Lineární transformace

Lineární transformace © 1995-2015 Josef Pelikán CGG MFF UK Praha [email protected] http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/ 3dTransform 2015

© Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca

1 / 28

Požadavky běžně používané transformace – posunutí, otočení, zvětšení/zmenšení, zkosení, .. – rovnoběžná i perspektivní projekce

snadná a efektivní implementace – výpočty se provádějí masově (běžně i 108 transformací najednou)

zvláštní úkony – zřetězení jednoduchých transformací, výpočet inverzní transformace, ... 3dTransform 2015


2 / 28

Posunutí v rovině y

y [dx,dy]

x

 x 3dTransform 2015

x



y    x y  dx © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca

dy

 3 / 28

Maticové transformace násobení vektoru souřadnic maticí zprava – kartézské souřadnice bodu [x,y] tvoří řádkový vektor – transformační matice je čtvercová (v rovině má rozměr 2×2)

 x 3dTransform 2015

t11 t12   y    x y   t21 t22  © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca

4 / 28

Otočení v rovině kolem počátku y

y

 x

cos   R( )    sin  3dTransform 2015

x

sin   cos  


5 / 28

Zmenšení / zvětšení v rovině y

y

sy x

 sx S(sx , sy )   0  3dTransform 2015

sx

x

0 sy 


6 / 28

Zkosení v rovině y

y

b

a x

x

1 a   Sh (a, b)  b 1 3dTransform 2015


7 / 28

Homogenní souřadnice jednotná reprezentace afinních transformací – transformace zachovávající rovnoběžnost – posunutí nelze v kartézských souřadnicích reprezentovat maticově

nejpoužívanější neafinní transformace – perspektivní transformace (projekce)

reprezentace složených transformací – násobení matic (asociativita) 3dTransform 2015


8 / 28

Algebraická motivace Přímka v rovině má souřadnice [a,b,c] (mnohoznačné):

a· x + b· y + c = 0,

bod v rovině má souřadnice [x,y] (jednoznačné). Úloha 1: hledání přímky [a,b,c] procházející dvěma danými body [x1,y1] a [x2,y2]:

a· x1 + b· y1 + c = 0 a· x2 + b· y2 + c = 0 3dTransform 2015

soustava (1)


9 / 28

Algebraická motivace II Úloha 2: hledání bodu [x,y], ve kterém se protnou dvě dané přímky [a1,b1,c1] a [a2,b2,c2]:

a1· x + b1· y + c1 = 0 a2· x + b2· y + c2 = 0

soustava (2)

Soustava (1) má vždy (nekonečně mnoho) řešení, soustava (2) má řešení jen pokud není a1· b2 = a2· b1

3dTransform 2015


10 / 28

Algebraická motivace Po rozříření roviny o nevlastní body a zavedení homogenních souřadnic [x,y,w] budou obě předchozí úlohy symetrické a soustava (2’) bude vždy řešitelná:

a· x1 + b· y1 + c· w1 = 0 a· x2 + b· y2 + c· w2 = 0 a1· x + b1· y + c1· w = 0 a2· x + b2· y + c2· w = 0 3dTransform 2015

soustava (1’)

soustava (2’)


11 / 28

Převody souřadnic Kartézské na homogenní:

x

y   x y 1

Homogenní na kartézské (jen vlastní body):

x  x y w   w  w0 3dTransform 2015

y w 


12 / 28

Geometrická představa w [x,y,w]

[uw,vw,w] 1

[x/w,y/w,1]

[u,v,1] O y 3dTransform 2015

x rovina kartézských souřadnic (w = 1)


13 / 28

Homogenní transformační matice Posunutí („translation”)

1 T(t x , t y )   0  t x

Otočení („rotation”) kolem počátku

 cos  R( )    sin   0

sin  cos  0

Zmenšení / zvětšení („scale”)

sx S(sx , sy )   0 0 

0 sy 0

3dTransform 2015


0 1 ty

0 0 1 0 0 1

0 0  1 14 / 28

Homogenní transformační matice II Zkosení („shear”)

 1 a 0 Sh (a, b)  b 1 0  0 0 1

Složené transformace:

   [x, y, w ]  T1  T2   T3 

 [ x, y, w ]   T1  T2  T3 

Otočení o úhel  kolem bodu [x,y]:

R(x, y,  )  T( x, y)  R( )  T(x, y) 3dTransform 2015


15 / 28

Transformace v průmětně x

y x

y

souřadné systémy na výstupu Převod reálných souřadnic do souřadnic zobrazovaného okna: Xint = round ( Dx + Sx * Xf ) Yint = round ( Dy + Sy * Yf ) 3dTransform 2015


16 / 28

Prostorové souřadnice y

z

x z

y

levotočivý systém („right-handed”)

3dTransform 2015

x pravotočivý systém („left-handed”)


17 / 28

Homogenní souřadnice

x

y z   x y z 1

x  x y z w   w  Maticová transformace:

y w

z w 

 t11  t 21  x y  z  w     x y z w    t 31 t  41 3dTransform 2015

t12 t 22 t 32 t 42


(w  0)

t13 t 23 t 33 t 43

t14  t 24  t 34  t 44  18 / 28

Homogenní transformační matice Posunutí

Zkosení

3dTransform 2015

1 0 0 0 1 0  T(t x , t y , t z )  0 0 1   t x t y t z 1 Sh (a, b, c, d, e, f )   c e  0 © Josef Pelikán, http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca

a 1 f 0

b d 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 19 / 28

Homogenní transformační matice II Otočení kolem osy y

 cos  0  R y ( )   sin   0

Otočení kolem osy z

 cos  sin  0 0 R z ( )    sin  cos  0 0 0 1 0  0  0 0 0 1

3dTransform 2015

0  sin  1 0 0 cos  0 0


0 0 0 1

20 / 28

Přenos polopřímky do osy z z

s A

O x y

Polopřímka je zadána bodem A a směrovým vektorem s

M  T( A) M1  T(A)

1. krok: přenesení bodu A do počátku 3dTransform 2015


21 / 28

Přenos polopřímky do osy z M  T( A)  R z ( )

z

1

M s

y



 R z (  )  T(A)

cos   x

sin  

sy s2x  s2y sx s2x  s2y

2. krok: otočení polopřímky do roviny yz (okolo osy z) 3dTransform 2015


22 / 28

Přenos polopřímky do osy z M  T( A)  R z ( )  R x ( )

z

1

M 

 R x ( )  R z (  )  T(A)

cos  

s’ x y

|sin  | 

sz s2x  s2y  s2z s2x  s2y s2x  s2y  s2z

3. krok: otočení polopřímky do osy z (okolo osy x) 3dTransform 2015


23 / 28

Aplikace transformace M M(A, s)  T( A)  R z ( )  R x ( ) M(A, s)1  R x ( )  R z (  )  T(A)

Otočení kolem dané osy: R(A, s,  )  M(A, s)  R z ( )  M(A, s)

1

Zrcadlové převrácení podle dané roviny: Mirror ( A, n)  M( A, n)  S(11 , ,1)  M(A, n)1 3dTransform 2015


24 / 28

Výpočet inverzní transformace 1. inverze matice:

M1

2. po krocích: M  ABC 1

M

1

1

 C B  A

1

3. transpozice (ortonormální matice): R 1  R T

pro ortonormá ln í matici R

(ortonormální jsou např. všechny rotační matice) 3dTransform 2015


25 / 28

Převod mezi souřadnými systémy u

z A

s t

O x y

Souřadný systém je zadán svým počátkem A a trojicí vektorů s, t, u

Cs  M(A, u) Cs1  M(A, u)1

1. krok: přenesení polopřímky (A,u) do osy z 3dTransform 2015


26 / 28

Převod mezi souřadnými systémy Cs (A, s, t, u)  M(A, u)  R z ( )

z

Cs (A, s, t, u)

u’ 

t’ y

s’

x

1

 R z (  )  M(A, u)

cos   sin  

1

s  M(A, u) x s  M(A, u)

s  M(A, u) y s  M(A, u)

2. krok: ztotožnění os s’x a t’y (otočením kolem z=u’) 3dTransform 2015


27 / 28

Konec Další informace: J. Foley, A. van Dam, S. Feiner, J. Hughes: Computer Graphics, Principles and Practice, 201227 Jiří Žára a kol.: Počítačová grafika, principy a algoritmy, 73-84

3dTransform 2015


28 / 28

Lineární transformace

Recommend Documents