Rychlá Fourierova transformace

Rychlá Fourierova transformace Neznámá historie a moderní pohledy

Matyá²

´T 0

M dx ” Theuer a Ond°ej O (z ) Zjevík

Vysoká ²kola bá¬ská - Technická univerzita Ostrava Katedra aplikované matematiky

3. kv¥tna 2012

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)

Rychlá Fourierova transformace

3. kv¥tna 2012

1 / 45

Motivace 1a

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

2 / 45

Trigonometrický úvod

Trigonometrický polynom a0 2

+

N X n=1

n

+ bn sin nt

n

+ bn sin nt

a cos nt

Trigonometrická °ada a0 2

+

∞ X

n =1

a cos nt

Vyjád°ení pomocí Eulerova vztahu N X int cn e n=−N ´T

0

M d x a O (z )

(VB-TUO)

∞ X

n=−∞

n

c


int e

!

3. kv¥tna 2012

3 / 45

Vyjád°ení funkce pomocí °ady

V¥ta Nech´ f je sou£tem trigonometrické °ady

f (t )

=

a0 2

+

∞ X

n =1

n

a cos nt

+ bn sin nt

a nech´ °ada konverguje stejnom¥rn¥ na intervalu koecienty platí a

n=π

b

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)

1

1

n=π

ˆ

h−π, πi,

pak pro její

π f (t ) cos nt dt ,

−π ˆ π f (t ) sin nt dt .

−π


3. kv¥tna 2012

4 / 45

Spojitá Fourierova transformace

Dosazením integrálních vztah· pro koecienty do p°edpisu trigonometrické °ady, limitním p°echodem periody funkce k nekone£nu a úpravou podle Eulerova vzorce dostaneme p°edpis pro tzv. Fourier·v integrál:

ˆ f

∞

1

(τ ) =

2π

−∞

ˆ

∞

−i ω t

f (t ) e

dt

ωτ

i

e

d

ω.

−∞

Vnit°ní £ást povaºujeme za Fourierovu transformaci funkce f (t ) a zbylá £ást udává inverzní Fourierovu transformaci:

F (ω)

=

2π

ˆ f (t )

ˆ

1

∞

=

∞

−i ω t

f (t ) e

dt

= F {f (t )} ,

−∞

i ωt dω = F −1 {F (ω)} .

F (ω) e

−∞

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

5 / 45

Diskrétní Fourierova transformace

V p°ípad¥ po£íta£ového zpracování signál· máme k dispozici jen vzorky funkce f (t ) v diskrétních £asových okamºicích. Praktický význam má p°edev²ím kone£ná diskrétní Fourierova transformace(DFT)

−1 {Fn }N n=0 = FD N {f (i )}

n=

F

1 N

NX −1 k =0

−i 2Nπ nk

k

f e

.

Inverzní diskrétní Fourierova transformace(iDFT) je pak dána vztahem:

f

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)

n=

NX −1 k =0

k

i 2Nπ nk .

F e


3. kv¥tna 2012

6 / 45

Motivace 1b

M¬au

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

7 / 45

Cool-Turkey algoritmus Auto°i: John Tukey & James Cooley [1965] První roz²í°ený a pouºívaný algoritmus na FFT Náznaky FFT m·ºeme nalézt i v d°ív¥j²ích publikacích

= N1 · N2 ,

Algoritmus lze pouºít pro N

∈ N

kde N1 , N2

Výpo£etní sloºitost je O (N log(N )) P°edpokládejme, ºe N

n=

F

= ´T

0

e

NX −1 k =0

−2π

N

k

f e

−2π

N

e

i n

M dx a O (z )

N

ink

i 0n

f0

f1

−2π

e

−2π

N

(VB-TUO)

= 2k ,

= f0

+ f2

i 0n

e

e

−2π

N

−2π

N

+ f3

kde k

i 0n

i 2n

e

−2π

N

∈ N + · · · + fN −1

+ · · · + fN −2

i 2n

e

e

N

−2π

N

+ · · · + fN −1


−2π

i (N −1)n

i (N −2)n

e

−2π

N

=

+

i (N −2)n

3. kv¥tna 2012

8 / 45

Cool-Turkeyalgoritmus

n=

F

e

−2π

N

f0

i n

e

−2π

N

f1

e

i 0n −2π

N

+ f2

i 0n

e

+ f3

−2π

i 2n

−2π

N

e

N

0 n = Fn +

F pro n

´T

0

+ · · · + fN −2

i 2 n

e

−2π

N

e

+ · · · + fN −1

i n

−2π

i (N −2)n

−2π

N

e

N

+

i (N −2)n

00

n,

F

= {1, 2, . . . , N2 − 1}.

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

9 / 45

Cool-Turkeyalgoritmus

n=

F

−2π

N

e

n

pro n

´T

0

f0

i n

=n+

e

−2π

N

f1

e

i 0n −2π

N

N 2

+ f2

i 0n

e

e

+ f3

−2π

i 2n

−2π

N

e

N

+ · · · + fN −2

i 2 n

e

+ · · · + fN −1

−2π

i (N −2)n

−2π

N

e

N

+

i (N −2)n

i n+ N2

−2πi n −2πi n = e N · e −πi = − e N −2πi n 0 00 Fn = Fn − e N Fn ,

−2π

N

= { N2 , N2 + 1, . . . , N − 1}.

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

9 / 45

FFT s prvo£íselným rozkladem

GoodThomas [1958/1963] Pracuje pouze s N ve tvaru N

= N1 · N2 ,

kde £ísla N1 a N2 jsou nesoud¥lná.

Winograd [1978] Pracuje pouze s N ve tvaru N

k

kde £ísla N1 , N2 , . . . , N

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)

= N1 · N2 · · · Nk ,

jsou prvo£ísla.


3. kv¥tna 2012

10 / 45

FFT s prvo£íselným rozkladem

Algoritmus

n=

F

NX −1 k =0

k

f e

−

nk 2πi N

Zvolme nezáporné £ísla k1 , k2 , n1 a n2 tak, aby k

−1

= N2

+ N1−1 N1 k2 n = N1 n2 + N2 n1 N2 k1

mod N ,

k1 , n1

mod N ,

k2 , n2

< N1 < N2 .

Pak

n=

F

= ´T

0

M dx a O (z )

NX 1 −1 N 2 −1 X k1 =0 k2 =0

NX 2 −1 k2 =0

f

k1 +N2 k2 e

f

(2) −i 2π e

(VB-TUO)

n N n N2−1 N2 k1 +N1−1 N1 k2 N1 N2 =

n2 k2 N2 ,

−i 2π

kde f

( 1+ 1 2)

(2)

=

NX 1 −1 k1 =0


k1 +N2 k2 e

f

−i 2π

n1 k1 N1 .

3. kv¥tna 2012

11 / 45

FFT v kone£ných kruzích

Nevy£ísluje výraz e

−i 2π nk N

Vyuºívá kone£ného t¥lesa, v n¥mº se po£ítá modulo Q , kde Q

∈ N

tak, aby v t¥lese £ísel 0, . . . , Q existoval N-tý primitivní ko°en jednotky

σN = 1

mod Q

a aby bylo moºno vy£íslení hodnot. Lze ukázat, ºe pokud je N Q

´T

0

= n2i + 1,

M dx a O (z )

kde n

(VB-TUO)

= 2i ,

pak Q je vhodné volit, jako

∈ N.


3. kv¥tna 2012

12 / 45

Pouºití FFT

Analýza signál· komunikace akustika astronomie NASA projekt Magellan pro rekonstrukci povrchu Venu²e

geologie analýza seismických jev·

Efektivní výpo£ty konvolucí násobení polynom· Fyzika °e²ení parciálních diferenciálních rovnic analýza vyza°ovacích spekter ve kvantové fyzice ´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

13 / 45

Analýza zvuku

Uvaºujme £eskoslovenskou hymnu, která trvala minutu a 33 sekund s datovým tokem 44.1 Kb/s. Tedy N

= 44100 · 93.

To je celkem 4101300 bod·. Výpo£et frekven£ního spektra pomocí FFT trvá cca 2 s. Pomocí DFT výpo£et potrvá cca 7 dn·! eská hymna trvá jen jednu minutu a tu bychom dokázali transformovat za necelé 3 dny.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

14 / 45

Implementace FFT

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

15 / 45

Motivace 2 Time travel...will never be impossible forever.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

16 / 45

Dvacáté století

1965 - Cool-Turkey algoritmus 1965 - J. W. Cooley a J. W. Tukey: "An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series", Math. Comput. 19, 297301.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

17 / 45

Dvacáté století

1966 - Philip Rudnick odkazuje do £ty°icátých let

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

18 / 45

Dvacáté století

1967 - Za£átek pátrání po ko°enech FFT

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

19 / 45

Dvacáté století

1942 - Danielson a Lanczos

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

20 / 45

P°elom 19. a 20. století

1903 - Carl David Tolmé Runge

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

21 / 45

P°elom 19. a 20. století

Diskuse o efektivních algoritmech

1904 - Silvanus Phillips Thomson: Note on a Rapid Method of Harmonic Analysis. 1911 - Silvanus Phillips Thomson: A New Method of Approximate Harmonic Analysis by Selected Ordinates. 1883 - George Howard Darwin: The harmonical analysis of tidal observations. 1860 - Joseph David Everett: On a reduction of observations of underground temperature with application to Professor Forbes' Edinburgh observations, and the continued Carlton Hill Series.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

22 / 45

První polovina 19. století

Ani slovo o Gaussovi

1850 - Archibald Smith: Instructions for the Computation of a Table of the Deviations of a Ship's Compass, From Deviations Observed on 4, 8, 16 and 32 Points, and for the Adjustment of the Table on a Change of Magnetic Latitude. 1846 - Archibald Smith: Contributions to terrestrial magnetism - no. VIII, memorandum on elements of reduction. 1835 - Peter Andreas Hansen: Mémoire Sur la Détermination des Perturbations Absolues dans des Ellipses d'une Excentricité et d'une Inclinaison Quelconques. 1828 - Francesco Carlini: Sulla Legge Delle Variazioni Orarie del Barometro.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

23 / 45

Prehistorie trigonometrických °ad

1748 - Leonard Euler: Introductio in Analysin Innitorum. 1753 - Daniel Bernoulli: Réections et éclaircissemens sur les nouvelles vibrations des cordes. 1754 - Alexis-Claude Clairaut: Mémoire sur l'orbite apparente du soleil autour de la terre, en ayant égard aux perturbation produites par les actions de la lune et des planetes principales. 1762 - Joseph Louis Lagrange: Solution de diérents problemes de calcul intégral.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

24 / 45

Opomenutý C. F. Gauss

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

25 / 45

Opomenutý C. F. Gauss

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

26 / 45

Exemplum

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

27 / 45

Exemplum

Koecienty an : 780.58 ´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)

− 411.01

43.41

− 4.33

− 1.08


0.34 3. kv¥tna 2012

28 / 45

Datování Gaussovy práce

Raný odhad

30. dubna 1777 - Johann Carl Friedrich Gauss se narodil v Brunswicku

zá°í 1795 - Gauss za£íná studia v Göttingenu

listopad 1796 - Zápis v deníku: Formula interpolationis elegans

prosinec 1796 - Zápis v deníku: Formulae trigonometricae per series expressae

1805 - Korespondence mezi Gaussem a Besselem obsahuje zmínky o interpolaci

´T

0

?

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

29 / 45


Pozdní odhad

? 8. listopadu 1809 - Schumacher poprvé zmi¬uje Gaussovu práci o interpolaci 8. £ervna 1816 - Schumacher nabádá Gausse k publikaci práce o interpolaci 23. února 1855 - Gauss umírá 1866 - Gaussovy práce je vydána

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

30 / 45


Schumacherova korespondence

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

31 / 45


Excentricita asteroidu Juno v Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata

V p°íklad¥ v odstavci 41 pouºívá Gauss excentricitu Juna 0.254236

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

32 / 45


P°esn¥j²í raný odhad

kv¥ten 1805 - vydání Monatliche Correspondenz: Gauss uvádí excentricitu asteroidu Juno 0.254236

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

33 / 45


P°esn¥j²í pozdní odhad

£ervenec 1806 - vydání Monatliche Correspondenz: Gauss uvádí excentricitu asteroidu Juno 0.2549441

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

34 / 45

D·sledek

Pro£ nás to zajímá tak p°esn¥

1822 - Jean Baptiste Fourier publikuje: Theorie Analytique de la Chaleur. 1807 - J. B. Fourier pí²e: Theorie Analytique de la Chaleur.

D·sledek Gauss tedy p°edb¥hl Fouriera, takºe bychom moºná m¥li pouºívat p°esn¥j²í ozna£ení Gauss-Fourier transform (GFT) a discrete Gauss transform (DGT).

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

35 / 45

Váºn¥ DGT? Ano.

Skute£n¥ se pouºívá

1975 - L. L. Hope: A fast Gaussian method for Fourier transform evaluation.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

36 / 45

Praktická £ást

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

37 / 45

Výpo£et £ísla

π

Vyuºijeme algoritmu bratr· Chudnovských 1

π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

k =0

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k =0 3.14159265358973420766845359157829834076223326091570659089414549873766 6209401659108066117347469689757798160379655566278035801345995935132861 7317661598280622310804419737853125305651521157470859338317744154596022 7458762771284659141813373992285953578411298808837824212679468963352921 6676947336619680715159349309584269265090801876996061470662170037502060 1734428451314248093032786877556040714723069429813445787466657726444985 5962909198605596363589840089471381011611119568568487059625701387272325 2284798186917184867353096708222303615292971732815423261495480206046405 3539875076013973328584999652664211902006678357872550263568272440288635 6888437352889825068423383099057400137583277017849088913229585279736010 131695950194588893494423641253939414653073848363666504226415438777337

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

38 / 45

Výpo£et £ísla

π


π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

k =0

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k = 0; e = 10−14 3.14159265358973420766845359157829834076223326091570659089414549873766 6209401659108066117347469689757798160379655566278035801345995935132861 7317661598280622310804419737853125305651521157470859338317744154596022 7458762771284659141813373992285953578411298808837824212679468963352921 6676947336619680715159349309584269265090801876996061470662170037502060 1734428451314248093032786877556040714723069429813445787466657726444985 5962909198605596363589840089471381011611119568568487059625701387272325 2284798186917184867353096708222303615292971732815423261495480206046405 3539875076013973328584999652664211902006678357872550263568272440288635 6888437352889825068423383099057400137583277017849088913229585279736010 131695950194588893494423641253939414653073848363666504226415438777337

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

38 / 45

Výpo£et £ísla

π


π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

k =0

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k = 1; e = 10−28 3.14159265358979323846264338358735068847586634599637431565490580680130 1450565203591105830910219290929081568436487086893567409961028317858086 0728092057119885131940924723468292709486308726066057311875407358058079 8673734733782162734464809043722971301859927870431570639695338479912796 2307896878516257159975075828112733396627474930449361112537208451127125 2630011421327481089807609969743402108669977068528772193146544532487164 9580545772922927522414700635646842224404639336715412750385532554830647 7270852614578118185498555324262104719451828277760359121212184593671615 2283596203488872418320035974889636435751778774433899606219889502101850 3783580211185211791199959631544273853940541588248951995016626800775605 100525589383484410315143915822204140985825697405466831446849939747655

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

38 / 45

Výpo£et £ísla

π


π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

k =0

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k = 2; e = 10−42 3.14159265358979323846264338327950288419716767885484628791272779037064 2977335176958726922911495373797085148288283429580938084201976736722782 8451768080632664647094277776121865119443436440322154348173644983732527 3634284846337349460781655541352869580601132192114272423441807592355222 3154228912681187367465354354020634944118900064316068211487508245804880 3725711242109186775726837565353166871397906378677563339600264518655048 1757394022040546423045570211224191619063069663940490593071906065007140 1593232957689626081604765920423469150062307472142713812155733195339935 4250307538087185129732518224141733182023782205215818146094883806890833 8936570593423062130641192275082095180929848765012511096603425335397968 008824683134865101367086491131480113916091293425657538244914319802361

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

38 / 45

Výpo£et £ísla

π


π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

k =0

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k = 3; e = 10−56 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582098494740802066 2452789717346364103622321101908145761958711621803830906632584385013272 9055729350940738343302825906956062067508780889775853782400370118851918 7115302172821906638205881458319700150011300238254385352746277368530903 2298579988266777678454861105598783377566995878920457143999562634287177 7284567036716750657222416586658781442201183990507272281843302380028784 2447078111965855737265468934340006675473545464548795430918424607647754 2306100349379583309788913604635183324857605028285046548670835258378030 4603638424180398529568330817819922752786768680107886368127708878100865 2763159961060663639146671910733271419896498728480884812364692184720773 692366140760736835767564169398464768396477175585670861655489936814167

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

38 / 45

Výpo£et £ísla

π


π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

k =0

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k = 54; e = 10−780 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781 6406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231 7253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109 7566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664 8213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364 3678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919 5309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793 8183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702 7705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713 4275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892 354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

38 / 45

Výpo£et £ísla

π


π

= 12

∞ X (−1)k (6k )!(13591409 + 545140134k )

(3k )!(k !)3 6403203k +3/2

k =0

k = 2000; e = 10−28379 S2000

=

· (13591409 + 545140134 · 2000) 6000! · 2000!3 · 6403206000+3/2

12000!

[43741] · [12] [20065] · [17206] · [34847]

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

39 / 45

Násobení £ísel

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

40 / 45

Násobení £ísel

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

40 / 45

Záv¥r

Ukázka Diskuse... D¥kujeme za pozornost

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

41 / 45

Reference I

COOLEY, J. LEWIS, P. WELCH, P. Historical notes on the fast Fourier transform. Proceedings of the IEEE. oct. 1967, 55, 10, s. 1675 1677. ISSN 0018-9219. doi: 10.1109/PROC.1967.5959. DARWIN, G. H. ADAMS, J. C. The harmonic analysis of tidal observation. Brit. Assoc. Report. 1883, s. 49118. GAUSS, C. F. Carl Friedrich Gauss, Werke, Band VI. 1866a. GAUSS, C. F. Nachless: Theoria interpolationis methodo nova tractata. Carl Friedrich Gauss, Werke, Band III. 1866b, s. 265303. ´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

42 / 45

Reference II

GOLDSTEIN, H. H. A History of numerical Analysis from the 16th through the 19th century. New York : Springer-Verlag, 1877. ISBN 0-387-90277-5. HEIDEMAN, M. JOHNSON, D. BURRUS, C. Gauss and the history of the fast fourier transform. ASSP Magazine, IEEE. october 1984, 1, 4, s. 14 21. ISSN 0740-7467. doi: 10.1109/MASSP.1984.1162257.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

43 / 45

Reference III

HOPE, L. A fast Gaussian method for Fourier transform evaluation. Proceedings of the IEEE. sept. 1975, 63, 9, s. 1353 1354. ISSN 0018-9219. doi: 10.1109/PROC.1975.9942. RUDNICK, P. Note on the calculation of Fourier series. Math. Comp. 1966, 20, s. 429430. RUNGE, C. Die Zerlegung einer empirisch gegebenen periodischen Funktion in Sinuswellen. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1908, , 9.

´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

44 / 45

Reference IV

http: //resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002501686. Dostupné z:

SMITH, A. Admirality Scientic Manual on "Deviations of a Compass. London: Hydrographic Oce, Admirality, 1874. THOMPSON, S. P. Note on a rapid method of harmonic analysis. Proc. Phys. Soc. London. 1904, 19, s. 443453. THOMPSON, S. P. A new method of approximate harmonic analysis. Proc. Phys. Soc. London. 1911, 23, s. 334343. TUKEY, J. W. C. J. W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. Math. Comp. 1965, 19, 2, s. 297301. ´T

0

M dx a O (z )

(VB-TUO)


3. kv¥tna 2012

45 / 45

Rychlá Fourierova transformace

Recommend Documents