13 Fourierova transformace v polárních souřadnicích. Hankelovy transformace

13

FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH

13 13.1

1

Fourierova transformace v polárních souřadnicích. Hankelovy transformace Základní výrazy

Při výpočtech Fourierovy transformace funkcí (dvou proměnných), které mají n-četnou nebo úplnou rotační symetrii vzhledem k nějakému bodu bývá účelné transformovat Fourierův integrál do polárních souřadnic. Za tím účelem v integrálech F1 (X1 , X2 ) f1 (x1 , x2 )

= A2 = B2

∞

Z

∞

Z

−∞ Z ∞

−∞ Z ∞

−∞

−∞

f1 (x1 , x2 ) exp [−ik(x1 X1 + x2 X2 )] dx1 dx2 ,

(1)

F1 (X1 , X2 ) exp [ik(x1 X1 + x2 X2 )] dX1 dX2

(2)

zavedeme substituce X1 = R cos Φ, r, R ∈ h0, ∞), X2 = R sin Φ, ϕ, Φ ∈ h0, 2π)

x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ, a označíme

f1 (x1 , x2 ) = f (r, ϕ),

F1 (X1 , X2 ) = F (R, Φ).

Dostaneme

F (R, Φ)

= A2

∞

Z 0

f (r, ϕ)

= B2

α+2π

Z

f (r, ϕ) exp [−ikrR cos(ϕ − Φ)] r dϕ dr,

(3)

F (R, Φ) exp [ikrR cos(ϕ − Φ)] R dΦ dR,

(4)

α ∞ Z β+2π

Z 0

β

kde α a β značí libovolný úhel. Mají-li funkce f (r, ϕ) a F (R, Φ) úplnou rotační symetrii, tj. platí-li f (r, ϕ) = f0 (r),

F (R, Φ) = F0 (R),

(5)

exp [−ikrR cos(ϕ − Φ)] dϕ r dr,

(6)

můžeme integrály (3) a (4) přepsat do tvaru

F0 (R)

= A2

∞

Z

Z

0

f0 (r)

= B

2

α+2π

f0 (r) Z

α ∞

Z

β+2π

exp [ikrR cos(ϕ − Φ)] dΦR dR.

F0 (R) 0

(7)

β

Vnitřní integrály vypočteme s použitím vztahu B.13(6) pro n = 0: Z α+2π 1 exp(±iz cos ϑ) dϑ. 2π α Tak dostaneme Fourierovu transformaci rotačně symetrických funkcí vyjádřenu ve tvaru J0 (z) =

F0 (R)

= =

f0 (r)

= =

2

Z

∞

2πA

A |k| B 2πB 2 B |k| A

f0 (r)J0 (krR) r dr = Z 0∞ f0 (r)J0 (krR) r dr = 0

Z

A H0 {f0 (r)} , B

(8)

∞

F0 (R)J0 (krR) R dR = Z 0∞ F0 (R)J0 (krR) R dR = 0

B H0 {F0 (R)} . A

(9)

2

13


Symbolem ∞

Z H0 {h(r)} = |k|

h(r)J0 (krR) r dr

(10)

0

značíme Hankelovu transformaci nultého řádu (neboť její jádro obsahuje Besselovu funkci nultého řádu J0 ). Tato transformace je involutorní, jak ukážeme v odst.13.4.

13.2

Příklad: f (r, ϕ) = circ

r a

Funkce circ (r), r ≥ 0 je definována vztahy

circ (r)

1, když 0 ≤ r < 1, 1 , když r = 1, 2 0, když r > 1.

= = =

(1)

Charakterizuje tedy funkce f (r, ϕ) = circ (r/a) propustnost stínítka tvořeného prázdným kruhovým otvorem o poloměru a v nepropustném okolí. Podle prvního ze vztahů 13.1(8) je Z a n r o A F0 (R) = H0 circ = 2πA2 J0 (krR) r dr. (2) B a 0 Tento integrál vypočteme pomocí vztahu B.8(9), v němž položíme ν = 1: Z x zJ0 (z) dz = xJ1 (x).

(3)

0

Upravíme tedy výraz (2) do tvaru F0 (R) =

2πA2 (kR)2

Z

kaR

J0 (krR)krR d(krR), 0

z něhož použitím vztahu (3) dostaneme F0 (R) =

2J1 (kaR) 2πA2 kaRJ1 (kaR) = A2 πa2 . (kR)2 kaR

(4)

Funkce 2J1 (x)/x je v teorii difrakce velmi důležitá. Charakterizuje totiž Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku, a tedy i vlnovou funkci obrazu bodu v obrazové rovině ideální čočky konečné velikosti. Je východiskem pro stanovení rozlišovací schopnosti čočky. Nazývá se Airyho funkcí a její centrální část bývá označována jako Airyho disk. Graf této funkce je na obr. 1. Vypočteme nyní inverzní Hankelovu transformaci B H0 A

Z ∞ B 2J1 (kaR) 2 2 |k|A πa J0 (krR) R dR = A kaR 0 Z ∞ = ka J1 (kaR)J0 (krR) dR.

n r o A H0 circ = B a

0

Tento integrál je však roven (viz např. [1], 6.512-3, [2], str. 406) Z

∞

J1 (kaR)J0 (krR) dR

=

0

= =

1 , pro r < a, ka 1 , pro r = a, 2ka 0, pro r > a.

13


Obrázek 1: Graf funkce

3

2J1 (x) x .

Je tedy r n n r oo = circ , H0 H0 circ a a jak jsme očekávali podle fundamentální věty o Fourierově transformaci. Fraunhoferovu difrakci na kruhovém otvoru tedy tvoří světlá centrální oblast a pak soustava koncentrických světlých a tmavých kroužků (viz obr. 9.2(a)). Je zřejmé, že poloměry Rn kružnic s nulovou intenzitou jsou určeny kořeny x1,n funkce J1 (x): Rn =

x1,n . ka

Naproti tomu poloměry Rm kružnic s maximální intenzitou jsou určeny kořeny x2,m Besselovy funkce J2 (x): Rm =

x2,m . ka

Vyplývá to ze vztahu B.8(10) pro ν = 1 d J1 (x) J2 (x) =− , dx x x takže

d dx

h

J1 (x) x

i2

= 0 když x = x2,m .

Hodnoty prvních čtyř kořenů x1,n a x2,m jsou ([2], str. 748, 749)

x1,1 x1,2 x1,3 x1,4

= = = =

3,832 7,016 10,173 13,324

= = = =

1,220π 2,253π 3,238π 4,241π

x2,1 x2,2 x2,3 x2,4

= = = =

5,136 8,417 11,620 14,796

= = = =

1,635π 2,679π 3,699π 4,710π

h i2 Hodnoty prvních pěti extrémů funkce 2J1x(x) resp. maxim funkce 2J1x(x) jsou uvedeny v tab. 1. Někdy je užitečné vědět, jaká část celkové energie prošlé kruhovým otvorem prochází v difrakčním obrazci vnitřkem kruhu o poloměru R0 . Tuto otázku zodpověděl Rayleigh v r. 1881 [3]. Uvedeme zde jeho výsledky. Rayleighova–Parsevalova věta 5(2) má v případě prázdného kruhového otvoru tvar

4

13


x

2J1 (x) x

0 x2,1 x2,2 x2,3 x2,4

1 −0, 1323 0, 0645 −0, 0400 0, 0279

Tabulka 1: Extrémy funkce

A2

Z 0

∞

2π

Z

h

circ

r i2 a

0

2J1 (x) x

2J1 (x) x

2

1 0, 0175 0, 0042 0, 0016 0, 0008

a maxima funkce

r dr dϕ = B 2 A4 (πa2 )2

Z

∞

0

Z

2π

0

2J1 (x) x

2J1 (kaR) kaR

2

.

2 R dR dΦ.

Vyplývá z ní, že energie procházející celým difrakčním obrazcem je úměrná hodnotě A2 πa2 . Část energie procházející vnitřkem kruhu o poloměru R0 tedy je

γ(R0 )

2 Z R0 2J1 (kaR) 1 2 4 2 2 B A (πa ) 2π R dR = A2 πa2 kaR 0 2 Z kaR0 2 2π J1 (x) = AB 2 dx k x 0 =

(5)

Tento integrál vypočteme tak, že vztah (viz B.8(8) pro ν = 1) J1 (x) = J0 (x) − J10 (x) x rozšíříme faktorem J1 (x) J12 (x) = J0 (x)J1 (x) − J1 (x)J10 (x) x a v prvním sčítanci nahradíme J1 (x) výrazem (viz B.8(7) pro ν = 0) J1 (x) = −J00 (x). Dostaneme J12 (x) x

= −J0 (x)J00 (x) − J1 (x)J10 (x) = −

1 d 2 J0 (x) + J12 (x) . 2 dx

Takže Z 0

x

ix i J12 (t) 1h 1h dt = − J02 (t) + J12 (t) = 1 − J02 (x) − J12 (x) , t 2 2 t=0

(6)

neboť J0 (0) = 1, J1 (0) = 0. S použitím vztahu (6) dostáváme pro část energie procházející ve Fraunhoferově difrakčním obrazci vnitřkem kruhu o poloměru R0 výraz γ(R0 ) = 1 − J02 (kaR0 ) − J12 (kaR0 ),

(7)

který odvodil Rayleigh [3]. Graf této funkce je na obr. 2. Vzhledem k tomu, že tmavým kroužkům odpovídají hodnoty J1 (kaR0 ) = 0, tj. kaR0 = x1,n , je část energie procházející vnějškem kruhu vymezeného n-tým tmavým kroužkem právě hodnota J02 (x1,n ). Pro první čtyři tmavé kroužky platí

13


5

Obrázek 2: Graf funkce γ(R0 ) = 1 − J02 (kaR0 ) − J12 (kaR0 ). J02 (x1,1 ) = 0,162 J02 (x1,2 ) = 0,090

J02 (x1,3 ) = 0,062 J02 (x1,4 ) = 0,048

Vidíme tedy, že Airyho diskem prochází téměř 84% světelné energie prošlé kruhovým otvorem.

13.3

Hankelova transformace m-tého řádu

Mají-li být funkce f (r, ϕ) a F (R, Φ), jež spolu souvisejí Fourierovou transformací ve tvaru 13.1(3) a 13.1(4), jednoznačnými funkcemi v rovině, musí být periodické podle úhlové proměnné s periodou 2π. Rozvineme tedy tyto funkce ve Fourierovy řady podle úhlové proměnné ϕ resp. Φ. Koeficienty těchto rozvojů jsou funkcemi radiální proměnné r resp. R. Shledáme, že tyto koeficienty spolu souvisejí prostřednictvím Hankelovy transformace. Označíme tedy

f (r, ϕ)

= a0 (r) + 2

∞ X

[am (r) cos mϕ + bm (r) sin mϕ] =

m=1

=

∞ X m=−∞

cm (r) exp(imϕ),

(1)

6

13


kde am (r) bm (r)

1 2π

=

cm (r)

1 2π

=

α+2π

Z

f (r, ϕ) α Z α+2π

cos (mϕ) dϕ, sin

f (r, ϕ) exp(−imϕ) dϕ.

(2) (3)

α

Podobně

F (R, Φ)

= A0 (R) + 2

∞ X

[Am (R) cos mΦ + Bm (R) sin mΦ] =

m=1 ∞ X

=

Cm (R) exp(imΦ),

(4)

m=−∞

kde Am (R) Bm (R)

=

Cm (R)

=

1 2π 1 2π

Z

β+2π

F (R, Φ) β Z β+2π

cos (mΦ) dΦ, sin

F (R, Φ) exp(−imΦ) dΦ.

(5) (6)

β

Koeficienty am (r), bm (r), cm (r) spolu zřejmě souvisejí vztahy

am

=

bm

=

1 2 (cm

+ c−m ),

cm

tj.

i 2 (cm − c−m ),

c−m

= am − ibm ,

(7)

= am + ibm

a podobně koeficienty Am (R), Bm (R), Cm (R). Vyjádříme nyní koeficient Cm (R) prostřednictvím koeficientu cm (r). Za tím účelem dosadíme do (6) za funkci F vyjádření 13.1(3):

Cm (R)

= =

β+2π

1 2π

Z

A2 2π

Z

F (R, Φ) exp(−imΦ) dΦ = β β+2π Z ∞

Z

α+2π

f (r, ϕ) exp [(−ikrR cos(ϕ − Φ)] dϕ r dr exp(−imΦ) dΦ. Φ=β

r=0

(8)

ϕ=α

Poslední integrál znásobíme jedničkou ve tvaru exp(imϕ) exp(−imϕ) a zaměníme pořadí integrace. Dostaneme

Cm (R) = A2

Z

∞

α+2π

Z r

0

f (r, ϕ) exp(−imϕ) ϕ=α

1 2π

Z

β+2π

exp [(−im(Φ − ϕ) − ikrR cos(Φ − ϕ)] dΦ dϕ dr. Φ=β

Vnitřní integrál je podle B.13(6) roven 1 2π

Z

β+2π

exp [(−im(Φ − ϕ) − ikrR cos(Φ − ϕ)] dΦ = (−i)m Jm (krR),

Φ=β

takže 2

m

Z

Cm (R) = A (−i)

∞

Z

α+2π

rJm (krR) 0

f (r, ϕ) exp(−imϕ) dϕ dr. ϕ=α

13


7

Vnitřní integrál je podle (3) roven 2πcm (r), takže dospíváme k závěru, že

Cm (R)

∞

Z

2πA2 (−i)m

=

cm (r)Jm (krR) r dr = 0

(−i)m

=

∞

Z

A |k| B

cm (r)Jm (krR) r dr.

(9)

0

Transformaci ∞

Z Hm {h(r)} = |k|

h(r)Jm (krR) r dr

(10)

0

nazýváme Hankelovou transformací m-tého řádu. S použitím symboliky (10) dostáváme výraz (9) pro Fourierův koeficient Cm (R) ve tvaru A Hm {cm (r)} . (11) B Naopak, chceme-li vyjádřit koeficient cm (r) prostřednictvím koeficientu Cm (R), vyjdeme ze vztahu (3), do nějž za f (r, ϕ) dosadíme z 13.1(4): Cm (R) = (−i)m

cm (r)

= =

α+2π

1 2π

Z

B2 2π

Z

f (r, ϕ) exp(−imϕ) dϕ = α α+2π Z ∞

β+2π

Z

F (R, Φ) exp [(ikrR cos(ϕ − Φ)] dΦR dR exp(−imϕ) dϕ. ϕ=α

R=0

(12)

Φ=β

Násobením jedničkou ve tvaru exp(imΦ) exp(−imΦ) a záměnou pořadí integrace dostaneme Z cm (r) = B 2

∞

Z

β+2π

R

F (R, Φ) exp(−imΦ)

0

Φ=β

1 2π

α+2π

Z

exp [(−im(ϕ − Φ) + ikrR cos(ϕ − Φ)] dϕ dΦ dR. ϕ=α

Podle B.13(6) platí 1 2π

Z

α+2π

exp [(−im(ϕ − Φ) + ikrR cos(ϕ − Φ)] dϕ = im Jm (krR),

ϕ=α

takže cm (r) = B 2 im

Z

∞

Z

β+2π

RJm (krR)

F (R, Φ) exp(−imΦ) dΦ dR.

0

Φ=β

Integrál podle úhlové proměnné Φ je podle (6) roven 2πCm (R), takže dospíváme k závěru, že

cm (r)

=

2 m

∞

2πB i

Cm (R)Jm (krR) R dR = Z 0∞

B |k| Cm (R)Jm (krR) R dR = A 0 B im Hm {Cm (R)} . A

= im =

Z

(13)

S použitím vztahů (7) a faktu, že pro celá čísla m platí J−m (z) = (−1)m Jm (z) snadno odvodíme am (r) bm (r)

=

Am (R) Bm (R)

=

mB

i

A

Z

∞

Am (R) J (krR) R dR, Bm (R) m

|k|

(−i)m

0

A |k| B

Z 0

∞

am (r) J (krR) r dr. bm (r) m

(14) (15)

8

13


Je-li funkce f (r, ϕ) dána ve formě rozvoje ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné, můžeme její Fourierovu transformaci F (R, Φ) vypočítat rovněž ve tvaru Fourierova rozvoje podle úhlové proměnné, a to tak, že vypočteme (jednorozměrné) integrály (9) resp. (14), které udávají vztah mezi koeficienty rozvojů. Totéž platí pro libovolnou dimenzi N prostoru EN při rozvoji Fourierova páru funkcí podle úhlových proměnných v (hyper)sférických souřadnicích. Vždy stačí počítat jednorozměrné integrály.

13.4

Involutornost a fundamentální věta Hankelových transformací

Hankelova transformace m-tého řádu je zřejmě involutorní, tj. platí ∞

Z = |k|

H(R)

h(r)Jm (krR) r dr,

(1)

H(R)Jm (krR) R dR.

(2)

Z0 ∞ = |k|

h(r)

0

Vyplývá to z fundamentální věty: V bodech spojitosti funkce f (r), r > 0, je Hm {Hm {f (r)}} = f (r),

(3)

v bodech nespojitosti platí Hm {Hm {f (r)}} =

1 [f (r + 0) + f (r − 0)] . 2

(4)

Důkaz: ∞

Z

Z

∞

r0 f (r0 )Jm (kr0 R) dr0 Jm (krR) dR = R=0 r 0 =0 Z ∞ Z ∞ = k2 r0 f (r0 ) Jm (kr0 R)Jm (krR) R dR dr0 .

Hm {Hm {f (r)}} = k 2

R

r 0 =0

R=0

Integrál v hranaté závorce vede na Diracovu distribuci Z

∞

Jm (kr0 R)Jm (krR) R dR

=

R=0

=

Z ∞ 1 Jm (kr0 R)Jm (krR) kR d(kR) = k 2 kR=0 1 δ(r0 − r) k2 r0

(viz např. [4], 21.8-29). Je tedy Z Hm {Hm {f (r)}} =

∞

f (r0 )δ(r0 − r) dr0

= f (r) v bodech spojitosti,

0

=

13.5

1 [f (r + 0) + f (r − 0)] v bodech nespojitosti. 2

Rozvoj Fourierovy transformace v mocninnou řadu podle radiální proměnné a ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné

Uvažujme o Fourierově transformaci F (R, Φ) rozvinuté ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné F (R, Φ) = A0 (R) + 2

∞ X

[Am (R) cos mΦ + Bm (R) sin mΦ],

(1)

m=1

s koeficienty 13.3(15), v nichž za am (r) a bm (r) dosadíme výrazy 13.3(2): Am (R) = A2 (−i)m Bm (R)

Z

∞Z α+2π

f (r, ϕ) 0

α

cos (mϕ) dϕJm (krR) r dr. sin

(2)

13


9

Z mocninné řady Besselovy funkce ∞ X

Jm (krR) =

(−1)s s! (m + s)!

s=0

krR 2

m+2s

je vidět, že rozvoj koeficientů Am (R), Bm (R) v mocninnou řadu začíná až m-tou mocninou radiální proměnné R. Funkce cos (mΦ), sin (mΦ) jsou tedy násobeny koeficienty, jejichž rozvoj v mocninnou řadu obsahuje jen mocniny Rm a vyšší: ∞

X (−1)s Am (R) = A2 (−i)m Bm (R) s! (m + s)! s=0

Z

∞Z α+2π

f (r, ϕ) α

0

cos (mϕ) dϕ sin

krR 2

m+2s r dr.

(3)

Použijeme-li vztahů a označení (−1)s = (−i)2s , 2p p! = (2p)!! = 2p · (2p − 2) · · · 4 · 2, Al,m = Bl,m

Z

∞Z α+2π

f (r, ϕ) rl+1

α

0

cos (mϕ) dϕ dr, sin

(4)

dostaneme pro koeficienty (3) výrazy ∞

X (−ikR)m+2s Am (R) Am+2s,m = A2 . Bm (R) (2s)!! (2m + 2s)!! Bm+2s,m s=0

Rozvoj (1) Fourierovy transformace F (R, Φ) je pak tvaru

2

F (R, Φ)

= A

+

(∞ X (−ikR)2s

s=0 ∞ ∞ X X

2

m=1 s=0

(2s!!)2

A2s,0 +

) i (−ikR)m+2s h Am+2s,m cos(mΦ) + Bm+2s,m sin(mΦ) . (2s)!! (2m + 2s)!!

(5)

Uvážíme-li, že jednotliví sčítanci obsahují index s jen ve dvojnásobku, zavedeme-li označení m + 2s = l

(6)

a chápeme-li prvou sumu ve složených závorkách jako část dvojné řady odpovídající indexu m = 0, můžeme přepsat rozvoj (5) do tvaru

2

F (R, Φ) = A

(∞ X

(−ikR)l

l=0

+ 2

∞ X ∞ X

1 + (−1)l Al,0 + 2 (l!!)2

) h i l+m 1 + (−1) 1 (−ikR)l Al,m cos(mΦ) + Bl,m sin(mΦ) . (7) 2 (l − m)!! (l + m)!!

m=1 l=m

Tento rozvoj je stále ještě Fourierovou řadou Fourierovy transformace F (R, Φ) podle úhlové proměnné Φ s koeficienty rozvinutými v mocninnou řadu. Zaměníme-li pořadí sčítání, dostaneme mocninnou řadu Fourierovy transformace podle radiální proměnné R s koeficienty tvořenými lineárními kombinacemi funkcí cos(mΦ), sin(mΦ):

F (R, Φ)

= A2

∞ X l=0

+

2

l X

(−ikR)l

1 + (−1)l Al,0 + 2 (l!!)2

1 + (−1)l+m 1 Al,m cos(mΦ) + Bl,m sin(mΦ) . 2 (l − m)!! (l + m)!! m=1

(8)

10

13


Tento výraz je jednoduchou řadou, neboť koeficient u Rl je součtem konečného počtu sčítanců, pro něž je m ≤ l. Obdobně platí

f (r, ϕ)

= B2

∞ X

(−ikr)l

l=0

+

2

1 + (−1)l al,0 + 2 (l!!)2

l X

1 + (−1)l+m 1 al,m cos(mϕ) + bl,m sin(mϕ) , 2 (l − m)!! (l + m)!! m=1

(9)

kde al,m = bl,m

∞Z α+2π

Z

F (R, Φ)Rl+1

α

0

cos (mΦ) dΦ dR. sin

(10)

Na vztahu (8) je pozoruhodné, že Fourierova transformace je vyjádřena prostřednictvím konstant Al,m , Bl,m vyjádřených integrály (4). Není třeba počítat pro každý bod R, Φ dvojný integrál představující Fourierovu transformaci 13.1(4), ale stačí vypočíst integrály (4). Chceme-li počítat Fourierovu transformaci jen v určité oblasti kolem počátku, stačí jich vypočíst jen nevelký počet. Tento počet se ještě zmenší, když funkce f (r, ϕ) má nějakou symetrii, zejména n-četnou při n > 1. Platí-li totiž pro všechna r, ϕ 2π , (11) f (r, ϕ) = f r, ϕ + n jsou koeficienty Fourierova rozvoje této funkce takové, že am (r) = bm (r) = 0, když m 6= pn, p = 1, 2, ... a rovněž Am (R) = Bm (R) = 0, Al,m = Bl,m = 0, když m 6= pn. Fourierova transformace je pak vyjádřena řadou

F (R, nΦ)

= A2

∞ X

(−ikR)l

l=0

1 + (−1)l Al,0 + 2 (l!!)2

[l/n]

+

2

X 1 + (−1)l+pn 1 Al,pn cos(pnΦ) + Bl,pn sin(pnΦ) , 2 (l − pn)!! (l + pn)!! p=1

(12)

v níž [l/n] značí celou část čísla l/n a koeficienty jsou dány integrály (4) nebo, využijeme-li n-četné symetrie Al,pn =n Bl,pn

Z 0

∞Z α+2π/n α

f (r, ϕ) rl+1

cos (pnϕ) dϕ dr. sin

(13)

Z tvaru (12) Fourierovy transformace je zřejmé, že koeficienty u l-té mocniny radiální proměnné R jsou lineární kombinací funkcí cos(pnΦ), sin(pnΦ), v nichž pn může nabývat jen těch nezáporných celistvých násobků symetrie n, jež nepřevyšují l. Jinými slovy, koeficient u Rl obsahuje jen funkce cos(pnΦ), sin(pnΦ) v nichž 0 ≤ p ≤ [l/n]. Konkrétně, máme-li např. desetičetnou symetrii, je koeficient u prvých deseti mocnin radiální proměnné R0 , R, R2 , ..., R9 nezávislý na úhlové proměnné Φ. Koeficient u mocnin R10 , R11 , ..., R19 je tvořen lineární kombinací funkcí cos(0Φ), cos(10Φ), sin(10Φ). Dalších deset mocnin R20 , ..., R29 má koeficienty, jež jsou kombinacemi právě jen funkcí cos(0Φ), cos(10Φ), sin(10Φ), cos(20Φ), sin(20Φ). Atd. Tím se vysvětluje, proč Fraunhoferovy difrakční obrazce objektů s n-četnou symetrií mívají kolem středu úplnou kruhovou symetrii, v určité vzdálenosti od středu prostou n-četnou (resp. 2n-četnou, při n lichém) symetrii a čím dále od středu je tato n-četná symetrie „členitějšíÿ. (Pozor, nejde o specifickou vlastnost

13


11

Fourierovy transformace. Tuto vlastnost mají všechny funkce s n-četnou symetrií, které mají všechny derivace ve středu symetrie, tj. lze je rozvést v mocninnou řadu kolem středu symetrie.) Počet nenulových koeficientů Al,pn , Bl,pn polynomu l-tého stupně v proměnné R, tvořeného prvními l + 1 členy řady (12) klesá s rostoucím n. Počet nenulových koeficientů Al,pn , Bl,pn se ještě dále sníží, když funkce f (r, ϕ) je zrcadlově symetrická nebo antisymetrická podle přímky ϕ = 0, ϕ = π. Zvolíme-li v integrálu (13) α = −π/n dostaneme v případě symetrie Z

∞Z π/n

Al,pn = 2n 0

f (r, ϕ) rl+1 cos(pnϕ) dϕ dr, Bl,pn = 0,

(14)

0

a v případě antisymetrie Z

∞Z π/n

Al,pn = 0, Bl,pn = 2n 0

13.6

f (r, ϕ) rl+1 sin(pnϕ) dϕ dr.

(15)

0

Příklad: n kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných podél kružnice

Vyjádříme nyní funkci propustnosti nepropustného stínítka, v němž je n kruhových otvorů o poloměru a rovnoměrně rozmístěných podél kružnice o poloměru r0 . Pól r = 0 soustavy souřadnic zvolíme ve středu kružnice, podél níž jsou otvory rozmístěny a směr ϕ = 0 zvolíme ke středu některého z otvorů (viz obr. 3). Stínítko má tedy n-četnou symetrii kolem pólu r = 0 a n přímek zrcadlení ϕ = πj/n, ϕ = π(1 + j/n), j = 0, 1, ..., n − 1.

Obrázek 3: Soustava kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných po obvodu kružnice. Funkce propustnosti je rovna jedné v otvorech a nule v nepropustných částech. Má tedy tvar ( r2 + r02 − 2rr0 cos ϕ − f (r, ϕ) = circ a j=0 n−1 X

2π n j

1/2 )

jenž vyjádřen konvolucí je mnohem názornější:   n−1 r X δ(r − r0 ) 2π  f (r, ϕ) = circ ∗ δ ϕ− j . a r n j=0

,

(1)

(2)

Podle věty o Fourierově transformaci konvoluce a podle 13.2(4) dostaneme pro Fourierovu transformaci funkce (2) výraz

12

F (R, Φ)

13


=

    δ(r − r ) n−1 n r o X 1 2π 0 FT circ FT δ ϕ− j =   A2 a r n j=0

= A2 πa2

2J1 (kaR) nSn (kr0 R, Φ), kaR

(3)

kde     δ(r − r ) n−1 X 2π 0 δ ϕ− j . A2 nSn (kr0 R, Φ) = FT   r n j=0

(4)

Je tedy Fourierova transformace (3) charakterizována funkcí Sn (kr0 R, Φ) amplitudově modulovanou rotačně symetrickou funkcí 2J1 (kaR)/(kaR). Tato modulace se v okolí pólu R = 0 projevuje tím méně, čím menší je a/r0 (v obrázcích 4 a 5 je a/r0 = 1/20 a obrázky zachycují jen centrální část difrakčního obrazce vymezenou prvním kořenem funkce J1 (kaR), tj. kaR = 3.83). Pro další výpočty odhlédneme od této rotačně symetrické modulace Airyho funkcí 2J1 (kaR)/kaR. Fyzikálně to znamená, že nahradíme kruhové otvory konečné velikosti bodovými zdroji. Matematicky to znamená, že se podle (4) budeme zabývat Fourierovou transformací součtu funkcí delta. Vypočítáme nejdříve Fourierovu řadu tohoto součtu: n−1 ∞ X 2π δ(r − r0 ) X j = a0 (r) + 2 apn (r) cos (pnϕ). δ ϕ− r n p=1 j=0

(5)

Koeficienty

a0 (r)

apn (r)

=

=

1 2π

Z

1 2π

Z

α+2π

α α+2π

α

n−1 δ(r − r0 ) X n δ(r − r0 ) 2π j dϕ = , δ ϕ− r n 2π r j=0

(6)

n−1 2π δ(r − r0 ) X δ ϕ− j cos (pnϕ) dϕ = r n j=0

=

n−1 1 δ(r − r0 ) X 2π cos pn j = 2π r n j=0

=

n δ(r − r0 ) , 2π r

(7)

jsou všechny stejné, jak lze očekávat (jde vlastně o nekonečnou mřížku tvořenou body). Fourierova řada (5) je tedy tvaru " # n−1 ∞ X δ(r − r0 ) X 2π n δ(r − r0 ) δ ϕ− j = 1+2 cos (pnϕ) . (8) r n 2π r p=1 j=0 Fourierovu transformaci této funkce vypočteme třemi způsoby a) Přímo pomocí vztahu 13.1(3):     δ(r − r ) n−1 X 2π 0 FT δ ϕ− j =   r n j=0    Z ∞Z α+2π  n−1 X 2π = A2 δ(r − r0 ) δ ϕ− exp −ikrR cos(Φ − ϕ) dϕ dr = j   n 0 α j=0 n−1 X

2π =A exp −ikr0 R cos Φ − j . n j=0 2

(9)

13


13

Obrázek 4: Fraunhoferova difrakce na soustavě kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných po obvodu kružnice.

14

13


Obrázek 5: Fraunhoferova difrakce na soustavě kruhových otvorů rovnoměrně rozmístěných po obvodu kružnice.

13


15

Ze vztahů (4) a (9) je zřejmé, že n−1 1X 2π Sn (kr0 R, Φ) = exp −ikr0 R cos Φ − j . n j=0 n

(10)

b) Pomocí Fourierovy řady 13.3(4) podle úhlové proměnné Φ:   ∞  δ(r − r ) n−1 X X 2π  0 δ ϕ− j = A0 (R) + 2 FT Apn (R) cos(pnΦ),   r n p=1 j=0

(11)

s koeficienty 13.3(15), které po dosazení (6) a (7) jsou tvaru

Apn (R)

Z

pn A

|k| B Z 2 pn = A n(−i) =

∞

apn (r)Jpn (krR)r dr =

(−i)

0 ∞

δ(r − r0 ) Jpn (krR) dr =

0

= A2 n(−i)pn Jpn (kr0 R).

(12)

Ze (4), (11) a (12) vyplývá Sn (kr0 R, Φ) = J0 (kr0 R) + 2

∞ X

(−i)pn Jpn (kr0 R) cos(pnΦ).

(13)

p=1

c) Pomocí mocninné řady 13.5(12) v radiální proměnné R s koeficienty 13.5(13), které v našem případě nabývají tvaru:

Z Al,pn

∞Z π/n

δ(r − r0 )

= n 0

Bl,pn

−π/n

n−1 X

2π j rl cos(pnϕ) dϕ dr = δ ϕ− n j=0

= nr0l , = 0,

Sn (kr0 R, Φ) =

∞ X l=0

(14) (15)

 [l/n] l X 1 + (−1)l+pn 1 + (−1) cos(pnΦ) . (−ikr0 R)l  +2 2(l!!)2 2 (l − pn)!! (l + pn)!! p=1 

(16)

Z těchto výsledků lze získat velké množství zajímavých vztahů. Uvedeme nejprve zobecnění Jacobiových vzorců: Porovnáním výrazů (10) a (13) a označením kro R = z dostáváme n−1 ∞ X 1X 2π exp −iz cos Φ − j = J0 (z) + 2 (−i)pn Jpn (z) cos(pnΦ). n j=0 n p=1

(17)

Jacobiovy rozvoje B.12(8), B.12(9) se dostanou pro n = 1 porovnáním reálné a imaginární části rovnice (17)

cos(z cos Φ) = J0 (z) + 2

∞ X

(−1)p J2p (z) cos(2pΦ),

p=1

sin(z cos Φ) = 2

∞ X p=0

(−1)p J2p+1 (z) cos (2p + 1)Φ .

16

13


Obrázek 6: Siemensova hvězdice s 72–ti četnou symetrií.

13.7

Příklad: Siemensova hvězdice

Siemensova hvězdice se též nazývá radiální mřížka nebo Jewellův test. Je tvořena rovnoplochými kruhovými výsečemi, které jsou střídavě propustné a nepropustné (viz obr. 6). Je to útvar s n-četnou symetrií, kde n bývá dosti vysoké číslo, např. n = 36 ([5], [6], str. 79 až 81), n = 72 ([7]) nebo dokonce n = 120 ([8], str. 150). Siemensovy hvězdice se často používají ke studiu přenosových funkcí zobrazovacích soustav, tj. ke studiu přenosu prostorových frekvencí ([9], [6], [8], str. 148–150). Proto obsah prostorových frekvencí Siemensovy hvězdice podrobně prostudujeme a budeme příslušnými výpočty ilustrovat probíranou látku. Začneme tím, že vyjádříme koeficienty rozvojů funkce propustnosti a její Fourierovy transformace do Fourierových řad podle úhlové proměnné. Soustavu polárních souřadnic zvolíme tak, že její pól 0 koinciduje se středem n-četné symetrie a směr ϕ = 0 prochází středem propustného sektoru (viz obr. 7). Pak funkci propustnosti hvězdice charakterizují výrazy f (r, ϕ)

=

1, když ϕ ∈

π 2π π 2π j− , j+ n 2n n 2n

, r ∈ (0, a), j = 1, 2, . . . , n, (1)

=

0 všude jinde.

Poněvadž jde o sudou funkci proměnné ϕ a vzhledem k n-četné symetrii, má Fourierova řada tvar f (r, ϕ) = a0 (r) + 2

∞ X

apn (r) cos(pnϕ),

p=1

kde Z

π/2n

a0 (r)

=

n 2π

a0 (r)

=

0, když r > a,

dϕ = −π/2n

1 , když r ≤ a, 2

(2)

13


17

Obrázek 7: Fraunhoferovy difrakční obrazce od Siemensových hvězdic s n–četnou symetrii (n = 2, 3, . . . , 7).

18

13

FOURIEROVA TRANSFORMACE V POLÁRNÍCH SOUŘADNICÍCH Z

π/2n

apn (r)

=

n 2π

apn (r)

=

0, když r > a.

cos(pnϕ) dϕ = −π/2n

pπ 1 sin , když r ≤ a, πp 2

Je zřejmé, že koeficient apn (r) je roven nule, když p je sudé číslo. Dostáváme tak 1 , 2 (−1)m = , m = 0, 1, 2, . . . , když r ≤ a, (2m + 1)π = a(2m+1)n (r) = 0, když r > a, = 0, když m = 1, 2, . . . .

a0 (r)

=

a(2m+1)n (r) a0 (r) a2mn (r)

(3)

(4)

Funkce propustnosti Siemensovy hvězdice rozvinutá ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné má tedy tvar

f (r, nϕ)

=

∞ 1 2 X (−1)m + cos (2m + 1)nϕ , když r ≤ a, 2 π m=0 2m + 1

f (r, nϕ)

=

0, když r > a.

(5)

Je zřejmé, že funkci propustnosti Siemensovy hvězdice můžeme zapsat ve tvaru f (r, nϕ) =

r i 1h circ + f1 (r, nϕ) , 2 a

(6)

kde funkce

f1 (r, nϕ)

=

∞ 4 X (−1)m cos (2m + 1)nϕ , když r ≤ a, π m=0 2m + 1

f1 (r, nϕ)

=

0, když r > a

(7)

je funkcí propustnosti hvězdice, která se od Siemensovy hvězdice liší tím, že v původně nepropustných sektorech Siemensovy hvězdice obrací fázi, tj. tam, kde při r ≤ a je f (r, nϕ) = 0, je f1 (r, nϕ) = −1. Difrakční jevy (Fresnelovy) od tohoto typu mohou být užitečné pro vytyčování přímek (srov. [10]). Fourierova transformace F (R, nΦ) funkce propustnosti Siemensovy hvězdice má Fourierovu řadu tvořenou týmiž členy jako řada (5), tj. F (R, nΦ) = A0 (R) + 2

∞ X

A(2m+1)n (R) cos (2m + 1)nΦ .

(8)

m=0

Její koeficienty vypočteme podle 13.3(15) z koeficientů (3):

A0 (R)

= A2 π

Z

a

J0 (krR) r dr, 0

A(2m+1)n (R)

= A2 (−i)n (−1)m(n+1)

2 2m + 1

Z

a

J(2m+1)n (krR) r dr. 0

Koeficient A0 (R) vypočteme stejně jako v 13.2(2) až (4) a dostaneme πa2 2J1 (kaR) . 2 kaR Koeficienty A(2m+1)n (R) vypočteme použitím vztahu (viz [11], str. 51) A0 (R) = A2

Z

x

Jr (t) t dt = 2rx 0

∞ X s=0

r + 2s + 1 Jr+2s+1 (x). (r + 2s + 2)(r + 2s)

(9)

13


19

Z kaR 4 (−1)m(n+1) 1 A(2m+1)n (R) = A J(2m+1)n (t) t dt = (−i) 2 π 2m + 1 (kaR)2 0 πa2 8n = A2 (−i)n (−1)m(n+1) × 2 π ∞ X J(2m+1)n+2s+1 (kaR) (2m + 1)n + 2s + 1 × . [(2m + 1)n + 2s + 2][(2m + 1)n + 2s] kaR s=0 2 2 πa

n

(10)

Koeficienty A0 (R), A(2m+1)n (R) jsou vyjádřeny funkcemi Jr (t)/t. Tyto funkce mají několik pozoruhodných vlastností (jsou např. Hankelovými transformacemi Zernikových polynomů, lze z nich vybrat ortogonální systémy na intervalu (0, 1) s vahou t), a proto byly nazvány Airyho funkcemi (viz [12], str. 77). Jsou definovány vztahem Ar,s (t) = (1 + δr,0 δs,0 )

Jr+2s+1 (t) , t

(11)

takže A0,0 (t)

=

2J1 (t) t ,

A0,1 (t)

=

J3 (t) t ,

A0,2 (t)

=

J5 (t) t ,

...

A1,0 (t)

=

J2 (t) t ,

A1,1 (t)

=

J4 (t) t ,

A1,2 (t)

=

J6 (t) t ,

...

A2,0 (t)

=

J3 (t) t ,

A2,1 (t)

=

J5 (t) t ,

A2,2 (t)

=

J7 (t) t ,

...

.. .

.. .

.. .

Koeficienty (9), (10) tak můžeme napsat ve tvaru

A0 (R) A(2m+1)n (R)

πa2 A0,0 (kaR), 2 8n πa2 (−i)n (−1)m(n+1) × = A2 2 π ∞ X (2m + 1)n + 2s + 1 × A(2m+1)n,s (kaR). [(2m + 1)n + 2s + 2] [(2m + 1)n + 2s] s=0

= A2

(12)

(13)

Fourierova transformace funkce propustnosti Siemensovy hvězdice rozvinutá ve Fourierovu řadu podle úhlové proměnné

F (R, nΦ)

= A2 ×

∞ 16n X πa2 n (−1)m(n+1) cos [(2m + 1)nΦ] × A0,0 (kaR) + (−i)n 2 π m=0

∞ X s=0

o (2m + 1)n + 2s + 1 A(2m+1)n,s (kaR) [(2m + 1)n + 2s + 2] [(2m + 1)n + 2s]

(14)

je součtem dvou funkcí 1 1 2 2 A πa A0,0 (kaR) + F1 (R, nΦ), (15) 2 2 z nichž první je polovinou Fourierovy transformace funkce propustnosti prázdného kruhového otvoru o poloměru a (a je proto nezávislá na úhlové proměnné) a dvojná řada F (R, nΦ) =

F1 (R, nΦ)

= A2 (−i)n 16na2

∞ X

(−1)m(n+1) cos [(2m + 1)nΦ] ×

m=0

×

∞ X s=0

(2m + 1)n + 2s + 1 A(2m+1)n,s (kaR) [(2m + 1)n + 2s + 2] [(2m + 1)n + 2s]

(16)

20

13


je Fourierovou transformací radiální mřížky dokonale propouštějící amplitudu všemi sektory, jejíž sousední sektory však obracejí fázi procházejícího světla. Ve Fourierově řadě (16) je koeficientem u cos[(2m + 1)nΦ] nekonečná řada Airyho funkcí, jež začíná funkcí A(2m+1)n,0 (kaR). To naznačuje, že dvojnou řadu ve (14) lze přerovnat v jednoduchou řadu, což nyní učiníme. Zavedeme označení [(2m + 1)n + 2s + 1] A(2m+1)n,s (kaR) , [(2m + 1)n + 2s + 2] [(2m + 1)n + 2s]

v(2m+1)n+2s (kaR) =

(17)

um (nΦ) = (−1)m(n+1) cos (2m + 1)nΦ , jehož použitím přejde výraz (16) do tvaru F1 (R, nΦ) = A2 (−i)n 16na2 S(kaR, nΦ),

(18)

kde ∞ X

S(kaR, nΦ) =

" um (nΦ)

m=0

V řadě

P∞

s=0

∞ X

# v(2m+1)n+2s (kaR) .

s=0

v(2m+1)n+2s (kaR) vytvoříme součty po n sčítancích: ∞ X

v(2m+1)n+2s

=

n−1 X

s=0

v(2m+1)n+2s +

s=0

+ =

v(2m+3)n+2s + · · ·

s=0

n−1 X s=0 ∞ X

n−1 X

v(2m+2r+1)n+2s + · · · Vm+r ,

r=0

kde Vm+r (kaR) =

n−1 X

v[2(m+r)+1]n+2s (kaR).

s=0

Dvojnou řadu S(kaR, nΦ) pak přerovnáme takto:

S

=

∞ X m=0

um

∞ X

Vm+r =

r=0

= u0 V0

+ u 0 V1 + u 1 V1

+ u0 V2 + u1 V2 + u2 V2

+ u0 V3 + u1 V3 + u2 V3 +...

= u0 V0 + (u0 + u1 )V1 + (u0 + u1 + u2 )V2 + . . . +

+... +... +... m X

! ul

Vm + . . .

l=0

=

∞ X

m X

m=0

l=0

! ul

Vm .

Tím je dvojná řada S vyjádřena jednoduchou řadou "m # ∞ n−1 X X X S(kaR, nΦ) = ul (nΦ) v(2m+1)n+2s (kaR) . m=0

l=0

s=0

Součet tvořící prvý faktor jednotlivých sčítanců lze vyjádřit takto:

(19)

13


m X

ul (nΦ)

=

l=0

m X

21

(−1)l(n+1) cos (2l + 1)nΦ =

l=0

=

1 × 2 [1 + (−1)n cos(2nΦ)] n h i × [1 + (−1)n ] cos(nΦ) 1 − (−1)(n+1)(m+1) cos[2(m + 1)nΦ] + o + [1 − (−1)n ] (−1)(n+1)(m+1) sin(nΦ) sin[2(m + 1)nΦ] ,

což lze očekávat, považujeme-li součet

Pm

l=0

exp(inΦ)

(20)

ul za reálnou část součtu

m X l (−1)n+1 exp(i2nΦ) l=0

prvých m+1 členů geometrické posloupnosti. Vzhledem k (19) a (20) lze funkci F1 (R, nΦ) přepsat z tvaru (18) do tvaru jednoduché řady

F1 (R, nΦ)

! ∞ n−1 X X A2 (−i)n 8na2 v(2m+1)n+2s (kaR) × = 1 + (−1)n cos(2nΦ) m=0 s=0 n h i × [1 + (−1)n ] cos(nΦ) 1 − (−1)(n+1)(m+1) cos[2(m + 1)nΦ] + o + [1 − (−1)n ] (−1)(n+1)(m+1) sin(nΦ) sin[2(m + 1)nΦ] ,

(21)

Tento poněkud složitý výraz je použitelný pro libovolné přirozené číslo n. Faktory [1 ± (−1)n ] však naznačují, že pro n sudá nebo n lichá se výraz (21) zjednoduší. Upravíme tedy ve výrazu (21) členy obsahující mocniny (−i)n a (−1)n : (−i)n {. . .} 1 + (−1)n cos(2nΦ)

1 + (−1)m cos[2(m + 1)nΦ] , když n je sudé číslo cos(nΦ) n+1 sin[2(m + 1)nΦ] , když n je liché číslo. i(−1) 2 sin(nΦ) n

=

(−1) 2

= Funkce F1 (R, nΦ) má tedy tvar F1 (R, nΦ) = A2

n ∞ n−1 X (−1) 2 8na2 X {1 + (−1)m cos[2(m + 1)nΦ]} v(2m+1)n+2s (kaR), cos(nΦ) m=0 s=0

(22)

když n je sudé číslo, zatímco F1 (R, nΦ) = A2 i

n+1 ∞ n−1 X (−1) 2 8na2 X sin[2(m + 1)nΦ] v(2m+1)n+2s (kaR), sin(nΦ) m=0 s=0

(23)

když n je liché číslo. (Připomínáme, že funkce v(2m+1)n+2s (kaR) jsou podle (17) úměrné Airyho funkcím (11).) Je hodno pozoru, že výraz (22) je reálný, neboť jde o Fourierovu transformaci reálné a středově symetrické funkce, zatímco výraz (23) je ryze imaginární, neboť jde o Fourierovu transformaci reálné a středově antisymetrické funkce. Dosadíme-li výrazy (22) resp. (23) do (15), dostaneme Fourierovu transformaci funkce propustnosti příslušné Siemensovy hvězdice. Vyjádříme nyní Fourierovu transformaci funkce propustnosti Siemensovy hvězdice ve tvaru mocninné řady radiální proměnné R (viz 13.5(12)). Integrály 13.5(14) mají vzhledem k (1) tvar Z Al,0

=

a

0

0

=

π 2n

2n Z

Al,(2m+1)n

Z

a

Z

2n 0

0

π 2n

rl+1 dϕ dr = π

al+2 , l+2

rl+1 cos[(2m + 1)nϕ] dϕ dr =

2(−1)m al+2 . (l + 2)(2m + 1)

22

13


Mocninná řada 13.5(12) má tedy v případě Siemensovy hvězdice tvar

F (R, nΦ)

∞ 2 X 2 πa

= A

2

l=0

(−ikaR)l l+2

4 1 + (−1)l+n π

1 + (−1)l + (l!!)2

l [ 21 (X n −1)]

m=0

  

(−1)m cos[(2m + 1)nΦ] 2m + 1 [l − (2m + 1)n]!! [l + (2m + 1)n]!!  

Je zřejmé, že mocninná řada funkce F1 (R, nΦ) je

F1 (R, nΦ)

= A2 2a2

∞ X l=0

1 + (−1)l+n × l+2

[ (X )] (−1)m cos[(2m + 1)nΦ] . 2m + 1 [l − (2m + 1)n]!! [l + (2m + 1)n]!! m=0 1 2

×

(−ikaR)l

l n −1

(24)

(Z výrazu 1 + (−1)l+n je opět zřejmé, že funkce F1 je reálná, když n je sudé číslo, a ryze imaginární, když n je liché číslo.)

Reference [1] Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M.: Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York and London 1994. [2] Watson G. N.: A Treatise on the Theory of Bessel Functions. 2nd ed. At the University Press, Cambridge 1966. [3] Rayleigh J. W.: On images formed without reflection or refraction. Philosophical Magazine 11 (1881), 214–218. Též Scientific Papers Vol. I, At the University Press, Cambridge 1899, 513–517. [4] Korn A. G., Korn T. M.: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. McGraw–Hill Book Co., Inc., New York 1961. [5] Roeder H.: Das Aufl˝ osungsverm˝ ogen bei der photographischen Aufnahme (das Sch˝ arfendetail). I–VII. Die Photographische Industrie, Berlin (1941), 351–452. [6] R˝ohler R.: Informationstheorie in der Optik. Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft, Stuttgart 1967. [7] Komrska J.: Fraunhofer diffraction from sector stars. Optica Acta 30 (1983), 887–925. [8] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. 2nd ed. McGraw-Hill, New York 1996. [9] Lindberg P.: Measurement of Contrast Transmission Characteristics in Optical Image Formation. Optica Acta 1 (1954), 80–89. [10] Ojeda–Casta˜ neda J., Andrés P., Martínez–Corral M.: Zero axial irradiance by annular screens with angular variation. Applied Optics 31 (1992), 4600–4602. [11] Luke Y. L.: Integrals of Bessel Functions. McGraw–Hill Co., New York 1962. [12] Zeitler E.: Reconstruction with Orthogonal Functions. In: Electron Tomography: Three-Dimensional Imaging with the Transmission Electron Microscope (ed. by J. Frank). Plenum Press, New York 1992, 63–89.

13


Obrázek 8: Části difrakčního obrazce z 72–ti četné Siemensovy hvězdice (viz obr. 6).

23

24

13


Obrázek 9: Normovaná Fourierova transformace F (R, nΦ)/F (0) charakteristické funkce 72–ti četné Siemensovy hvězdice (viz obr. 8). Čárkovaně jsou vyznačeny záporné hodnoty Fourierovy transformace.

13


25

13 Fourierova transformace v polárních souřadnicích. Hankelovy transformace

Recommend Documents