rovnici vedení tepla. Pro rovnici vedení tepla nás zajímá okrajová úloha ∂u ∂ 2 u =0 − ∂t ∂x2 u(x, 0) = ϕ,

(48)

u(0, t) = u(π, t) = 0,

x ∈ (0, π), t > 0, x ∈ (0, π), t > 0.

Řešení úlohy pro jednotlivé členy je u(x, t) = e−k

2

t

sin kt

pro ϕ(x) = sin kx.

12.4. Věta. Nechť ϕ je spojitě diferencovatelná funkce na intervalu h0, πi, ϕ(0) = ϕ(π). Potom řešení úlohy (48) je jednoznačné a najdeme jej ve tvaru ∞ X 2 u(x, t) = bk e−k t sin kt, k=1

kde bk jsou koeficienty Fourierova rozvoje funkce ϕ, tj. ∞ X bk sin kx. ϕ(x) = k=1

12.5. Okrajová úloha pro vlnovou rovnici. . Pro vlnovou rovnici nás zajímá okrajová úloha

(49)

∂2u ∂2u − =0 ∂t2 ∂x2 u(x, 0) = ψ, ∂u (x, 0) = ϕ, ∂t u(0, t) = u(π, t) = 0,

x ∈ (0, π), t > 0, x ∈ (0, π), x ∈ (0, π), t > 0.

Stejně jako u počáteční úlohy můžeme situaci převést na případ ψ = 0. Řešení úlohy pro jednotlivé členy je u(x, t) = k1 sin kt sin kx pro ϕ(x) = sin kx. 12.6. Věta. Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na intervalu h0, πi, ϕ(0) = ϕ(π), a ψ ≡ 0. Potom řešení úlohy (49) je jednoznačné a najdeme jej ve tvaru ∞ X bk u(x, t) = sin kt sin kx, k k=1

kde bk jsou koeficienty Fourierova rozvoje funkce ϕ, tj. ∞ X ϕ(x) = bk sin kx. k=1

21